Vector 7 - januari 2020

VECTOR JANUARI 2020 - nummer 7

TIJDSCHRIFT voor wiskundeonderwijs

Prijsvraag vlakvullingen Kaarten in de les wiskunde 38 Junior College STEM

4

S

9 19

Met medewerking van Uitwiskeling, VVWL (Vlaamse Vereniging van Wiskundeleraars), GeoGebra Instituut, Vlaamse Wiskunde Olympiade en Pythagoras

2 INHOUD

3 HET READYSTEMGO

PROJECT DRAAGT ZIJN STEENTJE BIJ AAN EEN ONDERBOUWDE STUDIEKEUZEBEGELEIDING GREET LANGIE, LYNN VAN DEN BROECK EN HANNE DEPREZ

WOUTER CASTRYCK

27 WISKUNDE IS

EEN WERKWOORD

VLAKVULLENDE VIJFHOEKEN + PRIJSVRAAG 9

JEAN-MARIE DENDONCKER

MATTHIJS COSTER

14 VEELTERM-

VECTOR

POLYMATH8: ONLINE KRACHTENBUNDELING VOOR HET PRIEMTWEELINGVERMOEDEN 24

VERGELIJKINGEN VAN VROEGER TOT NU MICHEL ROELENS, LUC VAN DEN BROECK

KAARTEN IN DE LES WISKUNDE (DEEL 1*) 19 DIDIER DESES

23 INTERNATIONALE

DAG VAN DE WISKUNDE OP 14 MAART 2020

KANGOEROE: REKEN, DENK EN PUZZEL MEE MET MEER DAN 95 000 ANDERE LEERLINGEN! 28 34

FARMACEUTISCH REKENEN

JOHAN DEPREZ, GERD HAUTEKIET

HET KU LEUVEN JUNIOR COLLEGE STEM 38 MARLIES CREEMERS

41 BOEKRECENSIES PAUL LEVRIE

VECTOR 2e jaargang - nummer 7 REDACTIE Nicolas Ruys, Tom Harteel, Katinka Steen, Anke Oderij, Maaike Spanhove - die Keure, Kleine Pathoekeweg 3, 8000 Brugge, educatief@diekeure.be EXTERNE AUTEURS die occasioneel of op geregelde basis een bijdrage willen leveren, kunnen contact opnemen met educatief@diekeure.be. VECTOR Vector is gratis voor alle leerkrachten wiskunde in België. VERANTWOORDELIJKE UITGEVER die Keure, Kleine Pathoekeweg 3, 8000 Brugge VORMGEVING EN DRUK Isabelle Tilleman - die Keure, Brugge REACTIES Al je reacties, suggesties en opmerkingen zijn welkom op educatief@diekeure.be

3

HET READYSTEMGO PROJECT DRAAGT ZIJN STEENTJE BIJ AAN EEN ONDERBOUWDE STUDIEKEUZEBEGELEIDING STORYTELLING AAN DE HAND VAN BETEKENISVOLLE CIJFERS HOE KUNNEN WE LEERLINGEN BETER BEGELEIDEN TIJDENS HUN STUDIEKEUZEPROCES EN WAT BEPAALT OF EEN STUDENT SLAAGT OP HET EINDE VAN HET EERSTE JAAR HOGER ONDERWIJS (HO)? HIER IS AL VEEL ROND GESCHREVEN EN HET LAATSTE WOORD IS ZEKER NOG NIET GEZEGD, MAAR ÉÉN DING KUNNEN WE WEL ZEGGEN: DE BESTE LEERLINGEN IN HET SECUNDAIR ONDERWIJS (SO) ZIJN NIET ALTIJD DE BESTE STUDENTEN IN HET HO EN OMGEKEERD. VOORSPELLEN WAT IEMANDS SLAAGKANSEN ZIJN, ZULLEN WE NOOIT KUNNEN. EN DAT IS OOK NIET ONZE AMBITIE. WE STREVEN ER WEL NAAR OM VIA EEN INDIVIDUEEL GESPREK TE ACHTERHALEN WAT DE ACHTERGROND IS VAN EEN LEERLING EN HEN VIA STORYTELLING MEE TE NEMEN IN EEN CONSTRUCTIEF VERHAAL DAT HEN INFORMEERT EN BEWUST MAAKT VAN HET BELANG VAN SPECIFIEKE COMPETENTIES. G R E E T L A N G I E , LY N N VA N D E N B R O E C K E N H A N N E D E P R E Z

Het Europese project readySTEMgo (https://iiw.kuleuven.be/english/readystemgo) richt zich heel specifiek op studenten die ingenieursstudies of een opleiding wetenschappen wensen te starten. De belangrijkste doelstelling is om vóór de start van het academiejaar of tijdens de eerste maanden aan de universiteit aan elke student zoveel mogelijk gerichte feedback te geven over hoe zijn/haar persoonlijke competenties zich verhouden tot de verwachtingen van de opleiding en indien nodig deelname aan een remediërende activiteit te stimuleren. Sinds het academiejaar 2015-2016 hebben we meer dan 7500 nieuwe eerstejaarsstudenten van vijf faculteiten van de Groep Wetenschap & Technologie van de KU Leuven bevraagd over hun studeervaardigheden en achtergrondkenmerken: (1) hun studeerstrategieën,

- KU LEUVEN

time managementvaardigheden, concentratievermogen en motivatie, (2) hun vooropleiding secundair onderwijs: studierichting, aantal uren wiskunde, eindresultaten op de wetenschapsvakken en onderwijsvorm, en (3) het advies van de klassenraad en de hoeveelheid inspanning die studenten leverden in het secundair onderwijs. Voor alle betrokken variabelen gaat het om zelf gerapporteerde gegevens van studenten, met uitzondering van studierichting en onderwijsvorm. In dit artikel ligt de focus op de Faculteit Industriële Ingenieurswetenschappen waar studenten opgeleid worden tot industrieel ingenieur. Dit kan via drie verschillende bacheloropleidingen: de Bachelor in de Industriële Wetenschappen, de Bachelor in de Biowetenschappen

4

Figuur 1 Verdeling van de studierichtingen binnen de instroom in de opleiding tot industrieel ingenieur (N=2406).

Figuur 2 De positie van de industrieel ingenieur binnen het spectrum van de STEM-professionals.

en de Bachelor of Engineering Technology. In totaal hebben we de voorbije vier jaren (2015-2016, 2016-2017, 2017-2018, 2018-2019) meer dan 2400 eerstejaarsstudenten opgevolgd. Merk op dat het aantal nieuwe eerstejaarsstudenten een pak hoger ligt: elk jaar schrijven zich zo’n 1200 generatiestudenten in het eerste jaar in. Houdt dit in dat we een slechte respons hadden en onze data onbetrouwbaar zijn? Helemaal niet, dit is een gevolg van het feit dat we niet alle 7 campussen (Campus Brugge, Technologiecampus Gent, Campus De Nayer, Campus Geel, Campus Diepenbeek en Campus Groep T) waar de KU Leuven de opleiding organiseert, hebben bevraagd. De responsgraad bedraagt immers zo’n 93% wat onze data net heel betrouwbaar maakt.

je ziet, heel divers. Trouwens 15% van de studenten komt nog uit andere studierichtingen dan de vijf vermelde studierichtingen en de bijdrage van elk van deze studierichtingen is kleiner dan 2% (zie Figuur 1). Deze diverse instroom biedt vele opportuniteiten maar noodzaakt ons ook om hier bewust en eerlijk mee om te gaan. Volgens de Technology Readiness Levels (zie https://enspire.science/trl-scale-horizon-2020-ercexplained/) bevindt de industrieel ingenieur zich tussen de burgerlijk ingenieur/bio-ingenieur en de professionele bachelor technologie/bio-technologie in (zie Figuur 2). Het is dus belangrijk om duidelijk te maken aan een student dat er alternatieven zijn en dat deze uitgaan van andere interesses en competenties (zie ook https://set.kuleuven.be/onderwijs/profilering/ industrieelingenieur_verschil).

Een vraag die we regelmatig krijgen tijdens SID-ins en infodagen is de verdeling van de instromende studenten over de studierichtingen in het SO en of er een verband is met het eindresultaat op het einde van het eerste jaar. Vaak is men zich er niet bewust van dat ongeveer één derde (36%) van de studenten vanuit het TSO instroomt. Binnen het ASO is vooral de studierichting wetenschappen-wiskunde (WeWi) sterk vertegenwoordigd (50% van de totale instroom), gevolgd op grote afstand door Latijn-wiskunde (Lat-Wi, 3%). Binnen het TSO komen de meeste studenten uit Industriële Wetenschappen (IW, 22% van de totale instroom) en Techniek-Wetenschappen (TW, 7%). Elektromechanica (EM) is de derde grootste studierichting van waaruit TSO-studenten instromen, maar ze vertegenwoordigen slechts 2% van de totale instroom. De instroom is, zoals

Het readySTEMgo project heeft niet tot doel leerlingen rechtstreeks te adviseren op basis van berekende studierendementen want dat kan gemakkelijk teruggevonden worden op onderwijskiezer(https:// www.onderwijskiezer.be/v2/hoger/index.php). We zetten wel in op het ontwikkelen van materiaal om leerkrachten, informanten op SID-ins, studieloopbaanbegeleiders in het eerste jaar, etc. te ondersteunen tijdens hun gesprekken met informatiezoekende studenten. Dit moet gericht en onderbouwd gebeuren en daarom hebben we geopteerd voor visuele voorstellingen van de invloed van studentenkenmerken op de studieresultaten, zoals bijvoorbeeld Figuur 3. CSE staat voor cumulatieve studie-efficiëntie en

5

Figuur 3 Verdeling van de behaalde CSE's op het einde van het eerste jaar industrieel ingenieur over de vijf grote studierichtingen, in volgorde van de grootte van de instroom (N=2406).

Figuur 4 De positie van de CSE's in functie van het percentage wiskunde behaald in de studierichting techniek-wetenschappen (N=180).

is onze indicator voor studiesucces. Uitgedrukt als percentage geeft de CSE de verhouding weer tussen het aantal geslaagde studiepunten en het totaal aantal opgenomen studiepunten. Hier focussen we op de CSE behaald na de examens van september. De huidige 30%-maatregel van de KU Leuven gebruiken we als cut-off waarde bij de bepaling van een CSE-waarde die we als problematisch beschouwen (rood). Maar ook minder dan 50% CSE behalen, leidt tot bindende voorwaarden, vandaar dat we ook deze grens meenemen (oranje). En bij 80% CSE of meer gaan we er van uit dat de eventueel niet behaalde studiepunten kunnen getolereerd worden (donker groen). In Figuur 3 zijn voor alle studierichtingen alle kleuren aanwezig. Dit is een hele belangrijke boodschap tijdens het gesprek! Bijvoorbeeld: studenten die vanuit elektromechanica instromen, zullen het niet gemakkelijk hebben. Dat is duidelijk, maar eveneens wordt aangetoond dat het niet onmogelijk is. Door het stellen van vragen tijdens het gesprek is het de bedoeling om te ontdekken hoe ver de student wilt gaan in zijn/haar engagement en wat eventueel nog kan meespelen (zie verder). Een ander voorbeeld: de studenten uit IW lijken het tijdens het eerste jaar iets moeilijker te hebben dan studenten uit WiWe, maar het goede nieuws is dat we uit ander onderzoek weten dat IW-studenten, ĂŠĂŠnmaal door het eerste jaar, het gemakkelijker krijgen.

industrieel ingenieur. Omdat het sample voldoende groot moet zijn om betrouwbare conclusies te kunnen trekken, richten we ons op de studierichting techniek-wetenschappen van waaruit 180 studenten zich inschreven in het eerste jaar industrieel ingenieur gedurende de vier voorbije jaren. Het is duidelijk dat deze studenten het gemiddeld genomen minder goed doen. Maar er is een belangrijke kanttekening te maken want 25% (of 45 studenten) hebben 80% CSE of meer behaald de voorbije vier jaar! En dat maakt ons natuurlijk nieuwsgierig. Wat maakt dat een bepaalde student uit de studierichting TW het beter doet dan de gemiddelde TW-student? Kunnen we hieruit iets leren om in het algemeen studenten TW advies te geven over hoe ze zich moeten voorbereiden of waar ze zich moeten op focussen in het SO?

Laten we focussen op een studierichting die minder evident lijkt om uit in te stromen in de opleiding tot

Zo blijkt het behaalde percentage wiskunde in het laatste jaar SO een belangrijke parameter (Figuur 4). De studiekeuzebegeleider peilt tijdens het gesprek best naar dit percentage en maakt het belang duidelijk. Minimum 70% behaald hebben op wiskunde in het laatste jaar SO is trouwens niet alleen voor TW-studenten die industrieel ingenieur doen een grens die beter niet overschreden wordt, ook bij andere studierichtingen in het SO en andere STEM-opleidingen in het HO blijkt dit een belangrijke grens te zijn. Het is niet onze bedoeling om studenten af te schrikken, maar wel om eerlijk te communiceren. Als een student onder de 70% grens duikt met zijn percentage wiskunde, zal deze student meer

6

Figuur 5 Verdeling van de CSE's binnen de opleiding tot industrieel ingenieur in functie van de intensiteit van de inspanning in het SO (N=1939).

tijd moeten investeren in wiskunde dan een gemiddelde andere student. Het is belangrijk dat dit op voorhand geweten is zodat de student zich kan voorbereiden door bijvoorbeeld extra in te zetten op wiskunde tijdens het SO of een zomercursus wiskunde te volgen tijdens de lange zomervakantie die aan de overstap vooraf gaat. Van de 45 TW-studenten die het heel goed deden op het einde van het eerste jaar (>80% CSE), had de overgrote meerderheid (71%) meer dan 70% behaald op wiskunde in het SO. Dit kan als positieve insteek meegenomen worden in het gesprek. Zoals iedereen weet, zitten in dit percentage wiskunde niet alleen cognitieve competenties vervat, maar impliciet worden hiermee ook studeervaardigheden in kaart gebracht, bijvoorbeeld de inzet tijdens het schooljaar. We peilen in het readySTEMgo-project trouwens ook expliciet naar de intensiteit waarmee ze gestudeerd hebben in het SO. Conform met de verwachtingen zien we in Figuur 5 dat studenten die hard werken in het SO het beter doen in het HO. Dit is voor TW-studenten niet anders. Ook time management blijkt een belangrijke studeervaardigheid te zijn (Figuur 6). Naarmate de score voor time management, behaald op de LASSI test, hoger ligt, neemt het percentage groen toe. Als we tijdens een individueel gesprek het percentage wiskunde combineren met deze score, dan kunnen we al veel genuanceerder advies geven. De 45 TW-studenten die het heel goed deden op het einde van het eerste jaar,

Figuur 6 Verdeling van de CSE's binnen de opleiding industrieel ingenieur in functie van de score op time management (N=2342).

Figuur 7 Verdeling van de CSE's binnen de opleiding tot industrieel ingenieur in functie van het advies van de klassenraad (N=2397).

hadden niet alleen een hoger percentage wiskunde in het SO maar ook een hogere score op time management. Van de 39 TW-studenten die zeer zwak scoren op time management zijn helaas 62% spontaan of verplicht gestopt na ĂŠĂŠn jaar. In Figuur 6 kan je zien dat dit bijna het dubbele is van de gemiddelde waarde voor alle instromende studierichtingen samen, namelijk 33%. Daarom moedigen we TW-studenten met een lage score op time management heel sterk aan om extra sessies time management te volgen bij de start van hun studies. De mate waarin ze hierop ingaan, is ook een duidelijke indicatie van hun motivatie om voor hun studies te gaan.

7

Figuur 8 Verdeling van de CSE's binnen de opleiding tot industrieel ingenieur in functie van het aantal uren en het percentage wiskunde in het SO (N=2344).

Dit onderzoek bevestigt verder ook dat het advies van de klassenraad heel waardevol is (Figuur 7). Net zoals in de vorige casussen, krijgen we een heel sterk verhaal als we dit combineren met andere variabelen. Bijvoorbeeld, als we opnieuw focussen op de TWstudenten maar nu enkel de 19 studenten meenemen die meer dan 80% behaalden op wiskunde ĂŠn die ook een positief advies meekregen van de klassenraad, dan blijkt uit onze data dat bijna 70% van hen meer dan 50% CSE behaalde. Heeft een TW-student echter zowel een negatief advies van de klassenraad gekregen als een percentage wiskunde van minder dan 70%, dan ziet het er veel minder rooskleurig uit. 24 studenten verkeerden in deze situatie de voorbije vier jaren en 80% van hen had in september minder dan 30% CSE en moest dus stoppen met de betrokken opleiding (of viel spontaan uit tijdens het jaar). Hieruit blijkt hoe belangrijk het is dat een studiekeuzebegeleider verschillende elementen combineert om tot een waardevol gesprek te komen. Vermoedelijk heeft de klassenraad het advies bovendien onderbouwd en kan dan daarop ook ingespeeld worden. Uit dit en ander onderzoek blijkt dat het behaalde percentage wiskunde in het SO de sterkste voorspeller is van slaagkansen in het STEM HO. Het is echter evident dat als de diversiteit in instroom zo groot is, het belangrijk is dat we ook kijken naar het aantal gevolgde uren wiskunde per week in het laatste jaar SO. Dit resulteert

in de grafiek in Figuur 8. Een minimum percentage van 70% op wiskunde blijft een belangrijke indicator, onafhankelijk van het aantal uren wiskunde dat opgenomen is. Ondanks de grote variaties in aanpak van het vak wiskunde in de verschillende studierichtingen en ondanks de verschillen tussen leerkrachten en scholen, bekomen we een redelijk systematisch verhaal. Hoe meer uren wiskunde gevolgd in het SO, hoe gemakkelijker een student het heeft in het eerste jaar. Dit is logisch, maar zelfs bij 8u wiskunde blijft een minimum percentage wiskunde wel de boodschap. Het aantal studenten met minder dan 6u wiskunde is beperkt, slechts 13% volgde een dergelijke richting (zie Figuur 9), maar we weten uit ervaring dat daar goede industrieel

Figuur 9 Verdeling van het aantal gevolgde uren wiskunde in het SO binnen de opleiding industrieel ingenieur.

8

ingenieurs tussen zitten. Studenten die minder dan 6u wiskunde volgden, deden dit zowel binnen een ASO- als een TSO-richting. Gezien de diverse instroom richt het gedeelte wiskunde binnen de ijkingstoets industrieel ingenieur zich dan ook op het leerplan van 4u wiskunde. Deze toets heeft ondertussen trouwens al een mooie proportie verklaarde variantie (rond de 20%). We koesteren niet de hoop dat deze ooit zo hoog zal worden als bij burgerlijk ingenieur omdat het belang van wiskunde in onze opleiding minder groot is, maar we hopen wel nog altijd extra toetsen te vinden die de verklaarde variantie van de ijkingstoets als geheel kunnen optimaliseren. Als een student zich wenst in te schrijven in ĂŠĂŠn van de bacheloropleidingen industrieel ingenieur, zal hij trouwens vanaf het academiejaar 2020-2021 een ijkingstoets moeten afleggen. Deze verplichting is nieuw en zal hopelijk leiden tot meer studenten die bewust kiezen voor de opleiding en er zich goed op voorbereiden. Ondertussen zijn reeds tal van interventies ontwikkeld die studenten kunnen opnemen voor de start of tijdens de eerste maanden van hun studies: zomercursussen wiskunde, MOOC wiskunde, zomercursus chemie, sessies time management, sessies studiemethodiek, etc. Op deze manier hopen we onze statistieken de komende jaren groener en groener te kunnen laten kleuren.

gelijkaardige situatie de opleiding starten, is trouwens ook al waardevolle informatie voor een prospectieve student.

Afsluitend maken we graag nog een belangrijke kanttekening. Ondanks de zeer uitgebreide dataset, zijn kleine steekproefaantallen bij meervoudige combinaties van factoren onvermijdelijk. Daarom blijven we inzetten op dataverzameling aan de start van elk academiejaar. Dat er weinig voorgangers in een

ACKNOWLEDGEMENT De auteurs willen Maarten Pinxten danken voor de wetenschappelijk onderbouwde en inspirerende manier waarop hij readySTEMgo uitgerold heeft in de Groep Wetenschap & Technologie van de KU Leuven.

SAMENVATTEND KUNNEN WE AAN ELKE STUDIEKEUZEBEGELEIDER HET VOLGENDE AANRADEN: 1. Elke student met interesse in technologie is welkom in de opleiding tot industrieel ingenieur, maar het is niet voor iedereen de ideale opleiding. 2. Het is belangrijk dat een student snel ontdekt waar de concrete sterke punten en struikelblokken zitten zodat tijdig (liefst al in het SO!) actie ondernomen kan worden. Raad de student een gesprek met een expert aan en verwijs door naar interventies, zoals de MOOC wiskunde of een zomercursus wiskunde. 3. Het percentage wiskunde behaald in het SO is een goede voorspeller van het gemak waarmee een student de opleiding zal doorlopen. Neem dit mee in je ondersteuning en verwittig je studenten dat vanaf 2020-2021 de deelname aan de ijkingstoets verplicht is voor bacheloropleidingen tot industrieel ingenieur. 4. Het advies van de klassenraad is heel waardevol. Zet hier zeker verder op in en begeleid het advies van de klassenraad met commentaar waarmee de student aangezet wordt tot zelfreflectie.

9 PYTHAGORAS

VLAKVULLENDE VIJFHOEKEN PYTHAGORAS ORGANISEERT DIT JAAR EEN PRIJSVRAAG OVER VLAKVULLINGEN (ZIE P. 11). IN DIT ARTIKEL KIJKEN WE DAAROM NAAR VLAKVULLINGEN, MET NAME NAAR VLAKVULLINGEN MET VIJFHOEKEN. DE SOORT VLAKVULLING DIE WE BEKIJKEN IS EINDIG IN TWEE DIMENSIES. ER ZIJN IN TWEE DIMENSIES VERSCHUIVINGEN TE VINDEN ZODAT HET FIGUUR (ALS EEN STEMPEL) HET HELE VLAK KAN BEDEKKEN (OF BESTEMPELEN). HET IS NIET VANZELFSPREKEND DAT HET FIGUUR WAARMEE WE HET VLAK WILLEN BEDEKKEN PRECIES SAMENVALT MET HET STEMPEL. HET KAN EEN DEEL ZIJN DAT EERST EEN AANTAL KEREN GEDRAAID (EN MOGELIJK OOK GESPIEGELD) MOET WORDEN OM HET STEMPEL TE BEKOMEN. OP DE COVER ILLUSTREREN DE HUISJES DIT PRINCIPE. M AT T H I J S C O S T E R

D C B

A B

B C A D

A

D C

C DA

B

Figuur 1

Figuur 2

Figuur 3

Laten we allereerst beginnen met een willekeurige vierhoek (bijvoorbeeld Figuur 1).

De vraag is: kun je met een willekeurige vierhoek altijd een vlakvulling maken? Jazeker! Je ziet de vlakvulling

al staan. En het gaat nog eenvoudig ook! In Figuur 2 zijn vier vierhoeken getekend die in één punt samenko-

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Figuur 4

men. In elk hoekpunt komen de vier verschillende hoeken samen. En laat nu de som van de hoeken van een vierhoek precies 360 graden zijn! Een vierhoek deelt met zijn buur steeds een gelijke zijde. De vraag is of het ook net zo eenvoudig is om met driehoeken een vlakvulling te maken. Dat is inderdaad het geval. We nodigen je uit om daar zelf mee te experimenteren! Vlakvullingen met vijfhoeken zijn een compleet ander verhaal, een verhaal dat hieronder wordt verteld...

Type

Jaar

Ontdekker

1, 2, 3, 4, 5

1918

Reinhardt

6, 7, 8

1968

Kershner

10

1975

James

9, 11, 12, 13

1977

Rice

14

1985

Stein

15

2015

Mann, McLoud, Derau

Tabel 1

Bovendien zijn er twee verschuivingen (translaties) in verschillende richtingen te vinden. We gaan steeds

uit van een vijfhoek die convex is, d.w.z. de vijf hoeken zijn allen kleiner dan 180°.

11

Elk plaatje in Figuur 4 staat voor een serie (type). Het eerste type vlakvulling omvat ook het huisje 1S en het vierde type omvat de Caïro-betegeling (4S), genoemd naar Caïro, omdat die betegeling daar veel wordt gebruikt. Een aantal van de vlakvullingen zijn al geruime tijd bekend. Op Wikipedia staat een goed overzicht van wanneer de verschillende types werden ontdekt, zie Tabel 1.

a

b

c

3

7

42

3

8

24

3

9

18

3

10

15

3

3

12

4

5

20

(1)

4

6

12

(2)

4

8

8

(3)

5

5

10

6

6

6

(4)

1

2

3

4

Figuur 5

Dit zijn ook alle types vlakvullingen met vijfhoeken. In 2017 werd door Rao bewezen dat er geen andere types bestaan. Het gaat te ver om hiervan een bewijs te geven. Maar ik kan proberen een tipje van de sluier op te lichten door te bewijzen dat er slechts vier driehoeken bestaan waarmee je een vlak kunt vullen op een dusdanige manier dat ongelijke hoeken nooit bij elkaar samenkomen.

Van bovengenoemde mogelijkheden blijken slechts 4 mogelijkheden ook echt te kunnen voorkomen (in regelmatige patronen): zie Figuur 5.

Hieronder staan nog een aantal bijzondere gevallen van de typen vlakvullingen uit Figuur 4. Kun je ze herkennen?

We gaan uit van een driehoek met hoeken �, en � . Uiteraard geldt . voor een driehoek dat � Aangezien ongelijke hoeken nooit in een hoekpunt mogen samenkomen, moet gelden dat een geheel aantal hoeken samen 360° zijn. We introduceren gehele getallen a, b en c zo dat , en � We elimineren nu , en : . Ten slotte delen we door 360°. We vinden de vergelijking . We zoeken nu naar alle mogelijke oplossingen in positieve getallen a, b en c voor deze vergelijking. We vinden:

5S

12

PRIJSVRAAG VLAKVULLINGEN Binnenkort bestaat Pythagoras 60 jaar. Daarom organiseren we een jubileumprijsvraag. De bedoeling is dat we resultaten van deze prijsvraag in ons jubileumjaar gaan gebruiken. In Pythagoras jaargang 59 (en op onze website www.pyth.eu) vind je meerdere artikelen over vlakvullingen om inspiratie op te doen. De prijsvraag bestaat uit 5 onderdelen. Het is absoluut niet nodig om aan alle onderdelen deel te nemen. Sommige onderdelen lenen zich uitstekend om tijdens een wiskundeles uit te voeren of er klassikaal aandacht aan te besteden. PRIJZEN Iedereen kan aan de prijsvraag meedoen, individueel of als klas. De prijzen voor de ontwerponderdelen bestaan uit afdrukken

Figuur 1 Vlakvullingen in het Escher museum

*

van het winnende ontwerp (denk bijvoorbeeld aan grote posters of behang om op school te hangen, of mokken met je ontwerp voor de hele klas). Voor onderdelen B en E geldt een prijs van 100 euro; hierop maak je meer kans als je óók deelneemt aan een van de andere onderdelen. De klas die overall het best scoort op alle onderdelen wint een dagje uit naar Escher in het paleis in Den Haag inclusief rondleiding door het museum. (zie Figuur 1) INZENDEN Inzenden kan alleen digitaal. Mail je inzending naar prijsvraag@ pyth.eu*. Vermeld duidelijk met welke onderdelen je bezig bent geweest. Ook in deelresultaten zijn we geïnteresseerd! Vermeld verder je naam en adres en, als je scholier bent, de naam van de school, je leeftijd en je klas. Bij een klasseninzending moet bovendien de naam van de wiskundedocent opgegeven worden.

De jury zal bij de onderdelen C, D en E ook kijken naar creativiteit. Voor de onderdelen A tot en met D kun je insturen tot 17 juli 2020. Voor onderdeel E kun je je foto’s (met toelichting) nog tot 1 september 2020 insturen. ONDERDEEL A Figuur 2 bevat 6 figuren. Maak met elk van deze figuren een vlakvulling. Je kunt de afbeelding downloaden op www.pyth.eu. Stuur minimaal 3 van deze 6 vlakvullingen in. (Je kunt dit onderdeel ook goed combineren met onderdeel D.) ONDERDEEL B In het artikel “Vlakvullende vijfhoeken” (zie p.9) staat een bewijs dat er slechts vier vlakvullingen zijn met driehoeken, waarbij in ieder punt waar hoekpunten samenkomen de hoeken altijd gelijk zijn. Bepaal alle veelhoeken (vierhoek, vijfhoek, zeshoek, …) met dezelfde eigenschap. ONDERDEEL C Het aardige is dat je één vlakje maar hoeft in te kleuren, of in te tekenen. Daarna stempel je je tekening uit over het gehele vlak. We geven een voorbeeld. We zijn uitgegaan van de vijfhoek type 4S (zie Figuur 3) en hebben vervolgens een huis ingetekend. Dit kunnen we dan helemaal uitstempelen. Dit is het resultaat. Ga uit van één van de 15 typen van vijfhoeken hierboven, waarmee vlakvullingen mogelijk zijn. Leef

Als je meedoet aan de prijsvraag, kan het zijn dat je inzending in Pythagoras wordt gepubliceerd en dat je inzending wordt gebruikt voor promotiedoeleinden voor Pythagoras.

13

je uit op een vlakje en maak vervolgens een vlakvulling. ONDERDEEL D Wees een echte Escher! Zoek een figuur dat zich leent om er een vlakvulling mee te maken (of eventueel twee figuren). Vul het figuur (of de figuren) in naar eigen inzicht en bestempel het gehele vlak. ONDERDEEL E Bezoek je deze zomer het Alhambra? Dan heb je erg veel geluk. Want voor het laatste onderdeel van de prijsvraag moet je met je camera op pad en moet je een foto maken van een bestrating of mozaĂŻek die jij heel bijzonder vindt. Je ziet een voorbeeld in Figuur 4. Stuur een begeleidende tekst mee, waarin je uitlegt waarom de mozaĂŻek zo bijzonder is. Uit: Pythagoras (www.pyth.eu)

Figuur 3 Vlakvulling: de basis 4S en huisjes

Figuur 2 Figuren bij onderdeel A

Figuur 4: De vijfhoekige stoeptegels bij AMSL Nederland

14 UITWISKELING

VEELTERMVERGELIJKINGEN VAN VROEGER TOT NU M I C H E L R O E L E N S , L U C VA N D E N B R O E C K -

Het oplossen van vergelijkingen is een eeuwenoud wiskundig onderwerp. Al in de 17e eeuw v.C. losten de Egyptenaren eerstegraadsvergelijkingen op, uiteraard zonder die zo te noemen en zonder die als vergelijkingen te noteren. De Babyloniërs (rond 400 v.C.) hadden zelfs recepten om problemen op te lossen die in onze terminologie neerkomen op tweedegraadsvergelijkingen. Ook de Grieken (rond 300 v.C.) losten tweedegraadsvergelijkingen op. Zij bekeken het meetkundig: de onbekende was een gezochte lengte die moest voldoen aan een meetkundige voorwaarde in verband met oppervlaktes. In Indië (7e eeuw n.C.) werd de methode van de Babyloniërs uitgebreid, waarbij zelfs al eventjes negatieve getallen opdoken. Later, in de middeleeuwen, hebben Arabische wiskundigen alle mogelijke gevallen van eerste- en tweedegraadsvergelijkingen systematisch in kaart gebracht. In tegenstelling tot de Indiërs gebruikten zij geen negatieve getallen. Daarom moesten ze een onderscheid maken tussen verschillende types vergelijkingen, naargelang welke termen in welk lid stonden. Ook sommige types derdegraadsvergelijkingen werden in deze Arabische periode opgelost. Het verhaal van de derde- en hogeregraadsvergelijkingen heeft een vervolg in de Italiaanse renaissance

R E DAC T I E U I T W I S K E L I N G

en in het Frankrijk van rond de Franse Revolutie. In dit kader situeert zich de doorbraak van de negatieve en complexe getallen. We vinden het belangrijk dat onze leerlingen wiskunde niet zien als een afgewerkt product, maar als een eeuwenoud menselijk avontuur, met een boeiend verleden en een even boeiende toekomst (waar sommigen van hen, wie weet, aan zullen kunnen bijdragen). Daarom willen we in onze wiskundelessen aandacht besteden aan de geschiedenis van de wiskundeleerstof. Vergelijkingen vormen daarvoor een geschikt onderwerp. In dit artikel behandelen we een klein deel van deze geschiedenis. TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN IN DE MIDDELEEUWSE ARABISCHE WERELD Als we hier over Arabieren en Arabische wiskunde spreken, verwijzen we niet naar het huidige Saoudi-Arabië, maar hebben we het over wiskundigen uit het grote gebied dat in de middeleeuwen door de moslims was veroverd, waar ook Zuid-Spanje, Afghanistan, Iran... bij hoorden. De wiskundigen waar het over gaat, waren vooral moslims maar er waren o.a. ook christenen en joden bij. De wetenschappelijke voertaal was het Arabisch, waardoor we spreken van

Arabische wiskunde, maar dit moet je dus niet te letterlijk nemen, zie ook de Graaf en Roelens (2014). Al-Khwārizmī (Abū Ja’far Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī; betekent Mohammed, de vader van Ja’far en de zoon van Mūsā, afkomstig van Khwārizmī) schreef in de 9e eeuw het boek al-Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wal-muqābala, of kortweg: Hisāb al-jabr wal-muqābala. Het woord ‘algebra’ is afkomstig van het woord ‘al-jabr’ uit de titel van het boek. Al-jabr is een werkwoord dat ‘herstellen’ of ‘aanvullen’ betekent. Het wordt gebruikt voor het bijtellen van eenzelfde term in beide leden van de vergelijking (onze ‘balansmethode’). Al-muqābala, het tweede werkwoord uit de titel, betekent het samennemen en vereenvoudigen van gelijksoortige termen. Al-Khwārizmī geeft voor alle mogelijke soorten tweedegraadsvergelijkingen een oplossingsrecept en een meetkundig bewijs daarvan. Deze recepten komen op hetzelfde neer als onze discriminantformule. Hij moest verschillende gevallen onderscheiden omdat negatieve getallen niet gangbaar waren. Termen die wij met een negatieve coëfficiënt noteren, werden in het andere lid gezet zodanig dat de coëfficiënt

15

positief was. En zelfs dit mag je niet te letterlijk nemen: Al-Khwārizmī noteerde vergelijkingen niet in formulevorm, maar als tekst. Niet alleen de coëfficiënten moesten positief zijn, de Arabische wiskundigen waren ook enkel geïnteresseerd in positieve oplossingen. Bijvoorbeeld de vergelijking die noteren, wij als en werd door wordt Al-Khwārizmī beschreven als “een kwadraat en twee eenheden vormen samen vier wortels”. Voor de terminologie maken we even een tabel. onze benaming

vertaalde Arabische naam

Arabische naam (in Latijns schrift)

constante term

getal, eenheden

dirhams

onbekende x

wortel

jadhir

kwadraat x2

kwadraat

māl

Verderop gebruiken we de vertaalde Arabische namen, de woorden uit de middelste kolom. Voor de duidelijkheid zullen we de vergelijkingen in formulevorm noteren. Omdat wij ook negatieve getallen gebruiken, hebben we tegenwoordig maar één type tweedegraadsvergelij. Al-Khwārizmī king: onderscheidt zes soorten. 1. kwadraten gelijk aan wortels

6. kwadraten gelijk aan wortels en getal Er zijn drie gevallen waarbij één van de coëfficiënten nul is en drie gevallen waarbij één van de termen in een apart lid staat. Geval 3 noemen wij geen tweedegraadsvergelijking. Er is geen geval (kwadraten en wortels en getal gelijk aan 0) want die vergelijking kan geen positieve oplossing hebben! Wij bewijzen in het vierde jaar de discriminantformule door een algebraïsche berekening waarin de parameters coëfficiënten zijn. Bij Al-Khwārizmī werden de oplossingsrecepten bewezen met meetkundige voorstellingen, waarbij de ‘wortel’ door een (onbekende) lengte voorgesteld werd, het door de oppervlakte van kwadraat een vierkant met zijde , een product door de oppervlakte van een rechthoek... Deze meetkundige benadering is gebaseerd op de Griekse wiskunde. Hieronder behandelen we de gevallen 4, 5 en 6. In zijn voorbeelden . We neemt hij meestal beschrijven het oplossingsrecept van Al-Khwārizmī en zijn meetkundige verklaring voor het recept. Je kunt dit behandelen in het vierde jaar, nadat de leerlingen al tweedegraadsvergelijkingen hebben leren oplossen en ingeoefend hebben. Je kunt zelf kiezen om dit klassikaal of in de vorm van opdrachten te behandelen.

Vermenigvuldig die met zichzelf. Tel hier het ‘getal’ bij. Neem de vierkantswortel. Trek hier de helft van het aantal ‘wortels’ van af. Met het aantal ‘wortels’ bedoelt hij niet het aantal oplossingen van de vergelijking, maar de coëfficiënt van , hier 10. Het recept geeft: . Als we het recept omvormen tot een formule, vinden we . We kijken na of we met dit recept ‘onze’ discriminantformule kunnen terugvinden. Al-Khwārizmī bestudeert hier een vergelijking van de vorm met en positief en negatief. De vergelijking wordt als volgt geschreen ven, met 1 als coëfficiënt van zonder negatieve getallen: . Het recept levert de volgende (positieve) oplossing op: .

2. kwadraten gelijk aan getal 3. wortels gelijk aan getal 4. kwadraten en wortels gelijk aan getal 5. kwadraten en getal gelijk aan wortels

1. KWADRATEN EN WORTELS GELIJK AAN GETAL Al-Khwārizmī nam het voorbeeld en gaf het volgende recept. Neem de helft van het aantal ‘wortels’.

Het recept van Al-Khwārizmī komt dus inderdaad overeen met de discriminantformule. Hij beperkt zich

16

wel tot één van de twee oplossingen, nl. de positieve. Na het recept kwam een meetkundig bewijs. Net als de Grieken en de Arabieren laten we hieronder ‘de oppervlakte van’ weg: we schrijven bv. ‘een vierkant met zijde ’ in plaats van ‘de oppervlakte van een vierkant met zijde ’. Het linkerlid van de vergelijking is een vierkant met zijde samen met een rechthoek van 10 bij . Hij snijdt de rechthoek in twee rechthoeken van 5 bij en stelt het linkerlid als volgt voor.

door van de oppervlakte van een bepaald vierkant de vierkantswortel te nemen. De naam ‘wortel’ voor is hier nog zo gek niet... Voor de volgende gevallen zullen we meteen meetkundig werken en het recept op het einde, in de vorm van een formule, als samenvatting noteren. Maar nogmaals: Al-Khwārizmī gaf in zijn boek eerst het recept en dan de meetkundige redenering als bewijs. 2. KWADRATEN EN GETAL GELIJK AAN WORTELS Al-Khwārizmī neemt hier als . Deze keer voorbeeld tekent hij eerst het rechterlid: een rechthoek van 10 bij . Die verdeelt hij in een vierkant van bij en een rechthoek. Hij onderscheidt twee gevallen: de (witte) rechthoek naast het vierkant heeft ‘breedte’ of ‘lengte’ (figuur 2). In het eerste geval zijn we op zoek naar een die kleiner is dan 5; in het tweede geval naar een die groter is dan 5.

Figuur 1

EERSTE GEVAL: De hele rechthoek moet gelijk zijn aan een vierkant van bij vermeerderd met 21. De witte rechthoek moet dan oppervlakte 21 hebben. Hij voegt aan de tekening een vierkant toe met zijde (de helft van 10), zie figuur 3.

Figuur 3

Vermits steekt er een stuk van dit vierkant uit ‘boven’ de rechthoek. Het stuk dat uitsteekt, verdeelt hij in een vierkant en een rechthoek. en Het vierkant heeft zijde de rechthoek heeft afmetingen en . De twee groene rechthoeken zijn dus congruent. Het kleine vierkant heeft dus als . Zijn zijde oppervlakte moet dus gelijk zijn aan . Dus: .

De oppervlakte moet 39 zijn. Hij vult aan met een vierkant van 5 bij 5, zodat er een groot vierkant . De opperontstaat van zijde vlakte van dit grote vierkant moet zijn. De zijde moet dus zijn. Ofwel: . Merk op dat deze meetkundige redenering stap voor stap op hetzelfde neerkomt als het recept. Het recept is wellicht ook via meetkundige weg bedacht. Deze werkwijze laat ook zien dat de oplossing gevonden wordt

Figuur 4

Figuur 2 Twee gevallen

Als we de oplossingsstappen in een formule gieten, vinden we:

17

Het klein vierkantje met zijde heeft dus oppervlakte . moet gelijk zijn aan , De zijde dus is gelijk aan . Analoog met het eerste geval kun je nagaan dat deze methode op hetzelfde neerkomt als de discriminantformule

. Algemeen gaat het hier over een vergelijking van de vorm met en positief en negatief. De vergelijking wordt als volgt geschreven: Figuur 5

,

.

met deze keer een plusteken voor de vierkantswortel.

De methode levert de volgende oplossing op:

Figuur 6

Merk op: het lijkt alsof hier een negatieve oplossing staat, maar vergeet niet dat (onze) in dit type negatief is. Bovendien is en is positief. Het gaat wel degelijk over een positieve oplossing. TWEEDE GEVAL: De vergelijking heeft een tweede oplossing, die ook positief is, namelijk 7. Die vinden we met de tweede tekening van figuur 2, hier hernomen als figuur 5. Opnieuw moet de volledige rechthoek van 10 bij gelijk zijn aan een vierkant van bij plus 21. De witte rechthoek moet oppervlakte 21 hebben (zie figuur 5).

als overlapping van beide vierkanten. De bovenste rechthoek heeft en . afmetingen De overlappingsrechthoek heeft . Teken hierin afmetingen en een vierkantje van zijde zoals op figuur 7. De overblijvende rechthoek is congruent met de bovenste rechthoek, want . Deze congruente rechthoeken zijn in figuur 7 groen gekleurd.

Figuur 8

Hij tekent nu in de rechthoek twee vierkanten met als zijde de helft van de zijde 3 zoals in figuur 9.

Ook nu tekent hij hierin een vierkant met zijde 5 (de helft van 10), maar nu is dit vierkant kleiner dan het vierkant met zijde (figuur 6). Er ontstaan twee rechthoeken: één ‘boven’ het vierkant van zijde 5 en één

3. KWADRATEN GELIJK AAN WORTELS EN GETAL Al-Khwārizmī neemt als voorbeeld . Hij tekent eerst een vierkant met zijde . Hierin tekent hij een rechthoek van bij . Het overblijvende deel moet dus oppervlakte 4 hebben.

Figuur 9

Figuur 7

Figuur 9

18

Dan is de ingesloten rechthoek tussen de twee vierkanten even breed als de rechthoek van oppervlakte 4. Immers: . Dus is de ingesloten rechthoek congruent met de rechthoek links bovenaan (figuur 10).

Figuur 10

De rechthoek met oppervlakte 4 is gelijk aan de ‘gnomon’ (de � -vormige figuur, groen gekleurd in figuur 11). Zo wordt een nieuw vierkant gevormd in de rechterbovenhoek (de ‘gnomon’ samen met het kleine vierkant). De oppervlakte van het vierkant in de rechterbovenhoek is � � .

We proberen de stappen in een formule te gieten: .

Figuur 11

De zijde van dit vierkant is de vierkantswortel hieruit, dus: . Nu is de zijde van het grote vierkant . bekend: Een andere positieve oplossing is er niet. Dit volgt ook uit de meetkundige redenering, waar we nergens twee mogelijkheden hadden zoals bij 2.

. Algemener gaat het hier over een vergelijking van de vorm met positief en en negatief. De vergelijking wordt als volgt geschreven: . Het meetkundig recept geeft de volgende positieve oplossing:

BRONNEN de Graaf, W., Roelens, M. (2014). Het astrolabium. Uitwiskeling 29/4 Rashed, R. L’algèbre. In: Rashed, R. e.a. (1997). Histoire des sciences arabes. 2. Mathématiques et physique. Paris: Seuil. Resnikoff, H.L., Wells, R.O. (1973). Mathematics in Civilization. New York: Dover. Struik, D. J. (1990). Geschiedenis van de wiskunde, Het Spectrum, Utrecht, ISBN 90 274 2210 9 Young, R. V. (1898). Notable Mathematicians, from ancient times to the present, Gale Research, Detroit, ISBN 0 7876 3071 3 Deze bijdrage verscheen in Uitwiskeling 31/4 als deel van een artikel over de geschiedenis van veeltermvergelijkingen. Benieuwd naar meer? Op de webstek www.uitwiskeling.be vind je alle info.

19 WISKUNDE & ONDERWIJS

KAARTEN IN DE LES WISKUNDE (DEEL 1*) DIDIER DESES

1. KAARTEN MENGEN Wist je dat ... • ... elke keer je kaarten schudt, je waarschijnlijk de eerste bent ooit om die exacte volgorde van de 52 kaarten te hebben! Er zijn immers mogelijkheden om een volledig pak kaarten te ordenen. Dit wil zeggen dat als iemand om de seconde een pak kaarten volledig zou herschudden naar een andere configuratie, hij al sinds het begin van het universum (14 miljard jaar geleden) bezig zou mogen zijn om nog steeds maar 1018 configuraties gevonden te hebben. • ... in casino's de riffle shuffle wordt gebruikt om kaarten te mengen? Bij deze methode wordt een stapel kaarten in een linker en een rechter stapel verdeeld en worden de kaarten afwisselend gemengd. Croupiers in casino's kunnen dit razendsnel door met beide handen de hoeken van de kaarten vliegensvlug maar toch afwisselend op elkaar te laten vallen. • ... de perfecte riffle shuffle eigenlijk niet zo goed is? Wanneer de stapel steeds in twee gelijke stapels wordt verdeeld

spreekt men van een perfecte riffle shuffle. Dit is echter geen toevallige manier van kaarten mengen. Als je 52 keer een perfecte riflle shuffle uitvoert, staan de kaarten terug op volgorde! • ... je maar zeven keer een random riffle shuffle moet doen om kaarten goed te mengen? Bij een random riflle shuffle worden de twee stapels niet gelijk genomen. Zevenmaal mengen garandeert dat elke configuratie

evenveel kans heeft om voor te komen. Dit is wat casino's gebruiken. • ... als je een stapel gemengde kaarten in twee even grote pakjes verdeelt, er dan evenveel rode kaarten zitten in het ene pakje als er zwarte zijn in het andere? In een spel kaarten zitten 26 rode en 26 zwarte kaarten. Veronderstel dat in het eerste pakje van 26 kaarten er r rode kaarten zijn. In datzelfde pakje zitten er dan

20

zwarte kaarten. Het aantal overgebleven zwarte kaarten is dan en zitten allemaal in het tweede pakje ! 2. HI-LO COUNT 2.1 Blackjack of 21 Het belang van (on)afhankelijkheid in de kansrekening blijkt duidelijk bij het kaartentellen in casino's. Je kan niet voor elk kaartspel kaarten tellen. Bij Blackjack of [21] lukt het wel. In een casino wordt 21 als volgt gespeeld. Zes pakjes kaarten worden samengelegd (de shoe). De speler zet een som geld in en zowel het casino als een speler krijgt twee kaarten. Daarna mag elk om beurt een kaart bijvragen uit de stapel. Doel van het spel is van zo dicht mogelijk bij 21 te geraken, maar er nooit over. De speler kan stoppen wanneer hij wil, het casino moet een stiff hand hebben (meer dan 16). Dit laatste zorgt voor een tactisch voordeel die de speler kan benutten. Om dit in te zien veronderstellen we dat het casino 14 in hand heeft. Het casino is dus verplicht verder te spelen. • Grote kaarten , beeldjes tellen voor 10) ( zijn in het nadeel van het casino ). ( ) • Kleine kaarten ( bieden dan weer een voordeel ). voor het casino ( Er worden zes pakjes kaarten gebruikt omdat er anders teveel tijd verloren gaat met het her schudden van de kaarten. Casino's willen zoveel mogelijk partijtjes kunnen spelen op

korte tijd. Om dezelfde reden worden na een spelletje de gebruikte kaarten gewoon opzij gelegd. Ze spe len bij een volgend spel niet meer mee. Dit maakt dat de kansen afhankelijk zijn van de kaarten die gevallen zijn bij de vorige spellen. Deze afhankelijkheid maakt het tellen van de kaarten mogelijk. 2.2 Kaarten tellen Behalve enkele autistische gevallen die overdreven zijn (denk aan de film Rain man) , kan nie mand alle kaarten van zes pakjes tegelijk bijhouden. Het kaarten tellen verloopt op een andere wijze. De count staat aanvankelijk op nul. Wanneer de kaarten vallen wordt de count als volgt aangepast : • • • . Er moet dus slechts één getal bijgehouden worden • Wanneer count > 0 zijn er veel gevallen, dit wil zeggen dat over zijn, dit is er nog veel een nadeel voor het casino en dus een voordeel voor de speler. Deze kan nu grotere sommen inzetten. • Wanneer count < 0 ligt het voordeel bij het casino en kan de speler dus best minder inzetten. In het beste geval levert deze methode een voordeel van 2,5% voor de speler. Natuurlijk laten casino's dit niet zomaar toe. • Door gebruik te maken van elektronische jetons en zelf een count bij te houden kunnen ze statistisch nagaan of de speler de count benut om meer of minder

in te zetten. In dit geval wordt de speler buitengezet. • Regelmatig worden alle kaarten terug samengebracht en geschud. Dit vernietigt de count. • Tegenwoordig gebruiken casino’s ook automatische mengmachines die vliegensvlug de kaarten kunnen schudden voor elk spel, dan heeft een count geen nut meer. Soms wordt de Wong-methode gebruikt. Aan verschillende tafels staan toeschouwers die een count bijhouden. Wanneer die goed genoeg is, wordt een speler gesignaleerd die dan het voor- deel benut. Aldus wordt het verlies geminimaliseerd. Een aanrader is de film 21.

3. TORENS VAN HANOI 3.1 Een Franse uitvinding De Franse wiskundige Eduard Lucas vond aan het eind van de 19de eeuw een spel uit. Het bestaat uit drie staven en een toren van een aantal schijven die aanvankelijk op de eerste staaf staan. Het doel van het spel is om de volledige toren naar de derde staaf te brengen. Er zijn slechts twee regels : 1. er mag slechts één schijf tegelijk worden verplaatst, 2. nooit mag een grotere schijf op een kleinere rusten.

21

Om zijn spel te populariseren gebruikte Lucas volgend verhaal. A Hanoi il y a, dans le grand temple de Bénarès, au-dessous du dôme qui marque le centre du monde, trois aiguilles de diamant. Sur une de ces aiguilles, Dieu enfila au commencement des siècles, 64 disques d'or pur, Ie plus large reposant sur Ie sol, et les autres, de plus en plus étroits, superposés jusqu'au sommet. C'est la tour sacrée du Brahmá. Nuit et jour, les prêtres se succèdent sur les marches de l'autel, occupés à transporter la tour de la première aiguille sur la troisième. Quand tout sera fini, la tour et les brahmes tomberont, et ce sera la fin des mondes ! 3.2 Aantal zetten nodig om het spel uit te spelen Het is redelijk eenvoudig om te bepalen hoeveel zetten er nodig zijn om een het spel met schijven uit te spelen. Veronderstel dat, om schijven te verplaatsen naar een zetten nodig zijn. andere staaf, er is er maar één enkele zet Voor nodig : . Om een toren van schijven te verplaatsen moeten schijven naar eerst de eerste een andere staaf gebracht worden zetten nodig), dan kan de ( onderste schijf naar de overblijvende staaf gaan (1 zet nodig), waarna de toren erop geplaatst moet worden zetten). (weer

We bekomen dus volgende recursie . De opeenvolgende termen in de rij zijn dus 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, ... Het is niet moeilijk te zien dat de algemene term van de rij gegeven wordt door . Het probleem van de priesters in Hanoi is dus op te lossen in zetten. Indien de priesters elke seconde één schijf zouden verplaatsen zouden er dus seconden nodig zijn. Omgerekend is dit 584 miljard jaar!

kan het zijn dat beide Voor schijven op staaf a zitten, we noteren dit als aa. Het kan ook zijn dat de eerste schijf op c en de tweede op a zit. In dit geval schrijven we ca. Alle mogelijke posities en de zetten ertussen worden als volgt voorgesteld.

stellen we de situatie Voor waarbij de eerste schijf op a zit en

3.3 Oplossingsmethode Er bestaan vele oplossingsmethoden voor dit spel. Wij behandelen hier een grafische methode omdat deze enkele onverwachte verbanden met andere onderwerpen uit de wiskunde legt. Veronderstel dat we de drie staven noemen. Voor kan of zitten. We de schijf op stellen dit schematisch voor. Op de hoekpunten staan de posities van de schijf, de zijden stellen de bewegingen voor die een speler kan zetten. de twee andere op b voor als abb. In het algemeen bekomt men volgend schema.

22

Enkele opmerkingen : • De volledige representatie voor bestaat uit drie delen die . telkens equivalent zijn met Dit leidt tot een fractale eigenschap. Voor grote zal men telkens een betere benadering krijgen van de zeef van Sierpinski.

• We vinden de recursie voor het terug in deze aantal zetten fractale eigenschap. Eerst moet schijven een toren van verplaatst worden (van aaa naar bba) dan moet de grootste schijf verplaatst worden (van bba naar bbc) n dan weer de toren van schijven (van bbc naar ccc).

• Het is ook duidelijk uit de grafische voorstelling dat, ongeacht de beginpositie er altijd een reeks zetten bestaat om het spel op te lossen. 3.4 Kaartspel Je kan de torens van Hanoi spelen met een gewoon kaartspel. Gebruik hiervoor de eerste kaarten van eenzelfde soort (bijvoorbeeld ) en leg ze als volgt.

Een andere variant houdt in dat je vertrekt van zes of negen kaarten ). (bijvoorbeeld Je legt ze willekeurig in drie stapels van twee (of van drie als je negen kaarten hebt gekozen). Daarna volg je de regels van de torens van Hanoi. Probeer ze allemaal weer op een stapel te krijgen, geordend van groot naar klein.

Merk op dat je hier wel vertrekt met een ‘illegale’ positie. REFERENTIES 1.

Je kan nu de toren trachten te verplaatsten naar de derde stapel volgens de regels van het spel van Lucas.

2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

9. 10. 11. 12.

Math Fun Facts, http://www.math.hmc.edu/cgi-bin/ funfacts/main.cgi?Subject=00&Level=0& Keyword=cards Wikipedia, http://en.wikipedia.org/ wiki/Counting_cards Imdb, Rain man, http://www.imdb.com/title/tt0095953/ Imdb, 21, http://www.imdb.com/ title/tt0478087/ Wikipedia, http://fr.wikipedia.org/ wiki/Tours_de_Hanoi Wikipedia, http://nl.wikipedia.org/ wiki/Torens_van_Hanoi Wikipedia, http://en.wikipedia.org/ wiki/Tower_of_Hanoi Marth garden, http://mathgardenblog.blogspot. be/2012/09/pascal-triangle.html Bill Cherowitzo, http://www-math. ucdenver.edu/~wcherowi/jcorn5.html Wikipedia, http://nl.wikipedia.org/ wiki/Eindige_groep Wikipedia, http://nl.wikipedia.org/ wiki/Cyclische_groep Wikipedia, http://en.wikipedia.org/ wiki/Calculation_(game)

* Voor deel 2 : zie Wiskunde & Onderwijs, nr. 164.

Uit: Wiskunde & Onderwijs, Wiskunde & Onderwijs is het tijdschrift uitgegeven door VVWL. Voor meer info: www.vvwl.be.

23 VVWL

INTERNATIONALE DAG VAN DE WISKUNDE OP 14 MAART 2020 DE ALGEMENE VERGADERING VAN DE UNESCO HEEFT 14 MAART OFFICIEEL UITGEROEPEN ALS DÉ INTERNATIONALE DAG VAN DE WISKUNDE. WERELDWIJD ZULLEN OP DEZE SYMBOLISCHE DAG HEEL WAT EVENEMENTEN WORDEN GEORGANISEERD OM HET MAATSCHAPPELIJK BELANG VAN DE WISKUNDE TE BENADRUKKEN. DE VLAAMSE VERENIGING VAN WISKUNDELERAARS (VVWL) NODIGT U ALVAST UIT OP 14 MAART 2020 IN HET PLANETARIUM TE BRUSSEL VOOR DE - EN PI(EN)-DAG. ER WERD EEN GEVARIEERD PROGRAMMA UITGEWERKT WAARBIJ HET GETAL UITERAARD CENTRAAL STAAT.

10 uur: Onthaal met koffie of thee 10.30 uur: Welkomstwoord door de directeur van het planetarium 10.45 uur: “Armand Pien en ” door prof. dr. Paul Levrie en prof. dr. Rudi Penne (UAntwerpen) 12 uur: “De wereld van in 45 vragen”, Kahoot-quiz door Ivan De Winne 12.45 uur: Middagpauze met broodjeslunch 13.45 uur: “Klimaatmodellen en wiskunde” door dr. Ir. Steven Caluwaerts (UGent) 15 uur: “Armand Pien, van wiskundige tot mijn held” door VTM-weerman ir. David Dehenauw 16 uur: Netwerkmoment met receptie 16.45 uur: VVWL-jaarvergadering met voorstelling van de VVWL-vzw 17.30 uur: Fulldome filmvoorstelling in de koepel van het Planetarium 18 uur: Einde Deelnameprijs: VVWL-leden € 10 Niet-leden betalen € 45 (jaarabonnement op het tijdschrift W&O inbegrepen). Inschrijven via de website www.vvwl.be

24

POLYMATH8: ONLINE KRACHTENBUNDELING VOOR HET PRIEMTWEELINGVERMOEDEN WO U T E R C A S T RYC K

- KU LEUVEN

Een priemtweeling is een paar priemgetallen waarvan het verschil 2 bedraagt. Het kleinste exemplaar is 3 en 5, gevolgd door 5 en 7, 11 en 13, 17 en 19, 41 en 43, en zo kunnen we makkelijk even doorgaan. Het fenomeen blijkt zeldzamer te worden naarmate we ons richting grotere getallen begeven. Dat is niet onlogisch: hoewel de Oude Grieken reeds wisten dat er oneindig veel priemgetallen bestaan, leren inzichten uit de 19e eeuw ons dat deze gemiddeld gesproken verder en verder uit elkaar liggen. Een koppel priemgetallen op afstand 2 van elkaar wordt bijgevolg een almaar merkwaardiger verschijnsel. Toch werden met behulp van computers reeds vele biljoenen voorbeelden ontdekt; de grootst gekende priemtweeling bestaat uit een priempaar van elk 388 342 decimale cijfers. Mede hierdoor leeft het sterke vermoeden dat er oneindig veel priemtweelingen bestaan. Hoe ver men zich ook waagt in de steeds ijler wordende verzameling priemgetallen, steeds weer blijft men koppels tegenkomen die zich op knusse afstand 2 van elkaar bevinden: aldus het beruchte priemtweelingvermoeden, dat teruggaat op een publicatie van Alphonse de Polignac uit 1849 en snel zijn plek verwierf binnen de wiskundige folklore. Het dankt zijn faam deels aan de eenvoudige formulering, deels aan het feit dat de huidige wiskundige technieken ver ontoereikend lijken om een dergelijk vraagstuk aan te pakken. De meeste experts geloven dat een bewijs van het priemtweelingvermoeden nog niet voor de eerst volgende decennia is.

YITANG ZHANG Toch kwam er in mei 2013 een barst in dit pantser toen de onbekende Chinese wiskundige Yitang Zhang rigoureus aantoonde dat er oneindig veel paren priemgetallen bestaan die hoogstens 70 miljoen van elkaar verschillen. Deze waarde lijkt misschien erg groot en enigszins arbitrair — daar komen we straks op terug — maar dit moet binnen de oneindigheid der dingen gekaderd worden, waar 70 miljoen een nietige afstand is. We hebben het bij wijze van spreken over paren priemgetallen wiens decimale expansies in boekvorm niet in de Koninklijke Bibliotheek van België passen, maar waartussen de enige verschillen in de laatste kwartregel van de laatste pagina van het laatste volume te vinden zijn. Zhangs krachttoer werd op veel verbazing en enthousiasme onthaald. Tegelijk was duidelijk dat er weinig moeite was gestopt in het bekomen van een zo scherp mogelijke uitspraak. De enige ambitie van Zhang was om een concreet getal B te vinden waarvoor hij sluitend kon beargumenteren dat er oneindig veel priemparen zijn met onderlinge afstand kleiner dan B. Zelfs het bestaan van zo’n B stond immers te boek als een onbewezen vermoeden — de zogenaamde bounded gaps conjecture — dat qua reputatie weinig moest onderdoen voor het priemtweelingvermoeden zelf. In het besef dat de heilige graal B = 2 buiten schot lag stelde Zhang zich tevreden met 70 miljoen, een waarde die het resultaat is van ruwe afrondingen in de vele tussenstappen van zijn meer dan vijftig pagina’s tellende bewijs.

25

POLYMATH8 Dit zette vrijwel meteen een online kettingreactie in gang, waarbij wiskundigen van allerlei slag hun kans grepen om Zhangs ruwe afschatwerk te verfijnen. Op amper drie weken tijd werden zo niet minder dan vijftien ‘nieuwe’ stellingen geclaimd die de waarde van B terugbrachten tot net onder 5 miljoen. Om deze toevloed te stroomlijnen stelde Terence Tao, volgens velen de meest invloedrijke wiskundige van het moment, voor om de krachten te bundelen. Een dergelijk initiatief was niet nieuw: in 2009 had Tao samen met Timothy Gowers al eens zo’n grootschalige online samenwerking in goede banen geleid, waarvan de resultaten waren gepubliceerd onder het pseudoniem DHJ Polymath. Ook in de jaren nadien werd meermaals met dit idee geëxperimenteerd, in wisselende samenstellingen en met wisselend succes. Het verlagen van Zhangs grens was reeds het achtste dergelijke project — vandaar de naam Polymath8 — maar overtrof zijn voorgangers qua intensiteit en zichtbaarheid. Begin oktober 2013, een kleine vijf maanden nadat Zhang zijn doorbraak wereldkundig had gemaakt, resulteerden deze collectieve online inspanningen in B = 4680. Achter (of liever: op) de schermen van Polymath8 ging het er, geheel in de geest van het Polymath-concept, als volgt aan toe. Enthousiastelingen wereldwijd waren vrij om verbeteringen of andere ideeën te posten in de commentaarsecties van Tao’s populaire blogsite What’s new. Sommigen waren bijna zeven dagen op zeven actief, anderen droegen eenmalig bij, nog anderen keken enkel toe en zagen met spanning hoe de waarde van B stelselmatig zakte. Door de geografische

spreiding van de deelnemers was er de klok rond bedrijvigheid. Hier en daar ontstonden deelgroepjes die zich op een ander forum terugtrokken om te focussen op één concrete stap van Zhangs bewijs. Geleidelijk aan groeide zo de structuur van een lopende band, waarbij de resultaten van Team 1 dienden als input voor Team 2, enzovoort. Met indrukwekkende regelmaat maakte Tao een stand-van-zaken op in de vorm van een samenvattende blogpost, wat iedereen de kans gaf om de draad geheel of gedeeltelijk terug op te pikken. Naar wiskundige maatstaven was de snelheid waarmee vooruitgang werd geboekt enorm. JAMES MAYNARD EN POLYMATH8B Op 23 oktober, tijdens het neerpennen van de conclusies van Polymath8, werd ons online gezelschap geconfronteerd met opzienbarend en enigszins onprettig nieuws. In alle stilte had James Maynard, een 26-jarige onderzoeker aan de Universiteit van Oxford, ingezien dat Zhangs bewijs een drastische vereenvoudiging toelaat. Veel van het noeste afschatwerk was op die manier overbodig geworden. Maynards twintig pagina’s tellende argument was niet alleen veel korter maar ook een stuk krachtiger: zonder al te veel moeite scherpte het Zhangs grens aan tot B = 700. Sommige bevindingen van Polymath8 bleven niettemin het publiceren waard. Onder impuls van Tao, ditmaal in de rol van crisismanager, werden deze ondergebracht in een deelproject Polymath8a en werd een nieuw project Polymath8b gelanceerd, gewijd aan het verlagen van Maynards verscherpte waarde van B. Net als bij Zhang was immers duidelijk dat Maynard ruimte had gelaten voor verdere verbetering; sommige ideeën uit Polymath8a konden trouwens gedeeltelijk voor deze doeleinden worden gerecupereerd. Met vernieuwde moed werd de grootschalige samenwerking terug opgepikt. Nieuwe vrijwilligers meldden zich aan, anderen haakten af, maar het online gedruis ging onverminderd voort. Een belangrijke nieuwe deelnemer was Maynard zelf, die voortaan zijn actieve medewerking verleende. Na nog eens een half jaar, in april 2014, kondigde het gezelschap een bewijs aan van de volgende stelling:

26

Stelling. Er bestaan oneindig veel paren priemgetallen . p, q waarvoor geldt dat Anno 2020 is dit nog steeds het best beschikbare resultaat. Er wordt vermoed dat het werk dat Polymath8 in minder dan een jaar tijd verzette in een klassieke onderzoekscontext meerdere jaren in beslag zou hebben genomen. Het is niet ondenkbaar dat er nog rek op Maynards aanpak zit, maar zonder baanbrekende nieuwe inzichten is het priemtweelingvermoeden onbereikbaar: de methode heeft fundamentele beperkingen die het doorbreken van de grens B = 6 in de weg staan, zelfs onder de meest optimistische aannames. Het lijkt voorlopig wachten op een nieuw inzicht als dat van Zhang om die hardnekkige priemtweelingen finaal te doorgronden.

Oefening: leg uit waarom 5 het enige priemgetal is dat deel uitmaakt van twee verschillende priemtweelingen.

ENKELE REFERENTIES: http://michaelnielsen.org/polymath1/ Op deze website houdt Michael Nielsen de status bij van de voorlopig 16 opgestarte Polymath-projecten. Yitang Zhang, Bounded gaps between primes, Annals of Mathematics 179, pp. 1121-1174 (2014), beschikbaar op http://annals.math.princeton.edu/wp-content/uploads/ Yitang_Zhang.pdf Dit is het artikel waarin Yitang Zhang de bounded gaps conjecture bewijst en de initiële grens op B = 70 000 000 legt. DHJ Polymath, Variants of the Selberg sieve, and bounded intervals containing many primes, Research in the Mathematical Sciences 1:12 (2014), beschikbaar op https://link.springer.com/article/10.1186/s40687-014-0012-7 Dit artikel bevat de bevindingen van Polymath8b en legt de waarde van B op 246.

Het priemtweelingvermoeden vormt een metaforische insteek voor de bekroonde roman ‘De eenzaamheid van de priemgetallen’ van de Italiaanse schrijver Paolo Giordano.

DHJ Polymath, aldus het pseudoniem dat zijn naam gaf aan de Polymathprojecten en waaronder de meeste resultaten worden gepubliceerd. De initialen staan voor ‘density Hales-Jewett’ wat verwijst naar het onderzoeksthema van het eerste project uit 2009. Het woord polymath is Engels voor ‘homo universalis’ maar slaat in deze context natuurlijk ook op de veelheid aan deelnemende wiskundigen.

Vóór zijn spectaculaire bewijs was de toen 58-jarige Yitang Zhang een nobele onbekende, ook in wiskundige kringen, die veel moeilijkheden had gekend bij het vinden van een vaste academische betrekking. Zo kluste hij meerdere jaren bij in onder andere de broodjesketen Subway om zich van een inkomen te verzekeren.

Timothy Gowers opperde als eerste het idee van een grootschalige online samenwerking binnen de wiskunde en wordt gezien als de geestelijke vader van Polymath.

27 WISKUNDE & ONDERWIJS

WISKUNDE IS EEN WERKWOORD JEAN-MARIE DENDONCKER

Nu meer dan 20 jaar geleden vatte ik het idee op om voor en met mijn leerlingen wiskundige modellen te maken, die in de klas als didactisch materiaal konden worden gebruikt. Het werd een succesformule waarin de wiskunde steeds centraal stond. Eerder beschreef Ivan De Winne de Belgische stelling in een dubbele kegel. Deze stelling geldt ook in een cilinder. Aangezien het handiger is om een cilinder te maken dan een kegel, geef ik hier een eenvoudige methode om de Belgische stelling ‘in het echt te maken’. Het is dit model dat jaren geleden werd gemaakt en nu tentoongesteld staat aan de UGent.

BENODIGDHEDEN - 2 houten bollen diameter 8 cm - houten stokjes diameter 6 mm - stevig karton - 2 vierkante houten plankjes in MDF - houtboor van 6 mm CONSTRUCTIE Boor mooi in het midden van beide plankjes 7 gaten van 6 mm uit, waarvan de middelpunten op twee halve cirkels met diameter 8,5 cm liggen. Zorg ervoor dat de bollen goed vastknellen tussen de stokjes. Zaag de houten stokjes op de gewenste lengte en lijm ze vast op beide platen. Knip een ellips uit het karton. De lengte van de kleine as van deze ellips is gelijk aan de straal van de bol. De lange as mag je kiezen in functie van de afstand tussen de bollen. Span nu de bollen tussen de houten stokjes en schuif de ellips er tussen. Indien nodig snij je deze ellips wat bij. Je model is klaar.

BEWIJS

Beschouw het snijvlak � dat de bol raakt in het punt . Het punt is het middelpunt van de ellips. van de bol is De straal eveneens de lengte van de kleine as van de ellips. Aangezien , . is geldt de stelling van In Pythagoras. . Dit betekent dat Dat toont aan dat een brandpunt is van de ellips. OPMERKING Om meer uitstraling te geven aan het model, heb ik de ellips in merbau gemaakt. De andere houten elementen zijn in beuk, dit contrasteert mooi met de donkere ellips. Uit: Wiskunde & Onderwijs. Wiskunde & Onderwijs is het tijdschrift uitgegeven door VVWL. Voor meer info: www.vvwl.be

28

2019-2020

29

KANGOEROE: REKEN, DENK EN PUZZEL MEE MET MEER DAN 95 000 ANDERE LEERLINGEN!

KANGOEROE IS EEN INTERNATIONALE REKEN-, DENK- EN PUZZELWEDSTRIJD. WERELDWIJD NEMEN MEER DAN 6 MILJOEN LEERLINGEN DEEL; DIT IS WERKELIJK UNIEK. OOK JULLIE SCHOOL EN LEERLINGEN MOGEN DIT NIET MISSEN.

Voor het twaalfde jaar op rij is de organisatie van Kangoeroe in Vlaanderen in handen van de Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw. Van 25 829 deelnemers (uit 458 scholen) in 2009 groeide Kangoeroe tot maar liefst 95 077 deelnemers (uit 1167 scholen) in 2019. Ongeveer 1 leerling op 3 uit de eerste graad van het secundair onderwijs rekent, denkt en puzzelt samen met Kangoeroe! Maar ook in het lager onderwijs wagen ieder jaar steeds meer scholen de Kangoeroesprong. Bovendien kan Kangoeroe wijdverspreid over heel Vlaanderen rekenen op heel wat enthousiaste leerlingen, leerkrachten, ouders â&#x20AC;¦ Dit blijkt des te meer uit het kaartje hiernaast waarop elke deelnemende school is aangeduid. Een rood ballonnetje stelt een lagere school voor; een blauw ballonnetje wijst op een secundaire school. Neem zeker eens een kijkje naar het interactieve kaartje op www.kangoeroe.org!

VOOR JONG EN OUD Deelnemen aan Kangoeroe kan vanaf het eerste leerjaar lager onderwijs tot en met het tweede jaar secundair onderwijs. We onderscheiden vijf edities waardoor iedere deelnemer een vragenpakket op maat krijgt: - Wombat: eerste en tweede leerjaar lager onderwijs; - Springmuis: derde en vierde leerjaar lager onderwijs; - Koala: vijfde en zesde leerjaar lager onderwijs; - Wallaroe: eerste en tweede leerjaar secundair onderwijs (B-stroom); - Wallabie: eerste en tweede leerjaar secundair onderwijs (A-stroom).

De editie Wombat bestaat uit 15 leuke meerkeuzevraagjes die de juf of meester voorleest en waarvan het eerste klassikaal wordt opgelost. De leerlingen krijgen hiervoor ongeveer 50 minuten de tijd. Voor de andere vier edities bestaat de wedstrijd uit 24 originele meerkeuzevragen die eenvoudig beginnen en gaandeweg iets pittiger worden. De wedstrijdduur bedraagt 50 minuten voor Springmuis en Koala en 75 minuten voor de edities Wallaroe en Wallabie. KIES ZELF WANNEER Kangoeroe wordt op school georganiseerd. Deelnemen gebeurt dus in de

30

eigen vertrouwde klasomgeving. De school kiest zelf de wedstrijddatum en het precieze aanvangstijdstip. Deelnemen aan Kangoeroe kan op twee wedstrijdmomenten: op de officiële wedstrijddatum of tijdens de uitwijkperiode. - De officiële wedstrijddatum is donderdag 19 maart 2020. - Past deze datum niet in de planning van de school? Dan kan je deelnemen in de uitwijkperiode die loopt van 20 maart tot en met 23 april. PRIJZENPOT Zoals de vorige jaren bouwen we opnieuw aan een mooie prijzenpot met heel wat attenties voor de deelnemers! Om zoveel mogelijk leerlingen te belonen voor het betere reken-, denk- en puzzelwerk zijn er verschillende soorten prijzen. - Deelnemersprijzen zijn er voor iedere leerling. Zo ontvingen alle leerlingen in 2019 een gepersonaliseerd getuigschrift van deelname en een Kangoeroe-potlood. - In elke school ontvangen heel wat leerlingen met de beste scores een percentielprijs. Vorig jaar waren er acht verschillende percentielprijzen: de logicaspellen “Squirrels Go Nuts”, “Asteroid Escape” en “Cube Puzzler Go” van Smart Games, de 3D-puzzels “Racing Wire Puzzle” en “Free Your Emoticons” van Eureka Puzzles, de “Hoekenworm” en “Mirror Cube” van ID Premiums en een in elkaar te puzzelen Kangoeroekubusje. Voor de editie Wombat krijgt de school een pakketprijs waarbij de scores van de leerlingen geen rol spelen. Neem je met Springmuis, Koala, Wallaroe of Wallabie deel op de officiële

wedstrijddatum? Dan maken je leerlingen ook kans op de volgende prijzen. - Alle leerlingen die in hun provincie en editie een top 100-plaats hebben bemachtigd, ontvangen een provincieprijs in de vorm van een officieel top 100-diploma. - De allerbeste leerlingen over heel Vlaanderen worden beloond met zogenaamde primusprijzen zoals een avonturenweek Euro Space Center, een Samsung Galaxy-tablet, een drone … HOE NEEM JE DEEL? Krijg je stilaan ook de Kangoeroekriebel te pakken en wens je met jouw school deel te nemen? Dan heeft je school een schoolverantwoordelijke nodig. Deze persoon is onze contactpersoon bij uitstek. Indien je reeds deelnam of een schoolverantwoordelijke aan ons bekendmaakte, hoef je helemaal niets te doen. Hij/Zij wordt namelijk automatisch op de hoogte gebracht van de nieuwe Kangoeroejaargang. Heeft je school nog geen schoolverantwoordelijke, zoek dan snel een leerkracht, directielid, zorgcoördinator … die zich als schoolverantwoordelijke wenst op te geven. Aanmelden als schoolverantwoordelijke kan eenvoudig via www.kangoeroe.org en dit tot en met 25 januari 2020. Alle schoolverantwoordelijken krijgen toegang tot een persoonlijke ruimte op onze website waar informatie specifiek voor de eigen school terug te vinden is. Via die weg kan de verantwoordelijke eenvoudig leerlingen inschrijven, alle betaalinformatie

raadplegen, de resultaten van de eigen leerlingen raadplegen … Het inschrijven van leerlingen kan tot en met 3 februari 2020. Deelnemen aan Kangoeroe kost € 2,50 per leerling. Enkele dagen voor de wedstrijddatum ontvangt de schoolverantwoordelijke van ons voldoende vragenboekjes en persoonlijke antwoordformulieren voor alle leerlingen. Bovendien voorzien we in een leuke attentie voor iedereen! De leerkracht van de Wombatleerlingen geeft na afloop de antwoorden van de leerlingen in via de website. Voor de vier andere edities stuurt de schoolverantwoordelijke de antwoordformulieren naar ons terug en zorgen wij voor de verbetering. Enkele weken later ontvangt de schoolverantwoordelijke de resultaten van de leerlingen waarna het prijzenpakket naar school wordt verstuurd. Hierbij ontvangt iedere leerling een gepersonaliseerd getuigschrift van deelname! Neem gerust een kijkje naar de resultaten van de vorige jaren op www.kangoeroe.org. Waag de Kangoeroesprong en neem samen met meer dan 95 000 leerlingen in Vlaanderen deel aan Kangoeroe. Reken, denk en puzzel mee met je leerlingen! Er zijn alleen winnaars: de leerlingen omdat ze kennismaken met oefeningen die naast schoolse kennis ook een creatieve aanpak belonen; jijzelf en je school omdat je ervaring opdoet met oefeningen die internationaal waardering krijgen. Veel reken-, denk- en puzzelgenot!

31

Wanneer? De officiële wedstrijddatum is donderdag 19 maart 2020. Je kan ook deelnemen op een zelfgekozen dag tijdens de uitwijkperiode. Hoe inschrijven? Via de schoolverantwoordelijke. Nieuwe schoolverantwoordelijken melden zich aan op www.kangoeroe.org tot 25 januari 2020. Wanneer inschrijven? Van 1 december 2019 tot 3 februari 2020. Wie zijn wij? Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw, KU Leuven Kulak, E. Sabbelaan 53, 8500 Kortrijk. Je kan ons bereiken via kangoeroe@kuleuven.be of 056 24 62 06.

A

Het is een veelvoud van 3

B

Het is een veelvoud van 4

C

Het is een veelvoud van 5

D

Het is een veelvoud van 6

E

Het is een veelvoud van 7

© Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

KANGOEROEWEDSTRIJD 2020 PARTNER VAN DE INTERNATIONALE KANGOEROEWEDSTRIJD

VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE VZW, WALLABIE 2016, VRAAG 6 Roodkapje brengt wafels naar 3 oma's. Telkens voor ze bij een van de oma's binnenstapt, eet de Boze Wolf de helft van de wafels in haar mandje op. Als ze buitenkomt bij de derde oma heeft ze geen wafels meer over. Alle oma's kregen evenveel wafels. Wat weten we over het aantal wafels dat bij de start in haar mandje zat?

OEFENING VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE VZW, WALLABIE 2019, VRAAG 13 Een groot vierkant is verdeeld in kleinere vierkanten. Welk deel van het grote vierkant is gekleurd?

A

B

C

D

E

© Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

SAMENGEVAT

OEFENING

32

A

3

B

4

C

D

5

E

6

7

OEFENING VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE VZW, KOALA 2019, VRAAG 13 Alessia kleeft blokken aan elkaar. Ze schildert het blokkenbouwsel. Welk blokkenbouwsel heeft de meeste verf nodig?

© Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE VZW, WALLABIE 2019, VRAAG 16 Benthe vouwt een vierkant papier 2 keer na elkaar dubbel. Daarna knipt ze dat gevouwen papier precies 2 keer middendoor. Ze vouwt alle stukken weer open. Hoeveel vierkante stukken heeft ze dan precies?

© Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

OEFENING

OEFENING

A

11

B

12

C

13

D

14

E

15

© Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE VZW, WALLABIE 2019, VRAAG 2 Emma telt de stippen in de vierhoeken met even lange diagonalen. Hoeveel stippen telt ze in totaal?

OEFENING

VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE VZW, WALLABIE 2019, VRAAG 14 Bob, Sus en Nan wandelen elke dag samen. Als Bob geen hoed draagt, draagt Sus een hoed. Als Sus geen hoed draagt, draagt Nan een hoed. Vandaag draagt Sus geen hoed. Wie draagt er wel een hoed?

VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE VZW, WALLABIE 2019, VRAAG 7 Drie ringen zijn verbonden. Welke figuur toont dezelfde 3 ringen?

A

niemand

B

Bob en Nan

C

alleen Nan

D

Sus en Nan

E

alleen Bob

© Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

OEFENING

OEFENING

OEFENING

VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE VZW, WALLABIE 2019, VRAAG 7 Je ziet hoe laat het is op de digitale klok. Hoe laat is het, als dezelfde cijfers voor de eerste keer opnieuw verschijnen?

VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE VZW, KOALA 2019, VRAAG 5 Een correcte dobbelsteen heeft vlakken , , , , en . De som van 2 overstaande vlakken is altijd 7. Welke dobbelsteen kan correct zijn?

© Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

© Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

© Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

33

34 UITWISKELING

FARMACEUTISCH REKENEN IN DE DAGELIJKSE PRAKTIJK IN DE GEZONDHEIDSZORG MOET JE GOED KUNNEN REKENEN. JE MOET SNEL, MAAR VOORAL NAUWKEURIG REKENEN. DAT IS BELANGRIJK OMDAT SIMPELWEG DE KOMMA VERKEERD ZETTEN HET VERSCHIL KAN UITMAKEN TUSSEN LEVEN EN DOOD. JE MOET DE JUISTE HOEVEELHEID VLOEISTOF INJECTEREN, EEN INFUUS MET DE JUISTE SNELHEID LATEN LOPEN ENZ. OOK IN DE ZIEKENHUISSECTOR WORDT ER AAN HET BEREIKEN VAN KWALITEITSNORMEN GEWERKT OM DE KANS OP FOUTEN TE VERLAGEN. VERSCHILLENDE PROCEDURES EN CONTROLEMECHANISMEN ZIJN DAARVOOR UITGEWERKT, BV. EEN DOCUMENT DAT INGEVULD MOET WORDEN ALS EEN DOSIS HERLEID MOET WORDEN. HET IS HEEL BELANGRIJK DAT DE VERPLEEGKUNDIGE SNAPT WAT HIJ/ZIJ DOET (REKENEN MET EEN ELEMENTAIR INZICHT), DAT HIJ/ZIJ HANDIG EN SNEL UIT HET HOOFD KAN REKENEN WANNEER NODIG, MAAR OOK DAT HIJ/ZIJ FUNCTIONEEL KAN REKENEN MET DE REKENMACHINE (WANNEER WEL, WANNEER NIET). EEN BELANGRIJKE ATTITUDE IS SYSTEMATISCHE ZELFCONTROLE. HET IS BELANGRIJK EEN SYSTEMATISCHE PROBLEEMAANPAK TE BEHEERSEN: WAT WEET JE, WAT MOET JE UITREKENEN, WAT KUN JE GEBRUIKEN, HOE REKEN JE DIT UIT? J O H A N D E P R E Z , G E R D H AU T E K I E T

Uit een onderzoek [Pontzeele 2009] naar de kennis van farmaceutisch rekenen bij verpleegkundigen in een algemeen ziekenhuis, bleek dat er bitter weinig verpleegkundigen alle vragen correct oplosten. Verpleegkundigen schatten hun eigen kunnen ook niet altijd correct in. Al of niet gebruik maken van een rekenmachine had weinig effect. Het komt erop aan inzicht te hebben in wat er

- R E DAC T I E U I T W I S K E L I N G

te berekenen valt. Het goede nieuws van de studie was dat een bijscholing (online) een erg gunstig effect heeft op de resultaten. Omdat nogal wat leerlingen, zeker in bepaalde afdelingen, later in de gezondheidssector tewerkgesteld zullen worden en nog meer leerlingen er vroeg of laat als patiënt in terechtkomen, kan het zeker geen kwaad even stil te staan bij enkele essentiële rekentechnieken

voor gezondheidswerkers. Onvoldoende kennis van farmaceutisch rekenen kan immers een belangrijke invloed hebben op medicatiefouten en kan grote gevolgen hebben voor de patiënt. De rekentechnieken die veelvuldig aan bod komen zijn de volgorde van bewerkingen, afronden, rekenen met breuken, verhoudingen en procenten,

35

wetenschappelijke notatie, meten en maten van lengte, oppervlakte, inhoud en massa. In de volgende lesactiviteit geven we van elk wat voorbeelden. Deze zijn bedoeld voor leerlingen van het vijfde jaar tso met 2 uur wiskunde per week. Maar ook in andere richtingen met weinig wiskunde kan de werktekst

gebruikt worden. Heel dikwijls vragen leerlingen met weinig wiskunde per week zich af waarom ze wiskunde nodig hebben. Het voordeel van deze context is dat het gaat om heel concrete en levensechte opgaven. Ze kunnen ingepast worden in het leerplanonderdeel mathematiseren. Bij het oplossen van deze problemen

ENKELE VOORBEELDEN VAN BASISREKENTECHNIEKEN 1. Via een druppelinfuus moet je 100 ml per uur toedienen. Het infuus stel je in op het aantal druppels per minuut. Er gaan 20 druppels in 1 ml. Hoe stel je het infuus in? Hoe rond je af?

2. Jan Peeters heeft epilepsie. Hij gaat over naar een ander geneesmiddel Carbamazepine Mylan®. Dit zit in een flesje van 250 ml met 20 mg actief bestanddeel per ml. De toediening van het actief bestanddeel gaat volgens het volgende schema:

kunnen leerlingen vaardigheden en strategieën verwerven die breed toepasbaar zijn. In het proces van het argumenteren en het bespreken van de kwaliteit van een wiskundige oplossing zal wiskunde bijdragen tot het verwerven van een kritische houding ten aanzien van het eigen denken en handelen.

Na een aantal dagen is het flesje nog voor 85% gevuld. Hoeveel ml is dit? Hoe lang neemt Herman de siroop al?

5 ml; 14 dagen; iets minder dan 60 ml, dus 2 dagen. 4. Een algemeen ziekenhuis heeft 120 bedden beschikbaar voor chirurgische patiënten. Dit is als volgt verdeeld: 30% algemene chirurgie, 12,5% vaatchirurgie, 7,5% oncologische chirurgie, 15% orthopedie; 20% short stay en 15% traumatologie. Bereken door eerst een breuk van dit percentage te maken, hoeveel patiënten per categorie kunnen worden opgenomen?

Respectievelijk week 1: 2 maal daags 0,2 g week 2: 2 maal daags 0,4 g week 3 tot en met 6: 2 maal daags 0,6 g Hoeveel gram actief bestanddeel zal Jan in die zes weken toegediend krijgen? Hoeveel flessen heeft Jan nodig voor die 6 weken?

In het totaal heeft Jan 42 g nodig of 2100 ml. Hij heeft dus 9 flessen nodig. 3. Herman voelt zich geruime tijd erg somber en depressief. De arts schrijft 2 keer daags 10 mg Prozac® voor. Dit wordt geleverd in een flesje van 70 ml met 4 mg actief bestanddeel per ml. Hoeveel ml siroop krijgt Herman per dag? Hoelang komt Herman toe met één fles?

patiënten per afdeling. Bij veelvoorkomende percentages is het handig dat je de breuk kent. 5. Wat hoort bij welk gewicht? Maak je keuze uit: ongeveer 3 kg, 1 mg, 1 kg, 100 g.

Pasgeboren baby – literpak melk – tabletje – plastic bekertje water 6. Mevrouw Janssens heeft een hartprobleem. Haar behandelende arts heeft gevraagd om een vochtbalans bij te houden over een periode van 24 uur. Tijdens je nachtdienst moet je die om 24:00 uur afsluiten. Is de vochtbalans positief of negatief? Hoeveel milliliter? Even opmerken dat 1 ml overeenkomt met 1 cc of 1 cm³.

36

per os (medische term voor: door de mond)

sondevoeding

infuus

diurese (medische term voor: door urineverlies)

2 kopjes thee van 125 ml

50 cc

1 glas water van 150 ml

75 cc 12.30u: sonde gesneuveld

sondering: 1,6 liter

1 blikje cola (33 cl)

575 ml gehad. Ze hoeft geen nieuwe.

125 ml

2/3 glas melk

Uit: diurese: 2145 ml; gebraakt: 50+75+150=275 ml, totaal: 2420 ml. De vochtbalans is dus positief: 3859-2420=1439 ml.

1 nutridrink (2dl)

1/2 glas bouillon

In: per os: 250+150+200+330+75+100=1105 ml; sondevoeding: 575 ml; infuus: 2179 ml; totaal: 3859 ml

gebraakt

150 cc

7. Volgens het voorschrift van de arts moet mevrouw Windels elke ochtend 175 µg Thyrax® krijgen. In de medicijnkast staan twee dozen, een doos met tabletten van 0,1 mg en een doos met tabletten van 0,025 mg. Hoeveel tabletten geef je uit welke doos?

175 µg = 0,175 mg, dus éen tablet van 0,1 mg en drie van 0,025 mg. 2179 ml

240 ml 180 ml

IN DE PRAKTIJK CONCENTRATIES Met een concentratie wordt aangegeven welk gedeelte van een stof A in stof B zit. Dit kan een verhouding van volumes of een verhouding van massa’s zijn en wordt meestal uitgedrukt in procenten. De concentratie van een oplossing is de verhouding van een massa tot een volume vloeistof. In dit geval is een concentratie van 1% 1 g stof op 100 g (of 100ml) water of 10 mg=0,01g stof op 1 ml water. 1. Eén tablet vitamine C weegt 700 mg en bevat 500 mg vitamine C. a. Hoe hoog is de concentratie in één tablet? b. Dezelfde tabletten worden ook in kinderformaat van 400 mg per tablet geleverd. Hoeveel mg vitamine C zit dan in één tablet? De concentratie is 500/700=5/7= 0,71 of 71 %. In de kindertabletten zit 286 mg vitamine C.

In de praktijk worden de rekentechnieken toegepast bij het berekenen van concentraties, infusies, medicatie, het toedienen van zuurstof. Ook hier geven we enkele voorbeelden in de vorm van een lesactiviteit.

2. Mevrouw Jespers moet haar mond spoelen met waterstofperoxide. Er is 300 ml waterstofperoxide van 3% aanwezig. De arts schrijft viermaal gorgelen per dag voor met per keer 15 ml waterstofperoxide van 1%. a. Hoeveel mg waterstofperoxide bevat 1ml van een 3% waterstofperoxide-oplossing? b. Je wilt een oplossing maken voor de hele dag, dus voor 4 keer gorgelen. Hoeveel ml oplossing moet je dan maken? c. Hoeveel ml van de 3% oplossing moet je nemen om voor de gehele dag een oplossing van 10 mg/ml (1%) te krijgen? d. Hoeveel ml water moet je aan deze hoeveelheid toevoegen om 10 mg/ml te krijgen? 30 mg/ml; 60 ml; 20ml; 40 ml. Je kunt dit resultaat ook anders berekenen: ik heb 60 ml nodig; als het spul drie keer zo geconcentreerd is, moet ik er maar een derde van nemen (20 ml) en aanlengen tot de gewenste hoeveelheid (40 ml water bijvoegen).

37

Bij het berekenen van een verdunning reken je eerst uit hoeveel mg of ml je van de stof in de gewenste concentratie nodig hebt. Dan reken je uit hoeveel ml dit is van de beschikbare oplossing. Die hoeveelheid vul je aan tot de gevraagde hoeveelheid. 3. Meneer Hamers heeft bij een arbeidsongeval op het werk een grote wonde aan zijn arm opgelopen. Om ontsteking te voorkomen, moet deze wonde preventief gereinigd worden. De bedrijfsverpleegster Florence beschikt enkel over Citonol® 6%. Voor het reinigen heeft ze 1 liter oplossing van 4,5% nodig. a. Hoeveel ml Citonol® 6% moet ze gebruiken om de wond doeltreffend te reinigen? b. Thuis moet meneer Hamers de wondspoeling 4 dagen voortzetten met een 0,5%-oplossing. Hoeveel ml Citonol® 6%-oplossing moet Florence afmeten en aanlengen zodat meneer Hamers voor elke dag 1 liter oplossing mee naar huis kan nemen? 750 ml; 4 keer 83,3 ml. INFUSIE EN TRANSFUSIE Met een infuuspomp kan de doorloopsnelheid van een vloeistof nauwkeurig geregeld worden. Bij een druppelgestuurd infuus telt een elektronisch apparaat het aantal druppels per minuut. Voor het instellen van de pomp reken je de medicatie om naar het aantal druppels per minuut. De regel is: 1 ml is 20 druppels. Bij bloed is 1 ml 16 druppels. Bij een volumetrische pomp stel je niet het aantal druppels maar de doorloopsnelheid in op het aantal ml per uur. Je rondt af op een geheel getal. 4. Meneer Cox krijgt 2 keer per dag 400 mg Ciprofloxacine intraveneus. Dit zit in kant en klare zakjes van 200 ml. Je collega van de nachtdienst heeft het zakje net aangehangen. Dit moet in een half uur inlopen. Als je een half uur later bij de patiënt gaat kijken, is het flesje nog halfvol. a. Op hoeveel ml per uur staat de pomp? b. Wat heeft je collega verkeerd gedaan?

BRONNEN Geerling, J e. a. (2008). Basisvaardigheden Rekenen voor de Gezondheidszorg, Wolters-Noordhoff: Groningen Pontzeele, E. (2009). Onderzoek naar de kennis van farmaceutisch rekenen bij verpleegkundigen in een algemeen ziekenhuis.

De pomp staat op 200 ml/h. De collega heeft geen rekening gehouden met een doorlooptijd van een half uur. 5. Mevrouw Bleke moet 2 zakken bloed krijgen, elk van 250 ml. In 2,5 uur tijd moeten beide zakken inlopen. Op hoeveel druppels per minuut moet je de pomp instellen? 53 druppels/minuut Bij sondevoeding wordt een vloeibare voeding rechtstreeks via een sonde in de maag gebracht. Dit gebeurt meestal met een pomp die ingesteld wordt met een bepaalde doorstroomsnelheid van ml per uur. Dit kan continu gebeuren of verdeeld in een aantal porties per dag. 6. Rik krijgt gedurende 6 dagen 4 keer per dag 160 ml sondevoeding voorgeschreven. De voeding moet in 25 minuten doorlopen. Zakken van 400ml zijn in voorraad. a. Hoe stel je de pomp in? b. Hoeveel zakken heb je nodig? 384 ml/uur; 10 zakken MEDICATIE De hoeveelheid actief bestanddeel is altijd aangegeven in de bijsluiter. Bij het berekenen van de juiste dosis moet je uitgaan van de hoeveelheid actief bestanddeel in het aanwezige geneesmiddel en dan omrekenen naar de gewenste dosering. 7. Een kindje van 4 jaar weegt 18 kg en moet 0,25 mg valium per kg lichaamsgewicht toegediend krijgen. Eén ampul bevat valium met 10 mg actief bestanddeel per 2ml. Hoeveel ml geef je? 0,9 ml 8. Een kindje weegt 14 kg en moet twee maal 15 mg/ kg lichaamsgewicht Amoxicillin® krijgen. Op de kinderafdeling is 80 ml Amoxicillin®-siroop 250mg/5ml aanwezig. Hoeveel siroop geef je per keer? 4,2 ml

lib.ugent.be/fulltxt/RUG01/001/392/011/RUG01- 001392011_2010_0001_AC.pdf Deze bijdrage verscheen in Uitwiskeling 33/3 als deel van een artikel over wiskunde en gezondheid. Benieuwd naar meer? Op de webstek www.uitwiskeling.be vind je alle info.

38

HET KU LEUVEN JUNIOR COLLEGE STEM DAGELIJKS WORDT ER INFORMATIE VERSTUURD, ONTVANGEN EN OPGESLAGEN. RUIMTESONDES DIE FOTO’S EN METINGEN STUREN NAAR DE AARDE, VRIENDEN DIE MET ELKAAR CHATTEN VIA INTERNET EN KLANTEN DIE BETALEN DOOR HET SCANNEN VAN QR-CODES: HET ZIJN SLECHTS ENKELE VOORBEELDEN. HET IS VAN VITAAL BELANG DAT DE INFORMATIE HIERBIJ BESCHERMD WORDT. BESCHERMING KAN WIJZEN OP HET VERMIJDEN VAN FOUTEN. SOMS GAAT HET OOK OVER HET AFSCHERMEN VAN INFORMATIE VOOR TOEGANG DOOR ANDEREN. HET CODEREN VAN DE INFORMATIE KAN BEDOELD ZIJN OM EENVOUDIGE FOUTJES TE VERMIJDEN. HEEL VAAK OOK IS GEAVANCEERDE WISKUNDE AAN HET WERK OM FOUTJES NIET ALLEEN TE ONTDEKKEN, MAAR ZELFS TE HERSTELLEN EN ALDUS DE ECHTE BOODSCHAP TERUG CORRECT TE MAKEN. DAT IS JUIST WAT MEN BEDOELT MET FOUTENVERBETERENDE CODES. MARLIES CREEMERS -

KU LEUVEN

BITS VORMEN INFORMATIE Informatie wordt uitgedrukt in bits. Een bit kan twee waarden aannemen: 0 of 1. Als we een getal willen uitdrukken in bits, doen we dit door over te gaan naar de binaire schrijfwijze. Stel dat we het getal 9 willen herschrijven. Dit getal kunnen we ontbinden als . De coëfficiënten van deze som bepalen nu de binaire schrijfwijze van 9, dit wordt dus: 1001. Ook letters en leestekens kunnen worden omgezet aan de hand van de internationaal gebruikte ASCII-tekenset.

Elk symbool komt overeen met een getal bestaande uit 8 bits, de letter “a” wordt bijvoorbeeld voorgesteld door 01100001. HAMMING-CODE Stel dat we het getal 9, in bits dus 1001, willen versturen. We doen dit met een ruimtesonde en beseffen dat er af en toe geïsoleerde foutjes ontstaan door de aanwezige ruimtestraling. Zo’n foutje wisselt een 0 en een 1 om. Vooraleer we dat doen, voegen we eerst tactisch drie controlegetallen

toe volgens een foutencorrigerende code die bekend staat als een Hamming-code. De bits 1001 noemen we de databits en we noteren . De drie controlegetallen die we en toevoegen noemen we en zetten we op de plaats van tweemachten, dus de eerste, de tweede en de vierde plaats. De boodschap die we zullen doorsturen is dus van . de vorm: Door de databits in te vullen, krijgen . Nu bepalen we we: de controlegetallen door telkens gebruik te maken van drie databits.

39

• voor • voor • voor

gebruiken we gebruiken we gebruiken we

en en en

Het controlegetal wordt zo gekozen dat het aantal enen in elk van deze groepjes getallen even is. Daarom worden deze controlegetallen ook wel pariteitsbits genoemd, vandaar de keuze voor de notatie. We illustreren dit even voor het getal 9, in bits uitgedrukt 1001. 1 p1

p1 p2 p3

2 p2

0 0 0

0

3 d1

5 d2

6 d3

7 d4

1

0

0

1

1 1

0

1

4 p3

1

0

1 1

1 1 1

1

0

0

1

De informatie die verstuurd zal worden is dus niet louter 1001 maar 0011001. Veronderstel nu even dat er een geïsoleerd foutje optreedt tijdens het versturen van deze informatie waardoor de voorlaatste bit fout is. De ontvanger leest met andere woorden 0011011 maar wenst dit op correctheid te controleren. Kan dit wel een geldig samengesteld codewoord zijn? Het woord wordt in het codeersysteem geplaatst voor controle. 1 p1

p1 p2 p3

2 p2

0 0

3 d1

4 p3

5 d2

6 d3

7 d4

1

0

1

1

1 1

0 1 1

1 1 1

1

0

In dit schema zien we dat er iets fout en is in de rijen van de pariteitsbits

. De pariteitsbit hoort bij waarde hoort bij waarde 22. De som 2 en van deze waarden vertelt ons dat er een fout gebeurd is bij de zesde bit. Aangezien een bit slechts twee waarden kan aannemen, weten we dat de zesde bit een 0 had moeten zijn in plaats van een 1 en kan dit gecorrigeerd worden. 1

INTERDISCIPLINARITEIT LEIDT TOT INNOVATIES Het verbeteren van fouten in boodschappen met behulp van een Hamming-code is een voorbeeld van hoe de samenwerking tussen wiskunde en technologie leidt tot innovaties. Zo zijn er tal van voorbeelden. Meer en meer worden ook “niet eenvoudige” wiskundige structuren gebruikt bij cryptosystemen. Ook

40

samenwerkingen tussen wiskunde en andere wetenschappen leiden tot interessante innovaties. Cochleaire implantaten zijn een voorbeeld van de samenwerking tussen biologie, elektronica en wiskunde. Voor de observatie van ruimteweer is er dan weer een combinatie nodig van wiskunde, fysica en technologie. En om de klimaatverandering te modelleren slaan wiskunde en aardrijkskunde de handen in elkaar. Dit zijn slechts enkele voorbeelden die het maatschappelijk belang illustreren van deze vakgebieden die ook bekend zijn onder de verzamelnaam STEM (Science - Technology - Engineering Mathematics). HET DOEL VAN HET JUNIOR COLLEGE STEM Het Junior College STEM is een project van de KU Leuven dat als doel heeft leerlingen van de derde graad secundair onderwijs een ruimere blik te bieden op STEM.

Het is bovendien de bedoeling aan te tonen dat deze domeinen met elkaar verweven zijn en dat precies in deze integratie zeer grote innovaties gebeuren. Via raakvlakken met wiskunde, fysica, aardrijkskunde, chemie en biologie worden de leerlingen uitgedaagd een multidisciplinaire kijk te ontwikkelen op actuele onderzoeksthema’s. Zo wil het Junior College STEM leerlingen helpen hun interesses beter te leren inschatten en krijgen ze een voorsmaakje van academische onderwijs. PRAKTISCH Concreet worden er diverse STEMlesmodules aangeboden met materiaal voor telkens ongeveer 20 lestijden. Het Junior College STEM focust inderdaad op een voldoend lange inspanning, in de school zelf, en in samenwerking met de leerkrachten ter plaatse. De leraar kan met het aangeboden lesmateriaal aan de slag gaan in eigen klas of in een specifiek hiervoor samengestelde klas op schoolniveau. De evaluatie gebeurt binnen de school volgens het eigen schoolsysteem en de inzichten van de leraren ter plaatse. Het lesmateriaal wordt zowel op papier als online aangeboden en is volledig kosteloos. Inschrijven kan tussen 15 mei en 30 september. Afhalen van het gedrukte materiaal kan in december in Leuven, Kortrijk of Gent. Voor meer informatie en het overzicht van de beschikbare lesmodules, bezoek de website www.kuleuven.be/onderwijs/ juniorcollege/STEM.

Richard Hamming (Chicago 1915 - Monterey 1998) studeerde wiskunde en behaalde een doctoraat aan de befaamde University of Illinois (Urbana-Champaign) in 1942. Alhoewel zijn onderzoek zich in de zuivere wiskunde situeerde, werd hij korte tijd later overtuigd om het Manhattan project (dat leidde tot de ontwikkeling van de atoombom) te vervoegen in Los Alamos. Hij kwam er in contact met de eerste computers en ontwikkelde tot een waarachtig expert in codeertheorie. Meerdere begrippen uit de hedendaagse informatica zijn naar hem genoemd, met op kop het begrip Hamming-afstand en de Hamming-foutencorrigerende codes. Hij bouwde voort op het baanbrekend werk van Claude Shannon en was aldus de vader van de eerste “error-correcting codes”. Vrij kort na het instellen van de Alan Turing award werd Richard Hamming in 1968 de derde laureaat van deze hoogste onderscheiding in de informatica.

41

BOEK RECENSIES PAU L L E V R I E

- U N I V E R S E I T A N T W E R P E N , R E DAC T I E PY T H AG O R A S , R E DAC T I E W I S K U N D E & O N D E RW I J S

IONICA SMEETS. SUPERLOGISCH. HOE GETALLEN JE HELPEN OM DE WERELD TE BEGRIJPEN. Uitgave: Uitgeverij Nieuwezijds, 2019. ISBN: 9789057125201 Ionica Smeets is bij ons nog steeds vooral bekend als een van de twee wiskundemeisjes, zie www.wiskundemeisjes.nl voor hun erg succesvolle blog. Het andere wiskundemeisje was Jeanine Daems, van haar stond er in Vector 6 een artikel. Ondertussen hebben De Wiskundemeisjes als instituut opgehouden te bestaan. Ionica Smeets is op dit ogenblik hoogleraar wetenschapscommunicatie aan de Universiteit Leiden. Verder presenteert ze populairwetenschappelijke tv-programmaâ&#x20AC;&#x2122;s en ze schrijft ook regelmatig een wiskundegerelateerde column voor een krant. De beste columns uit de Volkskrant van de laatste 10 jaar zijn gebundeld in dit boek. In elke column staat een getal centraal en de columns staan in volgorde van de grootte van dit getal.

Recent, op 14 december, was ze te horen op de radio in Interne Keuken. Leuk om te lezen, en ook soms wel onverwacht voor in de Volkskrant. Bijvoorbeeld: stel dat je een tekst schrijft en je laat hem nalezen op spelfouten door twee mensen. De eerste vindt twaalf fouten, de tweede acht, waarvan zes gemeenschappelijk. Kan je dan iets zeggen over het aantal onopgemerkte fouten in de tekst? Ja dus, dankzij een formule van George Polya, bekend van het boek How to solve it (1945). Vaak gaat het over de problemen die mensen hebben met getallen, en vooral dan met statistiek. Het boek eindigt dan ook met een hoofdstuk met Zeven tips om de wereld beter te begrijpen (met getallen), dat bedoeld is net voor die mensen. Een aanrader, zeker ook voor wiskundigen.

42

YPE DRIESSEN EN IONICA SMEETS. YPE & IONICA. DE VERRASSENDE VERJAARDAGEN. Uitgever: Uitgeverij Nieuwezijds, 2019. ISBN: 9789057125287 Het is het jaar van de bundelingen wel. Dit boek bevat een aantal fotostrips van Ype Driessen en Ionica Smeets die de voorbije jaren zijn verschenen in het populairwetenschappelijke tijdschrift New Scientist. Ype Driessen is fotostripmaker. Sedert 2007 vind je op zijn website www.fotostrips.nl vier keer per week ’s werelds eerste en enige autobiografische fotostrip. Ype heeft een wetenschappelijke achtergrond, hij heeft Cognitieve Kunstmatige Intelligentie gestudeerd, maar zoals hij zelf hierover zegt: zijn studies waren meer een dwaalspoor. Zijn fotostrips zijn enorm populair. Neem zeker een kijkje op de website, dan krijg je een beeld van wat je kan verwachten. Elke fotostrip in het boek is precies één pagina lang, en gaat altijd

over een aan de wetenschap gerelateerd item. In de eerste fotostrip gaat het bijvoorbeeld over de verjaardagsparadox. En ook het drie-deurenprobleem, het Hilberthotel, het Droste-effect, de bibliotheek van Babel, parallelle universa en de Fibonaccigetallen, passeren de revue, en nog veel meer. Dit alles met veel droge humor! Het boek eindigt met een collectie noten, één per strip. Ook deze zeker lezen, ze geven een toegevoegde waarde aan de fotostrips in het boek. Bijvoorbeeld: een van de strips gaat over de vergelijking van Drake (1961) die een schatting geeft voor het aantal buitenaardse beschavingen. De bijhorende noot geeft een citaat van sf-auteur Arthur C. Clarke (bekend van 2001: A Space Oddyssey): "Two possibilities exist: either we are alone in the Universe or we are not. Both are equally terrifying." Zeker geschikt om te gebruiken op de middelbare school!

43

DAVID EELBODE. FUNDAMENTAL MATHEMATICS. A VOYAGE INTO THE QUIRKY UNIVERSE OF MATHS AND JOKES. Uitgever: Uitgeverij Nieuwezijds, 2019. ISBN: 9789401462617 In het Engels David Eelbode is wiskundige, en geeft in die hoedanigheid les aan de Universiteit van Antwerpen. Verder is hij o.a. medeorganisator van de MathsJam in Antwerpen (www.mathsjam.com), een maandelijkse happening voor mensen die wel houden van een op wiskunde gebaseerd raadsel (of twee).

Maar evengoed stond hij in 2017 aan de zijde van Lieven Scheire en een aantal andere wetenschappers op het podium van de Science Comedy Night in Technopolis, iets wat hij met verve deed. Je leert zijn meer serieuze kant kennen op het internet in zijn talk voor Universiteit Van Vlaanderen (Hoe kan je met eenvoudige wiskunde een computer overtreffen?).

de eetbare versie van het getal nul. Het is dus ook een boek vol humor, zoals blijkt uit het vorige fragment dat een goed beeld geeft van hoe het boek is. In het voorwoord raadt David Eelbode dan ook aan om maar enkele pagina’s per dag te lezen, en dat blijkt inderdaad een goed idee te zijn. Er wordt overigens ook grondig gelachen met de wiskunde en de wiskundigen.

Zijn boek FUNdamental Mathematics is een boek dat moeilijk te bespreken is omdat het enig is in zijn soort, het valt buiten elke categorie. Doorblader je het, dan zie je definities, stellingen en bewijzen (en een heleboel leuke tekeningen). Maar het is een boek óver wiskunde, eerder dan een boek mét wiskunde. De eerste definitie, in het eerste hoofdstuk (A Space Odyssey) is de definitie van tofu: "One of the biggest remaining mysteries in the field of Contemporary Culinary Philosophy, next to famous problems such as 'Is a cheese cake tart or pie?’, ‘Is it morally acceptable to put pineapple on a pizza?’ "and 'Is the hot dog a sandwich, or not?’. Bij dit laatste hoort dan de volgende voetnoot: "America’s National Hot Dog and Sausage Council (NHDSC) ruled that they are not. As the organisation’s president put it: Limiting the hot dog’s significance by saying it is ‘just a sandwich’ is like calling the Dalai Lama ‘just a guy’." Het gaat dan verder over het feit dat tofu als het ware het neutraal element is in de groep van de voedseladditieven: als je het toevoegt aan een gerecht, dan verandert het niets, vermits tofu geen smaak en geen geur heeft. Het is eigenlijk

Een aantal van de typische leukewiskundedingen-voor-de-mensen zoals bijvoorbeeld de paradox van Russell en die van Banach en Tarski, het kissing-probleem, en de pizzastelling worden uitvoerig behandeld, en er is een zekere overlap met het boek Ype & Ionica, want bijvoorbeeld het drie-deurenprobleem en het Hilberthotel komen er ook in voor. Elk hoofdstuk eindigt niet met een bibliografie, maar met een lijstje aanbevolen muziek om naar te luisteren bij dat hoofdstuk. Het laatste hoofdstuk is een zelftest waarmee je kan zien of je door het lezen van het boek bent gaan leren denken als een wiskundige. Wees gerust: ook deze test is allesbehalve ernstig. Na het uitlezen van dit boek is het me nog steeds niet duidelijk voor wie het geschreven is. Maar wiskundigen behoren zeker tot de doelgroep: ze gaan er op een andere manier van genieten dan de niet-wiskundigen.

Nieuwee methode wiskunde 1 graad B-stroom

MA X 1:

zo m er â&#x20AC;&#x2DC;20

850000967

Test Max uit m et je klas

M A X 2:

zo m er â&#x20AC;&#x2DC;21

Max is een nieuwe methode wiskunde voor de B-stroom en is de opvolger van Op Mij Kun Je Rekenen. Max brengt begrippen, concepten, eigenschappen en methodes aan in betekenisvolle contexten en schenkt consequent aandacht aan probleemoplossend denken, zodat de leerlingen de samenhang en wisselwerking ontdekken tussen wiskunde en de maatschappij waarin ze leven.

leerlinge je r o o v s le u d o m t s e t Vraag hier www.max.diekeure.be

n aan