Concreto Armado - Eu te Amo - Vol. 1 by Editora Blucher

Manoel Henrique Campos

CONCRETO ARMADO EU TE AMO Volume 1

BOTELHO • MARCHETTI

Apresentando os autores

formado na Escola Politécnica

trabalhou, foi gerente de projetos da Promon Engenharia, coordenando grandes projetos civis e industriais. Além dessa experiência, especializou-se num campo incomum na engenharia, que é a comunicação tecnológica. Na comunicação tecnológica tem trilhado “mares didáticos nunca dantes navegados...”

Osvaldemar Marchetti é

Este livro foi desenvolvido para estudantes de engenharia civil, arquitetura, tecnólogos e profissionais da construção em geral. Trata-se de um ABC explicativo, didático e prático no mundo do concreto armado e tem aplicação prática atuante em construções de até 4 andares, ou seja, praticamente 90% das edificações brasileiras. Nesta oitava edição, os autores inovam mais uma vez, e incorporam várias fotos e uma cartilha que explica a norma do concreto armado. Trata-se de uma edição totalmente revista, segundo as NBR 6118 (antiga NBR 1/78) e NBR 14931 e aborda aspectos de projeto de estruturas de concreto armado, de execução das obras e o controle de qualidade do concreto. Com a NBR 6118 nada mais é como antes. Para conhecer esse novo mundo, leia este livro escrito em linguagem prática e fácil, quase coloquial, fator relevante na aceitação e sucesso do livro no mercado nacional que estabeleceu a “linguagem botelhana”.

Projetista de estruturas e construtor,os dois se encontraram profissionalmente na Promon, e daí nasceu a ideia de escreverem conjuntamente este livro,

VOL. 1

Politécnica da USP, em 1975.

do Brasil para o mundo da

em muitas faculdades de engenharia e arquitetura, e como livro oficioso em outro conjunto de faculdades da mesma área. Ultimamente, este livro tem sido adotado como leitura complementar em faculdades de engenharia da Bolívia, Paraguai e Argentina. É um livro ABC, ou seja, ensina o que é fundamental para se entender o mundo do concreto armado dirigido para o projeto e obra de residências, prédios comerciais e prédios residenciais de até quatro andares, algo como

engenheiro civil formado também pela Escola

é um dos livros mais vendidos

É adotado como livro oficial

CONCRETO ARMADO EU TE AMO

Entre outros locais que

te amo – Volume 1, 8ª edição,

Construção Civil.

Botelho é engenheiro civil da USP, em 1965.

Este livro, Concreto armado, eu

mais de 90% das construções a se construírem no País e nos países do Mercosul. Sua linguagem coloquial, direta e corajosamente prática ganhou o nome de linguagem botelhana. Agora chega... Vamos ler o livro.

para estudantes e jovens

Nada substitui uma boa

profissionais.

leitura...

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MANOEL HENRIQUE CAMPOS BOTELHO OSVALDEMAR MARCHETTI

CONCRETO ARMADO EU TE AMO Volume 1

8.ª edição revista, segundo a nova norma de concreto armado nbr 6118/2014

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Ficha Catalográfica Rua Pedroso Alvarenga, 1245, 4º andar 04531-934 – São Paulo – SP – Brasil Tel.: 55 11 3078-5366 contato@blucher.com.br www.blucher.com.br

Botelho, Manoel Henrique Campos Concreto armado, eu te amo, vol. 1 / Manoel Henrique Campos Botelho, Osvaldemar Marchetti – 8ª ed. revista segundo a nova norma de concreto armado NBR 6118/2014. – São Paulo: Blucher, 2015.

ISBN 978-85-212-0898-3 Segundo o Novo Acordo Ortográfico, conforme 5. ed. do Vocabulário Ortográfico da Língua Portuguesa, Academia Brasileira de Letras, março de 2009.

Bibliografia

1. Concreto armado 2. Resistência de materiais I. Marchetti, Osvaldemar II. Título. É proibida a reprodução total ou parcial por quaisquer meios, sem autorização escrita da Editora. Todos os direitos reservados pela Editora Edgard Blücher Ltda.

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15-0293 CDD-620.137 Índice para catálogo sistemático: 1. Concreto armado: Normas: Engenharia

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Nota da 8.ª edição Em 2014 saiu a nova edição da NBR 6118 da ABNT (Associação Brasileira de Normas Técnicas) revisão de 07.08.2014, norma essa principalmente ligada a assuntos de projeto de estruturas de concreto. Esta nova edição, a 8ª deste livro Concreto armado eu te amo - vol 1, foi preparada para atender essa nova norma, que é histórica pois é a sucessora da NB-1 a primeira norma brasileira feita pela ABNT. O escopo deste livro é como sempre atender a prédios de pequeno e médio porte com até quatro andares com estrutura de concreto armado e alvenaria. Este livro aborda principalmente assuntos de projeto mas também com assuntos de obra e controle de qualidade da concretagem. Ainda em 2015 está prevista o lançamento no mercado do livro Concreto armado eu te amo vai para a obra por esta Editora Blucher. Recomendação: tenha em mãos sempre a norma na sua íntegra e a siga. Agora só resta aos autores desejar boa leitura deste livro e da norma NBR 6118/2014. Os autores Manoel Henrique Campos Botelho, eng. civil, email; manoelbotelho@terra.com.br Osvaldemar Marchetti, eng. civil email; marchetti@estra.com.br março 2015 Os autores ficarão satisfeitos com o recebimento de emails de comentários sobre este livro.

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AGRADECIMENTOS Aos colegas de todo o Brasil, Argentina, Paraguai, Bolívia, Portugal, Guiné Equatorial e Angola que contribuíram com seus comentários, críticas, indicações de enganos, elogios e adendos para esta nova edição do livro. A lista (alfabética) a seguir é dos colegas que mais se esforçaram nisso. Como esses colegas não leram as provas desta oitava edição, são de responsabilidade dos autores a ocorrência de alguns pontos a virem a ser corrigidos no futuro; Destacaram-se, entre outros, os colegas: Adilson Carneiro Alexandre Duarte B. Aires Alexandre Rosa Botelho Antonio Alves Neto Antony Nunes Ariovaldo Torres Arnaldo Ribeiro Braulio P. Pereira Carlos Almeida Celso Santiago Condeceu R. C. Sobrinho Dellano Souza Elias Nelson Manuel Gemusse, Angola Elienai C. Rocha Jr Ernany Mendes Campos Fernando André Luis Mik, Angola Francisco Barbosa Couto Frederico Mendes Giancarlo Bagnara Gisele Matias Guilherme Montenegro Humberto Magno João Batista Ribeiro Jose Luis Cunha Jose Calvimontes, Santa Cruz, Bolívia José Ortiz, Guiné Equatorial Juan Bautista Rolon Amarilha, Paraguai Lenilson António, Angola Leonardo J. P. Teixeira Lukavi Dias, Angola, Portugal Luiz Felipe Garcia de Oliveira

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Marcelo Cardoso Marcelo Murúa, Argentina Marcelo Stefanini Marcio Nascimento Marcus Vinicius P. Ferro, Angola Pablo M. Micheli, Corrientes, Argentina Paulo Paz Pedro Nogueira Reynaldo C. Ferreira Ricardo de Paula Machado Rosemary Leandro Seixas Rogerio Chaves Rudinéia F. Petrini Santa Rita, Portugal Thelma Valéria B. Barros, João Pessoa, PB Ualas Souza Walter Ney Wellyngton S. Caldas Ferreira Zilmara V. Grote, Canadá E um agradecimento à Professora Sueli Valesi (Área de Ciências Humanas) que, admirando o texto deste livro, publicou um artigo científico conforme indicado: “Simpósio Internacional de Estudos de Gêneros Textuais” – Caxias do Sul, RS dias 11 a 14 de agosto de 2009. “Práticas de linguagem no mundo do trabalho da construção civil – o estilo em gêneros textuais acadêmicos/didáticos e profissionais” Sueli Correia Lemes Valezi Mestre em Estudos da linguagem – UFMT IFMT – Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Mato Grosso. Destaca a Professora Sueli face à apresentação deste livro nesse simpósio: “Vale ressaltar que, durante a apresentação, seu livro chamou muito a atenção dos presentes. Ficaram, da mesma forma que eu, bastante admirados pelo título e pelo conteúdo do livro.” Participação especial (revisão) da 7.ª edição do Eng. Paulo Mendes formado pela Uninove, São Paulo.

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NOTA EXPLICATIVA Um livro para estudantes de engenharia civil, arquitetura, tecnólogos e profissionais em geral, um livro ABC explicando de forma didática, prática e direta, dirigido à obras de pequeno e médio vulto, como prédios de até quatro andares, ou seja, mais de 90% das obras a executar no país, de acordo com a norma 6118/2014, versão corrigida em 07/08/2014. As normas de concreto armado são divididas e separadas entre os assuntos projeto e execução. Muito bem, se as normas optaram pela divisão de assuntos, este livro optou pela união e, portanto, este livro cobre: • • •

aspectos de projeto de estruturas de concreto armado; aspectos de execução dessas obras; aspectos de controle da qualidade do concreto na obra.

Para se conhecer esse novo mundo, leia este livro, escrito na linguagem prática, simples e até coloquial que o tornou famoso (linguagem Botelhana). Conheça os livros de concreto armado e engenharia estrutural da: “Coleção concreto armado, eu te amo”: “Concreto armado, eu te amo Vol. 1” “Concreto armado, eu te amo Vol. 2” “Concreto armado, eu te amo para arquitetos” (e que os engenheiros também vão ler). “Concreto armado, eu te amo vai para obra” (a sair em 2015). Também disponíveis as obras do Engenheiro Osvaldemar Marchetti: “Muros de Arrimo” “Pontes de Concreto armado” Disponíveis também outras obras do autor Manoel H. C. Botelho “Instalações hidráulicas prediais usando tubos de PVC e PPR” “Quatro edifícios, cinco locais de implantação, vinte soluções de fundações” “Resistência dos materiais, para entender e gostar”

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e proximamente: “Concreto armado, eu te amo – Perguntas e Respostas” “Concreto armado, eu te amo – Estruturando as edificações” “Concreto armado, eu te amo vai para a obra” “Abc da Topografia, para entender, gostar e usar” Caro leitor, Para dialogar com o Eng. Manoel Henrique Campos Botelho, enviar email para: manoelbotelho@terra.com.br e com o Eng. Osvaldemar Marchetti, email: marchetti@estra.com.br Para todos que enviarem email de comentários e sugestões, o Eng. Manoel Botelho enviará, via Internet, conjunto de crônicas tecnológicas.

CURRICULUM DOS AUTORES: Manoel Henrique Campos Botelho é engenheiro civil formado em 1965 na Escola Politécnica da Universidade de São Paulo. Hoje é perito, árbitro, mediador e autor de livros técnicos. email: manoelbotelho@terra.com.br Osvaldemar Marchetti é engenheiro civil formado em 1975 na Escola Politécnica da Universidade de São Paulo. Hoje é engenheiro projetista e consultor estrutural, além de construtor de obras industriais e institucionais. email: marchetti@estra.com.br

Nota técnico-didática: Alguns leitores ponderaram que a precisão a que se chega com as calculadoras é muito maior que a precisão da realidade da nossa construção civil e com os resultados aparentemente ultraprecisos contidos nos cálculos. Embora isso seja verdade, mantivemos o critério didático de não alterar resultados parciais aparentemente ultraprecisos, pelo fato de ser este um texto didático. Assim. se chegarmos a um ponto onde os cálculos indicam o momento fletor de 41,2 kNm e o repetimos nos cálculos decorrentes, todos então saberão a origem dessa medida.

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Conteúdo Nota da 8.ª edição..................................................................................................6 Agradecimentos.......................................................................................................7 Nota explicativa......................................................................................................9 Notas introdutórias............................................................................................ 16 Aula 1 ................................................................................................................... 17 1.1 Algumas palavras, o caso do Viaduto Santa Efigênia, São Paulo................. 17 1.2 Cálculo e tabela de pesos específicos.............................................................20 1.3 Cálculo e tabela de pesos por área.................................................................22 1.4 O concreto armado: o que é?..........................................................................23 Aula 2......................................................................................................................... 31 2.1 Cálculo e tabela de pesos lineares — Tabela-Mãe........................................ 31 2.2 Ação e reação — Princípios............................................................................33 2.3 Momento fletor ou ação à distância de uma força.........................................35 2.4 Apresentamos o prédio que vamos calcular — Estruturação do prédio.......38 2.5 Premissas do projeto estrutural — Desenvolvimento..................................45 Aula 3......................................................................................................................... 47 3.1 Aplicações do princípio da ação e reação...................................................... 47 3.2 Condições de equilíbrio de estruturas...........................................................49 3.3 Vínculos na engenharia estrutural.................................................................55 3.4 Como as estruturas sofrem, ou seja, apresentamos: a tração, o cisalhamento, a compressão e a torção — As três famosas condições.....58 Aula 4.........................................................................................................................62 4.1 Determinação de momentos fletores e forças cortantes em vigas...............62. 4.1.1 Momento fletores...................................................................................62 4.1.2 Forças cortantes (cisalhamento)......................................................... 74 4.2 Tensões (estudo de esforços internos)..........................................................78 4.3 Determinação de tensões de ruptura e admissíveis..................................... 81 4.4 Dos conceitos de tensão de ruptura e tensão admissível aos conceitos de resistência característica e resistência de cálculo..................85 Aula 5.........................................................................................................................89.

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Aula 5.........................................................................................................................89. 5.1 Massas longe do centro funcionam melhor, ou o cálculo do momento de inércia (I) e módulo de resistência (W)...................................89 5.2 Dimensionamento herético de vigas de concreto simples.......................... 102 5.3 O que é dimensionar uma estrutura de concreto armado?........................ 108 Aula 6....................................................................................................................... 109. 6.1 Aços disponíveis no mercado brasileiro....................................................... 109 6.2 Normas brasileiras relacionadas com o concreto armado.......................... 112 6.3 Abreviações em concreto armado................................................................ 112 6.4 Cargas de projeto nos prédios....................................................................... 114 6.5 Emenda das barras de aço............................................................................ 116 Aula 7....................................................................................................................... 118. 7.1 Quando as estruturas se deformam ou a Lei de Mr. Hooke — Módulo de elasticidade (E)........................................................................................ 118 7.2 Vamos entender de vez o conceito de Módulo de Elasticidade, ou seja, vamos dar, de outra maneira, a aula anterior..............................................123 7.3 Análise dos tipos de estruturas — estruturas isostáticas, hiperestásticas e as perigosas (e às vezes úteis) hipostáticas...................124 Aula 8....................................................................................................................... 127. 8.1 Fragilidade ou ductilidade de estruturas ou por que não se projetam vigas superarmadas, e, sim, subarmadas..................................................... 127 8.2 Lajes — Uma introdução a elas....................................................................129 8.2.1 Notas introdutórias às lajes isoladas.................................................129 8.2.2 Notas introdutórias às lajes conjugadas............................................ 131 Aula 9....................................................................................................................... 137. 9.1 Para não dizer que não falamos do conceito exato das tensões................. 137 9.2 Cálculo de lajes.............................................................................................. 140 9.2.1 Tipos de lajes quanto à sua geometria.............................................. 140 9.2.2 Lajes armadas em uma só direção.................................................... 141 9.2.3 Lajes armadas em duas direções — Tabelas de Barës-Czerny....... 142 9.3 Para usar as Tabelas de cálculo de Barës-Czerny....................................... 145 Aula 10.................................................................................................................... 163 10.1 Vínculos são compromissos ou o comportamento das estruturas, face aos recalques ou às dilatações.............................................................. 163 10.2 Exemplos reais e imperfeitos de vínculos.................................................... 166 10.3 Cálculos das lajes — Espessuras mínimas.................................................. 170 Aula 11.................................................................................................................... 173 11.1 O aço no pilar atrai para si a maior parte da carga..................................... 173 11.2 Flexão composta normal............................................................................... 177

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11.3 Lajes — dimensionamento............................................................................ 180 11.4 Cobrimento da armadura — Classes de agressividade............................... 185 Aula 12.................................................................................................................... 187 12.1 Se o concreto é bom para a compressão, por que os pilares não prescindem de armaduras?........................................................................... 187 12.2 Como os antigos construíam arcos e abóbadas de igrejas?........................ 190 12.3 Começamos a calcular o nosso prédio — Cálculo e dimensionamento das lajes L-1, L-2 e L-3.................................................................................. 193 Aula 13....................................................................................................................204 13.1 Vamos entender o fck?...................................................................................204 13.2 Entendendo o teste do abatimento do cone (slump) do concreto.............208 13.3 Terminou o projeto estrutural do prédio – Passagem de dados para obra ....................................................................................................... 210 13.4 Os vários estágios (estádios) do concreto .................................................. 210 13.5 Cálculo e dimensionamento das lajes L-4, L-5 e L-6.................................. 212 Aula 14.................................................................................................................... 221 14.1 Vamos preparar uma betonada de concreto e analisá-la criticamente?.... 221 14.2 Das vigas contínuas às vigas de concreto dos prédios................................224 14.3 Cálculo isostático ou hiperestático dos edifícios.........................................227 14.4 Cálculo de dimensionamento das lajes L-7 e L-8........................................229 Aula 15....................................................................................................................233 15.1 Cálculo padronizado de vigas de um só tramo para várias condições de carga e de apoio........................................................................................233 15.2 Os vários papéis do aço no concreto armado..............................................242 15.3 Cálculo e dimensionamento das escadas do nosso prédio.........................245 Aula 16....................................................................................................................249 16.1 Cálculo de vigas contínuas pelo mais fenomenológico dos métodos, o método de Cross.........................................................................................249 16.2 A arte de escorar e a não menor arte de retirar o escoramento ............... 270 16.3 Atenção: cargas nas vigas!!!.......................................................................... 271 16.3.1 Lajes armadas em uma só direção...................................................272 Aula 17.................................................................................................................... 274 17.1 Flambagem ou a perda de resistência dos pilares quando eles crescem... 274 17.1.1 Flambagem — uma visão fenomenológica........................................ 274 17.1.2 Flambagem — de acordo com a norma NBR 6118 – Cálculo de pilares.................................................................................................. 281 17.2 O concreto armado é obediente, trabalha como lhe mandam.................... 312

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Aula 18.................................................................................................................... 315 18.1 Dimensionamento de vigas simplesmente armadas à flexão...................... 315 18.2 Dimensionamento de vigas duplamente armadas.......................................322 18.3 Dimensionamento de vigas T simplesmente armadas................................324 18.4 Dimensionamento de vigas ao cisalhamento............................................... 331 18.5 Disposição da armadura para vencer os esforços do momento fletor........338 Aula 19....................................................................................................................340 19.1 Ancoragem das armaduras............................................................................340 19.1.1 Introdução.........................................................................................340 19.1.2 Roteiro de cálculo do comprimento de ancoragem das barras tracionadas........................................................................................341 19.1.3 Ancoragem das barras nos apoios....................................................342 19.1.4 Casos especiais de ancoragem.........................................................342 19.1.5 Ancoragem de barras comprimidas.................................................345 19.2 Detalhes de vigas — engastamentos parciais — vigas contínuas.............350 19.3 Cálculo e dimensionamento das vigas do nosso prédio V-1 e V-3..............352 Aula 20....................................................................................................................366. 20.1 Dimensionamento de pilares — complementos..........................................366 20.2 Cálculo de pilares com dimensões especiais............................................... 367 20.3 Cálculo e dimensionamento da viga V-7...................................................... 370 20.4 Detalhes da armadura de uma viga de um armazém................................. 374 Aula 21.................................................................................................................... 376 21.1 Cálculo e dimensionamento das vigas V-1 = V-5......................................... 376 21.2 Cálculo e dimensionamento da viga V-4......................................................383 Aula 22....................................................................................................................393 22.1 Cálculo e dimensionamento das vigas V-2 e V-6.........................................393 22.1.1 Cálculo da viga V-2............................................................................393 22.1.2 Cálculo e dimensionamento da viga V-6.........................................404 Aula 23.................................................................................................................... 414 23.1 Cálculo e dimensionamento das vigas V-8 e V-10........................................ 414 23.1.1 Cálculo e dimensionamento da viga V-8.......................................... 414 23.1.2 Cálculo e dimensionamento da viga V-10........................................424 23.2 Cálculo e dimensionamento dos pilares do nosso prédio P-1, P-3, P-10 e P-12.......................................................................................434 23.2.1 Cálculo da armadura desses pilares................................................434 23.3 Cargas nos pilares..........................................................................................438 23.4 Materiais complementares............................................................................439 Aula 24....................................................................................................................439 24.1 Critérios de dimensionamento das sapatas do nosso prédio......................439. 24.1.1 Tensões admissíveis e área das sapatas..........................................440 24.1.2 Formato das sapatas.........................................................................444

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24.1.3 Cálculo de sapatas rígidas................................................................445 24.1.4 Exemplo de cálculo de uma sapata do nosso prédio (S1)...............445 24.2 Cálculo e dimensionamento dos pilares P-2 e P-11.....................................450 24.3 Cálculo e dimensionamento dos pilares P-4, P-6, P-7 e P-9.......................453 24.4 Cálculo e dimensionamento dos pilares P-5 e P-8......................................457 Aula 25....................................................................................................................460 25.1 Dimensionamento das sapatas do nosso prédio S-2, S-3 e S-4..................460 25.1.1 Cálculo da sapata (S-2) dos pilares P-2 e P-11................................460 25.1.2 Cálculo das sapatas (S-3) e dos pilares P-4, P-6, P-7 e P-9............464 25.1.3 Cálculo das sapatas (S-4) e dos pilares P-5 e P-8..........................468 25.2 Ábacos de dimensionamento de pilares retangulares................................ 472 Aula 26.................................................................................................................... 477 26.1 A Norma 12655/06 que nos dá critérios para saber se alcançamos, ou não, o fck na obra................................................................ 477 Aula 27.................................................................................................................... 481 27.1 O relacionamento calculista 3 arquiteto..................................................... 481 27.2 Construir, verbo participativo, ou melhor, será obrigatório calcular pelas normas da ABNT?................................................................................482 27.3 Destrinchemos o BDI!...................................................................................484 27.4 Por que estouram os orçamentos das obras?...............................................485 27.5 A história do livro “Concreto armado, eu te amo”.......................................489 Aula 28....................................................................................................................493 28.1 Ações permanentes.......................................................................................493 28.2 Ações variáveis..............................................................................................493 28.3 Estados-limite................................................................................................493 28.4 Estado-limite de serviço...............................................................................494 28.5 Combinação de ações....................................................................................495 28.6 Combinações de serviços.............................................................................495 Anexos......................................................................................................................500 Anexo 1 Fotos interessantes de estruturas de concreto.....................................500 Anexo 2 Comentários sobre itens da nova norma NBR 6118/2014 e aspectos complementares.............................................................................508 Anexo 3 Crônicas estruturais............................................................................... 516 Crônica (Parábola) Chave de ouro deste livro....................................... 527 Índice remissivo de assuntos principais...................................................529 Índice das tabelas................................................................................................ 531 Consulta ao público leitor................................................................................532

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NOTAS INTRODUTÓRIAS 1.

As normas da ABNT (Associação Brasileira de Normas Técnicas) NBR 6118 referente à projetos e NBR 14931, referente à obras, englobam os assuntos concreto simples, concreto armado e concreto protendido. Neste livro só abordaremos o concreto armado.

De acordo com as orientações dessas normas, a unidade principal de força é o N (newton) que vale algo como 0,1 kgf.

Usaremos neste livro as novas unidades decorrentes, mas, para os leitores que estão acostumados com as velhas unidades, elas aparecerão aqui e ali, sempre valendo a conversão seguinte: 1 kgf ≅ 10 N

1 MPa ≅ 10 kgf/cm 2 ≅ 100 N/cm 2

1 N ≅ 0,1 kgf

1 tfm = 10 kNm

10 N ≅ 1kgf

1 tf = 1.000 kgf ≅ 10 kN 100 kgf/cm 2 = 1 kN/cm 2

1 kN ≅ 100 kgf 1 MPa ≅ 10 kgf/cm 2 k (quilo) = 1.000 = 103

M (mega) = 1.000.000 = 106 G (giga) = 109

1 Pa = 1 N/m 2

1 G = 103 M

Também aqui e ali aparece a unidade kg, devendo ser entendida como kgf, ou seja, 10 N. Por razões práticas 1kgf ≅ 9,8 N ≅ 10 N Alguns também usam: 1 da N ≅ 1 kgf, pois 1 da = 10 essa é uma medida correta, mas não corriqueira. Lembrete — Usamos como símbolos as letras minúsculas (m, kg, ha etc.). Quando a unidade homenageia grandes nomes da Física e da Química, usamos como símbolos, letras maiúsculas como A (Ampère), N (newton), Pa (pascal), C (celsius). São exceções, para evitar confusões os símbolos maiúsculos: M (mega) e G (giga).

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Aula 1

aula

1.1 ALGUMAS PALAVRAS, O CASO DO VIADUTO SANTA EFIGÊNIA, SÃO PAULO Um dos engenheiros, autor desta publicação, (M.H.C.B.), cursou todos os anos de sua escola de engenharia acompanhado de uma singular coincidência. Ele nunca entendia as aulas e nem era por elas motivado. Fruto disso, ele ia sempre mal nas provas do primeiro semestre e só quando as coisas ficavam pretas, no segundo semestre, é que ele, impelido e desesperado pela situação, punha-se a estudar como um louco e o suficiente para chegar aos exames e lá então, regra geral, tirar de boas a ótimas notas. Só quando do fim do curso, é que ele era atraído pela beleza do tema e do assunto, mas nunca pela beleza didática (ou falta de didática) com que a matéria fora ensinada. Ele demorou a descobrir porque as matérias da engenharia eram mostradas de maneira tão insossa e desinteressante. Só um dia descobriu, ao sair de uma aula de Resistência dos Materiais, em que mais uma vez não entendera nada de tensões principais, condições de cisalhamento, flambagem e índice de esbeltez, e passar ao lado do Viaduto Santa Efigênia, no Vale do Anhangabaú, em São Paulo, houve um estalo. Ao ver aquela estrutura metálica com todas as suas fôrmas tentadoras e sensualmente à vista, ele viu, e pela primeira vez entendeu, tabuleiros (lajes) sendo carregados pelo peso das pessoas e veículos que passavam (carga); viu pilares sendo comprimidos, arcos sendo enrijecidos e fortalecidos nas partes onde recebiam o descarregamento dos pilares (dimensionamento ao cisalhamento); viu peças de apoio no chão que permitiam algumas rotações da estrutura (aparelho de apoio articulado).

Tabuleiro

Pilar

Arco Apoio

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Ele viu, sentiu e amou uma estrutura em trabalho, a que podia aplicar toda a verborragia teórica que ouvia e lutava por aprender na escola. Desse dia em diante, ele começou a se interessar pela matéria e a estudá-la nos seus aspectos conceituais e práticos. Uma dúvida ficou. Por que os professores de Resistência dos Materiais não iniciavam o curso discutindo e analisando uma estrutura tão conhecida como aquela, para, a partir dela, construir o castelo mágico da teoria? Ele nunca soube. Jurei, já que o autor sou eu, que, se convidado um dia a lecionar, qualquer que fosse a matéria, partiria de conceitos, conceitos claros, escandalosamente claros e precisos, e daí, a partir daí, construiria didaticamente uma matéria lógica e concatenada. Nunca me convidaram para dar aula em faculdade. Idealizei este curso, curso livre, livre, livre, que não dá título, diplomas ou comenda; um curso para quem queira estudar e aprender, com os pés no chão, concreto armado. Convido o aluno a começar a olhar, sentir e entender as estruturas, não só as do curso, mas as que estão ao redor de sua casa, no caminho do seu trabalho etc. P.S. - O Viaduto Santa Efigênia, SP, eu vos apresento:

Tabuleiro

Arco

Pilar

Apoio

Vamos entendê-lo estruturalmente? Carga Peso Reação

Ver neste livro a foto desta estrutura, página 507

Articulação

Tabuleiro (laje)

Pilar comprimido

Arco

Enrijecimento do arco Pilar Aparelho de apoio (articulação)

Terreno firme ou estaqueado Corte

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Aula 1

Leia este livro e se habilite depois, ou em paralelo, a estudar o complemento de teoria necessária. Este é um convite para estudarmos juntos, trabalharmos juntos, vivermos juntos. Boa sorte e um abraço. Se você não for de São Paulo ou não conhecer este viaduto, procure na sua cidade um galpão metálico ou mesmo uma estrutura de madeira. As estruturas estarão à sua vista para entendê-las. As razões pelas quais indicamos aos alunos procurarem estruturas metálicas ou de madeira são pelo fato de que, nas estruturas de concreto armado, seus elementos estruturais não são visíveis, didáticos e compreensíveis, como nos outros dois tipos de estruturas.

Estrutura de concreto armado (lajes, vigas e pilares) em construção. Fôrmas e escoramento.

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Estrutura de concreto pronta.

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Concreto Armado Eu Te Amo

1.2 CÁLCULO E TABELA DE PESOS ESPECÍFICOS

Todos sabemos que peças de vários materiais de igual volume podem ter pesos desiguais, ou seja, uns têm maior densidade (peso especifico) que outros. Associam-se, neste curso, como conceitos iguais, densidade e peso específico, que para efeitos práticos é a relação entre peso e o volume (divisão entre peso e volume de uma peça). Assim, peças de ferro pesam mais que peças do mesmo tamanho de madeira. O índice, que mede o maior peso por unidade de volume, chama-se peso específico (densidade) (símbolo γ). Assim, se tivermos uma peça que meça um metro de largura, por um metro de comprimento, por um metro de altura, ela pesará os seguintes valores, conforme for feita de: Tabela T-1 — Pesos específicos Peso específico g (kN/m3)

Peso específico g (kgf/m3)

Granito

27,00

2.700

Madeira cedro

5,40

540

Ferro

78,50

7.850

Terra apiloada

18,00

1.800

Madeira cabreúva

9,80

980

Concreto armado

25,00

2.500

Concreto simples

24,00

2.400

Angico

10,50

1.050

Água

10,00

1.000

Material

1 kN/m3 = 100 kgf/m3

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Aula 1

A fórmula que relaciona peso específico (g), peso (P) e volume (V) é:

ACOMPANHEMOS OS EXERCÍCIOS 1.

Qual o peso de uma peça de cabreúva de 2,7 m3? Da fórmula P = g × V ⇒ P = 9,80 kN/m3 × 2,7 m3 = 26,46 kN

Qual o peso de uma peça de ferro de 15,8 m3? Da fórmula P = g × V ⇒ P = 78,50 kN/m3 × 15,8 m3 = 1.240,3 kN

Qual o volume de uma peça de cedro que pesou 17 kN? Da fórmula

Qual o volume de uma pedra de granito que pesou 6 kN? Da fórmula

Qual o peso específico de um pedaço de madeira que pesou 24 kN, tendo um volume de 4,2 m3? Da fórmula Pelo peso específico achado (5,71 kN/m3), essa madeira deve ser cedro. Cabreúva não é, pois seu peso específico (densidade) é 9,80 kN/m3.

Qual o peso específico de uma madeira que apresentou, em uma peça, um peso de 21 kN para um volume de 2 m3? Da fórmula Pelo peso específico (10,5 kN/m3), a madeira pode ser angico.

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Qual o peso de uma laje de concreto armado que tem 30 cm de altura, por 5 m de largura e 4,20 m de comprimento? Façamos o desenho:

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Concreto Armado Eu Te Amo a = 4,20 m c = 30 cm = 0,3 m b = 5,00 m c = 30 cm

O volume da laje é: V = a × b × c = 4,20 × 5,00 × 0,3 = 6,30 m3 O peso específico do concreto armado é de 25 kN/m3. Logo, o peso pela fórmula é: P = g × V = 25 kN/m3 × 6,30 m3 = 157,5 kN.

1.3 CÁLCULO E TABELA DE PESOS POR ÁREA Vimos, na aula 1.2, os métodos para uso do peso específico (peso por volume). Semelhantemente, agora, vamos ver o conceito de peso por área (PA)(*). Para carregamentos que têm altura relativamente constante (tacos, tijolos, telhas), podemos usar o conceito de peso por área, já que a altura não varia muito na prática. Assim, por exemplo, o pavimento de tacos (com argamassa) tem o peso por área de 0,65 kN/m 2, enquanto o soalho de madeira tem um peso por área de 0,15 kN/m 2. A fórmula que relaciona peso por área, peso (P) e área (A) de uma peça é:

Vamos aos exemplos: 1.

Qual o peso que se transmite a uma laje, se esta for coberta por uma área de 5,2 × 6,3 m de ladrilho? O peso por área desse material é de 0,7 kN/m 2. Da fórmula: P = PA × A = 0,7 kN/m 2 × 5,2 m × 6,3 m = 22,93 kN

Qual o peso por área de um soalho de tábuas, macho e fêmea, sobre sarrafões de madeira de lei, incluindo enchimento e laje de concreto, tendo uma área de 110 m 2 e transmitindo um peso de 314 kN?

_ (*) PA = peso por área, pode ser chamado de carregamento ou ainda de carga acidental. O símbolo de área é A.

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Aula 1

1.4 O CONCRETO ARMADO: O QUE É? Os antigos utilizavam à larga a pedra como material de construção(*), seja para edificar suas moradias, seja para construir fortificações, para vencer vãos de rios, ou para construir templos onde se recolhiam para tentar buscar o apoio de seus deuses. Uma coisa ficou clara: a pedra era ótimo material de construção; era durável e resistia bem a esforços de compressão (quando usada como pilares). Quando a pedra era usada como viga para vencer vãos de médio porte (pontes, por exemplo), então surgiam forças de tração (na parte inferior) e a pedra se rompia. Por causa disso, eram limitados os vãos que se podiam vencer com vigas de pedra. Observações para quem ainda não saiba: comprimir uma peça é tentar encurtá-la (aproximar suas partículas), tracionar uma peça é tentar distendê-la (afastar suas partículas), cisalhar é tentar cortar uma peça (como cortar manteiga com uma faca). Vejamos um exemplo dessa limitação. À esquerda, um vão pequeno que gera pequenos esforços. Ao lado na figura da direita temos um grande vão onde os esforços são grandes, exercendo compressão na parte de cima da viga e a tendência à distensão na parte de baixo desta viga.

Compressão N.A.

N.A.

Pequeno vão

Tração

Grande vão

Observação: As deformações (linhas tracejadas) neste desenho estão exageradas (função didática). Vejamos, agora, a situação em cada caso correspondente às ilustrações acima. Pequeno vão. No meio da viga, surgem esforços internos em cima de compressão e embaixo, de tração. Como o vão é pequeno, os esforços são pequenos e a pedra resiste. Grande vão. Para os vãos maiores, os esforços de compressão e os de tração crescem. A pedra resiste bem aos de compressão e mal aos de tração. Se aumentar o vão, a pedra rompe por tração. Os romanos foram mestres na arte de construir pontes de pedra em arco. Se não podiam usar vigas para vencer vãos maiores, usavam ao máximo um estratagema, o _ (*) Nos dias atuais, isso persiste, por exemplo, em S. Tomé das Letras, sul de Minas Gerais e em algumas cidades do nordeste onde aflora o terreno rochoso.

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uso de arcos, onde cada peça de pedra era estudada para só trabalhar em compressão, como se vê na ilustração a seguir.

Enchimento (aterro)

Pedra N.A.

Procure sentir que todas as pedras, devido à forma da ponte em arco, estão sendo comprimidas, e aí elas resistem bem. A explicação de como essas peças de pedra só funcionam à compressão é dada em outra aula (aula 12.2). Para se vencer grandes vãos, os antigos eram obrigados a usar múltiplos arcos. Vê-se que essas eram limitações da construção em pedra. Quando o homem passou a usar o concreto (que é uma pedra artificial através de ligação pelo cimento, de pedra, areia e água), a limitação era a mesma. As vigas de eixo reto eram limitadas no seu vão pelo esforço de tração máximo que podiam suportar, tração essa que surgia no trecho inferior da viga. Em média, o concreto resiste à compressão dez vezes mais que à tração. Uma ideia brotou: por que não usar uma mistura de material bom para compressão na parte comprimida e um bom para tração na parte tracionada? Essa é a ideia do concreto armado. Na parte tracionada do concreto, mergulha-se aço e, na parte comprimida, deixa-se só concreto (o aço resiste bem à tração). Assim, temos a ideia da viga de concreto armado.

Concreto

Parte comprimida Compressão

Aço na parte inferior da viga

N.A.

d Pilar

Estribo

Tração Armadura

Barras de aço

Parte tracionada

Observação: LN - Linha Neutra: nem tração nem compressão.

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Aula 1

A armadura superior da viga e os estribos serão explicados ao longo deste livro. Notamos que as barras de aço não ficam soltas e, sim, ficam amarradas, como que soldadas ao concreto da viga na sua parte inferior (essa solidariedade é fundamental). Dependendo das condições de solicitação e cálculo de viga, e sem maiores problemas de segurança, a parte inferior do concreto da mesma chega a fissurar (trincar, fala-se de fissuras no limite de perceptibilidade visual)(*) e sem maiores problemas, já que quem está aguentando aí é o aço, e o concreto já foi (a parte tracionada do concreto trincou). Na parte superior, o concreto galhardamente resiste em compressão (sua especialidade). Numa viga de muitos tramos (muitos vãos), onde as solicitações de tração são por vezes nas partes inferiores e às vezes nas partes superiores, o aço vai em todas as posições onde há tração, como no exemplo a seguir:

Viga

Pilar Tração (afastamento) Compressão (ajuntamento) Barra de aço imersa no concreto

Observa-se que as deformações das vigas estão mostradas exageradas no desenho, tendo apenas o objetivo de melhor esclarecer. Nota-se que nos pontos onde as partículas da viga tendem a se afastar (tração ← →), colocamos barras de aço. Nos trechos das vigas onde as partículas tendem a se aproximar (compressão → ←), não há necessidade (embora às vezes se usem) de colocar barras de aço. Dissemos que não há necessidade de usar aço na parte comprimida das estruturas. Devido aos conceitos que introduziremos mais tarde (Módulo de Elasticidade do aço comparado com o do concreto), o aço é um material mais “nobre” que o concreto e o uso do aço na parte comprimida do concreto economiza bastante área de concreto, tornando mais esbeltas as estruturas. Assim, como veremos mais adiante, para se vencer um vão de cinco metros com uma carga de 30 kN/m, usando-se uma viga de concreto armado, teremos as seguintes soluções, conforme sejam as dimensões da viga. Concreto fck = 20 MPa, aço CA-50. _ (*) Fissuras de ordem de 0,2 a 0,4 mm. Ver NBR 6118, item 13.4.2, pág. 79 da norma.

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A9S

h 45

AS - 3ø 20

AS Cortes das vigas

1º Caso

2º Caso

3º Caso

AS = 9,03 cm2 A9S = 0 AS = área de aço (Steel)

AS = 7,63 cm2 A9S = 0 h = altura total da peça

AS = 10,99 cm2 A9S = 4,8 cm2 d = altura útil

Notemos que no 1.º caso, onde temos uma altura de 45 cm, usamos As = 9,03 cm2 como armadura. Quando, no 2.° caso, temos maior altura (50 cm), a área de aço pode diminuir para As = 7,63 cm2. Quando, no 3.º caso, reduzimos a altura da viga para 40 cm, temos que “ajudar” o concreto no trabalho à compressão com A9s = 4,8 cm 2 e As = 10,99 cm 2. Nas vigas de prédio, e quando do cálculo, usando armadura inferior, chegamos a alturas demasiadas e que criam problemas com a arquitetura; podemos tirar partido de colocar aço na parte comprimida do concreto. O aço, sendo mais nobre, alivia a parte comprimida do concreto o que resulta em menores alturas das vigas. Voltaremos com mais detalhes em outras aulas. As vigas com dupla armação chamam-se duplamente armadas (lógico, não?). Também por razões que se verão mais adiante, devemos afastar ao máximo o aço do eixo horizontal de sistema de simetria da viga. Analogamente, nos pilares, o aço é colocado o mais perifericamente possível. Fica uma dúvida. Não se usam mais, hoje em dia, estruturas de concreto simples, ou seja, estruturas de concreto sem aço? Há casos de utilização (*). Um exemplo de estruturas de concreto simples são alguns tubos de concreto de água pluvial de diâmetros pequenos. Os esforços do terreno nos mesmos geram, em geral, só esforços de compressão. Nível do solo

Sobrecarga sobre o terreno (tráfego)

Esforço do terreno no tubo

Seção transversal

_ (*) Na região sul do Brasil, constroem-se casas usando exclusivamente blocos de concreto simples. Somente no espaldar da casa (topo das paredes) é que se usam barras de aço formando cintas e nas vergas sobre aberturas (janelas e portas) nas alvenarias.

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Aula 1

O tubo de concreto simples (sem armadura) resiste aos esforços externos que são de compressão. Portanto, não há necessidade de armadura, já que não há, a rigor, esforços de tração. Claro que essa estrutura de concreto simples tem pequena resistência aos recalques do terreno. Se existirem recalques diferenciais (recalque grande em um ponto e pequeno em outro), o tubo funcionará como viga e daí, quem resiste à tração na parte inferior? O tubo pode então se romper. Colocamos então armadura no concreto. São os tubos de concreto armado. Vejamos esse exemplo da seção longitudinal do tubo: Terreno

Sobrecarga

Concreto

Seção do tubo

A q

Barra de aço Corte AA q A

Terreno firme com mínimo recalque Terreno mole com grande recalque

Esquema de trabalho do tubo

Nesses casos, a armadura do tubo seria necessária para vencer os efeitos da tração na parte inferior do tubo, já que temos, na prática, uma pequena viga. Conclusão: Uma estrutura de concreto armado (lajes, vigas, pilares, bancos de jardim, tubos, vasos etc.) é uma ligação solidária (fundida junta) de concreto (que nada mais é do que uma pedra artificial composta por pedra, areia, cimento e água), com uma estrutura resistente à tração, que, em geral, é o aço. Normalmente, a peça tem só concreto na parte comprimida e tem aço na parte tracionada. Às vezes, alivia-se o concreto da parte comprimida, colocando-se aí umas barras de aço. O aço, entretanto, não pode estar isolado ou pouco íntimo com o concreto que o rodeia. O aço deve estar solidário, atritado, fundido junto, trabalhando junto e se deformando junto e igualmente com o concreto. Quanto mais atrito tivermos entre o concreto e o aço, mais próximos estaremos do concreto armado. Existem vários tipos de aço com saliências, fugindo de superficies lisas, exatamente para dar melhores condições de união do aço e concreto.

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Para explicar melhor por que aparecem trações (afastamentos) e compressões (encurtamentos) exageremos a deformação que ocorre em uma viga de pedra (ou de qualquer material), quando recebe um esforço vertical. O aluno pode (deve) fazer um exemplo de viga, usando borracha, régua de plástico etc.

a b

Figura 1

Figura 2

Notar que na borda a (Figura 1), há um encurtamento (zona comprimida) e na borda b, há uma distensão (zona tracionada). Alguns materiais resistem igualmente bem, tanto ao encurtamento como ao alongamento (distensão, tração), como, por exemplo, o aço e a madeira. A pedra, que nada mais é do que o concreto natural, resiste bem à compressão e muito mal à tração, ou seja, quando os vãos das pontes eram grandes ou as cargas eram grandes, a pedra se rompia, pelo rompimento da parte inferior (Figura 2). Notemos que nas vigas de concreto armado podem aparecer fissuras na parte inferior da viga, indicando que o concreto já foi. Não há problema, pois aí quem resiste é o aço. Nota: Pela norma NBR 6118, item 3, pág. 4 •

estrutura de concreto armado usando concreto e armadura passiva (quando a estrutura recebe cargas);

•

estrutura de concreto simples, só concreto sem armadura ou com pouca armadura.

Prédio de apartamentos ou de escritórios. Laje de concreto armado; Viga de concreto armado; Pilar de concreto armado; Paredes (sem função resistiva) de blocos de concreto ou blocos cerâmicos. Laje Viga Pilar

Casa térrea

Telhado de telhas de barro e estrutura de suporte de madeira

Cinta de concreto armado no espaldar Paredes resistentes de blocos

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N.T.

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Aula 1

CUSTOS DAS ESTRUTURAS DE CONCRETO A Revista Construção e Mercado de junho de 2013 dá os seguintes custos parciais da estrutura de concreto para uma construtora. Para entregar essa estrutura de concreto armado como seu produto ao cliente, a construtora deve acrescer ao preço de custo o BDI ou sejam Benefícios e Despesas Indiretas. Assim: Preço de venda para o cliente = Preço de custo para a construtora + BDI Como média: BDI = 35% do preço de custo para a construtora. Estrutura de concreto armado Preços de custo para a construtora – Junho/2013 Especificação Concreto fck 25 MPa Armadura CA50 – 100 kg/m

Custo unitário por 1 m3 de concreto R$ 378,34

Fôrmas de chapa de madeira

R$ 659,70 (*)

Lançamento e aplicação Total

R$ 612,91 R$ 37,37 R$ 1.688,31

Esses custos incluem: materiais, mão de obra com leis sociais, equipamentos etc. (*) média de 12 m 2 /m3 de concreto.

ASSUNTOS 1. Fôrmas e escoramento Material das fôrmas Para que a estrutura de concreto armado venha a ter o formato desejado, é necessário usar fôrmas que dão forma ao concreto. Atualmente, as fôrmas mais comuns são dos seguintes materiais possíveis: • • • • • •

fôrmas de madeira – chapa plastificada, espessuras a escolher de 10, 12, 15 e 18 mm; fôrmas de madeira – chapa resinada; fôrmas de madeira – chapa tipo naval; fôrmas metálicas; fôrmas de papel cilíndricas; fôrmas de plástico.

O critério de escolha do tipo de material das fôrmas leva em conta, entre outros critérios, custos iniciais e possibilidades de reúso.

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Escoramento: • •

estruturas de madeira: estruturas de aço.

Sequência de atividades: • • • • • • • •

constroem-se as fôrmas e sua estrutura de apoio que é o escoramento; colocam-se as armaduras nas fôrmas; produz-se ou compra-se o concreto; o concreto é lançado nas fôrmas; o concreto é vibrado e sofre cura, ganhando resistência e forma definitiva nas fôrmas; após certo tempo (7, 14, 28 dias), parte do escoramento é retirada; após certo tempo, as fôrmas são retiradas; após certo tempo, o escoramento é retirado.

2. O concreto e suas características O concreto é a união de pedras, areia, cimento e água. Às vezes, usam-se adicionalmente produtos químicos (aditivos). A primeira qualidade do concreto é sua resistência à compressão. Quanto especificamente ao material concreto e sua principal característica é sua resistência à compressão, e isso é governado por duas características principais: • •

teor de cimento por m3 de concreto; relação água/cimento da mistura.

O concreto, quando de sua produção, é uma massa sem forma (quase fluida), e deverá ocupar o espaço interno nas fôrmas, competindo, assim, em termos de ocupação do espaço, com a armadura interna às fôrmas. Para um concreto ocupar bem as fôrmas, ele tem de ter plasticidade (trabalhabilidade). Consegue-se isso com a seleção dos tipos de pedra, do teor de água da mistura e, eventualmente, com o uso de aditivos químicos. A trabalhabilidade do concreto antes de ser lançado nas fôrmas pode ser medida pelo teste do abatimento do cone (slump test). Se pusermos muita água na mistura do concreto com o objetivo de aumentar sua plasticidade, isso pode diminuir a resistência e durabilidade da estrutura. Mas se pusermos mais água, uma maneira de compensar isso, sem a perda de resistência à compressão, será adicionar mais cimento. Isso aumenta o custo do concreto. O estudo da tecnologia do concreto procura resolver esses conflitos.

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Aula 2

aula

2.1 CÁLCULO E TABELA DE PESOS LINEARES — TABELA-MÃE Para peças que têm seção constante (barras de aço, cordas de sisal etc.), elas podem ter seu peso expresso por metro. Isso é válido para cada diâmetro. Assim, as barras de aço usadas no concreto armado têm os seguintes pesos lineares: Diâmetro ø (mm)

Peso linear (kgf/m)

Peso linear N/m

0,16

1,6

0,40

4,0

2,50

25,0

4,00

40,0

A fórmula do peso linear é: Plinear =

Peso P = Comprimento L

P Plinear

P = L × Plinear

PROBLEMAS: 1.

Quanto pesam 3,7 metros de uma barra de 20 mm? Da fórmula: P = L × P linear = 3,7 m × 2,50 kgf/m = 9,25 kgf.

Uma barra de aço de 25 mm tem o peso de 34 kgf. Qual é o seu comprimento? Da fórmula: L =

P Plinear

34 kgf = 8,5 m . 4 kgf/m

Qual a bitola de um aço que, tendo um comprimento de 7,8 m, pesou 18,75 kgf? Da fórmula: Plinear =

P 18,75 kgf = = 2,4 kgf/m = 24 N/m . L 7,8 m

Pelo peso linear deve ser o aço de 20 mm de diâmetro.

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COMPLEMENTO — TABELA-MÃE A tabela que se seguirá será tão utilizada que será chamada de Tabela-Mãe. Ela dá os diâmetros dos vários aços e suas áreas. Norma NBR 7480/1996 Tabela T-2 — Tabela-Mãe para Aços Usos mais comuns Estribos e lajes Estribos, lajes e vigas Vigas e pilares Estruturas maiores, p/pilares

Peso Diâmelinear tro ø (kgf/m) (mm) (10N/m)

Área das seções das barras As (cm 2) Número de barras 1

0,16

0,196 0,392 0,588 0,784 0,980 1,176 1,372 1,568 1,764 1,960

6,3

0,25

0,315 0,630 0,945 1,260 1,575 1,890 2,205 2,520 2,835 3,150

0,40

0,50

1,00

1,50

2,00

2.50

3,00

3,50

4,00

4,50

5,00

0,63

0,80

1,60

2,40

3,20

4,00

4,80

5,60

6,40

7,20

8,00

12,5

1,00

1,25

2,50

3,75

5,00

6,25

7,50

8,75

10,00 11,25 12,50

1,60

2,00

4,00

6,00

8,00

10,00 12,00 14,00 16,00 18,00 20,00

2,50

3,15

6,30

9,45

12,60 15,75 18,90 22,05 25,20 28,35 31,50

4,00

5,00

10,00 15,00 20,00 25,00 30,00 35,00 40,00 45,00 50,00

6,30

8,00

16,00 24,00 32,00 40,00 48,00 56,00 64,00 72,00 80,00

Nota: Tire uma cópia desta tabela e leia o livro com a cópia nas mãos. Isso facilita sua vida. ATENÇÃO 1) Quando saiu a primeira edição deste livro, em 1983, ainda vigorava na prática, no mercado fornecedor de aço, o uso de diâmetros expressos no sistema de polegadas. Hoje, felizmente, usa-se nesse mercado o sistema métrico. E em homenagem ao Sistema Métrico, patrimônio da Humanidade, em homenagem às leis do país que exigem o sistema métrico, em obediência à NBR 7480 da ABNT, recomendamos aos leitores que, na sua vida profissional, usem a Tabela de Aço com as expressões métricas. A correspondência entre as antigas medidas em polegadas e sistema métrico é: ø (0)

3/16

1/4

5/16

3/8

1/2

5/8

3/4

1 1/4

ø (mm)

6,3

12,5

O cálculo da estrutura do prédio deste livro segue, nesta edição, as unidades métricas dos aços. 2) O projeto estrutural de um dos maiores prédios de estrutura de concreto armado de São Paulo (mais de trinta andares) usou no máximo e nos pilares, a armadura de 25 mm.

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Aula 2

2.2 AÇÃO E REAÇÃO — PRINCÍPIOS Aceitemos um postulado: “A cada ação (força) num corpo apoiado ocorre uma reação (força) no corpo que se apoia, de mesma intensidade, igual direção, mas de sentido inverso”. Uma pessoa, que na barra fixa, puxa para baixo a barra, se vê puxada para cima. A ação é na barra (para baixo), e a reação é no corpo (para cima), e o corpo sobe. Uma peça de 1 kN apoiada no terreno recebe dele uma reação de 1 kN; esta é a reação do terreno que equilibra o peso e, então, essa peça fica estável. Se o terreno não puder reagir, o corpo afunda (recalca). Imaginemos a ponte simplificada a seguir, que vence o vão de um rio suportando uma canalização de água:

Admitimos que o conjunto viga, tubo e água, que passa dentro dele, pesa 24,50 kN/m. O peso total disso é: P = 24,50 kN/m × 10 m = 245 kN Logo, o peso desse conjunto (245 kN) dirigido para baixo deve ser suportado pelos dois pilares que receberão cargas iguais (a carga está sendo uniformemente distribuída, não havendo pois razão para se pensar que ocorram cargas diferentes nos pilares P-1 e P-2). Tudo se passa como se fosse:

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Concreto Armado Eu Te Amo

O peso da estrutura (245 kN) foi descarregado nos dois pilares com forças P-1 e P-2 tal que: P-1 + P-2 = 245 kN. Os pilares reagem nas vigas com as forças R1 e R2, que são R1 = P-1 ⇒ R1 = 122,5 kN; R2 = P-2 ⇒ R2 = 122,5 kN Notar que R1 é igual a P-1 em intensidade, mas em sentido contrário. Pelo princípio de ação e reação, se o pilar reage na viga com R1 (ascendente), sobre o pilar age uma força P-1 inversa a R1.

Para que os pilares fiquem estáveis, é necessário que o terreno atue sobre eles com forças T1 e T2 (ascendentes). T1 não será igual à P-1, pois deve receber também o peso próprio do pilar (L-1), igualmente T2 será igual à P-2 + L-2. No final da história, todo o peso do tubo, da água, da viga e do pilar, tudo isso é transmitido ao terreno que tem de reagir com T1 e T2. Se o terreno for forte, duro, rochoso, ele resiste (reage) com T1 e T2 e a estrutura estará estável. Se ele não puder reagir, ou seja, se ele não puder transmitir T1 e T2 aos pilares, a ponte pode afundar (recalcar). Nota: Entendam os símbolos didáticos e não matemáticos: → ou ⇒ Eles significam: “portanto”, ou “então”, ou “conclue-se” etc.

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Aula 2

2.3 MOMENTO FLETOR OU AÇÃO À DISTÂNCIA DE UMA FORÇA Ao tentarmos girar uma barra encaixada em uma pedra, notamos que quanto mais comprida (h) a barra, mais esforço de girar é transmitido ao encaixe (engastamento).

Ao tentarmos virar duas barras verticais iguais (mesmo comprimento h), mas em pontos mais distantes ou menos distantes de sua fixação, vemos que, para a mesma força F:

O esforço transmitido ao engastamento é maior para distância L-1 (que é maior que L-2), e quanto maior o braço, tanto maior o esforço no engastamento para virar; o engastamento resiste até o ponto em que rompe, e daí a peça gira nesse ponto. Podemos quantificar essa ação de tentar virar como o produto “Força × Distância”, e o chamaremos de Momento Fletor. Assim, se a força de 1 kN for aplicada a um braço de três metros, teremos um Momento Fletor de: M = F × L = 1 kN × 3 m = 3 kNm A tendência a girar pode ser associada a um sentido de rotação. Assim, forças que tendem a girar a barra no sentido horário vão gerar momentos que, por mera convenção, serão positivos, e as que tendem a girar no sentido anti-horário vão gerar momentos negativos.

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Concreto Armado Eu Te Amo

Assim, quando a mesma força F atua da direita para a esquerda, irá gerar no encaixe da figura, a seguir, um momento anti-horário (–), e quando F muda de sentido (quando atua da esquerda para direita) gera Momentos no encaixe (+) horários.

Abstraindo-nos do aspecto construtivo da barra e de sua fixação no encaixe, podemos representá-la como estando em equilíbrio face à ação de (exemplo numérico): M é o Momento Resistente. Como o esquema de forças tende a girar o ponto C, com um Momento horário de 4 kNm, o ponto C não gira, se o encaixe transmitir à viga um Momento anti-horário (–) de 4 kNm.

Notemos que o Momento Fletor em C e a força Fc não existem independentemente. Eles são a reação do encaixe à tentativa de rotação e translação da barra. Cessada a ação de F1 e F2 cessam M e Fc. As reações nos vínculos só existem também se o encaixe for resistente (forte). Se ele não puder reagir, ele quebra e a barra gira. A condição fundamental de equilíbrio é que a somatória de todos os momentos causados pelas forças de ação, forças de reação e dos momentos resistivos se anulem.

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Aula 2

Se a mesma barra fosse simplesmente apoiada em C, não houvesse o encaixe, ela giraria (sentido horário) e andaria para direita (posição 2). Ver figura a seguir.

Assim, seja a barra que está sujeita a duas forças de sentidos opostos:

A força F1 tenta girar a barra no ponto C (encaixe ou engastamento) em sentido horário, causando um Momento em C que será: M1 = F1 × L = + 1 kN × 5 m = + 5 kNm O momento em C causado pela força F2 será: (sentido anti-horário) M2 = – F2 × L = – 0,5 kN × 2 m = – 1 kNm O momento total em C será: Mc = M1 + M2 = + 5 – 1 = + 4 kNm Conclui-se que há uma tendência externa para a barra girar em C no sentido horário (+) de 4 kNm. Mas C não gira, pois está engastado (encaixe), este transmite à barra um momento reativo de – 4 kNm. Se a estrutura não reagisse com esse Momento, o ponto C giraria, quebrando o engastamento. É a mesma coisa que girar um parafuso com uma alavanca lateral. Enquanto o Momento de giro for menor que

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a resistência de fixação do parafuso (atrito de fixação), o parafuso não gira; ao se aumentar o Momento (seja através do aumento de força, seja através do aumento do braço), a fixação do parafuso não consegue opor um outro Momento contrário, e daí o parafuso gira, rompendo o vínculo. A partir da quebra do vínculo, tudo fica fácil. Todos nós sabemos que o difícil é um parafuso bem apertado girar um pouco. Girou um pouco, depois gira fácil (foi-se o vínculo). A barra, vista no esquema anterior, só é estável (não gira quebrando o vínculo) porque, no engastamento, a estrutura transmite à barra um Momento resistente igual e contrário em sentido ao Momento solicitante e transmite uma força Fc = F1 – F2.

2.4 APRESENTAMOS O PRÉDIO QUE VAMOS CALCULAR — ESTRUTURAÇÃO DO (*) PRÉDIO A seguir, temos o prédio que iremos calcular, tim-tim por tim-tim. Nada deixará de ser calculado. É um prédio de três pavimentos, mais térreo e que tem andares típicos, cada um com cerca de 90 m 2. A arquitetura é pobre, mas desculpem-nos, pois os professores do curso só são engenheiros, não arquitetos. Nas páginas a seguir, a perspectiva estrutural e vários desenhos do nosso prédio:

_ (*) Não deixe de ler o “Como estruturar uma edificação de concreto armado”, item 11 do Volume 2 desta coleção.

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Aula 2

Perspectiva da estrutura do prédio

Perspectiva da estrutura do prédio que vamos calcular. A estrutura do prédio é composta por: • lajes maciças de concreto armado; • vigas de concreto armado; • pilares de concreto armado; • alvenaria de fechamento de divisão interna da alvenaria de tijolos, blocos de concreto sem função estrutural; • sapatas maciças de concreto armado; • concreto fck = 25 MPa e aço CA50; • tudo obedecendo à norma de projeto NBR 6118/2014 da ABNT.

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Concreto Armado Eu Te Amo CORTE TRANSVERSAL DO PRÉDIO 11,60

Cobertura

2,90

8,70

3º Pavimento

7,02 2,90

5,80

2º Pavimento

4,14 2,90

Andar tipo 1º pavimento

2,90

Alvenaria de tijolos

1,26 Alvenaria

0,00

N.T.

2,90

Térreo

Terreno

Sapata

(Medidas em metro) Corte

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Aula 2

Sala de estar

Corredor

Cozinha

0,15

1,35

Área de serviço

Banheiro

Escada

Quarto 2

0,20

Quarto 1

3,725

1,05

1,56

0,15

11,86

Hall

2,21

1,05

0,15

Sala de jantar

3,725

0,20

PLANTA DO APARTAMENTO

3,725

3,725 0,20 Medidas em metro

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8,00

0,20

0,15 Planta típica de um andar

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Concreto Armado Eu Te Amo PLANTA DE FÔRMAS 0,975

1,175

0,20

0,85 0,40

2,225

0,20

V-1(20 x 40)

V-1

P-1(20 x 40)

0,975

V-1

P-2(20 x 40)

0,40

0,20 0,20

0,40

P-3(20 x 40)

L-1 2,90

P-5 (20x50)

3,40

2,16 0,20

2,90

P-9 (20x20)

L-8

V-5 (20x40)

1,30

2,90

L-7

P-10 (20x40)

L-6 V-9

V-8

2,90

0,20

2,50

V-6

0,40

P-8 (20x50)

L-5

0,20

V-4

2,50

2,88

V-4 (20x40)

P-9 (20x120)

V-3 (20x40)

V-3

V-8 (20x40)

V-6 (20x40)

LE-2

2,90

1,05 0,20 3,70

V-7 (20x40)

1,56

L-3

P-7 (20x20)

L-4

Laje rebaixada de banheiro

V-7

1,26

0,20

2,90

LE-1

P-6 (20x20)

3,70

1,05

2,90

V-2 (20x40)

2,90

P-11 (20x40) 0,40

V-5 3,40

P-12 (20x40) 0,40

0,20

V-2

V-10 (20x40)

0,20

2,90

P-4 (20x20)

V-10

L-2

V-9 (20x40)

V-6

3,70

2,50

V-6 (20x40)

3,70

Pilar

Nota: (1) para todas as vigas deste prédio usou-se a seção padrão 20 × 40 cm. Em alguns casos poderíamos usar 20 × 30 cm. A largura de 20 cm está ligada à espessura da alvenaria. A altura das vigas com valores entre 30 cm ou 40 cm é opção do projetista estrutural. (2) para entender a simbologia , e , ver p. 44.

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Aula 2

Entenda-se como se imagina e “aproximadamente a obediente estrutura de concreto armado” responde à “hipótese de projeto e cálculo”. 1) Todas e cada uma das lajes, andar por andar, recebem a mesma carga (carga acidental) e, portanto, tem a mesma espessura; são iguais. 2) As lajes descarregam seu peso próprio mais as cargas acidentais nas vigas. 3) As vigas ainda suportam, além das cargas enviadas pelas lajes, o peso da alvenaria e o peso próprio da viga; portanto, as vigas correspondentes são iguais andar por andar. 3) Os pilares, andar por andar, recebem as cargas das vigas e o peso do próprio pilar e, assim, as cargas que esforçam os pilares são crescentes, andar por andar.

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Concreto Armado Eu Te Amo

Simbologia da página 42.

Para entender o lançamento (concepção) da estrutura, ver o volume 2 desta coleção, “Concreto armado, eu te amo”. Vale sempre a Regra de Ouro: “O projetista estrutural e o profissional de instalações (hidráulica, eletricidade, ar concidionado etc.) têm de conversar sempre com o arquiteto, portando todos os documentos de projeto e suas modificações e evoluções, tudo isso, etapa por etapa, e com os acordos prévios devem ser obedecidos por todos. Fazer atas de reunião”.

Detalhes do corte vertical das escadas 5,80 m V-2

LE-1

4,14 m

LE-2

V-4

2,90 m V-2

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LE-1

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Aula 2

Como este é um livro para quem se inicia no mundo do concreto armado, vamos dar ideias aproximadas de dimensões possíveis: • • • • •

laje – espessura de 5 cm a 10 cm, sendo comum 7 cm; vigas – seção transversal de 20 cm × 30 cm, 20 cm × 40 cm ou 20 cm × 50 cm; pilar – seção transversal de 20 cm × 40 cm; pé direito – 2,50 m; espessura da parede de alvenaria – 20 cm.

Com o desenvolver dos cálculos, essas dimensões poderão se alterar.

2.5 PREMISSAS DO PROJETO ESTRUTURAL — DESENVOLVIMENTO Pela importância, se repete: Agora começamos a projetar o nosso predinho. As premissas são: •

Estrutura de concreto armado com lajes maciças, vigas e pilares de seção retangular, prédio com quatro andares tipo (térreo mais 3 pavimentos) (arquitetura igual, mesmas cargas acidentais).

•

A alvenaria é de tijolos/blocos e não tem função estrutural (embora dê sua ajuda na rigidez do prédio) e essa alvenaria deve estar amarrada (para não cair lá para baixo) às lajes, vigas e pilares.

•

Face à altura reduzida do prédio (quatro andares) (e também pelo fato de existir alvenaria) poderemos não levar em conta a ação do vento. Se fosse um prédio de escritórios com paredes de vidro, a rigidez seria muito menor.

•

Face às sondagens geotécnicas do terreno, o engenheiro especialista de fundações recomendou como fundações o uso de sapatas maciças centradas. O lençol freático (nível de água no terreno) é baixo, não interferindo com as escavações das sapatas.

•

O prédio está no meio de um grande terreno, não havendo problemas de sapatas invadirem o terreno do vizinho.

•

O local, do ponto de vista de agressividade ambiental, é de baixa agressividade, e usaremos no concreto a preparar na obra, ou no concreto a comprar de firma concreteira, a relação água/cimento a/c ≤ 0,65 (item 7.4.2 pg. 18 NBR 6118).

•

fck adotado 25 MPa – ver NBR 8953 - classes do concreto.

•

Aço CA50 – ver NBR 7480 - aços para o concreto armado.

•

Embora não rotineiro, os projetistas da estrutura de concreto armado devem fazer recomendações para o uso da alvenaria, mostrando detalhes de sua amar-

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Concreto Armado Eu Te Amo

ração com a estrutura de concreto armado, detalhes de vergas em cima de janelas e portas. Havendo sacada (marquise), deve ser mostrada a amarração da alvenaria da sacada com o resto do prédio. Nota – Verga, item 24.6.1 (pg. 205 da NBR 6118). Detalhe: se tivesse havido um arquiteto na autoria do nosso projeto, muito com ele teríamos conversado e exigiríamos que qualquer mudança no projeto arquitetônico fosse, antes de ser feita, conversada com os calculistas da estrutura. Idem para o profissional de instalações de água, esgoto, águas pluviais e eletricidade. E tudo anotado em atas da reunião. Maus profissionais tem horror à atas de reunião.

Desenvolvimento •

As cargas acidentais (peso de pessoas, móveis etc.) se apoiarão nas lajes do prédio. (ver nota 1)

•

As cargas acidentais, o peso próprio das lajes e o peso das alvenarias são transmitidos às vigas. Chamemos essas cargas de cargas de serviço.(*)

•

As cargas de serviço mais o peso próprio das vigas serão transmitidos aos pilares.

•

As cargas nos pilares mais seus pesos próprios são transmitidos às sapatas.

•

As cargas recebidas pelas sapatas, mais seus pesos próprios, chegam ao solo e aí se dissipam. Se tudo estiver certo, nas fundações: (ver nota 2) • Acontecerão alguns pequenos recalques por igual no prédio. • Não acontecerá um colapso no solo. •

Não acontecerão, ou serão mínimos os recalques diferenciais.

Notar que não existe a divisão rígida: prédio e solo. Depois de a obra pronta, toda a estrutura do prédio interage com o solo, e, se existir um ponto onde poderá ocorrer um recalque, a rigidez do prédio poderá impedir. Alguns pequenos recalques de acomodação poderão acontecer e aí a alvenaria pode ter pequenas fissuras. Nota 1 – A norma de projeto estrutural é a NBR 6118/2014, rev. 07/08/2014 da ABNT – Associação Brasileira de Normas Técnicas Nota 2 – Cargas para cálculo de estruturas de edificação NBR 6120. Nota 3 – Projeto e execução de fundações NBR 6122. _ (*) As cargas acidentais, o peso próprio das lajes vão para as vigas e daí mais a alvenaria, para os pilares. As cargas que geram o dimensionamento de lajes, vigas e pilares são as chamadas cargas de serviço.

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Aula 3

aula

3.1 APLICAÇÕES DO PRINCÍPIO DA AÇÃO E REAÇÃO Já vimos na aula anterior que o princípio de ação e reação é aplicável a todas as estruturas que receberam cargas e estejam em equilíbrio. Esse princípio vale para todas as forças verticais, horizontais e inclinadas. Vejamos alguns exercícios de cálculo de forças de reação, forças essas que, como vimos, não existem independentemente. Só ocorrem em reação, em resposta às forças ativas. Assim, ao arrastarmos um móvel no chão, temos de vencer a força de atrito. Ao cessar nossa ação de empurrar o móvel, este não sairá andando, empurrado pela força de atrito, que, então, não existe mais. Seja a barra a seguir. Sobre esta barra agem uma força para a direita de 1 kN e outra para a esquerda de 0,5 kN, dando uma diferença de 0,5 kN para a direita. No vínculo C deve haver uma reação de 0,5 kN para o equilíbrio. F1 = 1 kN

F1 = 1 kN

F2 = 0,5 kN Fc = ?

F1 = F2 + F3 Fc = F1 + F2 Fc = 1 –0, 5 Fc = 0,5 kN

F2 = 0,5 kN 2m

F3 = 0,5 kN M = 4 kNm (–)

Imaginemos agora uma barra vertical que, soldada a uma peça, é puxada com força de 0,1 kN no ponto A, e no ponto B, é empurrada com força de 0,02 kN. Olhando a barra isoladamente, ela só não sai, não se desliga da estrutura, se esta, puxar a barra com força: F3 = 0,1 – 0,02 = 0,08 kN = 8 kgf

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Concreto Armado Eu Te Amo 0,1 kN A A

0,1 kN

B 0,02 kN

B 0,02 kN F3 F 4 = F3

F3 = 0,1 – 0,02 F3 = 0,08 kN F4 = 0,08 kN = 8 kgf

Estrutura

Pelo princípio de ação e reação, se a estrutura puxa a barra com 0,08 kN, a barra puxa a estrutura com F4 = 0,08 kN. Vejamos outro exercício: Um senhor gordinho, que pesa 100 kgf = 1 kN, sobe em uma balança e segura um balão de gás, que só seguro é impedido de subir, graças a um esforço de 50 gf. Qual o peso indicado na balança?

50 gf = 0,05 kgf

100 kgf

(Reação da balança no homem)

A reação da balança no homem é (vertical para cima): F = 100,00 – 0,05 = 99,95 kgf = 0,9995 kN A ação do senhor gordinho e do balão na balança é de 0,9995 kN e vertical para baixo. Logo, olhando-se no medidor (escala) da balança, deve-se ler o peso de 0,9995 kN. Se não der, é que a balança está desregulada.

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Aula 3

3.2 CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO DE ESTRUTURAS Já vimos que, como resposta à ação de esforços externos (cargas atuantes e Momentos), as estruturas de acordo com os seus vínculos reagem ou tentam reagir com forças e Momentos Fletores. Para que uma estrutura seja estável, é necessário que: 1. A soma das cargas horizontais ativas e as horizontais reativas se iguale (se anule). 2. A soma das cargas verticais ativas e reativas se iguale (se anule). 3. A somatória dos cálculos dos Momentos Fletores (de rotação) para qualquer ponto da estrutura seja nulo. Essas três condições serão conhecidas, neste livro, como as “três famosas condições”. Imaginemos uma viga de madeira, apoiada em dois pontos (paredes de alvenaria), e que essa viga suporte um esforço não centrado de 5 kN, como é mostrado na figura a seguir. P = 5 kN

P = 5 kN A

Pilar 1

C 8m

Pilar 2

B 2m

RA 8m

Esquema estrutural

2m 10m

A estrutura de apoio reagiu com duas forças verticais ascendentes, R A e RB, tal que: P = R A + RB

então

R A + RB = 500 kgf = 5 kN.

Qual o valor de R A e RB (reações nos apoios)? Se a força P tivesse sido colocada no meio do vão, por simetria R A seria igual a RB e então R A = 2,5 kN e RB = 2,5 kN. Acontece que o peso P ficou mais perto de B que de A e, então, as reações são desiguais. Mostra a nossa experiência de vida que, nesse caso, RB deverá ser maior que R A. Vamos calcular R A e RB e verificar isso. O ponto B e o ponto A não são engastados, portanto, sobre eles, a estrutura não transmite Momento Resistente. É o caso do apoio simples.

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Concreto Armado Eu Te Amo

Podemos, pois, considerar (3.ª condição) que a somatória de todos os Momentos de todas as forças ativas (P) e reativas (R A e RB), para qualquer ponto, deve dar zero, ou seja MB = 0. Mas calculemos MB pela definição, ou seja, o resultado da soma de todos os Momentos causados por todas as forças atuantes.

Logo:

Como

Logo:

Já calculamos pois, R A e RB. Vê-se, como a sensação mostra, que o ponto B é mais carregado (4 kN) do que o ponto A (100 kgf), devido ao peso (5 kN) estar mais perto de B do que de A. Poderíamos calcular RB de outra forma. O Momento em A também é nulo M A = 0. O Momento em A é a soma dos Momentos de todas as forças que agem na barra. Logo,

Conclusão: O pilar 1 (A) recebe um esforço vertical, de cima para baixo de 1 kN e reage com R A de 1 kN para cima. O pilar 2 (B) recebe um esforço vertical, de cima para baixo de 4 kN e reage com 4 kN para cima. A estrutura só será estável, se o terreno puder reagir com forças verticais (terreno firme). Se o terreno não puder reagir (terreno pantanoso, por exemplo), a estrutura não será estável e afundará.

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Aula 3

EXERCÍCIOS: 1.

Calculemos agora os Momentos Fletores em três pontos de uma barra vertical. A

F1= 3 kN

Convenção de Momento Fletor

F2= 0,6 kN 2m

O Momento Fletor em A é nulo. Para calcular o Momento Fletor em B basta virmos caminhando de A para B. M A =0 MB = + 3 kN × 6 m = 18 kNm O Momento no ponto C causado pelas forças externas (ações) será: MC = F1 × 8 m – F2 × 2 m Notar que F2 introduz em C um Momento Fletor para girar C no sentido contrário (–) MC = 300 kg × 8 m – 60 kg × 2 m = + 24 kNm – 1,2 kNm MC = 22,8 kNm Logo, as forças externas tentam girar em C com uma grandeza (Momento Fletor) de sentido horário de 22,8 kNm. O ponto C só não girará se o engaste tiver capacidade (resistência) de transferir à viga, nesse ponto, um Momento Fletor resistente e anti-horário de 22,8 kNm. Pelo princípio de ação e reação, o engaste em C transfere também à viga uma força F3: F1 = F2 + F3 2.

logo

F3 = 3 – 0,6 = 2,4 kN

Consideremos agora uma barra de madeira engastada em uma parede e sujeita à ação das forças indicadas.

F1 = 0,05 kN

F4 = 0,05 kN

A F3 = 0,1 kN

F2 = 0,01 kN

1,5m

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0,5m

1,0m

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Concreto Armado Eu Te Amo

Temos sobre a viga (e sobre a parede) agindo forças verticais, horizontais e os consequentes Momentos de cada força. Vejamos as forças: • A soma de forças ativas horizontais é de 0,05 kN (força única) para a esquerda. • A soma das forças ativas verticais é de 0,05 kN para baixo e 0,11 kN para cima. A condição de equilíbrio (para a barra não se deslocar) é que a soma de todas as forças verticais se anule e a soma de todas as horizontais se anule. (1.ª e 2.ª condições). Não confundamos movimento (saída do local) com deformação. Sem dúvida que, sob o efeito de forças ou Momentos, as estruturas se deformam (trabalham), mas não podem se movimentar (andar). Logo, a parede deve transmitir forças horizontais e verticais (H1 e V1) tal que: V1

F1 = 0,05 kN B

H1 C

F4 = 0,05 kN

V1 e H1 são forças resistentes

F3 = 0,1 kN

F2 = 0,01 kN

A primeira condição de equilíbrio é que as forças horizontais de sentido da direita para a esquerda sejam iguais às de sentido da esquerda para a direita, H1 = F4

H1 = 0,05 kN

A segunda condição de equilíbrio é que as forças verticais descendentes sejam iguais às verticais ascendentes, logo: F1 + V1 = F2 + F3 temos que

0,05 + V1 = 0,01 + 0,1 V1 = 0,06 kN V1 = 6 kgf

Logo, conclui-se que, para essa barra ficar estável, a parede deve transmitir à barra as forças: Ação da parede na viga

0,06 kN

0,05 kN

Reação da parede na viga

A viga transmite à parede forças opostas, ou seja, face à ação das forças ativas na barra, a barra levanta a parede, com força de 6 kgf, e empurra a parede para a esquerda, com a força de 5 kgf. Assim, agem na viga as forças: F1 = 0,05 kN

V1 = 0,06 kN H1 = 0,05 kN F = 0,05 kN

F2 = 0,01 kN 1,5m

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

Convenção do sentido do momento fletor

F3 = 0,1 kN 0,5m

1,0m

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Aula 3

Já conhecemos todas as forças que agem na viga e na estrutura. Calculemos, agora, os Momentos Fletores que atuam na barra e na parede. A parede está sendo tentada a girar no sentido anti-horário (ponto C), de acordo com os seguintes Momentos: MC = – F1 × 2 m + F2 × 0,5 m – F3 × 1 m MC = – 0,05 kN × 2 m + 0,01 kN × 0,5 m – 0,1 kN × 1 m MC = – 0,195 kNm Conclusão: Os esforços externos são tais que tentam girar a viga na sua união com a parede no sentido anti-horário com o esforço de 0,195 kNm. A viga, na união com a parede, só não girará se a estrutura de encaixe puder reagir nesse ponto com um Momento Resistente (Momento horário) de 0,195 kNm. Logo, a estrutura (barra) estável deverá ter a seguinte representação:

(+)

MR F4

(–)

C F2

O Momento horário M = (–)0,195 kNm (Momento Fletor Atuante) só foi transmitido à barra pelo fato de a parede ter reagido com um momento horário de MR = 0,195 kNm (em sentido oposto ao da barra). Conclusão: Ao se colocar essa barra nessa parede e com essas cargas, a parede é solicitada a se levantar com a força V1; é solicitada a se deslocar para a esquerda com a força H1; e é solicitada a girar no sentido horário de 0,195 kNm. A parede não se romperá se tiver capacidade de transmitir à viga tudo em oposição ao que recebeu (vingança dirão alguns). Isso acontecendo, a parede não se rompe e a viga se equilibra. 3.

Calcular os esforços na barra abaixo. Adotar peso próprio de 0,01 kN por metro centrado no meio. 0,1 kN 0,02 kN

0,1 kN A

0,35 kN

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Concreto Armado Eu Te Amo

O comprimento da viga AB é L =  32 + 42 = 5 m (Teorema de Pitágoras). Como o peso linear é de 0,01 kN/m, o peso da barra é de 0,05 kN (localiza-se no centro de simetria). O esquema estrutural é: 0,1 kN 0,02 kN

0,35 kN

MA A VA

1,5m

0,1 kN

0,05 kN M

2m 4m

As forças VA, H A e o Momento Fletor Resistente M A são as reações do vínculo (encaixe) às solicitações externas. Admite-se que exista o Momento em A pelo fato de o vínculo em A impedir a rotação. Esse Momento (por enquanto desconhecido) tanto pode ser horário (como indicado) como anti-horário. Igualmente, não conhecemos o sentido de VA e H A. Os cálculos dirão. As reações VA, H A e M A são reações no vínculo A (engastamento). VA = 10 + 5 – 35 = – 20 kgf

(A famosa segunda condição)

Como VA deu negativo, a sua orientação indicada é incorreta, ou seja: VA deveria ser descendente, isto é, o vínculo puxa para baixo a barra (sem o vínculo, a barra tenderia a subir). H A = 2 + 10 = + 12 kgf

(A famosa primeira condição)

O sentido de H A está correto, as forças externas tendem a puxar a barra para a direita e o vínculo impede isso com a força H A para a esquerda. Apliquemos, finalmente, a famosa terceira condição. M A = 10 × 4 + 2 × 3 + 10 × 1,5 + 5 × 2 – 35 × 2 M A = 40 + 6 + 15 + 10 – 70 M A = + 1,0 kgfm Conclusão: As forças causam no engastamento (encaixe) em A um Momento Fletor horário de 1,0 kgfm. Logo, no ponto A na barra, o encaixe transmite um Momento anti-horário (tende a girar ao contrário do relógio), ou seja, o ponto C está em equilíbrio (M = 0).

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Aula 3

No ponto A na barra, os esforços trasmitidos pelo engastamento são:

(Momento resistente) VA

3.3 VÍNCULOS NA ENGENHARIA ESTRUTURAL Chama-se vínculo de uma estrutura cada restrição dessa estrutura ao seu giro, a um movimento vertical (para cima ou para baixo), ou a um movimento horizontal (para direita ou esquerda). Uma barra lisa de madeira, apoiada em dois pontos bem lubrificados A e B como abaixo,

pode, se sujeita às forças externas, andar para a direita e para a esquerda e pode girar para o sentido horário em torno de A, e pode em torno de B girar no sentido anti-horário. A barra pode subir no ponto A e no ponto B. A barra, todavia, não pode descer em A ou B (a estrutura de apoio não deixa). Essa estrutura é, portanto, estável, se receber um esforço vertical para baixo (e desde que ocorra em um ponto entre A e B), claro, dentro de limites, pois o solo pode ceder para esforços muito grandes. Sejam as estruturas 1 a 2 a seguir, essa barra será instável se receber um esforço vertical para cima (ela sobe) ou um esforço horizontal (ela anda). Essa estrutura é instável (ela gira) se for aplicado um Momento no meio (ela gira perdendo ou o contato com o ponto A ou B). Imaginemos agora vários tipos de apoio de estruturas: P1

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Estrutura 1

F1 B

Estrutura 2

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Concreto Armado Eu Te Amo P1 F2

P2 Estrutura 3 - Estável para qualquer tipo de esforço

A estrutura 1 é estável (tem vínculos) para esforços verticais descendentes e para os horizontais à esquerda. Essa estrutura não é estável para esforços verticais ascendentes, horizontais para a direita e não é estável para Momentos anti-horários ou horários. A estrutura 2 é estável, graças aos seus vínculos, a qualquer esforço horizontal, esforço vertical descendente. A estrutura 3, graças aos seus vínculos, é estável para esforços verticais, horizontais e para os Momentos Fletores introduzidos. Estamos falando qualitativamente de vínculos. Sem dúvida que, se as forças aplicadas forem enormes, os vínculos romper-se-ão. Será uma perda não pelo tipo do esforço, mas sim pela sua intensidade. Uma porta é uma estrutura instável: F1

Vínculo (articulação)

Planta

Observação: a articulação é o tipo de vínculo. No Viaduto Santa Efigênia, é um arco triarticulado. Quando empurramos uma porta com força F1, o vínculo não tem como se opor ao Momento F1 · L, e a porta gira (estrutura não estável). Quando a porta se tranca, temos o esquema: F1

Vínculo 1 (articulação)

Vínculo 2 (engastamento)

O vínculo 2 (engastamento pela solidariedade porta/parede) cria uma estrutura estável, pois pode reagir à força F1. Claro que o vínculo 2 resiste a esforços moderados. Se F1 crescer desmesuradamente, o vínculo quebra e a porta está arrombada.

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Aula 3

Quando uma porta fechada à chave (com lingueta) é forçada, apresenta o seguinte esquema de resistência: F2

Reação

Vínculo 1

Vínculo 2

Neste nosso curso, chamaremos de apoio simples quando o vínculo permite reagir só com forças verticais. Esse apoio também é chamado de rolete ou carrinho. No apoio tipo articulação, são transmitidas à estrutura reações verticais e horizontais. No apoio engastamento, são transmitidos à estrutura esforços verticais, horizontais e Momentos. Sejam as barras a seguir e os seus tipos de vínculo O fato

Representação

Simbologia Engastamento

Carrinho (rolete ou apoio móvel)

Articulação

Apoio simples

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3.4 COMO AS ESTRUTURAS SOFREM, OU SEJA, APRESENTAMOS: A TRAÇÃO, O CISALHAMENTO, A COMPRESSÃO E A TORÇÃO — AS TRÊS FAMOSAS CONDIÇÕES Já vimos que as estruturas que estão em equilíbrio têm de atender às três famosas condições necessárias (condições obrigatórias): Três famosas condições 1. Todas as forças que atuam sobre a estrutura e as que reagem, medidas todas na horizontal, têm de se equilibrar (condição da estrutura não andar para a direita ou esquerda). 2. Todas as forças ativas (externas) que atuam sobre as estruturas e as que reagem, medidas todas na vertical, têm de se equilibrar (condição de a estrutura não subir ou descer). 3. Todos os esforços que atuam sobre a estrutura e os que reagem não podem fazer a estrutura girar (condição de que a estrutura não gire em nenhum ponto), ou seja, o Momento Fletor causado por todos os efeitos é nulo para qualquer ponto. Todas essas três condições dizem respeito às ações externas (peso, carga, vento), reações nos apoios e Momentos externos aplicados. Todavia, a estrutura, ao receber os esforços, cria resistências internas. Assim, se puxarmos uma barra de aço pendurada no teto com a força P, a barra transfere a força P para o teto, às custas de seu material, ou seja, a barra tende a ter suas partículas afastadas umas das outras (tracionamento). P P

Reação da barra no teto

Há um limite de coesão interna, após o qual a barra se rompe, ou seja, há um limite para P. Quando uma barra ou um cabo são submetidos a uma força que tende a afastar suas partículas, há um esforço interno de tração (alongamento, estiramento, afastamento etc.). Um cabo de elevador é um exemplo de peça tracionada. A força F é perpendicular à seção do cabo, tendendo a afastar cada partícula do cabo.

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Quando a ação da força é para juntar, comprimir, apertar as partículas de uma barra, temos o esforço de compressão. Um pilar de prédio é um exemplo. Roldana F

Contrapeso

Cabo F F peça comprimida

Cabo do elevador (tracionado) F Elevador

Se construirmos uma treliça, como a seguir, para sustentar a construção de uma ponte, o leitor saberá intuitivamente dizer quais as partes tracionadas (← →), e as comprimidas (→ ←) da mesma?(*) Tabuleiro B C

Treliça

Consideremos agora um peso colocado na extremidade de uma corrente composta de argolas: Elo (argola)

Seção transversal da argola solicitada por P P

_ (*) Resposta: AB e BC estão comprimidas e AC está tracionada.

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O peso P transmitido à argola faz com que haja uma tendência de romper a argola, ação de uma força paralela no plano da seção. A força P é paralela à seção da argola. A argola na seção vertical está sendo cortada (como se corta pão) ou, em termos sinônimos, está sendo cisalhada (separação por um plano). Temos aqui um esforço de cisalhamento. A Seção da argola

B P

Consideremos agora uma estaca, que está sendo cravada em um terreno. Há um grande esforço (força) distribuído em uma área pequena (como um prego sendo cravado em uma madeira). Temos aqui um esforço de puncionamento no terreno. Um cofre-forte colocado no meio de uma laje gera também esforços de puncionamento. Marreta Cofre Estaca Laje

Consideremos agora uma viga de madeira de grande tamanho (viga A), na qual se prega uma prancha de madeira (prancha B) transversalmente, e, nessa madeira, se coloca um tijolo. Admitamos que a prancha B está fortemente pregada à viga por pregos. Prancha de madeira B Tijolo

Pregos

P B

M A Viga A Perspectiva

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Braço do momento L Seção transversal

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A viga de madeira (A) está sujeita, graças à força P e a sua distância (braço), a uma torção, ou seja, as partículas da viga são convidadas a se torcerem (Momento de Torção). Se esse Momento for demasiado, a viga pode romper. Notemos que esse Momento de torção é calculado T = P × L, ou seja, quanto maior o peso para uma mesma distância, maior o Momento de torção. Se a distância fosse nula, então P estaria sobre a viga e não haveria torção. Notemos que o Momento de torção, que estamos introduzindo agora, age no plano paralelo à seção transversal de uma viga. T Momento de torção Seção transversal

Em estruturas de prédio, existem Momentos de torção em vigas causados pela ação da carga de lajes em balanço (marquises). Pilar Cargas

Seção transversal

Laje-marquise Laje-marquise Laje

Cargas

T Viga

Viga

A viga sofre uma torção causada pela carga.

Braço do momento L

Considerando o trabalho estrutural solidário de toda a estrutura, a viga de apoio da marquise não precisa ser calculada à torção. Nota: As estruturas de concreto armado são chamadas carinhosamente de melhores amigas do homem. E o são efetivamente. Há, no entanto, uma exceção. São as lajes-marquises. Erros de obra, falta de manutenção, entupimento de drenagem podem fazer romper as lajes-marquises podendo matar quem esteja sobre elas e debaixo delas. Na cidade de Porto Alegre, RS, por isso, existe uma lei municipal que exige inspeção periódica das marquises, essas perigosas amigas traiçoeiras do homem.

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aula

4.1 DETERMINAÇÃO DE MOMENTOS FLETORES E FORÇAS CORTANTES EM VIGAS Uma viga, sofrendo um carregamento vertical como abaixo, sofre em alguns de seus pontos esforços internos de compressão, esforços de tração e, em outros, esforços de cisalhamento. Esses efeitos são causados pela carga P e pela flexão causada por essa força. Para conhecer as condições que ocorrem devemos conhecer os diagramas de momento e de força cortante, que passamos a estudar nesta aula (diagrama é o desenho do esforço, ponto a ponto na estrutura). Vejamos um exemplo: P Viga

Pilar 1 (Apoio)

A RA

Pilar 2

Observação: As deformações estão exageradas.

4.1.1 MOMENTOS FLETORES Consideremos uma viga de madeira que suporta um peso de 100 kN e é simplesmente apoiada em dois pilaretes. A viga mostrada na figura a seguir está equilibrada, pois se verificarmos as três famosas condições:

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•

as forças horizontais se anulam (no caso não existem);

•

a força vertical de ação (100 kN) se anula pelas reações nos apoios (50 kN mais 50 kN);

•

os Momentos Fletores em qualquer ponto se anulam. E

P = 100 kN D

B 8

RA = 50 kN

10m

RB = 50 kN

20m

Para os descrentes, verifiquemos essa última condição para o ponto A. 100 kN × 10 m – 50 kN × 20 m = 0 Para o ponto B 50 kN × 20 m – 100 kN × 10 m = 0 Para o ponto C MC = 0 ⇒ 50 kN × 10 m – 50 kN × 10 m = 0 Ou para outro ponto qualquer D, por exemplo: 50 kN × 13 m – 100 kN × 3 m – 50 kN × 7 m = 0 Verificamos assim, por exemplo, que a somatória de todos os Momentos causados pelas forças ativas (P) e reativas (R A e RB) se anula em qualquer ponto da estrutura, como consequência do equilíbrio da estrutura. Todavia, esse equilíbrio se faz à custa de transmissão de esforços, ou seja, a viga “sofre quietinha”, como veremos. Tracemos agora o diagrama de Momentos de vários pontos, começando do ponto A e vindo de A para a direita (só considerando as forças que existem à esquerda). M A = 0, pois a reação em A tem braço zero, em relação ao ponto A e o momento é força × distância. No ponto E vindo de A, só terá o Momento ME que é: + R A × 8 m = 50 kN × 8 m = + 400 kNm = ME Sem dúvida que esse Momento, de 400 kNm, é equilibrado externamente pela força P de 100 kN e pela Reação RB. Se isso é verdade, também é verdade que, em termos de esforços internos na posição E, o Momento de 400 kNm é resistido pela barra.

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Conclusão: a soma de todos os momentos em relação a E é nula, mas em E as forças à esquerda tentam girar a seção para o sentido horário e em valor de 400 kNm (+), e as forças à direita tendem a girar com um sentido anti-horário de 400 kNm (–). Ocorre pois, nesse ponto, um momento de 400 kNm. No ponto C (vindo de A), o Momento é: MC = R A × 10 m = 50 kN × 10 m = + 500 kNm

(Momento Resistente)

No ponto D (vindo de A), o Momento é: MD = 50 kN × (10 + 3) m – 100 kN × 3 m = + 650 kNm – 300 kNm = + 350 kNm Em B: MB = R A × 20 m – 100 kN × 10 m = 50 kN × 20 m – 1.000 kNm = 0 MB = 0 Achamos que esse é um ponto importantíssimo de reflexão. Dada uma estrutura em equilíbrio, calculados todos os Momentos Fletores (positivos e negativos) causados pelas forças atuantes e pelas reações, o momento do ponto (e de qualquer ponto) é zero. Apesar de ser zero a somatória dos momentos, a transmissão dos esforços através da barra gera esforços internos que podem ser calculados ponto a ponto, vindos da esquerda para a direita e considerando nesse ponto a ação das forças que estão desse lado. Vimos pelo exercício que M A = 0,

MB = 0,

MC = 500 kNm,

MD = 350 kNm,

ME = 400 kNm.

Quando, no caso os Momentos Fletores internos (sofrimentos das seções das barras), são causados por forças localizadas (e não distribuídas), o crescer e o decrescer desses Momentos têm lei linear. Podemos, então, traçar o diagrama dos Momentos Fletores, ponto por ponto, de toda a viga: Momentos positivos em kNm: P A

400 500 350

MC = 500 kNm MD = 350 kNm ME = 400 kNm

A viga exageradamente deformada é: P

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Em qualquer seção da viga entre os apoios, há tração embaixo e compressão em cima. Nos apoios, por serem articulações, essas situações são nulas. O gráfico acima é o gráfico dos Momentos internos de todas as seções da viga. Se quisermos saber o Momento de um ponto qualquer x em qualquer lugar da viga, ou se faz o cálculo, ou se pode tirar o valor graficamente, diretamente em escala do diagrama do momento. As conclusões são: na seção A, a viga não sofre Momento Fletor, na seção E essa seção, face à ação da força reativa R A, sofre uma flexão medida pelo Momento Fletor de 400 kNm, gerando valores de tração embaixo e compressão em cima. A seção da viga mais exigida é a seção C, que sofre uma flexão de 500 kNm. Nesse caso, ocorrem os maiores esforços de tração embaixo e compressão em cima. Para vigas carregadas com peso central no seu ponto médio, o valor do Momento Fletor máximo será, desde que apoiadas em pilaretes que não impeçam a livre deformação da viga: P

P/2

P/2 L/2

L/2

Esse Momento Fletor positivo igual a MC comprime a parte superior da viga e traciona a inferior, como na figura exagerada a seguir. Seção A

Seção C

P 2

Seção D

Seção B Enrugamento (exagerado) face à compressão

1 3 RA Esquema

Seção E

Seção longitudinal RB

Compressão

Linha neutra (L.N.) (nem tração, nem compressão)

1 Seção E 3 Seção transversal

Tração 3

A parte de cima da viga é encurtada (comprimida) e a de baixo é alongada (tracionada).

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O esquema anterior indica graficamente o que acontece na seção do meio da viga. Nas fibras inferiores em (3), temos o máximo da tração. Nas fibras superiores em (2), temos o máximo de compressão. Sendo tração e compressão conceitos opostos, eles têm de passar por um ponto médio (1), onde não há tração e nem compressão. É o ponto neutro (1). Na verdade, ao longo da viga, existe uma linha neutra (LN). Se não, vejamos: Na seção A, não há Momento Fletor. Idem na seção B. Na seção C, já há algum Momento Fletor, gerando nas fibras superiores alguma compressão e nas fibras inferiores, alguma tração. Na seção E (meio da viga), as fibras no ponto (2) atingem o máximo de compressão e em (3) o máximo da tração. Na seção D, já decrescem a tração e compressão nas bordas superiores e inferiores, para, na seção B, não haver mais Momentos Fletores. Consideremos agora um caso mais geral de uma viga simplesmente apoiada em dois pilaretes, onde atuam duas forças nos pontos E e D e sejam R1 e R2 as reações: 30 kN

200 kN

30 kN

200 kN

B E

R2 3m

Exageradamente a viga deformada

Calculemos a soma dos Momentos fletores causados por todas as forças em A e que como sabemos é nula.(*)

Como sabemos, R1 + R2 = 230 kN e substituindo R1 por

Como o nosso bom-senso indicava que a força 200 kN estava mais perto de R2 que R1, R2, resultou mais carregado do que Rl. Conhecidas as reações nos apoios, podemos facilmente calcular os Momentos Fletores em cada ponto da viga e principalmente nos pontos singulares A, E, D e B. Vindo sempre da esquerda para a direita (→). _ (*) O Momento é nulo se calculado para todas as forças à direita e à esquerda; não é nulo se calculado para as forças só à esquerda (ou só à direita).

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MA = 0 ME = R1 × 3 = + 100 × 3 = 300 kNm MD = R1 × 8 – 30 × 5 = + 8 × 100 – 150 = + 650 kNm MB = R1 × 13 – 30 × 10 – 200 × 5 = 1.300 – 300 – 1.000 = 0 MB = 0 Notemos que todas as seções, onde os Momentos deram positivos, significam a ocorrência de tração embaixo e compressão em cima da viga. Observemos que calculamos os Momentos em C e D vindos pela esquerda. Calculemos, agora, os vindos da direita, e mostremos que, para estes, os resultados serão os mesmos, mas com sinais trocados: MB = 0 MD = – R2 × 5 = – 130 × 5 = – 650 kNm ME = – R2 × 10 + 200 × 5 = –130 × 10 + 1.000 = – 300 kNm M A = (–)R2 × 13 + 200 × 8 + 30 × 3 = – 130 × 13 + 1.600 + 90 = 0 MA = 0 Vê-se que, vindo da esquerda, chegamos aos mesmos valores de Momentos Fletores nas seções de que vindo da direita, mas em sinais trocados, mostrando que eles se anulam em termos de equilíbrio externo. Todavia, na seção ocorre o Momento dando tração embaixo e compressão em cima, quando o Momento é positivo (vindo da esquerda) ou negativo (vindo da direita). As seções das vigas são mais esforçadas (mais tração embaixo e mais compressão em cima), quanto maiores os Momentos nas seções. Assim, nas várias seções os diagramas de tensões são: Compressão Seção D

Seção E

Seção A ou B

Tração

Consideremos agora uma viga que é carregada com peso uniformemente distribuído de 0,8 kN/m, vencendo um vão de 40 m e que é simplesmente apoiada em dois pilaretes que não impedem a livre deformação da viga. 0,8 kN/m

40m

Viga deformada(*)

_ (*) Numa viga de concreto armado dificilmente se verá sua deformação, face à sua baixa deformabilidade. O caro leitor poderá ver a deformação substituindo a viga de concreto armado por uma tábua de madeira deitada; então as deformações são ligeiramente visíveis.

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Observamos que a condição de apoio simples, permitindo livre acomodação de deformação de viga, é fundamental. Se os apoios impedissem as deformações, as fórmulas até aqui apresentadas não valeriam. Como visto, na vez que discutimos os pesos lineares, o peso total sobre a viga será: 0,8 kN/m × 40 m = 32 kN Logo, como o peso é uniformemente distribuído, cada reação tem o valor de 16 kN (as reações são iguais pela simetria do carregamento). Consideremos, agora, um ponto qualquer C na viga: 0,80 kN/m

10 m

30 m

RA=16 kN

RB=16 kN

40 m

O Momento Fletor (vindo de A) resistido pela seção em C será calculado da seguinte forma: Na seção C, ocorre o Momento causado pela força R A, multiplicada pelo braço de 10 m e com sentido horário (+), além disso, ocorre o Momento causado pela força distribuída nos 10 m, que vão de A a C. Essa força distribuída vale no total 0,8 kN/m × 10 m = 8 kN. Como o carregamento é uniforme, podemos admitir, para o cálculo de Momento em C, que ele se situe no ponto X, que é o ponto médio entre A e C. Logo, essa força de 8 kN terá um braço (distância) até C de 5 m. O Momento Fletor causado pela carga distribuída valerá pois (– 8 kN × 5 m) = – 40 kNm (momento anti-horário). O Momento Fletor real em C é resultado da soma dos dois Momentos. Logo MC = 16 kN × 10 m – 40 kNm = + 120 kNm. Para um caso geral: O Momento Fletor em um ponto C qualquer da viga e distante m do apoio A vale: q

L–m

qxL RB = —— 2

C qxL RA = —— 2

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m L

MC =

q m × L× m− m× q× 2 2

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O Momento Fletor máximo se dá no meio da viga (então m = L/2 e, então, no meio da viga o Momento Fletor de seção média vale MC = q × L2 /8). Nos exercícios anteriores, a curva que ligava os Momentos de vários pontos era linear. Quando o carregamento é uniformemente distribuído, a curva dos Momentos fletores é uma parábola. O gráfico dos Momentos será igual a: q

qxL RA = —— 2

qxL RB = —— 2

Mmáx

Momento máximo =

q × L2 8

Demos até aqui a teoria necessária para resolver vigas apoiadas em dois pilaretes e com cargas distribuídas e cargas concentradas. Vamos fazer uma série de exercícios, para explorar melhor o conceito, levantar, solver dúvidas e estraçalhar o assunto. Assim esperamos. Observação: Normalmente, os projetistas estruturais de prédios têm de agir, principalmente, com forças horizontais da esquerda para a direita e da direita para a esquerda, e forças verticais descendentes (um caso de ocorrência de verticais ascendentes ocorre em projeto de barragem, devido ao empuxo da água). A metodologia do processo de resolução de estruturas com forças ascendentes é igual à até agora apresentada, considerando-se apenas o sinal. Imaginemos a barra (viga) a seguir e os seus múltiplos carregamentos: 1 kN

Força

3 kN

+ A

5 kN 2

D E

Momento horário +

RA + RB = 1 + 3 – 5 ≅ 1 kN RA + RB = – 1 kN (reações)

Como sabemos, a somatória de todos os Momentos das forças ativas e reativas a qualquer ponto da viga é nula. Escolhamos o ponto B:

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Observem que, na figura anterior, admitimos que R A e RB eram ascendentes, enquanto os cálculos mostraram que eram negativas. Logo, podemos concluir que R A e RB são descendentes. A conclusão é que a barra tem as seguintes forças atuando. 3 RA = —— 7

1 kN

3 kN

4 RB = —— 7

D A

5 kN

Os Momentos fletores resistentes são:

Toda a barra, menos os pontos extremos, está sob efeito de Momento negativo, ou seja, sofrendo tração em cima e compressão embaixo. O esquema e gráfico de Momento seriam: 414 Tração 129 A

C Gráfico

– D

Compressão

57 B

Esquema

Em D, temos as maiores tensões de tração (em cima) e compressão (embaixo). Em C e E, teremos condições médias e, em A e B, condições nulas.

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Observemos, como curiosidade, que, por hábito, no primeiro esquema de vigas, admitimos que nos pontos A e B haveria apoios que impediriam a descida da viga. Ora, esse tipo de apoio impede a descida da viga (restrição ou vínculo à descida). Todavia, o cálculo provou que nos pontos A e B a viga tende a subir. Uma viga como essa, com essas cargas atuantes e com os vínculos propostos, jamais teria estabilidade. A viga voaria. O cálculo provou que os vínculos teriam de ser:

Ou seja

Esses tipos de vínculos podem impedir a subida da viga, ao transmitir à mesma, forças R A e R B positivas (sentido contrário ao admitido no início da resolução). Passemos agora ao estudo de uma viga onde atuam as forças seguintes: 100 kN H1

150 kN B

100 kN G

D 50 kN

250 kN

R1 2m

R2 3m

Notemos que, com esse carregamento, não sabemos, a priori, qual o tipo de vínculos que devemos construir em B e E para a estabilidade da viga. Os vínculos propostos em B e E impedem a descida da viga, transmitindo pois as forças verticais R1 e R2. Somente os cálculos dirão se os vínculos propostos são corretos. Se R1 e R2 resultarem positivos do cálculo, então os vínculos são corretos. Se derem negativos, eles devem ser invertidos. Apliquemos as três famosas condições fundamentais: 1.

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Soma de forças horizontais iguais a zero.

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O vínculo em A, para garantir a estabilidade, deve reagir na viga com 100 kN. Isso quer dizer que o vínculo será comprimido com 100 kN. 2.

Soma de todas as forças verticais iguais a zero. Façamos as somas observando os sentidos: R1 + R2 + 50 + 250 – 100 – 150 = 0 ⇒ R1 + R2 = – 50 kN

3. Apliquemos o princípio da soma de todos os Momentos das cargas ativas e reativas (R1 e R2). Em qualquer ponto da estrutura, o “Momento” tem de dar zero. Escolhamos, por acaso, o ponto B (o aluno pode experimentar para todos os outros pontos).

SM = 0 B

Convenção para os momentos.

Girando no sentido horário o momento é positivo.

Como R1 + R2 = – 50 kN ⇒ R1 (–)229 = – 50 R1 = – 50 + 229 = 179 kN Conclusão: o apoio em B está correto e o de E está incorreto. O certo seria o invertido. O esquema certo seria:

F D

Calculemos agora os Momentos Resistentes em cada ponto. Como sabemos, M A = MG = 0. A viga trabalha como se mostra:

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Aula 4 100 kN 100 kN

150 kN B

A 179 kN 2m

229 kN F

50 kN 3m

100 kN

E 250 kN 2m

M +

O cálculo do momento fletor é feito vindo de um ponto (seja o ponto A) com um sentido (para a direita). Em A M A = 100 × 0 = 0 Em B MB = – 100 × 2 = – 200 kNm Em C MC = – 100 (2 + 3) + 179 × 3 = – 500 + 537 = + 37 kNm Em D MD = – 100 (2 + 3 + 2) + 179 (3 + 2) + 50 × 2 MD = 295 kNm Em E ME = – 100 (2 + 3 + 2 + 2) + 179 (3 + 2 + 2) + 50 (2 + 2 ) – 150 (2) = + 253 kNm Em F MF = (–) 100 (2 + 3 + 2 + 2 + 1) + 179 × (3 + 2 + 2 + 1) + 50 (2 + 2 + 1) – 150 (2 + 1) – 229 (1) ≅ MF = 0 kNm Em G MG = 0 Partindo da esquerda para a direita: MA = 0 MB = – 100 × 2 = – 200 kNm MC = – 100 × 5 + 179 × 3 = – 500 + 537 = + 37 kNm MD = – 100 × 7 + 179 × 5 + 50 × 2 = – 700 + 895 + 100 = + 295 kNm ME = – 100 × 9 + 179 × 7 + 50 × 4 – 150 × 2 = + 253 kNm MF = – 100 × 10 + 179 × 8 + 50 × 5 – 150 × 3 – 229 × 1 = 0 MG = 0 Notemos que já sabíamos que MG era nulo, pois não havia à sua direita, força com braço para gerar Momento. A força de 100 kN, aplicada em G, não tem braço em relação a F ou G (braço nulo). Já aprendemos a trabalhar com Momentos Fletores em vigas. Aprenderemos, a seguir, a trabalhar com forças cortantes em vigas.

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4.1.2 FORÇAS CORTANTES(*) (CISALHAMENTO) Já aprendemos a fazer diagrama de Momentos Fletores em uma viga. Outro diagrama importante é o diagrama de Forças Cortantes. Imaginemos uma barra de aço suportando um peso de 400 kN, colocado em uma posição qualquer da viga: P = 400 kN C

5,2 RA

1,8

Como sabemos: R A + RB = 400 kN Pela condição MB = 0, teremos:

(Notaram que, se o peso P ficasse no meio da viga, seria: RA = 200 kN e RB = 200 kN). Como P ficou mais perto de RB, esse foi aumentado no limite, se o peso de 400 kN ficasse no apoio B, então R A = 0 e RB = 400 kN. Na seção A, atua a reação R A, que vale 103 kN. Vinda da esquerda para a direita (de A para B), só existe essa força, que é paralela à seção transversal da viga e que tende a cortar (cisalhar) a viga para cima, ou seja, além dos esforços de flexão da viga causada pelos Momentos, há uma ação de corte (cisalhamento). De A até C essa ação de corte é de baixo para cima. Em C tudo muda, pois entra em ação a força P, que é maior que R A e tende a cortar para baixo. De C até B vale a diferença (P – R A). Graficamente temos: Efeito de corte de baixo para cima e valor 103 kN

P = 400 kN 103 kN

Efeito de corte de cima para baixo e valor 297 kN

– RA = 103 kN

297 kN

RB = 297 kN

_ (*) A existência das forças cortantes em vigas gera a tendência da viga ser cortada seção por seção; isso chama-se cisalhamento.

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Observem que, se viéssemos de B para A, o gráfico seria o mesmo. Ao dimensionarmos essa viga ao cisalhamento, deveríamos considerar que o maior dos valores que vemos no diagrama 297 kN. Considerando agora uma outra viga: 350 kN – RA

10 m

Logo, se uma força é aplicada diretamente no vínculo (A ou B), a reação nesse ponto é igual a essa força. O diagrama de forças cortantes é: 350 kN

O diagrama é nulo de A até B. No ponto B, surge a força cortante. Na verdade, não há força cortante na viga e, sim, no apoio. Se essa força cortante fosse colocada no meio, o diagrama seria: 350 kN 175 kN RA = 175 kN

RB = 175 kN

+ –

175 kN

Neste caso, a viga seria dimensionada para a força cortante de 175 kN. Conclusão: Para vigas simplesmente apoiadas, a condição pior (máxima) de cisalhamento aumenta quando a força cortante se aproxima do apoio.

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Teoria? Claro que não. Pegue um pão (a famosa bengala) e coloque-a sobre dois apoios e verifique onde é mais fácil cortar, se no meio ou nos apoios.

Claro que, quanto mais próxima do apoio, mais fácil é cortar, ou seja, é mais “cortável”, é mais “cisalhável” . Conclusões: Para maiores Momentos Fletores, coloque na viga, simplesmente apoiada, a carga no meio, e nunca perto dos apoios. Para Forças Cortantes coloque a força perto dos apoios. No caso de estrutura, onde a força (carga) circule livremente (por exemplo, nas pontes), deveremos dimensionar a viga para cisalhamento, quando a carga está no apoio e para o Momento Fletor, quando a carga está no meio, ou seja, para o pior dos piores. Quando a carga não anda, dimensiona-se a viga para a situação resultante de carga fixa. Imaginemos, agora, a viga que tem uma carga distribuída de 0,4 kN/m. Calculemos a força cortante. 0,4 kN/m A

B C

O peso total é: 0,4 kN/m x 7m = 2,8 kN

x RA

As reações R A e RB são iguais, pois a carga é uniformemente distribuída, logo R A + RB = 2,8 kN R A = RB R A + R A = 2,8 ⇒ 2R A = 2,8 kN R A = 1,4 kN ⇒ RB = 1,4 kN Consideremos agora a força cortante em A: VA = 1,4 kN

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Consideremos, agora, um ponto C distante x metros de A. A força cortante R num ponto distante x vale: VC = R A – x × 0,4 kNm VC = 1,4 – 0,4 x Se x valer 1 metro: VC = 1,4 – 0,4 = 1 kN Se x valer 2 metros: VC = 1,4 – 0,4 × 2 = 0,6 kN Se x valer 3,5 metros: VC = 1,4 – 0,4 × 3,5 = 0 Se x valer 5 metros: VC = 1,4 – 0,4 × 5 = – 0,6 kN Se x valer 7 metros: VC = 1,4 – 0,4 × 7 = – 1,4 kN Podemos traçar um gráfico (diagrama de forças cortantes): 1,4 kN

+ B

A –

Ou seja, a força cortante adquire máximos nos apoios e se anula no ponto central.

1,4 kN

Consideremos, agora, uma viga engastada em uma parede e sujeita à ação da força V concentrada: V = 100 kN

O diagrama de forças cortantes é:

B A

C A

–

100 kN

10m

Se essa viga, em vez de carga concentrada, tiver carga distribuída de 100 kN/m, os cálculos mostrariam: Carga distribuída = 100 kN/m

x 7m 10m

De A para B, não há força cortante, ou seja, cisalhamento igual a zero. Em B, a força cortante é zero. Em um ponto C qualquer, à distância x de B, a força cortante vale 100 kN/m × x. Se x = 1 m, a força cortante vale: VC = 100 × 1 = 100 kN. Se x = 2 m, a força cortante vale: VC = 100 × 2 = 200 kN.

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Se x = 3 m, a força cortante vale: VC = 100 × 3 = 300 kN. Se x = 7 m, a força cortante vale: VC = 100 × 7 = 700 kN. Podemos fazer um gráfico (diagrama de forças cortantes): A

D – 700 kN

Se fôssemos dimensionar essa viga para cisalhamento, o valor máximo de força cortante seria de 700 kN, que ocorreria em D.

4.2 TENSÕES (ESTUDO DE ESFORÇOS INTERNOS) (*) Imaginemos um peso de 1 kN, colocado uniformemente sobre uma área de 0,5 m 2. Todos temos a noção de pressão, que é divisão entre peso e área, dando, no caso, 2 kN/m 2. Podemos, simplesmente, associar (Figura 1) o conceito de pressão ao conceito de tensão de compressão, valendo em geral a fórmula: P=

F A

Pressão igual à força dividida pela área. A notação correta para tensão (pressão) de compressão é sc que é igual a F/A, logo:

σc =

F A

Imaginemos, agora, um peso de 0,5 kN, sustentado na ponta de uma barra vertical de área de 2 cm 2 (Figura 2). Figura 1 Peso de 1 kN Pilarete com área de 0,5m2

P A 1 = 2 kN/m 2 σc = 0, 5

_ (*) Chamadas de esforços resistentes.

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Figura 2

σc =

Barra, fio, corda área de 2 cm2

σt =

P 0, 5 = = 0, 25 kN/cm 2 A 2

Peso de 0,5 kN

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A “pressão” de tracionamento (puxamento) na barra será calculada como divisão P/A, e a notação é:

σt =

P A

Chamaremos simplesmente de tensão de tração essa pressão de puxamento (esticamento). Imaginemos, agora, duas placas, A e B, ligadas entre si por um parafuso e sofrendo esforços de afastamento, impedidas pelo parafuso.

Placa A

Parafuso (rebite) F

F Figura 3

Placa B

A = área da seção parafuso (rebite) Corte

Toda a força F tende a tentar cortar (cisalhar) o parafuso. Se dividirmos a força F pela área da seção normal do parafuso, teremos a “pressão” de corte atuante no parafuso. Então, a pressão de corte será F/A. A notação é t e vale:

τ=

F A

(A é a área de seção transversal do parafuso). Simplesmente, a pressão de corte chamaremos de tensão de cisalhamento e a força F, de força cortante. No caso da Figura 3, se a força for de 1 kN e a área do parafuso de 4 cm 2, a tensão de cisalhamento será de:

τ=

F 1 = = 0, 25 kN/cm 2 A 4

Temos, pois, três tensões, uma de compressão (peças sendo apertadas), uma de tração (peças sendo esticadas) e outra de cisalhamento (peças sofrendo ação do corte). Todas essas tensões (pelo menos neste nível do curso) serão associadas ao cálculo da divisão do esforço (força) pela área que resiste. As pressões que estão ocorrendo são chamadas normalmente de pressões (ou tensões) de trabalho, tensões de serviço pois são as que efetivamente ocorrem. Tensões limites ou tensões admissíveis são as que não devem ser ultrapassadas para a manutenção da integridade da peça. Os conceitos de tração, compressão e cisalhamento foram aqui introduzidos cada um por si, em exemplos independentes em que eles são, na prática, o único esforço.

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Todavia, em algumas estruturas (por exemplo as vigas) os três esforços podem aparecer juntos e, então, os mesmos conceitos podem ser aplicados, mas verificando-se as situações específicas. Assim, consideramos duas pranchas de madeira ligadas entre si por pregos e servindo de ponte (viga). F Prancha 1 Prancha 2 Seção D A

Devido à deformação que a viga sofre, as fibras superiores da prancha sofrem compressão, ocorrendo pois sc. Nas fibras inferiores, na prancha 2, ocorrem tensões de tração s t. As duas pranchas, sem a existência de pregos, tendem a se deformar livremente uma da outra. A existência de pregos impede que cada prancha se acomode como queira. Ocorre, então, nos pregos um esforço transversal ao seu eixo, resultando aí uma tensão de cisalhamento. Se nos nossos estudos posteriores chegarmos à conclusão que, nas bordas superiores da prancha 1 e no meio do vão, ocorre uma tensão de 0,5 kN/cm 2, podemos dizer que em 1 cm 2 a peça é comprimida aí com uma força de 0,5 kN. Se soubermos que no bordo inferior da seção em D a tração é de 0,45 kN/cm 2, em um centímetro quadrado de seção nesse local ocorre uma tração de 0,45 kN, e os conceitos de tração e compressão apresentados anteriormente são válidos. Se dissermos que a tensão de cisalhamento em A é de 0,1 kN/cm 2, isso quer dizer que em 1 cm 2 de seção em A ocorre uma tendência de corte de 0,1 kN. Verifiquemos mais alguns exercícios simples que permitem conhecer esforços em estruturas: 1.

Qual a tensão (pressão) de cisalhamento nos dois rebites de diâmetro igual a 2 cm que seguram duas placas tracionadas por uma força de 2.000 kgf? Rebite

2.000 kgf = 20 kN 20 kN

20 kN Seção Rebites 20 kN

20 kN

Planta

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A área resistente é a área dos dois rebites. A área de 1 rebite é

Se forem 2 rebites, a área resistente ao cisalhamento é 2 × 3,14 = 6,28 cm 2. A tensão de cisalhamento será:

Qual o esforço de tração de uma barra de aço que é puxada com um esforço de 3,2 kN? A barra de aço é de 3/16” com área de 0,18 cm 2. A tensão de tração é:

3/16”

Peso de 3,2 kN

3. Qual a tensão de compressão em um pilar curto de concreto simples de um edifício que, tendo uma área de 0,3 m 2, recebe um esforço vertical uniformemente distribuído de 3.000 kN? Peso de 3.000 kN

4.3 DETERMINAÇÃO DE TENSÕES DE RUPTURA E ADMISSÍVEIS Imaginemos as três estruturas mostradas nas Figuras 1, 2 e 3 da aula anterior, e suportando forças sucessivamente crescentes, sendo que as áreas (superfícies) resistentes fiquem constantes. No início, quando supomos que a força é pequena, a estrutura resiste bem.

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Com o crescer da força, chega-se a um ponto em que as estruturas começam a se destruir. No caso de compressão, a estrutura resistente é esmagada (aperto de uma barra de manteiga). No caso da tração, a estrutura é rompida (puxar demasiadamente um elástico) e, no caso do cisalhamento, o parafuso é cortado. Para cada material, e para cada caso de tração, compressão e cisalhamento há uma situação limite de ruína (tensão de ruptura). Assim, o concreto simples resiste a uma tensão de compressão de ruptura da ordem de 15 MPa, e a uma tensão de tração de 1,5 MPa (a décima parte). Quando vamos dimensionar uma peça para resistir a um esforço, não podemos escolher um tamanho da peça que vá trabalhar perto da ruptura. Procuramos trabalhar longe da ruptura, ou seja, se sabemos que para carregar um peso de 1 kN, usamos uma corda de seção, que tenha uma tensão de tração próxima de ruptura, procuraremos usar uma corda de maior seção, tal que a tensão na nova situação fique menor. Também não poderemos exagerar ao se usar uma estrutura muito mais resistente, levando à tensões muito menores, pois daí o custo da obra seria proibitivo (ou seja, estaríamos comprando uma corda grossa demais). Daí vem a adoção de tensões admissíveis, que são tensões boas para se trabalhar, ou seja, situações em que as tensões de trabalho são próximas, mas não ultrapassam a tensão de ruína. A tensão de trabalho limite (ou tensão admissível) é sempre, pois, inferior (mas não muito) à tensão de ruína. Um outro momento de reflexão: O conceito de ruína do material não está ligado necessariamente à destruição do mesmo. Às vezes, as tensões causam deformações (alongamentos ou reduções) não desejadas. Nesses casos, o conceito de ruína está ligado mais a limites de deformação do que a limites de destruição física (estado limite de utilização). Quando usamos peças de aço tracionadas (ou comprimidas), verificamos que, quando a tensão atinge certos valores (muito menores do que a ruptura), o aço tende a sofrer grandes deformações. Nesse caso, a tensão limite não é a tensão de ruptura e, sim, tensão de escoamento. Para esses casos a tensão admissível é igual à divisão da tensão de escoamento pelo coeficiente de segurança.(*) Quando se dimensionam estruturas (escolha de uma seção para receber uma força, ou limitação de uma força para uma dada seção), procura-se afastar dos limites que causam a ruína (seja por deformações excessivas, seja por destruição física). Assim, o concreto pode romper quando se passa de 10 MPa de compressão. Chamaremos isso de tensão de ruptura por compressão. _ (*) A NBR 6118 chama os coeficientes de segurança de coeficientes de ponderação. Para as cargas (efeitos, ações) a norma prevê os coeficientes de ponderação das ações e para as resistências dos materiais, a norma prevê os coeficientes de ponderação de resistências. Item 12.4.1, pg. 71.

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Trabalharemos com uma tensão menor do que isso. Trabalharemos com uma tensão admissível, que é a tensão de ruptura dividida por um coeficiente de segurança. O número em que se divide a tensão de ruptura, para achar a tensão admissível, é o coeficiente de segurança (ou vulgarmente chamado de coeficiente de ignorância). Assim, seja um material que tenha uma tensão de ruptura por tração de 300 MPa. Usando-se coeficiente de segurança 2, usa-se uma tensão admissível de tração de 15 kN/cm 2 (150 MPa). Assim, seja um exemplo de aplicação desse material: Qual o diâmetro do fio desse material, apto a carregar (puxar ou tracionar) um peso de 30 kN?

ø=?

Logo:

Peso de 30 kN

No caso de barras de aço, onde a área cresce não continuamente (a área de seção de barras de aço cresce em função dos diâmetros comerciais), muitas vezes ocorre de trabalharmos com tensões bem inferiores à tensão admissível, face ao fato de as áreas resistentes serem aquelas que resultam dos diâmetros padrões das barras de aço, e não serem as áreas que necessitamos. No caso de estruturas de concreto, onde moldamos as áreas que queremos, as tensões de trabalho são, em maior número de casos, mais próximas às tensões admissíveis. Façamos agora algumas observações sobre os coeficientes de segurança (Coeficiente de ponderação). Quanto mais regular e confiável é o material, menor precisa ser o coeficiente de segurança; quanto menos confiável, maior deve ser o coeficiente de segurança. O aço, que é fabricado sob controle em usinas e a partir de severo controle de matérias-primas, exige pequenos coeficientes de segurança, permitindo-se aproximar dos valores-limites. No concreto de obra comum, em que há grandes variedades de composição, o coeficiente de segurança tem de ser maior. Como valores de referência, temos (item 12.4.1 pg. 71 da norma NBR 6118):

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concreto = coeficiente de segurança médio 1,4; aço = coeficiente de segurança médio 1,15 (não em relação à tensão de ruptura, mas, sim, em relação à tensão de escoamento). Além de coeficiente de segurança para a fixação da tensão admissível, existe também o coeficiente de segurança para cargas. Nesse caso, o coeficiente de segurança como que aumenta o esforço. (Coeficiente de ponderação). Para casos em que a carga é bem conhecida (caso de reservatório de água, onde a altura d’água não é ultrapassada), podemos usar coeficiente de segurança até 1. Em geral, usa-se coeficiente de segurança sempre maior que 1, face à incerteza das cargas. Assim, seja o dimensionamento do cabo de aço, que serve o elevador que carrega vinte pessoas (dimensionamento estático, sem levar em conta o esforço na aceleração). Seja de 20 kN o peso próprio do elevador (peso conhecido e sem variação). No Brasil, em média adota-se o peso médio por pessoa de setenta quilos (verifique no seu prédio a placa do elevador, o número de pessoas e da carga admissível e veja como é setenta). Ora, às vezes entram os gordinhos. Usaremos, face a isso, um coeficiente de segurança 1,2 para o peso das pessoas. Admitamos 20 pessoas. Logo, o peso total a ser levantado pelo elevador será: Peso = 2.000 kgf + 20 × 70 × 1,2 = 3.680 kgf = = 36,8 kN.

Roldana

Logo, o peso de projeto adotando o coeficiente de segurança 1,2 para o peso das pessoas é de 36,8 kN. Adotando-se um coeficiente de segurança de 1,15 para o cálculo de tensão admissível do aço. Seja 30 kN/cm 2 a tensão limite de aço

Cabo de área A Contrapeso

(Seção transversal)

Logo:

Para esse caso, o diâmetro do cabo de aço será: ø 16 mm(*) que tem área de 2 cm 2 > 1,4 cm 2. _ (*) Ver Tabela-Mãe, aula 2.1, pg. 32 deste livro.

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Elevador

Peso total

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Aula 4

Conclusão: o coeficiente de segurança de cargas leva em conta o conhecimento da situação. Se as cargas são bem conhecidas (reservatório de água), esse coeficiente pode quase chegar a ser 1. Se as cargas são desconhecidas (caso de variação de peso de pessoas no elevador), o coeficiente deve aumentar, podendo chegar a 2, 3 ou mais. Um exemplo de talvez elevado coeficiente de seguranca são as cargas previstas nos projetos de lajes em prédios de apartamentos (em geral 1 kN/m 2 a 3 kN m 2). Esse carregamento pressupõe uma alta utilização de cada apartamento, o que em geral não ocorre. Esse possível excesso de segurança representa uma folga no dimensionamento das lajes e vigas e representaria uma maior segurança nos pilares, já que o cálculo deveria então admitir que todo o prédio de apartamentos estivesse carregado. Com essa carga, os pilares trabalhariam bem folgados, o que estatisticamente não deve ocorrer, pois seria impossível que todos os apartamentos ao mesmo tempo estivessem totalmente ocupados. Em prédios de escritório, essa folga adicional dos pilares diminui, já que para esses prédios a ocorrência simultânea pode ocorrer com mais frequência. Prevendo que alguns andares de um prédio de apartamento podem estar totalmente carregados (afetando, pois, lajes e vigas), enquanto dificilmente os outros andares também estariam na mesma hora, a norma “Cargas para cálculo de estruturas de edifícios” permite um alívio de carregamento dos pilares, ou seja, eles não precisam ser previstos para resistir como se todo o prédio estivesse carregado.

4.4 DOS CONCEITOS DE TENSÃO DE RUPTURA E TENSÃO ADMISSÍVEL AOS CONCEITOS DE RESISTÊNCIA CARACTERÍSTICA E RESISTÊNCIA DE CÁLCULO Quando se folheiam os velhos e os novos livros de Resistência de Materiais, assim como velhas normas e ainda a aula 4.3 deste curso, encontram-se lá os conceitos de tensão admissível, tensão de ruptura e coeficientes de segurança. O que significavam (ou significam) esses conceitos? Assim, quando se diz que a tensão de ruptura média à tração da madeira cedro era de 2,7 kN/cm2, adotando-se um coeficiente de segurança 3, tínhamos a tensão admissível (ou seja a tensão máxima de trabalho) de 0,9 kN/cm 2. Como se estimava a tensão de ruptura? Pegava-se um lote de peças, submetia-se o lote a um teste padrão de ruptura à tração e tirava-se a média aritmética dos resultados. Vê-se, dessa maneira, que o conceito de tensão de ruptura estava ligado a um conceito médio, abstraindo-se da análise estatística de dispersão dos resultados.

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Sem dúvida que, ao se estabelecerem os coeficientes de seguranca, que eram usados para dividir a tensão de ruptura, para se achar a tensão admissível, levavase qualitativamente em conta essa dispersão. Assim, para materiais como a madeira, que apresentam grande variabilidade de resultados no teste de ruptura, usavam-se coeficientes de segurança altos (3 ou 4). Para materiais como o aço, que apresentam grande uniformidade de resultados, usavam-se coeficientes de segurança menores. Com a evolução da norma NBR 6118, alteraram-se esses conceitos. Ao invés de tensão de ruptura estimada, como a média aritmética de resultados, temos o conceito de valor característico, que é o valor que apresenta uma probabilidade prefixada de não se ultrapassar no sentido desfavorável. Em geral, considere-se como valor característico o valor que tem a certeza de que, no máximo, 5% dos resultados das amostras lhe são desfavoráveis. O coeficiente de segurança passa agora a ser substituído pelo coeficiente de ponderação de resistência (para os valores característicos dos materiais) e coeficiente de ponderação de ações (para os valores característicos das ações). O conceito de tensão admissível passa a ser substituído pelo conceito de valor de cálculo (sd). Lembramos que não é apenas uma questão de nomenclatura, mas uma substituição de conceitos. A norma usa um conceito estatístico. O quadro a seguir apresenta as substituições ocorridas. Conceito antigo Resistência média

sc, st, t Tensão admissível sc, σt, τ

Conceito novo Valor característico do material, ex. ⇒ fck - concreto à compressão fyk - escoamento do aço ⇒ Valor de cálculo fd (d = design = projeto) Coeficiente de ponderação de resistência

Coeficiente de segurança ⇒ Coeficiente de segurança de carga

⇒ Coeficiente de ponderação de ações (g f)

Carga

⇒ Ação característica (Fk)

Carga majorada pelo coeficiente de segurança ⇒ Valor de cálculo de ação (Sd = g f · Fk)

A NBR 6118 apresenta vários exemplos de coeficientes de ponderação de resistência.

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•

Coeficiente de minoração do concreto (g c) = 1,4 — item 12.4.1 da norma;

•

Coeficiente de minoração do aço (g s) = 1,15 — item 12.4.1 da norma;

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Aula 4

•

Coeficiente de ponderação de cargas (g f) = 1,4 – item 12.4.1 NBR 6118;(*)

•

Para obras de pequeno vulto o coeficiente de minoração do concreto e aço deve ser multiplicado por 1,1 (item 12.4.1) resultando g c = 1,4 × 1,1 = 1,54.(**)

Do exposto, compreendem-se as fórmulas: (A tensão de cálculo do concreto à compressão é a divisão do valor característico pelo coeficiente de ponderação de resistência do concreto.) (A tensão de cálculo do concreto à tração é a divisão do valor característico da tração do concreto pelo coeficiente de ponderação de resistência do concreto.) (A tensão de cálculo do aço ao escoamento é a divisão do valor característico do escoamento pelo coeficiente de ponderação de resistência do aço.) Mas passemos a um exemplo com finalidade didática, que procurará explicar detalhadamente o assunto. Seja um pequeno cubo de concreto com 10 cm de aresta. Sobre este cubo, coloca-se uma caixa de água, de peso próprio desprezível, e de altura enorme. Qual é a máxima quantidade de água que posso colocar dentro para não romper o apoio? O fck do concreto é 25 MPa. Resolução: Quem age é o peso da água, que deverá sofrer majoração devido ao coeficiente de ponderação de esforço (g f). Quem resiste é o concreto que terá sua resistência (valor característico) considerada minorada, devido à obrigatoriedade do coeficiente da ponderação da resistência (g c). Vamos aos cálculos. Seja o croqui:

h=? Cubo de concreto área 12 x 12 = 144 cm2

1 MPa = 10 kgf/cm2 100 kgf/cm2 = 1 kN/cm2 1 kN = 100 kgf 1 tf = 10 kN

Para sabermos a máxima tensão em que poderemos solicitar o concreto, dividi(*) Ver pg. 71 da NBR 6118. (**) Ver pg. 71 da NBR 6118.

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mos fck/g c:

Essa é a máxima tensão de trabalho. Multiplicando essa tensão pela área do cubo de concreto, teríamos a máxima força que poderia atuar. Logo: 1,78 × 144 = 256,3 kN O coeficiente g c usado é somente para cobrir as deficiências da resistência do material. Temos de ter cuidado. No caso de caixas-d’água, face a seu volume definido, essa força não pode aumentar quase nada, mas em outras estruturas podem ocorrer variações. Face a isso, é necessário usar o chamado coeficiente de ponderação de esforços. A máxima carga que pode ocorrer é aquela que, majorada, dá 178 kN. Logo, ela vale:

Conclusão: a caixa-d’água só pode ter água com peso de 127 kN (com coeficiente de majoração, chega a 178 kN), que resultará no concreto em uma tensão de 17,8 MPa de compressão, que é a máxima tensão de projeto (tensão de trabalho) correta para um concreto de fck 25 MPa = 250 kgf/cm 2. Fácil não? Notas 1) Não foi considerado, por facilidade de exposição, o chamado efeito Rusch,(*) que corresponde a um coeficiente de minoração adicional da resistência do concreto (item 15.3, pg. 100 da NBR 6118). Mas ele está considerado nas tabelas de dimensionamento de esforços de flexão (lajes e vigas) deste livro. A NBR 6118, nesse item 15.3, chama o efeito Rusch de “efeito de carga mantida”. 2) Neste livro, as tabelas para o dimensionamento de lajes maciças e vigas (coeficiente k3 e k6) já incorporam os coeficientes de ponderação de cargas (aumentando-as), os coeficientes de ponderação de resistência (diminuindo-os) e o chamado Efeito Rusch (0,85) que diminui a capacidade de resistência do concreto. (*)

Efeito Rusch também chamado “efeito da carga mantida”. Ver item 15.3, pg. 100 da NBR 6118/2014.

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5.1 MASSAS LONGE DO CENTRO FUNCIONAM MELHOR, OU O CÁLCULO DO MOMENTO DE INÉRCIA (I) E MÓDULO DE RESISTÊNCIA (W) Peguemos uma barra de madeira de seção tipicamente retangular (um dos lados (a) bem maior que o outro (b)). Vamos usar essa barra como viga, para vencer um vão L e suportar um peso P em duas condições: a barra deitada e a barra de pé. P b C A

Seção da viga Posição 1 de pé

C A

b Seção da viga Posição 2 deitada

Vemos, com o sentimento (*) que a barra da posição 1 tem menor deformação e vai ter menor flecha do que a mesma barra deitada na posição 2. Calculemos os Momentos Fletores em um ponto C no meio da viga: R A + RB = P _ (*) Engenharia também é sentir criticamente.

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Concreto Armado Eu Te Amo P C

L/2

Sabemos que R A = RB, logo:

Pelo cálculo, vê-se que, qualquer que seja a posição da barra (deitada ou de pé), o Momento Fletor máximo (em C) vale MC = P × L/4, igual para os dois casos. Mostra também a experiência que se aumentarmos gradativamente P, a barra deitada (posição 2), muito antes do que a na posição de pé, apresentará em seus bordos tensões excessivas e romperá. Com o mesmo peso P, a viga na posição de pé (posição 1) ainda resiste galhardamente. Ora, as duas vigas têm igual: Momento Fletor, mesma forma (a e b) e material (por exemplo, madeira). O que altera entre uma e outra? A disposição é que é diferente (barra deitada ou barra em pé). Fazendo-se um corte transversal em C, teríamos: b

Linha neutra (LN)

Compressão Tração

Seção da viga posição 1

a Linha neutra (LN)

Compressão Tração

Seção da viga posição 2

Sabemos que, em qualquer dos casos, nas bordas superiores há o máximo de compressão, que cai a zero quando se aproxima do eixo (linha neutra), e o esforço de tração cresce da linha neutra até o máximo no bordo inferior. Chamaremos de s (sc ou st) esse valor limite. Pode-se demonstrar que a variação de tensão da tração ou compressão obedece à lei: para um ponto z.

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z x LN

Momento fletor

Ou seja, a tensão de tração (ou compressão) de um ponto qualquer de uma seção da barra é função do Momento Fletor, da distância do ponto ao eixo da barra (X) (linha neutra), de uma quantidade denominada “Momento de Inércia” (I), que mede o afastamento das áreas em relação a um eixo que passa pelo centro da figura. Vamos introduzir com mais cuidado esse conceito de “Momento de Inércia” (I). Consideremos uma seção retangular a × b e um eixo x que passa pelo centro da figura e perpendicular a um dos lados. b S1 X

Seja S1 a área de um pequeno trecho, e x1 a distância dessa área ao eixo X. Calculemos a soma de todos os elementos da área (S1, S2 , …Sn) multiplicados, cada um deles pelo quadrado de sua distância (x2), em relação ao eixo X. Por definição, o Momento de Inércia (I) será, então:

De uma forma mais elegante e a mais correta:

O Momento de Inércia (I) não mede a somatória das multiplicações das áreas pelas distâncias ao eixo considerado, mas pelo quadrado da distância. _ (*) Antigamente o símbolo de I era J. (**) Um querido professor de engenharia (J.M.A.N.) disse-me. “Botelho, ponha ao menos uma integral no seu livro. Para algumas pessoas isso dá um gabarito todo especial ao trabalho”. Segui a instrução. A integral aí está.

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Concreto Armado Eu Te Amo

Assim, o mesmo retângulo (a × b) terá Momentos de Inércia completamente diferentes, desde que o eixo considerado seja paralelo ao lado maior, ou seja paralelo ao lado menor. a b b

Posição 1 Posição 2

Conclui-se, pois, que: Iposição 1 < Iposição 2 O Momento de Inércia (I) está tabelado para as figuras geométricas principais, sendo, pois, uma medida de área dessa figura multiplicada pela distância ao quadrado da mesma, a um eixo considerado. No nosso caso, o eixo é X. (*)

(*)

O conceito de I está intimamente ligado ao eixo considerado, uma mudança de eixo altera por completo valor de I. Verifiquemos em um exemplo, como varia I, ao invertermos a posição de um retângulo 10 × 30 cm em relação a um eixo X: 30 cm

30 cm

10 cm

Posição 1 Posição 2

ou seja, o Momento de Inércia de seção em pé é:

(nove vezes maior) do

que o da seção deitada. _ (*) Essas fórmulas derivam de

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Voltemos agora ao caso da barra fletida. Sabemos que, para conhecer a tensão de tração ou compressão em qualquer ponto da mesma, a fórmula é: B x

X — eixo x — distância de uma área ao eixo x

Ora, dada a peça, dado o carregamento, o valor de s, (tensões de tração e compressão) dependerá do ponto B, de sua distância ao eixo x e do I. Quanto maior I, menor s. Essa é a razão pela qual, nas vigas retangulares, a dimensão maior é sempre colocada na vertical, e a dimensão menor fica na horizontal, como mostrado na Figura 1, a seguir: b h h Figura 1 (viga)

b Figura 2 (cama)

Seção da viga

Ou seja, colocam-se, regra geral, as vigas em situações que dão mínimas tensões (máximos Momentos de Inércia). As vigas das camas, que suportam o peso de uma pessoa deitada, são colocadas na horizontal para maior deformabilidade (desde que não sejam rompidas), e, com isso, consegue-se maior conforto ao usuário. É o caso da Figura 2. Calculemos agora um exemplo prático: Seja uma viga de madeira de 10 3 30 cm, biapoiada, sujeita a um esforço de 30 kN/m e vencendo um vão de 2 metros. Calculemos as tensões de compressão e tração: p = 30 kN/m

10 cm

Deformação da viga

30 cm C 100 cm 200 cm

Posição da viga (de pé)

C L

Sabemos que essa viga será mais solicitada, em termos de Momento Fletores, na posição C (meio do vão). Será, pois, em C que ocorrerão as maiores tensões de compressão e tração. Na seção C, o Momento Fletor será:

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Concreto Armado Eu Te Amo sc

Logo:

Na seção em C, admitindo-se que a viga foi colocada de pé, temos:

sc (Compressão)

4 2 LN

10 x 5

1 3

eixo x

10 5

MFletor

Seção em C st (Tração)

Conclusão: A tensão será máxima para o máximo valor de x (x = 15) e será mínima para x = 0 (linha neutra, ou seja, linha sem tensões). Seja o ponto 1 no eixo X, para ele x = 0, logo sc = st = 0 (o ponto está na linha neutra). Seja o ponto 2, na área de compressão, distante 5 cm do eixo X (x = 5 cm). A tensão de compressão será: sc = 66,6 × 5 = 333 N/cm 2. Para o ponto 3, distante de 10 cm na área de tração: st = 66,6 × 10 = 666 N/cm2. As tensões extremas de tração e compressão serão: sc = st = 66,6 × 15 = = 999 N/cm2 = 0,999 kN/cm2. Conclusão: Essa viga, sofrendo este carregamento, sendo biapoiada, apresenta Momento Fletor máximo no meio (seção C). Na seção em C, ocorrerão nas bordas as maiores tensões de compressão e tração e que valerão 0,999 kN/cm 2 .

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Acho que pelos exemplos dados ficou claro que é fundamental, nas peças submetidas à flexão, o conceito de Momento de Inércia (medida das áreas multiplicadas pelo quadrado das distâncias à linha neutra). Isso explica o fato de se usarem como vigas peças que têm grande Momento de Inércia, como, por exemplo, os perfis metálicos. Assim, o perfil metálico “I” é um claro exemplo de “fuga de área” da linha neutra: O retângulo está bem distante da LN. X

(LN) Alma Corte

Aba

Observar como as áreas estão longe do eixo de simetria X. X

x LN

Os outros tipos de perfis metálicos fazem o mesmo. Para se ter o máximo de I, o importante não é ter área próxima da linha neutra e, sim, afastada. Áreas próximas da linha neutra pouco contribuem para o aumento do Momento de Inércia, mas podem aumentar bastante o peso próprio da viga. Por isso mesmo, é comum o uso de seções vazadas, pois a perda da área vazia reduz muito pouco o Momento de Inércia e reduz muito o peso próprio da viga. Se analisarmos as estruturas dos automóveis, veremos várias nervuras normalmente colocadas no centro de placas que sofrem esforços e que poderiam gerar flexões, e, diante disso, as finas espessuras das chapas podem resistir. Essas nervuras são maneiras de aumentar o Momento de Inércia da estrutura resistente, diminuindo, com isso, os esforços gerados. A própria forma abaulada dessas chapas tem também essa função. Se analisarmos o capô do carro Volkswagen(*), notamos claramente a sua forma abaulada e uma nervura no meio desse capô: Vento

Resistência da estrutura do carro Chapa com nervura central

Símbolo

Resistência de estrutura do carro

Corte

_ (*) Nota histórica: quando este texto foi esboçado, meados dos anos 1970, o carro dominante no Brasil era o inesquecível “Fusca”!

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Embora neste curso não estudemos as teorias das placas, pode-se, em primeira aproximação, dizer que a viga da Figura 1 tem maior “I” do que a viga da Figura 2. A forma abaulada e as nervuras das placas dos carros têm por objetivo aumentar o seu “I” (afastando todas as áreas do eixo).

Figura 1

Figura 2

Como, em geral, nas flexões das barras, o interesse é conhecer as tensões de tração e compressão máximas (que ocorrem nas bordas das seções), a relação x/I pode ser tabelada. Como

, se chamamos

, o símbolo W é o Módulo

de Resistência. Com a introdução do conceito de Módulo de Resistência (W), as tensões de tração e compressão, na extremidade das peças, são calculadas diretamente pela divisão do Momento Fletor na seção, pelo Módulo de Resistência. Os Módulos de Resistência W e I, são tabelados e valem para as figuras mais comuns:

p = 3,1416… Tabela T-3 — Momentos de Inércia e Módulos de Resistência Seções B

Momento de Inércia (I) Módulo de Resistência (W)

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Exemplos de aplicação de W (que nada mais é do que calcular direto o sc e o st máximos que ocorrem nas bordas). Seja uma viga circular de madeira, com diâmetro de 40 cm (d), vencendo um vão de 2 metros e sujeito a uma carga centrada de 40 kN, como o esquema abaixo. Calcular as tensões máximas de compressão e tração. Viga com seção circular d = 40 cm

4.000 kgf

A 130

B M

70 +

200

Esquema:

Logo: 40 kN 130 RA

70 200

O Momento máximo é em C e vale MC = R A × 130 = 14 × 130 = 1.820 kNcm. A tensão de compressão é máxima no bordo superior e é igual à tensão máxima de tração no bordo inferior:

Voltamos a uma observação já feita. Quando introduzimos o conceito de tração e compressão, o fizemos através de barras sofrendo só esse esforço. No caso das barras fletidas(*), o conceito de tração e compressão é o mesmo. _ (*) Barra fletida é o mesmo que barra dobrada.

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Assim, seja a viga: Seção em C temos: 3

Na seção C, ocorre o maior Momento Fletor. Na seção em C, no ponto 1, não há esforço, é a linha neutra. No ponto 3, há uma tensão de compressão e no ponto 2, de tração. Para uma área DS em 3 ou DS em 2, elas funcionam como se fossem os esforços que ocorrem em barras. Ponto 2

Em 2 há tração

Em 3 há compressão

Ponto 3

Poderíamos fazer um gráfico, mostrando a evolução das tensões de tração e compressão: 0,29 kN/cm2 15 cm LN 15 cm 0,29 kN/cm2

Analisando o material (tipo de madeira) a usar (e olhando-se só o fenômeno de flexão e esquecendo o cisalhamento), vemos que teríamos de escolher uma madeira que tivesse uma tensão admissível de tração (e de compressão) maior do que 0,29 kN/cm 2. Não há necessidade de calcular tensão de tração e compressão em outros pontos da viga, pois o Momento Fletor é máximo na seção em C, e como as tensões são proporcionais aos Momentos Fletores, as tensões máximas de tração e compressão ocorrem em C.

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Calculemos agora (por curiosidade), se a mesma viga do exercício da pág. 93 fosse colocada deitada. O Momento Fletor máximo seria em C e valeria também:

Seção da viga (posição da viga deitada) 30 cm A

10 cm

x = 5 cm X

L = 200 cm

Agora o I varia, já que a menor dimensão ficou como altura e a maior dimensão ficou como base:

Como o maior valor de x é 5 cm (metade de altura), os valores máximos de st e sc serão: st = sc = 600 × 5 = 3.000 N/cm2, bem maior do que o achado no caso anterior.(*) Conclusão: Para vencermos vãos, devemos colocar a peça em posição tal que gere maiores Momentos de Inércia (I) e, com isso, as tensões que ocorrerão serão menores do que se colocada a barra em outra posição. É importante destacar que não devemos confundir resistência com estabilidade. Não há dúvida que uma prancha de 10 × 30 cm tem maior estabilidade deitada do que de pé. Como a posição de pé dá maior capacidade de resistência, é comum em pontes ferroviárias, onde se usam grandes perfis “I”, contraventá-los para evitar sua queda, superando, assim, sua menor estabilidade. Vimos que para vigas é importantíssimo conhecer o seu Momento de Inércia. Dadas duas vigas de iguais vãos e cargas, a viga que será menos esforçada será aquela, cuja forma e posição gerem maior Momento de Inércia (I) (ou Módulo de Resistência W). Logo, ao se construir vigas, devemos procurar formas de alto I. Como I não é função simples de distância das áreas, mas sim de distância ao quadrado, voltamos a insistir que devemos procurar formas que afastem massas do centro. Vejamos algumas dessas formas que afastam massas do centro, aumentando sua distância.

MFletor

_ (*) No caso anterior (Viga de pé) st = sc = 999 N/cm2.

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Pensemos e raciocinemos L = 2 m = 200 cm Viga b = 10 cm h = 30 cm

{

Viga de pé

Viga deitada

Carga igual a 30 kN/m Deformação por flexão (dobramento)

Deformação por flexão (dobramento)

Mínima deformação

Grande deformação

Tensões limites nas bordas no meio do vão

st = sc = 999 N/cm 2

st = sc = 3.000 N/cm 2

Claro que essas vigas devem ser sempre colocadas na construção nessa posição, pois, se deitarmos como a seguir, os Momentos de Inércia e os Módulos de Resistência seriam muito menores, como já vistos. Para peças que podem ficar em várias posições (postes sendo transportados), ou seja, em que o Momento atua em todas as direções, há o interesse em construirem-se seções em que o I (ou W) não varie. A seção circular é perfeita para isso, pois, para qualquer eixo que passe pelo seu centro, I (ou W) será constante. E como o que importa são áreas distantes e não áreas próximas do eixo, os postes são vazados; com isso I (ou W) é diminuído muito pouco (perda da área vazia), mas economiza-se concreto e a peça fica mais leve, facilitando o transporte. X

MFletor

Para situações em que o peso próprio da estrutura-suporte é significativo, ou seja, em estruturas onde a carga externa adicional é desprezível ou pequena, como,

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por exemplo, em telhados e coberturas, há a maior vantagem de se usar seções com o mínimo peso e o máximo de I. Assim, se formos tentar cobrir com o maior vão possível uma área e tivermos barras de madeira com a forma retangular, se fizermos cortes tornando-a I, sem dúvida I diminui um pouco, mas o peso próprio será muito mais diminuído, e, assim, a viga poderá vencer vãos maiores. Revisemos o assunto através de algumas reflexões: Como um exemplo bastante feliz de importância de forma na resistência de uma peça, tente vencer um vão (L ≈ 20 cm) com uma folha de papel. Impossível, não? Com o simples peso próprio da folha de papel, ela cede

Peguemos a folha e transformemos, por dobras, em um formato de calha. Você verá que, agora, a mesma folha vence facilmente o vão, podendo até, além de aguentar o seu peso próprio, receber alguns lápis como sobrecarga.

Apoio B

Apoio A

Qual a razão? O I de uma folha de papel sem dobra é praticamente zero, pois as áreas estão praticamente no eixo (espessura de décimos de milímetros). Na forma de calha, o I é muito maior, devido ao fato de as áreas se afastarem do eixo (linha neutra). Todas as estruturas que vencem vãos procuram apresentar formas que afastem áreas do eixo. As telhas francesas, as telhas canal e os calhetões têm formas desse tipo: X

X Corte de uma telha francesa, a forma dá maior I

X Corte de uma telha canal, a forma circular dá maior I

Corte de uma telha calhetão, a forma dá maior I

Lembramos que telhas são vigas ou minilajes.

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O conceito de Momento de Inércia está sendo introduzido nas estruturas que sofrem esforços de flexão. Ele também é importantíssimo no estudo de pilares. Um pilar, em geral, cede pelo lado do eixo que tem o menor I. Uma folha de papel é uma chapa plana de aço têm Momento de Inércia praticamente nulo e, face a isso, é impossível colocá-los de pé. Mas se quisermos fazer dobras, então essas estruturas poderão ficar de pé. x y

A razão é que criamos Ix e Iy consideráveis e que então resistem em qualquer direção em que se tente virar a estrutura.

5.2 DIMENSIONAMENTO HERÉTICO (*) DE VIGAS DE CONCRETO SIMPLES Observação: No mundo do concreto armado, falar em vigas de concreto simples é blasfêmia da grossa, já que as normas exigem armadura em qualquer viga. Damos estes exemplos apenas para treinar conceitos. Na verdade, não é tão blasfêmia assim falar em vigas de concreto simples, já que existem vigas de barro (que são as telhas), só que não podem receber outro esforço do que o próprio peso. Nos problemas seguintes, dados o carregamento e vãos a serem vencidos por vigas de concreto simples, vamos determinar as seções da viga. Em outros casos, dadas as dimensões das vigas e as cargas, vamos verificar os vãos possíveis de serem vencidos. E, em últimos casos, dados a viga e o vão, iremos determinar as cargas que ela pode receber. As vigas serão verificadas para ver se elas suportam: • • •

as tensões máximas de compressão, causadas pelo Momento Fletor; as tensões máximas de cisalhamento, causadas pelas Forças Cortantes; as tensões máximas de tração, causadas pelo Momento Fletor.

Admitiremos:

g ⇒ 24 kN/m3

peso específico do concreto simples, valor conservativo, já que ele é menor, sendo 25 kN/m3 o valor médio do concreto armado, que é mais pesado.

_ (*) Herético - o que vai contra o estabelecido nas normas e nos costumes.

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sc adm ⇒ 0,8 kN/cm2 tensão admissível de compressão; st adm ⇒ 0,1 kN/cm2 tensão admissível de tração; sadm ⇒ 0,5 kN/cm2 tensão admissível de cisalhamento. 1° Problema:

Qual o maior vão que uma viga de concreto simples de 30 × 20 cm pode vencer recebendo só o peso próprio? O peso específico é 24 kN/m3. Um metro de viga terá o volume de 1,00 × 0,2 × 0,3 = 0,06 m3. O peso de um metro da viga será:

Logo, essa viga terá um peso uniformemente distribuído de 1,44 kN/m. O esquema do carregamento será: g = 1,5 kN/m = 1,50 kN/100 cm

C RA

Carregamento uniforme de 1,5 kN/m, as reações são iguais (simetria do carregamento) R A = RB. O peso total da viga que será suportada pelas reações será:

O Momento máximo ocorre em C, e, como sabemos, é:

Na viga retangular, temos:

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C A

Compressão

sII = sC

Tração

Seção da viga em C

Diagramas de tensão sI = st

O máximo de compressão se dará no bordo superior, e o máximo de tração, no bordo inferior. Para se conhecer esses valores máximos, que são iguais entre si (em concreto simples), a fórmula será:

sI ⇒ maior tensão de tração do concreto; sII ⇒ maior tensão de compressão do concreto. O Módulo de Resistência W de uma seção retangular é:

Logo: Analisemos L no caso de compressão: sc adm = 0,8 kN/cm 2.

Logo, a limitação pela compressão é que essa viga tenha 11,31 m. Vejamos agora a limitação pela tração:

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Vemos que a limitação cai a 4 m, fato conhecido por ser a menor resistência à tração do concreto, sua grande limitação para ser usado como viga. Calculemos agora o máximo de força cortante que ocorre: g = 1,5 kN/m

gxL — 2

C RA

g = carga distribuída

A L

gxL RB — 2

B –

gxL — 2

Onde P é a carga distribuída (no nosso caso, 1,5 kN/m = 1,5 × 10 –2 kN/cm). O máximo de força cortante é:

Como sabemos, a tensão máxima de cisalhamento ocorre não no bordo superior nem no inferior, mas na linha neutra.

Para vigas retangulares, a máxima tensão de cisalhamento ocorre no ponto de máxima força cortante e vale na flexão:

Vejamos que o vão que poderíamos vencer seria: Só levando em conta a tensão máxima de compressão ⇒ 11,3 m. Só levando em conta a tensão máxima de tração ⇒ 4 m. Só levando em conta a tensão máxima de cisalhamento ⇒ 266 m.

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Conclusão: As limitações de tração é que limitam as vigas de concreto simples. Vemos aqui a razão para embutirmos uma barra de aço na parte inferior da viga, e que o aço responda pela tração, permitindo, assim, vencer grandes vãos (teremos, então, o concreto armado). 2° Problema: Qual a maior carga vertical ascendente que podemos aplicar em uma viga de concreto de 10 × 15 cm em um balanço de 40 cm?

Encaixe (Engastamento)

10 1 LN

L = 40 cm

P (reação)

P (ação)

Seção transversal

MB Momento do engaste na viga L

Neste caso, haverá Momento máximo em B e, nesse ponto, tração máxima na borda inferior e compressão máxima na borda superior.

A conclusão a que chegamos foi baseada na limitação da tensão de tração. Como já vimos, podemos esquecer o assunto compressão máxima, pois o limitativo é a tração máxima. Verifiquemos se o cisalhamento não é limitação. O diagrama de força cortante é constante, como a seguir se mostra: P

P +

A tensão máxima de cisalhamento que ocorrerá será:

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Vê-se que, pelas limitações do cisalhamento, a estrutura resiste até um peso de 50 kN. Logo, a limitação será 0,94 kN e levou a barra a ter tração limite (tensão de tração admissível). O esquema de dimensionamento de vigas de concreto simples, madeira ou concreto armado, é sempre o mesmo. Verificam-se os esforços externos e os esforços internos, calculam-se os máximos Momentos Fletores, gerando as maiores tensões de tração e compressão, e calcula-se o máximo cisalhamento; determinam-se as seções resistentes que resistam às tensões de compressão, tração e cisalhamento. Na verdade, existem no concreto armado outras condições que se devem verificar: •

Máximas deformações que as estruturas devem sofrer.

•

Máximas fissuras (aberturas) na zona tracionada do concreto, que as vigas podem ter. Na verdade, essa condição só se verifica no concreto armado em que o concreto pode fissurar, diante da tração, sem maiores problemas, pois quem responde à tração é o aço. Para as heréticas vigas de concreto simples, não pode haver fissuras, pois, senão, a viga se rompe por completo.

•

Aspecto de custo (*).

_ (*) Segundo um saudoso professor, aula ou livro que não destaca o conceito de custo, de alguma coisa pode ser, mas de engenharia não o é.

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5.3 O QUE É DIMENSIONAR UMA ESTRUTURA DE CONCRETO ARMADO? Dimensionar uma estrutura de concreto armado é determinar a seção de concreto (formas) e de aço (armadura) tal que: •

a estrutura não entre em colapso (estado-limite último);

•

seja econômica (estado limite do bolso do proprietário);

•

suas eventuais fissuras não sejam objetáveis (estado-limite de serviço);

•

suas flechas não sejam objetáveis (estado-limite de serviço);

•

apresente boa proteção à armadura, impedindo sua corrosão, que poderia, a longo prazo, levar à ruína a peça (cobrimento);

•

se a estrutura for deficiente, seja por causa própria, seja por excesso de carga, ela dê sinais visíveis ao usuário, antes de se alcançar sua ruína (condição de aviso).

•

seja durável.

Nota 1: Há prédios e pontes de estrutura de concreto armado construídos nos anos 20 e 30 no Brasil (século XX), que são usadas intensamente até hoje, sem nenhuma reforma ou manutenção estrutural. Exemplos: o prédio A Noite (Praça Mauá), no Rio de Janeiro, e Prédio Martinelli, em São Paulo. Nota 2: Até o final dos anos 20, todo o cimento usado no Brasil era importado da Europa, vindo em barricas por via marítima.

À direita da foto, o prédio Martinelli, SP dos anos 1930. No fundo, o prédio do Banespa dos anos 1940, e, à esquerda (vista cortada), prédio do Banco do Brasil, dos anos 1960. Todos em estruturas de concreto armado, século XX.

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6.1 AÇOS DISPONÍVEIS NO MERCADO BRASILEIRO Esta aula é baseada parcialmente na norma NBR 7480/1996 da ABNT denominada: “Barras e fios de aço destinados à armadura de peças de concreto armado”. Daremos as aulas por meio de pílulas de informação:

6.1.1 NOTA 1 Os aços existentes no mercado dividem-se em dois tipos: •

Tipo “A” — Laminados a quente;

•

Tipo “B” — Trefilação de fios máquina.

Além da divisão em tipos A e B, os aços são divididos em categorias que são funções principais dos seus teores de carbono, disso resultando as categorias: C25, CA50 e CA60. Cada categoria é indicada pelo código CA (aço para concreto armado) e pelo número indicativo de tensão de escoamento. Nota: Há pouco tempo existia no mercado o aço CA50B, inferior ao aço C50A. O aço CA50 B (que ainda é fabricado por pequenas siderúrgicas) não permite o uso de solda ou o uso de calor para corte. A norma NBR 7480/1996 só aceita os aços CA25 (A), CA50 (A) e CA60 (B).

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Tabela T-4 — Tipos dos Aços (NBR 7480)

Tipo

para Tensão de Tensão de esco- aTensão qual ocorre cálculo amento mínimo a deformação ou valor caracde 0,2% terístico 2 fyk (kN/cm ) s (kN/cm 2) fyd (kN/cm 2)

Características de uso

CA25A C25 25 kgf/mm2

21,50

Para pequenas obras Fácil de dobrar

CA50A C50 50 kgf/mm2

42,00

43,50

É o aço mais comum

CA60B C60 60 kgf/mm2

40,00

52,20

Muito usado em pré-moldados

Os aços, nas suas várias categorias, têm o mesmo peso específico.

6.1.2 NOTA 2 Conhecidos os valores característicos das tensões de escoamento dos aços (fyk), para se achar os valores de cálculo (antigas tensões admissíveis), basta dividir os valores característicos pelo coeficiente de minoração (γys – y ⇒ yeldling; escoamento; s ⇒ steel, aço). Para aços produzidos de acordo com a norma NBR 7480, o coeficiente de minoração é 1,15. Na norma 6118, esse coeficiente está no item 12.1, pg. 64.

6.1.3 NOTA 3 Para todos os tipos e categorias de aço: Es ⇒ 2.100.000 kgf/cm 2 = 210 GPa (Módulo de Elasticidade) peso específico do aço ⇒ 7,85 kgf/dm3 = 78,50 kN/m3 item 8.3.3 NBR 6118 O aço CA 25 é mais fácil de dobrar que os dois outros tipos de aço(*) (CA50 e CA60) e é usado em pequenas obras. A norma NBR 6118, no seu item 12.4.1, pg. 71, permite o uso desse aço CA25, mas se a obra tem pequeno controle de qualidade (caso muito comum) então o coeficiente de ponderação de resistência tem de ser multiplicado por 1,1.

6.1.4 NOTA 4 Como temos repetido várias vezes, concreto armado é uma construção solidária, devendo o concreto ser atritado com o aço. Quando se usam em conjunto aço e concreto, eles não podem se deslocar um em relação ao outro. Face a isso, exige-se dos aços uma aderência mínima (atrito) em relação ao concreto envolvente. _ (*) Aspecto do tipo de fabricação e da composição química desse aço.

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Para aços de maior resistência, a aderência tem de ser maior do que os aços de menor resistência, pois os de maior resistência trabalham em geral com maiores tensões. Face a isso temos de, nos aços de alta resistência, dar a ele mais atrito no concreto. Consegue-se isso com saliências e mossas.

6.1.5 NOTA 5 Os aços classe A (CA25 e CA50), como foram produzidos a quente, podem ser, sem maiores problemas, cortados a fogo ou soldados. Os aços classe B (CA60) não devem ser cortados a fogo, pois isso poderia levar à perda parcial de sua resistência.

6.1.6 NOTA 6 Do ponto de vista de deformação, há uma diferença fundamental entre os aços A e B. Os esquemas a seguir mostram o funcionamento desses aços: F σ=— A

F σ=— A

ε= Aço A

2‰

ε= Aço B

Os aços A, submetidos a esforços crescentes de tração, apresentam uma curva razoavelmente retilínea até o ponto X; nesse ponto, se a tensão de tração permanecer constante, então ocorrerá o escoamento do aço, ou seja, ocorrerão grandes deformações até o ponto Y. Crescendo a partir daí a tensão, a curva tende a crescer ao ponto R, onde o aço se rompe. A tensão que ocorre em X, chama-se tensão de escoamento e é, do ponto de vista prático, a tensão limite de trabalho, já que não se deve projetar estruturas que sofram as deformações causadas pelo escoamento do aço. Nos aços B, não ocorre um ponto típico de escoamento do material. Ao contrário, com tensão crescente no início, ocorre um trecho retilíneo até J, sucedendo-se um trecho curvo, alcança-se o ponto Z, onde o material se rompe sem ocorrer escoamento. Por motivos práticos, define-se, para esses aços (B), uma tensão fictícia de escoamento, quando se alcança uma deformação e no valor de 2‰, ou seja, quando a deformação vale dois por mil do comprimento inicial.

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6.1.7 NOTA 7 O aço CA 60 é produzido por trefilação, que gera uma superfície muito lisa, mais lisa que os outros aços produzidos por laminação. O aço CA 50 tem saliências, dando a ele alta aderência com o concreto.

6.1.8 NOTA 8 Para os mesmos diâmetros é mais fácil dobrar o aço CA 25 do que o aço CA 50.

6.1.9 NOTA 9 O aço de 5 mm de diâmetro é do tipo CA 60, sendo usado principalmente em estribos.

6.2 NORMAS BRASILEIRAS RELACIONADAS COM O CONCRETO ARMADO As principais normas que interessam aos jovens profissionais são: NBR 6118 ⇒ Projeto de estruturas de concreto — Procedimento. NBR 14931 ⇒ Execução de estruturas de concreto — Procedimento. NBR 6120 ⇒ Cargas para o cálculo de edificações. NBR 7191 ⇒ Execução de desenhos para obras de concreto simples e armado. NBR 5732 ⇒ Especificação de cimentos. NBR 7480 ⇒ Barras e fios de aço destinados à armadura de concreto armado. NBR 12655 ⇒ Concreto. Preparo, controle e recebimento — Procedimento. NBR 15146 ⇒ Qualificação de pessoal do controle tecnológico do concreto. NBR 15696 ⇒ Formas e escoramentos para estruturas de concreto e procedimentos de execução. Ver a listagem completa de normas de interesse nas próprias normas NBR 6118 e NBR 14931. Notar que sempre devemos usar a mais nova das edições de uma norma. Assim, a NBR 12655 tem uma revisão em 2006, portanto, anterior à NBR 6118/2007. Vale sempre a mais nova edição. Em 2009, foi emitida a norma Formas e Escoramento, NBR 15696/2009. Ver <www.abntcatalogo.com.br>.

6.3 ABREVIAÇÕES EM CONCRETO ARMADO A nova Norma Brasileira NBR 6118 continuou a adotar a simbologia baseada no Comitê Europeu do Betão, e que tende a ser adotado universalmente.

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A simbologia do CEB tomou por base a língua inglesa, que, por motivos conhecidos, é hoje a mais universal das línguas no meio técnico. Resumidamente, as simbologias mais comuns e as mais usadas são: A Ac As A9s At E Ec Es F Fd Fm g I L M Md N q V W X a b bw c d e f fc fck fcd fcj fyk fyd fk g h i j s s

Área (em geral) Área de seção de concreto Área de seção de aço (steel) tracionada Área de seção do aço (steel) comprimida Área de seção de armadura transversal (estribo) Módulo de elasticidade (geral)(*) Módulo de elasticidade do concreto Módulo de elasticidade do aço (steel) Força Valor do cálculo de um aço Valor médio de uma ação Carga permanente Momento de Inércia (antigamente o símbolo era J) Comprimento, vão Momento Fletor Momento Fletor de cálculo (d - design = cálculo) Força Normal Carga variável Força Cortante Módulo de Resistência Força componente paralela ao eixo X (horizontal) Flecha, distância Largura Largura de vigas Cobrimento de concreto, também concreto Altura útil Excentricidade de uma carga Resistência (capacidade de receber esforços) Resistência do concreto f Resistência Resistência característica do concreto c Concreto Resistência de cálculo do concreto k Característico (médio estatístico) Resistência do concreto a j dias Resistência característica do aço ao escoamento (y - yeldling) Resistência de cálculo do aço ao escoamento Resistência característica de um material Carga permanente distribuída Altura total de uma seção transversal; espessura Raio de giração Número de dias Desvio padrão, espaçamento Aço (steel)

{

(*) O mesmo que módulo de deformabilidade.

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114 gc gs gf e ec es l r s sc ss ssd t

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Coeficiente de minoração de resistência do concreto Coeficiente de minoração de resistência do aço Coeficiente de majoração das forças (solicitações) Deformação específica Deformação específica do concreto Deformação específica do aço Índice de esbeltez Taxa geométrica de armadura (As /Ac) Tensão normal Tensão normal de compressão no concreto Tensão normal de tração no aço Tensão de projeto no aço Tensão tangencial

Algumas palavras sobre as novas normas NBR 6118 e NBR 14931. Essas novas normas introduziram várias inovações no mundo do concreto armado, a saber: Pela primeira vez, uma norma divide o assunto em: • •

Norma de projeto — NBR 6118 Norma de execução — NBR 14931

A resistência do concreto para o concreto armado agora é de, no mínimo, fck igual a 20 MPa, com a exceção do concreto de obras provisórias, que pode ser fck = 15 MPa.

6.4 CARGAS DE PROJETO NOS PRÉDIOS Na aula 4.4, dissemos que, nas modernas teorias de cálculo de estruturas, o tratamento estatístico procura se impor, tanto na análise de cargas como na análise de resistência dos materiais. A definição da resistência do concreto (fck) é estatística e não um valor proveniente de uma média. Esses são os pressupostos teóricos. Na prática, não é bem assim, e seria impossível (ou quase impossível) trabalhar diretamente no dia a dia de projetos com funções estatísticas. Face a isso, a NBR 6120 da ABNT fixa valores exatos para as cargas de cálculo de lajes de edificações. A NBR 6120 divide as cargas que ocorrem nas lajes nos prédios, em cargas permanentes (causadas pelo peso próprio da estrutura), e carga acidental que representa a carga que a estrutura deve sustentar (pessoas, móveis, materiais diversos, veículos etc.).

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Assim, no projeto de estruturas, considera-se como carga de projeto e dimensionamento: carga de projeto = carga de peso próprio de estrutura + carga acidental

Entre outros, os valores são: Tabela T-5 — Cargas Acidentais NBR 6120 Carga acidental *

Local

Laje

Carga acidental (kN/m 2)

Hall de banco

Sala de depósito de livro

Salão de dança de clubes

Edifícios residenciais: dormitórios, sala, copa, cozinha e banheiro

1,5

Edifícios residenciais: despensa, área de serviço e lavanderia

Forros

0,5

Escadas, lajes de garagens

* A expressão carga acidental é algo infeliz. Melhor seria “carga externa” ou “carga de uso”.

Nota: A expressão carga acidental pode confundir com situações de acidentes. Não! Carga acidental refere-se a cargas (pesos) de pesssoas, móveis, cortinas etc. Carga acidental não engloba revestimentos. Se houver revestimento, como piso de pedra ou tacos, esse peso deve ser adicionado ao peso próprio, mais a carga acidental. Nos prédios convencionais de apartamentos e escritórios (prédios para os quais este livro se destina didaticamente), as cargas acidentais (gente, móveis, cortinas etc.) atuam sobre lajes de concreto armado. Na fase de projeto, além das cargas acidentais, levaremos em conta também o peso próprio da estrutura (peso próprio de lajes, vigas, pilares, sapatas, caixa de água e alvenaria e revestimentos). Avaliando-se o peso próprio dessas peças, suas dimensões (volumes) e multiplicando esses volumes pelos pesos específicos de cada material.

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Vejamos alguns pesos unitários a usar: Concreto armado — 2.500 kgf/m3 = 25 kN/m3 (*) Concreto simples — 2.400 kgf/m3 = 24 kN/m3 Alvenaria de tijolos de barro maciço — 1.800 kgf/m3 = 18 kN/m3 Alvenaria de tijolos furados — 1.300 kgf/m3 = 13 kN/m3 Alvenaria de blocos de concreto — 1.400 kgf/m3 = 14 kN/m3 Acabamento de piso — 100 kgf/m 2 = 1 kN/m 2 Acabamento de teto — 30 kgf/m 2 = 0,3 kN/m 2 Impermeabilização de laje — 100 kgf/m 2 = 1 kN/m 2

6.5 EMENDA DAS BARRAS DE AÇO (Item 9.5, pg. 42 da NBR 6118) O aço das armaduras de concreto armado é fornecido com comprimento de 12 m ou em rolos. Às vezes, é necessário emendar as barras, como, por exemplo, deixar armadura salientes em trechos de concretagem de pilares (ferros de espera), face à ocorrência de várias etapas de concretagem. A emenda de barras se faz por: a) Transpasse (99% dos casos) Colocam-se as armaduras a serem ligadas, amarradas por arame, e quem vai ligar as duas são as camadas de concreto. O trecho em comum deve ter um mínimo de comprimento mostrado a seguir. b) Outros tipos de emenda são as luvas mecânicas, soldas e outros dispositivos. Arame Barras emendadas

Concreto

Corte

O comprimento L de ancoragem, para condições boas de ancoragem, está mostrado na tabela a seguir: _ (*) Esse peso específico do concreto armado é convencional, um dado de referência simples. Peças de concreto armado com baixa taxa de armadura (mais leves) e peças de concreto armado com altas taxas de armadura (mais pesadas) são consideradas como tendo o mesmo peso específico.

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Tabela T-6 — Comprimentos de ancoragem “L” para emendas Concreto fck

CA25

CA50

CA60

20 MPa

51ø

44ø

53ø

25 MPa

45ø

38ø

46ø

30 MPa

41ø

34ø

40ø

O ø é sempre o maior diâmetro das barras emendadas. São produtos importantes nas obras: • arame recozido n. 18 que amarra as barras da armadura, usando-se, para isso, uma torquês; • dispositivos de segurança como capacete, óculos de segurança e botas. Seguir as normas de segurança do Ministério do Trabalho (NR-18). Nota: E-mail de um leitor — Qual o maior vão de vigas que é usado em estruturas de concreto armado? Resposta: — O maior vão em estruturas de concreto armado para lojas, ginásios, supermercado etc. pode-se chegar a vigas de concreto armado de até 25 m. Notas: 1) Alvenaria recomendada para revestimento (int./ext.): bloco cerâmico. Argamassa para enchimento e contrapiso (horizontal) de cimento sem cal. Revestimento de paredes e enchimentos verticais mista, com cal. Para assentamento de alvenaria é melhor com cal para preencher os vãos verticais entre os blocos. Revestimento de paredes, espessuras: chapisco 1 a 1,5 cm; emboço 2 a 3 cm; reboco 1,5 a 2 cm. Assentamento de alvenaria: 1/2 tijolo 25 L/m 2 ; 1 tijolo 40 L/m 2. Esses valores são aproximados, pois a espessura da argamassa de assentamento depende do pedreiro, da qualidade do tijolo, da qualificação da mão de obra e até da localização da parede. Forma: como é um projeto convencional, concreto revestido, sugiro madeira: compensado e madeira maciça para estruturar a forma (sarrafos, guias, pontaletes e caibros). Escoamento: pode ser de madeira também (caibros e pontaletes) mas é melhor em alguns casos usar escoras metálicas alugadas. 2) O projeto estrutural deve detalhar a ligação de alvenaria e a parte de concreto armado, ver detalhes no volume 2. 3) O projeto estrutural deve prever e mostrar nos desenhos os detalhes de contra-flecha.

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7.1 QUANDO AS ESTRUTURAS SE DEFORMAM OU A LEI DE MR. HOOKE — MÓDULO DE ELASTICIDADE (E) Convido o aluno a fazer uma experiência prática. Pegue dois elásticos, mas de comprimentos bem diferentes (um mais ou menos o triplo do outro), mas de mesmo material. Pegue os dois, pregue-os numa tábua em que deve ser posta uma régua centimétrica e coloque um peso qualquer na extremidade de um deles (o maior, por exemplo) e meça quanto o mesmo alongou (deformou) pela ação da força (tração). Ponha agora o mesmo peso no outro e meça essa outra deformação (a nova deformação é menor). Você verá que, apesar de os elásticos serem do mesmo material, submetidos à mesma força de tração, eles se deformam (DL) desigualmente, indicando, por isso, que a deformação (DL) não é uma característica só do material.Divida agora a deformação DL1 por L1 (ou seja DL1/L1) e a deformação DL2 por L2 (ou seja DL2 /L2). Voce chegará a números iguais. Portanto, para um mesmo peso P, a relação DL/L é constante para um material. Chamamos essa relação de e (deformação unitária).(*) Observação: Se o aumento de comprimento foi de 5%, para um elástico, podemos garantir que, qualquer que seja o comprimento de um outro elástico, de mesmo material, aplicada essa força P, ele sempre se alonga de 5%. Agora dobremos o peso P e refaçamos a experiência. Acharemos um e9 que é igual para as duas peças, mas que é o dobro de e. Agora, se a força P triplica, teremos e0, que é o triplo de e. Podemos estabelecer a seguinte lei para uma dada peça: “Dentro de uma faixa de trabalho, a relação entre a força que produz uma deformação e a relação DL/L é constante” (relação linear). _ (*) Um exemplo simplório explica bem. Cintas abdominais de elástico são mais confortáveis que as de couro, pois as primeiras tem menor E que as segundas. Dadas duas cintas abdominais, uma totalmente de material elástico (borracha), e outra, metade do comprimento de elástico (borracha) e metade do comprimento couro, as primeiras são mais confortáveis (deformáveis) que as segundas, pois quanto mais comprido o trecho em elástico, maior a deformação de tração para um mesmo esforço.

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Aula 7 Linha de referência 0

Elástico

Régua

Graficamente temos: P (Força)

e = — (Deformação unitária)

Dobrou P, dobrou DL/L. Dividiu a força P por dez, a relação DL/L é dividida por dez. A experiência foi feita nas condições de tração do material. Se fizéssemos para condições de compressão, o gráfico seria o mesmo (para peças de elástico, não é possível comprimir, mas a lei é geral). Conclusão: Cada material, desde que não seja solicitado demasiadamente, apresenta, tanto na tração como na compressão, em termos aproximados, uma relação linear entre a força de deformação e a relação DL/L = e. Consideremos agora o mesmo material do elástico, mas com áreas diferentes (elásticos mais finos e mais grossos). Veremos que, para termos a mesma relação DL/L para elásticos grossos (área maior), temos de aplicar forças maiores. Verifica-se uma lei mais geral, ou seja, para um material (qualquer que seja a seção), a relação F/A sobre DL/L é constante (s / e), ou seja: F σ=— A

F = Força A = Área da seção transversal do material

(Tensão de tração ou de compressão) ε = — (Deformação unitária)

0 Lei de Hooke

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F pode ser de tração, gerando DL/L de alongamento, ou F de compressão, gerando DL/L de compressão. Muitos materiais obedecem bem, dentro de limites, essa proporcionalidade da relação F/A = s, com DL/L (e), ou seja, a relação s /e é constante (relação linear). Essa característica é conhecida como Lei de Hooke. A relação s /e, característica de cada material, chama-se “Módulo de Elasticidade” (tem como símbolo E. Para o concreto será Ec , e para o aço, Es. Assim, o aço tem: E = 2.100 tf/cm 2 = 210 GPa, ou seja, uma barra de aço de qualquer área, de qualquer comprimento e, sendo submetida a qualquer força, apresenta uma relação s e e de 2.100 tf/cm 2 = 210 GPa, ou seja: (*)(**)

E (Módulo de Elasticidade) é, portanto, a principal característica de um material, no tocante à sua deformabilidade (alongamento ou encurtamento), quando este está sendo esticado (tracionado) ou apertado (comprimido). Tomemos cuidado, entretanto, que por uma falsa sinonímia sejamos levados a um entendimento errado. Quanto maior o Módulo de Elasticidade (E) de um material, menor a sua tendência de se deformar. Quanto menor o E, maior a sua aceitação de se deformar. Assim, por exagero, o E do aço de construção tem 2.100.000 kgf/cm2 = 210 GPa e o E da borracha é de 10 kgf/cm2 = 0,1 kN/cm2. Ninguém tem dúvida de que esticar um fio de borracha com deformação de 2‰ é facílimo. Para alongar nessa proporção o aço, é difícil (as cargas são enormes). Damos a seguir alguns valores de E: Cresce E, diminui a tendencia à deformabilidade do material. Tabela T-7 — Módulos de Elasticidade (E) Material

E kgf/cm 2

kN/cm 2

Aço

2.100.000

21.000

Concreto

250.000

2.500 (*)

Madeira (carvalho)

100.000

1.000

Borracha

0,1

_ (*) G = 109(giga). (**) Para estudo de flechas e outras deformações, a norma 6118, no seu item 8.2.8, manda usar como valor do Módulo de Elasticidade Inicial (Eci).

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Conhecido o E de um material, podemos conhecer como ele reage às solicitações. Façamos alguns exercícios para clarear o assunto: Qual a deformação que uma barra de aço de 12,5 mm tem, quando é tracionada com uma força de 30 kN, se ela tiver um comprimento de 30 metros?

30 m (L)

30 kN

Como sabemos: Eaço = 2.100.000 kgf/cm 2 = 21.000 kN/cm 2 F = 3.000 kgf = 30 kN L = 3.000 cm A (ø 12,5 mm) = 1,25 cm 2 Logo:

Fica a pergunta, caso, em vez de tração, essa barra fosse comprimida, qual seria o encurtamento? Estamos abstraindo do fenômeno da flambagem. Resposta: o mesmo. Conclusão: Peças de mesmo material encompridam-se ou comprimem-se igualmente (dentro de limites de esforço). Consideremos o gráfico a seguir: F σ=— A

Escoamento D B

Aço

C A 0

Concreto ε=—

_ (*) O valor de E do concreto é para referência inicial, já que ele varia de acordo com a qualidade (fck) do concreto. (*) O Módulo de Elasticidade E também é chamado de Módulo de Young.

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Um corpo de prova de concreto, sofrendo compressão (e, portanto, encurtamento), vai se deformando dentro de uma lei aproximadamente linear e, depois de um ponto, sem maior aviso, rompe (ponto A). Se não dá aviso, chamamos esse material de frágil (são como pessoas que, no meio da discussão, sem que se perceba, estouram). São materiais frágeis: o concreto, o vidro e o ferro fundido. Outros materiais vão sofrendo suas deformações também dentro de uma lei linear (dobra a força, dobra a deformação) e, quando chegam no ponto B, começam a apresentar grandes deformações contínuas (sem que se aumente a força) até C. Após esse fenômeno de escoamento, continuam a crescer as deformações, não obedecendo mais, obrigatoriamente, à lei de proporcionalidade (Lei de Hooke) e depois se rompem (ponto D). Esses materiais avisaram em B que as coisas não estavam boas. É o ponto de Escoamento. É bom parar por aí, porque senão, a partir daí, entramos no perigo de deformações enormes. O aço é um material desse tipo, chamado de material dúctil. O limite de trabalho de uma peça de concreto é a condição de ruptura (material frágil). O limite de trabalho de um material como o aço é o seu escoamento e não a sua ruptura (material dúctil). A tensão do aço quando ocorre o escoamento é chamada, na NBR 6118, de fyk (valor característico de escoamento do aço). Chama-se de ssd a tensão do aço que propicia uma deformação de 2‰ = 0,2%. NBR 6118-2014 – Módulos de elasticidade, pg. 25 da Norma.

Valores estimados de módulo de elasticidade em função da resistência característica à compressão do concreto (considerando o uso de granito como agregado graúdo) Classe de resistência

C20

C25

C30

C35

C40

C45

C50

C60

C70

C80

C90

Eci (GPa)

Ecs (GPa)

0,85 0,86 0,88 0,89 0,90 0,91

α1 =

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0,93 0,95 0,98 1,00 1,00

Ecs Eci

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7.2 VAMOS ENTENDER DE VEZ O CONCEITO DE MÓDULO DE ELASTICIDADE, OU SEJA, VAMOS DAR, DE OUTRA MANEIRA, A AULA ANTERIOR A ideia é apresentar o mesmo assunto de outra maneira, para cruzar conceitos e estraçalhar dúvidas conceituais (as mais terríveis). Quando a aula 7.1 já estava pronta e terminada, conversei com um famoso engenheiro estrutural(*) e ele me deu uma outra noção de Módulo de Elasticidade (E). Claro que o conceito é o mesmo, mas o enfoque didático e fenomenológico é diferente. Digamos que eu tenha de ser submetido à seguinte prova: dados quatro cabos (barras), um de borracha, um de concreto, um de madeira e outro de aço, qual a deles exigirá a minha maior força para se deformar? Digamos 5% (o raciocínio vale para 10%, 20% etc.). Acho que todos sentirão que, para dar às barras de mesmo comprimento e mesma seção uma deformação de 5%, o peso terá que: para o elástico, ser pequeno, para o concreto, ser bem maior; para madeira, ser bem maior que o do elástico e quase igual ao do concreto e para o aço o peso será enorme. Borracha (Elástico)

L A

Concreto A

Peso 1

Madeira A

Peso 2

Aço A

Peso 3

Igual comprimento inicial

Peso 4

Chamando-se Módulo de Elasticidade essa dificuldade de se esticar (ou apertar) um material, diremos então que o aço tem uma enorme dificuldade de ser estirado (ou apertado). O concreto tem média dificuldade e o elástico tem fraca dificuldade. O Módulo de Elasticidade do aço é da ordem de 2.100.000 kgf/cm2 = 21.000 kN/cm 2, o do concreto é só de 100.000 kgf/cm 2 = 1.000 kN/cm 2 e do elástico (borracha) é da ordem de 10 kgf/cm 2 = 0,1 kN/cm 2. Vê-se, pois, que o conceito de Módulo de Elasticidade é o oposto do conceito intuitivo de deformabilidade. Ele deveria ser chamado de “Módulo de não deformabilidade” na linguagem oficial. O elástico é muito deformável, portanto, tem baixo Módulo de Elasticidade. O aço é pouco deformável, portanto, tem alto Módulo de Elasticidade. Como vimos na aula anterior, o Módulo de Elasticidade é a relação entre s e e (DL/L). Colocando todos os gráficos de s /e, teremos: _ (*) O saudoso Engenheiro Paulo Franco Rocha.

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Concreto Armado Eu Te Amo F σ=— A

F σ=— A

– σ

Aço

ε=—

ε1 F σ=— A

Madeira

ε=—

ε2 F σ=— A

– σ

Concreto

Borracha – σ

ε3

ε=—

ε4

ε=—

Vê-se que para as mesmas solicitações s aplicadas às barras iguais, as deformações são completamente diferentes e4 > e1 ou e4 > e2 ou e4 > e3. Nota: os quatro desenhos estão em escalas diferentes.

7.3 ANÁLISE DOS TIPOS DE ESTRUTURAS — ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS, HIPERESTÁTICAS E AS PERIGOSAS (E ÀS VEZES ÚTEIS) HIPOSTÁTICAS Imaginemos um vergalhão de ferro tão simplesmente apoiado em dois apoios e sujeito a uma carga distribuída p adicional ao seu próprio peso.

Viga (Vergalhão)

Tijolos dando à viga um carregamento uniformemente distribuído (p)

Apoios simples bem lubrificados

Apoio A

Apoio B Estrutura 1

O peso próprio e a carga distribuída dão ações verticais que são reagidas nos apoios A e B. Essa estrutura tem os vínculos estritamente necessários para os

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esforços atuantes. Se o apoio B quebrasse (perda de um vínculo), a estrutura ruiria (ou alguém duvida?). Nesse caso, a estrutura é isostática (os vínculos são necessários e suficientes). Se o apoio A cedesse (desaparecesse), ela seria hipostática (o vínculo B que sobraria seria necessário, mas não suficiente). Se nessa estrutura aparecesse uma força F inclinada, o vergalhão poderia sair do lugar, os vínculos A e B não impediriam a translação e, nesse caso, essa estrutura seria hipostática para esforço (andaria para a esquerda). Movimento da viga para a esquerda, pois nem A e nem B podem impedir. F

Movimento da viga para a esquerda pois A e nem B podem impedir

Apoio A

Apoio B

À estrutura 2 a seguir:

C Figura 1

N Figura 2

A Figura 1 tem mais vínculos que o necessário para sua estabilidade. Essa estrutura é chamada de hiperestática, pois, se tirássemos alguns vínculos, como a Figura 2, vê-se que ela continuaria estável. Se o encaixe em M (engastamento) for profundo, podemos até tirar o apoio que a estrutura não cai.

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Uma viga apoiada em mais de dois apoios é hiperestática, pois poderíamos (em princípio) tirar um ou mais apoios e os outros poderiam continuar a resistir.

B C Apoios retirados

Na construção civil, as estruturas hipostáticas não são calculadas, e, sim, evitadas. Uma estrutura hipostática, em princípio, é uma estrutura que vai andar, girar, cair!(*) As estruturas isostáticas são calculáveis (conhecimento das suas reações) com as condições já conhecidas (três condições famosas): • • •

Somatória das Forças horizontais = 0 SH = 0; Somatória das Forças verticais = 0 SV = 0; Somatória dos Momentos Fletores = 0 SM = 0; (de todas as ações e reações em relação a um ponto qualquer).

As estruturas hiperestáticas, para serem resolvidas (reações nos apoios), exigem a aplicação da teoria de deformações. Uma viga apoiada em três ou mais apoios é uma estrutura hiperestática. Em suma: •

Estruturas hipostáticas movem-se (**), ou caem.

•

Estruturas isostáticas têm calculadas todas as reações dos apoios, os esforços internos, permitindo o dimensionamento das estruturas, aplicando-se as três condições famosas.

•

Estruturas hiperestáticas podem, como as isostáticas, ter suas condições de trabalho conhecidas e, portanto, serem dimensionadas, mas, além das três condições famosas, exigem a aplicação de uma teoria adicional (teoria das deformações). Na aula 16.1, é mostrado o método de Cross para vigas contínuas. O método de Cross tira partido das teorias de deformações, na sua conceituação teórica.

_ (*) Marquises de prédio são estruturas isostáticas, pois tem o número de vínculos estritamente necessários para seu equilíbrio. Havendo uma falha no apoio (que é sempre um engastamento), a marquise gira, se rompe e cai, podendo matar. (**) Uma correia transportadora é uma útil e prática estrutura hipostática. Uma bicicleta também é uma estrutura hipostática. Idem o carro e a roda gigante dos parques de diversões. São estruturas que se movimentam. Incluam-se aí, janelas corrediças.

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aula

8.1 FRAGILIDADE OU DUCTILIDADE DE ESTRUTURAS OU POR QUE NÃO SE PROJETAM VIGAS SUPERARMADAS, E, SIM, SUBARMADAS Imaginemos uma viga de concreto armado com armadura simples e sujeita a uma carga distribuída q: q aço

Nessa viga acima da Linha Neutra, resiste o concreto à compressão e, abaixo, o aço resiste à tração. Se por qualquer razão a carga que atua é maior do que a do projeto, essa viga poderá entrar em colapso, ou porque o concreto comprimido não resiste e se destrói, ou porque o aço apresenta deformação excessiva e as trincas (fissuras) ficam enormes. Imaginemos que a carga seja crescente progressivamente. Se a zona comprimida estiver folgada em relação a essas cargas, mas se a seção de aço for diminuta, então essa estrutura começará a apresentar progressivamente trincas pelas deformações enormes do aço. Conclusão: No caso de a parte mais fraca ser o aço, o crescer contínuo de carga além do limite de cálculo fará com que a viga vá dando avisos (trincas crescentes) dessa situação. Se, ao invés disso, a seção de aço for folgada e a seção de concreto for justa, se ocorrer uma carga além da prevista, chegará a um ponto em que, com o crescer da carga, haverá um inesperado esmagamento do concreto, sem aviso, e a estrutura irá ao colapso.

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O uso de seções, em que o aço é abundante em relação ao concreto comprimido, chama-se seção superarmada. No uso de seções em que a seção de concreto comprimido é abundante em relação ao aço, essa seção é chamada de subarmada. Se as cargas de serviço fossem abaixo ou igual à carga de projeto, não haveria problema no uso de seções subarmadas ou superarmadas. Todavia, face ao relativismo de todo o cálculo, se num prédio todas as vigas forem subarmadas, e se por azar ocorrerem numa viga cargas maiores do que as de projeto, então a viga apresentará sinais dessa situação e, possivelmente, fissuras e trincas (sem outro fenômeno paralelo) serão o único prejuízo. Se, ao contrário, as vigas forem superarmadas e se ocorrerem cargas superiores às de projeto, há a chance de uma ruptura sem aviso!!!! Os esquemas a seguir mostram as situações: P1

Vigas subarmadas

P2 > P1

Trincas (aviso) Vigas superarmadas P1

P2 > P1

P3 > P2

Colapso

Vê-se, pois, que o aumento sem controle de armadura de uma viga pode não ter consequência se não ocorrerem esforços superiores para os quais as seções de concreto foram dimensionadas. Se, todavia, ocorrerem nessa viga superarmada cargas de projeto superiores, então essa viga poderá romper sem dar aviso. Se especificarmos um concreto com fck de 20 MPa e a obra produzir um concreto de fck de 30 MPa estaremos a favor de termos vigas subarmadas (o desejável), já que estamos na prática reforçando a capacidade de resistência da parte comprimida e sem alterar a resistência da parte tracionada (aí quem responde é o aço). Deixamos para cada um analisar uma frase que às vezes ocorre em obra: “Doutor não se preocupe, não tinha aço de 12,5 mm para colocar na viga e nós colocamos igual quantidade de 25 mm!!!! Foi gerada uma estrutura superarmada(*). Devemos ter sempre vigas subarmadas e nunca superarmadas; não se deve correr risco de colapso sem aviso. _ (*) Como vimos as estruturas superarmadas não são proibidas, mas não são desejáveis.

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8.2 LAJES — UMA INTRODUÇÃO A ELAS 8.2.1 NOTAS INTRODUTÓRIAS ÀS LAJES lSOLADAS Pessoa

Móvel, equipamento Laje

Consideraremos primeiro as lajes isoladas, ou seja, as que não se ligam a outras lajes. Lajes são as estruturas primeiras que recebem e sustentam as cargas verticais acidentais que ocorrem nos prédios. Estruturas planas e quase sempre retangulares, elas possuem relativamente pequenas espessuras, normalmente variando entre seis a dez centímetros, podendo, conforme sejam os esforços e em casos especiais, chegar a ter mais de um metro de espessura (*). As lajes que estudaremos, e que são as mais comuns, descarregam nas vigas o peso das cargas acidentais e o seu peso próprio. Carga

Carga

Laje Viga

Laje

Pilar

Seção de uma laje comum

Laje

Seção de uma laje cogumelo

Viga

Laje

Pilar

Pilar Planta de uma laje comum

Planta de uma laje cogumelo

___ (*)

A NBR 6118 no seu item 13.2.4.1, pg. 74 prevê, quanto à espessura mínima das lajes: 7 cm para lajes de cobertura não em balanço; 8 cm para lajes de pisos não em balanço; l 2 cm para lajes de passagem de veículos. Lajes comuns não tem estribos. Lajes especiais, como lajes de caixas-d’água podem ter estribos, mas, tomando-se cuidados de dimensionamento, os estribos podem ser evitados.

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As lajes cogumelos e lajes lisas que raramente ocorrem, e que não estudaremos em nosso curso, descarregam as cargas diretamente em pilares. (item 14.7.8, NBR 6118). As lajes são construídas, concretadas, junto com as vigas, mas, todavia, para efeito de cálculo e dimensionamento, as lajes são consideradas como simplesmente apoiadas nas vigas, ou seja, desprezam-se as reais e indiscutíveis relações íntimas entre lajes e vigas, ou seja, desprezam-se os engastamentos que existem entre lajes e vigas. O esquema, pois, de cálculo é: A

Corte AA

V1 V4

B V4

Corte BB

Esquemas estruturais

Considerando que, ao receber o carregamento, a laje se deforma, admite-se que as vigas não têm condições de impedir a deformação da laje e, portanto, o mínimo engastamento que realmente existe entre viga e laje é desprezível. Então, a forma de deformação da laje considerada é a Figura a e não a b.

Figura a (certa) Laje apoiada em vigas

Figura b (errada) Laje engastada nas vigas

Dentro desse raciocínio de que as lajes não se engastam nas vigas, quando se consideram lajes isoladas (não ligadas a outras lajes), dimensionar uma laje é:

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•

Determinar sua espessura.

•

Determinar a armadura que irá ficar no meio do vão (denominada positiva).

•

Escolher uma pobre armadura, precária armadura nos apoios (armação de contorno), que não dá maiores compromissos na relação laje-viga e que tem funções construtivas e que tão somente evita trincas (fissuras).

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Logo, uma laje isolada será assim considerada: Na seção em C, ocorre compressão em cima e tração embaixo.

Laje Viga A

Viga B

Esquema estrutural

Armadura de tração Armadura de contorno

Armação da viga

Armação de uma laje

+ A

B Mmáx Diagrama de Momento Fletor

Uma laje pode ser entendida no seu trabalho como uma malha. Dessa forma, uma laje, ao sofrer o efeito das cargas, apresentará no seu meio (meio do vão) tração embaixo e compressão em cima (ocorrência de Momento Fletor positivo). A explicação qualitativa (sem cálculo das armações) de uma laje isolada é: •

Armação principal nos sentidos x e y que é necessária principalmente nas partes próximas ao meio do vão e colocada próxima à face inferior para resistir aos Momentos Fletores positivos (tração embaixo e compressão em cima, onde o concreto resiste).

•

Armação de contorno, que não é calculada e que têm por fim evitar trincas na ligações entre vigas e lajes; essa armação dá um ligeiro engastamento entre vigas e lajes, face ao fato de a viga não ter condições estruturais (rigidez) para evitar a deformação da laje (serve para evitar fissuras).

8.2.2 NOTAS INTRODUTÓRIAS ÀS LAJES CONJUGADAS Vimos aspectos gerais das lajes isoladas e vimos que elas não possuem (ou não se consideram) engastamento nas vigas. Tudo isso é relativo. Em casos especiais de pequenas lajes que se ligam a enormes vigas, poderemos (ou deveremos) considerar o engastamento laje-viga. Esses casos especiais não serão analisados nesse curso, mas só como exemplo, uma laje de 3 × 4 metros e 10 centímetros de espessura pode

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ser calculada como engastada em uma viga, se esta tiver 1 metro de altura por 0,3 metros de largura(*). Vamos agora considerar um conjunto de lajes de um edifício do porte e tipo do nosso projeto: V-1

V-2

V-3

L-1

L-2

M L-3

L-5

L-4

Planta

Vemos, nesse caso, que o livre girar da borda à esquerda da laje L-2 é obstado, impedido pela laje L-1. Se as lajes fossem fundidas e construídas separadamente umas das outras, então não haveria engastamento de umas nas outras. Na prática, as lajes são construídas juntas e solidárias, o que dá muito maior estabilidade aos prédios. Logo, há reais e necessários vínculos entre as lajes (L-1 × L-3), (L-1 × L-2), (L-2 × L-4) (L-2 × L-5), (L-4 × L-5) (L-3 × L-4). Os croquis a seguir mostram a real situação (a) e a incorreta situação (b) do relacionamento de L-1 e L-2. L-1

Viga 1

L-2

Viga 2

Corte MM

Viga 3

L-1

Viga 1

L-2

Viga 2

Viga 3

Situação b

Situação a

Os esquemas (correto e incorreto) de trabalho de deformação das lajes serão: L-1

Viga 1

armadura

Corte MM

L-2

Viga 2

Viga 3

Esquema a (correto)

L-1

Viga 1

L-2

Viga 2

Viga 3

Esquema b (incorreto)

Face a tudo exposto, podemos passar ao esquema estrutural que se associa para o cálculo das lajes. L-1

Viga 1

L-1

L-2

Viga 2

Viga 3

As bordas internas das lajes se engastam

Viga 1

L-2

Viga 2

Viga 3

Hipótese errada

_ (*) Teremos de considerar também a magnitude das cargas. Se as cargas nas lajes forem altas, os esforços de torção nas vigas poderão levar a situações que fujam às situações de engastamento.

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Conclusão: Duas lajes contíguas se interengastam nos seus pontos comuns. As lajes contínuas têm apoios simples nas suas extremidades livres. Dessa forma, abandonando-se o esquema incorreto, podemos imaginar passo a passo como se calculam as lajes contíguas. Seja o raciocínio para as lajes L-1 e L-2. Apresentamos as lajes em corte

L-1 V-1

Exageradamente como elas trabalham

L-2 V-2

Compressão em cima

V-3

Tração em cima

Compressão em cima Carga

V-1

V-2 Tração Laje embaixo L-1 Compressão Z embaixo

Tração embaixo

Laje L-2

V-3

Corte

Compressão Linha neutra - sem tração e sem compressão. Tração Corte ampliado em Z

– V-1

V-2 Esquema estrutural adotado

V-3

+ V-1

V-2

V-3

Diagrama de Momentos Fletores

Face à ocorrência de momento fletor negativo no apoio comum às duas lajes contíguas, colocaremos nas lajes e na sua parte superior uma armadura negativa para vencer esse momento fletor negativo. Observação: O engastamento nos apoios das lajes contíguas não ocorre, caso uma das lajes seja rebaixada. Aí as duas lajes serão consideradas como livremente apoiadas. Considerando que no meio dos vãos ocorrem Momentos Fletores positivos (tração embaixo e compressão em cima) e nos apoios intermediários ocorrem momentos negativos (tração em cima e compressão embaixo) e lembrando sempre que o concreto não resiste à tração, nas lajes contíguas, além de colocar aço no meio do

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vão para vencer a tracão inferior, temos de colocar agora aço na parte superior da laje no apoio intermediário, para vencer aí a ocorrência de momento negativo (tração em cima). A armação das lajes tem agora o seguinte esquema geral: 9 7

2 6

5 Viga

Laje Ref. João Batista Pianca Manual do construtor Editora Globo

Entenda: 1.

armadura para vencer o momento positivo nas lajes;

2. armadura de contorno (construtiva) só para evitar trincas na ligação entre viga e laje; 3.

armadura da laje na outra direção;

armadura específica das vigas (para resistir momento positivo);

estribos das vigas (vencem o cisalhamento nas vigas);

porta-estribos das vigas;

armadura negativa;

espaçador para garantir o cobrimento da armadura pelo concreto, evitando a oxidação da armadura pelo oxigênio do ar.

armadura construtiva

Observem que a armadura 1 é calculável; as armaduras 9 são estabelecidas pela prática; 3 é calculado; 4 são calculados para as vigas; 5 e 7 são calculados e 6 são construtivos. 2 são estabelecidos por normas, a não ser quando forem para resistir a momentos negativos, ou seja, na parte superior das lajes contíguas a fim de evitar fissuração nas bordas. Em suma, calcular uma laje conjugada é: • • •

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determinar a espessura dessa laje; calcular a armadura positiva; calcular a armadura negativa.

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O cálculo de armadura positiva e da armadura negativa, além do cálculo de espessura da laje, serão dados na aula 11.3. Observação: O caro aluno não acha que vale a pena fazer uma visita a uma obra em construção (um pequeno prédio por exemplo) e verificar in loco a ocorrência de toda essa armação?

Pilar Laje

Espaçador (pastilha) para garantir o recobrimento

Viga

Recordação - Exigências da NBR 6118. Para lajes maciças, as exigências da norma, quanto à sua espessura são mostradas na Tabela T-8 (item 13.2.4.1 da norma). Sempre considerar que o projeto existe para a obra. Projete coisas fáceis de construir. Há profissionais que acham que o projeto existe para si mesmo e não como um ordenador e facilitador para a obra. Destacando: Tabela T-8 — Espessuras mínimas de lajes maciças de concreto armado (*) Tipo de laje

Espessura mínima (cm)

Laje para cobertura não em balanço

Laje de piso não em balanço

Laje em balanço

Lajes que suportem veículos de peso total 30 kN (todos os automóveis tem peso inferior a isso)

Lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN

Nota: Para referência vejamos os pesos dos carros lotados: Carro pequeno 1.500 kgf = 15 kN Perua 2.500 kgf = 25 kN (*) Ver item 13.2.4.1 pg. 74 da NBR 6118.

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Podemos concluir que lajes de garagem de prédios de apartamento ou de escritório precisam ter espessura de no mínimo, 10 cm, e lajes de prédios industriais na estocagem de caminhões com cargas variadas precisam ter no mínimo a espessura de 12 cm. Para a armadura negativa ficar na laje em posição alta, adequadamente distanciada da face superior, usamos o dispositivo feito na própria obra chamado de “caranguejo”. Para produzir caranguejos, use, por economia, restos de armadura. Reprisando, livro ou aula que não cuida de custos, de alguma coisa pode ser, mas de engenharia não é. Ferro de sustentação

Armadura negativa apoiada nos ferros de sustentação

Caranguejo (apoio do ferro de sustentação) Armaduras negativas

Armaduras positivas

Corte longitudinal de lajes apoiadas em vigas

Curiosidade: Em um prédio com estrutura de concreto armado, já pronto, viu-se que o único acesso para a entrada do maquinário dos elevadores era por uma rampa externa, não prevista para suportar cargas médias, muito menos grandes cargas. As soluções encontradas foram: reforçar a rampa ou desmontar por completo o maquinário dos elevadores, transportando-os por partes. Faltou diálogo… Nota: Em postura municipal da cidade de São Paulo, consta a exigência de lajes de cobertura sem telhado de prédio, que seja capaz de resistir ao pouso de um helicóptero.

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Aula 9

aula

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9.1 PARA NÃO DIZER QUE NÃO FALAMOS DO CONCEITO EXATO DAS TENSÕES No ensino médio se aprende que as grandezas ou são escalares, ou são vetoriais. São grandezas vetoriais aquelas que precisam, para se definir, de um valor (quantidade), direção e sentido. Assim, a velocidade de um carro só fica definida se dissermos 80 km/h (valor), direção (Via Dutra) e sentido (do Rio para São Paulo). São grandezas vetoriais, a força, a velocidade e outras. Há grandezas que só com seu valor se definem. Exemplos: temperatura (20 °C), comprimento (3,5 metros). As grandezas vetoriais são definidas por um vetor, graficamente indicado por uma seta, em que o seu comprimento é o valor, o seu sentido é o sentido da flecha, e a direção é a direção de sua seta. Haveria, pois, uma tendência de dividir todas as grandezas da Física em grandezas escalares ou vetoriais. Isso é um erro. ha)

o (flec

Sentid

Direção

valor ho ou n a m a T ) sidade (inten

Consideremos agora um recipiente de água e um ponto C no seu interior. N.A.

h •

A pressão hidrostática em C é uma grandeza escalar ou vetorial? Grandeza escalar não é. Muitos diriam que a pressão em C é uma grandeza vetorial.

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Pensemos, entretanto, que a pressão em C pode ter várias direções e sentidos, conforme seja a consideração. Consideremos vários vasos de água mantendo as alturas h1 e h2.

C •

•

Vaso 1

•

Vaso 2

•

Vaso 3

Vaso 4

Conforme a forma dos vasos (vasos 1, 2, 3 e 4), a pressão hidrostática tomou uma posição nos pontos C (ver flecha). Logo, não é possível definir a pressão em C, se não definirmos um plano que passe por C. Logo, a pressão em C, para ser conhecida, depende de um plano e de um vetor normal a esse plano. Ao conjunto vetor C e plano passando por C chamamos “Tensor”. Portanto, pressão é uma grandeza tensorial que exige, para a sua definição, além de um vetor, um plano.

Consideremos a barra de madeira tracionada a seguir:

No ponto C, conforme seja o plano X considerado, há um esforço vetorial. Em C, há, pois, um estado tensorial, ou seja, em cada plano X que passe por C, há um esforço a se considerar. Se a peça romper em C, romperá no plano onde a tensão ultrapassar naquele plano a tensão de ruptura. Conclusão: No vaso 1, não há condição de se definir a pressão no ponto C dentro da água. Nos vasos 2, 3 e 4, como a pressão é perpendicular à superficie (plano), podese definir o vetor nos pontos C. Logo, tensão é um vetor associado a um plano. Na peça de madeira tracionada no ponto C passam infinitos planos. Em um deles ocorre a tensão máxima, que se for maior que a tensão de ruptura do material, a peça se rompe. Um exemplo típico de estado tensorial é o seguinte: imagine um cilindro de concreto sendo comprimido, aquele mesmo cilindro que é enviado para laboratório para testar resistência à compressão do concreto da obra.

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(*)

F2 F1 é pequeno

Situação 1

F3 F2 é grande, começam a aparecer trincas

Situação 2

F3 rompe o cilindro

Situação 3 (*)

O rompimento do concreto na prova de compressão não se deu efetivamente por compressão. Em algum ponto C, no seu interior, ocorreu em um plano a (a ≅ 45°) uma tensão limite de cisalhamento e o concreto se rompeu. Embora se diga que o concreto rompeu por compressão com a força F3, na verdade, ocorreu uma destruição por uma tensão de cisalhamento propiciada, criada, pela compressão do corpo de prova. Vamos, por clareza, repetir esta história para firmar conceitos. Imaginemos um cilindro de concreto sendo comprimido.

θ F

F (Compressão)

Num ponto C e num plano a que passa por C, as tensões em C podem ser decompostas em uma tensão normal σ, ao plano e uma tensão de cisalhamento τ contida no plano a. O corpo pode romper, seja pela tensão normal ou pela tensão de cisalhamento. No rompimento de corpos de prova de concreto feito nos laboratórios de pesquisa para determinar a resistência à compressão, o rompimento se dá por cisalhamento. F β

Plano α

Linhas de ruptura

Corpo de prova rompido

Assim, pressões externas de compressão romperam o corpo de prova, no plano a, que apresentou menor resistência de cisalhamento. _ (*) A norma da ABNT que fixa as condições do teste de compressão de corpos de prova de concreto é a NBR 5739.

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Conclusão: Submetido um corpo à tensão de compressão, no ponto C passarão infinitos planos a, existindo infinitas tensões normais e infinitas tensões de cisalhamento. Para um determinado ângulo a, ocorre a maior tensão de cisalhamento e para um determinado ângulo β, a maior tensão de compressão. Para o caso em pauta, a máxima tensão de compressão que ocorre é maior do que a máxima tensão de cisalhamento. Todavia, como a resistência à compressão do concreto é muito maior, mas muito maior do que a resistência ao cisalhamento, o corpo de prova rompe por cisalhamento, no teste de compressão.

9.2 CÁLCULO DE LAJES 9.2.1 TIPOS DE LAJES QUANTO À SUA GEOMETRIA(*) Antes de passarmos a calcular lajes, vamos dividi-las em dois tipos, um para as lajes cuja largura e comprimento não diferem muito, ou seja, onde a maior dimensão não ultrapasse o dobro da outra (e que são as mais comuns) e outro tipo para as lajes ditas retangulares, em que uma dimensão é maior do que o dobro da outra. Para o 1º caso ,chamaremos de lajes armadas em duas direções (ou lajes armadas em cruz) e a outra, chamada de armada em uma só direção. Assim, na planta do prédio a seguir L-1, L-2, L-3 são armadas em duas direções (armação em cruz). A laje L-4 é armada em uma só direção.

L-1

L-4 L-2

L-3

Planta das lajes L-1 e L-3 (armadas em duas direções) e da laje L-4 (armada em uma direção).

Quando dizemos laje armada em duas direções, estamos falando de armação dos momentos positivos que ocorrem nas duas direções no meio do vão. As lajes armadas em uma só direção só possuem armação principal na direção do vão menor e uma armadura secundária na outra direção. _ (*) As lajes podem ter qualquer geometria (circulares, triangulares etc.), mas a maioria delas é retangular.

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L-1

L-2

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Planta da laje L-1 (armada em duas direções e da laje L-2 (armada em uma só direção)

Corte AA

Corte BB

Corte CC

9.2.2 LAJES ARMADAS EM UMA SÓ DIREÇÃO As lajes em que uma dimensão é maior do que o dobro da outra dimensão nós armamos na direção do lado menor e, por isso, elas são chamadas lajes armadas em uma só direção. A Armadura paralela ao lado menor

L-1

Seção AA

Planta A Seção BB

As lajes armadas em uma só direção são calculadas exatamente como se fossem um conjunto de vigas paralelas, sendo que o cálculo da área de aço é feita por metro

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de laje. Para elas não são aplicáveis as tabelas de Barës e Czerny, que são usadas para as lajes em cruz. Para o cálculo, temos de diferenciar lajes isoladas e lajes engastadas. Chamando-se o momento no meio do vão de M, e de X o momento nos apoios, os esquemas possíveis de lajes armadas em uma só direção são: Laje isolada M

L M = q — onde 8

q - Carga L - Vão menor M - Momento no meio do vão menor X = Momento fletor no apoio

X M

L M = q —— 14,22 2

L X=–q — 8

Laje engastada de um lado

L M = q — 24

X M X

L X = – q — 12

Laje biengastada

Para o caso de lajes retangulares (um lado maior que o dobro do outro), não se consideram as possibilidades de engastamento dos lados menores. Atenção: Mesmo para lajes armadas em uma só direção, existe a obrigatoriedade de se fazer uma armadura transversal de distribuição. A norma, no seu item 20.1, assim o exige, fixando o espaçamento máximo dessa armadura em 33 cm. Para o nosso prédio é razoável fixar-se, como armadura transversal, 20% da principal e maior que 0,9 cm2/m. Nota: No cruzamento de armadura, é costume o aço de maior diâmetro ficar em-baixo da armadura de menor diâmetro. Para que a armadura negativa fique no alto, são necessários: • uma armadura de sustentação; • um caranguejo. Para amarrar armaduras, usa-se arame recozido n. 18 Caranguejo

9.2.3 LAJES ARMADAS EM DUAS DIREÇÕES – TABELAS DE CÁLCULO BARËS - CZERNY Já vimos que calcular lajes será: • • •

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determinar sua espessura; calcular a armadura positiva (meio do vão); calcular a armadura negativa (nos apoios intermediários).

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143

Aula 9

Vamos explicar o cálculo de lajes armadas em cruz, segundo o Método de Czerny, que é adequado para o tipo de prédio que estamos calculando. O Método de Czerny(*) é aplicável somente para lajes armadas em duas direções. Seja a planta do prédio a seguir:

L-1

V-3

V-4 V-2

V-1

L-3 V-5

L-2

Condição a < 2b

L-4 V-6

Podemos considerar cada laje como se fosse formada por uma grelha de vigas independentes cortando-se perpendicularmente, como a seguir se mostra para a laje L-1: V-4 V-2

V-1

L-1

Y V-5

Dentro desse raciocínio, cada laje é substituída por um reticulado de vigas na direção X e na direção Y. Segundo algum critério, deveremos dividir a carga atuante e acidental q em duas cargas qx e qy, que se distribuirão nas vigas na direção X e na direção Y. Se assim fizéssemos, calcular a laje L-1 seria, na prática, calcular as vigas na direção X e na direção Y com as cargas qx e qy. As vigas deverão levar em consideração o engastamento previsto de laje com laje. Assim, teremos para L-1:

qx a

V-1

b V-2

V-4

V-5

_ (*) Em edições anteriores deste livro, usamos, para determinar os momentos nas lajes, as fórmulas de Marcus (mais antigas). Agora substituímos pelas fórmulas de Czerny, mais modernas. Essas fórmulas para lajes podem ser chamadas de Barës-Czerny.

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144

Concreto Armado Eu Te Amo

O diagrama de Momentos Fletores será, como mostram os dois esquemas a seguir, ressaltando-se que os engastamentos indicados não são nas vigas e sim engastamentos de laje com laje.

– +

Diagramas de Momentos Fletores

Se calculássemos essas vigas nas direções X e Y, teríamos resolvida toda a laje. Qual a falha desse raciocínio? É que não estamos considerando o aspecto de continuidade da laje e que toda ela trabalha, resistindo muito melhor do que se considerada dividida por grelhas de vigas, independentes umas das outras. O processo de Czerny nada mais é que fazer a divisão de laje por uma grelha de vigas e aplicar adequados coeficientes que levam em conta exatamente esse aspecto nas lajes, de solidariedade conjunta integrada total (boa expressão, não?) de toda a malha de vigas. As Tabelas de Barës - Czerny já fazem os cálculos diretamente, permitindo facilmente o cálculo dos momentos positivos (permitindo, após isso, o cálculo das armaduras do meio do vão) e os negativos (permitindo, após isso, o cálculo das armaduras nos apoios). Para a aplicação das Tabelas de Cálculo, vale a simbologia: M x - Momento Fletor positivo que ocorre no meio do vão. Com M X e a espessura da laje, será possível calcular posteriormente a armadura positiva (face inferior da viga) na direção X. My - ldem eixo Y. X x - Momento Fletor no apoio na direção X. Esse momento só ocorre quando nesse lado e nessa direção a laje é engastada em outra laje. Com X x e a espessura da laje, será possível calcular posteriormente a armadura negativa (face superior da viga) na direção X. Xy - Idem eixo Y. q - Carga total que atua na laje (acidental e peso próprio da laje). qx - Parcela do peso próprio e carga acidental que atua na direção X e que será usada para o cálculo do momento negativo. qy - Idem Y. q x + qy = q m x e my = coeficiente de cálculo. v - coeficientes para cálculo de cargas nas vigas.

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Aula 9

145

Conclusão: O cálculo de lajes pelo processo de Czerny é, na prática, um cálculo de momentos no meio da laje (direção X e direção Y) e nos apoios (direção X e direção Y). As Tabelas de Barës - Czerny são uma quantificação do cálculo das lajes maciças retangulares, supondo-as com uma grelha de vigas, mas levando em conta o efeito de resistência do fato de a laje ser inteiriça e contínua e, portanto, mais resistente do que a grelha de vigas independentes imaginada. Conhecidos os Momentos Fletores no meio do vão (M x e My) e admitida uma espessura de laje, as lajes serão então calculadas como se fossem vigas de um metro de largura. Conhecidos os momentos e a espessura de laje, na aula 11.3 veremos como se calculam as armaduras positivas e as negativas. Na aula 16.3, veremos como as cargas se transferirão às vigas.

9.3 PARA USAR AS TABELAS DE BARËS-CZERNY(*) Tabelas T-9 Deveremos: 1. Verificar primeiramente em qual dos seis casos nos encontramos. 2. Verificado o caso em que nos encontramos, temos que orientar a questão dos eixos. Como? 3. Devemos calcular a relação e = l y / l x que será a chave única de entrada, resultando conhecidos m x, my, v1, v2, v3, v4. 4. Conhecidos m x, my, kx, poderemos calcular: q = carga total = carga acidental + revestimento + peso próprio em kN/m 2. (momento positivo do meio do vão na direção X considerada no caso) (momento positivo do meio do vão na direção Y considerada no caso) R1, R2, R3, R4: cargas nas vigas de apoio da laje (momento negativo do apoio na direção X considerada no caso) (momento negativo do apoio na direção Y considerada no caso) w = coeficiente para cálculo de flecha da laje, no meio do vão. v = coeficiente para cálculo de cargas nas vigas. R = v × q × lx (*) Em edições anteriores deste livro, chamadas de Tabelas de Czerny.

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Concreto Armado Eu Te Amo

Tabelas de Barës - Czerny para lajes maciças armadas em cruz(*) — Tabelas T-9 — 1.º Caso 1.º caso — Laje isolada, sem engastamento com outras lajes

R2 my

ε=

y x

ε=y /x

1,0

27,2

0,250

20,534

1,1

22,4

27,9

0,250

0,273

17,118

1,2

19,1

29,1

0,250

0,292

14,748

1,3

16,8

30,9

0,250

0,308

13,064

1,4

15,0

32,8

0,250

0,321

11,779

1,5

13,7

34,7

0,250

0,333

10,794

1,6

12,7

36,1

0,250

0,344

10,039

1,7

11,9

37,2

0,250

0,353

9,428

1,8

11,3

38,5

0,250

0,361

8,903

1,9

10,8

39,6

0,250

0,368

8,526

2,0

10,4

40,3

0,250

0,375

8,224

R1 = n1 · q · l x

R2 = n2 · q · l x

450 cm

Exemplo do 1.º Caso

R2 300 cm R1

R1 R2

fck = 20 MPa ECS = 21.000 MPa = 21.000.000 N/cm 2

(ver página seguinte)

_ (*) Sinônimo = laje armada em duas direções.

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Aula 9

147

Nota: Os coeficientes v são para cálculo de cargas nas vigas de apoio. Momentos fletores:

Cargas nas vigas R1 = q × l x × v1

R2 = q × l x × v2

R1 = 12 × 3 × 0,25 = 9 kN/m

R2 = 12 × 3 × 0,333 = 11,99 kN/m

ECS ver página 122. Nota: As tabelas de cálculo dão os valores dos esforços (momentos fletores), mas não dão o dimensionamento das lajes. Para dimensionar as lajes com os momentos fletores nas lajes, usaremos as tabelas de k3 e k6, aula 11.

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Concreto Armado Eu Te Amo

Tabela de Barës - Czerny — Para lajes maciças armadas em cruz(*) T-9 — 2.º Caso xx

Importante y é o lado engastado R1 mx

2.º caso — Laje comum, lados engastados e=y/x

0,50

156,3

45.6

32,8

0,165

0,216

0,125

143,880

0,55

126,6

41,8

27,6

0,172

0,238

0,138

108,847

0,60

99,0

39,3

23,8

0,177

0,260

0,150

85,639

0,65

78,7

37,7

20,9

0,181

0,281

0,163

69,677

0,70

63,7

36,9

18,6

0,182

0,303

0,175

58.332

0,75

53,5

36,7

16,8

0,183

0,325

0,187

50,008

0,80

45,7

36,9

15,4

0,183

0,344

0,199

43,831

0,85

39,8

37,6

14,2

0,183

0,361

0,208

39,096

0,90

35,5

38,6

13,3

0,183

0,376

0,217

35,363

0,95

32,2

39,7

12,5

0,183

0,390

0,225

32,394

1,00

29,3

41,2

11,9

0,183

0,402

0,232

29,940

1,10

27,3

45,2

10,9

0,183

0,423

0,244

26,371

1,20

24,5

48,9

10,2

0,183

0,441

0,254

23,874

1,30

22,5

51,9

9,7

0,183

0,456

0,263

22,021

1,40

21,0

54,3

9,3

0,183

0,466

0,270

20,659

1,50

19,8

55,6

9,0

0,183

0,479

0,277

19,558

1,60

19,0

56,6

8,8

0,183

0,489

0,282

18,838

1,70

18,3

57,7

8,6

0,183

0,498

0,287

18,420

1,80

17,8

58,2

8,4

0,183

0,505

0,292

17,974

1,90

17,4

58,9

8,3

0,183

0,512

0,295

17,439

2,00

17,1

59,5

8,2

0,183

0,518

0,299

16,892

_ (*) Sinônimo = laje armada em duas direções.

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Aula 9

149

R1 = n1 · q · l x R2 = n2 · q · l x R3 = n3 · q · l x q = carga acidental mais peso próprio. No caso, admite-se q = 1.200 kgf/m 2 = 12 kN/m 2

Exemplo do 2.º Caso — A x

fck = 20 MPa Ecs = 21.000.000 kPa

4,5 m

3,0 m R1

h = 8 cm (adotado)

Momentos fletores:

Cargas nas vigas R1 = 0,183 × 12 × 3 = 6,59 kN/m

R2 = 0,479 × 12 × 3 = 17,24 kN/m

R3 = 0,277 × 12 × 3 = 9,97 kN/m

w = 19,558

f = 0,0046 m = 0,46 cm (flecha)

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150

Concreto Armado Eu Te Amo

Exemplo 2.º Caso — B fck = 20 MPa Ecs = 21.000.000 kPa

3,0 m R2 4,6 m R1

R1 R3

Momentos q ×  2x Mx = mx

My =

q ×  2x my

Cargas nas vigas R = q × l x × n1 l x = 4,6 R1 = 0,181 × 12 × 4,6 = 9,99 kN/m

R2 = 0,281 × 12 × 4,6 = 15,51 kN/m

R3 = 0,163 × 12 × 4,6 = 8,99 kN/m

Coeficiente p/cálculo de flecha: w = 69,677

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151

Aula 9

Tabela de Barës - Czerny — Lajes maciças armadas em cruz(*) com dois lados opostos engastados — T-9 — 3.º Caso xx

x R

Importante y é a direção com dois (2) engastes mx

e = y /x

0,50

169,5

50,0

33,7

0,216

0,144

157,947

0,55

123,5

47,4

28,6

0,238

0,144

122,514

0,60

95,2

46,1

25,0

0,259

0,144

99,306

0,65

76,9

45,8

22,2

0,278

0,144

83,364

0,70

64,5

46,2

20,1

0,299

0,144

72,058

0,75

55,6

47,4

18,5

0,308

0,144

63,848

0,80

49,3

49,4

17,3

0,320

0,144

57,580

0,85

44,4

52,0

16,3

0,330

0,144

52,774

0,90

40,5

55,1

15,5

0,340

0,144

48,851

0,95

37,5

58,9

14,8

0,348

0,144

45,811

1,00

35,1

61,7

14,3

0,356

0,144

43,478

1,10

31,7

67,2

13,5

0,369

0,144

39,942

1,20

29,4

71,6

13,0

0,380

0,144

37,384

1,30

27,8

74,0

12,6

0,389

0,144

35,727

1,40

26,7

75,0

12,3

0,397

0,144

34,708

1,50

25,8

75,3

12,3

0,404

0,144

34,057

1,60

25,2

76,6

12,1

0,410

0,144

33,600

1,70

24,7

76,9

12,0

0,415

0,144

33,200

1,80

24,4

77,0

12,0

0,420

0,144

33,033

1,90

24,2

77,0

12,0

0,424

0,144

32,964

2,00

24,1

77,0

12,0

0,428

0,144

32,895

R1 = n1 · q · l x

R2 = n2 · q · l x

_ (*) Sinônimo = laje armada em duas direções.

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152

Concreto Armado Eu Te Amo

Exemplo do 3.º Caso — A 4,5 m R1 3,0 m R2

R2 R1

Momentos fletores:

Cargas nas vigas: R1 = 0,404 × 12 × 3 = 14,54 kN/m

R2 = 0,144 × 12 × 3 = 5,18 kN/m

Flecha: w = 34,057

f =

12 × 34 q ×  4x = f = = 0,0027 m = 0,27 cm 21.000.000 × 0,08 3 × 34,057 ECS × h 3 × w

Exemplo do 3.º Caso — B 3,0 m R1 4,6 m R2

R2 R1

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Aula 9

153

Momentos fletores

Cargas nas vigas:

f = q×

 4x 12 × 4,6 4 = 0,0060 m = 0,60 cm = f = 3 , ECS × h × w 21.000.000 × 0,08 3 × 83.364

f = flecha. Nota: Observar que adotamos no projeto desse prédio a altura h da laje igual a 8 cm que é o mínimo dos mínimos para esse tipo de laje que a norma NBR 6118/2014 item 13.2.4.1, b, pg. 74 aceita. Relembremos: Armadura

Concreto

h Seção transversal da laje

Alguns chamam: h – altura bruta da peça (laje) d – altura útil, altura do dimensionamento.

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Concreto Armado Eu Te Amo

Tabela de Barës - Czerny — Lajes maciças armadas em cruz(*) com dois lados contínuos engastados — T-9 — 4.º Caso xx

R4 Xy my

e=y/x 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0

mx 40,2 35,1 30,0 26,5 24,0 22,2 20,9 19,8 19,0 18,4 17,9

my 40,2 41,3 44,0 47,7 51,0 52,9 55,0 56,6 57,7 59,1 60,2

nx 14,3 12,7 11,5 10,7 10,1 9,6 9,2 9,0 8,7 8,6 8,4

ny 14,3 13,6 13,1 12,8 12,6 12,4 12,3 12,3 12,2 12,2 12,2

v1 0,317 0,317 0,317 0,317 0,317 0,317 0,317 0,317 0,317 0,317 0,317

v2 0,183 0,183 0,183 0,183 0,183 0,183 0,183 0,183 0,183 0,183 0,183

v3 0,317 0,346 0,370 0,390 0,414 0,423 0,436 0,447 0,458 0,467 0,475

v4 0,183 0,200 0,214 0,225 0,232 0,244 0,252 0,258 0,264 0,270 0,275

w 39,683 33,156 28,706 25,745 23,451 21,707 20,620 19,955 19,441 18,716 17,857

R1 = n1 · q · l x R2 = n2 · q · l x R3 = n3 · q · l x R4 = n4 · q · l x

Exemplo do 4.º Caso 4,5 m R3 3,0 m

R2 R4

_ (*) Sinônimo = laje armada em duas direções.

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Aula 9

155

Momentos fletores:

Cargas nas vigas:

f = q×

 4x 12 × 34 = f = ECS × h 3 × w 21.000.000 × 0,08 3 × 21,707

= 0,0042 m = 0,42 cm ECS = Módulo de elasticidade do concreto

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156

Concreto Armado Eu Te Amo

Tabela de Barës - Czerny — Lajes maciças armadas em cruz(*) com os quatro lados engastados — T-9 — 5.º Caso xx

y x

xy my

e = y /x

1,0

56,8

19,4

0,250

65,400

1,1

46,1

60,3

17,1

18,4

0,250

0,273

55,082

1,2

39,4

66,1

15,6

17,9

0,250

0,292

48,225

1,3

35,0

74,0

14,5

17,6

0,250

0,308

43,766

1,4

31,8

83,6

13,7

17,5

0,250

0,321

40,047

1,5

29,6

93,5

13,2

17,5

0,250

0,333

37,987

1,6

28,0

98,1

12,8

17,5

0,250

0,344

36,330

1,7

26,8

101,1

12,5

17,5

0,250

0,353

35,215

1,8

26,0

103,3

12,3

17,5

0,250

0,361

34,021

1,9

25,4

104,6

12,1

17,5

0,250

0,368

33,362

2,0

25,0

105,0

12,0

17,5

0,250

0,375

32,895

R1 = n1 · q · l x R2 = n2 · q · l x

_ (*) Sinônimo = laje armada em duas direções.

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Aula 9

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Exemplo do 5.º Caso 4,5 m R2 3,0 m

R1 R2

Momentos fletores:

Cargas nas vigas:

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Concreto Armado Eu Te Amo

Tabela de Barës - Czerny — Lajes maciças armadas em cruz(*) com três lados engastados — T-9 — 6.º Caso xx

Importante y é o lado com dois (2) engastes

y x

R2 xx

Xy my

e = y /x

0,50

400,0

74,8

49,3

35,2

0,125

0,159

0,217

296,296

0,55

250,0

66,9

40,5

30,7

0,131

0,174

0,227

218.564

0,60

175,4

61,5

34,4

27,2

0,136

0,190

0,236

167,740

0,65

133,3

57,7

29,8

24,6

0,140

0,206

0,242

133,065

0,70

105,3

55,3

26,2

22,5

0,143

0,222

0,247

109,030

0,75

85,5

54,2

23,4

21,0

0,144

0,238

0,249

91,875

0,80

70,9

53,9

21,2

20,0

0,144

0,254

0,250

79,525

0,85

61,3

54,3

19,5

19,2

0,144

0,268

0,250

70,430

0,90

54,3

55,4

18,1

18,7

0,144

0,281

0,250

63,243

0,95

48,5

55,7

17,1

18,4

0,144

0,293

0,250

57,371

1,00

44,1

55,9

16,2

18,3

0,144

0,303

0,250

53,191

1,10

37,9

60,3

14,8

17,7

0,144

0,321

0,250

47,104

1,20

33,8

66,2

13,9

17,5

0,144

0,336

0,250

42,677

1,30

31,0

69,0

13,2

17,5

0,144

0,348

0,250

39,787

1,40

29,0

71,9

12,8

17,5

0,144

0,359

0,250

37,187

1,50

27,6

75,2

12,5

17,5

0,144

0,369

0,250

35,915

1,60

26,6

78,7

12,3

17,5

0,144

0,377

0,250

34,679

1,70

25,8

82,9

12,2

17,5

0,144

0,384

0,250

34,209

1,80

25,3

86,9

12,1

17,5

0,144

0,391

0,250

34,021

1,90

24,8

91,5

12,0

17,5

0,144

0,396

0,250

33,362

2,00

24,5

96,2

17,5

0,144

0,402

0,250

32,895

_ (*) Sinônimo = laje armada em duas direções.

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R1 = n1 · q · l x R2 = n2 · q · l x R3 = n3 · q · l x

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Exemplo 6.º Caso — A 4,5 m R2 3,0 m

R1 R2

Momentos fletores:

Cargas nas vigas:

f = flecha

Exemplo 6.º Caso — B 3,0 m R2 4,6 m

R1 R2

Momentos fletores:

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Concreto Armado Eu Te Amo

Cargas nas vigas:

Certas coisas só são compreensíveis quando aplicadas. Vamos dar um exemplo de cálculo de uma laje. Seja uma laje L-2 dentro de um conjunto de lajes: 3,8 R1 4,2

L-1

L-2

y 4,2

L-3

R2 L-2 R2 R3

L-4

3,8 x Espessura mínima da laje: hmín = Importante y é o lado com 2 engastes (neste Caso 6)

Pelo visto, L-2 tem engastamento em L-1, L-3 e L-4: Adotou-se uma sobrecarga de 200 kg/m 2 que é igual a 2,0 kN/m 2. l x = 3,8 m l y = 4,2 m espessura mínima da laje: hmín = Lmenor/40 espessura mínima h = 380/40 = 9,5 adotaremos (h = 10 cm). O peso próprio é 0,10 × 25 = 2,5 kN/m 2. Logo, a carga total será: 2,5 + 2,0 = 4,5 kN/m 2. Logo: q = 4,5 kN/m 2. Como observação importantíssima verifiquem os leitores que o peso próprio da laje é maior que a carga acidental.

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Aula 9

Calculemos agora l y / l x. Estamos no 6.º caso (três apoios engastados e um apoio simples).

A relação 1,11 será a chave mágica para determinar tudo o que queremos. Olhando a Tabela de Cálculo do 6.º caso, encontraremos:

Entrada mágica e

e = ly /l x

1,11

37,9

60,3

14,8

17,7

0,144 0,321

0,25

47,104

Logo:

Mx = q ×

 2x 4,5 × 3,8 2 = = 1,715 kNm mx 37,9

XX MX

My = q ×

R2 My

3,8

R1 R2 XX

4,2 x= 3,8 m y= 4,2 m q = 4,5 kN/m2

( x )

R1 = 4,5 × 3,8 × 0,144 = 2,462 kNm R3 = 4,5 × 3,8 × 0,25 = 4,275 kNm R2 = 4,5 × 3,8 × 0,321 = 5,489 kNm Xx = q ×

 2x 4,5 × 3,8 2 = = 4,39 kNm 14,8 nx

Xy = q ×

 2x 4,5 × 3,8 2 = = 3,67 kNm 17,7 ny

Conhecidos os Momentos e fixada a espessura da laje, na aula 11.3 aprenderemos a conhecer o que falta, ou seja, as armações nos apoios e no meio do vão. Notas: 1.

O uso das Tabelas de Barës - Czerny faz variar, laje por laje, as direções X e Y. O importante é verificar os engastamentos. Por exemplo: no caso 6, ly é o lado com dois (2) esgastamentos e l x só tem um (1) engastamento.

2. O cálculo das reações das vigas apresentado é o original do Método de Czerny. A NBR 6118 recomenda o cálculo a partir do critério de uso de triângulos e trapézios (item 14.7.6.1, pg. 96), que recomenda que a distribuição das cargas nas

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Concreto Armado Eu Te Amo

lajes seja feita pela criação de triângulos e trapézios gerados por retas inclinadas, começando nos vértices e com ângulos de: •

45º entre dois apoios de mesmo tipo;

•

60º a partir de apoio engastado quando o outro for simplesmente apoiado;

•

90º a partir do apoio, quando a borda vizinha for livre.

B C

A - ângulo 45º B - ângulo 60º C - ângulo 30º

Carga para viga

A A

3. Nas lajes, para colocar a armadura negativa, que ocorre em apoios, faz-se na obra um minitripé (caranguejo) e corre-se, ao longo da borda, uma armação para sustentar a armadura negativa na posição alta. Veja a figura a seguir:

Ferro de sustentação

Armadura negativa (sobre os ferros de sustentação) Amarrar com arame 18 todos os encontros

Caranguejo

A armadura negativa (alta) apoia-se no ferro de sustentação.

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Aula 10

aula

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10.1 VÍNCULOS SÃO COMPROMISSOS OU O COMPORTAMENTO DAS ESTRUTURAS, FACE AOS RECALQUES OU ÀS DILATAÇÕES Quem se adapta melhor a um mundo em mutações, o jovem ou o velho? Os jovens têm poucos vínculos, são mais livres e, regra geral, se adaptam e se integram facilmente a um mundo em transição, onde cada valor está sujeito a uma revisão. Os velhos, de vida já estruturada, têm mais dificuldades em adaptarem-se às modificações. A mesma comparação é válida para estruturas. As estruturas isostáticas (ver aula 7.3) são estruturas de poucos vínculos (jovens); as hiperestáticas são estruturas de muitos vínculos (velhas). Imaginemos os dois arcos abaixo: P1

Articulações A

B Estrutura 1

B Estrutura 2

Se nos apoios da estrutura 1(*) acontecer um pequeno recalque diferencial (A afunda e B afunda diferentemente de A), a estrutura, pelo fato de ser triarticulada (grande ajeitabilidade), se acomoda de uma maneira que os esforços adicionais provenientes do recalque diferencial serão mínimos. _ (*) A estrutura 1 é semelhante à do Viaduto Santa Efigênia, SP, que é, pois, uma estrutura isostática.

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Concreto Armado Eu Te Amo

No caso da estrutura 2, ocorrendo recalque diferencial, haverá um aumento significativo nos esforços internos na estrutura, face à sua menor ajeitabilidade. Se esse exemplo não foi claro, passemos às duas outras estruturas: P

Viga Pilar

Estrutura 1

B Estrutura 2

A estrutura 1 é isostática e a 2 é hiperestática (ligação solidária entre a viga e os pilares). Se acontecer um recalque em A e ocorrer em B um recalque diferente, as estruturas ficarão como abaixo: Grande deformação

Pequena deformação

Viga Pilar

B Estrutura 1

B Estrutura 2

Acho que dá para sentir que o recalque diferencial na estrutura 1 (desde que dentro dos limites) não causou praticamente nenhum esforço adicional em relação aos esforços já existentes na situação sem recalque. Já a estrutura 2 é toda solicitada (a custo de grandes esforços internos)a se adaptar às novas situações. As deformações, face ao peso p, são maiores na estrutura 1 do que na estrutura 2. Conclusões: “Estruturas isostáticas são melhor adaptáveis às situações de fundação, onde podem ocorrer recalques diferenciais, do que as hiperestáticas”. Recalques semelhantes (iguais) em todos os apoios não introduzem, em princípio, esforços adicionais nas estruturas, ou seja: o ponto A e o ponto B se afundam igualmente. Nesse caso, as estruturas isostáticas (tipo 1) e as hiperestáticas (tipo 2) nem tomam conhecimento.

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Aula 10

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Em pontes, é comum associarem-se estruturas hiperestáticas à estruturas isostáticas, um exemplo é a viga Geber, que é uma estrutura isostática apoiada em uma hiperestática, como a seguir se vê: Viga Geber

C A

Se A ou B apresentarem recalque diferencial, a viga Geber permitirá uma certa acomodação de estrutura. O que foi dito para recalques diferenciais vale, em princípio, para dilatações. Um exemplo extremo de trabalho de estruturas, moldáveis (isostáticas) ou menos moldáveis (hiperestáticas) a esforços é o caso da batida de automóvel. Caso você veja que vai bater, pare de brecar, pois o carro desbrecado quando bate em outro carro, se amassa mais e transmite menos esforços internos (aos ocupantes do veículo). A batida de um carro brecado (estruturas com mais vínculos ao chão) transmite mais esforços aos ocupantes. Claro, não? Observe-se que, para efeitos estruturais, recalques diferenciais são muito mais terríveis que recalques iguais de toda a estrutura. Em certas cidades, é comum os prédios de apartamento recalcarem por igual em todos os seus apoios cerca de 50 cm, chegando às vezes até a 100 cm. Como o prédio recalca por igual, não há, a rigor, maiores problemas estruturais principais. O que se teme é o recalque diferencial. Um recalque diferencial de alguns centímetros poderia levar a estrutura à situações inaceitáveis. O medo, o pavor a recalques diferenciais é que leva a não se preverem, para uma mesma estrutura, dois tipos de fundações (por exemplo: fundação direta por sapatas e fundação por estacas). Como fundações de tipos diferentes recalcam diferentemente, teríamos então recalques diferenciais com maior possibilidade.

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10.2 EXEMPLOS REAIS E IMPERFEITOS DE VÍNCULOS Até aqui apresentamos três tipos de vínculos de estruturas. Temos o apoio simples, que são apoios como A e B:

Flecha A

Articulação

Figura 1

A viga está simplesmente apoiada em dois pilares de concreto (*). Esses vínculos não impedem a viga de trabalhar nas extremidades, girando ligeiramente, e não impedem a viga de se transladar para a direita e esquerda, se houvesse um esforço nesse sentido. Essa viga, ao se deformar (fletir) pela ação de cargas, não transfere esforços de rotação aos apoios. Para que houvesse um engastamento em A e B, precisaríamos de que a viga mergulhasse fundo no encaixe do concreto assim indicado:

B Figura 2

Em A e B, temos engastamentos bastante perfeitos. Essa viga não pode sofrer uma livre deformação como no caso anterior. Os encaixes (engastamentos) A e B impedem a viga de girar. O que impede algo de girar são os encaixes que geram Momentos Resistentes na viga. Logo, os encaixes, no caso da viga tentar se deformar, transmitem à viga Momentos Resistentes. Por contrapartida (vingança), a viga transfere aos encaixes um Momento igual e contrário. Se o encaixe (engastamento) resistir, OK. Se não resistir, ele se rompe e a viga gira. Consideremos agora (Figura 3) uma viga que se encaixa num buraco com folga e com pequena profundidade como indicado (vínculo B), e que se encaixa sem folga e com grande profundidade no vínculo A. _ (*) Falamos, no caso, de vigas apoiadas em pilares. Poderíamos estar falando igualmente de lajes apoiadas em vigas.

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Apoio A totalmente engastado (sem folga e grande profundidade)

Apoio B parcialmente engastado (encaixe com folga e pequena profundidade)

Figura 3

Nesse caso, o vínculo A é perfeitameme engastado e B é parcialmente, devendose, no cálculo da estrutura, considerar isso. Consideremos agora uma viga de madeira peroba simplesmente apoiada em quatro apoios também de madeira (viga contínua).

Tramo 1

Tramo 2

Tramo 3

No apoio A, a viga tem um vínculo do tipo “simplesmente apoiado”, ou seja, a viga gira sem restrições em redor de A. No ponto B, há um engastamento, não da viga no pilar, mas, sim, da viga na viga; o tramo da viga tenta impedir que o seu vizinho gire. As condições, aí, de engastamento não dependerão do pilar ou de sua ligação à viga, que não existe, mas, sim, das relações viga com viga (e do tipo de carregamento).(*) Se, por exemplo, só houver carregamento no tramo AB e não houver carregamento nos tramos BC e CD, as condições de restrição ao giro serão mais precárias, já que haverá poucos esforços para resistir ao giro. As melhores condições de restrição ao giro se darão quando a viga for igualmente carregada. A viga contínua, de que estamos falando, terá uma curva de deformacão (linha elástica), em função de suas características e de carregamento, independendo do seu relacionamento com os apoios que tão somente transferem reações de apoio. A representação da viga deve ser pois:

A B C D _ (*) Já vimos essa situação na aula 8.2, em que mostramos que, nas lajes contíguas, a viga de apoio não dá engastamento nas lajes, mas as lajes engastam lajes.

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Qualquer amarração entre a viga e os apoios que impeça a livre rotação da viga será uma alteração dos princípios que estamos aqui desenvolvendo. As vigas de concreto armado dos prédios não serão, a rigor, vigas contínuas, pois o tipo de ligação pilar × viga em obras de concreto opõe restrições ao livre girar da viga nesse apoio. Em contrapartida, a viga, além de descarregar pesos no pilar, dá-lhe de quebra um Momento fletor (resposta à restrição de girar). Na prática, e por facilidade, as vigas de prédio são calculadas como vigas contínuas e se consideram nos pilares (quando for o caso) alguns momentos que essas vigas a eles transmitem.

VOLTEMOS AO ASSUNTO DE VÍNCULOS Na articulação, há chance de movimento de giro sem deslocamento. Os arcos triarticulados do Viaduto Santa Efigênia são os melhores exemplos.

A, B e C são articulações. Para que fossem articulações perfeitas, deveriam girar facilmente, por exemplo, e, em teoria, serem lubrificadas. Por gozação, diríamos que portas que abrem sem ranger são articulações (dobradiças perfeitas). As que cantam não são tão perfeitas. O último tipo de vínculo é o carrinho, ou seja, o apoio que permite translação (valores em geral, mínimos). O apoio de pontes com placas de neoprene (borracha) são exemplos de carrinho. Um apoio simples é um exemplo de carrinho se permitir a translação. Sejam os pórticos a seguir:

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Aula 10

Base de neoprene

Corte

Esquema estrutural

Engastamento

Carrinho

Articulação

Apoio de neoprene

Conclusões: Quando a estrutura tem um vínculo em carrinho, o vínculo só transfere à estrutura força na direção vertical. Uma barra de madeira, apoiada com graxa em dois pontos, está apoiada em dois carrinhos. Numa estrutura que tem o seu vínculo em articulação, esse vínculo pode transmitir à estrutura, esforços verticais e horizontais.

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10.3 CÁLCULOS DAS LAJES — ESPESSURAS MÍNIMAS NBR 6118 – Item 13.2.4.1, pg. 74 Nas lajes maciças, devem ser respeitados os seguintes limites mínimos para a espessura h: a) b) c) d)

7 cm para lajes de cobertura que não estejam em balanço; 8 cm para lajes de piso que não em balanço; 10 cm para lajes em balanço; 10 cm para lajes que suportam veículos de peso total menor ou igual a 30 kN (garagem); e) 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN (garagem). f) 15 cm para lajes com protensão apoiadas em vigas, com o mínimo de l/42 para lajes de piso biapoiadas e l/50 para lajes de piso contínuas; g) 16 cm para lajes lisas e 14 cm para lajes-cogumelo, fora do capitel. No dimensionamento das lajes em balanço (lajes marquises), os esforços solicitantes de cálculo a serem considerados devem ser multiplicados por um coeficiente adicional gn, de acordo com o indicado na Tabela a seguir. Valores do coeficiente adicional gn para lajes em balanço h (cm)

≥ 19

1,00

1,05

1,10

1,15

1,20

1,25

1,30

1,35

1,40

1,45

onde: gn = 1,95 – 0,05 h; h é a altura da laje, expressa em centímetros (cm). Nota: O coeficiente gn deve majorar os esforços solicitantes finais de cálculo nas lajes em balanço, quando de seu dimensionamento.

Para a não verificação da deformação (flecha) nas lajes de edifícios, basta adotarmos como espessura mínima: (Regra prática não descrita na NBR 6118) l menor = menor lado da laje retangular

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Aula 10

2,90 m LE-1 V-2

Laje maciça

Cargas

Laje-marquise

Viga

Braço do momento L

Exemplo: determinar a espessura mínima da laje abaixo:

480

390

l menor = 390 cm

onde h - espessura total (bruta) da laje, d - distância da armadura até a borda superior da laje.

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Nota sobre lajes em balanço: Há razões para esta edição da NBR 6118 tomar esses cuidados com as lajes em balanço (chamadas também de lajes marquises). Ela, numa estrutura predial, é a única peça em equilíbrio isostático ou seja ela não tem folgas estruturais como outras partes da estrutura. Assim a falta de cuidados na sua execução, não respeitando que sua armadura fique na posição alta da laje (armadura negativa) e/ou falta de cuidados de uso carregando a laje com cargas não previstas ou danificando a sua drenagem podem levar essa laje em balanço ao colapso estrutural com danos a seres humanos que estejam em baixo. Em Porto Alegre, RS existe uma sábia lei municipal que exige inspeção anual de uso e de estado dessas peças, para evitar colapsos estruturais. Dizem que a estrutura de concreto armado é uma amiga do homem. A laje em balanço é a única exceção a essa afirmativa.

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Aula 11

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11.1 O AÇO NO PILAR ATRAI PARA SI A MAIOR PARTE DA CARGA Diz um ditado popular que quando você tem de dar uma tarefa a uma pessoa a ser escolhida, dê àquela que não tem tempo, e nunca, mas nunca, a quem tem tempo. Os que não têm tempo são em geral os que trabalham, e, por isso, podem fazer a tarefa adicional e os que têm tempo são os que não trabalham e eles nunca farão a tarefa adicional. Essa comparação vale nos pilares para a união do concreto armado entre o concreto e o aço. O aço é menos elástico que o concreto (como vimos, o aço tem maior Módulo de Elasticidade Es = 210 GPa do que o concreto Ec = 21 GPa(*)). Se usarmos os dois juntos em um pilar (compressão), o aço chupa a maior parte do trabalho, ou seja, absorve maior carga. Para entendermos isso, imaginemos um pilar de pequena altura (meio metro) em que se possa desprezar a flambagem e o diâmetro 0,80 m e com 10 ø 25 mm de aço na sua periferia, e imaginemos uma carga de 40.000 kN uniformemente distribuída sobre esse pilar de concreto armado.

20,000 kN por pilar

Peso distribuído de 40.000 kN

h = 0,5

Corte

pilar

10ø 25 mm

pilar

0,80 m

Corte transversal do pilar

_ (*) Na verdade não é estritamente correto falar em E do concreto como um número fixo, já que varia com fck. O valor numérico aqui indicado é apenas um exemplo comparativo. De qualquer forma, a variacão do Ec não é significativa quando se compara o Es (E do aço) que sempre é um valor muito maior.

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O peso de 20.000 kN por pilar deverá ser suportado por duas reações, uma no concreto (F1) e outra no aço (F2), sendo que: F1 + F2 = 20.000 kN (princípio de ação e reação) Essa estrutura de concreto armado deverá ser comprimida, portanto, sofrer uma redução de altura (Δh) que será igual tanto para o aço como para o concreto, já que os dois estão solidários: Acho que todos entenderam que seria impossível o aço diminuir independentemente de tamanho, mais ou menos da mesma forma que o concreto. Chamemos de h a altura do pilar e Δh, o encurtamento da peça. Conforme a aula 7.1, chama-se de deformação unitária a relação:

Como Δh e h são iguais para o aço e para o concreto, disso resultam deformações iguais εs = εc. Sabemos que dulo de Elasticidade. Se:

onde σ = pressão de compressão e E = Mó(*)

Através de uma transformação:

O Módulo de Elasticidade do concreto vale da ordem de 21 GPa e do aço vale 210 GPa.

Conclusão: Pelo fato de o aço ter maior Módulo de Elasticidade (oferece maior dificuldade de ser comprimido) do que o concreto, a tensão de compressão do aço será 10 vezes maior que a do concreto, ou seja, a parte menos elástica ficou com maior tensão. _ (*) Neste caso temos: Es = Módulo de Elasticidade do aço Ec = Módulo Elasticidade do concreto σs = Tensão no aço σc = Tensão no concreto

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Continuemos especulando:

e, como 10 ø 25 mm = 50 cm2 e Ac = 5.000 cm2 (área do concreto ø 80 cm desprezando-se a pequena área do aço).

Ou seja, a força que age na área do aço é aproximadamente um décimo da força que age na área do concreto. Ora, lembremos que:

Fc + 10 × Fc = 200.000 ⇒ 11 × Fc = 200.000 kN 200.000 = 18.182 kN Fc = 11 Daí como: Logo:

Fs + Fc = 20.000 kN Fs = 20.000 – 18.182 kN Fs = 1.818 kN

O uso de aço em pilares tem como um dos motivos exatamente o uso de seções menores do que eles teriam se fossem só de concreto simples. Quanto mais se põe aço, mais “tensão”, mais “força de compressão” ele chupa, deixando menos carga para o concreto, reduzindo, portanto, sua seção em relação à que teria se não houvesse esse aço. No caso em pauta, o aço tem apenas 1% da área do concreto, mas sustenta 10% da carga, mostrando, com isso sua maior nobreza. Conclusão: Ao se comprimir uma peça de concreto armado, a peça se encurtará por igual Δh, mas as tensões no concreto são muito menores do que a tensão no aço, devido ao fato de o aço impor muito maior dificuldade de se encurtar do que o concreto, devido a Es > Ec.

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Peça h sem carga

Aço Concreto

Peça comprimida face à carga

Para sentir melhor essa tensão maior no material de maior E, coloque em uma borracha um alfinete, ambos com igual altura.

Tente agora, com a mão, apertar o conjunto borracha e alfinete. Ambos, ao serem comprimidos no ponto do alfinete, fazem a mão doer, podendo até sangrar. Por quê? A tensão no alfinete é maior do que na borracha, pois o E do alfinete, que é de aço, é muito maior do que o E da borracha. Favor não apertar muito, pois não nos responsabilizaremos por derrame de sangue.

REPETIÇÃO PARA FIRMAR CONCEITOS Às vezes, não fica claro ao principiante do estudo de Resistência dos Materiais esse fenômeno de que peças fundidas juntas e resistindo a cargas apresentem, em pontos próximos e em materiais diferentes, tensões completamente desiguais. Consideremos a viga duplamente armada vencendo o vão L. P

A M Aço B

L Seção em B

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177

Aula 11

Na seção em B, tanto o concreto como o aço sofreram deformações. No bordo superior da viga em B, a viga foi encurtada (comprimida). Consideremos um ponto A bem próximo à seção do aço. Nesse ponto A (no concreto), a tensão de compressão é muito menor do que a tensão de compressão do aço, pois o concreto tem E menor do que o aço. Como ambos se deformaram igualmente (solidariedade aço/concreto), isso se faz graças a um grande esforço no aço. A tensão do aço é tantas vezes maior do que o concreto quanto a relação de Es /Ec. O aço é material nobre em relação ao concreto (Es > Ec), chupando, assim, para ele, cargas enormes em relação à sua pequena área frente à área do concreto. Por essa razão e tendo em vista que quanto mais longe dos eixos melhor trabalham os materiais, o aço em pilares vai sempre para periferia. Vejamos alguns casos:

Barras de aço

Seções transversais de pilares

11.2 FLEXÃO COMPOSTA NORMAL Em todos os casos que vimos até aqui, admitimos que os pilares e, em geral, as peças comprimidas recebiam esforços de compressão centradas, ou uniformemente distribuídas. Ora, os pilares (um exemplo de peça comprimida) recebem cargas de vigas que estão se deformando, como no exemplo abaixo. Ocorre, nessas situações, além da carga uniformemente distribuída, um Momento Fletor adicional no pilar. Situação do pilar 2

Carga

Região de carga Face B Pilar 1

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Viga e Face C

Pilar 2

Pilar 3

M Face B

Face C

Pilar 2

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Concreto Armado Eu Te Amo

Podemos, para abordar essa teoria, considerar um pilar que está recebendo uma carga vertical P não rigorosamente centrada, mas, ao contrário, com uma excentricidade e, como mostra a figura a seguir: eixo

M A - Área da seção W - Módulo de resistência da seção M = P x e (Momento Fletor causado pela excentricidade e e pela carga P)

Seção A C

A tensão de compressão no pilar, esquecendo-se o peso próprio do pilar, seria P/A, se a excentricidade fosse nula e então M = 0. Sucede que a excentricidade e, associada à força P, cria um Momento Fletor M = (P × e) que sobrecarrega a face C e descarrega a face B, tal que:

σB =

P M − A W

σC =

P M + A W

Vemos que, se a excentricidade for diminuta, o acréscimo de tensões em C pode ser desprezível e idem para a face B (decréscimo), mas se e for considerável, a face C seria muito comprimida e na face B a tensão passaria a ser de tração (se M/W > P/A). Um exemplo interessante de limitação da excentricidade e é na construção de chaminés de alvenaria. A alvenaria é um material que resiste razoavelmente bem à compressão (em paredes por exemplo) e trabalha muito mal à tração. Se durante a construção o eixo da chaminé se deslocar, o peso (a única carga que atua nas chaminés é o peso próprio) sairá do eixo, criando Momentos Fletores e, com ele, trações na alvenaria que, não resistindo, poderá levar tudo abaixo. 1º caso

2º caso

P xx

Face 1

Face 2

3º caso

Face 1

Face 2

xx e2

Face 1

Face 2

No primeiro caso, a construção é geometricamente perfeita, não há excentricidade da carga (e = 0) e a tensão de compressão na base da chaminé é:

σ=

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P A

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Aula 11

179

No segundo caso, com a falta de centralização da construção da chaminé, ocorre uma pequena excentricidade e1; com isso há um momento que sobrecarrega a face 2 e descarrega a face 1:

Admitamos agora que aumentou ainda mais a excentricidade: com o crescer da excentricidade de e1 para e2, a construção vê acrescido o Momento Fletor, que sobrecarrega a face 2 e descarrega a face 1:

Passemos a um exemplo numérico. Dado um pilar de concreto de seção A (30 3 40 cm) e submetido a uma força P de 50 t, com excentricidade de 3 cm, calcular as tensões de tração e compressão. O pilar, fugindo da norma, não tem armadura:

1 tf = 10 kN

Face B

3 cm

Face C

Face B Planta

30 cm

P = 50 tf = 500 kN

40 cm

Face C

Corte AA

A tensão de compressão simples é (sem considerar a existência do Momento, fruto da excentricidade da carga):

Levemos agora em consideração o Momento M = (P · e). A face B será comprimida e a face C será aliviada.

b × h 2 0,4 × 0,3 × 0,3 = 6 6 15 = 2.500 kN/m 2 σc = 0,006 w=

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0,006 m 2

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Concreto Armado Eu Te Amo

Logo, na face B ocorrerá: sB = 4.166 + 2.500 = 6.666 kN/m 2 Na face C: sC = 4.166 – 2.500 = 1.666 kN/m 2 como as duas tensões são positivas, conclui-se que todo pilar está comprimido. Vamos agora dar uma deslocada de excentricidade. Passemos e para 12 cm. O σ de compressão simples é o mesmo (4.166 kN/m 2) atingindo todo o pilar. O Momento Fletor passou para M = (P × e) = 500 3 0,12 = 60 kNm. Os σc e σt face à flexão são iguais e valem:

Logo,

Conclusão: Um pilar sofrendo flexão, se a excentricidade da aplicação de carga for grande, poderá sofrer tração, coisa a que o concreto não resiste bem. Essa é uma das razões porque pilares têm armadura em toda a volta, para resistir a eventuais esforços de tração causados pela excentricidade das cargas. Quando trabalharmos com materiais que não resistem à tração, ou resistem, muito mal (concreto simples, alvenaria) e usamos esse material como pilares, temos de ter certeza que o afastamento máximo de força normal (que causa a tração) é pequeno, tal que a pressão de compressão seja bem superior à tração causada pela flexão e que no final a peça esteja comprimida totalmente, como foi o caso do exemplo apresentado, onde a excentricidade era pequena (e = 3 cm). Nota: Quando o plano do momento fletor não coincide com os eixos de simetria de seção, temos a flexão oblíqua. Pilares de seção transversal circulares não sofrem flexão oblíqua, pois a seção circular não tem eixo de simetria.

11.3 LAJES – DIMENSIONAMENTO Vimos nas aulas anteriores como se calculam nas lajes os Momentos Fletores no meio do vão e nos apoios. São nesses locais, seja nas lajes isoladas ou conjugadas, seja nas lajes armadas em cruz, seja nas lajes armadas em uma só direção, que ocorrem os maiores Momentos Fletores positivos e os maiores Momentos Fletores negativos. O processo de dimensionamento de lajes, que se ensinará a seguir, é válido indistintamente para qualquer dos casos, ou seja, dado um Momento Fletor máximo

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Aula 11

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e fixada a espessura da laje, resulta a área de aço (armadura) necessária. Devem ser considerados como conhecidos o fck do concreto e o tipo de aço. Avisamos que as tabelas de dimensionamento que vamos usar já incorporam os coeficientes de minoração de resistência dos materiais e os coeficientes de majoração de cargas e o coeficiente 0,85 (Efeito Rusch).(*) Nesta aula, estão anexas essas tabelas de dimensionamento que se chamarão Tabelas T-10 e T-11, ao longo de todo o curso. Vamos ao roteiro de cálculo. O caminho será sempre: conhecido o Momento Fletor, calcula-se o valor k6 que vale:

onde: b = 1 m (cálculo por metro) (faixa de 1 m de laje); d = distância da borda mais comprimida ao centro de gravidade da armadura (m); M = Momento em kNm; M = (ou X) são valores calculados pela tabela de Czerny (lajes armadas em cruz) ou são os Momentos das lajes armadas em uma só direção; M = Momento Fletor positivo; X = Momento Fletor negativo. Seja M (ou X) = 1,8 kNm e seja d = 9,5 cm. Como exemplo: seja o concreto fck = 20 MPa e seja o aço CA50. Dessa forma, entretanto, com o valor mais próximo k6 = 486, temos como resposta o valor de k3.

O valor mais próximo da tabela é k6 = 486.

↓ k3 →

CA25

CA50

CA60

486

0,652

0,326

0,272

Temos agora conhecido k3 = 0,326. A área de armadura por metro é calculada como:

_ (*) O efeito Rusch é previsto na norma (item 15.3) diminuindo a capacidade de resistência da estrutura, face ao fenômeno de aplicação de cargas de longa atuação como, por exemplo, o peso próprio.

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Concreto Armado Eu Te Amo

No nosso caso:

Façamos o mesmo exercício admitindo que o Momento vale M = 18 kNm e aço CA25:

Consultando a Tabela T-10 - Tabela de armadura para lajes a seguir, conclui-se que podemos usar ø 16 mm c/14. Tabela T-10 — Dimensionamento de lajes maciças armadas em cruz (*) ξ = x/d

Valores de k6 para concreto fck = 20 MPa fck = 25 MPa fck = 30 MPa

k3/aço CA25

CA50

CA60B

0,01

1447,0

1158,0

965,0

0,647

0,323

0,269

0,02

726,0

581,0

484,0

0,649

0,325

0,271

0,03

486,0

389,0

324,0

0,652

0,326

0,272

0,04

366,0

293,0

244,0

0,655

0,327

0,273

0,05

294,0

235,0

196,0

0,657

0,329

0,274

0,06

246,0

197,0

164,0

0,660

0,330

0,275

0,07

212,0

169,0

141,0

0,663

0,331

0,276

0,08

186,0

149,0

124,0

0,665

0,333

0,277

0,09

166,0

133,0

111,0

0,668

0,334

0,278

0,10

150,0

120,0

100,1

0,671

0,335

0,280

0,11

137,0

110,0

91,4

0,674

0,337

0,281

0,12

126,0

100,9

84,1

0,677

0,338

0,282

0,13

117,0

93,6

78,0

0,679

0,340

0,283

0,14

109,0

87,2

72,7

0,682

0,341

0,284

0,15

102,2

81,8

68,1

0,685

0,343

0,285

0,16

96,2

77,0

64,2

0,688

0,344

0,287

0,17

91,0

72,8

60,6

0,691

0,346

0,288

0,18

86,3

69,0

57,5

0,694

0,347

0,289

0,19

82,1

65,7

54,7

0,697

0,349

0,290

_ (*) Esta tabela numérica foi de autoria dos “mestres dos mestres”: John Ulic Burke Jr e Mauricio Gertsenchtein.

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Aula 11

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De acordo com a NBR-6118 item 14.6.4.3 o valor x/d ≤ 0,45 para concretos com fck ≤ 50 MPa. Tabela T-10 — Continuação (Dimensionamento de lajes maciças armadas em cruz) ξ = x/d

Calores de k6 para concreto fck = 20 MPa fck = 25 MPa fck = 30 MPa

k3/aço CA25

CA50

CA60

0,20

78,3

62,7

52,2

0,700

0,350

0,292

0,21

74,9

59,9

49,9

0,703

0,352

0,293

0,22

71,8

57,5

47,9

0,706

0,353

0,294

0,23

69,0

55,2

46,0

0,709

0,355

0,296

0,25

64,1

51,2

42,7

0,716

0,358

0,298

0,26

61,9

49,5

41,2

0,719

0,359

0,300

0,27

59,8

47,9

39,9

0,722

0,361

0,301

0,28

58,0

46,4

38,6

0,725

0,363

0,302

0,29

56,2

45,0

37,5

0,729

0,364

0,304

0,30

54,6

43,7

36,4

0,732

0,366

0,305

0,31

53,1

42,5

35,4

0,735

0,368

0,306

0,32

51,6

41,3

34,4

0,739

0,369

0,308

0,33

50,3

40,3

33,5

0,742

0,371

0,309

0,34

49,1

39,2

32,7

0,746

0,373

0,311

0,35

47,9

38,3

31,9

0,749

0,374

0,312

0,36

46,8

37,4

31,2

0,752

0,376

0,313

0,37

45,7

36,6

30,5

0,756

0,378

0,315

0,38

44,7

35,8

29,8

0,760

0,380

0,316

0,39

43,8

35,0

29,2

0,763

0,382

0,318

0,40

42,9

34,3

28,6

0,767

0,383

0,319

0,41

42,0

33,6

28,0

0,770

0,385

0,321

0,42

41,2

33,0

27,5

0,774

0,387

0,323

0,43

40,5

32,4

27,0

0,778

0,389

0,324

0,44

39,0

31,8

26,5

0,782

0,391

0,326

0,45

39,1

31,2

26,0

0,786

0,393

0,328

Notas: 1) Nas tabelas de dimensionamento de lajes (e vigas) elas já incluem o fator 0,85 do efeito Rusch (diminuição da resistência do concreto para cargas permanentes de longa duração). 2) O Momento Fletor nas lajes seja na sua parte média, seja nos apoios, tem como expressão de sua unidade os símbolos kNm ou kNm/m. Ambas as notações costumam ser usadas.

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Concreto Armado Eu Te Amo

Tabela T-11 — Área de armadura para lajes Área em cm2 /m de armadura

Espaçamento

Bitola da barra de aço em mm

(cm)

6,3

12,5

7,5

3,33

4,19

6,66

10,66

16,66

26,66

2,50

3,93

6,25

10,00

15,62

25,00

2,22

3,50

5,55

8,88

13,88

22,22

2,00

3,15

5,00

8,00

12,50

20,00

1,82

2,86

4,54

7,27

11,36

18,18

1,67

2,62

4,16

6,66

10,41

16,66

12,5

1,60

2,52

4,00

6,40

10,00

16,00

1,54

2,42

3,84

6,15

9,61

15,38

1,43

2,25

3,57

5,71

8,92

14,28

1,33

2,10

3,33

5,33

8,33

13,33

1,25

1,96

3,12

5,00

7,81

12,50

1,18

1,85

2,94

4,70

7,35

11,76

1,11

1,75

2,77

4,44

6,94

11,11

1,05

1,65

2,63

4,21

6,57

10,52

1,00

1,57

2,50

4,00

6,25

10,00

0,95

1,50

2,38

3,80

5,95

9,52

0,91

1,43

2,27

3,63

5,68

9,09

0,87

1,36

2,17

3,47

5,43

8,69

0,83

1,31

2,08

3,33

5,20

8,33

0,80

1,26

2,00

3,20

5,00

8,00

0,77

1,21

1,92

3,07

4,80

7,69

0,74

1,16

1,85

2,96

4,62

7,40

0,71

1,12

1,78

2,85

4,46

7,14

0,69

1,08

1,72

2,75

4,31

5,89

0,67

1,05

1,66

2,66

4,16

6,66

b = 100 cm d Corte de laje

h a Espaçamento

Como usar a tabela: Conhecido AS (cm2), entrar na tabela

Bitola Espaçamento

Exemplo: Armadura de uma laje = 3,54 cm 2 /m de aço. Solução possível: ø 10 mm com 22 cm de espaçamento ou ø 8 mm a cada 14 cm de espaçamento de barras.

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185

Aula 11

11.4 COBRIMENTO DA ARMADURA — CLASSES DE AGRESSIVIDADE Agressividade do ambiente (NBR 6118): Uma das mais importantes contribuições da NBR 6118 está relacionada com a proteção da armadura pelo cobrimento do concreto, tendo em vista aumentar a vida útil (durabilidade) das estruturas de concreto armado. Tabela 6.1, pg. 17, NBR 6118 Classe de agressividade

Agressividade

Fraca

Moderada

III

Forte

Tipo de ambiente

Risco de deterioração

Rural

Insignificante

Submerso Urbano

Pequeno

Marinho

Grande

Industrial Industrial quimicamente agressivo

Muito forte

Elevado

Respingos de maré

Qualidade do concreto: Item 7, Tabela T.1, pg. 18, NBR 6118 Concreto

Classes de agressividade

Tipo

FatorA/C Classe de concreto (resistência fck em MPa)

III

≤ 0,65

≤ 0,6

≤ 0,55

≤ 0,45

≥ 20

≥ 25

≥ 30

≥ 40

A/C = Relação água/cimento; CA = Concreto armado

Cobrimentos nominais mínimos:

{

ø barra

Cnom ≥ 1,2 ø max. agreg

Classes de agressividade — cobrimento mínimo (mm)

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III

Lajes

Vigas/pilares

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186

Concreto Armado Eu Te Amo

Abertura máxima de fissuras (w) para CA (concreto armado, item 13.4.2, NBR 6118): Classe agressividade

w(mm)

≤ 0,4

II a IV

≤ 0,3

Armadura mínima de laje à flexão: (principal) AS min = rmin bw × h bw = 100 cm

h = altura da laje

(item 17.3 da norma)

fck (MPa)

rmin (%)

0,15

Exemplo: Laje com 7 cm de espessura, fck 20 MPa

Armadura secundária em lajes: AS ≥

A principal { 0,20 0,9 cm /m S 2

Nota: Chamam-se armaduras secundárias ou de distribuição, armaduras sem cálculo, mas que são muito necessárias para fazer a peça distribuir de forma mais homogênea as cargas (pesos) sobre elas. Uma peça que precise armadura secundária e, essa armadura, não seja colocada na obra, pode ter vários problemas. Ver item 19.3.3.2 da NBR 6118. Exemplo de uso de armadura secundária: em laje armada em uma só direção. Armadura principal vencendo o menor vão

Armadura secundária cruzando com a armadura principal Planta de laje armada em uma só direção

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Aula 12

aula

187

12.1 SE O CONCRETO É BOM PARA A COMPRESSÃO, POR QUE OS PILARES NÃO PRESCINDEM DE ARMADURAS? Temos dito e repetido, neste curso, que o concreto aguenta bem à compressão, chegando a poder trabalhar em tensões de compressão (pressão de trabalho) de 20 a 50 MPa, o que, convenhamos, não é capacidade para se botar defeito. Isso posto, por que os pilares dos prédios não são feitos de concreto simples? As razões são várias(*). 1. Quando um pilar é comprimido, ele cede lateralmente, como se nota abaixo, gerando, por incrível que pareça, tensões de tração. Carga Pilar normal sem carregamento

Deslocamento lateral, o que significa tração.

É necessário conter essa tendência do pilar em se distender (efeito de tração). Assim, como os gordinhos tentam desesperadamente esconder sua barriga com uma cinta, o pilar deve receber uma estrutura de contenção desse esforço de tração. Essa estrutura são os estribos, ou seja, o pilar fica assim: Estribo

Estribo

Corte

Seção

_ (*) Não vale dizer que é uma exigência da norma. O importante é saber por que a norma diz isso. Os pilares da Acrópole de Atenas desobedeceram à norma, são de mármore, só mármore.

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188

Concreto Armado Eu Te Amo

Os estribos têm também a importantíssima função de combater a flambagem da armadura vertical em compressão. 2. A ideia de pilar é de que ele só trabalha à compressão. Isso não é verdade, em parte dos casos. Imaginemos duas salas contíguas de um prédio, uma supercarregada de gente, e outra vazia. Em corte, teríamos:

Esse carregamento excêntrico pode gerar um Momento Fletor no pilar: M

Pilar B

P = Peso sobre o pilar M = Momento transmitido pela viga

O momento causado no pilar aumenta a compressão da parte esquerda do pilar, podendo gerar tração na parte direita. Dependendo do valor do Momento Fletor M e do próprio peso sobre o pilar, poder-se-ia criar, no final, tensões de tração na parte direita, e o pilar poderia não resistir. Face a isso, é razoável colocar-se, na periferia do pilar, aços verticais, que resistem bem à compressão (melhor que o concreto), e resistem muito, mas muito, muito melhor que o concreto à tração. Conclusão: Considerando pois o caso 1 e o caso 2, resulta que o pilar de concreto tem de possuir armadura vertical e armadura horizontal (estribos), como se vê no esquema:

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Armadura vertical Armadura

Estribo horizontal Estribo Pilar

Perspectiva

Estribo Armadura

Corte

Seção

Embora o concreto resista bem à compressão, o aço resiste muito melhor. Se usássemos só pilares de concreto simples, dimensionados para resistir aos dois fenômenos anteriormente descritos, esse pilar sem aço teria proporções acentuadamente grandes (lembremos, todavia, que a norma não aceita pilares sem aço). Se usássemos muito aço e pouco concreto, a estrutura dos pilares ficaria mais esbelta, mas muito cara. Mostra a experiência que há uma relação boa entre a área de aço e a área do concreto e que é da ordem de 2%.

Nota: A norma NBR 6118, no seu item 17.3.5.3.1, pg. 132, fixa o mínimo de armadura de um pilar, é igual a 0,4% da área da seção de concreto. Logo, um pilar de 20 × 50 de seção também terá armadura longitudinal mínima de 20 × 50 × 0,004 = 4,0 cm 2 de área de armadura longitudinal. E no item 17.3.5.3.2 o valor máximo da área da armadura é 8% AC. Como visto em outra aula, pelo fato de o Módulo de Elasticidade do aço ser muito maior que o do concreto, ao sofrerem, nos pilares quando carregados, encurtamentos iguais, o aço chupa significativamente parcela de carga, tornando mais esbelto o pilar do que seria se não usasse o aço. Até agora, temos mostrado os pilares de forma retangular. Nada do que foi dito se altera para as outras formas usuais dos pilares, como sejam:

Em geral, a forma do pilar é ditada por conveniência da arquitetura, para que o tamanho dos mesmos não venha a ocupar áreas úteis dos pavimentos.

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O aluno há de concordar que o esquema b é melhor que o a, a seguir: V-1

V-1 Pilar Parede V-4

Pilar Dormitório de apartamento

V-3

Parede V-4

Dormitório de apartamento

V-3 V-2

V-2 Esquema A

Esquema B

A taxa máxima de armadura de um pilar é de 8% da área total. Um pilar de 20 3 40 cm terá então uma área máxima de armadura de 20 3 40 3 0,080 = 64 cm2.

12.2 COMO OS ANTIGOS CONSTRUÍAM ARCOS E ABÓBADAS DE IGREJAS? Os construtores antigos perceberam (e a engenharia e arquitetura são — nunca nos esqueçamos — a arte de engenhar) que, ao vencerem vãos com vigas de eixo retilíneo, apareciam tensões de tração na parte inferior da viga e as pedras (não se conhecia, então, o concreto armado) rompiam-se. Eram, portanto, limitados os vãos que podiam ser vencidos com pedras. Outro problema era que as pedras eram obtidas em comprimentos pequenos. E como ligálas para formar vigas? Algum engenheiro notou que, ao invés de usar eixos retilíneos, fossem formados arcos, ele poderia cortar pedras, que se encaixando sofriam, pelas formas que tinham, só esforços de compressão.

Construção com eixo retilíneo: ocorre tração embaixo.

Construção com eixo curvo: só ocorre compressão.

Ao se construir arcos, verificou-se que, dependendo da forma desse arco, as pedras não eram exigidas à tração e sim, tão somente, à compressão. Trabalhando só à compressão, elas resistiam muito bem. Mas qual a forma do arco que leva toda a estrutura a trabalhar só em compressão?

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Os mestres das catedrais resolveram engenhosamente essa questão ao descobrirem(*) a forma geométrica mágica, que leva a estrutura praticamente a só trabalhar em compressão. 1. Através de modelos, ligavam com uma corda os dois pontos extremos dos pilares que iriam receber os apoios do arco. 2. Penduravam, nessa corda, pedras com o tamanho aproximado que a experiência lhes mostrava que seriam usadas na construção do arco.

3. Projetavam numa parede (ou por luz solar, ou por archotes) essa curva descrita pela corda carregada pelas pedras. 4. Essa curva era invertida e servia para o projeto do eixo do arco. A seguir, usando essa curva, as pedras eram cortadas. Cimbramento (paliçada), suporte para a colocação das pedras.

Construía-se de madeira uma estrutura de suporte de colocação das pedras (cimbramento — escoramento).

6. Colocavam-se as pedras, uma a uma. Ao colocar a última pedra, “a pedra de fecho”, o encaixe perfeito dava estabilidade ao arco. Pedra de fecho ou pedra-chave Extradorso

Intradorso

Pedra

_ (*) Esse seria, em sentido certo, um segredo maçônico, já que se atribui aos pedreiros das catedrais da Idade Média a criação da sociedade maçônica (pedreira) que guardava os segredos de sua profissão.

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7. Com o encaixe, a estrutura tornava-se estável e, então, retirava-se a paliçada de madeira, agora desnecessária. 8.

Por esse mesmo processo, pode-se construir abóbadas, estruturas totalmente instáveis até a colocação da última pedra, chamada “pedra de fecho”. Com a pedra de fecho, a abóbada se autossustenta.

Observações sobre arcos da antiguidade Pedra de fecho

Arco de pedras. Notar que as pedras do arco possuem, às vezes, ressaltos, para encaixe de outras pedras. Pedra de fecho

Arco de pedras de mão (não lavradas). Aumentam as necessidades de encaixe para o recebimento das pedras irregulares. Dizem as más línguas que, ao tirar o escoramento (cimbramento), o mestre de obra, artífices e aprendizes eram obrigados a passar a primeira noite embaixo do arco abóboda. Essa tradição se mantém até hoje, de alguma forma, na manutenção de aviões. Depois de uma revisão geral, o primeiro voo é com o pessoal mecânico que fez essa revisão.

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Ponte du Gard (Rio da Guarda, Paris, França)

Ponte Aqueduto, construída pelos romanos, perto de Paris na época de Cristo. Estrutura principal em arcos construídos com pedras em compressão.

12.3 COMEÇAMOS A CALCULAR O NOSSO PRÉDIO — CÁLCULO E DIMENSIONAMENTO DAS LAJES L-1, L-2 E L-3 Vamos iniciar o cálculo da estrutura do nosso prédio. No volume 2 desta coleção, mostram-se os cuidados com o relacionamento com o arquiteto, o especialista de fundações e com o profissional de instalações prediais (sistemas de águas pluviais, água potável, sistema de combate a incêndio e sistemas elétricos e de telefonia). A regra é a mais elementar. Mantenha esses profissionais sempre informados, por escrito, do andamento do projeto estrutural. Jamais confie em informações verbais, que o vento leva… O nosso prédio terá uma estrutura convencional de: 1. 2. 3. 4.

lajes maciças; vigas embaixo de todas as paredes; pilares no encontro das vigas principais; sapatas de concreto armado, recebendo a carga dos pilares e descarregando essas cargas no solo.

A alvenaria de tijolos é a alvenaria de tijolos maciços que garante maior conforto térmico e acústico. Atenção: “atenção” e se necessário, repisemos “atenção”. Consideraremos a hipótese de que a estrutura de tijolos (alvenaria) trabalhe de forma independente da estrutura de concreto armado, ou seja, chamamos isso de alvenaria não estrutural. Face a essa hipótese e o dimensionamento decorrente, o futuro construtor do prédio poderá:

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subir a alvenaria juntamente com a evolução da estrutura de lajes, vigas e pilares; ou poderá construir todas as estruturas e, com elas prontas, iniciar a construção da alvenaria.

Em qualquer dos casos, a alvenaria não pode ficar solta em relação à estrutura de concreto armado. A alvenaria tem de ser amarrada na estrutura de concreto armado. Como na amarração em pilares, colocamos uma armadura fina, ligando a argamassa da alvenaria aos pilares. No topo da alvenaria de cada andar, colocamos tijolos encunhados na laje superior do andar. Pode-se usar também argamassas expandidas na alvenaria. Nas marquises, ao usarmos alvenaria como parapeito, esta deverá estar eficientemente amarrada à estrutura de concreto. Vários acidentes já aconteceram no nosso país, pelo fato de a alvenaria ficar solta e, acontecendo um esforço horizontal, ela se movimenta e cai. A sequência de cálculo segue o fluxo das cargas: •

• • •

Primeiro, calculamos as lajes de piso e as lajes das escadas. Sobre cada laje atua a carga acidental, ou seja, nos prédios convencionais (como o nosso) todas as lajes são calculadas igualmente, independentemente do pavimento. Assim, a laje do sexto andar de um prédio de oito andares é igual, estruturalmente, à laje do quarto andar e igual à laje do segundo andar. Idem para as lajes das escadas. Depois calculamos as vigas, levando em conta as cargas das alvenarias, que se supõem, descarregarão seu peso direto nas vigas. Em seguida, calculamos os pilares, que recebem os pesos e cargas das vigas. Finalmente, calculamos as fundações que recebem as cargas dos pilares.

Alerta, alerta, alerta O maior erro estrutural que ouvi alguém divulgar foi o seguinte (e só o repito para maior ênfase didática): As lajes dos andares inferiores devem ser mais resistentes do que as lajes dos andares superiores, pois as mesmas recebem mais cargas… O mesmo procedimento para as vigas… Erro! Erro! Erro! Uma afirmação totalmente errada. A hipótese estrutural é que as cargas acidentais, andar por andar, são as mesmas, e, por conseguinte, nas vigas também. O que aumenta, andar por andar, é a carga nos pilares, pois esses sim, recebem acumulativamente andar por andar, as cargas transmitidas pelas vigas de cada andar. Nota: No passado, os pilares com cargas crescentes, andar por andar, eram projetados com áreas também crescentes. Hoje, por razões econômicas e não estruturais, os pilares têm sempre a mesma área de concreto armado, e o que varia é a taxa de armadura, andar por andar. O jovens profissionais têm de saber que, para compor o custo de uma estrutura (e em geral, uma obra), é necessário levar em conta:

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•

Custo do material usado, incluso o concreto, o aço e a sempre esquecida fôrma de madeira ou de outro material, além do custo do escoramento.

•

Custo da mão de obra.

•

Custo do tempo, pois “time is money”, ou seja, o tempo de execução é um item a ser sempre considerado. Um prédio comercial (para vendas) em construção e que esteja previsto para atender às vendas de fim de ano incorre em um custo possivelmente catastrófico para o incorporador se, porventura, ocorrer a dilatação do prazo de construção e, em decorrência, perder as vendas de fim de ano.

Apresenta-se, a seguir, um diagrama lógico para entender a sequência do projeto estrutural. Peso do telhado

Laje

Carga acidental sobre as lajes + Peso próprio das lajes

Peso das escadas

Peso da caixa d’água Viga

Peso do revestimento das lajes Carga das lajes + Peso próprio das vigas + Peso das alvenarias e seu revestimento

Pilares

Carga das vigas + Peso próprio dos pilares

Fundações

Carga dos pilares + Peso próprio dos pilares + Peso das fundações Reação do terreno (esperemos que ele reaja à soma de tantas cargas)

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Aqui começa o cálculo do prédio (*). Relembremos: fck 25 MPa e aço CA50. As lajes L-1 e L-2 são iguais em tudo, mas são imagens especulares (inversas).

Lajes L-1 e L-2 iguais, mas especulares (invertidas) V-1 (20 x 40)

Bordas simplesmente apoiadas - não há lajes contíguas.

R4 V-6 (20 x 40) V-10 (20 x 40)

V-8 (20 x 40)

R1 x 390

Consideramos esta borda da laje engastada, pois existe continuidade entre L -1 e L -2, ou seja, as lajes se interligam.

L -1 ≅ L -2 R2 R3

Consideramos esta borda da laje engastada, pois existe continuidade entre L -1 com LE-1 e L -3, e também o mesmo acontece para L -2 com L -4.

y 390

V-2 (20 x 40)

Vamos verificar se podemos nos despreocupar da flecha da laje: Espessura da laje (h) (Critério prático).

Adotaremos h = 10 cm. d

h c

Armadura transversal

Armadura Corte de uma laje

Carga:

Revestimento Peso próprio (PP) 0,1 3 25 Acidental (sala)

= 1 kN/m 2 = 2,5 kN/m 2 = 1,5 kN/m 2 — q = 5,0 kN/m 2

gC = 25 kN/m3 (peso específico do concreto armado é de 2.500 kgf/m3). _ (*) Para melhor acompanhar o cálculo do prédio, recomenda-se obter uma cópia da planta de fôrma e seguir o cálculo com ela do lado, como fiel companheira. Idem para as tabelas principais.

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Como a relação de comprimentos l y / l x = 1 é menor que 2, estamos no caso de lajes armadas em cruz (armadas em duas direções X e Y). Logo, o cálculo dos momentos no meio do vão e nos apoios será pela Teoria de Czerny (ver aula 9.2). Os quinhões de carga são calculados a partir das fórmulas indicadas e representam a carga uniformemente distribuída que as lajes distribuem às vigas que as suportam. Face aos engastamentos da laje, estamos no 4º caso, da aula 9.3, das tabelas de Barës - Czerny.

Da tabela resultam os coeficientes:

Lembremos que: M é o momento no meio do vão e X, o momento no apoio. v1 = 0,317 v2 = 0,183 v3 = 0,317 v4 = 0,183

R1 = q × l x × v1 = 5 × 3,9 × 0,317 = 6,19 kN/m R2 = q × l x × v2 = 5 × 3,9 × 0,183 = 3,56 kN/m R3 = q × l x × v3 = 5 × 3,9 × 0,317 = 6,19 kN/m R4 = q × l x × v4 = 5 × 3,9 × 0,183 = 3,56 kN/m

}

Cargas nas vigas

Cálculo da armação

Tabela T-10 da aula 11.3:

Todavia pela norma: Armadura mínima = As = 0,15/100 × 100 × 10 = 1,5 cm 2 /m. Temos de pegar o maior dos dois valores, logo:

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Adotamos AS = 1,5 cm 2 /m ⇒ Tabela T-11 (da aula 11.3) ⇒ ø 6,3 c/ 21 cm. Adotaremos ø 6,3 c/20 cm. Calculemos agora a armadura nos apoios. Didaticamente a chamamos de armadura negativa (armadura alta).

O cálculo é por metro de laje, logo bw = 1,0 m. Tabela T-10 da aula 11.3:

Como já sabemos: Armadura mínima = As = 0,15 × 10 = 1,5 cm 2 /m. Como AS deu maior, ficaremos com ele, logo: Adotamos AS = 2,4 cm 2 /m ⇒ Tabela T-11 (da aula 11.3) ø 6,3 c/13. Armadura de distribuição = 0,9 cm 2 /m

⇒ ø 5 c/22.

Laje com fissura — embaixo tem uma viga. Possível falta de armadura negativa.

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V-6

ø 5c/22

V-6

100 V-2

100

L-3

ø 5c/22

L-2

M2-ø 6,3mm c/20

M3-ø 6,3mm c/13

V-8

M2-ø 6,3mm c/20 M3

M1-ø 6,3 mm c/20

ø 5c/22

LE-1 max 390 —— = —— = 78 cm 5 5 Planta

M4-ø 6,3mm c/13

100

L-1

V-7

M5-ø 6,3mm c/20

M5 c/20

—— 4

M1-ø 6,3mm c/20 25ø = 16 cm

max

—— 4

V-10

max V1

V-8

—— 5

M4-ø 6,3mm c/13

Detalhe de armação max

V-8

M5 c/20

L-4

Lx/4 Lx/4

M2 V-10

Corte BB Ferro de distribuição no negativo

V-1

V-2

Corte AA M5 = ø 6,3 mm c/20 – armadura construtiva de extremidade

ø 5 c/22 Corrido

Para manter as armaduras negativas da laje na sua posição alta, é necessário colocar uma armadura de suporte e um “caranguejo” a cada 33 cm. Veja:

Caranguejo Aço dobrado

Nota: Uma boa fiscalização de obra procurará impedir que o pessoal pise nas armaduras negativas. Pisou, afundou. Quanto a fissuração: Para evitarmos fissuração nas lajes extremas, devemos colocar uma armadura negativa.

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Laje L-3 V-7 (20 x 40)

V-2 (20 x 40)

R1 x 120

Consideramos esta borda da laje engastada, pois existe continuidade. entre L-1 e L-3 (L-3 e L-7)

L-3 R2

V-4 (20 x 40)

Não existe continuidade entre L-3 e LE-2, pois estão em níveis diferentes.

Não existe continuidade entre L-3 e L-5, pois estão em níveis diferentes.

V-8 (20 x 40)

Corte da laje

y = 386 cm

Como

esta laje funcionará como se fosse armada em uma só direção (a do menor vão).

120

Espessura da laje (h)

Carga Revestimento = 1 kN/m 2 Peso próprio (PP) 0,07 × 25 = 1,75 kN/m 2 Carga acidental = 2,0 kN/m 2 — q = 4,75 kN/m 2

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Como entramos no caso de laje armada em uma só direção, não usaremos tabelas de Barës - Czerny para calcular momentos. Os momentos serão calculados diretamente pelas fórmulas (ver aula 9.2.2, pg. 141 deste livro).

120

O cálculo seria por metro de largura de laje. (*)

Armação

Tabela T-10 da aula 11.3:

Armadura mínima = As = 0,15 × 7 = 1,05 cm 2 /m. Temos de pegar o maior dos dois valores, logo: Tabela T-11 (da aula 11.3, pg. 183 deste livro) ⇒ ø 5 cada 19 cm. Armadura de distribuição = 0,9 cm 2 /m, ø 5 c/22. (*) Nota: alguns projetistas consideram (a favor da segurança) uma carga distribuída virtual R3 = 0,25 · lmenor · q no lado menor da laje (ver item 16.3.1 e pg. 271 deste livro).

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Detalhe da armação

Adotado: M7- ø 6,3mm c/20 LE-1

ø 6,3 c/20

50 L-4 M1- ø 5mm c/14

M6- ø 5mm c/19

L-3 M8- ø 5mm c/22 20

M6 - armadura mínima ø 5 c/19 M1 - armadura positiva M4 - armaduras anti-fissuras

M4- ø 6,3mm c/20

L-5

Adotado sem cálculo Ver pg. seguinte

Achamos que ficou bem clara a diferença entre lajes armadas em cruz (de formato próximo ao quadrado) e as lajes armadas em uma só direção (bem retangulares, tendo um lado bem, mas bem maior que o outro). Nas lajes armadas em cruz, temos Mx e My. Na laje armada em uma só direção, arma-se paralelamente ao lado menor, como se fosse um conjunto de vigotas vencendo o menor dos vãos e uma armadura de distribuição. Nota 1: Nas lajes extremas e nos seus bordos, deve-se colocar uma armadura negativa, para evitar fissuração, assim:

L-1

0,2 AS principal 0,9 cm2/m = ø5 c/22 (mínimos)

L-1 L =— 5 L = comprimento da armadura antifissuração

L-2

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Para garantir a posição alta dessa e de outras armaduras negativas, usam-se os caranguejos. Nota 2: O nunca citado! Há um material que nunca é citado nos livros de concreto armado. É o arame recozido número 18, intensamente usado para amarrar as barras de aço. Alertei isso a um colega e ele me respondeu algo irritado, com um certo menosprezo: “— Isso é um detalhe, digamos assim, um mísero detalhe de obra…” Sem comentários. Nota 3: Os arames são aços, produzidos nas escalas 22, 20, 18, 16, 14 e 12. Quanto menor o número de escala, maior é o diâmetro do arame. O arame mais fino é o 22. Nota 4: Os aços CA 25 e CA 50 de mesmo diâmetro são diferentes quanto a maior ou menor dificuldade em sua dobradura. Questão de fabricação desses aços. Uma barra de aço CA 25 é mais dúctil, ou seja, á mais fácil de dobrar que uma barra de aço CA 50, para as mesmas bitolas. Nota 5: Em lajes, a armadura negativa (nos apoios) é sempre um aspecto a se tratar com muito cuidado. Como a laje tem pequena espessura (de 5 a 15 cm), essa armadura tem de ficar numa posição tal que, durante a obra, ao sofrer o pisoteamento, ela não afunde, perdendo, com isso, sua altura e até sua função. Em marquises, isso pode ser catastrófico. Mesmo com caranguejos, para deixar a armadura negativa em posição alta, às vezes, essa armadura cede. Muitos projetistas de estruturas não acreditam no funcionamento dessas armaduras negativas e, com isso, calculam as lajes, todas elas como fossem lajes isoladas, não levando em conta o funcionamento da armadura negativa, só a colocando (mas sem acreditar muito nelas) para evitar trincas. Nas marquises, a falta ou a colocação errada da armadura negativa, pode levar ao colapso, tão logo termine a obra. Nota referente à armadura anti fissuras. Vale o disposto no item 19.3.3.2, pg. 157 da norma: “Nos apoios das lajes que não apresentem continuidade com planos de lajes adjacentes e que tenham ligação com os elementos de apoio deve-se dispor de armadura negativa (alta) de borda .... Essa armadura deve se estender até pelo menos 0,15 do vão menor da laje a partir da laje de apoio.” Alertas: • •

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adotar para essa armadura alta ou 5 mm ou 6,3 mm quanto á laje ter ligação com os elementos de apoio (vigas) lembremos que tudo é concretado junto formando uma estrutura continua e solidária.

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aula

13.1 VAMOS ENTENDER O fck? (*) Imaginemos que comprimamos até a ruptura pequenos cilindros iguais de aço (de pequena altura, para poder esquecer a flambagem) e anotemos as pressões de ruptura por compressão. P1

As tensões, por exemplo, seriam Cilindro de aço

Tensão de ruptura (MPa)

230

240

235

245

228

241

239

Note-se que há uma variabilidade mínima entre os valores, e poderíamos, sem maiores preocupações, tirar a média aritmética dos valores e adotar esse valor como o valor-limite de trabalho. Por que essa pequena variabilidade? A razão é que o aço, na sua fabricação, usa matéria-prima sob controle; sua produção é industrial e sob controle rigoroso, resultando, por esses motivos, em produtos homogêneos. Façamos agora a mesma experiência com cilindros de concreto. Os resultados seriam, por exemplo: Cilindro de concreto

Tensão de ruptura (MPa)

9,5

8,9

9,1

_ (*) Segundo a versão dos gângsters de Chicago, da década de 1930.

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A variabilidade é enorme. Qual o valor que interpreta melhor esse concreto? Seria a média aritmética desses resultados? (Média = 11 MPa). Fica difícil aceitar isso, pois a experiência mostrou que vários cilindros romperam bem abaixo desse valor (exemplo 8 MPa). Por que essa variação? As razões são várias. As matérias-primas do concreto são de origem variável e, ao mesmo tempo, o processo de preparação é de difícil controle e a mão de obra que prepara o concreto é de baixa qualificação. Em obras de construção civil mais industrializadas, a variação é menor, enquanto nas pequenas obras a variação é grande, aumentando, com isso, a complexidade da interpretação dos resultados. Em qualquer caso (produção industrial de concreto, ou produção artesanal) é difícil aceitar que a simples média aritmética fosse representativa do universo de resultados. Consideremos agora dois lotes de concreto, para os quais tiramos diversas amostras e que, rompidas, apresentaram os seguintes valores: Média Aritmética(*) (MPa)

Tensões de ruptura (MPa) Lote 1

9,5

10,5

10,6

Lote 2

Vemos que o lote 2, apesar de apresentar maior média aritmética (11), apresenta também grande desuniformidade (ocorrência inclusive de valor igual a 6), enquanto o lote 1, com menor média (10, 6), apresenta maior uniformidade. Qual o melhor concreto, o do lote 1 ou o do lote 2? Chegamos à conclusão de que, para interpretar corretamente o assunto resistência do concreto, não podemos simplesmente nos basear em médias aritméticas, que escondem, camuflam, esquecem a variabilidade do concreto. Para levantar esse problema, as normas dão ao assunto um tratamento estatístico. O calculista de concreto, quando indica um concreto de qualidade de 20 MPa, está querendo dizer ao construtor: “Eu quero que, em toda a estrutura, o concreto seja tal, que não rompa a tensões inferiores a 20 MPa”. Como o concreto é um material intrinsicamente variável, não é possível exigir uma uniformidade absoluta tal que nenhum corpo de prova rompa abaixo disso. Dessa forma, uma solução de compromisso é dizer que o concreto deve ter um fck = 20 MPa, que quer dizer que, se tirarmos um grande número de amostras desse _ (*) O menor fck para o concreto estrutural é 20 MPa, aceitando-se 15 MPa só para obras provisórias. A média aritimética dos resultados é chamada de fc28.

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concreto (digamos 100 amostras), no máximo 5 amostras (5%) podem ser inferiores à ruptura de 20 MPa. Fácil não? Facílimo. Agora, como o construtor garante que na obra se terá um concreto que atenda a esse número teórico? Para entendermos isso, lembremos as histórias dos gângsters da velha Chicago, na década de 1930. Naqueles tempos, os gângsters depois de muito trabalhar (eu falei trabalhar?) quando decidiam se aposentar, silenciavam algumas pessoas, compravam o silêncio de outras, pagavam o imposto de renda sobre seus ganhos e daí entravam para a sociedade. Claro que quanto mais irregulares tivessem sido suas vidas maior era o preço a pagar pela sua “honorabilidade”(eu falei honorabilidade?). O gângster, em nossa história, é o concreto, e a sua vida passada é a variabilidade de qualidade. Quando um calculista fixa um fck, que é um valor teórico, tal que só 5% de muitas amostras romperiam com valor inferior, então temos de preparar um concreto de resistência média alta, para compensar o problema de variabilidade. Quanto mais organizada for a obra, menos imposto de renda se pagará. Conhecido o fck do concreto, será essa a tensão do trabalho, ou, mais corretamente, o valor do cálculo de resistência do concreto? Claro que não. Devemos dividir fck (valor característico do concreto) pelo coeficiente de minoração (γc), resultando então o valor de cálculo do concreto fcd, logo:

A norma permite o uso de coeficiente de minoração igual a 1,3, quando as peças são fabricadas em usinas, onde se pressupõe maior uniformidade e qualidade de produção. Notas: 1.

O teste de compressão do concreto é feito normalmente a 28 dias (cerca de 1 mês), quando já é bem expressivo o valor final de resistência do concreto. Ressalte-se que, após 28 dias, o concreto, no seu processo de cura, continua a ganhar resistência como mostra a tabela: Resistência a 3 dias

Resistência a 7 dias

Resistência a 28 dias

Resistência a 90 dias

Resistência a 360 dias

40%

60%

80%

90%

100%

Ou seja, o concreto a 360 dias tem uma resistência (100/80) = 1,25 vezes maior do que o concreto a 28 dias. Dados aproximados.

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No dimensionamento de estruturas de concreto, além do coeficiente de minoração γc, é necessário multiplicar fck pelo fator redutor 0,85, devido ao efeito Rusch, pois a resistência do concreto é menor nas estruturas do que aquela medida em teste rápido na prensa(*). Ver item 8.2.10.1 da norma NBR 6118-2014.

O concreto, quando lançado nas fôrmas, não tem resistência. Com o passar das horas e dias começa a ter alguma resistência. O teste padrão para avaliar a resistência do concreto à compressão é moldar com o concreto da obra corpos de prova, levá-los a uma câmara úmida (condições ótimas de cura) e romper esses corpos de prova depois 28 dias, em uma prensa. O tempo padrão de referência para se testar a resistência do concreto é 28 dias, idade múltipla de sete dias. Todas as datas importantes do concreto são múltiplos de sete dias. Assim, se uma concretagem é feita na segunda-feira, o rompimento do corpo de prova também será numa segunda-feira. Depois de o concreto ser lançado nas fôrmas e ter o fck de projeto, ele continuará a ganhar resistência, chegando a aumentar a resistência em cerca de 20 a 30%, ou mais.

Para a dosagem do concreto, usamos o conceito de resistência média do concreto (fcj), que é (NBR 12655) fcj = fck + 1,65 Sd, onde Sd é o desvio padrão da amostra. Sd = 4,0 MPa para produção de concreto de alta qualidade, como, por exemplo, em concreteiras. Sd = 5,5 MPa para obras de média qualidade, como, por exemplo, concreto produzido na obra, com assistência de um especialista em tecnologia de concreto. Assim, como exemplo, obra pequena com concreto produzido no local. fck = 20 MPa fcj = fck + 1,65 × Sd = 20 + 1,65 × 5,5 = fcj = 29,07 � 30 MPa. Com essa resistência, entraremos nas tabelas de traço. É o fc28. Conseguiremos produzir na obra um concreto com fck = 20 MPa? É o que veremos no item 26 deste livro. A norma 12655 nos dará os critérios para saber se alcançamos ou não o fck na obra.

Uma das mais importantes contribuições da NBR 6118 está relacionada com a proteção da armadura pela camada de concreto, tendo em vista aumentar a vida útil das estruturas de concreto armado. Face a isso, a norma estabelece o mínimo de espessura do concreto de cobrimento. _ (*) Neste livro, este coeficiente, 0,85, já está incorporado nas tabelas de dimensionamento de flexão (Tabelas de k3 e k6).

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13.2 ENTENDENDO O TESTE DO ABATIMENTO DO CONE (SLUMP) DO CONCRETO É dura a vida do concreto nas fôrmas. Há que se disputar espaço com as barras da armadura principal, o espaço com os estribos e com os espaçadores. E, depois disso tudo, vem a agulha do vibrador querendo entrar para adensá-lo (eliminar os vazios de ar). Espera-se que o concreto ocupe todos os espaços eliminando esses vazios. Como fazer com que o concreto contorne tantas interferências e se torne um produto homogêneo? Há um teste que procura medir essa possibilidade de o concreto não ter vazios (bicheiras). Chama-se “teste do espalhamento do concreto” ou, na forma inglesa, o teste do slump. Enche-se com concreto, em várias camadas, um cone metálico e, depois de o mesmo estar cheio, retira-se, sem vibrar, a fôrma e mede-se quantos centímetros o concreto se abate. O valor em centímetros do abatimento é o valor do slump.

Abatimento = slump

Mesa ou placa de aço ou de concreto

E o que faz o concreto ter um teste com resultado de bom espalhamento? São vários fatores: •

quantidade de água por metro cúbico, (mas lembrando que quanto mais água colocamos, menos resistente resulta o concreto);

•

granulometria adequada, fugindo de pedras grandes;

•

aditivos plastificantes.

Um valor comum do slump é da ordem de 5 cm, podendo chegar a 20 cm (obras muito especiais). Para um mesmo fck, quanto maior o slump, mais caro é o concreto, pois, ao colocarmos um pouco mais de água, para manter a relação água-cimento (responsável pela resistência do concreto), teremos de colocar mais cimento, o mais caro dos componentes do concreto.

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Sejam casos de uso de concreto: •

obra comum (slump de 5 cm e uso de pedras 1 e 2);

•

obra comum, mas com espaço reduzido entre as barras (slump de 5 cm e uso só de pedra 1);

• obra bombeável (slump de 8 cm e uso de pedra 1). A tabela a seguir mostra tudo:

Tabela T-12 — Custo do m3 do concreto em função do fck e do slump fck Custo por m3

Slump

25 MPa

30 MPa

5 cm

Pedras 1+2 R$ 168,00

Pedras 1+2 R$ 184,00

Pedras 1+2 R$ 199,00

5 cm

Pedra 1 R$ 175,00

Pedra 1 R$ 192,00

Pedra 1 R$ 208, 00

8 cm

Pedra 1 R$ 181,00

Pedra 1 R$ 198,00

Pedra 1 R$ 215,00

Custo por m3

20 MPa

Nas primeiras linhas dos quadros da segunda, terceira e quarta coluna estão os tamanhos de pedra usados. Na segunda linha dos quadros da segunda, terceira e quarta coluna estão indicados os preços em m3 do concreto de concreteiras, em função do slump e do uso de pedras 1 e pedra 2. Notar que o preço do concreto aumenta com o crescer do slump e também cresce quando deixa-se de usar a pedra 2 e começa a se usar só a pedra 1. Foge-se do uso da pedra 2 (maior que a pedra 1), para se ter um concreto que, com a maior facilidade, penetre nos espaços entre as armaduras e as formas, ou seja, maior slump (abatimento). Ref. Revista Construção Mercado, abril 2002. Nota: Uma obra em destaque. Na Internet, site TQS, temos a informação de um recorde nacional na cidade de Ponta Grossa, PR, em 2006. Prédio construído com fck = 90 MPa com relação água/cimento = 0, 25. Cimento ARI. Aditivos e slump 20 cm.

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13.3 TERMINOU O PROJETO ESTRUTURAL DO PRÉDIO — PASSAGEM DE DADOS PARA A OBRA A fase de projeto estrutural terminou. Que informações deve o projeto da estrutura de concreto armado passar à obra? São elas: • • • • • • • • •

lista de desenhos de estrutura; os desenhos de fôrma; os desenhos de armação; especificações; fck adotado. Normalmente é um só, mas podemos ter um fck para a superestrutura, por exemplo fck = 25 MPa e outro para as fundações como fck = 20 MPa; aço adotado; slump necessário; varia em função tipos de pedra a usar; do concreto ser relação água/cimento. bombeado ou não

{

Não estamos dizendo que é de responsabilidade do projetista de estruturas enviar tudo isso para a obra, mas estamos dizendo que a coordenação do projeto tem que fazer com que isso chegue à obra. Acreditem. Muitas obras sofreram por falhas de comunicação documental entre o projeto e a obra; por exemplo, a arquitetura faz modificações e não comunica ao projeto estrutural. A obra modifica o projeto estrutural e não avisa o projetista. O fornecedor do sistema de ar-condicionado faz exigências que não são passadas nem para a arquitetura nem para o projetista da estrutura. Enfim, um caos total. Há necessidades de rotinas e formalidades no manuseio das comunicações entre todos os envolvidos.

13.4 OS VÁRIOS ESTÁGIOS (ESTÁDIOS) DO CONCRETO Imaginemos uma viga simplesmente apoiada e sujeita a uma carga uniformemente distribuída, que suporemos crescente de zero até um valor que leve à ruptura do concreto à compressão. Se a viga é subarmada, isso só ocorrerá, como sabemos (aula 8.1), após grandes deformações do aço e fissuras gritantes. Se a viga for superarmada, ela, então, romperá (pelo concreto) sem maiores avisos (fissuras).(*) Admitamos que a carga q seja diminuta. Nesse caso, a tensão de tração no concreto (σct) será inferior à tensão de ruptura (que sabemos é pequena) e, então, o _ (*) É a viga “nervosinha”, estoura sem avisar.

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concreto resiste acima de LN à compressão e resiste à tração junto com o aço abaixo da LN. Estamos no estádio I. Admitamos agora que cresça significativamente a carga q. O concreto na parte tracionada não resiste mais e apresenta fissuras (pequenas trincas), sendo que agora, resiste só a armadura. Acima da LN, o concreto resiste bem à compressão. É o estádio II. A tensão de compressão limite (na borda da viga) no concreto é tal que o concreto ainda está na fase elástica. q

Armadura Seção 1C

2C

3C LN

ct + 1st

2st

3st

Estádio I

Estádio II

Estádio III

Admitamos agora que q cresça um pouco mais. O concreto abaixo da LN há muito que já foi (fissurou). Na parte comprimida e na extremidade, a tensão é tal que já estamos trabalhando, não na fase elástica do mesmo, mas, sim, na fase plástica (deformações permanentes). Estamos no estádio III. Sem dúvida que, no estádio III são maiores as tensões de trabalho no concreto à compressão e no aço, tração, resultando o emprego do estádio III em economia de material, pois exige-se mais dos materiais. Manda a NBR 6118 que verifiquemos a estrutura em relação aos estados limites seguintes: •

Estado limite último (de ruína) (E.L.U.) (Item 10.3 NBR 6118) É quando, em grandes palavras, a estrutura coloca em risco sua estabilidade (perda de estabilidade, ruptura de seções importantes).

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Estado limite de utilização (serviço) (E.L.S.) (Item 10.4 NBR 6118) É quando, em grandes palavras, a estrutura não atinge o estado de ruína, mas atinge a perda de sua utilização real por grandes recalques, grandes deformações, grandes trincas que permitem uma corrosão crescente da armadura.

Uma estrutura com carga acidental crescente, chega a um ponto que é próximo do Estado de Limite de Serviço — ELS. Se a carga continuar a crescer, vai ultrapassar o ELS e aproximar-se do Estado Limite Último — ELU, chegando-se então à ruína.

13.5 CÁLCULO E DIMENSIONAMENTO DAS LAJES L-4, L-5 E L-6 Cálculo da laje L-4 — É a laje da cozinha V-2 (20 x 40)

Engastamento L-4 com L-2 e L-4 com L-3.

236

L-4

V-8 (20 x 40)

V-10 (20 x 40)

Borda simplesmente apoiada, não há laje contígua. Não tem continuidade com L-5, pois estão em níveis diferentes. L-2

390

L-4

V-3 (20 x 40)

L-3 Y

L-5

L-6

Espessura da laje (h), h d c = 2,5 cm

d = altura útil da laje L = menor vão h=

236 = 5, 9 cm (critério prático) adotado h = 7 cm(*) 40

h = 7 cm (no nosso caso), espessura adotada = 7 cm. (*)

mantivemos essa altura de laje igual a 7 cm. Pelo item 13.2.4, pg. 74 da norma deveria ser 8 cm. A manutenção dessa altura é para efeito comparativo.

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Como a maior dimensão (390 cm) não é maior do que o dobro de 236 cm, essa laje será armada em cruz, usando-se as Tabelas de Barës - Czerny, nossa velha conhecida. Carga

Revestimento = 1,0 kN/m 2 Peso próprio (PP) 0,07 × 25 = 1,75 kN/m 2 Carga acidental = 1,5 kN/m 2

—

q = 4,25 kN/m 2 Face aos engastamentos da laje, estamos no 4º, caso da aula 9.2, da Tabela de Czerny.

m x = 20,35

Cargas nas vigas

my = 55,80

R = n × q × lx

nx = 9,1

R1 = 0,317 × 4,25 × 2,36 = 3,18 kN/m

ny = 12,3

R2 = 0,183 × 4,25 × 2,36 = 1,84 kN/m

v1 = 0,317

R3 = 0,442 × 4,25 × 2,36 = 4,43 kN/m

v2 = 0,183

R4 = 0,255 × 4,25 × 2,36 = 2,56 kN/m

v3 = 0,442 v4 = 0,255

Lembremos que: M é o momento no meio do vão e X, o momento no apoio.

Quem entendeu o cálculo para as lajes L-1 e L-2 entenderá L-4.

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Cálculo de armação d = 7 – 2,5 = 4,5 cm (cálculo para 1 metro de largura de laje)

Tabela T-10 da aula 11.3

Tabela T-10

———

Tabela T-10

———

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Tabela T-10

(ø 6,3 c/20)

ø 5 c/19 Detalhe de armação de laje L-4 (laje da cozinha)

M4-ø 6,3 c/13

Nota: Entre as armaduras e as fôrmas não esquecer os espaçadores.

L-2

L-5

50 40

M12 ø5 c/22

L-3

M12-ø 5 c/22 M11-ø 6,3 c/20

L-4

M7-ø 6,3 c/20

M10-ø 5 c/14

M9-ø 5 c/14

L-6

Planta

Terminamos o projeto da laje L-4. Vamos imediatamente para o cálculo da laje L-5.

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Cálculo da laje L-5 — Laje do banheiro (rebaixada) A laje é simplesmente apoiada nos quatro bordos, pois ela está 30 cm abaixo das outras lajes circunvizinhas e, desse modo, não tem continuidade. V-3 (20x40)

V-8 (20x40)

150 R1

L-5

V-9 (20x40)

R2 252,5

V-4 (20x40)

Espessura mínima da laje (h) h=

150 = 3, 75 cm critério (item prático 10.3) 40

d = altura útil da laje L = menor vão Espessura adotada = 7 cm (ver observação laje L-4). Revestimento = 1 kN/m2 Peso próprio (PP) 0,07 3 25 = 1,75 kN/m 2 Carga acidental = 1,5 kN/m 2 Enchimento 0,3 3 15 = 4,5 kN/m 2 (caco de tijolos, entulho) — q = 8,75 kN/m 2 Carga

Face aos não engastamentos da laje, estamos no 1º caso, da aula 9.3, das tabelas de lajes.

R1 = 0,25 × 8,75 × 1,5 = 3,28 kN/m R2 = 0,353 × 8,75 × 1,5 = 4,63 kN/m

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Cálculo da armação

Tabela T-10

Tabela T-11 ⇒ ø 6,3 c/25.(*)

Tabela T-10

Armadura mínima ⇒ As min = 0,15 3 7 = 1,05 cm 2 /m. Tabela T-11 (da aula 11.3) - ø 6,3 c/30.

M15

M14 - ø5 c/14

Detalhe de armação de laje L-5 (laje do banheiro)

M15

L-3

Planta

M13 -

M15 - ø5 c/22

L-5

ø5

M15

L-4

L-6

c/14

L-8

(*) O item 20.1 da NBR 6118 (pg. 169) estabelece que o espaçamento máximo entre as barras da armadura principal de flexão deve ser o menor dos valores 2h ou 20 cm.

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Observações sobre L-5 1.

É calculada como laje isolada, pois ela é rebaixada e não pode ser considerada como engastada às lajes que lhes são contíguas.

2. É calculada como laje de armação em duas direções (armadas em cruz), pelo fato de Ly /Lx = 1,67 ser menor que 2. 3.

Os cortes na L-5 mostram:

O rebaixo dessa laje serve para colocar a tubulação do esgoto, mais o enchimento. A tendência é não usar mais esse tipo de laje e sim usar a laje do banheiro no mesmo nível de outras lajes, atravessar com as tubulações essa laje e tampar a visão das tubulações no banheiro de baixo com placas de gesso.

Cálculo da laje L-6 (laje da área de serviço) V-3 (20x40)

Engastamento L-6 com L-4

Não há continuidade da laje L-6 com a L-5, pois estão em níveis diferentes. 150 R2

L-6

V-10 (20 x 40)

V-9 (20 x 40)

Laje L-5 X

R1 137,5 V-4 (20 x 40)

Engastamento L-6 com L-8

Laje L-8

Espessura da laje (h) critério prático (item 10.3)

Espessura adotada = 7 cm, (ver observação laje L-4). Revestimento = 1,00 kN/m 2 Peso próprio (PP) 0,07 × 25 = 1,75 kN/m 2 Carga acidental = 2,0, kN/m 2 —2 q = 4,75 kN/m Carga

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A laje L-6 será armada em cruz, (caso 3, aula 9):

Lembremos que: M é o momento no meio do vão e X, o momento no apoio. R1 = 4,75 3 1,5 3 0,344 = 2,45 kN/m R2 = 4,75 3 1,5 3 0,144 = 1,03 kN/m Cálculo da armação

Tabela T-10 da aula 11.3 (pg. 181 deste livro)

Como My < Mx

As mín = 0,15 3 7 = 1,05 cm 2 /m

Tabela T-10 (pgs. 182 e 183 deste livro)

Armadura mínima ⇒ As = 0,15 3 7 = 1,05 cm 2 /m

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Tabela T-11 (da aula 11.3) ⇒ ø 5 c/19.

L-6

M20 40

M20 - ø5 c/22

M16 - ø5 c/14 M18 - ø5 c/19

L-5

Planta

L-4

M17 - ø5 c/14

M18 - ø6,3 c/20

Detalhe de armação da laje L-6 (laje da área de serviço)

L-8

Notas: 1.

O custo de fôrma (material + mão de obra) tem ganho importante participação no custo total da estrutura. A possibilidade de reúso das fôrmas é algo importantíssimo.

A ABNT lançou no ano de 2009, uma nova norma, a NBR 15696 “Fôrmas e escoramentos para estruturas de concreto e procedimentos de execução”.

Para estruturas mais complexas e de grande vulto, deve haver: • • • • •

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projeto de fôrmas; projeto de escoramento; definição pelo projetista para a obra dos valores e locais das contraflechas; planos detalhados de concretagem; e sequência de retirada do escoramento.

Na opinião do autor MHCBotelho é de responsabilidade do projetista estrutural, depois de conversar com o engenheiro da obra e conhecer dos detalhes de formas e escoramentos, usar e definir locais e valores das contraflechas.

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Aula 14

aula

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14.1 VAMOS PREPARAR UMA BETONADA DE CONCRETO E ANALISÁ-LA CRITICAMENTE ? O concreto é, como sabemos, uma mistura de pedra, areia, cimento e água, que, face à hidratação do cimento, perde a sua característica de moldável durante a mistura e ganha forma definitiva e resistência com o passar do tempo. O cimento hidratado é a cola dessa mistura heterogênea. Analisemos criticamente a composição de preparação do concreto. O concreto é uma tentativa de construir uma pedra artificial e que tem sobre a pedra natural uma grande e fundamental vantagem: o concreto durante a sua preparação é moldável permitindo adquirir a forma que sua fôrma indicar. Analisemos a participação de cada um dos atores dessa peça. •

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Agregado graúdo (pedra): Esse é o legítimo herdeiro da pedra natural que o concreto vai tentar substituir. Lembremos que a resistência média dos concretos varia normalmente de 15 a 60 MPa, enquanto as pedras possuem resistência média variando na faixa 80 a 200 MPa. Vê-se por aí que o concreto nada mais é que uma pedra artificial fraca e que o uso mais intenso possível de agregado é mais vantajoso por economia. Em obras de grande porte, como construção de maciços de barragens, pode-se jogar no concreto grandes matacões, que é a pedra natural de grandes diâmetros, economizando-se em custos. Nas obras médias, no concreto em que o espaçamento entre as barras da armadura é da ordem de centímetros, não podemos usar pedras de grandes diâmetros, pois estas não se distribuem adequadamente ao longo da massa. É uma grande restrição, pois a escolha do agregado graúdo será o distanciamento entre barras de aço, além de outros aspectos construtivos. A NBR 6118 indica que a dimensão máxima do agregado deverá ser menor que 1/4 da menor distância entre as faces da fôrma, 1/3 da espessura das lajes.

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Conclusão: Para o agregado graúdo, deve-se usar o maior diâmetro de pedra, que não seja inconveniente com o espaçamento de armadura e com as características geométricas das fôrmas e espessuras de laje. •

Agregado miúdo (areia): O agregado miúdo (areia) tem por função encher o espaço livre deixado pelo agregado graúdo; coparticipa, pois, no esforço de reproduzir a pedra natural. O agregado miúdo vem, em geral, das mesmas fontes (da natureza) do agregado graúdo. É pedra de pequeno diâmetro, produzida pela natureza (pedregulho), que ficou com o formato arredondado pelo fato de muito rolar, ou produzida em pedreiras por máquinas britadoras (com formato não esférico).

•

Cimento: O cimento é o elemento fundamental da cola. Alertamos que, no concreto, a cola é o elemento fraco, ou seja, é o elemento que determina a resistência final do concreto, já que a resistência da cola é inferior à resistência dos agregados. Uma maneira de melhorar a cola (argamassa) é aumentar a porcentagem de cimento na argamassa(*). Para ter a ação de cola, o cimento precisa ser hidratado. Água demais favorece a mistura do concreto, na sua fase de preparação e lançamento nas fôrmas, mas diminui a resistência final, face à futura evaporação do excesso de água que ocorrerá, deixando espaços vazios. Usar cimento demais, além de encarecer a obra, já que é o produto de maior custo específico (R$/m3), pode aumentar o efeito da retração (diminuição do volume do concreto ao longo do tempo, formando trincas).

•

Água: É o elemento fundamental para a hidratação do cimento. Água em falta impede a completa hidratação do cimento, diminuindo a resistência final do concreto. Além disso, a falta de água leva a um concreto muito seco e de difícil trabalhabilidade (moldagem). Por outro lado, água em demasia favorece a trabalhabilidade, mas produz um concreto fraco e sem resistência. Há, portanto, um mínimo de água para a hidratação do cimento e para dar maior trabalhabilidade. Face à importância do teor de água em relação à resistência do concreto, diz-se que a resistência do concreto é função primordial da relação água/cimento. Em alguns casos, para aumentar a trabalhabilidade do concreto sem aumentar a quantidade de água (que reduziria a resistência final do concreto, como visto), adicionam-se à mistura produtos plastificantes que aumentam a trabalhabilidade, sem precisar aumentar o teor de água.

_ (*) Vem daí a expressão da qualidade do concreto, expresso em quilos de cimento por metro cúbico de concreto.

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Aula 14

Apresentamos, a seguir, uma tabela que mostra, para iguais composições de concreto, a variação da quantidade de água e a consequente variação de resistência à compressão do corpo de prova. Fator água/cimento

Litros de água por saco de cimento (*)

3 dias

7 dias

28 dias

0,4 0,6 0,8

20,0 30,0 40,0

19,5 11,4 6,7

25,4 15,3 9,6

35 21,5 13,2

(*)

Resistência à compressão (MPa)

O saco de cimento tem 50 kgf.

Notar que a tabela mostra que a crescente relação água/cimento diminui progressivamente a resistência do concreto. Apresentamos, a seguir, como prova de ser a cola o ponto fraco do concreto, a resistência à compressão de um corpo de prova feito de três partes em peso de areia e uma parte de cimento comum.

Idade (dias)

Resistência à compressão (MPa)

7 28

19 28

Se compararmos essas resistências com a resistência média das pedras que dão origem aos agregados, veremos a fraqueza da cola. Tipo de pedra matriz

Resistência à compressão (MPa)

Arenito Granito Basalto

160 170 200

Uma pergunta pode ficar no estudo crítico de preparação do concreto: devemos usar seixos rolados de rio ou brita (pedra quebrada em pedreira) como agregado? As vantagens e desvantagens são: •

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Seixo rolado: é mais difícil de ser encontrado, pois depende de ocorrência de minas próximas da obra. Do ponto de vista técnico, tem vantagens, pois a sua forma é chamada “forma de situação maior resistência”, pois, ao muito rolar, o seixo perdeu suas formas mais fracas.

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Concreto Armado Eu Te Amo

Pedra britada:(*) é mais fácil de ser encontrada, pois resulta da britagem de pedras de jazidas. Tem a desvantagem de apresentar pontos de concentração de tensões no concreto junto às suas arestas. Os diâmetros das pedras (pedregulhos britados) mais usadas são: brita n. 1 (0,5 a 19 mm) e brita n. 2 (19 mm a 38 mm).

•

Passemos agora a analisar várias composições de concreto e as resistências médias obtidas. Consumo em litros de materiais para produzir 1 m3 de concreto Traço em volume

Consumo de cimento (litros)

Consumo de areia seca (litros)

Consumo de brita (litros)

Consumo de água (litros)

Resistência à compressão - fcj (MPa)

Cimento, areia, agregado

—

n. 1

n. 2

—

3 dias

7 dias

28 dias

1:1:2 1:2:4 1:3:6

363 210 147

363 420 441

226 202 198

22,8 9 3

30 13,7 5,4

40 21 10

Na terminologia de concreto, usam-se os seguintes conceitos: • pasta = cimento e água; • argamassa = pasta e agregado miúdo (areia); • concreto = argamassa e agregado graúdo (pedra); • concreto armado = concreto e armadura passiva; • fôrma = estrutura provisória que dá forma ao concreto; • escoramento = estrutura provisória que dá suporte às fôrmas e ao concreto.

14.2 DAS VIGAS CONTÍNUAS ÀS VIGAS DE CONCRETO DOS PRÉDIOS Denomina-se viga contínua a viga que se apoia em três ou mais apoios. Imaginemos duas situações de um perfil metálico. Na situação 1, ele é simplesmente apoiado em três pilares e na situação 2, além de ser apoiado nos pilares, ele recebe solda de ligação nesses pilares. Sujeito à ação de forças, qual das situações se assemelha mais à teoria da viga contínua? Na situação 1, a viga pode girar nos apoios, ou seja, não há engastamento nos apoios. Portanto, a viga não transfere momentos aos pilares e nem recebe momento deles. _ (*) No vale amazônico, por falta de montanhas, é muito difícil se obter seixos ou britas.

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Na situação 2, a ligação com solda é solicitada, ou seja, nos pontos A, B e C, a viga tenderia a girar, mas é impedida pelas soldas nos apoios. Situação 1 Perfil metálico A

Situação 2 Perfil metálico Ligação com solda A

Solda

A viga, ao tentar girar (mas é impedida), transfere um Momento Fletor ao apoio (que seria quase um engastamento). Claro que a condição de maior ou menor engastamento será função da maneira e do grau com que foi feita a soldagem. A situação 1 é a que mais se aproxima da teoria de viga contínua. A situação 2, na verdade, se aproxima de trechos de vigas engastadas. Assim: Situação 1

Esquema estrutural Situação 2

Viga deformada

Qual a situação que temos em um prédio? Ou seja, quais as vigas que são contínuas ou que podem ser consideradas contínuas? E quais as que devem ser consideradas trechos de vigas biengastadas? Se tivermos uma viga de 30 × 20 cm ligando dois pilares de 1,0 × 1,0 m, podemos admitir que estamos na situação 2(*). Tirando casos extremos como esse, regra geral, as vigas de prédios são calculadas como vigas contínuas. A rigor, não são vigas contínuas, pois a ligação viga-pilar impede na prática a livre rotação. Todavia, os resultados que se obtêm na prática são razoáveis, admitindo-se essa hipótese. Uma coisa é clara. Considerando-se viga biengastada (não contínua) a carga que carrega um lado da viga em nada influencia o outro trecho da viga. _ (*) A pequena viga (30 3 20 cm) tem pouca chance de girar, já que está amarrada a grandes pilares (100 3 100 cm).

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As estruturas de aço e de madeira são mais próximas das estruturas ideais da Resistência dos Materiais que as estruturas de concreto armado. Consideremos uma viga carregada em apenas um dos trechos e verifiquemos a linha elástica (linha de deformação) em cada um dos casos. P

= A

1º caso - hipótese: viga contínua.

2º caso - hipótese: viga engastada. A

BC sente e alivia AB. B

BC não sente e não alivia AB. B

Uma viga contínua é como se fosse um cortiço, onde todos sabem de todos e todos interferem com todos. O carregamento em um tramo é transmitido para os outros tramos. Uma viga biengastada são duas casas no Morumbi(*). Uma briga em uma casa não chega a outra casa. Um muro (engastamento) de silêncio impede a transmissão de emoções (esforços). Na hipótese de vigas contínuas, o trecho não carregado (BC) se deforma com os momentos (e as tensões) do trecho carregado (AB). É solidariedade da viga contínua. Nas vigas biengastadas, o trecho BC nada interfere e nem sofre com o carregamento em AB. Nos cortiços, a solidariedade (da miséria, é verdade) é maior que a solidariedade (de riqueza) do Morumbi, Jardim América, SP, ou São Conrado, RJ, bairros ricos.

_ (*) Bairro elegante da cidade de São Paulo.

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14.3 CÁLCULO ISOSTÁTICO OU HIPERESTÁTICO DOS EDIFÍCIOS Façamos uma comparação geral entre estruturas isostáticas e hiperestáticas, procurando mostrar que para os mesmos esforços externos (cargas), os esforços nas estruturas isostáticas são sempre maiores do que nas estruturas hiperestáticas(*). 1º caso

P A

C L/2

P/2

L/2 L

2º caso

P2 P

No primeiro caso, o momento máximo ocorre em C e vale:

No segundo caso, o momento máximo também ocorre no ponto C e vale:

Seja um vão de 8 m e um peso de 50 kN, calculemos os Momentos (L = 8 m e P = 50 kN):

Vê-se, pelo simples exemplo, que os esforços no meio do vão (Momento fletor) são muito maiores nas estruturas isostáticas do que nas hiperestáticas. A estrutura hiperestática é então, em princípio, mais interessante, já que Momentos menores geram tensões menores e poderemos dimensionar estruturas mais esbeltas para resistir a essas tensões. _ (*) Admitindo-se a igualdade das outras condições.

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Lembremos que os Momentos menores, que ocorrem em estruturas hiperestáticas, se fazem à custa de um engastamento em cada um dos lados, ou seja, os engastamentos puxam o Momento no meio do vão para si. Há, pois, Momentos nos engastamentos e só teremos esses Momentos se tivermos esses engastamentos. Mas só se pode pensar em engastar, quando se tem onde engastar. Quando vamos vencer um vão de rio com uma tábua e não temos onde encaixála, temos de construir uma estrutura isostática.

P A

Se tivermos estruturas que permitam engastamentos, então podemos pensar em usar estruturas mais delgadas, pois o esforço no meio do vão (Momento Fletor) e as tensões que resultam serão menores. As estruturas dos prédios de concreto armado, pelo tipo construtivo, formam um complexo hiperestático pelo intertravamento de vigas com pilares, vigas com vigas, lajes com vigas, lajes com lajes e assim por diante. Se calculássemos cada viga como simplesmente apoiada, cada laje desprezando a ligação com outra (engastamento), estaríamos chegando a esforços muito maiores (mais conservativos) do que chegamos, levando em consideração os reais engastamentos e solidariedades que existem. Na verdade, o cálculo correto de um prédio deveria ser feito a partir da teoria de pórticos, considerando todos os engastamentos existentes entre todas as partes estruturais. Na prática, o cálculo estrutural convencional não calcula tudo como estruturas isostáticas (o que levaria a esforços enormes e estruturas caríssimas), e também não leva em conta toda a solidariedade dos engastamentos que existem (pois esse

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cálculo levaria a estruturas mais leves que as atuais, mas o cálculo seria difícil sobremaneira). Seria o cálculo pelo sistema de pórticos. O cálculo estrutural do dia a dia considera o relacionamento e engastamento da laje com laje, viga com viga, ou seja, não leva em maiores considerações os engastamentos reais entre lajes e vigas e entre vigas e pilares(*). Dessa maneira, adota-se um cálculo isostático-hiperestático que não chega a estruturas antieconômicas e os procedimentos de cálculos são mais simples. As vigas que poderiam tirar partido real e existente de engastamento nos pilares (principalmente no caso de pequenas vigas ligadas em pilares de médio tamanho) são consideradas, regra geral, como simplesmente apoiadas nos pilares. Curiosamente, o engastamento viga-pilar, que pode ser desprezado na viga, não pode ser desprezado no cálculo de pilares, que são sensíveis a Momentos Fletores no seu topo. Nota: O peso padrão do brasileiro é 70 kgf, ou seja, aproximadamente 700 N.

14.4 CÁLCULO DE DIMENSIONAMENTO DAS LAJES L-7 E L-8 14.4.1 CÁLCULO DAS LAJES L-7 = L-8 (Lajes dos dormitórios) As lajes L-7 e L-8 são iguais (uma é imagem especular da outra). Não há continuidade de L-7 com L-2 e nem L-8, com L-5 pois estão em níveis diferentes.

V4 (20x40)

R1 ly 390

V6 (20x40) V10 (20x40)

L-7

L-8

Consideramos esta borda da laje engastada, pois existe continuidade entre L-7 e L-8, ou seja, as lajes se interligam.

V8 (20x40)

R1 390

V5 (20x40)

Espessura da laje (h) (critério prático) h=

390 = 9, 75 40

Espessura adotada = 10 cm, d = 10 – 2,5 = 7,5 cm _ (*) A dona NBR 6118, cautelosa mãe de família, ciosa dos relacionamentos feitos sob sua égide, faz aqui e ali algumas observações e restrições para não deixar essas liberdades chegarem a exageros.

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Carga 1 (para o apartamento em estudo) Revestimento = 1 kN/m 2 Peso próprio (PP) 0,10 3 25 = 2,5 kN/m 2 Carga acidental = 1,5 kN/m 2 — q = 5 kN/m 2 Nesta laje, estudaremos também, para fim de exercício, uma sobrecarga maior (sobrecarga industrial). Para fazer uma comparação didática, como varia o porte da estrutura com a carga, vamos introduzir uma sobrecarga majorada 10kN/m 2 e estudar as consequências que advirão. Caso 2 (como exercício de comparação): Revestimento = 1 kN/m 2 Peso próprio (PP) 0,1 3 25 = 2,5 kN/m 2 Acidental (carga industrial) = 10 kN/m 2 —2 q = 13,5 kN/m Carga 2

Pelo tipo de engastamento da laje, estamos no 2.º caso da aula 9.3 (pg. 148 deste livro) das tabelas de cálculo.

{

R1 = 0,183 × 5 × 3,9 = 3,57 kN/m cargas R2 = 0,402 × 5 × 3,9 = 7,84 kN/m nas R3 = 0,232 × 5 × 3,9 = 4,52 kN/m vigas

_ (*) Há os que preferem grafar, por razões didáticas, kNm/m.

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Cálculo das cargas nas vigas R = n × q × lx

{

R1 = 0,183 × 13,5 × 3,9 = 9,63 kN/m cargas R2 = 0,402 × 13,5 × 3,9 = 21,17 kN/m nas R3 = 0,232 × 13,5 × 3,9 = 12,21 kN/m vigas Cálculo da armação (consultar tabelas T-10 e T-11 da aula 11.3)(*)

Notar que, com a carga maior (carga 2), a armação da laje ficou sensivelmente mais pesada, sem que fosse alterada a espessura da laje. Nota: Ver cálculo da área de aço mínima na pág. 218. _ (*) Ver pg. 182 a 183 neste livro.

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M20 - ø 6,3 c/20

L-5

M21

L-6

M21

M20 - ø 6,3 c/9 M22 - ø 6,3 c/14

M21

L-7

M22 - ø 6,3 c/20

L-8

M20 - ø 6,3 c/9 M21 - ø 5 c/22

100

M23 - ø 12,5c/13 L-8 100

100

M22 - ø 6,3 c/14

M21

100

L-3

LE-2

Carga 2

M23 - ø 6,3 c/10

M21

L-7

M20 - ø 6,3 c/20 M22 - ø 6,3 c/20

M21 - ø 5 c/22

L-6

M21

Carga 1

L-5

M21

L-3

LE-2

M21

Nota: Nas bordas das lajes externas, por não haver continuidade dessas lajes, devemos colocar a armadura de borda, armadura negativa (M21), para evitar fissuras. Para que armaduras negativas fiquem em posições altas, usar “caranguejos” feitos em obra. Em lajes que usam armaduras finas faz-se a amarração, barra com barra, em todos os cruzamentos, usando o arame n. 18 recozido. Quando nas lajes usam-se barras de maior diâmetro, o costume é amarrar um encontro sim e outro não. É que nessas lajes com armadura de maior diâmetro, elas movimentam-se menos que as armaduras finas.

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aula

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15.1 CÁLCULO PADRONIZADO DE VIGAS DE UM SÓ TRAMO PARA VÁRIAS CONDIÇÕES DE CARGA E DE APOIO Apresentamos, a seguir, uma tabela de cálculo de vigas de um só tramo, sofrendo vários tipos de carregamentos e em várias condições de apoio, e fazemos a comparação crítica dos resultados das várias situações. Calcularemos Momentos Fletores em pontos singulares, reações nos apoios e flechas máximas. Esses exercícios, além do formulário que segue, além de sua importância própria (cálculo de vigas de um só tramo), têm grande valor quanto ao cálculo de vigas contínuas, pelo método de Cross, quando cada trecho de viga contínua é considerado isolado e calculado, então, pelas fórmulas do presente capítulo. Para os exercícios de aplicação e melhor compreensão, consideraremos como constante o vão de 3 metros, ora atuando carga concentrada de 50 kN, ora atuando carga distribuída de 16,6 kN/m sobre uma viga de madeira com seção de 30 × 40 cm (I = 0,0016 m4 e E = 10.000.000 kN/m 2).(*)

1º Caso

P C=D y A

B L/2 L

(M A e MB são Momentos na viga transmitidos pelos encaixes). _ (*)

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2º Caso P C=D y A

B L/2 L X

Observacão: C = D (o máximo momento e a máxima flecha ocorrem no meio do vão). A simetria o explica. Válida para toda a aula 15.1. 1. O ponto C é o ponto médio da viga. 2. O ponto D é o ponto onde ocorre a máxima flecha. 3. y é a máxima flecha. Calculemos os valores para o exemplo prático indicado: 1.º Caso

Fórmula da flecha 1.º caso

2.º Caso

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Conclusões: 1.

As vigas simplesmente apoiadas (1.º caso) e as vigas duplamente engastadas apresentam reações verticais (reações nos apoios iguais).

O Momento Fletor no meio do tramo, na viga simplesmente apoiada é grande (37,5 kNm), mas em compensação não exige nada do apoio (M A = 0, MB = 0) (não transmite momento ao apoio). A viga biengastada tem menor Momento no meio do tramo (Mc = 18,75 kNm), mas isso se deve ao fato de os apoios A e B impedirem a viga de livre fletir, passando para os apoios (solidariedade de A e B para C) Momentos Fletores de –18,75 kNm (tração em cima da viga e compressão embaixo).

A flecha do 2.º caso é sensivelmente menor. No 1.º caso nada impede a viga de se deformar e ter uma flecha maior. No 2.º caso, há restricões à deformabilidade (são os engastamentos).

Observemos que em todos os casos a flecha é calculada por meio de uma fórmula com E (Módulo de Elasticidade) no denominador. Como conclusão lógica, quanto maior E, menor a flecha. Como sabemos, o E do aço é cerca de dez vezes maior que o E do concreto.

A conclusão é que para as mesmas condições (vão, seção, inércia, carga) a flecha de uma viga de aço é dez vezes menor do que a flecha de uma viga de concreto. 3.º Caso 3º Caso P A

B y

L RA MA

RA = P

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4.º Caso 4º Caso A

C=D

A flecha máxima se dá para x = 0,4777 × L (ponto D). Observar que a flecha não ocorre no meio do vão e sim mais próxima de A. Consideremos os valores para o exercício prático iniciado para o 3.º e 4.º casos. 3.º Caso

No 3.º caso, o máximo Momento Fletor ocorre em A. 4.º Caso

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Conclusões: 1.

No 4.º caso, há um apoio (B) que não há no 3.º caso. Esse apoio é uma solidariedade ao engastamento A que não precisa resistir sozinho. Por isso, a flecha do 4. caso é menor do que no terceiro caso, e o momento no engastamento A também é menor do que no 3.º caso. Como muitas vezes repetiremos neste curso, o aumento de vínculos distribui melhor as tensões e diminui as deformações.

Observe-se no 4.º caso que o ponto de flecha máxima dista 143 cm do apoio A, ou seja, o ponto de flecha máximo está mais próximo de A do que de B.

Para o 5.º caso, compararemos as diferenças que ocorrem em uma viga quando temos uma carga concentrada P ou uma carga distribuída. Para facilitar a comparação, a carga distribuída (16,66 kN/m) foi escolhida para corresponder, para o vão de 3 m, à carga concentrada de 50 kN. 5.º Caso q C A

y D

L/2

L/2 X Z q = 16,66 kN/m

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L=3m

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–18,74 kNm

10,54 kNm

5 — L = 1,875 m = x 8

3 — L = 1,125 m 8 L=3m

Recordemos os resultados numéricos do 4.º caso (aplicar as fórmulas do 4.º caso): R A = 34,375 kN RB = 15,625 kN M A = – 28,125 MB = 0 y = 0,079 cm x (distância do ponto de maior flecha) = 1,43 m. MC = 23,44 kNm, onde MC (Momento interno do vão) Da comparação do resultado do mesmo tipo de estrutura, mas submetida uma, a uma carga concentrada de 50 kN, e, outra, a uma carga de 50 kN, distribuída nos 3 m (dando uma carga uniforme de 16,66 kN/m), conclui-se que: 1.

As reações de apoio não variam muito de caso para caso. Vejamos: 5.º Caso

4.º Caso

R A = 31,24 kN RB = 18,74 kN

R A = 34,38 kN RB = 15,62 kN

O Momento máximo (MC) é sensivelmente maior com a carga concentrada, como, em geral, é o momento que define tensões (e, portanto, o dimensionamento da peça), sempre há vantagem em distribuir as forças concentradas. Vejamos: 5.º Caso

4.º Caso

MC = 18,74 kNm

MC = 23,44 kNm

A flecha na carga distribuída, é cerca da metade do caso de carga concentrada, Como devemos fugir de grandes flechas, verifica-se a vantagem de fugir de cargas concentradas. Vejamos: 5.º Caso

4.º Caso

f = 0,0456 cm

f = 0,079 cm

Várias conclusões podem ser tiradas dos exemplos dados. Quando vamos projetar estruturas, deveremos procurar aquelas que gerem menores Momentos Fletores localizados, pois aí teremos menores tensões e devemos fugir de grandes flechas.

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Duas regras ajudam a fugir de grandes Momentos (e, portanto, tensões) localizados. •

Usar estruturas hiperestáticas em vez de isostáticas. As hiperestáticas distribuem os Momentos para os apoios, diminuindo os Momentos no meio do vão.

•

As cargas distribuídas espalham também os esforços ao longo de toda a viga.

Os exemplos e as fórmulas apresentadas para os casos expostos são genéricos. Nos livros de Resistências dos Materiais, apresentam-se fórmulas para situações diferentes das aqui estudadas. Para efeito do cálculo do nosso prédio, vamos apresentar de outra forma a maneira de calcular reações de apoio, Momentos Fletores nos apoios e Momentos máximos ao longo do vão. O formulário é simples e de aplicação direta. Situação 1 q A

B S

L-S L

Situação 2 q

A S

L-S L

Situação 3 q A

B S

L-S L

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Situação 4 q B

A L-S

S L

Situação 5

B a

L-a L

Situação 6 P A

B L-a

a L

Situação 7 P A

B L-a

a L

Situação 8

B L

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Aula 15 Situação 9

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B x

x’ L

Situação 10

B L

Exemplo: Façamos um exemplo (situação 3): q = 2 tf/m B

A S = 1,5 m

2,2 m L = 3,7m

No caso

Cálculo de K1

Cálculo de M A

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Cálculo de K2

Cálculo de MB

15.2 OS VÁRIOS PAPÉIS DO AÇO NO CONCRETO ARMADO Como já foi visto em várias aulas, o aço tem várias funções na sua ação de amigo solidário e atritado ao concreto nas estruturas de concreto armado. Vamos rever algumas dessas funções: 1.

O aço é mergulhado no concreto, ficando solidário e principalmente atritado a este nas partes das estruturas onde estas são solicitadas à tração. Nessas partes, o concreto chega até a se fissurar, respondendo o aço, nessa parte, pela resistência da peça.(*) Zona de maior compressão

1 LN

Fissuras Zona de maior tração

2 3 4

5 Corte transversal em ponto no meio da viga

Vejamos, para os diferentes pontos da viga, como são as suas situações (ver o corte transversal): • • • • •

ponto 1: concreto fortemente comprimido; ponto 2: concreto medianamente comprimido; ponto 3: zona sem tração ou compressão, mas com cisalhamento (linha neutra); ponto 4: zona de concreto levemente tracionado; ponto 5: zona de concreto fissurado “já foi”. Aí o aço responde à tração.

— (*)

Nas estruturas de concreto armado, a armadura é chamada de armadura passiva, pois só começa a trabalhar depois que surgem as cargas. No chamado concreto protendido, antes das cargas começarem a atuar, a armadura já está tracionada por macacos que comprimem o concreto. São as armaduras ativas.

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No caso de vigas contínuas (ou lajes) onde há alternância de tração em cima e embaixo, o aço vai aonde há tração. P

A viga em trabalho

O aço socorre a viga na parte tracionada

O aço pode ir também nas vigas, na parte comprimida para “chupar” o esforço de compressão, aliviando a seção de concreto. São as vigas duplamente armadas. Armadura adicional que ajuda o concreto comprimido

Aços porta estribos

Compressão LN

Tração Corte transversal

O aço vai também nos pilares para “chupar” parte do esforço, graças ao seu maior E (Módulo de Elasticidade). Se não houvesse aço seria:

Corte de um pilar

aço

Observação: Pela Norma é proibido usar pilar de concreto sem aço. O exemplo é só para ilustração. Observação para os casos 1, 2 e 3. Como o aço é mais nobre do que o concreto, e sendo válida a observação de que quanto mais longe do eixo trabalha melhor, o aço é colocado o mais perifericamente possível da seção. Ele só não fica exposto para não ser oxidado, servindo a cobertura pela camada de concreto (cobrimento do aço) como proteção do mesmo.

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A NBR 6118 determina (item 17.3.5.3) o valor de 0,4% como a porcentagem mínima de armação do pilar em relação à seção transversal do pilar. Esta é uma exigência. A NBR- 6118 também fixa distanciamentos máximos para as barras da armadura(*). 4.

Digamos que você tenha de suportar um peso através do uso de quatro barras de aço de pequeno diâmetro, como mostra a Figura 1. Você não acha que se houvesse uma amarração (mesmo que fosse um arame) entre elas o conjunto seria mais estável? Armadura Barra

Peso

Estribo Pilar

Figura 1

A ligação entre as barras é feita no concreto armado, por meio de barras de aço de pequeno diâmetro (estribos), que dão uma rigidez maior à construção, impedindo a instabilidade das barras (flambagem das barras). Barra porta estribo sem função estrutural

Estribo Pilar

Barras

Viga

Estribo Barras

5. Os estribos têm também a importante função de vencer os esforços de cisalhamento que ocorrem nas vigas. Imaginemos duas vigas de peroba, apoiadas uma sobre a outra. Carregadas, elas trabalharão desigualmente, como mostra a figura seguinte, se não tiverem ligação entre elas. P Viga 1 Viga 2

Observação: Sem a ligação, as barras deslizam uma sobre a outra.

— (*) A dona norma também limita a 8% a taxa máxima de armadura nos pilares calculado sobre a seção transversal do pilar (Ac). Ver item 17.3.5.3.2 pg. 132 da norma. No item 18.4.2 o diâmetro mínimo da armadura longitudinal deve ser ≥ 10 mm (pg. 151 da norma).

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Para que as duas vigas se deformassem por igual, elas deveriam ser pregadas uma com a outra, como mostrado a seguir: P

Pregos (amarração)

Observar que, devido à solidariedade, as faces ficam juntas, não deslizam, devido aos pregos. Uma viga de concreto armado pode ser considerada como um conjunto de lâminas de concreto, que trabalham solidárias, se deformando por igual. P

Quem solidariza as várias lâminas horizontais da viga? Resposta implacável: os estribos!

15.3 CÁLCULO E DIMENSIONAMENTO DAS ESCADAS DO NOSSO PRÉDIO 15.3.1 CÁLCULO DO DEGRAUS 1,26 V2 (20 x 40)

156

26 26

1,26

105 20

156

1 2 3 4 5 6 1,26

0,0

V6 (20 x 40)

105

18 18 18 18 26 26 18 18

0,0

1,62

a = 26 cm V4 (20 x 40)

P7 1,26

1,62 13

h = 18 cm Corte de um degrau da escada

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Cálculo dos degraus, fórmula de Blondel (para conforto): 2h + a = 62 a 64 para h = 18 cm → 2 × 18 + a = 62 → a = 26 cm

he = 18 cm

he = 18 cm (espelho)

h1 h + cos 30° 2  h1 ≅ 30

hm ≅

Temos então:

adotaremos hm = 24 cm Cargas na escada: q2

q3 LE-1

V-4

C q1 V2

LE-2 115

Seção longitudinal da escada

D 156

115

386

Revestimento Acidental

1 kN/m 2 3,0 kN/m 2 —2 4,0 kN/m

Patamar - 0,13 × 25 = 3,25 kN/m 2 Degraus - 0,24 × 25 = 6,0 kN/m 2 q1 = q3 = 4,0 + 3,25 = 7,25 kN/m 2 q2 = 4,0 + 6 = 10 kN/m 2

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Aula 15

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Modelo de cálculo de laje apoiada na viga V-2 e V-E (viga intermediária) (faixa de 1 m de largura) 10 kN/m

7,25 kN/m D 1,93

7,25 kN/m 1,93

VE 115

156

115

386

3,86 1,56 + (10 − 7,25 ) × = 13,99 + 2,15 = 16,14 kN/m 2 2 1,15 = 18,56 − 4,79 = 13,77 kN·m/m M D = 16,14 × 1,15 − 7,25 × 1,15 × 2 1,93 1,56 1 1,56 MC = 16,14 × 1,93 − 7,25 × 1,93 × − (10 − 7,25) × × × = 2 2 2 2 = 31,15 − 13,50 − 0,84 = 16,81 kN·m/m VE = V2 = 7,25 ×

Cálculo da armação Em D:

Tabela T-10, aula 11.3 (pg. 181).

Tabela T-11, aula 11.3 (pg. 183 deste livro) — ø 10 a cada 17 cm. Em C:

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Concreto Armado Eu Te Amo

Adotaremos o maior: ø 10 mm c/14.

Detalhe da armação da escada (corte): VE (20 x 40)

ø 6,3 c/20 ME4 13 18 18 126

ME3

ø 6,3 c/20

18 ME5

ø 6,3c/20

ø 6,3 c/20

18 13 9

ME2

18 18

ME1 105

V2 (20 x 40)

ME5 - ø 6,3 c/20 Ferro de montagem 130 cm

c/1

ME1 = ø10 c/17

0 ø1

105 50 ME4 - ø 6,3 c/20 106 Ferro de montagem ME3 = ø10 c/17

50 ME1, ME2, ME3 — Ferros calculados • ø 6,3 c/20 e

ø 6,3 c/20 — Ferros de montagem da escada e não calculados – são optativos.

Há especialistas que não concordam com esses ferros ME5 e não os preveem.

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Aula 16

aula

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16.1 CÁLCULO DE VIGAS CONTÍNUAS PELO MAIS FENOMENOLÓGICO DOS MÉTODOS, O MÉTODO DE CROSS Na aula 15.1, estudamos vários tipos de Vigas de um só vão (tramo) e com vários carregamentos. Determinamos então para essas vigas, face às fórmulas padrões, as forças reativas nos apoios e os Momentos Fletores resistivos nos apoios; calculamos os Momentos Fletores ao longo da viga, flechas máximas e tudo mais. Conhecidos esses elementos, podem-se dimensionar essas vigas. Agora se coloca uma pergunta: e como se calculam as vigas de vários vãos e com vários carregamentos? Seja, por exemplo, uma barra de madeira, sujeita a esforços, estando essa barra tão simplesmente apoiada em quatro pilaretes de madeira e sem nenhuma ligação, além do descanso da viga nos pilaretes. P1

Tramo 1

Tramo 2

P2 Tramo 3

Como são reações nos apoios, qual o máximo Momento Fletor no tramo AB, qual a máxima flecha em CD? Além disso, como aumenta (ou diminui) a reação em C se aumentarmos P1? Resolver todos esses problemas é conhecer a viga, chamada de viga contínua, e isso iremos conseguir através do Método de Cross(*). Notemos que uma viga contínua é uma estrutura hiperestática, não podendo ser resolvida só pela aplicação das três condições(**) (SM = 0, SV = 0, SH = 0). Conhecida a viga (forças e momentos) podemos dimensioná-la, ou seja, fixar suas dimensões que resistam aos esforços, o que é o objetivo final do projeto estrutural. _ (*) O método de Cross é um método geral da Resistência dos Materiais podendo, portanto, também ser usado em estruturas de madeira e aço e outros materiais. Ver <http://www.tecgraf.puc-rio.br/ftool/>. (**) As famosas três condições.

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Concreto Armado Eu Te Amo

O Método de Cross não é o único método para resolver vigas contínuas. Existem outros que chegam a resultados iguais. Ficaremos com o Método de Cross, que nos parece o mais fenomenológico. Para resolver uma viga contínua, é necessário saber se a viga é contínua (bidu), ou seja, precisamos saber se a viga que vamos estudar se enquadra dentro das teorias desenvolvidas para elas. Assim, sejam duas pranchas de madeira, uma simplesmente apoiada em quatro pilaretes de madeira (1.º caso) e outra que, hipoteticamente, atravessa quatro grossas paredes de alvenaria (2.º caso), ambas sofrendo, no primeiro tramo, a ação de uma carga P concentrada que pode variar de intensidade. P 1º caso A

Deformação

P 2º caso A

No 1.º caso, a ação da força P transmite esforços ao longo de toda a viga, ou seja, até no apoio D, ocorrem reações à ação de P. No 2.º caso, o que acontece no tramo AB praticamente não se comunica ao tramo BC e muito menos ao tramo CD. No 1.º caso, temos uma viga contínua, no 2.º caso, estamos já longe dela e estamos já quase com três vigas independentes de um só tramo, sofrendo engastamento nas paredes. Em geral, as vigas de um prédio são calculadas como contínuas. Notemos que, nas vigas contínuas, seus apoios não recebem momentos, mas só cargas verticais, ou seja, nos apoios as vigas se acomodam (giram) como querem, sem restrições dos apoios. Uma prancha de madeira apoiada em quatro pilaretes de madeira e sofrendo a ação de cargas se deforma como se vê a seguir: P1

Notamos que nos quatro pilaretes só são transmitidas cargas verticais. Se pregássemos um prego, ligando a prancha de madeira a um pilarete (o B por exemplo), verificaríamos que a flecha f1, tenderia a diminuir, mas haveria um esforço passando ao prego e deste ao pilarete. Estaríamos começando a sair das condições

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Aula 16

de vigas contínuas, pois ocorreria um Momento Fletor no pilar B. Quanto mais pregos pregássemos nos apoios, mais nos afastaríamos das vigas contínuas e mais nos aproximaríamos de vigas de trechos independentes, cujo cálculo foi visto na aula 15.1. Nos prédios, as vigas são calculadas como contínuas (sem transmissão de momentos aos pilares), mas, apesar disto, estes, obrigatoriamente, têm de levar em conta um resquício de momento no seu dimensionamento (*), o que pode parecer uma surpresa lógica, mas é a favor da segurança, compensando efeitos colaterais não calculados. Mas, continuemos na hipótese de vigas contínuas, onde os apoios só servem de descanso para vigas (sem transmissão ou recebimento de momentos). Vamos expor o Método de Cross, aplicado diretamente a um exercício, para facilitar a compreensão, lembrando que este método é geral e será aplicado rigorosamente igual a todos os outros exercícios que se seguirão. Seja, pois, a viga de um material qualquer, de três tramos, submetida a três esforços verticais, cada um no meio de cada tramo.

1,5

Tramo 2

1,0

3m RB

Tramo 3

2,0

1,5

1,0 2m

Tramo 1

Tramo 2

b = 20

Tramo 3 h = 40

Tramo 1

Seções

P3 = 600 kN

h = 30

P2 = 300 kN

h = 20

P1 = 200 kN

b = 20

Seja 20 × 20 cm a seção da viga no tramo 1, 20 × 30 cm no tramo 2 e 20 × 40 cm no tramo 3. Desnecessário dizer que a menor dimensão é a base, e a maior, a altura(**). Pela magnitude dos esforços P1, P2 e P3, desprezaremos o peso próprio da vigas. Como primeira providência, calculemos o Momento de Inércia (I) de cada tramo.

_ (*) Exigência para os pilares engastados parcialmente nos pilares de extremidade. (**) Estamos procurando ter sempre o maior momento de inércia I.

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Concreto Armado Eu Te Amo

Calculemos agora o conceito w = I/L, onde L é igual ao tamanho do vão.

Não há necessidade de se aprofundar no conceito de w. Aceitemos que essa grandeza seja simplesmente a divisão do Momento de Inércia do vão (I), pelo tamanho do vão (L). Vamos agora fazer um artifício e considerar que os três tramos sejam independentes (um não recebe influência do outro), ou seja, criemos falsos engastamentos em B e C, gerando assim, ficticiamente, três vigas independentes entre si. 200 kN A

300 kN B

1,5

C 2,0

D 1,0

2,0 4m

600 kN 1,0 2m

Calculemos agora, os momentos em todos os apoios, para essas três vigas agora supostas independentes. Para este caso, usaremos uma notação de sinal para o Momento Fletor no apoio, chamada Código de Grinter. São positivos os momentos no apoio no sentido horário e negativos os de sentido anti-horário (Código de Grinter). P

M(+)

M(–)

Aplicando-se as fórmulas da aula 15.1, podemos calcular os momentos nos apoios de cada uma das três vigas independentes.

1.º tramo 2.º tramo

3.º tramo

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Aula 16

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Se voltássemos à viga contínua com esses momentos, veríamos que há uma divergência de momento para os pontos da mesma sobre os apoios. Vejamos: 0

–112,5 +150

–150 +225

A MB A

0 D

MB Nó

(–) (+) Nó

(–) Nó

Nó

(+)

Os momemos das vigas nos apoios A e D, não há dúvida, são zero. Mas em B o momento é –112,5 kNm ou +150 kNm? E em C ele é –150 kNm ou +225 kNm? Temos que compensar essas diferenças nos vãos. Como compensar a diferença em B e em C? Calculemos os chamados quinhões de distribuição, ou seja, como compensar por exemplo o nó B. Faremos depois o mesmo para C. Para calcular como compensar o nó B, da ocorrência de momentos diferentes, temos de ver todas as condições de cada tramo que nasce desse ponto, ou seja, o vão (L), o Momento de Inércia (I), e se as extremidades do vão são intermediárias ou apoiadas. A influência de B para A é, por hipótese, medida por 3 (pelo fato de A ser apoio simples) e a de B para C é 4 (pelo fato de ser apoio intermediário e, portanto, suposto o engastamento). O cálculo de quinhões de distribuição de B para A e de B para C é feito considerando-se as quantidades w de cada tramo. Chamemos esses quinhões de bBA e bBC.

Como se pode ver pela fórmula bBA + bBC =1. Calculemos:

Sendo bBA = 0,23 e bBC = 0,77.

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O cálculo de bBC pela fórmula é uma não necessidade, pois podia ser calculado diretamente bBC = 1 – bBA = 1 – 0,23 = 0,77. Sabemos agora que a diferença de momentos em B (–112,5 kNm e +150 kNm) deverá ser dividida pelos quinhões 0,23 e 0,77, dando para cada lado de B valores iguais de momento (mas com sinais invertidos, face à notação de Grinter). A diferença a ser distribuída é 150 – 112,5 = 37,5 kNm, mas com sinal negativo e multiplicada pelos quinhões. Logo:

–37,5 3 0,23 = – 8,6 kNm –37,5 3 0,77 = –28,9 kNm

Logo em B teremos: B 0,23

0,77

–112,5

+150

–8,6

–28,9

–121,1

+121,1

tramo 1

tramo 2

⇐ Soma

Vemos que à esquerda teremos –121,1 kNm e à direita +121,1 kNm e o nó está equilibrado.

Mas não basta equilibrar o nó B, já que esse equilíbrio foi conseguido graças à adição de duas quantias de cada lado do ponto B. Temos de propagar essas quantias adicionadas aos nós vizinhos. Admitamos como verdade que a propagação para nós internos seja de 50% e para nós externos, de 0%. Logo propagaremos. 0

←

50%

–8,6 –28,9

→

–14,5 C

O nó C, que não estava balanceado, recebe a propagação e fica então: 0,5 3 28,9 ≅ 14,5 B

C –150

D +225

–14,5 Soma ⇒

–164,5 tramo 2

+225 tramo 3

Logo temos à esquerda (–164,5 kNm) e à direita (+ 225 kNm). Temos que equilibrar a diferença (225 – 164,5 = 60,5 kNm) para ambos os lados de C. Para dividir essa diferença, temos de calcular os quinhões de distribuição, bCB e bCD, sabemos que bCB + bCD = 1.

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Aula 16

Multiplicando a diferença 60,5 kNm por 0,22 e 0,78 teremos –13,3 e –47,2. Logo: C 0,22

0,78

–150

+225

–14,5 –13,3

–47,2

–177,8

+177,8

⇐ Soma

Vemos que à direita temos o valor de +177,8 kNm, e à esquerda, –177,8 kNm, e o nó está balanceado.

Feito isso, temos de propagar, com o mesmo critério (50% para nós internos e 0% para nós externos, apoiados; se o nó externo fosse engastado, seriam 50%). lsso provocará um desequilíbrio em B que será reequilibrado; propagará, então, um momento para C, desequilibrando-o, e assim por diante, com amortecimentos que tenderão para um equilíbrio final. A

0 0 0

← 0%

←

0,23

0,77

0,22

0,78

–112,5

+150

–150

+225

–8,6

–28,9

+1,5

→

50%

–14,5

–6,7

50%

←

–13,3

+5,2

→

50%

+2,6

–0,2

←

50%

+0,1

–119,5

+119,5

–119,5 kNm

0 0%

–47,2

→

–0,5

–2,1

→

–175,7

+175,7

–175,7 kNm

Conclusão: O Momento Fletor de viga no ponto A é nulo (bidu), o Momento Fletor em B é –119,5 kNm (aplicando-se a convenção de Grinter, quando se tem – +, o sinal efetivo do momento é negativo), (tração em cima e compressão embaixo).



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

Se fosse + –, seria momento negativo. Conhecidos os momentos em todos os apoios, podemos calcular cada trecho de viga como independente e tendo como ligação o Momento Fletor. Teremos então:

200 kN

119,5 kNm

1,5

1,5 3m

300 kN 175,7 kNm

119,5 kNm

2,0 RB

175,7 kNm

2,0

1,0 RC

600 kN

1,0 2m

A viga está resolvida em termos de momentos fletores nos apoios. Calculemos agora as reações nos apoios: 1.º tramo:

2.º tramo:

3.º tramo:

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Aula 16

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As reações efetivas que ocorrem nos apoios são: (junção das reações calculadas dos trechos das vigas). A

140 136

164 388

212

276

552

212

Conhecemos agora todas as reações nos apoios, e podemos, pois calcular os Momentos Fletores em todos os pontos da viga, e particularmente nos pontos singulares. 200 kN

300 kN B

X 150

600 kN D Z

Y 150

200

300 cm RA = 60 kN

200

100

400 cm RB = 276 kN

100

200 cm RC = 552 kN

RD = 212 kN

Viremos da esquerda para a direita e valendo: •

O Momento na viga no ponto A é zero.

•

O Momento na viga no ponto X vale: MX = + R A × 1,5 = + 60 × 1,5 = + 90 kNm MB = + 60 × 3 – 200 × 1,5 = – 120 kNm M Y = + 60 × (3 + 2) – 200 × (1,5 + 2) + 276 × 2

Logo: M Y = + 300 – 700 + 552 = 152 kNm MC = + 60 × (7) – 200 × (5,5) + 276 × (4) – 300 × 2 Logo: MC = 420 – 1.100 + 1.104 – 600 = – 176 kNm MZ = + 60 × (8) – 200 × (6,5) + 276 × 5 – 300 × 3 + 552 × 1 Logo: MZ = 480 – 1.300 + 1.380 – 900 + 552 = + 212 kNm O gráfico dos Momentos será (em tcm) 176 120 A

–

90 152 212

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Concreto Armado Eu Te Amo

A deformação da curva será: 200 kN

300 kN

600 kN

O diagrama de Forças Cortantes será: 212 kN 164 kN

140 kN B

60 kN

D Z

136 kN 388 kN

Conhecemos agora os Momentos Fletores ao longo de toda a viga, e as forças cortantes ao longo de toda a viga. Como cada tramo tem uma seção transversal (20 × 20 cm), (20 × 30 cm), (20 × 40 cm), calculemos as tensões em cada tramo. 1.º Tramo: Máximo Momento Fletor = – 120 kNm (no apoio B) Máxima Força Cortante = 140 kN Seção (20 × 20 cm) A = 400 cm 2 Tração Seção transversal da peça

LN Compressão

Onde W é Módulo de Resistência

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Aula 16

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Cálculo da tensão de cisalhamento no ponto X (pegar a maior força cortante no ponto):

Logo:

2.º Tramo: Momento Fletor = – 176 kNm (no apoio C) Máxima Força Cortante =– 164 kN Seção (20 3 30 cm)

A = 600 cm 2

Cálculo da tensão de cisalhamento no ponto Y (pegar a maior força cortante no ponto):

3.º Tramo: Momento Fletor = +212 kNm (no ponto Z) Máxima Força Cortante = 388 kN Seção (20 3 40 cm)

A = 800 cm 2

Cálculo da tensão de cisalhamento no ponto Z (pegar a maior força cortante no ponto):

Chegamos ao final. A viga está resolvida.

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Concreto Armado Eu Te Amo

Vamos, agora, para efeito crítico, analisar quais seriam os resultados a que chegaríamos se: •

1.º Caso: A viga fosse considerada como contínua (é o exercício resolvido).

•

2.º Caso: Se a viga fosse suposta com três tramos independentes e simplesmente apoiados em quatro pilares.

•

3.º Caso: Se a viga fosse suposta como três tramos independentes e engastados nos quatro pilares.

1.º Caso: Viga contínua (exemplo resolvido nas páginas anteriores):

P1 = 200 kN

P2 = 300 kN

P3 = 600 kN

Tramo 1 1,5

Tramo 2

1,5

2,0

Tramo 3 1,0

RA = 60 kN

1,0 2m

RC = 552 kN

RB = 276 kN

RD = 212 kN

Observar que a viga gira livre em A e D. Nos apoios B e C, há um engastamento, não da viga no apoio, mas sim o engastamento de trecho da viga em trecho da viga. 2.º Caso: Viga simplesmente apoiada, dividida em três partes independentes (3 vigas):

P1 = 200 kN

P2 = 300 kN

P3 = 600 kN

1,5

B 1,5

2,0

3m RA = 100 kN

100 + 150 = 250 kN

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2,0 4m

RB = 100 kN RB = 150 kN

C 1,0

1,0 2m

RC = 150 kN RC = 3000 kN RD = 300 kN 150 + 300 = 450 kN

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Aula 16

O diagrama de forças cortantes será: 300 kN 150 kN

100 kN A

100 kN

150 kN

300 kN

O gráfico dos momentos será (em kNm): A

300 kNm

150 kNm

A deformação de curva será: 200 kN

300 kN

600 kN

Momentos transmitidos aos apoios, igual a zero. Observar que as vigas são livres para girar nos apoios. 3.° Caso: Viga engastada em quatro grossos pilares: P1 = 200 kN

P2 = 300 kN

P3 = 600 kN

B 1,5

1,5

2,0

3m RA

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2,0 4m

1,0

1,0 2m RC

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Concreto Armado Eu Te Amo

O diagrama de forças cortantes será: 300 kN 150 kN 100 kN A

100 kN

150 kN 300 kN

O gráfico dos momentos será (em kNm): 150 kNm

150 kNm

75 kNm

–

75 kNm

150 kNm

A deformação de curva será: 200 kN

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300 kN

600 kN

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Aula 16

Observar que os trechos da viga não podem girar livremente nos apoios. Aí o engastamento é de viga com pilar. Análise comparativa entre as três soluções Para vencer um vão usando engastamentos intermediários em B e C, ocorrerão os menores Momentos Fletores (o máximo ocorrido, foi de 150 kNm). A solução, que leva a três vigas simplesmente apoiadas independentes, leva a maiores Momentos Fletores (o máximo ocorrido foi de 300 kNm). A solução de viga contínua leva a Momentos Fletores maiores que as de solução de engastamento, mas menores do que a solução de três vigas independentes. Para forças cortantes, o máximo é para vigas contínuas (a solidariedade sobrecarrega os pilares intermediários). O maior valor foi de 388 kN. As soluções de vigas engastadas ou independentes dão iguais valores de forças cortantes. O máximo foi de 300 kN. Em geral, nas três hipóteses, as maiores forças cortantes acontecem nos apoios(*). Para confirmar nossas compreensões, passemos a resolver outros problemas, utilizando sempre a mesma metodologia. Seja a viga a seguir: q = 20 kN/m

Seções

B 5m

E 1m

C 2m

Tramo 2 h = 30

Tramo 1 h = 20

P = 20 kN

b = 20

Procure acompanhar o andamento do problema anterior, para facilitar a compreensão. Calculemos:

_ (*) Na nossa primeira aula, mostramos que, no Viaduto Santa Efigênia, havia um enrijecimento no arco, nos pontos de apoio, onde se descarregavam os pilares. Fica agora explicada a razão. O enrijecimento é para vencer as forças cortantes, que são máximas nos apoios.

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Concreto Armado Eu Te Amo

Admitamos o engastamento dos nós intermediários, que no caso é um só (B) e calculemos os dois tramos, como se engastados fossem e independentemente. q = 20 kN/m

20 kN

Tramo 1 A

Para o Tramo 1:

1m a

}

Tramo 2 C

2m b

Convenção de Grinter

Para o Tramo 2: a = 1 m; b = 2 m, l = 3 m; m = a/ l

Cálculo dos quinhões de distribuição:

+41,7 + 2,9 +44,6

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50%

←

0,19

0,81

–41,7

+11,1

+5,8

+24,8

–35,9

+35,9

→

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Aula 16 q = 20 kN/m

44,6 kNm

35,9 kNm

500 cm RB

Cálculo do 1.° Tramo:

Cálculo do 2.° Tramo:

100 a

20 kN + 200 a

Logo RB = 25,3 kN e RC = – 5,3 kN. As reações nos apoios serão: A

51,7

48,3

–5,3

25,3 51,7

⇐ Soma

73,6

–05,3

A viga será pois 44,6 kNm A

q = 20 kN/m

20 kN

Rc = 5,3 kN (*)

s x

500 cm

RA = 51,7 kN

100

200

RB = 73,6 kN

_ (*) Pelo resultado negativo de RC, temos de inverter a posição do apoio C. Imaginamos , mas deve ser assim:

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Concreto Armado Eu Te Amo

Cálculo dos momentos: 1.º Tramo: Consideremos um ponto S qualquer no tramo 1, distante x de A. O momento no ponto S será: MS = – 44,6 + 51,7 × x – 20 × x × x/2 MS = – 44,6 + 51,7 × x – 10 × x2 A fórmula indica que, para se conhecer o ponto onde ocorre máximo Momento de Fletor(*), temos de conhecer o ponto x que maximiza essa função. Para isso, ou se calcula por tentativas, ou se deriva a função:

O máximo Momento Fletor valerá (para x = 259 cm)

O gráfico de Momento Fletor será (em kNm): 44,6 kNm 35,9 kNm

5,3 kN

–

– A

20 kN

+ 22,2 kNm x = 259 cm

_ (*) Momento Fletor positivo.

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O gráfico de Força Cortante será:

48,3 kN

E A

B 25,3 kN

5,3 kN

51,7 kN

Façamos um outro exercício. Seja outra viga a seguir, com carregamentos uniformes nos dois tramos: q = 50 kN/m

q = 40 kN/m

Seção

Tramo 1

Tramo 2

400 cm

h = 30

Tramos (vãos) 1 e 2

b = 20 cm

300 cm

Consideremos os dois tramos. Admitimos o engastamento dos nós intermediários, que no caso é um só (B), e calculemos os dois tramos, como se engastados fossem e independentes. 3w1 A

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4,0 m

3w2 B

3,0 m

Tramo 2

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Para o Tramo 1 (convenção de Grinter):

Para o Tramo 2:

Cálculo dos quinhões de distribuicão:

0,43

0,57

–100 45 23,65 31,35 –76,35 76,35 kNm Logo:

q = 50 kN/m

76 kNm

3,0 m

4,0 m RA

q = 40 kN/m

Cálculo do 1.º Tramo:

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Cálculo do 2.º Tramo: xm → cortante = 0

As reações nos apoios serão: A

+81

+119

+34,7

+ 85,3 +81

⇐ Soma

+204,3

+34,7

A viga será, pois: q = 50 kN/m

q = 40 kN/m

4,0 m

3,0 m

RA = 81 kN

RB = 204,3 kN

RC = 34,7 kN

Diagrama dos momentos: 76 kNm – A

+ xmax

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C + xmax

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Nota: Um leitor pergunta: quando usar cada tipo de solução? A hipótese do 1.º caso é o caso mais comum nas estruturas de concreto armado. A hipótese do 2.º caso pode ser feita em situações em que podem acontecer em alguns pontos, recalques diferenciais (um valor de recalque em um ponto diferente do valor de recalque em outro ponto). A estrutura do 2.º caso se adapta melhor, se acomoda melhor que a estrutura do 1.º caso. A estrutura do 3.º caso é para obras com pilares de enorme tamanho e, então, a hipótese do 1.º caso (apoio simples na extremidade) não reflete a realidade. Adotamos então a hipótese do 3.º caso (engastamento das extremidades da pequena viga nos enormes pilares).

16.2 A ARTE DE ESCORAR E A NÃO MENOR ARTE DE RETIRAR O ESCORAMENTO O cimbramento (escoramento) é a estrutura provisória (normalmente de madeira, e recentemente começando a ficar comuns, as estruturas metálicas tubulares) que sustentam as fôrmas que vão receber e dar forma ao concreto ainda mole (pastoso). Quando o concreto inicia a pega, ele adquire uma determinada resistência, que permite a retirada progressiva do escoramento das fôrmas. Se foi necessário prever um adequado escoramento, para que as fôrmas não cedessem ou não se deformassem, quando o concreto as esforçava, há uma técnica de retirada de fôrmas toda especial, de maneira que não sejam transferidos às estruturas já agora resistente, tipos de esforços para os quais elas não foram projetadas. Em projetos de grande fôlego, há um projeto específico de cimbramento (escoramento) e outro de descimbramento. É famosa uma história trágica de destruição de uma obra tecnicamente perfeita por erro de descimbramento. Contemos o caso. Uma viga em balanço já tinha sido concretada e estava pronta para ser desformada. Quando pronta, ela trabalharia da seguinte forma: P

Armação principal (negativa) Viga em balanço Viga na sua deformação

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O jovem responsável da obra, ao iniciar o descimbramento, mandou tirar as escoras do centro (para que a viga começasse a trabalhar devagarzinho, pensava ele).

Cimbramento completo

Descimbramento realizado pelo jovem responsável e que levou a obra ao colapso. Tensão de tração não prevista e que não havia armadura para resistir. Terreno

O plano de descimbramento (retirada de escoramento), deveria ser:

Escoramento completo

Início da retirada do escoramento

Avanço dessa retirada

As normas preveem que as obras maiores devem ter um plano de cimbramento e um plano de descimbramento (*). Atenção: consultar a nova norma NBR 15696/09 para formas e escoramentos.

16.3 ATENÇÃO: CARGAS NAS VIGAS !!! Pela Tabela de Bares-Czerny, calculamos os Momentos Fletores nos pontos médios e nos apoios das lajes armadas em cruz. Fórmulas diretas dão os Momentos Fletores no meio e nos apoios, para as lajes armadas em uma só direção. Como se calculam as cargas (carga acidental e peso próprio) que as lajes transferem às vigas?

— (*)

A antiga e sempre respeitável norma NB-1/78 antecessora da NBR 6118, dizia no seu item 14.2.1: “A retirada das formas e do escoramento só poderá ser feita quando o concreto se achar suficientemente endurecido para resistir às ações…, a retirada das formas e do escoramento não deverá dar-se antes de: nas faces laterais, 3 dias; nas faces inferiores, deixando pontaletes bem encunhados e convenientemente espaçados, 14 dias, e nas faces inferiores, sem pontaletes, 21 dias.

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16.3.1 LAJES ARMADAS EM UMA SÓ DIREÇÃO Para lajes armadas em uma só direção, a solução é simples. A totalidade da carga é transferida às vigas colocadas paralelas à direção do comprimento maior (x).

V1 =10m

V2 = 3m

B V4 = 3m

V3 =10m

Laje armada em uma só direção

X A

Toda a carga da laje passa, em igualdade de condições, para V-1 e V-3. Assim, uma laje de 10 × 3 × 9 cm de espessura e carga de 4,75 kN/m2 transfere, às vezes, as cargas seguintes: Sobrecarga 10 × 3 × 2,50 = 75,0 kN Peso próprio 10 × 3 × 0,09 × 25,00 = 67,5 kN — q = 142,5 kN ou Todo o peso de 142,5 kN, será transferido às duas vigas, cada uma de 10 m. A carga por metro transmitida às vigas será:

O esquema é:

V1 Corte AA

Laje

V2 ou V4

Corte BB

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V2 ou V4

Viga V1 ou V3 V2

Esquemas estruturais

7,125 kN/m Viga V1 ou V3

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V1 Corte AA

Laje

V2 ou V4 V1

Viga V1 ou V3 V2

Esquemas estruturais V3

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Corte BB

V2 ou V4

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3,0 m

7,125 kN/m Viga V1 ou V3 10,0 m

Em princípio, não há cargas transferidas a V-2 ou V-4. Na prática, é comum nos cálculos admitir uma carga residual nas vigas, que vencem o menor vão. No nosso exemplo, no cálculo da laje, a rigor, não haveria carga na direção y transferida à viga. Por segurança, será atribuída uma carga mínima de qy = 0,25 × 3 × 4,75 = 3,56 kN/m. qy = 0,25 × l menor × q

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aula

17.1 FLAMBAGEM OU A PERDA DE RESISTÊNCIA DOS PILARES QUANDO ELES CRESCEM (Os professores do curso (*) não chegaram a um acordo e por isso esta aula é dada duas vezes) – notas sobre pilares

O assunto Flambagem (ou empenamento, como dizem lá na santa terrinha) é um dos assuntos mais complexos da mecânica das estruturas. Como uma prova dessa complexidade e grau de discussão do tema, esta aula vai ser escrita duas vezes, dando, assim, chance para que dois professores apresentem suas opiniões. A aula 17.1.1 dá uma explicação mais fenomenológica e algo menos rigorosa. A aula 17.1.2 dá uma explicação mais correta e, convenhamos, algo menos didática.

17.1.1 Flambagem – Uma visão fenomenológica Pegue uma chapa de metal de pequena espessura e com mais ou menos 30 cm de comprimento e comprima as extremidades como mostra a figura a seguir:

F F Perspectiva

F Corte

Você notará que a peça anteriormente plana se curva. Aumente a força de compressão e você notará que a peça se encurvará ainda mais. Você poderá repetir a experiência com uma ripa de madeira de alguns metros. Com o aumento da força de compressão, a peça poderá até romper. Refaça a experiência com o mesmo material, mas com comprimento bem menor. Você notará que com comprimento menor, ficará mais difícil dobrar a chapa ou a ripa de madeira. Para quebrar então ficará muito mais difícil. O que mudou? A peça comprimida “pa_ (*) Este livro nasceu de um curso por correspondência.

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rece que ganhou resistência” quando seu comprimento diminuiu. Uma peça comprimida (um pilar de prédio, por exemplo) é uma peça que “ganha resistência” quando tem sua altura diminuída, ou “perde resistência” quando sua altura cresce. O fenômeno chama-se flambagem. Notemos que a perda de resistência que acontece em peças comprimidas, quando cresce seu comprimento, está intimamente vinculada à liberdade da peça em se deformar. Assim se a ripa de madeira comprimida estivesse encaixada em uma reentrância de uma parede, então, para rompermos a peça na compressão, seria muito mais difícil (exigiria uma carga maior). Ripa presa (confinada) F1

L Deformação na viga

Com carga F1, a ripa de madeira se rompe.

Para romper a ripa confinada, a força F2 tem de ser muito maior que F1.

Conclusão: O fenômeno da variação de resistência de uma peça comprimida (flambagem) depende fundamentalmente do comprimento da peça (L) e do seu grau de liberdade em se deformar. Posteriormente se verá que a forma da seção também influi na majoração ou minoração da flambagem. Consideremos agora dois pilares de igual seção, e submetida à mesma força P(*), mas tendo esses pilares alturas bem diferentes. Os pilares têm seção igual (mesma forma e área) e, portanto, igual Módulo de Resistência. P Peso

P h2

Peso h1

Pilar A

h1 < h2

Pilar B

_ (*) Estamos desprezando o efeito dos pesos dos dois pilares, admitindo que a carga P é muito superior a qualquer um dos dois pesos próprios.

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Nos dois casos, considerando a reação no apoio, temos o seguinte esquema estrutural: Ação P

Reação R

Qual dos dois pilares parece ser o mais resistente, o mais estável? Claro que a nossa experiência e o nosso sentimento mostram que o pilar A “parece” ser o mais resistente e mais estável. Esse sentimento é confirmado pela experiência. Quanto mais alto um pilar, ele parece que “perde” a sua resistência. Essa “perda de resistência” é explicada pelo fenômeno da flambagem. Podemos garantir que, se os pilares fossem construídos de forma geométrica perfeita, se a força fosse centrada no eixo ou tivesse uma distribuição perfeitamente uniforme em toda a área do pilar, então não ocorreria o fenômeno da perda de resistência dos pilares quando eles têm suas alturas acrescidas (não ocorreria a flambagem). Acontece, na prática, que nenhum pilar tem sua construção geométrica perfeita, a carga não é colocada geometricamente no meio e nem é distribuída perfeitamente na área superior do pilar. O que acontece então na realidade? Daremos uma explicação simplificada, mas que é suficiente para entender e sentir e, posteriormente, medir, principalmente para superar o problema. Admitamos que, devido a uma pequena excentricidade D1, que seja, de aplicação da força P, essa excentricidade faça agir sobre o pilar um Momento Fletor M1. Como vimos na aula 11.2 (Flexão Composta), esse Momento Fletor acresce tensões de compressão ao pilar em relação à tensão inicial P/A. Além disso, esse Momento tende a deslocar o pilar de sua posição inicial, aumentando, assim, a excentricidade D1 para D2. M1

Área A

A tensão de compressão teórica do pilar seria s = P/A. Face à excentricidade D1, a tensão de compressão passou a ser s1 = P/A + acréscimo1 (acréscimo1 = M1/W).

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O deslocamento causado pelo momento M1 leva a um deslocamento D2, que é maior que D1, e isso aumenta o Momento Fletor para M2, que é maior que M1. Então, a tensão de compressão no pilar será:

O acréscimo de deformação causado pelo momento M2 leva a uma situação mais crítica da excentricidade de carga P (excentricidade de D3 que é maior que D2 e muito maior que D1). Assim, o fenômeno poderá crescer sucessivamente e, com ele, crescem as tensões de compressão do pilar, podendo chegar até um ponto em que a tensão de compressão no pilar será superior à tensão de resistência limite do material, e o pilar rompe. Rompe por compressão ou por flambagem? Ele rompe por compressão, face ao aumento da tensão de compressão causada pela deformação crescente oriunda da flambagem (liberdade de o pilar ter sua excentricidade aumentada). Vemos, pois, que o fenômeno de flambagem está ligado à: •

Tensões crescentes de compressão.

•

Altura do pilar.

•

Liberdade do pilar em fugir do seu eixo, face aos momentos fletores causados por excentricidade de cargas ou falta de geometria da situação.

Considerando que essas são as causas, para se contornar o problema nas construções de pilares, devemos: •

Tentar ao máximo centrar ou bem distribuir as cargas. Essa é uma intenção, já que durante a construção das estruturas não se pode garantir isso perfeitamente e, além disso, as estruturas não trabalham exatamente como imaginamos, podendo sempre ocorrer esforços que não são exatamente como previmos e que deslocam a aplicação da força. Tentar vencer a flambagem com essa intenção é, pois, algo inglório.

•

Tentar reduzir a altura dos pilares. Sem dúvida que isso é uma medida prática que reduz bastante o fenômeno de flambagem. Mas nós não podemos levar isso a extremos, porque senão construiríamos prédios com pés-direitos inaceitáveis e nas nossas casas só poderiam morar pessoas de baixa estatura.

•

Tentar reduzir a facilidade dos pilares em ter a excentricidade D1 aumentada para D2. Essa é a grande solução. Como conseguimos isso? Pelo intertravamento, pela amarração e solidariedade dos pilares. Nos prédios, as vigas que ligam têm também essas importantíssimas funções. Elas intertravam os pilares combatendo eventuais tendências nos mesmos de sofrer deslocamento. Olhando internamente um pilar de concreto armado, veremos que as barras longitudinais

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de aço são intertravadas pelos estribos que têm, entre outras, essa função de intertravamento (evitar flambagem da armadura). •

Dar forma aos pilares que minimizem as tensões adicionais de compressão causadas pela flambagem.

Como visto, a tensão no pilar causada pela força P e pelo Momento Fletor não desejável é:

W é o módulo de resistência de seção. Se W for grande, então o valor M/W é pequeno e as consequências da flambagem são sensivelmente diminuídas. Mas qual W? Wxx ou Wyy? Pilar de perfil

Pilar de frente

O fenômeno de flambagem pode se dar em qualquer posição. Não adianta ter um pilar muito resistente em um lado e muito fraco em outro. O que fazer? Temos de nos preocupar com a seção de menor W (Wxx), pois é para ele que teremos o maior coeficiente M/W. No caso mostrado, o pilar é mais fraco em relação ao eixo x, e quando formos dimensionar a estrutura, será esse o W a considerar (Wxx). Condições de travamento dos pilares: Sejam os quatros pilares indicados a seguir com diferentes condições de travamento (temos sempre de considerar as condições de travamento superior, inferior e lateral). Considerando que a flambagem é, na sua essência, um problema de deslocamento, ou seja, de perda de equilíbrio, quanto mais vínculos pusermos, menores serão as facilidades de flambagem. Assim, o pilar 1 tem menos condições de flambar que o pilar 2, face à liberdade no pilar 2 do seu bordo superior. O pilar 3 tem menos condições de flambar que o 2, e o pilar 5 (pilar totalmente confinado), em princípio, não deve flambar nunca.

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Pilar confinado num solo duro

Um exemplo de pilar 5 é uma estaca de fundação cravada em um solo muito resistente. Um indicador excelente das condições de flambagem de uma peça comprimida é o chamado índice de esbeltez (l). l é, pois, uma medida numérica de tendência de um pilar em flambar. Quanto maior l, pioram-se as condições de flambagem.

Onde: l = Índice de esbeltez; k = Característica do pilar (liberdade de fletir); i = Raio de giração =  I/A; I = Momento de Inércia em relação ao eixo que mais tem condições de flambar, ou seja, o que dá menor I; A = Área de seção; L = Altura do pilar. Observação: O produto k × L é chamado comprimento de flambagem (Lf). Para o: tipo 1 ⇒ k = 1; tipo 2 ⇒ k = 2; tipo 3 ⇒ k = 0,5; tipo 4 ⇒ k = 0,7; tipo 5 ⇒ k = 0. Não ocorrerá flambagem. Calculamos l para vários pilares:

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1.º Caso (seção 20 3 30 cm) A P

L = 300 cm Corte

20 cm 30 cm

2.º Caso (seção 20 3 20 cm) B P

L = 200 cm Corte P 20 cm 20 cm

Pela análise direta de l, vê-se que o pilar A (1.º caso) tem muito mais chances de flambar do que o pilar B (2.º caso). Sumário e orientações: A flambagem é um fenômeno de equilíbrio de peças comprimidas (verticais ou horizontais), levando a um acréscimo das condições de compressão da peça. Uma peça comprimida que não tenha condições de flambagem (l muito pequeno) pode ter sua tensão de compressão calculada diretamente s = P/A. Caso haja flambagem, essa tensão de compressão aumentará, podendo levar a peça comprimida a tensões de ruína. O índice l (índice de esbeltez) é uma medida das condições de flambagem.

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A flambagem é uma característica de peças comprimidas, sendo ou não pilares. Correntes, panos e cordas funcionam bem à tração e não funcionam à compressão, pois à compressão esses materiais não tem estabilidade e flambam quando surge a primeira e fraquíssima força de compressão.

17.1.2 Flambagem — de acordo com a norma NBR 6118 17.1.2.1 Cálculo de pilares Quando fazemos a análise global das estruturas, contraventadas ou não, deve ser considerado um desaprumo (fruto da imperfeição da obra) dos elementos verticais. Conforme figura abaixo, devem ser considerados momentos devido à inclinação.

θ1 = H

1 100 H

θ a = θ1

1+1/ n 2

n prumadas de pilares

q1 máx = 1/400 para estruturas de nós fixos; q1 mín = 1/300 para estruturas de nós móveis e imperfeições locais; q1 máx = 1/200; H é a altura total da edificação, em metros; H1 = distância vertical entre andares. Estes momentos são semelhantes aos provocados pelos efeitos de 2. ordem. Também temos desaprumos de origem local que podem ser avaliados como abaixo (sendo desprezadas as influências favoráveis das vigas).

Travamento

a) Elementos de travamento (tracionado ou comprimido)

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b) Falta de retilineidade no pilar

Hi/2

c) Desaprumo do pilar

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17.1.2.2 Momento mínimo (1.ª ordem)(*) O efeito das imperfeições locais nos pilares pode ser substituído em estruturas reticuladas pela consideração do momento mínimo de 1.ª ordem, dado a seguir. M1d mín = Nd (0,015 + 0,03h) h é a altura total da seção transversal na direção considerada, em metros. 17.1.2.3 Esforços locais de 2.ª ordem – pilar padrão (l ≤ 90)(**) Usamos o pilar padrão, com linha elástica “senoidal”, que é utilizada para avaliarmos os momentos de 2.ª ordem locais. A linha elástica senoidal é dada pela equação

onde a é dado por:

onde a curvatura da seção crítica é dada por:

M1d Ac ⋅ h ⋅ Fcd

onde r é raio de curvatura da peça deformada. 17.1.2.4 Momentos globais em pilares com “nós fixos” (l ≤ 90) Pilares de “nós fixos” são aqueles em que os efeitos globais de 2.ª ordem são considerados desprezíveis. 1.º Caso Para cada trecho do pilar entre duas vigas, iremos analisar três seções: topo, base e centro. — (*)

O Momento Fletor de primeira ordem é causado por forças e seus braços de atuação. O Momento Fletor de segunda ordem é causado pela carga nas deformações dos Momentos Fletores de primeira ordem. O Momento Fletor de segunda ordem, é consequência da consequência. (**) Ver item 15.8.3.3.2 da NBR 6118 (pg. 109).

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Nd Viga

Viga

M1d

Topo

Centro

Base

M1 d

M2d

M1 d

O momento no centro é avaliado a partir dos momentos no topo e na base. Sendo dado por: α b MB M dc = 0,6 + 0,4 × MA ≥ 0,4 MA MA Item 15.8.2 (pg. 95) da NBR 6118. Onde: MA é o maior valor entre M t1d e Mb1b em valor absoluto. MB é o outro momento com sinal positivo quando traciona da mesma face que MA e negativo, em caso contrário. Na seção central, também serão considerados os efeitos de 2.ª ordem local, quando 35 < l ≤ 90. 17.1.2.5 Detalhes dos pilares (ver item 18.4, pg. 150 e 13.2.3 pg. 73 da NBR 6118-2014) 1) Dimensões mínimas

{

em geral h ≥ 19 cm → γ f = 1,4 caso especial 14 ≤ h < 19 cm h = 14 cm → γ f × γ n = 1,75 h = 15 cm → γ f × γ n = 1,68 h = 16 cm → γ f × γ n = 1,61 h = 17 cm → γ f × γ n = 1,54 h = 18 cm → γ f × γ n = 1,47 h = 19 cm → γ f × γ n = 1,4

A área mínima da seção transversal do pilar tem de ser 360 cm 2.

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Concreto Armado Eu Te Amo Detalhes

2)(*) ø S

øt hy

φ diâmetro da barra longitudinal S espaçamento da barra longitudinal φ t diâmetro da barra do estribo St espaçamento das barras dos estribos 3) Travamento das barras longitudinais 20 Øt

20 Øt

Errado

20 Øt

Certo

20 øt – máxima distância das barras sem estribo. 4) Armadura longitudinal máxima e mínima AS

também na seção das emendas. (item 17.3.5.3.2, NBR 6118)

— Para o cálculo dos pilares, usar os quatro ábacos (Aula 25.2) pg. 471 a 474 deste livro.

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Aula 17

17.1.2.6 Roteiro para cálculo dos pilares (NBR 6118/2007) (itens 11 e 15) Nos pilares em que o índice de esbeltez é menor que 35 (l ≤ 35) (pilares gordinhos), não há necessidade de considerar a análise do momento de 2ª ordem. Caso

Situação no cálculo pela NBR 6118 (excentricidade de 1.ª ordem)

Situação suposta no projeto y Nd

y 2

λ ≤ 35

Compressão centrada

y Nd

Nd x

Flexão normal composta

λ ≤ 35

Flexão oblíqua composta

λ ≤ 35

y Nd 3

Nos pilares onde a análise de segunda ordem for necessária, devemos atender aos seguintes requisitos: 35 < l ≤ 90 (pilares não gordinhos mas não muito esbeltos). No nível deste livro, não ultrapassar l = 90. Caso

Situações admitidas no cálculo pela NBR 6118 (excentricidades de 1.ª ordem e 2.ª ordem)

Situação suposta no projeto y Nd

y 5

Compressão centrada

35 < λ ≤ 90

y Nd

Nd x

Flexão normal composta

35 < λ ≤ 90

Flexão oblíqua composta

35 < λ ≤ 90

y Nd 6

_ (*) Para o cálculo dos pilares, usar os quatro ábacos da aula 25.2 (pg. 471 a 474).

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a) Pilares com λ ≤ 35 Para cada lance de pilar, entre dois pisos, deverão ser analisadas as três seções: Topo, base e centro. T

M 1d

Topo

M 1d

Centro

Pilar Base

b M 1d

Seção

sendo que o momento no meio do pilar M1cd é avaliado a partir dos momentos de extremidades dados por: M1cd = 0,6 + 0,4

MB × MA ≥ 0,4 MA MA

Onde: MA é o maior valor em módulo entre M1Td e M1bd; MB é o outro momento, tomado como sinal positivo quando traciona o mesmo lado que MA e negativo, em caso contrário. Caso 1 Pilares com compressão centrada (l ≤ 35) y

Situações que deverão ser analisadas:

Adotar maior armadura.

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Caso 2 2a) Pilares com flexão normal composta (l ≤ 35) T

M1 x

Topo

Nd c M1x

Centro

hx Nd

Base

b M1 x

2b) Flexão normal em torno do eixo x: y

Nd hx

Situações que deverão ser analisadas:

Adotar maior armadura.

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2c) Flexão normal em torno do eixo y: y

hx Nd Nd

Situações que deverão ser analisadas:

Adotar maior armadura.

Nota muito importante: A situação que apresentar a maior taxa de armadura (r) será usada para dar a solução final.

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Caso 3 Pilares com flexão oblíqua composta: (l ≤ 35) T

M1 x

M1 y

x y

Nd hx

M1 y

M1 x

sendo:

Situações que deverão ser analisadas:

Adotar maior armadura.

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Pilares com 35 < λ ≤ 90 Para cada lance de pilar entre dois pisos, deverão ser analisadas as três seções: topo, base e centro. Nd MT1d

Topo

Mc1d

Centro

Base

M2d

M1d

Momento de 1.ª ordem(*)

Momento de 2.ª ordem(*)

Sendo que o momento no meio do pilar M1cd é avaliado a partir dos momentos de extremidades dados por:

Onde: MA é o maior valor em módulo entre M1Td e M1bd; MB é o outro momento tomado como sinal positivo quando traciona o mesmo lado que MA, e negativo, em caso contrário. Na seção central, serão considerados também os efeitos de 2.ª ordem local. Cálculo do momento de 2.ª ordem:

— (*) Relembrando. O momento de 1.ª ordem é o momento causado por forças externas e peso próprio na estrutura ainda não deformada. Momento de 2.ª ordem é causado pelas cargas e peso próprio na estrutura já deformada. A flambagem é uma consequência de momento de ordens superiores aos de 1.ª ordem. Ver item 15.8.3.3.2 NBR 6118 (pg. 109 da norma).

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Aula 17

Caso 4 Pilar com compressão centrada. 35 < l ≤ 90 y

Situações que deverão ser analisadas:

Adotar maior armadura. Caso 5 Pilar com flexão normal composta. 35 < l ≤ 90 T

Nd Nd

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c M1d

Centro

Base

M1d

Topo

M1d

M2d

M1d + M2 d

M1d

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Concreto Armado Eu Te Amo

5a) Flexão normal em torno do eixo x. y

Nd hx

Situações que deverão ser analisadas:

Adotar maior armadura. 5b) Flexão composta em torno do eixo y. y

hx Nd

Situações que deverão ser analisadas:

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Aula 17

Adotar maior envergadura Caso 6 T

Pilar com flexão oblíqua composta. 35 < l ≤ 90

M1x

M1y

Nd hx

iy ix

x c

onde:

M1x

M1y

M1x

M1y

Situações que deverão ser analisadas:

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Concreto Armado Eu Te Amo

Exemplo 1: (caso 1) Seja o pilar biapoiado (35 × 30 cm), com carga de N = 1.250 kN e concreto fck = 25 MPa, aço CA50. Viga topo

Pilar

270

35 Viga base

1) Comprimento equivalente do pilar:

2) Cálculo do índice de esbeltez de pilares retangulares:

3) Cálculo de compressão centrada (caso 1)

(*) Ao longo deste livro será adotado fcd = 17,85 MPa.

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Aula 17

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4) Cálculo da armadura Ábaco (entrar com ν e )

Centro

Nd = 1.750 kN M1 xd.mín = 42 kNm

30 35

Nd Ac × fcd

ν =

M1d AC × h × fcd

= v=

1.750 = 0,933 0,105 × 17.850

42 0,075 0,105 × 0,3 × 17.850

Do ábaco 3

As = ρ ⋅ Ac

ρ = 1,3%

As =

1,3 × 30 × 35 = 13,65 cm 2 100

Centro

30 35

Detalhe da armação:

Adotaremos AS = 13,65 cm 2 (a maior taxa entre 13,65 e 12,60)

Será adotado 12 ø 12,5 mm para deixar a armadura simétrica.

S = 10 cm

12 ø 12,5 mm Estribos ø 5 mm c/ 15 cm Verificação → ø  ≥ 10 mm (O.K.) 35 ø = 12,5 mm

{

20 ø t = 20 × 0,5 = 10 cm S 40 cm 2 hmín = 2 × 30 = 60 cm

ø t = 5 mm (O.K.)

20 cm St ≤ hmín = 30 cm 12 ø  =12 × 1,25 = 15 cm

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{

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Concreto Armado Eu Te Amo

Exemplo 2: (caso 2) Seja o pilar biapoiado de (50 × 60 cm), com carga N = 1.800 kN e momento fletor de M1Ty = 60 kNm e M1by = 50 kNm.

Viga topo

M1y = 60 kNm

y Nd

Pilar 50x60

270

50 Viga base

M1y = 50 kNm

A carga é chamada carga de serviço sem coeficiente de ponderação.

1) Comprimento equivalente do pilar:

2) Cálculo do índice de esbeltez:

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Aula 17

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3) Cálculo de flexão normal composta (caso 2) Momento mínimo:

Cálculo do M1cd

4) Cálculo da armadura

Centro

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Concreto Armado Eu Te Amo

Topo

Base

Centro

Detalhe da armação

18 ø 10 mm ø 5 milímetros cada 12 centímetros

Verificações: ø  ≥ 10 mm (O.K.)

S  ≤ 40 cm 20 ø t = 20 × 0,5 = 10 cm

ø t = 5 mm (O.K.)

St≤

Seção transversal do pilar

{

20 cm hmín = 50 cm 12 ø  = 12 × 1 = 12 cm

Lembrete de recordação Para os ábacos 1 e 3 (flexão normal composta) entrar com:

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Aula 17

Exemplo 3: (caso 3) Seja o pilar biapoiado de (50 3 60 cm), com carga N = 3.000 kN e com os seguintes momentos fletores.

M1 T

x =6

0 kN

m 0 kN x

m M1 y = 8 T

Viga topo

y Nd hx = 60

270

x hy = 50 Viga base

b = 70 k M1 y

M1b

x =5

0 kN

Lembremos: N = 3.000 carga de serviço, a que teoricamente poderá ser medida. Nd = 3.000 × 1,4 = 4.200 kN.

1) Comprimento equivalente do pilar:

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Concreto Armado Eu Te Amo

2) Cálculo do índice de esbeltez:

3) Cálculo de flexão oblíqua composta (caso 3) Momento mínimo:

Cálculo de M1cd Traciona outro lado de MA (negativo) Adotaremos o maior:

Traciona outro lado de MA (negativo) Adotaremos o maior:

4) Cálculo da armadura:

hx = 0,6 m

Topo

hy = 05, m

Nota: m1 é sempre o maior dos valores mx e my.

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Aula 17

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Base

Centro

Detalhe da armação:

18 ø 10 mm Estribos ø 5 mm c/ 12 cm

Seção transversal do pilar

Nota: A existência de mx e my em alguns casos se deve ao fato de estar sendo analisada uma situação em que aparece Mx e My.

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Concreto Armado Eu Te Amo

Exemplo 4: (caso 4) Seja o pilar do exemplo 1, com distância entre pisos de 600 cm. Viga topo

Pilar 30x35

600

35 Viga base

1) Comprimento equivalente do pilar:

2) Cálculo do índice de esbeltez:

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Aula 17

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3) Cálculo da compressão centrada (caso 4) Momento mínimo:

Cálculo do momento de segunda ordem:

4) Cálculo da armadura:

Centro

30 35

Para entrar nas tabelas faremos mx = m; e, em outros casos, my = m.

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Concreto Armado Eu Te Amo

Centro

30 35

Adotaremos As = 35,7 cm 2 12 ø 20 mm Detalhe da armação:

12 ø 20 mm Estribos ø 5 mm c/ 20 cm

Verificação: ø  = 20 mm > 10 mm (O.K.) Estribos : øt ≥

10 cm = 20 Øt

ø 20 = = 5 mm 4 4 5 mm

20 cm St ≤ hmín = 30 cm 12 ø  × 2 = 24 cm

Exemplo 5: (caso 5)

Seja o pilar do exemplo 2, com distância entre pisos de 600 cm. Viga topo

M1y = 60 kNm

hx = 60

Nd x

Pilar

600

hy = 50 Viga base

M1y = 50 kNm

_ (*) Para entrar na tabela de pilares, mx = m.

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Nk = carga (força) de serviço, ou seja, sem coeficiente de ponderação. Nd = carga com coeficiente de ponderação.

1) Comprimento equivalente do pilar:

2) Cálculo do índice de esbeltez:

3) Cálculo da flexão normal composta (caso 5): Momento mínimo:

Cálculo de M1cyd

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Concreto Armado Eu Te Amo

Cálculo do momento de segunda ordem:

Cálculo da armadura:

Topo

Base

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Centro

Detalhe da armadura:

18 ø 10 mm Estribos ø 5 mm c/12 cm

Verificações: ø  ≥ 10 mm (O.K.)

S  ≤ 40 cm 20 ø t = 20 × 0,5 = 10 cm

ø t = 5 mm (O.K.)

Seção transversal do pilar

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{

St≤

{

20 cm hmín = 50 cm 12 ø  = 12 cm

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Concreto Armado Eu Te Amo

Exemplo 6: (caso 6) Seja o pilar do exemplo 3, com distância entre pisos de 600 cm. M1T

x =6

y Viga topo

0 kN

T = 80 M1 y

kNm x

hx = 60

Pilar

600

hy = 50 Viga base

30 b = 70 M1 y

kNm

M1b

x =5

0 kN

1) Comprimento equivalente do pilar:

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2) Cálculo do índice de esbeltez:

3) Cálculo de flexão oblíqua composta (caso 6) Momento mínimo:

Cálculo de M1cd Traciona outro lado de MA (negativo)

Cálculo do momento de segunda ordem:

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Concreto Armado Eu Te Amo

4) Cálculo da armadura:

Topo

Base

Centro

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Aula 17

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Centro

Adotaremos As = 30 cm 2 Detalhe da armação

12 ø 20 mm estribos ø 5 mm c/20. Corte transversal _ (*) Para entrar na tabela de pilares, mx = m.

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17.2 O CONCRETO ARMADO É OBEDIENTE, TRABALHA COMO LHE MANDAM Um engenheiro estrutural(*), ao saber da preparação deste curso, alertou para a necessidade de mostrar aos alunos que existe uma importância significativa de sentir e compreender as estruturas, aliada ao matemático cálculo da mesma. Seja, por exemplo, uma viga descarregando carga em dois pilares. Carga Viga Pilar A

Pilar B

Se admitirmos que essa viga é isostática (1. hipótese, apoios livres), o esquema estrutural de cálculo e a solução de armação consequente serão: 1.ª hipótese estrutural

Deformação da viga

Notemos que, nessa hipótese, a viga se deforma e gira livremente em A e B.

+ A

O diagrama de momento indica que não há momento em A e B, e só há momento positivo ao longo da viga. Fissuração A

A armação da viga atende à hipótese estrutural. Só há armação para vencer o momento positivo. _ (*) C.A.R.

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Aula 17

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Nessa primeira hipótese, não há necessidade de armação de momento negativo. Mas, como trabalhará a viga, na prática? Os esquemas não são perfeições e não é pelo fato de não se admitir engastamento, nas ligações entre vigas e pilares, que ele deixará de existir ou reclamar quanto à falta de previsão. Como na prática a viga sofre restrição de livre girar, face à sua ligação com o pilar, ela ou rompe seu relacionamento com este senhor, dando trincas na sua parte superior (situação bem provável), ou vai tentar girar o pilar junto com ela (situação menos provável, já que o concreto, sendo pouco resistente à tração, conseguirá puxar pouco o pilar). Deverá, pois, acontecer: Fissuras A

Admitamos agora que queiramos evitar trincas (que não causam problemas de estabilidade à estrutura, mas que são indesejáveis esteticamente). Vamos, pois, considerar que a viga deve manter seu relacionamento com o pilar através de uma armadura, ou seja, que a viga será engastada ao pilar. Estamos na segunda hipótese estrutural. 2.ª hipótese estrutural A

B Deformação da viga

Notemos que, nessa hipótese, a viga não gira em A ou em B.

O diagrama mostra que, para a viga não girar em A ou B, ela exige momentos de engastamento, que de troco são transferidos aos pilares. Armadura (–) A

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Armadura (+)

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Concreto Armado Eu Te Amo

A armação da viga atende à hipótese estrutural. Além da armação para vencer o momento positivo (que neste caso é inferior ao da primeira hipótese), há necessidade de armação nos apoios para vencer o momento negativo. Nesta segunda hipótese, não deverão ocorrer as indesejáveis fissuras superiores, face ao fato de a viga não se desligar (nas suas fibras, nos limites superiores) do pilar. Conseguimos isso, amarrando a viga ao pilar pela armadura negativa. Qual o preço disso, além do gasto da armadura? Quem amarra é amarrado, ou seja, o pilar que transmitiu à viga um momento recebe de troco um momento fletor. Devemos considerar (dependendo, é claro, das proporções relativas do tamanho do pilar, tamanho da viga e das cargas) que o pilar deverá ter um momento causado pelo engastamento, ou seja, MA

Pilar A

Viga

Pilar B Corte longitudinal

MA - momento fletor causado pela viga no pilar A MB - momento fletor causado pela viga no pilar B F - força

Conselho de um construtor de estruturas com cabelos brancos: Exija que conste formalmente no contrato de preparação do projeto estrutural: • •

detalhes das alvenarias de divisão interna e externa; detalhes das alvenarias de varandas e sacadas (amarração dessa alvenaria com a estrutura principal).

e, dependendo do porte da estrutura: • • •

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plano de concretagem; projeto de escoramento; projeto de retirada de escoramento.

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Aula 18

aula

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18.1 DIMENSIONAMENTO DE VIGAS SIMPLESMENTE ARMADAS À FLEXÃO Daremos, agora, a metodologia para o cálculo de vigas simplesmente armadas, no que diz respeito à armadura que resiste à flexão. Esta aula é uma cópia, uma repetição, sem novidades, da aula de dimensionamento de lajes maciças. (Lembremos que nas lajes maciças, depois de conhecidos os momentos no centro dos vãos e nos apoios, elas são calculadas como se fossem vigas de um metro de largura). Barras porta-estribos(*) Estribo h Seção transversal da viga

x LN

Armadura principal

Em vez de explicar com exemplos teóricos, vamos dar exemplos práticos, e, depois, analisaremos os resultados. 1. Exemplo: Dimensionar uma viga de 20 cm de largura, apta a receber um momento de 120 kNm, para um concreto fck = 20 MPa e aço CA50. 1.º passo — Fixemos uma altura para essa viga. O iniciante poderá fixar uma altura excessiva ou insuficiente, mas a própria tabela o conduzirá até uma altura adequada da viga. Fixemos d = 57; bw = largura da viga; d = altura da viga sem considerar o cobrimento de armadura.

_ (*) Os estribos combatem o cisalhamento, e as barras porta-estribos colocam o estribo na posição correta.

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Concreto Armado Eu Te Amo bw x

LN h

σC 57 60

h = 60 cm d = 60 – 3 = 57 cm

σt

Calcularemos inicialmente o coeficiente k6, que vale:

Chamamos a atenção para o uso da tabela T-13 (pg. 320), onde as dimensões devem ser calculadas em metros e o momento em kNm. (k6 = 54,15). Procuremos agora na Tabela T-13, com fck = 20 MPa e CA50, qual o coeficiente denominado k3 que corresponde a k6 = 54,15.

A área do aço será agora calculada diretamente através da fórmula: (*)

Conclusão: Temos de colocar aí um número de barras de aço, que tenham 7,74 cm 2 de área. Escolhamos 4 ø 16 mm (Consultar a Tabela-Mãe da aula 2.1). Para esse caso, não é obrigatório saber-se onde está a linha neutra, mas a tabela nos dá essa posição, pois para o mesmo código de entrada k6 = 54,15 resulta:

A solução completa da viga é:

_ (*) Os dados de entrada são cargas e Momentos Fletores de serviço, ou seja, sem coeficientes de majoração. Esses coeficientes de majoração de esforços e minoração de resistências estão internos às tabelas de dimensionamento de vigas (e lajes) deste livro. Em certos programas de computador, o próprio programa pergunta: quais os coeficientes de ponderação (de segurança) você quer usar? Em obras com baixo nível de controle, a dona norma manda aumentar certos coeficientes de ponderação (item 12.4.1).

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Aula 18 Concreto σC

20 17,67

60 57

42,33

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σt Aço x = 17,67

4ø16mm

d = 57

A viga está dimensionada para o Momento Fletor. Se não houver problema de alojamento do aço, a área de 7,74 cm 2 poderia, sem problemas, ser substituída por 3 ø 20 mm. Notar que a linha neutra está sempre mais próxima da borda superior do que a inferior. A causa disso é a presença de um material estranho (aço), numa seção de concreto. Como o Es (Módulo de Elasticidade do aço) é muito maior do que Ec e não se considera a resistência do concreto à tração, isso tende a jogar a LN para cima. Nas nossas aulas de Resistência dos Materiais, em que vimos exercícios usando materiais homogêneos (madeira, concreto simples), a LN coincidia com o eixo geométrico (a linha neutra fica à igual distância das bordas). No concreto armado, a LN, em geral, se afasta do aço. Como seria o problema, se o concreto fosse fck = 30 MPa? O k6 não muda, já que é uma característica geométrica da seção (bw, d) e do Momento. Varia agora o k3 que valerá 0,35. A área do aço será (olhar na tabela T-13, parte direita):

Calculemos:

Onde: x = 11,4 cm. A nova situação de viga será: 20 LN

11,4 60 57

σC

Concreto Aço σt

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Concreto Armado Eu Te Amo

A conclusão a que se chega é que o uso do concreto de maior qualidade (fck =30 MPa) leva a um menor consumo de aço que, no caso específico, é desprezível, mas a conclusão não. A linha neutra subiu de posição, indicando que menos seção de concreto terá de resistir ao Momento Fletor. Por que menos seção de concreto? Exatamente porque o concreto agora é mais forte, teremos de usar menos aço, a viga terá uma menor parte comprimida que o outro caso. Se fizéssemos o cálculo com menor fck, mantendo o momento e as dimensões das vigas, veríamos que mais aço seria necessário, e a linha neutra ficaria mais baixa. 2. Exemplo: Dimensionar uma viga de 25 cm de largura, apta a receber um momento de 110 kNm para um fck = 25 MPa e aço CA50. Estabelecemos a altura da viga em 50 cm. x 50 47 As 3

M = 110 kNm bw = 25 cm d = 47 cm h = 50 cm

A rotina é sempre a mesma

Procurando na Tabela T-13, fck = 25 MPa e aço CA50 com k6 = 50 temos k3 = 0,359. O cálculo de As será:

3. Exemplo: Vamos comparar, agora, o caso de dois aços, de qualidade bem diferente, ou seja, vamos no mesmo caso usar aço CA25 (o mais fraquinho) e o CA60 (o mais fortinho), aplicados à mesma viga e ao mesmo momento.

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Aula 18

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Assim, seja uma viga de 20 × 50 cm e um Momento Fletor de 60 kNm, calcularemos as áreas de ferragens (fck = 20 MPa). Aço CA 25

Aço CA 60 M = 60 kNm

x 47

M = 60 kNm

Até aqui tudo igual. Calcularemos, agora, o k3, à esquerda para aço CA25 e à direita para CA60. CA25

CA60

Da tabela T-13 Da tabela T-13 k3 = 0,706 k3 = 0,294 A área da armadura, nesse caso, será: A área da armadura, nesse caso, será:

Escolhemos 3 ø 20 mm

Escolhemos 3 ø 12,5 mm

Conclusão (lógica): Quando usamos aço melhor (CA60), usa-se menos aço do que se usar aço inferior (CA25). E a posição de linha neutra? Da mesma tabela tiram-se os resultados (o código de entrada é k6) CA25 = 0,22

CA60 = 0,22

Conclusão: A posição da linha neutra não se altera, ou seja, a posição da linha neutra já estava definida com k6, e este é definido só com as características do Momento Fletor e da seção geométrica. Nota: Fuja, mas fuja mesmo de situações com: • x/d menores que 0,01. Você está jogando concreto fora. • x/d maiores que 0,50. Você está entrando na zona perigosa de estruturas superarmadas.

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Concreto Armado Eu Te Amo

Tabela T-13 — Tabela de dimensionamento de vigas à flexão k6 e k3 Valores de k3 para aços

Valores de k6 x = x/d 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,167 0,17 0,18 0,19 0,20 0,21 0,22 0,23 0,24 0,25 0,259 0,26 0,27 0,28 0,29 0,30 0,31 0,32 0,33

para concreto de fck (MPa) 20

CA25

CA50

CA60

1.447,0 726,0 486,0 366,0 294,0 246,0 212,0 186,0 166,0 150,0 137,0 126,0 117,0 109,0 102,2 96,2 92,5 91,0 86,3 82,1 78,3 74,9 71,8 69,0 66,4 64,1 62,1 61,9 59,8 58,0 56,2 54,6 53,1 51,6 50,3

1.158,0 581,0 389,0 293,0 235,0 197,0 169,0 149,0 133,0 120,0 110,0 100,9 93,6 87,2 81,8 77,0 74,0 72,8 69,0 65,7 62,7 59,9 57,5 55,2 53,1 51,2 49,7 49,5 47,9 46,4 45,0 43,7 42,5 41,3 40,3

965,0 484,0 324,0 244,0 196,0 164,0 141,0 124,0 111,0 100,1 91,4 84,1 78,0 72,7 68,1 64,2 61,7 60,6 57,5 54,7 52,2 49,9 47,9 46,0 44,3 42,7 41,4 41,2 39,9 38,6 37,5 36,4 35,4 34,4 33,5

0,647 0,649 0,652 0,655 0,657 0,660 0,663 0,665 0,668 0,671 0,674 0,677 0,679 0,682 0,685 0,688 0,690 0,691 0,694 0,697 0,700 0,703 0,706 0,709 0,713 0,716 0,719 0,719 0,722 0,725 0,729 0,732 0,735 0,739 0,742

0,323 0,325 0,326 0,327 0,329 0,330 0,331 0,333 0,334 0,335 0,337 0,338 0,340 0,341 0,343 0,344 0,345 0,346 0,347 0,349 0,350 0,352 0,353 0,355 0,356 0,358 0,359 0,359 0,361 0,363 0,364 0,366 0,368 0,369 0,371

0,269 0,271 0,272 0,273 0,274 0,275 0,276 0,277 0,278 0,280 0,281 0,282 0,283 0,284 0,285 0,287 0,288 0,288 0,289 0,290 0,292 0,293 0,294 0,296 0,297 0,298 0,299 0,300 0,301 0,302 0,304 0,305 0,306 0,308 0,309

Continua

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Aula 18

Tabela T-13 — Tabela de dimensionamento de vigas à flexão (continuação) Valores de k3 para aços

Valores de k6 para concreto de fck (MPa)

x = x/d

20 0,34 0,35 0,36 0,37 0,38 0,39 0,40 0,41 0,42 0,43 0,44 0,442 0,45

49,1 47,9 46,8 45,7 44,7 43,8 42,9 42,0 41,2 40,5 39,8 39,6 39,1

CA25

39,2 32,7 0,746 38,3 31,9 0,749 37,4 31,2 0,752 36,6 30,5 0,756 35,8 29,8 0,760 35,0 29,2 0,763 34,3 28,6 0,767 33,6 28,0 0,770 33,0 27,5 0,774 32,4 27,0 0,778 31,8 26,5 0,782 31,7 26,4 0,782 31,2 26,0 0,786 Unidades: Mk = kNm; bw = m; d = m

CA50

CA60

0,373 0,374 0,376 0,378 0,380 0,382 0,383 0,385 0,387 0,389 0,391 0,391 0,393

0,311 0,312 0,313 0,315 0,316 0,318 0,319 0,321 0,323 0,324 0,326 0,327 0,328

Tabela T-14 — Cálculo de vigas duplamente armadas k7 e k8 Valores de k7 e k8 Aço

fck = 20 MPa

fck = 25 MPa

fck = 30 MPa

CA25

0,716

CA50

0,358

CA60B

0,302

0,403

0,302

0,403

0,302

0,403

Nota: fuja das situações de k6 superiores a 900, pois você está jogando concreto fora. Fuja também das condições de k6 muito baixos, pois você está entrando na região de vigas superarmadas. Nas vigas superarmadas, acontecendo uma carga superior à prevista, o concreto pode romper sem avisar. x h

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Concreto Armado Eu Te Amo

18.2 DIMENSIONAMENTO DE VIGAS DUPLAMENTE ARMADAS Iniciamos esta aula com o seguinte problema: •

Dimensionar a seção de uma viga de 20 × 60 cm, sujeita a um Momento Fletor de 200 kNm. Aço CA50 e fck = 20 MPa. h = 60 cm d = 57 cm

60 57

Ao procurarmos o coeficiente k6 na tabela T-13, não encontramos o k3 correspondente, pois o menor valor de k6 com existência de k3 é 39,1. O que isso quer dizer? Quer dizer que a armadura simples não poderá resistir a esse Momento Fletor. Uma solução para vencer o problema é aumentar a altura. Passemos a altura para 80 cm.

80 77

Pronto. Nesse caso, já existe o k3 e poderíamos dimensionar nossa viga. Sucede que, nesse momento arquitetônico (sempre os arquitetos), não podemos alterar a seção da nossa viga, que deve ser de 20 × 60 cm. Como fazer? A seção 20 × 60 cm, com armadura simples, não dá. Uma idéia é enriquecer a viga, ou seja, colocar em cima e embaixo um material mais nobre que o concreto, ou seja, colocar uma armadura de aço. Como calcular esse aço adicional, ou seja, como calcular essa viga? É o que veremos daqui por diante.

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Aula 18

323

Primeiramente, verifiquemos o k6 limite para esse concreto e aço. O k6 limite é 39,1, ou seja, até um certo Momento Fletor, a viga poderia ser simplesmente armada. A fórmula do k6 é:

O momento limite que resulta k6lim = 39,1 é:

Esse é o maior momento a que uma seção simplesmente armada pode resistir. O valor de x é 0,45. (ver Tabela T-13). Temos um momento, que atua na seção, que vale 200 kNm, e o momento limite da seção simplesmente armada é M = 166,19 kNm. Temos, pois, uma diferença de momentos que a seção simplesmente armada não pode absorver, que é ∆M = 200 – 166,19 = 33,81 kNm. A armadura inferior total (As) é calculada pela fórmula: (ver Tabela T-14) No nosso caso: As =

0,393 166,19 0,358 33,81 × + × = 11,46 + 2,12 = 13,58 cm 2 10 0,57 10 0,57

A área de aço, de 13,58 cm 2, é a área de aço para colocar na parte inferior da viga — armadura tracionada. A armadura superior será calculada pela fórmula: Asʹ′ = Fácil, não?

0,358 33,81 × = 2,12 cm 2 10 0,57 2ø12,5 mm

Seção da viga

3ø25mm

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A’S

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Concreto Armado Eu Te Amo

18.3 DIMENSIONAMENTO DE VIGAS T SIMPLESMENTE ARMADAS Seja a viga T a seguir: b = 180 hf = 10 X LN

57 As

Seção transversal d = 57 cm

3 bw = 20

Na seção T, é fundamental saber-se onde está a linha neutra. Se esta cortar a mesa, a viga não é viga T, e, sim, uma viga de seção retangular, já que, acima dela, temos uma seção retangular de concreto trabalhando à compressão; abaixo dela temos uma seção de concreto, que não é levada em conta pois pode até fissurar. Vejamos os esquemas: 1.º Caso: Essa não é uma viga T e sim uma viga retangular, pois:

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hf = altura da mesa d = altura da viga

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Aula 18

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Seja, agora, uma outra viga T, com LN passando bem mais baixo (não cortando a mesa) e que se mostra a seguir: 2.º Caso: Esta é uma viga T de verdade, pois x > hf . A condição da viga T é:

hf X LN

d AS = área do aço

Voltemos ao exemplo numérico do início desta aula. Calculemos inicialmente

Calculemos agora a quantidade

Calculemos a quantidade de k6, como se a viga fosse retangular e vejamos o x correspondente. Pela Tabela T-13, para o aço CA50 e fck = 20 MPa.

x = 0,03

x f = 0, 175 > x

Conclusão: Estamos no caso de a linha neutra cortar a mesa e, portanto, não estamos na condição de viga T (estamos no 1.º caso), viga retangular (180 × 60).

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Concreto Armado Eu Te Amo

ROTEIRO DE CÁLCULO DE FLEXÃO SIMPLES Para analisarmos melhor, faremos dois exemplos de aplicação do método, um de viga de seção retangular e outro de viga T, com fck = 20 MPa. Com relação às taxas mínimas de armadura, a NBR 6118-2014 indica (ver na norma item 17.3.5.2.1, pg 130): Taxas mínimas de armadura de flexão Armadura mínima de flexão

pmin (%) CA50 fck = 20

fck = 25

fck = 30

Retangular

0,150

T (mesa comprimida)

0,150

T (mesa tracionada)

0,150

Nas vigas T, a área da seção transversal a ser considerada deve ser considerada pela alma, acrescida da mesa colaborante. Armadura de pele (somente para altura maior que 60 cm) As pele = 0,10% Ac alma em cada face e com espaçamento s ≤ 20 cm entre barras de alta aderência, não sendo necessário uma armadura superior a 5 cm2 /m (item 17.3.5.2.3 da NBR 6118-2014). Roteiro para o cálculo de vigas retangulares Armadura simples

x d

bw (*)

M = momento de serviço (sem majorar)

_ (*) Momento de serviço, situação de serviço é a situação que teoricamente poderia ser medida na estrutura por aparelhos, ou seja, sem considerar coeficientes de ponderação (de aumento ou diminuição).

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Aula 18

Armadura dupla A’S

x h

A entrada na Tabela T-14, que dá k7 e k8, é por x.

Seção T, com armadura simples

b hf

AS bW

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d’

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Concreto Armado Eu Te Amo

Largura colaborante de vigas de seção T a =  viga simplesmente apoiada 

Vigas contínuas 

a = 0,75 1

a = 0,6 2

1

2

3 Viga em balanço a = 2



onde bf

b3 b4

c bw

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b1 b2 bww

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Aula 18

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onde

Seja, agora, um outro caso da mesma estrutura, trabalhando agora, com M = 900 kNm. Sabemos que quando aumenta o Momento, a LN abaixa, para que mais seção de concreto trabalhe a compressão. Verifiquemos, pois, se agora a LN deixou de cortar a mesa. fck = 20 MPa - Aço CA50.(*)

0,8 x > x f ⇒ estamos na condição de viga T (2.º caso).

Observamos que o cálculo de x, supondo a viga retangular, só serviu para verificar se a viga funciona como retangular ou não. Daqui por diante, passaremos ao dimensionamento. 180

1.º Passo: Cálculo de x. Por razões teóricas, adotaremos; ξ = ξ f /0,8.

com ξ = 0,219 → Tabela T-13 → k6 = 71,8. Entrando com x na tabela T-13, resulta k6f = 71,8 e k3f = 0,353.

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Sendo:

Concreto Armado Eu Te Amo

Mf = 724 kNm (momento das abas) Mw = M – Mf Mw = 900 – 724 = 176 kNm (momento da alma)

Entramos na tabela T-13 ⇒ k3 = 0,403. O cálculo da armadura será:

Vamos aplicar esses resultados na nossa viga T. 180 10 d

60 57

As = 57,28 cm2 12 ø 25 mm 3

Estamos na condição de Momento Fletor extremamente alto para esta seção, resultando em uma área de aço muito grande. Face a isso, temos aço demais para alojar em uma pequena área. Tivemos de colocar aço em posições mais altas e, com isso, altera-se a nossa suposição de que o centro de gravidade do aço estivesse a 57 cm (d) da extremidade superior da aba. No caso presente, como temos camadas de aço fora da distância de 57 cm, deveríamos considerar uma outra distância dreal, digamos, cerca de 49,5 cm dreal = 49,5 cm e recalcular a viga. Fica, pois, claro uma coisa: a altura útil de uma viga (d) é a distância da borda comprimida da viga ao centro de gravidade da armadura tracionada.

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Aula 18

331

18.4 DIMENSIONAMENTO DE VIGAS AO CISALHAMENTO Na aula 15.2 (caso 5), vimos que as vigas, ao sofrerem a ação de cargas verticais, sofrem a possibilidade de suas lamelas escorregarem umas sobre as outras. Ao fazer a experiência com folhas de papel, os grampos aumentavam a resistência da viga de folhas. Numa viga de concreto armado, quem interliga as lamelas? A armadura de tração não é. A eventual armadura de compressão também não. Quem aguenta, então? São os estribos(*) e o material concreto. Para explicar melhor esses fenômenos, muitas vezes associa-se uma viga em trabalho a uma treliça, para uma comparação de fenômenos e de elementos resistentes. q

Viga em trabalho

45º Treliça associada à viga em trabalho (chamada treliça clássica)

Em detalhe, um trecho da treliça Nc

Ncw

Ntw

Nc = força de compressão no banzo superior; Ncw = força de compressão no banzo inclinado; Ntw = força normal de tração no banzo vertical; Nt = força normal de tração no banzo inferior.

Em detalhe um trecho da treliça _ (*) Para vencer vãos limitadíssimos podemos usar peças de concreto simples (por exemplo tubos de concreto simples vencendo um trecho de má sustentação do solo). Ocorrerão na peça de concreto tensões muito baixas de cisalhamento e, nesse caso, quem resiste a essas tensões de cisalhamento é exclusivamente o material concreto.

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Concreto Armado Eu Te Amo

Se uma viga pode associar-se a uma treliça, quem é o responsável pelo quê? • • • •

A força de compressão Nc é resistida pelo concreto. A força de tração Nt é resistida pela armadura inferior da viga. A força de compressão Ncw, que ocorre no banzo inclinado, é resistida na viga pelo concreto. A força normal de tração Ntw que ocorre no banzo vertical, é resistida pelos estribos.

O cálculo da seção de concreto, das armaduras inferiores e superiores, já foi visto anteriormente. Resta dimensionar a solidariedade entre as várias camadas horizontais do concreto.

ROTEIRO DE CÁLCULO — FORÇA CORTANTE EM VIGA A resistência da peça, numa determinada seção transversal, é satisfatória quando, simultaneamente, são verificadas as seguintes condições:

Onde:

Vsd = Força cortante de cálculo na seção. Vrd2 = Força cortante resistente ao cálculo, relativa à ruína das diagonais comprimidas de concreto. Vrd3 = Vc + VSW, é a força cortante de cálculo, relativa à ruína por tração das diagonais. Vc = Parcela da força cortante absorvida por mecanismos comple mentares ao de treliça. VSW = Parcela absorvida pela armadura transversal. a) Verificação do concreto

Com av = (1 – fck/250) e fck em megapascal, temos:

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Aula 18

333

b) Cálculo da armadura transversal de vigas (estribos)

Onde: Vc = 0 Elementos estruturais tracionados, quando a linha neutra se situa fora da seção. Vc = Vco Na flexão simples e na flexo-tração, com linha neutra cortando a seção. Vc = VCO × (1 + Mo /Msdmáx) ≤ 2 VCO na flexão-compressão; VCO = 0,6 × fctd × bw × d

Perspectiva da viga

s = espaçamento dos estribos Estribo ø mm s

Estribo (perna) (ramo)

Nota: para estribos de 4 pernas (ramos) dobrar a área.

Tabela T-15 — Valores de A SW /s para estribos de 2 ramos (pernas)

Espaçamento (s) cm 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18

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ø5 mm

ø 6,3 mm

ø8 mm

ø 10 mm

8,00 6,67 5,71 5,00 4,44 4,00 3,64 3,33 3,08 2,86 2,67 2,50 2,22

10,5 9,00 7,88 7,00 6,30 5,73 5,25 4,85 4,50 4,20 3,94 3,50

16,7 14,3 12,5 11,1 10,0 9,09 8,33 7,69 11,4 6,67 6,25 5,56

26,7 22,9 20,0 17,8 16,0 14,5 13,3 12,3 7,14 10,7 10,0 8,89

Espaçamento (s) cm 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

ø5 mm

ø 6,3 mm

ø8 mm

ø 10 mm

2,11 2,00 1,90 1,82 1,74 1,67 1,60 1,54 1,48 1,43 1,38 1,33

3,32 3,15 3,00 2,86 2,74 2,62 2,52 2,42 2,33 2,25 2,17 2,10

5,26 5,00 4,76 4,55 4,35 4,17 4,00 3,85 3,70 3,57 3,45 3,33

8,42 8,00 7,62 7,27 6,96 6,67 6,40 6,15 5,93 5,71 5,52 5,33

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Concreto Armado Eu Te Amo

Cálculo de VCO :

VCO = 0,6 × fctd × d

onde

fctd = fctk int /gc

fck (MPa)

fctd (MPa)

0,6 fctd (MPa)

0,6 fctd (kPa)

VCO = 0,6 × fctd × bw × d

1,107

0,664

664

VCO = 664 × bw × d

1,278

0,767

767

VCO = 767 × bw × d

1,450

0,870

870

VCO = 870 × bw × d

bw e b (em metros), VCO em kN. Cálculo de VR2 :

fck (MPa)

av2

fcd (MPa)

0,27 × av2 × fcd VRd2 = 0,27 × av2 × fcd × bw (kPa) ×d

0,92

14,286

3.548

VRd2 = 3.548 × bw × d

0,90

17,857

4.339

VRd2 = 4.339 × bw × d

0,88

21,429

5.091

VRd2 = 5.091 × bw × d

bw e b (em metros), VRd2 em kN.

Armadura mínima:

•

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fck (MPa)

rswmin

0,09

0,10

0,12

Diâmetro de estribos ø t:

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Aula 18

•

Espaçamento longitudinal st dos estribos (item 18.3.3.2 NBR 6118, pg. 134 da norma) 7 cm ≤ s ≤

•

Se Vd ≤ 0,67V Rd 2 { Smáx = 0,6 × d ≤ 30 cm Se Vd > 0,67V Rd 2 { Smáx = 0,3 × d ≤ 20 cm

Espaçamento transversal dos ramos dos estribos (a)

•

335

0,6 d ≤ 35 cm

Cálculo da armadura de suspensão da viga apoiada sobre viga

Viga 1

Viga 2

As cargas da viga 2 chegam à região inferior de V1, sendo necessário suspender a carga. Região para alojamento da armadura de suspensão:

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Concreto Armado Eu Te Amo h1/2

h1/2

Viga 1

Viga 2

h2 b1

Viga 2 Planta

Seção transversal

Na planta, no caso da viga em balanço, temos: h1/2

Viga 1

Viga 2

Carga a ser suspensa: a) Viga 2 Rsusp = 0 Viga 1

b) Viga 2

h’

h’ Rsusp = R2d · — h1 h1

Rsusp As = — fyd

70% na viga 1 30% na viga 2

Viga 1 c) Rsusp = R2d Viga 1 Viga 2

70% na viga 1 Rsusp 30% na viga 2 As = — fyd

sendo R2d a carga da viga 2, na viga 1.

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Aula 18

337

A armadura de suspensão será calculada por:

Não devemos somar a armadura de cisalhamento, mas devemos adotar a maior das duas na região de alojamento da armadura de suspensão. Exemplo: Seja a viga abaixo, calcular a armadura para a força cortante de 150 kN. 2ø8

60 57

3 3ø20 20 cm

Cálculo de V R2: VRd2 = 3.548 × 0,2 × 0,57 = 404,47 kN > Vsd

Cálculo de VCO :

Cálculo da armadura Asw:

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(O.K.)

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338

Concreto Armado Eu Te Amo

18.5 DISPOSIÇÃO DA ARMADURA PARA VENCER OS ESFORÇOS DO MOMENTO FLETOR Conhecida a seção de aço que resiste aos Momentos Fletores máximos, ocorre a necessidade de colocar os aços. Como os Momentos Fletores variam ao longo da viga, a distribuição da armadura deve acompanhar a variação dos momentos. Assim, seja a viga a seguir, que possui, quando carregada, o diagrama de Momentos Fletores, conforme ilustrado a seguir:

q D A

–

E B

C(*)

Nessa viga ocorrem três momentos máximos, nos pontos D, B, e E. Resolver esse problema é dispor a armadura para atender aos momentos fletores. O roteiro é o seguinte. Daremos a descrição do método para diagrama de uma viga biapoiada, mas facilmente se transportará a solução para diagramas de outras vigas.

d A

3 ø 12,5 mm

3 ø 12,5 mm é a área As calculada para o máximo Momento Fletor que ocorre no meio da viga. d = Altura útil

Como primeira providência, traça-se uma paralela do eixo principal. Em seguida, divide-se a altura PO em partes iguais e no mesmo número de barras que escolhemos para vencer o momento. No caso, são 3 ø e o trecho PO foi dividido em três partes iguais PY, XY e XO. Agora, pega-se 0,75 da altura d da viga e adiciona-se esse valor às retas paralelas.

_ (*) O maior Momento Fletor em módulo (valor sem o sinal), para cargas distribuídas (como no caso), acontece no apoio interno B.

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Aula 18 al lb

A’

V’

al = 0,75 d lb

M’ a

339

Q’

T’

a Q

Z’ a

O’a O

Foi feita a decalagem do diagrama A V Q O Z T M para o diagrama A9 V9 Q9 O9 Z9 T9 M9. Passemos à parada de barras. A primeira barra deveria corresponder à O9 O e Q9 Z9, mas devemos acrescentar l b (comprimento de ancoragem) de cada lado da armadura. A segunda barra será V9 T9, acrecentando-se l b para cada lado. A terceira barra será A9 M9, acrescentando-se l b de cada lado. Manda ainda a NBR 6118 que o ponto J, distante de l b de Z9 (que foi decalado de Z), não fique antes de T9 + 10 × ø. Idem para os outros pontos. T’ J

Z’ lb

Mín.: 10ø

Observação: O ponto J, neste caso, é o ponto genérico, resultante do distanciamento l b do diagrama decalado. Exemplo qualitativo:

Observação: Não esquecer que, no mínimo, duas barras devem ir até o apoio.

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340

Concreto Armado Eu Te Amo

aula

19.1 ANCORAGEM DAS ARMADURAS 19.1.1 INTRODUÇÃO Há que se ter certeza de que a ligação atritada, armadura trabalhando à tração e concreto à compressão, se mantenha, para que todo o castelo mágico da teoria de concreto armado se verifique. Há, pois, que se garantir que a armadura não se desloque do concreto que a envolve e que, portanto, as deformações entre o aço e o concreto sejam iguais. Como o Es > Ec, ou seja, como a deformabilidade do aço é diferente do concreto, esses dois materiais só se deformarão por igual, recebendo tensões diferentes, como indicado nas aulas 7.1 e 7.2. A garantia de igual deformabilidade de concreto e aço é sustentada por: •

Atrito natural entre o concreto e o aço. Para os aços que trabalham a altas tensões, em que poderia haver tendência a descolamento, aumenta-se o atrito natural entre o concreto e o aço, por meio da irregularidade no aço (ranhuras, mossas e saliências).

•

Ancoragem do aço em zonas especiais do concreto (aderência). A ancoragem ou é conseguida pelo comprimento do aço em contato com o concreto (comprimento da ancoragem), ou auxiliarmente com ganchos. Para aços CA25, exigem-se ganchos em suas extremidades, por terem menor aderência. Para os aços CA50 e CA60, podem ou não haver ganchos. Nas vigas há zonas de boa aderência e zonas de má aderência, como mostra a figura a seguir: P

~ 30 cm

B Viga em trabalho 1 - Zona de má aderência 2 - Zona de boa aderência

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Aula 19

19.1.2 ROTEIRO DE CÁLCULO DO COMPRIMENTO DE ANCORAGEM DAS BARRAS TRACIONADAS O comprimento da ancoragem básica em barras tracionadas é dado por:

onde

•

Comprimento de ancoragem básico Tabela T-16 — Comprimento de ancoragem da armadura tracionada fck (MPa)

CA25

CA50

CA60

Condição

Região boa Região má Região boa Região má Região boa Região má

•

49 ø

70 ø

44 ø

63 ø

84 ø

120 ø

43 ø

61 ø

38 ø

54 ø

73 ø

104 ø

38 ø

54 ø

34 ø

48 ø

65 ø

92 ø

Comprimento necessário de ancoragem

onde a1 = 1,0 a1 = 0,7

para barras sem gancho; para barras tracionadas com gancho, com cobrimento no plano normal ao do gancho ≥ 3 ø. 0,3 lb l b mín é o maior valor entre 10 ø e 100 mm.

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{

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19.1.3 ANCORAGEM DAS BARRAS NOS APOIOS

É necessário que as barras de armadura, no mínimo duas delas, cheguem aos apoios intermediários. Para mais de cinco barras, pelo menos 1/3 da área das armaduras deve chegar aos apoios, como demonstra a figura a seguir:

2 AS1

}

apoio (2) apoio (3)

3 AS2

4 AS3

Devemos levar até os apoios intermediários no mínimo 2 barras, 1/3 da armadura longitudinal, ou seja:

Apoio 2

Apoio 3 AS1 —— 3

10ø

AS2 —— 3

10ø

AS3 —— 3

19.1.4 CASOS ESPECIAIS DE ANCORAGEM A ancoragem nos apoios extremos exige cuidados especiais.

l1min c

a b

Diâmetro dos pinos de dobramento 8ø r

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l 1mín

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Então temos: para ø < 20 mm → l 1 min = 11 ø para ø ≥ 20 mm → l 1 min = 13 ø Portanto, temos como comprimento de ancoragem disponível: l disp = b – c + 11 ø → ø < 20 mm l disp = b – c + 13 ø → ø ≥ 20 mm. Como temos que ancorar no apoio à força: fbd = 0,75 Vd Então, a tensão efetiva que podemos ancorar será:

A armadura necessária no apoio será:

Aço CA50, fyd = 435 MPa = 43,5 kN/cm 2. Exemplo: Dada a viga abaixo, calcular a armadura de apoio Concreto fck = 20 MPa.

3 ø 20 mm

7 ø 20 mm

3 ø 20 mm

40 cm

20 cm 2 ø 20 mm Apoio 1

Apoio 2 3 ø 20 mm

V k = 190 kN cortante. Calcular a armadura necessária no apoio.

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Apoio (1)

3ø20mm 20

Tensão efetiva de ancoragem:

Apoio (2)

3ø20mm 40cm

Tensão efetiva de ancoragem:

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19.1.5 ANCORAGEM DE BARRAS COMPRIMIDAS Há necessidade de se ancorar barras comprimidas nos seguintes casos: a) Nas vigas, quando há barras longitudinais comprimidas (armadura dupla), conforme mostrado na figura. A’S d’ Região comprimida h

d Região tracionada

Corte transversal da viga

b) Nos pilares, nas regiões de emendas por traspasse, que ocorrem no nível dos andares e nas regiões junto aos blocos de fundações.

lb’  0,6lb para barras comprimidas lot – para barras tracionadas

Emendas das barras

Laje

Viga AS

lb’  0,6lb para barras comprimidas lot – para barras tracionadas

Junta de concretagem

Estacas

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Viga baldrame

Bloco

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As barras exclusivamente comprimidas ou que tenham alternância de solicitações (tração e compressão) devem ser ancoradas em trecho reto, sem gancho, figura a seguir. Emendas por traspasse São aquelas que necessitam do concreto para a transmissão dos esforços de uma barra à outra. As barras estão aderidas ao concreto e, quando tracionadas, provocam o aparecimento de bielas de concreto comprimido, que transferem a força aplicada em uma barra à outra (figura a seguir). Observa-se que existe a necessidade da colocação de uma armadura transversal à emenda, com o objetivo de equilibrar essas bielas.

RSt Bielas comprimidas RSt

arm. transversal lot Figura — Transmissão de esforços em uma emenda por traspasse.

A presença do gancho gera concentração de tensões, que pode levar ao fendilhamento do concreto ou à flambagem das barras. R’S

Figura — Ancoragem de barras comprimidas (Fusco, 1985).

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Em termos de comportamento, a ancoragem de barras comprimidas e a de barras tracionadas são diferentes em dois aspectos. Primeiramente, por estar comprimido na região da ancoragem, o concreto apresenta maior integridade (está menos fissurado) do que se estivesse tracionado, e poder-se-iam admitir comprimentos de ancoragem menores. Um segundo aspecto é o efeito de ponta. Esse fator é bastante reduzido com o tempo, pelo efeito da fluência do concreto. Na prática, esses dois fatores são desprezados. Portanto, os comprimentos de ancoragem de barras comprimidas são calculados como no caso das tracionadas. Porém, nas comprimidas não se usam ganchos. No cálculo do comprimento de traspasse l 0c de barras comprimidas, adota-se a seguinte expressão (NBR 6118, item 9.5.2.3):

onde l 0c min é o maior valor entre 0,6 l b, 15 ø e 200 mm. Segundo a NBR 6118, devem-se, sempre que possível, usar emendas com extremidades retas, em vez de usar extremidades com ganchos, para que possa ser evitada a possibilidade do esmagamento do concreto nessa região. A emenda por traspasse não é permitida para os seguintes casos: •

barras com bitola maior que 32 mm;

•

tirantes e pendurais (elementos estruturais lineares de seção inteiramente tracionada);

•

feixes, cujo diâmetro do círculo de mesma área seja superior a 45 mm.

Proporção das barras emendadas Consideram-se, como na mesma seção transversal, as emendas que se superpõem ou cujas extremidades mais próximas estejam afastadas de menos que 20% do comprimento do trecho de traspasse (figura). Para barras com diâmetros diferentes, o comprimento de traspasse deve ser calculado pela barra de maior diâmetro. lo1 ( >lo2)

< 0,20lo1 lo2 Figura — Emendas supostas como na mesma seção transversal.

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A proporção máxima de barras tracionadas da armadura principal emendadas por traspasse na mesma seção transversal do elemento estrutural deve ser a indicada na tabela a seguir. Quando se tratar de armadura permanentemente comprimida ou de distribuição, todas as barras podem ser emendadas na mesma seção. Proporção máxima de barras tracionadas emendadas Tipo de barras

Situação

Alta aderência CA50 Lisa CA25

Tipo de carregamento Estático

Dinâmico

Em uma camada

100%

Em mais de uma camada

50%

ø ≤ 16 mm

50%

25%

ø > 16 mm

25%

Comprimento de traspasse de barras tracionadas, isoladas Quando a distância livre entre barras emendadas estiver compreendida entre 0 e 4 ø (figura), o comprimento do trecho de traspasse, para barras tracionadas, deve ser:

onde, l 0t mín é o maior valor entre 0,3 a0t l b, 15 ø e 200 mm. a0t é o coeficiente dado em função da porcentagem de barras emendadas na mesma seção, mostrado na tabela a seguir. Valores de coeficientes a0t Barras emendadas na mesma seção (%)

≤ 20

> 50

Valores de a0t

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

 4ø ø

lot Figura — Comprimento de traspasse de barra isolada, para distância livre entre barras ≤ 4 ø.

Já quando a distância livre entre barras emendadas for maior que 4 ø, ao comprimento calculado l 0t (≥ l 0t, min) deve ser acrescida a distância livre, entre barras emendadas.

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Armadura transversal Conforme já mencionado, a transferência de esforço de uma barra para outra se faz através de bielas comprimidas de concreto. Logo, existe a necessidade da colocação de uma armadura transversal à emenda, com o objetivo de equilibrar essas bielas. Como armadura transversal nessa região, podem ser levados em consideração os ramos horizontais dos estribos. Para barra da armadura principal tracionada (figura abaixo) Quando ø < 16 mm ou a proporção de barras emendadas for menor que 25%, faz-se necessária uma armadura transversal capaz de resistir a 25% da força longitudinal de uma das barras ancoradas. Quando ø ≥ 16 mm ou a proporção de barras emendadas for maior ou igual a 25%, a armadura transversal deve: •

Ser capaz de resistir a uma força igual à de uma barra emendada, considerando os ramos paralelos ao plano da emenda.

•

Ser constituída por barras fechadas, se a distância entre as duas barras mais próximas de duas emendas na mesma seção for < 10 ø (ø = diâmetro da barra emendada).

•

Concentrar-se nos terços extremos da emenda. ΣAst / 2

ΣAst / 2

Estribo

 150 mm

1/3 lo

Figura — Armadura transversal nas emendas, para barras tracionadas.

A st = A si A st (costura das emendas) ø 16 mm – A st = 2 cm 2 ø 20 mm – A st = 3,15 cm 2 ø 25 mm – A st = 5,0 cm 2

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19.2 DETALHES DE VIGAS — ENGASTAMENTOS PARCIAIS — VIGAS CONTÍNUAS (Pilares de extremidade) Nas extremidades das vigas, para evitarmos o aparecimento de fissuras localizadas nas “fibras” superiores, onde poderá ocorrer um engastamento parcial, que não foi previsto no esquema estrutural, recomenda-se ancorar no apoio como abaixo.

DETALHES DE VIGAS — ENGASTAMENTOS PARCIAIS — VIGAS CONTÍNUAS Vigas contínuas, engastamento nos pilares de extremidade

r é a rigidez do elemento

linf ___ 2

lPsup - Momento de inércia do pilar

Ipsup rsup = ___ lsup/2

lb + 0,75 d

IV - Momento de inércia da viga

lvig

IPcnf - Momento de

inércia do pilar

25 ø

l___ sup 2

Ipinf rvig = ___ linf

Asmin Ipinf rinf = ___ linf

Na viga:

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No tramo superior do pilar:

No tramo inferior do pilar:

Exemplo de engastamento de extremidade Pilar (30 x 30)

20 kN/m Viga (20 x 40) 5m

Na viga:

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lb + 0,75 d = 54 .1 + 0,75 . 37 = 82 cm 25 ø = 25 4 ø 10

No pilar superior = inferior

Quando do cálculo do pilar, utilizar este momento para dimensionamento.

19.3 CÁLCULO E DIMENSIONAMENTO DAS VIGAS DO NOSSO PRÉDIO V-1 E V-3 MÉTODOS GERAIS E INTRODUTÓRIOS AO CÁLCULO DE TODAS AS VIGAS fck 25 MPa — Aço CA50 1.

Calculam-se as vigas que estão apoiadas nas outras vigas, começando pelas vigas isostáticas. No nosso projeto, começaremos pelas vigas V-9, V-3, V-7, VE.

Depois, podem-se calcular as outras vigas, sempre lembrando que deveremos começar pelas vigas que estão apoiadas em outras vigas.

Pela planta de fôrmas, vê-se que o cálculo das vigas parte do cálculo de vigas de “pequena expressão” para as vigas de “grande expressão”. Notem que V-9, que é uma pequena viga e recebe pequeno esforço, descarrega esse esforço do seu peso próprio em V-3 e V-4. A viga V-9 é tão vagabunda (no bom sentido) que V-3 e V-4 recebem o esforço sem precisarem pedir ajuda a um pilar. Na verdade, a viga V-3 ainda é uma viga sem maior expressão, tanto que, ao descarregar em V-8 e V-10, essas senhoras duas vigas recebem V-3 sem maior cerimônia (sem pilar para ajudar a receber a carga). Notemos que a viga V-4 já é uma viga de maior cerimônia e que, ao descarregar seu peso, por exemplo, em V-6 e V-10, exige, no descarregamento, o auxílio dos pilares P-7 e P-9, respectivamente.

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Pelo visto, conclui-se que quando uma viga, como V-9, recebe pouca carga ao descarregar em outras vigas, não exige obrigatoriamente a existência de pilares. Quando, todavia, uma viga de respeito, como V-4, encontra vigas como V-6, V-8 e V-10, os encontros exigem pilares. O cálculo do reticulado de vigas de um prédio tem de ser de complexidade crescente. Vigas menos importantes são calculadas primeiro e admitindo que outras vigas receberão seus esforços.

Cálculo da viga V-9 (20 × 40) Concreto g = 25 kN/m3 Cargas da viga V-9: Área 20 3 40 = 800 cm 2 Peso próprio (PP) 0,2 × 0,4 × 25 Laje (L6) Laje (L5) Parede Altura Espessura Peso específico P=g×e×h

= 2 kN/m = 1,03 kN/m = 3,28 kN/m = 6,50 kN/m — q = 12,81 kN/m

h = 2,50 m e = 0,20 m g = 1,3 tf/m3 = 13 kN/m3 P = 2,5 × 0,20 × 13 = 6,50 kN/m

}

carga da parede

Cálculo estático: 20

12,81 kN/m V3

V4 1,5

bw = 20 d = 37 h = 40

Seção transversal

Força cortante:

Momento Fletor (esse Momento Fletor máximo é que ocorre no meio do vão dessa viga)

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Armação da viga V9 (fck = 25 MPa, Aço CA50) Flexão (usaremos a Tabela T-13, da aula 18.1). Cálculo da laje colaborante Para laje colaborante. 0, 1 x a = 0,1 x 1,5 = 0,15 m = 15 cm Laje L-6

7 cm

Viga

Laje L-5

Seção 20

Seção para cálculo da armação do momento fletor. 7

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Cortante:

Cálculo de V R2 (fck = 25 MPa) VRd2 = 4.339 × bw × d = 4.339 × 0,2 × 0,37 = 321 kN > Vsd

(O.K.)

Cálculo de VCO (fck = 25 MPa) VCO = 767 × bw × d = 767 × 0,2 × 0,37 = 56,75 kN

Cálculo de Asw Vsw = Vsd – VCO = 13,45 – 56,75 = –43,3 kN (armadura mínima) Asw = 0,10 × 20 = 2 cm 2 /m (tabela T-15, item 18.4 deste livro) ø 5 mm c/20 cm

Forças a ancorar (aula 19.1) 2ø10mm

2ø10mm 20

Força a ancorar: Adota-se d = h –3 cm – questão do centro de gravidade da armadura e a favor da segurança Fbd = 0,75 × Vd = 0,75 × 1,4 × 9,61 = 10,09 kN l 1 mín = 11 ø = 11 cm l disp = 11 + 17 = 28 cm Tensão efetiva na ancoragem:

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Armadura no apoio:

Devemos também colocar As mín superior, no encontro com as vigas V-3 e V-4. Diagrama de Momento Fletor e distribuição das barras 1,5 m

36 tf cm

Devemos deslocar o diagrama de Momentos Fletores da a l + l b

Adotaremos 66 cm.

a l = 0,75 × d = 0,75 × 37 = 27,75 cm l b = 38 × ø = 38 a l + l b = 27,75 + 38 = 65,75 cm

Esgastamento parcial (aula 19.2) 82 cm

25 cm

Armação da viga V-9

Corte AA 2 ø 10

ø5 mm c/20 cm A

2 (cobrimento)

2 ø 10

ø 5 c/20

25 V3

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2 ø 10

2 (cobrimento)

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Cálculo da Viga V-3 (20 × 40) Cargas da Viga V-3 Recordando a planta de fôrmas:

L-4 L-5 V-9

V-3 L-6

Parede

4,63

Peso próprio (PP) 0,2 × 0,4 × 25 Laje (L-4) Laje (L-5) Laje (L-6) Parede 13 × 0,20 × 2,5 Altura Espessura Peso específico

Peso próprio

2,56

h = 2,50 m e = 0,20 m g = 13 kN/m3

}

2,45

= 2,56 kN/m = 2,56 kN/m = 4,63 kN/m = 2,45 kN/m = 6,50 kN/m — q = 18,14 kN/m

parede

Cálculo estático: Observar que como V-9 se apoia em V-3 e V-4, só podemos calcular V-3 depois de sabermos o esforço de V-9 em V-3; notar que não há pilar no encontro de V-9 com V-3, provando que V-9 se apoia em V-3. V-9 = 9,60 kN q1 = 2,0 + 2,56 + 4,63 + 6,50 = 15,69 kN/m q2 = 2,0 + 2,56 + 2,45 + 6,50 = 13,51 kN/m

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Concreto Armado Eu Te Amo V9 = 9,60 kN

15,69 kN/m

13, 51 kN/m

2,525

1,375

V10

3,90 m

13, 51 kN/m V10

V8 3,90 m

15,69 – 13,51 = 2,18 kN/m

2,525

1,375

V10

3,90 m

9,60 kN

2,525

1,375

V10

3,90 m

Cálculo de cada parte da carga separadamente: A 13,51 = kN/m

V10

V8 3,90 m

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Aula 19

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2, 18 kN/m

B 2,525

1,375

V8 = 3, 74 kN

V10 = 1,78 kN

Situação 1 (Aula 15.1) 2, 18 kN/m V8

V10

2,525

1,375 3,90

9,60 kN C 2,525

1,375 3,90

V8 = 3, 36 kN

V10 = 6,24 kN

Situação 5 (Aula 15.1)

9,60 kN

V8 A

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V10 2,525

1,375

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Concreto Armado Eu Te Amo V9 = 9, 60 kN 15, 69 kN/m

13, 51 kN/m

2,525

1,375

V10

Reações de apoio: V8 = 26,34 + 3,74 + 3,36 = 33,44 kN V10 = 26,34 + 1,78 + 6,24 = 34,36 kN Cálculo do momento máximo: O momento máximo é onde a força cortante é nula.

Diagrama do Momento Fletor: + 35, 63 kNm

Diagrama de Força cortante: 33, 44 kN

6,18 kN 2,13

15,78 kN 2,525

34, 36 kN 3,90 m x’

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Aula 19

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Cortante em A: Q A = V8 = 33,4 Cortante em B: QB = V8 – q × x = 33,44 – 15,69 × 2,13 ≅ 0 x = 2,13 q = 15,69 V8 = 33,44 Cortante em C: QBC = V8 – q × xC = 33,44 – 15,69 × 2,525 = – 6,18 kN V8 = 33,44 q = 15,69 kN/m xc = 2,525 m QDC = –V10 + q9 × x9C = – 34,36 + 13,51 × 1,375 = (–)15,78 kN V10 = 34,36 kN q = 13,51 kN/m x9c = 1,375 m Verificação a ser feita, a diferença da cortante direita e esquerda tem de dar o valor da carga concentrada. QBC – QDC = – 6,18 – (– 15,78) ≅ 9,60 kN

(O.K.)

Cortante em D: V8 = 33,44 kN V10 = 34,36 kN Cálculo da armação: Só poderemos considerar laje colaborante de um lado, pois L 5 é rebaixada à esquerda.

Flexão 7 40

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Concreto Armado Eu Te Amo

a = L = 3,9 (viga simplesmente apoiada)

Usando o roteiro de cálculo da aula 18 e a Tabela T-13 (pg. 319 e 320 neste livro) dessa aula:

Cortante (aula 18.4) Como não sabemos inicialmente a bitola do aço a ser calculado, adotamos a favor da segurança: d = h – 2 – ø/2 = 40 – 2 – 1 = 37 cm.

1) Cálculo de V R2 V R2 = 4.339 × 0,2 × 0,37 = 321,09 kN > Vsd (O.K.) 2) Cálculo de VCO VCO = 767 × 0,2 × 0,37 = 56,76 kN 3) Cálculo da armadura ASw Vsw = Vsd – VCO = 48,10 – 56,76 = – 8,66 kN (armadura mínima) Asw = 0,10 × 20 = 2 cm 2 /m (Tabela T-15 – aula 18.4) ø 5 mm c/ 20 cm.

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Aula 19

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Forças a ancorar (aula 19.1) 2ø10 mm

h = 40

3ø12,5 mm b = 20

Força a ancorar: Fbd = 0,75 × Vd = 0,75 × 1,4 × 34,36 = 36,08 kN Tensão efetiva de ancoragem: ss ≤ fyd

Armadura no apoio:

Devemos colocar As miín superior no encontro com as vigas V-8 e V-10

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Concreto Armado Eu Te Amo

Cálculo de armadura de suspensão:

h1 = 40

V8 ou V10

Caso b, aula 18.4 (armadura de suspensão)

V8 ou V10

ø 5 mm

Seção

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Aula 19

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Engastamento parcial (aula 19.2) (Evitar fissuração)

82 + 10 = 92 cm

25 cm 2 ø 10 mm

Diagrama de Momento Fletor e distribuição das barras: Devemos deslocar o diagrama de Momentos Fletores de a l + l b 356 tf cm

1 2 3

Armação da viga 2 ø 10

Gancho 25 ø V8

100 cm

ø5c/20 2 ø 6,3 mm

2 ø 10

3 ø 12,5

3 ø 5mm c/20cm

V10 3 ø 12,5

Seção longitudinal

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Corte AA

2 ø 6,3

3 3 (cobrimento)

Seção transversal

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Concreto Armado Eu Te Amo

aula

20.1 DIMENSIONAMENTO DE PILARES — COMPLEMENTOS O que é dimensionar um pilar? Dimensionar um pilar é, dada a carga que atua sobre ele, considerando sua altura, determinar sua seção de concreto, sua armadura longitudinal (vertical) e seus estribos (armadura transversal). Como sabemos, o concreto resiste bem à compressão e mal à tração. Na aula 12.1, explicamos que, apesar de o concreto ser bom à compressão, ele não prescinde do aço, mesmo quando funcionando nos pilares.(*) Então, o pilar típico terá a seguinte disposição:

Estribo (armadura transversal)

Armadura principal Estribo

Armadura principal (longitudinal) Seção longitudinal

Cobrimento ( 2 cm) Seção transversal

A principal função dos estribos é combater uma eventual flambagem de armadura longitudinal, além de permitir a colocação da armadura nas fôrmas na sua posição correta (ação de auxílio construtivo). É evidente que não daria para deixar de pé as armaduras verticais, se não houvesse algo que as intertravasse durante a concretagem. _

(*)

Os gregos construíram em Atenas o Partenon usando colunas de pedra (mármore), e não usavam ferros para resistir aos esforços de compressão.

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19/01/16 16:53

367

Aula 20

A forma dos pilares está intimamente ligada também à resistência dos pilares e à flambagem. Formatos em planta que produzam, segundo algum eixo, Momentos de Inércia reduzidos, farão com que aumente a possibilidade de flambagem, ou seja, dados dois pilares, tendo a mesma altura, a mesma taxa de armadura e tendo a mesma área de concreto, o pilar A resiste menos que o pilar B. Seções transversais

Pilar A

Pilar B

O pilar A tem ótima disposição em relação ao eixo yy e possui péssima disposição em relação ao eixo xx. O pilar B tem iguais chances de flambar em relação ao eixo xx e yy, mas essas chances são menores do que o pilar A em relação ao eixo xx.

20.2 CÁLCULO DE PILARES COM DIMENSÕES ESPECIAIS No caso geral, a dimensão mínima da seção transversal dos pilares é de 19 cm e mínimo minimórum de 14 cm (item 13.2.3 da NBR 6118). b ≥ 19 cm → g f = 1,4 (b – menor dimensão da seção transversal); em casos especiais: 14 cm ≤ b < 19 cm, temos: g fi = g f × g n = 1,4 (1,95 – 0,05b) (b em cm, menor dimensão do pilar), ou seja, se diminui o lado menor da seção de um pilar para menos de 19 cm, temos de aumentar o coeficiente de ponderação das cargas (coeficiente de segurança tem de aumentar). Uma medida de cautela seria não diminuir de 19 cm a menor dimensão dos pilares. b 14 15 16 17 18

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g fi 1,75 1,68 1,61 1,54 1,47

b h Seção transversal do pilar b e h são as dimensões da seção retangular do pilar e b < h

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368

Concreto Armado Eu Te Amo

Esse item da norma também exige que os pilares tenham seção transversal mínima de 360 cm 2. Exemplo: Dado o pilar abaixo, calcular a armadura. 14

fck = 25 MPa; Aço CA50; Nk = 300 kN (carga sem coeficiente de ponderação)

Ac = 14 × 30 = 420 cm 2 > 360 cm 2

(OK)

Pilar Viga

2,9m Viga

2,9m Viga Corte

Situação do projeto: compressão centrada 35 < l < 90.(*) y 14

Myd

30 x

Nd Mxd

_ (*) Neste caso, a compressão é geometricamente centrada, mas a dona norma NBR 6118, no seu item 16.3, pg. 116, manda calcular os pilares, mesmo que centrados, com uma excentricidade de carga, mesmo porque um pilar pode ser centrado no projeto, e, durante a obra pode, por erro ou falta de cuidado, deixar de ser centrado em relação à viga no seu topo.

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28/01/16 17:42

Aula 20

369

1) Cálculo do índice de esbeltez

2) Cálculo à flexão normal composta 35 < l < 90.

λ x = 3,46 ×

290 = 71,67 14

λy = 3,46 ×

290 = 33,4 30

2.1) Direção de My lx = 71,67 2.1.1) Momentos mínimos: M1yd = (0,015 + 0,03 × 0,14) × 420 = 8,06 kNm 2.1.2) Momentos de 2.ª ordem:

ν=

420 = 0,56 0,14 × 0,3×17.850

⎛ 1 ⎞ 0,005 = 0,034 m −1 ⎜ ⎟ = ⎝ r ⎠ (0,56 + 0,5) × 0,14 M2yd = 420 ×

2,92 × 0,034 = 12,0 kNm 10

2.1.3) Cálculo da armadura: Myd

Myd = M1yd + M2yd = 8,06 + 12 = 20,06 kNm

ν = 0,56 µ=

20,06 = 0,191 0,14 × 0,3× 0,14 ×17.850 Ábaco 3

ρ = 1,7%

As =

1,7 ×14 × 30 = 7,14 cm 2 100

3.1) Direção de Mx lx = 33,4

< 35

3.1.1) Momentos mínimos: M1xd = (0,015 + 0,03 × 0,3) × 420 = 10,08 kNm

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370

Concreto Armado Eu Te Amo

2.1.3) Cálculo da armadura:

ν = 0,56 µ= 30

10,08 = 0,045 0,14 × 0,3× 0,3×17.850

Mxd

Ábaco 3:

ρ min =

0,4 ×14 × 30 = 1,68 cm 2 100

Armadura final Ø5C/15

4Ø12,5

20.3 CÁLCULO E DIMENSIONAMENTO DA VIGA V-7 (20 3 40) V-2 Peso próprio Laje L-3 Parede

0,2 × 0,4 × 25 = 2,00 kN/m = 2,85 kN/m = 6,50 kN/m — q = 11,35 kN/m

2, 85 kN/m

V-7

L-3

V-8

Parede = g × l × h = 13 × 0,20 × 2,5 = 6,50 kN/m

V-4

11, 35 kN/m 3,86 m V2

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Aula 20

371

Momento Fletor + 21,13 kNm 21, 90 kN Força cortante

21, 90 kN

Notar mais uma vez que, onde a força cortante passa por valor nulo (Z), o ponto correspondente da viga acontece o maior Momento Fletor. Cálculo à flexão — Viga V-7 (20 × 40) b1 = 0,1 · 3,86 = 0, 386m 7

b1 < 0,5 · b2

k6 = 105 × k6 =

bw×d 2 M

0,586×0,37 2 ×105 = 379,64 → ξ = 0,04 → 0,8ξ = 0,032 21,13

7 = 0,18 → 0,8ξ < ξ f (seção retangular) 37 0,327 21,13 k3 M k3 = 0,327 As = × = 1,07 cm 2 As = × 10 0,37 10 d

ξf =

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372

Concreto Armado Eu Te Amo

As = 1,07 cm 2 ⎪⎫⎪ ⎪ ⎬ 2 ø 10 mm 0,15 2⎪ As mín = ×20×40 = 1,2cm ⎪ ⎪⎪⎭ 100

Tabela-Mãe (T-2 p. 32)

Cortante

1) Cálculo de V R2

2) Cálculo de VCO

3) Cálculo da armadura Asw

Forças a ancorar (aula 19.1) 25

100

h = 40

b = 20

20 texto.indd 372

2 ø 10mm

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Aula 20

373

— Força a ancorar:

— Tensão efetiva de ancoragem:

— Armadura no apoio:

Devemos colocar As mín superior no encontro com as vigas V-2 e V-4.

Nota sobre o dimensionamento de peças estruturais e a aplicação dos coeficientes de ponderação Quando vamos dimensionar lajes e vigas, entramos nas tabelas deste livro com o momento fletor, sem a aplicação dos coeficientes de ponderação, pois as Tabelas de k6 e k3 já os incorporam. Usamos, então, os momentos fletores sem esses coeficientes e chamamos os dados de momentos, como momentos de serviço, ou seja, aqueles que hipoteticamente poderiam ser medidos diretamente nas estruturas. Nos outros casos de dimensionamento (pilares, ancoragem etc.), temos que usar nos cálculos os coeficientes de ponderação.

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374

Concreto Armado Eu Te Amo

20.4 DETALHES DA ARMADURA DE UMA VIGA DE UM ARMAZÉM Descrição dos aços, resumo de consumo de aço por toda a obra. V 103 19/60 N6 c/12,55 20 ø 5

N5 c/10 7 ø 6,3

N5 c/10 15 ø 6,3

2 ø 10

Corte A

Corte B

20 N6 ø 5 C = 152 15 N5 ø 6,3 C = 155

7 N5 ø 6,3 C = 155

2 ø 10

19/60

358 1 N2 ø 16 C = 413

556 2 N1 ø/6 C = 661

(costela) 558 2 x 2 N4 ø 8 C = 558

2 N3 ø 10 C = 559

Para ilustrar com se fazem os desenhos da armadura de uma estrutura (um armazém) e a lista de materiais, criamos este item 20.4.

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Comprimento

Aço (CA)

Posição

ø (mm)

Quantidade

Unitário (cm)

Total (cm)

16,0

661

1.322

16,0

413

10,0

559

1.118

8,0

558

2.232

6,3

155

3.410

5,0

152

3.040

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375

Aula 20

Resumo de consumo de aço para toda a obra Aço (CA)

ø (mm)

Comprimento (m)

Peso (kg)

5,0

423

6,3

8,0

328

131

10,0

136

12,5

106

16,0

20,0

120

299

Peso total

680

Volume de concreto de vigas (m ) 3

Taxa de armadura (kg/m )

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Eixo

Faces

5,7

5,0

131,2

148,4

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376

Concreto Armado Eu Te Amo

aula

21.1 CÁLCULO E DIMENSIONAMENTO DAS VIGAS V-1 = V-5 (20 × 40) P-10 P-1

V-1 (20 x 40)

P-11 P-2

3,56 kN/m V-6

P-4

L-1

V-1 = V-5

P-12 P-3

3,56 kN/m V-8

L-2

P-5

V-10

P-6

Cálculo das cargas: Peso próprio Laje Parede

0,2 × 0,4 × 25(*) = 2,56 kN/m L-1 = L-2 = 3,56 kN/m = 6,50 kN/m — q = 12,06 kN/m

Parede = g × l × h = 13 × 0,20 × 2,5 = 6,50 kN/m

_ (*) 0,2 m é a largura das vigas V-1 = V-5; 0,4 m é a altura das vigas V-1 = V-5; 25 kN/m3 é o peso específico do concreto armado adotado pela norma. Em alguns casos poderíamos usar vigas com 30 cm de altura.

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Aula 21

377

Cálculo das vigas contínuas V-1 = V-5 (20 × 40) (aula 16)

12,06 kN/m ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ A B C 3,9 m 3,9 m bBA = 0,5 bBC = 0,5 –22,92 22,92

l 1 = 3,9 m * 23,51 ** – 5,87 *** 17,64 →x x = 1,46

l 2 = 3,9 m

23,51 23,51 5,87 5,87 29,38 29,38 58,76 x9 = 1,46

M = 12,90 kNm

23,51 – 5,87 17,64 x9 ←

M = 12,90 kNm

Momento positivo máximo

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378

Concreto Armado Eu Te Amo

Diagrama de momentos fletores a a b

b a 22,92 kNm

a

b= 54 ø = 54 x 1,25 = 67,5 cm

b *

( )

a b *

146 cm

( )

b= 38 ø = 38 x 1 = 38 cm

292,5 cm

12,90 kNm

a

146 cm 292,5 cm

3,9 m

(*) Como só temos 2 barras, levaremos até o apoio.

B 17,64 kN

29,38 kN

17,64 kN

Diagrama de forças cortantes

_ (*) Caro leitor, observar sempre: onde o diagrama de forças cortantes passa pelo valor zero, o diagrama de Momentos Fletores passa por um máximo ou mínimo. Pontos Z, Y e B.

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Aula 21

379

Cálculo à flexão no vão: (ver laje colaborante) b1 = 29,2 cm 10 Laje bf = bw + b1

Seção transversal 20

ø5 mm c/20 cm 100

210 m

2 ø 10 mm

2 ø 12,5 mm

2 ø 6,3 mm

2 ø 10 mm 25 ø = 25 x 1 = 25 cm

— Cálculo à flexão - Apoio central nos pilares P2 e P11

Nota: M = momento fletor positivo; M = momento fletor negativo.

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380

Concreto Armado Eu Te Amo

— Cortante

1) Cálculo de Vez

2) Cálculo de VCO

3) Cálculo da armadura Vsw

— Forças a ancorar (Aula 19.1)

Força a ancorar

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Aula 21

381

— Tensão efetiva de ancoragem (ver laje colaborante)

— Armadura no apoio

Engastamento parcial nos pilares de extremidade — Viga V1 = V5 (20 3 40)

1,45 m 1,45 m

2,9 m

(20 x 40)

12,06 kN/m 3,9 m (20 x 40)

— Pilar P1 = P3 = P10 = P12 (20 × 40)

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382

Concreto Armado Eu Te Amo

Momento de engaste

— Na viga

— Flexão

— Detalhe

100 cm 25

— Momento a ser considerado no cálculo dos pilares P-1, P-3, P-10 e P-12

Mext pilar

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383

Aula 21

Detalhe da armação ø5 mm c/20 cm 100

ø5 mm c/20 cm

210 m

2 ø 10 mm

100

210 m

2 ø 10 mm

2 ø 12,5 mm

2 ø 6,3 mm

2 ø 10 mm

P-1 P-10

P-2 P-11

P-3 P-12

21.2 CÁLCULO E DIMENSIONAMENTO DA VIGA V-4 (20 × 40) V7

L-4

Escada

L-3

16,14 kN/m

P-7

L-5 4,63 P-8

3,57 kN/m

L-6

V4 (20 x 40)

2,45 kN/m P-9

3,57 kN/m L-8

L-7

V-7 = 21,90 kN

V-9 = 9,60 kN

Cálculo das cargas Peso próprio Laje L-7 Laje L-8 Laje L-5 Laje L-6 Escada Parede

0,2 × 0,4 × 25 = 2 kN/m = 3,57 kN/m = 3,57 kN/m = 4,63 kN/m = 2,45 kN/m = 16,14 kN/m 0,2 × 13 × 2,5 = 6,50 kN/m

l = 0,2 m (espessura) - g = 13 kN/m3 (bloco de concreto) - h = 2,5 m (altura)

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384

Concreto Armado Eu Te Amo

Cálculo da viga contínua V4 (20 × 40) V-7=21,90kN 12,07 kN/m 28,21 kN/m

V-9=9,6 kN 16,70 kN/m

14,52 kN/m DM = –60,59 + 25

P7 2,70

1,20

P9 2,525

1,375

0,50 0,50

DM = –35,59 0,5 DM = 17,79

12,07 kN/m 3,9

–22,95 27,61 –22,27 3,17 –15,37 –5,78 –60,59 25,00 17,79 17,79

28,21 – 12,07 = 16,14 kN/m

–42,80 42,80 23,54 28,49 (3) 6,73 (4) –10,97 (Σ) 47,79 (1)

(2)

23,54 28,31 15,09 3,72 15,17 3,38 10,97 10,97 64,77 46,38

3,9

28,31 1,78 6,22 –10,97 25,34

x9 ← →x 111,15 x = 1,694 m x9 = 1,375 m M = 40,48 kN·m M = 21,12 kN·m

M = – 22,27 kNm (vide V2) V-7 = 21,90 kN 2,7 1,20

3,9 m

M = – 15,37 kNm (vide viga V-2)

14,52 kN/m 3,9

16,70 – 14,52 = 2,18 kN/m 3,9 a 2,525 m

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b 1,375 m

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Aula 21

385

V-9 = 9,60 kN 2,525 1,375

3,9 m

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17/03/15 11:10

386

Concreto Armado Eu Te Amo

X =

47,79 1,69 2 = 1,694 m → M = 47,79 × 1,69 − 28,21 × = 40,48 kN ⋅ m 28,21 2

X = 2,70 m → M = 47,79 × 2,7 − 28,21 ×

2,7 2 = 26,21 kN ⋅ m 2 1,375 2 = 21,12 kN ⋅ m 2

X = 1,375 m → M = 25,34 × 1,375 − 14,52 × X = 2,5 m → M = 25,34 × 2,5 − 14,52 ×

2,5 2 − 9,6 × (2,5 − 1,375) − 2

(2,5 − 1,375)2 = 5,80 kN ⋅ m 2 M = 5,80 kNm − 2,18 ×

Diagrama de momentos fletores b

a = 28 cm b

Má ø12,5 mm b = 54ø

5 ø 12,5

Boa b = 38ø ø 12,5 mm

b = 54 x 1,25 b = 67, 5cm

b = 38 x 1,25 = 47,5 cm

40,48 kNm

b b b

21,12 kNm

42,80 kNm

3 ø 10

3 ø 12,5

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Aula 21

387

25,34 kN

4,22 kN 5,38 kN

9,6 kN

64,76 kN

21,90 kN 28,38 kN 50,28 kN

47,79 kN

46,39 kN

Diagrama de forças cortantes

Cálculo à flexão b1 = 29,2 cm 10 40

29,2 cm

40 20

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17/03/15 11:10

388

Concreto Armado Eu Te Amo

Ancoragem — condições

Cortante

1) Cálculo de V R2

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Aula 21

389

2) Cálculo de VCO

3) Cálculo da armadura Asw

Forças a ancorar

— Força a ancorar

Tensão efetiva da ancoragem

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390

Concreto Armado Eu Te Amo

Armadura no apoio

Engastamento parcial nos pilares de extremidade 2,7

1,2

2,9 m

21,9 kN 28,21 kN/m

12,07 kN/m

2,9 m

3,9 m 21,9 kN

Pilar (20 x 20)

28,21 kN/m

12,07 kN/m

3,9 m

Da viga V-4 temos: Iviga = 0,00107 m4 lviga = 3,9 m rviga = 0,0002744 m3

Meng = – 39,55 kNm Ipilar = 0,00013 m4 lsup = linf = 2,9 m rsup = rinf = 0,000046 m3

28,21 kN/m

21,9 kN 12,07 kN/m

2,70

1,20

3,9 2 12 Meng = −15,30 kN ⋅ m

12,07 kN/m

Meng = 12,07 ⋅

Meng = −18,61 kN ⋅ m

16,14 kN/m

(ver p. 399 do livro) 21 texto.indd 390

2,70

1,20

Meng = −5,64 kN ⋅ m

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2,70

1,20

12,07 kN/m

3,9 2 12 Meng = −15,30 kN ⋅ m Meng = 12,07 ⋅

16,14 kN/m

Aula 21

391

Meng = −18,61 kN ⋅ m

2,70

(ver p. 399 do livro)

1,20

Meng = −5,64 kN ⋅ m

21,90 kN 2,70

Meng = −15,30 − 18,61 − 5,64

1,20

Na viga Mext = – 9,93 kNm

Meng = −39,55 kN ⋅ m

As = 0,88 cm 2

k6 = 275,7

Detalhe

2 ø 10 mm

k3 = 0,329 2 ø 10 mm 25 ø

Momento a ser considerado no cálculo do pilar P-7 e P-9 Mext = – 4,97 kNm Mext pilar

Mext pilar

Detalhe final da armadura V-4 (20 × 40) ø5 mm c/20 cm A

ø6,3 c/26 1,20 m B 1,4

1,8

2,6

ø5 mm c/20 cm C

2 ø 10 mm 2 ø 6,3 mm

25 P7

21 texto.indd 391

2 ø 10 mm 4 ø 12,5 mm

3 ø 12,5 mm A

P8 B

2 ø 6,3 mm 3 ø 10 mm C

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392

Concreto Armado Eu Te Amo

Seção A-A

2 ø 10 mm

ø5 mm c/20 cm

3 ø 12,5 mm

Seção C-C

Seção B-B

4 ø 12,5 mm

ø6,3 mm c/26 cm

3 ø 12,5 mm

2 ø 6,3 mm Cortes transversais das vigas ø5 mm c/20 cm

3 ø 10 mm

Nota: Só para obras muito pequenas, toda a concretagem pode ser feita de uma só vez (um dia, por exemplo) de forma contínua e completa. Na maior parte das vezes, a concretagem é feita em várias etapas, em vários dias, e de forma não contínua. Portanto a concretagem é parada várias vezes. Depois ela continua. Nasce aí uma junta de concretagem sempre que possível em pilares. Para obras médias e maiores deve haver um plano de concretagem prevendo detalhadamente as fases e a posição de ocorrência das juntas de concretagem. Ver item 21.6 da NBR 6118 (pg. 178 da norma). Vejamos o que diz esse item da norma: “Sempre que não forem asseguradas a aderência e a rugosidade entre o concreto novo e o existente devem ser previstas armaduras de costura devidamente ancoradas em regiões capazes de resistir a esforços de tração.”

21 texto.indd 392

17/03/15 11:10

Aula 22

aula

393

22.1 CÁLCULO E DIMENSIONAMENTO DAS VIGAS V-2 E V-6 22.1.1 CÁLCULO DA VIGA V-2 (20 × 40) V-8 V-6

V-1

L-1

L-2

6,19 kN/m

V-10

V-2 (20 x 40) P-5

P-4 16,14 kN/m

L-4 4,43 kN/m

0 L-3

Escada

V-3

V-7

V-7 = 21,90 kN

P-6

V-4

Cálculo das cargas Peso próprio 0,2 × 0,4 × 25 Laje L-1 Laje L-2 Laje L-4 Escada Parede 0,2 × 13 × 2,5

= 2,19 kN/m = 6,19 kN/m = 6,19 kN/m = 4,43 kN/m = 16,14 kN/m = 6,50 kN/m

l = 0,20 m; g = 13 kN/m3; h = 2,5 m

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30/04/15 18:33

394

Concreto Armado Eu Te Amo

Cálculo da viga contínua V-2 ( 20 × 40) 21,90 kN 30,83 kN/m 14,69 kN/m P4

19,12 kN/m P5

2,70

1,20 0,50 0,50

P6 3,90

–27,92 36,35 –22,27 –15,37

DM = –65,56 + 36,35 = –29,21 0,5 DM = 14,60

–65,56 36,35 14,60 14,60 –50,96 50,95 (1)

28,64 28,50 (3) 6,73 (4) –13,07 (Σ) 50,80

28,64 37,28 15,08 15,17 13,07 13,07 71,96 50,35

(2)

37,28 distribuída distribuída V7 –13,07 DM/ l 24,21

→X X9 ← 122,31 X = 1,65 m X9 = 1,27 m M = 41,85 kNm M = 15,33 kNm 19,12 kN/m 3,9 14,69 kN/m 3,9

2,7 m 30,83 – 14,69 = 16,14 kN/m

3,9 m

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30/04/15 18:33

Aula 22

395

21,90 kN/m 2,7 1,2

3,9 m

22 texto.indd 395

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396

Concreto Armado Eu Te Amo

Diagrama de Momentos Fletores a

50,96 kNm

15,33 kNm

0,78

24,78 kNm

41,85

0,61

50,34 kN A

24,22 kN

C B –71,97 kN

21,90 kN 32,44 kN 54,34kN

50,80 kN

Diagrama de forças cortantes

Pontos A, B e C: força cortante nula

Nota: Sejamos implacáveis. Onde o diagrama de forças cortantes passa pelo valor zero, o diagrama de Momentos Fletores passa por um valor máximo ou mínimo.

22 texto.indd 396

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Aula 22

397

Cálculo à flexão b1 = 29,2 cm 10 cm 40 cm

20 cm

b1 = 29,2 cm

7 cm

10 cm

40 cm

20 cm

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30/04/15 18:33

398

Concreto Armado Eu Te Amo

Ver pg. 318 e 319 deste livro

Ancoragem:

Cortante

1) Cálculo de V R2

2) Cálculo de VCO

22 texto.indd 398

30/04/15 18:33

Aula 22

399

3) Cálculo da armadura Asw

Forças a ancorar

40 3 ø 12,5 mm

— Força a ancorar

— Tensão efetiva de ancoragem

22 texto.indd 399

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400

Concreto Armado Eu Te Amo

— Armadura no apoio

Engastamento parcial no pilar de extremidade 1,2

21,90 kN 1,45 m

30,83 kN/m

14,69 kN/m

3,9 m

1,45 m

2,9 m

2,7

Pilar (20 x 20)

Cálculo do momento de engastamento 30,83 kN/m

21,90 kN 14,69 kN/m

3,9 m

Faremos o cálculo dividindo em duas parcelas as cargas.

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Aula 22 (A)

401

14,69 kN/m 3,9 m

30,83 – 14,69 = 16,14 kN/m

2,7

1,2 3,9 m

21,90 kN/m 3,9 m 2,7

1,2

Momento total de engastamento

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402

Concreto Armado Eu Te Amo

Na viga

Detalhe 16

al + lb

Momento a ser considerado no cálculo do pilar P4 e P6

Mext pilar

22 texto.indd 402

30/04/15 18:33

Aula 22

403

Detalhe final da armação V2 (20 × 40)

ø 6,3mm c/20 cm

ø5 mm c/20 cm

1,4

1,8

2 ø 12,5 mm

1,8

2,6

2 ø 12,5 mm

2 ø 10 mm

2 ø 10 mm 4 ø 12,5 mm

2 ø 6,3 mm

4 ø 12,5 mm

Seção A-A

Estribo

2 ø 10 mm B

2 ø 6,3 mm

P5 Seção longitudinal

2 ø 10 mm

Seção B-B

ø5 mm c/20 cm

4 ø 12,5 mm

ø 6,3 mm c/20 cm

4 ø 12,5 mm

Seções transversais da viga

22 texto.indd 403

30/04/15 18:33

404

Concreto Armado Eu Te Amo

22.1.2 CÁLCULO E DIMENSIONAMENTO DA VIGA V-6 (20 × 40) V-1

P-1

P-2

L-1

L-2

3,56 kN/m V-2

P-4

V-2

P-5 V-7

V-6

L-4 V-3

L-3

Escada

L-5 P-7

V-6 (20 x 40)

V-9

L-6

P-8 V-4

V-4

V-8

L-7

L-8

4,52 kN/m P-10

V-5

P-11

V-5

Planta parcial do prédio

Cálculo das cargas Peso próprio Laje L1 Laje L7 Parede

0,2 × 0,4 × 25

= 2 kN/m = 3,56 kN/m = 4,52 kN/m = 6,50 kN/m

l = 0,2 m (espessura); g = 13 kN/m3 (bloco de concreto); h = 2,5 m (altura) Cargas sobre cada trecho da viga V-6:

22 texto.indd 404

Trecho 1

2 + 3,56 + 6,5 = 12,06 kN/m

Trecho 2

2 + 6,5 = 8,5 kN/m

Trecho 3

2 + 4,52 + 6,5 = 13,02 kN/m

30/04/15 18:33

Aula 22

405

Cálculo da viga contínua V-6 (20 × 40) 12,06 kN/m

8,5 kN/m

13,02 kN/m

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ A P1

3,9 m

B P4 0,43 0,57 –22,92 10,55 5,31 7,06

–5,05 +2,17 +2,88 –0,41 +0,17 +0,24 –0,03 +0,01 +0,02 –15,26 15,26 (1) 23,52 (2) –3,91 S 19,61

23,52 16,40 3,91 –0,31 27,43 16,09 43,52

→x x = 1,62 m M = 15,94 kNm

3,86 m

P7 C

50%

0,57 0,43 –10,55 +24,75 3,53

50% 50% 50% 50% 50% 50%

–10,10

3,9 m

D P10

–7,62

+1,44 –0,82

–0,62

+0,12 –0,07

–0,05

+0,01 –16,44

16,46

16,40 25,39 0,31 4,22 16,71 29,61 46,32

25,39 –4,22 21,17 x9 ← x9 = 1,62 m M = 15,21 kNm

12,06 kN/m 3,9 8,5 kN/m 3,86 13,02 kN/m 3,9

22 texto.indd 405

30/04/15 18:33

406

Concreto Armado Eu Te Amo

Nó B

Nó C

– 22,92 10,55

DM=–22,92+10,55=12,37 DM= 12,37 kNm 0,43 × DM= 5,31 kNm 0,57 × DM= 7,06 kNm

Nó B

– 10,55 24,75 DM=24,75+3,53–10,55=17,73 3,53 0,43 × DM=–7,62 kNm 0,57 × DM=–10,10 kNm

Nó C –5,05

0,43 × 5,05 = 2,17 0,57 × 5,05 = 2,88

0,41

0,43 × 0,41 = 0,17 0,57 × 0,41 = 0,24

+ 1,44

0,43 × 1,44 = 0,62 0,57 × 1,44 = 0,82

Nó B

12,06 kN/m

15,26 kNm

3,9 m RA = 19,61 kN

22 texto.indd 406

RB = 27,43 kN

30/04/15 18:33

Aula 22

15,26 kNm

407

16,46 kNm

8,50 kN/m 3,86 m RB = 16,09 kN

16,46 kNm

RC = 16,71 kN

13,02 kN/m 3,9 m 29,61 kN

22 texto.indd 407

x’ 21,17 kN

30/04/15 18:33

408

Concreto Armado Eu Te Amo

Diagrama de momentos fletores

a = 0,75 d = 28 cm b = 54 ø = 54 cm 9,7

15,26

17,21

8,98

2 ø 10 mm

15,94

16,46

ø 10 mm ↑ b = 38 ø = 38 cm

21,17

29,61

27,42

16,71

16,10

19,61

Diagrama de forças cortantes

Cálculo à flexão

b1 = 29,2 cm 10 cm 40 cm

20 cm

22 texto.indd 408

30/04/15 18:33

Aula 22

409

b1 = 29,2 cm 10 cm 40 cm

20 cm

Nota: M = momento negativo

22 texto.indd 409

30/04/15 18:33

410

Concreto Armado Eu Te Amo

Ancoragem condições

M = 17, 21 kNm b1 = 29,2 cm 10 cm 40 cm

20 cm

Cortante

1) Cálculo de V R2

2) Cálculo de VCO

22 texto.indd 410

30/04/15 18:33

Aula 22

411

3) Cálculo da armadura

Forças a ancorar

2 ø 10 mm

— Força a ancorar

— Tensão efetiva de ancoragem

— Armadura no apoio

22 texto.indd 411

30/04/15 18:33

412

Concreto Armado Eu Te Amo

2,9 m

Engastamento parcial nos pilares de extremidade

12,06 kN/m 3,9 m 2,9 m

Viga (20 x 40) Pilar (40 x 20)

Cálculo do momento de engastamento 13,02 kN/m 3,9

Na viga

Momento a ser considerado no cálculo do pilar P1 e P10

22 texto.indd 412

30/04/15 18:33

413

Aula 22 Mext pilar

Mext pilar

Detalhe final da armação V-6 (20 × 40) ø5 mm c/20 cm

ø5 mm c/20 cm

ø5 mm c/20 cm 98 2 ø 10 mm

1,9 m

2 ø 10 mm 2 ø 10 mm

2 ø 6,3 mm 2 ø 10 mm

2 ø 6,3 mm

2 ø 10 mm

A P1

P10

Seção longitudinal

Seção A-A

2 ø 10 mm

Estribo ø5 mm c/20 cm

20 2 ø 10 mm Seção transversal

22 texto.indd 413

30/04/15 18:33

414

Concreto Armado Eu Te Amo

aula

23.1 CÁLCULO E DIMENSIONAMENTO DAS VIGAS V-8 E V-10 23.1.1 CÁLCULO E DIMENSIONAMENTO DA VIGA V-8 (20 × 40) P-1

V-1

P-3

P-2 V-8 (20 x 40) L-1

L-2

6,19 kN/m P-4

V-6

6,19 kN/m

V-2

P-6

P5 L-4 3,18 kN/m

L-3

Escada

2,85 kN/m P-7

L-5 3,28 kN/m

V-4 P8

L-7 7,84 kN/m P-10

23 texto.indd 414

V-10 (20 x 40)

V-3 V-9 P-9

L-8 7,84 kN/m

V-5 P-11

P-12

30/04/15 18:35

Aula 23

415

Cálculo das cargas Peso próprio Laje L1 Laje L2 Laje L3 Laje L4 Laje L5 Laje L7 Laje L8 Parede

0,2 × 0,4 × 25

0,2 × 13 × 2,5

= 2,00 kN/m = 6,19 kN/m = 6,19 kN/m = 2,85 kN/m = 3,18 kN/m = 3,28 kN/m = 7,84 kN/m = 7,84 kN/m = 6,50 kN/m

l = 0,20 m; g = 13 kN/m3; h = 2,5 m Cálculo da viga contínua V-8 (20 × 40) 2+6,19+6,19+6,5=20,88 kN/m 2+2,85+3,18+6,5=14,53 kN/m 2+7,84+7,84+6,5=24,18 kN/m 2+2,85+3,28+6,5=14,63 kN/m 24,18 kN/m 33,44 kN 20,88 kN/m 14,63 kN/m 14,53 kN/m

3,90

3,86

3,90

0,43 0,57

0,57 0,43

–39,69 18,04 0,020 11,94

–18,04 45,97 –0,063 –18,72

4,17

5,52 –3,39 1,46 1,93 –0,28 0,12 0,16

(1) 40,72 (2) –8,70 S 32,02

2,75 –6,78 –5,12 0,96 –0,55 –0,41 0,08 –0,05 –0,03

–33,94 33,94

–40,41

40,41

40,72 41,07 8,70 –1,68 49,42 39,39

48,61 1,68 50,29

47,15 10,36 57,51

88,81 →X X = 1,53 m M = 24,55 kNm

23 texto.indd 415

P11

47,15 –10,36 36,79

107,80 X = 2,36 m M = 18,56 kNm

X9 ← X9 = 1,52 m M = 27,99 kNm

30/04/15 18:35

416

Concreto Armado Eu Te Amo

Nó P5

Nó P8

– 39,69 18,04 DM=–39,69+30,0=–9,69 0,020 0,43 × DM= 4,17 kNm 11,94 0,57 × DM= 5,52 kNm

– 18,04 45,97 DM=45,97–34,07=11,90 –0,063 0,43 × DM=5,12 kNm – 18,72 0,57 × DM=6,78 kNm 2,75

– 39,69 30,0

– 34,07

20,88 kN/m

24,18 kN/m

3,9

V3 = 33,44 kN 2,36 1,5 14,53 kN/m

14,63 kN/m

3,86 m

14,53 kN/m 3,86 m

23 texto.indd 416

30/04/15 18:35

Aula 23 2,36 m

417

1,5 m 0,10 kN/m

3,86 m

V3 = 33,44 kN 2,36 1,5

3,86 m

20,88 kN/m

33,94 kNm

3,9 m

23 texto.indd 417

2) P5

30/04/15 18:35

418

Concreto Armado Eu Te Amo

33,44 kN 2,36 1,5 33,94 kNm

14,53 kN/m

14,63 kN/m

40,41 kNm

3,86 m

40,41 kNm

24,18 kN/m 3,9 m

23 texto.indd 418

x’

2) P11

30/04/15 18:35

Aula 23

419

Diagrama de Momentos Fletores a a

11,28

18,56

10,35

24,55

27,99

40,41

33,94

36,78

50,28

49,41

28,33

5,11

32,02

39,40

57,52

Diagrama de forças cortantes

Cálculo à flexão 29,2 cm

20 cm

29,2 cm 10

40 cm

20 cm

23 texto.indd 419

30/04/15 18:35

420

Concreto Armado Eu Te Amo

29,2 cm

20 cm

29,2 cm 10

40 cm

20 cm

29,2 cm

20 cm

29,2 cm 10

40 cm

20 cm

23 texto.indd 420

30/04/15 18:35

Aula 23

421

Ancoragem: fck = 25 MPa

— Cortante

1) Cálculo de V R2

2) Cálculo de VCO 3) Cálculo da armadura Asw

23 texto.indd 421

30/04/15 18:35

422

Concreto Armado Eu Te Amo

Forças a ancorar

3 ø 10 mm

— Força a ancorar

— Tensão efetiva de ancoragem

— Armadura no apoio

2,9 m

Engastamento parcial no pilar de extremidade

20,88 kN/m

2,9 m

3,9 m

23 texto.indd 422

30/04/15 18:35

423

Aula 23

Cálculo do momento de engastamento 20,88 kN/m 3,9 m

Na viga

para q = 24,18 kN/m:

Momento a ser considerado no cálculo do pilar P-2 (*)

Mext pilar

P-11

(*) Será adotado Meng = 6,13 kNm para o pilar P-2

23 texto.indd 423

30/04/15 18:35

424

Concreto Armado Eu Te Amo

Detalhe final da armação V-8 (20 × 40) ø5 mm c/20 cm

ø5 mm c/20 cm

1,5 m

1ø12,5 mm

2,1 m

1,5 m

1ø12,5 mm

2,1 m

2 ø 12,5 mm

2 ø 10 mm 2 ø 6,3 mm

ø5 mm c/20 cm

3 ø 12,5 mm

3 ø 10 mm

4 ø 12,5 mm 3 ø 10 mm

2 ø 6,3 mm 4 ø 10 mm 98

P-2

P-5

P-8

2 ø 10 mm 25

P-11

23.1.2 CÁLCULO E DIMENSIONAMENTO DA VIGA V-10 (20 × 40) P-3

L-2 3,56 kN/m P-6 1,84 kN/m L-4

V-10 (20 x 40) V-3

1,03 kN/m

L-6 P-9

L-8 4,52 kN/m P-12

23 texto.indd 424

30/04/15 18:35

Aula 23

425

Cálculo das cargas Peso próprio Laje L-2 Laje L-4 Laje L-6 Laje L-8 Parede 0,2 × 13 × 2,5

= 2 kN/m = 3,56 kN/m = 1,84 kN/m = 1,03 kN/m = 4,52 kN/m = 6,50 kN/m

l = 0,2 m (espessura); g = 13 kN/m3 (bloco de concreto); h = 2,5 m (altura) Cálculo da viga contínua V-10 (20 × 40)

2+3,56+6,50=12,06 kN/m

3,9 m

2+1,84+6,5=10,34 kN/m 2+1,03+6,5=9,53 kN/m V-3=34,35 kN 2,36 1,5

2+4,52+6,5=13,02 kN/m

3,86 m

3,9 m

P6 0,43 0,57 –22,92 11,83 0,84 12,25 –0,86 –1,14 2,11 –0,91 –1,20 +0,18 –0,08 –0,10 0,01 –24,77 24,78

(1) 23,52 (2) –6,35 S 17,17 →x x = 1,42 m M = 12,22 kNm

23 texto.indd 425

50% 50% 50% 50% 50% 50%

23,52 33,06 6,35 –0,89 29,87 32,17 62,04 →x x = 2,36 m M = 22,34 kNm

P9 0,57 0,43 –11,83 24,75 –0,50 –19,25

P12

–0,57 +4,22 +3,18 –0,60 +0,34

0,25

–0,05 +0,03 0,02 –28,21 28,20 39,98 25,39 0,89 7,23 40,87 32,62 73,49

25,39 – 7,23 18,16 x9 ← x9 = 1,39 m M = 12,66 kNm

30/04/15 18:35

426

Concreto Armado Eu Te Amo

12,06 kN/m 3,9

13,02 kN/m 3,9

V3 = 34,35 kN 2,36 1,5 10,34 kN/m

9,53 kN/m

3,86 m 9,53 kN/m 3,86 m 2,36 m

1,5 m

10,34 – 9,53 = 0,81 kN/m A

23 texto.indd 426

3,86 m

30/04/15 18:35

Aula 23

427

34,35 kN 2,36 1,5

3,86 m

Nó B

Nó C

– 22,92 11,83 DM=–22,92+11,83+0,84+ – 11,83 24,75 DM=24,75–11,83–0,5– 0,84 +12,25 = 2 kNm –0,50 19,25–0,57 = – 7,40 kNm 12,25 0,43 × DM= 0,86 kNm –19,25 0,43 × DM=–3,18 kNm –0,57 0,57 × DM= 1,14 kNm 0,57 × DM=–4,22 kNm

12,06 kN/m

24,78 kNm

3,9 m

2) x

17,17

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29,87

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Concreto Armado Eu Te Amo

24,78 kN·m

34,35 kN 2,36 1,50 10,34 kN/m 9,53 kN/m

28,20 kN·m

3,86 m

→x

32,17

28,20 kNm

40,87

13,02 kN/m 3,9 m

x’

32,62

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18,16

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Aula 23

429

Diagrama de Momentos Fletores a = 28 cm

a = 28 cm

1,57

12,66

b = 54ø = 68 cm

28,20 22,34

2,4

12,22

24,78

a =0,75 d = 28 cm ø 12,5 mm

b b

b b = 38 ø = 38 cm

a = 28 cm

18,16 40,88

29,87

26,59

7,76

17,17

32,17

32,61

Diagrama de forças cortantes

Cálculo à flexão b1 = 29,2 10

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Concreto Armado Eu Te Amo

b1 = 23,2 7

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Aula 23

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Cortante

1) Cálculo de V R2

2) Cálculo de VCO

3) Cálculo da armadura

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432

Concreto Armado Eu Te Amo

Forças a ancorar

2 ø 10 mm

— Força a ancorar

Tensão efetiva de ancoragem

— Armadura no apoio

2,9 m

Engastamento parcial nos pilares de extremidade

13,02 kN/m

2,9 m

3,9 m

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Aula 23

433

Cálculo do momento de engastamento 13,02 kN/m 3,9 m

— Na viga

Momento a ser considerado no cálculo do pilar P-3 e P-12

P12 Mext pilar

Mext viga

Mext pilar

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Mext

Mext pilar

viga

Mext pilar

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Concreto Armado Eu Te Amo

Detalhe final da armação V-10 (20 × 40) ø5 mm c/20 cm

ø5 mm c/20 cm A

2,1 m

2 ø 10 mm

ø5 mm c/20 cm

2,1 m

2 ø 6,3 mm

3 ø 12,5 mm

2 ø 10 mm

3 ø 10 mm

2 ø 6,3 mm 2 ø 10 mm 98

A P-3

P-6

Estribo

P-9

2 ø 10 mm 25

P-12

3 ø 12,5 mm

ø5 mm c/20 cm

Seção 20 x 40 cm Seção A-A

3 ø 10 mm

23.2 CÁLCULO E DIMENSIONAMENTO DOS PILARES DO NOSSO PRÉDIO P-1, P-3, P-10, P-12 (20 × 40) 23.2.1 CÁLCULO DA ARMADURA DESSES PILARES(*) Carga vertical: 178,80 kN (sem coeficiente de ponderação) Momentos fletores devido ao engastamento no pilar y 20

x 40

Peso próprio: 4 × 2,9 × 0,2 × 0,4 × 25 = 23,2 kN Carga vertical: 178,80 + 23,2 = 202 kN ⇓ Nd = 202 × 1,4 = 282,8 kN (*) Ver Tabela T-17, apresentada a seguir (pg. 438).

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Aula 23

435

y 3,30 kNm

Topo 40

5,57 kN·m

Centro

x 5,57 kN·m

Base 40

3,30 kNm

Concreto e aço fck = 25 MPa Aço CA50 fcd = 17.850 kN/m 2 = 17,85 MPa 1) Comprimento equivalente do pilar l c = 290 cm (entre os eixos das vigas) 2) Cálculo de índice de esbeltez

3) Cálculo da flexão oblíqua composta (caso 6) y Nd

x 40

Momento mínimo

Agora ver item 15.8.3.3.2 (NBR 6118) (pg. 109).

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Concreto Armado Eu Te Amo

Cálculo dos momentos no centro M1cd

Cálculo do momento de 2.ª ordem

Cálculo da armadura Topo 7,80kNm = M1Tyd Nd = 282,8 kN 4,62 kNm = M1Txd

20 40

Base 7,80 kNm = M1byd 4,62 kNm = M1bxd

20 40

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Aula 23

437

Centro My 20

Mx 40

como µ x > µy então µ x = µ1, µy = µ2 Centro

20 40

Centro

20 40

Detalhe da armação 40 Estribos ø 5 mm cada 12 cm 20

6 ø 10 mm

Será adotado 6 ø 10 mm; estribos 12 ø l = 12 cm; ø 5 mm c/12 cm.

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3,30

6,13

3,30

P10

P11

P12

5,57

4,97

5,38

Seção (cm)

17,64 + 18,16 = 35,80

58,76 + 36,79 = 95,55

17,64 + 21,17 = 38,81

25,34 + 73,49 = 98,83

111,15 + 107,80 = 218,95

47,79 + 46,32 = 94,11

24,21 + 62,04 = 86,25

122,31 + 88,81 = 211,12

50,80 + 43,52 = 94,32

17,64 + 17,17 = 34,81

58,76 + 32,02 = 90,78

17,64 + 19,61 = 37,25

Cargas andar tipo (kN)

35,80

95,55

38,81

98,83

218,95

94,11

86,25

211,12

94,32

34,81

90,80 (**)

37,25

Térreo (kN)

(

* Estas cargas são tiradas do cálculo das vigas que se apoiam nestes pilares. **) Valor adotado

( )

6,13

5,57

3,30

5,57

My (kNm)

Mx (kNm)

Pilar

35,80

95,55

38,81

98,83

218,95

94,11

86,25

211,12

94,32

34,81

90,80 (**)

37,25

1º Pav. (kN)

Tabela T-17 — Cargas nos pilares (*)

35,80

95,55

38,81

98,83

218,95

94,11

86,25

211,12

94,32

34,81

90,80 (**)

37,25

2º Pav. (kN)

35,80

95,55

38,81

98,83

218,95

94,11

86,25

211,12

94,32

34,81

90,80 (**)

37,25

3º Pav. (kN)

28,64

74,06

21,05

80,98

186,84

75,82

69,14

167,80

74,21

27,85

72,64

29,80

Cobertura (kN)

171,84

456,26

176,29

476,30

1.062,64

452,26

414,14

1.012,28

451,49

167,09

435,84

178,80

Total (kN)

438 Concreto Armado Eu Te Amo

23.3 CARGAS NOS PILARES

26/01/16 14:45

Aula 24

aula

439

24.1 CRITÉRIOS DE DIMENSIONAMENTO DAS SAPATAS DO NOSSO PRÉDIO Terminados os cálculos e o dimensionamento da superestrutura do prédio, vamos calcular a infraestrutura, ou seja, as fundações. A carga acidental que atua no prédio e que as normas estimam, o peso próprio da estrutura que resulta do projeto, tudo isso precisa ser transmitido ao terreno. Este reagirá (se puder) e dará estabilidade ao prédio. Não é possível transmitir as cargas dos pilares diretamente ao terreno, pois as tensões que ocorreriam seriam enormes, podendo mesmo acarretar recalques ou o terreno poderia romper-se. Face Armadura do pilar Planta

Corte

a Armadura da sapata

Corte

Concreto magro(*) A ( ) * ver nota na página seguinte

a A

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Planta

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Concreto Armado Eu Te Amo

a isso, apela-se para a engenharia de fundações que dá critérios para projetar fundações e para passar as cargas aos terrenos em condições que gerem mínimos problemas. Usaremos no nosso prédio sapata em cada pilar para diminuir a tensão no solo. Serão usadas as chamadas sapatas rígidas (item 22.4.1 da NBR 6118). ap

Corte da sapata

A sapata é considerada como sapata rígida, quando h ≥ (a – ap)/3 nas duas direções. Uma sapata não rígida é chamada de sapata flexível (ver item 22.6.1 da NBR 6118, pg. 188).

24.1.1 TENSÕES ADMISSÍVEIS E ÁREA DAS SAPATAS Se o solo, em profundidades próximas ao rés-do-chão, é bastante resistente e nele pudermos apoiar a sapata, então teremos fundações rasas(*). Se, ao contrário, tivermos de apoiar em solos mais distantes e profundos, temos então as fundações profundas. As fundações em estacas são um exemplo de utilização de solos mais profundos. As sapatas que são, em essência, um alargamento da base do pilar, são um exemplo de fundações não profundas, ou seja, fundação rasa. No nosso curso, estudaremos exclusivamente o dimensionamento de sapatas, que será o tipo de fundação do nosso prédio. Usaremos o tipo de sapata, chamada rígida (item 22.4.1 da NBR 6118). Seja P a carga que queremos transmitir ao solo, Ap a área do pilar e Asap a área da sapata. Se transferíssemos sem sapata a carga do pilar ao terreno, a tensão no terreno seria:

_ (*) Há uma tradição na Construção Civil. O solo de fundação tem de estar a, pelo menos, 1,0 m abaixo do nível do terreno, para fugir do terreno superficial, cheio de restos vegetais e, portanto, péssimo para servir de apoio às cargas do prédio. Nota: Concreto magro = concreto pobre. Uma composição (chamada traço) para a sapata possível é volumetricamente CAP 1 : 3 : 3, ou seja, para um volume de cimento, adicionar três volumes de areia e mais três de pedra. Atenção, atenção, use pouca água na mistura. Nunca, mas nunca mesmo apoie sapatas sobre pedras pois estas podem fazer drenar a água do concreto da sapata.

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Aula 24

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Como, todavia, usamos sapata, a tensão será

Como Asap >> Ap , então s2 << s1. Como a área da sapata é, muitas vezes, maior do que a área do pilar, a tensão no solo usando-se sapatas é muito menor. A boa norma é escolher-se uma área de sapata, tal que a tensão no solo não ultrapasse a tensão admissível do solo, tensão essa fixada por um profissional especialista de fundações ou baseada em experiência com solos semelhantes. De qualquer forma, estabelece-se uma tensão admissível do solo, e com a carga do pilar, calcula-se a área da sapata.

Ao se estudar as condições de fundações, procura-se dar à estrutura condições tais que: •

Os recalques que ocorrerão, mesmo que respeitada a tensão admissível, sejam diminutos.

•

Os terríveis e temíveis recalques diferenciais (uma sapata que recalca mais que as outras) sejam de valor extremamente diminuto ou tentativamente nulo.

Como sabido, os recalques diferenciais podem transmitir às estruturas esforços de alto valor, esforços esses que não são previstos no projeto estrutural. Somente como referência didática, apresentam-se alguns valores típicos de tensões admissíveis de solos: Tipo de solo

Tensão admissível (s ) kgf/cm 2

kN/m 2

200

Pedregulho e areia grossa

5—8

500 — 800

Rocha sã

10 — 50

1.000 — 5.000

Areia úmida

Lembremos que

Assim e como um exemplo, se tivermos um pilar que transmite ao solo um peso de 500 kN, se ele usar uma sapata, essa sapata terá as seguintes dimensões, se assente em areia úmida ou em rocha sã.

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Concreto Armado Eu Te Amo

Se areia úmida: Se rocha sã:

Verifiquem como se pode diminuir a área das sapatas, se pudermos apoiar em solo bom (rocha sã) em vez de solo ruim. Sendo que no item 22.6.4.1.2, (pg. 190) a NBR 6118 exige que a altura da sapata seja suficiente para permitir a ancoragem da armadura de arranque do pilar, considerando o efeito favorável da compressão transversal as barras. a

α h0 A

A PLANTA

Nota: a sapata deve assentar sobre camada de concreto magro com cerca de 5 cm de espessura. Também temos outra limitação, pois caso a altura fique grande, devido à ancoragem das barras do pilar, só poderemos considerar no cálculo h ≤ 0,75 (A – a), para efeito do cálculo da armadura. Ver na Norma NBR 6118, (pg. 189) Sapatas (em geral) – item 22.6.1 Sapatas rígidas – item 22.6.2.2 Sapatas flexíveis – item 22.6.2.3

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Aula 24

443

Cálculo da armadura d = h – 5 cm (altura útil)

a 0,15 · a Ca h h0 A ss Cia = Ca + 0,15 a

Cia

Cisalhamento Ca

Ca dia — 2

C2a

Solo

Cb b

d2b

A2b

C2b

Seção dib/2

dib/2 B

dib — 2

A2a

Cb Seção

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Concreto Armado Eu Te Amo

V2a = resultante sobre a área A2a V2b = resultante sobre a área A2b dia = dib = h – 5 cm. Na seção (S2) • • •

Força cortante devida à tensão no solo ↑ Vss Força cortante devida ao peso da aba (além da seção S2) ↓ Vpa Força cortante devida ao peso do solo na aba (além da seção S2) ↓ Vps

24.1.2 FORMATO DAS SAPATAS(*) As sapatas que vamos estudar têm forma retangular bem próxima da quadrada. Planta

Corte AA

As2

B b

B β h0

A Corte BB

(área da armadura nessa direção)

As1 (área da armadura nessa direção) h

α A

_ (*) As dimensões das sapatas (dimensões A e B) devem ser maiores que 60 cm.

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445

O dimensionamento deve atender: a) A Mecânica dos Solos. Como já visto, a área da sapata deve ser suficientemente grande, para que a tensão ss = P/Asap não exceda à tensão admissível do solo. b) O dimensionamento de Concreto Armado. A forma e a armadura da sapata devem ser tais que ela tenha condições de distribuir a carga centrada (vertical) por toda a sua base. Adicionalmente, a sapata deve ter uma relação de dimensões A, B, a, b, h e h0 e armação tal que não ocorra o puncionamneto da peça (o pilar furar a sapata).

24.1.3 CÁLCULO DE SAPATAS RÍGIDAS

DE ACORDO COM O ITEM 22.6, pg. 188 da NBR 6118

As sapatas que estudaremos são as sapatas rígidas e para elas valem as seguintes restrições principais:

Por razões construtivas, exige-se também (evitar colocação de forma) a ≤ 30°

β ≤ 30°

Das restrições anteriores, resulta:

24.1.4 EXEMPLO DE CÁLCULO DE UMA SAPATA(*) DO NOSSO PRÉDIO (S1) Vamos dimensionar, explicadinho, explicadinho, a sapata (S1), que atenderá (sapata típica) os pilares P-1, P-3, P-10, P-12 do nosso prédio. A carga do pilar é 202 kN e os pilares têm a seção de 20 × 40 cm. Vamos admitir uma tensão admissível para o solo de 2 kgf/cm 2 = 200 kN/m 2, da fórmula, temos: ss adm = 200 kN/m 2.

_ (*) Sapata rígida.

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Concreto Armado Eu Te Amo

Verificação da tensão no solo com as dimensões adotadas

Cálculo da altura da sapata 110 Cb = 45 cm

a = 40 cm A = 110 cm

B b = 20 cm B = 110 cm

110

Ancoragem do pilar:

Cálculo da armadura 20 = b 0,15b=0,15x20=3 cm T1

b = 110 Cib ss _ (*) A NBR 6118 aceita concreto com fck = 15 MPa só para obras provisórias (item 8.2.1, pg. 22 dessa norma).

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40 = a 0,15a=0,15x40=6 cm T2

b = 110 Cb ss

Cisalhamento B2b = 65 45 Cb

32,5

20 b

45 Cb

12,5

45ϒ 45ϒ

B2a = 45

20 40

45ϒ 45ϒ

A2a

35 + 20 + 35 = 90 cm

A2b s2b h2b

10 35 Ca

40 a 110

35 Ca

100

10 20

22,5

12,5

s2a dia — C2a 2

h2a

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Concreto Armado Eu Te Amo

Cálculo da força cortante (S2a) — Peso da aba b2a = 45 cm

d2a = 21,42 cm

Adotaremos espessura média

pa = 0,2321 × 25 = 5,8 kN/m 2 — Não será considerado o solo a favor da segurança — V2a = A2a × (ss – pa) = 0,1519 (166,94 – 5,8) = 24,48 kN

. Cálculo da força cortante (S2b) — Peso da aba b2b = 65 cm

d2b = 22,22 cm(*)

Adotaremos espessura média (*)

(*)

pb = 0,2361 × 25 = 5,9 kN/m 2

_ (*) A precisão numérica proveniente de cálculos eletrônicos não coincide com o grau de sensibilidade real dos cálculos e a precisão de obra. Por razões didáticas (facilidade de acompanhamento visual), estamos mantendo o valor, apesar de sua falsa precisão.

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— Não será considerado o solo a favor da segurança — V2b = A2b × (ss – pb) = 0,3069 (166,94 – 5,9) = 49,42 kN

Detalhe da armação (S1) Planta 110

110

Corte BB

A T2 ø 10 c/25

T2 B T1 ø 10 c/25 6 ø 10 mm Arranques do pilar

T2 ø 10 c/25

T1 ø 10 c/25 Corte AA

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Concreto Armado Eu Te Amo

24.2 CÁLCULO E DIMENSIONAMENTO DOS PILARES P-2 e P-11 (20 × 40) CÁLCULO DA ARMADURA y 20

x 40

Carga vertical = 456,26 kN Peso próprio = 4 × 2,9 × 0,2 × 0,4 × 25 = 23,2 kN Carga total = 456,26 + 23,2 = 479,46 kN Nd = 479,46 × 1,4 = 671,24 kN

Nota: Sugerimos a leitura do livro “Quatro edifícios, cinco locais de implantação, vinte soluções de fundação” de M.H.C Botelho e Luiz Fernandes Meirelles de Carvalho, da Editora Blucher. Esse livro ajuda muito a compreensão dos critérios de projeto de fundações. Momentos fletores devidos ao engastamento no pilar Mx = 6,13 kNm Mxd = 1,4 × 6,13 = 8,58 kNm Concreto e aço y 6,13 kNm 40

Topo

Adotaremos fcd = 17.850 kN/m 2

Centro

y x Base 20

6,13 kNm

1) Comprimento equivalente do pilar l e = 290 cm (entre eixo das vigas)

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2) Cálculo do índice de esbeltez (assunto flambagem)

3) Cálculo da flexão normal composta (caso 5) y Nd

x 40

Momento mínimo:

Cálculo dos momentos no centro M c1d

Cálculo do momento de 2.ª ordem(*)

_ (*) Ver item 15.8.3.3.2 da NBR 6118 pg. 109. “Método do pilar-padrão com curvatura aproximada”.

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Concreto Armado Eu Te Amo

Cálculo da armadura Topo y Mxd

x 40 M1xTd = 8,58 kNm Nd = 671,24 kN

Base

y Mxd

x 40 M1xbd = 8,58 kNm Nd = 671,24 kN

Centro

y Mxd

40 Nd = 671,24 kN M1cxd + M2xd = 3,43 + 14,11 = 17,54 kNm

Centro

y 20

40 Nd = 671,24 kN M1xd mín + M2xd = 14,10 + 14,11 = 28,21 kNm

Centro

y my 20

40 Nd = 671,24 kN M1yd, mín. + M2yd = 18,12 + 0 = 18,12 kNm

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Detalhe da armação 40 20

6 ø 10 mm

Será adotado 6 ø 10 mm; estribos ø 5 mm c/12 cm

24.3 CÁLCULO E DIMENSIONAMENTO DOS PILARES P-4, P-6, P-7, P-9 (20 × 20) CÁLCULO DA ARMADURA y 20

x 20

Carga vertical = 476,30 kN Peso próprio = 4 × 2,9 × 0,2 × 0,2 × 25 = 11,60 kN Carga total = 476,30 + 11,60 = 487,90 kN Nd = 1,4 × 487,90 = 683,06 kN y 5,38 kNm 20

Topo

Momentos Fletores devidos ao engastamento no pilar

My = 5,38 kNm Myd = 1,4 × 5,38 = 7,53 kNm Centro

Concreto e aço

y Base

20 20

5,38 kNm

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Concreto Armado Eu Te Amo

1) Comprimento equivalente do pilar l e = 290 cm (entre eixos das vigas) 2) Cálculo do índice de esbeltez

3) Cálculo da flexão oblíqua composta (caso 5) y 20 20

x Nd

Momento mínimo:

Cálculo dos momentos no centro M c1d

Cálculo do momento de 2.ª ordem(*)

_ (*) Ver item 15.8.3.3.2 da NBR 6118, pg. 109.

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Aula 24

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Cálculo da armadura topo y M1Tyd = 7,53 kNm 20 20

x Nd = 683,06 kN M1Tyd = 7,53 kNm

base y M1byd = 7,53 kNm 20

x Nd = 683,06 kN M1byd = 7,53 kNm

centro y My

20 20

x Nd = 683,06 kN M1cyd + M2yd = 3,01 + 9,77 = 12,78 kNm

centro y 20 20

24 texto.indd 455

x Nd = 683,06 kN M1xd.min+M2xd = 14,34 + 9,77 = 24,11 kNm

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456

Concreto Armado Eu Te Amo

ν = 0,957

Ábaco 3 24,11 ρ =2,6% As = ρ ⋅ Ac x = 0,2 × 0,2 × 0,2 × 17850 2,6 × 20 × 20 = 10,40 cm 2 As = x = 100

centro y My

20 20

x Nd = 683,06 kN M1yd, mín. + M2yd = 14,34 + 9,77 = 24,11 kNm

Detalhe da armadura Pilares P-4, P-6, P-7 e P-9 (20 × 20 cm)

20 7,5 cm Seção transversal

8 ø 16 mm (adotado)

20 øt = 10 cm Não precisamos travar as armaduras intermediárias.

ø l = 16 mm;

Estribos ø 5 mm c/19 cm

24 texto.indd 456

12 l ø = 12 × 1,6 = 19,2 cm

20/01/16 11:47

Aula 24

457

24.4 CÁLCULO E DIMENSIONAMENTO DOS PILARES P-5 e P-8 (20 × 50) y

x 20

Carga vertical = 1.062,6 kN Peso próprio = 4 × 2,9 × 0,2 × 0,5 × 25 = 29 kN Carga total = 1.062,6 + 29 = 1.091,6 kN Nd = 1.091,6 × 1,4 = 1.528,24 kN Momentos fletores devidos ao engastamento no pilar Mx = My = 0 1) Comprimento equivalente do pilar l e = 290 cm (entre eixo das vigas) 2) Cálculo do índice de esbeltez

3) Cálculo do pilar com compressão centrada (caso 4) y

24 texto.indd 457

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458

Concreto Armado Eu Te Amo

Momento mínimo:

Cálculo do momento de 2.ª ordem(*)

Cálculo da armadura

fck = 25 MPa

Aço CA50

Nd = 1.528,24 kN x M1xd,mín + M2xd = 45,85 + 0 = 45,85 kNm

y My

Nd = 1.528,24 kN x M1yd, mín. + M2yd = 32,10 + 23,62 = 55,72 kNm

20 _ (*) Ver item 15.8.3.3.2 da NBR 6118.

24 texto.indd 458

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Aula 24

459

Detalhe da armação 15 cm 20 øt =10 cm Precisamos travar as armaduras intermediárias.

15 cm 15 cm

Seção do pilar 20 x 50 cm

12 ø 16 mm (longitudinal); estribos 12 ø l 12 × 19,2 cm ø 5 mm c/19 cm. Ver item 18.2.4, pg. 145 da NBR 6118 (Proteção contra flambagem das barras).

24 texto.indd 459

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460

Concreto Armado Eu Te Amo

aula

25.1 DIMENSIONAMENTO DAS SAPATAS DO NOSSO PRÉDIO S-2, S-3 e S-4 25.1.1 CÁLCULO DA SAPATA (S-2) DOS PILARES P-2 e P-11 (20 × 40) A carga do pilar é 479,46 kN. Supor uma tensão admissível no solo de 2 kgf/cm2 = 200 kN/m 2. Da fórmula, temos

Adotaremos A = B = 160 cm. — Verificação da tensão no solo com as dimensões adotadas

— Cálculo da altura da sapata 160 Cb = 70 cm

40 160

B b = 20 cm B = 160 cm

25 texto.indd 460

Ca = 60 cm

a = 40 cm A = 160 cm

17/03/15 11:22

Aula 25

461

Ancoragem do pilar

Adotaremos h = 50 cm. — Cálculo da armadura 40 = a 0,15a

A = 160 Cia σs

20 = b 0,15b = 3 cm

B = 160 Cib ss

25 texto.indd 461

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462

Concreto Armado Eu Te Amo

Cisalhamento B2b = 85 cm

A2b

h2b

70 Cb

22,5

45° 22,5°

B = 160 20 b

B2a = 65 A2a

70 Cb

60 + 60 + 20 = 140 cm

47,5

s2b

10 60 Ca

37,5

40 a A = 160

22,5

60 Ca

dia — C2a 2

s2a

25 texto.indd 462

h2a

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Aula 25

463

Cálculo da força cortante (S2a) — Peso da aba b2a = 65 cm

d2a = 33,75 cm

Adotaremos espessura média

— V2a = A2a (ss – pa) = 0,3844 (187,29–7,35) = 69,17 kN

Cálculo da força cortante (S2b) — Peso da aba b2b = 85 cm

d2b = 35,36 cm

adotaremos espessura média

— V2b = A2b (ss – pb) = 0,6194 (187,29–7,55) = 111,33 kN

25 texto.indd 463

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464

Concreto Armado Eu Te Amo

Detalhe da armação (S2) Planta B

160

Corte BB

A T2 ø 10 c/16

T1 B 6 ø 10 mm Arranques do pilar

T1 ø 10 c/16

T2 ø 10 c/16

T1 ø 10 c/16 Corte AA

25.1.2 CÁLCULO DAS SAPATAS (S-3) DOS PILARES P-4, P-6, P-7 e P-9 (20 × 20)

A carga do pilar é 487,90 kN. Supor uma tensão admissível no solo de 2 kgf/cm2 = 200 kN/m 2.

ss adm = 200 kN/m 2 Da fórmula, temos

adotaremos A = B = 160 cm.

25 texto.indd 464

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Aula 25

465

— Verificação da tensão no solo com as dimensões adotadas

— Cálculo da altura da sapata 160 Cb = 70 cm

160

a Ca = 70 cm B b = 20 cm B = 160 cm A a = 20 cm A = 160 cm

Ancoragem do pilar

Adotaremos h = 50 cm. — Cálculo da armadura 20 0,15a = 0,15 x 20 = 3 cm α 20

160 Ca4 σs

25 texto.indd 465

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466

Concreto Armado Eu Te Amo

Cisalhamento B2b = 65 cm

A2b

22,5 B = 160 20 b

47,5 22,5

B2a = 65 cm

47,5

70 Cb

s2b

A2a

70 Cb 70 Ca

20 a A = 160

70 Ca

s2a s2a

25 texto.indd 466

h2b

h2a

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Aula 25

467

Cálculo da força cortante (S2a) = (S2b) — Peso da aba b2a = 65 cm

d2a = 35,36 cm

Adotaremos espessura média

— V2a = A2b = A2a × (ss – pa) = 0,534 (190,59–7,55) = 97,74 kN

Detalhe da armação (S2) Planta B A T2 ø 10 c/16

Corte BB

T2 B 8 ø 16 mm Arranques do pilar

T1 ø 10 c/16

T2 ø 10 c/16

T1 ø 10 c/16 Corte AA

25 texto.indd 467

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468

Concreto Armado Eu Te Amo

25.1.3 CÁLCULO DAS SAPATAS (S-4) E DOS PILARES P-5 e P-8 (20 × 50) A carga do pilar é 1.091,68 kN. Supor uma tensão admissível no solo de 2 kgf/cm 2 = 200 kN/m 2.

ss adm = 200 kN/m 2 Da fórmula, temos

Adotaremos A = B = 240 cm. — Verificação da tensão no solo com as dimensões adotadas

— Cálculo da altura da sapata 240 Cb

20 240

a = 20 cm b = 50 cm

= 95 cm b

Ca = 110 cm 25 cm

75 cm

Ancoragem do pilar

Adotaremos h = 75 cm.

25 texto.indd 468

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Aula 25

469

— Cálculo da armadura a = 20 0,15a Ca = 110 cm α 25

A = 240 cm Cia σs

b = 50 0,15b β 25

240 Cib σs

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470

Concreto Armado Eu Te Amo

Cisalhamento B2b = 90 cm

A2b

h2b

s2b B2a = 120 cm

240 50 95

A2a 110 Ca

20 a 240

110 Ca

s2a

h2a

Cálculo da força cortante (S2a) — Peso da aba b2a = 120 cm

25 texto.indd 470

d2a = 54,1 cm

17/03/15 11:22

Aula 25

471

Adotaremos espessura média

— V2a = A2a (ss – pa) = 1,44 (189,53–10,51) = 257,79 kN

Cálculo da força cortante (S2b) — Peso da aba b2b = 90 cm

d2b = 51,58 cm

Adotaremos espessura média

— V2b = A2b (ss – pb) = 0,90 (189,53–10,20) = 161,40 kN

25 texto.indd 471

17/03/15 11:22

472

Concreto Armado Eu Te Amo

Detalhe da armação (S2) Planta B

Corte BB

A T2 ø 12,5 c/16

T2 B 12 ø 16 mm Arranques do pilar

T1 ø 12,5 c/16

T2 ø 12,5 c/16

20 50 T1 ø 12,5 c/16 Corte AA

Fim do projeto do prédio. Agora, boa obra!!! Faça os desenhos da estrutura de concreto armado, segundo a norma ABNT NBR 7191 – “Execução de desenhos para obras de concreto simples e armado”.

25.2 Ábacos de dimensionamento de pilares retangulares Apresentam-se a seguir os ábacos de dimensionamento de pilares de seção retangular para: - concretos de fck 20 MPa e 25 MPa; - aço CA50. que correspondem às situações mais comuns do dia a dia do projeto de prédios de pequena altura e com uso de alvenaria de tijolos. São quatro ábacos: Ábaco 1 - concreto fck 20 MPa - situação de Flexão composta normal; Ábaco 2 - concreto fck 20 MPa - situação de Flexão composta oblíqua; Ábaco 3 - concreto fck 25 MPa - situacão de Flexão composta normal; Ábaco 4 - concreto fck 25 MPa - situacão de Flexão composta oblíqua;

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17/03/15 11:22

25 texto.indd 473

0,00 0,0

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,1

0,2

0,3

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

2,2

2,4

2,6

2,8

3,0

0,5

2,2

2,4

2,6

3,0

3,2

3,4

3,5

0,6

0,7

0,4

1,0 0,8

1,2

0,8

1,4

1,6

1,8

2,0

0,9

2,8

1,0

1,1

3,4

3,2

3,5

Valores de (%)

1,2

1,3

Nd · e

Ac · fcd

1,4

1,5

1,6

As = ρ (%) · Ac

Ac · h · fcd

υ=

1,7

Concreto fck = 20 MPa Aço CA50 Ac = b · h As = 4 x A d1 = 0,10 h

Tabela 18 — Ábaco 1 — Dimensionamento de pilares – Flexão composta normal

1,8

Aula 25

473

17/03/15 11:22

474

Concreto Armado Eu Te Amo

Tabela 19 — Ábaco 2 Dimensionamento de pilares — Flexão composta oblíqua Mb da

A AN A

db db

Concreto fck = 20 MPa Aço CA50 Ac = a x b Atot = 4 A da = 0,10 · a db = 0,10 · b

Mad

Mbd

Ac · a · fcd

Ac · b · fcd

Nd Ac · fcd

Atot = ρ (%) · Ac

υ=

b Valores de (%) 0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

0,1

0,2

= 1,4

0,4

0,3

0,4

= 0,0

0,5

0,4

ρ= 3,2 3,0

= 1,2

0,3

2,8 2,6

= 0,2

2,4 2,2 2,0

0,2

2,6

1,6 1,4

2,0 1,8

2,4 2,2

3,4

0,1 3,4

2,8

ρ=

0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2

ρ=

3,4 ρ=

3,2 3,0

3,4

1,0

3,4

= 1,0

0,0

0,8

0,4 0,6 0,8 1,0

1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2

0,2

0,1

1,4 1,2 1,0

2,0

0,6 0,4

0,8 0,6 0,4

2,4 2,2

1,2 1,4

1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2

ρ=

0,1

1,2 1,0 0,8

2,6

0,0

ρ=

3,2 3,0 2,8

3,2 3,0 2,8 2,6 2,4 2,2 2,0 1,8 1,6

0,1

0,2

1,8 1,6 1,4

ρ=3

0,3

3,4

0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2

0,3

0,2

= 0,4 ,4 =3

0,3

0,4

= 0,8 0,5

25 texto.indd 474

0,4

0,3

= 0,6 0,2

0,1

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

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25 texto.indd 475

0,00 0,0

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,1

0,2

0,3

0,5

0,6

1,2 1,0 0,8

1,6 1,4

1,8

2,2

2,0

2,8 2,6

2,4

3,2 3,0

3,8

3,6 3,4

1,1

1,2

1,3

υ=

Ac · fcd

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

2,2

2,4

2,8

0,7

0,6 0,4

0,8

0,9

1,0

1,4

1,5

1,6

As = ρ (%) · Ac

Ac · h · fcd

2,6 4,1 4,0

1,7

Concreto fck = 25 MPa Aço CA50 Ac = b · h As = 4 x A d1 = 0,10 h

Nd · e

3,0

3,2

3,4

3,6

3,8

4,1 4,0

Valores de (%)

Tabela 20 — Ábaco 3 — Dimensionamento de pilares – Flexão composta normal

1,8

Aula 25

475

17/03/15 11:22

476

Concreto Armado Eu Te Amo

Tabela 21 — Ábaco 4 Dimensionamento de pilares — Flexão composta oblíqua Mb da

A AN A

Concreto fck = 25 MPa Aço CA50 Ac = a x b Atot = 4 A da = 0,10 · a db = 0,10 · b

Mbd

Mad Ac · a · fcd Nd

υ=

Ac · fcd

Ac · b · fcd Atot = ρ (%) · Ac

db db b Valores de (%) 0,4

0,2

0,1

0,0

0,1

0,3

0,4

= 0,0

1,0

3,2 3,0

0,8 0,6

2,8 2,6

0,2 ρ=

4,0

= 1,0

0,0

0,1 4, 0

0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8

ρ=

0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8

4,0

ρ=

1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8

0,1

1,0 1,2

0,0

0,4

0,2

4,0

0,1

= 0,2

ρ=

,9 ρ=4 3,8 3,6 3,4

0,3

4,0

3,8 3,6 3,1 3,2 3,0 2,8 2,6 2,4 2,2 2,0 1,8 1,6 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4

3,8 3,6 3,4 3,2 3,0 2,8 2,6 2,4 2,2 2,0 1,8 1,6 1,4 1,2

= 1,2

0,2

= 0,4

4,0

ρ=

0,4

25 texto.indd 476

0,4

0,3

0,4

= 0,8 0,5

0,5

0,4

ρ=

0,2

0,3

0,2

= 1,4

0,4

0,3

0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2, 2,4 2 2,6 2, 3,0 8 3, 3, 2 4 3, 6 3, 8

0,5

= 0,6 0,2

0,1

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

17/03/15 11:22

Aula 26

aula

477

26.1 A NORMA 12655/06 QUE NOS DÁ CRITÉRIOS PARA SABER SE ALCANÇAMOS, OU NÃO, O fck NA OBRA Esta é uma apresentação didática. Consulte sempre a norma para verificar detalhes e para ter sua própria compreensão da mesma. A norma 12655 entrou em vigor em 2006 e nos dá critérios para saber se alcançamos na obra (seja concreto de usina, ou seja concreto produzido em betoneira de obra) o fck fixado pelo projetista estrutural e que deve estar claramente indicado nos desenhos de fôrma. Tiraremos amostras do concreto, moldaremos corpos de prova e romperemos depois de 28 dias. A razão de escolhermos 28 dias é que o concreto ganha estabilidade de resultados depois de cerca de um mês, e 28 é múltiplo de 7 dias e, com isso, como as concretagens raramente são feitas em domingos, o rompimento dos corpos de prova (trabalho de laboratório) nunca será em domingos. Com os resultados do laboratório (valores que o corpo de prova se rompeu no teste de compressão em prensa) e usando critérios estatísticos, saberemos se alcançamos ou não o fck desejado. Se tirássemos centenas e centenas de corpos de prova (grandes amostras), a média aritmética simples dos resultados nos daria uma excelente avaliação do fck produzido mas a preparação e rompimento de centenas de corpos de prova em obras pequenas e médias é impraticável. Então, tiraremos poucos corpos de prova (pequenas amostras), e teremos de usar critérios estatísticos para avaliar os resultados. Lembremos sempre que o controle da norma 12655 refere-se ao concreto produzido na betoneira ou entregue no portão da obra pela firma concreteira. Esse concreto pode ser maltratado por transporte inadequado dentro da obra, chuva intensa sobre o concreto fresco, falta de vibração, falta de cura etc. Falemos agora dos lotes de controle de concretagem.

26 texto.indd 477

30/04/15 18:39

478

Concreto Armado Eu Te Amo

O concreto produzido numa obra nem sempre é produzido ao longo do tempo de maneira uniforme e homogênea. A qualidade varia. Por analogia, o pessoal da indústria automobilística diz que os carros produzidos nas segundas-feiras são os piores. Temos então de definir lotes (tamanhos) de parte da obra para controlar e dessa forma admitimos que cada lote é razoavelmente homogêneo. Vejamos o que diz a norma para essa política de formação de lotes. Tabela 7, item 6.2.1 da norma NBR 12655 Número de lotes Estrutura em compressão Estrutura sofrendo flexão ou compressão e flexão (1) simples (2) Volume do lote de concreto

50 m3

100 m3

Número de andares

Tempo de concretagem

3 dias consecutivos

Entendem os autores (1) pilares e vigas; (2) lajes. Para cada lote de concretagem (hipótese de homogeneidade do concreto), tiraremos n exemplares. O que é um exemplar? É o conjunto de dois (2) corpos de prova, nascidos juntos, identificados juntos, que viverão juntos 28 dias e que, nesse dia final, serão rompidos à compressão na prensa do laboratório, e viveremos com o maior de cada dois resultados. E o que faremos com o pior resultado da dupla? Jogaremos fora, literalmente jogaremos fora!!! Teremos então n resultados de corpos de prova de um total de 2n resultados. Face às características deste livro e do nosso projeto de prédio, usaremos o controle de qualidade de amostragem parcial (item, 6.2.3) da norma NBR 12655. Nesse caso, lembrando o tipo de obra que nos interessa, os fck possíveis são fck = 20 MPa e fck = 25 MPa. Então: 6 ≤ n < 20 A escolha de n dentro desses limites é do engenheiro responsável pela obra. Poderíamos dizer que quanto maior n, mais confiáveis são os resultados, porém mais caro é o controle. Usaremos a condição B da norma típica do tipo de obra que nos interessa. Vejamos o roteiro nesse caso.

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Aula 26

479

Obra com fck = 25 MPa Obra de pequeno vulto (ex: supermercado de periferia).

n = número de exemplares; despreza- se o valor mais alto se não for impar.

(Valores crescentes dos valores de resistência dos corpos de prova dos exemplares). Onde: Ψ6 n

>12

Condição B

0,89

0,91

0,93

0,96

0,98

Na nossa obra, escolhemos n = 7 com os valores: 28 MPa, 30, 36, 36, 37, 39 e 41.

Só levaremos em conta, então, os valores 28, 30 e 36(*).

e fckest ≥ Ψ6 × f1 = 0,89 × 28 = 24,9  25 MPa. Tudo OK!! Concretagem aceita. Segue a concretagem. Não deixe parar a betoneira. No caso do fckest for maior que o fck exigido pelo projetista, tudo bem. O que fazer quando a obra produziu um lote de concreto com fck este menor que o fck do projeto? _ (*) Notar que ficamos com os três piores resultados. Segurança estatística.

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Na opinião dos autores: •

Chama-se o projetista e solicita-se um trabalho profissional a ele (portanto, pago) que recalcule a obra com fck produzido na obra(fckest). Se isso puder ser feito, o assunto está resolvido. Se isso não puder ser feito, então leia-se a seguir.

•

Extraem-se corpos de prova da estrutura(*) com dúvida (e do lote considerado) e faz-se corpos de prova que vão para a prensa, e temos um novo conjunto de resultados que sofrerão a mesma análise estatística. Se, então, a concretagem passar, tudo bem. Se não passar, veja a seguir.

•

Prova de carga na peça. Se passar, tudo bem. Se não passar, veja a seguir,

•

Estuda-se a possibilidade de a estrutura ser usada diferentemente do previsto. É complicado, pois, com certo um tempo, os usos se alteram. Outra solução vem a seguir.

•

Demolição da parte da estrutura (lote) com fck estimado (fck de obra) deficiente.

Essa sequência de decisões é baseada na velha e sempre respeitável NBR 6118/1978. E quando o fck est>>>>fck? Se você, como construtor, na sua obra (produção de concreto na obra com betoneira), trabalhando em regime de preço fixo(empreitada global), está produzindo fckest = 40 MPa e o fck contratual é de 20 MPa, você está jogando dinheiro fora... Altere o traço para um mais econônico (menor quantidade de cimento por m3 de concreto). Lembremo-nos implacavelmente: Engenharia = Física + administração de custos. Nunca nos esqueçamos.

_ (*) Com a obra em andamento, moldam-se corpos de prova, pois o concreto ainda está mole. Agora, com a concretagem já de há muito terminada, o concreto da estrutura está endurecido e, portanto, cabe agora, fazer testes, extraindo-se corpos de prova que irão igualmente para a prensa.

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27.1 O RELACIONAMENTO CALCULISTA 3 ARQUITETO Do estudo da regulamentação das profissões do engenheiro e do arquiteto, no nosso modo de ver, essa regulamentação diz que tanto o engenheiro pode fazer quase tudo da arquitetura, como o arquiteto pode fazer tudo da engenharia de construções civis, inclusive calcular prédios de qualquer altura. Manda, todavia, a tradição corrente que, na área de projetos, os arquitetos cuidem, em geral, dos aspectos funcionais, ambientais, filosóficos e estéticos dos prédios, e os engenheiros tenham a incumbência de calcular sua estabilidade. Exatamente dessa distribuição de trabalhos surgem, às vezes, problemas de diálogo, já que, como disse alguém, a construção é uma disputa entre a estética e a estática. Preocupados principalmente com a função e a estética, por vezes, os arquitetos entram em crise com os engenheiros pelas formas robustas que estes pretendem dar a algumas das estruturas. Por vezes, os projetos arquitetônicos exigem esbeltez de algumas estruturas, e os engenheiros tentam robustecer as mesmas e dessa forma surge o problema. Talvez pela formacão de uns, fortemente marcada pela influência humanística e, portanto, mais livre, e outros de orientação mais matemática e lógica, esses dois filhos tão diferentes da mesma mãe Minerva e que foram, num passado longínquo, o mesmo profissional (o verbo engenhar tem o mesmo significado do verbo arquitetar) têm tido sérios problemas de diálogo. Destaque-se que a arquitetura tem contribuído significativamente para o avanço de engenharia estrutural exatamente por impor a esta soluções que exigiram seu desenvolvimento e evolução, fazendo-a tirar partido de soluções nunca dantes imaginadas. Por seu lado, a engenharia estrutural é o grande apoio para que as soluções ousadas de arquitetura fiquem de pé. Não é de se esperar, portanto, uma solução cabal desse conflito que tem gerado frutos altamente positivos, para ambos os lados, paralelamente a alguns atritos humanos. Tirar partido dos dois lados é ainda a melhor solução possível, substituindo-se o relacionamento calculista versus arquiteto pelo relacionamento calculista e arquiteto.

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27.2 CONSTRUIR, VERBO PARTICIPATIVO, OU MELHOR, SERÁ OBRIGATÓRIO CALCULAR PELAS NORMAS DA ABNT? O direito de construir vai ser apresentado aqui por meio de um conjunto de pílulas de conhecimento e de acordo com as inovações da Lei Federal de Defesa do Consumidor: As normas da ABNT são obrigatórias de serem seguidas? A partir de 11/09/1990, com a Lei Federal n. 8078 (Lei de Defesa do Consumidor), artigo 39 VII, na falta de normas oficiais, as normas da ABNT ficaram sendo obrigatórias. Se houver qualquer norma oficial (federal, estadual ou municipal), esta tem mais força que a da ABNT. Como em geral não existem, na área de estruturas, normas oficiais, as normas da ABNT passam a ser lei. Se, todavia, e por exemplo, o Ministério da Agricultura emitir uma postura sobre silos que contrarie uma norma da ABNT, vale a postura do Ministério da Agricultura. Acreditamos que, com o evoluir da sociedade brasileira, outras entidades, além da respeitável Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT)(*), passem a fazer normas que serão aceitas pela sociedade. Com a entrada do país no Mercosul e com o aumento de trocas comerciais com o Mercado Comum Europeu, acredito que haja uma tendência em se passar a usar cada vez mais normas internacionais, pois não é razoável que cada país tenha de fazer para cada área da engenharia sua própria norma. Uma exceção seria o caso do Chile, em relação com o Brasil. As normas de estruturas do Chile são previstas para o efeito “sísmico”, fato que não ocorre no nosso país. Assim, as normas internacionais teriam aspectos gerais que poderiam ser modificados para casos específicos, como é o fato de o nosso país não sofrer abalos sísmicos. E se as normas da ABNT estiverem erradas? Pelo alto nível de quem faz as normas da ABNT e pelo tipo de obra para o qual este livro se destina, é improvável que haja erros nas normas da ABNT e de outros institutos de fora do país. Na Alemanha, aconteceu um caso interessante há vários anos atrás(**). Uma ponte em construção ruiu. Os peritos nomeados foram chamados a descobrir a causa da falha. O primeiro suspeito é sempre o projeto, mas analisado este, verificou-se que seguira as sizudas normas alemãs. O segundo suspeito é o construtor, mas não se achou falha na execução. Dúvida cruel, quem falhara?

_ (*) Ver <www.abnt.org.br>. (**) Foi nos anos 1960. Era uma ponte metálica junto ao estuário do Rio Reno/Mosel, Alemanha. A causa do colapso foi flambagem, sempre a flambagem, a terrível flambagem.

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Verificou-se, então, que, para aquele tipo específico de obra, a norma alemã era inadequada. O projetista e o construtor foram inocentados, o dono da obra ficou com o prejuízo e a norma foi revista. Conclusão cáustica! “Ninguém é obrigado a ficar à frente da mediocridade de sua época”. Uma norma exprime (em termos irônicos) a mediocridade da sua época (conhecimento médio aceito ou estabelecido). Se ao se projetar ou construir dentro das prescrições da norma, danifica-se um prédio existente que foi construído há tempos e fora da norma, quem paga os prejuízos?(*) A lei tende a proteger as situações de fato. Um prédio calculado fora das normas, mas que seja estável, é, em princípio, um prédio bom. O projetista de um novo prédio tem de tomar todos os cuidados para não prejudicar os prédios existentes, calculados ou não de acordo com as normas. Essa é a razão pela qual chamamos esta lição de “construir, verbo participativo”, ou seja, a edificação de uma obra é um ato de participação em uma comunidade devendo-se, se quisermos ficar seguros: • •

seguir o consenso do nosso meio técnico, ou seja, seguir as normas; proteger as obras existentes.

Um outro caso muito interessante ocorreu em um município próximo a São Paulo. Um dono de um terreno pedira a um profissional para lá construir um prédio. O terreno era péssimo para fundação e o profissional queria estaquear toda a fundação. O proprietário não concordou com essa solução, que era cara, e deu uma carta ao engenheiro responsabilizando-se pela construção sem estacas (fundação direta), mesmo que na casa aparecessem trincas. De posse da carta, com firma reconhecida e tudo, o construtor tocou a casa. No meio da construção ruiu uma parte da casa. O proprietário processou o construtor por inépcia profissional. O construtor defendeu-se com a carta, com firma reconhecida e tudo. De nada adiantou. O julgamento estabeleceu que o dono da casa, como leigo que era, não podia se responsabilizar por assuntos técnicos e que o único responsável era o profissional habilitado. Conclusão: Calcule, projete e construa com segurança. Afinal, o registro profissional é um só… Nota: Não confundamos norma internacional com norma de outro país. As normas, por exemplo, da americana ASTM, são normas estrangeiras. Norma internacional é aquela que é feita por um órgão com a participação de vários países. A ISO - International Standard Organization é um exemplo de organização que faz normas internacionais. As normas do Mercosul são normas internacionais.

_ (*) Como um caso extremo e importante, projetar a estrutura de um hotel em Ouro Preto ou Mariana (MG) ou Alcântara (MA), tenho ou não de proteger os casarões de barro socado, usado como estrutura, faz mais de três séculos?

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27.3 DESTRINCHEMOS O BDI! É muito comum no relacionamento com os empreiteiros, durante a fase de construção civil das obras, o uso do termo BDI, ou sejam, os Benefícios e Despesas Indiretas do empreiteiro. Por vezes, não se entende direito o significado e a aplicação desse termo. Vamos dar aos jovens profissionais um exemplo para tentar exemplificar. Imaginemos a construção de uma casa pelo regime de administração, ou seja, o empreiteiro cobra do proprietário os custos diretos e mais o BDI. Para construir a casa, precisaremos de mão de obra para a escavação dos alicerces, de madeira, concreto, tijolos, telhas etc. Consideremos como sendo X o total que se paga para se ter o material na obra, ou seja, o número que se tem de colocar em um cheque para que um depósito de materiais de construção coloque na obra todo o material necessário. Para descobrir o custo X, o profissional teve de ir a vários depósitos, fazer uma escolha qualitativa, um estudo de preço, e esse trabalho não está incluso em X. Além do material, o empreiteiro terá de pagar aos profissionais que irão construir a casa. Seja Y o total de salários dos empregados diretos (pedreiros, serventes, azulejistas etc.), inclusive aí o pessoal não diretamente produtivo, como seja, o mestre, o vigia noturno e o eventual almoxarife. Além de pagar esse pessoal que fica na obra, o empreiteiro tem de pagar os tributos trabalhistas (férias, INPS, 13.º salário, auxílio doença etc.), despesas que não ocorrem na mesma época do pagamento de salário, e chamemos Z o total desses chamados encargos trabalhistas que chegam a ser de 80 a 110% de Y. Temos ainda de pagar a hora de aluguel de equipamentos e trabalho de firmas especializadas (fundações, impermeabilização), e chamemos de T esse custo. Em primeira aproximação o custo de obra seria X + Y + Z + T. Agora, quem paga o escritório central do empreiteiro, sua contabilidade, seu imposto de renda, as suas horas ociosas, a sua propaganda, sua engenharia e o seu lucro? Lógico que essas despesas têm de ser cobertas por suas receitas, ou seja, cada cliente (dono da obra) paga uma parte. Como calcular quanto custa isso? Face a toda a experiência adquirida, chegou-se a um consenso no nosso meio técnico comercial de que uma maneira razoável de cálculo e cobrança é cobrar uma porcentagem sobre a soma dos custos (X + Y + Z + T) anteriores. Normalmente, no nosso meio e para obras de pequeno e médio porte, o BDI varia entre 20% e 40%, ou seja, o custo total de uma obra para o dono, isto é, o número que o dono da obra tem de colocar no cheque para ter sua casa pronta é: X + Y + Z + T + BDI Normalmente, BDI de 0,2 a 0,4 de (X + Y + Z + T).

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27.4 POR QUE ESTOURAM OS ORÇAMENTOS DAS OBRAS? Os orçamentos de obras são confiáveis? Na minha vida profissional, já lá vão quarenta anos, tenho sempre me defrontado com um problema comum. Todos os orçamentos de empreendimentos que vi foram subestimados, ou seja, no final da obra, estouravam. Nunca, mas nunca encontrei um orçamento superestimado. De conversa com colegas brasileiros e estrangeiros, com cada um encontrei uma mesma conclusão: nunca se vive dentro dos orçamentos. Cá fiquei a pensar qual seria a razão de tal fato e de tão mansa aceitação de um problema aparentemente sem solução. Coletei várias explicações do problema — Vejamos algumas:

A CAUSA DE ESTOURO DOS ORÇAMENTOS ESTÁ NA INFLAÇÃO DE CUSTOS A inflação tem sido, na opinião de vários dos entrevistados, a causa de todos os males. Considerando, por outro lado, que o custo de construção e o custo de equipamentos têm crescido nas últimas décadas mais do que os índices médios da inflação, temos uma causa tranquila em que jogar todas as culpas dos erros de orçamento. Todavia, os próprios autores da denúncia à inflação são muitas vezes honestos em afirmar que mesmo aplicando fórmulas corretivas adequadas à análise de dispêndios (índices da Fundação Getúlio Vargas, dólar, franco suíço, quilo do ouro, preço do Volkswagen, índices setoriais etc.), os orçamentos estouram. Se assim é, a inflação de custos não pode receber a culpa em questão. Se a inflação não é, procuremos outros responsáveis.

O ORÇAMENTO DO EMPREENDIMENTO FOI FEITO A PARTIR DE DADOS PRELIMINARES O segundo grande acusado da subestimação de orçamentos é: o orçamento foi preparado a partir de dados preliminares, tão somente anteprojetos, faltando vários dados e informações. Esta explicação tem grandes e fervorosos adeptos… atribuindo à imprecisão de dados o erro (sempre a menos) encontrado. Pensemos um pouco. Os dados de entrada de um orçamento são e serão sempre preliminares. Mesmo quando se tem em mãos um projeto executivo detalhado, esse estudo é uma apreciação aproximada de como a obra deveria ser, e não é o espelho fiel de como ocorrerá todo o desenvolvimento da obra. Por exemplo, e como um dos muitos possíveis exemplos, qual o projeto de estaqueamento que prevê quantas estacas quebrarão por encontrar matacões? Além do mais, como se sabe que várias obras com projeto completo estouram significativamente, conclui-se que essa não é a causa dos estouros.

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Lembremos ainda que uma pessoa que faz um orçamento é como um atirador de tiro ao alvo; quando se tem um estudo preliminar para orçar é como se o alvo estivesse distante, e quando se tem um projeto executivo é como se o alvo estivesse próximo. O que acontece, todavia, é que o atirador, qualquer que seja a sua distância, erra para cima e para baixo, enquanto os orçamentos erram em geral para menos. Creio, portanto, que a causa da subestimação de orçamentos não está na qualidade ou estágio dos dados de entrada. Onde está, então, a causa do problema?

O QUE É CUSTO, OU OS JÁ FAMOSOS 10%? Custo é o total de custos para implantar um empreendimento, disse-me um engenheiro de custos: “Quando alguém me diz “tudo” ou diz “nada”, dificilmente está dizendo tudo e invariavelmente está dizendo nada.” Custo é algo extremamente sério (ou custoso) para se deixar tão somente nas mãos de profissionais de custos, diria eu. Quando se têm às mãos um projeto levantam-se todos os seus serviços aí previstos, aplicam-se preços unitários correntes no mercado, e como uma singular panaceia, aplicam-se os indefectíveis 10% à guisa de imprevistos gerais. Segundo depoimentos coletados de colegas mais velhos, eles encontraram alguns orçamentistas mais ousados que chegaram a adotar 20% para o item “eventuais”. Pouquíssimos encontraram os que chegavam até 30%, enquanto o orçamentista que usou uma porcentagem de 40% está sem emprego até hoje, por ter sido considerado um profissional sem precisão. Todavia sabemos que não é tão incomum assim alguns empreendimentos saírem pelo dobro do estimado. Temos agora uma pista: o custo de um empreendimento não pode ser calculado tão somente pelos serviços constantes em um projeto de engenharia, pois curiosamente os dados de um projeto de engenharia não representam a média dos serviços efetivamente a realizar, e, sim, a quantidade mínima teórica dos mesmos. Assim sendo, quando um calculista de concreto quantifica os serviços, ele quantifica o mínimo teórico a ocorrer na obra. O que o projeto (detalhado ou não) não pode é mostrar todos os custos adicionais; embora sejam custos de obra, não podem ser estimados pelos documentos do projeto e correspondem a custos, cuja ocorrência só pode ser, a meu ver, analisada do ponto de vista estatístico.

UM EXEMPLO DE ORÇAMENTO QUE NÃO BATE E NEM PODE BATER Imaginemos, como um mero exemplo, o empreendimento de construção de uma estação de tratamento de água de uma indústria. Num orçamento padrão de uma ETA, normalmente são considerados:

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limpeza do terreno; escavação, rebaixamento de lençol e fundações; concreto armado; equipamentos a preço de mercado, frete, embalagem e impostos; montagem; partida; 10% de eventuais.

Contratados e conhecidos os preços de cada um desses serviços, poderá parecer que se saberá o custo da obra. Vejamos agora uma lista de itens não indicados no projeto e que oneram, de alguma forma, o custo final do empreendimento. Nem todos esses itens ocorrem sempre, sendo sua ocorrência só possível de ser quantificada a partir de análise estatística de vários casos. Vejamos alguns dos itens: • • • • • •

Fundações mais caras pelo desconhecimento em detalhes do terreno. Ocorrência de chuvas. Remoção de interferências não conhecidas. Danos a terceiros não imputáveis às empreiteiras. Modificações de projeto por necessidade da obra. Sobrepreço para o empreiteiro pela constante ocorrência da não chegada dos equipamentos, cuja compra não estava a seu cargo, e pela ocorrência de perda de mão de obra face à ociosidade.

Pelos poucos itens mostrados, dos muitos que podem ocorrer, vê-se que não são eles previsíveis de estimativa a partir de dados de projeto, não sendo, pois, normalmente computáveis pelo profissional de custos.

O BI (BUDGET INDEX) — (ATENÇÃO: O USO DA FORMA INGLESA IMPRESSIONA MAIS) Considerando a enorme experiência da engenharia em estabelecer práticos coeficientes, poder-se-ia pensar em levantar coeficientes que correlacionassem custos finais de obra em função dos custos previsíveis calculados a partir dos serviços do projeto. Assim teríamos: C = ki × S C seria o custo final estimado e S, o custo calculado pelos serviços previstos nos documentos do projeto. O coeficiente k i, típico de cada empreendimento, incorporaria dados estatísticos de ocorrência de custos não previsíveis.

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Como calcular k i, ou seja, quem coloca o sino no rabo do gato? Ao contrário do que possa parecer, o coeficiente ki pode ser estabelecido mais facilmente do que se pensa. Diz uma velha lenda árabe que um prisioneiro condenado à morte só poderia dela se safar se dissesse quantas estrelas tinha o céu. A resposta não se fez por esperar: — “75.356.642, e quem duvide que conte!” Tenho a certeza de que o primeiro gajo que publicar uma coletânea de dados estabelecendo um conjunto de k i teria descoberto a panaceia das panaceias. E ninguém duvide ou queira indagar da confiabilidade desses índices. Irresponsabilidade deste autor, ao propor o surgimento de tais mágicos índices? E não seriam de igual origem alguns de outros números mágicos da engenharia, tais como sejam: • • • • •

Para preparação de um conjunto de desenhos em média se gastam 100 HH/ desenho. A relação entre vazões de esgoto e água é de 80%. O custo do projeto é de 10% do valor da obra. O per capita de água de pequenas cidades é 200 litros/dia. A velocidade econômica em canalizações de água é 0,5 m/s.

Se é assim, por que não sou eu mesmo o autor do crime completo, ou seja, além de introduzir o conceito de BUDGET INDEX, não os estabeleço? Falta-me coragem ou irresponsabilidade para tanto. Só digo que k i é, no mínimo, 1,5, isso eu juro. Alguém se candidata?

O QUE FAZER? Enquanto não se publica um conjunto de k i, válidos desde reformas de casas, obras portuárias, silos e até para usinas petroquímicas (sonhar não é crime), teremos de continuar a usar os famosos 10% (na verdade k i = 1,1), embora a gente saiba que essa “folga” já seja consumida nas obras de fundação… O que vem a mais, só Deus sabe…

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27.5 A HISTÓRIA DO LIVRO “CONCRETO ARMADO, EU TE AMO”(*) Desde que me formei em engenharia civil em 1965, na Escola Politécnica da USP, tenho trabalhado principalmente em projetos de engenharia sanitária e de indústrias. Projetos e assistência técnica. Nunca tinha tido, até os anos 1970, a oportunidade de fazer ou fiscalizar obra. Comecei a trabalhar na Planidro, então uma verdadeira universidade de engenharia sanitária e que formou uma “escola” de projetos de saneamento, só semelhante ao fenômeno Geotécnica, que nas décadas de 1950 e 1960 formou a “escola brasileira” de Mecânica dos Solos e Fundações. De 1969 até 1979, trabalhei na Promon Eng., que, por sua vez, formou uma “escola” de engenharia industrial e engenharia civil pesada. Um drama me acompanhava: eu era engenheiro civil, mas não tinha prática profissional no projeto de concreto armado. A engenharia de concreto armado é, no nosso meio de construção civil, a rainha das especialidades. Não se fazem, neste país, obras sem concreto armado. Escolas, casas, estações de tratamento de água, galerias de água pluviais, cercas e postes: tudo é concreto armado. Decidi, então, em 1978, de modo solitário, voltar a estudar concreto armado. Recompus minha biblioteca universitária de Resistência dos Materiais e Concreto Armado. Estabeleci um programa de estudo e voltei a estudar estruturas simples, compostas de lajes, vigas, pilares e sapatas. Primeiro nasceu o curso por correspondência Pus-me então a estudar como nunca antes tinha estudado e – primeira surpresa! –, apesar de já ter estudado na escola, na década de 1960, toda a matéria, eu não conseguia avançar no estudo. Por que eu não conseguia entender e aprender, mesmo me apoiando numa vasta bibliografia acumulada? Como nesta época eu trabalhava na Promon e lá havia uma enorme e excelente equipe de “estrutureiros”, comecei a tirar partido disto conversando e perguntando a todo mundo. Segunda surpresa! Todas as minhas dúvidas desapareciam, como por encanto, quando eu conversava e ouvia coisas importantíssimas que não estavam nos livros. Oralmente, a transmissão era solta e fácil. Face ao avanço, o meu programa de estudos ia crescendo e eu ia aprendendo. O que eu notava é que o que as pessoas me diziam e que esclarecia as minhas dúvidas nunca estava escrito nos livros. Por quê? Alguns exemplos: Quais os critérios para escolher entre as várias resistências do concreto (fck, 200, 250 kgf/cm 2)? Qual a vantagem comercial e construtiva do aço A em relação ao aço B? _ (*) Crônica escrita em 1985 por Manoel H. C. Botelho.

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Conforme o meu programa de estudos avançava, e eu anotava tudo o que me diziam, o que me contavam, observei que estava colecionando rico material didático, material esse, diga-se de absoluto e corriqueiro uso comum, mas que não estava escrito em nenhum lugar. Decidi, então, escrever um livro. Daí me disseram: “Bobagem. Livro não dá dinheiro”. Optei então por escrever um curso por correspondência sobre concreto armado. Embora o meu estudo nessa época já estivesse avançado, faltava muito para terminá-lo, e eu ainda carregava muitas dúvidas. Convidei então vários colegas para se associarem a mim, mas a proposta era recebida com descrédito. Associar-se a um engenheiro especializado em tratamento de esgoto para produzir um texto de concreto armado? Acho que fiz essa proposta a mais de dez famosos e conhecidos colegas. Escrever um livro chão a chão, arroz com feijão, do dia a dia do concreto armado: dez recusas. Finalmente, encontrei um colega, Osvaldemar Marchetti, que topou discutir o plano. Marchetti tinha então algo como cinco anos de formado e era então um não famoso calculista de concreto. Desconfiado e reticente, ele ouviu a minha proposta de associação para terminar de escrever o texto, mas acabou me ajudando a completar o livro e rever os textos já prontos, até então cheio de falhas e lacunas. Lancei o curso por correspondência em 1979. O curso transformou-se em livro. Mantive esse curso em funcionamento por quatro anos. Foi uma rica experiência. Os alunos criticavam alguns trechos e, por outro lado, pelos exercícios resolvidos que me enviavam para corrigir, descobria falhas didáticas e, face a tudo isso, acrescentava capítulos e revia partes de trechos. Como eu trabalhava com tiragens pequenas do curso (duzentos exemplares), era fácil e econômico refazer originais, pois o prejuízo de perdas era pequeno. Mas, um dia, cansei de ficar corrigindo exercícios e decidi publicá-los como livro. Duas editoras recusaram. O terceiro editor analisou um exemplar completo do curso e decidiu editar o livro, aceitando, corajosamente, o título “Concreto armado, eu te amo”. O livro saiu em abril de 1983 e a meta mínima de vendas desejada era de 1.000 a 1.500 exemplares por ano. No primeiro ano, vendeu 5.000 exemplares e já em 1984, foi adotado como livro-texto oficial em várias escolas de arquitetura e engenharia. A partir do lançamento do livro, muitas pessoas passaram a me questionar sobre o porquê de o meu livro ser diferente, coloquial e até engraçado, além de prático e direto. Comecei então a filosofar sobre a gênese dos livros técnicos. No Brasil, o livro técnico nasce de duas principais fontes: notas de aulas que viram apostilas e, daí, livros ou teses de mestrado ou doutorado. O mercado, por sua limitada dimensão, não permitiu até agora a profissionalização do escritor. Os autores que fizeram livros fora dos dois esquemas citados os fizeram na base de enorme esforço pessoal, e os direitos autorais não remuneram o esforço nem de longe. Escreve-se pelo prazer de escrever e demonstrar o que se sabe.

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Dentro desse quadro, vê-se que não há muito estímulo para escrever sobre o arroz com feijão do dia a dia, embora existam exceções de alguns livros, como Prática das pequenas construções (Professor Borges), Manual de hidráulica (Professor Azevedo) e a coleção de Concreto armado, do Professor Aderson, que constituem singular e elogiável esforço de escrever simples sobre as coisas do dia a dia. Há outros (poucos) exemplos de livros práticos e diretos dirigidos à construção civil. Agora, aqui, cabe fazer uma diferença. Precisamos entender que devem existir dois tipos de livros técnicos: didáticos e de aprofundamento. Quando eu falo em livro didático, não me refiro àqueles que se usam exclusivamente em cursos de graduação. Chamo de livro didático o que, além de ser útil nas escolas, serve de apoio para um profissional não especialista. Coloco a seguinte situação: imaginemos um arquiteto ou um engenheiro civil, morador em uma cidade de porte médio (50.000-200.000 habitantes), que tenha de projetar um sistema pluvial para um loteamento de médio porte. Nesse ponto, queremos saber qual o livro no mercado que explica, de maneira fácil, simples, direta, os seguintes assuntos: onde colocar as bocas-de-lobo; tipos de boca-de-lobo e capacidades; cálculo de galerias; tipos de tubos a usar e sua classe; escadas hidráulicas; obras de combate às erosões; dissipador de energia; proteção de margens de pequenos córregos; custos das obras. Asseguro que os poucos livros existentes no mercado sobre o assunto não permitem a um profissional não especialista projetar razoavelmente essas obras. Então, o que vai acontecer? Ou o profissional faz um mau trabalho, ou sai a conversar com colegas, com empreiteiros, a observar, e quando a obra estiver pronta, acumulará (somente para si) a experiência resultante (boa ou má). Nesse momento em que escrevo, dezenas de colegas do Brasil ressentem-se da falta de um livro de sistema pluvial para loteamentos. Pretendo escrevê-lo.(*) Livro didático deve ter a característica de propiciar a um profissional não especialista, e ajudado pelo senso crítico de sua experiência, projetar e executar obras de pequeno e médio porte. Enquanto os livros se preocuparem exclusivamente com integrais e diferenciais, de estarem em dia com as últimas novidades de congressos, a massa de arquitetos e engenheiros que não vivem essa “realidade fantástica”, tão distante do seu dia a dia, não recebe qualquer assistência técnica. É preciso escrever as experiências. A esmagadora maioria dos milhares de profissionais de arquitetura e engenharia sai das escolas e não volta a elas para fazer cursos de especialização. Não frequenta também os cursos dos sindicatos e associações profissionais. Imaginemos profissionais moradores em São José do Rio Preto, Presidente Prudente ou até aqui perto, em Osasco ou Sorocaba. Qual o apoio que esses profissionais têm para evoluir e enfrentar um problema não corriqueiro? Eles procurarão conversar com colegas (transmissão oral de experiências) e ler livros ou revistas. _ (*) Já disponível - Águas de chuvas - Editora Blucher Ltda.

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As revistas são poucas e não têm como objetivo básico ensinar, embora possam evoluir para isso. Se esses profissionais não tiverem com quem conversar, sobrará o livro. Precisamos ter livros para a realidade brasileira, simples, diretos e práticos. Mesmo porque as obras serão feitas, com ou sem apoio técnico adequado. Urge que as experiências do dia a dia (como fazer pequenos muros de arrimo, critérios para fundações de pequenos prédios, como bem ventilar uma casa, canalizar córregos, evitar erosões em loteamentos, infiltrar esgotos saídos de fossa etc.) sejam escritas, para que todos tirem partido delas. Assim seja. Ano de 1985 FIM

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28 ESTADOS LIMITES – ÚLTIMO (ELU), SERVIÇO (ELS) 28.1 Ações permanentes Diretas: peso próprio, acabamento, protensão. Indiretas: temperatura, retração, fluência, recalque, protensão.

28.2 Ações variáveis Sobrecargas (carga acidental), vento, trem-tipo rodoviário.

28.3 Estados-limite 28.3.1 Segurança das estruturas frente aos estados-limite 28.3.2 Estados-limite últimos Esgotamento da capacidade resistente da estrutura. Perda de equilíbrio como corpo rígido. Perda de equilíbrio como um todo ou em parte. Instabilidade considerando efeitos de 2.ª ordem. Instabilidade por deformação. Instabilidade dinâmica progressiva (fadiga). Uma vez ocorrendo determinada paralização do uso de estruturas usuais em edifícios residenciais e comerciais, devem ser verificada a seguinte combinação: a) Edifícios Fd = 1,4 Fgk + 1,2 Fegk + 1,4 (Fq1k + 0,8 Fwk) + 1,2 × 0,6 × Feqk

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onde: Fgk – permanente Fegk – retração Fqk – sobrecarga (carga acidental) Fwk – vento Feqk – temperatura Fq1k – sobrecarga principal Fq2ka – sobrecarga secundária b) Bibliotecas, arquivos, oficinas, estacionamentos Combinação 1) Fd = 1,4 Fgk + 1,2 Fegk + 1,4 (Fq1k + 0,8 Fq2k) + 1,2 × 0,6 × Feqk Combinação 2) Fd = 1,4 Fgk + 1,2 Fegk + 1,4 (Fq1k + 0,6 Fq2x) + 1,2 × 0,6 × Feqk

28.4 Estado-limite de serviço Está relacionado a: Durabilidade, aparência, conforto do usuário, funcionalidade ou seja, o dia-a-dia da sua funcionalidade. No projeto estrutural, devemos impedir que os limites sejam ultrapassados. 28.4.1 Raras Repetem-se algumas vezes durante a vida útil da estrutura. ELS de formação de fissuras m

Fdserv. = ∑ Fgi,k !

i permanente

+ Fg1,k + ∑ ϕ ij + Fgj,k ! ! ! i frequente

sobrecarga principal

demais sobrecargas

j1 = fator de redução para CF (simultaneidade) 28.4.2 Combinações usuais no estado-limite de serviço (ELS) Edifícios residenciais – verificação de flechas (concreto armado) Fdserv. =

Fgk !

permanente

+ 0,3 Fq1,k ! !

ϕ 2q principal

j2q = 0,3 (sobrecarga); j2w = 0 (vento).

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Edifícios residenciais – verificação da abertura de fissuras 0,4 !

Fdserv. = Fgk +

Fqk

(sobrecarga principal)

Fdserv. = Fgk + 0,3 ! Fwk + 0,3 ! Fqk ϕ1w

ϕ 2w

j1w = 0 (vento); j2q = 0,3 (sobrecarga).

28.5 Combinação de ações Combinação de ações que tem probabilidade não desprezível de atuarem na estrutura. 1) Ações a) permanentes; b) sobrecargas de utilização; c) ações do vento; d) ação total.

28.6 Combinação de serviço 28.6.1 Quase permanentes – deformações excessivas Podem atuar durante grande parte da vida útil da estrutura. m

Fdserv. =

∑ 1

Fgi,k !

F ∑ ψ! × !

permanente

q j,k

quase permanente

sobrecarga

28.6.2 Frequentes – fissuração, vibrações excessivas Repetem-se muitas vezes durante a vida útil da estrutura; vento. m

Fdserv. = ∑ Ggi,k + ∑ ψ !1 ! 1 permanente

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frequente

× Fq1,k + ∑ ψ1 j ! ! sobrecarga principal

Fqj,k !

quase demais permanente sobrecargas

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NBR 6118-2014, pg. 65

Valores do coeficiente gf2 Ações

gf2 y0

y1a

Frequente

Cargas Locais em que não há predominância acidentais de pesos de equipamentos que perde edifícios manecem fixos por longos períodos de tempo, nem de elevadas concentrações de pessoas b

0,5

0,4

quase permanente 0,3

Locais em que há predominância de pesos de equipamentos que permanecem fixos por longos períodos de tempo, ou de elevada concentração de pessoas c

0,7

0,6

0,4

Biblioteca, arquivos, oficinas e garagens

0,8

0,7

0,6

Pressão dinâmica do vento nas estruturas em geral

0,6

0,3

Temperatura Variações uniformes de temperatura em relação à média anual local

0,6

0,5

0,3

Vento

Para os valores de y1 relativos às pontes e principalmente para os problemas de fadiga. Edifícios residenciais. c Edifícios comerciais, de escritórios, estações e edifícios públicos. b

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Aula 28

Limites de deslocamentos – NBR 6118-2014 (Tabela 13.3 p. 77)

Limites de deslocamentos Tipo de efeito

Aceitabilidade sensorial

Razão da limitação

Exemplo

Visual

Deslocamentos visíveis em elementos estruturais

Outro

Vibrações sen- Devido a cartidas no piso gas acidentais

Superfícies que Coberturas e devem drenar varandas água

Efeitos estruturais em serviços

Pavimentos que devem permanecer planos Elementos que suportam equipamentos sensíveis

Efeitos em elementos não estruturais

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Paredes

Deslocamento Deslocamento a considerar limite Total

l/350

Total

l/250 a

Total

l/350 + contraflecha b

Ginásios e pistas de boliche Ocorrido após a construção do piso

Laboratórios

l/250

l/600

De acordo com Ocorrido após recomendação nivelamento do do fabricante equipamento do equipamento

Alvenaria, cai- Após a consxilhos e reves- trução da patimentos rede

l/500 c e 10 mm e q = 0,0017 radd

Divisórias leOcorrido após ves e caixilhos a instalação da telescópicos divisória

l/250 c e 25 mm

Movimento lateral de edifícios

Provocado pela ação do vento H/1.700 e para combina- Hi /850 e entre ção frequente pavimentos f (y1 = 0,30)

Movimentos térmicos verticais

Provocado por diferença de temperatura

l/400 g e 15 mm

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Limites de abertura de fissuras – NBR 6118-2014 (Tabela 13.4 p. 80)

Exigências de durabilidade relacionadas à fissuração e à proteção da armadura, em função das classes de agressividade ambiental Tipo de concreto estrutural

Classe de agressividade ambiental (CAA) e tipo de protensão

Exigências relativas à fissuração

Combinação de ações em serviço a utilizar

Concreto simples

CAA I a CAA IV

Não há

–

CAA I

ELS-W wk ≤0,4 mm

CAA II e CAA III

ELS-W wk ≤0,3 mm

CAA IV

ELS-W wk ≤0,2 mm

Pré-tração com CAA I ou Pós-tração com CAA I e II

ELS-W wk ≤0,2 mm

Concreto armado

Concreto protendido nível 1 (protensão parcial)

Combinação frequente

Verificar as duas condições abaixo Concreto protendido nível 2 (protensão limitada)

Concreto protendido nível 3 (protensão completa) a

Pré-tração com CAA II ou Pós-tração com CAA III e IV

ELS-F

Combinação frequente

ELS-D a

Combinação quase permanente

Verificar as duas condições abaixo Pré-tração com CAA III e IV

ELS-F

Combinação rara

ELS-D a

Combinação frequente

A critério do projetista, o ELS-D pode ser substituido pelo ELS-DP com ap = 50 mm (FIgura 3.1)

NOTAS 1. As definições de ELS-W, ELS-F e ELS-D encontram-se em 3.2. 2. Para as classes de agressividade ambiental CAA-III e IV, exige-se que as cordoalhas não aderentes tenham proteção especial na região de suas ancoragens. 3. No projeto de lajes lisas e cogumelo protendidas, basta ser atendido o ELS-F para a combinação frequente das ações, em todas as classes de agressividade ambiental.

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Exemplos (edifícios) a) Verificação de deslocamentos excessivos – combinações quase permanentes Fdserv. =

Fgk !

+ 0,3

permanente

Fqk !

sobrecarga

nos casos em que os deslocamentos possam provocar danos nos elementos de acabamento, a combinação frequente com ação do vento, normalmente nos edifícios utilizamos a combinação Fdserv. =

Fgk !

+ 0,3

permanente

Fqk !

sobrecarga

+ 0,2 ! Fwk

vento

b) Verificação de formação de fissuras – combinação frequente Fdserv. =

Fgk !

+ 0,4

permanente

Fqk !

sobrecarga

c) Verificação de formação de fissuras – combinação rara Fdserv. =

Fgk !

permanente

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Fqk !

sobrecarga

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ANEXOS ANEXO 1 Fotos interessantes de estruturas de concreto (Fotos: Walda Incontri)

Nascimento dos pilares. No topo da fôrma do pilar se vê os ferros de espera, ou seja, a armadura que vai ser ligada à armadura do próximo lance do pilar. As fôrmas apoiam-se no escoramento.

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Anexos

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Pilares e vigas. Acima, famoso prédio da Fiesp na Av. Paulista. Foto abaixo Numa estrutura na garagem de um prédio, aconteceu de a viga não se apoiar no pilar, e, sim, em outra viga (viga suporte). Essa outra viga também não se apoiou diretamente em um pilar. O pilar, para poder sustentar a viga suporte, lançou em desespero de causa um console, indo buscar para si as cargas da viga suporte. Falta de diálogo entre arquitetura e a engenharia estrutural.

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Pilares — Além da função estrutural, um elemento altamente decorativo. Um famoso arquiteto brasileiro usa com maestria pilares em “V”. Vejamos outros usos estéticos dos pilares.

Pilares senhoriais — Avenida Faria Lima, São Paulo, SP.

Pilares bailarinos — Em cima de um prédio, um velho relógio sustentado por quatro pilares bailarinos. São Paulo, SP.

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Anexos

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Pilares que surgem e depois desaparecem!!

Prédio totalmente suspenso e apoiado em quatro gigantescos pilares. É a sede em São Paulo do Tribunal de Contas do Município.

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O aspecto feio dessas estruturas de concreto armado, são a base para prédios formosos, onde famílias viverão felizes e empresários exercerão suas profissões.

Prédio de apartamentos com estrutura de concreto armado. Notar que de cima para baixo, a seção transversal dos pilares é a mesma. O que varia é a taxa de armadura. Nos pilares mais altos a taxa de armadura é a mínima, que vai crescendo conforme vai descendo.

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Anexos

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Na foto de cima, se vê um tipo de contraventamento pouco usado, mas bem eficiente. Vigas de concreto armado inclinadas amarram nós com nós. Essas peças são semelhantes às tramelas em quadros de madeira, que dão rigidez ao quadro (método dos marceneiros). Na foto de baixo, vemos parte de um prédio em balanço. Quem vai buscar as cargas e levá-las para a estrutura interna do prédio são as vigas, com extremidade em balanço.

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Fissura em laje. A fissura está em cima de apoio em viga dessa laje. Tudo leva a crer que seja falta de armadura negativa suficiente.

Viga na garagem de um prédio de apartamentos. Por falta de diálogo entre o projetista estrutural e o projetista das instalações hidráulicas, esgotos e águas pluviais, a viga foi furada duas vezes no local da armadura positiva. Um erro!

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Anexos

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A Engenheira Rosemary L. Seixas, de Recife, PE, em viagem a São Paulo fotografou o Viaduto Santa Efigênia, em 2007. A instalação usou rebites pois o uso da solda em estruturas de aço começou a ser intensamente usada somente após os anos 40 do século XX. O viaduto foi construído entre os anos 1906 a 1913 com peças de aço importadas da Bélgica (1.100 t) e com financiamento inglês a ser pago em 70 anos tendo custado 750.000 libras esterlinas.

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ANEXOS ANEXO 2 Comentários sobre itens da nova norma NBR 6118/2014 e aspectos complementares A – Introdução Nasceu em maio 2014 a versão 2014 (versão corrigida de 07.08.2014) da norma ABNT NBR 6118 “Projeto de estruturas de concreto – Procedimento”. Essa norma, que é uma norma de projeto, é sucessora da sua versão 2007 e tudo tem como origem a famosa NB-1/1940, a primeira norma brasileira. ABNT é a sigla da respeitada Associação Brasileira de Normas Técnicas, entidade particular brasileira que faz normas técnicas em geral. Como o próprio título indica essa norma é relativa à parte de projeto de uma estrutura de concreto (armado, simples e protendido) deixando para outras normas (por exemplo a NBR 14.931) a parte de execução dessas obras.

Iremos cuidar neste anexo exclusivamente da parte de estruturas de concreto armado dessa norma NBR 6118/2014 e do ponto de vista e interesse relacionado com pequenas e médias estruturas em termos de vulto, algo como prédios residenciais e comerciais de até quatro pavimentos, com paredes internas e externas de alvenaria.

A NBR 6118, na sua totalidade, é dirigida para obras de qualquer vulto, como as pequenas, médias e grandes obras abordando estruturas de concreto protendido, concreto armado e concreto simples. A linguagem e os cuidados técnicos e didáticos desta presente anexo são direcionados a um público leitor específico composto de jovens engenheiros civis, arquitetos, jovens profissionais em geral e estudantes em nível de graduação.

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Anexos

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Este texto é uma cartilha e como tal deve ser entendida, ou seja um texto que facilita o leitor a entender a norma mãe. Recomenda-se ao leitor depois de ler este anexo ler e seguir a NBR 6118/20141. Este autor reconhece a capacidade e dedicação dos colegas autores que trabalharam com afinco para que esta norma existisse nessa nova versão. Nota-se que essa norma ao atender a todo o mundo das obras de concreto torna-se por vezes difícil de aplicar à obras de edifícios de até médio porte. Entende este autor que as obras de concreto para edifícios de até médio porte (quatro andares) mereceriam ter uma norma específica.

B - Abordagem didática deste Anexo O objetivo deste Anexo é explicar os trechos novos e /ou menos fáceis da NBR 6118/2014 adicionando informações úteis no entender do autor, e sempre ligado à estruturas de concreto armado para pequenas e médias edificações em termos de porte de casas e edifícios residenciais e comerciais. Como este autor entende que o objetivo dessa norma, mesmo sendo do campo projeto, é no final a execução da obra e o seu uso, foram adicionados alguns assuntos relativos a esses objetivos. Os assuntos relativos à concreto protendido e concreto simples não são objeto deste anexo embora no caso do concreto simples sejam, vez ou outra, inseridos no texto. Repetimos: Depois de ler o texto deste anexo que tem como objetivo explicar as mais importantes modificações da nova norma leia a norma e veja como segui-la dentro das características e realidade de suas obras. Assuntos mais simples e que estão muito claros ou que já eram apresentados na versão 2007 da norma NBR 6118 não serão sequer citados neste anexo.

C - Principais mudanças e aspectos importantes da NBR 6118/2014 comparadas em relação à norma NBR 6118 versões 2003 e 2007 2 O autor MHCBotelho levou em conta e agradece, texto técnico do Eng. Prof. Matheus L. G. Marchesi – Universidade Uninove – São Paulo SP. 1 A norma NBR 6118/2014 que este autor seguiu é a versão corrigida de 07.08.2014. 2 As versões 2003 e 2007 da NBR 6118 tem pouquíssimas diferenças entre si e essas pouquíssimas diferenças fogem ao mundo deste anexo ou sejam obras de pequeno e médio porte.

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Dentro dos limites de interesse deste anexo as principais modificações e assuntos nesta versão são: C-1) alteração das classes de concreto armado aos quais a norma se aplica: de C10 a C50, para C20 a C90; (item 1.2 pg. 1). Não se aceita mais classe de resistência C15 para fundações (a antiga revisão aceitava) mas se aceita o uso da classe C15 para obras provisórias como por exemplo estrutura de prédio de canteiro de obras e que depois será demolido. C-2) Vigas – a seção transversal de vigas não pode ter largura menor que 12 cm e no caso de viga parede a menor largura da seção transversal será de 15 cm (item 13.2.2 pg. 73). Nesse item indica-se que em alguns casos excepcionais caia a largura para um mínimo de 10 cm. C-3) Pilares: dimensão mínima de 14 cm, não mais 12 cm; (item 13.2.3, pg. 73) C-4) Lajes: dimensões mínimas de lajes maciças foram aumentadas, por exemplo, 8 cm para laje de piso não em balanço e não mais 7 cm; (item 13.2.4.1 pg. 74) Laje de cobertura não em balanço tem que ter 7 cm de espessura e não mais 5 cm. Nota: como a norma fala em peso limite de veículos saibam que: • •

peso de um carro Palio lotado: 950 (peso do carro) + 5 × 70 (pessoas) = 1.300 kgf = 13.000 N = 13 kN; peso de um carro grande – Vectra lotado: 1.400 kgf (peso do carro) + 5 × 70 (pessoas) = 1.750 kgf = 17.500 N = 17,5 kN. Para lajes que suportam veículos e com carga limite de 30 kN essa carga é bem superior a carga de um carro grande lotado. Nota: laje em balanço é expressão igual à laje marquise..

C-5) Introdução de um gn (semelhante aos pilares) para marquises (lajes marquises – lajes em balanço) (que andam caindo por ai devido ao fato da armadura negativa se tornar positiva, quando por exemplo o operário pisa sobre a armação); coeficiente a usar no dimensionamento dessas lajes item 13.2.4.1, pg. 74. C-6) Armadura mínima à flexão foi alterada, por exemplo para C30, o rmin era 0,173%, agora passa a 0,150% (igual ao C20, C25); Tabela 17.3, pg. 130. C-7) Armadura de pele limitada no mínimo a 0,4% da área da seção transversal e máxima de 8% cm2 /m por face; itens 17.3.5.2.3 pg. 132. Ver também item 18.3.5 pg. 150. C-8) “Os consolos curtos devem ter armadura de costura mínima igual a 40% da armadura do tirante, distribuída na forma de estribos horizontais em uma altura igual a 2/3 d.” Item 22.5.1.4.3, pg. 186. C- 9) Em blocos de fundação: no caso de estacas tracionadas, a armadura da estaca deve ser ancorada no topo do bloco. Alternativamente, poderão ser utilizados

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Anexos

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estribos que garantam a transferência da força de tração até o topo do bloco. Item 22.7.4.1.1, pg. 191. Explicação gráfica do item C-9 autoria do Prof. Eng. Paulo Mendes Ø

3Ø

A Ø

BLOCO-PLANTA N1

N5 C/10

N4 C/20

N3 C/20

Estaca

Armação longitudinal da estaca BLOCO-CORTE A-A N1

BLOCO-ARMAÇÃO

C-10) Armadura de distribuição em blocos de fundação: Para controlar a fissuração,

deve ser prevista armadura positiva adicional, independente da armadura principal de flexão, em malha uniformemente distribuída em duas direções para 20% dos esforços totais. Item 22.7.4.1.2, pg. 191. E ainda C-11) Essa norma NBR 6118/2014 no seu item A.2.4.1 Tabela A.2, pg. 214 realça o con-

ceito de velocidade de endurecimento do concreto indicando, que: •

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ocorre endurecimento lento do concreto quando do uso para os cimentos CP III e CP IV (todas as classes de resistência);

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•

ocorre endurecimento normal do concreto para o uso de cimentos CP I e CP II (todas as classes de resistência);

•

ocorre endurecimento rápido do concreto para o uso de cimento CP V – AR I.

Lembrando que CP I e CP I – S – Cimento Portland comum, CP II - E, CP II - F – Cimento Portland composto, CP III – Cimento Portland de alto forno, CP IV – Cimento Portland pozolânico, CP V – R I – Cimento Portland de alta resistência inicial. C-12)Para estudos de deformabilidade, tempo de desforma e retirada de escoramento (módulo elasticidade inicial) a norma NBR 6118 detalha como esperar nesses assuntos a influência do tipo de agregado a usar (item 8.2.8 pg 24). O Módulo de Elasticidade3 é diretamente proporcional ao coeficiente aE e que vale comparativamente: aE = 1,2 para basalto e diabásio aE = 1,0 para granito e gnaisse aE = 0,9 para calcário aE = 0,7 para arenito C-13)E consta m as orientações nessa nova norma: “Item 14.6.6.3 pg. 944 Consideração de cargas variáveis Para estruturas de edifícios em que a carga variável seja de 5 kN/m2 e que seja no máximo igual a 50% da carga total, a análise estrutural pode ser realizada sem a consideração da alternância de cargas.” Nota: 5 kN/m 2 = 500 kgf/m 2

“Item 14.6.6.4 pg. 94 Estrutura de contraventamento lateral A laje de um pavimento pode ser considerada uma chapa totalmente rígida em seu plano, desde que não apresente grandes aberturas e se o lado maior do retângulo circunscrito ao pavimento em planta não superar em três vezes o lado menor .” “Item 18.4.3 pg. 151 A armadura transversal dos pilares, constituída por estribos e quando for o caso, por grampos suplementares, deve ser colocada em toda a altura do pilar, sendo obrigatória sua colocação na região de cruzamento com vigas e lajes.” 3 Como sabido quanto maior o módulo de elasticidade menos deformável é o material. Logo, concreto produzido com agregado basalto e ou diabásio é mais indeformável que concreto produzido com agregado granito, gnaisse, calcário ou arenito. 4 O projeto do prédio do volume 1 – Concreto armado eu te amo atende às exigências do item 14.6.6.3. e 14.6.6.4 dessa nova edição da NBR 6118.

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Nota: vários construtores reclamaram a este autor quanto à dificuldade de atender na obra a esse item 18.4.3. Bastou o engenheiro não estar na obra que são suprimidos incorretamente alguns estribos. É preciso treinar e incentivar a mão de obra para atender a essa exigência. C-14) A norma NBR 6118/2014 bem como sua antecessora a NBR 6118/2007 é

sempre preocupada com a vida útil da estrutura e nos itens 7.2 e 7.4 pg. 18 prescreve os cuidados de drenagem da estrutura para evitar o contato permanente da estrutura com água acumulada. No item 7.4.1 é feito um destaque para a qualidade do concreto de cobrimento da armadura. Esse concreto deve ter boas características para que não tenha alta permeabilidade o que facilitaria a oxidação da armadura pelo contato da água com a armadura. Considerando que as famosas pastilhas de argamassa de concreto, feitas artesanalmente na obra, não tem muitas vezes a qualidade desejável talvez tenhamos de abandonar a prática de produzi-las na obra e deveremos usar ou espaçadores de plástico ou pastilhas de concreto produzidas industrialmente.

D – Uso de critérios e tabelas de dimensionamento de lajes, vigas e pilares constantes dos livros “Concreto armado eu te amo” Vol. 1 e Vol. 2 e “Concreto armado eu te amo para arquitetos” Para quem está acostumado a usar as tabelas e gráficos dos livros “Concreto armado eu te amo Volume 1”, “Concreto armado eu te amo Volume 2” e “Concreto armado eu te amo para arquitetos” e outras obras dessa coleção, a versão 2014 da NBR 6118 não trouxe novidades e portanto as tabelas e ábacos de dimensionamento podem continuar a ser usados levando em conta as ponderações desta cartilha entre as quais: • • •

fck mínimo igual a 20 MPa a não ser para obras provisórias (exemplo canteiro de obras) quando se aceita fck mínimo de 15 MPa, aumento da espessura mínima de alguns tipos de lajes maciças, aumento do coeficiente de ponderação para lajes em balanço (lajes marquises). É introduzido o coeficiente adicional gn.

Ver tabela 13.2 pg. 74.

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Concreto Armado Eu Te Amo

E – Anotações de MHCBotelho sobre a nova norma Lembro que todo o interesse deste anexo está ligado à estruturas de pequeno e médio porte. Com o devido respeito à competência e o enorme trabalho da comissão que gerou esta norma, a NBR 6118/2014 não tem: mas deveria ter: E-1) citação ou amarração do importantíssimo assunto “fôrmas” que em determinadas obras o assunto fôrmas pode alcançar mais de 30% do custo total da estrutura de concreto armado. Esse assunto “formas” é deixado para outra norma mas como se sabe de um tipo de projeto isso gera fôrmas de maior ou menor custos e nem no Índice Remissivo da NBR 6118/2014 ela é citada. Ver pg. 227 sobre assuntos mais importantes da norma NBR 6118/2014. E-2) citação e cuidados com o assunto alvenaria e sua amarração com o resto da estrutura, que ajuda a dar estabilidade ao prédio e é um elemento garantia de privacidade e segurança para os usuários do prédio. E-3) citação e grande consideração do conceito de “custos”, pois não existe engenharia ou tecnologia sem o estudo de custos. Essa expressão “custos” não aparece citada no Índice Remissivo e se fosse citada nesse índice seria na página 222. E-4) citação de “cintas de amarração”, item importante em pequenas obras. E-5) O assunto “verga” não aparece com esse jargão tão comum, embora essa norma NBR 6118/2014 descreva o cuidado construtivo recomendado, mas na parte da norma do Concreto simples (item 24.6.1 pg. 205). As vergas são usadas em todas as obras estruturais em cima e em baixo de janelas e em cima de portas. Possivelmente o fato desse cuidado estar na parte de Concreto Simples da norma refira-se ao fato da verga ser importante no relacionamento com a alvenaria. E-6) explicação sobre o conceito de “junta de concretagem”. Jovens profissionais podem não saber como resolver o assunto. Deve haver uma recomendação relativa à previsão de armadura de costura nesses casos entre o concreto velho e o concreto novo. E-7) deve-se usar sempre junto à expressão “lajes em balanço” a expressão “laje marquise” que por vezes é até mais expressiva em termos de comunicação geral. E-8) a versão 2014 usa o termo “barras de alta aderência” mas não diz quais elas são. Na versão 2007 a norma é clara: é a barra de aço CA-50 (Tabela 8.2 pg. 26). Portanto podemos concluir pela tabela a seguir.

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Anexos

Tipo de barra

Coef. conformação superficial

Ductilidade

Lisa (CA – 25)

1,0

Alta

Entalhada (CA – 60)

1,4

Normal

Alta aderência (CA – 50)

2,25

Alta

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E-9) No seu item 7.4.1 pg. 18 há um alerta que pode ser interpretado que não se deve usar pastilha de concreto feitas na obra que tem quase sempre má qualidade devendo ser usada então ou a pastilha comprada pronta ou a pastilha de plástico. E-10) Faltou definir, na opinião de MHCBotelho que cabe ao projetista da estrutura a fixação da “contra-flecha” de obra mas que esse é um assunto que sempre deve ser discutido como o engenheiro da obra. A utilização de contraflecha é algo importante em toda a obra e mais importante no caso de lajes em balanço e em canaletas de concreto armado para águas pluviais. Ver NBR 6118 tabela 13.3 pg. 78 onde o conceito de “contra flecha” é citado quatro vezes. E-11) Cuidado de obra item 8.3.7 pg. 30. Embora a norma NBR 6118/2014 seja uma norma de projeto de estruturas de concreto aqui e ali nela são inseridos aspectos importantes de obra como o trecho citado e transcrito a seguir: “Em ensaios de dobramento (de armaduras de aço) a 180°, realizados de acordo com a NBR 6153 e utilizando os diâmetros de pinos indicados na ABNT 7480, não pode ocorrer ruptura ou fissuração.” E-12)A norma fala e chama a expressão “Seção” mas isso não é indicado. Isso deveria acontecer no topo da página iii. É a divisão do texto da norma em partes. (capítulos principais). E-13)Para obras de concreto simples o menor fck é de 15 MPa e o máximo é de 40 MPa (item 24.3 pg. 200). E-14) Seria importante existir uma norma específica para projeto e execução de edifícios de pequena e média altura com uma linguagem e abrangência compatível com esses tipos de obra.

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ANEXOS ANEXO 3 Crônicas Estruturais Nota: As crônicas estruturais deste livro apresentam assuntos muito importantes da engenharia estrutural e o fazem na forma de crônicas, tornando o assunto talvez mais agradável e até alegre. Cremos que para estudantes e jovens profissionais esse é um caminho técnico didático extremamente útil e possível. As crônicas são de responsabilidade do Eng. Manoel Henrique Campos Botelho.

1) Revelada a secreta história de um caderninho de capa preta(*) de um famoso engenheiro estrutural Um famoso engenheiro estrutural comandava seu pequeno escritório de projetos estruturais com mão de ferro. Embora simpático e educado, ele trazia todos sob o seu comando técnico implacável, como, aliás, teria mesmo de ser. Entrando um projeto, um dos cinco engenheiros do escritório era encarregado de o desenvolver. Para isso, o famoso engenheiro dava as orientações iniciais, sempre e rigorosamente por escrito, e o escritório tinha, além disso, as suas regras de trabalho e produção. Recebido o projeto arquitetônico, o assunto era levado ao chefão, que orientava a produção de um rapidíssimo anteprojeto estrutural. Com esse anteprojeto estrutural pronto, o chefão abria um misterioso caderninho de capa preta e, sem explicar o porquê, já dava dados para terceiros iniciarem o anteprojeto de fundações. Mas como ele dava dados de carga nas fundações se o projeto estrutural mal começara? O segredo e o mistério estariam nesse caderninho de capa preta que ele não mostrava para ninguém. Aí o projeto estrutural avançava e quando estava quase pronto, esse anteprojeto era analisado por um outro engenheiro do escritório que o auditava, fazia um resumo e preenchia um formulário do escritório com os dados de: _ (*) Nos dias atuais, talvez fosse um CD de caixa preta, ou um "pendrive" de cor preta.

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• • •

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volume de concreto armado; peso de aço previsto para a estrutura; e outros.

e se tivesse havido um projeto de formas: •

área de formas prevista.

Com esses dados e solitariamente em sala fechada, sempre consultando o seu caderninho de capa preta, o chefão aprovava, ou punha a boca no trombone alertando de algum possível erro. Com bastante confiabilidade, o caderninho de capa preta denunciava possíveis erros. Como pode? Mas o chefão não mostrava e não deixava ninguém consultar o caderninho de capa preta. Um dia, e esse dia sempre acontece, o chefão esqueceu o caderninho em cima da mesa e foi visitar um cliente. Mal ele saiu do escritório, rapidamente o caderninho de capa preta foi levado para a máquina xerox e, como no milagre da multiplicação dos pães e peixes, o caderninho de capa preta virou dezenas de caderninhos de capa preta. Vejamos pela primeira vez o que estava escrito no caderninho e que orientava o poderoso chefão na análise prévia e análise crítica de resultados de projetos estruturais.

2) 3)

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Cálculo de carga passada às fundações pela edificação (peso da estrutura de laje, viga, pilar , alvenaria e carga acidental), por medida equivalente de espessura de laje : Superestrutura • 23 cm/m 2 de área da planta se for usada laje maciça ; • 13 cm/m 2 de área da planta se a laje for premoldada. Infraestrutura (fundações) • peso de baldrame + sapata = 10 cm/m 2 ; • peso de baldrame + bloco = 6,5 cm/m 2 ; Área de formas 8 m 2 de formas/1,0 m 3 de concreto (depende do reúso das formas) Consumo de aço Superestrutura - 100 kg aço por m 3 de concreto Infraestrutura - (fundações) • 40 kg de aço por m 3 de concreto, se for viga baldrame e sapata ; • 80 kg aço por m 3 de concreto, se for viga baldrame e bloco de estacas. Relação entre o uso de concreto armado das peças lajes, vigas e pilares: • lajes - cerca de 50% do total; • vigas - cerca de 35% do total; • pilares - cerca de 15% do total.

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Exemplo Seja um prédio de apartamentos com sete andares (oito lajes), com 840 m2 de área por andar, laje maciça e fundações por baldrame e sapatas. Cálculo do peso em m3 de concreto de toda a estrutura 840 m 2 × 0,23 m × 8 + 840 m 2 × 0,1 m = 1.545 + 84 = 1.629 m3 de concreto Peso enviado para as fundações (peso próprio e carga acidental) 1.629 × 2,5 tm3 (peso específico do concreto)= 4.072 t. Previsão de fôrmas com reúso total 840 × 0,23 × 8 = 1.545 m 2 de fôrmas Consumo de aço superestrutura – 100 kg aço por m3 de concreto infraestrutura

840 × 0,23 × 8 × 100 = 154.560 kg de aço 840 × 0,1 × 40 = 3.360

Consumo total de aço na obra 154.560 + 3.360 = 157.920 kg de aço (158 t) Nota: no livrinho também constava : As cargas totais do prédio dividem-se em: • •

65% de peso próprio; e 35% de carga acidental.

Agradeço ao colega E. G. a cessão dos dados que veio também de um “caderninho de capa preta” que no caso específico seguramente é um CD de capa preta. Nota: Como este texto foi submetido a “controle de qualidade”, um desses leitores críticos exigiu que constasse no texto algo sobre cálculo preliminar de carga pilar por pilar baseado no critério de “áreas de influência”. Vejamos como é esse cálculo preliminar que vai liberando informações preliminares sobre cargas nas fundações. 1) Com o anteprojeto estrutural (hipótese de 8 pilares) traçamos as mediatrizes (reta ortogonal ao ponto médio da linha de pilares). 2) Com as mediatrizes e a linha de contorno da estrutura definem-se vários retângulos. Calculemos as áreas de cada retângulo (no caso oito pilares e que dependendo das disposições desses pilares essas áreas de influência) podem ser bem diferentes entre si. Pegamos a carga total enviada às fundações (no nosso caso 4.072 t) e dividimos essa carga pela área em planta da edificação (no nosso caso 840 m2) dando 4.072/840 = 4,84 t/m 2. Agora usemos esse coeficiente 4,84 t/m2 e multipliquemos pelas áreas dos retângulos de influência de cada pilar e teremos a estimativa de carga para cada pilar.

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2) Enigma estrutural – Teste estático X teste dinâmico Como testar, empiricamente, a capacidade de uma laje de um salão de baile A história Recentemente no Estado de São Paulo ruiu uma estrutura de um clube durante um show de roque pauleira. Houve muitas mortes e feridos. Face a isso, recebi dois emails com o mesmo assunto. Dois engenheiros municipais de duas cidades deste nosso país contaram-me que já enfrentaram o seguinte problema: Seja uma estrutura (laje) concebida estruturalmente para um fim (por exemplo para estocar matéria-prima) e com carga acidental de projeto da ordem de 400 kgf/m 2. Admitamos que a estrutura foi construída atendendo ao projeto estrutural, ou sejam cargas estáticas de até 400 kgf/m 2. Eis que há uma mudança de uso e essa laje deveria passar a ser usada para shows de roque pauleira com todo o mundo pulando e com carga estática (participantes por hipótese parados) já se aproximando da carga de projeto. Com a agitação dos participantes, as condições de esforços, agora dinâmicos, as tensões da estrutura seguramente poderão ultrapassar os limites de projeto. Prefeitos cuidadosos, que não são a maioria, lamentavelmente, pedem ao engenheiro municipal que faça um teste com a estrutura para liberar a estrutura para uso nesses shows. Regra geral o engenheiro municipal encarregado da verificação da estrutura para esse novo uso só poderá fazer um teste estático por exemplo carregando a estrutura com sacos de areia simulando as cargas acidentais. Agora fica a questão: com que carga de teste estático deveremos testar a estrutura em condições dinâmicas? Recordemos que a carga estática do projeto e admitindo-se a observância do projeto na execução da obra foi 400 kgf/m 2 (40 MPa). Ficam as seguintes questões: 1) Qual deve ser a carga de teste para simular a situação da estrutura durante o show de rock pauleira (“heavy metal” dizem os gringos). 2) É possível simular com teste estático uma situação dinâmica? Não respondi ainda aos dois consulentes e espero a colaboração dos colegas para ajudá-los nesta questão que os livros não contam e que corresponde a uma realidade constante face ao surgimento de novas casas de show e academias de ginástica. Quando responder aos dois consulentes desesperados darei crédito das colaborações estruturais recebidas dos amigos. Um abraço Manoel Henrique Campos Botelho

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Resposta de um leitor Eng. Botelho A prova de carga é a melhor das provas(*) . Sugiro que o colega municipal promova em cima da laje em pauta, bailes seguindo rigorosamente a seguinte ordem: -

Baile da Saudade com o conjunto musical “Vovôs da Serenatas”, depois, e se não tiver havido problemas:

Baile com o conjunto “Angels of Heaven” (Anjos do Céu), e depois, se não tiver havido problemas:

Show com o conjunto “Angels of Hell” (Anjos do Inferno), depois e se não tiver havido problemas:

Show com o conjunto “The Demons of Heaven” (Demônios do Céu), e finalmente, se nada, mas nada mesmo aconteceu:

Show com o conjunto “The Demons of Hell”. (Demônios do Inferno)

Se tudo der certo, libere em geral.... Fim da resposta do leitor. Se você não acredita na diferença entre cargas estáticas e cargas dinâmicas pegue o peso de 1 kgf e coloque numa balança de mola (dinamômetro). Ao se colocar, mesmo com cuidados, esse peso de 1 kgf, a balança chegará por instantes a valores próximos de 1,5 kgf, só depois retornando para mostrar a medida de 1 kgf. Por décimos de segundos ocorreu uma carga dinâmica. Nos salões de baile a solicitação dinâmica acontece quase que continuamente.

_ (*) Como fundamento de que a prova de carga é a rainha das provas, cita-se um provérbio muito antigo: "Se uma estrutura em dúvida passou por uma prova de carga, rasguem-se as folhas da memória de cálculo…"

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3) Crônica-denúncia: Revisão (sem me avisarem) da norma de cargas estruturais Atenção – esta é uma crônica, crônica-denúncia, mas é crônica. Conto e é importante que eu conte e denuncie que a importantíssima norma de cargas para projetos de estruturas foi mudada à socapa, ou seja, sem que ouvisse a opinião do meio técnico. Um grupo de iniciados, será que eles são mesmo iniciados (?), mudou essa norma. Vejam como eu soube e o fato gerou esta denúncia estrutural. Por orientação do meu advogado destaco, que isto aconteceu num país de fala hispânica. Tenho feito projetos estruturais e dado consultoria sobre esse assunto nesse país hispânico. Um dia, o dono de uma livraria com muitas lojas veio me procurar com uma consulta. Ele tinha acabado de comprar um velho prédio perto do centro da cidade, prédio com andar térreo e mais cinco andares padrões, prédio com mais de 70 anos de vida, todo em estrutura de concreto armado e desejava usar o prédio para estocar livros. Como ninguém mais tinha o projeto estrutural do prédio, sejam desenhos e ainda menos as memórias de cálculo, ele me perguntou com a objetividade dos comerciantes: — Qual a altura de livros que posso estocar nesse prédio, laje por laje, para não ter problemas na estrutura? Pago pela consultoria desde que seja módica, pois os negócios estão semiparados (frase padrão dos comerciantes que estão indo bem). Não era uma simples pergunta e exigia uma visita ao prédio, uma consideração de como se projetavam as estruturas nos anos 30 do século passado e, talvez, um plano de ocupação progressiva do prédio medindo deformações e verificando o eventual surgimento de fissuras. Era um belo trabalho mas eu estava sem tempo para executá-lo. Decidi então contatar o Eng. João com quem trabalhei no começo de minha vida profissional e sempre foi o meu guru estrutural. O João é um excelente engenheiro, mas sempre muito irritadiço, e sua falta de uma certa habilidade e flexibilidade prejudicou o crescimento de sua fama no meio técnico e empresarial. Foi uma sorte. João estava com baixa carga de trabalho, e um estudo estrutural como esse apaixonava pelo desafio do estudo não convencional e pelos honorários. A resposta do João foi clara e direta. — O trabalho desafio me interessa intelectualmente e profissionalmente se o cliente, o livreiro, concordar com minha proposta de honorários. Apenas preciso saber do tipo de cargas a atuar no velho prédio em todos os andares, pois a norma de cargas estruturais acaba de mudar nesse país de fala hispânica (e mudar muito) e por lei tenho que seguir essa nova norma de cargas estruturais… A resposta me surpreendeu pois eu, atuante no meio profissional desse país, personagem permanente nas famosas reuniões de quinta a noite da associação de

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engenheiros, reuniões seguidas da famosa pizza de encerramento, nessas reuniões nada, mas nada se falou sobre essa recente mudança da norma de cargas e que mudaria toda a nossa prática profissional. Citei isso ao colega João que me respondeu: — Houve uma mudança na direção da entidade das normas e eles a editaram por uma tal de “Medida Provisória”, dispositivo jurídico que todos são contra quando não estão no poder e usam muito quando se alcança o poder. Fiquei boquiaberto com tudo o que eu ouvia e ouvi João explicar: — Pela novíssima norma* as cargas estruturais agora se dividem em: cargas obedientes, cargas desobedientes e cargas suicidas — Preciso saber se no uso do velho prédio estocando livros, qual das cargas usaremos pois os resultados variam enormemente. Fiquei arrasado com a informação pois eu sempre calculara estruturas com as cargas em prédios divididas em dois tipos: cargas mortas (peso próprio) e cargas acidentais (vivas) (pesos decorrentes do tipo de uso ou estocagem de materiais). E havia uma questão de amor-próprio ferido. Ninguém me consultara sobre essa mudança como consultor ou usuário das normas. Eu esconderia esse fato para não manchar minha carreira profissional. Fiz então uma pergunta ao meu velho mestre Eng. João: — Face a muitos trabalhos em andamento, não participei da revisão dessa norma, apesar de muitos convites e pedidos de consultoria (quanta história é necessário contar para manter a imagem). Como eu entendo esses novos tipos de cargas? João, como todo mestre, sempre foi muito solícito comigo e sempre me ensinou de forma simples o que os doutos livros por vezes complicam. A explicação do Mestre João foi: — São cargas obedientes as cargas que por lógica estrutural são colocadas em cima de lajes mas obedientemente perto dos apoios da lajes nas vigas. Com isso, os momentos fletores gerados são menores. O peso próprio (carga morta da própria estrutura) não se distribui dessa forma mas sabemos onde eles estão e eles não saem de seus lugares e podemos chamá-los todos de cargas obedientes, — São cargas desobedientes as cargas que não sabemos onde vão se localizar e, de alguma forma, se localizam razoavelmente espalhadas sobre a laje, além do peso próprio, esse sim de local conhecido. — E são cargas suicidas as cargas que forem colocadas todas elas no meio das lajes e fugindo dos apoios. São as cargas que geram, pela posição afastada dos apoios, os maiores momentos fletores. Se houver uma supertendência (*)

Atenção: esta é uma crônica com objetivos didáticos.

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suicida enchendo a laje até o teto, então temos um novo tipo de carga; as chamadas cargas carro-bomba, muito usadas infelizmente em certos países. Em certas obras, por falta de orientação técnica, certos empregados estocam material de construção em área restrita de lajes e com grande altura e, então, essas cargas carro bomba rompem as lajes por puncionamento e isso acontece até em nosso país. E o Mestre João finalizou: Mas, afinal de contas, que tipo de cargas vamos considerar no estudo do velho prédio para estocar livros? Procurei ser objetivo e pragmático na minha resposta. O cliente precisava do estudo e a mudança da norma era um fato : — Faça o seu estudo considerando que as cargas serão as cargas desobedientes e faça um manual de uso futuro da edificação orientando como estocar livros compatível com a hipótese de só ocorrerem cargas desobedientes (cargas espalhadas pelas lajes sem posicionamento específico, ou seja, cargas uniformemente espalhadas pela laje). Assim foi feito. Admitiu-se as cargas que ocorrem depois do prédio pronto se distribuem uniformemente pelas lajes e que é a hipótese padrão. Isso tudo aconteceu faz alguns anos e quando vou hoje ao centro da cidade na procura de livrarias sebo e livrarias convencionais vejo o velho prédio sendo usado para estocar livros e tudo está bem com ele. Felizmente… FIM* Nota: Por orientação do meu assessor jurídico e especialista em processos ligados a assuntos de perdas e danos, todas as minhas crônicas devem começar e terminar com a advertência a seguir entre dois asteriscos. *Esta história é um texto de ficção e se verdade fosse, teria acontecido num país de fala hispânica. E por incrível coincidência foi assim mesmo…*

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Desenhos explicativos; Distribuição das cargas obedientes que geram os menores Momentos Fletores

Cargas obedientes

Laje Vigas Seção

Distribuição das cargas desobedientes que geram Momentos Fletores de valor médio

Cargas desobedientes

Laje Vigas Seção

Distribuição das cargas suicidas que geram os maiores Momentos Fletores

Cargas suicídas

Laje Vigas Seção

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4) Problemas arquitetônicos – estruturais (de concreto armado) de um belo e grande estádio de futebol Este fato aconteceu de verdade faz uns dez anos e suas consequências perduram até hoje. Num país de fala hispânica, decidiu-se construir um estádio de futebol moderno e com capacidade para uns 60.000 espectadores. Foi contratado um famoso e competente arquiteto que desenvolveu o anteprojeto arquitetônico inicial (e ponha inicial nisso). Com esse anteprojeto arquitetônico inicial foi contratado um famoso e competente escritório de projetos estruturais. Com essa dupla competente de projetistas parecia que tudo iria bem. Recebidos os projetos e como haveria proximamente um campeonato internacional tendo esse estádio como sede principal, as obras foram iniciadas de imediato e não se contratou nenhum dos dois escritórios, seja o de arquitetura seja o estrutural para acompanhar a obra, que aliás foi um caos administrativo. Com as estruturas quase prontas, a federação local de futebol foi fazer uma vistoria nas obras do futuro estádio. E olhos experientes descobriram, com a obras ainda em andamento, algo inacreditável. Mais de 10% dos assentos tinham suas visões do campo de jogo prejudicadas por parte das estruturas de concreto armado. Alertado o fato não havia mais tempo de corrigir as falhas que foram aceitas, mas a capacidade do estádio teve de aceitar que oficialmente a redução de sua capacidade ficou como sendo de 60.000 –10% (60.000) = 54.000 espectadores e não mais 60.000. O clube quis saber quem era o culpado pelo terrível e eterno problema que prejudicaria o estádio. A conclusão foi:

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•

O arquiteto fizera apenas um anteprojeto sumário inicial, mas com previsão verbal de mudanças arquitetônicas conforme evoluísse o projeto. Essas mudanças foram acontecendo e informado o cliente, mas este não tinha estrutura administrativa gerencial para avisar tanto o projetista da estrutura como o projetista das instalações hidráulicas e elétricas.

•

Durante a fase de aprovação do projeto na prefeitura esta fizera novas exigências que a arquitetura procurou atender, mas outras exigências eram da parte das instalações e estas exigências tardiamente foram passadas para o projetista das instalações e ninguém avisou o projetista estrutural das consequências.

•

O projetista estrutural ia avançando e modificando o seu projeto e enviava anteprojetos para o cliente aprovar, e este nem aprovava nem avisava os outros envolvidos do andamento do projeto estrutural talvez achando que o assunto se resolveria na obra (!).

•

Com as obras em início, claro que o construtor não olhava os aspectos funcionais do estádio, quando o corpo de bombeiros (que não tinha sido consultado previamente) fez outras exigências conflitantes com o projeto

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arquitetônico e que gerou problemas no projeto estrutural e no projeto de instalações, mas, como a obra estava em andamento, deixou-se mais uma vez para a obra resolver esses problemas funcionais (questão de visibilidade do campo resolvida pelo construtor!). Conclusão – O estádio continua com 10% de seus lugares com problemas, tudo isso por falha de gerência de empreendimentos. Em obras médias e grandes tem de existir um coordenador que com mãos hábeis e firmes faça uma integração dos projetos, usando informações por escrito. Nota indefectível. Apesar dos problemas funcionais do estádio nos dias de clássicos nacionais são vendidos evidentemente 60.000, ingressos e entram, na prática, mais de 65.000 espectadores, mas isso é outro assunto que fica para outra vez…

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Crônica

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CRÔNICA (PARÁBOLA) CHAVE DE OURO DESTE LIVRO

Aos leitores De tudo o que eu tenho escrito sobre engenharia estrutural, a Crônica (parábola) a seguir foi a mais elogiada e vários professores de engenharia estrutural a leram para seus alunos. Face a isso decidiram os autores terminar este livro com a reprodução da crônica, que também está no volume 2.

COMO SE PREPARAR PARA UMA CONSULTA COM UM SIMPÁTICO SUPERESPECIALISTA DE ESTRUTURAS. Assisti… parte da própria resposta. Grato, MHC Botelho Assisti a esta cena. Estava eu trabalhando com um simpático superespecialista de estruturas de cabelos totalmente brancos, quando tocou o telefone, e um jovem colega que se iniciava no cálculo de estruturas pediu ao especialista uma consultoria geral sobre o cálculo de concreto armado de um prédio convencional de média altura. Eu sabia que o superespecialista estava cheio de trabalho e ia fazer uma viagem ao exterior, onde faria uma palestra. Por tudo isso, estava sem tempo para fazer novos serviços. A resposta rápida do superespecialista me surpreendeu: –

“Topo dar a consultoria, mas desde que você aceite algumas condições. São elas: a reunião será daqui a duas semanas no meu escritório, só responderei na reunião às perguntas que você tiver me feito até dois dias antes por escrito, enviadas via fax ou por e-mail. As perguntas devem vir agrupadas, organizadas por tema, numeradas e cada pergunta deverá vir obrigatoriamente com sua opinião pessoal e, portanto, com uma pré-resposta. Não responderei a nenhum assunto fora do roteiro”.

Eu não entendi nada. Por que esse método? Se a pessoa está pedindo ajuda, por que o consulente tem de ajudar o mestre com uma pré-resposta para cada assunto? Será que o mestre não era tão mestre assim? E a questão da numeração das perguntas? E a exigência de só responder às perguntas previamente mandadas por escrito? Burocracia estrutural? E a surpresa veio a cavalo:

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“Cobrarei R$ 800 por hora de reunião dessa consultoria.”

Nessa época, o valor máximo cobrado por esse superespecialista era de cerca de R$ 300 por hora e como referência o dólar americano estava a R$ 3,20. Qual a razão comercial ou ética do aumento gigantesco? Não pude acompanhar o caso no seu desdobramento, mas sei que todo o previsto aconteceu, e a reunião durou duas horas. Depois fiquei sabendo que o consulente saiu satisfeitíssimo com a consultoria. Comentei o fato com um amigo, e ele me abriu os olhos para esse tipo de consultoria estrutural. –

“Genial. Ele não deu consultoria para um iniciante. Ele transformou o iniciante numa fera faminta e exigente. Ao exigir que o jovem colega se organizasse para a reunião, ele começou um processo de ensino. O jovem colega foi obrigado a se organizar mentalmente. Primeiro, listou por escrito as dúvidas, foi obrigado a classificá-las, ordená-las e numerá-las. Isso já é um enorme autoaprendizado. Depois teve de escrever as pré-respostas com detalhes e desenhos, pois fora do escrito, o mestre nada responderia. Esse texto que depois foi enviado ao mestre, preparando a reunião, tem alto valor, e eu mesmo gostaria de conhecê-lo, pois tem um valor quase tão grande quanto as respostas. Aliás, isso confirma que uma pergunta bem formulada já traz no seu bojo metade da resposta, mas veja: pergunta bem formulada. Quando o jovem colega foi para a reunião, realmente ele sofrera, sem saber, um processo de transformação. Antes de se organizar, ele era uma pessoa carente e insegura. Com a preparação, ele se transformou em um jovem e extremamente exigente, jovem leão, faminto e com garras afiadas. Quanto ao preço da hora de consultoria, não se esqueça o que o jovem colega ganhou em aprendizado, por ter procurado um guru estrutural tão didático. Na verdade, a consultoria começou na primeira ligação telefônica. Nunca um dinheiro foi tão bem gasto.”

Pensei e hoje concordo com meu amigo e com a atitude do guru estrutural. Antes de solicitar uma consultoria, prepare-se para ela como um leão faminto. Relembro, perguntas bem estruturadas já trazem em seu bojo, parte da própria resposta.

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Índice Remissivo

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ÍNDICE REMISSIVO DE ASSUNTOS PRINCIPAIS

A Ábacos de dimensionamento de pilares, 472 abatimento do cone, 208 abóbadas, 190 abreviações, 112 Ação e reação, 33, 47 aços, 109 agregado graúdo, 221 agregado miúdo, 221 agressividade do meio ambiente, 185 ancoragem das armaduras, 340 ancoragem nos apoios, 342 anexo 1 – fotos interessantes de estruturas de concreto, 500 anexo 2 – comentários sobre itens da nova norma 6118-2014 e aspectos complementares, 508 anexo 3 – crônicas estruturais, 516 arcos, 190 área de armadura para lajes, 180 argamassa, 221 armadura e o momento fletor, 338 armadura de suspensão, 335 armadura mínima de pilares, 189 armadura secundária, 189 B Barës-Czerny – Tabelas, 142 BDI, 484 C cálculo isostático ou hiperestático, 227 cargas acidentais, 114 cargas de projeto, 114 cargas nas vigas, 271 cargas nos pilares, 438 cisalhamento, 58, 74

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classes de agressividade, 185 cobrimento da armadura, 185 cobrimento mínimo, 185 Código de Grinter, 252 coeficiente de minoração do aço, 86 coeficiente de minoração do concreto, 86 coeficiente de ponderação, 86 compressão, 58 concreto armado, o que é?, 23 concreto magro, 440 Consulta ao público leitor, 532 controle de concretagem, 477 Cross, 249 custo do m3 do concreto, 209 Czerny, 142 D dimensionamento da estrutura de concreto armado, 108 dimensionamento de lajes, 170 dimensionamento de pilares, 366 dimensionamento de sapatas, 439 dimensionamento de vigas duplamente armadas, 322 dimensionamento de viga Tê, 324 dimensionamento herético de viga de concreto, 102 dutilidade de estruturas, 127 E efeito Rusch, 88 emenda de aço, 116 engastamentos parciais, 350 escadas, 245 escoramento, retirada, 270 espessuras mínimas de lajes, 135, 170 estádios do concreto armado, 210

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estado limite de ruína, 211 estado limite de utilização (serviço), 212 estágios do concreto armado, 210 Estruturação do prédio, 38 estruturas hiperestáticas, 124 estruturas hipostáticas, 124 estruturas isostáticas, 124 F fc 28, 207 fcj, 207 fck, 205 flambagem, 274 flexão composta normal, 177 força cortante em vigas, 331 forças cortantes, 74, 332 fotos interessantes, 500 fragilidade de estruturas, 127 G grinter, código, 252 H história do livro “Concreto armado, eu te amo”, 489 Hooke, 118 I Índice das tabelas, 531 Índice remissivo (de assuntos), 529 K k3, 182, 320 k6, 182, 320 k7, 321 k8, 321 L lajes armadas em duas direções (em cruz), 142 lajes armadas em uma só direção, 141 lajes conjugadas, 131 lajes isoladas, 129 lages marquises, 170 linha neutra, 24, 65, 70, 95 M Método de Cross, 249 Módulo de deformabilidade (Módulo de Elasticidade), 123 Módulo de Elasticidade, 118 Módulo de Resistência, 89 Momento de Inércia, 89 N norma 12655, 477

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normas, 112 normas da ABNT — obrigatoriedade de seguimento, 482 O obediência do concreto armado, 312 orçamento de obras, 485 P passagem de dados para a obra, 210 perspectiva do prédio, 39 Pesos específicos, 20 Pesos lineares, 31 Pesos por área, 22 pesos unitários, 116 pilares, dimensionamento, 434 pilares com dimensões especiais, 367 premissas do projeto estrutural, 45 produção do concreto, 221 prova de carga, 520 R resistência característica, 85, 204 resistência de cálculo, 85 Rusch, efeito, 88 S sapatas, 439 sapatas rígidas, 445 slump, 208 T Tabela-Mãe, 32 Tabelas de Czerny, 142, 146-158 tensão admissível, 81 tensão de cálculo do aço, 87 tensão do cálculo do concreto à compressão, 87 tensões, 78, 137 torção, 58 tração, 58 Três famosas condições, 49, 58 V verga, 46 Viaduto Santa Efigênia, 17, 507 viga de um só tramo, 233 viga duplamente armada, 322 viga Gerber, 165 vigas subarmadas, 127 vigas superarmadas, 127 Vínculos, 59, 163, 166 Y Young, 121

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Índice Remissivo

531

ÍNDICE DAS TABELAS Número da tabela

Aula do livro

T-1

Título

pg.

1.2

Tabela de pesos específicos

T-2

2.1

Tabela-Mãe para aços

T-3

5.1

Tabela de Momentos de Inércia e Módulos de Resistência

T-4

6.1.1

Tipos dos aços

110

T-5

6.4

Cargas acidentais

115

T-6

6.5

Comprimento de ancoragem

117

T-7

7.1

Módulos de Elasticidade

120

T-8

8.2.2

Espessuras mínimas de lajes maciças

135

T-9

9.3

Tabelas de Barës-Czerny para lajes armadas em cruz

145 a 158

T-10

11.3

Tabela de dimensionamento de lajes (k3 e k6)

182 a 183

T-11

11.3

Tabela de armadura para lajes 3

184

T-12

13.2

Custo do m do concreto em função do fck e do slump

209

T-13

18.1

Tabela de dimensionamento de vigas à flexão k6 e k3

320 e 321

T-14

18.1

Tabela de dimensionamento de vigas duplamente armadas k7 e k8

321

T-15

18.4

Valores de Asw /s para estribos de dois ramos (pernas)

333

T-16

19.1

Comprimento de ancoragem da armadura tracionada

341

T-17

23.2

Tabela de carga nos pilares

438

T-18

25.2

Dimensionamento de pilares — Ábaco 1 — Flexão composta normal, fck 20 MPa

473

T-19

25.2

Dimensionamento de pilares — Ábaco 2 — Flexão composta oblíqua, fck 20 MPa

474

T-20

25.2

Dimensionamento de pilares — Ábaco 3 — Flexão composta normal, fck 25 MPa

475

T-21

25.2

Dimensionamento de pilares — Ábaco 4 — Flexão composta oblíqua, fck 25 MPa

476

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532

Concreto Armado Eu Te Amo

Consulta ao público leitor O Prof. Eng. Manoel Henrique Campos Botelho e o Eng. Osvaldemar Marchetti são profissionais da criação de livros para a Engenharia. Para ajudar os autores, leia o livro, tire uma cópia desta página e depois, por favor, responda ao questionário e envie para o Prof. M. H. C. Botelho ou para o Eng. O. Marchetti. O Prof. e autor M. H. C. B., compromete-se a enviar, via Internet, para os leitores que devolverem esta folha preenchida, duas crônicas tecnológicas de sua autoria.

Para Manoel Henrique Campos Botelho email: manoelbotelho@terra.com.br 1— Você gostou do livro “Concreto armado eu te Amo — Vol. 1 - 8ª edição” Dê sua opinião.

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Concreto Armado Eu Te Amo

533

Lista de livros do engenheiro Manoel Henrique Campos Botelho, autor da coleção Concreto Armado Eu te Amo. •

Instalações elétricas residenciais básicas – para profissionais da Construção Civil 156 páginas.

•

Concreto armado eu te amo Vol. 1 – 8ª edição, 2015, 532 páginas.

•

Concreto armado eu te amo Vol. 2 – 4ª edição, 2015, 340 páginas.

•

Águas de chuva – engenharia das águas pluviais nas cidades 3ª edição, 2011, 300 páginas.

•

Resistência dos materiais para entender e gostar 2ª edição, 2013, 238 páginas.

•

4 edifícios × 5 locais de implantação = 20 soluções de fundações com 168 páginas.

•

Manual de primeiros socorros do engenheiro e do arquiteto Vol. 1 – 2ª edição revista e ampliada, 2014, 304 páginas.

•

Manual de primeiros socorros do engenheiro e do arquiteto Vol. 2 – 2015, 296 páginas

•

Operação de caldeiras – gerenciamento, controle e manutenção 2011, 208 páginas.

•

Concreto armado eu te amo para arquitetos 2ª edição, 2011, 256 páginas

•

Instalações hidráulicas prediais utilizando tubos plásticos – Linha AMANCO 4ª edição, 2014, 407 páginas.

•

Princípios da mecânica dos solos e fundações para a construção civil 2015, 184 páginas

Livros em produção •

Concreto armado eu te amo vai para a obra

•

ABC da Topografia

•

Resistência dos materiais para a área industrial

•

Estruturação de pequenas e médias edificações

•

Concreto armado eu te amo Vol. 3

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534

Concreto Armado Eu Te Amo

Novos assuntos no volume 3 do Concreto armado eu te amo •

Mesa de dobragem do aço

•

Explicando a prova de carga

•

Não existência de exame para verificar o teor da relação água-cimento

•

Pedido de compra de concreto usinado

•

Planos de concretagem

•

Custo da obra

•

Sequência de projeto considerando a moleza (deformabilidade) das estruturas. Vale a regra “Comece os cálculo pelas peças mais moles”

•

Cartas respondidas

•

Grandes vigas vencendo grande vãos

•

Laje lisa e laje cogumelo – analogia com uma cadeira

•

Tipos de sapatas

•

Do projeto estrutural de prédios ao projeto estrutural de pontes

•

Questões de concursos oficiais respondidas e explicadas

•

Cartilha da norma

•

Dosagem do concreto – da dosagem laboratorial as tabelas de traço

•

Corrida de bicicletas explicando o estado III do concreto (estado de ruptura)

•

Fluxograma concreto usinado

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Manoel Henrique Campos

CONCRETO ARMADO EU TE AMO Volume 1

BOTELHO • MARCHETTI

Apresentando os autores

formado na Escola Politécnica

Osvaldemar Marchetti é

Projetista de estruturas e construtor,os dois se encontraram profissionalmente na Promon, e daí nasceu a ideia de escreverem conjuntamente este livro,

VOL. 1

Politécnica da USP, em 1975.

do Brasil para o mundo da

engenheiro civil formado também pela Escola

é um dos livros mais vendidos

É adotado como livro oficial

CONCRETO ARMADO EU TE AMO

Entre outros locais que

te amo – Volume 1, 8ª edição,

Construção Civil.

Botelho é engenheiro civil da USP, em 1965.

Este livro, Concreto armado, eu

para estudantes e jovens

Nada substitui uma boa

profissionais.

leitura...

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