Extrait La géométrie dans le monde végétal

Élisabeth Dumont

LA VÉGÉTAL DANS LE MONDE GÉOMÉTRIE

Parallèles et verticalité

Reconnaître une plante, c’est lui donner un nom. En l’occurrence, c’est lui attribuer le nom de son genre et de son espèce. Pour en arriver là, il existe des critères de détermination, et il faut pouvoir répondre à quelques questions la concernant, comme : « Combien la fleur comporte-t-elle d’étamines ? » ou « Les feuilles sont-elles simples ou composées ? » C’est un peu comme dans un logiciel informatique, chaque réponse oriente vers de nouvelles questions.

Le groupe des Angiospermes rassemble les plantes à fleurs dont la graine est protégée par un fruit. Ce n’est pas le cas des conifères, dont les graines sont

Parallèles : les nervures des Monocotylédones

Les feuilles de la plupart des plantes monocotylédones sont longues et pointues, sans pétiole. Leur limbe est parcouru par des nervures parallèles.

Une feuille peut être composée d’un limbe et d’un pétiole. Le limbe est la partie la plus étendue ; il est vert, large et plat, et il assure la photosynthèse. Le pétiole est la petite queue qui rattache le limbe à la tige.

Chez la plupart des Monocotylédones, les feuilles sont entières, allongées et dépourvues de pétiole. Les botanistes avancent l’hypothèse que le limbe n’existerait pas au sens strict : la feuille serait constituée d’un pétiole plus ou moins élargi à son sommet. ce pseudo-limbe ne comporte que des nervures parallèles, comme dans un pétiole. Elles se rejoignent tout de même à l’extrémité ! Les Monocotylédones représenterait une évolution relativement récente du règne végétal. Citons comme exemples les graminées, les lis, les iris, l’ail, l’oignon, le poireau ou le muguet. Toutefois chaque règle comporte ses exceptions, spécialement dans le domaine de la botanique.

nues (ce sont les Gymnospermes, de gymno, « nu »). Les botanistes distinguent parmi les Angiospermes deux sous-groupes : les Dicotylédones et les Monocotylédones. Voici une des caractéristiques qui permet de classer la plante dans l’un ou l’autre de ces deux groupes : être ramifiée ou pas. Il existe d’autres différences importantes, mais, sauf exception, les nervures des feuilles de Monocotylédones (graminées, oignons, palmiers, etc.) sont parallèles entre elles, alors que les nervures des feuilles de Dicotylédones (roses, haricots…) sont ramifiées. C’est aussi généralement le cas pour les tiges.

En voici deux :

• Le palmier est une plante monocotylédone dont les feuilles portent des nervures palmées. En fait, elles ne seraient palmées qu’en apparence. La jeune feuille possède d’abord des nervures parallèles et son limbe est finement plissé. En vieillissant, la feuille se déploie en éventail et se déchire. Les nervures paraissent alors palmées.

• Quelques rares espèces de Dicotylédones présentent des nervures parallèles, particulièrement celles dont les feuilles sont lancéolées (allongées et pointues). Citons par exemple le plantain lancéolé, cette herbacée très courante de nos pelouses, ou les scorsonères. Chez les linaires, les feuilles sont étroites et allongées, et leur nervure centrale est très apparente, ce qui peut prêter à confusion.

1 | Iris d’eau (Iris pseudacorus, Iridacées).

2 | Maïs (Zea mays, Poacées).

3 | Roseau (Phragmites sp., Poacées) : une graminée des milieux humides, très courante près des mares, et dont on faisait les toits de chaume des maisons autrefois.

4 | La fleur d’orchidée sauvage (Serapia sp., Orchidacées) est parcourue aussi de nervures parallèles.

Les plantes en boule

La sphère est le volume qui présente une surface relative minimale. Dans des conditions d’extrême aridité, les plantes adoptent souvent cette forme sphérique, qui leur permet, pour une masse identique, de présenter la surface de transpiration la plus faible. Ces plantes en boule sont caractéristiques des paysages désertiques. On peut considérer dans ce cas la forme sphérique comme une adaptation morphologique à l’environnement.

Chez toutes les plantes de la famille des Astéracées, autrefois appelées Composées, ce que l’on prend pour une fleur est en fait un groupe de nombreuses fleurs ; c’est une inflorescence appelée « capitule ».

inflorescences de la famille des astéracées

1 | Pissenlit en graine (Taraxaculm sp.).

2 | Scorsonère en graines (Scorzonera sp.).

3 | Echinops bannaticus (aussi appelée « boule azurée »).

4 | Centaurée noire (Centaurea jacea).

autres plantes présentant une symétrie radiale en 3 dimensions

5 | Ce cactus (Echinocactus) a une forme sphérique, qui lui permet de stocker de l’eau, et il comporte des côtes disposées en rayons. Ces protubérances permettent à la plante de se dilater après une pluie et de se rétracter en cas de sécheresse, sans que l’épiderme se fende.

6 | Cardère sauvage (Dipsacus fullonum, Dipsacacées), aussi appelée « cabaret des oiseaux », dont l’inflorescence est munie d’aiguillons piquants.

7 | Le gui est une plante parasite des arbres, visible de loin à cause de sa forme en globe.

8 | Le bédégar, une galle de l’églantier, forme une petite touffe hirsute et sphérique. C’est une réaction de la plante à la piqûre d’une petite guêpe, le cynips.

9 | Clématite en graine (Clematis sp., Renonculacées).

Le nombre d’or, l’angle d’or et la suite de Fibonacci

Nous venons de voir que le nombre d’or est la solution de l’équation du second degré a2 – a – 1 = 0, issue de la divine proportion (quand b = 1). Or, nous avons vu précédemment que c’est la même équation qui permet de calculer la limite du quotient de deux nombres consécutifs de la suite de Fibonacci.

Le rapport de deux nombres consécutifs de la suite de Fibonacci tend vers la valeur du nombre d’or.

Prenons par exemple quelques nombres de cette suite : 144 - 233 - 377 - 610.

Voici le rapport de deux nombres consécutifs :

233 / 144 = 1,61805555

377 / 233 = 1,61802575

610 / 377 = 1,61803713 etc.

Souvenons-nous de la disposition alterne spiralée des organes végétaux autour d’un axe. L’angle de divergence est l’angle entre les axes d’insertion de deux organes consécutifs. Nous avons vu que si on extrapole la suite des angles de divergence, on obtient une valeur qui tend vers 137°30'28". Cette valeur est celle de l’angle d’or.

La valeur de l’angle d’or α peut être calculée précisément à partir du nombre d’or φ, car :

α = 360° / φ2

360 / 1,61803398872 = 360 / 2,618033986 = 137,5077641

Un angle s’exprime en degrés, en minutes et en secondes. Il faut donc convertir ce chiffre en unités d’angle :

1 degré = 1° = 60'

1 minute = 1' = 60" (60 secondes)

137,5077641° = 137° + 0,5077641°

0,5077641° = 0,5077641 × 60' = 30,465846' = 30' + 0,465846’ 0,465846’ = 0, 465846 × 60 = 28"

Donc 137,5077641 = 137°30'28"

Pour résumer, ce nombre d’or est :

• un nombre irrationnel qui comporte de nombreuses propriétés algébriques ;

• la limite du quotient de deux nombres consécutifs de la suite de Fibonacci ;

• la divine proportion entre deux parties quand la petite partie vaut 1 ;

• la limite du quotient entre le cercle et l’angle de divergence des feuilles sur un rameau. On comprend que cette histoire devienne fascinante…

Pourquoi cette proportion du nombre d’or est-elle fréquemment retrouvée dans l’architecture et les productions esthétiques humaines ? Léonard de Vinci, Salvador Dali, Le Corbusier s’en sont inspirés. De nombreux ouvrages spéculent sur cette question. Cette proportion, et le nombre d’or qui en découle, existe dans la nature. Nous savons que l’œil humain est éduqué par son environnement visuel, du point de vue non seulement neurologique, mais aussi culturel. Or, en dehors des villes et jusqu’au début

Chez le pissenlit (Taraxacum sp.), les empreintes laissées par les graines sur le capitule forment 2 séries d'arcs de cercle liées par le nombre d'or.

du xxe siècle, l’œil humain était la plupart du temps baigné depuis la naissance dans un espace naturel. La beauté subjective d’une œuvre est-elle conditionnée par la correspondance de ses proportions avec des proportions naturelles ? Dans ce qui est perçu comme beau dans une production humaine, quelle place occupe ce que l’on peut détecter comme une résonance avec ce qui existe naturellement ? La beauté esthétique serait peut-être un effet d’une harmonie sous-jacente de l’objet créé avec le réel. Prenons l’exemple d’une réalisation architecturale construite selon les règles de la divine proportion, abbaye cistercienne ou temple grec : serait-il pertinent de dire que l’architecte concepteur comme le spectateur émerveillé sont tous deux sensibles à l’esthétique de la nature autant qu’à l’art architectural* ?

La géométrie révèle une connivence profonde entre la logique de notre esprit et la structure du monde extérieur. Elle découle d’une nécessité intérieure, que

* Robert Chalavoux, Nombre d’or, nature et œuvre humaine, 2001, Chalagam.

la nature vient le plus souvent confirmer. La forme créée est une manifestation de l’accord intime entre nos structures mentales et la structure du réel**.

D’un rectangle d’or, on enlève un carré pour obtenir un nouveau rectangle d’or, et ainsi de suite !

** René Huyghe, Formes et forces ; de l’atome à Rembrandt, 1971, Flammarion.

De la spirale à l’hélice

La spirale

Un vertige : celui de la rotation. Un désir : celui de l’expansion. andré deledicq*

Une spirale est une figure plane qui part d’un point et tourne autour de ce point d’une façon uniforme. Plus on suit la spirale, plus on s’éloigne du centre. La spirale est dessinée par un point qui s’éloigne constamment d’un centre tout en lui restant dépendant, autrement dit elle assure une extension en préservant l’unité du tout. Elle se dilate autour d’un point initial. On peut la décrire également comme une trajectoire d’un point qui s’éloigne en tournant. Du point de vue géométrique, elle est énoncée par une fonction continue qui permet de calculer son rayon r en fonction de l’angle θ. On parle de coordonnées polaires. Une spirale a une infinité de spires, car le rayon augmente indéfiniment avec l’angle. Il existe plusieurs types de spirales à deux dimensions, avec des fonctions différentes qui définissent le rayon en fonction de l’angle. La spirale d’Archimède et la spirale logarithmique en sont deux cas particuliers.

LA SPIRALE D’ARCHIMÈDE**

Dans la spirale d’Archimède, les spires s’éloignent du centre selon une progression arithmétique. La fonction s’écrit de la façon suivante : r = aθ r étant le rayon, θ étant l’angle

Cela signifie que la distance entre un point de la spirale et le centre est proportionnelle à l’angle de rotation. La distance entre deux spires est constante. C’est la plus simple des spirales, mais ce n’est pas celle-ci que l’on retrouve dans le monde vivant.

1 | Les jeunes fougères offrent de magnifiques spirales structurées par les nervures enroulées de l’arrière vers l’avant, qui les font appeler « crosses de fougère ».

2 | Même les pétales d’un bouton de rose sont parfois disposés en une élégante spirale.

* In « Les spirales : aspects mathématiques », Pluri-sciences, Encyclopedia universalis, 1978.

** Marc Odier, « Les spirales et les hélices dans la nature » 1978, Pluri-sciences, Encyclopedia universalis.

LA SPIRALE LOGARITHMIQUE

Dans la spirale logarithmique, les spires s’éloignent du centre selon une progression géométrique. La fonction s’écrit de la façon suivante : r = abθ

La distance entre deux spires augmente constamment.

La spirale logarithmique a été étudiée initialement en 1792 par un mathématicien suisse, Jacques Bernoulli, qui l’a appelée spira mirabilis

Cette spirale est la forme qui se prête le mieux à la croissance régulière d’un organisme vivant, c’est pourquoi on la retrouve si souvent, aussi bien dans le monde végétal que dans le monde animal. Si certaines plantes présentent une croissante en ligne droite, comme les cactus en forme de cierge, ou se gonflent en gardant une forme sphérique, comme d’autres cactus boules, les processus de croissance sont la plupart du temps moins homogènes. Si la spirale est une forme qui convient particulièrement bien à la vie, c’est également par son rapport privilégié au temps : le point qui suit la courbe décrit un mouvement, il suggère une vitesse. C’est une forme qui dépasse le monde de l’inerte par son dynamisme. La spirale est fluide comme un liquide, et elle est ouverte sur l’infini. Ce sont sans doute toutes ces propriétés qui la rendent si attrayante et qui ont tant inspiré les artistes depuis les premières heures de l’humanité.

LA SPIRALE DE FIBONACCI

La spirale de Fibonacci est un cas particulier de spirale logarithmique.

Une spirale logarithmique est une homothétie : elle peut s’étendre indéfiniment vers l’extérieur ou vers l’intérieur en gardant toujours la même forme, quelle que soit sa dimension. Dans une plante en croissance, lorsque les primordia s’ajoutent les uns aux autres autour de l’apex et qu’ils grandissent en gardant la même forme, ils s’auto-organisent en une spirale logarithmique pour occuper au mieux l’espace disponible.

Comme nous l’avons vu précédemment, la disposition des écailles des cônes de pin, des fleurs d’une marguerite ou des feuilles alternes spiralées autour de la tige sont des spirales logarithmiques.

spirale d’archimède

spirale logarithmique

spirale de fibonacci a a 2

Voici une des manières de dessiner facilement une spirale de Fibonacci, avec une légère approximation : on construit un carré de côté 1, puis un deuxième carré adjacent de côté 1, puis un troisième carré dont le côté est la somme des deux premiers, et ainsi de suite. Les côtés des différents carrés ont pour valeur 1 - 2 - 3 - 5 - 8 - 13 - 21, etc., comme une suite de Fibonacci. Ensuite, nous traçons dans chaque carré un arc de cercle dont le rayon est égal au côté du carré.

Parallèles, spirales, symétries, fractales… les plantes dessinent sous nos yeux une géométrie surprenante.