འཛིན་གྲྭ་བདུན་པའི་རྩིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

འཛིན་རིམ་བདུན་པ།

རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

ཤེས་རིག་ལས་ཁུངས་ནས་དཔར་འགེམས་ཞུས།

འཛིན་རིམ་བདུན་པ།

རྩིས་རྩིག་སྦྱོང་དེབ།

ཤེས་རིག་ལས་ཁུངས་ནས་དཔར་འགེམས་ཞུས།

ཕི་ལོ་ ༢༠༢༣ ཟླ་བ་ ༢ དཔར་ཐེངས་དང་པོ། དཔར་གངས། ༡༠༠༠

Printed and Distributed by:

February 2023

Sherig Parkhang Trust

First Printing

R-27 & 28, Ramesh Park,

1000 Copies

Laxmi Nagar, New Delhi-110092 Phone: 2245-3672

© Department of Education, CTA སྦོང་དེབ་འདི་བོད་ཡིག་སོབ་སྦོང་དྲྭ་ཚིགས་ www.bodyiglobjong.com བརྒྱུད་ལྟ་ཀོག་དང་ཕབ་ལེན་བེད་ཐུབ། སྤི་ཁྱབ་འགན་འཛིན།

བསྟན་འཛིན་པདྨ། ཤེས་ལྷན་འགན་འཛིན།

རོམ་སྒིག་དང་ཇུས་འགོད།

བསྟན་འཛིན་ཚེ་འཕེལ།

རོམ་སྒིག་འགན་འཁུར།

དགེ་འདུན་དོན་ཡོད།

ཞུ་དག་པ།

པདྨ་རྒྱལ་མཚན།

འཇམ་དབངས་རྒྱ་མཚོ།

བསྐྱར་ཞིབ་དང་གཏན་འབེབས་ཚོགས་མི།

དགེ་འདུན་དོན་ཡོད།

སོབ་དེབ་ཚན་པའི་འགན་འཛིན།

བསོད་ནམས་རྒྱལ་པོ།

རྡ་ས་བོད་ཁྱིམ་ཨང་རིས་རྒྱུས་སྟོན་པ།

ཚེ་རིང་མཚམས་གཅོད། པདྨ་རྒྱལ་མཚན།

འཆི་མེད་དབངས་མཚོ།

བསྟན་འཛིན་ཚེ་འཕེལ།

སམ་བོ་ཊའི་ཨང་རིས་རྒྱུས་སྟོན་པ།

སིམ་ལ་སམ་བོ་ཊ་སོབ་གྲྭའི་རིས་དགེ་ཟུར་པ། སེ་ལ་ཀུའི་བོད་ཁྱིམ་སོབ་གྲྭའི་རིས་དགེ། ཨང་རིས་སོབ་དེབ་རོམ་སྒིག་པ།

Supported by Danish International Development Agency (DANIDA) through Community for International Cooperation in Education and Development (CICED), Denmark.

ཤེས་རིག་ལས་ཁུངས་།

Department of Education Central Tibetan Administration

Phone : 01892-222572/222721 Email : education@tibet.net Web : sherig.org : bodyiglobjong.com Gangchen Kyishong, Dharamsala-176215, Distt Kangra, H.P. India

ཆེད་བརོད།

༄༅། །བཙན་བོལ་བོད་མིའི་བཅའ་ཁིམས་དགོངས་དོན་ལྟར་ཕི་ལོ་ ༢༠༠༤ ལོར་བཙན་བོལ་བོད་མིའི་གཞི་ རིམ་གི་ཤེས་ཡོན་སིད་བྱུས་གཏན་ལ་ཕབ་པ་ནས་བཟུང་། རིས་རིག་གི་སོབ་དེབ་བོད་སྒྱུར་བེད་འགོ་ཚུགས་ ཤིང་། ལྷག་པར་དུ་ཕི་ལོ་ ༢༠༡༠ ལོར་བཀའ་ཤག་གིས་གཏན་ལ་ཕབ་པའི་གཞི་རིམ་བར་མའི་བསབ་གཞིའི་

ར་འཛིན་གི་འབྲུ་དོན་གཞིར་བཟུང་སྟེ། ཕི་ལོ་ ༢༠༡༦ ནས་བཟུང་འཛིན་རིམ་དྲུག་པ་ནས་བརྒྱད་པ་བར་གི་ རིས་རིག་སོབ་དེབ་རོམ་སྒིག་དང་གཏན་འབེབས་ཀིས་སོབ་གྲྭ་ཁག་ལ་དཔར་འགེམས་ཞུས།

སོབ་ཁིད་ཀི་ལག་བསྟར་ཁོད་དུས་རབས་དང་མཐུན་པའི་སོབ་ཁིད་ཡོ་ཆས་དང་། རིས་རིག་སྦོང་བརྡར་ལ་

སྨན་པའི་དེབ་རིགས་སྣ་ཚོགས་དགོས་གལ་ཆེ་བར་བརེན། ཤེས་རིག་ལས་ཁུངས་ཀིས་ཕི་ལོ་ ༢༠༢༠ བར་ གཞི་རིམ་འོག་མའི་འཛིན་རིམ་དང་པོ་ནས་གཞི་རིམ་བར་མའི་འཛིན་རིམ་དྲུག་པ་བར་གི་རིས་རིག་སྦོང་

དེབ་རོམ་སྒིག་གིས་འགེམས་སེལ་ཞུས་པ་དང་། ཕི་ལོ་ ༢༠༢༢ ལ་འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦོང་ དེབ་རོམ་སྒིག་གིས་འདི་ལོ་དཔར་འགེམས་ཞུས།

སྦོང་དེབ་འདི་གཙོ་བོ་འདི་ལས་ནས་འགེམས་སེལ་ཞུས་པའི་འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སོབ་དེབ་ལ་ གཞི་བཅོལ་བ་དང་། དཔེ་མཚོན་མང་པོ་ཞིག་ New Saraswati House ནས་འགེམས་སེལ་ཞུས་པའི་

Me 'n' Mine རིས་རིག་སྦོང་དེབ་དང་། Frank Educational Aids ནས་འགེམས་སེལ་ཞུས་པའི་

Mental Math ཡི་རིས་རིག་དེབ། Oswaal Books ནས་འགེམས་སེལ་ཞུས་པའི་ Question Bank

ཡི་རིས་རིག་དེབ་དང་། དེ་བཞིན་དྲྭ་རྒྱ་བཅས་ལས་ལེགས་ཆ་བླངས་ཏེ། སྦོང་ཚན་བཅུ་གཉིས་ནང་དིས་ ལན་འདེམས་སྒྲུག་དང་། བར་སྟོང་། དི་བ་བཅས་སེ་ཚན་གསུམ་དུ་དབེ་སྟེ་བསྒིགས་ཡོད།

སྦོང་དེབ་འདིས་སོབ་དེབ་ལས་སྦངས་ཟིན་པའི་སྦོང་ཚན་དང་དཀའ་རོག་རྣམས་སེལ་བ་དང་།

སོབ་ཕྲུག་

མཐའ་དོན་སྦོང་དེབ་སྦོང་སྤོད་ལག་ལེན་ཁོད་ལེགས་སེལ་ཉེས་འགོག་གི་དགོངས་ཚུལ་བྱུང་ཚེ།

འབེལ་

གི་རྣམ་དཔོད་དང་རིག་སྟོབས་འཕེལ་བར་ནུས་པ་འདོན་ཐུབ་པའི་རེ་བ་ཞུ་བཞིན་ཡོད།

ཡོད་སོ་སོས་འདི་ལས་སུ་དགོངས་འཆར་ཡིག་ཐོག་ནས་གནང་ན་དགའ་བསུ་ཞུ་རྒྱུ་བཅས། བོད་མིའི་སྒིག་ འཛུགས་ཤེས་རིག་ལས་ཁུངས་ནས། ཕི་ལོ་ ༢༠༢༣ ཟླ་ ༢ ཚེས་ ༡༥ ལ།

དཀར་ཆག

དང་པོ།

གཉིས་པ།

རིལ་གངས། ་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་ ༡

ལུགས་ལྡན་གངས། ་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་ ༡༡

གསུམ་པ། སྟོན་གངས། ་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་ ༢༤ བཞི་པ།

གངས་འབོར་བསྡུར་བ། ་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་ ༣༤

དྲུག་པ།

མཉམ་བ་སྟབས་བདེ། ་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་ ༦༠

ལྔ་པ།

ཚབ་རིས་ཀི་ཚུལ། ་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་ ༤༦

བདུན་པ།

ཟུར། ་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་ ༧༣

དགུ་པ།

ཡོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མ། ་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་ ༩༧

བརྒྱད་པ། བཅུ་པ།

ཟུར་གསུམ་མ། ་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་ ༨༤

བཀོད་པ་དང་ཕོགས་ཚད་གསུམ་ལྡན་གི་གཟུགས། ་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་ ༡༡༠

བཅུ་གཅིག མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་དང་རྒྱ་ཁྱོན། ་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་ ༡༢༤

བཅུ་གཉིས། སོམ་རིས་རིག་པ། ་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་ ༡༣༦

༡། རྩིལ་གྲངས། ༡་༡༽ ལན་འགྲྩིག་པ་ལ་རྟགས་རྒྱོབས། ༡། རིལ་གངས་མོ་གཉིས་སོམ་སྐབས་ང་ཚོར་ (ཀ) 0

(ཁ) རིལ་གངས་ཕོ།

(ཀ) −4

(ཀ) −1

ཐོབ།

(ག) རིལ་གངས་མོ།

(ང) 1

(ཁ) −2

(ག) −5

(ང) −6

(ཁ) 1

(ག) 100

(ང) −100

(ཀ) 0

(ཁ) 5

(ག) −7

(ང) −5

(ཀ) 10

(ཁ) −10

(ག) −8

(ང) 8

(ཀ) −3

(ཁ) 3

(ག) 9

(ང) −9

(ཀ) −30

(ཁ) −10

(ག) 30

(ང) 0

༢། གངས་ཐིག་ཐོག་ −3 གི་གཡས་ཕོགས་སུ་གངས་གང་ཡོད་དམ། ༣། −1 རང་སྒྱུར་ཐེངས་ 100 བས་ན། བསྒྱུར་ཐོབ་ནི་

རེད།

༤། རིལ་གངས་ 10 དང་ 0, 5, −5, −7 བཅས་འཕར་རིམ་ཡང་ན་ཆག་རིམ་བཞིན་འབི་སྐབས། དཀིལ་དུ་ཡོད་ པའི་རིལ་གངས་ནི།

༥། −9 ཡི་རེས་གངས་ནི།

༦། −3 ལས་ 6 མང་བའི་གངས་ནི། ༧། −2 × −3 × −5 ནི།

རིལ་གངས།

1

༨། 36 ÷ 6 + 3 སྟབས་བསྡུས་བཟོས་ན། (ཀ) 0

(ཁ) 1

(ག) 4

(ང) 9

(ཀ) a × 1

(ཁ) a ÷ 0

(ག) a + 0

(ང) a − 0

(ཀ) −65

(ཁ) 65

(ག) −7

(ང) 7

(ཀ) 0, 1, −1

(ཁ) −1, −2, −3

(ག) −1, 0, 1

(ང) −1, 1, −2

(ཀ) 0

(ཁ) 9

(ག) −4

(ང) −10

(ཀ) 1, −4

(ཁ) −1, 6

(ག) −3, −2

(ང) 5, 0

(ཀ) 48

(ཁ) −48

(ག) 1

(ང) 0

(ཀ) −34

(ཁ) 19

(ག) 90

(ང) −140

(ཀ) བརེ་སོལ།

(ཁ) བསྡུ་སོལ།

(ག) སེབ་སོལ།

(ང) བགོ་སོལ།

(ཀ) 7

(ཁ) −7

(ག) 0

(ང) 1

༩། རིལ་གངས་ a སྐབས་གོ་དོན་མེད་པ་ནི། ༡༠། −36 དང་ 29 ཡི་བསོམས་ཐོབ་ནི།

༡༡། གཤམ་གསལ་ལས་གང་དག་འཕར་རིམ་བཞིན་འདུག་གམ། ༡༢། (−3) × 3 གི་ཐང་ནི་གངས་ཐིག་ཐོག་

༡༣། བསོམས་ཐོབ་ −5 ཡིན་པའི་རིལ་གངས་ཆ་ཞིག་ནི། ༡༤། a ÷ 48 = −1 ཡིན་ན། a ཡི་ཐང་ནི། ༡༥། −2 × −7 × −10 ནི།

ཡི་གཡས་ཕོགས་སུ་ཡོད།

༡༦། 2 × 13 + 8 × 13 = (2 + 8) × 13 སྐབས་སྤོད་པའི་ཁྱད་ཆོས་ནི། ༡༧། 7 གི་སྒྱུར་གངས་ངོ་བོ་ནི།

2

འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

༡༨། 125 ÷ (−25) ནི། (ཀ) 1

(ཁ) 5

(ག) −5

(ང) 100

(ཀ) 0 ÷ (−7)

(ཁ) 20 ÷ (−4)

(ག) (−9) ÷ 3

(ང) (−12) ÷ 5

(ཀ) 0

(ཁ) 4

(ག) −1

(ང) −36

༡༩། གཤམ་གསལ་ལས་རིལ་གངས་མིན་པ་ནི།

༢༠། −3 དང་ 3 དབར་གི་རིལ་གངས་རྣམས་ཀི་བསྒྱུར་ཐོབ་ནི།

༡་༢༽ བར་སྱོང་སྱོངས།

༡། རིལ་གངས་ཕོ་རྣམས་རིལ་གངས་མོ་ལས་

༢། ཀད་ཀོར་ནི་རིལ་གངས་

༣། ཀད་ཀོར་ནི་རིལ་གངས་

ལས་ཆེ་བ་ཡོད།

ཡོད།

ལས་ཆུང་བ་ཡོད།

༤། གངས་ཐིག་ཐོག་རིལ་གངས་ཕོ་འཐེན་སྐབས། གངས་ཐིག་གི་

༥། གངས་ཐིག་ཐོག་རིལ་གངས་མོ་འཐེན་སྐབས། གངས་ཐིག་གི་

༦། རིལ་གངས་གཉིས་ཀི་རགས་མཐུན་ན། དེ་དག་གི་བསྒྱུར་ཐོབ་ནི་

༧། རིལ་གངས་གཉིས་ཀི་རགས་མི་མཐུན་ན། དེ་དག་གི་བསྒྱུར་ཐོབ་ནི་ ༨། −53 +

= −53

༩། −89 ÷

ཕོགས་སུ་གོམ་པ་སོ་དགོས། རེད།

ཕོགས་སུ་གོམ་པ་སོ་དགོས།

རེད།

= 89

༡༠། (−17) − (−17) = ༡༡།

× (−1) = 900

༡༢། −69 + 69 =

༡༣། (−8) × (−8) × (−8) = ༡༤། 36 ÷

༡༥།

༡༦།

༡༧།

རིལ་གངས།

× (−8)

= −9

× (−12) = 120 ÷ 6 = −9 × (−15) = 300

3

༡༨། 24 + 12 ÷ 4 − 5 × 3 =

༡༩། 12 − [12 − {12 − (12 − 12 − 12)}] =

༢༠། རིལ་གངས་ཀི་སྣོན་གངས་ངོ་བོ་ནི་ ༢༡། རིལ་གངས་ཀི་སྒྱུར་གངས་ངོ་བོ་ནི་

༡་༣༽ ལན་བྩིས།

༡། རིལ་གངས་རྣམས་སོམས།

རེད།

(ཀ) −5, −3, 2

(ཁ) 400, −31, −71

(ག) −613, −111, −500

(ང) 937, −37, 100, −200, 300

༢། རིལ་གངས་རྣམས་འཐེན།

4

རེད།

(ཀ) 120 ནས་ −80

(ཁ) −999 ནས་ −444

(ག) (−42 + 39) ནས་ 100

(ང) (−13 − 51) ནས་ (−99 + 0)

འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

༣། བསྒྱུར་ཐོབ་ཚོལ།

(ཀ) (−14) × (−11) × 10

(ཁ) (−4) × (−5) × (−2) × (−1)

(ག) (−5) × 6 × (−7) × (−20)

(ང) 423 × (−63) − [63 × (−423)]

༤། བགོས།

(ཀ) (−45) ÷ (−3)

(ཁ) (−176) ÷ (−8)

(ག) (−41) ÷ [(−40) + (−1)]

(ང) [(−16) ÷ 4] ÷ [(4 × 2) + 8]

༥། −380 ཡི་རེས་གངས་དང་སོན་གངས་བིས། ༦། བསྒྱུར་ཐོབ་ −250 ཡིན་པའི་རིལ་གངས་ཆ་ཞིག་བིས།

རིལ་གངས།

5

༧། རིལ་གངས་ཕོ་དང་རིལ་གངས་མོའི་བསོམས་ཐོབ་ −30 ཡིན་པའི་རིལ་གངས་ཆ་ཞིག་བིས། ༨། རིལ་གངས་མོ་གཉིས་ཀི་འཐེན་ཐོབ་ −4 ཡིན་པའི་རིལ་གངས་ཆ་ཞིག་བིས། ༩། བསོམས་ཐོབ་ −15 དང་འཐེན་ཐོབ་ 5 ཡིན་པའི་རིལ་གངས་ཆ་ཞིག་བིས།

༡༠། གངས་ཐིག་སྤད་དེ། 3 ནི་ −3 ལས་ག་ཚོད་ཀིས་ཆེ་བ་ཡིན་པ་ཚོལ། −4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

༡༡། 35 དང་ −45 ཡི་བསོམས་ཐོབ་ནས་ −97 དང་ −13 གི་བསོམས་ཐོབ་འཐེན།

༡༢། གཤམ་གསལ་གངས་རྣམས་འཕར་རིམ་བཞིན་བིས། −7, −3, 0, −10, 4, 6, −5, −33, 19, 11

༡༣། བཤེར་རིས་རྒྱོབས། 20 × [5 × (−16)] = (20 × 5) × (−16)

6

འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

༡༤། སྟབས་བསྡུས་བཟོས།

(ཀ) 114 × 0 × (−2)

(ཁ) 9 + {6 + 5 × 3 − (9 + 3 − 8 × 2)}

(ག) 48 − [18 − {16 − (5 −4 −1)}]

(ང) 8 + [6 − 3 − {5 + (2 − 8 ÷ 2)}]

༡༥། −12 ལ་རིལ་གངས་གང་གིས་བསྒྱུར་ན་ −300 འཐོབ།

༡༦། བིངས་གྲུ་ཞིག་རྒྱ་མཚོའི་ངོས་ནས་ཕི་ཊི་ 800 ཡི་འོག་ལ་ཡོད། གལ་ཏེ་དེ་ཕི་ཊི་ 250 ཡར་འཕགས་པ་ཡིན་ ན། དེའི་གནས་ས་གསར་པ་ཚོལ།

༡༧། དབང་མོ་མཚོ་ལ་ ` 30 ཡོད། ཨ་མ་ལགས་ཀིས་དེའི་ལྡབ་ལྔ་སྤྲད་ཡོད། ཁོ་མོས་ ` 25 ཡིས་སྨྱུ་གུ་དང་ཐིག་ཤིང་

གཅིག་ཉོས་པ་རེད། གཅེན་པོས་ཀང་ ` 65 སྤྲད་པ་དང་། དེ་ནས་ཁ་ོམས ོ ་ ` 44 ཡིས་འགོ་སོང་བཏང་བ་རེད། ད་

ལྟ་ཁོ་མོར་དངུལ་ག་ཚོད་ལྷག་ཡོད་དམ།

རིལ་གངས།

7

༡༨། ཤིང་ཏོག་ཚོང་མཁན་ཞིག་ལ་རེས་གཟའ་སེན་པར་ ` 700 ཡི་ཁེ་དང་། རེས་གཟའ་ཉི་མར་ ` 1100 ཡི་ཁེ། རེས་གཟའ་ཟླ་བར་ ` 440 ཡི་གོང་བྱུང་ཡོད། ཁོང་ལ་ཉིན་གསུམ་ནང་ཁེ་ཡང་ན་གོང་ག་ཚོད་བྱུང་བ་ཚོལ།

༡༩། རིས་རིག་ཡིག་རྒྱུགས་ནང་ལན་འགིག་པ་རེར་ཨང་ཀི་ (+2) དང་། ལན་ནོར་བ་རེར་ཨང་ཀི་ (−1) སྤྲོད་ཀི་ཡོད།

མེ་ཏོག་གིས་དི་བ་ 18 ཆ་ཚང་ལ་ལན་བཏབ་པ་ལས་ལན་ 12 འགིག་ཡོད་ན། མེ་ཏོག་ལ་ཨང་ཀི་ག་ཚོད་ཐོབ་ཡོད།

༢༠། ཤིང་སོང་ཞིག་གི་མཐོ་ཚད་ 21 m རེད། སྤྲེའུ་ཞིག་གིས་མཆོང་ཐེངས་རེར་ 3 m འཛེག་གི་ཡོད་ན། མཆོང་ ཐེངས་ག་ཚོད་རེས་སྤྲེའུ་དེ་ཤིང་སོང་གི་རེ་ལ་བསེབ་ཀི་རེད་དམ།

༢༡། རིལ་གངས་མོ་གཉིས་ཀི་བསོམས་ཐོབ་ −315 རེད། གངས་གཅིག་ −110 ཡིན་ན་གངས་གཞན་དེ་ཚོལ།

༢༢། གོང་ཁྱེར་ཞིག་གི་ཉིན་གུང་ཆུ་ཚོད་ 12 ཐོག་དོད་ཚད་ 45oC རེད། དེ་རེས་ཆུ་ཚོད་རེར་དོད་ཚད་ 1.5oC མར་ཆག་གི་ཡོད་ན། དགོང་མོའི་ཆུ་ཚོད་ 10 ལ་དོད་ཚད་ག་ཚོད་རེད་དམ།

8

འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

༢༣། ཡིག་རྒྱུགས་ཤིག་གི་ནང་ལན་འགིག་པ་རེར་ཨང་ཀི་ 3 དང་། ལན་ནོར་བ་རེར་ཨང་ཀི་ −2 སྤྲོད་ཀི་ཡོད། ཆོས་ འཕེལ་ལ་ཨང་ཀི་ 35 ཐོབ་ཡོད། ཁོང་གི་ལན་ 15 འགིག་པ་དང་། དི་བ་ 5 ལ་ལན་བཏབ་མེད་ན། དི་ཤོག་ནང་ ཁྱོན་བསོམས་དི་བ་ག་ཚོད་ཡོད་དམ།

༢༤། རིལ་གངས་གཉིས་ཀི་བསྒྱུར་ཐོབ་ −160 རེད། དེ་དག་ལས་གངས་གཅིག་ 20 ཡིན་ན། གངས་གཞན་དེ་ཚོལ།

༢༥། གནམ་གཤིས་སྙན་ཐོའི་ནང་གོང་ཁྱེར་ཞིག་གི་དོད་ཚད་ −10oC ནས་འཕར་ཏེ་ 2oC སེབས་ཡོད། དོད་ཚད་ ག་ཚོད་འཕར་འདུག་གམ།

༢༦། ཆུ་མཛོད་ཅིག་གི་ཤོང་ཚད་ 2000 L རེད། གལ་ཏེ་ཆུ་ཚོད་རེར་ཆུ་ 400 L ཡོང་གི་ཡོད་ན། ཆུ་མཛོད་དེ་ ཁེངས་པར་ཆུ་ཚོད་ག་ཚོད་འགོར་རམ།

རིལ་གངས།

9

༢༧། བིའུ་ཞིག་སྐར་མ་རེར་ 15 ft མར་འབབ་ཀི་ཡོད། གལ་ཏེ་བིའུ་དེ་ས་ནས་མཐོ་ཚད་ 300 ft ཐོག་འཕུར་གི་ ཡོད་ན། དེ་ཐང་དུ་འབབ་པར་དུས་ཚོད་ག་ཚོད་འགོར་རམ།

༢༨། ཚོང་པ་བསོད་ནམས་ཀིས་མཆོད་གཤོམ་ 6 བཙོངས་ཏེ་ཁེ་བཟང་ཁྱོན་བསོམས་ ` 7254 བླངས་ཡོད། མཆོད་ གཤོམ་རེ་ལ་ཁེ་བཟང་ག་ཚོད་བྱུང་ཡོད་དམ།

༢༩། བགོ་སོལ་སྤད་དེ། གངས་གནས་བཞི་ཅན་གི་གངས་ཆེ་ཤོས་དང་གངས་གནས་གསུམ་ཅན་གི་གངས་ཆེ་ཤོས་ཀི་ བསྒྱུར་ཐོབ་ཚོལ།

10

འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

༢། ལུགས་ལྡན་གྲངས། ༢་༡༽ ལན་འགྲྩིག་པ་ལ་རྟགས་རྒྱོབས། ༡། ལུགས་ལྡན་གངས་ ༢།

(ཀ)

30 −45

30 ཡི་ཚད་ལྡན་རྣམ་པ་ནི། −45 (ཁ) −1 3

4 ནི་གངས་ཐིག་ཐོག་ 5

(ཀ) 1 གི་གཡོན།

ལ་ཡོད།

(ཁ) 0 གི་གཡོན།

༣། གཤམ་གསལ་ལས་གང་བདེན་པ་ཡིན་ནམ། (ཀ)

−3 >1 7

(ཁ)

4 > −1 7

༤། −3 དང་ −2 དབར་གི་ལུགས་ལྡན་གངས་ཤིག་ནི། (ཀ)

5 2

(ཁ)

−5 2

(ག) −2 3

(ང) 3 −2

(ག) 1 གི་གཡས།

(ང) 2 ཀི་གཡས།

(ག) 0 < (ག)

−3 2

7 2

༥། −4 དང་ −6 , −8 ལས་ལུགས་ལྡན་གངས་ཆེ་ཤོས་ནི། 5 7 9 (ཀ) −4 (ཁ) −6 (ག) −8 5 7 9

༦། གཤམ་གསལ་ལས་གང་འད་མཚུངས་ལུགས་ལྡན་གངས་མིན།

(ང) 0 > (ང)

1 2

−7 2

(ང) ཚང་མ་མཚུངས།

(ཀ) 3 , −3 7 −7

(ཁ) 7 , 49 9 63

(ག) −1 , 9 3 −27

(ང) 3 , −5 5 −3

(ཀ) 1 100

(ཁ) 99

(ག) 1

(ང) −1 7

༧། 1 དང་དེའི་ལོག་གངས་ཀི་བསྒྱུར་ཐོབ་ནི།

ལུགས་ལྡན་གངས།

11

༨། −7 གི་ལོག་གངས་ནི། 2 (ཀ) −2 7

(ཁ) 2 7

(ག) 1

(ང) 7 2

(ཀ) 3 14

(ཁ) 14 3

(ག) 3 7

(ང) 7 3

(ཀ) −49 30

(ཁ) −23 30

(ག) −19 30

(ང) −59 30

༩། −

༡༠།

༡༡།

7 4 × − ཡི་བསྒྱུར་ཐོབ་ནི། 2 3

−9 11 གི་ཐོབ་གངས་ནི། − 10 15

−6 + 1 གི་ཐོབ་གངས་ནི། 5

(ཀ)

༡༢། 3

−6 5

(ཁ)

6 5

5 ནི་གང་དང་མཚུངས། 6

(ཀ) 3 −

5 6

(ཁ) 3 +

(ག)

5 6

1 5

(ག) 3 ×

(ང)

5 6

༡༣། གངས་ 1 , 5 , 9 , −4 བཅས་འཕར་རིམ་བཞིན་སྒིག་པ་ནི། 2 7 14 5 (ག) −4 , 1 , 9 , 5 5 2 14 7

12

−5 16

(ཁ)

5 6

(ང) −4 , 9 , 5 , 1 5 14 7 2

−5 , −13 , 3 , 7 ལས་ལུགས་ལྡན་གངས་ཆུང་ཤོས་ནི། 16 24 −4 −12

(ཀ)

(ང) 3 ÷

(ཁ) −4 , 1 , 5 , 9 5 2 7 14

(ཀ) 1 , 9 , 5 , −4 2 14 7 5

༡༤།

−1 5

−13 24

(ག)

3 −4

(ང)

7 −12

འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

༡༥། གཤམ་གསལ་ལས་གང་ (ཀ)

6 14

3 གི་འད་མཚུངས་གངས་མིན། 7 9 −3 (ཁ) (ག) 21 −7

༡༦། གཤམ་གསལ་ལས་གང་ཆག་རིམ་བཞིན་འདུག་གམ། (ཀ) 15 , 9 , 17 17 11 19

(ག) 17 , 9 , 15 19 11 17

༡༧། 3 དང་ 4 དབར་གི་ལུགས་ལྡན་གངས་ཤིག་ནི། ༡༨། ༡༩།

3 2

(ང)

12 24

(ཁ) 9 , 15 , 17 11 17 19

(ང) 17 , 15 , 9 19 17 11

4 3

(ག)

7 2

(ང)

7 4

(ཀ) −5

(ཁ) −40

(ག)

−8 5

(ང)

−5 8

(ཀ) −9

(ཁ) 3

(ག) 9

(ཀ)

−1 8 = x འདིར་ x ནི། 5

(ཁ)

x −3 དང་ འད་མཚུངས་ལུགས་ལྡན་གངས་བཟོ་བར་ x ཡི་ཐང་ནི། −24 8

༢༠། དཔེ་འགོས་ (ཀ)

−1 , −2 , −3 , 4 8 12

−4 14

(ཁ)

ནང་ལུགས་ལྡན་གངས་རེས་མ་བིས།

−4 15

(ག)

༢་༢༽ བར་སྱོང་སྱོངས།

༡། ལུགས་ལྡན་གངས་ཕོ་དང་མོ་གཉིས་ཀ་མིན་པ་ནི་

༢། གལ་ཏེ་ p དང་ q ལ་

−4 16

(ང) 8

(ང)

−4 20

རེད།

p མེད་ན། q ནི་བསྡུས་ཤོས་ཀི་རྣམ་པ་རེད།

༣། བུ་ཆ་ནི་གངས་གནས་ 3 ཅན་གི་གངས་ཆེ་ཤོས་དང་མ་ཆ་ནི་གངས་གནས་ 4 ཅན་གི་གངས་ཆུང་ཤོས་ཡིན་ པའི་ལུགས་ལྡན་གངས་ནི་

ལུགས་ལྡན་གངས།

རེད།

13

༤། 3.2 དང་ 3.21 དབར་ལ་ཡོད་པའི་ལུགས་ལྡན་གངས་ཀི་གངས་ནི་

རེད།

༥། གངས་ཐིག་ཐོག་གཡོན་ནས་གཡས་སུ་གོམ་པ་སོ་སྐབས་གངས་ཀི་ཐང་

༦། ཀད་ཀོར་མིན་པའི་ལུགས་ལྡན་གངས་དང་དེའི་ལོག་གངས་ཀི་བསྒྱུར་ཐོབ་ནི་

༧། ལུགས་ལྡན་གངས་ཀི་ལོག་གངས་ཀི་ལོག་གངས་ནི་

འགོ་ཡི་ཡོད།

རེད།

རེད།

༨། གལ་ཏེ་ཀད་ཀོར་མིན་པའི་ལུགས་ལྡན་གངས་གཉིས་ཀི་བསྒྱུར་ཐོབ་ 1 ཡིན་ན། གངས་དེ་གཉིས་ཕན་ཚུན་ ༩།

རེད།

2 −8 ནི་ ཀི་ 3 −12

༢་༣༽ ལན་བྩིས། ༡། སྒམ་ཆུང་ནང་ < དང་། >, = གང་འོས་སྐོངས། (ཀ)

(ག) (ཅ)

(ཇ) (ཏ)

−5 11

5 11

−1 7

−1 8

−7 4

−8 5

−7 8

−21 24

−12 −16

3 4

༢། ལུགས་ལྡན་གངས་རྣམས་ཚད་ལྡན་གི་རྣམ་པར་བིས། (ཀ)

14

15 25

ཤིག་རེད།

−7 6

(ཁ) 0 (ང)

(ཆ) (ཉ)

−25 12

−19 12

−5 7

2 3

−8 5

−5 4

(ཐ) −3

(ཁ)

1 2

−4

2 5

−24 72

འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

(ག)

(ཅ)

44 −72

(ང)

−225 465

(ཆ)

༣། བར་སྟོང་སྐོངས། (ཀ)

2 = −28 7

(ཁ)

(ག)

8 = −21 42

(ང)

(ཅ)

11 = 25

44

(ཆ)

(ཇ)

39 = 51

13

(ཉ)

ལུགས་ལྡན་གངས།

−39 −52

484 572

−3 = 5

35

36 = 108

3

16 −80 = 35

−46 = 72

−2

15

༤།

19 ནི་བུ་ཆ་ −38 ཡིན་པའི་ལུགས་ལྡན་གངས་ལྟར་མཚོན། −5

༥།

−15 ནི་མ་ཆ་ −96 ཡིན་པའི་ལུགས་ལྡན་གངས་ལྟར་མཚོན། 16

༦། གངས་ཐིག་ཐོག་ 0, 1 , 4 , 5 , −1 མཚོན། 8 8 8 8

༧། འཕར་རིམ་བཞིན་བིས།

༨། ཆག་རིམ་བཞིན་བིས།

༩།

2 , −1 , 1 5 6 6

−1 , −1 , 2 , −5 2 6 3 2

−6 གི་འད་མཚུངས་ལུགས་ལྡན་གངས་གསུམ་བིས། 11

16

འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

༡༠། གཤམ་གསལ་ལུགས་ལྡན་གངས་རྣམས་བསྡུས་ཤོས་ཀི་རྣམ་པར་བིས། (ཀ) −12 20

༡༡།

(ཁ) −44 80

−1 1 དང་ གི་དཀིལ་དུ་ཡོད་པའི་ལུགས་ལྡན་གངས་ཚོལ། 3 3

༡༢། −3 དང་ −4 དབར་གི་ལུགས་ལྡན་གངས་གསུམ་བིས།

༡༣། གཤམ་གསལ་དང་མཚུངས་པའི་ལུགས་ལྡན་གངས་གཉིས་རེ་བིས། (ཀ) 5 −3

(ཁ) −9 7

༡༤། −2 དང་ −3 དབར་གི་ལུགས་ལྡན་གངས་གསུམ་བིས། 7 11

ལུགས་ལྡན་གངས།

17

༡༥། གཤམ་གསལ་དཔེ་འགོས་ནང་ལུགས་ལྡན་གངས་བཞི་བིས། −6 , −12 , −18 , −24 , 9 18 27 36

༡༦། བསོམས་ཐོབ་ཚོལ།

,

,

,

(ཀ) 25 དང་ −1 12

(ཁ) 3 1 དང་ 2 3 5 5

(ག) 9 དང་ −8 10 15

(ང) 1 1 དང་ −2 2 9 3

(ཅ) −3 + 7 + −11 12 4 8

(ཆ) 8 + −3 + −1 5 3 15

༡༧། འཐེན་ཐོབ་ཚོལ།

(ཀ) −4 ནས་ 5 9 9

18

(ཁ) −3 ནས་ 4 22 11

འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

(ག) 3 ནས་ −5 16 8

༡༨། བསྒྱུར་ཐོབ་ཚོལ།

(ང) −12 ནས་ 7 30 15

(ཀ) −7 × 5 15 −28

(ཁ) −6 × −26 13 12

(ག) −39 × 14 × −12 3 5 56

(ང) 3 1 × −5 × 1 1 5 11 6

༡༩། བགོས།

(ཀ) −7 ÷ 14 12

(ཁ) 12 ÷ 21 5 25

(ག) −6 ÷ −24 11 22

(ང) −15 ÷ 30 19 38

ལུགས་ལྡན་གངས།

19

༢༠། ཚོལ།

(ཀ) 3 2 − 7 + −2 − 10 1 30 5 10 15

(ག) −3 − 1 + 11 − −1 + 2 −8 12 16 4

(ག) 11 × (−9) + −1 × 5 4 6 18

(ང) 21 × 3 − 16 × 7 7 9 14 8

(ཅ) 25 × 3 ÷ −5 × 3 5 4 6 −10

(ཆ) −3 × 4 + 9 × −10 − 1 × 3 5 3 2 5 2 4

༢༡། སྤི་སྤོད་རླངས་འཁོར་ཞིག་ཆ་སྙོམས་མྱུར་ཚད་ 62 1 km/hr ཐོག་འགོ་ཡི་ཡོད། ཆུ་ཚོད་ 8 ནང་དེ་རྒྱང་ཐག་ 2 ཀི་ལོ་མི་ཊར་ག་ཚོད་བསྐྱོད་ཀི་ཡོད་དམ།

༢༢། རས་མི་ཊར་ 2 3 གི་རིན་གོང་ ` 505 རེད། རས་མི་ཊར་གཅིག་གི་རིན་གོང་ཚོལ། 4

20

འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

༢༣། དབང་མོས་རིང་ཚད་ 40 1 m ཅན་གི་ཐག་པ་ཞིག་ཚད་གཞི་མཉམ་པའི་དུམ་བུ་གཏུབ་ཀི་ཡོད། གལ་ཏེ་དུམ་ 2 བུ་རེའི་ཚད་གཞི་ 2 1 m ཡིན་ན། ཐག་པ་དེ་དུམ་བུ་ག་ཚོད་གཏུབས་ཡོད་དམ། 4

༢༤། ལུགས་ལྡན་གངས་གཉིས་ཀི་བསྒྱུར་ཐོབ་ −16 རེད། གལ་ཏེ་གངས་གཅིག་ 4 ཡིན་ན། གངས་གཞན་དེ་ཚོལ། 7 21

༢༥། −12 དང་ −18 ཀི་བསོམས་ཐོབ་ལ་དེ་དག་གི་འཐེན་ཐོབ་ཀིས་བགོས། 15 5

ལུགས་ལྡན་གངས།

21

༢༦། 33 དང་ 27 གི་འཐེན་ཐོབ་ལ་ −5 དང་ 63 གི་བསྒྱུར་ཐོབ་ཀིས་བགོས། 7 8 3 25

༢༧། ང་ཚོས་བསྒྱུར་ཐོབ་ −12 འཐོབ་པར་ −8 ལ་གངས་གང་གིས་བསྒྱུར་དགོས་སམ། 55 11

༢༨། 1 དང་ 2 དབར་གི་ལུགས་ལྡན་གངས་ལྔ་བིས། 2 3

22

འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

༢༩། གཤམ་གི་དི་བ་ཁག་ལ་ལན་བིས།

(ཀ) བློ་བཟང་མོ་ཊའི་ནང་ 15 2 km བསྐྱོད་པ་དང་། དེ་འཕོས་འགོ་ཡུལ་ལ་མ་སེབས་བར་དུ་ 2 1 km རྐང་ཐང་ 3 3 ལ་ཕིན་པ་རེད། ཁོང་ཁྱོན་བསོམས་རྒྱང་ཐག་ཀི་ལོ་མི་ཊར་ག་ཚོད་བསྐྱོད་ཡོད་དམ།

(ཁ) བེ་མ་ཀ་ར་ 15 kg ཡི་རིན་གོང་ ` 726 རེད། བེ་མ་ཀ་ར་ 1 kg གི་རིན་གོང་ཚོལ།

(ག) གོག་སྐུད་ 12 m ནས་རིང་ཚད་ 2 1 m དང་། 3 2 m, 4 3 m བཅས་དུམ་བུར་གཏུབས་ཡོད། གོག་སྐུད་ 5 5 5 ལྷག་མའི་རིང་ཚད་མི་ཊར་ག་ཚོད་རེད་དམ།

(ང) སྟོད་ཐུང་གཅིག་བཟོ་བར་རས་ 2 1 m དགོས་ཀི་ཡོད། རིང་ཚད་ 40 1 m ཅན་གི་རས་ཀིས་སྟོད་ཐུང་ག་ 4 2 ཚོད་བཟོ་ཐུབ་བམ།

ལུགས་ལྡན་གངས།

23

༣། སྱོན་གྲངས། ༣་༡༽ ལན་འགྲྩིག་པ་ལ་རྟགས་རྒྱོབས། ༡། 100000 གི་སྟོན་གངས་རྣམ་པ་ནི། (ཀ) 100 × 1000 (ག) 104

༢། mn ནང་། m དང་ n ལ་གོ་རིམ་བཞིན་ (ཀ) ཞབས་གངས་དང་སྟོན་གངས། (ག) རག་གངས་དང་རྒྱུ།

༣། 128 ཞབས་གངས་ 2 ཐོག་མཚོན།

(ཁ) 10 × 10 × 10 × 10 × 10

(ང) 105

ཟེར།

(ཁ) སྟོན་གངས་དང་ཞབས་གངས། (ང) རྒྱུ་དང་རག་གངས།

(ཀ) 27

(ཁ) 28

(ག) 29

(ང) 210

(ཀ) 0

(ཁ) 5

(ག) 1

(ང) −5

(ཀ) 1

(ཁ) −1

(ག) 101

(ང) −101

(ཀ) −36

(ཁ) 36

(ག) 1 36

(ང) −12

(ཀ) 32

(ཁ) 38

(ག) 315

(ང) 98

༤། 150 ཡི་ཐང་ནི། ༥། (−1)−101 གི་ཐང་ནི། ༦། 62 ཀི་ཐང་ནི། ༧། 33 × 35 =

24

འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

༨། 1012 ÷ 103 = (ཀ) 1015

(ཁ) 1036

(ག) 109

(ང) 104

(ཀ) 29

(ཁ) 220

(ག) 21

(ང) 1 10

(ཀ) 43 > 34

(ཁ) 82 < 28

(ག) 73 > 37

(ང) 32 < 23

(ཀ) 24 × 32 × 52

(ཁ) 22 × 33 × 55

(ག) 24 × 33 × 53

(ང) 24 × 33 × 52 × 7

(ཀ) 2 × 53 × 72

(ཁ) 53 × 72

(ག) −2 × 53 × 72

(ང) −2 × 5 × 7

(ཀ) 35 × 107

(ཁ) 3.5 × 10−5

(ག) 3.5 × 108

(ང) 3.5 × 109

(ཀ) 5.32 × 105

(ཁ) 5.32 × 10−5

(ག) 5.32 × 10−6

(ང) 53.2 × 10−5

༩། (24)5 སྟོན་གངས་རྐྱང་པའི་ཐོག་མཚོན་པ་ནི། ༡༠། གཤམ་གསལ་ལས་གང་བདེན་པ་རེད།

༡༡། 3600 རྒྱུ་གངས་ཀི་ཐེངས་གངས་ཐོག་མཚོན། ༡༢། −

2 × 55 × 73 = 52 × 7

༡༣། 350,000,000 ཡི་ཚད་ལྡན་རྣམ་པ་ནི། ༡༤། 532000 གི་ཚད་ལྡན་རྣམ་པ་ནི།

༡༥། གཤམ་གསལ་ལས་གང་བདེན་པ་ཡིན་ནམ། (ཀ) 10 × 109 = 1009

(ཁ) 10010 = 10100

(ག) 24 × 42 = 86

(ང) x3 × y3 = (xy)3

(ཀ) (−3)3 × 52

(ཁ) 33 × (−5)2

༡༦། 675 ཡི་སྟོན་གངས་རྣམ་པ་ནི། (ག) (−3)3 × (−5)2 སྟོན་གངས།

(ང) 3 × 3 × 3 × (−5) × (−5)

25

༡༧།

36 × 62 × t7 = 123 × t4 3

3

3

3

(ཀ) t 4

(ཁ) 3t 4

(ག) 5t 4

(ང) 7t 4

(ཀ) 4

(ཁ) 6

(ག) 8

(ང) 10

(ཀ) 0

(ཁ) 1

(ག) 2

(ང) −3

༡༨། 2x = 64 ཡིན་ན། x ཡི་ཐང་ནི།

༡༩། 4 × (2)x + 2 = 2 ཡིན་ན། x ཡི་ཐང་ནི།

༣་༢༽ བར་སྱོང་སྱོངས།

༡། 2 × 1000 + 3 × 100 + 7 =

༢། 7 × 1000 + 4 × 10 + 5 =

༣། 1750000 = 1.75 × 10x ཡིན་ན། x = ༤། 20 × 30 × 40 × 50 =

༥། (20 + 30 + 40) ÷ 50 =

༦། འབུམ་ 1 = 10 .........

༧། ས་ཡ་ 1 = 10 × 10 .........

༨། དུང་ཕྱུར་ 1 = 10 × 10 ......... ༩། 2x = (42)3 ཡིན་ན། x =

༡༠། 12096 རྒྱུ་གངས་ཀི་ཐེངས་གངས་ཐོག་མཚོན་པ་ནི་

རེད།

༣་༣༽ ལན་བྩིས།

༡། གཤམ་གསལ་ཁག་བཀྲལ་བའི་རྣམ་པར་བིས། (ཀ) 73

26

(ཁ) m2n5

འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

(ག) (−9)2 x3

(ང) −4 5

3

༢། བཀྲལ་བའི་རྣམ་པར་བིས། (ཀ) 80260

(ཁ) 176428 (ག) 254034 (ང) 5400500 ༣། སྟོན་གངས་ཀི་རྣམ་པར་མཚོན།

(ཀ) −2 × −2 × −2 × −2 × −2

(ཁ) 4 × 4 × a × a

(ག) 1 × 1 × 1 × 1 3 3 3 3

(ང) x × x × x × x × x × y × y × z

(ཅ) 64

(ཆ) 2401

(ཇ)

125 256

སྟོན་གངས།

(ཉ)

3125 729

27

༤། སྟོན་གངས་གཅིག་གི་ཐོག་མཚོན། (ཀ) 2 × 3 4

4

(ག) 9 × 2 2

4

༥། རྒྱུ་གངས་ཀི་ཐེངས་གངས་ཐོག་མཚོན།

23 (ཁ) 3 5

(ང)

5

2 4 ÷ 3 5

(ཀ) 500

(ཁ) 1764

(ག) 7623

(ང) 13500

༦། ཐང་ཚོལ།

5

(ཀ) 35 × 102

(ཁ) (90 − 70) × 160

(ག) (−2)2 × 34

(ང) (−1)2 × (−5)3 × (−7)

28

འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

(ཅ) (−5) ÷ (−5) 8

6

༧། སྟབས་བདེར་བཟོས་ཏེ་སྟོན་གངས་ཀི་རྣམ་པར་མཚོན། (ཀ)

x6 × x6 x3

3 2 2 (ག) (3 ) × 5 92 × 5

(ཅ)

64 × x7 × 52 90 × x5

2

2 1 (ཆ) × 3 2

2

(ཁ) (2016 ÷ 2013) × 203

24 11 (ང) × 11 8

3

3

(ཆ) −1 ÷ −1 4 4

2

4

༨། གཤམ་གསལ་བཀྲལ་བའི་རྣམ་པས་མཚོན་པའི་གངས་ཚོལ།

(ཀ) 9 × 105 + 0 × 104 + 2 × 103 + 9 × 102 + 0 × 101 + 2 × 100

སྟོན་གངས།

29

(ཁ) 1 × 105 + 2 × 104 + 4 × 101 + 5 × 100 (ག) 2 × 106 + 3 × 104 + 5 × 103 + 4 × 100 (ང) 8 × 105 + 4 × 102 + 5 × 101 ༩། ཚད་ལྡན་གི་རྣམ་པར་བིས། (ཀ) 25730

(ཁ) 46,50,000

(ག) 82,90,00,000

(ང) 5985.5

༡༠། ཚད་ལྡན་གི་རྣམ་པར་བིས།

(ཀ) མི་འབོར་ 6,40,800 (ཁ) ས་ཡ་ 72 (ག) འབི་ཀོག་ཤེས་མཁན་གི་གངས་ནི་ 3,70,00,000 རེད། (ང) འཇིག་རེན་ཁམས་འདི་ལོ་ 12,000,000,000 ཡིན་པ་ཚོད་དཔག་བེད་ཀི་ཡོད།

30

འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

༡༡། x ཚོལ།

(ཀ) 3x = 92

(ཁ) 104 ÷ 100 = 10x

(ག) 24 + 32 = 5x

(ང) 5x ÷ 54 = 55

(ཅ) x3 =

125 343

(ཆ) (x2)3 =

1 64

༡༢། 34 དང་ 43 ལས་ཆེ་བ་ནི་གང་ཡིན་ནམ། ༡༣། 729 ཐེངས་གངས་ 3 གི་རྣམ་པར་བིས། ༡༤། 3125 ཐེངས་གངས་ 5 ཡི་ཐོག་བིས། ༡༥། 540 རྒྱུ་གངས་ཀི་ཐེངས་གངས་ཐོག་བིས། ༡༦། གཤམ་གསལ་གི་ཐང་ཚོལ། (ཀ) (−9)3

སྟོན་གངས།

(ཁ) 32 × 54

31

(ག) (−4) × (−10) 3

4

༡༧། སྟབས་བདེ་བཟོས། (−2)17 (ཀ) (−2)12

(ང) 3 4

3

(ཁ) (−9)9 ÷ (−9)6

༡༨། གཤམ་གསལ་གི་ཐང་ཚོལ།

(ཀ) x = −2 སྐབས། (5x)3

(ཁ) a = 2 དང་ b = −1 སྐབས། (−ab)5

༡༩། x = −1 དང་ a = 2, y = 1 ཡིན་སྐབས། x5y2a3 གི་ཐང་ཚོལ།

32

འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

༢༠། 3t × 27 = 35 སྐབས་ t ཡི་ཐང་ཚོལ།

༢༡།

2 3

2

ལ་ལུགས་ལྡན་གངས་གང་ཞིག་གིས་བསྒྱུར་ན་ཐོབ་གངས་སུ་

−3 ཡིན་ནམ། 2

3

༢༢། 5 = 53 ÷ 1212 བདེན་པ་ཡིན་ནམ། 11

སྟོན་གངས།

33

༤། གྲངས་འབྱོར་བསྡུར་བ། ༤་༡༽ ལན་འགྲྩིག་པ་ལ་རྟགས་རྒྱོབས། ༡། 5 km དང་ 500 m ཡི་སྡུར་ཚད་ནི། (ཀ) 10 : 1

(ཁ) 5 : 1

(ག) 1 : 10

(ང) 1 : 5

(ཀ) 11 : 1

(ཁ) 1 : 11

(ག) 22 : 1

(ང) 1 : 22

(ཀ) 400 km

(ཁ) 450 km

(ག) 480 km

(ང) 500 km

(ཀ) 3 : 2

(ཁ) 4 : 9

(ག) 9 : 6

(ང) 6 : 9

(ཀ) 300%

(ཁ) 200%

(ག) 100%

1 (ང) 33 % 3

(ཀ) 0.99%

(ཁ) 9.9%

(ག) 99%

(ང) 1.1%

(ཀ) 40%

(ཁ) 44%

(ག) 64%

(ང) 84%

༢། 11 m དང་ 50 cm ཡི་སྡུར་ཚད་ནི།

༣། མོ་ཊ་ཞིག་རྡོ་སྣུམ་ལི་ཊར་ 20 ཡིས་ 360 km སྐྱོད་ཐུབ་ཀི་ཡོད། དེ་རྡོ་སྣུམ་ལི་ཊར་ 25 ཡིས་རྒྱང་ཐག་ཀི་ལོ་མི་ ཊར་ག་ཚོད་བསྐྱོད་ཐུབ་བམ། ༤། 2 : 3 གི་འད་མཚུངས་ཡིན་པའི་སྡུར་ཚད་ནི། ༥།

3 གི་བརྒྱ་ཆ་རྣམ་པ་ནི། 3

༦། 0.099 ཡི་བརྒྱ་ཆ་རྣམ་པ་ནི།

༧། འོས་འཕེན་མཁན་གངས་ 125 ཡོད་པ་ལས། འོས་གངས་ 80 ཐོབ་ཡོད་ན། འོས་ཐོབ་པའི་བརྒྱ་ཆ་ནི།

34

འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

༨། སྤྲད་ཟིན་པའི་དཔེ་རིས་ནང་ནག་གིབ་བཏང་བའི་ཆ་ཤས་ཀི་བརྒྱ་ཆ་ནི། (ཀ) 15%

(ག) 25%

(ཁ) 20% (ང) 30%

༩། 150% གངས་ཆ་བསྡུས་ཤོས་ཀི་རྣམ་པར་སྒྱུར། (ཀ)

1 4

(ཁ)

1 2

༡༠། 11% གི་སིལ་གངས་རྣམ་པ་ནི།

(ག)

3 2

(ང)

3 4

(ཀ) 0.08

(ཁ) 0.09

(ག) 0.10

(ང) 0.11

(ཀ) 0.17

(ཁ) 0.7

(ག) 0.07

(ང) 0.007

༡༡། 7% གི་སིལ་གངས་རྣམ་པ་ནི། ༡༢། 22% གངས་ཆར་བསྒྱུར་ན། (ཀ)

22 99

(ཁ)

21 100

(ག)

12 50

(ང)

11 50

༡༣། ལྷ་སྐྱིད་ཀིས་བརན་འཕིན་ཞིག་ ` 12000 གིས་ཉོས་ཏེ་ ` 13200 ལ་བཙོངས་པ་རེད། ལྷ་སྐྱིད་ལ་ཁེ་བྱུང་བ་ནི། (ཀ) 10%

(ཁ) 12%

༡༤། སྡུར་ཚད་ 1 : 6 : 7 བརྒྱ་ཆར་བསྒྱུར་ན། (ཀ) 50%, 27%, 23%

6 1 (ག) 7 %, 42 %, 50% 7 7

(ག) 15%

(ང) 20%

(ཁ) 23%, 27%, 50%

(ང) 1%, 6%, 7%

༡༥། འཛིན་གྲྭའི་ནང་སོབ་ཕྲུག་ 50 ཡོད་པ་ལས་ཉིན་གཅིག་སོབ་ཕྲུག་ 8% སོབ་གྲྭར་སེབས་མེད། ཉིན་དེར་སོབ་ ཕྲུག་སེབས་པའི་གངས་ནི། (ཀ) 40

(ཁ) 42

(ག) 46

(ང) 48

(ཀ) 6

(ཁ) 8

(ག) 10

(ང) 12

༡༦། ཀུ་ཤུ་ 7 kg གི་རིན་གོང་ ` 1260 རེད། ` 1800 ཡིས་ཀུ་ཤུ་ཀི་ལོ་གྷ་རམ་ག་ཚོད་ཉོ་ཐུབ་བམ།

གངས་འབོར་བསྡུར་བ།

35

༡༧། 3 : 7 : : 7.5 : x ཡིན་ན། x ཡི་ཐང་ནི། (ཀ) 15.5

(ཁ) 17.5

(ག) 21

(ང) 24.5

(ཀ) ` 75

(ཁ) ` 100

(ག) ` 120

(ང) ` 125

(ཀ) 20o

(ཁ) 40o

(ག) 70o

(ང) 140o

༡༨། ` 300 བཀྲ་ཤིས་དང་ཕུར་བུ། སྒོལ་དཀར་དབར་ལ་སྡུར་ཚད་ 3 : 4 : 5 ནང་བགོས་ན། ཕུར་བུའི་ཐོབ་ཆ་ནི། ༡༩། ཟུར་གཉིས་གསབ་ཟུར་ཡིན་པ་དང་དེ་དག་གི་ཟུར་ཚད་ཀི་སྡུར་ཚད་ནི་ 2 : 7 རེད། ཟུར་ཆུང་བའི་ཚད་ནི།

༤་༢༽ བར་སྱོང་སྱོངས།

༡། 5 m དང་ 75 cm ཡི་སྡུར་ཚད་ནི་

༢། སྐར་མ་ 45 དང་ཆུ་ཚོད་ 2 ཀི་སྡུར་ཚད་ནི་

རེད།

རེད།

༣། ངང་ལག་ 4 ཡི་ལིད་ཚད་ནི་ 600 g རེད། ངང་ལག་ 20 ཡི་ལིད་ཚད་ནི་ཀི་ལོ་གྷ་རམ་ ༤། 600 ལས་ 12% མང་བའི་གངས་ནི་

རེད།

༥། གལ་ཏེ་ཀུ་ཤུ་ 4 ཀུ་ཤུ་ 5 ཡི་རིན་གོང་ཐོག་བཙོངས་ན། ཁེའི་བརྒྱ་ཆ་ནི་

རེད། རེད།

༦། མི་ 10 ཡིས་བ་བ་ཞིག་འགྲུབ་པར་ཉིན་ 15 འགོར་གི་ཡོད། མི་ 25 ཡིས་བ་བ་དེ་འགྲུབ་པར་ཉིན་ འགོར་གི་རེད།

༧། འཛིན་གྲྭའི་ནང་སོབ་ཕྲུག་ 40 ཡོད་པ་ལས། 16 བུ་རེད། བུའི་བརྒྱ་ཆ་ནི་

༨། ` 1440 ཀ་དང་ཁ་དབར་སྡུར་ཚད་ 4 : 5 ནང་བགོས་ན། ཀ་པའི་ཐོབ་ཆ་ནི་

༩། ` 4500 ཡིན་པའི་རྐང་འཁོར་ཞིག་ ` 3600 ལ་བཙོངས་པ་རེད། གོང་གི་བརྒྱ་ཆ་ནི་

༡༠། ` 3000 ལ་ལོ་རེར་སྐྱེད་ཚད་ 10% ཡིན་ན། ལོ་གསུམ་རེས་སྐྱེད་ཀ་

རེད། ཐོབ།

རེད།

རེད།

༡༡། མ་དངུལ་ ` 25000 ལོ་གཉིས་ཀི་རེས་དངུལ་འབོར་ ` 31000 ཆགས་ཀི་ཡོད་ན། ལོ་རེའི་སྐྱེད་ཚད་ནི་ རེད།

༡༢། ལོ་རེར་སྐྱེད་ཚད་ 8% ཐོག་ ` 20000 ཟླ་དྲུག་རིང་དངུལ་ཁང་དུ་བཅོལ་འཇོག་བས་པས། དངུལ་འབོར་ ཐོབ་པ་ནི་

36

རེད།

འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

༤་༣༽ ལན་བྩིས། ༡། སྡུར་ཚད་བིས།

(ཀ) 10 kg དང་ 230 g

(ཁ) 40 cm དང་ 2 m

(ག) 2 km དང་ 400 m

(ང) 3 L དང་ 1500 mL

(ཅ) ཆུ་ཚོད་ 3 དང་སྐར་མ་ 75

(ཆ) ཉིན་ 73 དང་ལོ་གཅིག

༢། བརྒྱ་ཆར་སྒྱུར། (ཀ) 5 : 8

(ག) 2

1 4

གངས་འབོར་བསྡུར་བ།

(ཁ)

9 20

(ང) 0.35

37

༣། ཚོལ།

(ཀ) ` 440 ཡི་ 25%

(ཁ) 300 kg ཡི་ 30%

(ག) ཨང་ཀི་ 200 ཡི་ 75%

(ང) ཆུ་ཚོད་ 2 ཀི་ 2%

(ཅ) 800 ལས་ 10% མང་བའི་གངས། (ཆ) གངས་འབོར་ཞིག་གི་ 70% ནི་ 1750 km ཡིན་ན། གངས་འབོར་དེ་ཚོལ། ༤། ནག་གིབ་བཏང་བའི་ཆ་ཤས་ཀི་བརྒྱ་ཆ་ཚོལ། (ཀ)

(ཁ)

༥། སྨྱུ་གུ་ 16 གི་གོང་ཚད་ ` 240 རེད། སྨྱུ་གུ་ 30 ཡི་གོང་ཚད་ག་ཚོད་རེད་དམ། ` 300 ཡིས་སྨྱུ་གུ་ག་ཚོད་ཉོ་ ཐུབ་བམ།

༦། པང་ལེབ་གྲུ་ནར་ཞིག་གི་དཀྱུས་ལ་ 112 m དང་ཞེང་ལ་ 80 m ཡོད། གཤམ་གསལ་དབར་གི་སྡུར་ཚད་ཚོལ། (ཀ) དཀྱུས་དང་ཞེང་།

38

འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

(ཁ) དཀྱུས་དང་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད།

(ག) ཞེང་དང་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད།

༧། སོབ་ཕྲུག་ 1500 ལས་ 60% པི་ཛ་ལ་དགའ་པོ་ཡོད། པི་ཛ་དགའ་པོ་མེད་པའི་སོབ་ཕྲུག་གི་བརྒྱ་ཆ་ཚོལ། དེ་དག་ གི་གངས་ཚོལ།

༨། སོབ་གྲྭ་ཞིག་གི་ནང་སོབ་ཕྲུག་ 500 ཡོད་པ་ལས་ 65% བུ་མོ་རེད། བུའི་གངས་ག་ཚོད་རེད།

༩། ཟུར་གསུམ་མའི་ཟུར་གསུམ་གི་བསོམས་གངས་ནི་ 180o རེད། དེའི་ཟུར་རྣམས་སྡུར་ཚད་ 2 : 3 : 4 ནང་ཡོད། ཟུར་རེ་རེའི་ཐང་ཚོལ།

གངས་འབོར་བསྡུར་བ།

39

༡༠། ཆོས་དབིངས་ཀི་ཟླ་རེའི་ཡོང་འབབ་ནི་ ` 30000 རེད། ཁོང་གིས་དེའི་ 25% སྐམ་ཟས་ཉོ་ཆེད་དང་ 20% ཁང་གར་འགོ་སོང་བཏང་བ་རེད། དེ་གཉིས་ལ་འགོ་སོང་སྒོར་ག་ཚོད་བཏང་ཡོད་དམ།

༡༡། རྒྱལ་དར་ཞིག་གི་དཀྱུས་དང་ཞེང་གི་སྡུར་ཚད་ནི་ 3 : 2 རེད། གལ་ཏེ་རྒྱལ་དར་དེའི་དཀྱུས་ 4 m 50 cm ཡིན་ ན། ཞེང་ཚོལ། དེའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ཀང་ཚོལ།

༡༢། རེད་ཆས་ཤིག་གི་གོང་ཚད་ ` 90 ནས་ ` 50 ལ་ཆག་ཡོད། གོང་ཚད་ཆག་པའི་བརྒྱ་ཆ་ཚོལ།

༡༣། རེའུ་མིག་ནང་སྐོངས། ༡།

མ་གནས་རིན་གོང་། ` 750

༢།

` 750

༤།

` 840

༣།

40

ཚོང་སྒྱུར་རིན་གོང་། ` 900

ཁེ།/གོང་།

ཁེ།/གོང། % གོང་ 10%

` 918 ཁེ་ ` 126

ཁེ་ 8%

འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

༡༤། ཚེ་དབང་གིས་ས་གདན་ཞིག་ལ་ ` 1200 སྤྲད་དེ་ཉོས་པ་དང་། དེ་ཁེ་ 20% ཐོག་བཙོངས་པ་རེད། ས་གདན་ གི་ཚོང་སྒྱུར་རིན་གོང་སྒོར་ག་ཚོད་རེད་དམ།

༡༥། བཀྲ་ཤིས་ཀིས་ཀམ་པུ་ཊར་ཞིག་ལ་ ` 20000 སྤྲད་དེ་ཉོས་པ་རེད། དེ་ ` 18000 ལ་བཙོངས་པ་རེད། ཁོང་ ལ་ཐོབ་པའི་གོང་གི་བརྒྱ་ཆ་ཚོལ།

༡༦། ཅོག་ཙེ་ཞིག་གོང་ 5% ཐོག་ ` 570 ལ་བཙོངས་པ་རེད། ཅོག་ཙེའི་མ་གནས་རིན་གོང་ཚོལ།

༡༧། དབང་ཕྱུག་གིས་ ` 45000 སྤྲད་དེ་སྦག་སྦག་ཅིག་ཉོས་པ་དང་། དེའི་བཟོ་བཅོས་ཆེད་འགོ་སོང་ ` 700 བཏང་ བ་རེད། ཁོང་གིས་དེ་ཁེ་ 10% ཐོག་བཙོངས་པ་རེད། སྦག་སྦག་གི་ཚོང་སྒྱུར་རིན་གོང་ཚོལ། ཁོང་ལ་ཁེ་ག་ཚོད་ བྱུང་ཡོད་དམ།

གངས་འབོར་བསྡུར་བ།

41

༡༨། པ་སངས་ལྷ་མོས་ལག་ཐོགས་ཁ་པར་རེར་ ` 10000 བས་ཏེ་ལག་ཐོགས་ཁ་པར་གཉིས་བཙོངས་པ་རེད།

གཅིག་ལ་ཁེ་ 25% དང་གཞན་ལ་གོང་ 30% བྱུང་ཡོད། ཁོང་ལ་བྱུང་བའི་ཁེ་འམ། ཡང་ན། གོང་གི་བརྒྱ་ཆ་ ཚོལ། ལག་ཐོགས་ཁ་པར་རེའི་མ་གནས་རིན་གོང་སྒོར་ག་ཚོད་རེད་དམ།

༡༩། རབ་རྒྱས་ཀིས་ཚོང་ཁང་ནས་གཅོག་ཆ་ 12% བཏང་བའི་ལག་འཁྱེར་རིས་འཕྲུལ་ཞིག་ ` 35000 གིས་ཉོས་ པ་རེད། ལག་ཁྱེར་རིས་འཕྲུལ་དེའི་ཐོ་གསལ་རིན་གོང་ཚོལ།

42

འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

༢༠། ཀརྨ་བདེ་སྐྱིད་ཀིས་བརན་འཕིན་ཞིག་ལ་ ` 55500 སྤྲད་དེ་ཉོས་པ་རེད། དེའི་ནང་ཁལ་ 8% ཚུད་ཡོད། ཁལ་ མ་བསོམས་གོང་གི་བརན་འཕིན་གི་གོང་ཚད་ཚོལ།

༢༡། རེའུ་མིག་ནང་སྐོངས། མ་དངུལ།

༡།

` 1200

༣།

` 5000

༢། ༤།

` 8500

ལོ་རེར་སྐྱེད་ཚད།

དུས་ཡུན།

སྐྱེད་ཀ

9%

ལོ་ 2

` 90

5%

6%

ལོ་ 2

ལོ་ 3

དངུལ་འབོར།

` 6200 ` 9520

༢༢། ` 20000 ལ་ལོ་རེར་སྐྱེད་ཚད་ 5% རེད། ལོ་ 2 རེས་སྐྱེད་ཀ་ག་ཚོད་ཐོབ་པ་ཚོལ།

༢༣། མ་དངུལ་ ` 1800 ལ་ལོ་རེར་སྐྱེད་ཚད་ 7% ཡིན་ན། ལོ་ 4 རེས་དངུལ་འབོར་ག་ཚོད་ཐོབ་པ་ཚོལ།

གངས་འབོར་བསྡུར་བ།

43

༢༤། མ་དངུལ་ ` 72000 ལ་ལོ་གསུམ་ནང་སྐྱེད་ཀ་ ` 8100 ཐོབ་ཀི་ཡོད། ལོ་རེའི་སྐྱེད་ཚད་ཚོལ།

༢༥། མ་དངུལ་ནི་ ` 2500 དང་ལོ་རེར་སྐྱེད་ཚད་ 4% རེད། དུས་ཡུན་ཟླ་བ་ 9 རེས་སྐྱེད་ཀ་དང་དངུལ་འབོར་ག་ ཚོད་ཐོབ་པ་ཚོལ།

༢༦། ཚེ་རིང་གིས་དངུལ་ཁང་ནས་ལོ་རེར་སྐྱེད་ཚད་ 8% ཐོག་ ` 50000 བུ་ལོན་བླངས་ཡོད། ལོ་ 2 རེས་སྐྱེད་ཀ་ ག་ཚོད་སྤྲོད་དགོས་སམ།

44

འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

༢༧། པདྨ་མཚོ་ཡིས་དངུལ་ཁང་ནང་སྐྱེད་ཚད་ 6.5% ཐོག་མ་དངུལ་ ` 200000 ལོ་གཅིག་དུས་བཀག་བཅོལ་ འཇོག་བས་པའི་སྐྱེད་ཀ་ཚོལ། དུས་ཡུན་རོགས་རེས་དངུལ་འབོར་ག་ཚོད་ཐོབ་པའང་ཚོལ།

༢༨། ལོ་རེར་སྐྱེད་ཚད་ 5% ཐོག་མ་དངུལ་ངེས་ཅན་ཞིག་ལ་ལོ་ 3 རེས་སྐྱེད་ཀ་ ` 450 སྤྲོད་ཀི་ཡོད། མ་དངུལ་ ཚོལ།

༢༩། ཁྱེད་ཀིས་ལོ་རེར་སྐྱེད་ཚད་ 5% ཐོག་མ་དངུལ་ ` 18000 ཟླ་བ་ 6 གི་རིང་བཅོལ་འཇོག་བས་ན། ཁྱེད་ལ་སྐྱེད་ ཀ་དང་དངུལ་འབོར་ག་ཚོད་ཐོབ་བམ།

གངས་འབོར་བསྡུར་བ།

45

༥། ཚབ་རྩིས་ཀྩི་ཚུལ། ༥་༡༽ ལན་འགྲྩིག་པ་ལ་རྟགས་རྒྱོབས། ༡། གཤམ་གསལ་ལས་མི་མཐུན་ཚན་པ་ནི། (ཀ) −3ab, 6ba

(ཁ) 11xy, −6y

(ག) xy2, 7y2x

(ང) pq, −6pq

(ཀ) 8

(ཁ) −1

(ག) y2

(ང) −y2

(ཀ) 5xy

(ཁ) a2 + b2

(ག) 6

(ང) x2 − 4x + 5

༢། ཚུལ་ 8 − y2x ནང་། x ཡི་བཏགས་གངས་ནི། ༣། གཤམ་གསལ་ལས་ཉིས་ཚན་ཚུལ་ནི།

༤། ཚུལ་ 8x2 − 6x + 4x2 − 4x + 3x + 5 སྟབས་བསྡུས་བཟོས་ན། (ཀ) 8x2 + 5

(ཁ) 8x2 − 6x + 5

(ག) 12x2 − 7x + 5

༥། 3x + 7 དང་ 4x − 5 ཡི་བསོམས་ཐོབ་ནི། (ཀ) 7x + 2

(ཁ) 7x − 2

(ང) 12x2 + 7x + 5 (ག) −7x + 2

༦། 8xy − 4x + y ནས་ 18xy − 6x + 2y འཐེན་ན། (ཀ) 26xy − 10x + 3y

(ཁ) 10xy − 2x + y

(ག) −10xy + 2x − y

(ང) xy + x + y

(ཀ) x × y × y

(ག) −1 × x × y

༧། ཚན་པ་ −xy2 བཀྲལ་བའི་རྣམ་པ་ནི།

46

(ཁ) −1 × y × y

(ང) −7x − 2

(ང) −1 × x × y × y

འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

༨། ཚུལ་ 7pq དང་ −6p + 8q, 3pq − 12p + 9q བསོམས་ན། (ཀ) 10pq − 10p − 10q (ག) 10pq + p + q

༩། m = 2 ཡིན་ན། m − 2 ནི།

(ཁ) −10pq + 10p + 10q (ང) 10pq − 18p + 17q

(ཀ) 0

(ཁ) 1

(ག) 2

(ང) 3

(ཀ) 0

(ཁ) −1

(ག) −2

(ང) −3

(ཀ) 9yz

(ཁ) −9yz

(ག) 9y2z

(ང) −9y2z

(ཀ) x2

(ཁ) −xy

(ག) −1

(ང) 6

༡༠། x = −1 ཡིན་ན། x3 − 6x2 + 5 ནི། ༡༡། −9xy2z ནང་ x ཡི་བཏགས་གངས་ནི། ༡༢། ཚུལ་ x2 − xy + y2 + 6 ནང་རག་གངས་ནི། ༡༣། གཤམ་གསལ་ལས་ཉིས་ཚན་ཚུལ་ནི། (ཀ) 3xy2 + 5y − x2y

(ག) xy + yz + zx

(ཁ) x2y − 5y − x2y

(ང) 3xy2 + 5y − xy2

༡༤། a = 2 དང་ b = −2 སྐབས། a2 + b2 + ab ཡི་ཐང་ནི། (ཀ) 4

(ཁ) 8

༡༥། གཤམ་གསལ་ལས་ཚན་མཐུན་ཚན་པའི་ཆ་ནི། (ཀ) −7x, xy2z, −7x2yz

(ག) 3xyz, 3x2y2z2

(ག) −4

(ང) −8

(ཁ) −10xyz2, 3xyz2 (ང) 4xyz2, 4x2yz

༡༦། 2(x2 − x + y) + 3(x + y) ཡི་སྟབས་བསྡུས་རྣམ་པ་ནི། (ཀ) 2x2 + x + 5y (ག) x2 + x + y ཚབ་རིས་ཀི་ཚུལ།

(ཁ) 2y2 + y + 5y

(ང) x2 − x − y

47

༡༧། P = m2 − n2 དང་ Q = n + m, R = 2m + 2n + m2 ཡིན་ན། P + 2Q − R ནི། (ཀ) m2

(ཁ) −m2

(ག) n2

(ང) −n2

(ཀ) l + b

(ཁ) lb

(ག) l − b

(ང) l b

(ཀ) − 5

(ཁ) 8

(ག) −7

(ང) 12

(ཀ) a2 − 4a + 8

(ཁ) −a2 + 4a + 8

(ག) a2 + 4a − 8

(ང) −a2 − 4a − 8

༡༨། དཀྱུས་ l དང་ཞེང་ b ཅན་གི་གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་རྒྱ་ཁྱོན་ནི།

༡༩། x = 0 སྐབས། 2x2 + x − m ཡི་ཐང་ 5 ཡིན་ན། m ཡི་ཐང་ནི།

ོ ་འཐེན་ན། ༢༠། 3a2 + 2 དང་ 7 − 2a + a2 ཡི་བསོམས་ཐོབ་ནས་ 3 + 2a − a2 དང་ 4a2 − 2 ཀི་བསོམས་ཐབ

༥་༢༽ བར་སྱོང་སྱོངས།

༡། 5x2 − 3x2y + y3 ནང་ x2 ཡི་བཏགས་གངས་ནི་

རེད།

༢། x = 5 དང་ y = −3, z = 4 ཡིན་ན། 2x − y + z =

༣། ཞབས་ x དང་མཐའ་གཅིག་པ་གཉིས་ཀི་རིང་ཚད་ y ཡིན་པའི་སྐེད་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ ཚད་ནི་

རེད།

༤། (x + y) དང་ (−x − y) ཡི་བསོམས་ཐོབ་ནས་ −5y འཐེན་ན་

༥། ཚུལ་ 2x + xy − x − 3xy ནང་ཚན་པ་གངས་ ༦། ཚུལ་ 2πr ནང་ཚབ་རིས་ཀི་རྒྱུ་ནི་

རེད།

ཡོད།

འབྱུང་།

༧། ཟླ་བ་ལ་བི་རིལ་ 5x ཡོད་པ་དང་ཉི་མ་ལ་བི་རིལ་ 20x ཡོད་ན། ཁོ་གཉིས་ཀི་བི་རིལ་གངས་ཀི་ཁྱད་པར་ནི་ རེད།

༨། −2x + 4y2 + z ལ་ཚན་རྐྱང་ཚུལ་

སོམ་སྐབས། ཐོབ་འབས་ཚུལ་དེ་ཉིས་ཚན་ཚུལ་ཆགས།

༩། མོ་ཊ་ཞིག་གི་མགོགས་ཚད་ཆུ་ཚོད་རེར་ 55 km རེད། ཆུ་ཚོད་ y ནང་བསྐྱོད་པའི་རྒྱང་ཐག་ནི་ རེད།

48

འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

༥་༣༽ ལན་བྩིས། ༡། རྒྱུ་དང་རག་གངས། རིས་ཐབས་སྤད་དེ་ཚབ་རིས་ཀི་ཚུལ་བིས། (ཀ) p དང་ q ཡི་བསོམས་ཐོབ་ཀི་བཞི་ཆ་གཅིག

(ཁ) གངས་ x དང་ y ཡི་བསོམས་ཐོབ་དེ་དག་གི་བསྒྱུར་ཐོབ་ནས་འཐེན། (ག) x རང་སྒྱུར་བས་ཏེ་ x དང་ y ཡི་བསྒྱུར་ཐོབ་ལ་སོམས། (ང) p ཡི་ལྡབ་གཉིས་དང་ q ཡི་ལྡབ་གཉིས་ཀི་བསྒྱུར་ཐོབ་ r ནས་འཐེན། (ཅ) གངས་ x དང་ y ཡི་བསྒྱུར་ཐོབ་ཀི་ལྡབ་བཞི་ལ་ 7 སོམ་པ། (ཆ) དཀྱུས་ལ་ཚད་གཞི་ p དང་ཞེང་ལ་ཚད་གཞི་ y ཡིན་པའི་གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད། ༢། ཚུལ་ 3x4 − y3 + z3 + 2xyz − 9 ནང་ཚན་པ་རེ་རེའི་ཨང་ཀིའི་བཏགས་གངས་བིས།

༣། ཚུལ་ xy + 12y2 − 5x2 ནང་ཚན་པ་དང་དེ་དག་གི་བགོད་གངས་བིས།

ཚབ་རིས་ཀི་ཚུལ།

49

༤། སོང་འགེམས་དཔེ་རིས་སྤད་དེ་ཚུལ་ −pq + 9p2 − 2q2 གི་ཚན་པ་དང་བགོད་གངས་བིས།

༥། ཚུལ་ 2x2z − 15xz2 + 7x2 ནང་ z2 ཡོད་པའི་ཚན་པ་བིས་ཏེ། z2 ཡི་བཏགས་གངས་བིས།

༦། གཤམ་གསལ་ལས་ཚན་མཐུན་རྣམས་ངོས་ཟུངས། (ཀ) 17x, 12, −5x, −51z, 18y, 6a, x

(ཁ) 13xy, 8y, −x2y2, −7xy, 12x2y2, 21, −7y, 12xy, 4y ༧། ཚན་མཐུན་རྣམས་མཉམ་སྒིག་བས་ཏེ་སྟབས་བསྡུས་བཟོས།

(ཀ) 2a + 2b + 2c – 2a – 2b – 2c – 2b + 2c + 2a

(ཁ) 3x2yz2 – 3xy2z + x2yz2 + 7xy2z

50

འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

(ག) (4a2 + 5a − 4) − (8a − a2 − 5)

(ང) 50x3 – 21x + 107 + 41x3 – x + 1 – 93 + 71x – 31x3

༨། སོམས།

(ཀ) p2 – 7pq – q2 དང་ – 3p2 – 2pq + 7q2

(ཁ) 4x2 − 7x2y + 7y2 − 2xy དང་ −x2 + x2y − 8y2

(ག) p2qr + pq2r + pqr2 དང་ – 3pq2r –2pqr2

(ང) a2 + 3ab – bc དང་། b2 + 3bc – ca, c2 + 3ca – ab

ཚབ་རིས་ཀི་ཚུལ།

51

(ཅ) x2 − y2 དང་། 2x2 − 3xy + 4y2, 3y2 − 5xy − x2

༩། འཐེན།

(ཀ) 6(b − a) ནས་ 8(b − a)

(ཁ) x3 + 3xy2 – x2y ནས་ –4x2y – y3

(ག) 30p2 + 40q2 − 12pq ནས་ 63pq − 30q2 − 15p2

(ང) –ab – bc – ca ནས་ 2 (ab + bc + ca)

52

འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

(ཅ) 15x2 − 11x2y + 9y2 − 5xy ནས་ 9x2 + 7x2y − 2y2 − 5xy

༡༠། གཤམ་གསལ་དཔེ་རིས་ཀི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ཚོལ། 5a − 4b

4a − 3b

4a − 3b 5a − 4b

༡༡། གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་ཞིག་གི་མཐའ་ (8x + 4y) རེད། གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་དེའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ཚོལ།

༡༢། མཐའ་ (2x + 3y − 8) ཡིན་པའི་མཐའ་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མའི་མཐའི་བསོམས་ཐོབ་ཚོལ།

ཚབ་རིས་ཀི་ཚུལ།

53

༡༣། (ཀ) x2 + 2xy + y2 ལ་ཚུལ་གང་བསོམས་ན་ 2x2 + 3xy འབྱུང་ངམ།

(ཁ) 3pq + 5p2q2 + p3 ལ་ཚུལ་གང་བསོམས་ན་ p3 + 2p2q2 + 4pq འབྱུང་ངམ།

༡༤། (ཀ) –7mn + 2m2 + 3n2 ནས་ཚུལ་གང་འཐེན་ན་ m2 + 2mn + n2 འབྱུང་ངམ།

(ཁ) 2x3 – 3x2y + 2xy2 + 3y3 ནས་ཚུལ་གང་འཐེན་ན་ x3 – 2x2y + 3xy2 + 4y3 འབྱུང་ངམ།

54

འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

༡༥། x2 – y2 – 1 དང་། y2 – x2 – 1, 1 – x2 – y2 གི་བསོམས་ཐོབ་ནས་ – (1 + y2) འཐེན།

༡༦། ab + 2b2 དང་ 3b2 – a2 གི་བསོམས་ཐོབ་ནས་ 12ab –10b2 –18a2 དང་ 9ab + 12b2 + 14a2 གི་བསོམས་ཐོབ་འཐེན།

༡༧། a = – 2 དང་ b = 3 སྐབས་གཤམ་གསལ་ཚན་མང་ཚུལ་གི་ཐང་ཚོལ། (ཀ) a2 + 2ab + b2

(ཁ) a2 + b2 – ab – b2 – a2

(ག) a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

(ང) a + b 3

ཚབ་རིས་ཀི་ཚུལ།

2

2

55

༡༨། m = 1 དང་ n = −1, p = 2 སྐབས་གཤམ་གསལ་ཚན་མང་ཚུལ་གི་ཐང་ཚོལ། (ཀ) m2n2 + n2p2 + p2m2

(ཁ) m3 + n3 + p3 − 3mnp

༡༩། p = 3 དང་ a = −1, b = −2 སྐབས་གཤམ་གསལ་ཚན་མང་ཚུལ་གི་ཐང་ཚོལ། (ཀ) 3pq + 4ab + pa

(ཁ) 30 − 3p − 3b + p2

༢༠། གལ་ཏེ་ A = 3x2 – 4x + 1 དང་ B = 5x2 + 3x – 8, C = 4x2 – 7x + 3 ཡིན་ན། གཤམ་གསལ་ གི་ཐང་ཚོལ།

(ཀ) (A + B) – C

(ཁ) B + C – A

56

འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

༢༡། P = −(x – 2) དང་ Q = −2(y +1), R = −x + 2y ཡིན་ན། P + Q + R = ax སྐབས་ a ཚོལ།

༢༢། ཆོས་བཟང་གིས་ ` (4x + 3y) སྤྲད་དེ་རེད་ཆས་ཉོས་པ་དང་། དེབ་ཆས་ལ་ ` (7x − 3y) འགོ་སོང་བཏང་ བ་རེད། ཁོ་མོས་ཁྱོན་བསོམས་དངུལ་འགོ་སོང་ག་ཚོད་བཏང་བ་ཚོལ།

༢༣། ཐག་པ་ཞིག་གི་རིང་ཚད་ (7x − 3) m རེད། དེ་ནས་རིང་ཚད་ (2x − 1) m ཅན་གི་དུམ་བུ་ཞིག་བཅད་པ་ ཡིན་ན། ད་དུང་ག་ཚོད་ལྷག་ཡོད་དམ།

༢༤། བློ་བཟང་ལ་ཨ་མ་ལགས་ཀིས་ ` 3xy2 དང་པ་ལགས་ཀིས་ ` 5(xy2 + 2) གནང་བ་རེད། དངུལ་འབོར་དེ་

ནས་ཁོང་གིས་གཟའ་མཇུག་ལ་ ` (10 − 3xy2) འགོ་སོང་བཏང་བ་རེད། ཁོང་ལ་དངུལ་ག་ཚོད་ལྷག་ཡོད་དམ།

ཚབ་རིས་ཀི་ཚུལ།

57

༢༥། བདེ་སྐྱིད་མཚོ་ལ་ལག་དངུལ་ ` (12p + 20q) ཡད ོ ། ཁང ོ ་གིས་ཚོང་ཁང་ནས་ ` (9p + 3q) སྤྲད་དེ་དཔེ་

ཁུག་ཅིག་དང་། ` (4p − q) ཡིས་སྒྲུང་དེབ་ཅིག ` (2p − 2q) ཡིས་སྨྱུ་གུ་ཞིག་ཉས ོ ་པ་རེད། འགོ་སང ོ ་བཏང་

རེས་ཁོང་ལ་དངུལ་ག་ཚོད་ལྷག་ཡད ོ ་དམ།

༢༦། ཚེ་རིང་ལ་ཆུ་ཚོད་རེའི་ག་ཆ་ `200 རེད། ཁང ོ ་གིས་བདུན་ཕག་ས་མར་ཆུ་ཚོད་ 46 རིང་ལས་ཀ་བས་པ་དང་།

བདུན་ཕག་འདིར་ཆུ་ཚོད་ x ལས་ཀ་བས་པ་རེད། བདུན་ཕག་དེ་གཉིས་ནང་ཁང ོ ་ལ་ཐབ ོ ་པའི་དངུལ་གི་ཚབ་རིས་ ཀི་ཚུལ་བིས།

༢༧། ལྷ་མོ་དང་བུ་འཁིད་ཀིས་ཚན་རིག་གི་བེད་སྒོའི་ཆེད་ལ་ོ མ་འད་མིན་བསྡུ་རུབ་བེད་དགས ོ ། ཁ་ོ གཉིས་ལྡུམ་རར་

ཕིན་ཏེ་ལྷ་མོས་ལ་ོ མ་ 20 དང་བུ་འཁིད་ཀིས་ལ་ོ མ་ x བསྡུ་རུབ་བས་ཡད ོ ། དུས་ཡུན་གང་འཚམ་རེས་ལྷ་མའ ོ ི་ལ་ོ མ་ 3 བརླག་པ་དང་། བུ་འཁིད་ཀིས་ད་དུང་ལ་ོ མ་ 2x བསྡུ་རུབ་བས་ཡད ོ ། ཁ་ོ གཉིས་ལ་ད་ལྟ་ཡད ོ ་པའི་ལ་ོ མའི་

གངས་མཚོན་པའི་ཚབ་རིས་ཀི་ཚུལ་བིས།

58

འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

1 1 ༢༨། རང་བྱུང་གངས་ཐོག་མ་ n ཡི་བསོམས་ཐོབ་ནི་ n2 + n རེད། རང་བྱུང་གངས་ཐོག་མ་ 5 ཡི་བསོམས་ 2 2 ཐོབ་ཚོལ།

༢༩། གལ་ཏེ་ (ཀ) 2

(ཁ)

1 2

ཚབ་རིས་ཀི་ཚུལ།

= 2x + 3 དང་།

+

−

+

−3

= 3x,

= x − 3 ཡིན་ན། གཤམ་གསལ་ཚོལ།

59

༦། མཉམ་བྱ་སབས་བདེ། ༦་༡༽ ལན་འགྲྩིག་པ་ལ་རྟགས་རྒྱོབས། ༡། '' x ལྡབ་ 9 དང་ 6 གི་བསོམས་ཐོབ་ 24 རེད་ '' བརོད་པ་འདི་ཡི་མཉམ་བ་ནི། (ཀ) 9x + 6 = 24

(ཁ) 9x − 6 = 24

(ག) 6x + 9 = 24

༢། མཉམ་བ་

(ང) 6x − 9 = 24

p − 3 = 0 གི་བརོད་པ་ནི། 5

(ཀ) གངས་ p ལྡབ་ལྔ་ནས་ 3 འཐེན་པས་ 0 འབྱུང་།

(ཁ) གངས་ p ཡི་ལྔ་ཆ་གཅིག་ནས་ 3 འཐེན་པས་ 0 འབྱུང་།

(ག) གངས་ p ལྡབ་ལྔ་ནི་ 3 རེད།

(ང) གངས་ p ཡི་ལྔ་ཆ་གཅིག་དང་ 3 གི་བསོམས་ཐོབ་ 0 རེད།

༣། གལ་ཏེ་ a དང་ b རིལ་གངས་ཕོ་ཡིན་ན། མཉམ་བ་ ax = b ཡི་འགོལ་ཐོབ་ནི། (ཀ) ཕོ་གངས།

(ཁ) མོ་གངས།

(ག) 1

(ཁ) −5

(ག) −

(ཀ) 7x − 6 = 0

(ཁ) 7x − 7 = 1

(ག)

(ཀ) 6x + 6 = 0

(ཁ) 3x − 3 = 0

(ག) 6x − 6 = 0

༤། མཉམ་བ་ 2x + 5 = 0 གི་འགོལ་ཐོབ་ནི། (ཀ)

2 5

༥། འགོལ་ཐོབ་ x = 1 ཡིན་པའི་མཉམ་བ་ནི། ༦། x = −1 ནི་མཉམ་བ་

60

(ང) 0 5 2

5 2

(ང)

x 1 1 − = 2 4 2

(ང) x − 1 = 0

ཡི་འགོལ་ཐོབ་རེད།

(ང) 8x + 7 = 0

འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

༧། འགོལ་ཐོབ་ y = 6 ཡིན་པའི་མཉམ་བ་ནི། (ཀ)

y 1 − =2 2 2

(ཁ)

y −1=1 3

༨། འགོལ་ཐོབ་ x = −3 ཡིན་པའི་མཉམ་བ་ནི། (ཀ) 7x + 3 = 18

(ཁ) 4x + 3 = −9

༩། མཉམ་བ་ 6m − 2 = 1 གི་བརོད་པ་ནི།

(ག)

y +6=8 6

(ག) −6 = 5(x − 1)

(ང)

y 1 + =2 12 2

(ང) 8 = 4 + 2(x − 2)

(ཀ) གངས་ m ལྡབ་དྲུག་ནས་ 2 འཐེན་པས་ 0 བྱུང་།

(ཁ) གངས་ m ལྡབ་དྲུག་ནས་ 2 འཐེན་པས་ 1 བྱུང་།

(ག) གངས་ m ལྡབ་དྲུག་ལ་ 2 བསོམས་པས་ 1 བྱུང་། (ང) 2 ནས་གངས་ m ལྡབ་དྲུག་འཐེན་པས་ 1 བྱུང་།

༡༠། མཉམ་བ་ x − 6 = 1 གི་འགོལ་ཐོབ་ནི། (ཀ) x = 0

(ཁ) x = 3

(ག) x = 5

(ང) x = 7

(ཀ) p = 5

(ཁ) p = 10

(ག) p = 15

(ང) p = 20

(ཀ) x = 2

(ཁ)

1 4

(ང) x = 1

༡༡། མཉམ་བ་

p = 5 ཡི་འགོལ་ཐོབ་ནི། 3

༡༢། མཉམ་བ་ −8 = 6 + 8(x − 2) ཡི་འགོལ་ཐོབ་ནི། 1 2

(ག)

༡༣། མཉམ་བའི་ནང་སོམ་གངས་ཕོགས་གཞན་ལ་སོ་སྐབས། གངས་དེའི་རགས། (ཀ) མོ་གངས་ཆགས་ཀི་རེད།

(ག) ཕོ་གངས་ཆགས་ཀི་རེད།

༡༤། ང་ཚོས་མཉམ་བའི་ཕོགས་གཉིས་ཀར་ (ཀ) ཕོ་གངས་ཀིས།

(ག) ཀད་ཀོར་མིན་པའི་གངས་ཀིས།

མཉམ་བ་སྟབས་བདེ།

(ཁ) འགྱུར་བ་འགོ་ཡི་མེད། (ང) གསུམ་ག་མིན། བགོད་མི་ཐུབ།

(ཁ) མོ་གངས་ཀིས། (ང) ཀད་ཀོར་གིས།

61

༡༥། གངས་ཤིག་གི་དྲུག་ཆ་གཅིག་ནས་ 3 འཐེན་པས་ 4 བྱུང་། འདིར་མ་ཤེས་པའི་གངས་ནི། (ཀ) 42

(ཁ) 21

7m 2 = ཀི་འགོལ་ཐོབ་ནི། 2 7 1 (ཀ) m = 1 (ཁ) m = 7

༡༦། མཉམ་བ་

༡༧། གངས་ཤིག་གི་ (ཀ) 8

(ག) 12

(ང) 32

(ག) m =

4 49

(ང) m = −

1 7

5 ནས་ 7 འཐེན་པས་ཐོབ་འབས་སུ་ 18 བྱུང་། འདིར་མ་ཤེས་པའི་གངས་ནི། 2 (ཁ) 9

(ག) 10

(ང) 11

(ཀ) x + 3 = 2

(ཁ) x + 7 = 3

(ག) x − 3 = 7

(ང) x − 7 = 3

(ཀ) 2x + 1 = 15

(ཁ) 7x − 1 = 50

(ག) x − 3 = 4

(ང)

(ཀ) 0

(ཁ) 16

(ག) 8

(ང) −16

༡༨། x ནི་ 3 ལས་ 7 གིས་མང་བ་རེད་ཅེས་བརོད་པ་འདི་གཤམ་གསལ་ལྟར་མཚོན་ཐུབ། ༡༩། གཤམ་གསལ་ལས་མཉམ་བ་གང་གི་འགོལ་ཐོབ་ x = 7 མིན།

༢༠། ཚུལ་ (y − 15) དང་ (2y + 1) མཚུངས་སྐབས་ y ཡི་ཐང་ནི།

༦་༢༽ བར་སྱོང་སྱོངས།

x −1=0 7

༡། z + 3 = 5 ཡིན་ན། z = ༢། x =

༣། x =

ནི་མཉམ་བ་ 3x − 2 = 7 གི་འགོལ་ཐོབ་རེད། ནི་ 3x + 10 = 7 གི་འགོལ་ཐོབ་རེད།

༤། 2x + 3 = 5 ཡིན་ན། 3x + 2 ཀི་ཐང་ནི་ 9 18 ༥། x = ཡིན་ན། x = 5 5 1 1 ༦། x − = − ཡིན་ན། x = 2 2

62

རེད།

འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

༧། གངས་ཤིག་གི་ལྡབ་གསུམ་ཐོག་ 5 སོམ་པ་དང་། གངས་དེ་རང་གི་ལྡབ་བཞི་ནས་ 7 འཐེན་པ་མཚུངས། བརོད་པ་ འདི་ཡི་མཉམ་བ་ནི་

༨། གངས་གཉིས་ཀི་བསོམས་ཐོབ་ནི་ 60 དང་འཐེན་ཐོབ་ནི་ 30 རེད། གངས་དེ་དག་ནི་ རེད།

དང་

༩། གངས་གཉིས་ཀི་བསོམས་ཐོབ་ནི་ 81 རེད། གངས་གཅིག་ནི་གངས་གཞན་གི་ཉིས་ལྡབ་རེད། གངས་དེ་དག་ནི་ དང་

རེད།

༡༠། ཡིག་ཚད་ཅིག་གི་ནང་ལྷག་སྒོན་ལ་ཕུར་བུའི་ཨང་ཀིའི་ལྡབ་གཉིས་ཐོབ་ཡོད། ཁོ་གཉིས་ཀི་ཨང་ཀིའི་བསོམས་ཐོབ་ ནི་ 120 རེད། ལྷག་སྒོན་གི་ཨང་ཀི་ནི་

༦་༣༽ ལན་བྩིས།

རེད།

༡། སྤྲད་ཟིན་པའི་ཐང་ནི་མཉམ་བའི་འགོལ་ཐོབ་ཡིན་མིན་ལྟོས། (ཀ) x + 7 = 20 (x = 13)

(ཁ) 15 − x = −2 (x = 13)

(ག) 11x = 121 (x = 11)

(ང) 4m − 12 = 4 (m = 4)

(ཅ) 5p + 2 = 17 (p = 3)

(ཆ) y +

1 3 3 = (y = ) 7 7 7

༢། གཤམ་གི་བརོད་པ་མཚོན་པའི་མཉམ་བ་བིས། (ཀ) a དང་ 6 གི་འཐེན་ཐོབ་ནི་ 18 རེད།

མཉམ་བ་སྟབས་བདེ།

63

(ཁ) m ནི་ 19 ལས་ 10 ཡིས་མང་བ་རེད། (ག) y ཡི་ལྡབ་དགུ་ལ་ 8 བསོམས་པས་ 98 བྱུང་། (ང) x ཡི་བཞི་ཆ་གཅིག་ནི་ 7 རེད། (ཅ) x ཡི་གསུམ་ཆ་གཅིག་དང་ 10 ཡི་བསོམས་ཐོབ་ 30 རེད། (ཆ) 9 ནས་ a ཡི་གསུམ་ཆ་གཉིས་འཐེན་ན་ 1 འབྱུང་། (ཇ) 2 དང་ a ཡི་བསོམས་ཐོབ་ནས་ x ཡི་ལྡབ་དྲུག་འཐེན་ན་ 25 འབྱུང་། ༣། གཤམ་གསལ་མཉམ་བ་རྣམས་བརོད་པ་ནང་བིས། (ཀ) x + 7 = 9

(ཁ) 4m − 7 = 18 (ག)

4x = 10 3

(ང) 3y + 5 = 15

64

འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

(ཅ) 47p − 1 = 24 (ཆ)

x + 9 = 13 5

(ཇ)

7a a − = 11 5 8

༤། འགོལ་ཐོབ་ཚོལ། (ཀ) 2x = 0

(ཁ) 25t = −45

(ག) x + 19 = 20

(ང) m − 3 = −10

(ཅ) a + 1.5 = −5.5

(ཆ) y − 8 = −8

p =6 9

(ཉ)

3a =3 4

4 12 (ཏ) z = 15

(ཐ)

5 y = −8 2

(ཇ)

མཉམ་བ་སྟབས་བདེ།

65

༥། x ཚོལ།

19 = 13 2

(ཀ) 2x + 3x + 5 = 20

(ཁ) 7x +

(ག) 9x + 5 = 4x + 30

(ང) 18 − 5x = 3x − 6

(ཅ) 6 (x + 5) = 18

(ཆ) 80 − 5 (x − 1) = 0

(ཇ) 28 = 4 + 3 (x + 5)

(ཉ) 50 = 16 + 2 (x − 5)

(ཏ) 3 (x + 6) = 4 (2x − 8)

(ཐ)

66

5x x +7= −1 3 4

འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

༦། x = 5 ཡིན་པའི་མཉམ་བ་གསུམ་བིས།

༧། x = −3 ཡིན་པའི་མཉམ་བ་གསུམ་བིས།

༨། གཤམ་གསལ་བརོད་པ་ཁག་གི་མཉམ་བ་བཟོས་ཏེ་འགོལ་ཐོབ་ཚོལ། (ཀ) གངས་ཤིག་གི་ལྡབ་གཉིས་ནས་ 13 འཐེན་པས་ 3 བྱུང་།

(ཁ) 40 ནས་གངས་ཤིག་གི་ལྡབ་གསུམ་འཐེན་པས་ −50 བྱུང་།

མཉམ་བ་སྟབས་བདེ།

67

(ག) གངས་ཤིག་གི་ལྡབ་ 8 ནས་གངས་དེའི་ལྡབ་ 5 འཐེན་ན་ 60 རེད།

(ང) གངས་ཤིག་གི་ལྡབ་གཉིས་དང་གངས་དེའི་ལྡབ་གསུམ་བསོམས་ན་ 50 རེད།

༩། སྒོལ་དཀར་ལོ་ 15 རེས་ད་ལྟ་ཁོ་མོའི་ལོའི་ལྡབ་བཞི་ཆགས་ཀི་ཡོད། སྒོལ་དཀར་གི་ད་ལྟའི་ལོ་ཚོལ།

༡༠། ཀུན་དགའ་ཡིས་ཆོས་བཟང་ལ་ཚ་ལུ་མ་ 18 སྤྲད་རེས་ཁོང་རང་ལ་ཚ་ལུ་མ་ 45 ལྷག་ཡོད། ཀུན་དགའ་ལ་ཐོག་ མར་ཚ་ལུ་མ་ག་ཚོད་ཡོད་དམ།

68

འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

༡༡། རང་བྱུང་གངས་བསྟུད་མ་གསུམ་གི་བསོམས་ཐོབ་ནི་ 84 རེད། གངས་དེ་དག་ཚོལ།

༡༢། ཁྱེད་ལ་ངང་ལག་ x ཡོད། དེ་དག་སྤྲེའུ་ 5 ལ་ཆ་སྙོམས་བགོས་པ་རེད། (ཀ) སྤྲེའུ་རེ་ལ་ངང་ལག་ག་ཚོད་བྱུང་ཡོད་དམ།

(ཁ) གལ་ཏེ་སྤྲེའུ་རེ་ལ་ངང་ལག་ 10 རེ་ཐོབ་ཀི་ཡོད་ན། ཁྱོན་བསོམས་ངང་ལག་ག་ཚོད་དགོས་སམ།

༡༣། ཟླ་བ་དང་ཉི་མ་གཉིས་ཀི་ལོའི་བསོམས་ཐོབ་ 40 རེད། གལ་ཏེ་ཁོ་གཉིས་ཀི་ལོའི་སྡུར་ཚད་ནི་ 3 : 5 ཡིན་ན། ཁོ་གཉིས་ཀི་ལོ་ཚོལ།

མཉམ་བ་སྟབས་བདེ།

69

༡༤། གངས་གཉིས་ཀི་བསོམས་ཐོབ་ 200 རེད། གལ་ཏེ་གངས་གཅིག་ནི་གངས་གཞན་གི་ལྡབ་ 9 ཡིན་ན། གངས་དེ་ དག་ཚོལ།

༡༥། བསམ་སྐྱིད་ནི་དཔལ་བཟང་ལས་ལོ་ 8 ཀིས་རྒན་པ་རེད། གལ་ཏེ་ཁོ་གཉིས་ཀི་ལོའི་བསོམས་ཐོབ་ 26 ཡིན་ན། ཁོ་གཉིས་ཀི་ལོ་ཚོལ།

༡༦། ཕུན་ཚོགས་ལ་ཤེལ་རྡོ་འགའ་ཡོད། བསོད་ནམས་ལ་ཕུན་ཚོགས་ཀི་ཤེལ་རྡོའི་ལྡབ་ 10 དང་ཤེལ་རྡོ་ 7 གིས་མང་ བ་ཡོད། ཁོ་གཉིས་ལ་ཁྱོན་བསོམས་ཤེལ་རྡོ་ 29 ཡོད། ཁོ་གཉིས་སོ་སོ་ལ་ཡོད་པའི་ཤེལ་རྡོའི་གངས་ཚོལ།

70

འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

༡༧། གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ཞིག་གི་དཀྱུས་ནི་དེའི་ཞེང་ལས་ 12 cm གིས་མང་བ་རེད། དེའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ནི་ 48 cm རེད། དེའི་དཀྱུས་དང་ཞེང་ཚོལ།

༡༨། ཆོས་ལྡན་ལ་དབང་མོའི་དངུལ་གི་ལྡབ་གཉིས་ཡོད། ཁོ་གཉིས་ལ་ཁྱོན་བསོམས་དངུལ་ ` 150 ཡོད་ན། ཆོས་ལྡན་ ལ་དངུལ་ག་ཚོད་ཡོད་དམ།

༡༩། ད་ལྟ་བཟང་པོའི་པ་ལགས་ནི་ལོ་ 52 རེད། ཁོང་བཟང་པོའི་ལོའི་ལྡབ་གསུམ་ལས་ལོ་ 7 གིས་རྒན་པ་རེད། བཟང་པོའི་ལོ་ག་ཚོད་རེད་དམ།

མཉམ་བ་སྟབས་བདེ།

71

༢༠། སོབ་གྲྭ་ཞིག་གི་ནང་སོབ་ཕྲུག་ 1200 ཡོད། དེ་དག་ལས་བུ་མོའི་གངས་ནི་བུའི་གངས་ལས་ 60 ཡིས་མང་བ་ ཡོད་ན། སོབ་གྲྭའི་ནང་བུའི་གངས་ཚོལ། བུ་མོའི་གངས་ཀང་ཚོལ།

༢༡། གཤམ་གསལ་མཉམ་བའི་འགོལ་ཐོབ་ཚོལ།

(ཀ) 15 (x − 4) − 2 (x + 3) − 3 (x + 8) = 0

(ཁ) 3(4x − 1) + 2(2x + 5) − 5 = 0

72

འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

༧། ཟུར། ༧་༡༽ ལན་འགྲྩིག་པ་ལ་རྟགས་རྒྱོབས། ༡། གོགས་ཟུར་གཉིས་ཀི་བསོམས་ཐོབ་ནི། (ཀ) 90o

(ཁ) 100o

(ག) 120o

(ང) 180o

(ཀ) 53o

(ཁ) 127o

(ག) 57o

(ང) 27o

(ཀ) 30o

(ཁ) 45o

(ག) 60o

(ང) 90o

༢། 53o གི་གོགས་ཟུར་ནི།

༣། གོགས་ཟུར་རང་ཉིད་དང་མཚུངས་པའི་ཟུར་ནི། ༤། ཟུར་གཉིས་གོགས་ཟུར་ཡིན་ན།

(ཀ) གཅིག་རྣོ་ཟུར་དང་གཞན་ནི་རྟུལ་ཟུར་རེད།

(ཁ) གཉིས་ཀ་རྣོ་ཟུར་རེད།

(ག) གཉིས་ཀ་རྟུལ་ཟུར་རེད།

(ང) གཉིས་ཀ་དང་ཟུར་རེད།

(ཀ) 51o དང་ 39o

(ཁ) 54o དང་ 36o

(ག) 45o དང་ 45o

(ང) 32o དང་ 18o

(ཀ) 30o, 60o

(ཁ) 40o, 140o

(ག) 60o, 160o

(ང) 70o, 170o

(ཀ) 19o

(ཁ) 81o

(ག) 109o

(ང) 209o

༥། གལ་ཏེ་གོགས་ཟུར་གཉིས་ཀི་འཐེན་ཐོབ་ 18o ཡིན་ན། ཟུར་དེ་དག་གི་ཟུར་ཚད་ནི། ༦། གཤམ་གསལ་ལས་གསབ་ཟུར་ཆ་ནི། ༧། 71o གི་གསབ་ཟུར་ནི།

ཟུར།

73

༨། རྟུལ་ཟུར་ཞིག་གི་གསབ་ཟུར་ནི། (ཀ) རྣོ་ཟུར།

(ཁ) དང་ཟུར།

(ག) རྟུལ་ཟུར།

(ང) ལྡོག་འཕོ་ཟུར།

(ཀ) 134o དང་ 46o (ཁ) 134o དང་ 66o

(ག) 89o དང་ 1o

(ང) 89o དང་ 101o

(ཀ) 90o

(ག) 180o

(ང) 360o

༩། གལ་ཏེ་གསབ་ཟུར་གཉིས་ཀི་འཐེན་ཐོབ་ 88o ཡིན་ན། ཟུར་དེ་དག་གི་ཟུར་ཚད་ནི། ༡༠། ཉེ་གསབ་ཟུར་གི་བསོམས་གངས་ནི།

(ཁ) 100o

༡༡། གཡས་ཀི་དཔེ་རིས་ནང་། 1 དང་ 2 ཡིས་ (ཀ) ཉེ་གསབ་ཟུར།

གྲུབ་ཀི་མེད།

(ཁ) ཉེ་ཟུར།

(ག) གོགས་ཟུར།

1

(ང) གསབ་ཟུར།

༡༢། བསྣོལ་བའི་ཐིག་གཉིས་ལ་ཉུང་མཐར། (ཀ) སྤི་གནས་གཅིག་ཡོད། (ག) སྤི་གནས་གསུམ་ཡོད།

(ཁ) སྤི་གནས་གཉིས་ཡོད། (ང) སྤི་གནས་མེད།

༡༣། གསབ་ཟུར་དང་ལྡོག་འཕད་ཟུར་གཉིས་ཀ་ཡིན་པའི་ཟུར་ནི། (ཀ) 95o, 85o

(ཁ) 90o, 90o

2

(ང) 45o, 45o

(ག) 100o, 80o

༡༤། གལ་ཏེ་ཐིག་ l དང་ m གཉིས་ཕན་ཚུན་གནས་ O ཐོག་བསྣོལ་གི་ཡོད་ན། (དཔེ་རིས་ལ་ལྟོས།) (ཀ) 1 = 2

(ཁ) 1 ནི་ 2 ལས་ཆེ་བ་རེད།

(ག) 2 ནི་ 1 ལས་ཆེ་བ་རེད།

(ང) 1 ནི་ 2 ཀི་ལྡབ་གཉིས་རེད།

l

m

1 O 2

༡༥། གལ་ཏེ་གསབ་ཟུར་གཉིས་ཀི་སྡུར་ཚད་ 1 : 2 ཡིན་ན། ཟུར་ཚད་ཆེ་བ་ནི། (ཀ) 120o

74

(ཁ) 125o

(ག) 110o

(ང) 90o

འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

༡༦། གཡས་ཀི་དཔེ་རིས་ནང་ཐིག་ a དང་ b ནི་གསེག་ཐིག་ c ཡིས་བསྣོལ་གི་ཡོད། ནང་སྣོལ་ཆ་ཟུར་ནི། (ཀ) 1 དང་ 3,

5 དང་ 7

(ག) 1 དང་ 2,

7 དང་ 8

(ཁ) 4 དང་ 5,

(ང) 4 དང་ 6,

c 1 2 4 3

3 དང་ 6

a

5 6 8 7

b

3 དང་ 5

༡༧། ལྷོ་ནུབ་དང་ལྷོ་ཤར་དབར་གི་ཟུར་ནི། (ཀ) ལྡོག་འཕད་ཟུར་རེད།

N

(ཁ) གོགས་ཟུར་རེད།

(ག) ཉེ་གསབ་ཟུར་རེད།

W

E

(ང) ཉེ་ཟུར་ཡིན་ནའང་གསབ་ཟུར་མིན།

༡༨། གཡས་ཀི་དཔེ་རིས་ནང་། AB || CD དང་། APQ = 50o, PRD = 130o ཡིན་ན། QPR ནི། (ཀ) 130o

A

P

130o

(ང) 30o

C Q

R

(ཁ) གནས་མཐུན་ཟུར།

(ག) ནང་སྣོལ་ཟུར།

D

l

༡༩། གཡས་ཀི་དཔེ་རིས་ནང་། a དང་ b ནི། (ཀ) ཕི་སྣོལ་ཟུར།

B

50o

(ཁ) 50o

(ག) 80o

S

a

m

b

(ང) ལྡོག་འཕད་ཟུར།

n

༢༠། གཡས་ཀི་དཔེ་རིས་ནང་ l དང་ m མཉམ་འགོ་ཡིན་པ་དང་། n ནི་གསེག་ཐིག་ཡིན་ན། (ཀ) 1 − 2 = 90o

n

(ཁ) 1 + 2 = 180 (ག) 1 + 2 = 90o

o

l 2

1 m

(ང) 1 + 2 = 100o ཟུར།

75

༧་༢༽ བར་སྱོང་སྱོངས།

༡། གལ་ཏེ་ཟུར་གཉིས་ཀི་བསོམས་གངས་ 90o ཡིན་ན། ཟུར་དེ་གཉིས་

༢། གལ་ཏེ་ཟུར་གཉིས་ཀི་བསོམས་གངས་ 180o ཡིན་ན། ཟུར་དེ་གཉིས་ ༣། གོགས་ཟུར་སྐབས་སུ་ཟུར་གཉིས་ཀ་

ལས་མང་བ་ཡིན་མི་ཆོག

༤། རྣོ་ཟུར་ཞིག་གི་གསབ་ཟུར་ནི་རག་ཏུ་

རེད།

རེད།

ཟུར་རེད།

༥། དང་ཟུར་ཞིག་གི་གསབ་ཟུར་ནི་རག་ཏུ་

ཟུར་རེད།

༦། རྟུལ་ཟུར་ཞིག་གི་གསབ་ཟུར་ནི་རག་ཏུ་

ཟུར་རེད།

༧། ཐིག་གཉིས་བསྣོལ་ན། དེ་དག་ལས་གྲུབ་པའི་ལྡོག་འཕད་ཟུར་རྣམས་

༨། གསེག་ཐིག་ཅིག་གིས་མཉམ་འགོ་ཐིག་གཉིས་ལ་བསྣོལ་ན། སྣོལ་ཟུར་ཆ་རྣམས་

རེད།

རེད།

༩། གསེག་ཐིག་ཅིག་གིས་མཉམ་འགོ་ཐིག་གཉིས་ལ་བསྣོལ་ན། གསེག་ཐིག་གི་ཕོགས་གཅིག་ལ་ཡོད་པའི་ནང་ཟུར་ གི་བསོམས་གངས་ནི་

རེད།

གཉིས་

རེད།

༡༠། གསེག་ཐིག་ཅིག་གིས་ཐིག་གཉིས་ལ་བསྣོལ་བས། གནས་མཐུན་ཟུར་རྣམས་གཅིག་མཚུངས་ཡིན་ན། ཐིག་དེ་

༧་༣༽ ལན་བྩིས། ༡། གཤམ་གསལ་ཟུར་གི་གོགས་ཟུར་ཚོལ། (ཀ) 60o

(ཁ) 33o

(ག) 82o

(ང) 45o

༢། གཤམ་གསལ་ཟུར་གི་གསབ་ཟུར་ཚོལ། (ཀ) 58o

76

(ཁ) 113o

འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

(ང) 90o

(ག) 145o

༣། གཤམ་གསལ་ཆ་ཟུར་ལས་གོགས་ཟུར་དང་གསབ་ཟུར་ངོས་ཟུངས། (ཀ) 120o, 60o

(ཁ) 45o, 45o (ཅ) 95o, 85o

(ང) 36o, 54o

(ག) 127o, 53o

(ཆ) 40o, 50o

༤། གསབ་ཟུར་གཉིས་ཀི་ཟུར་ཚད་ཀི་ཧེ་བག་ནི་ 52o རེད། ཟུར་སོ་སོའི་ཟུར་ཚད་ཚོལ།

༥། དཔེ་རིས་ལས། ནང་ཟུར་དང་ཕི་ཟུར་ཚང་མ་བིས། 1

3 2 4

6 5

7 8

༦། གཤམ་གི་དཔེ་རིས་ནང་གི་ 1 དང་ 2 ཉེ་ཟུར་ཡིན་ནམ། རྒྱུ་མཚན་བིས། (ཀ)

ཟུར།

1

2

(ཁ)

1

2

(ག)

1 2

77

༧། གཡས་ཀི་དཔེ་རིས་ལ་བལྟས་ཏེ་གཤམ་གསལ་བིས།

A

(ཀ) ལྡོག་འཕད་ཟུར།

B 1 4

2 3

D

C

(ཁ) ཉེ་གསབ་ཟུར། ༨། གཡས་ཀི་དཔེ་རིས་ནང་ x ཡི་ཐང་ཚོལ།

༩། གཤམ་གི་དཔེ་རིས་ནང་ x ཡི་ཐང་ཚོལ། (ཀ)

x o

(x + 28 )

༡༠། གཤམ་གི་དཔེ་རིས་ནང་ a དང་ b, c ཡི་ཐང་ཚོལ། (ཀ)

78

a

60o

b c

o

x

(ཁ)

(ཁ)

140

o

3x + 60

40o c

x

a b 45o

འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

༡༡། སྤྲད་ཟིན་པའི་དཔེ་རིས་ལས་ལྡོག་འཕད་ཆ་ཟུར་བིས། ཉེ་གསབ་ཆ་ཟུར་རྣམས་བིས།

4

༡༢། སྤྲད་ཟིན་པའི་དཔེ་རིས་ནང་ DCA = 60o, BA || CD, ECD = 30o ཡིན་ན། x དང་ y, z ཚོལ།

༡༣། གཤམ་གི་དཔེ་རིས་ནང་ཟུར་ x ཡི་ཐང་ཚོལ། (ཀ) འདིར་ AB || CD A

F B

y o

z 60 30o C

x B

E

(ཁ) འདིར་ GH || IJ, KL || MN I

118

K M

L x

D

H

ཟུར།

D

o

x

63

A

G

C

o

E

5 1 2 3

N

J

79

༡༤། l དང་ m མཉམ་འགོ་ཡིན་ནམ། རྒྱུ་མཚན་བིས། (ཀ)

n

o

110

l o

n

(ཁ)

l

o

25 o

25

m

m

110

E

༡༥། སྤྲད་ཟིན་པའི་དཔེ་རིས་ནང་ AB || CD དང་ EF || GH རེད། x དང་ y ཡི་ཐང་ཚོལ།

A

G

o

x

80 y

C F

H

o

120

A

B

o

o

120

C

105

x

D F

80

D

E G

༡༦། སྤྲད་ཟིན་པའི་དཔེ་རིས་ནང་ AB || CD ཡིན་པའི་རྒྱུ་མཚན་བིས། x ཡི་ཐང་ཡང་ཚོལ།

B

H

འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

༡༧། གཤམ་གསལ་དཔེ་རིས་ནང་ཐིག་ l དང་ m མཉམ་འགོ་ཡིན་ན། x ཡི་ཐང་ཚོལ། (ཀ)

l

m

(ཁ)

o

x + 50

o

120

x

x

l m

༡༨། ཐིག་ l དང་ m མཉམ་འགོ་ཡིན་ནམ། རྒྱུ་མཚན་བིས། a

(ཀ)

o

86

l

o

86

m

l

(ཁ)

༡༩། སྤྲད་ཟིན་པའི་དཔེ་རིས་ནང་ AB || CD || EF རེད། x དང་ y ཡི་ཐང་ཚོལ།

ཟུར།

m

o

110

a o

70

b

l

A C E

x o

60 y

B D F

81

༢༠། སྤྲད་ཟིན་པའི་དཔེ་རིས་ནང་ l || p དང་ m || q རེད།

l

x ཡི་ཐང་ཚོལ།

p o

75

m x q

A

༢༡། སྤྲད་ཟིན་པའི་དཔེ་རིས་ནང་ BA || CD ཡིན་ནམ།

D o

རྒྱུ་མཚན་བིས།

47

o

o

74

B

59

C

E

༢༢། P ནི་ AOB ཡི་ནང་རོལ་ལ་ཡོད་པའི་གནས་རེད། གལ་ཏེ་ AOB = 75o དང་ POB = 42o ཡིན་ ན།

82

AOP ཡི་ཟུར་ཚད་ག་ཚོད་རེད་དམ།

འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

༢༣། སྤྲད་ཟིན་པའི་དཔེ་རིས་ནང་ 1 དང་ 2, 3 ཚོལ། (ཀ) འདིར་ l || m དང་ n || o l

3

(ཁ) འདིར་ p || q དང་ r || s

2

r

n 1 o

80

ཟུར།

q

p

m

o

3

118

2

o

s 1

83

༨། ཟུར་གསུམ་མ། ༨་༡༽ ལན་འགྲྩིག་པ་ལ་རྟགས་རྒྱོབས། ༡། ∆ABC ཡི་ཟུར་ཚེག་ B ཡི་གཏད་མཐའ་ནི། (ཀ) AB

(ཁ) BC

(ཀ) 1

(ཁ) 2

(ཀ) 3 cm

(ཁ) 4 cm

༢། ཟུར་གསུམ་མའི་ནང་དཀིལ་ཐིག་

(ག) CA

(ང) BA

(ག) 3

(ང) 4

(ག) 10 cm

(ང) 20 cm

(ག) 60o, 60o, 70o

(ང) 55o, 55o, 75o

ཡོད།

༣། ཟུར་གསུམ་མའི་མཐའ་གཉིས་ 8 cm དང་ 12 cm ཡིན་ན། མཐའ་གསུམ་པ་ནི་ ༤། ཟུར་ཚད་གཤམ་གསལ་ལྟར་ཡིན་པ་གང་ཞིག་གིས་ཟུར་གསུམ་མ་གྲུབ་བམ། (ཀ) 35o, 45o, 100o (ཁ) 40o, 40o, 90o

༥། ཟུར་གསུམ་མའི་མཐའ་གསུམ་ནི་ (ཀ) 2 cm, 3 cm, 5 cm

ཡིན་སིད།

(ཁ) 2 cm, 4 cm, 6 cm

(ག) 1 cm, 4 cm, 2 cm

(ང) 4 cm, 6 cm, 3 cm

(ཀ) མཐའ་ཆུང་ཤོས།

(ཁ) མཐའ་རིང་ཤོས།

༦། དང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མའི་ནང་། གསེག་མཐའ་ནི་ (ག) མཐའ་གཉིས་ཀི་བསོམས་ཐོབ།

ཡིན་ཆོག

རེད།

(ང) མཐའ་གཉིས་ཀི་འཐེན་ཐོབ།

༧། ཟུར་གསུམ་མའི་ཟུར་རྣམས་སྡུར་ཚད་ 2 : 3 : 5 ནང་ཡོད། ཟུར་གསུམ་མའི་ཟུར་ཆེ་ཤོས་ནི། (ཀ) 54o

84

(ཁ) 36o

(ག) 90o

(ང) 100o

འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

༨། གཡས་ཀི་དཔེ་རིས་ནང་། x ནི། (ཀ) 50o

(ག) 120o

A

(ཁ) 90o

o

60

(ང) 180o

o

70

B

x

༩། གཡས་ཀི་དཔེ་རིས་ལ་ལྟོས། གཤམ་གསལ་ལས་གང་ཞིག་བདེན་པ་ཡིན་ནམ། (ཀ) ACD = 1 + 2

(ཁ) ACD = 2 + 3

2

(ང) ACD = 1 + 2 + 3

(ག) 60o

(ང) 90o

(ཀ) 5

(ཁ) 50

o

x o

112

x

(ང) 105o

(ཀ) 40o

(ཁ) 50o

o

(ཀ) x = 70 , y = 40

o

x

x

o

60

(ཁ) x = 40 , y = 70 o

o

(ག) x = 50o, y = 70o

(ང) x = 70o, y = 50o

(ཀ) 25o

(ཁ) 45o

y

ཟུར་གསུམ་མ།

(ང) 90o

x o

70

༡༤། གཡས་ཀི་དཔེ་རིས་ནང་ x ཡི་ཐང་ནི། (ག) 60o

50

x

(ང) 70o

༡༣། གཡས་ཀི་དཔེ་རིས་ནང་ x དང་ y ཡི་ཐང་ནི།

o

55

༡༢། གཡས་ཀི་དཔེ་རིས་ནང་ x ཡི་ཐང་ནི།

o

D

o

(ག) 55o

(ག) 60o

C

55

(ཁ) 68o

༡༡། གཡས་ཀི་དཔེ་རིས་ནང་ x ཡི་ཐང་ནི།

3

B

༡༠། གཡས་ཀི་དཔེ་རིས་ནང་ x ཡི་ཐང་ནི།

o

A 1

(ག) ACD = 1 + 3

(ཀ) 57o

C

o

130 x

85

༡༥། གཡས་ཀི་དཔེ་རིས་ནང་ y ཡི་ཐང་ནི། (ཀ) 40o

y

(ཁ) 50o

(ང) 70o

(ག) 60o

y

y

རེད།

༡༦། གལ་ཏེ་ཟུར་གསུམ་མའི་ཕི་ཟུར་ནི་དང་ཟུར་ཡིན་ན། ཟུར་གསུམ་མ་དེ་ (ཀ) རྣོ་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མ།

(ཁ) དང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མ།

(ག) རྟུལ་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མ།

(ང) མཐའ་མི་མཉམ་པའི་ཟུར་གསུམ་མ།

༡༧། ∆PQR ནང་། P = 35o དང་ Q = 55o ཡིན་ན། (ཀ) RP2 + QR2 = PQ2

(ཁ) PQ2 + RP2 = QR2

(ག) PQ2 + QR2 = RP2

(ང) RP2 + QR2 < PQ2

(ཀ) 7 cm

(ཁ) 17 cm

(ག) 13 cm

(ང) 20 cm

(ཀ) རྟུལ་ཟུར།

(ཁ) དང་ཟུར།

(ག) རྣོ་ཟུར།

(ང) སྙོམས་ཟུར།

(ཀ) 60o

(ཁ)45o

(ག) 120o

(ང) 90o

༡༨། ∆ABC ནི་ C ལ་དང་ཟུར་རེད། AC = 5 cm དང་ BC = 12 cm ཡིན་ན། AB ཡི་རིང་ཚད་ནི། ༡༩། དང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མའི་ནང་། དང་ཟུར་མིན་པའི་ཟུར་གཞན་གཉིས་ནི་

རེད།

༢༠། གལ་ཏེ་ D ནི་ ∆ABC ཡི་མཐའ་ BC ཡི་དཀིལ་གནས་ཡིན་པ་དང་། AB = AC རེད། ༢༡། གཤམ་གསལ་ལས་གང་བདེན་པ་མིན།

ADC ཚོལ།

(ཀ) ཟུར་གསུམ་མའི་མཐའ་གང་རུང་གཉིས་ཀི་བསོམས་ཐོབ་ནི་མཐའ་གསུམ་པ་ལས་ཆེ་བ་རེད། (ཁ) ཟུར་གསུམ་མའི་ཟུར་ཚང་མ་རྣོ་ཟུར་ཡོང་སིད།

(ག) དང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མ་ཞིག་མཐའ་མཉམ་ཡོང་མི་སིད།

(ང) ཟུར་གསུམ་མའི་མཐའ་གང་རུང་གཉིས་ཀི་འཐེན་ཐོབ་ནི་མཐའ་གསུམ་པ་ལས་ཆེ་བ་རེད།

86

འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

༨་༢༽ བར་སྱོང་སྱོངས།

༡། ཟུར་གསུམ་མའི་ནང་ཟུར་གི་བསོམས་གངས་ནི་ ༢། ཟུར་གསུམ་མའི་ཕི་ཟུར་ནི་

རེད།

བསོམས་ཐོབ་དང་མཚུངས།

༣། ཟུར་གསུམ་མའི་ཟུར་ཚེག་གཅིག་ནས་དེའི་གཏད་མཐའ་ཡི་དཀིལ་གནས་ལ་མཐུད་པའི་ཐིག་དུམ་ལ་ཟུར་ གསུམ་མའི་

ཟེར།

༤། ཟུར་གསུམ་མའི་ཟུར་ཚེག་གཅིག་ནས་དེའི་གཏད་མཐའ་ལ་དང་འཕང་ཡིན་པའི་ཐིག་དུམ་ལ་ཟུར་གསུམ་མའི་ ཟེར།

༥། ཟུར་གསུམ་མའི་ཕི་ཟུར་དང་དེའི་ཉེ་ཟུར་གི་བསོམས་ཐོབ་ནི་རག་ཏུ་

༦། དང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མའི་མཐའ་རིང་ཤོས་ལ་

ཟེར།

རེད།

༧། སྐེད་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མའི་ནང་། མཐའ་མཉམ་གི་གཏད་ཟུར་རྣམས་

རེད།

༨། གལ་ཏེ་ཟུར་གསུམ་མའི་ཟུར་གཅིག་ནི་ཟུར་གཞན་གཉིས་ཀི་བསོམས་ཐོབ་དང་མཚུངས་ན། ཟུར་དེའི་ཟུར་ཚད་ ནི་

རེད།

༩། ཟུར་གསུམ་མའི་ནང་། ཟུར་མཉམ་པའི་གཏད་མཐའ་རྣམས་

༡༠། ཟུར་གསུམ་མའི་ནང་རྣོ་ཟུར་གངས་མང་ཤོས་

༡༡། ཟུར་གསུམ་མའི་ནང་རྟུལ་ཟུར་གངས་མང་ཤོས་

༡༢། ཟུར་གསུམ་མའི་ནང་དང་ཟུར་གངས་མང་ཤོས་

༨་༣༽ ལན་བྩིས།

ཡོང་སིད།

རེད།

ཡོང་སིད།

ཡོང་སིད།

༡། ཟུར་གསུམ་མའི་དཀིལ་ཐིག་གི་གོ་དོན་བིས། ཟུར་གསུམ་མ་ PQR ཞིག་བིས་ཏེ་དེའི་དཀིལ་ཐིག་རྣམས་བིས། དཀིལ་ཐིག་ག་ཚོད་འབི་ཐུབ་བམ།

ཟུར་གསུམ་མ།

87

༢། ཟུར་གསུམ་མའི་དཔངས་ཀི་གོ་དོན་བིས། ཟུར་གསུམ་མ་ཞིག་ལ་དཔངས་ག་ཚོད་ཡོད་དམ། དེ་དག་རག་ཏུ་ཟུར་ གསུམ་མའི་ནང་རོལ་ལ་འཕད་ཀི་ཡོད་དམ།

༣། ཟུར་གསུམ་མ་ ABC ནང་། མཐའ་དང་ཟུར། ཟུར་ཚེག་བཅས་ངོས་འཛིན་བས་ཏེ་དེ་དག་གི་མིང་བིས། B

A

C

༤། ཟུར་གསུམ་མའི་ཟུར་གཉིས་ཀི་ཟུར་ཚད་སྤྲད་ཡོད། ཟུར་གསུམ་པའི་ཟུར་ཚད་ཚོལ། (ཀ) 59o, 45o

(ཁ) 45o, 90o

(ག) 40o, 40o

(ང) 35o, 116o

༥། ཟུར་གསུམ་མའི་མཐའ་རེད་དམ། རྒྱུ་མཚན་བིས།

(ཀ) AB = 5 cm དང་ BC = 12 cm, CA = 13 cm

88

འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

(ཁ) PQ = 8 cm དང་ QR = 8 cm, RP = 8 cm

༦། གཤམ་གསལ་ཟུར་ལས་ཟུར་གསུམ་མ་གྲུབ་བམ། རྒྱུ་མཚན་བིས། (ཀ) A = 65o དང་ B = 35o, C = 70o

(ཁ) P = 100o དང་ B = 70o, C = 30o

༧། མ་ཤེས་པའི་ཟུར་ཚོལ། (ཀ)

100o

x

x

(ཁ)

x 2x

30o

༨། ཟུར་གསུམ་མའི་ཟུར་རྣམས་སྡུར་ཚད་ 3 : 4 : 2 ནང་ཡོད། ཟུར་གསུམ་མའི་ཟུར་སོ་སོའི་ཟུར་ཚད་ཚོལ།

ཟུར་གསུམ་མ།

89

༩། ཟུར་གསུམ་མའི་ཟུར་གཅིག་པ་གཉིས་ནི་ཟུར་གསུམ་པའི་ལྡབ་གཉིས་རེད། ཟུར་གསུམ་མའི་ཟུར་རྣམས་ཚོལ།

༡༠། གལ་ཏེ་ཟུར་གསུམ་མའི་ཟུར་གཅིག་ནི་ 80o ཡིན་པ་དང་། ཟུར་གཞན་གཉིས་ནི་སྡུར་ཚད་ 1 : 4 ནང་ཡོད་ན། ཟུར་གཞན་གཉིས་ཀི་ཟུར་ཚད་ཚོལ།

༡༡། ∆ABC ནང་། A ནི་ B ལས་ 25o ཡིས་མང་བ་དང་། C ནི་ B ལས་ 10o ཡིས་ཉུང་བ་རེད། ཟུར་ གསུམ་མའི་ཟུར་རྣམས་ཚོལ།

༡༢། གཤམ་གསལ་སྐབས་ཟུར་གསུམ་མ་འགོད་ཐུབ་བམ། (ཀ) རྣོ་ཟུར་གཉིས།

(ཁ) རྟུལ་ཟུར་གཉིས།

(ག) དང་ཟུར་གཉིས།

(ང) ཟུར་གསུམ་ཀ་ 60o ལས་ཆུང་བ། (ཅ) ཟུར་གསུམ་ཀ་ 60o ལས་ཆེ་བ། (ཆ) ཟུར་གསུམ་ཀ་ 60o

90

འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

༡༣། དཔེ་རིས་ནང་ x ཚོལ། (ཀ)

o

50

110o

x

༡༤། གཤམ་གསལ་དཔེ་རིས་ནང་ཕི་ཟུར་ y ཚོལ། (ཀ)

y o

45

o

o

45

y

༡༥། མ་ཤེས་པའི་ཟུར་ཚོལ། 115o

(ཁ)

x

30o

(ཁ)

90

(ཀ)

105o

(ཁ)

( x + 20o)

x

x 140o

x

ཟུར་གསུམ་མ།

91

A

(ག)

S

T x

o

100 y

P

30o

R

x

(ང) B

3x

y

C

120o

༡༦། ∆ABC ནི་ AB = AC དང་ A = 50o ཡིན་པའི་སྐེད་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ་ཞིག་རེད། གལ་ཏེ་མཐའ་ AC ནི་གནས་ D ལ་བསིངས་ན། ཕི་ཟུར་གྲུབ་པའི་ BCD ཡི་ཟུར་ཚད་ག་ཚོད་རེད་དམ།

༡༧། ཟུར་གསུམ་མའི་ཕི་ཟུར་ནི་ 70o ཡིན་པ་དང་། དེའི་ནང་གི་གཏད་ཟུར་གཅིག་ནི་ 25o རེད། ཟུར་གསུམ་མ་དེའི་ ནང་ཟུར་གཞན་རྣམས་ཚོལ།

92

འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

༡༨། ཟུར་གསུམ་མའི་ཕི་ཟུར་གཅིག་ནི་ 100o ཡིན་པ་དང་། དེའི་ནང་གི་གཏད་ཟུར་གཉིས་མཉམ་པ་རེད། ཟུར་དེ་ གཉིས་ཀི་ཟུར་ཚད་ཚོལ།

༡༩། ཟུར་གསུམ་མའི་ཕི་ཟུར་གཅིག་ 125o ཡིན་པ་དང་། དེའི་ནང་གི་གཏད་ཟུར་གཉིས་ནི་སྡུར་ཚད་ 2 : 3 ནང་ ཡོད། ཟུར་གསུམ་མའི་ཟུར་རྣམས་ཚོལ།

༢༠། གཤམ་གསལ་དང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མའི་མ་ཤེས་པའི་མཐའ་ཚོལ། x

A

5 cm

B

3 cm

(ཁ)

D

x F

9 cm

(ཀ)

m 15 c

C

ཟུར་གསུམ་མ།

E

93

༢༡། དང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མའི་དཔུང་པ་གཅིག་གི་རིང་ཚད་ 12 m ཡིན་པ་དང་གསེག་མཐའ་ནི་ 13 m རེད། ཟུར་གསུམ་མའི་དཔུང་པ་གཞན་གི་རིང་ཚད་ཚོལ།

༢༢། P ལ་དང་ཟུར་ཡིན་པའི་ ∆PQR ཡི་མཐའ་རིང་ཤོས་གང་རེད་དམ།

༢༣། གཤམ་གསལ་ལས་གང་དང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མའི་སུམ་ཚན་གྲུབ་ཀི་ཡོད། དེའི་གསེག་མཐའ་ངོས་ཟུངས། (ཀ) 6 cm, 8 cm, 10 cm

(ཁ) 1.5 m, 2 m, 2.5 m

༢༤། ∆ABC ནང་ A = 90o དང་ AB = 4 cm, AC = 3 cm ཡིན་ན། དེའི་གསེག་མཐའི་རིང་ཚད་ ཚོལ།

94

འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

༢༥། སྐེད་མཉམ་དང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མའི་གསེག་མཐའི་ཉིས་སྒྱུར་ནི་ 72 m2 རེད། མཐའ་མཉམ་གཉིས་ཀི་རིང་ ཚད་ཚོལ།

༢༦། དང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མའི་རྣོ་ཟུར་གཅིག་ནི་ 72o རེད། རྣོ་ཟུར་གཞན་དེ་ཚོལ།

༢༧། ཀ་བ་ཞིག་གི་མཐོ་ཚད་ 8 m རེད། ཐག་པ་ཞིག་ཀ་བའི་རེ་མོ་ནས་འཐེན་ཏེ་ཀ་བའི་ཞབས་ནས་བར་ཐག་ 6m སར་བཏགས་ཡོད། ཐག་པའི་རིང་ཚད་ཚོལ།

ཟུར་གསུམ་མ།

95

༢༨། རིང་ཚད་ 13 m ཅན་གི་སྐས་འཛེག་ཅིག་མཐོ་ཚད་ 12 m སར་ཡོད་པའི་ཁང་པའི་སྒེའུ་ཁུང་ཁར་བཙུགས་ ཡོད། ཁང་པ་ནས་སྐས་འཛེག་གི་རྐང་པ་དབར་གི་བར་ཐག་ཚོལ།

96

འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

༩། ཡྱོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མ། ༩་༡༽ ལན་འགྲྩིག་པ་ལ་རྟགས་རྒྱོབས། ༡། གལ་ཏེ་ཐིག་དུམ་ AB དང་ CD ཡོངས་མཚུངས་ཡིན་ན།

(ཁ) AB > CD

(ཀ) AB = CD

(ག) AB < CD

(ང) AB ≠ CD

༢། ཡོངས་མཚུངས་ཀི་མཚོན་རགས་ནི། (ཀ) =

(ཁ) ~

(ག)

༣། གལ་ཏེ་དཔེ་རིས་གཉིས་ཀི་ རེད། (ཀ) རྒྱ་ཁྱོན་གཅིག་པ།

(ང) ≡

ཡིན་ན། དཔེ་རིས་དེ་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་

(ཁ) དབིབས་གཅིག་པ།

(ག) མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་གཅིག་པ།

(ང) དབིབས་དང་ཆེ་ཆུང་གཅིག་པ།

(ཀ) མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་གཅིག་པ།

(ཁ) རྒྱ་ཁྱོན་གཅིག་པ།

ཡིན་ན། དེ་དག་ཡོངས་མཚུངས་རེད།

༤། གལ་ཏེ་ཟུར་གསུམ་མ་གཉིས་ཀི་ (ག) ཟུར་རྣམས་གཅིག་པ།

༥། ཆ་རྐྱེན་ ABC ↔ QRP འོག་ ∆ABC (ཀ) A

༦། གལ་ཏེ་ ∆PQR (ཀ) P

A

(ཁ) R

(ང) གནས་མཐུན་མཐའ་རྣམས་གཅིག་པ།

∆QRP ཡིན་ན། C ཡི་གནས་མཐུན་ཟུར་ནི། (ག) P

∆ABC ཡིན་ན། གཤམ་གསལ་ལས་གང་བདེན་པ་མིན། (ཁ) Q

ཡོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མ།

B

(ག) R

C

(ང) Q (ང) P

B

97

༧། ∆DEF

∆PQR ཡིན་པ་དང་། D = E = 55o ཡིན་ན། R ཡི་ཟུར་ཚད་ནི།

༨། ∆LMN

∆XYZ ཡིན་ན། གནས་མཐུན་འགིག་པ་ནི།

(ཀ) 55o

(ཁ) 60o

(ག) 65o

(ང) 70o

(ཁ) LN = XZ

(ཀ) MN = XY

(ང) NLM = XYZ

(ག) MNL = XYZ

༩། ཟུར་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་རེད། གལ་ཏེ་ཟུར་གཅིག་གི་ཟུར་ཚད་ 76o ཡིན་ན། ཟུར་གཞན་གི་ཟུར་ཚད་ནི།

∆PQR

(ག) ∆ABC

∆RPQ

(ཀ) ∆APB

∆PDC

(ག) ∆APB

∆DPC

(ཁ) ∆ABC

(ང) ∆ABC

∆QRP ∆PRQ

B

༡༡། གཡས་ཀི་དཔེ་རིས་ལ་བལྟས་ཏེ། ལན་འགིག་པ་ནི། (ཁ) ∆ABP

∆PCD

(ང) ∆APB

∆CPD

A

R 5 cm

C

(ཀ) ASA (ག) SSS

5 cm

Q

D

B P

C

A

༡༢། གཡས་ཀི་དཔེ་རིས་ནང་། 1 = 2 དང་ 3 = 4 ཡིན་ན། ཆ་རྐྱེན་ མཚུངས་རེད།

P

4 cm

(ཀ) ∆ABC

(ང) 105o

m 6c

༡༠། གཤམ་གི་དཔེ་རིས་ལ་བལྟས་ཏེ། ལན་འགིག་པ་ནི།

(ག) 76o

6c m

(ཁ) 60o

4 cm

(ཀ) 45o

ཡིས་ ∆ABC དང་ ∆ADC ཡོངས་

(ཁ) SAS

(ང) RHS

B

A

1 2

3 4

C

D

༡༣། གཤམ་གི་གནས་སྟངས་གང་གི་སྐབས་སྒོར་དབིབས་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་མིན། (ཀ) ཚངས་ཕེད་གཅིག་པ།

(ག) ཚངས་ཐིག་གཅིག་པ།

98

(ཁ) རྒྱུད་ཐིག་གཅིག་པ།

(ང) སྒོར་མཐའི་རིང་ཚད་གཅིག་པ། འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

༡༤། གཤམ་གསལ་ལས་གང་ཡོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མའི་ཆ་རྐྱེན་མིན། (ཀ) SSS

(ཁ) AAA

(ག) SAS

(ང) RHS

A

D

༡༥། གཡས་ཀི་དཔེ་རིས་ནང་ ∆ABC ∆DEF རེད། ཁྱེད་ཀིས་ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐྱེན་གང་སྤོད་ཀི་ཡིན་ནམ། (ཀ) SSS

(ཁ) RHS

(ང) SAS

༡༦། དཔེ་རིས་ལ་བལྟས་ཏེ་ལན་འགིག་པ་ནི། ∆ABC

(ག) ∆PQR

∆BAC

(ཁ) ∆PQR

∆CAB

(ང) ∆PQR

∆CBA

༡༧། ∆ABC

(ཀ) SSS

(ཀ) SSS

B

62o

6 cm

C

Q

62o

6 cm

P

C

(ཁ) SAS

D

(ང) RHS

B

A

E

∆PQR ཡིན་པའི་ཆ་རྐྱེན་ནི།

(ག) ASA

F

E

R

∆ADE ཡིན་པའི་ཆ་རྐྱེན་ནི།

(ག) ASA

༡༨། ∆ABC

A 4c m

(ཀ) ∆PQR

C

B

4c m

(ག) ASA

A

P

(ཁ) RHS

(ང) SAS

B

C

D

Q

R

S

༡༩། གཤམ་གསལ་ལས་རྒྱ་ཁྱོན་གཅིག་པའི་དབིབས་གང་ཞིག་ཡོངས་མཚུངས་རེད། (ཀ) གྲུ་བཞི་ནར་མོ། (ཁ) ཟུར་གསུམ་མ།

(ག) གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ།

(ང) མཉམ་འགོ་མཐའ་བཞི་མ། ཡོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མ།

99

༩་༢༽ བར་སྱོང་སྱོངས།

ཡིན་ན། དེ་དག་ཡོངས་མཚུངས་རེད།

༡། ཐིག་དུམ་གཉིས་ ༢། ཟུར་གཉིས་

༣། ཚངས་ཕེད་མཉམ་པའི་སྒོར་དབིབས་གཉིས་

༤། གྲུ་བཞི་ནར་མོ་གཉིས་ཀི་ མཚུངས་རེད།

ཡིན་ན། དེ་དག་ཡོངས་མཚུངས་རེད།

རེད།

དང་

གཅིག་མཚུངས་ཡིན་ན། དེ་དག་ཡོངས་

༥། གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་གཉིས་ཀི་

ཡིན་ན། དེ་དག་ཡོངས་མཚུངས་རེད།

༦། ཟུར་གསུམ་མ་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་ཡིན་ན། དེ་གཉིས་ཀི་རྒྱ་ཁྱོན་

རེད།

༧། ཟུར་གསུམ་མ་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་གྲུབ་པའི་ཆ་རྐྱེན་ཁག་ནི། (ཀ)

༩་༣༽ ལན་བྩིས།

(ཁ)

(ག)

(ང)

༡། ཁྱེད་རང་གི་ཉེ་འཁོར་ནས་ཡོངས་མཚུངས་ཀི་དཔེ་མཚོན་གཉིས་བིས།

༢། གཤམ་གསལ་དཔེ་རིས་ལས་ཡོངས་མཚུངས་ཡིན་པའི་ཐིག་དུམ་ཆ་རྣམས་བིས། (ཀ)

100

P

Q

S

R

(ཁ)

O

M

N

འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

(ག)

C

(ང)

E D

E

B A

༣། AB

F

A

B

C

D

CD དང་ AB = 8 cm རེད། CD ཡི་རིང་ཚད་ག་ཚོད་རེད་དམ།

༤། གཤམ་གསལ་དཔེ་རིས་ནང་གི་ཡོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མ་གཉིས་ཀི་གནས་མཐུན་རྒྱུ་རྣམས་བིས། (ཀ)

D

C

∆ABD

∆CDB

75o

R

B

A

Q

(ཁ)

7 cm

A

75o

o

B

40

7 cm

C

∆ABC

∆RPQ

40o P

ཡོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མ།

101

(ག)

F

B A

∆ABC C

∆EDF

E

D

༥། སྤྲད་ཟིན་པའི་ཟུར་གསུམ་མ་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་ཡིན་ནམ། རྒྱུ་མཚན་བིས། 60 cm

C

B

P

60 cm

o

Q

130o

50 cm

130

cm 50

(ཀ)

R A

R

(ཁ)

70

cm 3.5 A

102

o

B

70o

20o 3.5 cm

Q o

C

20 P

འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

༦། སྤྲད་ཟིན་པའི་དཔེ་རིས་ནང་ AB || CD དང་ AB = CD རེད། ∆CDO

∆BAO ཡིན་པའི་རྒྱུ་མཚན་བིས།

3 cm

A

B

O C

D

3 cm

༧། ∆PRQ དང་ ∆LMN གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་རེད། ∆PRQ ནང་ PQ = 4 cm དང་ PR = 3 cm, P = 30o རེད། ∆LMN ནང་ LM = 4 cm ཡིན་ན། NL དང་ L ཚོལ།

༨། ཟུར་གསུམ་མ་ ABC ནང་ AD ནི་ BC ལ་དང་འཕང་ཡིན་པ་དང་། BD = DC = 3 cm རེད། ∆CDA

∆BDA ཡིན་པ་ཁུངས་སྐྱེལ་བོས།

A

B

ཡོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མ།

3 cm

D

3 cm

C

103

༩། ∆ABC ནང་ A = 25o དང་ BC = 3.4 cm, C = 60o དང་། ∆DEF ནང་ D = 60o དང་ DE = 3.4 cm, E = 95o རེད། ∆ABC དང་ཡོངས་མཚུངས་ཡིན་པའི་ཟུར་གསུམ་མའི་མིང་བིས།

༡༠། གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་གཏད་ཐིག་གིས་དེ་ཡོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མ་གཉིས་སུ་བགོད་ཀི་ཡོད་པ་ཁུངས་སྐྱེལ་བོས།

༡༡། ∆ABC ནི་སྐེད་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ་རེད། འདིར་ AB = AC དང་ AD ནི་དེའི་དཔངས་གཅིག་རེད། (ཀ) ∆ADB དང་ ∆ADC ནང་གནས་མཐུན་རྒྱུ་གསུམ་བིས།

A

B

(ཁ) ∆ADB (ག)

104

D

C

∆ADC རེད་དམ། རྒྱུ་མཚན་བིས།

B = C རེད་དམ། རྒྱུ་མཚན་བིས།

འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

(ང) BD = CD རེད་དམ། རྒྱུ་མཚན་བིས།

༡༢། གཤམ་གསལ་ཟུར་གསུམ་མའི་ཆ་རྣམས་ཡོངས་མཚུངས་ཡིན་པའི་ཆ་རྐྱེན་ངོས་ཟུངས། (ཀ)

(ཁ) (ག) (ང) ༡༣། ∆ABC ནང་། AB = AC དང་ D ནི་ BC ཡི་དཀིལ་གནས་རེད། SSS ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐྱེན་སྤད་དེ་ ∆ABD

∆ACD ཡིན་པ་སྟོན།

ཡོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མ།

105

༡༤། ASA ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐྱེན་སྤད་དེ་ ∆AOC A

∆DOB ཁུངས་སྐྱེལ་བོས།

1.2 cm

100o

20

O

20

100o 1.2 cm

C

༡༥། གཤམ་གི་དཔེ་རིས་ནང་། DA

D

o

o

B

AB དང་ CB

AB, AC = BD

(ཀ) ∆ABD དང་ ∆BAC ནང་གནས་མཐུན་རྒྱུ་གསུམ་བིས།

D

C

O A

B

(ཁ) D = C རེད་དམ། རྒྱུ་མཚན་བིས། (ག) AD = BC རེད་དམ། རྒྱུ་མཚན་བིས། D

༡༦། དཔེ་རིས་ནང་ AD = CD དང་ AB = CB རེད།

(ཀ) ∆ABD དང་ ∆CBD ནང་གནས་མཐུན་རྒྱུ་གསུམ་བིས། A

C B

106

འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

(ཁ) ABD

CBD རེད་དམ། རྒྱུ་མཚན་བིས།

(ག) BD ཡིས་ ABC མཉམ་བགོད་བེད་ཀི་ཡོད་དམ།

༡༧། ཁྱེད་ཀིས་དཔེ་རིས་ནང་ ∆ABC དང་ ∆EDC ཡོངས་མཚུངས་སྟོན་པར་ཆ་རྐྱེན་གང་སྤོད་ཀི་ཡིན་ནམ། A

D B

C

E

༡༨། དང་གསེག་མཐའི་ཡོངས་མཚུངས་ནང་ཆ་རྐྱེན་གང་དང་གང་ཡོད་དམ། གལ་ཏེ་ ∆ABC དང་ ∆PQR ནང་ A = P = 90o ཡིན་ན། RHS ཆ་རྐྱེན་ལས་ཟུར་གསུམ་མ་དེ་གཉིས་ནང་གནས་མཐུན་རྒྱུ་བིས།

ཡོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མ།

107

༡༩། གཤམ་གི་དཔེ་རིས་ནང་ AD = BC དང་ AD || BC རེད། AB = DC ཡིན་ནམ། རྒྱུ་མཚན་བིས། D

C

A

B

༢༠། གཤམ་གི་དཔེ་རིས་ནང་ ∆ABC དང་ ∆DCB ནི་ A དང་ D ཐོག་གོ་རིམ་བཞིན་དང་ཟུར་དང་། AC = DB ཡིན་པའི་དང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མ་རེད། ∆ABC

∆DCB ཁུངས་སྐྱེལ་བོས།

A

B

C

D

༢༡། གཡས་ཀི་དཔེ་རིས་ནང་ DE = IH དང་ EG = FI, E = I རེད། ∆DEF གལ་ཏེ་ཡིན་ན། ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐྱེན་གང་སྤད་ཡོད་དམ།

∆HIG ཡིན་ནམ། E

G D

H F

I

108

འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

༢༢། གཤམ་གི་དཔེ་རིས་ནང་ ∆ABC དང་ ∆BCD ནི་ A དང་ D ཐོག་གོ་རིམ་བཞིན་དང་ཟུར་རེད། ∆ABC

∆DCB ཡིན་པ་ཁུངས་སྐྱེལ་བོས། AB = DC རེད་དམ། རྒྱུ་མཚན་བིས། A

B

ཡོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མ།

D

C

109

༡༠། བཀྱོད་པ་དང་ཕྱོགས་ཚད་གསུམ་ལྡན་གྩི་གཟུགས།

༡༠་༡༽ ལན་འགྲྩིག་པ་ལ་རྟགས་རྒྱོབས། ༡། ཤེས་ཟིན་པའི་གནས་ C བརྒྱུད་ཐིག་དུམ་ AB ལ་མཉམ་འགོ་ཡིན་པའི་ཐིག་ཅིག་འགོད་པར། ཐོག་མར་ང་ ལ་མཐུད་དགོས།

ཚོས་ C ནི་ (ཀ) A

(ཁ) B

(ག) ཐིག་དུམ་ AB སྟེང་གི་གནས་ཤིག

(ང) ཐིག་ AB སྟེང་ལ་མེད་པའི་གནས་ཤིག

༢། མཐའ་ 6 cm ཅན་གི་མཐའ་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ་ཞིག་འགོད་པར། ཐོག་མར་ང་ཚོས་རིང་ཚད་ 6 cm ཅན་ གི་ཐིག་དུམ་ཞིག་བིས་ཏེ། AB ཡི་སྣེ་ཚེག་ A ལ་ཟུར་ 60o འགོད་དགོས། གོམ་པ་རེས་མ་ནི། (ཀ) AB ཡི་སྣེ་ཚེག་གཞན་ B ལ་ཟུར་ 30o འགོད་དགོས།

(ཁ) AB ཡི་སྣེ་ཚེག་གཞན་ B ལ་ཟུར་ 60o འགོད་དགོས།

(ག) AB ཡི་སྣེ་ཚེག་གཞན་ B ལ་ཟུར་ 90o འགོད་དགོས།

(ང) AB ཡི་སྣེ་ཚེག་གཞན་ B ལ་ཟུར་ 120o འགོད་དགོས།

༣། ཚད་གཞི་ A = 90o དང་ BC = 5 cm, AB = 4 cm ཅན་གི་ཟུར་གསུམ་མ་ ABC ཞིག་འགོད་པར།

ཐོག་མར་ང་ཚོས་ཐིག་དུམ་ AB = 4 cm ཞིག་བིས་ཏེ། A ཐོག་ BAY = 90o འགོད་དགོས། གོམ་པ་རེས་

མ་ནི་ AY སྟེང་གནས་ C ཞིག་བིས་པས་ BC ནི་ (ཀ) 4 cm

(ཁ) 5 cm

(ག) 6 cm

རེད

(ང) 7 cm

༤། ང་ཚོར་ཟུར་གསུམ་མའི་ཟུར་མི་མཉམ་པ་གཉིས་དང་དེ་དག་གི་ཚུད་ཟུར་སྤྲད་ཡོད། ཟུར་གསུམ་མ་དེ་ལྟ་བུ་ཞིག་ འགོད་པར་ཐོག་མར་ང་ཚོས་

(ཀ) ཤེས་ཟིན་པའི་ཟུར་ཆུང་བ། (ག) ཤེས་ཟིན་པའི་ཟུར་ཆེ་བ།

110

འགོད་དགོས།

(ཁ) ཤེས་ཟིན་པའི་མཐའ།

(ང) ཤེས་ཟིན་པའི་ཟུར་གཉིས་ཀི་བསོམས་གངས་ཟུར། འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

༥།

B = 90o དང་ BC = 6 cm, CA = 10 cm ཅན་གི་ཟུར་གསུམ་མ་ ABC ཞིག་འགོད་པར། ཐོག་མར་

ང་ཚོས་

(ཀ) BC = 6 cm

འགོད་དགོས།

(ཁ) CA = 10 cm

(ག) B = 90o

(ང) ཐིག་ AB

(ཀ)

(ཁ)

༦། གཤམ་གསལ་ལས་ཤོ་གཟུགས་ཀི་ད་བ་ངོས་ཟུངས།

(ང)

(ག)

༧། གཤམ་གསལ་ལས་གང་ཕོགས་ཚད་གསུམ་ལྡན་གི་གཟུགས་མིན། (ཀ) ཀ་ཟླུམ་གཟུགས།

(ཁ) གྲུ་སྙུང་།

(ག) གྲུ་ཀ

༨། ཤོ་གཟུགས་དང་གྲུ་ནར་གཟུགས་ལ་

(ང) མཉམ་འགོ་མཐའ་བཞི་མ། ཡོད།

(ཀ) གྲུ་ 4

(ཁ) གྲུ་ 6

(ག) གྲུ་ 8

(ང) གྲུ་ 12

(ཀ) ངོས་ 4

(ཁ) ངོས་ 5

(ག) ཟུར་ཚེག་ 6

(ང) ཟུར་ཚེག་ 8

(ཀ) 6, 8, 12

(ཁ) 6, 4, 8

(ག) 5, 8, 5

(ཀ) སྙུང་གཟུགས།

(ཁ) གྲུ་ནར་གཟུགས།

(ག) ཀ་ཟླུམ་གཟུགས།

(ང) ཤོ་གཟུགས།

(ཀ) གྲུ་བཞི་ནར་མོ།

(ཁ) གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ།

(ག) སྒོར་དབིབས།

(ང) ཟུར་གསུམ་མ།

༩། སོ་ཕག་ཅིག་ལ་

ཡོད།

༡༠། གྲུ་ནར་གྲུ་སྙུང་ལ་ངོས་དང་གྲུ། ཟུར་ཚེག་བཅས་གོ་རིམ་བཞིན་

ཡོད།

(ང) 5, 5, 8

༡༡། གཤམ་གསལ་ལས་འབུར་ངོས་གཅིག་དང་སྙོམས་ངོས་གཉིས་ཡོད་པའི་ས་གཟུགས་ངོས་ཟུངས། ༡༢། སྦུགས་སྒོར་མོ་དང་པོ་ཞིག་འཕེད་ནས་བཅད་པ་ཡིན་ན། བཅད་ཁ་ནི།

བཀོད་པ་དང་ཕོགས་ཚད་གསུམ་ལྡན་གི་གཟུགས།

111

༡༣། སྙུང་གཟུགས་ཤིག་གཞུང་ནས་བཅད་པ་ཡིན་ན། བཅད་ཁ་ནི། (ཀ) གྲུ་བཞི་ནར་མོ།

(ཁ) གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ།

(ག) སྒོར་དབིབས།

༡༤། གཡས་ཀི་དཔེ་རིས་ནང་ཤ་ོ གཟུགས་གངས་ག་ཚོད་འདུག་གམ། (ཀ) 22

(ཁ) 24

(ག) 28

༡༥། གཡས་ཀི་ད་བ་ལས་གྲུབ་པའི་ས་གཟུགས་ནི། (ཀ) གྲུ་ནར་གྲུ་སྙུང་། (ག) སྙུང་གཟུགས།

(ང) ཟུར་གསུམ་མ།

(ང) 32

(ཁ) གྲུ་ཀ

(ང) ཀ་ཟླུམ་གཟུགས།

༡༦། ངོས་ 4 དང་གྲུ་ 6 ཟུར་ཚེག་ 4 ཡད ོ ་པའི་ས་གཟུགས་ནི། (ཀ) ཟུར་གསུམ་གྲུ་ཀ

(ཁ) གྲུ་བཞི་གྲུ་ཀ

(ག) ཟུར་གསུམ་གྲུ་སྙུང་།

(ང) གྲུ་བཞི་གྲུ་སྙུང་།

༡༧། ས་གཟུགས་གང་གི་མདུན་དང་། གཞག ོ ས། སྟེང་བཅས་ནས་མཐོང་ཚུལ་གཅིག་པ་རེད་དམ། (ཀ) གྲུ་ནར་གཟུགས།

(ཁ) ཟླུམ་གཟུགས།

༡༨། གཤམ་གསལ་ལས་ཟུར་གསུམ་གྲུ་ཀའི་ད་བ་ནི།

(ག) ཀ་ཟླུམ་གཟུགས།

(ཀ)

(ཁ)

(ག)

(ང)

༡༩། ཤོ་དཀྱུས་མ་ཞིག་གི་གཏད་ངས ོ ་ལ་ཁྱོན་བསོམས་ཤ་ོ མིག་གངས་ནི། (ཀ) 6

112

(ཁ) 7

(ག) 8

(ང) གྲུ་སྙུང་།

(ང) 10 འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

༡༠་༢༽ བར་སྱོང་སྱོངས། ༡། ས་གཟུགས་ཀི་ཉེ་བའི་ངོས་གཉིས་འཕད་ས་ལ་ ༢། གྲུ་ཡིས་བསྐོར་བའི་སྙོམས་ངོས་ལ་

༣། གྲུ་གསུམ་མམ་དུ་མ་འཕད་སའི་གནས་ལ་

༤། འབུར་ངོས་ཁོ་ན་དང་གྲུ་མེད་པའི་ས་གཟུགས་ནི་ ༥། ཟུར་ཚེག་གཅིག་ཡོད་པའི་ས་གཟུགས་ནི་

ཟེར།

ཟེར། ཟེར།

རེད།

རེད།

༦། ཡོངས་མཚུངས་སྒོར་དབིབས་གཉིས་འབུར་ངོས་ལ་མཐུད་པའི་ས་གཟུགས་ལ་

ཟེར།

༧། ཞབས་མཐའ་མང་དབིབས་དང་ངོས་གཞན་རྣམས་ཟུར་གསུམ་མ་ཡིན་པ་ལ་སྤིའི་ཟུར་ཚེག་ཡོད་པའི་ས་གཟུགས་ ལ་

ཟེར།

༨། ཟུར་ཚེག་གཅིག་དང་། གྲུ་གཅིག འབུར་ངོས་གཅིག་དང་ངོས་སྒོར་མོ་གཅིག་ཡོད་པའི་ས་གཟུགས་ནི་ རེད།

༩། ཟུར་གསུམ་གྲུ་ཀའི་མདུན་ངོས་ཀི་དབིབས་ནི་

རེད།

༡༠། སྟེང་ནས་མཐོང་ཚུལ་ནི་ཟུར་གསུམ་མ་དང་མདུན་ནས་མཐོང་ཚུལ་ནི་གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ཡིན་པའི་ས་གཟུགས་ནི་ རེད།

༡༡། ` 5 ཡི་ལྕགས་སྒོར་ 15 གཅིག་ཐོག་གཅིག་བརེགས་ཏེ་བཞག་ན། ཁྱེད་ལ་ས་གཟུགས་ ཐོབ་ཀི་ཡོད།

༡༠་༣༽ ལན་བྩིས། ༡། ཐིག་ m ཞིག་བིས་ཏེ། དེའི་སྟེང་མེད་པའི་གནས་ P ཞིག་བིས། ཐིག་ཤིང་དང་སྒོར་ཆས་སྤད་དེ་ P བརྒྱུད་ཐིག་ m ཡི་མཉམ་འགོ་ཐིག་བིས།

བཀོད་པ་དང་ཕོགས་ཚད་གསུམ་ལྡན་གི་གཟུགས།

113

༢། ཐིག་ l དང་དེའི་སྟེང་ལ་གནས་ P དང་ Q བིས། ཐིག་ཤིང་དང་སྒོར་ཆས་སྤད་དེ་ P དང་ Q བརྒྱུད་ཐིག་ CD ལ་དང་འཕང་ཡིན་པའི་ཐིག་ m དང་ n ཁོད། ཐིག་དེ་གཉིས་ཕན་ཚུན་མཉམ་འགོ་རེད་དམ།

༣། ཐིག་དུམ་ AB = 8 cm ཞིག་བིས། དེའི་དང་འཕང་མཉམ་བགོད་ཐིག་ཁོད།

༤། ཐིག་དུམ་ AB ཞིག་བིས། AB ནས་བར་ཐག་ 3 cm ཐོག་དེར་མཉམ་འགོ་ཡིན་པའི་ཐིག་དུམ་ CD ཞིག་ཁོད།

114

འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

༥། AB = 5 cm དང་ BC = 4 cm, AC = 6.5 cm ཡིན་པའི་ ∆ABC ཁོད།

༦། མཐའ་མཉམ་པ་གཉིས་ 5.5 cm དང་མཐའ་གསུམ་པ་ 5 cm ཡིན་པའི་སྐེད་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ་ཞིག་ཁོད།

བཀོད་པ་དང་ཕོགས་ཚད་གསུམ་ལྡན་གི་གཟུགས།

115

༧། PQ = 5 cm དང་ Q = 70o, QR = 6 cm ཡིན་པའི་ ∆PQR ཁོད།

༨། མཐའ་མཉམ་པ་གཉིས་ 7 cm དང་དེའི་ཚུད་ཟུར་ 100o ཡིན་པའི་སྐེད་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ་ཞིག་ཁོད།

116

འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

༩།

Y = 60o དང་ Z = 45o, YZ = 6 cm ཡིན་པའི་ ∆XYZ ཁོད།

༡༠། AB = 4 cm དང་ AC = 5 cm, ABC = 90o ཡིན་པའི་ ∆ABC ཁོད།

བཀོད་པ་དང་ཕོགས་ཚད་གསུམ་ལྡན་གི་གཟུགས།

117

༡༡། གསེག་མཐའ་ 6 cm དང་མཐའ་གཅིག་ 4 cm ཡིན་པའི་དང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མ་ཁོད།

༡༢། ད་བ་སོ་སོའི་མིང་དང་དེའི་ 3-D མཚོན་དོན་མཐུན་སྦོར་གིས། གྲུ་ནར་གཟུགས། ཀ་ཟླུམ་གཟུགས། ཤོ་གཟུགས། ཟུར་གསུམ་གྲུ་ཀ སྙུང་གཟུགས།

118

འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

༡༣། གཤམ་གསལ་རེའུ་མིག་སྐོངས། ས་གཟུགས།

ཤོ་གཟུགས།

ངོས་ཀི་གངས།

གྲུའི་གངས།

ཟུར་ཚེག་གི་གངས།

གྲུ་ནར་གཟུགས།

ཟུར་གསུམ་གྲུ་སྙུང་། ཟུར་གསུམ་གྲུ་ཀ གྲུ་བཞི་གྲུ་ཀ

༡༤། གཤམ་གསལ་ས་གཟུགས་ཀི་ད་བ་བིས། (ཀ) ཤོ་གཟུགས།

(ཁ) གྲུ་ནར་གཟུགས།

(ག) ཀ་ཟླུམ་གཟུགས།

(ང) ཟུར་གསུམ་གྲུ་ཀ

༡༥། གཤམ་གསལ་ས་གཟུགས་ཀི་ད་བ་བཟོ་ཆེད་དགོས་མཁོའི་དབིབས་ཀི་མིང་བིས། (ཀ) ཟུར་གསུམ་གྲུ་ཀ

བཀོད་པ་དང་ཕོགས་ཚད་གསུམ་ལྡན་གི་གཟུགས།

(ཁ) ཀ་ཟླུམ་གཟུགས།

119

༡༦། གཤམ་གསལ་ཆ་རྐྱེན་ལྡན་པའི་ས་གཟུགས་ཀི་མིང་བིས། (ཀ) ངོས་གཅིག་པ་དྲུག

(ཁ) འབུར་ངོས་གཅིག་དང་སྒོར་ངོས་གཅིག

(ག) གཏད་ངོས་གཅིག་པ།

(ང) འབུར་ངོས་གཅིག

(ཅ) ཟུར་ཚེག་དྲུག

(ཆ) གྲུ་བཅུ་གཉིས།

༡༧། མཐའ་ 3 cm ཅན་གི་ཤོ་གཟུགས་ཀི་བར་མཚུངས་སྐྱ་རིས་དང་འཕེད་གསེག་སྐྱ་རིས་བིས།

༡༨། ཆ་ཚད་ 6 cm × 4 cm × 2 cm ཅན་གི་གྲུ་ནར་གཟུགས་ཀི་བར་མཚུངས་སྐྱ་རིས་བིས།

120

འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

༡༩། ཆ་ཚད་ 3 cm ཅན་གི་ཤོ་གཟུགས་གཉིས་མཉམ་སྒིག་བས་པས། ཐོབ་འབས་གྲུ་ནར་གཟུགས་ཀི་ཆ་ཚད་ག་ ཚོད་རེད་དམ།

༢༠། གཤམ་གསལ་གཟུགས་རྣམས་གཞུང་གཏུབ་དང་འཕེད་གཏུབ་བས་ན་བཅད་ཁ་གང་འབྱུང་ངམ། (ཀ) ཤོ།

(ཁ) དབིབས་ཆས་སྒམ།

(ག) ཤེལ་རྡོ།

(ང) སྙུང་དབིབས་ཅན་གི་ཞྭ་མོ།

(ཅ) གྲུ་བཞི་གྲུ་སྙུང་ཅན་གི་གུར།

(ཆ) ཀེཀ་སྒོར་མོ།

༢༡། གཤམ་གསལ་གཟུགས་ལ་ཕོགས་འད་མིན་ནས་གོག་ཞུ་སར་ན། དེའི་གིབ་ནག་གི་དབིབས་གང་རེད་དམ། (ཀ) ཤོ་གཟུགས།

སྟེང་ནས།

མདུན་ནས།

གཞོགས་ནས།

(ཁ) གྲུ་ནར་གཟུགས། (ག) རྐང་རེད་པོ་ལོ། (ང) སྙུང་གཟུགས།

བཀོད་པ་དང་ཕོགས་ཚད་གསུམ་ལྡན་གི་གཟུགས།

121

(ཅ) ཀ་ཟླུམ་གཟུགས། (ཆ) ཟུར་གསུམ་གྲུ་ཀ

༢༢། གཤམ་གསལ་ས་གཟུགས་ཀི་ལྟ་ཚུལ་འད་མིན་ནས་མངོན་པའི་དབིབས་བིས། སྟེང་ནས།

མདུན་ནས།

གཞོགས་ནས།

(ཀ) (ཁ) (ག) (ང)

༢༣། ས་གཟུགས་ཤིག་གི་མཐོང་ཚུལ་གསུམ་སྤྲད་ཡོད། ས་གཟུགས་དེའི་སྟེང་དང་། མདུན། གཞོགས་ནས་མཐོང་ཚུལ་ ངས ོ ་ཟུངས། (ཀ)

122

(ཁ)

(ག)

འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

༢༤། གཤམ་གསལ་སྟེང་དང་། གཞོགས། མདུན་ནས་མཐོང་ཚུལ་ལྡན་པའི་ས་གཟུགས་བིས། སྟེང་ནས།

གཞོགས་ནས།

མདུན་ནས།

(ཀ)

(ཁ) (ག) (ང)

བཀོད་པ་དང་ཕོགས་ཚད་གསུམ་ལྡན་གི་གཟུགས།

123

༡༡། མཐའ་འཁྱོར་རྩིང་ཚད་དང་རྒ་ཁྱོན། ༡༡་༡༽ ལན་འགྲྩིག་པ་ལ་རྟགས་རྒྱོབས། ༡། མཐའ་ 4 cm ཅན་གི་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ནི། (ཀ) 16 cm

(ཁ) 8 cm

(ག) 6 cm

(ང) 4 cm

(ཀ) 150 cm2

(ཁ) 62 cm

(ག) 31 cm

(ང) 50 cm

(ཀ) 3.14

(ཁ) 3.24

(ག) 3.34

(ང) 3.44

(ཀ) 4.41 cm2

(ཁ) 4.2 cm2

(ག) 8.4 cm2

(ང) 2.1 cm2

(ཀ) 110 m2

(ཁ) 112 m2

(ག) 114 m2

(ང) 122 m2

(ཀ) 48.4 cm

(ཁ) 72.6 cm

(ག) 96.8 cm

(ང) 186.34 cm

(ཀ) 22 cm2

(ཁ) 36π cm2

(ག) 121π cm2

(ང) 154 cm2

༢། དཀྱུས་ལ་ 25 cm དང་ཞེང་ལ་ 6 cm ཡོད་པའི་གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ནི། ༣། π ཡི་ཉེ་མཚུངས་ཐང་ནི།

༤། མཐའ་ 2.1 cm ཅན་གི་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ནི།

༥། དཀྱུས་ 7 m དང་ཞེང་ 16 m ཡིན་པའི་གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་རྒྱ་ཁྱོན་ནི།

༦། ཚངས་ཐིག་ 15.4 cm ཅན་གི་སེར་མ་སྒོར་མོ་ཞིག་གི་སྒོར་མཐའི་རིང་ཚད་ནི། (π = ༧། སྒོར་མཐའི་རིང་ཚད་ 44 cm ཡིན་པའི་སྒོར་དབིབས་ཀི་རྒྱ་ཁྱོན་ནི།

124

22 ) 7

འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

དང་མཚུངས།

༨། 1 m2 ནི་

(ཀ) 100 cm2

(ཁ) 1000 cm2

(ག) 10000 cm2

༩། ལྟེ་མཐུན་སྒོར་དབིབས་གཉིས་དབར་ལ་ནག་གིབ་བཏང་བའི་ཁུལ་གི་རྒྱ་ཁྱོན་ནི། (ཀ) 36π

(ཁ) 20π

(ག) 16π

C 2.2cm

(ང) 26.4 cm2

A

P 80 cm

60 cm

(ཁ) 4.8 m2

(ག) 2.4 m2

B

6cm

༡༡། སྤྲད་ཟིན་པའི་ ∆PQR ཡི་རྒྱ་ཁྱོན་ནི། (ཀ) 0.48 m2

6cm

D

(ཁ) 16.4 cm2

(ག) 6.6 cm2

4cm

(ང) 4π

༡༠། སྤྲད་ཟིན་པའི་དཔེ་རིས་ ABCD ཡི་རྒྱ་ཁྱོན་ནི། (ཀ) 13.2 cm2

(ང) 100000 cm2

(ང) 0.24 m2

R

Q

༡༢། ནག་གིབ་ཁུལ་ 1 m2 ལ་རི་གཏོང་བར་ ` 30 ཡིན་ན། དཔེ་རིས་ནང་ནག་གིབ་ཁུལ་ལ་རི་གཏོང་བར་གོང་ ཚད་ནི།

(π = 3.14)

(ཀ) ` 2101.60

8m

(ག) ` 4621.60

4m

(ཁ) ` 4521.60 (ང) ` 4801.60

༡༣། དཔེ་རིས་ནང་ ABCD ནི་མཉམ་འགོ་མཐའ་བཞི་མ་ཡིན་ན། ∆ABD ཡི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ། (ཀ) 24 cm2

4 cm

D

6 cm

(ཁ) 12 cm2

C

(ག) 6 cm2

(ང) 2 cm2

A

M

B

༡༤། ཟུར་གསུམ་མའི་ཞབས་ 2 cm དང་དེའི་གནས་མཐུན་དཔངས་ 1.1 cm ཡིན་ན། ཟུར་གསུམ་མ་དེའི་རྒྱ་ཁྱོན་ ནི། (mm2 ནང་) (ཀ) 27.5

(ཁ) 55

མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་དང་རྒྱ་ཁྱོན།

(ག) 110

(ང) 220

125

༡༥། སྤྲད་ཟིན་པའི་མཐའ་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ་ ABC ཡི་རྒྱ་ཁྱོན་ 13.2 cm2 ཡིན་ན། CD ནི། (ཁ) 4.3 cm

(ཀ) 4.4 cm

(ག) 4.2 cm

(ང) 4.0 cm

A D

B

6 cm

C

༡༦། གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་དཀྱུས་ནི་ཞེང་ལས་ 3 m གིས་མང་བ་རེད། གལ་ཏེ་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ 30 m ཡིན་ན། དེའི་རྒྱ་ཁྱོན་ནི། ༡༧། ∆PQR ཡི་རྒྱ་ཁྱོན་ནི།

(ཁ) 9 m2

(ཀ) 5 cm2

(ཁ) 4 cm2

(ག) 3 cm2

(ང) 12 cm2

(ང) 54 m2

(ག) 30 m2

R

2 cm

(ཀ) 6 m2

O

P

Q 3 cm

༡༨། གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ཞིག་གི་རྒྱ་ཁྱོན་དང་ཞེང་གོ་རིམ་བཞིན་ 28 cm2 དང་ 4 cm རེད། དེའི་དཀྱུས་ནི། (ཀ) 4 cm

(ཁ) 5 cm

(ག) 6 cm

(ང) 7 cm

༡༩། རས་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་ཞིག་དང་རས་གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ཞིག་གི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་གཅིག་པ་རེད། གལ་ཏེ་རས་ གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་མཐའ་ 40 cm དང་། རས་གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་དཀྱུས་ 60 cm ཡིན་ན། རས་གྲུ་བཞི་ནར་ མོའི་རྒྱ་ཁྱོན་ནི།

(ཀ) 1600 cm2

(ཁ) 1200 cm2

(ག) 2400 cm2

(ང) 2800 cm2

༢༠། སྐྱེད་ཚལ་གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ཞིག་གི་དཀྱུས་ 45 m དང་ཞེང་ 30 m རེད། སྐྱེད་ཚལ་གི་མཐའ་འཁོར་གི་ནང་ རོལ་དུ་ཁ་ཞེང་ 2.5 m ཅན་གི་རྐང་ལམ་ཞིག་བཟོས་པ་རེད། རྐང་ལམ་དེའི་རྒྱ་ཁྱོན་ནི། (ཀ) 375 m2

(ཁ) 350 m2

༡༡་༢༽ བར་སྱོང་སྱོངས།

(ག) 325 m2

(ང) 300 m2

༡། དཀྱུས་དང་ཞེང་གོ་རིམ་བཞིན་ l དང་ b ཡིན་པའི་གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ནི་ རེད།

༢། རིང་ཚད་ l ཡིན་པའི་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ནི་

126

རེད།

འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

༣། དཀྱུས་དང་ཞེང་གོ་རིམ་བཞིན་ l དང་ b ཡིན་པའི་གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་རྒྱ་ཁྱོན་ནི་

༤། གལ་ཏེ་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་ཞིག་གི་མཐའི་རིང་ཚད་ལྡབ་གསུམ་བཟོས་ན། དེའི་རྒྱ་ཁྱོན་ནི་ལྡབ་

རེད།

ཆགས་ཀི་རེད།

༥། གལ་ཏེ་གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ཞིག་གི་དཀྱུས་དང་ཞེང་གཉིས་ཀར་ལྡབ་གཉིས་རེ་བཟོས་ན། དེའི་རྒྱ་ཁྱོན་ནི་ལྡབ་ ཆགས་ཀི་རེད།

༦། ཚངས་ཐིག་ 14 cm ཅན་གི་ཆུ་ཚོད་སྒོར་མོའི་རྒྱ་ཁྱོན་ནི་

༧། ཤོག་ལེབ་སྒོར་མོ་ཞིག་གི་སྒོར་མཐའི་རིང་ཚད་ 44 m རེད། ཤོག་ལེབ་ཀི་རྒྱ་ཁྱོན་

རེད།

༨། རྐང་འཁོར་ཞིག་གི་འཁོར་ལོའི་ཚངས་ཐིག་ 42 cm རེད། དེའི་འཁོར་ལོའི་སྐོར་བ་ 50 ལ་རྒྱང་ཐག་

རེད།

བསྐྱོད་ཐུབ།

༩། མཐའ་མཉམ་མཐའ་མང་དབིབས་ཀི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ = མཐའ་གཅིག་གི་རིང་ཚད་ ×

༡༠། 1 cm2 =

mm2

༡༢། 10 cm2 =

m2

༡༡། 1 km2 =

m2

༡༡་༣༽ ལན་བྩིས། ༡། གཤམ་གསལ་དབིབས་ཀི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་དང་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ། (ཀ) མཐའ་ 15 cm ཅན་གི་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ།

(ཁ) དཀྱུས་ 8 cm དང་ཞེང་ 2.2 cm ཅན་གི་གྲུ་བཞི་ནར་མོ།

མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་དང་རྒྱ་ཁྱོན།

127

༢། གཤམ་གསལ་དཔེ་རིས་ཀི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ཚོལ། 6cm

(ཀ)

4cm

3cm

5cm

7cm

(ཁ)

1cm 4cm 2.5cm

3cm 3cm

༣། མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ 440 m ཅན་གི་སྐྱེད་ཚལ་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ།

༤། གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་ཞེང་ནི་ 4.2 cm དང་དཀྱུས་ནི་ཞེང་གི་ལྡབ་གཉིས་ཡིན་ན། དེའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ཚོལ།

༥། རྒྱ་ཁྱོན་ 49 cm2 ཡིན་པའི་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ཚོལ།

128

འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

༦། གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ཞིག་གི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ནི་ 520 m དང་ཞེང་ 40 m རེད། དེའི་དཀྱུས་དང་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ།

༧། མཉམ་འགོ་མཐའ་བཞི་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ 84.8 cm2 དང་ཞབས་ 4 cm ཡིན་ན། དེའི་དཔངས་ཚོལ།

༨། ལྷ་མོ་སྐྱིད་ཀིས་རིང་ཚད་ 12.5 m ཅན་གི་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་རེད་ཐང་དུ་སྐོར་བ་གསུམ་བརྒྱུགས་ན། ཁོ་མོས་ རྒྱང་ཐག་མི་ཊར་ག་ཚོད་བརྒྱུགས་ཡོད་དམ།

༩། ཚངས་ཐིག་ 21 cm ཡིན་པའི་སྒོ་གདན་ཕེད་སྒོར་དབིབས་ཅན་གི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ཚོལ།

མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་དང་རྒྱ་ཁྱོན།

129

༡༠། སྒོར་དབིབས་གཉིས་ཀི་ཚངས་ཕེད་ 3.5 cm དང་ 7 cm རེད། དེ་དག་གི། (ཀ) ཚངས་ཐིག་ཚོལ།

(ཁ) སྒོར་མཐའི་རིང་ཚད་ཚོལ།

(ག) སྒོར་མཐའི་རིང་ཚད་ཀི་སྡུར་ཚད་ཚོལ།

༡༡། ཚངས་ཕེད་ 40 cm ཅན་གི་སྒོར་དབིབས་ཀི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ།

(π = 3.14)

༡༢། AB = 7.2 cm དང་ AB ཡི་དང་འཕང་ DE = 4.5 cm ཡིན་པའི་མཉམ་འགོ་མཐའ་བཞི་མ་ ABCD ཡི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ།

D

4.5cm

A

130

C

E

B 7.2cm

འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

༡༣། འཛིན་གྲྭ་ཞིག་གི་དཀྱུས་ནི་ཞེང་གི་ལྡབ་ 3 རེད། གལ་ཏེ་འཛིན་གྲྭའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ 26.4 m ཡིན་ན། འཛིན་གྲྭའི་དཀྱུས་དང་ཞེང་ཚོལ།

༡༤། བཟང་པོས་དཀྱུས་ལ་ 17.5 m དང་ཞེང་ལ་ 8 m ཅན་གི་སྐྱེད་ཚལ་གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ཞིག་ལ་སྐོར་བ་བརྒྱད་ བརྒྱུགས་ན། ཁོང་གིས་རྒྱང་ཐག་མི་ཊར་ག་ཚོད་བརྒྱུགས་ཡོད་དམ།

༡༥། སྤྲད་ཟིན་པའི་དཔེ་རིས་ནང་ནག་གིབ་བཏང་བའི་ཁུལ་གི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ། 28cm

༡༦། ཚངས་ཕེད་ 7.7 cm ཅན་གི་སྒོར་དབིབས་དང་། མཐའ་ 7 cm ཅན་གི་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་གཉིས་ལས་གང་ རྒྱ་ཁྱོན་ཆེ་བ་འདུག་གམ།

མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་དང་རྒྱ་ཁྱོན།

131

༡༧། ལྡུམ་ར་ཞིག་གི་དཀྱུས་ལ་ 100 m དང་ཞེང་ལ་ 80 m ཡོད། དེའི་མཐའ་འཁོར་གི་ཕི་རོལ་བརྒྱུད་ཁ་ཞེང་ 5 m ཅན་གི་རྐང་ལམ་ཞིག་བཟས ོ ་པ་རེད། རྐང་ལམ་གི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ།

༡༨། ས་ཞིང་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་ཞིག་གི་མཐའ་ 60 m རེད། (ཀ) དེའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ།

(ཁ) དེར་ར་བ་རྒྱག་ཆེད་ལྕགས་སྐུད་གཟེ་མ་རྭ་མགོ་ 1 m ལ་ ` 25 ཡིན་ན། ར་བ་དེར་ལྕགས་སྐུད་སྐོར་བ་ ཐེངས་བཞི་རྒྱག་པར་འགོ་གོན་ཚོལ།

(ག) ས་ཞིང་ 1 m2 གི་རིན་གོང་ ` 10500 ཡིན་ན། ས་ཞིང་གྲུ་བཞི་མ་དེའི་རིན་གོང་ཚོལ།

༡༩། བག་སྒོར་ཌོ་ནཌ་ཞིག་གི་ཚངས་ཕེད་ 30 mm རེད། དེའི་དཀིལ་ལ་ཚངས་ཕེད་ 11.5 mm ཅན་གི་ཨི་ཁུང་ ཡོད། ཌོ་ནཌ་ཡི་ངོས་སྒོར་མོའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ།

132

འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

༢༠། མཉམ་འགོ་མཐའ་བཞི་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ནི་ 500 cm2 དང་མཐའ་ 12.5 cm ཡིན་ན། དེའི་གནས་མཐུན་དཔངས་ ཚོལ།

༢༡། ཟུར་གསུམ་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ 60 cm2 དང་ཞབས་ 15 cm ཡིན་ན། དེའི་དཔངས་ཚོལ།

༢༢། རེད་ཐང་ཞིག་གི་དཀྱུས་དང་ཞེང་གོ་རིམ་བཞིན་ 80 m དང་ 35 m རེད། དེའི་ངོས་ཁོད་སྙོམ་པོ་བཟོ་བར་མི་ ཊར་གྲུ་བཞི་མ་རེར་ ` 25 ཡིན་ན། རེད་ཐང་ཁོད་སྙོམ་བཟོ་ཆེད་འགོ་གོན་ག་ཚོད་རེད་དམ།

༢༣། མཚོ་མོས་ཚངས་ཕེད་ 14 cm ཅན་གི་པི་ཛ་ཞིག་ཆ་སྙོམས་དུམ་བུ་གཉིས་སུ་བགོས་པ་རེད། པི་ཛ་ཕེད་སྒོར་རེའི་ མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ག་ཚོད་རེད་དམ།

མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་དང་རྒྱ་ཁྱོན།

(π =

22 ) 7

133

༢༤། ཚངས་ཐིག་ 49 cm ཅན་གི་ཕེད་སྒོར་གི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ། ཕེད་སྒོར་གི་མཐའ་མཚམས་ཀི་རིང་ཚད་ཚོལ།

༢༥། བློ་བཟང་གིས་ཚངས་ཐིག་ 1.4 m ཅན་གི་སས་ཤུབས་ལ་རས་ཚགས་དམར་པོའི་མཐའ་ལྕགས་གཏོང་འདོད་

ཡོད། རས་ཚགས་རིང་ཚད་ག་ཚོད་དགོས་སམ། གལ་ཏེ་མི་ཊར་རེར་ ` 20 ཡིན་ན། རས་ཚགས་ཀི་གོང་ཚད་ག་ ཚོད་རེད་དམ།

༢༦། གཤམ་གསལ་དཔེ་རིས་ནང་ AD ཡི་རིང་ཚད་ཚོལ།

C D 9cm

A

134

12cm

B

འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

༢༧། རིང་ཚད་ 44 cm ཅན་གི་ལྕགས་སྐུད་ཅིག་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་ནང་བཀུག་པ་རེད། ཡང་ལྕགས་སྐུད་དེ་སྒོར་

དབིབས་ནང་བཀུག་པ་རེད། དབིབས་དེ་གཉིས་ལས་གང་གི་རྒྱ་ཁྱོན་ཆེ་བ་ཡོད་དམ། ག་ཚོད་ཀིས་ཆེ་བ་ཡོད་དམ།

༢༨། གཤམ་གསལ་དཔེ་རིས་ནང་ནག་གིབ་བཏང་བའི་ཁུལ་གི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ། (ཀ)

14cm

མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་དང་རྒྱ་ཁྱོན།

9cm

(ཁ)

20cm

O 7cm

20cm

135

༡༢། སྱོམ་རྩིས་རྩིག་པ། ༡༢་༡༽ ལན་འགྲྩིག་པ་ལ་རྟགས་རྒྱོབས། ༡། བེ་བག་ 2, 3, 8, 7, 6, 5 བཅས་ཀི་ཁྱབ་ཚད་ནི། (ཀ) 2

(ཁ) 3

(ག) 5

(ང) 6

(ཀ) 10.2

(ཁ) 11.2

(ག) 12.2

(ང) 13.2

(ཀ) 3

(ཁ) 3.5

(ག) 4

(ང) 4.5

(ཀ) 3

(ཁ) 5

(ག) 6

(ང) 7

(ཀ) 4

(ཁ) 5

(ག) 7

(ང) 2

(ཀ) 4 དང་ 5

(ཁ) 5 དང་ 6

(ག) 5 དང་ 4

(ང) 6 དང་ 5

༢། འཛིན་གྲྭའི་ནང་སོབ་ཕྲུག་ལྔའི་ལོ་ནི་ 11, 11.5, 12, 14, 12.5 བཅས་རེད། ཆ་སྙོམས་ལོ་ནི། ༣། རང་བྱུང་གངས་ཐོག་མ་དྲུག་གི་ཆ་སྙོམས་གངས་ནི།

༤། གངས་ཀི་སེ་ 6, 5, 3, 5, 6, 7, 6 གི་བིངས་གངས་ནི། ༥། གངས་ཐོ་ 7, 3, 5, 4, 2, 8, 9 ཡི་དཀིལ་གངས་ནི།

༦། གངས་ཐོ་ 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6 གི་བིངས་གངས་དང་ཁྱབ་ཚད་ནི་གོ་རིམ་བཞིན།

༧། གོང་ཁྱེར་ 7 གི་ཉིན་གཅིག་གི་ཆར་པ་འབབ་ཚད་ (mm ནང་) གཤམ་གསལ་ལྟར་ཐོ་འགོད་བས་ཡོད། 6.6, 8.7, 0.5, 0.0, 11.5, 12.2, 0.0 གངས་ཐོ་འདིའི་ནང་ཆར་པ་འབབ་ཚད་ཀི་ཁྱབ་ཚད་ནི། (ཀ) 0.0 mm

136

(ཁ) 6.6 mm

(ག) 11.5 mm

(ང) 12.2 mm

འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

༨། གཤམ་གསལ་གངས་ཐོ་ནི་བུ་མོ་ 10 ཡི་གཟུགས་པོའི་མཐོ་ཚད་ cm ནང་རེད།

140, 129, 142, 139, 142, 128, 140, 132, 135, 137 བུ་མོ་རིང་ཤོས་ཀི་མཐོ་ཚད་ནི། (ཀ) 140 cm

(ཁ) 142 cm

(ག) 132 cm

(ང) 149 cm

༩། དབྱུག་རེད་པོ་ལོ་བ་ཞིག་གིས་ཉིན་གཅིག་རེད་འགན་ 7 གི་ནང་གཤམ་གསལ་རྒྱུག་གངས་བཟོས་ཡོད། 40, 77, 22, 0, 88, 100, 22 གངས་ཐོ་འདིའི་བིངས་གངས་ནི། (ཀ) རྒྱུག་གངས་ 40

(ཁ) རྒྱུག་གངས་ 0

(ག) རྒྱུག་གངས་ 22

(ང) རྒྱུག་གངས་ 100

(ཀ) 14

(ཁ) 14.5

(ག) 15

(ང) 15.5

(ཀ) 7

(ཁ) 5.6

(ག) 4.8

(ང) 3.6

(ཀ) 15

(ཁ) 14

(ག) 12

(ང) 10

༡༠། གངས་ 11 ནས་ 18 བར་གི་ཆ་སྙོམས་གངས་ནི། ༡༡། རྒྱུ་གངས་ཐོག་མ་ 5 ཡི་ཆ་སྙོམས་གངས་ནི།

༡༢། བེ་བག་ 15 ཡི་ཆ་སྙོམས་གངས་ནི་ 10 དང་། ཡང་བེ་བག་གཞན་ 10 ཡི་ཆ་སྙོམས་གངས་ནི་ 20 རེད། ཁྱོན་ བེ་བག་ 25 ཡི་ཆ་སྙོམས་གངས་ནི། ༡༣། ཆ་སྙོམས་གངས་དང་དཀིལ་གངས། བིངས་གངས་གཅིག་པ་ཡིན་པའི་གངས་ཐོ་གང་རེད་དམ། (ཀ) 6, 2, 5, 4, 3, 4, 1

(ཁ) 4, 2, 2, 1, 3, 2, 3

(ག) 2, 3, 7, 3, 8, 3, 2

(ང) 4, 3, 4, 3, 4, 6, 4

(ཀ) x × y × z 3

(ཁ) x + y + z 3

(ག) x − y − z 3

(ང) x × y + z 3

(ཀ) 75

(ཁ) 80

(ག) 82

(ང) 82.6

༡༤། བེ་བག་ x, y, z ཡི་ཆ་སྙོམས་གངས་ནི།

༡༥། རབ་རྒྱས་ཀི་ལོ་འཁོར་ཡིག་རྒྱུགས་ཀི་ཨང་ཐོབ་ནི་ 97 དང་ 73, 88, 80, 75 རེད། ཁོང་གི་ཆ་སྙོམས་ཨང་ ཐོབ་ནི།

སོམ་རིས་རིག་པ།

137

༡༦། གཤམ་གི་ནག་པང་སྟེང་ལ་རིལ་གངས་འགའ་བིས་ཡོད། རིལ་གངས་དེ་དག་གི་ཁྱབ་ཚད་ནི། 0 15 −11 −17 6 +20 −4

(ཀ) 31

(ཁ) 37

(ག) 20

(ང) 3

༡༧། ཚོང་ཁང་ཞིག་གི་ནང་ཚོང་རགས་ 5 ཡི་ཅོག་ལེཊ་ཡོད་པ་ལས། རྒན་ལགས་ཀིས་སོབ་ཕྲུག་མང་ཤོས་ཀིས་དགའ་ མས ོ ་བེད་པའི་ཚོང་རགས་ཅན་གི་ཅག ོ ་ལེཊ་ཉ་ོ དགས ོ ། གནས་སྟངས་འདིར་གཅིག་བསྡུས་འཁར ོ ་ཕོགས་གང་སྤོད་ དགས ོ ་སམ།

(ཀ) ཆ་སྙོམས་གངས།

(ཁ) བིངས་གངས།

(ག) དཀིལ་གངས།

(ང) ཁྱབ་ཚད།

(ཀ) 7

(ཁ) 8

(ག) 9

(ང) 10

(ཀ) ཟློས་ཕོད།

(ཁ) ཁ་ཞེང་།

(ག) ཁྱབ་ཚད།

(ང) བིངས་གངས།

(ཀ) 4.8

(ཁ) 5.6

(ག) 6

(ང) 7

༡༨། གངས་ཐོ་མི་འད་བ་གཉིས་ 4, 6, 8, 14 དང་ 6, 8, 12, 14 བཅས་ཀི་ཆ་སྙོམས་གངས་སོ་སོའི་ཆ་སྙོམས་ནི། ༡༩། གངས་ཐོའི་ནང་བེ་བག་མཐོ་ཤོས་དང་དམའ་ཤོས་དབར་གི་ཁྱད་པར་ནི་བེ་བག་དེའི་ ༢༠། 2 ཀི་ལྡབ་གངས་ཐོག་མ་ལྔའི་ཆ་སྙོམས་གངས་ནི།

༡༢་༢༽ བར་སྱོང་སྱོངས།

༡། བེ་བག་ནས་བསྡུ་རུབ་བས་པའི་གནས་ཚུལ་ལ་

༢། གངས་ཐོའི་ཚོགས་ནང་བསྐྱར་ཟློས་མང་ཤོས་བེད་པའི་བེ་བག་ལ་

ཟེར།

༣། གངས་ཐོ་ཞིག་འཕར་རིམ་ཡང་ན་ཆག་རིམ་བཞིན་བསྒིགས་པའི་བེ་བག་དཀིལ་མ་ལ་

ཟེར།

༤། ཆ་སྙོམས་གངས་དང་། དཀིལ་གངས། བིངས་གངས་བཅས་ནི་ འཇལ་རེད།

༥། གངས་ཐོ་ 8, 4, x, 6, 2, 7 གི་ཆ་སྙོམས་གངས་ནི་ ༦། གངས་ཐོའི་

138

རེད།

ཟེར།

ཀི་ཚད་

རེད།

ནི་རག་ཏུ་ཤེས་ཟིན་པའི་གངས་ཐོ་ནས་ཡིན་དགོས། འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

༧། གངས་ 5 ཡི་ཆ་སྙོམས་གངས་ 12 ཡིན་ན། གངས་དེ་དག་གི་ཁྱོན་བསོམས་ནི་

༡༢་༣༽ ལན་བྩིས།

རེད།

༡། གཤམ་གསལ་ནི་སོབ་ཕྲུག་ 10 ཡི་རྒྱུགས་འབས་ཨང་ཐོབ་རེད།

98, 90, 89, 97, 76, 87, 90, 88, 94, 91

(ཀ) ཨང་ཀི་མཐོ་ཤོས་གང་རེད་དམ།

(ཁ) ཨང་ཀི་དམའ་ཤོས་གང་རེད་དམ།

(ག) གངས་ཐོའི་ཁྱབ་ཚད་གང་རེད་དམ།

(ང) གངས་ཐོའི་ཆ་སྙོམས་གངས་གང་རེད་དམ། (ཅ) གངས་ཐོའི་དཀིལ་གངས་གང་རེད་དམ། (ཆ) གངས་ཐོའི་བིངས་གངས་གང་རེད་དམ།

༢། གཤམ་གསལ་གངས་ཐོའི་བིངས་གངས་ཚོལ།

1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 2, 5, 5, 4, 2, 1, 1, 2, 2

༣། སོབ་ཕྲུག་བཅུའི་ལོ་གཤམ་གསལ་ལྟར་རེད། དེ་དག་གི་ལོའི་ཁྱབ་ཚད་ཚོལ། 6, 8, 10, 10, 5, 6, 9, 9, 10, 10

༤། གཤམ་གསལ་རིང་ཚད་ཅན་གི་ཊེབ་ཐག་གི་དཀིལ་གངས་གང་རེད་དམ།

12 m, 20 m, 14 m, 24 m, 8 m, 16 m, 14 m

༥། གོང་ཁྱེར་ཞིག་གི་ཉིན་ 10 ཡི་ཆ་སྙོམས་དོད་ཚད་གང་རེད་དམ།

21oC, 23oC, 25oC, 24oC, 22oC, 24oC, 23oC, 25oC, 25oC, 21oC

སོམ་རིས་རིག་པ།

139

༦། གཤམ་གསལ་ནི་རེད་མོ་བ་ 10 ཡིས་བཟོས་པའི་རྒྱུག་གངས་རེད།

25, 30, 30, 40, 60, 50, 45, 30, 60, 55

(ཀ) གངས་ཐོ་འདིའི་བིངས་གངས་ཚོལ། (ཁ) གངས་ཐོ་འདིའི་ཆ་སྙོམས་གངས་ཚོལ།

༧། གཤམ་གསལ་ནི་གོགས་པོ་ལྔའི་གཟུགས་པོའི་ལིད་ཚད་རེད། ལྷ་མོ།

77 kg

ངག་དབང་། 58 kg

སྐལ་བཟང་། 62 kg

དབང་འདུས། 81 kg

མཚོ་མོ།

73 kg

(ཀ) ལིད་ཤོས་སུ་རེད་དམ། ཡང་ཤོས་སུ་རེད་དམ། (ཁ) གོགས་པོ་ལྔའི་ཆ་སྙོམས་ལིད་ཚད་ཚོལ།

༨། གཤམ་གསལ་གངས་ཚོགས་ཀི་ཁྱབ་ཚད་དང་ཆ་སྙོམས་གངས། དཀིལ་གངས། བིངས་གངས་ཚོལ། 12, 15, 15, 10, 11, 11, 10, 15, 12

140

འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

༩། སྤྲད་ཟིན་པའི་གངས་ཐོ་ཡི་བིངས་གངས་དང་ཆ་སྙོམས་གངས་ཚོལ།

1, 3, 2, 5, 1, 4, 6, 2, 5, 2, 2, 2, 4, 1, 2, 3, 1, 1, 2, 3, 2, 6, 4, 3, 2, 1, 1, 4, 2, 1, 5, 3, 3, 2, 3, 2, 4, 2, 2

༡༠། གོང་སེ་ 6 ནང་གི་ཤིང་སོང་གི་གངས་ནི་ 150, 151, 152, 153, 154, 155 རེད། ཆ་སྙོམས་ཤིང་སོང་ གངས་ཚོལ།

༡༡། (ཀ) ཡ་གངས་ཐོག་མ་ 10 ཡི་ཆ་སྙོམས་གངས་ཚོལ།

(ཁ) རྒྱུ་གངས་ཐོག་མ་ 7 གི་ཆ་སྙོམས་གངས་ཚོལ།

སོམ་རིས་རིག་པ།

141

༡༢། 10 དང་ 30 དབར་གི་རྒྱུ་གངས་རྣམས་ཀི་ཆ་སྙོམས་གངས་ཚོལ།

༡༣། ཆོས་འཕེལ་གིས་གཟའ་ཟླ་བར་ཆུ་ཚོད་ 3 1 དང་། གཟའ་མིག་དམར་ལ་ཆུ་ཚོད་ 2 1 གཟའ་ལྷག་པར་ཆུ་ཚོད་ 2 4 3 3 བཅས་ལས་ཀ་བས་ཡོད། ཁོང་གིས་ཉིན་གསུམ་ནང་ཆ་སྙོམས་ཆུ་ཚོད་ག་ཚོད་ལས་ཀ་བས་ཡོད་དམ། 4

༡༤། སོབ་ཕྲུག་ལྔའི་ལོ་ནི་ 13 དང་ 14, 12, 15, 16 རེད། (ཀ) དེ་དག་གི་ཆ་སྙོམས་ལོ་ཚོལ།

(ཁ) ལོ་ 5 རེས་དེ་དག་གི་ཆ་སྙོམས་ལོ་གང་ཡིན་ནམ།

142

འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

(ག) ལོ་ 5 སོན་དེ་དག་གི་ཆ་སྙོམས་ལོ་གང་རེད་དམ།

༡༥། གཤམ་གསལ་ནི་སོབ་གྲྭ་ཞིག་གི་ནང་དགེ་རྒན་ 10 ཡི་ལོ་རེད།

32, 41, 27, 54, 36, 25, 28, 57, 40, 38

(ཀ) དགེ་རྒན་རྒན་ཤོས་དང་ཆུང་ཤོས་ཀི་ལོ་གང་རེད་དམ། (ཁ) དགེ་རྒན་གི་ལོའི་ཁྱབ་ཚད་ཚོལ། (ག) ཆ་སྙོམས་ལོ་ཚོལ།

༡༦། སོབ་ཕྲུག་ 15 ཡི་རིས་རིག་ཡིག་ཚད་ཀི་རྒྱུགས་འབས་ (25 ནས་) གཤམ་གསལ་ལྟར་རེད།

19, 25, 23, 20, 9, 20, 15, 10, 5, 16, 25, 20, 24, 12, 20

གངས་ཐོ་འདིའི་བིངས་གངས་དང་ཆ་སྙོམས་ཚོལ།

སོམ་རིས་རིག་པ།

143

༡༧། གཤམ་གསལ་ནི་སོབ་ཕྲུག་ཚོས་དགའ་མོས་བེད་པའི་ཚོན་མདོག་གི་གངས་ཐོ་རེད། སོབ་ཕྲུག་གངས།

ཚོན་མདོག་དགའ་ཤོས།

42

45

50

30

35

ཟིང་སྐྱ།

དམར་པོ།

སོན་པོ།

སེར་པོ།

ལང་ཁུ།

ཐིག་ཚད་འོས་འཚམ་བདམས་ཏེ་གངས་ཐོ་འདི་གྲུ་ནར་ཐིག་རིས་ནང་མཚོན།

༡༨། གཤམ་གསལ་ནི་སོབ་གྲྭ་ཞིག་གི་འཛིན་གྲྭ་སོ་སོའི་ནང་ཡོད་པའི་ཡུལ་མི་སོབ་ཕྲུག་གི་གངས་རེད།

18, 13, 18, 16, 8, 5, 13, 5, 18, 18, 2, 16, 13, 8, 17, 18, 5, 2, 13, 8, 19, 16, 8, 20, 17 ཆ་སྙོམས་ཡུལ་མི་སོབ་ཕྲུག་གངས་ལས་ཡུལ་མི་སོབ་ཕྲུག་མང་བ་ཡོད་པའི་འཛིན་གྲྭ་ག་ཚོད་འདུག་གམ།

144

འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

༡༩། གཤམ་གསལ་ནི་སོབ་ཕྲུག་གིས་དགའ་མོས་བེད་པའི་ཞལ་ཏོག་གི་གངས་ཐོ་སྟོན་གི་ཡོད། ཞལ་ཏོག་དགའ་ཤོས། སོབ་ཕྲུག་གངས།

པི་ཛ། 43

འབས་སིལ། 19

སེན་བག 49

ཞོག་ནར་བརོས་མ། 55

ཏན་ཤིང་། 34

གངས་ཐོ་འདི་གྲུ་ནར་ཐིག་རིས་ནང་མཚོན། དེ་སྤད་དེ་གཤམ་གསལ་དི་བ་རྣམས་ལ་ལན་བིས། (ཀ) དགའ་མོས་ཆེ་ཤོས་དང་ཆུང་ཤོས་བེད་པའི་ཞལ་ཏོག་གང་རེད་དམ། (ཁ) ཁྱོན་བསོམས་ཞལ་ཏོག་ག་ཚོད་འདུག་གམ། དེ་དག་གང་རེད་དམ།

སོམ་རིས་རིག་པ།

145

༢༠། གོང་ཁྱེར་ཞིག་གི་ནང་ཟླ་བ་བདུན་པ་ནས་བཅུ་གཅིག་བར་ཆར་པ་འབབ་ཚད་ཀི་ཐོ་འགོད་རེའུ་མིག་གཤམ་ གསལ་ལྟར་རེད།

ཟླ་བ།

ཆར་པ་འབབ་ཚད།

བདུན་པ། 45 cm

བརྒྱད་པ། 52 cm

དགུ་པ།

38 cm

བཅུ་པ།

30 cm

བཅུ་གཅིག 9 cm

གོང་གི་གནས་ཚུལ་གྲུ་ནར་ཐིག་རིས་ནང་མཚོན། དེ་སྤད་ནས་གཤམ་གི་དི་བ་ཁག་ལ་ལན་བིས། (ཀ) ཟླ་བ་གང་ལ་ཆར་པ་མང་ཤོས་བབས་འདུག་གམ།

(ཁ) ཟླ་བ་གང་ལ་ཆར་པ་ཉུང་ཤོས་བབས་འདུག་གམ།

(ག) ནམ་དུས་ཀི་ཁྱོན་བསོམས་ཆར་པ་འབབ་ཚད་གང་རེད་དམ། (ང) ནམ་དུས་འདིའི་ཆ་སྙོམས་ཆར་པ་འབབ་ཚད་ཚོལ།

(ཅ) ཟླ་བ་གང་ལ་ཆ་སྙོམས་ལས་ཆར་པ་མང་བ་བབས་འདུག་གམ།

146

འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

༢༡། གཤམ་གསལ་གྲུ་ནར་ཐིག་རིས་ནི་འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་སོབ་ཕྲུག་གི་རིས་རིག་ཡིག་རྒྱུགས་ཀི་ཨང་ཐོབ་རེད། དེ་སྤད་དེ་གཤམ་གསལ་དི་བ་རྣམས་ལ་ལན་རྒྱོབས། 5 4

སོབ་ཕྲུག་གངས།

3 2

1

0

50

55

60

65

70

75

80

85

ཨང་ཀི

(ཀ) སོབ་ཕྲུག་ག་ཚོད་ལ་ཨང་ཀི་ 80 ལས་མང་བ་ཐོབ་ཡོད་དམ། (ཁ) སོབ་ཕྲུག་གངས་མང་ཤོས་ཀི་ཐོབ་པའི་ཨང་ཀི་གང་རེད་དམ། (ག) གལ་ཏེ་རྒྱུགས་འཕོད་ཀི་བརྒྱ་ཆ་ 60 % ཡིན་ན། རྒྱུགས་མ་འཕོད་པ་སོབ་ཕྲུག་ག་ཚོད་འདུག་གམ།

(ང) གངས་ཐོ་འདིའི་ཆ་སྙོམས་ཚོལ།

སོམ་རིས་རིག་པ།

147

༢༢། གཤམ་གསལ་གྲུ་ནར་ཐིག་རིས་ལ་བལྟས་ཏེ་དི་བ་ཁག་ལ་ལན་བིས།

ཨང་ཀི

90 80 70 60 50 40 30 20 10

0

བོད་ཡིག

ཨིན་ཇི།

སོབ་ཚན།

སྤི་ཚན།

རིས་རིག

ཚན་རིག

(ཀ) གྲུ་ནར་ཐིག་རིས་ཀིས་གནས་ཚུལ་གང་སྟོན་གི་འདུག་གམ།

(ཁ) སོབ་ཚན་གང་ལ་ཡག་པོ་འདུག་གམ། (ག) སོབ་ཚན་གང་ལ་ཞན་པོ་འདུག་གམ། (ང) ཨང་ཀིའི་ཆ་སྙོམས་གང་རེད་དམ།

(ཅ) སོབ་ཚན་གང་ལ་ཆ་སྙོམས་ལས་མང་བ་ཨང་ཀི་ཐོབ་འདུག་གམ།

148

འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

༢༣། གཤམ་གསལ་གྲུ་ནར་ཐིག་རིས་ཀིས་འཛིན་གྲྭ་ཞིག་གི་སོབ་ཕྲུག་ཚོའི་སྐྱེས་གཟའ་མཚོན་གི་ཡོད། 12 10 སོབ་ཕྲུག་གངས།

8 6 4 2

0

ཉི་མ།

ཟླ་བ། མིག་དམར། ལྷག་པ། ཕུར་བུ། པ་སངས། སེན་པ།

གཟའ།

(ཀ) གཟའ་གང་ལ་སོབ་ཕྲུག་མང་ཤོས་སྐྱེས་འདུག་གམ། (ཁ) གཟའ་གང་ལ་སོབ་ཕྲུག་ཉུང་ཤོས་སྐྱེས་འདུག་གམ། (ག) ཁྱབ་ཚད་ཚོལ། (ང) གཟའ་ཉི་མ་ལས་གཟའ་ཟླ་བ་ལ་སོབ་ཕྲུག་གངས་ག་ཚོད་ཀིས་མང་བ་སྐྱེས་འདུག་གམ།

(ཅ) འཛིན་གྲྭའི་ནང་སོབ་ཕྲུག་ཁྱོན་བསོམས་ག་ཚོད་འདུག་གམ།

སོམ་རིས་རིག་པ།

149

༢༤། ས་གནས་ཤིག་གི་ནང་ལོ་བཞིའི་རིང་ཤིང་སོང་འདེབས་འཛུགས་བས་པའི་གངས་ཐོ་ནི་གཤམ་གི་གྲུ་ནར་ཐིག་རིས་ ཀིས་མཚོན་གི་ཡོད།

5000 4000 ཤིང་སོང་གངས།

3000 2000 1000 0

2016 ལོ།

2017

2018

2019

(ཀ) གྲུ་ནར་ཐིག་རིས་ཀིས་གནས་ཚུལ་གང་མཚོན་གི་ཡོད་དམ།

(ཁ) 2019 ནང་ཤིང་སོང་ག་ཚོད་བཙུགས་ཡོད་དམ། (ག) 2016 ནས་ 2019 བར་ཤིང་སོང་ཁྱོན་བསོམས་ག་ཚོད་བཙུགས་ཡོད་དམ། (ང) ལོ་གང་ལ་ཤིང་སོང་གངས་མང་ཤོས་བཙུགས་ཡོད་དམ། (ཅ) ལོ་གང་ལ་ཤིང་སོང་གངས་ཉུང་ཤོས་བཙུགས་ཡོད་དམ། (ཆ) 2016 ལས་ 2018 ནང་ཤིང་སོང་ག་ཚོད་ཀིས་མང་བ་བཙུགས་ཡོད་དམ།

150

འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

༢༥། པ་ལགས་ཀིས་ཉིན་ལྟར་ཚལ་དང་ཤིང་ཏོག་ཉོ་ཡི་ཡོད། གཤམ་གསལ་གངས་ཐོ་ནི་གཟའ་འཁོར་གཅིག་གི་འགོ་ གོན་སྟོན་གི་ཡོད། གཟའ།

འགོ་གོན། (` ནང་།)

ཟླ་བ། 180

མིག་དམར། 75

ལྷག་པ། 200

ཕུར་བུ། 175

པ་སངས། 125

སེན་པ། 100

ཉི་མ། 150

གཤམ་གསལ་དི་བ་རྣམས་ལ་ལན་ཐོབ། (ཀ) གྲུ་ནར་ཐིག་རིས་བིས།

(ཁ) གངས་ཐོའི་ཁྱབ་ཚད་ཚོལ། (ག) འགོ་གོན་མང་ཤོས་ཕིན་པའི་རེས་གཟའ་དེ་གང་རེད། (ང) འགོ་གོན་ཉུང་ཤོས་ཕིན་པའི་རེས་གཟའ་དེ་གང་རེད།

སོམ་རིས་རིག་པ།

151

(ཅ) ཉིན་རེའི་ཆ་སྙོམས་འགོ་གོན་ཚོལ།

(ཆ) ཆ་སྙོམས་འགོ་གོན་ལས་འགོ་གོན་ཉུང་བ་ཕིན་པའི་རེས་གཟའ་ག་ཚོད་འདུག་གམ། ༢༦། གཤམ་གསལ་ནི་སོབ་ཕྲུག་ 5 ཡི་དུས་ཚིགས་དང་པོ་དང་གཉིས་པའི་བོད་ཡིག་གི་གྲུབ་འབས་ (30 ནས་) རེད། སོབ་ཕྲུག

དུས་ཚིགས་དང་པོ།

དུས་ཚིགས་གཉིས་པ།

ཚེ་རིང་། 15

སྒོལ་མ། 25

སེན་པ། 20

གཡུ་མཚོ། 28

རྣམ་རྒྱལ།

10

20

22

26

26

18

ཐིག་ཚད་འོས་འཚམ་ཞིག་བདམས་ཏེ་གནས་ཚུལ་འདིའི་གྲུ་ནར་ཉིས་འགིག་ཐིག་རིས་བིས།

152

འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།

༢༧། ལོ་ 5 ཡི་རིང་འཛིན་གྲྭ་ IX ཀ་པ་དང་ IX ཁ་པའི་རྒྱུགས་འཕོད་ཀི་བརྒྱ་ཆ་གཤམ་གསལ་ལྟར་རེད། ལོ།

IX ཀ IX ཁ

2015-16

2016-17

2017-18

2018-19

2019-20

90

95

90

80

98

95

80

85

90

95

ཐིག་ཚད་འོས་འཚམ་ཞིག་བདམས་ཏེ་གྲུ་ནར་ཉིས་འགིག་ཐིག་རིས་བིས།

སོམ་རིས་རིག་པ།

153

༢༨། གོང་ཁྱེར་གཉིས་ཀི་ཤིང་ཏོག་གི་རིན་གོང་གྲུ་ནར་ཉིས་འགིག་ཐིག་རིས་གཤམ་གསལ་ལྟར་རེད།

གོང་ཁྱེར་ཀ་པ།

0

གོང་ཁྱེར་ཁ་པ།

82 75

75 60

རིན་གོང་། (`/kg ནང་།)

100 90 80 70 60 50 40 30 20 10

45 38

32 20

ཀུ་ཤུ།

ཚ་ལུ་མ།

ཤིང་ཏོག

ཨ་མྲ།

26

ཆུ་ག་གོན།

30

སེའུ།

(ཀ) གོང་གི་གྲུ་ནར་ཐིག་རིས་ཀིས་གནས་ཚུལ་གང་སྟོན་གི་འདུག་གམ།

(ཁ) གོང་ཁྱེར་ཀ་པ་ལས་གོང་ཁྱེར་ཁ་པའི་ནང་ 1 kg ལ་རིན་གོང་ཆེ་བའི་ཤིང་ཏོག་གི་མིང་བིས་། (ག) གོང་ཁྱེར་གཉིས་པོའི་ནང་ཀུ་ཤུའི་གོང་ཚད་ལ་ཁྱད་པར་གང་ཡོད་དམ།

(ང) གོང་ཁྱེར་ཀ་པའི་ནང་ཨ་མྲ་ kg གཅིག་གི་རིན་གོང་དང་གོང་ཁྱེར་ཁ་པའི་ནང་ཨ་མྲ་ kg གཅིག་གི་རིན་ གོང་གི་སྡུར་ཚད་ཚོལ།

154

འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སྦྱོང་དེབ།