LEERWERKBOEK
Telproblemen i Ruimtemeetkunde D&A-finaliteit
Philip Bogaert Filip Geeurickx Marc Muylaert Roger Van Nieuwenhuyze Erik Willockx CARTOONS Dave Vanroye
Telproblemen I Ruimtemeetkunde
1
Telproblemen 1.1 Even herhalen ������������������������������������������������������������������������ 9 1.2 Telproblemen oplossen met boomdiagrammen ����������������������������������������������������������� 12 1.3 Telproblemen oplossen met venndiagrammen ������������������������������������������������������������ 18
2
Extra’s ����������������������������������������������������������������������������������������������������� 36
Ruimtemeetkunde 2.1 Onderlinge ligging van rechten ����������������������� 43 2.2 Onderlinge ligging van vlakken ����������������������� 55 2.3 Omtrek, oppervlakte en volume van meetkundige figuren ��������������������������������������� 68 2.4 Een 2D-voorstelling tekenen van een 3D-situatie ������������������������������������������������������������������ 94 Extra’s .................................................................................................... 107
Oplossingen 113
Formularium 117
Trefwoordenregister 119
1
Telproblemen
In dit hoofdstuk leer je verschillende manieren om telproblemen op te lossen. Daarbij maak je gebruik van heel wat wiskundige technieken. Een smakelijk opwarmertje? Na een lekkere lunch in je favoriete restaurant heb je nog zin in een ijsje. Ze hebben er drie verschillende smaken (vanille, M&M’S en Oreo). Bovendien kun je er een van de drie sausjes als extraatje bij nemen (karamel, chocolade of aardbei). Ten slotte wordt gevraagd of je er al dan niet nootjes bovenop wil hebben. Hoeveel verschillende ijsjes kunnen er gemaakt worden?
1
Telproblemen 1 2 3 4 5
Even herhalen ........................................................................ 9 Telproblemen oplossen met boomdiagrammen .............................................. 12 Telproblemen oplossen met venndiagrammen ................................................ 18 Samenvatting ....................................................................... 21 Oefeningen ............................................................................. 22
Extra’s
Vaardigheden : morse in een boomdiagram .. 36 Wat moet je kennen en kunnen? ................................ 37 Herhalingsoefeningen .......................................................... 38
8
1
Telproblemen
1 Even herhalen We beschouwen de volgende verzamelingen: A is de verzameling van de getallen van 1 tot en met 40 die deelbaar zijn door 4. B is de verzameling van de getallen van 1 tot en met 40 die deelbaar zijn door 6. We noteren deze verzamelingen door opsomming: A = { 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40} B = { 6, 12, 18, 24, 30, 36} Het aantal elementen van de verzameling A is 10. Notatie: #A = 10 Lees: het kardinaalgetal van A is gelijk aan 10. Het aantal elementen van de verzameling B is 6. Notatie: #B = 6 We kunnen deze verzamelingen schematisch voorstellen op een venndiagram. A
·
·4
·
8
B 40
· 12
·6
· 24 · 16 · 20 · 36 32 · · 28 VOORSTELLING A∩B A
B
· 18 · 30 BEWERKING
BETEKENIS
doorsnede
De verzameling van de elementen die tot
doorsnede van A en B
De getallen van 1 tot en met 40 die deelbaar zijn door 4 en door 6. A ∩ B = { 12, 24, 36} De getallen van 1 tot en met
A∪B A
A en tot B behoren.
VOORBEELD
B
unie unie van A en B
De verzameling van
40 die deelbaar zijn door 4 of
de elementen die tot
door 6.
A of tot B behoren.
A ∪ B = { 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40}
A\B A
B
verschil verschil van A en B
B\A A
B
verschil verschil van B en A
De verzameling van
De getallen van 1 tot en met
de elementen die tot
40 die deelbaar zijn door 4,
A behoren, maar
maar niet door 6.
niet tot B.
A \ B = { 4, 8, 16, 20, 28, 32, 40}
De verzameling van
De getallen van 1 tot en met
de elementen die tot
40 die deelbaar zijn door 6,
B behoren, maar
maar niet door 4.
niet tot A.
B \ A = { 6, 18, 30}
9
Toepassing 1: In een klas zitten 18 leerlingen. De vraag 'Wie heeft er thuis een hond?' en 'Wie heeft er thuis een kat?' leiden tot volgend schema. U A
Kasper
·
Lars
·
Marie
·
Noah
·
·
·
Kiam
·
Tess Sofia
·
Jonas
·
Lyssa Levi
·
Liam
Tuur
·
B
·
Emma
·
Mila
·
Niek
·
Daan
·
Sarah
·
Xander
·
A is de verzameling van alle leerlingen die thuis een hond hebben. A = { Emma, Lars, Noah, Liam, Mila, Sofia, Marie, Levi, Tess} #A = 9, de verzameling A telt negen elementen. Liam is een element van de verzameling A.
Liam ∈ A
Niek is geen element van de verzameling A.
Niek ∉ A
{Noah, Levi, Mila} is een deelverzameling van de verzameling A.
{Noah, Levi, Mila} ⊂ A
B is de verzameling van alle leerlingen die thuis een kat hebben. B = { Kasper, Lyssa, Kiam, Daan, Marie, Levi, Tess} #B = 7, zeven leerlingen hebben thuis een kat. A ∪ B is de verzameling van alle leerlingen die thuis een hond of een kat hebben. A ∪ B = { Emma, Lars, Noah, Liam, Mila, Sofia, Marie, Levi, Tess, Kasper, Lyssa, Kiam, Daan} #( A ∪ B) = 13 A ∩ B is de verzameling van alle leerlingen die thuis een hond én een kat hebben. A ∩ B = { Marie, Levi, Tess} #( A ∩ B) = 3 A \ B is de verzameling van alle leerlingen die thuis een hond hebben, maar geen kat. A \ B = { Emma, Lars, Noah, Liam, Mila, Sofia} #( A \ B) = 6
10
1
Telproblemen
Toepassing 2: A = { 5, 8, 12, 24, 42} B = { 7, 8, 42, 56, 108}
A
·
· 12
A ∩ B = { 8, 42}
· ·8 · 56 42 · · 108
· 24
A ∪ B = { 5, 7, 8, 12, 24, 42, 56, 108}
B
7
5
A \ B = { 5, 12, 24} B \ A = { 7, 56, 108}
Toepassing 3: U is de verzameling van de driehoeken. A is de verzameling van de gelijkbenige driehoeken.
U A
·
·
U \ A is de verzameling van de driehoeken die niet gelijkbenig zijn (de ongelijkbenige driehoeken). U \ A wordt ook het complement van A genoemd. Notatie: A
…
·
· · …
Illustratie met ICT:
11
2 Telproblemen oplossen met boomdiagrammen a Inleidende voorbeelden Voorbeeld 1: vlaggen Hoeveel soorten verschillende vlaggen kun je maken met de drie kleuren (verticaal getekend) van de Belgische vlag?
We verdelen de vlag in drie verticale stroken. STROOK 1
STROOK 2
STROOK 3
zwart
geel
rood
zwart
rood
geel
geel
zwart
rood
geel
rood
zwart
rood
zwart
geel
rood
geel
zwart
Er zijn dus zes mogelijke verschillende vlaggen te maken met de kleuren zwart, geel en rood. We kunnen dit ook schematisch als volgt weergeven:
Z
G
R
G
R
Z
R
Z
G
strook 2
R
G
R
Z
G
Z
strook 3
3·2·1=6 ↓ aantal mogelijkheden voor keuze van 1e kleur
↓ aantal mogelijkheden voor keuze van 3e kleur
aantal mogelijkheden voor keuze van 2e kleur V = {( Z, G, R), ( Z, R, G), ( G, Z, R), ( G, R, Z), ( R, Z, G), ( R, G, Z)} #V = 6
12
strook 1
Telproblemen
Voorbeeld 2: naar de bioscoop Anna, Vince, Phil en Kyan gaan samen naar de bioscoop en zetten zich naast elkaar in de zetels. We stellen de vraag: op hoeveel verschillende manieren kunnen zij op vier gegeven zetels naast elkaar plaatsnemen? In deze tabellen stellen we de combinaties voor: STOEL 1
STOEL 2
STOEL 3
STOEL 4
STOEL 1
STOEL 2
STOEL 3
STOEL 4
A
V
P
K
P
K
A
V
A
V
K
P
P
K
V
A
A
P
V
K
P
A
V
K
A
P
K
V
P
A
K
V
A
K
V
P
P
V
K
A
A
K
P
V
P
V
A
K
V
P
K
A
K
A
V
P
V
P
A
K
K
A
P
V
V
K
P
A
K
V
P
A
V
K
A
P
K
V
A
P
V
A
K
P
K
P
A
V
V
A
P
K
K
P
V
A
De oplossingenverzameling wordt: V = { (A, V, P, K), (A, V, K, P), (A, P, V, K), (A, P, K, V), (A, K, V, P), (A, K, P, V), ..., (K, P, V, A)} #V = 4 · 3 · 2 · 1 = 24
b Tellen met bomen: de productregel Voorbeeld 1: hemden en broeken
13
1
We kunnen ook een boomdiagram gebruiken: hemd
broek
h1 h2
h3 h4
combinatie
b1
h1 b1
b2
h1 b2
b1
h2 b1
b2
h2 b2
b1
h3 b1
b2
h3 b2
b1
h4 b1
b2
h4 b2
Aantal kledingcombinaties = aantal hemden maal aantal broeken, dus 4 ⋅ 2 = 8 Stel A = { h 1, h 2, h 3, h 4}
⟹
#A = 4
Stel B = { b 1, b 2}
⟹
#B = 2
Stel C = {( h 1, b 1), ( h 1, b 2), …, ( h 4, b 2)}
⟹
#C = 8
C wordt de productverzameling van A en B genoemd. Notatie: C = A × B met #C = 8 = 4 · 2 = #A · #B
Hieruit volgt de productregel :
Productregel #(A × B) = #A · #B Opmerking : Deze regel geldt ook voor het product van 3 of meer verzamelingen.
14
8 mogelijkheden
Telproblemen
Voorbeeld 2: een toeristisch menu Restaurant Telpro stelt een toeristisch menu voor tegen een democratische prijs. We kunnen kiezen uit 3 voorgerechten, 4 hoofdgerechten en 3 desserten. Voorgerecht
Hoofdgerecht
Dessert ijstaart
tomatensoep
griet
chocolademousse
varkenshaasje
appeltaart
meloen steak salade
a
parelhoen
Hierboven is een gedeelte van het boomdiagram getekend. Neem een blad papier en teken het volledige boomdiagram.
b Hoeveel driegangendiners kunnen we samenstellen? c
Hoeveel mogelijkheden zijn er voor iemand die geen griet lust en als dessert ijstaart kiest?
Voorbeeld 3: opgooien van twee dobbelstenen Hoeveel verschillende resultaten zijn er mogelijk als we twee eerlijke dobbelstenen opgooien? aantal ogen 1e dobbelsteen aantal ogen 2e dobbelsteen Aantal takken:
36
6 · 6 = 36 ↓ ⤷ aantal mogelijke verschillende ogen bij aantal mogelijke opgooien verschillende 2e dobbelsteen ogen bij
Inderdaad:
opgooien 1e dobbelsteen V = {( 1, 1), ( 1, 2), ( 1, 3), ( 1, 4), …, ( 6, 6)} # V = 36
15
1
Voorbeeld 4: getallen en cijfers •
Hoeveel verschillende natuurlijke getallen van drie cijfers (niet beginnend met nul) kunnen we vormen? De mogelijkheden zijn: 100, 101, …, 999 1e CIJFER
2e CIJFER
3e CIJFER
kan zijn:
kan zijn:
kan zijn:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
9 mogelijkheden
10 mogelijkheden
10 mogelijkheden
Totaal: 9 · 10 · 10 = 900 Antwoord: er zijn 900 verschillende natuurlijke getallen van drie cijfers (niet beginnend met nul). •
Hoeveel verschillende natuurlijke getallen van drie cijfers kunnen we vormen als het eerste cijfer een 1 moet zijn? Als we aannemen dat het eerste cijfer een 1 moet zijn, dan kunnen we volgend boomdiagram tekenen. 1e cijfer
2e cijfer
1
0
3e cijfer 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
…
…
…
…
…
…
…
…
…
De mogelijke getallen zijn dan: 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, …, 199 Als we het aantal takken tellen, dan vinden we er 100. Inderdaad: 1 · 10 · 10 = 100 Antwoord: er zijn 100 verschillende natuurlijke getallen van drie cijfers waarbij het eerste cijfer een 1 is. •
Hoeveel natuurlijke getallen van vier verschillende cijfers bestaan er, niet beginnend met nul? 1e cijfer: 9 mogelijkheden 2e cijfer: 9 mogelijkheden 3e cijfer: 8 mogelijkheden 4e cijfer: 7 mogelijkheden Totaal: 9 · 9 · 8 · 7 = 4536 Antwoord: er zijn 4536 natuurlijke getallen met vier verschillende cijfers (niet beginnend met nul).
16
1
Telproblemen
Algemeen: We veralgemenen aan de hand van het eerste voorbeeld. VOORBEELD 1
KLEDIJ
ALGEMEEN
EXPERIMENT
hemd kiezen:
4 mogelijkheden
1e keuze: n1 mogelijkheden
broek kiezen:
2 mogelijkheden
2e keuze: n2 mogelijkheden 3e keuze: n3 mogelijkheden … k e keuze: nk mogelijkheden
BOOMDIAGRAM BOOMDIAGRAM …
n1 mogelijkheden
hemd n2 mogelijkheden broek
… n3 mogelijkheden
…
TOTAAL 4·2=8
…
TOTAAL n1 · n2 · n3 · … · nk mogelijkheden
De keuze van de kledij kan op 8 verschillende
Het gehele experiment kan op n1 · n2 · n3 · … · nk
manieren gebeuren.
manieren uitgevoerd worden.
Besluit Bestaat een experiment uit hi handelingen met: n1 mogelijkheden voor h1 n2 mogelijkheden voor h2 …
nk mogelijkheden voor hk dan kan het gehele experiment op n1 · n2 · n3 · … · nk verschillende manieren uitgevoerd worden.
17
3 Telproblemen oplossen met venndiagrammen a De somregel Voorbeeld 1: In een klas zitten 20 leerlingen. Op de vraag ‘Wie is er lid van een sportclub?’ antwoorden volgende leerlingen positief: Korneel, Anton, Imke, Frauke, Joachim en Ofelia. → Aantal leerlingen: 6 Op de vraag ‘Wie is er lid van een jeugdbeweging?’ antwoorden volgende leerlingen positief: Marijke, Korneel, Frauke, Jef, Julie, Ine, Steven en Arend. → Aantal leerlingen: 8 Schematische weergave:
S
J
S∩J
· Anton · Marijke · Jef Korneel · Joachim · · Julie · Steven Imke · · Frauke Ofelia · · Ine · Arend S∪J
S:
de leerlingen van de klas die lid zijn van een sportclub
J:
de leerlingen van de klas die lid zijn van een jeugdbeweging
S ∩ J:
de leerlingen die lid zijn van een sportclub en van een jeugdbeweging
S ∪ J:
de leerlingen die lid zijn van een sportclub of van een jeugdbeweging
#S = 6
het aantal leerlingen van de klas die lid zijn van een sportclub
#J = 8
het aantal leerlingen van de klas die lid zijn van een jeugdbeweging
#(S ∩ J) = 2
het aantal leerlingen van de klas die lid zijn van een sportclub en van een jeugdbeweging
#(S \ J) = 4
het aantal leerlingen van de klas die lid zijn van een sportclub en geen lid zijn van een jeugdbeweging
#(S ∪ J) = ?
Hoeveel leerlingen zijn aangesloten bij een sportclub of een jeugdbeweging? •
14 is al zeker fout, want dan worden Korneel en Frauke dubbel geteld.
•
Het aantal leerlingen van de klas dat aangesloten is bij een sportclub of een jeugdbeweging is: aantal leerlingen die lid zijn van een sportclub EN een jeugdbeweging
↑ 6 ↓ aantal leerlingen die lid zijn van een sportclub
8
–
2
↓
=
12 ↓
aantal leerlingen die lid zijn van een jeugdbeweging
aantal leerlingen die lid zijn van een sportclub OF een jeugdbeweging
=
=
=
18
+
#S
#J
#(S ∪ J)
Telproblemen
Voorbeeld 2: zomerkamp Voor een scoutskamp werd aan 30 verkenners gevraagd om een kompas (K) en een zaklamp (Z) mee te brengen. Op de dag van het kamp hebben:
a
•
18 verkenners een kompas en een zaklamp meegebracht;
•
26 verkenners een kompas meegebracht;
•
3 verkenners geen van beide meegebracht.
Hoeveel verkenners hebben een zaklamp mee?
b Hoeveel verkenners hebben enkel een kompas mee? c
Hoeveel verkenners hebben een kompas of een zaklamp mee?
Oplossing: We stellen de situatie voor met een venndiagram. Hierbij ontstaan 4 gebieden. •
18 verkenners hebben een kompas en een zaklamp mee
U K
(gebied II bevat 18 elementen).
8
#(K ∩ Z) = 18 •
Z II 18
III
I
26 verkenners hebben een kompas mee (gebied I bevat 26 – 18 = 8 elementen).
3
#(K \ Z) = 8 •
1
IV
3 verkenners hebben geen zaklamp en ook geen kompas mee. Tot gebied IV behoren dus 3 elementen.
•
30 verkenners hebben een kompas of een zaklamp mee (gebied III bevat 30 – 18 – 8 – 3 = 1 element). #(Z \ K) = 1
Antwoord: a
18 + 1 = 19 verkenners hebben een zaklamp mee (of #K = 19).
b 8 verkenners hebben enkel een kompas mee (of #(K \ Z) = 8). c
8 + 18 + 1 = 27 verkenners hebben een kompas of een zakmes mee (of #(K ∪ Z) = 27). Merk op: #(K ∪ Z) = 26 + 19 – 18 ↓ ↓ ↓ #K #Z #(K ∩ Z)
Voorbeeld 3: een bijzonder geval A
B
Als de doorsnede van A en B leeg is, dan worden A en B disjunct genoemd.
A∩B = ∅ ⇓ #(A ∪ B) = #A + #B
Algemeen: Somregel Als A ∩ B = ∅ :
Als A ∩ B = ∅ (A en B zijn disjunct):
#(A ∪ B) = #A + #B − #(A ∩ B)
A
A∩B
B
#(A ∪ B) = #A + #B
A∪B
19
1
b De complementregel Voorbeeld 1: Hoeveel natuurlijke getallen van 1 tot en met 100 bestaan er die niet deelbaar zijn door 9?
U A
U: de verzameling van de natuurlijke getallen van 1 tot en met 100. A: de verzameling van de natuurlijke getallen van 1 tot en met 100 die niet deelbaar zijn door 9.
A Gevraagd: #A = ? Om de vraag te beantwoorden, is het eenvoudiger om na te gaan hoeveel natuurlijke getallen van 1 tot en met 100 wel deelbaar zijn door 9. Die getallen bevinden zich in het groene gebied.
De getallen zijn 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90 en 99. Dit gebied wordt genoteerd als U \ A of als A. Lees: complement van A #A = 11 Dus: #A = 100 − 11 = 89 Antwoord: Er zijn dus 89 natuurlijke getallen van 1 tot en met 100 die niet deelbaar zijn door 9.
Voorbeeld 2: Hoeveel natuurlijke getallen van drie cijfers bestaan er die minstens één 7 bevatten? Het eerste cijfer mag niet nul zijn.
U A
U: de verzameling van de natuurlijke getallen met drie cijfers (het eerste cijfer is niet nul).
A ↓
↓
↓
9 10 10 mogelijkheden mogelijkheden mogelijkheden
#U = 9 · 10 · 10 = 900 A: de verzameling van de natuurlijke getallen met drie cijfers die minstens één 7 bevatten (eerste cijfer is niet nul). #A = ? We berekenen eerst #A .
A = U \ A : de verzameling van de natuurlijke getallen met drie cijfers die geen 7 bevatten (eerste cijfer is niet nul). ↓
↓
↓
8 9 9 mogelijkheden mogelijkheden mogelijkheden (0 en 7 kunnen (7 kan niet) (7 kan niet) niet)
#A = 8 · 9 · 9 = 648 #A = # U \ A = #U − #A = 900 − 648 = 252 Antwoord: Er zijn 252 natuurlijke getallen van drie cijfers (eerste cijfer is niet nul) die minstens één 7 bevatten. 20
Telproblemen
Algemeen: Complementregel
U
A
#A = # U \ A = #U − #A
A
4 Samenvatting •
Je weet hoe een verzameling voorgesteld wordt en je kunt de doorsnede, de unie en het verschil van twee verzamelingen bepalen. VOORSTELLING
BEWERKING
A∩B A
B
doorsnede
A∪B
unie
B
A\B B
verschil verschil van A en B
B\A A
B
verschil verschil van B en A
•
A en tot B behoren. De verzameling van de elementen die tot
unie van A en B
A
De verzameling van de elementen die tot
doorsnede van A en B
A
BETEKENIS
A of tot B behoren. De verzameling van de elementen die tot A behoren, maar niet tot B. De verzameling van de elementen die tot B behoren, maar niet tot A.
Je kent de betekenis van het complement van een verzameling.
U
A
A •
Je kunt een telprobleem oplossen met behulp van een boomdiagram.
A = U\A
Je kunt hierbij gebruikmaken van de productregel. #(A × B) = #A · #B •
Je kunt een telprobleem oplossen met behulp van venndiagrammen. Je kunt hierbij gebruikmaken van de somregel of de complementregel. somregel:
A en B zijn niet disjunct: Als A ∩ B = ∅ :
# (A ∪ B) = #A + #B − # (A ∩ B)
Als A ∩ B = ∅ :
# (A ∪ B) = #A + #B
A en B zijn disjunct:
complementregel: #A = # U \ A = #U − #A
21
1
5 Oefeningen 1
Gegeven: A
U
·9
· 11 · 41
· 22
· 21
·7
· 50
·6 · 19
B
· 90 · 45
Gevraagd: Bepaal door opsomming:
a A∩B b A∪B c A\B d B\A e A f B
2
Gegeven: U is de verzameling van de vierhoeken. A is de verzameling van de rechthoeken. B is de verzameling van de ruiten. Gevraagd: omschrijf (of benoem) de figuren die in volgende verzamelingen zitten.
a A∩B
b A∪B
c A\B
d B\A
e A
f B
22
Telproblemen
3
Vul het diagram aan als je weet dat:
A \ B = {19, 23, 41}
A
B
B \ A = {20, 40, 60}
A ∩ B = {1, 11, 111}
4
Scoutsleider Wouter heeft 20 welpjes (zo noemen de 8- tot 10-jarige jongens bij de scouts). Toen hij vroeg wie van zijn welpjes kon sjorren, had hij volgende verzameling: sjorren:
A = {Tobias, Milan, Dex, Julia, Lynn, Sven, Lucas, Daan, Gijs, Yara, Laura}
Toen hij vroeg wie van zijn welpjes vlot kon kaartlezen, had hij volgende verzameling: kaartlezen:
B = {Sven, Lucas, Kasper, Luca, Daan, Gijs, Sara, Elin, Yara, Laura}
Teun, Vince, Boaz, Anna en Evi konden geen van beide. Stel die gegevens voor met een venndiagram. Bepaal de volgende verzamelingen door opsomming en omschrijving.
a A∩B
b A∪B
c A
d A\B
23
1
5
Leden van de chiro krijgen de opdracht om te voet van Aalst naar Gent te gaan via vastgelegde routes en met een controlepost in Wetteren. - Om van Aalst naar Wetteren te gaan, kunnen ze kiezen uit vier routes. - Om van Wetteren naar Gent te gaan, kunnen ze kiezen uit drie routes. Op hoeveel manieren kunnen ze van Aalst naar Gent gaan? Los op met behulp van een boomdiagram.
____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________
6
De menukaart van een restaurant laat de keuze tussen drie voorgerechten, vier hoofdgerechten en twee desserts. Hoeveel verschillende driegangenmenu’s kan het restaurant aanbieden? Los op met behulp van een boomdiagram.
___________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________
24
Telproblemen
7
Bij McDonald’s kun je een McFlurry bestellen in vier smaken: speculaas, M&M’s, Oreo of Snickers. Daarbovenop kan gekozen worden voor een sausje: aardbei, karamel, chocolade of geen saus. Ten slotte kan de klant nog al dan niet nootjes toevoegen. Hoeveel verschillende McFlurry-ijsjes kunnen op die manier gekozen worden? Los op met behulp van een boomdiagram.
___________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________
8
Hoeveel natuurlijke getallen van vier cijfers kun je vormen als het getal niet mag beginnen met 0 en als de cijfers 8 en 9 nooit mogen voorkomen? ___________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________
25
1
9
1 0 0 0, 1 1 1 0 en 1 0 1 1 zijn binaire getallen bestaande uit vier symbolen die enkel 0 of 1 kunnen zijn. Hoeveel dergelijke binaire getallen met vier symbolen kun je vormen? ___________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________
10
Sigrid wil de vier muren van haar studeerkamer verven. Ze wil elke muur in een andere kleur verven en ze kan hiervoor kiezen uit vier verschillende kleuren. Hoeveel mogelijkheden heeft Sigrid om haar studeerkamer te verven? ___________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________
11
Hoeveel verschillende natuurlijke getallen van zes cijfers kun je vormen als het eerste cijfer een 9 is? ___________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________
12
Op hoeveel manieren kunnen 8 studenten plaatsnemen in een lokaal met 10 plaatsen? ___________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________
26
Telproblemen
13
Uit een Spotifylijst van je leerkracht met 20 liedjes moet een top 3 worden samengesteld. Op hoeveel manieren kan dat?
___________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________
14
Miel moet zijn boterhammen voor school smeren. Hij heeft de keuze uit een witte en een bruine boterham en drie soorten beleg: ham, kaas en choco. Hij neemt hierbij nog één stuk fruit en kan daarbij kiezen tussen een appel en een banaan. Op hoeveel manieren kan de samenstelling van zijn brooddoos eruitzien?
___________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________
15
Hoeveel verschillende woorden (met of zonder betekenis) van vijf letters uit het Nederlandstalige alfabet kunnen we vormen als de eerste en de laatste letter medeklinkers moeten zijn en de derde een klinker (a, e, i, o of u)? ___________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________
16
Hoeveel verschillende woorden (met of zonder betekenis) van vier letters kun je maken met de letters uit volgende woorden? Je mag elke letter van het woord maar één keer gebruiken. a
jura
b jaar c
raar
___________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________
27
1
17
___________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________
18
De zes klassen van het vierde jaar nemen het tegen elkaar op in een volleybalcompetitie. Elke klas stelt een ploeg samen en er is afgesproken dat elke klas één keer tegen elke andere klas speelt. Hoeveel matchen worden er gespeeld?
___________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________
19
Een firma wenst twee vrachtwagens van verschillende merken aan te kopen. Bij merk A zijn drie passende types, bij merk B vier passende types en bij merk C twee passende types. Op hoeveel manieren kan de firma een keuze maken?
___________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________
28
Telproblemen
20
Hoeveel natuurlijke getallen van 3 cijfers zijn er waarbij het cijfer van de eenheden kleiner is dan 8, dat van de tientallen oneven is en dat van de honderdtallen een priemgetal is? ___________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________
21
Tien mannen en tien vrouwen houden een schaakavond. Hoeveel schaakpartijen zullen plaatsvinden als: a
elke man tegen elke vrouw wil schaken; _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________
b iedereen tegen iedereen wil schaken? ________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________
22
De catalogusnummers van een schoolbibliotheek bestaan uit één letter, te kiezen uit de 26 letters van het alfabet, gevolgd door een getal van drie cijfers, te kiezen uit de natuurlijke getallen van 100 tot 999. Hoeveel catalogusnummers zijn er mogelijk? ___________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________
29
1
23
Gegeven zijn de cijfers 1, 2, 3, …, 9. a
Hoeveel getallen van drie verschillende cijfers kunnen we ermee vormen? ________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________
b Hoeveel van die getallen zijn even? ________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________ c
Hoeveel van de getallen uit a bevatten het cijfer 7? ________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________
24
Voor de afloop van een voetbalwedstrijd zijn er 3 mogelijkheden (1: thuisoverwinning, 2: uitoverwinning, x: gelijkspel). We moeten de afloop van 9 wedstrijden uit de eerste klasse voorspellen. a
Hoeveel verschillende lijsten met voorspellingen zijn er mogelijk? ________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________
b Hoe groot is dat aantal als we met zekerheid weten dat de thuisploeg niet verliest in de eerste wedstrijd? ________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________
30
Telproblemen
25
We gooien 3 muntstukken op. Stel een boomdiagram op van alle mogelijke uitkomsten. Gebruik K voor kruis en M voor munt. a
Hoeveel mogelijke uitkomsten zijn er?
b In hoeveel gevallen hebben we minstens tweemaal kruis? c
In hoeveel gevallen hebben we precies tweemaal munt?
d In hoeveel gevallen hebben we hoogstens tweemaal kruis? ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________
26
Geef in een boomdiagram weer hoeveel natuurlijke getallen van twee verschillende cijfers we kunnen vormen met 6, 7, 8 en 9. a
Hoeveel van die getallen zijn groter dan 90? __________________________
b Hoeveel van die getallen zijn even? __________________________
31
1
27
In een klas zitten 23 leerlingen.
U
A is de verzameling van alle leerlingen die al naar Frankrijk
A
B is de verzameling van alle
Sophie
·
Finn
·
op vakantie geweest zijn.
·
·
leerlingen die al eens naar Nederland op vakantie geweest zijn.
·
·
Luuk
·
·
·
·
·
Noa
·
Jesse
·
·
Max
·
A∪B=
b
·
Jens
·
Fleur
·
Thomas
·
II
A∩B=
a
Evi
Bram
Fien Noud
I
Ruben Abel
·
·
Saar
EN VERZ AMELING OPSOMM gen door opsomming Geef volgende verzamelin en omschrijving:
·
Cas
Mats
Floris
·
Guus
Zoë
Loïc
B
Mia
AANTAL EL
Bepaal volg
a
#A =
b
#B =
c
# (A ∩ B) =
d
# (A ∪ B) =
e
#A =
EMENTEN
ende aantalle
n:
A\B =
c
III d
B\A =
A=
e
32
CONTROLE Ga na dat:
− # (A ∩ B) # (A ∪ B) = #A + #B
Telproblemen
28
Gegeven: A is de verzameling van de natuurlijke getallen die een deler zijn van 18 (A = del 18).
U A
B
B is de verzameling van de natuurlijke getallen die een deler zijn van 12 (B = del 12). U is de verzameling van de natuurlijke getallen die kleiner zijn dan 19. Gevraagd: Plaats de natuurlijke getallen tot en met 18 in het diagram (noteer bij elk getal een punt). Geef daarna volgende verzamelingen via opsomming en omschrijving.
a A∩B
b A
c A∪B
d B\A
e B
f A\B
#A = #U − #A en dat # (A ∪ B) = #A + #B − # (A ∩ B). Controleer
33
1
29
Je gooit met één normale dobbelsteen. a
Hoe groot is de kans dat je een 6 gooit?
__________________________________________
b Hoe groot is de kans dat je een even aantal ogen gooit?
__________________________________________
We gooien met twee normale dobbelstenen. c
Hoe groot is de kans dat je twee zessen gooit?
__________________________________________
d Hoe groot is de kans dat je als som een even aantal ogen gooit?
__________________________________________
We gooien met drie normale dobbelstenen. e
Hoe groot is de kans dat je drie zessen gooit?
__________________________________________
f
Hoe groot is de kans dat je als som een even aantal ogen gooit?
__________________________________________
30
Een spel kaarten bestaat uit 52 kaarten. Je trekt één willekeurige kaart. a
Hoe groot is de kans dat je een rode kaart trekt?
________________________________________________
b Hoe groot is de kans dat je een aas trekt?
________________________________________________
c
________________________________________________
Hoe groot is de kans dat je harten 8 trekt?
Je hebt twee spellen kaarten. Je trekt uit beide één kaart. d Hoe groot is de kans dat je twee rode kaarten hebt?
________________________________________________
e
________________________________________________
34
Hoe groot is de kans dat je twee azen trekt?
Telproblemen
31
Van eenzelfde kubus zie je hier drie voorstellingen. Wat komt er op de blanco zijde van de laatste voorstelling?
32
In de klassen van drie leerkrachten, Alain, Bernard en Chokri werden in totaal 510 rode neuzen verkocht. De klas van meester Alain verkocht er 50% meer dan die van Bernard. In de klas van meester Chokri werden dubbel zoveel rode neuzen verkocht dan in de klassen van Alain en Bernard samen. Hoeveel rode neuzen werden verkocht in elke klas?
35
1
Vaardigheden | Morse in een boomdiagram Samuel Morse (1791 – 1872) De Amerikaanse kunstenaar Morse bedacht in 1835 een methode om snel te communiceren over lange afstanden: de morsecode. Aan de basis lag mogelijk het overlijden van zijn eerste vrouw enkele jaren daarvoor. Hij bevond zich toen op reis en was te laat op haar begrafenis. Morsecode bestaat uit dits (punten) en dahs (strepen). De telefoon was toen nog niet uitgevonden, maar de berichten werden doorgestuurd met draden aan telegraafpalen. In morsecode zou dit boek als naam hebben: ···-/-···/-/·-·· Samuel Morse
Morse maakte series van één, twee, drie of vier van deze tekens om letters aan te geven. a
Hoeveel letters kon hij vormen door 1, 2 of 3 tekens te gebruiken? ____________________________________________________________________________________________________
b Kon hij met maximaal 4 tekens het hele alfabet vormen? ____________________________________________________________________________________________________ Aan de hand van deze handige boomdiagram kun je snel de morsecode omzetten. Bij elke 'dit' (punt) ga je naar links. Bij elke 'dah' (streep) ga je naar rechts.
Voorbeeld: Hoor je drie ‘dits’, dan heb je de letter S. Hoor je twee ‘dits’ en één ‘dah’, dan heb je de letter U.
start E
T
I
A
S H 5 4 c
U V 3
N
R
F
W
L 2
P +
M
D J
B 1
6 =
K X
C
G Y
/
Z
O Q
7
8
9 0
Welke vraag staat hier gecodeerd? -·· ---/-·-- --- ··-/·-·· --- ···- ·/-- ·- - ···· ··· ____________________________________________________________________________________________________
d Wat is jouw antwoord op de vraag die je noteerde bij c? Zet dit om in morse. ____________________________________________________________________________________________________
36
❒
Ik weet hoe een verzameling voorgesteld wordt (opsomming, omschrijving, venndiagram).
9
❒
Ik kan de unie, doorsnede en verschil bepalen van twee verzamelingen.
9
❒
Ik ken de betekenis van het kardinaalgetal van een verzameling.
9
❒
Ik ken de betekenis van het complement van een verzameling.
11
❒
Ik kan een telprobleem oplossen met behulp van een boomdiagram.
12
❒
Ik kan de productregel toepassen.
14
❒
Ik kan een telprobleem oplossen met behulp van een venndiagram.
18
❒
Ik kan de somregel toepassen voor disjuncte en niet-disjuncte verzamelingen.
19
❒
Ik kan de complementregel toepassen.
21
37
WAT MOET JE KENNEN EN KUNNEN ?
oké voor examen
pagina
ik ken het !
Telproblemen
dit moet ik leren
1
HERHALINGSOEFENINGEN
1
Telproblemen
Naam
Klas
1
Datum
Punten
Orde / Stiptheid
Correctheid
Omschrijf in woorden wat er in de gevraagde verzameling zit.
a
b
c
d
2
Nummer
Totaal
a
A is de verzameling van …
B is de verzameling van …
gevraagd
alle fruitsoorten
aardbeien
A∩B
leerkrachten van onze school
…… / 4
wiskundeleerkrachten in
A\B
Vlaanderen
vierhoeken
vierkanten
natuurlijke
natuurlijke veel-
veelvouden van 3
vouden van 2
A∪B
B\A
Hoeveel verschillende natuurlijke getallen van vier cijfers kun je vormen als het eerste cijfer
…… / 2
niet nul mag zijn? _______________________________________________________________________________________________________ b Hoeveel van die getallen zijn oneven? _______________________________________________________________________________________________________ c
Hoeveel verschillende natuurlijke getallen van vier cijfers kun je vormen als het eerste cijfer een 1 moet zijn en het laatste cijfer een 9? _______________________________________________________________________________________________________
38
Telproblemen
3
…… / 5
A is de verzameling van vierhoeken die een ruit zijn. B is de verzameling van alle vierhoeken die een rechthoek zijn. U is de verzameling van alle vierhoeken. a
Teken een passende figuur in elk gebied.
U A
B
Plaats ook drie puntjes ...
A∩B
a
b
A∪B b Formuleer in woorden welke vierhoeken in deze verzamelingen zitten. A\B
4
c a
A\B A∩B A∩B
d b
B\A A∪B
e c
A A\B
d
B\A Een beker bevat vier ballen: een blauwe, een groene, een rode en een zwarte. a
Op hoeveel manieren kun je drie ballen
…… / 2
_____________________________________________________________
uit de beker nemen zonder terugleggen?
e
A b Op hoeveel manieren kun je drie ballen
_____________________________________________________________ _____________________________________________________________
uit de beker nemen als je elke getrokken bal teruglegt?
_____________________________________________________________
39
1
5
…… / 1
Hoeveel natuurlijke getallen van 101 tot en met 500 zijn deelbaar door 4?
Tip: een getal is deelbaar door 4 ⇔ de laatste twee cijfers van het getal vormen een getal dat deelbaar is door 4.
a
6
A∩B
b A∪B A is de verzameling van de natuurlijke getallen die deelbaar zijn door 6. B is de verzameling van de natuurlijke getallen die
N A
…… / 6
B
deelbaar zijn door 8. a
c getallen A\B en noteer telPlaats in elk gebied twee kens drie puntjes.
b Bepaal door omschrijving A ⃥B.
d B\A _______________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________ c
e A. Geef drie elementen die behoren tot deze verzameling. Bepaal door omschrijving _______________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________
d Bepaal door omschrijving A ∩ B .
a A∩B _______________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________
e
b A ∪ B. Bepaal door omschrijving _______________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________ c A\B
d
40
B\A
2 efesen
ko-sto
ck.ado
be.com
Ruimtemeetkunde
Werd het een parkeergarage? Of werd het een supermarkt? Neen hoor, uiteindelijk werd beslist om in het moderne deel van Malaga (Spanje) een hip museum te bouwen. De buitenkant is alvast een blikvanger: een prachtige kleurrijke kubus, waaronder heel wat evenwijdige en loodrechte stalen balken werden gebouwd. Maar ook (strikt) evenwijdige vlakken en loodrechte vlakken zijn makkelijk te herkennen. Welkom in het hoofdstuk dat opgebouwd wordt rond de ruimtemeetkunde waarin je ook leert hoe een 3Dsituatie in 2D wordt voorgesteld.
2
Ruimtemeetkunde 2.1 Onderlinge ligging van rechten 1
2 3 4 5 6 7
Evenwijdige en snijdende rechten in het vlak ...................................................................................... 43 Rechten in het vlak die loodrecht op elkaar staan .......................................................................... 44 Eigenschappen in het vlak .................................... 44 Onderlinge ligging van rechten in de ruimte .......................................................................................... 45 Toepassing ............................................................................... 47 Samenvatting ...................................................................... 48 Oefeningen ............................................................................. 49
2.2 Onderlinge ligging van vlakken 1 2 3
4 5
Een vlak bepalen ............................................................. 55 Onderlinge ligging van vlakken ....................... 58 Onderlinge ligging van een rechte en een vlak ..................................................................................... 59 Samenvatting ....................................................................... 61 Oefeningen ............................................................................. 63
2.3 Omtrek, oppervlakte en volume van meetkundige figuren 1
Formuleoverzicht: omtrek en oppervlakte van vlakke figuren ....................... 68 2 Formuleoverzicht: oppervlakte en volume van ruimtefiguren ..................................... 68 3 Kubus en balk ..................................................................... 69 4 Cilinder ....................................................................................... 70 5 Recht prisma ......................................................................... 71 6 Piramide en kegel ............................................................ 72 7 Bol .................................................................................................... 73 8 Toepassingen in de ruimte .................................... 74 9 Samenvatting ....................................................................... 77 10 Oefeningen ............................................................................. 78
42
2.4 Een 2D-voorstelling tekenen van een 3D-situatie 1 2 3 4
5 6
Voorstellingen van ruimtefiguren .................. 94 Aanzichten .............................................................................. 95 Doorsneden ........................................................................... 96 3D-situaties en bijbehorende 2D-voorstellingen analyseren ............................ 98 Samenvatting ................................................................... 100 Oefeningen ........................................................................... 101
Extra’s
Vaardigheden : gebruik van ICT voor het tekenen van doorsneden van een vlak met een kubus of een cilinder ....................... 107 Wat moet je kennen en kunnen ? ........................... 109 Herhalingsoefeningen ........................................................ 110