Issuu

CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀO THỰC TẾ

vectorstock.com/28062405

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection

XÂY DỰNG CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀO THỰC TẾ THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC HỌC SINH CỦA CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THÔNG MỚI WORD VERSION | 2021 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM

Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN ------

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐỀ TÀI:

XÂY DỰNG CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀO THỰC TẾ THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC HỌC SINH CỦA CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THÔNG MỚI

Giáo viên hướng dẫn

: T.S HOÀNG NHẬT QUY

Sinh viên thực hiện

: PHAN ANH THI

Lớp

: 15ST

Đà Nẵng, tháng 01 năm 2019

GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY

SVTH: PHAN ANH THI

LỜI CẢM ƠN Trong quá trình nghiên cứu khóa luận, tôi đã cố gắng nỗ lực hết mình. Để hoàn thành tốt khóa luận, tôi đã nhận được sự động viên, giúp đỡ tận tình từ phía quý thầy cô, gia đình và bạn bè. Nhân đây, tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành nhất. Đầu tiên em xin được gửi lời cảm ơn đến các quý thầy cô trong khoa Toán đã tận tình giảng dạy em trong suốt bốn năm để em có được những nền tảng tri thức cũng như những kinh nghiệm quý báu để hoàn thành khóa luận. Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn thầy Hoàng Nhật Quy, thầy luôn tận tình góp ý, chỉnh sửa để khóa luận được hoàn thành tốt nhất. Tiếp xúc với thầy, em học được nhiều điều từ sắp xếp nội dung khoa học, tính cẩn thận trong nghiên cứu và những bài học bổ ích khác. Tôi cũng xin được cảm ơn gia đình, bạn bè luôn động viên, tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi trong suốt thời gian thực hiện khóa luận. Đà Nẵng, tháng 01 năm 2019 Sinh viên thực hiện

Phan Anh Thi

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 1

GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY

SVTH: PHAN ANH THI

MỤC LỤC CÁC CHỮ VÀ KÍ HIỆU VIẾT TẮT .................................................................................. 4 A. PHẦN MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 5 1

Lý do chọn đề tài .......................................................................................................... 5

Mục đích nghiên cứu: ................................................................................................... 6

Nhiệm vụ nghiên cứu:................................................................................................... 6

Phương pháp nghiên cứu: ............................................................................................. 6

Cấu trúc luận văn: ......................................................................................................... 6

B. PHẦN NỘI DUNG.......................................................................................................... 8 Chương 1: Cơ sở lý luận ...................................................................................................... 8 1.1.

Năng lực và phát triển năng lực của HS theo chương trình phổ thông mới................. 8

1.1.1.

Khái niệm năng lực ............................................................................................... 8

1.1.2.

Các năng lực chung:.............................................................................................. 8

1.2.

Xác định các năng lực chung, cốt lõi, chuyên biệt của môn Toán ............................. 15

1.2.1.

Các năng lực chung cốt lõi mà môn Toán hình thành và phát triển ................... 15

1.2.2.

Các năng lực chuyên biệt của Toán học ............................................................. 15

1.3.

Nội dung đạo hàm ở chương trình toán THPT .......................................................... 17

1.3.1. Vị trí chương đạo hàm và yêu cầu cần đạt trong dự thảo chương trình môn Toán cải cách ................................................................................................................................... 17 1.3.2. Nội dung cơ bản của chương đạo hàm trong chương trình ................................... 21 1.3.3. Phương pháp dạy học nhằm phát triển năng lực của HS ........................................ 23 1.3.4. Kiểm tra, đánh giá theo năng lực của HS: .............................................................. 24

Chương 2: Xây dựng một số chuyên đề về ứng dụng đạo hàm vào thực tế theo định hướng phát triển NL HS của chương trình phổ thông mới ................................................ 26 2.1. Ứng dụng của đạo hàm trong kinh tế ............................................................................. 26 2.1.1.

Giá trị cận biên .................................................................................................... 27

2.1.2.

Hệ số co dãn ........................................................................................................ 30

2.1.3.

Sự lựa chọn tối ưu trong kinh tế ......................................................................... 31

2.2.

Một số bài toán về tìm GTLN, GTNN trong thực tế: ................................................ 34

2.2.1.

Mô hình hóa toán học và các kết quả liên quan đến GTLN, GTNN .................. 34

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 2

GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY 2.2.2. 2.3.

SVTH: PHAN ANH THI

Một số ví dụ ........................................................................................................ 38

Ứng dụng của đạo hàm trong vật lý ........................................................................... 44

2.3.1.

Bài toán tìm vận tốc và gia tốc tức thời trong chuyển động cơ học ................... 44

2.3.2.

Bài toán về tốc độ ............................................................................................... 49

2.3.3.

Bài toán chuyển động cong ................................................................................. 52

KẾT LUẬN ........................................................................................................................ 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................................. 57

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 3

GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY

SVTH: PHAN ANH THI

CÁC CHỮ VÀ KÍ HIỆU VIẾT TẮT

Khóa luận tốt nghiệp

THPT

: Trung học phổ thông

: Giáo viên

: Học sinh

: Năng lực

MHH

: Mô hình hóa

GTLN

: Giá trị lớn nhất

GTNN

: Giá trị nhỏ nhất

Trang 4

GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY

SVTH: PHAN ANH THI

A. PHẦN MỞ ĐẦU

Lý do chọn đề tài Trong thời đại khoa học và công nghệ phát triển nhanh chóng như hiện nay thì

việc phát triển mà phẩm chất và NL người học là định hướng nổi trội mà nhiều nước tiên tiến đã và đang thực hiện từ đầu thế kỉ XXI đến nay. Các nước đều chú ý hình thành, phát triển NL cần cho việc học suốt đời gắn với cuộc sống hằng ngày. Đảng và Nhà nước đã nhận định rõ tình hình đưa ra định hướng đổi mới căn bản toàn diện giáo dục và Đào tạo. Điều này thể hiện rõ trong Hội nghị lần thứ 8 Ban chấp hành Trung ương Đảng khóa XI vừa qua đã nêu rõ : “ Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kĩ năng của người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc. Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở người học cập nhật và đổi mới tri thức, kĩ năng, phát triển NL”. Giáo dục phổ thông nước ta đang thực hiện bước chuyển từ chương trình giáo dục tiếp cận nội dung sang tiếp cận NL của người học, nghĩa là từ chỗ quan tâm đến việc HS học được cái gì đến chỗ quan tâm HS vận dụng được cái gì qua việc học. Về đặc điểm môn Toán: Toán học ngày nay có nhiều ứng dụng trong cuộc sống, những kiến thức và kĩ năng Toán học cơ bản đã giúp con người giải quyết các vấn đề trong thực tế cuộc sống một cách có hệ thống và chính xác, góp phần thúc đẩy xã hội phát triển. Môn Toán ở trường THPT góp phần hình thành và phát triển phẩm chất, nhân cách HS, phát triển kiến thức, kĩ năng then chốt và tạo cơ hội để HS được trải nghiệm, áp dụng toán học vào đời sống thực tiễn, tạo dựng sự kết nối giữa Toán học với các môn học khác Trong chương trình Giải tích 11- THPT và trong suốt chương trình lớp 12 cũng như các kì thi lớn của quốc gia, nội dung đạo hàm và ứng dụng đạo hàm chiếm một phần không nhỏ. Vì vậy, việc hệ thống hóa các dạng bài tập liên quan đến ứng dụng đạo hàm giúp cho GV và HS có cái nhìn bao quát hơn, có cách tiếp cận mới và phương pháp học cũng như dạy học hướng tới phát triển NL là vô cùng quan trọng. Khóa luận tốt nghiệp

Trang 5

GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY

SVTH: PHAN ANH THI

Với những lí do trên, tôi đã chọn nghiên cứu luận văn “Xây dựng chuyên đề ứng dụng đạo hàm vào thực tế theo hướng phát triển năng lực học sinh của chương trình phổ thông mới”. Mục đích nghiên cứu:

Nghiên cứu việc vận dụng kiến thức đạo hàm vào giải các bài toán thực tế từ đó giúp HS thấy được ý nghĩa quan trọng của kiến thức đạo hàm trong không chỉ môn Toán học mà còn được ứng dụng giải các bài toán trong các môn học khác và ngoài thực tế. Từ đó rèn luyện kĩ năng, bồi dưỡng NL ứng dụng đạo hàm trong thực tế.

Nhiệm vụ nghiên cứu: Để đạt được mục tiêu trên, tôi thấy luận văn này cần thực hiện các nhiệm vụ

Khái niệm năng lực, năng lực chung, năng lục chuyên biệt.

Xác định các năng lực chung, năng lực chuyên biệt của môn Toán.

Phân loại một số ứng dụng của đạo hàm trong thực tế và một số ví dụ áp dụng.

Phương pháp nghiên cứu: ❖ Nghiên cứu lí luận: -

Nghiên cứu các tài liệu lí luận (chương trình phổ thông mới, triết học, giáo dục học, tâm lí học, lí luận dạy học bộ môn toán) có liên quan tới đề tài luận văn.

Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, tạp chí toán học, các tài liệu trong nước có liên quan nội dung đạo hàm, ứng dụng đạo hàm và bồi dưỡng NL giải toán cho HS trung học phổ thông.

Cấu trúc luận văn: Luận văn gồm phần “Mở đầu”, “Kết luận” và hai chương Chương 1: Cơ sở lý luận Chương 2: Xây dựng một số chuyên đề về ứng dụng đạo hàm vào thực tế

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 6

GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY

SVTH: PHAN ANH THI

theo định hướng phát triển NL của HS theo chương trình phổ mới. Kết luận. Tài liệu tham khảo.

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 7

GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY

SVTH: PHAN ANH THI

B. PHẦN NỘI DUNG Chương 1: Cơ sở lý luận 1.1.

Năng lực và phát triển năng lực của HS theo chương trình phổ thông mới

1.1.1. Khái niệm năng lực Các khái niệm khoa học thường có nhiều định nghĩa tùy theo cách tiếp cận cũng như những phạm trù khác nhau. Ở đây, tôi tiếp cận NL theo hướng NL hành động, tức là có cấu trúc, có thể mô tả được, theo [1, tr.5] : • Năng lực là khả năng thực hiện thành công hoạt động trong một bối cảnh nhất định nhờ sự huy động tổng hợp các kiến thức, kỹ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí, ... NL của cá nhân được đánh giá qua phương thức và kết quả hoạt động của cá nhân đó khi giải quyết các vấn đề của cuộc sống. • Năng lực chung là NL cơ bản, thiết yếu mà bất kỳ một người nào cũng cần có để sống, học tập và làm việc. Các hoạt động giáo dục (bao gồm các môn học và hoạt động trải nghiệm sáng tạo), với khả năng khác nhau, nhưng đều hướng tới mục tiêu hình thành và phát triển các NL chung của HS. • Năng lực đặc thù môn học (của môn học nào) là NL mà môn học (đó) có ưu thế hình thành và phát triển (do đặc điểm của môn học đó). Một NL có thể là NL đặc thù của nhiều môn học khác nhau. 1.1.2. Các năng lực chung: Qua nghiên cứu, tham khảo kinh nghiệm của các nước phát triển, đối chiếu với yêu cầu và điều kiện giáo dục trong nước những năm sắp tới, định hướng chuẩn đầu ra những NL chung được các nhà khoa học Việt Nam đề xuất như sau: Năng lực tự học: Xác định mục tiêu học tập: -

Xác định nhiệm vụ học tập có tính đến kết quả học tập trước đây và định hướng phấn đấu tiếp, mục tiêu học được đặt ra chi tiết, cụ thể, đặc biệt tập trung nâng cao hơn những khía cạnh còn yếu kém.

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 8

GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY

SVTH: PHAN ANH THI

Lập kế hoạch và thực hiện cách học: -

Đánh giá và điều chỉnh được kế hoạch học tập; hình thành cách học tập riêng của bản thân; tìm được nguồn tài liệu phù hợp với các mục đích, nhiệm vụ học tập khác nhau; thành thạo sử dụng thư viện, chọn các tài liệu và làm thư mục phù hợp với tùng chủ đề học tập của các bài tập khác nhau; ghi chép thông tin đọc được bằng các hình thức phù hợp, thuận lợi cho việc ghi nhớ, sử dụng, bổ sung khi cần thiết; tự đặt được vấn đề học tập. Đánh giá và điều chỉnh việc học:

Tự nhận ra và điều chỉnh những sai sót, hạn chế của bản thân trong quá trình học tập; suy ngẫm cách học của mình, đúc kết kinh nghiệm để có thể chia sẻ, vận dụng vào các tình huống khác; trên cơ sở các thông tin phản hồi biết vạch kế hoạch điều chỉnh cách học để nâng cao chất lượng học tập. Năng lực giải quyết vấn đề: Phát hiện và làm rõ vấn đề:

Phân tích được các tình huống trong học tập, trong cuộc sống, phát hiện và nêu được tình huống có vấn đề trong học tập trong cuộc sống. Đề xuất, lựa chọn giải pháp:

Thu thập và làm rõ các thông tin có liên quan đến các vấn đề; đề xuất và phân tích được một số giải pháp giải quyết vấn đề; lựa chọn được giải pháp phù hợp nhất. Thực hiện và đánh giá giải pháp giải quyết vấn đề:

Thực hiện và đánh giá giải pháp giải quyết vấn đề; suy ngẫm về cách thức và tiến trình giải quyết vấn đề để điều chỉnh và vận dụng trong bối cảnh mới. Năng lực sáng tạo:

Đặt câu hỏi có giá trị để làm rõ các tình huống và những ý tưởng trừu tượng; xác định và làm rõ thông tin, ý tưởng mới và phức tạp từ các nguồn thông tin khác nhau; phân tích các nguồn thông tin độc lập để thấy được khuynh hướng và có độ tin cậy của ý tưởng mới.

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 9

GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY -

SVTH: PHAN ANH THI

Xem xét sự vật với những góc nhìn khác nhau; hình thành và kết nối các ý tưởng; nghiên cứu để thay đổi giải pháp trước sự thay đổi của bối cảnh; đánh giá rủi ro và có dự phòng.

Lập luận về quá trình suy nghĩ, nhận ra yếu tố sáng tạo trong các quan điểm trái chiều; phát hiện được các điểm hạn chế trong quan điểm của mình; áp dụng điều đã biết trong hoàn cảnh mới.

Say mê; nêu được nhiều ý tưởng mới trong học tập và cuộc sống; không sợ sai; suy nghĩ không theo lối mòn; tạo ra yếu tố mới dựa trên những ý tưởng khác nhau. Năng lực tự quản lí:

Đánh giá được ảnh hưởng của các yếu tốt tác động đến hành động, việc làm của mình, trong học tập và trong cuộc sống hàng ngày; làm chủ được cảm xúc của bản thân trong học tập và cuộc sống.

Bước đầu biết làm việc độc lập theo thời gian biểu; nhạn ra được những tình huống an toàn hay không an toàn trong học tập và trong cuộc sống hằng ngày.

Nhận ra và tự điều chỉnh được một số hạn chế của bản thân trong học tập, lao động và sinh hoạt, ở nhà, ở trường.

Diễn tả được một số biểu hiện bất thường trong cơ thể; thực hiện được một số hành động vệ sinh và chăm sóc sức khỏe bản thân; nhận ra được và không tiếp cận với những yếu tố ảnh hưởng xấu tới sức khỏe, tinh thần trong gia đình và ở trường. Năng lực giao tiếp: Sử dụng tiếng Việt:

Đọc lưu loát, đúng ngữ điệu và biết thay đổi theo đặc điểm văn bản và mục đích giao tiếp; đọc hiểu các văn bản phức tạp trong chương trình học và đời sống, phù hợp với tâm lí lứa tuổi; phản hồi một cách tích cực và hiệu quả những nội dung đã đọc; luôn có ý thức tìm tòi, mở rộng phạm vi đọc…

Viết đúng và sáng tạo các dạng văn bản phức tạp về các chủ đềhọc tập và đời sống (kết hợp có hiệu quả ngôn ngữ với hình ảnh, đồ thị… minh họa); biết tóm tắt nội dung của những văn bản phức tạp; trình bày một cách thuyết phục quan

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 10

GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY

SVTH: PHAN ANH THI

điểm của cá nhân, có tính đến quan điểm của người khác… -

Có vốn từ vựng phong phú; sử dụng linh hoạt và có hiệu quả các kiểu câu khác nhau; nói rõ ràng, mạch lạc, chính xác, tự tin và đúng ngữ điệu; thuyết trình được nội dung chủ đề thuộc chương trình học tập; biết trình bày và bảo vệ quan điểm của cá nhân một cách chặt chẽ, có sức thuyết phục; kết hợp một cách hiệu quả lời nói với động tác cơ thể và các phương tiện hỗ trợ khác…

Nghe hiểu và chắt lọc được thông tin quan trọng, bổ ích từ các bài đối thoại, chuyện kể, lời giải thích, cuộc thảo luận, tranh luận phức tạp; có thái độ tích cực trong khi nghe; có phản hồi linh hoạt và phù hợp… Sử dụng ngoại ngữ:

Đạt NL bậc 3 về một ngoại ngữ. Xác định mục đích giao tiếp:

Xác định được mục đích giao tiếp phù hợp với đối tượng, bối cảnh giao tiếp; dự kiến được thuận lợi, khó khăn để đạt được mục đích trong giao tiếp. Thể hiện thái độ giao tiếp:

Chủ động trong giao tiếp; tôn trọng, lắng nghe có phản hồi tích cực trong giao tiếp. Lựa chọn nội dung và phương thức giao tiếp:

Lựa chọn nội dung, ngôn ngữ phù hợp với ngữ cảnh và đối tượng giao tiếp; biết kiềm chế; tự tin khi nói trước nhiều người. Năng lực thẩm mỹ: Nhận ra cái đẹp

Đánh giá được giá trị cơ bản, phổ biến của văn hoá, tryền thống và đạo đức Việt Nam, giá trị nhân văn cơ bản của nhân loại. Diễn tả, giao lưu thẩm mỹ:

Phân tích, đánh giá được tính thẩm mỹ, giá trị vật liệu, giá trị văn hoá của các sự vật, hiện tượng, quá trình trong tự nhiên, đời sống xã hội và nghệ thuật. Tạo ra cái đẹp

Đề xuất được ý tưởng, sáng tạo được các sản phẩm có tính thẩm mỹ mang dấu ấn cá nhân.

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 11

GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY

SVTH: PHAN ANH THI

Năng lực thể chất: Sống thích ứng và hài hòa với môi trường: -

Nêu được cơ sở khoa học của các biện pháp bảo vệ môi trường sống không bị ô nhiễm, giữ cân bằng sinh thái; điều chỉnh chế độ học tập và sinh hoạt phù hợp với thể trạng của bản thân; thực hành các hoạt động cải thiện môi trường sống; thích ứng với các hoạt động xã hội. Rèn luyện sức khoẻ thể lực:

Đánh giá được thể trạng sức khoẻ của bản thân; đọc hiểu được các chỉ số cơ bản của sức khoẻ qua kiểm tra y tế; nhận ra các biểu hiện và phản ứng của bản thân với một số bệnh thông thường; có thói quen, biết lựa chọn các hình thức tập luyện thể dục, thể thao phù hợp để cải thiện các chức năng của cơ thể. Nâng cao sức khoẻ tinh thần:

Biết cải thiện các mối quan hệ để đem lại niềm vui, hạnh phúc cho bản thân và mọi người; hài hoà các hoạt động học tập, lao động, giải trí; tinh thần thoải mái; tham gia tích cực các hoạt động xã hội. Năng lực hợp tác: Xác định mục đích và phương thức hợp tác:

Chủ động đề xuất mục đích hợp tác để giải quyết một vấn đề do bản thân và những người khác đề xuất; lựa chọn hình thức làm việc nhóm với quy mô phù hợp với yêu cầu và nhiệm vu. Xác định trách nhiệm và hoạt động của bản thân:

Tự nhận trách nhiệm và vai trò của mình trong hoạt động chung của nhóm, phân tích được các công việc cần được thực hiện để hoàn thành nhiệm vụ đáp ứng được mục đích chung. Đánh giá khả năng của mình có thể đóng góp thúc đẩy hoạt động của nhóm. Xác định nhu cầu và khả năng của người hợp tác:

Phân tích được khả năng của từng thành viên để tham gia đề xuất phương án phân công công việc, dự kiến phương án phân công, tổ chức hoạt động hợp tác.

Tổ chức và thuyết phục người khác.

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 12

GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY -

SVTH: PHAN ANH THI

Theo dõi tiến độ hoàn thành của nhóm để tổng kết kết quả đạt được; đánh giá mức độ đạt mục đích của cá nhân. Đánh giá hoạt động hợp tác:

Căn cứ vào mục đích hoạt động của nhóm để tổng kết kết quả đạt đước; Đánh giá mục đích của cá nhân và của nhóm và rút kinh nghiệm cho bản thân và góp ý cho từng người trong nhóm. Năng lực sử dụng công nghệ thông tin và truyền thông: Sử dụng và quản lý các phương tiện, công cụ của công nghệ kỹ thuật số:

Lựa chọn và sử dụng hiệu quả các thiết bị ICT để hoàn thành nhiệm vụ cụ thể; hiểu được các thành phần của hệ thống mạng để kết nối, điều khiển và khai thác các dịch vụ trên mạng; tổ chức và lưu trữ dữ liệu an toàn và bảo mật trên các bộ nhớ khác nhau và với những định dạng khác nhau. Nhận biết, ứng xử phù hợp chuẩn mực đạo đức và pháp luật trong xã hội số hóa:

Xác định được thông tin cần thiết và xây dựng được tiêu chí lựa chọn, sử dụng kĩ thuật để tìm kiếm, tổ chức, lưu trữ để hỗ trợ nghiên cứu kiến thức mới; ĐG được độ tin cậy của các thông tin, dữ liệu đã tìm được; xử lý thông tin hỗ trợ giải quyết vấn đề; sử dụng ICT để hỗ trợ quá trình tư duy, hình thành ý tưởng mới cũng như lập kế hoạch giải quyết cũng như lập kế hoạch giải quyết vấn đề; sử dụng công cụ ICT để chia sẻ, trao đổi thông tin và hợp tác với người khác một cách an toàn, hiệu quả. Phát hiện và giải quyết vấn đề trong môi trường công nghệ tri thức:

Xác định được tiêu chí đánh giá độ tin cậy, lựa chọn thông tin; sử dụng được kỹ thuật tìm kiếm nâng cao, kỹ thuật tổ chức, lưu trữ thông tin hỗ trợ quá trình tìm giải pháp phù hợp nhất; sử dụng được công cụ ICT để xử lý thông tin, hình thành ý tưởng mới, lập kế hoạch giải quyết vấn đề; biết cách tổ chức dữ liệu cơ bản trong chuyển giao thuật toán cho máy tính và tạo được sản phẩm đơn giản trong việc chuyển giao cho máy tính giải quyết vấn đề. Học tập, tự học với sự hỗ trợ của ICT:

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 13

GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY -

SVTH: PHAN ANH THI

Chủ động tìm hiểu để sử dụng được một số loại phần mềm hỗ trợ học tập; sử dụng thành thạo môi trường mạng máy tính trong tìm hiểu tri thức mới; biết lựa chọn, khai thác các dịch vụ đào tạo và kiểm tra đánh giá hiện đại trong môi trường số hoá. Giao tiếp, hòa nhập, hợp tác qua môi trường ICT:

Chủ động lựa chọn và sử dụng các công cụ ICT một cách hệ thống, hiệu quả và an toàn để chia sẻ, trao đổi thông tin, mở mang tri thức và tạo sản phẩm hữu ích; lựa chọn được các quy tắc giao tiếp thích hợp cho các công cụ truyền thông khác nhau khi hợp tác với các đối tượng khác nhau; biết các rủi ro có thể có trong giao tiếp và hợp tác liên quan đến sử dụng môi trường ICT, thiết lập được các biện pháp an ninh thích hợp.

Năng lực sử dụng ngôn ngữ: -

Nghe hiểu và chắt lọc được thông tin bổ ích từ các bài đối thoại, chuyện kể, lời giải thích, cuộc thảo luận; nói với cấu trúc logic, biết cách lập luận chặt chẽ và có dẫn chứng xác thực, thuyết trình được nội dung chủ để thuộc ICT học tập; đọc và lựa chọn đước các lí, logic, thuật ngữ đa dạng, đúng chính tả, đúng cấu trúc, rõ ý.

Sử dụng hợp lí từ vựng và mẫu câu trong hai lĩnh vực khẩu ngữ và bút ngữ, có từ vựng dùng cho kĩ năng đối thoại và độc thoại; phát triển kĩ năng phân tích của mình; làm quen với các cấu trúc ngôn ngữ khác nhau thông qua các cụm từ có nghĩa trong các bối cảnh tự nhiên trên cơ sở hệ thống ngữ pháp.

Đạt NL bậc 3 về 1 ngoại ngữ.

Năng lực tính toán: Sử dụng các phép tính và đo lường cơ bản: -

Vận dụng thành thạo các phép tính trong học tập và cuộc sống; sử dụng hiệu quả các kiến thức, kĩ năng về đo lường ước tính trong các tình huống ở nhà trường cũng như trong cuộc sống. Sử dụng ngôn ngữ toán:

Sử dụng hiệu quả các thuật ngữ, kí hiệu toán học, tính chất các số và tính chất của các hình trong hình học; sử dụng được thống ke để giải quyết các vấn đề

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 14

GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY

SVTH: PHAN ANH THI

nảy sinh trong bối cảnh thực; hình dung và vẽ được hình dạng các đối tượng trong môi trường xung quanh, hiểu tính chất cơ bản của chúng, mô hình hoá toán học được một số vấn đề thường gặp; vận dụng được các bài toán tối ưu trong học tập và trong cuộc sống; sử dụng được một số yếu tố của logic hình thức trong học tập và trong cuộc sống. Sử dụng công cụ tính toán: -

Sử dụng hiệu quả máy tính cầm tay với chức năng tính toán tương đối phức tạp; sử dụng được một số phần mềm tính toán và thống kê trong học tập và trong cuộc sống…

Mô hình hóa toán học được một số vấn đề thường gặp, vận dụng được các bài toán tối ưu trong học tập và trong cuộc sống; sử dụng được một số yếu tố của logic hình thức trong học tập và trong cuộc sống.

1.2.

Xác định các năng lực chung, cốt lõi, chuyên biệt của môn Toán

1.2.1. Các năng lực chung cốt lõi mà môn Toán hình thành và phát triển Mọi người đều cần phải học toán và dùng toán trong cuộc sống hằng ngày. Vì thế toán học có vị trí quan trọng đối với tất cả các lĩnh vực đời sống xã hội. Hiểu biết về toán học giúp người ta có thể tính toán, ước lượng… nhất là có được cách tư duy, phương pháp suy nghĩ, lập luận logic… trong giải quyết các vấn đề nảy sinh, trong học tập cũng như trong cuộc sống. Ở trường phổ thông, học toán cơ bản là hoạt động giải toán. Nó đòi hỏi có tính kiên nhẫn, bền bỉ, biết làm việc có phương pháp. Kiến thức toán học còn được ứng dụng, phục vụ cho việc học các môn học khác như: Vật lý, Hóa học, Sinh học… Vì thế có thể xem môn Toán như môn học công cụ ở trường phổ thông. Do đó, ở trường phổ thông môn Toán có nhiều cơ hội giúp HS hình thành và phát triển các NL chung như: NL tính toán, NL tư duy, NL giải quyết vấn đề, NL tự học, NL giao tiếp, NL hợp tác, NL làm chủ bản thân, NL sử dụng công nghệ thông tin. 1.2.2. Các năng lực chuyên biệt của Toán học Năng lực tư duy và lập luận toán học thể hiện qua việc thực hiện được các hành động:

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 15

GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY

SVTH: PHAN ANH THI

• Thực hiện nhuần nhuyễn các thao tác tư duy, đặc biệt biết quan sát, tìm kiếm sự tương đồng và khác biệt trong những tình huống phức tạp và biết khẳng định kết quả của việc quan sát. • Biết sử dụng các phương pháp lập luận, quy nạp và suy diễn để nhìn ra những cách thức khác nhau để giải quyết vấn đề. • Giải thích hoặc điều chỉnh cách thức giải quyết vấn đề về phương diện toán học. Năng lực mô hình hoá toán học thể hiện qua việc thực hiện được các hành động: • Sử dụng các mô hình toán học (gồm công thức, phương trình, sơ đồ, hình vẽ, bảng biểu, đồ thị,...) để mô tả các tình huống đặt ra trong các bài toán thực tế, từ đó đưa ra các cách giải quyết vấn đề toán học đặt ra trong mô hình được thiết lập. • Biết đánh giá các kết luận thu được từ các tính toán là có ý nghĩa, phù hợp với thực tế hay không. Đặc biệt, biết cách đơn giản hoá những yêu cầu thực tế (xấp xỉ, bổ sung thêm giả thiết, tổng quát hoá,...) để thiết lập những bài toán giải được, và hiểu rằng cần phải điều chỉnh để phù hợp với thực tế hơn. Năng lực giải quyết vấn đề toán học thể hiện qua việc thực hiện được các hành động: • Nhận biết được tình huống có vấn đề; xác định, thu thập, sắp xếp, giải thích và đánh giá độ tin cậy của thông tin; chia sẻ sự am hiểu vấn đề với người khác. • Đề xuất, lựa chọn được cách thức, quy trình giải quyết vấn đề. • Sử dụng được các kiến thức, kĩ năng toán học tương thích (bao gồm các công cụ và thuật toán) để giải quyết vấn đề đặt ra. • Đánh giá giải pháp đề ra và khái quát hoá cho vấn đề tương tự. Năng lực giao tiếp toán học thể hiện qua việc thực hiện được các hành động:

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 16

GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY

SVTH: PHAN ANH THI

• Nghe hiểu, đọc hiểu và ghi chép được các thông tin toán học cần thiết được trình bày dưới dạng văn bản toán học hay do người khác nói hoặc viết ra. • Trình bày, diễn đạt (nói hoặc viết) được các nội dung, ý tưởng, giải pháp toán học trong sự tương tác với người khác (với yêu cầu thích hợp về sự đầy đủ, chính xác). • Sử dụng hiệu quả ngôn ngữ toán học (chữ số, chữ cái, kí hiệu, biểu đồ, đồ thị, các liên kết logic,...) kết hợp với ngôn ngữ thông thường hoặc động tác hình thể khi trình bày, giải thích và đánh giá các ý tưởng toán học trong sự tương tác (thảo luận, tranh luận) với người khác. Năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán thể hiện qua việc thực hiện được các hành động: • Biết tác dụng, quy cách sử dụng, cách thức bảo quản các công cụ, phương tiện học toán (bảng tổng kết về các dạng hàm số, mô hình góc và cung lượng giác, mô hình các hình khối, bộ dụng cụ tạo mặt tròn xoay,...). • Sử dụng được máy tính cầm tay, phần mềm, phương tiện công nghệ, nguồn tài nguyên trên mạng Internet để giải quyết vấn đề toán học. • Biết đánh giá cách thức sử dụng các công cụ, phương tiện học toán trong tìm tòi, khám phá và giải quyết vấn đề toán học. • Biết đề xuất ý tưởng để thiết kế, tạo dựng phương tiện học liệu mới phục vụ việc tìm tòi, khám phá và giải quyết vấn đề toán học. 1.3.

Nội dung đạo hàm ở chương trình toán THPT 1.3.1. Vị trí chương đạo hàm và yêu cầu cần đạt trong dự thảo chương

trình môn Toán cải cách Chương “ ĐẠO HÀM” xuất hiện trong chương trình phần “ĐẠI SỐ VÀ MỘT SỐ YẾU TỐ GIẢI TÍCH” lớp 11 [2, tr.95,96], chia thành ba bài, cụ thể như sau: Yêu cầu cần đạt

Nội dung Đạo hàm

Khái niệm đạo hàm. Ý nghĩa + Nhận biết được các bài toán dẫn đến

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 17

GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY

SVTH: PHAN ANH THI

hình học và ý nghĩa vật lí của khái niệm đạo hàm như: vận tốc tức đạo hàm.

thời, cường độ tức thời. + Biết được định nghĩa đạo hàm. Tính được đạo hàm của một số hàm đơn giản bằng định nghĩa. + Nhận biết được ý nghĩa hình học và ý nghĩa vật lí của đạo hàm.

Các quy tắc tính đạo hàm.

+ Tính được đạo hàm của một số hàm số sơ cấp cơ bản (như hàm đa thức, hàm số lượng giác, hàm số mũ, lôgarit, hàm căn thức đơn giản). + Hiểu được quy tắc tính đạo hàm. + Sử dụng được các công thức tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số và đạo hàm của hàm hợp. + Sử dụng được đạo hàm để giải quyết được một số bài toán trong thực tiễn như: Xác định vận tốc tức thời của một chuyển động, cường độ tức thời,...

Đạo hàm cấp hai.

+ Hiểu được khái niệm đạo hàm cấp hai của một hàm số. + Hiểu được ý nghĩa vật lí của đạo hàm cấp hai. + Tính được đạo hàm cấp hai của một số hàm số đơn giản. + Sử dụng được đạo hàm cấp hai để giải quyết được một số bài toán trong thực tiễn như: Xác định gia tốc tức thời

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 18

GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY

SVTH: PHAN ANH THI của một chuyển động.

Chương “ Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số” xuất hiện trong chương trình phần “ MỘT SỐ YẾU TỐ GIẢI TÍCH” lớp 12 theo [2, tr.105,106,107], chia thành bốn bài, cụ thể như sau: Yêu cầu cần đạt

Nội dung

Ứng dụng Khảo sát tính đơn điệu của + Nhận biết được tính đồng biến, đạo

hàm hàm số bằng đạo hàm

nghịch biến của một hàm số trên một

để

khảo

khoảng dựa vào dấu của đạo hàm cấp

sát và vẽ

một của nó.

đồ

+ Thể hiện được tính đơn điệu của

thị

hàm số

hàm số trong bảng biến thiên. + Nhận biết được điểm cực trị, giá trị cực trị của hàm số thông qua bảng biến thiên hoặc thông qua hình ảnh hình học của đồ thị hàm số. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị + Nhận biết được giá trị lớn nhất, giá nhỏ nhất của hàm số bằng đạo trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập hàm

xác định cho trước. + Tìm được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng đạo hàm trong những trường hợp đơn giản.

Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm + Nhận biết được hình ảnh hình học số

của đường tiệm cận ngang, đường tiệm cận đứng, đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số. + Mô tả được sơ đồ tổng quát để khảo sát hàm số (tìm tập xác định, xét chiều

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 19

GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY

SVTH: PHAN ANH THI biến thiên, tìm cực trị, tìm tiệm cận, lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị). + Khảo sát được tập xác định, chiều biến thiên, cực trị, tiệm cận, bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = ax3 + bx 2 + cx + d

(a  0)

ax + b (c  0, ad − bc  0) cx + d

ax 2 + bx + c mx + n

;

( a  0, m  0 và đa

thức tử không chia hết cho đa thức mẫu). + Nhận biết được tính đối xứng của đồ thị hàm số trên . Ứng dụng đạo hàm để giải + Vận dụng được đạo hàm và khảo sát quyết một số vấn đề liên quan hàm số để giải quyết một số vấn đề đến thực tiễn

liên quan đến thực tiễn.

– Một nét hoàn toàn mới trong chương trình Toán lần này là đối với cấp trung học phổ thông: Thiết kế hệ thống chuyên đề học tập chuyên sâu và các nội dung học tập giúp HS nâng cao kiến thức, kĩ năng thực hành, vận dụng giải quyết các vấn đề gắn với thực tiễn của địa phương. Trong nội dung chuyên đề học tập lớp 12 theo [2, tr.113] , “ Ứng dụng đạo hàm” là nội dung trong một chuyên đề như sau: Chuyên đề

Chủ đề

Yêu cầu cần đạt

Ứng dụng toán học để

Vận dụng đạo hàm để

– Vận dụng được các

giải quyết một số bài

kiến thức về đạo hàm để

toán tối ưu

toán tối ưu trong thực

giải quyết một số bài

tiễn, đặc biệt trong kinh

toán tối ưu xuất hiện

tế

trong thực tiễn như bài

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 20

GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY

SVTH: PHAN ANH THI toán tối ưu liên quan đến khoảng cách, thời gian,... – Vận dụng được các kiến thức về đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu trong kinh tế như bài toán tối ưu hoá chi phí sản xuất, bài toán tối ưu hoá lợi nhuận,...

Thông qua nội dung chương trình phổ thông môn toán mới về nội dung “ Đạo hàm”, có thể thấy nội dung khác hơn so với chương trình cũ, cụ thể là tập trung hơn vào vai trò, ý nghĩa đạo hàm được ứng dụng không chỉ trong bộ môn Toán mà còn mở rộng ra tính giải quyết thực tế cũng như giải quyết các bộ môn khác, qua đó phát triển được các kĩ năng, NL toán học của HS, đồng thời giúp HS yêu thích hơn về bộ môn này. 1.3.2. Nội dung cơ bản của chương đạo hàm trong chương trình Định nghĩa: Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) xác định trên khoảng (𝑎, 𝑏) và 𝑥0 ∈ (𝑎, 𝑏). Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) lim

x → x0

f ( x ) − f ( x0 ) thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của x − x0

hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) tại điểm 𝑥0 , kí hiệu là 𝑓 ′ (𝑥0 ) ( hoặc 𝑦′(𝑥0 )). Chú ý: Hiệu số ∆𝑥 = 𝑥 − 𝑥0 chỉ lượng thay đổi giá trị của biến độc lập được gọi là số gia của đối số tại 𝑥0 . Hiệu số ∆𝑦 = 𝑓 (𝑥) − 𝑓 (𝑥0 ) = 𝑓 (𝑥0 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥0 ) chỉ lượng thay đổi giá trị tương ứng của y, được gọi là số gia tương ứng của hàm số. Các quy tắc tính đạo hàm và bảng công thức tính đạo hàm và bảng công thức đạo hàm thường gặp: Các quy tắc tính đạo hàm

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 21

GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY

SVTH: PHAN ANH THI

Giả sử 𝑢 = 𝑢(𝑥), 𝑣 = 𝑣(𝑥) là các hàm số có đạo hàm tại điểm 𝑥 thuộc khoảng xác định. Ta có: •

(u + v) ' = u '+ v '

•

(u − v) ' = u '− v '

•

(uv) ' = u ' v + uv '

•

u u ' v − uv ' ( )' = nếu (v = v( x)  0) v v2

•

(ku ) ' = ku ' với k là hằng số

•

1 v' ( ) ' = − 2 (v = v( x)  0) v v

Bảng công thức các đạo hàm thường gặp Đạo hàm của 𝑓(𝑥) với là 𝑥 là biến số

Đạo hàm của 𝑓(𝑢) với 𝑢 là hàm số

k ' = 0 với 𝑘 là hằng số ( kx) ' = k (với k là hằng số)

(ku ) ' = ku ' (với k là hằng số)

( x n ) ' = nx n−1

(u n ) ' = nu n−1.(u ) '

1 1   =− 2 x  x

( x)' =

1 2 x

−u ' 1   =− 2 u u '

( u)' =

u' 2 u

(sin x) ' = cos x

(sin u ) ' = u 'cos u

(cos x) ' = − sin x

(cos u ) ' = −u 'sin u

(tan x) ' =

1 = 1 + tan 2 x 2 cos x

(tan u ) ' =

u' = u '(1 + tan 2 u ) 2 cos u

(cot x) ' =

−1 = −(1 + cot 2 x) sin 2 x

(cot u ) ' =

−u ' = −u '(1 + cot 2 u ) sin 2 u

(e x ) ' = e x

(eu ) ' = u ' eu

(a x ) ' = a x ln a

(au ) ' = u ' au ln a

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 22

GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY (log a x) ' = (ln x) ' =

1 x ln a

1 x

SVTH: PHAN ANH THI (log a u ) ' = (ln u ) ' =

u' u ln a

u' u

Vi phân Định nghĩa: Ta gọi tích f '( x)x là vi phân của hàm số y = f ( x) tại x ứng với số gia x , kí hiệu là df ( x) hoặc dy , tức là: dy = df ( x) = f '( x)x .

Ứng dụng vi phân vào phéo tính gần đúng f ( x0 + x)  f ( x0 ) + f '( x0 )x .

Đạo hàm cấp cao Khái niệm: Cho hàm số f có đạo hàm cấp n −1 ( n  2, n  ℕ) là f ( n −1) . Nếu f ( n −1) là hàm số có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của

hàm số f và kí hiệu là f ( n ) . Nói cách khác: f ( n ) =  f ( n −1)  ', ( n  2, n  ℕ).

1.3.3. Phương pháp dạy học nhằm phát triển năng lực của HS Theo tiếp cận phát triển NL của người học thì phương pháp dạy học không chỉ chú ý tới mặt tích cực hóa hoạt động học tập của HS mà con chú ý rèn luyện NL giải quyết vấn đề gắn với những tình huống thực, hoạt động thực hành và thực tiễn. Tăng cường hoạt động nhóm, đổi mới quan hệ GV- HS theo hướng cộng tác, nhằm phát triển NL cá nhân, NL xã hội…. Để chương trình giáo dục phổ thông mới thep hướng tiếp cận NL có thể triển khai tốt trong thực tiễn rất cần những người nghiên cứu về phương pháp dạy học, nhằm phát triển NL HS. Để giải quyết vấn đề này ta cần tập trung các yếu tố sau:

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 23

GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY -

SVTH: PHAN ANH THI

Giáo viên tổ chức hoạt động, nhằm thúc đẩy việc học tích cực, chủ động của HS.

Tạo một môi trường hỗ trợ học tập.

Khuyến khích HS phản ánh tư tưởng và hành động, khuyên khích giao tiếp.

Tăng cường trách nhiệm học tập.

Tạo điều kiện thuận lợi cho học tập, chia sẻ, trao đổi, tranh luận.

Kết nối để học tập.

Cung cấp đầy đủ cơ hội để HS tìm tòi, khám phá.

Giảng dạy như quá trình tìm tòi. 1.3.4. Kiểm tra, đánh giá theo năng lực của HS:

• Đánh giá: - Là quá trình thu thập thông tin về hiện trạng chất lượng và hiệu quả, nguyên nhân và khả năng của HS. Đánh giá gắn bó chặt chẽ với các mục tiêu, chuẩn giáo dục. Đánh giá tạo cơ sở đề xuất những quyết định thích hợp để cải thiện thực trạng, nâng cao chất lượng và hiệu quả giáo dục. - Nước ta đang thiên về cách hiểu: Đánh giá là quá trình thu thập và lí giải kịp thời, có hệ thống thông tin về hiện trạng, khả năng hay nguyên nhân của chất lượng và hiệu quả giáo dục căn cứ vào mục tiêu dạy học, mục tiêu đào tạo làm cơ sở cho những chủ trương, biện pháp và hành động giáo dục tiếp theo. • Mục tiêu kiểm tra đánh giá theo hướng phát triển NL: Người ta nhận thấy kiểm tra đánh giá là một phần không thể thiếu được của quá trình dạy học thì ít nhất nó phải vì sự tiến bộ của HS. Kiểm tra đánh giá vì sự tiến bộ nghĩa là quá trình kiểm tra đánh giá phải cung cấp những thông tin phản hồi giúp HS biết mình tiến bộ tới đâu, những mảng kiến thức kĩ năng nào còn yếu để điểu chỉnh. Vì sự tiến bộ của HS thì phải đánh giá sao để HS không sợ hãi, không bị tổn thương để thúc đẩy HS nổ lực. Đánh giá vì sự tiến bộ của HS diễn ra trong suốt quá trình dạy và học, giúp HS phát hiện thay đổi đạt được mục tiêu học tập của cá nhân. Công khai hóa nhận định về NL và kết quả học tập của HS, tạo cơ hội phát triển kĩ năng tự đánh giá, giúp HS nhận ra sự tiến bộ, động viên tiến bộ. Giúp GV có cơ sở nhận ra điểm mạnh và yếu, tự hoàn thiện hoạt động dạy, phấn đấu không ngừng. Khóa luận tốt nghiệp

Trang 24

GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY

SVTH: PHAN ANH THI

Để xác định được mục tiêu kiểm tra, đánh giá cần chú ý dựa vào mục tiêu môn học, mục đích, mối quan hệ giữa mục tiêu học tập và mục tiêu môn học và đánh giá hoạt động học tập. Đối với HS: Tuyển chọn, phân loại đúng NL, trình độ. Xác định kết quả tiếp thu, vận dụng kiến thức – kĩ năng và thái độ cần có dựa theo mục tiêu đề ra. Thúc đẩy HS cố gắng khắc phục thiếu sót và phát huy NL. Đối với GV: Tạo điều kiện người dạy nắm vững tình hình học tập và rèn luyện của HS. Cung cấp thông tin phản hồi giúp họ giảng dạy và giáo dục tốt hơn. Tạo điều kiện cải tiến, điều chỉnh nội dung chương trình, PPGD nâng cao chất lượng và hiệu quả.

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 25

GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY

SVTH: PHAN ANH THI

Chương 2: Xây dựng một số chuyên đề về ứng dụng đạo hàm vào thực tế theo định hướng phát triển NL HS của chương trình phổ thông mới Trên cơ sở các lập luận và phân tích ở chương 1, chương 2 là nội dung chính của bài luận bao gồm một số chuyên đề ứng dụng của đạo hàm. Đạo hàm được ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực đời sống, nhưng trong khuôn khổ bài báo cáo, cũng như bám sát hướng dạy học theo chương trình mới đã phân tích ở chương 1, tôi xin được trình bày ba ứng dụng cơ bản sau: ✓ Ứng dụng của đạo hàm trong kinh tế. ✓ Một số bài toán về tìm GTLN, GTNN trong thực tế. ✓ Ứng dụng của đạo hàm trong vật lý. 2.1. Ứng dụng của đạo hàm trong kinh tế Đạo hàm có nhiều ứng dụng trong lĩnh vực kinh tế. Ở đây tôi chỉ trình bày ba ứng dụng quan trọng nhất của đạo hàm, bao gồm các chủ đề sau: -

Giá trị cận biên.

Hệ số co dãn.

Sự lựa chọn tối ưu trong kinh tế.

Trước khi đi vào nội dung chính cũng phần này, trước hết hãy cùng đến với các mô hình hàm số thường gặp trong kinh tế: -

Hàm cung và hàm cầu: 𝑄𝑠 = 𝑆(𝑝) 𝑄𝑑 = 𝐷(𝑝) Trong đó: p là giá hàng hóa, 𝑄𝑠 là lượng cung, 𝑄𝑑 là lượng cầu.

Hàm sản xuất ngắn ngắn hạn: 𝑄 = 𝑓(𝐿) Trong đó: L là lượng lao động được sử dụng, Q là mức sản lượng tương ứng.

Hàm doanh thu, hàm chi phí, hàm lợi nhuận: 𝑇𝑅 = 𝑇𝑅(𝑄) 𝑇𝐶 = 𝑇𝐶(𝑄) 𝜋 = 𝜋 (𝑄 )

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 26

GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY

SVTH: PHAN ANH THI

Trong đó 𝑇𝑅 𝑙à tổng doanh thu, 𝑇𝐶 là tổng chi phí sản xuất, 𝜋 là tổng lợi nhuận, 𝑄 là sản lượng. 2.1.1. Giá trị cận biên 1. Khái niệm giá trị cận biên và các hàm cận biên trong kinh tế Xét mô hình hàm số 𝑦 = 𝑓 (𝑥 ) , trong đó 𝑥 và y là các số biến kinh tế ( ta coi biến độc lập 𝑥 là biến số đầu vào và biến phụ thuộc y là biến số đầu ra). Trong kinh tế học người ta quan tâm đến xu hướng biến phụ thuộc y tại một điểm 𝑥0 khi biến độc lập 𝑥 thay đổi một lượng nhỏ. Theo định nghĩa của đạo hàm: f ( x0 + x) − f ( x0 ) y = lim x →0 x x →0 x

f '( x0 ) = lim

Khi ∆𝑥 có giá trị tuyệt đối đủ nhỏ ta có y f ( x0 + x) − f ( x0 ) =  f '( x0 ) x x  y = f ( x0 + x) − f ( x0 )  f '( x0 )x

Với ∆𝑥 = 1 ta có ∆𝑦 ≈ 𝑓′(𝑥0 ). Như vậy đạo hàm 𝑓′(𝑥0 ) biểu diễn xấp xỉ lượng thay đổi giá trị của biến phụ thuộc 𝑦 khi biến độc lập 𝑥 tăng thêm một đơn vị. Khi xét mô hình 𝑦 = 𝑓(𝑥) biểu diễn ảnh hưởng của biến số kinh tế 𝑥 đối với biến số kinh tế 𝑦, các nhà kinh tế gọi 𝑓′(𝑥0 ) là giá trị cận biên của 𝑥 tại điểm 𝑥0 . Đối với mỗi hàm kinh tế, giá trị cận biên có tên gọi cụ thể như sau: - Đối với mô hình hàm sản xuất 𝑄 = 𝑓(𝐿) thì 𝑓′(𝐿0 ) được gọi là sản phẩm hiện vật cận biên của lao động tại điểm 𝐿0 . Sản phẩm hiện vật cận biên của lao động được ký hiệu là 𝑀𝑃𝑃𝐿 . 𝑀𝑃𝑃𝐿 = 𝑓′(𝐿) Tại mỗi điểm L, 𝑀𝑃𝑃𝐿 cho biết xấp xỉ lượng sản phẩm hiện vật gia tăng khi sử dụng thêm một đơn vị lao động.

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 27

GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY

SVTH: PHAN ANH THI

- Đối với mô hình hàm doanh thu 𝑇𝑅 = 𝑇𝑅(𝑄) thì 𝑇𝑅′(𝑄0 ) được gọi là doanh thu cận biên tạo điểm 𝑄0 . Doanh thu cận biên được ký hiệu là 𝑀𝑅: 𝑀𝑅 = 𝑇𝑅′(𝑄) Tại mỗi mức sản lượng Q, MR cho biết xấp sỉ lượng doanh thu tăng thêm khi sản xuất tăng thêm một đơn vị sản phẩm. Đối với doanh thu cạnh tranh ta có: 𝑇𝑅 = 𝑝𝑄 ⇒ 𝑀𝑅 = 𝑝 (𝑝 là giá sản phẩm trên thị trường) - Đối với mô hình hàm chi phí 𝑇𝐶 = 𝑇𝐶(𝑄) thì 𝑇𝐶 ′ (𝑄0 ) được gọi là chi phí cận biên tạo điểm 𝑄0 . Chi phí cận biên được kí hiệu là MC: 𝑀𝐶 = 𝑇𝐶′(𝑄) Tại mỗi sản lượng Q, MC cho biết xấp xỉ lượng chi phí tăng thêm khi sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm. - Đối với hàm tiêu dùng 𝐶 = 𝐶(𝑌) thì 𝐶′(𝑌) được gọi là xu hướng tiêu dùng cận biên và được ký hiệu là 𝑀𝑃𝐶: 𝑀𝑃𝐶 = 𝐶′(𝑌) - Tại mỗi mức thu nhập 𝑌, 𝑀𝑃𝐶 là số đo xấp xỉ lượng tiêu dùng gia tăng khi người ta có thêm 1$ thu nhập. - Đối với hàm tiết kiệm 𝑆 = 𝑆(𝑌) thì 𝑆′(𝑌) được gọi là xu hướng tiết kiệm cận biên và được ký hiệu là 𝑀𝑃𝑆: 𝑀𝑃𝑆 = 𝑆 ′ (𝑌) Tại mỗi mức thu nhập 𝑌, 𝑀𝑃𝑆 là số đo xấp xỉ lượng tiết kiệm gia tăng khi người ta có thêm 1$ thu nhập. 2. Một số ví dụ Ví dụ 1: (Sản phẩm hiện vật cận biên ) Giả sử hàm sản xuất của một doanh nghiệp là: 𝑄 = 5√𝐿 Ở mức sử dụng 𝐿 = 100 đơn vị lao động ( 100 công nhân), tính sản phẩm cận biên của lao động tại điểm 𝐿 = 100 và giải thích ý nghĩa. Khóa luận tốt nghiệp

Trang 28

GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY

SVTH: PHAN ANH THI

Lời giải: Sản phẩm cận biên của lao động tại điểm 𝐿 = 100 𝑀𝑃𝑃𝐿 = 𝑄′ =

5 2 √𝐿

= 0,25

Điều này có nghĩa là: Khi tăng mức sử dụng lao động từ 100 lên 101 thì sản lượng sẽ tăng thêm 0.25 đơn vị sản phẩm. Thử xét: 𝐿

100

110

120

150

200

400

1000

𝑀𝑃𝑃𝐿 0.25 0.23

0.22

0.2

0.17

0.125 0.079

Nhận xét: 𝑀𝑃𝑃𝐿 là một hàm số giảm, đến một lượng công nhân nhất định nào đó, việc tuyển thêm công nhân sẽ không còn hiệu quả nhiều, chỉ tăng thêm chi phí. Ví dụ 2: ( Doanh thu cận biên) Một công ty độc quyền sản xuất một loại sản phẩm và tiêu thụ sản phẩm đó trên thị trường với hàm cầu: 𝑄 = 1500 − 5𝑝 Hãy tính doanh thu cận biên tại mức sản lượng Q=650 và giải thích ý nghĩa. Lời giải: Că cứ theo hàm cầu, để tiêu thụ được Q sản phẩm, công ty phải bán giá: 1 𝑝 = 300 − 𝑄 5 Hàm doanh thu là: 1 1 𝑇𝑅 = (300 − 𝑄) 𝑄 = 300𝑄 − 𝑄2 5 5 Doanh thu cận biên của công ty là: 2 𝑀𝑅 = 300 − 𝑄 5 Tại mức sản lượng 𝑄 = 650, ta có:

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 29

GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY

SVTH: PHAN ANH THI

2 𝑀𝑅 = 300 − . 650 = 40 5 Điều này có nghĩa là , tại mức sản lượng là 650, nếu tăng sản xuất thêm 1 sản phẩm thì tổng doanh thu của công ty sẽ tăng thêm 40$. 2.1.2. Hệ số co dãn 1. Khái niệm hệ số co dãn Một vấn đề được quan tâm trong kinh tế là phản ứng cung và cầu đối với sự biến động giá cả trên thị trường. Với giả thiết các yếu tố khác không thay đổi, sự phụ thuộc của lượng cầu Qd với giá p được biểu diễn bằng hàm cầu: Qd = D( p)

Trong mô hình hàm cầu biến số p được đo bằng đơn vị tiền tệ, còn biến số Q được đo bằng đơn vị hiện vật. Nếu gọi Qd là mức thay đổi lượng cầu khi giá thay đổi một đơn vị thì ý nghĩa con số đó phụ thuộc vào đơn vị đo. Hơn nữa, đối với các hàng hóa khác nhau thì sự thay đổi giá thêm $1 mang ý nghĩa khác nhau. Chẳng hạn, nếu giá một chiếc ô tô tăng thêm $1 thì có thể xem như giá xe ô tô đó không đổi. Trong khi nếu giá 1kg cà phê tăng $1 thì chắc hẳn đó là một biến động lớn trên thị trường cà phê. Để đánh giá độ nhạy cảm của cầu hàng hóa đối với sự biến động giá cả, các nhà kinh tế sử dụng khái niệm hệ số co dãn. Hệ số co dãn của cầu theo giá (tính ở mỗi mức giá) là số đo lượng thay đổi thay đổi tính theo % của lượng cầu khi giá tăng thêm 1%. Tại mức giá p , nếu giá thay đổi một lượng p thì lượng cầu thay đổi tương ứng một lượng Q p . Mức phần trăm thay đổi của lượng cầu tính bình quân cho 1% thay đổi giá là: =

(Qd / Qd ).100 Qd p D( p ) p = . = . (p / p).100 p Qd p D( p)

Chuyển qua giới hạn khi p → 0 ta được công thức tính hệ số co dãn của cầu theo giá tại điểm p :

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 30

GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY =

SVTH: PHAN ANH THI

dQd p dD( p ) p p . = . = D '( p ) dp Qd dp D ( p ) D( p)

2. Một số ví dụ Ví dụ 1: Nếu hàm cầu Q = 1400 − p 2 thì hệ số co dãn tại mức giá p là:  = D '( p)

p (1400 − p 2 ) ' p −2 p 2 = = D( p ) 1400 − p 2 1400 − p 2

Khi p = 20 ta có  = −0.8 . Điều này có nghĩa là tại mức giá p=20, nếu giá tăng 1% thì cầu sẽ giảm đi 0,8%. Ví dụ 2: Nếu hàm cầu có dạng bậc nhất: Q = a − bp (a, b  0)

Thì hệ số co dãn tại điểm p là:  = D '( p)

p p = −b. D( p ) a − bp

Tương tự: Hệ số co dãn của cung theo giá là số đô lượng thay đổi tính theo phần trăm của lượng cung khi giá tăng 1%. Nếu biết hàm cung Qs = S ( p) thì hệ số co dãn của cung theo giá được tính theo công thức: =

dQs p dS ( p ) p p . = = S '( p) dp Qs dp S ( p ) S ( p)

Nói chung, nếu biến số y phụ thuộc vào biến x theo quy luật hàm số y = f ( x) thì hệ số co dãn của y theo x ( lượng thay đổi tính bằng % của biến phụ thuộc y khi biến độc lập x tăng 1%) tại điểm x bất kỳ có thể tính theo công thức:  = f '( x)

x f ( x)

2.1.3. Sự lựa chọn tối ưu trong kinh tế 1. Bài toán lựa chọn tối ưu Trong lĩnh vực hoạt động kinh tế, việc ra quyết định gắn liền với việc tối ưu hóa một hàm mục tiêu y = f ( x) . Bài toán đặt ra là: Lựa chọn y để y đạt giá trị lớn nhất hoặc

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 31

GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY

SVTH: PHAN ANH THI

giá trị nhỏ nhất. Đối với một doanh nghiệp sản xuất, mục tiêu thường được đặt ra là tối ưu hóa lợi nhuận. Chọn mức sản lượng tối ưu: Gủa sửa doanh nghiệp có hàm tổng chi phí TC (Q ) và hàm tổng doanh thu TR(Q) . Tổng lợi nhuận của doanh nghiệp là hàm số:  = TR(Q) − TC (Q)

Bài toán đặt ra là: Chọn mức sản lượng Q0 để thu lợi nhuận tối đa. Điều kiện cần để 𝜋 đạt cực đại tại điểm Q0 là:  ' = TR '(Q0 ) − TC '(Q0 ) = 0  TR '(Q0 ) = TC '(Q0 )  MR = MC

Bằng ngôn ngữ của kinh tế học, điều kiện cần để đạt lợi nhuận tối đa là: Doanh thu cận biên bằng chi phí cận biên. Tại điểm mà MR = MC , điều kiện đủ để 𝜋 đạt cực đại là:

 '' = TR ''− TC ''  0  TR "  TC " 2. Một số ví dụ Ví dụ 1: Cho biết hàm doanh thu và hàm chi phí của nhà sản xuất như sau: TR = 1400Q − 7,5Q2 , TC = Q3 − 6Q2 + 140Q + 750

Hãy chọn mức sản lượng tối ưu cho lợi nhuận tối đa. Lời giải: Hàm lợi nhuận của nhà sản xuất trong trường hợp này là:  = TR − TC = −Q3 − 1,5Q2 + 1260Q − 750 .

Điều kiện cần để 𝜋 đạt cực đại là:  ' = −3Q2 − 3Q + 1260 = 0  Q2 + Q − 420 = 0

Từ phương trình này ta xác định được Q = 20 ( loại Q = −21 do Q  0 ) Tại thời điểm Q = 20 ta có  '' = −6Q − 3 = −123  0 , do đó Q = 20 là điểm cực đại. Chú ý rằng trong

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 32

GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY

SVTH: PHAN ANH THI

khoảng (0, ) hàm lợi nhuận chỉ có một điểm cực trị duy nhất, do đó mực sản lượng tối ưu của nhà sản xuất là Q = 20 . Ví dụ 2 Hãy xác định mức sản lượng tối ưu của nhà sản xuất độc quyền, cho biết: Hàm chi phí cận biên MC = 3Q3 − 6Q + 132 . 2 3

Hàm cầu đối với sản phẩm: Q = 148 − p . Lời giải: Căn cứ theo cầu của thị trường, để tiêu thụ được Q sản phẩm, người sản xuất phải bán với giá: p = 222 − 1,5Q

Tổng doanh thu của nhà sản xuất tại mức sản lượng Q là: TR = pQ = (222 − 1,5Q)Q .

Doanh thu cận biên là: MR = TR ' = 222 − 3Q .

Điều kiện cần để tổng lợi nhuân đạt cực đại là: MR = MC  222 − 3Q = 3Q2 − 6Q + 132  Q 2 − Q − 30 = 0

Từ đây ta tìm được Q = 6 ( loại Q = −5 ) Điều kiện đủ thõa mãn khi Q = 6 là TC " = MC '(Q) = 6Q − 6 = 30 , TR " = MR '(Q) = −3  TC "

Mức sản lượng tối ưu là Q = 6 .

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 33

GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY 2.2.

SVTH: PHAN ANH THI

Một số bài toán về tìm GTLN, GTNN trong thực tế:

2.2.1. Mô hình hóa toán học và các kết quả liên quan đến GTLN, GTNN Qua tìm hiểu, tôi nhận thấy các bài toán thực tế liên quan đến dạng này có thể chia thành hai phần lớn: -

Một là, các bài toán thực tế đã được mô hình hóa bằng một hàm số toán học.

Hai là, các bài toán thực tế mà mô hình thực tiễn chưa chuyển về mô hình toán học. Như chúng ta đã biết, để có thể ứng dụng đạo hàm của hàm số thì trước tiên ta phải “ thiết lập được hàm số”. Như vậy có thể mô tả quy trình mô hình hóa như sau:

Hình 1: Quy trình MHH trong dạy học Toán. Ta có thể cụ thể hóa ba bước của quá trình MHH như sau: ▪ Bước 1: Dựa trên các giả thiết và yếu tố của đề bài, ta xây dựng mô hình Toán học cho vấn đề đang xét, tức là diễn tả “ dưới dạng ngôn ngữ Toán học cho mô hình mô phỏng thực tiễn. Lưu ý là ứng với vấn đề được xem xét có thể có nhiều mô hình toán học khác nhau. ▪ Bước 2: Dựa vào các kiến thức liên quan đến vấn đề thực tế như trong kinh tế, đời sống, trong các môn khoa học kỹ thuật như Hóa Học, Sinh học… Ta thiết lập hoàn chỉnh hàm số phụ thuộc theo một biến hoặc nhiều biến. Khóa luận tốt nghiệp

Trang 34

GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY

SVTH: PHAN ANH THI

▪ Bước 3: Sử dụng công cụ đạo hàm của hàm số để khảo sát và giải quyết bài toán hình thành ở bước 2. Lưu ý các điều kiện ràng buộc của biến số và kết quả thu được có phù hợp với bài toán thực tế đã cho chưa. Cực trị của hàm số:

Định nghĩa: Giải sử hàm số y = f (x) xác định trên tập hợp D, ( D 

)

và x 0  D .

❖ x 0 được gọi là một điểm cực đại của hàm số f (x) nếu tồn tại một khoảng ( a,b ) chứa x 0 sao cho ( a,b )  D và f (x)  f(x 0 ) với x  ( a,b ) và x  x 0 . Khi đó f ( x 0 ) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f ( x ) . ❖ x 0 được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số f (x) nếu tồn tại một khoảng

( a,b )

chứa x 0 sao cho ( a,b )  D và f (x)  f(x 0 ) với x  ( a,b ) và x  x 0 .

Khi đó f ( x 0 ) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f ( x ) . Điểm cực đại, cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Các định lý: ❖ Định lý 1( điều kiện cần ): Giả sử hàm số f ( x ) đạt cực trị tại x 0 . Khi đó, nếu f có đạo hàm tại x 0 thì f ' ( x 0 ) = 0 . Lưu ý: Điều ngược lại của định lý 1 không đúng. Đạo hàm f ' có thể bằng 0 tại điểm x 0 nhưng hàm số f không đạt cực trị tại điểm x 0 .Ví dụ như hàm y = x 3

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 35

GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY

SVTH: PHAN ANH THI

hoặc hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm ví dụ như hàm y = x . ❖ Định lý 2 ( Quy tắc 1 – Điều kiện đủ ): Giả sử hàm số f ( x ) liên tục trên khoảng ( a,b ) chứa điểm x 0 và có đạo hàm trên khoảng ( a, x 0 ) và ( x 0 ,b ) . Khi đó. • Nếu f ' ( x ) đổi dấu từ ( + ) sang ( − ) tại x 0 thì f đại cực đại tại x 0 . • Nếu f ' ( x ) đổi dấu từ ( − ) sang ( + ) tại x 0 thì f đại cực tiểu tại x 0 . Chú ý: f ' ( x ) có thể tồn tại hoặc không tồn tại. ❖ Định lý 3 ( Quy tắc 2 – Điều kiện đủ ): Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng ( a,b ) chứa điểm x 0 và f có đạo hàm cấp 2 khác 0 tại điểm x 0 . • Nếu f ' ( x 0 ) = 0 và f '' ( x 0 )  0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x 0 . • Nếu f ' ( x 0 ) = 0 và f '' ( x 0 )  0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 0 .

Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số Định nghĩa: • Số M gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của f ( x) trên miền xác định K : x  K : f ( x)  M  x0  K : f ( x0 ) = M

Kí hiệu: M = max f ( x) xK

• Số m gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của f ( x) trên miền xác định K : x  K : f ( x)  m  x0  K : f ( x0 ) = m

Kí hiệu: m = min f ( x) xK

Định lý về sự tồn tại GTLN, GTNN: “Nếu hàm số liên tục trên đoạn [a, b] thi đạt GTLN, GTNN trên đoạn đó.” Một số lưu ý: Khóa luận tốt nghiệp

Trang 36

GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY

SVTH: PHAN ANH THI  min f ( x) = f (a)  x[ a ,b ] f ( x) = f (b)  xmax [ a ,b ]

Nếu hàm số f đồng biến trên [a, b] thì 

 min f ( x) = f (b)  x[ a ,b ] Nếu hàm số f nghịch biến trên [a, b] thì  f ( x) = f (a )  xmax [ a ,b ]

Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x) Trường hợp 1: Tập K đã cho là 1 khoảng (a, b) Phương pháp: (B1): Tìm đạo hàm y ' = f '( x) . (B2): Tìm các điểm x1 , x2 ,...  K mà tại đó y ' = 0 hoặc y ' không tồn tại. Tính các giá trị f ( x1 ), f ( x2 )... và tính lim f ( x) , lim f ( x) . x→a+

x →b −

(B3): Lập bảng thiên của hàm số trên tập K . Dựa vào bảng biến thiên suy ra GTLN, GTNN của hàm số. Trường hợp 2: Tập K đã cho là đoạn [a,b] Phương pháp: (B1): Tìm đạo hàm y ' = f '( x) . (B2): Tìm các điểm x1 , x2 ,...  K mà tại đó y ' = 0 hoặc y ' không tồn tại. Tính các giá trị f ( x1 ), f ( x2 )... và tính f (a ) , f (b ) . (B3): So sánh các giá trị f ( x1 ), f ( x2 )... , f (a ) , f (b ) . Suy ra: max f ( x) = max  f ( x1 ), f ( x2 )..., f (a). f (b) x[a ,b ]

min f ( x) = min  f ( x1 ), f ( x2 )..., f (a). f (b)

x[a ,b ]

Trường hợp 3: Không cho biết trước tập 𝐾, tức là tìm GTLN, GTNN của hàm số trên tập xác định của hàm số:

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 37

GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY

SVTH: PHAN ANH THI

Phương pháp: (B1): Tìm tập xác định D của hàm số. (B2): Chuyển bài toán về trường hợp 1 hoặc 2. 2.2.2. Một số ví dụ Ví dụ 1: Từ một tấm tôn hình chữ nhật có kích thước là a  b với a  b . Người ta cắt bỏ 4 hình vuông bằng nhau ở bốn góc rồi gò thành một hình hộp chữ nhật không có nắp. Hỏi cạnh của hình vuông cắt đi phải bằng bao nhiêu để hình hộp có diện tích lớn nhất?

Phân tích: Trước tiên, với câu hỏi của bài toán thì ta nên đặt 𝑥 chính là cạnh của hình vuông cắt đi. Như vậy ta cần tùm điều kiện giới hạn của biến 𝑥. Do khi đó một cạnh tấm nhôm sai khi bị cắt trở thành a − 2 x  0  x 

a 2

Và đồng thời ta cũng có được cạnh của tấm nhôm còn lại là b − 2x  0 . Đến đây ta lập được công thức tính khối hộp V = x.(b − 2 x)(a − 2 x) . Bài toán trở thành tìm maxa V = ? x(0; ) 2

Lời giải:

Gọi 𝑥 là cạnh của hình vuông cắt đi, ta phải có điều kiện là 0  x 

a 2

Khi đó thể tích hình hộp là V = x.(b − 2 x)(a − 2 x) = 4 x3 − 2(a + b) x 2 + abx Đạo hàm V ' = 12 x 2 − 4(a + b) x 2 + ab  ' = 4(a + b)2 − 12ab = 4(a 2 − ab + b2 )  0 với mọi a , b .

Do đó V ' = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt: Khóa luận tốt nghiệp

Trang 38

GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY

x1 =

SVTH: PHAN ANH THI

a + b − a 2 − ab + b2 a + b + a 2 − ab + b 2  x2 = 6 6

Theo định lý Vi-et: a+b   x1 + x2 = 3  0   x .x = ab  0  1 2 12

Suy ra 0  x1  x2 Ta thấy 0  x1 

a  x2 2

a V '( ) = a 2 − ab + b 2 = a (a − b)  0 2

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy V đạt GTLN khi a + b − a 2 − ab + b 2 x = x1 = 6

Bình luận: Qua bài toán này ta cần lưu ý: Một là, khâu điều kiện cho biến cần đặt là cực kì quan trọng. Chúng ta không nên chỉ ghi x  0 theo cách hiểu số đo đại số là một số dương. Hai là, nếu không thuộc công thức tính thể tích khối hoopjxem như bài toán này không thể giải quyết tiếp được. Điều này đòi hỏi người giải quyết phải biết cách vạn dụng các kiến thức đã học vào bài toán thực tế. Ba là, việc giải nhiệm từ phương trình V '( x) = 0 và lập bảng biến thiên là không hề đơn giản, đòi hỏi người giải phải có kỹ năng tốt trong biến đổi đại số.

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 39

GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY

SVTH: PHAN ANH THI

Ví dụ 2: Tìm chiều dài bé nhất của cái thang để nó có thể tựa vào tường và mặt đất, ngnang qua cột đỡ cao 4m, song song và cách tường 0,5m kể từ gốc của cột đỡ.

Phân tích

Trước tiên, ta có thể minh họa mô hình bằng hình vẽ sau. Để xác định được độ dài ngắn của AC , ta thử suy nghĩ xem phân tích độ dài AC theo hướng nào? Để từ đó định hướng cách đặt ẩn cho thích hợp. Đối với hình vẽ trên ta và quan hệ các cạnh, ta thấy có hướng phân tích tốt là phân tích AC = AB2 + BC 2 hoặc hướng thứ hai là

AC = AM + MC . Nếu phân tích theo hướng thứ nhất, ta có thể thử đạt HC = x  0 , đến đây ta chỉ cần tính được AB theo 𝑥 là đã có thể lập được hàm số f ( x) biểu diễn độ dài AC . Ta sử dụng đến quan hệ tỉ lệ trong định lý Thales thuận ta có :

HC MH x = = BC AB x + 0,5

Nếu phân tích theo hướng thứ hai, nếu ta đặt HC = x  0 thì khi đó ta sẽ biểu diễn độ dài AC = P( x) + Q( x) ( điều này là không hề đơn giản) . Do đó ta chuyển hướng sang tìm quan hệ giữa góc và cạnh tam giác và nhận thấy  = MCH = AMK . Đến đây ta

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 40

GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY

SVTH: PHAN ANH THI

thấy hướng phân tích tiếp là hoàn toàn thuận lợi vì khi đó MC = MH sin  và

AM = MK cos . Lời giải: Cách 1: Đặt HC = x  0  BC = x + 0,5 . Theo định lý Thales ta có: 4( x + 0,5) HC MH x = = . Do đó ta có AB = x BC AB x + 0,5

Do ABC vuông tại B nên AC 2 = AB 2 + BC 2 = ( x + 0,5)2 + 16 Hay AC 2 =

Đặt f ( x) =

( x + 0,5)2 ( x 2 + 16) x2 x 4 + x3 +

Ta có f '( x) =  f '( x) =

( x + 0,5)2 x2

65 2 x + 16 x + 4 4 (x 0) x2

(4 x3 + 3x 2 +

65 65 x + 16) x 2 − 2 x( x 4 + x3 + x 2 + 16 x + 4) 2 4 4 x

2 x 4 + x3 − 16 x − 8 x3

Cho f '( x) = 0  ( x − 2)(2 x + 1)( x 2 + 2 x + 4) = 0  x = 2 . Lập bảng biến thiên ta có

Dựa vào bảng biến thiên ta có min f ( x) = f (2) = x 0

Vậy chiều cao bé nhất của cái thang là

Khóa luận tốt nghiệp

125 4

125  5,59 (m). 4

Trang 41

GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY

SVTH: PHAN ANH THI

Cách 2:   Đặt x = ACB   0,  2 



Khi đó ta có AC = AM + MC = Đặt g ( x) = g '( x) =

KM MH 1 4 + = + cos x sin x 2 cos x sin x

1 4 + 2 cos x sin x

−8cos3 x + sin 3 x , g '( x) = 0  tan x = 2  x = arctan(2) . 2sin 2 x.cos 2 x

Lập bảng biến thiên, ta suy ra ACmin = min g ( x) = g (arctan 2)  5,59 (m). x(0, ) 2

Ví dụ 3: Trong một môi trường dinh dưỡng có 1000 con vi khuẩn được cấy vào. Bằng thực nghiệm xác định được số lượng vi khuẩn tăng theo thời gian bởi qui luật N (t ) = 1000 +

100t ( con vi khuẩn), trong đó t là thời gian tính bằng giây (s). Hãy xác 100 + t 2

định thời điểm sau khi thực hiện cấy vi khuẩn vào, số lượng vi khuẩn tăng lên là lớn nhất? Phân tích: Ở đây đề bài đã mô hình hóa bài toán dưới dạng hàm nên ta chỉ cần vận dụng kiến thức đạo hàm là có thể tìm được số lượng tăng nhanh nhất của vi khuẩn Lời giải: Ta có tốc độ phát triển của đàn vi khuẩn tại thời điểm 𝑡 là : 100(100 + t 2 ) − 100t (2t ) 1002 −100t 2 N '(t ) = = (t  0) (100 + t 2 )2 (100 + t 2 )2

N '(t ) = 0  100t 2 = 1002  t = 10

Lập bảng biến thiên ta được

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 42

GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY

SVTH: PHAN ANH THI

Vậy số lượng vi khuẩn tăng lên lớn nhất là Max N (t ) = N (10) = 1005 , tại thời điểm 𝑡 = x 0

10. Ví dụ 4: Trong nội dung thi điền kinh và bơi lội phối hợp được diễn ra tại một hồ bơi có chiều rộng 50m và chiều dài 200m. Một vận động viên cần chạy phối hợp với bơi ( bắt buộc cả hai) khi phải hiện lộ trình xuất phát từ A đến B như hình vẽ. Hỏi rằng sau khi chạy được bao xa ( quãng đường x) thì vận động viên nên tiếp tụ bơi về đích nhanh nhất? Biết rằng vận tốc của vận động biên khi chạy trên bờ và khi bơi lần lượt là 4,5m/s và 1,5m/s.

Lời giải Gọi C là vị trí mà vận động viên kết thúc phần chạy điền kinh và đặt AC = x , ( x  0) . Với lộ trình đã vạch sẵn như hình vẽ, ta thấy, cùng với chiều rộng và chiều dài của hồ bơi, ta nhận thấy tổng quãng đường vận động viên đó phải đi sẽ là AC + CB . Khi đó ta có t1 =

x là thời gian đi từ A đến C. 4,5

Quãng đường bơi chính là BC, BC = 502 + (200 − x) 2 502 + (200 − x) 2 BC = Khi đó ta có thời gian bơi từ C đến B là t2 = 1,5 1,5

Tổng thời gian của vận động viên sẽ là T = t1 + t2 =

Khóa luận tốt nghiệp

502 + (200 − x) 2 x + 4,5 1,5

Trang 43

GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY

SVTH: PHAN ANH THI

502 + (200 − x)2 x ,0  x  200 + Xét hàm f ( x) = 4,5 1,5 2 9

Ta có f '( x) = +

2 −(200 − x) , x  (0, 200) 3 502 + (200 − x) 2

f '( x) = 0  3(200 − x) = 502 + (200 − x) 2  8(200 − x)2 = 502  x0 =

400 − 25 2  182,322 2

Lập bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên min f ( x) = f ( x(0,200)

400 − 25 2 )  75,87 s . 2

2.3. Ứng dụng của đạo hàm trong vật lý Có hai bài toán cơ bản là nguồn gốc làm nảy sinh khái niệm đạo hàm, một thuộc lính vực Vật lý, một đến từ Hình học. Nói đến ứng dụng đạo hàm không thể không nói đến ứng dụng của nó trong Vật lý. Ngoài việc là công cụ để tính toán trong các bài toán tối ưu, nó còn có một số ứng dụng khác để hình thành một số công thức Vật lý. Bài viết này xin trình bày một số ứng dụng của nó như sau: 2.3.1. Bài toán tìm vận tốc và gia tốc tức thời trong chuyển động cơ học ▪ Vận tốc tức thời Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình 𝑠 = 𝑠(𝑡), với 𝑠 = 𝑠(𝑡) là một hàm số có đạo hàm. Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm 𝑡0 là đạo hàm của hàm số 𝑠 = 𝑠(𝑡) tại 𝑡0 : 𝑣 (𝑡0 ) = 𝑠′(𝑡0 ). Giải thích:

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 44

GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY

SVTH: PHAN ANH THI

Một chất điểm M chuyển động trên trục s ' Os Quãng đường 𝑠 của chuyển động là một hàm số của thời gian 𝑡: s = s (t )

Trong khoảng thời gian từ 𝑡0 đến 𝑡 s − s0 = s(t ) − s(t0 )

Vận tốc trung bình của chất điểm chuyển động trong khoảng thời gian t − t0 là s (t ) − s (t0 ) t − t0

Khi 𝑡 càng gần 𝑡0 , tức là t − t0 càng nhỏ thì vận tốc trung bình càng thể hiện được chính xác hơn mức độ nhanh chậm của chuyển động tại thời điểm 𝑡0 .

Từ nhận xét trên, người ta đưa ra định nghĩa sau đây: Giới hạn hữu hạn ( nếu có) : lim t → t0

s (t ) − s (t0 ) , t − t0

được gọi là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t0 . Hay là: 𝑣 (𝑡0 ) = 𝑠′(𝑡0 ) ▪ Gia tốc tức thời: Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình vận tốc 𝑣 = 𝑣(𝑡), với 𝑣 = 𝑣(𝑡) là một hàm số có đạo hàm. Gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm 𝑡0 là đạo hàm của hàm số 𝑣 = 𝑣(𝑡) tại 𝑡0 :

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 45

GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY

SVTH: PHAN ANH THI 𝑎(𝑡0 ) = 𝑣′(𝑡0 )

Ví dụ 1: Một cano chạy với phương trình chuyển động là 𝑠(𝑡 ) = 3𝑡 3 + 4𝑡 2 + 2𝑡. Vận tốc tại 𝑡 = 3 là bao nhiêu? Lời giải: Vận tốc của cano là : Ta có 𝑣 (𝑡 ) = 𝑠′(𝑡) = 9𝑡 2 + 8𝑡 + 2. Tại thời điểm 𝑡 = 3, vận tốc cano chạy là: 𝑣 (3) = 107. Ví dụ 2: Một chất điểm chuyển động thẳng theo phương trình 𝑆 = 𝑡 3 − 3𝑡 2 + 4𝑡, trong đó 𝑡 tính bằng giây (s) và 𝑆 tính bằng mét (m). Tính gia tốc của chất điểm lúc 𝑡 = 2𝑠. Lời giải: Gia tốc của chất điểm là: 𝑎 = 𝑆 ′′ = (𝑡 3 − 3𝑡 2 + 4𝑡 )′′ = (3𝑡 2 − 6𝑡 + 4)′ = 6𝑡 − 6 Tại thời điểm 𝑡 = 2, 𝑎 = 6.2 − 6 = 6(𝑚/𝑠 2 ). Ví dụ 3: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình 𝑆 = 𝑡 3 + 3𝑡 2 − 9𝑡 + 27, trong đó 𝑡 tính bằng giây (s) và 𝑆 tính bằng mét (m). Tính gia tốc của chất điểm tại thời điểm vận tốc triệt tiêu. Lời giải: Vận tốc của chất điểm là đạo hàm của quãng đường theo thời gian: 𝑣 = 𝑆 ′ = 3𝑡 2 + 6𝑡 − 9 Gia tốc của chất điểm là đạo hàm của vận tốc theo thời gian: 𝑎 = 𝑣 ′ = 6𝑡 + 6 Tại thời điểm vận tốc bị triệt tiêu: 𝑣 = 0 ⟹ 3𝑡 2 + 6𝑡 − 9 = 0 ⟹ 𝑡 = 1 (do 𝑡 > 0) Khi đó gia tốc của chất điểm là: 𝑎 = 6.1 + 6 = 12(𝑚/𝑠 2 ).

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 46

GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY

SVTH: PHAN ANH THI

Ví dụ 4: Một vật chuyển động trên một đường thẳng. Hình dưới là đồ thị chỉ sự phụ thuộc của vận tốc của nó vào tọa độ x . Hãy tìm độ lớn cực đại của gia tốc trên đoạn đường từ 0 đến 5m

Lời giải: Từ đồ thị suy ra, khi 𝑥 < 1 m và 𝑥 > 4 m, vận tốc của vật không đổi: 𝑎 = 0. Trong khoảng từ 𝑥 = 1 m đến 𝑥 = 4 m, ta có: 𝑥 = −𝑣.

dx = −dv Suy ra: a=

dv − dx = = −v dt dt

Gia tốc có độ lớn tỉ lệ với vận tốc. Tại 𝑥 = 1, vận tốc cực đại nên gia tốc của nó cũng có độ lớn cực đại: amax = vmax = 4m / s 2

Ví dụ 5: Hai vật dao động điều hòa dọc theo các trục song song với nhau cùng vị trí cân bằng. Phương trình dao động của các vật lần lượt là x1 = A cos t (cm )

và



x1 = A cos(t − ) (cm). Biết 32 x12 + 18 x2 2 = 1152 (cm2 ) . Tại thời điểm t , vật thứ hai đi 2

qua vị trí có li độ x2 = 4 3cm với vận tốc v2 = 8 3 cm / s . Khi đó vật thứ nhất có tốc độ bằng bao nhiêu? Lời giải: Ta có 32 x12 + 18 x2 2 = 1152 , x2 = 4 3

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 47

GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY

 x1 =

SVTH: PHAN ANH THI

1152 − 18 x2 2 1152 − 18 x2 2 = 3 hoặc x1 = − = −3 32 32

Lấy đạo hàm hai vế của 32 x12 + 18 x2 2 = 1152 , ta được: 64 x1 ( x1 ) '+ 36 x2 ( x2 ) ' = 0 (1)

Mà x1 ' = v1 , x2 ' = v2 nên (1) tương đương: 16 x1v1 + 9 x2v2 = 0  v1 =

−9 x2 v2 16 x1

Khi x1 = 3  v1 = −18 (cm / s) . Khi x1 = −3  v1 = 18 (cm / s) . Tóm lại, đó vật thứ nhất có tốc độ bằng 18 cm/s. Ví dụ 6: Cho ba vật dao động điều hòa cùng biên độ A = 5cm , với tần số khác nhau. Biết rằng. tại mọi thời điểm li độ và vận tốc của các vật liên hệ với nhau bằng biểu thức x1 x2 x3 . Tại thời điểm t , các vật lần lượt cách vị trí cân bằng của chúng lần lượt + = v1 v2 v3

là 3cm, 2cm và x0 cm. Tính x0 . Lời giải: x x1 x2 x3 x x  ( 1 + 2 )' = ( 3 )' + = v1 v2 v3 v1 v2 v3

x x x  ( 1 ) '+ ( 2 ) ' = ( 3 ) ' (1) v1 v2 v3

Bây giờ ta sẽ tính : x x 'v − v ' x ( )' = v v2

ax v.v − ax v 2 − ax  2 x2 x2 − 2 .x.x x2 = 1 − = − = 1 = 1 + = 1 + = 1 + v2 v2 v2 v2 v2 v2 A2 − x 2 2

Theo trên

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 48

GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY

(1)  1 +

 1+

SVTH: PHAN ANH THI

x32 x12 x2 2 + 1 + = 1 + A2 − x12 A2 − x2 2 A2 − x32

x32 x12 x2 2 + = A2 − x12 A2 − x2 2 A2 − x32

x0 2 32 22  1+ 2 2 + 2 = 5 − 3 5 − 22 52 − x0 2

Tính ra ta được x0  3,99 cm. 2.3.2. Bài toán về tốc độ Cơ sở lý thuyết: Theo định nghĩa của đạo hàm: f '( x0 ) = lim

x →0

f ( x0 + x) − f ( x0 ) y = lim x 0  → x x

Khi ∆𝑥 có giá trị tuyệt đối đủ nhỏ ta có: y f ( x0 + x) − f ( x0 ) =  f '( x0 ) x x  y = f ( x0 + x) − f ( x0 )  f '( x0 )x

Do đó, đạo hàm phản ảnh tốc độ biến thiên của một hàm số so với tốc độ biến thiên của một biến số x khi x → x0 . Ví dụ 1: Một cái thang dài 13ft ( ft là viết tắt của feet ( số nhiều của foot), 1 foot=0,3048m) tựa vào một bức tường. Chân cái thang bắt đầu trượt khỏi bức tường với tốc độ 1 ft mỗi phút. Khi chân cái thang cách tường 5 ft, với tốc độ nào thì đỉnh thang trượt xuống?

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 49

GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY

SVTH: PHAN ANH THI

Lời giải Cho ℎ(𝑡) là chiều cao của cái thang tại thời điểm 𝑡 và 𝑏(𝑡) là khoảng cách giữa chân cái thang với bức tường theo biến thời gian 𝑡. Do đó, theo định lý Pytago ta có: h(t )2 + b(t )2 = 132

Vi phân hai vế theo biến t ( t theo phút) ta được: 2h(t ).h '(t ) + 2b(t )b '(t ) = 0

 h '(t ) = −

b(t ).b '(t ) h(t )

Lúc này bài toán đặt ra, 𝑏(𝑡 ) = 5, ℎ(𝑡 ) = 12 và 𝑏′ (𝑡 ) = 1. Thế các giá trị vào phương trình ta được: h '(t ) = −

5.1 5 = ft/phút 12 12

Kết quả là âm, là phù hợp khi đỉnh thang trượt xuống Vậy với tốc độ

5 ft/phút thì đỉnh thang trượt xuống. 12

Ví dụ 2: Một miếng bọt biển có hình dạng một cái nón. Khi nó thấm nước, nó phình ra. Tại một thời điểm nhất định, chiều cao tương đương là 6 inch và đang tăng với tốc độ 0,3 inch mỗi giây. Vào thời điểm tương tự, bán kính đáy là 4 inch, đang tăng với tốc độ 0,2 inch mỗi giây. Thể tích thay đổi như thế nào tại thời điểm đó.

Lời giải: Ta biết rằng thể tích 𝑉 của hình nón có liên quan đến chiều cao ℎ và bán kính 𝑟 bằng công thức: 1 V =  r 2h 3

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 50

GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY

SVTH: PHAN ANH THI

Vi phân hai vế theo biến t ( t theo giây) ta được: dV 1 dr dh =  (2 h + r2 ) dt 3 dt dt

Thế các giá trị r , dr / dt , h và dh / dt : dV 1 24 =   2.4.(0, 2).6 + 42.(0,3)  =  dt 3 5 24  in3 /phút. 5

Vậy thể tích thay đổi với tốc độ

Ví dụ 3: Một quả bóng đồ chơi có dạng hình cầu. Nó đã được thổi phồng lên với tốc độ 20in3/phút. Tại thời điểm mà hình cầu có thể tích 64 in3, tốc độ thay đổi bán kính như thế nào? Lời giải: Ta đã biết thể tích và bán kính của hình cầu quan hệ với nhau bởi công thức: 4 V =  r3 3

Lấy vi phân phương trình theo biến thời gian t: dV 4 dr = .3r 2 dt 3 dt

Mà theo đề ta có in3/ phút là r = 3

(1)

dV = 20 và tính được bán kính tại thời điểm hình cầu có thể tích là 64 dt 3V 3 3.64 3 48 . = = 4 4 

Thế các giá trị vào (1) ta được 20 = 

Vậy bán kính tăng với tốc độ

5 1 3

 48

Khóa luận tốt nghiệp

2 3

4 3 48 dr .3. . 3  dt dr = dt

5 1 3

 48

2 3

in/phút.

Trang 51

GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY

SVTH: PHAN ANH THI

2.3.3. Bài toán chuyển động cong Đạo hàm cấp 2 của hàm số y = f ( x) y '' = ( y ') ' =

dy ) 2 dx = d y dx dx 2

Bây giờ ta tìm hiểu ý nghĩa của đạo hàm cấp hai: Như đã biết “độ dốc” và “hướng dốc” của đồ thị được xác định bằng đạo hàm bậc nhất. Bây giờ ta đặt ra câu hỏi liệu có xác định được “độ cong”, “hướng cong” của đồ thị tại một điểm hay không? Ta coi rằng mỗi đoạn thẳng nhỏ của đồ thị là một đoạn của đường tròn bán kính Xét một cung nhỏ PP1 có độ dài s : s ds =  → 0  d

Ta có r = lim r=

ds dx . dx d

Trong đó: (dx) 2 + (dy ) 2 ds  dy  = = 1+   dx dx  dx  tan  =

dy  dy    = acr tan   dx  dx 

 dy  1+   dx 1 1 dx = = = 2  d d y d d  dy  acr tan   dx dx dx 2  dx    dy  2  1 +      dx   Thay vào ta được r =  d2y dx 2

  dy  2  1 +      dx   Do r  0  r =  d2y dx 2

Khóa luận tốt nghiệp

3/2

Trang 52

GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY

SVTH: PHAN ANH THI

Ví dụ 1: Một hòn bi nhỏ có khối lượng m bắt đầu lăn từ điểm O trên một máng trơn OCB như hình vẽ. Hãy tính áp lực của bi lên máng tại C, biết hình cắt của máng là một đường được xác định bằng phương l x trình y = h sin   với h = .  l 

Lời giải: Trước hết ta xác định độ dốc của máng tại C: dy h x  =  cos   dx l  l 

Tại điểm C: x =

dy l =0 thì dx 2

Chọn mốc thế năng tại C, áp dụng định luật bảo toàn cơ năng ở O và C ta có: 1 2 mv = mgh 2  v 2 = 2 gh =

2 gl 3

Phương trình động lực học tại C: mv 2 N − mg = r

Trong đó r là bán kính cong của quỹ đạo tại C, nó được tính bằng công thức:   dy  2  1 +      dx   r= d2y dx 2

3/2

dy d2y  2h   x  2 = 0 và Với = − 2 sin  =− dx dx 2 l 3l  l 

Khi đó độ lớn của bán kính đường cong là r =

2

Khi đó áp lức lên máng là N = mg +

Khóa luận tốt nghiệp

  mv 2 2 gl  2  2 2  = m g + .  = mg 1 + . . r 3 3 l 9    

Trang 53

GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY

SVTH: PHAN ANH THI

Ví dụ 2: Một vật khối lượng 2m được coi là chất điểm đặt ở đỉnh của một đường trượt (C) có dạng parabol với phương trình trong hệ tọa độ 𝑂𝑥𝑦 ( như hình vẽ) : y = ax 2 ; a=20, x tính theo m. Một viên đạn khối lượng m bay theo phương ngang với vận tốc v0 đến va chạm mềm với chất điểm nói trên. Tìm điều kiện v0 để vật luôn trượt trên đường (C) nói trên. Bỏ qua ma sát.

Lời giải: Giả sử sau khi ca chạm, vật trượt trên đường trượt, tại tọa độ x, y bất kì, ta có N + mg = ma

Tại mỗi vị trí, vật đang trượt trên mặt cong có bán kính r được tính bằng công thức:   dy 2  1 +      dx   r= d2y dx 2

3/2

(1 + 4a x ) 2

2 3

Chiếu phương trình vectơ lên trục hướng tâm tại vị trí đó ta được mg.cos  − N =

Trong đó: tan  =

mv 2 r

dy 1 1 = 2ax  cos  = = dx 1 + tan 2  1 + 4a 2 x 2

Thay vào phương trình ta có: N=

 2av 2  g −   1 + 4a 2 x 2  1 + 4a 2 x 2  m

Áp dụng định luất bảo toàn động lượng cho hai vật trước và sau va chạm ta được: Khóa luận tốt nghiệp

Trang 54

GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY

SVTH: PHAN ANH THI

mv0 = 3mv1  v1 =

v0 3

Định luật bảo toàn cơ năng: 1 1 3mv12 = 3mv 2 − 3mgy 2 2 2

v2 v  Hay  0  = v 2 + 2 gax 2  v 2 = 0 − 2agx 2 9 3

Khi đó áp lực của đường trượt trên vật là:   v0 2  2a  − 2agx 2    m  g−  9 N= 2 2 2 2   1 + 4 a x 1 + 4a x    

Điều kiện để vật không rời đường trượt là N  0, x , tức là v 2  2a  0 − 2agx 2  9   0, x g−  2 2 1 + 4a x

 8 ga 2 x 2 

2av0 2 − g , x 9

Điều này đúng khi: 2av0 2 9g 9.10 − g  0  v0  = = 1,5 (m/s). 9 2a 2.20

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 55

GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY

SVTH: PHAN ANH THI KẾT LUẬN

Qua nghiên cứu đề tài theo tiêu chí bám sát mục tiêu và nhiệm vụ đã đề ra, khóa luận đã giải quyết được các nội dung cụ thể sau: Chương 1: Khóa luận làm rõ các về các vấn đề cơ bản của NL, NL toán học; biểu hiện của các NL chung và các thành tố của NL toán học; mục đích, vị trí, vai trò, ý nghĩa, chức năng của bài tập toán; vị trí chương đạo hàm, ứng dụng đạo hàm và yêu cầu cần đạt trong chương trình môn Toán mới, nội dung cơ bản của chương trình đạo hàm; phương pháp dạy học nhằm phát triển NL của HS; Kiểm tra đánh giá nhằm nâng cao NL cho HS. Chương 2: Khóa luận làm rõ một số bài toán về ứng dụng đạo hàm vào thực tế trong các lĩnh vực như bài toán tối ưu, trong kinh tế và trong vật lý. Hi vọng khóa luận sẽ góp phần giúp HS học tốt, phát huy được NL Toán học khi học nội dung về Đạo hàm và ứng dụng vào thực tế, khơi dậy cho HS niềm đam mê Toán học, không còn thấy Toán học không phải là môn học khô khan và thiếu thực tế, là tài liệu thiết thực để mở rộng kiến thức ứng dụng đạo hàm, đồng thời nâng cao chất lượng dạy và học ở trường Trung học Phổ Thông, đặc biệt là khi đất nước đang từng bước áp dụng nội dung chương trình giáo dục phổ thông mới vào dạy học. Qua khóa luận, tôi hi vọng những đóng góp nhỏ của bài luận này sẽ đem lại những lợi ích nhất định cho GV và HS.

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 56

GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY

SVTH: PHAN ANH THI

TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Bộ Giáo dục và đào tạo (2015), Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể, Hà Nội. [2]. Bộ Giáo dục và đào tạo (2018), Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán , Hà Nội. [3] Bộ Giáo dục và đào tạo (2014), Dạy học và kiểm tra, đánh giá kết quả học tập theo định hướng phát triển năng lực học sinh, Hà Nội. [4] Nguyễn Nhật Minh (2014), Giới thiệu ứng dụng của đạo hàm theo sách Calculus Demytified của Steven G.Krantz, Huế. [5] Trần Công Diệu, Nguyễn Công Quang (2017), Tiếp cận phương pháp và vận dụng cao trong trắc nghiệm bài toán thực tế, Nxb Đại Học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội. [6] Lê Đình Thúy (2010), Toán cao cấp cho các nhà kinh tế phần II, Nxb Đại học Kinh tế Quốc Dân, Hà Nội. [7] Bộ Giáo dục và đào tạo (2017), Đại số và Giải tích 11 , Nxb Giáo dục, Hà Nội. [8] Bộ Giáo dục và đào tạo (2017), Vật 1ý 10 , Nxb Giáo dục, Hà Nội. [9] Nguyễn Danh Nam (2015), Quy trình mô hình hóa trong dạy học toán ở trường phổ thông, Tạp chí khoa học ĐHQGHN. [10] Một số tài liệu mạng: https://www.wikipedia.org/ https://www.tailieu.vn/ http://thuvien.ued.udn.vn

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 57