Tài liệu môn Toán LỚP 10 - MỘT SỐ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC (Lý thuyết + Bài tập vận dụng) (STGT22092017)

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

§3. MỘT SỐ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

N

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

N

H

Ơ

1. Công thức cộng:

U Y

sin( a + b) = sin a.cos b + sin b.cos a sin( a − b) = sin a.cos b − sin b.cos a

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

ẠO Đ G N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

TP

tan a + tan b 1 − tan a. tan b tan a − tan b tan( a − b) = 1 + tan a. tan b

tan( a + b) =

.Q

cos( a + b) = cos a.cos b − sin a.sin b cos( a − b) = cos a.cos b + sin a.sin b

H Ư

2. Công thức nhân đôi, hạ bậc:

TR ẦN

a) Công thức nhân đôi.

10 00

B

sin 2α = 2 sin α.cos α

A

cos 2α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α

Í-

b) Công thức hạ bậc.

H

Ó

tan 2α =

2 tan α 1 − tan 2 α

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

1 − cos 2α 2 1 cos 2α + cos 2 α = 2 1 − cos 2α tan 2 α = 1 + cos 2α 3. Công thức biến đổi tích thành tổng. 1 cos a cos b = cos( a + b) + cos( a − b) 2 1 sin a sin b = −  cos( a + b) − cos( a − b) 2 1 sin a cos b = sin( a + b) + sin( a − b) 2 sin 2 α =

1

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

4. Công thức biển đổi tổng thành tích.

sin(b − a) sin a.sin b

N

cot a − cot b =

Ơ

sin( a + b) sin a.sin b

H

cot a + cot b =

.Q

sin( a − b) cos a.cos b

G

Đ

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

H Ư

N

DẠNG TOÁN 1: TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC, BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC.

TR ẦN

1. Phương pháp giải.

Sử dụng công thức lượng giác một cách linh hoạt để biến đổi biểu thức lượng giác

B

nhằm triệt tiêu các giá trị lượng giác của góc không đặc biệt và đưa về giá trị lượng giác

10 00

đặc biệt.

Ó

A

2. Các ví dụ minh họa.

ÁN

6− 2 4

B.

6+ 2 4

C.

6 4

D.

2 4

TO

A.

-L

Í-

H

Ví dụ 1: a)Tính giá trị lượng giác sau: cos 7950 .

D

IỄ N

Đ

ÀN

b)Tính giá trị lượng giác sau: sin 180

A.

5 −1 2

B.

5 −2 2

c)Tính các giá trị lượng giác sau: tan

C.

5 −1 3

D.

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

tan a − tan b =

TP

a+b a−b .sin 2 2 a+b a−b sin a + sin b = 2 sin .cos 2 2 a+b a−b sin a − sin b = 2 cos .sin 2 2 cos a − cos b = − 2 sin

sin( a + b) cos a.cos b

N

tan a + tan b =

U Y

a+b a−b .cos 2 2

ẠO

cos a + cos b = 2 cos

5 −1 4

7π 12

2

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

A. −2 − 3

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

B. −2 + 3

D. −2 − 2 3

C. 2 − 2

D. 1 − 2 2

N

5π 8

3 2 1 2 6− 2 − . = . 2 2 2 2 4

TR ẦN

Mà cos 36 0 = cos (2.18 0 ) = 1 − 2 sin 2 18 0

H Ư

b)Vì 540 + 360 = 900 nên sin 540 = cos 360

N

G

Đ

cos 7950 = cos 750 = cos 300 cos 450 − sin 300 sin 450 =

ẠO

a)Vì 7950 = 750 + 2.3600 = 300 + 450 + 2.3600 nên

10 00

B

sin 54 0 = sin (18 0 + 36 0 ) = sin 18 0 cos 36 0 + sin 360 cos180

A

= sin 18 0.(1 − 2 sin 2 18 0 ) + 2 sin 18 0 cos 2 18 0 = sin 18 0.(1 − 2 sin 2 180 ) + 2 sin 18 0 (1 − sin 2 18 0 )

H

Ó

= 3 sin180 − 4 sin 3 180

ÁN

-L

Í-

Do đó 3 sin 18 0 − 4 sin 3 18 0 = 1 − 2 sin 2 18 0 ⇔ (sin 180 − 1)(4 sin 2 180 + 2 sin 180 − 1) = 0

ÀN

TO

⇔ sin 180 = 1 hoặc sin 18 0 =

5 −1 5 +1 hoặc sin 18 0 = 2 2

D

IỄ N

Đ

Vì 0 < sin 180 < 1 nên sin 18 0 =

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

TP

.Q

Lời giải:

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

N

B. 3 − 2

U Y

A. 1 − 2

H

Ơ

d)Tính các giá trị lượng giác sau: cot

C. 2 − 3

5 −1 . 2

π π  π π  tan 3 + tan 4 7π 3 +1 c) tan = tan  +  = = = −2 − 3 π π 1− 3 12  3 4  1 − tan tan 3 4

3

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

π π  π 5π = cot  +  = − tan   8 8 2 8

Ơ H N U Y .Q Đ

π π > 0 nên tan = −1 + 2 8 8 5π = 1− 2 8

TR ẦN

Vậy cot

H Ư

N

Do tan

ẠO

π π = −1 − 2 hoặc tan = −1 + 2 8 8

G

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

⇔ tan

π π π π = 2 tan ⇔ tan 2 + 2 tan − 1 = 0 8 8 8 8

TP

1 − tan 2

N

π 2 tan  π  π 8 suy ra Ta lại có 1 = tan = tan 2.  = π 4  8  1 − tan 2 8

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

d) cot

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

B

Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức lượng giác sau:

2 4

2 5

Ó

A

B. −

C. −

2 3

D−

3 2 4

D.

6− 2 4

-L

6+ 2 4

B.

5+ 2 4

C.

3+ 2 4

ÀN

TO

A.

π π + 2 cos 16 8

ÁN

b) B = 4 sin 4

Í-

H

A. −

10 00

a) A = sin 220 30' cos 2020 30'

D

IỄ N

Đ

π 2π sin − sin 5 15 c) C = π 2π cos − cos 5 15 A. − 3

B.

3

C. −3 3

D. −2 3

4

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

π 5π 7π − sin + sin 9 9 9

B.

C. −3 3

3

D. −2 3

N

A.0

Ơ

d) D = sin

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

N

H

Lời giải:

ẠO Đ

1 1 sin ( 220 30'+ 202 0 30') + sin ( 220 30'− 2020 30') =  sin 2250 + sin (−1800 )   2  2

1 1 2 sin (180 0 + 450 ) − sin 1800  = − sin 450 = −    2 2 4

TR ẦN

=

H Ư

N

Cách 2: A =

G

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

1 2 Do đó A = − sin 22 0 30 ' cos 220 30 ' = − sin 450 = − 2 4

Ó

π π π + cos 2 + 2 cos = 1 + 8 8 8

π 2 1+ 4 = 1+ 2 = 6+ 2 2 2 4

1 + cos

Í-

H

= 1 − 2 cos

A

10 00

B

2  2  π  π  π 2 π    b) B =  2 sin  + 2 cos = 1 − cos 2.  + 2 cos   16  16  8  8 

ÀN

TO

ÁN

-L

1  π 2π  1  π 2π  π 2π π 2 cos  +  sin  −  sin − sin cos     2  5 15  2  5 15  5 15 = 6 = − cot π = − 3 c) C = =− π 2π π 6 1  π 2π  1  π 2π  cos − cos sin −2 sin  +  sin  −  5 15 6 2  5 15  2  5 15 

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

TP

.Q

U Y

a) Cách 1: Ta có cos 202 0 30' = cos (1800 + 220 30') = − cos 220 30'

D

IỄ N

Đ

 π π 7π  5π 4π 5π 4π 5π d) D = sin + sin  − sin = 2 sin .cos − sin = sin − sin =0   9 9  9 9 3 9 9 9

Ví dụ 3: Tính giá trị biểu thức lượng giác sau:

a) A =

1 1 + 0 cos 290 3 sin 250 0

5

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

A.

4 3 3

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

3 2

B.

C.

2 3 3

3 3

D.

Ơ D.5

C.3

D.5

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

TP

Đ

π 2π π 2π + sin 2 + sin sin 9 9 9 9

B.

3 4

C.

1 2

D.5

TR ẦN

A.2

H Ư

N

d) D = sin 2

ẠO

B.4

G

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

.Q

c) C = tan 90 − tan 27 0 − tan 630 + tan 810

A.2

H

C.3

N

B.1

U Y

A.2

N

b) B = (1 + tan 20 0 )(1 + tan 250 )

B

Lời giải:

10 00

a) Ta có cos 290 0 = cos (180 0 + 900 + 200 ) = − cos (900 + 200 ) = sin 200

H

Ó

A

sin 250 0 = sin (180 0 + 900 − 20 0 ) = − sin (90 0 − 200 ) = − cos 200

TO

ÁN

-L

Í-

3 1 cos 20 0 − sin 20 0 1 1 3 sin 20 0 − sin 20 0 2 C= − = =4 2 0 0 0 0 sin 200 3 cos 20 3 sin 20 .cos 20 3.2.sin 20 .cos 200

sin 60 0 cos 20 0 − cos 60 0 sin 20 0 3 sin 40

0

=

4 sin 400 3 sin 40

0

=

4 3 3

Đ

ÀN

=4

D

IỄ N

0 0 0 0 0  sin 20 0  1 + sin 25  = sin 20 + cos 20 . sin 25 + cos 25 b) Cách 1: Ta có B = 1 +   cos 20 0  cos 250  cos 20 0 cos 250 

sin 20 0 cos 450 + cos 200 sin 450 sin 250 cos 450 + cos 250 sin 450 = 2. . 2. cos 200 cos 250

6

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

=2

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

sin 650 sin 70 0 =2 cos 20 0 cos 250

Ơ

0

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

ẠO

TP

⇔ (1 + tan 20 0 )(1 + tan 250 ) = 2 .

G

Đ

Vậy B = 2

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

U Y

tan 20 0 + tan 250 ⇔ tan 20 0 + tan 250 + tan 20 0 tan 250 = 1 0 0 1 − tan 20 tan 25

.Q

Suy ra 1 =

N

H

0

N

tan 20 0 + tan 250 Cách 2: Ta có tan 45 = tan (20 + 50 ) = 1 − tan 20 0 tan 250 0

H Ư

N

c) C = tan 90 + tan 810 − (tan 27 0 + tan 630 )

TR ẦN

sin 9 0 cos 810 + sin 810 cos 9 0 sin 27 0 cos 630 + sin 630 cos 27 0 = − cos 9 0 cos 810 cos 27 0 cos 630

H

Ó

A

4 cos 36 0.sin 18 0 =4 sin 18 0.sin 54 0

Í-

=

10 00

B

2 (sin 540 − sin18 0 ) 1 1 2 2 = − = − = cos 9 0 sin 90 cos 27 0 sin 27 0 sin 18 0 sin 54 0 sin 18 0 sin 54 0

2

TO

ÁN

-L

π 2π π 2π  π 2π  π 2π d) D = sin + sin 2 + sin sin = sin + sin  − sin sin 9 9 9 9  9 9  9 9 2

2

D

IỄ N

Đ

ÀN

 π π π π π 11 π 1 = 2 sin cos  + cos − cos  = cos 2 +  − cos   6 18  2  3 9  18 2  2 9  π 1 + cos 9 + 1  1 − cos π  = 3 =  2 2  2 9  4

Lưu ý: Biến đổi sau thường xuyên được sử dụng

7

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

U Y

N

H

Ơ

N

1  π 3   sin 3 cos 2 sin cos x ± x = x ± x = 2 sin( x ± ) • 2  2 3    3  π 1 • 3 sin x ± cos x = 2  sin x ± cos x = 2 sin( x ± ) 2 6  2   1  π 1 sin x ± cos x = 2 sin( x ± ) . • sin x ± cos x = 2   2  4 2  

1 16

3 4

TP ẠO D.

2 16

C.

1 2

D.5

C.

1 2

D.5

C.

5 4

D.5

π 3π + cos 5 5

Ó

A

c) C = cos

10 00

B

B.

TR ẦN

b) B = sin10 o.sin 30 o.sin 50 o.sin 70 o

A.

12 16

C.

Đ

3 16

B.

G

3 2 16

N

A.

π π π π cos .cos .cos 32 32 16 8

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

a) A = sin

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

.Q

Ví dụ 4: Tính giá trị biểu thức lượng giác sau:

B.

3 4

π 2π 3π + cos 2 + cos 2 7 7 7

TO

ÁN

d) D = cos 2

-L

Í-

H

A.2

B.

3 4

Lời giải:

D

IỄ N

Đ

ÀN

A.2

8

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

a)

N

H

Ơ

N

1 2 π π π π 1 π π π 1 π π 1 π A = 2 sin cos  .cos .cos = sin .cos .cos = sin .cos = sin = 2  32 32  16 8 2 16 16 8 4 8 8 8 4 16

ẠO

TP

16 sin 200.B = 8 sin 200 cos 200 cos 400 cos 80o

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

= 4 sin 40 0 cos 40 0 cos 80 o

G

Đ

= 2 sin 80 0 cos 80 0 = sin 1600

TR ẦN

H Ư

N

sin 160 0 1 = . Suy ra B = 0 16 16 sin 20 π 2π π cos . Vì sin ≠ 0 nên 5 5 5

B

c) Ta có C = 2 cos

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

.Q

U Y

1 b) Ta có B = cos 20 0 cos 40 0 cos 80 o do đó 2

H

Ó

1 2

Í-

Suy ra C =

A

10 00

π π π 2π 2π 2π 4π 2 sin .C = 4 sin cos cos = 2 sin cos = sin 5 5 5 5 5 5 5

ÁN

TO

c) D =

-L

2π 4π 6π 1 + cos 1 + cos 7 + 7 + 7 = 3 + 1 cos 2π + cos 4π + cos 6π   2 2 2 2 2  7 7 7 

1 + cos

2π 4π 6π π + cos + cos , vì sin ≠ 0 nên 7 7 7 7

D

IỄ N

Đ

ÀN

Xét T = cos

9

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

U Y

N

H

Ơ

N

π π 2π π 4π π 6π 2 sin T = 2 sin cos + 2 sin cos + 2 sin cos 7 7 7 7 7 7 7      3π π 5π 3π 5π  = sin − sin  + sin − sin  + sin π − sin   7 7   7 7   7  π = − sin 7

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

TP ẠO

3 1  1  5 + .−  = . 2 2  2  4

N

2 6 và cos α + cos β = . 2 2

H Ư

Ví dụ 5: Cho α , β thoả mãn sin α + sin β =

G

Đ

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Vậy D =

.Q

1 Suy ra T = − . 2

3 4

C.

5 4

D.5

C.

5 4

D.

Ó

A

b) Tính sin (α + β ) .

B

B.

10 00

A.0

TR ẦN

a) Tính cos (α − β ) .

3 4

H B.

-L

Í-

A.2

Lời giải:

ÁN TO

Đ

ÀN

• Ta có sin α + sin β =

D

IỄ N

cos α + cos β =

3 2

2 1 ⇔ sin 2 α + sin 2 β + 2 sin α sin β = (1) 2 2

6 3 ⇔ cos 2 α + cos 2 β + 2 cos α cos β = (2) 2 2

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được

10

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

sin 2 α + sin 2 β + cos 2 α + cos 2 β + 2 sin α sin β + 2 cos α cos β = 2

N

⇔ 2 + 2 (sin α sin β + cos α cos β ) = 2 ⇔ 2 cos (α − β ) = 0

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

.Q TP

3 2

Đ

ẠO

1 3 (sin 2α + sin 2β ) + sin (α + β ) = 2 2

G

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

⇔

U Y

2 6 . 2 2

• Từ giả thiết ta có (sin α + sin β )(cos α + cos β ) = ⇔ sin α cos α + sin α cos β + sin β cos α + sin β cos β =

N

H

Ơ

Vậy cos (α − β ) = 0

H Ư

N

Mặt khác sin 2α + sin 2β = 2 sin (α + β ) cos (α − β ) = 0 (Do cos (α − β ) = 0 )

TR ẦN

3 2

Suy ra sin (α + β ) =

10 00

B

3. Bài tập rèn luyện.

π 8

B.

Í-

1− 2 2

2− 2 2

C.

3− 2 2

D.

2−2 2 2

C.

2+ 2+ 2 7

D.

2− 2+ 2 2

ÁN

-L

A.

H

Ó

A

Bài 6.26: a)Tính giá trị lượng giác sau sin

ÀN

TO

b) Tính giá trị lượng giác sau sin

2−2 2+ 2 2

D

IỄ N

Đ

A.

B.

2− 2+ 2 3

c) Tính giá trị lượng giác sau cot

A. −2 − 3

π 16

11π 12

B. −2 + 3

C. 2 − 3

D. −2 − 2 3

11

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Lời giải:

Ơ

N

Bài 6.26: Sử dụng công thức hạ bậc ta tính được 2− 2 π π 2− 2 π = 1 − cos = ⇒ sin = 8 4 2 8 2

2 sin 2

2+ 2 2− 2+ 2 π π π = 1 − cos = 1 − ⇒ sin = 16 8 2 16 2

ẠO

TP

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

.Q

U Y

N

H

2 sin 2

H Ư

N

G

Đ

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

π π 1 + tan tan   π π π 11π 3 4 = − 1 + 3 = −2 − 3 cot = − cot = − cot  −  = −  π π 12 12 3 4 3 −1 tan − tan 3 4

TR ẦN

Bài 6.27: Tính giá trị của biểu thức sau:

B.

1+ 2 3 2

10 00

1+ 3 2

C.

1− 3 2

D.

1+ 3 3

A

A.

B

a) A = 4 sin 450 cos120 cos 30 − sin 540 − sin 360

Í-

H

Ó

b) B = (1 − cot 230 )(1 − cot 22 0 )

B.3

C.4

D.5

B.3

C.4

D.5

B.3

C.4

D.5

-L

A.2

ÁN

π 5π 7π + cos + cos 9 9 9

TO

c) C = cos

Đ

ÀN

A.0

D

IỄ N

π π + 2 sin 5 20 d) D = π π 2 cos − 2 sin 5 20 2 sin

A.1

12

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Lời giải:

N

Bài 6.27:a)

U Y

1+ 3 2

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

.Q

2 sin 450 cos150 = sin 300 + sin 600 =

N

H

Ơ

4 sin 450 cos12 0 cos 30 − sin 540 − sin 360 = 2 sin 450 (cos150 + cos 90 ) − 2 sin 450 cos 90

Đ

G

3π 2π 7π 2π 7π cos + cos = cos + cos =0 9 9 9 9 9

TR ẦN

c) C = 2 cos

cot 22 0 cot 230 − 1 ⇒B=2 cot 220 + cot 230

H Ư

C2: 1 = cot 450 = cot (22 0 + 230 ) =

N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

TP

 cos 230  cos 22 0  2 sin (230 − 450 ) . 2 sin (22 0 − 450 )   1 −  = b) C1: B = 1 − =2  sin 230  sin 22 0  sin 230 sin 22 0

π π π π π π π 3π + 2 sin cos 2 sin + sin − sin 2 sin cos 5 20 4= 5 10 5 = 4 10 = 1 d) D = π π π π 3π π π π 2 cos − 2 sin sin 2 cos + cos − cos 2 cos cos 5 20 4 5 10 5 4 10

-L

ÁN

Bài 6.28: Tính:

Í-

H

Ó

A

10 00

B

2 sin

ÀN

TO

a) Tính giá trị lượng giác của góc cos

D

IỄ N

Đ

A.

b) cos 4

2+ 6 4

B.

1+ 2 3 2

π 12

C.

1− 3 2

D.

1+ 3 3

π π − sin 4 24 24

13

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

2+ 6 4

A.

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

B.

1+ 2 3 2

C.

1− 3 2

D.

1+ 3 3

B.

1+ 2 3 2

C.

1 2

D.

1+ 3 3

B.

1 8

C.

1 2

ẠO

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

N

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

H Ư

TR ẦN

B

π 6− 2 π π , tan = 2 − 3 ,cot = 2 + 3 = 12 4 12 12

Ó

A

2+ 6 π π  2 π π  π π π − sin 4 = cos + sin 2 cos 2 − sin 2  = cos =     24 24  24 24  24 24  12 4

Í-

H

b) cos 4

π π  2+ 6 π π π π π = cos  −  = cos cos + sin sin =  12 3 4 3 4 4 3 4

10 00

Tương tự sin

1+ 3 3

N

Lời giải:

Bài 6.28: a) cos

D.

Đ

2+ 6 4

G

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

TP

d) sin 100 sin 500 sin 700

A.

U Y

.Q

2+ 6 4

A.

H

Ơ

N

c) cos 360 − cos 720

2 (cos 36 0 − cos 72 0 )(cos 36 0 + cos 72 0 )

-L

0

0

TO

ÁN

c) cos 36 − cos 72 =

2 cos 2 36 0 − 2 cos 2 720

cos 720 − cos1440 2 (cos 360 + cos 720 )

=

=

1 2

Đ

ÀN

2 (cos 36 0 + cos 720 )

=

2 (cos 36 0 + cos 720 )

D

IỄ N

d) 8 sin 200 sin 100 sin 500 sin 700 = 8 sin 200 cos 200 cos 400 cos 800

= 4 sin 400 cos 400 cos 800 = 2 sin 800 cos 800 = sin1600 = sin 200

14

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

1 8

Ơ

N

⇒ sin 10 0 sin 50 0 sin 70 0 =

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

U Y

N

H

Bài 6.29: Tính giá trị của các biểu thức sau:

1 8

C.

1 2

C.

1 2

D.

TP

B.

1+ 3 3

ẠO

3 4

Đ

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

A.

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

.Q

a) A = cos 2 730 + cos 2 47 0 + cos 730 cos 47 0

B.

1 8

B.

1 8

H Ư

1 16

D.

1+ 3 3

1+ 3 3

TR ẦN

A.

N

G

b) B = sin 60 sin 420 sin 660 sin 780

1 16

C.

1 2

D.

C.

1 2

D. 2

H

1 − 4 sin 70 0 0 sin 10

ÁN

1 16

B.

1 8

TO

A.

-L

Í-

d) D =

Ó

A

A.

10 00

B

π 4π 5π c) C = cos cos cos 7 7 7

ÀN

Lời giải:

IỄ N

Đ

Bài 6.29: a) 2

2

D

A = (cos 730 + cos 47 0 ) − cos 730 cos 47 0 = (2 cos 600 cos180 ) −

=

1 (cos1200 + cos 360 ) 2

1 + cos 36 0 1 cos 360 3 + − = 2 4 2 4

15

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

N

2π 4π 8π sin sin 7 . 7 . 7 =1 π 2π 4π 8 2 sin 2 sin 2 sin 7 7 7

N

H

Ơ

sin

U Y

4π 2π π c) C = − cos cos =− cos 7 7 7

sin 12 0 sin 24 0 sin 48 0 sin 96 0 1 . . . = 0 0 0 0 16 2 cos 6 2 sin 12 2 sin 24 2 cos 48

Đ

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

TP

.Q

0 0 1 − 4 sin 70 0 sin 100 1 + 2 (cos 80 − cos 60 ) = =2 d) D = sin 10 0 sin 10 0

H Ư

N

G

Bài 6.30: Cho α , β thoả mãn sin α + sin β = m và cos α + cos β = n , mn ≠ 0 .

m 2 + n2 −1 2

B.

3m 2 + n2 − 2m 2

C.

m 2 − n2 −1 2

D.

m 2 + n2 − 2n 2

3m 2 + n2 − 2m 2

C.

m 2 − n2 −1 2

D.

m 2 + n2 − 2n 2

2 mn m 2 + n2

C.

m 2 − n2 −1 2

D.

m 2 + n2 − 2n 2

10 00

B

A.

TR ẦN

Tính cos (α − β )

Ó

n2 − m 2 m 2 + n2

H

B.

-L

Í-

A.

A

Tính cos (α + β )

ÁN

Tính sin (α + β ) .

TO

n2 − m 2 m 2 + n2

B.

ÀN

A.

Lời giải:

Đ IỄ N D

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

b) B = sin 6 0 cos 48 0 cos 24 0 cos12 0 =

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

2

2

Bài 6.30: + Ta có (sin α + sin β ) + (cos α + cos β ) = m2 + n2

16

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

⇔ sin 2 α + sin 2 β + cos 2 α + cos 2 β + 2 sin α sin β + 2 cos α cos β = m2 + n2

2

N

+ (cos α + cos β ) − (sin α + sin β ) = n2 − m2 ⇔ cos 2α + cos 2β + 2 cos (α + β ) = n2 − m2

H

2

Ơ

N

m 2 + n2 ⇔ cos (α − β ) = −1 2

TP

G

Đ

ẠO

m 2 + n2 n2 − m 2 2 2 Suy ra 2 cos (α + β ) . = n − m ⇒ cos (α + β ) = 2 2 m + n2

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

.Q

U Y

⇔ 2 cos (α + β ) cos (α − β ) + 2 cos (α + β ) = n2 − m2 ⇔ 2 cos (α + β )  cos (α − β ) + 1 = n2 − m 2  

H Ư

N

+ (sin α + sin β )(cos α + cos β ) = mn

⇔

TR ẦN

⇔ sin α cos α + sin α cos β + sin β cos α + sin β cos β = mn

1 (sin 2α + sin 2β ) + sin (α + β ) = mn ⇔ sin (α + β ) cos (α − β ) + sin (α + β ) = mn 2

H

Ó

A

10 00

B

m 2 + n2 2 mn sin (α + β ) = mn ⇒ sin (α + β ) = 2 2 m + n2

π 7π 13π 19π 25π sin sin sin sin 30 30 30 30 30

TO

ÁN

a) A = sin

-L

Í-

Bài 6.31: Tính giá trị của các biểu thức sau:

1 32

B.

1 2

C.

1 4

D.

1 8

C.

1 4

D.

1 8

D

IỄ N

Đ

ÀN

A.

b) cos 24 o + cos 48 o − cos 84 o − cos12 o

A.

1 32

B.

1 2

17

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

π 2π 3π c) cos − cos + cos 7 7 7 1 2

C.

1 4

D.

1 8

N

c)

U Y

1 2

.Q

1 2

b)

TP

1 32

Đ

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

Bài 6.31: a)

N

Lời giải:

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

B.

Ơ

1 32

H

A.

N

G

Bài 6.32: Tính giá trị của biểu thức sau:

b) B = cos100.cos 500.cos 700

1 8

C.

1 16

D.

1 32

3 8

C.

1 16

D.

1 32

C.

1 16

D.

1 32

C.

1 16

D.

1 32

Ó

A

B.

H

A.

3 8

B

B.

TR ẦN

1 8

10 00

A.

H Ư

π 4π 5π .cos a) A = cos .cos 7 7 7

ÁN

1 8

B.

3 8

TO

A.

-L

Í-

c) C = sin 6 o.sin 42 o.sin 66 o.sin 78 o

A.

2π 4π 8π 16π 32π .cos .cos .cos .cos 31 31 31 31 31

1 8

B.

3 8

D

IỄ N

Đ

ÀN

d) E = cos

e) F = sin 5o.sin 15o.sin 25o.... sin 75o.sin 85o

18

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

A.

1 8

B.

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

3 8

C.

1 16

2 512

D.

c)

1 16

1 32

d)

N

3 8

b)

e)

U Y

1 8

cos k

0

TP ẠO D.

2 512

(

)

⇒ (1 + tan k 0 ) 1 + tan ( 450 − k 0 ) = 2

10 00

B

Bài 6.33: 1 + tan k =

2 cos (450 − k 0 )

TR ẦN

Lời giải:

0

Đ

C. 2 24

G

3 8

N

B.

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Bài 6.33: Tính A = (1 + tan 10 )(1 + tan 2 0 ) ...(1 + tan 450 ) A. 2 23

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

.Q

Bài 6.32: a)

H

Ơ

N

Lời giải:

Do đó A = 2 23

2π 1999

Í-

H

Ó

A

Bài 6.34: Tính A = cos α cos 2α cos 3α...cos 999α với α =

B.

1 2

999

C. 2 24

D.

2 512

Lời giải:

TO

ÁN

-L

A. 2 23

ÀN

Bài 6.34: Đặt B = sin α sin 2α sin 3α...sin 999α khi đó

D

IỄ N

Đ

2 999 A.B = sin 2α sin 4α...sin 1998α = (sin 2α sin 4α...sin 998α ). − sin ( 2π − 1002α) ... − sin (2π − 1998α) = B    

Suy ra A =

1 2 999

.

19

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

U Y

4 π π , với < x < . 5 4 2

3

B.

3

C.

10

ẠO

3 10

B.

1 10

D.

2

D.

2

Đ

2

10

N

G

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

A.

TP

a) Tính sin x , .

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

.Q

Ví dụ 1: Cho cos 2 x = −

N

H

Ơ

DẠNG TOÁN 2: XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN. 1. Các ví dụ minh họa.

N

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

2 3 10

10

10

10 00 A

3+ 3

2+ 3

Ó

B.

H

2 10

2 10

C.

1+ 2 3 2 10

D.

1+ 3 2 10

Í-

A.

C.

B

 π c) Tính sin  x +  .  3

10

1

TR ẦN

A.

H Ư

b) Tính cos x .

TO

ÁN

-L

 π d) Tính cos 2 x −  .  4 

2 10

B.

3 10

D

IỄ N

Đ

ÀN

A. −

Vì

C. −

3 10

D.

2 10

Lời giải:

π π < x < nên sin x > 0, cos x > 0 . 4 2

Áp dụng công thức hạ bậc, ta có :

20

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

cos 2 x =

1 + cos 2 x 1 1 = ⇒ cos x = 2 10 10

Ơ

1 − cos 2 x 9 3 = ⇒ sin x = 2 10 10

H

sin 2 x =

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

N

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

TP

.Q

 3 1 1 3 3+ 3 π π π sin  x +  = sin x cos + cos x sin = . + . =  3 3 3 10 2 10 2 2 10

A. tan 2α = −3 3

N

π < α < π . Tính tan 2α . 2

H Ư

Ví dụ 2: Cho cos 4α + 2 = 6 sin 2 α với

G

Đ

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

 4 2 2 3 1 2 π π π cos 2 x −  = cos 2 x sin + cos sin 2 x = − . .2. . + =−  4 4 4 5 2 2 10 10 10

C. tan 2α = − 3

TR ẦN

B. tan 2α = −2 3

D. tan 2α = 3

B

Lời giải:

10 00

Ta có cos 4α + 2 = 6 sin 2 α ⇔ 2 cos 2 2α − 1 + 2 = 3 (1 − cos 2α)

1 (Vì 2

H

Ó

A

⇔ 2 cos 2 2α + 3 cos 2α − 2 = 0 ⇔ ( 2 cos 2α − 1)(cos 2α + 2) = 0 ⇔ cos 2α =

-L

Í-

cos 2α + 2 > 0 )

π < α < π ⇒ π < α < 2π nên sin 2α < 0 . Mặt khác cos 2α > 0 do đó tan 2α < 0 2

Đ

ÀN

Vì

1 1 ⇒ tan 2 2α = −1 = 3 2 cos 2α cos 2 2α

TO

ÁN

Ta có 1 + tan 2 2α =

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

N

Theo công thức cộng, ta có

D

IỄ N

Vậy tan 2α = − 3

Ví dụ 3: Cho

1 1 1 1 + + + = 7 . Tính cos 4α . 2 2 2 tan α cot α sin α cos 2 α

21

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

A. cos 4α = −

7 10

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

B. cos 4α = −

7 11

C. cos 4α = −

7 12

D. cos 4α = −

7 9

N U Y

2

⇔ (sin 2 α + cos 2 α) − 2 sin 2 α cos 2 α + 1 = 7 sin 2 α cos 2 α

H Ư

⇔ 2 = 9 sin 2 α cos 2 α 2

TR ẦN

⇔ 8 = 9 (2 sin α cos α ) ⇔ 8 = 9 sin 2 2α ⇔ 16 = 9 (1 − cos 4α)

10 00 A

7 9

Í-

H

Vậy cos 4α = −

B

7 9

Ó

⇔ cos 4α = −

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

.Q TP

=7

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

sin 2 α cos 2 α ⇔ sin 4 α + cos 4 α + 1 = 7 sin 2 α cos 2 α

Đ

⇔

sin 2 α + 1 cos 2 α + 1 + =7 cos 2 α sin 2 α sin 2 α (sin 2 α + 1) + cos 2 α (cos 2 α + 1)

G

⇔

1 1 1 1 + + + =7 2 2 2 tan α cot α sin α cos 2 α

N

Ta có

H

Ơ

N

Lời giải:

ÁN

-L

Ví dụ 4: Cho sin α + cos α = cot

B. 1

C. 0

D.

1 2

Lời giải:

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

A. −1

 α + 2013π  α với 0 < α < π . Tính tan   .  2 2 

α α α Ta có sin α = 2 sin cos = 2 cos 2 . 2 2 2

α α 2 tan 2 = 2 α α cos tan 2 + 1 2 2 sin

22

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ơ

N

 α α  sin 2  1 − tan 2 α α α  2  = 2 cos α = cos 2 − sin 2 = cos 2 1 −   α α  2 2 2 2 2   cos 2  tan 2 + 1

H

α α 1 − tan 2 α 2 + 2 = 1 Do đó sin α + cos α = cot ⇔ α α α 2 tan 2 + 1 tan 2 + 1 tan 2 2 2

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

α α α α α α α ⇔ tan 1 + 2 tan − tan 2  = 1 + tan 2 ⇔ tan 3 − tan 2 − tan + 1 = 0 2  2 2 2 2 2 2

α π α α α < do đó tan > 0 nên tan = 1 ⇒ cot = 1 2 2 2 2 2

TR ẦN

Vì 0 < α < π ⇒ 0 <

H Ư

N

G

Đ

2   α   α α  ⇔ tan − 1 tan + 1 = 0 ⇔ tan = ±1 2 2 2    

10 00

B

 α + 2013π  α π α Ta có tan   = tan  + 2006π +  = − cot = −1   2 2 2 2 

H

Ó

A

 α + 2013π  Vậy tan   = −1   2

α như sau: 2

-L

Í-

Lưu ý: Ta có thể biểu diễn sin α ,cos α , tan α ,cot α qua t = tan

ÁN

2t 1− t 2 2t 1− t 2 ,cos α = , tan α = , cot α = với α làm các biểu thức có 2t 1 + t2 1+ t2 1− t 2

TO

sin α =

ÀN

nghĩa.

D

IỄ N

Đ

Ví dụ 5: Cho sin (α + β ) =

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

TP

.Q

U Y

N

2 tan

1 , tan α = −2 tan β . 3

   π π 3π  5π   Tính A = sin α +  cos α +  + sin β −  sin β −  .   8 8 12   12  

23

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

A.

−1 3

B.

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

1 3

C.

2 3

D.

4 7

N

1 1 ⇔ sin α cos β + cos α sin β = (1) 3 3

TP

.Q

tan α = −2 tan β ⇔ sin α cos β = −2 sin β cos α (2)

N

G

Đ

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

   cos α sin β = − 1 cos 2 α sin 2 β = 1 (1 − sin 2 α) sin 2 β = 1  3 ⇒  9 ⇒  9 Từ (1) và (2) ta được      2  2 4 4 2 2 2 sin α cos β = − sin α cos β = sin α (1 − sin β ) = 3  9  9 

10 00

B

TR ẦN

H Ư

 (1 − sin 2 α) sin 2 β = 1  9 ⇒ 1 − sin 2 β − 1  sin 2 β = 1 ⇒   1 3  9  2 2  sin α − sin β = 3  2  2 2 1 1  1 4 2  ⇒ sin β − sin β + = 0 ⇒ sin β −  = 0 ⇒ sin 2 β =  3 9 3 3

Ó

A

1 2 Do đó sin 2 α = sin 2 β + = 3 3

1 2  1  2 2  2+3 2 = 1 − 2 sin 2 α −  = 1 − 2. −  = − 2  2  2  3 2  12

TO

ÁN

-L

Í-

H

  3π  2  π 1   π π 1 Ta có sin α +  cos α +  =  sin  2α +  − sin  = cos 2α −  8 8  2   2 4  2  2   

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

Ta có sin (α + β ) =

H

Ơ

N

Lời giải:

D

IỄ N

Đ

ÀN

  5π  1   3  π π π 1  sin β −  cos β −  =  sin 2β −  + sin  = − cos 2β +   12  12  2   2 3  2  2 

1 3  1  1 3  −2 + 3 2  = −1 + 2 sin 2 β + = − 1 + 2. +  = 2  2  2  3 2  12

24

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

2 + 3 2 −2 + 3 2 1 + =− 12 12 3

Ơ

N

Do đó A = −

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

N U Y

3 3π < x < π ). (với 5 4

B. −

1

C.

5

2

D. −

5

2 5

5

5

C.

2

5

TR ẦN

1

H Ư

N

b)Tính cos x

A.

ẠO

1

G

5

B. −

Đ

1

A.

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

TP

a)Tính sin x

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

.Q

Bài 6.35: Cho cos 2 x =

H

2. Bài tập luyện tập.

D. −

2 5

3π < x < π nên sin x > 0, cos x < 0 . 4

A

Bài 6.35: Vì

10 00

B

Lời giải:

H

Ó

Áp dụng công thức hạ bậc, ta có :

1 − cos 2 x 1 1 = ⇒ sin x = 2 5 5

cos 2 x =

1 + cos 2 x 4 2 = ⇒ cos x = − 2 5 5

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

sin 2 x =

D

IỄ N

Bài 6.36: Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết:

a) sin( a − b), cos( a + b), tan( a + b) khi sin a =

8 5 , tan b = và a, b là các góc nhọn. 17 12

25

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

A.

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

21 10 21 1 140 1 2 10 2 ; ; . B. ; ; . C. ; ; . 221 221 220 221 221 220 221 221 220

D.

H

Ơ

N

21 140 21 ; ; . 221 221 220

U Y C.

(5 − 12 3) 6

C.

38 − 2 3 11

(5 − 12 3) 26

B.

38 − 3 11

H Ư

38 − 25 3 11

D.

3 − 25 3 11

D.

6 5

TR ẦN

A.

N

G

Đ

 π 3 π c) tan α +  khi sin α = , < α < π  3 5 2

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

D.

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

(5 − 2 3) 26

.Q

B.

TP

(5 − 3) 26

ẠO

A.

N

π  12 3π b) cos  − α khi sin α = − , < α < 2π 3  13 2

Lời giải:

10 00

B

21 140 21 (5 − 12 3) ; ; . b) 221 221 220 26

c)

38 − 25 3 11

Ó

A

Bài 6.36: a)

-L

1 1 + . 2 2 2 sin α + 3 cos α 2 sin β + 3 cos 2 β 2

5 6

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

A.

ÁN

A=

Í-

H

Bài 6.37: Cho 2 cos (α + β ) = cos α cos (π + β ) . Tính

B.

38 − 3 11

C.

38 − 2 3 11

Lời giải:

Bài 6.37: Từ giả thiết ta có 2 (cos α cos β − sin α sin β ) = − cos α cos β ⇒ tan β =

3 . 2 tan α

26

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

N N

H

1 + tan 2 α 4 tan 2 α + 9 10 tan 2 α + 15 5 + = = 2 2 tan α + 3 6 ( 2 tan 2 α + 3) 6 (2 tan 2 α + 3) 6

C. m

tan α 1 − 2 tan 2 α + n 1 + tan 2 α 1 + tan 2 α

D. m

TP

H Ư

TR ẦN

2 tan α 1 − tan 2 α + n 1 + tan 2 α 1 + tan 2 α

m . Tính B = tan α. tan β . n

B

cos (α − β )

=

tan α 1 − tan 2 α + n 1 + tan 2 α 1 + tan 2 α

n− m m+n

B.

2n − m m+n

C.

n − 2m m+n

D. 2

n− m m+n

H

Ó

A.

cos (α + β )

10 00

b) Cho

Đ

B. m

G

2 tan α 1 − 2 tan 2 α + n 1 + tan 2 α 1 + tan 2 α

N

A. m

ẠO

m . Tính A = m sin 2α + n cos 2α . n

A

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Bài 6.38: a) Cho tan α =

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

.Q

U Y

A=

9 4 tan 2 α 9 2 +3 4 tan 2 α 1+

Ơ

1 + tan 2 α 1 + tan 2 β 1 + tan 2 α + = + Khi đó ta có: A = 2 tan 2 α + 3 2 tan 2 β + 3 2 tan 2 α + 3

ÁN

m + 2n 1 − mn

B.

m+n 1 − mn

ÀN

TO

A.

-L

Í-

c) Cho tan (α + β ) = m và tan (α − β ) = n . Tính tan 2α .

D

IỄ N

Đ

Bài 6.38: a) A = m sin 2α + n cos 2α = m

C.

2m + n 1 − mn

D.

m+n 2 − mn

Lời giải: 2 tan α 1 − tan 2 α + n 1 + tan 2 α 1 + tan 2 α

b) Áp dụng công thức cộng ta có

cos α cos β − sin α sin β m 1 − tan α tan β m n− m = ⇔ = ⇔ tan α tan β = n m+n cos α cos β + sin α sin β n 1 + tan α tan β

27

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

tan (α + β ) + tan (α − β ) m+n c) tan 2α = tan (α + β ) + (α − β ) = =   1 − tan (α + β ) tan (α − β ) 1 − mn

7 −4

B.

7 +1

C.

7 +1

38 − 2 3 11

D.

N Ơ H 7 +5 7 −1

N

7 −5

TP ẠO

α 2t 1− t 2 ta có sin α = ,cos α = từ giả thiết ta có 2 1+ t2 1+ t2

N

G

Đ

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Lời giải: Bài 6.39: Đặt t = tan

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

.Q

A.

7 π 2α + 2015π và 0 < α < . Tính tan . 2 4 4

U Y

Bài 6.39: Cho sin α + cos α =

H Ư

TR ẦN

π 7 −2 α nên t = tan = . 4 2 3

A

α α π  π 2α + 2015π = tan  + 504π −  = tan  −   2  2 4  4 4 

Í-

H

Ó

Ta có tan

)

10 00

Do 0 < α <

(

 t = 7 − 2 7 + 2 t 2 − 4t + 7 − 2 = 0 ⇔  3 t = 7 −2 

B

2t 1− t 2 7 + = ⇔ 2 2 2 1+ t 1+ t

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

7 −2 α π −1 − tan 7 −5 3 2 4 = = = α π 7 −2 7 +1 1 + tan tan 1+ 2 4 3 tan

DẠNG TOÁN 3: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC, ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC VÀ CHỨNG MINH BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO BIẾN.

28

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

1. Phương pháp giải.

Ơ

đổi tương đương, biến đổi hai vế cùng bằng một đại lương trung gian. Trong quá trình

N

Để chứng minh đẳng thức lượng giác ta có các cách biển đổi: vế này thành vế kia, biến

U Y

N

H

biến đổi ta cần sử dụng linh hoạt các công thức lượng giác.

TP

có đại lượng nào để từ đó liên tưởng đến kiến thức đã có để làm sao xuất hiện các đại

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

lượng ở vế trái. Và ta thường biến đổi vế phức tạp về vế đơn giản hơn.

G

Đ

2. Các ví dụ minh họa.

1 − sin 2α π = cot 2 ( + α ) 1 + sin 2α 4

Lời giải:

-L

Í-

H

Ó

A

c)

10 00

5 3 b) sin 6 α + cos6 α = + cos 4α 8 8

TR ẦN

3 cos 4α + 4 4

B

a) sin 4 α + cos 4 α =

H Ư

N

Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi góc lượng giác α làm cho biểu thức xác định thì

TO

ÁN

2 1 a) Ta có sin 4 α + cos 4 α = (sin 2 α + cos 2 α ) − 2 sin 2 α cos 2 α = 1 − sin 2 2α 2

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

.Q

Lưu ý: Khi biến đổi cần phải hướng đích , chẳng hạn biến đổi vế phải, ta cần xem vế trái

ÀN

1 − cos 4α 3 cos 4α = + 4 4 4

IỄ N

Đ

= 1−

D

b) Ta có

29

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

3

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

3

sin 6 α + cos6 α = (sin 2 α) + (cos 2 α) + 3 sin 2 α cos 2 α (sin 2 α + cos 2 α) − 3 sin 2 α cos 2 α (sin 2 α + cos 2 α ) 3

2 3 3 3 (2 sin α cos α) = 1 − sin 2 2α = 1 − (1 − cos 4α) 4 4 8

N

= (sin 2 α + cos 2 α) − 3 sin 2 α cos 2 α = 1 −

H

Ơ

5 3 = + cos 4α 8 8 2

α π  1 + cos α + 1 − cos α = 2 sin  +   2 4 

10 00

B

a)

π . Chứng minh rằng: 2

TR ẦN

Ví dụ 2: Cho 0 < α < π , α ≠

H Ư

N

G

Đ

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

TP

2

    π  2  2 cos α + π  2 cos α +     4   4  π   2  = = = cot + α   2   4  π     2 π 2 sin α +   2 sin α +   4    4   

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

.Q

U Y

N

1 − sin 2α sin 2 α + cos 2 α − 2 sin α cos α (sin α − cos α) c) Ta có = = 1 + sin 2α sin 2 α + cos 2 α + 2 sin α cos α (sin α + cos α)2

α π  = tan  +   2 4  1 + cos α − 1 − cos α

1 + cos α + 1 − cos α

Lời giải:

Í-

H

Ó

A

b)

ÁN

-L

α π  a) Do 0 < α < π nên sin  +  > 0, sin α > 0  2 4 

TO

Đẳng thức tương đương với

α π  = 4 sin 2  +   2 4    π  ⇔ 2 + 2 1 + cos α 1 − cos α = 2 1 − cos α +    2   1 + cos α + 1 − cos α

2

)

D

IỄ N

Đ

ÀN

(

⇔ 1 − cos 2 α = sin α

⇔ 1 − cos 2 α = sin 2 α ⇔ sin 2 α + cos 2 α = 1 (luôn đúng) ⇒ ĐPCM.

30

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

(

1 + cos α + 1 − cos α

1 + cos α − 1 − cos α

)(

2

)

1 + cos α + 1 − cos α

)

U Y

N

H

2 + 2 1 + cos α . 1 − cos α 1 + 1 − cos 2 α 1 + sin α = = 2 cos α cos α cos α

2

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

Vì 0 < α < π nên sin α > 0 do đó

.Q

=

Ơ

N

b) VT =

(

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

N

G

Đ

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

TP

 α α α α α α sin + cos  sin 2 + cos 2 + 2 sin cos 2 2 1 + sin α  2 2 2 2 = VT = =    α α cos α sin α + cos α cos α − sin α  cos 2 − sin 2   2 2 2 2  2 2 

H Ư

α π  α α 2 sin  +  + cos α π   2 4  2 2 = = = tan  +  = VP ⇒ ĐPCM.  2 4  α π  α α cos − sin 2 cos  +  2 2  2 4 

TR ẦN

sin

10 00

B

Ví dụ 3: Chứng minh rằng

Ó

A

a) sin(α + β ).sin(α − β ) = sin 2 α − sin 2 β

H

α β cot = 2 với sin α + sin β = 3 sin (α + β ) , α + b ≠ k 2π 2 2

-L

Í-

b) cot

ÁN

sin α + sin β cos (α + β ) cos α − sin β sin (α + β )

= tan (α + β )

Lời giải:

Đ

ÀN

TO

c)

D

IỄ N

1 a) Ta có sin(α + β ).sin(α − β ) =−  cos 2α − cos 2β  2

31

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

H N

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

.Q ẠO

 α β α β α β α β cos + sin sin = 3 cos cos − sin sin   2 2 2 2 2 2 2 2 

N

α β cot = 2 ⇒ ĐPCM 2 2

TR ẦN

⇔ cot

α β α β sin = cos cos 2 2 2 2

H Ư

⇔ 2 sin

G

Đ

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

⇔ cos

α+β α −β α+β ≠ 0 suy ra cos = 3 cos 2 2 2

TP

Do α + β ≠ k 2π ⇒ sin

α+β α−β α+β α+β cos = 6 sin cos 2 2 2 2

U Y

b) Từ giả thiết ta có 2 sin

Ơ

N

1 = − (1 − 2 sin 2 α) − (1 − 2 sin 2 β ) = sin 2 α − sin 2 β  2

= tan (α + β ) = VP ⇒ ĐPCM

Í-

2 sin (α + β ) cos (−β )

2 cos (α + β ) cos (−β )

ÁN

-L

=

H

Ó

A

10 00

B

1 sin α +  sin (α + 2β ) + sin (−α) sin α + sin (α + 2β )  2 c) Ta có VT = =  1 cos α + cos (α + 2β ) cos α − −   cos (α + 2β ) − cos (−α)   2  

TO

Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức

A.

3 2

B.

1 2

C.

1 4

D. 1

D

IỄ N

Đ

ÀN

 2π   2π  a) A = cos 2 α + cos 2  + α + cos 2  − α  3  3  

    π π π 3π  b) B = cos α −  .cos α +  + cos α +  .cos α +      3 4 6 4

32

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

A.

3 2

B.

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

2− 6 4

C.

1 4

D. 1

H

Ơ

N

Lời giải:

N Đ N

    π  π π π π π 3π  = α −  + ⇒ cos α +  = − sin α −  và cos α +  = − sin α +      6  3  2 6  3  4  4 

H Ư

b) Vì α +

TR ẦN

nên

10 00

B

    π π π π B = cos α −  .cos α +  + sin α −  .sin α +      3 4 3 4

Í-

H

Ó

A

  π π π π π  π  = cos α −  − α +  = cos − −  = cos  +    3 4   3 4  3  4   3 2 2− 6 π π π π 1 2 = cos cos − sin sin = . − = . 3 4 3 4 2 2 2 2 4

cos a + 2 cos 2 a + cos 3a sin a + sin 2 a + sin 3a

TO

a) A =

ÁN

-L

Ví dụ 5: Đơn giản biểu thức sau:

B. tan 2α

C. sin 2α

D. cos 2α

Đ

ÀN

A. cot 2α

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

 3 1 4π  3 + cos 2α + 2 cos cos 2α  =  2 2  3

.Q

=

TP

 4π   4π  1  3 + cos 2α + cos  + 2α + cos  − 2α   3  3 2   

ẠO

=

G

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

 2π   2π  a) Ta có: A = cos 2 α + cos 2  + α + cos 2  − α =  3  3  

D

IỄ N

  π π cos a +  + cos a −    3  3  b) B = a cot a − cot 2

33

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

1 C. − sin 2α 2

B. −2 tan 2α

D. cos 2α

N Ơ

 nb  sin (4n + 1) b cos  − a  2  D. C = b sin 2

H

 nb  sin (n + 1) b cos  − a  2  C. C = b sin 2

N

 nb  sin (3n + 1) b cos  − a  2  B. C = b sin 2

G

Đ

ẠO

TP

.Q

U Y

 nb  sin (2n + 1) b cos  − a  2  A. C = b sin 2

(cos a + cos 3a) + 2 cos 2a 2 cos 2 a cos a + 2 cos 2a 2 cos 2a (cos a + 1) = = = cot 2 a (sin a + sin 3a) + 2 sin 2a 2 sin 2 a cos a + 2 sin 2a 2 sin 2a (cos a + 1)

B

a) A =

TR ẦN

Lời giải:

H Ư

N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

c) C = cos a + cos( a + b) + cos( a + 2b) + ... + cos( a + nb) (n ∈ N)

A

10 00

  π π π b) Ta có cos a +  + cos a −  = 2 cos a cos = cos a và 3 3 3  

ÁN

-L

Í-

H

Ó

a  a a a a  sin cos a − cos sin a sin  2 − a − sin a cos a   2= 2 2 2 =− 1 − = = cot a − cot = a a a a 2 sin a sin a sin sin a sin sin a sin sin a sin 2 2 2 2 cos

cos a sin 2 a = − sin a cos a = − . 1 2 − sin a

ÀN

TO

Suy ra B =

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

A. cot 2α

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

D

IỄ N

Đ

c) Ta có

b b b b b C.2 sin = 2 sin cos a + 2 sin cos( a + b) + 2 sin cos( a + 2b) + ... + 2 sin cos( a + nb) 2 2 2 2 2

34

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

H

Ơ

N

b  b   3b   b   5b   3b  = sin  + a + sin  − a + sin  + a + sin − − a + sin  + a + sin − − a      2  2  2  2   2   2 (2n + 1) b   ( 2n − 1) b    +... + sin  + a + sin − − a   2 2    

ẠO Đ N

G

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

 nb  sin (n + 1) b cos  − a  2  Suy ra C = b sin 2

4 3

B.

1 2

C.

1 3

D. 1

B

A.

1 1 + 2 − sin 2 a 2 − sin 2b

TR ẦN

H Ư

Ví dụ 6: Cho sin (a + b) = 2 cos ( a − b) . Rút gọn biểu thức M =

10 00

Lời giải:

A

4 − (sin 2 a + sin 2b)

Ó

(2 − sin 2a)(2 − sin 2b)

=

4 − (sin 2 a + sin 2b)

4 − 2 (sin 2 a + sin 2b) + sin 2 a sin 2b

Í-

H

Ta có M =

ÁN

-L

Ta có sin 2 a + sin 2b = 2 sin (a + b) cos (a − b)

TO

Mà sin (a + b) = 2 cos ( a − b) ⇒ sin 2 (a + b) = 4 cos 2 (a − b) nên

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

TP

.Q

U Y

N

(2n + 1) b  b   nb      + a = 2 sin (n + 1) b cos  − a sin  − a + sin    2  2   2  

D

IỄ N

Đ

ÀN

cos 2 (a + b) − cos 2 (a − b) = 1 − 2 sin 2 (a + b) −  2 cos 2 (a − b) − 1   2 2 2   = 2 − 2  sin (a + b) + cos (a − b) = 2 − 10 cos (a − b)  

Suy ra M =

4 − 4 cos 2 (a − b) 1 4 − 8 cos 2 (a − b) − .  2 − 10 cos 2 (a − b)  2 

=

4 − 4 cos 2 (a − b) 3 − 3 cos (a − b) 2

=

4 3

35

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ví dụ 7: Chứng minh rằng

TP

Lời giải:

ẠO Đ

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

a) Ta có sin 3α = sin (2α + α) = sin 2α cos α + cos 2α sin α

G

= 2 sin α cos 2 α + cos 2α sin α

H Ư

N

= 2 sin α (1 − sin 2 α) + (1 − 2 sin 2 α) sin α

TR ẦN

= 3 sin α − 4 sin 3 α (1)

B

π  π   1 2π Mặt khác 4 sin α.sin  − α .sin  + α = −4 sin α. cos − cos (−2α)  3  3 2  3   

10 00

 1  1  = −2 sin α.− − cos 2α = 2 sin α  + 1 − 2 sin 2 α   2   2 

Ó

A

= 3 sin α − 4 sin 3 α (2)

Í-

H

Từ (1) và (2) suy ra ĐPCM

TO

ÁN

-L

b) Theo câu a) ta có sin 3α = 3 sin α − 4 sin 3 α ⇒ sin 3 α =

α = 3

IỄ N

Đ

ÀN

Do đó sin 3

D

Suy ra VT =

3 sin

3 sin

3 sin α − sin 3α 4

α α α α α 3 sin 2 − sin 3 sin n − sin n−1 − sin α α 3 , ..., sin 3 α = 3 3 3 3 , sin 3 2 = 4 4 4 3 3n

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

N

 α α α α 1 + 3 sin 3 2 + ... + 3n−1 sin 3 n = 3n sin n − sin α .  3 4 3 3 3

.Q

b) sin 3

H

Ơ

N

π  π  a) sin 3α = 3 sin α − 4 sin 3 α = 4 sin α.sin  − α .sin  + α  3  3  

α α α α α 3 sin 2 − sin 3 sin n − sin n−1 − sin α 3 + ... + 3n−1 3 3 3 3 +3 4 4 4

36

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

α 3n = 1  3n sin α − sin α = VP ⇒ ĐPCM.   4 4  3n

3 sin

N H

Ơ

Lưu ý: Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được cos 3α = 4 cos 3 α − 3 cos α ,

U Y TP

.Q

3. Các bài tập luyện tập.

ẠO

Bài 6.40: Chứng minh rằng

Đ G N

π 3π 5π 7π 3 + sin 4 + sin 4 + sin 4 = 16 16 16 16 2

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

3 1 1 a) sin 4 α = − cos 2α + cos 4α 8 2 8 b) sin 4

N

sin 3α = 3 sin α − 4 sin 3 α , hai công thức này được gọi là công thức nhân ba

Lời giải:

10 00

B

Bài 6.40: a)

1 − 2 cos 2α +  1 − cos 2α  1 − 2 cos 2α + cos 2 2α sin 4 α =  =  = 2 4 4  

1 + cos 4α 3 1 1 2 = − cos 2α + cos 4α 8 2 8

-L

b) Theo câu a ta có:

Í-

H

Ó

A

2

TO

ÁN

3 1 π 3π 5π 7π  1  π 3π 5π 7π  VT = 4. − cos + cos + cos + cos  + cos + cos + cos + cos  8 2  8 8 8 8  8  4 4 4 4

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

sin α =− + 3n−1 4

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

3π 5π π 7π π 3π 5π 7π + cos = cos + cos = cos + cos = cos + cos = 0 nên 8 8 8 8 4 4 4 4

ÀN

IỄ N

Đ

Mà cos

3 = VP 2

D

VT =

37

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Bài 6.41: Cho sin x = 2 sin ( x + y) , x + y ≠

sin y π + kπ . Chứng minh tan ( x + y) = . 2 cos y − 2

H

Ơ

N

Lời giải:

U Y

N

Bài 6.41: sin x = sin ( x + y) − y  = sin ( x + y) cos y − cos ( x + y) sin y  

ẠO

sin y cos y − 2

H Ư

N

G

Đ

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

⇒ tan ( x + y) =

TP

⇒ (cos y − 2) sin ( x + y) = cos ( x + y) sin y

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

.Q

⇒ sin ( x + y) cos y − cos ( x + y) sin y = 2 sin ( x + y)

a) 4 (cos 3 α sin α − sin 3 α cos α) = sin 4α

B

A

tan 2 2 x − tan 2 x 1 − tan 2 2 x.tan 2 x

Lời giải:

-L

Í-

H

Ó

c) tan x. tan 3 x =

2 sin( x + y ) cos( x + y ) + cos( x − y )

10 00

b) tan x + tan y =

TR ẦN

Bài 6.42: Chứng minh các hệ thức sau:

ÁN

Bài 6.42: a) VT = 4 sin α cos α (cos 2 α − sin 2 α) = 2 sin 2α cos 2α = sin 4α = VP

TO

2 (sin x cos y + sin y cos x) 2 cos x cos y

= tan x + tan y = VT

Đ

ÀN

b) VP =

(tan 2 x + tan x)(tan 2 x − tan x) = tan (2 x + x) tan (2 x − x) = VT (1 − tan 2 x. tan x)(1 + tan 2 x.tan x)

D

IỄ N

c) VP =

Bài 6.44: Đơn giản biểu thức sau:

38

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

1 − cos α + cos 2α sin 2α − sin α

A. cot α

C. sin 2α

D. cos 2α

Đ

B. tan α

C. sin 2α

G

5α 2

N

A. − cot

ẠO

cos a − cos 3a + cos 5a − cos 7 a sin a + sin 3a + sin 5a + sin 7 a

D. cos 2α

B

B. tan α

C. sin 2α

D. cos α + 2 sin α

Lời giải:

Ó

A

10 00

A. cot α

TR ẦN

  π π cos 2 a −  − cos 2 a +    6  6  d) D = cos a − 2 cos a

Í-

H

1 − cos α + 2 cos 2 α − 1 = cot α sin α (2 cos α − 1)

-L

Bài 6.44: a) A =

α α > 0, cos > 0 nên 2 2

TO

ÁN

b) Vì 0 < α ≤ π ⇒ sin

α α α α 1 1 1 1 cos 2 = − − cos = sin 2 = sin 2 2 2 2 2 2 2 2

D

IỄ N

Đ

ÀN

B=

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

D. cos 2α

U Y

α 2

.Q

C. sin

H Ư

c) C =

B. tan α

TP

A. cot α

N

1 1 1 1 − + cos α (0 < α ≤ π ) 2 2 2 2

b) B =

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

H

Ơ

B. tan α

N

a) A =

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

c) C =

−2 sin 4 a sin (−3a) − 2 sin 4 a sin 2 a

2 sin 4 a cos 3a + 2 sin 4 a cos 2 a

sin 3a − sin 2 a = = cos 3a − cos 2a

5a a sin 2 2 = − cot 5a 5a a 2 −2 sin sin 2 2 2 cos

39

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

H

Ơ

N

 π 2 cos 2 a − 2 sin 2 a sin −   6  2 cos 2 a + 4 sin a cos a d) D = = = cos a + 2 sin a 2 cos a 2 cos a

U Y

N

Bài 6.45: Chứng minh các hệ thức sau:

TP

b) Nếu 2 tan a = tan( a + b) thì 3 sin b = sin(2 a + b)

H Ư

Lời giải:

N

G

d) Nếu 3 sin (a + b) = cos (a − b) thì 8 sin 2 (a + b) = cos 2 a cos 2b

Đ

ẠO

c) Nếu tan( a + b). tan b = −3 thì cos( a + 2b) + 2 cos a = 0

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

.Q

a) Nếu 2 tan a = tan( a + b) thì sin b = sin a.cos( a + b)

sin b ⇒ sin a cos( a + b) = sin b cos( a + b) cos a

10 00

B

⇒ tan a =

TR ẦN

Bài 6.45: a) 2 tan a = tan( a + b) ⇒ tan a = tan( a + b) − tan a

sin (2 a + b)

cos( a + b) cos a

Ó

A

b) 2 tan a = tan( a + b) ⇒ 3 tan a = tan( a + b) + tan a =

-L

Í-

H

⇒ 3 sin a cos (a + b) = sin (2 a + b)

ÁN

Theo câu a) ta có sin b = sin a.cos( a + b) suy ra 3 sin b = sin(2 a + b)

TO

c) tan( a + b). tan b = −3 ⇒ sin (a + b) sin b = −3 cos (a + b) cos b

ÀN

⇒ cos (a + b) cos b + sin (a + b) sin b = −2 cos (a + b) cos b

D

IỄ N

Đ

⇒ cos a = −  cos (2 a + b) + cos a   ⇒ cos( a + 2b) + 2 cos a = 0

d) Từ giả thiết ta có 9 sin 2 ( a + b) = cos 2 (a − b)

40

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

⇒ 9.

1 − cos 2 ( a + b)

=

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

1 + cos 2 (a − b)

H

Ơ

N

2 2   ⇒ 8 1 − cos 2 (a + b) = cos 2 (a + b) + cos 2 (a − b)   2 ⇒ 16 sin (a + b) = 2 cos 2 a cos 2b

TP

ẠO

2π 4π 5π 7π 3 π π = cos cos = sin sin cos 9 9 9 18 18 18 8

Đ

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Bài 6.46: Chứng minh rằng sin

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

.Q

U Y

N

Hay 8 sin 2 (a + b) = cos 2 a cos 2b . ĐPCM.

A

5π 7π 1 1 3 π π π cos cos = cos 3. = cos = 18 18 18 4 18 4 6 8

Í-

H

Ó

cos

2π 4π 1 3 π π sin sin = sin = ; 9 9 9 4 3 8

10 00

Suy ra sin

B

π  π  cos 3α = 4 cos α.cos  − α  .cos  + α  3    3

TR ẦN

H Ư

π  π  Bài 6.46: Ta có sin 3α = 4 sin α.sin  − α .sin  + α ,  3   3 

N

G

Lời giải:

sin 2 x . 2 sin x

TO

a) cos x =

ÁN

-L

Bài 6.47: Chứng minh rằng

D

IỄ N

Đ

ÀN

x x x b) cos cos 2 ... cos n = 2 2 2

sin x x 2 sin n 2

.

n

Lời giải:

Bài 6.47: a) Ta có sin 2 x = 2 sin x cos x ⇒ cos x =

sin 2 x 2 sin x

41

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

b) Áp dụng câu a ta có

H Ư

N

G

Lời giải: Bài 6.48: a)

TR ẦN

x x x x sin x cos − cos x sin sin cos x 2− 2 2= 2 = 1 = VP = x sin x x x sin x sin sin x sin sin x sin 2 2 2

cos

10 00

B

x VP = cot − cot x = 2

b) Áp dụng câu a ta có

-L

Í-

H

Ó

A

  α α VT = cot − cot α + (cot α − cot 2α) + ... + (cot 2n−2 α − cot 2 n−1 α) = cot − cot 2n−1 α = VP  2 2 

ÁN

Bài 6.49: Chứng minh rằng a) tan x = cot x − 2 cot 2 x

TO

1 a 1 a 1 a 1 a .tan + 2 . tan 2 + ... + n .tan n = n .cot n − cot a 2 2 2 2 2 2 2 2

Lời giải:

IỄ N

Đ

ÀN

b)

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

TP ẠO

1 1 1 α + + ... + = cot − cot 2 n−1 α (2 n−1 α ≠ kπ ) n−1 sin α sin 2α 2 sin 2 α

Đ

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

.Q

1 x = cot − cot x . sin x 2

Bài 6.48: Chứng minh rằng: a)

b)

U Y

N

H

Ơ

N

x x x sin 2 sin n−1 sin x x x sin x 2 . 2 ... 2 = sin x = VP VT = cos cos 2 ... cos n = . x x x x x 2 2 2 2 sin 2 sin 2 2 sin 3 2 sin n 2 n sin n 2 2 2 2 2

D

Bài 6.49: a) cos x cos 2 x cos 2 x − cos 2 x cos 2 x − 2 cos 2 x + 1 sin 2 x VP = −2 = = = = tan x = VT sin x sin 2 x sin x cos x sin x cos x sin x cos x

b) Áp dụng câu a) ta có

42

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

 1 a a a a a  1 1 VT = cot − 2 cot a + 2 cot 2 − 2 cot  + ... + n cot n − 2 cot n−1   2  2  2 2  2 2  2 2 

Ơ

N

1 a .cot n − cot a = VP n 2 2

.tan x.

ẠO Đ H Ư

)

π  π  = tan  − x .tan x.tan  + x  3   3  1 − 3 tan x 3 + tan x

A

5 −1

A=

TR ẦN

(

B

1 + 3 tan x

)

10 00

3 − tan x

)( )(

3 − tan x 3 + tan x 3 tan x − tan 3 x = tan x . 1 − 3 tan 2 x 1 − 3 tan x 1 + 3 tan x

Ó

=

(

G

Lời giải:

N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Áp dụng tính A = tan 6 o tan 54 o tan 66o .

Bài 6.50: tan 3 x =

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

.Q

π  π  kπ tan 3 x = tan  − x tan  + x , k ∈ Z thì  3 6 tan x   3 

TP

Bài 6.50: Chứng minh rằng nếu x ≠

U Y

N

H

=

-L

Í-

H

10 + 2 5

TO

ÁN

Bài 6.51: Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng

1 1 1 + + ... + = cot 10 − cot n0 0 0 0 0 0 sin 1 sin 2 sin 2 sin 3 sin(n − 1) sin n Lời giải:

D

IỄ N

Đ

ÀN

0

0 0 0   Bài 6.51: Ta có sin 10 = sin ( k + 1) − k 0  = sin ( k + 1) cos k 0 − cos ( k + 1) sin k 0  

43

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

sin 10

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

0

sin k 0 sin ( k + 1)

= cot k 0 − cot ( k + 1)

N

0

U Y

N

H

Ơ

sin 10 sin 10 sin 10 Do đó + + ... + sin 10 sin 2 0 sin 20 sin 30 sin(n − 1)0 sin n0 0

TP

1 1 1 + + ... + = cot 10 − cot n0 0 0 0 0 0 sin 1 sin 2 sin 2 sin 3 sin(n − 1) sin n 0

N

G

Đ

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

Suy ra

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

.Q

= cot 10 − cot 2 0 + cot 2 0 − cot 30 + ... + cot (n − 1) − cot n0

TR ẦN

H Ư

Bài 6.52: Chứng minh rằng 2 sin 20 + 4 sin 40 + ... + 178 sin 1780 = 90 cot 10 Lời giải:

0

10 00

B

Bài 6.52: 2 sin 2 0.sin 10 + 2 (2 sin 40.sin10 ) + ... + 89 (2 sin 178 0.sin 10 ) = 90 cos10

Ó

A

Vì 2 sin 2 k 0 sin10 = cos (2 k − 1) − cos (2 k + 1) nên

H

VT = cos10 − cos 30 + 2 (cos 30 − cos 50 ) + ... + 89 (cos177 0 − cos1790 )

Í-

= cos10 + cos 30 + ... + cos177 0 − 89 cos1790

-L

= cos10 + (cos 30 + cos177 0 ) + ... + (cos 890 + cos 910 ) + 89 cos10

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

= 90 cot 10 = VP

DẠNG TOÁN 4: BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC VÀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC.

1. Phương pháp giải.

44

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

- Sử dụng phương pháp chứng minh đại số quen biết.

Ơ

N

- Sử dụng các tính chất về dấu của giá trị lượng giác một góc.

N

H

- Sử dụng kết quả sin α ≤ 1, cos α ≤ 1 với mọi số thực α

G

Đ

a) 2 cot 2 α ≥ 1 + cos 2α

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

TP

π thì 2

ẠO

Ví dụ 1: Chứng minh rằng với 0 < α <

.Q

U Y

2. Các ví dụ điển hình.

B

a) Bất đẳng thức tương đương với

TR ẦN

Lời giải:

H Ư

N

b) cot α ≥ 1 + cot 2α

A

1 + sin 2 α ≥ 2 ⇔ sin 4 α − 2 sin 2 α + 1 ≥ 0 2 sin α

H

Ó

⇔

10 00

 1  1 2  2 − 1 ≥ 2 cos 2 α ⇔ − 1 ≥ 1 − sin 2 α  sin α  sin 2 α

2

-L

Í-

⇔ (sin 2 α − 1) ≥ 0 (đúng) ĐPCM.

TO

ÁN

b) Bất đẳng thức tương đương với

IỄ N

Đ

ÀN

cos α sin 2α + cos 2α cos α sin 2α + cos 2α ≥ ⇔ ≥ (*) sin α sin 2α sin α 2 sin α cos α

π sin α > 0 ⇒ nên 2 cosα > 0

D

Vì 0 < α <

(*) ⇔ 2 cos 2 α ≥ sin 2α + cos 2 α − sin 2 α

45

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

⇔ 1 ≥ sin 2α (đúng) ĐPCM.    sin α + 1 cos α + 1  ≥ 2 2 cos α  2 sin α  

N

π . Chứng minh rằng 2

H

Ơ

Ví dụ 2: Cho 0 < α <

U Y

N

Lời giải:

TP

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

.Q

 1  1 cos α + 1  = sin α cos α + +1 Ta có sin α +     2 cos α  2 sin α  4 sin α cos α

Đ

ẠO

π nên sin α cos α > 0 . 2

G

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Vì 0 < α <

H Ư

N

Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có 1 1 ≥ 2 sin α cos α. =1 4 sin α cos α 4 sin α cos α

TR ẦN

sin α cos α +

10 00

B

 1  cos α + 1  ≥ 2 ĐPCM. Suy ra sin α + 2 cos α  2 sin α  

A

Ví dụ 3: Chứng minh rằng với 0 ≤ α ≤ π thì

Ó

α π  − 4 sin 2  −  >  2 4 

(

)

2 sin α − 2 (3 − 2 cos 2α ) .

Lời giải:

ÁN

-L

Í-

H

2

(2 cos 2α − 1)

TO

Bất đẳng thức tương đương với

D

IỄ N

Đ

ÀN

  2 π  ⇔ (2 cos 2α − 1) − 2 1 − cos α −  + 2 (3 − 2 cos 2α) > 2 sin α  3 − 2 (1 − 2 sin 2 α)     2   ⇔ 4 cos 2 2α − 8 cos 2α + 5 + 2 sin α > 2 sin α (4 sin 2 α + 1) 2

⇔ 4 (1 − cos 2α) + 1 + 2 sin α > 2 sin α (4 sin 2 α + 1)

46

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

⇔ 16 sin 4 α + 2 sin α + 1 > 2 sin α (4 sin 2 α + 1)

N

2 sin α = t , vì 0 ≤ α ≤ π ⇒ 0 ≤ t ≤ 2 .

Ơ

Đặt

U Y

N

H

Bất đẳng thức trở thành t 8 + t 2 + 1 > t (t 4 + 1) ⇔ t 8 − t 5 + t 2 − t + 1 > 0 (*)

ẠO

TP

t8 ≥ 0 .

G

Đ

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

+ Nếu 1 ≤ t ≤ 2 : (*) ⇔ t 5 (t 3 − 1) + t (t − 1) + 1 > 0 đúng vì t 5 (t 3 − 1) ≥ 0, t (t − 1) ≥ 0 .

H Ư

N

Vậy bất đẳng thức (*) đúng suy ra ĐPCM.

TR ẦN

Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức sau:

B

a) A = sin x + cos x

10 00

A. max A = 2 và min A = − 2 .

D. max A = 2 và min A = −2 .

H

Í-

b) B = sin 4 x + cos 4 x

Ó

A

max A = 2 2 và min A = −2 2 .

B. max A = 3 và min A = − 3 . C.

1 2

TO

ÁN

-L

A. max B = 2 , min B =

ÀN

C. max B = 1 , min B = −

1 2

D. max B = 1 , min B =

1 2

1 2

Lời giải:

Đ IỄ N D

B. max B = 2 , min B = −

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

.Q

+ Nếu 0 ≤ t < 1 : (*) ⇔ t 8 + t 2 (1 − t 3 ) + 1 − t > 0 đúng vì 1 − t > 0, 1 − t 3 > 0, t 2 ≥ 0 và

2

a) Ta có A 2 = (sin x + cos x) = sin 2 x + cos 2 x + 2 sin x cos x = 1 + sin 2 x Vì sin 2 x ≤ 1 nên A 2 = 1 + sin 2 x ≤ 1 + 1 = 2 suy ra − 2 ≤ A ≤ 2 .

47

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Khi x =

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

π 3π thì A = 2 , x = − thì A = − 2 4 4

2

2

TP ẠO

1 3 1 1 ≤ + .cos 4 x ≤ 1 suy ra ≤ B ≤ 1 . 2 4 4 2

N

G

Vì −1 ≤ cos 4 x ≤ 1 nên

Đ

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

2 + 2 cos 2 2 x 2 + 1 + cos 4 x 3 1 = = = + .cos 4 x 4 4 4 4

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

.Q

U Y

N

 1 − cos 2 x   1 + cos 2 x  1 − 2 cos 2 x + cos 2 2 x 1 + 2 cos 2 x + cos 2 2 x + b) Ta có B =   +   =  2 2 4 4   

H

Ơ

N

Do đó max A = 2 và min A = − 2 .

H Ư

1 khi cos 4 x = −1 . 2

TR ẦN

Vậy max B = 1 khi cos 4 x = 1 và min B =

Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất A = 2 − 2 sin x − cos 2 x 1 3

10 00

B. min A =

B

1 2

C. min A =

1 2

D. min A =

3 2

Lời giải:

H

Ó

A

A. min A = −

-L

Í-

Ta có A = 2 − 2 sin x − (1 − 2 sin 2 x) = 2 sin 2 x − 2 sin x + 1

TO

ÁN

Đặt t = sin x , t ≤ 1 khi đó biểu thức trở thành A = 2t 2 − 2t + 1

ÀN

Xét hàm số y = 2t 2 − 2t + 1 với t ≤ 1 .

D

IỄ N

Đ

Bảng biến thiên: t

−1

1 2

1

48

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

y

5

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

1

H

Ơ

N

1 2

U Y ẠO Đ

π . Chứng minh rằng tan x + cot x ≥ 2 2

π tan x > 0 ⇒ 2  cot x > 0

10 00

B

Bài 6.53: 0 < x <

TR ẦN

Lời giải:

H Ư

N

G

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

3. Bài tập luyện tập. Bài 6.53: Cho 0 < x <

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

.Q

1 1 1 khi t = hay sin x = . 2 2 2

TP

min A =

N

Từ bảng biến thiên suy ra max A = 5 khi t = −1 hay sin x = 1 .

H

Ó

A

Theo bất đẳng thức Côsi ta có tan x + cot x ≥ 2 tan x.cot x = 2 .

-L

Í-

Bài 6.54: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức B = cos 2 x + 1 + 2 sin 2 x

TO

ÁN

A. max B = 3 , min A = 3 − 1

D. max B = 3 , min A = 3 − 3 Lời giải:

IỄ N

Đ

ÀN

C. max B = 2 , min A = 3 − 1

B. max B = 2 , min A = 3 − 2

D

Bài 6.54: Ta có B = cos 2 x + 1 + 1 − cos 2 x = cos 2 x + 2 − cos 2 x Đặt t = 2 − cos 2 x ⇒ cos 2 x = 2 − t 2 , vì −1 ≤ cos 2 x ≤ 1 ⇒ 1 ≤ t ≤ 3

49

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Biểu thức trở thành B = 2 − t 2 + t .

Ơ

N

Xét hàm số y = −t 2 + t + 2 với 1 ≤ t ≤ 3 .

N

H

Bảng biến thiên

Đ

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

H Ư

N

G

3 −1

TR ẦN

Từ bảng biến thiên suy ra max B = 2 khi t = 1 hay cos 2 x = 1 .

min A = 3 − 1 khi t = 3 hay cos 2 x = −1 .

10 00

B

Bài 6.55: Chứng minh rằng cos x(sin x + sin 2 x + 2 ) ≤ 3

A

Lời giải:

H

Ó

Bài 6.55: Ta

-L

Í-

có: 3 P = 3 sin x.cos x + 3 cos x. sin 2 x + 2 ≤

ÁN

Vậy: P ≤ 3

3 sin 2 x + cos 2 x 3 cos 2 x + sin 2 x + 2 + =3 2 2

A. P ≤

3 3 4

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

Bài 6.56: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 2 sin x + sin 2 x .

B. P ≤

3 3 2

C. P ≤

3 2 4

D. P ≤

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

2

.Q

y

3

TP

1

ẠO

t

3 4

Lời giải:

Bài 6.56: Ta có P = 2 sin x + 2 sin x cos x = 2 sin x (1 + cos x)

50

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

2

Suy ra P 2 = 4 sin 2 x (1 + cos x) = sin 2 x (1 + 2 cos x + cos 2 x) 2

H

Ơ

N

 1 1 Ta có cos x −  ≥ 0 ⇒ cos 2 x + ≥ cos x suy ra  2 4

2

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

TP

 x + y  Mặt khác theo bất đẳng thức xy ≤   , ∀x , y ∈ R ta có  2 

2

3 3 . 4

A

10 00

B

Suy ra P ≤

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

    3 sin 2 x +  3 + 3 cos 2 x     2 5  1 3  1   = 27 sin 2 x  + 3 cos 2 x = .3 sin 2 x  + 3 cos 2 x ≤ .   4  2   3  3  2 16      

Í-

H

Ó

Bài 6.57: Cho tam giác ABC . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = sin

-L

3 7

ÀN

TO

ÁN

A. max P =

D

IỄ N

Đ

Bài 6.57: Ta có sin

Vì cos

B. max P =

3 6

C. max P =

3 9

A B C sin sin . 2 2 2

D. max P =

5 9

Lời giải:

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

.Q

U Y

N

  3  1 P ≤ sin 2 x 1 + 2 cos 2 x + + cos 2 x = sin 2 x  + 3 cos 2 x   2 2  

A C A +C A − C  1 A −C 1 A +C 1 sin = − cos − cos − cos  = cos  2 2 2 2 2  2 2 2 2

A +C B A −C A C 1 1 B ≤ 1 nên sin sin ≤ − sin = sin và cos 2 2 2 2 2 2 2 2

51

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

B B 1 Do đó P ≤ 1 − sin  . sin 2  2 2

N

 B  B B 1 − sin 1 − sin  2 sin 2  2 2 

ẠO

TP

8 2 3 = 27 9

Đ

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

.Q

3

   1 − sin B + 1 − sin B + 2 sin B   1  2 2 2  = 1 ≤   3 2  2  

H Ư

N

G

1 2 3 3 Suy ra P ≤ . = . 2 9 9

A

3 . 9

ÁN

-L

Í-

H

Ó

Vậy max P =

10 00

B

TR ẦN

 A −C  A = C =1  cos 2 Dấu bằng xảy ra khi  ⇔  B 1.  B B sin = 1 − sin = 2 sin  2 3 2 2 

TO

DẠNG TOÁN 5: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC TRONG

ÀN

TAM GIÁC.

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

 1 B B 1 − sin  . sin = 2 2  2

H

Ơ

N

Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có

Đ

1. Các ví dụ minh họa.

D

IỄ N

Ví dụ 1: Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có: a) sin A + sin B + sin C = 4 cos

A B C cos cos 2 2 2

52

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

b) sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 2(1 + cos A cos B cos C )

N

c) sin 2 A + sin 2 B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C

H

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

Đ

A+B C C A+B = cos , sin = cos 2 2 2 2

G

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Suy ra sin

A+B π C = − 2 2 2

ẠO

Mặt khác trong tam giác ABC ta có A + B + C = π ⇒

.Q

U Y

N

A+B A−B C C cos + 2 sin cos 2 2 2 2

TP

a) VT = 2 sin

Ơ

Lời giải:

N

B

1 − cos 2 A 1 − cos 2 B cos 2 A + cos 2 B + + 1 − cos 2 C = 2 − − cos 2 C 2 2 2

10 00

b) VT =

C A B cos cos = VP ⇒ ĐPCM. 2 2 2

TR ẦN

= 4 cos

C A− B A+B C C A−B A + B  + 2 cos + cos cos cos = 2 cos cos  2 2 2 2 2  2 2 

H Ư

Vậy VT = 2 cos

Ó

A

= 2 − cos ( A + B) cos ( A − B) − cos 2 C

Í-

H

Vì A + B + C = π ⇒ cos ( A + B) = − cos C nên

ÁN

-L

VT = 2 + cos C cos ( A − B) + cos C cos ( A + B) = 2 + cos C  cos ( A − B) + cos ( A + B)  

TO

= 2 + cos C.2 cos A cos B = 2(1 + cos A cos B cos C ) = VP ⇒ ĐPCM.

ÀN

c) VT = 2 sin ( A + B) cos ( A − B) + 2 sin C cos C

D

IỄ N

Đ

Vì A + B + C = π ⇒ cos C = − cos ( A + B) , sin ( A + B) = sin C nên VT = 2 sin C cos ( A − B) − 2 sin C cos ( A + B) = 2 sin C cos ( A − B) − cos ( A + B)  

= 2 sin C. −2 sin A sin (−B) = 4 sin A sin B sin C = VP ⇒ ĐPCM.  

53

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ví dụ 2: Chứng minh trong mọi tam giác ABC không vuông ta đều có:

N

a) tan A + tan B + tan C = tan A.tan B.tan C

H

Ơ

b) cot A.cot B + cot B.cot C + cot C.cot A = 1

.Q

a) Đẳng thức tương đương với tan A + tan B = tan A.tan B. tan C − tan C

Đ

π 2

G

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Do tam giác ABC không vuông nên A + B ≠

ẠO

TP

⇔ tan A + tan B = tan C (tan A tan B − 1) (* )

N

tan A + tan B tan A + tan B = tan C ⇔ = − tan C ⇔ tan ( A + B) = − tan C tan A tan B − 1 1 − tan A tan B

TR ẦN

Suy ra (* ) ⇔

cos ( A + B) sin A sin B sin A sin B − cos A cos B −1 = =− ≠0 cos A cos B cos A cos B cos A cos B

H Ư

⇒ tan A tan B − 1 =

10 00

B

Đẳng thức cuối đúng vì A + B + C = π ⇒ ĐPCM.

H

Ó

Theo công thức cộng ta có:

A

b) Vì A + B + C = π ⇒ cot ( A + B) = − cot C

ÁN

-L

Í-

1 1 1 − tan A tan B cot A cot B = cot A cot B − 1 cot ( A + B) = = = 1 1 tan A + tan B cot A + cot B tan ( A + B) + cot A cot B 1−

TO

cot A cot B − 1 = − cot C ⇒ cot A cot B − 1 = − cot C (cot A + cot B) cot A + cot B

ÀN

Suy ra

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

N

Lời giải:

IỄ N

Đ

Hay cot A.cot B + cot B.cot C + cot C.cot A = 1 ĐPCM.

D

Ví dụ 3: Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có: a) cos A + cos B + cos C ≤

3 2

54

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

b) sin A + sin B + sin C ≤

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

3 3 3

H

Ơ

N

c) tan A tan B tan C ≥ 3 3 với ABC là tam giác nhọn.

cos A + cos B + cos C = 2 sin

G H Ư

N

C do đó 2

 C A−B C C C A − B 1  cos + 1 − 2 sin 2 = −2 sin 2 − sin cos −   2 2 2 2 2 2 2 

TR ẦN

Mặt khác cos C = 1 − 2 sin 2

2

A

10 00

B

 C C 1 A−B 1 A − B  A− B 1 = −2 sin 2 − 2 sin . cos + cos 2  + 1 + cos 2 2 2 2 2 4 2  2 2 

A− B A−B ≤ 1 ⇒ cos 2 ≤ 1 nên 2 2

TO

ÁN

Vì cos

-L

Í-

H

Ó

 C 1 A − B  A−B 1 = −2 sin + cos  + 1 + cos 2 2 2 2  2 2 

Đ

ÀN

1 3 cos A + cos B + cos C ≤ 1 + = ⇒ ĐPCM. 2 2

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y .Q ẠO

A+B π C A+B C = − nên cos = sin 2 2 2 2 2

Đ

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Vì

A+B A−B cos + cos C 2 2

TP

a) Ta có cos A + cos B + cos C = 2 cos

N

Lời giải:

D

IỄ N

b) Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau: Nếu 0 ≤ x ≤ π , 0 ≤ y ≤ π thì

sin x + sin y x+y ≤ sin . 2 2

55

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Thật vậy, do 0 ≤

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

x+y x+y x−y ≤ π ⇒ sin > 0 và cos ≤ 1 nên 2 2 2

H Ư

π 3 3 hay sin A + sin B + sin C ≤ ĐPCM. 3 3

TR ẦN

Do đó sin A + sin B + sin C ≤ 3 sin

10 00

B

c) Vì ABC là tam giác nhọn nên tan A > 0, tan B > 0, tan C > 0 .

A

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có tan A + tan B + tan C ≥ 3 3 tan A.tan B.tan C

H

Ó

Theo ví dụ 2 ta có tan A + tan B + tan C = tan A.tan B.tan C nên

ÁN

-L

Í-

  2 tan A tan B tan C ≥ 3 3 tan A. tan B. tan C ⇔ 3 tan A.tan B.tan C  3 (tan A tan B tan C ) − 3 ≥ 0  

2

(tan A tan B tan C)

TO

3

≥ 3 ⇔ tan A tan B tan C ≥ 3 3 ĐPCM.

ÀN

⇔

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

Đ

G

2

 π π π  C+ C +  3 ≤ sin A + B + sin 3 ≤ 2 sin 1  A + B + 3  = 2 sin π  2 2 2 2 2  3   

N

sin A + sin B + 2

sin C + sin

ẠO

Suy ra

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

U Y

2

π π C+ 3 ≤ sin 3 2

.Q

sin C + sin

TP

sin A + sin B A+B Áp dụng bổ đề ta có: ≤ sin , 2 2

N

H

Ơ

N

sin x + sin y x+y x−y x+y = sin cos ≤ sin 2 2 2 2

IỄ N

Đ

Ví dụ 4: Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có: A B C + cos + cos 2 2 2

D

a) sin A + sin B + sin C ≤ cos

b) cos A cos B cos C ≤ sin

A B C sin sin 2 2 2

56

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

c) tan A + tan B + tan C ≥ cot

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

A B C + cot + cot Với tam giác ABC không vuông. 2 2 2

ẠO

A B , sin C + sin A ≤ 2 cos 2 2

A B C + cos + cos . ĐPCM. 2 2 2

TR ẦN

sin A + sin B + sin C ≤ cos

H Ư

N

Công vế với vế các bất đẳng thức trên và rút gọn ta được

G

Đ

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Hoàn toàn tương tự ta có sin B + sin C ≤ 2 cos

π π π ⇒ B < ,C < 2 2 2

10 00

B

b) +TH1: Nếu tam giác ABC tù: không mất tính tổng quát giả sử A >

A

suy ra cos A < 0, cos B > 0, cos C > 0

A B C sin sin > 0 do đó bất đẳng thức luôn đúng. 2 2 2

-L

Í-

H

Ó

cos A cos B cos C < 0 . Mà sin

TO

ÁN

+ TH2: Nếu tam giác ABC nhọn: cos A cos B =

1 cos ( A + B) + cos ( A − B) .  2 

Đ

ÀN

Vì cos ( A + B) = − cos C và cos ( A − B) ≤ 1 nên cos A cos B ≤

D

IỄ N

Chứng minh tương tự ta có cos B cos C ≤ sin 2

1 C (1 − cos C) = sin 2 . 2 2

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

A+B A−B C cos ≤ 2 cos 2 2 2

TP

sin A + sin B = 2 sin

N

A+B C A−B = cos > 0 và cos ≤ 1 nên 2 2 2

.Q

a) Vì sin

H

Ơ

N

Lời giải:

A B , cos C cos A ≤ sin 2 . 2 2

Do các vế đều không âm nên nhân vế với vế các bất đẳng thức trên ta được

57

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

(cos A cos B)(cos B cos C )(cos C cos A) ≤ sin 2

Ơ

N

A B C sin sin ĐPCM. 2 2 2 2 sin ( A + B) cos ( A + B) + cos ( A − B)

TP Đ

G

2 sin C 2 sin C ≥ = − cos C + cos ( A − B) 1 − cos C

H Ư

tan A + tan B =

C C cos 2 2 = 2 cot C C 2 2 sin 2 2

4 sin

N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

Mà sin ( A + B) = sin C , cos ( A + B) = − cos C nên

TR ẦN

A B C + cot + cot ĐPCM. 2 2 2

H

Ó

A

tan A + tan B + tan C ≥ cot

10 00

Công vế với vế và rút gọn ta được

A B , tan C + tan A ≥ 2 cot 2 2

B

Tương tự ta có tan B + tan C ≥ 2 cot

-L

Í-

Nhận xét:

ÁN

+ Để chứng minh x + y + z ≥ a + b + c ta có thể đi chứng minh x + y ≥ 2a (hoặc 2b , 2c )

TO

rồi xây dựng bất đẳng thức tương tự. Cộng vế với vế suy ra đpcm.

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

cos A cos B

=

U Y

sin ( A + B)

.Q

c) Ta có tan A + tan B =

N

H

⇔ cos A cos B cos C ≤ sin

C A B sin 2 sin 2 2 2 2

ÀN

+ Để chứng minh xyz ≥ abc với x , y , z , a , b , c không âm ta đi chứng minh xy ≥ a2 (hoặc

D

IỄ N

Đ

b2 , c 2 ) rồi xây dựng bất đẳng thức tương tự. nhân vế với vế suy ra đpcm.

Ví dụ 5: Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có: a)

sin A + sin B + sin C ≤ 3

3 2

58

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

3

N

 1   1   1   2   b) 1 +  .1 +  .1 +  ≥ 1 + sin A   sin B   sin C    3 

N

H Ư

Công vế với vế ta được

TR ẦN

 π π  A+B 1  ≤ 2  sin + sin C +   3 2 2  3 

B

sin A + sin B + sin C + sin

10 00

A+B 1 π π π π  π A+B 1 + sin C +  ≤ 2 sin  + C +  = 2 sin  +  = 2 sin  2  2 6  2 2  3 2  3  3 

sin

H

sin A + sin B + sin C + sin

-L

Í-

Suy ra

Ó

A

Mà

ÁN

sin A + sin B + sin C ≤ 3 sin

π =3 3

3 ĐPCM. 2

TO

Hay

π π ≤ 4 sin 3 3

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

TP

ẠO

π π 1 ≤ 2 sin C +  3 2  3 

Đ

sin C + sin

N

Tương tự ta có

A+B A−B A+B cos ≤ 2 sin 2 2 2

G

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

sin A + sin B ≤ 2 (sin A + sin B) = 2.2 sin

.Q

a) Áp dụng bất đẳng thức x + y ≤ 2 ( x 2 + y 2 ) với mọi x , y không âm ta có

H

Ơ

Lời giải:

IỄ N

Đ

ÀN

 1   1  1 1 1 b) Ta có 1 + + + .  .1 +  = 1+     sin A   sin B  sin A sin B sin A sin B

D

Áp dụng bất đẳng thức

1 1 4 + ≥ với mọi x , y dương ta có x y x+y

59

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

1 1 4 4 2 + ≥ = = sin A sin B sin A + sin B 2 sin A sin B sin A sin B 2

U Y

N

H

Ơ

N

  1   1  2 1 1  Do đó 1 + + = 1 +  .1 +  ≥ 1 +  sin A   sin B   sin A sin B sin A sin B  sin A sin B 

2

= sin 2

A+B 2

Đ

cos ( A + B) + 1

G

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

≥

ẠO

TP

1 1 sin A sin B = −  cos ( A + B) − cos ( A − B) =  cos ( A + B) + cos ( A − B)  2  2

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

.Q

Mặt khác

TR ẦN

H Ư

N

2

        1  1   1  (1)  Nên 1 +  .1 +  ≥ 1 + A + B  sin A   sin B    sin   2 

2

H

Ó

A

10 00

B

         1   1   1   ≥ 1 + Tương tự ta có 1 +  (2)  .1 + π   sin C   π   1  sin   sin C +    3   2  3 

-L

Í-

Nhân vế với vế của (1) và (2) ta được 2

ÀN

TO

ÁN

2                        1 1 1 1 1 1   1 +  ≥ 1 +  1 +   .1 +  .1 +  .1 +       π   A + B   sin A   sin B   sin C   π  1  sin   sin sin C +       3  2   2  3 

2

D

IỄ N

Đ

2                  1 1 1 1       Ta lại có 1 + 1 + = 1+  ≥ 1 +           π A + B  1 π 1 A + B 1 π    sin sin  sin C +   sin  + C +           2 3 2 3   2  2 2  3   

60

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

4

H

Ơ

N

      1   1   1   1   1   ≥ 1 +  Suy ra 1 +  .1 +  .1 +  .1 +    π   π  sin A   sin B   sin C   sin   sin   3  3

U Y

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

.Q

TP Đ

ẠO

Nhận xét: Cho tam giác ABC và hàm số f

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

N

3

   3  1   1   1   1   2    ĐPCM.  = 1 + Hay 1 +  .1 +  .1 +  ≥ 1 +   π   sin A   sin B   sin C   3 sin   3

TR ẦN

 A + B  f ( A) + f ( B) ≥ 2 f    2 

H Ư

N

G

π  • Để chứng minh f ( A) + f ( B) + f (C ) ≥ 3 f   . Ta đi chứng minh  3 

10 00

B

   C + π  π   3  từ đó suy ra khi đó f (C ) + f   ≥ 2 f   2   3    

   C + π   3  ≥ 4 f  π  f    2   3    

-L

Í-

H

Ó

A

  π    A + B  f ( A) + f ( B) + f (C ) + f   ≥ 2  f  +  3    2   

TO

ÁN

π  Do đó f ( A) + f ( B) + f (C ) ≥ 3 f   .  3 

D

IỄ N

Đ

ÀN

π  A + B  • Để chứng minh f ( A) f ( B) f (C ) ≥ f 3   . Ta đi chứng minh f ( A) f ( B) ≥ f 2    3   2 

61

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ơ

N

   C + π  π   3  từ đó suy ra khi đó f (C ) f   ≥ f 2    3   2   

TP ẠO Đ

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

π Do đó f ( A) f ( B) f (C ) ≥ f 3   .  3 

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

.Q

U Y

N

H

   C + π  π   A + B  2  3  ≥ f 4  π  f ( A) f ( B) f (C ) f   ≥ f 2   f     3   2   2   3   

A B −C cos( B − C ) + cos A cos = 0. 2 2

H Ư

N

G

Ví dụ 6: Cho tam giác ABC thỏa mãn cos

TR ẦN

Chứng minh rằng cos 2 B + cos 2C ≤ 1 .

Lời giải:

10 00

  A  B − C  2 B −C 2 A − 1 + cos − 1 = 0 2 cos 2 cos 2 2 2  2  

H

A B − C  B −C A  A B − C  cos + cos  − cos + cos = 0 cos 2 2  2 2   2 2 

-L

Í-

⇔ 2 cos

Ó

A

cos

B

Từ giả thiết ta có

TO

ÁN

  A B − C  A B−C ⇔ cos + cos − 1 = 0 (1) 2 cos cos   2 2  2 2 A π A π B−C π B−C < ⇒ cos > 0 , − < < ⇒ cos > 0 và 2 2 2 2 2 2 2 B+C π A A B +C = − ⇒ cos = sin nên 2 2 2 2 2 A B−C B +C B −C (1) ⇔ 2 cos cos − 1 = 0 ⇔ 2 sin cos = 1 ⇔ sin B + sin C = 1 2 2 2 2

D

IỄ N

Đ

ÀN

Vì 0 <

2

2

2

Áp dụng bất đẳng thức x + y ≥

( x + y) 2

2

2

2

suy ra sin B + sin C ≥

(sin B + sin C ) 2

=

1 2

62

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

1 Do đó cos 2 y + cos 2 z = 2 − 2 (sin 2 y + sin 2 z) ≤ 2 − 2. = 1 ĐPCM. 2

Ơ

N

Ví dụ 7: Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta luôn có

TP

.Q

Lời giải:

ẠO

π A B C > ≥ ≥ >0 2 2 2 2

N

G

A≥ B≥C ⇒

Đ

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Do A , B, C bình đẳng nên không mất tính tổng quát giả sử

H Ư

A B C A B C ≥ sin ≥ sin > 0, cos ≥ cos ≥ cos > 0 2 2 2 2 2 2

10 00

B

 A B  B C ⇒ sin − sin cos − cos  ≥ 0  2 2  2 2

TR ẦN

Suy ra sin

A B A C B B B C cos − sin cos − sin cos + sin cos ≥ 0 2 2 2 2 2 2 2 2

⇔ sin

A B B C A C B B cos + sin cos ≤ sin cos + sin cos 2 2 2 2 2 2 2 2

ÁN

A B B C C A A C C A B B cos + sin cos + sin cos ≤ sin cos + sin cos + sin cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

TO

Do đó sin

-L

Í-

H

Ó

A

⇔ sin

ÀN

Mà

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

N

H

A B B C C A 3 3 cos + sin cos + sin cos ≤ 2 2 2 2 2 2 4

sin

 A C A C C A B B B B B B B cos + sin cos + sin cos = sin  +  + sin cos = cos + sin cos  2 2  2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

IỄ N

Đ

sin

D

(1) Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có:

63

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

B 3 B B 3 + ≥ 2 cos 2 = 3 cos , 2 4 4 2 2

N

B B B B B B + cos 2 ≥ 2 3 sin 2 cos 2 = 2 3 sin cos 2 2 2 2 2 2

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

TP ẠO Đ

N H Ư

Từ (1) và (2) ta có sin

G

B B B 3 3 + sin cos ≤ (2) 2 2 2 4

A B B C C A 3 3 cos + sin cos + sin cos ≤ ĐPCM. 2 2 2 2 2 2 4

TR ẦN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

  B B B 3 B B 9 Hay 2 3 cos + sin cos  ≤ + 3 sin 2 + cos 2  =   2 2 2 2 2 2 2

⇒ cos

U Y .Q

 B 3  B B B B B Suy ra 2 cos 2 +  + 3 sin 2 + cos 2  ≥ 2 3 cos + 2 3 sin cos 2 4   2 2 2 2 2 

N

H

3 sin 2

Ơ

cos 2

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

B

2. Bài tập luyện tập.

10 00

Bài 6.58: Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng:

Ó

A

a) sin C = sin A.cos B + sin B.cos A

H

sin C = tan A + tan B ( A , B ≠ 90 0 ) cos A.cos B

ÁN

cos C cos B ( A ≠ 90 o ) = cot C + sin B.cos A sin C.cos A

TO

c) cot B +

-L

Í-

b)

A B C A B C A B C A B C .cos .cos = sin sin cos + sin cos sin + cos sin sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

Đ

ÀN

d) cos

A B C A B C + sin 2 + sin 2 = 1 + 2 sin sin sin 2 2 2 2 2 2

D

IỄ N

e) sin 2

Lời giải:

64

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

A B C d) Khai triển cos  + +   2 2 2

Bài 6.58: c) VT = VP = tanA

H

Ơ

N

A B C e) Khai triển sin  + +  .  2 2 2

N H Ư

b) tan 2 A + tan 2 B + tan 2 C ≥ 9, ∀ ∆ABC nhọn

G

a) tan A + tan B + tan C ≥ 3 3 , ∀ ∆ABC nhọn

A B C + tan + tan ≥ 3 2 2 2

B

Ó

A

e) tan

A B C + tan 2 + tan 2 ≥ 1 2 2 2

10 00

d) tan 2

TR ẦN

c) tan 6 A + tan 6 B + tan 6 C ≥ 81, ∀ ∆ABC nhọn

Í-

H

Lời giải:

ÁN

-L

Bài 6.59: a, b, c) Sử dụng tan A + tan B + tan C = tan A.tan B.tan C và BĐT Cô–si

TO

d) Sử dụng a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca và tan

A B B C C A .tan + tan .tan + tan .tan = 1 2 2 2 2 2 2

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

Đ

Bài 6.59: Cho tam giác ABC . Chứng minh:

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

U Y .Q TP

A B C A A B C .cos .cos = sin 2 + sin .sin .sin 2 2 2 2 2 2 2

ẠO

⇒ sin

N

B C A B C A B C Chú ý: Từ cos  +  = sin ⇒ cos .cos = sin + sin .sin 2 2 2 2 2 2 2 2

2

D

IỄ N

Đ

ÀN

 A B C e) Khai triển tan + tan + tan  và sử dụng câu c)  2 2 2

Bài 6.70: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta đều có 1 + cos A cos B cos C ≥ 3 sin A sin B sin C

65

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Lời giải:

N

H

(sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C )(sin A + sin B + sin C ) ≥ 3 3 sin 2 A sin 2 B sin 2 C .3 3 sin A sin B sin C

Ơ

N

Bài 6.70: Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có:

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

.Q TP Đ

3 3 ≥ 9 sin A sin B sin C 2

G

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

(sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C )

3 3 nên 2

ẠO

Mặt khác: sin A + sin B + sin C ≤

U Y

hay (sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C )(sin A + sin B + sin C ) ≥ 9 sin A sin B sin C

3 3 ≥ 9 sin A sin B sin C 2

TR ẦN

2(1 + cos A cos B cos C )

H Ư

N

Mà theo ví dụ 1 thì sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 2(1 + cos A cos B cos C )

B

Do đó 1 + cos A cos B cos C ≥ 3 sin A sin B sin C . ĐPCM

10 00

Cách 2: Theo ví dụ 1 ta có sin 2 A + sin 2 B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C và

Ó

A

cos 2 A + cos 2 B + cos 2C = 3 − 2 (sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C )

Í-

H

= 3 − 4(1 + cos A cos B cos C ) = −1 − 4 cos A cos B cos C

-L

Do đó bất đẳng thức tương đương với

3 1 3 1 3 3 sin 2 A + cos 2 A) + ( sin 2 B + cos 2 B) + ( sin 2C + cos 2C ) ≤ 2 2 2 2 2 2

Đ

ÀN

⇔(

TO

ÁN

4 − 1 − (cos 2 A + cos 2 B + cos 2C ) ≥ 3(sin 2 A + sin 2 B + sin 2C )

D

IỄ N

π π π 3 ⇔ cos(2 A − ) + cos(2 B − ) + cos(2C − ) ≤ (*) 3 3 3 2

 π  π  π Ta có 2 A −  +  2 B −  + 2C −  = 2 ( A + B + C ) − π = π nên  3   3   3

66

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

      2 A − π  , 2 B − π  , 2C − π  là ba góc của một tam giác do đó bất đẳng thức (*) đúng  3   3   3 

N

theo ví dụ 3

N

H

Ơ

⇒ ĐPCM

ẠO

áp dụng bất đẳng thức côsi ta có:

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

.Q

1 − (cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C ) − 3. (1 − cos 2 A)(1 − cos 2 B)(1 − cos 2 C ) ≥ 0 (**) 2

TP

1+

U Y

Cách 3: Bất đẳng thức (*) tương đương với

3

3 4

TR ẦN

đặt t = cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C dễ thấy 3 ≥ t ≥

H Ư

N

G

Đ

 3 − (cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C )  3 − (cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C )  VT(**) ≥ − 3.    2 3

3

1 1 1 1 3 − 3 −t ≥ − 3 − = 0 ⇒ ĐPCM 2 3 2 3 4

Ó

A

ta có 3 − t ≥ 0,

10 00

B

 3 − t  1 1  3 3−t VT(**) ≥ − 3.  3 − t  ≥ 0 vì từ điều kiện 3 ≥ t ≥  = (3 − t )  −  3   2 3 4 2 

H

A B C , y = tan , z = tan 2 2 2

-L

Í-

Cách 4: Đặt x = tan

TO

ÁN

xy + yz + zx = 1 Bài toán trở thành : cho  chứng minh:  x , y , z > 0 (***)

Đ

ÀN

2y 1− x2 1− y2 1− z2 2x 2z 1+ . . ≥ 3 . . 2 2 2 2 2 1+ x 1+ y 1+ z 1 + x 1 + y 1 + z2

D

IỄ N

Ta có : (4) ⇔ (1 + x 2 )(1 + y 2 )(1 + z 2 ) + (1 − x 2 )(1 − y 2 )(1 − z 2 ) ≥ 8 3 xyz

Khai triển rút gọn ta có: (***) ⇔ x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 + 1 ≥ 4 3 xyz

67

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki và côsi ta có

Ơ

N

1 1 x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 ≥ ( xy + yz + zx)2 = 3 3 3

TP

.Q

1 1 Nên x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 + 1 ≥ 1 + = 4 3. ≥ 4 3 xyz 3 27

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

⇒ ĐPCM

G

A+B A−B C cos ≤ 2 cos 2 2 2

5 A 3 B (sin B + sin C ) ≤ 5 cos , (sin C + sin A) ≤ 3 cos 2 2 2 2

Ó

A

Tương tự

10 00

B

Bài 6.71: Ta có sin A + sin B = 2 sin

TR ẦN

Lời giải:

N

A B C + 3 cos + cos . 2 2 2

H Ư

2 sin A + 3 sin B + 4 sin C ≤ 5 cos

Đ

Bài 6.71: Cho ∆ABC . Chứng minh rằng

A B C + 3 cos + cos 2 2 2

Í-

H

Cộng vế với vế ta được 2 sin A + 3 sin B + 4 sin C ≤ 5 cos

ÁN

-L

Bài 6.72: Cho ∆ABC . Chứng minh rằng x 2 − 2(cos B + cos C )x + 2 − 2 cos A ≥ 0 ∀x .

Lời giải:

ÀN

TO

Đẳng thức xảy ra khi nào ?

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

N

H

 xy + yz + zx  1 xyz = xy.yz.zx ≤   =    3 27 

Đ

Bài 6.72: Ta thấy VT của BĐT là một tam thức bậc hai có hệ số a = 1 > 0 . Do đó để

D

IỄ N

chứng minh ta chỉ cần chứng minh: ∆ ≤ 0 . Ta có:

∆ ' = (cos B + cos C )2 − 2(1 − cos A) = 4 cos 2

B+C B −C A .cos 2 − 4 sin 2 2 2 2

68

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

 A  2 B − C A B −C − 1 = −4 sin 2 .sin 2 ≤0. cos  2 2 2 2 

N

H

Ơ

N

 sin B − C = 0 B = C Đẳng thức có ⇔  . ⇔  2  x = 2 cos B x = cos B + cos C

Lời giải:

G

.Q

Đ

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

TP

A ≥ 0 ∀x . Đẳng thức xảy ra khi nào ? 2

ẠO

(tan B + tan C )x 2 − 4 x + 2 tan

U Y

Bài 6.73: Cho ∆ABC nhọn . Chứng minh bất đẳng thức sau:

sin( B + C ) cos B.cos C

2 sin A 2 sin A A ≥ = 2 cot > 0 (do ∆ABC nhọn). Nên để chứng cos( B + C ) + cos( B − C ) 1 − cos A 2

A A A (tan B + tan C ) ≤ 4 − 2 tan .cot = 0 2 2 2

10 00

Ta có: ∆ ' = 4 − 2 tan

B

minh (1) ta chỉ cần chứng minh ∆ ' ≤ 0 .

TR ẦN

=

H Ư

N

Bài 6.73: VT của bất đẳng thức là một tam thức có : a = tan B + tan C =

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

 B = C cos( B − C ) = 1   Đẳng thức xảy ra ⇔  ⇔  2 x = x = 1  tan B + tan C tan B 

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

= 4 sin 2

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

69

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial