Issuu

VECTOR FEBRUARI 2021 - nummer 10

TIJDSCHRIFT voor wiskundeonderwijs

11 TEKEN AAN DE WAND HET STAPELEN VAN CIRKELS WAT HEET DAN GELUKKIG ZIJN?

27 34

Met medewerking van Uitwiskeling, VVWL (Vlaamse Vereniging van Wiskundeleraars), GeoGebra Instituut, Vlaamse Wiskunde Olympiade en Pythagoras

2 INHOUD

3 EEN HARTJE

OP DE MUUR

HET STAPELEN 27 VAN CIRKELS

HILDE EGGERMONT

RUDI PENNE EN PAUL LEVRIE

DEELBAARHEID 8

34 WAT HEET DAN

LEX SLORT

GELUKKIG ZIJN? GELUK, WELVAART EN WELZIJN VAN DE BELGEN

11 TEKEN AAN DE WAND

VECTOR

VAN ROLAND DE JONG ORLANDO KLAAS LAKEMAN

VAN EIGENSCHAPPEN 18 VAN BEWERKINGEN VAN MATRICES NAAR GROEPEN JOHAN DEPREZ, PEDRO TYTGAT EN STIJN SYMENS

24 SOCIALE

BART CAPÉAU, LAURENS CHERCHYE, ANDRÉ DECOSTER, ZOÉ RONGÉ, ERIK SCHOKKAERT, FREDERIC VERMEULEN, BRAM DE ROCK, GUILLAUME PÉRILLEUX, KOEN DECANCQ, ANNEMIE NYS, FRANÇOIS MANIQUET, EVE RAMAEKERS

44 BOEKRECENSIES

RECHTVAARDIGHEID WISKUNDIG BEKEKEN GIOVANNI SAMAEY

VECTOR 4e jaargang - nummer 10 REDACTIE Tom Harteel, Nicolas Ruys, Anke Oderij, Ellemijn Van Puymbroeck die Keure, Kleine Pathoekeweg 3, 8000 Brugge, educatief@diekeure.be EXTERNE AUTEURS die occasioneel of op geregelde basis een bijdrage willen leveren, kunnen contact opnemen met educatief@diekeure.be. VECTOR Vector is gratis voor alle leerkrachten wiskunde in België. VERANTWOORDELIJKE UITGEVER die Keure, Kleine Pathoekeweg 3, 8000 Brugge VORMGEVING EN DRUK Isabelle Tilleman - die Keure, Brugge REACTIES Al je reacties, suggesties en opmerkingen zijn welkom op educatief@diekeure.be

EEN HARTJE OP DE MUUR

UITWISKELING

EIND JUNI 2014 STOOTTE IK IN DE STANDAARD WEEKBLAD (DS 25 JUNI 2014) OP EEN MERKWAARDIGE FOTO. DE FOTO WAS GENOMEN OP DE BEGRAAFPLAATS VAN LAKEN WAAR ELK JAAR OP 21 JUNI ROND HET MIDDAGUUR IN HET GRAFMONUMENT VAN HET ECHTPAAR EVRARD-FLIGNOT EEN PRACHTIG FENOMEEN WAAR TE NEMEN IS. DE ZON SCHIJNT DAN DOOR EEN CIRKELVORMIG GAT IN HET DAK VAN EEN TEMPELTJE EN WERPT OP DE MUREN EEN LICHTVLEK AF IN DE VORM VAN EEN HARTJE (ZIE FIGUUR 1). DE MAN HEEFT HET GRAFMONUMENT LATEN ONTWERPEN VOOR ZIJN VROUW ALS TEKEN VOOR HUN EEUWIGE LIEFDE. HILDE EGGERMONT ( R E DAC T I E U I T W I S K E L I N G )

Dit fenomeen wilde ik wel eens met eigen ogen zien. Helaas moest ik daar een jaar voor wachten en op 21 juni 2015 was het dan zo ver. Ik trok ’s morgens onder een grijze hemel naar Laken en als bij wonder trokken de wolken rond kwart voor twaalf open en het prachtige hart werd zichtbaar op de muur. Mede dank zij de perfecte timing van de wolken had het iets magisch. Je krijgt een prachtig samenspel van kunst (in de achterwand heb je een half ingewerkt beeldhouwwerk van een treurende vrouw, een ‘pleurante’), architectuur (de constructie van het tempeltje) en natuur (het jaarlijks Figuur 1 Eeuwige liefde (bron: laekendecouverte.be)

weerkerende invallende zonlicht bij de zomerzonnewende). Het feit dat de hand van de pleurante reikt tot net aan het hartje, maakt deze verwevenheid nog sterker. De moeite om het eens live te gaan aanschouwen, maar bedenk dat je niet alleen bent! Ik vroeg me af hoe de architect dit voor elkaar kreeg. Hoewel er in de bouwaanvraag van het grafmonument geen verwijzing gemaakt wordt naar het verschijnsel, staat het toch vast dat het geen toeval is. Maar hoe kon de architect dit berekenen? Het tempeltje (zie figuur 2) zelf is zeshoekig van vorm. In het midden van het dak zit een cirkelvormig gat (zie figuur 3). Op een vlakke muur is de lichtvlek een ellips. De lichtstralen door het gat vormen immers een scheve cilinder. Een vlakke doorsnede van deze cilinder is een ellips. Het hartje wordt gevormd in een hoek waar twee muren samenkomen en wordt dus gevormd door twee stukken ellips. Op het hoogtepunt van het fenomeen zijn deze twee stukken symmetrisch t.o.v. de hoeklijn. Een half uur later is deze symmetrie al duidelijk doorbroken (zie figuur 4). OP ZOEK NAAR DE WISKUNDE ACHTER HET HARTJE Het is duidelijk dat hier heel wat wiskunde achter schuilgaat. Ik hoopte dat hier een interessante (grote) opdracht voor mijn leerlingen in zat. Maar toen ik alles zelf begon

Figuur 2 Het tempeltje

Figuur 3 Het cirkelvormige gat in het dak

uit te werken, bleek het toch wel wat ingewikkelder dan ik op het eerste gezicht dacht en bleef ik met heel wat vragen zitten. Mijn bewondering voor de architect nam wel toe! DE SCHEVE CILINDER Omwille van de symmetrie van het resultaat nemen we aan dat de zonnestralen invallen evenwijdig met het verticaal diagonaalvlak van het zeshoekig prisma dat het tempeltje voorstelt. De hoek die de zonnestralen maken met het horizontale vlak wordt bepaald door de hoogte van de zon. Laken ligt op 51°NB en op 21 juni staat op de (zonne-)middag de zon precies boven de Kreeftskeerkring (23,5°NB). Dat maakt dat de zon op haar hoogste punt op 62,5° (=90°-(51°-23,5°)) staat. Blijkbaar is het tempeltje niet helemaal naar het zuiden gericht, want je moet het fenomeen om 11.50 uur bewonderen en niet om 14u (de zonnemiddag tijdens het zomeruur). De hoek zal dus minder zijn dan deze maximale hoek van 62,5°. Op de site www.timeanddate.com/sun/belgium/brussels?month=6&year=2015 kun je de richting en de hoogte van de zon op elk moment van een willekeurige dag van het jaar berekenen. Hieruit blijkt dat de zonnehoogte op 21 juni om 11:50 uur 55° is in de richting 49° ZO. Ik had helaas geen kompas bij om de oriëntatie van het tempeltje te controleren.

Figuur 4 Een half uur later

Figuur 6 Een hartje uit twee ellipsen

Figuur 5

De invallende zonnestralen vormen een cilinder waarvan de doorsnede met een horizontaal vlak een cirkel is. De doorsnede met een vlak loodrecht op de as van de cilinder is bijgevolg een ellips. Wat ons het meest interesseert zijn de doorsneden van die cilinder met verticale vlakken. DE ELLIPSEN Omdat er op twee muren geprojecteerd wordt, krijgen we twee ellipsen. We krijgen die echter niet helemaal te zien omdat er slechts op een halfvlak geprojecteerd wordt. De afbeelding hierboven (figuur 6) is een vlakke voorstelling van de projectie op twee vlakken die een hoek van 120° vormen. De snijlijn van de vlakken is de symmetrieas van de figuur. Het is niet erg dat er nog ‘wangetjes’ van de ene ellips onder de andere uitkomen. Het wangetje aan de linkerkant maakt immers deel uit van de ellips aan

de rechterkant. De twee ellipsen worden op verschillende vlakken geprojecteerd. De ellips met grote as van linksboven naar rechtsonder is de projectie op de muur die aan de linkerkant het dichtst bij de waarnemer staat. De ellips met grote as van rechtsboven naar linksonder ligt links van de symmetrielijn in het denkbeeldige verlengde van de muur aan de rechterkant en dus achter het vlak waarop de linkerkant van het hartje te zien is. Als we de precieze vorm en grootte van het hartje willen achterhalen, moeten we bv. de grote en de kleine as van de ellips(en) bepalen. Dit is o.a. nodig om de hand van de pleurante precies te positioneren. Dit brengt ons bij het wiskundig probleem hoe je de lengte en de richting van de assen van de ellips kunt berekenen. Het vlak (of de muur) waarmee we de cilinder snijden, maakt een hoek van 30° met het verticale vlak γ loodrecht op het

verticale vlak van de zonnestraal (figuur 7). Bij de projectie op het vlak heeft de horizontale as lengte en de verticale met de straal van de cirkelvormig opening. Deze assen zijn echter assen van een fictieve ellips, maar misschien kunnen ze helpen om de assen van de echte ellipsen te berekenen (figuur 8). Uit de lengte van de assen blijkt dat de ellips op het vlak maar een staande ellips is op voorwaarde dat > α 45°. Als de zon niet hoog genoeg staat, hebben we dus een liggende ellips. Dit heeft ook gevolgen voor het hartje. Door verschillende hoeken uit te proberen, zien we bij kleinere hoeken α inderdaad een platgedrukt hartje (zie figuur 9). HET MIDDELPUNT Het middelpunt van de ellipsen op de muren kunnen we gemakkelijker bepalen. Omdat de evenwijdige projectie het midden van een lijnstuk bewaart, is het beeld van

Dit artikel verscheen in Uitwiskeling 32/1. In Uitwiskeling 32/3 verscheen een vervolgartikel waarin de wiskunde uit het eerste artikel verder is uitgewerkt. Op www.uitwiskeling.be vind je alle info.

OEFENING 2

Figuur 9 Het hartje bij

=20°

het middelpunt van de cirkel het middelpunt van de ellips. Dit heeft als gevolg dat het middelpunt van de ellips op de snijlijn van de muren ligt. De hoogte van dat middelpunt is te berekenen met wat elementaire driehoeksmeting. Het bevindt zich ⁡α onder het op afstand plafond van het tempeltje.

Figuur 8 Een hulpellips in het vlak γ

De parameter d stelt de straal van de omgeschreven cirkel van de zeshoek voor. Waar ik echter geen vat op krijg, is de helling en de lengte van de assen van de ellipsen. Wie hier een tipje van de sluier kan oplichten, mag zeker een mailtje sturen naar de redactie van Uitwiskeling (redactie@uitwiskeling.be)!

Figuur 7 Het hulpvlak

KANGOEROE - KOALA 2020, VRAAG 10 In de eerste mand ligt 1 appel, in de tweede mand liggen 4 appels, in de derde 6 en in de laatste 9. Louis wil evenveel appels in elke mand. Hoeveel appels moet hij minstens verplaatsen?

8 PYTHAGORAS

DEELBAARHEID

LEX SLORT

SOMS KAN HET HEEL HANDIG ZIJN OM TE WETEN OF IETS DEELBAAR IS DOOR EEN BEPAALD GETAL, BIJVOORBEELD OM TE KIJKEN OF EEN GETAL EEN PRIEMGETAL IS OF WANNEER JE EERLIJKE TEAMS WILT MAKEN MET EVEN VEEL PERSONEN PER TEAM

Stel je voor: je hebt 50904 mensen en je wilt eerlijke groepen maken, oftewel je wilt groepjes maken waarbij elke groep evenveel personen heeft. Bij groepjes van 2 is het makkelijk te zien: alle even getallen zijn deelbaar door 2. Toch is het een stuk moeilijker om te zien of we eerlijke groepjes kunnen maken voor andere getallen, zoals groepjes van 3 of groepjes van 7. Tenminste het is een stuk moeilijker als je niet de juiste trucjes weet. We gaan nu zelf alle trucjes bekijken voor de getallen van 1 t/m 10. DE TRUCJES Voordat we bij de trucjes zelf komen gaan we een paar getallen samenvoegen op moeilijkheidsgraad van het bijbehorende trucje en hoe snel je dit trucje uit je hoofd kan doen.

Deze is flauw, elk getal is natuurlijk deelbaar door 1. 2 Voor 2 weet eigenlijk iedereen zelf ook het trucje al. Als het laatste cijfer even is (dat betekent: deelbaar door 2), dan is het getal deelbaar door 2. 5 Voor 5 geldt dat wanneer het getal eindigt op een 5 of op een 0, dan is het getal deelbaar door 5. 10 Voor 10 geldt dat wanneer het getal eindigt op een 0, dan is het getal deelbaar door 10.

3 Voor 3 is de manier dat je de som moet nemen van alle cijfers van het getal. Met andere woorden, neem bij het getal . Is die som de som ook deelbaar door 3 dan is

deelbaar door 3. 4 Voor 4 is het een stuk onbekender. Een getal is deelbaar door 4 wanneer er geldt dat het getal gevormd door de laatste twee cijfers deelbaar is door 4. 6 Voor 6 geldt het volgende trucje: is het getal deelbaar door 3 en deelbaar door 2, dan is het getal deelbaar door 6. 8 Voor 8 geldt: als het getal gevormd door de laatste 3 cijfers deelbaar is door 8 dan is het getal zelf deelbaar door 8. 9 Voor 9 geldt hetzelfde foefje als bij 3, alleen dan moet de som van de cijfers van het getal deelbaar zijn door 9 in plaats van door 3.

***

7 Voor 7 is het trucje jammer genoeg een stuk moeilijker dan bij alle andere getallen onder de 10. Voor 7 geldt het volgende: , dan geldt neem het getal is deelbaar door 7 als deelbaar is door 7. Dit op zichzelf maakt het niet veel makkelijker om te zien of het deelbaar is door 7, getal maar dit trucje kan je net zo lang herhalen totdat je op een klein getal uitkomt waarvan je wel weet of het deelbaar is door 7 of niet. HOE EN WAAROM WERKEN DE TRUCJES? We gaan de 1-ster trucjes niet bewijzen aangezien deze makkelijke trucjes snel te herleiden zijn uit de trucjes die we gaan gebruiken bij de 2-ster trucjes. We gaan elk van deze methodes bekijken aan de hand van

, onthoud hierbij wel het getal dat deze manieren ook werken voor getallen groter dan 9999 en getallen kleiner dan 1000.

3 Neem het getal abcd. We kunnen dit getal herschrijven als: . Dit kunnen we daarna weer herschrijven als: en merk hier op dat altijd deelbaar is door 3, want er geldt: . deelbaar door Daarom is deelbaar is 3 als door 3. . We 4 Neem weer het getal kunnen dit getal herschrijven als: en dit kunnen we weer herschrijven als: en merk hier op dat 100 ook deelbaar is deelbaar door 4 en dus is door 4. Daarom geldt dus: als deelbaar is door 4, dan is deelbaar deelbaar door 4 en dus is door 4. . Het 6 Voor 6 geldt dat interessante hiervan is, is dat 2 en 3 relatief priem zijn (copriem), dit betekent dat alle delers van 2 geen delers zijn van 3. Hierom geldt dat alle getallen die deelbaar zijn door 2 en door 3 ook automatisch deelbaar zijn door 6. 8 Voor 8 gebruiken we hetzelfde idee als bij 4. Het getal kunnen we herschrijven als:

we weten dat : altijd deelbaar is door 7. Dit zorgt ervoor alleen deelbaar dat ook deelbaar is door 7 als is door 7, wat ons originele getal was! VOORBEELD Laten we onze originele vraag er nog eens bij pakken: “Stel je voor: je hebt 50904 mensen en je wilt eerlijke groepen maken, oftewel je wilt groepjes maken waarbij elke groep evenveel personen heeft.” Laten we nu kijken of we dit kunnen doen met behulp van onze trucjes! IS 50904 DEELBAAR DOOR ...

Daarom geldt: als deelbaar is door 9, dan is ook deelbaar door 9.

OEFENING 1 KANGOEROE - SPRINGMUIS 2020, VRAAG 21 Leon heeft 2 soorten stokken: en korte van 1 cm lange van 3 cm . Hij mag ze niet breken en ook niet over elkaar leggen. Welke stokken kan hij in de vorm van een vierkant leggen?

5 korte en 2 lange stokken

3 korte en 3 lange stokken

4 korte en 2 lange stokken

6 korte stokken

6 lange stokken

BONUS *** 7 Neem het getal . Als we hier ons trucje op uitvoeren krijgen we:

Dit kunnen we ook schrijven als:

en dit is natuurlijk gelijk aan:

We kunnen nu dit getal met 10 vermenigvuldigen. Als dit getal namelijk deelbaar is door 7, dan is 10 keer dat getal ook deelbaar door 7. Als we dit doen met ons en getal krijgen we:

Bekijk met behulp van de trucjes alle delers van 1 t/m 10 van deze getallen: 132, 364, 2520, 9876, 73931. 2 Voor deelbaarheid door 11 geldt dat als de alternerende ( – – … –) som (voor het getal abcd geldt dus: ( a – b … c – d) van de getallen gelijk is aan 0, dan is het getal deelbaar door 11. Onderzoek van de getallen van opdracht 1 of ze deelbaar zijn door 11. 3 Bedenk een trucje voor deelbaarheid door 14. Hint: bekijk het bewijs van deelbaarheid door 6. 4 Een perfect getal is een getal waarbij de som van alle delers (behalve het getal zelf) bij elkaar het getal zelf worden. Het eerste perfecte getal is 6. Dit komt omdat 6 deelbaar is door 1, 2 en 3 en 1 + 2 + 3 = 6. Maak nu gebruik van de geleerde deelbaarheidstrucjes om het volgende perfecte getal te vinden. 1

+ +

. Merk hier op dat 1000 deelbaar is door 8 en daardoor dus ook deelbaar is door 8. Er geldt dus dat als deelbaar is door 8, dan is ook deelbaar door 8 deelbaar door 8. en dus is 9 Voor 9 gebruiken we hetzelfde idee als bij 3. Neem het . Dat kunnen we getal wederom herschrijven als: . Dit kunnen we daarna wederom herschrijven als: . Merk weer op dat altijd deelbaar is door 9, want er geldt: .

"TEKEN AAN DE WAND"

VAN ROLAND DE JONG ORLANDO HET MONUMENTALE BEELD “TEKEN AAN DE WAND” MET AFMETINGEN VAN BIJNA 11 X 7 X 0,6 METER IS IN 1998 IN OPDRACHT VAN DE GEMEENTE MEPPEL (NL) ONTWORPEN DOOR DE NEDERLANDSE BEELDHOUWER ROLAND DE JONG ORLANDO. HET SPIRAALVORMIGE BEELD IS SAMENGESTELD UIT EEN OPEENVOLGENDE REEKS VAN 44 IETS VAN ELKAAR VERSCHILLENDE MODULES, UITGEVOERD IN CORTENSTAAL. HET STAAT AAN DE EEKHORSTWEG 16 IN MEPPEL WAAR HET DE INGANG VAN DE GEMEENTEWERF MARKEERT EN EEN FRAAI CONTRAST VORMT MET DE OMRINGENDE RECHTHOEKIGE GEBOUWEN. K L A A S L A K E M A N , A R S E T M AT H E S I S

ZAGEN Om een goed begrip te krijgen van de modules waarmee De Jong Orlando zijn sculpturen veelal opbouwt, kun je uitgaan van een houten balk met een vierkante dwarsdoorsnede. Zaag je die zoals dat heet recht door (d.w.z. loodrecht op de lengterichting) dan zijn de zaagvlakken van beide delen uiteraard gelijk aan de vierkante dwarsdoorsnede. Zo’n balk kan echter ook onder bijvoorbeeld een hoek van 30°ᵒ met de dwarsdoorsnede worden doorgezaagd (figuur 1). Dan zijn de zaagvlakken van de beide delen (even grote) rechthoeken. De beide balkdelen kunnen op twee manieren naadloos aan elkaar gezet worden. Door ze zoals in figuur 1 tegen elkaar aan te schuiven en vast te lijmen. Dan wordt de oorspronkelijke balk weer verkregen en is het doorzagen een overbodige actie geweest. Het rechterdeel kan ook 180ᵒ°ᵒ om zijn lengteas worden gedraaid en vervolgens weer tegen het linkerdeel aan worden geschoven en vastgelijmd (figuur 2). De oorspronkelijke delen maken dan een hoek van 120°ᵒ met elkaar. TWEE MODULES: L EN R Terug naar figuur 1. Nadat de balk onder een hoek van 30° is doorgezaagd, wordt het linkerdeel uit figuur 1 over een hoek van 90°ᵒ van je af gekanteld en opnieuw onder een hoek van 30° met de dwarsdoorsnede doorgezaagd (figuur 3). Het resultaat is dan een blokje – hierna module genoemd – met aan twee kanten

Figuur 1

Figuur 4 L- en R-module

Figuur 2

Figuur 5 Twee R-modules

Figuur 3

Figuur 6 L- en R-modules

een rechthoekig zijvlak, de oorspronkelijke zaagvlakken. Deze zijn even groot maar anders georiënteerd. Vervolgens wordt het rechterdeel uit figuur 1 over 90° naar je toe gekanteld en ook opnieuw doorgezaagd onder een hoek van 30° met de vierkante dwarsdoorsnede, maar nu

in tegengestelde richting. Het resultaat is dan weer een module met aan twee kanten een rechthoekig zijvlak, de oorspronkelijke zaagsneden. Ook deze zijn even groot maar anders georiënteerd.

naadloos aan elkaar worden gezet. Zo zijn in figuur 5 twee R-modules en in figuur 6 een L- en een R-module aan elkaar gezet. Ook kunnen meerdere modules aan elkaar worden gekoppeld zoals bijvoorbeeld een combinatie van een aantal R-modules in figuur 7. Of afwisselend om en om L- en R-modules (figuur 8) of afwisselend 2L-modules om 2R-modules (figuur 9). En ga zo maar door.

Figuur 7 Een aantal R-modules aan elkaar

Figuur 8 Afwisselend 1R en 1L module

Figuur 9 Afwisselend 2R en 2L modules aan elkaar.

Beide modules lijken veel op elkaar maar zijn niet hetzelfde. Tot onderscheid is de een kort aangeduid met L (links) en de ander met R (rechts), zoals aangegeven in figuur 4. Omdat alle zaagvlakken bij beide modules even grote rechthoeken zijn, kunnen de modules daar

VARIANTEN De zaaghoeken hoeven niet per se 30° te zijn en ook hoeven ze niet per module hetzelfde te zijn. Neem bijvoorbeeld de koker van figuur 10. Die is eerst door gezaagd onder een hoek van 20°. Daarna is het linkerdeel over 90° naar boven gekanteld (figuur 11) om het onder een hoek van 30° (zie aangegeven lijn) door te zagen. Het rechterdeel is juist over 90° naar beneden gekanteld om onder een hoek van 30° in tegengestelde richting (zie aangegeven lijn) door te zagen. Het resultaat is een L- en een R- module, ieder met twee rechthoekige zijvlakken (de oorspronkelijke ‘zaagvlakken’) niet alleen anders georiënteerd, maar ook niet even groot (figuur 12). Dit heeft natuurlijk gevolgen voor het aan elkaar zetten van de modules. Ze kunnen alleen maar precies passend aan elkaar gezet worden met de rechthoekige zaagvlakken die onder dezelfde hoek zijn gezaagd. Dus rechthoek van 20° tegen rechthoek van 20° en die van 30° tegen die van 30° (figuren 13), maar rechthoek van 20° past niet op die van 30° (figuur 14). ONTLEDING Met dit gegeven in het achterhoofd kunnen we de opbouw van “Teken aan de wand” ontleden. Zoals gezegd is het beeld gemaakt uit Cortenstaal. De gebruikte modules zijn niet van massief staal, maar holle kokers naar het voorbeeld van figuur 12. Werkend van boven naar beneden zien we eerst zes modules die ‘recht afgezaagd’ zijn. Achteraf zijn die uit artistiek oogpunt toegevoegd om voldoende hoogte te krijgen. De bovenste twee zijn als het ware diagonaal doorkliefd en voorzien van een glimmend roestvrijstalen oppervlak, zodat dit op heldere dagen schittert in de zon en al van afstand opvalt. Na de zes rechte modules wordt beginnend met een L-module de ‘zaaghoek’ per paar L- en R- modules met

1°ᵒ opgehoogd. De zevende module is dan dus een L met twee verschillende ‘zaagvlakken’, een met een ‘zaaghoek’ van 0° en een van 1°. De achtste module is een R met twee ‘zaaghoeken’ van 1° en bijbehorende rechthoekige ‘zaagsneden’. Enzovoorts tot en met module 36, zie tabel. Aangekomen bij module 36 met een ‘zaaghoek’ van 15° werd duidelijk dat de hoeken sneller groter moesten worden om een goede spiraalvorm te krijgen. Na wat proberen bleek dat een verdere toename van de ‘zaaghoek’ met stapjes van 4° het gewenste resultaat gaf. Met de laatste acht modules is de ‘zaaghoek’ in totaal met 16° toegenomen (van 15° tot 31°). Iets meer dan de 15° met de voorgaande dertig modules 7 tot en met 36 (zie tabel).

Figuur 10

Figuur 11

Figuur 12 L- en R-module met ‘zaaghoeken’ van 20° en 30°

Figuur 13b L- en R-module met zaagvlakken van 30ᵒ tegen elkaar

Figuur 13a L- en R-module met zaagvlakken van 20° tegen elkaar

Figuur 14 Zaagvlak 20° past niet op dat van 30°.ᵒ

zaaghoek

CONSTRUCTIE Eerst moeten alle vierenveertig modules uit plaatstaal worden gemaakt. Alle modules hebben dezelfde maximale lengte en dezelfde vierkante dwarsdoorsnede. Met de maximale lengte, de vierkante dwarsdoorsnede en de ‘zaaghoeken’ ligt elke module volledig vast. Op de eerste zes modules na moet voor alle modules aan de hand van de tabel een aparte uitslag worden gemaakt om de afmetingen en vorm van de vier wanden van elke module in het staal uit te kunnen knippen. Dit naar het voorbeeld

van figuur 15 met de uitslagen van de L- en R- modules uit figuur 12. Het zal duidelijk zijn dat dit een enorm karwei is dat de nodige precisie vereist: per module vier wanden uitsnijden en die op de juiste manier aan elkaar lassen. En dan de modules in de goede volgorde met de juiste zaagvlakken aan elkaar lassen. Vooral dat laatste vereist veel nauwkeurigheid omdat door het verschil van slechts 1°ᵒ per ‘zaaghoek’ de oppervlakken van de rechthoekige ‘zaagvlakken’ nauwelijks van elkaar verschillen! Een goede ontwerp- of constructietekening zoals in figuur 16 is daarbij onmisbaar. Daarin is ook gemarkeerd waar de zaaghoeken met stappen van 4°ᵒ beginnen toe te nemen (rode streep).

Figuur 15 Uitslagen van de L- en R- modules uit figuur 12.

Figuur 16 Ontwerptekening.

Zoals de foto aan het begin en de ontwerptekening (figuur 16) tonen, staat het beeld helemaal vrij. Het wordt nergens ondersteund. Anders dan de naam doet vermoeden is het beeld nergens aan een wand bevestigd. Daartoe zijn de onderste modules in wat dikker staalplaat uitgevoerd. Bovendien is onder het grondoppervlak een zware fundering aangebracht waarop het beeld stevig is verankerd. HET VERVOLG Zoals dat zo vaak gaat, kwam De Jong Orlando door het resultaat van “Teken aan de Wand” op andere ideeën. Zo maakte hij enkele kleinere beelden met gedeeltes van de grote spiraalvorm als uitgangspunt. Voor die nieuwe spiraalvorm (figuur 17) nam hij de laatste 27 modules van de tabel, zij het met een kleine maximale lengte en dwarsdoorsnede. Door twee van die spiraalvormen op verschillende manieren aan elkaar te zetten ontstonden het model van figuur 18 en “Giro – Rigiro” (figuur 19). Beide bevatten dus tweemaal 27 modules. In beide gevallen zijn twee dezelfde uiteinden van figuur 17 aan elkaar gezet. Dus een keer kop aan kop en een keer staart aan staart om het zo maar eens aan te geven. Een ander resultaat werd verkregen met spiraalvormen die bestonden uit slechts negen van de laatste modules. Dus die waarbij de ‘zaaghoeken’ met stappen van 4° toenemen van 15° tot en met 31° (figuur 20 en bijbehorende deel van de tabel). Dit beeld – “Surrender” genoemd - is een combinatie van vier van die vormen (figuur 21 A en B). Het is dus opgebouwd uit 4 maal 9 modules. Eerst zijn

de spiraalvormen van figuur 20 twee aan twee staart aan staart aan elkaar gezet. Dat vertoont dus veel gelijkenis met model van figuur 18. Daarna worden die twee samengestelde delen kop aan kop aan elkaar gezet. De kleinschalige modellen van de figuren 21 en 18 zijn later net als “Teken aan de wand” op zeer grote schaal uitgevoerd. Zo is “Surrender” in 2007 in Cortenstaal uitgevoerd met afmetingen van 2,10 X 1,50 X 1,90 m. Op de foto staat het beeld aan het Gardameer, in het Noord-Italiaanse Sirmione (figuur 22). Nog onlangs (in 2019) is een grootschalige sculptuur van figuur 18 onder de naam “Springvloed” in het Noord-Hollandse Petten geplaatst (figuur 23).

Figuur 17 Figuur 18

Figuur 19 Giro – Rigiro (2003)

Figuur 20

zaaghoek

Figuur 21B

Figuur 21A Figuur 22 Surrender (2007) aan het Gardameer.

Figuur 23 Springvloed (2019) te Petten.

18 UITWISKELING

VAN EIGENSCHAPPEN VAN BEWERKINGEN MET MATRICES NAAR GROEPEN J O H A N D E P R E Z , P E D R O T Y T G AT, S T I J N SY M E N S

In de derde graad staat in veel richtingen de studie van matrices op het programma. Hierbij komen vaak vooral de mooie toepassingen van matrices buiten de wiskunde in beeld. Tegelijk kunnen matrices echter fungeren als een poort naar de abstracte algebra. Matrices zijn immers één van de eerste objecten die geen getallen zijn en waarmee leerlingen bewerkingen leren uitvoeren. Bovendien worden leerlingen bij de vermenigvuldiging van matrices voor het eerst geconfronteerd met een bewerking waarbij sommige klassieke eigenschappen niet meer gelden. De eigenschappen die leerlingen kennen van bewerkingen met getallen, verliezen hiermee hun evidente karakter. Een gedroomde gelegenheid dus om een stap te zetten in de richting van abstracte algebraïsche systemen, waarin gerekend wordt met abstracte objecten en waarin de bewerkingen soms wel, maar soms ook niet de ‘gewone’ eigenschappen hebben. In de nieuwe eindtermen voor de gevorderde wiskunde staat een stukje groepentheorie op het programma. Met dit artikel willen we je hiervoor alvast inspiratie bieden. Hieronder schetsen we in het kort wat we bedoelen. In veel gevallen gaat het over kleine ingrepen, die niet per se meer tijd vergen dan je nu uittrekt. Andere suggesties vergen meer tijd. Het is perfect mogelijk sommige suggesties wel in je lessen te integreren en andere niet. EIGENSCHAPPEN VAN DE VERMENIGVULDIGING Besteed aanvankelijk niet te veel aandacht aan de eigenschappen van de optelling van matrices en die van het vermenigvuldigen van een getal en een matrix. De gekende eigenschappen van de optelling en de

vermenigvuldiging van getallen blijven immers geldig. Je kan er alleen maar een saaie les rond maken... Trek daarentegen juist wel voldoende tijd uit voor de eigenschappen van de vermenigvuldiging van matrices. De vermenigvuldiging is een veel complexere bewerking dan de optelling en er valt veel meer mee te beleven. Een eerste punt dat aan bod komt, is de vaststelling dat de vermenigvuldiging van matrices niet commutatief is. Eén tegenvoorbeeld is voldoende om te besluiten dat de vermenigvuldiging van matrices niet commutatief is. Toch is het goed om er wat dieper op in te gaan. Neem bijvoorbeeld de volgende producten:

en .

Je merkt dat er bij het berekenen van het (1,1)-element bij het eerste product andere getallen gebruikt worden dan bij het tweede product. Het is dus niet te verwonderen dat we verschillende uitkomsten krijgen! Nu blijkt dat de vermenigvuldiging niet commutatief is, verliest de associativiteit van de vermenigvuldiging haar vanzelfsprekendheid. Dat is een goed uitgangspunt voor het leveren van een bewijs. Het is ook wel nodig dat leerlingen gemotiveerd zijn, want het bewijs van de associativiteit vergt stevig symbolisch rekenwerk. Een mooi bewijs zonder rekenwerk steunt op het

verband tussen de vermenigvuldiging van matrices en het samenstellen van lineaire afbeeldingen, maar dat is jammer genoeg niet haalbaar op het niveau van het secundair onderwijs omdat lineaire afbeeldingen niet behandeld worden (op het einde van deze paragraaf kan je er een glimp van opvangen). Het mooie aan dit bewijs is het vertalen van een heel eenvoudig te bewijzen eigenschap in één theorie (die van de lineaire afbeeldingen: associativiteit van de samenstelling van afbeeldingen is triviaal) in een eigenschap in een andere theorie (die van de matrices) die veel moeilijker rechtstreeks te bewijzen is. Een gelijkaardige vertaling van moeilijk naar gemakkelijk, maar dan via het gebruik van een model buiten de wiskunde, vind je bij Roels (1990). Die aanpak is wel haalbaar voor het secundair onderwijs. De verdienste van deze vertaling is dat je er het gevoel bij krijgt dat je weet waarom de associativiteit geldt. Je moet er de leerlingen in dit geval wel op wijzen dat het niet over een volledig bewijs van de eigenschap gaat, bijvoorbeeld omdat de interpretatie beperkt blijft tot matrices met natuurlijke getallen als elementen. Ook de distributieve eigenschappen blijven geldig bij matrices (maar dat is weer minder spectaculair dan bij de associativiteit). EIGENSCHAPPEN VAN MACHTEN Dat de vermenigvuldiging van matrices niet commutatief is, heeft voor gevolg dat heel wat rekenregels die we kennen van bij getallen, niet toegepast mogen worden bij matrices. Zo gelden de gelijkheden

wél voor getallen, maar niet voor matrices. Het is in principe voldoende als je één tegenvoorbeeld geeft, maar ook hier is het wel goed om de vinger op de wonde te kunnen leggen. Dat kun je doen door het bewijs van de eigenschap bij getallen te analyseren. In de derde overgang hieronder vervang je ba door ab, wat toegelaten is bij getallen maar niet bij matrices:

NUL EN ÉÉN, INVERSE Nu is het een goed ogenblik om aan de leerlingen te vragen naar het equivalent van de getallen 0 en 1 bij matrices. Dat zijn de nulmatrices (gevuld met allemaal nullen) en de eenheidsmatrices (niet met allemaal enen!). Je kan hierbij aanknopen om het begrip inverse van een matrix (en het feit dat niet alle matrices een inverse hebben) aan te brengen. NULDELERS op te lossen, ontbinden Om de vergelijking we het linkerlid in twee factoren en splitsen we de vergelijking op in twee eenvoudiger vergelijkingen: . We steunen hierbij op de eigenen schap dat een product van twee getallen maar gelijk kan zijn aan 0 als één van beide factoren gelijk is aan 0. Bij matrices blijkt deze eigenschap niet meer op te gaan. Er zijn immers matrices die zelf niet nul zijn, maar waarvan het product wel nul is. Bijvoorbeeld:

Dergelijke matrices worden nuldelers genoemd. Andere interessante fenomenen die verbonden zijn met het bestaan van nuldelers, zijn het bestaan van niet-evidente nilpotente matrices (matrices waarvan een macht gelijk is aan de nulmatrix) en niet-evidente idempotente matrices (matrices waarvan het kwadraat gelijk is aan de matrix zelf). ADDITIEVE EN MULTIPLICATIEVE GROEPEN VAN MATRICES Nu heel wat evidenties i.v.m. de eigenschappen van bewerkingen gesneuveld zijn, is het goed om even terug te blikken op de eigenschappen van de optelling van matrices. Je kan dat bijvoorbeeld centreren rond de vraag welke eigenschappen nodig zijn bij het oplossen van de volgende matrixvergelijking:

We maakten gebruik van de volgende eigenschappen: • het bestaan van de tegengestelde van een matrix, • de associativiteit van de optelling, • het feit dat de nulmatrix het neutrale element voor de optelling is.

bijvoorbeeld de verzameling van de even getallen of de veelvouden van 7, voorzien van de optelling, vormen een groep. Maar de verzameling uitgerust met de optelling vormt geen groep: een natuurlijk getal verschillend van 0 heeft wel een tegengestelde maar die behoort niet tot de verzameling . De verzameling van de reële getallen, uitgerust met de vermenigvuldiging, is geen (commutatieve) groep, maar het scheelt niet veel. Het neutrale element is hier het getal 1 en het inverse element van een getal voor de vermenigvuldiging, is zijn omgekeerde. Het getal 0 heeft echter geen omgekeerde. Het volstaat om dat getal uit te sluiten. We krijgen dan . de (commutatieve) groep Kunnen we met matrices ook een groep vormen voor de vermenigvuldiging? We onderzoeken of het mogelijk is op te lossen alle vergelijkingen van de vorm en vierkante matrices met dezelfde (met afmetingen en een kolommatrix):

Deze eigenschappen garanderen je dat je elke matrix(met en vergelijking van de vorm 2×2-matrices) kan oplossen:

Omdat deze eigenschappen gelden, noemt men in de wiskunde de verzameling van de 2×2-matrices (of -matrices), algemener: de verzameling van de uitgerust met de bewerking optelling, een groep. De tegengestelde matrix wordt het inverse element van die matrix voor de optelling genoemd. De verzameling van de 2×2-matrices, uitgerust met de optelling, noteert men . Omdat de optelling bovendien nog comals mutatief is (wat we niet gebruikt hebben bij het oplossen een commutatieve groep. van de vergelijking), is Ook de verzameling van de reële getallen, uitgerust met de bewerking optelling, is een commutatieve groep, . Alle vergelijkingen van de vorm genoteerd als (met en reële getallen) kunnen opgelost worden via identiek dezelfde stappen als hierboven. Je kan de verzameling getallen trouwens groter of kleiner en . Ook maken. Zo vind je de groepen

De matrix is hierin de eenheidsmatrix met dezelfde en . Om de factor A te dimensie als de matrices neutraliseren, moeten we nu vermenigvuldigen met de inverse matrix. We kunnen dat alleen doen als inverteerbaar is. Dat laat zien dat we bij matrices gedwongen zijn om alle niet-inverteerbare matrices uit te sluiten. Zo vinden we de (niet-commutatieve) groep -matrices uitgerust met de van de inverteerbare vermenigvuldiging. ABSTRACTE GROEPEN Dit is een goed ogenblik om de leerlingen te confronteren met de definitie van een abstracte groep. Veronderstel dat een verzameling van elementen is. Deze elementen kunnen getallen zijn of matrices of nog andere objecten (bijvoorbeeld meetkundige transformaties als translaties, rotaties, spiegelingen, homothetieën ...). We noteren deze , … Veronderstel elementen in het algemeen als bovendien dat je met deze elementen een bewerking kunt uitvoeren, i.e. je ‘combineert’ twee elementen uit

de verzameling en krijgt als resultaat een element van de verzameling. Je kunt hier denken aan het optellen of vermenigvuldigen van getallen of matrices, maar de bewerking kan nog heel andere vormen aannemen, bijvoorbeeld het samenstellen van meetkundige transformaties. Zo’n abstracte bewerking wordt in de wiskunde vaak met een sterretje genoteerd: het toepassen van en levert dan de bewerking op twee elementen op dat als genoteerd een ander element van wordt. De verzameling , uitgerust met de bewerking , genoteerd als , wordt een groep genoemd als en

slechts als de volgende eigenschappen gelden: • de bewerking is associatief: voor alle elementen , en in is ; • bevat een element dat neutraal is voor de bewer; king : voor alle elementen in is • elk element van heeft een invers element: voor in elk element in bestaat er een element waarvoor . Als de bewerking bovendien ook nog commutatief is, een commutatieve groep genoemd. wordt

In wat voorafgaat hebben we al verschillende commutatieve en niet-commutatieve groepen ontmoet. We geven nog twee andere voorbeelden. DE SYMMETRIEGROEP VAN EEN RECHTHOEK Een rechthoek (die geen vierkant is), bijvoorbeeld de rechthoek gevormd door de punten met coördinaten en , heeft twee symmetrieassen (in het voorbeeld: de -as en de -as) en één symmetriemiddelpunt (hier de oorsprong ). Dat geeft ons drie isometrieën die de rechthoek op zichzelf t.o.v. de -as, de spiegeafbeelden: de spiegeling t.o.v. de -as en de puntspiegeling t.o.v. de ling oorsprong. Noem de verzameling gevormd door deze drie isometrieën, aangevuld met de identieke transformatie , die natuurlijk ook de rechthoek op zichzelf afbeeldt. Als bewerking beschouwen we het samenstellen, d.w.z. het na elkaar uitvoeren van de isometrieën. Als we samenstellen, krijgen we steeds twee elementen uit opnieuw een van de elementen uit . De onderstaande Cayleytabel toont dit (isometrie uit de uiterst linkse kolom volgt op isometrie uit de bovenste rij):

Het samenstellen van isometrieën is associatief (evident!), de identieke transformatie vervult de rol van neutraal element (daarom hebben we ze opgenomen in ) en elk element heeft een symmetrisch element voor de samenstelling (namelijk zichzelf). Dat betekent een groep is. Deze groep wordt de viergroep van dat Felix Klein genoemd. Er is een link met matrices. Als er een assenstelsel bepaald is in het vlak, heeft elke isometrie die de oorsprong invariant laat een matrixvoorstelling. Neem bijvoorbeeld de spiegeling t.o.v. de -as. Een punt

wordt afgebeeld op een punt of in matrixvorm

, waarbij

Zo correspondeert de spiegeling t.o.v. de -as met . Het samenstellen van isometrieën de matrix komt overeen met het vermenigvuldigen van hun overeenkomstige matrices. Het is dan ook niet verwonderlijk , uitgerust dat met de vermenigvuldiging, een groep vormt. Strikt genomen is deze groep van vier matrices natuurlijk verschillend van de groep van vier transformaties, maar als je abstractie maakt van hun concrete verschijningsvorm, kun je de twee groepen als gelijk beschouwen. In de wiskunde zegt men dat deze groepen isomorf zijn. DE CYCLISCHE GROEP VAN ORDE n die in figuur 1 Ook de verzameling van matrices beschreven is, uitgerust met de vermenigvuldiging, vormt een groep. Deze heeft een interessante meetkuncorresponderen dige interpretatie. De elementen van met rotaties rond de oorsprong. Alle elementen zijn machten van één element, namelijk de matrix die over. Als we deze matrix eenkomt met de rotatie over noemen, kunnen we . ook schrijven als . komt overeen met het optellen Vermenigvuldigen in van exponenten en na n keer draaien zijn we rond: . Omdat alle elementen voortgebracht worden door één element en we na een aantal keer rond zijn, wordt een dergelijke groep cyclisch genoemd en wordt het symbool gebruikt. De viergroep van Klein wordt voortgebracht door twee elementen en is dus is isomorf met een andere geen cyclische groep. groep die je in het secundair onderwijs ter sprake kunt brengen, namelijk de multiplicatieve groep van de complexe -demachtswortels uit 1. is ook nog isomorf met een andere De groep van de restklassen groep, nl. de additieve groep modulo , uitgerust met de optelling.

Figuur 1

BRONNEN J. Roels et al. (1990). Wiskunde vanuit toepassingen. Aggregatie HSO Wiskunde K.U. Leuven: Leuven, p.168 e.v.

Dit is een deel van een omvangrijk artikel met als titel Naar de abstracte algebra? dat verscheen in Uitwiskeling 24/3. In het vervolg van het artikel gaan we dieper in op de additieve groep van de restklassen modulo en worden ook begrippen aangebracht i.v.m. vectorruimten. Op www.uitwiskeling.be vind je alle info.

OEFENING 3

KANGOEROE - KOALA 2020, VRAAG 5 Amira ﬁetst van Aarschot naar Werchter over een rechte weg. Ze komt 5 wegwijzers tegen. Eén van de wegwijzers is fout. Welke?

SOCIALE RECHTVAARDIGHEID, WISKUNDIG BEKEKEN IK HERINNER ME NOG GOED MIJN EERSTE REACTIE TOEN IK ENKELE JAREN GELEDEN LAS DAT HET VAK WERELDORIËNTATIE – MET DE BESTE BEDOELINGEN – OPGESPLITST ZOU WORDEN IN EEN STUK “MENS EN MAATSCHAPPIJ” EN EEN STUK “WETENSCHAP EN TECHNIEK”. IK DACHT METEEN: WAAROM NIET “MENS EN WETENSCHAP” OF “TECHNIEK EN MAATSCHAPPIJ”? TECHNOLOGISCHE VOORUITGANG STAAT TOCH NIET LOS VAN DE MAATSCHAPPIJ? EN WAT IS WETENSCHAP ANDERS DAN MENSELIJK INZICHT IN DE NATUUR? G I OVA N N I S A M A E Y,

N U M E R I E K E A N A LYS E E N T O E G E PA S T E W I S K U N D E , D E PA R T E M E N T C O M P U T E RW E T E N S C H A P P E N , K U L E U V E N

Die gedachte kwam onlangs terug bij me op toen ik de aankondiging kreeg dat er een workshop georganiseerd zou worden over “computationele en wiskundige aanpakken voor sociale rechtvaardigheid” 1. Van 8 tot 10 maart – nog steeds helaas virtueel – aan het Institute for Computational and Experimental Research in Mathematics (ICERM) van Brown University (VS). Op die workshop komen wiskundigen vanuit verschillende instellingen samen om lezingen te geven en te debatteren over de rol van wiskunde bij het begrijpen van mechanismen die leiden tot sociale onrechtvaardigheid. Sociale rechtvaardigheid heeft betrekking op eerlijke relaties tussen individuen en de samenleving. De term omvat kwesties als gelijkheid, diversiteit en inclusie en is historisch gezien geworteld in de sociale en geesteswetenschappen. Toch maakt de wiskunde een complementaire en krachtige aanpak mogelijk, dankzij de inzichten die ontstaan zijn in domeinen als dynamische systemen, de studie van complexe netwerken, toegepaste topologie, stochastische processen (waarin toeval een rol speelt), data-analyse en meer. Dit soort wiskundige technieken is aan een opmars bezig binnen de sociale wetenschappen, en er zijn intussen wiskundig onderbouwde studies uitgevoerd op een heel scala aan sociale kwesties, zoals verkiezingen, haatzaaierij, gezondheidszorg en gendergelijkheid. Van het voorspellen van rellen 1 2

tot het effect van fooien op restaurants: noem een sociaal thema en er zijn wiskundigen mee bezig. Een mooi voorbeeld van een onverwachte wiskundige aanpak van een sociaal fenomeen is een studie van de grootschalige rellen van 2005 in Frankrijk2. Op 27 oktober 2005 stierven twee jongeren bij het binnendringen in een onderstation van de elektriciteit, terwijl ze probeerden te ontsnappen aan een politiepatrouille. Woedende bewoners verzamelden zich spontaan op straat. Er braken rellen uit, die zich voornamelijk uitten door de vernieling van auto’s en confrontaties met de politie. In de weken daarop breidden de rellen zich uit, zonder centrale organisatie of politieke eisen, tot in meer dan 800 Franse gemeenten. In de studie worden de dagelijkse gegevens van de nationale Franse politie gebruikt om de dynamiek van de verspreiding van de rellen te onderzoeken. Het doel was om een minimaal wiskundig model te vinden dat de realiteit kwantitatief kan reproduceren. Dat is ook gelukt: een model dat vaak gebruikt wordt om de verspreiding van epidemieën te beschrijven, blijkt kwantitatief de volledige dynamiek van de rellen te verklaren, zowel in ruimte als in tijd. De verspreiding van deze rellen blijkt niet uitgelokt door reizende relschoppers: het lijkt eerder zo dat rellen in de nabijheid bepaalde mensen aanzetten om zelf gewelddadig te worden. De enige sociologische variabele die nodig was in het model was de mate

“https://icerm.brown.edu/events/htw-21-mcasj/#workshopoverview “https://www.nature.com/articles/s41598-017-18093-4

van ontbering in de buurt waar de mensen woonden. Het is opmerkelijk dat geografische nabijheid zo’n grote rol speelde, want via de media was overal dezelfde informatie beschikbaar. Het voornaamste voordeel van een wiskundige benadering van dit soort problemen (en tegelijk ook de grootste moeilijkheid) is dat ze een kwantitatieve analyse mogelijk maakt (in tegenstelling tot een louter kwalitatieve analyse). Toch is het belangrijk even stil te staan bij de vraag hoe betrouwbaar die resultaten zijn, en wat ze precies betekenen. Het is niet omdat berekeningen overeenkomen met de realiteit, dat de aannames correct zijn die in het wiskundige model gemaakt worden. Zeker als je de vrijheid hebt om je model wat te kneden tot het de beschikbare data zo goed mogelijk reproduceert. Alles staat of valt met de beschikbaarheid van een goed wiskundig model. Zo’n model is in wezen niets meer dan een beschrijving in formules van de fenomenen die belangrijk zijn in het proces dat we willen bestuderen. Hiervoor zijn twee zaken cruciaal: een correcte beschrijving in formules (waarvoor wiskundige kennis nodig is) en een goede kennis van het fenomeen dat je wil bestuderen. Dat laatste is belangrijk om expliciet te benadrukken: de aannames van de sociale wetenschappers dienen als invoer bij het opstellen van een model. Dat betekent dat je niet kan nagaan

In het geval van de Franse rellen was de aanname dat het ontstaan van rellen “een beetje lijkt” op het uitbreken van een epidemie: er zijn “besmette” mensen – die zijn aan het vechten. Er zijn “vatbare” mensen – die hebben een kans om te beginnen vechten als ze in de buurt van rellen komen. En er zijn “immune” mensen. Die zijn klaar met vechten. Het model in de studie maakte twee aannames: mensen worden “vatbaarder” om te beginnen vechten als ze in een armere buurt wonen, en als er rellen zijn in buurten in de omgeving. Die aannames waren voldoende om een simulatie uit te voeren die heel goed overeenkwam met de reële gebeurtenissen. Het moet wel gezegd dat het model nog wat vrijheid toelaat: zo kan je kiezen hoeveel vatbaarder mensen worden in functie van de armoede in hun buurt, en hoe sterk de aantrekkingskracht is van naburige rellen om zelf in actie te schieten. Die vrijheid wordt gebruikt om ervoor te zorgen dat de simulaties zo sterk mogelijk bij de beschikbare politiegegevens aansluiten. Over hoe dat gebeurt (en zelfs over wat we bedoelen met “zo sterk mogelijk aansluiten bij de gegevens”) kunnen we ook nog een stevig wiskundig boompje opzetten. Wil dit alles nu zeggen dat het verspreiden van massale rellen echt enkel veroorzaakt wordt door armoede? Niet noodzakelijk!

Dit soort simulaties biedt enkel argumenten voor de stelling dat armoede voldoende is om de verspreiding van de rellen te verklaren. Het omgekeerde is niet noodzakelijk waar. Als we de armoede wegwerken, zullen rellen in het wiskundige model geen kans krijgen, maar dat betekent niet veel voor het “echte leven”. Als we erin zouden slagen de armoede weg te werken, kan het nog altijd zo zijn dat in het echte leven rellen ontstaan op basis van een andere drijvende kracht – die op dit moment nog niet in het model zit. Het zou in elk geval al een bijzonder groot succes zijn als we ooit in een situatie komen waarin we dit kunnen testen. Het wiskundig bestuderen van sociale rechtvaardigheid biedt tal van opportuniteiten, zowel voor wiskundigen als voor sociale wetenschappers. Voor sociale wetenschappers biedt het een kans om hun kwalitatieve ideeën in berekeningen te proppen om te zien of de mechanismes die zij bedenken plausibel zijn. Voor wiskundigen zijn deze toepassingen een goudmijn om het maatschappelijke belang van wiskunde te vergroten en om vanuit hun interesse en expertise mee te helpen aan een betere wereld.

OEFENING 4 KANGOEROE - SPRINGMUIS 2020, VRAAG 3 Welke tegel ontbreekt er?

E © Kangoeroe - Springmuis 2020, vraag 3

of die aannames correct zijn, enkel of ze plausibel zijn. Met “plausibel” bedoelen we dan dat de aannames aanleiding geven tot berekeningen die overeenkomen met de werkelijke gebeurtenissen.

HET STAPELEN VAN CIRKELS WAARSCHUWING VOORAF: DEZE TEKST GAAT NIET OVER PANNENKOEKEN, HOEWEL DIT HET EERSTE IS WAARAAN DE VLAAMSE LEZER DENKT WANNEER HIJ IETS HOORT OVER “GESTAPELDE CIRKELS”. HET IS NOCHTANS WEL WAAR DAT EEN WISKUNDIGE BEST WAT KAN BETEKENEN IN DE KEUKEN WANNEER ER PANNENKOEKEN GEBAKKEN WORDEN. VOORAL ALS ALLE PANNENKOEKEN EEN VERSCHILLENDE DIAMETER HEBBEN EN VAN GROOT NAAR KLEIN GESTAPELD MOETEN WORDEN. OMDAT DE DIAMETERS VAN GEBAKKEN PANNENKOEKEN ZICH ZELDEN IN MONOTOON DALENDE VOLGORDE AANDIENEN, MOETEN WE DE STAPEL ACHTERAF FATSOENLIJK RANGSCHIKKEN. OM NIET TE KLIEDEREN MET ETEN IS DE ENIGE TECHNIEK DIE HIERVOOR TOELAATBAAR IS, DE SPATELFLIPPING:

Figuur 1 De eerste flipping keert de volgorde om van de bovenste drie pannenkoeken, terwijl de tweede flipping de volledige stapel omkeert. R U D I P E N N E E N PAU L L E V R I E , UA N T W E R P E N

Om dit efficiënt te laten verlopen, roep je er het best een wiskundige pannenkoekenflipper bij. Deze expert weet hoe je bijvoorbeeld een stapel van 19 tot een propere toren van steeds kleinere pannenkoeken kan ordenen met maximaal 22 flippingen. Maar hij weet ook dat op dit moment (januari 2021) het gegarandeerde flipmaximum nog niet gekend is voor een stapel van 20 pannenkoeken.

Figuur 2 Met hoeveel spatelflippingen kan je deze stapel correct ordenen?

Jacob Goodman was de eerste om zich als pannenkoekenflipper te outen door in 1975 in de American Mathematical Monthly de vraag te stellen, ietwat schroomvallig onder het pseudoniem Harry Dweighter (= harried waiter): wat is het minimale aantal spatelflippingen om de pannenkoekenstapel mooi geordend te krijgen? Hoe zou jij trouwens deze vraag oplossen voor de stapel hierboven met 7 pannenkoeken? Zelfs Bill Gates ontdekte de pannenkoekenflipper in zich en schreef er ooit een wetenschappelijk artikel over.

Deze tekst gaat dus niet over pannenkoeken, maar zeker ook niet over corona, blij dat we zijn om eindelijk over iets anders te kunnen praten. Al willen we toch even opmerken dat het sluiten van alle landsgrenzen en het kiezen voor een totaal isolement soms heilzaam kan zijn voor een volk. Neem nu Japan bijvoorbeeld. Het leefde tijdens de zogenaamde Edoperiode van 1603 tot 1867 vrijwillig geïsoleerd van het westen en kende hierdoor boeiende economische, filosofische en culturele ontwikkelingen. Een groot deel van de Japanse eigenheid zoals we die nu kennen, is toen ontstaan of tot bloei gekomen. In deze context gaan we onze gedachten echter niet richten op geisha’s of haiku’s, maar eerder op de fameuze sangaku’s. Deze gekleurde houten tabletten werden in de Edo-periode opgehangen in shinto-heiligdommen of boeddhistische tempels, waarschijnlijk als geschenk voor goden of heiligen. (zie figuur 3) Met weinig of geen tekst illustreren sangaku’s een zelf bedachte meetkundige eigenschap over driehoeken, vierkanten, ellipsen en vooral cirkels. Zeg nu zelf, veel ontroeren

der en edeler kan een geschenk niet zijn. Omdat een sangaku bovendien zichtbaar was voor de andere tempelbezoekers, streefde de maker meestal naar een esthetische geometrie en imponerende complexiteit. Een YouTube battle avant la lettre dus. De ideale sangaku is een mystiek verbond tussen zijn artistieke schepper, een zuivere meetkundige eigenschap (god) en de uitgedaagde toeschouwer. Vele sangaku’s zijn ons bekend dankzij het missionariswerk van de Japanse wiskundige Hidetoshi Fukagawa in Amerika. Lees bijvoorbeeld: - H. Fukagawa, D. Pedoe, Japanese Temple Geometry Problems, 1989; - of H. Fukagawa, A. Rothman, Sacred Mathematics: Japanese Temple Geometry, 2008. Hieruit tonen we de volgende vijf-cirkels-sangaku (zie figuur 4). Als u zich afvraagt hoe men erin geslaagd is om vijf identieke cirkelschijven op deze manier in een vierkant te klemmen, dan kunnen we u geruststellen. Die vraag is namelijk exact de bedoeling van deze sangaku. Een goede student met meetkundige bagage kan uitrekenen

Figuur 3 Mooie cirkelconfiguraties in een Japanse boeddhistische tempel

lig erg bekwaam in deze discipline. Zo zoekt en vindt Zsófia Ruttkay ook inspiratie in de natuur voor “dichtbegroeide” cirkelstapelingen, meer bepaald bij de uitzetting van waterlelies (in de tuin van Monet, of als we in het thema willen blijven, in de vijver van een boeddhistische tempel): Figuur 7 De leliemetafoor van Ruttkay voor een stapeling met 5 cirkels Figuur 4 De 5-cirkel-sangaku

Figuur 5 (uit het tijdschrift Pythagoras, 38.5)

dat bovenstaande configuratie enkel lukt indien de straal R van de cirkels zich verhoudt t.o.v. de zijde Z van het vierkant als:

Net zoals vele andere sangaku’s is de vijf-cirkels-sangaku een voorbeeld van een wiskundige stapeling. De objecten die gestapeld worden, mogen van willekeurige vorm, omvang of dimensie zijn, zolang ze elkaar maar niet overlappen. Een mooie illustratie is de stapeling van 19 identieke cirkels in een gelijkzijdige driehoek zoals bedacht door de Hongaarse wiskundige Farkas Bolyai.

Al moet gezegd dat afhankelijk van het culturele kader of de context van het vraagstuk, het niet altijd de numerieke oplossing is die gezocht wordt. Zo werden in de Griekse oudheid meetkundige problemen gekraakt met zuivere passer-enliniaalconstructies, terwijl in het Edo-tijdperk de meetkunde wel eens met behulp van origami bedreven werd. Probeer dit laatste eens zelf met de volgende (bescheiden) uitdaging. Leg een rond bierviltje (bijvoorbeeld) in de hoek van een vierkant tafelkleedje of kaartmatje. Als we het vierkant plooien zoals aangegeven in figuur 5, totdat een zijde de cirkel raakt, dan heb je de straal van de cirkel “bepaald” als de uitstekende lengte x.

Figuur 6 De meest compacte manier om 19 cirkels in een gelijkzijdige driehoek te stapelen

Deze was bedoeld als optimaal plantschema voor bomen. Al zien wij eerder toepassingen in onze wijnkelder. Hongaren blijken toeval-

30 Figuur 8 Hoe 5 cirkels organisch evolueren tot een starre stapeling in een vierkant

In de loop van de 20ste eeuw is het stapelen een aparte wiskundige discipline geworden. Wereldwijd zijn er mensen die professioneel hun echte dagen en denkbeeldige containers vullen met cirkels of bollen of met wat dan ook hun pad kruist. Meestal is de uitdaging van deze rekkenvullers van de wiskunde het maximaliseren van de stapeldichtheid, of anders gezegd, het minimaliseren van de verspilde (lege) ruimte. De vakkennis van een meetkundige expert in het stapelen van cirkels kan soms goed van pas komen. Hij weet hoeveel flessen wijn in een doos raken, en hij heeft het inzicht hoe zoveel mogelijk ronde bierkaartjes uit een rechthoekig vel te snijden. Bovendien, als hij graag moeilijke woorden gebruikt, en niet lijdt aan hippopotomonstrosesquippedaliofobie, weet hij waar hij de constellatiepunten moet plaatsen voor een optimale kwadratuuramplitudemodulatie. Maar een wiskundige cirkelinpakker weet ook hoeveel stoelen je in een aula of theaterzaal kan opstellen (en hoe), met de garantie op een minimale afstand tussen de toeschouwers. Wie de kunst beheerst om 5 cirkels optimaal te stapelen in een (blauw) vierkant, weet ook waar vijf mensen te plaatsen in een (rood) vierkant zodat de afstand tot de dichtste buur zo groot mogelijk is. En dat is exact zoals getoond wordt in figuur 9. (Hierbij verontschuldigen we ons voor de veelvoorkomende academische misvatting om mensen te verwarren met oneindig kleine punten.)

Figuur 9

In figuren 10, 11 en 12 zie je hoe onze professionele cirkelstapelaar uit een (groen) papieren vierkant N cirkels knipt om zo weinig mogelijk aan tussenliggende ruimte te verkwisten. Of hoe hij N puntmensen plaatst in een (rode) vierkante kamer om de kleinste afstand tussen twee personen te maximaliseren.

Figuur 10 N=16: volgens een vierkant rooster.

Thue (1890) geeft dit hexagonaal patroon de optimale stapeling van identieke cirkels in een onbegrensd vlak, waarbij een maximale dichtheid om exact van ongeveer 91% ( te zijn) behaald wordt. Het maakt ons in ieder geval nederig om te merken dat bijen geen wiskunde nodig hebben om hun honingdruppels in dit optimale patroon van regelmatige zeshoeken te laten opdrogen. Figuur 11 N=17: verrassend patroon.

Figuur 12 N=20: volgens een hexagonaal patroon.

Figuur 13

Deze voorbeelden suggereren dat optimale cirkelpatronen zich niet door een vaste formule laten bepalen. Eigenlijk is het patroon met de 20 cirkels nog het minst verrassend, want dit is de oplossing die iedere wijnverzamelaar of transporteur van soepblikken al bedacht heeft. Het is de bekende hexagonale schikking, waarbij iedere cirkel exact zes andere zou raken indien de container zich in alle richtingen oneindig uitstrekte. Volgens het Theorema van

Mogelijke (onderling gelinkte) verklaringen waarom honingraten zeshoekig zijn: 1. Bijen passen het Theorema van Thue toe wanneer ze hun cirkelvormige honingdruppels efficiënt stapelen op een beschikbaar oppervlak. 2. Bijen willen cellen met maximale oppervlakte (= honingvoorraad) begrenzen met minimale omtrek (= kost), en weten dat de cirkel hiervoor de optimale geometri-

sche vorm is. Maar helaas, cirkels betegelen het vlak niet (verspilde ruimte), dus gaan ze voor een convexe veelhoektegel met zoveel mogelijk hoekpunten. De oud-Griekse bijen wisten al dat dit een zeshoek is. 3. Bijen hebben nooit getwijfeld over het honingraatvermoeden: “Het hexagonaal rooster is de meest zuinige manier om het vlak in gelijke cellen te verdelen met maximale oppervlakte” (pas formeel bewezen door Thomas Hales in 1999). Anderzijds, zodra er wanden zijn aan de beschikbare ruimte of het gegeven papier begrensd is, wat wel eens voorvalt in de wereld die we aantreffen, dreigt dit optimale hexagonale patroon zich inefficiënt te gedragen aan de randen. Eigenlijk is de honingraatoplossing voor 20 cirkels eerder een uitzondering. Meestal wordt een optimale oplossing verkregen door de schijven hier en daar uit elkaar te schuiven, soms meer naar de rand toe, zoals bij de 17 cirkels. Wanneer je 16 flessen zo goed mogelijk wil stapelen in een vierkante doos zal dan weer (toevallig?) een loodrecht rooster de beste ingeving blijken. Beginnende cirkelstapelaars menen hier een eigenschap te ontwaren, want ook 4, 9, 25 of 36 cirkels worden in een vierkante container optimaal geschikt via een vierkant rooster. Maar hun meer ervaren collega’s weten dat dit dan ! weer niet geldt voor Ieder verschillend aantal cirkels lijkt wel om een ad-hocoplossing

te vragen, maar er komt echt wel wat wiskundig vakmanschap bij kijken. En natuurlijk ook computerrekentijd. Anderzijds is het zo dat origamiwiskundigen (ja, die zijn er ook) zoals Erik Demaine en Robert Lang hebben aangetoond dat er nooit een efficiënt algoritme zal gevonden worden om een optimale stapel van cirkels te berekenen voor een rechthoekig stuk papier, wat zij betreuren want dit had handig geweest bij het tekenen van bepaalde vouwpatronen.

Maar eigenlijk wilden we het niet hebben over origami, en al helemaal niet over haiku’s, pannenkoeken of bijtjes, laat staan over corona. Maar als kleine toegift of dienstverlening voor de organisatoren onder jullie hebben we laten uitrekenen hoeveel toeschouwers we op een coronaveilige wijze kunnen plaatsen bij een ceremonie of podiumact in een ruimte van 10 op 10 meter, hiernaast weergegeven door een rood vierkant. In de eerste oplossing kunnen we 59 stoelen zetten, in evenveel middelpunten van cirkels waarvoor een diameter van 1,5 m genomen werd. Laat ons toe jullie nog eens te waarschuwen voor de veelvoorkomende academische misvatting om mensen te verwarren met oneindig kleine punten. Dan is de tweede oplossing met 43 stoelen en een diameter van 1,8 m meer realistisch (schouderbreedte van 30 cm). Wie een nog grotere marge verkiest, kunnen we cirkels met een diameter van 2 m aanbevelen, waarvoor de computer onverwachts een vierkant raster van 36 stippen als oplossing heeft. Mooier hoeft het niet te worden voor ons. (http://www.packomania.com/)

Figuur 15

Figuur 14 Hoe het origamipatroon voor een schorpioen bepaald wordt door een stapeling van cirkels (en rivieren)

eën ekstrategi bestaan zo te oplosser leren. Er em je le n ob ka pr e oplossen een co ol eën is: Problemen nnen helpen om ekstrategi van d ie zo d ie je ku n Eé n. worde

Op een tak zitten 5 vogels. Elke vogel fluit zoveel keer als het aantal vogels dat hij ziet. Bijvoorbeeld: Anna fluit 4 keer want ze ziet 4 vogels. Plots draait er 1 vogel zich om. Opnieuw fluiten de vogels zoveel keer als het aantal vogels dat ze zien. Deze keer wordt er in totaal meer gefloten dan de eerste keer. Welke vogel heeft zich omgedraaid?

N MISS EN tGISS EN E or het an em op do te

het proble ed geluk n’ los je rd) op go en misse Lukt dat n t antwoo se he is n ‘g te beter! Bij je va s te uk de st t: n da f ee eer eens kt (o ob Lu . Pr rd ! en oo er ng w uit te prob e een nieuwe pogi oeroevragen. raden en ng do , Ka probleem vo lgende niet: geen en missen’ bij de ‘g issen

Anna A Anna

Bill

Charlie

B Bill

Donia

C Charlie

Egon

D Donia

E Egon

Springmuis 2016, vraag 22

Timon met een lucifers een gesloten pad op het rooster. Timon legt metlegt lucifers gesloten pad op het Een stuk van het pad heeft hij al gelegd. De getallen rooster. Een stuk van het pad heeft hij al gelegd. geven aan hoeveel lucifers op elk vierkant liggen. De getallen geven aan hoeveel lucifers op elk vierkant Hoeveel lucifers gebruikt Timon voor dat pad? liggen. Hoeveel lucifers gebruikt Timon voor dat pad?

A 12

B 14

C 16

D 18

Eva zet 6 stuks speelgoed in de kast.

E 20 D 18 E 20 Wallabie 2019, vraag 20 Wallabie 2019, vraag 20

staat juist onder

en rechts van .

staat juist boven In de Kleurstraat staan 5 huizen: In de Kleurstraat staan 5 huizen: een geel, een blauw, een een blauw, geel, een groen, een groen, een paars en een rood huis. een paars en een rood huis. De huizen De huizen zijn genummerd van 1 tot 5. zijn genummerd van 1 tot 5. Naast rode huis staat maar • Naast het • rode huishet staat maar dat is het groene. 1 huis en dat1ishuis het en groene. • Het groene huis staat tussen • Het groene het huisrode staatentussen het blauwe huis. het rode Welke en het kleur blauwe huis.huis nummer 3? heeft Welke kleur heeft huis nummer 3?

A blauw

A blauw B geel

B geel C groen

en links van .

Welk stuk speelgoed komt rechts bovenaan in de kast? 1

Wombat 2017, vraag 15

C groen D paars

D paars E rood

E rood

Wallaroe 2019, vraag 11

18 maart 2021

Ellie loopt door de doolhof. Ellie loopt door de doolhof. De getallen die ze De getallen tegenkomt, gaan van klein naar tegenkomt, gaandie vanzeklein naar groot. Langs groot. welke uitgang verlaat ze welke uitgang verlaat zeLangs de doolhof? de doolhof?

(uitwijkperiode tot 22 april 2021)

Internationale wedstrijd in 5 edities met prijzen voor alle deelnemers:

A B A B

B C B C

C D C D

Wombat 1ste en 2de leerjaar Springmuis 3de en 4de leerjaar Koala 5de en 6de leerjaar Wallabie/Wallaroe 1ste en 2de leerjaar secundair onderwijs A- en B-stroom A A

INGANG 4

12 14

D E D E

E E

Koala 2018,12 vraag 12 Koala 2018, vraag

kangoeroe.org instagram.com/kangoeroewedstrijd facebook.com/kangoeroewedstrijd

V.U.: VWO vzw, E. Sabbelaan 53 8500 Kortrijk

WAT HEET DAN GELUKKIG ZIJN?

GELUK, WELVAART EN WELZIJN VAN DE BELGEN B A R T C A P É AU , L AU R E N S C H E R C H Y E , A N D R É D E C O S T E R , Z O É R O N G É , E R I K S C H O K K A E R T, F R E D E R I C V E R M E U L E N ( A L L E N K U L E U V E N ) , B R A M D E R O C K ( U L B E N K U L E U V E N ) , G U I L L AU M E P É R I L L E U X ( U L B ) , KO E N D E C A N C Q , A N N E M I E N YS ( B E I D E N UA ) , F R A N Ç O I S M A N I Q U E T, E V E R A M A E K E R S ( B E I D E N U C L ) L AU R E N S C H E R C H Y E , B R A M D E R O C K E N F R E D E R I C V E R M E U L E N Z I J N D E L AU R E AT E N VA N D E F R A N C Q U I - P R I J S 2 0 1 9 , O O K W E L E E N S D E B E L G I S C H E N O B E L P R I J S G E N O E M D . S A M E N M E T H U N C O L L E G A’ S R A P P O R T E R E N Z I J I N H E T B O E K “ WAT H E E T DA N G E L U K K I G Z I J N ? ” OV E R H E T O N D E R Z O E K DAT Z I J M E T D E S T E U N VA N B E L S P O U I T VO E R D E N . D E R E S U LTAT E N VA N H E T O N D E R Z O E K DAT H I E R VO O R G E S T E L D WO R D T, D O E N B E R O E P O P W I S K U N D I G E T E C H N I E K E N , Z OA L S O R D E R E L AT I E S O P V E R Z A M E L I N G E N VA N N -TA L L E N E N H E T O M Z E T T E N E RVA N T O T E E N E E N D U I D I G E R A N K I N G . W I L J E H I E R OV E R M E E R W E T E N , A A R Z E L N I E T O M C O N TAC T O P T E N E M E N M E T B R A M D E R O C K .

WAT IS WEL-ZIJN? Het welzijn van de inwoners van een land kan niet gemeten worden door gemiddelden van louter materiële standaarden, zoals bijvoorbeeld het Bruto Nationaal Product (BNP) per hoofd van de bevolking. Daarover groeit langzaamaan een brede consensus onder onderzoekers en beleidsmakers. De toenmalige Franse president Nicolas Sarkozy riep in 2008 een commissie, met vooraanstaande sociale wetenschappers als Anthony Atkinson, Daniel Kahneman, Joseph Stiglitz en Amartya Sen, in het leven om na te denken over betere maatstaven dan het BNP om sociale welvaart te meten. Over die alternatieve maatstaven bestaat echter veel minder eensgezindheid. Dit boek verdedigt één specifieke alternatieve maatstaf en zet deze af tegen enkele andere voorstellen, zoals een ‘nationale geluksindex’ of ‘opgestapelde achterstand’.

Wat al deze alternatieve maatstaven om welzijn te meten echter wel gemeen hebben is de erkenning dat welzijn veel meer is dan enkel een hoog inkomen of louter materiële welvaart. Vele niet-materiële dimensies zoals een prima gezondheid, een goed gezinsleven, een aangename leefomgeving, een zinvolle tijdsbesteding of de kwaliteit van een job zijn minstens even belangrijk voor een geslaagd leven. Al die aspecten samen bepalen weliswaar mee hoe gelukkig mensen zich voelen en hoe tevreden ze zijn met hun leven, maar deze subjectieve maatstaven worden ook in belangrijke mate beïnvloed door persoonlijke ambities en persoonlijkheidskenmerken. Mensen die er niet in slagen hun hoge ambities te realiseren voelen zich meestal minder tevreden of gelukkig dan personen die er objectief veel slechter aan toe zijn maar meer gematigde aspiraties hebben. Anderzijds zijn de maatsta-

ven die kijken naar de samenhang tussen tekorten op verschillende levensdomeinen als gezondheid, huisvesting en voldoende middelen om basisnoden te lenigen, dan weer te objectief, omdat ze geen rekening houden met de eigen opvattingen van mensen over het relatieve belang van die verschillende domeinen. Die opvattingen zijn niet voor iedereen dezelfde. Sommige mensen zijn bereid om een minder veeleisende job te aanvaarden om voldoende tijd over te houden voor andere activiteiten, terwijl anderen het hogere inkomen van zo een veeleisende job verkiezen ten koste van minder vrije tijd. Deze meer objectieve maatstaven slagen er niet in met deze verschillen op een adequate manier rekening te houden. In het boek Wat heet dan gelukkig zijn? Geluk, welvaart en welzijn van de Belgen wordt een methode voorgesteld om het welzijn van mensen te meten en te vergelijken, die aan

de euvels van het te subjectieve geluksgevoelen en het te objectieve karakter van opgestapelde achterstand wil tegemoet komen. De methode houdt dus niet enkel rekening met de verschillende dimensies van welzijn, maar ook met het feit dat mensen hun eigen opvattingen hebben over wat belangrijk is in hun leven. NIET ENKEL THEORIE Het gaat hier niet enkel om een theoretisch debat. Een grootschalige representatieve enquête bij meer dan 3000 volwassenen uit ruim 2000 Belgische gezinnen werd georganiseerd om één en ander ook empirisch te illustreren. De enquête liet eerst en vooral toe om de verschillende dimensies van het individuele welzijn van de Belgen in kaart te brengen. We stelden vragen aan de lukraak gekozen respondenten over hun gezondheid, hun inkomen, hun tijdsbesteding, hun woning en leefomgeving. We verzamelden verder voldoende materiaal om zowel subjectieve maatstaven van levenstevredenheid, als meer objectieve maatstaven van opgestapelde achterstand en materiële welvaart (inkomen en consumptie-uitgaven) te construeren. Ten slotte vergeleken we deze resultaten met wat er uit de bus kwam voor ons eigen voorstel. INKOMENS Het gemiddeld beschikbaar gezinsinkomen per verbruikseenheid is volgens onze data 1836 euro per maand. Dat wil zeggen dat het totale beschikbaar inkomen van een

gezin werd gedeeld door het aantal verbruikseenheden. Het aantal verbruikseenheden wordt bepaald aan de hand van een equivalentieschaal die meer gewicht geeft aan een bijkomende volwassene dan aan een bijkomend kind in het gezin. Dat inkomens ongelijk verdeeld zijn, is weinig verrassend. Uit Figuur 1 blijkt dat de armste 10% van de Belgen slechts een goede 4% van het totale inkomen bezit, terwijl de rijkste 10% meer dan een vijfde van de totale inkomensmassa opslurpt. Dat is meer dan dubbel zoveel dan wat bij een volstrekt gelijke verdeling het geval zou zijn. De klassieke armoede-analyse legt de armoedelijn vast op 60% van het mediaan inkomen. Met onze data komen we uit op een armoedelijn van 972 euro

per maand. In België dient ruim 14% van de mensen rond te komen met een inkomen dat lager is dan 972 euro. Overigens blijkt inkomensarmoede nogal vaak samen te gaan met bepaalde sociaal-demografische kenmerken. In Tabel 1 delen we de bevolking op in vier groepen. Zij die minder dan 810 euro per maand ter beschikking hebben, noemen we de zeer armen. Wie tussen 810 en 972 euro heeft noemen we arm, terwijl de kwetsbaren een inkomen hebben tussen 972 en 1134 euro per maand. Wie meer dan 1134 euro per maand heeft, is niet arm. (Nogmaals, het gaat om beschikbaar gezinsinkomen per verbruikseenheid). In de groep van armen en zeer armen zijn disproportioneel meer mensen die

Figuur 1 Aandeel in het totaal inkomen van 10 even grote groepen

Algemeen

Zeer arm

Arm

Kwetsbaar

Niet-arm

Vrouw

50,4

54,8

52,7

57,4

49,3

In een relatie

69,1

62,2

67,9

54,5

71,0

Migrant

13,2

39,7

32,3

15,9

9,5

Laaggeschoold

33,3

47,3

61,7

48,3

28,5

Werkloos

6,5

36,7

24,9

7,3

2,7

Gepensioneerd

28,4

13,6

24,5

35,4

29,2

Tabel 1 Inkomensarmoede en sociaal-demografische kenmerken.

geen relatie hebben, mensen die in een ander land geboren zijn, meer werklozen, laaggeschoolden en ook meer vrouwen. Opvallend: gepensioneerden vindt men eerder in de derde categorie, en behoren dus niet altijd tot de allerarmsten van onze samenleving, als we enkel naar inkomen kijken. (figuur 1 en tabel 1)

daarmee samenhangend) een beter scholingsniveau hangen nauw samen met een betere gezondheid. Verrassender is dat niet alle migranten het slechter doen op gebied van gezondheid. Integendeel, mensen van Oost-Europese afkomst zijn op alle gebied gezonder dan de gemid-

delde Belg. Nog opvallender is dat ook het verleden blijft doorwegen, en die invloed reikt verder dan de eigen levensgeschiedenis. In Figuur 2 zien we bijvoorbeeld dat mensen gemiddeld genomen gezonder zijn naarmate hun vader een hoger scholingsniveau behaalde. De relatie tussen die sociaal-demografische kenmerken en de kwaliteit van de woning en woonomgeving is echter veel minder uitgesproken. Daar is de breuklijn vooral diegene tussen huurders en eigenaars, bijna steeds in het nadeel van de huurders. Alleen voor enkele voorzieningen zoals een postkantoor of openbaar vervoer in de buurt, zijn huurders beter af. Dat komt wellicht omdat eigenaars eerder buiten de stad, in een landelijke omgeving, wonen. Laat ons nu eens naar die drie dimensies – inkomen, gezondheid

OPGESTAPELDE ACHTERSTAND Maar inkomen is dus niet het enige wat telt voor welzijn. In onze enquête vroegen we uitgebreid naar de gezondheidstoestand van de mensen, de kwaliteit van hun woning en van de buurt waarin ze wonen. We onderzochten hun werksituatie en de kenmerken van de jobs van diegenen die werken. We gingen na waaraan ze hun tijd besteden, en aan welke goederen ze hun inkomen uitgeven. Ook in al deze andere dimensies zijn er grote verschillen. Dat oudere mensen minder gezond zijn hoeft geen betoog. Maar ook een hoger inkomen en (wellicht

Figuur 2 Gezondheid en scholingsniveau van de vader

en woonkwaliteit – samen kijken. We delen de respondenten op in drie gelijke groepen naar elk van die drie dimensies: het armste, middelste en hoogste derde van de populatie in termen van inkomen, gezondheid en huisvesting. Indien de scores op deze dimensies niet zouden samenhangen, dan zouden we wiskundig gezien ongeveer een kleine 4% van de mensen moeten terugvinden in de groep die een laag inkomen heeft, een slechte gezondheid en woont in een huis met nogal wat mankementen. We vinden echter dat er 7,7% van de mensen tot die groep behoren. We spreken van opgestapelde achterstand: wie het slecht vergaat op gebied van inkomen, heeft een grotere kans het ook niet goed te doen op het gebied van gezondheid en woonkwaliteit. (zie tabel 2) Ook hier is er veel samenhang met dezelfde sociaal-demografische categorieën als voor de armeren in termen van inkomen alleen: mensen met opgestapelde achterstand hebben vaker geen relatie, zijn eerder laaggeschoold, werkloos, en

zijn vooral van buitenlandse origine. Er zijn ook meer vrouwen in deze groep. Gepensioneerden vinden we echter weer meer in de categorie die in de middengroep zit voor alle drie de dimensies. ARM, MAAR GELUKKIG Het probleem met deze benadering is dat ze geen uitsluitsel biedt voor het vergelijken van groepen die bijvoorbeeld in de middengroep zitten voor huisvesting, een eerder laag inkomen hebben en een goede gezondheid, met personen die wel een goede woning hebben, een gemiddelde gezondheid hebben, maar een laag inkomen. Een belangrijke en groeiende stroming in de literatuur verdedigt dat de subjectieve appreciatie van de mensen over hun levenssituatie een goede overkoepelende maatstaf is. Voelen de mensen zich tevreden met hun levenssituatie? Zijn ze gelukkig? Er wordt daar vandaag de dag zo veel naar gepeild dat er stilletjes aan standaard type vragen zijn ontstaan om dergelijke

Inkomen

Gezondheid

Huisvesting

Percentage

Laag

7,7%

subjectieve welzijnsgevoelens te meten. We hebben ook deze vragen in de enquête opgenomen. Het blijkt nu dat er nogal wat verband bestaat tussen zich goed voelen (levenstevredenheid) en niet lijden aan opgestapelde achterstand. En verder vinden we sommige van de al aangehaalde sociaal-demografische kenmerken terug als determinanten van geluk of levenstevredenheid: werklozen en personen die geen relatie hebben zijn door de band minder tevreden. Maar dat geldt niet voor vrouwen. Ook met inkomen is het verband wat complexer. Er is dus een vermoeden dat dit subjectieve welzijnsgevoelen minstens een andere lading dekt dan wat objectieve maatstaven tonen. Inderdaad, algemene verbanden verhullen soms hete hangijzers. In Tabel 3 kijken we daarom wat meer in detail naar de samenhang tussen levenstevredenheid en de drie objectieve dimensies van welvaart die we reeds bespraken: materiële welvaart, gezondheid en huisvesting. In plaats van inkomen als materiële

Tabel 2 Opgestapelde achterstand

Persoonlijke consumptie

Gezondheid

Huisvesting

Levenstevredenheid 0-8

Levenstevredenheid 9-10

Laag

Hoog

Laag

91,2%

8,8%

hoog

Hoog

72,3%

27,7%

Tabel 3 Objectieve dimensies van welzijn versus levenstevredenheid

welvaartsmaatstaf, kijken we nu naar persoonlijke consumptie. We verzamelden daarover gegevens voor elke respondent afzonderlijk. Daardoor hoeven we niet meer aan iedereen in een gezin dezelfde materiële welvaart toe te kennen, zoals dat standaard gebeurt bij het berekenen van inkomen per verbruikseenheid zoals we hierboven deden. Enigszins verrassend stellen we vast dat een kleine 10% van de mensen die een lage materiële welvaart hebben, een slechte gezondheid en leven in een woning van lage kwaliteit, zich beter in hun vel voelen dan ruim 70% van de mensen met hoge materiële welvaart, een goede gezondheid en een eerder riante huisvestingssituatie.

Dat heeft wellicht te maken met verschillen in ambities en verwachtingen van deze groepen mensen. We legden aan de respondenten drie type situaties voor van mensen met een lage materiële welvaart en een slechte gezondheid, een middelmatige materiële welvaart en gezondheid, en een hoge materiële welvaart en uitstekende gezondheid. Er was niet veel onenigheid over welke van die drie situaties de beste en de slechtste was. Maar als het erop aan komt aan te geven hoeveel slechter de slechtste situatie was dan de beste, dan gaven hooggeschoolden bijvoorbeeld een veel lagere score aan die slechtste situatie dan laaggeschoolden. Voor hen blijkt zo een situatie verschrikkelijk en ze zouden zich heel ongelukkig voelen

als ze erin verzeild raakten. Ook de laaggeschoolden vinden het natuurlijk geen pretje om arm te zijn, maar ze hebben blijkbaar geleerd de tering wat meer naar de nering te zetten. Een sociaal beleid dat gebaseerd is op een geluksindex zou dus meer aandacht besteden aan groepen die er in objectieve termen beter aan toe zijn, maar zich minder tevreden voelen over hun situatie omdat hun ambities hoger liggen. Dat lijkt ons moeilijk verdedigbaar. Ook extraverte personen blijken in dezelfde objectieve situatie doorgaans hogere tevredenheidsscores te laten optekenen dan introverte personen. Meer aandacht geven aan mensen met bepaalde persoonlijkheidskenmerken als introversie lijkt ons ook niet direct een zeer aanbevelenswaardige politiek.

EEN NIEUWE MAATSTAF VOOR WELZIJN Welzijn heeft dus vele facetten of dimensies. Binnen elk van de geanalyseerde dimensies zien we een redelijk ongelijke verdeling over de bevolking. Dat geldt niet alleen voor materiële dimensies zoals inkomen of consumptie. Ook wat immateriële dimensies als gezondheid, tijdsbesteding of woonomgeving betreft zijn er grote verschillen. Louter kijken naar inkomen om het welzijn van mensen te meten is dus geen goed idee. Hoewel een laag inkomen vaak een belemmering vormt voor een kwaliteitsvol leven, impliceert een focus op enkel inkomen dat de belangrijke ongelijkheden die er in de andere dimensies van welzijn zijn, verwaarloosd worden.

Welzijn kan dus beter gemeten worden door de verschillende levensdimensies simultaan in rekening te brengen. Maar hoe kunnen we nu het multidimensionale welzijn meten? We illustreerden waarom geluk, levenstevredenheid en opgestapelde achterstand geen goede kandidaten zijn voor zo een overkoepelend welzijnsbegrip. We kunnen natuurlijk aan de mensen zelf vragen hoe belangrijk ze al die verschillende dimensies vinden. Dat hebben we ook gedaan. Het blijkt dat mensen inderdaad door de band genomen meer gewicht aan gezondheid geven dan aan andere levensdimensies. Maar die antwoorden zeggen vaak weinig over hoe mensen die verschillende dimensies tegenover elkaar afwegen. Meestal

zegt men dat alle dimensies belangrijk of zeer belangrijk zijn. Wij vroegen daarom ook om een meer precieze afweging te maken tussen die dimensies. We deden dat door bijvoorbeeld te vragen hoeveel persoonlijke consumptie ze zouden willen opgeven in ruil voor een perfecte gezondheid, zodanig dat ze er net zo goed aan toe zijn als in hun huidige situatie. Dat zijn uiteraard moeilijke vragen. En uit de antwoorden bleek dat sommige mensen niet op een dergelijke vraag wilden antwoorden, of ze toch verkeerd begrepen. De bedoeling was echter om een inschatting te maken van afwegingen die de mensen elke dag opnieuw maken: ga ik meer werken of houd ik wat meer tijd over voor mijn vrienden of gezin? Ga ik lekker uit eten, of probeer ik het wat gezonder te houden? De multidimensionale welzijnsmaatstaf die we op basis van dergelijke antwoorden naar voor schuiven is het zogenaamde “equivalente inkomen”. Het equivalente inkomen corrigeert het inkomen of de materiële welvaart van een individu voor de situatie in andere dimensies, zoals de gezondheid of de kwaliteit van de woning. Aantrekkelijk aan deze maatstaf is dat deze correctie afhangt van het belang dat individuen zelf hechten aan die andere dimensies voor hun welzijn. Voor wie wonen belangrijker vindt dan een goede gezondheid, zal een slechtere woonsituatie meer doorwegen dan een slechtere gezondheid in de correctie van het inkomen. Zo vermijden onderzoekers en beleidsmakers om paternalistisch te

werk te gaan en een bepaalde visie op het goede leven op te dringen bij multidimensionale vergelijkingen van welzijn. Maar het is ook geen louter subjectieve maatstaf: wie heel gezond is, zal minder inkomen willen opgeven om er even goed aan toe te zijn met een perfecte gezondheid, dan wanneer diezelfde persoon vertrekt van een situatie waarin zij heel ziek is maar een hoger inkomen heeft. WIE IS ER HET SLECHTST AF? Tabel 4 toont hoe het equivalente inkomen afwijkt van minder goede maar veelgebruikte maatstaven om welzijn te meten als inkomen of levenstevredenheid. We berekenden equivalente inkomens onder meer voor het geval waarbij zowel gezondheid als de woonkwaliteit in rekening worden gebracht. In de praktijk gebruikten we hier voor materiële welvaart niet inkomen maar persoonlijke consumptie. Dit liet toe om ook met de ongelijke verdeling van materiële welvaart binnen gezinnen rekening te houden, in tegenstelling tot wat het geval is bij het hanteren van beschikbaar inkomen per verbruikseenheid als materiële welvaartsmaatstaf. Daarna hebben we de Belgen gerangschikt van de respondent met het laagste welzijn volgens onze maatstaf tot de respondent met het hoogste welzijn. Op basis van die rangschikking werden ze vervolgens opgedeeld in 10 even grote groepen (decielen). We kijken naar de kenmerken van de 10% Belgen met het laagste welzijn (kolom 2) en vergelijken die met de kenmerken van

de Belgen die behoren tot de 10% armste Belgen in termen van hun materiële welvaart (kolom 3) en de 10% Belgen die het laagste scoren in termen van levenstevredenheid (kolom 4). De tabel toont dat de personen met het laagste welzijn volgens het equivalente inkomen een hogere persoonlijke consumptie, maar ook een lagere gezondheidsindex hebben dan wanneer we enkel naar persoonlijke consumptie kijken. Dat is logisch: zieke mensen en mensen die een groter belang hechten aan een goede gezondheid, hebben een lager equivalent inkomen en hebben zo meer kans om tot het laagste deciel te behoren. Verder zien we dat er minder migranten tot de groep met het laagste welzijn behoren. Deze bevinding ligt in lijn met de reeds vermelde bevinding dat bijvoorbeeld migranten uit OostEuropese landen een gemiddeld betere gezondheid hebben dan de rest van de bevolking. Als we nu naar de laatste kolom kijken, die de kenmerken van de personen weergeeft met een lage levenstevredenheid, dan zien we een ander verhaal. Zoals hierboven reeds vermeld, wordt levenstevredenheid niet enkel bepaald door de objectieve levenssituatie van iemand maar ook door verwachtingen en aspiraties. Dat wordt concreet geïllustreerd doordat de mensen die het minst tevreden zijn met hun situatie een veel hogere materiële welvaart hebben dan de 10% armsten volgens onze maatstaf. Anderzijds zijn personen met een lage levenstevre-

denheid ongezonder en hebben ze een minder goede woning dan de 10% armsten volgens onze maatstaf. Zij hebben minder vaak een relatie en, zoals we hierboven al vermeldden, zijn er meer vrouwen bij de 10% armsten dan bij diegenen met een lage levenstevredenheid. We tellen meer werklozen en gepensioneerden onder de armen, hoewel bij die eerste categorie toch veel minder dan het geval indien we louter naar inkomen hadden gekeken, en bij de laatsten beduidend meer dan wat je op basis van inkomen alleen zou besluiten (vergelijk de cijfers hieronder met Tabel 1). Overigens zijn er meer inkomensarmen ook volgens onze maatstaf arm, dan indien je welzijn enkel op basis van levenstevredenheid zou meten. Omgekeerd zijn er meer mensen met opgestapelde achterstand arm volgens levenstevredenheid, dan met onze maatstaf. zie tabel 4 EEN INKIJK BINNEN DE GEZINNEN Tabel 4 toont ons nog iets anders. Vrouwen zijn proportioneel het meest vertegenwoordigd bij de armste 10% indien je enkel naar materiële welvaart zou kijken. Dat doet vermoeden dat de materiële welvaart tussen heteroseksuele koppels wel eens ongelijk verdeeld zou kunnen zijn. We wisten al uit ander onderzoek dat tijdsbesteding van mannen en vrouwen nogal verschillend is. Onze gegevens bevestigen dat: veel vrouwen besteden naast een voltijdse dagtaak buitenshuis nog eens proportioneel meer tijd aan de zorg voor kinderen en huishoudelijke taken

Wie behoort tot de 10% Belgen met het laagste welzijn? Volgens equivalent inkomen (persoonlijke consumptie, gezondheid en huisvesting)

Volgens persoonlijke consumptie

Volgens levenstevredenheid

Persoonlijke consumptie

345,92 euro

240,37 euro

714,12 euro

Gezondheidsindex (hoe hoger hoe beter)

64,20

68,41

52,00

Huisvesting (hoe hoger hoe beter)

79,65

79,77

75,99

Vrouw

57%

62%

48%

In een relatie

61%

59%

42%

Migrant

19%

25%

17%

Hooggeschoold

18%

14%

18%

Werkloos

16%

19%

12%

Gepensioneerd

31%

33%

26%

Tabel 4 Wie behoort tot de 10% met het laagste welzijn volgens verschillende benaderingen

dan hun partner. Maar niet enkel de hoeveelheid vrije tijd van mannen en vrouwen blijkt anders te zijn, ook de verdeling van de gezinsbestedingen blijkt soms erg ongelijk te zijn tussen partners in koppels. Zoals vermeld verzamelden we cijfers over de uitgaven van alle individuele gezinsleden aan diverse private consumptiegoederen. Als we naar globale gemiddelden kijken dan lijkt het alsof die verdeling van private consumptie tussen partners gelijk is. In Figuur 4 illustreren we echter dat deze gemiddelden opnieuw heel wat verscheidenheid verhullen. In de groep waarin de vrouwen het laagste aandeel van private consumptie in de consumptie van man en vrouw samen krijgen, bedraagt dit aandeel slechts gemiddeld 35%. Zelfs in de derde groep komen

vrouwen gemiddeld nog maar net boven de helft van de totale private consumptie uit. Enkel in de groep van vrouwen met het hoogste aandeel kunnen zij gemiddeld een substantieel hoger deel van de koek wegkapen dan hun partner. Deze cijfers over ongelijke verdeling van consumptie zijn uniek voor België en laten ons toe meer zinvolle studies te maken over de ongelijke verdeling dan wat tot nog toe mogelijk was op basis van de ongelijke verdeling van beschikbare inkomens per verbruikseenheid. Die laatste zijn immers per definitie voor alle gezinsleden dezelfde (zie figuur 3).

VOORBIJ DE CIJFERS … MAATSCHAPPELIJK BELANG Ons cijfermateriaal illustreert dat de keuze van de individuele welzijnsmaatstaf belangrijk is voor het bepalen van wie de armen zijn. In de mate dat een sociaal beleid prioritair aandacht aan de allerarmsten van de maatschappij wil besteden, hebben onze resultaten ook een maatschappelijke relevantie. Om een dergelijk beleid uit te stippelen is het immers nodig om de mensen met het laagste welzijn te identificeren. De keuze van een individuele maatstaf van welzijn is dus niet louter een vrijblijvende academische oefening. Een eenzijdige focus op materiële aspecten als persoonlijke consumptie leidt tot de relatieve verwaarlozing van mensen die het slecht doen voor de niet-materiële

Figuur 3 Aandeel van de private uitgaven van de vrouw

aspecten van het leven. Een eenzijdige focus op levenstevredenheid geeft dan weer een te groot gewicht aan subjectieve factoren: de mensen die het minst tevreden zijn, zijn niet altijd degenen met de slechtste objectieve levensomstandigheden. Ook al kan de implementatie nog verder verfijnd worden, toch vormt een maatstaf als het equivalente inkomen een beloftevolle nieuwe benadering voor de identificatie

van de mensen die er het slechtste aan toe zijn in onze samenleving. We hopen dan ook dat dit boek de start kan zijn van een wetenschappelijk onderbouwd debat over een onderwerp dat elk individu in de samenleving raakt. Het onderzoek waarop dit boek gebaseerd is, werd gefinancierd door de Programmatorische Overheidsdienst Wetenschapsbeleid (BELSPO).

Website: https://sites.google.com/view/meqin C O N TAC T : B A R T C A P É AU : B A R T. C A P E AU @ K U L E U V E N . B E KO E N D E C A N C Q : KO E N . D E C A N C Q @ UA N T W E R P E N . B E BRAM DE ROCK: BRAM.DE.ROCK@ULB.BE FREDERIC VERMEULEN: F R E D E R I C .V E R M E U L E N @ K U L E U V E N . B E

OEFENING 5 KANGOEROE - WALLABIE, VRAAG 17 Lisa heeft 12 gekleurde paraplu’s op een rij gezet. Er zijn 3 blauwe, 2 gele, 3 rode en 4 groene paraplu’s. Aan het ene uiteinde staat een gele paraplu en aan het andere een rode. De 10de paraplu is blauw. De rode paraplu’s staan allemaal naast elkaar. De groene paraplu’s staan ook allemaal naast elkaar. Welke kleur heeft de 6de paraplu?

blauw

geel

rood

groen

blauw of rood

OEFENING 6 KANGOEROE - WALLABIE, VRAAG 4 Sus bouwt een piramide met staafjes. Wat is het bovenaanzicht?

OEFENING 7 KANGOEROE - WALLAROE, VRAAG 22 Zes vrienden kopen 3 vanille-ijsjes, 2 mokka-ijsjes en 1 mango-ijsje. Elk ijsje is versierd: 3 ijsjes met een kers, 2 met een wafeltje en 1 met hagelslag. De 6 ijsjes zijn allemaal verschillend. Welk ijsje is er niet bij?

vanille-ijsje met hagelslag

mokka-ijsje met een kers

mokka-ijsje met een wafeltje

vanille-ijsje met een kers

mango-ijsje met een wafeltje

44 BOEKRECENSIES

BOEKRECENSIES MARCUS DU SAUTOY, DE CODE VAN CREATIVITEIT. HOE AI LEERT SCHRIJVEN, SCHILDEREN EN DENKEN B E S P R E K I N G D O O R PAU L L E V R I E . DEZE VERSCHEEN EERDER IN HET T I J D S C H R I F T P Y T H AG O R A S .

UITGEVERIJ NIEUWEZIJDS OKTOBER 2020 ISBN 978 90 571 25102

In het vorige boek van wiskundige Marcus du Sautoy, Wat we niet kunnen weten, ging het er al even over: hoe staat het met AI, Artificiële Intelligentie? Kunnen computers of computerprogramma’s ondertussen al denken? Hij had het toen over de smartphone app Cleverbot die je vragen kan stellen en die antwoorden geeft en probeert je ervan te overtuigen dat het een mens is die je antwoordt. De app leert ook voortdurend bij zodat de antwoorden ook beter en beter worden. Maar, zegt du Sautoy in dat boek, het lukt nog niet echt goed. In zijn laatste boek, dat verscheen in 2019, borduurt hij hierop voort. Hij vertrekt van de uitspraak uit 1842 van Ada Lovelace, die beschouwd wordt als de eerste computerprogrammeur: `We moeten ons hoeden voor overdreven ideeën die zouden kunnen ontstaan over de kracht van de analytische machine. De analytische machine heeft niet de pretentie dat

ze iets kan laten ontstaan. Ze kan de opdrachten uitvoeren die wij haar geven.’ Maar is dit wel zo? Du Sautoy stelt zich de vraag: kan de computer van vandaag al creatief zijn? Hij stelt daarvoor de Lovelace-test voor: een test voor de creativiteit van de computer. Een computerprogramma slaagt voor de test als het een creatief kunstwerk kan maken, op zo’n manier dat het proces herhaalbaar is en dat de programmeur niet kan verklaren hoe zijn algoritme dit heeft gepresteerd. Kan een computer een schilderij maken, een muziekstuk componeren of een roman schrijven, op zo’n manier dat die niet van echt te onderscheiden zijn? Dat wordt onderzocht in dit boek dat een erg interessant overzicht biedt van de evolutie en de stand van zaken in AI op gebied van creativiteit. Het was toen groot nieuws: in 1997 versloeg het computerprogramma DeepBlue de beste schaakmeester ter wereld, Garri Kasparov. Toen werd er gezegd dat schaken niet zo moeilijk was om te leren aan een computer, maar dat de echte uitdaging go was.

In 2016 was er dan AlphaGo, een goprogramma dat won tegen een van de go-kampioenen van dat ogenblik, Lee Sedol. Het programma deed daarbij een zet die erg onverwacht was, volgens de makers van het programma, en won daarmee een partij, maar toen bij een volgende partij Lee Sedol een geniale zet deed, toen raakte de computer in de war en verloor. Het werd uiteindelijk 4 tegen 1 voor AlphaGo. AlphaGo wordt gestuurd door een neuraal netwerk, leert voortdurend bij, en wordt zo beter en beter, en op termijn onklopbaar. Diezelfde neurale netwerken kunnen ook gevoed worden met bijvoorbeeld schilderijen van Rembrandt, of composities van Bach, Chopin, of Mozart, en slagen er dan in om een schilderij à la Rembrandt te maken (via 3D-printing – een project van TU Delft), of een nocturne te schrijven die Chopin had kunnen componeren. En zo’n programma kan ook wiskundige stellingen vinden en bewijzen. Je kan je afvragen of het dan niet om imitatie gaat, of het wel origineel werk

is? En dat is natuurlijk moeilijk om te beoordelen, een en ander hangt af van de definitie van ‘origineel werk’. Kan een programma bijvoorbeeld ook een roman schrijven? Ook daar wordt op gewerkt. Recent nog, na het verschijnen van het boek, kwam Elon Musk met het nieuws dat het bedrijf OpenAI een programma heeft ontwikkeld dat teksten kan genereren, en dat hij bang is voor de mogelijke consequenties van deze technologie… Het is duidelijk dat de vooruitgang in AI razendsnel gaat, en dit boek geeft daar een goed beeld van. Marcus du Sautoy voert ons er in mee op een interessante reis door de wereld van AI, doorspekt met verhalen en anekdotes, en hij slaagt er wonderwel in om de lezer tot het einde toe te blijven verbazen. Zeker de moeite van het lezen waard. En nog een leuk weetje: er zit in het boek een passage van 350 woorden geschreven door een algoritme dat korte teksten schrijft op basis van een aantal sleutelwoorden. Het is aan de lezer om die passage te vinden!

niet het schoolvak wiskunde. In 2011 verscheen al het boek De Pythagoras Code waarin een selectie artikelen uit 50 jaar Pythagoras gebundeld werd. Maar, zoals hoofdredactrice Roosmarij Vanhommerig in het voorwoord van dit boek (terecht) opmerkt: “Waar de meeste mensen trots zijn als ze de mijlpaal 50 bereiken, worden wiskundigen gelukkiger van het getal 60. Niet omdat we dan 10 jaar ouder zijn, maar om dat voor ons 60 een mooier getal is dan 50.” En ziehier, een tweede jubileumboek voor Pythagoras, ditmaal om 60 jaar breinbrekers in de spotlights te zetten.

DE DIKKE PYTHAGORAS J A N G U I C H E L A A R , PAU L L E V R I E E N R O O S M A R I J VA N H O M M E R I G BESPREKING DOOR STIJN DIERCKX

UITGAVE: LANNOO, NOVEMBER 2020 ISBN 978 94 014 7183 1

Het tijdschrift Pythagoras is al jarenlang een begrip in België en Nederland onder liefhebbers van wiskunde, jong en oud, waarin kennis gemaakt wordt met de veelzijdigheid en schoonheid van wiskunde. Leuke en uitdagende wiskunde door middel van boeiende artikelen en gevarieerde puzzels en doordenkers,

De meer dan 600 puzzels (601 om precies te zijn, de auteurs hebben niet gelogen) werden onderverdeeld in zes categorieën ter indicatie van het onderwerp, gaande van kans- en telproblemen tot meetkundige puzzels. Daarnaast krijgt elk raadsel ook een moeilijkheidsgraad mee: van 1 bolletje voor puzzels die op te lossen zijn met gezond verstand en eenvoudig rekenwerk tot 3 bolletjes voor de gevorderde wiskundige puzzelaar. Het algemene uitgangspunt was om vraagstukken te selecteren op wiskundig inzicht en creativiteit, niet zo zeer op wiskundige kennis, en hoewel dat laatste soms onvermijdelijk is, zijn de samenstellers hier in mijn ogen zeker in geslaagd. Wat betreft het makkelijkste niveau werd ook de feedback gevraagd van een leerlinge uit het 4e Gymnasium (voor de Belgen: komt overeen met

4e middelbaar ASO), zo blijkt uit het voorwoord, om zeker te zijn dat deze puzzels zeker aan het niveau voldoen. Van elke puzzel staat achteraan ook een oplossing, inclusief redenering, zodat de puzzelaar kan controleren of hij/zij het bij het rechte eind had.

lezer. En als dat alles nog niet genoeg was, worden de puzzels geregeld afgewisseld met interessante wiskundige weetjes van allerlei aard: extra voeding voor de hersenen die dan weer kan leiden tot urenlang zoek- en leerplezier op het wereldwijde web.

Naast de gewone puzzels, is ook elke paginanummer als wiskundig raadsel opgevat, goed voor nog eens bijna 300 extra uitdagingen voor de ijverige

Kortom: dit boek is meer dan een aanrader voor liefhebbers van wiskundig puzzelwerk om zichzelf mee te plezieren, of om af en toe vrienden,

kennissen of leerlingen warm te krijgen voor wiskunde en uit te dagen met een raadseltje, en op die manier bij te dragen aan de missie van het tijdschrift zelf.

Nando

Wiskunde met pit

de wiskunde euwe metho ni de is do Nan is geschikt e. De methode van die Keur het materiaal A-stroom en d aa gr 1e voor de ast volgens wordt aangep d aa gr 2e voor de ndair onn van het secu ge in m or rv de he en dubbele doorstroomde or vo ijs derw ieuwend do biedt vern finaliteit. Nan erwijs nd eo d wiskund en motiveren op s cu fo sterke aan met een . differentiatie

Herbekijk de webinars over onze wiskundemethodes

850001028

Van Basis to t Limiet (VBTL) is een totaalmetho de wiskunde vo or de 1e graa d A-stroom, het materiaal voor de 2e gr aad wordt herwerkt volg ens de hervor mingen van het secundai r onderwijs vo or de doorstroom- en du bbele finalite it. Voor de 3e graad is VBTL geschikt voor ASO, TSO en KSO. VBTL ga at verder dan alleen de wiskundelesse n zelf. Dankz ij het vele extra materia al krijgen de leerlingen een ru imere kijk op wiskunde.

Tijdens de webinars kom je alles te weten over de herwerking van VBTL en Nando voor het 3e jaar. Surf naar www.webinarssecundair.diekeure.be.