U N I T A T
1
ELS NOMBRES NATURALS
DIMENSIÓ RESOLUCIÓ DE PROBLEMES • DIMENSIÓ RAONAMENT I PROVA
DIMENSIÓ CONNEXIONS • DIMENSIÓ COMUNICACIÓ I REPRESENTACIÓ
Totes les civilitzacions han fet servir un sistema de numeració per representar quantitats. Des de la prehistòria fins als nostres dies, egipcis, babilonis, grecs, romans, xinesos, indis, àrabs, maies… van utilitzar sistemes de numeració molt diversos que utilitzaven per comptar quantitats naturals (ramats, fruits, monedes…).
Els primers sistemes de numeració eren molt rudimentaris: es feien osques en un bastó, es dibuixaven dits i mans… Tanmateix, el progrés de les civilitzacions va portar a la introducció de símbols i normes que els van fer mes complexos i pràctics.
Diferents maneres d’expressar els nombres
Observa tres maneres diferents de representar el mateix nombre:
1. De quin nombre es tracta? Com representaries, en cada cas, el nombre següent?
2. Quin o quins es basen en el sistema de numeració decimal?
3. De quina altra manera representaries aquest nombre?
Pensa en el sistema de numeració romà (que ja coneixes) i imagina com ho havien de fer per sumar. Per exemple: MCCCXLVI + DCCCXXXIV
És complicat, oi? Doncs imagina com havien de multiplicar.
Els antics matemàtics hindús, al segle vi, van inventar el sistema de numeració decimal posicional. Des de l’Índia es va propagar cap a la Mediterrània a través del poble àrab, i va arribar a Europa als segles ix i x. Els avantatges d’aquest sistema van facilitar les operacions numèriques.
Altres maneres de multiplicar
Observa com en el passat la població hindú multiplicava 346 × 57.
• Es parteix d’una taula, com en l’exemple, col·locant a les vores les xifres dels factors.
• Es completen les caselles amb els productes creuats dels dígits col·locats a les vores. Per exemple, en la casella acolorida: 4 × 7 = 28
• Se sumen els resultats en vertical. En cada columna només hi cap un dígit.
4. Fes, seguint aquest mètode, les multiplicacions següents: a) 208 × 34 b) 453 × 26
1. SISTEMES DE NUMERACIÓ
• Els símbols utilitzats per representar els comptatges i les normes d’ús formen un sistema de numeració.
• El sistema de numeració egipci. És un sistema additiu, perquè, per escriure un nombre, es van afegint els símbols necessaris fins a completar la quantitat.
Aquí apareix escrit el nombre 1.333.331.
• El sistema de numeració maia. Utilitza solament tres símbols: . En els nombres més petits que 20 el sistema és additiu. Per escriure nombres més grans de 20, s’utilitzen els mateixos símbols, però el seu valor canvia segons la posició (sistema posicional).
Segon nivell (× 20) 8
Primer nivell (× 1) 8
» APLICA EL QUE HAS APRÈS
1. Escriu d’acord amb el sistema de numeració egipci els nombres següents:
3. Tradueix al sistema decimal aquests nombres del sistema maia:
2. En un sistema additiu s’utilitzen aquests símbols:
• Escriu, seguint aquest sistema, els nombres següents:
4. Afegeix dos elements per la dreta i uns altres dos per l’esquerra a aquesta sèrie de nombres del sistema maia:
Segon nivell →
Primer nivell →
Esquerra:
Dreta:
• Sistema de numeració decimal. El sistema de numeració que utilitzem actualment és el decimal. Consta de deu símbols o xifres (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) i es regeix per aquestes normes:
‒ Es defineixen ordres d’unitats: unitats, desenes, centenes…
‒ Deu unitats d’un ordre fan una unitat de l’ordre immediat superior.
‒ El valor d’una xifra depèn del lloc que ocupi (sistema de tipus posicional).
» FIXA IDEES
Exemple:
F1. Seguint el sistema de numeració decimal:
a) Quantes desenes fan 3 milers?
b) Quantes centenes fan una desena de miler?
c) Quantes centenes hi ha en 5 unitats de milió?
» APLICA EL QUE HAS APRÈS
5. Completa:
a) 500 D = C = UM
b) 3.000 C = UM = DM
c) 6 UM = C = D
d) 8 CM = DM = D
6. Vertader (V) o fals (F)?
a) Si canvies de lloc les xifres, canvia el valor del nombre.
b) Si afegeixes un zero a la dreta d’un nombre, el seu valor es multiplica per 10.
c) Si afegeixes un zero a l’esquerra d’un nombre, el valor es divideix entre 10.
d) Mig miler equival a 5 desenes.
e) Mil milers fan un milió.
7. Un nombre té cinc xifres que sumen 5. Si intercanvies les unitats amb les unitats de miler, augmenta 999 unitats. Quin nombre és?
8. Un nombre es pot descompondre segons els seus ordres d’unitats i segons el valor de posició de cada xifra. Observa l’esquema i completa’l:
AJUDA
2. ELS NOMBRES GRANS
• El sistema de numeració decimal permet representar quantitats tan grans com desitgem.
– Un milió ↔ Un 1 seguit de 6 zeros.
– Un bilió ↔ Un milió de milions ↔ Un 1 seguit de 12 zeros.
– Un trilió ↔ Un milió de bilions ↔ Un 1 seguit de 18 zeros.
Temps de vida de l’univers → Nombre de neurones en un cervell →
Volum de la Terra en km3 → …
» APLICA EL QUE HAS APRÈS
9. Escriu com es llegeixen:
a) El nombre d’habitants de la Terra, 7.000.000.000.
b) El nombre de segons d’un segle, 3.153.600.000.
c) El nombre de quilometres que té un any llum, 9.460.800.000.000.
e) Un bilió i mig.
f) Quinze bilions trescents cinquanta mil milions.
11. Completa:
a) Mil milers fan un
b) Mil milions fan un .
c) Un milió de milers fan un .
d) Un milió de milions és un
10. Escriu amb xifres:
a) Vintivuit milions trescents cinquanta mil.
b) Cent quarantatres milions.
c) Dos mil setcents milions.
d) Setze gigues.
12. El cos humà té entre deu i setanta milions de milions de cèl·lules. Expressa aquestes quantitats en bilions.
13. Com llegiries el nombre expressat per un 1 seguit de 16 zeros?
14. Les científiques i els científics calculen que els mars i oceans de la Terra contenen tres quadrilions de quilograms d’aigua. Què creus que és un quadrilió?
3. APROXIMACIÓ DE NOMBRES NATURALS
• Quan un nombre té moltes xifres, l’acostumem a substituir per un altre, més manejable, de valor aproximat, acabat en zeros. Aquest procediment s’anomena aproximació i la manera més freqüent i pràctica de ferho és mitjançant l’arrodoniment.
• Per arrodonir un nombre a un determinat ordre d’unitats:
– Se substitueixen per zeros totes les xifres a la dreta d’aquest ordre.
– Si la primera xifra substituïda és igual a 5 o més gran, se suma una unitat a la xifra anterior. Per exemple, 35.326.000 són, aproximadament, trentacinc milions.
» FIXA IDEES
F2. Completa per aproximar el nombre 384.523 a les centenes de miler, a les desenes de miler i als milers.
Aproximació del nombre 52.722: – A les desenes de miler →
» APLICA EL QUE HAS APRÈS
15. Arrodoneix als milers aquests nombres:
a) 24.963 →
b) 7.280 →
c) 99.834 →
16. Aproxima a les centenes i a les desenes de miler:
a) 530.298 CM:
b) 359.481 CM:
c) 29.935.236 CM:
17. Aproxima als milions per arrodoniment:
a) 24.356.000 →
b) 36.905.000 →
c) 274.825.048 →
18. Llegeix aquesta notícia i aproxima el nombre de turistes als milions i la despesa als milers de milions.
L’any 2018 van visitar Catalunya 19.196.000 turistes que van gastar 20.477 milions d’euros.
Turistes:
Despesa:
19. Fixa’t en les diverses aproximacions al preu d’un pis en venda:
a) Quina és més propera al preu real?
b) Quina et sembla més adequada per a una informació col·loquial, si no es recorda la quantitat exacta?
4. OPERACIONS BÀSIQUES AMB NOMBRES NATURALS
• La suma i les seves propietats. Sumar és unir, ajuntar, afegir. Per exemple, 308 + 258 = 566.
La suma compleix les propietats següents:
– Propietat commutativa: El resultat de la suma no varia encara que canviem l’ordre dels sumands.
a + b = b + a
– Propietat associativa: El resultat de la suma és independent de la forma com s’agrupen els sumands.
(a + b) + c = a + (b + c)
• La resta i les seves relacions amb la suma. Restar és treure, suprimir, trobar el que falta o el que sobra; és a dir, calcular la diferència.
Per exemple: 590 – 566 = 24
Relacions entre la suma i la resta: M – S = D
APLICA EL QUE HAS APRÈS
20. Calcula:
a) 254 + 78 + 136 =
b) 340 + 255 – 429 =
c) 1.350 – 1.107 – 58 =
22. Transforma:
38 590 ← Minuend (M ) – 566 ← Subtrahend (S ) 24 ← Diferència (D )
a) Aquesta suma en una resta: 48 + 12 = 60
b) Aquesta resta en una suma: 22 – 2 – 6 = 14
23. Si l’Albert tingués 15 anys més, encara seria 18 anys més jove que el seu oncle Tomàs, que té 51 anys. Quants anys té l’Albert?
21. Estima la resposta i comprovala després:
La Carme compra una bossa de 167 €, una gavardina de 235 € i un mocador de 32 €. Quant s’ha gastat?
a) S’ha gastat al voltant de 350 €.
b) S’ha gastat, més o menys, 450 €
c) S’ha gastat al voltant de 550 €.
24. Si comprés només una rentadora, em sobrarien 246 €, però si comprés també un televisor, em faltarien 204 €. Pots dir el preu d’algun d’aquests articles?
• La multiplicació i les seves propietats. Multiplicar és una manera abreujada de fer una suma repetida de sumands iguals. Per exemple, 15 + 15 + 15 + 15 + 15 + 15 + 15 = 15 · 7 = 105.
La multiplicació compleix les propietats següents:
– Propietat commutativa: El producte no varia en canviar l’ordre dels factors. a · b = b · a
– Propietat associativa: El resultat d’una multiplicació és independent de la forma com s’agrupin els factors. (a · b) · c = a · (b · c)
– Propietat distributiva: El producte d’un nombre per una suma (o resta) és igual a la suma (o resta) dels productes del nombre per cada sumand.
APLICA EL QUE HAS APRÈS
25. Completa: a) 5 × 2 + 9 0 1 2 6 0 b) 9 8 × 2 8 7 4 + 6 9 9 3 4
26. Recorda que per multiplicar per 10, per 100, per 1.000… s’afegeixen un, dos, tres… zeros. Calcula:
a) 19 · 10 = b) 12 · 100 =
c) 15 · 1.000 = d) 140 · 10 = e) 230 · 100 = f) 460 · 1.000 =
27. Expressa amb una igualtat aritmètica:
Multiplicar un nombre per vuit és el mateix que multiplicar-lo primer per deu i després restar-n’hi el doble.
Quina propietat s’aplica en aquesta igualtat?
28. Fixa’t en els exemples i multiplica mentalment per 9 i per 11:
• 23 · 9 = 23 · 10 – 23 = 230 – 23 = 207
• 23 · 11 = 23 · 10 + 23 = 230 + 23 = 253
a) 12 · 9 = b) 25 · 9 =
c) 33 · 9 = d) 12 · 11 = e) 25 · 11 = f) 33 · 11 =
29. Quantes voltes fa en un quart d’hora una roda que gira a 1.500 revolucions per minut? I en una hora? I en una hora i mitja?
30. Una agricultora té un hort amb 200 presseguers. Calcula que amb cada arbre omplirà set caixes de cinc quilos de préssecs. Quin benefici obtindrà si ven tota la producció a 2 € el quilo?
31. Al viver d’una horta es preparen 50 safates amb 100 llavors cada una. En cada safata es fan malbé, de mitjana, 20 llavors. Quants plançons obtindrà el pagès?
• La divisió. Dividir és repartir un tot en parts iguals per esbrinar quantes en toquen a cada un. Dividir també és partir un tot en porcions iguals d’una determinada mida per esbrinar quantes porcions s’obtenen.
• Una divisió pot ser exacta o entera depenent del valor del residu.
– Divisió exacta (el residu és zero).
D d
0 q
⎯→ El dividend és igual al divisor multiplicat pel quocient.
– Divisió entera (el residu és diferent de zero).
D d
r q
D = d · q
⎯→ El dividend és igual al divisor multiplicat pel quocient més el residu.
D = d · q + r
• Si en una divisió es multipliquen el dividend i el divisor pel mateix nombre, el quocient no varia.
» APLICA EL QUE HAS APRÈS
32. Esbrina el quocient i el residu de cada divisió: a) 96 : 13 b) 713 : 31
33. Un granger recull 1.274 ous, els envasa en safates de 30 i empaqueta les safates en capses de 10. Quants ous queden sense completar una safata? Quantes safates queden sense completar una capsa?
c) 5.309 : 7 d) 7.029 : 26
e) 49.896 : 162 f ) 80.391 : 629
34. En una indústria de conserves es preparen 250 kg de melmelada de pruna, que s’envasen en pots de 200 g. Durant el procés es rebutgen 17 pots perquè s’han trencat o perquè són defectuosos. Quants pots vàlids s’obtenen?
5. EXPRESSIONS AMB OPERACIONS COMBINADES
• Ordre en què han de ferse les operacions. En les expressions amb operacions combinades, hem de resoldre: primer, els parèntesis; després, les multiplicacions i les divisions; i, finalment, les sumes i les restes.
• Aprèn a fer servir la calculadora. No totes les calculadores tenen la mateixa lògica interna i quan inclous una seqüència d’operacions, es poden obtenir resultats diferents. Això succeeix perquè no totes realitzen les operacions amb el mateix ordre.
Per exemple, si introduïm a la calculadora aquesta seqüència 2 + 3 * 4 = la calculadora pot obtenir 20 o 14 com a solució.
» APLICA EL QUE HAS APRÈS
35. Fixa’t en els exemples i fes les operacions:
• 12 – 2 · 4 = 12 – 8 = 4
• (17 – 5) : 3 = 12 : 3 = 4
a) 8 + 5 · 2 =
b) 15 – 10 : 5 =
c) 4 · 6 – 13 =
d) (15 – 3) : 4 =
36. Resol mentalment i compara els resultats:
a) 2 + 3 · 4 = (2 + 3) · 4 =
b) 6 – 2 · 3 = (6 – 2) · 3 =
37. Resol, indicant els passos seguits, i comprova la solució que es dona a la dreta. Si no coincideix, revisa l’exercici.
a) 6 · 4 – 2 · (12 – 7) ⎯→ 14
b) 3 · 8 – 8 : 4 – 4
c) 26 – 5 · (2 + 3) + 6 ⎯→ 7
d) (14 + 12) : 2 – 4 · 3 ⎯→ 1
e) 2 · (6 + 4) – 3 · (5 – 2) ⎯→ 11
38. Escriu una expressió amb els nombres 9, 3 i 1 el resultat de la qual sigui el pes que marca cada balança:
6. POTÈNCIES
• Una potència és una manera abreujada d’escriure un producte de factors iguals: a · a · a · a · a = a5 .
Per exemple: 3 · 3 · 3 · 3 = 34 → Tres elevat a quatre o tres elevat a la quarta potència. 2 · 2
2
2 · 2 = 25 → Dos elevat a cinc o dos elevat a la cinquena potència.
• En les potències, el factor repetit es diu base, i el nombre de vegades que es repeteix, exponent
» FIXA IDEES
F3. Completa per calcular, amb llapis i paper, el valor de 75.
75 = 7 · 7
7
(7
(7
F4. Quin és el valor de x en cada cas?
a) x3 = 125 8 x = b) 5x = 3.125 8 x =
F5. Calcula i completa amb la quantitat que correspongui:
2 · (112 – 92) – 62 = 2 · (121 – ) – 62 = = 2 · – = – =
» APLICA EL QUE HAS APRÈS
39. Expressa amb una potència:
a) 6 · 6 =
b) 7 · 7 · 7 =
c) 3 · 3 · 3 · 3
3 · 3 =
40. Llegeix aquestes potències i expressales en forma de producte:
a) 27 =
b) 93 =
c) 152 =
d) 106 =
41. Completa la taula:
F3. Completa:
52 = 5 · 5 = 25
53 = (5 · 5) · 5 = 25 · 5 =
54 = (5 · 5) · (5 · 5) =
F4. 7x = 2.401 8 Quant val x ?
Amb la calculadora senzilla: 7**=== {∫∫∫∫“¢≠‘}
42. Calcula l’exponent en cada cas:
a) 2x = 256 = b) 10x = 10.000 = c) 7x = 2.401 = d) 13x = 2.197 =
43. Calcula amb llapis i paper: a) 55 = b) 95 = c) 110 = d) 153 = e) 164 =
GeoGebra. Concepte de potència.
7. POTÈNCIES DE BASE 10. APLICACIONS
• Una potència de base 10 és igual a la unitat seguida de tants zeros com indica l’exponent. Per exemple: 109 = 1.000.000.000 105 = 100.000
9 zeros 5 zeros
• Expressió abreujada de nombres grans. Els nombres acabats en zeros poden expressarse com a producte d’un nombre per una potència de base 10. Per exemple: 400.000 = 4 · 100.000 = 4 · 105
• Descomposició polinòmica d’un nombre. Es tracta d’expressar un nombre com una suma de nombres naturals multiplicats per potències de base 10. Per exemple:
836.279 =
» APLICA EL QUE HAS APRÈS
44. Escriu com a potències de base 10:
a) Un miler =
b) Un milió =
c) Mil milions =
d) Un bilió =
45. Expressa amb totes les xifres:
a) 4 · 105 =
b) 15 · 109 =
c) 86 · 1014 =
46. Escriu el valor de x en cada cas:
a) 2.936.428 ≈ 29 · 10 x →
b) 3.601.294.835 ≈ 36 · 10 x →
c) 19.570.000.000.000 ≈ 20 · 10 x →
47. Escriu la descomposició polinòmica dels nombres
següents:
a) 74.238 =
b) 680.290 =
c) 4.528.926 =
48. Escriu en forma abreujada les dades següents:
a) El nombre de molècules elementals en un litre d’aigua és 334.326.000.000.000.000.000.000.
b) L’estrella Alfa Centauri està a uns quaranta bilions de quilòmetres del Sol.
49. Transforma com en l’exemple:
• 180.000 = 18 · 104
a) 5.000 =
b) 1.700.000 =
c) 4.000.000.000 =
50. Arrodoneix a la centena de miler i escriu de manera abreujada amb el suport d’una potència de base 10 el nombre d’habitants de cada ciutat:
casablanca: 5.899.000
parís: 10.858.000
san francisco: 5.929.000
8. OPERACIONS AMB POTÈNCIES
• Potència d’un producte (producte de potències amb el mateix exponent). La potència d’un producte és igual al producte de les potències dels factors.
(2 · 3)3 = 63 = 6 · 6 · 6 = 216
(a · b)n = an · bn 23 · 33 = (2 · 2 · 2) · (3 · 3 · 3) = 8 · 27 = 216
(2 · 3)3 = 23 · 33
• Potència d’un quocient (quocient de potències amb el mateix exponent). La potència d’un quocient és igual al quocient de les potències del dividend i del divisor.
(6 : 3)3 = 23 = 2 · 2 · 2 = 8
(a : b)n = an : bn 63 : 33 = (6 · 6 · 6) : (3 · 3 · 3) = 216 : 27 = 8
(6 : 3)3 = 63 : 33
No et confonguis: la potència d’una suma (o una resta) no és igual a la suma de les potències dels sumands.
(a + b)n ≠ an + bn (2 + 3)4 ≠ 24 + 34
(a – b)n ≠ an – bn
» FIXA IDEES
F6. Fixa’t en els exemples resolts a la dreta i, seguint els mateixos procediments, completa:
a) 25 · 55 = ( · )5 = 5 =
b) 184 : 94 = ( : )4 = 4 =
c) 63 · 53 = ( · )3 = 3 = ( · 10)3 = 3 · 103 =
· 1.000 = d) (85 · 65) : 245 = ( · )5 : 245 = 5 : 245 = ( : 24)5 = = 5 =
» APLICA EL QUE HAS APRÈS
51. Reflexiona i calcula de la forma més senzilla:
a) 53 · 23 =
b) 42 · 52 =
c) 252 · 42 =
d) 352 : 52 =
e) 183 : 63 =
f) 214 : 74 =
g) 1003 : 503 =
EXEMPLES
56 · 26 = (5 · 2)6 = 106 = 1.000.000
123 : 43 = (12 : 4)3 = 33 = 27
54 · 44 = (5 · 4)4 = 204 = (2 · 10)4 = = 24 · 104 = 16 · 10.000 = 160.000 • (66 · 56) : 156 = (6 · 5)6 : 156 = = 306 : 156 = (30 : 15)6 = 26 = 64
52. Calcula i observa que els resultats no coincideixen: (5 + 2)3 = 53 + 23 =
53. Calcula: a) (10 – 6)2 – (10 – 8)3 = b) (13 – 3)2 · (7 + 3)2 + (15 – 5)2 · 10 =
• Producte de potències amb la mateixa base. Per multiplicar dues potències amb la mateixa base, es deixa la base i se’n sumen els exponents.
am · an = am + n
54 · 53 = (5 · 5 · 5 · 5) · (5 · 5 · 5) = 57 ⎯→ 54 · 53 = 54 + 3 = 57 4 vegades 3 vegades
• Quocient de potències amb la mateixa base. Per dividir dues potències de la mateixa base, es deixa la base i es resten els exponents.
am : an = am – n
54 · 53 = 57 ↔
• Potència d’una altra potència. Per elevar una potència a una altra potència, es deixa la mateixa base i es multipliquen els exponents.
(an)m = an m (54)3 = 54 · 54 · 54 = 54 + 4 + 4 = 54 3 = 512
Tingues en compte. La potència zero d’un nombre (diferent de zero) és igual a u. a0 = 1 (a ≠ 0)
» APLICA EL QUE HAS APRÈS
54. Expressa amb una única potència:
a) 54 · 53 = b) 86 · 23 =
c) 32 · 64 = d) 44 · 53 =
e) 26 : 22 = f ) 38 : 35 =
g) 107 : 106 = h) a10 : a6 =
55. Redueix a una única potència:
a) (52)3 = b) (25)2 =
c) (103)3 = d) (a5)3 =
e) (m2)6 = f) (x4)4 =
56. Substitueix cada asterisc per l’exponent que correspongui:
a) 64 · 63 = 6* = b) a5 · a3 = a* =
c) m3 · m* = m9 = d) 26 : 24 = 2* =
e) a9 : a8 = a* = f) m8 : m* = m6 =
g) (42)3 = 4* = h) (a2)2 = a* =
i) (m4)* = m12 = j) (x*)2 = x12 =
57. Calcula:
a) 184 : (24 · 34) =
b) (35 · 33) : 36 =
c) (45)2 : (47 : 43) =
d) (62 · 65) : (63 · 64) =
e) (407 : 57) : (25 · 45) =
58. Escriu els exponents en el teu quadern i calcula:
a) La Montse té una capsa amb molts cubs de goma d’1 cm d’aresta. Construeix tres cubs iguals de 3 cm d’aresta.
Nombre de cubs utilitzats: 3 =
b) Un pagès planta enciams al seu hort. Els distribueix en 25 solcs i en cada solc hi posa 25 enciams.
Nombre d’enciams: 25 =
c) Un camió de repartiment porta 6 palets de capses de llet. En cada palet hi ha 36 capses i en cada capsa, 6 brics de litre.
Nombre de litres: 6 =
9. ARREL QUADRADA
• Calcular l’arrel quadrada és fer l’operació inversa d’elevar al quadrat. Per exemple:
= 16 → 16 = 4
⎯→ Es llegeix: L’arrel quadrada de a és igual a b.
• Arrels exactes i arrels enteres. Els quadrats dels nombres naturals s’anomenen quadrats perfectes. L’arrel quadrada d’un quadrat perfecte és una arrel exacta. Per exemple:
• L’arrel de la majoria de nombres no coincideix amb una quantitat exacta d’unitats senceres. En aquest cas, el nombre natural que més s’aproxima, per sota, a l’arrel, l’anomenem arrel entera. Per exemple:
62 = 36 < 40
72 = 49 < 40
→ 6 < < 7 → L’arrel quadrada de 40 és un nombre comprès entre 6 i 7. ≈ 6 → L’arrel entera de 40 és 6
• Càlcul de l’arrel quadrada per tempteig. Es tracta de trobar el nombre natural el quadrat del qual és igual o s’aproxima més al radicand.
Per exemple,
L’arrel entera de 3.900 és 62.
» APLICA EL QUE HAS APRÈS
59. Observa l’exemple, i copia i completa:
• → a) 49 7… " = → b) 64 …… " = → c) 81 " = → d) 121 " = →
60. Calcula, per tempteig, l’arrel exacta o l’entera: a) 90 = b) 121 =
62. Una finca quadrada té 900 metres quadrats de superfície. Quants metres lineals de filat caldria comprar per tancarla? de 25 s’arrelé iguala 25 5L 5. " = de 25 s’arrelé iguala 25 5L 5. " =
61. Encercla els quadrats perfectes:
• Algorisme per al càlcul de l’arrel quadrada. Els passos per calcular una arrel quadrada són els següents:
Exemple
Calculem .105 674 :
1 Separem de dos en dos, des de la dreta, les xifres del radicand i calculem l’arrel del paquet de l’esquerra 10 `j
√10 . 56 . 74 3 ← A A = 10 = 3 i queda 1 de residu. 3 · 3 → –9 6 ← B B: Escrivim el doble de A. 1
2 Baixem el paquet següent (56) i busquem la xifra c , de manera que 6 c × c sigui tan proper a 156 com sigui possible, sense sobrepassarlo.
√10 . 56 . 74 3 √10 . 56 . 74 3 –9 ↓↓ 6 c × c –9 62 ×
CALCULADORA
• En algunes calculadores, la successió de tecles per calcular 105 674 és la següent: 105674 $ → {«“∞…≠|∞………}
• En d’altres, és la següent: $ 105674 = → {«“∞…≠|∞………}
3 Pugem el valor c = 2 al camp de la solució, baixem el següent paquet (74) i repetim el procés.
√10 . 56 . 74 32
. 56 . 74 32
5 × 5 = 3.225 → –3.225 0049
4 Pugem el valor d = 5 al camp de la solució.
Solució: 105.674 325 = Prova: 3252 + 49 = 105.674
» APLICA EL QUE HAS APRÈS
63. Completa les següents arrels resoltes mitjançant l’algorisme:
2 7 3 8 5 – 102 × 2 2 3 8 –
» EXERCITA LES TEVES COMPETÈNCIES
Sistemes de numeració
1. Tradueix al sistema decimal aquests nombres de l’antic Egipte:
2. Escriu segons el sistema additiu egipci cada un d’aquests nombres:
a) 48:
b) 235:
c) 2.130:
3. Expressa en xifres romanes:
a) 87:
b) 425:
c) 2.600:
4. Vertader o fals?
a) Un milió equival a mil centenes.
b) Mil vegades un milió fan un giga.
c) Un bilió té un milió de milions.
5. Completa la taula:
6. Segons va publicar un diari, la població de la capital d’Egipte, el juny de 2018, era de 19.487.245 habitants. Si et preguntessin per aquesta xifra i no recordessis la quantitat exacta, què respondries?
7. Llegeixes, en un anunci, que un habitatge es ven per 293.528 €. Uns quants dies després ho comentes amb una amiga, però no recordes exactament el preu. Quina de les expressions següents triaries per transmetre la informació? Explica per què.
a) Costa gairebé trescents mil euros.
b) Costa doscents mil euros i escaig.
c) Costa doscents noranta mil euros.
Utilitats dels nombres
8. Aquests són els números de diverses habitacions en un hotel de platja: 401; 235; 724; 231.
a) Una de les habitacions és al final del passadís. Quina és?
b) Una altra és a l’última planta. Quin número té?
c) Quines habitacions són al mateix pis?
Operacions
Suma i resta
9. Calcula mentalment:
a) 5 + 7 – 3 – 4 = b) 10 – 6 + 3 – 7 = c) 12 + 13 + 8 – 23 =
10. Calcula:
a) 47 – (35 – 28) =
b) 52 – (36 – 27) =
c) 128 – (86 – 45 – 12) =
11. Calcula i comprova el resultat amb les solucions del final de l’activitat:
a) 5 – [7 – (2 + 3)] =
b) 3 + [8 – (4 + 3)] =
c) 2 + [6 + (13 – 7)] =
d) 7 – [12 – (2 + 5)] =
Solucions: a) 3; b) 4; c) 14; d) 2.
Multiplicació i divisió
12. Multiplica:
a) 16 · 10 =
b) 128 · 10 =
c) 17 · 100 =
d) 85 · 100 =
e) 22 · 1.000 =
f) 134 · 1.000 =
13. Calcula el quocient i el residu en cada cas:
a) 2.647 : 8 =
b) 1.345 : 29 =
c) 7.482 : 174 = d) 7.971 : 2.657 =
14. Calcula mentalment, tenint en compte que dividir entre 5 és igual que dividir entre 10 i, després, multiplicar per 2: • 90 : 5 18 : 10 9 · 2
a) 60 : 5 = b) 80 : 5 =
c) 140 : 5 = d) 170 : 5 =
e) 210 : 5 = f) 340 : 5 =
Operacions combinades
15. Fes els càlculs següents:
a) 2 · (4 + 6) = b) 2 · 4 + 6 =
c) 8 : (7 – 5) =
d) 5 · 7 – 5 =
e) (5 + 6) · 4 =
f) 5 + 6 : 3 =
Calcula:
8 + 7 – 3 · 4 =
8 : 4 + 7 – 3 =
15 – 2 · 3 – 5 =
10 – 12 : 6 – 4 =
4 · 7 – 13 – 2 · 6 =
15 : 3 + 7 + 4 : 2 =
5 · 6 – 4 · 7 + 2 · 5 = 17. Calcula i comprova el resultat amb les solucions:
30 – 4 · (5 + 2) =
Interpreta, descriu, expressa’t
18. Relaciona cada enunciat amb dues de les expressions de sota:
I. En un autobús urbà hi anaven 50 passatgers. A la primera parada en baixen 16 i en pugen 4.
II. La classe de música té 50 estudiants matriculats, però avui n’han faltat 4 i 16 han anat a un concert.
III. L’Ernest va comprar una samarreta de 16 € i una gorra de 4 € i va pagar amb un bitllet de 50 €.
IV. A l’hotel hi ha 50 clients. Avui n’entren 16 de nous i en surten 4.
a) 50 – 16 – 4 b) 50 – 16 + 4 c) 50 – (16 + 4)
d) 50 – (16 – 4) e) 50 + (16 – 4) f) 50 + 16 – 4
19. Quina o quines de les expressions aritmètiques responen a la solució d’aquest problema?
En un supermercat s’han venut aquest matí 24 kg de pomes a 2 €/kg, 12 melons a 4 € la peça i 13 pinyes a 2 € cada una. Quant s’ha ingressat a la caixa per la venda d’aquestes fruites?
a) 24 · 12 + 4 · 13 + 2 b) 24 · 2 +
(24
Càlcul de potències
20. Calcula mentalment:
a) 24 = b) 35 =
c) 204 = d) 300 =
21. Obtén amb la calculadora:
a) 412 = b) 510 = c) 453 = d) 993 =
22. Escriu tots els quadrats perfectes compresos entre 1.000 i 1.500.
23. Completa:
Potències de base 10. Expressió abreujada de nombres grans
24. Escriu amb totes les xifres:
a) 102 =
b) 106 = c) 1010 =
25. Escriu amb potències de base 10:
a) Cent = b) Cent milions =
c) Cent bilions = d) Cent mil bilions =
26. Ordena, de la més petita a la més gran, aquestes quantitats:
8 · 109 17 · 107 98 · 106 1010 16 · 108 9 · 109
Operacions amb potències
27. Calcula de la manera més senzilla: a) 82 · 52 = b) 26 · 56 =
c) 253 · 43 = d) 65 : 35 = e) 153 : 53 = f) 204 : 54 =
28. Redueix aquestes expressions:
a) x8 : x3 = b) m4 · m2 =
c) (k2)4 = d) x5 · x5 =
29. Redueix a una sola potència:
a) (a7 : a) · a3 =
b) (x9 : x4) : x3 =
c) (x3 · x7) : (x · x6) =
30. Copia, substitueix cada asterisc pel nombre adequat i, finalment, calcula:
a) 212 : 45 = 212 : (2*)5 = 212 : 2* = 2* =
b) 36 : 92 = 36 : (3*)2 = 36 : 3* = 3* =
c) 253 : 54 = (5*)3 : 54 = 5* : 54 = 5* = d) 164 : 45 = (4*)4 : 45 = 4* : 45 = 4* =
Arrel quadrada
31. Resol amb la calculadora:
a) 655 = b) 1.024 = c) 1.369 = d) 4.225 = e) 12.664 = f) 33.856 =
32. Escriu el signe «=» o el signe «≠» segons correspongui:
a) 2 · 9 36 b) 3 · 4 12
c) 5 · 16 20 d) 4 · 25 10 e) 9 · 9
Resol problemes
33. PROBLEMA RESOLT
Deixa clar el significat de cada pas, de cada operació i de cada resultat.
Un majoritsa d’alimentació compra 150 sacs de patates de 30 kg per 2.000 €. Després, en seleccionar la mercaderia, en llença 300 kg i n’envasa la resta en bosses de 5 kg, que ven a 4 € la bossa. Quin benefici obté?
– Quilos comprats (150 sacs de 30 kg):
150 · 30 = 4.500 kg
– Quilos envasats (en llença 300 kg):
4.500 – 300 = 4.200 kg
– Bosses de 5 kg obtingudes: 4.200 : 5 = 840 bosses
– Ingressos, en euros, per la venda de 840 bosses a 4 € cada una: 840 · 4 = 3.360 €
– Beneficis (ingressos, 3.360€, menys despeses, 2.000 €):
3.360 – 2.000 = 1.360 €
Solució: Guanya 1.360 €
34. En una granja hi ha el doble de vaques que de cavalls i en total són 36 caps de bestiar. Quantes vaques i quants cavalls hi ha?
36. Un autobús amb 54 turistes a bord pateix una avaria camí de l’aeroport. El responsable del grup decideix acomodar les viatgeres i els viatgers en taxis de quatre places. Quants taxis necessiten?
37. En una escola que té 450 estudiants, dos de cada cinc estudien un segon idioma i, d’aquests, un de cada tres ha triat l’alemany. Quants estudien un segon idioma? Quants estudien alemany?
35. La Rosa té dos anys més que el seu germà petit, en Julià, i dos menys que l’Albert, el seu germà gran. Si entre tots tres igualen l’edat de la seva mare, la Marta, que acaba de fer 42 anys, quants anys té cada un dels germans?
38. PROBLEMA RESOLT
Decideix els passos intermedis. Quines dades encara no coneixes, però necessites, per arribar a la solució?
La Marta ha comprat cinc paquets amb quaranta adhesius cada un i ha decorat el cub petit. Li queden prou adhesius per decorar de la mateixa manera el cub gran?
• Quants adhesius ha comprat?
Ha comprat 5 · 40 = 200 adhesius.
• Quants n’ha utilitzat per al cub petit?
En el cub petit ha utilitzat 6 · 32 = adhesius.
• Quants adhesius li queden?
Li queden 200 – = adhesius.
• Quants en necessita per al cub gran?
Per al cub gran necessita .
Escriu la solució en cada cas.
39. Un cotxe triga 78 segons a travessar un tram de 2 km amb la velocitat limitada a 90 km/h. Creus que ha superat el límit permès? Per què?
És el teu torn
43. Escriu les preguntes dels dos apartats del problema tenint en compte la seva resolució.
En Raül vol completar un àlbum de cromos d’una lliga de futbol de 20 equips i 25 jugadors per equip. L’àlbum li costa 5 € i cada paquet de 10 cromos, 1 €.
Resolució:
40. Quines són les dimensions del terra quadrat més gran que es pot cobrir amb 200 rajoles quadrades de 20 cm de costat, sense partirne cap? Quantes rajoles sobren?
41. En Marc té una bossa amb 50 daus de fusta d’1 cm d’aresta. Quina és l’aresta del cub més gran que pot construir amb els daus? Quants daus sobren?
a) (20 · 25) : 10 = 50
b) [(20 · 25) : 10] · 1 + 5 = 55
42. Quants pares i quantes mares tenien entre tots els teus rebesavis?
44. Planteja un problema i escriu l’enunciat i les preguntes a partir de la informació i les operacions següents:
– Consola de 8 gigabytes de memòria RAM
– Un videojoc A ocupa 3,68 gigabytes
– Un videojoc B ocupa 3,75 gigabytes
– Un videojoc C ocupa 2,48 gigabytes
– 3,68 + 3,75 + 2,48 = 9,91 gigabytes
– 9,91 – 8 = 1,91 gigabytes
– 3,68 + 3,75 = 7,43 gigabytes
– 3,68 + 2,48 = 6,16 gigabytes
– 3,75 + 2,48 = 6,23 gigabytes
» MATEMÀTIQUES EN CONTEXT
DISTRIBUCIÓ DE MERCADERIES
La fruita conreada pels pagesos fa un llarg recorregut fins que arriba al consumidor: el pagès, el majorista, el transportista i el punt de venda.
En Pau és un majorista de fruita que es troba en les situacions següents.
1. Compra i venda
En Pau paga 1.500 € a un pagès per la compra de 200 caixes de peres. Cada caixa té un pes mitjà de 18 quilos. Quan arriba al magatzem les selecciona i n’aparta 300 quilos perquè són defectuoses. La resta, les envasa en safates de cartó de 3 kg. Finalment, les ven a una cadena de supermercats, a 2 € la safata.
a) Quantes safates ven al supermercat?
b) Quant ingressa per la venda de la mercaderia?
c) Quin benefici obté?
3 kg
2. Nombres i matrícules
Les matrícules dels vehicles s’ordenen d’acord amb un codi format per un número de quatre xifres, des de 0000 fins a 9999, seguit de tres lletres, des de BBB fins a ZZZ (no s’utilitzen les vocals, ni les consonants Ñ i Q ni els dígrafs CH, LL). Així doncs, d’acord amb aquest codi les matrícules comencen per 0000 BBB i acaben en 9999 ZZZ.
A B C CH D E F G H I J K L LL M N Ñ O P Q R S T U V W X Y Z ⎯→ s’utilitzen només 20 lletres
En Pau contracta un transportista que s’acaba de comprar una furgoneta nova, que té aquesta matrícula:
a) Quants vehicles matriculats porten, fins al moment, les mateixes lletres que el del transportista?
c) Quants vehicles s’han matriculat, incloenthi el del transportista, des que un company seu es va comprar un vehicle amb la matrícula 2581 LBS?
b) Quants vehicles es matricularan abans que es canviï una lletra de la matrícula?
d) Quants vehicles s’hauran matriculat abans que aparegui el primer amb la matrícula 4000 LBV?
Les quatre xifres de la matrícula permeten un total de 10.000 = 104 números diferents i amb les 20 lletres es poden formar 203 = 8.000 trios diferents (justificaràs aquesta xifra en cursos superiors).
e) Completa les caselles buides:
10.000 · 8.000 = 10 · 8 · 10 = 8 · 10
f) Quantes matriculacions es poden fer amb les quatre xifres i les tres lletres?
Escriu la resposta de dues formes:
– Amb totes les seves xifres:
– En la notació abreujada amb ajuda d’una potència de base deu:
3. Dimensions i capacitat
g) Si cada any es matriculen al voltant d’un milió trescents vintiun mil quatrecents trentavuit vehicles, quant temps passarà fins que comencin a matricular vehicles amb les últimes quatre xifres?
1. Menys de 30 anys.
2. Entre 30 i 40 anys.
3. Més de 40 anys.
Als supermercats, la fruita es conserva durant més temps si s’emmagatzema en cambres frigorífiques. En un dels supermercats tenen una cambra frigorífica que fa 500 centímetres de llargària, 500 centímetres d’amplària i 500 centímetres d’alçària útils. Les peres s’emmagatzemen en caixes cúbiques de 50 centímetres d’aresta. Quantes caixes de peres caben en l’espai útil de la cambra frigorífica?
A partir de les dades d’aquesta activitat, pensa una pregunta per plantejarla a un company o companya de classe. Primer l’has de resoldre tu per comprovar que estigui ben plantejada i per saber quina és la resposta correcta.
» TALLER DE MATEMÀTIQUES
» LLEGEIX I DESCOBREIX
0
1
2
3
4
5
6
» INVESTIGA
Nombres imparells, quadrats i cubs
El món dels nombres presenta múltiples relacions, algunes de tan sorprenents que semblen màgia.
Fixa’t en l’exemple següent:
• Segons això, calcula la suma dels set primers nombres imparells
S7 = 1 + 3 + 5
Nombres en els ordinadors
Ja saps que nosaltres, per escriure els nombres, fem servir el sistema decimal, amb deu signes, del 0 al 9.
Els ordinadors i les calculadores, en el seu llenguatge intern, escriuen els nombres en el sistema binari; és a dir, utilitzant només dos signes: el 0 i l’1
• Estudia i completa les taules, seguint la lògica de les primeres files.
Quan hagis acabat, hauràs traduït al sistema binari els primers quinze nombres naturals.
La computació i, en general, les noves tecnologies, són un àmbit d’aplicació de les matemàtiquess amb molta diversitat de sortides professionals.
» ENTRENA’T RESOLENT ALTRES
PROBLEMES
Reflexiona i assaja
• Escriu els nombres de l’1 al 9, un per casella, de manera que tots els trios alineats sumin 15.
• Quants nombres de tres xifres es poden formar utilitzant només les xifres 1, 2 i 3?
» POSA’T A PROVA
1. Omple els buits:
a) 18 · = 180
b) · 100 = 27.000
c) 4.000 : = 40
d) : 10 = 38
2. Calcula els termes que falten:
a) 154 · = 462
b) : 27 = 98
c) 30.275 : = 35
d) 1.508 = · 125 + 8
3. Fes les següents operacions combinades:
a) 12 + 3 · 5 – 2 =
b) 19 – 5 · (10 – 7) + 4 · 7=
c) 7 · 3 – 4 · 2 + 2 =
d) 10 · [7 · 5 – (4 + 6 · 3)] =
4. Observa aquestes quantitats:
• L’extensió del Brasil és de vuit milions cinccents catorze mil vuitcents setantaset quilòmetres quadrats.
• La població mundial l’abril de 2018 era de 7.601.767.200 habitants.
a) Expressa amb xifres la primera quantitat i amb lletres, la segona.
5. En una cafeteria hi ha 60 seients. Si hi ha el triple de cadires que de banquetes, quantes n’hi ha de cada classe?
b) Arrodoneixles a les desenes de miler.
6. Calcula:
a) 26 =
b) 53 =
c) 72 =
d) 106 =
7. Redueix a una sola potència:
a) a3 · a2 =
b) x5 : x4 =
c) (a3)4 =
8. Quants daus de fusta, d’1 cm d’aresta, hi ha en 10 paquets com el que veus en la il·lustració?
U N I T A T
DIVISIBILITAT
DIMENSIÓ RESOLUCIÓ DE PROBLEMES • DIMENSIÓ RAONAMENT I PROVA
DIMENSIÓ CONNEXIONS • DIMENSIÓ COMUNICACIÓ I REPRESENTACIÓ
Euclides, savi grec del segle iii aC, va viure a Alexandria, on va fundar una gran escola de matemàtiques. Va recollir-hi i va sistematitzar-hi tot el coneixement matemàtic de la seva època i també va aportar importants descobriments. Va plasmar la seva obra en una col·lecció de tretze llibres anomenats Elements. La major part d’aquests llibres estan dedicats a la geometria i només quatre, a l’aritmètica. En aquests quatre va desenvolupar la teoria de la divisibilitat, que descobreix algunes relacions que hi ha entre els nombres (múltiples, divisors, nombres primers o compostos…).
Divisors de 30
En una quadrícula, es poden construir quatre rectangles diferents que ocupin una superfície de 30 quadradets:
Els parells de nombres que coincideixen amb les dimensions dels costats, 1-30, 2-15, 3-10 i 5-6, tenen unes relacions amb el nombre 30 que treballaràs en aquesta unitat.
1. Dibuixa en una quadrícula tots els rectangles que ocupen 36 quadradets. Quants rectangles de 36 quadradets has pogut construir?
2. Quants rectangles de 40 quadradets podries construir? I de 41?
Múltiples de 7
Prem aquesta seqüència de tecles en una calculadora de quatre operacions:
7 + + = = = = …
Aniràs obtenint la «sèrie del 7»: 7 → 14 →
Les sèries d’aquest tipus estan relacionades amb el que estudiaràs en aquesta unitat.
3. Construeix de la mateixa manera la «sèrie de l’11» i anota’n els cinc primers termes.
4. Experimenta, amb el mateix procediment, la formació de sèries d’altres nombres.
1. LA RELACIÓ DE DIVISIBILITAT
• Dos nombres compleixen la relació de divisibilitat quan un cap en l’altre una quantitat exacta de vegades; és a dir, quan el seu quocient és exacte
• Ser múltiple de..., ser divisor de... Quan dos nombres compleixen la relació de divisibilitat: el més gran és múltiple del més petit i el més petit és divisor del més gran. a és múltiple de b o, dit d’una altra manera, si la divisió a : b és exacta. b és divisor de a
a b 0 c ↓ divisió exacta a és divisible per b. a és múltiple de b. b és divisor de a.
• Els divisors van per parelles. Cada divisor d’un nombre en té un altre de relacionat.
de 40. 5 és
» FIXA IDEES
F1. Fixa’t en aquestes divisions i completa:
a) 35 5 0 7 b) 86 12 02 7
35 és divisible per
35 és múltiple de
de 40.
5 és divisor de 86 divisible per 86 múltiple de 12 divisor de
F2. Comprova si els nombres de cada parella compleixen la relació de divisibilitat. Després, completa:
a) 63 i 9 b) 78 i 13
63 divisible per
63 és de
9 és de 78 divisible per 78 múltiple de 13 divisor de
F3. Una escola contracta autobusos de 45 places per portar 294 alumnes d’excursió.
a) Quants autobusos necessita? Aniran tots plens?
b) I si els autobusos fossin de 42 places?
c) 45 és divisor de 294? I 42?
AJUDA
F1 i F2. Observa els exemples:
560 40 160 14 0 És exacta.
560 és divisible per 40.
560 és múltiple de 40.
40 és divisor de 560.
47 7 5 6
47 no és divisible per 7.
47 no és múltiple de 7.
7 no és divisor de 47.
F3. Comprova si les divisions següents són exactes:
294 : 45 294 : 42
» APLICA EL QUE HAS APRÈS
1. Pensa i contesta de manera raonada:
a) Es pot dividir una classe de 30 alumnes en grups de 7, sense que en sobri cap?
b) La Marta fa passos de 60 cm. Pot recórrer 100 metres en un nombre exacte de passos?
4. Busca tots els nombres que estan continguts una quantitat exacta de vegades en 24.
c) Pot buidar-se una tina d’oli de 1.500 litres en un nombre exacte de garrafes de 5 litres?
5. Encercla de color vermell els divisors de 90 i de color blau, els múltiples de 3:
6. Respon de manera raonada:
a) Per què 522 és múltiple de 29?
d) Algun mes té un nombre exacte de setmanes?
b) Per què 17 és divisor de 544?
2. Digues si els nombres de cada parella compleixen la relació de divisibilitat:
a) 224 i 16 →
b) 420 i 35 →
c) 613 i 13 →
d) 513 i 19 →
e) 688 i 44 →
f) 2.070 i 46 →
3. Digues si les afirmacions següents són vertaderes o falses:
a) 15 està contingut exactament 4 vegades en 60.
b) 75 està contingut exactament 3 vegades en 225.
c) 42 és divisible per 7.
d) 54 és divisible per 8.
e) 13 està contingut un nombre exacte de vegades en 65.
GeoGebra. Troba els múltiples i els divisors d’un nombre.
7. Encercla de color vermell els múltiples de 4 i de color blau, els múltiples de 10:
8. De quantes maneres diferents es poden envasar 60 bombons en capses amb el mateix nombre d’unitats en cada una sense que en sobri cap?
2. ELS MÚLTIPLES I ELS DIVISORS D’UN NOMBRE
• Càlcul dels múltiples d’un nombre. Has de tenir en compte que:
– Els múltiples d’un nombre natural, a, s’obtenen en multiplicar a per qualsevol altre nombre natural k. a · k → múltiple de a
– Qualsevol nombre natural, a, és múltiple d’ell mateix i de la unitat. → a · 1 = a
– Un nombre diferent de zero té una quantitat infinita de múltiples.
– Per referir-nos a un múltiple d’un nombre, el podem escriure amb un punt a sobre: • 7 → múltiple de 7
• Càlcul dels divisors d’un nombre. Has de tenir en compte que:
– Per obtenir tots els divisors d’un nombre, a, busquem les divisions exactes: a : b = c a : c = b → a = b · c → Per tant, b i c són divisors de a.
– Qualsevol nombre és divisor d’ell mateix. → a : a = 1
– L’1 és divisor de qualsevol nombre. → a : 1 = a
» FIXA IDEES
F4. Escriu:
a) Tres múltiples de 5.
b) Tres múltiples de 12.
c) Tres múltiples de 19.
d) Tres múltiples de 30.
F5. Escriu els deu primers múltiples de 25.
F6. Quin és el primer múltiple de 8 més gran que 100?
F7. Troba, mentalment, els divisors de cada un d’aquests nombres:
a) 8 b) 12 c) 15
d) 20 e) 28
F8. Quin és el nombre els divisors del qual són els següents? 1 2 3 4 6 8 12 24
Els divisors de 18 són aquests:
AJUDA
F4. Múltiples de 13:
13 · 3 = 39
13 · 5 = 65
13 · 11 = 143
13 · =
F5. Quin és el primer múltiple de 13 més gran que 150?
150 13 020 11 07
13 · 12 = 156 > 150 8
13 · 11 = 143 < 150
F7 i F8. Divisors de 14: 1 2 7 14
• Criteris de divisibilitat. Són regles que serveixen per descobrir si un nombre és divisible per 2, 3, 5 o altres nombres senzills.
– Un nombre és divisible per 2 (és múltiple de 2) si acaba en una xifra parell: 0 - 2 - 4 - 6 - 8.
516 → xifra parell 516 és múltiple de 2. 371 → xifra senar 371 no és múltiple de 2.
– Un nombre és divisible per 5 (és múltiple de 5) si acaba en 0 o en 5. Un nombre és divisible per 10 (és múltiple de 10) si acaba en 0.
325 → és múltiple de 5. 560 → és múltiple de 5 i de 10. 703 → no és múltiple ni de 5 ni de 10.
– Un nombre és divisible per 3 (és múltiple de 3) si la suma de les seves xifres és múltiple de 3. Un nombre és divisible per 9 (és múltiple de 9) si la suma de les seves xifres és múltiple de 9.
411 → 4 + 1 + 1 = 6
3
9
411 és múltiple de 3, però no de 9.
– Un nombre és divisible per 11 si la suma de les xifres de lloc parell menys la suma de les xifres de lloc senar és 0 o un múltiple d’11.
418 → (4 + 8) – (1) = 11 És múltiple d’11. 1.543 → (5 + 3) – (1 + 4) = 3 No és múltiple d’11.
» FIXA IDEES
F9. Quins d’aquests nombres són parells? I divisibles per 2?
21 - 28 - 45 - 59 - 80 - 88 - 146 - 255 - 270 - 299
Parells:
Divisibles per 2:
F10. Subratlla els que siguin múltiples de 5:
60 - 72 - 80 - 85 - 100 - 103 - 130 - 155 - 210
Quins dels nombres que has subratllat són també múltiples de 10?
F11. Quins d’aquests nombres són divisibles per 3? I per 9?
19 - 45 - 63 - 83 - 105 - 145 - 209 - 513 - 666 - 909
Divisibles per 3:
Divisibles per 9:
F12. Recorda el criteri de divisibilitat per 11 i identifica quins dels nombres següents són múltiples d’11:
a b c 8 a + c – b = 0 o 11
110 - 111 - 155 - 187 - 209 - 398 - 759 - 606
F9. 516 → Acaba en xifra parell. És múltiple de 2.
F10. 325 → Acaba en 5. És múltiple de 5, però no de 10.
560 → Acaba en 0. És múltiple de 5 i de 10.
F11. 411 → 4 + 1 + 1 = 6 → És múltiple de 3 però no de 9.
990 → 9 + 9 + 0 = 18 → És múltiple de 3 i de 9.
AJUDA
3. NOMBRES PRIMERS I NOMBRES COMPOSTOS
• Els nombres que es poden descompondre en factors més senzills s’anomenen nombres compostos
Per exemple, el nombre 18 és un nombre compost perquè es pot descompondre.
• Els nombres que no es poden descompondre en factors més senzills s’anomenen nombres primers. Un nombre primer només té dos divisors: ell mateix i la unitat.
Per exemple, el nombre 13 és primer perquè només es pot dividir per 13 i 1.
• El nombre 1, com que només té un divisor, no es considera primer. Qualsevol altre nombre o bé és primer o bé és compost.
APLICA EL QUE HAS APRÈS
9. Classifica en nombres primers i nombres compostos: 5 8 11 15 21 28 31 33
Nombres primers:
Nombres compostos:
10. Entre aquests nombres, busca els dos que són primers i expressa els compostos com un producte de dos factors.
47 57 67 77 87
11. Busca tots els nombres primers més petits que 60.
Són disset en total.
12. Vertader (V) o fals (F)?
a) El nombre 1 no és ni primer ni compost.
b) Un nombre, si és senar, és primer.
c) Tots els nombres primers, excepte el 2, són senars.
13. Descompon el nombre 100:
a) En dos factors.
b) En tres factors.
c) En tants factors com sigui possible.
14. Indica quins nombres són primers i quins són compostos: 14 17 28 29 47 53 57 63 71 79 91 99
Nombres primers:
Nombres compostos:
15. Esbrina si el nombre 203 és primer o compost. Justifica la teva resposta.
GeoGebra. Classifica en nombres primers i compostos.
4. DESCOMPOSICIÓ D’UN NOMBRE EN FACTORS PRIMERS
• Un nombre, si no és primer, es pot descompondre en factors, i aquests, al seu torn, en altres factors, fins que tots siguin primers.
Per exemple, la descomposició de 36 en factors primers és:
36 = 4 · 9 = 2 · 2 · 3 · 3 = 22 · 32
• Per descompondre un nombre en factors primers (factoritzar), el dividim entre els seus factors primers: primer, entre 2 tantes vegades com sigui possible; després, entre 3, entre 5…, i així, successivament, fins a obtenir 1 en el quocient.
» APLICA EL QUE HAS APRÈS
16. Calcula mentalment i completa la descomposició en factors d’aquests nombres:
17. Descompon com en l’exemple:
• 24 = 6 · 4 = 2 · 3 · 2 · 2 = 23 · 3
a) 18 =
b) 20 = c) 40 = d) 72 = e) 150 =
f ) 240 =
18. A quins nombres corresponen aquestes descomposicions factorials?
a) 22 · 32 · 5 =
b) 2 · 5 · 13 =
c) 2 · 52 · 7 =
792 : 2 → 396 2
396 : 2 → 198 2
198 : 2 → 99 3
99 : 3 → 33 3
33 : 3 → 11 11
11 : 11 → 1
792 = 23 · 32 · 11
19. Completa i descompon en factors primers:
42 = 90 = 126 =
20. Descompon en factors primers: a) 45 b) 76 c) 88
21. Escriu com a producte de nombres primers: a) 170 = b) 350 = c) 580 = d) 888 = e) 1.024 = f) 1.296 =
• Quina és la relació entre la descomposició d’un nombre i la descomposició dels seus múltiples? En la descomposició de qualsevol dels múltiples d’un nombre apareixen tots els factors primers del nombre (i, generalment, alguns més).
• Quina és la relació entre la descomposició d’un nombre i la descomposició dels seus divisors? En la descomposició de qualsevol dels divisors d’un nombre apareixen alguns factors primers del nombre (generalment, no tots) i no apareix cap factor més.
• Per obtenir els divisors d’un nombre es pot seguir un altre procediment: amb el nombre descompost en factors, busquem tots els productes possibles entre si.
Per exemple, calculem tots els factors primers de 40:
40 = 2 · 2 · 2 · 5
Els divisors de 40 són:
1, 2, 4, 5, 8, 10, 20 i 40
F13. Contesta, sense fer cap operació, i raona les respostes:
a) 8 = 2 · 2 · 2 b) 15 = 3 · 5
36 = 2 · 2 · 3 · 3
8 és divisor de 36?
90 = 2 · 3 · 3 · 5
15 és divisor de 90?
F14. Tenint en compte la descomposició en factors de 126, esbrina, a simple vista, quins dels nombres que apareixen a continuació són divisors de 126, quins són múltiples de 126 i quins no són ni divisors ni múltiples: 126 = 2 · 3 · 3 · 7 = 2 · 32 · 7
a) 4 = 22 b) 14 = 2 · 7 c) 18 = 2 · 32
d) 21 = 3 · 7 e) 28 = 22 · 7 f ) 42 = 2 · 3 · 7 g) 252 = 22 · 32 · 7 h) 180 = 22 · 32 · 5 i) 882 = 2 · 32 · 72
Divisors de 126:
Múltiples de 126:
Ni múltiples ni divisors:
F15. Escriu factoritzats, sense fer operacions:
a) Tres divisors de 72 = 23 · 32
b) Tres múltiples de 45 = 32 · 5.
1 = 1
2 = 2
5 = 5
2 · 2 = 4
2 · 5 = 10
2 · 2 · 2 = 8
2 · 2 · 5 = 20
2 · 2 · 2 · 5 = 40
AJUDA
F13 i F14. • 18 és divisor de 90, perquè tots els factors primers de 18 apareixen en 90. 18 = 2 · 3 · 3 90 = 2 · 3 · 3 · 5 • 210 és múltiple de 15 perquè conté tots els factors primers de 15. 210 = 2 · 3 · 5 · 7 15 = 3 · 5 F15. • Dos
5. MÍNIM COMÚ MÚLTIPLE
• El més petit dels múltiples comuns de dos o més nombres, a, b, c… s’anomena mínim comú múltiple i s’expressa així: MCM (a, b, c…)
• Càlcul del mínim comú múltiple (mètode artesanal). És apropiat per a nombres senzills. Per obtenir el mínim comú múltiple de dos nombres:
1. Escrivim els múltiples de cada un.
2. Agafem els nombres comuns.
3. Ens quedem amb el més petit.
de 20 → 30 60 90 120 … múltiples de 30
(20, 30) = 60
• Càlcul del mínim comú múltiple (mètode òptim). S’utilitza per a nombres grans. El procediment és el següent:
1. Es descomponen els nombres en factors primers.
2. Se n’agafen tots els factors primers (comuns i no comuns) elevats a l’exponent més gran.
3. Es multipliquen els factors escollits.
» FIXA IDEES
F16. Copia, observa i completa a primer cop d’ull:
Múltiples de 6 → 6 12 18 24 30 36 42 48 54
Múltiples de 8 → 8 16 24 32 40 48 56
MCM (6, 8) =
F17. Calcula el MCM (12, 15) com en l’activitat anterior:
Múltiples de :
Múltiples de : MCM ( , ) =
F18. Completa:
(20,
Càlcul del mínim comú múltiple de 10 i de 15.
• 10 → 10 20 30 40 50 60 70
• 15 → 15 30 45 60 75 90 105
Múltiples comuns → 30, 60, 90… El més petit dels múltiples comuns de 10 i 15 és 30.
(10, 15) = 30
EXEMPLE
Càlcul del mínim comú múltiple de 28 i 42.
F19. Completa per calcular el mínim comú múltiple de 30 i 45:
(30, 45) = 3 0 4 5
» APLICA EL QUE HAS APRÈS
22. Observa i completa a primer cop d’ull:
• 15 → 15 30 45 60 75 90 105
• 25 → 25 50 75 100 125 150
MCM (15, 25) =
23. Calcula com en l’activitat anterior:
a) MCM (20, 25)
b) MCM (12, 24)
c) MCM (50, 75)
24. Calcula mentalment:
a) MCM (6, 9) =
b) MCM (6, 12) =
c) MCM (5, 10) =
25. Observa, completa i calcula: 3 0 2 1 5 3 5 5 1 4 0 2 0 1 5 4 1
23 5
26. Calcula el MCM (a, b) en cada cas:
a) a = 2 5 11
b = 3 5 11
b) a = 24 . 5
b = 22 . 52
27. Una fàbrica envia mercaderia a Castelló cada 6 dies i a Eivissa, cada 8 dies. Avui han coincidit tots dos enviaments. Quan tornaran a coincidir?
28. L’autobús de la línia vermella passa per la parada, davant de casa meva, cada 20 minuts i el de la línia verda, cada 30 minuts. Si tots dos passen a les dues de la tarda, a quina hora tornaran a coincidir?
29. En Juli compta de 4 en 4; l’Anna, de 6 en 6, i la Sofia, de 10 en 10. Quins són els tres primers nombres en els quals coincideixen?
MCM (30, 40) = MCM (40, 54) =
(30, 40) (40, 54)
6. MÀXIM COMÚ DIVISOR
• El més gran dels divisors comuns de dos o més nombres (a, b, c…) s’anomena màxim comú divisor i s’expressa així: MCD (a, b, c…)
• Càlcul del màxim comú divisor (mètode artesanal). És apropiat per a nombres senzills. Per obtenir el màxim comú divisor de dos nombres:
1. Escrivim els divisors de cada nombre.
2. Agafem els nombres comuns.
3. Ens quedem amb el més gran.
divisors de 8
de 12
(8, 12) = 4
• Càlcul del màxim comú divisor (mètode òptim). S’utilitza per a nombres grans. El procediment és el següent:
1. Es descomponen els nombres en factors primers.
2. Agafem només els factors primers comuns elevats a l’exponent més petit.
3. Es multipliquen els factors escollits. → 1 2 4
» FIXA IDEES
F20. Observa i completa a primer cop d’ull:
Divisors de 12 → 1 2 3 4 6 12
Divisors de 16 → 1 2 4 8 16
MCD (12, 16) =
F21. Calcula com en l’activitat anterior:
MCD (8, 20) =
F22. Completa:
40 2225
50 25 5 = = 3 MCD (40, 50) = · = 3 54 23 90 25 2 3 $ $$ = = 4 MCD (54, 90) = 2 · 3 =
F23. Completa per calcular el màxim comú divisor de 90 i 315: 90 = 2
315 = 3
(90, 315) =
Càlcul del màxim comú divisor de 20 i 30.
Divisors de 20
Divisors de 30
Divisors comuns → 1 - 2 - 5 - 10
El més gran dels divisors comuns és 10. MCD (20, 30) = 10
EXEMPLE
Càlcul del màxim comú divisor de 60 i 72:
(60, 72) = 22 · 3 = 12
» APLICA EL QUE HAS APRÈS
30. Observa i completa a primer cop d’ull:
Div. de 24 → 1 2 3 4 6 8 12 24
Div. de 30 → 1 2 3 5 6 10 15 30
MCD (24, 30) =
31. Calcula seguint el criteri de l’activitat anterior:
a) MCD (10, 15)
Divisors de :
Divisors de :
MCD ( , ) =
b) MCD (12, 18)
Divisors de :
Divisors de :
MCD ( , ) =
32. Calcula mentalment:
a) MCD (30, 40) =
b) MCD (50, 75) =
33. Completa i calcula:
6 0 2 3 0 1 9 0 2 4 5 1 1 0 0 2 5 0 1
60 = 2 ·
90 = 2 ·
100 = 2 ·
MCD (60, 90) =
MCD (60, 100) =
MCD (90, 100) =
34. Calcula el MCD (a, b) en cada cas.
a) a = 3 . 5 . 11
b = 2 . 5 . 11
b) a = 23 52
b = 22 . 52 . 7
35. Calcula:
a) MCD (120, 144)
Divisors de :
Divisors de :
MCD ( , ) =
b) MCD (140, 180)
Divisors de :
Divisors de :
MCD ( , ) =
36. Calcula el MCD (a, b) en cada cas:
a) a = 3 · 5 · 11
b = 2 · 5 · 11
b) a = 23 · 52
b = 22 · 52 · 7
MCD (a, b) = =
MCD (a, b) = =
37. Suposa que tens un full de 30 cm × 21 cm i vols dibuixar-hi una quadrícula tan gran com sigui possible en la qual no hi hagi quadrats fraccionats. Quina ha de ser la mida dels quadrats?
38. La propietària d’un restaurant compra un bidó de 80 litres d’oli d’oliva i un altre de 60 litres d’oli de gira-sol i vol envasar-los en garrafes iguals, tan grosses com sigui possible, i sense barrejar-los. Quina serà la capacitat de les garrafes?
» EXERCITA LES TEVES COMPETÈNCIES
Múltiples i divisors
1. Escriu:
a) Els múltiples de 20 compresos entre 150 i 210.
b) Tots els parells de nombres el producte dels quals és 80.
5. Substitueix cada lletra per una xifra, perquè el nombre resultant sigui divisible per 3: A51 2B8 32C 52D 1E8
A = B = C = D = E =
6. Busca, en cada cas, tots els valors possibles de a per tal que el nombre resultant sigui, al mateix temps, múltiple de 2 i de 3. 4 a 3 2 a 2 4 a
2. Busca tots els divisors dels nombres següents:
a) 18:
b) 20:
c) 28:
d) 39:
e) 50:
3. Busca totes les formes possibles de fer grups iguals amb 72 terrossos de sucre.
Criteris de divisibilitat
4. Escriu:
a) Un nombre de tres xifres que sigui divisible per 3.
b) Un nombre de quatre xifres que sigui divisible per 5.
c) Un nombre de cinc xifres que sigui divisible per 9.
Nombres primers i compostos
7. El nombre 899 només té quatre divisors; un és el nombre 31. Expressa el nombre 899 com a producte de dos factors diferents d’ell mateix i de la unitat.
8. Descompon en factors primers aquests nombres:
a) 54 =
b) 140 =
c) 200 = d) 380 =
9. Busca el primer nombre, més gran que 160, que no es pugui expressar com el producte de dos factors diferents d’ell mateix i de la unitat.
10. El mínim comú múltiple de dos nombres és 15. Quins poden ser aquests nombres?
11. Calcula el MCM i el MCD: a) 25 i 75
b) 12, 18 i 24
Resol problemes
12. El producte de tres nombres diferents de la unitat és 75. Quina és la seva suma?
14. En una fruiteria envasen sucs de taronja i de poma en caixes amb el mateix nombre d’ampolles. Quantes ampolles hi ha en cada caixa si un client ha rebut 15 ampolles de suc de taronja i 12 de suc de poma?
13. Busca el nombre més petit que en dividir-lo entre 10 i entre 12 té un residu de 5.
15. PROBLEMA RESOLT
Estudia els casos possibles i comprova quins compleixen les condicions del problema.
Una fornada de magdalenes s’envasa en bosses de 6 unitats i una altra d’igual, en bosses de 10 unitats, sense que en sobri cap en tots dos casos. Quantes magdalenes surten en cada fornada si s’han omplert gairebé 50 bosses?
El nombre de magdalenes de cada fornada és un múltiple comú de 6 i de 10 i, per tant, del seu mínim comú múltiple:
MCM (6, 10) = 30
Els múltiples comuns de 6 i 10 són:
30 - 60 - 90 - 120 - 150Completa la taula i acaba el problema:
16. Els assistents a la reunió setmanal d’un club social es poden agrupar per parelles per ballar, en trios per fer manualitats i de quatre en quatre per jugar al mus. En cap d’aquests casos no queda ningú desagrupat. Quantes persones són si gairebé arriben a 25?
20. A l’activitat anterior has completat un problema matemàtic a partir d’unes pistes. Ara et plantegem el repte d’escriure un problema matemàtic sobre múltiples i divisors des d’un inici i t’indicarem els passos que has de seguir:
1. En primer lloc, cal definir l’entorn on es desenvoluparà el problema i en aquest cas, hem escollit unes classes extraescolars de bàsquet amb 18 esportistes.
17. Volem tallar una cartolina de 48 cm × 60 cm en targetes quadrades que tinguin entre 5 i 10 cm de costat. Quina ha de ser la mida de les targetes per no desaprofitar la cartolina?
2. A continuació, pensarem la pregunta que volem fer. Per exemple: a partir d’un nombre conegut d’esportistes, formar grups de manera que es compleixi una condició determinada (que no quedi cap persona sense grup, que quedi un esportista sense grup, que els grups siguin parells, etc.).
18. Els trens a Vall de Dalt surten cada 18 min i els de Vall de Baix, cada 24 min. Si són les 15 h 45 min i surten alhora, quan tornaran a coincidir?
3. Anota les dades que faràs servir per definir el problema i pensa la pregunta que vols fer.
Nombre de participants: 18
Pregunta:
4. Ara cal que resolguis numèricament el problema.
És el teu torn
19. Completa l’enunciat i la resolució del problema amb la informació que falta:
En Marcel per anar a treballar pot agafar dos autobusos, un passa cada … minuts i, l’altre cada 10 minuts. Si avui els dos autobusos han coincidit a les … del matí, quan tornaran a coincidir?
15 = 3 · = 2 · 5
MC (15, 10) = · 3 · 5 = 30
Tornaran a coincidir als minuts, és a dir, a les 9.30 h.
5. El darrer pas és escriure l’enunciat:
En una classe extraescolar de bàsquet amb 18 participants, el monitor vol fer grups de
» MATEMÀTIQUES EN CONTEXT
REFORMES EN UN RESTAURANT
La Marta és una professional que es dedica a decorar interiors i ha estat contractada per reformar un restaurant de la ciutat. L’amo de l’establiment li ha encarregat un disseny estètic i, al mateix temps, funcional.
1. Esbós del projecte
La Marta visita el restaurant per fer l’esbós del projecte. El restaurant obre puntualment, de dotze a quatre i de dos quarts de cinc a onze de la nit. Per desplaçar-se ha fet servir el transport públic. Hi ha dues línies d’autobús que tenen el seu origen al costat del restaurant i surten a les vuit del matí i funcionen, ininterrompudament, fins a les deu del vespre: la línia vermella, cada 15 minuts, i la verda, cada 25. El restaurant té una terrassa que, des de mitjan abril fins a mitjan setembre, col·loca una dotzena de taules sota una dotzena i mitja de para-sols.
a) Si és la una i dotze minuts, quant fa que ha obert el restaurant?
b) Quantes vegades, al llarg del dia, para l’autobús de la línia vermella?
c) Si els autobusos de les dues línies coincideixen a la parada d’origen a les vuit del matí, a quina hora tornaran a coincidir?
d) Durant quants dies està instal·lada la terrassa del restaurant cada any?
e) L’amo del restaurant també vol renovar els para-sols de la terrassa. Si la Marta li ha pressupostat 1.692 euros, quant li costa cada para-sol?
2. Empaperar la recepció
La Marta aconsella a l’amo empaperar la recepció del restaurant amb un paper decoratiu, perquè li surti més econòmic. Ha encarregat un rotllo de paper continu d’1 metre d’ample i de diferents longituds: 14 i 18 metres. Per tal que ni sobri ni falti paper, el pintor ha tallat els rotllos de paper a trossos iguals.
a) El pintor ha decidit fer-ne trossos de la mida més gran possible. Quina és aquesta mida?
b) Quants trossos de paper li sortiran de cada rotllo?
3. Endreçar el magatzem
Un altre encàrrec que rep la Marta és organitzar i endreçar el magatzem del restaurant, ple de condiments i productes que fan servir els cuiners per preparar els plats. Al magatzem també hi ha molts pots de llegums i verdures: 136 kg de cigrons, 208 kg de llenties i 148 kg de mongetes.
La Marta ha demanat al mosso de magatzem que desi els pots en capses iguals, que continguin el mateix pes i el màxim nombre possible de quilos d’un sol producte.
a) Quants quilos podrà desar en cada capsa?
b) Quantes capses prepararà que continguin cigrons?
c) I quantes en prepararà amb llenties?
d) I amb mongetes?
Al magatzem falten unes quantes prestatgeries per col·locar-hi els ingredients que fan servir els cuiners i la Marta decideix encarregarles a un fuster. El fuster, per construir una prestatgeria, necessita el material següent: 2 taulons llargs, 6 taulons curts, 24 claus grossos i 4 escaires. El fuster té, al seu taller, el material següent: 13 taulons llargs, 41 taulons curts, 145 claus grossos i 27 escaires.
e) Quantes prestatgeries podrà fer?
Primer de tot, determina quants elements necessita el fuster per fer una prestatgeria i completa la taula amb tot el material que necessita per fer més d’una prestatgeria.
2 taulons llargs
6 taulons curts
24 claus
4 escaires
» TALLER DE MATEMÀTIQUES
» LLEGEIX I DESCOBREIX
Els primers valen diners
Els nombres primers s’utilitzen per a la construcció de les claus que protegeixen els comptes bancaris, els ordinadors, els telèfons mòbils, la informació que circula per internet, etc. De fet, per elaborar una clau, es necessiten dos nombres primers secrets. Els fàcils ja s’han descobert i els nous són molt difícils de trobar.
• Busca el primer nombre primer més gran que 1.000.
El 101 és el protagonista
• Què li passa a un nombre de dues xifres si el multipliquem per 101? 29 × 101 =
Fixa’t en altres casos i verifica que sempre passa el mateix.
• Què tenen en comú tots els nombres de quatre xifres que es formen repetint alternativament dues xifres?
» INVESTIGA
Divisibilitat i geometria
Ja has vist en altres ocasions com les característiques i les propietats dels nombres es reflecteixen en relacions i propietats geomètriques. Observa ara com la descomposició factorial d’un nombre, per exemple el 24, està relacionada amb les possibilitats de construir prismes amb un conjunt de 24 daus (cubs unitaris):
• Quants prismes diferents es poden construir amb 12 daus unitaris?
• I amb un conjunt de 60 daus?
» POSA’T A PROVA
1. Busca, entre els nombres següents, quatre parells de nombres que compleixin la relació de divisibilitat:
6 15 35 80 90 240
2. Indica si les afirmacions següents són vertaderes o falses:
a) 60 és divisible per 15.
b) 7 és múltiple de 21.
c) 12 és divisor de 120.
d) 162 és múltiple de 8.
3. Escriu:
a) Els múltiples de 12 compresos entre 50 i 100.
b) Tots els divisors de 90.
4. Troba aquests nombres:
a) El primer múltiple de 13, després de 1.000.
b) L’últim múltiple d’11, abans de 1.000.
5. Completa en el teu quadern:
a) Un nombre és múltiple de 3 quan
b) Un nombre és divisible per 5 quan
c) Un nombre és múltiple de 9 quan
6. Escriu, ordenats, tots els nombres primers més petits que 50.
7. Descompon en factors primers:
a) 36 =
b) 48 =
c) 396 =
8. Calcula:
a) MCM (36, 48)
b) MCM (10, 15, 25)
9. De quantes maneres diferents es pot dividir una classe de 28 alumnes, en equips amb el mateix nombre de membres, sense que en sobri cap?
10. Quin és el costat del quadrat més petit que es pot formar si unim rajoles rectangulars de 15 cm de llargada per 6 cm d’amplada?