www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
N
§2 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 1. Định nghĩa:
Ơ
a) Góc giữa hai vectơ.
TP
.Q
+ Quy ước : Nếu a = 0 hoặc b = 0 thì ta xem góc giữa hai vectơ a và b là tùy ý (từ 00
ẠO
đến 1800 ).
+ Kí hiệu: a; b
Đ G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
( )
H Ư
N
b) Tích vô hướng của hai vectơ.
TR ẦN
Tích vô hướng của hai véc tơ a và b là một số thực được xác định bởi: a.b = a b .cos( a , b) .
A Ó
-L
Í-
H
1) a.b = b.a 2) a(b ± c ) = a.b ± a.c 3) ( ka)b = k( a.b) = a( kb) 2 2 4) a ≥ 0, a = 0 ⇔ a = 0
10 00
B
2. Tính chất: Với ba véc tơ bất kì a , b , c và mọi số thực k ta luôn có:
ÁN
Chú ý: Ta có kết quả sau:
TO
+ Nếu hai véc tơ a và b khác 0 thì a ⊥ b ⇔ a.b = 0
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y
N
H
Cho hai vectơ a và b đều khác 0 . Từ điểm O bất kỳ dựng các vectơ OA = a và OB = b . Số đo góc AOB được gọi là số đo góc giữa hai vectơ a và b .
Đ
ÀN
2 2 + a.a = a = a gọi là bình phương vô hướng của véc tơ a .
D
IỄ N
2 2 2 2 + ( a ± b)2 = a ± 2 a.b + b , ( a + b)( a − b) = a − b
3. Công thức hình chiếu và phương tích của một điểm với đường tròn. a) Công thức hình chiếu.
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Cho hai vectơ AB , CD . Gọi A', B' lần lượt là hình chiếu của A, B lên đường thẳng CD khi đó ta có AB.CD = A ' B '.CD
ẠO
Chú ý: Ta có PM / (O ) = MA.MB = MO 2 − R 2 = MT 2 với T là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
điểm M
TR ẦN
1) a.b = x1 x2 + y1 y2
10 00
B
2) a = ( x; y ) ⇒| a|= x 2 + y 2 x1 x2 + y1 y2
A
x12 + y12 x22 + y 22
H
Ó
a.b 3) cos( a , b) = = a b
H Ư
Cho hai vectơ a = ( x1 ; y1 ) và b = ( x2 ; y2 ) . Khi đó
N
G
3.Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
Í-
Hệ quả:
ÁN
-L
+ a ⊥ b ⇔ x1 x2 + y1 y2 = 0
TO
+ Nếu A( x A ; y A ) và B( xB ; y B ) thì AB = ( xB − xA )2 + ( y B − y A )2
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.
TP
M / (O )
.Q
(O; R ) . Kí hiệu là P
U Y
N
H
Cho đường tròn ( O; R ) và điểm M. Một đường thẳng qua N cắt đường tròn tại hai điểm A và B. Biểu thức MA.MB được gọi là phương tích của điểm M đối với đường tròn
Ơ
N
b) phương tích của một điểm với đường tròn.
ÀN
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
D
IỄ N
Đ
DẠNG 1 : Xác định biểu thức tích vô hướng, góc giữa hai vectơ. 1. Phương pháp giải.
• Dựa vào định nghĩa a.b = a . b cos a; b
( )
• Sử dụng tính chất và các hằng đẳng thức của tích vô hướng của hai vectơ 2. Các ví dụ:
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = a , BC = 2 a và G là trọng tâm.
B. AB.BC + BC.CA + CA. AB = − a2
C. AB.BC + BC.CA + CA. AB = −4 a2
D. AB.BC + BC.CA + CA. AB = −2 a2
Đ
ẠO
TP
A. AB.BC + BC.CA + CA. AB = 4 a 2
N
G
c) Tính giá trị của biểu thức GA.GB + GB.GC + GC.GA
2a2 B. GA.GB + GB.GC + GC.GA = − 3 5a2 D. GA.GB + GB.GC + GC.GA = − 3
TR ẦN
H Ư
a2 A. GA.GB + GB.GC + GC.GA = − 3 4a2 C. GA.GB + GB.GC + GC.GA = − 3
B
Bài làm:
10 00
C
A
(hình 2.2)
Ó
a) * Theo định nghĩa tích vô hướng ta có
)
(
= a =1 Mặt khác cos BA , BC = cos ABC 2a 2
G
A
)
P Hình 2.2
TO
ÁN
(
M
N
)
-L
Í-
(
H
BA.BC = BA . BC cos BA , BC = 2 a2 cos BA , BC .
ÀN
Nên BA.BC = a2
B
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
b) Tính giá trị của biểu thức AB.BC + BC.CA + CA. AB
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Ơ
D. BA.BC = a2 , BC.CA = −3a2
H
C. BA.BC = a2 , BC.CA = −a 2
N
B. BA.BC = a2 , BC.CA = 3a 2
U Y
A. BA.BC = 2 a2 , BC.CA = −3a2
N
a) Tính các tích vô hướng: BA.BC ; BC.CA
D
IỄ N
Đ
* Ta có BC.CA = −CB.CA = − CB . CA cos ACB
Theo định lý Pitago ta có CA =
( 2a )
2
− a2 = a 3
a 3 = −3a2 Suy ra BC.CA = − a 3.2 a. 2a
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
b) Cách 1: Vì tam giác ABC vuông tại A nên CA. AB = 0 và từ câu a ta có AB.BC = − a 2 , BC.CA = −3a2 . Suy ra AB.BC + BC.CA + CA. AB = −4 a2
(
Ơ
)
)
.Q
(
ẠO
(
) 2
H Ư
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB
N
G
Đ
1 GA.GB + GB.GC + GC.GA = − GA 2 + GB2 + GC 2 2
TP
c) Tương tự cách 2 của câu b) vì GA + GB + GC = 0 nên
4a2 2 Dễ thấy tam giác ABM đều nên GA = AM = 9 3
TR ẦN
2
4 4 4 3a 2 7 a 2 BN 2 = AB2 + AN 2 = a2 + = 9 9 9 4 9
(
)
A
GB2 =
10 00
B
Theo định lý Pitago ta có:
Ó
4 4 4 a2 GC 2 = CP 2 = AC 2 + AP 2 = 3a 2 + 9 9 9 4
)
13a 2 = 9
-L
Í-
H
(
TO
ÁN
1 4 a 2 7 a2 13a 2 4a2 Suy ra GA.GB + GB.GC + GC.GA = − + + =− 2 9 9 9 3 Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD cạnh a. M là trung điểm của AB, G là trọng tâm tam
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
1 AB.BC + BC.CA + CA. AB = − AB2 + BC 2 + CA 2 = −4 a 2 2
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
H
= AB2 + BC 2 + CA 2 + 2 AB.BC + BC.CA + CA. AB Ta có
N
2
U Y
( AB + BC + CA )
N
Cách 2: Từ AB + BC + CA = 0 và hằng đẳng thức
ÀN
giác ADM . Tính giá trị các biểu thức sau:
D
IỄ N
Đ
a) ( AB + AD)( BD + BC ) A. ( AB + AD)( BD + BC ) = 3a 2
B. ( AB + AD)( BD + BC ) = 2 a2
C. ( AB + AD)( BD + BC ) = a2
D. ( AB + AD)( BD + BC ) = 4 a2
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
(
21a2 4
B.
11a 2 4
C.
9a2 4
D.
a2 4
H
Ơ
A.
)
N
b) CG. CA + DM
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
(hình 2.3)
TP
.Q
a) Theo quy tắc hình bình hành ta có AB + AD = AC
ẠO
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Do đó ( AB + AD)( BD + BC ) = AC.BD + AC.BC
A
B
Đ
= CA.CB = CA . CB cos ACB
M
G
G
TR ẦN
= 450 và theo định lý Pitago ta có : Mặt khác ACB
H Ư
N
( AC.BD = 0 vì AC ⊥ BD )
AC = a 2 + a 2 = a 2
D
C Hình 2.3
10 00
B
Suy ra ( AB + AD)( BD + BC ) = a.a 2 cos 450 = a 2
A
b) Vì G là trọng tâm tam giác ADM nên CG = CD + CA + CM
Ó
Mặt khác theo quy tắc hình bình hành và hệ thức trung điểm ta có CA = − AB + AD
Í-
H
(
-L
1 1 1 CM = CB + CA = CB − AB + AD = − AB + 2 AD 2 2 2
)
ÁN
(
(
)
(
)
(
ÀN
TO
1 5 Suy ra CG = − AB − AB + AD − AB + 2 AD = − AB + 2 AD 2 2
) (
)
)
và
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y
N
Bài làm:
1 Ta lại có CA + DM = − AB + AD + AM − AD = − AB + 2 AD 2
D
IỄ N
Đ
(
)
5 1 Nên CG. CA + DM = AB + 2 AD AB + 2 AD 2 2
(
)
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
5 21a 2 AB 2 + 4 AD 2 = 4 4
=
N
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có BC = a , CA = b , AB = c . M là trung điểm của BC, D là
H
Ơ
chân đường phân giác trong góc A.
B.
1 2 2 2 c +b −a 4
(
)
C.
1 2 2 2 c +b −a 3
(
)
(b + c)
H Ư
(b − c)
)
ẠO
Đ
2 D. AD =
4bc
4bc
2
G
2
p ( p − a)
(b + c)
(
( p − a)
N
2 B. AD =
TR ẦN
2 C. AD =
2
p ( p − a)
4c
1 2 2 c + b − 2a2 2
4bc
(b + c)
10 00
Bài làm:
p ( p − a)
A
A
(hình 2.3)
2
B
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
2 b) Tính AD 2 A. AD =
D.
(
)
1 1 AB2 + AC 2 − CB 2 = c 2 + b2 − a2 2 2
(
B
)
ÁN
=
-L
Í-
H
Ó
1 2 2 2 a) Ta có AB. AC = AB + AC − AB − AC 2
Hình 2.3
TO
Mặt khác AB. AC = AB. AC cos A = cb cos A
ÀN
D
C
1 2 2 2 c 2 + b2 − a 2 c + b − a = cb cos A hay cos A = 2 2bc
(
)
IỄ N
Đ
Suy ra
DM
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
)
U Y
(
.Q
1 2 2 2 c +b −a 2
TP
A.
N
a) Tính AB. AC
1 b) * Vì M là trung điểm của BC nên AM = AB + AC 2
(
2 1 Suy ra AM = AB + AC 4
(
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
)
2
=
)
2 1 2 AB ABAC + AC + 2 4
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
1 Theo câu a) ta có AB. AC = c 2 + b2 − a2 nên 2
(
)
(
)
Ơ
)
) )
(
(
)
)
2
p ( p − a)
Đ
A
(b + c)
Ó
4bc
H
2 Hay AD =
10 00
B
(
TR ẦN
2 2 1 ⇔ ( b + c ) AD = b2 c 2 + 2bc. c 2 + b 2 − a 2 + c 2 b2 2 2 bc ⇔ AD = b + c − a )( b + c + a ) 2 ( (b + c)
G
(
N
b AD − AB = AC − AD ⇔ ( b + c ) AD = bAB + cAC c 2 2 2 2 ⇔ ( b + c ) AD = bAB + 2bcABAC + cAC
H Ư
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Mặt khác BD = AD − AB và DC = AC − AD thay vào (*) ta được
-L
Í-
Nhận xét : Từ câu b) suy ra độ dài đường phân giác kẻ từ đỉnh A là la =
2 bc b+c
ÁN
3. Bài tập luyện tập:
TO
Bài 2.13. Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng:
p ( p − a)
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y TP
b DC (*) c
ẠO
BD Suy ra BD = DC = DC
BD AB c = = DC AC b
.Q
* Theo tính chất đường phân giác thì
N
H
(
N
2 1 2 b2 + c 2 − a2 1 2 2 2 2 2 AM = c + 2. c + b − a + b = 4 2 4
D
IỄ N
Đ
ÀN
a) AB. AC
A.
5a 2 2
B.
a2 2
C.
3a 2 2
D. −
a2 2
b) AC.CB
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
a2 2
B. −
5a 2 2
C. −
7 a2 2
B. −
a2 2
C.
a2 3
D. −
3a 2 2
D. −
5a 2 2
N H )
G N H Ư
TR ẦN
a2 c) AB.BC = − 2
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
a2 2 0 Bài 2.13. a) AB. AC = AB. AC.cos AB; AC = a cos 60 = 2 a2 b) AC.CB = −CA.CB = −CA.CB.cos 60 0 = − 2
N
TP
Bài làm:
(
U Y
a2 2
.Q
A. −
Ơ
c) AB.BC
B
Bài 2.14 .Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, AC = 8 .
10 00
a) Tính AB. AC
B. AB. AC = 10
C. AB. AC = 30
D. AB. AC = 20
C. AC.BC = 42
D. AC.BC = 44
Ó
A
A. AB. AC = 40
Í-
H
b) Tính AC.BC .
-L
A. AC.BC = 45
B. AC.BC = 41
TO
ÁN
c) Gọi D là điểm trên CA sao cho CD = 3 . Tính CD.CB . 35 B. CD.CB = 2
D
IỄ N
Đ
ÀN
31 A. CD.CB = 2
33 C. CD.CB = 2
37 D. CD.CB = 2
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
A. −
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Bài làm:
2 2 Bài 2.14. a) 2 AB.AC = AB + AC − AB − AC
(
)
2
= AB2 + AC 2 − BC 2
Suy ra AB. AC = 20
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
1 Ta có AB. AC = 20 ⇔ AB. AC.cos A = 20 ⇒ cos A = ⇒ A = 60 0 2 2 b) AC.BC = AC. AC − AB = AC − AB. AC = 8 2 − 20 = 44
N
)
Ơ U Y
N
H
11 c) Ta có AC.BC = AC.BC.cos C = 44 ⇒ cos C = 14
TP
.Q
11 33 Do đó CD.CB = CD.CB.cos C = 3.7. = 14 2
ẠO
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Bài 2.15. Cho các véctơ a , b có độ dài bằng 1 và thoả mãn điều kiện 2 a − 3b = 7 . Tính cos a , b .
2 A. cos a , b = 4
N
G
Đ
( )
1 B. cos a , b = 4
( )
1 C. cos a , b = 2
( )
( )
TR ẦN
H Ư
( )
1 D. cos a , b = 3
Bài làm:
2 2 1 Bài 2.15. 2 a − 3b = 7 ⇔ 4 a − 12 a.b + 9b = 7 ⇒ cos a , b = 4
10 00
B
( )
ÁN
-L
( )
1 B. cos u; v = − 6
Í-
1 A. cos u; v = − 2
H
Ó
A
Bài 2.16. Cho các véctơ a , b có độ dài bằng 1 và góc tạo bởi hai véc tơ bằng 600 . Xác định cosin góc giữa hai vectơ u và v với u = a + 2b , v = a − b
( )
1 C. cos u; v = − 4
( )
1 D. cos u; v = − 3
( )
Bài làm:
(
)( )
ÀN
TO
1 1 Bài 2.16. u.v = a + 2b a − b = 1 − 2 + = − 2 2
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
(
D
IỄ N
Đ
2 2 2 2 2 2 Mặt khác u = a + 4b + 8 a.b = 9 ⇔ u = 3 , v = a + b − 2 a.b = 1 ⇔ v = 1 1 Suy ra cos u; v = − 6
( )
Bài 2.17. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 3. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
BM = 1 , trên cạnh CD lấy điểm N sao cho DN = 1 và P là trung điểm BC. Tính . cos MNP
5 10
13
N
= B. cos MNP
Ơ
13
4 10 13
10
45 10
TP
Bài làm:
ẠO Đ N
G
2 1 13 Suy ra NM. NP = + = 9 2 18
TR ẦN
5 = 13 Mặt khác NM = 10 , NP = ⇒ cos MNP 2 45 10
H Ư
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
1 2 1 Bài 2.17. Ta có NM = AB − AD , NP = AB − AD 3 3 2
10 00
B
Bài 2.18. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2 . M là điểm được xác định bởi AM = 3 MB , G là trọng tâm tam giác ADM . Tính MB.GC 3 B. MB.GC = 8
3 C. MB.GC = 7
Bài làm:
Í-
H
Ó
A
5 A. MB.GC = 8
ÁN
-L
1 Bài 2.18. Ta có MB = AB 4
TO
Vì G là trọng tâm tam giác ADM nên 3CG = CA + CD + CM
1 D. MB.GC = 8
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
= D. cos MNP
U Y
13
.Q
= C. cos MNP
N
H
= A. cos MNP
(
)
Đ
ÀN
9 ⇒ 3CG = − AB + AD − AB + CB + BM = − AB − 2 AD 4
D
IỄ N
3 2 ⇒ GC = AB + AD 4 3
1 3 2 3 Suy ra MB.GC = AB. AB + AD = 4 3 4 8
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Bài 2.19. Cho tứ giác ABCD . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của DA, BC. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD biết AB = CD = 2 a , MN = a 3 .
C. ( AB, CD) = 800
D. ( AB, CD) = 300
N
B. ( AB, CD) = 600
H
Ơ
A. ( AB, CD) = 500
N
Bài làm:
Đ
H Ư
N
G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
AB.CD 2a2 1 Do đó cos( AB, CD) = = = ⇒ ( AB, CD) = 60 0 . AB.CD 2 a.2 a 2
ẠO
TP
1 MN 2 = ( AB2 + CD 2 + 2 AB.CD) ⇔ AB.CD = 2 a2 . 4
B
TR ẦN
Bài 2.20: Cho tứ giác ABCD có AB = BC = 2 5 , CD = BD = 5 2 , BD = 3 10 , AC = 10 . Tìm góc giữa hai vectơ AC , DB .
10 00
Bài làm:
Bài 2.20. Với điểm O bất kỳ ta có :
A
2 AC.DB = 2 OC − OA OB − OD = 2OC.OB + 2OA.OD − 2OC.OD − 2OA.OB Mặt khác
)( ) − ( OC − OB )
2
2 2 2 = OC + OB − BC
-L
Í-
2 2 2OC.OB = OC + OB
H
Ó
(
ÁN
Xây dựng các đẳng thức tương tự thay vào ta tính được
TO
2 AC.DB = AB 2 + CD 2 − BC 2 − AD 2
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
U Y
1 Bài 2.19. Ta có: MN = ( AB + CD) suy ra 2
(
)
IỄ N
Đ
ÀN
AB 2 + CD 2 − BC 2 − AD 2 Suy ra cos AC , DB = AC.BD
D
Bài 2.21: Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng 1. Gọi D là điểm đối xứng với C qua
đường thẳng AB, M là trung điểm của cạnh CB. a) Xác định trên đường thẳng AC điểm N sao cho tam giác MDN vuông tại D. Tính
diện tích tam giác đó.
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
A. SMDN =
3 20
B. SMDN =
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
7 3 2
C. SMDN =
7 20
D. SMDN =
7 3 20
N
b) Xác định trên đường thẳng AC điểm P sao cho tam giác MPD vuông tại M. Tính
C. SPMD =
7 40
D. SPMD =
c) Tính côsin góc hợp bởi hai đường thẳng MP và PD
2 14
B. cos ( MP; PD ) =
C. cos ( MP; PD ) =
21 16
D. cos ( MP; PD ) =
2 4
ẠO
A. cos ( MP; PD ) =
TR ẦN
Bài làm:
H Ư
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
7 3 40
21 14
B
b 2 2 1 Bài 2.21. HD: Đặt CA = a , CB = b . Khi đó CD = a + b , CM = , a = b = 1, a.b = 2 2
10 00
a) Giải sử CN = nCA = na . Khi đó ta có:
-L
Í-
H
Ó
A
b MD = CD − CM = a + và ND = CD − CN = ( 1 − n ) a + b . Suy ra 2 b 9 9 − 5n MD.ND = a + ( 1 − n ) a + b = ⇒ CN = a 2 4 5
TO
ÁN
9 Để tam giác MDN vuông tại D ta phải có MD.ND = 0 ⇔ n = 5
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
3 4
U Y
B. SPMD =
.Q
3 40
TP
A. SPMD =
N
H
Ơ
diện tích tam giác đó.
D
IỄ N
Đ
ÀN
2 2 b 7 2 4 2 21 7 3 Ta có MD = a + = , ND = − a + b = ⇒ SMDN = 2 4 25 20 5
2 7 3 b) Tương tự câu a) ta có CP = a , SPMD = 5 40 2 a b 3a + , DD = CD − CP = +b c) Theo câu a) và b) ta có MD = 5 2 5
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
2 21 2 49 21 Do đó MP = , PD = , MP. PD = − . 100 25 100
N
H
Ơ
N
MP.PD 21 Suy ra cos ( MP ; PD ) = = 14 MP . PD
H Ư
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
• Nếu trong đẳng thức chứa bình phương độ dài của đoạn thẳng thì ta chuyển về 2 vectơ nhờ đẳng thức AB2 = AB • Sử dụng các tính chất của tích vô hướng, các quy tắc phép toán vectơ • Sử dụng hằng đẳng thức vectơ về tích vô hướng. 2. Các ví dụ:
Chứng minh rằng : MA.MB = IM 2 − IA 2
TR ẦN
Ví dụ 1: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB và M là điểm tùy ý.
10 00
B
Bài làm:
2 2 Đẳng thức cần chứng minh được viết lại là MA.MB = IM − IA
) (
Í-
)(
)(
)
-L
(
H
Ó
A
Để làm xuất hiện IM , IA ở VP, sử dụng quy tắc ba điểm để xen điểm I vào ta được VT = MI + IA . MI + IB = MI + IA . MI − IA
ÁN
2 2 = IM − IA = VP (đpcm)
DA.BC + DB.CA + DC. AB = 0 (*).
Đ
ÀN
TO
Ví dụ 2: Cho bốn điểm A, B, C, D bất kì. Chứng minh rằng:
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
TP
.Q
U Y
DẠNG 2: Chứng minh các đẳng thức về tích vô hướng hoặc độ dài của đoạn thẳng. 1. Phương pháp giải.
D
IỄ N
Từ đó suy ra một cách chứng minh định lí: "Ba đường cao trong tam giác đồng qui".
Bài làm:
Ta có: DA.BC + DB.CA + DC. AB
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
= DA. DC − DB + DB. DA − DC + DC. DB − DA = DA.DC − DA.DB + DB.DA − DB.DC + DC.DB − DC.DA = 0
)
(
)
(
)
N
(
H
Ơ
(đpcm)
N
Gọi H là giao của hai đường cao xuất phát từ đỉnh A, B.
TP
Từ đẳng thức (*) ta cho điểm D trùng với điểm H ta được
ẠO
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
HA.BC + HB.CA + HC. AB = 0 (2)
H Ư
Hay ba đường cao trong tam giác đồng quy (đpcm).
N
G
Đ
Từ (1) (2) ta có HB.CA = 0 suy ra BH vuông góc với AC
TR ẦN
Ví dụ 3: Cho nửa đường tròn đường kính AB. Có AC và BD là hai dây thuộc nửa đường tròn cắt nhau tại E. Chứng minh rằng : AE. AC + BE.BD = AB2
10 00
B
Bài làm:
(hình 2.4)
Ta có VT = AE. AB + BC + BE. BA + AD
(
A
)
Ó
(
C
D
)
E A
H
= AE. AB + AE.BC + BE.BA + BE. AD
B
-L
Í-
Hình 2.4
ÁN
= 90 0 , ACB = 90 0 Vì AB là đường kính nên ADB
TO
Suy ra AE.BC = 0, BE. AD = 0
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
U Y
Khi đó ta có HA.BC = 0, HC. AB = 0 (1)
(
)
Đ
ÀN
2 Do đó VT = AE. AB + BE.BA = AB AE + EB = AB = VP (đpcm).
D
IỄ N
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có BC = a , CA = b , AB = c và I là tâm đường tròn nội tiếp.
Chứng minh rằng aIA2 + bIB2 + cIC 2 = abc
Bài làm:
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Ta có: aIA + bIB + cIC = 0 ⇒ aIA + bIB + cIC
(
)
2
=0
)
(
)
( + (c
2
2
)
2
+ IC − CA 2 = 0
) + ca + cb ) IC − ( abc
N
+ bc IB + IC
2
U Y
(
2
H
⇒ a 2 IA 2 + b2 IB2 + c 2 IC 2 + ab IA 2 + IB2 − AB2 +
(
2
)
+ ab2 c + a 2 bc = 0
)
G
Đ
⇒ ( a + b + c ) a2 IA 2 + b2 IB 2 + c 2 IC 2 = ( a + b + c ) abc
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
TP
2
ẠO
2
.Q
⇒ a 2 + ab + ca IA 2 + b 2 + ba + bc IB 2 +
H Ư
N
⇒ a 2 IA 2 + b2 IB2 + c 2 IC 2 = abc (đpcm)
TR ẦN
3. Bài tập luyện tập:
Bài 2.22. Cho tam giác ABC với ba trung tuyến AD, BE, CF.
10 00
B
Chứng minh rằng: BC. AD + CA.BE + AB.CF = 0 .
Bài làm:
Ó
A
Bài 2.22. Sử dụng các đẳng thức về trung điểm 1 1 1 AD = AB + AC , BE = BC + BA , CF = CA + CB 2 2 2
(
H
)
)
(
)
-L
Í-
(
Bài 2.23. Cho hình chữ nhật ABCD có tâm O và M là một điểm bất kì. Chứng minh
ÁN
rằng:
TO
a) MA.MC = MB.MD
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
( − BC ) + ca ( IA
Ơ
N
⇒ a 2 IA 2 + b2 IB2 + c 2 IC 2 + 2 abIA.IB + 2bcIB.IC + 2caIC.IA = 0
D
IỄ N
Đ
ÀN
b) MA 2 + MB.MD = 2 MA.MO
Bài làm:
2 2 Bài 2.23. a) VT = OA − OM OC − OM = OM − OA
(
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
)(
)
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
2 2 VP = OB − OM OD − OM = OM − OC
(
)(
)
N
Suy ra MA.MC = MB.MD
H
)
N
(
Ơ
b) VT = MA 2 + MA.MC = MA MA + MC = MA.2 MO = VP
ẠO
) (
)
N
(
Đ
1 1 Bài 2.24: VT = HM. AM = HB + HC . AB + AC 2 2
G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Bài làm:
(
)
(
)
(
H Ư
1 1 1 1 2 AB.HB + AC.HC = AB HC + CB + AC HB + BC = BC = VP 4 4 4 4
)
TR ẦN
=
Bài 2.25: Cho tam giác ABC có trọng tâm G và BC = a , CA = b , AB = c . 1 2 2 2 a +b +c 3
B
(
10 00
Chứng minh rằng: GA 2 + GB2 + GC 2 =
)
A
Bài làm:
Ó
Bài 2.25: GA + GB + GC = 0 ⇒ GA + GB + GC
)
=0
Í-
H
(
2
-L
⇔ GA 2 + GB2 + GC 2 + 2GA.GB + 2GB.GC + GC.GA = 0 (*)
ÁN
2 2 Mặt khác 2GAGB = GA + GB − GA − GB
TO
(
)
2
= GA 2 + GB 2 − BA 2
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
TP
.Q
U Y
Bài 2.24: Cho tam giác ABC có trực tâm H, M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng 1 MH .MA = BC 2 . 4
Đ
ÀN
Tương tự 2GBGC = GB2 + GC 2 − BC 2 , 2GCGA = GC 2 + GA 2 − AC 2
IỄ N
Thay vào (*) suy ra đpcm
D
Bài 2.26: Cho bốn điểm A, B, C, D thỏa mãn AC.DB = 0 .
Chứng minh rằng
AB2 + CD 2 = BC 2 + DA 2 Bài làm:
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Bài 2.26: Ta chứng minh hệ thức AB2 + CD 2 = BC 2 + DA 2 + 2 AC.DB
Ơ
N
Bài 2.27: Cho tam giác ABC có ba đường cao là AA', BB', CC'. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh rằng A ' M.BC + B ' N .CA + C ' P. AB = 0
N
H
Bài làm:
ẠO
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
TP
Theo công thức hình chiếu ta có A ' M.BC = HO.BC , B ' N .CA = HO.CA , C ' P. AB = HO. AB
G
)
N
(
Đ
Suy ra VT = HO AB + BC + CA = HO.0 = VP
TR ẦN
Chứng minh rằng: MA.MC − MB.MD = BA.BC
H Ư
Bài 2.28.Cho hình bình hành ABCD . Gọi M là một điểm tùy ý.
B
Bài làm:
10 00
Bài 2.28. Gọi O là tâm hình bình hành khi đó
Ó
A
2 2 2 2 2 2 VT = MO − OA − MO − OC = OC − OA 2 2 VP = OA − OB OC − OB = OB − OA
H
)
Í-
)(
-L
(
TO
ÁN
Từ đó suy ra đpcm
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
ABC . M. N, P lần lượt là hình chiếu của O lên các cạnh BC, CA, AB.
.Q
U Y
Bài 2.27: Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác và H là trực tâm của tam giác
ÀN
Bài 2.29: Cho hai điểm M, N nắm trên đường tròn đường kính AB = 2 R . Gọi I là giao
Đ
điểm của hai đường thẳng AM và BN.
D
IỄ N
a) Chứng minh: AM. AI = AB. AI , BN .BI = BA.BI .
b) Tính AM. AI + BN .BI theo R.
Bài làm:
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Bài 2.29: a) Ta có: AM.AI = AB + BM . AI = AB.AI + BM. AI
(
)
N
= AB. AI (Vì BM ⊥ AI )
BN .BI = BN + NA .BI = BN .BI + NA.BI = BN.BI
H
Ơ
)
N
(
)
TP
(
.Q
2 AM. AI + BN .BI = AB.AI + BA.BI = AB AI − BI = AB = 4 R2
ẠO
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Bài 2.30. Cho tam giác ABC , M là một điểm bất kỳ trên cạnh BC không trùng với B và
)
G
(
Đ
C. Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB.
H Ư
TR ẦN
Bài làm:
N
Chứng minh rằng: AM 2 = b2 BM 2 + c 2CM 2 + b2 + c 2 − a 2 BM.CM
AM BM Bài 2.30. Ta có CM = CB + CA AB AB
10 00
B
⇔ AB2 .CM 2 = AM 2 .CB2 + BM 2 .CA 2 + 2 AM.BM.CBCA
(
A
⇔ AB2 .CM 2 = AM 2 .CB2 + BM 2 .CA 2 + AM.BM. a2 + b2 − c 2
Ó
(
)
)
Í-
H
Vậy AM 2 = b2 BM 2 + c 2CM 2 + b2 + c 2 − a 2 BM.CM
-L
Bài 2.31. Cho lục giác ABCDEF có AB vuông góc với EF và hai tam giác ACE và BDF
ÀN
TO
ÁN
có cùng trọng tâm. Chứng minh rằng AB2 + EF 2 = CD 2 .
Bài làm:
(
)
2
(1)
D
IỄ N
Đ
Bài 2.31. Ta có AB ⊥ EF ⇒ AB.EF = 0 suy ra AB2 + EF 2 = AB + EF
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y
b) Theo câu a) ta có
Mặt khác ACE và BDF có cùng trọng tâm nên AB + CE + EF = 0 (2)
Từ (1) và (2) suy ra AB2 + EF 2 = CD 2
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Bài 2.32. Cho tam giác ABC cạnh a nội tiếp đường tròn (O).M là điểm bất
N
kỳ nằm trên đường tròn (O). Chứng minh rằng MA 2 + MB2 + MC 2 = 2 a 2
H N .Q
2a2 2a2 + 2 MO.OB, MC 2 = + 2 MO.OC 3 3
ẠO Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Suy ra MA 2 + MB2 + MC 2 = 2 a 2
G
Bài 2.33. Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O, R). MN là một đường kính bất
H Ư
N
kỳ của đường tròn (O;R)
TR ẦN
a) Chứng minh rằng MA 2 + MB2 + MC 2 + MD 2 = 8 R2 b) Chứng minh rằng
10 00
B
MA 4 + MB4 + MC 4 + MD 4 = NA 4 + NB4 + NC 4 + ND 4 . Bài làm:
H
Ó
A
2 Bài 2.33. a) MA 2 + MB2 + MC 2 + MD 2 = MO + OA +
) (
2
) + ( MO + OD )
-L
(
)
2
Í-
2 + MO + OB + MO + OC
(
= 8 R 2 + 2 MO OA + OB + OC + OD = 8 R 2
)
TO
ÁN
(
ÀN
b) Cách 1: Theo câu a) ta có
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
)
2a2 = + 2 MO.OA , tương tự 3
TP
MB2 =
(
2
U Y
Bài 2.32. Ta có MA = MO + OA 2
Ơ
Bài làm:
Đ
MA 2 + MB2 + MC 2 + MD 2 = NA 2 + NB2 + NC 2 + ND 2 = 8 R2
(
) (
) (
) (
)
D
IỄ N
⇒ MA 2 − NA 2 + MB2 − NB 2 + MC 2 − NC 2 + MD 2 − ND 2 = 0 (1)
Mặt khác MA 2 + NA 2 = MB2 + NB2 = MC 2 + NC 2 = MD 2 + ND 2 = 4 R 2 (2) Nhân hai vế (1) với 4R2 và kết hợp (2) ta có
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
MA 4 + MB4 + MC 4 + MD 4 = NA 4 + NB4 + NC 4 + ND 4 Cách 2: MA 4 = MO + OA
4
) = ( MO
2
+ OA 2 + 2 MO.OA
)
2
= 8 R 4 + 32 R2 MO.OA
Ơ
N
(
H
Thiết lập các đẳng thức tương tự và cộng lại ta có
)
TP
.Q
Bài 2.34 : Cho tứ giác ABCD . Chứng minh rằng AB.AD + BA.BC + CB.CD + DC.DA = 0
ẠO
khi và chỉ khi
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
tứ giác ABCD là hình bình hành.
⇔ AB AD − BC + CD AD − BC = 0
)
(
)
N
TR ẦN
(
H Ư
Bài 2.34 : AB.AD + BA.BC + CB.CD + DC.DA = 0
G
Bài làm:
)(
⇔ AB + CD
)
2
(
)(
)
= 0 ⇔ AB + CD ⇔ AB = DC ⇔ ABCD là hình bình hành
A
(
)
10 00
(
B
⇔ AD − BC AB + CD = 0 ⇔ AB + BD − BC AB + CD = 0
H
Ó
Bài 2.35: Cho lục giác đều A1 A2 A3 A4 A5 A6 tâm I và đường tròn (O;R) bất kỳ chứa I. Các cắt
Í-
IAi , i = 1,6
(O)
tại
Bi
( i = 1,6 ).
Chứng
minh
rằng
-L
tia
TO
ÁN
IB12 + IB22 + IB32 + IB42 + IB52 + IB62 = 6 R2 Bài làm:
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y
(
N
MA 4 + MB4 + MC 4 + MD 4 = 32 R 4 + 32 R2 OA + OB + OC + OD = 32 R 4 Từ đó suy ra đpcm
Đ
ÀN
Bài 2.35: (hình 2.21) Gọi H, J, K lần lượt là hình chiếu của O lên B1B4, B2B5, B3B6. Ta có các
A2
D
IỄ N
điểm O, I, H, J, K cùng nằm trên đường tròn đường kính OI.
= KIH = 600 KJH Do đó: ⇒ ∆HJK đều 0 KHJ = KIJ = 60
A3 B1 B2 B 3 H I B4 B6 KO J A4 A6 B5 A5 A1
Hình 2.21
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Theo bài 11 ta có IH 2 + IJ 2 + IK 2 = OH 2 + OJ 2 + OK 2
2
4
= HB12 + HB42 − 2 HI HB1 + HB4 + 2 HI 2
(
) (
H
)
N
(
)
U Y
= OB12 + OH 2 + OB42 − OH 2 + 2 HI 2
TP
.Q
= 2 R2 − 2OH 2 + 2 IH 2
ẠO
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Chứng minh tương tự:
N
G
Đ
IB22 + IB52 = 2 R2 − 2OJ 2 + 2 IJ 2 , IB32 + IB62 = 2 R 2 − 2OK 2 + 2 IK 2
TR ẦN
H Ư
⇒ VP = 6 R2 − 2 (OH 2 + OJ 2 + OK 2 ) + 2 ( IH 2 + IJ 2 + IK 2 ) = VT Bài 2.36. Tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng
B
a) MA 2 + MB2 + MC 2 = 3 MG 2 + GA 2 + GB2 + GC 2 với M là điểm bất kỳ
10 00
b) a 2 + b 2 + c 2 ≤ 9 R 2
A
Bài làm:
H
)
2
= MG 2 + GA2 + 2 MG.GA
Í-
(
Ó
2 Bài 2.36. a) MA = MG + GA
ÁN
-L
2 2 Tương tự ta có MB = MG 2 + GB2 + 2 MG.GB; MB = MG 2 + GB2 + 2 MG.GB
TO
Suy ra MA 2 + MB2 + MC 2 = 3 MG 2 + GA 2 + GB2 + GC 2
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
2
) + ( HB − HI )
N
(
Ơ
Mặt khác: IB12 + IB42 = HB1 − HI
Đ
ÀN
b) Cho M ≡ O với O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
D
IỄ N
Suy ra 3 R 2 = 3OG 2 + GA 2 + GB2 + GC 2 = 3OG 2 +
1 2 2 2 a +b +c 3
(
)
Do đó a 2 + b 2 + c 2 ≤ 9 R 2 < 90 0 , BC = a , CA = b , AB = c . M là điểm nằm trong Bài 2.37: Cho tam giác ABC có BAC
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
tam giác ABC và nằm trên đường trên đường tròn đường kính BC. Gọi x , y , z theo thứ tự là diện tích của các tam giác MBC , MCA , MAB . Chứng minh rằng
N
2yz 2 =x+ y+z+ a x
N
Bài làm:
.Q
U Y
Bài 2.37: Ta có x.MA + y.MB + z.MC = 0 (*)
2
ẠO
( y + z)
, EC 2 =
y 2 .a 2
( y + z)
2
Đ
z 2 .a 2
G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Khi đó EB2 =
TP
Gọi E là điểm xác định bởi: y.EB + z.EC = 0
2
10 00
c 2 = AB2 = AE2 + EB2 + 2 AE.EB Mà 2 2 2 2 b = AC = AE + EC + 2 AE.EC
B
2
⇒ ( x + y + z ) AM 2 = ( y + z ) AE2 (**)
TR ẦN
H Ư
N
Từ (*) suy ra x.MA + ( y + z ) .ME = 0 ⇒ ( x + y + z ) .AM = ( y + z ) . AE
Ó
A
⇒ yc 2 + zb2 = ( y + z ) AE2 + y.EB2 + z.EC 2 (vì y.EB + z.EC = 0 )
H
yz 2 a y+z
-L
Í-
⇒ yc 2 + zb 2 = ( y + z ) AE2 +
2
ÁN
Kết hợp với (**) ta được ( x + y + z ) AM 2 = ( y + z ) .y.c 2 + ( y + z ) .z.b2 − yz.a 2
TO
Chứng minh tương tự ta cũng có 2
BM 2 = ( z + x ) .z.a 2 + ( z + x ) .x.c 2 − zx.b2
( x + y + z)
2
CM 2 = ( x + y ) .x.b 2 + ( x + y ) .y.c 2 − xy.c 2
D
IỄ N
Đ
ÀN
( x + y + z)
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
2
Ơ
2
H
( x − y + z) c + ( x − z + y) b
Mặt khác M nằm trên đường tròn đường kinh BC nên MB.MC = 0
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
⇒ y.MB + z.MC
(
)
2
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
= y 2 .MB2 + z 2 .MC 2
Ơ
N
⇒ x 2 .MA2 = y 2 .MB2 + z 2 .MC 2
H
⇒ x 2 ( y + z ) yc 2 + x 2 ( y + z ) zb2 − x 2 yz.a2
(
.Q
+ z 2 ( x + y ) xb2 + z 2 ( x + y ) ya 2 − z 2 xyc 2
)
ẠO G
Đ
2yz 2 ⇒ ( x − y + z ) c 2 + ( x − z + y ) b2 = x + y + z + a đpcm x
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
TP
⇒ xyz ( x − y + z ) c 2 + ( x − z + y ) b 2 = yz x 2 + xy + xz + 2 yz a2
TR ẦN
H Ư
N
DẠNG 3: Tìm tập hợp điểm thoả mãn đẳng thức về tích vô hướng hoặc tích độ dài. 1. Phương pháp giải.
10 00
B
Ta sử dụng các kết quả cơ bản sau: Cho A, B là các điểm cố định. M là điểm di động • Nếu AM = k với k là số thực dương cho trước thì tập hợp các điểm M là đường
-L
Í-
H
Ó
A
tròn tâm A, bán kính R = k . • Nếu MA.MB = 0 thì tập hợp các điểm M là đường tròn đường kính AB • Nếu MA.a = 0 với a khác 0 cho trước thì tập hợp các điểm M là đường thẳng đi qua A và vuông góc với giá của vectơ a 2. Các ví dụ.
ÁN
Ví dụ 1. Cho hai điểm A, B cố định có độ dài bằng a, vectơ a khác 0 và số thực k cho
TO
trước. Tìm tập hợp điểm M sao cho
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y
N
= y 2 ( z + x ) za 2 + y 2 ( z + x ) xc 2 − y 2 zxb2 +
ÀN
3a2 a) MA.MB = 4
D
IỄ N
Đ
b) MA.MB = MA 2
Bài làm:
a) Gọi I là trung điểm của AB ta có
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
3a 2 3a2 MA.MB = ⇔ MI + IA MI + IB = 4 4
)
N
3a2 (Do IB = − IA ) 4
Ơ
⇔ MI 2 − IA 2 =
N
a2 3a 2 ⇔ MI = + 4 4 ⇔ MI = a
.Q
U Y
2
TP
Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính R = a
ẠO Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
2 b) Ta có MA.MB = MA 2 ⇔ MA.MB = MA
⇔ MA. MA − MB = 0 ⇔ MA.BA = 0 ⇔ MA ⊥ BA
G
)
H Ư
N
(
Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng vuông góc với đường thẳng AB tại A.
TR ẦN
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC . Tìm tập hợp điểm M sao cho MA + 2 MB + 3CB BC = 0
(
)
B
Bài làm:
10 00
A
(hình 2.4)
M
I
Ó
A
Gọi I là điểm xác định bởi IA + 2 IB = 0
Khi đó MA + 2 MB + 3CB BC = 0
B
)
Í-
H
(
M' I'
C
Hình 2.4
-L
⇔ MI + IA + 2 MI + IB .BC = 3 BC 2 2 ⇔ MI .BC = BC
) (
)
TO
ÁN
(
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
)(
H
(
ÀN
Gọi M', I' lần lượt là hình chiếu của M, I lên đường thẳng BC
Đ
Theo công thức hình chiếu ta có MI .BC = M ' I '.BC do đó M ' I '.BC = BC 2
D
IỄ N
Vì BC 2 > 0 nên M ' I ', BC cùng hướng suy ra M ' I '.BC = BC 2 ⇔ M ' I '.BC = BC 2 ⇔ M ' I ' = BC Do I cố định nên I' cố định suy ra M' cố định.
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng đi qua M' và vuông góc với BC.
Ví dụ 3: Cho hình vuông ABCD cạnh a và số thực k cho trước.
H
Ơ
N
Tìm tập hợp điểm M sao cho MA.MC + MB.MD = k
B
Gọi I là tâm của hình vuông ABCD
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
)(
)
TP
(
I
ẠO
Ta có : MA.MC = MI + IA MI + IC
.Q
(hình 2.5)
D
C
Đ
Hình 2.5
= MI 2 + MI IC + IA + IA.IC = MI 2 + IA.IC
N
TR ẦN
Tương tự MB.MD = MI 2 + IB.ID
G
)
H Ư
(
k + IA2 2
10 00
⇔ 2 MI 2 − IB2 − IA 2 = k ⇔ MI 2 =
B
Nên MA.MC + MB.MD = k ⇔ 2 MI 2 + IB.ID + IA.IC = k
k 2 +a 2
⇔ MI =
k + IA 2 = 2
H
Ó
A
⇔ MI 2 =
-L
Í-
k + a2 2
ÁN
Nếu k < − a2 : Tập hợp điểm M là tập rỗng
ÀN
TO
Nếu k = − a 2 thì MI = 0 ⇔ M ≡ I suy ra tập hợp điểm M là điểm I 2
D
IỄ N
Đ
Nếu k > − a thì MI =
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y
A
N
Bài làm:
k + a2 2
suy ra tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính R =
k + a2 2
3. Bài tập luyện tập.
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Bài 2.38: Cho đoạn thẳng AB. Tìm tập hợp điểm M trong mỗi trường hợp sau:
N
a) 2 MA 2 = MA.MB
H
Ơ
b) MA 2 + 2 MB2 = k với k là số thực dương cho trước.
.Q
Bài làm: Bài 2.38: a) 2 MA 2 = MA.MB ⇔ MA 2 MA − MB = 0 (*)
TP
)
ẠO
(
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Gọi I là điểm thoả mãn: 2 IA − IB = 0 thì 2MA − MB = MI .
H Ư
N
G
Do đó: (*) ⇔ MA.MI = 0 ⇔ MA ⊥ MI Vậy tập hợp điểm M là đường tròn đường kính AI.
) (
)
2
=k
A
⇔ 3 ME 2 = k − EA 2 − 2 EB2 (*)
B
(
10 00
MA 2 + 2 MB2 = k 2 ⇔ ME + EA + ME + EB
TR ẦN
b) Gọi E là điểm thoả mãn: EA + 2 EB = 0 ta có:
Í-
H
Ó
2 1 Mặt khác từ EA + 2 EB = 0 ⇒ EA = AB; EB = AB 3 3 2 1 2 AB 2 ⇔ ME2 = k − AB2 3 3 3
-L
ÁN
Nên (*) ⇔ 3 ME2 = k −
TO
2 AB2 : Tập hợp điểm M là rỗng. 3 2 Nếu k = AB2 : Tập hợp điểm M là một điểm E. 3
Đ
ÀN
Nếu k <
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y
N
c) AM.a = k với k là số thực cho trước.
IỄ N
2 1 2 2 AB2 : Tập hợp điểm M là đường tròn tâm E, bán kính R = k − AB . 3 3 3 c) Gọi ∆ là giá của vectơ a và A', M' lần lượt là hình chiếu của A, M lên ∆
D
Nếu k >
Theo công thức hình chiếu ta có AM.a = A ' M '.a
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
k Suy ra A ' M '.a = k ⇔ A ' M '.a = k ⇔ A ' M ' = trong đó a là độ dài đại số của vectơ a a là hằng số không đổi nên M' là điểm cố định
N U Y
N
Do đó tập hợp điểm M là đường thẳng vuông góc với ∆ tại M'.
Bài 2.39: Cho tam giác ABC . Tìm tập hợp điểm M trong các trường hợp sau: a) MA − MB 2 MB − MC = 0
Đ
ẠO
( MA + 2 MB )( MB + 2 MC ) = 0
b)
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
)
.Q
)(
TP
(
H Ư
Bài làm:
N
G
c) 2 MA 2 + MA.MB = MA.MC
(
)(
TR ẦN
Bài 2.39: a) Gọi I là điểm thoả mãn 2 IB − IC = 0 ta có: MA − MB 2 MB − MC = 0 ⇔ BA.MI = 0
)
(
)(
10 00
B
Suy ra tập hợp điểm M là đường thẳng đi qua I và vuông góc với AB. b) Gọi D và E là các điểm thoả mãn: DA + 2 DB = 0; EB + 2 EC = 0 ta có: MA + 2 MB MB + 2 MC = 0 ⇔ MD.ME = 0
)
(
)
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
Tập hợp điểm M là đường tròn đường kính DE. c) Ta có: 2 MA 2 + MA.MB = MA.MC ⇔ MA 2 MA + MB − MC = 0 (*) Gọi J là điểm xác định bởi 2 JA + JB − JC = 0 ta có: (*) ⇔ 2 MA.MJ = 0 ⇔ MA ⊥ MJ Tập hợp điểm M là đường tròn đường kính AJ.
ÀN
TO
Bài 2.40: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
a
Ơ
k
H
Vì A' là điểm cố định,
a) 2 MA 2 + MB2 = MC 2 + MD 2
(
)(
D
IỄ N
Đ
b) MA + MB + MC MC − MB = 3a2
)
Bài làm: Bài 2.40: a) Gọi điểm I thỏa mãn điều kiện 2.IA + IB − IC − ID = 0
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Ta có : 2 MA 2 + MB2 = MC 2 + MD 2
2 2 2 2 ⇔ 2 MI + IA + MI + IB = MI + IC + MI + ID ⇔ MI 2 + 2 IA 2 + 2 MI 2 IA + IB − IC − ID + IB2 − IC 2 − ID 2 = 0
) ( )
(
⇔ MI = IC + ID − 2 IA 2 − IB2 = k
H
2
N
2
U Y
2
)
.Q
+ k < 0 : Tập hợp điểm M là một tập rỗng
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
)
ẠO
(
+ k > 0 : Tập hợp điểm M là đường tròn I , k
TP
+ k = 0 : Tập hợp điểm M là điểm I (tức M trùng với I)
)
G
)(
N
(
Đ
b) MA + MB + MC MC − MB = 3a2
)(
)
B
(
TR ẦN
MA + MB + MC MC − MB = 3a2 ⇔ 3 MG.BC = 3a2 ⇔ MG.BC = a2
H Ư
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có :
10 00
Gọi M', G' lần lượt là hình chiếu của M, G lên đường thẳng BC
A
Suy ra M ' G '.BC = BC 2 ⇔ M ' G ' = BC
H
Ó
Do G cố định nên G' cố định suy ra M' cố định.
-L
Í-
Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng đi qua M' và vuông góc với BC.
ÀN
TO
ÁN
Bài 2.41. Cho tứ giác ABCD, I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm tập hợp điểm 1 M sao cho: MA.MB + MC.MD = IJ 2 . 2
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
) (
N
) (
Ơ
(
Bài làm:
D
IỄ N
Đ
1 Bài 2.41. MA.MB + MC.MD = IJ 2 2 2 2 1 ⇔ MI + MJ − IA 2 − JC 2 = IJ 2 2
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
2 2 Goi K là trung điểm IJ suy ra MI + MJ = 2 MK 2 + 2 IK 2 IA 2 + JC 2 Do đó MK = 2
Ơ
N
2
N
ẠO
TP
.Q
Bài 2.42 : Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a. Tìm tập hợp những điểm M sao cho a 2 : MA.MB + MB.MC + MC.MA = 4
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Bài làm:
N
G
Bài 2.42 Ta chứng minh được MA.MB + MB.MC + MC.MA = 3 MO 2 + a2 với O là trọng
TR ẦN
a a suy ra tập hợp điểm M là đường tròn tâm O bán kính R = 2 2
10 00
B
Do đó MO =
H Ư
tâm tam giác
Bài 2.43 : Cho tam giác ABC, góc A nhọn, trung tuyến AI. Tìm tập hợp những điểm M
A
di động trong góc BAC sao cho : AB. AH + AC.AK = AI 2 trong đó H và K theo thứ tự là
Í-
H
Ó
hình chiếu vuông góc của M lên AB và AC
Bài làm:
-L
Bài 2.43 : Sử dụng công thức hình chiếu ta có:
ÀN
TO
ÁN
2 AB.AH + AC.AK = AI 2 ⇔ AI = AB. AH + AC.AK 2 2 ⇔ AI = AB.AM + AC.AM ⇔ AI = 2 AI .AM
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y
Suy ra tập hợp điểm M là đường tròn tâm K bán kính R =
H
IA 2 + JC 2 2
IỄ N
Đ
Gọi M0 là hình chiếu của M lên AI khi đó ta có
D
AI 2 = 2 AI .AM0 ⇔ AM0 =
AI ( M0 nằm trên tia AI) 2
Suy ra tập hợp điểm M là đoạn trung trực của AI nằm trong góc BAC
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Bài 2.44 : Cho tam giác ABC và k là số thực cho trước. Tìm tập hợp những điểm M sao cho MA 2 − MB2 = k .
Ơ
N
Bài làm:
2 BA
TP
Với M' là hình chiếu M lên AB suy ra M' là điểm cố định
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng đi qua M' và vuông góc với AB.
H Ư
Bài 2.45 : Cho tam giác ABC . Tìm tập hợp những điểm M sao cho
TR ẦN
αMA 2 + βMB2 + γMC 2 = k với k là số cố định cho trước khi : a) α + β + γ = 0
10 00
B
b) α + β + γ ≠ 0
Bài làm:
Ó
A
Bài 2.45 : a) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khi đó
(
)
Í-
H
αMA 2 + β MB2 + γMC 2 = k ⇔ 2 MO αOA + βOB + γOC = k
ÁN
(
-L
k Đặt 2 αOA + βOB + γOC = u ⇒ u ≠ 0 do đo MO.u = k ⇔ MO = u
)
TO
Với M', O' là hình chiếu M, O lên giá vectơ u suy ra M' là điểm cố định
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y
k
.Q
MA 2 − MB 2 = k ⇔ 2 MI .BA = k ⇔ M ' I =
N
H
Bài 2.44 : Gọi I là trung điểm AB ta có
Đ
ÀN
Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng đi qua M' và vuông góc với giá vectơ u
D
IỄ N
b) Gọi I là điểm thỏa mãn α IA + β IB + γ IC = 0 , do α + β + γ ≠ 0 nên I tồn tại I và duy nhất Khi đó ta chứng minh được MI 2 =
1 k − αIA 2 + β IB 2 + γIC 2 α +β+ γ
(
)
DẠNG 4: Biểu thức tọa độ của tích vô hướng.
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
1. Phương pháp giải.
Ơ
N
• Cho a = ( x1 ; y1 ), b = ( x2 ; y 2 ) . Khi đó + Tích vô hướng hai vectơ là a.b = x1 x2 + y1 y2
N .Q
x12 + y12 x22 + y 22
ẠO
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Chú ý: a ⊥ b ⇔ a.b = 0 ⇔ x1 x2 + y1 y2 = 0
H Ư
N
G
Đ
• Để xác định độ dài một vectơ đoạn thẳng ta sử dụng công thức + Nếu a = ( x; y ) thì a = x 2 + y 2
TR ẦN
+ Nếu A( x A ; y A ), B( xB ; y B ) thì AB = ( xB − x A )2 + ( y B − y A )2
2. Các ví dụ.
10 00
B
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có A ( 1; 2 ) , B ( −2; 6 ) , C ( 9; 8 ) . a) tam giác ABC là tam giác gì?
B.Tam giác vuông tại B
H
Ó
A
A.Tam giác vuông tại A
D.Tam giác đều
-L
Í-
C.Tam giác vuông tại C
ÁN
b) Tính cosin góc B của tam giác ABC
3
2 5
B. cos B =
1
C. cos B =
5
1 2 5
D. cos B =
2 5
ÀN
TO
A. cos B =
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y
x1 x2 + y1 y2
TP
a.b cos( a , b) = = a b
H
+ Góc của hai vectơ được xác định bởi công thức
1 32 A. H ; 5 5
D
IỄ N
Đ
c) Xác định hình chiếu của A lên cạnh BC 1 32 B. H − ; − 5 5
1 3 C. H ; 5 5
1 2 D. H ; 5 5
Bài làm:
a) Ta có AB ( −3; 4 ) , AC ( 8; 6 ) ⇒ AB. AC = −3.8 + 4.6 = 0
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Do đó AB ⊥ AC hay tam giác ABC vuông tại A.
112 + 2 2 3 2 + ( −4 )
2
Ơ
=
1
H
5
.Q
c) Gọi H ( x; y ) là hình chiếu của A lên BC.
ẠO
TP
Ta có AH ( x − 1; y − 2 ) , BH ( x + 2; y − 6 ) , BC ( 11; 2 )
Đ G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
AH ⊥ BC ⇔ AH .BC = 0 ⇔ 11 ( x − 1) + 2 ( y − 2 ) = 0
H Ư
N
Hay 11x + 2 y − 15 = 0 (1)
B
1 32 , y= 5 5
10 00
Từ (1) và (2) suy ra x =
TR ẦN
x+2 y−6 = ⇔ 2 x − 11y + 70 = 0 (2) Mặt khác BH , BC cùng phương nên 11 2
Ó
A
1 32 Vậy hình chiếu của A lên BC là H ; 5 5
H
Ví dụ 2: Cho hình thoi ABCD có tâm I ( 1;1) , đỉnh A ( 3; 2 ) và đỉnh B nằm trên trục
-L
Í-
hoành. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.
B. B ( 0; −3 ) , C ( 1; 0 ) , D ( 2;1)
C. B ( 0; −3 ) , C ( −1; 0 ) , D ( −2; −1)
D. B ( 0; 3 ) , C ( −1; 0 ) , D ( 2; −1) Bài làm:
Đ
ÀN
TO
ÁN
A. B ( 0; 3 ) , C ( 1; 0 ) , D ( 2; 1)
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
)
N
(
11.3 + 2. ( −4 )
U Y
Suy ra cos B = cos BC , BA =
N
b) Ta có BC ( 11; 2 ) , BA ( 3; −4 )
D
IỄ N
Vì B nằm trên trục hoành nên giả sử B ( 0; y )
Vì I là tâm hình thoi ABCD nên I là trung điểm của AC và BD Suy ra C = ( 2 xI − x A ; 2 y I − y A ) = ( −1; 0 ) , D = ( 2 xI − xB ; 2 y I − y B ) = ( 2; 2 − y )
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
2
Do đó AB = AD ⇔ AB2 = AD 2 ⇔ 9 + ( y − 2 ) = 1 + y 2 ⇔ y = 3
Ơ
N
Vậy B ( 0; 3 ) , C ( −1; 0 ) , D ( 2; −1)
H
Ví dụ 3: Cho ba điểm A(3; 4), B(2;1) và C( −1; −2) . Tìm điểm M trên đường thẳng BC để
D. M ( −5; 4 )
Bài làm:
MA.BC 2 ⇔ cos 450 = ⇔ = 2 MA . BC 2
Đ
TR ẦN
2
(3 − x) + (4 − y)
= x + y − 7 (*)
2
9+9
B
2
(3 − x) + (4 − y)
−3 ( 3 − x ) − 3 ( 4 − y )
10 00
⇔
)
H Ư
(
G
= 450 suy ra cos AMB = cos MA; BC Vì AMB
N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
Giả sử M ( x; y ) suy ra MA ( 3 − x; 4 − y ) , MB ( 2 − x;1 − y ) , BC ( −3; −3 )
H
2 − x 1− y = ⇔ x = y + 1 thế vào (*) ta được −3 −3
-L
Í-
Suy ra
Ó
A
Mặt khác M thuộc đường thẳng BC nên hai vectơ MB , BC cùng phương
2
2
= 2 y − 6 ⇔ y 2 − 6 y + 8 = 0 ⇔ y = 2 hoặc y = 4
ÁN
(2 − y) + (4 − y)
= cos MA; MB = − 1 + Với y = 2 ⇒ x = 3 , ta có MA ( 0; 2 ) , MB ( −1; −1) ⇒ cos AMB 2
)
ÀN
TO
(
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
C. M ( 5; −4 )
.Q
B. M ( 5; 4 )
TP
A. M ( −5; −4 )
U Y
N
= 450 góc AMB
D
IỄ N
Đ
= 1350 (không thỏa mãn) Khi đó AMB
= cos MA; MB = 1 + Với y = 4 ⇒ x = 5 , MA ( −2; 0 ) , MB ( −3; −3 ) ⇒ cos AMB 2
(
)
= 450 Khi đó AMB
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Vậy M ( 5; 4 ) . là điểm cần tìm.
Ơ
và điểm C trên trục tung có tung độ dương sao cho tam giác ABC vuông tại A . Tìm
N
TP
Bài làm:
ẠO
Gọi B ( b; 0 ) , C ( 0; c ) với b ≥ 0 , c > 0 .
Đ
1 1 (b − 2)2 + 1. 2 2 + (c − 1)2 AB. AC = 2 2
B
Ta có S∆ABC =
TR ẦN
H Ư
Theo giả thiết ta có tam giác ABC vuông tại A nên AB.AC = 0 ⇔ ( b − 2 )( −2 ) − 1. ( c − 1) = 0 ⇔ c = −2b + 5
N
G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Suy ra AB ( b − 2; −1) , AC ( −2; c − 1)
10 00
= (b − 2)2 + 1 = b2 − 4b + 5 5 2
H
Ó
A
Vì c > 0 nên −2b + 5 > 0 ⇒ 0 ≤ b <
D
IỄ N
Đ
TO
ÀN
x
ÁN
Bảng biến thiên
0
5 2
-L
Í-
Xét hàm số y = x 2 − 4 x + 5 với 0 ≤ x <
2
5 2
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y
C. B ( 1;1) , C ( 1; 5 ) D. B ( 0; 0 ) , C ( 0; 5 )
.Q
B. B ( 0; 0 ) , C ( 1; 5 )
H
toạ độ B, C để tam giác ABC có diện tích lớn nhất.
A. B ( 1; 0 ) , C ( 0; 5 )
N
Ví dụ 4: Cho điểm A(2; 1). Lấy điểm B nằm trên trục hoành có hoành độ không âm sao
5 4
5
y 1
Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số y = x 2 − 4 x + 5 với 0 ≤ x <
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
5 là y = 5 khi x = 0 . Do đó 2
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
diện tích tam giác ABC lớn nhất khi và chỉ khi b = 0 , suy ra c = 5 .
N
Vậy B ( 0; 0 ) , C ( 0; 5 ) là điểm cần tìm.
Ơ
3. Bài tập luyện tập.
( )
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
TP
1 2 1 B. cos a; b = − C. cos a; b = − D. cos a; b = 2 5 5 5
( )
( )
ẠO
1 A. cos a; b = − 5
.Q
a) Tính cosin góc giữa hai vectơ a và b
( )
1 1 C. c − ; − 3 4
H Ư
1 1 B. c − ; − 8 4
1 1 D. c − ; − 8 2
TR ẦN
1 1 A. c − ; − 5 4
N
G
Đ
b) Xác định tọa độ của vectơ c biết ( a + 2b).c = −1 và ( −b + 2c).a = 6
Bài làm: 1 a.b −8 Bài 2.46: a) cos a; b = = =− 5 a . b 4.2 5
10 00
B
( )
Ó
A
b) Gọi c ( x; y ) , ta có a + 2b = ( 8; 0 ) , − b + 2c = ( 2 x − 4; 2 y + 2 )
-L
Í-
H
1 1 Suy ra ( a + 2b).c = −1 ⇔ 8 x = −1 ⇔ x = − , ( −b + 2c).a = 6 ⇔ 4 ( 2 y + 2 ) = 6 ⇔ y = − 8 4
TO
ÁN
1 1 Do đó c − ; − 8 4
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y
N
H
Bài 2.46: Cho hai vectơ a(0; 4) ; b(4; −2)
ÀN
Bài 2.47: Cho tam giác ABC có A(5; 3), B(2; −1), C( −1; 5) .
D
IỄ N
Đ
a) Tìm tọa độ trực tâm tam giác ABC
A. H ( 2; 2 )
B. H ( 3; 2 )
C. H ( −3; 2 )
D. H ( 3; −2 )
C. A ' ( 1; 2 )
D. A ' ( −1; −1)
b) Tính tọa độ chân đường cao vẽ từ A.
A. A ' ( 2; 2 )
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
B. A ' ( 1;1)
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
c) Tính diện tích tam giác ABC
C. S = 17
D. S = 16
H
Ơ
Bài làm:
N
Bài 2.47: a) Gọi H ( x; y ) là trực tâm tam giác ABC
TP
H Ư
N
G
b) Gọi A ' ( x; y ) là tọa độ chân đường cao vẽ từ A
Ta có AA ' ⊥ BC ⇔ AA '.BC = 0 ⇔ x − 2 y + 1 = 0 (1)
ẠO
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
AH ⊥ BC x − 2y + 1 = 0 x = 3 AH .BC = 0 ⇔ ⇔ ⇔ ⇒ H ( 3; 2 ) BH ⊥ AC 3x − y − 7 = 0 y = 2 BH . AC = 0
.Q
U Y
AH ( x − 5; y − 3 ) , BC ( −3; 6 ) , BH ( x − 2; y + 1) , AC ( −6; 2 )
2
B
Ó
H
1 AA '.BC = 15 2
= 2 5 , BC = 9 + 36 = 3 5
Í-
Suy ra S =
2
A
( 5 − 1) + ( 3 − 1)
c) Ta có AA ' =
10 00
Từ (1) và (2) suy ra x = y = 1 ⇒ A ' ( 1; 1)
TR ẦN
Và BA ' ( x − 2; y + 1) , BC cùng phương nên 2 x + y − 3 = 0 (2)
ÁN
-L
Bài 2.48: Cho tam giác ABC với A ( 3;1) , B ( −1; −1) , C ( 6; 0 ) .
TO
a) Tính góc A của tam giác ABC
B. A = 1350
C. A = 1200
D. A = 1300
ÀN
A. A = 1450
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
B. S = 15
N
A. S = 18
Đ
b) Tính tọa độ giao điểm của đường tròn đường kính AB và đường tròn đường kính
D
IỄ N
OC.
(
)
(
A. M1 1; 5 , M 2 −1; 5
(
)
(
)
C. M1 −1; 5 , M2 −1; 5
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
(
)
(
B. M1 −1; − 5 , M2 −1; 5
)
(
)
(
D. M1 1; − 5 , M 2 1; 5
)
)
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Bài làm:
2 Bài 2.48: a) AB ( −4; −2 ) , AC ( 3; −1) ⇒ cos A = cos AB; AC = − 2
N
)
Ơ
(
N
H
Suy ra A = 1350
(
)
(
)
TP
TR ẦN
Vậy có hai giao điểm là M1 1; − 5 , M 2 1; 5
H Ư
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
2 2 MA.MB = 0 MA ⊥ MB x + y − 2 x − 4 = 0 x = 1 ⇔ ⇔ ⇔ 2 2 y = ± 5 MC ⊥ MO x + y − 6 x = 0 MC.MO = 0
ẠO
Ta có MA ( 3 − x;1 − y ) , MB ( −1 − x; −1 − y ) , MC ( 6 − x; − y ) , MO ( − x; − y )
.Q
OC
Bài 2.49: Cho ba điểm A(6; 3), B( −3; 6), C(1; −2) . Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp
10 00
B
tam giác ABC .
B. O ( −1; 3 )
C. O ( 1; 3 )
D. O ( 1; −3 )
Bài làm:
H
Ó
A
A. O ( −1; −3 )
Í-
Bài 2.49: Ta có O ( xO ; yO ) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khi và chỉ khi
TO
ÁN
-L
OA 2 = OB2 OA = OB = OC ⇔ 2 2 OA = OC
Đ
ÀN
( 6 − x )2 + ( 3 − y )2 = ( −3 − x )2 + ( 6 − y )2 O O O O ⇔ 2 2 2 2 ( 6 − xO ) + ( 3 − yO ) = ( 1 − xO ) + ( −2 − yO )
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y
b) Gọi M ( x; y ) là giao điểm của đường tròn đường kính AB và đường tròn đường kính
D
IỄ N
−12 xO − 6 yO = 6 xO − 12 yO x = 1 ⇔ ⇔ O ⇒ O ( 1; 3 ) −12 xO − 6 yO + 40 = −2 xO + 4 yO yO = 3
Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là O ( 1; 3 )
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
OM.BC = 0 Cách khác: Ta thiết lập hệ phương trình từ điều kiện trong đó M, N lần ON .CA = 0
Ơ
N
lượt là trung điểm của BC, CA.
N
H
Bài 2.50. Các điểm B ( −1; 3 ) , C ( 3; 1) là hai đỉnh của một tam giác ABC vuông cân tại A.
G
H Ư
N
Bài 2.50. Gọi A ( x; y ) ⇒ AB ( −1 − x; 3 − y ) , AC ( 3 − x; 1 − y )
Đ
Bài làm:
TR ẦN
AB. AC = 0 x = 2 x = 0 Tam giác ABC vuông cân tại A ⇔ ⇔ hoặc y = 4 y = 0 AB = AC
10 00
B
Vậy có hai điểm thỏa mãn A1 ( 2; 4 ) , A2 ( 0; 0 )
Bài 2.51: Cho bốn điểm A ( −8; 0 ) , B ( 0; 4 ) , C ( 2; 0 ) , D ( −3; −5 ) . Chứng minh rằng tứ giác
H
Ó
A
nội tiếp được một đường tròn.
Í-
Bài làm:
ÁN
-L
Bài 2.51: Ta có AB ( 8; 4 ) , AD ( 5; −5 ) , CB ( −2; 4 ) , CD ( −5; −5 ) 1 1 ⇒ cos AB, AD + cos CB, CD = − =0 10 10
)
(
)
ÀN
TO
(
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
D. A1 ( 2; −4 ) , A2 ( 0;1)
U Y
C. A1 ( 2; 4 ) , A2 ( 0; 0 )
.Q
B. A1 ( −2; 4 ) , A2 ( 1; 0 )
TP
A. A1 ( −2; −4 ) , A2 ( 0; 0 )
ẠO
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Tìm tọa độ đỉnh A.
D
IỄ N
Đ
+ BCD = 180 0 . Suy ra tứ giác nội tiếp được. Do đó BAD
Bài 2.52: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho các điểm A ( −2; −1) , B ( 2; −4 ) .
= 450 . Tìm trên trục Oy điểm M sao cho MBA
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
3 B. M1 = 0; − ; M 2 = ( 0; 1) 7
30 C. M1 = 0; − ; M 2 = ( 0; 10 ) 7
3 D. M1 = 0; ; M2 = ( 0; −1) 7
N
H
3 A. M1 = 0; − ; M 2 = ( 0;10 ) 7
N
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Ơ
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
TP
.Q
Bài 2.52: a) M ∈ Oy ⇒ M ( 0; y ) Do đó ta có:
ẠO Đ G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
BM = ( −2; y + 4) ⇒ BM = y 2 + 8 y + 20 BA = ( −4; 3) ⇒ BA = 5
TR ẦN
= 450 ⇔ cos( BM , BA) = 2 . Ta có: MBA 2
H Ư
N
Do đó ta có: BM.BA = 3 y + 20
10 00
B
30 y=− 2 ⇒ 3 y + 20 = 5. y + 8 y + 20. ⇔ 7 2 y = 10
Ó
A
2
-L
Í-
H
30 Vậy có 2 điểm thoả mãn yêu cầu bài toán là M1 = 0; − ; M 2 = ( 0; 10 ) . 7
TO
ÁN
= 1350 . Bài 2.53: Cho hai điểm A ( 4; −3 ) , B ( 3;1) . Tìm M trên trục hoành sao cho AMB
− 33 ;0 B. M1 (4; 0); M2 2
11 − 33 C. M1 (4; 0); M2 ;0 2
33 ;0 D. M1 (5; 0); M 2 2
D
IỄ N
Đ
ÀN
11 A. M1 (4; 0); M2 ; 0 2
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y
Bài làm:
Bài làm:
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Bài 2.53: Gọi M ( a; 0 ) ; MA = (4 − a; −3); MB = (3 − a;1)
N
H
Ơ
N
1 MA.MB a2 − 7 a + 9 cos AMB = = =− 2 2 MA.MB 2 ( a − 4) + 9. ( a − 3) + 1
Đ
11 ± 33 2
11 − 33 2
TR ẦN
Thử 4 nghiệm trên với đk (*) ta chỉ nhận a = 4; a =
H Ư
N
⇔ ( a − 4)( a + 1)( a 2 − 11a + 22) = 0 ⇔ a = 4 , a = −1 hoặc a =
G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
Ta có: ( * * ) ⇔ a 4 − 14 a 3 + 51a2 − 22 a − 88 = 0
10 00
B
11 − 33 Từ đó ta có 2 điểm M thoả mãn là M1 (4; 0); M2 ;0 2
A
Bài 2.54: Biết A ( 1; −1) , B ( 3; 0 ) là hai đỉnh của hình vuông ABCD . Tìm tọa độ các đỉnh
H
Ó
C và D
-L
Í-
A. C ( −4; −2 ) , D ( 1; −3 ) hoặc C ( 2; −2 ) , D ( 0; −1)
ÁN
B. C ( −4; −2 ) , D ( −2; −3 ) hoặc C ( 2; 2 ) , D ( 0; −1)
ÀN
TO
C. C ( −4; −2 ) , D ( 2; −3 ) hoặc C ( 2; −2 ) , D ( 0; −1)
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
TP
.Q
U Y
a 2 − 7 a + 9 < 0 (*) ⇔ 2 2 2 2 2( a − 7 a + 9) = ( a − 8 a + 25)( a − 6 a + 10) (**)
D
IỄ N
Đ
D. C ( 4; −2 ) , D ( 2; −3 ) hoặc C ( 2; 2 ) , D ( 0;1) Bài làm:
Bài 2.54: Giả sử C ( x; y ) . Ta có :
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
AB ⊥ BC x = 2 x=4 Tứ giác ABCD hình vuông ⇒ hoặc ⇔ y = −2 y = 2 AB = BC
H
Ơ
N
Từ đó suy ra C ( 4; −2 ) , D ( 2; −3 ) hoặc C ( 2; 2 ) , D ( 0;1)
N
Bài 2.55. Trong mặt phẳng tọa độ cho ba điểm A ( 1; 4 ) , B ( −2; −2 ) và C ( 4; 2 ) .Xác định
3 D. M ; −1 2
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Bài làm:
N
G
Bài 2.55. MA 2 + 2 MB2 + 3 MC 2
TR ẦN
H Ư
2 2 2 2 2 2 = ( x − 1 ) + ( y − 4 ) + 2 ( x + 2 ) + ( y + 2 ) + 3 ( x − 4 ) + ( y − 2 ) 2 2 3 147 147 = 6 x 2 − 18 x + 6 y 2 + 93 = ( 2 x − 3 ) + 6 ( y − 1) + ≥ 2 2 2
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
10 00
B
3 Suy ra M ;1 2
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
3 C. M ;1 2
TP
3 B. M − ; −1 2
ẠO
3 A. M − ;1 2
U Y
tọa độ điểm M sao cho tổng MA 2 + 2 MB2 + 3 MC 2 nhỏ nhất.
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
§3 TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ
Ơ H
TP
.Q
Quy ước: 0 a = 0 và k 0 = 0
v) 1a = a , (−1)a = −a
3. Điều kiện để hai vectơ cùng phương
Đ G N H Ư
ii) k( a ± b) = ka ± kb k = 0 iv) ka = 0 ⇔ a = 0
TR ẦN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
i) ( k + m)a = ka + ma iii) k( ma) = ( km)a
ẠO
2. Tính chất :
B
• b cùng phương a ( a ≠ 0 ) khi và chỉ khi có số k thỏa b = ka
A
10 00
• Điều kiện cần và đủ để A , B, C thẳng hàng là có số k sao cho AB = kAC 4. Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương.
H
Ó
Cho a không cùng phương b . Với mọi vectơ x luôn được biểu diễn x = ma + nb với
-L
Í-
m , n là các số thực duy nhất.
ÁN
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
ÀN
TO
DẠNG 1: Dựng và tính độ dài vectơ chứa tích một vectơ với một số. 1. Phương pháp giải.
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y
N
1. Định nghĩa: Tích của vectơ a với số thực k ≠ 0 là một vectơ, kí hiệu là ka , cùng hướng với cùng hướng với a nếu k > 0 , ngược hướng với a nếu k < 0 và có độ dài bằng k a
N
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Đ
Sử dụng định nghĩa tích của một vectơ với một số và các quy tắc về phép toán vectơ
IỄ N
để dựng vectơ chứa tích một vectơ với một số, kết hợp với các định lí pitago và hệ thức
D
lượng trong tam giác vuông để tính độ dài của chúng.
2. Các ví dụ.
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Ví dụ 1: Cho tam giác đều ABC cạnh a . điểm M là trung điểm BC . tính độ dài của chúng.
B.2a
C.3a
D.4a
C.
a 3 5
B.
a 21 2
C.
a 21 4
D.
a 21 7
B.
a 127 8
C.
a 127 3
D.
a 127 2
a 3 6
Đ
ẠO
D.
G N H
Ó
A
a 127 4
Lời giải:
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
(Hình 1.14)
H Ư
TR ẦN
a 21 3
3 MA − 2, 5 MB 4
A.
TP
a 3 2
1 AB + 2 AC 2
A.
d)
B.
B
c)
a 3 4
10 00
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
A.
.Q
1 b) BA − BC 2
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y
A.a
H
Ơ
N
1 CB + MA 2
N
a)
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
1 CB = CM suy ra theo quy tắc ba 2 điểm ta có a) Do
A L K
Ơ H
M
B
TP
Q
ẠO
P
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Hình 1.14
H Ư
1 1 BC = BM nên theo quy tắc trừ ta có BA − BC = BA − BM = MA 2 2
Theo định lí Pitago ta có 2
a a 3 MA = AB − BM = a − = 2 2 2
B
2
H
Ó
A
1 a 3 Vậy BA − BC = MA = 2 2
10 00
2
TR ẦN
b) Vì
ÁN
-L
bình hành AQPN .
Í-
c) Gọi N là trung điểm AB , Q là điểm đối xứng của A qua C và P là đỉnh của hình
1 AB = AN , 2 AC = AQ suy ra theo quy tắc hình bình hành ta có 2 1 AB + 2 AC = AN + AQ = AP 2
Đ
ÀN
TO
Khi đó ta có
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y
1 CB + MA = CA = a 2
H
N
C
.Q
Vậy
N
N
1 CB + MA = CM + MA = CA 2
D
IỄ N
Gọi L là hình chiếu của A lên QN
= MNB = CAB = 60 0 Vì MN / / AC ⇒ ANL
= Xét tam giác vuông ANL ta có sin ANL
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
AL = a sin 60 0 = a 3 ⇒ AL = AN .sin ANL AN 2 4
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
NL = a cos 600 = a ⇒ NL = AN .cos ANL AN 2 4
H
Ơ
N
a 9a Ta lại có AQ = PN ⇒ PL = PN + NL = AQ + NL = 2 a + = 4 4
U Y
N
Áp dụng định lí Pitago trong tam giác ALP ta có
3a 2 81a2 21a 2 a 21 AP = AL + PL = + = ⇒ AP = 16 16 4 2
.Q
2
ẠO
1 a 21 AB + 2 AC = AP = 2 2
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Vậy
2
TP
2
G
3 MA , H thuộc tia MB sao cho 4
H Ư
N
d) Gọi K là điểm nằm trên đoạn AM sao cho MK =
3 MA = MK , 2, 5 MB = MH 4
Do đó
3 MA − 2, 5 MB = MK − MH = HK 4
A
3 3 a 3 3 3a a 5a AM = . = , MH = 2, 5 MB = 2, 5. = 4 4 2 8 2 4
H
Ó
Ta có MK =
10 00
B
Khi đó
TR ẦN
MH = 2, 5 MB .
-L
Í-
Áp dụng định lí Pitago cho tam tam giác vuông KMH ta có
3 a 127 MA − 2, 5 MB = KH = 4 8
Đ
ÀN
Vậy
25a2 27 a 2 a 127 + = 16 64 8
TO
ÁN
KH = MH 2 + MK 2 =
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
= cos ANL
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
D
IỄ N
Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD cạnh a .
a) Chứng minh rằng u = 4 MA − 3 MB + MC − 2 MD không phụ thuộc vào vị trí điểm M.
b) Tính độ dài vectơ u
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
A. u = a 5
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
1 B. u = a 5 2
C. u = 3a 5
D. u = 2 a 5
Ơ
N
Lời giải:
N
H
(Hình 1.15)
U Y
A'
) (
) (
TP
) (
)
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
(
D
O Hình 1.15
H Ư
N
G
Mà OD = −OB , OC = −OA nên u = 3OA − OB
B
A
ẠO
u = 4 MO + OA − 3 MO + OB + MO + OC − 2 MO + OD = 4OA − 3OB + OC − 2OD
.Q
Theo quy tắc ba điểm ta có
TR ẦN
Suy ra u không phụ thuộc vào vị trí điểm M
B
b) Lấy điểm A ' trên tia OA sao cho OA ' = 3OA khi đó
10 00
OA ' = 3OA do đó u = OA ' − OB = BA '
Ó
A
Mặt khác BA ' = OB2 + OA '2 = OB2 + 9OA 2 = a 5
-L
Í-
H
Suy ra u = a 5
ÁN
3. Bài tập luyện tập.
TO
Bài 1.26. Cho tam giác đều ABC cạnh a . Gọi điểm M , N lần lượt là trung điểm
ÀN
BC , CA . Dựng các vectơ sau và tính độ dài của chúng.
C
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
a) Gọi O là tâm hình vuông.
D
IỄ N
Đ
1 a) AN + CB 2
A.
a 6
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
B.
a 5
C.
a 2
D.
a 3
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
1 BC − 2 MN 2
B.
a 3 2
C.
5a 3 2
D.
3a 3 2
B.
a 28 2
C.
5a 28 2
D.
3a 28 2
B.
3a 7 8
C.
a 7 8
N
7a 3 2
Ơ
N
5a 7 8
U Y
N H
B
Bài 1.26: a) Theo quy tắc ba điểm ta có
a 7 2 A
TR ẦN
Lời giải:
K
10 00
C
M
B
A
1 AN + CB = NC + CM = NM 2
D.
H Ư
A.
G
Đ
ẠO
3 c) 0, 25 MA − MB 2
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
.Q
7 a 28 2
TP
A.
N
c) AB + 2 AC
Ó
1 a 1 Suy ra AN + CB = MN = AB = 2 2 2 I
-L
Í-
H
F
TO
ÁN
E Hình
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
A.
H
b)
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
IỄ N
Đ
ÀN
1 b) Theo quy tắc trừ ta có BC − 2 MN = BM − BA = AM 2
1 a 3 BC − 2 MN = AM = 2 2
D
⇒
c) Gọi F là điểm đối xứng của A qua C , điểm E là là đỉnh của hình bình hành ABEF , theo quy tắc hình bình hành ta có AB + 2 AC = AB + AF = AE
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Gọi I là hình chiếu của E lên AC .
IF = a cos 60 0 = a ⇒ IF = EF.cos IFE EF 2
Ơ
= cos IFE
H
IE = a sin 60 0 = a 3 ⇒ IE = EF.sin IFE EF 2
ẠO
TP
Áp dụng định lí Pitago ta có 2
G
Đ
2
N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
2 a a 3 a 28 AE = AI + IE = 2 a + + = 2 2 2 2
TR ẦN
H Ư
a 28 Suy ra AB + 2 AC = AE = . 2
3 d) Lấy các điểm H , K sao cho 0, 25 MA = MH ; MB = MK 2
10 00
B
3 Suy ra 0, 25 MA − MB = MH − MK = KH 2
2
2 2 a 3 a 2 a 7 AM 3 + = + MB = 4 2 8 4 8
Í-
H
Ó
A
3 Do đó 0, 25 MA − MB = KH = 2
-L
Bài 1.27: Cho hình vuông ABCD cạnh a .
TO
ÁN
a) Chứng minh rằng u = MA − 2 MB + 3 MC − 2 MD không phụ thuộc vào vị trí điểm M.
A. u = 4 a 2
B. u = a 2
C. u = 3a 2
D. u = 2 a 2
Lời giải:
D
IỄ N
Đ
ÀN
b) Tính độ dài vectơ u
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
U Y
N
= sin IFE
N
= CAB = 60 0 Vì AB / / EF ⇒ EIF
Bài 1.27: Gọi O là tâm hình vuông. Theo quy tắc ba điểm ta có
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
u = MO + OA − 2 MO + OB + 3 MO + OC − 2 MO + OD = OA − 2OB + 3OC − 2OD
) (
) (
) (
)
H
Ơ
N
Mà OD = −OB , OC = −OA nên u = −2OA
U Y
N
Suy ra u không phụ thuộc vào vị trí điểm M
TP
.Q
b) u = −2OA = 2OA = a 2
ẠO Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
DẠNG 2: Chứng minh đẳng thức vectơ. 1. Phương pháp giải.
G
Sử dụng các kiến thức sau để biến đổi vế này thành vế kia hoặc cả hai biểu thức ở hai vế cùng
H Ư
N
bằng biểu thức thứ ba hoặc biến đổi tương đương về đẳng thức đúng:
B
TR ẦN
• Các tính chất phép toán vectơ • Các quy tắc: quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành và quy tắc phép trừ • Tính chất trung điểm: M là trung điểm đoạn thẳng AB ⇔ MA + MB = 0
• Tính chất trọng tâm:
10 00
M là trung điểm đoạn thẳng AB ⇔ OA + OB = 2OM (Với O là điểm tuỳ ý)
H
Ó
A
G là trọng tâm của tam giác ABC ⇔ GA + GB + GC = O
ÁN
2. Các ví dụ.
-L
Í-
G là trọng tâm của tam giác ABC ⇔ OA + OB + OC = OG (Với O là điểm tuỳ ý)
TO
Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD, O là trung
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
(
ÀN
điểm của IJ .Khẳng định nào sau đây đúng?
D
IỄ N
Đ
a)
A. AC + BD = IJ
1 B. AC + BD = IJ 2
C. AC + BD = 3 IJ
D. AC + BD = 2 IJ
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
C. OA + OB + OC + OD = 0
D. OA + OB + OC + OD = 2OJ
Ơ
B. OA + OB + OC + OD = 2OI
B. MA + MB + MC + MD = 2 MO
C. MA + MB + MC + MD = MO
D. MA + MB + MC + MD = 4 MO
ẠO
TP
.Q
A. MA + MB + MC + MD = 3 MO
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
c) với M là điểm bất kì
H Ư
N
Lời giải:
TR ẦN
(Hình 1.16) a) Theo quy tắc ba điểm ta có
B
AC = AI + IJ = AI + IJ + JC
O
D
J Hình 1.16
Ó
A
10 00
Tương tự BD = BI + IJ + JD
B
I
A
Í-
H
Mà I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD nên AI + BI = 0, JC + JD = 0 Vậy AC + BD = AI + BI + JC + JD + 2 IJ = 2 IJ đpcm
) (
)
ÁN
-L
(
TO
b) Theo hệ thức trung điểm ta có OA + OB = 2OI , OC + OD = 2OJ
C
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y
N
H
A. OA + OB + OC + OD = IJ
N
b)
Đ
ÀN
Mặt khác O là trung điểm IJ nên OI + OJ = 0
D
IỄ N
Suy ra OA + OB + OC + OD = 2 OI + OJ = 0 đpcm
(
)
c) Theo câu b ta có OA + OB + OC + OD = 0 do đó với mọi điểm M thì
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
OA + OB + OC + OD = 0 ⇔ OM + MA + OM + MA + OM + MA + OM + MA = 0
(
) (
) (
) (
)
H
Ơ
N
⇔ MA + MB + MC + MD = 4 MO đpcm
TP
Lời giải:
ẠO Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Vì G1 là trọng tâm tam giác BCA1 nên 3GG1 = GB + GC + GA1
H Ư
TR ẦN
3GG2 = GA + GB + GC1 và 3GG3 = GA + GC + GB1
N
G
Tương tự G2 , G3 lần lượt là trọng tâm tam giác ABC1 , ACB1 suy ra
Công theo vế với vế các đẳng thức trên ta có
GG1 + GG2 + GG3 = 2 GA + GB + GC + GA1 + GB1 + GC1
) (
)
10 00
B
(
Mặt khác hai tam giác ABC và A1 B1C1 có cùng trọng tâm G nên
Ó
A
GA + GB + GC = 0 và GA1 + GB1 + GC1
-L
Í-
H
Suy ra GG1 + GG2 + GG3 = 0
ÁN
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O.
A. HA + HB + HC = 4 HO
B. HA + HB + HC = 2 HO
2 C. HA + HB + HC = HO 3
D. HA + HB + HC = 3 HO
D
IỄ N
Đ
ÀN
a)
TO
Chọn khẳng định đúng?
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
U Y
N
Ví dụ 2: Cho hai tam giác ABC và A1 B1C1 có cùng trọng tâm G. Gọi G1 , G2 , G3 lần lượt là trọng tâm tam giác BCA1 , ABC1 , ACB1 . Chứng minh rằng GG1 + GG2 + GG3 = 0
b)
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
1 B. OA + OB + OC = OH 3
C. OA + OB + OC = OH
D. OA + OB + OC = 2OH
A. GH + 2GO = OA
B. GH + 2GO = 0
C. GH + 2GO = AB
D. GH + 2GO = AC
N
H
Ơ
1 A. OA + OB + OC = OH 2
N
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
Đ A
N
G
Hình 1.17)
10 00
điểm đối xứng của A qua O khi đó
B
H O
C
D
B
Nếu tam giác ABC không vuông gọi D là
TR ẦN
giác ABC vuông
H Ư
a) Dễ thấy HA + HB + HC = 2 HO nếu tam
Hình 1.17
BH / / DC (vì cùng vuông góc với AC)
Í-
H
Ó
A
BD / /CH (vì cùng vuông góc với AB)
-L
Suy ra BDCH là hình bình hành, do đó theo quy tắc hình bình hành thì HB + HC = HD
ÁN
(1)
TO
Mặt khác vì O là trung điểm của AD nên HA + HD = 2 HO (2)
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q TP
ẠO
Lời giải:
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
U Y
c)
Đ
ÀN
Từ (1) và (2) suy ra HA + HB + HC = 2 HO
D
IỄ N
b) Theo câu a) ta có
HA + HB + HC = 2 HO ⇔ HO + OA + HO + OB + HO + OC = 2 HO
(
) (
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
) (
)
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
⇔ OA + OB + OC = OH đpcm c) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên OA + OB + OC = 3OG
H
Ơ
N
Mặt khác theo câu b) ta có OA + OB + OC = OH Suy ra OH = 3OG ⇔ OG + GH − 3OG = 0 ⇔ GH + 2GO = 0
N
)
TP
.Q
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC với AB = c , BC = a , CA = b và có trọng tâm G. Gọi D , E, F
ẠO
lần lượt là hình chiếu G lên cạnh BC , CA , AB .
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Chứng minh rằng a 2 .GD + b 2 .GE + c 2 .GF = 0
H Ư
N
G
Lời giải: (hình 1.18)
TR ẦN
Trên tia GD, GE, MF lần lượt lấy các điểm N, P, Q sao cho GN = a , GP = b , GQ = c và
Ta có a .GD + b 2 .GE + c 2 .GF = 0
E F
A
⇔ a.GD.GN + b.GE.GP + c.GF.GQ = 0 (*)
B
G
D
R
C
H
Ó
Ta có a.GD = 2S∆GBC , b.GE = 2S∆GCA , c.GF = 2S∆GAB , mặt
P
A
Q
10 00
2
B
dựng hình bình hành GPRN
Í-
khác G là trọng tâm tam giác ABC nên
-L
S∆GBC = S∆GCA = S∆GAB suy ra a.GD = b.GE = c.GF
N Hình 1.18
TO
ÁN
Vậy (*) ⇔ GN + GP + GQ = 0
ÀN
= GPR (góc có cặp cạnh vuông góc với nhau) Ta có AC = GP = b , PR = BC = a và ACB
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y
(
IỄ N
Đ
Suy ra ∆ACB = ∆GPR (c.g.c)
D
= BAC ⇒ GR = AB = c và PGR
+ BAC = 180 0 ⇒ QGP + GPR = 180 0 ⇒ Q , G , R thẳng hàng do đó G là trung Ta có QGP điểm của QR
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Theo quy tắc hình bình hành và hệ thức trung điểm ta có
GN + GP + GQ = GR + GQ = 0
TP
Lời giải:
ẠO
Cách 1: (Hình 1.19)Gọi D là chân đường
A
Đ G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
phân giác góc A
N
Do D là đường phân giác giác trong góc A
H Ư
nên ta có
B
D
C
Hình 1.19
B
)
I
10 00
(
TR ẦN
c DB c = ⇒ BD = DC DC b b c ⇔ ID − IB = IC − ID b ⇔ (b + c) ID = bIB + cIC (1)
Ó
A
Do I là chân đường phân giác nên ta có :
ÁN
-L
Í-
H
ID BD CD BD + CD a = = = = IA BA CA BA + CA b + c ⇒ (b + c) ID = −aIA (2)
TO
Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh
Cách 2: (hình 1.20)Qua C dựng đường thẳng song song với AI cắt BI tai B’;song song với
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
U Y
N
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC với các cạnh AB = c , BC = a , CA = b . Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng aIA + bIB + cIC = 0
H
Ơ
N
Vậy a 2 .GD + b 2 .GE + c 2 .GF = 0 .
D
IỄ N
Đ
ÀN
BI cắt AI tại A’
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Ta có IC = IA ' + IB ' (*) Theo định lý Talet và tính chất đường
A
phân giác trong ta có :
Ơ C
C'
.Q
ẠO
TP
Hình 1.20
G
Đ
Từ (1) và (2) thay vào (*) ta có :
H Ư TR ẦN
3. Bài tập luyện tập.
N
a b IC = − IA − IB ⇔ aIA + bIB + cIC = 0 c c
Bài 1.28: Cho tam giác ABC . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC , CA , AB .Chọn
a)
Ó
A
A. AM + BN + CP = AB
10 00
B
khẳng định đúng
D. AM + BN + CP = 0
-L
Í-
H
C. AM + BN + CP = BC
B. AM + BN + CP = AC
ÁN
b) với O là điểm bất kỳ.
C. OA + OB + OC = OM + ON + OP
B. OA + OB + OC = ON + OP D. OA + OB + OC = OM + OP
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
A. OA + OB + OC = OM + ON
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y
B
a Tương tự : IA ' = − IA (2) c
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
H
I
N
IB BA1 c b = = ⇒ IB ' = − IB (1) IB ' CA1 b c
N
B'
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Lời giải:
A
Bài 1.28: (hình 1.49)
Ơ )
B
)
Đ
Bài 1.29: Cho tam giác ABC .Gọi H là điểm đối xứng với B qua G với G là trọng tâm tam
N
G
giác. Chọn khẳng định đúng?
H Ư
a),
1 1 B. CH = − AB − AC 3 3
TR ẦN
2 1 A. AH = AC − AB 3 3
H
Ó
1 1 A. MH = AC − AB 6 6
A
b) với M là trung điểm của BC
10 00
B
C.Cả A, B đều đúng
1 5 B. MH = AC − AB 6 3 1 5 D. MH = AC − AB 6 6
ÁN
-L
Í-
1 5 C. MH = AC − AB 3 6
D.Cả A, B đều sai
TO
Lời giải:
2 2 1 Bài 1.29: a) Ta có AH = 2 AG − AB = AC + AB − AB = AC − AB 3 3 3
ÀN
(
)
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
TP
) (
ẠO
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
) (
C
M Hình 1.49
1 1 1 OB + OC + OC + OA + OA + OB = OA + OB + OC 2 2 2
(
H
) (
U Y
) (
.Q
(
N
1 1 1 AB + AC + BC + BA + CA + CB = 0 b) 2 2 2 OM + ON + OP = =
N
P
N
a) AM + BN + CP =
D
IỄ N
Đ
1 1 CH = AH − AC = − AB − AC 3 3
1 1 5 b) MH = AH − AB + CH = AC − AB 2 6 6
(
)
Bài 1.30: Cho tam giác ABC có điểm M thuộc cạnh BC. Chọn khẳng định đúng?
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
MC 2 MB AB + AC B. AM = BC BC
MC MB C. AM = AB − AC BC BC
MC MB AB + AC D. AM = BC BC
H
2 MC MB AB + AC A. AM = BC BC
N
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Ơ
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
(
ẠO
MC MB MB + MC = AM = AM + BC BC
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
)
G
Đ
Bài 1.31: Cho hai hình bình hành ABCD và AB ' C ' D ' có chung đỉnh A. Chọn khẳng
N
định đúng?
B. B ' B + CC ' + D ' D = AC '
C. B ' B + CC ' + D ' D = 0
D. B ' B + CC ' + D ' D = AD '
TR ẦN
H Ư
A. B ' B + CC ' + D ' D = AB '
10 00
B
Lời giải:
Bài 1.31: Ta có:
B ' B + CC ' + D ' D = AB − AB ' + AC ' − AC + AD − AD ' = AB + AD − AC − AB ' + AD ' + AC = 0
Ó
(
H
)
) (
)
-L
Í-
(
) ( )
A
(
Bài 1.32: Cho tam giác ABC đều tâm O. M là điểm tùy ý trong tam giác. Hạ MD, ME,
ÁN
MF tương ứng vuông góc với BC, CA, AB. Chọn khẳng định đúng?
B. MD + ME + MF = 2 MO
3 C. MD + ME + MF = MO 2
D. MD + ME + MF = 3 MO
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
1 A. MD + ME + MF = MO 2
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
)
U Y
(
.Q
MC MB MC MB AB + AC = AM + MB + AM + MC BC BC BC BC
TP
Bài 1.30: Ta có
N
Lời giải:
Lời giải:
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Bài 1.32: (hình 1.50) Qua M kẻ các đường thẳng song song với các cạnh ∆ ABC, các đường thẳng này lần lượt cắt tại các
A F1 F
MF1 AE2 , ME1CD2 , MD1 BF2 .
B
D1 D D2
Ơ H
C
.Q
TP G
Đ
ẠO
1 MF = ( MF 1 + MF 2 ) . 2
H Ư
N
3 Cộng từng vế 3 đẳng thức và nhóm ta được: MD + ME + MF = MO 2
TR ẦN
Bài 1.33: Trong mặt phẳng cho tam giác ABC. Một đường thẳng ∆ là đường thẳng bất kỳ. Gọi G là trọng tâm ∆ABC và A’, B’, C’, G’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A,
10 00
B
B, C, G lên đường thẳng △ .Chọn khẳng định đúng?
A
A. AA ' + BB ' + CC ' = GG '
1 D. AA ' + BB ' + CC ' = GG ' 2
Í-
H
Ó
C. AA ' + BB ' + CC ' = 3GG '
B. AA ' + BB ' + CC ' = 2GG '
-L
Bài 1.34: Cho n vectơ đôi một khác phương và tổng của n − 1 vectơ bất kì trong n vectơ
ÁN
trên cùng phương với vectơ còn lại. Chứng minh rằng tổng n vectơ cho ở trên bằng
Lời giải:
ÀN
TO
vectơ không.
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
Hình 1.50
1 1 Ta có: MD = ( MD1 + MD 2 ) , ME = ( ME1 + ME2 ) , 2 2
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
E1
M
N
F2
E
U Y
MD1 D2 , ME2 E2 , MF1 F2 và các hình bình hành
N
E2
điểm như hình vẽ. Dễ thấy ta có các tam giác đều
D
IỄ N
Đ
Bài 1.34: Giả sử n vectơ là ai , i = 1, 2,..., n . Đặt u = a1 + a2 + ... + an
Vì tổng của n − 1 vectơ bất kì trong n vectơ trên cùng phương với vectơ còn lại do đó u cùng phương với hai vectơ a1 , a2 nên u = 0 .
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Bài 1.35: Cho tam giác ABC với các cạnh AB = c , BC = a , CA = b . Gọi I là tâm và D, E, F lần lượt là tiếp điểm của cạnh BC, CA, AB của đường tròn nội tiếp tam giác ABC . M, N,
N
P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh rằng:
H N ẠO
TP
c) (b + c − a) IM + ( a + c − b) IN + (a + b − c) IP = 0
Đ G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
d) aAD + bBE + cCF = 0
H Ư
N
Lời giải:
TR ẦN
Bài 1.35: (hình 1.51)
a) Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC ta có
10 00
B
A
B C C A A B a = r cot + cot ; b = r cot + cot ; c = r cot + cot 2 2 2 2 2 2
E
F P
N
A
I
Ó
B
H
Theo ví dụ 5 ta có aIA + bIB + cIC = 0
DM
TO
ÁN
-L
Í-
Hình 1.51
Đ
ÀN
B C C A A B ⇔ cot + cot IA + cot + cot IB + cot + cot IC = 0 2 2 2 2 2 2
C
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y
A B C IM + cot IN + cot IP = 0 2 2 2
.Q
b) cot
Ơ
B C C A A B a) cot + cot IA + cot + cot IB + cot + cot IC = 0 2 2 2 2 2 2
(
D
IỄ N
1 1 1 b) Ta có IM = IB + IC ; IN = IC + IA ; IP = IA + IC 2 2 2 Theo câu a) ta có cot
)
(
)
(
)
A B C IB + IC + cot IA + IC + cot IA + IB = 0 2 2 2
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
(
)
(
)
(
)
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
Suy ra cot
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
A B C IM + cot IN + cot IP = 0 2 2 2
Đ G N
TR ẦN
Tương tự ta có :
H Ư
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
DC DB ( p − c) ( p − b) IB + IC = IB + IC d) ID = BC BC a a
B
bIE = ( p − a) IC + ( p − c) IA ; cIF = ( p − b) IA + ( p − a) IB
Ó
A
10 00
⇒ aID + bIE + cIF = (2 p − b − c) IA + (2 p − c − a) IB + (2 p − a − b) IC = aIA + bIB + cIC ⇒ aAD + bBE + cCF = 0
Lời giải:
ÁN
-L
Í-
H
Bài 1.36: Cho tam giác ABC . M là điểm bất kỳ nằm trong tam giác. Chứng minh rằng : SMBC MA + SMCA .MB + SMAB MC =0
TO
Bài 1.36: (hình 1.52)Gọi A' là giao điểm AM với BC ta có A ' C A ' B MA ' = MB + MC (*) BC BC
IỄ N
Đ
ÀN
A
D
Mặt khác
S A ' C SMA'C SMAC A'C = = ⇒ + 1 = MAC + 1 A ' B SMA ' B SMAB A' B SMAB ⇒
SMAB A' B = BC SMAB + SMAC
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
ẠO
TP
.Q
aIA + bIB + cIC = 0 ⇔ (b + c − a) IM + ( a + c − b) IN + (a + b − c) IP = 0
⇔ aID = ( p − c) IB + ( p − a) IC với p là nửa chu vi.
N
U Y
IA = IP + IN − IM ; IB = IM + IP − IN ; IC = IM + IN − IP Kết hợp ví dụ 5 suy ra
H
Ơ
N
c) Ta có
M B
A'
C
Hình 1.52
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
Và
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
SMAC A'C = (1) BC SMAB + SMAC
N
H
Ơ
N
SMBC MA ' Mặt khác MA ' = − MA = − MA (2) MA SMAB + SMAC
Lời giải:
Đ
H Ư
N
A1 A2 e1 + A2 A3 e2 + ... + An A1 en = 0 (định lý con nhím)
G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
TP
Bài 1.37: Cho đa giác lồi A1 A2 ... An ( n ≥ 3 ); ei ,1 ≤ i ≤ n là vectơ đơn vị vuông góc với Ai Ai+1 (xem An+1 ≡ A1 ) và hướng ra phía ngoài đa giác. Chứng minh rằng
TR ẦN
Bài 1.37: (hình 1.53)Ta chứng minh bằng quy nạp
ek
10 00
B
Với n = 3 đẳng thức trở thành a.e1 + b.e2 + c.e3 = 0
(đúng vì đẳng thức này tương đương với đẳng thức ở
Ak
e
ek −1 Ak-1
A
bài 11)
A1
H
Ó
Giả sử đúng với n = k − 1, k ≥ 4
Hình 1.53
-L
Í-
Gọi e là vectơ đơn vị vuông góc với A1 Ak−1 và hướng
ek −2 Ak-2
ÁN
ra ngoài tam giác A1 Ak−1 Ak
TO
Theo giả thiết quy nạp ta có
ÀN
A1 A2 e1 + A2 A3 e2 + ... + Ak−2 Ak−1 e k−2 + Ak−1 A1 −e = 0 (1)
e1
A2
e2 A3
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
U Y
Thay (1) và (2) vào (*) ta được điều phải chứng minh.
( )
D
IỄ N
Đ
Mặt khác xét tam giác A1 Ak−1 Ak ta có A1 Ak−1 e + Ak−1 Ak e k−1 + Ak A1 e k = 0 (2)
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
H
Ơ
Bài 1.38: Cho đa giác lồi A1 A2 ... An ( n ≥ 3 ) với I là tâm đường tròn tiếp xúc các cạnh của đa giác; gọi ei ,1 ≤ i ≤ n là véc tơ đơn vị cùng hướng với véc tơ IAi . Chứng minh rằng A A A cos 1 e1 + cos 2 e2 + ... + cos n en = 0 2 2 2
N
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
A1
.Q
TP
đường tròn nội tiếp với cạnh Ai Ai+1 Bn-1
A2 B2 A3
I
Đ
B AI=B AI 1 1 n 1
ẠO
An
Xét tứ giác A1 B1 IBn có A B I=A B I = 90 0 và 1 n 1 1
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
B1
Bn
Tương tự ta có IAi ⊥ Bi−1 Bi , i = 2, 3,..., n
N
G
Hình 1.54
TR ẦN
IA1 ⊥ B1 Bn
H Ư
IA1 = B IA1 . Mặt khác IB1 = IBn dó đó Suy ra B 1 n
An-1 Bn-2 An-2
10 00
B
Xét đa giác lồi B1 B2 ...Bn theo định lý con nhím ta có
Bn B1 .e1 + B1 B2 .e 2 + ... + Bn−1 Bn .en = 0
H
Ó
A
A A1 A e1 + IB2 .cos 2 e 2 + ... + IBn .cos n en = 0 2 2 2
Í-
⇔ IB1 .cos
-L
Mà IB1 = IB2 = ... = IBn suy ra đpcm.
TO
ÁN
Bài 1.39: Cho tam giác ABC vuông tại A. I là trung điểm của đường cao AH. Chứng minh rằng : a 2 IA + b2 IB + c 2 IC = 0 .
Đ
ÀN
Lời giải:
D
IỄ N
Bài 1.39: Ta có Suy ra IH =
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
Bài 1.38: (hình 1.54)Gọi Bi , i = 1, 2,..., n là các tiếp điểm
U Y
N
Lời giải:
HB HB.BC c 2 = = , HC HC.BC b 2
b2 c 2 IB + 2 IC c 2 + b2 c + b2
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
b 2 c 2 Mà b2 + c 2 = a 2 và IH = −IA nên suy ra −IA = 2 IB + 2 IC a a
H Ư
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
TP
• Ta biến đổi đẳng thức vectơ về dạng AM = a trong đó điểm A và a đã biết. Khi đó tồn tại duy nhất điểm M sao cho AM = a , để dựng điểm M ta lấy A làm gốc dựng một vectơ bằng vectơ a suy ra điểm ngọn vectơ này chính là điểm M. • Ta biến đổi về đẳng thức vectơ đã biết của trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác 2. Các ví dụ.
TR ẦN
Ví dụ 1: Cho hai điểm A, B phân biệt. Xác định điểm M biết 2 MA − 3 MB = 0
B
Lời giải:
10 00
(hình 1.21)
H
)
-L
Í-
(
B Hình 1.21
Ó
⇔ 2 MA − 3 MA + AB = 0 ⇔ AM = 3 AB
A
A
Ta có 2 MA − 3 MB = 0
ÁN
M nằm trên tia AB và AM = 3 AB
TO
Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD . Xác định điểm M , N , P sao cho
M
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y
.Q
DẠNG 3: Xác định điểm M thoả mãn một đẳng thức vectơ cho trước 1. Phương pháp giải.
N
H
Ơ
N
Hay a 2 IA + b2 IB + c 2 IC = 0 .
A. M là trung điểm AE, với E là trung điểm AC B. M là trung điểm AF, với F là trung điểm AB
D
IỄ N
Đ
ÀN
a) 2 MA + MB + MC = 0
C. M là trung điểm AG, với G là trọng tâm ABC D. M là trung điểm AI, với I là trung điểm BC
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
b) NA + NB + NC + ND = 0
N
A. N là trung điểm của KH, K, H lần lượt là trung điểm của AC, BD
H
TP
.Q
D. N là trung điểm của KH, K, H lần lượt là trung điểm của AB, CD
ẠO Đ
G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
A. P là trung điểm AG , G là trọng tâm tam giác ACD
H Ư
N
B. P là trung điểm AG , G là trọng tâm tam giác BAD
TR ẦN
C. P là trung điểm AG , G là trọng tâm tam giác BCD D. P là trung điểm AG , G là trọng tâm tam giác ABC
B
Lời giải:
10 00
(hình 1.22)
Ó
A
a)
H
Gọi I là trung điểm BC suy ra MB + MC = 2 MI
Í-
-L
Do đó 2 MA + MB + MC = 0
B
K
A
M
P
ÁN
N
2 MA + 2 MI = 0 ⇔ MA + MI = 0
D
TO
I G
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y
N
C. N là trung điểm của KH, K, H lần lượt là trung điểm của AD, BC
c) 3 PA + PB + PC + PD = 0
Ơ
B. N là trung điểm của KH, K, H lần lượt là trọng tâm tam giác ABC, BCD
H
ÀN
Suy ra M là trung điểm AI
C
IỄ N
Đ
Hình 1.22
D
b) Gọi K, H lần lượt là trung điểm của AB, CD ta có
NA + NB + NC + ND = 0 ⇔ 2 NK + 2 NH = 0 ⇔ NK + NH = 0 ⇔ N là trung điểm của KH
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
c) Gọi G là trọng tâm tam giác BCD khi đó ta có PB + PC + PD = 3 PG Suy ra 3 PA + PB + PC + PD = 0 ⇔ 3 PA + 3 PG = 0
N
H
Ơ
N
⇔ PA + PG = 0 ⇔ P là trung điểm AG .
ẠO
TP
Từ đó, suy ra với điểm bất kì M thì α MA + β MB = (α + β ) MI .
G
Đ
Ta có: α IA + β IB = 0 ⇔ α IA + β ( IA + AB) = 0
β AB. α +β
Vì A, B cố định nên vectơ
TR ẦN
H Ư
⇔ (α + β )IA + β AB = 0. ⇔ (α + β ) AI = β AB ⇔ AI =
N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Lời giải:
β AB không đổi, do đó tồn tại duy nhất điểm I thoả mãn α +β
10 00
B
điều kiện. Từ đó suy ra
H
Ó
A
α MA + β MB = α( MI + IA) + β ( MI + IB)
ÁN
-L
Í-
= (α + β ) MI + (α IA + β IB) = (α + β ) MI đpcm.
TO
3. Bài tập luyện tập.
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
U Y
Ví dụ 3: Cho trước hai điểm A, B và hai số thực α , β thoả mãn α + β ≠ 0. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm I thoả mãn α IA + β IB = 0.
ÀN
Bài 1.40: Xác định điểm M biết MA + 2 MB + 3 MC = 0
D
IỄ N
Đ
Bài 1.41: Xác định các điểm I, J, K, L biết a) IA − 2 IB = 0
A. I là điểm đối xứng của A qua B.
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
B.I là trung điểm AB
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
C.Cả A, B đều đúng
D.Cả A, B đều sai
1 D. CJ = AB 4
B. AK = AB
2 C. AK = AB 3
4 D. AK = AB 3
5 C. AL = BC 2
H Ư
N
G
3 B. AL = BC 2
1 D. AL = BC 2
TR ẦN
Bài 1.42: Cho tứ giác ABCD . Tìm điểm cố định I và hằng số k để hệ thức sau thỏa mãn với mọi M
10 00
B
a) MA + MB + 2 MC = kMI
A. Với J là trung điểm của AB, suy ra I là trung điểm của JC, k=1
Ó
A
B. Với J là trung điểm của AB, suy ra I là trung điểm của JC, k=4
Í-
H
C. Với J là trung điểm của AB, suy ra I là trung điểm của JC, k=2
-L
D. Với J là trung điểm của AB, suy ra I là trung điểm của JC, k=3
TO
ÁN
b) 2 MA + 3 MB − MD = kMI
D
IỄ N
Đ
ÀN
1 A. k = 2, AI = 3 AB − AD 4
(
1 C. k = 1, AI = 3 AB − AD 4
(
)
1 B. k = 3, AI = 3 AB − AD 4
)
1 D. k = 4, AI = 3 AB − AD 4
(
(
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
Đ
d) 2 LA − LB + 3 LC = AB + AC 1 A. AL = BC 3
TP
ẠO
1 A. AK = AB 3
.Q
U Y
c) KA + KB + KC = BC
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Ơ
3 C. CJ = AB 2
H
1 B. CJ = AB 2
N
1 A. CJ = AB 3
N
b) JA − JB − 2 JC = 0
) )
c) MA + 2 MB + 3 MC − 4 MD = kMI A. k = 3, IA = 2 AB + 3 AC − 4 AD
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
B. k = 2, IA = 2 AB + 3 AC − 4 AD
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
C. k = 1, IA = 2 AB + 3 AC − 4 AD
D. k = 4, IA = 2 AB + 3 AC − 4 AD
Lời giải:
N
H
Ơ
N
Bài 1.42: a) Cho M ≡ I ⇒ IA + IB + 2 IC = 0 ⇔ IJ + IC = 0
TP
(
)
ẠO
1 b) k = 4, AI = 3 AB − AD 4
.Q
MA + MB + 2 MC = kMI ⇔ 4 MI = kMI ⇒ k = 4
Đ G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
c) k = 2, IA = 2 AB + 3 AC − 4 AD
TR ẦN
H Ư
N
Bài 1.43: Cho tam giác ABC với các cạnh AB = c , BC = a , CA = b . Tìm điểm M sao cho aMA + bMB + cMC = 0 A. M trung điểm AB
10 00
B
B. M trực tâm ABC
C. M trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác
Lời giải:
Í-
H
Ó
A
D. M trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
-L
Bài 1.43: M trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác
ÁN
Bài 1.44: Cho tam giác ABC và ba số thức α , β , γ không đồng thời bằng không. Chứng
TO
minh rằng:
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y
Với J là trung điểm của AB, suy ra I là trung điểm của JC
ÀN
a) Nếu α + β + γ ≠ 0 thì tồn tại duy nhất điểm M sao cho α MA + β MB + γ MC = 0.
D
IỄ N
Đ
b) Nếu α + β + γ = 0 thì không tồn tại điểm N sao cho α NA + β NB + γ NC = 0.
Lời giải:
Bài 1.44: a) Vì α + β + γ ≠ 0 ⇒ (α + β ) + (β + γ ) + (γ + α) ≠ 0
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Không mất tính tổng quát giả sử α + β ≠ 0 ⇒ ∃ ! D : α DA + β DB = 0.
Ơ
N
Suy ra α MA + β MB + γ MC = 0 ⇔ (α + β ) MD + γ MC = 0
N
H
Do đó tồn tại duy nhất điểm M
TP
.Q
β Ta có α NA + β NB + γ NC = 0 ⇔ CA = − CB (mâu thuẫn với ABC là tam giác) α
ẠO
Bài 1.45: Cho n điểm A1 , A2 ,..., An và n số k1 , k2 ,..., kn mà k1 + k2 + ... + kn = k ≠ 0
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
a) Chứng minh rằng có duy nhất điểm G sao cho k1 GA1 + k2 GA2 + ... + kn GAn = 0 .
H Ư
Điểm G như thế gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm Ai gắn với hệ số ki . Trong trường hợp các hệ
TR ẦN
số ki bằng nhau(ta có thể chọn các ki đều bằng 1 ) thì G gọi là trọng tâm của hệ điểm Ai
)
10 00
(
B
b) Chứng minh rằng nếu G là tâm tỉ cự nói ở câu a) thì với điểm M bất kỳ ta có 1 k1 MA1 + k2 MA2 + ... + kn MAn = OG k Lời giải
Ó
A
Bài 1.45: O là điểm tùy ý, ta có:
Í-
H
k1 GA1 + k2 GA2 + ... + kn GAn = 0
-L
⇔ k1 OA1 − OG + k2 OA2 − OG + ... + kn OAn − OG = 0
)
ÁN
(
(
)
1 ⇔ OG = k1 OA1 + k2 OA2 + ... + kn OAn k
TO
(
(
)
)
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y
b) Giả sử tồn tại điểm N và α ≠ 0
Đ
ÀN
Suy ra G xác định duy nhất
D
IỄ N
DẠNG 4: Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương. 1. Phương pháp giải.
Sử dụng các tính chất phép toán vectơ, ba quy tắc phép toán vectơ và tính chất trung điểm, trọng tâm trong tam giác.
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
2. Các ví dụ.
N
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC . Đặt a = AB, b = AC .
N
H
Ơ
1 a) Hãy dựng các điểm M, N thỏa mãn: AM = AB , CN = 2 BC 3
7 C. MN = − a + 3b 3
D.Cả A, B, C đều đúng
TP ẠO
H Ư
N
G
c) Gọi I là điểm thỏa: MI = CM . Chứng minh I , A , N thẳng hàng
TR ẦN
Lời giải (hình 1.23) 1 a) Vì AM = AB suy ra M thuộc cạnh AB và 3 1 AM = AB ; CN = 2 BC , suy ra N thuộc tia BC và 3 CN = 2 BC .
A
10 00
B
M
B
C
N
Hình 1.23
H
Ó
A
1 1 b) Ta có: CM = CA + AM = −AC + AB = a − b 3 3
-L
Í-
AN = AB + BN = AB + 3 BC = AB + 3( AC − AB) = −2a + 3b
TO
ÁN
1 7 MN = MA + AN = − a − 2 a + 3b = − a + 3b . 3 3
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y
B. AN = −2 a + 3b
.Q
1 A. CM = a − b 3
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
b) Hãy phân tích CM , AN , MN qua các véc tơ a và b .
Đ
ÀN
1 1 1 1 c) Ta có: AI = AM + MI = AB + CM = a + a − b = − (−2 a + 3b) 3 3 3 3
D
IỄ N
1 ⇒ AI = − AN ⇒ A, I, N thẳng hàng. 3
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC , trên cạnh BC lấy M sao cho BM = 3CM , trên đoạn AM lấy N sao cho 2 AN = 5 MN . G là trọng tâm tam giác ABC .
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
23 15 B. BN = − AB + AC 28 28
C.Cả A, B đều đúng
D.Cả A,B đều sai
N
H
Ơ
1 3 A. AM = AB + AC 4 4
N
a) Phân tích các vectơ AM , BN qua các véc tơ AB và AC
(hình 1.24)
3 1 3 = AB + AC − AB = AB + AC 4 4 4
)
N B
A
(
A
B
10 00
3 suy ra AM = AB + BM = AB + BC 4
TR ẦN
3 5 a) Theo giả thiết ta có: BM = BC và AN = AM 4 7
H Ư
N
G
Lời giải
M
Ó
Hình 1.24
-L
Í-
H
5 BN = BA + AN = −AB + AM 7
ÁN
5 1 3 23 15 = −AB + AB + AC = − AB + AC 7 4 4 28 28
ÀN
TO
b) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên GA + GB + GC = 0 suy ra GC = −GA − GB
C
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y
D.Cả A,B đều sai
.Q
C.Cả A, B đều đúng
TP
1 1 B. MN = GA + GB 2 7
ẠO
A. GC = −GA − GB
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
b) Phân tích các vectơ GC , MN qua các véc tơ GA và GB
D
IỄ N
Đ
2 2 1 3 Ta có MN = − AM = − AB + AC 7 7 4 4 =−
1 3 GB − GA − GC − GA 14 14
(
)
(
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
)
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
1 3 GB − GA − −GA − GB − GA 14 14 1 1 = GA + GB 2 7
)
(
)
N
(
Ơ
=−
H
Ví dụ 3: Cho hình bình hành ABCD . Gọi M, N lần lượt là hai điểm nằm trên hai cạnh
Đ
G H Ư
10 00
B
(hình 1.25)
1 Ta có: AN = AC + CN = AC − AB 2
A
TR ẦN
Lời giải:
M
B G
D
1 1 MN = MA + AN = − AB + AC − AB 3 2 5 = − AB + AC 6
N
Í-
H
Ó
A
Hình 1.25
TO
ÁN
-L
Vì G là trọng tâm tam giác MNB nên 1 1 5 3 AG = AM + AN + AB = AB + AC − AB + AB = AB + AC 3 2 6
Đ
ÀN
5 1 AB + AC Suy ra AG = 18 3
C
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
D.Cả A, B, C đều đúng
.Q
5 1 AB + AC C. AG = 18 3
TP
5 B. MN =− AB + AC 6
ẠO
1 A. AN = AC − AB 2
N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
U Y
N
AB và CD sao cho AB = 3 AM , CD = 2CN và G là trọng tâm tam giác MNB . Phân tích các vectơ AN , MN , AG qua các véc tơ AB và AC
D
IỄ N
3. Bài tập luyện tập. Bài 1.46: Cho tam giác ABC .Lấy các điểm M,N,P sao cho MB = 3 MC , NA + 3 NC = 0 , PA + PB = 0
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
a) Biểu diễn các vectơ AP , AN , AM theo các vectơ AB và AC 3 B. AN = AC 2
3 1 C. AM = AC − AB 2 2
D.Cả A, B, C đều đúng
N
C.Cả A, B đều đúng
D.Cả A,B đều sai
Đ
N
G
B. MP = 3 MN
C. MP = 4 MN
TR ẦN
A. MP = 5 MN
H Ư
c) Có nhận xét gì về ba điểm M, N, P thẳng hàng?
D. MP = 2 MN
B
Lời giải:
10 00
1 3 3 1 Bài 1.46: a) AP = AB , AN = AC , AM = AC − AB 2 2 2 2
H
Ó
A
3 1 3 b) MP = AB − AC , MN = AB − AC 2 2 4
-L
Í-
MP = 2 MN ⇒ M, N, P thẳng hàng
ÁN
Bài 1.47: Cho tam giác ABC.Gọi I, J là hai điểm xác định bởi IA = 2 IB , 3 JA + 2 JC = 0
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
a)Tính IJ theo AB và AC . 2 A. IJ = 2 AB + AC 5
1 B. IJ = −2 AB + AC 5
2 C. IJ = −3 AB + AC 5
2 D. IJ = −2 AB + AC 5
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y
1 3 B. MN = AB − AC 2 4
ẠO
3 A. MP = AB − AC 2
TP
.Q
b) Biểu diễn các vectơ MP , MN theo các vectơ AB và AC
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
H
Ơ
N
1 A. AP = AB 2
b)Đường thẳng IJ đi qua trọng tâm G của tam giác ABC
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
B. 5 IJ = 3 IG
C. 5 IJ = 4 IG
D. 5 IJ = 6 IG
N
A. IJ = 6 IG
H
Ơ
Lời giải:
ẠO
TP
.Q
5 1 b) IG = − AB + AC ⇒ 5 IJ = 6 IG suy ra IJ đi qua trọng tâm G của tam giác ABC. 3 3
G
2CI = 3 BI và J là điểm trên BC kéo dài sao cho 5 JB = 2 JC .
H Ư
N
a) Hãy phân tích AI , AJ theo AB và AC .
5 2 B. AJ = AB − AC 3 3
TR ẦN
3 2 A. AI = AB + AC. 5 5
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Bài 1.48. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho
D.Cả A, B đều sai
B
C. Cả A,B đều đúng
35 1 AI − AJ. B. AG = 48 6
H
Ó
A
5 1 AI − AJ. A. AG = 48 16
10 00
b) Hãy phân tích AG theo AI và AJ .
35 1 AI − AJ. D. AG = 48 16
ÁN
-L
Í-
5 1 C. AG = AI − AJ. 48 6
Lời giải:
ÀN
TO
3 2 Bài 1.48: a) Ta có: 2 IC = −3 IB ⇔ AI = AB + AC. 5 5
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y
N
2 Bài 1.47: a) IJ = −2 AB + AC 5
D
IỄ N
Đ
5 2 5 JB = 2 JC ⇔ 5( AB − AJ ) = 2( AC − AJ ) ⇔ AJ = AB − AC 3 3
b) Gọi M là trung điểm BC, ta có:
2 2 1 1 AG = AM = . ( AB + AC ) = ( AB + AC ). 3 3 2 3
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
35 1 AI − AJ. ⇒ AG = 48 16
Ơ
N
Bài 1.49: Cho hai vectơ a , b không cùng phương. Tìm x sao cho
N
TR ẦN
D. x = 1
Lời giải:
10 00
B
Bài 1.49: a) u cùng phương với v ⇔ có số thực k sao cho u = kv ⇔ a + (2 x − 1) b = k xa + b
Ó
-L
Í-
H
x=1 kx = 1 ⇔ ⇒ k = 2 x − 1 x = − 1 2
)
A
(
ÀN
TO
ÁN
b) u cùng phương với v ⇔ có số thực k dương sao cho 2 u = kv ⇒ 3a + xb = k (1 − x) a − b 3
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
Đ G
x = −1 C. x = − 1 2
N
x = −1 B. x= 1 2
H Ư
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
2 b) u = 3a + xb và u = (1 − x) a − b cùng hướng 3 x=1 A. x = − 1 2
U Y
x=1 D. x = 1 2
.Q
x = −1 C. x = − 1 2
TP
x = −1 B. x= 1 2
ẠO
x=1 A. x = − 1 2
H
a) u = a + (2 x − 1) b và v = xa + b cùng phương
D
IỄ N
Đ
3 = k (1 − x) k = 3 ⇒ ⇒ 2 ⇒ x = −1 x = − 2 k k = −3(l) 3
DẠNG 5: Chứng minh hai điểm trùng nhau, hai tam giác cùng trọng tâm 1. Phương pháp giải.
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
• Để chứng minh hai điểm A1 và A2 trùng nhau, ta lựa chọn một trong hai cách sau :
N
Cách 1: Chứng minh A1 A2 = 0.
N
H
Ơ
Cách 2: Chứng minh OA1 = OA2 với O là điểm tuỳ ý.
ẠO
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
TP
Cách 2: Gọi G là trọng tâm ∆ABC (tức ta có GA + GB + GC = 0 ) ta đi chứng minh GA ' + GB ' + GC ' = 0
G
Đ
2. Các ví dụ.
H Ư
N
Ví dụ 1: Chứng minh rằng AB = CD khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD
TR ẦN
và BC trùng nhau.
Lời giải:
B
Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC suy ra AI = ID , CJ = JB
10 00
Do đó AB = CD ⇔ AI + IJ + JB = CJ + JI + ID
H
Ó
A
⇔ IJ = JI ⇔ IJ = 0 hay I trùng với J
-L
AM BN CP = = . Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng AB BC CA
ÁN
sao cho
Í-
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC , trên các cạnh AB, BC, CA ta lấy lần lượt các điểm M, N, P
Lời giải:
ÀN
TO
tâm.
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
U Y
• Để chứng minh hai tam giác ABC và A ' B ' C ' cùng trọng tâm ta làm như sau: Cách 1: Chứng minh G là trọng tâm ∆ABC trùng với G ' là trọng tâm ∆A ' B ' C '
AM = k suy ra AM = k AB ; BN = kBC ; CP = kCA AB
IỄ N
Đ
Giả sử
D
Cách 1: Gọi G, G' lần lượt là trọng tâm ∆ABC và ∆MNP
Suy ra GA + GB + GC = 0 và G ' M + G ' N + G ' P = 0 (*) Ta có AM = k AB ⇔ AG + GG ' + G ' M = k AB
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Tương tự BG + GG ' + G ' N = kBC
N
Và CG + GG ' + G ' P = kCA
H
Ơ
Cộng vế với vế từng đẳng thức trên ta được
AG + BG + CG + 3GG ' + G ' M + G ' N + G ' P = k AB + BC + CA Kết hợp với (*) ta được GG ' = 0
)
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
Cách 2: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra GA + GB + GC = 0
TP
Suy ra điều phải chứng minh
N
G
Ta có: GM + GN + GP = GA + AM + GB + BN + GC + CP
TR ẦN
H Ư
= AM + BN + CP = k AB + kBC + kCA = k( AB + BC + CA) = 0 Vậy hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm.
B
Ví dụ 3: Cho lục giác ABCDEF . Gọi M , N , P , Q , R , S lần lượt là trung điểm của các
10 00
cạnh AB, BC , CD , DE, EF , FA . Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng
Lời giải:
H
Ó
A
trọng tâm.
Í-
(hình 1.26)
-L
Gọi G là trọng tâm của ∆MPR suy ra GM + GP + GR = 0 (*) B
ÀN
TO
ÁN
Mặt khác 2GM = GA + GB, 2GP = GC + GD , 2GR = GE + GF. ⇒ 2(GM + GP + GR) = GA + GB + GC + GD + GE + GF Kết
Đ
hợp với (*) ta được
C
M
P
A
D S
Q
F
R
E
Hình 1.26
D
IỄ N
GA + GB + GC + GD + GE + GF = 0
N
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
) (
N
(
U Y
)
.Q
(
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Ơ
N
⇔ (GA + GF ) + (GB + GC ) + (GD + GE) = 0 ⇔ 2GS + 2GN + 2GQ = 0 ⇔ GS + GN + GQ = 0
N
H
Suy ra G là trọng tâm của ∆SNQ .
Đ
A
C'
N
G
Lời giải:
D
H Ư
(hình 1.27)
D' Hình 1.27
TR ẦN
Gọi G là trọng tâm tam giác BC ' D suy ra GB + GC ' + GD = 0
B
⇔ GB ' + GC + GD ' + B ' B + CC ' + DD ' = 0 (1)
10 00
Mặt khác theo quy tắc phép trừ và hình bình hành ta có
B ' B + CC ' + D ' D = AB − AB ' + AC ' − AC + AD − AD ' = AC − AC − AC ' + AC = 0 = AB + AD − AC − AB ' + AD ' + AC
)
Ó
(
H
)
) (
Í-
(
) ( )
A
(
-L
(2)
ÁN
Từ (1) và (2) ta có GB ' + GC + GD ' = 0 hay G là trọng tâm tam giác B ' CD '
TO
3. Bài tập luyện tập.
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
ẠO
đỉnh A. Chứng minh rằng hai tam giác BC ' D và B ' CD ' cùng trọng tâm.
C
TP
B'
.Q
B
Ví dụ 4: Cho hai hình bình hành ABCD và AB ' C ' D ' chung
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
U Y
Vậy ∆MPR và ∆SNQ có cùng trọng tâm.
ÀN
Bài 1.50. Cho các tam giác ABC , A ' B ' C ' có G, G’ lần lượt là trọng tâm . Chứng minh
IỄ N
Đ
rằng: AA ' + BB ' + CC ' = 3GG ' . Từ đó suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác có
D
cùng trọng tâm .
Lời giải:
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Bài 1.50: Ta có AA ' + BB ' + CC ' = AG + GG ' + G ' A ' + BG + GG ' + G ' B ' + CG + GG ' + G ' C ' = 3GG ' + AG + BG + CG + G ' A + G ' B + G ' C = 3GG '
)
)
Ơ
) (
N
(
) (
N
) (
H
(
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Chứng minh rằng ∆RIP , ∆JQS có cùng trọng tâm.
N H Ư
Bài 1.51: G là trọng tâm ∆RIP ⇒ GR + GI + GP = 0
G
Lời giải:
(
) (
) (
) (
)
10 00
) (
)
B
= RA + CS + JA + IB + PQ + PC = 0
(
TR ẦN
Ta có RJ + IQ + PS = RA + JA + IB + BQ + PC + CS
Ó
A
Suy ra GR + GI + GP = GJ + GQ + GS ⇒ GJ + GQ + GS = 0
Í-
H
Do đó G là trọng tâm ∆JQS
-L
Bài 1.52. Cho tam giác ABC có A' là điểm đối xứng của A qua B, B' là điểm đối xứng
ÁN
của B qua C, C' là điểm đối xứng của C qua A. Chứng minh các tam giác ABC và
TO
A ' B ' C ' có cùng trọng tâm.
Lời giải:
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
ẠO
TP
Bài 1.51. Cho tam giác ABC , vẽ các hình bình hành ABIJ , BCPQ , CARS .
.Q
U Y
Suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác có cùng trọng tâm là AA ' + BB ' + CC ' = 0
Đ
ÀN
Bài 1.52: Tam giác ABC và A ' B ' C ' có cùng trọng tâm ⇔ AA ' + BB ' + CC ' = 0
D
IỄ N
⇔ 2 AB + 2 BC + 2CA = 0 ⇔ 2.0 = 0 (đúng)
Bài 1.53. Cho tứ giác ABCD . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD,
DA. Chứng minh rằng hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm.
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Lời giải:
N
Bài 1.53: G là trọng tâm ∆ANP ⇒ GA + GN + GP = 0
N
H
Ơ
1 1 Ta có AC + NM + PQ = AC − AC − AC = 0 2 2
ẠO
TP
Do đó G là trọng tâm ∆CMQ
H Ư
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Bài 1.54. Cho tam giác ABC . Gọi A', B' ,C' là các điểm xác định bởi 2011A ' B + 2012 A ' C = 0 , 2011B ' C + 2012 B ' A = 0 , 2011C ' A + 2012C ' B = 0 Chứng minh rằng ∆ABC và ∆A ' B ' C ' cùng trọng tâm
TR ẦN
Lời giải:
10 00
Ta có 2011A ' B + 2012 A ' C = 0
B
Bài 1.54: G là trọng tâm ∆ABC ⇒ GA + GB + GC = 0
)
(
)
Ó
(
A
⇔ 2011 A ' A + AB + 2012 A ' A + AC = 0
Í-
H
⇔ 4023 A ' A + 2011AB + 2012 AC = 0 (1)
ÁN
-L
Tương tự ta có 4023 B ' B + 2011BC + 2012 BA = 0 ; 4023C ' C + 2011CA + 2012CB = 0 Cộng vế với vế lại ta được
)
Đ
ÀN
(
TO
4023 AA ' + BB ' + CC ' + BA + AC + CB = 0 ⇔ AA ' + BB ' + CC ' = 0 Suy ra GA + GB + GC = GA ' + GB ' + GC ' ⇒ GA ' + GB ' + GC ' = 0
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
U Y
Suy ra GA + GN + GP = GC + GM + GQ ⇒ GC + GM + GQ = 0
D
IỄ N
Do đó G là trọng tâm ∆A ' B ' C '
Bài 1.55. Cho ∆ABC và ∆A ' B ' C ' có cùng trọng tâm G, gọi G1 , G2 , G3 là trọng tâm các tam giác BCA ', CAB ', ABC ' .Chứng minh rằng ∆G1G2G3 cũng có trọng tâm G
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Lời giải:
N
Bài 1.55: Vì ∆ABC và ∆A ' B ' C ' có cùng trọng tâm G suy ra AA ' + BB ' + CC ' = 0
H N
)
TP
= AA ' + BB ' + CC ' = 0
ẠO Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Suy ra AG1 + BG2 + CG3 = 0 do đó G là trọng tâm ∆G1G2G3
G
Bài 1.56. Cho tứ giác ABCD có trọng tâm G. Gọi G1 , G2 , G3 , G4 lần lượt là trọng tâm các
H Ư
N
tam giác ∆ABC , ∆BCD , ∆CDA , ∆DAB . Chứng minh rằng G cũng là trọng tâm tứ giác
TR ẦN
G1G2G3G4
Lời giải:
B
Bài 1.56: G là trọng tâm tứ giác G1G2G3G4 ⇔ GG1 + GG2 + GG3 + GG4 = 0 (*)
10 00
Vì G1 là trong tâm ∆ABC ⇒ GA + GB + GC = 3GG1 , tương tự ta có
H
Ó
A
GB + GC + GD = 3GG2 , GC + GD + GA = 3GG3 , GD + GA + GB = 3GG4 Do đó (*) ⇔ 3 GA + GB + GC + GD = 0 (đúng) đpcm
)
-L
Í-
(
ÁN
Bài 1.57. Cho tam giác ABC đều và M là một điểm nằm trong tam giác. Gọi A1 , B1 , C1
TO
lần lượt là điểm đối xứng M qua BC, CA, AB. Chứng minh rằng tam giác ABC và
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
) (
U Y
) (
.Q
(
Ơ
Vì G1 , G2 , G3 là trọng tâm các tam giác BCA ', CAB ', ABC ' nên 3 AG1 + 3 BG2 + 3CG3 = AB + AC + AA ' + BC + BA + BB ' + CA + CB + CC '
D
IỄ N
Đ
ÀN
A1 , B1 , C1 có cùng trọng tâm.
Lời giải:
Bài 1.57: Gọi D, E, F tương ứng là giao điểm của MA1 , MB1 , MC1 với các cạnh BC, CA,
AB. O là trọng tâm đều ∆ABC
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
(
)
N U Y
Suy ra MA1 + MB1 + MC1 = 3 MO do đó O là trọng tâm tam giác A1 , B1 , C1
H
Ơ
N
3 Mặt khác theo bài tập 6 (dạng 2) thì MD + ME + MF = MO 2
TP
.Q
Bài 1.58. Cho các tam giác ABC , điểm O nằm trong tam giác. Gọi A1 , B1 , C1 lần lượt là
ẠO
hình chiếu của O lên BC, CA, AB. Lấy các điểm A2 , B2 , C 2 lần lượt thuộc các tia
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
OA1 , OB1 , OC1 sao cho OA2 = a , OB2 = b , OC2 = c . Chứng minh O là trọng tâm tam giác
TR ẦN
Lời giải:
H Ư
N
G
A2 B2C 2
B
OA OB OC 2 2 2 Bài 1.58: Ta có OA2 + OB2 + OC 2 = OA1 + OB1 + OC1 OA1 OB1 OC1
Ó
A
10 00
OA1 OB1 OC1 =a +b +c = 0 (Theo định lý con nhím) OA1 OB1 OC1
Í-
H
Do đó O là trọng tâm tam giác A2 B2C 2
ÁN
-L
DẠNG 6: Tìm tập hợp điểm thỏa mãn điều kiện vectơ cho trước. 1. Phương pháp giải.
TO
Để tìm tập hợp điểm M thỏa mãn mãn điều kiện vectơ ta quy về một trong các dạng sau
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
Ta có MA1 + MB1 + MC1 = 2 MD + ME + MF
ÀN
- Nếu MA = MB với A, B phân biệt cho trước thì M thuộc đường trung trực của đoạn
IỄ N
Đ
AB.
D
- Nếu MC = k. AB với A, B, C phân biệt cho trước thì M thuộc đường tròn tâm C, bán kính bằng k. AB .
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
- Nếu MA = kBC với A, B, C phân biệt và k là số thực thay đổi thì
Ơ
H
+ M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC và cùng hướng BC với k > 0
N
+ M thuộc đường thẳng qua A song song với BC với k ∈ R
U Y
N
+ M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC và ngược hướng BC với k < 0
TP
đường thẳng BC
ẠO Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
2. Các ví dụ.
G
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC
H Ư
N
a) Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm I thỏa mãn : 2 IA + 3 IB + 4 IC = 0 .’
TR ẦN
b) Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn : 2 MA + 3 MB + 4 MC = MB − MA .
10 00
B
A. quỹ tích của M là đường tròn tâm I bán kính
AB . 4
Ó
A
B. quỹ tích của M là đường tròn tâm I bán kính
AB . 3
-L
Í-
H
C. quỹ tích của M là đường tròn tâm I bán kính
TO
ÁN
D. quỹ tích của M là đường tròn tâm I bán kính
AB . 9 AB . 2
Lời giải:
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
- Nếu MA = kBC , B ≠ C với A, B, C thẳng hàng và k thay đổi thì tập hợp điểm M là
ÀN
a) Ta có: 2 IA + 3 IB + 4 IC = 0 ⇔ 2 IA + 3( IA + AB) + 4( IA + AC ) = 0
D
IỄ N
Đ
3 AB + 4 AC ⇔ 9 IA = −3 AB − 4 AC ⇔ IA = − ⇒ I tồn tại và duy nhất. 9
b) Với I là điểm được xác định ở câu a, ta có:
2 MA + 3 MB + 4 MC = 9 MI + (2 IA + 3 IB + 4 IC ) = 9 MI và MB − MA = AB nên
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
AB |2 MA + 3 MB + 4 MC |=| MB − MA|⇔|9 MI |=| AB|⇔ MI = 9
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC . Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn điều kiện sau :
ẠO
A. M là đường trung trực của EF , E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC suy ra
Đ G
AB . 9
H Ư
C. M là đường tròn tâm I bán kính
N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
B. M là đường thẳng đi qua A song song vơi BC
TR ẦN
D.Cả A, B, C đều sai
b) MA + MB = k MA + 2 MB − 3 MC với k là số thực thay đổi
(
)
10 00
B
A. M là đường trung trực của EF , E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC suy ra
A
B. M là đường thẳng đi qua A song song vơi BC AB . 9
Í-
H
Ó
C. M là đường tròn tâm I bán kính
Lời giải:
H
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
3 D. Với H là điểm thỏa mãn AH = AC , M là đường thẳng đi qua E và song song 2 với HB, E là trung điểm của AB
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
TP
.Q
U Y
a) MA + MB = MA + MC
H
Ơ
N
AB . 9
N
Vậy quỹ tích của M là đường tròn tâm I bán kính
D
IỄ N
(hình 1.28) a) Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC suy ra MA + MB = 2 ME và MA + MC = 2 MF
C F A
E
B
Hình 1.28
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Khi đó MA + MB = MA + MC
H )
ẠO
)
Đ
(
G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
3 Với H là điểm thỏa mãn AH = AC 2 Suy ra MA + MB = k MA + 2 MB − 3 MC
TP
.Q
= 2 AB − 3 AC = 2 AB − 2 AH = 2 HB
H Ư
N
⇔ 2 ME = 2 kHB ⇔ ME = kHB
TR ẦN
Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng đi qua E và song song với HB
B
Ví dụ 3: Cho tứ giác ABCD . Với số k tùy ý, lấy các điểm M và N sao cho AM = k AB , DN = kDC . Tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn thẳng MN khi k thay
10 00
đổi.
A. tập hợp điểm I là đường thẳng OO', O, O' lần lượt là trung điểm của AC và BD,
Ó
A
B. tập hợp điểm I là đường thẳng OO', O, O' lần lượt là trung điểm của AD và BC,
Í-
H
C. tập hợp điểm I là đường thẳng OO', O, O' lần lượt là trung điểm của AB và DC,
ÁN
-L
D. Cả A, B, C đều sai
Lời giải:
TO
(hình 1.29)
ÀN
Gọi O, O' lần lượt là trung điểm của AD và BC, ta có
D
IỄ N
Đ
AB = AO + OO ' + O ' B và DC = DO + OO ' + O ' C
Suy ra AB + DC = 2OO ' Tương tự vì O, I lần lượt là trung điểm của AD và MN nên
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
A
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
) (
N
(
U Y
Vậy tập hợp các điểm M là đường trung trực của EF b) Ta có MA + 2 MB − 3 MC = MA + 2 MA + AB − 3 MA + AC
Ơ
N
⇔ 2 ME = 2 MF ⇔ ME = MF
B
M
O'
O
I
D
N
C
Hình 1.29
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
AM + DN = 2OI 1 Do đó OI = k AB + kDC = kOO ' 2
N
)
Ơ
(
N
H
Vậy khi k thay đổi, tập hợp điểm I là đường thẳng OO'
TP ẠO
a) MA + MB = MA − MB
AB với I là trung điểm của AB 2
B. Tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính
AB với I là trung điểm của AB 3
Đ
A. Tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính
TR ẦN
H Ư
N
G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
.Q
Bài 1.59. Cho 2 điểm cố định A, B. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
B
C. Tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính
AB với I là trung điểm của AB 5
A
10 00
D. Tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính
AB với I là trung điểm của AB 4
Lời giải:
-L
Í-
H
Ó
b) 2 MA + MB = MA + 2 MB
TO
AB
ÁN
Bài 1.59: a) Tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính
AB với I là trung điểm của 2
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y
3. Bài tập luyện tập.
Đ
ÀN
b) Gọi K là điểm thoả mãn: 2 KA + KB = 0
D
IỄ N
L là điểm thoả mãn: LB + 2 LC = 0 Ta có: 2 MA + MB = MB + 2 MC ⇔ MK = ML
Tập hợp điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng KL.
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Bài 1.60. Cho ∆ABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
Ơ
N
a) MA + kMB = kMC với k là số thực thay đổi
TP
.Q
c) MA + BC = MA − MB (HD: dựng hình bình hành ABCD)
ẠO
Lời giải:
Đ
H Ư
N
MA + kMB = kMC ⇔ MA = k( MC − MB) ⇔ MA = kBC
G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Bài 1.60: a) Ta có:
Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng đi qua A và song song với cạnh BC của ∆ABC.
TR ẦN
b) Gọi J là trung là điểm AB, I là trung điểm JC ta có IA + IB + 2 IC = 0
B
⇒ v = MA + MB + 2 MC = 4 MI
Ó
A
10 00
Do đó v cùng phương với BC M thuộc đường thẳng đi qua I và song song với BC.
Í-
H
Bài 1.61. Cho ∆ABC. Tìm tập hợp điểm M trong các trường hợp sau:
ÁN
-L
a) 2 MA + 3 MB = 3 MB − 2 MC
ÀN
TO
b) 4 MA + MB + MC = 2 MA − MB − MC
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y
N
H
b) v = MA + MB + 2 MC cùng phương với véc tơ BC
Lời giải:
D
IỄ N
Đ
Bài 1.61: a) Gọi K là điểm thoả mãn: 2 KA + 3KB = 0
L là điểm thoả mãn: 3 LB − 2 LC = 0 Ta có: 2 MA + 3 MB = 3 MB + 2 MC ⇔ MK = ML
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
⇒ Tập hợp điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng KL.
N
b) Với I là trung điểm của BC. Gọi J là điểm thoả mãn: 4 JA + JB + JC = 0
H
Ơ
Ta có:
TP ẠO
1 IA . 3
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm J bán kính R =
.Q
1 ⇔ 6 MJ = 2 MA − 2 MI ⇔ 6 MJ = 2 IA ⇔ MJ = IA 3
H Ư
a)Xác định điểm O sao cho : OB + 4OC = 2OD .
N
G
Bài 1.62: Cho tứ giác ABCD .
TR ẦN
b)Tìm tập hợp điểm M thoả mãn hệ thức MB + 4 MC − 2 MD = 3 MA
10 00
B
Lời giải:
A
4 Bài 1.62: a) OB + 4OC = 2OD ⇔ OB = CI với I là trung điểm BD 3
Í-
H
Ó
b) MB + 4 MC − 2 MD = 3 MA ⇔ MO = MA
-L
Vậy tập hợp điểm M là đường trung trực của đoạn OA.
Lời giải:
Đ
ÀN
TO
ÁN
Bài 1.63: Cho lục giác đều ABCDEF . Tìm tập hợp các điểm M sao cho : MA + MB + MC + MD + ME + MF nhận giá trị nhỏ nhất
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y
N
4 MA + MB + MC = 2 MA − MB − MC
D
IỄ N
Bài 1.63: Gọi P là trọng tâm của ∆ABC , Q là trọng tâm của ∆DEF MA + MB + MC + MD + ME + MF = 3 MP + 3 MQ = 3 ( MP + MQ) ≥ 3QP
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi M thuộc đoạn PQ
Ơ
H
Bài 1.64: Trên hai tia Ox và Oy của góc xOy lấy hai điểm M, N sao cho OM + ON = a
N
Vậy tập hợp các điểm M cần tìm là mọi điểm thuộc đoạn PQ
a . 2
TP
.Q
Bài 1.64: Gọi hai điểm M0 , N 0 lần lượt thuộc tia Ox và Oy sao cho OM0 = ON 0 =
ẠO
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
a − k Giả sử OM = k , 0 ≤ k ≤ a khi đó ta có MI = M0 N 0 . Do đó tập hợp điểm I là đoạn a
N
G
Đ
M0 N0
TR ẦN
H Ư
DẠNG 7: Xác định tính chất của hình khi biết một đẳng thức vectơ 1. Phương pháp giải. Phân tính được định tính xuất phát từ các đẳng thức vectơ của giả thiết, lưu ý tới những
10 00
B
hệ thức đã biết về trung điểm của đoạn thẳng, trọng tâm của tam giác và kết quả " ma + nb = 0 ⇔ m = n = 0 với a , b là hai vectơ không cùng phương "
2. Các ví dụ.
-L
Í-
H
Ó
A
Ví dụ 1: Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và DC của tứ giác ABCD . Các 1 2 đoạn thẳng AN và BM cắt nhau tại P. Biết PM = BM ; AP = AN . tứ giác ABCD là 5 5 hình gì? B.hình thang
TO
ÁN
A. hình bình hành
C.hình chữ nhật Lời giải:
D.hình vuông
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y
N
với a là số thực cho trước. tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thằng MN
Đ
ÀN
Ta có: AB = AM + MB = AM + 5 MP
D
IỄ N
= 5 AP − 4 AM = 2 AN − 2 AD = 2( AD + DN ) − 2 AD = 2DN = DC ⇒ ABCD là hình bình hành.
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có các cạnh bằng a, b, c và trọng tâm G thoả mãn: a 2 GA + b2 GB + c 2 GC = 0. ABC là tam giác gì ? C.thường
D.Vuông tại B
N
B.cân tại A
N
H
Ơ
A.đều
⇔ a 2 −GB − GC + b2 GB + cGC = 0. ⇔ (b2 − a2 ) GB + (c 2 − a 2 ) GC = 0.(* )
G
Đ
)
N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
(
TR ẦN
H Ư
Vì GB và GC là hai vecơ không cùng phương, do đó (*) tương đương với:
B
2 2 b − a = 0 ⇔ a = b = c hay tam giác ABC đều. 2 c − a2 = 0
10 00
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có trung tuyến AA' và B' , C' là các điểm thay đổi trên CA, AB thoả mãn AA ' + BB ' + CC ' = 0 . Chứng minh BB', CC' là các trung tuyến của tam
Lời giải:
Í-
H
Ó
A
giác ABC .
-L
Giả sử AB ' = mAC , AC ' = nAB
TO
ÁN
Suy ra BB ' = AB ' − AB = mAC − AB
ÀN
và CC ' = AC ' − AC = nAB − AC 1 Mặt khác A' là trung điểm của BC nên AA ' = AB + AC 2
D
IỄ N
Đ
(
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
ẠO
TP
a 2 GA + b2 GB + c 2 GC = 0.
Suy ra
.Q
G là trọng tâm tam giác ABC nên GA + GB + GC = 0 ⇔ GA = −GB − GC.
U Y
Lời giải:
)
Do đó AA ' + BB ' + CC ' = 0 ⇔
1 AB + AC + mAC − AB + nAB − AC = 0 2
(
)
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Ơ
N
H
1 Vì AB , AC không cùng phương suy ra m = n = do đó B', C' lần lượt là trung điểm 2 của CA, AB
N
1 1 hay n − AB + m − AC = 0 2 2
TP
3. Bài tập luyên tập.
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
Bài 1.65: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O thoả mãn OA + OB + OC + OD = 0 . tứ giác ABCD là hình gì? C.hình chữ nhật
D.hình vuông
Lời giải:
H Ư
N
G
A. hình bình hành B.hình thang
TR ẦN
Bài 1.65: Đặt OA = xAC , OC = yAC , OB = zBD , OD = tBD
10 00
B
Suy ra OA + OB + OC + OD = 0 ⇔ ( x + y) AC + ( z + t) BD = 0 Do đó x = −y ; z = −t ⇒ OA = OC , OB = OD nên tứ giác ABCD là hình bình hành.
-L
Í-
H
Ó
A
Bài 1.66: Cho ABC có BB', CC' là các trung tuyến, A' là điểm trên BC thoả mãn AA ' + BB ' + CC ' = 0 . Chứng minh AA' cũng là trung tuyến của tam giác ABC . Lời giải:
ÁN
Bài 1.66: Ta có AA ' + BB ' + CC ' = 0
ÀN
TO
BA + BC CA + CB ⇔ AA ' + + = 0 ⇔ BA ' + CA ' = 0 2 2
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
U Y
Vậy BB', CC' là các trung tuyến của tam giác ABC .
D
IỄ N
Đ
⇔ AA' cũng là trung tuyến của tam giác ABC .
Bài 1.67: Cho ABC có A', B', C' là các điểm thay đổi trên BC, CA, AB sao cho AA ', BB ', CC ' đồng quy và thoả mãn AA ' + BB ' + CC ' = 0 Chứng minh AA ', BB ', CC '
là các trung tuyến của tam giác ABC .
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Lời giải: Bài 1.67: Giả sử A ' B = kA ' C , B ' C = mB ' A , C ' A = nC ' B
Ơ H
)
N
Suy ra ⇒
.Q TP ẠO Đ G N
H Ư
1 n −k 1 −1− = + −1 = 0 ⇒ k = m = n . 1− k 1− n 1− k 1− m
TR ẦN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
⇒ AA ' + BB ' + CC ' = 0 1 n −k 1 ⇔ − 1− + − 1 AB = 0 AB + 1 − k 1 − k 1 − m 1 − n
U Y
BC − mBA (m − 1) AB + AC Tương tự ta có BB ' = , = 1− m 1− m CA − nCB −nAB + (n − 1) AC CC ' = = 1− n 1− n
10 00
B
Mặt khác theo định lí Xêva ta có kmn = −1 nên k = m = n = −1 Vậy AA ', BB ', CC ' là các trung tuyến của tam giác ABC
-L
Í-
H
Ó
A
Bài 1.68: Cho 4 điểm A, B, C, D; I là trung điểm AB và J thuộc CD thoả mãn AD + BC = 2 IJ . Chứng minh J là trung điểm của CD. Lời giải:
ÁN
Bài 1.68: AD + BC = 2 IJ ⇔ ID + IC = 2 IJ
Đ
ÀN
TO
Gọi K là trung điểm DC suy ra ID + IC = 2 IK do đó K ≡ J hay J là trung điểm của CD.
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
(
N
AB − kAC A ' B = kA ' C ⇔ AB − AA ' = k AC − AA ' ⇔ AA ' = 1− k
D
IỄ N
Bài 1.69: Cho tứ giác ABCD . Giả sử tồn tại điểm O sao cho OA = OB = OC = OD và OA + OB + OC + OD = 0 . Chứng minh rằng ABCD là hình chữ nhật.
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
Lời giải:
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
M
⇔ M , P , O thẳng hàng và O là trung điểm MP
O
B
C
N Hình 1.55
.Q
⇔ N , Q , O thẳng hàng và O là trung điểm NQ.
TP
Ta có ∆OAD cân tại O nên NQ ⊥ AD , ∆OBC cân tại O nên NQ ⊥ BC suy ra
ẠO
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
AD / / BC .
G
Đ
Tương tự AB / / DC suy ra ABCD là hình bình hành
H Ư
N
Mà N, Q là trung điểm của BC, AD nên AB / / NQ ⇒ AB ⊥ BC
TR ẦN
Suy ra ABCD là hình chữ nhật.
10 00
rằng G là trực tâm tam giác A ' B ' C ' .
B
Bài 1.70: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, gọi G là trọng tâm tam giác ABC . A', B', C' là các điểm thỏa mãn: OA = 3OA ', OB = 3OB ', OC = 3OC ' . Chứng minh
Lời giải:
H
Ó
A
Bài 1.70: G là trọng tâm tam giác ABC nên 3OG = OA + OB + OC
-L
Í-
Do đó OG = OA ' + OB ' + OC '
ÁN
Suy ra G là trực tâm tam giác A ' B ' C '
ÀN
TO
Bài 1.71: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, gọi H là trực tâm tam giác . A', B', C' là các điểm thỏa mãn: OA ' = 3OA , OB ' = 3OB , OC ' = 3OC . Chứng minh rằng H là
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y
0 = OA + OB + OC + OD = 2ON + 2OQ ⇔ ON + OQ = 0
P
N
0 = OA + OB + OC + OD = 2OM + 2OP ⇔ OM + OP = 0
D
Ơ
Q
A
CD, DA từ phương trình thứ hai ta được:
H
Bài 1.69: (hình 1.55) Gọi M, N, P, Q là trung điểm của AB, BC,
N
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
D
IỄ N
Đ
trọng tâm tam giác A ' B ' C ' .
Lời giải:
Bài 1.71: H là trực tâm tam giác ABC suy ra OH = OA + OB + OC
Do đó 3OH = OA ' + OB ' + OC ' hay H là trọng tâm tam giác A ' B ' C ' .
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Bài 1.72: Cho tam giác ABC và điểm M nằm trong tam giác. Đường thẳng AM cắt BC tại D, BM cắt CA tại E và CM cắt AB tại F. Chứng minh rằng nếu AD + BE + CF = 0 thì
Ơ
N
M là trọng tâm tam giác ABC .
N
H
Lời giải:
B
10 00
a = n b + p c m m Từ giả thiết ta có : p' n' b+ c a = m' m'
TR ẦN
Dễ thấy m , m ' ≠ 0 thì suy ra ngay n, n’, p, p’ cũng phải khác không.
vì một véc tơ chỉ phân tích được một cách duy nhất qua hai véc tơ không cùng phương
Ó
A
p' p n n' p m n = ; = ⇒ = = m m' m m' m' n' p '
-L
Trở lại bài toán
Í-
H
nên
TO
ÁN
AD BE CF Ta có AD + BE + CF = 0 ⇔ MA + MB + MC = 0 MA MB MC S AD SABD S BE S CF S = = ADC = , tương tự = và = MA SABM SACM S − Sa MB S − Sb MC S − Sc
Đ
ÀN
Mặt khác
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
Đ G
p m n = = . Thật vậy : m' n' p '
H Ư
Chứng minh rằng :
N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
TP
Cho ba véc tơ a; b; c đôi một không cùng phương và thỏa mãn điều kiện : ma + nb + pc = 0 ( m , m ' ≠ 0) m ' a + n ' b + p ' c = 0
U Y
Bài 1.72: Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau
D
IỄ N
(với S = SABC , Sa = SMBC , Sb = SMCA , Sc = SMAB )
MA MB MC + + =0 Do đó ta có S − Sa S − Sb S − Sc
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Mặt khác ta cũng có Sa MA + Sb MB + Sc MC = 0
H
Ơ
N
1 1 1 S − Sa S − Sb S − Sc Áp dụng bổ đề suy ra = = ⇔ Sa = Sb = Sc hay M trùng trọng tâm Sa Sb Sc
TP
.Q
DẠNG 8: Chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị liên quan đến độ dài vectơ 1. Phương pháp.
ẠO Đ
TR ẦN
H Ư
+ a − b ≥ a − b , dấu bằng xảy ra khi a , b ngược hướng
G
+ a + b ≤ a + b , dấu bằng xảy ra khi a , b cùng hướng
N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
• Sử dụng bất đẳng thức cơ bản: Với mọi vectơ a , b ta luôn có
10 00
B
• Đưa bài toán ban đầu về bài toán tìm cực trị của MI với M thay đổi + Nếu M là điểm thay đổi trên đường thẳng ∆ khi đó MI đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của M lên ∆ .
Ó
A
+ Nếu M là điểm thay đổi trên đường tròn (O) khi đó MI đạt giá trị nhỏ nhất khi và
-L
Í-
H
chỉ khi M là giao điểm của tia OI với đường tròn; MI đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi
ÁN
M là giao điểm của tia IO với đường tròn
TO
2. Các ví dụ.
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y
N
tam giác ABC
D
IỄ N
Đ
ÀN
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC và đường thẳng d. Tìm điểm M thuộc đường thẳng d để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất T = MA + MB − MC Lời giải:
Gọi I là đỉnh thứ tư của hình bình hành ACBI thì IA + IB − IC = 0
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Khi đó : T = MI + IA + MI + IB − MI + IC
(
) (
) (
)
Ơ
N
= MI + IA + IB − IC = MI
N
H
Vậy T đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của I lên đường thẳng d.
.Q
định. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng T = AA '+ BB '+ CC '
ẠO Đ G N
H Ư
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
AA ' + BB ' + CC ' = AG + GG ' + G ' A + BG + + GG ' + G ' B ' + CG + GG ' + G ' C ' = 3GG ' − (GA + GB + GC ) + (G ' A ' + G ' B ' + G ' C ') = 3GG '
TP
Giải: Vì GA + GB + GC = 0 và G ' A ' + G ' B ' + G ' C ' = 0 nên
TR ẦN
Do đó:
AA '+ BB '+ CC ' = AA ' + BB ' + CC ' ≥ AA ' + BB ' + CC ' = 3 GG ' = 3GG '
H
Í-
3. Bài tập luyên tập.
Ó
A
Vậy giá trị nhỏ nhất T là 3GG '
10 00
B
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi các vectơ AA ', BB ', CC ' cùng hướng
TO
ÀN
nhất.
ÁN
-L
Bài 1.73: Cho tam giác ABC , đường thẳng d và ba số α , β , γ sao cho α + β + γ ≠ 0 . Tìm điểm M thuộc đường thẳng d để biểu thức T = α MA + β MB + γ MC đạt giá trị nhỏ
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC và A ' B ' C ' là các tam giác thay đổi, có trọng tâm G và G' cố
Lời giải:
D
IỄ N
Đ
Bài 1.73: Do α + β + γ ≠ 0 nên tồn tại duy nhất điểm I sao cho α IA + β IB + γ IC = 0 .
Ta có α MA + β MB + γ MC = α( MI + IA) + β ( MI + IB) + γ ( MI + IC ) = (α + β + γ ) MI + α IA + β IB + γ IC = (α + β + γ )MI
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Do đó T = α + β + γ .MI
.Q
a) Đạt giá trị lớn nhất
TP
b) Đạt giá trị nhỏ nhất
ẠO
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Lời giải:
H Ư
N
G
Đ
Bài 1.74: G là trọng tâm tam giác ABC ta có MA + MB + MC = 3 MG
b) M là giao điểm của tia OG với (C)
TR ẦN
a) M là giao điểm của tia GO với (C)
Bài 1.75: Cho tứ giác ABCD và A ' B ' C ' D ' là các tứ giác thay đổi, có trọng tâm G và G'
10 00
B
cố định. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng T = AA '+ BB '+ CC '+ DD '
H
Ó
Bài 1.75: ĐS: min T = 4GG '
A
Lời giải:
-L
Í-
Bài 1.76: Cho tam giác ABC . M, N, P lần lượt là các điểm trên các cạnh BC, CA, AB sao cho BM = kBC , CN = kCA , AP = k AB . Chứng minh rằng các đoạn thẳng AM, BN, CP
ÁN
là ba cạnh của một tam giác nào đó.
TO
Do đó các đoạn thẳng AM, BN, CP là ba cạnh của một tam giác nào đó.
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y
N
H
Ơ
Bài 1.74: Cho tam giác ABC . Tìm điểm M trên đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC sao cho MA + MB + MC
N
Suy ra T nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của I lên đường thẳng d
ÀN
Lời giải:
D
IỄ N
Đ
Bài 1.76: Ta có AM + BN + CP = 0
Suy ra AM = − BN + CP ⇒ AM = BN + CP ≤ BN + CP
(
)
Vì BN và CP không cùng phương nên không thể xảy ra dấu bằng do đó
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
AM < BN + CP . Tương tự ta có BN < AM + CP , CP < AM + BN
Bài 1.77 : Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng với mọi điểm M thuộc cạnh AB và
Ơ
N
không trùng với các
N
H
đỉnh ta có: MC. AB < MA.BC + MB. AC
TP
.Q
MB MA MB MA CA + CB ⇒ MC < CA + CB Bài 1.77: CM = AB AB AB AB
ẠO Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Hay MC. AB < MA.BC + MB. AC
G
Bài 1.78: Cho tứ giác ABCD , M là điểm thuộc đoạn CD. Gọi p , p1 , p2 lần lượt là chu vi
TR ẦN
Lời giải:
H Ư
N
của các tam giác AMB , ACB, ADB . Chứng minh rằng p < max { p1 ; p2 } .
B
MD MC MD MC Bài 1.78: Ta có: AM = AC + AD ⇒ AM < AC + AD CD CD CD CD
10 00
MD MC MD MC BC + BD ⇒ BM = BC + BD và BM = CD CD CD CD
H
Ó
A
Từ đó suy ra
MD MC ( AC + BC) + ( AD + BD) CD CD MD MC ⇒ AM + BM < + . max { AC + BC ; AD + BD} CD CD
ÁN
-L
Í-
AM + BM <
TO
⇒ p < max { AC + BC + AB; AD + BD + AB}
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y
Lời giải:
IỄ N
Đ
ÀN
Hay p < max { p1 ; p2 }
D
Bài 1.79: Trên đường tròn tâm O bán kính bằng 1 lấy 2n + 1 điểm Pi , i = 1, 2,..., 2n + 1(n ∈ N ) ở cùng phía với đối với đường kính nào đó. Chứng minh
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
OP ∑ i ≥1
2 n+1
rằng
i =1
Ơ
N
Lời giải:
N
H
Bài 1.79: Ta chứng minh bằng quy nạp
.Q
OP ∑ i ≥1
2 k+3
TP
+ Giả sử BĐT đúng với n = k ta đi chứng minh đúng với n = k + 1 hay
i =1
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
Trong 2 k + 3 vectơ ta chọn hai vectơ có góc lớn nhất, giả sử OP1 , OP2 k +3 .
N
G
2 k +2 Đặt OA = OP1 + OP2 k +3 , OB = ∑ OPi .
H Ư
i=2
TR ẦN
≤ 900 Suy ra điểm A, B nằm trong góc P OP2 k +3 do đó AOB 1
10 00
B
⇒ OA + OB ≥ OB
A
Mặt khác theo giả thiết quy nạp ta có OB =
Ó
OP OA OB OB = + ≥ ≥1 ∑ i
H
2 k+3
Suy ra
i=2
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
i =1
OP ∑ i ≥1
2 k +2
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y
+ Với n = 0 : hiển nhiên
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial