Vector 4 - januari 2019

VECTOR JANUARI 2019 - nummer 4

© Frank Ruskey en Mark Weston

TIJDSCHRIFT voor wiskundeonderwijs

3 REGEN VANGEN VENNDIAGRAMMEN MET SYMMETRIE 26 UIT DE KLAS GEKLAPT

17

Met medewerking van Uitwiskeling, VVWL (Vlaamse Vereniging van Wiskundeleraars), GeoGebra Instituut, Vlaamse Wiskunde Olympiade en Pythagoras

Vector4_jan2019.indd 1

21/12/18 13:54

2 INHOUD

3 REGEN VANGEN GERD HAUTEKIET, ELS VANLOMMEL, BRUNO VAN CLEMEN

UIT DE KLAS GEKLAPT 26 ISABEL GOFFA

5 TIPS OM PI-DAG 8 TE VIEREN 10 GESLAAGDE

30 ECONOMISCHE

CONTEXTEN IN WISKUNDELESSEN JOHAN DEPREZ, ANN LAEREMANS, ANN MAES

VVWL INFONAMIDDAG

VECTOR

IVAN DE WINNE FILIP MOONS

Vector4_jan2019.indd 2

BEWIJSVORMEN: 12 BEWIJS DOOR SYMMETRIE PAUL LEVRIE

14 EEN VIERKANTE CIRKEL MICHEL ROELENS

VENNDIAGRAMMEN 17 MET SYMMETRIE DERK PIK

24 TIPS VOOR EEN

KANGOEROE: 35 REKEN, DENK EN PUZZEL MEE MET MEER DAN 89 000 ANDERE LEERLINGEN! 38 NATUURKUNDIGEN

VATTEN HAARGOLVEN IN FORMULE HILDE VAN DEN EYNDE

VIER KLEUREN ZIJN 40 NODIG EN VOLDOENDE VOOR EEN LANDKAART

WISKUNDIGE UITSTAP

PAUL IGODT CHRISTOPHE SMET

VECTOR 2e jaargang - nummer 3 REDACTIE Nicolas Ruys, Katinka Steen, Maaike Spanhove - die Keure, Kleine Pathoekeweg 3, 8000 Brugge, educatief@diekeure.be EXTERNE AUTEURS die occasioneel of op geregelde basis een bijdrage willen leveren, kunnen contact opnemen met educatief@diekeure.be. VECTOR Vector is gratis voor alle leerkrachten wiskunde in België. VERANTWOORDELIJKE UITGEVER die Keure, Kleine Pathoekeweg 3, 8000 Brugge VORMGEVING EN DRUK Isabelle Tilleman - die Keure, Brugge REACTIES Al je reacties, suggesties en opmerkingen zijn welkom op educatief@diekeure.be

21/12/18 13:54

3 UITWISKELING

REGEN VANGEN DE MEESTE MENSEN NEMEN EEN PARAPLU MEE WANNEER ZE DOOR DE REGEN MOETEN. MAAR ALS JE TOEVALLIG EEN WISKUNDIGE BENT, IS ZONDER PARAPLU NAAR BUITEN GAAN OP EEN REGENACHTIGE DAG DE PERFECTE GELEGENHEID OM TE PRONKEN MET JE MODELLEERVAARDIGHEDEN. EN VOOR EEN WISKUNDIGE IN EEN KLASLOKAAL IS HET EEN GEWELDIGE KANS OM ER EEN OEFENING IN MODELLEREN VAN TE MAKEN! IN DIT ARTIKEL GEVEN WE JE INSPIRATIE. G E R D H AU T E K I E T, E L S VA N L O M M E L , B R U N O VA N C L E M E N

Het regent, je hebt geen paraplu bij de hand, geen muts, geen regenkapje. En je moet erdoor! Hoe blijf je zo droog mogelijk? Moet je zo snel je kunt lopen of juist rustig stappen? Als je traag stapt, valt er meer regen boven op je hoofd en je schouders, maar vang je minder regen op met de voorkant van je lichaam (dat een grotere oppervlakte heeft). Is er misschien een optimale snelheid? En is het niet beter om onder een bepaalde hoek te lopen, bijvoorbeeld een beetje voorovergebogen? Of loop je net beter mooi rechtop? Leerlingen vinden die vragen meestal wel intrigerend. In het populair-wetenschappelijk televisieprogramma MythBusters (2003, 2005) namen de programmamakers de proef op de som, twee keer zelfs. Er was namelijk veel commotie nadat MythBusters in 2003 tot een heel verrassende conclusie kwam. Aanhoudende kritiek op de gevolgde werkwijze bij het experiment heeft ertoe geleid dat ze het opnieuw testten in 2005, met een andere uitkomst. Algemeen wordt het tweede experiment als overtuigend gezien. Een eensluidend theoretisch antwoord op de bovenstaande vragen vinden, is niet zo evident. Toch zijn deze vragen een aanzet voor een mooie modelleeroefening waarmee je de kracht, maar tegelijk ook de beperkingen van eenvoudige modellen kunt illustreren.

Vector4_jan2019.indd 3

- R E DAC T I E U I T W I S K E L I N G

De onderstaande lesactiviteit is gebaseerd op een lezing van Walter Lewin (2011) en op een filmpje van MinutePhysics (2012). Je kunt de leerlingen er zelfstandig mee laten werken, maar de tekst kan ook gebruikt worden als leidraad bij een onderwijsleergesprek waarbij je samen met de leerlingen het model opstelt. Dit onderdeel past goed bij de leerstof van homografische functies in het vijfde jaar. Of je kunt het ook gebruiken in een lessenreeks rond modelleren.

L E S AC T I V I T E I T

LOPEN OF WANDELEN DOOR DE REGEN? EN HOE DAN? Het regent, je hebt geen paraplu bij je, je hebt geen muts, niets om je droog te houden. Hoe blijf je zo droog mogelijk? Moet je zo snel lopen als je kunt? Of moet je net rustig stappen? Is er misschien een optimale loopsnelheid? En zou het kunnen helpen om onder een bepaalde hoek te stappen of lopen, bijvoorbeeld een beetje voorovergebogen? Zo ja, welke hoek is dat dan? In deze tekst stellen we een wiskundig model op dat ons helpt bij het beantwoorden van deze vragen. Meer bepaald zoeken we de hoeveelheid water die je op je lichaam krijgt.

21/12/18 13:54

4

1. Wat denk je dat het antwoord zal zijn op de bovenstaande vragen? Heb je argumenten voor die hypothese? Welke? Om dit probleem te modelleren, benader je het lichaam van de persoon die door de regen moet, door een parallellepipedum. Als die persoon volledig rechtop loopt, is dat parallellepipedum een balk. De afmetingen van het grondvlak noem je en , de hoogte is . Stel dat er een afstand moet worden afgelegd en dat de regendrupuit de lucht pels met een verticaal gerichte snelheid vallen. De vector die de horizontale snelheid van de persoon beschrijft, is .

2. Hoeveel water wordt opgevangen als de persoon aan een extreem lage snelheid zou bewegen? M.a.w. wat ? gebeurt er met als Als naar evolueert, dan zal de tijd dat de persoon onderweg is naar oneindig gaan . Bijgevolg zal ook naar oneindig gaan. 3. Hoeveel water vangt de persoon op als extreem groot wordt? Stel bijvoorbeeld dat de persoon zou bewegen aan een snelheid die gelijk is aan één tiende van de lichtsnelheid. Stel ook dat . Wat gebeurt er nu met ? en dat Als dan is de persoon onderweg. In die tijd heeft elke vallende regendruppel een afstand

afgelegd. Het is dus alsof de regen niet verder gevallen is in die tijd. Er valt dus nauwelijks regen op het hoofd en de schouders van de persoon. Uiteraard veegt de persoon met de voorkant van zijn lichaam wel de regendruppels mee. We kunnen dus stellen dat alleen de voorkant van zijn lichaam nat wordt. Het volume regen dat op die manier wordt ‘opgeveegd’ is . Op de figuur hieronder zie je de balk met regendruppels die wordt meegeveegd. Als je de persoon als referentiepunt neemt, dan kun je stellen dat de regen beweegt met een snelheid die de en . som is van

De massa regen die wordt opgevangen is dan met de dichtheid van de regen. Deze massa zal een eindig getal zijn en niet naar oneindig gaan zoals in het vorige grensgeval. We zoeken nu een formule voor de totale massa van het water dat wordt opgevangen als functie van de snelheid .

De conclusie: extreem snel bewegen is altijd beter dan stilstaan in de regen! We hadden niet anders verwacht…

Om vat te krijgen op het probleem bekijken we eerst de grensgevallen: extreem traag en extreem snel bewegen.

Vector4_jan2019.indd 4

21/12/18 13:54

5

In de volgende vragen veralgemenen we de situatie en zoeken we de massa van de opgevangen regen als functie van . 4. Bepaal de grootte van de vector die de relatieve snelheid van de regen t.o.v. de persoon voorstelt. Met de stelling van Pythagoras vinden we heel eenvou. dig: 5. Bepaal de hoek en . van

uit de figuur hierboven als functie

We bepalen eerst de massa regen die op het bovenvlak van de balk valt, op het hoofd en de schouders van de per. soon dus. We noteren dit als de massa die per seconde op het 6. Stel bovenvlak valt. Wat is dan de totale massa die op het hoofd en de schouders zal vallen gedurende het hele traject? De tijd nodig om het traject af te leggen is . . Dus: 7. Stel dat de massa van de regen homogeen verdeeld is en stel dat het volume regen dat per seconde op het . Schrijf dan bovenvlak komt, gelijk is aan als functie van en substitueer dit in de formule . die je hierboven vond voor Stel de massadichtheid van de regen, dan is . Bijgevolg is .

Vector4_jan2019.indd 5

8. We zoeken nu , het volume per tijdseenheid dat de persoon op zijn bovenvlak opvangt. Dit volume kun je zien als een parallellepipedum. Schets dit parallellepipedum en bereken de inhoud ervan. Stel H de hoogte van het parallellepipedum. Dan is het volume van het parallellepipedum:

9. Substitueer de formule die je in vorige vraag vond in de formule voor .

Vervolgens kun je volledig analoog de massa berekenen die meegeveegd wordt door het voorvlak van de balk. De som van de twee gevonden massa’s is de totale massa regen die wordt opgevangen. . 10.Toon aan: Het parallellepipedum dat in deze redenering nodig is, zie je hieronder.

21/12/18 13:54

6

De inhoud van dat parallellepipedum is Bijgevolg is

.

14.Schets de grafiek van

.

11.Kun je verklaren dat de formule uit vraag 10 niet afhangt van , of ? De inhoud die je horizontaal meeveegt, is de inhoud van de balk die we bij vraag 3 hebben getekend. De inhoud van een balk is gelijk aan die van het parallellepipedum met dezelfde hoogte en grondvlak. 12.Schrijf de formule voor , de totale massa regen die door de persoon wordt opgevangen. Let op: de enige veranderlijke die in deze formule mag voorkomen, is .

13. Welk soort kromme krijg je? Bespreek de asymptoten van deze kromme en leg ook de link met de grensgevallen die je bij de vragen 2 en 3 hebt besproken. stelt een homografische functie voor met als grafiek een hyperbool. De horizontale asymptoot is de rechte . en de verticale asymptoot is de rechte . De horizontale asymptoot krijg je door de snelheid waarmee de persoon loopt ‘oneindig’ groot te maken. Dat is het grensgeval dat in vraag 3 is ! De besproken. We vonden daar dezelfde massa verticale asymptoot krijg je door die snelheid naar 0 te laten gaan. Dat geval hebben we in vraag 2 besproken.

Vector4_jan2019.indd 6

als functie van

. Stel hierbij en . Welke waarde zou je voor nemen? Wat is je conclusie? Wat is de beste snelheid? Is er een optimale snelheid? De massadichtheid van water is en die van . De waarde voor , zal daar zeker lucht is veel dichter bij die van lucht moeten liggen en hangt af van de sterkte van de regenbui. In de grafiek hieronder . hebben we gelijk gesteld aan

De hyperbool daalt: zo snel mogelijk lopen is het meest efficiĂŤnt. Er is in dit model geen optimale snelheid. 15.Is je model realistisch? Je ziet dat de massa die je opvangt, zelfs bij extreem snel lopen volgens dit model en met deze parameters bijna gelijk wordt aan 72 kg. Dat is enorm veel. Er zijn heel wat opmerkingen te geven bij ons model. Niemand loopt als een parallellepipedum. Is een regenbui homogeen verdeeld? Een deel van het water dat op je kledij terecht komt, spat ook terug op. We hebben geen rekening gehouden met de impact van wind (windrichting, intensiteit). 16. Helpt het om voorover te buigen? Stel dat je loopt onder een hoek dan zou je, volgens dit theoretisch model, enkel regen opvangen met je hoofd en schouders en niets met de voorkant van je lichaam! Als je er bijvoorbeeld voor zorgt dat je even snel , dan is . Met de loopt als de regen valt waarden van hierboven betekent dat dat je loopsnelis. Als je dan goed vooroverbuigt zodat je heid maakt met de grond, vang je lichaam een hoek van een minimum aan regen.

21/12/18 13:54

7

BRONNEN Bocci, F. (2012). Whether or not to run in the rain. In European Journal of Physics. Geraadpleegd op 10.11.2015, http://iopscience.iop. org/article/10.1088/0143 0807/33/5/1321/meta;jsessionid=D93 257B62356F7FEE9FA468F744AD395.c5.iopscience.cld.iop.org

Is it better to walk or to run in the rain? (2012). In MinutePhysics. Geraadpleegd op 10.11.2015, https://www.youtube.com/ watch?v=3MqYE2UuN24 Lewin, W. (2011). How fast and at what angle should you walk in the rain to get least wet? In Lectures by Walter Lewin. They will make you love Physics. Geraadpleegd op 01.12.2018, https://www. youtube.com/watch?v=iQPWUfIHcoI Running in the rain MiniMyth (2003). In Discovery.com. Geraadpleegd 10.11.2015, http://www.discovery.com/tv-shows/mythbusters/ videos/running-in-the-rain-minimyth/ You end up drier running in the rain than walking (2005). In Mythbusters results. Geraadpleegd op 10.11.2015, http://mythbustersresults.com/episode38 Deze bijdrage verscheen in Uitwiskeling 32/1 als deel van een artikel over wiskunde en fysica. Benieuwd naar meer? Op de webstek www.uitwiskeling.be vind je alle info. Daar kun je ook de lesactiviteiten uit het artikel downloaden.

OEFENING VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE, TWEEDE RONDE VWO 2016, VRAAG 14 1. Welk van de volgende getallen is de som van zes opeenvolgende natuurlijke getallen? A

B

C

D

E

© Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

Op MinutePhysics vind je een heel mooi en kort filmpje dat de ideeën uit deze werktekst visualiseert. In European Journal of Physics verscheen in 2012 een artikel van Franco Bocci waarin het model verfijnd wordt. Er worden daarbij verschillende vormen van lichamen bekeken met verschillende oriëntaties. Bovendien wordt er ook rekening gehouden met de impact van de wind. Daaruit blijkt dat het in sommige gevallen het best is om zo snel mogelijk te lopen terwijl er in andere gevallen een optimum voor de loopsnelheid is.

VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE, EERSTE RONDE VWO 2017, VRAAG 12 In een bioscoop zijn twee filmzalen met elk 25 rijen. Op elke rij zitten 2 meisjes. Elk meisje zit tussen 2 jongens. Hoeveel jongens zitten er minimaal in de bioscoop? A

Vector4_jan2019.indd 7

50

B

75

C

100

D

150

E

200

© Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

OEFENING

21/12/18 13:54

8

5 TIPS OM PI-DAG TE VIEREN 14 MAART, PI-DAG, IS DÉ HOOGDAG VAN HET WISKUNDEJAAR. WISKUNDELIEFHEBBERS OVERAL TER WERELD BRENGEN DIE DAG EEN ODE AAN Π. EEN FEESTDAG DIE OOK JIJ NIET ZOMAAR VOORBIJ KUNT LATEN GAAN. DAAROM BEZORGEN WE JE GRAAG DEZE VIJF TIPS EN WEETJES OM PI-DAG IN DE KLAS TE VIEREN.

Vector4_jan2019.indd 8

21/12/18 13:54

9

1. WANNEER PI-DAG VIEREN? De datum, 14 maart, komt van de Amerikaanse schrijfwijze 3/14, waarbij de maand voor de dag staat. Over het uur kun je discussiëren. Sommige mensen staan speciaal op om 1u59 ’s nachts. Handiger, zeker op school, is om het in de namiddag te vieren. En dan kan je nog kiezen tussen 1u59 of 15u09. Past 14 maart niet? Dan is er nog pibenaderingsdag als alternatief op 22 juli. 22 gedeeld door 7 is immers 3,14. 2. START DE LES MET EEN PI-GEDICHT Vier pi-dag met een vleugje pipoëzie! Op het internet vind je tal van leuke gedichten ter ere van pi. Onze favoriet is dit gedicht van Nobelprijswinnares voor Literatuur Wislawa Szymborskavan.

De karavaan cijfers van pi stopt niet aan het eind van het blad maar stijgt op van de tafel, zeilt hoog door de lucht langs muren, een blad en een nest; langs wolken omhoog, door pompeuze en bodemloze hemelen, maakt muisachtig kort de staart van de komeet!

Zie, 'k geef u thans, geleerden en leeken, ouden van dagen, frissche studenten, weinige regeltjes, die mij zijn gebleken, vaak nuttig te werken voor tal van docenten. Zie nu hoeveel decimalen. = 3.141592653589793238462643 383279

4. PI-ÑA COLADA EN PI-ZZA Hef het glas op pi-dag met een piña colada of trakteer je leerlingen op een stukje pizza. We geven je graag nog dit recept voor non-alcoholische piña colada mee. Benodigdheden voor 1 glas: • 2 schijfjes ananas uit blik (of een stukje verse ananas) • scheutje kokosmelk • 50 ml ananassap • 2 eetlepels roomijs of vanille-ijs • een paar ijsblokjes

Bereidingswijze: Snijd als eerste de ananas in stukken. Doe vervolgens de ananasstukjes, het sap, de kokosmelk en het roomijs in een blender of maatbeker. Even goed mixen en klaar is kees! Giet de piña colada in een mooi glas, doe er een rietje in en een parasolletje en nu is je piña colada helemaal af. BRON: www.lekkerensimpel.com/ pina-colada-zonder-alcohol/

5. EEN STREEPJE PI-MUZIEK Vier pi-dag met een streepje muziek! Bijvoorbeeld met het nummer 'Pi' van Kate Bush, een nummer dat verscheen op het album Aereal in 2005. In deze ode aan pi zingt Bush de eerste honderd cijfers van ons favoriete irrationaal getal. Maar... doet ze dit ook foutloos? Een leuke smaakmaker voor in de les!

Uit Grote Getallen (1976)

3. EZELSBRUGGETJE Met dit ezelsbruggetje onthoud je zonder moeite de eerste 30 cijfers van pi. Leer deze zin, gemaakt door professor Pieter Moree, uit het hoofd. Tel het aantal letters in elk woord: ze vormen de eerste 30 cijfers van pi!

Vector4_jan2019.indd 9

21/12/18 13:55

10 VVWL

GESLAAGDE VVWL INFONAMIDDAG VERNIEUWING EINDTERMEN WISKUNDE IN DE EERSTE GRAAD I VA N D E W I N N E E N F I L I P M O O N S

Op 19 september 2018 maakte de Vlaamse Vereniging van Wiskundeleraars van Antwerpen even het middelpunt uit van de Vlaamse wiskundewereld: maar liefst 400 leerkrachten van overal ten lande schoven in de aula’s van de Universiteit Antwerpen aan om alles te ontdekken over de nieuwe eindtermen wiskunde 1e graad. 400 wiskundeleraars is een ongeëvenaard succes dat het VVWLbestuur de weken voordien voor de nodige logistieke uitdagingen plaatste, maar doet vermoeden dat ook in de

Vector4_jan2019.indd 10

toekomst de VVWL als beroepsvereniging een belangrijke schakel in het wiskundeonderwijs zal blijven. “Dat ongeveer 1 op de 10 leerkrachten wiskunde van de eerste graad secundair onderwijs is afgezakt naar de infonamiddag over de nieuwe eindtermen, duidt erop dat het thema enorm leeft bij onze collega’s”, zegt Filip Moons, die namens onze vereniging in de ontwikkelcommissie mee vormgaf aan het nieuwe wiskundecurriculum,

“extra fijn is dat we de reputatie van de VVWL - als koepeloverstijgende beroepsvereniging – hoog houden: de aanwezige leerkrachten komen van alle mogelijke koepels: naast het katholiek onderwijs, komt ook het gemeenschaps-, stedelijk en provinciaal onderwijs vertellen hoe zij met deze eindtermen aan de slag gaan in hun hervormd secundair onderwijs. Wij halen zo de schotten weg tussen collega’s die in verschillende koepels zitten en elkaar daardoor anders maar heel zelden tegenkomen.”

21/12/18 13:55

11

Inhoudelijk startte de infonamiddag met een algemene inleiding over het hervormd secundair onderwijs en de totstandkoming van de nieuwe eindtermen door Hannelore Baeyens van de Vlaamse Overheid, gevolgd door een uiteenzetting van haar collega Lotte Milbou die het referentiekader wiskunde uit de doeken deed. Dit referentiekader wordt ook de basis van de ontwikkelcommissies van de 2e en 3e graad. Daarna presenteerden Johan Deprez (KU Leuven) en Filip Moons de nieuwe eindtermen, waarna de

Vector4_jan2019.indd 11

infonamiddag werd afgesloten door de onderwijskoepels die elk kwamen uitleggen hoe hun nieuwe leerplannen er zullen uitzien. Over de nieuwe eindtermen zelf zijn we als vereniging alvast heel tevreden: “statistiek, abstract denken en probleemoplossende vaardigheden zijn nu in de eindtermen verweven. Dat is een grote stap voorwaarts, voor wiskunde kan dat echt nieuw leven blazen in de mooiste gave die je jongeren kan meegeven. Heel

misschien kunnen we naast wetenschappers, ingenieurs en dokters, op dit elan in de toekomst ook meer jongeren overtuigen om te kiezen voor het allermooiste beroep ter wereld.�, aldus Ivan De Winne, voorzitter VVWL. Een uitgebreide toelichting over de nieuwe eindtermen wiskunde mag je verwachten in het januarinummer van Wiskunde en Onderwijs (177). In tussentijd kan je de volledige infonamiddag herbekijken en alle presentaties downloaden op onze website www.vvwl.be.

21/12/18 13:55

12

BEWIJSVORMEN: BEWIJS DOOR SYMMETRIE PAU L L E V R I E

- FAC U LT E I T T O E G E PA S T E I N G E N I E U R S W E T E N S C H A P P E N , U N I V E R S I T E I T A N T W E R P E N

Een direct bewijs, een bewijs door inductie, een bewijs uit het ongerijmde, met deze bewijsvormen zijn we allemaal vertrouwd. Zo nu en dan komen we een nieuwe bewijsvorm tegen, zoals het bewijs door rotatie (http://blog.tanyakhovanova. com/2012/05/a-visual-proof/ of het bewijs door symmetrie. Deze bewijsvorm zullen we hier demonstreren. We geven een bewijs door symmetrie van de sinusregel, vertrekkend van de cosinusregel.

We willen hiermee de sinusregel bewijzen:

Merk op dat alle onderdelen van deze vergelijking strikt positief zijn bij een driehoek, en we kunnen dus evengoed bewijzen dat de kwadraten van de drie leden gelijk zijn aan elkaar. Het kwadraat van het linkerlid schrijven we nu even anders, m.b.v. de grondformule van de goniometrie:

Gegeven een driehoek (zie figuur). In deze driehoek is de cosinusregel (drie keer) van toepassing.

We hebben teller en noemer vermeomdat we de nigvuldigd met cosinusregel willen gebruiken. We hebben namelijk:

Hiermee herschrijven we bovenstaande uitdrukking. We bekijken vooral de teller:

en laten hier wat merkwaardige producten op los:

We kunnen dus besluiten:

Omdat het rechterlid symmetrisch is in a, b en c (als we een permutatie doen van deze letters, dan verandert het rechterlid niet) is de sinusregel hiermee bewezen! Omwille van de symmetrie lijkt het ons aangewezen om nu ook een bewijs te geven van de cosinusregel, vertrekkend van de sinusregel. Gegeven een driehoek (zie figuur). In deze driehoek is de sinusregel van toepassing. Door het hulplijntje in de figuur, de hoogtelijn met lengte h, zien we inderdaad onmiddellijk (door ge-

Vector4_jan2019.indd 12

21/12/18 13:55

13

en we hebben eveneens:

Tellen we deze beide laatste vergelijkingen lid per lid bij elkaar op, dan vinden we:

bruik te maken van eigenschappen in een rechthoekige driehoek) dat

en m.b.v. nog een andere hoogtelijn kunnen we zo bewijzen dat:

Uit de eerste gelijkheid volgt, na kwadrateren:

We herschikken de termen, en gebruiken opnieuw een merkwaardig product:

(Merk op dat we een kleine aanpassing moeten doen in het bewijs als de een stompe hoek is.) hoek BRONNEN Patrik Nystedt. A Proof of the Law of Sines Using the Law of Cosines, Mathematics Magazine, Vol. 90, No. 3 (2017), pp. 180–181. Angelo S. DiDomenico. The law of cosines from the law of sines, The Mathematics Teacher, Vol. 86, No. 5 (1993), p. 422.

Hiermee is de cosinusregel voor  bewezen. Om redenen van symmetrie hoeven we verder niets meer te doen...

OEFENING VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE, EERSTE RONDE VWO 2017, VRAAG 8 Het logo van een bedrijf bestaat uit een cirkel die in vier gebieden met dezelfde oppervlakte is verdeeld door een kleinere cirkel en drie lijnstukken, zoals in de figuur. Wat is de verhouding van de straal van de grote cirkel tot de straal van de kleine cirkel?

A B

Vector4_jan2019.indd 13

C D E

© Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

In de figuur zie je twee rechthoekige driehoeken. In die rechthoekige driehoeken geldt dat en en de som van deze twee x-en is gelijk aan c. Uit het vorige volgt dus dat:

21/12/18 13:55

14 UITWISKELING

EEN VIERKANTE CIRKEL MICHEL ROELENS

( R E DAC T I E U I T W I S K E L I N G )

In februari en maart 2017, op het jaarlijkse Artefact-festival in Leuven, was er een kunstwerk dat wiskundig erg interessant is: Squaring the circle. De naam verwijst naar het onmogelijke probleem uit het Oude Griekenland: de constructie met passer en liniaal van een vierkant met dezelfde oppervlakte als een gegeven cirkel. Het kunstwerk zet inderdaad een cirkel om in een vierkant, uiteraard niet met passer en liniaal, maar met de blik van de toeschouwer. Het is een stalen gesloten ruimtekromme, opgehangen in het midden van de tentoonstellingsruimte. Als je vanuit de ene kant kijkt, zie je een cirkel. Kijk je vanuit de andere kant, dan zie je een vierkant. Een verbluffend fenomeen!

Figuur 1 Het voorwerp op de kaft van het boek van Hofstadter

Het deed mij meteen denken aan het voorwerp op de kaft van het boek Gödel, Escher, Bach (Hofstadter,

Vector4_jan2019.indd 14

1979) dat ik in het begin van de jaren 1980 heb verslonden. De loodrechte projecties van dat voorwerp op de drie coördinaatvlakken vormen de letters G, E en B. Maar bij Squaring the circle wordt niet in drie verschillende richtingen geprojecteerd; er wordt in één richting gekeken maar in twee verschillende zinnen. (Zoals je weet gebruiken wiskundigen het woord richting anders dan mensen op straat die “in de richting van het station lopen”...) Wiskundige inspiratie in de kunst beperkt zich heus niet tot renaissanceschilders en Escher... Het is goed dat de leerlingen in de wiskundeles af en toe iets vernemen over de wisselwerking tussen kunst en wiskunde. Een kunstwerk zoals Squaring the circle is dan ook een bespreking in de klas waard, vooral wanneer de tentoonstelling nog loopt. Misschien gaan sommige leerlingen wel een kijkje nemen. De Artefact-tentoonstellingen in Leuven zijn trouwens gratis. De ochtend na mijn bezoek aan de tentoonstelling vertel ik in de les over dat kunstwerk dat bestaat uit een opgehangen gesloten ruimtekromme. Nog voor ik er een foto van laat zien, vraag ik: “Hoe heeft de kunstenaar het voor elkaar gekregen dat je vanuit de ene kant een cirkel en vanuit de andere kant een vierkant ziet?” Even

blijft het stil. Een kritische leerling ziet er een strikvraag in: “Om vanuit de ene kant als een cirkel gezien te worden, zou de opgehangen kromme zich op een cilindermantel moeten bevinden. En om vanuit de andere kant als een vierkant gezien te worden, zou die zich op de zijvlakken van een balk (met vierkant grondvlak) moeten bevinden. De symmetrieassen van de cilinder en de balk moeten samenvallen, want we kijken vanuit twee kanten in éénzelfde richting. Maar een cilinder en een balk met samenvallende symmetrieassen snijden elkaar niet volgens een gesloten kromme...” Ik reageer: “Je zou volledig gelijk hebben als het zou gaan over loodrecht projecteren. Maar kijken doe je met je ogen. Je mag hier zelfs doen alsof we door één oog kijken, want het kunstwerk is erg groot vergeleken met de afstand tussen onze ogen.” Hiermee wordt het voor (bijna) alle leerlingen duidelijk: vanuit de ene kant moeten de kijklijnen een kegel vormen (met het oog als top) en vanuit de andere kant moeten de kijklijnen een piramide vormen (met het oog als top). De kromme moet dus de doorsnede zijn van de kegel en de piramide. Ik vind dit een goed moment om aan de leerlingen een paar foto’s van het kunstwerk te tonen.

21/12/18 13:55

15

snijden met één van de zijvlakken van de piramide. Een vlakke doorsnede van een kegel kan een ellips, hyperbool of parabool zijn. De foto met het zijaanzicht doet ons vermoeden dat het hyperboolboogjes zijn. Hier laat ik het bij – de normaalvectoren van vlakken in de ruimte zitten te wachten op behandeling. Maar thuis kan ik het niet nalaten om een GeoGebrafiguur maken (figuur 3).

ik aan GeoGebra om de meetkundige plaats van S te tekenen wanneer P varieert op die zijde van het vierkant. Deze meetkundige plaats is dan één boog van het kunstwerk. Voor de andere bogen zijn er twee mogelijkheden: hetzelfde doen met een variabel punt op de andere zijden van het vierkant, ofwel de eerste boog draaien rond de rechte T1 T2 over 90°, 180° en -90°.

Ik teken de kegel met top T1 en de piramide met top T2. De top van de piramide ligt in het midden van het grondvlak van de kegel en omgekeerd. Dan wil ik de doorsnede bepalen.

Figuur 4 Snijkromme als meetkundige plaats

Aan de hand van deze GeoGebrafiguur kan ik nu preciezer formuleren wanneer de boogjes parabool-, hyperbool- en ellipsbogen zijn.

Figuur 2 Kunstwerk ‘Squaring the circle’, van opzij bekeken en gezien als een cirkel (© Troika)

Figuur 3 GeoGebrafiguur doorsnede kegel en piramide

Ik projecteer ook het filmpje Troika (2016) waarin het camerastandpunt zich verplaatst van de ene top naar de andere top, zodat je de overgang ziet van vierkant naar cirkel.

Het programma kan niet rechtstreeks de doorsnede van beide ruimtelichamen tekenen, en ook niet van een afzonderlijk driehoekig zijvlak van de piramide met de kegel. Als je de zijvlakken uitbreidt tot vlakken, gaat het wel, maar dan lopen de kegelsneden door buiten de piramide. Uiteindelijk los ik het als volgt op: ik neem een punt P op een zijde van het vierkant grondvlak van de piramide en ik bepaalde het snijpunt S van de rechte PT2 met de kegel. Vervolgens vraag

Ik stel de leerlingen nog een laatste vraag. “Het kunstwerk bestaat uit vier congruente bogen. Zouden dit cirkelbogen zijn?” Neen, zeker geen cirkelbogen; dat zie je goed op de foto van het zijaanzicht. Elk van deze bogen ontstaat door de kegel te

Vector4_jan2019.indd 15

Als de opstaande zijvlakken van de piramide precies even ‘schuin’ zijn ten opzichte van de symmetrieas als de beschrijvenden van de kegel, dan hebben we vier paraboolboogjes. Dit is het geval als de symmetrieas MT2 van een gelijkbenig zijvlak van de piramide eenzelfde hoek vormt met de as T1T2 als de beschrijvende T1 N van de kegel. Anders gezegd: als de ‘toppen’ van de boogjes (bv. punt U) van het kunstwerk even ver liggen van de top T1 van de kegel als van de top T2 van de piramide. (Immers: een driehoek heeft twee gelijke hoeken als en slechts als die gelijkbenig is.) Je hebt hyperbolen als |T1U | < |T2U |

21/12/18 13:55

16

(zoals in figuur 5) en ellipsen als |T1U | > |T2U |. Om te weten welk geval zich bij het kunstwerk voordoet, zou je de precieze afmetingen moeten hebben. Maar nogmaals, ik gok op hyperbolen.

OEFENING VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE, EERSTE RONDE JWO 2016, VRAAG 23 Hoeveel vierkanten met verschillende oppervlakten hebben als hoekpunten vier van de roosterpunten in de figuur?

© Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

Figuur 5 Op deze figuur zijn het hyperboolboogjes

BRONNEN

Dit artikel verscheen in Uitwiskeling 33/3. Benieuwd naar meer? Op de webstek www.uitwiskeling.be vind je alle info.

A

B

C

5

D

6

E

7

8

OEFENING VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE, TWEEDE RONDE JWO 2017, VRAAG 23 Billy wil aan Joël een inlogcode van zes cijfers mailen, maar vergeet één van de cijfers. Joël ontvangt de code 42972. Hoeveel keer moet Joël een code proberen om zeker in te loggen? A

Vector4_jan2019.indd 16

4

50

B

54

C

55

D

56

E

60

© Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

Hofstadter, D.R. (1979). Gödel, Escher, Bach: an Eternal Golden Braid. New-York: Vintage Books. Troika, kunstenaarscollectief gevormd door Rucki, E., Freyer, C. en Noel, S. (2013). Squaring the circle. Eerste in een reeks van drie ‘perspectiefsculpturen’, samen met Dark Matter en Polar Spectrum. Londen. Troika (2016). Squaring the circle (2013). Filmpje van de tentoonstelling Everything is and isn’t at the same time. Arles: Galerie Huit. https://vimeo.com/193513942

21/12/18 13:55

17 PYTHAGORAS

VENNDIAGRAMMEN MET SYMMETRIE HET VENNDIAGRAM IS ONTWIKKELD OM HET REKENEN MET VERZAMELINGEN GRAFISCH WEER TE GEVEN. IN DIT ARTIKEL GAAN WE NIET ZOZEER IN OP DIT REKENEN MET VERZAMELINGEN, MAAR OP DE VORMEN DIE EEN VENNDIAGRAM KAN AANNEMEN. NOG MAAR RECENT, IN JULI 2012, IS ER EEN NIEUW SYMMETRISCH VENNDIAGRAM ONTDEKT. DOOR DERK PIK

Een van de minst nadrukkelijk wiskundige handelingen is misschien wel het groeperen van objecten: wat hoort er wel bij en wat niet? Dit sorteren, classificeren en ordenen blijkt een centrale rol te vervullen in wiskunde. Alles waarvan we vinden dat het bij elkaar hoort, kunnen we onderbrengen in een verzameling. Juist omdat het zo’n fundamenteel begrip is, op de rand van de wiskunde en het gewone denken, is het geven van een formele definitie moeilijk. We doen het daarom met een omschrijving: een verzameling is een geheel van objecten waarvan we vinden dat ze bij elkaar horen. De objecten noemen we elementen. Zo’n verzameling kan je een naam geven en je kunt eigenschappen van zo’n verzameling bestuderen.

en munt, en de laatste verzameling heeft oneindig veel elementen.

Verzamelingen worden genoteerd tussen accolades. Bijvoorbeeld A = {1, 2, 3}, B = {kruis, munt}, C = {alle even getallen groter dan 0}. Verzameling A heeft drie elementen: 1, 2, en 3. Verzameling B heeft twee elementen, kruis

De Engelse logicus en wiskundige John Venn (1834-1923) kwam op het idee om verzamelingen schematisch weer te geven in het platte vlak. Hij groepeerde de elementen door er een gesloten kromme omheen

Vector4_jan2019.indd 17

Figuur 1 De getallen 1, 3, 5, 9 behoren tot de verzameling A en de getallen 2, 3 en 7 niet.

te tekenen. Alles wat binnen deze kromme ligt, hoort bij de verzameling, en wat er buiten ligt, niet. In figuur 1 zie je een voorbeeld. Als je dit doet met meerdere verzamelingen, kan je duidelijk maken welke elementen bij welke verzameling horen, zie figuur 2 voor een voorbeeld. VENNDIAGRAMMEN Bij één verzameling hoort een figuur met één gesloten kromme die het platte vlak in twee gebieden verdeelt: het gebied binnen de kromme en het

Het gaat er alleen maar om wát we bij elkaar vinden horen; er is geen verschil tussen de verzamelingen {1, 2, 3} en {2, 1, 3}. We zien de elementen binnen een verzameling dus als ongeordend.

Figuur 2 Verzameling A bevat de getallen 2, 3 , 4 en 5; verzameling B de getallen 1 en 3. De getallen 2, 4 en 5 zitten niet in B, maar wel in A. Het getal 1 zit niet in A, maar wel in B. Het getal 3 zit zowel in A als B.

21/12/18 13:55

18

DE FORMULE VAN EULER

Teken een aantal punten in het platte vlak en verbind deze met lijnstukken zodat alle punten aan elkaar vastzitten. De lijnstukken mogen elkaar niet snijden. De figuur die is ontstaan heet een samenhangende planaire graaf. Hierboven zie je een voorbeeld met 10 punten en 15 verbindingslijnen; in dit geval wordt het platte vlak in 7 gebieden verdeeld (6 binnengebieden en 1 buitengebied).

gebied daarbuiten. Bij twee verzamelingen, A en B, zijn er 22 = 4 gebieden: een object kan deel uitmaken van beide verzamelingen A en B, van een van die twee verzamelingen, of van geen van deze verzamelingen. In het algemeen telt een diagram voor n verzamelingen 2n gebieden (het buitengebied telt ook mee). Voor een object zijn er voor elk van de n verzamelingen immers twee mogelijkheden: het maakt er wel deel van uit, of niet. De diagrammen zullen gauw erg ingewikkeld worden: het is zelfs niet vanzelfsprekend dat we ze allemaal kunnen tekenen.

Vector4_jan2019.indd 18

De formule van Euler geeft de relatie tussen het aantal punten P, het aantal verbindingslijnen L en het aantal gebieden G voor een samenhangende planaire graaf in het platte vlak: G – L + P = 2. In ons voorbeeld is G = 7, L = 15 en P = 10. Dit is in overeenstemming met de formule van Euler: G – L + P = 7 – 15 + 10 = 2. In Pythagoras 42-2 (december 2002) is een uitgebreid artikel van Jan Aarts te vinden over deze formule (tevens opgenomen in De Pythagoras Code, het boek dat verscheen bij het vijftigjarig jubileum van het tijdschrift). Ook de wiskundemeisjes besteden er, op een heel andere manier, aandacht aan in hun boek Ik was altijd heel slecht in wiskunde.

Het aantal gebieden G in de eerste figuur is 5, in de tweede figuur 10 en in de derde figuur 12. Tel zelf het aantal lijnstukken L en punten P per figuur. Steeds moet gelden dat G – L + P = 2.

Controleer in deze drie grafen dat de formule van Euler steeds geldt.

Figuur 3 Twee cirkels verdelen het platte vlak in vier delen: het buitengebied en drie binnengebieden A, AB en B. De letter A staat voor het gebied dat alleen door de kromme van A wordt omcirkeld; het gebied met de letters AB wordt door de twee krommen behorende bij A en B omcirkeld. In de rechterfiguur verdelen drie cirkels het vlak in acht delen. De rang van het gebied waar AB in staat is 2; de rang van het gebied met ABC is 3.

Definitie: een n-Venndiagram is een diagram bestaande uit n gesloten krommen, waarin elk van de 2n gebieden precies één keer voorkomt. We zullen per gebied met letters aangeven tot welke verzamelingen zo’n gebied behoort. Zo stelt ABC een gebied voor met elementen alleen

21/12/18 13:55

19

uit A, B en C. Dit gebied wordt dus precies ingesloten door drie krommen behorende bij de verzamelingen A, B en C. Vervolgens is het handig om te spreken van de rang van een gebied: dit is het aantal krommen dat om het gebied heenloopt. De rang van het gebied ABC is 3.

EULER VOOR VIER CIRKELS

We gaan de formule van Euler gebruiken om het maximale aantal gebieden te bepalen dat met vier cirkels te maken is. Elk tweetal cirkels moet twee snijpunten hebben: als een paar één of nul snijpunten zou hebben, dan had dit paar een lege doorsnede. Er zijn zes paren cirkels, dus in totaal zijn er 12 snijpunten: P = 12.

Het ligt voor de hand om het Venndiagram te tekenen met cirkels. Voor diagrammen met twee of drie verzamelingen gaat dit prima, zoals je in figuur 3 ziet. Teken je een diagram met vier cirkels, dan krijg je ten hoogste 14 van de 16 mogelijke gebieden (zie figuur 4). Dit is op het eerste gezicht misschien vreemd, maar we kunnen dit begrijpen met behulp van de formule van Euler (zie het kader op p.16 en hiernaast).

Figuur 5 Twee oplossingen van Venn om diagrammen te tekenen voor vier verzamelingen.

krijgen. Venn bedacht twee manieren om een diagram te maken voor vier verzamelingen (zie figuur 5). Beide diagrammen zijn interessant. Het bovenste diagram, opgebouwd uit vier ellipsen, vanwege zijn symmetrie, en het onder-

Vector4_jan2019.indd 19

De formule van Euler geeft voor het aantal gebieden G, het aantal lijnstukken L en het aantal snijpunten P dus G = 2 + L – P = 14. Dit is te weinig voor vier verzamelingen: we moeten 16 gebieden kwijt!

ste omdat je het kan generaliseren voor een groter aantal verzamelingen. In figuur 6 zie je hoe je op soortgelijke wijze een 5-Venndiagram moet maken. Je kan zelf bedenken hoe je daaruit een 6-Venndiagram construeert.

Figuur 4 De vier cirkels stellen de verzamelingen A, B, C en D voor. We tellen in totaal 14 gebieden; we missen in deze figuur de gebieden AC en BD.

Als we het Venndiagram niet met cirkels, maar met andere krommen tekenen, is het wél mogelijk om alle verschillende deelverzamelingen te

Beschouw nu één cirkel apart. Deze cirkel wordt door drie andere cirkels in totaal gesneden in zes snijpunten. De cirkel wordt door deze snijpunten opgedeeld in zes lijnstukken. In het diagram met vier cirkels zijn er dus in totaal L = 4 × 6 = 24 lijnstukken.

Figuur 6 Een oplossing voor een diagram met vijf verzamelingen.

ROTATIESYMMETRIE Het bovenste diagram in figuur 5 is spiegelsymmetrisch. Het is een

21/12/18 13:55

20

mooi streven om Venndiagrammen ‘zo symmetrisch mogelijk’ te maken, waarbij de krommen voor elke verzameling congruent zijn. Daarom zijn we geïnteresseerd in rotatiesymmetrie. Definitie: een rotatiesymmetrisch n-Venndiagram is een n-Venndiagram waarvoor 360°/n de kleinste positieve hoek is waarover je het kan roteren zonder dat het verandert. Voor vier verzamelingen bestaat zo’n rotatiesymmetrisch Venndiagram

niet, zoals we later zullen zien. Des te opmerkelijker is het dat een rotatiesymmetrisch Venndiagram voor n = 5 wél bestaat. Het is in 1975 gevonden door Branko Grünbaum (zie figuur 7). Het is opgebouwd uit vijf congruente ellipsen. Als twee ellipsen elkaar snijden, heb je ofwel twee ofwel vier snijpunten. In figuur 7 wordt elke ellips door twee ellipsen in twee punten gesneden, en door twee ellipsen in vier punten. Het is bijzonder dat dit nog steeds met ellipsen kan; voor een groter aantal verzamelingen mogen

VENNDIAGRAMMEN MET OP ELKE KROMME EVENVEEL SNIJPUNTEN Een n-Venndiagram bestaat uit n krommen. Stel dat op elke kromme hetzelfde aantal (k) snijpunten ligt. In totaal zijn er dan S = nk/2 snijpunten in het Venndiagram. Per kromme delen deze k snijpunten de kromme in k lijnstukken. In totaal zijn dit L = nk lijnstukken. Een n-Venndiagramm deelt het platte vlak in V = 2n gebieden. De formule van Euler geeft de relatie 2 = G – L + S = 2n – nk/2. Dit geeft de volgende betrekking tussen het aantal snijpunten k per kromme en n:

Het is leuk om de getallenparen n en k in een tabel te zien:

Vector4_jan2019.indd 20

Figuur 7 Het rotatiesymmetrische Venndiagram van Branko Grünbaum voor vijf verzamelingen. Elke ellips wordt gesneden door twee ellipsen in twee punten en door twee ellipsen in vier punten.

een 4-Venndiagram met ellipsen die elkaar in precies zeven punten snijden niet tegen. De redactie van Pythagoras weet niet of dit Venndiagram bestaat.

We zien dat er voor een enkelvoudig 3-Venndiagram vier snijpunten per kromme nodig zijn. We zagen al dat het 3-Venndiagram te maken is met drie cirkels: elke cirkel wordt door twee andere gesneden in precies 4 punten. Het 4-Venndiagram kunnen we niet maken, want in de tabel zien we dat we 7 snijpunten per cirkel nodig hebben. Eén cirkel wordt door de drie overige cirkels in hoogstens zes punten gesneden. Als we het 4-Venndiagram maken met ellipsen is er meer mogelijk. Twee ellipsen snijden elkaar in hoogstens vier punten. Bovenstaand criterium spreekt het bestaan van

Het 5-Venndiagram kan ook met ellipsen gemaakt worden: elke ellips moet dan door vier andere ellipsen worden gesneden in twaalf punten. Dit kan: zie de constructie van Grünbaum. Een 6-Venndiagram met op elke kromme evenveel snijpunten bestaat niet, dus zeker niet met ellipsen, en een 7-Venndiagram kunnen we ook niet met ellipsen maken: per ellips zijn er slechts 24 snijpunten te maken met de andere ellipsen. Er zijn er precies 36 nodig. Voor n-Venndiagrammen met hogere n zijn steeds gecompliceerdere krommen nodig.

21/12/18 13:55

21

we ook dit niet langer verwachten (zie het kader hierboven). PRIEMEIGENSCHAP Stel we hebben een rotatiesymmetrisch n-Venndiagram. In dit diagram is er één gebied van rang 0 en één gebied van rang n. Wegens rotatiesymmetrie ligt het ene gebied in het midden en het andere gebied er zo ver mogelijk aan de buitenkant symmetrisch omheen. Er zijn n gebieden van rang 1, die wegens rotatiesymmetrie symmetrisch rond het middelpunt liggen. Dit geldt ook gebieden van rang k, met voor de

Voor elke k in dit interval dus deelbaar zijn door n. moet Hieruit volgt dat n een priemgetal moet zijn. Dit criterium is ontdekt door David Henderson in 1963. Het vertelt ons dus dat als een Venndiagram rotatiesymmetrisch is, het aantal verzamelingen een priemgetal is. Het criterium vertelt ons niet of het p-Venndiagram daadwerkelijk bestaat voor elk priemgetal p. Het heeft nog veertig jaar geduurd, tot 2003, voor men wist dat voor elk priemgetal p er ook echt een

DE DRIEHOEK VAN PASCAL EN PRIEMGETALLEN De rij

bevat alleen maar veelvouden van n precies in het geval dat n priem is. We kunnen dit zien in de driehoek van Pascal:

rotatiesymmetrisch Venndiagram bestaat met p verzamelingen. Om deze Venndiagrammen te construeren, moet men gecompliceerde krommen gebruiken om voldoende snijpunten te krijgen. Deze Venndiagrammen hadden overigens allerlei snijpunten waarin meerdere lijnen samen kwamen. Nog moeilijker te vinden – maar veel mooier – zijn Venndiagrammen waarin elk snijpunt door twee krommen wordt gevormd. Een dergelijk Venndiagram heet enkelvoudig. Een voorbeeld is het 5-Venndiagram van Grünbaum in figuur 7. In 1992 vonden Grünbaum

deelbaar is door n Het bewijs gaat als volgt. Stel dat voor alle k = 1, 2, 3, ..., n – 1. We bewijzen dat n dan priem is. Als n niet priem is, is n deelbaar door een zekere p > 1. We schrijven de binomiaalcoëfficiënt uit:

De getallen n – 1, n – 2, ..., n – (p – 1) zijn niet deelbaar door p. Dus

is een echte breuk en daarmee

ook. Hieruit volgt dat niet deelbaar is door n. Dit is echter in tegenspraak met ons uitgangspunt! Het getal n moet wel priem zijn.

Bijvoorbeeld: de rij die begint met 1, 7, 21, ... heeft alleen maar veelvouden van 7 tussen de twee enen staan, en de rij die begint met 1, 8, 28, ... bevat het getal 28, dat niet door 8 deelbaar is.

Vector4_jan2019.indd 21

Stel omgekeerd dat n een priemgetal is. Schrijf met en b = k!. Omdat n priem is en k < n, bestaat b = k! uit priemfactoren die allemaal kleiner zijn dan n. Dus: b is niet deelbaar en b niet door het priemgetal n. Omdat deelbaar door n. deelbaar is door het priemgetal n, is

21/12/18 13:55

22

Figuur 9 toont een detail van het 11-Venndiagram.

Figuur 8 Een enkelvoudig rotatiesymmetrisch Venndiagram voor zeven verzamelingen. Een van de zeven krommen is rood gekleurd. De kromme heeft een grillig verloop (illustratie: Frank Ruskey en Mark Weston).

en Anthony Edward onafhankelijk van elkaar een enkelvoudig symmetrisch Venndiagram voor 7 verzamelingen (zie figuur 8). We zien dat de figuur is opgebouwd uit zeven identieke krommen. Zo’n kromme is wel veel gecompliceerder dan een ellips. Het eerste enkelvoudige, rotatiesymmetrische 11-Venndiagram is afgelopen zomer gevonden door Khalegh Mamakani en Frank Ruskey. Dit fraaie diagram is afgebeeld op de cover. In de figuur is de rand van één van de elf verzamelingen met een witte lijn gemarkeerd. Het diagram heeft 211 – 1 = 2047 binnengebieden.

CREATIEVE OPLOSSINGEN GEZOCHT Het is erg moeilijk enkelvoudige rotatiesymmetrische Venndiagrammen te tekenen. In dit artikel hebben we ze laten zien voor de getallen 3, 5, 7 en 11. Het volgende diagram heeft 213 – 1 = 8191 binnengebieden. Als ze allemaal 1 cm2 groot zijn, krijg je een figuur van bijna een vierkante meter. Als men het ooit vindt, zal het moeilijk zijn om het af te beelden. Over Venndiagrammen van weinig verzamelingen zijn nog heel wat vragen te stellen, die we aan de lezers willen voorleggen.

(natuurlijk) niet rotatiesymmetrisch. 3. Zijn er andere 5-Venndiagrammen met symmetrische eigenschappen? 4. Bedenk een Venndiagram opgebouwd door een zo eenvoudig mogelijke veelhoek. 5. Bedenk een symmetrisch Venndiagram opgebouwd uit alleen maar horizontale en verticale lijnstukken.

BRONNEN The search for simple symmetric Venn diagrams’, Notices Amer. Math. Soc., 2006; Alex van den Brandhof , ‘Symmetrisch Venndiagram voor 11 verzamelingen ontdekt’, Kennislink, augustus 2012; de website van Frank Ruskey en Mark Weston over Venndiagrammen. Uit: Pythagoras (www.pyth.eu)

1. Bedenk een variant van een zo symmetrisch mogelijk 4-Venndiagram. (Venn gaf er zelf al een, zie figuur 5.) Het hoeft niet enkelvoudig te zijn en (natuurlijk) niet rotatiesymmetrisch. Kan het met vier krommen die congruent zijn? Kan het met vier verschillende krommen die wel stuk voor stuk zeven snijpunten hebben? 2. Bedenk een zo symmetrisch mogelijk 6-Venndiagram. Het hoeft niet enkelvoudig te zijn en Figuur 9 Een detail van de figuur op de cover van dit Vectornummer: het enkelvoudig rotatiesymmetrische Venndiagram voor elf verzamelingen van Khalegh Mamakani en Frank Ruskey (illustratie: Frank Ruskey en Mark Weston).

Vector4_jan2019.indd 22

21/12/18 13:55

23

Vector4_jan2019.indd 23

21/12/18 13:55

24

TIPS VOOR EEN WISKUNDEUITSTAP WISKUNDEWANDELING MECHELEN Mechelen ontdekken en ondertussen wiskundige problemen oplossen? Dankzij de lerarenopleiding Secundair Onderwijs van Thomas More Mechelen kan het! Zij ontwikkelden een wiskundewandeling die je aan de hand van een handige en gratis app aflegt. De wandeling duurt maximum twee uur en leidt je langs de meest pittoreske plekjes van Mechelen. Meer info vind je op www.thomasmore.be/ wiskundewandeling-mechelen ESCAPE ROOMS Escape rooms zijn al een tijdje aan een opmars bezig. Het concept is simpel: je wordt opgesloten in een kamer en je moet binnen het uur ontsnappen door een reeks raadsels en puzzels op te lossen. De code van een cijferslot kraken, logische raadsels oplossen, formules ontcijferenâ&#x20AC;Ś Reken maar dat je wiskundige vaardigheden op de proef worden gesteld. Op de website escapegamesbelgium.be vind je een overzicht van alle Escape rooms in BelgiĂŤ. ESCHER IN HET PALEIS Een bezoek aan het Eschermuseum kan uiteraard niet ontbreken op dit lijstje. De Nederlandse kunstenaar Escher (1898-1972) verzoende wiskunde en kunst in surrealistische en geometrische houtsneden, gravures

Vector4_jan2019.indd 24

21/12/18 13:55

25

en lithografieën. Je ontdekt zijn wonderbaarlijke werken in de permanente collectie van Escher in het Paleis, die meer dan honderdvijftig werken telt. Een trip naar Den Haag meer dan waard! Meer info: www.escherinhetpaleis.nl. EN VOOR DE DROMERS... Waarschijnlijk valt een trip naar London of New York budgettair moeilijk te verantwoorden, maar deze twee internationale wiskundetempels wilden we je niet onthouden. Een mens mag al eens dromen, niet?

Vector4_jan2019.indd 25

De Mathematics: The Winton Gallery in het London Science Museum opende in 2016. Het museum toont fascinerende wiskundige objecten en de verhalen van de wiskundigen erachter. Niet alleen de objecten, ook de galerij zelf ademt wiskunde. Centraal in de ruimte, die een windtunnel voorstelt, hangt een experimenteel vliegtuig uit 1929. De luchtstromen rondom het vliegtuig zijn wiskundig berekend en komen overal terug in de ruimte, zowel in 3D-structuren als in de vloer. Adembenemend!

Het MoMath, of het National Museum of Mathematics in New York is, zeggen ze zelf, ‘The coolest thing that ever happened to math’. De missie van het MoMath? De abstracte wetenschap die wiskunde heet toegankelijk, tastbaar en memorabel maken voor kinderen. En voor volwassenen die trauma's hebben overgehouden aan hun lessen wiskunde. Het interactieve museum ontsluiert de magie van wiskunde en toont hoeveel wiskunde er schuilgaat in de vormen en patronen die je overal rondom je vindt.

21/12/18 13:55

26 WISKUNDE & ONDERWIJS

UIT DE KLAS GEKLAPT I S A B E L G O F FA

MOGELIJKE INZICHTSVRAGEN CONTINUÏTEIT, LIMIETEN EN ASYMPTOTEN Zoals ik jullie reeds in mijn vorige artikels liet weten, zijn wij sinds het schooljaar 2017-2018 bij ons op school begonnen met de studierichting wetenschappen-wiskunde-STEM (Science, Technology, Engineering, Ma- thematics) in de derde graad. Naast de zes uur wiskunde die zij sowieso elke week krijgen, wordt er nog een extra zevende uur gegeven, met leerstof wiskunde die toegepast wordt op/in STEM-projecten. Op de laatste jaarvergadering van de VVWL (Vereniging Vlaamse Wiskunde Leraars) merkte ik dat er bij sommige collega’s een lichte angst de kop begon op te steken. De angst over het feit dat het belang van het vak STEM het belang van het vak wiskunde aan het overstijgen was en dat dit wel eens zou kunnen leiden tot een daling van het niveau van ons wiskundeonderwijs in Vlaanderen. In beperkte mate begrijp ik deze bezorgdheid. Wiskunde moet inderdaad alsmaar meer toepasbaar worden en het nut van het (te) abstract denken van het vak wiskunde werd de laatste jaren in de media meermaals in vraag gesteld. Het is echter niet omdat je nu als leraar meer tijd en energie besteedt aan toepassingen dan pakweg twintig jaar geleden, dat je geen ruimte meer hebt om tijd te besteden aan

Vector4_jan2019.indd 26

abstractere leerstof. Je leerlingen in het middelbaar onderwijs reeds laten kennis maken met het abstract leren denken en redeneren, dat vaak eigen is aan ons universitair onderwijs, blijft zeker een belangrijke uitdaging voor elke wiskundeleraar. De vorige twee artikels ’Uit de klas geklapt’ werden gewijd aan wiskundige toepassingen en daarom werd het tijd een artikel te schrijven over inzichtsvragen analyse die je, als leraar wiskunde derde graad, met je leerlingen kan behandelen (of toetsen). Ook al gaat het zeker niet altijd over basisleerstof uit het leerplan, je kan proberen deze leerstof te behandelen in de complementaire uren. Je zal zien dat niet alle leerlingen bij zulke inzichtsvragen zullen zuchten, maar dat er ook talrijke leerlingen geboeid zullen raken, omdat ze leren op een andere manier met de leerstof om te gaan. Daar waar ze meestal een functievoorschrift krijgen, moeten ze bij deze oefeningen immers zelf op zoek gaan naar (tegen)voorbeelden en functievoorschriften. Bij ons op school blijft het vak wiskunde één van de belangrijkste vakken in de STEM-richting, ook het abstractere deel ervan. Onze directie is erg begaan met het niveau van het wiskundeonderwijs en tot u spreekt dan ook een gelukkige en dankbare leerkracht. Want het continu asymptotisch streven naar een goed evenwicht tussen abstractheid en

toepasbaarheid is net één van de vele dingen die onze job zo boeiend maakt! Zijn volgende uitspraken waar of vals voor een reële functie ? Verklaar met een (tegen)voorbeeld! van het 1. In een geïsoleerd punt is discontinu. domein van is continu in 2. Een reële functie elk punt van haar domein. zal enkel 3. Een rationale functie een verticale asymptoot hebben in als een pool (nulwaarde die geen noemer) is van nulwaarde (teller) is van . 4. Zodra je het functievoorschrift van krijgt, kan een rationale functie je voorspellen of er een schuine asymptoot zal zijn. een 5. Als de irrationale functie horizontale asymptoot heeft, dan heeft ze er maximum één.

OPLOSSINGEN 1. VALS! van het In een geïsoleerd punt is continu omdat de domein van definitie er voldaan is. Een functie in  in een punt slechts als

is immers continu met als en

21/12/18 13:55

27

Voor elke , kan je immers klein genoeg nemen opdat er geen enkele van het domein en verschillend in het interval van ligt en dus is de bovenstaande definitie voldaan. Zie, bijvoorbeeld hiernaast (figuur 2). Het domein van deze functie is . In vind je een geĂŻsoleerd punt van het domein en er ligt geen enkele van het domein van de functie en verschillend . van 3 in het interval 2. VALS! is continu in Niet elke reĂŤle functie elk punt van haar domein. Denk bijvoorbeeld aan de functie . De met als voorschrift -functie, ook wel de functie van Legendre of integer-functie genoemd, is de functie die elke -waarde af-

Figuur 2

beeldt op het grootste geheel getal kleiner dan of gelijk aan . Deze functie is enkel continu in alle , terwijl het domein van is. Zie figuur 2. deze functie

3. VALS! Een rationale functie zal NIET enkel een verticale asymptoot hebben met als een pool als vergelijking die geen nulwaarde is van . is van een pool is die ook een Als met een hogere nulwaarde is van multipliciteit, zal de grafiek een vertien cale asymptoot hebben in zal er zich geen perforatie bevinden . op de grafiek voor Bekijk hiervoor, bijvoorbeeld, de functie met als voorschrift

Als je de limiet voor gaande naar berekent, kom je in eerste instantie uit, waardoor leerlingen vaak foutief veronderstellen dat daar perforatie zit. Maar, na het toepassen van de rekenregels voor limieten, weet je dat Figuur 1

Vector4_jan2019.indd 27

een verticale asymptoot van de functie zal zijn.

21/12/18 13:55

28

Merk op dat zeggen dat de graad exact 1 graad van de teller van hoger is dan de graad van de noemer een nodige voorwaarde is opdat er een schuine asymptoot aanwezig zou zijn, maar niet voldoende.

4. WAAR! Zodra je het functievoorschrift van krijgt, kan een rationale functie je inderdaad voorspellen of er een schuine asymptoot zal zijn. Als een rationale functie immers een schuine asymptoot met vergelijking heeft, zal de graad van de teller exact 1 graad hoger moeten zijn dan de graad van de noemer, en dan kan je deze berekenen door

Zo heeft de functie met als voorschrift

een perforatie op de grafiek voor , maar geen schuine asymptoot. en

5. VALS! Een irrationale functie kan twee horizontale asymptoten hebben. Doordat

Bijgevolg, zal als de exact graad van de teller van 1 graad hoger is dan de graad van de noemer. Zo kan je, bijvoorbeeld, berekenen dat de rationale functie met als voorschrift

en

Maar anderzijds geldt

Bijgevolg heeft de irrationale functie met als voorschrift

twee horizontale asymptoten, nameen . lijk

Uw bijdragen en opmerkingen zijn welkom adres: Vakgroep Wiskunde Atheneum De Ring, Tiensevest 62, 3000 Leuven Isabel Goffa: igoffa@vub.ac.be Geetkouterstraat 60, 3350 Linter Uit: Wiskunde & Onderwijs, tijdschrift van VVWL

als geldt, na het toepassen van de rekenregels voor limieten, enerzijds dat

een schuine asymptoot heeft met als . vergelijking

KANGOEROE, EDITIE WALLABIE 2017, VRAAG 15 Zara verdeelt een rechthoek in 6 vierkanten. De oppervlakte van 2 vierkanten is gegeven. Wat is de oppervlakte van de rechthoek? A

132 cm2

Vector4_jan2019.indd 28

B

143 cm2

C

154 cm2

D

165 cm2

E

176 cm2

Š Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

OEFENING

21/12/18 13:55

Bewijs zonder woorden

29

Nog geen lid van de VVWL? Meld je nu aan als nieuw lid via www.vvwl.be Vector4_jan2019.indd 29

21/12/18 13:55

30 UITWISKELING

ECONOMISCHE CONTEXTEN IN WISKUNDELESSEN JOHAN DEPREZ, ANN LAEREMANS, ANN MAES

- R E DAC T I E U I T W I S K E L I N G

Heel wat leerlingen in het secundair onderwijs volgen een economisch getinte studierichting: economie-wiskunde, economie-moderne talen, handel, boekhoudeninformatica… Het is zeker goed om bij deze leerlingen nu en dan economische toepassingen in de wiskundeles te behandelen. Dat is nog nadrukkelijker het geval als ze van plan zijn om in het hoger onderwijs verder te gaan met een economische opleiding. Daar zal wiskunde immers vaak nog een belangrijke rol spelen, ook in de economische opleidingsonderdelen. Maar los daarvan, en ook in studierichtingen die niet economisch zijn, kun je leerlingen boeien met economische toepassingen. Economische topics zijn echter nog niet zo sterk doorgedrongen in wiskundelessen. Een van de hinderpalen bij het integreren van toepassingen uit andere disciplines in wiskundelessen is dat wiskundeleraren niet noodzakelijk een goede achtergrond hebben in die andere disciplines, in dit geval economie. Met dit artikel proberen we daar een beetje verandering in te brengen. De context die we hier willen belichten, gaat over optimale verdeling van geproduceerde goederen over twee markten en is geschreven voor de tweede graad. We hebben dit uitgewerkt onder de vorm van werkteksten. Op die manier kun je heel concreet zien hoe je het in de les kunt aanpakken. Dat neemt niet weg dat je gerust voor een andere werkvorm kunt kiezen. De werkteksten kunnen je bijvoorbeeld inspireren voor een onderwijsleergesprek over het onderwerp in kwestie. OPTIMALE VERDELING OVER TWEE MARKTEN Bij zeer eenvoudige economische problemen slagen de leerlingen er soms in tot de juiste oplossing te komen

Vector4_jan2019.indd 30

zonder variabelen of functies te gebruiken. In dit artikel leggen we de leerlingen eerst zo’n eenvoudig probleem voor en moedigen we hen aanvankelijk ook aan om het probleem zo op te lossen. Vervolgens confronteren we hen met vergelijkbare problemen in een context waarin dat geen optie meer is. We leiden hen stap voor stap naar het opstellen van het voorschrift van een aantal eerste- en tweedegraadsfuncties. Zo laten we zien dat ze zelf in staat zijn een probleem dat aanvankelijk ingewikkeld leek, op te lossen door gebruik te maken van de kennis van dit soort functies die ze in de wiskundelessen verworven hebben.

L E S AC T I V I T E I T

OPTIMALE VERDELING OVER TWEE MARKTEN: ALLE MOGELIJKHEDEN OP EEN RIJTJE Probleem 1: Verkoop je gewonnen tickets Je hebt op Studio Brussel een quizvraag correct beantwoord en wint daarmee 10 tickets voor een optreden. Het optreden vindt echter plaats net op het moment dat jij met vakantie bent. Je beslist daarom de tickets te verkopen. Je vindt twee vrienden die elkaar niet kennen en die wel wat voelen voor dit concert. Ze willen een aantal tickets kopen aan een vaste prijs. Naarmate de prijs per ticket daalt, zijn ze bereid er meer te kopen. Je eerste vriend wil geen tickets kopen indien de prijs per ticket 24 euro of meer bedraagt. Indien de prijs per ticket 23 euro bedraagt, wil hij één ticket kopen, aan 22 euro per ticket is hij bereid er twee te kopen. Stel dat het aantal tickets dat deze vriend wil kopen telkens met één daalt, wanneer de prijs per ticket met één euro stijgt. Het (de letter wordt verband tussen het aantal tickets

21/12/18 13:55

31

gewoonlijk gebruikt voor een hoeveelheid en verwijst naar het Engels quantity of het Frans quantité) dat je per ticket kan eerste vriend wil kopen aan een prijs . In economie dus beschreven worden door wordt een functie met als afhankelijke veranderlijke de gevraagde hoeveelheid van een product en als onafhankelijke veranderlijke de prijs per eenheid (per stuk, per kg…) voor dat product een vraagfunctie genoemd. Het kan ook geschreven worden als verband . Deze vorm laat toe te bepalen welke prijs tickets per ticket je kunt aanrekenen wanneer je exact wilt verkopen. Dit is een voorbeeld van wat in economie een inverse vraagfunctie genoemd wordt: een functie met als afhankelijke veranderlijke de prijs per eenheid van een product en als onafhankelijke veranderlijke de gevraagde hoeveelheid van dit product. 1. Hoeveel tickets wil hij kopen indien je 20 euro per ticket aanrekent? En indien je 16 euro per ticket zou vragen? 4 tickets aan 20 euro per stuk en 8 tickets aan 16 euro per stuk Je tweede vriend wil geen tickets kopen indien de prijs per ticket 20 euro of meer bedraagt. Indien de prijs per ticket 19 euro bedraagt, wil hij één ticket kopen, aan 18 euro per ticket is hij bereid er twee te kopen. Stel dat ook het aantal tickets dat deze vriend wil kopen telkens met één daalt wanneer de prijs per ticket met één euro stijgt.

Je streeft ernaar zoveel mogelijk geld te ‘verdienen’ met de verkoop van je tickets als extraatje voor je vakantie. Via onderstaande tabel trachten we te weten te komen hoeveel tickets je daartoe aan elk van beide vrienden moet verkopen. 5. We bekijken eerst de mogelijkheid dat je geen enkel ticket verkoopt aan je eerste vriend. Hoeveel tickets zul je in dat geval willen verkopen aan je tweede vriend? Welk bedrag zul je per ticket aanrekenen aan je tweede vriend? Je verkoopt alle 10 de tickets aan je tweede vriend en rekent daarvoor 10 euro per ticket aan. ,Van je eerste vriend ontvang je in dat geval uiteraard niets. 6. Welk bedrag ontvang je van je tweede vriend? Van je tweede vriend ontvang je 10 maal 10 euro, dus 100 euro. 7. Vul de eerste lijn in de volgende tabel aan met de antwoorden op vragen 5 en 6. Aantal tickets dat je verkoopt aan je eerste vriend 0

Aantal tickets dat je verkoopt aan je tweede vriend

Bedrag dat je ontvangt van je eerste vriend

Bedrag dat je ontvangt van je tweede vriend

Totale bedrag dat je ontvangt door je tickets te verkopen

0

2. Wat is het voorschrift van de vraagfunctie voor je tweede vriend? Het voorschrift van de vraagfunctie voor je tweede . vriend is 3. Wat is het voorschrift van de inverse vraagfunctie voor je tweede vriend? Het voorschrift van de inverse vraagfunctie voor je . tweede vriend is 4. Hoeveel tickets wil je tweede vriend kopen indien je 20 euro per ticket aanrekent? En indien je 16 euro per ticket zou vragen? Geen enkel ticket aan 20 euro per stuk en 4 tickets aan 16 euro per stuk

Vector4_jan2019.indd 31

8. Vul nu de volgende lijnen van de tabel in door analoge berekeningen te maken. Antwoord vraag 7 en 8:

21/12/18 13:55

32

Aantal tickets dat je verkoopt aan je eerste vriend

Aantal tickets dat je verkoopt aan je tweede vriend

Bedrag dat je ontvangt van je eerste vriend

Bedrag dat je ontvangt van je tweede vriend

Totale bedrag dat je ontvangt door je tickets te verkopen

0

10

0

100

100

1

9

23

99

122

2

8

44

96

140

3

7

63

91

154

4

6

80

84

164

5

5

95

75

170

6

4

108

64

172

7

3

119

51

170

8

2

128

36

164

9

1

135

19

154

10

0

140

0

140

9. Hoeveel tickets zal je aan elk van beide vrienden verkopen? Uit de vervolledigde tabel kunnen we aflezen dat je het meeste ontvangt indien je 6 tickets verkoopt aan je eerste en 4 tickets aan je tweede vriend.

Probleem 2: Verdeling van pc’s over de Belgische en Nederlandse markt Een ondernemer produceert 1000 stuks van een pc en wil die gedeeltelijk in België en gedeeltelijk in Nederland verkopen. Het aantal van deze pc’s die de Belgen willen kopen hangt samen met de prijs die ervoor gevraagd wordt. De vraagfunctie voor de Belgische markt wordt . Hierbij stelt het gegeven door aantal stuks voor dat de Belgen bereid zijn te kopen en de prijs per stuk die de ondernemer aanrekent op de

In de volgende werktekst gaan we op zoek naar een methode die ons toelaat op een efficiënte manier de optimale verdeling te berekenen in elk van bovenstaande problemen.

Vector4_jan2019.indd 32

Belgische markt. Nederlanders zijn anders dan Belgen. Op de Nederlandse markt geldt een andere vraagfunctie, , waarbij het aantal stuks namelijk voorstelt dat de Nederlanders bereid zijn te kopen en de prijs per stuk die de ondernemer aanrekent op de Nederlandse markt. De ondernemer wil de 1000 stuks die hij te koop heeft natuurlijk zo verdelen over beide markten dat zijn totale ontvangsten zo groot mogelijk zijn. 10. Stel dat de ondernemer jouw advies vraagt. Kun je de optimale verdeling van de 1000 stuks over de Belgische en Nederlandse markt in dit geval nog bepalen door concreet alle mogelijkheden te onderzoeken? Dat kan in principe, maar het is duidelijk dat het concreet onderzoeken van alle mogelijkheden in dit geval erg omslachtig is.

Probleem 3: Verdeling van kaviaar over de Belgische en Nederlandse markt Veronderstel dat het in probleem 2 niet gaat over 1000 pc’s maar over 1000 kilogram kaviaar. Dan kunnen ook en zinvol zijn. niet-gehele waarden voor 11. Stel dat de ondernemer uit dit probleem jouw advies vraagt. Kun je de optimale verdeling van de 1000 kilogram over de Belgische en Nederlandse markt in dit geval nog bepalen door concreet alle mogelijkheden te onderzoeken? Omdat ook niet-gehele waarden voor en zinvol zijn, is het concreet onderzoeken van alle mogelijkheden via een tabel in dit geval helemaal onbegonnen werk.

L E S AC T I V I T E I T

OPTIMALE VERDELING OVER TWEE MARKTEN: MET EEN FUNCTIE In deze werktekst gaan we op zoek naar een methode die niet alleen toelaat te berekenen hoe je jouw 10 tickets het best kunt verdelen over je twee vrienden, maar die ook geschikt is om op een efficiënte manier advies te

21/12/18 13:55

33

verlenen aan de ondernemers uit problemen 2 en 3. We introduceren de methode aan de hand van probleem 1 en passen ze nadien toe op de problemen 2 en 3.

Probleem 1: Verkoop je gewonnen tickets We zullen daarvoor in probleem 1 de grootheden in alle kolommen van de tabel uitdrukken in termen van het dat je verkoopt aan je eerste vriend. aantal tickets 1. Geef een voorschrift dat toelaat de waarde van . te berekenen in functie van Omdat je in totaal 10 tickets wilt verkopen moet en dus . Het bedrag dat je ontvangt van je eerste vriend, noteren we met , het bedrag dat je ontvangt van je tweede vriend met , en het bedrag dat je ontvangt van beide vrienden samen met . 2. Stel een voorschrift op dat . van

6. Welk soort functie wordt beschreven door het voorschrift dat je in het antwoord op vraag 5 vond? Beschrijf de grafiek van deze functie. Het voorschrift uit het antwoord op vraag 5 beschrijft een tweedegraadsfunctie. De grafiek van deze functie is negatief is, is een parabool. Omdat de coëfficiënt van deze parabool een bergparabool. 7. Bepaal de waarde van waarvoor het totale bedrag maximaal is. De maximale waarde van wordt bereikt voor

, uitdrukt in termen

3. Stel een voorschrift op dat het bedrag termen van .

uitdrukt in

4. Gebruik de antwoorden op vraag 1 en vraag 3 nu om een voorschrift op te stellen dat het bedrag . uitdrukt in termen van Wanneer we de uitdrukking uit het antwoord op vraag 1 invullen in de uitdrukking uit het antwoord op vraag 3, dan krijgen we de uitdrukking

die het bedrag dat je ontvangt van je tweede vriend inderdaad uitdrukt in termen van . 5. Gebruik ten slotte de antwoorden op vraag 2 en vraag 4 om een voorschrift op te stellen dat het totale bedrag dat je ontvangt door je tickets te verkopen . Werk dit voorschrift vervoluitdrukt in termen van gens zo ver mogelijk uit.

Vector4_jan2019.indd 33

Het totale bedrag dat je ontvangt door tickets te verkopen aan je eerste vriend en de overblijvende tickets aan je tweede vriend is de som van de uitdrukkingen uit antwoorden 2 en 4. Deze totale ontvangsten kunnen dus uitgedrukt worden in termen als volgt: van

8. Hoeveel tickets zul je verkopen aan je eerste vriend? En aan je tweede? Om zoveel mogelijk ‘winst’ te maken uit de verkoop van de 10 gewonnen tickets, moet je 6 tickets verkopen aan je eerste vriend en de resterende 4 tickets aan je tweede vriend. 9. Vergelijk je antwoord met de conclusie die je eerder trok in het antwoord op vraag 9 in de vorige werktekst.

Probleem 2: Verdeling van PC’s over de Belgische en Nederlandse markt 10. Stel het voorschrift op voor de totale ontvangsten TO van de ondernemer uit probleem 2 in functie van het die hij verkoopt op de Belgische markt. aantal pc’s Bemerk de naam die we voor de functie gebruiken: in wiskunde, economie… gebruikt men vaak betekenisvolle namen voor een functie. Een functie wordt dan … maar eerder niet altijd aangeduid met de letter met een ‘naam’ die verwijst naar de betekenis ervan, voor totale ontvangsten. zoals

21/12/18 13:56

34

Door in

de gegeven verbanden en in te vullen, vinden we volgende uitdrukking voor de totale ontvangsten: . Omdat de ondernemer in totaal 1000 stuks wil verkopen, moet en dus . Bijgevolg geldt dat . Deze laatste uitdrukking kan vereenvoudigd worden tot . 11.Berekenen door gebruik te maken van dit voorschrift hoeveel eenheden de ondernemer moet verkopen op de Belgische markt om zijn totale ontvangsten op de Belgische en Nederlandse markt samen te maximaliseren. Bereken ook de maximale waarde van de ontvangsten die hij kan genereren uit de verkoop van de 1000 stuks op beide markten samen. De tweedegraadsfunctie met als voorschrift bereikt haar . De ondernemer moet dus 525 maximum bij stuks verkopen op de Belgische markt (en de resterende 475 stuks op de Nederlandse markt) om zijn totale ontvangsten te maximaliseren.

De totale ontvangsten bedragen in dat geval 951 250 euro. Merk op dat we dit resultaat te vervangen door 525 ook kunnen berekenen door . in het voorschrift

Probleem 3: Verdeling van kaviaar over de Belgische en Nederlandse markt 12 Welk advies zou je geven aan de ondernemer uit probleem 3? Leg uit waarom. In de oplossing van vraag 11 hebben we nergens en geheel zijn. gebruik gemaakt van het feit dat Alle berekeningen blijven dus geldig. We adviseren de ondernemer uit probleem 3 daarom 525 kilogram kaviaar te verkopen op de Belgische en 475 kilogram op de Nederlandse markt. Op die manier zullen zijn totale ontvangsten maximaal zijn.

Vector4_jan2019.indd 34

Een variant op probleem 2 en probleem 3 Stel dat de inverse vraagfunctie voor de pcâ&#x20AC;&#x2122;s uit probleem zou 2 op de Belgische markt voorschrift hebben en dat de inverse vraagfunctie voor dit product op zou blijven. Het de Nederlandse markt voorschrift voor de totale ontvangsten van de ondernemer zijn (dat hoef je zou dan niet na te rekenen). 13.Bereken hoeveel stuks de ondernemer in dit geval moet verkopen op de Belgische markt om zijn totale ontvangsten op de Belgische en Nederlandse markt samen te maximaliseren. De tweedegraadsfunctie bereikt haar maximum , wat geen zinvolle waarde is voor bij (het gaat over aantallen pcâ&#x20AC;&#x2122;s). Door gebruik te maken het (een bergpaverloop van de grafiek van de functie ), weten rabool met top en symmetrieas bij bereikt wordt we dat de maximale waarde van die zo dicht mogelijk voor de gehele waarde van . bij de symmetrieas ligt. In dit geval is dat De ondernemer zal daarom ook in dit geval zijn totale ontvangsten op beide markten samen maximaliseren door 525 stuks op de Belgische en 475 stuks op de Nederlandse deelmarkt aan te bieden. 14. Veronderstel dat we in probleem 3 dezelfde verandering zouden aanbrengen in de inverse vraagfunctie voor kaviaar voor de Belgische markt. Wat zou dan de optimale verdeling over de markten zijn? De berekeningen zijn dezelfde als bij de vorige oefening. Doordat we ook een niet-geheel aantal kilogram kaviaar kunnen verkopen, hoeven we nu echter niet over te gaan op een geheel getal als antwoord en verkopen we dus 525,25 kg op de Belgische markt en 474,75 kg op de Nederlandse markt.

Deze bijdrage verscheen in Uitwiskeling 31/3 als deel van een artikel over economische contexten in wiskundelessen. Benieuwd naar meer? Op de webstek www.uitwiskeling.be vind je alle info. Daar kun je ook de werkteksten uit het artikel downloaden.

21/12/18 13:56

35 VWO

KANGOEROE: REKEN, DENK EN PUZZEL MEE MET MEER DAN 89 000 ANDERE LEERLINGEN! KANGOEROE IS EEN INTERNATIONALE REKEN-, DENK- EN PUZZELWEDSTRIJD. WERELDWIJD NEMEN MEER DAN 6 MILJOEN LEERLINGEN DEEL; DIT IS WERKELIJK UNIEK. OOK JULLIE SCHOOL EN LEERLINGEN MOGEN DIT NIET MISSEN. Voor het elfde jaar op rij is de organisatie van Kangoeroe in Vlaanderen in handen van de Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw. Van 25 829 deelnemers (uit 458 scholen) in 2009 groeide Kangoeroe tot maar liefst 89 655 deelnemers (uit 1083 scholen) in 2018. Ongeveer 1 leerling op 3 uit de eerste graad van het secundair onderwijs rekent, denkt en puzzelt samen met Kangoeroe! Maar ook in het lager onderwijs wagen ieder jaar steeds meer scholen de Kangoeroesprong. Bovendien kan Kangoeroe wijdverspreid over heel Vlaanderen rekenen op heel wat enthousiaste leerlingen, leerkrachten, ouders … Dit blijkt des te meer uit het onderstaande kaartje waarop elke deelnemende school is aangeduid. Een rood ballonnetje stelt een lagere school voor; een blauw ballonnetje wijst op een secundaire school. Neem zeker eens een kijkje naar het interactieve kaartje op www. kangoeroe.org!

Vector4_jan2019.indd 35

VOOR JONG EN OUD Deelnemen aan Kangoeroe kan vanaf het eerste leerjaar lager onderwijs tot en met het tweede jaar secundair onderwijs. We onderscheiden vijf edities waardoor iedere deelnemer een vragenpakket op maat krijgt: • Wombat: eerste en tweede leerjaar lager onderwijs; • Springmuis: derde en vierde leerjaar lager onderwijs; • Koala: vijfde en zesde leerjaar lager onderwijs; • Wallaroe: eerste en tweede leerjaar secundair onderwijs (B-stroom);

• Wallabie: eerste en tweede leerjaar secundair onderwijs (A-stroom). De editie Wombat bestaat uit 15 leuke meerkeuzevraagjes die de juf of meester voorleest en waarvan de eerste klassikaal wordt opgelost. De leerlingen krijgen hiervoor ongeveer 50 minuten de tijd. Voor de andere vier edities bestaat de wedstrijd uit 24 originele meerkeuzevragen die eenvoudig beginnen en gaandeweg iets pittiger worden. De wedstrijdduur bedraagt 50 minuten voor Springmuis en Koala en 75 minuten voor de edities Wallaroe en Wallabie.

21/12/18 13:56

36

• Past deze datum niet in de planning van de school? Dan kan je deelnemen in de uitwijkperiode die loopt vanaf 22 maart tot en met 25 april. PRIJZENPOT Zoals de vorige jaren bouwen we opnieuw aan een mooie prijzenpot met heel wat attenties voor de deelnemers! Om zoveel mogelijk leerlingen te belonen voor het betere reken-, denk- en puzzelwerk zijn er verschillende soorten prijzen. • Deelnemersprijzen zijn er voor iedere leerling. Zo ontvingen alle leerlingen in 2018 een gepersonaliseerd getuigschrift van deelname en een feestelijke Kangoeroe-slijper. • In elke school ontvangen heel wat leerlingen met de beste scores een percentielprijs. Vorig jaar waren er zeven verschillende percentielprijzen: de logicaspellen “Jump’In” en "Temple Connection” van Smart Games, de 3D-puzzels “Racing Wire Puzzle” en “Mini Wire Puzzle” van Eureka Puzzles, het door Kangoeroe zelf ontwikkelde logisch denkspel "Pentomino" en een in elkaar te puzzelen Kangoeroekubusje. Voor de editie Wombat krijgt de school een pakketprijs waarbij de scores van de leerlingen geen rol spelen. Neem je met Springmuis, Koala, Wallaroe of Wallabie deel op de officiële wedstrijddatum? Dan maken je leerlingen ook kans op de volgende prijzen. KIES ZELF WANNEER Kangoeroe wordt op school georganiseerd. Deelnemen gebeurt dus in de eigen vertrouwde klasomgeving. De school kiest zelf de wedstrijddatum en het precieze aanvangstijdstip.

Vector4_jan2019.indd 36

Deelnemen aan Kangoeroe kan op twee wedstrijdmomenten: op de officiële wedstrijddatum of tijdens de uitwijkperiode. • De officiële wedstrijddatum is donderdag 21 maart 2019.

• Alle leerlingen die in hun provincie en editie een top 100-plaats hebben bemachtigd, ontvangen een provincieprijs in de vorm van een officieel top 100-diploma.

21/12/18 13:56

37

• De allerbeste leerlingen over heel Vlaanderen worden beloond met zogenaamde primusprijzen zoals een avonturenweek Euro Space Center, een Samsung Galaxy-tablet, een drone … • De beste klassen met minstens 10 deelnemende leerlingen winnen een klasprijs. HOE NEEM JE DEEL? Krijg je stilaan ook de Kangoeroekriebel te pakken en wens je met jouw school deel te nemen? Dan heeft je school een schoolverantwoordelijke nodig. Deze persoon is onze contactpersoon bij uitstek. Indien je reeds deelnam of een schoolverantwoordelijke aan ons bekendmaakte, hoef je helemaal niets te doen. Hij/Zij wordt namelijk automatisch op de hoogte gebracht van de nieuwe Kangoeroejaargang. Heeft je school nog geen schoolverantwoordelijke, zoek dan snel een leerkracht, directielid, zorgcoördinator … die zich als schoolverantwoordelijke wenst op te geven. Aanmelden als schoolverantwoordelijke kan eenvoudig via www.kangoeroe.org en dit tot en met 27 januari 2019. Alle schoolverantwoordelijken krijgen toegang tot een persoonlijke ruimte op onze website waar informatie specifiek voor de eigen school terug te vinden is. Via die weg kan de verantwoordelijke eenvoudig leerlingen inschrijven, alle betaalinformatie raadplegen, de resultaten van de eigen leerlingen raadplegen … Het inschrijven van leerlingen kan tot en met 5 februari 2019. Deelnemen aan Kangoeroe kost € 2,50 per leerling.

Vector4_jan2019.indd 37

Enkele dagen voor de wedstrijddatum ontvangt de schoolverantwoordelijke van ons voldoende vragenboekjes en persoonlijke antwoordformulieren voor alle leerlingen. Bovendien voorzien we een leuke attentie voor iedereen! De leerkracht van de Wombatleerlingen geeft na afloop de antwoorden van de leerlingen in via de website. Voor de vier andere edities stuurt de schoolverantwoordelijke de antwoordformulieren naar ons terug en zorgen wij voor de verbetering. Enkele weken later ontvangt de schoolverantwoordelijke de resultaten van de leerlingen waarna het prijzenpakket naar school wordt verstuurd. Hierbij ontvangt iedere leerling een gepersonaliseerd getuigschrift van deelname! Neem gerust een kijkje naar de resultaten van de vorige jaren op www.kangoeroe.org. Waag de Kangoeroesprong en neem samen met meer dan 89 000 andere leerlingen in Vlaanderen deel aan Kangoeroe. Reken, denk en puzzel mee met je leerlingen! Er zijn alleen winnaars: de leerlingen omdat ze kennismaken met oefeningen die naast schoolse kennis ook een creatieve aanpak belonen; jijzelf en je school omdat je ervaring opdoet met oefeningen die internationaal waardering krijgen.

SAMENGEVAT KANGOEROEWEDSTRIJD 2019 PARTNER VAN DE INTERNATIONALE KANGOEROEWEDSTRIJD Wanneer? De officiële wedstrijddatum is donderdag 21 maart 2019. Je kan ook deelnemen op een zelfgekozen dag tijdens de uitwijkperiode. Hoe inschrijven? Via de schoolverantwoordelijke. Nieuwe schoolverantwoordelijken melden zich aan op www.kangoeroe.org vóór 27 januari 2019. Wanneer inschrijven? Van 1 december 2018 tot 5 februari 2019.

Wie zijn wij? Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw, KU Leuven Kulak, E. Sabbelaan 53, 8500 Kortrijk. Je kan ons bereiken via kangoeroe@ kuleuven.be of 056 24 62 06.

Veel reken-, denk- en puzzelgenot!

21/12/18 13:56

38

RAPUNZELGETAL BEPAALT HOE MOOI DE PAARDENSTAART VALT NATUURKUNDIGEN VATTEN HAARGOLVEN IN FORMULE H I L D E VA N D E N E Y N D E

- R E DAC T R I C E W E T E N S C H A P D E S TA N DA A R D

dieptekennis van de materie heeft die fascinatie nooit opgeleverd. De eenvoudige vraag welke vorm een paardenstaart zal hebben, was lange tijd bijvoorbeeld niet van tevoren te voorspellen, maar slechts proefondervindelijk vast te stellen door je lange haren achter op je hoofd bijeen te binden en vervolgens te kijken hoe ze vallen.

OF OPGEBONDEN HAREN ALS PIERENVERDRIET NAAR BENEDEN ZULLEN VALLEN OF JUIST FRAAI UITWAAIEREN, IS MET EEN NATUURKUNDIGE FORMULE TE VOORSPELLEN.

Vector4_jan2019.indd 38

Delilah, die in de Bijbel de haren van Samson afsnijdt. Prinses Rapunzel, die in het sprookje van de gebroeders Grimm uit haar torenkamertje ontsnapt door van haar haren een klimtouw te maken. Leonardo da Vinci, die vijfhonderd jaar geleden al het gedrag van haren met de loop van een waterstroom vergeleek. Van oudsher zijn religie, wetenschap en kunst gefascineerd geweest door het verschijnsel haar. Maar veel

FORMULE Maar dankzij de inspanningen van de Britten Raymond Goldstein (hoogleraar aan de universiteit van Cambridge), R ­ obin Ball (hoogleraar aan de universiteit van Warwick) en Patrick Warren (Unilever), geen van allen dragers van een paardenstaart, is enkele jaren geleden een formule opgesteld waarmee de vorm van een paardenstaart kan worden berekend. Op een gemiddeld mensenhoofd staan honderdduizend haren, wat het een hele uitdaging maakt om haarna-haar vorm, lengte en textuur in een computermodel in te voeren en er vervolgens een formule uit te puren. Goldstein en zijn collega’s gebruikten

21/12/18 13:56

39

daarom haarstukjes, elk ‘slechts’ tienduizend haren dik en ongeveer vijfentwintig centimeter lang. De haarstukjes waren vervaardigd uit diverse soorten menselijk haar, van steil over golvend tot kroezend. Ze maten voor elk haarstukje de gemiddelde krullerigheid (curvatuur in natuurkundig jargon) van de haren. Vervolgens bonden ze de haarstukjes op tot een paardenstaart, en bepaalden zijn gemiddelde vorm. Met technieken uit de statistische fysica, die het gedrag beschrijven van grote aantallen met elkaar interagerende deeltjes, brachten ze de haarstukjes wiskundig in beeld. Ze gingen daarbij uit van de veronderstelling dat een streng haren zich gedraagt als een stroom water, zoals Leonardo da Vinci al aangaf, en dat de dichtheid van die streng afneemt naarmate de afstand tot het elastiekje dat de haren bijeenhoudt, vergroot.

Vector4_jan2019.indd 39

Rekening houdend met de onderling met elkaar rivaliserende stijfheid, veerkracht en golving van het haar en met de zwaartekracht, berekenden ze de mogelijke interactie tussen diverse soorten haren. Zo kwamen ze uit op de paardenstaartvergelijking, die de vorm van z’n haardracht voorspelt en een variant is op de natuurkundige formule die het dynamische gedrag van symmetrische vezelbundels voorspelt. Van bepalend belang in deze paardenstaartvergelijking is het Rapunzelgetal, dat het effect van de zwaartekracht op haren voorspelt, en afhankelijk is van hun lengte. Dat ene getal bepaalt welke vorm een paardenstaart krijgt: steil en afhangend (bij lang, niet krullend haar), of juist dik en uitwaaierend (bij eerder kort en springerig haar). Het Rapunzelgetal bepaalt met andere woorden hoe diep Rapunzel haar haren kan laten zakken, als haar prins onder aan de toren staat.

KAPPERSBRANCHE ‘De formule is eigenlijk opmerkelijk eenvoudig’, zegt Goldstein, gegeven het feit dat de paardenstaart voor lange tijd geen vanzelfsprekende zaak bleek te zijn. De paardenstaartformule en het Rapun­zel­getal zijn volgens hem handig voor allerlei zaken, zoals in de grafische industrie en voor de makers van computergeanimeerde tekenfilms. Voor de digitale tekenaars van Pixar en co. is de natuurlijke weergave van haar en vacht een uitdagend probleem. Maar naar de formule zal vast ook in de kappersbranche zijn uitgezien, blijkens de medewerking van het Sunlightlab van Unilever aan het onderzoek.  Uit: De Standaard, 14/02/2012

21/12/18 13:56

40

VIER KLEUREN ZIJN NODIG EN VOLDOENDE VOOR EEN LANDKAART* PAU L I G O D T E N C H R I S T O P H E S M E T

- KU LEUVEN, CAMPUS KULAK

Figuur 1: Om deze landkaart in te kleuren heb je vier verschillende kleuren nodig.

Augustus De Morgan

Leonhard Euler

Augustus De Morgan (1806-1871) - bekend van de “wetten van De Morgan” in de logica of de verzamelingenleer - was de eerste professor wiskunde van het inmiddels befaamde University College London. In oktober 1852 maakt hij in een brief aan William Hamilton (1805-1865) - professor sterrenkunde aan het Trinity College te Dublin,

en vooral bekend als bedenker van de quaternionen - melding van een probleem dat hij niet kon oplossen en vraagt hij om hulp. Francis Guthrie (1831-1899), wiens broer in 1852 student was bij De Morgan, had zich kort voordien verbaasd over het feit dat hij een kaart met de graafschappen van Engeland

enkel kon kleuren zó dat aangrenzende gebieden een verschillende kleur hadden, door gebruik te maken van slechts vier kleuren. Guthrie noch De Morgan konden zich een kaart voorstellen waarvoor je vijf kleuren nodig had. Het “vierkleurenvermoeden” was geboren! Dat deze eenvoudige verwondering nagenoeg tot op vandaag wiskundig onderzoek stimuleert en leidde tot een aantal verrassende verbanden, maar ook hevige discussies, had geen van deze drie wiskundigen allicht vermoed. Met onze bijdrage, een eerste in een reeks van twee, tonen we hoe

*∗ Op onze planeet, wel te verstaan. Meer hierover in het volgend nummer.

Vector4_jan2019.indd 40

21/12/18 13:56

41

dit probleem zich vertaalt in een equivalente versie, uitgedrukt in de taal van de grafentheorie. We hebben het ook heel bondig over het uiteindelijk “bewijs” van dit vermoeden. Om te eindigen deze keer, suggereren we een mooie opdracht die door leerlingen perfect uitvoerbaar is, en hen toelaat een beroemde formule te veroveren. In het volgende nummer van Vector leggen we uit hoe zelfs het feit dat wij op een bolvormige planeet leven invloed heeft op dit vraagstuk.

Figuur 2: De stereografische projectie.

VAN LANDKAART NAAR GRAAF Een land ligt natuurlijk op de planeet Aarde, die we voor de eenvoud zien als een perfect boloppervlak. Dat het toekennen van kleuren aan de landen op de planeet Aarde equivalent is met het kleuren van een landkaart op een vlak, zien we in door gebruik te maken van de stereografische projectie. Beeld je een bol in, met een “noordpool” ( ) bovenaan en rustend met de “zuidpool” op een horizontaal vlak. van het boloppervlak Elk punt bepaalt, samen met , een unieke rechte die het horizontaal vlak zal snijden. Dat snijpunt noemen we de stereografische projectie

Vector4_jan2019.indd 41

van . Alle punten van de bol (met uitzondering van de noordpool ) corresponderen op die manier bijectief met de punten van het horizontaal vlak. Een onderverdeling op het boloppervlak, wordt door overgeplaatst naar de projectie een onderverdeling van het vlak. Nu moeten we nog glashelder afspreken wat we begrijpen onder “aangrenzende” landen. We noemen twee landen op een landkaart aangrenzend als ze effectief een bepaalde gemeenschappelijke grens hebben. Elkaar enkel in een “drielandenpunt” raken wordt dus niet gezien als aangrenzend. Bovendien werken we met samenhangende landen, enclaves en exclaves zijn dus niet toegestaan. De landkaart (een onderverdeling van het vlak) kunnen we in een tweede fase vereenvoudigen tot een figuur met stippen (of toppen) en ribben. Elk land in de landkaart vervangen we daartoe door een stip (of top). Indien twee landen een gemeenschappelijke grens hebben, verbinden we de twee bijhorende toppen met een ribbe. Op die manier ontstaat een vlakke graaf (of planaire graaf), . Omdat de toppen in deze graaf staan voor de landen, wordt het vierkleurenvermoeden nu vertaald als: kunnen we elke top van deze graaf een kleur geven, zó dat toppen die verbonden zijn met een ribbe een verschillende kleur krijgen en we met vier kleuren volstaan? Formeel bestaat een graaf, uit twee verzamelingen: de verzameling van de toppen ( ) en de verzameling van de ribben ( ).

Figuur 3: Overgang van de landkaart naar de graaf, voor een deel van West-Europa (N: Nederland, B: België, L: Luxemburg, D: Duitsland, F: Frankrijk, Z: Zwitserland, I: Italië).

Elke ribbe verbindt twee stippen. noemen we “vlak” (of Een graaf planair) indien hij kan getekend worden in een vlak, zonder dat de ribben elkaar snijden in een ander punt dan een top. Een graaf noemen we samenhangend als elke top met elke andere top verbonden wordt door een opeenvolging van ribben. Het aantal ribben dat in een top samenkomt noemen we de orde (of valentie) van de top. In een vlakke graaf ontstaan nu ook “gebieden” die we de zijvlakken noemen. Een zijvlak van een vlakke graaf is een deel van het vlak dat omsloten wordt door een aantal ribben. Als we de ribben tekenen met lijnstukken, dan ziet een zijvlak er uit als een (onregelmatige) veelhoek. Er is ook steeds één speciaal zijvlak: de “buitenkant” van de graaf, eigenlijk een zijvlak met als rand alle buitenste ribben van de graaf. EULERKARAKTERISTIEK VAN EEN VLAKKE GRAAF In de achttiende eeuw reeds had een van de grootste wiskundigen, Leonhard Euler (1707-1783), zich intens toegelegd op de studie van grafen en in het bijzonder vlakke

21/12/18 13:56

42

grafen. Euler, geboren in Basel, kan gerust een wonderkind genoemd worden, en groeide uit tot een van de productiefste wiskundigen in de geschiedenis. Het grootste deel van zijn loopbaan bracht hij door in Berlijn en in Sint-Petersburg. Voor vlakke grafen toonde hij het volgende resultaat aan, dat pas vele decennia later ook in allerlei andere contexten betekenisvol werd. Stelling. Veronderstel dat een samenhangende vlakke graaf is met eindig veel toppen en noteer voor de verzameling van de zijvlakken van . Schrijf voor het aantal toppen , voor het aantal ribben en voor het aantal zijvlakken; dan . geldt We zeggen dat elke samenhangende vlakke graaf Eulerkarakteristiek 2 heeft. Het bewijs van dit resultaat is zelfs niet bijzonder moeilijk, en er zijn meerdere variante versies bekend. Het verloopt bijvoorbeeld per inductie op het aantal ribben, . , dan bestaat de graaf Als uit slechts één top. Er is dan ook slechts één zijvlak, en dus vinden we . Veronderstellen we even dat het resultaat geldt voor alle samenhangende grafen met ribben, en zij een samenhangende vlakke graaf ribben. Kies eender met welke ribbe. Als die ribbe twee verschillende punten verbindt, kunnen we ze laten krimpen tot een punt. Op die manier verdwijnt er 1 ribbe, maar ook 1 top uit de graaf, en blijft

Vector4_jan2019.indd 42

Figuur 4: Een eenvoudige vlakke graaf, met t = 7 toppen, r = 11 ribben en z = 6 zijvlakken (inclusief het buitengebied). Er geldt inderdaad dat t − r + z = 2. Het getal bij elke top is de valentie van die top, de letters geven de gebieden weer.

ongewijzigd gelijk aan 2, omwille van de inductie. Als die ribbe begint en eindigt in dezelfde top, is het een lus; deze bepaalt een zijvlak. Door de ribbe weg te laten, blijft het aantal toppen in dit geval ongewijzigd, maar is er een zijvlak minder. Andermaal blijft de ongewijzigd gelijk aan 2. Dat deze eenvoudige formule ons effectief iets leert, kunnen we illustreren met de volgende korte rekenoefening: enerzijds: als de valentie van een top gelijk is aan 2 (dit duidt op een land dat slechts 2 buurlanden zou hebben), dan is er geen kleurprobleem voor die top (of dat land). Laat ons daarom even veronderstellen dat elke top valentie minstens 3 heeft. Tellen we per top 3 ribben, dan hebben we de ribben eigenlijk dubbel geteld, omdat elke ribbe twee toppen aandoet. We vinden dus: of . anderzijds: zoals je weet wordt een

lederen voetbal gemaakt door het aan elkaar naaien van regelmatige veelhoeken. Zou dit kunnen met uitsluitend regelmatige zeshoeken? Dit zou betekenen dat elke top in de graaf valentie 6 (of meer) zou hebben. Daar zouden immers telkens 6 zeshoeken samenkomen. Denkend aan een landkaart, duidt dit op een situatie waarbij elk land 6 buurlanden zou tellen. Dan heeft elk zijvlak minstens 6 ribben, maar natuurlijk wordt elke ribbe opnieuw dubbel geteld, . en dus vinden we Samen met de eerste vaststelling concluderen we dat . Een vlakke graaf waarin elke top valentie minstens 6 zou hebben is bijgevolg niet mogelijk. Positief gesteld betekent dit dat elke vlakke graaf minstens 1 top bevat met een valentie kleiner dan of gelijk aan 5. Opmerking. Elke landkaart bevat dus minstens 1 land dat hoogstens 5 buurlanden telt. Evenzeer leren we zo dat een klassieke lederen voetbal onmogelijk kan gemaakt worden door uitsluitend zeshoekige stukken leder aan elkaar te naaien. HET BEWIJS VAN HET VIERKLEURENVERMOEDEN. Vandaag weten we dat het vierkleurenvermoeden correct was. We kunnen dus spreken van de vierkleurenstelling. Een bewijs vinden, dat aan alle voorwaarden van wiskundige correctheid en controleerbaarheid voldoet, was en is echter geen eenvoudige opdracht. In 1879 kwam Alfred Kempe

21/12/18 13:56

43

(1849-1922) - een student van de beroemde Arthur Cayley - met een bewijs dat aanvaard werd voor publicatie door het American Journal of Mathematics. Hij introduceerde een paar belangrijke nieuwe concepten in zijn bewijs: de onvermijdbare configuraties enerzijds en de reduceerbare configuraties anderzijds. Kempe’s bewijs kreeg veel aandacht en waardering. Helaas toonde Percy Heawood (1861-1955) in 1890 aan dat het bewijs een fout bevatte. Kempe had zich gebaseerd op een te klein aantal onvermijdbare configuraties, en Heawood kon dit aantonen met een tegenvoorbeeld. Hij vond evenwel zelf geen afdoend bewijs. Het duurde tot 1976, en het computertijdperk, vooraleer Kenneth Appel (1932-2013) en Wolfgang Haken (1928 - .) aan de University of Illinois (Urbana-Champaign) met een computerprogramma in staat waren om werkelijk alle onvermijdbare configuraties op te sporen, en voor elk van die configuraties de reduceerbaarheid na te rekenen. Zo werd de vierkleurenstelling het eerste wiskunderesultaat dat door een computer algoritmisch gecontroleerd werd, iets wat tot de nodige controverse aanleiding gaf. Het blijkt uiteindelijk ook onheus ten opzichte van Kempe om te simpelweg te stellen dat zijn aanpak fout was. Zijn twee belangrijkste ideeën bleken immers ook cruciaal in de uiteindelijke computeraanpak van Appel en Haken. Wie vandaag op zoek gaat naar meer recente info over het vierkleurenresultaat, zal vaststellen dat zelfs

Vector4_jan2019.indd 43

na 1976 het onderzoek verder ging, op weg naar een meer conceptueel en aan de criteria van de wiskunde beantwoordend bewijs. Tot recent wordt hierover gepubliceerd, en ook al lijkt het originele probleem van Guthrie en De Morgan eerder op een recreatieve invalshoek, toch blijkt dat anderhalve eeuw werk hierover interessante nieuwe ideeën en concepten opleverde, die vandaag onder andere van belang zijn in de logica en informatica. Het belang van wiskunde overstijgt, zoals nagenoeg steeds, het onmiddellijke praktische nut ervan. OPDRACHTEN VOOR DE KLASPRAKTIJK 1. Vind op de kaart van Europa een configuratie die aantoont dat vier kleuren effectief nodig zijn. 2. Er zijn slechts vijf regelmatige veelvlakken, de zogenaamde Platonische lichamen: het regelmatig viervlak of tetraëder, het regelmatig zesvlak of kubus, het regelmatig achtvlak of octaëder, het regelmatig twaalfvlak of dodecaëder en het regelmatig twintigvlak of icosaëder. Plaats deze lichamen in een omhullend boloppervlak en bepaal, via de stereografische projectie, de bijhorende vlakke grafen. 3. Tel voor elk van de Platonische lichamen (of bijhorende vlakke grafen) het aantal toppen, het aantal ribben en het aantal zijvlakken. Verifieer de Eulerkarakteristiek voor deze lichamen en grafen.

Figuur 5: Appel (rechtstaand) en Haken. Beeld: University of Illinois, Department of Mathematics.

REFERENTIES Appel, K. en Haken, W. (1977), Every Planar Map Is Four Colorable. Part I: Discharging, Illinois Journal of Mathematics, vol. 21, 429-490. 2 Gonthier, G. (2008), Formal Proof - The Four Color Theorem, Notices of the American Math. Society, vol. 55, nr. 11, 1382-1393 3 Wilson, R. (2002), Four Colors Suffice: How the Map Problem Was Solved, Princeton Science Library, Princeton University Press, Princeton. 1

21/12/18 13:56

85 0000 922

Onze wiskundemethodes zijn klaar voor de nieuwe eindtermen Nando en VBTL, de wiskundemethodes van die Keure, worden jaar per jaar aangepast aan de nieuwe eindtermen en leerplannen. Benieuwd wat de vernieuwing inhoudt?

Schrijf je in voor onze infosessies via www.hervormingsecundair.diekeure.be.

www.hervormingsecundair.diekeure.be

Vector4_jan2019.indd 44

21/12/18 13:56