Vector 19 feb2016

FEBRUARI 2016 NUMMER 19

vector TIJDSCHRIFT voor wiskundeonderwijs

educatieve uitgaven

19

2

vector

VOORWOORD

INHOUD

Beste wiskundeliefhebber,

3

7 8 12 17 22 26

Interview Frank De Clerck en Paul Igodt

Nous sommes très heureux de pouvoir présenter notre nouvelle édition de Vector. À cause de circonstances imprévues, cette édition s’est fait attendre un peu plus longtemps que prévu, mais nous espérons pouvoir raviver votre intérêt avec les dernières nouvelles mathématiques.

Kijktip Ook de vergeten doden tellen CLIL in Oostende Irrationale getallen Faits divers Leestips

COLOFON

U vraagt zich wellicht af waarom dit voorwoord begint met een stukje Frans? Dat heeft te maken met het artikel op pagina 12. Vector trok namelijk naar Oostende om er een lesuur wiskunde mee te volgen … in het Frans. Zo vreemd het voor u voelt om een stukje Frans te lezen in dit voorwoord, zo dagdagelijks gewoon is het voor de leerlingen van het KA Pegasus in Oostende. CLIL is het toverwoord, de magie erachter leest u verderop. Een thema dat in deze Vector enkele keren terugkeert, is de Wiskunde Olympiade. Hiernaast begint al het interview met wiskundigen Frank De Clerck en Paul Igodt, die de Vlaamse Olympiade hebben opgericht en jaar na jaar duizenden jongeren wiskundig aan het denken zetten. De Vlaamse tak blies onlangs dertig kaarsjes uit en viert dat passend met IMAGINARY, de tentoonstelling die u misschien al met uw leerlingen hebt bezocht? Indien niet, check dan snel op pagina 25 waar u die nog kunt meepikken. We hebben ook een kijktip over de (wiskundige) instant filmklassieker x+y, een film gedrenkt in de Internationale Wiskunde Olympiade, en een van onze leestips is geschreven door de organisatoren van de Nederlandse tak van de Olympiade. Verder leest u nog een artikel over irrationale getallen, bekijken we de statistiek die oorlogsslachtoffers bijhoudt en afsluiten doen we zoals altijd met een resem wiskundenieuwtjes. Veel leesplezier!

Vector - Negende jaargang - nummer 19 Redactie Tom Harteel Vector - Kleine Pathoekeweg 3 8000 Brugge - vector@diekeure.be Externe auteurs die occasioneel of op geregelde basis een bijdrage willen leveren, kunnen contact opnemen met de redactie. Vector Vector is gratis voor alle leerkrachten wiskunde in België. Voor het buitenland betaal je € 5. Verantwoordelijke uitgever Els Putzeys Kleine Pathoekeweg 3 - 8000 Brugge

Win-win!! Zin in lectuur? Dat kan! Zin in een filmpje? Dat kan ook! Op pagina 7 liggen drie dvd’s te wachten op een gelukkige lezer en op pagina 27 kunt u de vijf boeken winnen die er besproken worden. Break a leg!

Interview

t. s) en Paul Igod De Clerck (link k an Fr en ig Wiskund

FRANK DE CLERCK EN PAUL IGODT

Het belang van wiskunde is gigantisch De Vlaamse Wiskunde Olympiade (VWO), waarin duizenden jonge bollebozen het jaarlijks tegen elkaar opnemen, blies vorig jaar dertig kaarsjes uit. Oprichters Frank De Clerck en Paul Igodt ontvingen daarom de prestigieuze loopbaanprijs wetenschapscommunicatie. Omdat ze het stoffige imago van de wiskunde via hun olympiade wisten op te poetsen. ‘Wiskunde is veel meer dan rekenen.’ Tekst: Arno De Wispelaere / Foto’s: Bert Seghers

3 In een vergaderzaal in een uithoek van de Kulak, de West-Vlaamse afdeling van de KU Leuven, ontmoet ik de twee sympathieke heren. Precies in dit zaaltje hielden Igodt, De Clerck en collega’s tal van bijeenkomsten over de wiskundeolympiade, vertelt Igodt nostalgisch. ‘Weet je nog, Paul/Frank’ is een uitspraak die tijdens ons gesprek geregeld terugkeert. De twee hebben ‘hun’ olympiade in die dertig jaar zien uitgroeien van een bescheiden event ter promotie van de wiskunde tot een competitie met tienduizenden deelnemers, waarvan enkelen ook tot de internationale olympiade doorstootten (zie kaderstuk ‘De Wiskunde Olympiade’). Toch beklemtonen ze dat de olympiade niet in de eerste plaats om competitie draait.

Een voorname bestaansreden van de Vlaamse Wiskunde Olympiade (VWO) is promotie voor de wiskunde. Waarom is die zo belangrijk? De Clerck: We willen benadrukken dat wiskunde veel meer is dan alleen rekenen. Wiskunde is structureren, redeneren, denken. Bovendien: wie rekent er tegenwoordig nog? We hebben toch rekenmachines (lacht). Igodt: De maatschappij is ongelofelijk wiskundig onderbouwd. Veel mensen zijn zich daar niet goed van bewust. Jouw apparaatje (Igodt wijst naar mijn smartphone, die tijdens het gesprek als dictafoon dienstdoet) is daar een mooi voorbeeld van. Achter de schermen is er slimme wiskunde aan het werk. Nog zoiets: financiële verrichtingen. Het belang van wiskunde is in alle onderzoek, van biologie tot sterrenkunde, werkelijk gigantisch. Vaak zie je dat een discipline een grote sprong voorwaarts

4 maakt zodra ze wordt gemathematiseerd, zodra onderzoekers simulaties kunnen maken die in het echt niet mogelijk zijn.

En toch kampt de wiskunde nog altijd met een imago­ probleem. Igodt: Tja, er is geen lobby voor het vakgebied. Ingenieursopleidingen hebben een hele kapitaalkrachtige machinerie achter zich. Maar er is geen beroepsvereniging van wiskundigen. Toch vinden ouders een vorming in wiskunde belangrijk voor de toekomst van hun kind. En terecht, want wiskunde heeft een belangrijke opvoedkundige functie. Het leert je om logisch te redeneren. Maar als je vervolgens aan diezelfde mensen vraagt om die mening op een publiek forum te

verkondigen, krabbelen ze terug. Kijk naar sommige bekende Vlamingen: ze komen heel sympathiek over als ze met een knipoogje verklappen dat ze op school niet goed waren in wiskunde. De Clerck: Enthousiast en goed communiceren over wiskunde is natuurlijk ook belangrijk. In de VWO-finale reiken we nu ook een prijs uit aan de leerling die de bewijzen het best netjes en helder formuleert. En het is soms erg gesteld: een aantal keer hebben we de trofee gewoonweg niet uitgereikt. Er is nog een reden waarom de wiskunde-pr soms spaak loopt: het is moeilijk om uit de doeken te doen wat je als wiskundige precies doet. Igodt: Zoals ik al zei, zijn heel wat ontwikkelingen – financiële verrichtingen, 3D-printing – wiskundig onderbouwd

maar … ze zijn ontworpen ‘voor de fun’. Wiskundigen werken zelden iets uit voor specifieke toepassingen. Kijk naar wijlen Jack van Lint, een fantastische Nederlandse wiskundige die onder meer bijdroeg tot de ontwikkeling van de cd. Hij deed gewoon wat hij graag deed. Wiskunde draait om de kick om iets te vinden, de schoonheid om te verkennen. Dat alles is een complex, moeilijk uit te leggen proces. De Clerck: Doordat mensen zo weinig over wiskunde weten, denken velen dat je met een wiskundeopleiding alleen maar in het onderwijs terechtkunt. Al heeft het onderwijs inderdaad nood aan meer wiskundigen.

Zijn er dan te weinig wiskundeleerkrachten? Igodt: ‘Absoluut. Ik moet mijn woorden wikken, maar ik denk dat we een drama tegemoet gaan. De Clerck: Vijf jaar geleden heb ik daarover een studie uitgevoerd, waarvan de resultaten volgens mij nog actueel zijn. Jaarlijks studeert een honderdtal studenten wiskunde af aan onze universiteiten. Zo’n 25 daarvan gaan naar het onderwijs – terwijl er veertig à vijftig wiskundedocenten per jaar met pensioen gaan. Ik hoef er geen tekening bij te maken. De gaten worden opgevuld met mensen die weliswaar academisch geschoold zijn, maar die niet gekozen hebben voor wiskunde. En dat wringt.

Jaarlijks nemen twintigduizend Vlaamse jongeren deel aan de Vlaamse Wiskunde Olympiade.

vector

Igodt: Ik vermoed dat de sociale waardering voor de job van leerkracht daalt. In mijn ogen heerst er een overdreven ‘pedagogisering’. Sommigen suggereren dat je alles kunt uitleggen, als je maar een pedagogische vorming

Interview

5

Paul Igodt en Frank De Clerck

Frank De Clerck: “Het algemene wiskundeniveau is de afgelopen dertig jaar gedaald.”

achter de rug hebt. Ik heb liever iemand die zijn discipline perfect beheerst. Pakweg goeie bio-ingenieurs kunnen ook goeie leerkrachten zijn. De Clerck: We hebben er zelf ook wat schuld aan. Er zijn aan de universiteit heel veel mogelijkheden om onderzoek te doen, wat natuurlijk goed is. Maar zo stromen er te weinig wiskundigen door naar het onderwijs.

Er zijn uit de Vlaamse Wiskunde Olympiade enkele interessante projecten voortgevloeid, zoals USolv-IT. Wat is dat precies? Igodt: Vanaf het eerste jaar van de olympiade hebben we alle gegevens verwerkt en bijgehouden. We spreken 1985: de ‘jaren stillekes’ wat computers betreft … (lacht). Maar zo weten we dus perfect welke vragen in de loop

der jaren door welke leerlingen goed of fout beantwoord werden. Al die informatie lag jarenlang in de kast stof te vergaren, tot we zo rond 2000 besloten om de data weer actief te maken en aan te bieden in het onderwijs. We gingen in zee met enkele universiteiten en creëerden het digitale platform USolv-IT. Zo’n duizend leerkrachten hebben intussen toegang tot het portaal en kunnen er inspiratie opdoen, oefeningen downloaden en statistieken opvragen. De Clerck: Maar ook individuele studenten kunnen op de site terecht, bijvoorbeeld om zichzelf te testen. Toen ik nog lesgaf aan de eerstejaarsstudenten bleken er bij sommigen hiaten te zijn met wat ze in het middelbaar geleerd hadden. Ik liet ze oefeningen maken op USolv-IT en kon zo snel zien wie een achterstand had en wie niet.

Prof. Paul Igodt is als wiskundige verbonden aan de Kulak, de Kortrijkse campus van de KU Leuven. Prof. em. Frank De Clerck is wiskundige aan de UGent. Samen hebben ze de Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw in het leven geroepen, evenals het online wiskundeportaal USolv-IT. Voor hun promotie van en positieve beeldvorming rond wiskunde ontving het duo in oktober 2015 de loopbaanprijs wetenschapscommunicatie van de Koninklijke Vlaamse Academie van België.

Is het niveauverschil tussen het zesde middelbaar en het hoger onderwijs dan zo groot? De Clerck: Dat is nu aan het verbeteren, maar gedurende lange tijd was dat wel een probleem, ja. Omdat de leerplannen in het secundair onderwijs werden aangepast, terwijl het instap­ niveau aan de universiteit stabiel bleef. Igodt: Aan het begin van de jaren 1990 hebben we over dat thema al rond de tafel gezeten, omdat we het probleem zagen aankomen. Maar an sich is het wiskundeniveau in ons secundair onderwijs zeker oké. Landen als Nederland of de Verenigde Staten doen het minder goed. Vreemd genoeg zie je in de VS wel vaker dat individuele toptalenten internationaal doorbreken. We hebben daar ooit een parlementaire vraag over gehad:

Interview ‘Hoe komt het dat we het, ondanks ons goede wiskundeonderwijs, op de Internationale Wiskunde Olympiade meestal niet goed doen?’ Maar dat zijn twee totaal verschillende zaken. Het ene is een cultus van een individueel talent, het andere een globaal beeld van de maatschappij. Wij zijn er geen voorstanders van om toptalenten te cultiveren. Maar het algemene niveau zit dus wel snor. De Clerck: We hebben het wel over de wiskundig sterke richtingen – zes tot acht uur wiskunde. Leerlingen uit de wiskundearme richtingen, die het met pakweg drie uur per week doen, komen vaak in alfawetenschappen terecht, zoals psychologie. Daar krijgen ze dan statistiek voorgeschoteld, en dat blijkt telkens weer het ‘buisvak’ bij uitstek. Daarnaast stellen we vast dat het algemene wiskundeniveau de laatste drie decennia gezakt is. Als we vandaag de vragen zouden stellen van dertig jaar geleden, zou de olympiade floppen. Dat komt niet omdat de leerlingen dommer zouden zijn. Het heeft te maken met aangepaste leerplannen. Een tijdlang vond men dat de wiskunde zich zo veel mogelijk op toepassingen moest toespitsen. Ik merk gelukkig dat het tij de laatste jaren weer aan het keren is.

Bestaan er ook rekenwedstrijden voor jongere kinderen? De Clerck: Oorspronkelijk was de VWO er alleen voor studenten van de derde graad, dus het vijfde en zesde middelbaar. Na verloop van tijd hebben we dat uitgebreid naar de tweede graad. Daarna kwam ook de vraag om voor de basisschool wat te

vector

6 doen. Dat werd de Kangoeroe, in 1980 gelanceerd in Australië. Het is een eendaags wiskunde-event voor de lagere school en de eerste graad van het secundair. Een internationale jury selecteert vragen, die vervolgens door alle landen die het evenement organiseren, worden overgenomen en vertaald. We stelden vast dat veel Vlaamse scholen daaraan deelnamen, maar ze trokken ervoor naar Nederland, want bij ons bestond het niet. Door de toenemende populariteit besloten we zeven jaar geleden om de Kangoeroe ook naar Vlaanderen te halen.

Igodt: Ook in de Kangoeroe wedstrijd is het competitieaspect bijzaak. Het draait vooral om de fun, de ervaring. Er komen dan ook geen vervolgrondes of finales aan te pas. De Kangoeroe heeft in Vlaanderen 120.000 deelnemers, een onverhoopt succes. We spreken hier trouwens niet over ‘wiskunde’. De ondertitel van het evenement is ‘Rekenen, denken en puzzelen’. Wiskunde draait vooral om dat laatste: puzzelen, patronen herkennen. Dat wijst op wiskundig talent. En zo gaan wiskundigen te werk: patronen herkennen, formuleren en bewijzen. Dit artikel verscheen eerder in Eos.

De Wiskunde Olympiade In 1985 besloten Frank De Clerck en Paul Igodt, op vraag van KU Leuven-professor Roger Holvoet en wiskunde-inspecteur René Laumen, om een wiskundeolympiade op te starten. ‘Zo wilden we jongeren warm maken voor wiskunde, het vakgebied aantrekkelijker maken en oefenmateriaal voor leerkrachten beschikbaar maken’, vertelt De Clerck. Het werd een groot succes. De formule is in die dertig jaar min of meer gelijk gebleven. De Clerck: ‘In de scholen organiseren we de eerste ronde. Aanvankelijk deden er 3.600 leerlingen mee, intussen zijn er dat zo’n 20.000. Een kleine tien procent daarvan stoot door naar de tweede ronde, en uiteindelijk halen 75 deelnemers de nationale finale.’ De jury bestaat uit mensen ‘uit het veld’: (oud-)leerkrachten, professoren. En de vragen die gesteld worden zijn doorgaans niet erg schools, vertelt De Clerck: ‘Er zitten weliswaar vragen tussen die

ook op gewone examens kunnen verschijnen, maar meestal doen we een beroep op de creativiteit van de deelnemers. Ze moeten out of the box denken. Vaak zijn het dan ook niet de leerlingen met de beste schoolresultaten die het best presteren op de olympiade.’ En dan is er nog de Internationale Wiskunde Olympiade. Die ontstond in 1959 in het voormalige Oostblok. Dit jaar vond de 56e editie plaats in Thailand. Ruim honderd landen doen intussen mee en mogen elk zes deelnemers sturen, ongeacht hun inwonersaantal. België eindigde dit jaar 56e in de landenstand, aangevoerd door de VS en China. Nederland deed iets beter: 43e. Van de zes Belgische afgevaardigden komen er telkens drie uit Vlaanderen en drie uit Wallonië. ‘Dat zijn niet noodzakelijk de nationale winnaars, al valt onze keuze uiteindelijk wel steevast op leerlingen uit de nationale top drie.’

Kijktip Zonet het interview gelezen met Frank De Clerck en Paul Igodt? Dan blijven we met dit pareltje van een film in hetzelfde thema, weliswaar met een internationale twist. x+y neemt je namelijk mee naar de Internationale Wiskunde Olympiade en vertelt het verhaal van de licht autistische tiener Nathan, die er zijn leven ziet veranderen. De film kwam afgelopen zomer in de zalen en is nu beschikbaar op dvd.

7

x+y Huur eens een wiskundefilm! Nathan kan als kind en tiener maar moeilijk sociale aansluiting vinden bij zijn leeftijdsgenoten. Het plotse overlijden van zijn vader doet daar zeker geen goed aan. Zijn leraar, Mr. Humphreys, ontdekt dat zijn lichte vorm van autisme gepaard gaat met een danige wiskundeknobbel en helpt hem aan een plek in de Britse ploeg van, jawel, de Internationale Wiskunde Olympiade. Zo gaat er een nieuwe wereld open voor Nathan, vol gelijkgestemde wiskundige zielen. Alsof de wiskunde alleen al niet moeilijk genoeg is, moet hij ook nog eens een

Vector geeft drie exemplaren van x+y weg! Genoeg gelezen, tijd om te kijken? Vector heeft hier drie dvd’s liggen van dit pareltje. Zin om te zien wat Nathan allemaal veroverd krijgt (de titel, een meisjeshart of beide?), zoek dan het antwoord op de volgende vraag … De film is gebaseerd op een BBC-documentaire, gedraaid door dezelfde regisseur. Daarin wordt het Britse team voor de Internationale Olympiade gevolgd van selectie via training tot de wedstrijd zelf. Wat is de naam van die documentaire? Stuur je antwoord vóór 30/03/2016 naar vector@diekeure.be en win een van de drie dvd’s. Succes!

serieuze coup de foudre verwerken na zijn ontmoeting met een Taiwanese tegenstandster. Het resultaat is een ontroerende coming of age die een mooi parcours aflegde langs verschillende filmfestivals. Verwacht prachtige vertolkingen in een even prachtig vormgegeven film; het mag dan de eerste langspeler zijn van regisseur Morgan Matthews, hij kon enkel goeie kritiek zaaien in binnen- en buitenland. En eerlijk, een film over de Wiskunde Olympiade kun je als wiskundeleerkracht toch niet missen?

Perspectief

Ook de vergeten doden tellen Naamloze slachtoffers van oorlog en terreur opsporen met statistiek

Tijdens oorlogen en opstanden is vaak heel onduidelijk hoeveel slachtoffers er vallen. De Human Rights Data Analysis Group zet statistische technieken in die ook worden gebruikt voor het tellen van schuwe diersoorten om de onzekerheidsmarges drastisch te verkleinen. Dat is belangrijk voor politieke beslissingen, en om achteraf recht te spreken – als dat er ooit van komt. Tekst: Arnout Jaspers

Gewonden worden in Aleppo (SyriĂŤ) naar een ziekenhuis gebracht.

vector

8 Van maart tot juni 1999 werden tussen de negen- en twaalfduizend burgers en opstandelingen gedood bij een terreurcampagne van het Servische leger tegen de Albanese bevolking van Kosovo. Dat althans concludeert een rapport uit 2002, hoewel er maar 4400 gedocumenteerde sterfgevallen waren. Het rapport, opgesteld door de Human Rights Data Analysis Group (HRDAG), wekte dan ook scepsis en kritiek. Waar haal je een slordige vijfduizend onopgemerkte sterfgevallen vandaan?

Al of niet ingrijpen Niettemin werd hun schatting in 2010 door twee onderzoeken bevestigd, toen er weer vrede was en uitgebreid onderzoek ter plekke mogelijk werd. HRDAG is een in de Verenigde Staten gevestigde organisatie met als kerntaak om zo goed mogelijk de boekhouding van gewelddadige conflicten bij te houden. Dat is vaak belangrijk bij beslissingen van de internationale gemeenschap om al of niet in te grijpen. En natuurlijk ook achteraf, om verantwoordelijken aan te wijzen en zo mogelijk te berechten. HRDAG stuurt niet zelf waarnemers naar conflictgebieden, maar maakt gebruikt van zo veel mogelijk al bestaande bronnen en leidt uit alle data gezamenlijk een totaalbeeld af. Dat is zeker niet alleen maar een kwestie van slachtoffers turven. Zie bijvoorbeeld de Syrische burgeroorlog: allerlei hulporganisaties en individuen rapporteren over de zeer chaotische strijd. Dezelfde slachtoffers worden soms door meerdere bronnen gerapporteerd. Van andere slachtoffers brengt niemand de dood naar buiten.

9 Volkomen verkeerd beeld Megan Price, onderzoekster bij het HRDAG, hield vorig jaar over dit werk een lezing op het derde Heidelberg Laureate Forum. Dit is de jaarlijkse bijeenkomst, in augustus, van de winnaars van de belangrijkste wiskundeen informaticaprijzen. “Als je alleen maar de aantallen slachtoffers optelt die diverse partijen rapporteren, kun je een volkomen verkeerd beeld krijgen van een conflict.” Dat is van veel meer dan louter boekhoudkundig belang. Bijvoorbeeld wanneer nieuwsmedia, door een naïeve manier van tellen, berichten dat een conflict oplaait nadat nog een partij zich in de strijd heeft gemengd. Of ze brengen juist

Nieuwsmedia publiceren graag dit soort grafieken, maar die zijn geba­ seerd op een simplistische inventari­ satie uit allerlei bronnen. Betrouwbaar zijn ze dus allerminst. Onderzoekster Megan Price van HRDAG: “Media moeten persoonlijke verhalen vertellen, maar dienen de analyse van gegevens eigenlijk aan ons over te laten. Helaas duurt dat te lang, ik snap ook wel dat de media daar niet op gaan wachten.”

het bericht dat een nieuwe ontwikkeling leidde tot een flinke daling van het wekelijkse aantal slachtoffers. Dat kan grote invloed hebben op de beslissing door Westerse landen om te interveniëren. Of om een van de partijen te steunen met wapens of geld. Er bestaan wiskundige technieken om uit zulke rommelige gegevens toch redelijk betrouwbare schattingen te destilleren: de zogeheten Multiple Systems Estimation (MSE). Een in principe simpele, maar zeer arbeidsintensieve opschoning van de data betreft hierbij de-duplicatie: zorgen dat alle meldingen van sterfgevallen herleidbaar zijn tot unieke individuen. Je wilt natuurlijk geen database waarin sommige personen onder verschillende

In een gewelddadig conflict zijn er altijd meerdere, maar onvolledige en wellicht partijdige bronnen over slachtoffers. Een eerste stap in de analyse is zo goed mogelijk tellen hoeveel gevallen meermaals gerapporteerd zijn. Dat is door onvolledige informatie overigens niet altijd met zekerheid te zeggen.

namen meer dan één keer gesneuveld zijn. Tot januari 2014 had HRDAG in het Syrische conflict 260.000 meldingen over een gesneuvelde geteld, maar na de-duplicatie bleven daar nog 93.000 van over. Dat zijn de gedocumenteerde gevallen. Wat kun je zeggen over het werkelijke aantal gesneuvelden? MSE maakt gebruik van wiskundige technieken die ooit zijn ontwikkeld om te schatten hoeveel exemplaren van een diersoort, bijvoorbeeld hazen, nog in een gebied leven. Het basisprincipe is capture-recapture. Je vangt dan eerst, zo veel mogelijk in het wilde weg, een stuk of honderd hazen en geeft ze een merkteken. Een paar weken later kom je terug en grijp je weer een stuk of honderd hazen. Als de populatie niet al te

Het basisprincipe van Multiple Systems Estimation (MSE) Als je twee wille­ keurige steekproeven A en B neemt uit een populatie N, zullen ze voor een deel overlappen: deze M individuen worden twee keer ‘gevangen’. In principe geldt: de kans dat een individu in steekproef A of B zit is A/N, res­ pectievelijk B/N. De kans om in beide steekproeven terecht te komen is A/N x B/N, maar die kans is anderzijds M/N. Uit A/N x B/N = M/N volgt de totale populatie: N = AB/M. Dus hoe kleiner relatief de overlap, hoe groter de totale populatie N.

Perspectief

10

groot is, heb je de tweede keer ook een paar hazen gevangen die al gemerkt zijn. De relatieve grootte van deze overlap tussen de twee steekproeven levert een schatting op voor de omvang van de totale populatie (zie illustratie­ bijschrift op de vorige pagina voor uitleg met formules). Uiteraard is dit een schatting met een onzekerheidsmarge, waarvan de grootte eveneens afhangt van A, B en M. Dit is ook de manier, waarop je de vele naamloze slachtoffers van een chaotisch gewelddadig conflict toch kunt laten meetellen. Zulke methodes zijn eerder gebruikt om te schatten hoeveel hiv-geïnfecteerden er rondlopen in een bevolkingsgroep waar dat een taboe is en zelfs het aantal lesbiennes in een zeer conservatieve regio in de Verenigde Staten. Daarbij is ook in de praktijk gebleken dat MSE werkt en betrouwbare schattingen met een redelijke onzekerheidsmarge oplevert.

Overlappende steekproeven

MSE past wiskundige technieken toe die ooit zijn ontwikkeld om bijvoorbeeld te schatten hoeveel hazen voorkomen in een bepaald gebied.

Vertaald naar een oorlog als in Syrië, is elke organisatie die in een zekere periode ter plekke data over slachtoffers verzamelt een steekproef. Als meerdere bronnen onafhankelijk van elkaar hetzelfde slachtoffer rapporteren, is dit een overlapping tussen twee of meer steekproeven. Als je meer dan twee steekproeven uit een populatie neemt, kun je meer geavanceerde technieken toepassen om ook nog in rekening te brengen dat sommige steekproeven mogelijk niet onafhankelijk van elkaar zijn. Zo heeft HRDAG de vergeten doden van het conflict in Kosovo en vele andere in kaart kunnen brengen.

Tijdens haar lezing in Heidelberg gaf Price het voorbeeld van een fase tijdens de burgeroorlog in Syrië toen media berichtten dat de hevigheid van de strijd was afgenomen. Dit was gebaseerd op het simpelweg tellen van gerapporteerde slachtoffers. De analyse van HRDAG toonde aan dat de overlap tussen de diverse rapportages was afgenomen. Uit de berekening rolde dat de strijd juist was opgelaaid. Price: “Als je afgaat op berichten in de media, kun je volkomen verkeerde conclusies trekken over zulke conflicten.”

vector

Helaas kosten analyses zoals het HRDAG die doet tijd. Tijd die nieuwsmedia zichzelf niet zullen gunnen, dat snapt Price ook. Toch pleit ze ervoor dat de media zich meer beperken tot waar ze wel goed in zijn: verslaggeving van persoonlijke verhalen, de slachtoffers een gezicht geven. En allerlei statistieken en infographics van gewapende conflicten die op redacties in één dag in elkaar gezet worden, die moeten lezers en kijkers met een flinke korrel zout nemen. Dit artikel verscheen eerder op Kennislink.nl.

11

Methode wiskunde secundair onderwijs

Dé referentie in wiskundeonderwijs VBTL is een totaalmethode voor wiskunde in het secundair onderwijs. De methode biedt een breed gamma leermateriaal voor elke leerling.

- Degelijk, kwalitatief wiskundeonderwijs - Sterke handboeken en ruim aanbod aan randproducten - Laat verschillende onderwijsstijlen en didactische aanpakken toe - Expertise van de leerkracht staat centraal

www.vbtl.diekeure.be

Kleine Pathoekeweg 3, B - 8000 Brugge T +32 (0)50 47 12 62, F +32 (0)50 47 12 87, so@diekeure.be, www.diekeure.be

CLIL

12 Vector trekt op een winderige janua­ ridag richting Oostende om het CLILgevoel aan den lijve te ondervinden. In de spiksplinternieuwe gebouwen van het KA Pegasus doet directeur Jean Surmont het CLIL-gebeuren uit de doeken.

Als we de lijst van CLIL-scholen bekijken, dan zien we dat wiskunde en Frans een eerder zeldzame combinatie vormen. Hoe is jullie keuze tot stand gekomen?

1 plus 1 font 3!

Er zijn twee redenen waarom we voor het Frans kozen. Aan de ene kant is het nog steeds een van onze landstalen, een niet onbelangrijk gegeven volgens ons. Aan de andere kant stelden we ook vast dat de praktische kennis van het Frans bij leerlingen vaak ondermaats is en er echt een gebrek aan spreekdurf

CLIL in Oostende: win-win voor wiskunde en Frans ‘Een werkvorm waarin het Frans, Engels of Duits als instructietaal wordt gebruikt om een niet-taalvak te onderwijzen’. Met deze droge definitie omschrijft het ministerie van Onderwijs het erg boeiende vierletterwoord CLIL: Content and Language Integrated Learning. De CLIL-scholen zijn in steile opmars, onmogelijk dus dat u het begrip nu voor het eerst te horen krijgt. Vector wou echter wel eens het praktische hoe-wat-waarom ontdekken van dit vrij recente fenomeen en trok naar het Koninklijk Atheneum Pegasus in Oostende om er een CLIL-les bij te wonen. De school was een voortrekker op dit vlak en biedt momenteel al tot in het vijfde jaar wiskunde aan … in het Frans. Directeur Jean Surmont en wiskundeleerkracht Julie Sartor geven tekst en uitleg.

vector

Directeur Jean Surmont.

13 is. Ik verwijs altijd naar onze projectweek in Normandië die we jaarlijks met onze zesdejaars ondernemen. Op donderdagochtend gaan ze allen naar de markt om er zelf ingrediënten voor hun picknick te kopen. Voor sommige leerlingen is dat echt een probleem, en dat na zes jaar Frans ... De toenemende populariteit van het Engels van de laatste decennia speelt daar natuurlijk ook een grote rol in. En dan is er nog de wiskunde, die net als het Frans vaak voor problemen zorgt in de eerste graad. Dankzij CLIL krijgen leerlingen uit de moderne richtingen bij ons nu bv. meer uren wiskunde om alles beter te kunnen verwerken, en dat werpt zijn vruchten af.

Hoe is het allemaal begonnen voor KA Pegasus? Ik maakte zo’n acht jaar geleden kennis met CLIL via Piet Van de Craen, die ik nog kende van mijn studententijd. Hij was een van de coördinatoren van het MuRe-project van de VUB (Multilingual Research Project), dat nu werd omgevormd tot CLIN (centre for linguistics and neuroscience). Zijn stelling was dat je het best een combinatie aanbiedt van een taal met een wiskundig wetenschapsvak; op die manier kun je als leerling altijd terugvallen op de taal van de de wiskunde. Cijfers, symbolen, formules …, daar hebben de leerlingen dan een houvast aan. Ik had toen het grote geluk dat we Julie Sartor in ons team hadden, een bachelor wiskunde die tweetalig is opgevoed. Zij was meteen even enthousiast. Een jaar later kwam Laurent Lhote onze rangen versterken, een ‘aangespoelde’ Oos­ tendenaar die nog enkele seizoenen bij BC Oostende heeft gebasket. Hij is afkomstig uit de streek van Doornik,

is Franstalig en behaalde daar ook zijn bachelor wiskunde. Met twee leerkrachten sterk waren we klaar om met CLIL te starten; we zijn in eerste instantie zelfs begonnen nog voordat het decreet een feit was. Die eerste jaren werden we wel van nabij gevolgd door de VUB. Zij zorgden voor begeleiding, voerden tests uit om de impact van CLIL te onderzoeken etc.

Hoe was de respons dat eerste jaar? Bijzonder positief, op alle vlakken. Ons concept is: de leerlingen die geen Latijn volgen, krijgen 5 uur wiskunde in het Nederlands en in de vrije ruimte komen daar 2 uur wiskunde bij in het Frans. Die twee CLIL-uren bieden de kans tot remediëring of uitdieping. Ze krijgen er dus geen nieuwe leerstof. Het effect dat wij zien, is niet zozeer dat de goeie beter worden maar wel dat het gemiddelde niveau van de klas stijgt; anders gezegd: de minder goede leerlingen worden beter! Logisch ook, want ze krijgen meer wiskunde én meer Frans. We hebben ook gemerkt in de attestering dat het aantal B-attesten is gedaald van 9,5% naar 3% ongeveer. Tekorten van Frans en wiskunde werden dus goed opgevangen. Het andere geval was de richting Latijn, want zij hebben geen vrije ruimte. Daar opteerden we voor 3 uur wiskunde in het Nederlands en 2 uur in het Frans, maar zij kunnen ook kiezen voor 5 uur in het Nederlands, zonder CLIL dus. Van de 40 à 45 jongens en meisjes die Latijn kiezen in ’t eerste jaar, hoopten we voor onze vuurdoop op een tiental CLIL-studenten, maar slechts vijf kozen niet voor CLIL. De belangstelling is dus enorm. Geregeld komen mensen speciaal

voor CLIL naar onze school. En ons leerlingenaantal is ook gestegen van een 450-tal naar 610 momenteel. Niet dat dit enkel aan CLIL te danken is, maar het heeft zeker geen negatieve invloed.

Ik kan me inbeelden dat CLIL bij zijn invoering niemand van het lerarenkorps onberoerd laat. Dat klopt. Taalleerkrachten bv. staan er soms conservatief tegenover. Mijn standpunt voor vreemde talen is: wat is het belangrijkste wat een leerling kan als die afstudeert? Dat hij die taal kan spreken. Natuurlijk is correctheid, bijvoorbeeld grammaticaal, belangrijk, zeker in een eerste en tweede graad, maar het spreken moet vaker aan bod komen. Om die lijn door te trekken zijn we nu in een traject gestapt waarbij we steun krijgen van de pedagogische begeleidingsdienst van het GO. Het doel is om nieuwe onderwijstechnieken te gebruiken die spreekvaardigheid centraal stellen bij de talen. CLIL brengt dus wel heel wat teweeg in onze school. Waar iedereen het sowieso over eens is, ook de taalleerkrachten, is dat de spreekdurf groter is geworden. In de CLIL-lessen zal de leerkracht een leerling wel corrigeren bij een fout in het Frans, maar hij of zij zal er nooit een punt voor aftrekken. Zo voelen de leerlingen zich veel meer op hun gemak en doen ze ook meer moeite.

Hoe zit het met het administratieve luik van CLIL? Dankzij onze samenwerking met de VUB was het papierwerk vrij vlot verlopen, maar het is jammer dat ze het niet wat eenvoudiger maken, wat toegankelijker. In het bewuste

CLIL aanvraagformulier zitten vragen waarop je antwoord 2 pagina’s kan beslaan maar evengoed 10 regels. Er zitten bv. vragen bij over interne kwaliteitszorg; een niet onbelangrijk gegeven maar bij vrij veel scholen staat dit nog in de kinderschoenen. En de papierslag houdt ook aan trouwens. Onze leerkrachten Julie en Laurent gaan bv. binnenkort twee uur CLIL geven in een andere school uit onze groep, die ook geïnteresseerd is in meertalig onderwijs, ook dat vergt de nodige portie documenten en handtekeningen …

CLIL is ook niet beperkt gebleven tot de eerste graad bij jullie. Dat klopt, want voor wiskunde zitten we nu al in het vijfde jaar. Julie en Laurent staan in voor de eerste en tweede graad, maar voor de derde graad had ik nog een master nodig, en die heb ik gevonden. Of beter gezegd, hij heeft ons gevonden … Als CLIL-school van het vroege uur hebben we het voordeel dat enthousiaste mensen zich vaak komen aanbieden bij ons, en zo ook de leerkracht wiskunde voor de derde graad. Hij heeft een master informatica, is wiskundeleerkracht en kwam zelf op me afgestapt op een studiedag. In de tweede graad zijn we ook begonnen met fysica in het Engels; dat deden we omwille van leerlingen die hogere studies wilden aanvatten. Ik had opnieuw geluk want de CLIL-collega fysica heeft jaren in Australië gewoond, Engels was dus geen probleem. Volgend jaar lanceren we wellicht ook economie in het Engels. Andere mogelijke denkpistes zijn cultuur en gedrag in de humane wetenschappen, of informatica. Wij willen ons dus echt wel profileren als een school met meertalig onderwijs.

vector

14 CLIL in de praktijk: Vector schuift gezellig aan … Julie Sartor stond mee aan de wieg van CLIL in Pegasus Oostende. Bij haar wonen we een les bij van het eerste jaar. Een klein klasje twaalfjarigen krijgt een uurtje les over ‘la distributivité’. Eerst wordt de theorie overlopen (in het Frans), daarna krijgen ze oefeningen en worden die samen verbeterd (jawel, ook in het Frans). Julie leidt alles in goede Franse banen, maar onze aandacht gaat vooral naar de leerlingen: ze volgen aandachtig de theorie, antwoorden in het Frans als Julie wat vraagt en ze halen hun beste accent boven als ze de uitkomst van een oefening luidop zeggen. Je ziet hoe ze duidelijk hun Frans aanscherpen: de ‘plus’ wordt mooi ‘op z’n Frans’ uitgesproken, ze tellen in hun hoofd tot ze bij ‘quatorze!’ uitkomen (moeilijk, die cijfers van 11 tot 20!) … Julie herhaalt heel wat begrippen (la somme, les termes …) maar reikt ook nieuwe aan (‘une flèche, c’est quoi?’). Even is er paniek bij het lezen van de Franse definitie van distributiviteit (‘moeten we dat kennen?!’), dan weer is er gelach (een ‘y grècque’, zo grappig …), maar het enthousiasme van de leerlingen wordt er niet minder op. Het meest opvallend is hoe ‘gewoon’ de les voorbijschuift. Niks geforceerds of gekunstelds; dat er Frans gesproken wordt, is de normaalste zaak van de wereld. Zo ook voor Bram Knockaert en Hannah De Visch, twee leerlingen die na de les nog even kwamen aanschuiven om kort hun ervaringen te delen. Ze volgen respectievelijk de richting Sport en Kunst: buiten de 28 uren van het basisrooster krijgen zij per week 2 uur

15 Tot slot voelen we graag Julie Sartor aan de tand. Haar goede kennis van het Frans dankt ze aan haar Franstalige vader. Zo vormde ze als het ware het speerpunt van de CLIL-plannen die directeur Surmont aan het smeden was. Na twee jaar CLIL-lessen kwam er een wettelijk kader. Eerste vereiste voor een CLIL-leerkracht: het C1-attest afleggen. Voor Frans moet je daarvoor bij de Alliance Française zijn. Geen makkie volgens Julie:

extra sport/kunst, maar ook 2 uur CLIL. “Ik heb gekozen voor de richting Kunst, en daar zit sowieso CLIL bij, maar ik vind het wel echt tof. Toen ik in het lager zat, vond ik Frans al een leuk vak. Daarom vond ik het leuk dat ik ook meer Frans zou krijgen in het middelbaar”, steekt Hannah van wal. Bram was geen fan van Frans van het eerste uur: “Ik kon ook niet zo goed Frans in het vijfde en zesde. Maar nu is dat toch anders: in de CLIL-lessen lukt het Frans me precies beter, en dan voel ik dat ik in de Franse les zelf ook vooruitga.” Op de vraag of CLIL meer studeerwerk me zich meebrengt, luidt het antwoord volgens Bram: “Niet echt. Ja, de Franse woordjes die we in de lessen zien, moeten we wel studeren, maar dat valt echt wel mee.” Hannah besluit: “Bovendien zijn die twee extra uren wiskunde vaak heel handig. Als je een toets hebt en er is nog iets wat je niet goed snapt, dan komt het in die twee uurtjes CLIL vaak nog eens aan bod en heb je nog wat extra geoefend.” Slim bekeken!

Het was echt een supermoeilijk examen, dat een hele dag duurde. Naar ik hoorde neigde het naar een universitair niveau … Er was veel grammatica bij, maar ik moest bijvoorbeeld ook een samenvatting van 300 woorden maken van een wetenschappelijke tekst over aardgas en dan nog mijn eigen mening geven in 200 woorden. Naar het schijnt is het examen Engels (bij de British Council, nvdr) veel makkelijker.

CLIL-wiskundeboeken zijn niet voor handen. Ik hoorde van directeur Surmont dat daar ettelijke weken vakantie aan opgegaan zijn. Bram Knockaert.

De cursussen wiskunde hebben Laurent en ik inderdaad zelf geschreven, dat

Hannah De Visch.

Julie Sartor.

16 gebruik van ‘le’ en ‘la’. Ook zijn er leraars Frans die graag enkele CLILlessen willen bijwonen om de leerlingen te evalueren. Hier zijn ze namelijk sneller geneigd om Frans te praten: bij ons worden ze niet geëvalueerd op taalfouten, en in de Franse les wel …

klopt. Daar kwam heel wat zoekwerk bij kijken. Ik had enkele boeken van Wallonië en Frankrijk waar ik kleine stukken uit kon herwerken, maar je kunt die onmogelijk als handboek gebruiken in je les. Gelukkig was Laurent Lhote een native speaker. Meestal maakte ik een hoofdstuk en stuurde ik het hem door voor een grondig nazicht ... Er zijn zoveel nuances die ik gewoon niet letterlijk kan vertalen en de wiskundige termen zelf zijn echt niet voor de hand liggend. Toen ik nog geen Waalse boeken ter beschikking had, was ik bijvoorbeeld op zoek naar de Franse term voor een balk, de ruimtefiguur dus. Het enige wat ik vond in mijn woordenboek was ‘poutrelle’, wat niet echt de lading dekt … Maar nu zijn onze cursussen wel af, hoewel we ze nog elk jaar aanpassen.

Zijn de effecten van CLIL voelbaar voor jou in klas? Absoluut. Mensen denken vaak ten onrechte dat de combinatie wiskunde en Frans ontzettend moeilijk is. Maar zodra de leerlingen die Franse termen hebben ingestudeerd, dan spelen ze daarmee. En vraag ik na drie maanden wat het Franse woord voor ‘loodrecht’ ook al weer was, dan weten ze al snel ‘perpendiculaire’ te antwoorden. Het Frans zie je sowieso gestaag verbeteren. De telwoorden van 10 tot en met 20 bijvoorbeeld zijn moeilijk voor de eerstejaars, maar na enkele maanden

vector

vormen die geen probleem meer. In het tweede jaar is die vooruitgang dan nog een pak duidelijker, en we trekken die lijn binnenkort door tot in het zesde jaar!

Volgens Bram en Hannah, die ik daarnet sprak, valt het extra werk voor de leerlingen best mee, klopt dat in uw ogen? Toch wel. In de moderne richtingen is dat zeker het geval, want daar krijgen ze twee uur extra wiskunde in CLIL. In de Latijnse klassen is CLIL dan weer geïntegreerd in de 5 uren wiskunde, maar daar gaat het ook sneller. Wat ik daar vaak doe, is de oefeningen verbeteren in het Frans, toch moet ik bij hen ergens een halfuurtje of uurtje vinden om al de begrippen in het Frans te overlopen. Van die begrippen krijgen ze ook toetsen, maar ze worden niet gequoteerd op schrijffouten. Het moet wel fonetisch correct zijn: schrijft iemand ‘un sigment’ in plaats van ‘un segment’, dan keuren we dat dus goed. En de examens, die zijn sowieso in het Nederlands.

Hebben jullie ook samengewerkt met leerkrachten Frans? Dat doen we nog steeds, we komen om de zoveel tijd samen. Daar maken we soms ook afspraken; onlangs hadden we het over het aftrekken van punten in CLIL-toetsen bij een fout

Zijn er ook al negatieve reacties geweest? Die zijn er zelden. Voor wiskunde kiest bij ons bijna iedereen voor CLIL tegenwoordig. Pas op, af en toe hoor je mensen die iets tegen de Franse taal hebben. We hadden eens een infoavond over CLIL, zo’n twee jaar geleden, waar een gezin opstapte toen ze hoorden dat er enkel Frans werd aangeboden. Ze konden niet begrijpen waarom er geen wiskunde werd gegeven in het Engels of Spaans. Gelukkig zijn dat zeldzame uitzonderingen.

Ik zag je vol enthousiasme voor de klas staan, maar wiskunde geven in een andere taal is wellicht niet iedereen gegeven, niet? Ik amuseer me inderdaad enorm bij het geven van CLIL. Het is ook de uitdaging die me aanspreekt. En voor leerlingen zou ik het iedereen aanraden; slim of minder slim, aso of bso, we zien alleen maar positieve resultaten. Als leerkracht moet je wel de taal machtig zijn, maar je moet er vooral moeite willen insteken en openstaan voor een uitdaging. En misschien zijn er wel uitgeverijen die ook op de kar springen en het leven voor een beginnende CLIL-leerkracht makkelijker kunnen maken …

Staat genoteerd! Bedankt voor dit interview.

Context

17

Irrationale getallen: niet realiseerbaar, wel reëel Al eeuwen woedt de discussie onder wiskundigen, filosofen en natuurkundigen of we in een discrete dan wel in een continue wereld leven. De oude Grieken wilden de wereld in gehele getallen vatten. Maar om een continue wereld te beschrijven moesten de gehele getallen worden uitgebreid met de rationale en irrationale getallen. Pas in de negentiende eeuw konden de irrationale getallen preciezer worden gedefinieerd. Tot op vandaag gaat de zoektocht naar irrationale getallen voort. Tekst: Adhemar Bultheel

Al eeuwen is er een discussie aan de gang tussen filosofen, wiskundigen en natuurkundigen of we in een discrete dan wel in een continue wereld leven. ‘God schiep de gehele getallen en al de rest is des mensen’, verklaarde de wiskundige Leopold Kronecker in de negentiende eeuw. Maar dit idee leefde ook al bij Pythagoras en de oude Grieken. Voor hen was het zowat een geloofspunt dat men alles kon uitdrukken in natuurlijke getallen (zoals 1, 4, 25 of 1423). Er was altijd wel een kleinste eenheid te vinden zodat je een lengte met een geheel getal kon aanduiden. Een geheel getal is een natuurlijk getal, eventueel voorzien van een minteken (zoals -1 of -4), wat

handig is om aan te geven of je boven of onder een bepaald punt zit. Dat punt duiden we aan met 0, en ook dit is na vele eeuwen discussie aanvaard als een geheel getal. Heb je maar driekwart van de lengte nodig, dan kun je dat aangeven met een breuk 3/4. Dat is een rationaal getal, namelijk de verhouding (of ratio) van twee gehele getallen. Als je een kwart als eenheid neemt, kun je de twee lijnstukken als 3 en 4 keer die eenheid aangeven, dus als gehele getallen. We kunnen onze wereld met rationale getallen beschrijven als er een kleinste eenheid is waarmee we dingen kunnen meten. De kwantumfysica werkt met bouwstenen ter grootte van de constante van

Panck, zo klein dus dat ze maar kunnen worden waargenomen met astronomische hoeveelheden energie. Ook al ligt dit ver buiten ons meetvermogen, we kunnen die eenheden theoretisch nog oneindig verder opdelen, want alles wat niet 0 is kun je nog halveren tot iets kleiners. In deze logica belanden we in een continuüm. Zo ervaren we intuïtief tijd als een vloeiende, continu veranderende hoeveelheid. Als onze wereld continu is, hebben we echter meer nodig dan de rationale getallen om die te beschrijven. Als we de rationale getallen uitbreiden met de irrationale getallen, dan krijgen we de reële getallen: hiermee kunnen we een continue wereld beschrijven, die al

18 dan niet met de realiteit overeenstemt, want die wereld zullen we toch nooit kunnen meten. Maar wat zijn reële getallen dan?

Precies de stelling van Pythagoras haalt het Griekse geloofspunt over natuurlijke getallen onderuit Laten we beginnen met de stelling van Pythagoras. De formule a2 + b2 = c2 zit in het collectieve geheugen, en de meeste mensen zullen weten dat a en b de loodrechte zijden van een driehoek zijn en c de schuine zijde. Nu is het precies die stelling die als een tikkende tijdbom het pythagorische geloofspunt over natuurlijke getallen onderuithaalt. Als a en b allebei 1 zijn, dan is c = √2. Als je nog papier gebruikt, dan ervaar je dit getal dagelijks als de verhouding van de lengte op de breedte van het A4-formaat. (Of ongeveer die verhouding, want als je tot op het niveau van de atomen van het papier zou gaan, worden lengte en breedte wazige begrippen.) Dat

vector

is niet zo met √2. Als je dit getal met decimalen schrijft, dan blijf je cijfers na de komma genereren. Dat gebeurt toch wel meer, zal je zeggen. Denk maar aan de breuk 1/3. Die geeft ook een oneindige rij drietjes. Ook bij 1/7 = 0,142857142857142857... zie je een patroon van cijfers dat zich oneindig dikwijls herhaalt. Geen probleem, want je kunt dan 1/3 of 1/7 als eenheid nemen en de vorige 1 is dan 3 of 7 keer de nieuwe eenheid. Dus door de eenheid maar klein genoeg te kiezen kun je rationale getallen uitdrukken als gehele veelvouden van die eenheid. De Grieken vonden dat zo fundamenteel dat het woord ratio via het Latijn tot bij ons is gekomen, ook in de betekenis van rede of gezond verstand. Maar met √2 is toch iets anders aan de hand want in √2 kun je zo een herhaald patroon niet vinden, hoe ver je ook doorrekent. Ook de Grieken zagen de ‘onmeetbaarheid’ van √2 en andere wortels al gauw in. De legende gaat dat Hippasus, een lid van de sekte van Pythagoras, het leven liet vanwege die ontdekking. Zijn bewijs dat √2 ‘onmeetbaar’ of ‘irrationaal’ is, kennen we via Plato, en het is meteen ook een van de elegantste bewijzen van de wiskunde. Euclides beschreef die irrationale getallen in zijn Elementen, die tot de vorige eeuw nog de basis vormden van het meetkundeonderwijs in de humaniora. Door getallen als √2 naar de meetkunde te verbannen, werd het probleem gedeeltelijk omzeild. Ze waren dan wel irrationaal, maar je kon ze ‘construeren’. Met een passer kun je inderdaad een lijn loodrecht op een andere construeren, en een aantal keren een eenheid uitzetten. Theodorus construeerde al in de tijd van Pythagoras een spiraal waarin alle

wortels van √2 tot √17 voorkwamen, door 16 driehoeken aan elkaar te plakken. Maar andere constructies waren dan weer onmogelijk. Zo heeft men eeuwen gezocht naar de kwadratuur van de cirkel – dit wil zeggen alleen met passer en liniaal een vierkant construeren waarvan de oppervlakte gelijk is aan de oppervlakte van een cirkel – wat niet lukte omdat π niet construeerbaar is. De gulden snede 1 + √5 φ= is een ander voorbeeld van 2 een wortelgetal waarvan de Grieken wisten dat het construeerbaar was.

Het werd in de renaissance door Luca Pacioli tot ‘Goddelijke Ratio’ uitgeroepen omdat het in de klassieke architectuur en beeldhouwkunst als een ideale maat van schoonheid gebruikt zou zijn. Tot nu toe hebben we rationale en irrationale getallen met decimalen voorgesteld, maar die argumenten zijn eigenlijk historisch gezien onjuist. De Indo-Arabische cijfers werden in Europa pas in de dertiende eeuw geïntroduceerd door Fibonacci, en de decimale getallen werden populair gemaakt door Simon Stevin met zijn boek De Thiende (1585). Ondertussen was via de Arabieren ook de algebra ontdekt en kwamen zo de wortelgetallen weer op de proppen bij het oplossen van vergelijkingen. De meetkundige wiskunde van de Grieken

Context had plaatsgemaakt voor de algebra van de Arabieren. Het onderscheid tussen construeerbaar en niet construeerbaar maakte plaats voor een algebraïsch onderscheid. Neem de gulden snede φ. Die is algebraïsch omdat x = φ de uitdrukking x2 – x – 1 nul maakt. Die uitdrukking is een veelterm van graad 2 met coëfficiënten 1, -1,-1 en men zegt dat φ er een nulpunt van is. Zo voldoet 3 ook x = √2, de derdemachtswortel van 2, aan x3 – 2 = 0. Het is een nulpunt van een veelterm van de derde graad. Een getal dat een nulpunt is van een veelterm met gehele coëfficiënten noemt men algebraïsch. Zo niet overstijgt het de algebra en noemt men het transcendent. Transcendente getallen zijn automatisch irrationaal. 3 Het getal √2 is dus wel algebraïsch maar niet construeerbaar, want de Grieken konden met de constructie van √2 wel de oppervlakte van een vierkant maar niet het volume van een kubus verdubbelen. De algebristen probeerden – dikwijls tevergeefs – het omgekeerde probleem op te lossen, namelijk een formule vinden voor de nulpunten van gegeven veeltermen. Die koortsachtige zoektocht viel stil toen de briljante Noorse wiskundige Niels Abel 250 jaar later aantoonde dat, als de graad van de veelterm 5 of hoger is, in het algemeen zo’n formule niet bestaat. (Naar hem is overigens de Abelprijs genoemd, die sinds 2001 fungeert als een soort Nobelprijs voor de wiskunde.) Wat Abel ontdekt had, was eigenlijk ook al door de Franse revolutionair Evariste Galois gevonden, maar zijn werk was niet helder en raakte niet meteen gepubliceerd. Hun resultaat betekent dat er dus transcendente getallen bestaan. Het getal π werd alvast bij de verdachten gerekend.

19 Tijd om de meest populaire irrationale getallen te bekijken: e en π.

Het getal π kent iedereen wel als de omtrek van een cirkel met diameter 1. Vandaar de Griekse letter π van ‘periphereia’. Het getal e verwijst naar Leonard Euler, een Zwitsers wiskundig genie (die trouwens ook het gebruik van de letter π populariseerde). Daarmee zijn we meteen in de achttiende eeuw beland. Maar e was al honderd jaar voor hem ontdekt door Jacob Bernoulli, als het resultaat van een berekening van samengestelde interest. Stel dat je 1 euro aan 100 procent per jaar belegt, dan krijg je na 1 jaar 2 euro. Als je de rente na 6 maanden krijgt uitbetaald en herbelegt, dan heb 1 je na 1 jaar 1 + = 2,25 euro. Als je 2 elke dag de rente kan herbeleggen 365 1 = 2,714567482 euro, krijg je 1 + 365 en als je elk moment ogenblikkelijk zou kunnen herbeleggen n 1 voor n oneindig krijg je 1 + n groot, en dat is het getal e, wat iets groter dan 2,7 is. Euler op zijn beurt

(

)

( (

)

)

20 wou aantonen dat e en π irrationaal waren. Een belangrijk wiskundig speeltje daarbij waren de kettingbreuken, dit zijn breuken waarvan de noemer onder de breukstreep weer een breuk is, waarvan de noemer onder de breukstreep ... enzovoort. (Je zou die kunnen omschrijven als breuken met het ‘Droste-effect’: op de verpakking van cacaopoeder van Droste stond vroeger een verpleegster met een doos cacaopoeder van Droste waarop een verpleegster stond met een doos cacaopoeder …)

Euler merkte op dat als je e als een kettingbreuk schrijft – dus met oneindig veel delingen in plaats van oneindig veel vermenigvuldigingen –, er in de noemers met een zekere regelmaat alle even getallen 2,4,6, … verschijnen. Omdat dit tot in het oneindige doorloopt, kon hij met enige moeite bewijzen dat e irrationaal is.

vector

Ook π werd ervan verdacht irrationaal te zijn, maar de kettingbreuk van π bezat niet dezelfde regelmaat als die van e Ook π werd ervan verdacht irrationaal te zijn, maar de kettingbreuk van π bezat niet dezelfde regelmaat als die van e. Johann Heinrich Lambert, een tijdgenoot van Euler, kon echter bewijzen dat de kettingbreuk van de tangens van een rationaal getal irrationaal was, en vermits de tangens van π/4 gelijk is aan 1, kan π dus niet rationaal zijn. Hierdoor waren twee glamoureuze getallen bijgezet in het pantheon der irrationale getallen, ver verheven boven de laag-bij-de-grondse wortelgetallen. Later werden nog andere bewijzen gevonden voor dit feit, en ook voor de irrationaliteit van machten en wortels ervan. De zoektocht van wiskundigen naar irrationale en transcendente getallen, en vooral het bewijs van hun irrationaliteit, gaat tot vandaag door. Een mogelijke bron van inspiratie is daarbij de zetafunctie, genoteerd als ζ (z). Als n en s natuurlijke getallen zijn, dan zal ns steeds groter worden naarmate n s 1 stijgt, en dus zal een steeds kleiner n wordend getal zijn. s 1 Als je al die rationale getallen voor n n = 1, 2, 3, … , m optelt, dan krijg je nog steeds een rationaal getal, en door m steeds maar groter te nemen, komt de som steeds dichter en dichter bij een limietwaarde en die limiet is ζ (s). We kunnen ζ (1) meteen wegwerpen, want die is oneindig en dus niet interessant. Euler bewees dat ζ (2) gelijk was aan π/6, en zelfs dat ζ (2k) gegeven wordt

door een rationaal getal maal π2k. Dus alle ζ (s) met even s zijn irrationaal; het gaat om limieten van rijen van rationale getallen, maar ze zijn zelf irrationaal. De uitdaging is om aan te tonen dat ζ (s) voor oneven s ook irrationaal is. Het was pas in 1978 dat de Franse wiskundige Roger Apéry kon aantonen dat ζ (3) irrationaal is. Hoewel men weet dat er oneindig veel irrationalen zitten tussen ζ (3), ζ (5), ζ (7), . . . blijft het voorlopig nog zoeken naar een bewijs voor de volgende irrationale zeta. Zijn de irrationale ζ (s) ook transcendent? Het antwoord kennen we alleen voor even s. Dat hangt samen met de transcendentie van e en π, iets wat we weten sinds Ferdinand von Lindemann dit in 1882 kon bevestigen, gebaseerd op eerder werk van Charles Hermite. Hij toonde eerst aan dat e transcendent was. Daarna kon hij bewijzen dat ook π transcendent was, door gebruik te maken van wat wel eens de mooiste formule uit de wiskunde wordt genoemd: e iπ = –1.

Vermits ζ (2k) = cπ2k zijn ook deze allemaal transcendent. Karl Weierstrass voegde daar dan aan toe dat ook eπ transcendent is. Maar nog steeds is weinig geweten over andere combinaties, zoals eπ of e + π. Het is zelfs niet bewezen dat ze irrationaal zijn.

Context De oneindigheid van de irrationale getallen is oneindig veel oneindiger dan die van de rationale getallen Misschien wekt het verhaal tot nu toe de indruk dat er slechts een paar irrationale getallen bestaan. Niets is echter minder waar. Er zijn er oneindig veel, en wel zoveel dat we ze in tegenstelling tot de rationale getallen niet eens kunnen nummeren. Als je de rationale getallen volgens grootte rangschikt, is het moeilijk om ze te tellen, want tussen twee verschillende rationale getallen zitten altijd oneindig veel andere rationale getallen. Je kunt ze wel in het gelid zetten door ze als volgt op te sommen: 1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1, … Het patroon is dat je alle breuken p/q opnoemt waarvoor p + q opeenvolgend gelijk is aan 2, 3, 4, 5, … Je laat alle dubbels weg, zoals 2/2 en 3/3, of 2/4 en 3/6. Voeg de 0 vooraan toe en laat elk getal voorafgaan door min zichzelf. Zo krijg je alle rationale getallen, de positieve en de negatieve, en omdat je zo elk getal een nummer 1, 2, 3, … kunt geven, zijn er precies evenveel natuurlijke getallen als er rationale getallen zijn. Men zegt ook wel eens dat ze aftelbaar zijn. Concreet betekent dit dat je een lengte dus steeds nauwkeuriger kunt opmeten door de eenheden op de meetlat te blijven opdelen. Zolang we niet tot in het oneindige zijn doorgegaan, kunnen we het resultaat benoemen met een rationaal getal. Maar net zoals de som in de zetafunctie rationaal is zolang er eindig veel termen zijn, maar de waarde irrationaal wordt als er oneindig veel genomen worden, zo kan het ook zijn dat we bij een irrationale waarde uitkomen als we de

21 meetlat tot in het oneindige blijven verfijnen. Tussen twee verschillende rationale getallen zitten ook oneindig veel irrationale getallen. Alleen zijn het er oneindig veel meer, want stel dat je die ook zou kunnen nummeren zoals de rationale getallen, dan kun je er altijd eentje produceren dat niet in de rij staat, aldus stelde Georg Cantor op het einde van de negentiende eeuw. Irrationale getallen laten zich niet nummeren. Ze zijn met andere woorden niet aftelbaar en daarom zijn er meer irrationale getallen dan rationale. Van beide types zijn er oneindig veel, maar de oneindigheid van de irrationale getallen is oneindig veel oneindiger dan die van de rationale getallen. Toen dit duidelijk werd, was het voor de wiskundigen een schok, vergelijkbaar met de schok die het bestaan van irrationale getallen bij de Grieken teweegbracht. Ze sloegen elkaar met paradoxen om de oren. De hele verzamelingenleer stond meteen op losse schroeven en de fundamenten van de wiskunde moesten worden herschreven. Pas nadat we de gehele getallen uitbreiden met de rationale en de irrationale getallen en ze allemaal volgens grootte op een lijn zetten, krijgen we de reële rechte, een continuüm waarop elk punt een reëel getal voorstelt. Dit is geen antwoord op de vraag of onze wereld continu dan wel discreet is, maar het verklaart wel hoe de wiskunde zich een continue wereld schept. Of die wereld nu echt bestaat of niet, voor de wiskundige is hij alvast reëel. Julian Havil, The Irrationals. A Story of Numbers You Can’t Count on. (Princeton University Press, 2012). Amit Hagar, Discrete or Continuous? The Quest for Fundamental Length in Modern Physics. (Cambridge: Cambridge University Press, 2014).

Dit artikel verscheen eerder in het tijdschrift Karakter (voor meer info of voor een abonnement, zie www.tijdschriftkarakter.be)

Faits divers

22

Snelheidsduivel op de Berlijnse S-Bahn De trein is altijd een beetje reizen … Dat heeft een Nederlandse wiskundestudente vorig jaar mogen ontdekken toen ze een mooi record vestigde in Berlijn. Loes Knoben, een studente van de masteropleiding Applied Mathematics aan de universiteit van Twente, kreeg van haar stagebedrijf Zuse Institute Berlin een heerlijke opdracht:

vind een zo kort mogelijke route waarbij je alle 166 S-Bahn stations over een lengte van 331,5 kilometer in Berlijn bezoekt. Om dit voor elkaar te krijgen programmeerde ze een wiskundige tool waarbij alle stations minstens één keer moeten worden bezocht en alle connecties minstens één keer moeten worden bereden. Centraal in haar tool

staat het handelsreizigersprobleem, u wellicht niet onbekend. Ze hield ook rekening met eventuele vertragingen, want de S-Bahn staat niet echt bekend om haar stiptheid. Uiteindelijk rolde er een reisplan uit de tool waarmee ze de bahn op kon. Op de dag des oordeels woedde er in Berlijn een stevige storm. Daardoor reden lang niet alle treinen en waren sommige stukken spoor afgesloten, wat zorgde voor langere wachttijden en enkele onvermijdelijke omwegen. Toch slaagde ze erin om het traject met haar kompanen in 1 uur en 57 minuten sneller af te treinen dan het vorige record. De foto’s die ze in elk station namen, zijn alvast als bewijsmateriaal opgestuurd naar Guinness World Records. De tool die Knoben heeft gemaakt, komt online beschikbaar voor verdere ontwikkeling. (bron: Universiteit Twente)

Bereken je leeftijd met behulp van je schoenmaat je geboortejaar af van dit getal. De uitkomst is je schoenmaat gevolgd door je leeftijd. Het klopt, nietwaar? Het leuke is dat je het ‘raadsel’ makkelijk met je leerlingen kunt ontcijferen. Je werkt het klassikaal uit door de schoenmaat door s te vervangen en het geboortejaar door g bijvoorbeeld. Geef me je schoenmaat en ik bereken je leeftijd: wat een mens niet kan verwezenlijken met een beetje algebra … Reken even met ons mee. Neem je schoenmaat, vermenigvuldig het cijfer met 5, tel er 50 bij op, vermenigvuldig het met 20, tel er 1015 bij op en trek

vector

5 keer s = 5s Tel er 50 bij: 5s + 50 Vermenigvuldig met 20: 20(5s + 50) = 100s + 1000 Tel er 1015 bij: 100s + 1000 + 1015 = 100s + 2015 Trek je geboortejaar af: 100s + 2015 - y

En nu zie je prima hoe het werkt. Welke schoenmaat je ook hebt, ze zal altijd de eerste twee cijfers uitmaken van het antwoord. Schoenmaat 43 = 4300, schoenmaat 20 = 2000. En je ziet ook hoe eenvoudig je leeftijd wordt berekend: je trekt gewoon je geboortejaar af van het jaartal 2015. Enige voorwaarde in dit geval: je mag nog niet verjaard zijn … Maar de truc is aanpasbaar natuurlijk. Ook als je honderd jaar of ouder bent, gaat de rekening niet op. Reken maar eens uit met de klas waarom … (bron: www.realclearscience.com)

23 Because I’m happy … Kon Pharrell Williams je in 2014 geweldig opbeuren of veranderde je snel van radiozender toen Happy nog maar eens door de autoboxen galmde? Als je het niet meer weet, dan kan Jacob Jolij het wel even uitzoeken voor je. Als neurowetenschapper aan de universiteit van Groningen heeft hij namelijk een formule samengesteld waarmee het opbeurende karakter van een liedje kan worden gemeten. Je eigen smaak blijft natuurlijk een rol spelen, net als persoonlijke herinneringen die mensen vaak aan een liedje koppelen. Los daarvan kon hij toch een formule opstellen waarin drie t’s centraal staan: toonsoort, tempo en tekst. Om hiertoe te komen combineerde de wetenschapper 126 nummers van de laatste 50 jaar met de reacties van meer dan 3000 Britten. De wiskundige formule zullen we u

besparen, maar zijn resultaten niet … Hij kon dankzij zijn onderzoek namelijk een hoogst originele top tien samenstellen: die van de tien allervrolijkste hits. Queen voert de lijst aan met Don’t Stop Me Now, gevolgd door Abba (Dancing Queen) en The Beach Boys

(Good Vibrations). Onze favoriet staat helaas niet in het lijstje: Pi, van Kate Bush. De enkele wiskundige foutjes die ze in haar lyrics maakt, vergeven we haar: artistieke vrijheid … (bron: metro)

Vallen voor wiskunde Leerlingen voor wie wiskunde een probleemvak is, hebben er wellicht al eens op gehoopt of van gedroomd: wakker worden als een wiskundig wonder. Het overkwam Leigh Erceg, een Amerikaanse vrouw die metersdiep in een ravijn viel toen ze haar kippen aan het voeden was. Ze liep ernstige verwondingen op aan haar hoofd en ruggenwervel, maar ze overleefde de val. Toch werd al snel duidelijk dat ze veranderd was. Voor de val was ze een echte buitenmens, die hield van het boerenleven en van autoraces. Erna kon ze plots fantastisch goed gitaar spelen, ze wierp zich op de schilderkunst en poëzie en ze werd zelfs een wiskundig talent. In haar atelier wisselt ze nu het schilderen af met het oplossen van ingewikkelde sommen en formules. De val zorgde er helaas ook voor dat haar geheugen volledig werd gewist en ze nog maar weinig emoties voelt. Diagnose: het savantsyndroom. Dat zorgt ervoor dat je een specifiek talent hebt voor, meestal, wiskunde of kunst. Je kent het syndroom misschien van de Oscarwinnende prent Rain Man (1988); daarin is het personage Raymond (Dustin Hoffman)

gebaseerd op Kim Peek, een verstandelijk beperkte man met het savantsyndroom. Volgens specialisten is Leighs geval uitzonderlijk omdat ze de enige ter wereld is die het syndroom opliep door hersenschade. (bron: rtlnieuws.nl)

Faits divers

24

En de Ig Nobelprijs voor de wiskunde gaat naar … Een week voordat de Nobelprijzen worden uitgereikt, weten we ook steevast naar wie de Ig Nobelprijzen van dat jaar gaan. Die ‘speciale’ Nobelprijzen bestaan al sinds 1991 en bekronen ‘vrolijke’ wetenschappelijke onderzoeken, research die een glimlach op ons gezicht tovert. In de categorie wiskunde ging de prijs vorig jaar naar een Australisch-Duits-Brits onderzoeksteam dat zich op het liefdesleven stortte van de Marokkaanse sultan Moulay Ismaël. Zijn bijnaam ‘de bloeddorstige’ had hij niet gestolen, hoewel ‘de vruchtbare’ hem ook niet had misstaan. Volgens het Guinness Book of World Records heeft hij namelijk 888 kinderen verwerkt (andere historische bronnen spreken trouwens van nóg meer nakomelingen …). De onderzoekers wilden via wiskundige methoden te weten komen of het

überhaupt wel mogelijk is om zoveel kinderen te verwekken. Het simulatiemodel ging uit van 504 vrouwen, vier echtgenotes en 500 concubines. Alle mogelijke factoren werden in rekening gebracht, van de levensvatbaarheid van het sperma tot de vruchtbaarheid van de vrouwen, mogelijke miskramen enz. De resultaten toonden aan dat de keizer zijn reproductieve succes gemakkelijk bereikt kan hebben. Zelfs met een slordige 65 tot 100 vrouwen had hij dit cijfer al kunnen realiseren. Zijn enorme harem van meer dan 500 vrouwen had wellicht ook een andere functie, zoals het weghouden van vrouwen bij andere mannen. Wij kijken in elk geval al uit naar de volgende editie van de Ig Nobelprijs …

(bron: nrc.nl)

Chaos aan de festivaltoog

Al tickets gekocht voor je favoriete festival komende zomer? Als je je binnen enkele maanden staat te ergeren in de chaotische massa die verfrissing zoekt aan de bar, denk dan even terug aan dit nieuwsje … Onderzoek van

vector

een ingenieur uit Gent toont aan dat willekeur de wachtende festivalganger vaak sneller aan een drankje helpt dan een deftige rij. Wouter Rogiest en zijn collega’s aan de Universiteit Gent toonden aan dat als periodes van grotere en kleinere bestellingen elkaar afwisselen, wat ook het geval is op festivals, willekeurige volgorde het net iets beter doet dan klassieke volgorde. Dat tijdsverschil kan zelfs oplopen tot 6%. Aan de basis van het onderzoek ligt de wachtlijntheorie, die ook wordt toegepast in de analyse en het ontwerp van computers, telecommunicatiesystemen, productieprocessen

etc. De kunst bestaat er blijkbaar in om de kleine bestellingen net iets vroeger te behandelen, en de grote net iets later. Dit effect kan men niet expliciet najagen, omdat men de grootte van de bestellingen vooraf niet kent. Toch is het precies dat effect dat ertoe leidt dat de festivaltoog het beter doet dan de toog met rijtje schuiven. Een niet onbelangrijk nadeel van chaos aan de festivaltoog blijft helaas wel vaak nazinderen: sommige klanten zijn in een wip bediend, terwijl anderen wel eindeloos lijken te moeten wachten … (bron: Eos)

25 Succes voorspellen bij medicijnonderzoek

Het Nederlandse CWI heeft een belangrijk steentje kunnen bijdragen tot efficiënter medicijnonderzoek. Ook in deze moderne tijden wordt het effect van een nieuw geneesmiddel in een eerste fase nog vaak getest op proefdieren, zoals muizen; in een

tweede fase worden de medicijnen dan toegediend aan een klein aantal menselijke proefpersonen. Helaas sneuvelt drie vierde van die onderzoeken in die fase omdat de resultaten bij proefdieren niet overdraagbaar blijken naar de mens. Het Centrum Wiskunde & Informatica (Amsterdam) biedt nu echter nieuwe wiskundige modellen die deze ‘overdraagzaamheid’ van resultaten tussen verschillende organismen veel beter kunnen voorspellen. De modellen gaan op zoek naar patronen in een netwerk van genen en kijken zo of celmechanismen van bv. muis en mens op dezelfde manier beïnvloed raken door bepaalde medicijnen. Een dergelijke vroegtijdige voorspelling van

de testfasen voorkomt het verspillen van kostbare onderzoeksmiddelen en vermindert het aantal proefdieren dat nodig is voor geneesmiddelenonderzoek. De modellen van het CWI zijn in een casestudy al heel nuttig gebleken. Voor het recent ontdekte celtype Th17, dat een belangrijke rol speelt in het immuunsysteem, zien de modellen dat het differentiatieproces bewaard blijft tussen mensen en muizen. Dit kan zeer waardevol zijn voor het ontwikkelen van nieuwe behandelmethoden van verschillende ontstekings- en autoimmuunziektes, zoals reuma, psoriasis en MS. (bron: CWI)

IMAGINARY, wiskunde in sprankelende beelden Al gehoord van IMAGINARY? Wellicht wel … Of bent u er al geweest? Nog beter! Hoewel deze wiskundige tentoonstelling al vier locaties achter de rug zal hebben als u deze Vector in handen krijgt, willen we u toch nog even warm maken voor dit niet te missen event. IMAGINARY is een internationaal initiatief met Duitse roots dat al heel wat landen heeft afgereisd. Om haar 30e verjaardag in de verf te zetten organiseert de Vlaamse Wiskunde Olympiade met alle Vlaamse universiteiten deze tentoonstelling. IMAGINARY laat het grote publiek, maar in het bijzonder ook leerlingen en leerkrachten, kennismaken met wiskunde in haar volle breedte, kracht en schoonheid. De tentoonstelling omvat talrijke posters van topkwaliteit, een reeks 3D-prints van wiskundige objecten en een reeks softwarevisu-

alisaties en -simulaties waarmee de bezoeker interactief aan de slag kan via grote touchscreens. Zowel wiskunde die je meeneemt in verwondering en bewondering, als de kracht van wiskundige modellen voor toepassingen komt aan bod. Met de klas kun je ook gratis een begeleid bezoek plannen en er zijn ook enkele thematische info- en werkblaadjes voor leerkracht

en leerlingen die doelgericht en met educatieve focus de tentoonstelling willen bezoeken. Interesse gewekt? No time to waste, surf snel naar www.imaginarymaths.be voor meer details. De tentoonstelling vindt nog plaats in Hasselt (29 februari t.e.m. 18 maart) en Brussel (11 t.e.m. 29 april).

26

Rijk worden met wiskunde

Het wiskundehondje

Het tweede grote breinbreker boek

Geef toe: de titel van dit boek trok toch meteen je aandacht, niet? Maar … verwacht geen vergelijkende studie van mogelijke gaten in de markt, noch tips om pakweg de effectenbeurs naar je hand te zetten. In dit boek wil de auteur verklaren hoe de ‘vreemde wereld’ van de wiskunde veel vertrouwder is dan gedacht. Waar precies schuilt de wiskunde in digitale fotografie of in je eigen DNA? Wat heeft Einstein te maken met mijn gps en wat is de link tussen wiskunde en verkiezingen? Richard Elwes doceert en onderzoekt wiskunde aan de universiteit van Leeds. Hij publiceert niet enkel in vakbladen maar populariseert wiskunde met veel plezier tijdens lezingen, op de radio of op websites als New Scientist. Met dit boek toont hij aan hoe wiskunde is verweven, de ene keer al duidelijker dan de andere, met ons dagelijks leven. Bij 35 toepassingen, uit het leven gegrepen, geeft hij wiskundige duiding. Jean-Paul Van Bendegem is alvast fan, nu jij nog!

Net als haar collega-schrijver Richard Elwes probeert Margriet van der Heijden aan te tonen dat wiskunde ‘all around’ is. Dit boekje richt zich echter tot een minder volwassen publiek, namelijk jongeren vanaf 12 jaar die wel eens willen weten wat voor rol wiskunde in hun leven speelt en die dol zijn op weetjes en verhaaltjes. Want Margriet vertelt honderduit over perfecte, maar ook zielige, herfstige, ronde en nog vele soorten andere getallen. De lezer krijgt ook trucjes en praktische toepassingen waarmee hij of zij thuis aan de slag kan gaan. Een kind met een gezonde dosis leergierigheid zal hiervan smullen; en u, als leerkracht, zal blij zijn om de gekende theorie belicht te zien worden vanuit een andere, heerlijk praktische en interessante invalshoek. Wat staat Pythagoras op een voetbalplein te doen, waarom zijn ze in China bang van het cijfer vier …, het wiskundehondje biedt raad. Margriet van der Heijden, wetenschapsjournalist, is niet aan haar proefstuk toe en maakt van dit boek een ware pageturner.

Iedereen die het eerste Grote Breinbreker Boek in zijn kast heeft staan, zal reikhalzend naar deze tweede editie hebben uitgekeken. 396 pagina’s opgevuld met meer dan 300 puzzels (of denkspellen, zoals Moscovich ze liever noemt), met deze puzzelbijbel kan een wiskundeleerkracht niet ontevreden zijn. Een verschil met het eerste breinbrekerboek is dat elke puzzel een boeiend hoofdstukje in de geschiedenis van de wiskunde illustreert. Zo krijg je dus een lekker dikke kluif vol uitdagende en originele denkoefeningen die perfect passen in een historisch kader. Van kusgetallen tot kuboctaëders, van tesselaties tot sprinkhaanpuzzels, van de Clootkrans van Stevin tot de magie van Harry Eng … dit wordt een boek waaraan u eindeloos plezier zult beleven. Google trouwens zeker eens de naam Ivan Moscovich. Zijn leven leest als een roman die niet kan wachten om verfilmd te worden. Als je dan beseft dat hij dit huzarenstukje aflevert op 89-jarige leeftijd, dan wordt de bewondering voor deze van oorsprong Joegoslavische auteur er alleen maar groter op.

Auteur: Richard Elwes Uitgeverij: Veen Media ISBN: 978 90 8571 486 6 Prijs: $ 29,99

vector

Auteur: Margriet van der Heijden Uitgeverij: Nieuwezijds ISBN: 978 90 5712 450 1 Prijs: $ 14,95

Auteur: Ivan Moscovich Uitgeverij: Lannoo ISBN: 978 94 014 1468 5 Prijs: $ 24,99

Leestips

27

Wiskunde in je vingers

Wanneer is Cheryl jarig?

Laten we je eerst de twee auteurs voorstellen. Beiden werken ze aan de Vrije Universiteit in Amsterdam: de een (Joost Hulshof) huist in het departement Analyse, de andere (Ronald Meester) in het departement Kansrekening. Dit boek is losjes gebaseerd op twee nascholingscursussen die de heren aan een groep enthousiaste docenten gaf. Dit betekent dat u als leerkracht het perfecte doelpubliek vormt. Hun doel? Enkele basisbegrippen uit de wiskunde in een ander daglicht plaatsen. Op een natuurlijke wijze gaat het van breukrekenen via letterrekenen naar differentiaalrekening en dynamische systemen. Of van rentebijschrijvingen naar het getal e en terug via sinterklaaslootjes naar de Poissonverdeling. Zin om wiskunde te ervaren uit een originele hoek, dan zal dit boek je niet teleurstellen.

Wie is Cheryl? Het is geen nobele onbekende wiskundige, maar wel de sleutelfiguur in een raadsel dat vorig jaar viraal ging nadat een tvpresentator uit Singapore het op zijn Facebook pagina had geplaatst. Het raadsel haalde bij onze noorderburen zelfs het populaire tv-programma De wereld draait door. Quintijn Puite, een van de auteurs van dit boek, kwam er toen uitleggen hoe de vork precies in de steel zat. Cheryl inspireerde Quintijn en Birgit (van Dalen) om een boek samen te stellen met in totaal dus 100 raadsels. Ze vulden het vraagstuk van Cheryl aan met eigen werk of lieten zich inspireren door ideeën voorgesteld door collega’s. Voor sommige raadsels baseerden ze zich op vragen van de Nederlandse Wiskunde Olympiade, waarvan ze de organisatoren zijn. Je krijgt telkens eerst het vraagstuk voorgeschoteld, samen met een tip, en als je de bladzijde omdraait, lees je de kraakheldere oplossing. Fans van hersenkrakers, wiskundig aangelegd of niet, zullen hier zeker hun hart aan ophalen en voor je wiskundelessen vind je er zeker en vast enkele uitsmijters in terug.

Auteurs: Joost Hulshof en Ronald Meester Uitgeverij: VU University Press, Amsterdam ISBN: 978 90 8659 715 4 Prijs: $ 29,95

Auteurs: Birgit van Dalen en Quintijn Puite Uitgeverij: Bertram+de Leeuw ISBN: 978 94 6156 196 1 Prijs: $ 14,95

WEDSTRIJD

VRAAG Wacht nog even om enthousiast naar de boekwinkel te trekken en neem eerst deel aan deze wedstrijd. Hieronder nemen we graag een raadsel over uit het boek Wanneer is Cheryl jarig. Waag je kans en stuur voor 30 maart 2016 het antwoord op onderstaande vraag naar vector@diekeure.be. Hoeveel vierkanten zitten er in dit rooster?

Methode wiskunde secundair onderwijs

Ontdek de NIEUWE wiskundemethode van die Keure

Nando

Wiskunde met pit

Wiskunde met pit Nando biedt vernieuwend en motiverend wiskundeonderwijs met een sterke focus op differentiatie. - Op een positieve manier omgaan met diversiteit binnen de klas - Veelheid en variatie aan differentiërende middelen, zowel op papier als digitaal

- Zelfontdekkend leren - Leerling neemt zoveel mogelijk het leerproces in eigen handen, leraar treedt op als coach - Activerende werkvormen en eigentijdse onderwijstools

www.nando.diekeure.be

Kleine Pathoekeweg 3, B - 8000 Brugge T +32 (0)50 47 12 62, F +32 (0)50 47 12 87, so@diekeure.be, www.diekeure.be