Issuu

QU EES MÀ

ESO D’AULA GUIA 4 MAT

Programa Mary Somerville

Aquest projecte editorial de l’àmbit matemàtic ha estat elaborat d’acord amb les dimensions competencials i els continguts descrits en el decret d’ordenació curricular publicat pel Departament d’Ensenyament de la Generalitat de Catalunya l’any 2015; aquest decret es fonamenta en la Llei d’educació de Catalunya i en les directrius de la Unió Europea, i respon al marc normatiu i a la legalitat vigent.

Equip editorial:

Cap del projecte editorial: Montse Ballaró Coordinació editorial: Mario Suárez

Edició: Rosario Martínez Romera

Correcció: Immaculada Riera

Coordinació artística i disseny: Laura R. Dengra Coordinació tècnica: Mercedes F. Bravo Maquetació: Servei Gràfic NJR, SLU

Aquesta guia d'aula correspon als continguts del llibre de Matemàtiques 4 (Programa Mary Somerville), de José Colera Jiménez, Ignacio Gaztelu Albero, Mª José Oliveira González, Ramón Colera Cañas i Rosario García Pérez.

Primera edició: juliol de 2021 ISBN: 978-84-489-5330-0 DL B. 12458-2021

Printed in Spain

Reservats tots els drets. El contingut d’aquesta obra està protegit per la llei, que estableix penes de presó i multes, a més de les indemnitzacions corresponents per danys i perjudicis, per a aquells que reproduïssin, plagiessin o comuniquessin públicament, totalment o parcialment, una obra literària, artística o científica, o la seva transformació, interpretació o execució artística fixada en qualsevol tipus de suport o comunicada per qualsevol mitjà, sense l’autorització preceptiva.

» DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE

E PROJ TEC EL DE MAT T QU E ES MÀ I

» PRESENTACIÓ

El nou projecte per a l’Educació Secundària Obligatòria permet avançar des del marc de l’escola curricular fins a l’escola competencial, responent a la demanda de noves eines que aquest nou model necessita. Es tracta de formar alumnes competents a l’hora de connectar els continguts amb la informació que requereixen en cada moment per interactuar amb l’entorn, per donar-los un sentit d’utilitat transversal que els ajudi a resoldre els problemes i reptes que els planteja el seu procés d’aprenentatge i la societat en què vivim.

Per facilitar el procés d’aprenentatge competencial proposem un material educatiu amb un contingut teòric com a font d’informació de tot allò que estableix el currículum per a la matèria i el curs corresponent, i unes activitats perquè l’alumne aprengui a gestionar la informació i adquireixi la competència d’aprendre a aprendre. A més a més, el docent disposa d’un llibre digital descarregable, multisuport, multidispositiu i multiplataforma, que conté recursos exclusius, com ara suggeriments didàctics, vídeos i enllaços d’interès per ajudar a dinamitzar l’aula i motivar l’alumnat.

Aquesta Guia d’aula per a l’àmbit matemàtic, de Matemàtiques, forma part del projecte competencial elaborat per l’editorial seguint el currículum del Departament d’Ensenyament. Cobreix totes les necessitats del docent per afrontar el currículum competencial enfocat a treballar les competències pròpies de l’àmbit, agrupades per dimensions

Programa Mary Somerville

El contingut de la guia està pensat per facilitar la tasca del professorat a l’aula: per això es presenta la reproducció de les pàgines del llibre amb la informació necessària per ser utilitzada en cada moment:

• La temporització orientativa del contingut del llibre.

• Una proposta de programació didàctica de cada unitat.

• Els continguts clau de cada unitat.

• Les solucions de totes les activitats.

• La indicació de les activitats proposades per avaluar per dimensions i competències amb l’aplicació AvaluApp ( ).

• La indicació de les activitats relacionades amb els objectius de desenvolupament sostenible (ODS, ).

• La indicació de les pàgines on es poden treballar activitats amb GeoGebra ( ).

» TEMPORITZACIÓ ORIENTATIVA

El currículum estableix 140 hores per a la matèria de Matemàtiques de 4t d’ESO. Es fa difícil establir una temporització que sigui aplicable a tots els grups, perquè els ritmes d’aprenentatge solen ser diversos. D’altra banda, pot haver-hi alguna part de l’alumnat que, per les seves característiques, no treballi tots els continguts activitats que presentem. És per això que la temporització que oferim aquí només és orientativa. Els tres reptes trimestrals que es presenten estan pensats perquè els alumnes els facin a casa; tanmateix, en aquesta temporització els destinem 2 hores per a una posterior posada en comú a l’aula. L’apartat «Resolució de problemes» també està pensat perquè el facin de manera autònoma, aquí destinem 4 hores a la posada en comú.

UNITAT 1 HORES LECTIVES Presentació. Resol h 1. Nombres irracionals 2. Nombres reals:

Per tal de completar les eines per al professorat, el docent pot comptar amb material complementari preparat per ser fotocopiat. Aquest material el podrà descarregar des de l’espai personal del web www.barcanova.cat:

• Avaluacions curriculars: tres propostes en tres nivells de dificultat.

• Avaluacions competencials: seguint el model de les proves PISA.

• Activitats de reforç.

• Rúbriques i dianes d’avaluació.

connexions i dimensió comunicació i representació Pàgina 36, Activitat 1

Descriptors Nivell d’assoliment Pes Expert 4 (100 %) Avançat 3 (75 %) Aprenent 2 (50 %) Novell 1 (25 %)

1.identificacióInterpretacióde la informació de l’enunciat del problema.

2. Aplicació d’estratègies matemàtiques per resoldre el problema.

Extrec les dades de l’enunciat d’un problema faig una representació (esquema, dibuix, etc.) a partir de l’enunciat.

Sé triar les dades de l’enunciat d’un problema entenc quèdemana què calferperresoldre’l.

Estudio el problema, dissenyo un pla per resoldre’l, el desenvolupo amb seguretat i, un cop resolt, repasso el procediment amb detall.

Estudio el problema, estableixo un pla per resoldre’l el desenvolupo.

Sé triar allò més important de l’enunciat d’un problema em faig una idea de què demana de què cal fer per resoldre’l.

Entenc l’enunciat d’un problema amb dificultats. 25 %

Estudio el problema i penso en una sèrie d’idees per resoldre’l provo de desenvoluparles.

3. Ús aritmètiques.d’expressions Transformo expressions aritmètiques en altres d’equivalents i les calculo amb agilitat i seguretat. Transformo algunes expressions aritmètiques en altres d’equivalents i les calculo correctament.

4. Seguiment de processos de raonament per construir opinions.

Tendeixo a emprar processos de raonament per analitzar una situació, extreure’n la informació i formar les meves opinions.

Utilitzo sovint processos de raonament per analitzar la informació i formar les meves opinions.

Faig algunes transformacions amb aritmètiquesexpressions arribo a resultats en casos senzills.

Afronto el problema, penso en algunes idees per resoldre’l provo de desenvolupar-les amb dificultats. 25 %

Tinc dificultats per transformar expressions aritmètiques arribar a resultats. 15 %

Soc capaç de construir argumentacions o raonaments a partir de la informació que rebo.

4 ESO D’AULA GUIA MAT TQUEESMÀ I-

Programa Mary Somerville

L CURR UÍC UM N COMP EET CIAL UN

» LES COMPETÈNCIES, LES RÚBRIQUES I LES DIANES

» COMPETÈNCIES DE L’ÀMBIT MATEMÀTIC

» ELS OBJECTIUS DE DESENVOLUPAMENT SOSTENIBLE (ODS)

» LES COMPETÈNCIES, LES RÚBRIQUES I LES DIANES

Les competències

Una competència és el resultat d’integrar coneixements, habilitats i actituds d’una manera pràctica i saber-les aplicar a contextos diversos, siguin de l’àmbit acadèmic o de l’àmbit no acadèmic. Les competències són, per tant, combinacions de coneixements, habilitats i actituds adquirides que interactuen per donar una resposta eficient al treball o a l’activitat que es duu a terme.

L’objectiu principal de l’aprenentatge és el desenvolupament de les competències. La nomenclatura de les competències que utilitzem en aquesta Guia d’aula és la que estableix el Departament d’Ensenyament en el document Competències bàsiques de l’àmbit matemàtic

Les competències s’han de considerar totalment integrades amb els continguts del currículum. Per a l’adquisició de cada competència són necessaris continguts molt diversos que s’hauran d’anar assolint progressivament al llarg dels cursos. Les competències de cada àmbit de coneixement s’estableixen per a tota l’etapa educativa; per tant, la seva adquisició s’haurà d’anar consolidant amb els aprenentatges que es vagin aconseguint en els diversos cursos de l’ESO.

Cal assenyalar que no totes les activitats que requereix un alumne per assolir plenament els continguts tenen un caràcter competencial. També són necessàries les activitats d’aplicació directa dels continguts.

En l’apartat d’aquesta guia «Programació competencial d’aula i concreció de les dimensions» trobareu una relació de les activitats proposades en el llibre agrupades per dimensions. Sovint les activitats proposades es relacionen amb més d’una dimensió i posen en joc diverses competències, però en aquesta programació s’ha volgut indicar la dimensió que té més rellevància en cada activitat. En el cas de les activitats que pertanyen a la secció «Matemàtiques en context», excepcionalment indiquem totes les dimensions que hi intervenen, ja que proposem aquestes activitats per avaluar per dimensions mitjançant l’aplicació AvaluApp.

DIMENSIÓ

Les rúbriques

Les rúbriques són eines d’autoavaluació dels alumnes que serveixen perquè siguin conscients del seu nivell d’aprenentatge, però també són una eina excel·lent per al docent per copsar la percepció que cada alumne té d’aquest aprenentatge i, si cal, establir estratègies perquè millorin.

Es poden fer servir en l’avaluació de determinades activitats i descriuen les característiques específiques d’aquella activitat en diversos nivells de rendiment, per tal d’aclarir allò que s’espera del treball de l’alumne, valorar-ne l’execució i facilitar el feedback (retroalimentació).

Així, doncs, la rúbrica és un instrument d’avaluació que no solament serveix per al docent, que la utilitza per mostrar a l’alumnat, d’una manera clara, el que es valorarà d’aquella tasca i com hi poden arribar, sinó també per a l’alumne, ja que facilita l’autoreflexió i la seva implicació activa i, per tant, és una eina per guiar-ne l’aprenentatge. A més, la rúbrica pot ser motivadora si orienta l’alumnat sobre com pot millorar.

Si es vol que sigui una eina potent per a l’aprenentatge de l’alumnat, cal involucrar-lo en la seva elaboració, posada en pràctica i revisió. En aquest programa de Matemàtiques posem a l’abast del docent diferents rúbriques perquè les pugueu fotocopiar, comentar i lliurar a cada un dels vostres alumnes abans de fer l’activitat a què es refereix i, si ho creieu convenient, modificar-la conjuntament, de manera que sigui una mena de contracte entre docent i alumnat.

Per a cada descriptor s’estableix una gradació en quatre nivells, cada un amb un valor: expert (4), avançat (3), aprenent (2) i novell (1), i s’estableix un percentatge per a cada ítem, de manera que, tots sumats, arribin a 100.

Si d’una competència indiquem que té un percentatge del 5 %, l’alumne que marqui l’opció expert obtindrà el 100 % del percentatge de la nota, és a dir, un 5 %; el que hagi marcat l’opció avançat obtindrà un 75 % del 5 %, és a dir, un 3,75 ; l’ aprenent , un 50 % del 5 %, és a dir, un 2,5 %, i el novell, un 25 % del 5 %, és a dir, un 1,25 %. Sumats els valors obtinguts per a cada ítem, tindrà el valor global d’assoliment d’aquella activitat i el percentatge corresponent a cada competència.

Tant els descriptors de les competències —o ítems— com els percentatges que hem atorgat a cada un els podeu modificar segons el vostre criteri. El que cal és que, repartits els percentatges, el total faci 100. També, a partir d’aquests models, vosaltres mateixos podeu elaborar rúbriques per a altres activitats o treballs del vostre alumnat.

RÚBRIQUES • Unitat

Les dianes

La diana d’autoavaluació és una altra eina que ens permet avaluar les competències d’una activitat que considerem rellevant, d’una manera ràpida i àgil, a partir de la percepció que l’alumne té del seu aprenentatge. És una eina més senzilla que la rúbrica però, de vegades, és suficient.

La representació de la diana presenta quatre cercles concèntrics, que determinen el grau d’assoliment de les competències que es volen avaluar, amb una numeració de l’1 al 4: al cercle més intern li correspon l’1 i al més extern, el 4. Vindrien a ser els graus d’assoliment de les rúbriques (expert, avançat, aprenent i novell).

Aquesta diana es divideix en tants sectors com descriptors de les competències o ítems es vulguin avaluar. Cada línia que separa els sectors representa un dels ítems. De vegades es posa el descriptor de la competència a la part externa del cercle o, si no hi ha espai, un número i la llegenda corresponent a cada un dels ítems al costat de la diana.

Per fer l’autoavaluació, l’alumne ha de valorar si l’ítem corresponent l’ha assolit de manera excel·lent (Sempre), bé (Gairebé sempre), suficient (De vegades) o cal que s’ho revisi (Mai) segons el que indiqui la llegenda de la diana, i marcar un punt en la intersecció entre la línia de l’ítem i el cercle de la numeració corresponent. Quan l’alumne ha valorat tots els ítems, ha de traçar una línia per unir tots els punts i pintar l’àrea del polígon resultant. Com més gran sigui l’àrea, més assoliment hi ha de les competències de l’activitat que s’avalua. Finalment, els alumnes poden comparar el dibuix resultant de la seva diana amb el de la resta dels companys i companyes.

DIANES • Unitat 1

Dimensió resolució de problemes, dimensió raonament i prova, dimensió connexions i dimensió comunicació i representació Pàgina 36, activitat 2

Interpreto la informació continguda en l’enunciat del problema.

Represento nombres grans i petits en notació científica.

Efectuo operacions amb fraccions en situacions properes.

4 Sempre 3 Gairebé sempre 2 De vegades 1 Mai

Transformo expressions aritmètiques en altres d’equivalents més senzilles i en calculo el resultat.

Raono les meves opinions i els procediments que utilitzo.

Faig servir argumentacions per justificar les meves afirmacions.

DIANES Unitat 1

Dimensió resolució de problemes, dimensió raonament prova, dimensió connexions i dimensió comunicació i representació Pàgina 37, activitat 3

Interpreto la informació continguda en l’enunciat del problema.

Expresso verbalment per escrit, amb precisió, els meus resultats i conclusions.

Efectuo càlculs de capacitat en situacions properes.

Realitzo conjectures, les comprovo les justifico.

4 Sempre 3 Gairebé sempre 2 De vegades Mai

Calculo el resultat d’una expressió aritmètica.

Faig servir el coneixement matemàtic per construir els meus raonaments.

DIANES • Unitat 1

Dimensió resolució de problemes, dimensió raonament i prova,

dimensió connexions i dimensió comunicació i representació Pàgina 37, activitat 4

Operonombresamb expressats en notació científica en situacions properes.

Explico, d’una manera entenedora, els matemàticsconceptes i els procediments que faig servir.

Resolc utilitzantproblemesels racionalsnombresles operacions matemàtiques. Tradueixo un problema a llenguatge matemàtic.

Argumento les meves afirmacions i n’aporto exemples.

RESOLUCIÓ DE PROBLEMES

Competència 1 Traduir un problema a llenguatge matemàtic o a una representació matemàtica utilitzant variables, símbols, diagrames i models adequats.

Competència 2 Emprar conceptes, eines i estratègies matemàtiques per resoldre problemes.

Competència 3 Mantenir una actitud de recerca davant d’un problema assajant estratègies diverses.

Competència 4 . Generar preguntes de caire matemàtic i plantejar problemes.

Competència 5 Construir, expressar i contrastar argumentacions per justificar i validar les afirmacions que es fan en matemàtiques.

Competència 6 Emprar el raonament matemàtic en entorns no matemàtics.

CONNEXIONS

C10

COMUNICACIÓ I

Competència 7 Usar les relacions que hi ha entre les diverses parts de les matemàtiques per analitzar situacions i per raonar.

Competència 8 Identificar les matemàtiques implicades en situacions properes i acadèmiques i cercar situacions que es puguin relacionar amb idees matemàtiques concretes.

Competència 9 Representar un concepte o relació matemàtica de diverses maneres i usar el canvi de representació com a estratègia de treball matemàtic.

Competència 10 Expressar idees matemàtiques amb claredat i precisió i comprendre les dels altres.

Competència 11 . Emprar la comunicació i el treball col·laboratiu per compartir i construir coneixement a partir d’idees matemàtiques.

Competència 12 . Seleccionar i usar tecnologies diverses per gestionar i mostrar informació, i visualitzar i estructurar idees o processos matemàtics.

C2 C3

C11

C12

» ELS OBJECTIUS DE DESENVOLUPAMENT SOSTENIBLE (ODS)

Els objectius de desenvolupament sostenible (ODS) són una crida universal per a l’acció per posar fi a la pobresa, protegir el planeta i garantir que totes les persones tinguin accés a l’educació, la igualtat, l’aigua, l’energia neta, la pau i la prosperitat.

Es tracta d’un pla de mesures amb 17 objectius i 169 metes per aconseguir un món més igualitari i habitable i que s’haurien de complir abans de 2030

Aquests objectius porten implícit un esperit de col·laboració i pragmatisme amb la finalitat de millorar la vida, de manera sostenible, de les generacions futures.

A més, en si mateixos són una agenda inclusiva en tant que tracten les causes fonamentals de la pobresa i uneixen tots els estats que hi participen per aconseguir així un canvi positiu en benefici de les persones i del planeta.

La lluita contra el canvi climàtic és un element transversal i decisiu que influeix en tots els aspectes del desenvolupament sostenible i l’Agenda 2030.

Fer conscient l’alumnat dels reptes imminents plantejats en els objectius de desenvolupament sostenible en aquest programa pedagògic proporciona un marc de treball a partir del qual articular aprenentatges competencials que activin l’alumne, no tan sols quant al saber sinó també pel que fa al saber fer i al saber ser, i reforcin la seva preparació com a futurs ciutadans compromesos amb la realitat del seu temps. La primera forma de contribuir a la consecució d’aquests ODS és contribuir a augmentar la consciència pública d’aquests en tots els àmbits, i l’aula és un espai fonamental d’aprenentatge de la convivència de les generacions futures.

L’Agenda Educativa 2030, sorgida del Fòrum Educatiu Mundial celebrat a Inch’ŏn, República de Corea (UNESCO, 2015; Nacions Unides, 2015), va situar l’educació com una de les eines fonamentals per forjar un desenvolupament que sigui a la vegada sostenible, inclusiu, just, pacífic i cohesiu.

Els 17 objectius de desenvolupament sostenible

E PROJ TEC L DESE E O M N N V UPA T DEL

» ÍNDEX DE MATEMÀTIQUES

» TEMPORITZACIÓ ORIENTATIVA

» DESENVOLUPAMENT DE LES UNITATS

BLOC I. NUMERACIÓ I CÀLCUL

BLOC II. CANVI I RELACIONS

BLOC III. ESPAI, FORMA I MESURA

SEMBLANÇA.

TRIGONOMETRIA*

1. Raons trigonomètriques d’un angle agut

2. Relacions trigonomètriques fonamentals ................

3. Utilització de la calculadora en trigonometria 178

4. Resolució de triangles rectangles 180

5. Resolució de triangles no rectangles 181

6. Raons trigonomètriques de 0° a 360° 182

7. Angles de mesures qualssevol. Raons trigonomètriques .. 185

Observa, raona i resol 186 Exercita les teves competències 187

en context 192 Taller de matemàtiques 194 Posa’t a prova 195

GEOMETRIA ANALÍTICA*

1. Vectors en el pla 198

2. Operacions amb vectors 199

3. Vectors que representen punts ........................ 201

4. Punt mitjà d’un segment 202

5. Comprovació que tres punts estan alineats 203

6. Equacions de la recta 204

7. Rectes. Paral·lelisme i perpendicularitat 206

8. Rectes paral·leles als eixos de coordenades 208

9. Posicions relatives de dues rectes 209

10. Distància entre dos punts 210

11. Equació d’una circumferència .......................... 211

Observa, raona i resol 212

Exercita les teves competències 213 Matemàtiques en context 218 Taller de matemàtiques 220

Posa’t a prova 221

1. L’estadística i els seus mètodes ........................

2. Taules de freqüències

3. Paràmetres estadístics: x – i σ

4. Paràmetres de posició per a dades aïllades 234

5. Paràmetres de posició per a dades agrupades

6. Diagrames de caixa

7. Estadística inferencial

8. Estadística en els mitjans de comunicació

raona i resol

les teves competències

Matemàtiques en context

Taller de matemàtiques

Posa’t a prova

1. Distribucions bidimensionals

2. El valor de la correlació

3. La recta de regressió per fer estimacions

4. Reflexionem: la correlació significa causa-efecte?

5. Distribucions bidimensionals amb calculadora ...........

Observa, raona i resol

Exercita les teves competències

COMBINATÒRIA*

1. Estratègies basades en el producte .....................

2. Variacions i permutacions (importa l’ordre)

3. Quan no hi influeix l’ordre. Combinacions 286

4. Un triangle numèric interessant 288

Observa, raona i resol

Exercita les teves competències

1. Esdeveniments aleatoris

2. Probabilitats dels esdeveniments. Propietats

3. Probabilitats en experiències simples

4. Probabilitats en experiències compostes

5. Composició d’experiències independents

6. Composició d’experiències dependents*

7. Taules de contingència

raona i resol

» TEMPORITZACIÓ ORIENTATIVA

Els tres reptes trimestrals que es presenten estan pensats perquè els alumnes els facin a casa; tanmateix, en aquesta temporització els destinem 2 hores per a una posterior posada en comú a l’aula. L’apartat «Resolució de problemes» també està pensat perquè el facin de manera autònoma, aquí destinem 4 hores a la posada en comú.

1. Nombres irracionals 2. Nombres reals:

3. Trams de la recta real: intervals i semirectes

4. Arrels i

5. Nombres aproximats. Errors

6. Nombres en notació científica. Control de l’error

7. Logaritmes

Posa’t

Presentació. Resol

1. Polinomis. Operacions

2. Regla de Ruffini

3. Arrel d’un polinomi. Cerca d’arrels

4. Factorització de polinomis

5. Divisibilitat de polinomis

6. Fraccions algebraiques

7. Descompondre una fracció algebraica en fraccions elementals

de matemàtiques. Posa’t a prova

Presentació. Resol

1. Equacions 2. Sistemes d’equacions

3. Inequacions amb una incògnita

Taller de matemàtiques. Posa’t a prova

Presentació. Resol

1. Conceptes bàsics

2. Com es presenten les funcions 2

3. Domini de definició

4. Funcions contínues. Discontinuïtats

5. Creixement, màxims i mínims

6. Tendència i periodicitat

Matemàtiques en context

Taller de matemàtiques. Posa’t a prova 1 h

Repte 1r trimestre: Visita al museu de la ciència 2 h

UNITAT 5

Presentació. Resol

1. Funcions lineals

2. La paràbola: una corba molt interessant

3. Funcions quadràtiques

4. Funcions amb valor absolut

5. Funcions radicals 1

6. Funcions de proporcionalitat inversa 1 h

7. Funcions exponencials

8. Funcions logarítmiques

de matemàtiques. Posa’t a prova

Presentació. Resol

1. Semblança

2. Homotècia 1 h

3. Rectangles de dimensions interessants 1 h

4. Semblança de triangles 2 h

5. La semblança en els triangles rectangles 2 h

6. Semblança de triangles rectangles en cossos geomètrics 2

Matemàtiques en context

Taller de matemàtiques. Posa’t a prova

Presentació. Resol

1. Raons trigonomètriques d’un angle agut

2. Relacions trigonomètriques fonamentals 1 h

3. Utilització de la calculadora en trigonometria 1 h

4. Resolució de triangles rectangles 1 h

5. Resolució de triangles no rectangles 1 h

6. Raons trigonomètriques de 0° a 360° 2 h

7. Angles de mesures qualssevol. Raons trigonomètriques 1

Matemàtiques en context 1

Taller de matemàtiques. Posa’t a prova

Presentació. Resol

1. Vectors en el pla

2. Operacions amb vectors 1 h

3. Vectors que representen punts 1 h

4. Punt mitjà d’un segment 1 h

5. Comprovació que tres punts estan alineats 1 h

6. Equacions de la recta 1 h

7. Rectes. Paral·lelisme i perpendicularitat 1 h

8. Rectes paral·leles als eixos de coordenades

9. Posicions relatives de dues rectes 1 h

10. Distància entre dos punts 1 h

11. Equació d’una circumferència 1 h

Matemàtiques en context 1 h

Taller de matemàtiques. Posa’t a prova 1 h

Repte 2n trimestre: Preparació d’una missió espacial 2 h

UNITAT 9 HORES LECTIVES

Presentació. Resol

1. L’estadística i els seus mètodes

2. Taules de freqüències

3. Paràmetres estadístics: x¯ i σ 1 h

4. Paràmetres de posició per a dades aïllades 2

5. Paràmetres de posició per a dades agrupades

6. Diagrames de caixa

7. Estadística inferencial

8. Estadística en els mitjans de comunicació

Matemàtiques en context

Taller de matemàtiques. Posa’t a prova 1 h

UNITAT 10

HORES LECTIVES

Presentació. Resol 2 h

1. Distribucions bidimensionals

2. El valor de la correlació 2 h

3. La recta de regressió per fer estimacions 2 h

4. Reflexionem: la correlació significa causa-efecte?

5. Distribucions bidimensionals amb calculadora

Matemàtiques en context

Taller de matemàtiques. Posa’t a prova

Presentació. Resol

1. Estratègies basades en el producte

2. Variacions i permutacions (importa l’ordre) 2 h

3. Quan no hi influeix l’ordre. Combinacions 2 h

4. Un triangle numèric interessant 1 h

Matemàtiques en context 1 h

Taller de matemàtiques. Posa’t a prova 1 h UNITAT 12

Presentació. Resol 1 h

1. Esdeveniments aleatoris

2. Probabilitats dels esdeveniments. Propietats 1 h

3. Probabilitats en experiències simples 1 h

4. Probabilitats en experiències compostes 1 h

5. Composició d’experiències independents 1 h

6. Composició d’experiències dependents 1 h

7. Taules de contingència 1 h

Matemàtiques en context 1 h

Taller de matemàtiques. Posa’t a prova 1 h

Repte 3r trimestre: Organització de la setmana cultural 2 h

Resolució de problemes 4 h

» DESENVOLUPAMENT DE LES UNITATS

» UNITAT

1. NOMBRES REALS

Programació competencial d’aula i concreció de les dimensions

Dimensió resolució de problemes

COMPETÈNCIES

C1. Traduir un problema a llenguatge matemàtic o a una representació matemàtica utilitzant variables, símbols, diagrames i models adequats.

C2. Emprar conceptes, eines i estratègies matemàtiques per resoldre problemes.

C4. Generar preguntes de caire matemàtic i plantejar problemes.

1. L’alumne ha de ser capaç de resoldre problemes de la vida quotidiana, d’altres matèries i de les mateixes matemàtiques utilitzant diferents tipus de nombres (racionals i irracionals), símbols i mètodes algebraics, i avaluar altres mètodes de resolució possibles, com, per exemple, l’assaig error o bé el càlcul numèric amb mitjans tecnològics.

1.1. Tradueix un problema a llenguatge matemàtic utilitzant gràfics, expressions aritmètiques o expressions algebraiques senzilles.

1.2. Empra conceptes, eines i estratègies matemàtiques per resoldre problemes, explicant el procés i comprovant la raonabilitat de la solució.

1.3. Genera preguntes o problemes que impliquin connexions i que siguin coherents amb el context en què es planteja.

- Nombres racionals i irracionals. El nombre 2 . El nombre auri. El nombre r

- Arrels i radicals. Forma exponencial. Potències.

- Propietats dels radicals. Operacions amb radicals. Racionalització de denominadors.

- Nombres aproximats. Error absolut i error relatiu.

- Logaritmes. Propietats dels logaritmes.

Resol: 1, 2

Aplica el que has après: 11, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 25, 26

Observa, raona i resol: 1, 3

Exercita les teves competències: 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37

Matemàtiques en context: 1, 2, 3, 4

Posa’t a prova: 1, 4, 5

Dimensió raonament i prova

COMPETÈNCIES CRITERIS

C5. Construir, expressar i contrastar argumentacions per justificar i validar les afirmacions que es fan en matemàtiques.

7. L’alumne ha de ser capaç de planificar i utilitzar processos de raonament i estratègies de resolució de problemes, com la realització de conjectures, la seva justificació i generalització, així com la comprovació, el tempteig i el contrast amb diverses formes de raonament al llarg de la història de les matemàtiques.

INDICADORS CONTINGUTS

7.1. Empra processos de raonament i estratègies de resolució de problemes per construir argumentacions matemàtiques, les expressa amb precisió i les contrasta amb les dels altres.

7.2. Fa generalitzacions o concrecions tot realitzant conjectures, comprovant-les i justificant-les.

7.3. Identifica exemples o contraexemples per justificar o rebutjar afirmacions matemàtiques.

- Tipus de nombres. Significat dels nombres reals.

- Significat de les potències i de les arrels.

Aplica el que has après: 1, 2, 3, 4, 20

Exercita les teves competències: 1, 2, 3, 4, 11, 41, 44, 45, 46, 47, 55, 56, 57, 58, 59, 60

Taller de matemàtiques:

Llegeix i comprèn. Descobreix

Posa’t a prova: 7

C6. Emprar el raonament matemàtic en entorns no matemàtics.

8. L’alumne ha de ser capaç d’analitzar i avaluar les estratègies i el pensament matemàtic dels altres, a través del treball per parelles o en grup o bé la posada en comú amb tota la classe.

8.1. Expressa amb precisió les seves argumentacions matemàtiques emprant els recursos adients.

8.2. Contrasta les argumentacions pròpies amb les dels altres.

8.3. Avalua les estratègies pròpies i dels altres i les incorpora al seu aprenentatge.

- Plantejament de problemes en situacions de la vida quotidiana.

- Ús de potències, arrels i notació científica en situacions de la vida quotidiana.

Aplica el que has après: 21, 24

Matemàtiques en context: 1, 2, 4

Dimensió connexions

COMPETÈNCIES CRITERIS

C7. Usar les relacions que hi ha entre les diverses parts de les matemàtiques per analitzar situacions i per raonar.

9. L’alumne ha de ser capaç d’usar les relacions entre les diverses parts de les matemàtiques (nombres i geometria), que afavoreixin l’anàlisi de situacions i el raonament.

INDICADORS CONTINGUTS ACTIVITATS

9.1. Usa les relacions entre les diverses parts de les matemàtiques per analitzar situacions i construir raonaments.

9.2. Empra el llenguatge matemàtic, així com els conceptes i els procediments transversals, per analitzar situacions i construir raonaments.

- Relació entre els diferents tipus de nombres i les maneres d’expressar-los.

- Càlcul manual i mental.

C8. Identificar les matemàtiques implicades en situacions properes i acadèmiques i cercar situacions que es puguin relacionar amb idees matemàtiques concretes.

10. L’alumne ha de ser capaç de reconèixer models numèrics (racionals i irracionals) en contextos no necessàriament matemàtics o en d’altres matèries i utilitzar les seves característiques i propietats per resoldre situacions que apareixen en treballs per projectes realitzats des de la pròpia àrea o de manera interdisciplinària.

10.1. Reconeix models o estructures matemàtiques (especialment models numèrics) en contextos diaris, de l’entorn o d’altres disciplines.

10.2. Empra els coneixements, les eines i la forma de treballar de les matemàtiques per analitzar situacions quotidianes o relacionades amb altres matèries.

- Models numèrics.

- Processos de treball propis de les matemàtiques.

- Aplicació de les matemàtiques a situacions reals.

Aplica el que has après: 10, 12

Observa, raona i resol: 2

Exercita les teves competències: 14, 15, 39, 50, 51, 52, 53, 54

Matemàtiques en context: 1, 2, 4

Posa’t a prova: 8

Aplica el que has après: 22

Exercita les teves competències: 48, 49

Matemàtiques en context: 2, 4

Taller de matemàtiques: Entrena’t resolent altres problemes

Dimensió comunicació i representació

COMPETÈNCIES CRITERIS

C10. Expressar idees matemàtiques amb claredat i precisió i comprendre les dels altres.

C12. Seleccionar i usar tecnologies diverses per gestionar i mostrar informació, i visualitzar i estructurar idees o processos matemàtics.

11. L’alumne ha de ser capaç d’expressar verbalment i per escrit, amb precisió, raonaments, relacions quantitatives i informacions que incorporin elements matemàtics, simbòlics o gràfics, valorant la utilitat del llenguatge matemàtic i la seva evolució al llarg de la història.

12. L’alumne ha de ser capaç de seleccionar i usar tecnologies diverses per gestionar i mostrar informació, i visualitzar i estructurar idees o processos matemàtics.

INDICADORS CONTINGUTS ACTIVITATS

11.1. Expressa, verbalment i per escrit, conceptes i relacions matemàtiques fent servir el llenguatge matemàtic amb precisió.

11.2. Interpreta les representacions matemàtiques dels altres i les contrasta amb les seves pròpies.

12.1. Valora el potencial i les limitacions de diverses tecnologies per cercar, recollir, tractar i mostrar informació.

12.2. Selecciona tecnologies diverses amb criteris d’idoneïtat i les fa servir per gestionar i visualitzar la informació. En particular, utilitza de manera adequada la calculadora, així com programari lliure de geometria dinàmica.

- Representació de nombres racionals i irracionals, així com d’intervals i semirectes, en la recta real.

- Expressió oral i escrita dels conceptes associats a les operacions aritmètiques.

Aplica el que has après: 5, 6, 7, 8, 9

Exercita les teves competències: 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 40, 42, 43

Matemàtiques en context: 1, 4

Posa’t a prova: 2

- Coneixement de l’ús de la calculadora en mode notació científica.

- Coneixement de l’ús de les tecles de la calculadora per calcular logaritmes.

- Ús d’eines digitals (cercadors d’internet i programari lliure de geometria dinàmica: GeoGebra).

Aplica el que has après: 23, 27, 28

Exercita les teves competències: 38, 61

Posa’t a prova: 3, 6

Amb aquesta unitat es pretenen consolidar molts dels coneixements sobre nombres, els seus usos i la manera d’operar-hi.

La comprensió dels diferents tipus de nombres (N, Z, Q, Á) es referma amb la classificació d’un munt de nombres expressats de forma variada.

L’estudi dels nombres irracionals té interès teòric i és fonamental per a la totalitat dels estudiants. El mateix passa amb la recta real com a àmbit numèric, que conté la totalitat dels números que s’utilitzen.

El maneig dels radicals, manualment i amb calculadora, és bàsic per a l’alumnat d’aquest curs. No obstant això, creiem que hi pot haver diversos nivells de destresa segons les aptituds i la projecció acadèmica dels diferents estudiants.

Els nombres reals, malgrat el seu nom, tenen un paper més teòric que pràctic. En les aplicacions dels nombres a la realitat, basta utilitzar unes quantes xifres decimals.

La idea d’aproximació i error, com també la valoració d’aquest, es pot treballar en un context històric a partir de les estimacions que s’han fet de π en alguns moments històrics.

A més de les definicions habituals, es relaciona l’error (absolut o relatiu) amb les xifres significatives que s’utilitzen. L’estudi de la notació científica completa la visió de l’apartat anterior.

S’ofereix un primer contacte amb els logaritmes: la seva definició, algunes propietats per comprendre l’ús que se’n fa i la seva presència en les calculadores.

CONTINGUTS CLAU DE LES COMPETÈNCIES

CC1. Sentit del nombre i de les operacions.

CC3. Càlcul (mental, estimatiu, algorísmic, amb calculadora).

Resol

1. a) Per exemple:

Naturals: 2, 3, 4

Enters no naturals: -1, -7, -3

b) Per exemple:

Racionals no enters: ,, 4 3 2 1 3 2-

No racionals: π; 2 ; 0,1010010001…

2. Aproximacions del nombre π:

Antics egipcis: Error < 0,02

Antics babilonis: Error < 0,02

Arquimedes: Error < 0,001

Ptolemeu: Error < 0,0001

Liu Hui: Error < 0,0000003

Orientacions metodològiques

Plantegem aquí la demostració que 2 és irracional emprant el mètode de reducció a l’absurd; és la professora o el professor el qui ha de decidir sobre la conveniència o no d’explicar aquest mètode. No obstant això, sí que convindria insistir en el fet que un nombre decimal amb infinites xifres no periòdiques és irracional, fins i tot en el cas que la seva expressió decimal presenti certes regularitats com és el cas de 7,1010010001... o 7,01234567891011...

El nombre auri –com a primer nombre no racional conegut–, el nombre π –que els estudiants utilitzen ben sovint–, i el nombre e –fonamental en les matemàtiques de nivell superior–, són especialment motivadors per proposar petits «treballs d’investigació» als alumnes. Les referències i recursos a internet sobre aquests nombres són molt nombrosos.

Solucionari

Aplica el que has après

1. a) Si 3 és racional, b a 3 = → 3 = b a 2 2 → 3b2 = a2

Arribem a una contradicció: 3b2 conté el factor 3 un nombre imparell de vegades, fet que contradiu que a2 el contingui un nombre parell de vegades. b) i c) Són el resultat d’operar racionals amb un irracional i, per tant, són nombres irracionals.

= a + b =

3. Si F fos racional, aleshores

2F - 1 seria racional.

2F - 1 = 5 , que és irracional. Contradicció.

4. x x – 1 1 De l’esquema obtenim la proporció: x x 1 1 1 –=

D’aquí obtenim l’equació: x 2 - x - 1 = 0

l’única solució positiva de la qual és Φ.

Solucionari

Aplica el que has après 5. a)

Aplicant el teorema de Pitàgores: 52 = x 2 + 22 → x = 21 b)

6. El nombre assenyalat amb una fletxa és el 1,732. La representació de 2,716 es la següent:

Notes

Solucionari

Aplica el que has après

7. a) [5, 6] 6 5

b) (7, +∞) 7

c) (- ∞ , -5] –5

8. a) [3, 5) 5 3

b) [0, +∞) 0

c) (-3, -1) 0 1 –3

d) (- ∞, 8) 8

9. a) {x / -1 < x ≤ 4} 4 –1

b) {x / 0 ≤ x ≤ 6}

c) {x / x < - 4} –4

d) {x / x ≥ 9} 9

Notes

Solucionari

Càlcul mental

1. a) k = 8 b) k = 5 c) k = 16/81 d) k = 10

2. a) -2 b) 2 c) -2 d) 0 e) 3 f ) 5

Aplica el que has après

10. a) x 1/5 b) x 10/3 c) a 2/5 d) a 7/2 e) x 1/6 f ) x 24/5

11. a) 2 b) 5 c) 5 d) 4 e) 32 f ) 216

12. a) x 7 9 b) () mn 5 3

c) ab 3 $ d) xx 2 3 5 2 15 = e) x 5 6 f ) yz 64 3

Notes

Solucionari

Aplica el que has après

13. a) x 3 4 b) x 2 3 c) y 2 d) 2 e) 4 3 f ) 3

14. a) 31 13 > 4 3 b) . 51 132 650 > 3 9

15. a) 2 8 15 b) 32 3 c) ab23 5

16. a) 2x x4 3 b) 3ab bc3 2 3 c) 2 2 5

17. a) 3 2 3 b) 2 3 10 c) c bc a 1 4 d) a 4 e) x 11 6 f ) 2

18. a) 5 2 b) 7 3

19. a) 2 52 b) 7 57 c) 2 4 3 d) 3 23 3 5 e) 43 2 – _ i f ) 6 + 3 3

Notes

Solucionari

Aplica el que has après

20. a) F b) V c) V d) V e) F f ) V

Notes

21. ODS (2)

És impossible aconseguir tanta precisió en els mesuraments.

Expressió més adequada: 12 milions.

Error absolut < 500.000

Error relativu < 4,2 %

22. Error absolut < 0,00005

Error relatiu < 0,002 %

Solucionari

Aplica el que has après

23. a) 3,328 b) 6,3 109 c) 4,372 107 d) 7,3773 1012

24. a) dTS = 1,49 108 km; dTL = 3,844 105 km

b) dTS = 1,5 1013 cm; dTL = 3,8 1010 cm c) dTS = 1,490 1013 cm; dTL = 3,844 1010 cm d)

Solucionari

Aplica el que has après

25. a) 3 b) -2 c) 7 d) - 4 e) 0 f) - 4 g) -1/2 h) -1 i) 2/5

26. a) 100 b) 6 c) 5 d) 9

27. log10 7 = 0,84509804

log10 70 = 1,84509804

Tenen la mateixa part decimal perquè log10 70 = log10 7 + 1.

Notes

Solucionari

Aplica el que has après

28. a) log2 740 → j 2 ”740 = 9.531381461

log2 740 = ln ln 2 740 → l 740 )/l 2 = 9.531381461

b) log3 100 → j 3 ”100 = 4.191806549

log3 100 = ln ln 3 100 → l 100 )/l 3 = 4.191806549

c) log5 0,533 → j 5 ”0.533 = -0.390964976

log5 0,533 = , ln ln 5 0 533 → l 0.533 )/l 5 = -0.390964976

d) log8 0,004 → j 8 ”0.004 = -2.655261428

log8 0,004 = , ln ln 8 0 004 → l 0.004 )/l 8 = -2.655261428

e) log 3 350 → jí3 ””350 = 10.66424109

log 3 350 = ln ln 3 350 → l 350 )/lí3 = 10.66424109

Observa, raona i resol

1. a) 2 2 11 2 – b) 3 2 3 3 1 6 –

2. 2,394 107 iens

3. a) 3 b) 5 1

Notes

Solucionari

1. a) Són racionals els nombres següents: , 2 2 4 17 10 17 42 9 38 37 5 45 169 ––;, ;; –, – == == !!

b) Són irracionals: 3 ; 3π; 25- ; 5e. D’aquests nombres, només 3 i 25- es poden representar en la recta real de forma exacta.

2. a) Racionals: –, 08 74 3 7 ;– ; !

Irracionals: ; 2 3 2 1 ; 2π; e 3

b) –, e 3 7 4 2 1 2 3 08 7 3 – < <<< << ! 2π

c) Tots ells són reals.

3. - 4 ∈ Z 6 13 ; , 27 ! ∈ Q

5 ; π; 2 13 + ; e ∈ Á 152 ∈ N 4. 1

6. a) A = 5 ; B = 6 ; C = 7 ; D = 11 7. a) (2, 7) b) [-1, 3] c) [5,

Solucionari

11. a) Tots excepte - 4. b) (5, 7)

c) A ∪ B = [-3, +∞) = { x / -3 ≤ x} A ∩ B = (5, 7) = { x / 5 < x < 7}

12. a) (- 4, 2) b) [3, 11] c) [5, 7) d) (3, 5]

13. a) (- 4, -2] ∪ (- 1, 0] b) (- ∞, 1) ∪ (2, 3] c) (4, 5] ∪ [6, +∞)) d) (- ∞, 0) ∪ (1, 2) ∪ [3, 4)

Notes

Solucionari

14. a) x 2/5 b) 21/2 c) 102 d) 201/2 e) (-3)3/5 f ) a 1/4 g) x -6/5 h) a 1/3

15. a) 5 b) () –3 2 3 c) 3 4 3 d) a 3 4 e) a 3 f ) a 3 5 –

16. a) 27/6 b) 3 c) 35/3 d) 51/4 e) 22/3 f ) 51/6

17. a) a 9/10 b) x 1/6 c) a -3/4

18. a) x = -7 b) x = - 8 c) x = 6 7

19. a) 3 b) a 2 3 c) a 3 d) ab 2 4 e) a 2 3 f ) a 2b 3

20. a) 6 b) a 2 a 12 c) a 2 3 –

21. a) 2a 2 3 b) 3a ab 3 4 c) 2a2 a2 2 d) aa 2 3 3 e) 5 9 3 2 f ) 2 1 9 5

22. 81 40 730 << < 6 4 3

23. a) 8 748 10 b) 2 6 c) 5 2 12 d) 3 2 6

24.a) 2 7 b) 3 53 5 c) 2 93 3 d) 56 51 7

25. a) 15 b) 2 c) 14 3 d) 338 d) 3 20 4 e) 3 f ) 3 2 3 26. a) -7 b) 23 - 4 15 c) 4 2 d) 338

27. a) 21/4 ⋅ 35/6 b) 25/3 ⋅ a -4/3 c) 21/6 ⋅ a1/12

28. a) 3 b) 3 6 c) 10 21020 + d) 5 25 2 3 e) 4 6 3 f ) 3 23 5

29. a) –2 31 3 – _ i b) -3 + 2 2 c) a aa 1 ––d) () 11 22 3 e) b ab 22 32 4 f ) 4 - 15

30. a) 3 23 b) 4 52 c) 3 d) 2 + a

31. a) E.A. < 500 €; E.R. < 0,0039 b) E.A. < 500.000 €; E.R. < 0,02

c) E.A. < 50 €; E.R. < 0,000077

d) E.A. < 500 €; E.R. < 0,0156

e) E.A. < 0,5 €; E.R. < 7,7 10-7

f) E.A. < 0,5 €; E.R. < 1,56 10-5

32. a) 5 ⋅ 104 b) 5 ⋅ 103 c) 5 ⋅ 10-6 d) 5 ⋅ 10-6 e) 5 ⋅ 10-8 f ) 1,25 ⋅ 10-3

El menor error relatiu correspon a c), i el més gran a a ).

Solucionari

33. a) 3 ⋅ 1012 b) 1,5 ⋅ 10-5 c) 2 ⋅ 105 d) 2 ⋅ 104

34. a) 1,4 1016 b) 1,25 10-2 c) 2,4 1012

d) 3,6 10-13 e) 5 1012 f ) 3,82 10-5 g) - 4,4 10-8 h) 1,572 1010

35. a) 6 b) 4 c) -2 d) 2 1 e) 5 f ) -3 g) 3 2 h) -3 i) -1

36. a) 100 b) 5 c) 4 d) 8

37. 6 5

38. a) 4,548 b) 5,732 c) -1,748 d) 1,694 e) 1,495 f ) - 0,402

39. Perímetre de ABC = 5 + 3 5 u

Perímetre de DEF = 6 + 4 2 u

Perímetre de GHI = 4 5 + 2 2 u

40. a) (-3, 3) b) [- 4, 6] c) (-7, 1)

Les desigualtats contràries a les anteriors són:

a) (- ∞ , -3] ∪ [3, +∞)

b) (- ∞ , - 4) ∪ (6, +∞)

c) (- ∞ , -7] ∪ [1, +∞)

41. a) x ∈ [7, +∞) b) x ∈ (- ∞, 5] c) x ∈ (- ∞, 0] d) x ∈ (- ∞ , +∞)

42. a) (-1, 1) b) (-3, 3) c) (-2, 8) d) (-3,5; -0,5) e) (-3,3; -2,7) f) (-0,9; 5,1) g) (-5,5, 5,1)

43. a) E(0, 3) b) E (3, 1) c) E (3, 3) d) E (1,5; 2,5) e) E (-0,5; 2,5) f) E (3,75; 3,75) g) E (-3,6, 1,4) h) E (2,95, 1,75)

44. 3 + 2 és solució de l’equació.

45. a) 2,1 b) 1,7 c) -1,8 d) 0,25

46. a) 1 + log x + 3 log y b) 3 log z + log y - 2 log x c) 2 log x + 2 1 log y + 2 1 log z

47. a) x 2(x - 3) b) () y x 31 +

48. ODS (3)

Surten del rang de valors de referència els leucòcits i la creatinina.

49. Tardarà, aproximadament, 5 1011 segons a desaparèixer completament.

Error absolut < 5 1010

Solucionari

50. 3 86 cm

51. 4 3 cm3

52. 2 5 cm

53. a) R = 2 m; r = 2 - 2 cm

b) R r = 2 - 1

c) P = 4π m; A = 8 - 8π + 4π 2

54. a) 1,544 · 1017 km

b) La nau espacial tardaria 7,72 · 1013 segons a travessar la galàxia, o 2,45 mil·lenis.

c) Aproximadament 1,2 · 1035 electrons.

55. a) F b) V c) V d) V e) V f ) F g) V h) V

56. Resposta oberta. Per exemple:

a) B = (- 2, 0] i C = (0, 7]

b) B = (- ∞, 0] i C = (- 1,+∞)

57. El procediment es basa en la representació gràfica del teorema de Pitàgores.

A representa el nombre 4.

58. En (-1, 7).

59. a) F b) F c) V d) V

60. a) F b) V c) V d) F

61. 1,25 10128

Notes

Solucionari

Matemàtiques en context

1. a) 241,5 kg / 5,75 kg/lot = 42 lots.

b) Elisenda: x lots; Toni: x + 3 lots; Bernat: x + 5 lots;

Carla: x + 6 lots. Total lots: 4 x + 14

4 x + 14 = 42; x = 7 lots

Elisenda: 7 lots; Toni: 10 lots; Bernat: 12 lots; Carla: 13 lots.

c) Preu lot = Preu cost + marge de guany

Preu lot = 20 + 2 = 22 €/lot.

Elisenda: 7 · 22 = 154 €

Toni: 10 · 22 = 220 €

Bernat: 12 · 22 = 264 €

Carla: 13 · 22 = 286 €

Total: 924 €

d) 241,5 · 5 = 1.207,5 €

Guany = cobrat per lots − cost dels lots = 1.207 − (20 · 42) = = 367,5 € de guany

e) Una altra pregunta podria ser:

Quin benefici obtenien quan el marge de guany era de 2 € per lot? Fes-ho per dos procediments diferents.

Procediment 1: 42 · 2 = 84 € de benefici.

Procediment 2: benefici = cobrat per lots − cost dels lots

Benefici = 924 − (42 · 20) = 924 − 840 = 84 € de benefici. 2. a) L = 2 · π · 27 = 169,6 m ≈ 170 m b) . . , 12 1 1 000 3 600 1 333 km/h · km m · s h m/s = , t v e 333 170 51 m/s m s == =

3. a) Base = 5 m = 2,24 m; E.A. < 0,004; E.R. < 0,002

Altura: ( 5 + 1) m = 3,24 m; E.A. < 0,004; E.R. < 0,002

Àrea: ( 5 + 5) m2 = 7,24 m2; E.A. < 0,004; E.R. < 0,0006

b) Volum P2: ( 5 + 5) · 3 5 = (15 5 + 15) m3 = 48,54 m3

c) Volum P1: 2 · 1 · ( 5 + 1) = 2( 5 + 1) m3

Comparació dels volums: , V V 25 1 15 515 25 1 15 51 2 15 75 m m m m 2 1 3 3 3 3 = + + = + + == __ _ ii i

4. a) h = 4222 - ^ h = 12 m

c = 612 2 2 + _ ^ h i = 48 m

PerímetreAFC = 48 + 4 + 4 = ( 48 + 8) m

b) Com ja hem calculat, h = 12 m

SAFC = (b · h)/2=(4 · 12 )/2 = 2 12 m2

c) Superfície secció túnel = 1/2 πr2 =1/2 · 3,14 · 42 = 25,12 m2