ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN
vectorstock.com/11519232
Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection DẠY KÈM QUY NHƠN EXPERIENCE IDEA PHÁT TRIỂN NỘI DUNG
Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn WORD VERSION | 2015 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594
SỞ GIÁO D DỤC - ĐÀO TẠO NGHỆ AN TR TRƯỜNG THPT KỲ SƠN
Đề tài: ẠNG T TỔNG QUÁT CỦA ỦA DÃY D TÌM SỐ HẠNG SỐ CHO BỞ BỞI HỆ THỨC C TRUY HỒI H VÀ ỨNG DỤNG
Giaùo vieân : Traàn Thanh Vaân Toå : Toaùn Ñt : 0979057900
Năm học 2014 – 2015
“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng”
MỤC LỤC
MỤC LỤC ......................................................................................................... 1 Phần 1:ĐẶT VẤN ĐỀ ...................................................................................... 2 Phần 2: NỘI DUNG ......................................................................................... 3 A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT .................................................................................. 3 I. DÃY SỐ ........................................................................................................ 3 II. CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN ............................................................... 5 B. NỘI DUNG CHÍNH .................................................................................... 7 I. XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ CHO BỞI HỆ THỨC TRUY HỒI ........................................................................................................ 7 II. ỨNG DỤNG BÀI TOÁN TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT VÀO MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ ................................................................................. 14 C. BÀI TẬP ÁP DỤNG .................................................................................. 25 Phần 3:KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ ................................................................. 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 31
Giáo viên:Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn
1
“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng”
Phần 1 ĐẶT VẤN ĐỀ Trong chương trình toán học THPT các bài toán liên quan đến dãy số là một phần quan trọng.Học sinh thườnggặp phải nhiều bài toán liên quan đến dãy số và gặp khó khăn trong vấn đề xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số. Đặc biệt ở một số lớp bài toán khi đã xác định được công thức tổng quát của dãy số thì nội dung của bài toán gần như được giải quyết. Tuy vậy trong chương trình SGK được ban hành chưa cung cấp được một công cụ đủ mạnh để giúp học sinh giải quyết được vấn đề này. Các tài liệu của các tác giả khác khi đề cập đến vấn đề này đều sử dụng kiến thức về phương trình sai phân là kiến thức của toán học cao cấp, do đó học sinh rất khó lĩnh hội. Với mong muốn cung cấp một công cụ gần gũi hơn cho học sinh,đề tài “Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng” sẽ cho ta một phương pháp để giải quyết được một phần nào đó vấn đề đặt ra đối với các dãy số cho bởi hệ thức truy hồi.Đây cũng là đề tài và bài giảng mà tác giả đã dạy cho học sinh đại trà cũng như bồi dưỡng học sinh giỏi trong quá trình giảng dạy phần dãy số và các ứng dụng của dãy số. Tư tưởng chung của phương pháp là từ nội dung bài toán ban đầu ta tìm cách đưa hệ thức truy hồi về một hệ thức mới bằng cách đặt dãy phụ. Sử dụng các kiến thức về cấp số cộng hoặc cấp số nhân để tìm số hạng tổng quát của dãy số mới từ đó suy ra số hạng tổng quát của dãy số đã cho. Giới hạn của đề tài chỉ dừng lại ở việc xác định công thức tổng quát của một số dãy số cho bởi hệ thức truy hồi, từ đó có áp dụng vào một số bài toán cụ thể. Qua đó, người đọc có thể trang bị thêm cho mình phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số và ứng dụng vào giải các bài toán liên quan. Ngoài ra qua đề tài này giáo viên cũng như học sinh có thể xây dựng các lớp bài toán về dãy số dưới dạng hệ thức truy hồi. Một số kết quả của đề tài này đã có trong các tài liệu cùng nội dung.Tuy nhiên do đối tượng học sinh của nhà trường chưa đủ khả năng để lĩnh hội, nên trong đề tài này tôi đã chọn lọc và sắp xếp lại theo thứ tự từ dễ đến khó theo logic,giúp học sinh tiếp cận một cách tự nhiên và dễ tiếp thu hơn. Qua đó giúp học sinh phát triển tư duy, hệ thống hóa các kiến thức một cách trình tự hợp lí.
Giáo viên:Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn
2
“TĂŹm sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť‘ cho báť&#x;i hᝇ thᝊc truy háť“i và ᝊng d᝼ngâ€?
Phần 2 Náť˜I DUNG A. CĆ Sáťž LĂ? THUYáşžT I. DĂƒY Sáť?. 1. Ä?áť‹nh nghÄŠa
a) Máť—i hĂ m sáť‘ u xĂĄc Ä‘áť‹nh trĂŞn táşp sáť‘ táťą nhiĂŞn ℕ∗ đưᝣc gáť?i lĂ dĂŁy sáť‘ vĂ´ hấn (gáť?i tắt lĂ dĂŁy sáť‘) u:
ℕ∗ â&#x;ś â„?
n â&#x;ź u(n)
Ä?ạt u(n) = un vĂ gáť?i nĂł lĂ sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť‘ (un).
b) Máť—i hĂ m sáť‘ u xĂĄc Ä‘áť‹nh trĂŞn táşp M = {1, 2, 3, ‌,m}, váť›i m ∈ ℕ∗ , đưᝣc gáť?i lĂ dĂŁy sáť‘ hᝯu hấn. 2. CĂĄch cho máť™t dĂŁy sáť‘. a) DĂŁy sáť‘ cho báşąng cĂ´ng thᝊc cᝧa sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt un.
Khi Ä‘Ăł un=f(n), trong Ä‘Ăł f lĂ máť™t hĂ m sáť‘ xĂĄc Ä‘áť‹nh trĂŞn ℕ∗ .
VĂ d᝼ 1: Cho dĂŁy sáť‘ (un) xĂĄc Ä‘áť‹nh báť&#x;i un = 2n + 1. Khi Ä‘Ăł náşżu viáşżt dĂŁy sáť‘ nĂ y dĆ°áť›i dấng khai triáťƒn ta đưᝣc 3, 5, 7, 9, ‌, 2n + 1, ‌ b) DĂŁy sáť‘ cho báşąng phĆ°ĆĄng phĂĄp mĂ´ tả. VĂ d᝼ 2: Cho dĂŁy sáť‘ (un) váť›i un lĂ chᝯ sáť‘ thᝊ n trong cĂĄch viáşżt tháşp phân cᝧa sáť‘ , khi Ä‘Ăł ta cĂł dĂŁy sáť‘:u1 = 3; u2 = 1; u3 = 4; u4 = 1; u5 = 5; ‌ trong trĆ°áť?ng hᝣp nĂ y ta khĂ´ng tĂŹm đưᝣc cĂ´ng thᝊc biáťƒu tháť‹ sáť‘ hấng un qua n. c) DĂŁy sáť‘ cho báşąng cĂ´ng thᝊc truy háť“i. - Cho sáť‘ hấng đầu u1(hoạc máť™t vĂ i sáť‘ hấng đầu)
- Váť›i n ≼ 2, cho máť™t cĂ´ng thᝊc tĂnh un náşżu biáşżt un-1(hoạc máť™t vĂ i sáť‘ hấng đᝊng trĆ°áť›c nĂł). CĂĄc cĂ´ng thᝊc cĂł tháťƒ lĂ : =
= ᝛ ≼ 2
ℎ ạ
= , =! = , ᝛ ≼ 3
VĂ d᝼ 3: cho dĂŁy sáť‘ (Fn) xĂĄc Ä‘áť‹nh báť&#x;i
Giåo viên:Trần Thanh Vân – THPT Kᝳ Sƥn
3
# = # = 1 # = # + # , ᝛ ≼ 3
“TĂŹm sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť‘ cho báť&#x;i hᝇ thᝊc truy háť“i và ᝊng d᝼ngâ€?
DĂŁy sáť‘ nĂ y đưᝣc gáť?i lĂ dĂŁy sáť‘ PhibĂ´naxi. 3. TĂnh chẼt cᝧa dĂŁy sáť‘.
- DĂŁy sáť‘ (un) đưᝣc gáť?i lĂ dĂŁy sáť‘ tăng náşżu váť›i máť?i n ta cĂł un< un+1. - DĂŁy sáť‘ (un) đưᝣc gáť?i lĂ dĂŁy sáť‘ giảm náşżu váť›i máť?i n ta cĂł un> un+1. - DĂŁy sáť‘ (un) đưᝣc gáť?i lĂ dĂŁy sáť‘ báť‹ chạn trĂŞn náşżu táť“n tấi máť™t sáť‘ M sao cho: ∀ ∈ ℕ∗ , ≤ (. - DĂŁy sáť‘ (un) đưᝣc gáť?i lĂ dĂŁy sáť‘ báť‹ chạn dĆ°áť›i náşżu táť“n tấi máť™t sáť‘ m sao cho: ∀ ∈ ℕ∗ , ≼ ). - DĂŁy sáť‘ (un) đưᝣc gáť?i lĂ dĂŁy sáť‘ báť‹ chạn náşżu nĂł vᝍa báť‹ chạn trĂŞn vᝍa báť‹ chạn dĆ°áť›i, nghÄŠa lĂ táť“n tấi sáť‘ M vĂ m sao cho : ∀ ∈ ℕ∗ , ) ≤ ≤ (. ChĂş Ă˝ :
- DĂŁy sáť‘ (un) tăng â&#x;ş + − > 0, ∀ .
- DĂŁy sáť‘ (un) giảm â&#x;ş + − < 0, ∀ .
4. Gi᝛i hấn cᝧa dãy sᝑ.
a. DĂŁy sáť‘ cĂł giáť›i hấn 0. - Ta nĂłi ráşąng dĂŁy sáť‘ (un) cĂł giáť›i hấn 0 náşżu váť›i máť?i sáť‘ dĆ°ĆĄng nháť? tĂšy Ă˝ cho trĆ°áť›c, máť?i sáť‘ hấng cᝧa dĂŁy sáť‘, káťƒ tᝍ máť™t sáť‘ hấng nĂ o Ä‘Ăł tráť&#x; Ä‘i, Ä‘áť u cĂł giĂĄ tráť‹ tuyᝇt Ä‘áť‘i nháť? hĆĄn sáť‘ dĆ°ĆĄng Ä‘Ăł. Khi Ä‘Ăł ta viáşżt :
lim(un) = 0 hoạc limun = 0 hoạc â&#x;ś 0
limun = 0 â&#x;ş 1 > 0, ∀ 2 ∈ ℕ∗ : > 2 â&#x;š | | < 1.
- Ä?áť‹nh lĂ 1: Cho hai dĂŁy sáť‘ (un) vĂ (vn)
Nếu | | ≤ v᝛i m�i n và limvn = 0 thÏ limun = 0.
- Ä?áť‹nh lĂ 2: Náşżu |6| < 1 thĂŹ limqn = 0. b. DĂŁy sáť‘ cĂł giáť›i hấn hᝯu hấn.
- Ta nói rẹng dãy sᝑ (un) có gi᝛i hấn là sᝑ th᝹c L nếu lim(un – L) = 0.
Khi Ä‘Ăł ta viáşżt : lim(un) =L hoạc limun = L hoạc â&#x;ś 7. DĂŁy sáť‘ cĂł giáť›i hấn lĂ máť™t sáť‘ tháťąc gáť?i lĂ dĂŁy sáť‘ cĂł giáť›i hấn hᝯu hấn. - Ä?áť‹nh lĂ 3: Giả sáť limun = A, limvn = B vĂ c lĂ máť™t háşąng sáť‘. Khi Ä‘Ăł : lim(un + vn) = A + B ;
lim(un – vn) = A – B,
lim(un.vn) = A.B; lim(cun) = cA ; Giåo viên:Trần Thanh Vân – THPT Kᝳ Sƥn
4
8 )
9 = ế : ≠0 . :
“TĂŹm sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť‘ cho báť&#x;i hᝇ thᝊc truy háť“i và ᝊng d᝼ngâ€?
- Ä?áť‹nh lĂ 4:(Táť•ng cᝧa cẼp sáť‘ nhân lĂši vĂ´ hấn)
CẼp sᝑ nhân vô hấn u1, u1q, u1q2, ‌, u1.qn, ‌ có công b᝙i q v᝛i |6| < 1 g�i là m᝙t cẼp sᝑ nhân lÚi vô hấn. =>
?
S = u1 + u1q + u1q2 + ‌ + u1.qn + ‌ = c. Dãy sᝑ có gi᝛i hấn vô c᝹c.
.
- Ta nĂłi ráşąng dĂŁy sáť‘ (un) cĂł giáť›i hấn lĂ âˆ’âˆž náşżu váť›i máť—i sáť‘ dĆ°ĆĄng tĂšy Ă˝ cho trĆ°áť›c, máť?i sáť‘ hấng cᝧa dĂŁy sáť‘, káťƒ tᝍ máť™t sáť‘ hấng nĂ o Ä‘Ăł tráť&#x; Ä‘i, Ä‘áť u láť›n hĆĄn sáť‘ dĆ°ĆĄng Ä‘Ăł. Khi Ä‘Ăł ta viáşżt : lim(un) = +∞ hoạc limun = +∞ hoạc â&#x;ś +∞
- Ta nĂłi ráşąng dĂŁy sáť‘ (un) cĂł giáť›i hấn lĂ âˆ’âˆž náşżu váť›i máť—i sáť‘ âm tĂšy Ă˝ cho trĆ°áť›c, máť?i sáť‘ hấng cᝧa dĂŁy sáť‘, káťƒ tᝍ máť™t sáť‘ hấng nĂ o Ä‘Ăł tráť&#x; Ä‘i, Ä‘áť u bĂŠ hĆĄn sáť‘ âm Ä‘Ăł. Khi Ä‘Ăł ta viáşżt: lim(un) = −∞hoạc limun = −∞ hoạc â&#x;ś −∞
- Ä?áť‹nh lĂ 5: Náşżu 8 )| | = +∞ Aâ„ŽĂŹ 8 ) 5. CĂĄc táť•ng đạc biᝇt.
=C
=0
1+ 2+ 3+â‹Ż+ =
+ 1 2
1 + 2 + 3 + â‹Ż+ =
1F + 2F + 3F + â‹Ż + F =
II. CẤP Sáť? Cáť˜NG – CẤP Sáť? NHĂ‚N. 1. CẼp sáť‘ cáť™ng
a. Ä?áť‹nh nghÄŠa: DĂŁy sáť‘ (un) xĂĄc Ä‘áť‹nh báť&#x;i
+
+ 1 2 + 1 6 + 1 4
= = + H, ∀ ∈ ℕ∗
(a, d là hai sᝑ th᝹c cho trư᝛c) đưᝣc g�i là cẼp sᝑ c᝙ng. - a là sᝑ hấng đầu tiên. - d là công sai.
Giåo viên:Trần Thanh Vân – THPT Kᝳ Sƥn
5
“TĂŹm sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť‘ cho báť&#x;i hᝇ thᝊc truy háť“i và ᝊng d᝼ngâ€?
Ä?ạc biᝇt khi d = 0 thĂŹ (un) lĂ dĂŁy sáť‘ trong Ä‘Ăł tẼt cả cĂĄc sáť‘ hấng Ä‘áť u báşąng nhau vĂ gáť?i lĂ dĂŁy sáť‘ khĂ´ng Ä‘áť•i. b. CĂĄc tĂnh chẼt: Ä?áť‹nh lĂ 1: Ba sáť‘ un, un+1, un+2 lĂ ba sáť‘ hấng liĂŞn tiáşżp cᝧa cẼp sáť‘ cáť™ng (un) náşżu: 1 + = + + . 1 2
Ä?áť‹nh lĂ 2: Sáť‘ hấng thᝊ n cᝧa cẼp sáť‘ cáť™ng (un) đưᝣc cho báť&#x;i cĂ´ng thᝊc: = + − 1 H. 2
Ä?áť‹nh lĂ 3: Táť•ng cᝧa n sáť‘ hấng đầu tiĂŞn (kĂ hiᝇu lĂ Sn) cᝧa cẼp sáť‘ cáť™ng (un) đưᝣc cho báť&#x;i cĂ´ng thᝊc : I = + + F + â‹Ż + =
2. CẼp sᝑ nhân.
+ 3 = J2 + − 1 HK 3′ 2 2
=
∗ + = . 6, ∀ ∈ ℕ
a. Ä?áť‹nh nghÄŠa: DĂŁy sáť‘ (un) xĂĄc Ä‘áť‹nh báť&#x;i
(a, q lĂ hai sáť‘ tháťąc khĂĄc 0 cho trĆ°áť›c) đưᝣc gáť?i lĂ cẼp sáť‘ nhân. - a lĂ sáť‘ hấng đầu tiĂŞn. - q lĂ cĂ´ng báť™i. Ä?ạc biᝇt khi q = 1 thĂŹ (un) lĂ dĂŁy sáť‘ trong Ä‘Ăł tẼt cả cĂĄc sáť‘ hấng Ä‘áť u báşąng nhau vĂ gáť?i lĂ dĂŁy sáť‘ khĂ´ng Ä‘áť•i. b. CĂĄc tĂnh chẼt: Ä?áť‹nh lĂ 1: Ba sáť‘ un, un+1, un+2 lĂ ba sáť‘ hấng liĂŞn tiáşżp cᝧa cẼp sáť‘ nhân (un) náşżu: + = . + . 4
Ä?áť‹nh lĂ 2: Sáť‘ hấng thᝊ n cᝧa cẼp sáť‘ nhân (un) đưᝣc cho báť&#x;i cĂ´ng thᝊc: = . 6 . 5
Ä?áť‹nh lĂ 3: Táť•ng cᝧa n sáť‘ hấng đầu tiĂŞn (kĂ hiᝇu lĂ Sn) cᝧa cẼp sáť‘ nhân (un) đưᝣc cho báť&#x;i cĂ´ng thᝊc : 6 − 1 I = + + F + â‹Ż + = . . 6 6−1
Giåo viên:Trần Thanh Vân – THPT Kᝳ Sƥn
6
“TĂŹm sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť‘ cho báť&#x;i hᝇ thᝊc truy háť“i và ᝊng d᝼ngâ€?
B. Náť˜I DUNG I. XĂ C Ä?ᝊNH Sáť? Háş NG Táť”NG QUĂ TCᝌA DĂƒY Sáť? CHO BáťžI Hᝆ THᝨC TRUY Háť’I Phần dĂŁy sáť‘ trong chĆ°ĆĄng trĂŹnh Ä?ấi sáť‘ & Giải tĂch 11, khi Ä‘áť cáşp Ä‘áşżn bĂ i toĂĄn tĂŹm sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt thĆ°áť?ng sáť d᝼ng phĆ°ĆĄng phĂĄp quy nấp Ä‘áťƒ chᝊng minh. PhĆ°ĆĄng phĂĄp nĂ y chᝉ khả thi khi chĂşng ta biáşżt trĆ°áť›c cĂ´ng thᝊc sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt, hoạc dáťą Ä‘oĂĄn đưᝣc nĂł. Trong nhiáť u trĆ°áť?ng hᝣp chĂşng ta chĆ°a biáşżt trĆ°áť›c vĂ cĹŠng khĂ´ng dáťą Ä‘oĂĄn đưᝣc cĂ´ng thᝊc sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt thĂŹ phĆ°ĆĄng phĂĄp trĂŞn khĂ´ng khả thi. VĂŹ váşy, phần nĂ y sáş˝ xây dáťąng cĂĄch xĂĄc Ä‘áť‹nh cĂ´ng thᝊc táť•ng quĂĄt cᝧa máť™t sáť‘ dĂŁy sáť‘ cho báť&#x;i hᝇ thᝊc truy háť“i đạc biᝇt (cĂĄc bĂ i toĂĄn váť dĂŁy sáť‘ chᝧ yáşżu đưᝣc cho báť&#x;i hᝇ thᝊc truy háť“i dấng nĂ y) dáťąa vĂ o cĂĄc kiáşżn thᝊc Ä‘ĂŁ biáşżt váť cẼp sáť‘ cáť™ng, cẼp sáť‘ nhân và đạc biᝇt lĂ cĂĄch láťąa cháť?n cĂĄc dĂŁy sáť‘ ph᝼ thĂch hᝣp. 1. CĂĄc vĂ d᝼ Ä‘ĆĄn giản. VĂ d᝼ 1: XĂĄc Ä‘áť‹nh sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť‘ (un) cho báť&#x;i:
= 3 = + 2, ∀ ≼ 2 Giải
Ta thẼy dĂŁy sáť‘ (un) lĂ máť™t cẼp sáť‘ cáť™ng, váť›i u1=3, cĂ´ng sai d = 2. Ă p d᝼ng káşżt quả (2) ta cĂł un = 3 + (n-1)2 = 2n + 1 Váşy un = 2n + 1∀ ∈ ℕ∗ .
VĂ d᝼ 2: XĂĄc Ä‘áť‹nh sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť‘ (un) cho báť&#x;i:
= −2 . = 3 , ∀ ≼ 2 Giải
Ta thẼy dãy sᝑ (un) là m᝙t cẼp sᝑ nhân, v᝛i u1=-2, công b᝙iq = 3. à p d᝼ng kết quả (4) ta có un = -2.3n-1
Váşy un = -2.3n-1∀ ∈ ℕ∗ .
2. TĂŹm sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť‘ cho báť&#x;i hᝇ thᝊc truy háť“i. áťž phần 1 ta thẼy viᝇc xĂĄc Ä‘áť‹nh sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt cᝧa cĂĄc dĂŁy sáť‘ Ä‘ĂŁ cho lĂ khĂĄ Ä‘ĆĄn giản khi ĂĄp d᝼ng tráťąc tiáşżp cĂĄc káşżt quả Ä‘ĂŁ cĂł váť cẼp sáť‘ cáť™ng vĂ cẼp sáť‘
Giåo viên:Trần Thanh Vân – THPT Kᝳ Sƥn
7
“TĂŹm sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť‘ cho báť&#x;i hᝇ thᝊc truy háť“i và ᝊng d᝼ngâ€?
nhân. Tuy nhiên th᝹c tế cåc bà i toån chúng ta gạp hầu hết đᝠu không đƥn giản như thế, chẳng hấn dãy sᝑ :
= 2 . = 3 + 2 ∗ , ∀ ≼ 2
áťž đây ta nháşn thẼy trong hᝇ thᝊc truy háť“i thĂŹ hᝇ sáť‘ Ä‘i kèm un-1 khĂĄc 1 do Ä‘Ăł nĂł khĂ´ng phải lĂ cẼp sáť‘ cáť™ng, Ä‘áť“ng tháť?i hᝇ sáť‘ Ä‘i kèm khĂĄc 0 nĂŞn nĂł khĂ´ng lĂ cẼp sáť‘ nhân ddĆĄn thuần. Khi Ä‘Ăł ta lĂ m tháşż nĂ o Ä‘áťƒ xĂĄc Ä‘áť‹nh sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť‘ Ä‘ĂŁ cho? Sau đây ta sáş˝ nghiĂŞn cᝊu cĂĄch tĂŹm sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť‘ trĂŞn.
VĂ d᝼ 3: XĂĄc Ä‘áť‹nh sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť‘ cho báť&#x;i:
= 2 . = 3 + 2 ∗ , ∀ ≼ 2 Giải
Váť›i bĂ i toĂĄn nĂ y thĂŹ cĂ´ng viᝇc khĂ´ng còn Ä‘ĆĄn giản, vĂŹ dĂŁy sáť‘ Ä‘ĂŁ cho khĂ´ng phải lĂ cẼp sáť‘ cáť™ng hay cẼp sáť‘ nhân, ta sáş˝ giải bĂ i toĂĄn nĂ y váť›i tĆ° tĆ°áť&#x;ng cáť‘ gắng Ä‘Ć°a dĂŁy sáť‘ Ä‘ĂŁ cho váť dấng máť™t cẼp sáť‘ nhân. Gáť?i (vn) lĂ máť™t dĂŁy sáť‘ sao cho un = vn– 1(1). Suy ra v1 = 3 VĂ tᝍ hᝇ thᝊc truy háť“i ∗ ta cĂł :
− 1 = 3 − 1 + 2 â&#x;ş = 3.
NhĆ° váşy (vn) lĂ máť™t cẼp sáť‘ nhân váť›i sáť‘ hấng đầu v1 = 3 vĂ cĂ´ng báť™i q = 3, nĂŞn ta cĂł sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt vn=3.3n-1=3n Thay vĂ o (1) ta cĂł un = 3n – 1, ∀ ∈ ℕ∗ .
Nháşn xĂŠt: MẼu cháť‘t cᝧa cĂĄch lĂ m trĂŞn lĂ ta đạt un = vn – 1, vĂ thay vĂ o hᝇ thᝊc truy háť“i cᝧa (un) ta dáť… dĂ ng suy ra (vn) lĂ máť™t cẼp sáť‘ nhân. Tᝍ Ä‘Ăł suy ra káşżt quả bĂ i toĂĄn. Váşy câu háť?i đạt ra lĂ ÂŤtấi sao lấi đạt un=vn– 1?Âť, ÂŤ con sáť‘ -1 tᝍ đâu mĂ cĂł ? Âť. Quay lấi vĂ d᝼ trĂŞn ta thẼy náşżu khĂ´ng cĂł sáť‘ ÂŤ 2 Âť trong hᝇ thᝊc truy háť“i = 3 + 2 thĂŹ dĂŁy sáť‘ Ä‘ĂŁ cho lĂ máť™t cẼp sáť‘ nhân, do Ä‘Ăł viᝇc xĂĄc Ä‘áť‹nh sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť‘ nĂ y lĂ Ä‘ĆĄn giản.VĂŹ váşy ta tĂŹm cĂĄch ÂŤ loấi báť? Âť sáť‘ ÂŤ 2 ÂťÄ‘áťƒ Ä‘Ć°a dĂŁy sáť‘ Ä‘ĂŁ cho tráť&#x; thĂ nh máť™t cẼp sáť‘ nhân báşąng cĂĄch đạt un = vn + c, thay vĂ o hᝇ thᝊc truy háť“i (*) ta cĂł vn = 3vn-1 + 2c + 2. Ta cháť?n c sao cho 2c + 2 = 0, suy ra c = -1. Do Ä‘Ăł mĂ ta cĂł cĂĄch đạt nhĆ° trĂŞn ......
Giåo viên:Trần Thanh Vân – THPT Kᝳ Sƥn
8
“TĂŹm sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť‘ cho báť&#x;i hᝇ thᝊc truy háť“i và ᝊng d᝼ngâ€?
Táť•ng quĂĄt :Váť›i cĂĄch lĂ m nhĆ° trĂŞn ta xĂĄc Ä‘áť‹nh đưᝣc sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť‘ (un) cho báť&#x;i: = N .
= + !, ≼ 2
- Nếu a = 1 thÏ (un) là cẼp sᝑ c᝙ng v᝛i công sai d = b, nên ta có un= N + (n-1)b.
- Nếu ≠1, ta g�i (vn) là dãy sᝑ có cåc sᝑ hấng th�a mãn un = vn + c, thay và o hᝇ thᝊc truy hᝓi ta có vn = avn-1 + (a-1)c + b. + Ta ch�n c sao cho (a-1)c + b = 0 hay = P O
+ Khi Ä‘Ăł (vn) lĂ máť™t cẼp sáť‘ nhân váť›i cĂ´ng báť™i q = a, sáť‘ hấng đầu v1=u1-c, tᝊc lĂ v1 = N −
O
P
.
Do đó sᝑ hấng t᝕ng quåt
Suy ra
= QN −
= QN −
Váşy ta cĂł káşżt quả sau:
! R . , ∀ ≼ 2 1−
! ! , ∀ ≼ 2 R . + 1− 1−
= N Dấng 1 : DĂŁy sáť‘ (un) cho báť&#x;i = . (a, b lĂ cĂĄc sáť‘ tháťąc + !, ≼ 2 khĂĄc 0) cĂł sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt nhĆ° sau: N + − 1 ! áşż = 1 ! ! = S
+ , ∀ ≼ 2 áşż ≠1 QN − R. 1− 1−
NhĆ° váşy ta Ä‘ĂŁ giải quyáşżt xong trĆ°áť?ng hᝣp b trong biáťƒu thᝊc truy háť“iÄ‘i kèm lĂ háşąng sáť‘, sau đây ta sáş˝ xĂŠt máť™t dĂŁy sáť‘ mĂ b lĂ máť™t biáťƒu thᝊc f(n). VĂ d᝼ 4: XĂĄc Ä‘áť‹nh sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť‘ (un) cho báť&#x;i: = 1 . = 2 + 3 − 2, ≼ 2 Giải
Giåo viên:Trần Thanh Vân – THPT Kᝳ Sƥn
9
“TĂŹm sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť‘ cho báť&#x;i hᝇ thᝊc truy háť“i và ᝊng d᝼ngâ€?
Váť›i tĆ° tĆ°áť&#x;ng nhĆ° áť&#x; vĂ d᝼ 3. Ä?áťƒ tĂŹm sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť‘ trĂŞn ta sáş˝ tĂŹm cĂĄch lĂ m mẼt Ä‘i ÂŤ 3n-2 Âť, vĂ Ä‘Ć°a dĂŁy sáť‘ Ä‘ĂŁ cho váť cẼp sáť‘ nhân. Muáť‘n váşy ta gáť?i (vn) lĂ dĂŁy sáť‘ tháť?a mĂŁn un = vn + an + b. Khi Ä‘Ăł ta cĂł: vn = 2[vn-1+a(n-1)+b]- an – b + 3n – 2 â&#x;şvn = 2vn-1 + (a + 3)n - 2a + b – 2
Ta cháť?n a, b sao cho (a + 3)n - 2a + b – 2 = 0 ∀ â&#x;ş
NhĆ° váşy ta cĂł un=vn - 3n – 4
= −3 ! = −4
= 8 lĂ cẼp sáť‘ nhân, do Ä‘Ăł vn = 8.2n-1=2n+2. â&#x;š(vn) xĂĄc Ä‘áť‹nh báť&#x;i = 2
Váşy un = 2n+2 - 3n – 4 ∀ ≼ 1.
Táť•ng quĂĄt :Ä?áťƒ tĂŹm sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť‘ (un) cho báť&#x;i: = N .
= + , ≼ 2
Váť›i f(n) Ä‘a lĂ máť™t Ä‘a thᝊc báşc k, ta lĂ m nhĆ° sau: Gáť?i (vn) lĂ dĂŁy sáť‘ tháť?a mĂŁn un = vn + g(n). Khi Ä‘Ăł ta cĂł
vn = avn-1 + ag(n-1) – g(n) + f(n).
Ta láťąa cháť?n g(n) thĂch hᝣp sao cho ag(n-1) – g(n) + f(n) = 0 ∀ ∈ ℕ∗ ∗ â&#x;š = U − U − 1
Do đó tᝍ hᝇ thᝊc truy hᝓi ta có
un – g(n) = a[un-1 – g(n-1)]=[un-2 – g(n-2)]a2 =‌‌=[u1 – g(1)]an-1. Váşy un = [u1 – g(1)]an-1+ g(n). VẼn Ä‘áť áť&#x; đây lĂ ta cháť?n g(n) nhĆ° tháşż nĂ o cho thĂch hᝣp?
- Náşżu a = 1 thĂŹ U − U − 1 cĂł báşc nháť? hĆĄn k(lĂ báşc cᝧa f(n)), do Ä‘Ăł ta cháť?n g(n) lĂ máť™t Ä‘a thᝊc báşc k+1, vĂ Ä‘áťƒ Ä‘ĆĄn giản ta cháť?n hᝇ sáť‘ táťą do báşąng khĂ´ng. Ä?áťƒ xĂĄc Ä‘áť‹nh cĂĄc hᝇ sáť‘ cᝧa g(n) tᝍ (*) ta cho cĂĄc hᝇ sáť‘ cᝧa Ä‘a thᝊc báşąng 0. - Náşżu ≠1 thĂŹ U − U − 1 cĂł báşc k cĂšng báşc váť›i f(n), do Ä‘Ăł ta cháť?n g(n) lĂ máť™t Ä‘a thᝊc báşc k. Ä?áťƒ xĂĄc Ä‘áť‹nh cĂĄc hᝇ sáť‘ cᝧa g(n) tᝍ (*) ta cho cĂĄc hᝇ sáť‘ cᝧa Ä‘a thᝊc báşąng 0.
Giåo viên:Trần Thanh Vân – THPT Kᝳ Sƥn
10
“TĂŹm sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť‘ cho báť&#x;i hᝇ thᝊc truy háť“i và ᝊng d᝼ngâ€?
*) Váşy ta cĂł káşżt quả sau: Dấng 2 : Ä?áťƒ tĂŹm sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť‘ (un) cho báť&#x;i: = N .
= + , ≼ 2
Váť›i f(n) Ä‘a lĂ máť™t Ä‘a thᝊc báşc k, a vĂ N lĂ háşąng sáť‘, ta lĂ m nhĆ° sau:
Gáť?i (vn) lĂ dĂŁy sáť‘ tháť?a mĂŁn, un = vn + g(n), tᝍ Ä‘Ăł suy ra = U − U − 1 , ∀ ∈ ℕ∗ . Ta cĂł đưᝣc un = [u1 – g(1)]an-1 + g(n).
ChĂş Ă˝: Náşżu a = 1 thĂŹ ta cháť?n g(n) lĂ Ä‘a thᝊc báşc k + 1 cĂł hᝇ sáť‘ táťą do báşąng 0, còn náşżu ≠1 thĂŹ cháť?n g(n) lĂ Ä‘a thᝊc báşc k. Ta váşn d᝼ng káşżt quả trĂŞn Ä‘áťƒ tĂŹm sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť‘ sau đây. VĂ d᝼ 5: XĂĄc Ä‘áť‹nh sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť‘ (un) cho báť&#x;i: = 3 . = + 4 − 2, ≼ 2 Giải
Ta cĂł hᝇ sáť‘ a = 1. Theo káşżt quả trĂŞn ta cĂł un = u1 – g(1) + g(n), váť›i g(n) = an2 + bn lĂ máť™t Ä‘a thᝊc báşc 2 cĂł hᝇ sáť‘ táťą do báşąng 0, tháť?a mĂŁn − 1 + ! − 1 − − ! + 4 − 2 = 0, ∀ ∈ ℕ∗
2 − 4 = 0 = 2 â&#x;ş (2a – 4)n – a + b + 2 = 0 ∀ ∈ ℕ∗ ⇒
â&#x;ş
− + ! + 2 = 0 !=0
Do Ä‘Ăł g(n) = 2n2. Váşy = 2 + 1, ∀ ∈ ℕ∗ .
Tiếp theo ta sẽ xÊt trư�ng hᝣp f(n) = W. XY
VĂ d᝼ 6:XĂĄc Ä‘áť‹nh sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť‘ (un) cho báť&#x;i: = −1 . = 3 + 2 , ≼ 2 Giải
Tưƥng t᝹ cåc và d᝼ trên. G�i (vn) là dãy sᝑ th�a mãn un = vn + a.2n.
Khi Ä‘Ăł ta cĂł vn = 3vn-1 + Z + 1[ 2 . Cháť?n a = -2. Suy ra un = vn - 2n+1.
Giåo viên:Trần Thanh Vân – THPT Kᝳ Sƥn
11
= 3 . = 3
“TĂŹm sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť‘ cho báť&#x;i hᝇ thᝊc truy háť“i và ᝊng d᝼ngâ€?
Tᝍ Ä‘Ăł(vn) lĂ dĂŁy sáť‘ xĂĄc Ä‘áť‹nh báť&#x;i
NhĆ° váşy (vn) lĂ máť™t cẼp sáť‘ nhân váť›i = 3 vĂ cĂ´ng báť™i q = 3.
Do Ä‘Ăł vn = 3.3n-1=3n
Váşy un = 3n – 2n+1, ∀ ∈ ℕ∗ .
Táť•ng quĂĄt :Ä?áťƒ tĂŹm sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť‘ xĂĄc Ä‘áť‹nh báť&#x;i: = \2 .
= + !. N , ≼ 2
a, b, x0 là hẹng sᝑ, N ≠1.Ta là m như sau:
G�i (vn) là m᝙t dãy sᝑ th�a mãn un = vn + ]. N .
Khi Ä‘Ăł ta cĂł = + !. N − ]. N + ] . N .
Cháť?n k sao cho !. N − ]. N + ] . N = 0 ∗ , ∀ ∈ ℕ∗ . â&#x;š !. N = ]. N − ] . N
Tᝍ hᝇ thᝊc truy hᝓi ban đầu ta có:
− ]. N = − ]. N = − ]. N
= â‹Ż = − ]. N . .
Váşy = − ]. N . + ]. N váť›i ] =
O^
^ P
≠N .
TrĆ°áť?ng hᝣp = N, ta phân tĂch N = . N − N − 1 . N , khi Ä‘Ăł ta cĂł
− ! . N = NJ − ! − 1 . N K = â‹Ż = J − !N KN .
â&#x;š = N + ! − 1 N , ∀ ∈ ℕ∗ . Váşy ta cĂł káşżt quả sau :
Giåo viên:Trần Thanh Vân – THPT Kᝳ Sƥn
12
“TĂŹm sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť‘ cho báť&#x;i hᝇ thᝊc truy háť“i và ᝊng d᝼ngâ€?
Dấng 3 : TĂŹm sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť‘ (un) cho báť&#x;i: = \2 .
= + !. N , ≼ 2 V᝛i a, b, x0 và N là hẹng sᝑ:
- Náşżu = N â&#x;š = N + ! − 1 N , ∀ ∈ ℕ∗ - Náşżu ≠N ta gáť?i gáť?i (vn) lĂ máť™t dĂŁy sáť‘ tháť?a mĂŁn un = vn+ ]. N .
Cháť?n k sao cho !. N − ]. N + ] . N = 0 ∗ , ∀ ∈ ℕ∗ . â&#x;š !. N = ]. N − ] . N
Ta đưᝣc = − ]. N . + ]. N , áť› ] = ^ P. O^
Tᝍ Dấng 3 ta cĂł tháťƒ xây dáťąng cĂĄch tĂŹm sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť‘ áť&#x; dấng sau: Dấng 4 :TĂŹm sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť‘ cho báť&#x;i : = \2 .
= + !. N + . _ , ≼ 2
V᝛i a, b, c, x0,N à _ là hẹng sᝑ
áťž trĂŞn ta Ä‘ĂŁ nghiĂŞn cᝊu cĂĄch xĂĄc Ä‘áť‹nh sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt cᝧa máť™t sáť‘ dĂŁy sáť‘ cho báť&#x;i hᝇ thᝊc truy háť“i áť&#x; dấng un = f(un-1). Sau đây ta sáş˝ nghiĂŞn cᝊu phĆ°ĆĄng phĂĄp Ä‘áťƒ tĂŹm sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt cᝧa máť™t vĂ i dấng dĂŁy sáť‘ mĂ un = f(un-1, un-2). VĂ d᝼ 7: XĂĄc Ä‘áť‹nh sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť‘ (un) cho báť&#x;i: = 4, = 20 . = 4 − 4 , ≼ 3 Giải
Ta cĂł = 4 − 4 â&#x;ş − 2 = 2 − 2 Gáť?i (vn) lĂ dĂŁy sáť‘ tháť?a mĂŁn = − 2 ∗ .
Suy ra (vn) xĂĄc Ä‘áť‹nh báť&#x;i
= 12 , là m᝙t cẼp sᝑ nhân nên = 2
= 12. 2 â&#x;š = 3. 2 +
Do Ä‘Ăł = 3. 2 , thay vĂ o (*) ta cĂł = 2 + 3. 2
NhĆ° váşy ta cĂł (un) lĂ máť™t dĂŁy sáť‘ xĂĄc Ä‘áť‹nh báť&#x;i :
= 4 = 2 + 3. 2
Giåo viên:Trần Thanh Vân – THPT Kᝳ Sƥn
13
“TĂŹm sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť‘ cho báť&#x;i hᝇ thᝊc truy háť“i và ᝊng d᝼ngâ€?
Ä?áşżn đây Ä‘Ć°a bĂ i toĂĄn váť dấng 3 áť&#x; trĂŞn vĂ ta dáť… dĂ ng tĂŹm đưᝣc = 3 − 1 2
Tᝍ vĂ d᝼ trĂŞn suy ra cĂĄch xĂĄc Ä‘áť‹nh sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť‘ sau: Dấng 5 : Ä?áťƒ tĂŹm sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť‘ (un) cho báť&#x;i: = \ , = \ .
= + !. , ≼ 3
Váť›i a, b, x1 vĂ x2 lĂ háşąng sáť‘ vĂ âˆ’ 4! ≼ 0, ta lĂ m nhĆ° sau: N + _ = - TĂŹm 2 sáť‘ N Ă _d â„Ž N. _ = −! - Ta cĂł − N = _ − N , xĂŠt dĂŁy sáť‘ (vn) tháť?a mĂŁn = − N , suy ra (vn) lĂ máť™t cẼp sáť‘ nhân, do Ä‘Ăł dáť… dĂ ng tĂŹm đưᝣc vn. Tᝍ Ä‘Ăł Ä‘Ć°a váť dĂŁy sáť‘ Dấng 3 vĂ suy ra káşżt quả.
VĂ d᝼ 8: XĂĄc Ä‘áť‹nh sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť‘ (un) cho báť&#x;i: = 2, = 3 . = 7 − 12 , ≼ 3
Gáť?i N Ă _ lĂ hai sáť‘ tháť?a mĂŁn
Giải
N + _ = 7 N = 3 â&#x;ş _=4 N. _ = 12
Khi đó tᝍ hᝇ thᝊc truy hᝓi, ta có
− 3 = 4 − 3
= −3 lĂ máť™t Ä?ạt = − 3 ∗ â&#x;š(vn) lĂ dĂŁy sáť‘ xĂĄc Ä‘áť‹nh báť&#x;i
= 4
cẼp sáť‘ nhân, do Ä‘Ăł = −3. 4 .
Tᝍ (*) suy ra :
= 3 − 3. 4 ℎ b = 3 −
NhĆ° váşy (un) lĂ máť™t dĂŁy sáť‘ xĂĄc Ä‘áť‹nh báť&#x;i :
= 2
3 c = 3 − 4 16
Giåo viên:Trần Thanh Vân – THPT Kᝳ Sƥn
3 4 16
14
“TĂŹm sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť‘ cho báť&#x;i hᝇ thᝊc truy háť“i và ᝊng d᝼ngâ€?
Theo Dấng 3 ta có
= 5. 3 − 3. 4 , ≼ 1
ChĂş Ă˝ :Váť›i cĂĄch lĂ m tĆ°ĆĄng táťą káşżt hᝣp cảDấng 3, 4, 5ta sáş˝ xây dáťąng đưᝣc phĆ°ĆĄng phĂĄp tĂŹm sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt cᝧa cĂĄc dĂŁy sáť‘ cho áť&#x; dấng sau : Dấng 6 : TĂŹm sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť‘ (un) cho báť&#x;i: = \ , = \ .
= + !. + , ≼ 3
Váť›i a, b, x1 vĂ x2 lĂ háşąng sáť‘ vĂ âˆ’ 4! ≼ 0, f(n) lĂ máť™t Ä‘a thᝊc Ẋn n.
Dấng 7 : TĂŹm sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť‘ (un) cho báť&#x;i: = \ , = \ .
= + !. + . N , ≼ 3
Váť›i a, b, x1, x2vĂ N > 0lĂ háşąng sáť‘ vĂ âˆ’ 4! ≼ 0, f(n) lĂ máť™t Ä‘a thᝊc Ẋn n.
CĂĄc Dấng toĂĄn trĂŞn ta Ä‘ĂŁ tĂŹm đưᝣc sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt cᝧa cĂĄc dĂŁy sáť‘ mĂ hᝇ thᝊc truy háť“i lĂ máť™t biáťƒu thᝊc tuyáşżn tĂnh. Sau đây ta sáş˝ tĂŹm sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť‘ mĂ hᝇ thᝊc truy háť“i áť&#x; dấng phi tuyáşżn váť›i hᝇ sáť‘ háşąng Ä‘ĆĄn giản. Ta xĂŠt máť™t vĂ i vĂ d᝼ nhĆ° sau : VĂ d᝼ 9: XĂĄc Ä‘áť‹nh sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť‘ (un) cho báť&#x;i: = 2 c = . 2 + 3
Giải
Ta cĂł
=
1 2 â&#x;ş = +3
2 + 3
Ä?ạt = = thĂŹ dĂŁy sáť‘ xĂĄc Ä‘áť‹nh báť&#x;i :
C
c
=
1 2
= 2 + 3
Tᝍ Ä‘Ăł theo Dấng 1 ta dáť… dĂ ng cĂł đưᝣc = 7. 2 − 3. Váşy
=
1
7. 2
Giåo viên:Trần Thanh Vân – THPT Kᝳ Sƥn
−3 15
“TĂŹm sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť‘ cho báť&#x;i hᝇ thᝊc truy háť“i và ᝊng d᝼ngâ€?
VĂ d᝼ 10: XĂĄc Ä‘áť‹nh sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť‘ (un) cho báť&#x;i: = 2 2 + 1 S . = ∗ + 2 Giải
Viᝇc tĂŹm sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť‘ nĂ y lấi khĂ´ng Ä‘ĆĄn giản nhĆ° vĂ d᝼ trĂŞn nᝯa vĂŹ ta thẼy áť&#x; táť sáť‘ cĂł cả hᝇ sáť‘ táťą do. VĂŹ váşy ta tĂŹm cĂĄch lĂ m mẼt Ä‘i hᝇ sáť‘ táťą do cᝧa táť báşąng cĂĄch, đạt = + A 1 , váť›i t lĂ háşąng sáť‘. Thay vĂ o (*) ta cĂł : ∗ â&#x;ş =
2 − A − A + 1 2 + A + 1 −A = + A + 2 + A + 2
Cháť?n t sao cho –t2 + 1 = 0 Do Ä‘Ăł xĂĄc Ä‘áť‹nh báť&#x;i
Ta cĂł:
Ä?ạt \ =
eC
⇒ A = 1 ⇒ =
=
+ 3
= 1 c = + 3
1 3 â&#x;ş = +1 + 3
2 thĂŹ dĂŁy sáť‘ \ xĂĄc Ä‘áť‹nh báť&#x;i
\ = 1 \ = 3\ + 1
Tᝍ đó theo Dấng 1 ta dᝅ dà ng có đưᝣc
Thay vĂ o (2) ta cĂł:
1 \ = 3 − 1 2
1 1 2 3 − 1 = â&#x;ş = 2 3 −1
Tiếp t᝼c thay t = 1 và =
FC
vĂ o (1) ta cĂł:
2 3 + 1 = + 1 â&#x;ş = 3 −1 3 −1
Giåo viên:Trần Thanh Vân – THPT Kᝳ Sƥn
16
“TĂŹm sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť‘ cho báť&#x;i hᝇ thᝊc truy háť“i và ᝊng d᝼ngâ€?
Tᝍ hai vĂ d᝼ trĂŞn ta cĂł káşżt quả sau : Dấng 8: Ä?áťƒ tĂŹm sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť‘ (un) cho báť&#x;i: = N c = + !. i + 6 Váť›i N, a, b, p vĂ q lĂ háşąng sáť‘, ta lĂ m nhĆ° sau:
- Ä?ạt = + A, ta cĂł : − iA − iA + − 6 A + ! = i + iA + 6 - Ta cháť?n A = A2 sao cho −iA2 + − 6 A2 + ! = 0. - Khi Ä‘Ăł ta cĂł : − iA2
1 iA2 + 6 i = â&#x;ş = + i + iA2 + 6 − iA2 − iA2 - Tᝍ đây đạt \ =
eC
, tĂŹm đưᝣc (xn) suy ra (vn) vĂ cĂł đưᝣc (un).∎
II. ᝨNG DᝤNG BĂ€I TOĂ N TĂŒM Sáť? Háş NG Táť”NG QUĂ T VĂ€O Máť˜T Sáť? BĂ€I TOĂ N Vᝀ DĂƒY Sáť?. Trong phần nĂ y chĂşng ta sáş˝ cĂšng nhau xem xĂŠt máť™t sáť‘ ᝊng d᝼ng rẼt hiᝇu quả cᝧa bĂ i toĂĄn tĂŹm sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť‘ nhĆ°: TĂnh giáť›i hấn cᝧa dĂŁy sáť‘, chᝊng minh tĂnh báť‹ chạn, tĂnh Ä‘ĆĄn Ä‘iᝇu cᝧa dĂŁy sáť‘, tĂnh táť•ng cᝧa máť™t dĂŁy sáť‘, ‌ VĂ d᝼ 1:Cho dĂŁy sáť‘ (un) xĂĄc Ä‘áť‹nh báť&#x;i : c +
TĂnh limun
Ä?ạt vn = un -
f
Ä‘áť‹nh nhĆ° sau:
Do Ä‘Ăł ta cĂł
g
= 10 1 = + 3, ≼ 1 5 Giải
thÏ dᝅ dà ng chᝊng minh đưᝣc dãy sᝑ (vn) là m᝙t cẼp sᝑ nhân xåc =
25 4
h 1 = , ≼ 2 5
Giåo viên:Trần Thanh Vân – THPT Kᝳ Sƥn
17
“TĂŹm sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť‘ cho báť&#x;i hᝇ thᝊc truy háť“i và ᝊng d᝼ngâ€?
= 6
Suy ra
25 1
= .Q R 4 5
15 25 1 15 = .Q R + = + 4 4 5 4
Tᝍ đó ta đưᝣc
25 1 15 15 8 ) = 8 ) k . Q R + l= ∎ 4 5 4 4
Và d᝼ 2 : Cho dãy sᝑ (un) th�a mãn
a. Ä?ạt =
+=C =C
c +
= −2 = , ≼ 1 1 −
, ∀ ∈ ℕ∗ , chᝊng minh (vn) lĂ máť™t cẼp sáť‘ cáť™ng.
b. TĂŹm sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt cᝧa (un) vĂ (vn). Tᝍ Ä‘Ăł tĂnh limun vĂ limvn. Giải a. Ta cĂł
=
Mạt khåc +
â&#x;š + = − 1
1 + 1 1 â&#x;š = Ă = . 2 − 1
1 eC
= â&#x;š = 1 − + − 1 1 −
eC
=
1 − 2
Váşy (vn) lĂ máť™t cẼp sáť‘ cáť™ng váť›i = vĂ d = -1.∎
b. (vn) là m᝙t cẼp sᝑ c᝙ng do đó sᝑ hấng t᝕ng quåt cᝧa (vn) là :
= Váşy
1 3 1 2 + − 1 −1 = − ⇒ = = 2 2 − 1 1 − 2
8 ) = 8 )
2 3 = 0 ; 8 ) = 8 ) Q − R = −∞. ∎ 1 − 2 2
VĂ d᝼ 3: Cho dĂŁy sáť‘ (un) xĂĄc Ä‘áť‹nh báť&#x;i :
Giåo viên:Trần Thanh Vân – THPT Kᝳ Sƥn
18
2 = 3 . h
= , ≼ 2 2 2 − 1 + 1
“TĂŹm sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť‘ cho báť&#x;i hᝇ thᝊc truy háť“i và ᝊng d᝼ngâ€?
TĂnh
lim r s
â&#x;ś+q
st
Giải
Ta cĂł:
=
1 1 â&#x;š = + 2 2 − 1 2 2 − 1 + 1
Ä?ạt = = , ta cĂł (vn) lĂ dĂŁy sáť‘ xĂĄc Ä‘áť‹nh báť&#x;i :
C
3 c 2 = + 4 − 2 =
Sáť d᝼ng cĂĄch giải bĂ i toĂĄn áť&#x; Dấng 2 ta tĂŹm đưᝣc =
4 − 1 2 1 1 ⇒ = = − 4 − 1 2 − 1 2 + 1 2
1 1 1 1 1 r s = + + â‹Ż + = Q1 − R + Q − R + â‹Ż + Q − R 3 3 5 2 − 1 2 + 1 st
= 1− Váşy
1 2 = 2 + 1 2 + 1
2 = 1∎ â&#x;ś+q 2 + 1
lim r s = lim
â&#x;ś+q
st
VĂ d᝼ 4:Cho dĂŁy sáť‘ (un) xĂĄc Ä‘áť‹nh báť&#x;i:
= 2, = 3 = 3 − 2 , ≼ 3
Sᝑ 16385 có nẹm trong dãy (un) không? Nếu có thÏ dó là sᝑ hấng thᝊ mẼy? Giải Ta có Giåo viên:Trần Thanh Vân – THPT Kᝳ Sƥn
19
= 3 − 2 ⇒ − = 2 −
“TĂŹm sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť‘ cho báť&#x;i hᝇ thᝊc truy háť“i và ᝊng d᝼ngâ€?
= 1 , tᝊc = 2.
là m᝙t cẼp sᝑ nhân do đó sᝑ hấng t᝕ng quåt cảu nó là = 2 .
Ä?ạt = − , ≼ 2, thĂŹ lĂ dĂŁy sáť‘ xĂĄc Ä‘áť‹nh báť&#x;i Khi Ä‘Ăł dĂŁy sáť‘ xĂĄc Ä‘áť‹nh báť&#x;i:
= 2 = + 2 , ≼ 2
Tᝍ đó tÏm đưᝣc sᝑ hấng t᝕ng quåt cᝧa là : = 1 + 2
XĂŠt = 16385 â&#x;ş 1 + 2 = 16385 â&#x;ş = 15.
Váşy 16385 lĂ sáť‘ hấng thᝊ 15 cᝧa dĂŁy sáť‘ . ∎
VĂ d᝼ 5:Cho dĂŁy sáť‘ (un) xĂĄc Ä‘áť‹nh báť&#x;i:
= 2013, = 2014 + = 2 + − + 3, ≼ 1
a) TÏm sᝑ hấng t᝕ng quåt un
b) TĂnh táť•ng n sáť‘ hấng đầu tiĂŞn Sn. Giải
a) Tᝍ hᝇ thᝊc truy háť“i ta cĂł + − + = + − + 3
Ä?ạt = + − , ta cĂł dĂŁy sáť‘ (vn) lĂ máť™t cẼp sáť‘ cáť™ng xĂĄc Ä‘áť‹nh báť&#x;i :
= 1 = + 3
Do Ä‘Ăł sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt = 1 + − 1 3 = 3 − 2 NhĆ° váşy dĂŁy sáť‘ (un) xĂĄc Ä‘áť‹nh báť&#x;i:
= 2013 = + 3 − 5
Suy ra = − U 1 + U , váť›i U = + ! áť› , ! ∈ â„?
Sao cho 3 − 5 = + ! − − 1 − ! − 1 , ∀ ∈ ℕ∗ â&#x;š 2 − 3 − + ! + 2 = 0, ∀ ∈ ℕ∗
3 2 − 3 = 0 2 â&#x;šh â&#x;şh 7 − + ! + 5 = 0 !=− 2 =
Giåo viên:Trần Thanh Vân – THPT Kᝳ Sƥn
20
3 7 − 2 2
“TĂŹm sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť‘ cho báť&#x;i hᝇ thᝊc truy háť“i và ᝊng d᝼ngâ€?
â&#x;š U =
Váşy sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť‘ lĂ :
3 7 = − + 2015, ∀ ∈ ℕ∗ 2 2
b. Sn = u1 + u2 + ‌ + un
3 7 â&#x;š I = 1 + 2 + â‹Ż + − 1 + 2 + 3 + â‹Ż + + 2015 2 2 3 + 1 2 + 1 7 + 1 = − + 2015 2 6 2 2 Váşy I = − 3 + 1 + 2015 . ∎
VĂ d᝼ 6:Cho dĂŁy sáť‘ (un) xĂĄc Ä‘áť‹nh báť&#x;i: u
= 1
+ = v3 + 2, ≼ 1
a) XĂĄc Ä‘áť‹nh sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť‘ (un). b) TĂnh táť•ng I = + + â‹Ż +
2
(HSG Long An 2011)
Giải
a) Tᝍ hᝇ thᝊc truy hᝓi ta có + = 3 + 2, ≼ 1
Ä?ạt = , thĂŹ lĂ dĂŁy sáť‘ xĂĄc Ä‘áť‹nh báť&#x;i :
= 1 = 3 + 2, ≼ 1
Tᝍ Ä‘Ăł dáť… dĂ ng tĂŹm đưᝣc = 2. 3 − 1.
Váşy ta cĂł = √2. 3 − 1, ≼ 1∎ b) Ta cĂł:
I = + + â‹Ż +
2
= 2. 32 − 1 + 2. 3 − 1 + 2. 3 − 1 + â‹Ż + 2. 3
= 2 32 + 3 + 3 + â‹Ż + 3 = 2.
3
−1 − 2011 = 3 3−1 2
2 2 2
− 2011
2 2
− 1
− 2012. ∎
VĂ d᝼ 7:Cho dĂŁy sáť‘ (un) xĂĄc Ä‘áť‹nh báť&#x;i:
Giåo viên:Trần Thanh Vân – THPT Kᝳ Sƥn
21
1 2 3 + 4 = , ≼ 1 2 + 1
“TĂŹm sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť‘ cho báť&#x;i hᝇ thᝊc truy háť“i và ᝊng d᝼ngâ€?
z
y x +
TĂnh limun.
=
(HSG - TP HCM 2012-2013) Ä?ạt = \ + A, A ∈ â„?, ta cĂł
\ + =
Giải 3 − 2A \ − 2A + 2A + 4 2\ + 2A + 1
Cháť?n t sao cho −2A + 2A + 4 = 0 ⇒ A = 2
Khi Ä‘Ăł (\ lĂ dĂŁy sáť‘ xĂĄc Ä‘áť‹nh báť&#x;i : h
Tᝍ (*) ta có :
Ä?ạt b =
{C
\ +
1
\ +
3 \ = − 2 \ =− , ∗ ≼ 1 2\ + 5
= −2 −
5 ĂŹ \ ≠0, ∀ \
, thĂŹ b lĂ dĂŁy sáť‘ xĂĄc Ä‘áť‹nh báť&#x;i : c
b +
2 3 = −5b − 2, ≼ 1 b = −
Tᝍ Ä‘Ăł dáť… dĂ ng tĂŹm đưᝣc sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť‘ b lĂ : 1 1 b = − −1 5 − 3 3 −3 ⇒ \ = −1 5 + 1
Váşy
2. −1 5 − 1 ⇒ = −1 5 + 1
Giåo viên:Trần Thanh Vân – THPT Kᝳ Sƥn
22
2. −1 5 − 1 = 2∎ −1 5 + 1
“TĂŹm sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť‘ cho báť&#x;i hᝇ thᝊc truy háť“i và ᝊng d᝼ngâ€?
8 ) = 8 )
VĂ d᝼ 8:Cho dĂŁy sáť‘ (xn) xĂĄc Ä‘áť‹nh báť&#x;i: TĂnh 8 )\ .
\ = 2005, \ = 2006 \ \ + \ + = 2\ . \ +
(Olympic 30/04/2006 – Chuyên Lý T᝹ Tr�ng Cần Thƥ) Giải
Ta cĂł \ \ + \ + = 2\ . \ + ⇒ Ä?ạt b =
{C
{C
, thĂŹ b lĂ dĂŁy sáť‘ xĂĄc Ä‘áť‹nh báť&#x;i:
=
{C|>
+
{C}>
1 1 ,b = c 2005 2006 b + = 2b − b
b =
Tᝍ Ä‘Ăł dáť… dĂ ng suy ra b lĂ máť™t cẼp sáť‘ cáť™ng xĂĄc Ä‘áť‹nh báť&#x;i 1 2005 h 1 b = b − 2005.2006 b =
Do Ä‘Ăł ta cĂł
b =
Suy ra:
Váşy
\ = 8 )\ = 8 )
− + 2007 2005.2006
2005.2006 − + 2007
2005.2006 = 0. ∎ − + 2007
VĂ d᝼ 9: Cho dĂŁy sáť‘ ( un ) xĂĄc Ä‘áť‹nh báť&#x;i
u1 = 4   1 un+1 = 9 un + 4 + 4 1 + 2un
(
Giåo viên:Trần Thanh Vân – THPT Kᝳ Sƥn
)
∀n ∈ N *
.
23
“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng”
Tìm công thức số hạng tổng quát un của dãy số. (HSG Thái Nguyên 2011 – 2012) Giải Đặt xn = 1 + 2un ∀n ∈ N * Ta có xn ≥ 0 và xn2 = 1 + 2un , ∀n ∈ N * hay un =
xn2 − 1 2
Thay vào giả thiết, ta được:
xn2+1 − 1 1 xn2 − 1 = + 4 + 4 xn 2 9 2 ⇔ 9 xn2+1 − 9 = xn2 − 1 + 8 + 8 xn 2
⇔ ( 3xn +1 ) = ( xn + 4 )
2
Suy ra: 3xn+1 = xn + 4 ∀n ∈ N * ( Do xn ≥ 0 , ∀n ∈ N * ) Hay 3n+1 xn+1 = 3n xn + 4.3n , ∀n ∈ N * Đặt yn = 3n xn , ∀n ∈ N * . Ta có: yn+1 = yn + 4.3n , ∀n ∈ N * Từ đó yn +1 = y1 + 4 ( 3n + 3n −1 + ..... + 3) , ∀n ∈ N * Hay yn +1 = y1 − 6 + 2.3n +1 , ∀n ∈ N * Theo cách đặt ta có: x1 = 3 ⇒ y1 = 9 ⇒ yn = 3 + 2.3n . Suy ra: xn = 2 +
1 , ∀n ∈ N * n −1 3
1 4 1 Do đó un = 3 + n −1 + 2 n− 2 , ∀n ∈ N * 2 3 3
Giáo viên:Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn
24
“TĂŹm sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť‘ cho báť&#x;i hᝇ thᝊc truy háť“i và ᝊng d᝼ngâ€?
C. BĂ€I TẏP Ă P DᝤNG BĂ i 1: TĂŹm sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť‘ (un) cho báť&#x;i:
u1 = 2  b)  1 1 * u = u +  n +1 3 n 3 (n ∈ N )
u1 = 1 a)  * un +1 = 3un + 2(n ∈ N ) c)
u1 = 2  * un +1 = un + 2n + 1(n ∈ N )
d)
u1 = 1  2 * un +1 = un + n (n ∈ N )
e)
u1 = 12  * un +1 = 5un − 2n + 9(n ∈ N )
f)
u1 = 1  n +1 * un +1 = 3un + 2 (n ∈ N )
u1 = 2 g)  n * un +1 = 4un + 3 (n ∈ N )
u1 = 1; u2 = 5 h)  * un + 2 = 5un +1 − 6un (n ∈ N )
i)
u1 = u2 = 1  j)  un − 2un −1 + un −2 = 2; ∀n ≼ 3
# = # = 1 # = # + # , ᝛ ≼ 3
BĂ i 2: Cho dĂŁy sáť‘ (un) xĂĄc Ä‘áť‹nh báť&#x;i: S +
= 1 = 2 + v3 +
a) Hãy xåc đᝋnh sᝑ hấng t᝕ng quåt cᝧa dãy (un). b) Chᝊng minh rẹng
~ =C
~ =~C
liên tiếp v᝛i ≼ 1.
− 2 cĂł tháťƒ biáťƒu diáť…n thĂ nh táť•ng cᝧa ba sáť‘ táťą nhiĂŞn
BĂ i 3:Cho dĂŁy sáť‘ (un) xĂĄc Ä‘áť‹nh báť&#x;i:
= 1, = 2 + = −√2 + −
a) HĂŁy xĂĄc Ä‘áť‹nh sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt cᝧa dĂŁy (un). b) TĂŹm cĂĄc giĂĄ tráť‹ cᝧa n Ä‘áťƒ ∈ ℤ.
BĂ i 4: (Ä?áť thi OLYPIC 30 - 4 ToĂĄn 11 Lần thᝊ VIII - 2002) Cho dĂŁy sáť‘ (un) xĂĄc Ä‘áť‹nh báť&#x;i:
Giåo viên:Trần Thanh Vân – THPT Kᝳ Sƥn
25
= 0, = 0
“TĂŹm sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť‘ cho báť&#x;i hᝇ thᝊc truy háť“i và ᝊng d᝼ngâ€?
u
un +1 − 2un − 3un −1 = n + 2n
TÏm công thᝊc sᝑ hấng t᝕ng quåt un .
BĂ i 5:Cho dĂŁy sáť‘ ( xn ) xĂĄc Ä‘áť‹nh nhĆ° sau  xn + 2 − 2 xn +1 + xn = 2   x0 = 1, x1 = 0
n∈ N
XĂĄc Ä‘áť‹nh sáť‘ táťą nhiĂŞn n sao cho xn +1 + xn = 22685
BĂ i 6: Cho dĂŁy sáť‘ ( xn ) xĂĄc Ä‘áť‹nh nhĆ° sau  xn + 2 + 8.xn +1 + 9.xn = 0   x0 = 2, x1 = −8
n∈ N
TĂnh giĂĄ tráť‹ cᝧa biáťƒu thᝊc A = x2006 − 5.x2007 + 4
Bà i 7:Cho dãy sᝑ ( un ) thoả mãn điᝠu kiᝇn
un + 2 − 2.un +1 + un = 2 n∈ N  u = 1, u = 0 1  0
( n ≼ 2)
Chᝊng minh ráşąng un lĂ máť™t sáť‘ chĂnh phĆ°ĆĄng.
BĂ i 8:(Ä?áť thi HSG Ä?áť“ng ThĂĄp 2011) Cho dĂŁy sáť‘ (un) xĂĄc Ä‘áť‹nh báť&#x;i:
= 3 − 2 S + = 2 − 3
Hãy xåc đᝋnh công thᝊc sᝑ hấng t᝕ng quåt un.
BĂ i 9:(Ä?áť thi HSG HĂ Nam 2011 – 2012) Cho dĂŁy sáť‘ (un) xĂĄc Ä‘áť‹nh báť&#x;i:
z
1 6 3 = 2 + 1
=
y x +
a) Chᝊng minh dãy sᝑ trên có gi᝛i hấn, tÏm gi᝛i hấn đó. Giåo viên:Trần Thanh Vân – THPT Kᝳ Sƥn
26
“TĂŹm sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť‘ cho báť&#x;i hᝇ thᝊc truy háť“i và ᝊng d᝼ngâ€?
b) TÏm sᝑ hấng t᝕ng quåt cᝧa dãy sᝑ trên.
BĂ i 10: (HSG c᝼m Lấng Giang 2012 – 2013) Cho dĂŁy sáť‘ (un) xĂĄc Ä‘áť‹nh báť&#x;i:
TĂŹm
2 = 1, = 6 + − 3 + + 2 = 0 8 )
3. 2
Giåo viên:Trần Thanh Vân – THPT Kᝳ Sƥn
27
“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng”
Phần 3 KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ 1. Kết quả của việc ứng dụng SKKN a. Một số kết quả thực tế. Trong quá trình giảng dạy tôi đã cố gắng đưa một phần nội dung đề tài (Dạng 1 và Dạng 2) vào giảng dạy ở các lớp 11A, 11E trong hai tiết tự chọn của chương Dãy số. Sau khi thực hiện giảng dạy đại trà cho hai lớp tôi tiến hành cho làm bài kiểm tra 15 phút với nội dung như sau:
u1 = 2 “Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi .” 1 1 * = + ∈ u u ( n N ) n +1 3 n 3 Kết quả thu được như sau: Lớp Giải được
Có đường lối giải Không giải được
11A
80%
12%
8%
11E
70%
20%
10%
Các phần khó hơn trong nội dung của đề tài tôi dùng để ôn thi cho đội tuyển HSG cấp trường và cấp tỉnh. Qua kết quả của hai kỳ thi, khi gặp các bài toán về dãy số các em đều vận dụng thành thạo và hoàn thành tốt nội dung bài toán. Đặc biệt trong kỳ thi chọn HSG cấp tỉnh hai học sinh trong đội tuyển của trường đều làm rất tốt bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số trong đề thi môn toán bảng B. b. Một số kết luận. Trải qua thực tiễn giảng dạy, nội dung các bài giảng liên quan đến đề tài và có sự tham gia góp ý của đồng nghiệp, vận dụng đề tài vào giảng dạy đã thu được một số kết quả tích cực như sau: 1) Học sinh trung bình trở lên nắm vững được một số phương pháp và biết vận dụng ở các bài toán cơ bản xác định được công thức số hạng tổng quát của dãy số. 2) Một số đề thi học sinh giỏi, học sinh lớp chọn có thể sử dụng phương pháp trình bày trong đề tài để giải bài toán. 3) Là một phương pháp tham khảo cho học sinh và các thầy cô giáo. 4) Qua nội dung đề tài, đồng nghiệp có thể xây dựng thêm các bài toán về dãy số theo các dạng đã có. 5) Khi sử dụng đề tài giảng dạy đã tạo được hứng thú học tập cho các em học sinh. Giáo viên:Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn
28
“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng”
Tuy vậy, do thời gian thực hiện gấp rút, sự chuẩn bị về thời gian chưa thật đầy đủ nên đề tài cũng bộc lộ một số hạn chế nhất định. 1) Đề tài chỉ dừng lại ở các dãy số cho dưới dạng truy hồi đơn giản. 2) Đề tài chưa áp dụng các phương pháp liên quan đến toán cao cấp. 3) Các bài toán ứng dụng của đề tài chưa đa dạng và phong phú. Vì vậy, tôi rất mong các bạn đồng nghiệp, các em học sinh góp ý để đề tài được hoàn thiện hơn.
2. Kiến nghị, đề xuất. Kính mong hội đồng xét duyệt đề tài có những góp ý thiết thực để đề tài được hoàn thiện hơn và có thể phổ biến rộng rãi cho bạn bè đồng nghiệp, các em học sinh. Qua đó góp phần thúc đẩy chất lượng dạy và học của nhà trường nói riêng và của nghành giáo dục nói chung. Kỳ Sơn, tháng 4 năm 2015
Người viết đề tài
Trần Thanh Vân
Giáo viên:Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn
29
“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng”
NHẬN XÉT VÀ ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG THẨM DUYỆT ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................
Giáo viên:Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn
30
“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng”
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Đại số & Giải tích 11 Cơ bản – NXB Giáo dục. [2] Bài tập Đại số & Giải tích 11 Cơ bản – NXB Giáo dục. [3] Bài giảng trọng tâm chương trình chuẩn toán 11 – Nhóm Cự môn – NXB ĐHQG Hà Nội. [4] Bồi dưỡng học sinh giỏi Đại số và Giải tích 11 – Lê Hoành Phò – NXB ĐHQG Hà Nội. [5] 500 bài toán chọn lọc Đại số và Giải tích 11 – Lê Hoành Phò – NXB ĐHQG Hà Nội. [6] Tuyển tập đề thi Olympic 30 tháng 4 khối 11 – NXB Giáo dục. [7] Các Website Mathvn.com, Violet.vn ……
Giáo viên:Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn
31