འཛིན་གྲྭ་བདུན་པའི་རྩིས་རིག་སློབ་དེབ།

འཛིན་རྩིམ་བདུན་པའྩི་སློབ་དེབ།

རྩིས་རྩིག

ཤེས་རིག་ལས་ཁུངས་ཀིས་དཔར་འགེམས་ཞུས།

བསྐྱར་ཞིབ་ཐེངས་དང་པོ།

First Review

ཕི་ལོ་ ༢༠༡༧ ཟླ་བ་དགུ་པ།

September 2017

དཔར་ཐེངས་དང་པོ།

First Printing

དཔར་གངས། ༡༠༠༠

1000 Copies

Printed and Distributed by: Sherig Parkhang R-27 & 28, Ramesh Park Laxmi Nagar New Delhi- 110092 Phone: 2245-3672

© Department of Education, CTA སྤི་ཁྱབ་འགན་འཛིན།

ཚེ་རིང་བསམ་གྲུབ།

རོམ་སྒིག་འགན་འཁུར།

བསོད་ནམས་བཟང་པོ།

རོམ་སྒིག་པ།

བསྟན་འཛིན་ཚེ་འཕེལ།

ཞུ་དག་པ།

པདྨ་རྒྱལ་མཚན། བོ་བཟང་ལེགས་གྲུབ།

དེབ་གཟུགས་ཇུས་འགོད།

བསྟན་འཛིན་ཚེ་འཕེལ།

བསྐྱར་ཞིབ་དང་གཏན་འབེབས་ཚོགས་མི། བསོད་ནམས་བཟང་པོ།

ཤེས་ལྷན་ཟུང་དྲུང་།

བསྟན་འཛིན་རོ་རེ།

དེང་སོལ་ཚན་པའི་འགན་འཛིན།

བསོད་ནམས་རྒྱལ་པོ།

བོད་ཁྱིམ་ཨང་རིས་རྒྱུས་སྟོན་པ།

ངག་དབང་རོ་རེ།

དྷ་ཤོད ་བོད ་ཁྱི མ་རི ས་དགེ ་ ཟུར་པ།

བོ་བཟང་བསྟན་འཛིན།

ཨང་རིས་རོམ་སྒིག་པ།

པདྨ་རྒྱལ་མཚན།

སིམ་ལ་གཏན་སོབ་ཀི་རིས་དགེ།

བསྟན་འཛིན་ཚེ་འཕེལ།

ཨང་རིས་རོམ་སྒིག་པ།

སོབ་དེབ་འདི་ཤེས་རིག་ལས་ཁུངས་ཀི་དྲ་ཚིགས་ www.sherig.org / http://bodyiglobjong.com བརྒྱུད་ ལྟ་ཀོག་དང་ཕབ་ལེན་བེད་ཐུབ།

Special Acknowledgement Publication of this book has been funded by USAID, USA

ཤེས་རིག་ལས་ཁུངས། Department of Education Central Tibetan Administration

Cable : SHERIG Phone : 01892-222572 : 01892-222721 Fax : 01892-223481 Email : education@tibet.net Web : www.sherig.org : http://bodyiglobjong.com GANGCHEN KYISHONG DHARAMSALA - 176215 DISTT. KANGRA, H.P. INDIA

ཆེད་བརོད། ༄༅།

།སྤི་ནོར་༸གོང་ས་༸སྐྱབས་མགོན་ཆེན་པོ་མཆོག་གི་བཀའ་སོབ་ལམ་སྟོན་རིམ་ཕེབས་ཀི་དགོངས་དོན་ལྟར།

བཙན་བོལ་བོད་མིའི་སོབ་གྲྭ་ཁག་ཏུ་སོབ་ཚན་བརྒྱུད་ལམ་རང་སྐད་ཐོག་སོབ་ཁིད་བེད་པའི་ལས་གཞི་དེ་བཞིན་བཙན་

བོལ་བོད་མིའི་བཅའ་ཁིམས་ཀི་དགོངས་དོན་ལྟར་ ༡༩༨༦ ལོ་ནས་བཟུང་འགོ་བཙུགས། ༡༩༩༩ ལོ་ནས་བཟུང་ད་བར་ འཛིན་རིམ་ལྔ་པ་བར་གི་སོབ་དེབ་བསྐྱར་ཞིབ་ཐེངས་བཞི་བས། ཕི་ལོ་ ༢༠༠༢ ནས་བཟུང་རྒྱ་གར་རྒྱལ་ཡོངས་ཤེས་ཡོན་ ཉམས་ཞིབ་དང་སྦོང་བརར་ལྟེ་གནས་ཁང་ (NCERT) གིས་རོམ་སྒིག་དང་འགེམས་སེལ་ཞུས་པའི་འཛིན་རིམ་དྲུག་

པ་ནས་བརྒྱད་པ་བར་གི་རིས་རིག་སོབ་དེབ་ཁག་འདི་ག་ལས་ཁུངས་ནས་རོམ་སྒྱུར་ཚོགས་ཆུང་ཆེད་བཙུགས་ཀིས་

བོད་སྒྱུར་འགེམས་སེལ་ཞུས་ཡོད།

ཐེངས་འདིའི་རིས་རིག་སོབ་དེབ་ནི་ ༢༠༠༤ ལོར་གཏན་ལ་ཕབ་པའི་བཙན་བོལ་བོད་མིའི་གཞི་རིམ་ཤོས་ཡོན་

སིད་བྱུས་ཀི་དགོངས་དོན་འོག་ ༢༠༠༨ ལོར་བཀའ་ཤག་གིས་གཏན་ལ་ཕབ་པའི་གཞི་རིམ་བར་མའི་རིས་རིག་བསབ་ གཞིའི་ར་འཛིན་གི་འབྲུ་དོན་གཞི་རར་བཟུང་སྟེ་རོམ་སྒིག་བས་པ་ཡིན།

རིས་རིག་སོབ་དེབ་འདི་སོབ་ཚན་བཅུ་གསུམ་དུ་བགོས་ཡོད། སོབ་ཚན་དེ་དག་ནང་རིལ་གངས་ཀི་སྒྱུར་རིས་

དང་བགོད་རིས་ཀི་ཁྱད་ཆོས་དང་། ལུགས་ལྡན་གངས་ཀི་ངོ་སྤོད། སྟོན་གངས། གངས་འབོར་བསྡུར་བ། ཚབ་རིས་ལས་

ཚབ་རིས་ཀི་ཚུལ་གི་སོམ་འཐེན་དང་ཚུལ་གི་ཐང་འཚོལ་སྟངས། མཉམ་བ་འགོལ་སྟངས། ཟུར་གི་འབེལ་བ། གསེག་ ཐིག་གིས་གྲུབ་པའི་ཟུར། ཟུར་གསུམ་མའི་དཀིལ་ཐིག་དང་དཔངས། པཡེ་ཐ་གོ་རཱས་ཁྱད་ཆོས། ཡོངས་མཚུངས་ཟུར་ གསུམ་མའི་ཆ་རྐེན། ཟུར་གསུམ་མ་འགོད་སྟངས། ཕོགས་ཚད་གསུམ་ལྡན་གི་གཟུགས་ལས་ 3-D གཟུགས་ཀི་དྲ་བ་ དང་ས་གཟུགས་ཀི་མངོན་ཚུལ། མཉམ་འགོ་མཐའ་བཞི་མ་དང་ཟུར་གསུམ་མའི་རྒྱ་ཁྱོན། སོར་དབིབས་ཀི་སོར་མཐའི་ རིང་ཚད་དང་རྒྱ་ཁྱོན། སོམ་རིས་རིག་པ་ལས་གཅིག་བསྡུས་འཁོར་ཕོགས་ཀི་ཚད་འཇལ་དང་། གྲུ་ནར་ཉིས་འགིག་ཐིག་ རིས་བཅས་ཡོད། སོབ་དེབ་འདིའི་མཐའ་མཇུག་ལ་སྦོང་ཚན་ཁག་གི་ལན་དང་འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རིས་རིག་སོབ་ དེབ་ནང་བེད་སྤོད་བས་པའི་ཐ་སྙད་ཨིན་བོད་ཀི་ཤན་སྦར་ཡོད།

སོབ་དེབ་འདི་རོམ་སྒིག་སྐབས་རྒྱ་གར་རྒྱལ་ཡོངས་ཤེས་ཡོན་ཉམས་ཞིབ་དང་སྦོང་བརར་ལྟེ་གནས་ཁང་ནས་

ཕི་ལོ་ ༢༠༠༧ ལོར་བཏོན་པའི་རིས་རིག་སོབ་དེབ་དང་། འདི་ག་ཤེས་རིག་ལས་ཁུགས་ནས་ཕི་ལོ་ ༢༠༠༦ ལོར་བཏོན་

པའི་རིས་རིག་སོབ་དེབ། ཀེམ་བིར་ཇི་གཙུག་ལག་སོབ་ཁང་ (CAMBRIDGE UNIVERSITY) ནས་ཕི་ལོ་ ༢༠༡༣ ལོར་བཏོན་པའི་རིས་རིག་སོབ་དེབ།

སྔ་ཕིར་གཞི་རིམ་བར་མའི་རིས་དགེ་ཁག་དང་སོབ་དེབ་བསྐྱར་ཞིབ་ཚོགས་མི་

ལྷན་རྒྱས་ཀི་དགོངས་འཆར། དོ་དག་རོམ་སྒིག་པ་གཞི་རིམ་བར་མའི་སོབ་གྲྭ་ཁག་ལ་དངོས་བསྐྱོད་ཞིབ་འཇུག་བས་པའི་ གྲུབ་དོན་བཅས་གཞི་རར་བཟུང་ཏེ། ཤེས་རིག་ལས་ཁུངས་ནས་བསྐོ་འཛུགས་གནང་བའི་གཞི་རིམ་བར་མའི་རིས་རིག་ ཚོགས་ཆུང་གིས་མཐའ་མའི་བསྐྱར་ཞིབ་དང་སྦྲགས་གཏན་འབེབས་གནང་བ་ཡིན།

སོབ་དེབ་འདིའི་ཐད་རིན་ཐང་

ཅན་གི་དགོངས་འཆར་ལྷུག་སོལ་གནང་བར་དགའ་བསུ་ཞུ། ཤེས་རིག་ལས་ཁུངས་ནས་ཕི་ལོ་ ༢༠༡༧ ཟླ་ ༩ ཚེས་ ༡ ལ།

དཀར་ཆག སོབ་ཚན་དང་པོ། རིལ་གངས། ་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་ 1 སོབ་ཚན་གཉིས་པ། ལུགས་ལྡན་གངས། ་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་ 21 སོབ་ཚན་གསུམ་པ། སྟོན་གངས། ་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་ 39 སོབ་ཚན་བཞི་པ། གངས་འབོར་བསྡུར་བ། ་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་ 55 སོབ་ཚན་ལྔ་པ། ཚབ་རིས་ཀི་ཚུལ། ་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་ 72 སོབ་ཚན་དྲུག་པ། མཉམ་བ་སྟབས་བདེ། ་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་ 93 སོབ་ཚན་བདུན་པ། ཟུར། ་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་ 106 སོབ་ཚན་བརྒྱད་པ། ཟུར་གསུམ་མ། ་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་ 129 སོབ་ཚན་དགུ་པ། ཡོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མ། ་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་ 143 སོབ་ཚན་བཅུ་པ། བཀོད་པ། ་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་ 162 སོབ་ཚན་བཅུ་གཅིག་པ། ཕོགས་ཚད་གསུམ་ལྡན་གི་གཟུགས། ་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་ 173 སོབ་ཚན་བཅུ་གཉིས་པ། མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་དང་རྒྱ་ཁྱོན། ་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་ 188 སོབ་ཚན་བཅུ་གསུམ་པ། སོམ་རིས་རིག་པ། ་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་ 212 སྦོང་ཚན་ཁག་གི་ལན། ་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་ 230 ཐ་སྙད་ཨིན་བོད་ཤན་སྦར། ་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་ 244

སོབ་ཚན་དང་པོ། རིལ་གྲངས། ༡་༡ ངོ་སྤོད། Introduction

འཛིན་རིམ་དྲུག་པར་ང་ཚོས་ཧིལ་གངས་དང་རིལ་གངས་ཀི་སོམ་འཐེན་སྦངས་ཡོད།

སོབ་ཚན་འདིར། ང་ཚོས་རིལ་གངས་ཀི་བགོད་རིས་དང་སྒྱུར་རིས། དེ་དག་གི་ཁྱད་ཆོས་ བཅས་སྦང་རྒྱུ་ཡིན།

དྲན་གསོ་བེད་ཀི་ཡིན།

སྔོན་ལ་ང་ཚོས་འཛིན་རིམ་དྲུག་པར་རིལ་གངས་སྦངས་པ་རྣམས་

−1

8 −9 −7 50 2 9 0 4 −36 66 −5

༡་༢ དྲན་གསོ། Recall

ང་ཚོས་གངས་ཐིག་ཐོག་རིལ་གངས་མཚོན་སྟངས་ཤེས་ཀི་ཡོད། གཤམ་གསལ་གངས་ཐིག་སྟེང་རིལ་གངས་འགའ་ལ་ སོར་རྟགས་བརྒྱབ་ཡོད། −6

−5

−4

−3

−2 −1

0

1

2

3

4

5

6

ཁྱེད་ཀིས་སོར་རྟགས་བརྒྱབ་པའི་རིལ་གངས་རྣམས་འཕར་རིམ་བཞིན་འབི་ཐུབ་བམ། གངས་འདི་དག་འཕར་རིམ་བཞིན་ − 5, − 1, 3 བཅས་ཡིན།

གཤམ་གསལ་གངས་ཐིག་ཐོག་གི་རིལ་གངས་རྣམས་ཆག་རིམ་བཞིན་བིས། −16

−9

−4

0

3

8

14

གངས་འདི་དག་ཆག་རིམ་བཞིན་ 14, 8, 3, 0, − 4, − 9, − 16 བཅས་ཡིན།

གཤམ་གི་བརོད་པ་རྣམས་བཀགས་ཏེ་རིལ་གངས་ཀི་སོམ་རིས་དང་འཐེན་རིས་དྲན་གསོ་གིས་དང་། གངས་ཐིག་ཐོག (ཀ) རིལ་གངས་ཕོ་སོམ་སྐབས། ང་ཚོས་གཡས་ཕོགས་སུ་གོམ་པ་སོ་དགོས།

(ཁ) རིལ་གངས་མོ་སོམ་སྐབས། ང་ཚོས་གཡོན་ཕོགས་སུ་གོམ་པ་སོ་དགོས།

(ག) རིལ་གངས་ཕོ་འཐེན་སྐབས། ང་ཚོས་གཡོན་ཕོགས་སུ་གོམ་པ་སོ་དགོས། (ང) རིལ་གངས་མོ་འཐེན་སྐབས། ང་ཚོས་གཡས་ཕོགས་སུ་གོམ་པ་སོ་དགོས།

1

རིས་རིག

བེད་སོ། ༡། གཤམ་གསལ་གངས་ཐིག་སྟེང་གི་གསལ་བེད་ཀིས་རིལ་གངས་མཚོན་གི་ཡོད། A B

C D

E

F

G H

I

J

K

L M N O

−3 −2

− 3 དང་ − 2 ཀིས་ E དང་ F སོ་སོར་མཚོན་གི་ཡོད། B དང་ D, H, J, M, O བཅས་ཀིས་ གང་མཚོན་ནམ།

༢། 7 དང་ − 5, 4, 0, − 4 བཅས་འཕར་རིམ་བཞིན་བསྒིགས་ཏེ། དེ་དག་གངས་ཐིག་ཐོག་བིས།

༡་༣ རིལ་གངས་ཀི་སོམ་རིས་དང་འཐེན་རིས་ཀི་ཁྱད་ཆོས། Properties of addition and subtraction of integers ༡་༣་༡ སོམ་རིས་ཀི་ཁྱད་ཆོས། ཁྱད་ཆོས། བསྡུ་སོལ། བརེ་སོལ།

དཔེ་མཚོན། (− 3) + 6 = 3; 3 + (− 6) = − 3

བསོམས་ཐོབ་ནི་རྟག་ཏུ་རིལ་གངས་ཡིན།

༡། (− 5) + 7 = 7 + (− 5) = 2

རིལ་གངས་ཀི་གོ་རིམ་ལ་མ་ལྟོས་པར་ཕོགས་

༢། (− 5) + (− 7) = (− 7) + (− 5) = − 12

སེབ་སོལ།

ཟུར་མཆན།

༡། 1 + (2 + 3) = (1 + 2) + 3 = 6

༢། 1 + [(− 2) + 3] = [1 + (− 2)] + 3

གཉི ས ་ཀའི ་ བསོ མ ས་ཐོ བ ་གཅི ག ་མཚུངས་ ཡིན།

སོམ་རིས་ཀི་གོ་རིམ་བརེས་ནའང་། བསོམས་ ཐོབ་ལ་འགྱུར་བ་མེད།

=2 རིས་དཔེ། ༡༽ གཤམ་གི་རིས་བརོད་རྣམས་འགིག་མིན་ལྟོས།

(ཀ) རིལ་གངས་ཕོ་གཉིས་ཀི་བསོམས་ཐོབ་ལ་རིལ་གངས་ཕོ་འབྱུང་།

2

རིལ་གངས། (ཁ) རིལ་གངས་མོ་གཉིས་ཀི་བསོམས་ཐོབ་ལ་རིལ་གངས་ཕོ་འབྱུང་།

(ག) རིལ་གངས་ཕོ་དང་རིལ་གངས་མོ་གཉིས་བསོམས་པ་ཡིན་ན། རིལ་གངས་མོ་འབྱུང་། (ང) རིལ་གངས་ 8 ཀི་ལྡོག་གངས་ནི་ − 8 དང་། − 8 ཀི་ལྡོག་གངས་ནི་ 8 ཡིན། (ཅ) (− 10) + 3 = 10 − 3

(ཆ) 8 + (− 7) − (− 4) = 8 + 7 − 4

ལན།

(ཀ) འགིག དཔེར་ན། 56 + 73 = 129 དང་། 125 + 75 = 200 སོགས།

(ཁ) (− 7) + (−5) = − 12 ནི་རིལ་གངས་མོ་ཡིན་པས། དེ་ནོར་ཡོད།

བརོད་པ་འགིག་པ་ནི། རིལ་གངས་མོ་གཉིས་ཀི་བསོམས་ཐོབ་ནི་རིལ་གངས་མོ་ཡིན།

(ག) − 9 + 15 = 6 ནི་རིལ་གངས་ཕོ་ཡིན་པས། དེ་ནོར་ཡོད།

བརོད་པ་འགིག་པ་ནི། རིལ་གངས་ཕོ་དང་རིལ་གངས་མོ་སོམ་སྐབས། དེ་དག་གི་ཧེ་བག་བཙལ་ཏེ་རིལ་

གངས་ཆེ་བའི་རྟགས་འཇོག་དགོས། རིལ་གངས་ཆེ་བ་ནི་རིལ་གངས་ཀི་རྟགས་ལ་མ་ལྟོས་པར་ཐག་གཅོད་ དགོས།

དཔེར་ན། (− 56) + 73 = 17 དང་། 82 + (− 113) = − 31 (ང) འགིག དཔེར་ན། རིལ་གངས། 10 − 10 82 − 82

ལྡོག་གངས། − 10 10 − 82 82

+17

−17

−90

+ 90

(ཅ) དེ་ནོར་ཡོད། གང་ཡིན་ཟེར་ན། (− 10) + 3 = − 7 དང་། 10 − 3 = 7 དེར་བརྟེན།

(− 10) + 3 ≠ 10 − 3

(ཆ) དེ་ནོར་ཡོད། གང་ཡིན་ཟེར་ན། 8 + (− 7) − (− 4) = 8 + (− 7) + 4 = 1 + 4 = 5 དང་།

8 + 7 − 4 = 15 − 4 = 11

3

རིས་རིག ༡་༣་༢ འཐེན་རིས་ཀི་ཁྱད་ཆོས། ཁྱད་ཆོས།

དཔེ་མཚོན།

བསྡུ་སོལ།

༡། (− 3) − (6) = −9 ༢། 3 − (− 6) = 9

ཟུར་མཆན། འཐེན་ཐོབ་ནི་རྟག་ཏུ་རིལ་གངས་ཡིན།

༡། 4 − 5 ≠ 5 − 4 དེ་ནི། − 1 ≠ 1 རིལ་གངས་ཀི་གོ་རིམ་བརེས་པ་ཡིན་ན།

བརེ་སོལ།

༢། 1 − (− 2) ≠ (− 2) − 1 དེ་ནི། 3 ≠ − 3

སེབ་སོལ།

1 − (2 − 3) ≠ (1 − 2) − 3 དེ་ནི། 2 ≠ − 4

གངས་གཉིས་ཀི་འཐེན་ཐོབ་ལ་འགྱུར་བ་འགོ་ཡི་ཡོད། དེར་བརྟེན། a − b ≠ b − a

འཐེན་རིས་ཀི་གོ་རིམ་བརེས་པ་ཡིན་ན། འཐེན་ཐོབ་ལ་འགྱུར་བ་འགོ་ཡི་ཡོད།

དེར་བརྟེན། a − (b − c) ≠ (a −b) − c

སེམས་ལ་ཞོག • རིལ་གངས་ཀི་སོམ་རིས་སྐབས་བསྡུ་སོལ་དང་། བརེ་སོལ། སེབ་སོལ་བཅས་གནས་ཀི་ཡོད། • རིལ་གངས་ཀི་འཐེན་རིས་སྐབས་བསྡུ་སོལ་མ་གཏོགས་བརེ་སོལ་དང་སེབ་སོལ་གནས་ཀི་མེད། རིས་དཔེ། ༢༽ རིལ་གངས་གཉིས་ཀི་བསོམས་ཐོབ་ 103 རེད། གལ་ཏེ་རིལ་གངས་གཅིག་ 37 ཡིན་ན། རིལ་གངས་གཞན་དེ་ ཚོལ།

ལན། འདིར། ང་ཚོས་མ་ཤེས་པའི་རིལ་གངས་འཚོལ་དགོས། གལ་ཏེ་དེ་ x ཡིན་ན། 37 + x = 103

x = 103 − 37 x = 66 དེར་བརྟེན། རིལ་གངས་གཞན་ནི་ 66 ཡིན། ༣༽ 15 དང་ 6, − 10 ཡི་བསོམས་ཐོབ་ནས་ 10 དང་ 7, − 3 གི་བསོམས་ཐོབ་འཐེན། ལན། 15 དང་ 6, − 10 ཡི་བསོམས་ཐོབ་ = 15 + 6 + (− 10)

4

རིལ་གངས། = 21 − 10 = 11 10 དང་ 7, − 3 གི་བསོམས་ཐོབ་ = 10 + 7 + (− 3) = 17 − 3 = 14 དེར་བརྟེན། དགོས་མཁོའི་འཐེན་ཐོབ་ = 11 − 14 = − 3 ༤༽ གཤམ་གསལ་ཐོབ་གངས་ཡིན་པའི་རིལ་གངས་ཆ་རེ་བིས། (ཀ) བསོམས་ཐོབ་ 0

(ཁ) འཐེན་ཐོབ་ 0

(ཅ) བསོམས་ཐོབ་མོ་གངས་ཤིག

(ཆ) འཐེན་ཐོབ་མོ་གངས་ཤིག

(ག) བསོམས་ཐོབ་ཕོ་གངས་ཤིག

ལན།

(ཇ) བསོམས་ཐོབ་ནི་གངས་གཉིས་ཀ་ལས་ཆུང་བ།

(ང) འཐེན་ཐོབ་ཕོ་གངས་ཤིག

(ཉ) འཐེན་ཐོབ་ནི་གངས་གཉིས་ཀ་ལས་ཆེ་བ།

(ཀ) 5 དང་ − 5 ∴ 5 + (− 5) = 5 − 5 = 0 (ཁ) 7 དང་ 7 ∴ 7−7 =0 (ག) 3 དང་ 5 ∴ 3+5 =8 (ང) 3 དང་ − 6 ∴ 3 − (− 6) = 3 + 6 = 9 (ཅ) 2 དང་ − 6 ∴ 2 + (− 6) = 2 − 6 = − 4 (ཆ) − 9 དང་ − 4 ∴ − 9 − (− 4) = − 9 + 4 = − 5 (ཇ) − 2 དང་ − 1 ∴ − 2 + (− 1) = − 2 − 1 = − 3 (ཉ) − 2 དང་ − 3 ∴ − 2 − (− 3) = − 2 + 3 = 1

(− 3 ནི་ − 2 དང་ − 1 ལས་ཆུང་བ་ཡིན།) (1 ནི་ − 2 དང་ − 3 ལས་ཆེ་བ་ཡིན།)

5

རིས་རིག

སྦོང་ཚན། ༡་༡ ༡། འཐེན་རིས་རྒྱོབ།

(ཀ) 0 ནས་ − 48

(ཁ) − 67 ནས་ 0

(ག) 8 ནས་ − 42

(ང) − 30 ནས་ − 68

(ཅ) − 1009 ནས་ − 2009

(ཆ) − 5700 ནས་ 5700

(ཀ) 24 + (− 6)

(ཁ) 15 − (− 20)

(ག) − 25 − (− 25) + 5

༢། རིས་འབས་ཚོལ།

(ང) 9 + 23 − (− 25)

(ཅ) 509 − (− 19) + (− 19)

༣། ཐོབ་གངས་གཤམ་གསལ་ལྟར་ཡིན་པའི་རིལ་གངས་ཆ་རེ་བིས།

(ཆ) (30 + 10) − (40 − 20)

(ཀ) + 100

(ཁ) − 125

(ག) 0

(ཀ) 15

(ཁ) − 50

(ག) 25

༤། གཤམ་གི་འཐེན་ཐོབ་ཡིན་པའི་རིལ་གངས་མོ་ཆ་རེ་བིས། ༥། 237 ནས་ 38 དང་ 97 གི་བསོམས་ཐོབ་འཐེན།

༦། − 34 དང་ − 49 ཡི་བསོམས་ཐོབ་ནས་ − 48 འཐེན།

༡་༤ རིལ་གངས་ཀི་སྒྱུར་རིས། Multiplication of Integers

༡་༤་༡ རིལ་གངས་ཕོ་དང་མོའི་སྒྱུར་རིས། Multiplication of a positive and a negative integers ཧིལ་གངས་ཀི་སྒྱུར་རིས་ནི་སོམ་རིས་བསྐྱར་ཟློས་ཡིན་པ་ང་ཚོས་ཤེས་ཀི་ཡོད། དཔེར་ན། 5 × 4 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20

གངས་ཐིག་ཐོག་རིལ་གངས་ཀི་སྒྱུར་རིས་སྟོན་ཐུབ།

དཔེར་ན། (− 5) + (− 5) + (− 5) = − 15

རིས་དང་། གངས་ཐིག་སྤད་དེ་ཚོལ།

−20

−15

−10

−5

(ཀ) 4 × (− 3)

0

(ཁ) 3 × (− 8)

(ག) 8 × (− 2)

དེར་བརྟེན། (− 5) + (− 5) + (− 5) = 3 × (− 5) = − 15 དེ་བཞིན།

(− 2) + (− 2) + (− 2) =

=

(− 7) + (− 7) + (− 7) + (− 7) = (− 3) + (− 3) + (− 3) + (− 3) + (− 3) =

6

= =

རིལ་གངས། གལ་ཏེ་ 3 × (− 5) ཐབས་ལམ་གཞན་སྤད་དེ་བཙལ་ན། 3 དང་ 5 གཉིས་བསྒྱུར་ཏེ་བསྒྱུར་ཐོབ་ལ་འཐེན་རྟགས་བིས། ཁྱེད་ལ་ − 15 འབྱུང་། དེ་ནི།

ཚོལ།

− (3 × 5) = − 15

དེ་བཞིན། 5 × − 4 = − (5 × 4) = − 20

(ཀ) 12 × (− 10)

− 6 × 5 = − (6 × 5) = − 30

(ག) (− 42) × 12

3×−7 =

(ཁ) 21 × (− 32)

=

− 9 × 10 =

(ང) − 55 × 15

=

རྟགས་མི་མཐུན་པའི་གངས་གཉིས་སྒྱུར་སྐབས་ལྟོས་མེད་ཐང་གཉིས་བསྒྱུར་ནས། བསྒྱུར་ཐོབ་ལ་མོ་གངས་འབྱུང་། a × (− b) = (− a) × b = −(a × b) ༡་༤་༢ རིལ་གངས་མོ་གཉིས་སྒྱུར་བ། Multiplication of two negative integers ཁྱེད་ཀིས་ (− 3) × (− 2) ཀི་བསྒྱུར་ཐོབ་འཚོལ་ཐུབ་བམ། (− 3) × (− 2) = 6

འདིར་བསྒྱུར་ཐོབ་ནི་ 6 ཡིན། (− a) × (− b) = a × b རིས་དཔེ། ༥༽ རིས་འབས་ཚོལ། (ཀ) (− 4) × (− 5) ལན།

(ཁ) (− 25) × (− 50)

(ག) (− 31) × (− 110)

(ང) (− 83) × (− 28)

(ཀ) 4 དང་ 5 ཡི་བསྒྱུར་ཐོབ་ནི་ 20 རེད། (− 4) × (− 5) = 20

(ཁ) 25 དང་ 50 ཡི་བསྒྱུར་ཐོབ་ནི་ 1250 རེད།

(− 25) × (− 50) = 1250 (ག) 31 དང་ 110 ཡི་བསྒྱུར་ཐོབ་ནི་ 3410 རེད། (− 31) × (− 110) = 3410

(ང) 83 དང་ 28 ཡི་བསྒྱུར་ཐོབ་ནི་ 2324 རེད། (− 83) × (− 28) = 2324

7

རིས་རིག སེམས་ལ་ཞོག • རྟགས་མཐུན་རིལ་གངས་གཉིས་ཀི་བསྒྱུར་ཐོབ་ནི་རིལ་གངས་ཕོ་ཡིན། • རྟགས་མི་མཐུན་རིལ་གངས་གཉིས་ཀི་བསྒྱུར་ཐོབ་ནི་རིལ་གངས་མོ་ཡིན།

བེད་སོ། དགོས་མཁོ།

(ཀ) དཔེ་རིས་ནང་བསྟན་པ་བཞིན་རིལ་གངས་ − 104 ནས་ 104 བར་ཡོད་པའི་ཤོག་བང་།

(ཁ) ཤོ་སྔོན་པོ་དང་དམར་པོ་འགའ་དགོས། ཤོ་སྔོན་པོས་རིལ་གངས་ཕོ་དང་ཤོ་དམར་པོས་རིལ་གངས་མོ་མཚོན། བེད་ཐབས།

(༡) དགེ་རྒན་གིས་སོབ་ཕྲུག་རྣམས་སེ་ཚན་སོ་སོར་བགོ་དགོས། (༢) རེད་མོ་བ་རེ་རེ་ཡིས་ཤོ་གཉིས་རེ་བངས་ཏེ་གཡུག་དགོས།

(༣) ཤོ་གཡུགས་རེས། རེད་མོ་བས་ཤོ་མིག་སྟེང་གི་གངས་རྣམས་བསྒྱུར་དགོས།

(༤) གལ་ཏེ་བསྒྱུར་ཐོབ་རིལ་གངས་ཕོ་ཡིན་ན་རེད་མོ་བས་ 0 ནས་ 104 ཕོགས་སུ་གོམ་པ་བསྐྱོད་པ་དང་། བསྒྱུར་ཐོབ་རིལ་གངས་མོ་ཡིན་ན་ 0 ནས་ − 104 ཕོགས་སུ་བསྐྱོད་དགོས།

(༥) རེད་མོ་བ་སུས་ 104 ལ་དང་པོ་སེབས་ན། དེ་ཐོབ་ཀི་ཡོད།

8

རིལ་གངས། 104 83 82 61 60 39 38 17 16 −5 −6 −27 −28 −49 −50 −71 −72 −93 −94

103 84 81 62 59 40 37 18 15 −4 −7 −26 −29 −48 −51 −70 −73 −92 −95

102 85 80 63 58 41 36 19 14 −3 −8 −25 −30 −47 −52 −69 −74 −91 −96

101 86 79 64 57 42 35 20 13 −2 −9 −24 −31 −46 −53 68 −75 −90 −97

100 87 78 65 56 43 34 21 12 −1 −10 −23 −32 −45 −54 −67 −76 −89 −98

99 98 88 89 77 76 66 67 55 54 44 45 33 32 22 23 11 10 0 1 −11 −12 −22 −21 −33 −34 −44 −43 −55 −56 −66 −65 −77 −78 −88 −87 −99 −100

97 96 95 94 90 91 92 93 75 74 73 72 68 69 70 71 53 52 51 50 46 47 48 49 31 30 29 28 24 25 26 27 9 8 7 6 2 3 4 5 −13 −14 −15 −16 −20 −19 −18 −17 −35 −36 −37 −38 −42 −41 −40 −39 −57 −58 −59 −60 −64 −63 −62 −61 −79 −80 −81 −82 −86 −85 −84 −83 −101 −102 −103 −104

༡་༤་༣ རིལ་གངས་མོ་གསུམ་མམ་ཡང་ན་དུ་མའི་བསྒྱུར་ཐོབ།

Product of three or more negative integers

ང་ཚོས་རིལ་གངས་མོ་གཉིས་ཀི་བསྒྱུར་ཐོབ་ནི་རིལ་གངས་ཕོ་ཡིན་པ་ཤེས་ཀི་ཡོད།

རིལ་གངས་མོ་བཞིའི་བསྒྱུར་ཐོབ་གང་ཡིན་ནམ། གཤམ་གི་དཔེ་མཚོན་ལ་ལྟོས་དང་།

བས་ན་རིལ་གངས་མོ་གསུམ་དང་

༡། (− 4) × (− 3) = 12

༢། (− 4) × (− 3) × (− 2) = [(− 4) × (− 3)] × (− 2) = 12 × (− 2) = − 24

༣། (− 4) × (− 3) × (− 2) × (− 1) = [(− 4) × (− 3) × (− 2)] × (− 1) = − 24 × − 1 = 24 ༤། (− 5) × [(− 4) × (− 3) × (− 2) × (− 1)] = (− 5) × 24 = − 120

གོང་གི་དཔེ་མཚོན་ (༡) དང་ (༣) ནང་། རིལ་གངས་མོའི་གངས་ནི་ཆ་གངས་ཡིན་པས། དེ་དག་གི་བསྒྱུར་ཐོབ་ནི་ཕོ་ གངས་ཡིན།

9

རིས་རིག དཔེ་མཚོན་ (༢) དང་ (༤) ནང་རིལ་གངས་མོའི་གངས་ནི་

ཡ་གངས་ཡིན་པས། དེ་དག་གི་བསྒྱུར་ཐོབ་ནི་མོ་གངས་ཡིན། གོང་གི་བསྒྱུར་ཐོབ་ལས་ང་ཚོས་དོ་སྣང་བྱུང་བ་ལ།

(ཀ) རིལ་གངས་མོ་གཉིས་ཀི་བསྒྱུར་ཐོབ་ནི་ཕོ་གངས་ཡིན།

(ཁ) རིལ་གངས་མོ་གསུམ་གི་བསྒྱུར་ཐོབ་ནི་མོ་གངས་ཡིན། (ག) རིལ་གངས་མོ་བཞི་ཡི་བསྒྱུར་ཐོབ་ནི་ཕོ་གངས་ཡིན། (ང) རིལ་གངས་མོ་ལྔའི་བསྒྱུར་ཐོབ་གང་ཡིན་ནམ།

(ཅ) རིལ་གངས་མོ་དྲུག་གི་བསྒྱུར་ཐོབ་གང་ཡིན་ནམ།

གཤམ་གི་རིས་བརོད་ཁག་ལ་ལྟོས་དང་། ༡། (− 1) × (− 1) = 1

༢། (− 1) × (− 1) × (− 1) = − 1

༣། (− 1) × (− 1) × (− 1) × (− 1) = 1

༤། (− 1) × (− 1) × (− 1) × (− 1) × (− 1) = − 1

སྒྱུར་རིས་སྐབས་ (− 1) གི་གངས་ནི་ཆ་གངས་ ཡིན་ན་བསྒྱུར་ཐོབ་ནི་ 1 རེད། གལ་ཏེ་ (− 1) གི་ གངས་ནི་ཡ་གངས་ཡིན་ན་བསྒྱུར་ཐོབ་ནི་ (− 1) རེད།

གལ་ཏེ་སྒྱུར་རིས་ཀི་ནང་རིལ་གངས་མོའི་གངས་ནི་ཆ་གངས་ཡིན་ན། བསྒྱུར་ཐོབ་དེ་རིལ་གངས་ཕོ་ཡིན། གལ་ཏེ་སྒྱུར་རིས་ཀི་ནང་རིལ་གངས་མོའི་གངས་ནི་ཡ་གངས་ཡིན་ན། བསྒྱུར་ཐོབ་དེ་རིལ་གངས་མོ་ཡིན།

༡་༥ རིལ་གངས་ཀི་སྒྱུར་རིས་ཀི་ཁྱད་ཆོས། Properties of multiplication of integers ༡། བསྡུ་སོལ། Closure property

གཤམ་གི་རེའུ་མིག་ལ་ལྟ་ཞིབ་བས་ཏེ་ཁ་སྐོངས། རིས་བརོད།

རེས་དཔག

(− 20) × (− 5) = 100

བསྒྱུར་ཐོབ་རིལ་གངས་ཡིན།

(− 15) × 17 = − 255

བསྒྱུར་ཐོབ་རིལ་གངས་ཡིན།

(− 30) × 12 = (− 25) × (− 15) = 12 × (− 30) = གོང་གི་རེའུ་མིག་ལས། རིལ་གངས་གཉིས་ཀི་བསྒྱུར་ཐོབ་ནི་རྟག་ཏུ་རིལ་གངས་ཁོ་ན་འབྱུང་། གལ་ཏེ་ a དང་ b རིལ་གངས་ཡིན་ན། a × b ཡང་རིལ་གངས་ཡིན། ༢། བརེ་སོལ། Commutative property

གཤམ་གི་རེའུ་མིག་ལ་ལྟ་ཞིབ་བས་ཏེ་ཁ་སྐོངས།

10

རིལ་གངས། རིས་བརོད་ ༡

རིས་བརོད་ ༢

3 × (− 4) = − 12

(− 4) × 3 = − 12

(− 20) × 12 =

12 × (− 20) =

(− 15) × (− 10) = 150

(− 10) × (− 15) = 150

(− 35) × (− 12) =

(− 12) × (− 35) =

རེས་དཔག 3 × (− 4) = (− 4) × 3

=

(− 19) × 0 = =

(− 1) × (− 15) =

རིལ་གངས་སྒྱུར་སྐབས་སྒྱུར་གངས་རྣམས།། བསྒྱུར་ཐོབ་ལ་ནི་འགྱུར་བ་མེད།།

གོ་རིམ་ཇི་ལྟར་བརེས་གྱུར་ཀང་།།

དེས་ན། a དང་ b རིལ་གངས་ཡིན་ན། a × b = b × a

༣། སེབ་སོལ། Associative property − 3 དང་། − 2, 5 ལ་དཔེ་བཞག་ན།

གནས་སྟངས་ ༡ : [(− 3) × (− 2)] × 5 = 6 × 5 = 30

གནས་སྟངས་ ༢ : (− 3) × [(− 2) × 5] = (− 3) × (− 10) = 30 དེས་ན། གནས་སྟངས་གཉིས་ཀའི་བསྒྱུར་ཐོབ་གཅིག་པ་ཡིན།

དེར་བརྟེན། [(− 3) × (− 2)] × 5 = (− 3) × [(− 2) × 5] གོང་གི་དཔེ་མཚོན་ལ་བལྟས་ཏེ་གཤམ་གི་ལན་བིས། (ཀ) [(7) × (− 6)] × 4 =

×4=

(ཁ) 7 × [(− 6) × 4] = 7 ×

=

(ང) [(− 5) × (− 9)] × 6 =

×6=

(ག) [(7) × (− 6)] × 4 = 7 × [(− 6) × 4] རེད་དམ། (ཅ) (− 5) × [(− 9) × 6] = 6 ×

=

(ཆ) [(− 5) × (− 9)] × 6 = (− 5) × [(− 9) × 6] རེད་དམ། གངས་གསུམ་སྒྱུར་སྐབས་ཐོག་མ་རུ།། ཡང་ན་གངས་ཀ་ཕི་མ་གཉིས།།

སྔ་མ་གཉིས་ཀ་བསྒྱུར་བ་འམ།།

བསྒྱུར་ཀང་བསྒྱུར་ཐོབ་མི་འགྱུར་རོ།།

a × (b × c) = (a × b) × c

11

རིས་རིག རིས་དཔེ། ༦༽ བསྒྱུར་ཐོབ་ཚོལ།

(ཀ) (− 18) × (− 10) × 9

(ཁ) (− 20) × (− 2) × (− 5) × 7

(ག) (− 1) × (− 5) × (− 4) × (− 6)

ལན། (ཀ) (− 18) × (− 10) × 9 = [(− 18) × (− 10)] × 9 = 180 × 9 = 1620

(ཁ) (− 20) × (− 2) × (− 5) × 7 = − 20 × (− 2 × − 5) × 7 = (− 20 × 10) × 7 = (− 200) × 7 = − 1400

(ག) (− 1) × (− 5) × (− 4) × (− 6) = [(− 1) × (− 5)] × [(− 4) × (− 6)] = 5 × 24 = 120 ༤། ཀད་ཀོར་དང་སྒྱུར་བ། Multiplication by zero

ང་ཚོས་ཧིལ་གངས་ཤིག་དང་ཀད་ཀོར་བསྒྱུར་ན་བསྒྱུར་ཐོབ་ཀད་ཀོར་ཡིན་པ་ཤེས་ཀི་ཡོད། དང་ཀད་ཀོར་གི་སྒྱུར་རིས་ལ་ལྟོས་དང་། (ཀ) (− 3) × 0 = 0 (ག) 55 × 0 =

གཤམ་གསལ་རིལ་གངས་

(ཁ) 0 × 4 = 0

(ང) 0 × (− 69) =

རིལ་གངས་གང་ཞིག་ཀད་ཀོར་དང་།།

བསྒྱུར་བའི་བསྒྱུར་ཐོབ་ཀད་ཀོར་ཡིན།།

0×a=a×0=0 ༥། སྒྱུར་རིས་ཀི་ངོ་བོ། Multiplicative identity

གཤམ་གི་རིལ་གངས་དང་ 1 གི་སྒྱུར་རིས་ལ་ལྟོས་དང་། (ཀ) (−3) × 1 = − 3

(ཁ) 1 × 5 = 5

(ཅ) 1 × (− 59) =

(ཆ) 25 × 1 =

(ག) (− 4) × 1 = − 4 (ཇ) 1 × (− 100) =

(ང) 1 × 8 =

(ཉ) 99 × 1 =

རིལ་གངས་གང་ཞིག་གངས་གཞན་དང་།། སྒྱུར་ཚེ་རིལ་གངས་རང་ཉིད་ཐོབ།། 1×a=a×1=a

12

རིལ་གངས། ༦། བགོ་སོལ། Distributive property གཤམ་གསལ་ལ་ལྟོས་དང་།

(ཀ) (− 2) × (3 + 5) = (− 2) × 8 = − 16

[(− 2) × 3] + [(− 2) × 5] = (− 6) + (− 10) = − 16 དེར་བརྟེན། (− 2) × (3 + 5) = [(− 2) × 3] + [(− 2) × 5]

(ཁ) (− 4) × [(− 2) + 7] = (− 4) × 5 = − 20

[(− 4) × (− 2)] + [(− 4) × 7] = 8 + (− 28) = − 20 དེར་བརྟེན། (− 4) × [(− 2) + 7] = [(− 4) × (− 2)] + [(− 4) × 7]

(ག) (− 8) × [(− 2) + (− 1)] = (− 8) × (− 3) = 24

[(− 8) × (− 2)] + [(− 8) × (− 1)] = 16 + 8 = 24 དེར་བརྟེན། (− 8) × [(− 2) + (− 1)] = [(− 8) × (− 2)] + [(− 8) × (− 1)] གངས་གཉིས་བསོམས་པའི་བསོམས་ཐོབ་ལ།། གངས་གཉིས་སོ་སོར་བསྒྱུར་ཟིན་རེས།།

རིལ་གངས་གཞན་གིས་བསྒྱུར་བ་ནི།།

བསྒྱུར་ཐོབ་ལྷན་ཅིག་བསོམས་དང་མཚུངས།།

a × (b + c) = (a × b) + (a × c) བགོ་སོལ་བེད་སྤོད་བས་འདུག་གམ། (ཀ) 3 × [(− 10) + 4] = 3 × (− 10) + 3 × 4

(ཁ) 10 × [6 + (− 2)] = 10 × 6 + 10 × (− 2)

(ག) (− 15) × [(− 7) + (− 1)] = (− 15) × (− 7) + (− 15) × (− 1) གཤམ་གི་དཔེ་མཚོན་ལ་ལྟོས་དང་། (༡) 4 × (3 − 8) = (4 × 3) − (4 × 8) རེད་དམ། 4 × (3 − 8) = 4 × (− 5) = − 20

(4 × 3) − (4 × 8) = 12 − 32 = − 20 དེར་བརྟེན། 4 × (3 − 8) = (4 × 3) − (4 × 8)

(༢) (− 5) × [(− 4) − (− 6)] = [(− 5) × (− 4)] − [(− 5) × (− 6)] རེད་དམ། (− 5) × [(− 4) − (− 6)] = (− 5) × 2 = − 10

[(− 5) × (− 4)] − [(− 5) × (− 6)] = 20 − 30 = − 10

13

རིས་རིག དེར་བརྟེན། (− 5) × [(− 4) − (− 6)] = [(− 5) × (− 4)] − [(− 5) × (− 6)] གངས་གཉིས་འཐེན་པའི་འཐེན་ཐོབ་ལ།། གངས་གཉིས་སོ་སོར་བསྒྱུར་ཟིན་རེས།།

རིལ་གངས་གཞན་གིས་བསྒྱུར་བ་ནི།།

བསྒྱུར་ཐོབ་ལྷན་ཅིག་འཐེན་དང་མཚུངས།།

a × (b − c) = (a × b) − (a × c) བགོ་སོལ་བེད་སྤོད་བས་འདུག་གམ། (ཀ) 10 × [6 − (− 2)] = 10 × 6 − 10 × (− 4) རེད་དམ།

(ཁ) (− 15) × [(− 7) − (− 1)] = (− 15) × (− 7) − (− 15) × (− 1) རེད་དམ། རིས་དཔེ། ༧༽ བཤེར་རིས་རྒྱོབ།

(− 30) × [13 + (− 3)] = [(− 30) × 13] + [(− 30) × (− 3)]

ལན། (− 30) × [13 + (− 3)] = (− 30) × 10 = − 300

[(− 30) × 13] + [(− 30) × (− 3)] = − 390 + 90 = − 300 དེར་བརྟེན། (− 30) × [13 + (− 3)] = [(− 30) × 13] + [(− 30) × (− 3)]

༨༽ བགོ་སོལ་སྤད་དེ་རིས་འབས་ཚོལ། (ཀ) − 42 × 1001

ལན།

(ཁ) (− 19) × (− 68)

(ཀ) − 42 × 1001 = − 42 × (1000 + 1) = (− 42 × 1000) + (− 42 × 1) = − 42000 − 42

(བགོ་སོལ་ལས།)

= − 42042 (ཁ) (− 19) × (− 68) = (− 20 + 1) × (− 68) = (− 20 × − 68) + (1 × − 68) = 1360 − 68 = 1292

14

(བགོ་སོལ་ལས།)

རིལ་གངས།

སྦོང་ཚན། ༡་༢ ༡། བསྒྱུར་ཐོབ་ཚོལ།

(ཀ) 7 × (− 1)

(ཁ) (− 2) × 225

(ཅ) (− 15) × 0 × (− 18)

(ཆ) 9 × (− 3) × (− 6)

(ཏ) (− 1) × (− 2) × (− 3) × 4

(ཐ) (− 3) × (− 6) × (− 2) × (− 1)

(ག) (− 316) × (− 1)

(ཇ) (− 12) × (− 11) × (− 10)

(ང) (− 21) × (− 30)

(ཉ) (− 18) × (− 5) × (− 4)

༢། བཤེར་རིས་རྒྱོབ།

(ཀ) 18 × [7 + (− 3)] = [18 × 7] + [18 × (− 3)]

(ཁ) (− 21) × [(− 4) + (− 6)] = [(− 21) × (− 4)] + [(− 21) × (− 6)]

༣། (ཀ) རིལ་གངས་ a ལ། (− 1) × a གང་རེད་དམ།

(ཁ) བསྒྱུར་ཐོབ་གཤམ་གསལ་ལྟར་འབྱུང་བར། (− 1) ལ་རིལ་གངས་གང་གིས་བསྒྱུར་དགོས། (༡) − 22

(༢) 37

༤། བསྒྱུར་ཐོབ་ཚོལ།

(ཀ) − 8 དང་། 1

(༣) 0

(ཁ) 16 དང་། − 6

(ག) − 25 དང་། 5

(ང) − 199 དང་། − 10

༥། ཁྱད་ཆོས་རན་པོར་བེད་སྤད་དེ་བསྒྱུར་ཐོབ་ཚོལ། (ཀ) 7 × (50 − 2)

(ཁ) 26 × (− 48) + (− 48) × (− 36)

(ཅ) (− 41) × 102

(ཆ) 625 × (− 35) + (− 625) × 65

(ག) 8 × 53 × (− 125) (ཇ) (− 17) × (− 29) ༦། བར་སྟོང་སྐོངས། (ཀ) (− 3) × (ག)

= 27

× (− 8) = − 56

(ང) 15 × (− 25) × (− 4) × (− 10)

(ཉ) (− 57) × (− 19) + 57 (ཁ) 5 × (ང)

= − 35 × (− 12) = 132

15

རིས་རིག

༡་༦ རིལ་གངས་ཀི་བགོད་རིས། Division of integers

བགོད་རིས་ནི་སྒྱུར་རིས་ཀི་ལུགས་ལྡོག་ཡིན་པ་ཤེས་ཀི་ཡོད། དཔེར་ན། 2 × 3 = 6 གི་བགོད་རིས་རྣམ་པ་ནི་ 6 ÷ 2 = 3 དང་། 6 ÷ 3 = 2 རེད། གཤམ་གསལ་ལ་ལྟ་ཞིབ་བས་ཏེ་ཁ་སྐོངས། སྒྱུར་རིས་ཀི་རིས་བརོད།

དེ་དང་མཚུངས་པའི་བགོད་རིས་ཀི་རིས་བརོད།

2 × (− 6) = (− 12)

(− 12) ÷ (− 6) = 2

;

(− 12) ÷ 2 = (− 6)

(− 4) × 5 = (− 20)

(− 20) ÷ 5 = (− 4)

;

(− 20) ÷ (− 4) = 5

(− 8) × (− 9) = 72

72 ÷

=

;

72 ÷

÷ (− 3) =

;

(− 3) × (− 7) = (− 8) × 4 =

;

5 × (− 9) =

;

(− 10) × (− 5) =

;

=

གོང་གི་རེའུ་མིག་ལས་ང་ཚོར་དོ་སྣང་བྱུང་བ་ནི།

གནས་སྟངས་དང་པོ། དཔེར་ན། (ཀ) (− 12) ÷ 2 = (− 6)

(ཁ) 21 ÷ (− 3) = (− 7)

(ཅ) (− 32) ÷ 4 = (− 8)

(ཆ) 72 ÷ (− 8) = (− 9)

(ག) (− 20) ÷ 5 = (− 4)

(ང) 50 ÷ (− 5) = (− 10)

རྟགས་མི་མཐུན་པའི་གངས་གཉིས་བགོད་སྐབས། བགོས་ཐོབ་ཏུ་མོ་གངས་བིས།

ལྟོས་མེད་ཐང་གཉིས་བགོས་ཏེ།

a ÷ (−b) = (−a) ÷ b འདིར། b ≠ 0

གནས་སྟངས་གཉིས་པ། དཔེར་ན། (ཀ) (− 12) ÷ (− 6) = 2

(ག) (− 32) ÷ (− 8) = 4 རྟགས་མཐུན་པའི་གངས་གཉིས་བགོད་སྐབས། བགོས་ཐོབ་ཏུ་ཕོ་གངས་བིས།

(ཁ) (− 20) ÷ (− 4) = 5

(ང) (− 45) ÷ (− 9) = 5 ལྟོས་མེད་ཐང་གཉིས་བགོས་ཏེ།

(+ a) ÷ (+ b) = (− a) ÷ (− b) = a ÷ b འདིར། b ≠ 0

16

རིལ་གངས། རིས་དང་། (ཀ) (− 32) ÷ 2

(ཁ) (− 100) ÷ 5

(ཅ) 125 ÷ (− 25)

(ཆ) (− 36) ÷ (− 4)

(ག) 64 ÷ (− 16)

(ང) 80 ÷ (− 5)

(ཇ) (− 201) ÷ (− 3)

(ཉ) (− 325) ÷ (− 13)

༡་༧ རིལ་གངས་ཀི་བགོད་རིས་ཀི་ཁྱད་ཆོས། Properties of division of integers ༡། བསྡུ་སོལ། Closure property

གཤམ་གི་རེའུ་མིག་ལ་ལྟ་ཞིབ་བས་ཏེ་ཁ་སྐོངས། རིས་བརོད།

(− 8) ÷ (− 4) = 2 (− 4) ÷ (− 8) = − 4 −8

རེས་དཔག

རིས་བརོད།

−8 3 བགོས་ཐོབ་རིལ་གངས་མ་རེད། 3 ÷ (− 8) = 3 −8 བགོས་ཐོབ་རིལ་གངས་རེད།

རེས་དཔག

(− 8) ÷ 3 =

a དང་ b རིལ་གངས་ཡིན་ན། a ÷ b ནི་རིལ་གངས་ཡིན་པའི་ངེས་པ་མེད། དེར་བརྟེན། རིལ་གངས་ཀི་བགོད་རིས་སྐབས་བསྡུ་སོལ་གནས་ཀི་མེད།

༢། བརེ་སོལ། Commutative Property

ཧིལ་གངས་ཀི་བགོད་རིས་སྐབས་བརེ་སོལ་གནས་ཀི་མེད། དེ་རིལ་གངས་སྐབས་གནས་ཀི་ཡོད་དམ། དཔེར་ན། (− 8) ÷ (− 4) = 2 དང་། (− 4) ÷ (− 8) = 0.5 དེར་བརྟེན། (− 8) ÷ (− 4) ≠ (− 4) ÷ (− 8) a དང་ b རིལ་གངས་ཡིན་ན། a ÷ b ≠ b ÷ a

དེར་བརྟེན། རིལ་གངས་ཀི་བགོད་རིས་སྐབས་སུའང་བརེ་སོལ་གནས་ཀི་མེད།

༣། སེབ་སོལ། Associative property

[(− 16) ÷ 4] ÷ (− 2) = (− 16) ÷ [4 ÷ (− 2)] རེད་དམ།

ང་ཚོས་ཤེས་གསལ་ལ། [(− 16) ÷ 4] ÷ (− 2) = (− 4) ÷ (− 2) = 2 དང་།

(− 16) ÷ [4 ÷ (− 2)] = (− 16) ÷ (− 2) = 8

དེས་ན། [(− 16) ÷ 4] ÷ (− 2) ≠ (− 16) ÷ [4 ÷ (− 2)]

དེར་བརྟེན། རིལ་གངས་ཀི་བགོད་རིས་སྐབས་སེབ་སོལ་གནས་ཀི་མེད།

17

རིས་རིག ༤། རིལ་གངས་ a ལ། a ÷ 0 ནི་གོ་དོན་མེད། འོན་ཀང་ 0 ÷ a = 0, a ≠ 0 ༥། རིལ་གངས་ཤིག་ལ་ 1 གིས་བགོས་ན་རིལ་གངས་རང་ཉིད་འབྱུང་། གཤམ་གསལ་ཁ་སྐོངས། (− 8) ÷ 1 = (− 8)

(− 11) ÷ 1 = (− 11)

(− 99) ÷ 1 = (− 99)

(− 25) ÷ 1 =

(− 77) ÷ 1 =

(− 500) ÷ 1 =

དེ་ནི་རིལ་གངས་ a ལ། a ÷ 1 = a ཡིན།

༦། རིལ་གངས་ཤིག་ལ་ (−1) གིས་བགོས་ན་གང་འབྱུང་ངམ། ཁ་སྐོངས།

(− 8) ÷ (− 1) = 8

11 ÷ (− 1) = (− 11)

99 ÷ (− 1) = (− 99)

(− 25) ÷ (− 1) =

77 ÷ (− 1) =

(− 500) ÷ (− 1) =

རིལ་གངས་ཤིག་ལ་ (−1) གིས་བགོས་ན། བགོས་ཐོབ་ནི་རིལ་གངས་དེའི་ལྡོག་གངས་ཡིན།

དེར་བརྟེན། a ÷ (− 1) = − a ཡིན། རིས་དཔེ། ༩༽ བགོས་ཐོབ་ཚོལ།

(ཀ) 0 ÷ (−100)

(ང) (−42 + 52) ÷ 0

ལན།

(ཁ) (−417) ÷ (−3)

(ཅ) 85 ÷ (7 − 2)

(ག) (−84) ÷ 84

(ཆ) (−8 + 15) ÷ (− 4 − 3)

(ཀ) ཀད་ཀོར་ལ་གངས་ཤིག་གིས་བགོས་ན། བགོས་ཐོབ་ཏུ་ཀད་ཀོར་འབྱུང་། དེར་བརྟེན། 0 ÷ (− 100) = 0 (ཁ) (− 417) ÷ (− 3) = 139 (ག) (− 84) ÷ 84 = − 1

(ང) གངས་ཤིག་ལ་ཀད་ཀོར་གིས་བགོས་ན་གོ་དོན་མེད། དེས་ན། 52 ÷ 0 ལ་གོ་དོན་མེད། (ཅ) 85 ÷ (7 − 2) = 85 ÷ 5 = 17

(ཆ) (− 8 + 15) ÷ (− 4 − 3) = 7 ÷ (− 7) = − 1 ༡༠༽ ཡིག་ཚད་ཅིག་གི་ནང་ལན་འགིག་པ་རེར་ཨང་ཀི་ (+ 5) ཐོབ་པ་དང་ལན་ནོར་བ་རེར་ཨང་ཀི་ (− 2) ཐོབ་ ཀི་ཡོད།

(ཀ) དཔལ་མོས་དྲི་བ་ཆ་ཚང་ལ་ལན་འདེབས་བས་ཀང་ལན་ 10 ལས་འགིག་མེད། གལ་ཏེ་མོས་ཨང་ཀི་ 30 བངས་ཡོད་ན། ལན་ག་ཚོད་ནོར་ཡོད་དམ།

18

རིལ་གངས། ལན། ལན་འགིག་པ་རེ་ལ་སྤད་པའི་ཨང་ཀི་ = 5

དེས་ན། ལན་ 10 འགིག་པ་ལ་སྤད་པའི་ཨང་ཀི་ = 5 × 10 = 50 དཔལ་མོའི་ཨང་ཐོབ་ = 30

ལན་ནོར་བ་ལ་ཐོབ་པའི་ཨང་ཀི་ = 30 − 50 = − 20 ལན་ནོར་བ་རེ་ལ་སྤད་པའི་ཨང་ཀི་ = − 2

དེར་བརྟེན། ལན་ནོར་བའི་གངས་ = (− 20) ÷ (− 2) = 10

(ཁ) ཆོས་འཕེལ་གིས་དྲི་བ་ཆ་ཚང་ལ་ལན་འདེབས་བས་ཀང་ལན་ 16 ནོར་ཡོད། གལ་ཏེ་ཁོས་ཨང་ཀི་ − 12 བངས་ཡོད་ན། ལན་ག་ཚོད་འགིག་ཡོད་དམ།

ལན། ལན་མི་འགིག་པ་ 16 ལ་སྤད་པའི་ཨང་ཀི་ = − 2 × 16 = − 32 ཆོས་འཕེལ་གི་ཨང་ཐོབ་ = − 12

ལན་འགིག་པ་ལ་ཐོབ་པའི་ཨང་ཀི་ = −12 − (− 32) = 20 ལན་འགིག་པ་རེ་ལ་སྤད་པའི་ཨང་ཀི་ = 5

དེར་བརྟེན། ལན་འགིག་པའི་གངས་ = 20 ÷ 5 = 4

སྦོང་ཚན། ༡་༣ ༡། རིས་འབས་ཚོལ།

(ཀ) (− 30) ÷ 10

(ཁ) 0 ÷ (− 12)

(ང) (− 49) ÷ (− 49)

(ཇ) (9 + 6 − 12 − 3) ÷ (− 48)

༢། ཁ་སྐོངས།

(ཀ) 369 ÷

(ག) (− 205) ÷ (ཅ)

(ཇ)

= 369 =1 ÷ 1 = (− 103) ÷ (− 48) = 2

(ཅ) 13 ÷ [(− 2) + 1]

(ག) 36 ÷ (− 9)

(ཆ) (12 + 9) ÷ (− 9 ÷ 3)

(ཉ) [(− 36) ÷ 12] ÷ 3 (ཁ) 20 ÷

(ང) (− 97) ÷

(ཆ)

(ཉ) 200 ÷

= (− 2) = (− 1) ÷ 4 = (− 3) = (− 50)

༣། a ÷ b = − 3 ཡིན་པའི་རིལ་གངས་ (a, b) ཡི་ཆ་ལྔ་བིས། དེ་འདྲའི་ཆ་གཅིག་ནི་ (6, − 2) རེད། གང་ཡིན་ ཟེར་ན། 6 ÷ (− 2) = − 3

19

རིས་རིག ༤། ཚོང་བདག་གིས་པར་སྒོམ་ 15 བཙོངས་ཏེ་ཁེ་ ` 2250 བངས་ཡོད་ན། པར་སྒོམ་རེ་ལ་ཁེ་ག་ཚོད་བྱུང་བ་ཚོལ།

༥། ཉིན་གུང་ཆུ་ཚོད་ 12 ལ་དྲོད་ཚད་ཀད་ཀོར་ལས་ 10oC མཐོ་བ་ཡོད། གལ་ཏེ་མཚན་གུང་བར་ཆུ་ཚོད་རེ་ལ་དྲོད་ ཚད་ 2oC ཆག་གི་ཡོད་ན། ཆུ་ཚོད་ག་ཚོད་ཐོག་དྲོད་ཚད་ཀད་ཀོར་ལས་ 8oC དམའ་བ་ཆགས་ཀི་རེད་དམ། མཚན་གུང་ལ་དྲོད་ཚད་ག་ཚོད་ཆགས་ཀི་རེད་དམ།

དྲན་གསོ་གིས། ༡། རིལ་གངས་ཀི་ཁྱད་ཆོས། ཁྱད་ཆོས།

སོམ་རིས།

འཐེན་རིས།

སྒྱུར་རིས།

བགོད་རིས།

བསྡུ་སོལ། བརེ་སོལ། སེབ་སོལ། གོང་གི་རེའུ་མིག་ལས། '

' ཡིས་རིས་ཐབས་སོ་སོའི་སྐབས་གནས་ཀི་ཡོད་པ་དང་། ' ' ཡིས་

རིས་ཐབས་སོ་སོའི་སྐབས་གནས་ཀི་མེད་པ་མཚོན་གི་ཡོད།

༢། ཕོ་གངས་དང་མོ་གངས་ཀི་བསྒྱུར་ཐོབ་མོ་གངས་ཡིན། འོན་ཀང་། ཕོ་གངས་གཉིས་སམ་མོ་གངས་ གཉིས་ཀི་བསྒྱུར་ཐོབ་ཕོ་གངས་ཡིན།

དཔེར་ན། − a × b = − ab དང་། − a × (− b) = ab, a × b = ab

༣། རིལ་གངས་མོའི་གངས་ནི་ཆ་གངས་ཡིན་ན། བསྒྱུར་ཐོབ་ནི་རིལ་གངས་ཕོ་ཡིན། ཡིན་ནའང་། རིལ་ གངས་མོའི་གངས་ནི་ཡ་གངས་ཡིན་ན། བསྒྱུར་ཐོབ་ནི་རིལ་གངས་མོ་ཡིན།

༤། རིལ་གངས་ཀི་སྣོན་རིས་ཀི་ངོ་བོ་དང་སྒྱུར་རིས་ཀི་ངོ་བོ་ནི་ 0 དང་ 1 སོ་སོར་ཡིན། དཔེར་ན། a + 0 = a དང་ a × 1 = a

༥། རིལ་གངས་ a དང་ b, c སྐབས་བགོ་སོལ་ནི། a × (b + c) = (a × b) + (a × c)

༦། ཕོ་གངས་དང་མོ་གངས་ཀི་བགོས་ཐོབ་ནི་མོ་གངས་ཡིན། ༧། མོ་གངས་གཉིས་ཀི་བགོས་ཐོབ་ནི་ཕོ་གངས་ཡིན། ༨། རིལ་གངས་ a ལས།

(ཀ) a ÷ 0 ལ་གོ་དོན་མེད། (ཁ) a ÷ 1 = a

20

སོབ་ཚན་གཉིས་པ། ལུགས་ལྡན་གྲངས། ༢་༡ ངོ་སྤོད། Introduction

འཛིན་རིམ་གོང་མར་ང་ཚོས་གངས་ཆ་དང་། སིལ་གངས། རང་བྱུང་གངས། ཧིལ་གངས། རིལ་གངས་སོགས་སྦངས་ཡོད།

སོབ་ཚན་འདིར་ང་ཚོས་གངས་ཀི་ལུགས་གསར་པ་ཞིག་ངོ་སྤོད་བ་རྒྱུ་ཡིན། དེ་ནི་ལུགས་ལྡན་གངས་ (Rational number) ཡིན། འདིར་ང་ཚོས་ལུགས་ལྡན་གངས་ཀི་གོ་དོན་དང་། ལུགས་ལྡན་གངས་ཕོ་དང་མོ། གངས་ཐིག་ཐོག་ ལུགས་ལྡན་གངས་མཚོན་སྟངས། ལུགས་ལྡན་གངས་ཀི་ཚད་ལྡན་རྣམ་པ། ལུགས་ལྡན་གངས་བསྡུར་བ། ལུགས་ལྡན་ གངས་གཉིས་དབར་གི་ལུགས་ལྡན་གངས། ལུགས་ལྡན་གངས་ཀི་རིས་ཐབས་བཅས་སྦང་རྒྱུ་ཡིན།

༢་༢ ལུགས་ལྡན་གངས་ཀི་དགོས་པ། Need for rational numbers

ད་སྔ་ང་ཚོས་གངས་ཤིག་གི་ལྡོག་ཕོགས་མཚོན་པར་རིལ་གངས་བེད་སྤོད་བེད་སྟངས་སྦངས་ཡོད། དཔེར་ན།

• གལ་ཏེ་གནས་ཤིག་གི་གཡས་ཕོགས་སུ་བར་ཐག་ 3 km ནི་ 3 གིས་མཚོན་པ་ཡིན་ན། གནས་དེའི་གཡོན་ཕོགས་ སུ་བར་ཐག་ 3 km ནི་ − 3 གིས་མཚོན་ཐུབ།

• གལ་ཏེ་ཁེ་ ` 150 ནི་ 150 ཡིས་མཚོན་པ་ཡིན་ན། གོང་ ` 100 ནི་ − 100 ལྟར་འབི་ཆོག −3 3 • གལ་ཏེ་རྒྱ་མཚོ་ལས་ 750 m མཐོ་བ་ནི་ ཡིས་མཚོན་པ་ཡིན་ན། རྒྱ་མཚོ་ལས་ 750 m དམའ་བ་ནི་ 4 4 −3 ཡིས་མཚོན་ཐུབ། ནི་རིལ་གངས་དང་གངས་ཆ་གཉིས་ཀ་མིན། དེར་བརྟེན། དེ་འདྲ་བའི་གངས་འཚུད་པའི་ 4 ཆེད་དུ་གངས་ལུགས་རྒྱ་བསྐྱེད་བ་དགོས།

༢་༣ ལུགས་ལྡན་གངས། Rational numbers

'Rational' ནི་ཐ་སྙད་ 'ratio' ལས་བྱུང་བ་རེད། ཁྱེད་ཀི་ཤེས་གསལ་ལ་སྡུར་ཚད་ 3:2 ནི་ 3 ལྟར་འབི་ཆོག འདིར། 2 p 3 དང་ 2 གཉིས་རང་བྱུང་གངས་ཡིན། དེ་བཞིན། རིལ་གངས་ p དང་ q (q ≠ 0) གཉིས་ཀི་སྡུར་ཚད་ p:q ནི་ q

21

རིས་རིག ལྟར་འབི་ཆོག ང་ཚོས་ལུགས་ལྡན་གངས་འདི་ལྟར་མཚོན་དགོས། p རིལ་གངས་ p དང་ q ལས་ q ≠ 0 ཡིན་པའི་གངས་ q ལ་ལུགས་ལྡན་གངས་ཟེར། དཔེར་ན། 4 ནི་ལུགས་ལྡན་གངས་རེད། འདིར། p = 4 དང་ q = 5 5 −3 ལུགས་ལྡན་གངས་རེད་དམ། རེད། རྒྱུ་མཚན་ནི། p = − 3 དང་ q = 4 བཅས་རིལ་གངས་རེད། 4 • གངས་ཆ་ 3 , 4 , 1 2 སོགས་ལུགས་ལྡན་གངས་རེད། 5 8 3 • སིལ་གངས་ 0.5, 3.2 སོགས་ལུགས་ལྡན་གངས་རེད་དམ། དེ་དག་རེ་རེ་བཞིན་གངས་ཆའི་ཐོག་བིས་ན། 5 32 0.5 = 10 དང་ 3.2 = 10 ལྟ་བུ་ནི་ལུགས་ལྡན་གངས་རེད། • རིལ་གངས་ཀང་ལུགས་ལྡན་གངས་རེད་དམ། རེད། དཔེར་ན། རིལ་གངས་ − 5 ནི་ལུགས་ལྡན་གངས་རེད། རྒྱུ་མཚན་ནི། −5 ལྟར་འབི་ཆོག 1 0 0 རིལ་གངས་ 0 ནི་ 0 = ཡང་ན་ ལྟར་འབི་ཆོག 2 9 དེར་བརྟེན། རིལ་གངས་ཀང་ལུགས་ལྡན་གངས་རེད།

༡། 4 ལུགས་ལྡན་གངས་རེད་དམ། −5 ༢། ལུགས་ལྡན་གངས་བཅུ་བིས།

མཆན། ལུགས་ལྡན་གངས་ནང་རིལ་གངས་དང་གངས་ཆ་ཚུད་ཡོད། ༢་༣་༡ བུ་ཆ་དང་མ་ཆ། Numerator and denominator p ལུགས་ལྡན་གངས་ q ནང་རིལ་གངས་ p ནི་བུ་ཆ་དང་རིལ་གངས་ q ནི་མ་ཆ་རེད། དེས་ན། −3 ནང་ − 3 བུ་ཆ་དང་ 7 མ་ཆ་རེད། 7 གཤམ་གསལ་བརོད་པ་ལྟར་ལུགས་ལྡན་གངས་ལྔ་རེ་བིས། (ཀ) བུ་ཆ་མོ་གངས་དང་མ་ཆ་ཕོ་གངས།

(ཁ) བུ་ཆ་ཕོ་གངས་དང་མ་ཆ་མོ་གངས།

(ག) བུ་ཆ་དང་མ་ཆ་གཉིས་ཀ་མོ་གངས། (ང) བུ་ཆ་དང་མ་ཆ་གཉིས་ཀ་ཕོ་གངས།

22

ལུགས་ལྡན་གངས། སེམས་ལ་ཞོག • • • • •

རང་བྱུང་གངས་ཚང་མ་ལུགས་ལྡན་གངས་རེད། ཧིལ་གངས་ཚང་མ་ལུགས་ལྡན་གངས་རེད། རིལ་གངས་ཚང་མ་ལུགས་ལྡན་གངས་རེད། གངས་ཆ་ཚང་མ་ལུགས་ལྡན་གངས་རེད། ལུགས་ལྡན་གངས་འགའ་ཤས་རིལ་གངས་དང་གངས་ཆ་གཉིས་ཀ་མ་ཡིན་པའང་ཡོད། དཔེར་ན། −3 , 10 སོགས། 5 −15 5 32 • སིལ་གངས་འགའ་ཤས་ལུགས་ལྡན་གངས་རེད། དཔེར་ན། 0.6 = 10 , 0.32 = 100 ༢་༣་༢ འདྲ་མཚུངས་ལུགས་ལྡན་གངས། Equivalent rational numbers

ལུགས་ལྡན་གངས་ནི་བུ་ཆ་དང་མ་ཆ་འདྲ་མིན་བེད་སྤད་དེ་འབི་ཐུབ། ལུགས་ལྡན་གངས་ −2 ལ་དཔེ་བཞག་ན། 3 −2 −2 × 2 −4 −2 −4 3 = 3 × 2 = 6 དེས་ན་ 3 དང་ 6 གཅིག་པ་ཡིན་པ་མཐོང་ཐུབ། 10 10 −2 (−2) × (−5) དེས་ན། −2 དང་ གཉིས་ཀང་གཅིག་པ་ཡིན། = = −15 −15 3 × (−5) 3 3 དེར་བརྟེན། −2 = −4 = 10 བཅས་ལ་འདྲ་མཚུངས་ལུགས་ལྡན་གངས་ཟེར། 3 6 −15 −10 དང་ 10 གཉིས་འདྲ་མཚུངས་ཡིན་ནམ། 15 −15

ལུགས་ལྡན་གངས་ཀི་བུ་ཆ་དང་མ་ཆ་གཉིས་ལ་ཀད་ཀོར་མ་ཡིན་པའི་རིལ་

སམ་ཆུང་ནང་སྐོངས།

གངས་གཅིག་པས་བསྒྱུར་པ་ཡིན་ན། ང་ཚོར་ཤེས་ཟིན་པའི་ལུགས་ལྡན་གངས་

(༡) 5 = = 25 = −15 4 16

དེ་ནི་འདྲ་མཚུངས་གངས་ཆ་འཚོལ་བ་དང་གཅིག་པ་ཡིན།

9 = −6 (༢) −3 = = 7 14

ཀི་འདྲ་མཚུངས་ལུགས་ལྡན་གངས་ཐོབ་ཀི་རེད། སྒྱུར་རིས་ལྟར།

བུ་ཆ་དང་མ་ཆ་གཉིས་ལ་ཀད་ཀོར་མ་ཡིན་པའི་རིལ་གངས་

གཅིག་པས་བགོས་ན་འདྲ་མཚུངས་ལུགས་ལྡན་གངས་ཐོབ། དཔེར་ན།

10 ÷ (−5) −2 10 −12 −12 ÷ 12 −1 = −15 −15 ÷ (−5) = 3 ; 24 = 24 ÷ 12 = 2 ང་ཚོས་ −2 ལ་ − 2 དང་། 10 ལ་ − 10 སོགས་ལྟར་འབི་ཆོག −15 3 3 15

23

རིས་རིག

༢་༤ ལུགས་ལྡན་གངས་ཕོ་དང་མོ། Positive and negative rational numbers ཀད་ཀོར་མིན་པའི་ལུགས་ལྡན་གངས་ཚང་མ་ཕོ་གངས་སམ་ཡང་ན་མོ་གངས་རེད།

༢་༤་༡ ལུགས་ལྡན་གངས་ཕོ། Positive rational numbers p −p གལ་ཏེ་ p དང་ q གཉིས་ཀ་ཕོ་གངས་ཡང་ན་མོ་གངས་ཡིན་ན། q དང་ −q གཉིས་ཀ་ལུགས་ལྡན་གངས་ཕོ་ཡིན། དཔེར་ན། 1 , −5 , 3 , 15 , −30 སོགས་ལུགས་ལྡན་གངས་ཕོ་ཡིན། 2 −7 8 13 −58 ༢་༤་༢ ལུགས་ལྡན་གངས་མོ། Negative rational numbers p −p གལ་ཏེ་ p དང་ q ལས་གཅིག་མོ་གངས་ཡིན་ན། q དང་ −q གཉིས་ཀ་ལུགས་ལྡན་གངས་མོ་ཡིན། དཔེར་ན། −1 , 5 , −3 , −15 , 30 སོགས་ལུགས་ལྡན་གངས་མོ་ཡིན། 2 −7 8 13 −58 ལུགས་ལྡན་གངས་མོ་ངོས་ཟུངས། (༡) −2 3

(༢) 5 7

(༣) 3 −5

(༥) 6 13

(༤) 0

(༦) −9 −150

༢་༥ གངས་ཐིག་ཐོག་ལུགས་ལྡན་གངས། Rational numbers on a number line

རིལ་གངས་ལྟར་གངས་ཐིག་ཐོག་ 0 གི་གཡས་ཕོགས་སུ་ཡོད་པའི་གངས་རྣམས་ལུགས་ལྡན་གངས་ཕོ་དང་། གཡོན་ཕོགས་ སུ་ཡོད་པའི་གངས་རྣམས་ལུགས་ལྡན་གངས་མོ་ཡིན། − 1 གངས་ཐིག་ཐོག་མཚོན་ན། − 1 ནི་ལུགས་ལྡན་གངས་མོ་ཡིན་པས་དེ་ 0 གི་གཡོན་ཕོགས་སུ་འབི་དགོས། ལུགས་ 2 2 ལྡན་གངས་ 1 དང་ − 1 ནི་ 0 ནས་བར་ཐག་མཉམ་པ་ལ་ཡོད། 1 ནི་ 0 དང་ 1 གི་དབར་བར་ཐག་མཉམ་པ་ལ་ 2 2 2 1 ཡོད། དེས་ན། − ནི་ 0 དང་ −1 གི་དབར་བར་ཐག་མཉམ་པ་ལ་ཡོད། 2 −1

−1 2

0

1 2

1

གངས་ཐིག་ཐོག་ 3 མཚོན་ན། དེ་ 0 གི་གཡས་ཕོགས་སུ་འབི་བ་དང་། 1 དང་ 2 ཀི་དབར་བར་ཐག་མཉམ་པ་ལ་ཡོད། 2 3 − ནི་ 0 གི་གཡོན་ཕོགས་སུ་ཡོད་པ་དང་། − 1 དང་ − 2 ཀི་དབར་བར་ཐག་མཉམ་པ་ལ་ཡོད། 2 −1 , −2 (= − 1) , −3 , −4 (= − 2) སོགས་ཆག་རིམ་བཞིན་བིས་ཡོད། དེ་ནི། −3 ནི་ − 1 དང་ − 2 ཀི་དབར་ 2 2 2 2 2

24

ལུགས་ལྡན་གངས། ལ་ཡོད་པ་སྟོན་གི་ཡོད། དེར་བརྟེན། −3 ནི་ −1 དང་ −2 ཀི་དབར་བར་ཐག་མཉམ་པ་ལ་ཡོད། 2 −4 = (−2) −3 2 2

−2 = (−1) −1 2 2

0 = (0) 2

1 2

2 = (1) 2

3 2

4 = (2) 2

༢་༦ ལུགས་ལྡན་གངས་ཀི་ཚད་ལྡན་རྣམ་པ། Rational numbers in standard form ལུགས་ལྡན་གངས་རྣམས་ལ་ལྟོས་དང་། 3 , −5 , 2 , −7 , 23 5 8 9 11 31 ལུགས་ལྡན་གངས་འདི་དག་གི་མ་ཆ་ཕོ་གངས་ཡིན་པ་དང་། མ་ཆ་དང་བུ་ཆ་གཉིས་ཀི་སྤིའི་བགོད་གངས་ 1 ཡིན། དོ་སྣང་བ་དགོས་པ་ཞིག་ལ། མོ་གངས་ནི་བུ་ཆ་ཁོ་ན་ལ་མ་གཏོགས་མེད།

མ་ཆ་ཕོ་གངས་ཡིན་པའི་ལུགས་ལྡན་གངས་བསྡུས་ཤོས་ལ་ཚད་ལྡན་ལུགས་ལྡན་གངས་ཟེར། ལུགས་ལྡན་གངས་ཀི་མ་ ཆ་དང་བུ་ཆ་གཉིས་ལ་སྤིའི་བགོད་གངས་ 1 ལས་མེད་ན། དེ་ལ་ལུགས་ལྡན་གངས་བསྡུས་ཤོས་ཟེར། རིས་དཔེ། ༡༽ ཚད་ལྡན་གི་རྣམ་པར་སྒྱུར། (ཀ) −45 30 ལན།

(ཁ) 36 −24

(ག) −3 −15

(ཀ) 45 དང་ 30 ཡི་ HCF ནི་ 15 ཡིན།

དེར་བརྟེན། མ་ཆ་དང་བུ་ཆ་གཉིས་ཀ་ལ་ 15 ཡིས་བགོ་དགོས།

−45 = −45 ÷ 15 = −3 30 ÷ 15 2 30

དེས་ན། ལུགས་ལྡན་གངས་ཚད་ལྡན་གི་རྣམ་པ་བཟོ་བར། དེའི་བུ་ཆ་དང་མ་ཆ་ལ་དེ་དག་གི་ HCF ཡིས་བགོ་ དགོས། གལ་ཏེ་མ་ཆ་མོ་རྟགས་ཡིན་ན། '− HCF' ཡིས་བགོ་དགོས། (ཁ) 36 དང་ 24 ཡི་ HCF ནི་ 12 ཡིན།

དེར་བརྟེན། མ་ཆ་དང་བུ་ཆ་གཉིས་ཀ་ལ་ − 12 ཀིས་བགོ་དགོས།

36 = 36 ÷ (−12) = −3 −24 (−24) ÷ (−12) 2

25

རིས་རིག (ག) 3 དང་ 15 ཡི་ HCF ནི་ 3 ཡིན།

(−3) ÷ (−3) དེར་བརྟེན། −3 = = 1 −15 (−15) ÷ (−3) 5

ཚད་ལྡན་གི་རྣམ་པར་སྒྱུར། (༡) −12 18

(༢) −18 45

(༣) −240 −840

༢་༧ ལུགས་ལྡན་གངས་སྡུར་བ། Comparison of rational numbers

ང་ཚོས་རིལ་གངས་གཉིས་དང་ཡང་ན་གངས་ཆ་གཉིས་ཀི་ཆེ་ཆུང་སྡུར་སྟངས་སྦངས་ཟིན། འདིར་ལུགས་ལྡན་གངས་ གཉིས་སྡུར་སྟངས་སྦང་གི་ཡིན།

• ལྷ་མོས་ −1 དང་ −1 གངས་ཐིག་ཐོག་བསྡུར་བ་རེད། མོས་གངས་ཐིག་སྟེང་ −1 དང་ −1 གཤམ་གསལ་ལྟར་ 2 5 2 5 བིས་པ་རེད། −1

0 −1 −5 2 = 10

1

−1 −2 5 = 10

−1 ནི་ −1 གི་གཡས་ཕོགས་སུ་ཡོད། དེར་བརྟེན། −1 −1 ཡང་ན། −1 −1 > < 5 2 5 2 2 5 གནས་སྟངས་ ༡ གལ་ཏེ་ལུགས་ལྡན་གངས་གཉིས་ཀི་རྟགས་ལྡོག་པ་ཡིན་ན། དེ་ནི་མོ་གངས་གཅིག་དང་ཕོ་གངས་གཅིག་

ཡིན་ན། དེ་གཉིས་ཀི་ཆེ་ཆུང་གསལ་པོ་རེད། རྒྱུ་མཚན་ནི། མོ་གངས་ནི་ཀད་ཀོར་གི་གཡོན་ཕོགས་སུ་

ཡོད་པ་དང་ཕོ་གངས་ནི་ཀད་ཀོར་གི་གཡས་ཕོགས་སུ་ཡོད། དེར་བརྟེན། ལུགས་ལྡན་གངས་མོ་ནི་རྟག་ ཏུ་ལུགས་ལྡན་གངས་ཕོ་ལས་ཆུང་བ་ཡིན། དཔེར་ན། − 2 < 1 5 2

གནས་སྟངས་ ༢ གལ་ཏེ་ལུགས་ལྡན་གངས་གཉིས་ཀི་རྟགས་གཅིག་པ་ཡིན་ན། དེ་ནི་གངས་གཉིས་ཀ་ཕོ་གངས་ཡང་ན་ མོ་གངས་ཡིན་ན། གཤམ་གི་གནས་སྟངས་གཉིས་འབྱུང་སིད།

(ཀ) གལ་ཏེ་མ་ཆ་གཅིག་པ་ཡིན་ན། བུ་ཆ་གཉིས་བསྡུར་ཏེ་བུ་ཆ་ཆུང་བ་ཡོད་པའི་ལུགས་ལྡན་གངས་ དེ་ཆུང་བ་རེད། དཔེར་ན། −5 < −2 དང་ −9 < −6 7 7 15 15

26

ལུགས་ལྡན་གངས། (ཁ) གལ་ཏེ་མ་ཆ་གཅིག་པ་མ་ཡིན་ན། མ་ཆ་དང་བུ་ཆ་གཉིས་ཀི་ LCM བཙལ་ཏེ་མ་ཆ་གཅིག་པ་ བཟོ་དགོས། དེ་ནས་ (ཀ) ལྟར་མུ་མཐུད་དེ་འཚོལ་དགོས།

དཔེར་ན། −2 དང་ −1 སྡུར། 3 5 −2 = −2 × 5 = −10 དང་། −1 = −1 × 3 = −3 བཟོས་རེས། 3 3×5 15 5 5 × 3 15 ང་ཚོས་ −10 དང་ −3 བསྡུར་དགོས། 15 15 འདིར། − 10 < − 3 ཡིན་པས། −10 < −3 ཡིན། 15 15 དེ་ནི། −2 < −1 ཡིན། 3 5 རིས་དཔེ། ༢༽ ལུགས་ལྡན་གངས་རྣམས་སྡུར། (ཀ) −3 དང་ 2 7 5 ལན།

(ཁ) −3 དང་ 2 7 −5

(ག) 6 དང་ −13 −5 −18

(ཀ) མོ་གངས་ < ཕོ་གངས། དེར་བརྟེན། −3 < 2 7 5 (ཁ) −3 དང་ 2 7 −5 7 དང་ 5 ཡི་ LCM ནི་ 35 རེད། དེར་བརྟེན། −3 = −3 × 5 = −15 དང་། 2 = −2 = −2 × 7 = −14 7 7×5 35 −5 5 5×7 35 འདིར། −15 < −14 ཡིན་པས། −15 < −14 ཡིན། དེ་ནི། −3 < 2 ཡིན། 35 35 7 −5 (ག) 6 = −6 (ཚད་ལྡན་གི་རྣམ་པ།) དང་། −13 = 13 (ཚད་ལྡན་གི་རྣམ་པ།) −5 5 −18 18 མོ་གངས། < ཕོ་གངས། དེར་བརྟེན། −6 < −13 ཡང་ན། 6 < −13 5 −18 −5 −18

27

རིས་རིག

༢་༨ ལུགས་ལྡན་གངས་གཉིས་དབར་གི་ལུགས་ལྡན་གངས། Rational numbers between two rational numbers ལུགས་ལྡན་གངས་ −3 དང་ −1 ལ་དཔེ་བཞག་ན། ང་ཚོས་དེ་གཉིས་དབར་ལུགས་ལྡན་གངས་འཚོལ་ཐུབ། 5 3 ཐོག་མར་མ་ཆ་གཉིས་ཀི་ LCM བཙལ་ཏེ་མ་ཆ་འདྲ་མཚུངས་བཟོ་དགོས། 5 དང་ 3 གི་ LCM ནི་ 15 ཡིན། དེས་ན། −3 = −3 × 3 = −9 དང་། −1 = −1 × 5 = −5 5 5 × 3 15 3 3 × 5 15 ང་ཚོས་མཐོང་གསལ་ལ། −9 དང་ −5 དབར་ −9 < −8 < −7 < −6 < −5 བཅས་ཡོད། 15 15 15 15 15 15 15 དེར་བརྟེན། −3 དང་ −1 དབར་གི་ལུགས་ལྡན་གངས་ནི་ −8 , −7 , −6 སོགས་ཡིན། 5 3 15 15 15 རིས་དཔེ། ༣༽ −1 དང་ 2 དབར་གི་ལུགས་ལྡན་གངས་གང་རུང་བཅུ་ཚོལ། 2 3 ལན། 2 དང་ 3 གི་ LCM ནི་ 6 རེད། −1 −1 × 3 −3 འདིར། 2 = 2 × 3 = 6 དང་། 2 = 2 × 2 = 4 3 3×2 6 དེས་ན། −3 < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 6 6 6 6 6 6 6 6 འོན་ཀང་། −1 དང་ 2 དབར་ལུགས་ལྡན་གངས་དྲུག་མ་གཏོགས་ཤེས་མེད། 2 3 ལུགས་ལྡན་གངས་དྲུག་ལས་མང་བ་བཙལ་བར། མ་ཆ་དང་བུ་ཆ་གཉིས་ཀར་ 10 ཡིས་བསྒྱུར་དགོས།

དེར་བརྟེན། −1 = −3 = −3 × 10 = −30 དང་། 2 = 4 = 4 × 10 = 40 ཡིན་པས། 2 6 6 10 60 3 6 6 10 60 ང་ཚོས་ −30 དང་ 40 དབར་གི་ལུགས་ལྡན་གངས་བཅུ་ལས་ས་པོར་འབི་ཐུབ། 60 60 དེས་ན། ལུགས་ལྡན་གངས་བཅུ་ནི་ −29 , −27 , 5 , 7 , 15 , 25 , 32 , 37 , 38 , 39 བཅས་ཡིན། 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60

༤༽ གཤམ་གི་དཔེ་འགོས་ནང་ད་དུང་ལུགས་ལྡན་གངས་གསུམ་བིས། −1 , −2 , −3 , −4 , . . . 3 6 9 12 ལན། −2 −1 × 2 , −3 −1 × 3 , −4 −1 × 4 = = = 6 3×2 9 3 × 3 12 3 × 4

28

ལུགས་ལྡན་གངས། ཡང་ན། −1 × 1 = −1 , −1 × 2 = −2 , −1 × 3 = −3 , −1 × 4 = −4 3×1 3 3×2 6 3×3 9 3 × 4 12 དེས་ན། དཔེ་འགོས་དང་མཐུན་པའི་ལུགས་ལྡན་གངས་གསུམ་ནི། −1 × 5 = −5 , −1 × 6 = −6 , −1 × 7 = −7 ཡིན། 3 × 5 15 3 × 6 18 3 × 7 21

སྦོང་ཚན། ༢་༡ ༡། གཤམ་གསལ་ལུགས་ལྡན་གངས་གཉིས་རེ་ཡོད་པ་ལས། གང་དག་གཅིག་པ་ཡིན་ནམ། (ཀ) −2 དང་ 2 −5 5

(ཁ) −3 དང་ −12 5 20

(ག) −5 དང་ 5 −9 −9

(ང) −7 དང་ 3 21 9

(ཅ)

8 དང་ −24 −5 15

(ཆ) −16 དང་ 20 20 −25

༢། གངས་ཐིག་ཐོག་མཚོན། (ཀ) 3 (ཁ) −5 4 8 ༣། ཚད་ལྡན་གི་རྣམ་པར་བིས།

(ག) −7 4

(ང) 7 8

(ཀ) −8 (ཁ) 25 6 −50 ༤། ཆེ་བ་དེ་ངོས་ཟུངས།

(ག) 47 18

(ང) −144 −504

(ཀ) −1 , 1 (ཁ) −5 , −4 (ག) 2 , 5 4 4 6 3 3 2 ༥། འཕར་རིམ་བཞིན་བིས། (ཀ) −3 , −2 , −1 (ཁ) −1 , −2 , −4 5 5 5 3 9 3

(ང) −3 , 2 4 −3

༦། སམ་ཆུང་ནང་ > དང་། < , = གང་འོས་སྐོངས། 2 (ཀ) −7 (ཁ) −4 9 3 5 14 (ང) −7 (ཅ) −1 8 −16 4

−6 5 1 −3

(ཅ) −3 2 , −3 4 7 5

(ག) −3 , −3 , −3 7 2 4 (ག) 0 (ཆ) −8 5

−3 8 −7 4

༧། གཤམ་གསལ་ལུགས་ལྡན་གངས་ཀི་འདྲ་མཚུངས་གསུམ་རེ་བིས།

29

རིས་རིག (ཀ) −2 (ཁ) 5 (ག) 4 7 −3 9 ༨། གཤམ་གསལ་གངས་དབར་གི་ལུགས་ལྡན་གངས་ལྔ་རེ་བིས།

(ང) 5 6 (ང) −1 དང་ 2 2 3

(ག) −4 དང་ −2 5 3 ༩། གཤམ་གསལ་དཔེ་འགོས་ཁག་ནང་ལུགས་ལྡན་གངས་བཞི་བིས། (ཀ) −1 དང་ 0

(ཁ) −2 དང་ −1

(ཀ) −3 , −6 , −9 , −12 ,.... 5 10 15 20

(ཁ) −1 , −2 , −3 ,.... 4 8 12

(ག) −1 , 2 , 3 , 4 ,.... 6 −12 −18 −24

(ང) −2 , 2 , 4 , 6 ,.... 3 −3 −6 −9

༢་༩ ལུགས་ལྡན་གངས་ཀི་རིས་ཐབས། Operations on rational numbers

ང་ཚོས་གངས་ཆ་དང་རིལ་གངས་ཀི་སོམ་རིས་དང་། འཐེན་རིས། སྒྱུར་རིས། བགོད་རིས་བཅས་རྒྱག་སྟངས་སྦངས་ཡོད། འདིར་ལུགས་ལྡན་གངས་ཀི་ར་བའི་རིས་ཐབས་སྦང་རྒྱུ་ཡིན། ༢་༩་༡ སོམ་རིས། Addition

• ང་ཚོས་མ་ཆ་གཅིག་པ་ཡིན་པའི་ལུགས་ལྡན་གངས་ 7 དང་ −5 གཉིས་བསོམས་ན། 3 3 7 + −5 3 3

( (

གངས་ཐིག་ཐོག −3 3

−2 3

−1 3

0 3

1 3

2 3

3 3

4 3

5 3

6 3

7 3

8 3

གནས་བསྟུད་མ་གཉིས་ཀི་དབར་བར་ཐག་ 1 ཡོད། དེར་བརྟེན། 7 དང་ −5 སོམ་སྐབས། 7 གི་གཡོན་ཕོགས་སུ་གོམ་ 3 3 3 3 2 པ་ 5 བསྐྱོད་དགོས། ང་ཚོ་ ཡོད་སར་སེབས་ཀི་ཡོད། 3 དེར་བརྟེན། 7 + −5 = 2 3 3 3 ཡང་ང་ཚོས་གཤམ་གསལ་ལྟར་བརིས་ན།

( (

7 + (−5) = 7 + (−5) = 7 −5 = 2 3 3 3 3 3 ང་ཚོར་ལན་གཅིག་པ་ཐོབ་ཀི་ཡོད།

30

ལུགས་ལྡན་གངས། གོང་གི་བེད་ཐབས་གཉིས་སྤད་དེ་ 6 + (−2) དང་། 3 + (−5) ཚོལ། ཁྱེད་ལ་ལན་གཅིག་པ་ཐོབ་བྱུང་ངམ། 5 5 7 7 དེ་བཞིན། −7 + 5 ནི། 8 8 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 8 8 8 8 8 8 8 8

0 8

1 8

2 8

3 8

4 8

5 8

6 8

7 8

3 5

5, 3 5, 1 1, 1

8 8

−7 གི་གཡས་ཕོགས་སུ་གོམ་པ་ 5 བསྐྱོད་ན། ང་ཚོ་ −2 ཡོད་སར་སེབས་ཡོད། 8 8 ཡང་། −7 + 5 = −7 + 5 = ? ཐོབ་གངས་གཉིས་གཅིག་པ་རེད་དམ། 8 8 8 ཚོལ།

−13 + 6 , 19 (−7) + 7 7 5 5

དེས་ན། མ་ཆ་གཅིག་པ་ཡིན་པའི་ལུགས་ལྡན་གངས་སོམ་སྐབས། བུ་ཆ་བསོམ་དགོས། དཔེར་ན། −15 + 6 = −15 + 6 = −9 5 5 5 5 • ང་ཚོས་མ་ཆ་གཅིག་པ་མིན་པའི་ལུགས་ལྡན་གངས་ −7 དང་ −2 བསོམས་ན། 5 3 ཐོག་མར་མ་ཆ་གཉིས་ཀི་ LCM འཚོལ་དགོས། 5 དང་ 3 གི་ LCM ནི་ 15 ཡིན།

དེས་ན། −7 = −7 × 3 = −21 དང་། −2 = −2 × 5 = −10 5 5×3 15 3 3×5 15 དེར་བརྟེན། −7 + (−2) = −21 + (−10) 5 3 15 15 (−10) −31 = −21 + = 15 15

དེས་ན། མ་ཆ་གཅིག་པ་མ་ཡིན་པའི་ལུགས་ལྡན་གངས་གཉིས་སོམ་སྐབས། ང་ཚོས་

མ་ཆ་གཉིས་ཀི་ LCM བཙལ་ཏེ། ལུགས་ལྡན་གངས་ཀི་མ་ཆ་རྣམས་དེ་དག་གི་ LCM དང་མཉམ་པ་བཟོ་དགོས། དེ་རེས་མ་ཆ་གཅིག་པའི་ལུགས་ལྡན་གངས་ལྟར་

ཚོལ། (༡) −3 + 2 7 3 (༢) −5 + −3 6 11

བསོམ་དགོས།

31

རིས་རིག ༢་༩་༢ ལྡོག་གངས། Additive inverse −5 + 5 = ? གང་རེད་དམ། 7 7 −5 + 5 = −5 + 5 = 0 ཡང་། 5 + −5 7 7 =0 7 7 7 p −p དེ་ནི། ལུགས་ལྡན་གངས་ q ཡི་ལྡོག་གངས་ནི་ q ཡིན།

( (

ང་ཚོས་ཤེས་གསལ་ལ། རིལ་གངས་སྐབས། − 2 ནི་ 2 ཀི་ལྡོག་གངས་དང་ 2 ནི་ − 2 ཀི་ལྡོག་གངས་རེད། ལུགས་ལྡན་གངས་ལའང་ཁྱད་ཆོས་འདི་བཞིན་ཡོད། དཔེར་ན། −2 ནི་ 2 ཀི་ལྡོག་གངས་དང། 2 ནི་ −2 ཀི་ལྡོག་ 3 3 3 3 གངས་རེད། རིས་དཔེ། 2 5 km གོམ་བགོད་ཕིན་པ་དང་། དེ་རེས་གནས་དེ་ནས་ 1 3 7 km ནུབ་ཕོགས་སུ་ཕིན་པ་རེད། ད་ལྟ་བང་ཆུབ་གནས་ P ནས་ག་པར་སེབས་ཡོད་དམ། ༥༽ བང་ཆུབ་ཀིས་གནས་ P ནས་ཤར་ཕོགས་སུ་ ལན།

ཤར་ཕོགས་སུ་བསྐྱོད་པའི་བར་ཐག་ནི་ཕོ་རྟགས་དང་ནུབ་ཕོགས་སུ་བསྐྱོད་པའི་བར་ཐག་ནི་མོ་རྟགས་ཀིས་མཚོན། 2 km 3

ནུབ།

ཤར།

P 12 km 7

དེར་བརྟེན། བང་ཆུབ་ཀིས་གནས་ P ནས་བསྐྱོད་པའི་བར་ཐག་ནི།

( (

2 −1 5 2 (−12) 2 × 7 (−12) × 3 14 − 36 −22 −1 1 + = + = + = = 3 7 3 7 3×7 7 × 3 = 21 21 21 བར་ཐག་ནི་མོ་རྟགས་ཡིན་པས། བང་ཆུབ་ནི་གནས་ P ཡི་ནུབ་ཕོགས་སུ་བར་ཐག་ 1

32

1 km ཐོག་ཡོད། 21

ལུགས་ལྡན་གངས། ༢་༩་༣ འཐེན་རིས། Subtraction

• སྒོལ་དཀར་གིས་གངས་ཐིག་ཐོག་ 5 དང་ 3 གཤམ་གསལ་ལྟར་འཐེན་པ་རེད། 7 7 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 7 7 7 7 7 7 7 7

1 7

2 7

3 7

4 7

5 7

6 7

7 7

5 ནས་ 3 འཐེན་སྐབས། 5 ཡི་གཡོན་ཕོགས་སུ་གོམ་པ་ 3 བསྐྱོད་དགོས། ང་ཚོ་ 2 ཡོད་སར་སེབས་ཀི་ཡོད། 7 7 7 7 དེར་བརྟེན། 5 − 3 = 2 7 7 7 ཡང་ང་ཚོས་གཤམ་གསལ་ལྟར་བརིས་ན། 5 3 5−3 2 − = = 7 7 7 7 ང་ཚོར་ལན་གཅིག་པ་ཐོབ་ཀི་ཡོད།

དེས་ན། ལུགས་ལྡན་གངས་གཉིས་འཐེན་སྐབས། འཐེན་བེད་གངས་ཀི་ལྡོག་གངས་དེ་ལུགས་ལྡན་གངས་གཞན་ལ་བསོམ་ དགོས།

དཔེར་ན། ༡། 1 2 − 2 4 3 5 5 14 = − 3 5 5 (−14) = 25 − 42 = + 3 5 15 −17 −1 2 = 5 = 15

༢།

( ( 2 −5 = 7 − ( 6( 2 − −5 7 6

2 5 12 + 35 =7+6 = 42 47 1 5 = = 42 42

རིས་དཔེ། ༦༽ 15 དང་ −3 གི་བསོམས་ཐོབ་ནས་ −8 དང་ 5 ཡི་བསོམས་ཐོབ་འཐེན། 14 4 7 8 ལན།

−8 དང་ 5 ཡི་བསོམས་ཐོབ། = −8 + 5 = −8 × 8 + 5 × 7 (7 དང་ 8 ཀི་ LCM ནི་ 56 རེད།) 7 8 7 8 56 = −64 + 35 = −29 56 56

33

རིས་རིག

( (

15 དང་ −3 གི་བསོམས་ཐོབ། 15 −3 15 3 = 14 + 4 = 14 − 4 14 4 (15 × 2) − (3 × 7) (14 དང་ 4 ཡི་ LCM ནི་ 28 རེད།) 28 30 − 21 9 = = 28 28 = 9 − −29 = 9 + 29 28 28 56 56 =

དགོས་མཁོའི་འཐེན་ཐོབ།

( (

= 18 + 29 = 47 56 56

(28 དང་ 56 གི་ LCM ནི་ 56 རེད།)

༢་༩་༤ སྒྱུར་རིས། Multiplication

ལུགས་ལྡན་གངས་ཀི་སྒྱུར་རིས་ནི། གངས་ཆའི་སྒྱུར་རིས་དང་མཉམ་པ་རེད། གལ་ཏེ། གཉིས་ཡིན་ན།

བུ་ཆའི་བསྒྱུར་ཐོབ། p r p×r × = = q s q×s མ་ཆའི་བསྒྱུར་ཐོབ།

དཔེ་མཚོན། −5 × 3 ཚོལ། 7 8 གོམ་པ་ ༡ ལུགས་ལྡན་གངས་གཉིས་ཀི་བུ་ཆ་སྒྱུར།

−5 × 3 = −15

གོམ་པ་ ༢ ལུགས་ལྡན་གངས་གཉིས་ཀི་མ་ཆ་སྒྱུར།

7 × 8 = 56

བུ་ཆ་གཉིས་ཀི་བསྒྱུར་ཐོབ།

−5 × 3 −15 = 7×8 56

གོམ་པ་ ༣

p དང་ r ལུགས་ལྡན་གངས་ q s

མ་ཆ་གཉིས་ཀི་བསྒྱུར་ཐོབ།

རིས་དཔེ། ༧༽ བསྒྱུར་ཐོབ་ཚོལ། (ཀ) −3 དང་ 2 (ཁ) −2 དང་ −6 (ག) 3 2 དང་ −5 5 11 5 5 7 (−2) (−6) × 12 ལན། (ཀ) −3 × 2 = −3 × 2 = −6 (ཁ) −2 × −6 = = 5 1 5×1 5 11 5 11 × 5 55 17 17 × (−5) 2 −5 17 −5 −85 (ག) 3 × × = = −17 = = 5 7 5 7 5×7 35 7 7

34

ལུགས་ལྡན་གངས། ༢་༩་༥ བགོད་རིས། Division

འཛིན་རིམ་གོང་མར་ང་ཚོས་གངས་ཆའི་ལོག་གངས་སྦངས་ཡོད། གངས་ 7 ནི་ 3 གི་ལོག་གངས་རེད། འདིར་ང་ཚོས་ 3 7 ལུགས་ལྡན་གངས་ཀི་ལོག་གངས་སྦང་རྒྱུ་ཡིན།

(

(

−2 ཀི་ལོག་གངས་ནི་ 7 7 = −7 རེད། 7 −2 −2 2 −9 ཡི་ལོག་གངས་ནི་ −13 རེད། 13 9 རིས་དང་། −6 དང་། −8 , 50 བཅས་ཀི་ལོག་གངས་བིས། 11 5 −3

ང་ཚོས་ལུགས་ལྡན་གངས་ཀི་མ་ཆ་དང་བུ་ཆའི་གོ་ས་བརེས་ན་ལུགས་ལྡན་གངས་དེའི་ལོག་གངས་ཐོབ། དེར་བརྟེན།

p q ཡི་ལོག་གངས་ནི་ རེད། q p སེམས་ལ་ཞོག

• ཀད་ཀོར་མིན་པའི་ལུགས་ལྡན་གངས་དང་། དེའི་ལོག་གངས་ཀི་བསྒྱུར་ཐོབ་ནི་རྟག་ཏུ་ 1 ཡིན། དཔེར་ན།

(

(

−4 −4 ཡི་ལོག་གངས། × =1 9 9 −4 −9 = × =1 9 4 • ལུགས་ལྡན་གངས་ཀི་ལོག་གངས་ཀི་ལོག་གངས་ནི་ལུགས་ལྡན་གངས་དེ་རང་ཡིན། མཚོ་མོས་ལུགས་ལྡན་གངས་ 4 དང་ −5 གཤམ་གསལ་ལྟར་བགོས་པ་རེད། 9 7

((

4 −5 4 −5 ཡི་ལོག་གངས། 4 −7 −28 ÷ = × = × = 9 7 9 7 9 5 45 གོང་གསལ་ལས། ལུགས་ལྡན་གངས་ལ་ཀད་ཀོར་མིན་པའི་ལུགས་ལྡན་གངས་གཞན་ཞིག་གིས་བགོད་སྐབས། ལུགས་ ལྡན་གངས་ལ་བགོད་བེད་ཀི་ལོག་གངས་ཀིས་བསྒྱུར་དགོས། དེར་བརྟེན།

((

6 −2 6 −2 ཀི་ལོག་གངས། 6 3 18 9 ÷ = × = × = = −5 3 −5 3 −5 −2 10 5

35

རིས་རིག

སྦོང་ཚན། ༢་༢ ༡། བསོམས་ཐོབ་ཚོལ། (ཀ) 5 + 3 3 5 (ང) −3 + 5 −11 9

(ཁ) 5 + −11 4 4 (ཅ) −9 + 22 10 15

( (

(ག) −2 + 0 13 (ཆ) −8 + (−2) 19 57

(ཇ) −2 1 + 4 3 3 5 ༢། འཐེན་ཐོབ་ཚོལ། (ཀ) 7 − 17 24 36

(ཁ) 5 − −6 63 21

( (

(ག) −6 − −7 13 15

(ང) −3 − 7 8 11

(ཅ) −2 1 − 6 9

(ཆ) −5 − 11 −7 9

( (

(ག) 3 × 0 11

༣། བསྒྱུར་ཐོབ་ཚོལ། (ཀ) 3 × −9 10

(ཁ) 3 × −2 7 5

(ང) −6 × 9 5 11

(ཅ)

( (

3 −5 −5 × 3

(ཆ) −1 2 × 27 9 55

(ཁ) −3 ÷ 2 5 (ཅ) −7 ÷ −2 12 13 (ཉ) 0 ÷ −5 2 4

(ག) −6 ÷ 3 3 5 (ཆ) 5 ÷ −15 11 22

༤། བགོས་ཐོབ་ཚོལ། (ཀ) (−4) ÷ 2 3 (ང) −1 ÷ 3 8 4 (ཇ) 3 1 ÷ 11 7 −13

( (

༥། 3 དང་ 7 གི་བསོམས་ཐོབ་ནས་ 11 དང་ 5 ཡི་བསོམས་ཐོབ་འཐེན། 4 8 13 26 ༦། གངས་གཉིས་ཀི་བསྒྱུར་ཐོབ་ནི་ −81 རེད། གལ་ཏེ་གངས་གཅིག་ −9 ཡིན་ན། གངས་གཞན་དེ་ཚོལ། 91 7

36

ལུགས་ལྡན་གངས།

དྲན་གསོ་གིས། p ༡། རིལ་གངས་ p དང་ q ལས་ q ≠ 0 ཡིན་པའི་གངས་ q ལ་ལུགས་ལྡན་གངས་ཟེར། −2 , 3 , 5 སོགས་ལུགས་ལྡན་གངས་རེད། 7 8 1 ༢། རིལ་གངས་དང་གངས་ཆ་ཚང་མ་ལུགས་ལྡན་གངས་རེད།

༣། ལུགས་ལྡན་གངས་ཀི་བུ་ཆ་དང་མ་ཆ་གཉིས་ལ་ཀད་ཀོར་མིན་པའི་གངས་གཅིག་པས་བགོས་པའམ་ ཡང་ན་བསྒྱུར་བ་ཡིན་ན། ལུགས་ལྡན་གངས་དེའི་འདྲ་མཚུངས་གངས་ཐོབ།

དཔེར་ན། −3 = −3 × 2 = −6 དེར་བརྟེན། −3 དང་ −6 གཉིས་འདྲ་མཚུངས་ལུགས་ལྡན་ 7 7 × 2 14 7 14 གངས་རེད། ༤། ལུགས་ལྡན་གངས་ནི་ཕོ་གངས་དང་མོ་གངས་བཅས་སེ་ཚན་གཉིས་སུ་ཕེས་ཡོད། བུ་ཆ་དང་མ་ཆ་

ཆ་གཉིས་ཀ་ཕོ་གངས་ཡང་ན་མོ་གངས་ཡིན་ན། དེ་ལུགས་ལྡན་གངས་ཕོ་དང་། བུ་ཆའམ་ཡང་ན་ , ག་མོ་གངས་ཡིན་ན། དེ་,ལུགས་ལྡན་གངས་མོ་རེད། མ་ཆ་གང་རུང་གཅི

དཔེར་ན། 4 −2 ནི་ཕོ་གངས་དང་། −1 2 ནི་མོ་གངས་རེད། 9 −5 7 −5 ༥། གངས་ 0 ནི་ཕོ་གངས་དང་མོ་གངས་གང་ཡང་མིན།

༦། གལ་ཏེ་ལུགས་ལྡན་གངས་ཤིག་གི་མ་ཆ་ཕོ་གངས་ཡིན་པ་དང་། བུ་ཆ་དང་མ་ཆ་གཉིས་ལ་སྤིའི་བགོད་ གངས་ 1 མ་གཏོགས་མེད་ན། གངས་དེར་ཚད་ལྡན་ལུགས་ལྡན་གངས་ཟེར། −1 , 2 སོགས་ཚད་ལྡན་ལུགས་ལྡན་གངས་རེད། 3 9 ༧། ལུགས་ལྡན་གངས་གཉིས་དབར་ལུགས་ལྡན་གངས་གངས་མེད་ཡོད།

༨། མ་ཆ་གཅིག་པ་ཡིན་པའི་ལུགས་ལྡན་གངས་གཉིས་སོམ་སྐབས། བུ་ཆ་གཉིས་བསོམ་དགོས།

དཔེར་ན། 4 + 3 = 4 + 3 = 7 9 9 9 9 ༩། མ་ཆ་གཅིག་པ་མིན་པའི་ལུགས་ལྡན་གངས་གཉིས་སོམ་སྐབས། ཐོག་མར་མ་ཆ་གཉིས་ཀི་ LCM བཙལ་ཏེ་མ་ཆ་རུ་ LCM བཞག་རེས་ལུགས་ལྡན་གངས་གཉིས་ཀི་འདྲ་མཚུངས་གངས་སུ་བསྒྱུར་ དགོས། དཔེར་ན། −2 + 3 = −16 + 9 = −16 + 9 = −7 3 8 24 24 24 24 ༡༠། ལུགས་ལྡན་གངས་གཉིས་འཐེན་སྐབས། འཐེན་བེད་ལུགས་ལྡན་གངས་ཀི་ལྡོག་གངས་དེ་འཐེན་ བའི་ལུགས་ལྡན་གངས་ལ་བསོམ་དགོས།

37

རིས་རིག དཔེར་ན། 7 − 2 = 7 + 2 ཀི་ལྡོག་གངས། = 7 + (−2) = 21 + (−16) = 5 8 3 8 3 8 3 24 24 ༡༡། ལུགས་ལྡན་གངས་གཉིས་སྒྱུར་སྐབས། བུ་ཆས་བུ་ཆ་དང་མ་ཆས་མ་ཆར་བསྒྱུར་དགོས། བུ་ཆ་ × བུ་ཆ། མ་ཆ་ × མ་ཆ།

=

བུ་ཆའི་བསྒྱུར་ཐོབ། མ་ཆའི་བསྒྱུར་ཐོབ།

༡༢། ལུགས་ལྡན་གངས་ཤིག་ལ་ཀད་ཀོར་མིན་པའི་ལུགས་ལྡན་གངས་གཞན་ཞིག་གིས་བགོད་སྐབས། ལུགས་ལྡན་གངས་ལ་བགོད་བེད་ཀི་ལོག་གངས་ཀིས་བསྒྱུར་དགོས། དཔེར་ན།

38

−7 4 −7 × 4 ཡི་ལོག་གངས་ = −7 × 3 = −21 ÷ = 2 2 4 8 2 3 3

སོབ་ཚན་གསུམ་པ།

སྟོན་གྲངས།

༣་༡ ངོ་སྤོད། Introduction

ཁྱེད་ཀིས་འཛམ་གིང་གི་གདོས་ཚད་ཤེས་ཀི་ཡོད་དམ།

དེ་ 5,970,000,000,000,000,000,000,000 kg རེད། ཁྱེད་ཀིས་གངས་དེ་ཀོག་ཐུབ་བམ།

ཁྱེད་ཀིས་འདི་ཀོག་ཐུབ་བམ། 5,970,000,000,000,000,000,000,000

གཟའ་རྣམ་རྒྱལ་ (Uranus) གི་གདོས་ཚད་ནི་

86,800,000,000,000,000,000,000,000 kg རེད།

འཛམ་གིང་དང་གཟའ་རྣམ་རྒྱལ་གཉིས་ལས་གང་ལ་གདོས་ཚད་ མང་བ་འདུག་གམ།

ཉི་མ་དང་གཟའ་སེན་པའི་ (Saturn) དབར་བར་ཐག་ 1,433,500,000,000 m ཡོད། གཟའ་སེན་པ་དང་

གཟའ་རྣམ་རྒྱལ་དབར་བར་ཐག་ 1,439,000,000,000 m ཡོད། ཁྱེད་ཀིས་གངས་འདི་དག་ཀོག་ཐུབ་བམ། བར་ ཐག་གཉིས་ལས་གང་ཉུང་བ་འདུག་གམ། དེ་འདྲ་བའི་གངས་ཆེན་པོ་རྣམས་ཀོག་ཁག་པོ་དང་། གོ་དོན་རྟོགས་ཁག་པོ། བསྡུར་ཁག་པོ་ཡོད། དེར་བརྟེན་ང་ཚོས་སྟོན་གངས་བེད་སྤོད་བེད་ཀི་ཡོད། སོབ་ཚན་འདིར། ང་ཚོས་སྟོན་གངས་དང་ དེའི་བེད་སྤོད་རིས་གཞི་སྦང་རྒྱུ་ཡིན།

༣་༢ སྟོན་གངས། Exponents

ང་ཚོས་སྟོན་གངས་བེད་སྤད་དེ་གངས་ཆེན་པོ་རྣམས་བསྡུས་པའི་རྣམ་པར་འབི་ཐུབ། དོ་སྣང་བོས་དང་། 10000 = 10 × 10 × 10 × 10 = 104

104 ཡིས་ 10 × 10 × 10 × 10 མཚོན་གི་ཡོད། འདིར། 10 ནི་ཞབས་དང་ 4 ལ་སྟོན་གངས་སམ་ཐེངས་གངས་

(Exponent or Power) ཟེར། གངས་ 104 ཀོག་སྐབས། 10 བཞི་སྒྱུར་ (10 raised to the power of 4) ཡང་ན། 10 ཡི་སྒྱུར་ཐེངས་ 4 (fourth power of 10) ཞེས་ཀོག་དགོས། 104 ལ་ 10,000 ཡི་སྟོན་གངས་ཀི་ རྣམ་པ་ཟེར།

39

རིས་རིག དེ་མཚུངས་ང་ཚོས་ 1000 ནི་ 10 ཡི་ཐེངས་གངས་ཐོག་མཚོན་ཐུབ། 1000 ནི་ 10 རང་སྒྱུར་གསུམ་ཡིན་པས། 1000 = 10 × 10 × 10 = 103

འདིར། 103 ནི་ 1000 ཡི་སྟོན་གངས་ཀི་རྣམ་པ་ཡིན།

དེ་བཞིན། 100000 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 105

103 m = 1 km 105 cm = 1 km

105 ནི་ 100000 ཡི་སྟོན་གངས་ཀི་རྣམ་པ་ཡིན།

གོང་གི་དཔེ་མཚོན་གཉིས་ཀའི་ནང་ཞབས་ 10 ཡིན་པ་དང་།

103 སྐབས་སྟོན་གངས་ 3 དང་། 105 སྐབས་སྟོན་གངས་ 5 ཡིན། གོང་གི་དཔེ་མཚོན་ཚང་མའི་ནང་ཞབས་ 10 ཡིན་པ་མཐོང་ཐུབ། འོན་ཀང་། ཞབས་གངས་སུ་གངས་གཞན་གང་རུང་ ཡང་ཡིན་ཆོག དཔེར་ན།

81 = 3 × 3 × 3 × 3 ནི་ 81 = 34 ལྟར་བིས་ཆོག འདིར་ཞབས་གངས་ 3 དང་སྟོན་གངས་ 4 རེད།

ཡང་སྟོན་གངས་འགའ་ལ་མིང་དམིགས་བསལ་ཡོད། དཔེར་ན།

102 ནི་ 10 ཉིས་སྒྱུར་རེད། དེ་ 10 རང་ཉིས་སྒྱུར་ (10 squared) ཡང་ཀོག་ཆོག 103 ནི་ 10 སུམ་སྒྱུར་རེད། དེ་ 10 རང་སུམ་སྒྱུར་ (10 cubed) ཡང་ཀོག་ཆོག

53 གིས་གང་མཚོན་ནམ།

53 ནི་ 5 རང་སུམ་སྒྱུར་རེད། དེ་ནི། 53 = 5 × 5 × 5 = 125 དེས་ན། 125 ནི་ 5 ཡི་སྒྱུར་ཐེངས་ 3 རེད།

དེ་མཚུངས། 25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 ནི་ 2 ཀི་སྒྱུར་ཐེངས་ 5 རེད། འདིར། ཞབས་གངས་ 2 དང་སྟོན་ གངས་ 5 རེད།

102 10 རང་ཉིས་སྒྱུར།

ངས་ཀོག་སྟངས་གཉིས་ཀ་ཤེས་ཀི་ཡོད།

103 10 རང་སུམ་སྒྱུར།

དེ་བཞིན།

64 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 26 243 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 35 625 = 5 × 5 × 5 × 5 = 54

(− 2)3 གིས་གང་མཚོན་ནམ། དེ་ནི། (− 2)3 = (− 2) × (− 2) × (− 2) = − 8

40

102 10 ཉིས་སྒྱུར།

103 10 སུམ་སྒྱུར།

སྟོན་གངས། གལ་ཏེ་ཞབས་གངས་རིལ་གངས་ a ཞིག་ཡིན་ན། གཤམ་གསལ་ལྟར་འབི་ཆོག

a × a = a2 (དེ་ a རང་ཉིས་སྒྱུར་ཡང་ན། a ཉིས་སྒྱུར་ཞེས་ཀོག་དགོས།)

a × a × a = a3 (དེ་ a རང་སུམ་སྒྱུར་ཡང་ན། a སུམ་སྒྱུར་ཞེས་ཀོག་དགོས།)

a × a × a × a = a4 (དེ་ a རང་བཞི་སྒྱུར་ཡང་ན། a བཞི་སྒྱུར་ཞེས་ཀོག་དགོས།) ............................ a × a × a × a × a × a × a = a7 (དེ་ a རང་བདུན་སྒྱུར་ཡང་ན། a བདུན་སྒྱུར་ཞེས་ཀོག་དགོས།) སོགས་ཡིན།

a × a × a × b × b ནི་ a3 b2 ལྟར་མཚོན་ཐུབ། (དེ་ a རང་སུམ་སྒྱུར་ b རང་ཉིས་སྒྱུར་ཞེས་ཀོག་དགོས།)

a × a × b × b × b × b ནི་ a2 b4 ལྟར་མཚོན་ཐུབ། (དེ་ a རང་ཉིས་སྒྱུར་ b རང་བཞི་སྒྱུར་ཞེས་ཀོག་དགོས།) རིས་དཔེ། ༡༽ 256 ཞབས་གངས་ 2 ཐོག་མཚོན།

ལན། 256 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 དེས་ན། 256 = 28

༢༽ 82 ཡང་ན་ 28 གཉིས་ལས་གང་ཆེ་བ་རེད་དམ། ལན། 82 = 8 × 8 = 64

28 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 256 དེས་ན། 28 > 82

༣༽ a3 b2, a2 b3, b2 a3, b3 a2 བཅས་ཁ་བཀྲལ་ཏེ། དེ་དག་གཅིག་པ་ཡིན་མིན་ལྟོས།

ལན། a3 b2 = a3 × b2 = (a × a × a) × (b × b) = a × a × a × b × b a2 b3 = a2 × b3 = a × a × b × b × b b2 a3 = b2 × a3 = b × b × a × a × a b3 a2 = b3 × a2 = b × b × b × a × a • ཚན་པ་ a3 b2 དང་ a2 b3 གཉིས་ལས། a དང་ b ཡི་ཐེངས་གངས་གཅིག་པ་མིན། དེར་བརྟེན། a3 b2 དང་ a2 b3 གཉིས་གཅིག་པ་མ་རེད།

• ཡིན་ནའང་། a3 b2 དང་ b2 a3 གཉིས་གཅིག་པ་རེད། རྒྱུ་མཚན་ནི། ཚན་པ་དེ་གཉིས་ནང་ a དང་ b ཡི་ཐེངས་གངས་གཅིག་པ་རེད།

དེར་བརྟེན། a3 b2 = a3 × b2 = b2 × a3 = b2 a3 དེ་མཚུངས། a2 b3 དང་ b3 a2 གཉིས་གཅིག་པ་རེད།

41

རིས་རིག ༤༽ གཤམ་གསལ་ཁག་རྒྱུ་གངས་ཀི་ཐེངས་གངས་ཐོག་མཚོན། ལན།

(ཀ) 72

(ཁ) 432

(ག) 1000

(ང) 16000

(ཀ) 72 = 2 × 36 = 2 × 2 × 18 = 2 × 2 × 2 × 9 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 23 × 32

དེར་བརྟེན། 72 = 23 × 32 (དགོས་མཁོའི་རྣམ་པ།) (ཁ) 432 = 2 × 216 = 2 × 2 × 108 = 2 × 2 × 2 × 54

2 72 2 36 2 18 3 9 3

= 2 × 2 × 2 × 2 × 27 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 9 =2×2×2×2×3×3×3

དེར་བརྟེན། 432 = 24 × 33 (ག) 1000 = 2 × 500 = 2 × 2 × 250 = 2 × 2 × 2 × 125

= 2 × 2 × 2 × 5 × 25 = 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5

དེར་བརྟེན། 1000 = 23 × 53 (ང) 16000 = 16 × 1000 = (2 × 2 × 2 × 2) × 1000

= (2 × 2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5) = (2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2) × (5 × 5 × 5)

དེར་བརྟེན། 16000 = 27 × 53 ༥༽ རིས་འབས་ཚོལ། ལན།

(ཀ) (1)5

(ཁ) (−1)3

(ག) (−1)4

(ང) (−10)3

(ཀ) (1)5 = 1 × 1 × 1 × 1 × 1 = 1 (ཁ) (− 1) = (− 1) × (− 1) × (− 1) = 1 × (− 1) = (− 1) 3

(ག) (− 1)4 = (− 1) × (− 1) × (− 1) × (− 1) = 1 × 1 = 1

(ཅ) (−5)4

(མཆན། 1 རང་སྒྱུར་ནི་ 1 རེད།)

42

= −1

ཆ་གངས།

= +1

(− 1)

(ང) (− 10)3 = (− 10) × (− 10) × (− 10) = 100 × (− 10) = − 1000 (ཅ) (− 5)4 = (− 5) × (− 5) × (− 5) × (− 5) = 25 × 25 = 625

ཡ་གངས།

(− 1)

སྟོན་གངས།

སྦོང་ཚན། ༣་༡ ༡། བཀྲལ་བའི་རྣམ་པར་བིས། (ཀ) 26

(ཁ) 93

༢། སྟོན་གངས་ཐོག་བིས།

(ཀ) 6 × 6 × 6 × 6

(ང) 5 × 5 × 7 × 7 × 7

(ག) 113 (ཁ) m × m

(ཅ) 2 × 2 × a × a

༣། སྟོན་གངས་ཀི་རྣམ་པར་བིས། (ཀ) 512

(ཁ) 343

(ག) 53 ཡང་ན། 35

(ང) 1002 ཡང་ན། 2100

(ཁ) 540

(ག) 648

(ང) 3600

(ཁ) 0 × 105

(ག) 23 × 5

(ང) 32 × 24

༥། གཤམ་གསལ་ཁག་རྒྱུ་གངས་ཀི་ཐེངས་གངས་ཐོག་མཚོན། ༦། སྟབས་བདེ་བཟོས། (ཀ) 2 × 103 (ཅ) 3 × 44

༧། སྟབས་བདེ་བཟོས། (ཀ) (−4)3

(ཆ) 32 × 104

(ཁ) (−3) × (−2)3

༨། གཤམ་གསལ་ཁག་སྡུར།

(ཆ) a × a × a × c × c × c × c × d (ང) 3125

(ཁ) 210 ཡང་ན། 102

(ཀ) 405

(ག) b × b × b × b

(ག) 729

༤། གཤམ་གསལ་ཁག་ལས་གངས་ཆེ་བ་ངོས་ཟུངས། (ཀ) 43 ཡང་ན། 34

(ང) 54

(ཀ) 2.7 × 1012 ; 1.5 × 108

(ཇ) 52 × 33 (ག) (−3)2 × (−5)2

(ཉ) 72 × 22 (ང) (−2)3 × (−10)3

(ཁ) 4 × 1014 ; 3 × 1017

༣་༣ སྟོན་གངས་ཀི་ཁིམས། Laws of exponents

༣་༣་༡ ཞབས་གངས་གཅིག་པ་ཡིན་པའི་ཐེངས་གངས་སྒྱུར་བ། Multiplying powers with the same base (༡) 22 × 23 = (2 × 2) × (2 × 2 × 2) = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 25 = 22+3 22 དང་ 23 གི་ཞབས་གངས་གཅིག་པ་ཡིན་པ་དང་། སྟོན་གངས་ 2 དང་ 3 གི་བསོམས་ཐོབ་ནི་ 5 རེད།

(༢) (− 3)4 × (− 3)3 = [(− 3) × (− 3) × (− 3) × (− 3)] × [(− 3) × (− 3) × (− 3)]

43

རིས་རིག = (− 3) × (− 3) × (− 3) × (− 3) × (− 3) × (− 3) × (− 3) = (− 3)7 = (− 3)4+3 ཞབས་གངས་གཅིག་པ་ཡིན་པ་དང་། སྟོན་གངས་ 4 དང་ 3 གི་བསོམས་ཐོབ་ 7 རེད། (༣) a2 × a4 = (a × a) × (a × a × a × a) = a × a × a × a × a × a = a6 = a2 + 4 ཞབས་གངས་གཅིག་པ་ཡིན་པ་དང་སྟོན་གངས་ཀི་བསོམས་ཐོབ་ནི་ 2 + 4 = 6 རེད། དེ་མཚུངས།

42 × 42 = 42 + 2

རིས་དང་།

3 ×3 =3 2

3

2+3

m ×m =m 10

20

སྟབས་བདེ་བཟོས་ཏེ་སྟོན་གངས་ ཐོག་མཚོན།

10 + 20

(༡) 25 × 23

སམ་ཆུང་ནང་གངས་གང་འོས་བིས།

(༢) p3 × p2

(−11) × (−11) = (−11) 2

6

b2 × b3 = b

(b ནི་རིལ་གངས་རེད།)

c3 × c4 = c

(c ནི་རིལ་གངས་རེད།)

(༣) 43 × 42

(༤) (−4)100 × (−4)20 (༥) 53 × 57 × 512

d10 × d20 = d གལ་ཏེ་ a ཀད་ཀོར་མིན་པའི་རིལ་གངས་གང་རུང་ཞིག་ཡིན་པ་དང་། m དང་ n གཉིས་ཧིལ་གངས་ཡིན་ན། am × an = am + n

མཆན།

23 × 32 ལ་དཔེ་བཞག་ན། ཁྱེད་ཀིས་སྟོན་གངས་གཉིས་བསོམ་ཐུབ་བམ། མི་ཐུབ། རྒྱུ་མཚན་ནི། 23 དང་ 32 ཀི་ཞབས་ གངས་སོ་སོར་ 2 དང་ 3 རེད། དེ་ནི་ཞབས་གངས་གཉིས་གཅིག་པ་མིན་པས་སོ།

༣་༣་༢ ཞབས་གངས་གཅིག་པ་ཡིན་པའི་ཐེངས་གངས་བགོད་པ། Dividing powers with the same base 37 ÷ 34 སྟབས་བདེ་བཟོས། 37 ÷ 34 =

44

37 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 ×3 = 34 3×3×3×3

སྟོན་གངས། = 3 × 3 × 3 = 33 = 37 - 4 དེར་བརྟེན།

37 ÷ 34 = 37 - 4

(འདིར། ཞབས་གངས་གཅིག་པ་ཡིན་པས། 37 ÷ 34 = 37 - 4 ལྟར་འབི་ཆོག) དེ་མཚུངས།

56 ÷ 52 =

56 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 52 5×5

= 5 × 5 × 5 × 5 = 54 = 56 - 2 ཡང་ན།

56 ÷ 52 = 56 - 2

a ནི་ཀད་ཀོར་མིན་པའི་རིལ་གངས་ཤིག་ཡིན། a4 ÷ a2 = a2 = a × a × a × a a a×a = a × a = a2 = a4 - 2 4

ཡང་ན།

a4 ÷ a2 = a4 - 2

སམ་ཆུང་ནང་སྐོངས།

རིས་དང་། སྟབས་བདེ་བཟོས་ཏེ་སྟོན་གངས་ ཐོག་མཚོན།

79 ÷ 76 = 7

(༡) 29 ÷ 23

b10 ÷ b5 = b

(༢) n11 ÷ n7

c100 ÷ c90 = c གལ་ཏེ་ a ཀད་ཀོར་མིན་པའི་རིལ་གངས་ཤིག་དང་།

m དང་ n གཉིས་ཧིལ་གངས་ཡིན་པ་དང་། m > n ཡིན་ན། a ÷a =a m

n

m-n

(༣) 108 ÷ 106

(༤) 2515 ÷ 2513

(༥) 10013 ÷ 10010

༣་༣་༣ ཐེངས་གངས་ཀི་ཐེངས་གངས་བངས་པ། Taking power of a power སྟབས་བདེ་བཟོས། (23 )2 དང་ (32 )4

འདིར། (23 )2 ནི་ 23 རང་ཉིས་སྒྱུར་ཡིན་པ་སྟོན་གི་ཡོད། (23 )2 = 23 × 23

= 23 + 3 (am × an = am + n) = 26 = 23 × 2 དེར་བརྟེན། (23 )2 = 23 × 2

45

རིས་རིག དེ་བཞིན།

(32 )4 = 32 × 32 × 32 × 32

རིས་དང་།

= 32 + 2 + 2 + 2

སྟབས་བདེ ་ བཟོ ས ་ཏེ ་ སྟོ ན ་གངས་ཐོ ག ་ མཚོན།

=3 =3 8

དེས་ན།

2×4

༡། (62 )4

(23 )2 = 23 × 2 = 26 2 4

(3 ) = 3

2×4

༣། (53 )7

=3

8

༢། (22 )100 ༤། (750 )2

2 10

(7 ) = 72 × 10 = 720 (a2 )3 = a2 × 3 = a6 (am )3 = am × 3 = a3m གལ་ཏེ་ a ཀད་ཀོར་མིན་པའི་རིལ་གངས་ཤིག་དང་། m དང་ n གཉིས་ཧིལ་གངས་ཡིན་ན། (am )n = amn རིས་དཔེ། ༦༽ (52 ) × 3 ཡང་ན། (52 )3 གང་ཆེ་བ་ཡིན་ནམ། ལན།

(52 ) × 3 = 5 × 5 × 3 = 75 (52 )3 = 52 × 52 × 52 = 56 = 15,625 དེར་བརྟེན། (52 )3 > (52 ) × 3 ༣་༣་༤ སྟོན་གངས་གཅིག་པ་ཡིན་པའི་ཐེངས་གངས་སྒྱུར་བ། Multiplying powers with the same exponents

23 × 33 སྟབས་བདེ་བཟོས། འདིར་ཚན་པ་ 23 དང་ 33 གཉིས་ཀི་ཞབས་གངས་གཅིག་པ་མིན་ནའང་སྟོན་གངས་གཅིག་པ་རེད། 23 × 33 = (2 × 2 × 2) × (3 × 3 × 3) = (2 × 3) × (2 × 3) × (2 × 3) = 6 × 6 × 6 = 63 (6 ནི་ཞབས་གངས་ 2 དང་ 3 གི་བསྒྱུར་ཐོབ་ཡིན།) 44 × 34 ལ་དཔེ་བཞག་ན། 44 × 34 = (4 × 4 × 4 × 4) × (3 × 3 × 3 × 3) = (4 × 3) × (4 × 3) × (4 × 3) × (4 × 3)

46

སྟོན་གངས། = 12 × 12 × 12 × 12 = 124 32 × a2 ལ་དཔེ་བཞག་ན།

32 × a2 = (3 × 3) × (a × a) = (3 × a) × (3 × a) = (3 × a)2 = (3a)2

དེ་བཞིན།

(མཆན། 3 × a = 3a)

a5 × b5 = (a × a × a × a × a) × (b × b × b × b × b) = (a × b) × (a × b) × (a × b) × (a × b) × (a × b) = (a × b)5 = (ab)5

(མཆན། a × b = ab)

ཀད་ཀོར་མིན་པའི་རིལ་གངས་གང་རུང་ a དང་ b ལས། m ཧིལ་གངས་ཡིན་ན། am × bm = (ab)m

རིས་དཔེ། ༧༽ སྟོན་གངས་ཀི་རྣམ་པར་བིས། (ཀ) (2 × 3)5 ལན།

(ཁ) (2a)4

(ག) (− 4m)3

(ཀ) (2 × 3)5 = (2 × 3) × (2 × 3) × (2 × 3) × (2 × 3) × (2 × 3) = (2 × 2 × 2 × 2 × 2) × (3 × 3 × 3 × 3 × 3) = 25 × 35 (ཁ)

(2a)4 = 2a × 2a × 2a × 2a = (2 × 2 × 2 × 2) × (a × a × a × a) = 24 × a4

(ག) (− 4m)3 = (− 4 × m)3

= (− 4 × m) × (− 4 × m) × (− 4 × m) = (− 4) × (− 4) × (− 4) × (m × m × m) = (− 4)3 × (m)3

47

རིས་རིག ༣་༣་༥ སྟོན་གངས་གཅིག་པ་ཡིན་པའི་ཐེངས་གངས་བགོད་པ། Dividing powers with the same exponents གཤམ་གི་དཔེ་མཚོན་ལ་ལྟོས་དང་།

རིས་དང་།

((

4 4 (༡) 2 = 2 × 2 × 2 × 2 = 2 × 2 × 2 × 2 = 2 34 3 × 3 × 3 × 3 3 3 3 3 3

((

3 3 (༢) a3 = a × a × a = a × a × a = a b b b×b×b b b b

((

am am a ÷b = m= b b m

ཐོག་མཚོན།

a mཡི་རྣམ་པའི་ b

( (

(༡) 45 ÷ 23 (༢) 25 ÷ b5 (༣) (−2)3 ÷ a3 (༤) p7 ÷ q7 (༥) 510 ÷ (−2)10

རིལ་གངས་ a དང་ b ལས། m ཧིལ་གངས་ཡིན་ན། m

am ÷ bm =

རིས་དཔེ། ༨༽ བཀྲལ་བའི་རྣམ་པར་བིས། ལན།

((

(༡) 3 5

4

( (

(༢) −4 7

5

(( (༢) (−4( = (−4) = (−4) × (−4) × (−4) × (−4) × (−4) 7 7 7×7×7×7×7 (༡)

3 4 34 3 × 3 × 3 × 3 = 4= 5 5 5×5×5×5 5

5

5

སྟོན་གངས་ཀད་ཀོར་ཡིན་པའི་གངས། 35 ཚོལ། 35 35 3 × 3 × 3 × 3 × 3 1 = = 35 3 × 3 × 3 × 3 × 3 སྟོན་གངས་ཀི་ཁིམས་སྤད་ནས། 35 ÷ 35 = 35 − 5 = 30 དེས་ན། 30 = 1 དེ་བཞིན། 73 ÷ 73 = 73 − 3 = 70 = 1

48

གཤམ་གི་དཔེ་འགོས་ལ་ལྟོས་དང་། 26 = 64 25 = 32 24 = 16 23 = 8 22 = ? 21 = ? 20 = ? a0 གང་རེད་དམ།

ཁྱེད་ཀིས་དཔེ་འགོས་ལ་ཞིབ་འཇུག་བས་ཏེ་ 20 གི་ཐོབ་ གངས་ཚོད་དཔག་བེད་ཐུབ་བམ། 20 = 1 རེད།

གལ་ཏེ་ 36 = 729 ནས་འགོ་བཙུགས་ཏེ་གོང་གི་དཔེ་

འགོས་ལྟར་ 35, 34, 33,... བཙལ་བ་ཡིན་ན། 30 ག་ ཚོད་ཡིན་ནམ།

སྟོན་གངས། 73 7 × 7 × 7 1 = = 73 7 × 7 × 7 དེས་ན། 70 = 1 དེ་བཞིན། a3 ÷ a3 = a3 − 3 = a0 3 དང་། a3 ÷ a3 = a = a × a × a = 1 a3 a × a × a དེས་ན། a0 = 1 (a ནི་ཀད་ཀོར་མིན་པའི་རིལ་གངས།) དང་།

དེར་བརྟེན། ཀད་ཀོར་ཕུད་པའི་ཞབས་གངས་ཤིག་གི་སྟོན་གངས་ 0 ཡིན་ན། གངས་དེ་ 1 རེད།

༣་༤ སྟོན་གངས་ཀི་ཁིམས་སྤད་པའི་དཔེ་མཚོན་སྣ་ཚོགས། Miscellaneous examples using laws of exponents རིས་དཔེ། ༩༽ 8 × 8 × 8 × 8 ཞབས་ 2 ཡིན་པའི་སྟོན་གངས་ཀི་རྣམ་པར་མཚོན། ལན།

8 × 8 × 8 × 8 = 84

ཡིན་ནའང་། 8 = 2 × 2 × 2 = 23

དེར་བརྟེན། 84 = (23)4 = 23 × 23 × 23 × 23 = 23 × 4 = 212 ༡༠༽ སྟབས་བདེ་བཟོས་ཏེ་སྟོན་གངས་ཀི་རྣམ་པར་བིས།

( (

7 (༡) 32 × 35 3 (༣) (62 × 64) ÷ 63

ལན།

(༢) 23 × 22 × 55 (༤) [(22)3 × 36] × 56

(༥) 82 ÷ 23 (༡)

( (

37 × 35 = (37 − 2) × 35 = 35 × 35 = 35 + 5 = 310 32

(༢) 23 × 22 × 55 = 23 + 2 × 55 = 25 × 55 = (2 × 5)5 = 105 (༣) (62 × 64) ÷ 63 = 62 + 4 ÷ 63 = 66 ÷ 63 = 66 − 3 = 63

(༤) [(22)3 × 36] × 56 = [26 × 36] × 56 = (2 × 3)6 × 56 = (2 × 3 × 5)6 = 306 (༥) 82 ÷ 23 = (23)2 ÷ 23 = 26 ÷ 23 = 26 − 3 = 23

49

རིས་རིག ༡༡༽ སྟབས་བདེ་བཟོས། (༡) 123 × 29 × 4 6 × 8 × 27 4

ལན།

3

(༢) 23 × a3 ×5a4

4 3 2 ( 2 )4 ( 2)3 (༡) 123 × 29 × 4 = 2 × 3 3 × 33 2 × 23 (2 × 3) × (2 ) × 3 6 × 8 × 27

(22)4 × 34 × 32 x 3 × 22 = 3 2 × 33 × 23 x 2 × 33 28 × 22 × 34 × 36 = 3 2 × 26 × 33 × 33 =

28 + 2 × 34 + 6 23 + 6 × 33 + 3

=

210 × 310 29 × 36

= 210 − 9 × 310 − 6 = 21 × 34 = 2 × 81 = 162 (༢) 23 × a3 × 5a4 = 23 × a3 × 5 × a4 = 23 × 5 × a3 × a4 = 8 × 5 × a3 + 4 = 40a7 (༣) 2 × 3 × 2 9 × 42 4

5

=

2 × 34 × 25 32 × (22)2

21 + 5 × 34 24 × 32 26 × 34 = 4 2 × 32 = 26 - 4 × 34 - 2 = 22 × 32 = 4×9 = 36 =

50

(༣) 2 × 3 ×2 2 9×4 4

5

སྟོན་གངས།

སྦོང་ཚན། ༣་༢ ༡། སྟབས་བདེ་བཟོས་ཏེ་སྟོན་གངས་ཀི་རྣམ་པར་བིས། (ཀ) 32 × 34 × 38

(ཁ) 615 ÷ 610

(ག) a3 × a2

(ཆ) 25 × 55

(ཅ) (52 )3 ÷ 53

(ང) 7x × 72

(ཉ) 8t ÷ 82

(ཇ) a4 × b4

(ཏ) (220 ÷ 215) × 23

༢། སྟབས་བདེ་བཟོས་ཏེ་སྟོན་གངས་ཐོག་མཚོན། (ཀ) 2 × 3 × 4 3 × 32

(ཁ) [(52 )3 × 54] ÷ 57

(ང) 3 × 7 × 11 21 × 113

(ཅ)

3

4

2

8

37 34 × 33

(ག) 254 ÷ 53 (ཆ) 20 + 30 + 40

(ཇ) 2 × 3 × 4

(ཉ) (3 + 2 ) × 5

28 × a5 (ཏ) 3 4 × a3

( (

(ད) 45 × a5 b2 4 ×a b

(ན) (23 × 2)2

0

0

0

0

5 (ཐ) a3 × a8 a

5

༣། འགིག་ནོར་བིས་ཏེ་རྒྱུ་མཚན་ཤོད། (ཀ) 10 × 1011 = 10011

0

8

0

3

(ཁ) 23 > 52

༤། གཤམ་གསལ་ཁག་རྒྱུ་གངས་ཀི་ཐེངས་གངས་ཐོག་མཚོན། (ཀ) 64

(ཁ) 270

(ག) 23 × 32 = 65 (ག) 768

(ང) 30 = (1000)0 (ང) 2 × 192

༥། སྟབས་བདེ་བཟོས། 2

(ཀ) (25) × 73 83 × 7

(ཁ) 25 × 52 × t8 103 × t 4

(ག) 35 × 105 × 25 57 × 65

༣་༥ སིལ་གངས་ལམ་ལུགས། Decimal number system 47561 ཁ་བཀྲལ་ན།

47561 = 4 × 10000 + 7 × 1000 + 5 × 100 + 6 × 10 + 1

47561 ནི་ང་ཚོས་ 10 ཡི་ཐེངས་གངས་བེད་སྤད་དེ་སྟོན་གངས་ཀི་རྣམ་པར་མཚོན་ཐུབ།

51

རིས་རིག 47561 = 4 × 104 + 7 × 103 + 5 × 102 + 6 × 101 + 1 × 100 (མཆན། 10000 = 104; 1000 = 103; 100 = 102; 10 = 101; 1 = 100) 104278 ཁ་བཀྲལ་ན།

104278 = 1 × 100000 + 0 × 10000 + 4 × 1000 + 2 × 100 + 7 × 10 + 8 × 1 = 1 × 105 + 0 × 104 + 4 × 103 + 2 × 102 + 7 × 101 + 8 × 100 = 1 × 105 + 4 × 103 + 2 × 102 + 7 × 101 + 8 × 100

༣་༦ གངས་ཆེན་པོ་ཚད་ལྡན་གི་རྣམ་པར་མཚོན་པ། Expressing large numbers in the standard form གཤམ་གི་དཔེ་མཚོན་ལ་ལྟོས་དང་།

59 = 5.9 × 10 = 5.9 × 101 590 = 5.9 × 100 = 5.9 × 102 5900 = 5.9 × 1000 = 5.9 × 103 59000 = 5.9 × 10000 = 5.9 × 104

གོང་གི་གངས་རྣམས་ཚད་ལྡན་གི་རྣམ་པར་མཚོན་ཡོད། གངས་གང་རུང་ཞིག་ 1.0 དང་ 10.0 ཡི་དབར་སིལ་གངས་ རྣམ་པར་མཚོན་ཐུབ། དེ་འདྲ་བའི་གངས་ཀི་རྣམ་པ་ལ་ཚད་ལྡན་གི་རྣམ་པ་ཟེར། དཔེར་ན།

5985 = 5.985 × 1000 = 5.985 × 103 ནི་ 5985 ཡི་ཚད་ལྡན་གི་རྣམ་པ་རེད།

མཆན། 5985 ནི་ 59.85 × 100 ཡང་ན། 59.85 × 102 ལྟར་ཡང་མཚོན་ཐུབ། ཡིན་ནའང་། འདི་དག་ཚད་ལྡན་ གི་རྣམ་པ་མིན། དེ་བཞིན། 5985 = 0.5985 × 10000 = 0.5985 × 104 ཀང་ 5985 ཡི་ཚད་ལྡན་གི་རྣམ་ པ་མིན།

ང་ཚོས་སོབ་ཚན་གི་ངོ་སྤོད་སྐབས་སྤད་པའི་གངས་ཆེན་པོ་རྣམས་ཚད་ལྡན་གི་རྣམ་པར་མཚོན་གི་ཡིན། • དགུ་ཚིགས་སྐྱ་མོ་དང་ཉི་མར་དབར་གི་བར་ཐག

300,000,000,000,000,000,000 m ནི་

3.0 × 100, 000,000,000,000,000,000 = 3.0 × 1020 m ལྟར་འབི་ཆོག

• 40,000,000,000 ལ་དཔེ་བཞག་ན། དེའི་ནང་ཀད་ཀོར་ 10 ཡོད། དེར་བརྟེན། 40,000,000,000 = 4.0 × 1010

52

སྟོན་གངས། • འཛམ་གིང་གི་གདོས་ཚད།

= 5,976,000,000,000,000,000,000,000 kg = 5.976 × 1024 kg

• གཟའ་རྣམ་རྒྱལ་གི་གདོས་ཚད། = 86,800,000,000,000,000,000,000,000 kg = 8.68 × 1025 kg

• ཉི་མ་དང་གཟའ་སེན་པའི་དབར་གི་བར་ཐག་ནི་ 1,433,500,000,000 m ཡང་ན། 1.4335 × 1012 m རེད། གཟའ་སེན་པ་དང་གཟའ་རྣམ་རྒྱལ་དབར་གི་བར་ཐག་ནི་ 1,439,000,000,000 m ཡང་ན།

1.439 × 1012 m རེད།

ཉི་མ་དང་འཛམ་གིང་དབར་གི་བར་ཐག་ནི་ 149,600,000,000 m ཡང་ན། 1.496 × 1011 m རེད། བར་ཐག་འདི་དག་གསུམ་ལས་ཆུང་ཤོས་གང་ཡིན་ནམ། རིས་དཔེ། ༡༢༽ ཚད་ལྡན་གི་རྣམ་པར་བིས། (ཀ) 5985.3 ལན།

(ཁ) 65950

(ག) 3430000

(ང) 70,040,000,000

(ཀ) 5985.3 = 5.985 × 1000 = 5.985 × 103

(ཁ) 65,950 = 6.5950 × 10000 = 6.5950 × 104

(ག) 3,430,000 = 3.43 × 1000000 = 3.43 × 106

(ང) 70,040,000,000 = 7.004 × 10,000,000,000 = 7.004 × 1010

སྦོང་ཚན། ༣་༣ ༡། བཀྲལ་བའི་རྣམ་པར་བིས། (ཀ) 20068

(ཁ) 120719

(ག) 279404

༢། གཤམ་གསལ་བཀྲལ་བའི་རྣམ་པས་མཚོན་པའི་གངས་ཚོལ།

(ང) 2806196

(ཅ) 3006194

(ཀ) 8 × 104 + 6 × 103 + 0 × 102 + 4 × 101 + 5 × 100 (ཁ) 4 × 105 + 5 × 103 + 3 × 102 + 2 × 100 (ག) 3 × 104 + 7 × 102 + 5 × 100

(ང) 9 × 105 + 2 × 102 + 3 × 101

53

རིས་རིག ༣། ཚད་ལྡན་གི་རྣམ་པར་བིས། (ཀ) 70,00,000

(ཁ) 5,00,000,000

(ང) 3,90,878

(ཅ) 39087.8

༤། གཤམ་གསལ་རིས་བརོད་ནང་གི་གངས་རྣམས་ཚད་ལྡན་གི་རྣམ་པར་བིས།

(ག) 3,18,65,00,000

(ཆ) 3908.78

(ཀ) བོད་པའི་མི་འབོར་ནི་ 6,000,000 རེད།

(ཁ) འཛམ་གིང་དང་ཟླ་བའི་དབར་གི་བར་ཐག་ནི་ 384,000,000 m རེད། (ག) སའི་གོ་ལའི་ཚངས་ཐིག་ནི་ 1,27,56,000 m རེད།

(ང) དགུ་ཚིགས་སྐྱ་མོའི་ནང་ཆ་སྙོམས་སྐར་མ་ 100,000,000,000 ཡོད།

(ཅ) འཇིག་རྟེན་ཁམས་ཆགས་ནས་ལོ་ 12,000,000,000 སོང་བར་ཚོད་དཔག་བེད་ཀི་ཡོད།

དྲན་གསོ་གིས། ༡། གངས་ཆེན་པོ་རྣམས་ཀོག་ཁག་པོ་དང་། གོ་དོན་རྟོགས་ཁག་པོ། བསྡུར་ཁག་པོ། བེད་སྤོད་བེད་

ཁག་པོ་ཡོད། གངས་ཆེན་པོ་རྣམས་ལས་ས་པོ་དང་བསྡུས་པའི་རྣམ་པ་བཟོ་བར། ང་ཚོས་སྟོན་ གངས་བེད་སྤོད་བེད་ཀི་ཡོད།

༢། གཤམ་གསལ་ནི་གངས་འགའི་སྟོན་གངས་ཀི་རྣམ་པ་ཡིན། 10000 = 104; 243 = 35; 128 = 27

འདིར། 10 དང་། 3, 2 བཅས་ནི་ཞབས་གངས་དང་། 4 དང་། 5, 7 བཅས་ནི་ཞབས་གངས་ སོ་སོའི་སྟོན་གངས་རེད།

༣། སྟོན་གངས་ཀི་ཁིམས།

ཀད་ཀོར་མིན་པའི་རིལ་གངས་ a དང་ b དང་། ཧིལ་གངས་ m དང་ n ལས། (ཀ) am × an = am + n (ག) (am)n = amn (ཅ) am ÷ bm =

((

am b

(ཇ) (−1)ཆ་གངས། = 1

(−1)ཡ་གངས། = −1

54

(ཁ) am ÷ an = am − n, m>n

(ང) am × bm = (ab)m (ཆ) a0 = 1

སོབ་ཚན་བཞི་པ།

གྲངས་འབྟོར་བསྡུར་བ།

༤་༡ སྡུར་ཚད་དང་བརྒྱ་ཆའི་དྲན་གསོ། Recalling ratios and percentages

ང་ཚོས་རིགས་མཚུངས་གངས་འབོར་གཉིས་བགོས་ཏེ་བསྡུར་ན། དེ་གཉིས་ཀི་སྡུར་ཚད་སྟོན་གི་ཡོད། སེ་པོ་ཞིག་གི་ནང་ཤིང་ཏོག་སྣེ་ཁ་གཉིས་ཡོད། ཀུ་ཤུ་ 20 དང་ཚ་ལུ་མ་ 5 ཡོད་པ་ཆ་འཇོག ཚ་ལུ་མའི་གངས་དང་ཀུ་ཤུའི་གངས་ཀི་སྡུར་ཚད་ = 5 : 20

ང་ཚོས་དེ་གངས་ཆའི་རྣམ་པར་མཚོན་ཐུབ། 5 : 20 = 5 = 1 20 4 ཚ་ལུ་མའི་གངས་ནི་ཀུ་ཤུའི་གངས་ཀི་ 1 རེད། དེ་སྡུར་ཚད་ 1 : 4 ལྟར་འབི་ཆོག དེ་ཀོག་སྐབས་ 1 སྡུར་ 4 ཞེས་ཀོག་ 4 དགོས། ཡང་ན། 4 ཀུ་ཤུའི་གངས་ལ་ཚ་ལུ་མའི་གངས་ཀི་སྡུར་ཚད་ = 20 5 = 1 དེའི་དོན་ནི། ཀུ་ཤུའི་གངས་ནི་ཚ་ལུ་མའི་གངས་ཀི་ལྡབ་ བཞི་ཡིན། དེ་བརྒྱ་ཆ་བེད་སྤད་ནས་ཀང་བསྡུར་ཐུབ།

རྐང་པའི་རིས་ཐབས།

ཤིང་ཏོག་ 25 ལས་ཚ་ལུ་མ་ 5 ཡོད། དེས་ན། ཚ་ལུ་མའི་བརྒྱ་ཆ་ནི།

5 × 1 20 = 20 % 25 4 = 100 [མ་ཆ་ 100 བཟོས་པ།] སེ་པོའི་

ཡང་ན།

ཤིང་ཏོག་ 25 ལས་ཚ་ལུ་མའི་གངས་ 5 ཡིན།

དེས་ན། ཤིང་ཏོག་ 100 ལས་ཚ་ལུ་མའི་གངས། = 5 × 100 = 20 25

ནང་ཀུ་ཤུ་དང་ཚ་ལུ་མ་ཁོ་ན་ལས་མེད་པས།

དེས་ན། ཀུ་ཤུའི་བརྒྱ་ཆ་ + ཚ་ལུ་མའི་བརྒྱ་ཆ་ = 100

ཡང་ན། ཀུ་ཤུའི་བརྒྱ་ཆ་ + 20 = 100

ཡང་ན། ཀུ་ཤུའི་བརྒྱ་ཆ་ = 100 − 20 = 80

དེར་བརྟེན། སེ་པོའི་ནང་ཚ་ལུ་མ་ 20 % དང་ཀུ་ཤུ་ 80 % ཡོད།

55

རིས་རིག རིས་དཔེ། ༡༽ སོབ་གྲྭ་ཞིག་གི་འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་སོབ་མ་རྣམས་གིང་ཁར་འགོ་འཆར་ཡོད། འཛིན་གྲྭའི་ནང་བུ་མོ་ 18 ཡོད། དེ་ནི་ཁྱོན་བསོམས་སོབ་མའི་གངས་ཀི་ 60 % ཡིན།

གིང་ཁ་གཏོང་ས་ནི་སོབ་གྲྭ་ནས་ 55 km ཡི་བར་ཐག་ལ་ཡོད། སྐྱེལ་འདྲེན་ཆེད་ཀི་ལོ་མི་ཊར་རེ་ལ་ ` 12 གནས་ ཀི་ཡོད། ཞལ་ལག་ཆེད་ཁྱོན་བསོམས་ ` 4280 གནས་ཀི་ཡོད། ཁྱེད་ཀིས་གཤམ་གསལ་དྲི་བ་ཁག་ལ་ལན་རྒྱོབ།

༡། འཛིན་གྲྭའི་ནང་བུ་མོའི་གངས་དང་བུའི་གངས་ཀི་སྡུར་ཚད།

༢། གལ་ཏེ་རྒན་ལགས་གཉིས་སོབ་ཕྲུག་མཉམ་དུ་གིང་ཁར་ཕིན་པ་ཡིན་ན། མི་རེའི་འགོ་གོན་ཚོལ།

༣། གལ་ཏེ་ཁོ་ཚོས་སོབ་གྲྭ་ནས་བར་ཐག་ 22 km སར་ཚ་ཕོག་བརྒྱབ་པ་ཡིན་ན། དེ་ཁྱོན་བསོམས་བར་ཐག་ ལན།

55 km ཡི་བརྒྱ་ཆ་ག་ཚོད་རེད་དམ། ད་དུང་བར་ཐག་བརྒྱ་ཆ་ག་ཚོད་བསྐྱོད་དགོས་སམ།

༡། བུ་མོ་དང་བུའི་གངས་ཀི་སྡུར་ཚད་འཚོལ་བར། བོ་བཟང་དང་ཆོས་དབངས་ཀིས་གཤམ་གསལ་ལྟར་བས་ཡོད། ཁོ་ཚོས་བུའི་གངས་དང་ཁྱོན་བསོམས་སོབ་མའི་གངས་འཚོལ་དགོས། བོ་བཟང་།

ཆོས་དབངས་ཀིས་རྐང་པའི་རིས་ཐབས་བེད་སྤད་དེ།

ཁྱོན་སོབ་མའི་གངས་ x ཡིན་ན། x ཡི་ 60 % ནི་བུ་མོ་རེད།

དེར་བརྟེན། x ཡི་ 60 % = 18 60 100 × x = 18 ཡང་ན། x = 18 × 100 = 30 60 དེར་བརྟེན། སོབ་མའི་གངས་ = 30

ཡང་ན།

སོབ་མ་ 100 ལས་ 60 བུ་མོ་རེད། 100 སོབ་མ་ 60 ལས་བུ་མོ་ 1 རེད། དེས་ན། སོབ་མ་ག་ཚོད་ལས་བུ་མོ་ 18 རེད་དམ། 100 སོབ་མའི་གངས་ = 60 × 18 = 30 དེར་བརྟེན། སོབ་མའི་གངས་ = 30

སོབ་མའི་གངས་ = 30, བུ་མོའི་གངས་ = 18 དེས་ན། བུའི་གངས་ = 30 − 18 = 12

དེར་བརྟེན། བུ་མོའི་གངས་དང་བུའི་གངས་ཀི་སྡུར་ཚད་ = 18 : 12 ཡང་ན། 18 = 3 12 2 3 ནི་ 3 : 2 ལྟར་འབི་བ་དང་། དེ་ 3 སྡུར་ 2 ཞེས་ཀོག་དགོས། 2

56

གངས་འབོར་བསྡུར་བ། ༢། མི་རེའི་འགོ་གོན་འཚོལ་བར།

སྐྱེལ་འདྲེན་གི་རིན་འབབ་ = འགོ་ལམ་གཉིས་ཀི་བར་ཐག × གོང་ཚད། = (55 × 2) × 12 = 110 × 12 = ` 1320 ཁྱོན་བསོམས་འགོ་གོན་

= ཞལ་ལག་གི་རིན་འབབ་ + སྐྱེལ་འདྲེན་གི་རིན་འབབ། = ` 4280 + ` 1320 = ` 5600

ཁྱོན་བསོམས་མི་གངས་

= བུ་མོ་ 18 + བུ་ 12 + དགེ་རྒན་ 2 = 32

རྐང་པའི་རིས་ཐབས་སྤད་ན།

མི་ 32 ལ་འགོ་སོང་ = ` 5600 མི་ 1 ལ་འགོ་སོང་ = ` 5600 32 = ` 175 དེར་བརྟེན། མི་རེར་ ` 175 གནས་ཀི་ཡོད། ༣། ཚ་ཕོག་རྒྱག་པའི་བར་ཐག = 22 km བར་ཐག་གི་བརྒྱ་ཆ་འཚོལ་བར།

དབང་མོས་འདི་ལྟར་བེད་པ་རེད།

ཆོས་དབངས་ཀིས་རྐང་པའི་རིས་ཐབས་བེད་སྤད་ཡོད།

22 = 22 × 100 = 40 % 55 55 100

བར་ཐག་ 55 km ནས་ 22 km བསྐྱོད་ཡོད། 1 km ནས་ 22 km བསྐྱོད་ཡོད། 55 100 km ནས་ 22 × 100 km = 40 km བསྐྱོད་ཡོད། 55 དེ་ནི། ཁྱོན་བར་ཐག་གི་ 40 % བསྐྱོད་ཡོད།

ཁོས་སྡུར་ཚད་ལ་ 100 ཡིས་ 100 བསྒྱུར་ཏེ་བརྒྱ་ཆ་ལ་ཕབ་སྒྱུར་ བས་ཡོད།

ཡང་ན།

དེར་བརྟེན། ད་དུང་བསྐྱོད་དགོས་པའི་བར་ཐག་གི་བརྒྱ་ཆ་ = 100 − 40 = 60

57

རིས་རིག རིས་དང་། གཞི་རིམ་འོག་མའི་སོབ་གྲྭ་ཞིག་གི་ནང་། ཕ་མ་རྣམས་ལ་ཉིན་ལྟར་རང་གི་ཕྲུ་གུའི་རང་སྦོང་ཆེད་དུས་ཚོད་ག་ 1 1 ཚོད་གཏོང་གི་ཡོད་མིན་དྲིས་པར། ཆུ་ཚོད་ 2 ནས་ 1 2 བར་དུས་ཚོད་གཏོང་མཁན་ཕ་མ་ 90 འདུག གཡས་ཀི་དཔེ་རིས་ནང་ཕ་མ་སོ་སོས་དུས་ཚོད་བཏང་བ་བཞིན་བགོས་ཡོད། 1 20 % ཡིས་ཉིན་རེར་ཆུ་ཚོད་ 1 2 ལས་མང་བ་གཏོང་གི་ཡོད། 1 1 30 % ཡིས་ཆུ་ཚོད་ 2 ནས་ 1 2 བར་གཏོང་གི་ཡོད། 50 % ཡིས་དུས་ཚོད་གཏོང་གི་མེད།

50% 30%

གནས་ཚུལ་འདི་བེད་སྤད་དེ། གཤམ་གི་དྲི་བ་ཁག་ལ་ལན་རྒྱོབ། (ཀ) ཕ་མ་ག་ཚོད་ལ་དཔྱད་ཞིབ་བས་ཡོད་དམ།

དུས་ཚོད་གཏོང་ གི་མེད།

20% 1

1

ཆུ་ཚོད་ ནས 1 (ཁ) ཕ་མ་ག་ཚོད་ཀིས་དུས་ཚོད་གཏོང་གི་མེད་དམ། 2 2 1 (ག) ཕ་མ་ག་ཚོད་ཀིས་ཚུ་ཚོད་ 1 2 ལས་མང་བ་གཏོང་གི་འདུག་ གམ།

1 ཆུ་ཚོད་ 1 ལས་མང་བ། 2

སྦོང་ཚན། ༤་༡ ༡། གཤམ་གསལ་ཁག་གི་སྡུར་ཚད་ཚོལ།

(ཀ) རྐང་འཁོར་གི་མྱུར་ཚད་ཆུ་ཚོད་རེར་ 15 km དང་སྦག་སྦག་གི་མྱུར་ཚད་ཆུ་ཚོད་རེར་ 30 km (ཁ) 5 m དང་ 10 km

(ག) སྐར་མ་ 50 དང་ཆུ་ཚོད་ 5

(ཀ) 2 : 3

(ཁ) 3 : 4

༢། གཤམ་གསལ་སྡུར་ཚད་རྣམས་བརྒྱ་ཆར་སྒྱུར།

༣། སོབ་ཕྲུག་ 20 ནས་ 70% ཨང་རིས་ལ་དགའ་མོས་ཡོད། བས་ན་སོབ་ཕྲུག་ག་ཚོད་ཨང་རིས་ལ་དགའ་པོ་མེད།

༤། རྐང་པོལ་རུ་ཁག་གཅིག་གིས་རེད་འགན་ 10 ཐོབ་ཡོད། གལ་ཏེ་ཁོ་ཚོའི་རྒྱལ་ཁ་ཐོབ་པའི་བརྒྱ་ཆ་ནི་ 40 ཡིན་ན། ཁོ་ཚོས་ཁྱོན་བསོམས་རེད་འགན་ཐེངས་ག་ཚོད་རེད་ཡོད་དམ།

༥། གལ་ཏེ་བདེ་སྐྱིད་ཀིས་རང་གི་དངུལ་ 75% འགོ་སོང་བཏང་རེས་ ` 600 ལྷག་ཡོད་ན། ཐོག་མར་བདེ་སྐྱིད་ལ་ དངུལ་ག་ཚོད་ཡོད་དམ།

58

གངས་འབོར་བསྡུར་བ། ༦། གོང་ཁྱེར་ཞིག་གི་ནང་མི་ 60 % རྐང་པོལ་དང་། 30 % ཁི་རི་ཀེཊ། ལྷག་མ་རྣམས་རེད་མོ་གཞན་ལ་དགའ་པོ་ཡོད།

བས་ན་རེད་མོ་གཞན་ལ་དགའ་མཁན་གི་བརྒྱ་ཆ་ཚོལ། གལ་ཏེ་གོང་ཁྱེར་དེར་མི་འབུམ་ 50 ཡོད་ན། རེད་མོ་ རིགས་རེ་རེ་ལ་དགའ་མཁན་གི་མི་གངས་སོ་སོར་ཚོལ།

༤་༢ འཕར་བ་དང་ཆག་པའི་བརྒྱ་ཆ། Increase or decrease as percent ང་ཚོའི་ཉིན་རེའི་འཚོ་བའི་ནང་གཤམ་གི་གནས་ཚུལ་མཐོང་རྒྱུ་ཡོད། (༡) ཁོམ་རའི་གོང་ཚད་སྟེང་ཆག་ཡང་ 25 %

(༢) རོ་སྣུམ་གི་གོང་ཚད་ 10 % ཡི་འཕར་བ།

ང་ཚོས་དེ་འདྲ་བའི་དཔེ་འགའ་ལ་ལྟ་རྒྱུ་ཡིན། རིས་དཔེ།

༢༽ སྔ་ལོ་ཀམ་པུ་ཊར་ཞིག་གི་གོང་ཚད་ནི་ ` 34,000 ཡིན། འདི་ལོ་དེའི་གོང་ཚད་ 20 % ཡིས་འཕར་ཡོད་ན། ལན།

འདི་ལོའི་གོང་ཚད་ཚོལ།

པད་མས་དང་པོ་གོང་ཚད་འཕར་བ་དེ་བཙལ་བ་རེད།

ཟླ་བས་རྐང་པའི་རིས་ཐབས་བེད་སྤད་པ་རེད།

དེ་ནི་ ` 34,000 ཡི་ 20 % རེད།

20 % འཕར་བའི་དོན་ནི།

20 ` 34000 ཡི་ 20 % = ` 100 × 34,000

ཡང་ན།

= ` 6,800

` 100 ནི་ ` 120 ལ་འཕར་བ་རེད། དེས་ན། ` 34,000 ནི་ག་ཚོད་ལ་འཕར་གི་ རེད་དམ།

དེ་རེས་གོང་ཚད་གསར་པ་བཙལ་བ་རེད།

གོང་ཚད་གསར་པ་ = གོང་ཚད་རིང་པ་ + འཕར་བ། = ` 34,000 + ` 6,800

གོང་ཚད་གསར་པ་ = ` 120 × 34,000 100 = ` 40,800

= ` 40,800

དེ་མཚུངས། གོང་ཚད་ལ་བརྒྱ་ཆ་ཆག་པའི་སྐབས། གོང་ཚད་ཆག་པ་དེ་བཙལ་རེས་དེ་གོང་ཚད་རིང་པ་ནས་འཐེན་དགོས། ཀམ་པུ་ཊར་བིན་པའི་ཆེད་དེའི་གོང་ཚད་ 5 % ཆག་ཡང་བཏང་ཡོད་པ་ཆ་ཞོག ཀམ་པུ་ཊར་གི་གོང་ཚད་ = ` 34,000

གོང་ཚད་ཆག་པ་ = ` 34,000 ཡི་ 5 % = ` 5 × 34,000 100 = ` 1700

59

རིས་རིག གོང་ཚད་གསར་པ་ = རིང་པ་ − ཆག་པ།

= ` 34,000 − ` 1,700 = ` 32,300

༤་༣ གཅོག་ཆ། Discount

དངོས་པོ་ཞིག་གི་ཐོ་གསལ་གོང་ཚད་ (Marked Price) སྟེང་

25% oFF

ཆག་ཡང་བཏང་བ་དེ་ལ་གཅོག་ཆ་ (Discount) ཟེར། སྤིར་བཏང་

ཆག་ཡང་ནི་ཉོ་མཁན་གི་ཡིད་འཕོག་སྟེ་ཅ་ལག་ཉོ་བའི་ཆེད་དམ་

SALE

SAL

E

ཡང་ན། ཚོང་འབབ་གོང་སེལ་གཏོང་ཆེད་སོགས་ཀི་ཆེད་ཡིན།

FF 50% o

ཁྱེ ད ་ཀི ས ་ཐོ ་ གསལ་གོ ང ་ཚད་ནས་ཚོ ང ་སྒྱུར་རི ན ་གོ ང ་འཐེ ན ་ཏེ ་ གཅོག་ཆ་འཚོལ་ཐུབ།

དེར་བརྟེན། གཅོག་ཆ་ = ཐོ་གསལ་གོང་ཚད་ (MP) − ཚོང་སྒྱུར་རིན་གོང་། (SP) རིས་དཔེ། ༣༽ ཁོམ་རའི་གོང་ཚད་ ` 840 ཡིན་པའི་རྐུབ་བཀག་གཅིག་ ` 714 ལ་བཙོངས་ཡོད། རྐུབ་བཀག་དེའི་གཅོག་ཆ་ དང་གཅོག་ཆའི་བརྒྱ་ཆ་ག་ཚོད་རེད་དམ།

ལན། རྐུབ་བཀག་གི་ཐོ་གསལ་གོང་ཚད་ (MP) = ` 840

ཚོང་སྒྱུར་རིན་གོང་ (SP) = ` 714

དེར་བརྟེན། གཅོག་ཆ་ = ཐོ་གསལ་གོང་ཚད་ − ཚོང་སྒྱུར་རིན་གོང་། = ` 840 − ` 714 = ` 126

མཆན། གཅོག་ཆ་ནི་ཐོ་གསལ་གོང་ཚད་སྟེང་ཡིན་པས། མ་ཆ་ལ་ཐོ་གསལ་གོང་ཚད་འཇོག་དགོས། ཁོམ་རའི་གོང་ཚད་ ` 840 ལ་གཅོག་ཆ་ ` 126 རེད།

ཁོམ་རའི་གོང་ཚད་ ` 100 ལ་གཅོག་ཆ་ག་ཚོད་རེད་དམ། གཅོག་ཆ་ % =

གཅོག་ཆ། ཐོ་གསལ་གོང་ཚད།

× 100

གཅོག་ཆ་ = 126 × 100 = 15 % 840 དེར་བརྟེན། རྐུབ་བཀག་གི་གཅོག་ཆ་ནི་ ` 126 དང་དེ་ནི་ 15 % རེད།

60

གངས་འབོར་བསྡུར་བ། ༤༽ གོན་གོས་ཤིག་གི་ཐོ་གསལ་གོང་ཚད་ནི་ ` 420 ཡིན། དེ་ 20 % གཅོག་ཆ་བས་ཏེ་བཙོངས་ཡོད་ན། གོན་གོས་ དེའི་གཅོག་ཆ་དང་ཚོང་སྒྱུར་རིན་གོང་ཚོལ།

ལན། གོན་གོས་ཀི་ MP = ` 420

20% ཆག་ཡང་།

གཅོག་ཆ་ % = 20 %

གཅོག་ཆ་ = ` 420 ཡི་ 20 % = ` 20 × 420 = ` 84 100 ཚོང་སྒྱུར་རིན་གོང་ (SP) = ཐོ་གཞུང་གོང་ཚད་ − གཅོག་ཆ།

` 420

= ` 420 − ` 84 = ` 336 ༥༽ ལག་ཐོགས་ཁ་པར་ཞིག་ཐོ་གསལ་གོང་ཚད་ལས་ 15 % གཅོག་ཆ་བས་ཏེ་ ` 4,420 ལ་བཙོངས་ཡོད་ན། དེའི་ ཐོ་གསལ་གོང་ཚད་ཚོལ།

ལན། ལག་ཐོགས་ཁ་པར་གི་ཐོ་གསལ་གོང་ཚད་ ` x ཡིན་ན། གཅོག་ཆ་ = ` x ཡི་ 15% = ` x × 15 = ` 15 x 100 100 ཚོང་སྒྱུར་རིན་གོང་ = ཐོ་གསལ་གོང་ཚད་ − གཅོག་ཆ། 4,420 = x − 15 x 100 4,420 = x 1 − 15 100 4,420 = x 85 100 x = 4,420 × 100 85 x = 5,200

( ( ( (

དེར་བརྟེན། ལག་ཐོགས་ཁ་པར་གི་ཐོ་གསལ་གོང་ཚད་ནི་ ` 5,200 རེད། རིས་དང་། ༡། ཚོང་ཁང་ཞིག་གིས་གཅོག་ཆ་ 20 % སྤོད་ཀི་ཡོད། གཤམ་གསལ་ཁག་གི་ཚོང་སྒྱུར་རིན་གོང་ཚོལ། (ཀ) ཞྭ་མོའི་ཐོ་གསལ་གོང་ཚད་ ` 120

(ག) ལྷམ་ཆ་གཅིག་གི་ཐོ་གསལ་གོང་ཚད་ ` 750

(ཁ) དཔེ་ཁུག་གི་ཐོ་གསལ་གོང་ཚད་ ` 250

(ང) བང་ཁིའི་ཐོ་གསལ་གོང་ཚད་ ` 1000

61

རིས་རིག ༢། ཐོ་གསལ་གོང་ཚད་ ` 15,000 ཡིན་པའི་ཅོག་ཙེ་ཞིག་ ` 14,400 ལ་བཅོངས་ཡོད་ན། ཅོག་ཙེ་དེའི་གཅོག་ ཆ་དང་དེའི་བརྒྱ་ཆ་ཚོལ།

༣། རྐང་འཁོར་ཞིག་ཐོ་གསལ་གོང་ཚད་ལས་ 5% གཅོག་ཆ་བས་ཏེ་ ` 5,225 ལ་བཙོངས་ཡོད་ན། རྐང་འཁོར་ དེའི་ཐོ་གསལ་གོང་ཚད་ཚོལ།

༤་༤ ཁེ་དང་གོང་། Profit and loss ངས་སོབ་གྲྭའི་ཁོམ་འདུས་ལ་མིག་བཙུམ་རྒྱན་སྒྲུག་གི་ཁོམ་སྟེགས་ཤིག་འཛུགས་འཆར་ཡོད།

མིག་བཙུམ་རྒྱན་སྒྲུག་རེར་ ` 10 རེད། ཡིན་ནའང་། ངས་ ` 5 ཡིན་པའི་དངོས་པོ་ཉོ་འཆར་ཡོད། བས་ན་ཁྱེད་ལ་ཁེ་ 100 % འབྱུང་གི་རེད། མ་རེད། ངས་ ` 3 ལག་རྟགས་ཀི་ཐུམ་ཤོག་ལ་འགོ་གོན་གཏོང་གི་ཡིན། དེས་ན། ངའི་ཁྱོན་བསོམས་ འགོ་གོན་ ` 8 རེད། དེར་བརྟེན། ང་ལ་ཁེ་ ` 2 འབྱུང་གི་རེད། དེ་ནི། 2 × 100 = 25 % 8

སྐབས་འགར་ང་ཚོས་དངོས་པོ་ཉོ་སྐབས་སམ་ཡང་ན་མ་བཙོང་གོང་འགོ་སོང་འཕར་མ་གཏོང་དགོས་ ཀི་ཡོད། འགོ་སོང་འདི་དག་མ་གནས་རིན་གོང་ནང་འཚུད་ཀི་ཡོད།

འགོ་སོང་འདི་དག་ལ་འགོ་གོན་འཕར་མ་ (Overhead Expenses) ཟེར། དཔེར་ན། བཟོ་བཅོས་ རྒྱག་པ་དང། སྐྱེལ་འདྲེན་པའི་ག་སོགས་འགོ་གོན་འཕར་མའི་རིགས་ཡིན།

༤་༤་༡ མ་གནས་རིན་གོང་དང་ཚོང་སྒྱུར་རིན་གོང་། ཁེའི་ % དང་གོང་གི་ % བཅས་འཚོལ་བ། Finding cost price/selling price, profit % / loss % རིས་དཔེ། ༦༽ བང་ཆུབ་ཀིས་ ` 4,500 སྤད་དེ་འཁྱག་སམ་རིང་པ་ཞིག་ཉོས་པ་རེད། དེའི་བཟོ་བཅོས་ཆེད་འགོ་སོང་ ` 1500 བཏང་ཡོད། ཕིས་སུ་དེ་ ` 5,400 ལ་བཙོངས་ཡོད་ན། བང་ཆུབ་ལ་ཁེའམ་གོང་ག་ཚོད་བྱུང་བའི་བརྒྱ་ཆ་ཚོལ།

ལན། མ་གནས་རིན་གོང་ནང་འགོ་གོན་འཕར་མའི་རིགས་འཚུད་དགོས་པར་བརྟེན།

62

གངས་འབོར་བསྡུར་བ། མ་གནས་རིན་གོང་ (CP) = ` 4,500 + ` 1,500 = ` 6,000

ཚོང་སྒྱུར་རིན་གོང་ (SP) = ` 5,400

འདིར། SP < CP ཡིན་པས། ཁོང་ལ་གོང་ = ` 6,000 − ` 5,400 = ` 600 རག་ཡོད།

` 6,000 ལ་གོང་ ` 600 རེད། འོ་ན་ ` 100 ལ་གོང་ག་ཚོད་རེད་དམ། གོང་ % = 600 × 100 = 60 = 10 % 6000 6 Loss Loss % = CP × 100 དེར་བརྟེན། བང་ཆུབ་ལ་གོང་ 10 % རག་ཡོད། ༧༽ ཚོང་བདག་གཅིག་གིས་ཤེལ་རོག་རེ་ལ་ ` 10 སྤད་དེ་ཤེལ་རོག་ 200 ཉོས་པ་རེད། ཡིན་ནའང་། ཤེལ་རོག་ 5

ཚིག་ནས་གཡུག་དགོས་བྱུང་ཡོད། ཤེལ་རོག་ལྷག་མ་རེར་ ` 12 བས་ཏེ་བཙོངས་ཡོད་ན། ཁོང་ལ་ཁེའམ་ཡང་ན་ གོང་བྱུང་བའི་བརྒྱ་ཆ་ཚོལ།

ལན། ཤེལ་རོག་ 200 ཡི་མ་གནས་རིན་གོང་ = ` 10 × 200 = ` 2000

ཤེལ་རོག་ 5 ཚིག་ཡོད། དེར་བརྟེན། ཤེལ་རོག་ལྷག་མའི་གངས་ = 200 − 5 = 195 ཤེལ་རོག་ལྷག་མ་རེ་ལ་ ` 12 བས་ཏེ་བཙོངས་ཡོད།

ཤེལ་རོག་ 195 ཡི་ཚོང་སྒྱུར་རིན་གོང་ = ` 12 × 195 = ` 2340

འདིར། SP > CP ཡིན་པས། ཁེ་ = ` 2340 − ` 2000 = ` 340 ` 2000 ལ་ཁེ་ ` 340 རེད། འོ་ན་ ` 100 ལ་ཁེ་ག་ཚོད་རེད་དམ། ཁེ་ % = 340 × 100 = 17 % 2000 དེར་བརྟེན། ཚོང་བདག་ལ་ཁེ་ 17 % བྱུང་ཡོད།

Profit Profit % = CP × 100

༨༽ བརོན་འགྲུས་ཀིས་རྐང་འཁོར་རེ་ལ་ ` 1200 སྤད་དེ་རྐང་འཁོར་གཉིས་ཉོས་པ་རེད། ཁོས་རྐང་འཁོར་གཅིག་གོང་ 5 % ཐོག་བཙོངས་པ་དང་གཞན་དེ་ཁེ་ 10 % ཐོག་བཙོངས་ཡོད་ན། རྐང་འཁོར་རེ་རེའི་ཚོང་སྒྱུར་རིན་གོང་ ཚོལ། ཁེའམ་ཡང་ན་གོང་ག་ཚོད་བྱུང་བ་ཡང་ཚོལ།

ལན། རྐང་འཁོར་རེའི་ CP = ` 1200

རྐང་འཁོར་གཅིག་གོང་ 5 % ཐོག་བཙོངས་ཡོད།

དེ་ནི། གལ་ཏེ་ CP = ` 100 ཡིན་ན། SP = ` 95 རེད།

95 དེར་བརྟེན། CP = ` 1200 ཡིན་ན། SP = ` 100 × 1200 = ` 1140

63

རིས་རིག རྐང་འཁོར་གཉིས་པ་དེ་ཁེ་ 10 % ཐོག་བཙོངས་ཡོད།

དེ་ནི། གལ་ཏེ་ CP = ` 100 ཡིན་ན། SP = ` 110 རེད། དེར་བརྟེན། CP = ` 1200 ཡིན་ན། SP = ` 110 × 1200 = ` 1320 100 ཁེའམ་ཡང་ན་གོང་ག་ཚོད་བྱུང་བ་འཚོལ་བར། ང་ཚོས་ཁྱོན་བསོམས་ CP དང་ SP འཚོལ་དགོས། CP = ` 1200 + ` 1200 = ` 2400 SP = ` 1140 + ` 1320 = ` 2460 SP > CP ཡིན་པས། ཁེ་ = ` 2460 − ` 2400 = ` 60 དེར་བརྟེན། བརོན་འགྲུས་ལ་ཁེ་ ` 60 བྱུང་ཡོད། རིས་དང་། ཚོང་བདག་གིས་བརན་འཕིན་རེར་ ` 10,000 སྤད་དེ་བརན་འཕིན་གཉིས་ཉོས་པ་རེད། ཁོས་བརན་འཕིན་ གཅིག་ཁེ་ 10 % དང་གཞན་དེ་གོང་ 10 % ཐོག་བཙོངས་པ་རེད། ཁོང་ལ་ཁེའམ་ཡང་ན་གོང་བྱུང་བ་ཚོལ།

༤་༥ དངོས་པོ་དང་ཞབས་ཞུའི་ཁལ། Goods and Services Tax (GST) རྒན་ལགས་ཀིས་འཛིན་གྲྭའི་ནང་གཤམ་གསལ་འགོ་བརོད་ཡོད་པའི་འཛིན་ཤོག་ཅིག་བསྟན་པ་རེད། འཛིན་ཨང་། ཨང་གངས།

སྣེ་ཁ།

ཐོ་གཞུང་།

གངས་འབོར།

ཚེས། གོང་ཚད།

དངུལ་འབོར།

ཐོབ་འཛིན་དངུལ། + GST (5 %) ཁྱོན།

དངོས་པོ་དང་ཞབས་ཞུའི་ཁལ་ནི་ང་ཚོས་དངོས་པོ་ཉོ་བའི་སྐབས་སྤད་ཀི་ཡོད། དེ་ཚོང་བདག་གིས་ཉོ་མཁན་གི་ལག་ནས་

བསྡུས་ཏེ་གཞུང་ལ་སྤོད་ཀི་ཡོད། དེར་བརྟེན། དངོས་པོ་དང་ཞབས་ཞུའི་ཁལ་ནི་རྟག་ཏུ་དངོས་པོ་ཞིག་གི་ཚོང་སྒྱུར་རིན་ གོང་སྟེང་ཡིན་པ་དང་དེ་ཐོབ་འཛིན་གི་དངུལ་གི་སང་ལ་བསོམ་དགོས། ཡིན་ནའང་། དེང་སང་དངོས་པོའི་གོང་ཚད་ མཉམ་དུ་ཁལ་ཡང་ཚུད་ཀི་ཡོད། ཁལ་འདི་དག་ལ་དངོས་པོ་དང་ཞབས་ཞུའི་ཁལ་ (GST) ཟེར།

64

གངས་འབོར་བསྡུར་བ། རིས་དཔེ། ༩༽ ཚོང་ཁང་ཞིག་ལ་འཁོར་ལྷམ་ཆ་གཅིག་གི་རིན་གོང་ ` 4500 རེད། ཚོང་ ཁལ་ 5 % ཡིན་ན། ཚོང་པས་སྤོད་དགོས་པའི་དངུལ་འབོར་ཚོལ།

ལན། ` 100 ལ་ཁལ་ ` 5 སྤད་པ་རེད།

` 4500 ལ་སྤད་པའི་ཁལ་ = ` 4500 × 5 100 = ` 225 ཚོང་པས་སྤོད་དགོས་པའི་དངུལ་འབོར། = ` 4500 + ` 225 = ` 4725

༡༠༽ ཉི་མས་གང་འཁོར་ཞིག་ལ་ ` 3300 སྤད་དེ་ཉོས་པ་དང་། དེའི་ནང་ཁལ་ 10 % ཚུད་ཡོད། ཁལ་མ་ཚུད་སྔོན་ལ་གང་འཁོར་དེའི་གོང་ཚད་ཚོལ།

ལན། གོང་ཚད་ནང་ཁལ་ 10 % ཚུད་ཡོད།

ཁལ་ཕུད་པའི་གོང་ཚད་ ` 100 ཡིན་ན། ཁལ་ཚུད་པའི་གོང་ཚད་ ` 110 རེད།

ཁལ་ཚུད་པའི་གོང་ཚད་ ` 110 ལ་མ་གནས་རིན་གོང་ ` 100 རེད། དེས་ན། ཁལ་ཚུད་པའི་གོང་ཚད་ ` 3300 ལ། 100 མ་གནས་རིན་གོང་ = ` 3300 × 110 = ` 3000 དེར་བརྟེན། ཁལ་མ་ཚུད་སྔོན་ལ་གང་འཁོར་དེའི་གོང་ཚད་ནི་ ` 3000 རེད། ཡང་ན། མ་གནས་རིན་གོང་། = ` 3300 − ` 300 = ` 3000 རིས་དང་། སྒྲུང་དེབ་གཅིག་ལ་ ` 210 སྤད་དེ་ཉོ་སྐབས། དེའི་ནང་ཁལ་ 5 % ཚུད་ཡོད་ན། དེའི་ཐོ་གསལ་གོང་ཚད་ཚོལ།

65

རིས་རིག

སྦོང་ཚན། ༤་༢ ༡། ཚེ་རིང་གི་ག་ཕོགས་ 10 % འཕར་ཡོད། གལ་ཏེ་ཁོང་གི་ག་ཕོགས་གསར་པ་དེ་ ` 1,54,000 ཡིན་ན། ཁོང་གི་ ག་ཕོགས་རིང་པ་ཚོལ།

༢། རེས་གཟའ་ཉི་མའི་ཉིན་མི་ 845 སྤན་གཟིགས་ཁང་ལ་ཕིན་པ་རེད། རེས་གཟའ་ཟླ་བའི་ཉིན་མི་ 169 ལས་ཕིན་ མེད་ན། རེས་གཟའ་ཟླ་བར་འགོ་མཁན་གི་བརྒྱ་ཆ་ག་ཚོད་ཀི་ཉུང་དུ་ཕིན་ཡོད་དམ།

༣། ཚོང་བདག་གཅིག་གིས་ཅ་དངོས་ 80 ལ་ ` 2,400 སྤད་དེ་ཉོས་པ་དང་། དེ་དག་ལ་ཁེ་འབབ་ 16 % བངས་ཏེ་ བཙོངས་ཡོད་ན། ཅ་དངོས་གཅིག་གི་ཚོང་སྒྱུར་རིན་གོང་ཚོལ།

༤། པར་ཆས་ཤིག་གི་རིན་གོང་ ` 15,500 ཡིན་པ་དང་དེའི་བཟོ་བཅོས་རྒྱག་ཆེད་ ` 450 ཕིན་པ་ རེད། གལ་ཏེ་པར་ཆས་དེ་ 15 % ཁེ་ཐོག་བཙོངས་ཡོད་ན། པར་ཆས་ཀི་ཚོང་སྒྱུར་རིན་གོང་ཚོལ།

༥། ཆ་སམ་དང་འཁྱག་སམ་རེ་ལ་ ` 8,000 སྤད་དེ་ཉོས་པ་རེད། ཚོང་བདག་གིས་ཆ་སམ་ 4 % གོང་དང་འཁྱག་ སམ་ 8 % ཁེ་ཐོག་བཙོངས་ཡོད་ན། ཁོང་ལ་ཁེའམ་ཡང་ན་གོང་བྱུང་བའི་བརྒྱ་ཆ་ཚོལ།

༦། ཚོང་ཁང་ཞིག་གིས་དངོས་པོ་ཚང་མའི་ཐོ་གསལ་གོང་ཚད་སྟེང་གཅོག་ཆ་ 10 %

བཏང་ཡོད། བདེ་སྐྱོང་གིས་ཐོ་གསལ་གོང་ཚད་ ` 1450 ཡིན་པའི་ལྭ་རིང་གཅིག་

དང་སྟོད་ཐུང་ལ་ ` 850 ཡིན་པའི་སྟོད་ཐུང་གཉིས་ལ་དངུལ་ག་ཚོད་སྤོད་དགོས་ སམ།

༧། ཆོས་ལྡན་གིས་བ་ཕྱུགས་རེ་ལ་ ` 20,000 བས་ཏེ་བ་ཕྱུགས་གཉིས་བཙོངས་པ་རེད། གཅིག་ལ་ 5 % ཁེ་དང་གཞན་ དེ་ལ་ 10 % གོང་བྱུང་ཡོད། ཁོང་ལ་ཁེའམ་ཡང་ན་གོང་བྱུང་བ་ཚོལ།

༨། བརན་འཕིན་ཞིག་གི་གོང་ཚད་ ` 13,000 རེད། དེའི་སྟེང་ཁལ་ 10 % སྤོད་དགོས། གལ་ཏེ་རྒྱལ་མཚན་གིས་ བརན་འཕིན་དེ་ཉོས་ན་དངུལ་ག་ཚོད་སྤད་དགོས་སམ།

༩། སྒོལ་མས་ཚོང་ཁང་ཞིག་ནས་གཅོག་ཆ་ 20 % བཏང་བའི་ལྷམ་ཆ་གཅིག་ཉོས་པ་རེད། གལ་ཏེ་ཁོ་མོས་སྤད་པའི་ དངུལ་ནི་ ` 1,600 ཡིན་ན། ཐོ་གསལ་གོང་ཚད་ཚོལ།

༡༠། ངས་ཆུ་ཚགས་ཤིག་ལ་ ` 5,400 སྤད་དེ་ཉོས་པ་ཡིན། དེའི་ནང་ 8 % ཁལ་ཚུད་ཡོད། ཁལ་མ་བསོམས་གོང་ལ་ ཆུ་ཚགས་ཀི་གོང་ཚད་ཚོལ།

66

གངས་འབོར་བསྡུར་བ།

༤་༦ མ་སྐྱེད་རྐང་པ། Simple interest ང་ཚོས་མོ་ཊ་གསར་པ་ཞིག་ཉོ་ཡས་རེད།

མོ་ཊ་ཉོ་བར་ཁྱེད་ཚོར་དངུལ་ཡོད་དམ།

ཁྱེད་ཀིས་དངུལ་ཁང་ནས་དུས་ངེས་ཅན་ཞིག་གི་རིང་དངུལ་གཡར་བ་ན། གཡར་བའི་དངུལ་དང་མཉམ་དུ།

ངའི་ཨ་མ་ལགས་ཀིས་དངུལ་

ཁང་ནས་བུ་ལོན་ལེན་གི་རེད།

ཁྱེད་ཀིས་དུས་ཚོད་རོགས་མཚམས་དེ་སྔོན་

དངུལ་ཁང་གི་དངུལ་བེད་སྤོད་བཏང་གའི་ཆེད་དངུལ་འཕར་མ་ཡང་སྤོད་དགོས་ཀི་

ཡོད། ཁྱེད་ཀིས་བུ་ལོན་བངས་པའི་དངུལ་དེར་མ་དངུལ་ (Principal) དང་དངུལ་འཕར་མ་ཕིར་སོག་བས་པ་དེ་ལ་སྐྱེད་ ཀ་ (Interest) ཟེར། དུས་ཡུན་ཁ་གསལ་རེས་ཕིར་སོག་བས་པའི་བསོམས་འབོར་ལ་དངུལ་འབོར་ (Amount) ཟེར། དེས་ན།

དངུལ་འབོར་ = མ་དངུལ་ + སྐྱེད་ཀ

སྐྱེད་ཀ་ནི་ལོ་རེའི་བརྒྱ་ཆའི་ཐོག་སྟོན་གི་ཡོད། དཔེར་ན། ལོ་རེར་ 10 % ཡང་ན། 10 % p.a. (per annum) སོགས་ཡིན། འདིར། 10 % ནི་སྐྱེད་ཚད་ (Rate) རེད། རིས་དཔེ། ༡༡༽ དཔལ་སྐྱིད་ཀིས་ལོ་རེར་སྐྱེད་ཚད་ 15 % ཐོག་ ` 5,000 བུ་ལོན་བངས་པ་རེད། ལོ་གཅིག་རེས་ཁོ་མོས་སྐྱེད་ ཀ་དངུལ་འབོར་ག་ཚོད་སྤོད་དགོས་སམ།

ལན། མ་དངུལ་ = ` 5,000 ; སྐྱེད་ཚད་ = ལོ་རེར་ 15 %

དེའི་དོན་ནི། ` 100 ལ་ལོ་གཅིག་གི་སྐྱེད་ཀ = ` 15 15 དེར་བརྟེན། ` 5,000 ལ་ལོ་གཅིག་གི་སྐྱེད་ཀ = ` 100 × 5000 = ` 750 དེར་བརྟེན། ལོ་གཅིག་རེས་ཁོ་མོས་སྐྱེད་ཀ་ ` 750 དང་དངུལ་འབོར་ ` 5,000 + ` 750 = ` 5,750 སྤོད་དགོས།

གལ་ཏེ་ང་ཚོས་མ་དངུལ་ལ་ P དང་སྐྱེད་ཚད་ལ་ R བཅས་ཀིས་མཚོན་པ་ཡིན་ན། ` 100 རེ་གཡར་བ་ལ། སྐྱེད་ཀ་ R % རེད། དེར་བརྟེན། ` P གཡར་བ་ལ། ལོ་གཅིག་གི་སྐྱེད་ཀ = P × R 100

67

རིས་རིག ༤་༦་༡ ལོ་དུ་མའི་སྐྱེད་ཀ Interest for multiple years

གལ་ཏེ་ཁྱེད་ཀིས་དངུལ་འབོར་ལོ་གཅིག་ལས་མང་བའི་རིང་གཡར་བ་ཡིན་ན། སྐྱེད་ཀ་དེ་དུས་ཡུན་ག་ཚོད་རིང་དངུལ་ ཉར་བའི་ཐོག་རི་དགོས། དཔེར་ན། དཔལ་སྐྱིད་ཀིས་དངུལ་འབོར་ལོ་གཉིས་རེས་སྤད་པ་དང་སྐྱེད་ཚད་གཅིག་པ་ཡིན་ ན། ཁོ་མོས་སྐྱེད་ཀའི་ཉིས་ལྡབ་སྤད་དགོས། དེ་ནི། ལོ་དང་པོར་ ` 750 དང་ལོ་གཉིས་པར་ ` 750

བུ་ལོན་གཡར་བའི་དུས་ཡུན་རིང་ཐུང་ལ་མ་བལྟོས་པར་དུས་ཡུན་ཆ་ཚང་རིང་མ་དངུལ་ལ་འགྱུར་བ་འགོ་ཡི་མེད་ན། དེ་འདྲའི་སྐབས་ཀི་སྐྱེད་ཀ་ལ་མ་སྐྱེད་རྐང་པ་ (Simple Interest) ཟེར། བུ་ལོན་གི་དུས་ཡུན་མང་དུ་འགོ་དུས་ སྐྱེད་ཀ་ཡང་འཕར་གི་ཡོད།

དཔེར་ན། ` 100 སྐྱེད་ཚད་ 18 % ཐོག་ལོ་གསུམ་རིང་གཡར་བ་ཡིན་ན།

ལོ་གསུམ་རེས་སྐྱེད་ཀ་སྤོད་དགོས་པ་ནི། 18 + 18 + 18 = 3 × 18 = ` 54 ང་ཚོས་ཤེས་གསལ་ལ། ལོ་གཅིག་གི་སྐྱེད་ཀ་ = P × R 100 དེར་བརྟེན། ལོ་ T ཡི་སྐྱེད་ཀ་ I = P × R × T ཡང་ན། PRT 100 100 ལོ་ T རེས་དངུལ་འབོར་སྤོད་དགོས་པ་ནི་ A = P + I རེད། རིས་དཔེ། ༡༢༽ ` 500 ལ་ལོ་རེར་སྐྱེད་ཚད་ 8 % ཐོག་ལོ་ 4 རིང་བཅོལ་འཇོག་བས་པའི་སྐྱེད་ཀ་ཚོལ། དུས་ཡུན་རོགས་རེས་ དངུལ་འབོར་ཐོབ་པའང་ཚོལ།

ལན། ལོ་རེའི་སྐྱེད་ཚད་ = 8 %

` 100 ལ་ལོ་གཅིག་གི་སྐྱེད་ཀ་ = ` 8

8 ` 500 ལ་ལོ་གཅིག་གི་སྐྱེད་ཀ་ = ` 500 × = ` 40 100 དེར་བརྟེན། ` 500 ལ་ལོ་བཞི་ཡི་སྐྱེད་ཀ་ = ` 40 × 4 = ` 160 དངུལ་འབོར་ (A) = P + I

= ` 500 + ` 160 = ` 660

དེར་བརྟེན། སྐྱེད་ཀ་ནི་ ` 160 དང་ལོ་ 4 རེས་དངུལ་འབོར་ ` 660 ཐོབ་ཀི་ཡོད། ༡༣༽ རྒྱ་མཚོས་ལོ་རེར་སྐྱེད་ཚད་ 6.5 % ཐོག་དངུལ་ཁང་ནས་ ` 6,050 བུ་ལོན་ལེན་ཡོད། ལོ་ 3 རེས་སྐྱེད་ཀ་ དང་དངུལ་འབོར་སྤོད་དགོས་པ་ཚོལ།

ལན། སྐྱེད་ཚད་ = 6.5 %; མ་དངུལ་ = ` 6,050; དུས་ཡུན་ = ལོ་ 3

68

གངས་འབོར་བསྡུར་བ། སྐྱེད་ཀ་ = =

P×R×T 100 6050 × 3 × 6.5 100

= ` 1179.75 དངུལ་འབོར་ = P + I = 6050 + 1179.75 = ` 7229.75

དེར་བརྟེན། ལོ་ 3 རེས་རྒྱ་མཚོས་སྐྱེད་ཀ་ ` 1179.75 དང་དངུལ་འབོར་ ` 7229.75 སྤོད་དགོས། རིས་དང་། ༡༽ ` 3,500 ལ་ལོ་རེར་སྐྱེད་ཚད་ 7 % ཡིན་ན། ལོ་ 2 རེས་སྐྱེད་ཀ་ག་ཚོད་ཐོབ་པ་ཚོལ། ༢༽ ལྷག་པས་ལོ་རེར་སྐྱེད་ཚད་ 3.5 % ཐོག་ ` 7,000 ལོ་ 2 ཀི་རིང་བུ་ལོན་ལེན་ཡོད། ལོ་ 2 རེས་སྤོད་ དགོས་པའི་དངུལ་འབོར་ཚོལ། རིས་དཔེ། ༡༤༽ གལ་ཏེ་མ་དངུལ་ ` 4,500 ལ་བཟང་མོས་ལོ་ 2 ཀི་སྐྱེད་ཀ་ ` 750 སྤད་ཡོད་ན། སྐྱེད་ཚད་ཚོལ། ལན།

ཐབས་ལམ་ ༡

I=

P×R×T 100

དེར་བརྟེན། 750 = 4500 × 2 × R 100 ཡང་ན། 750 = R 45 × 2 དེར་བརྟེན། སྐྱེད་ཚད། (Rate) = 8 1 % 3

ཐབས་ལམ་ ༢ ལོ་ 2 ལ་སྐྱེད་ཀ་ ` 750 སྤད་པ་རེད། དེར་བརྟེན། ལོ་ 1 ལ་སྐྱེད་ཀ་ 750 = ` 375 རེད། 2 ` 4500 ལ་སྐྱེད་ཀ་ ` 375 སྤད་པ་རེད། དེར་བརྟེན། ` 100 ལ་སྤད་པའི་སྐྱེད་ཚད། = 375 × 100 = 8 1 % 3 4500

༡༥༽ ཁྱེད་རང་གི་དངུལ་ཁང་ནང་ ` 2,400 ཡོད་པ་དང་སྐྱེད་ཚད་ 5 % རེད། ལོ་ག་ཚོད་རེས་ཁྱེད་ལ་སྐྱེད་ཀ་ ` 240 ཐོབ་བམ།

ལན། I = P × R × T ཡིན་པས། 100 240 = 2400 × 5 × T 100

69

རིས་རིག 240 24 × 5 T=2 T=

དེར་བརྟེན། ལོ་ 2 རེས་སྐྱེད་ཀ་ ` 240 ཐོབ་ཀི་རེད།

སྦོང་ཚན། ༤་༣ ༡། གཤམ་གསལ་རེའུ་མིག་ནང་སྐོངས། མ་དངུལ།

སྐྱེད་ཚད།

ལོ།

(ཀ)

` 500

8%

3

(ཁ)

` 2000

(ག)

` 1800

(ང)

` 2600

(ཅ)

` 6000

4 51 % 2 4% 41 % 2

སྐྱེད་ཀ ` 480 ` 198

1 2 31 2 2

༢། གཤམ་གསལ་གནས་སྟངས་ཁག་གི་དངུལ་འབོར་ཚོལ།

(ཀ) མ་དངུལ། = ` 1200, སྐྱེད་ཚད། = 12 % p.a, ལོ་ = 3 (ཁ) མ་དངུལ། = ` 7500, སྐྱེད་ཚད། = 5 % p.a, ལོ་ = 2

༣། སྐྱེད་ཚད་ག་ཚོད་ཀིས་མ་དངུལ་ ` 5,600 ལ་ལོ་ 2 ཀི་རིང་སྐྱེད་ཀ་ ` 280 སྤོད་ཀི་རེད།

༤། གལ་ཏེ་འབྲུག་ཚེ་རིང་གིས་ལོ་རེར་སྐྱེད་ཚད་ 9 % ཐོག་སྐྱེད་ཀ་ ` 45 སྤད་ཡོད་ན། ཁོང་གིས་མ་དངུལ་ག་ཚོད་ གཡར་ཡོད་དམ།

70

གངས་འབོར་བསྡུར་བ།

དྲན་གསོ་གིས། ༡། ཁེ་ = SP − CP (གལ་ཏེ། SP > CP)

གོང་ = CP − SP (གལ་ཏེ། SP < CP)

༢། གཅོག་ཆ་ནི་ཐོ་གསལ་གོང་ཚད་སྟེང་ཆག་ཡང་བཏང་བ་ལ་ཟེར། གཅོག་ཆ་ = ཐོ་གསལ་གོང་ཚད་ − ཚོང་སྒྱུར་རིན་གོང་།

༣། འགོ་གོན་འཕར་མ་ནི་མ་དངུལ་ནང་ཚུད་ཡོད།

མ་གནས་རིན་གོང་ (CP) = ཐོ་གསལ་གོང་ཚད་ + འགོ་གོན་འཕར་མ།

༤། ཁེའི་བརྒྱ་ཆ་

=

གོང་གི་བརྒྱ་ཆ་ =

ཁེ། མ་གནས་རིན་གོང་། གོང་། མ་གནས་རིན་གོང་།

× 100

× 100

༥། ཁལ་ནི་དངོས་པོ་བཙོང་བའི་སྐབས་རྒྱག་གི་ཡོད་པ་དང་དེ་ཐོ་གསལ་གོང་ཚད་ཀི་ཐོག་བརི་ཡི་ཡོད། ཁལ་ = ཁལ་ % × ཐོ་གསལ་གོང་ཚད།

༦། བུ་ལོན་ལེན་པའི་དངུལ་དེར་མ་དངུལ་ཟེར། དུས་ཡུན་ཁ་གསལ་རེས་མ་དངུལ་མཉམ་དུ་དངུལ་ འཕར་མ་སྤོད་དགོས་པ་དེ་ལ་སྐྱེད་ཀ་ཟེར།

༧། དུས་ཡུན་ངེས་ཅན་རེས་ཕིར་སོག་བས་པའི་བསོམས་འབོར་དེར་དངུལ་འབོར་ཟེར། དེས་ན། དངུལ་འབོར་ = མ་དངུལ་ + སྐྱེད་ཀ ཡང་ན། A = P + I

༨། བུ་ལོན་གཡར་བའི་དུས་ཡུན་ཆ་ཚང་རིང་མ་དངུལ་ལ་འགྱུར་བ་འགོ་ཡི་མེད་ན། དེའི་སྐྱེད་ཀ་ལ་མ་ སྐྱེད་རྐང་པ་ཟེར།

མ་སྐྱེད་རྐང་པ། (I) =

P×R×T 100

འདིར། P = མ་དངུལ། R = སྐྱེད་ཚད། T = དུས་ཡུན། ༩། P = 100 × I ; R = 100 × I ; T = 100 × I P×T R×T P×R

71

སོབ་ཚན་ལྔ་པ། ཚབ་རིས་ཀི་ཚུལ། ༥་༡ ངོ་སྤོད། Introduction

འཛིན་རིམ་དྲུག་པར་ང་ཚོས་ཚབ་རིས་ཀི་ཚུལ་གི་གོ་དོན་དང་དེའི་བེད་སྤོད་སྦངས་ཡོད། x + 3, y − 5, 4x + 5, 10y − 5 སོགས་ཚབ་རིས་ཀི་ཚུལ་རེད། སོབ་ཚན་འདིར་ང་ཚོས་ཚབ་རིས་ཀི་ཚུལ་འགྲུབ་སྟངས་དང་། ཚབ་རིས་ཀི་ ཚུལ་གི་ཚན་པ། ཚབ་རིས་ཀི་ཚུལ་གི་སོམ་འཐེན། ཚབ་རིས་ཀི་ཚུལ་གི་ཐང་འཚོལ་སྟངས། དེའི་བེད་སྤོད་སོགས་སྦང་ རྒྱུ་ཡིན།

བེད་སོ། དཔེ་འགོས་ལ་བལྟས་ཏེ་གཤམ་གི་རེའུ་མིག་ནང་བར་སྟོང་སྐོངས། (རྟག་གངས་དང་རྒྱུ་བེད་སྤོད་བོས།) (ཀ)

སྨྱུ་གུའི་གངས།

1

རིན་གོང་། ( ` ནང་།)

10 20 30 40

2

3

4

5

6

8

10

11

x

110

(ཁ) གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་འདི་དག་ཙག་སྒ་བེད་སྤད་དེ་བཟོས་པ་རེད། གྲུ་བཞི་ཁ་གང་ མའི་གངས། ཙག་སྒའི་ གངས།

1

4

2

3

4

5

6

x

4 + (3 × 1) 4 + (3 × 2) 4 + (3 × 3) 4 + (3 × 4) 4 + (3 × 5) =7 = 10 = 13 = 16 = 19

༥་༢ ཚབ་རིས་ཀི་ཚུལ་ཇི་ལྟར་འགྲུབ་བམ། How are expressions formed?

ང་ཚོས་རྒྱུ་ (Variable) གང་ཡིན་པ་གསལ་པོ་ཤེས་ཀི་ཡོད། ང་ཚོས་ཡིག་འབྲུ་ x, y, l, m སོགས་རྒྱུ་མཚོན་བེད་དུ་

72

ཚབ་རིས་ཀི་ཚུལ། བེད་སྤོད་བེ​ེད་ཀི་ཡོད། རྒྱུ་ལ་གངས་ཚད་འདྲ་མིན་ལེན་ཆོག དེའི་ཐང་ནི་བརྟན་པོ་མེད། ཡིན་ནའང་། རྟག་གངས་ (Constant) ལ་ཐང་བརྟན་པོ་ཡོད། 4, 100, −17 སོགས་རྟག་གངས་ཡིན།

ང་ཚོས་རྒྱུ་དང་རྟག་གངས། རིས་ཐབས་བཅས་བེད་སྤད་དེ་ཚབ་རིས་ཀི་ཚུལ་བཟོ་ཡི་ཡོད། ཚུལ་ 4x + 5 དང་ 10y − 5 ལ་དཔེ་བཞག་ན།

4x + 5 ནི་རྒྱུ་ x ལ་རྟག་གངས་ 4 ཡིས་བསྒྱུར་ཏེ་བསྒྱུར་ཐོབ་སྟེང་རྟག་གངས་ 5 བསོམས་ནས་གྲུབ་པ་ཞིག་ཡིན། 10y − 5 ནི་རྒྱུ་ y ལ་རྟག་གངས་ 10 ཡིས་བསྒྱུར་ཏེ་བསྒྱུར་ཐོབ་ནས་རྟག་གངས་ 5 འཐེན་ཏེ་གྲུབ་པ་ཞིག་ཡིན།

གོང་གི་ཚུལ་རྣམས་རྒྱུ་དང་རྟག་གངས་བསེབས་ནས་གྲུབ་པ་ཞིག་རེད། ང་ཚོས་རྒྱུ་རང་ཉིད་དང་བསེབས་པའམ་ཡང་ན་ རྒྱུ་གཞན་མཉམ་དུ་བསེབས་ནས་ཚབ་རིས་ཀི་ཚུལ་འགྲུབ་ཐུབ། གཤམ་གསལ་གི་ཚུལ་གི་འགྲུབ་ཚུལ་ལ་ལྟོས་དང་། (ཀ) 4 × 4 = 42 བིས་པ་ལྟར། ང་ཚོས་ x × x = x2 འབི་དགོས། དེ་ཀོག་སྐབས་ x རང་ཉིས་སྒྱུར་ (x squared)

ཞེས་ཀོག་དགོས། དེ་བཞིན། ང་ཚོས་ x × x × x = x3 བཅས་འབི་ཆོག དེ་ x རང་སུམ་སྒྱུར་ (x cubed) ཞེས་ ཀོག་དགོས། དེར་བརྟེན། x, x2, x3, ... སོགས་ x ལས་གྲུབ་པའི་ཚབ་རིས་ཀི་ཚུལ་རེད།

(ཁ) ཚུལ་ 2y2 ནི་རྒྱུ་ y ལས་གྲུབ་པ་ཡིན། 2y2 = 2 × y × y

འདིར། y ལ་ y ཡིས་བསྒྱུར་ནས་བསྒྱུར་ཐོབ་ y2 ལ་རྟག་གངས་ 2 ཀིས་བསྒྱུར་ཡོད།

(ག) ཚུལ་ (3x2 − 5) ནང་དང་པོ་ང་ཚོར་ x2 ཐོབ་རེས་ x2 ལ་ 3 གིས་བསྒྱུར། དེ་ནས་ བསྒྱུར་ཐོབ་ 3x2 ནས་ 5 འཐེན་ཡོད།

(ང) ཚུལ་ xy ནང་རྒྱུ་ x ལ་རྒྱུ་གཞན་ y ཡིས་བསྒྱུར་ཡོད། དེས་ན། x × y = xy 2

5y − y

4 ཡིས་བསྒྱུར་ནས་བསྒྱུར་ཐོབ་ 4xy སྟེང་ 7 བསོམས་ན། ཚུལ་ (4xy + 7)

3x + x

(ཅ) ཚུལ་ (4xy + 7) ནང་དང་པོ་ང་ཚོས་ x དང་ y སྒྱུར་རེས། དེའི་བསྒྱུར་ཐོབ་ལ་ ཐོབ།

༥་༣ ཚུལ་གི་ཚན་པ། Terms of an expression

ཚུལ་(4x2 − 3xy) ལ་དཔེ་བཞག་ན། འདིར་ང་ཚོས་དང་པོར་ཚུལ་གི་ཆ་ཤས་ 4x2 དང་ − 3xy གཉིས་ལོགས་སུ་ གྲུབ་སྟེ་སོམ་གི་ཡོད། དེ་འདྲའི་ཆ་ཤས་ལ་ཚན་པ་ (Terms) ཟེར།

ཚུལ་ (4x2 − 3xy) ནང་ཚན་པ་གཉིས་ཡོད། ཚན་པ་ 4x2 ནི་ 4 དང་ x, x བཅས་ཀི་བསྒྱུར་ཐོབ་ཡིན་པ་དང་། ཚན་ པ་ (− 3xy) ནི་ (−3) དང་ x, y བཅས་ཀི་བསྒྱུར་ཐོབ་རེད།

ཚན་པ་ཁག་བསོམས་ཏེ་ཚུལ་འགྲུབ་ཀི་ཡོད། ཚན་པ་ 4x དང་ 5 བསོམས་ཏེ་ཚུལ་ (4x + 5) གྲུབ་པ་བཞིན། ཚན་པ་

73

རིས་རིག 4x2 དང་ (− 3xy) གཉིས་བསོམས་ཏེ་ཚུལ་ (4x2 − 3xy) འགྲུབ་ཀི་ཡོད། དེ་ནི། 4x2 + (− 3xy) = 4x2 − 3xy མཆན། འཐེན་རྟགས་ (−) ནི་ཚན་པའི་ནང་ཚུད་ཡོད། ཚུལ་ (4x2 − 3xy) ནང་ང་ཚོས་ཚན་པ་ (− 3xy) ལེན་པ་དང་ (3xy) ལེན་མི་དགོས། དེར་བརྟེན། ཚུལ་ནི་ཚན་པ་བསོམས་པའམ་ཡང་ན་འཐེན་ནས་གྲུབ་ཀི་ཡོད་ པ་བཤད་མི་དགོས་པར་བསོམས་ནས་ཁོ་ན་གྲུབ་ཀི་ཡོད་པ་བཤད་ཐུབ། ༥་༣་༡ ཚན་པའི་བགོད་གངས། Factors of a term

གོང་དུ་ང་ཚོས་ཚུལ་ (4x2 − 3xy) ནང་ཚན་པ་ 4x2 དང་ (− 3xy) བཅས་གཉིས་ཡོད་པ་མཐོང་ཡོད། ཚན་པ་ 4x2 ནི་ 4 དང་ x, x བཅས་ཀི་བསྒྱུར་ཐོབ་རེད། འདིར་ 4 དང་ x, x བཅས་ལ་ཚན་པ་ 4x2 ཡི་བགོད་གངས་ཟེར། ཚན་

པ་ནི་ཚན་པ་དེའི་བགོད་གངས་ཀི་བསྒྱུར་ཐོབ་ཡིན། དེར་བརྟེན། ཚན་པ་ (− 3xy) ནི་བགོད་གངས་ (−3) དང་ x, y བཅས་ཀི་བསྒྱུར་ཐོབ་ཡིན།

ཚུལ་ཞིག་གི་ཚན་པ་དང་ཚན་པ་དེའི་བགོད་ གངས་སོ ང ་འགེ མ ས་དཔེ ་ རི ས ་བེ ད ་སྤད་དེ ་ མཚོན་གི་ཡིན།

ཚུལ། ཚན་པ།

གཡས་ཀི་ཚུལ་ (4x2 − 3xy) དང་ཚུལ་

བགོད་གངས།

ལྟོས་དང་།

ཚུལ།

(5xy + 10) ཡི་སོང་འགེམས་དཔེ་རིས་ལ་ མཆན། སོང་འགེམས་དཔེ་རིས་ནང། བགོད་ གངས་ལ་ཚེག་ཐིག་དང་ཚན་པ་ལ་ནག་ཐིག་ བེད་སྤད་ཡོད།

(4x2 − 3xy) 4x2 4

༥་༣་༢ བཏགས་གངས། Coefficients

ང་ཚོས་བགོད་གངས་བསྒྱུར་ནས་ཚན་པ་འབི་སྟངས་སྦངས་ཡོད།

བགོད་གངས་འདི་དག་ལས་གཅིག་ཨང་ཀི་དང་གཞན་རྣམས་ རྒྱུ་ཡིན་སིད། ཨང་ཀིའི་བགོད་གངས་ལ་ཚན་པ་དེའི་ཨང་ཀིའི་ བཏགས་གངས་ (Numerical coefficient) ཟེར། དཔེར་ན།

x

−3

x

5xy 5

x

10 y

2

74

5

རིས་དང་།

༡། གཤམ་གསལ་ཚུལ་གི་སོང་འགེམས་ དཔེ་རིས་བིས།

8y + 3x2, 7mn − 4, 2x2y ༢། ཚན་པ་བཞི་ཡོད་པའི་ཚུལ་གསུམ་རེ་བིས།

(༡) 5xy ནང་ 5 ནི་ཚན་པ་དེའི་བཏགས་གངས་ཡིན། 5 ནི་ 5xy ཡི་ཨང་ཀིའི་བཏགས་གངས་ཀང་ཡིན། (༢) − 7x2y2 ནང་ − 7 ནི་ x2y2 ཡི་བཏགས་གངས་ཡིན།

y

(5xy + 10)

ཚན་པ། བགོད་གངས།

x

− 3xy

ཚབ་རིས་ཀི་ཚུལ། གལ་ཏེ་ཚན་པ་ཞིག་གི་བཏགས་གངས་ 1 ཡིན་ན། དེ་རྒྱུན་དུ་

འབི་ཡི་མེད། དཔེར་ན། 1x ནི་ x དང་ 1x2y2 ནི་ x2y2 ལྟར་ འབི་ཡི་ཡོད། ཡིན་ནའང་། བཏགས་གངས་ (− 1) སྐབས་འཐེན་ རྟགས་ཁོ་ནས་མཚོན་གི་ཡོད།

རིས་དང་།

གཤམ་གསལ་ཚུལ་གི་ཚན་པ་ཁག་གི་བཏགས་ གངས་ངོས་ཟུངས། 4x − 3y, a + b + 5, 2y + 5, 2xy

དཔེར་ན། (− 1) x ནི་ − x དང་། (− 1) x2y2 ནི་ − x2y2 སོགས་ལྟར་འབི་ཡི་ཡོད།

སྐབས་འགར་ཐ་སྙད་བཏགས་གངས་ནི་སྤི་ཡོངས་ཀི་འགོ་སྟངས་ལྟར་བེད་སྤོད་བེད་ཀི་ཡོད།

(༡) 5xy ནང་ 5 ནི་ xy ཡི་བཏགས་གངས་དང་། x ནི་ 5y ཡི་བཏགས་གངས། y ནི་ 5x ཡི་བཏགས་གངས་བཅས་ ཡིན།

(༢) 10xy2 ནང་ 10 ནི་ xy2 ཡི་བཏགས་གངས་དང་། x ནི་ 10y2 ཡི་བཏགས་གངས། y2 ནི་ 10x ཡི་བཏགས་ གངས་བཅས་ཡིན།

མཆན། བཏགས་གངས་ནི་ཨང་ཀིའི་བགོད་གངས་སམ། ཡང་ན་ཡིག་འབྲུའི་བགོད་གངས་གཉིས་ལས་གང་རུང་ངམ། ཡང་ན་བགོད་གངས་གཉིས་སམ། ཡང་ན་དུ་མའི་བསྒྱུར་ཐོབ་ཡིན་ཆོག རིས་དཔེ། ༡༽ གཤམ་གསལ་ཚུལ་གི་ཚན་པ་དང་། ཚན་པའི་བགོད་གངས། ཚན་པའི་ཨང་ཀིའི་བཏགས་གངས་བཅས་བིས། (ཀ) 15xy + 4

ལན།

(ང) yx − y

(ཁ) − 18xp + y2z

(ག) 70x2yp + 67m

(ཅ) 10x − 9y

(ཆ) 16p2q − 10xy + 13n

ཚུལ།

ཚན་པ།

ཚན་པའི་བགོད་གངས།

ཚན་པའི་ཨང་ཀིའི་བཏགས་གངས།

15xy + 4

15xy

15, x, y

15

4 − 18xp y2z 70x2yp 67m yx

4 − 18, x, p y, y, z 70, x, x, y, p 67, m y, x

4 − 18 1 70 67 1

− 18xp + y2z 70x2yp + 67m yx − y

75

རིས་རིག ཚུལ། 10x − 9y 16p2q − 10xy + 13n

ཚན་པ། −y 10x − 9y 16p2q − 10xy 13n

ཚན་པའི་བགོད་གངས།

ཚན་པའི་ཨང་ཀིའི་བཏགས་གངས། −1 10 −9 16 −10 13

−1, y 10, x − 9, y 16, p, p, q − 10, x, y 13, n

༢༽ (ཀ) གཤམ་གི་ཚུལ་རེའི་ནང་ x ཡི་བཏགས་གངས་ཚང་མ་བིས། 4x − 3y, 8 − x + y, y2x − y, 2z − 5xz

(ཁ) གཤམ་གི་ཚུལ་རེའི་ནང་ y ཡི་བཏགས་གངས་ཚང་མ་བིས། ལན།

4x − 3y, 8 + yz, yz2 + 5, my + m

(ཀ) ང་ཚོས་ཚུལ་རེའི་ནང་ x ཡོད་པའི་ཚན་པ་ལ་ལྟ་དགོས། ཚན་པ་དེའི་ཆ་ཤས་ལྷག་མ་ནི་ x ཡི་བཏགས་གངས་རེད། ཚུལ།

བགོད་གངས་ x ཡོད་པའི་ཚན་པ།

x ཡི་བཏགས་གངས།

4x − 3y 8−x+y y2x − y 2z − 5xz

4x −x y2x − 5xz

4 −1 y2 − 5z

ཚུལ།

བགོད་གངས་ y ཡོད་པའི་ཚན་པ།

y ཡི་བཏགས་གངས།

4x − 3y 8 + yz yz2 + 5 my + m

− 3y yz yz2 my

−3 z z2 m

(ཁ) གོང་བཞིན།

༥་༤ ཚན་མཐུན་དང་མི་མཐུན་ཚན་པ། Like and unlike terms

གལ་ཏེ་ཚན་པ་ཞིག་གི་ཡིག་འབྲུའི་བགོད་གངས་གཅིག་པ་ཡིན་ན། ཚན་པ་དེ་ལ་ཚན་མཐུན་ (Like terms) ཟེར། ཚན་པ་ཞིག་གི་ཡིག་འབྲུའི་བགོད་གངས་མི་འདྲ་བ་ཡིན་ན། དེ་ལ་མི་མཐུན་ཚན་པ་ (Unlike terms) ཟེར།

76

ཚབ་རིས་ཀི་ཚུལ། དཔེར་ན། ཚུལ་ x2 + 2xy − 3x + 5xy − 4

ནང་ཚན་པ་ 2xy དང་ 5xy ལ་ལྟོས་དང་། 2xy ཡི་བགོད་གངས་ནི་ 2 དང་ x, y བཅས་དང་།

རིས་དང་། གཤམ་གསལ་ལས་ཚན་མཐུན་ཚུལ་རྣམས་སེ་ཚན་སུ་དབེ།

5xy ཡི་བགོད་གངས་ནི་ 5 དང་ x, y བཅས་

12x, 12, − 25x,− 25, 25y, 1, x, 12y, y

ཡིན། དེར་བརྟེན། ཚན་པ་དེ་གཉིས་ཀི་ཡིག་འབྲུའི་བགོད་གངས་མཚུངས་པས་དེ་དག་ཚན་མཐུན་རེད། ཡིན་ནའང་།

ཚན་པ་ 2xy དང་ − 3x ལ་ཡིག་འབྲུའི་བགོད་གངས་མི་འདྲ་བ་ཡོད། དེ་དག་མི་མཐུན་ཚན་པ་རེད། དེ་མཚུངས། ཚན་པ་ 2xy དང་ − 4 ཡང་མི་མཐུན་ཚན་པ་རེད། དེ་བཞིན་ཚན་པ་ − 3x དང་ x2 མི་མཐུན་ཚན་པ་རེད། རིས་དཔེ། ༣༽ གཤམ་གི་ཚུལ་རྣམས་ལས་གང་ཞིག་ཚན་མཐུན་དང་གང་ཞིག་མི་མཐུན་ཚན་པ་ཡིན་ངོས་ཟུངས། (༡) 7x, 12y

(༥) 6ab2, 9a2b

(༡) (༢) (༣) (༤)

(༥)

(༦)

(༢) 15x, − 21x

(༦) pq2, − 4pq2

ཚུལ།

བགོད་གངས།

7x

7, x

12y

12, y

15x

15, x

− 21x

− 21, x

− 4ab

− 4, a, b

7ba

7, b, a

3xy

3, x, y

3x

3, x 2

6ab

6, a, b, b

9a2b

9, a, a, b

pq2

p, q, q

− 4pq2

− 4, p, q, q

(༣) − 4ab, 7ba

(༧) mn2, 10mn

ཡིག་འབྲུའི་བགོད་ ཚན་མཐུན་/ གངས། མི་མཐུན་ཚན་པ། མི་མཚུངས།

མི་མཐུན་ཚན་པ།

མཚུངས།

ཚན་མཐུན།

མཚུངས།

ཚན་མཐུན།

མི་མཚུངས།

མི་མཐུན་ཚན་པ།

(༤) 3xy, 3x

(༨) − 2p2q, pq2 ཟུར་མཆན། ཚན་པའི་བགོད་གངས་མི་ འདྲ་བ་རེད།

དྲན་གསོ་གིས་དང་། ab = ba

རྒྱུ་ y ནི་ཚན་པ་གཅིག་ལ་ མ་གཏོགས་མེད།

ཚན་པ་གཉིས་ཀའི་རྒྱུ་གཅིག་

མི་མཚུངས།

མཚུངས།

མི་མཐུན་ཚན་པ། པ་ཡིན་ནའང་དེ་དག་གི་ཐེངས་ གངས་གཅིག་པ་མིན། ཚན་མཐུན།

ཨང་ཀིའི་བགོད་གངས་ 1 བིས་མེད།

77

རིས་རིག

(༧)

mn2

m, n, n

10mn

10, m, n

(༨)

− 2p2q pq2

− 2, p, p, q p, q, q

ཚན་པ་གཉིས་ཀི་རྒྱུ་མཚུངས་

མི་མཚུངས།

མི་མཐུན་ཚན་པ། ནའང་དེ་དག་གི་ཐེངས་གངས་ མཚུངས་ཀི་མེད། ཚན་པ་གཉིས་ཀི་རྒྱུ་མཚུངས་

མི་མཚུངས།

མི་མཐུན་ཚན་པ། ནའང་དེ་དག་གི་ཐེངས་གངས་ མཚུངས་ཀི་མེད།

༥་༥ ཚན་རྐང་ཚུལ་དང་། ཉིས་ཚན་ཚུལ། སུམ་ཚན་ཚུལ། ཚན་མང་ཚུལ། Monomials, binomials, trinomials and polynomials. ཚབ་རིས་ཀི་ཚུལ་ལ་ཚན་པ་གཅིག་ལས་མེད་པ་དེ་ལ་ཚན་རྐང་ཚུལ་ (Monomial) ཟེར། དཔེར་ན། 9, 5x, 2m, − 7xy སོགས། ཚན་པ་གཉིས་ཡོད་པའི་ཚུལ་ལ་ཉིས་ཚན་ཚུལ་ (Binomial) ཟེར། དཔེར་ན། 3 + 5x, 2x + y,

m − 5, mn + 4m, a2 − b2 སོགས། ཚན་པ་གསུམ་ཡོད་པའི་ཚུལ་ལ་སུམ་ཚན་ཚུལ་ (Trinomial) ཟེར། དཔེར་ན། ཚུལ་ x + y + 7, ab + a + b, 3x2 − 5x +2, m + n + 10 སོགས་སུམ་ཚན་ཚུལ་ཡིན།

ཚུལ་ x + y +5x ནི་སུམ་ཚན་ཚུལ་མིན། རྒྱུ་མཚན་ནི་ཚན་པ་ x དང་ 5x གཉིས་ཚན་མཐུན་ཡིན་པས་ 6x + y

ཚན་པ་གཅིག་གམ་ཡང་ན་དུ་མ་ཡོད་པའི་ཚུལ་ལ་ཚན་མང་ཚུལ་ (Polynomial) ཟེར། དེར་བརྟེན། ཚན་རྐང་ཚུལ་ དང་། ཉིས་ཚན་ཚུལ། སུམ་ཚན་ཚུལ་བཅས་ནི་ཚན་མང་ཚུལ་ཡིན། རིས་དང་། གཤམ་གི་ཚུལ་རྣམས་ལས་ཚན་རྐང་ཚུལ་དང་། ཉིས་ཚན་ཚུལ། སུམ་ཚན་ཚུལ་གང་ཡིན་ངོས་ཟུངས། a + b, ab + a + b, ab + a + b − 5, xy, xy + 5, 5x2 − x + 2, 4pq − 3q + 5p, 7, 4m − 7n + 10, 4mn + 7

སྦོང་ཚན། ༥་༡ ༡། རྒྱུ་དང་རྟག་གངས་། རིས་ཐབས་བེད་སྤད་དེ་ཚབ་རིས་ཀི་ཚུལ་བིས། (ཀ) y ནས་ z འཐེན་པ།

(ཁ) གངས་ x དང་ y ཡི་བསོམས་ཐོབ་ཀི་གཉིས་ཆ་གཅིག

78

ཚབ་རིས་ཀི་ཚུལ། (ག) གངས་ z རང་སྒྱུར་བེད་པ།

(ང) གངས་ p དང་ q ཡི་བསྒྱུར་ཐོབ་ཀི་བཞི་ཆ་གཅིག

(ཅ) གངས་ x དང་ y གཉིས་ཀ་རང་ཉིས་སྒྱུར་དང་སོམ་པ།

(ཆ) གངས་ m དང་ n ཡི་བསྒྱུར་ཐོབ་ཀི་ལྡབ་གསུམ་ལ་ 5 སོམ་པ། (ཇ) 10 ནས་གངས་ y དང་ z ཡི་བསྒྱུར་ཐོབ་འཐེན་པ།

(ཉ) a དང་ b ཡི་བསྒྱུར་ཐོབ་ནས་དེ་དག་གི་བསོམས་ཐོབ་འཐེན་པ། ༢། (ཀ) སོང་འགེམས་དཔེ་རིས་སྤད་དེ་གཤམ་གསལ་ཚུལ་གི་ཚན་པ་དང་བགོད་གངས་ངོས་ཟུངས། (༡) x − 3

(༤) 5xy2 + 7x2y

(༢) 1 + x + x2

(༥) −ab + 2b2 − 3a2

(ཁ) གཤམ་གི་ཚུལ་གི་ཚན་པ་དང་བགོད་གངས་ངོས་ཟུངས། (༡) − 4x + 5

(༤) xy + 2x2y2 (༧) 3 x + 1 4 4

(༢) −4x + 5y

(༥) pq + q

(༣) y − y2

(༣) 5y + 3y2

(༦) 1.2ab − 2.4b + 3.6a

(༨) − 0.1p2 + 0.2q2

༣། གཤམ་གི་ཚན་པའི་ཨང་ཀིའི་བཏགས་གངས་ (རྟག་གངས་མ་ཡིན་པ་) ངོས་ཟུངས། (ཀ) 5 − 3t2

(ཁ) 1 + t + t2 + t3

(ག) x + 2xy + 3y

(ཇ) 3.14r2

(ཉ) 2(l + b)

(ཏ) 0.1y + 0.01y2

(ང) 100m + 1000n

(ཅ) − p2q2 + 7pq

༤། (ཀ) x ཡོད་པའི་ཚན་པ་ངོས་བཟུང་ཏེ་ x ཡི་བཏགས་གངས་བིས། (༡) y2x + y

(༤) 5 + z + zx

(༢) 13y2 − 8yx (༥) 1 + x + xy

(༣) 7x + xy2

(༦) 12xy2 + 25

(ཁ) y2 ཡོད་པའི་ཚན་པ་ངོས་བཟུང་ཏེ་ y2 ཡི་བཏགས་གངས་བིས། (༡) 8 − xy2

(ཆ) 1.2a + 0.8b

(༢) 5y2 + 7x

(༣) 2x2y − 15xy2 + 7y2

༥། ཚན་རྐང་ཚུལ་དང་། ཉིས་ཚན་ཚུལ། སུམ་ཚན་ཚུལ་བཅས་སོ་སོར་དབེ་བ་ཕེས། (ཀ) 4y − 7z

(ཅ) ab − a − b (ཏ) z2 −3z + 8

(ཁ) y2

(ཆ) 5 − 3t

(ཐ) a2 + b2

(ག) x + y − xy

(ཇ) 4p2q − 4pq2 (ད) z2 + z

(ང) 100

(ཉ) 7mn

(ན) 1 + x+ x2

79

རིས་རིག ༦། གཤམ་གི་ཚན་པ་རྣམས་ལས་ཚན་མཐུན་ཡང་ན་མི་མཐུན་ཚན་པ་ངོས་ཟུངས། (ཀ) 1, 100 (ཁ) − 7x, 1 x (ག) − 29x, − 29y 4 (ང) 14xy, 42yx (ཅ) 4m2p, 4mp2 (ཆ) 12xz, 12x2z2 ༧། གཤམ་གསལ་ལས་མཐུན་པའི་ཚན་པ་ངོས་ཟུངས། (ཀ) − xy2, − 4yx2, 8x2, 2xy2, 7y, − 11x2, − 100x, − 11yx, 20x2y, − 6x2, y, 2xy, 3x

(ཁ) 10pq, 7p, 8q, − p2q2, − 7qp, − 100q, − 23, 12q2p2, − 5p2, 41, 2405p, 78qp, 13p2q, qp2, 701p2

༥་༦ ཚབ་རིས་ཀི་ཚུལ་གི་སོམ་རིས་དང་འཐེན་རིས། Addition and subtraction of algebraic expressions གཤམ་གི་དཀའ་རོག་ཁག་ལ་ལྟོས་དང་། ༡།

ལྷ་སྐྱིད་ལ་ཤེལ་རོ་འགའ་ཡོད། སྒོལ་མ་ལ་ལྷ་སྐྱིད་ལས་ 10 ཡི་མང་བ་ཡོད། ཟླ་བ་ལ་ལྷ་སྐྱིད་དང་སྒོལ་མའི་ཤེལ་

རོའི་གངས་ཀི་ཁྱོན་བསོམས་ལས་ 3 མང་བ་ཡོད། བས་ན་ཁྱེད་ཀིས་ཟླ་བའི་ཤེལ་རོ་གངས་གང་འདྲ་བས་ནས་ འཚོལ་ཐུབ་བམ།

ལྷ་སྐྱིད་ཀི་ཤེལ་རོའི་གངས་ཤེས་ཀི་མེད་སྟབས། ང་ཚོས་དེ་ x ཡིན་པ་ཆ་ཞོག སྒོལ་མ་ལ་ 10 ཡིས་མང་བ་ཡོད།

དེ་ནི། x + 10 ཟླ་བ་ལ་ལྷ་སྐྱིད་དང་སྒོལ་མའི་ཤེལ་རོའི་ཁྱོན་བསོམས་གངས་ལས་ 3 མང་བ་ཡོད། དེར་བརྟེན། ཟླ་བའི་ཤེལ་རོ་གངས་འཚོལ་བར་ང་ཚོས་ལྷ་སྐྱིད་དང་སྒོལ་མའི་ཤེལ་རོའི་གངས་ཀི་བསོམས་ཐོབ་བཙལ་ཏེ། དེའི་

སྟེང་ 3 བསོམ་དགོས། དེ་ནི། x དང་ x + 10, 3 བཅས་ཀི་བསོམས་ཐོབ་བཙལ་བས་ x + (x +10) + 3 རེད། ༢།

ད་ལྟ་ཕུར་བུའི་པ་ལགས་ནི་ཕུར་བུའི་ལོའི་ལྡབ་ 3 རེད། ཕུར་བུའི་སོ་པོ་ནི་ཕུར་བུའི་ལོ་དང་ཕུར་བུའི་པ་ལགས་

ཀི་ལོའི་བསོམས་ཐོབ་ལས་ལོ་ 3 གིས་ཉུང་བ་ཡོད། ཁྱེད་ཀིས་ཕུར་བུའི་སོ་པོའི་ལོ་གང་འདྲ་བས་ནས་འཚོལ་ཐུབ་ བམ།

ཕུར་བུའི་ལོ་སྤད་མེད་ཙང་ང་ཚོས་དེ་ y ཡིས་མཚོན། དེས་ན་ཁོང་གི་པ་ལགས་ནི་ལོ་ 3y རེད། ཕུར་བུའི་སོ་པོའི་

ལོ་འཚོལ་བར་ང་ཚོས་ཕུར་བུའི་ལོ་ y དང་ཁོའི་པ་ལགས་ཀི་ལོ་ 3y ཡི་བསོམས་ཐོབ་བཙལ་ཏེ། དེ་ནས་ 3 འཐེན་ དགོས། དེ་ནི། (y + 3y) − 3 རེད།

གོང་གི་གནས་སྟངས་གཉིས་ཀི་ནང་ང་ཚོས་ཚབ་རིས་ཀི་ཚུལ་གི་སོམ་རིས་དང་འཐེན་རིས་བརྒྱབ་ཡོད། ང་ཚོས་རྒྱུན་ གཏན་འཚོ་བའི་ནང་ཚུལ་བེད་སྤད་དེ་རིས་རྒྱག་གི་ཡོད། འཐེན་རིས་རྒྱག་སྟངས་སྦང་གི་ཡིན།

80

སེ་ཚན་འདིར་ང་ཚོས་ཚབ་རིས་ཀི་ཚུལ་གི་སོམ་རིས་དང་

ཚབ་རིས་ཀི་ཚུལ། ༥་༦་༡ ཚན་མཐུན་གི་སོམ་འཐེན། Addition and subtraction of like terms • 3x དང་ 4x སོམ་དགོས་ན།

3x + 4x = (3 × x) + (4 × x) = (3 + 4) × x = 7 × x = 7x

(བགོ་སོལ་སྤད་པ།)

3x + 4x = 7x • 8xy དང་ 4xy, 2xy སོམས།

8xy + 4xy + 2xy = (8 × xy) + (4 × xy) + (2 × xy) = (8 + 4 + 2) × xy = 14 × xy = 14xy 8xy + 4xy + 2xy = 14xy

• 7n ནས་ 4n འཐེན།

7n − 4n = (7 × n) − (4 × n) = (7 − 4) × n = 3 × n = 3n 7n − 4n = 3n

• དེ་བཞིན་ 11ab ནས་ 5ab འཐེན།

11ab − 5ab = (11 − 5)ab = 6ab

དེར་བརྟེན། ཚན་མཐུན་གཉིས་སམ་དུ་མའི་བསོམས་ཐོབ་ནི། ཚན་མཐུན་ཚང་མའི་ཨང་ཀིའི་བཏགས་གངས་ཀི་བསོམས་ ཐོབ་དང་མཉམ་པའི་ཚན་མཐུན་དེ་ཡིན།

དེ་བཞིན། ཚན་མཐུན་གཉིས་ཀི་ཧེ་བག་ནི་ཚན་མཐུན་གཉིས་པོའི་ཨང་ཀིའི་བཏགས་གངས་ཀི་ཧེ་བག་དང་མཉམ་པའི་ ཚན་མཐུན་དེ་ཡིན།

མཆན། མི་མཐུན་ཚན་པའི་སོམ་འཐེན་ནི་ཚན་མཐུན་གི་སོམ་འཐེན་ལྟར་བེད་མི་ཐུབ། དཔེར་ན།

མི་མཐུན་ཚན་པ་ 3xy དང་ 7 བསོམས་ན། བསོམས་ཐོབ་ 3xy + 7 རེད། འདིར་ཚན་པ་ 3xy དང་ 7 གཉིས་ཀ་རང་

འཇགས་གནས་ཀི་ཡོད། གལ་ཏེ་ 3xy ནས་ 7 འཐེན་པ་ཡིན་ན། འཐེན་ཐོབ་ 3xy − 7 རེད།

81

རིས་རིག ༥་༦་༢ ཚབ་རིས་ཀི་ཚུལ་གི་སོམ་འཐེན།

Addition and subtraction of algebraic expressions གཤམ་གི་དཔེ་མཚོན་ལ་ལྟོས་དང་། • 3x + 11 དང་ 7x − 5 སོམས།

བསོམས་ཐོབ་ = 3x + 11 + 7x − 5

འདིར། ཚན་པ་ 3x དང་ 7x གཉིས་ཚན་མཐུན་ཡིན་པ་དང་། 11 དང་ − 5 ཡང་ཚན་མཐུན་རེད། དེས་ན། 3x + 7x = 10x དང་ 11 + (− 5) = 6 བསོམས་ཐོབ་ = 3x + 11 + 7x − 5

= 3x + 7x + 11 − 5 = 10x + 6

(ཚན་པ་བསྐྱར་སྒིག་བེད་པ།)

དེར་བརྟེན། 3x + 11 + 7x − 5 = 10x + 6 • 3x + 11 + 8z དང་ 7x − 5 སོམས།

བསོམས་ཐོབ་ = 3x + 11 + 8z + 7x − 5

= 3x + 7x + 11 − 5 + 8z

(ཚན་པ་བསྐྱར་སྒིག་བེད་པ།)

མཆན། ང་ཚོས་ཚན་མཐུན་རྣམས་བསྐྱར་སྒིག་བས་ཡོད། མི་མཐུན་ཚན་པ་ 8z རང་འཇགས་གནས་ཀི་ཡོད། དེར་བརྟེན། བསོམས་ཐོབ་ = 10x + 6 + 8z • 3a − b + 4 ནས་ a − b འཐེན།

འཐེན་ཐོབ་ = 3a − b + 4 − (a − b) = 3a − b + 4 − a + b

= 3a − a + b − b + 4 = (3 − 1) a + (1 − 1) b + 4 = 2a + (0) b + 4 = 2a + 4 དེར་བརྟེན། 3a − b + 4 − (a − b) = 2a + 4 རིས་དཔེ། ༤༽

82

ཚན་མཐུན་རྣམས་བསྐྱར་སྒིག་བས་ཏེ་སྟབས་བསྡུས་བཟོས།

12m2 − 9m + 5m − 4m2 − 7m + 10

དོ་སྣང་བ་རྒྱུ། − (5 − 3) = − 5 + 3, − (a − b) = − a + b ཡིག་འབྲུ་ཚན་པའི་རིས་རྟགས་ནི་

ཨང་ཀིའི་རིས་རྟགས་ལྟར་བ་དགོས།

ཚབ་རིས་ཀི་ཚུལ། ལན། ཚན་པ་བསྐྱར་སྒིག་བས་པས།

12m2 − 4m2 + 5m − 9m − 7m + 10 = (12 − 4) m2 + (5 − 9 − 7) m + 10 = 8m + (− 11) m + 10 2

འཐེན།

༡། m − n, m + n

= 8m − 11m + 10 2

༥༽ 30ab + 12b + 14a ནས་ 24ab − 10b − 18a འཐེན།

༢། mn + 5 − 2, mn + 3

ལན། 30ab + 12b + 14a − (24ab − 10b − 18a)

= 30ab + 12b + 14a − 24ab + 10b + 18a = 30ab − 24ab + 12b + 10b + 14a + 18a = 6ab + 22b + 32a

ཚབ་རི ས ་ཀི ་ ཚུལ་སོ མ ་སྐབས་ང་ཚོ ས ་ཚན་མཐུན་རྣམས་སོ མ ་དགོ ས ། སྟབས་བདེའི་ཆེད་ཚུལ་ཀི་ཚན་མཐུན་རྣམས་གཡས་སུ་བསྟན་པ་བཞིན་ གཞུང་སྒིག་ནང་དུའང་འཐེན་ཐུབ།

30ab + 12b + 14a 24ab − 10b − 18a − + + 6ab + 22b + 32a

ཚུལ་གི་འོག་ཏུ་ཡོད་པའི་རྟགས་ཀིས་འཐེན་རིས་རྒྱག་པར་རོགས་རམ་བེད་ཀི་ཡོད།

མཆན། ཚན་པ་ཞིག་གི་འཐེན་རིས་ནི་ཚན་པ་དེའི་ལྡོག་གངས་སོམ་པ་དང་མཉམ་པ་རེད། དཔེར་ན།

− 10 འཐེན་པ་ནི་ + 10 སོམ་པ་དང་མཉམ་པ་རེད། 24ab འཐེན་པ་ནི་ − 24ab སོམ་པ་དང་མཉམ་པ་རེད། ༦༽ 2y2 + 3yz དང་ − y2 − yz − z2, yz + z2 བཅས་ཀི་བསོམས་ཐོབ་ནས་ 3y2 − z2 དང་། − y2 + yz + z2 ཡི་བསོམས་ཐོབ་འཐེན།

ལན། ཐོག་མར་ 2y2 + 3yz དང་ − y2 − yz − z2, yz + z2 སོམ་དགོས། 2y2 − y2 y2

+ 3yz − yz + yz

− z2

+ 3yz

+

+ 2z2 z2

(༡)

83

རིས་རིག དེ་རེས་ 3y2 − z2 དང་ − y2 + yz + z2 སོམ་དགོས། 3y2 − y2 2y2

+

yz

−

z2

+

z2

+ yz

(༢)

བསོམས་ཐོབ་ (༡) ནས་བསོམས་ཐོབ་ (༢) འཐེན། y2 2y2

− − y2

+ 3yz + yz − + 2yz

+

z2

+

z2

སྦོང་ཚན། ༥་༢ ༡། བསྐྱར་སྒིག་བས་ཏེ་སྟབས་བསྡུས་བཟོས། (ཀ) 21b − 32 + 7b − 20b

(ཁ) − z2 + 13z2 − 5z + 7z3 − 15z (ག) p − (p − q) − q − (q − p)

(ང) 3a − 2b − ab − (a − b + ab) + 3ab + b − a

(ཅ) 5x2y − 5x2 + 3yx2 − 3y2 + x2 − y2 + 8xy2 − 3y2

(ཆ) (3y2 + 5y − 4) − (8y − y2 − 4) ༢། སོམས།

(ཀ) 3mn, − 5mn, 8mn, − 4mn (ཁ) t − 8tz, 3tz − z, z − t

(ག) − 7mn + 5, 12mn + 2, 9mn − 8, −2mn − 3 (ང) a + b − 3, b − a + 3, a − b + 3

(ཅ) 14x + 10y − 12xy − 13, 18 − 7x − 10y + 8xy, 4xy (ཆ) 5m − 7n, 3n − 4m + 2, 2m − 3mn − 5 (ཇ) 4x2y, − 3xy2, − 5xy2, 5x2y

84

ཚབ་རིས་ཀི་ཚུལ། (ཉ) x2 − y2 − 1, y2 − 1 − x2, 1 − x2 − y2 ༣། འཐེན།

(ཀ) y2 ནས་ −5y2

(ཁ) − 12xy ནས་ 6xy

(ག) (a + b) ནས་ (a − b)

(ང) b (5 − a) ནས་ a (b − 5)

(ཅ) 4m2 − 3mn + 8 ནས་ −m2 + 5mn (ཆ) 5x − 10 ནས་ − x2 + 10x − 5

(ཇ) 3ab − 2a2 − 2b2 ནས་ 5a2 − 7ab + 5b2 (ཉ) 5p2 + 3q2 − pq ནས་ 4pq − 5q2 − 3p2

༤། (ཀ) x2 + xy + y2 ལ་ཚུལ་གང་བསོམས་ན་ 2x2 + 3xy འབྱུང་ངམ།

(ཁ) 2a + 8b + 10 ལས་ཚུལ་གང་འཐེན་ན་ − 3a + 7b + 16 འབྱུང་ངམ།

༥། ཚུལ་ − x2 − y2 + 6xy + 20 ཐོབ་པར་ཚུལ་ 3x2 − 4y2 + 5xy + 20 ནས་ཚུལ་གང་འཐེན་དགོས་སམ། ༦། (ཀ) 3x − y + 11 དང་ − y − 11 གི་བསོམས་ཐོབ་ནས་ 3x − y − 11 འཐེན། (ཁ) 4 + 3x དང་ 5 − 4x + 2x2 གི་བསོམས་ཐོབ་ནས་ 3x2 − 5x དང་ − x2 + 2x + 5 ཡི་བསོམས་ཐོབ་ འཐེན།

༥་༧ ཚུལ་གི་ཐང་འཚོལ་བ། Finding the value of an expression ཚུལ་ 2a + 3b ལ་དཔེ་བཞག་ན།

གལ་ཏེ་ང་ཚོས་ a དང་ b ཡི་ཐང་ཤེས་ཀི་ཡོད་ན། 2a + 3b ཡི་ཐང་འཚོལ་ཐུབ། གལ་ཏེ་ 2a + 3b ནང་ a ནི་ 10 དང་ b ནི་ 6 ཡིན་ན། ཚུལ་དེའི་ཐང་ནི་ 2 × 10 + 3 × 6 = 38 རེད། རིས་དཔེ། ༧༽

x = 2 ཡིན་ན། གཤམ་གསལ་ཚུལ་གི་ཐང་ཚོལ།

(ཀ) x + 4

(ཁ) 4x − 3

(ག) 19 − 5x2

(ང) 100 − 10x3

ལན། x = 2 ཡིན་ན།

(ཀ) x + 4 = 2 + 4 = 6

85

རིས་རིག (ཁ) 4x − 3 = 4 × 2 − 3 = 5

(ག) 19 − 5x2 = 19 − (5 × 22) = 19 − (5 × 4) = 19 − 20 = −1

(ང) 100 − 10x3 = 100 − (10 × 23) = 100 − (10 × 8) = 100 − 80 = 20 ༨༽ གལ་ཏེ་ n = − 2 ཡིན་ན་གཤམ་གསལ་ཚུལ་གི་ཐང་ཚོལ། (ཀ) 5n − 2

(ཁ) 5n2 + 5n − 2

(ག) n3 + 5n2 + 5n − 2

ལན། n = − 2 ཡིན་ན།

(ཀ) 5n − 2 = 5 (− 2) − 2 = − 10 − 2 = − 12 (ཁ) 5n2 + 5n − 2 = 5 (− 2)2 + 5 (− 2) − 2 = 5 × 4 − 10 − 2 = 20 − 12 =8 (ག) n3 + 5n2 + 5n − 2 = (− 2)3 + 5 (− 2)2 + 5 (− 2) − 2 = − 8 + 20 − 10 − 2 = 20 − 20 =0

ང་ཚོས་རྒྱུ་གཉིས་ཡོད་པའི་ཚུལ་གི་ཐོབ་འབས་འཚོལ་བར། རྒྱུ་དེ་གཉིས་ཀི་ཐང་ཤེས་དགོས།

དཔེར་ན། (x + y) ནང་ x ཡིས་ 3 དང་ y ཡིས་ 5 མཚོན་ན། དེའི་ཐང་ནི་ 3 + 5 = 8 རེད། ༩༽ གལ་ཏེ་ a = 3 དང་ b = 2 ཡིན་ན་གཤམ་གི་ཚུལ་གི་ཐང་ཚོལ། (ཀ) a + b

(ག) a2 + 2ab + b2

(ཁ) 7a − 4b

(ང) a3 − b3

ལན། a = 3 དང་ b = 2 སྐབས། (ཀ) a + b = 3 + 2 = 5

(ཁ) 7a − 4b = 7 × 3 − 4 × 2 = 21 − 8 = 13

(ག) a2 + 2ab + b2 = 32 + 2 × 3 × 2 + 22 = 9 + 12 + 4 = 25

(ང) a3 − b3 = 33 − 23 = 3 × 3 × 3 − 2 × 2 × 2 = 9 × 3 − 4 × 2 = 27 − 8 = 19

86

ཚབ་རིས་ཀི་ཚུལ།

སྦོང་ཚན། ༥་༣ ༡། གལ་ཏེ་ m = 2 ཡིན་ན་གཤམ་གསལ་ཚུལ་གི་ཐང་ཚོལ། (ཀ) m − 2

(ཁ) 3m − 5 (ང) 3m2 − 2m − 7 (ཅ) 5m − 4 2 ༢། གལ་ཏེ་ p = − 2 ཡིན་ན་གཤམ་གསལ་ཚུལ་གི་ཐང་ཚོལ། (ཀ) 4p + 7

(ཁ) − 3p2 + 4p + 7

(ག) 9 − 5m

(ག) − 2p3 − 3p2 + 4p + 7

༣། གལ་ཏེ་ x = − 1 ཡིན་ན་གཤམ་གི་ཚུལ་ཀི་ཐང་ཚོལ། (ཀ) 2x − 7

(ཁ) − x + 2

(ག) x2 + 2x + 1

(ང) 2x2 − x − 2 ༤། གལ་ཏེ་ a = 2 དང་ b = − 2 ཡིན་ན་གཤམ་གསལ་ཚུལ་གི་ཐང་ཚོལ། (ཀ) a2 + b2

(ཁ) a2 + ab + b2

༥། གལ་ཏེ་ a = 0 དང་ b = − 1 ཡིན་ན་གཤམ་གསལ་ཚུལ་གི་ཐང་ཚོལ། (ཀ) 2a + 2b

(ཁ) 2a2 + b2 + 1

(ག) a2 − b2 (ག) 2a2b − 2ab2 + ab

(ང) a2 + ab + 2 ༦། གལ་ཏེ་ x = 2 ཡིན་ན། སྟབས་བསྡུས་བཟོས་ཏེ་ཐང་ཚོལ། (ཀ) x + 7 + 4 (x − 5) (ག) 6x + 5 (x − 2)

(ཁ) 3 (x + 2) + 5x − 7

(ང) 4 (2x − 1) + 3x + 11

༧། གལ་ཏེ་ x = 3, a = − 1, b = − 2 ཡིན་ན། སྟབས་བསྡུས་བཟོས་ཏེ་ཐང་ཚོལ། (ཀ) 3x − 5 − x + 9

(ག) 3a + 5 − 8a + 1

(ཅ) 2a − 2b − 4 − 5 + a

(ཁ) 2 − 8x + 4x + 4

(ང) 10 − 3b − 4 − 5b

༨། (ཀ) གལ་ཏེ་ z = 10 ཡིན་ན་ z3 − 3 (z − 10) ཡི་ཐང་ཚོལ།

(ཁ) གལ་ཏེ་ n = − 10 ཡིན་ན་ n2 − 2n − 100 ཡི་ཐང་ཚོལ།

༩། གལ་ཏེ་ a = 5 དང་ b = − 3 ཡིན་ན། ཚུལ་ 2 (a2 + ab) + 3 − ab སྟབས་བསྡུས་བཟོས་ཏེ་ཐང་ཚོལ།

87

རིས་རིག ༥་༨ ཚབ་རིས་ཀི་ཚུལ་སྤོད་པ། - ཆོ་ག་དང་སྤི་སོལ། Using algebraic expressions - Formulas and rules གཤམ་གི་དཔེར་བརོད་ཁག་ལ་ལྟོས་དང་། • མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ཀི་ཆོ་ག

༡། མཐའ་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ = 3 × མཐའ། གལ་ཏེ་ཟུར་གསུམ་མའི་མཐའི་རིང་ཚད་ l ཡིས་མཚོན་ན། མཐའ་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ = 3l

༢། དེ་བཞིན། གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ = 4l འདིར། l = གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་མཐའི་རིང་ཚད།

༣། མཐའ་མཉམ་དབིབས་མཐའ་ལྔ་མའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ = 5l འདིར། l = མཐའ་མཉམ་དབིབས་མཐའ་ལྔ་མའི་མཐའི་རིང་ཚད།

• རྒྱ་ཁྱོན་གི་ཆོ་ག

༡། གལ་ཏེ་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་མཐའི་རིང་ཚད་ l ཡིས་མཚོན་ན། གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = l2

༢། གལ་ཏེ་གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་དཀྱུས་ l དང་ཞེང་ b ཡིས་མཚོན་ན། གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = l × b = lb ༣། དེ་བཞིན། གལ་ཏེ་ b ཡིས་ཞབས་དང་ h ཡིས་ཟུར་གསུམ་མའི་དཔངས་མཚོན་ན། ཟུར་གསུམ་མའི་རྒྱ་ཁྱོན། = bh 2 • གངས་ཀི་དཔེ་འགོས་ཀི་སྤི་སོལ།

གཤམ་གི་བརོད་པ་ཁག་ལ་ལྟོས་དང་།

༡། གལ་ཏེ་ n ཡིས་རང་བྱུང་གངས་ཤིག་མཚོན་ན། དེའི་རེས་གངས་ནི་ (n + 1) རེད། དཔེར་ན། n = 10 ཡིན་ན། དེའི་རེས་གངས་ནི་ n + 1 = 10 + 1 = 11 རེད། (n + 1) ནི་གངས་ n ཡི་རེས་གངས་ཀི་ཆོ་ག་རེད།

༢། གལ་ཏེ་ n ཡིས་ཧིལ་གངས་ཤིག་མཚོན་ན། 2n ནི་ཆ་གངས་དང་ (2n + 1) ནི་ཡ་གངས་རེད། དཔེར་ན། n = 15 ཡིན་ན། 2n = 2 × 15 = 30 ནི་ཆ་གངས་ཡིན་པ་དང་། 2n + 1 = 2 × 15 + 1 = 30 + 1 = 31 ནི་ཡ་གངས་རེད། (2n + 1) ནི་གངས་ n ནི་ཡ་གངས་ཀི་ཆོ་ག་རེད། • གངས་ཀི་དཔེ་འགོས་མང་ཙམ།

གཤམ་གསལ་གངས་ཀི་དཔེ་འགོས་ལ་ལྟོས་དང་།

3, 6, 9, 12, ..., 3n, ...

88

ཚབ་རིས་ཀི་ཚུལ། གངས་འདི་དག་ 3 གི་ལྡབ་གངས་རེད། འདིར་ 3 ནས་འགོ་བཙུགས་ཏེ་འཕར་རིམ་བཞིན་བསྒིགས་ཡོད། 3n ནི་ཚན་ པ་ nth དེ་རེད། དེས་ན།

ང་ཚོས་ཚན་པ་ 10th ལས་ས་པོར་འཚོལ་ཐུབ། དེ་ནི་ 3 × 10 = 30 ཚན་པ་ 100th ནི་ 3 × 100 = 300 སོགས། • དབིབས་རིས་ཀི་དཔེ་འགོས།

དབིབས་མཐའ་བཞི་མའི་ཟུར་ཚེག་གཅིག་བརྒྱུད་ནས་གཏད་ཐིག་ག་ཚོད་འབི་ཐུབ་བམ། གཏད་ཐིག་གཅིག་འབི་ཐུབ།

དབིབས་མཐའ་ལྔ་མའི་ཟུར་ཚེག་གཅིག་བརྒྱུད་ནས་གཏད་ཐིག་གཉིས་འབི་ཐུབ། དབིབས་མཐའ་དྲུག་མའི་ཟུར་ཚེག་ གཅིག་བརྒྱུད་ནས་གཏད་ཐིག་ 3 འབི་ཐུབ།

E

D

C

E D

A

A

C

B

A

F

D

B

B

C

ང་ཚོས་མཐའ་ n ཡིན་པའི་དབིབས་མཐའ་མང་གི་ཟུར་ཚེག་གཅིག་བརྒྱུད་ནས་གཏད་ཐིག་གངས་ (n − 3) འབི་ ཐུབ། ཁྱེད་ཀིས་དབིབས་མཐའ་བདུན་མ་དང་དབིབས་མཐའ་བརྒྱད་མའི་དཔེ་རིས་བིས་ཏེ་ཞིབ་འཇུག་བོས་དང་། ཟུར་ གསུམ་མ་ལ་ག་ཚོད་འབི་ཐུབ་བམ།

སྦོང་ཚན། ༥་༤ ༡། གཤམ་གསལ་དཔེ་འགོས་ལ་ལྟོས་དང་། ཨང་ཀི་འདི་དག་གངས་འཛིན་ཆུ་ཚོད་ཡང་ན་རིས་འཁོར་སྟེང་མཐོང་རྒྱུ་ཡོད། (ཀ) 6

11

16

21 ...

(5n + 1) ...

4

7

10

13 ...

(3n + 1) ...

(ཁ)

89

རིས་རིག (ག) 7

17

12

22 ...

(5n + 2) ...

གལ་ཏེ་ཨང་ཀི་གྲུབ་པའི་གངས་ n ཡིན་ན། ཨང་ཀི་ n གྲུབ་པར་ཐིག་དུམ་དགོས་པའི་གངས་ནི་དཔེ་འགོས་ཀི་ གཡས་སུ་ཡོད་པའི་ཚབ་རིས་ཀི་ཚུལ་གིས་སྟོན་གི་ཡོད། , ,

ཐེངས་ 5, 10, 100 བཅས་རེ་རེ་བཟོ་བར་ཐིག་དུམ་ག་ཚོད་དགོས་སམ།

༢། སྤད་ཟིན་པའི་ཚབ་རིས་ཀི་ཚུལ་བེད་སྤད་དེ་གངས་ཀི་དཔེ་འགོས་ཀི་རེའུ་མིག་སྐོངས། ཚུལ།

90

ཚན་པ། དང་པོ། གཉིས་པ། གསུམ་པ། བཞི་པ།

ལྔ་པ།

...

བཅུ་པ།

...

བརྒྱ་པ།

...

_

_

_

_

_

19 _

_

_

_

2n − 1

1

3

5

7

3n + 2

2

5

8

11

9 _

4n + 1

5

9

13

17

_

_

_

_

_

_

7n + 20

27

34

41

48

_

_

_

_

_

_

n2 + 1

2

5

10

17

_

_

_

_

10,001

_

ཚབ་རིས་ཀི་ཚུལ།

བེད་སོ། དགོས་མཁོ།

(ཀ) ཤོག་བང་འགའ། བེད་ཐབས།

(ཁ) དབིབས་ཆས་སམ།

ཤོག་བང་ནས་སོར་དབིབས་དང་།

ཟུར་གསུམ་མ།

(ག) ཇེམ་ཙེ།

(ང) ཚོན་སྨྱུག

གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་བཅས་ཀི་དབིབས་ཆུང་ཉི་ཤུ་གཏུབས།

དབིབས་ཆུང་འགའ་ལས་བཅུ་ལ་ཚོན་བཏང་སྟེ་ལྷག་མ་རྣམས་ཚོན་མ་གཏང་བར་རང་འཇགས་ཞོག གཤམ་གསལ་རྟགས་རྣམས་བེད་སྤད་དེ་ཚབ་རིས་ཀི་ཚུལ་གི་སོམ་འཐེན་གིས། ཚན་པ།

དབིབས།

ཚན་པ།

x2

− x2

x

−x

1

−1

དབིབས།

དཔེ་མཚོན།

(ཀ) (3x2 − 4x + 3) + (x2 + 5x − 2) = 4x2 + x + 1 ནི་གོང་གི་རྟགས་བེད་སྤད་དེ་མཚོན་ཐུབ།

+

=

(ཁ) (3x2 − 4x + 3) − (x2 + 5x − 2) = 2x2 − 9x + 5

+

=

གོང་དུ་བསྟན་པ་བཞིན་གཤམ་གི་གངས་ཚབ་ཚུལ་ཁག་སྟབས་བསྡུས་བཟོས། (ཀ) (x2 + x + 1) + (x2 − x − 1) = ................

(ཁ) (x2 + x + 1) − (x2 − x − 1) = ................

(ག) (2x2 + 3x + 5) + (x2 − 4x + 1) = ................ (ང) (2x2 + 3x + 5) − (x2 − 4x + 1) = ................

91

རིས་རིག

དྲན་གསོ་གིས། ༡། ཚབ་རིས་ཀི་ཚུལ་ནི་རྒྱུ་དང་། རྟག་གངས། རིས་ཐབས་ཐུན་མོང་ལས་གྲུབ་པ་རེད།

དཔེར་ན། ཚུལ་ 4xy + 7 ནི། རྟག་གངས་ 4 དང་རྒྱུ་ x དང་ y བཅས་གསུམ་བསྒྱུར་ཏེ་བསྒྱུར་ཐོབ་ 4xy སྟེང་རྟག་གངས་ 7 བསོམས་ཏེ་གྲུབ་པ་རེད།

༢། ཚུལ་ནི་ཚན་པ་ཡིས་གྲུབ་ཡོད། ཚུལ་འགྲུབ་པར་ཚན་པ་རྣམས་སོམ་དགོས།

དཔེར་ན། ཚན་པ་ 4xy དང་ 7 གཉིས་བསོམས་ཏེ་ཚུལ་ 4xy + 7 འབྱུང་།

༣། ཚན་པ་ནི་བགོད་གངས་ཀི་བསྒྱུར་ཐོབ་རེད། ཚུལ་ 4xy + 7 ལས། ཚན་པ་ 4xy ནི་ 4 དང་ x, y བཅས་ཀི་བསྒྱུར་ཐོབ་རེད། རྒྱུ་ཡོད་པའི་བགོད་གངས་ལ་ཡིག་འབྲུའི་བགོད་གངས་ཟེར། ༤། ཚན་པའི་ནང་ཨང་ཀིའི་བགོད་གངས་ལ་བཏགས་གངས་ཟེར། ཚན་པའི་བགོད་གངས་གང་རུང་གཅིག་ ལ་བགོད་གངས་གཞན་རྣམས་ཀི་བསྒྱུར་ཐོབ་ཀི་བཏགས་གངས་ཟེར།

༥། ཚན་པ་གཅིག་གམ་ཡང་ན་དུ་མ་ཡོད་པའི་ཚན་པ་ལ་ཚན་མང་ཚུལ་ཟེར། ཚན་པ་གཅིག་ཡོད་པའི་

ཚུལ་ལ་ཚན་རྐང་ཚུལ་དང་། ཚན་པ་གཉིས་ཡོད་པ་ལ་ཉིས་ཚན་ཚུལ། ཚན་པ་གསུམ་ཡོད་པ་ལ་སུམ་ ཚན་ཚུལ་བཅས་ཟེར།

༦། ཚན་པ་ཁག་གི་ཡིག་འབྲུའི་བགོད་གངས་གཅིག་པ་ཡིན་ན། ཚན་པ་དེ་དག་ལ་ཚན་མཐུན་ཟེར། ཚན་ པ་ཁག་གི་ཡིག་འབྲུའི་བགོད་གངས་གཅིག་པ་མིན་པ་ལ་མི་མཐུན་ཚན་པ་ཟེར། དཔེར་ན། 4xy དང་ − 3xy གཉིས་ཚན་མཐུན་རེད། ཡིན་ནའང་། 4xy དང་ − 3x གཉིས་མི་མཐུན་ཚན་པ་རེད།

༧། ཚན་མཐུན་གཉིས་ཀི་བསོམས་ཐོབ་ (ཡང་ན་ཧེ་བག) ནི། དེ་དག་གི་ཨང་ཀིའི་བཏགས་གངས་ཀི་ བསོམས་ཐོབ་ (ཡང་ན་ཧེ་བག) དེ་ཨང་ཀིའི་བཏགས་གངས་ཡིན་པའི་ཚན་པ་དེ་ཡིན། དཔེར་ན། 8xy − 3xy = (8 − 3) xy = 5xy

༨། ཚབ་རིས་ཀི་ཚུལ་གི་སོམ་འཐེན་སྐབས། ཚན་མཐུན་རྣམས་བསྐྱར་སྒིག་བས་ཏེ་དེ་དག་གི་བསོམས་ ཐོབ་བམ་ཡང་ན་ཧེ་བག་འཚོལ་དགོས།

༩། མཉམ་བ་འགོལ་བ་དང་ཆོ་ག་བེད་སྤད་པའི་སྐབས། ང་ཚོས་ཚབ་རིས་ཀི་ཚུལ་གི་ཐང་འཚོལ་དགོས། དཔེར་ན།

x = 5 ཡིན་ན། 7x − 3 ཡི་ཐང་ནི་ 7(5) − 3 = 35 − 3 = 32 རེད།

92

སོབ་ཚན་དྲུག་པ། མཉམ་བྱ་སབས་བདེ། ༦་༡ ངོ་སྤོད། Introduction

འཛིན་རིམ་གོང་མར་ང་ཚོས་མཉམ་བའི་ངོ་སྤོད་སྦངས་ཟིན། མཉམ་བའི་ནང་རྟག་ཏུ་མཚུངས་རྟགས་ཡོད། མཚུངས་ རྟགས་ཀིས་ཕོགས་གཉིས་ཀི་ཚུལ་མཚུངས་པ་སྟོན་གི་ཡོད།

མཉམ་བ་ 4x + 5 = 65 ལ་དཔེ་བཞག་ན། (4x + 5) ནི་ LHS དང་། 65 ནི་ RHS རེད། དེ་བཞིན། མཉམ་བ་ 4y + 5 = 6y − 25 ནང་། (4y + 5) ནི་ LHS དང་ (6y − 25) ནི་ RHS རེད།

གལ་ཏེ་ LHS དང་ RHS དབར་མཚུངས་རྟགས་མིན་པའི་རྟགས་ཤིག་ཡོད་ན། དེ་མཉམ་བ་མིན། དཔེར་ན། 4x + 5 > 65 ནི་མཉམ་བ་མིན། (4x + 5) ཡི་ཐང་ནི་ 65 ལས་ཆེ་བ་ཡིན།

དེ་བཞིན། 4x + 5 < 65 ཡང་མཉམ་བ་མིན། (4x + 5) ཡི་ཐང་ནི་ 65 ལས་ཆུང་བ་ཡིན།

མདོར་ན། མཉམ་བའི་ཕོགས་གཉིས་ཀི་ཚུལ་གི་ཐང་མཉམ་པ་དགོས། ཚུལ་གཉིས་ལས་གཅིག་གི་ནང་རྒྱུ་ངེས་པར་དུ་ ཡོད་དགོས།

མཉམ་བ་ 4x + 5 = 65 དང་ 65 = 4x + 5 གཉིས་གཅིག་པ་རེད། དེ་བཞིན། མཉམ་བ་ 4y + 5 = 6y − 25 དང་ 6y − 25 = 4y + 5 གཉིས་གཅིག་པ་རེད། དེར་བརྟེན། གཡས་སུ་ཡོད་པའི་ཚུལ་དང་གཡོན་དུ་ཡོད་པའི་ཚུལ་

གཉིས་ཕན་ཚུན་བརེ་རེས་བས་ཀང་མཉམ་བ་ལ་འགྱུར་བ་མེད། རིས་དཔེ། ༡༽

གཤམ་གསལ་རིས་བརོད་ཁག་མཉམ་བས་མཚོན།

(ཀ) x སུམ་ལྡབ་དང་ 11 གི་བསོམས་ཐོབ་ནི་ 32 རེད།

(ཁ) 6 དང་གངས་ཤིག་གི་བསྒྱུར་ཐོབ་ནས་ 5 འཐེན་ན། 7 འབྱུང་།

93

རིས་རིག (ག) m ཡི་བཞི་ཆ་གཅིག་ནི་ 7 ལས་ 3 གིས་མང་བ་ཡིན། (ང) གངས་ཤིག་གི་གསུམ་ཆ་གཅིག་སོམ་ 5 ནི་ 8 ཡིན།

ལན། (ཀ) x སུམ་ལྡབ་ནི་ 3x རེད།

3x སྟེང་ 11 བསོམས་ན་ 3x + 11 འབྱུང་། བསོམས་ཐོབ་ནི་ 32 རེད། དེར་བརྟེན། མཉམ་བ་ནི་ 3x + 11 = 32 རེད།

(ཁ) གལ་ཏེ་གངས་དེ་ y ཡིན་ན། y ལ་ 6 གིས་བསྒྱུར་ན་ 6y ཐོབ།

6y ནས་ 5 འཐེན་ན། 6y − 5 འབྱུང་། འཐེན་ཐོབ་ནི་ 7 རེད། དེར་བརྟེན། མཉམ་བ་ནི་ 6y − 5 = 7 རེད།

(ག) m ཡི་བཞི་ཆ་གཅིག་ནི་ m རེད། 4 དེ་ 7 ལས་ 3 གིས་མང་བ་རེད། འཐེན་ཐོབ་ནི་ 3 རེད། དེར་བརྟེན། མཉམ་བ་ནི་

m − 7 = 3 རེད། 4

(ང) གངས་དེ་ n ཡིན་ན། n ཡི་གསུམ་ཆ་གཅིག་ནི་

n རེད། 3

n n སོམ་ 5 ནི་ + 5 རེད། བསོམས་ཐོབ་ནི་ 8 རེད། 3 3 n དེར་བརྟེན། མཉམ་བ་ནི་ + 5 = 8 རེད། 3

༢༽ གཤམ་གི་མཉམ་བའི་བརོད་པ་བིས། (ཀ) x − 5 = 9

(ག) 3n + 7 = 1

ལན། (ཀ) x ནས་ 5 འཐེན་ན་ 9 འབྱུང་།

(ཁ) 5p = 20 m (ང) − 2 = 6 4

(ཁ) གངས་ p སྒྱུར་ 5 ནི་ 20 ཡིན།

(ག) 1 ཐོབ་པར་གངས་ n སྒྱུར་ 3 གི་སྟེང་ 7 སོམས།

(ང) གངས་ m ཡི་བཞི་ཆ་གཅིག་ནས་ 2 འཐེན་ན། 6 འབྱུང་། ༣༽ བཀྲ་ཤིས་ཀི་པ་ལགས་ནི་བཀྲ་ཤིས་ཀི་ལོའི་ལྡབ་གསུམ་ལས་ལོ་ 5 ཡིས་རྒན་པ་རེད། བཀྲ་ཤིས་ཀི་པ་ལགས་ནི་ ལོ་ 44 རེད། འོ་ན་བཀྲ་ཤིས་ཀི་ལོ་འཚོལ་བར་མཉམ་བ་བཟོས།

ལན། ང་ཚོས་བཀྲ་ཤིས་ཀི་ལོ་ཤེས་ཀི་མེད། ཁོང་ལོ་ y ཡིན་ན། བཀྲ་ཤིས་ཀི་ལོའི་ལྡབ་གསུམ་ནི་ལོ་ 3y རེད།

བཀྲ་ཤིས་ཀི་པ་ལགས་ནི་ 3y ལས་ལོ་ 5 ཡིས་རྒན་པ་ཡིན། དེ་ནི། བཀྲ་ཤིས་ཀི་པ་ལགས་ནི་ལོ་ (3y + 5) རེད།

94

མཉམ་བ་སྟབས་བདེ། བཀྲ་ཤིས་ཀི་པ་ལགས་ནི་ལོ་ 44 ཡིན་པས། 3y + 5 = 44 མཉམ་བ་དེ་བཀྲལ་ཏེ་ང་ཚོས་བཀྲ་ཤིས་ཀི་ལོ་འཚོལ་ཐུབ། ༤༽ ཚོང་བདག་གིས་སམ་ཆེ་ཆུང་གཉིས་ནང་ཚ་ལུ་མ་བླུགས་པ་རེད། སམ་ཆེ་བའི་ནང་སམ་ཆུང་བ་ 8 ཀི་ཚ་ལུ་མ་ དང་ཚ་ལུ་མ་ 4 ཤོང་གི་ཡོད། སམ་ཆུང་རེའི་ནང་ཚ་ལུ་མའི་གངས་བསྟན་པར་མཉམ་བ་བཟོས། སམ་ཆེ་བའི་ནང་

ཚ་ལུ་མ་ 100 ཡོད།

ལན། སམ་ཆུང་བའི་ནང་ཚ་ལུ་མ་ n ཡོད་ན། སམ་ཆེ་བའི་ནང་ 8 སྒྱུར་ n ལས་ 4 ཡིས་མང་བ་ཤོང་གི་ཡོད། དེ་ནི། ཚ་ལུ་མ་ 8n + 4 རེད། ཡིན་ནའང་དེ་ 100 ཡིན་པ་སྤད་ཡོད། དེར་བརྟེན། 8n + 4 = 100

ཁྱེད་ཀིས་མཉམ་བ་དེ་བཀྲལ་ཏེ་སམ་ཆུང་བ་གཅིག་གི་ནང་ཡོད་པའི་ཚ་ལུ་མའི་གངས་འཚོལ་ཐུབ།

སྦོང་ཚན། ༦་༡ ༡། གཤམ་གསལ་རེའུ་མིག་གི་གཞུང་བཞི་པའི་ནང་མཉམ་བའི་འགོལ་ཐོབ་ཡིན་མིན་བིས།

ཀ ཁ ག ང ཅ ཆ ཇ ཉ ཏ ཐ ད

མཉམ་བ།

ཐང་།

x+3=0 x+3=0 x+3=0 x−7=1 x −7 = 1 5x = 25 5x = 25 5x = 25 m =2 3 m 3 =2 m 3 =2

x=3 x=0 x = −3 x=7 x=8 x=0 x=5 x=−5

འགོལ་ཐོབ་ཡིན། / མིན།

m=−6 m=0 m=6

95

རིས་རིག ༢། གུག་རྟགས་ནང་གི་ཐང་ནི་མཉམ་བའི་འགོལ་ཐོབ་ཡིན་མིན་ལྟོས། (ཀ) 7n + 5 = 19 (n = 1)

(ཁ) 7n + 5 = 19 (n = −2)

(ཅ) 4p − 3 = 13 (p = −4)

(ཆ) 4p − 3 = 13 (p = 0)

(ག) 7n + 5 = 19 (n = 2)

(ང) 4p − 3 = 13 (p = 1)

༣། གཤམ་གི་རིས་བརོད་མཚོན་པའི་མཉམ་བ་བིས།

(ཀ) གངས་ x དང་ 4 ཡི་བསོམས་ཐོབ་ 9 རེད།

(ཁ) y ནས་ 2 འཐེན་ན་ 8 རེད།

(ཅ) t ཡི་བཞི་ཆ་གསུམ་ནི་ 15 རེད།

(ཆ) བདུན་སྒྱུར་ m སོམ་ 7 གིས་ 77 འབྱུང་།

(ག) བཅུ་སྒྱུར་ a ནི་ 70 རེད།

(ང) གངས་ d ལ་ 5 ཡིས་བགོས་ན་ 6 ཐོབ།

(ཇ) གངས་ x ཡི་བཞི་ཆ་གཅིག་ནས་ 4 འཐེན་ན་ 4 འབྱུང་། (ཉ) 6 སྒྱུར་ y ནས་ 6 འཐེན་ན། 60 འབྱུང་།

(ཏ) z ཡི་གསུམ་ཆ་གཅིག་སྟེང་ 3 བསོམས་ན། 30 འབྱུང་། ༤། གཤམ་གི་མཉམ་བའི་བརོད་པ་བིས། (ཀ) p + 4 = 15 (ང)

m =3 5

(ཇ) 4p − 2 = 18

(ཁ) m − 7 = 3

(ག) 2m = 7

(ཅ) 3m = 6 5 p (ཉ) +2=8 2

(ཆ) 3p + 4 = 25

༥། གཤམ་གསལ་གནས་སྟངས་ཁག་ལ་མཉམ་བ་བཟོས།

(ཀ) དཔལ་ལྡན་ལ་བདེ་སྐྱིད་ཀི་ཤེལ་རོའི་གངས་ཀི་ལྡབ་ 5 དང་ཤེལ་རོ་ 7 གིས་མང་བ་ཡོད། དཔལ་ལྡན་ལ་ཤེལ་ རོ་ 37 ཡོད། (བདེ་སྐྱོད་ཀི་ཤེལ་རོའི་གངས་ m གིས་མཚོན།)

(ཁ) ཆོས་སྒོན་གི་པ་ལགས་ནི་ལོ་ 49 རེད། ཁོང་ནི་ཆོས་སྒོན་གི་ལོའི་ལྡབ་གསུམ་ལས་ལོ་ 4 ཡིས་རྒན་པ་རེད། (ཆོས་སྒོན་གི་ལོ་ y ཡིས་མཚོན།)

༦་༢ མཉམ་བ་འགོལ་བ། Solving an equation མཉམ་བ་ 10 − 3 = 6 + 1 ལ་དཔེ་བཞག་ན།

དེ་ནི་མཚུངས་པའི་རིས་ཕེང་རེད། དེའི་ཕོགས་གཉིས་ཀའི་རིས་འབས་མཉམ་པ་ཡིན། དེ་ནི། 10 − 3 = 6 + 1 = 7 • ང་ཚོས་མཉམ་བའི་ཕོགས་གཉིས་ཀར་ 2 རེ་བསྣན་ན།

LHS = 10 − 3 + 2 = 7 + 2 = 9; RHS = 6 + 1 + 2 = 7 + 2 = 9 རིས་འབས་ལ་འགྱུར་བ་མེད། (དེ་ནི། LHS = RHS)

96

མཉམ་བ་སྟབས་བདེ། དེར་བརྟེན། མཉམ་བའི་ཕོགས་གཉིས་ཀར་གངས་གཅིག་པ་ཞིག་གིས་བསོམས་ན། རིས་འབས་ལ་འགྱུར་བ་མེད།

• ཡང་ང་ཚོས་མཉམ་བའི་ཕོགས་གཉིས་ཀ་ནས་ 2 རེ་འཐེན་པ་ཡིན་ན།

LHS = 10 − 3 − 2 = 7 − 2 = 5; RHS = 6 + 1 − 2 = 7 − 2 = 5 རིས་འབས་ལ་འགྱུར་བ་མེད།

དེར་བརྟེན། མཉམ་བའི་ཕོགས་གཉིས་ཀ་ནས་གངས་གཅིག་པ་ཞིག་གིས་འཐེན་ན། རིས་འབས་ལ་འགྱུར་བ་མེད།

• དེ་བཞིན། མཉམ་བའི་ཕོགས་གཉིས་ཀར་གངས་གཅིག་པས་བསྒྱུར་བའམ་ཡང་ན་བགོས་པ་ཡིན་ན། རིས་འབས་ལ་འགྱུར་བ་མེད།

དཔེར་ན། ང་ཚོས་མཉམ་བའི་ཕོགས་གཉིས་ཀར་ 2 རེས་བསྒྱུར་པ་ཡིན་ན། LHS = (10 − 3) × 2 = 7 × 2 = 14

RHS = (6 + 1) × 2 = 7 × 2 = 14

ཡང་བསྐྱར་རིས་འབས་ལ་འགྱུར་བ་མེད།

ང་ཚོས་མཉམ་བའི་ཕོགས་གཉིས་ཀར་ 2 རེས་བགོས་པ་ཡིན་ན། LHS = (10 − 3) ÷ 2 = 7 ÷ 2 = 7 2 ཡང་བསྐྱར་འགོལ་ཐོབ་ལ་འགྱུར་བ་མེད།

RHS = (6 + 1) ÷ 2 = 7 ÷ 2 =

7 2

མཆན། གལ་ཏེ་མཉམ་བའི་ཕོགས་གཉིས་ཀར་གངས་མི་འདྲ་བས་སོམ་པའམ། ཡང་ན་འཐེན་པའམ། ཡང་ན་སྒྱུར་ བའམ། ཡང་ན་བགོད་པ་ཡིན་ན་རིས་འབས་ལ་འགྱུར་བ་འགོ་ཡི་རེད།

དཔེར་ན། མཉམ་བ་ 10 − 3 = 6 + 1 གི་ LHS ལ་ 2 དང་ RHS ལ་ 3 བསོམས་ན།

LHS གསར་པ་ནི་ 10 − 3 + 2 = 9 དང་། RHS གསར་པ་ནི་ 6 + 1 + 3 = 10 རེད། འདིར་རིས་འབས་གཉིས་མཚུངས་ཀི་མེད། དེ་ནི། LHS ≠ RHS

མཉམ་བ་ནི་ལིད་ཚད་འཇལ་བེད་ཀི་རྒྱ་མའི་སེར་མ་གཉིས་ཀི་ནང་ལིད་ ཚད་མཉམ་པ་ཡོད་པ་དང་འདྲ།

འདིར་རྒྱ་མའི་སེར་མ་གཉིས་སྙོམས་པོར་

ཡོད། གལ་ཏེ་ང་ཚོས་སེར་མ་གཉིས་སྟེང་ལིད་ཚད་གཅིག་པ་བཞག་ན། སར་ ཡང་སེར་མ་གཉིས་སྙོམས་པོར་གནས་ཀི་ཡོད། གལ་ཏེ་ང་ཚོས་སེར་མ་གཉིས་ ནས་ལིད་ཚད་གཅིག་པ་ཕིར་འཐེན་ན། ད་དུང་སེར་མ་གཉིས་སྙོམས་པོར་ གནས་ཀི་ཡོད། དེར་བརྟེན། སེར་མ་གཉིས་ནང་ལིད་ཚད་གཅིག་པ་སྣོན་

LHS

RHS

འཕི་གང་རུང་བས་ཀང་། སེར་མ་དེ་གཉིས་མུ་མཐུད་གོང་བཞིན་སྙོམས་པོར་

མཉམ་བ་ནི ་ སེ ར ་མ་གཉི ས ་ཀའི ་

མི་མཉམ་པ་གཉིས་སྣོན་འཕི་གང་རུང་བས་ན། སེར་མ་གཉིས་སྙོམས་པོར་

ལིད་ཚད་འཇལ་བེད་ཀི་རྒྱ་མ་

གནས་ཀི་ཡོད། ཡིན་ནའང་། གལ་ཏེ་ང་ཚོས་སེར་མ་གཉིས་ནང་ལིད་ཚད་

སྟེང་ལིད་ཚད་མཉམ་པ་ཡོད་པའི་

གནས་ཀི་མེད།

དང་འདྲ།

97

རིས་རིག • མཉམ་བ་ x + 3 = 8 ལ་ཆ་འཇོག

ང་ཚོས་མཉམ་བའི་ཕོགས་གཉིས་ཀ་ནས་ 3 རེ་འཐེན་པ་ཡིན་ན།

LHS གསར་པ་ནི་ x + 3 − 3 = x དང་ RHS གསར་པ་ནི་ 8 − 3 = 5 རེད། ང་ཚོས་ 3 རེ་འཐེན་དགོས་པའི་རྒྱུ་མཚན་ནི། 3 འཐེན་ x+3

8

རེས་ LHS ལ་ x ལྷག་གི་ཡོད།

ང་ཚོར། LHS གསར་པ་ = RHS གསར་པ། ཡང་ན། x = 5 ཐོབ།

དེ་བཤེར་རིས་སྐབས། མཉམ་བ་ངོ་མའི་ནང་ x དེ་ 5 ཡིས་བརེས་ན། ང་ཚོར་ LHS = x + 3 = 5 + 3 = 8

དེ་ནི་ RHS དང་མཚུངས།

• མཉམ་བ་ x − 3 = 10 སྐབས།

མཉམ་བའི་ཕོགས་གཉིས་ཀ་ལ་ 3 རེ་བསོམ་དགོས། LHS གསར་པ་ = x − 3 + 3 = x RHS གསར་པ་ = 10 + 3 = 13

x−3

དེར་བརྟེན། x = 13 ནི་མཉམ་བའི་འགོལ་ཐོབ་རེད།

མཉམ་བ་ངོ་མའི་ནང་ x = 13 བཅུག་སྟེ་ང་ཚོས་དེ་འགོལ་ཐོབ་ཡིན་པ་སྟོན་ཐུབ།

མཉམ་བ་ངོ་མའི་ LHS = x − 3 = 13 − 3 = 10 དེ་ནི་ RHS དང་མཚུངས། • དེ་མཚུངས། གཤམ་གི་མཉམ་བ་ཁག་ལ་ལྟོས་དང་། (༡) 5y = 35 འདིར། ང་ཚོས་ཕོགས་གཉིས་ཀ་ལ་ 5 རེས་བགོད་ཀི་ཡིན། 5y 5 × y LHS གསར་པ་ = = = y དང་། 5 5 35 RHS གསར་པ། = =7 5 དེར་བརྟེན། མཉམ་བའི་འགོལ་ཐོབ་ནི་ y = 7 རེད། ང་ཚོས་ y = 7 བངས་ཏེ་དེ་བཤེར་རིས་རྒྱག་ཐུབ།

མཉམ་བ་ངོ་མའི་ LHS = 5y = 5 × 7 = 35 དེ་ནི་ RHS དང་མཚུངས།

98

10

མཉམ་བ་སྟབས་བདེ། (༢) m = 5 2 འདིར། ང་ཚོས་ཕོགས་གཉིས་ཀར་ 2 རེས་སྒྱུར་གི་ཡིན། m LHS གསར་པ་ = × 2 = m དང་། 2 RHS གསར་པ་ = 5 × 2 = 10 དེར་བརྟེན། མཉམ་བའི་འགོལ་ཐོབ་ནི་ m = 10 རེད།

མཆན། གོང་གི་དཔེ་མཚོན་ལས་མཐོང་གསལ་ལ། ང་ཚོས་མཉམ་བ་ལ་གཞིགས་ཏེ་རིས་ཐབས་བེད་སྤོད་དགོས། ང་ ཚོའི་དམིགས་ཡུལ་ནི་མཉམ་བའི་ནང་རྒྱུ་ལོགས་སུ་སྟོན་ཐབས་བ་རྒྱུ་དེ་ཡིན། སྐབས་འགར། ང་ཚོས་རིས་ཐབས་ གཅིག་ལས་མང་བ་བེད་སྤོད་བ་དགོས་ཀི་རེད། དེ་སེམས་ལ་བཞག་སྟེ་ང་ཚོས་རིས་དཔེ་འགའ་སྟོན་རྒྱུ་ཡིན། རིས་དཔེ། ༥༽ འགོལ་ཐོབ་ཚོལ།

(ཀ) 3n + 7 = 25

(ཁ) 2p − 1 = 23

ལན།

(ཀ) མཉམ་བའི་ LHS ལ་རྒྱུ་ n ལོགས་སུ་དབེ་བར།

ཐོག་མར་ LHS ནས་ 7 འཐེན་ཏེ་ 3n ཐོབ་པར་བ། དེ་ནས་གོམ་པ་གཉིས་པར་ང་ཚོས་ 3 གིས་བགོས་ཏེ་ n ཐོབ་པར་བ།

དེར་བརྟེན། ཕོགས་གཉིས་ཀ་ནས་ 7 རེ་འཐེན།

3n + 7 − 7 = 25 − 7 3n = 18

(གོམ་པ་ ༡)

ཕོགས་གཉིས་ཀར་ 3 རེས་བགོས། 18 3n = 3 3

(གོམ་པ་ ༢)

n = 6 ནི་འགོལ་ཐོབ་རེད། (ཁ) ཐོག་མར་ཕོགས་གཉིས་ཀར་ 1 རེ་སོམས།

2p − 1 + 1 = 23 + 1 2p = 24

(གོམ་པ་ ༡)

99

རིས་རིག ཕོགས་གཉིས་ཀར་ 2 རེས་བགོས། 2p 24 = 2 2

(གོམ་པ་ ༢)

p = 12 ནི་འགོལ་ཐོབ་རེད།

འགོལ་ཐོབ་བཤེར་རིས་རྒྱག་སྐབས། p = 12 མཉམ་བའི་ནང་བཅུག་ན། LHS = 2 × 12 − 1 = 23 = RHS

དེར་བརྟེན། འགོལ་ཐོབ་ p = 12 འགིག་ཡོད།

སྦོང་ཚན། ༦་༢ ༡། འགོལ་ཐོབ་ཚོལ།

(ཀ) x − 1 = 0

(ཁ) x + 6 = 2

(ང) y + 4 = 4

(ཅ) 3l = 42

(ཇ) b = 6 2

(ཉ)

༢། འགོལ་ཐོབ་ཚོལ།

(ཀ) 2q − 6 = 0 (ང) 3n − 2 = 46 (ཇ) 12x + 12 = 72

z 5 = 3 4

(ཁ) 5m + 7 = 17 3p (ཅ) 10 = 6 x+8 (ཉ) =2 4

(ག) y − 4 = − 7 (ཆ) 20t = − 10

(ཏ)

7 a = 5 15

(ག) 10p + 10 = 100 20q (ཆ) 3 = 40

༦་༣ མཉམ་བ་མང་བ། More equations

མཉམ་བ་འགོལ་སྐབས་མཉམ་བའི་ཕོགས་གཉིས་ཀར་གངས་གཅིག་པ་ཞིག་གིས་སོམ་པའམ་ཡང་ན་འཐེན་གི་ཡོད། གངས་ཤིག་གི་གནས་ས་ (ཕོགས་) བརེས་པ་ནི་ཕོགས་གཉིས་ཀར་གངས་དེས་སོམ་པའམ་ཡང་ན་འཐེན་པ་དང་མཉམ་

པ་རེད། དེ་བེད་སྐབས་གངས་ཀི་རྟགས་བརེ་དགོས། གངས་ཀི་ཕོགས་བརེས་པ་ལ་གནས་ས་བརེ་བ་ཟེར། གངས་ཤིག་གི་

གནས་ས་བརེ་སྐབས། ང་ཚོས་གངས་དེའི་རྟགས་བརེ་ཡི་ཡོད། ང་ཚོས་གནས་ས་བརེ་ལེན་གི་དཔེ་མཚོན་འགའ་ལྟ་རྒྱུ་ ཡིན།

100

མཉམ་བ་སྟབས་བདེ། ཕོགས་གཉིས་ཀར་སོམ་པའམ་ཡང་ན་འཐེན་པ།

གནས་ས་བརེ་བ། (༡) 3p − 10 = 5

(༡) 3p − 10 = 5

− 10 ཡི་གནས་ས་ LHS ནས་ RHS ལ་རེས།

ཕོགས་གཉིས་ཀར་ 10 རེ་སོམས།

(གནས་ས་བརེ་སྐབས་ − 10 ནི་ + 10 ཆགས།)

3p − 10 + 10 = 5 + 10

3p = 5 + 10 ཡང་ན། 3p = 15

3p = 15

དེས་ན། p = 5

དེས་ན། p = 5

(༢) 5x + 12 = 27

(༢) 5x + 12 = 27

+ 12 ཀི་གནས་ས་བརེ་བ།

ཕོགས་གཉིས་ཀར་ 12 རེ་འཐེན།

(གནས་ས་བརེ་སྐབས་ + 12 ནི་ − 12 ཆགས།)

5x + 12 − 12 = 27 − 12

5x = 27 − 12 ཡང་ན། 5x = 15

5x = 15

དེས་ན། x = 3

དེས་ན། x = 3 རིས་དཔེ། ༦༽

འགོལ་ཐོབ་ཚོལ།

(ཀ) 4(m + 3) = 18

(ཁ) − 2(x + 3) = 8

ལན། (ཀ) 4(m + 3) = 18

ཕོགས་གཉིས་ཀར་ 4 རེས་བགོས་ནས། LHS ལ་གུག་རྟགས་མེད་པ་བཟོས། m+3=

18 ཡང་ན། 4

m+3=

9 2

9 −3 (3 RHS ལ་སོ་བ།) 2 9 6 3 m= − = 2 2 2 m=

བཤེར་རིས། LHS = 4

3 3 + 3 = 4 × + 4 × 3 = 2 × 3 + 4 × 3 = 18 = RHS 2 2

(ཁ) − 2(x + 3) = 8

LHS ལ་གུག་རྟགས་མེད་པ་བཟོ་བར། ང་ཚོས་ཕོགས་གཉིས་ཀར་ (− 2) རེས་བགོས། x+3=−

8 ཡང་ན། 2

x+3=−4

101

རིས་རིག དེ་ནི། x = − 4 − 3

(3 RHS ལ་སོ་བ།)

ཡང་ན།

x=−7

བཤེར་རིས། LHS = − 2 (− 7 + 3) = − 2 (− 4) = 8 = RHS ༧༽ x = 5 ཡིན་པའི་མཉམ་བ་གཉིས་བཟོས། ལན། (༡) མཉམ་བ་དང་པོ།

x=5

ཕོགས་གཉིས་ཀར་ 4 རེ་སྣོན།

x+4=5+4 x+4=9

(༡) མཉམ་བ་གཉིས་པ།

x=5

ཕོགས་གཉིས་ཀར་ 3 རེས་སྒྱུར།

3x = 15

སྦོང་ཚན། ༦་༣ ༡། འགོལ་ཐོབ་ཚོལ།

(ང)

(ཅ)

a +3=2 5 b (ཆ) − 5 = 3 2

(ཀ) 2(x + 4) = 12

(ཁ) 3(n − 5) = 21

(ག) 3(n − 5) = − 21

(ང) − 4(2 + x) = 8

(ཅ) 4(2 − x) = 8

(ཀ) 5t + 28 = 10 q −7=5 4 5 37 (ཇ) 2y + = 2 2 ༢། འགོལ་ཐོབ་ཚོལ།

(ཁ) 6z +10 = −2 5 25 x= 2 4 19 (ཉ) 7m + = 13 2

(ག)

༣། འགོལ་ཐོབ་ཚོལ། (ཀ) 4 = 5( p − 2)

(ཁ) −4 = 5(p − 2)

(ང) 4 + 5( p − 1) = 34

(ཅ) 0 = 16 + 4(m − 6)

༤། (ཀ) x = 2 ཡིན་པའི་མཉམ་བ་གསུམ་བཟོས།

(ཁ) x = − 2 ཡིན་པའི་མཉམ་བ་གསུམ་བཟོས།

102

(ག) 16 = 4 + 3(t + 2)

མཉམ་བ་སྟབས་བདེ།

༦་༤ མཉམ་བ་སྟབས་བདེའི་བེད་སྤོད། Application of simple equations རིས་དཔེ། ༨༽ གངས་ཤིག་གི་སུམ་ལྡབ་དང་ 11 གི་བསོམས་ཐོབ་ནི་ 32 རེད། གངས་དེ་ཚོལ། ལན།

• གལ་ཏེ་མ་ཤེས་པའི་གངས་དེ་ x ཡིན་ན། གངས་དེའི་སུམ་ལྡབ་ནི་ 3x ཡིན་པ་དང་། 3x དང་ 11 གི་བསོམས་ ཐོབ་ནི་ 32 རེད། དེ་ནི། 3x + 11 = 32

• མཉམ་བའི་འགོལ་ཐོབ་འཚོལ་བར། ང་ཚོས་ 11 དེ་ RHS ལ་སོ་དགོས། 3x = 32 − 11 ཡང་ན། 3x = 21 དེ་ནས་ཕོགས་གཉིས་ཀར་ 3 རེས་བགོས།

21 =7 3 དེར་བརྟེན། དགོས་མཁོའི་གངས་ནི་ 7 རེད། དེས་ན། x =

བཤེར་རིས། LHS = 3 × 7 + 11 = 32 = RHS ༩༽ གངས་ཤིག་གི་བཞི་ཆ་གཅིག་ནི་ 7 ལས་ 3 གིས་མང་བ་རེད། གངས་དེ་ཚོལ། ལན།

y • གལ་ཏེ་མ་ཤེས་པའི་གངས་དེ་ y ཡིན་ན། y ཡི་བཞི་ཆ་གཅིག་ནི་ རེད། 4 y གངས་ ནི་ 7 ལས་ 3 གིས་མང་བ་ཡོད། 4 y དེར་བརྟེན། ང་ཚོར་ y ཡི་མཉམ་བ་ − 7 = 3 བྱུང་། 4 • མཉམ་བའི་འགོལ་ཐོབ་འཚོལ་བར། 7 དེ་ RHS ལ་སོས། y = 3 + 7 = 10 4 དེ་ནས་ཕོགས་གཉིས་ཀར་ 4 རེས་སྒྱུར། y × 4 = 10 × 4 = 40 ཡང་ན། 4 དེར་བརྟེན། དགོས་མཁོའི་གངས་ནི་ 40 རེད།

y = 40

བཤེར་རིས། LHS = 40 − 7 = 10 − 7 = 3 = RHS 4

103

རིས་རིག ༡༠༽ བང་ཆུབ་ཀི་པ་ལགས་ནི་བང་ཆུབ་ཀི་ལོའི་ལྡབ་ 3 ལས་ལོ་ 5 ཡིས་རྒན་པ་རེད། གལ་ཏེ་པ་ལགས་ལོ་ 44 ཡིན་ན་བང་ཆུབ་ལོ་ག་ཚོད་རེད་དམ།

3y + 5 = 44

ལན། པ་ལགས་ཀི་ལོའི་མཉམ་བ།

དེའི་འགོལ་ཐོབ་འཚོལ་བར། 5 དེ་ RHS ལ་སོ་དགོས། 3y = 44 − 5 = 39

3y = 39

ཕོགས་གཉིས་ཀར་ 3 རེས་བགོས།

y = 13

དེས་ན། བང་ཆུབ་ལོ་ 13 རེད། (ཁྱེད་ཀིས་དེ་བཤེར་རིས་རྒྱག་ཐུབ།) རིས་དང་། (༡) ཁྱེད་ཀིས་གངས་ཤིག་ལ་ 6 གིས་བསྒྱུར་པ་དང་དེའི་བསྒྱུར་ཐོབ་ནས་ 5 འཐེན་ན། ཁྱེད་ལ་ 7 བྱུང་། ཁྱེད་ཀིས་གངས་དེ་གང་ཡིན་པ་ཤེས་ཐུབ་བམ།

(༢) གངས་ཤིག་གི་གསུམ་ཆ་གཅིག་ཁར་ 5 བསོམས་ན་ 8 འབྱུང་བའི་གངས་དེ་ཚོལ།

སྦོང་ཚན། ༦་༤ ༡། རིས་བརོད་ཁག་མཉམ་བ་བཟོས་ཏེ་འགོལ་ཐོབ་ཚོལ།

(ཀ) གངས་ཤིག་གི་ལྡབ་ 8 སྟེང་ལ་ 4 བསོམས་ན། 60 འབྱུང་། (ཁ) གངས་ཤིག་གི་ལྔ་ཆ་གཅིག་ནས་ 4 འཐེན་ན་ 3 འབྱུང་།

(ག) གལ་ཏེ་གངས་ཤིག་གི་བཞི་ཆ་གསུམ་ལེན་ཏེ་དེའི་སྟེང་ 3 བསོམས་ན། 21 འཐོབ། (ང) གངས་ཤིག་གི་ཉིས་ལྡབ་ནས་ 11 འཐེན་ན། 15 འཐོབ།

(ཅ) ཚེ་རིང་གིས་ 50 ནས་གངས་ཤིག་གི་ལྡབ་གསུམ་འཐེན་ན། ཁོ་ལ་ 8 ལྷག

(ཆ) ལྷག་སྒོན་གིས་གངས་ཤིག་སེམས་ལ་ཉར་ཡོད། གལ་ཏེ་མོས་གངས་དེ་ལ་ 19 བསྣན་ནས་བསོམས་ཐོབ་ལ་ 5 ཡིས་བགོས་ན། 8 འཐོབ།

(ཇ) བོ་བཟང་གིས་གངས་ཤིག་སེམས་ལ་ཉར་ཡོད། གལ་ཏེ་ཁོས་གངས་དེའི་ 5 ནས་ 7 ཕིར་བངས་ན། 23 འཐོབ། 2 ༢། རིས་བརོད་ཁག་གི་འགོལ་ཐོབ་ཚོལ། (ཀ) འཛིན་གྲྭ་ཞིག་གི་ནང་ཨང་ཀི་མཐོ་ཤོས་ལེན་མཁན་གི་སོབ་མས་ཨང་ཀི་དམའ་ཤོས་ཀི་ཉིས་ལྡབ་ལས་ 7 གིས་ མང་བ་བངས་ཡོད། ཨང་ཀི་མཐོ་ཤོས་ནི་ 87 རེད། བས་ན་ཨང་ཀི་དམའ་ཤོས་ག་ཚོད་རེད་དམ།

104

མཉམ་བ་སྟབས་བདེ། (ཁ) ཉི་མས་པ་སངས་ཀིས་བཟོས་པའི་མོག་མོག་གི་གངས་ཀི་ཉིས་ལྡབ་བཟོས་པ་རེད། ཁྱོན་བསོམས་ཁོ་གཉིས་ཀིས་

མོག་མོག་བརྒྱ་ཕག་གཉིས་ལས་གཉིས་ཀིས་ཉུང་བ་བཟོས་ཡོད། ཁོ་གཉིས་སོ་སོས་བཟོས་པའི་མོག་མོག་གི་གངས་ ཚོལ།

(ག) དཔལ་སྒོན་ལ་ལྷ་མོའི་ཤེལ་རོའི་ལྡབ་ལྔ་ལས་ཤེལ་རོ་ 7 གིས་མང་བ་ཡོད། དཔལ་སྒོན་ལ་ཤེལ་རོ་ 37 ཡོད་ན། ལྷ་མོ་ལ་ཤེལ་རོ་ག་ཚོད་ཡོད་དམ།

(ང) ཆོས་ལྡན་གི་པ་ལགས་ནི་ལོ་ 49 རེད། ཁོང་ཆོས་ལྡན་གི་ལོའི་ལྡབ་གསུམ་ལས་ལོ་ 4 ཡིས་རྒན་པ་རེད། ཆོས་ ལྡན་ལོ་ག་ཚོད་རེད་དམ།

(ཅ) ལྡུམ་རའི་ནང་ཤིང་སོང་མང་པོ་ཡོད་པ་ལས། འགའ་ཤས་ནི་ཤིང་ཏོག་གི་སོང་པོ་རེད། ཤིང་ཏོག་མིན་པའི་སོང་ པོའི་གངས་ནི་ཤིང་ཏོག་གི་སོང་པོའི་གངས་ཀི་ལྡབ་གསུམ་ལས་ 2 ཀིས་མང་བ་ཡོད། གལ་ཏེ་ཤིང་ཏོག་མིན་ པའི་སོང་པོའི་གངས་ 77 ཡིན་ན། ཤིང་ཏོག་གི་སོང་པོའི་གངས་ཚོལ།

དྲན་གསོ་གིས། ༡༽ མཉམ་བ་ནི་མཚུངས་པའི་རིས་ཕེང་ཞིག་ལ་ཟེར། ༢༽ LHS དང་ RHS གཉིས་ཕན་ཚུན་གནས་ས་བརེས་ནའང་མཉམ་བ་ལ་འགྱུར་བ་མེད། ༣༽ གཤམ་གསལ་རིས་ཐབས་སྐབས་སུ་མཉམ་བའི་འགོལ་ཐོབ་ལ་འགྱུར་བ་འགོ་ཡི་མེད། (ཀ) མཉམ་བའི་ཕོགས་གཉིས་ཀར་གངས་གཅིག་པ་ཞིག་གིས་སོམ་པ།

(ཁ) མཉམ་བའི་ཕོགས་གཉིས་ཀ་ནས་གངས་གཅིག་པ་ཞིག་གིས་འཐེན་པ། (ག) མཉམ་བའི་ཕོགས་གཉིས་ཀར་གངས་གཅིག་པ་ཞིག་གིས་སྒྱུར་བ།

(ང) མཉམ་བའི་ཕོགས་གཉིས་ཀར་གངས་གཅིག་པ་ཞིག་གིས་བགོད་པ། ༤༽ གངས་ཤིག་གི་ཕོགས་བརེས་པ་ལ་གནས་ས་བརེ་བ་ཟེར། གངས་ཤིག་གི་གནས་ས་བརེ་སྐབས་ང་ཚོས་

གངས་དེའི་རྟགས་བརེ་ཡི་ཡོད། དཔེར་ན། མཉམ་བ་ x + 3 = 8 ལས། LHS ནང་ 3 ཡི་གནས་ས་ བརེས་ཏེ་ RHS ལ་སོས་ན། x = 8 − 3 = 5 འབྱུང་།

105

སོབ་ཚན་བདུན་པ།

ཟུར།

༧་༡ ངོ་སྤོད། Introduction

ང་ཚོས་འཛིན་རིམ་གོང་མར་སྦངས་ཟིན་པའི་དབིབས་རིས་ཀི་ར་བའི་གོ་དོན་འགའ་དྲན་གསོ་བ་རྒྱུ་ཡིན།

ཁྱེད་ཀིས་

སྤད་ཟིན་པའི་དབིབས་ཤིག་གི་ནང་ཐིག་དང་། ཐིག་དུམ། ཟུར་བཅས་ངོས་འཛིན་ཐུབ་ཀི་ཡོད། ཁྱེད་ཀིས་གཤམ་གསལ་ དཔེ་རིས་ ༧་༡ ལས་ཐིག་དུམ་དང་ཟུར་ངོས་འཛིན་བོས།

(ཀ)

(ཁ)

དཔེ་རིས་ ༧་༡

(ག)

(ང)

དཔེ་རིས་ ༧་༡ ལ་བལྟས་ཏེ་ཁྱེད་ཀིས་རྣོ་ཟུར་དང་། རྟུལ་ཟུར། དྲང་ཟུར་བཅས་ངོས་འཛིན་བོས།

དྲན་གསོ་གིས་དང་། ཐིག་དུམ་ལ་སྣེ་གནས་གཉིས་ཡོད། གལ་ཏེ་དེ་ཕོགས་གཉིས་ཀར་མུ་མཐའ་མེད་པར་བརྐངས་པ་

ཡིན་ན། ང་ཚོར་ཐིག་འབྱུང་། དེར་བརྟེན། ཐིག་ལ་སྣེ་གནས་མེད། ཡིན་ནའང་འཕོ་ཐིག་ལ་སྣེ་གནས་གཅིག་ (དེའི་འགོ་ གནས་) ཡོད། གཤམ་གསལ་དཔེ་རིས་ཁག་ལ་བལྟས་ཏེ་དྲན་གསོ་གིས་དང་། Q A (ཁ)

B

(ཀ) P

O དཔེ་རིས་ ༧་༢

106

P (ག)

ཟུར། དཔེ་རིས་ ༧་༢ (ཀ) པས་ཐིག་དུམ་དང་། དཔེ་རིས་ ༧་༢ (ཁ) པས་ཐིག དཔེ་རིས་ ༧་༢ (ག) པས་འཕོ་ཐིག་བཅས་སྟོན་ གི་ཡོད། ཐིག་དུམ་ PQ ནི་རྟགས་ PQ ཡིས་མཚོན་པ་དང་། ཐིག་ AB ནི་རྟགས་ AB དང་འཕོ་ཐིག་ OP ནི་རྟགས་ OP ཡིས་མཚོན། ཁྱེད་ཀི་ཉིན་རེའི་འཚོ་བ་ལས་ཐིག་དུམ་དང་འཕོ་ཐིག་གི་དཔེ་མཚོན་འགའ་འཛིན་གོགས་མཉམ་དུ་ གོས་བསྡུར་བོས།

ཟུར་ནི་ཐིག་གམ་ཡང་ན་ཐིག་དུམ་གཉིས་འཕད་དེ་གྲུབ་ཀི་ཡོད་པ་དྲན་གསོ་གིས་དང་། དཔེ་རིས་ ༧་༡ ནང་གི་ཟུར་ལ་ ལྟོས་དང་། ཟུར་འདི་དག་ཐིག་གཉིས་འཕད་དེ་འགྲུབ་ཀི་ཡོད། གཤམ་གི་དཔེ་རིས་ཁག་ལ་ལྟོས་དང་། A

P

S O

C

B (ཀ)

R དཔེ་རིས་ ༧་༣

Q

(ཁ)

དཔེ་རིས་ ༧་༣ (ཀ) པའི་ནང་། ཐིག་དུམ་ AB དང་ BC གཉིས་ B ལ་འཕད་དེ་ཟུར་ ABC གྲུབ་པ་དང་། ཐིག་དུམ་

BC དང་ AC གཉིས་ C ལ་འཕད་དེ་ཟུར་ ACB གྲུབ་པ་སོགས་ཡིན། དཔེ་རིས་ ༧་༣ (ཁ) པའི་ནང་། ཐིག་ PQ དང་ RS གཉིས་ O ལ་འཕད་དེ་ཟུར་ POS དང་ SOQ, QOR, ROP བཅས་ཟུར་བཞི་གྲུབ་ཀི་ཡོད། དེར་བརྟེན། དཔེ་རིས་ ༧་༣ (ཀ) པའི་ནང་གྲུབ་པའི་ཟུར་གསུམ་ནི། དཔེ་རིས་ ༧་༣ (ཁ) པའི་ནང་གྲུབ་པའི་ཟུར་བཞི་ནི།

POS དང་

ABC དང་ SOQ,

BCA,

QOR,

BAC དང་།

POR བཅས་ཡིན།

༧་༢ འབེལ་བ་ཡོད་པའི་ཟུར། Related angles ༧་༢་༡ གོགས་ཟུར། Complementary angles

གལ་ཏེ་ཟུར་གཉིས་ཀི་བསོམས་ཐོབ་ 90o ཡིན་ན། དེ་གཉིས་ལ་གོགས་ཟུར་ (Complementary angles) ཟེར།

60o

30o

(ཀ)

65o

o

35

དཔེ་རིས་ ༧་༤

(ཁ)

107

རིས་རིག དཔེ་རིས་ ༧་༤ (ཀ) པའི་ནང་ཟུར་གཉིས་ཀི་སོམ་གངས་ནི་ 90o རེད། དེར་བརྟེན། དེ་གཉིས་གོགས་ཟུར་ཡིན་པ་དང་།

30o དང་ 60o གཉིས་ཕན་ཚུན་གོགས་ཟུར་རེད། ཡིན་ནའང་། དཔེ་རིས་ ༧་༤ (ཁ) པའི་ནང་ཟུར་གཉིས་ཀི་སོམ་ གངས་ 90o མིན་པས་དེ་དག་གོགས་ཟུར་མ་རེད།

གོས་བསྡུར་བས་ཏེ་ལན་བིས། ༡། རྣོ་ཟུར་གཉིས་ཕན་ཚུན་གོགས་ཟུར་ཡོང་སིད་དམ།

༢། རྟུལ་ཟུར་གཉིས་ཕན་ཚུན་གོགས་ཟུར་ཡོང་སིད་དམ། ༣། དྲང་ཟུར་གཉིས་ཕན་ཚུན་གོགས་ཟུར་ཡོང་སིད་དམ། རིས་དང་། ༡། གཤམ་གསལ་ཟུར་རྣམས་ལས་གོགས་ཟུར་ངོས་ཟུངས། (དཔེ་རིས་ ༧་༥)

20o 25o 75o

70o

(ཀ)

(ཁ) 52o

48o

35o

(ག) ༢། གཤམ་གསལ་ཟུར་གི་གོགས་ཟུར་ཚོལ། (ཀ) 41o

(ཁ) 45o

(ང) དཔེ་རིས་ ༧་༥

(ག) 54o

(ང) 65o

༣། གལ་ཏེ་གོགས་ཟུར་གཉིས་ཀི་ཧེ་བག་ 12o ཡིན་ན། ཟུར་རེ་རེའི་ཚད་ཚོལ།

108

55o

ཟུར། ༧་༢་༢ གསབ་ཟུར། Supplementary angles

135 o

གཤམ་གསལ་ཆ་ཟུར་ཁག་ལ་ལྟོས་དང་། (དཔེ་རིས་ ༧་༦)

o

120o

o

60

45

(ཀ)

(ཁ)

དཔེ་རིས་ ༧་༦

ཁྱེད་ཀིས་དཔེ་རིས་ ༧་༦ ནང་ཆ་ཟུར་རེའི་བསོམས་ཐོབ་ནི་ 180o ཡིན་པ་མཐོང་ཐུབ། དེ་འདྲའི་ཆ་ཟུར་ལ་གསབ་ཟུར་ (Supplementary angles) ཟེར།

གལ་ཏེ་ཟུར་གཉིས་ཀི་བསོམས་ཐོབ་ 180o ཡིན་ན་དེ་གཉིས་ལ་གསབ་ཟུར་ཟེར། དེ་གཉིས་ཕན་ཚུན་གསབ་ཟུར་ཡིན། གོས་བསྡུར་བས་ཏེ་ལན་བིས། ༡། རྟུལ་ཟུར་གཉིས་གསབ་ཟུར་ཡོང་སིད་དམ། ༢། རྣོ་ཟུར་གཉིས་གསབ་ཟུར་ཡོང་སིད་དམ།

༣། དྲང་ཟུར་གཉིས་གསབ་ཟུར་ཡོང་སིད་དམ། རིས་དང་། ༡། དཔེ་རིས་ ༧་༧ ལས་གསབ་ཟུར་ངོས་ཟུངས།

65o

50o 105o

110o

(ཀ)

དཔེ་རིས་ ༧་༧

(ཁ)

109

རིས་རིག

50o

45o

o

0

13

(ག) ༢། གསབ་ཟུར་ཚོལ། (ཀ) 100o

(ཁ) 90o

45o

(ང)

དཔེ་རིས་ ༧་༧

(ག) 55o

(ང) 125o

༣། གསབ་ཟུར་གཉིས་ལས། གཅིག་ནི་ 44o ཡིས་མང་བ་ཡོད་ན། ཟུར་རེ་རེའི་ཚད་ཚོལ། ༧་༢་༣ ཉེ་ཟུར། Adjacent angles གཤམ་གི་དཔེ་རིས་ལ་ལྟོས་དང་།

12 9

3 6

ཁྱེད་ཀིས་དེབ་ཅིག་ཁ་ཕེ་བ་ཡིན་ན་དེ་གོང་གི་

ཆུ་ཚོད་འཁོར་ལོ་ལ་ལྟོས་དང་། འདིར་ཆུ་ཚོད་ཀི་མདའ་

ཆ་གཅིག་ཕན་ཚུན་འགམ་ལ་ཡོད་པ་མཐོང་ཐུབ།

གྲུབ་ཀི་ཡོད། ཟུར་འདི་དག་ཕན་ཚུན་འགམ་ལ་ཡོད།

དཔེ་རིས་ལྟར་མཐོང་གི་རེད། འདིར་ང་ཚོས་ཟུར་

དང་། སྐར་མའི་མདའ། སྐར་ཆའི་མདའ་བཅས་ཀིས་ཟུར་

དཔེ་རིས་ ༧་༨ ལ་ལྟོས་དང་། ∠AOB དང་ ∠BOC གཉིས་ལ། (༡) སྤིའི་ཟུར་ཚེག O ཡོད།

C

B

(༢) སྤིའི་དཔུང་པ་ OB ཡོད།

(༣) ཟུར་གི་དཔུང་པ་གཞན་གཉིས་ཏེ་ OA དང་ OC གཉིས་ནི་

སྤིའི་དཔུང་པ་ OB ཡི་ལྡོག་ཕོགས་སུ་ཡོད། དེ་འདྲའི་ཆ་ཟུར་ ལ་ཉེ་ཟུར་ (Adjacent angles) ཟེར། དེར་བརྟེན།

O

A

དཔེ་རིས་ ༧་༨

ཉེ་ཟུར་ལ་སྤིའི་ཟུར་ཚེག་དང་སྤིའི་དཔུང་པ་ཡོད་པ་དང་། དཔུང་པ་གཞན་གཉིས་སྤིའི་དཔུང་པའི་ལྡོག་ཕོགས་སུ་ཡོད།

110

ཟུར། རིས་དང་། ༡། དཔེ་རིས་ ༧་༩ ལས་ཟུར་ 1 དང་ 2 གཉིས་ཉེ་ཟུར་ཡིན་མིན་ལྟོས། གལ་ཏེ་ཉེ་ཟུར་མིན་ན་རྒྱུ་མཚན་ཤོད། 1 1

2

2

(ཀ)

(ཁ)

1

2 (ག)

དཔེ་རིས་ ༧་༩

༢། དཔེ་རིས་ ༧་༡༠ ལས། གཤམ་གི་ཟུར་རྣམས་ཉེ་ཟུར་ཡིན་ནམ། (ཀ) ∠AOB དང་ ∠BOC

B

(ག) ∠AOB དང་ ∠COD

A

(ཁ) ∠BOD དང་ ∠BOC

C O

D

དཔེ་རིས་ ༧་༡༠

གོས་བསྡུར་བས་ཏེ་ལན་བིས། ༡། ཉེ་ཟུར་གཉིས་གསབ་ཟུར་ཡོང་སིད་དམ།

༢། ཉེ་ཟུར་གཉིས་གོགས་ཟུར་ཡོང་སིད་དམ།

༣། རྣོ་ཟུར་ཞིག་རྟུལ་ཟུར་དང་ཉེ་ཟུར་ཡོང་སིད་དམ། ༧་༢་༤ ཉེ་གསབ་ཟུར། Linear pair

གལ་ཏེ་ཉེ་ཟུར་གི་སྤིའི་དཔུང་པ་མིན་པ་གཉིས་འཕོ་ཐིག་ལྡོག་མ་ཡིན་ན། ཟུར་གཉིས་ཉེ་གསབ་ཡིན།

1

1

2

∠1 དང་ ∠2 གཉིས་ཉེ་གསབ་ཟུར་རེད། (ཀ)

2

∠1 དང་ ∠2 གཉིས་ཉེ་གསབ་ཟུར་མ་རེད། དཔེ་རིས་ ༧་༡༡

(ཁ)

དཔེ་རིས་ ༧་༡༡ (ཀ) པ་ལས། འཕོ་ཐིག་ལྡོག་མ་གཉིས་ (∠1 དང་ ∠2 ཀི་སྤིའི་དཔུང་པ་མིན་པ་) ཀིས་ཐིག་གྲུབ་ཀི་

111

རིས་རིག ཡོད་པ་དོ་སྣང་གིས་དང་། དེར་བརྟེན། ∠1 + ∠2 ནི་ 180o རེད། དེས་ན། ཉེ་གསབ་ཟུར་ནི་གསབ་ཟུར་ཡང་རེད།

མཆན། ཉེ་གསབ་ཟུར་ཆགས་པའི་ཟུར་གཉིས་ནི་རྟག་ཏུ་ཉེ་ཟུར་ཡིན་ཡང་། ཉེ་ཟུར་གིས་ཉེ་གསབ་ཟུར་ཆགས་པའི་ངེས་ པ་མེད།

ཁྱེད་ཀིས་ཉིན་རེའི་འཚོ་བའི་ནང་མཐོང་བའི་ཉེ་གསབ་ཟུར་གི་དཔེ་མཚོན་འགའ་བིས། འོག་གི་དཔེ་རིས་ལ་ལྟོས་དང་།

ལམ་གཉིས་མཐུད་པའི་ཉེ་གསབ་ཟུར་གྲུབ་པ།

སྨྱུ་གུས་སྨྱུ་གུ་འཇོག་ས་དང་ཉེ་གསབ་ཟུར་གྲུབ་ཀི་ཡོད།

གོས་བསྡུར་བས་ཏེ་ལན་བིས། ༡། རྣོ་ཟུར་གཉིས་ཀིས་ཉེ་གསབ་ཟུར་ཡོང་སིད་དམ།

༢། རྟུལ་ཟུར་གཉིས་ཀིས་ཉེ་གསབ་ཟུར་ཡོང་སིད་དམ། ༣། དྲང་ཟུར་གཉིས་ཀིས་ཉེ་གསབ་ཟུར་ཡོང་སིད་དམ། རིས་དང་།

60o 140o

40o

(ཀ)

o

80

(ག)

112

60 o

གཤམ་གི་ཆ་ཟུར་ཁག་ལས་གང་གིས་ཉེ་གསབ་ཟུར་གྲུབ་མིན་ལྟོས། (དཔེ་རིས་ ༧་༡༢)

(ཁ)

90o

65o

དཔེ་རིས་ ༧་༡༢

115o

(ང)

ཟུར། ༧་༢་༥ ལྡོག་འཕད་ཟུར། Vertically opposite angles

ཁྱེད་ཀིས་ཞ་སྨྱུག་གཉིས་བངས་ཏེ་དཔེ་རིས་ ༧་༡༣ ནང་བསྟན་པ་བཞིན་དཀིལ་

1

ནས་འགིག་ཐག་གིས་སོམས།

4

2

∠1 དང་ ∠2, ∠3, ∠4 བཅས་ཟུར་བཞི་གྲུབ་ཡོད།

3

∠1 ནི་ ∠3 དང་ལྡོག་འཕད་རེད། དེ་བཞིན། ∠2 ནི་ ∠4 དང་ལྡོག་འཕད་རེད།

དཔེ་རིས་ ༧་༡༣

∠2 དང་ ∠4 ལ་ལྡོག་འཕད་ཆ་ཟུར་ཟེར།

ལྡོག་འཕད་ཆ་ཟུར་གཞན་དེ་འབི་ཐུབ་བམ། ∠1 ནི་ ∠3 དང་འདྲ་མཚུངས་ཡིན་པ་མཐོང་གི་འདུག་གམ།

∠2 དང་ ∠4 གཉིས་འདྲ་མཚུངས་ཡིན་པ་མཐོང་གི་འདུག་གམ། དེར་ཞིབ་བཤེར་མ་བས་གོང་ལ་ང་ཚོས་དངོས་ཡོད་ འཚོ་བའི་ནང་གི་ལྡོག་འཕད་ཟུར་གི་དཔེ་མཚོན་འགའ་ལ་ལྟ་རྒྱུ་ཡིན། (དཔེ་རིས་ ༧་༡༤)

དཔེ་རིས་ ༧་༡༤

X

བེད་སོ། ཐིག་ l དང་ m གཉིས་གནས་ཤིག་ལ་བསྣོལ་ཏེ་ ∠1 དང་ ∠2, ∠3, ∠4 བཅས་གྲུབ་པའི་ཟུར་བིས།

(དཔེ་རིས་ ༧་༡༥) ཁྱེད་ཀིས་ ∠1 དང་ ∠3 དབར་དང་། ∠2 དང་ ∠4 དབར་འབེལ་བ་གང་མཐོང་གི་འདུག་ གམ།

དཔེ་རིས་ ༧་༡༥ ཡི་བརེགས་རིས་བིས། བརེགས་རིས་དེ་དཔེ་རིས་ངོ་མའི་སྟེང་བཞག་ཏེ་ ∠1 དང་། ∠2 སོགས་ ཀི་བརེགས་རིས་དང་མཐུན་པ་སོ་སོར་འཇོག ཐིག་ l དང་ m བསྣོལ་ས་ལ་གཟེར་ཞིག་རྒྱོབ། བརེགས་རིས་དེ་ 180o སྐོར་བ་རྒྱོབ། ཐིག་རྣམས་ཡང་བསྐྱར་ཕན་ཚུན་གཅིག་གི་སྟེང་གཅིག་གནས་ཀི་ཡོད་མེད་ལྟོས། l

m

1 2

3

o

180 སྐོར་བ་བརྒྱབ།

4 m

དཔེ་རིས་ ༧་༡༥

3 4

1

2

l

113

རིས་རིག གོང་གི་བེད་སོ་ལས། ང་ཚོས་ལྡོག་འཕད་ཟུར་གཉིས་རྟག་ཏུ་གཅིག་མཚུངས་ཡིན་པ་བཤད་ཐུབ། དེར་བརྟེན། ∠1 = ∠3 དང་། ∠2 = ∠4 རིས་དཔེ།

E

༡༽ དཔེ་རིས་ ༧་༡༦ ནང་གཤམ་གསལ་ཁག་ངོས་ཟུངས།

C

(ཀ) ཉེ་ཟུར་ཆ་ལྔ།

(ཁ) ཉེ་གསབ་ཟུར་ཆ་གསུམ། ལན།

A

O

(ག) ལྡོག་འཕད་ཟུར་ཆ་གཉིས།

D

B དཔེ་རིས་ ༧་༡༦

(ཀ) ཉེ་ཟུར་ཆ་ལྔ་ནི་ (∠AOE, ∠EOC), (∠EOC, ∠COB),

(∠AOC, ∠COB), (∠COB, ∠EOB), (∠AOC, ∠COB) རེད།

(ཁ) ཉེ་གསབ་ཟུར་ནི་ (∠AOE, ∠EOB), (∠AOC, ∠COB), (∠COB, ∠BOD) རེད། (ག) ལྡོག་འཕད་ཟུར་ནི་ (∠COB, ∠AOD), (∠AOC, ∠BOD) རེད།

ཟུར་གི་འབེལ་བ། མིང་།

གོ་དོན།

དཔེ་རིས། D

A

གོགས་ཟུར།

གལ་ཏེ ་ ཟུར་གཉི ས ་ཀི ་ བསོ མ ས་གངས་ 90o ཡིན་ན། ཟུར་དེ་ལ་གོགས་ཟུར་ཟེར།

o

55

o

35

C

B

གལ་ཏེ ་ ཟུར་གཉི ས ་ཀི ་ བསོ མ ས་གངས་ 180o ཡིན་ན། ཟུར་དེ་ལ་གསབ་ཟུར་ཟེར།

F

∠ABC དང་ ∠DEF གཉིས་གོགས་ཟུར་རེད།

A

གསབ་ཟུར།

E

D o

105

o

75

B

C

E

F

∠ABC དང་ ∠DEF གཉིས་གསབ་ཟུར་རེད།

114

ཟུར། ཟུར་གཉིས་ལ།

(༡) སྤིའི་ཟུར་ཚེག་ཡོད་ན། ཉེ་ཟུར།

B

A

(༢) སྤིའི་དཔུང་པ་ཡོད་ན།

(༣) སྤིའི་དཔུང་པ་མིན་པ་གཉིས་སྤིའི་

O

དཔུང་པའི་ལྡོག་ཕོགས་སུ་ཡོད་པ།

∠AOB དང་ ∠BOC

གཉི ས ་ལ་སྤི འི ་ ཟུར་ཚེག་ O དང་སྤིའི་དཔུང་པ་ OB

C

ཡིན་པའི་ཉེ་ཟུར་རེད།

B

གལ་ཏེ ་ ཉེ ་ ཟུར་གཉི ས ་ཀི ས ་བསོ མ ས་

o

0

12

o

གངས་ 180 ཡིན་ན། དེ་གཉིས་ཀིས་

ཉེ་གསབ་ཟུར།

ཉེ་གསབ་ཟུར་འགྲུབ་ཀི་ཡོད།

O

A

C

∠AOB དང་ ∠BOC ཡིས་ཉེ་གསབ་ཟུར་གྲུབ་ ཀི་ཡོད། A

ཐི ག ་གཉི ས ་བསྣོ ལ ་ཏེ ་ གྲུབ་པའི ་ ཁ་

B O

སྤོད་ཟུར་གཉིས་ལ་ལྡོག་འཕད་ཟུར་

ལྡོག་འཕད་ཟུར།

o

60

D

ཟེར། ལྡོག་འཕད་ཟུར་གཉིས་རྟག་ཏུ་

C

∠AOB དང་ ∠COD ལྡོག་འཕད་ཟུར་རེད།

གཅིག་མཚུངས་ཡིན།

∠BOC དང་ ∠AOD ལྡོག་འཕད་ཟུར་རེད།

སྦོང་ཚན། ༧་༡ ༡། གཤམ་གསལ་ཟུར་གི་གོགས་ཟུར་ཚོལ། 63o 20o

(ཀ)

57o

(ཁ)

དཔེ་རིས་ ༧་༡༧

(ག)

115

རིས་རིག ༢། གཤམ་གསལ་ཟུར་གི་གསབ་ཟུར་ཚོལ།

105o

87o

154o

(ཀ)

(ཁ)

(ག)

དཔེ་རིས་ ༧་༡༨

༣། གཤམ་གསལ་ལས་གོགས་ཟུར་དང་། གསབ་ཟུར་ངོས་ཟུངས། (ཀ) 65o, 115o (ང) 45o, 45o

(ཁ) 63o, 27o

(ག) 80o, 10o

(ཅ) 112o, 68o

(ཆ) 130o, 50o

༤། རང་ཉིད་དང་ཕན་ཚུན་གོགས་ཟུར་ཡིན་པའི་ཟུར་དེ་གང་ཡིན་ནམ། ༥། རང་ཉིད་དང་ཕན་ཚུན་གསབ་ཟུར་ཡིན་པའི་ཟུར་དེ་གང་ཡིན་ནམ། ༦། གཤམ་གི་ཟུར་གཉིས་གསབ་ཟུར་ཡིན་ནམ། གལ་ཏེ་གཉིས་ཀ་ (ཀ) རྣོ་ཟུར་ཡིན་ན།

(ཁ) རྟུལ་ཟུར་ཡིན་ན།

(ག) དྲང་ཟུར་ཡིན་ན།

༧། ཟུར་ཞིག་ 45o ལས་ཆེ་བ་ཡོད་ན། དེའི་གོགས་ཟུར་ནི་ 45o ལས་ཆེ་བའམ། ཡང་ན་ཆུང་བའམ། ཡང་ན་མཉམ་པ་ ཡོད།

C

A

༨། དཔེ་རིས་ ༧་༡༧ ལས།

1

(ཀ) ∠1 ནི་ ∠2 ཡི་ཉེ་ཟུར་རེད་དམ།

5 O

(ཁ) ∠AOC ནི་ ∠AOE ཡི་ཉེ་ཟུར་རེད་དམ།

(ག) ∠COE དང་ ∠EOD ཡི་ཉེ་གསབ་ཟུར་ཆགས་ཀི་རེད་དམ། (ང) ∠BOD དང་ ∠DOA གཉིས་གསབ་ཟུར་རེད་དམ། (ཅ) ∠1 དང་ ∠2 གཉིས་ལྡོག་འཕད་ཟུར་རེད་དམ།

4 D

(ཀ) ལྡོག་འཕད་ཟུར།

(ཁ) ཉེ་གསབ་ཟུར།

E

B དཔེ་རིས་ ༧་༡༩

(ཆ) ∠5 ཡི་ལྡོག་འཕད་ཟུར་གང་རེད་དམ། ༩། དཔེ་རིས་ ༧་༡༨ ལས་གཤམ་གསལ་བིས།

2 3

5 4 3

1 2

དཔེ་རིས་ ༧་༢༠

116

ཟུར། ༡༠། གཤམ་གི་དཔེ་རིས་གཉིས་ནང་ x དང་ y, z ཚོལ། x

y

o

40

x

55o

z

y

(ཀ)

z

25o

(ཁ)

དཔེ་རིས་ ༧་༢༡

༡༡། བར་སྟོང་སྐོངས།

(ཀ) གལ་ཏེ་ཟུར་གཉིས་ཕན་ཚུན་གོགས་ཟུར་ཡིན་ན། དེ་དག་གི་བསོམས་གངས་ནི་

རེད།

(ཁ) གལ་ཏེ་ཟུར་གཉིས་ཕན་ཚུན་གསབ་ཟུར་ཡིན་ན། དེ་དག་གི་བསོམས་གངས་ནི་

རེད།

(ག) ཉེ་གསབ་ཟུར་གྲུབ་པའི་ཟུར་གཉིས་རྟག་ཏུ་

རེད།

(ང) གལ་ཏེ་ཉེ་ཟུར་གཉིས་གསབ་ཟུར་ཡིན་ན། དེ་གཉིས་ཀིས་

ཆགས་པ་ཡིན།

(ཅ) གལ་ཏེ་ཐིག་གཉིས་གནས་ཤིག་ལ་བསྣོལ་པ་ཡིན་ན། ལྡོག་འཕད་ཟུར་གཉིས་རྟག་ཏུ་

རེད།

(ཆ) གལ་ཏེ་ཐིག་གཉིས་གནས་ཤིག་ལ་བསྣོལ་པ་དང་། གལ་ཏེ་ལྡོག་འཕད་ཟུར་གཅིག་རྣོ་ཟུར་ཡིན་ན། ལྡོག་འཕད་ ཟུར་གཞན་ནི་

རེད།

༧་༣ གསེག་ཐིག Transversal lines

དཔེ་རིས་ ༧་༢༢

དཔེ་རིས་ ༧་༡༩ ནི་གསེག་ཐིག་གི་དཔེ་མཚོན་གཉིས་རེད། ཐིག་ཅིག་གིས་ཐིག་གཉིས་སམ་ཡང་ན་དུ་མ་ལ་གནས་མི་ འདྲ་བར་བསྣོལ་གི་ཡོད་ན། ཐིག་དེ་ལ་གསེག་ཐིག་ (Transversal line) ཟེར།

117

རིས་རིག དཔེ་རིས་ ༧་༢༠ ནང་། ཐིག་ p ཡིས་ཐིག་ l དང་ m གཉིས་གོ་རིམ་བཞིན་གནས་ A དང་ B ལ་བསྣོལ་ཡོད་པས། ཐིག་ p ལ་ཐིག་ l དང་ m གཉིས་ཀི་གསེག་ཐིག་ཟེར། p

m

A

l A

l B

p

m

དཔེ་རིས་ ༧་༢༣

དཔེ་རིས་ ༧་༢༤

དཔེ་རིས་ ༧་༢༡ ནང་། ཐིག་ p ནི་ཐིག་ l དང་ m གཉིས་ཀི་གསེག་ཐིག་ཡིན་ནམ། ཐིག་ p ཡིས་ཐིག་ l དང་ m སྟེང་ གནས་ཐ་དད་ལ་སྣོལ་གི་མེད་པས། ཐིག་ p ནི་ཐིག་ l དང་ m གཉིས་ཀི་གསེག་ཐིག་མ་རེད།

ཐིག་གཉིས་སམ་ཡང་ན་དུ་མ་བརྒྱུད་ང་ཚོས་གསེག་ཐིག་ཚད་མེད་འབི་ཐུབ།

༧་༣་༡ གསེག་ཐིག་གིས་གྲུབ་པའི་ཟུར། Angles made by a transversal

དཔེ་རིས་ ༧་༢༢ ནང་ཐིག་ p ནི་ཐིག་ l དང་ m གཉིས་ཀི་གསེག་ཐིག་རེད། དེའི་ནང་གི་ ∠1 ནས་ ∠8 དབར་ དམིགས་བསལ་འབེལ་བ་ཡོད།

p

5 7

1

2

3

4

6 8 དཔེ་རིས་ ༧་༢༥

གསེག་ཐིག་གིས་གྲུབ་པའི་ཟུར་གི་འབེལ་བ་དེ་དག་ནི།

118

l

m

ཟུར། ༡༽ ནང་ཟུར། Interior angles

དཔེ་རིས་ ༧་༢༢ ལས། ཐིག་ l དང་ m གི་ནང་དུ་ཡོད་པའི་ཟུར་ལ་ནང་ཟུར་ཟེར། འདིར། ∠3, ∠4, ∠5, ∠6 རྣམས་ནང་ཟུར་རེད།

༢༽ ཕི་ཟུར། Exterior angles

དཔེ་རིས་ ༧་༢༢ ལས། ཐིག་ l དང་ m གི་ཕི་རོལ་དུ་ཡོད་པའི་ཟུར་ལ་ཕི་ཟུར་ཟེར། འདིར། ∠1, ∠2, ∠7, ∠8 རྣམས་ཕི་ཟུར་རེད།

༣༽ གནས་མཐུན་ཟུར། Corresponding angles

དཔེ་རིས་ ༧་༢༢ ལས། གསེག་ཐིག་ p ཡི་ཕོགས་གཅིག་ན་ཡོད་པའི་ཟུར་ལ་གནས་མཐུན་ཟུར་ཟེར།

འདིར། ∠1 དང་ ∠5, ∠2 དང་ ∠6, ∠3 དང་ ∠7, ∠4 དང་ ∠8 རྣམས་གནས་མཐུན་ཟུར་རེད། 1 5

2 6

4

3 8

7 མཆན། གནས་མཐུན་ཟུར་གྲུབ་པར་ཆ་རྐེན།

(ཀ) ཟུར་གཉིས་ཀ་གསེག་ཐིག་གི་ཕོགས་གཅིག་ལ་ཡོད་པ།

(ཁ) ཟུར་དེ་གཉིས་ལས་གཅིག་ནི་གསེག་ཐིག་གི་ཕི་ཟུར་དང་། གཞན་ནི་གསེག་ཐིག་གི་ནང་ཟུར་ཡིན་པ། (ག) ཟུར་དེ་གཉིས་ཀིས་ཉེ་གསབ་ཟུར་མི་གྲུབ་པ།

༤༽ ནང་སྣོལ་ཟུར། Alternate interior angles

དཔེ་རིས་ ༧་༢༢ ལས། ཐིག་ l དང་ m གཉིས་ཀི་ནང་དུ་ཡོད་པའི་ཟུར་དང་གསེག་ཐིག་ p ཡི་ལྡོག་ཕོགས་སུ་ཡོད་ པའི་ཟུར་ལ་ནང་སྣོལ་ཟུར་ཟེར། འདིར། ∠3 དང་ ∠6, ∠4 དང་ ∠5 ནང་སྣོལ་ཟུར་རེད། མཆན། ནང་སྣོལ་ཟུར་གྲུབ་པར་ཆ་རྐེན།

(ཀ) ཟུར་གཉིས་ཀི་ཟུར་ཚེག་མི་འདྲ་བ་རེད།

(ཁ) ཟུར་གཉིས་གསེག་ཐིག་གི་ལྡོག་ཕོགས་སུ་ཡོད། (ག) དེ་དག་ཐིག་གཉིས་ཀི་དབར་ལ་ཡོད།

3 6

5

4

119

རིས་རིག ༥༽ ཕི་སྣོལ་ཟུར། Alternate exterior angles

དཔེ་རིས་ ༧་༢༢ ལས། ཐིག་ l དང་ m གཉིས་ཀི་

ཕི་རོལ་དུ་ཡོད་པའི་ཟུར་དང་གསེག་ཐིག་ p ཡི་ལྡོག་

1

∠1 དང་ ∠8, ∠2 དང་ ∠7 ཕི་སྣོལ་ཟུར་རེད།

8

ཕོགས་སུ་ཡོད་པའི་ཟུར་ལ་ཕི་སྣོལ་ཟུར་ཟེར། འདིར།

ཟུར་གི་མིང་།

2 7

ཟུར།

ནང་ཟུར།

∠3, ∠4, ∠5, ∠6

ཕི་ཟུར།

∠1, ∠2, ∠7, ∠8

གནས་མཐུན་ཟུར།

∠1 དང་ ∠5, ∠2 དང་ ∠6, ∠3 དང་ ∠7, ∠4 དང་ ∠8

ནང་སྣོལ་ཟུར།

∠3 དང་ ∠6, ∠4 དང་ ∠5

ཕི་སྣོལ་ཟུར།

∠1 དང་ ∠8, ∠2 དང་ ∠7

དཔེ་རིས་ནང་གི་ཆ་ཟུར་ངོས་ཟུངས། 1

5

3

2 (ཀ)

4

(ཁ)

6 (ག)

9 8

7

(ང)

120

10 (ཅ)

11 12 (ཆ)

ཟུར། ༧་༣་༢ མཉམ་འགོ་ཐིག་གི་གསེག་ཐིག Transversal of parallel lines

ཁྱེད་ཀིས་མཉམ་འགོ་ཐིག་དྲན་གསོ་བོས་དང་། མཉམ་འགོ་ཐིག་ནི་སྙོམས་ངོས་སྟེང་དུ་ཡོད་པའི་ཐིག་གཉིས་ར་བ་ནས་ མི་སྣོལ་མཁན་ཞིག་ལ་ཟེར། ཁྱེད་ཀིས་དཔེ་རིས་ ༧་༢༣ ནང་མཉམ་འགོ་ཐིག་ངོས་འཛིན་བེད་ཐུབ་བམ།

དཔེ་རིས་ ༧་༢༦

བེད་སོ། ༡། ཐིག་རིས་ཅན་གི་ཤོག་བུ་ཞིག་བངས། མཉམ་འགོ་ཐིག་ l དང་ m གཉིས་བིས། ཐིག་ l དང་ m ཡི་གསེག་

ཐིག t བིས། དཔེ་རིས་ ༧་༢༤ (ཀ) པའི་ནང་བསྟན་པ་བཞིན་ ∠1 དང་ ∠2 བཅས་བིས། བིས་ཟིན་པའི་

དཔེ་རིས་སྟེང་བརེགས་ཤོག་བཞག་སྟེ། ཐིག་ l དང་ m, t བཅས་ཀི་བརེགས་རིས་བིས། བརེགས་ཤོག་དེ་ t བརྒྱུད་ཐིག་ l དང་ m མཉམ་དུ་མ་འཁེལ་བར་དུ་འདྲེད་ཤུད་བོས།

ཁྱེད་ཀིས་བརེགས་རིས་སྟེང་ ∠1 དང་དཔེ་རིས་ངོ་མའི་ ∠2 གཉིས་མཉམ་དུ་འཁེལ་གི་ཡོད་པ་མཐོང་ ཐུབ།

༢། དཔེ་རིས་ ༧་༢༤ (ཁ) པའི་བརེགས་རིས་བིས་ཏེ་བེད་སོ་ ༡ ལྟར་བོས། ཁྱེད་ལ་གྲུབ་འབས་གཅིག་པ་ཐོབ་ཀི་ ཡོད་མེད་ལྟོས།

t 1 2

(ཀ)

t l 3

m 4

དཔེ་རིས་ ༧་༢༧

l m

(ཁ)

གོང་གི་བེད་སོ་ཡིས་གཤམ་གསལ་གསལ་ཁ་འདོན་གི་ཡོད། གལ་ཏེ་མཉམ་འགོ་ཐིག་གཉིས་ལ་གསེག་ཐིག་ཅིག་གིས་བསྣོལ་ན། དེ་ལས་གྲུབ་པའི་གནས་མཐུན་ ཆ་ཟུར་ཚང་མ་གཅིག་པ་ཡིན།

121

རིས་རིག t

དཔེ་རིས་ ༧་༢༥ ལ་ལྟོས་དང་། t ཡིས་མཉམ་འགོ་ཐིག་ l དང་ m གཉིས་ ལ་སྣོལ་སྐབས། ང་ཚོར་ ∠3 = ∠7 (ལྡོག་འཕད་ཟུར།) བྱུང་།

5 7 3 1

ཡིན་ནའང་། ∠7 = ∠8 (གནས་མཐུན་ཟུར།) དེར་བརྟེན། ∠3 = ∠8

དེ་བཞིན་ཁྱེད་ཀིས་ ∠1 = ∠6 ཡིན་པ་སྟོན་ཐུབ།

6 8 4 2

དེར་བརྟེན།

དཔེ་རིས་ ༧་༢༨

གལ་ཏེ་མཉམ་འགོ་ཐིག་གཉིས་ལ་གསེག་ཐིག་གཅིག་གིས་བསྣོལ་ན། དེ་ལས་གྲུབ་པའི་ནང་ སྣོལ་ཆ་ཟུར་ཚང་མ་གཅིག་པ་ཡིན།

ཡང་ཁྱེད་ཀིས་དཔེ་རིས་ ༧་༢༥ ལས། ∠3 + ∠1 = 180o (∠3 དང་ ∠1 ཡིས་ཉེ་གསབ་ཟུར་གྲུབ་ཀི་ཡོད།) ཡིན་ནའང་། ∠1 = ∠6 ཡིན། (ནང་སྣོལ་ཆ་ཟུར།)

དེར་བརྟེན། ང་ཚོས་ ∠3 + ∠6 = 180o ཡིན་པ་བཤད་ཐུབ། དེ་བཞིན། ∠1 + ∠8 = 180o དེར་བརྟེན།

གལ་ཏེ་མཉམ་འགོ་ཐིག་གཉིས་ལ་གསེག་ཐིག་གཅིག་གིས་བསྣོལ་ན། གསེག་ཐིག་གི་ཕོགས་ གཅིག་ཏུ་ཡོད་པའི་ནང་ཟུར་ཆ་རྣམས་གསབ་ཟུར་ཡིན།

གལ་ཏེ་མཉམ་འགོ་ཐིག་ l དང་ m ལ་གསེག་ཐིག་ t ཡིས་བསྣོལ་ན། གཤམ་གི་ཁྱད་ཆོས་ཁག་ཡོད། t 7 5 1 3 8 6 2 4

དཔེ་རིས་ ༧་༢༩

122

l m

གནས་མཐུན་ཟུར་རྣམས་གཅིག་པ་རེད།

∠5 = ∠6, ∠7 = ∠8 ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4

ནང་སྣོལ་ཟུར་རྣམས་གཅིག་པ་རེད།

∠1 = ∠6, ∠3 = ∠8

ཕི་སྣོལ་ཟུར་རྣམས་གཅིག་པ་རེད།

∠5 = ∠2, ∠7 = ∠4

གསེག་ཐིག་གི་ཕོགས་གཅིག་ཏུ་ཡོད་པའི་ ནང་ཟུར་ནི་གསབ་ཟུར་རེད།

∠1 + ∠8 = 180o,

གསེག་ཐིག་གི་ཕོགས་གཅིག་ཏུ་ཡོད་པའི་ ཕི་ཟུར་ནི་གསབ་ཟུར་རེད།

∠5 + ∠4 = 180o,

∠3 + ∠6 = 180o ∠7 + ∠2 = 180o

l m

ཟུར། རིས་དང་། t

a l c

o

60

x

m

l1

b

l2

1

55o

t

y

ཐིག་ l || m;

2

ཐིག་ a || b;

l1, l2 ཐིག་གཉིས་རེད།

t ནི་གསེག་ཐིག་ཡིན། x=?

c ནི་གསེག་ཐིག་ཡིན། y=?

t ནི་གསེག་ཐིག་ཡིན།

(ཀ)

(ཁ)

(ག)

t

m

60o z

12 o 0

l

∠1 = ∠2 རེད་དམ།

t

t ནི་གསེག་ཐིག་ཡིན། z=? (ང)

m p

o

m

a

60

c

x

ཐིག་ l || m;

l

l

b d

ཐིག་ l || m;

ཐིག་ l || m, p || q;

x=? (ཅ)

(ཆ)

t ནི་གསེག་ཐིག་ཡིན།

q

a, b, c, d ཚོལ།

གལ་ཏེ་ཐིག་གཉིས་དང་གསེག་ཐིག་བསྣོལ་ཏེ་གཤམ་གསལ་གང་རུང་བྱུང་ན། ཐིག་དེ་གཉིས་མཉམ་འགོ་རེད། ༡། གནས་མཐུན་ཟུར་གཅིག་པ། ༢། ནང་སྣོལ་ཟུར་གཅིག་པ།

༣། གསེག་ཐིག་གི་ཕོགས་གཅིག་ཏུ་ཡོད་པའི་ནང་ཟུར་གསབ་ཟུར་ཡིན་པ།

123

རིས་རིག རིས་དཔེ། ༢༽ དཔེ་རིས་ ༧་༢༧ ནང་གི་ཐིག་ p དང་ q ནི་མཉམ་འགོ་དང་ r ནི་གསེག་ཐིག་རེད། གལ་ཏེ་ ∠2 = 65o ཡིན་ ན། ཟུར་གཞན་རྣམས་ཚོལ།

r 1 4 5 8

2

p

3

6

q

7 དཔེ་རིས་ ༧་༣༠

ལན། འདིར། p || q དང་ r ནི་གསེག་ཐིག་རེད། ང་ཚོས་ཤེས་ཟིན་པ་ནི། ∠2 = 65o

∠1 + ∠2 = 180o (ཉེ་གསབ་ཟུར།) ∠1 + 65o = 180o དེར་བརྟེན། ∠1 = 180o − 65o = 115o ∠3 = ∠1 (ལྡོག་འཕད་ཟུར།) དེར་བརྟེན། ∠3 = 115o དེ་མཚུངས། ∠4 = ∠2 (ལྡོག་འཕད་ཟུར།) དེར་བརྟེན། ∠4 = ∠2 = 65o གནས་མཐུན་ཟུར་རྣམས་གཅིག་པ་ཡིན་སྟབས། ∠5 = ∠1 ⇒ ∠5 = 115o ∠6 = ∠2 ⇒ ∠6 = 65o ∠7 = ∠3 ⇒ ∠7 = 115o ∠8 = ∠4 ⇒ ∠8 = 65o དེས་ན་ཟུར་གཞན་རྣམས་ནི། ∠1 = 115o, ∠3 = 115o, ∠4 = 65o, ∠5 = 115o, ∠6 = 65o, ∠7 = 115o, ∠8 = 65o བཅས་ཡིན།

124

ཟུར། ༣༽ དཔེ་རིས་ ༧་༢༨ ནང་ ∠1 = 150o དང་ ∠8 = 80o

r

རེད། དེས་ན་ཐིག་ p དང་ q མཉམ་འགོ་ཡིན་ནམ།

ལན།

p

1 4 2 3

q

8

ང་ཚོས་ཤེས་ཟིན་པ་ནི། ∠1 = 150o; ∠8 = 80o

7

∠1 + ∠2 = 180o (ཉེ་གསབ་ཆ་ཟུར།)

5 6

དཔེ་རིས་ ༧་༣༡

དེར་བརྟེན། ∠2 = 180o − ∠1

∠2 = 180o − 150o = 30o ∠8 = 80o (དྲི་བ་ནས་ཤེས་ཡོད།)

ཡང་།

∠2 དང་ ∠8 གཉིས་གཅིག་པ་མིན་པས། ཐིག་ p དང་ q ནི་མཉམ་འགོ་མ་རེད། རིས་དང་། t

t

t l

l 60

70

50 o

60

x

m

m

l

o

o

o

m

130o

l || m རེད་དམ།

l || m རེད་དམ།

l || m ཡིན་ན་ x ཚོལ།

(ཀ)

(ཁ)

(ག)

སྦོང་ཚན། ༧་༢ ༡། གཤམ་གསལ་རིས་བརོད་ནང་བེད་སྤོད་བས་པའི་ཁྱད་ཆོས་བིས། (དཔེ་རིས་ ༧་༢༩)

(ཀ) གལ་ཏེ་ a || b ཡིན་ན། ∠1 = ∠5 (ཁ) གལ་ཏེ་ ∠4 = ∠6 ཡིན་ན། a || b

(ག) གལ་ཏེ་ ∠4 + ∠5 = 180o ཡིན་ན། a || b

12 43 56 78

a b

དཔེ་རིས་ ༧་༣༢

125

རིས་རིག ༢། དཔེ་རིས་ ༧་༣༠ ལས་གཤམ་གསལ་ཁག་ངོས་ཟུངས།

4 1 3 2

(ཀ) གནས་མཐུན་ཆ་ཟུར་བཞི། (ཁ) ནང་སྣོལ་ཆ་ཟུར་གཉིས།

a

8 5 7 6

(ག) གསེག་ཐིག་གི་ཕོགས་གཅིག་ཏུ་ཡོད་པའི་ནང་ཟུར་ཆ་གཉིས།

b དཔེ་རིས་ ༧་༣༣

(ང) ལྡོག་འཕད་ཆ་ཟུར་བཞི།

p

q

e

༣། དཔེ་རིས་ ༧་༣༡ ནང་ p || q ཡིན། མ་ཤེས་པའི་ཟུར་རྣམས་ཚོལ།

125o

a

f d

l

t

x

o

110

110

l x

(ཀ)

m a

80o

m

c

དཔེ་རིས་ ༧་༣༤

༤། གལ་ཏེ་ l || m ཡིན་ན། དཔེ་རིས་སོ་སོའི་ནང་ x ཡི་ཐོབ་འབས་ཚོལ། o

b

b (ཁ)

དཔེ་རིས་ ༧་༣༥

༥། འོག་གི་དཔེ་རིས་ནང་། l དང་ m མཉམ་འགོ་ཡིན་མིན་ལྟོས། n o

126 o

44

(ཀ)

n

l m l m

o

75

57o

n 123o

(ཁ)

(ག) དཔེ་རིས་ ༧་༣༦

126

l m

75o

m

l

72o o

98

(ང)

n

ཟུར།

དྲན་གསོ་གིས། ༡༽ ང་ཚོས་གཤམ་གསལ་ཁག་དྲན་གསོ་བས་ཡོད། (ཀ) ཐིག་དུམ་ལ་སྣེ་གནས་གཉིས་ཡོད།

(ཁ) འཕོ་ཐིག་ལ་སྣེ་གནས་གཅིག་ལས་མེད།

(ག) ཐིག་གི་ཕོགས་གཉིས་ཀར་སྣེ་གནས་མེད། ༢༽ ཐིག་གཉིས་བསྣོལ་ན་ཟུར་གྲུབ་ཀི་ཡོད། ཆ་ཟུར།

ཆ་རྐེན།

གོགས་ཟུར་གཉིས།

ཟུར་གཉིས་ཀི་བསོམས་གངས་ 90o རེད།

ཉེ་ཟུར་གཉིས།

སྤིའི་ཟུར་ཚེག་དང་སྤིའི་དཔུང་པ་ཡོད་པ་དང་། དཔུང་པ་

གསབ་ཟུར་གཉིས།

ཉེ་གསབ་ཟུར།

ཟུར་གཉིས་ཀི་བསོམས་གངས་ 180o རེད།

གཞན་རྣམས་སྤིའི་དཔུང་པའི་ལྡོག་ཕོགས་སུ་ཡོད། ཉེ་ཟུར་དང་གསབ་ཟུར་རེད།

༣༽ གལ་ཏེ་ཐིག་ l དང་ m གཉིས་གནས་གཅིག་གི་ཐོག་སྣོལ་བ་ཡིན་ན། གནས་དེ་ལ་སྣོལ་གནས་ཟེར། ༤༽ སྙོམས་ངོས་སྟེང་ཐིག་གཉིས་གནས་གང་རུང་སྟེང་བསྣོལ་མེད་ན། ཐིག་དེ་གཉིས་མཉམ་འགོ་རེད། ༥༽ ཐིག་གཉིས་སྣོལ་སྐབས་ཡིག་འབྲུ་ X ལྟར་ཁ་སྤོད་ཟུར་བྱུང་། ཟུར་དེ་གཉིས་ལ་ལྡོག་འཕད་ཟུར་ཟེར། དེ་གཉིས་ཀི་ཟུར་ཚད་གཅིག་པ་རེད།

༦༽ ཐིག་གཉིས་ལ་ཐིག་གཞན་ཞིག་གིས་གནས་མི་འདྲ་བར་བསྣོལ་ན། ཐིག་དེ་ལ་གསེག་ཐིག་ཟེར། ༧༽ ཟུར་གི་རིགས། ཟུར་གི་རིགས།

ཟུར།

ནང་ཟུར།

∠3, ∠4, ∠5, ∠6

ཕི་ཟུར།

∠1, ∠2, ∠7, ∠8

གནས་མཐུན་ཟུར།

∠1 དང་ ∠5, ∠2 དང་ ∠6, ∠3 དང་ ∠7, ∠4 དང་ ∠8,

2

1 3

4 6

5 7

8

127

རིས་རིག ཟུར་གི་རིགས།

ཟུར།

ནང་སྣོལ་ཟུར།

∠3 དང་ ∠6, ∠4 དང་ ∠5

ཕི་སྣོལ་ཟུར།

∠1 དང་ ∠8, ∠2 དང་ ∠7

གསེག་ཐིག་གི་ཕོགས་གཅིག་ ཏུ་ཡོད་པའི་ནང་ཟུར།

∠3 དང་ ∠5, ∠4 དང་ ∠6

གསེག་ཐིག་གི་ཕོགས་གཅིག་ ཏུ་ཡོད་པའི་ཕི་ཟུར།

∠1 དང་ ∠7, ∠2 དང་ ∠8

༨༽ མཉམ་འགོ་ཐིག་གཉིས་ལ་གསེག་ཐིག་གིས་སྣོལ་སྐབས། གཤམ་གསལ་འབེལ་བ་ཁག་འབྱུང་གི་རེད། 1

2

3 4 5 6 7 8

(ཀ) གནས་མཐུན་ཆ་ཟུར་ཚང་མ་གཅིག་པ་ཡིན། ∠1 = ∠5, ∠3 = ∠7, ∠2 = ∠6, ∠4 = ∠8 (ཁ) ནང་སྣོལ་ཆ་ཟུར་རྣམས་གཅིག་པ་ཡིན། ∠3 = ∠6, ∠4 = ∠5 (ག) གསེག་ཐིག་གི་ཕོགས་གཅིག་ཏུ་ཡོད་པའི་ནང་ཟུར་གཉིས་ནི་གསབ་ཟུར་ཡིན། ∠3 + ∠5 = 180o, ∠4 + ∠6 = 180o

128

སོབ་ཚན་བརྒྱད་པ། ཟུར་གསུམ་མ། ༨་༡ ངོ་སྤོད། Introduction

ཟུར་གསུམ་མ་ནི་ཐིག་དུམ་གསུམ་ལས་གྲུབ་པའི་ཁ་ཟུམ་པའི་དབིབས་ཤིག་ཡིན། དང་། མཐའ་གསུམ། ཟུར་གསུམ་ཡོད།

A

∆ ABC ནང་། (དཔེ་རིས་ ༨་༡) མཐའ། ཟུར།

ཟུར་གསུམ་མ་ལ་ཟུར་ཚེག་གསུམ་

: AB, BC, CA : ∠BAC, ∠ABC, ∠BCA

ཟུར་ཚེག : A, B, C

B

དཔེ་རིས་ ༨་༡

C

ཟུར་ཚེག་ A ཡི་གཏད་མཐའ་ནི་ BC ཡིན། མཐའ་ AB ཡི་གཏད་ཟུར་ནི་ ∠BCA ཡིན། ཁྱེད་ཀིས་འཛིན་རིམ་ འོག་མར་ཟུར་གསུམ་མ་ནི་མཐའ་དང་། ཟུར་གཞིར་བཟུང་དབེ་བ་འབེད་སྟངས་སྦངས་ཡོད།

(ཀ) མཐའ་གཞིར་བཟུང་། : མཐའ་མི་མཉམ་པ་དང་། སྐེད་མཉམ། མཐའ་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ། (ཁ) ཟུར་གཞིར་བཟུང་།

: རྣོ་ཟུར་དང་། རྟུལ་ཟུར། དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མ།

རིས་དང་། ༡། ∆ABC ཡི་ར་བའི་རྒྱུ་དྲུག་བིས། ༢། གཤམ་གསལ་བིས།

(ཀ) ∆PQR ཡི་ཟུར་ཚེག་ Q ཡི་གཏད་མཐའ། (ཁ) ∆LMN ཡི་མཐའ་ LM ཡི་གཏད་ཟུར། (ག) ∆XYZ ཡི་མཐའ་ XZ ཡི་གཏད་ཚེག

༣། དཔེ་རིས་ ༨་༢ ལ་བལྟས་ཏེ་ཟུར་གསུམ་མ་རྣམས་མཐའ་དང་ཟུར་གཞིར་བཟུང་དབེ་བ་ཕེས།

129

རིས་རིག A

C

8 cm (ཀ)

5.2 cm (ང)

7 cm

Q 6 cm R (ཁ)

M

7 cm (ག)

N

P

A

cm 5.2

5.2 cm

R

S

8 cm

10

5 cm

m

B

L

cm

8c

P

7c

m

3 cm

T

B

6 cm

3 cm (ཅ)

C

Q

6 cm (ཆ)

R

དཔེ་རིས་ ༨་༢

ང་ཚོས་ཟུར་གསུམ་མའི་སྐོར་མང་ཙམ་སྦང་རྒྱུ་ཡིན།

༨་༢ ཟུར་གསུམ་མའི་དཀིལ་ཐིག Medians of a triangle

ཤོག་བུ་ཞིག་ལས་ ∆ABC གཏུབ།(དཔེ་རིས་ ༨་༣) ཟུར་གསུམ་མ་དེའི་མཐའ་ BC ལ་ཆ་འཇོག ཤོག་བུ་ལྟེབ་རེག་ བརྒྱབ་ཏེ་ BC མཉམ་བགོད་བོས། ལྟེབ་སུལ་དེ་ BC སྟེང་གནས་ D (BC ཡི་དཀིལ་གནས་) ལ་འཕད་ཀི་ཡོད། AD མཐུད།

B

A

D

A

C

B

དཔེ་རིས་ ༨་༣

D

C

BC ཡི་དཀིལ་གནས་དང་དེའི་གཏད་ཚེག་ A གཉིས་མཐུད་པའི་ཐིག་དུམ་ AD ལ་ ∆ABC ཡི་དཀིལ་ཐིག་ (Median) ཟེར། མཐའ་ AB དང་ CA ཡི་དཀིལ་ཐིག་བིས།

ཟུར་གསུམ་མའི་ཟུར་ཚེག་དང་། དེའི་གཏད་མཐའི་དཀིལ་གནས་མཐུད་པའི་ཐིག་དུམ་ལ། ཟུར་གསུམ་མའི་དཀིལ་ ཐིག་ཟེར། ཟུར་གསུམ་མ་ལ་ཟུར་ཚེག་གསུམ་ཡོད་པས། དེར་དཀིལ་ཐིག་གསུམ་ཡོད།

130

ཟུར་གསུམ་མ།

༨་༣ ཟུར་གསུམ་མའི་དཔངས། Altitudes of a triangle

A

མཁེགས་ཤོག་ཅིག་གིས་ ∆ABC བཟོས། དེ་སྒོག་ཙེ་སྟེང་

བངས་ནས་འཇོག ཟུར་ཚེག་ A ནས་ཞབས་ཐིག་ BC བར་

B

C

གི་བར་ཐག་ལ་ཟུར་གསུམ་མའི་དཔངས་ (Altitude) ཟེར། (དཔེ་རིས་ ༨་༤)

དཔེ་རིས་ ༨་༤

ཁྱེད་ཀིས་ A ནས་ BC བར་ཐིག་དུམ་མང་པོ་འབི་ཐུབ།

དཔེ་རིས་ ༨་༥ ནང་ཐིག་དུམ་གང་གིས་དཔངས་མཚོན་གི་ཡོད།

A

ཟུར་གསུམ་མའི་ཟུར་ཚེག་ A ནས་དེའི་གཏད་མཐའ་ BC དང་དྲང་འཕང་ཡིན་པའི་ཐིག་དུམ་ AL ལ་ ∆ABC ཡི་ དཔངས་ཟེར།

B

ཟུར་གསུམ་མ་ལ་ཟུར་ཚེག་གསུམ་ཡོད་པའི་

MN O L P

C

དཔེ་རིས་ ༨་༥

ཟུར་ཚེག་རེ་ནས་དཔངས་གཅིག་རེ་ཡོད།

བསམ་བོ་བཏང་སྟེ་ལན་བིས། ༡། ཟུར་གསུམ་མ་ལ་དཔངས་ག་ཚོད་ཡོད་དམ།

༢། གཤམ་གི་ཟུར་གསུམ་མ་ཁག་ལ་དཔངས་ (A ནས་ BC ལ་) བིས། (དཔེ་རིས་ ༨་༦) A

B

རྣོ་ཟུར་ ∆ (ཀ)

A

C

C

དྲང་ཟུར་ ∆ (ཁ)

B

A

B

C རྟུལ་ཟུར་ ∆ (ག)

དཔེ་རིས་ ༨་༦

བེད་སོ། གཤམ་གསལ་ཟུར་གསུམ་མ་ཁག་གི་དྲས་དབིབས་འགའ་བངས། (ཀ) མཐའ་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ།

(ཁ) སྐེད་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ།

(ག) མཐའ་མི་མཉམ་པའི་ཟུར་གསུམ་མ།

ཟུར་གསུམ་མ་དེ་དག་གི་དཀིལ་ཐིག་དང་དཔངས་བིས། ཁྱེད་ཀིས་དོ་སྣང་གང་བྱུང་བ་དེ་ཁྱེད་རང་གི་འཛིན་རོགས་ མཉམ་དུ་གོས་བསྡུར་བོས།

131

རིས་རིག

སྦོང་ཚན། ༨་༡ ༡། ∆ PQR ནང་། D ནི་ QR ཡི་དཀིལ་གནས་ཡིན། (དཔེ་རིས་ ༨་༧)

P

PM ནི་ PD ནི་

QM = MR ཡིན་ནམ།

Q

༢། གཤམ་གསལ་ཁག་གི་སྐྱ་རིས་བིས།

M

D

R

དཔེ་རིས་ ༨་༧

(ཀ) ∆ ABC ནང་། BE ནི་དཀིལ་ཐིག་ཡིན།

(ཁ) ∆ PQR ནང་། PQ དང་ PR ནི་ཟུར་གསུམ་མའི་དཔངས་ཡིན།

༣། སྐེད་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ་ཞིག་བིས་ཏེ། དེའི་དཀིལ་ཐིག་དང་དཔངས་གཉིས་གཅིག་པ་ཡིན་མིན་ལྟོས།

༨་༤ ཟུར་གསུམ་མའི་ཕི་ཟུར་དང་དེའི་ཁྱད་ཆོས། Exterior angle of a triangle and its properties

བེད་སོ། A

༡། ཟུར་གསུམ་མ་ ABC ཞིག་བིས། དཔེ་རིས་ ༨་༨ ནང་བསྟན་ པ་བཞིན་ཟུར་གསུམ་མའི་མཐའ་ BC བསྣར་ཏེ་འཕོ་ཐིག་

BC གྲུབ་པ་དེའི་སྟེང་གནས་ D བིས། གནས་ C རུ་གྲུབ་པའི་ B

དཔེ་རིས་ ༨་༨ C

D

∠ACD ལ་ལྟོས་དང་། ཟུར་འདི་ ∆ABC ཡི་ཕི་ཁུལ་དུ་ ཡོད། ང་ཚོས་དེར་ ∆ABC ཡི་ཟུར་ཚེག་ C ཡི་ཕི་ཟུར་ཟེར།

∠BCA ནི་ ∠ACD ཡི་ཉེ་ཟུར་རེད། ཟུར་གསུམ་མའི་ཟུར་ལྷག་མ་གཉིས་ ∠A དང་ ∠B ལ་ ∠ACD ཡི་ ནང་གི་གཏད་ཟུར་ (Interior opposite angles) ཟེ​ེར།

A

∠A དང་ ∠B གཏུབས་ཏེ་ (ཡང་ན་བརེགས་རིས་བིས་ཏེ་) དཔེ་

རིས་ ༨་༩ ནང་བསྟན་པ་བཞིན་ཕན་ཚུན་ཉེ་འགམ་དུ་འཇོག དུམ་ བུ་འདི་གཉིས་ཀིས་ ∠ACD ཆ་ཚང་ཁེབས་སམ། ∠ACD = ∠A + ∠B རེད་དམ།

132

B B

དཔེ་རིས་ ༨་༩

C

A

D

ཟུར་གསུམ་མ། ༢། དེ་བཞིན། ཟུར་གསུམ་མ་ ABC དང་དེའི་ཕི་ཟུར་ ACD བིས། ཕི་ཟུར་ ACD དང་། ནང་གི་གཏད་ཟུར་

∠A དང་ ∠B གཉིས་སོར་ཕེད་ཀིས་འཇོལ། ∠A + ∠B ཡི་བསོམས་ཐོབ་བཙལ་ཏེ་ ∠ACD ཡི་ཟུར་ ཚད་དང་སྡུར། ཁྱེད་ཀིས་ ∠ACD ནི་ ∠A + ∠B དང་གཅིག་མཚུངས་ཡིན་པ་དོ་སྣང་བྱུང་ངམ།

གོང་གི་བེད་སོ་ལས། ཟུར་གསུམ་མའི་ནང་གི་གཏད་ཟུར་གཉིས་ཀི་བསོམས་ཐོབ་ནི་ཕི་ཟུར་དང་མཚུངས། སྤད་ཟིན་པ། ∆ABC

A

∠ACD ནི་ཕི་ཟུར་རེད།

1

∠ACD = ∠A + ∠B ཡིན་པ་སྟོན།

དཔེ་རིས་ ༨་༡༠ ནང་བསྟན་པ་བཞིན། C བརྒྱུད་ CE ནི་ BA དང་མཉམ་འགོ་ཡིན་པ་བིས། དག་སྐྱེལ།

(༢) ∠2 = ∠y (༣) ∠1 + ∠2 = ∠x + ∠y

(༤) འདིར། ∠x + ∠y = ∠ACD

དེས་ན། ∠1 + ∠2 = ∠ACD

x

2 B

གོམ་པ།

(༡) ∠1 = ∠x

E

y

C

དཔེ་རིས་ ༨་༡༠

D

རྒྱུ་མཚན། BA || CE དང་ AC ནི་གསེག་ཐིག་རེད།

དེར་བརྟེན། ནང་སྣོལ་ཟུར་རྣམས་གཅིག་པ་ཡིན། BA || CE དང་ BD ནི་གསེག་ཐིག་རེད།

དེར་བརྟེན། གནས་མཐུན་ཟུར་རྣམས་གཅིག་པ་ཡིན། དཔེ་རིས་ ༨་༡༠ ལས།

གོང་གི་ཕི་ཟུར་དང་དེའི་ནང་གི་གཏད་ཟུར་གཉིས་དབར་གི་འབེལ་བ་ལ་ཟུར་གསུམ་མའི་ཕི་ཟུར་ཁྱད་ཆོས་ཟེར། རིས་དཔེ། ༡༽ དཔེ་རིས་ ༨་༡༡ ནང་ a དང་ b ཚོལ། ལན། ∆XYZ ནང་།

∠X + ∠XZY = ∠ZYQ 35o + ∠XZY = 68o

(ཟུར་གསུམ་མའི་ཕི་ཟུར་ཁྱད་ཆོས།)

133

རིས་རིག ∠XZY = 68o − 35o = 33o དེ་བཞིན། ∠XZY + ∠YZP = 180o (ཉེ་གསབ་ཟུར།) o

P

Z b

o

33 + b = 180

b = 180o − 33o = 147o དེ་བཞིན། ∠XYZ + ∠ZYQ = 180o (ཉེ་གསབ་ཟུར།) o

a + 68 = 180

a

35o

o

X

a = 180o − 68o = 112o

68o

Y

Q

དཔེ་རིས་ ༨་༡༡

དེར་བརྟེན། a = 112o དང་ b = 147o རེད། རིས་དང་། ༡། ཟུར་གསུམ་མ་ཞིག་གི་ཕི་ཟུར་ནི་ 70o ཡིན་པ་དང་དེའི་ནང་གི་གཏད་ཟུར་ གཅིག་ནི་ 25o རེད། ཟུར་གསུམ་མ་དེའི་ནང་གི་གཏད་ཟུར་གཞན་ཚོལ།

50o

༢། ཟུར་གསུམ་མའི་ནང་གི་གཏད་ཟུར་གཉིས་ནི་ 60o དང་ 80o སོ་སོ་རེད། དེའི་ཕི་ཟུར་ཚོལ།

༣། དཔེ་རིས་ ༨་༡༢ ནང་ནོར་འཁྲུལ་འདུག་གམ། འགེལ་བརོད་གིས།

50o

50o

དཔེ་རིས་ ༨་༡༢

སྦོང་ཚན། ༨་༢ ༡། གཤམ་གསལ་དཔེ་རིས་ནང་ x ཚོལ། 65o

50o

x x

o

70

(ཀ)

134

45o

x

(ཁ)

30o

40o

(ག)

ཟུར་གསུམ་མ། 50o

60o

x o

30

x

50o

60o

60o

x (ང)

(ཅ)

(ཆ)

༢། གཤམ་གསལ་དཔེ་རིས་ནང་ x ཚོལ། 70o

50o

125o

x 100o

115o

x (ཀ)

x (ཁ)

(ག) x

o

60

80o 35o

o

120

x

x

30o

(ང)

75o

(ཅ)

(ཆ)

༨་༥ ཟུར་གསུམ་མ་དམིགས་བསལ་གཉིས། མཐའ་མཉམ་དང་སྐེད་མཉམ། Two special Triangles : Equilateral and Isosceles མཐའ་གསུམ་གའི་རིང་ཚད་གཅིག་པ་ཡིན་

A

A

པའི་ཟུར་གསུམ་མ་ལ་མཐའ་མཉམ་ཟུར་

60o

གསུམ་མ་ཟེར།

མཐའ་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ་ ABC གཉིས་ བངས། (དཔེ་རིས་ ༨་༡༣)

B

(༡)

C

B

60o

དཔེ་རིས་ ༨་༡༣

60o

(༢)

C

135

རིས་རིག ཟུར་གསུམ་མ་གཅིག་བརྟན་པོར་བཞག་སྟེ།

དེའི་སྟེང་ཟུར་གསུམ་མ་གཉིས་པ་འཇོག

ཟུར་གསུམ་མ་གཉིས་པ་དེ་

ཟུར་གསུམ་མ་དང་པོའི་ཟུར་ཚད་དང་མཚུངས་ཀི་ཡོད། དེ་སྐོར་བ་བརྒྱབ་ནའང་ཟུར་གསུམ་མ་དེ་གཉིས་ཀི་ཟུར་ཚད་ གཅིག་པ་གནས་ཀི་ཡོད། དེས་ན། མཐའ་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མའི་ཟུར་ཚང་མ་ 60o རེད།

ཟུར་གསུམ་མའི་མཐའ་གང་རུང་གཉིས་ཀི་རིང་ཚད་གཅིག་པ་ཡིན་ན། དེ་ལ་སྐེད་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ་ཟེར། X

X

Y

Z

(༡)

Y

Z

M

(༢)

དཔེ་རིས་ ༨་༡༤

ཤོག་ལྷེ་ཞིག་ནས་ XY = XZ ཡིན་པའི་སྐེད་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ་ XYZ ཞིག་གཏུབས། (དཔེ་རིས་ ༨་༡༤) དེ་ལྟེབ་ རེག་བརྒྱབ་སྟེ་ Z ནི་ Y སྟེང་གནས་པར་བ། ཐིག་ XM ནི་ཆ་འགིག་གི་ཐིག་རེད། ∠Y དང་ ∠Z གཉིས་ཕན་ཚུན་ ཏག་ཏག་ཁེབས་ཀི་ཡོད། YZ ལ་ཞབས་། ∠Y དང་ ∠Z གཉིས་ཞབས་ཟུར་རེད། དེར་བརྟེན། སྐེད་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མའི།

(༡) མཐའ་གཉིས་ཀི་རིང་ཚད་མཉམ་པ་རེད།

(༢) དེའི་ཞབས་ཟུར་གཉིས་ཀང་མཉམ་པ་རེད།

སྦོང་ཚན། ༨་༣ ༡། གཤམ་གསལ་དཔེ་རིས་ནང་ x ཚོལ།

x 80o

x

40o

x (ཀ)

(ག)

(ཁ) 110o 120o

x (ང)

136

x (ཅ)

x 30o

(ཆ)

ཟུར་གསུམ་མ།

༨་༦ དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མ་དང་པཡེ་ཐ་གོ་རཱས་ཁྱད་ཆོས། Right-angled triangle and Pythagoras property པཡེ་ཐ་གོ་རཱས་ནི་ཡི་ཤུ་སྔོན་གི་དུས་རབས་དྲུག་པའི་གི་རིག་ཡུལ་གི་རིགས་པ་སྨྲ་བ་དང་རིས་རིག་པ་ཞིག་རེད། ཁོང་ གིས་དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མའི་ཁྱད་ཆོས་གལ་ཆེན་པོ་ཞིག་གསར་རེད་བྱུང་བ་རེད། དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མའི་དྲང་ཟུར་དང་ཁ་གཏད་ཡིན་པའི་མཐའ་ལ་གསེག་

A

མཐའ་ (hypotenuse) ཟེར། དྲང་ཟུར་འཚུད་པའི་མཐའ་གཞན་གཉིས་ ལ་དཔུང་པ་ (legs) ཟེར། དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མའི་ནང་ཟུར་ཆེ་ཤོས་ནི་

དྲང་ཟུར་དང་མཐའ་རིང་ཤོས་ནི་གསེག་མཐའ་རེད། ∆ABC (དཔེ་རིས་ ༨་༡༥) ནང་། ཟུར་ B ནི་དྲང་ཟུར་རེད། དེས་ན། AC ནི་གསེག་མཐའ་རེད།

འ།

ཐ ེག་མ

གས

C

AB དང་ BC གཉིས་ ∆ABC ཡི་དཔུང་པ་རེད།

B

དཔེ་རིས་ ༨་༡༥

དཔེ་རིས་ ༨་༡༥ ∆ABC སྐབས། AB2 + BC2 = AC2 རེད། ཁྱད་ཆོས་འདི་ལ་པཡེ་ཐ་གོ་རཱས་ཁྱད་ཆོས་ཟེར། དེ་ནི།

གསེག་མཐའི་ཉིས་ཐེངས་ = དཔུང་པ་གཉིས་ཀི་ཉིས་ཐེངས་ཀི་བསོམས་ཐོབ།

བེད་སོ། དམིགས་ཡུལ། པཡེ་ཐ་གོ་རཱས་ཁྱད་ཆོས་ཀི་ཞིབ་བཤེར། དགོས་མཁོ།

(ཀ) ཤོག་བུ།

(ཁ) དྲ་མིག་ཤོག་བུ།

(ག) དབིབས་ཆས་སམ། (ང) འབར་རི། (ཅ) ཇེམ་ཙེ། བེད་ཐབས།

ཤོག་བུའི་སྟེང་དྲང་ཟུར་ Y ཡིན་པ་དང་། XY = 3 cm དང་ YZ = 4 cm ཡིན་པའི་ ∆XYZ བིས། ཐིག་ཤིང་བེད་སྤད་དེ་

X

གསེག་མཐའི་རིང་ཚད་འཇོལ། དེ་ 5 cm རེད།

3

གྲུ་བཞི་མ་གསུམ་གཤམ་དུ་བསྟན་པ་བཞིན་གཏུབས།

Y

དྲ་མིག་ཤོག་བུ་ལས་མཐའ་ 3 cm དང་། 4 cm, 5 cm ཅན་གི་

4

Z

137

རིས་རིག

3 × 3 གྲུ་བཞི་མ།

4 × 4 གྲུ་བཞི་མ།

5 × 5 གྲུ་བཞི་མ།

གཤམ་དུ་བསྟན་པ་བཞིན་གྲུ་བཞི་མ་ 3 × 3 གི་མཐའ་གཅིག་ ∆XYZ ཡི་མཐའ་ XY སྟེང་འཇོག དེ་མཚུངས། གྲུ་བཞི་མ་གཞན་གཉིས་ཀང་གཤམ་གསལ་དཔེ་རིས་ལྟར་ཞོག

25

X

9 Z

Y འདིར། XY2 = 32 = 9

YZ2 = 42 = 16 2

16

2

XZ = 5 = 25 དང་། 9 + 16 = 25

∙∙∙ XY + YZ = XZ 2

2

2

དེར་བརྟེན། དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མའི་ནང་།

གསེག་མཐའི་ཉིས་ཐེངས་ = དཔུང་པ་གཉིས་ཀི་ཉིས་ཐེངས་ཀི་བསོམས་ཐོབ།

138

ཟུར་གསུམ་མ། རིས་དཔེ། ༢༽ མཐའི་རིང་ཚད་ 6 cm དང་། 8 cm, 10 cm བཅས་ཡིན་པའི་ཟུར་གསུམ་མ་འདི་དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མ་ རེད་དམ།

ལན། 62 = 6 × 6 = 36; 82 = 8 × 8 = 64; 102 = 10 × 10 = 100 ང་ཚོར། 62 + 82 = 102

དེར་བརྟེན། ཟུར་གསུམ་མ་དེ་དྲང་ཟུར་རེད།

མཆན། དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མའི་ནང་མཐའ་རིང་ཤོས་དེ་གསེག་མཐའ་རེད། འདིར། རིང་ཚད་ 10 cm ཡོད་པའི་ མཐའ་དེ་གསེག་མཐའ་རེད།

༣༽ ∆ABC ནང་ C ནི་དྲང་ཟུར་རེད། གལ་ཏེ་ AC = 5 cm དང་ BC = 12 cm ཡིན་ན། AB ཡི་རིང་ཚད་ཚོལ།

ལན། ∆ABC ཡི་དཔེ་རིས་རགས་པ་ཞིག་བིས། (དཔེ་རིས་ ༨་༡༦) པཡེ་ཐ་གོ་རཱས་ཁྱད་ཆོས་ལས། 2

2

2

AB = AC + BC

AB2 = 52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132

A ?

5 cm C

B

12 cm དཔེ་རིས་ ༨་༡༦

AB = 13 C

དེར་བརྟེན། AB ཡི་རིང་ཚད་ནི་ 13 cm རེད། ༤༽ ཤིང་སོང་ཞིག་མཚམས་ཤིག་ནས་ཆག་སྟེ་དེའི་རེ་མོ་ར་བ་ནས་

A

བར་ཐག་ 8 m ཡོད་པའི་སར་ཐུག་ཡོད། གལ་ཏེ་ཤིང་སོང་ཆག་

སའི་གནས་དེ་ར་བ་ནས་མཐོ་ཚད་ 15 m ལ་ཡོད་ན། ཤིང་སོང་ གི་མཐོ་ཚད་ག་ཚོད་ཡིན་ནམ།

ལན། CAB ནི་ཤིང་སོང་ཡིན་པ་ཆ་འཇོག (དཔེ་རིས་ ༨་༡༧)

ཤིང་སོང་ CAB ཆག་རེས་དེའི་རེ་མོ་ C ར་བ་ B ནས་བར་ ཐག་ 8 m ལ་ཐུག་ཡོད། འདིར། ∆ABC གྲུབ་སྟེ་ B ནི་དྲང་ ཟུར་རེད།

པཡེ་ཐ་གོ་རཱས་ཁྱད་ཆོས་ལས། ∆ABC ནང་། 2

2

2

AC = AB + BC

ས། མ་ཆག་གོང་།

B

A 15 m C 8 m B ཆག་རེས།

ས།

དཔེ་རིས་ ༨་༡༧

139

རིས་རིག AC2 = 82 + 152 = 64 + 225 = 289 = 172 AC = 17 དེར་བརྟེན། ཤིང་སོང་གི་རིང་ཚད་ = CA + AB = 17 + 15 = 32 m རེད།

མཆན། ཡོངས་རོགས་ཉིས་སྒྱུར་ངོས་བཟུང་བར་ཁྱེད་ཀིས་རྒྱུ་གངས་ལ་བཀྲལ་བའི་ཐབས་ལམ་བེད་སྤོད་དགོས། ༥༽ ཞེང་ 7 cm དང་གཏད་ཐིག་ 25 cm ཡིན་པའི་གྲུ་བཞི་ནར་མོ་དེའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་དང་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ། ལན། གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་ཟུར་ཚང་མ་དྲང་ཟུར་ཡིན་པ་ང་ཚོས་ཤེས་ཀི་ཡོད། གྲུ་ནར་ ABCD ནང་ ∆ADC ལ་ཆ་ བཞག་ན། དེ་ནི་དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མ་ཡིན་པས།

AD2 + DC2 = AC2 (པཡེ་ཐ་གོ་རཱས་ཁྱད་ཆོས།) 72 + DC2 = 252

49 + DC2 = 625

A

DC2 = 576

7 cm

DC = 625 − 49 DC2 = 242

D

B 25 c

7 cm

2

m

C དཔེ་རིས་ ༨་༡༨

DC = 24

∙∙∙ གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་དཀྱུས་ = 24 cm

དེས་ན། གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ = 2 (l + b) = 2 (24 + 7) = 2 × 31 = 62 cm

དང་། གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = l × b = 24 × 7 = 168 cm2 རིས་དང་། གཤམ་གསལ་དཔེ་རིས་ ༨་༡༩ ནང་ x ཚོལ། (ཚད་གཞི་ cm ནང་།) x x

6 8 (ཀ)

8

17 (ཁ) དཔེ་རིས་ ༨་༡༩

140

37

12 x (ག)

37

ཟུར་གསུམ་མ།

སྦོང་ཚན། ༨་༤ ༡། ཟུར་གསུམ་མ་ PQR ནང་ P ནི་དྲང་ཟུར་རེད། གལ་ཏེ་

PQ = 10 cm དང་ PR = 24 cm ཡིན་ན། QR ཚོལ།

༢། ཟུར་གསུམ་མ་ ABC ནང་ C ནི་དྲང་ཟུར་རེད། གལ་ཏེ་

15 m

AB = 25 cm དང་ AC = 7 cm ཡིན་ན། BC ཚོལ།

12 m

༣། རིང་ཚད་ 15 m ཅན་གི་སྐས་འཛེག་ཅིག་མཐོ་ཚད་12 m སར་ཡོད་པའི་སེའུ་ཁུང་ཁར་བཙུགས་ཡོད། སྐས་འཛེག་དེའི་

a

རྐང་པ་གང་ནས་བར་ཐག་ག་ཚོད་སར་བཞག་ཡོད་དམ།

དཔེ་རིས་ ༨་༢༠

(དཔེ་རིས་ ༨་༢༠)

༤། གཤམ་གསལ་ལས་གང་ཞིག་དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མའི་མཐའ་ཡིན་ནམ། (ཀ) 2 cm, 2 cm, 5 cm

(ཁ) 1.5 cm, 2 cm, 2.5 cm

(ག) 2.5 cm, 6.5 cm, 6 cm

གལ་ཏེ་དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མ་ཡིན་ན། དྲང་ཟུར་ངོས་ཟུངས།

16 m

༥། གྲུ་ཞིག་གི་དར་ཤིང་ནི་ཐག་པ་བརྟན་པོ་ཞིག་གིས་དར་ཤིང་གི་

རེ་ནས་གྲུའི་ཁྱམས་རའི་གནས་ཤིག་ལ་བསམས་ཡོད། གལ་ ཏེ་དར་ཤིང་གི་མཐོ་ཚད་ནི་ 16 m དང་ཐག་པ་དེ་དར་ཤིང་

12 m

གི་ཞབས་ནས་བར་ཐག་ 12 m ཡོད་སར་མཐུད་ཡོད་ན།

དཔེ་རིས་ ༨་༢༡

ཐག་པའི་རིང་ཚད་ཚོལ། (དཔེ་རིས་ ༨་༢༡)

༦། ཤིང་སོང་ཞིག་ར་བ་ནས་མཐོ་ཚད་ 5 m ཡོད་སར་ཆག་སྟེ། དེའི་རེ་མོ་ར་བ་ནས་བར་ཐག་ 12 m ཡོད་སར་ཐུག་ ཡོད། ཤིང་སོང་གི་མཐོ་ཚད་ཚོལ།

༧། ∆ PQR ནང་། ∠Q = 25o དང་ ∠R = 65o རེད། (དཔེ་རིས་ ༨་༢༢)

P

གཤམ་གསལ་ལས་གང་ཞིག་བདེན་པ་ཡིན་ནམ། (ཀ) PQ2 + QR2 = RP2

(ཁ) PQ2 + RP2 = QR2 2

2

(ག) RP + QR = PQ

2

Q

65o

25o དཔེ་རིས་ ༨་༢༢

R

༨། དཀྱུས་ 40 cm དང་གཏད་ཐིག་ 41 cm ཡིན་པའི་གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་དང་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ།

141

རིས་རིག བསམ་བོ་བཏང་སྟེ་ལན་བིས། ༡། ཟུར་གསུམ་མ་ PQR ནང་ P དྲང་ཟུར་ཡིན་ན། མཐའ་རིང་ཤོས་དེ་གང་ཡིན་ནམ།

༢། ཟུར་གསུམ་མ་ XYZ ནང་ Y དྲང་ཟུར་ཡིན་ན། མཐའ་རིང་ཤོས་དེ་གང་ཡིན་ནམ། ༣། དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མའི་མཐའ་རིང་ཤོས་དེ་གང་ཡིན་ནམ།

དྲན་གསོ་གིས། ༡༽ ཟུར་གསུམ་མའི་རྒྱུ་དྲུག་ནི་དེའི་ཟུར་གསུམ་དང་མཐའ་གསུམ་ཡིན། ༢༽ ཟུར་གསུམ་མའི་ཟུར་ཚེག་གཅིག་དང་། དེའི་གཏད་མཐའི་དཀིལ་གནས་སྦྲེལ་བའི་ཐིག་དུམ་ལ་ཟུར་ གསུམ་མའི་དཀིལ་ཐིག་ཟེར། ཟུར་གསུམ་མ་ལ་དཀིལ་ཐིག་གསུམ་ཡོད།

༣༽ ཟུར་གསུམ་མའི་ཟུར་ཚེག་གཅིག་ནས་དེའི་གཏད་མཐའ་དང་དྲང་འཕང་ཡིན་པའི་ཐིག་དུམ་ལ་ཟུར་ གསུམ་མའི་དཔངས་ཟེར།

༤༽ ཟུར་གསུམ་མའི་མཐའ་གང་རུང་ཞིག་བསྣར་ཏེ། ཟུར་གསུམ་མ་དེའི་ཕི་ཟུར་གྲུབ་ཐུབ། ཟུར་ཚེག་རེ་ ནས་ཕི་ཟུར་གཉིས་རེ་འབི་ཐུབ།

༥༽ ཟུར་གསུམ་མའི་ཕི་ཟུར་ནི་དེའི་ནང་གི་གཏད་ཟུར་གཉིས་ཀི་བསོམས་ཐོབ་དང་མཚུངས། ༦༽ མཐའ་གསུམ་གའི་རིང་ཚད་གཅིག་པ་ཡིན་པའི་ཟུར་གསུམ་མ་ལ་མཐའ་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ་ཟེར། མཐའ་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མའི་ནང་ཟུར་ཚང་མ་ 60o རེད།

༧༽ མཐའ་གང་རུང་གཉིས་ཀི་རིང་ཚད་མཚུངས་པའི་ཟུར་གསུམ་མ་ལ་སྐེད་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ་ཟེར།

སྐེད་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མའི་ནང་མཐའ་མི་གཅིག་པ་དེ་ལ་ཟུར་གསུམ་མའི་ཞབས་ཟེར། སྐེད་མཉམ་ ཟུར་གསུམ་མའི་ཞབས་ཟུར་གཉིས་གཅིག་པ་རེད།

༨༽ དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མའི་ནང་། དྲང་ཟུར་གི་གཏད་མཐའ་ལ་གསེག་མཐའ་དང་། མཐའ་གཞན་གཉིས་ ལ་དེའི་དཔུང་པ་ཟེར།

༩༽ པཡེ་ཐ་གོ་རཱས་ཁྱད་ཆོས། དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མའི་ནང་།

གསེག་མཐའི་ཉིས་ཐེངས་ = མཐའ་གཉིས་ཀི་ཉིས་ཐེངས་ཀི་བསོམས་ཐོབ།

ཁྱད་ཆོས་འདི་ཟུར་གསུམ་མ་ཞིག་དྲང་ཟུར་ཡིན་མིན་ཐག་གཅོད་བ་བར་ཕན་ཐོགས་ཡོད།

142

སོབ་ཚན་དགུ་པ། ཡྟོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མ། ༩་༡ ངོ་སྤོད། Introduction

སོབ་ཚན་འདིར། ང་ཚོས་ཟུར་གསུམ་མའི་ཡོངས་མཚུངས་སྐོར་སྦང་རྒྱུ་ཡིན། ཡོངས་མཚུངས་ཀི་གོ་དོན་གང་ཡིན་ཤེས་ པར། ང་ཚོས་བེད་སོ་ཞིག་སེལ་གི་ཡིན།

བེད་སོ། ཧིན་སོར་ 10 ཡི་ཤོག་དངུལ་གཉིས་བངས། (དཔེ་རིས་ ༩་༡) ཤོག་དངུལ་གཅིག་གཞན་དེའི་སྟེང་དུ་འཇོག ཁྱེད་ ཀིས་གང་མཐོང་ངམ།

དཔེ་རིས་ ༩་༡

ཤོག་དངུལ་གཅིག་གིས་གཞན་དེ་ཆ་ཚང་ཏག་ཏག་ཁེབས་ཀི་ཡོད། དེས་ཤོག་དངུལ་གཉིས་ཀའི་དབིབས་དང་ཆེ་ ཆུང་གཅིག་པ་ཡིན་པ་སྟོན་གི་ཡོད། དེ་འདྲའི་དབིབས་ལ་ཡོངས་མཚུངས་དབིབས་ཟེར། ཁྱེད་ཀིས་བེད་སྤད་པའི་ ཤོག་དངུལ་གཉིས་ཕན་ཚུན་ཡོངས་མཚུངས་རེད།

གཤམ་གསལ་ཅ་དངོས་རྣམས་ཡོངས་མཚུངས་ཡིན་མིན་ལ་ལྟོས། (ཀ) སོ་ལྕགས་དེ་རང་གི་ལྡེ་མིག་གཉིས། [དཔེ་རིས་ ༩་༢ (ཀ)] (ཁ) དེབ་གཅིག་གི་ཤོག་བུ། [དཔེ་རིས་ ༩་༢ (ཁ)] (ག) འགིག་སུབ་ཀི་ངོས། [དཔེ་རིས་ ༩་༢ (ག)] (ཀ)

(ཁ)

(ག) དཔེ་རིས་ ༩་༢

143

རིས་རིག

༩་༢ ཡོངས་མཚུངས་དཔེ་རིས། Congruent figures ༡། སྙོམས་ངོས་དཔེ་རིས།

དཔེ་རིས་ ༩་༣ ནང་སྤད་པའི་དཔེ་རིས་གཉིས་ལ་ལྟོས་དང་། དེ་དག་ཡོངས་མཚུངས་རེད་དམ།

F1

F2 དཔེ་རིས་ ༩་༣

ཁྱེད་ཀིས་གཅིག་ཐོག་གཅིག་བརེགས་ཀི་ཐབས་ལམ་བེད་སྤད་ཆོག དཔེ་རིས་ F1 བརེགས་ཤོག་ཐོག་བརེགས་ རིས་བངས་ཏེ། F1 དེ་དཔེ་རིས་ F2 སྟེང་འཇོག་སྐབས། གལ་ཏེ་ F1 ཆ་ཚང་ F2 ཡིས་ཏག་ཏག་ཁེབས་ན། དེ་དག་ གི་དབིབས་དང་ཆེ་ཆུང་མཚུངས་ཀི་ཡོད། དེར་བརྟེན། F1 དང་ F2 གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་རེད།

དཔེ་རིས་ ༩་༣ ནང་ F1 དང་ F2 ཡོངས་མཚུངས་ཡིན། ཡོངས་མཚུངས་ནི་རྟགས་ ≅ ཡིས་མཚོན།

དེར་བརྟེན། ང་ཚོས་ F1 ≅ F2 ལྟར་འབི་དགོས། ༢། ཐིག་དུམ།

ཐིག་དུམ་གཉིས་ག་དུས་ཡོངས་མཚུངས་རེད་དམ། དཔེ་རིས་ ༩་༤ ནང་གི་ཐིག་དུམ་ཆ་གཉིས་ལ་ལྟོས་དང་། A

B C

(ཀ)

P D

Q R

དཔེ་རིས་ ༩་༤

(ཁ)

S

དཔེ་རིས་ ༩་༤ (ཀ) ཡི་ནང་ཐིག་དུམ་གཉིས་གཅིག་ཐོག་གཅིག་བརེགས་ཀི་ཐབས་ལམ་བེད་སྤད། CD ཡི་བརེགས་རིས་བིས་ཏེ་ AB སྟེང་འཇོག C ནི་ A སྟེང་དང་ D ནི་ B སྟེང་ཏག་ཏག་གནས་ཀི་ཡོད་པ་ མཐོང་ཐུབ།

དེར་བརྟེན། ཐིག་དུམ་དེ་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་རེད། ང་ཚོས་ AB ≅ CD ལྟར་འབི་དགོས།

བེད་སོ་འདི་དཔེ་རིས་ ༩་༤ (ཁ) ནང་གི་ཐིག་དུམ་གཉིས་བསྐྱར་ཟློས་བོས། ཐིག་དུམ་དེ་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་མ་ རེད། ཐིག་དུམ་གཉིས་ཀི་རིང་ཚད་མི་མཉམ་པས། དེ་དག་གཅིག་ཐོག་གཅིག་བརེགས་ན་ཏག་ཏག་ཁེབས་ཀི་མེད།

གལ་ཏེ་ཐིག་དུམ་གཉིས་ཀི་རིང་ཚད་མཉམ་ན། ཐིག་དུམ་དེ་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་ཡིན།

དེ་བཞིན། གལ་ཏེ་ཐིག་དུམ་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་ཡིན་ན། ཐིག་དུམ་དེ་གཉིས་ཀི་རིང་ཚད་མཉམ་པ་རེད།

144

ཡོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མ། ༣། ཟུར།

གཤམ་གི་ཟུར་ཁག་ལ་ལྟོས་དང་། (དཔེ་རིས་ ༩་༥) Z N

C

B

R

40o (༡)

A

M

40o (༢)

L

Q

30o

དཔེ་རིས་ ༩་༥

(༣)

P

Y

40o (༤)

X →

∠LMN ཡི་བརེགས་རིས་བིས་ཏེ་ ∠ABC སྟེང་འཇོག འདིར་ང་ཚོས་དང་པོ་ M ནི་ B སྟེང་དང་ ML ནི་ → → → → BA ཡོད་སར་འཇོག་དགོས། MN ག་པར་འཁེལ་གི་འདུག་གམ། MN ནི་ BC སྟེང་འཁེལ་གི་ཡོད། དེར་བརྟེན། ∠ABC དང་ ∠LMN གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་རེད། དེ་ནི། ∠ABC ≅ ∠LMN

(མཆན། ཡོངས་མཚུངས་ཟུར་གཉིས་ཀི་ཟུར་ཚད་མཉམ་པ་ཡིན།) ཡང་ཁྱེད་ཀིས་ ∠PQR ཡི་བརེགས་རིས་བིས་ཏེ་ ∠ABC སྟེང་དུ་འཇོག འདིར་ཁྱེད་ཀིས་ Q ནི་ B སྟེང་དང་ → → → → QP ནི་ BA ཡོད་སར་འཇོག QR ནི་ BC སྟེང་འཁེལ་གི་མེད། དེ་ནི། ∠ABC དང་ ∠PQR གཉིས་ཕན་ ཚུན་ཆ་ཚང་ཁེབས་མེད། དེར་བརྟེན། ཟུར་དེ་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་མ་རེད། (མཆན། འདིར་ ∠ABC དང་ ∠PQR གཉིས་ཀི་ཟུར་ཚད་མི་མཉམ།)

→ → → ∠XYZ དང་ ∠ABC གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་རེད་དམ། འདིར། འཕོ་ཐིག་ YX དང་ YZ ནི་ BA དང་ → BC སོ་སོར་ལས་རིང་བ་ཡོད་པས། ∠ABC ནི་ ∠XYZ ལས་ཆུང་བ་ཡིན་པ་བསམ་སིད། དེ་མ་རེད། དཔེ་རིས་

ནང་འཕོ་ཐིག་གིས་ཁ་ཕོགས་མ་གཏོགས་རིང་ཚད་སྟོན་གི་མེད། དེ་དག་གཅིག་གི་ཐོག་གཅིག་བརེགས་ནས་བལྟས་ པ་ཡིན་ན་ཟུར་དེ་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་ཡིན་པ་ཤེས་ཐུབ། དེས་ན། ∠ABC ≅ ∠XYZ

གལ་ཏེ་ཟུར་གཉིས་ཀི་ཟུར་ཚད་མཉམ་ན། ཟུར་དེ་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་ཡིན། དེ་བཞིན། གལ་ཏེ་ཟུར་གཉིས་ ཡོངས་མཚུངས་ཡིན་ན། ཟུར་དེ་གཉིས་ཀི་ཟུར་ཚད་མཉམ་པ་རེད།

145

རིས་རིག ༤། ཟུར་གསུམ་མ།

གལ་ཏེ་ཟུར་གསུམ་མ་གཉིས་ཕན་ཚུན་གི་འདྲ་བཤུས་ཡིན་པ་དང་།

གཅིག་གི་ཐོག་གཅིག་བརེགས་སྐབས་ཕན་

ཚུན་ཏག་ཏག་ཁེབས་ཀི་ཡོད་ན། ཟུར་གསུམ་མ་དེ་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་རེད། A

P

B

C

Q

R

དཔེ་རིས་ ༩་༦

∆ABC དང་ ∆PQR གཉིས་ཀི་དབིབས་དང་ཆེ་ཆུང་གཅིག་པ་ཡིན་པས། དེ་དག་ཡོངས་མཚུངས་རེད། ང་ཚོས་ འདི་ལྟར་འབི་ཆོག ∆ABC ≅ ∆PQR

དེ་ནི། གལ་ཏེ་ ∆ABC ཐོག་ ∆PQR བཞག་པ་ཡིན་ན། P ནི་ A སྟེང་དང་། Q ནི་ B སྟེང་། R ནི་ C སྟེང་

གནས་པ་དང་། PQ ནི་ AB སང་དང་། QR ནི་ BC སང་། PR ནི་ AC སང་ལ་གནས་ཀི་ཡོད།

གལ་ཏེ་ཟུར་གསུམ་མ་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་ཡིན་ན། དེ་དག་གི་གནས་མཐུན་རྒྱུ་རྣམས་གཅིག་པ་རེད། དེར་བརྟེན། ཡོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མ་འདི་གཉིས་ནང་།

གནས་མཐུན་ཟུར་ཚེག་ནི་ A དང་ P, B དང་ Q, C དང་ R གནས་མཐུན་མཐའ་ནི་ AB དང་ PQ, BC དང་ QR, AC དང་ PR གནས་མཐུན་ཟུར་ནི་ ∠A དང་ ∠P, ∠B དང་ ∠Q, ∠C དང་ ∠R

ཟུར་གསུམ་མ་གཉིས་ཀི་གནས་མཐུན་རྒྱུ་རྣམས་གཅིག་པ་ཡིན་ན། ཟུར་གསུམ་མ་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་ཡིན། གོང་གི་ ∆ABC དང་ ∆PQR ལས་གཤམ་གསལ་ཁག་གནས་མཐུན་རེད། གནས་མཐུན་ཟུར་ཚེག

གནས་མཐུན་མཐའ།

གནས་མཐུན་ཟུར།

གནས་མཐུན་ཟུར་གསུམ་མ།

A↔P

AB ↔ PQ

∠A ↔ ∠P

∆ABC ↔ ∆PQR

B↔Q

BC ↔ QR

∠B ↔ ∠Q

∆BAC ↔ ∆QPR

C↔R

CA ↔ RP

∠C ↔ ∠R

∆ACB ↔ ∆PRQ

མཆན། ཡོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མའི་གནས་མཐུན་རྒྱུ་རྣམས་གཅིག་པ་ཡིན།

146

ཡོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མ། རིས་དཔེ། ༡༽ ∆ABC དང་ ∆RQP གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་ཡིན་པ་དང་ ABC ↔ RQP རེད། གཤམ་གསལ་དང་གནས་ མཐུན་ཡིན་པའི་ ∆ABC ཡི་རྒྱུ་རྣམས་བིས། (ཀ) PQ

(ཁ) ∠Q

(ག) RP

ལན། ཟུར་གསུམ་མ་གཉིས་ཀི་གནས་མཐུན་རྒྱུ་རྟོགས་པར། ང་ཚོས་དཔེ་རིས་བེད་སྤོད་ཀི་ཡིན། (དཔེ་རིས་ ༩་༧) A

B

P

Q

C

R དཔེ་རིས་ ༩་༧

འདིར། ABC ↔ RQP དེའི་དོན་ནི། A ↔ R དང་། B ↔ Q, C ↔ P དེས་ན། (ཀ) PQ ↔ CB

(ཁ) ∠Q ↔ ∠B

(ག) RP ↔ AC

སྦོང་ཚན། ༩་༡ ༡། གཤམ་གི་བརོད་པ་ཁ་སྐོངས། (ཀ) གལ་ཏེ་

ཡིན་ན། ཐིག་དུམ་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་ཡིན།

(ཁ) ཡོངས་མཚུངས་ཟུར་གཉིས་ལས། གཅིག་ 70o ཡིན་ན། ཟུར་གཞན་ནི་

རེད།

༢། ཁྱེད་རང་གི་ཉེ་འཁོར་ནས་ཡོངས་མཚུངས་ཀི་དཔེ་མཚོན་གཉིས་བིས།

༣། གལ་ཏེ་ ∆ABC ≅ ∆FED སྐབས་ ABC ↔ FED ཡིན་ན། ཡོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མའི་གནས་མཐུན་ རྒྱུ་རྣམས་བིས།

༤། གལ་ཏེ་ ∆DEF ≅ ∆BCA ཡིན་ན། གཤམ་དང་གནས་མཐུན་ཡིན་པའི་ ∆BCA ཡི་རྒྱུ་རྣམས་བིས། (ཀ) ∠E

(ཁ) EF

(ག) ∠F

(ང) DF

༥། ∆ABC ≅ ∆PQR དང་། གལ་ཏེ་ ∠BAC = 75o ཡིན་ན། ∠QPR ཚོལ། ཟུར་གསུམ་མ་གཉིས་ཀ་ཡོངས་ མཚུངས་གྲུབ་པའི་གནས་མཐུན་རྒྱུ་རྣམས་བིས།

147

རིས་རིག

༩་༣ ཡོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མའི་ཆ་རྐེན། Criteria for congruence of triangles

གལ་ཏེ་ཁྱེད་ཀིས་ཟུར་གསུམ་མ་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་ཡིན་མིན་རྟོགས་དགོས་ན། ལེ་ཚན་སྔོན་མའི་ནང་སྦངས་པ་བཞིན་

ཁྱེད་ཀིས་རྟག་ཏུ་ཟུར་གསུམ་མ་གཅིག་དྲས་ཏེ་གཅིག་གི་ཐོག་གཅིག་བརེགས་ཀི་ཐབས་ལམ་བེད་སྤོད་བེད་ཐུབ་ཀི་ མེད། དེས་ན། ཟུར་གསུམ་མ་གཉིས་ཀི་ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐེན་འགའ་ངོ་སྤོད་བ་རྒྱུ་ཡིན།

༩་༣་༡ མཐའ་མཐའ་མཐའི་ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐེན། SSS congruence criterion

བེད་སོ། ཐིག་ཤིང་སྤད་དེ། གཤམ་གསལ་མཐའི་རིང་ཚད་ཅན་གི་ ∆ABC དང་ ∆PQR བིས། ∆ABC ནང་། AB = 3 cm, BC = 4 cm, CA = 4.5 cm ∆PQR ནང་། PQ = 3 cm, QR = 4 cm, RP = 4.5 cm

P

A 4.5 cm

3 cm B

4 cm

3 cm C

དཔེ་རིས་ ༩་༨

Q

4.5 cm

4 cm

R

∆ABC དྲས་ཏེ་ ∆PQR ཐོག་གནས་མཐུན་ ABC ↔ PQR ཡིན་པ་འཇོག ∆ABC ཡིས་ ∆PQR ཏག་ཏག་ཁེབས་ཐུབ། དེ་ནི། ∆ABC དང་ ∆PQR ཡི་དབིབས་དང་ཆེ་ཆུང་གཅིག་པ་ཡིན།

དེར་བརྟེན། ∆ABC ≅ ∆PQR སྐབས། AB = PQ དང་། BC = QR, CA = RP ཡིས་ SSS ཡི་ཆ་ རྐེན་ར་སྤོད་བེད་ཀི་ཡོད།

གལ་ཏེ་ཟུར་གསུམ་མ་ཞིག་གི་མཐའ་གསུམ་པོ་ཟུར་གསུམ་མ་གཞན་གི་གནས་མཐུན་མཐའ་གསུམ་དང་མཉམ་ན། ཟུར་ གསུམ་མ་དེ་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་ཡིན། འདི་ལ་མཐའ་མཐའ་མཐའི་ (SSS) ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐེན་ཟེར། རིས་དཔེ། ༢༽ ∆LMN དང་ ∆XYZ ནང་། LM = 3.5 cm དང་ MN = 7.1 cm, LN = 5 cm, XY = 7.1 cm, YZ = 5 cm, XZ = 3.5 cm བཅས་ཡིན། ཟུར་གསུམ་མ་དེ་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་ཡིན་མིན་ལྟ་ཞིབ་བོས།

148

ཡོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མ།

ལན།

གལ་ཏེ་ཡིན་ན། ཡོངས་མཚུངས་ཀི་རྟགས་སྤད་དེ་མཚོན། འདིར།

L

LM = XZ = 3.5 cm MN = XY = 7.1 cm LN = YZ = 5 cm

5 3.

cm

M

པ་སྟོན་གི་ཡོད།

དེར་བརྟེན། SSS ཆ་རྐེན་ལས། ཟུར་གསུམ་མ་དེ་

m

N

7.1 cm

དེ ས ་ཟུར་གསུམ་མ་གཅི ག ་གི ་ མཐའ་གསུམ་པོ ་ ཟུར་ གསུམ་མ་གཞན་གི་མཐའ་གསུམ་དང་མཉམ་པ་ཡིན་

5c

7.1 cm

X

3.

5

m

cm

གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་རེད།

གོང་གི་གནས་མཐུན་ M ↔ X དང་ N ↔ Y, L↔ Z སྐབས་ང་ཚོར། ∆LMN ≅ ∆ZXY རེད།

Y 5c

Z དཔེ་རིས་ ༩་༩

མཆན། ཡོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མའི་མིང་གི་གོ་རིམ་གིས་གནས་མཐུན་འབེལ་བ་སྟོན་གི་ཡོད། དེས་ན།

∆LMN ≅ ∆ZXY སྐབས། Z དང་ L དང་། X དང་ M, Y དང་ N, ZX དང་ LM, XY དང་ MN, ZY དང་ LN བཅས་ནི་གནས་མཐུན་རྒྱུ་ཡིན། ༣༽

D

དཔེ་རིས་ ༩་༡༠ ནང་། AD = CD དང་ AB = CB

(ཀ) ∆ABD དང་ ∆CBD ཡི་གནས་མཐུན་རྒྱུ་གསུམ་བིས། (ཁ) ∆ABD ≅ ∆CBD ཡིན་ནམ། ཅིའི་ཕིར།

(ག) BD ཡིས་ ∠ABC མཉམ་བགོད་བེད་ཀི་ཡོད་དམ། ཅིའི་ཕིར།

ལན། (ཀ) ∆ABD དང་ ∆CBD ཡི་གནས་མཐུན་རྒྱུ་གསུམ་ནི།

A

C

AD = CD (ཤེས་ཟིན།) AB = CB (ཤེས་ཟིན།)

BD = BD (སྤི་མཐའ།)

(ཁ) གོང་གི་ལན་ (ཀ) ལས། ∆ABD ≅ ∆CBD ཡིན། (SSS ཆ་རྐེན།)

(ག) ∠ABD = ∠CBD (ཡོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མའི་གནས་མཐུན་ཟུར།)

B དཔེ་རིས་ ༩་༡༠

དེས་ན། BD ཡིས་ ∠ABC མཉམ་བགོད་བེད་ཀི་ཡོད།

149

རིས་རིག རིས་དཔེ།

P

༡། དཔེ་རིས་ ༩་༡༡ ནང་། PQ = PR དང་། S ནི་ QR ཡི་དཀིལ་གནས་ཡིན། (ཀ) ∆PSQ དང་ ∆PSR ཡི་གནས་མཐུན་རྒྱུ་མཉམ་པ་གསུམ་བིས། (ཁ) ∆PSQ ≅ ∆PSR ཡིན་ནམ། རྒྱུ་མཚན་བིས།

Q

(ག) ∠Q = ∠R རེད་དམ། རྒྱུ་མཚན་བིས། D

C

S

R

དཔེ་རིས་ ༩་༡༡

༢། དཔེ་རིས་ ༩་༡༢ ནང་། AC = BD དང་། AD = BC གཤམ་གསལ་བརོད་པ་ལས་གང་ཞིག་བདེན་པ་རེད།

A

དཔེ་རིས་ ༩་༡༢

B

(ཀ) ∆ABC ≅ ∆ABD (ཁ) ∆ABC ≅ ∆BAD

༩་༣་༢ མཐའ་ཟུར་མཐའི་ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐེན། SAS congruence criterion

བེད་སོ། ཐིག་ཤིང་དང་ཟུར་ཚད་འཇལ་ཆས་སྤད་དེ། གཤམ་གསལ་ཚད་གཞི་ཅན་གི་ ∆ABC དང་ ∆PQR བིས། ∆ABC ནང་། AB = 4 cm, ∠B = 60o, BC = 5 cm ∆PQR ནང་། PQ = 4 cm, ∠Q = 60o, QR = 5 cm

4c m

B

P

4c m

A

60o

60o

5 cm

C

དཔེ་རིས་ ༩་༡༣

Q

5 cm

R

∆ABC དྲས་ཏེ་ ∆PQR ཐོག་གནས་མཐུན་ ABC ↔ PQR ཡིན་པ་འཇོག ∆ABC ཡིས་ ∆PQR ཏག་ཏག་ཁེབས་ཐུབ། དེ་ནི། ∆ABC དང་ ∆PQR ཡི་དབིབས་དང་ཆེ་ཆུང་གཅིག་པ་ཡིན།

དེར་བརྟེན། ∆ABC ≅ ∆PQR སྐབས། AB = PQ དང་། ∠B = ∠Q, BC = QR ཡིས་ SAS ཡི་ ཆ་རྐེན་ར་སྤོད་བེད་ཀི་ཡོད།

150

ཡོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མ། ཟུར་གསུམ་མའི་མཐའ་གཉིས་དང་དེ་གཉིས་ཀི་ཚུད་ཟུར་དེ། ཟུར་གསུམ་མ་གཞན་གི་གནས་མཐུན་མཐའ་གཉིས་དང་

དེའི་ཚུད་ཟུར་དང་མཉམ་ན། ཟུར་གསུམ་མ་དེ་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་ཡིན། འདི་ལ་མཐའ་ཟུར་མཐའི་ (SAS) ཡོངས་ མཚུངས་ཆ་རྐེན་ཟེར། རིས་དཔེ། ༤༽ དཔེ་རིས་ ༩་༡༤ ནང་། ཡོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མ་གཉིས་ཀི་

D

མིང་བིས། ཡོངས་མཚུངས་ཀི་ཆ་རྐེན་གང་སྤད་ཡོད་དམ།

o

5 cm

ལན། ∆ABD དང་ ∆CDB ནང་།

AB = CD = 5 cm (ཤེས་ཟིན།) ∠B = ∠C = 30o (ཤེས་ཟིན།) BD = BD

A

(སྤི་མཐའ།)

C

30

5 cm

30o

B

དཔེ་རིས་ ༩་༡༤

དེར་བརྟེན། SAS ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐེན་ལས། ∆ADB ≅ ∆CDB

དེས་ན། དཔེ་རིས་ནང་ཡོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མ་གཉིས་ནི་ ∆ADB དང་ ∆CDB རེད། ༥༽ དཔེ་རིས་ ༩་༡༥ ནང་། AB = AC དང་ AD ནི་ ∠BAC མཉམ་བགོད་ཐིག་ཡིན། (ཀ) ∆ADB དང་ ∆ADC ཡི་གནས་མཐུན་རྒྱུ་མཉམ་པ་གསུམ་བིས།

A

(ཁ) ∆ADB ≅ ∆ADC ཡིན་ནམ། ཅིའི་ཕིར། (ག) ∠B = ∠C ཡིན་ནམ། ཅིའི་ཕིར།

ལན། (ཀ) ཟུར་གསུམ་མ་གཉིས་ཀི་གནས་མཐུན་རྒྱུ་གསུམ་ནི། AB = AC (ཤེས་ཟིན།)

∠BAD = ∠CAD (AD ཡིས་ ∠BAC མཉམ་བགོད་བེད་པ།) AD = AD (སྤི་མཐའ།)

B

D

C

དཔེ་རིས་ ༩་༡༥

(ཁ) SAS ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐེན་ལས། ∆ADB ≅ ∆ADC ཡིན། (ག) གནས་མཐུན་ཟུར་ལས། ∠B = ∠C ཡིན། རིས་དང་། ༡། ∆DEF ནང་མཐའ་ DE དང་ EF དབར་གི་ཚུད་ཟུར་བིས།

༢། དཔེ་རིས་ ༩་༡༦ ནང་། ཟུར་གསུམ་མ་རྒྱུ་འགའི་ཚད་གཞི་སྤད་ཡོད། SAS ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐེན་སྤད་དེ། ཡོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མ་རྣམས་མཚོན་རྟགས་སྤད་དེ་བིས།

151

རིས་རིག A

2.5

cm

2.5 cm

A

B

70o

C B (ཀ)

3 cm D

A 80o 3 cm

E

B

cm cm 5 . 2 35o C P 35o 3 cm 3 cm (ཁ)

P

P 3.5

m 5c

3. 40o 3 cm

C

30o

Q

4 cm

Q

cm

40o 3 cm

F Q (ག)

R

2.5

S

R

4 cm (ང)

དཔེ་རིས་ ༩་༡༦

30o

R

༩་༣་༣ ཟུར་མཐའ་ཟུར་གི་ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐེན། ASA congruence criterion

བེད་སོ། ཐིག་ཤིང་དང་ཟུར་ཚད་འཇལ་ཆས་སྤད་དེ། གཤམ་གསལ་ཚད་གཞི་ཅན་གི་ ∆MNO དང་ ∆ABC བིས། ∆MNO ནང་། ∠M = 50o, MN = 4 cm, ∠N = 70o ∆ABC ནང་། ∠A = 50o, AB = 4 cm, ∠B = 70o O

M

50o

C

70o 4 cm

N

དཔེ་རིས་ ༩་༡༧

A

50o

70o 4 cm

B

∆MNO དྲས་ཏེ་ ∆ABC ཐོག་གནས་མཐུན་ MNO ↔ ABC ཡིན་པ་འཇོག ∆MNO ཡིས་ ∆ABC ཏག་ཏག་ཁེབས་ཐུབ། དེ་ནི། ∆MNO དང་ ∆ABC ཡི་དབིབས་དང་ཆེ་ཆུང་གཅིག་པ་ཡིན།

དེར་བརྟེན། ∆MNO ≅ ∆ABC སྐབས། ∠M = ∠A དང་། MN = AB, ∠N = ∠B ཡིས་ ASA ཡི་ཆ་རྐེན་ར་སྤོད་བེད་ཀི་ཡོད།

152

ཡོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མ། གལ་ཏེ་ཟུར་གསུམ་མའི་ཟུར་གཉིས་དང་དེ་གཉིས་ཀི་ཚུད་མཐའ་དེ། ཟུར་གསུམ་མ་གཞན་གི་གནས་མཐུན་ཟུར་གཉིས་

དང་དེའི་ཚུད་མཐའ་ལ་མཉམ་ན། ཟུར་གསུམ་མ་དེ་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་ཡིན། འདི་ལ་ཟུར་མཐའ་ཟུར་གི་ (ASA) ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐེན་ཟེར། མཆན།

གལ་ཏེ་ཟུར་གསུམ་མའི་ཟུར་གཉིས་ཤེས་ན། ཟུར་གསུམ་མའི་ཟུར་གི་བསོམས་གངས་ཁྱད་ཆོས་སྤད་དེ་ཟུར་གསུམ་པ་

འཚོལ་ཐུབ། དེས་ན། ཟུར་གསུམ་མའི་མཐའ་ཞིག་དང་ཟུར་གང་རུང་གཉིས་ནི། ཟུར་གསུམ་མ་གཞན་གི་གནས་མཐུན་ མཐའ་དང་ཟུར་གང་རུང་གཉིས་དང་མཉམ་ན། དེ་ཟུར་གཉིས་དང་དེའི་ཚུད་མཐའ་བཙལ་ཏེ། ཡོངས་མཚུངས་ཁྱད་ ཆོས་སྤོད་ཆོག

རིས་དཔེ། ༦༽ ASA ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐེན་སྤད་དེ་ ∆ABC ≅ ∆QRP ཡིན་པ་སྟོན་དགོས། འདིར་ BC = RP སྤད་ ཡོད། ཡོངས་མཚུངས་འདི་འགྲུབ་པར་གནས་ཚུལ་འཕར་མ་གང་ཤེས་དགོས་སམ།

ལན། ASA ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐེན་ཆེད། ང་ཚོར་ BC དང་ RP གཉིས་ཚུད་མཐའ་ཡིན་པའི་ཟུར་གཉིས་པོ་ཤེས་ དགོས། དེས་ན། གནས་ཚུལ་འཕར་མ་གཤམ་གསལ་ཤེས་དགོས། ∠B = ∠R དང་ ∠C = ∠P

ལན། ཟུར་གསུམ་མ་ AOC དང་ BOD གཉིས་ཀི་ནང་། ∠C = ∠D = 70 (ཤེས་ཟིན།) o

A 1.5 cm

སྤད་དེ་ ∆AOC ≅ ∆BOD མཐའ་སོམ་རྒྱག་ཐུབ་བམ།

D

70o

C

30o

O

དཔེ་རིས་ ༩་༡༨

70o

1.5 cm

༧༽ དཔེ་རིས་ ༩་༡༨ ནང་། ASA ཡོངས་མཚུངས་ཁྱད་ཆོས་བེད་

B

AC = BD = 1.5 cm (ཤེས་ཟིན།)

∠AOC = ∠BOD = 30o (ལྡོག་འཕད་ཟུར།)

དེས་ན། ∆AOC ནང་ ∠A = 180o − (70o + 30o) = 80o

(ཟུར་གསུམ་མའི་ཟུར་གི་བསོམས་གངས་ཁྱད་ཆོས་ལས།)

དེ་བཞིན། ∆BOD ནང་ ∠B = 180o − (70o + 30o) = 80o དེས་ན། ∠A = ∠B དང་། AC = BD, ∠C = ∠D

འདིར། AC ནི་ ∠A དང་ ∠C ཡི་ཚུད་མཐའ་དང་ BD ནི་ ∠B དང་ ∠D ཡི་ཚུད་མཐའ་རེད། དེར་བརྟེན། ASA ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐེན་ལས། ∆AOC ≅ ∆BOD

153

རིས་རིག རིས་དང་། ༡། ∆MNP ནང་། ཟུར་ M དང་ N དབར་གི་ཚུད་མཐའ་བིས། ༢། ཁྱེད་ཀིས་ ASA ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐེན་སྤད་དེ་ ∆DEF ≅ ∆MNP ཡིན་པ་སྟོན་དགོས། འདིར་ཁྱེད་ལ་

∠D = ∠M དང་ ∠F = ∠P སྤད་ཡོད། ཡོངས་མཚུངས་འདི་འགྲུབ་པར་གནས་ཚུལ་འཕར་མ་གང་ཤེས་ དགོས་སམ། (དཔེ་རིས་རགས་པ་ཞིག་བིས་ཏེ་ཚོད་ལྟ་བོས།)

༣། དཔེ་རིས་ ༩་༡༩ ནང་། ཟུར་གསུམ་མའི་རྒྱུ་འགའ་སྤད་ཡོད། ASA ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐེན་སྤད་དེ། ཡོངས་ མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མ་ངོས་ཟུངས། ཡོངས་མཚུངས་ཡིན་པ་རྣམས་མཚོན་རྟགས་སྤད་དེ་བིས། P

D

D

B

m

3c

A

3 cm 40o 60o C

60o 40o 3 cm

E

F

50o

Q

50o 3.3 cm

E R

(ཀ)

F

(ཁ) R o

60

M

4c

m

P

30o

Q O (ག)

60o

30o 4 cm

N

དཔེ་རིས་ ༩་༡༩

༤། དཔེ་རིས་ ༩་༢༠ ནང་། འཕོ་ཐིག་ AZ ཡིས་ ∠DAB

D

དང་ ∠DCB མཉམ་བགོད་བེད་ཀི་ཡོད།

(ཀ) ཟུར་གསུམ་མ་ BAC དང་ DAC ཡི་གནས་ མཐུན་རྒྱུ་མཉམ་པ་གསུམ་བིས།

(ཁ) ∆BAC ≅ ∆DAC རེད་དམ། ཅིའི་ཕིར། (ག) AB = AD རེད་དམ། ཅིའི་ཕིར། (ང) CD = CB རེད་དམ། ཅིའི་ཕིར།

154

A

C B དཔེ་རིས་ ༩་༢༠

Z

ཡོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མ། ༩་༤ དྲང་གསེག་མཐའི་ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐེན། RHS congruence criterion

བེད་སོ། ཐིག་ཤིང་དང་ཟུར་ཚད་འཇལ་ཆས་སྤད་དེ། གཤམ་གསལ་ཚད་གཞི་ཅན་གི་ ∆XYZ དང་ ∆DEF བིས། ∆XYZ ནང་། ∠Y = 90o, XZ = 5 cm, XY = 3 cm ∆DEF ནང་། ∠E = 90o, DF = 5 cm, DE = 3 cm X

D 5c

3 cm

3 cm

m

Z

Y

5c

m

F

E དཔེ་རིས་ ༩་༢༡

∆XYZ དྲས་ཏེ་ ∆DEF ཐོག་གནས་མཐུན་ XYZ ↔ DEF ཡིན་པ་འཇོག ∆XYZ ཡིས་ ∆DEF ཏག་ ཏག་ཁེབས་ཐུབ། དེ་ནི། ∆XYZ དང་ ∆DEF ཡི་དབིབས་དང་ཆེ་ཆུང་གཅིག་པ་ཡིན།

དེར་བརྟེན། ∆XYZ ≅ ∆DEF སྐབས། ∠Y = ∠E དང་། XZ = DF, XY = DE ཡིས་ RHS ཡི་ཆ་ རྐེན་ར་སྤོད་བེད་ཀི་ཡོད།

གལ་ཏེ་དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མའི་གསེག་མཐའ་དང་དཔུང་པ་ཞིག་དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མ་གཞན་གི་གསེག་མཐའ་ དང་གནས་མཐུན་དཔུང་པ་ལ་མཉམ་ན། ཟུར་གསུམ་མ་དེ་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་ཡིན། འདི་ལ་དྲང་གསེག་མཐའི་ (RHS) ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐེན་ཟེར། རིས་དཔེ། ༨༽ གཤམ་གསལ་ནི་ཟུར་གསུམ་མ་གཉིས་ཀི་རྒྱུ་འགའ་ཡིན། RHS ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐེན་སྤད་དེ་ཟུར་གསུམ་མ་

དེ་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་ཡིན་མིན་གི་ཚོད་ལྟ་བོས། གལ་ཏེ་ཡོངས་མཚུངས་ཡིན་ན། དེ་དག་མཚོན་རྟགས་ཐོག་ བིས།

∆ABC

∆PQR

(ཀ) ∠B = 90o, AC = 4 cm, AB = 2 cm

∠P = 90o, PR = 2 cm, QR = 4 cm

(ཁ) ∠A = 90o, AC = 3.5 cm, BC = 5 cm

∠Q = 90o, PR = 5.5 cm, PQ = 3.5 cm

155

རིས་རིག ལན། (ཀ) འདིར།

∠B = ∠P = 90o

དེས་ན། ∆ABC ≅ ∆RPQ

B

4c

m C

(RHS ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐེན།)

4c

m

2 cm

AB = RP = 2 cm

2 cm

AC = RQ = 4 cm

R

A

P

Q

དཔེ་རིས་ ༩་༢༢

R

(ཁ) འདིར། ∠A = ∠Q = 90o

C

3.5 cm

cm

ཡོངས་མཚུངས་མིན།

cm

དེས་ན། ཟུར་གསུམ་མ་དེ་གཉིས་

5

ཡིན་ནའང་། BC ≠ PR

5.5

AC = PQ = 3.5 cm

A

B

Q

དཔེ་རིས་ ༩་༢༣

༩༽ དཔེ་རིས་ ༩་༢༤ ནང་། DA ⊥ AB དང་ CB ⊥ AB,

3.5 cm

D

P

C

AC = BD ཡིན། ∆ABC དང་ ∆DAB ཡི་གནས་ མཐུན་རྒྱུ་མཉམ་པ་གསུམ་བིས། གཤམ་གསལ་རིས་བརོད་ གཉིས་ལས་གང་བདེན་པ་ཡིན་ནམ།

(ཀ) ∆ABC ≅ ∆BAD (ཁ) ∆ABC ≅ ∆ABD

A

ལན། ∆ABC དང་ ∆DAB ཡི་གནས་མཐུན་རྒྱུ་མཉམ་པ་གསུམ་ནི། ∠ABC = ∠BAD = 90o AC = BD (ཤེས་ཟིན།) AB = BA (སྤི་མཐའ།)

དེར་བརྟེན། ∆ABC ≅ ∆BAD (RHS ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐེན་ལས།) རིས་བརོད་ (ཀ) བདེན་པ་ཡིན།

156

དཔེ་རིས་ ༩་༢༤

B

ཡོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མ། རིས་དཔེ། ༡། དཔེ་རིས་ ༩་༢༥ ནང་། ཟུར་གསུམ་མའི་རྒྱུ་འགའ་སྤད་ཡོད། RHS ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐེན་སྤད་དེ། ཡོངས་ མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མ་ངོས་ཟུངས། ཡོངས་མཚུངས་ཡིན་པ་རྣམས་མཚོན་རྟགས་སྤད་དེ་བིས། C

D

Q

R F (ཀ)

E

m 3c

m

4c

m

3c

m

4c

2 cm

2.5 cm

P

A

m

3.6

cm

(ག)

5c

A

5c

m

cm

C

D

B

5.5 cm (ཁ) P

B

3.6

D

Q

R

S (ང)

དཔེ་རིས་ ༩་༢༥

༢། RHS ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐེན་སྤད་དེ་ ∆ABC ≅ ∆RPQ ཡིན་པ་སྟོན་དགོས། གལ་ཏེ་ ∠B = ∠P

= 90o དང་། AB = RP སྤད་ཡོད་ན། ཡོངས་མཚུངས་འགྲུབ་པར་གནས་ཚུལ་འཕར་མ་གང་ཤེས་དགོས་ སམ།

A

༣། དཔེ་རིས་ ༩་༢༦ ནང་། BD དང་ CE ནི་ ∆ABC ཡི་དཔངས་ཡིན། འདིར་ BD = CE

(ཀ) ∆CBD དང་ ∆BCE ཡི་གནས་མཐུན་རྒྱུ་མཉམ་པ་གསུམ་བིས། ~ ∆BCE ཡིན་ནམ། ཅིའི་ཕིར། (ཁ) ∆CBD =

E

D

(ག) ∠DCB = ∠EBC ཡིན་ནམ། ཅིའི་ཕིར།

B

དཔེ་རིས་ ༩་༢༦

C

157

རིས་རིག

སྦོང་ཚན། ༩་༢ ༡། གཤམ་གསལ་ནང་ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐེན་ངོས་ཟུངས། (ཀ) ཤེས་ཟིན།

A

AC = DF

D

AB = EF BC = EF ~ ∆DEF དེས་ན། ∆ABC = (ཁ) ཤེས་ཟིན།

B

C

E

R

ZX = RP

F

Z

RQ = ZY ∠PRQ = ∠XZY ~ ∆XYZ དེས་ན། ∆PQR =

P

(ག) ཤེས་ཟིན།

Y

L

∠MLN = ∠FGH

H N F

∠NML = ∠GFH ML = FG ~ ∆FGH དེས་ན། ∆LMN =

X

Q

M

G D

(ང) ཤེས་ཟིན།

E

EB = DB AE = BC

∠A = ∠C = 90o ~ ∆CBD དེས་ན། ∆ABE =

A

B

C

~ ∆PEN ཡིན་པ་སྟོན་དགོས། ༢། ཁྱེད་ཀིས་ ∆ART = A

R

158

P

T

E

N

ཡོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མ། (ཀ) SSS ཆ་རྐེན་བེད་སྤོད་པར། ཁྱེད་ཀིས་གཤམ་གསལ་ཁག་ཤེས་དགོས། (༡) AR =

(༢) RT =

(༡) RT =

(༢) PN =

(༣) AT =

(ཁ) SAS ཆ་རྐེན་བེད་སྤོད་པར། ∠T = ∠N དང་གཤམ་གསལ་ཁག་ཤེས་དགོས། (ག) ASA ཆ་རྐེན་བེད་སྤོད་པར། AT = PN ཡིན་ན། ད་དུང་གཤམ་གསལ་ཁག་ཤེས་དགོས། (༡)

=

=

(༢)

༣། ∆AMP ≅ ∆AMQ སྟོན་པར།

A

གཤམ་གསལ་ཁ་སྐོངས། (དཔེ་རིས་ ༩་༢༧) གོམ་པ། (ཀ) PM = QM

(ཁ) ∠PMA = ∠QMA

རྒྱུ་མཚན། (ཀ)

(ཁ)

(ག) AM = AM

(ག)

(ང) ∆AMP = ∆AMQ

(ང)

༤། དཔེ་རིས་ ༩་༢༨ ནང་། ཟུར་གསུམ་མ་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་ཡིན། དེ་གཉིས་ཀི་གནས་མཐུན་རྒྱུ་རྣམས་བསྟན་ཡོད། དེས་ན། ∆RAT ≅

M

P

Q

དཔེ་རིས་ ༩་༢༧

R A

T N

O

དཔེ་རིས་ ༩་༢༨

W ༥། དཔེ་རིས་ ༩་༢༩ ནང་། AD ཡིས་ ∠A མཉམ་བགོད་བས་པ་དང་ AD ⊥ BC ཡིན། ~ ∆ADC ཡིན་ནམ། ཅིའི་ཕིར། (ཀ) ∆ADB = (ཁ) BD = DC ཡིན་ནམ། ཅིའི་ཕིར།

(ག) ∠C = ∠B ཡིན་ནམ། ཅིའི་ཕིར།

A དཔེ་རིས་ ༩་༢༩

C

D

B

༦། དྲ་མིག་ཤོག་བུ་ཞིག་གི་སྟེང་རྒྱ་ཁྱོན་མཉམ་པའི་ཟུར་གསུམ་མ་གཉིས་གཤམ་གསལ་ལྟར་བིས། (ཀ) ཡོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མ།

(ཁ) ཡོངས་མཚུངས་མིན་པའི་ཟུར་གསུམ་མ།

༧། ཡོངས་མཚུངས་མིན་པའི་ཟུར་གསུམ་མ་གཅིག་གི་ཟུར་གསུམ་ཀ་ཟུར་གསུམ་མ་གཞན་གི་གནས་མཐུན་ཟུར་དང་ མཉམ་པའི་ཟུར་གསུམ་མ་གཉིས་བིས།

159

རིས་རིག R

A

༨། དཔེ་རིས་ ༩་༣༠ ཡི་ ∆ABC དང་ ∆PQR གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་

ཡིན་ན། གནས་མཐུན་རྒྱུ་འཕར་མ་གང་ཤེས་དགོས་སམ། ཡོངས་

B

C

མཚུངས་ཆ་རྐེན་གང་བེད་སྤོད་བས་ཡོད་དམ། P

དཔེ་རིས་ ༩་༣༠

Q

A

~ ∆FED ཡིན་པའི་རྒྱུ་མཚན་བིས། (དཔེ་རིས་ ༩་༣༡) ༩། ∆ABC =

D

B

E C དཔེ་རིས་ ༩་༣༡

F

དྲན་གསོ་གིས། ༡༽ དཔེ་རིས་གཉིས་ཀི་དབིབས་དང་། ཆེ་ཆུང་མཉམ་ན་དེ་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་ཡིན། ༢༽ དཔེ་རིས་ F1 དང་ F2 གཉིས་ལས། གལ་ཏེ་ F1 ཡི་འདྲ་བཤུས་ཀིས་ F2 ཏག་ཏག་ཁེབས་ཀི་ཡོད་ན། ~ F བཅས་འབི་དགོས། དཔེ་རིས་དེ་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་ཡིན། ང་ཚོས་དེ་ F = 1

2

༣༽ ཐིག་དུམ་ AB དང་ CD གཉིས་ཀི་རིང་ཚད་མཉམ་པ་ཡིན་ན། དེ་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་ཡིན། ~ CD ཡང་ན། AB = CD བཅས་འབི་ཆོག ང་ཚོས་དེ་ AB = ༤༽ ∠ABC དང་ ∠PQR གཉིས་ཀི་ཟུར་ཚད་མཉམ་ན། ཟུར་དེ་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་ཡིན། ང་ཚོས་དེ་ ∠ABC ≅ ∠PQR ཡང་ན། ∠ABC = ∠PQR བཅས་འབི་ཆོག

༥༽ ཟུར་གསུམ་མའི་མཐའ་གསུམ་དང་ཟུར་གསུམ་པོ་ཟུར་གསུམ་མ་གཞན་གི་གནས་མཐུན་རྒྱུ་དང་མཉམ་ ན། ཟུར་གསུམ་མ་དེ་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་ཡིན།

༦༽ གལ་ཏེ་ཟུར་གསུམ་མའི་མཐའ་གསུམ་པོ་ཟུར་གསུམ་མ་གཞན་གི་གནས་མཐུན་མཐའ་དང་མཉམ་ན། ཟུར་གསུམ་མ་དེ་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་ཡིན།

༧༽ གལ་ཏེ་ཟུར་གསུམ་མའི་མཐའ་གཉིས་དང་དེ་གཉིས་ཀི་ཚུད་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མ་གཞན་གི་གནས་མཐུན་ མཐའ་དང་དེའི་ཚུད་ཟུར་དང་མཉམ་ན། ཟུར་གསུམ་མ་དེ་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་ཡིན།

༨༽ གལ་ཏེ་ཟུར་གསུམ་མའི་ཟུར་གཉིས་དང་ཟུར་དེ་གཉིས་ཀི་ཚུད་མཐའ་ཟུར་གསུམ་མ་གཞན་གི་གནས་

160

ཡོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མ། མཐུན་ཟུར་དང་དེའི་ཚུད་མཐའ་དང་མཉམ་ན། ཟུར་གསུམ་མ་དེ་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་ཡིན། ༩༽ གལ་ཏེ་དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མའི་གསེག་མཐའ་དང་། དེའི་དཔུང་པ་ཞིག་དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མ་གཞན་

གི་གསེག་མཐའ་དང་གནས་མཐུན་དཔུང་པ་ལ་མཉམ་ན། དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མ་དེ་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་ ཡིན།

161

སོབ་ཚན་བཅུ་པ།

བཀྟོད་པ།

༡༠་༡ ངོ་སྤོད། Introduction

ཁྱེད་ཀིས་དབིབས་མང་པོ་མཐོང་ཡོད། ཁྱེད་ཀིས་འཛིན་རིམ་སྔོན་མའི་ནང་དབིབས་འགའ་འགོད་སྟངས་སྦངས་ཡོད།

དཔེར་ན། ཁྱེད་ཀིས་ཐིག་དུམ་དང་། དྲང་འཕང་ཐིག ཟུར། ཟུར་གི་མཉམ་བགོད་ཐིག སོར་དབིབས་སོགས་འབི་ཐུབ་ཀི་ ཡོད།

སོབ་ཚན་འདིར་མཉམ་འགོ་ཐིག་དང་ཟུར་གསུམ་མ་རིགས་འགའ་འགོད་སྟངས་སྦང་རྒྱུ་ཡིན།

༡༠་༢ མཉམ་འགོ་ཐིག་འགོད་པ། Construction of parallel lines ང་ཚོས་བེད་སོ་ཞིག་སེལ་རྒྱུ་ཡིན། (དཔེ་རིས་ ༡༠་༡)

༡། ཤོག་བུ་ཞིག་བངས་ཏེ། དེའི་སྟེང་ཐིག་ l བིས། ཐིག་ l སྟེང་མིན་པའི་གནས་ A ཞིག་བིས། A

A l

B

༡

༢

A

A

དཔེ་རིས་ ༡༠་༡

m B l

l

༣

༤

༢། ཤོག་ལྷེ་དེ་ལྟེབ་རེག་བརྒྱབ་ཏེ་གནས་ A བརྒྱུད་པར་གིས། ༣། ལྟེབ་ཤུལ་སྟེང་དྲང་འཕང་ AB བིས།

༤། AB ལ་དྲང་འཕང་དང་གནས་ A བརྒྱུད་པར། ལྟེབ་རེག་གཞན་ཞིག་རྒྱོབ། ལྟེབ་ཤུལ་དེས་དྲང་འཕང་གཞན་ཞིག་ འབྱུང་། དྲང་འཕང་དེའི་མིང་ལ་ m བིས། དེས་ན། l ནི་ m དང་མཉམ་འགོ་ཡིན།

བཤེར་རིས།

AB ⊥ l ∴ ∠B = 90o, m ⊥ AB ∴ ∠A = 90o དེར་བརྟེན། ∠A = ∠B (= 90 ) (གནས་མཐུན་ཟུར་གཅིག་པ་ཡིན་པས།)

A

o

∴ l ནི་ m དང་མཉམ་འགོ་ཡིན། ཡང་ན། l || m

162

B

m l

བཀོད་པ། A

སོར་ཆས་དང་ཐིག་ཤིང་སྤད་དེ་མཉམ་འགོ་ཐིག་འགོད་པ། གོམ་པ་ ༡། ཐིག་ l དང་། དེའི་སྟེང་མེད་པའི་གནས་ P ཞིག་བིས། [དཔེ་རིས་ ༡༠་༢(༡)]

དཔེ་རིས་ ༡༠་༢ (༡)

l

A གོམ་པ་ ༢། ཐིག་ l སྟེང་གནས་ B བིས། A དང་ B མཐུད། [དཔེ་རིས་ ༡༠་༢(༢)]

l

B

དཔེ་རིས་ ༡༠་༢ (༢)

A

གོམ་པ་ ༣། སོར་ལྟེ་ B དང་ཚངས་ཕེད་གང་འོས་ཤིག་བངས་ཏེ་གཞུ་ཐིག་ཅིག་ བིས། ཐིག་ l དང་ AB ཐོག་འཕད་སའི་གནས་ལ་ C དང་ D སོ་སོར་བིས། [དཔེ་རིས་ ༡༠་༢(༣)]

D B

l

C

དཔེ་རིས་ ༡༠་༢ (༣)

A

གོམ་པ་ ༤། སོར་ལྟེ་ A དང་ཚངས་ཕེད་གོང་དང་མཉམ་པའི་གཞུ་ཐིག་གཞན་ ཞིག་བིས། AB ཐོག་འཕད་སའི་གནས་ལ་ E བིས། [དཔེ་རིས་ ༡༠་༢(༤)]

གོམ་པ་ ༥། སོར་ལྟེ་ E དང་ཚངས་ཕེད་ CD (C དང་ D དབར་གི་བར་ཐག) ཡིན་པའི་གཞུ་ཐིག་ཅིག་གོམ་པ་ ༤ པའི་གཞུ་ཐིག་ལ་འཕད་པར་

བིས། གཞུ་ཐིག་དེ་གཉིས་འཕད་སའི་གནས་ལ་ F བིས། [དཔེ་རིས་ ༡༠་༢(༥)]

གོམ་པ་ ༦། AF མཐུད་དེ་ཐིག་ m བིས། [དཔེ་རིས་ ༡༠་༢(༦)] འདིར། ∠ABC = ∠BAF (ནང་སྣོལ་ཟུར།) དེར་བརྟེན། m || l

མཆན། ཐིག་ m ནི་གནས་ A བརྒྱུད་པའི་ཐིག་ l ཡི་མཉམ་འགོ་ཐིག་ཡིན།

D B

E l

C

དཔེ་རིས་ ༡༠་༢ (༤)

A

F D B

E l

C

དཔེ་རིས་ ༡༠་༢ (༥)

F D B

A

m

E C

l

དཔེ་རིས་ ༡༠་༢ (༦)

163

རིས་རིག

སྦོང་ཚན། ༡༠་༡ ༡། ཐིག་ AB དང་། དེའི་སྟེང་མེད་པའི་གནས་ C ཞིག་བིས། ཐིག་ཤིང་དང་སོར་ཆས་སྤད་དེ་ C བརྒྱུད་ཐིག་ AB ཡི་ མཉམ་འགོ་ཐིག་བིས།

༢། ཐིག་ l བིས། l ཡི་གནས་གང་རུང་སྟེང་ l ཡི་དྲང་འཕང་བིས། དྲང་འཕང་དེའི་སྟེང་ l ནས་བར་ཐག་ 4 cm ཐོག་ གནས་ X ཞིག་བིས། X བརྒྱུད་ཐིག་ l དང་མཉམ་འགོ་ཡིན་པའི་ཐིག་ m བིས།

༣། ཐིག་ PQ དང་། དེའི་སྟེང་གི་གནས་ A དང་ B གཉིས་བིས། ཐིག་ཤིང་དང་སོར་ཆས་སྤད་དེ་གནས་ A དང་ B གཉིས་ནས་ཐིག་ PQ དང་དྲང་འཕང་ཡིན་པའི་ཐིག་ l དང་ m གཉིས་ཁོད། ཐིག་ l དང་ m གཉིས་ཕན་ཚུན་ མཉམ་འགོ་རེད་དམ།

༡༠་༣ ཟུར་གསུམ་མ་འགོད་པ། Construction of triangles

ད་བར་ང་ཚོས་ཟུར་གསུམ་མའི་དབེ་བ་དང་ཁྱད་ཆོས་སྦངས་པས། ཁྱད་ཆོས་གལ་ཆེ་འགའ་ཤས་ནི། (༡) ཟུར་གསུམ་མའི་ནང་ཟུར་བསོམས་གངས་ནི་ 180o རེད།

(༢) ཟུར་གསུམ་མའི་མཐའ་གང་རུང་གཉིས་ཀི་བསོམས་ཐོབ་ནི་མཐའ་གསུམ་པ་ལས་ཆེ་བ་ཡོད། (༣) ཟུར་གསུམ་མའི་ནང་གི་གཏད་ཟུར་གཉིས་ཀི་བསོམས་ཐོབ་ནི་ཕི་ཟུར་དང་མཚུངས།

(༤) དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མའི་ནང་། གསེག་མཐའི་ཉིས་ཐེངས་ = དཔུང་པ་གཉིས་ཀི་ཉིས་ཐེངས་ཀི་བསོམས་ཐོབ། A

X

1 2

B 1+

c 3

2+

C

3 = 180o

Y

A 1

b

a a+b >c

X

Z

B

3

2

C 3=

1+

b Y

2

ཟུར་གསུམ་མ་ཞིག་ལ་གཤམ་གི་རྒྱུ་གསུམ་རེ་ཤེས་ན། ཟུར་གསུམ་མ་དེ་འགོད་ཐུབ། (༡) མཐའ་གསུམ། (SSS ཆ་རྐེན།)

(༢) མཐའ་གཉིས་དང་དེའི་ཚུད་ཟུར། (SAS ཆ་རྐེན།)

(༣) ཟུར་གཉིས་དང་དེའི་ཚུད་མཐའ། (ASA ཆ་རྐེན།)

(༤) དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མའི་གསེག་མཐའ་དང་དཔུང་པ་གང་རུང་གཅིག (RHS ཆ་རྐེན།)

ང་ཚོས་ཆ་རྐེན་འདི་དག་སྤད་དེ་ཟུར་གསུམ་མ་འགོད་རྒྱུ་ཡིན།

164

c a 2 b + a2 = c2

Z

བཀོད་པ། ༡༠་༣་༡ མཐའ་གསུམ་གའི་རིང་ཚད་ཤེས་པའི་ཟུར་གསུམ་མ་འགོད་པ། Constructing a triangle when the lengths of its three sides are known (SSS criterion) མཐའ་ཚང་མའི་རིང་ཚད་ཤེས་པའི་ཟུར་མ་འགོད་པ་ལ། ཐོག་མར་ང་ཚོས་དཔེ་རིས་རགས་པ་ཞིག་བིས་ཏེ་རིང་ཚད་སོ་ སོར་སྟོན་དགོས། འདི་ལྟར་བས་ན་ཟུར་གསུམ་མ་འགོད་སྐབས་ཀི་བརྒྱུད་རིམ་གོ་རྟོགས་ཡོང་ཐུབ། རིས་དཔེ། ༡༽ AB = 3 cm དང་ BC = 4 cm, AC = 5 cm ཡིན་པའི་ ∆ABC ཁོད། གོམ་པ་ ༡། ཐོག་མར་སྤད་ཟིན་པའི་རིང་ཚད་ཀི་དཔེ་རིས་རགས་པ་ཞིག་བིས། [དཔེ་རིས་ ༡༠་༣(༡)]

3 cm

ལན།

A (དཔེ་རིས་རགས་པ།)

B

5

cm

4 cm

C

དཔེ་རིས་ ༡༠་༣ (༡)

གོམ་པ་ ༢། རིང་ཚད་ 4 cm ཡིན་པའི་ཐིག་དུམ་ BC བིས། [དཔེ་རིས་ ༡༠་༣(༢)]

B

4 cm

C

དཔེ་རིས་ ༡༠་༣ (༢)

གོམ་པ་ ༣། གནས་ A ནི་ B ནས་བར་ཐག་ 3 cm ལ་ཡོད། དེས་ན། སོར་ལྟེ་

B དང་ཚངས་ཕེད་ 3 cm ཅན་གི་གཞུ་ཐིག་གཅིག་བིས། (A ནི་ གཞུ་ཐིག་དེའི་གནས་གང་རུང་ལ་ཡོད། ང་ཚོས་དེ་འཚོལ་དགོས།) [དཔེ་རིས་ ༡༠་༣(༣)]

B

4 cm དཔེ་རིས་ ༡༠་༣ (༣)

C

A གོམ་པ་ ༤། གནས་ C ནི་ A ནས་བར་ཐག་ 5 cm ལ་ཡོད། དེས་ན། སོར་ལྟེ་

C དང་ཚངས་ཕེད་ 5 cm ཅན་གི་གཞུ་ཐིག་གཅིག་གོམ་པ་ ༣ པའི་གཞུ་ཐིག་དང་འཕད་པར་བིས། སའི་གནས་ལ་ A བིས། [དཔེ་རིས་ ༡༠་༣(༤)]

གཞུ་ཐིག་དེ་གཉིས་འཕད་

B

4 cm

C

དཔེ་རིས་ ༡༠་༣ (༤)

165

རིས་རིག གོམ་པ་ ༥། AB དང་ AC མཐུད། [དཔེ་རིས་ ༡༠་༣(༥)] དེས་ན། ∆ABC ནི་དགོས་མཁོའི་ཟུར་གསུམ་མ་ཡིན།

3 cm

A

B

5c

m

4 cm

C

དཔེ་རིས་ ༡༠་༣ (༥)

བེད་སོ། DE = 3 cm དང་ EF = 4 cm, DF = 5 cm ཡིན་པའི་ ∆DEF ཞིག་ཁོད། ∆DEF ཡི་དྲས་དབིབས་

བཟོས་ཏེ་ ∆ABC སྟེང་དུ་འཇོག ∆DEF ཡིས་ ∆ABC ཏག་ཏག་ཁེབས་ཐུབ། དེས་ན། གལ་ཏེ་ཟུར་གསུམ་ མ་ཞིག་གི་མཐའ་གསུམ་པོ་ཟུར་གསུམ་མ་གཞན་གི་གནས་མཐུན་མཐའ་དང་མཉམ་ན། ཟུར་གསུམ་མ་དེ་གཉིས་ ཡོངས་མཚུངས་ཡིན། འདི་ནི་ SSS ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐེན་རེད།

བསམ་བོ་བཏང་སྟེ་བིས། སོབ་མ་ཞིག་གིས་དཔེ་རིས་ ༡༠་༤ ཡི་ཟུར་གསུམ་མ་རགས་པ་དེ་འགོད་ཐབས་བེད་པ་རེད།

ཁོས་ཐོག་མར་ QR = 6 cm བིས་པ་རེད། དེ་ནས་སོར་ལྟེ་ Q ཡིན་པའི་ 3 cm ཅན་གི་གཞུ་ཐིག་གཅིག་དང་།

སོར་ལྟེ་ R ཡིན་པའི་ 2 cm ཅན་གི་གཞུ་ཐིག་གཅིག་བིས་པ་རེད། ཡིན་ནའང་ཁོ་ལ་ P རེད་མེད། རྒྱུ་མཚན་ གང་ཡིན་ནམ། དཀའ་རོག་འདི་ཟུར་གསུམ་མའི་ཁྱད་ཆོས་གང་དང་འབེལ་བ་ཆགས་ཀི་འདུག་གམ། P

3 cm Q

2c

m R

6 cm དཔེ་རིས་ ༡༠་༤ (དཔེ་རིས་རགས་པ།)

དེ་འདྲའི་ཟུར་གསུམ་མ་ཞིག་ཡོད་དམ།

Q

R

(ཟུར་གསུམ་མའི་མཐའ་གང་རུང་གཉིས་ཀི་བསོམས་ཐོབ་ནི་མཐའ་

གསུམ་པ་ལས་ཆེ་བ་ཡོད་པའི་ཁྱད་ཆོས་དྲན་གསོ་གིས་དང་།)

166

6 cm

བཀོད་པ།

སྦོང་ཚན། ༡༠་༢ ༡། AB = 4.5 cm དང་། BC = 5 cm, AC = 6 cm ཡིན་པའི་ཟུར་གསུམ་མ་ ABC ཁོད། ༢། མཐའ་ 5.5 cm ཡིན་པའི་མཐའ་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ་ཞིག་བིས།

༣། PQ = 4 cm དང་། QR = 3.5 cm, PR = 4 cm ཡིན་པའི་ ∆PQR ཁོད། ཟུར་གསུམ་མའི་རིགས་ཀི་མིང་ བིས།

༤། XY = 2.5 cm དང་། YZ = 6 cm, ZX = 6.5 cm ཡིན་པའི་ ∆XYZ ཁོད། ∠Y ཡི་ཚད་འཇོལ།

༡༠་༣་༢ མཐའ་གཉིས་དང་དེའི་ཚུད་ཟུར་ཤེས་པའི་ཟུར་གསུམ་མ་འགོད་པ། Constructing a triangle when the lengths of two sides and the measure of the angle between them are known (SAS criterion) འདིར་ང་ཚོར་མཐའ་གཉིས་དང་དེའི་ཚུད་ཟུར་སྤད་ཡོད། དགོས།

ཐོག་མར་ང་ཚོས་ཟུར་གསུམ་མའི་དཔེ་རིས་རགས་པ་འབི་ P

རིས་དཔེ།

ལན།

3c

ཡིན་པའི་ ∆PQR ཁོད།

Q

གོམ་པ་ ༡། ཤེས་ཟིན་པའི་ ∆PQR ཡི་དཔེ་རིས་

60o 5.5 cm

R

དཔེ་རིས་ ༡༠་༥ (༡)

རགས་པ་ཞིག་བིས། [དཔེ་རིས་ ༡༠་༥(༡)]

གོམ་པ་ ༢། རིང་ཚད་ 5.5 cm ཡིན་པའི་ཐིག་དུམ་ QR

(དཔེ་རིས་རགས་པ།)

m

༢༽ PQ = 3 cm དང་ QR = 5.5 cm, ∠PQR = 60o

5.5 cm

Q

དཔེ་རིས་ ༡༠་༥ (༢)

བིས། [དཔེ་རིས་ ༡༠་༥(༢)]

R

X

གོམ་པ་ ༣། གནས་ Q ལ། 60o ཅན་གི་ ∠XQR བིས། [དཔེ་རིས་ ༡༠་༥(༣)]

60o Q

5.5 cm

དཔེ་རིས་ ༡༠་༥ (༣)

R

167

རིས་རིག

གོམ་པ་ ༤། སོར་ལྟེ་ Q དང་ཚངས་ཕེད་ 3 cm ཅན་གི་གཞུ་ འཕད་པར་བིས། [དཔེ་རིས་ ༡༠་༥(༤)]

m 3c

ཐིག་ཅིག་འཕོ་ཐིག་ QX སྟེང་གནས་ P ལ་

P

X

60o 5.5 cm

Q

P

R

X

3c

m

གོམ་པ་ ༥། PR མཐུད། ∆PQR ནི་དགོས་མཁོའི་ཟུར་གསུམ་ མ་ཡིན། [དཔེ་རིས་ ༡༠་༥(༥)]

དཔེ་རིས་ ༡༠་༥ (༤)

60o Q

5.5 cm དཔེ་རིས་ ༡༠་༥ (༥)

R

བེད་སོ། AB = 3 cm དང་ BC = 5.5 cm, ∠ABC = 60o ཡིན་པའི་ཟུར་གསུམ་མ་ ABC ཞིག་ཁོད། ∆ABC

ཡི་དྲས་དབིབས་བཟོས་ཏེ་ ∆PQR སྟེང་དུ་འཇོག ∆ABC ཡིས་ ∆PQR ཏག་ཏག་ཁེབས་ཐུབ། དེས་ན། ཟུར་ གསུམ་མའི་མཐའ་གཉིས་དང་དེའི་ཚུད་ཟུར་དེ། ཟུར་གསུམ་མ་གཞན་གི་གནས་མཐུན་མཐའ་དང་དེའི་ཚུད་ཟུར་ ལ་མཉམ་ན། ཟུར་གསུམ་མ་དེ་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་ཡིན། འདི་ནི་ SAS ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐེན་རེད།

སྦོང་ཚན། ༡༠་༣ ༡། DE = 5 cm དང་ DF = 3 cm, ∠EDF = 90o ཡིན་པའི་ ∆DEF ཁོད།

༢། སྐེད་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མའི་མཐའ་མཉམ་པའི་རིང་ཚད་ 6.5 cm དང་དེ་གཉིས་ཀི་ཚུད་ཟུར་ནི་ 110o ཡིན་པའི་ སྐེད་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ་ཁོད།

༣། BC = 7.5 cm དང་ AC = 5 cm, ∠C = 60o ཡིན་པའི་ ∆ABC ཁོད།

168

བཀོད་པ། ༡༠་༣་༣ ཟུར་གཉིས་དང་དེའི་ཚུད་མཐའ་ཤེས་པའི་ཟུར་གསུམ་མ་འགོད་པ། Constructing a triangle when the measures of two of its angles and the length of the side included between them is given (ASA criterion) རིས་དཔེ། ༣༽ XY = 5 cm དང་། ∠ZXY = 30o, ∠XYZ = 100o ཡིན་པའི་ ∆XYZ ཁོད། ལན།

Z

(དཔེ་རིས་རགས་པ།)

གོམ་པ་ ༡། ∆XYZ ཡི་དཔེ་རིས་རགས་ཟིན་ཞིག་བིས། [དཔེ་རིས་ ༡༠་༦(༡)]

100o

30o

X

5 cm

Y

དཔེ་རིས་ ༡༠་༦ (༡)

གོམ་པ་ ༢། ཐིག་དུམ་ XY = 5 cm བིས།

X

[དཔེ་རིས་ ༡༠་༦(༢)]

5 cm

Y

དཔེ་རིས་ ༡༠་༦ (༢)

P གོམ་པ་ ༣། གནས་ X ལ། ∠PXY = 30o ཡོད་པ་ ཞིག་བིས། [དཔེ་རིས་ ༡༠་༦(༣)]

30o X

5 cm

Y

དཔེ་རིས་ ༡༠་༦ (༣)

Q P

གོམ་པ་ ༤། གནས་ Y ལ། ∠QYX = 100 ཡོད་པ་ o

ཞིག་བིས། [དཔེ་རིས་ ༡༠་༦(༤)]

30o X

100o 5 cm

དཔེ་རིས་ ༡༠་༦ (༤)

Y

169

རིས་རིག གོམ་པ་ ༥། Z ནི་འཕོ་ཐིག་ XP དང་ YQ གཉིས་ཀའི་

Z

སྟེང་ལ་ཡོད་པས། XP བསྣར་ཏེ་ YQ དང་ འཕད་སའི་གནས་ལ་ Z བིས།

Q

P

[དཔེ་རིས་ ༡༠་༦(༥)]

དེར་བརྟེན། ∆XYZ ནི་དགོས་མཁོའི་ཟུར་ གསུམ་མ་ཡིན།

30o X

100o 5 cm

དཔེ་རིས་ ༡༠་༦ (༥)

Y

བེད་སོ། ∠NLM = 30o དང་ LM = 5 cm, ∠NML = 100o ཡིན་པའི་ ∆LMN ཁོད། ∆LMN ཡི་དྲས་

དབིབས་བཟོས་ཏེ་ ∆XYZ སྟེང་དུ་འཇོག ∆LMN ཡིས་ ∆XYZ ཏག་ཏག་ཁེབས་ཐུབ། དེས་ན། གལ་ཏེ་ཟུར་ གསུམ་མའི་ཟུར་གཉིས་དང་དེ་གཉིས་ཀི་ཚུད་མཐའ་དེ། ཟུར་གསུམ་མ་གཞན་གི་གནས་མཐུན་ཟུར་དང་དེའི་ཚུད་ མཐའ་ལ་མཉམ་ན། ཟུར་གསུམ་མ་དེ་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་ཡིན། འདི་ནི་ ASA ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐེན་ཡིན།

བསམ་བོ་བཏང་སྟེ་བིས། AC = 7 cm དང་། ∠A = 60o, ∠B = 50o ཡིན་པའི་ ∆ABC ཞིག་འགོད་ཐུབ་བམ།

(ཟུར་གསུམ་མའི་ནང་ཟུར་བསོམས་གངས་ཀི་ཁྱད་ཆོས་སྤོད།)

སྦོང་ཚན། ༡༠་༤ ༡། ∠A = 60o དང་། ∠B = 30o, AB = 5.8 cm ཡིན་པའི་ ∆ABC ཁོད།

༢། PQ = 5 cm དང་། ∠PQR = 105o, ∠QRP = 40o ཡིན་པའི་ ∆ABC ཁོད། (ཟུར་གསུམ་མའི་ནང་ཟུར་བསོམས་གངས་ཀི་ཁྱད་ཆོས་དྲན་གསོ་གིས་དང་།)

༣། ཁྱེད་ཀིས་ཚད་གཞི་ EF = 7.2 cm དང་ ∠E = 110o, ∠F = 80o བཅས་ཡིན་པའི་ ∆DEF ཞིག་འགོད་ ཐུབ་བམ།

170

བཀོད་པ། ༡༠་༣་༤ གསེག་མཐའ་དང་དཔུང་པ་གཅིག་ཤེས་པའི་དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མ་འགོད་པ། Constructing a right-angled triangle when the length of one leg and its hypotenuse are given (RHS criterion) L

(དཔེ་རིས་རགས་པ།)

5

རིས་དཔེ། ∆LMN ཁོད།

cm

༤༽ LN = 5 cm དང་ MN = 3 cm, ∠M དྲང་ཟུར་ཡིན་པའི་ M

ལན།

གོམ་པ་ ༡། ∆LMN ཡི་དཔེ་རིས་རགས་པ་ཞིག་བིས། [དཔེ་རིས་ ༡༠་༧(༡)]

3 cm

N

དཔེ་རིས་ ༡༠་༧ (༡)

M

3 cm

N

དཔེ་རིས་ ༡༠་༧ (༢)

གོམ་པ་ ༢། ཐིག་དུམ་ MN = 3 cm བིས།

X

[དཔེ་རིས་ ༡༠་༧(༢)]

གོམ་པ་ ༣། གནས་ M ལ། ∠NMX = 90o ཡིན་པ་བིས། [དཔེ་རིས་ ༡༠་༧(༣)]

M

3 cm

N

དཔེ་རིས་ ༡༠་༧ (༣)

X L གོམ་པ་ ༤། སོར་ལྟེ་ N དང་ཚངས་ཕེད་ 5 cm ཅན་གི་གཞུ་ཐིག་ཅིག་ MX སྟེང་གནས་ L ལ་འཕད་པར་བིས། [དཔེ་རིས་ ༡༠་༧(༤)]

M

3 cm

N

དཔེ་རིས་ ༡༠་༧ (༤)

171

རིས་རིག X གོམ་པ་ ༥། LN མཐུད།

L

དེར་བརྟེན། ∆LMN ནི་དགོས་མཁོའི་ཟུར་གསུམ་མ་ཡིན། [དཔེ་རིས་ ༡༠་༧(༥)]

M

3 cm དཔེ་རིས་ ༡༠་༧ (༥)

སྦོང་ཚན། ༡༠་༥ ༡། ∠Q = 90o དང་། QR = 8 cm, PR = 10 cm ཡིན་པའི་ ∆PQR ཁོད།

༢། གསེག་མཐའ་ 6 cm དང་དཔུང་པ་གཅིག་ 4 cm ཡིན་པའི་དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མ་ཞིག་ཁོད། ༣། ∠ACB = 90o དང་། AC = 6 cm ཡིན་པའི་སྐེད་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ་ ABC ཁོད།

དྲན་གསོ་གིས། ༡༽ སྤད་ཟིན་པའི་ཐིག་ l དང་དེའི་སྟེང་མིན་པའི་གནས་ལས་ང་ཚོས་གནས་མཐུན་ཟུར་གི་ཁྱད་ཆོས་བེད་ སྤད་དེ་ l གི་མཉམ་འགོ་ཐིག་འགོད་ཐུབ།

༢༽ གཤམ་གསལ་ཡོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མའི་ཆ་རྐེན་བེད་སྤད་དེ་ཟུར་གསུམ་མ་འགོད་ཐུབ། (ཀ) SSS: ཟུར་གསུམ་མའི་མཐའ་གསུམ་ག་ཤེས་པ།

(ཁ) SAS: མཐའ་གང་རུང་གཉིས་དང་དེའི་ཚུད་ཟུར་ཤེས་པ།

(ག) ASA: ཟུར་གང་རུང་གཉིས་དང་དེའི་ཚུད་མཐའ་ཤེས་པ།

(ང) RHS: དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མའི་གསེག་མཐའ་དང་དེའི་དཔུང་པ་གཅིག་ཤེས་པ།

172

N

སོབ་ཚན་བཅུ་གཅིག་པ། ཕྟོགས་ཚད་གསུམ་ལྡན་གི་གཟུགས། ༡༡་༡ ངོ་སྤོད། Introduction

ང་ཚོས་འཛིན་རིམ་གོང་མར་ཕོགས་ཚད་གཉིས་ལྡན་གི་དབིབས་དང་ཕོགས་ཚད་གསུམ་ལྡན་གི་གཟུགས་སྦངས་ཡོད།

ཤོག་བུའི་སྟེང་བིས་པའི་དཔེ་རིས་ལ་དཀྱུས་དང་ཞེང་ལས་མེད་ན། དཔེ་རིས་དེ་དག་ལ་ཕོགས་ཚད་གཉིས་ལྡན་གི་དབིབས་ (སྙོམས་ངོས་དབིབས་) ཟེར། དཔེར་ན། སོར་དབིབས་དང་གྲུ་བཞི་ནར་མོ་སོགས། ང་ཚོའི་ཉེ་འཁོར་དུ་གཟུགས་མི་འདྲ་ བའི་དངོས་པོ་མང་པོ་མཐོང་རྒྱུ་ཡོད། དཔེར་ན། འབི་དེབ་དང་སམ་སོགས། དངོས་པོ་འདི་དག་ལ་དཀྱུས་དང་ཞེང་། དཔངས་བཅས་གསུམ་ཡོད་པས་དངོས་པོ་དེ་དག་ནི་ཕོགས་ཚད་གསུམ་ལྡན་གི་གཟུགས་རེད། ཕོགས་ཚད་གཉིས་ལྡན་གི་དབིབས།

ཕོགས་ཚད་གསུམ་ལྡན་གི་གཟུགས།

གྲུ་བཞི་ནར་མོ། སོར་དབིབས།

ཤོ་གཟུགས།

ཀ་ཟླུམ་གཟུགས།

ཟླུམ་གཟུགས།

གྲུ་ནར་གཟུགས།

སྙུང་གཟུགས།

གྲུ་སྙུང་།

ཟུར་གསུམ་མ།

གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ།

མཐའ་བཞི་དབིབས།

173

རིས་རིག མཆན། ང་ཚོས་ཕོགས་ཚད་གཉིས་ལྡན་ལ་ 2-D དང་ཕོགས་ཚད་གསུམ་ལྡན་ལ་ 3-D ཞེས་འབི་ཆོག

༡༡་༢ ངོས་དང་གྲུ། ཟུར་ཚེག Faces, edges and vertices

ཁྱེད་ཀིས་འཛིན་རིམ་དྲུག་པར་སྦངས་པའི་ས་གཟུགས་ཀི་ངོས་དང་གྲུ། ཟུར་ཚེག་བཅས་དྲན་གསོ་གིས་དང་། དཔེ་རིས་ ༡༡་༡ གིས་ཤོ་གཟུགས་ཀི་ངོས་དང་གྲུ། ཟུར་ཚེག་བཅས་སྟོན་གི་ཡོད།

ངོས།

ཟུར་ཚེག

གྲུ།

(ཀ)

(ཁ)

(ག)

དཔེ་རིས་ ༡༡་༡

ཤོ་གཟུགས་ལ་ངོས་ 6 དང་། གྲུ་ 12 ཟུར་ཚེག་ 8 བཅས་ཡོད། གཤམ་གི་རེའུ་མིག་ཁ་སྐོངས། ཟུར་ཚེག ངོས།

གྲུ། ངོས།

6

གྲུ།

12

ཟུར་ཚེག

8

ཁྱེད་ཀིས་དོ་སྣང་བྱུང་ཡོད་ན། ཕོགས་ཚད་གཉིས་ལྡན་གི་དབིབས་ནི་ཕོགས་ཚད་གསུམ་ལྡན་གི་གཟུགས་ཀི་ངོས་ལྟར་ ངོས་འཛིན་ཐུབ་ཀི་ཡོད། དཔེར་ན། ཀ་ཟླུམ་གཟུགས་ འདི་ལ་ཟུར་གསུམ་མའི་ངོས་བཞི་ཡོད།

ལ་སོར་དབིབས་ཀི་ངོས་གཉིས་ཡོད་པ་དང་། གྲུ་སྙུང་

ང་ཚོས་ 3-D གཟུགས་རྣམས་ 2-D དབིབས་ཡང་ན་ཤོག་བུའི་སྟེང་ཇི་ལྟར་མངོན་ཚུལ་ལྟ་རྒྱུ་ཡིན།

174

ཕོགས་ཚད་གསུམ་ལྡན་གི་གཟུགས།

༡༡་༣ 3-D གཟུགས་ཀི་དྲ་བ། Nets for building 3-D shapes

ཤོག་སམ་ཆུང་ངུ་ཞིག་ལོངས། ཤོག་སམ་གི་གྲུ་རྣམས་དྲས་ཏེ་ཁ་ཁོམས། དེ་ནི་སམ་གི་དྲ་བ་རེད། འདིར་དྲ་བ་ནི་ 2-D རྣམ་པར་སྟོན་པའི་ཕིའི་སྒོམ་གཞི་ [དཔེ་རིས་ ༡༡་༢ (ཀ)] ལ་ཟེར་བ་དང་། དེ་དཔེ་རིས་ ༡༡་༢ (ཁ) ལྟར་ལྟེབ་རེག་ བརྒྱབ་ན་དཔེ་རིས་ ༡༡་༢ (ག) ཡི་ 3-D གཟུགས་ཆགས་ཀི་རེད།

(ཀ)

(ཁ)

(ག)

དཔེ་རིས་ ༡༡་༢

དཔེ་རིས་ ༡༡་༣ ནི་ཤོག་སམ་ཞིག་གི་དྲ་བ་རེད། ཁྱེད་ ཀིས་དྲ་བ་རྒྱ་ཆེ་རུ་བཏང་ཏེ་དེའི་འདྲ་བཤུས་བཟོས། དེ་

ལྟེབ་རེག་རན་པོ་རྒྱག་པ་དང་འབར་རི་ཡིས་སྦར་ཏེ་ཤོག་ སམ་བཟོ་ཐབས་བོས།

ཁྱེད་ལ་བྱུང་བའི་སམ་ནི་ཕོགས་

ཚད་གསུམ་ལྡན་གི་གཟུགས་ཤིག་ཡིན།

དཔེ་རིས་ ༡༡་༣

O

དེ་མཚུངས། ཁྱེད་ལ་སྙུང་གཟུགས་ཀི་ལོགས་ངོས་ནས་གཞུང་གཤག་བཏང་ ན་སྙུང་གཟུགས་དེའི་དྲ་བ་ཐོབ་ཀི་རེད། (དཔེ་རིས་ ༡༡་༤)

O

དེ་ལྟར་གཟུགས་འདྲ་མིན་ལ་དྲ་བ་མི་འདྲ་བ་ཡོད། དཔེ་རིས་ ༡༡་༥ ནང་གི་ དྲ་བས་ 3-D གཟུགས་སོ་སོར་བཟོས།

ཤོ་གཟུགས།

འདི་ནས་གཏུབས།

ཀ་ཟླུམ་གཟུགས།

སྙུང་གཟུགས།

དཔེ་རིས་ ༡༡་༥

དཔེ་རིས་ ༡༡་༤

གྲུ་སྙུང་།

175

རིས་རིག

སྦོང་ཚན། ༡༡་༡ ༡། གཤམ་གསལ་ཁག་ལས་ཤོ་གཟུགས་ཀི་དྲ་བ་ངོས་ཟུངས།

(ཀ)

(ཁ)

(ག)

(ང)

(ཅ)

(ཆ)

དཔེ་རིས་ ༡༡་༦

༢། ཤོ་ནི་ཤོ་གཟུགས་ཤིག་རེད། དེའི་ངོས་སྟེང་ཤོ་མིག་ཡོད། དེའི་གཏད་ངོས་གཉིས་ལ་ཁྱོན་བསོམས་ཤོ་མིག་བདུན་ཡོད། དཔེ་རིས་ ༡༡་༧ ནང་ཤོ་ཡི་དྲ་བ་གཉིས་སྤད་ཡོད། གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་རེའི་ནང་བིས་པའི་ཨང་ཀིས་སམ་ཆུང་དེའི་ ནང་ཤོ་མིག་མཚོན་གི་ཡོད།

1 4

5 6

2

3 དཔེ་རིས་ ༡༡་༧

ཤོ་ཡི་གཏད་ངོས་གཉིས་ལ་ཤོ་མིག་ 7 ཡོད་པ་སེམས་ལ་བཞག་སྟེ་དྲ་བའི་སམ་ཆུང་ནང་ཨང་ཀི་གང་འོས་སྐོངས།

༣། གཡས་ཀི་དཔེ་རིས་ (དཔེ་རིས་ ༡༡་༨) འདི་ཤོ་ཡི་དྲ་བ་ཡོང་སིད་དམ། འགེལ་བཤད་བོས།

1

2 3

4 5

དཔེ་རིས་ ༡༡་༨

176

6

ཕོགས་ཚད་གསུམ་ལྡན་གི་གཟུགས། ༤། དྲ་བ་རྣམས་གཟུགས་དང་མཐུན་སྦོར་གིས། (ཀ)

(༡)

(ཁ)

(༢)

(ག)

(༣)

(ང)

(༤)

༡༡་༤ སྙོམས་ངོས་སྟེང་ས་གཟུགས་འབི་བ། Drawing solids on flat surface འདིར་སྙོམས་ངོས་ནི་ཤོག་བུ་ཡིན། ང་ཚོས་ཐབས་ལམ་གཉིས་ནང་ས་གཟུགས་འབི་རྒྱུ་ཡིན། ༡༡་༤་༡ འཕེད་གསེག་སྐྱ་རིས། Oblique sketches

དྲ་མིག་ཤོག་བུའི་ནང་ཚད་གཞི་མཉམ་པའི་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་ཆུང་ཆུང་ཡོད། དྲ་མིག་ཤོག་བུའི་སྟེང་ཚད་གཞི་ 3 ཅན་གི་ ཤོ་གཟུགས་འབི་དགོས་ན། (དཔེ་རིས་ ༡༡་༩) ཤོ་གཟུགས་ལ་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་ངོས་ 6 ཡོད། ཡིན་ནའང་། དྲ་མིག་ ཤོག་བུའི་སྟེང་ང་ཚོས་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་ངོས་གཉིས་ལས་སྟོན་མི་ཐུབ་པ་དང་ངོས་གཞན་རྣམས་མཉམ་འགོ་མཐའ་ བཞི་མ་ལྟར་འབི་དགོས། (རྒྱུ་མཚན་ནི་ང་ཚོས་ 3-D གཟུགས་ཤིག་ 2-D ཤོག་བུའི་སྟེང་འབི་ཡི་ཡོད།)

གོམ་པ་ ༡ མདུན་ངོས་བིས།

གོམ་པ་ ༢ གཏད་ངོས་བིས།

177

རིས་རིག

གོམ་པ་ ༣ གནས་མཐུན་གྲུ་ཟུར་རྣམས་མཐུད།

དཔེ་རིས་ ༡༡་༩

གོམ་པ་ ༤ སྐྱ་རིས་དེ་ཤོ་གཟུགས་རེད།

དཔེ་རིས་ ༡༡་༩ ནང་ཁྱེད་ཀིས་གཤམ་གསལ་ཁག་དོ་སྣང་བྱུང་ངམ།

(ཀ) མདུན་ངོས་ཀི་ཚད་གཞི་དང་དེའི་གཏད་ངོས་ཀི་ཚད་གཞི་མཉམ་པ་རེད།

(ཁ) ཤོ་གཟུགས་ཀི་གྲུ་ཚང་མ་མཉམ་ནའང་། སྐྱ་རིས་ནང་ཤོ་གཟུགས་ཀི་གྲུ་རྣམས་ཚད་གཞི་ཏག་ཏག་མེད།

ཁྱེད་ཀིས་དྲ་མིག་ཤོག་བུའི་སྟེང་གྲུ་ནར་གཟུགས་འབི་ཐབས་བོས་དང་། (གྲུ་ནར་གཟུགས་ཀི་ངོས་གྲུ་བཞི་ནར་མོ་རེད།) ༡༡་༤་༢ བར་མཚུངས་སྐྱ་རིས། Isometric sketches

ཁྱེད་ཀིས་བར་མཚུངས་ཚེག་ཅན་གི་ཤོག་བུ་མཐོང་མོང་ངམ། དེ་འདྲའི་ཤོག་བུ་ནི་ཚེག་དུ་མས་གྲུབ་པས། ཚེག་དེ་དག་ མཐུད་པ་ཡིན་ན་མཐའ་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ་གྲུབ་ཀི་ཡོད།

ཚོས་བར་མཚུངས་ཚེག་ཅན་གི་ཤོག་བུ་བེད་སྤོད་བེད་ཆོག

ས་གཟུགས་ཀི་ཚད་གཞི་མཉམ་པའི་སྐྱ་རིས་འབི་བར་ང་

ཚད་གཞི་ 4 × 3 × 3 (དེ་ནི་དཀྱུས་དང་། ཞེང་། དཔངས་ནི་ཚད་གཞི་ 4, 3, 3 སོ་སོ་) ཡིན་པའི་གྲུ་ནར་གཟུགས་ ཤིག་བིས། (དཔེ་རིས་༡༡་༡༠)

གོམ་པ་ ༡ གྲུ་ནར་དབིབས་ཤིག་བིས། དེ་ནི་མདུན་ངོས་ཡིན།

178

གོམ་པ་ ༢ ཚད་གཞི་ 3 ཅན་གི་མཉམ་འགོ་ཐིག་དུམ་བཞི་བིས།

ཕོགས་ཚད་གསུམ་ལྡན་གི་གཟུགས།

གོམ་པ་ ༣ ཐིག་དུམ་གིས་གནས་མཐུན་ཚེག་རྣམས་མཐུད།

གོམ་པ་ ༤ འདི་ནི་གྲུ་ནར་གི་གཟུགས་རེད།

དཔེ་རིས་ ༡༡་༡༠

མཆན། བར་མཚུངས་སྐྱ་རིས་ནང་ཚད་གཞི་ཏག་ཏག་ཡོད། དེ་འཕེད་གསེག་སྐྱ་རིས་སྐབས་མེད། རིས་དཔེ། ༡༽ དཔེ་རིས་ ༡༡་༡༡ (ཀ) ནི་གྲུ་ནར་གཟུགས་ཀི་སྐྱ་རིས་རེད། དཔེ་རིས་འདི་དང་མཐུན་པའི་བར་མཚུངས་སྐྱ་རིས་བིས། ལན། དཔེ་རིས་ ༡༡་༡༡ (ཁ) ནི་དགོས་མཁོའི་སྐྱ་རིས་ཡིན། འདིར་ཚད་གཞི་རྣམས་མ་ནོར་བར་འབི་དགོས།

6

3

3

(ཀ) དཔེ་རིས་ ༡༡་༡༡

(ཁ)

ཁྱེད་ཀིས་དཀྱུས་དང་། ཞེང་། དཔངས་བཅས་ལ་ཚད་གཞི་ག་ཚོད་བངས་ཡོད་དམ།

179

རིས་རིག

སྦོང་ཚན། ༡༡་༢ ༡། བར་མཚུངས་ཚེག་ཅན་གི་ཤོག་བུ་བེད་སྤད་དེ། གཤམ་གསལ་དབིབས་ཀི་བར་མཚུངས་སྐྱ་རིས་བིས།

3 2

6

(ཁ)

(ཀ)

2 2 3

2

3

2

2 2

8

2 2 2

2 4

(ག)

དཔེ་རིས་ ༡༡་༡༢

(ང)

༢། གྲུ་ནར་གཟུགས་ཀི་ཆ་ཚད་ནི་ 5 cm དང་། 3 cm, 2 cm ཡིན། གྲུ་ནར་གཟུགས་འདིའི་བར་མཚུངས་སྐྱ་རིས་ མི་འདྲ་བ་གསུམ་བིས།

༣། མཐའ་ 2 cm ཅན་གི་ཤོ་གཟུགས་གསུམ་གཅིག་གི་འཁིས་ལ་གཅིག་བཞག་སྟེ་གྲུ་ནར་གཟུགས་གྲུབ་ཡོད། གྲུ་ནར་ གཟུགས་འདིའི་འཕེད་གསེག་གམ་ཡང་ན་བར་མཚུངས་སྐྱ་རིས་བིས།

༤། གཤམ་གསལ་ཆ་ཚད་མཉམ་པའི་གཟུགས་རྣམས་ཀི་འཕེད་གསེག་སྐྱ་རིས་བིས། (དཔེ་རིས་ ༡༡་༡༣)

180

ཕོགས་ཚད་གསུམ་ལྡན་གི་གཟུགས།

(ཀ)

དཔེ་རིས་ ༡༡་༡༣

(ཁ)

༥། གཤམ་གསལ་ཆ་ཚད་ཅན་གི་འཕེད་གསེག་སྐྱ་རིས་དང་། བར་མཚུངས་སྐྱ་རིས་བིས། (ཀ) ཆ་ཚད་ 5 cm དང་། 3 cm, 2 cm ཡིན་པའི་གྲུ་ནར་གཟུགས། (ཁ) མཐའ་ 4 cm ཅན་གི་ཤོ་གཟུགས།

༡༡་༥ ས་གཟུགས་ཀི་མངོན་ཚུལ། Visualising solid objects བེད་སོ། ༡། ཤོ་གཟུགས་འགའ་བངས་ཏེ། དེ་དག་དཔེ་རིས་ ༡༡་༡༤ ནང་བསྟན་པ་བཞིན་སྒིགས།

༢། ཁྱེད་རང་གི་འཛིན་གོགས་ལ་མདའ་རྟགས་ཀིས་བསྟན་པའི་ཕོགས་ནས་བལྟས་ན་ཤོ་གཟུགས་ག་ཚོད་ཡོད་པ་ ཚོད་དཔག་བ་རུ་ཆུག

(ཀ)

(ཁ)

(ག)

དཔེ་རིས་ ༡༡་༡༤

རིས་དཔེ། ༢༽ ཆ་ཚད་ 2 cm × 2 cm × 2 cm ཅན་གི་ཤོ་གཟུགས་གཉིས་གཅིག་གི་འཁིས་ལ་གཅིག་བཞག་པ་ཡིན་ན། དེ་ ལས་གྲུབ་པའི་གྲུ་ནར་གཟུགས་ཀི་ཆ་ཚད་གང་ཡིན་ནམ།

181

རིས་རིག ལན། ཁྱེད་ཀིས་མཐོང་གསལ་ལ་ (དཔེ་རིས་ ༡༡་༡༥) ཤོ་གཟུགས་ གཉིས་གཅིག་གི་འཁིས་ལ་གཅིག་འཇོག་སྐབས། གྲུ་ནར་

h = 2 cm

གཟུགས་ཀི་དཀྱུས་རིང་དུ་འགོ་ཡི་ཡོད།

དེ་ནི། དཀྱུས་ = 2 cm + 2 cm = 4 cm

ཞེང་ = 2 cm དང་། དཔངས་ = 2 cm ཡིན།

2 cm

2 cm

b = 2 cm

l དཔེ་རིས་ ༡༡་༡༥

བེད་སོ། ༡། ཤོ་གཉིས་གཅིག་གི་འཁིས་ལ་གཅིག་བཞག་ཡོད། (དཔེ་རིས་ ༡༡་༡༦)

ཁྱེད་ཀིས་ (ཀ) 5 + 6 དང་། (ཁ) 4 + 3 གི་གཏད་ངོས་གཉིས་ཀི་ ཤོ་མིག་ག་ཚོད་ཡོད་པ་བཤད་ཐུབ་བམ།

དཔེ་རིས་ ༡༡་༡༦

༡༡་༥་༡ ས་གཟུགས་ཀི་བཅད་ཁ་འདྲ་མིན་གི་མངོན་ཚུལ། Viewing different sections of a solid

༡། ལྷེབ་གཞོག་གི་རེད་མོ།

བག་ལེབ་ནར་ནར་གང་ཚང་ཞིག་ཡོད། (དཔེ་རིས་ ༡༡་༡༧) དེ་ངོས་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་ ཡིན་པའི་གྲུ་ནར་གཟུགས་ལྟར་ཡོད། ཁྱེད་ཀིས་བག་ལེབ་དེ་གི་ཡིས་གཏུབས།

བག་ལེབ་དེ་གཞུང་གཏུབ་བེད་སྐབས། དཔེ་རིས་ ༡༡་༡༧ ནང་བསྟན་པ་བཞིན་ཁྱེད་

དཔེ་རིས་ ༡༡་༡༧

ལ་དུམ་བུ་མང་པོ་ཐོབ་ཀི་རེད། དུམ་བུ་རེའི་ངོས་ནི་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་རེད། ང་ཚོས་ངོས་དེ་ལ་བག་ལེབ་གང་ཚང་གི་ བཅད་ཁ་ (cross-section) ཟེར།

མཆན། གལ་ཏེ་ཁྱེད་ཀིས་གཞུང་གཏུབ་མ་བས་ན། ཁྱེད་ལ་བཅད་ཁ་གཞན་ཞིག་ཐོབ་ཀི་རེད། ༢། རེད་མོ།

འདམ་བག་གམ་ཡང་ན་སྦར་འདམ་གིས་གཤམ་གསལ་དཔེ་གཟུགས་བཟོས་ཏེ། འདི་དག་གཞུང་ངམ་ཡང་ན་འཕེད་ལ་ གཏུབས། དེ་ནས་ཁྱེད་ལ་ཐོབ་པའི་བཅད་ཁའི་མིང་བིས།

182

ཕོགས་ཚད་གསུམ་ལྡན་གི་གཟུགས།

སྦོང་ཚན། ༡༡་༣ ༡། ཁྱེད་ཀིས་གཤམ་གསལ་གཟུགས་རྣམས་ (ཀ) གཞུང་གཏུབ་དང་། (ཁ) འཕེད་གཏུབ་བས་པ་ཡིན་ན། ཁྱེད་ལ་བཅད་ ཁ་གང་དག་འབྱུང་ངམ། (ཀ) སོ་ཕག

(ཁ) ཚ་ལུ་མ།

(ག) ཤོ།

(ང) གིང་བུ།

(ཅ) ལམ་ཐོ།

༡༡་༥་༢ ས་གཟུགས་ཀི་གིབ་ནག Shadow of a solid

གིབ་ནག་ནི་ཕོགས་ཚད་གསུམ་ལྡན་གི་གཟུགས་རྣམས་ཕོགས་ཚད་གཉིས་ལྡན་ནང་སྟོན་པའི་ཐབས་ལམ་ཞིག་རེད།

གིབ་ནག་རེད་མོ།

བེད་སོ་འདི་བསྒྲུབ་པར་ཁྱེད་ལ་འོད་དང་ས་གཟུགས་འགའ་དགོས། (བྱུང་ན་བརན་སྟོན་འཕྲུལ་ཆས་བེད་སྤད་དེ་རྟོག་ ཞིབ་བོས།)

༡༽ སྙུང་གཟུགས་ཀི་མདུན་ལ་གོག་གཞུ་སོར། བརན་ཡོལ་སྟེང་གིབ་ ནག་གང་འདྲ་ཞིག་ཕོག་གི་འདུག་གམ། (དཔེ་རིས་ ༡༡་༡༨)

གོང་གི་རེད་མོའི་ནང་། གལ་ཏེ་ཁྱེད་ཀིས་སྙུང་གཟུགས་ཚབ་ཏུ་ ཤོ་གཟུགས་བཞག་ན། ཁྱེད་ལ་གིབ་ནག་གང་འབྱུང་ངམ།

དཔེ་རིས་ ༡༡་༡༨

༢༽ ཀ་ཟླུམ་གཟུགས་ཤིག་ཆ་འཇོག གལ་ཏེ་ང་ཚོས་ཀ་ཟླུམ་གཟུགས་ཀི་སང་ནས་གོག་གཞུ་སར་ན། གིབ་ནག་གྲུ་བཞི་ ནར་མོ་ཐོབ་ཀི་རེད། [དཔེ་རིས་ ༡༡་༡༩ (ཀ)] ཡང་གལ་ཏེ་ཀ་ཟླུམ་གཟུགས་ཀི་གཡོན་ནས་གོག་གཞུ་སར་ན། གིབ་ ནག་ནི་སོར་དབིབས་རེད། [དཔེ་རིས་ ༡༡་༡༩ (ཁ)]

ཀ་ཟླུམ་གཟུགས། (ཀ)

ཀ་ཟླུམ་གཟུགས།

གིབ་ནག

(ཁ)

གིབ་ནག

དཔེ་རིས་ ༡༡་༡༩

183

རིས་རིག

སྦོང་ཚན། ༡༡་༤ ༡། གཤམ་གསལ་ས་གཟུགས་ཀི་སང་ལ་ཤེལ་ཏོག་སར་ཡོད། (དཔེ་རིས་ ༡༡་༢༠) ས་གཟུགས་རེ་རེ་ལས་གྲུབ་པའི་གིབ་ ནག་གི་མིང་བིས། གིབ་ནག་གི་སྐྱ་རིས་བིས།

པོ་ལོ།

ལྕགས་ཀྲིན།

(ཀ)

དེབ།

(ཁ)

(ག)

དཔེ་རིས་ ༡༡་༢༠

༢། གཤམ་གསལ་ནི་ 3-D དངོས་པོ་འགའ་ཡི་གིབ་ནག་རེད། (དཔེ་རིས་ ༡༡་༢༡) གིབ་ནག་སོ་སོ་དང་མཐུན་པའི་ དངོས་པོ་འགའ་ངོས་ཟུངས། སོར་དབིབས།

གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ།

ཟུར་གསུམ་མ།

གྲུ་བཞི་ནར་མོ།

(ཀ)

(ཁ)

(ག)

(ང)

དཔེ་རིས་ ༡༡་༢༡

༣། གཤམ་གསལ་རིས་བརོད་རྣམས་བདེན་པ་ཡིན་མིན་དཔྱད་ཞིབ་བོས། (ཀ) ཤོ་གཟུགས་ཀི་གིབ་ནག་གྲུ་བཞི་ནར་མོ་རེད།

(ཁ) སམ་གཟུགས་ཀི་གིབ་ནག་དབིབས་མཐའ་དྲུག་མ་རེད།

184

ཕོགས་ཚད་གསུམ་ལྡན་གི་གཟུགས། ༡༡་༥་༣ ས་གཟུགས་ལ་ཕོགས་ངེས་ཅན་ནས་ལྟ་ཚུལ། Looking at solids from certain angles

ཁྱེད་ཀིས་དངོས་པོ་ཞིག་གི་མདུན་ལ་ལངས་ནས་དེར་ལྟ་བའམ་ཡང་ན། དེའི་གཞོགས་སམ་ཡང་ན་སྟེང་ནས་ལྟ་ཐུབ། ལྟ་ ཐེངས་རེར་ཁྱེད་ལ་མཐོང་ཚུལ་མི་འདྲ་བ་འབྱུང་གི་རེད། དཔེ་རིས་ ༡༡་༢༢ ལ་ལྟོས་དང་།

མདུན་ནས་མཐོང་ཚུལ།

གཞོགས་ནས་མཐོང་ཚུལ། དཔེ་རིས་ ༡༡་༢༢

སྟེང་ནས་མཐོང་ཚུལ།

དཔེ་རིས་ ༡༡་༢༣ ནི་ཁང་པ་ཞིག་གི་མཐོང་ཚུལ་མ་འདྲ་བའི་དཔེ་མཚོན་ཡིན།

ཁང་པ།

མདུན་ནས་མཐོང་ཚུལ།

གཞོགས་ནས་མཐོང་ཚུལ།

སྟེང་ནས་མཐོང་ཚུལ།

དཔེ་རིས་ ༡༡་༢༣

ཁྱེད་ཀིས་འདི་ཤོ་གཟུགས་མང་པོ་མཐུད་ནས་གྲུབ་པའི་དཔེ་རིས་ལ་འབེད་ཆོག (དཔེ་རིས་ ༡༡་༢༤)

ཤོ་གཟུགས་ལས་གྲུབ་ པའི་དཔེ་རིས།

མདུན་ནས་མཐོང་ཚུལ།

གཞོགས་ནས་མཐོང་ཚུལ།

སྟེང་ནས་མཐོང་ཚུལ།

དཔེ་རིས་ ༡༡་༢༤

185

རིས་རིག

བེད་སོ། ༡། ས་གཟུགས་རེའི་མཐོང་ཚུལ་མི་འདྲ་བ་གསུམ་སྤད་ཡོད། ས་གཟུགས་རེའི་སྟེང་དང་། མདུན། གཞོགས་བཅས་ ཀི་མཐོང་ཚུལ་སོ་སོར་ངོས་ཟུངས། ས་གཟུགས།

དེའི་མཐོང་ཚུལ། (༡)

སྟེང་། གཞོགས། མདུན། སྟེང་།

གཞོགས།

མདུན། སྟེང་།

གཞོགས། མདུན། སྟེང་། གཞོགས།

མདུན།

186

(༢)

(༣)

ཕོགས་ཚད་གསུམ་ལྡན་གི་གཟུགས།

དྲན་གསོ་གིས། ༡། སོར་དབིབས་དང་། གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ། གྲུ་བཞི་ནར་མོ། དབིབས་མཐའ་བཞི་མ། ཟུར་གསུམ་མ་སོགས་

སྙོམས་ངོས་དབིབས་རེད། ཤོ་གཟུགས་དང་། ཟླུམ་གཟུགས། ཀ་ཟླུམ་གཟུགས། གྲུ་སྙུང་སོགས་ས་ གཟུགས་རེད།

༢། སྙོམས་ངོས་དབིབས་ནི་ཕོགས་ཚད་གཉིས་ལྡན་ (2-D) དང་ས་གཟུགས་ནི་ཕོགས་ཚད་གསུམ་ལྡན་ (3-D) རེད།

༣། དྲ་བ་ནི་ས་གཟུགས་ཀི་ཕིའི་སྒོམ་གཞི་ལ་ཟེར། དེ་ལྟེབ་རེག་བརྒྱབ་པ་ཡིན་ན་ས་གཟུགས་གྲུབ་ཀི་རེད། ས་གཟུགས་ཤིག་ལ་དྲ་བ་དུ་མ་ཡོང་སིད།

༤། ས་གཟུགས་ནི་སྙོམས་ངོས་ (ཤོག་བུ་ལྟ་བུ་) སྟེང་འབི་ཐུབ་ཀི་ཡོད། ང་ཚོས་དེ་ལ་ 3-D གཟུགས་ཀི་ 2-D རྣམ་པ་ཟེར། ས་གཟུགས་ནི་འཕེད་གསེག་སྐྱ་རིས་དང་བར་མཚུངས་སྐྱ་རིས་ཐོག་འབི་ཐུབ།

༥། ས་གཟུགས་ཀི་མངོན་ཚུལ་ནི་སྒྱུ་རལ་ཕན་ཐོགས་པོ་ཞིག་ཡིན། དེ་ཡིས་ས་གཟུགས་ཀི་མི་མངོན་པའི་ཆ་ ཤས་རྣམས་ཤེས་ཐུབ་ཀི་ཡོད།

༦། ས་གཟུགས་ཀི་མངོན་ཚུལ་མི་འདྲ་བ།

(ཀ) ས་གཟུགས་ཀི་བཅད་ཁའི་མངོན་ཚུལ། འདིར་ས་གཟུགས་ཚན་པར་གཏུབས་ཏེ་དེའི་བཅད་ཁ་ གྲུབ་ཀི་ཡོད།

(ཁ) ཐབས་ལམ་གཞན་ནི་ 3-D གཟུགས་ཀི་ 2-D གིབ་ནག་ལྟ་བ།

(ག) ཐབས་ལམ་གསུམ་པ་ནི་ས་གཟུགས་ལ་ཕོགས་མི་འདྲ་བ་ནས་ལྟ་ཚུལ།- མདུན་ནས་མཐོང་ཚུལ་ ཚུལ་དང་། གཞོགས་ནས་མཐོང་ཚུལ། སྟེང་ནས་མཐོང་ཚུལ་བཅས་གསུམ་ཡིན།

187

སོབ་ཚན་བཅུ་གཉིས་པ།

མཐའ་འཁྟོར་རིང་ཚད་དང་རྒྱ་ཁྟོན།

༡༢་༡ ངོ་སྤོད། Introduction

ཁྱེད་ཀིས་འཛིན་རིམ་དྲུག་པར་སྙོམས་ངོས་ཀི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་དང་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་དང་གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་རྒྱ་

ཁྱོན་སྦངས་ཡོད། ཁ་ཟུམ་པའི་དབིབས་ཤིག་གི་མཐའ་འཁོར་གི་བར་ཐག་ནི་དེའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་རེ​ེད། སྙོམས་ ངོས་ཀི་ཆ་ཤས་སམ་ཡང་ན་ཁ་ཟུམ་པའི་དབིབས་ཤིག་གིས་ཁེབས་པའི་ས་ཁུལ་ལ་དེའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཟེར། སོབ་ཚན་འདིར་དབིབས་མི་འདྲ་བ་འགའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་དང་རྒྱ་ཁྱོན་སྦང་རྒྱུ་ཡིན།

༡༢་༢ གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་དང་གྲུ་བཞི་ནར་མོ། Squares and Rectangles

དོན་གྲུབ་རྒྱལ་དང་ལྷ་སྐྱིད་གཉིས་ཀིས་རི་མོ་བིས་པ་རེད། དོན་གྲུབ་རྒྱལ་གིས་རི་མོ་དཀྱུས་ 60 cm དང་ཞེང་ 20 cm ཅན་གི་གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ཞིག་བིས་པ་དང་། ལྷ་སྐྱིད་ཀིས་རི་མོ་དཀྱུས་ 40 cm དང་ཞེང་ 35 cm ཅན་གི་གྲུ་བཞི་ནར་ མོ་ཞིག་བིས་པ་རེད། རི་མོ་གཉིས་ལ་པར་སྒོམ་བཟོ་བ་དང་སབ་ཤུན་འགེབས་དགོས་ཀི་ཡོད།

གལ་ཏེ་པར་སྒོམ་བཟོ་བར་ cm རེར་ ` 3 གནས་ཀི་ཡོད་ན། ཁོ་གཉིས་ལས་སུས་པར་སྒོམ་ཆེད་དངུལ་མང་བ་སྤོད་ དགོས་སམ།

གལ་ཏེ་སབ་ཤུན་འགེབས་པར་ cm2 རེར་ ` 2 གནས་ཀི་ཡོད་ན། སབ་ཤུན་འགེབས་ཆེད་སུས་དངུལ་མང་བ་སྤོད་ དགོས་སམ།

པར་སྒོམ་གི་རིན་པ་འཚོལ་བར། མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་བརིས་ཏེ་པར་སྒོམ་གི་གོང་ཚད་དང་བསྒྱུར་དགོས། སབ་ཤུན་གི་རིན་པ་འཚོལ་བར། རྒྱ་ཁྱོན་བརིས་ཏེ་སབ་ཤུན་གི་གོང་ཚད་དང་བསྒྱུར་དགོས། ཁྱེད་ཀིས་དྲན་གསོ་གིས་དང་།

མཐའ་མཉམ་དབིབས་མཐའ་མང་གི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ = མཐའི་གངས་ × མཐའི་རིང་ཚད། མཐའ་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ = 3 × མཐའ། གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ = 4 × མཐའ།

མཐའ་མཉམ་དབིབས་མཐའ་དྲུག་མའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ = 6 × མཐའ།

188

མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་དང་རྒྱ་ཁྱོན། གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ = 2 × (l + b)

བྱེད་སྟོ། A

D

གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = l × b

གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = མཐའ་ × མཐའ།

སྒིག་རལ་ཞིག་བཟོ་བར་དབང་མོར་མཐའ་ 4 cm ཅན་གི་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་ B

དཔེ་རིས་ ༡༢་༡

A

C

བཞི་ནར་མོ་ཞིག་ཡོད། མོས་ཤོག་ལྷེ་གྲུ་ནར་ནས་མཐའ་ 4 cm ཅན་གི་གྲུ་བཞི་ D

B

C དཔེ་རིས་ ༡༢་༢

A

དགོས་ཀི་ཡོད། མོ་ལ་དཀྱུས་ 28 cm དང་ཞེང་ 21 cm ཅན་གི་ཤོག་ལྷེ་གྲུ་

D

ཁ་གང་མ་གཏུབས་པ་རེད། དེས་ན་ཤོག་ལྷེ་དེའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་མང་དུ་ འགོ་ཡི་འདུག་གམ་ཡང་ན་ཉུང་དུ་འགོ་ཡི་འདུག

གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་གཏུབས་རེས་མཐའ་ A ནས་ D བར་གི་རིང་ཚད་མང་དུ་ཕིན་ འདུག་གམ། དབིབས་དེའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཆེ་རུའམ་ཡང་ན་ཆུང་དུ་སོང་འདུག་གམ། དབང་མོས་མཐའ་ BC ནས་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་གཞན་ཞིག་གཏུབས་པ་རེད།

(དཔེ་རིས་༡༢་༣) ཤོག་ལྷེ་ལྷག་མའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་མང་བའམ་ཡང་ན་ B

C དཔེ་རིས་ ༡༢་༣

ཉུང་དུ་འགོ་འདུག་གམ། དེའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཆེ་རུའམ་ཡང་ན་ཆུང་དུ་སོང་འདུག་གམ།

དེས་ན། ང་ཚོས་གོང་གི་བེད་སོ་ལས། མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་འཕར་བ་ཡིན་ན་རྒྱ་ ཁྱོན་འཕར་གི་མེད་པ་གསལ་ཁ་སྟོན་གི་ཡོད།

རིས་དཔེ། ༡༽ ཆ་ཚད་ 3 m × 2 m ཅན་གི་སོ་སྒོམ་ཞིག་ཆ་ཚད་ 10 m × 10 m ཅན་གི་གང་ ནས་བཏོན་ཡོད། གལ་ཏེ་གང་ 1 m2 ཚོན་གཏོང་བར་ངལ་རོལ་བའི་ག་ ` 2.50 ཡིན་ན། གང་ཚོན་གཏོང་བར་ངལ་རོལ་བའི་ག་ག་ཚོད་ཡིན་ནམ།

ལན། གང་ནས་སོ་ཕུད་པའི་རྒྱ་ཁྱོན་ལྷག་མ་ལ་ཚོན་གཏོང་དགོས། སོའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = l × b

དཔེ་རིས་ ༡༢་༤

= 3 × 2 m2 = 6 m2

སོ་ཚུད་པའི་གང་གི་རྒྱ་ཁྱོན་ = མཐའ་ × མཐའ། = 10 m × 10 m = 100 m2 སོ་ཕུད་པའི་གང་གི་རྒྱ་ཁྱོན་ = (100 − 6) m2 = 94 m2 ངལ་རོལ་བའི་ག་ = ` 2.50 × 94 = ` 235

189

རིས་རིག ༢༽ གྲུ་ནར་ཤོག་ལྷེའི་རྒྱ་ཁྱོན་ 500 cm2 དང་དཀྱུས་ 25 cm ཡིན་ན། དེའི་ཞེང་ཚོལ། ཤོག་ལྷེ་དེའི་མཐའ་འཁོར་ རིང་ཚད་ཀང་ཚོལ།

ལན། གྲུ་ནར་ཤོག་ལྷེའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = 500 cm2 ; དཀྱུས་ (l) = 25 cm གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = l × b རྒྱ་ཁྱོན།

500 = 20 cm 25 l ཤོག་ལྷེའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ = 2 × (l + b) = 2 × (25 + 20) cm = 90 cm དེར་བརྟེན། ཞེང་ (b) =

=

དེས་ན། གྲུ་ནར་ཤོག་ལྷེའི་ཞེང་ནི་ 20 cm དང་དེའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ནི་ 90 cm རེད། ༣༽ མཐའ་ 10 cm ཡིན་པའི་ལྕགས་སྐུད་གཅིག་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་དབིབས་ཀི་ནང་ཡོད། གལ་ཏེ་ལྕགས་སྐུད་དེ་

དཀྱུས་ 12 cm ཅན་གི་གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ཞིག་ཏུ་བཀུག་པ་ཡིན་ན། དེའི་ཞེང་ཚོལ། གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའམ་ཡང་ན་ གྲུ་བཞི་ནར་མོ་གཉིས་ལས་གང་ལ་རྒྱ་ཁྱོན་མང་བ་འདུག་གམ།

ལན། གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་མཐའ་ = 10 cm

ལྕགས་སྐུད་ཀི་རིང་ཚད་ = གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད། = 4 × མཐའ། = 4 × 10 cm = 40 cm

གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་དཀྱུས་ (l) = 12 cm; b ནི་གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་ཞེང་ཡིན་པ་ཆ་འཇོག གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ = ལྕགས་སྐུད་ཀི་རིང་ཚད། = 40 cm གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ = 2 (l + b)

40 = 2 (12 + b)

40 = 12 + b 2 b = 20 − 12 = 8 cm དེར་བརྟེན། གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་ཞེང་ནི་ 8 cm རེད།

གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = (མཐའ།)2

= 10 cm × 10 cm = 100 cm2

གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = l × b

= 12 cm × 8 cm = 96 cm2

དེས་ན། གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་དང་གྲུ་བཞི་ནར་མོ་གཉིས་ཀི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་གཅིག་པ་ཡིན་ཡང་། གྲུ་བཞི་ཁ་ གང་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་མང་བ་འདུག

190

མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་དང་རྒྱ་ཁྱོན།

སྦོང་ཚན། ༡༢་༡ ༡། ས་ཆ་གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ཞིག་གི་དཀྱུས་དང་ཞེང་ལ་ 500 m དང་ 300 m སོ་སོར་ཡོད། (ཀ) དེའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ།

(ཁ) ས་ཆ་ 1 m2 གི་རིན་གོང་ ` 10,000 ཡིན་ན། ས་ཆ་དེའི་རིན་གོང་ཚོལ། ༢། མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ 320 m ཡིན་པའི་སྐྱེད་ཚལ་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ། ༣། རེད་ཐང་གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་རྒྱ་ཁྱོན་ནི་ 440 m2 དང་དཀྱུས་ 22 m རེད། རེད་ཐང་དེའི་ཞེང་ཚོལ། དེའི་མཐའ་ འཁོར་རིང་ཚད་ཀང་ཚོལ།

༤། ཤོག་ལྷེ་གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ཞིག་གི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ 100 cm རེད། གལ་ཏེ་དེའི་དཀྱུས་ 35 cm ཡིན་ན། དེའི་ ཞེང་དང་རྒྱ་ཁྱོན་གཉིས་ཀ་ཚོལ།

༥། ལྡུམ་རྭ་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་ཞིག་གི་རྒྱ་ཁྱོན་དང་ལྡུམ་ར་གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ཞིག་གི་རྒྱ་ཁྱོན་གཅིག་པ་རེད། གལ་ཏེ་ལྡུམ་ར་

གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་མཐའ་ 60 m དང་ལྡུམ་ར་གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་དཀྱུས་ 90 m ཡིན་ན། ལྡུམ་ར་གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་ ཞེང་ཚོལ།

༦། ལྕགས་སྐུད་ཅིག་གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་དབིབས་ནང་ཡོད། དེའི་དཀྱུས་ནི་ 40 cm དང་ཞེང་ནི་ 22 cm རེད། གལ་ཏེ་

ལྕགས་སྐུད་དེ་བཀུག་ནས་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་བཟོས་པ་ཡིན་ན། མཐའ་རེའི་རིང་ཚད་ག་ཚོད་རེད་དམ། དབིབས་ གང་གིས་རྒྱ་ཁྱོན་མང་བ་ཁེབས་ཀི་འདུག་གམ།

༧། གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ནི་ 130 cm རེད། གལ་ཏེ་གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་ཞེང་ 30 cm ཡིན་ན། དེའི་ དཀྱུས་ཚོལ། གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཡང་ཚོལ།

༨། གང་ངོས་སུ་དཀྱུས་ལ་ 2 m དང་ཞེང་ལ་ 1 m ཡིན་པའི་སོ་ཞིག་ཡོད། གང་གི་དཀྱུས་

ནི་ 4.5 m དང་ཞེང་ནི་ 3.6 m རེད། གལ་ཏེ་གང་ 1 m2 ལ་དཀར་རི་གཏོང་བར་ གོང་ཚད་ ` 20 ཡིན་ན། གང་དེ་དཀར་རི་གཏོང་བར་གོང་ཚད་ག་ཚོད་རེད་དམ།

༡༢་༣ མཉམ་འགོ་མཐའ་བཞི་མའི་རྒྱ་ཁྱོན། Area of a parallelogram

ད་བར་ང་ཚོས་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་དང་གྲུ་བཞི་ནར་མོ་མིན་པའི་དབིབས་གཞན་མང་པོ་སྦངས་ཟིན། ཁྱེད་ཀིས་མཉམ་འགོ་མཐའ་བཞི་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་གང་འདྲ་འཚོལ་གི་ཡིན་ནམ།

191

རིས་རིག

བེད་སོ། དཔེ་རིས་ ༡༢་༥ (ཀ) ནང་སྟོན་པ་བཞིན་དྲ་མིག་ཤོག་བུའི་སྟེང་མཉམ་འགོ་མཐའ་བཞི་མ་བིས་ཏེ་གཏུབས། མཉམ་འགོ་ མཐའ་བཞི་མའི་ཟུར་ཚེག་གཅིག་ནས་ཐིག་ཅིག་དེའི་གཏད་མཐའ་དང་དྲང་འཕང་ཡིན་པ་ [དཔེ་རིས་ ༡༢་༥ (ཁ)] བིས། ཁྱེད་ལ་བྱུང་བའི་ཟུར་གསུམ་མ་དེ་གཏུབས་ཏེ་མཉམ་འགོ་མཐའ་བཞི་མའི་ཕོགས་གཞན་དུ་ཞོག [དཔེ་རིས་ ༡༢་༥ (ག)]

(ཀ)

(ཁ) དཔེ་རིས་ ༡༢་༥

(ག)

ཁྱེད་ལ་གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ཞིག་བྱུང་། མཉམ་འགོ་མཐའ་བཞི་མའི་ རྒྱ་ཁྱོན་དང་གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་རྒྱ་ཁྱོན་གཅིག་པ་རེད་དམ། རེད། མཉམ་འགོ་མཐའ་བཞི་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = གྲུབ་པའི་གྲུ་བཞི་ནར་

ཞེང་ = དཔངས།

མོའི་རྒྱ་ཁྱོན།

གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་དཀྱུས་དང་ཞེང་གང་རེད།

གྲུ་བཞི ་ ནར་མོ འི ་ དཀྱུས་དང་མཉམ་འགོ ་ མཐའ་བཞི ་ མའི ་ ཞབས་གཅིག་པ་དང་། གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་ཞེང་དང་མཉམ་འགོ་ མཐའ་བཞི་མའི་དཔངས་གཅིག་པ་རེད། (དཔེ་རིས་ ༡༢་༦)

ཞབས་ = དཀྱུས། དཔེ་རིས་ ༡༢་༦

འདིར། མཉམ་འགོ་མཐའ་བཞི་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་རྒྱ་ཁྱོན། = དཀྱུས་ × ཞེང་། =l×b

དེ་ལྟར། གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་དཀྱུས་ l དང་ཞེང་ b ནི་མཉམ་འགོ་མཐའ་བཞི་མའི་ཞབས་ b དང་དཔངས་ h སོ་སོར་གཅིག་ པ་རེད།

དེས་ན། མཉམ་འགོ་མཐའ་བཞི་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = ཞབས་ × དཔངས། = b× h

192

མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་དང་རྒྱ་ཁྱོན། མཉམ་འགོ་མཐའ་བཞི་མའི་ཞབས་ནི་མཐའ་གང་རུང་གཅིག་ཡིན་ཆོག

D

མཉམ་འགོ་མཐའ་བཞི་མའི་ཟུར་ཚེག་ཅིག་ནས་དེའི་གཏད་མཐའ་ལ་ དཔངས། དྲང་འཕང་ཡིན་པའི་ཐིག་དེ་ལ་དཔངས་ཟེར། མཉམ་འགོ་མཐའ་བཞི་ A མ་ ABCD ནང་། DE ནི་ AB དང་དྲང་འཕང་རེད། འདིར། AB O ཞབས།

N

P

C

E

B ཞབས།

ནི་མཉམ་འགོ་མཐའ་བཞི་མའི་ཞབས་དང་། DE ནི་དཔངས་རེད། མཉམ་འགོ་མཐའ་བཞི་མ་ LMNO ནང་། MP ནི་དེའི་གཏད་

L

M

མཐའ་ LO དང་དྲང་འཕང་རེད། འདིར། LO ནི་ཞབས་དང་ MP ནི་དཔངས་རེད།

དཔངས། རིས་དཔེ།

༤༽ མཉམ་འགོ་མཐའ་བཞི་མའི་མཐའ་གཅིག་དང་དེའི་གནས་མཐུན་དཔངས་ནི་ 2 cm དང་ 4 cm སོ་སོར་ཡིན། མཉམ་འགོ་མཐའ་བཞི་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ། (དཔེ་རིས་ ༡༢་༧)

ལན། ཞབས་ (b) = 4 cm ; དཔངས་ (h) = 2 cm

2 cm

མཉམ་འགོ་མཐའ་བཞི་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = b × h

= 4 × 2 cm2 = 8 cm2

༥༽ གལ་ཏེ་མཉམ་འགོ་མཐའ་བཞི་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ 24 cm དང་ཞབས་ 4 cm 2

4 cm དཔེ་རིས་ ༡༢་༧

ཡིན་ན། མཉམ་འགོ་མཐའ་བཞི་མའི་དཔངས་ 'x' ཚོལ། (དཔེ་རིས་ ༡༢་༨)

མཉམ་འགོ་མཐའ་བཞི་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = b × h

x

ཡང་ན།

24 =x 4

4c

དེར་བརྟེན། 24 = 4 × x

m

ལན། རྒྱ་ཁྱོན་ (A) = 24 cm2 ; ཞབས་ (b) = 4 cm

ཡང་ན།

x = 6 cm

དེར་བརྟེན། མཉམ་འགོ་མཐའ་བཞི་མའི་དཔངས་ 6 cm རེད།

དཔེ་རིས་ ༡༢་༨

༦༽ མཉམ་འགོ་མཐའ་བཞི་མ་ ABCD ཡི་ཉེ་མཐའ་གཉིས་ནི་ 6 cm དང་ 4 cm སོ་སོར་རེད། ཞབས་ CD ཡི་ གནས་མཐུན་དཔངས་ནི་ 3 cm རེད། (དཔེ་རིས་ ༡༢་༩) གཤམ་གསལ་ཚོལ། (ཀ) མཉམ་འགོ་མཐའ་བཞི་མའི་རྒྱ་ཁྱོན།

(ཁ) ཞབས་ AD ཡི་གནས་མཐུན་དཔངས།

193

རིས་རིག ལན། (ཀ) མཉམ་འགོ་མཐའ་བཞི་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = b × h = 6 cm × 3 cm = 18 cm2 (ཁ) ཞབས་ = 4 cm ; དཔངས་ = x (ཆ་འཇོག) ; རྒྱ་ཁྱོན་ = 18 cm2 མཉམ་འགོ་མཐའ་བཞི་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = b × x

A

B

18 =x 4

6 cm

D

x = 4.5 cm

3 cm

x

m 4c

18 = 4 × x

C

དཔེ་རིས་ ༡༢་༩

དེར་བརྟེན། ཞབས་ AD ཡི་གནས་མཐུན་དཔངས་ནི་ 4.5 cm རེད། རིས་དང་། གཤམ་གསལ་མཉམ་འགོ་མཐའ་བཞི་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ། (༡)

2.5 cm 8 cm

(༢) མཉམ་འགོ་མཐའ་བཞི་མ་ ABCD ནང་། AB = 7.2 cm དང་ C ནས་ AB ལ་དྲང་འཕང་ནི་ 4.5 cm རེད།

༡༢་༤ ཟུར་གསུམ་མའི་རྒྱ་ཁྱོན། Area of a triangle བེད་སོ། ཤོ ག ་བུའི ་ སྟེ ང ་མཐའ་མི ་ མཉམ་པའི ་ ཟུར་གསུམ་མ་ཞི ག ་བི ས ་ཏེ ་

B

གཏུབས། ཟུར་གསུམ་མ་དེ་ཤོག་བུ་གཞན་ཞིག་གི་སྟེང་དུ་བཞག་སྟེ་ དེའི་ཚད་གཞི་མཉམ་པའི་ཟུར་གསུམ་མ་གཞན་ཞིག་གཏུབས།

ཁྱེ ད ་ལ་ཚད་གཞི ་ གཅི ག ་པ་ཡི ན ་པའི ་ མཐའ་མི ་ མཉམ་པའི ་ ཟུར་

A

C

གསུམ་མ་གཉིས་ཡོད། ཟུར་གསུམ་མ་དེ་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་རེད་

E

དམ།

ཁྱེད་ཀིས་ཟུར་གསུམ་མ་དེ་གཉིས་གཅིག་གི་སྟེང་ལ་གཅིག་འཇོག་

སྐབས་ཕན་ཚུན་ཏག་ཏག་ཁེབས་ཐུབ་ཀི་ཡོད། དེས་ན། ཟུར་གསུམ་ མ་དེ་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་རེད།

194

D

F

མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་དང་རྒྱ་ཁྱོན། ཟུར་གསུམ་མ་གཉིས་ལས་གཅིག་སྐོར་བ་བརྒྱབ་ཏེ། གཡས་ཀི་དཔེ་རིས་ནང་

A

C

སྟོན་པ་བཞིན་ཟུར་གསུམ་མ་གཉིས་ཀི་གནས་མཐུན་མཐའ་མཐུད། ཁྱེད་ལ་གྲུབ་པའི་དཔེ་རིས་དེ་མཉམ་འགོ་མཐའ་བཞི་མ་རེད།

མཉམ་འགོ་མཐའ་བཞི་མ་དེ་ཟུར་གསུམ་མ་གཉིས་མཐུད་ནས་གྲུབ་པ་ཞིག་རེད།

E

B

F

D དེར་བརྟེན། མཉམ་འགོ་མཐའ་བཞི་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ནི་ཟུར་གསུམ་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་གི་ཉིས་ལྡབ་རེད། ང་ཚོས་ཤེས་གསལ་ལ།

མཉམ་འགོ་མཐའ་བཞི་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = ཞབས་ × དཔངས། དེར་བརྟེན།

1 × མཉམ་འགོ་མཐའ་བཞི་མའི་རྒྱ་ཁྱོན། 2 1 = (ཞབས་ × དཔངས།) 2 P 1 1 = (b × h) [ཡང་ན། bh] 2 2

ཟུར་གསུམ་མ་རེའི་རྒྱ་ཁྱོན་ =

Q

R

S

དཔེ་རིས་ ༡༢་༡༠ ཡི་ཟུར་གསུམ་མ་ཚང་མ་ཞབས་ AB = 6 cm གི་སྟེང་ལ་ཡོད། ཁྱེད་ཀིས་ཟུར་གསུམ་མ་རེའི་ཞབས་ AB ཡི་ གནས་མཐུན་དཔངས་འབི་ཐུབ་བམ།

A

6 cm

འདིར་ཟུར་གསུམ་མ་ཚང་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་གཅིག་པ་རེད་དམ། རེད།

B

དཔེ་རིས་ ༡༢་༡༠

ཟུར་གསུམ་མ་དེ་དག་ཡོངས་མཚུངས་རེད་དམ། མ་རེད།

དེས་ན། གཤམ་གསལ་མཇུག་བསོམས་རྒྱག་ཐུབ། ཡོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མ་ཚང་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་གཅིག་པ་རེད་དེ།

ཟུར་གསུམ་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་གཅིག་པ་ཡིན་ན་ཡོངས་མཚུངས་ཡིན་པའི་ངེས་པ་མེད། རིས་དཔེ། ༧༽ གཤམ་གསལ་ཟུར་གསུམ་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ། (དཔེ་རིས་ ༡༢་༡༡) L

2 cm

2 cm

P

Q

S

4 cm (ཀ)

R དཔེ་རིས་ ༡༢་༡༡

O

M

3 cm

N

(ཁ)

195

རིས་རིག 1 1 bh = × QR × PS 2 2 1 = × 4 cm × 2 cm = 4 cm2 2 1 1 (ཁ) ཟུར་གསུམ་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = bh = × MN × LO 2 2 1 = × 3 cm × 2 cm = 3 cm2 2

ལན། (ཀ) ཟུར་གསུམ་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ =

༨༽ གལ་ཏེ་ཟུར་གསུམ་མ་ ABC ཡི་རྒྱ་ཁྱོན་ 18 cm2 དང་དཔངས་ AD ནི་ 3 cm ཡིན་ན། ཞབས་ BC ཚོལ། (དཔེ་རིས་ ༡༢་༡༢)

ལན། རྒྱ་ཁྱོན་ = 18 cm2, དཔངས་ = 3 cm 1 ཟུར་གསུམ་མ་ ABC ཡི་རྒྱ་ཁྱོན་ = bh 2 1 18 = × b × 3 2 18 × 2 དེ་ནི། b= = 12 cm 3 དེར་བརྟེན།

A 3 cm B

C

D

དཔེ་རིས་ ༡༢་༡༢

BC = 12 cm

༩༽ ∆PQR ནང་། PR = 8 cm དང་། QR = 4 cm, PL = 5 cm རེད། (དཔེ་རིས་ ༡༢་༡༣) (ཀ) ∆PQR ཡི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ།

(ཁ) QM ཚོལ།

ལན། (ཀ) QR = ཞབས་ = 4 cm, PL = དཔངས་ = 5 cm ∆PQR ཡི་རྒྱ་ཁྱོན་ =

1 1 bh = × 4 × 5 = 10 cm2 2 2

P

(ཁ) PR = ཞབས་ = 8 cm, QM = དཔངས་ = ?

196

8c

m

5 cm

1 bh 2 1 དེ་ནི། 10 = × 8 × h 2 10 h= = 2.5 cm 4 དེར་བརྟེན། QM = 2.5 cm ཟུར་གསུམ་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ =

L

M

Q

4 cm

དཔེ་རིས་ ༡༢་༡༣

R

མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་དང་རྒྱ་ཁྱོན།

སྦོང་ཚན། ༡༢་༢ ༡། གཤམ་གསལ་མཉམ་འགོ་མཐའ་བཞི་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ། 5 cm 4 cm

3 cm

7 cm

(ཁ)

4.4

cm

4.8 cm

(ང)

3.5 cm 2.5 cm

5 cm

2 cm

(ཀ)

(ག)

(ཅ)

cm 3.

2

cm

2 cm

5

3 cm

4 cm

༢། གཤམ་གསལ་ཟུར་གསུམ་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ།

3 cm

4 cm (ཀ)

(ཁ)

3 cm

(ག)

(ང)

༣། གཤམ་གསལ་རེའུ་མིག་སྐོངས། ཞབས། (ཀ)

20 cm

(ཁ) (ག) (ང)

དཔངས།

15.6 cm

མཉམ་འགོ་མཐའ་བཞི་མའི་རྒྱ་ཁྱོན། 246 cm2

15 cm

154.5 cm2

8.4 cm

48.72 cm2 16.38 cm2

197

རིས་རིག ༤། གཤམ་གསལ་རེའུ་མིག་སྐོངས།

(ཀ) (ཁ) (ག)

དཔངས།

ཟུར་གསུམ་མའི་རྒྱ་ཁྱོན།

15 cm

87 cm2 31.4 cm

22 cm

1256 cm2 170.5 cm2

P

༥། དཔེ་རིས་ ༡༢་༡༤ ནང་གི་མཉམ་འགོ་མཐའ་བཞི་མ་ PQRS ལ་

Q 7.6 cm

ཞབས།

N

ལྟོས་དང་། QM ནི་ Q ནས་ SR ཐོག་གི་དཔངས་དང་། QN

S

ནི་ Q ནས་ PS ཐོག་གི་དཔངས་རེད།

12 cm

གལ་ཏེ་ SR = 12 cm དང་ QM = 7.6 cm ཡིན་ན། D

(ཁ) PS = 8 cm སྐབས། QN ཚོལ།

C

M

༦། དཔེ་རིས་ ༡༢་༡༥ ནང་། DL དང་ BM ནི་མཉམ་འགོ་མཐའ་བཞི་ མའི་མཐའ་ AB དང་ AD སོ་སོའི་སྟེང་གི་དཔངས་རེད།

A

གལ་ཏེ་མཉམ་འགོ་མཐའ་བཞི་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ནི་ 1470 cm2 དང་།

L

དཔེ་རིས་ ༡༢་༡༥

AB = 35 cm, AD = 49 cm ཡིན་ན། BM དང་ DL ཚོལ།

༧། དཔེ་རིས་ ༡༢་༡༦ ཡི་ ∆ABC ནང་། ∠A = 90 དང་ AD ⊥ BC

m

12

5c

རེད།

B

cm

C

D 13 cm དཔེ་རིས་ ༡༢་༡༦

A

༨། དཔེ་རིས་ ༡༢་༡༧ ནང་ ∆ABC ནི་སྐེད་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ་ཡིན་

E

7.5

6 cm རེད།

B

cm

cm

7.5

པ་དང་། AB = AC = 7.5 cm དང་། BC = 9 cm, AD = ∆ABC ཡི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ། དཔངས་ CE ཡང་ཚོལ།

6 cm D

9 cm

དཔེ་རིས་ ༡༢་༡༧

198

B

A

o

ཡིན་ན། ∆ABC ཡི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ། AD ཡང་ཚོལ།

R

དཔེ་རིས་ ༡༢་༡༤

(ཀ) མཉམ་འགོ་མཐའ་བཞི་མ་ PQRS ཡི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ།

གལ་ཏེ་ AB = 5 cm དང་། BC = 13 cm, AC = 12 cm

M

C

མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་དང་རྒྱ་ཁྱོན།

༡༢་༥ སོར་དབིབས། Circle

དབིབས་མཐའ་མང་ནི་ཐིག་དུམ་ལས་གྲུབ་པ་རེད། ང་ཚོས་དབིབས་མཐའ་མང་གི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་འཚོལ་ཐུབ་ ཀི་ཡོད། སོར་དབིབས་ལ་ཆ་བཞག་ན། སོར་དབིབས་ཀི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ནི་དེའི་སོར་མཐའི་རིང་ཚད་ཡིན། ༡༢་༥་༡ སོར་དབིབས་ཀི་སོར་མཐའི་རིང་ཚད། Circumference of a circle ཆོས་དབངས་ཀིས་ཤོག་པང་ཞིག་ནས་སོར་དབིབས་གཅིག་གཏུབས་པ་རེད། ཁོ་མོས་སོར་དབིབས་ཀི་མཐའ་བརྒྱུད་སྐུད་ པས་བསྐོར་ན། སྐུད་པའི་རིང་ཚད་ག་ཚོད་དགོས་སམ།

ཁྱེད་ཀིས་ཐིག་ཤིང་སྤད་དེ་ཁྱོག་ཐིག་འཇལ་ཐུབ་ཀི་མ་རེད། འོ་ན་ཁྱེད་ཀིས་གང་བ་དགོས་སམ།

འདིར་སྐུད་པའི་རིང་ཚད་འཚོལ་བར་ཐབས་ལམ་གཅིག་ཡོད། སོར་དབིབས་ཀི་སོར་མཐའི་སྟེང་ཚེག་ P ཞིག་བིས།

[དཔེ་རིས་ ༡༢་༡༨ (ཀ)] ཚེག་ P ནས་འགོ་བཙུགས་ཏེ་སྐུད་པ་ཞིག་སོར་མཐའ་བརྒྱུད་སྐོར་བ་གཅིག་རྒྱོབ། གནས་དེར་ R བིས། [དཔེ་རིས་ ༡༢་༡༨ (ཁ)] དེ་ནས་སྐུད་པ་ཐང་ཐང་བཟོས་ཏེ་དེའི་རིང་ཚད་འཇོལ། [དཔེ་རིས་ ༡༢་༡༨ (ག)] P

P

(ཀ)

R

P

(ཁ) དཔེ་རིས་ ༡༢་༡༨

R (ག)

སོར་དབིབས་ཁུལ་གི་འཁོར་རྒྱའི་བར་ཐག་ལ་དེའི་སོར་མཐའི་རིང་ཚད་ཟེར།

བེད་སོ། ཆུ་དམ་གི་ཁེབས་གཅོད་དང་། ལག་གདུབ། ཡང་ན་སོར་སོར་ཡིན་པའི་དངོས་པོ་གང་རུང་ཞིག་བངས་ཏེ་དེའི་སོར་ མཐའི་རིང་ཚད་ཚོལ།

ཁྱེད་ཀིས་གོང་གི་བེད་ཐབས་སྤད་དེ། རེད་འགན་པ་ཞིག་རྒྱུག་འགན་ཐང་སྟེང་བསྐྱོད་པའི་བར་ཐག་འཚོལ་ཐུབ་བམ།

སྐུད་པ་བེད་སྤད་དེ་རྒྱུག་འགན་ཐང་སྟེང་བསྐྱོད་པའི་བར་ཐག་གམ་ཡང་ན་སོར་སོར་ཡིན་པའི་དངོས་པོའི་བར་ ཐག་བཙལ་ཁག་པོ་ཡོད། དེར་མ་ཟད་འཇལ་ཚད་ཡང་ཏག་ཏག་ཡོང་གི་མེད།

དེས་ན། སོར་དབིབས་ཀི་ཚངས་ཐིག་དང་སོར་མཐའི་རིང་ཚད་ཀི་འབེལ་བ་གང་ཡོད་ལྟ་རྒྱུ་ཡིན།

199

རིས་རིག གཤམ་གི་རེའུ་མིག་ལ་ལྟོས་དང་། སོར་དབིབས། ཚངས་ཕེད། (r) ཚངས་ཐིག (d) སོར་མཐའི་རིང་ཚད། (C) སོར་མཐའི་རིང་ཚད་དང་ཚངས་ ཐིག་གི་སྡུར་ཚད། C d 22 = 3.14 ༡ 3.5 cm 7.0 cm 22.0 cm 7 44 ༢ 7.0 cm 14.0 cm 44.0 cm = 3.14 14 66 = 3.14 ༣ 10.5 cm 21.0 cm 66.0 cm 21 32 5.0 cm 10.0 cm 32.0 cm = 3.2 ༤ 10 94 ༥ 15.0 cm 30.0 cm 94.0 cm = 3.13 30 132 = 3.14 ༦ 21.0 cm 42.0 cm 132.0 cm 42

((

གོང་གི་རེའུ་མིག་ལས།

སོར་མཐའི་རིང་ཚད་དང་ཚངས་ཐིག་གི་སྡུར་ཚད་རྣམས་ཕལ་ཆེར་གཅིག་པ་ཡིན་པ་མཐོང་

ཐུབ། སོར་དབིབས་ཤིག་གི་སོར་མཐའི་རིང་ཚད་ནི་རྟག་ཏུ་དེའི་ཚངས་ཐིག་གི་ལྡབ་གསུམ་ལས་མང་བ་ཡོད་པ་བཤད་ ཐུབ། སྡུར་ཚད་འདི་རྟག་གངས་ཡིན་པ་དང་དེ་ π (པཱཡི་) ཡིས་མཚོན་གི་ཡོད། དེའི་ཚོད་དཔག་ཐང་ནི་ 22 ཡང་ན་ 7 3.14 རེད། C = π , C ནི་སོར་དབིབས་ཀི་སོར་མཐའི་རིང་ཚད་དང་ d ནི་དེའི་ཚངས་ཐིག་མཚོན་གི་ཡོད། d ཡང་ན། C = πd ང་ཚོས་ཤེས་གསལ་ལ། སོར་དབིབས་ཀི་ཚངས་ཐིག་ (d ) ནི་ཚངས་ཕེད་ (r) ཀི་ཉིས་ལྡབ་རེད། དེ་ནི། d = 2r དེར་བརྟེན།

དེས་ན།

C = π d = π × 2r

ཡང་ན།

C = 2π r

བེད་སོ། སེར་མ་སོར་མོ་ཆེ་ཆུང་མི་འདྲ་བ་གཉིས་བངས། དེ་ནས་སེར་མ་གཉིས་ཀ་རིམ་བཞིན་ཅོག་ཙེའི་སྟེང་སྒིལ། བསྐོར་ བསྐྱོད་གཅིག་རེས་སེར་མ་གང་དེས་བར་ཐག་མང་བ་འགོ་ཡི་འདུག་གམ།

200

མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་དང་རྒྱ་ཁྱོན། རིས་དཔེ། ༡༠༽ ཚངས་ཐིག་ 10 cm ཡིན་པའི་སོར་དབིབས་ཀི་སོར་མཐའི་རིང་ཚད་ཚོལ། (π = 3.14 ལེན།) ལན། སོར་དབིབས་ཀི་ཚངས་ཐིག་ (d ) = 10 cm སོར་དབིབས་ཀི་སོར་མཐའི་རིང་ཚད་ = π d

= 3.14 × 10 cm = 31.4 cm

དེར་བརྟེན། ཚངས་ཐིག་ 10 cm ཅན་གི་སོར་དབིབས་ཀི་སོར་མཐའི་རིང་ཚད་ནི་ 31.4 cm རེད། ༡༡༽ ཚངས་ཕེད་ 14 cm ཡིན་པའི་འཁོར་སེར་གི་སོར་མཐའི་རིང་ཚད་ཚོལ། (π = 22 ལེན།) 7 ལན། སོར་དབིབས་ཀི་ཚངས་ཕེད་ (r) = 14 cm སོར་དབིབས་ཀི་སོར་མཐའི་རིང་ཚད་ = 2π r

= 2 × 22 × 14 cm = 88 cm 7 དེར་བརྟེན། ཚངས་ཐིག་ 14 cm ཅན་གི་འཁོར་སེར་གི་སོར་མཐའི་རིང་ཚད་ནི་ 88 cm རེད། ༡༢༽ མཁའ་འགོ་ལ་ཁྱི་ཞིག་ཡོད། ཁོ་མོས་རིང་ཚད་ 100 cm ཅན་གི་ཐག་པས་ཁྱི་དེ་ཕུར་པར་བཏགས་པ་རེད། ཁྱི་

དེས་ཐག་པ་ཐང་པོར་སྐོར་བ་གཅིག་བརྒྱབ་པ་ཡིན་ན། (དཔེ་རིས་ ༡༢་༡༩) དེས་བར་ཐག་ག་ཚོད་བསྐྱོད་ཡོད་ དམ། (π = 3.14 ལེན།)

ལན། ཚངས་ཕེད་ (r) = ཐག་པའི་རིང་ཚད། ∴ r = 100 cm

སོར་དབིབས་ཀི་སོར་མཐའི་རིང་ཚད་ = 2π r

100 cm

= 2 × 3.14 × 100 cm = 628 cm

དེར་བརྟེན། ཁྱི་དེས་སྐོར་བ་གཅིག་ལ་བར་ཐག་ 628 cm བསྐྱོད་ཡོད།

དཔེ་རིས་ ༡༢་༡༩

༡༣༽ གཤམ་གི་དཔེ་རིས་ ༡༢་༢༠ ཡི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ཚོལ། (π = 22 ལེན།) 7 ལན། འདིར་ང་ཚོས་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་མཐའ་རེའི་སྟེང་ཡོད་པའི་ཕེད་སོར་གི་སོར་མཐའི་རིང་ཚད་འཚོལ་དགོས། ཁྱེད་ཀིས་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ཀང་འཚོལ་དགོས་སམ། མི་དགོས།

དཔེ་རིས་འདིའི་མཐའ་མཚམས་ནི་ཕེད་སོར་ལས་གྲུབ་པ་ཡིན། ཕེད་སོར་རེའི་ཚངས་ཐིག་ནི་ 14 cm རེད།

201

རིས་རིག སོར་དབིབས་ཀི་སོར་མཐའི་རིང་ཚད་ = π d

14 cm 14 cm

1 ཕེད་སོར་གི་སོར་མཐའི་རིང་ཚད་ = π d 2 = 1 × 22 × 14 cm 2 7 = 22 cm

དཔེ་རིས་ ༡༢་༢༠

ཕེད་སོར་རེའི་སོར་མཐའི་རིང་ཚད་ནི་ 22 cm རེད།

དེར་བརྟེན། མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ = 4 × 22 cm = 88 cm ༡༢་༥་༢ སོར་དབིབས་ཀི་རྒྱ་ཁྱོན། Area of a Circle གཤམ་གི་དཔེ་མཚོན་ལ་ཆ་ཞོག

• ངག་དབང་གིས་ལྡུམ་རའི་ནང་དུ་ཚངས་ཕེད་ 7 m ཅན་གི་མེ་ཏོག་ས་མལ་བྲུས་པ་རེད། དེའི་ཆེད་ཁོས་ཚྭ་ལུད་ཉོ་ དགོས་ཀི་ཡོད། གལ་ཏེ་མི་ཊར་གྲུ་བཞི་མ་ 1 ལ་ཚྭ་ལུད་ 1 kg དགོས་ཀི་ཡོད་ན། ཚྭ་ལུད་ག་ཚོད་ཉོ་དགོས་སམ།

• ཅོག་ཙེ་སྟེང་ངོས་སོར་མོའི་ཚངས་ཕེད་ 2 m ཡིན། གལ་ཏེ་མི་ཊར་གྲུ་བཞི་མ་ 1 ལ་རི་གཏོང་བར་ ` 20 ཡིན་ན། ཅོག་ཙེ་སྟེང་ངོས་ཆ་ཚང་ལ་རི་གཏོང་བར་རིན་གོང་ཚོལ།

དེ་འདྲའི་གནས་སྟངས་སྐབས་ང་ཚོས་རྒྱ་ཁྱོན་ཡང་ན་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་གཉིས་ལས་གང་འཚོལ་དགོས་སམ།

དེ་སྐབས་ང་ཚོས་སོར་དབིབས་ཀི་ཁུལ་གི་རྒྱ་ཁྱོན་འཚོལ་དགོས། ང་ཚོས་དྲ་མིག་ཤོག་བུ་བེད་སྤད་དེ་སོར་དབིབས་ཀི་ རྒྱ་ཁྱོན་འཚོལ་རྒྱུ་ཡིན།

དྲ་མིག་ཤོག་བུའི་སྟེང་ཚངས་ཕེད་ 3 cm ཅན་གི་སོར་དབིབས་ཤིག་བིས། (དཔེ་རིས་ ༡༢་༢༡) སོར་ དབིབས་ནང་ཁེབས་པའི་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་བགངས་ཏེ་དེའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ། སོར་དབིབས་ཀི་མཐའ་ཁ་ཐུག་མིན་པས།

བེད་ཐབས་འདི་བརྒྱུད་ང་ཚོར་སོར་དབིབས་ཀི་རྒྱ་ཁྱོན་

རོབ་ཚོད་ཅིག་ཐོབ་ཀི་ཡོད། སོར་དབིབས་ཀི་རྒྱ་ཁྱོན་འཚོལ་བར་ཐབས་ལམ་གཞན་ཡང་ཡོད།

དཔེ་རིས་ ༡༢་༢༡

སོར་དབིབས་ཤིག་བིས། དེ་དུམ་བུ་གཅིག་མཚུངས་གཉིས་སུ་བཏང་སྟེ་དུམ་བུ་གཅིག་ལ་ནག་གིབ་ཐོངས། [དཔེ་རིས་ ༡༢་༢༢ (ཀ)]

(ཀ)

202

(ཁ) དཔེ་རིས་ ༡༢་༢༢

(ག)

མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་དང་རྒྱ་ཁྱོན། སོར་དབིབས་དེ་ཆ་སྙོམས་དུམ་བུ་བརྒྱད་ནང་ལྟེབ་རེག་བརྒྱབ་སྟེ་ལྟེབ་སུལ་བརྒྱུད་གཏུབས། [དཔེ་རིས་ ༡༢་༢༢ (ཁ)] ཆ་ཤས་རྣམས་ལོགས་སུ་དཔེ་རིས་ ༡༢་༢༢ (ག) ནང་བསྟན་པ་བཞིན་སྒིག ཁྱེད་ལ་འབྱུང་བའི་དཔེ་རིས་དེ་ཕལ་ཆེར་ མཉམ་འགོ་མཐའ་བཞི་མ་རེད། འཚམས་པོ་ཞིག་ཐོབ་ཀི་རེད།

ང་ཚོར་སོག་དབིབས་མང་བ་ཡོད་ན།

དེ་ཙམ་གིས་ང་ཚོར་མཉམ་འགོ་མཐའ་བཞི་མ་

གོང་བཞིན་ང་ཚོས་སོར་དབིབས་ཤིག་སོག་དབིབས་ 64 ནང་བགོས་ཏེ་འདི་དག་དཔེ་རིས་ནང་བསྟན་པ་བཞིན་སྒིགས། དེ་ཡིས་ཕལ་ཆེར་གྲུ་བཞི་ནར་མོ་གྲུབ། (དཔེ་རིས་ ༡༢་༢༣)

ཚངས་ཕེད། སོར་མཐའི་རིང་ཚད་ཀི་ཕེད་ཀ

དཔེ་རིས་ ༡༢་༢༣

གྲུ་བཞི་ནར་མོ་འདིའི་ཞེང་གང་རེད་དམ། གྲུ་བཞི་ནར་མོ་འདིའི་ཞེང་ནི་སོར་དབིབས་ཀི་ཚངས་ཕེད་ (r) རེད།

སོར་དབིབས་གང་ཚང་དེ་སོག་དབིབས་ 64 ལ་བགོས་པས་ཕོགས་རེ་ལ་སོག་དབིབས་ 32 ཡོད། གྲུ་བཞི་ནར་མོ་འདིའི་ དཀྱུས་ནི་སོར་མཐའི་རིང་ཚད་ཀི་ཕེད་ཀ་རེད། (དཔེ་རིས་ ༡༢་༢༣)

སོར་དབིབས་ཀི་རྒྱ་ཁྱོན་ = དེ་ལས་གྲུབ་པའི་གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་རྒྱ་ཁྱོན། = l × b = (སོར་མཐའི་རིང་ཚད་ཀི་ཕེད་ཀ) × ཚངས་ཕེད་ =

དེར་བརྟེན། སོར་དབིབས་ཀི་རྒྱ་ཁྱོན་ = π r 2

( 12 × 2π r( × r = π r

2

རིས་དཔེ། ༡༤༽ ཚངས་ཕེད་ 30 cm ཅན་གི་སོར་དབིབས་ཀི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ། (π = 3.14 ལེན།) ལན། ཚངས་ཕེད་ (r) = 30 cm

སོར་དབིབས་ཀི་རྒྱ་ཁྱོན་ = π r 2 = 3.14 × 302 = 2826 cm2

༡༥༽ ལྡུམ་ར་སོར་མོ་ཞིག་གི་ཚངས་ཐིག་ 9.8 m ཡིན། ལྡུམ་ར་དེའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ། (π = 22 ལེན།) 7 ལན། ཚངས་ཐིག་ (d ) = 9.8 m དེར་བརྟེན། r = 9.8 ÷ 2 = 4.9 m སོར་དབིབས་ཀི་རྒྱ་ཁྱོན་ = π r 2 = 22 × (4.9)2 m2 = 22 × 4.9 × 4.9 m2 = 75.46 m2 7 7

203

རིས་རིག ༡༦༽ གཡས་ཀི་དཔེ་རིས་ནི་སོར་ལྟེ་གཅིག་པ་ཡིན་པའི་སོར་དབིབས་གཉིས་སྟོན་གི་ཡོད། སོར་དབིབས་ཕི་མའི་ཚངས་

ཕེད་ནི་ 10 cm དང་སོར་དབིབས་ནང་མའི་ཚངས་ཕེད་ནི་ 4 cm རེད། སོར་དབིབས་གཉིས་དབར་ནག་གིབ་ བཏང་བའི་ཁུལ་གི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ། (π = 3.14 ལེན།)

ལན། ང་ཚོས་སྔོན་ལ་སོར་དབིབས་གཉིས་ཀི་རྒྱ་ཁྱོན་འཚོལ་དགོས། (ཀ) སོར་དབིབས་ཕི་མའི་ཚངས་ཕེད་ (R) = 10 cm

4 cm

དེར་བརྟེན། སོར་དབིབས་ཕི་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = π R

2

10 cm

= 3.14 × 10 × 10 = 314 cm2

(ཁ) སོར་དབིབས་ནང་མའི་ཚངས་ཕེད་ (r) = 4 cm

དེར་བརྟེན། སོར་དབིབས་ནང་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = π r2 = 3.14 × 4 × 4 = 50.24 cm2

ནག་གིབ་བཏང་བའི་ཁུལ་གི་རྒྱ་ཁྱོན་ = སོར་དབིབས་ཕི་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ − སོར་དབིབས་ནང་མའི་རྒྱ་ཁྱོན། = (314 − 50.24) cm2 = 263.76 cm2

དེར་བརྟེན། སོར་དབིབས་གཉིས་དབར་ནག་གིབ་བཏང་བའི་ཁུལ་གི་རྒྱ་ཁྱོན་ནི་ 263.76 cm2 རེད།

སྦོང་ཚན། ༡༢་༣ ༡། གཤམ་གསལ་ཚངས་ཕེད་ཅན་གི་སོར་དབིབས་ཀི་སོར་མཐའི་རིང་ཚད་ཚོལ། (π = 22 ལེན།) 7 (ཀ) 14 cm (ཁ) 28 mm (ག) 21 cm ༢། གཤམ་གསལ་སོར་དབིབས་ཀི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ།

(ཀ) ཚངས་ཕེད་ = 14 mm (π = 22 ལེན།) 7 (ག) ཚངས་ཕེད་ = 5 cm

(ཁ) ཚངས་ཐིག = 49 m (ང) ཚངས་ཐིག = 98 cm

༣། ཤོག་ལྷེ་སོར་མོ་ཞིག་གི་སོར་མཐའི་རིང་ཚད་ 154 cm ཡིན་ན། དེའི་ཚངས་ཕེད་ཚོལ། ཤོག་ལྷེ་དེའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཡང་

ཚོལ། (π = 22 ལེན།) 7 ༤། ཚངས་ཐིག་ 21 m ཡོད་པའི་ལྡུམ་ར་སོར་མོ་ཞིག་ལ་ར་བ་བསྐོར་འཆར་ཡོད། གལ་ཏེ་ར་བ་བསྐོར་བ་གཉིས་བརྒྱབ་

པ་ཡིན་ན། ཐག་པ་རིང་ཚད་ག་ཚོད་དགོས་སམ། གལ་ཏེ་ཐག་པ་མི་ཊར་རེ་ལ་ ` 4 ཡིན་ན། བསྐོར་བ་གཉིས་འཁོར་

བའི་ཐག་པའི་རིན་གོང་ཚོལ། (π = 22 ལེན།) 7 ༥། ཚངས་ཕེད་ 4 cm ཅན་གི་ཤོག་ལྷེ་སོར་མོ་ཞིག་ནས་ཚངས་ཕེད་ 3 cm ཅན་གི་སོར་དབིབས་གཏུབས་ན། ཤོག་ལྷེ་ ལྷག་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ། (π = 3.14 ལེན།)

204

མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་དང་རྒྱ་ཁྱོན། ༦། དཔེ་རིས་ ༡༢་༢༤ ནང་གི་ཕེད་སོར་གི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ཚོལ། ཕེད་སོར་གི་ ཚངས་ཐིག་ 10 cm རེད། (π = 3.14 ལེན།)

༧། ཚངས་ཐིག་ 1.6 m ཅན་གི་ཅོག་ཙེའི་སྟེང་ངོས་སོར་དབིབས་ལ་རི་གཏོང་བར་

རིན་གོང་ཚོལ། མི་ཊར་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་རེར་རི་གཏོང་བར་ ` 15 གནས་ཀི་

10 cm དཔེ་རིས་ ༡༢་༢༤

ཡོད། (π = 3.14 ལེན།)

༨། རིང་ཚད་ 44 cm ཅན་གི་ལྕགས་སྐུད་ཅིག་སོར་དབིབས་ནང་བཀུག་པ་རེད། སོར་དབིབས་དེའི་ཚངས་ཕེད་དང་རྒྱ་

ཁྱོན་ཚོལ། གལ་ཏེ་ལྕགས་སྐུད་དེ་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་ནང་བཀུག་པ་ཡིན་ན། དེའི་མཐའ་རེའི་རིང་ཚད་ཚོལ། སོར་

དབིབས་དང་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་གཉིས་ལས་གང་གིས་རྒྱ་ཁྱོན་མང་བ་ཁེབས་ཀི་འདུག་གམ། (π = 22 ལེན།) 7 ༩། ཚངས་ཕེད་ 14 cm ཡོད་པའི་ཤོག་ལྷེ་སོར་མོ་ (དཔེ་རིས་ ༡༢་༢༥) ནས་ཚངས་ཕེད་ 3.5 cm

ཅན་གི་སོར་དབིབས་གཉིས་དང་། དཀྱུས་དང་ཞེང་ལ་ 3 cm དང་ 1 cm སོ་སོར་ཡོད་པའི་ དཔེ་རིས་ ༡༢་༢༥ གྲུ་བཞི་ནར་མོ་གཅིག་གཏུབས་པ་རེད། ཤོག་ལྷེ་ལྷག་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ། (π = 22 ལེན།) 7 ༡༠། མཐའ་ 6 cm ཅན་གི་ཤོག་བུ་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་ཞིག་ནས་ཚངས་ཕེད་ 2 cm ཅན་གི་སོར་དབིབས་ཤིག་གཏུབས་ པ་རེད། ཤོག་བུ་ལྷག་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ། (π = 3.14 ལེན།)

༡༡། སོར་དབིབས་ཀི་སོར་མཐའི་རིང་ཚད་ 31.4 cm རེད། སོར་དབིབས་དེའི་ཚངས་ཕེད་དང་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ། (π = 3.14 ལེན།)

༡༢། མེ་ཏོག་ས་མལ་སོར་མོ་ཞིག་ལ་ཁ་ཞེང་ 4 m ཡོད་པའི་རྐང་ལམ་གིས་མཐའ་བསྐོར་ཡོད། མེ་

ཏོག་ས་མལ་དེའི་ཚངས་ཐིག་ 66 m རེད། རྐང་ལམ་དེའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ། (དཔེ་རིས་ ༡༢་༢༦) (π = 3.14 ལེན།)

༡༣། དཔེ་རིས་ ༡༢་༢༧ ཡི་སོར་དབིབས་ནང་མ་དང་ཕི་མ་གཉིས་ཀི་སོར་མཐའི་རིང་ཚད་ཚོལ། (π = 3.14 ལེན།)

༡༤། སྐྱེད་ཚལ་སོར་མོ་ཞིག་གི་རྒྱ་ཁྱོན་ 314 m2 རེད། སྐྱེད་ཚལ་གི་དཀིལ་དུ་ཡོད་པའི་ཆུ་ཟེགས་

གཏོར་ཆས་ཀིས་ཚངས་ཕེད་ 12 m ཡིན་པའི་རྒྱ་ཁྱོན་ལ་ཆུ་གཏོར་ཐུབ་ཀི་ཡོད། ཆུ་ཟེགས་

66 m 4m

དཔེ་རིས་ ༡༢་༢༦ 10 m 19 m

དཔེ་རིས་ ༡༢་༢༧

གཏོར་ཆས་ཀིས་སྐྱེད་ཚལ་ཆ་ཚང་ལ་ཆུ་གཏོར་ཐུབ་ཀི་རེད་དམ། (π = 3.14 ལེན།)

༡༥། ཚངས་ཕེད་ 28 cm ཅན་གི་འཁོར་ལོ་ཞིག་བར་ཐག་ 352 m བསྐྱོད་པར་སྐོར་བ་ག་ཚོད་རྒྱག་དགོས་སམ། (π = 22 ལེན།) 7

205

རིས་རིག ༡༦། མདའ་འཁོར་ཆུ་ཚོད་ཀི་སྐར་མའི་མདའི་རིང་ཚད་ 15 cm རེད། ཚུ་ཚོད་ 1 གི་ནང་སྐར་མའི་མདའ་རེ་དེས་བར་ ཐག་ག་ཚོད་བསྐྱོད་ཡོད་དམ། (π = 3.14 ལེན།)

༡༢་༦ ཚད་གཞི་ཕབ་སྒྱུར། Conversion of units

ང་ཚོས་ 1 cm = 10 mm ཡིན་པ་ཤེས་ཀི་ཡོད། ཁྱེད་ཀིས་ 1 cm2 ནི་ mm2 ག་ཚོད་དང་མཉམ་པ་ཤོད་ཐུབ་བམ། ང་ཚོས་དེ་འདྲ་བའི་དྲི་བ་མང་ཙམ་ལ་ལྟ་རྒྱུ་ཡིན།

མཐའ་ 1 cm ཅན་གི་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་ཞིག་མཐའ་ 1 mm ཡོད་པའི་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་ཆུང་ཆུང་ 100 ལ་བགོས་ ཐུབ་ཀི་ཡོད།

མཐའ་ 1 cm ཅན་གི་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = མཐའ་ 1 mm ཅན་གི་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་ 100 ཡི་རྒྱ་ཁྱོན། དེར་བརྟེན།

1 cm2 = 100 × 1 mm2

དེ་མཚུངས།

1 m2 = 1 m × 1 m

1 cm2 = 100 mm2 ∴ = 100 cm × 100 cm ( 1 m = 100 cm) = 10000 cm2

ཁྱེད་ཀིས་ 1 km2 ནི་ m2 ལ་སྒྱུར་ཐུབ་བམ།

ང་ཚོས་ས་ཆའི་རྒྱ་ཁྱོན་ནི་ཧེག་ཊར་ (hectare) ནང་འཇལ་གི་ཡོད། མཐའ་ 100 m ཅན་གི་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་རྒྱ་ ཁྱོན་ལ་ཧེག་ཊར་ 1 ཡོད། དེར་བརྟེན།

ཧེག་ཊར་ 1 = 100 × 100 m2 = 10000 m2

རྒྱ་ཁྱོན་གི་ཚད་གཞི་ཆེ་བ་ཞིག་ཆུང་བ་ལ་སྒྱུར་སྐབས། སྒྱུར་རིས་རྒྱག་དགོས། དཔེར་ན། 1000 cm2 = 1000 × 100 mm2 = 100000 mm2

ཡིན་ནའང་། རྒྱ་ཁྱོན་གི་ཚད་གཞི་ཆུང་བ་ཞིག་ཆེ་བ་ལ་སྒྱུར་སྐབས། བགོད་རིས་རྒྱག་དགོས། དཔེར་ན། 1000 cm2 =

1000 2 m 10000

= 0.1 m2 ཕབ་སྒྱུར་བོས། (ཀ) 50 cm2 ནི་ mm2 ལ།

206

(ཁ) 100 cm2 ནི་ m2 ལ།

(ག) 2 ha ནི་ m2 ལ།

མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་དང་རྒྱ་ཁྱོན།

༡༢་༧ བེད་སྤོད་རིས་གཞི། Applications

ཁྱེད་རང་གིས་སྔ་དགོང་མི་རྣམས་སྐྱེད་ཚལ་གི་ཕི་ནང་གི་རྐང་ལམ་དང་བཞི་མདོ་སོགས་སུ་གོམ་འགོད་བེད་པ་དོ་སྣང་ བྱུང་ཡོད་ཀི་རེད། མཐོང་རྒྱུ་ཡོད།

རི་མོ་སོགས་ཀི་དཔར་སྒོམ་སྒིག་སྐབས་རི་མོའི་མཐའ་འཁོར་དུ་སྟོང་ཆ་ཞིག་འཇོག་གི་ཡོད་པའང་

དེ་འདྲའི་རྐང་ལམ་བཟོ་བེད་ཀི་འགོ་གོན་ཤེས་པར། རྐང་ལམ་གི་རྒྱ་ཁྱོན་འཚོལ་དགོས། དེ་ལྟ་བུའི་རྒྱ་ཁྱོན་འཚོལ་སྟངས་ ཀི་ཐབས་ལམ་རིས་དཔེ་འགའ་བརྒྱུད་ནས་འགེལ་བརོད་བ་རྒྱུ་ཡིན། རིས་དཔེ།

P

གི་རྐང་ལམ་གིས་བསྐོར་ཡོད། རྐང་ལམ་དེའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ།

ལན། ང་ཚོས་སང་དེ་གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ ABCD ཡིས་མཚོན་པ་དང་།

A

B 2.5 m

མོ་ཞིག་གི་མཐའ་འཁོར་གི་ཕི་རོལ་དུ་ཁ་ཞེང་ 2.5 m ཅན་

Q

↔

༡༧༽ དཀྱུས་ 45 m དང་ཞེང་ 30 m ཅན་གི་སང་གྲུ་བཞི་ནར་

2.5 m 45 m

30 m

↔

D

མཐའ་འཁོར་གི་རྐང་ལམ་ནི་ནག་གིབ་བཏང་བའི་ཁུལ་གིས་ S མཚོན་ན། (དཔེ་རིས་ ༡༢་༢༨)

C R

དཔེ་རིས་ ༡༢་༢༨

རྐང་ལམ་གི་རྒྱ་ཁྱོན་ = གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ PQRS ཡི་རྒྱ་ཁྱོན་ − གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ ABCD ཡི་རྒྱ་ཁྱོན། PQ = (45 + 2.5 + 2.5) m = 50 m PS = (30 + 2.5 + 2.5) m = 35 m གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ PQRS ཡི་རྒྱ་ཁྱོན་ = l × b = (50 × 35) m2 = 1750 m2

གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ ABCD ཡི་རྒྱ་ཁྱོན་ = l × b = (45 × 30) m2 = 1350 m2

རྐང་ལམ་གི་རྒྱ་ཁྱོན་ = གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ PQRS ཡི་རྒྱ་ཁྱོན་ − གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ ABCD ཡི་རྒྱ་ཁྱོན། = (1750 − 1350) m2 = 400 m2

དེར་བརྟེན། རྐང་ལམ་གི་རྒྱ་ཁྱོན་ནི་ 400 m2 རེད།

100 m

A ༡༨༽ གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་མཐའ་ 100 m ཡིན་པའི་སྐྱེད་ཚལ་གི་མཐའ་འཁོར་གི་

B

P

Q

S

R

ནང་རོལ་བརྒྱུད་རྐང་ལམ་ཁ་ཞེང་ 5 m ཅན་ཞིག་ཡོད། རྐང་ལམ་དེའི་རྒྱ་

ཁྱོན་ཚོལ། གལ་ཏེ་རྐང་ལམ་དེར་ 10 m2 རེ་ལ་ ` 250 ཡི་ཨར་འདམ་ འདིང་དགོས་ན། འགོ་གོན་ག་ཚོད་གཏོང་དགོས་སམ།

ལན། ང་ཚོས་སྐྱེད་ཚལ་དེ་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་ ABCD ཡིས་མཚོན་པ་དང་། ནང་ D

དཔེ་རིས་ ༡༢་༢༩

C

207

རིས་རིག རོལ་མཐའ་འཁོར་གི་རྐང་ལམ་ནི་ནག་གིབ་བཏང་བའི་ཁུལ་གིས་མཚོན་ན། (དཔེ་རིས་ ༡༢་༢༩) PQ = 100 − (5 + 5) = 90 m

གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་ ABCD ཡི་རྒྱ་ཁྱོན་ = (མཐའ།)2 = (100)2 m2 = 10000 m2 གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་ PQRS ཡི་རྒྱ་ཁྱོན་ = (མཐའ།)2 = (90)2 m2 = 8100 m2 དེར་བརྟེན། རྐང་ལམ་གི་རྒྱ་ཁྱོན་ = (10000 − 8100) m2 = 1900 m2 10 m2 ལ་ཨར་འདམ་འདིང་བར་འགོ་གོན་ = ` 250

དེར་བརྟེན། 1 m2 ལ་ཨར་འདམ་འདིང་བར་འགོ་གོན་ = ` 250 10 དེས་ན། 1900 m2 ལ་ཨར་འདམ་འདིང་བར་འགོ་གོན་ = ` 250 × 1900 = ` 47,500 10 ༡༩༽ སྐྱེད་ཚལ་གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ཞིག་གི་དཀྱུས་ལ་ 70 m དང་ཞེང་ལ་ 45 m ཡོད། དེའི་དཀིལ་ཏག་ཏག་ནས་ཁ་ཞེང་

5 m ཡིན་པའི་རྐང་ལམ་གཉིས་དྲང་འཕང་དུ་གྲུབ་ཡོད་ན། རྐང་ལམ་དེ་གཉིས་ཀི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ། གལ་ཏེ་ m2 རེ་ བཟོ་ཆེད་ ` 105 འགོ་སོང་གཏོང་དགོས་ན། རྐང་ལམ་དེ་གཉིས་བཟོ་རྒྱུར་འགོ་གོན་ཚོལ།

ལན། ནག་གིབ་བཏང་བའི་ཁུལ་གི་རྒྱ་ཁྱོན་ནི་རྐང་ལམ་གཉིས་ཀི་རྒྱ་ཁྱོན་རེད། དེ་ནི། གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ PQRS ཡི་རྒྱ་

ཁྱོན་དང་གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ EFGH ཡི་རྒྱ་ཁྱོན་རེད། འོན་ཀང་དེ་འཚོལ་སྐབས། གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་ KLMN ཡི་རྒྱ་ཁྱོན་ཐེངས་གཉིས་ལེན་གི་ཡོད་པས། དོན་དངོས་ཐོག་ཐེངས་གཅིག་ལས་བརི་མི་དགོས་པས་གཅིག་འཐེན་ དགོས། འདིར།

PQ = 5 m དང་། PS = 45 m

EH = 5 m དང་། EF = 70 m KL = 5 m དང་། KN = 5 m

རྐང་ལམ་གི་རྒྱ་ཁྱོན་ = གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ PQRS ཡི་རྒྱ་ཁྱོན་ + གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ EFGH ཡི་རྒྱ་ཁྱོན་ − གྲུ་བཞི་ ནར་མོ་ KLMN ཡི་རྒྱ་ཁྱོན།

= (PS × PQ) + (EF × EH) − (KL × KN) = (45 × 5) + (70 × 5) − (5 × 5)

E

= 225 + 350 − 25

45 m H

= 550 m2 དེར་བརྟེན། རྐང་ལམ་བཟོ་བར་འགོ་གོན་ = 550 × ` 105 = ` 57,750

208

PQ

A

D

K

L

N

M SR

70 m དཔེ་རིས་ ༡༢་༣༠

B F G C

མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་དང་རྒྱ་ཁྱོན།

སྦོང་ཚན། ༡༢་༤ ༡། ལྡུམ་ར་ཞིག་གི་དཀྱུས་ལ་ 90 m དང་ཞེང་ལ་ 75 m ཡོད། ལྡུམ་རའི་ཕི་རོལ་གི་མཐའ་འཁོར་ལ་རྐང་ལམ་ཁ་ཞེང་ 5 m ཅན་ཞིག་བཟོ་དགོས་ན། རྐང་ལམ་དེའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ། ལྡུམ་རའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཧེག་ཊར་ནང་ཚོལ།

༢། དཀྱུས་ལ་ 125 m དང་ཞེང་ལ་ 65 m ཡོད་པའི་སྐྱེད་ཚལ་ཞིག་གི་ཕི་རོལ་གི་མཐའ་འཁོར་ལ་ཁ་ཞེང་ 3 m ཅན་ གི་རྐང་ལམ་ཞིག་ཡོད། རྐང་ལམ་དེའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ།

༣། དཀྱུས་ལ་ 8 m དང་ཞེང་ལ་ 5 m ཡོད་པའི་ཤོག་པང་ཞིག་གི་མཐའ་ལ་སྟོང་ཆ་ 1.5 m རེ་བཞག་སྟེ་དེར་རི་མོ་བིས་ ཡོད་ན། སྟོང་ཆ་དེའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ།

༤། ཁང་པའི་དཀྱུས་ལ་ 5.5 m དང་ཞེང་ལ་ 4 m ཅན་ཞིག་གི་མཐའ་འཁོར་དུ་ཁ་ཞེང་ 2.25 m ཡོད་པའི་ཁྱམས་ར་ ཞིག་བཟོས་ཡོད་ན།

(ཀ) ཁྱམས་རའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ།

(ཁ) ཁྱམས་རའི་ཞ་ལར་ཨར་འདམ་འདིང་ཆེད། ས་ཁྱོན་ m2 རེ་ལ་ ` 200 དགོས་ན། ཨར་འདམ་འདིང་ཆེད་འགོ་ གོན་ཚོལ།

༥། མཐའ་ 30 m ཡོད་པའི་ལྡུམ་ར་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་མཐའ་འཁོར་གི་ནང་རོལ་དུ་ཁ་ཞེང་ 1 m ཅན་གི་རྐང་ལམ་ ཞིག་བཟོས་ཡོད་ན།

(ཀ) རྐང་ལམ་དེའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ།

(ཁ) ལྡུམ་ར་དེའི་ཆ་ཤས་ལྷག་མའི་ནང་རྩྭ་འདེབས་ཆེད། ས་ཁྱོན་ m2 རེའི་གོང་ཚད་ ` 40 ཡིན་ན། རྩྭ་འདེབས་ པར་འགོ་གོན་ཚོལ།

༦། དཀྱུས་ལ་ 700 m དང་ཞེང་ལ་ 300 m ཡོད་པའི་སྐྱེད་ཚལ་ཞིག་གི་དཀིལ་དུ་ཁ་ཞེང་ 6 m ཡོད་པའི་ལམ་

གཉིས་ཕན་ཚུན་དྲང་འཕང་དུ་ཡོད། ལམ་དེ་གཉིས་རེ་རེ་བཞིན་སྐྱེད་ཚལ་གྲུ་ནར་གི་མཐའ་དང་མཉམ་འགོ་ཡིན་ ན། ལམ་དེ་གཉིས་ཀི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ། ལམ་ཕུད་པའི་སྐྱེད་ཚལ་གི་རྒྱ་ཁྱོན་ཧེག་ཊར་ནང་ཚོལ།

༧། དཀྱུས་ལ་ 90 m དང་ཞེང་ལ་ 60 m ཡོད་པའི་ས་ཞིང་གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ཞིག་གི་མཐའ་གཉིས་ལ་མཉམ་འགོ་དང་།

ས་ཞིང་དེའི་དཀིལ་ནས་ཕན་ཚུན་དྲང་འཕང་ཡིན་པའི་རྐང་ལམ་གཉིས་བཟོས་ཡོད། གལ་ཏེ་རྐང་ལམ་རེའི་ཁ་ཞེང་ 3 m ཡིན་ན།

(ཀ) རྐང་ལམ་གཉིས་ཀིས་ཁེབས་པའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ།

(ཁ) རྐང་ལམ་བཟོ་ཆེད་ས་ཁྱོན་ m2 རེ་བཟོ་ག་ ` 110 ཡིན་ན། རྐང་ལམ་གི་འགོ་གོན་ཚོལ།

༨། དཔེ་རིས་ ༡༢་༣༡ ནི་སང་གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ཞིག་གི་དཀིལ་དུ་མེ་ཏོག་ས་མལ་སོར་མོ་ཞིག་ཡོད་པ་སྟོན་གི་ཡོད། (ཀ) སང་ཆ་ཚང་གི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ།

209

རིས་རིག (ཁ) མེ་ཏོག་ས་མལ་གི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ།

2

(ག) མེ་ཏོག་ས་མལ་ཕུད་པའི་སང་གི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ། (ང) ས་མལ་དེའི་སོར་མཐའི་རིང་ཚད་ཚོལ།

m

5m

10 m དཔེ་རིས་ ༡༢་༣༡

༩། འཕིན་ལས་ཀིས་ཚངས་ཕེད་ 4 cm ཡིན་པའི་དབིབས་ཤིག་གི་མཐའ་འཁོར་དུ་ཐག་པས་བསྒིལ་ཏེ་དགོས་མཁོའི་

རིང་ཚད་ཀི་ཐག་པ་གཏུབས་པ་རེད། དེ་ནས་ཁོས་མཐའ་ 4 cm ཡིན་པའི་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་ཤོག་སམ་ཞིག་གི་ མཐའ་འཁོར་དུ་ཐག་པ་དེས་བསྒིལ་བ་རེད། ཁོ་ལ་ཐག་པ་ལྷག་མ་ཡོད་དམ། (π = 3.14 ལེན)

E

8 cm

6 cm

P

Q

T

10 cm

F

B

20 cm

10 cm

A

10 cm

༡༠། གཤམ་གསལ་དཔེ་རིས་ནང་། ནག་གིབ་བཏང་བའི་ཁུལ་གི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ། (དཔེ་རིས་ ༡༢་༣༢)

4 cm

D

C

18 cm

(ཀ)

དཔེ་རིས་ ༡༢་༣༢

༡༡། དབིབས་མཐའ་བཞི་མ་ ABCD ཡི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ། (དཔེ་རིས་ ༡༢་༣༣) འདིར། AC = 22 cm, BM = 3 cm, DN = 3 cm དང་། BM ⊥ AC, DN ⊥ AC

3 cm

B

N 22 cm M 3 cm

A

D

210

དཔེ་རིས་ ༡༢་༣༣

C

S 10 cm U 10 cm R (ཁ)

མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་དང་རྒྱ་ཁྱོན།

དྲན་གསོ་གིས། ༡། མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ནི་ཁ་ཟུམ་པའི་དབིབས་ཤིག་གི་མཐའ་འཁོར་གི་བར་ཐག་ལ་ཟེར་བ་དང་། ཁ་ ཟུམ་པའི་དབིབས་ཀིས་འཛིན་པའི་ཁུལ་ལ་རྒྱ་ཁྱོན་ཟེར།

༢། གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་དང་གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་དང་རྒྱ་ཁྱོན། (ཀ) གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ = 4 × མཐའ།

(ཁ) གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ = 2 × (དཀྱུས་ + ཞེང་།) (ག) གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = མཐའ་ × མཐའ། (ང) གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = དཀྱུས་ × ཞེང་།

༣། མཉམ་འགོ་མཐའ་བཞི་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = ཞབས་ × དཔངས། 1 མཉམ་འགོ་མཐའ་བཞི་མའི་རྒྱ་ཁྱོན། × 2 1 = × ཞབས་ × དཔངས། 2 ༥། སོར་དབིབས་ཀི་མཐའ་འཁོར་བར་ཐག་ལ་དེའི་སོར་མཐའི་རིང་ཚད་ཟེར། ༤། ཟུར་གསུམ་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ =

སོར་དབིབས་ཀི་སོར་མཐའི་རིང་ཚད་ = πd ཡང་ན། 2πr འདིར་ d = ཚངས་ཐིག་དང་། r = ཚངས་ཕེད། π = 22 ཡང་ན། 3.14 7 2 ༦། སོར་དབིབས་ཀི་རྒྱ་ཁྱོན་ = πr ༧། རྒྱ་ཁྱོན་གི་ཚད་གཞི་ཕབ་སྒྱུར། 1 cm2 = 100 mm2 1 m2 = 10000 cm2 1 hectare = 10000 m2

211

སོབ་ཚན་བཅུ་གསུམ་པ། སྟོམ་རིས་རིག་པ། ༡༣་༡ ངོ་སྤོད། Introduction

ཁྱེད་ཀིས་འཛིན་རིམ་དྲུག་པའི་ནང་གངས་ཐོ་བསྡུ་རུབ་དང་། གངས་ཐོ་བཀོད་སྒིག གྲུ་ནར་ཐིག་རིས་འབི་སྟངས་བཅས་ སྦངས་ཡོད།

སོབ་ཚན་འདིར་ང་ཚོས་གངས་ཐོ་དང་ཐིག་རིས་མི་འདྲ་བ་མང་ཙམ་སྦང་རྒྱུ་ཡིན། ཚགས་པར་དང་། དུས་དེབ། གསར་ འཕིན་སོགས་བརྒྱུད་གངས་ཐོ་འདྲ་མིན་མཐོང་རྒྱུ་ཡོད། གངས་ཐོ་དེ་དག་གིས་གནས་ཚུལ་སྟོན་གི་ཡོད། ང་ཚོས་ཉིན་ རེའི་འཚོ་བའི་ཁོད་ཡང་ཡང་མཐོང་བའི་གངས་ཐོ་འགའ་ལ་ལྟ་རྒྱུ་ཡིན། རེའུ་མིག་ ༡༣་༡

རེའུ་མིག་ ༡༣་༢

ཕི་ལོ་ ༢༠༡༦ ཟླ་ ༦ ཚེས་ ༡༥ ཉིན་ གོང་ཁྱེར་འགའི་ཚ་ཚད།

འཛིན་གྲྭར་ཆད་པའི་སོབ་མའི་གངས་ཐོ།

གོང་ཁྱེར།

ཟླ་བ།

མཐོ་ཚད།

དམའ་ཚད།

o

32 C

o

23 C

མིག་དམར།

ཇེཡ་པུར།

o

39 C

o

29 C

ལྷག་པ།

དྷ་རམ་ས་ལ།

28o C

19o C

ལྡི་ལི།

40o C

29o C

པུཎེ།

30o C

24o C

བ་རོ་ཌ།

40o C

30o C

བེངྒ་ལོར།

28o C

20o C

ཧུབ་ལི།

29o C

22o C

ཀོའེམ་བ་ཊོར།

212

−

ཕུར་བུ། པ་སངས། སེན་པ།

− སོབ་མ་ 1 མཚོན།

སོབ་ཕྲུག་ལྔ་ཡི་བོད་ཡིག་ཡིག་རྒྱུགས་ཀི་ཨང་ཐོབ་བརྒྱ་ ཆ། : 88, 95, 60, 74, 49

སོམ་རིས་རིག་པ། གངས་ཐོ་འདི་དག་གིས་གནས་ཚུལ་གང་སྟོན་གི་འདུག་གམ། དཔེར་ན། • ཕི་ལོ་ ༢༠༡༦ ཟླ་ ༦ ཚེས་ ༡༥ ཉིན་དྲོད་ཚད་མཐོ་ཤོས་ནི་ལྡི་ལི་ཡིན་པ་ཤེས་ཐུབ། (རེའུ་མིག་ ༡༣་༡) • རེས་གཟའ་མིག་དམར་ཉིན་སོབ་མ་ཆ་ཚང་འཛིན་གྲྭར་བཅར་ཡོད་པ་ཤེས་ཐུབ། (རེའུ་མིག་ ༡༣་༢)

༡༣་༢ གངས་ཐོ་བསྡུ་རུབ། Collection of data གངས་ཐོ་བསྡུ་རུབ་བ་བར་ཐབས་ལམ་མང་པོ་ཡོད།

(ཀ) གངས་ཐོ་ནི་ཚགས་པར་དང་དྲ་རྒྱ་ཡང་ན་བརྒྱུད་ལམ་གཞན་ནས་བསྡུ་རུབ་བེད་ཐུབ། དཔེར་ན། རོམ་པ་པོ་ཞིག་གིས་ ད་བར་བིས་པའི་དེབ་ཀི་གངས་ཤེས་འདོད་ན། བསྡུ་རུབ་བེད་ཐུབ།

དེའི་གངས་ཐོ་ཚགས་པར་རམ་ཡང་ན་བརན་འཕིན་སོགས་ནས་

(ཁ) གངས་ཐོ་ནི་སོ་སོ་རང་ཉིད་ནས་བསྡུ་རུབ་བེད་ཐུབ། དཔེར་ན། ཁྱེད་ཀིས་འཛིན་གྲྭའི་ནང་གི་སོབ་མ་ག་ཚོད་ཀི་ནང་ དུ་ཁྱི་ཡོད་པ་ཤེས་འདོད་ན། སོབ་མ་རེ་རེའི་འགམ་དུ་ཕིན་ཏེ་ནང་དུ་ཁྱི་ཡོད་མེད་སྐད་ཆ་འདྲི་ཆོག

གངས་ཐོ་ཞིག་བསྡུ་རུབ་མ་བས་གོང་ལ། ང་ཚོས་དེ་ག་རེའི་ཆེད་དུ་བེད་སྤོད་བ་རྒྱུ་ཡིན་པ་ངེས་པར་དུ་ཤེས་དགོས། དཔེར་ན།

ཁྱེད་ཀིས་གཤམ་གསལ་གནས་ཚུལ་ཁག་གི་སྐོར་ཤེས་འདོད་ཡོད་པར་ཆ་འཇོག • ཁྱེད་རང་གི་འཛིན་གྲྭའི་ཨང་རིས་ཀི་གྲུབ་འབས། • ཕ་རན་སི་ཡི་རྐང་རེད་པོ་ལོའི་གྲུབ་འབས།

• ས་གནས་ཤིག་ཏུ་འཚོ་ཐབས་བེད་མཁན་གི་ནང་མིའི་གངས་ཐོ།

• འཛིན་གྲྭ་ཞིག་གི་སོབ་མ་རྣམས་སོབ་གྲྭར་བསྐྱོད་སྐབས་ཀི་འགྲུལ་འཁོར་བརྒྱུད་ལམ།

གོང་གི་གནས་སྟངས་ཁག་ལ་གངས་ཐོ་འོས་འཚམ་ཞིག་བསྡུ་རུབ་བེད་དགོས། དེ་མིན། ཁྱེད་ཀིས་དགོས་མཁོའི་གནས་ ཚུལ་ཤེས་ཐུབ་ཀི་མ་རེད།

༡༣་༣ གངས་ཐོ་བཀོད་སྒིག Organisation of data

གངས་ཐོ་བསྡུ་རུབ་བས་རེས་བཀོད་སྒིག་བ་དགོས། གཤམ་གསལ་དཔེ་མཚོན་ལ་ཆ་འཇོག

དབངས་སྐྱིད་ལ་སོབ་མ་རྣམས་ཀི་ཨིན་ཇིའི་ཡིག་རྒྱུགས་གྲུབ་འབས་ཀི་གངས་ཐོ་དགོས་ཀི་ཡོད། མོས་སོབ་མ་རྣམས་ཀི་ ཨང་ཐོབ་གཤམ་གསལ་ལྟར་བིས་པ་རེད།

23, 36, 48, 15, 40, 45, 27, 39, 31, 35

རྣམ་པ་འདིའི་ནང་གངས་ཐོའི་གོ་དོན་ལས་ས་པོར་རྟོགས་ཐུབ་ཀི་མེད། དེར་མ་ཟད་སོབ་མ་སོ་སོའི་ཨང་ཐོབ་གསལ་པོ་ སྟོན་གི་མེད།

213

རིས་རིག རྒན་ལགས་ཀིས་མོ་ལ་གཤམ་གསལ་ལྟར་གངས་ཐོ་བཀོད་སྒིག་བ་བར་རོགས་རམ་བས་པ་རེད། རེའུ་མིག་ ༡༣་༣ མིང་།

ཨང་ཐོབ་ 50 ནས།

མིང་།

ཨང་ཐོབ་ 50 ནས།

བསོད་ནམས།

23

ངག་དབང་།

45

ནམ་མཁའ།

36

དཔལ་སྐྱིད།

27

ཆོས་དབངས།

48

བུ་ཁིད།

39

འཇིགས་མེད།

15

ཆོས་ལྡན།

31

དཔལ་སྒོན།

40

དཔའ་མོ།

35

རྣམ་པ་འདིའི་ནང་། དབངས་སྐྱིད་ཀིས་སོབ་མ་སུས་ཨང་ཐོབ་ག་ཚོད་བངས་ཡོད་པ་ཤེས་ཐུབ། ཡིན་ནའང་། མོ་ལ་ གནས་ཚུལ་དེ་ལས་མང་བ་དགོས་ཀི་ཡོད། ཚེ་རིང་གིས་གངས་ཐོ་འདི་བཀོད་སྒིག་བ་བར་ཐབས་ལམ་གཞན་ཞིག་བསམ་ འཆར་བཏོན་པ་རེད།

རེའུ་མིག་ ༡༣་༤ མིང་།

ཨང་ཐོབ་ 50 ནས།

མིང་།

ཨང་ཐོབ་ 50 ནས།

ཆོས་དབངས།

48

དཔའ་མོ།

35

ངག་དབང་།

45

ཆོས་ལྡན།

31

དཔལ་སྒོན།

40

དཔལ་སྐྱིད།

27

བུ་ཁིད།

39

བསོད་ནམས།

23

ནམ་མཁའ།

36

འཇིགས་མེད།

15

རྣམ་པ་འདིའི་ནང་། སོབ་མ་སུས་ཨང་ཐོབ་ཐོ་ཤོས་བངས་པ་དང་སུ་ལ་རོགས་པ་བེད་དགོས་པ་མཐོང་ཐུབ།

དེར་བརྟེན། གངས་ཐོ་ཞིག་རེའུ་མིག་རྣམ་པའི་ཐོག་བཀོད་སྒིག་བས་པ་ཡིན་ན། གངས་ཐོའི་གོ་དོན་རྟོགས་ཐུབ་པ་དང་ འགེལ་བརོད་བེད་ཐུབ། བེད་སོ། ཁྱེད་རང་གིས་འཛིན་གོགས་ཀི་ལིད་ཚད་ (kg ནང་) ཁྱོགས། གངས་ཐོ་བཀོད་སྒིག་བས་ཏེ། གཤམ་གསལ་དྲི་བ་ ཁག་ལ་ལན་རྒྱོབ།

(ཀ) ལིད་ཤོས་སུ་རེད་དམ།

(ཁ) ཡང་ཤོས་སུ་རེད་དམ།

(ག) ཁྱེད་རང་གི་ལིད་ཚད་དང་སོབ་མ་ལིད་ཤོས་དབར་ཁྱད་པར་ག་ཚོད་འདུག་གམ།

214

སོམ་རིས་རིག་པ།

༡༣་༤ ཆ་སྙོམས་། Average

ཁྱེད་ཀིས་ཉིན་རེའི་འཚོ་བའི་ནང་ཆ་སྙོམས་བེད་སྤོད་བཏང་བའི་བརོད་པ་མང་པོ་མཐོང་ཐོས་བྱུང་ཡོད་ཀི་རེད། དཔེར་ན།

• འཛིན་གྲྭ་ཞིག་གི་ཨང་རིས་ཡིག་རྒྱུགས་ཀི་ཆ་སྙོམས་ཐོབ་ཆ་ནི་ 67 % རེད། • མོ་ཊ་ཞིག་གི་ཆ་སྙོམས་མགོགས་ཚད་ནི་ 100 km/hr རེད། • སོབ་གྲྭ་ཞིག་གི་ནང་དགེ་རྒན་གི་ཆ་སྙོམས་ལོ་ཚད་ 35 རེད།

གོང་གི་དཔེ་མཚོན་ནང་། འཛིན་གྲྭའི་ནང་སོབ་མ་རེ་རེས་བངས་པའི་ཐོབ་ཆ་ནི་ 67 % མ་རེད། སོབ་མ་འགས་ 67 % ལས་མང་བ་བངས་ཡོད་པ་དང་ཡང་འགས་ 67 % ལས་ཉུང་བ་བངས་ཡོད། དེ་མཚུངས། ཆུ་ཚོད་རེའི་ནང་མོ་ཊའི་

མགོགས་ཚད་ནི་ 100 km མ་རེད། དེ་བཞིན། སོབ་གྲྭའི་ནང་དགེ་རྒན་ཁ་ཤས་ལོ་ 35 མ་རེད། དགེ་རྒན་ཁ་ཤས་ལོ་ 35 ལས་རྒན་པ་དང་འགའ་ཤས་ལོ་ 35 ལས་གཞོན་པ་ཡོད།

དེར་བརྟེན། ང་ཚོས་ཆ་སྙོམས་ཀིས་བེ་བག་ (observations) གངས་ཐོ་ཞིག་གི་དཀིལ་ཐང་མཚོན་གི་ཡོད་པ་ཤེས་

ཐུབ། ཆ་སྙོམས་ནི་བེ་བག་པའི་ཐང་མཐོ་ཤོས་དང་དམའ་ཤོས་དབར་གནས་ཀི་ཡོད་པས། ང་ཚོས་དེ་ལ་བེ་བག་གངས་

ཐོའི་གཅིག་བསྡུས་འཁོར་ཕོགས་ཀི་ཚད་འཇལ་ (measure of the central tendency) ཟེར། དེ་ལ་རྣམ་པ་མི་ འདྲ་བ་གསུམ་སྟེ། དེ་དག་ནི་ཆ་སྙོམས་གངས་དང་། དཀིལ་གངས། བིངས་གངས་བཅས་ཡིན།

༡༣་༥ ཆ་སྙོམས་གངས། Arithmetic Mean (or Mean)

ཆ་སྙོམས་གངས་ནི་བེ་བག་གི་ཚོ་ཁག་གམ་ཡང་ན་གངས་ཐོའི་དཀིལ་ཐང་གི་ངོ་ཚབ་མཚོན་པའི་གངས་ཀ་ཞིག་ལ་ ཟེར། ཆ་སྙོམས་གངས་ཀི་གོ་དོན་ཟབ་པོ་ཤེས་པར། གཤམ་གསལ་དཔེ་མཚོན་ལ་ལྟོས་དང་།

ཆུ་སྣོད་གཉིས་ནང་ཆུ་ 20 L དང་ 60 L སོ་སོར་ཡོད། གལ་ཏེ་ཆུ་སྣོད་གཉིས་ཀའི་ནང་ཆུ་མང་ཉུང་གཅིག་པ་བཟོས་ ན། ཆུ་སྣོད་རེ་རེའི་ནང་ཆུ་ལི་ཊར་ག་ཚོད་ཡོད་དམ། འདིར་ང་ཚོས་ཆ་སྙོམས་གངས་འཚོལ་དགོས། ཆ་སྙོམས་ (Average or Mean) =

ཆུ།

ཆུ་སྣོད་ཀི་གངས།

20 + 60 = 40 L 2 དེར་བརྟེན། ཆུ་སྣོད་རེ་རེའི་ནང་ཆུ་ 40 L རེ་ཡོད། =

ཆ་སྙོམས་ =

བེ་བག་ཡོངས་ཀི་བསོམས་ཐོབ། བེ་བག་པའི་གངས།

215

རིས་རིག རིས་དཔེ། ༡༽ འཕིན་ལས་ཀིས་ཉིན་གསུམ་རིང་བསྟུད་མར་ཆུ་ཚོད་ 4 དང་ཆུ་ཚོད་ 5 ཆུ་ཚོད་ 3 བཅས་སོ་སོར་སོབ་སྦོང་བས་པ་ རེད། ཁོས་ཆ་སྙོམས་ཉིན་རེར་ཆུ་ཚོད་ག་ཚོད་སོབ་སྦོང་བས་ཡོད་དམ།

ལན། འཕིན་ལས་ཀིས་ཆ་སྙོམས་སོབ་སྦོང་བེད་པའི་དུས་ཡུན་ནི། ཆ་སྙོམས་ =

སོབ་སྦོང་བས་པའི་ཆུ་ཚོད་ཀི་བསོམས་ཐོབ། སོབ་སྦོང་བས་པའི་ཉིན་གངས།

= ཆུ་ཚོད་

4+5+3 = ཆུ་ཚོད་ 4 3

དེར་བརྟེན། འཕིན་ལས་ཀིས་ཆ་སྙོམས་ཉིན་རེར་ཆུ་ཚོད་ 4 སོབ་སྦོང་བས་ཡོད། ༢༽ ཚོགས་པ་ཞིག་གི་ནང་ལས་བེད་པ་ 10 ཡོད། དེ་དག་གི་ལིད་ཚད་ནི་ཀི་ལོ་ག་རམ་ནང་གཤམ་གསལ་ལྟར་ཡིན་ན། ལས་བེད་པ་རྣམས་ཀི་ཆ་སྙོམས་ལིད་ཚད་ཚོལ།

58, 50, 74, 49, 56, 60, 71, 55, 65, 72

ལན། ཁྱོན་བསོམས་ལིད་ཚད་ = 58 + 50 + 74 + 49 + 56 + 60 + 71 + 55 + 65 + 72 = 610 ཆ་སྙོམས་འཚོལ་བར། བེ་བག་ཡོངས་ཀི་བསོམས་ཐོབ་བཙལ་ཏེ། དེ་ལ་བེ་བག་པའི་གངས་ཀིས་བགོས། 610 10 = 61 kg

ཆ་སྙོམས་ =

དེར་བརྟེན། ལས་བེད་པ་རྣམས་ཀི་ཆ་སྙོམས་ལིད་ཚད་ 61 kg རེད། བེད་སོ། ཁྱེད་རང་བདུན་ཕག་གཅིག་གི་ནང་ཆ་སྙོམས་གཉིད་ཉལ་བའི་དུས་ཡུན་ཚོལ།

༡༣་༦ ཁྱབ་ཚད། Range

བེ་བག་མཐོ་ཤོས་དང་དམའ་ཤོས་དབར་གི་ཁྱད་པར་གིས་བེ་བག་གི་ཁྱབ་ཚད་ཀི་གོ་དོན་སྤོད་ཀི་ཡོད། བེ་བག་གི་ཁྱབ་ ཚད་ནི་བེ་བག་མཐོ་ཤོས་ནས་དམའ་ཤོས་འཐེན་ཏེ་འཚོལ་ཐུབ། གཤམ་གསལ་དཔེ་མཚོན་ལ་ལྟོས་དང་། རིས་དཔེ། ༣༽ སོབ་གྲྭ་ཞིག་གི་ནང་དགེ་རྒན་གངས་བཅུ་ཡི་ལོ་གཤམ་གསལ་ལྟར་ཡིན། 32, 41, 29, 54, 35, 26, 55, 60, 38, 40

216

སོམ་རིས་རིག་པ། (ཀ) དགེ་རྒན་རྒན་ཤོས་དང་གཞོན་ཤོས་ཀི་ལོ་ག་ཚོད་རེད་དམ། (ཁ) དགེ་རྒན་རྣམས་ཀི་ལོའི་ཁྱབ་ཚད་ག་ཚོད་རེད་དམ། ལན།

(ག) དགེ་རྒན་ཚོའི་ཆ་སྙོམས་ལོ་ག་ཚོད་ཡིན་ནམ།

(ཀ) དགེ་རྒན་གི་ལོ་འཕར་རིམ་བཞིན་བསྒིགས་ན།

26, 29, 32, 35, 38, 40, 41, 54, 55, 60

དགེ་རྒན་རྒན་ཤོས་ཀི་ལོ་ 60 དང་གཞོན་ཤོས་ཀི་ལོ་ 26 རེད།

(ཁ) དགེ་རྒན་རྣམས་ཀི་ལོའི་ཁྱབ་ཚད་ = ལོ་ (60 − 26) = ལོ་ 34 26 + 29 + 32 + 35 + 38 + 40 + 41 + 54 + 55 + 60 10 410 = = 41 10 དེར་བརྟེན། དགེ་རྒན་ཚོའི་ཆ་སྙོམས་ལོ་ 41 རེད།

(ག) དགེ་རྒན་ཚོའི་ཆ་སྙོམས་ལོ་ =

སྦོང་ཚན། ༡༣་༡ ༡། ཁྱེད་རང་གི་འཛིན་གྲྭའི་ནང་གི་སོབ་མ་བཅུ་ཡི་ལུས་པོའི་མཐོ་ཚད་ཀི་ཁྱབ་ཚད་ཚོལ།

༢། གཤམ་གསལ་ནི་སོབ་ཕྲུག་ 20 ཡི་ཡིག་རྒྱུགས་ཐོབ་ཆ་ཡིན། ཁམ་རྟགས་བེད་སྤད་དེ་གངས་ཐོ་འདི་རེའུ་མིག་ནང་ བིས།

4, 6, 7, 5, 3, 5, 4, 5, 2, 6, 2, 5, 1, 9, 6, 5, 8, 4, 6, 7

(ཀ) ཨང་ཀི་མཐོ་ཤོས་ག་ཚོད་རེད་དམ།

(ག) གངས་མཐོའི་ཁྱབ་ཚད་ག་ཚོད་རེད་དམ།

༣། ཧིལ་གངས་དང་པོ་ལྔའི་ཆ་སྙོམས་ཚོལ།

(ཁ) ཨང་ཀི་དམའ་ཤོས་ག་ཚོད་རེད་དམ།

(ང) ཆ་སྙོམས་ཚོལ།

༤། རེད་མོ་བ་ཞིག་གིས་ཁི་རེ་ཀེཊ་རེད་འགན་ཐེངས་བརྒྱད་ལ་ཞུགས་ཏེ་གཞུས་པའི་རྒྱུག་གངས་སོ་སོ་ནི་ 58, 76, 40, 35, 46, 45, 0, 100 རེད། ཆ་སྙོམས་རྒྱུག་གངས་ཚོལ།

༥། སོབ་ཕྲུག་ཁག་གཅིག་གི་ཚན་རིག་གི་ཐོབ་ཆའི་བརྒྱ་ཆ་ནི་ 85 དང་། 76, 90, 85, 39, 48, 56, 95, 81, 75 ཡིན།

(ཀ) ཐོབ་ཆ་མཐོ་ཤོས་དང་དམའ་ཤོས་ག་ཚོད་རེད་དམ།

217

རིས་རིག (ཁ) ཐོབ་ཆའི་ཁྱབ་ཚད་ཚོལ།

(ག) ཆ་སྙོམས་ཐོབ་ཆ་ག་ཚོད་ཡིན་ནམ།

༦། སོབ་གྲྭ་ཞིག་གི་ལོ་དྲུག་བསྟུད་མར་སོབ་ཕྲུག་གི་གངས་འབོར་ 155, 166, 175, 214, 240, 280 བཅས་ ཡིན་པས། དུས་ཡུན་དེའི་རིང་སོབ་ཕྲུག་གི་ཆ་སྙོམས་གངས་འབོར་ག་ཚོད་རེད་དམ།

༧། བདུན་ཕག་གཅིག་གི་ཉིན་ཞག་བདུན་རིང་གོང་ཁྱེར་ཞིག་ལ་ཆར་བ་འབབ་ཚད་ (mm) གཤམ་གསལ་ལྟར་ཐོ་ འགོད་བས་ཡོད།

རེས་གཟའ།

ཟླ་བ།

མིག་དམར།

ལྷག་པ།

ཕུར་བུ།

པ་སངས།

སེན་པ།

ཉི་མ།

ཆར་ཚད། (mm)

0.0

12.2

2.1

0.0

20.5

5.5

1.0

(ཀ) གོང་གི་གངས་ཐོའི་ཁྱབ་ཚད་ཚོལ།

(ཁ) བདུན་ཕག་དེའི་ཆ་སྙོམས་ཆར་པ་འབབ་ཚད་ཚོལ།

(ག) ཆ་སྙོམས་ཆར་པ་འབབ་ཚད་ལས་ཉུང་བའི་ཉིན་ཞག་ག་ཚོད་འདུག་གམ།

༨། བུ་མོ་ 10 ཡི་གཟུགས་པོའི་རིང་ཚད་ (cm ནང་) གཤམ་གསལ་ལྟར།

135, 150, 139, 128, 151, 132, 146, 149, 143, 141

(ཀ) བུ་མོ་རིང་ཤོས་ཀི་རིང་ཚད་ག་ཚོད་རེད་དམ།

(ཁ) བུ་མོ་ཐུང་ཤོས་ཀི་རིང་ཚད་ག་ཚོད་རེད་དམ།

(ག) གངས་ཐོ་འདི་ཡི་ཁྱབ་ཚད་ག་ཚོད་རེད་དམ།

(ང) བུ་མོ་དེ་དག་གི་ཆ་སྙོམས་རིང་ཚད་ཚོལ།

(ཅ) ཆ་སྙོམས་རིང་ཚད་ལས་ཐུང་བའི་བུ་མོ་ག་ཚོད་འདུག་གམ།

༩། གཤམ་གསལ་རེའུ་མིག་ནི་རེད་མོ་བ་རེ་རེའི་རེད་འགན་ཐེངས་བཞིའི་ནང་གི་ཨང་ཐོབ་སྟོན་གི་ཡོད། རེད་མོ་བ། ཀ ཁ ག

རེད་འགན་དང་པོ། 14 0 8

རེད་འགན་གཉིས་པ། རེད་འགན་གསུམ་པ། 16 8 11

10 6 རེད་མོ་བརེས་མེད།

རེད་འགན་བཞི་པ། 10 4 13

གཤམ་གསལ་དྲི་བ་རྣམས་ལ་ལན་རྒྱོབ།

(ཀ) རེད་འགན་ནང་རེད་མོ་བ་ཀ་པས་བངས་པའི་ཆ་སྙོམས་ཨང་ཐོབ་ག་ཚོད་རེད་དམ།

(ཁ) རེད་འགན་ནང་རེད་མོ་བ་ག་པའི་ཆ་སྙོམས་ཨང་ཐོབ་འཚོལ་བར། ཁྱོན་བསོམས་ཨང་ཐོབ་ལ་ 3 ཡང་ན་ 4 ཡིས་བགོ་དགོས་སམ། རྒྱུ་མཚན་ཤོད།

(ག) རེད་མོ་བ་ཁ་པས་རེད་འགན་ཚང་མ་ལ་བརེས་ཡོད། ཁ་པའི་ཆ་སྙོམས་ཚོལ།

218

སོམ་རིས་རིག་པ།

༡༣་༧ བིངས་གངས། Mode

ང་ཚོས་གོང་དུ་བཤད་ཟིན་པ་ལྟར་ཆ་སྙོམས་གངས་ནི་གཅིག་བསྡུས་འཁོར་ཕོགས་ཀི་ཚད་འཇལ་ཁོ་ན་མིན། གངས་ཐོ་ ཞིག་ནས་དགོས་མཁོ་ལྟར་གནས་ཚུལ་འདྲ་མིན་ལེན་ཆེད། བེད་སྤོད་བེད་ཀི་ཡོད།

གཅིག་བསྡུས་འཁོར་ཕོགས་ཀི་ཚད་འཇལ་གཞན་རྣམས་

བེ་བག་གི་ཚོགས་སམ་ཡང་ན་གངས་ཐོ་ཞིག་གི་ནང་བསྐྱར་ཟློས་མང་ཤོ​ོས་བེད་པའི་བེ་བག་དེ་ལ་བིངས་གངས་ཟེར། རིས་དཔེ། ༤༽ གངས་ཐོ་ 1, 1, 2, 4, 3, 2, 1, 2, 2, 4 བཅས་ཀི་བིངས་གངས་ཚོལ། ལན། ཐང་གཅིག་པ་ཡིན་པའི་གངས་རྣམས་གཤམ་གསལ་ལྟར་མཉམ་སྒིག་བོས། 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 4, 4

འདིར། 2 ནི་བེ་བག་གཞན་ལས་མང་བ་བསྐྱར་ཟློས་བེད་ཀི་ཡོད་པས། གངས་ཐོ་འདིའི་བིངས་གངས་ 2 རེད། ༥༽ གཤམ་གསལ་ནི་འཛིན་གྲྭ་ཞིག་གི་སོབ་མ་རྣམས་ཀི་གཟུགས་པོའི་རིང་ཚད་ (cm ནང་) རེད།

141, 152, 153, 154, 152, 151, 153, 146, 154, 149, 146, 153, 152, 153, 151, 151, 146, 152, 152, 151, 152, 149, 153, 152 གངས་ཐོ་འདིའི་བིངས་གངས་ཚོལ།

ལན། ང་ཚོས་གངས་ཐོ་འདི་རེའུ་མིག་ནང་འབི་རྒྱུ་ཡིན། གཟུགས་པོའི་རིང་ཚད། (cm ནང་)

ཁམ་རྟགས།

སོབ་མའི་གངས།

141

1

146

3

149

2

151

4

152

7

153

5

154

2 ཁྱོན་བསོམས།

24

219

རིས་རིག གོང་གི་རེའུ་མིག་ལས། 152 ནི་བསྐྱར་ཟློས་མང་ཤོས་ཏེ་ 7 ཡིན་པས་བིངས་གངས་ 152 ཡིན་པ་བཤད་ཐུབ། ༦༽ གངས་ཐོ་ 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 8 བཅས་ཀི་བིངས་གངས་ཚོལ།

ལན། འདིར། 2 དང་ 5 གཉིས་ཀ་ཐེངས་གསུམ་རེ་བསྐྱར་ཟློས་བས་ཡོད། དེར་བརྟེན། གངས་ཐོ་འདིའི་བིངས་གངས་ 2 དང་ 5 གཉིས་ཀ་ཡིན།

རིས་དང་། ༡། གཤམ་གསལ་གངས་ཐོ་ཡི་བིངས་གངས་ཚོལ།

12, 14, 12, 16, 15, 13, 14, 18, 19, 12, 14, 15, 16, 15, 16, 16, 15, 17, 13, 16, 16, 15, 15, 13, 15, 17, 15, 14, 15, 13, 15, 14

༢། སོབ་ཕྲུག་ 25 ཡི་རིང་ཚད་ (cm ནང་) གཤམ་གསལ།

168, 165, 163, 160, 163, 161, 162, 164, 163, 162, 164, 163, 160, 163, 160, 165, 163, 162, 163, 164, 163, 160, 165, 163, 162 སོབ་ཕྲུག་དེ་དག་གི་རིང་ཚད་ཀི་བིངས་གངས་ཚོལ།

མཆན། ཆ་སྙོམས་གངས་ནི་གངས་ཐོ་ཞིག་གི་བེ་བག་ཚང་མའི་ཆ་སྙོམས་སྟོན་གི་ཡོད་ན། བིངས་གངས་ནི་གངས་ཐོའི་ ནང་བསྐྱར་ཟློས་མང་ཤོས་ཀི་བེ་བག་སྟོན་གི་ཡོད། གཤམ་གསལ་དཔེ་མཚོན་ལ་ཆ་འཇོག

(ཀ) ཁྱེད་ཀིས་གསོལ་སྟོན་དུ་གདན་འདྲེན་ཞུས་པའི་མི་ 25 ཆེད་ཀྲིང་མོག་ག་ཚོད་བཟོ་དགོས་པ་ཐག་གཅོད་བ་དགོས། (ཁ) ཁྱེད་ཀི་ཁྱིམ་གི་སོ་བཟོ་ཆེད་སོའི་མཐོ་ཚད་འཚོལ་དགོས།

(ག) གིང་ཁ་རུ་འགོ་སྐབས། གལ་ཏེ་སོབ་མ་ཚང་མས་ཤིང་ཏོག་གཅིག་ལས་འཁྱེར་ཆོག་གི་མེད་ན། ཁྱེད་ཚོས་ཤིང་ཏོག་ ག་རེ་འཁྱེར་དགོས་སམ།

འདི་དག་ལས་གནས་སྟངས་གང་གི་སྐབས་ང་ཚོས་བིངས་གངས་བེད་སྤོད་བ་དགོས་སམ།

བརོད་པ་ཀ་པ་ལ་ཆ་འཇོག གལ་ཏེ་མི་རེ་རེར་དགོས་པའི་ཀྲིང་མོག་གངས་ 2, 3, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 2, 2, 4, 2, 2, 3, 2, 4, 4, 2, 3, 2, 4, 2, 4, 3, 5 ཡིན་ན།

གངས་ཐོ་འདིའི་བིངས་གངས་ 2 ཡིན། གལ་ཏེ་ང་ཚོས་འདིར་བིངས་གངས་བེད་སྤད་ན། ང་ཚོར་ཀྲིང་མོག་ 50 སྟེ། མི་ 25 ལ་ཀྲིང་མོག་ 2 རེ་ཐོབ་ཀི་ཡོད། ཡིན་ནའང་། ཀྲིང་མོག་ 50 ཡིས་འདང་གི་མེད། དེར་བརྟེན། འདིར་ང་ཚོས་ཆ་སྙོམས་བེད་སྤོད་བ་དགོས།

220

སོམ་རིས་རིག་པ། དེ་མཚུངས། བརོད་པ་ལྷག་མ་གཉིས་ལ་དཔྱད་ཞིབ་བས་ཏེ། གནས་སྟངས་དེའི་སྐབས་ཆ་སྙོམས་སམ་ཡང་ན་བིངས་ གངས་གཉིས་ལས་གང་བེད་སྤོད་བ་དགོས་མིན་ལྟོས།

༡༣་༨ དཀིལ་གངས། Median

ང་ཚོས་གནས་སྟངས་འགའི་སྐབས་ཆ་སྙོམས་གངས་ནི་གཅིག་བསྡུས་འཁོར་ཕོགས་ཀི་ཚད་འཇལ་ཡིན་པ་དང་། ཡང་ གནས་སྟངས་འགའི་སྐབས་བིངས་གངས་ནི་གཅིག་བསྡུས་འཁོར་ཕོགས་ཀི་ཚད་འཇལ་ཡིན་པ་སྦངས་ཡོད། གཤམ་གི་དཔེ་མཚོན་ལ་ལྟོས་དང་།

སོབ་མ་ 17 གི་གཟུགས་པོའི་རིང་ཚད་ (cm ནང་) གཤམ་གསལ།

106, 110, 123, 125, 117, 120, 112, 115, 110, 120, 115, 102, 115, 115, 109, 115, 101 རེད་རིག་དགེ་རྒན་གིས་སོབ་མ་རྣམས་ཚོགས་པ་གཉིས་སུ་བགོས་ཏེ།

ཚོགས་པ་རེའི་ནང་དུ་སོབ་མ་གངས་གཅིག་པ་

བགོ་དགོས། བེ་བག་རིང་ཚད་ཅིག་ལས་ཐུང་བ་ཡོད་པའི་སོབ་མ་རྣམས་ཚོགས་པ་གཅིག་གི་ནང་འཇོག་པ་དང་། བེ་ བག་དེ་ལས་རིང་བ་ཡོད་པའི་སོབ་མ་རྣམས་ཚོགས་པ་གཞན་གི་ནང་འཇོག་དགོས། མོས་དེ་གང་འདྲ་བ་དགོས་སམ། (ཀ) ཆ་སྙོམས་འཚོལ་བ། 106 + 110 + 123 + 125 + 117 + 120 + 112 + 115 + 110 + 120 + 115 + 102 + 115 + 115 + 109 + 115 + 101 ཆ་སྙོམས་ = 17 1930 = 113.5 17 གལ་ཏེ་དགེ་རྒན་གིས་ཆ་སྙོམས་མཐོ་ཚད་གཞིར་བཟུང་གོང་གི་ཆ་རྐེན་ལྟར་སོབ་མ་རྣམས་ཚོགས་པ་གཉིས་སུ་ =

བགོས་པ་ཡིན་ན། ཚོགས་པ་གཉིས་ཀི་ནང་སོབ་མའི་གངས་གཅིག་པ་ཡོང་གི་མ་རེད། དེ་དག་གི་ནང་སོབ་མ་ 7 དང་ 10 སོ་སོར་ཡོད། དེར་བརྟེན། ང་ཚོས་ཆ་སྙོམས་གངས་བེད་སྤད་དེ་ཚོགས་པ་གཉིས་དུམ་བུ་འདྲ་མཉམ་དུ་ བགོས་ཐུབ་མེད།

(ཁ) བིངས་གངས་འཚོལ་བ།

གངས་ཐོ་འདིའི་བིངས་གངས་ནི་ 115 རེད།

བིངས་གངས་ལས་ཐུང་བ་སོབ་མ་ 7 དང་བིངས་གངས་དང་དེ་ལས་རིང་བ་སོབ་མ་ 10 ཡོད།

དེར་བརྟེན། ང་ཚོས་བིངས་གངས་བེད་སྤད་ནས་ཀང་ཚོགས་པ་གཉིས་དུམ་བུ་འདྲ་མཉམ་དུ་བགོ་ཐུབ་མེད།

དེར་བརྟེན། ང་ཚོས་ཐབས་ལམ་གཞན་ཞིག་འཚོལ་དགོས། དེའི་ཆེད་སོབ་མ་ཚོའི་གཟུགས་པོའི་རིང་ཚད་འཕར་རིམ་ བཞིན་སྒིག་དགོས།

221

རིས་རིག 101, 102, 106, 109, 110, 110, 112, 115, 115, 115, 115, 115, 117, 120, 120, 123, 125 གངས་ཐོ་འདིའི་དཀིལ་ཐང་ནི་ 115 ཡིན། རྒྱུ་མཚན་ནི་ 115 ཡིས་ཚོགས་པ་གཉིས་སུ་སོབ་མ་ 8 རེ་ཆ་སྙོམས་སུ་ བགོས་ཐུབ། ཐང་འདི་ལ་དཀིལ་གངས་ཟེར།

དཀིལ་གངས་ནི་གངས་ཐོ་ཞིག་གོ་རིམ་བཞིན་ (འཕར་རིམ་ཡང་ན་ཆག་རིམ་) བསྒིགས་ཡོད་པའི་དཀིལ་གི་གངས་དེ་ ལ་ཟེར། བེ་བག་ཕེད་ཀ་དཀིལ་གངས་ཀི་གོང་ལ་ཡོད་པ་དང་བེ་བག་ཕེད་ཀ་དཀིལ་གངས་ཀི་གཤམ་ལ་ཡོད། རེད་རིག་དགེ་རྒན་གིས་སོབ་མ་དཀིལ་མ་དེ་རེད་དཔང་བེད་དུ་བཅུག་པ་རེད། སེམས་ལ་ཞོག

• ཆ་སྙོམས་གངས་དང་། བིངས་གངས། དཀིལ་གངས་བཅས་ཀི་ཐང་མི་འདྲ་བ་གསུམ་ཡིན་ཆོག

• ཆ་སྙོམས་གངས་དང་། བིངས་གངས། དཀིལ་གངས་བཅས་ཀི་ཐང་ནི་རྟག་ཏུ་བེ་བག་གི་ཐང་མཐོ་ཤོས་དང་དམའ་ ཤོས་ཀི་དབར་ལ་ཡོད། རིས་དཔེ། ༧༽ གཤམ་གསལ་གངས་ཐོའི་དཀིལ་གངས་ཚོལ།

15, 16, 34, 50, 10, 14, 35, 55, 47, 11, 13, 45, 14

ལན། གངས་ཐོ་དེ་འཕར་རིམ་བཞིན་བསྒིགས་ན།

10,11, 13, 14, 14, 15, 16, 34, 35, 45, 47, 50, 55 འདིར། བེ་བག་ 13 ཡོད་པས། བེ་བག་བདུན་པ་དེ་གངས་ཐོའི་དཀིལ་དུ་ཡོད། དེར་བརྟེན། དཀིལ་གངས་ = བེ་བག་བདུན་པ་ = 16

སྦོང་ཚན། ༡༣་༢ ༡། སོབ་མ་ 15 ཡི་ཨང་རིས་ཡིག་ཚད་ཀི་ཐོབ་ཆ་ (25 ནས་) གཤམ་གསལ།

19, 25, 23, 20, 9, 20, 15, 10, 5, 16, 25, 20, 24, 12, 20

གངས་ཐོ་འདིའི་བིངས་གངས་དང་དཀིལ་གངས་ཚོལ། དེ་དག་གཅིག་པ་རེད་དམ།

༢། ཁི་རི་ཀེཊ་རེད་འགན་ཞིག་གི་ནང་རེད་མོ་བ་ 11 གིས་བཟོས་པའི་རྒྱུག་གངས་གཤམ་གསལ། 6, 15, 120, 50, 100, 80, 10, 15, 8, 10, 15

གངས་ཐོ་འདིའི་ཆ་སྙོམས་གངས་དང་། བིངས་གངས། དཀིལ་གངས་ཚོལ། དེ་གསུམ་ཀ་གཅིག་པ་རེད་དམ།

222

སོམ་རིས་རིག་པ། ༣། སོབ་མ་ 15 ཡི་ལིད་ཚད་ (kg ནང་) གཤམ་གསལ།

38, 42, 35, 37, 45, 50, 32, 43, 43, 40, 36, 38, 43, 38, 47

(ཀ) གངས་ཐོ་འདིའི་བིངས་གངས་དང་དཀིལ་གངས་ཚོལ། (ཁ) འདིར་བིངས་གངས་གཅིག་ལས་མང་བ་འདུག་གམ།

༤། ཀུན་བཟང་གིས་གངས་ཐོ་ 11, 1, 15, 16, 17, 12, 20, 25, 11, 8, 6, 15, 7, 9, 15 བཅས་ཀི་དཀིལ་

གངས་སུ་ 17 དང་བིངས་གངས་སུ་ 11 བཙལ་བ་རེད། ཁོའི་ལན་འགིག་མིན་ལྟོས། འགིག་མེད་ན་ནོར་བཅོས་གིས།

༥། གཤམ་གསལ་རིས་བརོད་རྣམས་འགིག་ནོར་ལྟོས།

(ཀ) བིངས་གངས་ནི་རྟག་ཏུ་གངས་ཐོའི་ནང་གི་གངས་ཤིག་རེད། (ཁ) ཆ་སྙོམས་གངས་ནི་གངས་ཐོའི་ནང་གི་གངས་ཤིག་རེད།

(ག) གངས་ཐོ་ 6, 4, 3, 8, 9, 12, 13, 9 ཡི་ཆ་སྙོམས་གངས་ 9 རེད།

༡༣་༩ གྲུ་ནར་ཐིག་རིས་ཀི་བེད་སྤོད། Use of bar graph

གྲུ་ནར་ཐིག་རིས་ནི་ཁ་ཞེང་མཚུངས་པའི་གྲུ་ནར་བེད་སྤད་དེ། གངས་ཐོ་མཚོན་ཐབས་བེད་པའི་པར་རིས་ལ་ཟེར། གྲུ་

ནར་ཐིག་རིས་ནང་སྤད་པའི་གྲུ་ནར་གི་ཁ་ཞེང་གཅིག་མཚུངས་ཡིན་པ་དང་དེའི་རིང་ཚད་ནི་ཟློས་ཕོད་དང་ཐིག་ཚད་ ལ་རག་ལས་ཡོད། དཔེར་ན།

གྲུ་ནར་ཐིག་རིས་ནང་ཚད་གཞི་གཅིག་གིས་བེ་བག་གཅིག་མཚོན་གི་ཡོད་པ་དང་།

གལ་ཏེ་ཐིག་རིས་ནི་

གངས་བཅུ་འམ་ཡང་ན་བརྒྱའི་ནང་སྟོན་དགོས་ན། ཚད་གཞི་གཅིག་གིས་བེ་བག་ 10 ཡང་ན་ 100 མཚོན་གི་ཡོད། གཤམ་གསལ་དཔེ་མཚོན་ལ་ལྟོས་དང་། རིས་དཔེ། ༨༽ འཛིན་རིམ་དྲུག་པ་དང་བདུན་པའི་སོབ་མ་ 200 ཡི་ཚོན་མདོག་དགའ་ཤོས་ཀི་མིང་དྲིས་པ་རེད། ཁོང་ཚོའི་ལན་གཤམ་གི་རེའུ་མིག་ནང་བཀོད་ཡོད། གངས་ཐོ་འདི་གྲུ་ནར་ཐིག་རིས་ནང་མཚོན། ཚོན་མདོག་དགའ་ཤོས། སོབ་མའི་གངས།

དམར་པོ། 43

ལི་ཝང་། 19

སྔོན་པོ། 55

སེར་པོ། 49

ལང་ཁུ། 34

གྲུ་ནར་ཐིག་རིས་བེད་སྤད་དེ་གཤམ་གསལ་དྲི་བ་རྣམས་ལ་ལན་བིས།

(ཀ) སོབ་མ་མང་ཤོས་ཀིས་དགའ་མོས་བེད་པའི་ཚོན་མདོག་གང་རེད་དམ།

(ཁ) སོབ་མ་ཉུང་ཤོས་ཀིས་དགའ་མོས་བེད་པའི་ཚོན་མདོག་གང་རེད་དམ། (ག) ཁྱོན་བསོམས་ཚོན་མདོག་ག་ཚོད་ཡོད་དམ། དེ་དག་གི་མིང་བིས།

223

རིས་རིག ལན། གྲུ་ནར་ཐིག་རིས་འབི་བར། ཐོག་མར་

60

ང་ཚོས་འཕེད་ཐིག་དང་གཞུང་ཐིག་

50

བིས་ཏེ། དེ་གཉིས་འཕད་སའི་གནས་

40

ལ་ 0 བིས། གངས་ཐོ་འདིའི་ནང་བེ་

30

བག་མཐོ་ཤོས་ནི་ 55 ཡིན་པས། ང་

20 སོབ་མ།

ཚོས་ཚད་གཞི་ 1 = སོབ་མ་ 10

མཚོན་པར་བས་ཏེ་སོབ་མ་ 60 བར་

10

རིས་བིས།

ལང་ཁུ།

སེར་པོ།

སྔོན་པོ།

དཔེ་རིས་ནང་བསྟན་པ་བཞིན་ཐིག་

ལི་ཝང་།

0

དེ་ནས་གཡས་ཀི་

དམར་པོ།

ཐིག་ཚད་བིས།

ཐིག་ཚད། ཚད་གཞི་ 1 = སོབ་མ་ 10

ཚོན་མདོག

གྲུ་ནར་ཐིག་རིས་ལས་ང་ཚོས་གཤམ་གསལ་ཤེས་ཐུབ།

(ཀ) སོབ་མ་མང་ཤོས་ཀིས་དགའ་མོས་བེད་པའི་ཚོན་མདོག་སྔོན་པོ་རེད། (སྔོན་པོ་མཚོན་པར་བེད་པའི་གྲུ་ནར་ རིང་ཤོས་ཡིན་པས་སོ།)

(ཁ) སོབ་མ་ཉུང་ཤོས་ཀིས་དགའ་མོས་བེད་པའི་ཚོན་མདོག་ལི་ཝང་རེད། (ལི་ཝང་མཚོན་པར་བེད་པའི་གྲུ་ནར་ ཐུང་ཤོས་ཡིན་པས་སོ།)

(ག) ཁྱོན་བསོམས་ཚོན་མདོག་ལྔ་ཡོད། དེ་དག་ནི་དམར་པོ་དང་། ལི་ཝང་། སྔོན་པོ། སེར་པོ། ལང་ཁུ་བཅས་སོ། ༩༽ གཤམ་གསལ་གངས་ཐོ་ནི་འཛིན་གྲྭ་ཞིག་གི་ནང་སོབ་མ་དྲུག་གིས་བངས་པའི་ཁྱོན་བསོམས་ཐོབ་ཆ་ (600 ནས་) སྟོན་གི་ཡོད། གངས་ཐོ་འདི་གྲུ་ནར་ཐིག་རིས་ནང་མཚོན། སོབ་མ།

བོ་བཟང་།

དཔལ་སྒོན།

བསོད་ནམས།

ཚེ་རིང་།

ལྷ་མོ།

ཀུན་དགའ།

བངས་པའི་ཐོབ་ཆ།

450

500

300

360

400

540

ལན། (ཀ) ཐིག་ཚད་འོས་འཚམ་ཞིག་གདམ་པར། ང་ཚོས་དུམ་བུ་རེ་ལ་སར་ཆ་ 100 རེ་བརིས་ནས་དུམ་བུ་འདྲ་མཉམ་

དུ་གཏོང་དགོས། དེས་ན། ཚད་གཞི་ 1 གིས་ཨང་ཐོབ་ 100 མཚོན་གི་རེད། (གལ་ཏེ་ང་ཚོས་ཚད་གཞི་ 1 ལ་ཨང་ཐོབ་ 10 ཡིས་མཚོན་པར་བས་ན་དཀའ་ངལ་གང་ཡོད་དམ།)

(ཁ) གཤམ་གསལ་དཔེ་རིས་ནང་སྟོན་པ་བཞིན། གངས་ཐོ་འདི་གྲུ་ནར་ཐིག་རིས་ནང་མཚོན།

224

སོམ་རིས་རིག་པ། ཐིག་ཚད། ཚད་གཞི་ 1 = ཨང་ཐོབ་ 100

600 500

ཀུན་དགའ།

ལྷ་མོ།

ཚེ་རིང་།

100

བསོད་ནམས།

200

དཔལ་སྒོན།

300

བོ་བཟང་།

ཨང་ཐོབ་ 600 ནས།

400

0 སོབ་མ།

༡༣་༩་༡ གྲུ་ནར་ཉིས་འགིག་ཐིག་རིས། Double Bar Graph

གྲུ་ནར་ཉིས་འགིག་ཐིག་རིས་ནང་། ང་ཚོས་ཐིག་རིས་གཅིག་གི་སྟེང་ཐིག་ཚད་གཅིག་པ་ཡིན་པའི་གངས་ཐོ་གཉིས་འབི་ ཡི་ཡོད། གྲུ་ནར་ཉིས་འགིག་ཐིག་རིས་ཀིས་ཤེས་ཟིན་པའི་གངས་ཐོ་གཉིས་བསྡུར་བར་རོགས་བེད་ཀི་ཡོད། གཤམ་གསལ་དཔེ་མཚོན་ལ་ཆ་འཇོག

ཨང་རིས་དགེ་རྒན་གིས་ཟླ་བཞིའི་ཡིག་ཚད་རེས་སོབ་ཁིད་ཐབས་ལམ་གསར་པ་ཞིག་ཉམས་ལེན་བས་པ་དེ་ནུས་པ་

ཅན་ཞིག་བྱུང་ཡོད་མེད་ཀི་རྟོག་ཞིབ་བ་འདོད་ཡོད། མོས་ཟླ་བཞིའི་ཡིག་ཚད་ (25 ནས་) དང་ལོ་ཕེད་ཡིག་ཚད་ (25 ནས་) ནང་ཨང་ཐོབ་དམའ་ཤོས་བངས་བའི་སོབ་མ་ 5 ཡི་ཐོབ་ཆ་ལེན་པ་རེད། སོབ་མ།

ཆོས་ལྡན།

དཔའ་མོ།

ཟླ་བཞིའི་ཡིག་ཚད།

10

15

12

20

9

ལོ་ཕེད་ཡིག་ཚད།

15

18

16

21

15

རབ་རྒྱས། བཀྲ་ཤིས།

བུ་ཁིད།

ཐིག་ཚད། ཚད་གཞི་ 1 = ཨང་ཐོབ་ 5

25

ཨང་ཐོབ་ 25 ནས།

20 15 ཟླ་བཞིའི་ཡིག་ཚད།

10

ལོ་ཕེད་ཡིག་ཚད།

5 0

ཆོས་ལྡན།

དཔའ་མོ།

རབ་རྒྱས།

བཀྲ་ཤིས།

བུ་ཁིད།

སོབ་མ།

225

རིས་རིག གོང་གི་གྲུ་ནར་ཉིས་འགིག་ཐིག་རིས་ལས། སོབ་མ་མང་ཆེ་བའི་གྲུབ་འབས་ལ་ཡར་རྒྱས་ཀི་རྣམ་པ་གསལ་པོ་མཐོང་ཐུབ། དེས་ན། རྒན་ལགས་ཀིས་སོབ་ཁིད་ཐབས་ལམ་གསར་པ་དེ་མུ་མཐུད་བེད་སྤོད་བ་རྒྱུའི་ཐག་བཅད་པ་རེད། རིས་དཔེ། ༡༠༽ ས་གནས་ཤིག་ལ་དཔྱད་ཞིབ་བས་པའི་གངས་ཐོ་གཤམ་གསལ། རྐང་པོལ།

ཁི་རི་ཀེཊ།

བ་སྒོ།

སིལ་པོལ།

ལུས་རེད།

ལྟ་མཁན།

1200

1550

605

650

890

རེད་མཁན།

820

1090

110

255

250

ཐིག་ཚད་འོས་འཚམ་ཞིག་བདམས་ཏེ། གངས་ཐོ་འདི་གྲུ་ནར་ཉིས་འགིག་ཐིག་རིས་ནང་མཚོན།

ལན། གངས་ཐོའི་ནང་མི་གངས་མང་པོ་ཡོད་པས། ཐིག་ཚད་ནི་ཚད་གཞི་ 1 = མི་ 100 མཚོན་པར་བེད་ཀི་ཡིན།

མིའི་གངས།

གངས་ཐོ་འདི་གྲུ་ནར་ཉིས་འགིག་ཐིག་རིས་ནང་མཚོན་པ་གཤམ་གསལ། 1600 1500 1400 1300 1200 1100 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0

ཐིག་ཚད། ཚད་གཞི་ 1 = མི་ 100 ལྟ་མཁན།

རེད་མཁན།

རྐང་པོལ།

ཁི་རི་ཀེཊ། རེད་མོ།

226

བ་སྒོ།

སིལ་པོལ།

ལུས་རེད།

སོམ་རིས་རིག་པ།

སྦོང་ཚན། ༡༣་༣ ༡། དཔེ་རིས་ ༡༣་༡ ནང་གྲུ་ནར་ཐིག་རིས་ནི་འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་སོབ་མ་རྣམས་ཀི་གཅེས་ཉར་སེམས་ཅན་གི་གངས་ སྟོན་གི་ཡོད། དེ་བེད་སྤད་དེ་གཤམ་གསལ་དྲི་བ་རྣམས་ལ་ལན་རྒྱོབ། (ཀ) སྤི་མོས་ཀི་གཅེས་ཉར་སེམས་ཅན་གི་མིང་བིས།

(ཁ) གཅེས་ཉར་སེམས་ཅན་ནེ་ཙོ་ཡིན་པའི་སོབ་མ་ག་ཚོད་འདུག་གམ།

གཅེས་ཉར་སེམས་ཅན།

2013

2012

2014

ཐིག་ཚད། ཚད་གཞི་ 1 = དེབ་ 100

2011

600 500 400 300 200 100 0

2010

དེབ་ཀི་གངས།

གཞན།

ནེ་ཙོ།

རི་བོང་།

ཞི་མི།

ཁྱི།

སོབ་མ།

12 10 8 6 4 2 0

ཕི་ལོ།

དཔེ་རིས་ ༡༣་༡

དཔེ་རིས་ ༡༣་༢

༢། དེབ་ཚོང་ཁང་ཞིག་གིས་ལོ་ལྔ་བསྟུད་མར་དེབ་བཙོངས་པའི་གངས་ཀི་གྲུ་ནར་ཐིག་རིས་ (དཔེ་རིས་ ༡༣་༢) བཀགས་ ཏེ། གཤམ་གསལ་དྲི་བ་ཁག་ལ་ལན་བིས།

(ཀ) ཕི་ལོ་ 2010 དང་། 2011, 2013 བཅས་ཀི་ནང་དེབ་ག་ཚོད་བཙོངས་ཡོད་དམ། (ཁ) ཕི་ལོ་གང་གི་ལོར་དེབ་གངས་ 475 ཙམ་བཙོངས་ཡོད་དམ།

(ག) ཕི་ལོ་གང་གི་ལོར་དེབ་གངས་ 250 ལས་ཉུང་བ་བཙོངས་ཡོད་དམ།

(ང) ཕི་ལོ་ 2010 ལོར་བཙོངས་པའི་དེབ་གངས་ཚོད་དཔག་བེད་སྟངས་བིས།

༣། གཤམ་གསལ་གངས་ཐོ་ནི་འཛིན་རིམ་དྲུག་གི་སོབ་མའི་གངས་སྟོན་གི་ཡོད། གངས་ཐོ་འདི་གྲུ་ནར་ཐིག་རིས་ནང་ མཚོན།

འཛིན་རིམ།

ལྔ་པ།

དྲུག་པ།

བདུན་པ།

བརྒྱད་པ།

དགུ་པ།

བཅུ་པ།

སོབ་མའི་གངས།

135

120

95

100

90

80

(ཀ) ཁྱེད་ཀིས་ཐིག་ཚད་ཇི་ལྟར་གདམ་གི་ཡིན་ནམ། (ཁ) གཤམ་གསལ་དྲི་བ་རྣམས་ལ་ལན་བིས།

227

རིས་རིག (༡) སོབ་མ་མང་ཤོས་ཡོད་པ་དང་སོབ་མ་ཉུང་ཤོས་ཡོད་པའི་འཛིན་གྲྭ་གང་རེད་དམ།

(༢) འཛིན་རིམ་དྲུག་པའི་སོབ་མའི་གངས་དང་འཛིན་རིམ་བརྒྱད་པའི་སོབ་མའི་གངས་ཀི་སྡུར་ཚད་ཚོལ། ༤། སོབ་མ་ཞིག་གིས་དུས་ཚིགས་དང་པོ་དང་དུས་ཚིགས་གཉིས་པའི་གྲུབ་འབས་གངས་ཐོ་གཤམ་དུ་སྤད་ཡོད། ཐིག་ཚད་འོས་འཚམ་ཞིག་བདམས་ཏེ། གྲུ་ནར་ཉིས་འགིག་ཐིག་རིས་བིས། སོབ་ཚན།

བོད་ཡིག

ཨིན་ཇི།

ཨང་རིས།

ཚན་རིག

སྤི་ཚན།

དུས་ཚིགས་དང་པོ། (100 ནས།)

67

72

88

81

73

དུས་ཚིགས་གཉིས་པ། (100 ནས།)

70

65

95

85

75

ཐིག་རིས་བེད་སྤད་དེ་གཤམ་གསལ་དྲི་བ་རྣམས་ལ་ལན་རྒྱོབ།

(ཀ) སོབ་མ་དེའི་གྲུབ་འབས་ལ་ཡར་རྒྱས་ཆེ་ཤོས་ཕིན་པའི་སོབ་ཚན་དེ་གང་རེད་དམ། (ཁ) སོབ་ཚན་གང་ལ་ཡར་རྒྱས་ཉུང་ཤོས་ཕིན་འདུག་གམ། (ག) སོབ་ཚན་གང་ཞིག་གི་གྲུབ་འབས་ཆག་འདུག་གམ།

༥། གཤམ་གསལ་རེའུ་མིག་ནི་ཕི་ཟླ་གསུམ་པའི་བདུན་ཕག་དང་པོའི་སྔ་དྲོ་དང་དགོང་དྲོའི་དྲོད་ཚད་སྟོན་གི་ཡོད། རེས་གཟའ།

ཟླ་བ།

མིག་དམར།

ལྷག་པ།

ཕུར་བུ།

པ་སངས།

སེན་པ།

ཉི་མ།

སྔ་དྲོའི་དྲོད་ཚད།

30oC

21oC

17oC

22oC

21oC

17oC

12oC

དགོང་དྲོའི་དྲོད་ཚད།

22oC

15oC

20oC

20oC

15oC

12oC

18oC

གོང་གི་གངས་ཐོ་མཚོན་པའི་གྲུ་ནར་ཉིས་འགིག་ཐིག་རིས་བིས། ༦། གཤམ་གསལ་ནི་བོད་མི་གཞིས་ཆགས་ཁག་ལྔའི་ཕོ་མོའི་གངས་ཐོ་ཡིན། ཀ

ཁ

ག

ང

ཅ

མོ།

1000

470

510

430

250

ཕོ།

620

320

320

250

500

(ཀ) ཐིག་ཚད་འོས་འཚམ་ཞིག་བདམས་ཏེ་གྲུ་ནར་ཉིས་འགིག་ཐིག་རིས་བིས། (ཁ) མི་འབོར་ཆེ་ཤོས་ཀི་གཞིས་ཆགས་དེ་གང་རེད་དམ། (ཁ) ཕོ་མོ་གཉིས་ལས་གང་མང་བ་འདུག་གམ།

228

སོམ་རིས་རིག་པ།

དྲན་གསོ་གིས། ༡། གངས་ཐོ་ཞིག་བསྡུ་རུབ་མ་བས་གོང་ལ། དེ་གང་གི་ཆེད་དུ་བེད་སྤོད་བ་རྒྱུ་ཡིན་པ་གསལ་པོ་ཤེས་དགོས། ༢། བསྡུ་རུབ་བས་ཟིན་པའི་གངས་ཐོ་དེ་རེའུ་མིག་འོས་འཚམ་ཞིག་གི་ནང་བཀོད་སྒིག་བས་ཚེ། གངས་ཐོ་ དེའི་གོ་དོན་དང་འགེལ་བཤད་ལས་ས་པོ་རྒྱག་ཐུབ།

༣། ཆ་སྙོམས་ནི་བེ་བག་གི་ཚོ་ཁག་གམ་ཡང་ན་གངས་ཐོའི་དཀིལ་ཐང་གི་ངོ་ཚབ་མཚོན་པའི་གངས་ལ་ ཟེར།

༤། ཆ་སྙོམས་གངས་ནི་གངས་ཐོའི་གཅིག་བསྡུས་འཁོར་ཕོགས་ཤིག་རེད།

༥། བིངས་གངས་ནི་གཅིག་བསྡུས་འཁོར་ཕོགས་ཀི་རྣམ་པ་ཤིག་ཡིན། གངས་ཐོ་ཞིག་གི་བིངས་གངས་ནི་ བསྐྱར་ཟློས་མང་ཤོ​ོས་བེད་པའི་བེ་བག་དེ་ཡིན།

༦། དཀིལ་གངས་ནི་གངས་ཐོ་གོ་རིམ་བཞིན་བསྒིགས་ཡོད་པའི་དཀིལ་གི་ཐང་དེ་ལ་ཟེར། བེ་བག་ཕེད་ཀ་ དཀིལ་གངས་ཀི་གོང་དང་ཕེད་ཀ་གཤམ་དུ་ཡོད།

༧། གྲུ་ནར་ཐིག་རིས་ནི་ཁ་ཞེང་མཉམ་པའི་གྲུ་ནར་བེད་སྤད་དེ། གངས་ཐོ་མཚོན་པའི་པར་རིས་ལ་ཟེར།

༨། གྲུ་ནར་ཉིས་འགིག་ཐིག་རིས་ནི་ཐིག་རིས་གཅིག་གི་སྟེང་གངས་ཐོ་གཉིས་བསྡུར་བར་བེད་སྤོད་ཡོད།

229

སྦོང་ཚན་ཁག་གི་ལན། སྦོང་ཚན། ༡་༡ ༡། (ཀ) 48

༢། (ཀ) 18

༣། (ཀ) 75, 25

(ཁ) − 67

(ཁ) 35

༤། (ཀ) − 5, − 20 ༥། 102

(ག) 50

(ང) 38

(ག) 5

(ང) 57

(ཁ) − 150, 25

(ཆ) 0

(ཅ) 0

(ཆ) 162

(ཅ) 509

(ག) − 9, 9

(ཁ) − 250, − 200

(ཅ) 1000

(ཆ) 20

(ག) 10, − 15

༦། − 35

སྦོང་ཚན། ༡་༢ ༡། (ཀ) − 7

(ཁ) − 450

༣། (ཀ) − a

(ཁ) ༡། 22

༥། (ཀ) 336

(ཁ) 480

༦། (ཀ) − 9

(ཁ) − 7

(ཇ) − 1320 (ཉ) − 360

༤། (ཀ) − 8

(ཇ) 493

(ཁ) − 96

(ཉ) 1140

(ག) 316

(ང) 630

(ཏ) − 24

(ཐ) 36

(ག) − 125

(ང) 1990

(ག) 7

(ང) − 11

༢། − 37

༣། 0

(ག) − 53000 (ང) − 15000 (ཅ) − 4182

(ཆ) − 62500

སྦོང་ཚན། ༡་༣ ༡། (ཀ) − 3

(ཁ) 0

(ག) − 4

(ང) 1

(ཅ) − 13

(ཆ) − 7

༢། (ཀ) 1

(ཁ) − 10

(ག) − 205

(ང) 97

(ཅ) − 103

(ཆ) − 12

(ཇ) 0

(ཇ) − 96

(ཉ) − 1

(ཉ) − 4

༣། (− 6, 2), (− 12, 4), (12, − 4), (9, − 3), (− 9, 3) ༤། ` 150

༥། (ཀ) 9 p.m ; − 14o C

སྦོང་ཚན། ༢་༡ ༡། ཀ, ཁ, ཅ, ཆ

3 4

༢། (ཀ)

−2

230

−1

0

1

2

ལན། (ཁ)

−1 −7 4

(ག)

−2

−5 8

0

−1

0

1

1

2 7 8

(ང) −1

0

1

༣། (ཀ) −4 3

(ཁ) −1 2

(ག) 47 18

(ང) 6 21

༤། (ཀ) 1 4

(ཁ) −5 6

(ག) 5 2

(ང) 2 −3

༥། (ཀ) −3 , −2 , −1 5 5 5 ༦། (ཀ) < (ཁ) > ༧། (ཀ) −4 , −6 , −8 14 21 28

(ཁ) −4 , −1 , −2 3 3 9 (ག) > (ང) = (ཁ) 10 , 15 , 20 −6 −9 −12

(ཅ) −3 2 7 (ག) −3 , −3 , −3 2 4 7 (ཅ) < (ཆ) >

(ག) 8 , 12 , 16 18 27 36

(ང) 10 , 15 , 20 12 18 24

༨། (ཀ) −5 , −2 , −1 , −1 , −1 6 3 2 3 6 (ག) −7 , −34 , −11 , −32 , −31 9 45 15 45 45

(ཁ) −11 , −5 , −3 , −4 , −7 6 3 2 3 6 (ང) −1 , −1 , 0 , 1 , 1 3 6 6 3

༩། (ཀ) −15 , −18 , −21 , −24 25 30 35 40 (ག) 5 , 6 , 7 , 8 −30 −36 −42 −48

(ཁ) −4 , −5 , −6 , −7 16 20 24 28 (ང) 8 , 10 , 12 , 14 −12 −15 −18 −21

སྦོང་ཚན། ༢་༢ ༡། (ཀ) 34 15

(ཁ) −3 2

(ག) −2 13

(ང) 82 99

(ཅ) 17 30

(ཆ) −26 57

༢། (ཀ) −13 72

(ཁ) 23 63

(ག) 1 195

(ང) −89 88

(ཅ) −73 9

(ཆ) −32 63

(ཇ) 34 15

231

རིས་རིག ༣། (ཀ) −27 (ཁ) −6 10 35

(ག) 0

(ང) −54 55

(ཅ) 1

(ཆ) −3 5

(ཁ) −3 10

(ག) −5 3

(ང) −1 6

(ཅ) 91 24

(ཆ) −2 3

༤། (ཀ) −6 ༥། 61 104

(ཇ) −26 7

(ཉ) 0

༦། 9 13

སྦོང་ཚན། ༣་༡ ༡། (ཀ) 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

(ཁ) 9 × 9 × 9

(ག) 11 × 11 × 11

༢། (ཀ) 64 ༣། (ཀ) 29

(ཁ) m2

(ཁ) 73

༤། (ཀ) 34

(ཁ) 210

༦། (ཀ) 2000

(ཁ) 0

༥། (ཀ) 5 × 34 (ཇ) 675

༧། (ཀ) − 64

(ང) 5 × 5 × 5 × 5 (ང) 52 × 73 (ཅ) 22 × a2

(ག) b4

(ག) 36

(ང) 55

(ག) 35 (ཁ) 22 × 33 × 5

(ང) 2100 (ག) 23 × 34

(ག) 40

(ཉ) 196

(ང) 144

(ཁ) 24 (ག) 225 ༨། (ཀ) 2.7 × 1012 > 1.5 × 108

(ཆ) a3 × c4 × d

(ང) 24 × 32 × 52

(ཅ) 768

(ཆ) 90000

(ང) 8000

(ཁ) 4 × 1014 < 3 × 1017

སྦོང་ཚན། ༣་༢ ༡། (ཀ) 314

(ཇ) (ab)4

༢། (ཀ) 33 (ཇ) 1

(ཁ) 65

(ག) a5

(ང) 7 x + 2

(ཅ) 53

(ག) 55

(ང) 7 × 115

(ཅ) 30 ཡང་ན་ 0 (ཆ) 3

(ཉ) 8 t − 2

(ཏ) 28

(ཉ) 2

(ཏ) (2a)2

(ཁ) 53

(ཐ) a10

༣། (ཀ) ནོར། ; 10 × 1011 = 1012 དང་ (100)11 = 1022 (ཁ) ནོར། ; 23 = 8 , 52 = 25 (ག) ནོར། ; 65 = 25 × 35 (ང) འགིག ; 30 = 1 , (1000)0 = 1

༤། (ཀ) 26

(ཁ) 2 × 33 × 5

༥། (ཀ) 98

(ཁ) 5t 8

232

4

(ག) 28 × 3 (ག) 1

(ཆ) (10)5

(ད) a3b

(ན) 28

(ང) 27 × 3

ལན།

སྦོང་ཚན། ༣་༣ ༡། 20068 = 2 × 104 + 0 × 103 + 0 × 102 + 6 × 101 + 8 × 100

120719 = 1 × 105 + 2 × 104 + 0 × 103 + 7 × 102 + 1 × 101 + 9 × 100 279404 = 2 × 105 + 7 × 104 + 9 × 103 + 4 × 102 + 0 × 101 + 4 × 100 2806196 = 2 × 106 + 8 × 105 + 0 × 104 + 6 × 103 + 1 × 102 + 9 × 101 + 6 × 100 3006194 = 3 × 106 + 0 × 105 + 0 × 104 + 6 × 103 + 1 × 102 + 9 × 101 + 4 × 100

༢། (ཀ) 86045

༣། (ཀ) 7 × 106

(ཁ) 405302

(ཅ) 3.90878 × 104

༤། (ཀ) 6 × 106

(ང) 1 × 1011

(ག) 30705

(ཁ) 5 × 108

(ག) 3.1865 × 109

(ཁ) 3.84 × 108 m

(ག) 1.2756 × 107 m

(ཆ) 3.90878 × 103

(ཅ) ལོ་ 1.2 × 1010

(ང) 900230

(ང) 3.90878 × 105

སྦོང་ཚན། ༤་༡ ༡། (ཀ) 1 : 2

(ཁ) 1 : 2000

(ག) 1 : 6

༣། 6

༤། 25

༥། ` 2,400

༢། (ཀ) 66.66 %

(ཁ) 75 %

༦། གཞན་ = 10 % ; རྐང་པོལ་ = 3000000 ; དབྱུག་རེད་པོ་ལོ་ = 1500000 ; གཞན་ = 500000

སྦོང་ཚན། ༤་༢ ༡། ` 1,40,000

༢། 80 %

༩། ` 2,000

༡༠། ` 5,000

༥། ཁེ་ 2 %

༣། ` 34.80

༦། ` 2,835

༧། གོང་ ` 1,269.84

༤། ` 18,342.50

༨། ` 14,300

སྦོང་ཚན། ༤་༣ ༡། (ཀ) ` 120

༢། (ཀ) ` 1,632 ༣། 2.5 %

(ཁ) 6 %

(ཁ) ` 8,250

(ག) 2

(ང) ` 260

(ཅ) ` 945

༤། ` 500

233

རིས་རིག

༡། (ཀ) y − z

(ཇ) 10 − yz

1 (ཁ) 2 (x + y)

༡།

༢། (ཀ)

སྦོང་ཚན། ༥་༡ (ག) z2

1 (ང) 4 (p × q)

(ཉ) ab − (a + b)

x−3

༢།

−3

x

(ཅ) x2 + y2

(ཆ) 5 + 3mn

1 + x + x2 1

x2

x x

༣།

༤།

y − y3

5xy2

7x2y

−1 y y y

5 x y y

7 x x y

༥།

−ab + 2b2 − 3a2

− ab

(ཁ)

༣།

༨ ཀ ཁ

234

a

− 3a2

2b2 b

ཚུལ། ༡ ༢ ༣ ༤ ༥ ༦ ༧

5xy2 + 7x2y

− y3

y

−1

x

2

b

b

ཚན་པ།

−3

a

a བགོད་གངས།

− 4x + 5 − 4x, 5 − 4, x, 5 − 4x + 5y − 4x, 5y − 4, x, 5, y 5y + 3y2 5y, 3y2 5, y, 3, y, y xy + 2x2y2 xy, 2x2y2 x, y, 2, x, x, y, y pq + q pq, q p, q, q 1.2ab − 2.4b + 3.6a 1.2ab, − 2.4b, 3.6a 1.2, a, b, − 2.4, b, 3.6, a 3x + 1 3 x, 1 3 , x, 1 4 4 4 4 4 4 2 2 2 2 − 0.1p + 0.2q − 0.1p , 0.2q − 0.1, p, p, 0.2, q, q ཚུལ།

5 − 3t2 1 + t + t2 + t3

ཚན་པ། − 3t2 t t2 t3

ཨང་ཀིའི་བཏགས་གངས། −3 1 1 1

ལན། ག

x + 2xy + 3y

ང

100m + 1000n

ཅ

−p2q2 + 7pq

ཆ

1.2a + 0.8b

ཇ ཉ

3.14r2 2(l + b) = 2l + 2b

ཏ

0.1y + 0.01y2

༤། (ཀ)

1 2 3 100 1000 −1 7 1.2 0.8 3.14 2 2 0.1 0.01

x 2xy 3y 100m 1000n −p2q2 7pq 1.2a 0.8b 3.14r2 2l 2b 0.1y 0.01y2

ཚུལ།

x ཡོད་པའི་ཚན་པ།

x ཡི་བཏགས་གངས།

༡ ༢ ༣

y2x + y 13y2 − 8yx 7x + xy2

༤ ༥

5 + z + zx 1 + x + xy

༦

12xy2 + 25

y2x − 8yx 7x xy2 zx x xy 12xy2

y2 − 8y 7 y2 z 1 y 12y2

ཚུལ།

y2 ཡོད་པའི་ཚན་པ།

y2 ཡི་བཏགས་གངས།

(ཁ)

8 − xy2 ༡ 5y2 + 7x ༢ 2 2 2 ༣ 2x y − 15xy + 7y ༥། (ཀ) ཉིས་ཚན་ཚུལ།

(ཅ) སུམ་ཚན་ཚུལ།

−xy2 5y2 − 15xy2 7y2

(ཁ) ཚན་རྐང་ཚུལ།

(ཆ) ཉིས་ཚན་ཚུལ།

(ག) སུམ་ཚན་ཚུལ།

(ཇ) ཉིས་ཚན་ཚུལ།

−x 5 − 15x 7

(ང) ཚན་རྐང་ཚུལ།

(ཉ) ཚན་རྐང་ཚུལ།

235

རིས་རིག (ཏ) སུམ་ཚན་ཚུལ།

(ཐ) ཉིས་ཚན་ཚུལ།

༦། (ཀ) ཚན་མཐུན།

(ཁ) ཚན་མཐུན།

(ཅ) མི་མཐུན་ཚན་པ།

(ཆ) མི་མཐུན་ཚན་པ།

(ད) ཉིས་ཚན་ཚུལ།

(ག) མི་མཐུན་ཚན་པ།

(ན) སུམ་ཚན་ཚུལ། (ང) ཚན་མཐུན།

༧། (ཀ) (− xy2, 2xy2), (− 4yx2, 20x2y), (8x2, − 11x2, − 6x2), (7y, y), (− 100x, 3x), (− 11yx, 2xy)

(ཁ) (10pq, − 7qp, 78qp), (7p, 2405p), (8q, − 100q), (− p2q2, 12q2p2), (− 23, 41), (− 5p2, 701p2), (13p2q, qp2)

སྦོང་ཚན། ༥་༢ ༡། (ཀ) 8b − 32

(ཁ) 7z3 + 12z2 − 20z

(ག) p − q

(ཁ) − 5tz

(ག) 12mn − 4

(ང) a + ab

(ཅ) 8x2y + 8xy2 − 4x2 − 7y2

(ང) a + b + 3

(ཅ) 7x + 5

(ཆ) 3m − 4n − 3mn − 3

(ཁ) − 18xy

(ག) 2b

༢། (ཀ) 2mn

(ཇ) 9x2y − 8xy2

(ཉ) − x2 − y2 − 1

༣། (ཀ) 6y2

(ང) 5a + 5b − 2ab

(ཅ) 5m2 − 8mn + 8

(ཆ) x2 − 5x − 5

(ཇ) − 7a2 − 7b2 + 10ab (ཉ) 8p2 + 8q2 − 5pq

༤། (ཀ) x2 + 2xy − y2 ༥། 4x2 − 3y2 − xy

(ཆ) 4y2 − 3y

(ཁ) 5a + b − 6

༦། (ཀ) − y + 11

(ཁ) 2x + 4

སྦོང་ཚན། ༥་༣ ༡། (ཀ) 0

(ཁ) 1

(ག) − 1

(ང) 1

༣། (ཀ) − 9

(ཁ) 3

(ག) 0

(ང) 1

(ག) 0

(ང) 2

༢། (ཀ) − 1 ༤། (ཀ) 8

༥། (ཀ) − 2

༦། (ཀ) 5x − 13; − 3

(ཁ) − 13

(ཁ) 4

(ཁ) 2

(ག) 11x − 10; 12

236

(ག) 3

(ག) 0

(ཁ) 8x − 1; 15

(ང) 11x + 7; 29

(ཅ) 1

ལན། (ཁ) − 6

༧། (ཀ) 10

༨། (ཀ) 1000

(ག) 11

(ང) 22

(ཅ) − 8

ཨང་ཀིའི་གངས།

དཔེ་འགོས་ཀི་ཆོ་ག

དུམ་བུའི་གངས།

10

(5n + 1)

51

(ཁ) 20

༡༠། 2a2 + ab + 3; 38

སྦོང་ཚན། ༥་༤ ༡།

དཔེ་འགོས།

5

ཀ

26

100 5

ཁ

501 16

10

31

(3n + 1)

100 5

ག

301 27

10

52

(5n + 2)

100

502

༢། ཚུལ།

ཚན་པ། དང་པོ། གཉིས་པ། གསུམ་པ། བཞི་པ།

ལྔ་པ།

...

བཅུ་པ།

...

བརྒྱ་པ།

...

2n − 1

1

3

5

7

9

_

19

_

199

_

3n + 2

5

8

11

14

17

_

32

_

302

_

4n + 1

5

9

13

17

21

_

41

_

401

_

7n + 20

27

34

41

48

55

_

90

_

720

_

n2 + 1

2

5

10

17

26

_

101

_

10,001

_

སྦོང་ཚན། ༦་༡ ༡། (ཀ) མིན།

(ཁ) མིན།

(ག) ཡིན།

༢། (ཀ) མིན།

(ཁ) མིན།

(ག) ཡིན།

(ཇ) ཡིན།

(ཉ) མིན།

(ཏ) མིན།

(ང) མིན།

(ཐ) མིན།

(ང) མིན།

(ཅ) ཡིན།

(ཆ) མིན།

(ཅ) མིན།

(ཆ) མིན།

(ད) ཡིན།

237

རིས་རིག (ཁ) y − 2 = 8

༣། (ཀ) x + 4 = 9

x (ཆ) 7m + 7 = 77 (ཇ) 4 − 4 = 4

(ག) 10a = 70

d (ང) 5 = 6

3t (ཅ) 4 = 15

༤། (ཀ) p དང་ 4 ཡི་བསོམས་ཐོབ་ 15 རེད།

z (ཉ) 6y − 6 = 60 (ཏ) 3 + 3 = 30 (ཁ) m ནས་ 7 འཐེན་ན་ 3 འབྱུང་།

(ཅ) m ཡི་ལྔ་ཆ་གསུམ་ནི་ 6 རེད།

(ཆ) གསུམ་སྒྱུར་ p སོམ་ 4 ཡིས་ 25 འབྱུང་།

(ག) 2 སྒྱུར་ m ནི་ 7 རེད།

(ང) m ཡི་ལྔ་ཆ་གཅིག་ནི་ 3 རེད།

(ཇ) བཞི་སྒྱུར་ p འཐེན་ 2 ཀིས་ 18 འབྱུང་། (ཉ) p ཡི་གཉིས་ཆ་གཅིག་སྟེང་ 2 བསོམས་ན་ 8 འབྱུང་། (ཁ) 3y + 4 = 49

༥། (ཀ) 5m + 7 = 37

སྦོང་ཚན། ༦་༢ ༡། (ཀ) ཕོགས་གཉིས་ཀར་ 1 རེ་སོམས། ; x = 1

(ཁ) ཕོགས་གཉིས་ཀ་ནས་ 6 རེ་འཐེན། ; x = − 4 (ག) ཕོགས་གཉིས་ཀར་ 4 རེ་སོམས། ; y = − 3 (ང) ཕོགས་གཉིས་ཀ་ནས་ 4 རེ་འཐེན། ; y = 0

(ཅ) ཕོགས་གཉིས་ཀར་ 3 རེས་བགོས། ; l = 14

1 (ཆ) ཕོགས་གཉིས་ཀར་ 20 རེས་བགོས། ; t = − 2

(ཇ) ཕོགས་གཉིས་ཀར་ 2 རེས་སྒྱུར། ; b = 12 15 (ཉ) ཕོགས་གཉིས་ཀར་ 3 རེས་སྒྱུར། ; z = 4 7 (ཏ) ཕོགས་གཉིས་ཀར་ 5 རེས་སྒྱུར། ; a = 3 ༢། (ཀ) q = 3 (ཁ) m = 2 (ག) p = 9 (ཇ) x = 5

−18 5 (ཇ) y = 8

༡། (ཀ) t =

༢། (ཀ) x = 2

14 ༣། (ཀ) p = 5

238

(ཉ) x = 0

(ང) n = 16

སྦོང་ཚན། ༦་༣ (ཁ) z = − 2 1 (ཉ) m = 2 (ཁ) n = 12 6 (ཁ) p = 5

(ཅ) p = 20

(ཆ) q = 6

(ཆ) b = 16

(ག) a = − 5

(ང) q = 48

5 (ཅ) x = 2

(ག) n = − 2

(ང) x = − 4

(ཅ) x = 0

(ག) t = 2

(ང) p = 7

(ཅ) m = 2

ལན། x 2 ༤། (ཀ) 10x + 2 = 22; 5 = 5 ; 5x − 3 = 7

(ཁ) 3x = − 6; 3x + 7 = 1; 3x + 10 = 4

སྦོང་ཚན། ༦་༤

x (ཁ) 5 − 4 = 3; x = 35

༡། (ཀ) 8x + 4 = 60; x = 7 3y (ག) 4 + 3 = 21; y = 24 (ཅ) 50 − 3x = 8; x = 14 5n (ཇ) 2 − 7 = 23; n = 12 ༢། (ཀ) ཨང་ཀི་དམའ་ཤོས་ = 40

(ང) 2m − 11 = 15; m = 13 x + 19 (ཆ) 5 = 8; x = 21 (ཁ) ཉི་མ་ = 132; པ་སངས་ = 66

(ང) ལོ་ 15

(ག) 6

(ཅ) 25

སྦོང་ཚན། ༧་༡ ༡། (ཀ) 70o

(ཁ) 27o

༢། (ཀ) 75o

༣། (ཀ) གསབ་ཟུར། (ཅ) གསབ་ཟུར།

༤། 45o

༦། (ཀ) མ་རེད།

༧། 45o ལས་ཆུང་བ། ༨། (ཀ) རེད།

(ག) 33o

(ཁ) 93o

(ག) 26o

(ཁ) གོགས་ཟུར།

(ཆ) གསབ་ཟུར།

༥། 90o

(ཁ) མ་རེད།

(ག) རེད།

(ཁ) མ་རེད།

(ག) རེད།

༩། (ཀ) ∠1, ∠4; ∠5, ∠2 + ∠3

(ག) གོགས་ཟུར།

༡༠། (ཀ) x = 55o, y = 125o, z = 125o ༡༡། (ཀ) 90o

(ཁ) 180o

(ག) གསབ་ཟུར།

(ང) རེད།

(ང) གོགས་ཟུར།

(ཅ) མ་རེད།

(ཁ) ∠1, ∠5; ∠4, ∠5

(ཆ) ∠COB

(ཁ) x = 115o, y = 140o, z = 40o

(ང) ཉེ་གསབ་ཟུར།

(ཅ) གཅིག་པ།

(ཆ) རྟུལ་ཟུར།

སྦོང་ཚན། ༧་༢ ༡། (ཀ) གནས་མཐུན་ཟུར་གཉིས་མཚུངས་པས་སོ།།

(ཁ) ནང་སྣོལ་ཟུར་གཉིས་མཚུངས་པས་སོ།།

(ག) གསེག་ཐིག་གི་ཕོགས་གཅིག་ཏུ་ཡོད་པའི་ནང་ཟུར་ནི་གསབ་ཟུར་རེད།

༢། (ཀ) ∠1, ∠5; ∠2, ∠6; ∠3, ∠7; ∠4, ∠8

(ཁ) ∠2, ∠8; ∠3, ∠5

239

རིས་རིག (ག) ∠2, ∠5; ∠3, ∠8 o

(ང) ∠1, ∠3; ∠2, ∠4; ∠5, ∠7; ∠6, ∠8

༣། a = 55 , b = 125 , c = 55 , d = 125o, e = 55o, f = 55o ༤། (ཀ) x = 70o

o

o

(ཁ) x = 100o

༥། (ཀ) l ནི་ m དང་མཉམ་འགོ་མིན།

(ཁ) l ནི་ m དང་མཉམ་འགོ་མིན།

(ག) l ནི་ m དང་མཉམ་འགོ་ཡིན།

(ང) l ནི་ m དང་མཉམ་འགོ་མིན།

སྦོང་ཚན། ༨་༡ ༡། དཔངས་རེད། དཀིལ་ཐིག མ་རེད།

སྦོང་ཚན། ༨་༢ ༡། (ཀ) 120o ༢། (ཀ) 65o

(ཁ) 110o

(ཁ) 30o

(ག) 70o

(ག) 35o

(ང) 120o

(ང) 60o

(ཅ) 100o

(ཆ) 90o

(ཅ) 55o

(ཆ) 30o

(ཅ) 50o

(ཆ) 40o

སྦོང་ཚན། ༨་༣ ༡། (ཀ) 40o

(ཁ) 45o

(ག) 50o

(ང) 60o

སྦོང་ཚན། ༨་༤ ༡། QR = 26 cm ༥། 20 m

༢། BC = 24 cm

༣། 9 cm

༦། 18 m

༧། (ཁ)

༤། (ཁ) དང་ (ག)

༨། མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ = 98 cm; རྒྱ་ཁྱོན་ = 360 cm2

སྦོང་ཚན། ༩་༡ (ཁ) 70o

༡། (ཀ) ཐིག་དུམ་གཉིས་ཀི་རིང་ཚད་གཅིག་པ།

(ག) ∠A = ∠B

༣། ∠A ↔ ∠F, ∠B ↔ ∠E, ∠C ↔ ∠D; AB ↔ FE, BC ↔ ED, AC ↔ FD ༤། (ཀ) ∠C

(ཁ) CA

(ག) ∠A

(ང) BA

༥། ∠QPR = 75o; ∠A ↔ ∠P, ∠B ↔ ∠Q, ∠C ↔ ∠R; AB ↔ PQ, BC ↔ QR, AC ↔ PR

སྦོང་ཚན། ༩་༢ ༡། (ཀ) SSS ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐེན།

(ག) ASA ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐེན།

240

(ཁ) SAS ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐེན།

(ཁ) RHS ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐེན།

ལན། ༢། (ཀ) ༡། PE ༢། EN ༣། PN (ཁ) ༡། EN ༢། AT (ག) ༡། ∠RAT = ∠EPN ༢། ∠ATR = ∠PNE ༣། (ཀ) ཤེས་ཟིན།

(ཁ) ཤེས་ཟིན།

༤། ∆WON

(ང) SAS ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐེན།

(ག) སྤི་མཐའ།

(ཁ) ཡིན། ∆ADB ≅ ∆ADC ཡིན་པའི་ཕིར།

༥། (ཀ) ཡིན། ASA ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐེན།

(ག) ཡིན། ∆ADB ≅ ∆ADC ཡིན་པའི་ཕིར།

༩། BC = DE, ∠B = ∠E, ∠C = ∠D, ASA ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐེན།

སྦོང་ཚན། ༡༡་༡

༡། (ཁ), (ག), (ང), (ཆ) ༢།

1 3

1 2

4

5

5

6

2

3

6

4

༣། མ་རེད། རྒྱུ་མཚན་ནི་ཤོའི་གཏད་ངོས་ཆ་གཅིག་ལ་ 1 དང་ 4 ཡོད་པ་དང་དེ་དག་གི་ཁྱོན་བསོམས་ 7 མིན། ཡང་ གཏད་ངོས་ཆ་གཞན་ཞིག་ལ་ 3 དང་ 6 ཡོད་པ་དང་དེ་དག་གི་ཁྱོན་བསོམས་ཀང་ 7 མིན།

༤། (ཀ) (༢)

(ཁ) (༣)

(ག) (༤)

(ང) (༡)

སྦོང་ཚན། ༡༢་༡ ༡། (ཀ) 150000 m2 ༢། 6400 m2

(ཁ) ` 1,500,000,000 ༣། 20 m, 84 m

༦། 31 cm; གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ། ༧། 35 cm, 1050 cm2

༤། 15 cm, 525 cm2

༨། ` 284

༥། 40 m

སྦོང་ཚན། ༡༢་༢ ༡། (ཀ) 28 cm2

(ཁ) 15 cm2

(ག) 8.75 cm2

༢། (ཀ) 6 cm2

(ཁ) 8 cm2

(ག) 6 cm2

༤། (ཀ) 11.6 cm

(ཁ) 80 cm

(ག) 15.5 cm

༣། (ཀ) 12.3 cm

(ཁ) 10.3 cm (ག) 5.8 cm

༥། (ཀ) 91.2 cm2 (ཁ) 11.4 cm

(ང) 8.8 cm2 (ང) 3 cm2

(ཅ) 24 cm2

(ང) 1.05 cm

༦། BM ཡི་རིང་ཚད་ = 30 cm; DL ཡི་རིང་ཚད་ = 42 cm

241

རིས་རིག 60 cm 13 ༨། ∆ABC ཡི་རྒྱ་ཁྱོན་ = 27 cm2 ; CE ཡི་རིང་ཚད་ = 7.2 cm ༧། ∆ABC ཡི་རྒྱ་ཁྱོན་ = 30 cm2 ; AD ཡི་རིང་ཚད་ =

སྦོང་ཚན། ༡༢་༣ ༡། (ཀ) 88 cm

(ག) 132 cm 550 ༢། (ཀ) 616 mm2 (ཁ) 1886.5 m2 (ག) 7 cm2 (ང) 7539.14 cm2 ༣། 24.5 m; 1886.5 m2 ༤། 132 m; ` 528 ༥། 21.98 cm2 ༦། 25.7 cm ༧། ` 30.14

༡༠། 23.44 cm2 ༡༤། རེད།

(ཁ) 176 mm

༨། 7 cm; 154 cm2; 11 cm; སོར་དབིབས།

༡༡། 5 cm; 78.5 cm2

༡༥། ཐེངས་ 200

༡༢། 879.20 m2

༡༦། 94.2 cm

༩། 536 cm2

༡༣། 119.32 m; 56.52 m

སྦོང་ཚན། ༡༢་༤ ༡། 1750 m2 ; 0.675 ha

༢། 1176 m2

༥། (ཀ) 116 m2 (ཁ) ` 31,360 ༧། (ཀ) 441 m2 (ཁ) ` 48,510 ༨། (ཀ) 50 m2

(ཁ) 12.56 m2

༩། ཡོད། ཐག་པ་ 9.12 m ལྷག་ཡོད།

༤། (ཀ) 63 m2 (ཁ) ` 12,600

༦། 0.5964 ha; 20.4036 ha (ག) 37.44 m2

༡༠། (ཀ) 110 cm2

(ང) 12.56 m

(ཁ) 150 cm2

སྦོང་ཚན། ༡༣་༡

༢། ༡ ༢ ༣ ༤ ༥ ༦ ༧ ༨ ༩

242

༣། 30 m2

ཐོབ་ཆ། 1 2 3 4 5 6 7 8 9

ཁམ་རྟགས།

སོབ་མའི་གངས། 1 2 1 3 5 4 2 1 1

༡༡། 66 cm2

ལན། (ཀ) 9

༣། 2

(ཁ) 1

༤། 50

(ག) 8

(ང) 5

༥། (ཀ) མཐོ་ཤོས་ = 95; དམའ་ཤོས་ = 39 ༦། 205

༧། (ཀ) 20.5

(ཁ) 5.9

༨། (ཀ) 151 cm

(ཁ) 128 cm

༩། (ཀ) 12.5

(ཁ) 3

(ཁ) 56 (ག) 5

(ག) 23 cm 9 (ག) 2

(ག) 73 (ང) 141.4 cm

(ཅ) 5

སྦོང་ཚན། ༡༣་༢ ༡། བིངས་གངས་ = 20, དཀིལ་གངས་ = 20, རེད།

༢། ཆ་སྙོམས་གངས་ = 39, བིངས་གངས་ = 15, དཀིལ་གངས་ = 15, མ་རེད། ༣། (ཀ) བིངས་གངས་ = 38 kg, 43 kg; དཀིལ་གངས་ = 40 kg (ཁ) འདུག བིངས་གངས་ 2 འདུག

༤། བཟོ་བཅོས་བརྒྱབ་པའི་དཀིལ་གངས་ = 12; བཟོ་བཅོས་བརྒྱབ་པའི་བིངས་གངས་ = 15 ༥། (ཀ) འགིགས།

(ཁ) ནོར།

(ག) ནོར།

སྦོང་ཚན། ༡༣་༣ ༡། (ཀ) ཁྱི།

(ཁ) 5

༤། (ཀ) ཨང་རིས། ༦། (ཁ) ཀ་པ།

(ཁ) སྤི་ཚན།

(ག) མོ།

(ག) ཨིན་ཇི།

243

ཐ་སྙད་ཨིན་བོད་ཤན་སྦར། Absolute value Acute angle Acute triangle Additive inverse Adjacent angles Adjacent sides Algebra Algebraic expression Alternate exterior angles Alternate interior angles Altitude Amount Angle bisector Arc Area ASA criterion Associative property Average Bar graph Base Binomial Centre

244

ལྟོས་མེད་ཐང་།

Chord

རྣོ་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མ།

Circumference

ཉེ་ཟུར།

Closed figure

ཚབ་རིས།

Coefficient

རྒྱུད་ཐིག

རྣོ་ཟུར།

Circle

ལྡོག་གངས།

Closed curve

ཉེ་མཐའ།

Closure property

ཚབ་རིས་ཀི་ཚུལ།

Collection of data གངས་ཐོ་བསྡུ་རུབ།

ཕི་སྣོལ་ཟུར།

Common factor

ནང་སྣོལ་ཟུར།

Commutative

དཔངས།

Complementary

ཟུར་མཉམ་བགོད་ཐིག

Complete angle

རྒྱ་ཁྱོན།

Congruence

སེབ་སོལ།

Congruent

ཆ་སྙོམས།

Cone

ཞབས། ཞབས་གངས།

Construction

སོར་ལྟེ།

angles

Collinear points Common side property

དངུལ་འབོར།

angles

གཞུ་ཐིག

Concurrent lines

སོར་དབིབས།

སོར་མཐའི་རིང་ཚད།

ཁ་ཟུམ་པའི་འཁྱོག་ཐིག ཁ་ཟུམ་པའི་དབིབས། བསྡུ་སོལ།

བཏགས་གངས།

ཐིག་གཅིག་སྟེང་གནས། སྤིའི་བགོད་གངས། སྤི་མཐའ།

བརེ་སོལ། གོགས་ཟུར། སོར་མཐའི་ཟུར།

གནས་གཅིག་བརྒྱུད་ཐིག ཡོངས་མཚུངས།

ཟུར་མཐའ་ཟུར་གི་ཆ་རྐེན། Congruent figures ཡོངས་མཚུངས་དབིབས། triangles

གྲུ་ནར་ཐིག་རིས།

Constant

ཉིས་ཚན་ཚུལ།

Corrosponding

ཡོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མ། སྙུང་གཟུགས། རྟག་གངས།

འགོད་པ། འབི་བ།

གནས་མཐུན་ཟུར།

ཐ་སྙད་ཨིན་བོད་ཤན་སྦར། Corrosponding parts Cost price Cube Cuboid Cylinder Data Degree Denominator Diagonal Diameter Dimension Discount Distributive property Dividend Divider Divisor Double bar graph Edge End point Equation Equilateral triangle Exponent Expression Extended line

གནས་མཐུན་རྒྱུ།

Interior angle

མ་གནས་རིན་གོང་།

Face

གྲུ་ནར་གཟུགས།

Factorisation

ཀ་ཟླུམ་གཟུགས།

Geometry box

ཌིག་རི།

Hypotenuse

གཏད་ཐིག

Included side

ཆ་ཚད།

Initial point

བགོ་སོལ།

Integer system

བགོད་བའི་གངས།

Interior angle

བགོད་བེད་གངས།

Law

རིས།

LHS

སྣེ་གནས།

Line segment

མཐའ་མཉམ་པའི་ཟུར་

Linear pair

སྟོན་གངས།

Literal factor

བསིངས་ཐིག

Literals

Extreme terms

ཤོ་གཟུགས། སུམ་སྒྱུར།

Factor

སམ་གཟུགས།

Formula

གངས་ཐོ།

Graph paper

མ་ཆ།

Included angle

ཚངས་ཐིག

Infinity

གཅོག་ཆ།

Integer Interest

བགོད་ཐུར།

Isosceles triangle

གྲུ་ནར་ཉིས་འགིག་ཐིག་

LCM

གྲུ། གཞོགས། མཐའ།

Like terms

མཉམ་བ།

Linear equation

གསུམ་མ།

Line symmetry

ཚུལ།

Literal number

ཕི་ཟུར།

ཕི་ཚན། ངོས།

བགོད་གངས།

བགོད་གངས་ལ་བཀྲོལ་བ། ཆོ་ག

དབིབས་ཆས་སམ། དྲ་མིག་ཤོག་བུ། གསེག་མཐའ། ཚུད་ཟུར།

ཚུད་མཐའ། ཚད་མེད།

འགོ་གནས། རིལ་གངས།

རིལ་གངས་ལམ་ལུགས། སྐྱེད་ཀ

ནང་ཟུར།

སྐེད་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ། ཁིམས།

སྤིའི་ལྡབ་གངས་ཆུང་ཤོས། གཡོན་ཕོགས། ཚན་མཐུན། ཐིག་དུམ།

ཐེངས་གཅིག་གི་མཉམ་བ། ཉེ་གསབ་ཟུར།

ཆ་འགིག་གི་ཐིག

ཡིག་འབྲུའི་བགོད་གངས། ཡིག་འབྲུའི་གངས། ཡིག་འབྲུ།

245

རིས་རིག Loss Major arc Marked price Mean Median Median of a Triangle Mid-point Minor arc Mode Monomial Multiple Multiplicative identity Natural number Negative integer Negative number Negative power Negative rational number Number line Numerals Numerator Numerical coefficient Numerical factor Observation Obtuse angle Obtuse triangle

246

གོང་།

Operation

ཐོ་གསལ་གོང་ཚད།

Organisation of

དཀིལ་གངས།

Overhead expenses

ཐིག

Parallel lines

གཞུ་ཐུང་། གཞུ་ཆུང་།

Pattern

ཚན་རྐང་ཚུལ།

Perimeter

སྒྱུར་གངས་ངོ་བོ།

Perpendicular

རང་བྱུང་གངས།

Pictograph

མོ་གངས།

Point

ལུགས་ལྡན་གངས་མོ།

Polynomial

གངས་ཐིག

Positive number

བུ་ཆ།

number

གཞུ་རིང་། གཞུ་ཆེན།

Opposite side

ཆ་སྙོམས་གངས།

data

ཟུར་གསུམ་མའི་དཀིལ་

Pair of angles

དཀིལ་གནས།

Parallelogram

བིངས་གངས།

Percentage

ལྡབ་གངས།

Perpendicular bisector

རིལ་གངས་མོ།

Plane

སྟོན་གངས་མོ།

Polygon

གངས་ཀ ཨང་ཀི།

Positive integer Positive rational

ཨང་ཀིའི་བཏགས་གངས། Power

Practical problem

ཨང་ཀིའི་བགོད་གངས།

Prime factorisation

རྟུལ་ཟུར།

Principal

བེ་བག

Prime number

རྟུལ་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མ།

Prism

རིས་ཐབས།

གཏད་མཐའ།

གངས་ཐོ་བཀོད་སྒིག འགོ་གོན་འཕར་མ། ཆ་ཟུར།

མཉམ་འགོ་ཐིག

མཉམ་འགོ་མཐའ་བཞི་མ། དཔེ་འགོས། བརྒྱ་ཆ།

མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད། དྲང་འཕང་།

དྲང་འཕང་མཉམ་བགོད་ ཐིག

པར་རིས།

ངོས། སྙོམས་ངོས། གནས། ཚེག

དབིབས་མཐའ་མང་། ཚན་མང་ཚུལ། རིལ་གངས་ཕོ། ཕོ་གངས།

ལུགས་ལྡན་གངས་ཕོ། ཐེངས་གངས།

བེད་སྤོད་རིས་གཞི།

རྒྱུ་གངས་ལ་བཀྲོལ་བ། རྒྱུ་གངས། མ་དངུལ། གྲུ་ཀ

ཐ་སྙད་ཨིན་བོད་ཤན་སྦར། Profit Property Proportion Protractor Pyramid Pythagoras property Quadrilateral Quotient Rational number Radius Ratio Ray Reciprocal Rectangle Reflex angle Remainder Right angle RHS RHS criterion Right triangle Scalene triangle Sector Selling price Semi-circle Set-square SAS criterion SSS criterion

ཁེ།

Simple curve

སྡུར་ཕེང་།

Solid

གྲུ་སྙུང།

Sphere

འཁྱོག་ཐིག་དཀྱུས་མ།

ཁྱད་ཆོས།

Simple interest

ཟུར་ཚད་འཇལ་ཆས།

Solution

པཡེ་ཐ་གོ་རཱས་ཁྱད་ཆོས།

Square

དབིབས་མཐའ་བཞི་མ།

Standard unit

ལུགས་ལྡན་གངས།

Straight angle

སྡུར་ཚད།

angles

ལོག་གངས།

Three dimensional ཕོགས་ཚད་གསུམ་ལྡན།

ལྡོག་འཕོ་ཟུར།

Triangle

དྲང་ཟུར།

Transpose

དྲང་གསེག་མཐའི་ཆ་རྐེན།

Unitary method

མཐའ་མི་མཉམ་པའི་ཟུར་

Variable

སོག་དབིབས།

Vertically opposite ལྡོག་འཕད་ཟུར།

སོར་ཕེད།

Whole number

Standard form

བགོས་ཐོབ།

Statistics

ཚངས་ཕེད།

Supplementary

འཕོ་ཐིག

Term

གྲུ་བཞི་ནར་མོ།

Transversal

བགོས་ལྷག

Trinomial

གཡས་ཕོགས།

Two dimensional

དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མ།

Unlike terms

གསུམ་མ།

Vertex

ཚོང་སྒྱུར་རིན་གོང་།

angles

ཟུར་གསུམ་ཐིག་ཤིང་།

མ་སྐྱེད་རྐང་པ། ས་གཟུགས། འགོལ་ཐོབ།

ཟླུམ་གཟུགས།

གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ།

ཚད་ལྡན་གི་རྣམ་པ། ཚད་ལྡན་ཚད་གཞི། སོམ་རིས་རིག་པ། སྙོམས་ཟུར།

གསབ་ཟུར། ཚན་པ།

གསེག་ཐིག

ཟུར་གསུམ་མ།

སུམ་ཚན་ཚུལ།

གནས་ས་བརེ་བ།

ཕོགས་ཚད་གཉིས་ལྡན། རྐང་པའི་རིས་ཐབས། མི་མཐུན་ཚན་པ། རྒྱུ།

ཟུར་ཚེག

ཧིལ་གངས།

མཐའ་ཟུར་མཐའི་ཆ་རྐེན།

མཐའ་མཐའ་མཐའི་ཆ་རྐེན།

247