Vector 3 - september 2018 by die Keure

VECTOR SEPTEMBER 2018 - nummer 3

TIJDSCHRIFT voor wiskundeonderwijs

EEN BEETJE WISKUNDE ACHTER RUBIKS KUBUS 23 PROGRAMMEREN IN DE LES WISKUNDE 38 ACTIVEREND AAN DE SLAG MET RADIALEN

Met medewerking van Uitwiskeling, VVWL (Vlaamse Vereniging van Wiskundeleraars), GeoGebra Instituut, Vlaamse Wiskunde Olympiade en Pythagoras

3 DUDENEYS HABER-

DASHERPUZZEL IVAN DE WINNE

BESTE LEZER

DE BOER EN ZIJN GEIT EDWARD OMEY

11 BEWIJZEN MET BEHULP

VAN VERHAALTJES PEDRO TYTGAT

EEN BEETJE WISKUNDE ACHTER RUBIKS KUBUS JAN DE BEULE

23 PROGRAMMEREN

IN DE LES WISKUNDE D. DESES

DE VOLGORDE VAN BEWERKINGEN MACHTELD VERHENNE

28 'CONSTRUCTIE' VAN

EEN REGELMATIGE 7-HOEK JAN GUICHELAAR

DE FIELDSMEDAILLE

en handvol smarties, een Rubiks kubus, een boer met een geit, een puzzel uit 1907 … de onderwerpen in deze editie zijn zoals steeds even divers als interessant, en wiskunde vormt sowieso de rode draad. De praktische insteek verliezen de auteurs niet uit het oog. Zo doen we voor de derde graad uit de doeken hoe je bewijzen kunt voeren door middel van … verhaaltjes. En voor de eerste graad nemen we de volgorde van bewerkingen onder de loep: de vele ezelsbruggetjes zijn wijdverspreid, maar die komen pas ten volle tot hun recht als de leerlingen beseffen waarom de regels zijn wat ze zijn.

e kijken ook naar de wiskunde achter de Rubiks kubus. Want je hoeft de kubus niet

in een recordtempo (momenteel 4,22 seconden voor een 3x3-kubus) te kunnen oplossen om mee te genieten van de wiskunde die er onlosmakelijk mee verbonden is. We gaan even terug in de tijd om een van de Canterbury Puzzles op te lossen, leggen in klasverband uit hoe traag precies een logaritmische functie stijgt en halen de TI-84 Plus Color boven om te leren programmeren.

e kunnen ten slotte niet om het International Congress of Mathematicians heen, dat slechts om de vier jaar plaatsvindt (om de 16 Vector-edities dus …). Paul Igodt vertelt je alles over de Fieldsmedailles, die er tijdens de openingsceremonie worden uitgereikt. Vergeet niet door te bladeren naar de literatuurtips en surf naar vector.diekeure.be om het bijhorende leesvoer te winnen. Veel leesplezier TOM HARTEEL R E DAC T E U R W I S K U N D E D I E K E U R E

30 PAUL IGODT

33 HOE TRAAG STIJGT EEN

LOGARITMISCHE FUNCTIE? HILDE EGGERMONT

REGELMATIG TWINTIGVLAK INGESCHREVEN IN EEN REGELMATIG ACHTVLAK HERMAN SERRAS

38 ACTIVEREND AAN DE

SLAG MET RADIALEN FILIP MOONS

BOEKRECENSIES PAUL LEVRIE

VECTOR 1e jaargang - nummer 3 REDACTIE Tom Harteel, Maaike Spanhove - die Keure, Kleine Pathoekeweg 3, 8000 Brugge, educatief@diekeure.be EXTERNE AUTEURS die occasioneel of op geregelde basis een bijdrage willen leveren, kunnen contact opnemen met educatief@diekeure.be. VECTOR Vector is gratis voor alle leerkrachten wiskunde in België. VERANTWOORDELIJKE UITGEVER die Keure, Kleine Pathoekeweg 3, 8000 Brugge VORMGEVING EN DRUK Isabelle Tilleman - die Keure, Brugge REACTIES Al je reacties, suggesties en opmerkingen zijn welkom op educatief@diekeure.be

3 GEOGEBRA

DUDENEYS HABERDASHER PUZZEL IN 1907 WERD EEN BUNDELING VAN RUIM HONDERD PUZZELPROBLEMEN GEPUBLICEERD IN HET BOEK 'CANTERBURY PUZZLES' VAN HENRY ERNEST DUDENEY. EEN VAN DE BEROEMDSTE MEETKUNDIGE PUZZELS IS ONGETWIJFELD DE ZOGENAAMDE 'HABERDASHERPUZZEL'. DUDENEY HAD DE GEWOONTE OM DE PUZZELPROBLEMEN IN TE KLEDEN IN EEN LEUK VERHAALTJE EN TE ILLUSTREREN MET EEN FRAAIE TEKENING. I VA N D E W I N N E

- I VA N . D E W I N N E @T E L E N E T. B E

GEGEVEN IS EEN GELIJKZIJDIGE DRIEHOEK. MAAK MET SLECHTS DRIE INSNIJDINGEN VAN DE DRIEHOEK VIER PUZZELSTUKJES DIE VERVOLGENS OMGEVORMD KUNNEN WORDEN TOT EEN VIERKANT MET DEZELFDE OPPERVLAKTE ALS DE GELIJKZIJDIGE DRIEHOEK.

n het originele puzzelboek 'Canterbury Puzzles' werd een tekening met de correcte oplossing weergegeven.

In dit artikel reconstrueren wij dit puzzelprobleem met moderne middelen, namelijk het programma GeoGebra. Een zoektocht op het internet levert meestal een vereenvoudigde oplossing, waarvan wij aantonen dat deze eenvoudige constructie slechts een benadering blijkt te zijn. Aansluitend wordt ook het stappenplan voor de correcte constructie weergegeven. EEN VEREENVOUDIGDE RECONSTRUCTIE MET GEOGEBRA - Start GeoGebra 6 en activeer het meetkundevenster. - Teken een lijnstuk AB met beginpunt A en lengte 2. - Construeer een gelijkzijdige driehoek. Cirkel met middelpunt A en gaande door B. - Teken ook een tweede cirkel met middelpunt B en gaande door A. - Bepaal de snijpunten van beide cirkels.

- Teken de driehoek ABC. - Bepaal het midden D van de zijde AC en ook het midden E van de zijde BC. - De lengte van het lijnstuk DE is gelijk aan de eenheid (eigenschap van de middenparallel). - Teken vanuit D en ook E de loodlijnen op de zijde AB. - Bepaal de snijpunten F en G met de zijde AB. - Teken het lijnstuk EF. Dit is bij benadering de lengte van de zijde van het gezochte vierkant. - Teken de loodlijnen vanuit D en G op dit lijnstuk en bepaal de snijpunten H en I. - Teken de vier puzzelstukjes.

ZOEKTOCHT NAAR DE FOUT! Een groot aantal websites vermelden de vorige constructie als zijnde de exacte constructie voor de dissectiepuzzel van Dudeney. Met enige elementaire kennis van meetkundige eigenschappen kunnen wij aantonen dat deze constructie slechts een benadering is. Men neemt aan dat de lengte van het geconstrueerde lijnstuk EF gelijk is aan de lengte van de zijde van het vierkant waarvan de oppervlakte precies gelijk is aan de oppervlakte van de gelijkzijdige driehoek. Met GeoGebra kun je de oppervlakte van het getekende vierkant en de gelijkzijdige driehoek meten. Hieruit blijkt dat deze oppervlakten verschillend zijn!

Berekening van de oppervlakte van de gelijkzijdige driehoek Gegeven is een gelijkzijdige driehoek ABC met zijde 2. Wij berekenen de oppervlakte van deze driehoek.

Berekening van de oppervlakte van het rode vierkant met zijde EF

Pas de stelling van Pythagoras toe op de rechthoekige driehoek MBC.

Pas de stelling van Pythagoras toe op de driehoek DEF.

DE EXACTE CONSTRUCTIE VAN DE DISSECTIEPUZZEL VAN DUDENEY Wij demonstreren nu stap voor stap de exacte constructie van de vier puzzelstukjes van de puzzel van Dudeney zodanig dat de oppervlakte van de gegeven gelijkzijdige driehoek met zijde 2 gelijk is aan de oppervlakte van het vierkant. - Bepaal de middens D en E van de zijden AC en BC van de gelijkzijdige driehoek. - Teken een rechte gaande door het hoekpunt A en het punt E. - Teken een cirkel met middelpunt E en gaande door het hoekpunt C. - Teken een rechte door het hoekpunt A en het punt E en bepaal het snijpunt F van de vorige cirkel met deze rechte. Bepaal het middelpunt G van het lijnstuk AF.

De oppervlakte van de gelijkzijdige driehoek is: - Teken een cirkel met middelpunt G en gaande door F. - Bepaal het snijpunt H van de rechte door B en C met deze cirkel. - Teken een cirkel met middelpunt E en straal de lengte van het lijnstuk EH (dit blijkt de gezochte lengte van het vierkant te zijn). - Bepaal het snijpunt J van deze cirkel met de zijde AB van de driehoek.

DE VIER PUZZELSTUKJES - Maak de constructielijnen in de vorige tekening onzichtbaar. - Teken een cirkel met middelpunt J en straal gelijk aan de lengte van het lijnstuk EC. - Teken vanuit D en K de loodlijnen op het lijnstuk EJ. Noem de snijpunten L en M. - Teken ten slotte de veelhoeken AJLD, JKM, KBEM en LECD.

Het bewijs dat met deze constructie de oppervlakte van de driehoek en het vierkant gelijk zijn, laten wij graag over aan de geĂŻnteresseerde lezer. Met enige gevorderde kennis in het gebruik van GeoGebra en een aantal rotaties kun je deze puzzel bovendien omvormen tot een geanimeerde scharnierpuzzel.

REFERENTIES Project Gutenberg: http://www.gutenberg.org/ files/27635/27635-h/27635-h.htm Internet Archive: https://archive.org/ details/117770747

WEBSITES www.mathelo.net: online nascholingen GeoGebra www.geogebra.org/u/ivandewinne: GeoGebra bestanden www.vvwl.be: Vlaamse vereniging wiskundeleraars

OEFENING VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE, TWEEDE RONDE JWO 2018, VRAAG 2 Het bestuur van turnclub Gympy telt zeven leden en kiest een nieuwe voorzitter. Annabel (A) en Nasrin (N) zijn de kandidaten. Alle bestuursleden brengen hun stem uit. Nasrin haalt het met vier stemmen tegen drie. Tijdens het tellen van de stemmen valt het op dat Nasrin op elk moment meer stemmen heeft dan Annabel. Welk van de volgende stemvolgordes voldoet hieraan? A B C D E

ÂŠ Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

- Teken het lijnstuk EJ, dat is een zijde van het gezochte vierkant.

7 WISKUNDE & ONDERWIJS

DE BOER EN ZIJN GEIT E DWA R D O M E Y

- E DWA R D . O M E Y@ K U L E U V E N . B E - K U L E U V E N @ C A M P U S B R U S S E L , WA R M O E S B E R G 2 6 , 1 0 0 0 B R U S S E L

1. INLEIDING EN PROBLEEM Een boer heeft een cirkelvormig stuk grasland met straal . Zijn enige geit wil hij laten grazen in het groene gras en daarom knoopt hij een touw rond haar nek en plaatst een paaltje aan de rand van het grasveld. Wanneer de lengte van het touw gelijk is aan , dan kan de geit smullen van een deel van het frisse gras : alle gras dat op een afstand , dan kan van maximaal ligt van het paaltje. Indien , dan de geit uiteraard al het gras opsmullen. Indien kan de geit slechts een gedeelte van het gras opeten. In dit welk gedeelte van het veld artikel bepalen we voor de geit kan afgrazen. We bepalen ook hoe lang het touw moet zijn om ervoor te zorgen dat de geit slechts de helft (of ĂŠĂŠn derde, of drie vierde) van het beschikbare gras kan verorberen.

2.1 De oppervlakte A De begraasbare oppervlakte aan waarbij

Voor

die we zoeken, is gelijk

vinden we met substitutie

dat

Voor de integraal vinden we

waarbij 2. HOEVEEL KAN EN MAG DE GEIT GRAZEN ? We formuleren het probleem op een wiskundige manier als volgt. Het stokje waar de geit aan vastzit, plaatsen we . Het grasveld wordt afgebakend in de oorsprong en straal . door een cirkel met middelpunt De uiterste rand die de geit kan bereiken, is een cirkel met middelpunt en straal . We hebben dus de volgende vergelijkingen: (geitencirkel), (grasveldcirkel), omdat in het geval Zoals reeds gezegd, nemen we , de geitencirkel het grasveld volledig insluit. De snijpunten van de twee cirkels worden bepaald door :

Combinatie van deze twee vergelijkingen leidt tot

Bemerk dat We vinden dus dat

Voor

leidt de substitutie

tot

Alles samen vinden we voor de oppervlakte

dat

Nu weten we dat

en dus ook dat We stellen

Bewijs We berekenen de afgeleiden en vinden

en vinden

en Hieruit volgt dat

Hieruit volgt dat Bemerk dat deze formule geldt voor

2.2 De functie g(q) In deze paragraaf bestuderen we de functie waarbij

Men kan eenvoudig nagaan dat en dat . Wanneer we het voorschrift van gebruiken, dan vinden we

en dus dat

waarbij een constante is. vinden we Voor Hieruit volgt wat we wilden. We bepalen nu eenvoudige uitdrukkingen voor

Eigenschap 2 We vinden dat

en We vinden dus

We kunnen echter nog verder vereenvoudigen ! Eigenschap 1 Er geldt dat

Bewijs Wanneer we eigenschap 1 gebruiken in (2), dan gebruiken we

Via formule (1) vinden we dan dat

of dat

Voor de afgeleide functie vinden we

geven als oplossingen De extremen respectievelijk en . De andere gevallen leiden tot de vergelijking . Met de methode van Newton-Raphson of met de solver (van excel of een rekentoestel) vinden we volgende resultaten:

Hieruit volgt dat We vinden nu eveneens de formule voor Opmerkingen geldt dat 1) Omdat voor . De functie is dus een strikt stijgende functie. heeft een verrassend 2) De afgeleide functie eenvoudig voorschrift. Bovendien is de afgeleide . mooi gedefinieerd op het interval 3) De tweede afgeleide is goed gedefinieerd op het maar . interval is en vinden we 4) Voor

Stel bijvoorbeeld dat . nemen we de lengte van het touw aan de Voor geit gelijk aan nemen we de lengte van het touw aan de Voor geit gelijk aan 2.4 Extremen klein (rest. groot) Uit de voorgaande analyse blijkt dat klein (resp. groot). We bestuderen overeenkomt met nu deze twee extreme situaties. 2.4.1 Situatie 1 : q klein We starten terug met de functie

5) Voor

vinden we

. Bemerk dat

. Omdat

2.3 Hoeveel mag de geit grazen ? De boer beslist dat de geit enkel een bepaalde proportie van het grasland mag begrazen. De totale oppervlakte . We eisen nu dat de begraasbare opperbedraagt betekent vlakte gelijk moet zijn aan dat

, volgt dat

. 2.4.2 Situatie 2 : q groot . We bekijken nu We weten dat vinden:

3. VARIANTEN • De boer heeft 2 geiten en nog steeds een stuk grasland in de vorm van een cirkel. Hij plaatst de twee geiten elk met een paaltje aan de rand van het domein en plaatst de geiten diametraal. Voor beide geiten wil hij een touw gebruiken om ze elk een deel van het van lengte gras te laten opeten. Bepaal hier mogelijke graasbare en niet-overlappende oppervlakten die begraasd kunnen worden. • De boer heeft één geit en een rechthoekig stuk grasland en breedte . De geit wordt aan een met lengte touw geknoopt met lengte . Bepaal voor verschillende posities van het geitenpaaltje hoeveel procent van het grasland de geit kan grazen. BIBLIOGRAFIE EN ACHTERGRONDINFORMATIE l. M. Brennan (1998), The tethered goat- a calculus approach, IMS Bulletin 40, 71 - 74. 2. M. Fraser (1982), A tale of two goats, Mathematics Magazine 56 (41), 221 - 227.

en dus

Uit: Wiskunde & Onderwijs, tijdschrift van VVWL

OEFENING VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE, TWEEDE RONDE JWO 2018, VRAAG 3 (TWEEDE RONDE VWO 2018, VRAAG 2) In de Nationale Bank wordt een voorraad balkvormige goudstaven met vierkante doorsnede in lagen opgestapeld zoals in de ﬁguur. De lagen worden gestapeld tot er middenin precies plaats is voor één goudstaaf, die op het einde wordt toegevoegd. Hoeveel staven zijn er dan? A

VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE, TWEEDE RONDE JWO 2018, VRAAG 12. TWEEDE RONDE VWO 2018, VRAAG 8. Vouw de onderstaande ontwikkeling van een dobbelsteen rond een massieve houten kubus. Doorboor deze kubus op de stippen, loodrecht op een zijvlak. Door hoeveel gangen kan je nu door de kubus kijken? A

OEFENING

11 UITWISKELING

BEWIJZEN MET BEHULP VAN VERHAALTJES JE KWAM ZE WELLICHT AL OP VERSCHILLENDE PLAATSEN TEGEN: BEWIJZEN ZONDER WOORDEN, VIA EEN TEKENING. NIET ALLEEN IN DE MEETKUNDE DUIKEN ZE OP, OOK ALS BEWIJS VOOR EIGENSCHAPPEN MET GETALLEN WORDEN ZE AANGEWEND. DAT DE SOM VAN DE EERSTE ONEVEN GETALLEN ALTIJD IS, BIJVOORBEELD, IS METEEN DUIDELIJK UIT DE AFBEELDING HIERNAAST. P E D R O T Y T G AT

- R E DAC T I E U I T W I S K E L I N G

Sinds enkele jaren kan ik het niet laten om in mijn 8u-klas, na het hoofdstukje over het binomium van Newton, nog een andere bewijstechniek te introduceren: bewijzen via verhaaltjes. Deze nieuwe techniek gaat er bij mijn leerlingen in als zoete koek. Het idee haalde ik uit het schitterende boekje Proofs that Really Count. In die lessen gebruik ik deze bewijsvorm om identiteiten met binomiaalcoëfficiënten aan te tonen, al kan hij ruimer ingezet worden, zoals in het hierboven vermelde boekje een kleine 150 pagina’s aan een stuk wordt geïllustreerd. Laten we met een eenvoudig voorbeeld beginnen:

Deze gelijkheid is natuurlijk snel aan te tonen door gebruik te maken van de definitie van binomiaalcoëfficiënten, maar met een verhaaltje gaat het zo. “Stel dat je school leerlingen telt en dat je een leerlingenraad van

leerlingen wil samenstellen, waarbinnen een voorzitter en ondervoorzitter gekozen moeten worden. Op hoeveel manieren kan dat?” Het linkerlid komt overeen met de volgende procedure. Eerst kies je de leden van de leerlingenraad uit leerlingen : dit kan op

manieren. Vervolgens kies

je uit die leden een voorzitter: dit kan op manieren. Tot manieren. slot kies je een ondervoorzitter: dit kan op Het rechterlid geeft het aantal mogelijkheden indien je leerlingen, vervolgens eerst een voorzitter kiest uit de overblijvende leerlingen, een ondervoorzitter uit de om ten slotte de leerlingenraad aan te vullen met overblijvende leerlingen. Aangezien beide uit de procedures hetzelfde telprobleem oplossen, zijn beide leden ook aan elkaar gelijk. Q.E.D.! En dit kan hier ook vertaald worden als Quite Easily Done…

Een bewijs door middel van een verhaaltje bestaat uit zowel het telprobleem als een interpretatie van beide leden van de identiteit binnen dat kader.

Het rechterlid zegt dat je ook de jongens en meisjes personen lukraak samen kunt brengen en uit die individuen kunt kiezen.

Voor de onderstaande identiteit gaat de redenering op dezelfde manier, door binnen de leerlingenraad van personen een kernraad van personen te kiezen:

Voor wie het bewijs ook algebraïsch wil leveren: beide in de ontwikkeling van leden zijn de coëfficiënt van respectievelijk . Een derde interessant voorbeeld is: .

Het wordt pas echt mooi wanneer de uitdrukkingen wat ingewikkelder worden. Zo is de onderstaande gelijkheid relatief bekend, maar behoorlijk lastig te bewijzen:

In de klas geef ik toch ook een voluit geschreven (nou ja…) linkerlid:

Bij de leerlingen stijgt de spanning natuurlijk bij het zien van zo’n uitdrukking en de eenvoudige ontknoping sluit zo mooi aan bij de leerstof, dat zelfs diegenen die bij de eerste voorbeelden niet enthousiast waren, nu toch overtuigd zijn van het potentieel van die aanpak. Het telprobleem, waarop beide leden een antwoord geven, is immers: “Op hoeveel manieren kun je personen kiezen uit een groep van meisjes en jongens?”. Het linkerlid vertelt het volgende verhaal: “Je kunt ofwel 0 meisjes en jongens kiezen, ofwel 1 meisje en jongens … en zo verder jongens, ofwel 2 meisjes en tot meisjes en 0 jongens”. De ofwel wordt dan vertaald in een som en de en in een product, overeenkomstig de som- en productregel.

Bij het linkerlid kunnen we nu al het verhaal afleiden uit de opgave en dat is waar je ook je leerlingen wil krijgen: er is een som van producten, een reeks ‘offen’, met telkens een ‘en’. Ofwel kies je eerst 1 persoon uit en dan heb je maar één keuze (bijv. voor een voorzitter), ofwel kies je 2 personen uit en dan heb je 2 mogelijkheden voor de voorzitter, ofwel kies je 3 personen uit , met 3 mogelijkheden voor de voorzitter … Wat je dus onderzoekt is bijvoorbeeld het aantal leerlingenraden waarvan de grootte blijkbaar niet vastligt (kan 1, 2, 3 … personen tellen) en waarbinnen een voorzitter wordt gekozen. Bekijken we nu het rechterlid, dan zien we meteen het product, dus een en-verhaal. De factor staat voor het aantal manieren waarop je de verplichte voorzitter kunt kiezen uit de leerlingen geldt dat ze leerlingen. Voor de overige wel of niet in de leerlingenraad kunnen zitten. Per leerling verklaart zijn er dus 2 mogelijkheden, wat de factor (herhalingsvariatie). Wil je dit met formules aantonen, dan gaat het als volgt.

Leuk is ook de creativiteit van de verhaaltjes, waarin kannibalen, spoken, prinsessen, leerkrachten, wiskundemonsters en dergelijke meer optreden, waarbij de laatste twee categorieĂŤn de strijd met elkaar aanbinden of soms zelfs samenvallen. Het echte grote wild om op te jagen is

Na deze inleidende voorbeelden gedraagt de klas zich als een groep opgehitste jonge jachthonden, die smeken om losgelaten te worden en zelf op groot wild te jagen. Of misschien beeld ik het me zo in. In alle geval, ik geef ze dan oefeningen die ze gretig aanpakken, zoals

Tot nog toe was er altijd wel iemand in de klas die met trots zijn verslagen prooi kwam tonen.

BRONNEN Benjamin, A., Quinn, J. (2003), Proofs that Really Count. The Mathematical Association of America http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_without_words Dit artikel verscheen in Uitwiskeling 25/1.. Uitwiskeling is een tijdschrift van en voor wiskundeleraren, helemaal vanuit de praktijk van het wiskundeonderwijs. Benieuwd naar meer? Op de webstek www. uitwiskeling.be vind je alle info.

EEN BEETJE WISKUNDE ACHTER RUBIKS KUBUS JAN DE BEULE

- J A N @ D E B E U L E . E U - V R I J E U N I V E R S I T E I T B R U S S E L , VA KG R O E P W I S K U N D E , P L E I N L A A N 2 , 1 0 5 0 B R U S S E L

Figuur 1: (Rubiks) kubussen op een rij

1. RUBIKS KUBUS Rubiks kubus, in 1974 ontworpen door de Hongaarse ingenieur-architect Ernő Rubik, is een bron van veel vermaak voor jong en oud. Velen, waaronder de auteur van dit artikel, zijn niet in staat om de puzzel zomaar op te lossen. Toch is de puzzel ook in dat geval een zeer interessant object omwille van de wiskundige achtergrond, die in dit artikel centraal staat. We vertrekken daarvoor van enkele vaak gestelde vragen. (i) Hoeveel mogelijkheden heeft deze puzzel? (ii) Kan men een oplossing 'berekenen' met een computer? zodat je steeds (iii) Wat is een oplossing kan vinden die hoogstens stappen vereist? (iv) Kan men een oplossing berekenen die het minst aantal stappen vereist?

Het antwoord op alle vragen is gekend, althans voor de 2x2x2 en 3x3x3 kubus. Dat betekent echter geenszins dat daarmee alles gezegd is. In dit artikel zullen we ingaan op de achterliggende wiskunde die het antwoord geeft op de gestelde vragen, en de computationele moeilijkheden die daarmee gepaard gaan. Anderzijds zullen we ook illustreren dat iedereen - ook wie de puzzel niet kan oplossen - mits een klein beetje programmeerwerk zelf aan de slag kan gaan en een en ander over de wiskunde achter de kubus te weten kan komen. We zullen beginnen met enkele definities en begrippen uit de groepentheorie. We zullen dan dieper ingaan op de derde en vierde vraag. Het zal blijken dat deze twee vragen in feite de gemakkelijkste zijn vanuit wiskundig standpunt, maar niet vanuit

computationeel standpunt. Hiermee bedoelen we dat we heel snel de limieten van de rekenkracht van een (en zelfs meerdere computers) kunnen bereiken. Het antwoord bepalen op de eerste twee vragen zal computationeel gemakkelijker zijn, op voorwaarde dat we wiskundig enkele zaken uitwerken. Dit is precies de rode draad in alle computationele wiskunde: hoe geavanceerder de achterliggende wiskunde, hoe efficiënter het algoritme. We illustreren dit met de kubus, en niet alleen met de 3x3x3 kubus, maar ook met de kleinere 2x2x2 variant, de zogemaande 'Pocket cube'. Naast de kleinere variant, bestaan ook de 4x4x4 en 5x5x5 Rubiks kubus, allemaal te zien op figuur 1. Ernő Rubik vroeg trouwens alleen een patent aan in

Hongarije en verschillende producenten brengen dergelijke kubussen en andere zogenaamde permutatiepuzzels op de markt. De meest rechtse kubus op figuur 1 is een 6x6x6 V-cube. Voor de kubussen spreken we de volgende terminologie af. Een hoekblokje is een blokje waarvan drie gekleurde vlakjes zichtbaar zijn. Een zijblokje is een blokje waarvan twee gekleurde vlakjes zichtbaar zijn. Een centraal blokje is een blokje waarvan slechts een gekleurd vlakje zichtbaar is. De 2x2x2 en 3x3x3 kubussen hebben dus beide 8 hoekblokjes. De 3x3x3 kubus heeft daarnaast ook nog 12 zijblokjes en 6 centrale blokjes. De 2x2x2 kubus heeft geen van beide. Met een hoekvlakje bedoelen we een van de gekleurde vlakjes van een hoekblokje en met een zijvlakje bedoelen we een van de gekleurde vlakjes van een zijblokje. Met centraal vlakje bedoelen we het unieke zichtbare vlakje van een centraal blokje. De 2x2x2 kubus heeft dus enkel 24 hoekvlakjes, de 3x3x3 kubus heeft 24 hoekvlakjes, 24 zijvlakjes en 6 centrale vlakjes. 2. SYMMETRIE EN GROEPENTHEORIE Een symmetrie van een object is een handeling die het object invariant laat. Denken we bijvoorbeeld aan een vierkant, dan zijn de symmetrieën de rotaties en spiegelingen die het vierkant op zichzelf afbeelden. Het uitvoeren van twee symmetrieën na elkaar is uiteraard ook een symmetrie. We kunnen het object ook gewoon met rust laten, en we kunnen het uitvoeren van een

Figuur 2: Symmetrieën van een vierkant

symmetrie ook ongedaan maken. Deze observatie geeft aanleiding tot de volgende definitie. Een groep is een niet-ledige verzameling , samen met een binaire bewerking (de samenstelling) waarvoor de volgende eigenschappen gelden: geldt (i) voor alle (de samenstelling is associatief); zodat voor (ii) er bestaat een geldt dat alle (er bestaat een neutraal element voor de samenstelling); bestaat er een (iii) voor alle zodat (voor elk element bestaat er een inverse voor de samenstelling). Men kan eenvoudig aantonen dat uniek is en dat de inverse van een element eveneens uniek is. Figuur 2 toont enkele symmetrieën van het vierkant: de vier mogelijke spiegelingen ten opzichte van een as, en , en een rotatie . De volledige groep van symmetrieën, die , is we noteren als

waarbij genoteerd werd als , als . Men kan eenen samen met voudig nagaan dat de samenstelling een groep is. Verder voortgekan men narekenen dat bracht wordt door de elementen en . Dat betekent dat alle andere elementen te schrijven zijn als een samenstelling van woorden in en hun inversen. De rotatie over 270° , de spiegeling is bijvoorbeeld . Merk op dat de samenstelling in groepen niet noodzakelijk commutatief is, er geldt . bijvoorbeeld een willekeurige Stel nu dat verzameling is. Een permutatie van is een bijectieve afbeelding van naar zichzelf. Het is duidelijk dat de verzameling van alle permutaties, samen met de samenstelling van afbeeldingen, een groep vormt. Dit noemt men de symmetrische groep op de verzameling , genoteerd als . Permutatiegroepen vormen een belangrijke klasse van groepen om allerlei redenen. Daarenboven kan men veel groepen voorstellen als permutatiegroepen. Als een eindige verzameling is, dan kunnen , we voorstellen als . Voor we verderop aan met de slag kunnen met de computer, herhalen we nog de gebruikelijke cykelnotatie voor permutaties van een eindige verzameling. Een permutatie is een -cykel als er verschillende elementen voor bestaan zodat en

We noteren de permutatie als . De permutatie beeldt dus 1 op 2 af, 2 op 3 en 3 op 1 en alle andere elementen op zichzelf. De identieke permutatie noteren we als (). Nummeren we de vier hoekpunten van een vierkant met , dan voor respectievelijk voorgesteld worden kan de groep als de volgende groep van permutaties

Men kan aantonen dat een willekeurige permutatie geschreven kan worden als de samenstelling van disjuncte cykels. In dit artikel gaan we permutaties ook samenstellen van links naar rechts. De samenstelling in plaats noteren we dan ook met . Dus van

Het beeld van een element onder een permutatie noteren we (zoals ook in . GAP) exponentieel, dus Nu kunnen we alle relevante informatie over de kubus opslaan in een permutatiegroep. Immers, elke mogelijke beweging veroorzaakt een permutatie van een aantal vlakjes. De identieke permutatie laat de kubus invariant. Als de kubus zich in een andere dan de opgeloste toestand bevindt, dan moeten we niets anders doen dan een aantal bewegingen, dus permutaties, uitvoeren om de kubus op te lossen. Als we die permutaties kunnen berekenen in de permutatiegroep, dan kunnen we het antwoord vinden op de gestelde vragen. Voor de 3x3x3 kubus zijn de basisbewegingen de rotaties in wijzerzin over 90 graden van elk van de zes vlakken. Deze corresponderen met zes permutaties van de verzameling (en niet want elke permutatie laat de centrale vlak-

jes invariant). Een rotatie (of beweging) in de ruimte van de kubus op zijn geheel beschouwen we niet als een verandering van de toestand van de kubus, en zullen we dus niet als een afzonderlijke toestand tellen. Het aantal mogelijke toestanden waarin de kubus zich kan bevinden, is dus de grootte van de permutatiegroep voortgebracht door de zes permutaties. Wat betreft bewegingen van de kubus in zijn geheel, kunnen we een vergelijkbare afweging maken voor de 2x2x2 kubus. Een beweging van deze kubus in zijn geheel in de ruimte kan er steeds voor zorgen dat een vast gekozen blokje zich op een vast gekozen positie bevindt. Zo kiezen we ervoor om het hoekblokje met het woord 'Rubik's' steeds links bovenaan te plaatsen. Dat betekent dat er voor de 2x2x2 kubus slechts 3 relevante rotaties zijn: die van het vlak rechts, achter en onder het vast gekozen blokje. Deze corresponderen met drie permutaties van de verzameling . Dit verklaart ook de nummering van de vlakjes van beide kubussen uit figuur 3. Nu kunnen we aan de slag met de computer om snel het aantal mogelijke toestanden van de kubus te bepalen. Daartoe gebruiken we het computerprogramma GAP (dat staat voor Groups, Algorithms and Programming), een pakket dat speciek bedoeld is voor groepentheorie, dat gratis beschikbaar is en dat gebruikt kan worden op alle mogelijke platformen (Unix/linux, MacOS en ook Windows), zie http://www.gap-system.org.

Figuur 3: Nummering vlakjes

Figuur 4

Figuur 4 toont het resultaat en de werkwijze. Eerst worden de respectieen velijke permutaties die corresponderen met een rotatie van het vlak rechts, achter en onder het vast gekozen blokje gedefinieerd. Dan definiĂŤren we de groep cube2x2x2 als de groep voortgebracht door en . Het commando Order(cube2x2x2) berekent het aantal elementen in deze groep. De 2x2x2 kubus kan dus in 3674160 toestanden verkeren. Nu doen we exact hetzelfde voor de 3x3x3 kubus. Elke permutatie geven we de naam van de kleur van het vlak dat gedraaid wordt (figuur 5).

Figuur 6: Cayleygraaf van de groep D8

3. GRAFEN De overgang tussen twee toestanden geschiedt door het uitvoeren van een rotatie. Dit is dus niets anders dan

Figuur 5

De 3x3x3 kubus kan dus in niet minder dan 43252003274489856000 toestanden verkeren!

de samenstelling van de permutatie die correspondeert met de eerste toestand met de permutatie die de rotatie voorstelt. We gaan dit nu

vertalen in termen van grafen. Een bestaat (gerichte) graaf uit een verzameling met toppen en van (geordende) een verzameling paren van toppen, een dergelijk paar wordt een boog genoemd. Als de ordening van de bogen geen rol speelt, noemen we de graaf ook wel een ongerichte graaf. een groep is, voortgeStel nu dat van bracht door de verzameling generatoren. Dan is de Cayleygraaf de gerichte van ten opzichte van , met de verzagraaf meling van alle elementen van , en als en de gerichte boog . We beschouwen slechts als als toppen, dus alle elementen van en als we door samenstelling met het van top naar element kunnen gaan, dan is een boog van . Figuur 6 toont de Cayleygraaf ten opzichte van de van generatoren ). De bogen die (genoteerd ô€€€ zijn in corresponderen met het zwart getekend, de rode corres. De toppen ponderen met zijn genummerd van 1 tot en met 8, respectievelijk volgens de volgorde van de elementen van de groep zoals in (1). Een pad in een graaf is een rij bogen die een aantal verschillende toppen verbindt. De lengte van een pad is het aantal bogen waaruit het pad bestaat. De afstand tussen twee toppen is de lengte van een kortste pad dat de twee bogen verbindt. De diameter van een graaf ten slotte is het maximum van de afstanden tussen elk paar toppen. Uit figuur 6 kan men snel afleiden dat de diamegelijk is aan 3. ter van

Als we dus de oplossing voor een kubus willen berekenen, dan is dit equivalent met het bepalen van een pad in de Cayleygraaf van de waarin de kubus zich toestand bevindt, naar de opgeloste toestand, i.e. de toestand die correspondeert met de identieke permutatie. De diameter van de Cayleygraaf is precies het antwoord op de derde vraag. Willen we een antwoord op de vierde vraag, dan moeten we dus het kortste pad tussen twee toppen kunnen bepalen in de Cayleygraaf. Voor we de computer aan het werk zetten, gaan we dieper in op een manier om de diameter te bepalen. We kiezen een willekeurige top . Als we de afstand van tot kunnen elke andere top bepalen, dan is het maximum van al die afstanden een ondergrens voor de diameter van de graaf. Omdat elke top in de Cayleygraaf van een groep dezelfde rol speelt (hetgeen men gemakkelijk kan aantonen uit de elementaire eigenschappen van een groep), volstaat het om deze procedure voor een top uit te voeren. Alle afstanden ten opzichte van een gekozen top kunnen we vinden te door de verzameling partitioneren in layers: elke layer bevat precies alle toppen op een vaste afstand van . Het nummer van de laatste layer is precies de diameter van het graaf. Een standaardalgoritme om alle layers te bepalen, is een zogenaamd breadth first search algoritme. We vertrekken van de top ,

en kijken naar alle toppen op afstand 1. Dit is eenvoudig door gewoon te kijken naar alle bogen die vertrekken uit of toekomen in . Alle toppen op afstand 1 bepalen de eerste . Als er in nog layer toppen overblijven, dan herhalen we deze procedure voor elk van de toppen in . Dit blijven we doen totdat de verzameling gepartitioneerd is in verschillende layers. De diameter is precies het aantal layers dat zo ontstaat. De layers ten opzichte van top 1 zijn van en . Maar er is meer! Deze techniek is ook bruikbaar om voor een gegeven top , het kortste pad van naar te bepalen. Dit doen we door een lijst bij te houden waarin voor elke top verwezen wordt naar een top uit een vorige layer via dewelke we top bereikt hebben. Op deze wijze bekomen we zonder extra operaties een zogenaamde shortest path spanning tree, d.i. een verzameling bogen die voor elke top naar precies het kortste pad van bevat. Gegeven een top , dan kijken we recursief naar de top voorafgaand aan , tot we in de begintop uitkomen. Aldus vinden we een pad van minimale lengte van naar . Voeren we dit nu uit in de Cayleygraaf van de groep van de kubus, dan berekenen we dus een lijst van minimale lengte van rotaties die we moeten uitvoeren om de kubus op te lossen. Hoewel de complexiteit van bovenstaand algoritme in feite slechts kwa-

Alle berekeningen werden uitgevoerd op een Intel Core i7 aan 2 GHz onder MacOS.

dratisch is in het aantal toppen van de graaf, blijkt dat de permutatiegroep van de 3x3x3 kubus reeds te groot is om de Cayleygraaf te bepalen (althans in GAP), en het algoritme uit te voeren. Zonder programmeerwerk kunnen we het berekenen van de diameter van de Cayleygraaf van de groep van de 2x2x2 kubus illustreren in GAP. Daarvoor gebruiken we het GAP pakket digraph. De Cayleygraaf kan dan met een commando geconstrueerd worden. Zoals in het vorige voorbeeld noteren we de generatoren en . We definiĂŤren dan met de groep cube2x2x2, en de lijst gens die de generatoren en hun inverses bevat. Aldus zal het commando om de Cayleygraaf te construeren de bogen in beide richtingen kunnen gebruiken voor verdere berekeningen met de graaf. Na de constructie van de graaf, die ongeveer anderhalve minuut rekentijd1 in beslag neemt (het commando time; geeft de rekentijd weer van het vorige commando in milliseconden), berekenen we de diameter van de Cayleygraaf (figuur 7).

De berekening van de diameter duurt iets minder dan vier minuten. Hiermee kunnen we besluiten dat er voor elke toestand van de kubus een lijst van hoogstens 14 bewegingen bestaat om de kubus op te lossen. Het bepalen van een kortste oplossing is theoretisch gezien niet moeilijker dan het bepalen van de diameter. Een klein beetje programmeerwerk volstaat om dit in GAP te doen.

Figuur 7

De eerste functie SPSTree vertrekt van een graaf en een begintop van die graaf, en bepaalt de afstand van elke top verschillend van naar en tegelijk een shortest path spanning tree. De toppen van de graaf zijn genummerd van 1 tot . De functie bouwt de layers op van de graaf ten opzichte van . Voor elke top die bereikt wordt, volstaat het dat we bijhouden welke top de top voorafgaat. Een lijst van lengte , waarbij op elke positie dus verwezen wordt naar als en slechts als de top de top voorafgaat, bepaalt een shortest path spanning tree dus volledig. Op de positie van de begintop komt in de (figuur 8). lijst het getal Gegeven een shortest path spanning tree, en een top , dan kunnen we nu heel snel het kortste path van de oorsprong van de spanning tree naar bepalen. Dit gebeurt met behulp van de functie TraceTree. Het argument tree is de lijst die de spanning tree bepaalt. We kijken naar het getal op positie , dit is de top die aan voorafgaat. Als de begintop is, dan zal op positie van de lijst staan, en mogen we stoppen. Staat er een ander getal, dan gaan we nu recursief verder vanaf (figuur 9).

Figuur 8

correspondeert. Figuur 10 toont een voorbeeld en aan de hand van de nummering van de vlakjes uit figuur 3 kunnen we de permutatie eenvoudig bepalen. Deze is Figuur 9

Het volstaat om te bepalen met welke top van de Cayleygraaf deze permutatie correspondeert, het kortste pad naar deze top te bepalen, en daaruit de lijst met stappen te bepalen. Zoals vermeld moet eerst (en eenmaal) een shortest path spanning tree bepaald worden, hetgeen ongeveer drie minuten rekentijd in beslag neemt (figuur 12).

Figuur 10: De 2x2x2 kubus in een niet-opgeloste toestand

Figuur 11

De laatste twee functies zetten een lijst van bogen uit de graaf om in een lijst van rotaties die uitgevoerd moeten worden om de puzzel op te lossen (figuur 11).

Nu gaan we bovenstaande functies in een voorbeeld gebruiken. Gegeven de kubus in een niet-opgeloste toestand, dan moeten we eerst de permutatie opschrijven die daarmee

Nog één detail verdient extra uitleg. We definieerden in bovenstaand voorbeeld een homomorfisme tussen de groep van de kubus en de zogenaamde vrije groep op 3 geneen . Een vrije groep ratoren is wiskundig gezien een groep die voortgebracht wordt door generatoren, en deze zijn nu gewoon abstracte objecten (vandaar genoteerd als en ). Elk element uit deze groep is een woord in de generatoren en hun inverses. De samenstelling van twee elementen is de concatenatie van de twee woorden, waarbij een generator gevolgd door zijn inverse dan weggelaten wordt. Aldus ontstaat een oneindige groep. Door in GAP het homomorfisme te definiëren tussen de groep van de kubus (die ook door drie generatoren voortgebracht wordt) en de vrije groep, kunnen we de in GAP ingebouwde algoritmen gebruiken om het zogenaamde word problem op te lossen. Gegeven een

Figuur 13

Figuur 14 Figuur 12

element in de groep van de kubus, dan kan GAP (in principe) een woord bepalen in de generatoren van die groep waarvan de samenstelling precies het element is. Het word problem is een van de klassieke en moeilijke problemen uit de computationele groepentheorie, maar enkele algoritmen zijn wel ontwikkeld, en zijn efficiĂŤnt genoeg voor de groep van de kubus. In bovenstaand voorbeeld gebruiken we deze mogelijkheid van GAP in feite alleen om de gevonden permutaties voor de gebruiker te herkennen. Immers, de oplossing is een lijst van permutaties, die alle generatoren zijn van de groep van de kubus, en het homomorfisme herkent deze permutaties en schrijft ze "leesbaar" uit voor de gebruiker. In het voorbeeld (figuur 13) gaan we het algoritme gebruiken om rechtstreeks een lijst van rotaties te bepalen die we moeten uitvoeren om de kubus op te lossen. We gebruiken dezelfde permutatie als daarnet, en zullen zien dat de lijst van rotaties (veel) langer is (namelijk 11 in plaats van 5). De rekentijd is dus verwaarloosbaar ten opzichte van de rekentijd om de kortste oplossing te bepalen.

Daarenboven is deze werkwijze ook toepasbaar op de groep van de 3x3x3 kubus. We illustreren met een willekeurige permutatie uit die groep (commando Random) (figuur 14). Dit levert een (vrij lange) lijst van rotaties die uitgevoerd moeten worden, terwijl men ondertussen weet dat de diameter van de Cayleygraaf van de 3x3x3 kubus 26 is.

4. EPILOOG Het getal dat het antwoord is op vraag (iii) wordt ook wel God's number genoemd. We hebben dit dus berekend voor de 2x2x2 kubus. Voor de

3x3x3 kubus en zijn grotere varianten kan men dezelfde werkwijze niet gebruiken. Toch is God's number voor de 3x3x3 kubus ondertussen bepaald. De gebruikte technieken zijn van heel andere aard dan de hier beschreven werkwijze, en zijn gedeeltelijk exhaustief. Door de structuur van de groep te gebruiken, kan men de bepaling van de diameter herleiden tot het bepalen van de kortste oplossing voor een relatief beperkt aantal toestanden. Elk van deze gevallen wordt dan opgelost door eenvoudig alle mogelijkheden af te gaan. Alleen de massale beschikbaarheid van rekenkracht maakt deze werkwijze mogelijk, en is niet bruikbaar om

God's number te bepalen voor de grotere kubussen. Een zeer informatieve website met veel informatie over God's number is http://www.cube20.org. Deze website maakt ook twee verschillende benaderingen duidelijk. In dit artikel werd met 1 beweging steeds een rotatie over 90 graden van een vlak van de kubus bedoeld. Een rotatie over 180 graden wordt dus als 2 bewegingen geteld. Men spreekt in dit geval ook over de quarter turn metric (QTM). Men kan echter ook een rotatie over 180 graden als slechts 1 beweging beschouwen, dan spreekt men over de half turn metric (HTM). In HTM is God's number van de 2x2x2 kubus 11. God's number voor de 3x3x3 kubus is 26 in QTM en 20 in HTM. Voegt men aan de lijst van generatoren van de groep de kwadraten ervan toe, dan is de diameter van de Cayleygraaf pre-

de groepen cube2x2x2 en cube3x3x3 kan heel snel berekend worden, uiteraard zonder alle elementen in die groep te bepalen en op te lijsten. Daarvoor zijn echter geavanceerde algoritmen nodig voor permutatiegroepen, en deze zijn van fundamenteel belang in de computationele groepentheorie. Deze algoritmen maken het ook mogelijk om bijvoorbeeld efficiënt te controleren of een gegeven permutatie behoort tot een gegeven permutatiegroep. Voor de kubus is deze vraag equivalent met de vraag of het bijvoorbeeld mogelijk is de kubus om te zetten in een bepaalde toestand of niet. Ten slotte vermelden we nog de website http://ruwix.com, waar de hopeloze puzzelfan onder andere een online applicatie vindt om de 2x2x2 en 3x3x3 kubus op te lossen. Alle gebruikte GAP-code uit dit artikel

Het antwoord op vraag (i) lijkt eenvoudig te bepalen. Niets is echter minder waar. Het aantal permutaties in

The GAP Group. GAP { Groups, Algorithms and Programming, Version 4.9.2, 2018. 2 Dieter Jungnickel. Graphs, networks and algorithms, volume 5 of Algorithms and Computation in Mathematics. Springer, Heidelberg, fourth edition, 2013. 3 Tomas Rokicki, Herbert Kociemba, Morley Davidson, and John Dethridge. The diameter of the Rubik's cube group is twenty. SIAM J. Discrete Math., 27(2):1082{1105, 2013. 1

OEFENING VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE, TWEEDE RONDE VWO 2018, VRAAG 12 In het dorp Zonnehoek zijn alle straten volgebouwd. In elke straat worden alle huisnummers van één tot en met het hoogste huisnummer gebruikt. Toevallig zijn er in Zonnehoek evenveel straten waarvan het hoogste huisnummer even is als straten waarvan het hoogste huisnummer oneven is. Welke huisnummers zijn in de meerderheid? A

De even huisnummers.

De oneven huisnummers.

Er zijn evenveel even als oneven huisnummers.

Dat weet je pas als je weet hoeveel straten er zijn.

Dat weet je pas als je weet hoeveel huizen er in elke straat staan.

Figuur 15

cies God's number in de HTM. Voor de 2x2x2 kubus kan men dit eenvoudig narekenen in GAP (figuur 15).

REFERENTIES

is beschikbaar online op http://homepages.vub. ac.be/~jdbeule/vector/rubik.

23 WISKUNDE & ONDERWIJS

PROGRAMMEREN IN DE LES WISKUNDE DEZE RUBRIEK BEHANDELT DE BEGINSELEN VAN HET PROGRAMMEREN EN ZAL UITGROEIEN TOT EEN VOLLEDIGE CURSUS, MET VELE MOTIVERENDE VOORBEELDEN UIT DE LESPRAKTIJK. DE PROGRAMMA’S ZIJN OP MAAT GEMAAKT VOOR EEN VAN DE MEEST VERSPREIDE GRAFISCHE REKENTOESTELLEN IN VLAANDEREN, DE TI-84 PLUS COLOR. 2 D. DESES1

DEEL 1: HELLO WORLD! 1.1 Inleiding De programmeertaal die in de TI-84 Plus Color zit, is TIBasic. Dit is een dialect van BASIC, een programmeertaal waarmee Bill Gates (Microsoft) zijn faam heeft verworven. BASIC (Beginners All-purpose Symbolic Instruction Code) werd ontworpen om ook de leek in staat te stellen kleine programma’s te schrijven. Het TIBasicdialect is trouw aan deze ﬁlosoﬁe: er is geen enkele programmeerervaring nodig om programma's te schrijven. Een beetje doorzettingsvermogen en zelfvertrouwen volstaan. Elke programmeertaal beschikt trouwens over dezelfde drie fundamentele concepten: 1. variabelen (a,b,c, ...) en elementaire bewerkingen (+,-,sin,cos)

1 2

2. voorwaardelijke structuren: als a < b dan (doe dit) anders (doe dat) 3. lussen: voor k gaande van 1 tot 10 (herhaal dit) Leren programmeren in TIBasic zal dus later ook nut hebben om te programmeren in andere talen. De voorbeelden uit deze rubriek kunnen natuurlijk ook vertaald worden naar andere programmeertalen. In de volgende drie delen van deze rubriek zullen we bovenstaande concepten introduceren op het graﬁsch rekentoestel. Nu zullen we aan de hand van een klassieker uitleggen hoe je een nieuw programma aanmaakt. Traditioneel begint men in een taal te programmeren door als eerste programma een ’Hello world’-programma te maken dat

KA Koekelberg, VUB In samenwerking met T3-Vlaanderen (http://www.t3vlaanderen.be/).

eenvoudigweg de tekst ’Hello world’ toont. In TIBasic gaat dit als volgt. 1.2 Hello world! Om een programma te schrijven ga . Je kan kiezen om een je naar ), te programma uit te voeren ( ) of om een nieuw veranderen ( ). Indien programma in te geven ( je de laatste keuze maakt, wordt er naar een naam gevraagd. Nadien kom je op de editor uit, waar je jouw programma kan invoeren (figuur 1). De commando’s die met het programmeren te maken hebben, . In het menu zitten nu onder vind je alle input en , output commando’s, o.a. dit zal het tekstscherm leegmaken. Verder vind je er ook het commando dat een tekst op het scherm

kan zetten. De tekst staat tussen aanhalingstekens en wordt ingevoerd (figuur 2). via de groene knop Eenmaal het programma geschreven is, om uit het programdoe je meerscherm te gaan. Met kan je nu je programma starten (figuur 3).

Figuur 1

Ziezo, oefen nu maar verder door wat meer op het scherm te toveren. Volgende keer: variabelen!

Uit: Wiskunde & Onderwijs, tijdschrift van WWL

Figuur 2

Figuur 3

25 UITWISKELING

DE VOLGORDE VAN BEWERKINGEN DE VOLGORDE VAN BEWERKINGEN WORDT IN HET EERSTE LEERJAAR A AANGELEERD. OOK IN DE LAGERE SCHOOL KOMT DIT AAN BOD. DAARBIJ WORDEN ALLERLEI EZELSBRUGGETJES AANGEBODEN (ZOALS ‘MENEER VAN DALEN WACHT OP ANTWOORD’ OF BETER ‘HET MANNETJE DAT ONS AANKIJKT’: HAAKJES, MAAL, DELEN, OPTELLEN EN AFTREKKEN). ALS LEERLINGEN DE REDEN VAN DEZE VOLGORDE KENNEN, IS DE KANS GROTER DAT ZE DIE CORRECT TOEPASSEN EN DAT ZE NIET ENKEL EEN ‘RECEPT’ GEBRUIKEN DAT ZE UIT HET HOOFD GELEERD HEBBEN. M AC H T E L D V E R H E N N E

- VO O R U I T W I S K E L I N G

WAAROM ZETTEN WE HAAKJES? Het is belangrijk jonge leerlingen te laten inzien waarom en wanneer er haakjes moeten gebruikt moeten worden. Dit kan bijvoorbeeld met de volgende hoofdrekenoefening:

de bewerkingen, dan bekomen we 5 in plaats van 22 want 4 + 4 − 3 = 5. Als we dezelfde uitkomst willen bekomen als hierboven, dan moeten er haakjes geplaatst worden:

Neem de som van 4 en 1. Vermenigvuldig het resultaat met 2. Vermenigvuldig dit getal met zichzelf. Trek er 12 van af. Deel je resultaat door 4. Welk getal bekom je?

Schrijven we deze bewerkingen zonder bijkomende haakjes op één lijn en respecteren we de volgorde van

WAAROM HEEFT DE VERMENIGVULDIGING VOORRANG OP DE OPTELLING? Naast de voorrangsregel voor haakjes zijn er nog andere voorrangsregels. Waarom hebben we niet de conventie aangenomen om de opeenvolgende bewerkingen gewoon van links naar rechts uit te rekenen? Dat het ‘van links naar rechts rekenen’ niet vol te houden is, kan je verklaren vanuit het volgende voorbeeld. Sara koopt drie kleine taartjes van 4 euro en één grote taart van 10 euro. Hoeveel moet ze betalen?

De bewerking die de leerlingen dan uitvoeren, is

De rekening bedraagt 22 euro. In de lagere school wordt aangeleerd dat men bij een optelling mag ‘wisselen’ (commutatieve eigenschap):

De rekening zou dus ook als volgt gemaakt kunnen worden:

Maar als de bewerkingen gewoon van links naar rechts uitgevoerd worden (zonder speciale voorrangsregels), dan is het resultaat fout want en De communicatieve eigenschap willen we niet overboord gooien. Als we geen extra haakjes willen invoeren om aan te duiden welke bewerking

eerst aan beurt komt, moeten we afspreken eerst de vermenigvuldiging uit te rekenen: en Bovenstaand voorbeeld kan voor veel leerlingen een voldoende argument zijn om de voorrangsregel van het vermenigvuldigen ten opzichte van het optellen te aanvaarden. Zelf vind ik de verklaring die te vinden is bij de definitie van de bewerkingen op zich overtuigender. Als Sara drie kleine taartjes van 4 euro en één grote taart van 10 euro koopt, dan kan de kassierster de grote taart en de kleine taartjes één voor één door de scanner laten gaan:

De kassierster kan ook een klein taartje eenmaal scannen en dan op een vermenigvuldigingtoets (maal 3) drukken. Dat is efficiënter. Om te berekenen hoeveel het bedrag zal zijn, nemen we eerst de prijs van de grote taart en vullen we daarna aan met de prijs van de drie kleine taartjes:

Voor deze som tussen haakjes bestaat er een kortere schrijfwijze:

WAAROM HEEFT DE MACHTSVERHEFFING VOORRANG OP DE VERMENIGVULDIGING? Eenzelfde redenering geldt voor de machtsverheffing:

Een vierdemacht is de verkorting voor een vermenigvuldiging met tussen haakjes het product van vier gelijke factoren. Omdat haakjes altijd eerst worden genomen, heeft deze machtsverheffing voorrang op de vermenigvuldiging. Eigenlijk is de volgorde van bewerkingen niet als ‘een afspraak’ ingevoerd maar hangt ze samen met de definitie van de vermenigvuldiging, de machtsverheffing en met de regel dat haakjes altijd voorrang hebben. ENKELE VOORBEELDEN Door de definitie van macht en vermenigvuldiging te gebruiken en zo duidelijk te maken welke bewerking logischerwijze eerst aan bod komt, kunnen de volgende bewerkingen uitgerafeld worden. Misschien helpen deze tussenstappen bij leerlingen die er niet in slagen de volgorde van bewerkingen te automatiseren.

eenvoudig resultaat lijkt), dan kan het uitrafelen van de formule nog op een andere manier een correct inzicht brengen:

WAAROP HEEFT VIERKANTSWORTEL VOORRANG? De worteltrekking is een machtsverheffing met een rationale exponent, maar dat is nog niet aan de orde voor leerlingen van de eerste graad. In de hogere jaren kan op deze manier makkelijk ingezien worden dat de voorrangsregel van machtswortels dezelfde is als de voorrangsregel van machten. Dat er, naar mijn aanvoelen, minder fouten gemaakt worden bij de vierkantswortel heeft volgens mij te . De maken met het symbool horizontale lijn helpt om duidelijk te maken of de vierkantswortel eerst genomen moet worden zoals bij of dat de vierkantswortel als laatst aan bod komt zoals bij . De horizontale lijn van het wortelteken heeft dezelfde functie als de haakjes: .

Deze vermenigvuldiging vervangt de haakjes. Omdat haakjes altijd eerst worden genomen, moet ook de vermenigvuldiging voor de optelling worden uitgevoerd. De vermenigvuldiging is een optelling van gelijke termen die tussen haakjes staat.

Bij dit laatste voorbeeld wil ik nog een bijkomende opmerking maken. Als 5 eerst met 2 wordt vermenigvuldigd (omdat dit een aantrekkelijk

DE VAN-LINKS-NAAR-RECHTS-REGEL Bij oefeningen als wordt in de lagere school aangeleerd van links naar rechts te rekenen zodat de leerling niet de fout zou maken om 7 eerst bij de 3 op te tellen en deze som van 15 af te trekken: . Deze laatste werkwijze is fout omdat de optelling met 3 door het gebruik

van de haakjes een vermindering met 3 wordt. Omdat 7 + 3 een gemakkelijke som is, wordt deze fout wel eens gemaakt. In het secundair wordt er minder gehamerd op het belang van ‘van links naar rechts’. Waarom? Een aftrekking is immers een optelling met de tegengestelde term . en een deling is een vermenigvuldiging met de omgekeerde factor .

Daarom staat de deling op hetzelfde niveau als de vermenigvuldiging en de aftrekking op hetzelfde niveau als de optelling. Dat neemt niet weg dat een verstrooide leerling in de eerste graad toch wel eens 4 voor het resulzal noteren. taat van Meestal krijgt de leerling in de eerste graad de ‘raad’ om de positieve getallen bij elkaar op te tellen en ook de negatieve getallen en daarna de aftrekking uit te voeren.

Door de eigenschap van het ‘wisselen’ kan deze oefening in de lagere school wel als volgt aangepakt worden:

Deze benadering kan helpen om van ‘van links naar rechts’ over te schakelen naar ‘eerst de optellingen van positieve en daarna die van de negatieve getallen’. Dit is een truc om de overstap van de lagere school naar de eerste graad niet al te groot te maken. De volgorde van bewerkingen staat in elk boek van de eerste graad A-stroom beschreven. Maar vaak enkel als een afspraak, omdat er nu eenmaal een afspraak moet zijn. Maar deze afspraak is niet toevallig, net zoals in het verkeer de voorrang van rechts niet een toevallige afspraak is. Dit artikel verscheen in Uitwiskeling 33/4. Uitwiskeling is een tijdschrift van en voor wiskundeleraren, helemaal vanuit de praktijk van het wiskundeonderwijs. Benieuwd naar meer? Op de webstek www.uitwiskeling.be vind je alle info.

OEFENING VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE, EERSTE RONDE VWO 2018, VRAAG 9 Welke van de volgende ruimteﬁguren heeft het kleinste aantal symmetrievlakken? A

een bol B

een afgeknotte kegel C

een kegel D

De werkwijze van de eerste graad wordt niet gebruikt in de lagere school omdat daar nog niet met negatieve getallen gerekend wordt. De som nemen van de negatieve en is nog niet aan de getallen orde.

een cilinder E

een regelmatig achtvlak

28 PYTHAGORAS

'CONSTRUCTIE' VAN EEN REGELMATIGE 7-HOEK JAN GUICHELAAR

- R E DAC T I E PY T H AG O R A S

CONSTRUCTIES MET PASSER EN LINIAAL Constructies met passer en liniaal zijn een onderdeel van de meetkunde sinds de tijd van de oude Grieken. Een constructie met passer en liniaal is het wiskundig correct tekenen van een bepaalde figuur, lengte, hoek of punt met alleen een passer en liniaal. Hierbij bevat de liniaal geen schaalverdeling. Het construeren van een regelmatige veelhoek met louter passer en liniaal kan niet in alle gevallen. Niet moeilijk zijn de gelijkzijdige 3-hoek, het vierkant en de gelijkzijdige 5-hoek. Als start is het de moeite waard om die nog eens te proberen. Als je deze allemaal gevonden hebt, zijn de volgende ook niet moeilijk: de 6-, 8-, 10-, 12-, 16-, 20-, 24-, 32-, 40-, 48-, 64-hoek. Om de 6-, 8- en 10-hoek te maken, hoef je alleen de middelpuntshoeken van de 3-, 4- en 5-hoek in tweeën te delen. Als je vervolgens alle middelpuntshoeken in vieren deelt, krijg je er nog veel meer. En een hoek in tweeën delen is gemakkelijk. Maar welke n-hoeken kun je allemaal wel en welke niet met passer en liniaal maken?

Daarvoor bestaat een formule, die we hier geven, maar niet afleiden:

Hierin is k=1, 2, 3, … en de pi zijn verschillende Fermatpriemgetallen. Een Fermatpriemgetal is een priemgetal van de vorm:

De eerste vijf bekende Fermatpriemgetallen zijn: 3, 5, 17, 257, 65537 (m=0, 1, 2, 3, 4). De wiskundige Carl Friedrich Gauss (1777-1855) bewees dat de eis aan n voldoende was om een regelmatige n-hoek met passer en liniaal te construeren. Hij bewees dat toen hij 19 jaar oud was! In 1836 bewees Pierre-Laurent Wantzel (1814-1848) dat deze voorwaarde ook noodzakelijk was. ‘CONSTRUCTIE’ VAN DE 7-HOEK De eerste regelmatige veelhoek die niet met passer en liniaal te construeren is, is volgens de bovenstaande stelling dus de 7-hoek. Maar in de houten metaalbewerking is het natuurlijk vaak gewenst om toch een regelmatige 7-hoek te maken. In figuur 1 staat een extreem goede benaderingsconstructie gegeven.

Start met een cirkel met straal 1 en middelpunt M. Neem een punt A op de omtrek en teken de cirkel met straal 1 en A als middelpunt. Noem de snijpunten met de eerste cirkel Z1 en B. Lijnstuk Z1B snijdt AM in C. De benaderde zijde van de regelmatige 7-hoek is dan Z1C. Herhaald omcirkelen levert dan de hoekpunten Z0, Z1, Z2, Z3, Z4, Z5, Z6 en Z7. In de tekening zie je al dat Z0 en Z7 net niet samenvallen. Zie voor een uitvergroting de figuur 2. DE FOUT IN DE CONSTRUCTIE Laten we een schatting maken van de fout die in deze constructie zit. In figuur 1 zie je dat de zijde z die deze constructie levert, gelijk is aan:

Vervolgens moeten we een schatting maken van de echte zijde van de regelmatige 7-hoek. Zie daarvoor figuur 3. De middelpuntshoek is 2π/7. Voor de zijde w geldt dan:

BRONNEN Op het internet is deze constructie terug te vinden. Ik hoorde van een kennis dat in de dertiger jaren van de vorige eeuw deze constructie al op de lagere technische scholen of ambachtscholen in Nederland werd onderwezen. Verder ontdekte ik dat de constructie ook stond in de derde aflevering van de Mathematical Pie van mei 1951. De Mathematical Pie was, net als Pythagoras, een wiskundetijdschrift voor jongeren, waarvan het eerste nummer verscheen in oktober 1950 in Engeland. Ruim tien jaar voor het eerste nummer van Pythagoras. De constructie werd toen naar het tijdschrift gezonden door J. Barkas, een leerling van Sidcot School in Somerset in Engeland. Deze constructie is al terug te vinden in het werk van de kunstenaar Albrecht DĂźrer (1471-1528).

Uit: Pythagoras (www.pyth.eu)

Figuur 1

Figuur 2

Voor de verhouding z/w hebben we dan:

De fout in deze constructie is dus slechts 0,002. In een technische tekening dus verwaarloosbaar.

Figuur 3

DE FIELDSMEDAILLE PAU L I G O D T

- KU LEUVEN CAMPUS KULAK

Om de vier jaar wordt, sinds vele decennia, het 'International Congress of Mathematicians' (ICM) georganiseerd. Zo ook dit jaar, meer bepaald van 1 tot 9 augustus in Rio de Janeiro. ICM is een vierjaarlijks kruispunt bij uitstek voor wiskundigen, actief in onderzoek en outreach. Onderzoekers ontmoeten er elkaar, wisselen expertise uit en brainstormen over recente resultaten en aankomende nieuwe onderzoekstopics. Het congres wordt telkens georganiseerd door de wiskundegemeenschap van een bepaald land, dit jaar BraziliĂŤ dus. Het is echter de 'International Mathematical Union' (IMU), de wereldoverkoepelende organisatie van nationale wiskundegenootschappen, die het congres inhoudelijk aanstuurt. Ons land is, samen met 87 andere landen, lid van de IMU. Over ICM 2018 vind je voor vele uren lees-, kijken luisterplezier op www.icm2018.org. IMU is niet alleen betrokken bij het wiskundeonderzoek, maar heeft ook een actieve educatieve poot en allerlei andere initiatieven, waaronder het ondersteunen van outreach voor wiskunde. Om de 4 jaar is er zo ook een 'International Congress on Mathematical Education' (ICME). Het 14e ICME congres zal plaatsvinden van 12 tot 19 juli 2020, in Shanghai. Dit vind je nu reeds aangekondigd op www.icme14.org.

Het pers- en communicatiemoment bij uitstek op de ICM congressen is de openingsceremonie met de bekendmaking en uitreiking van de Fieldsmedailles. Laureaat worden van een Fieldsmedaille wordt beschouwd als de belangrijkste erkenning van uitzonderlijk hoogstaand en succesvol wiskundig onderzoek maar tevens als een aanmoediging voor verder onderzoek. Juist omwille van dit laatste aspect werd van bij het begin een leeftijdsvoorwaarde opgenomen: een laureaat mag de leeftijd van 40 jaar niet bereikt hebben op 1 januari van het ICM-jaar! Door deze strikte voorwaarde kon bv. Andrew Wiles destijds niet meer in aanmerking komen voor de Fieldsmedaille, al had hij een wetenschappelijke doorbraak zonder voorgaande gerealiseerd, met een bewijs voor Fermats Laatste Stelling als gevolg.

twintigste eeuw. Kort voordien, in 1895 had Nobel in zijn testament verschillende grote prijzen voor baanbrekend onderzoek in de natuurwetenschappen en de geneeskunde ingesteld. De eerste Nobelprijzen werden uitgereikt in 1901; een prijs voor doorbraken in het wiskunde-onderzoek had Nobel niet voorzien. Door de politieke nasleep van de Eerste Wereldoorlog en de schikkingen in het Verdrag van Versailles was de internationale wiskundegemeenschap inmiddels ook verdeeld geraakt. De internationale congressen van 1924 en 1928 werden georganiseerd resp. in Toronto en Bologna, formeel bijna meer als initiatieven van de universiteiten aldaar, maar ook namens een niet langer wereldwijd open IMU. Zo konden wiskundigen uit de 'centrale machten' (o.a. Duitsland) niet langer participeren.

Over de geschiedenis en het tot stand komen van de Fieldsmedailleprijzen schreef Henry S. Tropp een erg interessante bijdrage ([1]). Een korte historische kadering dringt zich op hier.

John Charles Fields (Canada, 18631932), die na zijn wiskundestudies aan de Johns Hopkins universiteit gedurende vele jaren doorheen Europa reisde en er vele vrienden maakte, was er het hart van in dat er evenmin een toponderscheiding bestond voor wiskundigen1. Het ontbreken van een Nobelprijs wiskunde was hier niet vreemd aan.

Het allereerste grote internationale congres van wiskundigen werd reeds in 1897 georganiseerd, in ZĂźrich. Veel breder bekend werd de editie van 1900, in Parijs, waar David Hilbert een lijst van 23 nog onopgeloste wiskundeproblemen voorstelde, als leidraad voor wiskundig onderzoek in de

Fields heeft vele jaren geijverd om hier verandering in te brengen. Zijn contacten en vrienden in vele landen

en organisaties sprak hij hierover aan. De IMU moest overtuigd worden terug een gemeenschap van alle wiskundigen wereldwijd te worden. Tegelijk moest diezelfde IMU tot het inzicht komen dat een belangeloze toperkenning voor het wiskundig onderzoek een goede zaak was. Fields, verbonden aan de universiteit van Toronto en reeds de drijvende kracht voor het congres in Toronto, slaagde er uiteindelijk pas begin 1932 in om, dankzij inmiddels de steun van de Amerikaanse, Canadese, Franse, Zwitserse, Duitse en Italiaanse wiskundegenootschappen, het idee van een topprijs en eremedaille in principe te laten aanvaarden door de IMU.

voor toekomstig werk moest inhouden. Hij had ook expliciet geïnsisteerd dat de medaille hoe dan ook niet genoemd zou worden naar iemand. Halfweg 1932 werd Fields evenwel ziek, en hij stierf begin augustus van datzelfde jaar. Zo kon hij niet deelnemen aan het ICM-congres in Zürich in september dat jaar. Nog op zijn sterfbed had hij, bij wijze van testament, zijn bezittingen geschonken voor de ﬁnanciering van de in te richten prijs. Zijn toenmalige vriend en collega, de Ierse wiskundige John Lighton Synge, die eerder al zijn rechterhand was voor de organisatie van het Torontocongres, werd als eerste opgedragen de uitvoering verder op te volgen.

Meticuleus en vooruitziend gedreven als hij was, begon hij in de lente van datzelfde jaar aan een nauwkeurig ontwerp voor de medaille die hij in gedachten had. Hierover was hij in contact gekomen met een bevriend ontwerper. Essentieel voor hem was dat het zowel een bekroning voor geleverd werk, als een aanmoediging

De IMU stemde in met het idee van Fields op het congres in Zürich, in september 1932, ongeveer 1 maand na zijn overlijden. Er werd evenwel ook beslist dat de medaille genoemd zou worden naar Fields. Hier zou hij zich, bij leven, ongetwijfeld niet mee akkoord verklaard hebben. De eerste Fieldsmedailles werden

uitgereikt op het congres van 1936 in Oslo. Sinds 1950 worden de Fieldsmedailles om de vier jaar uitgereikt op voordracht van een wetenschappelijke commissie die samengesteld wordt door het hoogste bestuursorgaan van de IMU, en in principe voorgezeten wordt door de IMU president. Er zijn telkens minstens 2 en hoogstens 4 laureaten. De samenstelling van de wetenschappelijke commissie blijft geheim tot na de uitreiking van de prijzen. De medaille zelf is in goud en wordt vergezeld van een geldprijs van 15000 CAD. Omdat de erfenis van Fields niet volstaat om dit alles te financieren, treden de Universiteit van Toronto en het na zijn overlijden opgerichte Fields Instituut meermaals op als medefinancier. Er is dus nog steeds een structurele onderfinanciering voor deze nochtans uiterst gewaardeerde onderscheiding. Op dit aspect is het contrast met de Nobelprijzen beslist groot. Zijn er landgenoten onder de laureaten van een Fieldsmedaille, vraag je je misschien af? Ja, en te weinig bekend voor het grote publiek! We vinden twee landgenoten terug: in 1978 werd Pierre Deligne (Brussel, 1944 - ) laureaat en in 1994 werd Jean Bourgain (Oostende, 1954 - ) laureaat. Zij verdienen een plaats in de rij van grootste wiskundigen, iets waar al te weinig landgenoten van op de hoogte zijn. Beiden zijn gestart in eigen land, maar ondertussen voor het grootste deel van hun loopbaan verbonden aan het befaamde Institute for Advanced

J.L.Synge, die heel nauw in contact stond met Fields en de eerste uitvoerder van zijn testament werd, getuigt in zijn briefwisseling dat “. . . hij van Fields, die goed bevriend was met de Zweedse wiskundige Gösta Mittag-Leﬄer, hoorde over moeilijkheden in de verhouding tussen Nobel en Mittag-Leﬄer . . . ” (zie [1])

Study (IAS) in Princeton (USA). Dat van 2010 tot 2014 ook een landgenote, nl. Ingrid Daubechies (Duke University, USA) president van de IMU was, is al evenmin breed bekend. En dat twee landgenoten, meer bepaald (opnieuw) Pierre Deligne en Jacques Tits (Collège de France) ondertussen ook de pas in 2003 ingestelde Abelprijs ontvingen, ontsnapt meer dan eens ook aan de mediabelangstelling. En dit jaar, in Rio? Op het recente ICM werd een Fieldsmedaille uitgereikt aan Caucher Birkar (1978 - ), geboren en opgegroeid in Koerdisch gebied in Iran, van daaruit gevlucht naar het Verenigd Koninkrijk, momenteel professor aan de Cambridge universiteit. Alessio Figalli (1984 - ), Italiaan en sinds 2016 professor aan ETH, Zürich.

Akshay Venkatesh (1981 - ), met Indische roots, professor aan Stanford University. Peter Scholze (1987 - ), Duitser en een van de allerjongste laureaten ooit, momenteel professor aan de Universiteit Bonn. Over hun wiskundig baanbrekend werk zal een nieuwe generatie jonge wiskundigen de komende jaren ongetwijfeld veel bijleren. O ja, voor we het vergeten, het volgende ICM zal plaatsvinden in 2022 in Sint-Petersburg, Rusland. REFERENTIES Tropp, Henry S., The origins and history of the ﬁelds medal, 1976, vol. 3, nr. 2, pp. 167-181. 2 www.mathunion.org 1

VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE De Vlaamse Wiskunde Olympiade is een jaarlijkse wedstrijd voor leerlingen uit de tweede en derde graad van het secundair onderwijs, vol met uitdagende (meerkeuze-) vragen om het wiskundig inzicht van de leerlingen te prikkelen.

Hoe ziet de wedstrijd eruit? In een eerste ronde, midden januari op school georganiseerd, krijgen de leerlingen 30 meerkeuzevragen en 3 uur tijd. Een tweede ronde wordt provinciaal georganiseerd met 30 meerkeuzevragen en 2 uur tijd. De finale is landelijk met 4 open vragen.

Wie kan deelnemen? Alle leerlingen uit de tweede graad kunnen deelnemen aan de Junior Wiskunde Olympiade (JWO), alle leerlingen uit de derde graad aan de Vlaamse Wiskunde Olympiade (VWO). Wat valt er te winnen? Iedereen die de tweede ronde haalt, krijgt een leuke attentie. Alle finalisten krijgen een extra prijzenpakket. Deelnemen... is belangrijker dan winnen! Vragen van een voorbije ronde? Op

OEFENING KANGOEROE, EDITIE WALLABIE 2018, VRAAG 7 Tina laat in de trechter een bal vallen. Telkens de bal aan een splitsing komt, gaat hij naar links of naar rechts. Op hoeveel manieren kan de bal in bakje II terechtkomen?

de website vind je de opgaven, in de eindrapporten (krijg je na deelname opgestuurd, met een usolv-it lidmaatschap digitaal of kan je bestellen) staan ook de uitgewerkte antwoorden en statistieken van een jaargang.

Oefenen? Iedereen kan online oefenen met de opgaven van Kangoeroe, JWO, en VWO. Surf naar www.usolvit.be en kies voor “Leerling”. Leerkrachten beschikken over veel meer oefeningen, ook in andere disciplines, als ze aansluiten bij de usolv-it gebruikersgroep.

Interesse om deel te nemen? Meld een schoolverantwoordelijke aan op www. vwo.be. Inschrijven voor 2019 kan vanaf 1 oktober tot en met eind november 2019.

Meer info? Neem een kijkje op onze website www.vwo.be! Onze coördinaten: Vlaamse Wiskunde Olympiade, KU Leuven Kulak, Etienne Sabbelaan 53, 8500 Kortrijk. Telefoonnummer: 056 24 62 06, e-mail: vwo@ kuleuven.be.

33 UITWISKELING

HOE TRAAG STIJGT EEN LOGARITMISCHE FUNCTIE? IN HET VIJFDE JAAR MAKEN DE LEERLINGEN KENNIS MET LOGARITMISCHE FUNCTIES ALS INVERSEN VAN EXPONENTIÃ‹LE FUNCTIES. EEN VAN DE IN HET OOG SPRINGENDE EIGENSCHAPPEN VAN DE STIJGENDE LOGARITMISCHE FUNCTIES IS DAT ZE TRAAG STIJGEN, ZEER TRAAG ZELFS. MAAR HOE TRAAG IS TRAAG? HIERONDER BESCHRIJF IK EEN GEDACHTE-EXPERIMENT DAT IK IN DE KLAS UITVOER OM DE TRAAGHEID VAN HET STIJGEN TE ILLUSTREREN. HILDE EGGERMONT

- R E DAC T I E U I T W I S K E L I N G

Stel je voor dat we de muren van het klaslokaal willen opfleuren door er met een fijn penseel een logaritmische functie op te tekenen. We kiezen eerst een assenstelsel. We nemen de y-as in een van de hoeken van het lokaal (mijn favoriete hoek is vooraan rechts vanuit het standpunt van de leerlingen). Daar waar de twee muren (de muur van het bord en de rechterzijmuur) samen komen, daar ligt de y-as. De x-as staat daar loodrecht op en is evenwijdig met de vloer van het lokaal. We nemen de x-as op de rechterzijmuur ongeveer een meter boven de vloer. We maken van het assenstelsel een orthonormaal assenstelsel door op beide assen 1 cm als eenheid te nemen. Nu is de rechterzijmuur van het lokaal klaar om er een grafiek op te tekenen. We maken verder abstractie van eventuele ramen, deuren, prikborden ... op deze zijmuur. (Bedenk dat het om een gedachte-experiment gaat!) Op dit denkbeeldige reuzengrafiekpapier gaan we nu een logaritmische functie tekenen. Laten we bij wijze van nemen. voorbeeld Je kunt uiteraard even goed een logaritme met een ander grondtal kiezen. De grafiek snijdt de x-as bij x = 1, dus op één centimeter van de hoek. Daarna blijft de grafiek stijgen en stijgen. Om een idee te krijgen van de snelheid van stijgen, berekenen we op welke hoogte de grafiek zit als ze aan de volgende hoek (achteraan rechts) komt. Ofwel heb je ‘toevallig’ een vouwmeter in je boekentas zitten en kan de lengte van de klas gemeten worden, ofwel wordt dit een oefening

in het schatten van afmetingen. Laten we aannemen dat het lokaal 9 meter lang is. In de hoek is dan de hoogte van de grafiek gelijk aan . Over de hele lengte van de muur is de functie nog geen 3 cm gestegen! Om nog meer van de functie te zien tekenen we verder op de achtermuur van de klas. We laten de x-as dus een knik maken. Om te weten hoe hoog de grafiek zit in de volgende hoek, moeten we de breedte van het lokaal weten. Laten we hiervoor 8 meter nemen. De functiewaarde in de volgende hoek is dan . Vervolgens laten we de x-as opnieuw een knik maken en we tekenen de grafiek verder door op de linkerzijmuur en ten slotte ook op de muur aan de voorkant (de muur van het bord). Zo komen we terug in de hoek waar we vertrokken zijn. Hoe hoog zit de grafiek bij het snijden van de y-as? Met een omtrek van 34 m of 3400 cm van het lokaal vinden we . We tekenen naarstig verder en komen na de vier muren nog eens aangedaan te hebben opnieuw aan de starthoek. We hebben nu tweemaal de omtrek van het lokaal doorlopen. . Dit betekent dat . Hiervoor is Gedurende de tweede omloop is de grafiek slechts een halve centimeter gestegen! Een mooi vraagje hierbij is: hoeveel keer moet je de omtrek van de klas doorlopen opdat de grafiek 1 cm hoger dan bij de eerste doorgang

zou zijn? Het antwoord is een mooie toepassing op de eigenschappen van logaritmen:

Na 10 volledige omlopen is de grafiek dus 1 cm hoger gekomen. Rekening houdend met de dikte van een penseel, kun je verder even goed de muur met een dikke kwast verven. Je zult het verschil niet merken! Dit artikel verscheen in Uitwiskeling 31/2. Uitwiskeling is een tijdschrift van en voor wiskundeleraren, helemaal vanuit de praktijk van het wiskundeonderwijs. Benieuwd naar meer? Op de webstek www.uitwiskeling.be vind je alle info.

34ste vlaamse wiskunde olympiade

Wiskunde die verbindt

Met dank aan Jos Leys. - V.U. Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

16 januari 2019

Inschrijven via de school vanaf 1 oktober 2018.

Alle info op www.vwo.be JWO 3de en 4de jaar VWO 5de en 6de jaar VWO wordt eveneens gesteund door de KU Leuven, de KU Leuven Campus Kulak Kortrijk, de Universiteit Antwerpen, de Universiteit Gent, de Universiteit Hasselt, de Vrije Universiteit Brussel, het Belgisch Wiskundig Genootschap, New Scientist, Rhombus, de Vlaamse Vereniging voor WiskundeLeraren, Wetenschap in Beeld.

36 WISKUNDE & ONDERWIJS

REGELMATIG TWINTIGVLAK INGESCHREVEN IN EEN REGELMATIG ACHTVLAK HERMAN SERRAS

- ERE-HOOFDDOCENT UGENT

We stellen de lengte van de ribben van de octaëder gelijk aan 1 en verdelen alle ribben volgens de gulden snede op de manier zoals aangeduid op de figuur. De lengte van de langste en kortste lijnstukken is dan respectievelijk

Bovendien geldt

(eigenschap van de gulden snede).

We tonen aan dat de twaalf verdelingspunten de hoekpunten zijn van een regelmatig twintigvlak. Ribben zoals AB, gelegen in een zijvlak van de octaëder, zijn de zijden van een driehoek zoals XAB, waarin geldt :

hoekpunten van een dodecaëder zijn de hoekpunten van een hexaëder. Hierin wordt een tetraëder ingeschreven, daarin een octaëder en ten slotte daarin een icosaëder op de hierboven beschreven manier.

Ribben zoals AD, die niet in een zijvlak van de octaëder liggen, zijn de schuine zijden van een gelijkbenige rechthoekige driehoek zoals ADX , waarin geldt :

Stellen we de lengte van de ribbe van de dodecaëder gelijk aan 1, dan zijn de lengten van de ribben van de hexaëder, tetraëder, octaëder en icosaëder respectievelijk

WIST JE: Als je dit getal kwadrateert, , precies één krijg je en met dezelfde meer dan cijfers na de komma! Het omgekeerde van dit getal is , precies één en ook met minder dan dezelfde cijfers van de komma !

Er geldt :

waaruit

Het twintigvlak dat op die manier ingeschreven wordt in de octaëder is dus regelmatig. Deze eigenschap geeft de mogelijkheid een mooie combinatie te vormen met de platonische lichamen. Acht

De dodecaëder werd gekozen als basisfiguur omdat hij bij Plato symbool staat voor het "alles omvattende", waaruit de kosmos zelf opgebouwd zou zijn. Een animatie is te zien op: https://cage.ugent.be/hs/polyhedra/ 5in1.html.

(Gricha Plusuin)

Uit: Wiskunde & Onderwijs, tijdschrift van VVWL

OEFENING KANGOEROE, EDITIE WALLABIE 2018, VRAAG 13 Een regelmatige achthoek heeft zijde 1 cm. Wat is de gekleurde oppervlakte? A

1,5 cm2

1,8 cm2

2 cm2

2,4 cm2

3 cm2

waaruit

Het 'bekendste' irrationaal getal is Het 'tweede bekendste' irrationaal getal is Nog een bekend irrationaal getal is… ja... een getal dat met begint: maar ook het getal van de gulden snede en gelijk aan

38 UITWISKELING

ACTIVEREND AAN DE SLAG MET RADIALEN FILIP MOONS

- R E DAC T I E U I T W I S K E L I N G

In mijn lessenreeks over goniometrie verwerk ik steevast het smartieexperiment om hoekgroottes in radialen in te voeren. Hoekgroottes meten in radialen is voor leerlingen een vrij abstract concept dat echter de hoeksteen vormt voor goniometrische functies in de derde graad. Vaak worden radialen ingevoerd als de verhouding van de booglengte op de straal. Om dit visueel te maken kun je een applet gebruiken om te tonen dat deze verhouding onafhankelijk is van de gekozen cirkel. Dat is lang niet slecht. Toch kun je nog een stap verder gaan en het inzicht in het meten van hoekgroottes in radialen bij leerlingen vergroten. Want in je eigen praktijk ondervind je misschien dat dit concept voor heel wat leerlingen vaag blijft. Topçu e.a. (2008) besluiten op basis van vakdidactisch onderzoek dat zelfs veel wiskundeleraren geen erg rijk mentaal beeld van radialen hebben en vooral met graden redeneren die ze die dan met de omrekeningsformule omzetten in radialen. Met het smartie-experiment probeer ik leerlingen te laten zien wat radialen zijn, waarom je in radialen geen lengte-eenheid herkent en waarom ineens om de hoek komt het getal

kijken als je over radialen spreekt. Leerlingen zijn er verzot op, want uiteraard mogen ze hun smarties achteraf ook opeten. Sommige leraars gebruiken bij het invoeren van radialen misschien een gelijkaardige werkwijze door te meten met een wollen touwtje. Zo deed ik het vroeger ook. Mijn ervaring was dat de meetresultaten die je met behulp van zo’n touwtje bekomt, gewoonlijk zodanig onnauwkeurig zijn dat ze de meeste leerlingen niet echt overtuigen. Daarom zocht ik alternatieven en zo kwam ik via de blog van een Amerikaanse wiskundelerares uit Ohio bij smarties terecht (Fouss, z.d.). Wat heb je nodig? - Per leerling: één doosje smarties (figuur 1). In de supermarkt verkopen ze deze meestal in reeksen van vijf. Indien je een andere verpakking

Figuur 1

van smarties vindt, zorg er dan voor dat elke leerling zeker 29 smarties heeft. De meeste supermarktketens hebben een eigen, veel goedkopere variant van het huismerk. Uiteraard kun je ook ander cirkelvormig snoepgoed gebruiken. Dan zal je de groottes van cirkels moeten aanpassen. - Deel een werkblad uit met daarop de kleine, middelgrote en grote cirkel op ware grootte. De juiste afmetingen van de cirkels zijn erg belangrijk voor een goed verloop van de les (zie figuur 2 en 3). Meet hiervoor de de diameter van de gekochte smarties en maak met Geogebra een cirkel van straal 3 smarties, 5 smarties en 7 smarties. Op zoek naar 1 radiaal In het eerste deel van de lesactiviteit gaan we in de verschillende cirkels op zoek naar 1 radiaal. Eerst meten de leerlingen de lengte van de straal door die te bedekken met smarties. In de kleinste cirkel is de straal 3 smarties groot (figuur 2). Vervolgens vertrekken ze vanaf en bedekken ze een het punt cirkelboog met lengte 3 smarties. Op het einde van deze cirkelboog

Figuur 2

trekken ze een streepje. Dit streepje verbinden ze met het middelpunt đ??´ van de cirkel. Dit herhalen ze opnieuw in de middelgrote cirkel die een straal van 5 smarties en de grote cirkel die een straal van 7 smarties heeft.

hebt die dubbel zo groot is, is dat een hoek van 2 radialen. De maat (hier smarties) waarmee je de straal en de lengte van de boog gemeten hebt, valt weg in teller en

noemer. Een radiaal heeft dus geen eenheid. Overigens maar goed ook, want als je radialen enkel met smarties kon meten, dan zou dat een beetje gek zijn.

Hierbij merken ze nu twee essentiĂŤle dingen op. - De hoek, die we krijgen als we evenveel smarties op de boog leggen als er passen op de straal, is telkens dezelfde, namelijk ongeveer 57,3Â° (figuur 3). Figuur 4 Vierkant met een spiraal van rechthoeken

Als we voor deze hoek de verhouding van de booglengte op de straal noteren, krijgen we voor de verschillende cirkels telkens 1:

We noemen de bijbehorende hoek een hoek van 1 radiaal. - Een radiaal is een maat voor de hoekgrootte. Wanneer je een hoek

Figuur 3

Op zoek naar de radiaal van veelgebruikte hoeken In het tweede deel van de lesactiviteit gaan we aan de hand van de grote cirkel op zoek naar de grootte van veelgebruikte hoeken in radialen (rechte hoek, gestrekte hoek, …). Intussen hebben de leerlingen al ondervonden dat we die grootte vinden door de verhouding van de booglengte op de straal te berekenen. Als we nu deze verhouding zoeken voor een cirkelboog van 180° komen we uit dat

cirkelboog te bedekken. We krijgen dan de volgende tabel. Radialen uitgedrukt in breuken van smarties

Decimale benadering

90°

11 smarties 7 smarties

1,57

180°

22 smarties 7 smarties

3,14

270°

33 smarties 7 smarties

4,71

360°

44 smarties 7 smarties

6,29

Allicht zal iemand meteen opmerken dat 180° dus overeenstemt met radialen. de breuk die vroeger in de lagere school wel eens als benadering voor werd gebruikt! het getal De bedoeling is dat leerlingen achtereenvolgens de grootte van de hoeken 90°, 180°, 270° en 360° graden in radialen vinden door hun cirkelboog te bedekken met het aantal smarties dat nodig is om deze hoeken te bereiken. Voor 270° en 360° graden zullen ze allicht moeten samenwerken om genoeg smarties te hebben om de

Omzetten van graden naar radialen

Door de eerste opdracht ervaarden de leerlingen dat de verhouding booglengte/straal onafhankelijk is van de gekozen cirkel, met de tweede opdracht oefenden ze deze verhouding in voor verschillende hoeken en daarbij ontdekten ze dat een hoek van 180° overeenstemt met een hoekgrootte van radialen. Na deze experimentele fase grijp je terug naar het abstracte en vraag

Omzetten van radialen naar graden

je wat de omtrekformule van een cirkel is. De omtrek is immers de booglengte van de volledige cirkel en laat toe om 360° ook met een wiskundige afleiding om te zetten in radialen, immers:

Omzettingsformules van graden naar radialen en omgekeerd Tot slot kunnen de leerlingen nu met de regel van drie de omzettingsformules terugvinden (zie figuur 4). Ik raad mijn leerlingen af om deze omzettingsformules vanbuiten te leren; dat zijn ze na een toets of examen toch meteen weer vergeten. Hierin voel ik mij gesteund door de vakdidactiek, waarin talloze onderzoeken al aangaven dat vanbuiten geleerde formules hun betekenis voor leerlingen heel snel verliezen en een belemmering vormen voor langdurig, begrijpend leren. Als ze echter weten dat overeenstemt met 180° is het immers makkelijk om deze formules te vinden. BRONNEN Topçu, T., Kertil, M., Akkoç, H., Yilmaz, K., & Önder, O. (juli, 2006). Proceedings of the 30th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education Vol. 5: Pre-service and in-service mathematics teachers’ concept image of radian. (pp. 281-288). Prague, Czech Republic: PME. Fouss, K. (z.d.), http://kfouss.blogspot.be/

Dit artikel verscheen in Uitwiskeling 33/1. Uitwiskeling is een tijdschrift van en voor wiskundeleraren, helemaal vanuit de praktijk van het wiskundeonderwijs. Benieuwd naar meer? Op de webstek www.uitwiskeling.be vind je alle info. Figuur 4

OEFENING VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE, TWEEDE RONDE JWO, VRAAG 29, TWEEDE RONDE VWO, VRAAG 30. In mijn portefeuille zitten 11 bankbiljetten van 5 sjekel, 11 biljetten van 50 sjekel en 11 biljetten van 500 sjekel. Hoeveel verschillende bedragen kan ik hiermee gepast betalen in een Israëlische supermarkt? A

1000

1111

1221

1331

BOEK RECENSIES PAU L L E V R I E

- U N I V E R S E I T A N T W E R P E N , R E DAC T I E P Y T H AG O R A S

PRIEMWOESTIJNEN. HOOGTEPUNTEN UIT DE WISKUNDE VAN DE 21E EEUW A L E X VA N D E N B R A N D H O F

Uitgave: Prometheus, mei 2018 ISBN: 9789044636833 Alex van den Brandhof is leraar wiskunde in een middelbare school in Bazel, Zwitserland. Hij is ook wiskundecorrespondent bij de Nederlandse krant NRC Handelsblad. Van hem verscheen recent het boek Priemwoestijnen, een boek dat ideaal geschikt is voor de wiskundig geïnteresseerde lezer die graag op de hoogte wil zijn van recente doorbraken in de wiskunde. In zeventien hoofstukken, genummerd van 2001 tot 2017, belicht van den Brandhof 17 wiskundige problemen waar in het overeenkomstige jaar iets belangrijks mee gebeurd is. En hij doet dat zonder veel wiskunde, zodat je ook als niet-wiskundige plezier kan beleven aan het boek. De titel van het boek verwijst naar een vermoeden dat geformuleerd werd in de vorige eeuw door de Hongaarse wiskundige Paul Erdős. Erdős was

een van de belangrijkste wiskundigen van de twintigste eeuw. Hij had de gewoonte om een geldprijs te zetten op wiskundige problemen waarvoor hij dacht een oplossing te hebben maar die niet kon bewijzen. Een van de `duurste’ problemen, 10.000 dollar waard, is het probleem van de priemwoestijnen. Van den Brandhof gebruikt het woord priemwoestijn voor een rij opeenvolgende gehele getallen waar geen priemgetal tussen zit. Een voorbeeld. De rij 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96 is een priemloze rij getallen van lengte 7, een priemwoestijn van lengte 7 dus. Dat er priemwoestijnen zijn van een willekeurige lengte, is eenvoudig te bewijzen, want die kan je construeren. Stellen we A gelijk aan 19! (het product van de getallen van 1 tot en met 19), dan is dit een priemwoestijn van lengte 19 (zie je waarom?): A+2(=121645100408832002), A+3, A+4,…,A+19. Dit zijn allemaal erg grote getallen, en deze rij is dan ook niet de kleinste priemwoestijn van lengte 19, die begint namelijk bij 888. Het vermoeden van Erdős over priemwoestijnen heeft te maken met een ondergrens voor de langste

priemwoestijn kleiner dan een gegeven getal x. Het werd bewezen in 2014 door de Australische wiskundige Terence Tao, samen met 3 anderen, en onafhankelijk door de Brit James Maynard. Hier gaat dus hoofdstuk 2014 van het boek over. Andere problemen waarover je leest zijn onder andere het vermoeden van Catalan (uit 1844) dat 8 en 9 de enige twee machten van gehele getallen zijn die precies 1 van elkaar verschillen (het vermoeden wordt een stelling in hoofdstuk 2002), en het Poincarévermoeden, een van de millenniumproblemen (waarover van den Brandhof al eerder schreef, in zijn boek De zeven grootste raadsels van de wiskunde, in 2012) en opgelost in 2003. Nogal wat hoofdstukken hebben met priemgetallen te maken. Maar evengoed gaat het over wiskundige spellen, of beter gezegd: spelletjes zoals OXO die wiskundig te analyseren zijn. En je vindt er ook een volledig bewijs, namelijk een erg kort en mooi bewijs voor een ongelijkheid die geldt in een driehoek. Dit boek is zeker een aanrader!

WIE IS ER BANG VOOR WISKUNDE? G E R A R D O S O T O Y KO E L E M E I J E R

Uitgever: Amsterdam University Press, april 2018 ISBN: 9789462988392 In 2015 kwam het boek Wiskundigen mogen niet huilen van Gerardo Soto y Koelemeijer uit. Het bestond uit 5 essays over wiskunde en wiskundigen, en ik vond het echt de moeite waard. Recent verscheen van dezelfde auteur Wie is er bang voor wiskunde? Dit boek volgt hetzelfde stramien: vier essays, waarvan het tweede gaat over de wiskundige Terence Tao, die ook wel eens de `Mozart of Math’ genoemd wordt. En inderdaad, Tao, die we ook zijn tegengekomen in de bespreking van het boek Priemwoestijnen was/is een wonderkind/genie. Tao is voor Soto y Koelemeijer een alibi om het te hebben over wonderkinderen in de wiskunde. Dit sluit allemaal nauw aan bij het eerste essay van de bundel, dat de titel heeft gegeven aan het boek. Het gaat over wiskundeangst: de angst die sommige mensen hebben voor wiskunde, een angst die soms zo groot is dat ze die hun hele leven met zich meedragen. Er is sinds de jaren 50 van de vorige eeuw zelfs een woord voor: mathemaphobia. Als je zelf in het wiskundeonderwijs staat, is de inhoud van dit hoofdstuk erg herkenbaar. De auteur geeft tips voor wat je er als leraar aan kan doen, en zoekt naar de oorzaken. Hierbij maakt hij gebruik van resultaten van psychologisch onderzoek naar wiskundeangst.

De twee andere essays behandelen respectievelijk de onderwerpen Bewijzen in de wiskunde (over de geschiedenis van het bewijs en de verschillende bewijsvormen) en Verandering in de wiskunde (niet alleen over hoe belangrijk de wiskunde is om verandering te beschrijven – denk aan de afgeleide – maar ook over de vraag of er in de wiskunde zoals in de natuurwetenschappen ook paradigmaverschuivingen zijn). Alleen al door de heel andere insteek dan we gewoon zijn bij boeken over wiskunde, is dit een erg leuk boek.

ALICE IN WISKUNDE WONDERLAND. EEN AVONTUUR LANGS PRIEMGETALLEN, BREUKEN EN TAFELS VAN VERMENIGVULDIGING. CARLO FRABETTI & W E N DY PA N D E R S

Uitgave: Lannoo, 2018 ISBN: 9789401441193 Carlo Frabetti is een Italiaanse wiskundige en hij schrijft kinderboeken. Wendy Panders is illustrator en heeft deze Nederlandse vertaling van een oorspronkelijk Spaans (!) boek opnieuw van illustraties voorzien. Het gaat wel degelijk om een kinderboek, maar ik heb er zelf ook veel plezier aan beleefd en heb er zelfs iets uit bijgeleerd. In de stijl van Alice in Wonderland van Lewis Carroll, maar wat wiskunde betreft verwant met De telduivel van Hans Magnus Enzensberger (`Een hoofdkussenboek voor iedereen die bang voor wiskunde is’).

De tekst op de achterkant begint zo: Voor wiskundeknobbels én dummies - Alice is elf en houdt niet van wiskunde. En dan komt ze in contact met een raadselachtige figuur die niemand minder blijkt te zijn dan Lewis Carroll zelf. Ze gaan samen op reis door Wiskunde Wonderland en komen daar allerlei vreemde figuren tegen waarvan je er zeker al een paar kent (de Gekke Hoedenmaker bijvoorbeeld). Op hun weg worden ze geconfronteerd met heel wat wiskunde, met priemgetallen bijvoorbeeld, en (toevallig – zie bespreking van het gelijknamige boek) ook met priemwoestijnen. Een erg leuk boek, met veel humor geschreven. Ook de vertaling is erg goed. Tot voor kort was er volgens mij maar één boek dat je cadeau kon doen aan kinderen die goed zijn met getallen, en dat was De telduivel. Nu is er dus een tweede bij.

WIN

DIT BOEKENPAKKET! Vector verloot een boekenpakket met deze drie boekentips van Paul Levrie. Wil je ook kans maken? Surf naar vector.diekeure.be, vul het wedstrijdformulier in vóór 31 oktober en waag je kans!

Abonneer je gratis op .be. diekeure www.vector.

85 0000 917

GENOTEN VAN VECTOR?

Vector is een tijdschrift voor wiskundeleerkrachten in het secundair onderwijs en verschijnt vier keer per jaar. Het is een magazine boordevol interessante lectuur en inspiratie voor je wiskundelessen. Vector wordt gratis naar alle secundaire scholen in Vlaanderen gestuurd. Wil je Vector ook persoonlijk bij jou thuis ontvangen? Vul snel het invulformulier op www.vector.diekeure.be in en mis geen enkele editie!