Tài liệu bài tập PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH môn Toán LỚP 10 Có hướng dẫn giải by Dạy Kèm Quy Nhơn Official

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

BÀI 03

trong đó a, b, c là các hệ số, với điều kiện a và b không đồng thời bằng 0. CHÚ Ý a) Khi a = b = 0 ta có phương trình 0 x + 0 y = c. Nếu c ≠ 0 thì phương trình này vô nghiệm, còn nếu c = 0 thì mọi cặp số ( x 0 ; y 0 ) đều là nghiệm.

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

b) Khi b ≠ 0, phương trình ax + by = c trở thành

a c y =− x + (2 ) b b Cặp số ( x 0 ; y 0 ) là một nghiệm của phương trình (1) khi và chỉ khi điểm M ( x 0 ; y 0 ) thuộc

H Ư

đường thẳng (2 ).

thẳng trong mặt phẳng tọa độ Oxy.

2. Hệ Hệ hai phương phương trình trình bậc bậc nhất hai hai ẩn

TR ẦN

Tổng quát, người ta chứng minh được rằng phương trình bậc nhất hai ẩn luôn luôn có vô số nghiệm. Biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình của phương trình (1) là một đường

10 00

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là a1 x + b1 y = c1  a2 x + b2 y = c2

(3)

Trong đó x , y là hai ẩn; các chữ số còn lại là hệ số.

Nếu cặp số ( x 0 ; y 0 ) đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình của hệ thì ( x 0 ; y 0 ) được gọi

là một nghiệm của hệ phương trình (3).

Giải hệ phương trình (3) là tìm tập nghiệm của nó.

Í-

II – HỆ BA PHƯƠ PHƯƠNG ƯƠNG TRÌ TRÌNH BẬ BẬC NHẤ NHẤT BA ẨN

ÁN

-L

Phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là ax + by + cz = d ,

Mỗi bộ ba số ( x 0 ; y0 ; z 0 ) nghiệm đúng của ba phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ phương trình (4 ).

IỄ N

ÀN

trong đó x , y, z là ba ẩn; a, b, c, d là các hệ số và a, b, c không đồng thời bằng 0. Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là  a1 x + b1 y + c1 z = d1 a x + b y + c z = d (4 ) 2 2 2  2 a3 x + b3 y + c3 z = d3 Trong đó x , y, z là ba ẩn; các chữ còn lại là các hệ số.

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

(1)

ax + by = c

Ơ N

Phương tr trình ình bậc bậc nhất hai ẩn x , y có dạng tổng quát là

I – ÔN TẬ TẬP VỀ VỀ PHƯƠ PHƯƠNG ƯƠNG TRÌ TRÌNH VÀ VÀ HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH TRÌNH BẬC BẬC NHẤT HAI ẨN 1. Phương trình trình bậc bậc nhất hai ẩn

PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN

CÂU HỎI HỎI TRẮC NGHIỆM

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

B. ( x ; y ; z ) = (4; 5;2 ).

C. ( x ; y ; z ) = (2; 4;5).

D. ( x ; y ; z ) = (3; 5;3).

A. ( x ; y ; z ) = (5; 3;3).

  x + y + z = 11  là: Câu 1. Nghiệm của hệ phương trình 2 x − y + z = 5  3 x + 2 y + z = 24

N G

 2 x − y − z = 1  B. 2 x + 6 y − 4 z = −6.   x + 2 y = 5

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

  x + 3 y − 2 z = −3  A. 2 x − y + z = 6 .  5 x − 2 y − 3 z = 9

TR ẦN

H Ư

  3 x − y − z = 1  x + y + z = −2   C.  x + y + z = 2 . D. 2 x − y + z = 6 .    x − y − z = 0 10 x − 4 y − z = 2 Câu 4. Bộ ( x ; y ; z ) = (1; 0;1) là nghiệm của hệ phương trình nào sau đây ?

10 00

  x + 2 y + z = −2 D.  x − y + z = 4 .  −  x − 4 y − z = 5

 2 x − y − z = 1 C.  x + y + z = 2 .  −x + y − z = −2

  x + 7 y − z = −2  B. −5 x + y + z = 1.   x − y + 2 z = 0

 2 x + 3 y + 6 z −10 = 0  . A.  x + y + z = −5   y + 4 z = −17

-L

Í-

 3 x + y − 3 z = 1 Câu 5. 5. Gọi ( x 0 ; yo ; z 0 ) là nghiệm của hệ phương trình  x − y + 2 z = 2 . Tính giá trị của biểu  −x + 2 y + 2 z = 3 thức P = x 02 + y 02 + z 02 .

C. P = 3. D. P = 14.  x + y + z = 11  Câu 6. 6. Gọi ( x 0 ; yo ; z 0 ) là nghiệm của hệ phương trình  2 x − y + z = 5 . Tính giá trị của biểu  3 x + 2 y + z = 24 thức P = x 0 y0 z 0 .

B. P = 2.

ÀN

ÁN

A. P = 1.

D. P = −1200. 2 x + 3 y + 4 = 0  Câu 7. có duy nhất 7. Tìm giá trị thực của tham số m để hệ phương trình  3 x + y −1 = 0  2mx + 5 y − m = 0

Đ IỄ N D

A. P = −40.

một nghiệm. 10 A. m = . 3

B. P = 40.

C. P = 1200.

B. m = 10.

C. m = −10.

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

Câu 3. 3. Bộ ( x ; y ; z ) = (2; −1;1) là nghiệm của hệ phương trình nào sau đây ?

U Y

  x = 1  D.  y = 0.   z = 1

  x = 1  C.  y = 1.   z = 1

  x = 1  B.  y = 1.   z = 0

ẠO

  x = 0  A.  y = 1 .   z = 1

  x + 2 y = 1  Câu 2. Nghiệm của hệ phương trình  y + 2 z = 2 là:   z + 2 x = 3

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

D. m = −

10 . 3

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

10 00

CÂU HỎI HỎI TRẮC NGHIỆM  x + y + z = 11  Câu 1. Nghiệm của hệ phương trình  là: 2 x − y + z = 5  3 x + 2 y + z = 24 A. ( x ; y ; z ) = (5; 3;3). B. ( x ; y ; z ) = (4; 5;2 ). C. ( x ; y ; z ) = (2; 4;5).

D. ( x ; y ; z ) = (3; 5;3).

Lời giải. Từ phương trình x + y + z = 11 suy ra z = 11 − x − y. Thay vào hai phương trình 2 x − y + 11 − x − y = 5 còn lại ta được hệ phương trình, ta được   3 x + 2 y + 11 − x − y = 24

ÁN

-L

Í-

 x − 2 y = −6  x = 4 . Từ đó ta được z = 11 − 4 − 5 = 2. ⇔  ⇔ 2 x + y = 13  y = 5 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x ; y ; z ) = (4;5;2 ) . Chọn Chọn B. Cách 2. Bằng cách sử dụng MTCT ta được ( x ; y ; z ) = (4;5;2 ) là nghiệm của hệ phương trình.

IỄ N

ÀN

  x + 2 y = 1  Câu 2. Nghiệm của hệ phương trình  y + 2 z = 2 là:   z + 2 x = 3   x = 0  A.  y = 1 .   z = 1

  x = 1  B.  y = 1.   z = 0

  x = 1  C.  y = 1.   z = 1

Ơ H N

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

A. m = −1. B. m = 0. C. m = 1. D. m = 1. Câu 9. Một đoàn xe tải chở 290 tấn xi măng cho một công trình xây đập thủy điện. Đoàn xe có 57 chiếc gồm ba loại, xe chở 3 tấn, xe chở 5 tấn và xe chở 7, 5 tấn. Nếu dùng tất cả xe 7, 5 tấn chở ba chuyến thì được số xi măng bằng tổng số xi măng do xe 5 tấn chở ba chuyến và xe 3 tấn chở hai chuyến. Hỏi số xe mỗi loại ? A. 18 xe chở 3 tấn, 19 xe chở 5 tấn và 20 xe chở 7, 5 tấn. B. 20 xe chở 3 tấn, 19 xe chở 5 tấn và 18 xe chở 7, 5 tấn. C. 19 xe chở 3 tấn, 20 xe chở 5 tấn và 18 xe chở 7, 5 tấn. D. 20 xe chở 3 tấn, 18 xe chở 5 tấn và 19 xe chở 7, 5 tấn. Câu 10. Có ba lớp học sinh 10 A, 10 B, 10C gồm 128 em cùng tham gia lao động trồng cây. Mỗi em lớp 10A trồng được 3 cây bạch đàn và 4 cây bàng. Mỗi em lớp 10B trồng được 2 cây bạch đàn và 5 cây bàng. Mỗi em lớp 10C trồng được 6 cây bạch đàn. Cả ba lớp trồng được là 476 cây bạch đàn và 375 cây bàng. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh ? A. 10A có 40 em, lớp 10B có 43 em, lớp 10C có 45 em. B. 10A có 45 em, lớp 10B có 43 em, lớp 10C có 40 em. C. 10A có 45 em, lớp 10B có 40 em, lớp 10C có 43 em. D. 10A có 43 em, lớp 10B có 40 em, lớp 10C có 45 em.

 mx + y = 1  Câu 8. Tìm giá trị thực của tham số m để hệ phương trình my + z = 1 vô nghiệm.   x + mz = 1

  x = 1  D.  y = 0.   z = 1

Lời giải. Từ phương trình z + 2 x = 3 suy ra z = 3 − 2 x . Thay vào hai phương trình còn lại ta  x = 1  x + 2 y = 1  x + 2 y = 1 . được hệ phương trình, ta được  ⇔  ⇔       y + 2 (3 − 2 x ) = 2 −4 x + y = −4  y = 0 Từ đó ta được z = 3 − 2.1 = 1.

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x ; y ; z ) = (1;0;1) . Chọn Chọn D. Cách 2. Bằng cách sử dụng MTCT ta được ( x ; y ; z ) = (1;0;1) là nghiệm của hệ phương trình.

  x + 2 y + z = −2  D.  x − y + z = 4 .  −  x − 4 y − z = 5

ẠO Đ

H Ư

Lời giải. Bằng cách sử dụng MTCT ta được ( x ; y ; z ) = (1;0;1) là nghiệm của hệ phương trình

10 00

 2 x − y − z = 1  x + y + z = 2 . Chọn Chọn C.  −x + y − z = −2

Í-

 3 x + y − 3 z = 1 Câu 5. Gọi ( x 0 ; yo ; z 0 ) là nghiệm của hệ phương trình  x − y + 2 z = 2 . Tính giá trị của biểu  −x + 2 y + 2 z = 3 B. P = 2. C. P = 3. 1 3 x + y − 3 z = 1 ()  2 2 2) . Lời giải. Ta có  x − y + z = (   −x + 2 y + 2 z = 3 (3) Phương trình (2 ) ⇔ x = y − 2z + 2 . Thay vào (1) , ta được

D. P = 14.

Ơ H N

3 ( y − 2 z + 2 ) + y − 3 z = 1 ⇔ 4 y − 9 z = −5 . (*)

ÀN

ÁN

A. P = 1.

-L

thức P = x 02 + y 02 + z 02 .

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

 2 x − y − z = 1  C.  x + y + z = 2 .  −x + y − z = −2

  x + 7 y − z = −2 B.  −5 x + y + z = 1.   x − y + 2 z = 0

 2 x + 3 y + 6 z −10 = 0 . A.   x + y + z = −5   y + 4 z = −17

TR ẦN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

  x + 3 y − 2 z = −3 2 x − y + z = 6 . Chọn Chọn A.  5 x − 2 y − 3 z = 9 Câu 4. Bộ ( x ; y ; z ) = (1; 0;1) là nghiệm của hệ phương trình nào sau đây ?

U Y

   x + 3 y − 2 z = −3 2 x − y − z = 1   A. 2 x − y + z = 6 . B. 2 x + 6 y − 4 z = −6.    x + 2 y = 5 5 x − 2 y − 3 z = 9 3 x − y − z = 1  x + y + z = −2   C.   x + y + z = 2 . D. 2 x − y + z = 6 .    x − y − z = 0 10 x − 4 y − z = 2 Lời giải. Bằng cách sử dụng MTCT ta được ( x ; y ; z ) = (2; −1;1) là nghiệm của hệ phương trình

Câu 3. Bộ ( x ; y ; z ) = (2; −1;1) là nghiệm của hệ phương trình nào sau đây ?

IỄ N

Phương trình (3) ⇔ x = 2 y + 2 z − 3 . Thay vào (1) , ta được

3 (2 y + 2 z − 3) + y − 3 z = 1 ⇔ 7 y + 3 z = 10 . (* *) 4 y − 9 z = −5  y = 1 . Suy ra x = 1 . Từ (*) và (* *) , ta có  ⇔  7 y + 3 z = 10 z = 1 → P = 12 + 12 + 12 = 3. Chọn Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x ; y ; z ) = (1;1;1)  Chọn C.

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ơ H N U Y

ẠO

 x + y + 24 − 3 x − 2 y = 11 −2 x − y = −13 x = 4 ⇔ ⇔ . Suy ra z = 24 − 3.4 − 2.5 = 2 .  2 x − y + 24 − 3 x − 2 y = 5 −x − 3 y = −19  y = 5 → P = 4.5.2 = 40. Chọn Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x ; y ; z ) = (4;5;2 )  Chọn B.

A. P = −40. B. P = 40. C. P = 1200. D. P = −1200.  x + y + z = 11 (1)  Lời giải. Ta có 2 x − y + z = 5 (2 ) .  3 x + 2 y + z = 24 (3)  Phương trình (3) ⇔ z = 24 − 3 x − 2 y . Thay vào (1) và (2 ) ta được hệ phương trình

B. m = 10.

C. m = −10.

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

 2 x + 3 y + 4 = 0  Câu 7. Tìm giá trị thực của tham số m để hệ phương trình 3 x + y −1 = 0 có duy nhất  2mx + 5 y − m = 0 một nghiệm. 10 A. m = . 3

D. m = −

10 . 3

10 00

TR ẦN

2 x + 3 y + 4 = 0  x = 1 Lời giải. Từ hệ phương trình đã cho ta suy ra  . ⇔  3 x + y −1 = 0  y = −2  2 x + 3 y + 4 = 0  Hệ phương trình 3 x + y −1 = 0 có nghiệm duy nhất khi (1; −2 ) là nghiệm của phương  2mx + 5 y − m = 0 trình 2mx + 5 y − m = 0 tức là 2m.1 + 5. (−2) − m = 0 ⇔ m = 10. Chọn Chọn B.

 mx + y = 1  Câu 8. Tìm giá trị thực của tham số m để hệ phương trình my + z = 1 vô nghiệm.   x + mz = 1

ÁN

-L

Í-

A. m = −1. B. m = 0. C. m = 1. D. m = 1. Lời giải. Từ hệ phương trình đã cho suy ra z = 1 − my. Thay vào hai phương trình còn lại, ta mx + y = 1 mx + y = 1 ⇔  được    x + m (1 − my ) = 1 x − m 2 y = 1 − m   y = 1 − mx  y = 1 − mx . ⇔ ⇔  3 2 2    x − m (1 − mx ) = 1 − m (1 + m ) x = m − m + 1 1 + m 3 = 0 m = −1 Hệ phương trình đã cho vô nghiệm khi  ⇔  2 ⇔ m = −1 .  2 m − m + 1 ≠ 0 m − m + 1 ≠ 0  Chọn Chọn A. Cách 2. Thử trực tiếp  −x + y = 1  Thay m = −1 vào hệ phương trình ta được hệ phương trình − y + z = 1 .   x − z = 1 Sử dụng MTCT ta thấy hệ vô nghiệm.

IỄ N

ÀN

  x + y + z = 11  Câu 6. Gọi ( x 0 ; yo ; z 0 ) là nghiệm của hệ phương trình 2 x − y + z = 5 . Tính giá trị của biểu  3 x + 2 y + z = 24 thức P = x 0 y0 z 0 .

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

ẠO

  x + y + z = 57  Theo giả thiết của bài toán ta có 3 x + 5 y + 7, 5 z = 290.  22, 5 z = 6 x + 15 y

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Giải hệ ta được x = 20, y = 19, z = 18. Chọn Chọn B. Câu 10. Có ba lớp học sinh 10 A, 10 B, 10C gồm 128 em cùng tham gia lao động trồng cây. Mỗi em lớp 10A trồng được 3 cây bạch đàn và 4 cây bàng. Mỗi em lớp 10B trồng được 2 cây bạch đàn và 5 cây bàng. Mỗi em lớp 10C trồng được 6 cây bạch đàn. Cả ba lớp trồng được là 476 cây bạch đàn và 375 cây bàng. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh ? A. 10A có 40 em, lớp 10B có 43 em, lớp 10C có 45 em. B. 10A có 45 em, lớp 10B có 43 em, lớp 10C có 40 em. C. 10A có 45 em, lớp 10B có 40 em, lớp 10C có 43 em. D. 10A có 43 em, lớp 10B có 40 em, lớp 10C có 45 em. Lời giải. Gọi số học sinh của lớp 10 A, 10 B, 10C lần lượt là x , y, z. Điều kiện: x , y, z nguyên dương.

10 00

  x + y + z = 128  Theo đề bài, ta lập được hệ phương trình 3 x + 2 y + 6 z = 476.  4 x + 5 y = 375

Ơ H

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

Giải hệ ta được x = 40, y = 43, z = 45. Chọn Chọn A.

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

Câu 9. Một đoàn xe tải chở 290 tấn xi măng cho một công trình xây đập thủy điện. Đoàn xe có 57 chiếc gồm ba loại, xe chở 3 tấn, xe chở 5 tấn và xe chở 7, 5 tấn. Nếu dùng tất cả xe 7, 5 tấn chở ba chuyến thì được số xi măng bằng tổng số xi măng do xe 5 tấn chở ba chuyến và xe 3 tấn chở hai chuyến. Hỏi số xe mỗi loại ? A. 18 xe chở 3 tấn, 19 xe chở 5 tấn và 20 xe chở 7, 5 tấn. B. 20 xe chở 3 tấn, 19 xe chở 5 tấn và 18 xe chở 7, 5 tấn. C. 19 xe chở 3 tấn, 20 xe chở 5 tấn và 18 xe chở 7, 5 tấn. D. 20 xe chở 3 tấn, 18 xe chở 5 tấn và 19 xe chở 7, 5 tấn. Lời giải. Gọi x là số xe tải chở 3 tấn, y là số xe tải chở 5 tấn và z là số xe tải chở 7, 5 tấn. Điều kiện: x , y, z nguyên dương.

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

BÀI 01

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

KHÁI NIỆM VỀ PHƯƠNG TRÌNH

Nếu phương trình không có nghiệm nào cả thì ta nói phương trình vô nghiệm nghiệm (hoặc nói tập nghiệm của nó là rỗng).

H Ư

2. Điều phương trình trình Điều kiện của một phương Khi giải phương trình (1) , ta cần lưu ý với điều kiện đối với ẩn số x để f ( x ) và g ( x ) có nghĩa (tức là mọi phép toán đều thực hiện được). Ta cũng nói đó là điều kiện xác định của phương trình (hay gọi tắt là điều kiện của phương trình).

TR ẦN

3. Phương trình trình nhiều nhiều ẩn

Ngoài các phương trình một ẩn, ta còn gặp những phương trình có nhiều ẩn số, chẳng hạn 3 x + 2 y = x 2 − 2 xy + 8, (2 )

4 x 2 − xy + 2 z = 3 z 2 + 2 xz + y 2 .

(3)

10 00

Phương trình (2 ) là phương trình hai ẩn ( x và y ), còn (3) là phương trình ba ẩn ( x , y và

z ). Khi x = 2, y = 1 thì hai vế của phương trình (2 ) có giá trị bằng nhau, ta nói cặp

Í-

( x ; y ) = (2;1) là một nghiệm của phương trình (2 ). Tương tự, bộ ba số ( x ; y ; z ) = (−1;1;2) là một nghiệm của phương trình (3). 4. Phương trình trình chứa chứa tham số

-L

Trong một phương trình (một hoặc nhiều ẩn), ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có các chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là tham số. số.

ÁN

TRÌNH ÌNH TƯƠNG II – PHƯƠNG TR TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH TRÌNH HỆ HỆ QUẢ 1. Phương trình trình tương tương đương Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

f (x ) = g(x ) (1) trong đó f ( x ) và g ( x ) là những biểu thức của x . Ta gọi f ( x ) là vế trái, g ( x ) là vế phải của phương trình (1). Nếu có số thực x 0 sao cho f ( x 0 ) = g ( x 0 ) là mệnh đề đúng thì x 0 được gọi là một nghiệm nghiệm của phương phương trình trình (1). Giải phương trình (1) là tìm tất cả các nghiệm của nó (nghĩa là tìm tập nghiệm).

Phương tr trình ình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng

I – KHÁI NI NIỆM ỆM PHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH TRÌNH 1. Phương trình trình một một ẩn

ÀN

2. Phép biến biến đổi đổi tương tương đương

IỄ N

Định lí Nếu thực hiện các phép biển đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đương a) Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức; b) Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0. Chú ý: Chuyển vế và đổi dấu một biểu thức thực chất là thực hiện phép cộng hay trừ hai vế với biểu thức đó.

3. Phương trình trình hệ hệ quả quả

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Nếu mọi nghiệm của phương trình

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

f ( x ) = g ( x ) đều là nghiệm của phương trình

f1 ( x ) = g1 ( x ) thì phương trình f1 ( x ) = g1 ( x ) được gọi là phương trình hệ quả của phương trình f ( x ) = g ( x ).

Ta viết

7−x C. 2 ≤ x ≤ 7.

B. x < 7.

A. x ≥ 2.

Câu 4. Điều kiện xác định của phương trình

ẠO

N D. 2 ≤ x < 7.

x B. x > 0. D. x ≥ 0 và x 2 − 1 > 0.

10 00

là x −2 x −2 A. x ≠ 2. B. x ≥ 2. C. x < 2. D. x > 2. 1 = x + 3 là: Câu 6. Điều kiện xác định của phương trình 2 x −4 A. x ≥ −3 và x ≠ ±2. B. x ≠ ±2. C. x > −3 và x ≠ ±2. D. x ≥ −3. 1 Câu 7. Điều kiện xác định của phương trình x 2 − 4 = là x −2 A. x ≥ 2 hoặc x ≤ −2. B. x ≥ 2 hoặc x < −2. C. x > 2 hoặc x < −2. D. x > 2 hoặc x ≤ −2.

ÁN

-L

Í-

Câu 5. Điều kiện xác định của phương trình

= 0 là

+ x 2 −1 = 0 là

A. x ≥ 0. C. x > 0 và x 2 −1 ≥ 0.

x2 +5

x −2 +

D. x ∈ ℝ. x −1 + x − 2 = x − 3 là C. x ≥ 1. D. x ≥ 3.

H Ư

Câu 3. Điều kiện xác định của phương trình

2x 3 −5 = 2 là x +1 x +1 C. x ≠ ±1. 2

TR ẦN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

A. x ≠ 1. B. x ≠ −1. Câu 2. Điều kiện xác định của phương trình A. x > 3. B. x ≥ 2.

Vấn đề 1. ĐIỀU ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH TRÌNH

IỄ N

ÀN

Câu 8. Điều kiện xác định của phương trình x +

1 2x + 4

3 − 2x là x

A. x > −2 và x ≠ 0.

3 B. x > −2, x ≠ 0 và x ≤ . 2

3 C. x > −2 và x < . 2

D. x ≠ −2 và x ≠ 0.

Câu 9. Điều kiện xác định của phương trình x + 2 − A. x > −2 và x ≠ −1.

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

1 x +2

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

CÂU HỎI HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Điều kiện xác định của phương trình

U Y

Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm của phương trình ban đầu. Ta gọi đó là nghiệm nghiệm ngoại lai. lai

f ( x ) = g ( x ) ⇒ f1 ( x ) = g1 ( x ).

4 − 3x là x +1

4 B. x > −2 và x < . 3

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

4 C. x > −2, x ≠ −1 và x ≤ . 3

D. x ≠ −2 và x ≠ −1.

N Ơ U Y

D. x ≠ −3 và x ≠ 0.

B. ( x − 2 )( x 2 + 3 x + 2 ) = 0.

A. (2 + x )(−x 2 + 2 x + 1) = 0.

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Câu 11. Hai phương trình được gọi là tương đương khi A. Có cùng dạng phương trình. B. Có cùng tập xác định. C. Có cùng tập hợp nghiệm. D. Cả A, B, C đều đúng. Câu 12. Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình x 2 − 4 = 0 ?

Vấn đề 2. 2. PHƯƠNG TRÌNH TRÌNH TƯƠNG TƯƠNG ĐƯƠNG – PHƯƠNG TRÌNH TRÌNH HỆ HỆ QUẢ

H Ư

C. x 2 − 3 = 1. D. x 2 − 4 x + 4 = 0. Câu 13. Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình x 2 − 3 x = 0 ? 1 1 . A. x 2 + x − 2 = 3 x + x − 2. B. x 2 + = 3x + x −3 x −3 D. x 2 + x 2 + 1 = 3 x + x 2 + 1.

TR ẦN

C. x 2 x − 3 = 3 x x − 3.

Câu 14. Cho phương trình ( x 2 + 1)( x – 1)( x + 1) = 0 . Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình đã cho ? B. x + 1 = 0. A. x −1 = 0.

D. ( x – 1)( x + 1) = 0.

10 00

C. x 2 + 1 = 0.

Câu 15. Phương trình nào sau đây không tương đương với phương trình x + A. x 2 + x = −1.

1 =1? x

B. 2 x −1 + 2 x + 1 = 0.

ÁN

-L

Í-

C. x x − 5 = 0. D. 7 + 6 x −1 = −18. Câu 16. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. 3 x + x − 2 = x 2 ⇔ 3 x = x 2 − x − 2. B. x −1 = 3 x ⇔ x −1 = 9 x 2 . 2x −3 2 C. 3 x + x − 2 = x 2 + x − 2 ⇔ 3 x = x 2 . D. = x −1 ⇔ 2 x − 3 = ( x −1) . x −1 Câu 17. Khẳng định nào sau đây là sai? x −1 = 0. A. x −1 = 2 1 − x ⇔ x −1 = 0. B. x 2 + 1 = 0 ⇔ x −1 2

D. x 2 = 1 ⇔ x = 1.

ÀN

C. x − 2 = x + 1 ⇔ ( x − 2 ) = ( x + 1) .

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

1 A. x ≥ − . 2 1 C. x ≥ − và x ≠ 0. 2

2 x +1 = 0 là x 2 + 3x 1 B. x ≥ − và x ≠ −3. 2

Câu 10. Điều kiện xác định của phương trình

IỄ N

Câu 18. Chọn cặp phương trình tương đương trong các cặp phương trình sau: A. x + x −1 = 1 + x −1 và x = 1. B. x + x − 2 = 1 + x − 2 và x = 1. C.

D. x ( x + 2 ) = x và x + 2 = 1.

x ( x + 2 ) = x và x + 2 = 1.

Câu 19. Chọn cặp phương trình tương đương trong các cặp phương trình sau: x x +1 = 0 và x = 0. A. 2x + x − 3 = 1 + x − 3 và 2 x = 1. B. x +1 C.

x + 1 = 2 − x và x + 1 = (2 − x ) .

D. x + x − 2 = 1 + x − 2 và x = 1.

Câu 20. 20. Chọn cặp phương trình không tương đương trong các cặp phương trình sau:

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

A. x + 1 = x 2 − 2 x và x + 2 = ( x −1) . B. 3 x x + 1 = 8 3 − x và 6 x x + 1 = 16 3 − x .

x − 2 = 1 ⇒ x − 2 = 1.

x −1

= 1 ⇒ x = 1.

x − 3 = 9 − 2 x ⇒ 3 x −12 = 0.

C. 3 x − 2 = x − 3 ⇒ 8 x 2 − 4 x − 5 = 0.

x ( x −1)

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

D. m = 5.

C. m = 4.

A. m = −5. B. m = −5; m = 4. Câu 23. 23. Khẳng định nào sau đây là sai?

U Y

B. m = 3.

H Ư

Câu 24. 24. Cho phương trình 2 x − x = 0 . Trong các phương trình sau đây, phương trình nào không phải là hệ quả của phương trình đã cho? x = 0. B. 4 x 3 − x = 0. A. 2 x − 1− x 2

TR ẦN

C. (2 x 2 − x ) + ( x − 5) = 0.

D. 2 x 3 + x 2 − x = 0.

Câu 25. 25. Cho hai phương trình: x ( x − 2 ) = 3 ( x − 2 ) (1) và

x ( x − 2) x −2

= 3 (2 ) . Khẳng định nào

10 00

sau đây là đúng? A. Phương trình (1) là hệ quả của phương trình (2 ) . B. Phương trình (1) và (2 ) là hai phương trình tương đương.

C. Phương trình (2 ) là hệ quả của phương trình (1) .

D. Cả A, B, C đều sai.

-L

Í-

Vấn đề 3. 3. GIẢI GIẢI PHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH TRÌNH

ÁN

Câu 26. Tập nghiệm của phương trình A. S = {0 }. B. S = ∅.

x 2 − 2 x = 2 x − x 2 là: C. S = {0;2}.

D. S = {2 }.

Câu 27. Phương trình x ( x −1) x −1 = 0 có bao nhiêu nghiệm? A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

1 C. m = . D. m = −2. 2 Câu 22. 22. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để cặp phương trình sau tương đương: mx 2 − 2 (m −1) x + m − 2 = 0 (1) và (m − 2 ) x 2 − 3 x + m 2 −15 = 0 (2 ) . A. m = 2.

C. x 3 − 2 x + x 2 = x 2 + x và x 3 − 2 x = x . D. x + 2 = 2 x và x + 2 = 4 x 2 . Câu 21. 21. Tìm giá trị thực của tham số m để cặp phương trình sau tương đương: 2 x 2 + mx − 2 = 0 (1) và 2 x 3 + (m + 4 ) x 2 + 2 (m −1) x − 4 = 0 (2 ) .

ÀN

Câu 28. Phương trình −x + 6 x − 9 + x = 27 có bao nhiêu nghiệm? A. 0. C. 2. D. 3. B. 1.

IỄ N

Câu 29. Phương trình

( x − 3) (5 − 3 x ) + 2 x = 3 x − 5 + 4 có bao nhiêu nghiệm?

A. 0. C. 2. D. 3. B. 1. Câu 30. Phương trình x + x −1 = 1 − x có bao nhiêu nghiệm? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Câu 31. Phương trình 2 x + x − 2 = 2 − x + 2 có bao nhiêu nghiệm? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Câu 32. Phương trình

x 3 − 4 x 2 + 5 x − 2 + x = 2 − x có bao nhiêu nghiệm?

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

B. 1.

C. 2. 1 2 x −1 Câu 33. Phương trình x + = có bao nhiêu nghiệm? x −1 x −1 A. 0. B. 1. C. 2.

D. 3.

Câu 34. Phương trình ( x − 3 x + 2) x − 3 = 0 có bao nhiêu nghiệm?

Ơ N

C. 2.

D. 3.

U Y

B. 1.

A. 0.

D. 3.

A. 0. C. 2. B. 1. 2 Câu 35. Phương trình ( x − x − 2 ) x + 1 = 0 có bao nhiêu nghiệm?

CÂU HỎI HỎI TRẮC NGHIỆM

ẠO

Vấn đề 1. ĐIỀU ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH TRÌNH

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

2x 3 là −5 = 2 x 2 +1 x +1 A. x ≠ 1. B. x ≠ −1. C. x ≠ ±1. D. x ∈ ℝ. Lời giải. Chọn D. Vì x 2 + 1 ≠ 0 với mọi x ∈ ℝ . Câu 2. Điều kiện xác định của phương trình x −1 + x − 2 = x − 3 là A. x > 3. B. x ≥ 2. C. x ≥ 1. D. x ≥ 3.    x −1 ≥ 0 x ≥ 1   Lời giải. Phương trình xác định khi  x − 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 ⇔ x ≥ 3. Chọn Chọn D.    x − 3 ≥ 0 x ≥ 3 x2 +5 = 0 là Câu 3. Điều kiện xác định của phương trình x − 2 + 7−x A. x ≥ 2. B. x < 7. C. 2 ≤ x ≤ 7. D. 2 ≤ x < 7.  x − 2 ≥ 0  x ≥ 2 ⇔ ⇔ 2 ≤ x < 7. Chọn Lời giải. Phương trình xác định khi  Chọn D. 7 − x > 0  x < 7

10 00

TR ẦN

H Ư

Câu 1. Điều kiện xác định của phương trình

Câu 4. Điều kiện xác định của phương trình

-L

Í-

A. x ≥ 0. C. x > 0 và x 2 −1 ≥ 0.

+ x 2 −1 = 0 là x B. x > 0. D. x ≥ 0 và x 2 − 1 > 0.

D. x > 2.

IỄ N

ÀN

ÁN

 x > 0 . Chọn Lời giải. Phương trình xác định khi  Chọn C.  2  x −1 ≥ 0 8 x2 Câu 5. Điều kiện xác định của phương trình = là x −2 x −2 A. x ≠ 2. B. x ≥ 2. C. x < 2. Lời giải. Phương trình xác định khi x − 2 > 0 ⇔ x > 2 . Chọn Chọn D. 1 = x + 3 là: Câu 6. Điều kiện xác định của phương trình 2 x −4 A. x ≥ −3 và x ≠ ±2. B. x ≠ ±2. C. x > −3 và x ≠ ±2. D. x ≥ −3.  x 2 − 4 ≠ 0  x ≠ ±2 Lời giải. Phương trình xác định khi  ⇔  . Chọn Chọn A.   x + 3 ≥ 0  x ≥ −3

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

A. 0.

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

1 là x −2 A. x ≥ 2 hoặc x ≤ −2. B. x ≥ 2 hoặc x < −2. C. x > 2 hoặc x < −2. D. x > 2 hoặc x ≤ −2.  x ≥ 2 x > 2  x 2 − 4 ≥ 0  Lời giải. Phương trình xác định khi  ⇔  x ≤ −2 ⇔  . Chọn Chọn D.    x ≤ −2  x − 2 ≠ 0  x ≠ 2

3 B. x > −2, x ≠ 0 và x ≤ . 2

3 C. x > −2 và x < . 2

D. x ≠ −2 và x ≠ 0.

TR ẦN

H Ư

Ơ H

ẠO

A. x > −2 và x ≠ 0.

 x > −2 2 x + 4 > 0    3  . Chọn Lời giải. Phương trình xác định khi  Chọn B. 3 − 2 x ≥ 0 ⇔  x ≤   2  x ≠ 0   x ≠ 0 1 4 − 3x Câu 9. Điều kiện xác định của phương trình x + 2 − = là x +1 x +2

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

3 − 2x là x

4 B. x > −2 và x < . 3

4 C. x > −2, x ≠ −1 và x ≤ . 3

D. x ≠ −2 và x ≠ −1.

A. x > −2 và x ≠ −1.

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

 x > −2  x + 2 > 0  4  Lời giải. Phương trình xác định khi  . Chọn Chọn C. 4 − 3 x ≥ 0 ⇔  x ≤   3  x + 1 ≠ 0  x ≠ −1 2 x +1 = 0 là Câu 10. Điều kiện xác định của phương trình 2 x + 3x 1 1 A. x ≥ − . B. x ≥ − và x ≠ −3. 2 2 1 C. x ≥ − và x ≠ 0. D. x ≠ −3 và x ≠ 0. 2   x > − 1  1 2  2 x + 1 ≥ 0  x ≥ − . Chọn  Lời giải. Phương trình xác định khi  ⇔ ≠ 0 ⇔ x 2 Chọn C.  2    x + 3 x ≠ 0    x ≠ −3  x ≠ 0  

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

2x + 4

U Y

Câu 8. Điều kiện xác định của phương trình x +

x2 −4 =

Câu 7. Điều kiện xác định của phương trình

Vấn đề 2. 2. PHƯƠNG TRÌNH TRÌNH TƯƠNG TƯƠNG ĐƯƠNG – PHƯƠNG TRÌNH TRÌNH HỆ HỆ QUẢ Câu 11. Hai phương trình được gọi là tương đương khi A. Có cùng dạng phương trình. B. Có cùng tập xác định. C. Có cùng tập hợp nghiệm. D. Cả A, B, C đều đúng. Lời giải. Chọn Chọn C.

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 12. Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình x 2 − 4 = 0 ? A. (2 + x )(−x 2 + 2 x + 1) = 0. B. ( x − 2 )( x 2 + 3 x + 2 ) = 0.

}

nghiệm của phương trình là S1 = −2;1 − 2;1 + 2 ≠ S 0 .

x = 2  x −2 = 0   Đáp án B. Ta có ( x − 2 )( x + 3 x + 2 ) = 0 ⇔ 2 ⇔ x = −1 . Do đó, tập nghiệm  x + 3x + 2 = 0    x = −2  của phương trình là S 2 = {−2; −1;2} ≠ S 0 .

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

Đáp án C. Ta có x 2 − 3 = 1 ⇔ x 2 − 3 = 1 ⇔ x = ±2 . Do đó, tập nghiệm của phương trình là S 3 = {−2;2} = S 0 . Chọn Chọn C.

H Ư

Đáp án D. Ta có x 2 − 4 x + 4 = 0 ⇔ x = 2 . Do đó, tập nghiệm của phương trình là S 4 = {2} ≠ S 0 .

TR ẦN

Câu 13. Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình x 2 − 3 x = 0 ? 1 1 . A. x 2 + x − 2 = 3 x + x − 2. B. x 2 + = 3x + x −3 x −3 D. x 2 + x 2 + 1 = 3 x + x 2 + 1.

C. x 2 x − 3 = 3 x x − 3.

10 00

x = 0 Lời giải. Ta có x 2 − 3 x = 0 ⇔  . Do đó, tập nghiệm của phương trình đã cho là x = 3  S 0 = {0;3} .

Xét các đáp án:

 x ≥ 2  x − 2 ≥ 0   Đáp án A. Ta có x + x − 2 = 3 x + x − 2 ⇔  2 ⇔  x = 0 ⇔ x = 3 . Do đó, tập  x − 3 x = 0   x = 3 nghiệm của phương trình là S1 = {3} ≠ S 0 .

-L

Í-

ÁN

 x − 3 ≠ 0 1 1 = 3x + ⇔  2 ⇔ x = 0 . Do đó, tập nghiệm của x −3 x − 3  x − 3 x = 0 phương trình là S 2 = {0} ≠ S 0 .

Đáp án B. Ta có x 2 +

Ơ H

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

{

U Y

 x = −2 x + 2 = 0 ⇔  Đáp án A. Ta có (2 + x )(−x 2 + 2 x + 1) = 0 ⇔  2 . Do đó, tập −x + 2 x + 1 = 0   x = 1 ± 2

Xét các đáp án:

C. x 2 − 3 = 1. D. x 2 − 4 x + 4 = 0. Lời giải. Ta có x 2 − 4 = 0 ⇔ x = ±2 . Do đó, tập nghiệm của phương trình đã cho là S 0 = {−2;2} .

IỄ N

ÀN

  x ≥ 3  x − 3 ≥ 0 2   x = 0 ⇔ x = 3 . Do đó, tập Đáp án C. Ta có x x − 3 = 3 x x − 3 ⇔  x − 3 x = 0 ⇔     x − 3 = 0  x = 3  nghiệm của phương trình là S 3 = {3} ≠ S 0 . 2

x = 0 Đáp án D. Ta có x 2 + x 2 + 1 = 3 x + x 2 + 1 ⇔ x 2 = 3 x ⇔  . Do đó, tập nghiệm của x = 3  phương trình là S 4 = {0;3} = S 0 . Chọn Chọn D.

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 14. Cho phương trình ( x 2 + 1)( x – 1)( x + 1) = 0 . Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình đã cho ? A. x −1 = 0. B. x + 1 = 0.

D. ( x – 1)( x + 1) = 0.

C. x 2 + 1 = 0.

Lời giải. Ta có ( x + 1)( x – 1)( x + 1) = 0 ⇔ ( x −1)( x + 1) = 0 (vì x + 1 > 0, ∀x ∈ ℝ . 2

H U Y

B. 2 x −1 + 2 x + 1 = 0.

D. 7 + 6 x −1 = −18.  ≠ x 0  1 Lời giải. Ta có x + = 1 ⇔  (vô nghiệm). Do đó, tập nghiệm của phương trình  2  x − x + 1 = 0 x

C. x x − 5 = 0.

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

đã cho là S 0 = ∅ . Xét các đáp án:

TR ẦN

H Ư

 x 2 ≥ 0  → x 2 + x ≥ 0 . Do đó, phương trình x 2 + x = −1 vô nghiệm. Đáp án A. Ta có    x ≥ 0  Tập nghiệm của phương trình là S1 = ∅ = S 0 .  2 x −1 = 0 (vô nghiệm). Do đó, phương trình Đáp án B. Ta có 2 x −1 + 2 x + 1 = 0 ⇔    2 x + 1 = 0  2 x −1 + 2 x + 1 = 0 vô nghiệm. Tập nghiệm của phương trình là S 2 = ∅ = S 0 .

10 00

x − 5 ≥ 0  ⇔ x = 5 . Do đó, phương trình x x − 5 = 0 có Đáp án C. Ta có x x − 5 = 0 ⇔   x = 0   x − 5 = 0  tập nghiệm là S 3 = {5} ≠ S 0 . Chọn Chọn C.

6 x −1 ≥ 0  → 7 + 6 x −1 ≥ 7 > −18 . Do đó, phương trình

Đáp án D. Ta có

ÁN

-L

Í-

7 + 6 x −1 = −18 vô nghiệm. Tập nghiệm của phương trình là S 4 = ∅ = S 0 . Câu 16. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. 3 x + x − 2 = x 2 ⇔ 3 x = x 2 − x − 2. B. x −1 = 3 x ⇔ x −1 = 9 x 2 . 2x −3 2 C. 3 x + x − 2 = x 2 + x − 2 ⇔ 3 x = x 2 . D. = x −1 ⇔ 2 x − 3 = ( x −1) . x −1 Lời giải. Chọn Chọn A. Câu 17. Khẳng định nào sau đây là sai? x −1 = 0. A. x −1 = 2 1 − x ⇔ x −1 = 0. B. x 2 + 1 = 0 ⇔ x −1 2

ÀN

C. x − 2 = x + 1 ⇔ ( x − 2 ) = ( x + 1) .

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

A. x 2 + x = −1.

1 =1? x

Câu 15. Phương trình nào sau đây không tương đương với phương trình x +

Chọn Chọn D.

D. x 2 = 1 ⇔ x = 1.

IỄ N

Lời giải. Chọn Chọn D. Vì x 2 = 1 ⇔ x = ±1 . Câu 18. Chọn cặp phương trình tương đương trong các cặp phương trình sau: A. x + x −1 = 1 + x −1 và x = 1. B. x + x − 2 = 1 + x − 2 và x = 1. C. x ( x + 2 ) = x và x + 2 = 1. D. x ( x + 2 ) = x và x + 2 = 1.

Lời giải. Xét các đáp án: Đáp án A. Ta có

 x ≥ 1 ⇔ x = 1  → x + x −1 = 1 + x −1 ⇔ x = 1 . Chọn x + x −1 = 1 + x −1 ⇔  Chọn A.  x = 1

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

D. x + x − 2 = 1 + x − 2 và x = 1.

H Ư

Lời giải. Xét các đáp án:

10 00

TR ẦN

x ≥ 3  x − 3 ≥ 0  2x + x − 3 = 1 + x − 3 ⇔  ⇔ ⇔ x ∈∅ 2 x = 1 x = 1 Đáp án A. Ta có . Do đó,  2 1 2x = 1 ⇔ x = 2 2x + x − 3 = 1 + x − 3 và 2 x = 1 không phải là cặp phương trình tương đương.  x + 1 > 0  x > −1 x x +1 x x +1 = 0 ⇔  ⇔ ⇔ x = 0 . Do đó, = 0 và Đáp án B. Ta có   x 0 x 0 = = x +1 x +1  

x = 0 là cặp phương trình tương đương. Chọn Chọn B.

đó,

Í-

ÁN

-L

Đáp án C. Ta có

 x ≤ 2 2 − x ≥ 0 5 − 13  ⇔ ⇔x= x +1 = 2 − x ⇔  x + 1 = (2 − x )2  x = 5 ± 13 2  . Do  2 5 ± 13 2 x + 1 = (2 − x ) ⇔ x 2 − 5 x + 3 = 0 ⇔ x = 2 2

x + 1 = 2 − x và x + 1 = (2 − x ) không phải là cặp phương trình tương đương.

 x − 2 ≥ 0 ⇔ x ∈ ∅ . Do x + x − 2 = 1 + x − 2 ⇔   x = 1 x + x − 2 = 1 + x − 2 và x = 1 không phải là cặp phương trình tương đương. Câu 20. 20. Chọn cặp phương trình không tương đương trong các cặp phương trình sau: Đáp

án

có

đó,

IỄ N

ÀN

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

x + 1 = 2 − x và x + 1 = (2 − x ) .

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

cặp phương trình tương đương. Câu 19. Chọn cặp phương trình tương đương trong các cặp phương trình sau: x x +1 = 0 và x = 0. A. 2x + x − 3 = 1 + x − 3 và 2 x = 1. B. x +1

U Y

x + 2 = 1 không phải là cặp phương trình tương đương. x = 0 x ( x + 2) = x ⇔   x = −1 . Do đó, x ( x + 2 ) = x và x + 2 = 1 không phải là Đáp án D. Ta có  x + 2 = 1 ⇔ x = −1

 x − 2 ≥ 0 ⇔ x ∈∅. Đáp án B. Ta có x + x − 2 = 1 + x − 2 ⇔    x = 1 Do đó, x + x − 2 = 1 + x − 2 và x = 1 không phải là cặp phương trình tương đương.  x ≥ 0  ⇔ x =0 x ( x + 2) = x ⇔  x = 0  Đáp án C. Ta có . Do đó, x ( x + 2 ) = x và   x + 2 = 0 x + 2 = 1 ⇔ x = −1

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

A. x + 1 = x 2 − 2 x và x + 2 = ( x −1) . B. 3 x x + 1 = 8 3 − x và 6 x x + 1 = 16 3 − x .

C. x 3 − 2 x + x 2 = x 2 + x và x 3 − 2 x = x . D. x + 2 = 2 x và x + 2 = 4 x 2 . Lời giải. Chọn Chọn D.

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

x ≥ 0 2 x ≥ 0 1 + 33   ⇔ ⇔x= x + 2 = 2x ⇔   x + 2 = 4 x 2 x = 1 ± 33 8 .  8 1 ± 33 x + 2 = 4x 2 ⇔ x = 8

Ta có

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

B. m = 3.

1 C. m = . D. m = −2. 2  x = −2 Lời giải. Ta có (2 ) ⇔ ( x + 2 )(2 x 2 + mx − 2 ) = 0 ⇔  2 .  2 x + mx − 2 = 0  Do hai phương trình tương đương nên x = −2 cũng là nghiệm của phương trình (1) . A. m = 2.

U Y

Do đó, x + 2 = 2 x và x + 2 = 4 x 2 không phải là cặp phương trình tương đương. Câu 21. 21. Tìm giá trị thực của tham số m để cặp phương trình sau tương đương: 2 x 2 + mx − 2 = 0 (1) và 2 x 3 + (m + 4 ) x 2 + 2 (m −1) x − 4 = 0 (2 ) .

N H Ư

1 • (1) trở thành 2 x 2 + 3 x − 2 = 0 ⇔ x = −2 hoặc x = . 2

Với m = 3 , ta có

Thay x = −2 vào (1) , ta được 2 (−2) + m (−2 ) − 2 = 0 ⇔ m = 3 .

TR ẦN

• (2 ) trở thành 2 x 3 + 7 x 2 + 4 x − 4 = 0 ⇔ ( x + 2 ) (2 x + 1) = 0 ⇔ x = −2 hoặc x =

1 . 2

Suy ra hai phương trình tương đương. Vậy m = 3 thỏa mãn. Chọn Chọn B. Câu 22. 22. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để cặp phương trình sau tương đương: mx 2 − 2 (m −1) x + m − 2 = 0 (1) và (m − 2 ) x 2 − 3 x + m 2 −15 = 0 (2 ) . C. m = 4. D. m = 5. x = 1 .. Lời giải. Ta có (1) ⇔ ( x −1)(mx − m + 2 ) = 0 ⇔   mx − m + 2 = 0  Do hai phương trình tương đương nên x = 1 cũng là nghiệm của phương trình (2 ) .

10 00

B. m = −5; m = 4.

A. m = −5.

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

 m = −5 Thay x = 1 vào (2 ) , ta được (m − 2 ) − 3 + m 2 −15 = 0 ⇔ m 2 + m − 20 = 0 ⇔  . m = 4  Với m = −5 , ta có 7 • (1) trở thành −5 x 2 + 12 x − 7 = 0 ⇔ x = hoặc x = 1 . 5 10 • (2 ) trở thành −7 x 2 − 3 x + 10 = 0 ⇔ x = − hoặc x = 1 . 7 Suy ra hai phương trình không tương đương Với m = 4 , ta có 1 • (1) trở thành 4 x 2 − 6 x + 2 = 0 ⇔ x = hoặc x = 1 . 2 1 • (2 ) trở thành 2 x 2 − 3 x + 1 = 0 ⇔ x = hoặc x = 1 . 2 Suy ra hai phương trình tương đương. Vậy m = 4 thỏa mãn. Chọn Chọn C. Câu 23. 23. Khẳng định nào sau đây là sai? x ( x −1) = 1 ⇒ x = 1. A. x − 2 = 1 ⇒ x − 2 = 1. B. x −1

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

C. 3 x − 2 = x − 3 ⇒ 8 x 2 − 4 x − 5 = 0.

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

x − 3 = 9 − 2 x ⇒ 3 x −12 = 0.

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Lời giải. Chọn Chọn C. Ta có:

Ơ H N U Y

8x 2 − 4 x − 5 = 0 ⇔ x =

không phải là hệ quả của phương trình

C. (2 x 2 − x ) + ( x − 5) = 0.

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

Câu 24. 24. Cho phương trình 2 x 2 − x = 0 . Trong các phương trình sau đây, phương trình nào không phải là hệ quả của phương trình đã cho? x = 0. A. 2 x − B. 4 x 3 − x = 0. 1− x

D. 2 x 3 + x 2 − x = 0.

x = 0  Lời giải. Ta có 2 x − x = 0 ⇔  1 . Do đó, tập nghiệm của phương trình đã cho là x =  2  1  S 0 = 0;  .  2  Xét các đáp án:  x ≠ 1 x = 0  x = 0 1 − x ≠ 0  x Đáp án A. Ta có 2 x − =0 ⇔ ⇔  ⇔ 1 . Do đó, tập 2 x (1 − x ) − x = 0  x = 1− x 1     x = 2  2 

10 00

TR ẦN

H Ư

ÁN

-L

Í-

 1 nghiệm của phương trình là S1 =  0;  ⊃ S 0 .  2    x = 0 Đáp án B. Ta có 4 x 3 − x = 0 ⇔  . Do đó, tập nghiệm của phương trình là   x = ± 1 2   1 1  S 2 = − ;0;  ⊃ S 0 .  2 2 

IỄ N

ÀN

 2  2 2 2 2 x − x = 0 ⇔ 2 x − x = 0 (vô nghiệm). Do Đáp án C. Ta có (2 x 2 − x ) + ( x − 5) = 0 ⇔   x − 5 = 0  x = 5 đó, tập nghiệm của phương trình là S 3 = ∅ ⊃ S 0 . Chọn Chọn C. x = 0   1 Đáp án D. Ta có 2 x 3 + x 2 − x = 0 ⇔  x = . Do đó, tập nghiệm của phương trình là  2   x = −1 

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

1 ± 11 . 4 Do đó, phương trình 8 x 2 − 4 x − 5 = 0 3x − 2 = x − 3 .

 x ≥ 3   x = 5 x − 3 ≥ 0  x ≥ 3  3x − 2 = x − 3 ⇔  ⇔   2 2 ⇔ 4 ⇔ x ∈∅ . (3 x − 2 ) = ( x − 3) 8 x 2 − 6 x − 5 = 0     x = − 1 2 

 1 S 2 = −1;0;  ⊃ S 0 .  2 

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 25. 25. Cho hai phương trình: x ( x − 2) = 3 ( x − 2 ) (1) và

x ( x − 2) x −2

= 3 (2 ) . Khẳng định nào

sau đây là đúng? A. Phương trình (1) là hệ quả của phương trình (2 ) .

B. Phương trình (1) và (2 ) là hai phương trình tương đương.

C. Phương trình (2 ) là hệ quả của phương trình (1) .

x −2 = 0 x = 2 Phương trình (1) ⇔  ⇔ . Do đó, tập nghiệm của phương trình (1) là x = 3 x = 3   S1 = {2;3} .

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

 x − 2 ≠ 0 Phương trình (2 ) ⇔  ⇔ x = 3 . Do đó, tập nghiệm của phương trình (2 ) là   x = 3 S2 = 3 .

H Ư

Vì S 2 ⊂ S1 nên phương trình (1) là hệ quả của phương trình (2 ) . Chọn Chọn A. A.

Vấn đề 3. 3. GIẢI GIẢI PHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH TRÌNH

x 2 − 2 x = 2 x − x 2 là: C. S = {0;2}.

TR ẦN

Câu 26. Tập nghiệm của phương trình A. S = {0}. B. S = ∅.

D. S = {2}.

10 00

 2  2  x − 2 x ≥ 0 ⇔  x − 2 x ≥ 0 ⇔ x 2 − 2 x = 0 ⇔  x = 0 . Lời giải. Điều kiện:  x = 2 2 x − x 2 ≥ 0  x 2 − 2 x ≤ 0    Thử lại ta thấy cả x = 0 và x = 2 đều thỏa mãn phương trình. Chọn Chọn C. Câu 27. Phương trình x ( x 2 −1) x −1 = 0 có bao nhiêu nghiệm? D. 3.

-L

Í-

A. 0. B. 1. C. 2. Lời giải. Điều kiện: x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1. x = 0 x = 0   2  Phương trình tương đương với  x −1 = 0 ⇔  x = ±1.     x −1 = 0 x = 1

ÁN

Đối chiếu điều kiện, ta được nghiệm của phương trình đã cho là x = 1. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. Chọn Chọn B.

Câu 28. Phương trình −x 2 + 6 x − 9 + x 3 = 27 có bao nhiêu nghiệm? A. 0. C. 2. D. 3. B. 1.

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

D. Cả A, B, C đều sai. Lời giải. Ta có:

ÀN

Lời giải. Điều kiện: −x 2 + 6 x − 9 ≥ 0 ⇔ −( x − 3) ≥ 0 ⇔ x = 3 .

IỄ N

Thử lại ta thấy x = 3 thỏa mãn phương trình. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. Chọn Chọn B. Câu 29. Phương trình

( x − 3) (5 − 3 x ) + 2 x = 3 x − 5 + 4 có bao nhiêu nghiệm?

A. 0.

B. 1. C. 2. ( x − 3)2 (5 − 3 x ) ≥ 0 Lời giải. Điều kiện:  . (*)  3 x − 5 ≥ 0  Ta thấy x = 3 thỏa mãn điều kiện (*) .

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

D. 3.

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

 x ≤ 5 5 − 3 x ≥ 0  5 3 ⇔ ⇔x= . Nếu x ≠ 3 thì (*) ⇔  3 x − 5 ≥ 0  5 3 x ≥ 3 

5 . 3

Ơ H

5 vào phương trình thấy chỉ có x = 3 thỏa mãn. 3 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. Chọn Chọn B. Câu 30. Phương trình x + x −1 = 1 − x có bao nhiêu nghiệm? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.  x −1 ≥ 0  x ≥ 1 Lời giải. Điều kiện  ⇔ ⇔ x =1.  1 − x ≥ 0  x ≤ 1

U Y .Q TP ẠO

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Thử lại x = 1 thì phương trình không thỏa mãn phương trình. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Chọn Chọn A. Câu 31. Phương trình 2 x + x − 2 = 2 − x + 2 có bao nhiêu nghiệm? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.   x ≥ 0  giải.. Điều kiện:  x − 2 ≥ 0 ⇔ x = 2 . Lời giải  2 − x ≥ 0 Thử lại phương trình thấy x = 2 thỏa mãn. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. Chọn Chọn B.

Thay x = 3 và x =

ÁN

-L

Í-

10 00

Câu 32. Phương trình x 3 − 4 x 2 + 5 x − 2 + x = 2 − x có bao nhiêu nghiệm? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. 2 3 2  x = 1  x − 4 x + 5 x − 2 ≥ 0 ( x −1) ( x − 2 ) ≥ 0 ⇔ ⇔ . Lời giải. Điều kiện:   x = 2 2 − x ≥ 0  x ≤ 2   Thay x = 1 và x = 2 vào phương trình thấy chỉ có x = 1 thỏa mãn. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. Chọn Chọn B. 1 2 x −1 Câu 33. Phương trình x + = có bao nhiêu nghiệm? x −1 x −1 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải. Điều kiện: x ≠ 1 . Với điều kiện trên phương trình tương đương x 2 − x + 1 = 2 x − 1 ⇔ x = 1 hoặc x = 2 . Đối chiếu điều kiện ta được phương trình có nghiệm duy nhất x = 2. Chọn Chọn B.

Câu 34. Phương trình ( x 2 − 3 x + 2) x − 3 = 0 có bao nhiêu nghiệm?

ÀN

A. 0. B. 1. Lời giải. Điều kiện: x ≥ 3 . • Ta có x = 3 là một nghiệm.

IỄ N

•Nếu x > 3 thì

C. 2.

D. 3.

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

Do đó điều kiện xác định của phương trình là x = 3 hoặc x =

x − 3 > 0 . Do đó phương trình tuong đương

( x 2 − 3x + 2) x − 3 = 0 ⇔ x 2 − 3x + 2 = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 2 .

Đối chiếu điều kiện ta được phương trình có nghiệm duy nhất x = 3. Chọn Chọn B. Câu 35. Phương trình ( x 2 − x − 2 ) x + 1 = 0 có bao nhiêu nghiệm? A. 0. B. 1. Lời giải. Điều kiện: x ≥ −1 . • Ta có x = −1 là một nghiệm.

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

C. 2.

D. 3.

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

• Nếu x > −1 thì x + 1 > 0 . Do đó phương trình tương đương x 2 − x − 2 = 0 ⇔ x = −1 hoặc x = 2 . Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình là x = −1 , x = 2 . Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm. Chọn Chọn C.

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

BÀI02

PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2

I – ÔN TẬP TẬP VỀ PHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH TRÌNH BẬC BẬC NHẤT, BẬC HAI 1. Phương trình trình bậc bậc nhất

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Khi a ≠ 0 phương trình ax + b = 0 được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.

2. Phương trình bậc hai trình bậc

H Ư

Cách giải và công thức nghiệm của phương trình bậc hai được tóm tắt trong bảng sau ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0 ) (2 ) ∆ = b2 − 4 ac

Kết luận

(2 ) có hai nghiệm phân biệt x1, 2 =

∆=0

(2 ) có nghiệm kép x = −

∆<0

(2 ) vô nghiệm

−b ± ∆ 2a

b 2a

10 00

TR ẦN

∆>0

3. Định Định lí Vi–ét Vi ét

Nếu phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0 ) có hai nghiệm x1 , x 2 thì

x 2 − Sx + P = 0.

-L

Í-

b c x1 + x 2 = − , x1 x 2 = . a a Ngược lại, nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích uv = P thì u và v là các nghiệm của phương trình

II – PHƯƠ PHƯƠNG ƯƠNG TRÌ TRÌNH QUY VỀ VỀ PHƯƠ PHƯƠNG ƯƠNG TRÌ TRÌNH BẬ BẬC NHẤ NHẤT, BẬ BẬC HAI

ÁN

Có nhiều phương trình khi giải có thể biến đổi về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai. Sau đây ta xét hai trong các dạng phương trình đó.

1. Phương trình trình chứa chứa ẩn trong dấu dấu giá trị tuyệt đối

ÀN

Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối ta có thể dùng định nghĩa của giá trị tuyệt đối hoặc bình phương hai vế để khử dấu giá trị tuyệt đối. Ví dụ dụ 1. Giải phương trình x − 3 = 2 x + 1. (3)

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

b=0

(1) vô nghiệm (1) nghiệm đúng với mọi x

ẠO

b≠0

b a

(1) có nghiệm duy nhất x = −

a≠0 a=0

U Y

Kết luận

Hệ số

Cách giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0 được tóm tắt trong bảng sau ax + b = 0 (1)

IỄ N

Giải Giải Cách 1 a) Nếu x ≥ 3 thì phương trình (3) trở thành x − 3 = 2 x + 1. Từ đó x = − 4.

Giá trị x = − 4 không thỏa mãn điều kiện x ≥ 3 nên bị loại.

2 b) Nếu x < 3 thì phương trình (3) trở thành − x + 3 = 2 x + 1. Từ đó x = . 3 giá trị này thỏa mãn điều kiện x < 3 nên là nghiệm.

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

2 Kết luận. Vậy nghiệm của phương trình là x = . 3 Cách 2. Bình phương hai vế của phương trình (3) ta đưa tới phương trình hệ quả 2

N Ơ

⇒ x 2 − 6x + 9 = 4 x 2 + 4 x +1

U Y

⇒ 3 x 2 + 10 x − 8 = 0. 2 Phương trình cuối có hai nghiệm là x = − 4 và x = . 3

2 Thử lại ta thấy phương trình (3) chỉ có nghiệm là x = . 3

2. Phương trình trình chứa chứa ẩn dư dưới dấu căn

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

Để giải các phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai, ta thường bình phương hai vế để đưa về một phương trình hệ quả không chứa ẩn dưới dấu căn. Ví dụ dụ 2. Giải phương trình 2 x − 3 = x − 2. (4 )

H Ư

3 Giải. Giải. Điều kiện của phương trình (4 ) là x ≥ . 2 Bình phương hai vế của phương trình (4 ) ta đưa tới phương trình hệ quả

(4 ) ⇒ 2 x − 3 = x 2 − 4 x + 4

TR ẦN

⇒ x 2 − 6 x + 7 = 0.

Phương trình cuối có hai nghiệm là x = 3 + 2 và x = 3 − 2. Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện của phương trình (4 ), nhưng khi thay vào phương trình (4 ) thì giá trị

2 + 1 ).

10 00

cùng bằng

x = 3 − 2 bị loại (vế trái dương còn vế phải âm), còn giá trị x = 3 + 2 là nghiệm (hai vế Kết luận. Vậy nghiệm của phương trình (4 ) là x = 3 + 2.

CÂU HỎI HỎI TRẮC NGHIỆM

Vấn đề 1. HÀM HÀM SỐ SỐ BẬC NHẤT

-L

Í-

Câu 1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình (m 2 − 4 ) x = 3m + 6 vô

ÁN

nghiệm. A. m = 1. B. m = 2. C. m = ±2. D. m = −2. Câu 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình mx − m = 0 vô nghiệm. A. m ∈ ∅. B. m = {0}. C. m ∈ ℝ + . D. m ∈ ℝ. Câu 3. Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình (m 2 − 5m + 6 ) x = m 2 − 2m vô B. m = 2.

ÀN

nghiệm. A. m = 1.

C. m = 3.

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

(3) ⇒ ( x − 3) = (2 x + 1)

D. m = 6.

IỄ N

Câu 4. Cho phương trình (m + 1) x + 1 = (7 m − 5) x + m . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình đã cho vô nghiệm. A. m = 1. B. m = 2; m = 3.

C. m = 2. D. m = 3. 2 Câu 5. Cho hai hàm số y = (m + 1) x + 3m x + m và y = (m + 1) x + 12 x + 2 . Tìm tất cả các 2

giá trị của tham số m để đồ thị hai hàm số đã cho không cắt nhau. A. m = 2. B. m = −2. C. m = ±2.

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

D. m = 1.

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 6. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình (2m − 4 ) x = m − 2 có

nghiệm duy nhất. A. m = −1. B. m = 2. C. m ≠ −1. D. m ≠ 2. Câu 7. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [−10;10 ] để phương trình

nghiệm duy nhất x = 1. A. m = −1. B. m ≠ 0.

ẠO

bằng: A. 15. D. 40. B. 16. C. 39. Câu 9. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình (m 2 + m ) x = m + 1 có C. m ≠ −1.

D. m = 1.

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G N H Ư

tham số m để đồ thị hai hàm số đã cho cắt nhau. A. m ≠ −2. B. m ≠ −3. C. m ≠ −2; m ≠ 3. D. m = −2; m = 3.

Câu 10. Cho hai hàm số y = (m + 1) x − 2 và y = (3m + 7 ) x + m . Tìm tất cả các giá trị của

Câu 11. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình (m 2 −1) x = m −1 có

10 00

TR ẦN

nghiệm đúng với mọi x thuộc ℝ. A. m = 1. B. m = ±1. D. m = 0. C. m = −1. Câu 12. Cho phương trình m 2 x + 6 = 4 x + 3m. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm. A. m = 2. B. m ≠ −2. C. m ≠ −2 và m ≠ 2. D. m ∈ ℝ. Câu 13. Cho phương trình (m 2 – 3m + 2) x + m 2 + 4 m + 5 = 0. Tìm tất cả các giá trị thực của

tham số m để phương trình đã cho có nghiệm đúng với mọi x thuộc ℝ. A. m = −2. B. m = −5. C. m = 1. D. Không tồn tại. Câu 14. Cho phương trình (m 2 − 2m ) x = m 2 − 3m + 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

Í-

m để phương trình đã cho có nghiệm. A. m = 0. B. m = 2.

C. m ≠ 0; m ≠ 2.

D. m ≠ 0.

Câu 15. Cho hai hàm số y = (m + 1) x + 1 và y = (3m −1) x + m . Tìm tất cả các giá trị của

-L

Vấn đề 2. SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH TRÌNH BẬC BẬC HAI

IỄ N

ÀN

ÁN

tham số m để đồ thị hai hàm số đã cho trùng nhau. 2 2 A. m = 1; m = − . B. m ≠ 1 và m ≠ − . 3 3 2 C. m = 1. D. m = − . 3

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

phương trình (m + 1) x = (3m 2 −1) x + m −1 có nghiệm duy nhất. Tổng các phần tử trong S

B. 19. C. 20. D. 21. A. 2. Câu 8. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [−5;10 ] để

(m 2 − 9) x = 3m (m − 3) có nghiệm duy nhất ?

Câu 16 16. Phương trình ax 2 + bx + c = 0 có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi: a ≠ 0 a = 0 . A. a = 0. B.  hoặc    ∆ = 0 b ≠ 0 C. a = b = c = 0.

a ≠ 0 . D.   ∆ = 0

Câu 17. 17. Số −1 là nghiệm của phương trình nào trong các phương trình sau?

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

trình x 2 − x + m = 0 vô nghiệm? A. 9. B. 10. C. 20. 2 Câu 20. 20. Phương trình (m + 1) x − 2mx + m − 2 = 0 vô nghiệm khi:

U Y

Câu 19. 19. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m thuộc đoạn [−10;10 ] để phương

D. 21.

A. m ≤ −2. C. m > 2. D. m ≥ 2. B. m < −2. Câu 21. 21. Số nguyên k nhỏ nhất thỏa mãn phương trình 2 x (kx − 4 ) − x 2 + 6 = 0 vô nghiệm là?

ẠO

B. m = 1. C. m = 2. D. m = −1. 2 mx + 6 = 4 x + 3m có nghiệm duy nhất khi: B. m = 0. C. m ∈ ℝ. D. m ≠ 0. mx 2 – 2 (m + 1) x + m + 1 = 0 có nghiệm duy nhất khi:

A. m = 1; m = 2. Câu 23 23.. Phương trình A. m ∈ ∅. Câu 24. 24. Phương trình

D. k = 3.

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

A. k = −1. C. k = 2. B. k = 1. 2 Câu 22. 22. Phương trình (m – 2 ) x + 2 x – 1 = 0 có nghiệm kép khi:

B. m = −1; m = −

6 7

TR ẦN

A. m = 0. C. m = 0; m = −1. D. m = 1. B. m = −1. 2 Câu 25 25.. Phương trình (m + 1) x – 6 (m + 1) x + 2m + 3 = 0 có nghiệm kép khi: A. m = −1.

6 C. m = − . 7

6 D. m = . 7

10 00

Câu 26. 26. Phương trình 2 ( x 2 −1) = x (mx + 1) có nghiệm duy nhất khi:

17 17 . B. m = 2. C. m = 2; m = . D. m = −1. 8 8 Câu 27. 27. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình (m − 2 ) x 2 − 2 x + 1 − 2m = 0 có nghiệm duy nhất. Tổng của các phần tử trong S bằng:

A. m =

5 7 9 . C. . D. . B. 3. 2 2 2 Câu 28. 28. Phương trình (m −1) x 2 + 6 x −1 = 0 có hai nghiệm phân biệt khi:

-L

Í-

5 5 B. m > − . C. m > −8; m ≠ 1. D. m > − ; m ≠ 1. 4 4 Câu 29. 29. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m thuộc đoạn [−5;5] để phương trình

ÁN

A. m > −8.

D. y = x 2 và y = 7 x −12.

C. y = x 2 và y = 7 x + 12.

A. x 2 + 4 x + 2 = 0. B. 2 x 2 − 5 x − 7 = 0. C. −3 x 2 + 5 x − 2 = 0. D. x 3 − 1 = 0. 2 Câu 18. 18. Nghiệm của phương trình x − 7 x + 12 = 0 có thể xem là hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số nào sau đây? A. y = x 2 và y = −7 x + 12. B. y = x 2 và y = −7 x −12.

mx 2 − 2 (m + 2 ) x + m −1 = 0 có hai nghiệm phân biệt.

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

ÀN

A. 5. B. 6. C. 9. D. 10. 2 2 Câu 30 30.. Phương trình (m + 2 ) x + (m − 2) x − 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt khi:

IỄ N

A. 0 < m < 2. B. m > 2. C. m ∈ ℝ. D. m ≤ 2. Câu 31. 31. Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng d : y = 2 x + m tiếp xúc với parabol

( P ) : y = (m – 1) x 2 + 2 mx + 3m – 1. A. m = 1. C. m = 0. B. m = −1. Câu 32. 32. Phương trình x 2 + m = 0 có nghiệm khi: A. m > 0. B. m < 0. C. m ≤ 0.

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

D. m = 2. D. m ≥ 0.

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

33.. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc [−20;20 ] để phương Câu 33

trình x 2 − 2 mx + 144 = 0 có nghiệm. Tổng của các phần tử trong S bằng: A. 21. B. 18. C. 1. D. 0. Câu 34. 34. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hai đồ thị hàm số y = −x 2 − 2 x + 3 và

7 D. m ≥ − . 2

5 5 5 5 A. m ≥ − . C. m = − . D. m = . B. m ≤ − . 4 4 4 4 Câu 36. 36. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [−10;10 ] để phương trình

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

mx 2 − mx + 1 = 0 có nghiệm. B. 18. C. 20. D. 21. A. 17. 2 Câu 37. 37. Biết rằng phương trình x − 4 x + m + 1 = 0 có một nghiệm bằng 3 . Nghiệm còn lại của phương trình bằng: B. 1. C. 2. D. 4. A. −1. Câu 38. 38. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 3 x 2 − (m + 2) x + m −1 = 0 có một nghiệm gấp đôi nghiệm còn lại.

A. m = 7.

TR ẦN

1   5    2   3  B. m ∈ −2; − . C. m ∈ 0; . D. m ∈ − ;1. A. m ∈  ;7.  2       4  2   5  Câu 39. 39. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương 3 x 2 − 2 (m + 1) x + 3m − 5 = 0 có một nghiệm gấp ba nghiệm còn lại. B. m = 3.

D. m ∈ ∅.

C. m = 3; m = 7.

trình

ba nghiệm phân biệt. A. m ∈ ℝ.

3 C. m ≠ . 4

3 D. m ≠ − . 4

B. m ≠ 0.

10 00

Câu 40. 40. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình ( x −1)( x 2 − 4 mx − 4 ) = 0

Í-

Vấn đề 3. DẤU CỦA NGHIỆM PHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH TRÌNH BẬC BẬC HAI

-L

Câu 41. Phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu khi và chỉ khi:

ÁN

∆ ≥ 0 ∆ > 0 ∆ > 0 ∆ > 0 . . . . A.  C.  D.  B.      P > 0 P > 0 S > 0 S < 0 Câu 42. Phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi:

IỄ N

ÀN

∆ > 0 . A.   P > 0

 ∆ > 0  B. P > 0 .  S > 0

 ∆ > 0  C. P > 0 .  S < 0

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

7 7 7 A. m = − . C. m > − . B. m < − . 2 2 2 Câu 35. 35. Phương trình (m −1) x 2 + 3 x −1 = 0 có nghiệm khi:

y = x 2 − m có điểm chung.

∆ > 0 . D.   S > 0

Câu 43. Phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi:

∆ > 0 . A.   P > 0

 ∆ > 0  B. P > 0 .  S > 0

 ∆ > 0  C. P > 0 .  S < 0

∆ > 0 . D.   S > 0

Câu 44 44. Phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi:

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

∆ > 0 ∆ > 0 . . C. P < 0. D. P > 0. A.  B.    S < 0 S > 0 Câu 45. Phương trình x 2 − mx + 1 = 0 có hai nghiệm âm phân biệt khi: A. m < −2. B. m > 2. C. m ≥ −2. D. m ≠ 0.

Câu 48. Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [−2;6 ] để phương

 1  C. m ∈ − ; +∞.  2 

B. m ∈ (1 ; + ∞).

H Ư

A. m ∈ (−1 ;1).

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

trình x 2 + 4 mx + m 2 = 0 có hai nghiệm dương phân biệt. Tổng các phần tử trong S bằng: A. −3. B. 2. C. 18. D. 21. Câu 49. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình x 2 − 2 (m + 1) x + m 2 −1 = 0 có hai nghiệm dương phân biệt là: D. m ∈ (−∞ ; −1).

Câu 50. 50. Phương trình (m −1) x 2 + 3 x −1 = 0 có hai nghiệm trái dấu khi: B. m < 1.

C. m ≥ 1.

TR ẦN

A. m > 1.

D. m ≤ 1.

Vấn đề 4. BIỂU THỨC ĐỐI XỨNG GIỮA CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH TRÌNH BẬC BẬC HAI

10 00

Câu 51. Giả sử phương trình x 2 − (2m + 1) x + m 2 + 2 = 0 ( m là tham số) có hai nghiệm là

x1 , x 2 . Tính giá trị biểu thức P = 3 x1 x 2 − 5 ( x1 + x 2 ) theo m.

A. P = 3m 2 − 10 m + 6. B. P = 3m 2 + 10 m − 5. 2 C. P = 3m − 10 m + 1. D. P = 3m 2 + 10 m + 1. Câu 52. Giả sử phương trình x 2 − 3 x − m = 0 ( m là tham số) có hai nghiệm là x1 , x 2 . Tính

Í-

giá trị biểu thức P = x12 (1 − x 2 ) + x 22 (1 − x1 ) theo m.

-L

A. P = −m + 9. B. P = 5m + 9. C. P = m + 9. D. P = −5m + 9. Câu 53. Giả sử phương trình 2 x 2 − 4 ax − 1 = 0 có hai nghiệm x1 , x 2 . Tính giá trị của biểu

ÁN

thức T = x1 − x 2 .

4a2 + 2 a2 + 8 a2 + 8 . B. T = 4 a2 + 2. . . C. T = D. T = 2 4 3 Câu 54. Cho phương trình x 2 + px + q = 0 trong đó p > 0, q > 0. Nếu hiệu các nghiệm của phương trình bằng 1. Khi đó p bằng

IỄ N

H N

ÀN

A. T =

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

x 2 + 4 mx + m 2 = 0 có hai nghiệm âm phân biệt? A. 5. B. 6. C. 10. D. 11. Câu 47. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình mx 2 + x + m = 0 có hai nghiệm âm phân biệt là:  1   1 1  1 A. m ∈ − ;0. B. m ∈ − ; . C. m ∈ (0;2 ). D. m ∈ 0 ; .  2   2 2   2 

Câu 46. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc [−5;5] để phương trình

4 q + 1.

4 q −1.

C. − 4 q + 1.

D. q + 1.

Câu 55. Gọi x1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình x − (2m + 1) x + m 2 + 1 = 0 ( m là tham số). Tìm giá trị nguyên của m sao cho biểu thức P = A. m = −2.

B. m = −1.

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

x1 x 2 có giá trị nguyên. x1 + x 2

C. m = 1.

D. m = 2.

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 56. Gọi x1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình x 2 − 2 (m + 1) x + m 2 + 2 = 0 ( m là tham số). Tìm m để biểu thức P = x1 x 2 − 2 ( x1 + x 2 ) − 6 đạt giá trị nhỏ nhất.

tham số). Tìm giá trị lớn nhất Pmax của biểu thức P = x1 + x 2 + x1 x 2 .

ẠO

2 x1 x 2 + 3 đạt giá trị lớn nhất. x12 + x 22 + 2 ( x1 x 2 + 1)

m để biểu thức P =

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

1 9 9 A. Pmax = . B. Pmax = 1. C. Pmax = . D. Pmax = . 4 8 16 Câu 59. Gọi x1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình x 2 − mx + m − 1 = 0 ( m là tham số). Tìm

H Ư

1 5 A. m = . B. m = 1. C. m = 2. D. m = . 2 2 Câu 60. 60. Gọi x1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình x 2 − mx + m − 1 = 0 ( m là tham số). Tìm

1 B. Pmin = − . 2

C. Pmin = 0.

D. Pmin = 1.

10 00

A. Pmin = −2.

2 x1 x 2 + 3 . x + x 22 + 2 ( x1 x 2 + 1) 2 1

TR ẦN

giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức P =

Vấn đề 5. TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH TRÌNH BẬC BẬC HAI

Í-

Câu 61. Nếu m ≠ 0 và n ≠ 0 là các nghiệm của phương trình x 2 + mx + n = 0 thì tổng m + n bằng: 1 1 A. − . B. −1. C. . D. 1. 2 2 Câu 62. Giả sử các nghiệm của phương trình x 2 + px + q = 0 là lập phương các nghiệm của

-L

phương trình x 2 + mx + n = 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?

ÁN

A. p + q = m 3 .

B. p = m 3 + 3mn.

C. p = m 3 − 3mn.

m  p D.   = .  n  q

IỄ N

Ơ H

ÀN

Câu 63. Cho hai phương trình x 2 − 2 mx + 1 = 0 và x 2 − 2 x + m = 0. Có hai giá trị của m để phương trình này có một nghiệm là nghịch đảo của một nghiệm của phương trình kia. Tính tổng S của hai giá trị m đó. 5 1 1 A. S = − . B. S = 1. C. S = − . D. S = . 4 4 4 Câu 64. Cho hai phương trình x 2 − mx + 2 = 0 và x 2 + 2 x − m = 0 . Có bao nhiêu giá trị của m để một nghiệm của phương trình này và một nghiệm của phương trình kia có tổng là 3 ? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Câu 65. Cho a, b, c, d là các số thực khác 0 . Biết c và d là hai nghiệm của phương trình

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

1 25 9 A. Pmax = . B. Pmax = 2. C. Pmax = . D. Pmax = . 2 4 4 Câu 58. Gọi x1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình x 2 − 2 (m −1) x + 2m 2 − 3m + 1 = 0 ( m là

Tìm giá trị lớn nhất Pmax của biểu thức P = 2 x1 x 2 + x1 + x 2 − 4 .

1 A. m = . B. m = 1. C. m = 2. D. m = −12. 2 Câu 57. Gọi x1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình 2 x 2 + 2 mx + m 2 − 2 = 0 ( m là tham số).

x 2 + ax + b = 0 và a, b là hai nghiệm của phương trình x 2 + cx + d = 0. Tính giá trị của biểu

thức S = a + b + c + d .

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

C. S =

B. S = 0.

−1 + 5 . 2

D. S = 2.

Câu 67. Tập nghiệm của phương trình

x −2

B. S = {1}.

=−

x −2 C. S = ∅.

Ơ H N

là: D. S = {4 }.

ẠO

A. S = {1; 4}.

x 2 − 5x

D. S = ℝ \ {1}.

U Y

B. S = {1}.

 3  A. S =  1; .  2 

3 3x = là: x − 1 x −1  3  C. S =   .  2 

Câu 66. Tập nghiệm S của phương trình 2 x +

Vấn đề 6. PHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH TRÌNH QUY VỀ VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRÌNH BẬC BẬC NHẤT, BẬC HAI

2 x −10 x = x − 3 có bao nhiêu nghiệm? x 2 − 5x A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. 2 10 50 . Mệnh đề nào Câu 69. Gọi x 0 là nghiệm của phương trình 1 − = − x − 2 x + 3 (2 − x )( x + 3) B. x 0 ∈ [−3; −1].

Câu 70. Tập nghiệm S của phương trình

x +1

 3  B. S = −  .  m 

C. S = ℝ.

Í-

 2  D. S =  2 .  m 

= 3 khi m ≠ 0 là:

( 2 m 2 + 3) x + 6 m

Câu 72. Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình

D. S = ℝ \ {0}.

x 2 + mx + 2 = 1 vô nghiệm? x 2 −1 D. 3.

-L

B. 1. C. 2. 2mx −1 = 3 có nghiệm duy nhất khi: Câu 73. Phương trình x +1 3 A. m ≠ . B. m ≠ 0. 2 3 1 3 C. m ≠ 0 và m ≠ . D. m ≠ − và m ≠ . 2 2 2 Câu 74. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [−3;5] để phương

IỄ N

ÀN

ÁN

A. 0.

D. x 0 ∈ [ 4; +∞).

= 1 trong trường hợp m ≠ 0 là:

C. S = ℝ.

Câu 71. Tập nghiệm S của phương trình A. S = ∅.

+ 1) x −1

B. S = ∅.

10 00

 m + 1 A. S =  2 .  m 

C. x 0 ∈ (−1;4 ). 2

TR ẦN

sau đây đúng? A. x 0 ∈ (−5; −3).

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Câu 68. Phương trình

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

A. S = − 2.

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

x −m x −2 = có nghiệm. Tổng các phần tử trong tập S bằng: x +1 x −1 A. −1. B. 8. C. 9. D. 10. Câu 75. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [1;20 ] để phương trình

trình

x +1 m x +3 + = có nghiệm. 2 x −2 4 − x x +2 B. 18. A. 4.

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

C. 19.

D. 20.

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 76. Tập nghiệm S của phương trình 3 x − 2 = 3 − 2 x là: A. S = {−1;1}.

B. S = {−1}.

C. S = {1}.

D. S = {0}.

Câu 77. Phương trình 2 x − 4 − 2 x + 4 = 0 có bao nhiêu nghiệm?

H N

D. P = 22.

 3 7   3 7   7 3 B. S =  C. S =  A. S =  ;  . − ; . − ; − .  2 4   2 4   4 2  Câu 82. Tổng các nghiệm của phương trình x + 2 = 2 x − 2 bằng:

 7 3  D. S = − ;  .  4 2 

ẠO

A. P = 16. C. P = 28. B. P = 58. Câu 81. Tập nghiệm S của phương trình x − 2 = 3 x − 5 là:

1 . 2

2 . 3

C. 6.

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

trị biểu thức P = x12 + x 2 .

A. −12. B. −6. C. 6. D. 12. 2 Câu 80. Gọi x1 , x 2 ( x1 < x 2 ) là hai nghiệm của phương trình x − 4 x − 5 = 4 x −17 . Tính giá

20 . 3

Câu 83. Phương trình 2 x + 1 = x 2 − 3 x − 4 có bao nhiêu nghiệm? A. 0. C. 2. B. 1. Câu 84. Phương trình 2 x − 4 + x −1 = 0 có bao nhiêu nghiệm ?

D. 4.

5 . 2

7 . 2

3 . 2

A. 6.

10 00

A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. Câu 85. Tổng các nghiệm của phương trình 2 x − 5 + 2 x 2 − 7 x + 5 = 0 bằng:

Câu 86. Phương trình ( x + 1) − 3 x + 1 + 2 = 0 có bao nhiêu nghiệm?

Í-

A. 0. B. 1. C. 2. D. 4. Câu 87. Tổng các nghiệm của phương trình 4 x ( x −1) = 2 x −1 + 1 bằng:

-L

A. 0. B. 1. D. −2. C. 2. Câu 88. Với giá trị nào của a thì phương trình 3 x + 2 ax = −1 có nghiệm duy nhất?

ÁN

3 −3 3 −3 −3 3 . . A. a > . B. a < C. a ≠ ∧ a ≠ D. a < ∨a> . 2 2 2 2 2 2 Câu 89. Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình x + 1 = x 2 + m có nghiệm duy

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

4   4   B. S = ∅. C. S = −2; . D. S = {−2}. A. S =  .  3   3  Câu 79. Tổng các nghiệm của phương trình x 2 + 5 x + 4 = x + 4 bằng:

D. Vô số.

U Y

A. 0. C. 2. B. 1. Câu 78. Tập nghiệm S của phương trình 2 x −1 = x − 3 là:

IỄ N

ÀN

nhất. A. m = 0. C. m = −1. D. Không có m. B. m = 1. Câu 90. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [−5;5] để phương trình

mx + 2 x −1 = x −1 có đúng hai nghiệm phân biệt?

A. 8. B. 9. Câu 91. Tập nghiệm S của phương trình A. S = {6;2}. B. S = {2}.

C. 10. 2 x − 3 = x − 3 là: C. S = {6}.

D. S = ∅.

Câu 92. Tập nghiệm S của phương trình A. S = {0;2}. B. S = {2}.

x 2 − 4 = x − 2 là: C. S = {0}.

D. S = ∅.

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

D. 11.

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 93. Tổng các nghiệm của phương trình ( x − 2 ) 2 x + 7 = x 2 − 4 bằng:

A. 1.

C. 3.

2−x +

Câu 95. Phương trình

2− x +3

B. 1.

D. 5.

= 2 có tất cả bao nhiêu nghiệm? C. 2.

D. 3. 2  x 2  2x 2   + +m = 0 Câu 96. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình  x −1  x −1

trình

ẠO

D. Vô số. m để phương

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

có đúng bốn nghiệm? A. 0. B. 1. C. 2. Câu 97. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số  2     x + 1  − 2m  x + 1  + 1 = 0 có nghiệm. 2     x x   3 3 3  B. m ∈  ; +∞. A. m ∈ − ; .  4 4   4      3  3 3 C. m ∈ −∞; −  . D. m ∈ −∞; −  ∪  ; +∞.    4  4   4 Câu 98. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số  4 2 x 2 + 2 − 4  x −  + m −1 = 0 có đúng hai nghiệm lớn hơn 1.  x x A. m < −8. B. −8 < m < 1. C. 0 < m < 1. Câu 99. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

TR ẦN

A. m ∈ (3; 4 ).

}

(

trình

) (

)

D. m ∈ ℝ.

{

Í-

Câu 100. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số x 2 + 2 mx + 2m x + m + m 2 + 3 − 2m = 0 có nghiệm.

để phương trình

3  B. m ∈ (∞; −3] ∪  ; +∞.  2  3  D. m ∈  ; +∞.  2 

-L

A. m ∈ (∞; −3] ∪ [1; +∞).

ÁN

C. m ∈ [1; +∞).

ÀN

CÂU HỎI HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề 1. HÀM HÀM SỐ SỐ BẬC NHẤT

Đ IỄ N

D. m ≤ −8. m để phương

B. m ∈ −∞;2 − 3 ∪ 2 + 3; +∞ .

C. m ∈ ( 4; +∞) ∪ 2 + 3 .

trình

+ 2 x + 4 ) – 2m ( x + 2 x + 4 ) + 4 m – 1 = 0 có đúng hai nghiệm. 2

10 00

để phương

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

A. 0.

= x − 2 có tất cả bao nhiêu nghiệm?

x −2 B. 2.

D. 3.

Câu 94. Phương trình

C. 2.

B. 1. x2 − 4x −2

A. 0.

Câu 1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình (m 2 − 4 ) x = 3m + 6 vô nghiệm. A. m = 1.

B. m = 2.

C. m = ±2. D. m = −2. m 2 − 4 = 0  m = ±2  ⇔  ⇔m=2. Lời giải. Phương trình đã cho vô nghiệm khi  3m + 6 ≠ 0 m ≠ −2

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Chọn Chọn B. Câu 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình mx − m = 0 vô nghiệm. A. m ∈ ∅. B. m = {0}. C. m ∈ ℝ + . D. m ∈ ℝ.

D. m = 6. m = 2  m 2 − 5m + 6 = 0 m = 3 Lời giải. Phương trình đã cho vô nghiệm khi  2 ⇔ ⇔m =3. m − 2m ≠ 0 m ≠ 0  m ≠ 2  Chọn Chọn C.

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

số m để phương trình đã cho vô nghiệm. A. m = 1. B. m = 2; m = 3.

Câu 4. Cho phương trình (m + 1) x + 1 = (7 m − 5) x + m . Tìm tất cả các giá trị thực của tham

H Ư

Lời giải. Phương trình viết lại (m − 5m + 6) x = m −1 .

D. m = 3.

C. m = 2.

TR ẦN

m = 2 m = 2 m 2 − 5m + 6 = 0  Phương trình vô nghiệm khi  ⇔ m = 3 ⇔  . Chọn Chọn B. m = 3 m −1 ≠ 0   m ≠ 1 2 2 Câu 5. Cho hai hàm số y = (m + 1) x + 3m x + m và y = (m + 1) x 2 + 12 x + 2 . Tìm tất cả các

10 00

giá trị của tham số m để đồ thị hai hàm số đã cho không cắt nhau. A. m = 2. B. m = −2. C. m = ±2. D. m = 1. Lời giải. Đồ thị hai hàm số không cắt nhau khi và chỉ khi phương trình (m + 1) x 2 + 3m 2 x + m = (m + 1) x 2 + 12 x + 2 vô nghiệm

⇔ 3 (m 2 − 4 ) x = 2 − m vô nghiệm

-L

Í-

m 2 − 4 = 0 m = ±2 ⇔  ⇔ ⇔ m = −2. Chọn Chọn A.  2 − m ≠ 0  m ≠ 2 Câu 6. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình (2m − 4 ) x = m − 2 có

ÁN

nghiệm duy nhất. A. m = −1. B. m = 2. C. m ≠ −1. D. m ≠ 2. Lời giải. Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi 2 m − 4 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2 . Chọn Chọn D. Câu 7. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [−10;10 ] để phương trình

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

C. m = 3.

B. m = 2.

nghiệm. A. m = 1.

U Y

Câu 3. Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình (m 2 − 5m + 6 ) x = m 2 − 2m vô

Lời giải. Phương trình viết lại mx = m . m = 0 ⇔ m ∈ ∅ . Chọn Phương trình đã cho vô nghiệm khi  Chọn A.  m ≠ 0

ÀN

(m 2 − 9) x = 3m (m − 3) có nghiệm duy nhất ?

IỄ N

A. 2. B. 19. C. 20. D. 21. Lời giải. Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi m 2 − 9 ≠ 0 ⇔ m ≠ ±3 m ∈[−10;10 ]  → có 19 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn Chọn B. m ∈ℤ Câu 8. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [−5;10 ] để phương trình (m + 1) x = (3m 2 −1) x + m −1 có nghiệm duy nhất. Tổng các phần tử trong S bằng: A. 15.

B. 16.

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

C. 39.

D. 40.

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Lời giải. Phương trình viết lại (3m 2 − m − 2) x = 1 − m .

m ≠ 1  Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi 3m 2 − m − 2 ≠ 0 ⇔   2 m ≠ − 3  [ ]  → m ∈ {−5; −4; −3; −2; −1;0;2;3; 4;5;6;7;8;9;10}. m ∈ℤ

ẠO

1 = 1 ⇔ m = 1 (thỏa mãn (*) ). Chọn Chọn D. m

Yêu cầu bài toán ⇔

1 . m

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Khi đó, nghiệm của phương trình là x =

D. m = 1.  m ≠ 0 Lời giải. Phương trình có nghiệm duy nhất khi m 2 + m ≠ 0 ⇔  . (*)  m ≠ −1

C. m ≠ −1.

TR ẦN

H Ư

tham số m để đồ thị hai hàm số đã cho cắt nhau. A. m ≠ −2. B. m ≠ −3. C. m ≠ −2; m ≠ 3. D. m = −2; m = 3. Lời giải. Đồ thị hai hàm số cắt nhau khi và chỉ khi phương trình

Câu 10. Cho hai hàm số y = (m + 1) x − 2 và y = (3m + 7 ) x + m . Tìm tất cả các giá trị của

(m + 1) x − 2 = (3m + 7 ) x + m có nghiệm duy nhất

⇔ (m 2 − m − 6 ) x = 2 + m có nghiệm duy nhất

10 00

m ≠ 3 . Chọn ⇔ m 2 − m − 6 ≠ 0 ⇔  Chọn C. m ≠ −2 Câu 11. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình (m 2 −1) x = m −1 có

-L

Í-

nghiệm đúng với mọi x thuộc ℝ. A. m = 1. B. m = ±1. C. m = −1. D. m = 0. Lời giải. Phương trình đã cho nghiệm đúng với ∀x ∈ ℝ hay phương trình có vô số nghiệm khi m 2 −1 = 0 ⇔ m = 1 . Chọn Chọn A.  m −1 = 0

ÁN

Câu 12. Cho phương trình m 2 x + 6 = 4 x + 3m. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm. A. m = 2. B. m ≠ −2. C. m ≠ −2 và m ≠ 2. D. m ∈ ℝ. Lời giải. Phương trình viết lại (m 2 − 4 ) x = 3m − 6 .

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

nghiệm duy nhất x = 1. A. m = −1. B. m ≠ 0.

U Y

Câu 9. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình (m 2 + m ) x = m + 1 có

Do đó, tổng các phần tử trong S bằng 39 . Chọn Chọn C.

m ∈ −5;10

ÀN

m 2 − 4 = 0 m = ±2  ⇔  ⇔ m = −2 . Phương trình đã cho vô nghiệm khi  3m − 6 ≠ 0 m ≠ 2

IỄ N

Do đó, phương trình đã cho có nghiệm khi m ≠ −2 . Chọn Chọn B. Câu 13. Cho phương trình (m 2 – 3m + 2) x + m 2 + 4 m + 5 = 0. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm đúng với mọi x thuộc ℝ. A. m = −2. B. m = −5. C. m = 1. D. Không tồn tại.

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Lời giải. Phương trình đã cho nghiệm đúng với ∀x ∈ ℝ hay phương trình có vô số nghiệm khi  m = 1 m 2 − 3m + 2 = 0  ⇔  m = 2 ⇔ m ∈ ∅ . Chọn Chọn D.  2 −(m + 4 m + 5) = 0  m ∈ ∅

H U Y

 m = 0 m = 2 m 2 − 2m = 0  ⇔  ⇔m=0. Lời giải. Phương trình đã cho vô nghiệm khi  m 2 − 3m + 2 ≠ 0 m ≠ 2    m ≠ 1

D. m ≠ 0.

C. m ≠ 0; m ≠ 2.

m để phương trình đã cho có nghiệm. A. m = 0. B. m = 2.

ẠO

Do đó, phương trình đã cho có nghiệm khi m ≠ 0 . Chọn Chọn D.

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Câu 15. Cho hai hàm số y = (m + 1) x + 1 và y = (3m 2 −1) x + m . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hai hàm số đã cho trùng nhau. 2 2 A. m = 1; m = − . B. m ≠ 1 và m ≠ − . 3 3 2 C. m = 1. D. m = − . 3 Lời giải. Đồ thị hai hàm số trùng nhau khi và chỉ khi phương trình (m + 1) x + 1 = (3m 2 −1) x + m có vô số nghiệm

10 00

3m 2 − m − 2 = 0 ⇔  ⇔ m = 1. Chọn Chọn C. 1 − m = 0

⇔ (3m 2 − m − 2 ) x = 1 − m có vô số nghiệm

Vấn đề 2. SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH TRÌNH BẬC BẬC HAI

-L

Í-

Câu 16. Phương trình ax 2 + bx + c = 0 có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi: a ≠ 0 a = 0 . A. a = 0. B.  hoặc    ∆ = 0 b ≠ 0

a ≠ 0 . D.   ∆ = 0 Lời giải. Với a = 0 . Phương trình trở thành bx = −c . Khi đó, phương trình có nghiệm duy nhất khi b ≠ 0 . Với a ≠ 0 . Khi đó, phương trình có nghiệm duy nhất khi ∆ = 0 . Chọn Chọn B. Câu 17. Số −1 là nghiệm của phương trình nào trong các phương trình sau? A. x 2 + 4 x + 2 = 0. B. 2 x 2 − 5 x − 7 = 0. 2 C. −3 x + 5 x − 2 = 0. D. x 3 − 1 = 0. Lời giải. Xét các đáp án:

IỄ N

ÀN

ÁN

C. a = b = c = 0.

Câu 14. Cho phương trình (m 2 − 2m ) x = m 2 − 3m + 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Đáp án A. Ta có (−1) + 4. (−1) + 2 = −1 ≠ 0 . 2

Đáp án B. Ta có 2. (−1) − 5. (−1) − 7 = 0 . 2

Đáp án C. Ta có −3. (−1) + 5. (−1) − 2 = −10 ≠ 0 .

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Đáp án D. Ta có (−1) −1 = −2 ≠ 0 .

Ơ U Y

Lời giải. Ta có x 2 − 7 x + 12 = 0 ⇔ x 2 = 7 x − 12 . Do đó, nghiệm của phương trình đã cho có thể xem là hoành độ giao điểm của 2 đồ thị hàm số y = x 2 và y = 7 x −12 . Chọn Chọn D.

D. y = x 2 và y = 7 x −12.

C. y = x 2 và y = 7 x + 12.

Chọn Chọn B. Câu 18. Nghiệm của phương trình x 2 − 7 x + 12 = 0 có thể xem là hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số nào sau đây? A. y = x 2 và y = −7 x + 12. B. y = x 2 và y = −7 x −12.

1 4

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Phương trình vô nghiệm khi ∆ < 0 ⇔ 1 − 4 m < 0 ⇔ m >

D. 21.

C. m > 2.

D. m ≥ 2.

TR ẦN

A. m ≤ −2. B. m < −2. Lời giải. Với m + 1 = 0 ⇔ m = −1 .

H Ư

m ∈ ℤ  → m ∈ {1;2;3;...;10}  → Có 10 giá trị thỏa mãn. Chọn Do  Chọn B.  m ∈ [−10;10 ]  Câu 20. Phương trình (m + 1) x 2 − 2mx + m − 2 = 0 vô nghiệm khi:

3 . 2 Với m + 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ −1 . Ta có ∆ ′ = m 2 − (m − 2 )(m + 1) = m + 2 . Khi đó phương trình trở thành 2 x − 3 = 0 ⇔ x =

10 00

Phương trình vô nghiệm khi ∆ ′ < 0 ⇔ m + 2 < 0 ⇔ m < −2. Chọn Chọn B. Câu 21. Số nguyên k nhỏ nhất thỏa mãn phương trình 2 x (kx − 4 ) − x 2 + 6 = 0 vô nghiệm là?

1 . 2

Với 2 k −1 = 0 ⇔ k =

D. k = 3.

A. k = −1. B. k = 1. C. k = 2. Lời giải. Phương trình viết lại (2 k −1) x 2 − 8 x + 6 = 0 .

Í-

Khi đó, phương trình trở thành −8 x + 6 = 0 ⇔ x =

3 . 4

-L

1 2 . Ta có ∆ ′ = (−4 ) − (2 k −1).6 = −12 k + 22 . 2

ÁN

Với 2 k −1 ≠ 0 ⇔ k ≠

11 . 6

Khi đó, phương trình đã cho vô nghiệm khi ∆ ′ < 0 ⇔ −12 k + 22 < 0 ⇔ k >

ÀN

Do đó, số nguyên k nhỏ nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán là k = 2 . Chọn Chọn C. 2 Câu 22. Phương trình (m – 2 ) x + 2 x – 1 = 0 có nghiệm kép khi:

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

C. 20.

trình x 2 − x + m = 0 vô nghiệm? A. 9. B. 10. Lời giải. Ta có ∆ = 1 − 4m .

Câu 19. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m thuộc đoạn [−10;10 ] để phương

C. m = 2. D. m = −1. m − 2 ≠ 0 m ≠ 2 ⇔ ⇔ m =1. Lời giải. Phương trình đã cho có nghiệm kép khi  ∆ ′ = m −1 = 0 m = 1

B. m = 1.

IỄ N

A. m = 1; m = 2.

Chọn Chọn B. Câu 23. Phương trình mx 2 + 6 = 4 x + 3m có nghiệm duy nhất khi: A. m ∈ ∅. B. m = 0. C. m ∈ ℝ. Lời giải. Phương trình viết lại mx 2 − 4 x + (6 − 3m ) = 0 .

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

D. m ≠ 0.

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Với m = 0 . Khi đó, phương trình trở thành 4 x − 6 = 0 ⇔ x =

3 . Do đó, m = 0 là một giá 2

trị cần tìm. 2

Với m ≠ 0 . Ta có ∆ ′ = (−2 ) − m (6 − 3m ) = 3m 2 − 6 m + 4 = 3 (m −1) + 1 > 0

Ơ H

D. m = 1. 1 Lời giải. Với m = 0 . Khi đó, phương trình trở thành −2 x + 1 = 0 ⇔ x = . Do đó, m = 0 là 2 một giá trị cần tìm. 2 Với m ≠ 0 . Ta có ∆ ′ = −(m + 1) − m (m + 1) = m + 1 . Khi đó, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi ∆ ′ = 0 ⇔ m + 1 = 0 ⇔ m = −1 . Chọn Chọn C. Câu 25. Phương trình (m + 1) x 2 – 6 (m + 1) x + 2m + 3 = 0 có nghiệm kép khi: C. m = 0; m = −1.

B. m = −1.

TR ẦN

m ≠ −1  m + 1 ≠ 0  m = −1 6 ⇔  2 ⇔  ⇔ m = − . Chọn Chọn C. 7m + 13m + 6 = 0  7 6   m = − 7 

10 00

Câu 26. Phương trình 2 ( x 2 −1) = x (mx + 1) có nghiệm duy nhất khi:

17 17 . B. m = 2. C. m = 2; m = . 8 8 Lời giải. Phương trình viết lại (2 − m ) x 2 − x − 2 = 0 .

D. m = −1.

A. m =

Í-

Với 2 − m = 0 ⇔ m = 2 . Khi đó, phương trình trở thành −x − 2 = 0 ⇔ x = −2 . Do đó, m = 2 là một giá trị cần tìm. 2

-L

Với 2 − m ≠ 0 ⇔ m ≠ 2 . Ta có ∆ = (−1) − 4 (2 − m ). (−2 ) = −8m + 17 .

ÁN

Khi đó, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi ∆ = 0 ⇔ −8m + 17 = 0 ⇔ m =

17 . 8

ÀN

Chọn Chọn C. Câu 27. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình (m − 2 ) x 2 − 2 x + 1 − 2m = 0 có nghiệm duy nhất. Tổng của các phần tử trong S bằng:

5 . 2

B. 3.

7 . 2

9 . 2

IỄ N

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

6 D. m = . 7

6 7

6 C. m = − . 7 m + 1 ≠ 0 Lời giải. Phương trình đã cho có nghiệm kép khi  ∆ ′ = 0 B. m = −1; m = −

A. m = −1.

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

A. m = 0.

Khi đó, phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt nên m ≠ 0 không thỏa. Chọn Chọn B. Câu 24. Phương trình mx 2 – 2 (m + 1) x + m + 1 = 0 có nghiệm duy nhất khi:

3 Lời giải. Với m = 2 , phương trình trở thành −2 x − 3 = 0 ⇔ x = − . Do đó m = 2 là một 2 giá trị cần tìm. Với m ≠ 2 , phương trình đã cho là phương trình bậc hai có ∆ ′ = 2 m 2 − 5m + 3 . Để phương 3 trình có nghiệm duy nhất ⇔ ∆ ′ = 0 ⇔ m = hoặc m = 1 . 2

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

3 9  3  → tổng các phần tử trong S bằng 1 + + 2 = . Chọn Vậy S = 1; ; 2  Chọn D.  2  2 2 Câu 28. Phương trình (m −1) x 2 + 6 x −1 = 0 có hai nghiệm phân biệt khi: 5 B. m > − . 4

5 D. m > − ; m ≠ 1. 4 m −1 ≠ 0 m ≠ 1 Lời giải. Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi  ⇔  ∆ ′ > 0 m + 8 > 0

C. m > −8; m ≠ 1.

B. 6.

C. 9.

D. 10. m ≠ 0 m ≠ 0 Lời giải. Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi  ⇔ ∆ ′ > 0 5m + 4 > 0 m ≠ 0   m ∈ ℤ  → m ∈ {1;2;3; 4;5}  → Có 5 giá trị nguyên của m thỏa ⇔ 4 . Do  m ∈ [−5;5] m > −   5 mãn yêu cầu bài toán. Chọn Chọn A. Câu 30. Phương trình (m 2 + 2 ) x 2 + (m − 2) x − 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt khi: A. 0 < m < 2.

B. m > 2.

C. m ∈ ℝ.

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

A. 5.

mx 2 − 2 (m + 2 ) x + m −1 = 0 có hai nghiệm phân biệt.

( P ) : y = (m – 1) x 2 + 2 mx + 3m – 1.

10 00

D. m ≤ 2. m 2 + 2 ≠ 0 Lời giải. Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi   ∆ > 0 ⇔ 13m 2 − 4 m + 28 > 0 ⇔ m ∈ ℝ . Chọn Chọn C. Câu 31. Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng d : y = 2 x + m tiếp xúc với parabol

A. m = 1. B. m = −1. C. m = 0. D. m = 2. Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm (m −1) x 2 + 2 mx + 3m −1 = 2 x + m

Í-

⇔ (m −1) x 2 + 2 (m −1) x + 2m −1 = 0. (*)

-L

Để d tiếp xúc với ( P ) khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm kép

IỄ N

ÀN

ÁN

m ≠ 1 m −1 ≠ 0  ⇔ ⇔ m = 0 ⇔ m = 0. Chọn Chọn C. ∆ ' = (m – 1)2 – (m – 1)(2m – 1) = – m (m – 1) = 0    m = 1 2 Câu 32. Phương trình x + m = 0 có nghiệm khi: A. m > 0. B. m < 0. C. m ≤ 0. D. m ≥ 0. Lời giải. giải. Phương trình tương đương với x 2 = −m . Do vế trái của phương trình không âm nên để phương trình có nghiệm khi và chỉ khi −m ≥ 0 ⇔ m ≤ 0. Chọn Chọn C.

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

m ≠ 1 ⇔  . Chọn Chọn C. m > −8 Câu 29. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m thuộc đoạn [−5;5] để phương trình

A. m > −8.

Câu 33. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc [−20;20 ] để phương trình x 2 − 2 mx + 144 = 0 có nghiệm. Tổng của các phần tử trong S bằng: A. 21. B. 18. C. 1. D. 0. m ≥ 12 Lời giải. Phương trình có nghiệm khi ∆/ = m 2 −144 ≥ 0 ⇔ m 2 ≥ 12 2 ⇔  m ≤ −12 

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

[ ]  → S = {−20; −19; −18;...; −12;12;13;14;...;20} . m ∈ℤ m ∈ −20;20

Do đó tổng các phần tử trong tập S bằng 0. Chọn Chọn D. Câu 34. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hai đồ thị hàm số y = −x 2 − 2 x + 3 và

7 D. m ≥ − . 2

Để hai đồ thị hàm số có điểm chung khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm

ẠO

5 C. m = − . 4

5 D. m = . 4

H Ư

1 Lời giải. giải. • Với m = 1 , phương trình trở thành 3 x −1 = 0 ⇔ x = . 3 Do đó m = 1 thỏa mãn. • Với m ≠ 1 , ta có ∆ = 9 + 4 (m −1) = 4 m + 5 .

5 B. m ≤ − . 4

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

5 A. m ≥ − . 4

7 ⇔ ∆/ = 1 − 2 (−m − 3) ≥ 0 ⇔ m ≥ − . Chọn Chọn D. 2 Câu 35. Phương trình (m −1) x 2 + 3 x −1 = 0 có nghiệm khi:

TR ẦN

5 m ≠−1 5 Phương trình có nghiệm khi ∆ ≥ 0 ⇔ 4 m + 5 ≥ 0 ⇔ m ≥ −  →− ≤ m ≠ −1. 4 4 5 Hợp hai trường hợp ta được m ≥ − là giá trị cần tìm. Chọn Chọn A. 4 Câu 36. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [−10;10 ] để phương trình

10 00

mx 2 − mx + 1 = 0 có nghiệm. A. 17. B. 18. C. 20. Lời giải. Nếu m = 0 thì phương trình trở thành 1 = 0 : vô nghiệm.

D. 21.

-L

Í-

m ≤ 0 / 0, phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi ∆ = m 2 − 4 m ≥ 0 ⇔  Khi m = m ≥ 4  m < 0 Kết hợp điều kiện m = / 0, ta được  m ≥ 4  m ∈ℤ, m ∈[−10;10 ]  → m ∈ {−10; −9; −8;...; −1} ∪ {4;5;6;...;10} .

IỄ N

ÀN

ÁN

Chọn A. Vậy có tất cả 17 giá trị nguyên m thỏa mãn bài toán. Chọn 2 Câu 37. Biết rằng phương trình x − 4 x + m + 1 = 0 có một nghiệm bằng 3 . Nghiệm còn lại của phương trình bằng: A. −1. B. 1. C. 2. D. 4. Lời giải. Vì phương trình đã cho có nghiệm bằng 3 nên thay x = 3 vào phương trình, ta được 9 −12 + m + 1 = 0 ⇔ m = 2. x = 3 . Chọn Với m = 2 phương trình trở thành x 2 − 4 x + 3 = 0 ⇔  Chọn B. x = 1  Câu 38. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 3 x 2 − (m + 2) x + m −1 = 0 có một nghiệm gấp đôi nghiệm còn lại.

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

7 7 7 A. m = − . B. m < − . C. m > − . 2 2 2 2 Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm −x − 2 x + 3 = x 2 − m ⇔ 2 x 2 + 2 x − m − 3 = 0 . (*)

y = x 2 − m có điểm chung.

1   5    2  A. m ∈  ;7. B. m ∈ −2; − . C. m ∈ 0; .  2     5  2  Lời giải. Phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > 0

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

 3  D. m ∈ − ;1.  4 

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

TR ẦN

H Ư

 m +1 m +1    x ⋅ x = 3m − 5 ; x + x = 2 (m + 1) x1 = 2 , x 2 = 6 1 2 Theo đinh lí Viet, ta có  1 2 ⇔  3 3   3m − 5  x1 = 3 x 2 x1 ⋅ x 2 = 3  2  m =3 (m + 1) 3m − 5 . Chọn  → = ⇔ m 2 −10m + 21 = 0 ⇔  Chọn C. m = 7 12 3  Câu 40. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình ( x −1)( x 2 − 4 mx − 4 ) = 0 ba nghiệm phân biệt.

3 3 C. m ≠ . D. m ≠ − . 4 4 x = 1 . Lời giải. Ta có ( x −1)( x 2 − 4 mx − 4 ) = 0 ⇔  2  g ( x ) = x − 4 mx − 4 = 0 (*) Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (*) có hai nghiệm phân biệt khác A. m ∈ ℝ.

10 00

B. m ≠ 0.

ÁN

-L

Í-

∆ ′ = 4 m 2 + 4 > 0 3  1 ⇔ ⇔m= / − . Chọn Chọn D.  g (1) = 1 − 4 m − 4 = 4 /0 

Vấn đề 3. DẤU CỦA NGHIỆM PHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH TRÌNH BẬC BẬC HAI

Câu 41. Phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu khi và chỉ

Ơ H N

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

D. m ∈ ∅.

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

A. m = 7. B. m = 3. C. m = 3; m = 7. Lời giải. Phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ ' > 0 2  7  15 2  ⇔ m − 7 m + 16 > 0 ⇔ m −  + > 0, ∀m ∈ ℝ.  2 4

U Y

 2 1 m −1 m +2   x1 = (m + 2 ), x 2 = (m + 2) x x ; x x ⋅ = + = 9 9 1 2 1 2 Theo đinh lí Viet, ta có  3 3 ⇔     m −1  x1 = 2 x 2  x1 ⋅ x 2 = 3   5 m = 2 m −1 2  → (m + 2 ) = ⇔ 2m 2 −19m + 35 = 0 ⇔  Chọn A. 2 (thỏa (*) ). Chọn  81 3  m = 7 Câu 39. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 3 x 2 − 2 (m + 1) x + 3m − 5 = 0 có một nghiệm gấp ba nghiệm còn lại.

⇔ m 2 − 8m + 16 > 0 ⇔ (m − 4 ) > 0 ⇔ m = / 4. (*)

khi:

IỄ N

ÀN

∆ > 0 ∆ ≥ 0 ∆ > 0 ∆ > 0 . . . . A.  B.  C.  D.      P > 0 P > 0 S > 0 S < 0 Lời giải. Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi ∆ > 0 . Khi đó, gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x 2 . Do x1 và x 2 cùng dấu nên x1 x 2 > 0 hay P > 0 . Chọn Chọn A. Câu 42. Phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi:

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

  ∆ > 0 ∆ > 0 ∆ > 0   . B. P > 0 . C. P > 0 . D.     S > 0 S > 0 S < 0 Lời giải. Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi ∆ > 0 . Khi đó, gọi 2 nghiệm của phương trình là x1 và x 2 . Do x1 và x 2 là hai nghiệm âm nên

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

Lời giải. Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi ∆ > 0 . Khi đó, gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x 2 . Do x1 và x 2 là hai nghiệm dương nên

H Ư

 x1 + x 2 > 0 hay S > 0 . Chọn Chọn B.  x1 x 2 > 0 P > 0 Câu 44. Phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi:

TR ẦN

∆ > 0 ∆ > 0 . . A.  B.  C. P < 0. D. P > 0.   S < 0 S > 0 Lời giải. Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi ∆ > 0 . Khi đó, gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x 2 . Do x1 và x 2 là hai nghiệm trái dấu nên x1 x 2 < 0 hay P < 0 .

c < 0 ⇒ ac < 0 ⇒ ∆ = b2 − 4 ac > 0 . Do đó, phương trình có hai nghiệm a trái dấu khi và chỉ khi P < 0 . Chọn Chọn C. Câu 45. Phương trình x 2 − mx + 1 = 0 có hai nghiệm âm phân biệt khi: A. m < −2. B. m > 2. C. m ≥ −2. D. m ≠ 0. 2  ∆ > 0 m − 4 > 0   Lời giải. Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi  S < 0 ⇔ m < 0   P > 0 1 > 0 m < −2  ⇔ m > 2 ⇔ m < −2 . Ch Chọn ọn A.  m < 0

ÁN

-L

Í-

10 00

Mặt khác, P < 0 ⇔

Câu 46. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc [−5;5] để phương trình

Ơ H N

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

∆ > 0 . D.   S > 0

 ∆ > 0  C. P > 0 .  S < 0

 ∆ > 0  B. P > 0 .  S > 0

∆ > 0 . A.   P > 0

U Y

 x1 + x 2 < 0 S < 0 hay  . Chọn Chọn C.    x1 x 2 > 0 P > 0 Câu 43. Phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi:

∆ > 0 . A.   P > 0

ÀN

x 2 + 4 mx + m 2 = 0 có hai nghiệm âm phân biệt? A. 5. B. 6. C. 10.

IỄ N

D. 11. ∆ ′ > 0 3m 2 > 0   S < 0 ⇔ −4 m < 0 Lời giải. Phương trình đã cho có hai nghiệm âm phân biệt khi    P > 0 m 2 > 0 m ≠ 0 m ∈ ℤ ⇔  ⇔ m > 0 . Do   → m ∈ {1;2;3; 4;5}  → Có 5 giá trị của m thỏa m > 0 m ∈ [−5;5]  mãn yêu cầu bài toán. Chọn Chọn A.

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Câu 48. Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [−2;6 ] để phương

TR ẦN

H Ư

trình x 2 + 4 mx + m 2 = 0 có hai nghiệm dương phân biệt. Tổng các phần tử trong S bằng: A. −3. B. 2. C. 18. D. 21. ∆ ′ > 0 3m 2 > 0   S > 0 ⇔ −4 m > 0 Lời giải. Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi    P > 0 m 2 > 0 m ≠ 0 m ∈[−2;6 ] ⇔  ⇔ m < 0  → S = {−2; −1} . Do đó, tổng các phần tử trong S bằng −3 . m ∈ℤ m < 0 m

để phương trình

10 00

Chọn Chọn A. Câu 49. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số x 2 − 2 (m + 1) x + m 2 −1 = 0 có hai nghiệm dương phân biệt là:

 1  C. m ∈ − ; +∞. D. m ∈ (−∞ ; −1).  2   ∆ ′ = 2m + 2 > 0  Lời giải. Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt ⇔ S = 2 (m + 1) > 0  P = m 2 −1 > 0  B. m ∈ (1 ; + ∞).

Í-

A. m ∈ (−1 ;1).

ÀN

ÁN

-L

  m > −1  ⇔ m > −1 ⇔ m > 1 . Vậy với m > 1 thì thỏa bài toán. Chọn Chọn B.  m > 1  m < −1 Câu 50. Phương trình (m −1) x 2 + 3 x −1 = 0 có hai nghiệm trái dấu khi: A. m > 1.

B. m < 1.

Ơ H

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

ẠO

U Y

Câu 47. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình mx 2 + x + m = 0 có hai nghiệm âm phân biệt là:  1   1 1  1 A. m ∈ − ;0. B. m ∈ − ; . C. m ∈ (0;2 ). D. m ∈ 0 ; .  2   2 2   2   m ≠ 0 a ≠ 0  1 − 4 m 2 > 0 ∆ > 0  Lời giải. Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi  ⇔  1  S < 0 − < 0   m P > 0  1 > 0 m ≠ 0   1 1 1 ⇔ − < m < ⇔ 0 < m < . Chọn Chọn D.  2 2 2  m > 0

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

D. m ≤ 1. m −1 ≠ 0  a ≠ 0 Lời giải. Phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu khi  ⇔   −1 <0 P < 0   m −1 ⇔ m −1 > 0 ⇔ m > 1 . Chọn Chọn A.

IỄ N

C. m ≥ 1.

Vấn đề 4. BIỂU THỨC ĐỐI XỨNG GIỮA CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH TRÌNH BẬC BẬC HAI

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 51. Giả sử phương trình x 2 − (2m + 1) x + m 2 + 2 = 0 ( m là tham số) có hai nghiệm là

x1 , x 2 . Tính giá trị biểu thức P = 3 x1 x 2 − 5 ( x1 + x 2 ) theo m. B. P = 3m 2 + 10 m − 5. D. P = 3m 2 + 10 m + 1. 2  x1 x 2 = m + 2 Lời giải. Theo định lý Viet, ta có  .   x1 + x 2 = 2m + 1 Thay vào P , ta được P = 3 (m 2 + 2) − 5 (2m + 1) = 3m 2 −10 m + 1. Chọn Chọn C.

U Y

A. P = 3m 2 − 10 m + 6. C. P = 3m 2 − 10 m + 1.

giá trị biểu thức P = x12 (1 − x 2 ) + x 22 (1 − x1 ) theo m.

D. P = −5m + 9.

ẠO

A. P = −m + 9. B. P = 5m + 9. C. P = m + 9. 2 2 2 Lời giải. Ta có P = x1 (1 − x 2 ) + x 2 (1 − x1 ) = x1 − x12 . x 2 + x 22 − x 22 . x1 2

Đ G

H Ư

 x1 + x 2 = 3 . Theo định lý Viet, ta có    x1 . x 2 = −m Thay vào P , ta được P = 32 − 2(−m ) − (−m ).3 = 5m + 9. Chọn Chọn B.

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

= x12 + x 22 − x1 . x 2 ( x1 + x 2 ) = ( x1 + x 2 ) − 2 x1 . x 2 − x1 . x 2 ( x1 + x 2 ).

Câu 53. Giả sử phương trình 2 x 2 − 4 ax − 1 = 0 có hai nghiệm x1 , x 2 . Tính giá trị của biểu

TR ẦN

thức T = x1 − x 2 .

4a2 + 2 a2 + 8 a2 + 8 . B. T = 4 a2 + 2. . . C. T = D. T = 2 4 3 Lời giải. Vì x1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình 2 x 2 − 4 ax − 1 = 0.  4a  1 Theo hệ thức Viet, ta có x1 + x 2 = −−  = 2 a và x1 x 2 = − . (1).  2  2

10 00

A. T =

(2 ).

Ta có T = x1 − x 2 ⇔ T 2 = ( x1 − x 2 ) = ( x1 + x 2 ) − 4 x1 x 2 .

 1 2 Từ (1) và (2 ) suy ra T 2 = (2a) − 4. −  = 4 a2 + 2 ⇒ T = 4 a2 + 2 > 0. Chọn Chọn B.  2 

4 q + 1.

-L

Í-

Câu 54. Cho phương trình x 2 + px + q = 0 trong đó p > 0, q > 0. Nếu hiệu các nghiệm của phương trình bằng 1. Khi đó p bằng B.

4 q −1.

C. − 4 q + 1.

D. q + 1. 2

ÁN

Lời giải. Giả sử x1 , x 2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình x + px + q = 0.

 x1 + x 2 = − p < 0 Theo hệ thức Viet, ta có  (vì p, q > 0 ).   x1 x 2 = q > 0 2

(1) 2

ÀN

Từ giả thiết, ta có x1 − x 2 = 1 ⇔ ( x1 − x 2 ) = 1 ⇔ ( x1 + x 2 ) − 4 x1 x 2 = 1.

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

Câu 52. 52. Giả sử phương trình x 2 − 3 x − m = 0 ( m là tham số) có hai nghiệm là x1 , x 2 . Tính

(2 )

Từ (1), (2) suy ra p − 4 q = 1 ⇔ p = 4 q + 1 ⇔ p = 4 q + 1 > 0. Chọn Chọn A. 2

IỄ N

Câu 55. Gọi x1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình x 2 − (2m + 1) x + m 2 + 1 = 0 ( m là tham

số). Tìm giá trị nguyên của m sao cho biểu thức P = A. m = −2.

B. m = −1. 2

x1 x 2 có giá trị nguyên. x1 + x 2

C. m = 1.

D. m = 2.

Lời giải. Ta có ∆ = (2m + 1) − 4(m + 1) = 4 m − 3 .

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

3 Để phương trình có hai nghiệm ⇔ ∆ ≥ 0 ⇔ m ≥ . 4  x1 + x 2 = 2m + 1 Theo định lý Viet, ta có  .  x1 x 2 = m 2 + 1  xx m 2 + 1 2 m −1 5 5 Khi đó P = 1 2 = . = +  → 4 P = 2m −1 + 4 4 (2 m + 1) 2m + 1 x1 + x 2 2 m + 1

3 5 nên 2m + 1 ≥ . 4 2 Để P ∈ ℤ thì ta phải có (2m + 1) là ước của 5 , suy ra 2 m + 1 = 5 ⇔ m = 2 .

U Y

Do m ≥

Chọn Thử lại với m = 2 , ta được P = 1 : thỏa mãn. Ch ọn D. Câu 56. Gọi x1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình x 2 − 2 (m + 1) x + m 2 + 2 = 0 ( m là tham

B. m = 1.

C. m = 2.

D. m = −12.

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

1 A. m = . 2

ẠO

số). Tìm m để biểu thức P = x1 x 2 − 2 ( x1 + x 2 ) − 6 đạt giá trị nhỏ nhất.

N H Ư

TR ẦN

1 Để phương trình có hai nghiệm ⇔ ∆ ' ≥ 0 ⇔ m ≥ . (*) 2  x1 + x 2 = 2m + 2 . Theo định lý Viet, ta có    x1 . x 2 = m 2 + 2 

Lời giải. Ta có ∆ ' = (m + 1) − (m 2 + 2) = 2m −1 .

Khi đó P = x1 x 2 − 2 ( x1 + x 2 ) − 6 = m 2 + 2 − 2 (2 m + 2 ) − 6 = (m − 2 ) −12 ≥ −12. Dấu '' = '' xảy ra khi và chỉ khi m = 2 : thỏa (*) . Chọn Chọn C.

10 00

Câu 57. Gọi x1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình 2 x 2 + 2 mx + m 2 − 2 = 0 ( m là tham số). Tìm giá trị lớn nhất Pmax của biểu thức P = 2 x1 x 2 + x1 + x 2 − 4 .

9 D. Pmax = . 4

1 25 A. Pmax = . B. Pmax = 2. C. Pmax = . 2 4 2 2 2 Lời giải. Ta có ∆ ' = m − 2 (m − 2 ) = −m + 4 .

Để phương trình có hai nghiệm khi và chỉ khi ∆ ' = 4 − m 2 ≥ 0 ⇔ −2 ≤ m ≤ 2. (*)

ÁN

-L

Í-

  x1 + x 2 = −m 2 . Theo định lý Viet, ta có   x1 x 2 = m − 2  2 Khi đó A = 2 x1 x 2 + x1 + x 2 − 4 = m 2 − m − 6 = (m + 2 )(m − 3) = −(m + 2 )(m − 3) 2

IỄ N

ÀN

 1 25 25 = −m 2 + m + 6 = −m −  + ≤ (do −2 ≤ m ≤ 2 ).  2 4 4 1 Dấu '' = '' xảy ra khi và chỉ khi m = : thỏa (*) . Chọn Chọn C. 2 Câu 58. Gọi x1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình x 2 − 2 (m −1) x + 2m 2 − 3m + 1 = 0 ( m là

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

tham số). Tìm giá trị lớn nhất Pmax của biểu thức P = x1 + x 2 + x1 x 2 .

1 A. Pmax = . 4

B. Pmax = 1.

9 C. Pmax = . 8

D. Pmax =

9 . 16

Lời giải. giải. Ta có ∆ ' = (m −1) − (2m 2 − 3m + 1) = −m 2 + m = m (1 − m ). Để phương trình có hai nghiệm ⇔ ∆ ' ≥ 0 ⇔ 0 ≤ m ≤ 1. (*)

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

 x1 + x 2 = 2 (m −1) . Theo định lý Viet, ta có    x . x = 2m 2 − 3m + 1  1 2 2

U Y

  1 1 3 1 9 1 9 →− ≤ m − ≤  → m −  ≤  → m −  − ≤ 0. Vì 0 ≤ m ≤ 1      4 4 4 4 16 4  16 2 2 2    1 9 9  1  9 1 9 Do đó P = 2 m −  − = 2  − m −   = − 2 m −  ≤ .     16   4  16 4   8 4 8

1 : thỏa mãn (*) . Chọn Chọn C. 4 Câu 59. Gọi x1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình x 2 − mx + m − 1 = 0 ( m là tham số). Tìm

Dấu '' = '' xảy ra khi và chỉ khi m =

ẠO Đ

B. m = 1.

5 D. m = . 2

C. m = 2.

1 A. m = . 2

2 x1 x 2 + 3 đạt giá trị lớn nhất. x12 + x 22 + 2 ( x1 x 2 + 1)

TR ẦN

Do đó phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m .  x1 + x 2 = m Theo hệ thức Viet, ta có  .   x1 x 2 = m −1

H Ư

Lời giải. giải. Ta có ∆ = m 2 − 4 (m −1) = (m − 2 ) ≥ 0 , với mọi m .

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

m để biểu thức P =

2 x1 x 2 + 3 2m + 1 . = 2 2 x + x 2 + 2( x1 x 2 + 1) m + 2 2 1

10 00

Khi đó P =

Suy ra x12 + x 22 = ( x1 + x 2 ) − 2 x1 x 2 = m 2 − 2 (m −1) = m 2 − 2 m + 2 .

(m −1) 2m + 1 2m + 1 − m 2 − 2 1 − = =− 2 ≤ 0, ∀m ∈ ℝ. 2 2 m +2 m +2 m +2 Suy ra P ≤ 1, ∀m ∈ ℝ. Dấu '' = '' xảy ra khi và chỉ khi m = 1. Chọn Chọn B. 2 Câu 60. Gọi x1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình x − mx + m − 1 = 0 ( m là tham số). Tìm

Suy ra P −1 =

2 x1 x 2 + 3 . x + x 22 + 2 ( x1 x 2 + 1) 2 1

-L

Í-

giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức P =

ÁN

A. Pmin = −2.

1 B. Pmin = − . 2

C. Pmin = 0.

D. Pmin = 1.

Lời giải. giải. Ta có ∆ = m 2 − 4 (m −1) = (m − 2 ) ≥ 0 , với mọi m .

ÀN

Do đó phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m .  x1 + x 2 = m . Theo hệ thức Viet, ta có    x1 x 2 = m −1

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

 1 9 m 1 − = 2 m −  − .  2 2 4  16

Khi đó P = x1 + x 2 + x1 . x 2 = 2 (m −1) + 2 m 2 − 3m + 1 = 2 m 2 −

IỄ N

Suy ra x12 + x 22 = ( x1 + x 2 ) − 2 x1 x 2 = m 2 − 2 (m −1) = m 2 − 2 m + 2 .

Khi đó P =

2 x1 x 2 + 3 2m + 1 = 2 . 2 x + x 2 + 2( x1 x 2 + 1) m + 2 2 1

Suy ra P +

2 (m + 2 ) 1 2m + 1 1 2 (2m + 1) + m + 2 = 2 + = = ≥ 0, ∀m ∈ ℝ. 2 2 m +2 2 2 (m + 2 ) 2 (m 2 + 2 )

1 Suy ra P ≥ − , ∀m ∈ ℝ. Dấu '' = '' xảy ra khi và chỉ khi m = −2. Chọn Chọn B. 2

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ơ H N

phương trình x 2 + mx + n = 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng? 3

B. p = m 3 + 3mn.

m  p D.   = .  n  q

C. p = m 3 − 3mn.

ẠO

A. p + q = m 3 .

 → m + n = −1. Chọn Chọn B. Câu 62. Giả sử các nghiệm của phương trình x 2 + px + q = 0 là lập phương các nghiệm của

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Lời giải. Giả sử phương trình x 2 + px + q = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x 2 và phương

trình x 2 + mx + n = 0 có hai nghiệm phân biệt x 3 , x 4 .

TR ẦN

H Ư

 x1 = x 33 2  Theo bài ra, ta có  ⇔ x1 + x 2 = x 33 + x 43 = ( x 3 + x 4 ) ( x 3 + x 4 ) − 3 x 3 x 4  . (∗)    x 2 = x 43    x1 + x 2 = − p  Theo hệ thức Viet, ta có  x 3 + x 4 = − m , thay vào (∗), ta được − p = − m (m 2 − 3n ).   x 3 x 4 = n 2 Vậy p = m (m − 3n ) = m 3 − 3mn. Chọ Chọn C.

1 là nghiệm của phương trình x 2 − 2 x + m = 0. x0

Í-

Suy ra

10 00

ÁN

-L

 2  x 0 − 2mx 0 + 1 = 0  2 2  x 0 − 2mx 0 + 1 = 0. Khi đó, ta có hệ  ⇔  1    − 2 + m = 0 mx 02 − 2 x 0 + 1 = 0.    x0  x 0 

(1) (2 )

IỄ N

ÀN

m = 1 . Lấy (1) − (2), ta được x 02 (1 − m ) − 2 x 0 (m −1) = 0 ⇔ (m −1)( x 02 + 2 x 0 ) = 0 ⇔  x0 = −2  5 2 Với x 0 = − 2 thay vào (1), ta được (− 2 ) − 2m. (− 2 ) + 1 = 0 ⇔ m = − . 4 5 1 Vậy tổng tất cả giá trị của m cần tìm là m1 + m 2 = 1 − = − . Chọn Chọn C. 4 4 Câu 64. Cho hai phương trình x 2 − mx + 2 = 0 và x 2 + 2 x − m = 0 . Có bao nhiêu giá trị của m để một nghiệm của phương trình này và một nghiệm của phương trình kia có tổng là 3 ? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. 2 Lời giải. Gọi x 0 là một nghiệm của phương trình x − mx + 2 = 0.

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

Câu 61. Nếu m ≠ 0 và n ≠ 0 là các nghiệm của phương trình x 2 + mx + n = 0 thì tổng m + n bằng: 1 1 A. − . B. −1. C. . D. 1. 2 2 m + n = − m n = − 2m m = 1 Lời giải. Theo hệ thức Viet, ta có  ⇔ (n ≠ 0 ) ⇔   m.n = n m = 1 n = − 2

Vấn đề 5. TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH TRÌNH BẬC BẬC HAI

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ơ H N

U Y

 2 x 02 − mx 0 + 2 = 0. (1)  x 0 − mx 0 + 2 = 0  Khi đó, ta có hệ  ⇔ (3 − x )2 + 2 (3 − x ) − m = 0 m = x 02 − 8 x 0 + 15. (2 ) 0 0   x = 2  0 (2 ) 2 2  → cho ta 3 Thay (2 ) vào (1), ta được x 0 − ( x 0 − 8 x 0 + 15) x 0 + 2 = 0 ⇔  x = 7 ± 3 5  0 2  giá trị của m cần tìm. Chọn Chọn D. Câu 65. Cho a, b, c, d là các số thực khác 0 . Biết c và d là hai nghiệm của phương trình

Suy ra 3 − x 0 là một nghiệm của phương trình x 2 + 2 x − m = 0.

thức S = a + b + c + d .

−1 + 5 . D. S = 2. 2 Lời giải. Vì c, d là hai nghiệm của phương trình x 2 + ax + b = 0 suy ra c + d = − a. C. S =

B. S = 0.

Vì a, b là hai nghiệm của phương trình x 2 + cx + d = 0 suy ra a + b = − c. c + d = − a a + c = − d ⇔ ⇔ b = d. Khi đó, ta có hệ   a + b = − c a + c = − b

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

A. S = − 2.

TR ẦN

H Ư

a = c c2 + ac + b = 0 .  → c2 − a2 + b − d = 0 ⇔ a2 = c2 ⇔  Lại có   2   a = − c a + ca + d = 0 Với a = −c thì từ c + d = − a  → d = 0 : mâu thuẫn giả thiết.

10 00

→ d = −2 c và từ a + b = − c  → b = −2 c. Với a = c thì từ c + d = − a  c = 0 (loaïi) a=c . Ta có c2 + ac + b = 0  → 2c2 − 2 c = 0 ⇔  b=−2 c c = 1(thoaû) Khi đó S = a + b + c + d = c − 2 c + c − 2 c = −2 c = −2.1 = −2. Chọn Chọn A.

Í-

Vấn đề 6. PHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH TRÌNH QUY VỀ VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRÌNH BẬC BẬC NHẤT, BẬC HAI

-L

Câu 66. Tập nghiệm S của phương trình 2 x +

ÁN

 3  A. S =  B. S = {1}. 1; .  2  / 1. Lời giải. Điều kiện x =

ÀN

Khi đó phương trình ⇔ 2 x +

3 3x = là: x − 1 x −1  3  C. S =   .  2 

D. S = ℝ \ {1}.

3 ( x −1) 3 3x 3 = ⇔ 2x = ⇔ x = thỏa điều kiện 2 x −1 x −1 x −1

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

x 2 + ax + b = 0 và a, b là hai nghiệm của phương trình x 2 + cx + d = 0. Tính giá trị của biểu

IỄ N

 3   → S =  . Chọn Chọn C.  2 

Câu 67. Tập nghiệm của phương trình A. S = {1; 4}.

x 2 − 5x x −2

B. S = {1}.

=−

x −2 C. S = ∅.

là: D. S = {4 }.

Lời giải. giải. Điều kiện x > 2. Khi đó phương trình ⇔

x 2 − 5x

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

x −2

=−

 x = 1( loaïi) ⇔ x 2 − 5 x + 4 = 0 ⇔  x −2 x = 4 4

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

 → S = {4 } . Chọn Chọn D. 2 x 2 −10 x = x − 3 có bao nhiêu nghiệm? x 2 − 5x A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. 2  x − 5 x = /0 x 2 − 5 x =  /0 2 x 2 −10 x   Lời giải. x 3 = − ⇔ ⇔ → S = ∅. Chọn Chọn A. 2 x x − 5 )  (   x 2 − 5x = x − 3 2 = x − 3  x ( x − 5)  2 10 50 Câu 69. Gọi x 0 là nghiệm của phương trình 1 − . Mệnh đề nào = − x − 2 x + 3 (2 − x )( x + 3) C. x 0 ∈ (−1;4 ).

D. x 0 ∈ [ 4; +∞).

ẠO

2 10 50 = − 2 − x x + 3 (2 − x )( x + 3)

Phương trình tương đương 1 −

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

 x ≠ 2 . Lời giải. Điều kiện:    x ≠ −3

TR ẦN

H Ư

 x = 10 (thoûa) . Chọn ⇔ (2 − x )( x + 3) − 2 ( x + 3) = 10 (2 − x ) − 50 ⇔ x 2 − 7 x − 30 = 0 ⇔  Chọn D.  x = −3 (loaïi) (m 2 + 1) x −1 Câu 70. Tập nghiệm S của phương trình = 1 trong trường hợp m ≠ 0 là: x +1  m + 1  2  A. S =  B. S = ∅. C. S = ℝ. D. S =   2 .  2 .  m   m  x +1

/ −1  x = 2 = 1 ⇔  2 ⇔ x = 2 . Chọn Chọn D. (m + 1) x −1 = x + 1 m 

10 00

Lời giải.

(m 2 + 1) x −1

Câu 71. Tập nghiệm S của phương trình

 3  B. S = − .  m 

A. S = ∅.

( 2 m 2 + 3) x + 6 m

( 2 m 2 + 3) x + 6 m x C. S = ℝ.

= 3 khi m ≠ 0 là: D. S = ℝ \ {0}.

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

/0  x = 3 = 3 ⇔  ⇔ x = − . Chọn Chọn B. (2m 2 + 3) x + 6 m = 3 x x m  x 2 + mx + 2 = 1 vô nghiệm? Câu 72. Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình x 2 −1 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. m = 0  m = m = 0 / ±1  x = x 2 + mx + 2 /0 VN   Lời giải. =1⇔  →  ⇔ . Chọn Chọn D. 2   x −1 mx = −3 − 3 = ±1 m = ±3  m  2mx −1 = 3 có nghiệm duy nhất khi: Câu 73. Phương trình x +1 3 A. m ≠ . B. m ≠ 0. 2 3 1 3 C. m ≠ 0 và m ≠ . D. m ≠ − và m ≠ . 2 2 2

Lời giải.

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

B. x 0 ∈ [−3; −1].

sau đây đúng? A. x 0 ∈ (−5; −3).

U Y

Câu 68. Phương trình

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ẠO

U Y

trình

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Câu 75. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [1;20 ] để phương trình

B. S = {−1}.

TR ẦN

H Ư

x +1 m x +3 + = có nghiệm. x −2 4 − x2 x +2 A. 4. B. 18. C. 19. D. 20.  x = / 12 / ±2 m = x +1 m x +3 m co nghiem . Lời giải. + = ⇔    → x = −4 = / ±2 ⇔  2   /4 x −2 4 − x x +2 2 m = 2 x = −m − 8 Suy ra có tất cả 18 số nguyên m thỏa yêu cầu. Chọn Chọn B. Câu 76. Tập nghiệm S của phương trình 3 x − 2 = 3 − 2 x là: A. S = {−1;1}.

C. S = {1}.

D. S = {0}.

10 00

3 − 2 x ≥ 0 Lời giải. Phương trình ⇔    3 x − 2 2 = (3 − 2 x )2   3  x ≤ 3 x≤  ⇔ ⇔ → S = {−1;1}. Chọn Chọn A. 2 2 ⇔ x = ±1   2  2 2 9 x −12 x + 4 = 4 x −12 x + 9 5 x = 5

Câu 77. Phương trình 2 x − 4 − 2 x + 4 = 0 có bao nhiêu nghiệm? B. 1.

C. 2. D. Vô số. 2 x − 4 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2. Lời giải. Phương trình ⇔ 2 x − 4 = 2 x − 4 ⇔  2 x − 4 = 2 x − 4

-L

Í-

A. 0.

ÁN

Do đó, phương trình có vô số nghiệm. Chọn Chọn D. Câu 78. Tập nghiệm S của phương trình 2 x −1 = x − 3 là: B. S = ∅.

 4 C. S = −2;  . 3  

D. S = {−2}.

ÀN

 4  A. S =   .  3 

Ơ H

x −m x −2 = có nghiệm. Tổng các phần tử trong tập S bằng: x +1 x −1 A. −1. B. 8. C. 9. D. 10. m = / 0  /0 / ±1  x = m = x −m x −2 co nghiem . Lời giải. = ⇔   →  ⇔  2    / −1 x +1 x −1 / ±1 m = x = 1+ = m x = m + 2  m Vì m ∈ ℤ, m ∈ [−3;5] nên m ∈ S = {−3; −2;1;2;3; 4;5}. Chọn Chọn D.

 3 2m − 3 = m = /0 /  / −1  x = 2 m x −1  2 nghiemduynhat . Lời giải. =3⇔  →  ⇔  (2m − 3) x = 4  x = 4 =  1 x +1 / − 1  /−  m = 2m − 3 2  Chọn Chọn D. Câu 74. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [−3;5] để phương

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

IỄ N

x ≥ 3  x ≥ 3  x − 3 ≥ 0  x = 4 ⇔ x ∈ ∅  Lời giải. Phương trình ⇔  ⇔ ⇔   2 2 2 (2 x −1) = ( x − 3) 3 x + 2 x − 8 = 0  3   x 2  = −   → S = ∅ . Chọn Chọn B. Câu 79. Tổng các nghiệm của phương trình x 2 + 5 x + 4 = x + 4 bằng: A. −12.

B. −6.

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

C. 6.

D. 12.

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

   x + 4 ≥ 0  x ≥ −4 Lời giải. Phương trình ⇔  2 2 2 2 ⇔ ( x 2 + 5 x + 4 ) − ( x + 4 )2 = 0 ( x + 5 x + 4 ) = ( x + 4 )   x = 0  x ≥ −4  x ≥ −4  x ≥ −4    2     ⇔ 2 ⇔  x + 6 x + 8 = 0 ⇔  x = −2, x = −4 ⇔ x = −2  ( x + 6 x + 8)( x 2 + 4 x ) = 0    x = −4   x 2 + 4 x = 0  x = 0, x = −4      → 0 + (−2 ) + (−4 ) = −6. Chọn Chọn B.

ẠO

D. P = 22.

H Ư

B. P = 58. C. P = 28. 4 x −17 ≥ 0  Lời giải. Phương trình ⇔  2 2  x − 4 x − 5 = (4 x −17 )2   17   x ≥ 17 x ≥   4 4 ⇔ ⇔  2  2 2 2 x − 8 x + 12)( x 2 − 22) = 0 ( x − 4 x − 5) = (4 x −17) (  17 17    x ≥  x ≥ x = 6 4 4  ⇔  2 ⇔  ⇔   →P =  x − 8 x + 12 = 0  x = 2 ∨ x = 6  x = 22   2  x = ± 22  x − 22 = 0  Câu 81. Tập nghiệm S của phương trình x − 2 = 3 x − 5 là:

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

A. P = 16.

trị biểu thức P = x12 + x 2 .

)

3   7 C. S = − ; − .  4 2 

 3 7  B. S = − ; .  2 4 

10 00

 3 7  A. S =  ; .  2 4 

TR ẦN

(

+ 6 = 28. Chọn Chọn C.

 7 3  D. S = − ; .  4 2 

Lời giải. Phương trình ⇔ x − 2 = 3 x − 5 ⇔ x 2 − 4 x + 4 = 9 x 2 − 30 x + 25

-L

1 . 2

2 . 3

ÁN

Í-

 3 x =   3 7  2 ⇔ 8 x 2 − 26 x + 21 = 0 ⇔   → S =  ;  . Chọn Chọn A.  2 4  7  x =  4 Câu 82. Tổng các nghiệm của phương trình x + 2 = 2 x − 2 bằng: C. 6. 2

20 . 3

Lời giải. Phương trình ⇔ ( x + 2 ) = 4 ( x − 2) ⇔ 3 x 2 − 20 x + 12 = 0 .

b 20 Do đó, tổng các nghiệm của phương trình bằng − = . Chọn Chọn D. 3 a

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

Câu 80. Gọi x1 , x 2 ( x1 < x 2 ) là hai nghiệm của phương trình x 2 − 4 x − 5 = 4 x −17 . Tính giá

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

ÀN

Câu 83. 83. Phương trình 2 x + 1 = x 2 − 3 x − 4 có bao nhiêu nghiệm?

D. 4.   x = 5 ± 45 2  2 x +1 = x 2 − 3x − 4   x − 5x − 5 = 0 2 Lời giải. Phương trình ⇔  ⇔ 2 ⇔ . 2   2 x + 1 = −( x − 3 x − 4 )  x − x − 3 = 0  x = 1 ± 13  2  Chọn Chọn D. Câu 84. Phương trình 2 x − 4 + x −1 = 0 có bao nhiêu nghiệm ?

Đ IỄ N D

A. 0.

B. 1.

C. 2.

A. 0.

B. 1.

C. 2.

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

D. Vô số.

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

5 7 3 . D. . C. . 2 2 2  2 x − 5 ≥ 0   → 2 x − 5 + 2 x 2 − 7 x + 5 ≥ 0. Lời giải. Ta có  2  2 x − 7 x + 5 ≥ 0    x = 5 2 x − 5 = 0 5  2 Dấu '' = '' xảy ra khi và chỉ khi  2 ⇔  ⇔ x = . Chọn Chọn B. 2 x − 7 x + 5 = 0  5 2 x = 1 ∨ x = 2 

U Y

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

A. 6.

 2 x − 4 ≥ 0 ⇒ 2 x − 4 + x −1 ≥ 0 . Lời giải. Ta có    x −1 ≥ 0   2 x − 4 = 0 x = 2 Dấu '' = '' xảy ra khi và chỉ khi  ⇔  ⇔ x ∈∅ .   x −1 = 0 x = 1  Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Chọn Chọn A. Câu 85. Tổng các nghiệm của phương trình 2 x − 5 + 2 x 2 − 7 x + 5 = 0 bằng:

C. 2.

D. 4.

H Ư

A. 0. B. 1. Lời giải. Đặt t = x + 1 , t ≥ 0 .

Câu Câu 86. Phương trình ( x + 1) − 3 x + 1 + 2 = 0 có bao nhiêu nghiệm?

TR ẦN

Phương trình trở thành t 2 − 3t + 2 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = 2 . • Với t = 1 ta có x + 1 = 1 ⇔ x + 1 = ±1 ⇔ x = −2 hoặc x = 0 .

• Với t = 2 ta có x + 1 = 2 ⇔ x + 1 = ±2 ⇔ x = −3 hoặc x = 1 . Vậy phương trình có bốn nghiệm là x = −3, x = −2, x = 0, x = 1. Chọn Chọn D.

10 00

Câu 87. Tổng các nghiệm của phương trình 4 x ( x −1) = 2 x −1 + 1 bằng:

A. 0. B. 1. C. 2. D. −2. Lời giải. Phương trình tương đương với 4 x 2 − 4 x − 2 x − 1 − 1 = 0 . Đặt t = 2 x −1 , t ≥ 0 . Suy ra t 2 = 4 x 2 − 4 x + 1 ⇒ 4 x 2 − 4 x = t 2 − 1 .

ÁN

-L

Í-

t = −1 ( loaïi ) Phương trình trở thành t 2 −1 − t −1 = 0 ⇔ t 2 − t − 2 = 0 ⇔  . (thoûa) t = 2  3  x=  2 x −1 = 2 3  1  2 ⇔  → + −  = 1. Chọn Với t = 2 , ta có 2 x −1 = 2 ⇔  Chọn B.  2 x − 1 = −2 1  2  2   x = −  2 Câu 88. Với giá trị nào của a thì phương trình 3 x + 2 ax = −1 có nghiệm duy nhất? D. a <

−3 3 ∨a> . 2 2

IỄ N

ÀN

3 −3 3 −3 . . A. a > . B. a < C. a ≠ ∧ a ≠ 2 2 2 2 Lời giải. Dễ thấy, x = 0 không là nghiệm của phương trình đã cho. Xét x ∈ (−∞;0 ) :

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Phương trình trở thành −3 x + 2 ax = −1 ⇔ (2a − 3) x = −1

(1)

3 . Khi đó, nghiệm của phương 2 −1 −1 3 < 0 ⇔ 2a − 3 > 0 ⇔ a > . trình là x = . Mà x < 0 ⇒ 2a − 3 2a − 3 2 Xét x ∈ (0; +∞) : Phương trình (1) có nghiệm duy nhất khi 2a − 3 ≠ 0 ⇔ a ≠

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

B. m = 1.

C. m = −1.

D. Không có m.

(∗)

Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất ⇔ (∗) có nghiệm duy nhất t = 0 .

ẠO

Với t = 0 là nghiệm của phương trình (∗) ⇒ 0 2 − 0 + m −1 = 0 ⇔ m = 1 .

Đặt t = x , t ≥ 0 , phương trình trở thành t 2 − t + m −1 = 0

Lời giải. Phương trình ⇔ x − x + (m −1) = 0

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Thử lại, thay m = 1 vào phương trình (∗) , thấy phương trình có 2 nghiệm t = 0 và t = 1 :

B. 9.

C. 10. D. 11. (m + 1) x = 0 (1) mx + 2 x −1 = x −1 Lời giải. Ta có mx + 2 x −1 = x −1 ⇔  ⇔  . mx + 2 x − 1 = − x − 1 ( )  (m + 3) x = 2 (2) Xét (1), ta có:

TR ẦN

A. 8.

H Ư

mx + 2 x −1 = x −1 có đúng hai nghiệm phân biệt?

Không thỏa mãn. Chọn Chọn D. Câu 90. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [−5;5] để phương trình

10 00

• m = −1 thì phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ ℝ . • m ≠ −1 thì phương trình có nghiệm x = 0 . Xét (2 ), ta có:

• m = −3 thì phương trình vô nghiệm.

• m ≠ −3 thì phương trình có nghiệm x =

2 . m +3

2 2 ≠ 0, ∀m ≠ −3 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là x = 0 , x = khi m +3 m +3 m ≠ −1 và m ≠ −3. → m ∈ {−5; −4; −2;0;1;2;3;4;5} → có 9 giá trị m . Chọn Mà m ∈ [−5;5] và m ∈ ℤ  Chọn B.

ÁN

-L

Í-

Vì

Câu 91. Tập nghiệm S của phương trình A. S = {6;2}. B. S = {2}.

2 x − 3 = x − 3 là: C. S = {6}.

D. S = ∅.

IỄ N

ÀN

 x ≥ 3 x ≥ 3  ⇔  x = 2 ⇔ x = 6. Chọn Lời giải. 2 x − 3 = x − 3 ⇔  Chọn C.  2 x − 3 = x 2 − 6 x + 9   x = 6 Cách Cách 2: thử đáp án. Thay x = 2 vào phương trình ta được 2.2 − 3 = 2 − 3 (sai).

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

nhất. A. m = 0.

U Y

3 Phương trình (2 ) có nghiệm duy nhất khi 2a + 3 ≠ 0 ⇔ a ≠ − . Khi đó, nghiệm của phương 2 −1 −1 3 > 0 ⇔ 2a + 3 < 0 ⇔ a < − . trình là x = . Mà x > 0 ⇒ 2a + 3 2a + 3 2 Chọn Chọn D. Câu 89. Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình x + 1 = x 2 + m có nghiệm duy

(2 )

Phương trình trở thành 3 x + 2ax = −1 ⇔ (2 a + 3) x = −1

Thay x = 6 vào phương trình ta được 2.6 − 3 = 6 − 3 (đúng). Vậy x = 6 là nghiệm của phương trình. Câu 92. Tập nghiệm S của phương trình A. S = {0;2}. B. S = {2}.

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

x 2 − 4 = x − 2 là: C. S = {0}.

D. S = ∅.

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

x ≥ 2 x ≥ 2 ⇔  ⇔ x = 2. Chọn x 2 − 4 = x − 2 ⇔  2 Chọn B. 2 x − 4 = x − 4 x + 4 x = 2 Cách 2: thử đáp án. Lời giải.

0 2 − 4 = 0 − 2 (sai).

N H

Thay x = 2 vào phương trình ta được 2 2 − 4 = 2 − 2 (đúng). Vậy x = 2 là nghiệm của phương trình. B. 1.

C. 2.

D. 3.

U Y

A. 0.

Câu 93. Tổng các nghiệm của phương trình ( x − 2 ) 2 x + 7 = x 2 − 4 bằng:

7 Lời giải. Điều kiện xác định của phương trình 2 x + 7 ≥ 0 ⇔ x ≥ − . 2 2 Ta có ( x − 2 ) 2 x + 7 = x − 4 ⇔ ( x − 2 ) 2 x + 7 = ( x − 2 )( x + 2 )

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

⇔ ( x − 2 )  2 x + 7 − ( x + 2) = 0   x − 2 = 0 x = 2 . ⇔  ⇔   2 x + 7 − ( x + 2) = 0  2 x + 7 = x + 2 (1)  x ≥ −2 Giải phương trình (1) : 2 x + 7 = x + 2 ⇔   2 x + 7 = ( x + 2 )2   x ≥ −2  x ≥ −2  ⇔  2 ⇔  x = 1 ⇔ x = 1.  x + 2 x − 3 = 0    x = −3 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 1, x = 2 nên tổng hai nghiệm của phương trình là 1 + 2 = 3. Chọn Chọn D. x2 − 4x −2 = x − 2 có tất cả bao nhiêu nghiệm? Câu 94. Phương trình x −2 A. 1. B. 2. C. 3. D. 5. Lời giải. Điều kiện xác định của phương trình x − 2 > 0 ⇔ x > 2. Từ phương trình đã cho ta được x = 0 . x 2 − 4 x − 2 = x − 2 ⇔ x 2 − 5x = 0 ⇔  x = 5  So với điều kiện x > 2 thì x = 5 là nghiệm duy nhất của phương trình. Chọn Chọn A. 4 = 2 có tất cả bao nhiêu nghiệm? Câu 95. Phương trình 2 − x + 2− x +3 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải. Điều kiện xác định của phương trình 2 − x ≥ 0 ⇔ x ≤ 2. Từ phương trình đã cho ta được

ÀN

2−x

(

)

2−x +3 +4 = 2

(

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

Thay x = 0 vào phương trình ta được

)

2−x +3

IỄ N

 x ≥ 0   x ≥ 0 x ≥ 0 ⇔ 2 − x = x ⇔  ⇔ 2 ⇔  x = 1 ⇔ x = 1. 2   2 − x = x  x + x − 2 = 0  x = −2  So với điều kiện x < 2 thì x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình. Chọn Chọn B. 2

 x 2  2x 2  + +m = 0 Câu 96. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình  x −1  x −1 có đúng bốn nghiệm?

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

A. 0.

B. 1. C. 2. D. Vô số.   = / x 1 − + = / 0 1 t t   x . = t ⇔  2 →  Lời giải. Đặt  x − tx + t = 0 (*) ∆t = t 2 − 4 t x −1   t < 0 Với mỗi t thỏa ∆t > 0 ⇔  thì (*) có hai nghiệm x phân biệt. t > 4  Mặt khác phương trình đã cho trở thành: m ≤ 1  2 t 2 + 2t + m = 0 ⇔ (t + 1) = 1 − m ⇔ t = −1 − 1 − m < 0 (* *).    t = −1 + 1 − m  Phương trình đã cho có đúng 4 nghiệm khi và chỉ khi (**) có hai nghiệm t phân biệt thỏa m < 1 m < 1   0 < m < 1  điều kiện ∆t > 0 hay −1 + 1 − m < 0 ⇔  . Chọn Chọn D. 1 − m < 1 ⇔    m < −24  −1 + 1 − m > 4 1 − m > 25  Câu 97. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình      x 2 + 1  − 2m  x + 1  + 1 = 0 có nghiệm. 2     x  x  3 3  3  A. m ∈ − ; . B. m ∈  ; +∞.  4 4   4     3 3 3 C. m ∈ −∞; −  . D. m ∈ −∞; −  ∪  ; +∞.    4  4   4   t ≥ 2 1 . Lời giải. Đặt x + = t →  2  x + 1 = t 2 − 2 x 2  x Khi đó phương trình đã cho trở thành f (t ) = t 2 − 2 mt −1 = 0 (*) (Phương trình này luôn

có hai nghiệm phân biệt t1 < 0 < t 2 do ac < 0 ). Do đó PT đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (*)

có ít nhất một nghiệm t thỏa t ≥ 2 , hay ít nhất một trong hai số 2; − 2 phải nằm giữa hai

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

 3 m ≥  f (2 ) ≤ 0 3 − 4 m ≤ 0  4 nghiệm t1 , t 2 ; hay  . Chọn ⇔ ⇔ Chọn D. 3 + 4 m ≤ 0 3   f (−2) ≤ 0  m ≤ −  4 Câu 98. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình  4 2 x 2 + 2 − 4  x −  + m −1 = 0 có đúng hai nghiệm lớn hơn 1.   x x A. m < −8. B. −8 < m < 1. C. 0 < m < 1. D. m ≤ −8. 2   g ( x ) = x − tx − 2 = 0 (*) 2 Lời giải. Đặt x − = t ⇒  2 .  x + 4 = t 2 + 4. x 2  x Phương trình (*) có ac < 0 nên có hai nghiệm phân biệt trái dấu với mọi t ∈ ℝ. Do đó (*)

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

nếu có nghiệm lớn hơn 1 thì có duy nhất một nghiệm như thế ⇔ x1 < 1 < x 2 ⇔ g (1) < 0 ⇔ −t −1 < 0 ⇔ t > −1.

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Mặt khác phương trình đã cho trở thành f (t ) = t 2 − 4 t + m + 3 = 0 (* *). Phương trình đã

+ 2 x + 4 ) – 2m ( x + 2 x + 4 ) + 4 m – 1 = 0 có đúng hai nghiệm.

) (

)

}

{

C. m ∈ ( 4; +∞) ∪ 2 + 3 .

D. m ∈ ℝ.

Lời giải. Ta có ( x 2 + 2 x + 4 ) – 2m ( x 2 + 2 x + 4 ) + 4 m – 1 = 0. (1)

ẠO

Đặt t = x 2 + 2 x + 4 ⇒ x 2 + 2 x + 4 − t = 0. (2 )

Phương trình (1) trở thành g (t ) = t 2 − 2mt + 4 m −1 = 0. (3)

Phương trình (2 ) có nghiệm khi ∆(′2) = t − 3 ≥ 0 ⇔ t ≥ 3 . Khi t = 3 thì phương trình (2 ) có

• TH1: Phương trình (3) có nghiệm kép lớn hơn 3 .

H Ư

nghiệm kép x = −1 . Phương trình (1) có đúng hai nghiệm khi:

TR ẦN

Phương trình (3) có nghiệm kép khi ∆(′3) = m 2 − 4 m + 1 = 0 ⇔ m = 2 ± 3 .

→ Phương trình (3) có nghiệm t = 2 − 3 < 3 : Không thỏa mãn. Với m = 2 − 3 

→ Phương trình (3) có nghiệm t = 2 + 3 > 3 : Thỏa mãn. Với m = 2 + 3 

10 00

• TH2: Phương trình (3) có 2 nghiệm t1 , t 2 thỏa mãn t1 < 3 < t 2

m < 2 − 3 ∆ ′ = m 2 − 4 m + 1 > 0  ⇔ m > 2 + 3 ⇔ m > 4.   g (3) = −2m + 8 < 0   m > 4

{

}

Hợp hai trường hợp ta được m ∈ ( 4; +∞) ∪ 2 + 3 . Chọn Chọn C.

-L

Í-

Câu 100. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số x 2 + 2 mx + 2m x + m + m 2 + 3 − 2m = 0 có nghiệm.

ÁN

A. m ∈ (∞; −3] ∪ [1; +∞).

C. m ∈ [1; +∞).

để phương trình

3  B. m ∈ (∞; −3] ∪  ; +∞.  2  3  D. m ∈  ; +∞.  2 

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

(

B. m ∈ −∞;2 − 3 ∪ 2 + 3; +∞ .

U Y

A. m ∈ (3; 4 ).

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

trình

∆ ′ = 4 − m − 3 > 0  m < 1 lớn hơn −1, hay (t1 + 1)(t 2 + 1) = t1 t 2 + (t1 + t 2 ) + 1 > 0 ⇔  . Chọn Chọn B.   m > −8 t1 + t 2 = 4 > −2 Câu 99. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương

cho có đúng hai nghiệm x1 , x 2 lớn hơn 1 khi và chỉ khi (* *) có hai nghiệm phân biệt t1 , t 2

ÀN

Lời giải. Ta có x 2 + 2 mx + 2m x + m + m 2 + 3 − 2m = 0 ⇔ ( x + m + m ) = m 2 + 2m − 3

IỄ N

 2 m + 2 m − 3 ≥ 0  ⇔  x + m = − m 2 + 2 m − 3 − m (1).   x + m = m 2 + 2m − 3 − m (2 )   m ≤ −3 . Ta có m 2 + 2 m − 3 ≥ 0 ⇔  m ≥ 1 

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

Ơ H

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

• Nếu m ≤ −3 , thì m 2 + 2m − 3 − m ≥ 0, suy ra (2) có nghiệm, do đó phương trình đã cho có nghiệm. • Nếu m ≥ 1 thì (1) vô nghiệm, do đó phương trình đã cho có nghiệm khi và và chỉ khi (2) có 3 nghiệm ⇔ m 2 + 2m − 3 − m ≥ 0 ⇔ m 2 + 2m − 3 ≥ m 2 ⇔ m ≥ . 2 3  Vậy m ∈ (∞; −3] ∪  ; +∞. Chọn Chọn B.  2 

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

KỸ THUẬT LIÊN HỢP – CÔNG PHÁ MÔN TOÁN 2016 (Bản full)

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

KỸ THUẬT NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP –

Dự đoán nghiệm x = x0 bằng máy tính bỏ túi (SHIFT – SOLVE hay ALPHA – CALC).

–

Tách, ghép phù hợp để sau khi nhân liên hợp xuất hiện nhân tử chung ( x − x0 ) hoặc bội của ( x − x0 )

A+3 B

A2 − 3 AB + 3 B 2

A+ B

A−3 B

A2 + 3 AB + 3 B 2

A− B

N Đ

–

Khi dùng nhân liên hợp các em chú ý về bậc của x trong biểu thức cần liên hợp, bậc cao – bậc thấp hơn nhé

–

Điểm nhấn của phương pháp liên hợp đó là biểu thức còn lại trong móc vuông luôn dương – hoặc luôn âm khi đó ta làm thế nào để chứng minh điều đó hoặc viết như thế nào để thể hiện được điều này (co thể dùng Đạo hàm – đánh giá)

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Chú ý:

Kĩ Thuật 1

BT Mẫu 1: Giải bất Phương trình

A , B lấy A – B xem có xuất hiện nhân tử chung hay không: x + 1 + 1 = 4 x 2 + 3 x (*)

10 00

(bài toán chứa hai căn):

Đề thi thử Đại học lần 1 khối D năm 2013 – Trường THPT Lê Xoay

Nhận xét:

1 , vậy ta đoán nhân tử chung sẽ là x – ½ hoặc 2 x − 1 và 2

Í-

Sử dụng máy tính, ta tìm được một nghiệm là x =

ÁN

-L

( 3 x ) − ( x + 1) = 2 x − 1 ta có:  2 nên ta có lời giải sau: 4 x − 1 = ( 2 x − 1)( 2 x + 1)

Bài giải tham khảo

Điều kiện: x ≥ 0 .

ÀN

•

3x − x + 1 = 0 ⇔ ( 2 x − 1)( 2 x + 1) +

)

IỄ N

(*) ⇔ ( 4 x 2 − 1) + (

3x − x + 1

)(

3x + x + 1

) =0

( 2 x − 1)

1   = 0 ⇔ ( 2 x − 1)  2 x + 1 +  = 0 (1) 3x + x + 1 3x + x + 1  

⇔ ( 2 x − 1)( 2 x + 1) +

(

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

A− B

U Y

A± B

Tích

Biểu thức Biểu thức liên hiệp

Các công thức thường dùng trong nhân liên hợp

ẠO

–

trong phương trình nhằm đưa về phương trình tích số: ( x − x0 ) g ( x ) = 0 .

1 1 > 0 nên (1) ⇔ 2 x − 1 = 0 ⇔ x = . 2 3x + x + 1

•

Ta có: ∀x ≥ 0 ⇒ 2 x + 1 +

•

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x =

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

1 . 2

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

2x − 3 − x = 2x − 6

BT Mẫu 2: Giải bất Phương trình:

(*) Đề thi Đại học khối A năm 2007

Nhẩm được nghiệm x = 3 ta đoán rằng x − 3 là nhân tử chung

( 2 x − 3) − x = x − 3 Nhận thấy rằng:  nên ta có lời giải sau: 2 x − 6 = 2 ( x − 3)

)

x = 3 ⇔ 1  = 2 (1)  2 x − 3 + x

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

(

H Ư

3 3 1 1 ⇒ 2x − 3 + x ≥ >1⇒ <1⇒ = 2 (VN ) . 2 2 2x − 3 + x 2x − 3 + x Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3 .

•

TR ẦN

x≥

BT Mẫu 3: Giải bất Phương trình 10 x + 1 + 3 x − 5 = 9 x + 4 + 2 x − 2

( *)

10 00

Đề dự bị Đại học khối B năm 2008

Nhẩm được x = 3 là nghiệm nên đoán rằng x – 3 là nhân tử chung

( *) ⇔ (

10 x + 1 − 9 x + 4 +

) (

ÁN

10 x + 1 − ( 9 x + 4 )

Bài giải tham khảo

Í-

-L

5 Điều kiện: x ≥ . 3

•

Nhận thấy: (10 x + 1) − ( 9 x + 4 ) = ( 3 x − 5 ) − ( 2 x − 2 ) = x − 3 nên ta có lời giải sau:

3x − 5 − 2 x − 2 = 0

)

3x − 5 − ( 2 x − 2 )

=0 10 x + 1 + 9 x + 4 3x − 5 + 2 x − 2 1 1   ⇔ ( x − 3)  + =0 3x − 5 + 2 x − 2   10 x + 1 + 9 x + 4 +

ÀN

⇔

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

1   − 2 ( x − 3) = 0 ⇔ ( x − 3)  − 2 = 0 2x − 3 + x  2x − 3 + x  x−3

ẠO

( *) ⇔

3 . 2

Điều kiện: x ≥

•

Bài giải tham khảo

IỄ N

Vì ∀x ≥

•

5 1 1 ⇒ + > 0 nên (1) ⇔ x = 3 . 3 10 x + 1 + 9 x + 4 3x − 5 + 2 x − 2

So với điều kiện, phương trình có nghiệm duy nhất x = 3

BT Mẫu 4: Giải bất Phương trình

3 x 2 − 5 x + 1 − x 2 − 2 = 3 ( x 2 − x − 1) − x 2 − 3 x + 4

( *)

Đề thi học sinh giỏi tỉnh Lâm Đồng năm 2008 Nhẩm được nghiệm là x = 2 nên suy đoán rằng nhân tử chung sẽ là x – 2

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

2  2 ( 3 x − 5 x + 1) − ( 3 x − 3 x − 3) = −2 ( x − 2 ) . Nên ta có lời giải sau: Nhận thấy  2 2 ( x − 2 ) − ( x − 3 x + 4 ) = 3 ( x − 2 )

Bài giải tham khảo

3x − 6

−

x 2 − 2 + x 2 − 3x + 4

U Y .Q TP ẠO

> 0, ∀x xác định.

Ta có:

•

Thay x = 2 vào phương trình (*) ⇒ (*) thỏa. Vậy phương trình có nghiệm x = 2 .

x 2 − 2 + x 2 − 3x + 4

3 x 2 − 5 x + 1 + 3 x 2 − 3x − 3

•

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

  −2 3 ⇔ ( x − 2)  − =0 2 2 x 2 − 2 + x 2 − 3x + 4   3x − 5 x + 1 + 3x − 3x − 3 x = 2 ⇔ 2 3  + = 0 (1) 2 2 2 x − 2 + x 2 − 3x + 4  3 x − 5 x + 1 + 3 x − 3 x − 3

TR ẦN

BT Mẫu 5: Giải bất phương trình: 10 x + 1 + 3 x − 5 ≥ 9 x + 4 + 2 x − 2 (Đề dự bị khối B năm 2008) Phân tích: 10 x + 1 − ( 9 x + 4 ) = 3 x − 5 − ( 2 x − 2 ) = x − 3 nên ta có lời giải sau:

⇔

10 x + 1 − 9 x + 4 +

(

) (

5 lúc đó BPT 3

10 00

ĐK: x ≥

3x − 5 − 2 x − 2 ≥ 0 ⇔

)

x−3 x −3 + ≥0 10 x + 1 + 9 x + 4 3x − 5 + 2 x + 2

1 1   ⇔ ( x − 3)  + ≥0⇔ x≥3 3x − 5 + 2 x − 2   10 x + 1 + 9 x + 4

-L

Í-

1 1 5   Vì: ⇔  +  > 0∀x > 3 3x − 5 + 2 x − 2   10 x + 1 + 9 x + 4

ÁN

So sánh với điều kiện ta có S = [3; +∞ )

BT Mẫu 6: Giải Phương trình: 9

(

4 x + 1 − 3 x − 2 = x + 3 (Đề HSG HN – 2010)

)

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

3x 2 − 5 x + 1 + 3x 2 − 3x − 3

)

−2 x + 4

⇔

x 2 − 2 − x 2 − 3x + 4 = 0

) (

3x 2 − 5 x + 1 − 3x 2 − 3x − 3 −

( *) ⇔ (

ÀN

Phân tích: ( 4 x + 1) − ( 3 x − 2 ) = x + 3 ta có lời giải

2 Phương trình đã cho tương đương: 3

IỄ N

ĐK: x ≥

 x = −3 ( L ) x+3   9  = x+3⇔   4 x + 1 + 3x − 2   4 x + 1 + 3 x − 2 = 9 (*)

Bình phương hai vế (*) ta có 7 x − 1 + 2

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

( 4 x + 1)( 3x − 2 ) = 81 ⇔ 2 ( 4 x + 1)( 3x − 2 ) = 82 − 7 x

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

82  x ≤ 7 ⇔ x = 6 (TM ÐK )  4 ( 4 x + 1)( 3 x − 2 ) = ( 82 − 7 x )2 

3x − 2 − x + 1 = 2 x 2 − x − 3

( 3 x − 2 ) − ( x + 1) = 2 x − 3 Phân tích:  2  2 x − x − 3 = ( 2 x − 3)( x + 1)

1 = ( x + 1) (Vô nghiệm vì VT < 1, VP > 1) 3x − 2 + x + 1

Kĩ thuật 2: Thay trực tiếp nghiệm vào trong căn để tìm lượng liên hợp

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

⇔ x = 3 / 2 hoặc

2x − 3 1   = ( 2 x − 3)( x + 1) ⇔ ( 2 x − 3)  − ( x + 1)  = 0 3x − 2 + x + 1  3x − 2 + x + 1 

⇔

U Y

Lời giải: Đk x ≥ 2 / 3 . Pt

−a làm một cặp liên hợp

x − 2 + 4 − x = 2 x 2 − 5 x − 1(*)

TR ẦN

BT Mẫu 8: Giải phương trình:

H Ư

đó vậy ghép

Nếu phương trình có 1 nghiệm mà đó là nghiệm nguyên – thay nghiệm đó vào trong căn ta được số a nào

Nhận xét: Nhẩm thấy x = 3 là nghiệm pt, thay x = 3 lần lượt vào hai căn ta thu được hai số giống nhau a =1.

Bài giải tham khảo

( *) ⇔ (

4 − x − 1 − ( 2 x 2 − 5 x − 3) = 0

x − 2 −1 +

) (

)

x −3 3− x + − ( x − 3)( 2 x + 1) = 0 x − 2 +1 4 − x +1

⇔

10 00

Điều kiện: 2 ≤ x ≤ 4 .

•

ÁN

-L

Í-

1 1   ⇔ ( x − 3)  − − 2 x − 1 = 0 4 − x +1  x − 2 +1  x = 3 ⇔ 1 1  − = 2 x + 1 (1)  x − 2 + 1 4 − x +1 Xét hàm số f ( x ) = 2 x + 1 trên x ∈ [ 2; 4] thấy f ( x ) = 2 x + 1 ≥ 5

IỄ N D

g '( x) = −

1 2 x−2

(

x − 2 +1

)

−

1 2 4− x

(

4 − x +1

⇒ g ( x ) nghịch biến và max g ( x ) = g ( 2 ) = 1 − [ 2;4]

•

( 2)

1 1 − trên x ∈ [ 2; 4] . 4 − x +1 x − 2 +1

Xét hàm số g ( x ) =

•

ÀN

•

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

BT Mẫu 7: Giải Phương trình sau:

)

< 0, ∀x ∈ [ 2; 4] .

1 2 +1

( 3)

Từ (2), (3) ⇒ 2 hàm số f ( x ) , g ( x ) có đồ thị không thể cắt nhau. Do đó (1) vô nghiệm.

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3 .

•

3 x + 1 − 6 − x + 3 x 2 − 14 x − 8 = 0 (*)

BT Mẫu 9: Giải phương trình:

Đề thi Đại học khối B năm 2010 Bài giải tham khảo

Nhận xét:

Nhận thấy phương trình có 1 nghiệm x = 5 (SHIFT – SOLVE hay ALPHA – CALC), trong khoảng điều

6 − x + 3 x 2 − 14 x − 5 = 0

TR ẦN

+ ( 3 x + 1)( x − 5 ) = 0 3x + 1 + 4 1 + 6 − x 3 1   ⇔ ( x − 5)  + + 3 x + 1 = 0 (1)  3x + 1 + 4 1 + 6 − x 

)

H Ư

(*) ⇔ ( 3x + 1 − 4 ) + (1 − 3 ( x − 5) x−5 ⇔ +

ẠO

1 Điều kiện: − ≤ x ≤ 6 . 3

•

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Nên ta có lời giải sau:

3 1  1  Ta có ∀x ∈  − ; 6  ⇒ + + 3 x + 1 > 0 . Do đó (1) ⇔ x = 5 . 3x + 1 + 4 1 + 6 − x  3 

•

So với điều kiện, phương trình có nghiệm duy nhất x = 5 .

10 00

•

BT Mẫu 10: Giải phương trình: 2 x 2 − 11x + 21 = 3 3 4 x − 4

Nhận xét:

( *)

Nhận thấy phương trình có 1 nghiệm x = 3 (SHIFT – SOLVE hay ALPHA – CALC), do đó, ta cần phải

Í-

tách ghép để sau khi nhân liên hiệp sao cho xuất hiện nhân tử chung ( x − 3) hoặc bội của nó, thay x = 3 vào

-L

căn ta được 2 vậy phải ghép căn với 2 để được biểu thức liên hợp

ÀN

ÁN

(*) ⇔ 3 ( 3 4 x − 4 − 2 ) − ( 2 x 2 − 11x + 15 ) = 0 3 ( 4 x − 4 − 8) ⇔ − ( 2 x − 5 )( x − 3) = 0 2 3 ( 4x − 4) + 2 3 4x − 4 + 4

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

 1  kiện: x ∈  − ; 6  . Do đó, ta cần phải tách ghép để nhân liên hiệp sao cho xuất hiện nhân tử chung ( x − 5 )  3  hoặc bội của nó. Thay x = 5 vào căn thứ nhất được 4, căn thứ 2 được 1.

IỄ N

  12  ⇔ ( x − 3) − ( 2 x − 5)  = 0  3 ( 4 x − 4)2 + 2 3 4 x − 4 + 4    x = 3  12 ⇔ 2 x − 5 − = 0 (1) 2 3 3  x 4 x − 4 + 2 4 − 4 + 4 ( ) 

•

Với x > 3 ⇒ 2 x − 5 > 1 , đặt t = 3 4 x − 4 > 2 ⇒ t 2 + 2t + 4 > 12

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn ⇒

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

12 < 1 tức là (2) vô nghiệm. t + 2t + 4 2

Với x < 3 ⇔ 2 x − 5 < 1 , đặt t = 3 4 x − 4 < 2 ⇒ 0 < t 2 + 2t + 4 > 12 12 > 1 tức là (2) vô nghiệm. t + 2t + 4 2

N x 2 − x + 3 = 3, x 2 + x + 4 = 4

Nhẩm được x = 3 là nghiệm của phương trình, thay vào ta có

x2 − x + 3 + x2 + x + 4 = 7 ( x > 0)

x2 − x + 3 − 3 + x2 + x + 4 − 4 = 0 ⇔

x2 − x − 6

Ta có bài giải như sau:

x 2 + x − 12

ẠO

=0 x2 − x + 3 + 3 x2 + x + 4 + 4 x = 3 ( x − 3)( x + 2 ) + ( x − 3)( x + 4 ) = 0 ⇔  x+2 x+4  + =0 x2 − x + 3 + 3 x2 + x + 4 + 4 2 2  x − x + 3 + 3 x +x+4+4

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

U Y

BT Mẫu 11: Giải Phương trình:

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3 .

•

x+2 2

x − x+3 +3

x+4 2

x + x+4 +4

> 0∀x > 0

TR ẦN

Vì

H Ư

(VN )

5 x − 1 + 3 9 − x = 2 x 2 + 3 x − 1 (HSG Hà Nội – 2012)

BT Mẫu 12: Giải Phương trình

Phân tích: Dùng casio ta biết phương trình có một nghiệm duy nhất x = 1 , thay vào

1 viết lại phương trình về dạng 5 9 − x − 2 = 2 x 2 + 3x − 5 ⇔

)

-L 1

(9 − x )

+2 9− x +4

x = 1  5  =  5x − 1 + 2 

5 ( x − 1) 5x −1 + 2

1− x 3

Í-

) (

5x − 1 − 2 +

ÁN

(

ĐK: x ≥

10 00

5 x − 1 = 2vs 3 9 − x = 2 nên ta có lời giải như sau:

( *)

+ 23 9 − x + 4

= ( x − 1)( 2 x + 5 )

Pt (*) vô nghiệm vì VP ≥ 5 , VT < 5 / 2

6 x + 1 − 2 x + 1 = 2 (ĐH 2000D)

ÀN

BT Mẫu 13: Giải Phương trình

+ ( 2 x + 5)

(9 − x )

Phân tích: ta nhẩm được nghiệm của phương trình là x = 4 đem thay vào

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

⇒

•

6 x + 1 = 5; 2 x + 1 = 3 ta viết lại

phương trình ở dạng như sau:

IỄ N

ĐK: x ≥ − 1 Viết lại phương trình: 2

6x −1 − 5 − 2x + 1 + 3 = 0 ⇔

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

6 ( x − 4) 6x +1 + 5

−

2 ( x − 4) 2x +1 + 3

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn x = 4  3 1  =  6 x + 1 + 5 2x + 1 + 3

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

( *)

Nhận xét: 3 2 x + 1 = 18 x + 9 > 6 x + 1 ⇔ 3 2 x + 1 + 9 > 6 x + 1 + 5 vậy (*) vô nghiệm

PT đã cho có nghiệm duy nhất x = 4

BT Mẫu 14: Giải Phương trình x3 + 3 x 2 − 3 3 3 x + 5 = 1 − 3 x 3

U Y

Viết lại phương trình: ( x + 1) = 3 3 3 x + 5 + 2

2 Lại có: ( x + 2 ) + 3    

)

(

+ 2 3 3x + 5 + 4

ẠO

3 x + 5 + 1 + 3 = 9 

)

2  x + 2 = 0 3 x + 5 + 1 + 3 ≥ 9 dấu “=” chỉ xảy ra khi  3 ⇔ x = −2   3 x + 5 + 1 = 0

)

Vậy x = 1 hoặc x = −2 là nghiệm của phương trình x2 + 4 x + 7 + 1 + x

) (

(

x2 + 3 + 1 = 0

)

10 00

BT Mẫu 15: Giải Phương trình ( x + 2 )

Nhận xét: ĐK để phương trình có nghiệm là ( 2 + x ) x ≤ 0 ⇔ −2 ≤ x ≤ 0 , phương trình có một nghiệm là x2 + 4x + 7 − 2 + 3 + x

) ) ((

((

( x + 2)

x = −1 , từ đây ta viết lại phương trình đã cho như sau: x2 + 3 − 2 + 3 = 0

) )

ÁN

-L

Í-

 x2 − 4 x + 3   x2 −1  ⇔ ( x + 2)  + x   + 6 ( x + 1) = 0 2 2  x + 4x + 7 + 2   x +3 + 2  x = −1  ( x + 2 )( x + 3)  x ( x − 1)  + 6 = 0 ⇔  x 2 + 5 x + 6 ⇔ ( x + 1)  + x ( x − 1) 2 2 + +6=0 x +3 +2   x + 4x + 7 + 2 2 x2 + 3 + 2  x + 4 x + 7 + 2

( *)

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

(

2 ⇔  ( x + 2 ) + 3     3 3 x + 5 + 1 + 3  2

( 3x + 5)

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

 x −1 = 0  ⇔   ( x + 2 ) 2 + 3 =     

9 ( x − 1)

2 − 8 = 3 3 3 x + 5 − 6 ⇔ ( x − 1) ( x + 1) + 2 ( x + 1) + 4  =  

H Ư

TR ẦN

( x + 1)

Nhẩm được x = 1 là một nghiệm của phương trình, thay vào căn ta được 2 do đó ta viết lại pt như sau:

ÀN

PT (*) vô nghiệm vì:

IỄ N

( *) ⇔

x2 + 5x + 8 + x2 + 4 x + 7 x2 + 4 x + 7 + 2

x2 − x + 2 + x2 + 3 x2 + 3 + 2

> 0∀x

Kỹ Thuật 3 – Hệ số bất Định

Kiểu 1: Dùng hệ số bất định cho hai vế khi không nhẩm được nghiệm BT Mẫu 16: phương trình: ( x + 1) x 2 − 2 x + 3 = x 2 + 1 (*) Bài giải tham khảo

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Cách giải 1. Nhân lượng liên hiệp Vì x = −1 không là nghiệm phương trình nên

)

U Y

Vậy nghiệm của phương trình là x = 1 ± 2 .

•

Nhận xét:

Vấn đề đặt ra là làm sao tôi nhận ra được nhân tử chung là ( x 2 − 2 x − 1) để điền số x − 1 vào hai vế??? Ý tưởng xuất phát từ việc tìm số α sao cho

ẠO

x2 + 1 x − 2 x + 3 − (α x + β ) = − (α x + β ) , (α > 0 ) x +1 x2 − 2x + 3 + α x + β 2

(1 − α ) x ⇔

x 2 + 1 − (α x + β )( x + 1)

x +1

− 2 (1 + αβ ) x + ( 3 − β 2 ) x2 − 2 x + 3 + α

(1 − α ) x 2 − (α + β ) x + (1 − β ) x +1

10 00

Đến đây, ta chỉ việc xác định α , β sao cho 1 − α 2 = 1 − α  2 + 2αβ = α + β ⇔ α = 1, β = −1 . 3 − β 2 = 1 − β 

H Ư

⇔

x 2 − 2 x + 3 − (α x + β )

TR ẦN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

BT Mẫu 17 Giải phương trình: ( 3 x + 1) x 2 + 3 = 3 x 2 + 2 x + 3 (*)

Í-

1 1 không là nghiệm phương trình, nên với x ≠ − , ta được: 3 3

-L

Do x = −

Bài giải tham khảo

3x 2 + 2 x + 3 3x 2 + 2 x + 3 ⇔ x2 + 3 − 2x = − 2x 3x + 1 3x + 1 x 2 + 3 − 4 x 2 3x 2 + 2 x + 3 − 6 x 2 − 2 x ⇔ = 3x + 1 x3 + 3 + 2 x

ÁN

x2 + 3 =

ÀN

( *) ⇔

⇔

3 (1 − x 2 ) x2 + 3 + 2 x

−3 x 2 + 3 ⇔ 3x + 1

x2 + 3 + 2x

3 (1 − x 2 ) 3x + 1

 x = ±1  1 1  2  ⇔ 2 1 − x  − 1 1   = 0 ⇔  2  = x + 3 1 x + + x 3 2     2  x + 3 + 2 x 3 x + 1

IỄ N D

3 (1 − x 2 )

(1) ⇔

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

(

⇔

x2 + 1 x2 + 1 ⇔ x 2 − 2 x + 3 − ( x − 1) = − ( x + 1) x +1 x +1 2 2 = ⇔ ( x 2 − 2 x − 1) = 0 2 x + 1 x − 2x + 3 + x −1 x2 − 2x + 3 =

( *) ⇔

•

(1)

x 2 + 3 + 2 x = 3x + 1

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

 x ≥ −1  x ≥ −1 ⇔ x2 + 3 = x + 1 ⇔  2 ⇔ ⇔ x =1. 2 x + 3 = x + 2x +1 x = 1 Vậy phương trình có hai nghiệm x = ±1 .

•

Nhận xét:

Cách 1. Để đặt được số −2 x vào hai vế, ta xét dạng tổng quát

3x 2 + 2 x + 3 − (α x + β ) và sau đó sử dụng đồng nhất để tìm hai số thực α , β sao cho 3x + 1 xuất hiện nhân tử chung giống bài trên

x 2 + 3 = 2 = 2 x (vì x = 1 ) là nghiệm

Cách 2. Thay x = 1 vào

ẠO

BT Mẫu 18: Giải phương trình: 2 x 2 ( x − 1) + x = ( x − 1) 2 x ( x 2 − x + 2 ) + 6 (*)

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ĐK: x ≥ 0 , thấy x = 1 không là nghiệm của phương trình nên ta viết lại phương trình:

H Ư

2 x3 − 2 x2 + x − 6 2 x3 − 2 x 2 + x − 6 = 2 x3 − 2 x2 + 4 x ⇔ − ( x + 2 ) = 2 x3 − 2 x 2 + 4 x − ( x + 2 ) x −1 x −1 3 2 3 2  1  2 x − 3x − 4 2 x − 3x − 4 1 ⇔ = ⇔ ( 2 x3 − 3 x 2 − 4 )  − =0 3 2 3 2 x −1 2x − 2x + 4x + ( x + 2) 2x − 2x + 4x + x + 2   x −1

TR ẦN

 2 x3 − 3 x 2 − 4 = 0 ⇔ x = 2 ⇔ Vậy x = 2 là nghiệm duy nhất của pt  2 x 3 − 2 x 2 + 4 x + x + 2 = x − 1(VN )

10 00

BT Mẫu 19: Giải phương trình: x 2 ( x + 6 ) = ( 5 x − 1) x3 + 3 + 2 x − 3 (*)

ĐK: x ≥ − 3 3 ta thấy x = 1/ 5 không là nghiệm phương trình

x3 + 6 x 2 − 2 x + 3 x3 + 6 x 2 − 2 x + 3 = x3 + 3 ⇔ − 2 x = x3 + 3 − 2 x 5x − 1 5x −1

PT (*)

Í-

(Việc tìm ra −2x là dùng hệ số bất định đã trình bày ở trên nhé)

ÁN

-L

 x3 − 4 x2 + 3 = 0 x3 − 4 x 2 + 3 x3 − 4 x 2 + 3 3 + 21 ⇔ = ⇔ ⇔ x = 1∨ x = ∨ x = 4+3 2 3 3 5x − 1 2 x + 3 + 2x  x + 3 = 3 x − 1

BT Mẫu 20: Giải phương trình ( x 3 + 3) x 2 − x + 1 = x3 + 3 x 2 − 4 x + 1 (*)

IỄ N

ÀN

Viết lại pt (*) như sau:

x 2 − x + 1 − ( x + 3) = −

x2 − x + 1 = 7x + 8 ⇔ x2 + 3

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

x 2 + 3 − (α x + β ) =

7x + 8 x3 + 3 x 2 − 4 x + 1 ⇔ x2 − x + 1 = x + 3 − 2 2 x +3 x +3 −7 x − 8 2

x − x +1 + x + 3

−7 x − 8 x2 + 3

x = − 8 7  ⇔  x2 − x + 1 = x2 − x ⇔ x = 1 ± 3 + 2 5  2

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Kỹ Thuật 3: Đoán nhân tử chung nhờ máy tính (dành cho pt có nghiệm vô tỷ) Nếu thấy phương trình có hai nghiệm nhưng đều lẻ ta tính tổng hai nghiệm và tích hai nghiệm xem có đẹp không, nếu đẹp thì pt có nhân tử chung sẽ là x 2 − Sx + p vấn đề làm thế nào tìm ra được biểu thức liên hợp:

Giả sử 2 nghiệm là x1 , x2 , biểu thức liên hợp cần tìm là ax + b

Giải: x1 = 1, 618033989

x2 = −0, 6180339887

Dùng máy tính dò nghiệm ta được 2 nghiệm lần lượt là

ẠO

ĐK: x3 − 3 x + 1 ≥ 0

Tổng hai nghiệm này bằng 1, tích bằng −1 nên dự đoán nhân tử chung là x 2 − x − 1

H Ư

thay hai nghiệm vào căn trong phương trình, ta có C = 0, 381966; D = 2, 618033989

TR ẦN

a.x + b = C Giải hệ  1 ⇒ a, b ta có a = −1, b = 2 vậy biểu thức liên hợp sẽ là 2 − x a.x2 + b = D

10 00

Ta viết lại pt như sau: ( x 3 − 3 x + 1) − ( 2 − x ) = 8 − 3 x 2 − ( 2 − x ) ⇔ x3 − 2 x − 1 =

−4 ( x 2 − x − 1) 8 − 3x 2 + 2 − x

  4 ⇔ ( x 2 − x − 1)  x − 1 +  = 0 đến đây các em tự giải tiếp nhé bài toán chỉ có hai nghiệm 8 − 3x 2 + 2 − x  

Ví dụ tiếp nhé: x 2 + x − 1 = ( x + 2 ) x 2 − 2 x + 2

Í-

ĐK: ( x 2 + x − 1) ( x + 2 ) ≥ 0 Dùng máy tính nhẩm được hai nghiệm là x1 = 1 − 2 2, x2 = 1 + 2 2 , thay hai

-L

nghiệm vào căn ta được cùng một số là C = D = 3 (dự đoán biểu thức liên hợp là số 3)

ÁN

Có tổng bằng 2 và tích bằng −7 ta dự đoán pt có nhân tử chung là ( x 2 − 2 x − 7 )

Tìm biểu thức liên hợp bằng cách giải hệ sau ngoài nháp nhé

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

BT Mẫu 21: Giải phương trình sau: x3 − 3 x + 1 = 8 − 3 x 2

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

U Y

a.x + b = C + Giải hệ phương trình  1 ⇒ a, b vậy là xong các em đã có biểu thức liên hợp b.x2 + b = D

+ Thay x1 vào căn được kết quả là C , thay x2 vào căn ta được kết quả là D

ÀN

a.x1 + b = C ⇒ a, b giải ra có a = 0, b = 3 tới đây đã rõ rồi nhé biểu thức liên hợp là số 3 thôi – làm thôi  a.x2 + b = D

IỄ N

các em

pt ⇔ x 2 + x − 1 − 3 ( x + 2 ) = ( x + 2 )

x2 − 2 x − 7 − ( x + 2)

(

x2 − 2 x − 7 x2 − 2 x + 2 + 3

x2 − 2 x + 2 − 3

)

 x2 − 2 x − 7 = 0   x+2 ⇔ ( x − 2 x − 7 ) 1 − =0⇔ 2 x2 − 2 x + 2 + 3    x − 2 x + 2 = x − 1 2

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

tới đây các em tự giải tiếp nhé, pt chỉ có hai nghiệm ở trên Kỹ thuật 4: Nếu phương trình có hai nghiệm và đều nguyên để tìm lượng liên hợp ta làm như sau Giả sử lượng liên hợp là ax + b muốn tìm a, b ta thay lần lượt hai nghiệm vào pt: ax + b = b…………

giải tìm a,

Ngoài các kỹ thuật chính đã nêu ở trên các em có thể làm theo một thủ thuật khác nếu tìm thấy có nghiệm vô tỷ trong phương trình

2  5 x − 5 x + 3 ≈ 2,390388203 ≈ x + 1   7 x − 2 ≈ 2,870776406 ≈ 2 x

5x 2 − 5x + 3 − 7 x − 2 + 4x 2 − 6 x + 1 = 0

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Áp Dụng: Giải phương trình sau:

ẠO

vậy x + 1 là lượng cần liên hợp với căn thứ nhất, 2 x là lượng liên hợp với căn thứ 2

Ví dụ: Dùng máy tính thu được nghiệm là x = 4, 236067977 , Nếu phương trình có chứa hai căn ta đem thay hai

TR ẦN

H Ư

 x − 2x + 2 = 1  nghiệm đó lần lượt vào căn   2 ( 3 x + 1) ≈ 5, 236067977

Vậy căn thứ nhất trừ đi cho 1 còn 5, 236067977 = x + 1 nên căn thứ 2 sẽ trừ đi cho x + 1

Áp Dụng: Giải phương trình sau x 2 + x − 2 x + 2 = 3 x + 1 + 2 ( 3 x + 1)

10 00

x3 + 4 x 2 + x + 3 = 2 x 2 x + 5 + 2 x + 13

15 x 2 = x + 2 x 2 + x + 1 + 5

x3 + x 2 = ( x 2 + 1) x + 1 + 1

Bài tập vận dụng:

-L

Í-

1. x3 + 3 x 2 − 3 3 3 x + 5 = 1 − 3 x (DS: x = −2; x = 1 )

x2 + x + 1 + 4 x2 + x + 1

(

ÁN

2 x − 1 + x 2 − 3 x + 1 = 0 (DS: x = 1; x = 2 − 2 )

)(

5 x 2 + 1 − 2 x 2 + 1 = 3 x 2 ( x = 0; x = 1 )

)

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

Nếu trong phương trình có chứa hai căn, thay lần lượt vào mỗi căn đó ta có kết quả như sau:

U Y

BT Mẫu 22: Trong pt sau khi dùng máy tính ta được x = 1,390388203

ÀN

4. ( x + 3) x 2 + x + 2 = x 2 + 3 x + 4 5. 3 2 + x − 2 = 2 x + x + 6 ( x = 3; x =

IỄ N

(

)

11 − 3 5 ) 2

6. 9

(

x − 3 + 5 − x − 2 x2 + 7 x + 2 = 0 ( x = 4 )

4 x + 1 − 3x − 2 = x + 3

)

x + 24 + 12 − x = 6 ( x = −24, x = −88 )

x2 + 4 = x −1 + 2x − 3 ( x = 2 )

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

10. 2 3 3 x − 2 + 3 − 6 − 5 x − 8 = 0 ( x = −2 )

 −32 + 3 57  2 x 2 + 16 x + 18 + x 2 − 1 = 2 x + 4  x = ±1, x =  7  

13.

5 x − 1 + 1 = 2 x 2 + 3x + 3 x − 9 ( x = 1 )

14.

3 x + 3 − 5 − 2 x − x3 + 3 x 2 + 10 x − 26 = 0 ( x = 2 )

15.

3x 2 − 7 x + 3 − x 2 − 2 = 3x 2 − 5 x − 1 − x 2 − 3x + 4 ( x = 2 )

N U Y .Q

< x + 21 (*)

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Đại học Mỏ - Địa Chất năm 1999

 x 3 + 9 + 2x x    ( *) ⇔ 2   < x + 21 ⇔ 2  −2 x  3 − 9 + 2x   2

TR ẦN

)

< x + 21 ⇔ 9 + 6 9 + 2 x + 9 + 2 x < 2 x + 42

9 + 2x

)

  < x + 21  

10 00

(3 + ⇔

(

H Ư

9 + 2 x ≥ 0 9 Điều kiện:  ⇔ − ≤ x≠0. 2 x ≠ 0

•

Bài giải tham khảo

7 2

⇔ 9 + 2 x < 4 ⇔ 9 + 2 x < 16 ⇔ x <

 9 7 Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của hệ là x ∈  − ;  \ {0} .  2 2

Í-

•

(

> x − 4 (*) Đại học Sư Phạm Vinh năm 2001

Bài giải tham khảo

Điều kiện: 1 + x ≥ 0 ⇒ x ≥ −1 .

 x ≥ −1 Nếu  ⇔ −1 ≤ x < 4 ⇒ (*) luôn đúng. Do đó: x ∈ [ −1; 4 ) là một tập nghiệm của bất phương x − 4 < 0 trình (*).

IỄ N

•

)

ÀN

•

1+ 1+ x

ÁN

-L

BT Mẫu 24 Giải bất phương trình:

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

)

(

3 − 9 + 2x

ẠO

2 x2

BT Mẫu 23: Giải bất phương trình:

12.

11. x 2 − 3 x − 4 = x − 1 ( x 2 − 4 x − 2 ) ( x = 2, x = 5 )

•

Khi x ≥ 4 :

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

(

)

(

)(

)

   

x ≥ 4   ⇔  x 1 − 1 + x  > x−4  1 −1− x  

(

) 

 

> x−4

Ơ N ẠO

 x ∈ [ −1; 4 ) Vậy tập nghiệm của bất phương trình là  ⇔ x ∈ [ −1;8 )  x ∈ [ 4;8 )

•

x 2 − 3x + 2 + x 2 − 4 x + 3 ≥ 2 x 2 − 5 x + 4 (*)

BT Mẫu 25: Giải bất phương trình:

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

)

U Y

(

x ≥ 4  x ≥ 4  ⇔ ⇔ 2 1 − 2 1 + x + 1 + x > x − 4  1 − 1 + x > x − 4  x ≥ 4 x ≥ 4 x ≥ 4 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x ∈ [ 4;8 ) x < 8  1 + x < 3 1 + x < 9

Đại học Y Dược năm 2001 – Đại học Quốc gia Tp. Hồ Chí Minh năm 1996

Bài giải tham khảo

TR ẦN

H Ư

2  2 ( x − 3 x + 2 ) − ( x − 5 x + 4 ) = 2 x − 2 = 2 ( x − 1) Nhận xét:  . Nên ta có lời giải sau: 2 2 ( x − 4 x + 3) − ( x − 5 x + 4 ) = x − 1

Điều kiện: x ≤ 1 ∨ x ≥ 4 .

⇔

(

x 2 − 3x + 2 − x 2 − 5 x + 4 +

) (

2 ( x − 1) 2

x − 3x + 2 + x − 5 x + 4

x2 − 4 x + 3 − x2 − 5x + 4 ≥ 0

(*) ⇔

x −1

10 00

•

)

≥0

x − 4 x + 3 + x2 − 5x + 4

Í-

x − 3x + 2 + x − 5 x + 4

-L

x ≤ 1 Do  thì: x ≥ 4

•

  2 1 ⇔ ( x − 1)  +  ≥ 0 (1) 2 2 2 2 x − 4x + 3 + x − 5x + 4   x − 3x + 2 + x − 5 x + 4 +

1 2

x − 4 x + 3 + x2 − 5x + 4

ÁN

nên (1) ⇔ x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1 . Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình là: x ≥ 4 ∨ x = 1 .

•

ÀN

BT Mẫu 26: Giải bất phương trình:

4 + 2 x + 1 ≥ 2 x + 17 (*) x Bài giải tham khảo

Đ D

IỄ N

•

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

x ≥ 4   x 1− 1+ x (*) ⇔     1+ 1+ x 1− 1+ x  

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Điều kiện: x > 0 .

(*) ⇔

⇔

4 ≥ 2 x + 17 − 2 x + 1 x

4 ≥ x

(

2 x + 17 − 2 x + 1

)(

2 x + 17 + 2 x + 1

)

2 x + 17 + 2 x + 1

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn 4 16 ≥ ⇔ 2 x + 17 + 2 x + 1 ≥ 4 x x 2 x + 17 + 2 x + 1

(

2 x + 17 + 2 x + 1

)

≥ 16 x ⇔

( 2 x + 17 )( 2 x + 1) ≥ 6 x − 9

(dạng

A ≥B)

3  ⇔ .....x ∈  ; 4  . 2 

Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ ( 0; 4] .

2 x3 + 3 x 2 + 6 x + 16 − 4 − x > 2 3 (*)

BT Mẫu 27: Giải bất phương trình:

U Y

•

⇔

2 x 3 + 3 x 2 + 6 x + 16 + 3 3

( x − 1) ( 2 x 2 + 5 x + 11) 3

2 x + 3 x + 6 x + 16 + 3 3

x −1 >0 3 + 4− x

ẠO

)

2 x3 + 3 x 2 + 6 x − 11

3 − 4− x > 0

) (

⇔

2 x 3 + 3 x 2 + 6 x + 16 − 3 3 +

(

H Ư

(*) ⇔

Điều kiện: −2 ≤ x ≤ 4 .

•

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Bài giải tham khảo

10 00

TR ẦN

2   5  63  2 x +  +   1 4 8   >0 ⇔ ( x − 1) +  2 x3 + 3 x 2 + 6 x + 16 + 3 3 3 + 4− x      ⇔ x −1 > 0 ⇔ x > 1

Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ (1; 4] .

•

BT Mẫu 28: Giải bất phương trình: 9 ( x 2 + 1) ≤ ( 3 x + 7 ) 1 − 3 x + 4

ÁN

•

(*) ⇔ 9 ( x + 1) 1 + 3 x + 4 2

(

ÀN

⇔ 9 ( x + 1) 1 + 3x + 4

⇔ ( x + 1)

(*)

Bài giải tham khảo

(  1+ (

)

≤ ( 3x + 7 )  1 − 3x + 4 1 + 3x + 4   

(

) ≤ 9 ( 3x + 7 )( x + 1) 3 x + 4 ) − 3 x − 7  ≤ 0 (1) 

)(

•

 3x + 4 ≤ 1   x ≠ −1 4 4   ⇔ − ≤ x < −1 . Khi  4 ⇒ (1) ⇔  x ≥ − 3 3  x ≥ − 3   x ≠ −1 

IỄ N

Khi x = −1 ⇒ (1) : luôn đúng

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

)

•

-L

4 Điều kiện: x ≥ − . 3

)

Í-

(

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

⇔ ⇔

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

 4  Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình là x ∈  − ; −1 .  3 

BT Mẫu 29: Giải bất phương trình: 2 1 −

2 8 + 2 x − ≥ x (1) 3 x

Với: x ≥ 2 : ( 2 ) ⇔

x − 2 2 + 2x + 4 2 − 2x + 4 ≥x⇔ . x 2 − 2x + 4

⇔

x−2 4 . ≥1 x 2x + 4 − 2

(

)

Ơ N

( −4 x ) ≥ x x−2 . x 2 − 2x + 4

TR ẦN

)(

2 x + 4 − 2 , (do:

)

2 x + 4 − 2 > 0, ∀x ≥ 2 )

(

)

H Ư

(

x−2 . 2 + 2x + 4 ≥ x x

⇔

⇔ 4 x−2 ≥ x

U Y

•

Với: −2 ≤ x < 0 : thì (2) luôn đúng.

•

ẠO

•

x−2 ≥0  −2 ≤ x < 0  x Điều kiện:  ⇔ x ≥ 2  2 ( x − 2 )( x + 2 ) ≥ 0  x

2 ( x − 2 )( x + 2 ) x−2 2x2 − 8 x−2 + ≥x⇔2 + ≥ x (2) x x x x

10 00

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

(1) ⇔ 2

Bài giải tham khảo

⇔ 4 x − 2 ≥ 2x2 + 4 x − 2 x ⇔ 4 x − 2 + 2 x ≥ 2 x2 + 4x

x2 − 2 x

) −4

x2 − 2 x + 4 ≤ 0 ⇔

(

Í-

⇔

⇔ 16 x − 32 + 4 x + 16 x ( x − 2 ) ≥ 2 x 2 + 4 x ⇔ x 2 − 2 x − 4 x 2 − 2 x + 4 ≤ 0

(

x2 − 2 x − 2

)

≤0

-L

⇔ x2 − 2 x − 2 = 0 ⇔ x2 − 2 x − 4 = 0 ⇔ x = 1 ± 5 Do x ≥ 2 ⇒ x = 1 + 5 .

•

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ [ −2;0 ) ∪ 1 + 5 .

ÁN

•

{

}

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

•

ÀN

BT Mẫu 30: Giải bất phương trình: ( x − 1) x 2 − 2 x + 5 − 4 x x 2 + 1 ≥ 2 ( x + 1) (*)

Bài giải tham khảo

IỄ N

(*) ⇔ ( x + 1) 2 + x 2 − 2 x + 5 + 2 x 2 x 2 + 1 − x 2 − 2 x + 5 ≤ 0

) (

(

⇔ ( x + 1) 2 + x 2 − 2 x + 5 +

)

(

)

2 x ( x + 1)( 3 x − 1) 2 x2 + 1 + x2 − 2 x + 5

≤0

  2 x ( 3 x − 1) ⇔ ( x + 1)  2 + x 2 − 2 x + 5 + ≤0  2 x2 + 1 + x2 − 2 x + 5  

(

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

)

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

 4 x 2 + 1 + 2 x 2 − 2 x + 5 + 2 ( x 2 + 1)( x 2 − 2 x + 5 ) + 7 x 2 − 4 x + 5  ≤0 ⇔ ( x + 1)   2 x2 + 1 + x2 − 2 x + 5    2

4  31  Do 7 x − 4 x + 5 = 7  x −  + > 0 nên phương trình ⇔ x + 1 ≤ 0 ⇔ x ≤ −1 . 7 7 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ ( −∞; −1] .

•

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Khi gặp một phương trình vô tỷ, ta biết rằng phương trình này có thể giải được bằng phương pháp liên hợp, dùng MODE 7 ta cũng biết rằng phương trình này chỉ có đúng một nghiệm – Nhưng sau khi liên hợp xong biểu thức còn lại rất cồng kềnh phức tạp và khó chứng minh phương trình này vô nghiệm lúc đó ta sẽ làm gì. Tất cả sẽ có trong bài viết này với những phân tích bình luận đơn giản thông qua 20 ví dụ. Hi vọng rằng đó sẽ là sức mạnh giúp các em giải quyết triệt để lớp bài toán này.

BT Mẫu 31 Giải phương trình: 2 x 2 − 5 x − 1 = x − 2 + 4 − x (*)

Nhận xét: Dùng máy tính ta kiểm tra được phương trình này có một nghiệm duy nhất x = 3 , thay nghiệm

(1)

............. ta nhận thấy sự không đồng nhất về dấu???

( 2)

 − ( x − 3) 1 − x − 2 =  1+ x − 2  1 − 4 − x = x − 3  1+ 4 − x

H Ư

x − 2 = 1; 4 − x = 1 như vậy thông thường ta sẽ liên hợp như sau:

TR ẦN

đó vào

10 00

Tới đây một cách tự nhiên ta đi tìm ý tưởng để cả hai cùng mang dấu “+” hoặc cùng “−” ở đây tôi sẽ truy ngược dấu cho (1) cụ thể như sau:

)

(

x − 2 −1 + 2x2 − 6x = 0

)

(

(*) ⇔ 1 − 4 − x + x − 2

ĐK 2 ≤ x ≤ 4

Í-

( x − 3) x − 2 + 2 x x − 3 = 0 ⇔ x − 3  1 + x − 2 + 2 x  = 0 x −3 + ( ) ( )  1+ 4 − x 1+ x − 2 1 + 4 − x 1 + x − 2 

-L

⇔

ÁN

x = 3 ⇔  1 x−2 + + 2 x > 0; ∀x ∈ [ 2; 4] 1 + 4 − x 1 + x − 2

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

KỸ THUẬT LIÊN HỢP TRUY NGƯỢC DẤU:

ÀN

Tới đây các em đã hình dung được phần nào lợi thế của phương pháp rồi chứ, kết quả thu được thật tuyệt với đúng không các em – tiếp tục cùng thầy qua các ví dụ khác nhé……

IỄ N

BT Mẫu 32 Giải phương trình: 4 x + 1 = 2 − x + 2 3 x + 1 (*)

Nhận xét: dùng máy tính ta biết được x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình, cũng lần lượt thay nghiệm đó vào các căn ta có biểu thức liên hợp thông thường như sau:

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

x −1  1 − 2 − x = 1 + 2 − x (1)  rõ ràng trái dấu, ta sẽ truy ngược dấu ở (2) như sau  2 − 3 x + 1 = −3 ( x − 1) ( 2 )  2 + 3x + 1

Bài Giải:

)

3 ( x − 1) x −1 + 3x + 1 + x −1 = 0 1+ 2 − x 2 + 3x + 1

(3) luôn dương nên vô nghiệm, vậy x = 1 là nghiệm duy nhất BT Mẫu 33: Giải phương trình x 2 + 4 x = 2 3 x + 1 + 2 x − 1 (*)

( 3)

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

x = 1   1 3 3x + 1 ⇔ ( x − 1)  + + 1 = 0 ⇔  1 3 3x + 1 + +1 = 0 1 + 2 − x 2 + 3 x + 1  1 + 2 − x 2 + 3 x + 1

ĐK x ≥ 1

3x + 1 − 2 + 2 x − 1

(

)

(

2 x − 1 − 1 + x2 − x = 0

)

3x + 1

TR ẦN

H Ư

Nhận xét: Dùng casio ta biết phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 giống như bài trên ta sẽ truy ngược dấu tuy nhiên bài này ta sẽ truy ngược cả hai biểu thức liên hợp, ta có lời giải như sau:

 3 3x + 1  x −1 x −1 2 2x −1 + 2 2x −1 + x ( x − 1) = 0 ⇔ ( x − 1)  + + x = 0 3x + 1 + 2 2x −1 +1 2x −1 +1   3x + 1 + 2

10 00

⇔ 3 3x + 1

Í-

x = 1 phương trình (1) luôn dương trên Đk do đó x = 1 là ! ⇔  3 3 x + 1 2 2x −1 + + x = 0 (1) 2x −1 + 1  3 x + 1 + 2

ÁN

-L

BT Mẫu 34: Giải phương trình ( x 2 + 1) ( x − 1) + 2 5 − x + 3 2 x − 1 = 5 (*)

5− x −2 =

ĐK: x ≤ 5 , Nhẩm được x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình và

1− x <0 5− x + 2

ÀN

Do vậy ta tiến hành truy ngược dấu biểu thức này, viết lại phương trình như sau: 2

+ 1) ( x − 1) + 5 − x 2 − 5 − x +

IỄ N

⇔ ( x 2 + 1) ( x − 1) + 5 − x .

(

x −1 + 2+ 5− x

 5− x ⇔ ( x − 1)  x 2 + +  2+ 5− x 

) (

2x −1 −1 + 1− x = 0

)

2 ( x − 1) 3

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

3x + 1 − 2 + x − 1 = 0 ⇔

(

U Y

)

(

(*) ⇔ 1 − 2 − x + 3 x + 1

1 ĐK − ≤ x ≤ 2 3

( 2 x − 1)

+ 3 2x −1 +1

+1− x = 0

x = 1   =0⇔ 2 5− x + 2 x + 3  ( 2 x − 1) + 3 2 x − 1 + 1  2+ 5− x  2

2 3

( 2 x − 1)

+ 3 2x −1 + 1

= 0 (1)

(1) luôn dương trên tập nên nó vô nghiệm, vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình.

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

BT Mẫu 35: Giải phương trình 10 x + 2 = 4 x + 1 + 3 3 x + 1 (*)

)

(

( 3x + 1)

)

− 1 + 3x = 0

( 3x + 2 ) 3 3x + 2 + 3 = 0 (1) 4 2 3 3 x + + x + + 3 1 3 1 1 ( ) ( )

ẠO

(1) luôn dương nên phương trình đã cho chỉ có nghiệm duy nhất x = 0

TR ẦN

ĐK: x ≥ 3

H Ư

BT Mẫu 36: Giải phương trình sau x 2 + 3 x − 8 − 2 x − 3 = 3 x − 1 (*)

Điểm nhấn ở bài toán này nằm ở chỗ nào các em thấy chưa??? Đó chính là kỹ năng truy ngược dấu cho một hàm căn bậc 3 như thế nào – ta sẽ cùng nhau tới bài mẫu sau đây nhé:

Dùng Casio biết được x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình, thay vào hai căn cho kết quả = 1

( x − 1)

−1 + x2 − 4 = 0

)

+ 3 ( x − 1) + 1

+ ( x − 2 )( x + 2 ) = 0

( x − 1)

Ó H

x 4

+ 3 ( x − 1) + 1

+ x + 2 = 0 (1)

Với ∀x ≥ 3

thì (1) luôn dương, pt có nghiệm x = 2

Í-

x = 2  ⇔  2 2x − 3 +  2x − 3 +1  là duy nhất.

2x + 3 +1

x ( x − 2)

(

10 00

2 ( x − 2) 2x − 3

)

-L

⇔

2x − 3 −1 + 3 x −1

(

PT (*) ⇔ x 2 + 3 x − 8 − 2 x − 3 − 3 x − 1 = 0 ⇔ 2 x − 3

ÁN

BT Mẫu 37: Giải phương trình x 2 + 4 x + 1 − 2 3 3x + 5 = 3 x + 1 (*)

ĐK: x ≥ −1

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

x = 0 ( 3x + 2 ) 3x. 3x + 2 + 3x = 0 ⇔  4 4 x + 1 4x 4x +1 ⇔ +  + 4 x + 1 + 1 3 ( 3 x + 2 ) 4 + 3 ( 3 x + 2 )2 + 1  4x +1 +1  3

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

4 x + 1 − 1 + 3 3x + 1

(

Viết lại pt: 10 x + 2 − 4 x + 1 − 3 3 x + 1 = 0 ⇔ 4 x + 1

U Y

ĐK: x ≥ − 1

Nhận xét: Dùng casio ta biết rằng cả hai phương trình chỉ có một nghiệm x = 0 , thay hai nghiệm vào hai căn được kết quả đều bằng 1, nhưng khi liên hợp thông thường thì cả hai sẽ bị mang dấu trái dấu so với phần còn lại. Do đó ta sẽ truy ngược dấu ở cả hai biểu thức trên. Ta có lời giải

ÀN

Nhận xét: Máy tính cho ta biết x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình, ta có lời giải sau đây.

IỄ N

(*) ⇔ 3 x + 1

⇔

(

3x + 1 − 2 + 3 3x + 5

3 ( x − 1) 3 x + 1 3x + 1 + 2

)

(

( 3x + 5)

− 4 + 2 x2 + 2 x − 4 = 0

)

3 x + 5 ( 3 x + 5 ) − 64    2

( 3x + 5 ) + 3 64 ( 3x + 5 ) + 642

 3 3x + 1 ⇔ ( x − 1)  +  3x + 1 + 2 

+ 2 ( x − 1)( x + 2 ) = 0

 ( 3x + 13) 3 3x + 5 + 2 ( x + 2 ) = 0 4 2  3 ( 3x + 5) + 3 64 ( 3x + 5) + 642 

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

( 3x + 13) 3 3x + 5 + 2 ( x + 2 ) = 0 (1) 4 2 3 ( 3x + 5) + 3 64 ( 3x + 5) + 642

( 3x + 5)

chứ không phải là

( 3x + 5)

lại liên hợp với 4 mà không phải

3 x + 5 . Thêm một điều nữa trong quá trình giải trước khi

là 2, bởi vì ở đây là

nghiệm duy nhất x = 1 khi đọc bài này độc giả sẽ thắc mắc tại sao

do (1) luôn dương nên pt chỉ có một

x = 1  ⇔  3 3x + 1 +  3x + 1 + 2 

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

BT Mẫu 38 Giải phương trình sau: 5 x + 3 − ( x + 1) 2 x 2 + 3 − x 2 − 3 3 x 2 + 5 = 0 (*)

)

(

TXĐ: D = ℝ

x 2 + 3 − 2 + x + 1 − 3 3x 2 + 5 + x − 1 = 0

( x + 1) 2

− ( 3x 2 + 5 )

Đ N

x2 + 3 + 2

)

) (

x2 − 1

⇔ ( x + 1) x + 3

(

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

⇔ ( x + 1) x 2 + 3

ẠO

(*) ⇔ 5 x + 3 + ( x + 1) x 2 − 2 ( x + 1) x 2 + 3 − 3 3 x 2 + 5 = 0

( x + 1) + 3 ( x + 1) ( 3x 2 + 5 ) + 3 ( 3x 2 + 5)

+ x +1 = 0

TR ẦN

  2 x + 1) x 2 + 3 ( x2 + x + 4   ⇔ ( x − 1) + +1 = 0 2 3   2 3 2 3 x +1 x2 + 3 + 2 x + 1 + 3 x + 5 + 3 x + 5 ( ) ( ) ( )  

10 00

  2 x + 1) x 2 + 3 ( x2 + x + 4  ⇔ ( x − 1) = 0 ∨ + + 1 = 0 2 2 3  2 3 2 3 x +3 +2 ( x + 1) + ( x + 1) ( 3x + 5) + 3x + 5  

Vậy phương trình chỉ có đúng một nghiệm x = 1

Điều gì làm bạn thấy khó hiểu nhất? có lẽ là việc xuất hiện của biểu thức liên hợp x + 1 − 3 3 x 2 + 5 tại sao

)

Í-

(

ÁN

-L

không phải là số 2, vì khi liên hợp với số 2 dù đã truy ngược dấu nhưng kết quả liên hợp vẫn bất lợi trong việc chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất do đó ta giả thiết có ax + b nào đó thỏa mãn mà 2 = 1 + 1 = x + 1 (vì x = 1 là nghiệm mà). Vậy ta có kết quả bài toán trên khá thành công‼!

BT Mẫu 40: Giải phương trình 2 x 3 + x 2 + x − 1 − x 2 x 2 + x + 1 + 3 2 x + 2 = 0 (*)

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

đưa ra biểu thức liên hợp để đảm bảo tính cân bằng hệ số tôi đã nhân cả hai vế của phương trình này cho 2.

ÀN

Bài giải

(

)

 =0 3 + 2 x + 2 + 1  1

( 2x + 2)

IỄ N

(*) ⇔ x 2 x + x + 1

 2 x 2x2 + x + 1 2 x + x + 1 − 1 + 2 x + 2 − 1 = 0 ⇔ ( 2 x + 1)  +  2 x2 + x + 1 + 1  2

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

( 2x + 2)

+ 3 2x + 2 +1

vậy pt có nghiệm duy nhất x = −1/ 2

BT Mẫu 41: Giải Phương trình 3 x − 4 + 2 x + 3 = (1 − x ) x 2 − 2 x 2 + 3

(*)

U Y

ĐK x ≥ − 3

)

(

= 0 (VN )

1  x = − 2 ⇔  2 x 2 x2 + x + 1 +  2  2 x + x + 1 + 1

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

2 x + 3 − 1 + (1 − x ) x + 3 2 − x + 3 = 0 ⇔

)

(

2 ( x + 1)

)

2x + 3 +1

(1 − x ) (1 + x ) +

x2 + 3

ẠO

(

2 + x2 + 3

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

(*) ⇔

vì (1 − x ) chưa xác định về dấu, khi đó ta có ý tưởng làm xuất hiện x + 1 và (1 − x ) Ta có lời giải như sau:

H Ư

 x = −1 2  1 − x ) x2 + 3   ( 2 2 =0⇔ ⇔ ( x + 1)  + 1 − x ) x2 + 3 ( 2 2 + = 0 (1) 2 + x + 3    2 x + 3 + 1 2 + x2 + 3  2x + 3 + 1

TR ẦN

Thấy ngay (1) vô nghiệm vì (1) luôn > 0 vậy pt chỉ có một nghiệm x = −1 Qua một số ví dụ vừa rồi ta thấy rằng có những biểu thức ta cần truy ngược để xác định cụ thể dấu của các biểu thức đứng ngay phía trước căn thức, điều này cần chú ý khi làm bài

10 00

BT Mẫu 42: Giải phương trình: x3 − 5 x 2 + 13 x − 6 = ( x − 2 ) x 2 − 3 x + 3 + 2 3 x + 1 (*) 2

Nhận xét: Bài này giống với bài trên ta cần truy ngược để được ( x − 2 ) , đồng thời khi liên hợp

3x + 1

với số 2 ta cũng thu được kết quả ( − ) do đó cũng cần truy ngược dấu. Dùng casio biết được x = 1 là nghiệm

x 2 − 3 x + 3 = 1, 3 x + 1 = 2 (Các em chú ý luôn dựa vào nghiệm để tìm

Í-

biểu thức liên hợp nhé)

duy nhất của phương trình thay vào

ĐK: x ≥ −1

-L

Ta có lời giải:

ÁN

(*) ⇔ x 3 − 5 x 2 + 13 x − 6 − ( x − 2 ) x 2 − 3x + 3 − 2 3 x + 1 = 0

ÀN

⇔ ( x − 2 ) x 2 − 3x + 3 2

⇔ ( x − 2 ) x − 3x + 3

(

x 2 − 3 x + 3 − 1 + 3x + 1

)

− 3x + 2 )

x 2 − 3x + 3 + 1

(

3x + 1 − 2 + x − 1 = 0

)

3 ( x − 1) 3 x + 1 3x + 1 + 2

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

Dùng casio ta biết rằng pt chỉ có một nghiệm là x = −1 , biểu thức cần truy ngược dấu chính là (1 − x ) x 2 + 3

+ x −1 = 0

IỄ N

x = 1  ( x − 2 ) 2 x 2 − 3x + 3   3 3x + 1 ⇔ ( x − 1)  + + 1 = 0 ⇔  ( x − 2 )2 x 2 − 3 x + 3 3 3x + 1 2 3 x + 1 + 2  + + 1 = 0 (1) x − 3x + 3 + 1   3x + 1 + 2 x 2 − 3x + 3 + 1 

(1) luôn ( + ) nên phương trình chỉ có đúng một nghiệm x = 1 BT Mẫu 43: Giải phương trình sau x 2 + 14 x + 14 = ( x + 1) 4 x + 5 + 2 ( x + 5 ) x + 3 (*)

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Nhận xét: phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 , ta thấy ngay bài này cần truy ngược cả hai biểu thức liên hợp vì một biểu thức chứa ( x + 1) chưa rõ về dấu, một biểu thức khi liên hợp cho dấu âm. Thay x = 1 và o 4 x + 5 = 3; x + 3 = 2 nhưng khi truy ngược biểu thức ( x + 1) 4 x + 5

(

4x + 5 − 3 =

)

4 ( x + 1) 4 x + 5 ( x − 1) 4x + 5 + 3

rõ ràng không làm xuất hiện ( x + 1) ......... Vậy ta sẽ làm thế nào??? Có thể biểu thức liên hợp sẽ là một hàm

bậc nhất chăng? Thế thì hệ số bất định lên tiếng thôi 2

U Y

Nhắc lại ta cần truy ngược để làm xuất hiện ( x + 1) ( x − 1) , giả sử ta có

4 x + 5 = 3 = x + 2 ) tới đây coi như đã xong phần phân tích, làm

ẠO Đ

ĐK x ≥ − 5

(*) ⇔ ( x + 1) x + 2 − 4 x + 5 + ( x + 5 ) x + 3 ⇔ ( x + 1)

)

− 1)

x + 2 + 4x + 5

+ ( x + 5) x + 3

(

x + 3 − 2 + 3x − 3

)

( x − 1) x+3 +2

+ 3 ( x − 1) = 0

TR ẦN

(

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ta có x = 1 là nghiệm mà thay x = 1 vào thôi‼!

2  x + 1) ( ( x + 5 ) x + 3 + 3 = 0 ⇔ ( x − 1)  +  x+3 +2  x + 2 + 4 x + 5 

10 00

2  x + 1) ( ( x + 5) x + 3 + 3 = 0 1 ta thấy (1) luôn dương nên vô nghiệm ⇔ ( x − 1) = 0 ∨  +  () x+3 +2  x + 2 + 4 x + 5 

BT Mẫu 44: Giải phương trình sau: 5 x 2 + ( 3 x + 1) 2 − x − 3 ( x − 13) 2 x − 1 = 7 x + 28 (*)

Í-

ĐK: 1 ≤ x ≤ 2 cũng giống bài trên ( x − 13) chưa xác định về dấu với đk của x do đó ta cần làm xuất 2 2

-L

hiện ( x − 13) ( x − 1) với x = 1 là nghiệm duy nhất của pt ta đã nhẩm được, kiểm tra liên hợp thông thường hoặc

2 x − 1 = 1 ta không thu được kết quả mong đợi, khi đó hệ số bất định

ÁN

truy ngược dấu với việc thay x = 1 vào với sức mạnh kinh khủng sẽ giúp bạn‼!

ÀN

Giả sử biểu thức cần liên hợp là ax + b ta tìm a, b sao cho ax + b = 2 x − 1 thay lần lượt x = 1 và x = 13 vào ta thu được a = 1/ 3; b = 2 / 3 . Lúc đó ta có:

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

vậy thay x = −1 vào ta có −a + b = 1 vậy a = 1, b = 2 (Các em có thể đoán nhanh biểu thức là x + 2 vì

H Ư

( x + 1)

ax + b = 4 x + 5 , thay x = 1 vào ta được a + b = 3 còn đâu một phương trình nữa??? ta cần xuất hiện

(

IỄ N

(*) ⇔ ( 3 x + 1) 2 − x 1 − 2 − x + ( x − 13) x + 2 − 3 2 x − 1 + x 2 − x = 0

)

(

)

( x − 13) ( x − 1) + x x − 1 = 0 x −1 + ( ) 1+ 2 − x x + 2 + 3 2x −1 x = 1 2  ( 3 x + 1) 2 − x  x − 13) (  2 ⇔ ( x − 1)  + + x  = 0 ⇔  ( 3 x + 1) 2 − x x − 13) ( 1 + 2 − x x + 2 + 3 2 x − 1    1 + 2 − x + x + 2 + 3 2 x − 1 + x = 0 (1)

⇔ ( 3 x + 1) 2 − x

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Rõ ràng x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình vì (1) luôn dương trên tập xác định BT Mẫu 45: Giải phương trình: 2 ( 8 x 2 + 7 x + 1) = ( x + 1) 2 x + 3 + 2 ( 3 x + 1) 4 x + 2 (*)

ĐK x ≥ − 1

Nhận xét: ( 3 x + 1) chưa xác định dấu ta suy nghĩ tới hướng làm như bài trên, giả sử biểu thức cần liên hợp với

4 x + 2 là ax + b , tìm a và b sao cho ax + b = 4 x + 2 , thay x = 1

(*) ⇔ 4 ( 8 x 2 + 7 x + 1) − 2 ( x + 1) 2 x + 3 − 4 ( 3 x + 1) 4 x + 2 = 0

(

2 x + 3 − 2 + 4 ( 3 x + 1) 2 x + 1 − 4 x + 2 + 6 x 2 + 3 x − 3 = 0

)

(

)

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

⇔ ( x + 1) 2 x + 3

Nhân 2 vế của (*) cho 2 ta có pt mới như sau:

  4 x2 −1  2x −1  ⇔ ( x + 1) 2 x + 3  + 4 3 + 1 x ( )   + ( 2 x − 1)( 3 x + 3) = 0   2x + 3 + 2   2x +1 + 4x + 2 

10 00

TR ẦN

H Ư

 ( x + 1) 2 x + 3 4 ( 6 x 2 + 5 x + 1)  ⇔ ( 2 x − 1)  + + 3 x + 3 = 0 2x +1 + 4x + 2  2 x + 3 + 2  1  x = 2  2   ⇔ 5 1 4 6 x +    +   12  24   ( x + 1) 2 x + 3 +   + 3x + 3 = 0 (1) 2x + 1 + 4x + 2  2 x + 3 + 2

do (1) luôn dương nên x = 1/ 2 là nghiệm duy nhất

Í-

-L

ĐK x ≥ − 3

BT Mẫu 46: Giải phương trình sau ( 8 x + 13) 4 x + 17 = 12 x + 35 + 2 ( x + 2 ) 2 x + 3 (*)

ÁN

Đặt t = 2 x + 3 ( t ≥ 0 ) → x =

t2 − 3 thay vào phương trình (*) ta có: 2

(*) ⇔ t 3 + 6t 2 + t + 17 − ( 4t 2 + 1) 2t 2 + 1 = 0 (1) nhẩm thấy t = 2 là nghiệm của phương trình, ta giả sử

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

(nghiệm đã nhẩm được) ta có a + 2b = 4 2 nhưng khi thay x = −1/ 3 vào thì cho số quá xấu, phải làm sao đây??? Thôi thì ta chọn a, b phù hợp với phương trình a + 2b = 4 vậy, chọn a = 2, b = 1

ÀN

biểu thức liên hợp là at + b , phải tìm a và b để at + b = 2t 2 + 1 , với t = 2 ta có 2a + b = 3 , việc tìm thêm một

pt nữa lại gặp khó khăn vì 4t 2 + 1 = 0 vô nghiệm. Ta chọn cặp a, b phù hợp là a = 1, b = 1 .

IỄ N

(1) ⇔ t 3 + 6t 2 + t + 17 + ( 4t 2 + 1) t + 1 − 2t 2 + 1  − ( 4t 2 + 1) ( t + 1) = 0   t ( 4t 2 + 1) ( t − 2 )  −t 2 + 2t  2 ⇔ −3t 3 + 2t 2 + 16 + ( 4t 2 + 1)  = 0 ⇔ − 2 − 3 − 4 − 8 − =0 t t t ( )( )  2 t + 1 + 2t 2 + 1  t + 1 + 2t + 1 

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn t = 2  ⇔ 2 t ( 4t 2 + 1) =0  −3t − 4t − 8 − t + 1 + 2t 2 + 1 

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

( 2)

PT chỉ có một nghiệm t = 2 vì (2) luôn dương với ∀t ≥ 0

BT Mẫu 47: Giải phương trình 4 x + 12 = ( 3 x + 8 ) x + 6 − ( 4 x + 13) x + 2 (*)

Lời giải:

(*) ⇔ 4t 3 + 4t 2 + 5t + 4 − ( 3t 2 + 2 ) t 2 + 4 = 0

  4 ⇔ t 3 − 2t 2 + 3t + ( 3t 2 + 2 ) ( t + 2 ) t + 2 − t 2 + 4 = 0 ⇔ t t 2 − 2t + 3 + ( 3t 2 + 2 ) ( t + 2 ) =0 2 t +2+ t +4 

  4 ⇔ t = 0 ∨ t 2 − 2t + 3 + ( 3t 2 + 2 ) ( t + 2 )  = 0 (1) t + 2 + t2 + 4  

H Ư

(1) vô nghiệm vì luôn dương, pt có nghiệm duy nhất t = 0 hay x = −2

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

)

(

TR ẦN

Qua hai ví dụ trên có lẽ bạn đọc đang thắc mắc vì sao lại phải dùng tới ẩn phụ - Lí do là do bậc của x ở biểu thức không chứa căn thấp hơn so với bậc của x ở biểu thức chứa căn nên ta dùng ẩn phụ để hóa giải bài toán này.

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

Tới đây có lẽ tác giả cũng xin dừng bài viết của mình ở đây, với các kỹ thuật đã được nêu ra và các ví dụ được phân tích và nhận xét một cách khá tỷ mỉ, lối trình bày định hướng tư duy cho mỗi lời giải cũng khá rõ ràng hy vọng rằng bài viết sẽ là một hành trang bổ trợ cho các em một công cụ “mạnh mẽ” trong việc chinh phục những bài toán về phương trình chứa căn. Trong bài viết tiếp theo tác giả sẽ trình bày một vài công cụ “mạnh mẽ” khác giúp các em công phá đề thi quốc gia một cách nhẹ nhàng hơn nữa. Xin chân thành cảm ơn các bạn đã sử dụng tài liệu này. Mọi góp ý tác giả xin ghi nhận.

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

Đặt t = x + 2, t ≥ 0 → x = t 2 − 2 thay vào (*) ta có

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

CHƯƠNG III: PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH

2x 3 –5= 2 là: x +1 x +1

Câu 1. Điều kiện xác định của phương trình

= 0 là:

C. 2 ≤ x ≤ 7 . 1 = x −1 2

x + 3 là:

B. −3; +∞) .

C. −3 ; +∞)\{±1} .

D. Cả A, B, C đều sai.

+ x 2 − 1 = 0 là:

B. x > 0 .

10 00

A. x ≥ 0 .

TR ẦN

H Ư

A. (1; +∞) .

Điều kiện của phương trình

D. x ≥ 0 và x2 − 1 > 0 .

C. x > 0 và x 2 − 1 ≥ 0 .

-L

Í-

Câu 6. Điều kiện xác định của phương trình

5 − 2x là: x−2

C. 1 < x ≤

Câu 7. Tập nghiệm của phương trình x 2 − 2 x =

2 x − x 2 là:

B. T = ∅ .

ÀN

A. T = {0} .

IỄ N

Câu 8. Tập nghiệm của phương trình

x −1

B. x > 1 và x ≠ 2 .

ÁN

A. x ≥ 1 và x ≠ 2 .

Câu 9.

A. S = {0} .

N Ơ H

D. 2 ≤ x < 7 .

5 5 và x ≠ 2 . D. 1 ≤ x ≤ . 2 2

C. T = {0 ; 2} .

D. T = {2} .

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

7−x

x2 + 5

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

B. x < 7 .

Câu 4. Điều kiện xác định của phương trình

Câu 5.

x−2 +

D.  3; +∞) .

C. 1; +∞) .

Câu 3. Điều kiện xác định của phương trình A. x ≥ 2 .

x − 3 là:

ẠO

B.  2; +∞) .

x−2 =

A. (3; +∞) .

x −1 +

D. D = ℝ .

Câu 2. Điều kiện xác định của phương trình

C. D = ℝ \{±1} .

U Y

B. D = ℝ \{−1} .

A. D = ℝ \{1} .

x = −x là: x

B. S = ∅ .

C. S = {1} .

D. S = {−1} .

Hai phương trình được gọi là tương đương khi:

A. Có cùng dạng phương trình.

B. Có cùng tập xác định.

C. Có cùng tập hợp nghiệm.

D. Cả A, B, C đều đúng.

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 10. Trong các khẳng định sau, phép biến đổi nào là tương đương: A. 3 x + x − 2 = x 2 ⇔ 3 x = x 2 − x − 2 . x − 1 = 3x ⇔ x − 1 = 9 x 2 .

C. 3 x + x − 2 = x 2 + x − 2 ⇔ 3 x = x 2 .

f 2 ( x) = g2 ( x)

(2)

U Y

(1)

f1 ( x) = g1 ( x)

Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng ?

(3) .

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

f1 ( x) + f 2 ( x) = g1 ( x) + g 2 ( x)

Câu 11. Hai các phương trình :

D. Cả A, B, C đều sai.

B. (3) là hệ quả của (1) .

C. (2) là hệ quả của (3) .

D. Các phát biểu A, B, C đều sai.

TR ẦN

H Ư

A. (3) tương đương với (1) hoặc (2) .

Câu 12. Cho phương trình 2x2 – x = 0 (1) . Trong các phương trình sau đây, phương trình nào

x =0. 1− x

10 00

A. 2 x −

không phải là hệ quả của phương trình (1) ?

D. x 2 − 2 x + 1 = 0 .

C. (2 x 2 − x) + ( x − 5) = 0 .

B. 4 x 3 − x = 0 .

Í-

Câu 13. Hãy chỉ ra khẳng định sai: x−2 = 3 2−x ⇔ x−2 = 0 .

x−3 = 2 ⇒ x−3 = 4 .

ÁN

-L

x( x − 2) = 2 ⇒ x = 2. x−2

D. x = 2 ⇔ x = 2 .

IỄ N

ÀN

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

Câu 14. Hãy chỉ ra khẳng định sai : A.

x −1 = 2 1− x ⇔ x − 1 = 0 . 2

C. x − 2 = x + 1 ⇔ ( x − 2) = ( x + 1)2 .

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

B. x 2 + 1 = 0 ⇔

x −1 x −1

=0.

D. x 2 = 1 ⇔ x = 1, x > 0 .

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 15. Hãy chỉ ra khẳng định sai: B. x + x-2 = 1 + x − 2 ⇔ x = 1 .

x −1 = 2 1− x ⇔ x − 1 = 0 .

D x − 2 = x + 1 ⇔ ( x − 2) = ( x + 1) .

C. x = 1 ⇔ x = ±1 .

B. x + 1 = 0 .

C. x 2 + 1 = 0 .

D. ( x − 1)( x + 1) = 0 .

1 1 . = 3x + x−3 x−3

B. x 2 +

C. x 2 . x − 3 = 3 x. x − 3 .

D. x 2 + x 2 + 1 = 3 x + x 2 + 1 .

ẠO

A. x 2 + x − 2 = 3 x + x − 2 .

x( x − 1) = 1 ⇔ x = 1. x −1

TR ẦN

x−2 = 1⇒ x−2 = 1 .

H Ư

Câu 18. Khẳng định nào sau đây là sai:

C. 3 x − 2 = x − 3 ⇒ 8 x 2 − 4 x − 5 = 0 .

x − 3 = 9 − 2 x ⇒ 3 x − 12 = 0 .

10 00

Câu 19. Mệnh đề sau đúng hay sai:

x − 2 ở cả hai vế của phương trình 3 x + x − 2 = x 2 + x − 2 , ta được phương trình

Giản ước

tương đương:

B. Sai

A. Đúng

3x 2 + 1 = 2 x + 1

(1) ,

ta tiến hành theo các bước sau:

-L

Í-

Câu 20. Khi giải phương trình

3 x 2 + 1 = (2 x + 1)

(2) .

ÀN

ÁN

Bước 1 : Bình phương hai vế của phương trình (1) ta được:

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

.Q TP

Câu 17. Phương trình x 2 = 3 x tương đương với phương trình:

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

U Y

A. x − 1 = 0 .

Câu 16. Phương trình ( x 2 + 1)( x – 1)( x + 1) = 0 tương đương với phương trình:

Bước 2 : Khai triển và rút gọn (2) ta được: x 2 + 4 x = 0 ⇔ x = 0 hay x = –4 .

IỄ N

Bước 3 : Khi x = 0 , ta có 3 x 2 + 1 > 0 . Khi x = −4 , ta có 3 x 2 + 1 > 0 .

Vậy tập nghiệm của phương trình là: {0; –4} . Cách giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?

A. Đúng.

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

B. Sai ở bước 1 .

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

C. Sai ở bước 2 .

D. Sai ở bước 3 .

Câu 21. Cho phương trình: 2 x 2 – x = 0 (1) . Trong các phương trình sau, phương trình nào không phải là hệ quả của phương trình (1) ?

– x

)

N Ơ

)

– 5

D. x 2 – 2 x + 1 = 0 .

=0.

Câu 22. Cho phương trình ax + b = 0 . Chọn mệnh đề đúng:

A. Nếu phương trình có nghiệm thì a khác 0 .

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

B. Nếu phương trình vô nghiệm thì a = 0 .

C. Nếu phương trình vô nghiệm thì b = 0 .

A. m = 3 .

H Ư

Câu 23. Tìm m để phương trình ( m 2 − 9)x = 3m( m − 3)

D. Nếu phương trình có nghiệm thì b khác 0 .

(1) có nghiệm duy nhất:

TR ẦN

B. m = −3 .

C. m = 0 .

D. m ≠ −3 và m ≠ 3 .

10 00

Câu 24. Phương trình (m2 – 4 m + 3) x = m2 – 3m + 2 có nghiệm duy nhất khi: A. m ≠ 1 .

D. m = 1 và m = 3 .

C. m ≠ 1 và m ≠ 3 .

B. m ≠ 3 .

-L

A. m = 0 .

Í-

Câu 25. Phương trình (m2 – 2 m) x = m 2 – 3m + 2 có nghiệm khi: B. m = 2 .

C. m ≠ 0 và m ≠ 2 .

D. m ≠ 0 .

ÁN

Câu 26. Phương trình m 2 x + 6 = 4 x + 3m . Phương trình có nghiệm khi:

A. m ≠ 2 .

B. m ≠ −2 .

C. m ≠ 2 và m ≠ −2 . D. ∀m .

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

( 2x

B. 4 x 3 – x = 0 .

x =0. 1− x

U Y

A. 2 x −

ÀN

Câu 27. Với giá trị nào của p thì phương trình p 2 x − p = 9 x − 3 có vô số nghiệm B. p = 3 .

C. p = −3 .

D. p = 9 hay p = −9 .

IỄ N

A. p = 3 hay p = −3 .

Câu 28. Tìm m để phương trình (m2 – 4) x = m (m + 2) có tập nghiệm là ℝ : A. m = 2 .

B. m = −2 .

C. m = 0 .

D. m ≠ −2 và m ≠ 2 .

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 29. Phương trình ax + b = 0 có tập nghiệm là ℝ khi và chỉ khi: A. a ≠ 0 .

B. a = 0 .

C. b = 0 .

D. a = 0 và b = 0 .

Câu 30. Phương trình (m2 – 3m + 2) x + m2 + 4 m + 5 = 0 có tập nghiệm là ℝ khi: B. m = −5 .

C. m = 1 .

D. Không tồn tại m .

C. (0; +∞) .

D. ℝ .

C. m = 2 .

ẠO

B. m = 6 .

A. m = 1 .

D. m = 3 .

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Câu 32. Phương trình (m2 – 5m + 6) x = m 2 – 2 m vô nghiệm khi:

H Ư

Câu 33. Phương trình (m + 1) x + 1 = (7 m – 5) x + m vô nghiệm khi: B. m = 2 .

C. m = 1 .

D. m = 3 .

TR ẦN

A. m = 2 hoặc m = 3 .

Câu 34. Điều kiện để phương trình m( x − m + 3) = m( x − 2) + 6 vô nghiệm là:

10 00

A. m = 2 hoặc m = 3 . C. m ≠ 2 hoặc m = 3 .

B. m ≠ 2 và m ≠ 3 . D. m = 2 hoặc m ≠ 3 .

-L

Í-

Câu 35. Phương trình ax 2 + bx + c = 0 có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi: a ≠ 0 a = 0 A. a = 0 . B.  hoặc  . ∆ = 0 b ≠ 0 a ≠ 0 D.  . ∆ = 0

ÁN

C. a = b = 0 .

IỄ N

ÀN

Câu 36. Phương trình x 2 − (2 + 3)x + 2 3 = 0 : A. Có 2 nghiệm trái dấu.

B. Có 2 nghiệm âm phân biệt.

C. Có 2 nghiệm dương phân biệt.

D. Vô nghiệm.

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

B. {0} .

A. ∅ .

Câu 31. Tìm tập hợp các giá trị của m để phương trình mx – m = 0 vô nghiệm.

U Y

A. m = −2 .

Câu 37. Phương trình x 2 + m = 0 có nghiệm khi và chỉ khi: A. m > 0 .

B. m < 0 .

C. m ≤ 0 .

D. m ≥ 0 .

Câu 38. Phương trình (m – 1) x 2 + 3 x – 1 = 0 . Phương trình có nghiệm khi: 5 A. m ≥ − . 4

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

5 B. m ≤ − . 4

5 C. m = − . 4

D. m =

5 . 4

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 39. Phương trình mx 2 − mx + 1 = 0 có nghiệm khi và chỉ khi: B. 0 ≤ m ≤ 4 .

C. m ≤ 0 hoặc m ≥ 4 .

D. 0 < m ≤ 4 .

(1) . Với giá trị nào của

m thì phương

Câu 40. Cho phương trình x 2 + 2 (m + 2) x – 2 m – 1 = 0

A. m < 0 hoặc m ≥ 4 .

C. −5 ≤ m ≤ −1 .

D. m ≤ 1 hoặc m ≥ 5 .

B. m < −5 hoặc m > −1 .

B. k = 1 .

C. k = 2 .

D. k = 3 .

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

A. k = −1 .

Câu 41. Tìm số nguyên k nhỏ nhất sao cho phương trình: 2 ( kx – 4) – x 2 + 6 = 0 vô nghiệm:

Câu 42. Cho phương trình mx 2 – 2 (m – 2) x + m – 3 = 0 . Khẳng định nào sau đây là sai:

H Ư

A. Nếu m > 4 thì phương trình vô nghiệm.

TR ẦN

B. Nếu m ≤ 4 thì phương trình có hai nghiệm:

m−2− 4−m m−2 + 4−m , x= . m m

10 00

C. Nếu m = 0 thì phương trình có nghiệm x =

3 . 4 1 . 2

D. Nếu m = 4 thì phương trình có nghiệm kép x =

Í-

Câu 43. Với giá trị nào của m thì phương trình: mx 2 + 2( m − 2)x + m − 3 = 0 có 2 nghiệm phân

-L

biệt?

B. m < 4 .

C. m < 4 và m ≠ 0 .

D. m ≠ 0 .

ÁN

A. m ≤ 4 .

Câu 44. Cho phương trình: mx 2 − 2( m + 2)x + m − 1 = 0 . Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi tham số m thỏa điều kiện:

IỄ N

ÀN

A. m < −

4 và m ≠ 0 . 5

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

A. m ≤ −5 hoặc m ≥ −1 .

trình (1) có nghiệm:

B. m ≠ 0 .

4 C. m < − . 5

D. m > −

4 và m ≠ 0 . 5

Câu 45. Cho phương trình ( x − 1)( x 2 − 4 mx − 4) = 0 .Phương trình có ba nghiệm phân biệt khi: A. m ∈ ℝ .

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

B. m ≠ 0 .

C. m ≠

3 . 4

3 D. m ≠ − . 4

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 46. Cho phương trình (m + 1) x 2 − 6 (m + 1) x + 2 m + 3 = 0

(1) . Với giá trị nào sau đây của m

thì phương trình (1) có nghiệm kép?

7 . 6

6 B. m = − . 7

C. m =

6 . 7

D. m = −1 .

Câu 47. Cho phương trình mx 2 – 2 (m + 1) x + m + 1 = 0 . Với giá trị nào của m thì phương trình

A. m =

D. m = 0 hoặc m = −1 .

B. m = 1 hoặc m = 2 .

C. m = −2 và m = 3 .

D. m = 2 .

ẠO

A. m = 0 và m = 2 .

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Câu 48. Phương trình (m – 2) x 2 + 2 x – 1 = 0 có đúng 1 nghiệm khi và chỉ khi:

17 . 8

B. m = 2 hoặc m =

TR ẦN

A. m =

H Ư

Câu 49. Với giá trị nào của m thì phương trình 2( x 2 − 1) = x( mx + 1) có nghiệm duy nhất:

C. m = 2 .

17 . 8

D. m = 0 .

10 00

Câu 50. Để hai đồ thị y = −x 2 − 2 x + 3 và y = x 2 − m có hai điểm chung thì: A. m = −3, 5 .

B. m < −3, 5 .

C. m > −3, 5 .

D. m ≥ −3, 5 .

Câu 51. Nghiệm của phương trình x 2 – 3 x + 5 = 0 có thể xem là hoành độ giao điểm của hai đồ

thị hàm số:

Í-

A. y = x 2 và y = −3 x + 5 .

D. y = x 2 và y = 3 x + 5 .

ÁN

-L

C. y = x 2 và y = 3 x − 5 .

B. y = x 2 và y = −3 x − 5 .

Câu 52. Có bao nhiêu giá trị của a để hai phương trình: x 2 + ax + 1 = 0 và x 2 – x – a = 0

có một nghiệm chung?

ÀN

A. 0

B. 1

C. 3

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

C. m = 0 và m = −1 .

B. m = 0 .

A. m = 1 .

U Y

có nghiệm duy nhất?

D. vô số

Câu 53. Cho phương trình ax 2 + bx + c = 0 (1) . Hãy chọn khẳng định sai trong các khẳng định

IỄ N

A. Nếu P < 0 thì (1) có 2 nghiệm trái dấu. B. Nếu P > 0 và S < 0 thì (1) có 2 nghiệm. C. Nếu P > 0 và S < 0 và ∆ > 0 thì (1) có 2 nghiệm âm.

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

D. Nếu P > 0 và S < 0 và ∆ > 0 thì (1) có 2 nghiệm dương. Câu 54. Cho phương trình ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ). Mệnh đề sau đúng hay sai: "Nếu phương trình có hai nghiệm phân biệt thì a và c trái dấu nhau."

B. Sai

∆ > 0 D.  .  S < 0

ẠO

Câu 56. Cho phương trình ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ). Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt B. ∆ > 0 và P > 0 và S < 0 .

C. ∆ > 0 và P > 0 và S < 0 .

D. ∆ > 0 và S < 0 .

A. ∆ > 0 và P > 0 .

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

khi và chỉ khi :

Câu 57. Tìm điều kiện của m để phương trình x 2 – mx + 1 = 0 có hai nghiệm âm phân biệt : B. m < 0 .

TR ẦN

A. m < −2 .

D. m > −4 .

C. m > 2 hoặc m < −2 .

10 00

Câu 58. Cho phương trình mx 2 + x + m = 0 . Tập hợp tất cả các giá trị của m để phương trình

C. (0; 2) .

 D. 0 ; 

1  . 2 

có hai nghiệm âm phân biệt là:  1   1 1 A. − ; 0 . B. − ;  .  2   2 2 

-L

A. m > 0 .

Í-

Câu 59. Tìm điều kiện của m để phương trình x 2 + 4 mx + m2 = 0 có 2 nghiệm âm phân biệt: B. m < 0 .

C. m ≥ 0 .

D. m ≠ 0 .

ÁN

Câu 60. Tìm điều kiện của m để phương trình x 2 – mx + 1 = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt: B. m > 0 .

C. m > 2 .

D. m ≠ 0 .

ÀN

A. m > 2 hoặc m < −2 .

IỄ N

Câu 61. Cho phương trình

(

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

∆ > 0 C.  .  S > 0

∆ ≥ 0 B.  .   P > 0

cùng dấu nhau là : ∆ > 0 A.  .   P > 0

U Y

Câu 55. Điều kiện cần và đủ để phương trình ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )có hai nghiệm phân biệt

A. Đúng

)

3 + 1 x 2 + (2 − 5)x + 2 − 3 = 0 . Hãy chọn khẳng định đúng

trong các khẳng định sau:

A. Phương trình vô nghiệm.

B. Phương trình có 2 nghiệm dương.

C. Phương trình có 2 nghiệm trái dấu.

D. Phương trình có 2 nghiệm âm.

Câu 62. Với giá trị nào của m thì phương trình (m – 1) x 2 + 3 x – 1 = 0 có 2 nghiệm phân biệt trái dấu:

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

A. m > 1 .

B. m < 1 .

C. ∀m .

D. Không tồn tại m .

B. x 2 − ( 2 + 3)x + 6 = 0 .

C. x 2 + ( 2 + 3)x + 6 = 0 .

D. x 2 − ( 2 − 3)x − 6 = 0 .

A. x 2 − ( 2 − 3)x − 6 = 0 .

B. 9 .

C. 10 .

D. 11 .

A. 8 .

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Câu 65. Gọi x1 , x2 là các nghiệm của phương trình x 2 – 3 x – 1 = 0 . Ta có tổng x12 + x22 bằng:

H Ư

Câu 66. Gọi x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình 2 x 2 – 4 x – 1 = 0 . Khi đó, giá trị của

A. 2 .

B. 2 .

TR ẦN

T = x1 − x2 là:

D. 4.

10 00

phương trình x 2 + mx + n = 0 . Thế thì:

Câu 67. Nếu biết các nghiệm của phương trình: x 2 + px + q = 0 là lập phương các nghiệm của A. p + q = m3 .

D. Một đáp số kháC.

C. p = m3 − 3mn .

B. p = m3 + 3mn .

Í-

Câu 68. Nếu a , b , c , d là các số khác 0 , biết c và d là nghiệm của phương trình x 2 + ax + b = 0

−1 + 5 . 2

B. 0 . D. Một đáp số kháC.

ÀN

ÁN

A. −2 .

-L

và a , b là nghiệm của phương trình x 2 + cx + d = 0 . Thế thì: a + b + c + d bằng:

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

3 là hai nghiệm của phương trình :

U Y

2 và

D. x 2 – 2 x + 1 = 0 .

C. x 2 + 2 x + 1 = 0 .

B. x 2 + 2 x – 1 = 0 .

ẠO

Câu 64.

A. x 2 – 2 x – 1 = 0 .

Câu 63. Hai số 1 − 2 và 1 + 2 là các nghiệm của phương trình:

Câu 69. Cho phương trình x 2 +px + q = 0 , trong đó p > 0, q > 0 . Nếu hiệu các nghiệm của

IỄ N

phương trình là 1 . Thế thì p bằng:

4q + 1 .

C. − 4q + 1 .

4q − 1 .

D. Một đáp số kháC.

Câu 70. Nếu m , n là nghiệm của phương trình x 2 + mx + n = 0 , m ≠ 0, n ≠ 0 . Thế thì tổng các nghiệm là:

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

1 A. − . 2 1 . 2

D. Một đáp số kháC.

m để phương trình này có một nghiệm là nghịch đảo của một nghiệm của phương trình kiA.

D. Một đáp số khác

Câu 72. Cho hai phương trình: x2 – mx + 2 = 0 và x 2 + 2 x – m = 0 có bao nhiêu giá trị của m để một nghiệm của phương trình này và một nghiệm của phương trình kia có tổng là 3

C. 3

D. Một đáp số khác

ẠO

B. 1

Câu 74. Tập nghiệm của phương trình 2 x +

 3  A. S = 1;   2 

C. a ≠ 0 và b ≠ 0

B. a = 0

3 3x là : = x −1 x −1  3  C. S =    2 

D. a = b = 0

D. Kết quả khác

B. S = {1}

H Ư

A. a ≠ 0

b = a có nghiệm duy nhất khi: x +1

Câu 73. Phương trình

TR ẦN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

A. 0

( m2 + 2)x + 2 m = 2 (m ≠ 0) là : x

10 00

Câu 75. Tập hợp nghiệm của phương trình  2  A. T = −   m 

C. T = R

D. T = R \{0}

B. T = ∅

Í-

x−m x−2 = có nghiệm duy nhất khi : x + 1 x −1

-L

Câu 76. Phương trình

ÁN

A. m ≠ 0

B. m ≠ −1

C. m ≠ 0 và m ≠ −1

Câu 77. Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình:

ÀN

A. 0

B. 1

IỄ N

Câu 78. Biết phương trình: x − 2 +

D. Không có m

x +1 x + m − = m có đúng 1 nghiệm: x−2 x + 2 C. 2

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

C. 0, 2

B. 0

Tổng hai giá trị ấy gần nhất với hai số nào dưới đây?

A. −0, 2

Câu 71. Cho hai phương trình: x2 – 2mx + 1 = 0 và x2 – 2 x + m = 0 . Có hai giá trị của

B. −1 .

D. Kết quả khác

x+a = a có nghiệm duy nhất và nghiệm đó là nghiệm x −1

nguyên. Vậy nghiệm đó là :

A. -2 Câu 79. Cho phương trình:

B. -1

C. 2

D. Kết quả khác

2 mx − 1 = 3 (1). Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có x +1

nghiệm ?

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

A. m ≠

3 2

B. m ≠ 0

C. m ≠

3 và m ≠ 0 2

D. m ≠

3 1 và m ≠ − 2 2

ax + b = cx + d

 7 3  C. − ; −   4 2 

B. 1

C. 2

H Ư

A. 0

Câu 82. Phương trình 2 x − 4 + x − 1 = 0 có bao nhiêu nghiệm ?

 7 3  D. − ;   4 2 

ẠO

 3 7  B. − ;   2 4 

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

 3 7  A.  ;   2 4 

Câu 81. Tập nghiệm của phương trình : x − 2 = 3 x − 5 (1) là tập hợp nào sau đây ?

D. vô số

A. 0

TR ẦN

Câu 83. Phương trình 2 x − 4 − 2 x + 4 = 0 có bao nhiêu nghiệm ? B. 1

C. 2

D. vô số

−3 2

10 00

3 2

B. a <

−3 3  C. a ≠  ;   2 2 

D. a <

−3 3 v a> 2 2

A. a >

Câu 84. Với giá trị nào của a thì phương trình: 3 x + 2 ax = −1 có nghiệm duy nhất:

Câu 85. Phương trình : x + 1 = x 2 + m có 1 nghiệm duy nhất khi và chỉ khi : B. m = 1

C. m = −1

D. m = 2

Í-

A. m = 0

-L

Câu 86. Tập nghiệm của phương trình: x − 2 = 2 x − 1 là:

ÁN

A. S = {−1;1}

B. S = {−1}

C. S = {1}

D. S = {0}

Câu 87. Tập hợp nghiệm của phương trình | x 2 − 4 x + 3 |= x 2 − 4 x + 3 là: B. 1; 3

C. (−∞;1] ∪ [3; +∞)

D. (−∞;1) ∪ (3; +∞)

ÀN

A. (−∞; 1)

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

C. ax + b = cx + d hay ax + b = −(cx + d)

B. ax + b = −(cx + d)

U Y

A. ax + b = cx + d

Câu 80. Phương trình ax + b = cx + d tương đương với phương trình :

IỄ N

Câu 88. Cho phương trình: |x – 2| = 2 – x (1). Tập hợp các nghiệm của phương trình (1) là tập

hợp nào sau đây?

A. {0; 1; 2}

B. (−∞; 2]

C.  2; +∞)

D. N

Câu 89. Phương trình |5x + 2| = –|5x – 2| có bao nhiêu nghiệm? A. 0

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

B. 1

C. 2

D. vô số

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

 11 + 41 11 − 41   D.  ;   10  10  

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

D. Kết quả khác

x = −x

C. 2

D. vô số

B. 1

Câu 93. Trong các phương trình sau, phương trình nào có nghiệm?

B. x 2 – 3 1 − x = 4 + x − 5

C. x 2 + 2 = x + 4

D. x 2 + 4 x + 6 = 0

x−2

TR ẦN

x 2 − 2( m + 1) x + 6 m − 2

= x − 2 (1). Với m là bao nhiêu thì (1) có nghiệm duy nhất

Câu 94. Cho

H Ư

A. 3 x 2 + 5 = – 2 x − 1

10 00

B. m ≥ 1 =

Câu 95. Phương trình

A. m > 1

x −1

D. m ≤ 1

có nghiệm khi :

B. m ≥ 1

C. m < 1

D. m ≤ 1

-L

Í-

A. m > 1

x −1

C. m < 1

ÁN

Câu 96. Với giá trị nào của tham số a thì phương trình: (x2 –5x + 4) x − a = 0 có hai nghiệm phân biệt

B. 1 ≤ a < 4

A. a < 1

C. a ≥ 4

D. Không có a

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

C. S = {0; 1}

Câu 92. Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm: A. 0

x − 2 là :

B. S = {1}

x−2

A. S = {2}

x2 − 4x − 2

ẠO

Câu 91. Tập nghiệm của phương trình

 11 + 65 11 − 65   C.  ;   14  14  

 11 − 65 11 − 41   B.  ;   14  10  

U Y

 11 + 65 11 + 41   A.  ;   14  10  

x −1 −3 x + 1 (1) là : = 2x − 3 x +1

Câu 90. Tập nghiệm của phương trình

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

IỄ N

ÀN

Câu 97. Số nghiệm của phương trình: x − 4 (x2 – 3x + 2) = 0 là: A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Câu 98. Tập nghiệm của phương trình (x–3)( 4 − x 2 − x) = 0 là:

{

}

A. − 2; 2; 3

{

B. 3; 2

}

{ 2}

{

D. − 2; 2

}

Câu 99. Phương trình (x2 – 3x + m)(x–1) = 0 có 3 nghiệm phân biệt khi : A. m <

9 4

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

9 B. m ≤ ∧ m ≠ 2 4

9 C. m < ∧ m ≠ 2 4

D. m >

9 4

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com 2−x +

Câu 100. Tập hợp nghiệm của phương trình A.

{0;2}

{0}

4 2−x +3

= 2 là:

{1}

D. ∅

Câu 101. Cho phương trình: (x2 – 2x + 3)2 + 2(3 – m)(x2 – 2x + 3) + m2 – 6m = 0. Tìm m để phương

2−x

B. 2 6 – 4 ≤ m < 1

C. 4 – 2 6 ≤m < 1

D. Kết quả khác 2

A. 0 < m ≤ 2 6 – 4

có nghiệm dương:

 x 2  2x2  + + a = 0 có đúng 4 Câu 103. Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để phương trình:   x − 1 x −1 B. 1

C. 2

TR ẦN

A. 0

H Ư

nghiệm.

D. Kết quả khác

3 3 A. − ≤ m ≤ 4 4

3 4

Câu 105. Định k để phương trình: x 2 +

3 4

D. Kết quả khác

 4 2 − 4  x −  + k − 1 − 0 có đúng hai nghiệm lớn hơn 1: 2 x  x

B. −8 < k < 1

A. k < −8

C. m ≤ −

10 00

B. m ≥

  1 1 Câu 104. Định m để phương trình :  x 2 + 2  − 2 m  x +  + 1 = 0 có nghiệm : x   x 

C. 0 < k < 1

D. Kết quả khác

-L

Í-

Câu 106. Tìm m để phương trình : (x2 + 2x + 4)2 – 2m(x2 + 2x + 4) + 4m – 1 = 0 có đúng hai nghiệm.

B. m < 2 − 3 ∨ m > 2 + 3

ÁN

A. 3 < m < 4

D. Kết quả khác

ÀN

C. 2 + 3 < m < 4

IỄ N

Câu 107. Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình : x +

25 x 2 2

(x + 5)

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

x 2 − 2 mx + 2

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Câu 102. Tìm tất cả giá trị của m để phương trình : m 2 − x =

D. Kết quả khác

C. m ≤ −2

U Y

B. m ≤ 4

A. mọi m

trình có nghiệm :

= 11 gần nhất với số nào

dưới đây?

A. 2,5

B. 3

C. 3,5

D. 2,8

Câu 108. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình : 2

2 ( x 2 + 2 x) − (4 m – 3)( x 2 + 2 x) + 1 − 2 m = 0 có đúng 3 nghiệm ∈ [–3, 0] A. 1

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

B. 2

C. 3

D. Kết quả khác

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 109. Phương trình sau đây có bao nhiêu nghiệm âm : x6 + 2003 x 3 − 2005 = 0 B. 1

C. 2

D. 6

Câu 110. Cho phương trình ax 4 + bx 2 + c = 0 (1) (a khác 0). Đặt : ∆ = b2–4ac, S =

−b c , P = . Ta a a

H N

∆ > 0 D.  P > 0

U Y

∆ > 0 C.  S < 0

ẠO

A. ∆ < 0

 ∆ ≥ 0 B. ∆ < 0 hoặc S < 0  P > 0

có (1) vô nghiệm khi và chỉ khi :

B. 3

C. 4

D. 0

A. 2

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Câu 111. Phương trình x 4 + ( 65 − 3)x 2 + 2(8 + 63) = 0 có bao nhiêu nghiệm ?

B. 3

Câu 113. Phương trình

C. 4

2 x 4 − 2( 2 + 3)x 4 + 12 = 0 :

A. vô nghiệm

2+ 3+ 3 2

2+ 3− 3

C. Có 2 nghiệm x=

H Í-L

ÁN

D. Có 4 nghiệm: x =

2+ 3− 5 2

2+ 3+ 5 2

,x =−

ÀN

,x =−

10 00

B. Có 2 nghiệm x=

D. 0

TR ẦN

A. 2

H Ư

Câu 112. Phương trình – x 4 − 2( 2 − 1)x 2 + (3 − 2 2) = 0 có bao nhiêu nghiệm ?

2+ 3+ 5 2

2 + 3− 5 2

2+ 3+ 5 2

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

A. 0

IỄ N

Câu 114. Cho phương trình x 4 + x 2 + m = 0 . Khẳng định nào sau đây là đúng: A. Phương trình có nghiệm ⇔ m ≤

1 4

B. Phương trình có nghiệm ⇔ m ≤ 0 C. Phương trình vô nghiệm với mọi m. D. Phương trình có nghiệm duy nhất ⇔ m = –2.

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 115. Phương trình – x 4 + ( 2 − 3)x 2 = 0 có: A. 1 nghiệm

B. 2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

Câu 116. Phương trình sau đây có bao nhiêu nghiệm âm : x4 –2005 x2 –13 = 0 : B. 1

C. 2

D. 3

A. 0

C. 2

B. 1

D. 4

A. 0

Câu 117. Phương trình sau đây có bao nhiêu nghiệm : x4 + 1999 x2 + 13 = 0 :

U Y

Câu 118. Cho phương trình 2 ẩn x, y: ax + by = c với a2 + b2 ≠ 0. Với điều kiện nào của a, b, c thì C. a = 0

D. b = 0

ẠO

Câu 119. Cho phương trình 2 ẩn x, y: ax + by = c với a2 + b2 ≠ 0. Với điều kiện nào của a, b, c thì B. b = 0 và c ≠ 0

C. a = 0

 2 x + y = 1 Câu 121. Nghiệm của hệ:  là: 3 x + 2 y = 2

)

2 − 2; 2 2 − 3

(

)

H Ư

D. 2 x + 3 y = 4

(

)

2 + 2; 2 2 − 3

(

)

D. 2 − 2; 2 2 − 3

C. 2 − 2; 3 − 2 2

(

10 00

C. 3 x + 2 y = 4

TR ẦN

B. 2 x + 3 y = 7

D. b = 0

Câu 120. Cặp số (2; 1) là nghiệm của phương trình : A. 3 x + 2 y = 7

A. a = 0 và c ≠ 0

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

tập hợp các nghiệm (x, y) của phương trình trên là đường thẳng song song với Ox?

D. (1; −2)

ÁN

-L

Í-

 ( 2 + 1)x + y = 2 − 1 Câu 122. Nghiệm của hệ phương trình  là:  2 x − ( 2 − 1) y = 2 2    1 1 A. 1; −  B. −1;  C. (1; 2)   2 2

A. (−1; −2)

IỄ N

ÀN

  3 + 2 = −7 x y Câu 123. Hệ phương trình  có nghiệm là:  5 3  − = 1  x y

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

B. b = 0 và c ≠ 0

A. a = 0 và c ≠ 0

tập hợp các nghiệm (x, y) của phương trình trên là đường thẳng song song với Oy?

B. (1; 2)

 1 C. −1; −   2

D. (−1; 2)

2 x − 3 y = 4 Câu 124. Tập hợp các nghiệm (x, y) của hệ phương trình :  là tập hợp nào sau −6 x + 9 y = −12 đây.

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

A. Một đường thẳng.

B. Toàn bộ mặt phẳng Oxy.

C. Nửa mặt phẳng.

D. φ

D. Vô nghiệm

H Ư TR ẦN

5 x − 7 y + 3 = 0 Câu 128. Tìm (x, y) sao cho :  2 x + y − 1 = 0  4  4 11  11  A. − ; −  B. − ;   19 19   19 19 

 4 11  C.  ;   19 19 

4 11  D.  ; −   19 19 

D. m = –1 hoặc m = –2

10 00

(m − 1 ) x − y = 2 Câu 129. Hệ phương trình:  có nghiệm duy nhất khi: −2 x + my = 1  A. m =1 hoặc m =2 B. m = 1 hoặc m = – 2 C. m ≠ –1 và m ≠ 2

ÁN

-L

Í-

Câu 130. Tìm điều kiện của tham số m để hệ phương trình sau có đúng một nghiệm :  3 x − my = 1 −mx+3y = m − 4 A. m ≠ 3 hay m ≠ –3 B. m ≠ 3 và m ≠ –3 D. m ≠ –3

ÀN

C. m ≠ 3

Ơ H

U Y

ẠO

 17 7  D.  ;   23 23 

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

3 x + 4 y = 1 Câu 126. Tìm nghiệm của hệ phương trình:  2 x − 5 y = 3  17  17 7   17 7 7 A.  ; −  B. − ;  C. − ; −   23 23   23 23   23 23  0, 3 x − 0, 2 y − 0, 33 = 0 Câu 127. Tìm nghiệm (x; y) của hệ :  1, 2 x + 0, 4 y − 0, 6 =0 A. (–0,7; 0,6) B. (0,6; –0,7) C. (0,7; –0,6)

2 x + 3 y = 5 Câu 125. Hệ phương trình sau có bao nhiêu nghiệm (x, y) :  4 x + 6 y = 10 A. 0 B. 1 C. 2 D. Vô số

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

IỄ N

mx + y = m − 3 Câu 131. Hệ phương trình:  có vô số nghiệm khi: 4 x + my = −2 A. m= 2 hay m = –2 B. m= –2 C. m= 2

D. m ≠ 2 và m ≠ –2

ax + y = a 2 Câu 132. Tìm a để hệ phương trình  vô nghiệm:  x + ay = 1

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn B. a = 1 hoặc a = –1 C. a = –1

D. không có a

mx+y+m=0 Câu 133. Tìm tham số m để phương trình sau vô nghiệm :  x+my+m=0 A. m = –1 B. m = 1 C. m = 0

D. m ≠ 1

Câu 134. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng sau trùng nhau (d1):(m2–1)x–y+2m+5= 0 và

A. a = 1.

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

C. m = 2 hay m= - 2

D. Kết quả khác

ẠO

2 x − y = 5 Câu 135. Với biết hệ phương trình  có nghiệm. Ta suy ra : 4 x − 2 y = m − 1 A. m ≠ –1 B. m ≠ 12 C. m = 11 D. m = – 8

B. (1; 1; 0)

C. (1; 1; 1)

D. (1; 0; 1)

10 00

A. (0; 1; 1)

TR ẦN

 x + 2 y = 1 Câu 137. Hệ phương trình  y + 2 z = 2 có nghiệm là:  z + 2 x = 3

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

x + y = S có nghiệm , điều kiện cần và đủ là : Câu 136. Để hệ phương trình :  x.y = P A. S2 – P <0 B. S2 – P ≥ 0 C. S2 – 4P < 0 D. S2 –4P ≥ 0

B. m = 10

10 3

C. m = –10

D. m = −

Í-

A. m =

 2 x + 3 y + 4 = 0 có duy nhất một nghiệm khi: Câu 138. Hệ phương trình: 3 x + y − 1 = 0  2 mx + 5 y − m = 0

ÁN

-L

x.y + x + y = 11 Câu 139. Hệ phương trình  2  x y + xy 2 = 30 A. có 2 nghiệm (2; 3) và (1; 5)

10 3

ÀN

C. có 1 nghiệm là (5; 6)

B. có 2 nghiệm (2; 1) và (3; 5)

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

B. m = 2

U Y

A. m = -2

(d2): 3x–y+1 = 0

D. có 4 nghiệm (2;3),(3;2),(1;5), (5;1)

A. m =

B. m = − 2

C. m =

2 và m = − 2

D. m tuỳ ý.

IỄ N

x 2 + y 2 = 1 Câu 140. Hệ phương trình  có đúng 1 nghiệm khi và chỉ khi :  y = x + m 

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Chủ đề 3. PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH

4 3

N N U Y

D. ∀m

2 x − 3m x + 2 + = 3 vô nghiệm? x−2 x −1 7 4 C. hoặc D. 0 3 3

Xác định m để phương trình (4 m + 5)x − 2 = x + 2 m nghiệm đúng với mọi x thuộc R?

10 00

B. –2

C. ∀m

D. –1

Với điều kiện nào của a thì phương trình ( a − 2)2 x − 4 = 4 x − a có nghiệm âm?

B. a > 4

D. a ≠ 0 và a ≠ 4

m + x 2 x + 3 9m + 9 − = 2 có nghiệm không âm khi và chỉ khi m−3 m + 3 m −9

Í-

Phương trình

C. 0 < a < 4

-L

B. m ≥ 0 với m ≠ 3 và m ≠ 9 D. 3 < m < 9

ÁN

C. 0 ≤ m ≠ 3

Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình m 2 ( x + m) = x + m có vô số nghiệm?

B. m = 0 hoặc m = 1 C. m = 0 hoặc m = −1 D. −1 < m ≠ 0 < 1

ÀN

A. m = ±1

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

7 3

1 2

C. m = −

Vớ i giá trị nào của m thì phương trình

A. m ≥ 0

Câu 9.

1 2

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

B. m ≠ −

A. 0 < a Câu 8.

D. m ≠ 0

Với điều kiện nào của m thì phương trình (4 m + 5)x = 3 x + 6 m + 3 có nghiệm

A. 0 Câu 7.

C. m ≠ −1

ẠO

B. m ≠ 1

Với điều kiện nào của m thì phương trình (3m 2 − 4)x − 1 = m − x có nghiệm duy nhất?

A. Câu 6.

D. –1

10 3

A. m = 0 Câu 5.

D. 5

3x + 3 4 + = 3 là: 2 x −1 x −1 10 10 B. 1 hoặc − C. 3 3

A. m ≠ ±1 Câu 4.

C. −5

Nghiệm của phương trình

A. –1 hoặc Câu 3.

15 4

TR ẦN

Câu 2.

15 4

A. −

x − 1 3x − 5 2 x 2 + 3 − = là: x + 2 x−2 4 − x2

Nghiệm của phương trình

Câu 1.

IỄ N

Câu 10. Phương trình ( m − 1)2 x + 4 m = x + 2 m 2 nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi: A. m = 0

B. m = 2

C. m = 0 hoặc m = 2 D. ∀m

3x + m x + 2m − = 2 có nghiệm không dương khi và chỉ khi? x x −1 A. m < −1 hoặc m > 0 B. m < −1 hoặc m ≥ 0 C. m ≠ −1 và m ≠ 0 D.

Câu 11. Phương trình

1 −1 < m ≠ − < 0 2

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 12. Với giá trị nào của m thì phương trình ( m 2 − 3)x − 2 m 2 = x − 4 m vô nghiệm B. m = −2 hoặc m = 2

A. m = 0

C. m = 2

D. m = 4

Câu 13. Phương trình |2( m2 − 1)x + 5|= 3 vô nghiệm khi và chỉ khi: B. m = −1

C. m = ±1

D. m < −1 hoặc

A. m = 1

m>1

Câu 15. Tổng các lập phương hai nghiệm của phương trình x 2 − 2 x − 8 = 0 là C. 52

D. 56

Câu 16. Phương trình x 4 + ( 2 − 3)x 2 = 0 có bao nhiêu nghiệm? B. 2

C. 3

D. 4

C. 3

A. x > 2

B. x ≠ 2

C. x ≠ −2

10 00

Câu 19. Điều kiện xác định của phương trình A. x = 3

B. x ≠ 3

D. 4

3x + 4 − 1 = x là x+2

TR ẦN

Câu 18. Điều kiện xác định của phương trình

B. 2

H Ư

A. 1

Câu 17. Phương trình 1, 5 x 4 − 2, 6 x 2 − 1 = 0 có bao nhiêu nghiệm?

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

A. 1

B. –40

ẠO

A. 40

x−3

D. x > −2

= x + 3 là

C. x > 3

D. x ≥ −3

x( x − 1) =1⇔ x=1 x −1

Câu 20. Trong bốn phép biến đổi sau, phép biến đổi nào là phép biến đổi tương đương?

-L

Í-

C. x + x − 4 = 3 + x − 4 ⇔ x = 3

B. x = 2 ⇔ x = 2 D. x − x − 5 = 3 ⇔ x − 3 = x − 5

x + 2 2x + 3 là = x 2x − 4 3 8 B. x = C. x = 8 3

ÁN

Câu 21. Nghiệm của phương trình 3 8

ÀN

A. x = −

3 2 5 − = là x − 2 x + 1 x −1  1   1  B. − ; 6 C. − ; 3  2   4 

D. x = −

8 3

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

D. 10

C. 12

U Y

B. 20

A. 17

Câu 14. Tổng các bình phương 2 nghiệm của phương trình x 2 − 2 x − 8 = 0 là

IỄ N

Câu 22. Tập nghiệm của phương trình  1  A.  ; −6  2 

Câu 23. Tập nghiệm của phuương trình A. ∅

B. {3}

Câu 24. Tập nghiệm của phuương trình

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

 1  D.  ; −3  4 

x + 1 = x − 1 là

C. {3; 2}

D. {3;1}

4 x + 1 = x − 5 là

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn B. {2}

4032

C. 2 4032

D. 21008

x + 2 y = 5 là Câu 26. Nghiệm của hệ phương trình   2 x − 5 y = −7  17 11  11 17   11 17  A.  ;  B.  ;  C. − ; −   9 9   9 9   9 9

U Y

 1 7 D. − ; −   9 9 

(

B. − 3; −2 2

)

(

3; 2 2

(

D. − 3; 2 2

 47 2 B. − ; 5;   3 3 

 17 62  C. − ; −5;   3 3 

TR ẦN

 17 62  A. − ; −5; −   3 3 

)

H Ư

 x + 2 y + z = 5 Câu 28. Nghiệm của hệ phương trình 2 x − 5 y − z = −7 là  x + y + z = 10

ẠO

)

3; −2 2

(

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

 3 x + 2 y = −1 Câu 27. Nghiệm của hệ phương trình:  là  2 2 x + 3 y = 0 

D. (−11; 5; −4)

10 00

Câu 29. Trong những hệ phương trình sau, hệ phương trình nào vô nghiệm? x − 3 y = 5 2 x − 3 y = 5 x − y = 5 x − 3 y = 5 A.  B.  C.  D.  x + y = 1 −x + y = 0 −2 x + 3 y = 4 −x + 3 y = 1

-L

Í-

2 x − 3 y = 1 2 x 2 + 3 y02 . Giá trị của biểu thức A = o bằng Câu 30. Gọi ( x0 ; y0 ) là nghiệm của hệ   x + 4 y = 6 4 9 13 11 A. B. 4 C. D. 4 2 4

ÁN

Câu 31. Cho phương trình x 2 − 2 x − 8 = 0 . Tổng bình phương của hai nghiệm phương trình này bằng

A. 36

B. 12

C. 20

D. 4

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

1 1008

D. {12; 2}

x = 2 2016 là

Câu 25. Nghiệm của phương trình A.

C. {12}

A. {12; −2}

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

IỄ N

ÀN

Câu 32. Số nghiệm của phương trình ( x 2 + 1)(10 x 2 − 31x + 24) = 0 là A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Câu 33. Tìm tất cả giá trị của tham số m để phương trình x 2 − 2 mx + m2 − m + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt?

A. m = 1

B. m > 2

C. m > −2

D. m > 0

4 x − 2 y = 8  y  Câu 34. Gọi ( x0 ; y0 ) là nghiệm của hệ  . Giá trị của biểu thức A = 3  x0 + 0  bằng   2 x + y = −4 2  A. −6 B. −4 C. −12 D. −2

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 35. Biết phương trình x 2 − 2 mx + m2 − 1 = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 với mọi m. Tìm m để x1 + x2 + 2 x1 x2 − 2 = 0

A. m = 1 hoặc m = −2

C. m ≥ 2

m=0

Câu 36. Cho một tam giác vuông. Khi ta tăng mỗi cạnh góc vuông lên 2cm thì diện tích tam

D. m ≤ −3

giác tăng thêm 17cm2 . Nếu giảm các cạnh góc vuông đi 3cm và 1 cm thì diện tích tam

C. 50 5 cm2

3 lần lượng nước của vòi thứ hai. Hỏi vòi thứ hai chảy riêng một 2 mình thì sau bao lâu sẽ đầy bể?

ẠO

C. 8 giờ

D. 3 giờ

B. 10 giờ

A. 12 giờ

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

một chảy được bằng

B. m ≠ −

1 2

C. m = −

TR ẦN

A. m = 0

H Ư

Câu 38. Với điều kiện nào của m thì phương trình (4 m + 5)x = 3 x + 6 m + 3 có nghiệm 1 2

D. ∀m

Câu 39. Với điều kiện nào của a thì phương trình ( a − 2)2 x − 4 = 4 x − a có nghiệm âm?

10 00

A. 0 < a B. a > 4 C. 0 < a < 4 D. a ≠ 0 và a ≠ 4 2 2 Câu 40. Với giá trị nào của m thì phương trình ( m − 3)x − 2 m = x − 4 m vô nghiệm A. m = 0

B. m = −2 hoặc m = 2

C. m = 2

D. m = 4

Câu 41. Phương trình |2( m2 − 1)x + 5|= 3 vô nghiệm khi và chỉ khi:

-L

Í-

B. m = −1 C. m = ±1 D. m < −1 hoặc m > 1 A. m = 1 Câu 42. Cho một tam giác vuông. Khi ta tăng mỗi cạnh góc vuông lên 2cm thì diện tích tam giác tăng thêm 17cm2 . Nếu giảm các cạnh góc vuông đi 3cm và 1 cm thì diện tích tam giác giảm 11cm2. Tính diện tích của tam giác ban đầu?

ÁN

A. 50 cm2

B. 25 cm2

C. 50 5 cm2

D. 50 2 cm2

Câu 1. Cho hàm số y = (m − 1) x + 2 . Tìm tất cả giá trị của m để hàm số nghịch biến trên ℝ

ÀN

A. m ≤ 1

B. m ≥ 0

C. m < 1

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

24 giờ sẽ đầy bể. Mỗi giờ lượng nước của vòi 5

Câu 37. Hai vòi nước cùng chảy vào bể thì sau

D. 50 2 cm2

U Y

B. 25 cm2

A. 50 cm2

giác giảm 11cm2. Tính diện tích của tam giác ban đầu?

D. m > 0

A. y = −2 x + 1

B. y = −2 x + 7

C. y = 2 x + 2

D. y = −2 x − 5

IỄ N

Câu 2. Xác định đường thẳng y = ax + b , biết hệ số góc bằng −2 và đường thẳng qua A(−3;1).

Câu 3. Hàm số y = −x 2 + 2 x đồng biến trên khoảng nào A. (1; +∞)

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

B. (−∞; −1)

C. (−1; +∞)

D. (−∞; 1)

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 4. Đồ thị hàm số y = x 2 − 2 x − 3 cắt y = x − 3 tại: A. ( 0; −3 ) ; ( 3; 0 )

B. ( −3; −6 ) ; ( −1; −4 ) C. (1; 0 ) ; ( 3; 0 )

D. ( −1; 0 ) ; ( −3; 0 )

A. R

H U Y

C. ( −∞;0 )

D. R \ {0}

B. ( 0; +∞ )

D. R \ {1}

H Ư

x−3 là: x2

C. R \ {−1}

B. R \ {±1}

Câu 8. Tập xác định của hàm số y =

{

−3 x + 3 là: x2 −1

TR ẦN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

A. R

D. R \ −1 ± 3

ẠO

B. R

Câu 7. Tập xác định của hàm số y =

 −1 ± 3  C. R \    2 

−x là: x + x +1 2

10 00

Câu 9. Hàm số y = x 2 − 2 mx + m ≤ −5 đúng với ∀x ∈ 1; 2 khi B. m ≥ 3

C. m ≤ 5

D. m ≤ 4

C. m < 3

D. m ≤ 3

C. m < 3

D. m ≤ 2

A. m ≥ 6

-L

B. m > 2

2x + 1 xác định trên (1; +∞ ) khi x − m +1

ÁN

A. m > 3

2x + 1 xác định trên R khi x − 4x + m + 1 2

Í-

Câu 10. Hàm số y =

Câu 11. Hàm số y =

B. m > 2

ÀN

A. m ≥ 2

}

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

A. ∅

D. ∅

Câu 6. Tập xác định của hàm số y =

C. R \ {±1}

B. ( 0; +∞ )

A. R

Câu 5. Tập xác định của hàm số y = x 2 − 1 là:

IỄ N

Câu 12. Để đồ thị hàm số y = ax + b đi qua hai điểm A ( 0; −3) ;B ( −1; −5 ) thì a và b bằng: A. a = −2; b = 3

B. a = 2; b = 3

C. a = 2; b = −3

D. a = 1; b = −4

Câu 13. Đồ thị hàm số y=2x+8 tạo với hệ trục tọa độ tam giác có diện tích bằng: A. 4

B. 8

C. 16

D. 2

Câu 14. Đồ thị hàm số y = ( m − 1) x + m tạo hệ trục tam giác cân khi m bằng:

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

B. 2

A. 0;2

C. ±1

D. −2

Câu 15. Đồ thị hàm số y = x − m + 1 tạo hệ trục tam giác có diện tích bằng 2 . Khi đó m bằng: C. −2;3

D. −1;3

2 3

D. −5 < m < 1

B. x = 2

Câu 17. Cho (P): y = −3 x 2 + 6 x + 2 . Trục đối xứng của parabol là: C. x = 1

D. x = −2

ẠO

A. y = −1

C. ( −2; +∞ )

D. ( −∞; −2 )

B. ( −∞; 0 )

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Câu 18. Hàm số y = − x 2 − 4 nghịch biến trên khoảng: A. ( 0; +∞ )

C. m ≥

B. −5 ≤ m ≤ 1

U Y

A. m ≥ 2

Câu 16. Nếu f ( x ) = 2 mx + m − 5 ≤ 0 ∀x ∈ [ −1; 2 ] thì :

A. m ≤ 4

H Ư

Câu 19. Tìm m để parabol y = x 2 − 4 x + m cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt C. m < 5

TR ẦN

B. m < 4

D. m < 16

B. 0

10 00

A. 1

Câu 20. Cho hàm số y = ( x + 2 ) x . Khi đó max trên [-5;1] là:

11 3

ÀN

Câu 23. Số nghiệm của phương trình:

C. 2

D. 3

3 x 2 + 6 x + 7 + 5 x 2 + 10 x + 14 = 4 − 2 x − x 2 là

B.2

C.3

D.1

A. 0

D.-2

x + 4 + x − 4 = 2 x − 12 + 2 x 2 − 16 là

B. 1

ÁN

-L

Câu 22. Số nghiệm của phương trình: A. 0

2 x + 9 = 4 − x + 3 x + 1 là

C.3

B.2

Í-

D.5

Câu 21. Tổng các nghiệm của phương trình:

C. 3

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

B. 2; 3

A. −1; 2

IỄ N

Câu 24. Phương trình 2 x 2 − 3 x − 1 = 0 có hai nghiệm x1 và x2 mà x13 + x2 3 bằng: A.

45 8

11 8

Câu 25. Tìm điều kiện của m để phương trình

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

9 8

16 − x 2 −

m 16 − x 2

11 3

− 4 = 0 có nghiệm thựC.

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn A. −3 ≤ m ≤ 0

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

B. −5 ≤ m ≤ −1

C. −4 ≤ m < 0

D. −4 ≤ m ≤ 0

Chương III : PHƯƠNG TRÌNH VÀ Hệ PHƯƠNG TRÌNH

§1: Đại cương về phương trình

D. 2x3 + 5x – 7 +

x+9

.Q TP

C. x2 + 3 =

2− x =

ẠO

B. x2 + 3x + 11 = 0

x−4

A. 5x2 + 7 = -3 x − 1

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Câu 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào có nghiệm

Câu 2: Phương trình

TR ẦN

B. 2

C. 3

(1)

10 00

Câu 3: Cho phương trình f1(x) = g1(x)

D. Vô nghiệm

A. 1

x + − x = 0 có bao nhiêu nghiệm

(2)

f2(x) = g2(x)

f1(x) +f2(x) = g1(x) + g2(x) (3)

-L

Í-

Tìm mệnh đề đúng

ÁN

A. (3) tương đường với (1) hoặc (2)

D. cả a,b,c đều có thể sai

IỄ N

ÀN

C. (2) là hệ quả của (3)

B. (3) là hệ quả của (1)

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

B1: trắc nghiệm :

§2: PHƯƠNG TRÌNH BậC NHấT VÀ BậC HAI MộT ẩN

TRắC NGHIệM

Câu 1:Cho phương trình : (m2 – 9)x = 3m(m -3). Với giá trị nào của m thì phươnng trình vô nghiệm

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn A. m = 3

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

B. m = -3

C. m = 0

D. m = ± 3

Câu 2:Cho phương trình : (m2 – 4)x = m(m +2).

C. m = 0

D. m = ± 2

B. m = 2

Câu 3:Cho phương trình (m – 1)x2 - 6(m - 1)x + 2m – 3 = 0

B. m =

6 7

C. m = -

6 7

D. m = -1

7 6

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

A. m =

ẠO

Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm kép

D. Có 1 nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương

C. Có 2 nghiệm âm phân biệt

B. Có 1 nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm âm

10 00

A. Có 2 nghiệm dương phân biệt

TR ẦN

∆ > 0  Câu 4: Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a≠0) thỏa  P = 0 thì phương trình đó S > 0 

∆ > 0  Câu 5: Cho phương trình ax + bx + c = 0 ( a≠0) thỏa  P < 0 thì phương trình đó S > 0 

ÁN

-L

Í-

A. Có 2 nghiệm dương phân biệt

ÀN

B. Có 2 nghiệm âm phân biệt

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

A. m = -2

Với giá trị nào của m thì phương trình vô số nghiệm ∀x ∈R

D. Có 2 nghiệm trái dấu và trị tuyệt đối nghiệm âm nhỏ hơn nghiệm dương

IỄ N

C. Có 2 nghiệm trái dấu và trị tuyệt đối nghiệm âm lớn hơn nghiệm dương

Câu 6: Cho phưong trình x2 + 4mx + m2 = 0 . Tìm điều kiện m để phương trình có 2 nghiệm dương

A. m > 0

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

B. m < 0

C. m ≥ 0

D. m ≠ 0

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 7: Cho phương trình : a(x – 1) + b(2x + 1) = x + 2 Với giá trị nào của a và b thì phương trình vô số nghiệm ∀x ∈R

C. a =1 và b = -1

D. a = b = 1

B. a = -1 và b = 1

A. a = b = -1

B. m = 2

C. m = 0 ∨ m =1

D. m = 0∨ m =2

ẠO

A. m =0

Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình vô số nghiệm ∀x ∈R

BẬC NHẤT HOẶC BẬC HAI

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

§3: MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH

x−m x−2 = có nghiệm duy nhất x +1 x −1

10 00

Câu 1: Định m để phương trình

TR ẦN

H Ư

TRắC NGHIệM :

B. m ≠ -1

C. m ≠ 1

D. m ≠ 0 và m ≠ -1

A. m ≠ 0

x−m x−2 = x −1 x +1

-L

Í-

Câu 2: Tìm tất cả các giá trị m để phương trình B. m = 1

C. m = 2

D. m = -2 hoặc m = 1

ÁN

A. m = -2 hoặc m = 2

vô nghiệm

IỄ N

ÀN

Câu 3: Tìm tất cả các giá trị m để phương trình

A. m = -

C. m =

1 hoặc m = 2 2

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

2m − 1 = m - 2 vô nghiệm x −1

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

Câu 8: Cho phương trình : m3 x = mx + m2 - m

B. m = 2 hoặc m = 1

D. m =

1 hoặc m = 1 2

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 4: Cho phương trình :x2 – 5x + 4= x +4  có bao nhiêu nghiệm A. 1 nghiệm

B. 2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. Vô nghiệm

C. x = - 2

D. Vô nghiệm

B. x =

ẠO

x−m x −3 + = 2. x−2 x

Câu 6: Cho phương trình

B. 2

C. 3

D. Không có

H Ư

A.1

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình vô nghiệm

TR ẦN

§4:HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

có nghiệm là

y +1

-L

2 7 ;- ) 5 5

y +1

7 2 B. ( ; - ) 2 7

C.( -

2 7 ; ) 7 2

D. Kết quả khác

ÁN

A. (

Í-

 3  x − 1 + Câu 1: Cho hệ   2 +  x − 1

10 00

: TRắC NGHIệM :

mx + y + m = 0   x + my + m = 0

vô nghiệm

IỄ N

ÀN

Câu 2: Tìm điều kiện của tham số m để hệ phương trình

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

A. x = ± 2

Câu 5: Cho phương trình :3x2 – 2 - 6 –x2 = 0 có nghiệm là :

A. m = 1

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

B. m= -1

C. m = 0

D. m ≠ 1

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

83 21 ; ) 28 10

C. (

83 28

D. Kết quả khác

)

B. (-

; -2)

4 x + 1 − 3 y = −2

10 00

B. 2

TP G

C. 3

D. 4

A. 1

có bao nhiêu nghiệm

 x + 1 + 5 y = 11

TR ẦN

khác

Câu 5: Hệ phương trình 

ẠO

 1− m x = 3 + m C.   y = −4  3 + m

 m −1 x = 3 + m B.  y = 4  3 + m

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

 −4 x = 3 + m A.  y = 1 − m  3 + m

3x − my = 1 Câu 4: Cho hệ  có nghiệm duy nhất là :  2x − 5y = 3

B. 1

C. 2

D. 3

IỄ N

ÀN

A. 0

ÁN

-L

Í-

2x − 3y − z = 2  Câu 6: Hệ phương trình 3x − 2y + 3z = 5 có bao nhiêu nghiệm 4x − 6y − 2z = −1 

D. kết quả

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

A. (

 5 9  x + 3 − y − 2 = 50 có nghiệm là Câu 3: Cho hệ  3 7  + = 154  x + 3 y − 2

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

§4. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN

N U Y

H Ư

 Dy  D  Hệ có nghiệm duy nhất  x = x ; y =  D D 

TR ẦN

D≠0 Dx ≠ 0 hoặc Dy ≠ 0

Hệ vô nghiệm

D=0

10 00

Chú ý: Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta có thể dùng các cách giải đã biết như: phương pháp thế, phương pháp cộng đại số. 2. Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để đưa về các Hệ có vô số nghiệm

Í-

Dx = Dy = 0

-L

phương trình hay hệ phương trình có số ẩn ít hơn. Để khử bớt ẩn, ta cũng có thể dùng

hai ẩn

ÁN

các phương pháp cộng đại số, phương pháp thế như đối với hệ phương trình bậc nhất

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

Kết quả

Xét định thức

c1 . c2

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

 a1 x + b1 y = c1 ( a12 + b12 ≠ 0, a22 + b22 ≠ 0) a2 x + b2 y = c2 b) Giải và biện luận hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: a b c b a Tính các định thức: D= 1 1 , Dx = 1 1 , Dy = 1 a2 b2 c2 b2 a2

1. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. a) Định nghĩa: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

ÀN

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

IỄ N

DẠNG TOÁN 1: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN, BA ẨN. 1. Phương pháp giải.

• Sử dụng phương pháp cộng đại số, phương pháp thế, dùng định thức. 2. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D. Vô nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D. Vô nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

A.1 nghiệm

5 x − 4 y = 3 a)   7 x − 9 y = 8

TR ẦN B.2 nghiệm

10 00

A.1 nghiệm

  3 x − y = 1 d)  5 x + 2 y = 3 

Lời giải

C.3 nghiệm

5 −4 3 −4 5 3 = −17 , Dx = = 5, Dy = = 19 7 −9 8 −9 7 8

-L

Í-

a) Ta có D =

ÁN

 D Dy   5   = − ; − 19  Suy ra hệ phương trình có nghiệm là ( x; y) =  x ;  D D   17 17 

2 1 11 1 2 11 = −13 , Dx = = −52, Dy = = −39 5 −4 8 −4 5 8

ÀN

b) Ta có D =

D. Vô nghiệm

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

ẠO Đ G

D. Vô nghiệm

H Ư

A.1 nghiệm

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

  2 x + 4 y = −1 c)  2 x + 4 2 y = 5 

A.1 nghiệm

U Y

2 x + y = 11 b)   5 x − 4 y = 8

IỄ N

 D Dy   = (4; 3) Suy ra hệ phương trình có nghiệm là ( x; y) =  x ;  D D 

c) ) Ta có D =

4 2

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

= 0 , Dx =

−1

4 2

= −4 2 − 20 ≠ 0

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Suy ra hệ phương trình vô nghiệm

= 11 , Dx =

−1

= 2 + 3 , Dy =

= −2

3 −1

C.3 nghiệm

B.2 nghiệm

D. Vô nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D. Vô nghiệm

A Ó H ÍB.2 nghiệm

Lời giải

D. Vô nghiệm

ÁN

A.1 nghiệm

-L

  3( x + y ) = −7  x−y c)   5 x − y 5 =  3  y − x

C.3 nghiệm

10 00

A.1 nghiệm

 x − y = 2 b)  2 x − y = −1

TR ẦN

H Ư

A.1 nghiệm

ẠO

( x + 3) y − 5) = xy a)   ( x − 2)( y + 5) = xy

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

Ví dụ 2: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

U Y .Q

 D Dy   2 + 3 2   =  − Suy ra hệ phương trình có nghiệm là ( x; y) =  x ; ;   11  D D   11

d) Ta có D =

IỄ N

ÀN

xy − 5 x + 3 y − 15 = xy a) Hệ phương trình tương đương với   xy + 5 x − 2 y − 10 = xy −5 x + 3 y = 15  y = 25  x = 12 ⇔  ⇔  ⇔   5 x − 2 y = 10 5 x − 2 y = 10  y = 25

Vậy hệ phương trình có nghiệm là ( x; y) = (12; 25)

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

x − y = ± 2 b) Hệ phương trình tương đương với  2 x − y = −1 

 x − y = − 2 (2)  2 x − y = −1 

N TP

U Y

x = −1 − 2  x = −1 − 2 Ta có (1) ⇔  ⇔  2 x − y = −1    y = −1 − 2 2 x = −1 + 2  x = −1 − 2 ⇔  2 x − y = −1  y = −1 + 2 2

ẠO Đ

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

(2) ⇔ 

) (

(

H Ư

Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y) là −1 − 2; −1 − 2 2 và −1 − 2; −1 + 2 2

TR ẦN

c) ĐKXĐ: x ≠ y

10 00

3( x + y ) = −7 ( x − y)  Hệ phương trình tương đương với  3 (5 x − y) = 5 ( y − x) 

10 x − 4 y = 0  x = 0 ⇔  ⇔  (không thỏa mãn) 20 x − 8 y = 0 y = 0

Í-

Vậy hệ phương trình vô nghiệm.

ÀN

ÁN

  6 + 5 = 3 x y a)   9 10  − = 1  x y

-L

Ví dụ 3: Tìm số nghiệm của hệ phương trình sau

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D. Vô nghiệm

IỄ N

A.1 nghiệm

)

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

x − y = 2 (1) hoặc ⇔  2 x − y = −1 

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

C.3 nghiệm

H Ư

Lời giải

C.3 nghiệm

A Ó H Í-

ÁN

-L

1 x . Hệ đã cho trở thành 1 y

 u =  Đặt   v = 

TR ẦN

B.2 nghiệm

10 00

A.1 nghiệm

2 x − 6 + 3 y + 1 = 5 d)  5 x − 6 − 4 y + 1 = 1 

 u = 1 6u + 5v = 3  3  ⇔  9u − 10 v = 1  1 v = 5 

D. 4 nghiệm

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

.Q TP ẠO Đ

D. Vô nghiệm

A.1 nghiệm

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

  6 x − 3 − 2 y = 5  y −1 x + 1 c)   4 x − 2 4y − =2   y − 1 x + 1

 x ≠ 0 a) ĐKXĐ:    y ≠ 0

B.2 nghiệm

D. Vô nghiệm

C.3 nghiệm

B.2 nghiệm

U Y

A.1 nghiệm

  6 + 2 = 3  x − 2y x + 2y b)   3 4 + = −1   x − 2 y x + 2 y

IỄ N

ÀN

  1 = 1  x 3 x = 3 Ta được hệ phương trình:  ⇔ (thỏa mãn)  1 = 1  y = 5  y 5

Vậy hệ phương trình có nghiệm là ( x; y) = (3; 5) .

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

   x − 2 y ≠ 0 ⇔  x ≠ 0 b) ĐKXĐ:  x + 2 y ≠ 0  y ≠ 0

 u = 7 6u + 2 v = 3  9  ⇔  3u + 4 v = −1  5 v = − 6 

u = 2 3u − 2 v = 5  ⇔  2u − 4 v = 2 v = 1  2

10 00

 u = 2 x − 1  y −1 Đặt  . Hệ đã cho trở thành  y  v = x +1 

x ≠ −1 c) ĐKXĐ:    y ≠ 1

TR ẦN

H Ư

3 87  Vậy hệ phương trình có nghiệm là ( x; y) =  ; − .  70 140 

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

 7 3  9   = 1  x = x − 2 y =  9 x − 2 y 70 (thỏa mãn) 7 ⇔ Ta được hệ phương trình:  ⇔   5  1 87 6  − = x + 2 y = −  y = − 5  140  6 x + 2 y 

ÁN

-L

Í-

 2 x − 1  =2  2 x − 2 y = −1 x = 0 y −1   Ta được hệ phương trình:  ⇔ ⇔  y x − 2 y = −1 y = 1 1   =   2  x + 1 2

ÀN

 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm là ( x; y) = 0;  .  2 

2u + 3v = 5 u = 1 ⇔  5u − 4 v = 1 v = 1

IỄ N

u = x − 6 d) Đặt  , u ≥ 0, v ≥ 0 , hệ phương trình trở thành v = y + 1 

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

 u = 1  x − 2y Đặt  . Hệ đã cho trở thành  1 v = x + 2y 

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

   x = 7 1 = x − 6 x − 6 = ±1   x = 5 ⇔  ⇔ Thay vào ta có  1 = y + 1  y + 1 = ±1   y = 0  y = −2 

D. Vô nghiệm

H Ư

Lời giải

TR ẦN

Cách 1(Phương pháp cộng đại số): Hệ phương trình tương đương với

10 00

   7 y + 3z = 10 25z = 25 x = 1  y + 4 z = 5 ⇔  y + 4 z = 5 ⇔  y = 1    −  x + 2 y + z = 3 −x + 2 y + z = 3 z = 1

Vậy hệ phương trình có nghiệm là ( x; y ; z) = (1;1; 1) .

Cách 2(Phương pháp thế): Ta có (2) ⇔ x = y − 2z + 2 thế vào (1) ta được

-L

Í-

3 ( y − 2z + 2) + y − 3z = 1 ⇔ 4 y − 9z = −5 (*)

ÁN

(3) ⇔ x = 2 y + 2 z − 3

thế vào (1) ta được

ÀN

3 (2 y + 2 z − 3) + y − 3z = 1 ⇔ 3z = 10 − 7 y thế vào (*) ta được

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

C.3 nghiệm

B.2 nghiệm

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

A.1 nghiệm

ẠO

 3 x + y − 3 z = 1 (1) (2) Ví dụ 4: Tìm số nghiệm của hệ phương trình sau x − y + 2 z = 2  −  x + 2 y + 2 z = 3 (3)

U Y

Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y) là (7; 0) , (7; −2) , (5; 0) , (5; −2) .

4 y − 3 (10 − 7 y) = −5 ⇔ y = 1 ⇒ x = z = 1

IỄ N

Vậy hệ phương trình có nghiệm là ( x; y ; z) = (1;1; 1) .

3. Bài tập luyện tập. Bài 3.45: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D. Vô nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D. Vô nghiệm

Ơ N U Y

C.3 nghiệm

b) ( x; y) = (1; −2)

 136 1905  c) ( x; y) = − ;−   73 73 

H Ư

B.2 nghiệm

D. Vô nghiệm

TR ẦN

A.1 nghiệm

ẠO

  3 x + 2 y = 16  3 c)  4  5 3  x − y = 11 5  2

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

A.1 nghiệm

 ( 2 + 1) x + y = 2 − 1 b)  2 x − ( 2 − 1) y = 2 2 

Bài 3.45: a) Vô nghiệm

10 00

Bài 3.46: Tìm số nghiệm của hệ phương trình sau

 x + 2 y − 3 z = 2 a) x − 3 y + z = 5  x − 5 y = 1

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D. Vô nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D. Vô nghiệm

ÁN

-L

Í-

A.1 nghiệm

ÀN

 3 x + y − z = 1 b) 2 x − y + 2 z = 5  x − 2 y − 3 z = 0

IỄ N

A.1 nghiệm

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

A.1 nghiệm

3 x − y = 1 a)   6 x − 2 y = 5

 x + 3 y + 2 z = 8  c) 2 x + y + z = 6  3 x + y + z = 6

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

A.1 nghiệm

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D. Vô nghiệm

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

    x + 2 y − 3 z = 2 x = 1 + 5 y x = 1 + 5 y x = 6 Bài 3.46: a) x − 3 y + z = 5 ⇔ 1 + 5 y + 2 y − 3 z = 2 ⇔ 7 y − 3 z = 1 ⇔  y = 1     x − 5 y = 1 1 + 5 y − 3 y + z = 5 2 y + z = 4 z = 2

 11 5 1  d) ( x; y ; z) =  ; ; −   14 2 7 

TR ẦN

Bài 3.47: Tìm số nghiệm của phương trình sau

c) ( x; y ; z) = (0; −4;10)

H Ư

b) ( x; y ; z) = (1; −1;1)

10 00

x + 5 y = 7 a)   3 x − 2 y = 4 B.2 nghiệm

D. Vô nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D. Vô nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D. 4 nghiệm

Ó H

ÁN

-L

Í-

  1 + 1 = 5 x + y x− y 8 b)   1 1 3 − =   x − y x + y 8

C.3 nghiệm

A.1 nghiệm

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

D. Vô nghiệm

A.1 nghiệm

U Y

 x − 3 y + 2 z = −7 d) −2 x + 4 y + 3 z = 8  3 x + y − z = 5

IỄ N

ÀN

2 x + y − x − y = 9 c)  3 x + y + 2 x − y = 17

A.1 nghiệm

4 x + y + 3 x − y = 8 d)  3 x + y − 5 x − y = 6 

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D. Vô nghiệm

Ơ N

1 1 = u; =v x+y x−y

U Y

b) ĐKXĐ: x ≠ ± y , đặt

TP ẠO

TR ẦN

c) (−3; −2) , (−2; −3) , (2; 3) , (3; 2) d) (−1; −1) , (1;1)

H Ư

x + y = 8 x = 5 Thay trở lại, ta được:  ⇔  x − y = 2  y = 3

  5 2 v = 1 v = 1 u + v =   8 ⇔  2 Khi đó, có hệ mới  ⇔  5   1 3 u + v = −u + v =  8 u = 8 8  

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

x + 5 y = 7 3 x + 15 y = 21 17 y = 17  y = 1 Bài 3.47: a)  ⇔  ⇔  ⇔  3 x − 2 y = 4 3 x − 2 y = 4 3 x − 2 y = 4 x = 2

10 00

DẠNG TOÁN 2: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN. 1. Phương pháp giải. Sử dụng định thức: Tính D , Dx , Dy

Í-

 D Dy     • Nếu D ≠ 0 thì hệ có nghiệm duy nhất ( x; y) =  x ;  D D 

ÁN

-L

• Nếu D = 0 thì ta xét Dx , Dy

ÀN

 Dx ≠ 0 khi đó phương trình vô nghiệm Với   Dy ≠ 0

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

A.1 nghiệm

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Với Dx = Dy = 0 thì hệ phương trình có vô số nghiệm tập nghiệm của hệ phương trình

IỄ N

là tập nghiệm của một trong hai phương trình có trong hệ.

2. Các ví dụ minh họa.

mx − y = 2 m Ví dụ 1: Giải và biện luận hệ phương trình:  4 x − my = m + 6

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

A. m ≠ 2 và m ≠ −2 hệ phương trình có nghiệm duy  2m + 3 m  nhất ( x; y) =  ;−   2 + m 2 m + 1

( x; y) = (t; 2t − 4) , t ∈ R .

B. m = 2 hệ phương trình có nghiệm là

ẠO

D.Cả A, B, C đều đúng

Đ N

m −1 = 4 − m2 = (2 − m)(2 + m) 4 −m

−1 2m = −2 m 2 + m + 6 = ( 2 − m)(2 m + 3) m + 6 −m

Dy =

m 2m = m2 − 2 m = m (m − 2) 4 m+6

TR ẦN

Dx =

H Ư

Ta có D =

10 00

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Lời giải

Í-

 m ≠ 2 • Với D ≠ 0 ⇔  : Hệ phương trình có nghiệm duy nhất m ≠ −2    Dx ; Dy  =  2 m + 3 ; − m   = x ; y  ( )    2 m + 1   D D   2 + m

ÁN

-L

• Với D=0 ⇔ m = ±2 : + Khi m = 2 ta có D = Dx = Dy = 0 nên hệ phương trình có nghiệm là nghiệm của

phương trình 2 x − y = 4 ⇔ y = 2 x − 4 . Do đó hệ phương trình có nghiệm là

ÀN

( x; y) = (t; 2t − 4) , t ∈ R .

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

C. m = −2 hệ phương trình vô nghiệm

IỄ N

+ Khi m = −2 ta có D = 0, Dx ≠ 0 nên hệ phương trình vô nghiệm

Kết luận

 2m + 3 m  m ≠ 2 và m ≠ −2 hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( x; y) =  ;−   2 + m 2 m + 1

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

m = 2 hệ phương trình có nghiệm là

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

( x; y) = (t; 2t − 4) , t ∈ R .

m = −2 hệ phương trình vô nghiệm

 a + b + 1 1  ; A. a ≠ b và a ≠ −b hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( x; y) =    a + b a + b 

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

 −at + a + 1 B. a = b ≠ 0 hệ phương trình có nghiệm là ( x; y) = t ;    a

C. a = −b hệ phương trình vô nghiệm

TR ẦN

H Ư

D. Cả A, B, C đều đúng

Lời giải

10 00

ax − a + by = 1 ax + by = a + 1 Hệ tương đương:  ⇔   bx − b + ay = 1 bx + ay = b + 1

a b = a 2 − b2 = ( a − b)(a + b) b a

Í-

Ta có: D =

-L

a +1 b a a +1 = (a − b)(a + b + 1) , Dy = = a−b b +1 a b b+1

ÁN

Dx =

IỄ N

ÀN

 a ≠ b • TH1: Với D ≠ 0 ⇔ a2 − b2 ≠ 0 ⇔  a ≠ −b Dy (a − b)(a + b + 1) D 1 Hệ có nghiệm duy nhất ( x; y) là x = x = ; y= = D D a+b (a − b)(a + b)

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

a ( x − 1) + by = 1  Ví dụ 2: Giải và biện luận hệ phương trình sau:  b ( x − 1) + ay = 1 

• TH2: Với D = 0 ⇔ a 2 − b2 = 0 ⇔ a = ±b : + Khi a = b ta có D = 0; Dx = 0; Dy = 0 hệ phương trình có nghiệm là nghiệm của phương trình a ( x − 1) + ay = 1 hay ax + ay = a + 1 (*)

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Nếu a = 0 thì phương trình (*) vô nghiệm, do đó nếu a ≠ 0 thì (*) ⇔ y =

−ax + a + 1 a

 −at + a + 1 Vì vậy hệ phương trình có nghiệm dạng ( x; y) = t ;   a 

Nếu b ≠ 0 ⇒ D = 0; Dy ≠ 0 suy ra hệ phương trình vô nghiệm

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

0.x + 0.y = 1 Nếu a = b = 0 : Hệ phương trình trở thành  ⇒ hệ vô nghiệm.  0.x + 0.y = 1

Kết luận

TR ẦN

H Ư

 a + b + 1 1  a ≠ b và a ≠ −b hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( x; y) =  ;   a + b a + b 

10 00

a = −b hệ phương trình vô nghiệm

 −at + a + 1 a = b ≠ 0 hệ phương trình có nghiệm là ( x; y) = t ;    a

1 2

Í-

B. m = 3 và m =

1 2

1 3

D. m = 6 và m =

1 5

-L

A. m = 2 và m =

ÁN

 2 2 m x + 3 (m − 1) y = 3 Ví dụ 3: Tìm m để hệ vô nghiệm  m ( x + y) − y = 2 

ÀN

C. m = 1 và m =

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

+ Khi a = −b ta có D = 0; Dy = −2b

IỄ N

Lời giải

2 m 2 x + 3 (m − 1) y = 3  Hệ phương trình tương đương với  mx + (m − 2) y = 2 

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

3 3( m − 1) 2m2 = −3 m ; D y = 2 m−2 m

3 2

= 4 m2 − 3m

U Y

Hệ đã cho vô nghiệm xảy ra trong hai trường hợp sau

ẠO

2 m 3 − 7 m2 + 3m = 0 D = 0  TH1:  ⇔ Dx ≠ 0 −3m ≠ 0 

Đ G

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

m = 3 m (2 m 2 − 7 m + 3) = 0   2 ⇔ ⇔ 2m − 7 m + 3 = 0 ⇔  m = 1 m ≠ 0  2

Í-

10 00

TR ẦN

 m = 3    m = 0  1   m = m = 3 2  2 m3 − 7 m 2 + 3m = 0  D = 0   TH2:  ⇔ m ≠ 0 ⇔  ⇔  m = 1 Dy ≠ 0 4 m2 − 3m ≠ 0     3  2 m ≠ 4     1 2

ÁN

-L

Vậy hệ vô nghiệm khi m = 3 và m =

x + 2 ay = b Ví dụ 4: Tìm các giá trị của b sao cho với mọi a thì hệ phương trình  ax + (1 − a) y = b2 

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

m−2

= 2 m 3 − 7 m 2 + 3m

3( m − 1)

Dx =

2m2

Ta có D =

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

A. b = 4

B. b = 2

C. b = 0

D. b = 1

IỄ N

ÀN

có nghiệm.

Lời giải

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

1 2a = 1 − a − 2 a2 a 1− a

 a ≠ −1 ⇒ D ≠ 0 ⇔ 2a + a − 1 ≠ 0 ⇔   a ≠ 1 2 

U Y

 a ≠ −1 Suy ra  thì hệ phương trình có nghiệm  a ≠ 1  2

ẠO Đ G

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

x − 2 y = b Khi a = −1 , hệ trở thành:  , x − 2 y = −b2 

H Ư

10 00

 b=0  Hệ có nghiệm ⇔ b = 2b ⇔  b = − 1  2

TR ẦN

 x + y = b x + y = 2b2 

1 , hệ trở thành 2

Khi a =

 b=0 Hệ có nghiệm ⇔ b = −b2 ⇔ b + b2 = 0 ⇔   b = −1 

ÁN

-L

Í-

  b = 0   b = −1  Vậy hệ có nghiệm với mọi a ∈ ℝ khi và chỉ khi  ⇔b=0  b = 0   b = − 1 2 

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

Ta có: D =

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

IỄ N

ÀN

Ví dụ 4: Tùy vào m hãy tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức sau: 2

P ( x; y) = ( x + 2 my + 1) + (mx + 2 y)

A. Vậy m ≠ ±1 thì min P ( x; y) = 2 , m = ±1 thì min P ( x; y) =

1 2

B. Vậy m ≠ ±1 thì min P ( x; y) = 0 , m = ±1 thì min P ( x; y) = 1

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

C. Vậy m ≠ ±1 thì min P ( x; y) = −1 , m = ±1 thì min P ( x; y) = 0

1 2

D. Vậy m ≠ ±1 thì min P ( x; y) = 0 , m = ±1 thì min P ( x; y) =

Lời giải

Nếu D ≠ 0 ⇔ 2 − 2 m 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ ±1 thì hệ phương trình (*) có nghiệm do đó

H Ư

min P ( x; y) = 0 .

TR ẦN

 m=1 Nếu D = 0 ⇔   m = −1  2

10 00

Với m = 1 ta có P ( x; y) = ( x + 2 y + 1) + ( x + 2 y) = 2 ( x + 2 y) + 2 ( x + 2 y) + 1 2

1 1 ⇔ x + 2y + = 0 2 2

-L

Í-

Suy ra min P ( x; y) =

 1 1 1 ⇒ P ( x; y) = 2  x + 2 y +  + ≥  2 2 2

ÁN

Với m = −1 ta có P ( x; y) = ( x − 2 y + 1) + (−x + 2 y) = 2 ( x − 2 y) + 2 ( x − 2 y) + 1 2

ÀN

 1 1 1 ⇒ P ( x; y) = 2  x − 2 y +  + ≥  2 2 2

IỄ N

Suy ra min P ( x; y) =

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

.Q TP

ẠO

1 2m = 2 − 2m2 m 2

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

U Y

x + 2 my + 1 = 0 Ta có P ( x; y) ≥ 0 , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  (*)   mx + 2 y = 0

1 1 ⇔ x − 2y + = 0 2 2

Vậy m ≠ ±1 thì min P ( x; y) = 0 , m = ±1 thì min P ( x; y) =

1 2

3. Bài tập luyện tập.

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Bài 3.48: Giải và biện luận các hệ phương trình sau:

mx + 2 y = 2 m a)   x + y = 3

N ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

C.Cả A, B đều đúng

B. m = 2 ⇒ Dx = −4 ≠ 0 ⇒ hệ phương trình vô nghiệm

H Ư

D.Cả A, B đều sai

 m + 1 2 m  1 hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( x; y) =  ;   m − 1 m − 1 2

10 00

A. m ≠ 1 và m ≠ −

TR ẦN

( m + 1)x − 2 y = m − 1 b)  2 m x − y = m 2 + 2 m 

( x; y) = (4t − 1; t) , t ∈ R .

1 B. m = − hệ phương trình có nghiệm là 2

Í-

C. m = 1 hệ phương trình vô nghiệm

ÁN

-L

D.Cả A, B, C đều đúng

Bài 3.48: a) Từ hệ phương trình ta có: D = 2m 2

ÀN

IỄ N

Dx =

m 2m 1

= 2 m.1 − 3.2 = 2 m − 6

= m.3 − 1.2 m = 3m − 2 m = m

Dy =

m 2 = m.1 − 1.2 = m − 2 1 1

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

Dy Dx 2 m − 6 m = ;y= = D m−2 D m−2

nhất x =

A. m ≠ 2 hệ phương trình có một nghiệm duy

• Nếu D ≠ 0 ⇔ m–2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Dy Dx 2 m − 6 m = ;y= = D m−2 D m−2

Ơ U Y

m + 1 −2 = 2 m2 − m − 1 = (m − 1)(2 m + 1) 2 m −1

−2 m −1 = 2 m2 + 3m + 1 = (m + 1)(2 m + 1) 2 m + 2 m −1

Dy =

m+1 m −1 = (m + 1)(m 2 + 2 m) − m 2 (m − 1) = 2 m (2 m + 1) 2 2 m m + 2m

ẠO

Dx =

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

b) Ta có D =

• Nếu D = 0 ⇔ m = 2 ⇒ Dx = −4 ≠ 0 ⇒ hệ phương trình vô nghiệm

H Ư

10 00

•

TR ẦN

•

  m ≠ 1 Với D ≠ 0 ⇔  : Hệ phương trình có nghiệm duy nhất m ≠ − 1  2  D Dy   m + 1 2 m   ; ( x; y) =  x ;  =   − 1 − 1 D D m m       m=1  Với D = 0 ⇔  : m = − 1  2

1 ta có D = Dx = Dy = 0 nên hệ phương trình có nghiệm là nghiệm của 2 1 1 phương trình x − 2 y = − ⇔ x = 4 y − 1 . Do đó hệ phương trình có nghiệm là 2 2

Í-

+ Khi m = −

ÁN

-L

( x; y) = (4t − 1; t) , t ∈ R .

+ Khi m = 1 ta có D = 0, Dx ≠ 0 nên hệ phương trình vô nghiệm

 m + 1 2 m  1 hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( x; y) =  ;   m − 1 m − 1 2

ÀN

Kết luận: m ≠ 1 và m ≠ −

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

Suy ra hệ phương trình có một nghiệm duy nhất: x =

IỄ N

1 m = − hệ phương trình có nghiệm là 2

( x; y) = (4t − 1; t) , t ∈ R .

m = 1 hệ phương trình vô nghiệm

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

( m + 1)x + 8 y = 4 m Bài 3.49: Tìm m để hệ phương trình  có nghiệm duy nhất mx + ( m + 3) y = 3m − 1 D. m ≠ 2 và m ≠ 1

m+1 8 = ( m + 1)( m + 3) − 8 m = m 2 − 4 m + 3 m m+3

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

⇔ m ≠ 1 và m ≠ 3 .

H Ư

−4 x + my = m + 1 Bài 3.50: Tìm m để hệ phương trình  có vô số nghiệm: (m + 6) x + 2 y = m + 3 

C. m = −4

TR ẦN

B. m = −2

D. m = −3

Bài 3.50: Ta có: D = −8 − m (m + 6) = −m 2 − 6 m − 8

10 00

Dx = 2 (m + 1) − m (m + 3) = −m2 − m + 2

Dy = −4 (m + 3) − ( m + 1)(m + 6) = −m2 − 11m − 18

-L

Í-

D = 0 −m 2 − 6 m − 8 = 0   Hệ có vô số nghiệm ⇔ Dx = 0 ⇔ −m 2 − m + 2 = 0 ⇔ m = −2   2 Dy = 0 −m − 11m − 18 = 0  

ÀN

ÁN

Vậy hệ có vô số nghiệm khi m = −2 .

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

Hệ đã cho có nghiệm duy nhất ⇔ D ≠ 0 ⇔ m2 − 4 m + 3 ≠ 0

A. m = −1

C. m ≠ 1

U Y

Bài 3.49: Ta có: D =

B. m ≠ 3

A. m ≠ 1 và m ≠ 3 .

IỄ N

Bài 3.51: Tùy theo giá trị của m , hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 2

P ( x; y) = (mx + 2 y − 2 m) + ( x + y − 3)

A. m ≠ 2 thì min P ( x; y) = 0 ,

B. m = 2 thì min P ( x; y) =

C.Cả A, B đều đúng

D.Cả A, B đều sai

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

4 . 5

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

mx + 2 y − 2 m = 0 Bài 3.51: Ta có P ( x; y) ≥ 0 , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  (*)  x + y − 3 = 0

m 2 = m−2 1 1

Nếu D = 0 ⇔ m = 2 ta có

ẠO

P ( x; y) = (2 x + 2 y − 4) + ( x + y − 3) = 5 ( x + y) − 22 ( x + y) + 25 2

Đ G N

4 11 ⇔ x+ y− = 0 5 5

TR ẦN

Suy ra min P ( x; y) =

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

 11 4 4 ⇒ P ( x; y) = 5  x + y −  + ≥ 5 5 5 

4 . 5

10 00

Vậy m ≠ 2 thì min P ( x; y) = 0 , m = 2 thì min P ( x; y) =

(2 m + 1)x − 3 y = 3m − 2 Bài 3.52: Cho hệ phương trình:  . ( m + 3)x − ( m + 1) y = 2 m

B. m = 2

C. m ≠ −6

D. m ≠ −3

ÁN

-L

A. m ≠ −2

Í-

a) Tìm m để hệ có nghiệm.

 m ≥ −1 A. m ≠ 2   m < −4

 m ≥ 0 B. m ≠ 2   m < −2

 m ≥ −1 C. m ≠ 2   m < −2

 m ≥ 0 D. m ≠ 2   m < −4

IỄ N

ÀN

b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn x ≥ 2 y .

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

Nếu D ≠ 0 ⇔ m ≠ 2 thì hệ phương trình (*) có nghiệm do đó min P ( x; y) = 0 .

c) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho P = x 2 + 3 y 2 nhỏ nhất .

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

8 . 3

B. m =

8 9

C. m =

2 9

D. m =

1 9

Ơ U Y

D = 0 ⇔ m = −2 . a) Ta có hệ vô nghiệm ⇔  2 Dx + Dy2 ≠ 0 

ẠO Đ G

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

 x = 3m − 1  2( m + 2) b) Hệ có nghiệm duy nhất ⇔ m ≠ ±2 và  .  m+3  y = − 2( m + 2) 

Vậy hệ có nghiêm ⇔ m ≠ −2 .

TR ẦN

H Ư

 m ≥ −1 3m − 1 2( m + 3) 5m + 5 ⇒ x ≥ 2y ⇔ ≥− ⇔ ≥ 0 ⇔ m ≠ 2 . m+2 2( m + 2) 2( m + 2)   m < −2

3m 2 + 3m + 7 ⇔ (3 − P )m 2 + (3 − 4 P )m + 7 − 4 P = 0 (1) 2 m + 4m + 4

P = x2 + 3y2 =

10 00

c) Hệ có nghiệm duy nhất ⇔ m ≠ ±2

-L

Í-

5 * P = 3 thì (1) có nghiệm m = − . 9

ÁN

* P ≠ 3 ⇒ (1) có nghiệm ⇔ ∆ = 52 P − 75 ≥ 0 ⇔ P ≥

ÀN

Đẳng thức xảy ra khi m =

75 . 52

8 . 9

8 75 và MinP = . 9 52

IỄ N

Vậy P nhỏ nhất ⇔ m =

Bài 3.52: Ta có: D = −2( m − 2)( m + 2) ; Dx = ( m − 2)(1 − 3m) ; Dy = ( m − 2)( m + 3)

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

A. m =

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

 m x + 1 + y = m + 1 Bài 3.53: Giải và biện luận hệ:   x + 1 + m y = 2 

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

  x + 1 = u (u, v > 0) Bài 3.53: Đặt:   y = v 

mu + v = m + 1 Khi đó hệ có dạng:  ux + mv = 2

ẠO Đ

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

m + 1 1  m am + 1  = m2 + m − 2; Dv =   = m −1 Du =    2  1 m 2 

H Ư

m+2 1 và v = m+1 m +1

TR ẦN

Hệ có nghiệm duy nhất u =

• Nếu D ≠ 0 ⇔ m2 − 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ ±1

10 00

  m + 2 ≥ 0  m+1 Vì điều kiện u, v > 0 nên ta có :  ⇔ m > −1  1 ≥0   m + 1

-L

Í-

 2m + 3   x + 1 = m + 2  x = ( m + 1)2  m + 1  Khi đó ta được:  ⇔   1 1  y =  y = m+1 ( m + 1)2  

ÁN

m = 1 • Nếu D = 0 ⇔ m2 − 1 = 0 ⇔   m = −1  x +1 + y = 2

ÀN

Với m = 1 ⇒ Du = Dv = 0 , hệ có vô số nghiệm thoả

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

m 1   = m2 − 1 Ta có: D =    1 m

IỄ N

Với m = −1 ⇒ Du = 2 ≠ 0 , hệ vô nghiệm.

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

§3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HOẶC BẬC HAI DẠNG TOÁN 1: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 1. Phương pháp giải.

H Ư

Ví dụ 1: Tìm số nghiệm của các phương trình sau

A.1 nghiệm

TR ẦN

a) 2x + 1 = x 2 − 3x − 4 . B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

10 00

b) 3x − 2 = 3 − 2x

D.4 nghiệm

A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

Ó H

B.2 nghiệm

-L

Í-

A.1 nghiệm

D.4 nghiệm

c) x 2 − 4x − 5 = 4x − 17

C.3 nghiệm

d) 2x − 5 + 2x 2 − 7x + 5 = 0 B.2 nghiệm

A.1 nghiệm

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

ẠO

2. Các ví dụ minh họa.

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

U Y

• Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối(GTTĐ) ta tìm cách để khử dấu GTTĐ, bằng cách: – Dùng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ. – Bình phương hai vế. – Đặt ẩn phụ. • Phương trình dạng f (x ) = g(x ) ta có thể giải bằng cách biến đổi tương đương như sau  f (x ) = g(x ) hoặc f (x ) = g(x ) ⇔ f 2 (x ) = g 2 (x ) f (x ) = g(x ) ⇔  f ( x ) g ( x ) = − 

ÀN

Lời giải: 2

IỄ N

  x = 5 ± 45  2x + 1 = x − 3x − 4  x − 5x − 5 = 0  2 a) Phương trình ⇔  ⇔  ⇔  2 2 3 0 2 x + 1 = − x − 3 x − 4 x − x − = ( )  1 13 ±   x =  2 2

Vậy phương trình có nghiệm là x =

5±

45 2

và

1 ± 13 . 2

115 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

b) Cách 1: Với 3 − 2x < 0 ⇔ x >

3 ta có VT ≥ 0, VP < 0 suy ra phương trình vô nghiệm 2

3 khi đó hai vế của phương trình không âm suy ra 2 2

Với 3 − 2x ≥ 0 ⇔ x ≤

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Phương trình ⇔ 3x − 2 = ( 3 − 2x ) ⇔ 9x 2 − 12x + 4 = 4x 2 − 12x + 9

Đ N

3x − 2 = 3 − 2x ⇔ 5x = 5 ⇔ x = 1 (thỏa mãn)

H Ư

2 : Phương trình tương đương với 3

TR ẦN

Với 3x − 2 < 0 ⇔ x <

ẠO

2 : Phương trình tương đương với 3

− ( 3x − 2 ) = 3 − 2x ⇔ x = −1 (thỏa mãn)

17 ta có VT ≥ 0, VP < 0 suy ra phương trình vô nghiệm 4

c) Với 4x − 17 < 0 ⇔ x <

10 00

Vậy phương trình có nghiệm là x = ±1 .

17 khi đó hai vế của phương trình không âm suy ra 4

Í-

Với 4x − 17 ≥ 0 ⇔ x ≥

-L

Phương trình ⇔ x 2 − 4x − 5 = ( 4x − 17 ) ⇔ ( x 2 − 4x − 5 ) = ( 4x − 17 )

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Cách 2: Với 3x − 2 ≥ 0 ⇔ x ≥

Vậy phương trình có nghiệm là x = ±1 .

ÀN

   x 2 − 8x + 12 = 0 ⇔ ( x 2 − 8x + 12 )( x 2 − 22 ) = 0 ⇔  ⇔  2 x − 22 = 0    x 17 thấy chỉ có x = 6 và x = 4

IỄ N

Đối chiếu với điều kiện x ≥

Vậy phương trình có nghiệm là x = 6 và x =

x = 2  x = 6  = ± 22

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

⇔ 5x 2 = 5 ⇔ x = ±1 (thỏa mãn)

22 thỏa mãn

22 .

d) Ta có 2x − 5 ≥ 0, 2x 2 − 7x + 5 ≥ 0 suy ra

116 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

2x − 5 + 2x 2 − 7x + 5 ≥ 0 .

Ơ H N

ẠO

  g (x ) ≥ 0  g (x ) ≥ 0 ⇔   f (x ) = g (x ) f (x ) = g(x ) ⇔  2  f (x ) = g 2 (x )     f (x ) = −g (x )

TR ẦN

H Ư

  f (x ) = g (x )     f (x ) ≥ 0 Hoặc f (x ) = g(x ) ⇔      −f (x ) = g(x )   f (x ) < 0 

10 00

Ví dụ 2: Tìm số nghiệm của các phương trình sau 2

a) ( x + 1 ) − 3 x + 1 + 2 = 0

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

C.8 nghiệm

D.10 nghiệm

Í-

A.1 nghiệm

-L

b) 4x ( x − 1 ) = 2x − 1 + 1

( x − 1)

+ 1 = 2x + 7

ÀN

c) x 2 +

B.2 nghiệm

A.1 nghiệm

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Nhận xét: Đối với phương trình dạng f (x ) = g (x ) (*) ta có thể biến đổi tương đương như sau

B.6 nghiệm

IỄ N

A.4 nghiệm

x 2 − 2x − 2 x −1

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

5 . 2

Vậy phương trình có nghiệm là x =

  x = 5  2  2x − 5 = 0 5 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  2 ⇔   x = 1 ⇔ x = .  2x − 7x + 5 = 0  2  5     x = 2

Lời giải:

a) Đặt t = x + 1 , t ≥ 0 .

117 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

t = 1 Phương trình trở thành t 2 − 3t + 2 = 0 ⇔   t = 2

 x =0 Với t = 1 ta có x + 1 = 1 ⇔ x + 1 = ±1 ⇔   x = −2

Vậy phương trình có nghiệm là x = −3, x = −2, x = 0 và x = 1

ẠO Đ

Đặt t = 2x − 1 , t ≥ 0 ⇒ t 2 = 4x 2 − 4x + 1 ⇒ 4x 2 − 4x = t 2 − 1 .

TR ẦN

H Ư

 t = −1 Phương trình trở thành t 2 − 1 − t − 1 = 0 ⇔ t 2 − t − 2 = 0 ⇔   t = 2

3 1 và x = − . 2 2

Vậy phương trình có nghiệm là x =

10 00

 3  x =  2x − 1 = 2 2 Vì t ≥ 0 ⇒ t = 2 nên 2x − 1 = 2 ⇔  ⇔  2 1 2 x − = − x = − 1   2

-L

Í-

c) ĐKXĐ: x ≠ 1

Phương trình tương đương ( x − 1 ) +

9 2

( x − 1)

= 7 x −1−

3 x −1

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

b) Phương trình tương đương với 4x 2 − 4x − 2x − 1 − 1 = 0

ÀN

Đặt t = x − 1 −

3 x −1 2

( x − 1)

− 6 ⇒ ( x − 1) +

9 2

( x − 1)

= t2 + 6

IỄ N

Suy ra t 2 = ( x − 1 ) +

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

 x =1 Với t = 2 ta có x + 1 = 2 ⇔ x + 1 = ±2 ⇔   x = −3

t = 1 Phương trình trở thành t 2 + 6 = 7t ⇔ t 2 − 7t + 6 = 0 ⇔   t = 6

118 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

3 x 2 − 2x − 2 x 2 − 2x − 2 =1⇔ =1⇔ = ±1 x −1 x −1 x −1

Ơ H

TR ẦN

Ví dụ 3: Giải và biện luận các phương trình sau a) mx + 2m = mx + x + 1 (*)

1 phương trình (*) có hai nghiệm là x = −1 và x = 2m − 1 2

B. m ≠ −

1 phương trình (*) nghiệm đúng với mọi x . 2

10 00

A. m = −

-L

D.Cả A, B đều sai

Í-

C.Cả A, B đều đúng

TP ẠO Đ

H Ư

3 ± 13 1 ± 13 ,x = , x = 4 ± 2 3 và x = −2 ± 2 3 . 2 2

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

 x 2 − 8x + 4 = 0  x = 4±2 3 ⇔  2 ⇔  (thỏa mãn)  x + 4x − 8 = 0  x = −2 ± 2 3 Vậy phương trình có nghiệm là x =

U Y

3 x 2 − 2x − 2 x 2 − 2x − 2 =6⇔ =6⇔ = ±6 x −1 x −1 x −1

Với t = 6 ta có x − 1 −

   2  x = 3 ± 13  x − 3x − 1 = 0  2 ⇔  2 ⇔  (thỏa mãn)  x −x −3 = 0  1 ± 13  x =   2

b) mx + 2x − 1 = x − 1 (**)

ÀN

A. m = −1 phương trình (*) nghiệm đúng với mọi x

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

Với t = 1 ta có x − 1 −

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

IỄ N

B. m = −3 phương trình (*) có nghiệm x = 0 2 . m+3

C. m ≠ −1 và m ≠ −3 phương trình (*) có nghiệm x = 0 và x =

D. Cả A, B, C đều đúng Lời giải:

119 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

 mx + 2m = mx + x + 1 a) Ta có mx + 2m = mx + x + 1 ⇔   mx + 2m = − ( mx + x + 1 )

 x = 2m − 1 ⇔   ( 2m + 1 ) x = −2m − 1 (1)

TP ẠO

1 phương trình tương đương với x = −1 2

Với 2m + 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ −

H Ư

Kết luận 1 phương trình (*) nghiệm đúng với mọi x . 2

m ≠−

1 phương trình (*) có hai nghiệm là x = −1 và x = 2m − 1 2

TR ẦN

m =−

10 00

 mx + 2x − 1 = x − 1 b) Ta có mx + 2x − 1 = x − 1 ⇔   mx + 2x − 1 = − ( x − 1 )

Í-

 (m + 1)x = 0 (2) ⇔   (m + 3)x = 2 (3)

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

x .

ÁN

Với phương trình (2) ta có

m = −1 thì phương trình (2) nghiệm đúng với mọi x

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

1 phương trình trở thành 0x = 0 suy ra phương trình nghiệm đúng với mọi 2

Với 2m + 1 = 0 ⇔ m = −

U Y

Giải (1)

ÀN

m ≠ −1 thì phương trình (2) có nghiệm x = 0

IỄ N

Với phương trình (3) ta có

m = −3 thì phương trình (3) vô nghiệm m ≠ −3 thì phương trình (3) có nghiệm x =

2 m+3

Kết luận

120 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

m = −1 phương trình (*) nghiệm đúng với mọi x m = −3 phương trình (*) có nghiệm x = 0

2 . m+3

m ≠ −1 và m ≠ −3 phương trình (*) có nghiệm x = 0 và x =

C. m = ℝ

1 2   D. m ∉  −1; − ; − ; 0;1    2 3

ẠO

Đ N

Lời giải:

H Ư

Phương trình tương đương với

TR ẦN

x ( x + 1 ) = ( x + 1 )( mx − 2m − 1 ) ⇔ x + 1  x − mx − 2m − 1  = 0

10 00

 x = −1 ⇔   x = mx − 2m − 1 (*)

 mx − 2m − 1 = x  (m − 1)x = 1 + 2m (1) Ta có (*) ⇔  ⇔  mx − 2m − 1 = −x  (m + 1)x = 1 + 2m (2) 

Í-

Nếu m = 1 thì phương trình (1) vô nghiệm khi đó phương trình ban đầu không thể có ba nghiệm phân biệt.

ÁN

Nếu m = −1 thì phương trình (2) vô nghiệm khi đó phương trình ban đầu không thể có ba nghiệm

phân biệt.

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

1 2   B. m ∉  −1; − ; −   2 3 

1 2   A. m ∈  −1; − ; − ; 0;1    2 3

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Ví dụ 4: Tìm m để phương trình x 2 + x = mx 2 − (m + 1)x − 2m − 1 có ba nghiệm phân biệt.

IỄ N

ÀN

 1 + 2m x =  m −1 Nếu m ≠ ±1 thì (*) ⇔  1  x = + 2m  m +1 

Suy ra để phương trình ban đầu có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

121 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

 1 + 2m  ≠ −1   m ≠ 0 m − 1   2  1 + 2m ≠ −1 ⇔  m ≠ − 3   m + 1  1  1 + 2m  + m 1 2   m ≠ − 2 ≠  m − 1 m +1

3. Bài tập luyện tập.

ẠO Đ

a) | 3x − 2 |= x 2 + 2x + 3

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

C.3 nghiệm

B.2 nghiệm

b) x3 − 1 = x 2 − 3 x + 2

D.4 nghiệm

10 00

A.1 nghiệm

TR ẦN

H Ư

A.1 nghiệm

Lời giải:

-L

Í-

2  3x − 2 khi x ≥ 3 Bài 3.24: a) Ta có: | 3x − 2 |=  −3x + 2 khi x < 2  3

2 ⇒PT⇔ 3x − 2 = x 2 + 2x + 3 ⇔ x 2 − x + 5 = 0 pt vô nghiệm . 3

* Nếu x <

2 ⇒PT⇔ −3x + 2 = x 2 + 2x + 3 ⇔ x 2 + 5x + 1 = 0 3

ÁN

* Nếu x ≥

ÀN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Bài 3.24: Tìm số nghiệm của các phương trình sau

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

  1 2 Vậy với m ∉  −1; − ; − ; 0;1  thì phương trình có ba nghiệm phân biệt.   2 3

2 −5 ± 21 hai nghiệm này đều thỏa mãn x < . 2 3

IỄ N

⇔x =

Vậy nghiệm của pt đã cho là x =

−5 ± 21 . 2

b) x = 1, x = −1 ± 2

122 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Bài 3.25: Tìm số nghiệm của các phương trình sau 2

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

Đ H Ư

TR ẦN

 t = −1(l ) Phương trình trở thành t 2 − 3t − 4 = 0 ⇔   t = 4

Bài 3.25: a) Đặt t = 2x − 1 , t ≥ 0 .

5 3 hoặc x = − 2 2

3 5 và x = 2 2

Vậy phương trình có nghiệm là x = −

10 00

Với t = 4 ta có 2x − 1 = 4 ⇔ 2x − 1 = ±4 ⇔ x =

Í-

x2 − 2 b) ĐKXĐ: x ≠ 0 . Đặt t = ,t ≥0 x

-L

 t = −1 Phương trình trở thành t 2 − t − 2 = 0 ⇔   t = 2

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Lời giải:

ÀN

 x = −1 ± 3 x2 − 2  =2⇔  Với t = 2 ta có x  x = 1 ± 3

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

A.1 nghiệm

U Y

x4 − 6 x2 + 4 x2 − 2 = x2 x

ẠO

A.1 nghiệm

a) ( 2x − 1 ) − 3 2x − 1 − 4 = 0

IỄ N

Vậy phương trình có nghiệm là x = −1 ±

3 và x = 1 ± 3 .

Bài 3.26: Cho phương trình x 2 − 2 x − 2 x − 1 + m + 3 = 0

a) Tìm số nghiệm của phương trình khi m = −2 A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

123 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

b) Tìm m để phương trình sau có nghiệm A. m ≤ 0

B. m ≤ −2

C. m ≤ −3

D. m ≤ −1

Lời giải: 2

Bài 3.26: Phương trình ⇔ ( x − 1) − 2 x − 1 + m + 2 = 0

t = 0 t = 2

a) Khi m = −2 ta có t 2 − 2t = 0 ⇔ 

ẠO Đ

b) Phương trình đã cho có nghiệm ⇔ phương trình (1) có nghiệm t ≥ 0

H Ư

⇔ m = −t 2 + 2t − 2 có nghiệm t ≥ 0 ⇔ Đồ thị hàm số f ( t ) = −t 2 + 2t − 2 với t ∈ [ 0; +∞ ) cắt trục

Bài 3.27: Giải và biện luận các phương trình sau

10 00

a) mx + 2m = x + 1

TR ẦN

hoành. ⇔ m ≤ −2 .

 m =1 −3 A.  phương trình có nghiệm là x = 2  m = −1

Í-

 m ≠ 1 1 − 2m −2m − 1 B.  phương trình có nghiệm là x = và x =  m ≠ −1 m −1 m +1 

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Suy ra nghiệm phương trình là x = 1, x = 3, x = −1

ÁN

C.Cả A, B đều đúng

D.Cả A, B đều sai

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

Đặt t = x − 1 , t ≥ 0 ta có phương trình: t 2 − 2t + m + 2 = 0 (1)

ÀN

b) mx + 2x = mx − 1

IỄ N

A. m = −1 phương trình có nghiệm x = −

1 2

B. m ≠ −1 phương trình có nghiệm x = −

1 1 và x = . 2 2m + 2

C.Cả A, B đều đúng

124 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

D.Cả A, B đều sai Lời giải:

(1) (2)

 m − 1 ) x = 1 − 2m  (  ( m + 1 ) x = −2m − 1 

H U Y .Q

1 − 2m m −1

Với m ≠ 1 phương trình tương đương với x =

Giải (1): Với m = 1 phương trình trở thành 0x = −1 phương trình vô nghiệm

ẠO Đ

−2m − 1 m +1

H Ư

TR ẦN

 m =1 −3 Kết luận:  phương trình có nghiệm là x = 2  m = −1

Với m ≠ −1 phương trình tương đương với x =

10 00

 m ≠ 1 1 − 2m −2m − 1 Với  phương trình có nghiệm là x = và x =  m ≠ −1 m −1 m +1   1  x =−  2  (2m + 2)x = 1 (*) 

 mx + 2x = mx − 1 b) Ta có mx + 2x = mx − 1 ⇔  ⇔  mx + 2x = − ( mx − 1 )

Í-

Với phương trình (*) ta có

-L

m = −1 thì phương trình (*) vô nghiệm

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Giải (2): Với m = −1 phương trình trở thành 0x = 1 phương trình vô nghiệm

ÀN

m ≠ −1 thì phương trình (*) có nghiệm x =

1 2m + 2

IỄ N

Kết luận: m = −1 phương trình có nghiệm x = −

m ≠ −1 phương trình có nghiệm x = −

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

 mx + 2m = x + 1 Bài 2.37: a) Ta có PT ⇔  ⇔ 2 1 mx m x + = − + ( ) 

1 2

1 1 và x = . 2 2m + 2

DẠNG TOÁN 2: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU 1. Phương pháp giải. Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu ta thường

125 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

- Quy đồng mẫu số (chú ý cần đặt điều kiện mẫu số khác không) - Đặt ẩn phụ 2. Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1: Tìm số nghiệm của các phương trình sau

D.4 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

ẠO

A.1 nghiệm

2 10 50 = − . x −2 x + 3 (2 − x )(x + 3)

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

2 và x ≠ 2 . 3

a) ĐKXĐ: x ≠ −

Lời giải:

-L

Í-

A.1 nghiệm

H Ư

x +1 x −1 2x + 1 + = x +2 x −2 x +1

D.4 nghiệm

TR ẦN

A.1 nghiệm

x +3 4x − 2 = . 2 (x + 1) (2x − 1)2

10 00

Phương trình tương đương với

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

C.3 nghiệm

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

b) 1 +

B.2 nghiệm

A.1 nghiệm

U Y

2x + 1 x +1 = 3x + 2 x −2

ÀN

( 2x + 1 )( x − 2 ) = ( x + 1 )( 3x + 2 ) ⇔ 2x 2 − 4x + x − 2 = 3x 2 + 2x + 3x + 2

IỄ N

⇔ x 2 + 8x + 4 = 0 ⇔ x = −4 ± 2 3 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình có nghiệm là x = −4 ± 2 3 .

b) ĐKXĐ: x ≠ −3 và x ≠ 2 . Phương trình tương đương với ( 2 − x )( x + 3 ) − 2 ( x + 3 ) = 10 ( 2 − x ) − 50

126 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

 x = 10 ⇔ x 2 − 7x − 30 = 0 ⇔   x = −3

1 . 2

N U Y

Phương trình tương đương với

ẠO

2 x +3 2 3 2 1 2 1 = ⇔ x + x − = x + ( )( ) ( ) 2x − 1 (x + 1)2

Đ N

Vậy phương trình có nghiệm là x = 5 .

H Ư

d) ĐKXĐ: x ≠ ±2 và x ≠ −1

TR ẦN

Phương trình tương đương với 2

( x + 1 ) ( x − 2 ) + ( x − 1 )( x + 1 )( x + 2 ) = ( 2x + 1 )( x − 2 )( x + 2 )

10 00

⇔ ( x 2 + 2x + 1 ) ( x − 2 ) + ( x 2 − 1 ) ( x + 2 ) = ( 2x + 1 ) ( x 2 − 4 )

⇔ x 3 − 2x 2 + 2x 2 − 4x + x − 2 + x 3 + 2x 2 − x − 2 = 2x 3 − 8x + x 2 − 4

Í-

 x =0 (thỏa mãn điều kiện) ⇔ x 2 + 4x = 0 ⇔   x = −4

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

⇔ x = 5 (thỏa mãn điều kiện)

ÁN

Vậy phương trình có nghiệm là x = −4 và x = 0

Ví dụ 2: Tìm số nghiệm của các phương trình sau

ÀN

4 3 2 1 + = + . 2x + 1 2x + 2 2x + 3 2x + 4

IỄ N

A.1 nghiệm

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

c) ĐKXĐ: x ≠ −1 và x ≠

Đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là x = 10 .

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

1 1 1 3 + + = 4x − 2 x 2 + 5x + 4 x 2 + 11x + 28 x 2 + 17x + 70

A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

127 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

(2 − x )

5 x2

A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

Lời giải:

U Y

3 1   a) ĐKXĐ: x ∉  −2; − ; −1; −   2 2 

TP ẠO

4 2 1 3 4x + 10 −4x − 10 − = − ⇔ 2 = 2 2x + 1 2x + 3 2x + 4 2x + 2 4x + 8x + 3 4x + 12x + 8

H Ư

1 1   ⇔ ( 4 x + 10 )  2 + 2 =0  4 x + 8 x + 3 4 x + 12 x + 8 

TR ẦN

⇔ ( 4 x + 10 ) ( 4 x 2 + 8 x + 3 + 4 x 2 + 12 x + 8 ) = 0

10 00

5   x=−2 ⇔ (thỏa mãn điều kiện) −5 ± 3   x = 4

 4 x + 10 = 0 ⇔ ( 4 x + 10 ) ( 8 x 2 + 20 x + 11) = 0 ⇔  2 8 x + 20 x + 11 = 0

Í-

Vậy phương trình có nghiệm là x =

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Phương trình tương đương với

5 −5 ± 3 và x = − 4 2

ÁN

 1  b) Điều kiện: x ∉  −10; −7; −4; −1;   2 

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

c) 1 +

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ÀN

Phương trình tương đương với

IỄ N

1 1 1 3 + + = (x + 1)(x + 4) (x + 4)(x + 7) (x + 7)(x + 10) 4x − 2

1   3  x 1 ⇔  3  x

⇔

1 − +1 x 1 − +1 x

1  1  1 1  1  1 1  3 − − +  +  =    + 4  3  x + 4 x + 7  3  x + 7 x + 10  4x − 2  x = −3 1  3 ⇔ x 2 + 7x + 12 = 0 ⇔  = + 10  4x − 2  x = −4

128 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Đối chiếu với điều kiện thì phương trình có nghiệm duy nhất x = −3 . c) ĐKXĐ: x ≠ 0 và x ≠ 2 .

(2 − x )

4x 2 4x 2 4x 2 + + −5 = 0 2 − x ( 2 − x )2 2 − x 2

H Ư B

Với t = −5 ta có

TR ẦN

 x =1 x2 (thỏa mãn) = 1 ⇔ x 2 + x − 2 = 0 ⇔  2−x  x = −2 x2 = −5 ⇔ x 2 − 5x + 10 = 0 (vô nghiệm) 2−x

10 00

Với t = 1 ta có

 t =1 t 2 + 4t − 5 = 0 ⇔   t = −5

Í-

Vậy phương trình có nghiệm là x = −2 và x = 1

-L

Ví dụ 3: Giải và biện luận phương trình sau với m là tham số. x −m = 2 (1) x +1

TP Đ

ẠO

x2 , phương trình trở thành 2−x

Đặt t =

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

 x 2   2x  4x 2 4x 2 ⇔  x − − 5 = 0 ⇔  −5 = 0  +  +  2 − x   2 − x  2−x 2−x

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

⇔ x2 −

4x 2

Phương trình tương đương với x 2 +

ÀN

A. m ≠ −1 phương trình (1) có nghiệm là x = −m − 2

IỄ N

B. m = −1 phương trình (1) vô nghiệm

C.Cả A, B đều đúng D.Cả A, B đều sai

x 2 + mx + 2 = 1 (2) b) x2 − 1

129 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

A. m ∈ { −3; 0; 3 } phương trình (2) vô nghiệm B. m ∉ { −3; 0; 3 } phương trình (2) có nghiệm x =

−3 m

C.Cả A, B đều đúng

5 phương trình (3) có nghiệm là x = −2 3

B. m ≠ −

5 phương trình có nghiệm là x = 2 và x = −3m − 8 3

H Ư

ẠO

A. m = −

C.Cả A, B đều đúng

x +1

B 10 00

3x + mx + 2

= m (4)

TR ẦN

D.Cả A, B đều sai

A. m < 0 phương trình (4) vô nghiệm

Í-

B. m ≥ 0 phương trình (4) có hai nghiệm x =

m −1 −m − 2 và x = 2 2m + 3

ÁN

C.Cả A, B đều đúng

Lời giải:

ÀN

D.Cả A, B đều sai

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y TP

x 2 + mx + 2 = 2m + 6 (3) 3−x

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

D.Cả A, B đều sai

IỄ N

a) ĐKXĐ: x ≠ −1

Phương trình tương đương với x − m = 2 ( x + 1 ) ⇔ x = −m − 2

Đối chiếu với điều kiện ta xét −m − 2 ≠ −1 ⇔ m ≠ −1

130 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Kết luận m ≠ −1 phương trình (1) có nghiệm là x = −m − 2

m = −1 phương trình (1) vô nghiệm

b) ĐKXĐ: x 2 − 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ ±1

⇔ mx = −3 (2')

Với m = 0 : Phương trình (2') trở thành 0x = −3 suy ra phương trình (2') vô nghiệm do đó phương

ẠO G

−3 m

Với m ≠ 0 phương trình (2') tương đương với x =

H Ư

−3 −3 ≠ ±1 ⇔ m ≠ ±3 suy ra m ≠ ±3 thì phương trình (2') có nghiệm x = m m và là nghiệm của phương trình (2). Còn m = 3 thì phương trình (2') có nghiệm là x = −1 , m = −3 thì

TR ẦN

Đối chiếu điều kiện xét

phương trình (2') có nghiệm là x = 1 do đó phương trình (2) vô nghiệm.

10 00

Kết luận

m ∈ { −3; 0; 3 } phương trình (2) vô nghiệm

−3 m

Í-

m ∉ { −3; 0; 3 } phương trình (2) có nghiệm x = c) ĐKXĐ: x ≠ 3

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

trình (2) vô nghiệm

ÁN

Phương trình (3) ⇔ x 2 + mx + 2 = ( 3 − x )( 2m + 6 )

ÀN

⇔ x 2 + ( 3m + 4 ) x − 6m − 16 = 0

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

Phương trình (2) ⇔ x 2 + mx + 2 = x 2 − 1

IỄ N

 x =2 ⇔ ( x − 2 )( x + 3m + 8 ) = 0 ⇔   x = −3m − 8

Đối chiếu điều kiện ta xét −3m − 8 ≠ 3 ⇔ m ≠ −

5 3

Kết luận

131 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

5 phương trình (3) có nghiệm là x = −2 3

m ≠−

5 phương trình có nghiệm là x = 2 và x = −3m − 8 3

m =−

d) ĐKXĐ: x ≠ −1

.Q TP Đ

ẠO

 3x + mx + 2 = m ( x + 1 ) 3x + mx + 2 = m x + 1 ⇔   3x + mx + 2 = −m ( x + 1 )

TR ẦN

H Ư

 m −1  m −2  x =  x = 2 ⇔  ⇔  3 −m − 2  2m + 3 x = −m − 2  )  (  x = 2m + 3 

m −1 m −1 ≠ −1 ⇔ m ≠ −1 (luôn đúng) do đó với m ≥ 0 thì phương trình (4) ta xét 2 2 m −1 luôn nhận x = là nghiệm 2 −m − 2 −m − 2 ≠ −1 ⇔ m ≠ −1 (luôn đúng) do đó với m ≥ 0 thì phương trình • Với x = ta xét 2m + 3 2m + 3 −m − 2 (4) luôn nhận x = là nghiệm 2m + 3 Kết luận

Í-

10 00

• Với x =

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

TH2: Nếu m ≥ 0 phương trình tương đương với

ÁN

m < 0 phương trình (4) vô nghiệm m −1 −m − 2 và x = 2 2m + 3

ÀN

m ≥ 0 phương trình (4) có hai nghiệm x =

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

TH1: Nếu m < 0 ta có VP (4) ≥ 0, VT (4) < 0 suy ra phương trình vô nghiệm

Ví dụ 4: Tìm điều kiện của tham số a và b để phương trình

IỄ N

a b a 2 − b2 − = 2 (*) x −a x −b x − (a + b ) x + ab

a) Có nghiệm duy nhất

132 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn   a ≠ b B. a ≠ 0  b ≠ 0

 a ≠ b C. a ≠ 1  b ≠ 1

 a ≠ 2b D.  a ≠ 0   b ≠ 0

  2a ≠ b A.  a ≠ 0   b ≠ 0

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

H N

N a (x − b ) − b (x − a )

( x − a )( x − b )

a 2 − b2 = 2 x − ( a + b ) x + ab

10 00

Phương trình tương đương với

TR ẦN

ĐKXĐ: x ≠ a và x ≠ b

H Ư

Lời giải:

⇔ ( a − b ) x = a 2 − b 2 (**)

-L

Í-

a) Phương trình (*) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (**) có nghiệm duy nhất khác a và  a − b ≠ 0  a ≠ b  a ≠ b  2 2    a − b ≠ a  b ⇔  a −b ⇔ a + b ≠ a ⇔ a ≠ 0  2    a − b 2 a + b ≠ b b ≠ 0 ≠b  a − b

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

 a ≠ 0 D.  b ≠ 0 hoặc a = b .   a ≠ b

  a ≠ 0 C. b ≠ 0 hoặc 2a = b .   3a ≠ b

 a ≠ 0 B.  b ≠ 0 hoặc 2a = b .   a ≠ b

ẠO

 a ≠ 0 A.  b ≠ 0 hoặc a = 2b .   a ≠ b

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

b) Có nghiệm

IỄ N

ÀN

  a ≠ b Vậy phương trình (*) có nghiệm duy nhất khi a ≠ 0  b ≠ 0

b) Phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (**) có nghiệm khác a và b Với a = b thì phương trình (**) trở thành 0x = 0 suy ra phương trình (**) có nghiệm đúng với mọi x do đó phương trình (*) có nghiệm.

133 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com a 2 − b2 = a +b a −b

a + b ≠ a a ≠ 0 Suy ra phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi  ⇔  a + b ≠ b  b ≠ 0 

U Y

 a ≠ 0 Vậy phương trình (*) có nghiệm khi  b ≠ 0 hoặc a = b .   a ≠ b

A.1 nghiệm

ẠO G H Ư

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

4 1 1 4 + = 2 + 2 2 x + 3 x − 8 x − 12 2 x + 3 x − 4 2 x + 7 x + 6 3

10 00

13 1 6 + = 2 2x + x − 21 2x + 7 x −9 2

TR ẦN

Bài 3.28: Tìm số nghiệm của phương trình sau

A.1 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

x +1 x −2 x −3 x + 4 + + + =4 x −1 x + 2 x + 3 x − 4

Í-

B.2 nghiệm

-L

A.1 nghiệm

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

3. Bài tập luyện tập.

13 1 6 + = ( x − 3 )( 2x + 7 ) 2x + 7 ( x − 3 )( x + 3 )

IỄ N

PT ⇔

7 2

ÀN

Bài 3.28: a) ĐKXĐ: x ≠ ±3; x ≠ −

Lời giải:

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

Với a ≠ b thì phương trình (**) tương đương với x =

x = 3 ⇔ x 2 + x − 12 = 0 ⇔ ( x − 3 )( x + 4 ) = 0 ⇔   x = −4

Vậy phương trình có nghiệm x = −4 .

134 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

b) x = 1, x = 5 c) Điều kiện: x ∉ { −3; −2;1; 4 }

2 4 6 8 +1− +1− +1+ =4 x −1 x +2 x +3 x −4 5x − 8 5x + 12 ⇔ − =0 (x − 1)(x − 4) (x + 2)(x + 3) 16 1 69   ⇔ x2 + x − = 0 ⇔ x =  −1 ± 5 2  5 

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

A.1 nghiệm

10 00

x 4 + 3x 2 + 1 =3 x3 + x2 − x

H Ư

2x 13x + 2 =6 3x − 5x + 2 3x + x + 2 2

TR ẦN

Bài 3.29: Tìm số nghiệm của phương trình sau

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

Í-

A.1 nghiệm

1 1 + = 15 2 x (x + 1)2

ÁN

B.2 nghiệm

Lời giải:

ÀN

A.1 nghiệm

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

ẠO

69   . 5 

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

1 Đối chiếu với điều kiện phương trình có nghiệm là x =  −1 ± 2 

U Y

PT ⇔ 1 +

IỄ N

 2  Bài 3.29: a) Điều kiện: x ∉ 1;   3 

Với x = 0 không là nghiệm của phương trình

135 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

2 3x − 5 + x

13 2 3x + 1 + x

2 2 13 + =6 phương trình trở thành PT ⇔ x t −5 t +1

Đặt t = 3 x +

U Y

1 4 Từ đó ta tìm được nghiệm của phương trình là x = ; x = . 2 3

.Q TP ẠO G N H Ư

1± 5 ;x = 1 ± 2 . 2

10 00

Từ đó phương trình có nghiệm là x =

TR ẦN

1 t2 + 5 =3 phương trình trở thành x t +1

Đặt t = x −

x 4 + 3x 2 + 1 1 x2 + 2 + 3 2 x =3⇔ =3 PT ⇔ 3 x 2 1 x +x −x x − +1 x x2

c) Điều kiện: x ≠ −1; x ≠ 0

Í-

2 1  2 1  2 1 2    = 15 ⇔  − 15 = 0 PT ⇔  −  +  + x ( x + 1) x (x + 1)  x x + 1   x (x + 1) 

1 = t ta được phương trình t 2 + 2t − 15 = 0 ⇔ t = 3; t = −5 x (x + 1)

1 −3 ± 21 = 3 ⇔ 3x 2 + 3x − 1 = 0 ⇔ x = x (x + 1) 6

ÀN

+) t = 3 ⇔

ÁN

Đặt

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

 −1 ± 5  b) Điều kiện: x ∉  0;    2  

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

Với x ≠ 0 ta có PT ⇔

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

1 −5 ± 5 = −5 ⇔ 5x 2 + 5x + 1 = 0 ⇔ x = x (x + 1) 10

IỄ N

+) t = −5 ⇔

Đối chiếu với điều kiện (*) thì phương trình có bốn nghiệm x =

−3 ± 21 −5 ± 5 ;x = . 6 10

Bài 3.30: Tìm số nghiệm của phương trình sau

136 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

H TP

Lời giải:

ẠO

x +1 x−2 ;v = ta được u 2 + uv = 12v 2 ⇔ (u − 3v)(u + 4v) = 0 ⇔ u = 3v; u = −4v x−2 x−3

H Ư

x +1 x−2 = −4 ⇔ x 2 + 4 x + 3 = −4 x 2 + 16 x − 16 ⇔ 5 x 2 − 12 x + 19 = 0 ⇔ ∃x x−2 x−3 8 ± 46 . 2

+) u = −4v ⇔

x +1 x−2 8 ± 46 =3 ⇔ x 2 + 4 x + 3 = 3 x 2 − 12 x + 12 ⇔ 2 x 2 − 16 x + 9 = 0 ⇔ x = x−2 x −3 2

TR ẦN

+) u = 3v ⇔

−1 3

b) ĐKXĐ: x ≠ 0, x ≠

10 00

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x =

Í-

Đặt u = 3 x 2 + x, v = x + 1, u ≠ 0, v ≠ 0

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Bài 3.30: a) Điều kiện: x ≠ 2; x ≠ 3 Đặt u =

A.1 nghiệm

2( x + 1) 13( x + 1) + 2 =6 2 3x + x 3x + 7 x + 6

U Y

B.2 nghiệm

A.1 nghiệm

ÁN

Khi đó phương trình trở thành

2u 13u + = 6 ⇔ 4u 2 − 7uv − 2v 2 = 0 v v + 6u

ÀN

 4u = −v ⇔ (4u + v)(u − 2v) = 0 ⇔   u = 2v

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

 x +1  x +1  x−2 a)  = 12   +   x−2 x−3  x−3

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

IỄ N

 −1 1  Từ đó ta tìm được nghiệm của pt là x ∈  ;   2 3

Bài 3.31: Giải và biện luận phương trình sau

a ( x 2 + 1) ax − 1 2 + = x −1 x +1 x2 − 1

A. Với a ≠ −1 và a ≠ −2 thì phương trình có nghiệm duy nhất x =

a +3 a +1

137 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

B. Với a = −1 hoặc a = −2 thì phương trình vô nghiệm. C.Cả A, B đều đúng

D.Cả A, B đều sai

Lời giải:

ẠO

a +3 a +3 a +3 ≠ 1 , xét ≠ −1 ⇔ a ≠ −2 . Ta có a +1 a +1 a +1

• Nếu a ≠ −1 thì x =

H Ư

• Nếu a = −1 thì phương trình vô nghiệm.

TR ẦN

Vậy: -Với a ≠ −1 và a ≠ −2 thì phương trình có nghiệm duy nhất x =

a +3 a +1

-Với a = −1 hoặc a = −2 thì phương trình vô nghiệm.

A. a ≠ ±2b; a ≠ 0, b ≠ 0

Í-

C. 3a ≠ ±b; a ≠ 0, b ≠ 0

a b + = 2 có hai nghiệm phân biệt. x−b x−a

10 00

Bài 3.32: Tìm điều kiện a, b để phương trình

B. 2a ≠ ±b; a ≠ 0, b ≠ 0

D. a ≠ ±b; a ≠ 0, b ≠ 0 Lời giải:

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

⇔ ax 2 + ax − x − 1 + 2x − 2 = ax 2 + a ⇔ ( a + 1 ) x = a + 3

PT ⇔ (ax − 1 )( x + 1 ) + 2 ( x − 1 ) = a ( x 2 + 1 )

ÁN

Bài 3.32: Điều kiện: x ≠ a, x ≠ b :

Ta có: PT ⇔ 2( x − a )( x − b) = a ( x − a ) + b( x − b)

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

Bài 3.31: ĐKXĐ: x ≠ ±1

ÀN

⇔ 2 x 2 − 3(a + b) x + a 2 + b 2 + 2ab = 0 ⇔ 2 x 2 − 3(a + b) x + (a + b) 2 = 0

a+b 2

IỄ N

Phương trình có hai nghiệm là x1 = a + b và x 2 =

Ta có x1 ≠ a ⇔ b ≠ 0 , x1 ≠ b ⇔ a ≠ 0 , x 2 ≠ a ⇔ x 2 ≠ b ⇔ a ≠ b x1 ≠ x2 ⇔ a + b ≠

a+b ⇔ a ≠ −b 2

138 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

Vậy với a ≠ ±b; a ≠ 0, b ≠ 0 thì pt có hai nghiệm phân biệt

139 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

A.1 nghiệm

TR ẦN

H Ư

 y + x 2 = 4 x a)  2 x + y − 5 = 0

B.2 nghiệm

D.4 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm Lời giải:

A.1 nghiệm

10 00

3 x − 4 y + 1 = 0 b)   xy = 3( x + y ) − 9

C.3 nghiệm

-L

Í-

5 − 2 x + x 2 = 4 x a) Hệ phương trình tương đương   y = 5 − 2 x

ÀN

  x = 1 x 2 − 6 x + 5 = 0    x = 5  x = 1 hoặc  ⇔  ⇔   x = 5 ⇔   y = −5  y = 5 − 2 x  y = 3   y = 5 − 2 x 

D.4 nghiệm

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

.Q TP

ẠO

Ví dụ 1: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Sử dụng phương pháp thế • Từ phương trình bậc nhất rút một ẩn theo ẩn kia. • Thế vào phương trình bậc hai để đưa về phương trình bậc hai một ẩn. • Số nghiệm của hệ tuỳ theo số nghiệm của phương trình bậc hai này. 2. Các ví dụ minh họa.

U Y

DẠNG TOÁN 1: HỆ GỒM MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ MỘT BẬC HAI . 1. Phương pháp giải.

§5. MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN

IỄ N

Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y) là (1; 3) và (5; −5) .

 x = 4 y − 1  3 b) Hệ phương trình tương đương   4 y − 1 4y −1 + y) − 9 y = 3(  3  3

116 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

 x = 4 y − 1     4y −1 3 x = 11  x = 3 x=   ⇔ ⇔ y=3 ⇔ 3 3 hoặc   2    y = 5 4 y − 22 y + 30 = 0   y = 3  5 2  y = 2 

U Y

 11   5 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y) là  ; 3 và 3;  .  3   2 

phương trình bậc nhất hai ẩn(hoặc có thể biểu diễn ẩn này qua ẩn kia) thì ta dùng phương pháp thế.

ẠO G

Ví dụ 2: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

Í-

A.1 nghiệm

D.4 nghiệm

 x( x + y + 1) − 3 = 0 b)  ( x + y )2 − 5 + 1 = 0  x2

C.3 nghiệm

10 00

A.1 nghiệm

TR ẦN

H Ư

x 3 = xy + 2 a)   2 x − y = 3 

Lời giải:

-L

x 3 = x (2 x − 3) + 2  a) Hệ phương trình tương đương với   y = 2x − 3 

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Ta xét ví dụ sau:

ÀN

( x − 1)( x 2 − x + 2) = 0  x = 1  ⇔ ⇔    y = −1 y = 2x − 3 

D.4 nghiệm

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

Nhận xét: Từ cách giải của hệ phương trình trên ta thấy rằng nếu một hệ phương trình hai ẩn mà có một

IỄ N

Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y) là (1; −1) .

b) ĐKXĐ: x ≠ 0

117 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

 x + y = 3 − 1  x Hệ phương trình tương đương với  2  3  5  − 1 − 2 + 1 = 0  x  x

Ơ H N

TR ẦN

3. Bài tập luyện tập. Bài 3.54: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

A.1 nghiệm

10 00

2 x + y = 5 a)  2 4 x + y 2 = 17 

Í-

x 3 y = 16 b)  3 x + y = 8

ÁN

A.1 nghiệm

ÀN

x 3 − 8 x = y 3 + 2 y c)  2 x − 3 = 3( y 2 + 1) 

Lời giải:

IỄ N

A.1 nghiệm

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y .Q G N

H Ư

 3 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y) là (1; 1) và 2; −  .  2

ẠO

 x = 2  x = 1  ⇔  và  (thỏa mãn)  y = 1  y = − 3  2

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

 3  3   y = − x −1 3   x + y = − 1 y = − x − 1  x x ⇔  ⇔  ⇔  x  9 6  2  x=1 5  2 − + 1 − 2 + 1 = 0 x − 3 x + 2 = 0   x x  x  x = 2

Bài 3.54: a) Ta có y = 5 − 2 x thế vào phương trình hai ta được:

118 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

x = 2 ⇒ y = 1  . 4 x + (5 − 2 x) = 17 ⇔ 2 x − 5 x + 2 = 0 ⇔  x = 1 ⇒ y = 4  2 2

1 Vậy nghiệm của hệ là: ( x; y ) = (2; 1),( ; 4) . 2

U Y

b) Ta có y = 8 − 3x thay vào phương trình đầu ta được:

x 3 (8 − 3 x) = 16 ⇔ 3 x 4 − 8 x 3 + 16 = 0 ⇔ ( x − 2)2 (3 x 2 + 4 x + 4) = 0

ẠO

⇔ x = 2 . Vậy hệ có nghiệm là x = y = 2 .

TR ẦN

H Ư

x = 0  x2 2 2 x − 8 x = y( y + 2) = y ⇔ x(3x − xy − 24) = 0 ⇔   y = 3x − 24 3  x 3

* Với x = 0 thay vào (3) ta có: y 2 + 2 = 0 vô nghiệm.

10 00

 3x 2 − 24  3x 2 − 24 thay vào (3) ta được: x 2 = 3  * Với y =  + 6  x x 

Í-

 x = ±3 ⇒ y = ±1  x2 = 9   ⇔ 13 x4 − 213 x2 + 864 = 0 ⇔  2 96 ⇔  .  x = ± 96 ⇒ y = ∓ 78 x =   13 13 13 

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

c) Từ phương trình 2 ⇒ x 2 = 3( y 2 + 2) (3) thay vào phương trình 1 ta được :

ÁN

Vậy hệ có bốn nghiệm: ( x; y ) = (±3; ±1), (±

96 78 ;∓ ). 14 13

ÀN

x + y = m Bài 3.55: Tìm m để hệ phương trình:  2 có nghiệm. 2 x − 3 y 2 = 1 

1 6

B. m ≥

IỄ N

A. m ≤

1 6

C. m <

1 6

D. m >

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

1 6

Lời giải:

Bài 3.55: Ta có x = m − y thay vào phương trình hai ta được: 2( m − y )2 − 3 y 2 = 1

⇔ y 2 + 4my + 1 − 2 m2 = 0 (*) . Hệ có nghiệm ⇔ (*) có nghiệm

119 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

⇔ ∆ ' = 4 m2 − (1 − 2 m2 ) ≥ 0 ⇔ m ≥

là những giái trị cần tìm.

U Y

DẠNG TOÁN 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG . 1. Phương pháp giải.

TR ẦN

.Q TP ẠO

H Ư

(Có nghĩa là khi ta hoán vị giữa x và y thì f(x, y) và g(x, y) không thay đổi). Cách giải • Đặt S = x + y, P = xy. • Đưa hệ phương trình (I) về hệ (I') với các ẩn là S và P. • Giải hệ (I') ta tìm được S và P. • Tìm nghiệm ( x; y) bằng cách giải phương trình: X 2 − SX + P = 0 .

b) Hệ đối xứng loại 2

(1) (2)

10 00

 f ( x , y ) = 0 Hệ phương trình đối xứng loại 2 là hệ phương trình có dạng: (II)    f ( y , x) = 0 (Có nghĩa là khi hoán vị giữa x và y thì (1) biến thành (2) và ngược lại).  f ( x , y ) − f ( y , x) = 0 (3) • Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được: (II) ⇔   f ( x , y ) = 0

-L

Í-

x = y • Biến đổi (3) về phương trình tích: (3) ⇔ ( x − y ).g( x , y ) = 0 ⇔  .  g( x , y ) = 0   f ( x , y ) = 0  x = y  • Như vậy (II) ⇔  .   f ( x , y ) = 0   g( x , y ) = 0 • Giải các hệ phương trình trên ta tìm được nghiệm của hệ (II). c) Chú ý: Hệ phương trình đối xứng loại 1, 2 nếu có nghiệm là ( x0 ; y0 ) thì ( y0 ; x0 ) cũng là một nghiệm

ÀN

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

a) Hệ đối xứng loại 1 Hệ phương trình đối xứng loại 1 là hệ phương trình có dạng:  f ( x , y ) = 0 (I)  với f ( x; y) = f ( y ; x) và g ( x; y) = g ( y ; x) .   g( x , y ) = 0

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

Vậy m ≥

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

IỄ N

của nó. 2. Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau

120 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

x + xy + y = 2 + 3 2 a)  2 x + y 2 = 6 

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

A.1 nghiệm

ẠO N

TR ẦN

H Ư

2 2  2   S + P = 2 + 3 2 ⇔ S + 2S = 10 + 6 2 ⇔ (S + 1) = (3 + 2)  2   S − 2 P = 6 S + P = 2 + 3 2   P = 2 + 3 2 − S 

a) Đặt S = x + y ; P = xy , ta có hệ:

10 00

 S = 2 + 2  S = −4 − 2 S = 2 + 2     ⇔  S = − 4 − 2 ⇔ hoặc    P = 2 2 P = 6 + 4 2 P = 2 + 3 2 − S  

Í-

• Với S = 2 + 2 ; P = 2 2 ta có x, y là nghiệm phương trình: X = 2 X 2 − (2 + 2 )X + 2 2 = 0 ⇔   X = 2

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Lời giải:

• Với S = −4 − 2 ; P = 6 + 4 2 ta có x, y là nghiệm phương trình:

ÁN

X 2 + (4 + 2)X + 6 + 4 2 = 0 ( vô nghiệm).

ÀN

Vậy hệ có nghiệm ( x; y) là (2; 2) và ( 2; 2) .

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

A.1 nghiệm

U Y

x 2 y + xy 2 = 30  b)  3 . x + y 3 = 35 

IỄ N

b) Đặt S = x + y , P = xy , điều kiện S 2 ≥ 4P . Hệ phương trình trở thành:

 P = 30 SP = 30 S = 5 x + y = 5 x = 2 x = 3  S ⇔  ⇔  ⇔ ∨ . ⇔   2 S(S − 3 P) = 35   2 90  P = 6 xy = 6  y = 3  y = 2      S S −  = 35 S  

Ví dụ 2: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau

121 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

x 3 + 2 x = y a)  3  y + 2 y = x 

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

A.1 nghiệm

Lời giải:

a) Trừ vế với vế của phương trình đầu và phương trình thứ hai ta được:

10 00

x 3 − y 3 + 3 x − 3 y = 0 ⇔ ( x − y )( x 2 + y 2 + xy + 3) = 0 ⇔ x = y

2   y  3y2   + 3 > 0 ) (Vì x + y + xy + 3 =  x +  +  2  4   2

Í-

Thay x = y vào phương trình đầu ta được: x 3 + x = 0 ⇔ x = 0

ÁN

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( x; y) = (0; 0) .

ÀN

b) Trừ vế với vế của phương trình đầu và phương trình thứ hai ta được:

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

TP D.4 nghiệm

TR ẦN

A.1 nghiệm

H Ư

ẠO

2  3 x = x + 2  y2 c)   y2 + 2 3 y =  x2

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

A.1 nghiệm

U Y

 y 2 = x 3 − 3 x 2 + 2 x b)  2 x = y 3 − 3 y 2 + 2 y 

y 2 − x 2 = x 3 − y 3 − 3( x 2 − y 2 ) + 2( x − y )

IỄ N

⇔ ( x − y )( x 2 + xy + y 2 − 2 x − 2 y + 2) = 0

1 ⇔ ( x − y )  x 2 + y 2 + ( x + y − 2)2  = 0 ⇔ x = y   2

(vì x 2 + y 2 + ( x + y − 2)2 > 0) Thay x = y vào phương trình đầu ta được:

122 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

x 3 − 4 x 2 + 2 x = 0 ⇔ x( x 2 − 4 x + 2) = 0

x = 0 x = 0 ⇔  2 ⇔   x − 4 x + 2 = 0  x = 2 ± 2

Vậy hệ phương trình có ba nghiệm: (0; 0);(2 + 2; 2 + 2) và (2 − 2; 2 − 2) .

TR ẦN

Trừ (1) và (2) ta được: ( x − y )(3xy + x + y) = 0 ⇔ x = y (vì 3xy + x + y > 0 ) Với x = y : (1) ⇔ 3 x 3 − x 2 − 2 = 0 ⇔ ( x − 1)(3 x 2 + 2 x + 2) = 0 ⇔ x = 1.

10 00

Vậy hệ phương trình có nghiệm là ( x; y) = (1;1) .

x 2 + xy + y 2 = m + 6  Ví dụ 3: Tìm m để hệ phương trình  có nghiệm duy nhất. 2 x + xy + 2 y = m 

A. m = 12

C. m = 1

-L

Í-

B. m = 21

Lời giải:

D. m = 2

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

H Ư

ẠO

2  3 x = x + 2 3 xy 2 = x 2 + 2 (1)  y2 Ta có  ⇔  2 2  y 2 + 2 3 yx = y + 2 (2) 3 y =  x2

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

x > 0 Nhận xét từ hệ phương trình ta có phương trình có nghiệm ( x; y) thì  .  y > 0

U Y

c) ĐKXĐ: x ≠ 0 và y ≠ 0

ÀN

Giả sử hệ phương trình có nghiệm ( x0 ; y0 ) thế thì ( y0 ; x0 ) cũng là một nghiệm của hệ. Vậy hệ có nghiệm

IỄ N

3 x 2 = m + 6  suy nhất thì x0 = y0 suy ra  2 0 ⇒ 3 x02 = x02 + 4 x0 + 6 x + 4 x = m 0  0

 x = −1 ⇒ m = −3 ⇔ 2 x02 − 4 x0 − 6 = 0 ⇔  0  x = 3 ⇒ m = 21  0

123 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

x 2 + xy + y 2 = 3 + Với m = −3 hệ trở thành  2( x + y ) + xy = −3 

 S 2 − P = 3 S = x + y 2 Đặt  , S ≥ 4 P hệ phương trình trở thành   P = xy 2S + P = −3 

(

và − 3; 3

)

H Ư

Suy ra m = −3 thì hệ phương trình không có nghiệm duy nhất..

TR ẦN

x 2 + xy + y 2 = 27 ( x + y )2 − xy = 27  + Với m = 21 hệ trở thành  ⇔  2 x + xy + 2 y = 21 2( x + y ) + xy = 21  

10 00

S2 − P = 27 S = x + y 2 , S ≥ 4 P hệ phương trình trở thành  Đặt    P = xy 2S + P = 21

 x + y = 6 suy ra x , y là nghiệm của phương trình X 2 − 6 X + 9 = 0 ⇔ X = 3 xy = 9

 S = 6 Khi  ta có  P = 9

-L

Í-

  S = 6 S2 + 2S − 48 = 0   S = −8 S = 6 hoặc  (loại) ⇔ ⇔  S = −8 ⇔    P = −2S + 21  P = 9  P = 37  P = −2S + 21

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y .Q

ẠO

)

3; − 3

(

Do đó hệ có nghiệm là

  x + y = −2 suy ra x , y là nghiệm của phương trình X 2 − 3 = 0 ⇔  X = 3  xy = 1  X = − 3

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

 S = 0 Khi  ta có P = −3

    S = 0  S2 + 2S = 0 S = −2  S = 0 hoặc  ⇔ ⇔  S = −2 ⇔   P = 1 P = −2S − 3  P = −3  P = −2S − 3

ÀN

Suy ra hệ có nghiệm duy nhất ( x; y) = (3; 3)

IỄ N

Vậy với m = 21 thì hệ có nghiệm duy nhất..

x + y = 2 m − 1 Ví dụ 4: Cho ( x; y) là nghiệm của hệ phương trình  2 . Tìm m để xy nhỏ nhất. x + y 2 = 2 m2 + 2 m − 3 

A. m = −1

B. m =

3 2

C. m = −

3 2

D. m = 1

124 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Lời giải:

Đặt S = x + y , P = xy , điều kiện S 2 ≥ 4 P.

S = 2 m − 1 Hệ phương trình trở thành  2 S − 2 P = 2 m2 + 2 m − 3 

Đ G N

10 00

3. Bài tập luyện tập.

Bài 3.56: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau

Í-

x + y + 2 xy = 2 a)  3 x + y 3 = 8 

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

-L

A.1 nghiệm

ÀN

x 3 + y 3 = 19 b)  ( x + y)(8 + xy) = 2

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

3 thì xy đạt giá trị nhỏ nhất. 2

H Ư

3 (thỏa mãn (*)) 2

TR ẦN

Vậy m =

ẠO

 3 1 1 Ta có P = xy = m − 3m + 2 = m −  − ≥ −  2 4 4 2

Dấu bằng xảy ra ⇔ m =

7 (*) 8

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Điều kiện S 2 ≥ 4 P suy ra (2 m − 1)2 ≥ 4 (m 2 − 3m + 2) ⇔ 8 m ≥ 7 ⇔ m ≥

U Y

 S = 2 m − 1 S = 2 m − 1 ⇔  ⇔  (2 m − 1)2 − 2 P = 2 m 2 + 2 m − 3 P = m2 − 3m + 2  

IỄ N

A.1 nghiệm

x + y + 3 xy = 5 c)  2 2 x + 2 y 2 − 3 xy = 1 

125 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn A.1 nghiệm

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

Bài 3.56: a) Đặt S = x + y , P = xy . Khi đó hệ trở thành:

H Ư

ẠO

 2 −S  P=  S + 2 P = 2  2 ⇔  2 S(S − 3 P) = 8  2 6 − 3S  )=8 S(S − 2 

TR ẦN

⇒ 2S 3 + 3S2 − 6S − 16 = 0 ⇔ (S − 2)(2S 2 + 7S + 8) = 0

10 00

x = 0 x = 2 ∪  Vậy nghiệm của hệ là:  .   y = 2 y = 0

⇔ S = 2 ⇒ P = 0 ⇒ x , y là nghiệm PT: X 2 − 2 X = 0 ⇔ X = 0, X = 2 .

S(S2 − 3 P) = 19 SP = −8S SP = 2 − 8S b) Đặt S = x + y; P = xy . Khi đó hệ trở thành:  ⇔  3 ⇔  3    S(8 + P ) = 2 S − 3(2 − 8S) = 19 S + 24S − 25 = 0

ÁN

-L

Í-

S = 1 ⇒ x , y là nghiệm của phương trình : ⇔  P = −6

X 2 − X − 6 = 0 ⇔ X1 = 3; X2 = −2 .

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

Lời giải:

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

N U Y

A.1 nghiệm

x + y + xy = −2 d)    x 2 + y 2 = 4

ÀN

Vậy hệ đã cho có hai cặp nghiệm: ( x; y) = (−2; 3), (3; −2).

(

)(

d) (−2; 0) , (0; −2) , − 2; 2 ,

2;− 2

)

IỄ N

c) ( x; y) = (1;1)

Bài 3.57: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau

126 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

x 2 = 3 x + 2 y a)  2  y = 3 y + 2 x 

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

A.1 nghiệm

10 00

  3 = x 2 + 2 y 2 x d)   3 2 2  = 2 x + y  y

B.2 nghiệm

-L

Í-

A.1 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

Lời giải:

Bài 3.57: a) Trừ vế với vế của hai phương trình trên ta được:

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

ẠO

Đ G D.5 nghiệm

A.1 nghiệm

TR ẦN

H Ư

x 3 = 2 x − y c)  3  y = 2 y − x 

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

A.1 nghiệm

U Y

  3 = 2 x + y  x2 b)   3  2 = 2 y + x  y

ÀN

x = y x 2 − y 2 = x − y ⇔ ( x − y )( x + y − 1) = 0 ⇔  . x = 1− y 

IỄ N

* Với x = y ⇒ x 2 = 3 x ⇔ x = 0, x = 3

 y = −1 ⇒ x = 2 * Với x = 1 − y ⇒ y 2 = 3 y + 2(1 − y) ⇔ y 2 − y − 2 = 0 ⇔  .  y = 2 ⇒ x = −1  Vậy nghiệm của hệ: ( x; y) = (0; 0), (3; 3), (−1; 2), (2; −1) .

127 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

b) Điều kiện : x , y ≠ 0

2 x 3 + x 2 y = 3  Hệ ⇔  3 ⇒ 2( x 2 − y 3 ) + xy( x − y ) = 0 2 y + y 2 x = 3 

⇔ ( x − y )(2 x2 + 3 xy + 2 y 2 ) = 0 ⇔ x = y

ẠO

)

d) (1; 1)

H Ư

3; − 3

) (

(

c) (−1; −1) , (0; 0) , (1;1) , − 3; 3 ,

A. m = −1

TR ẦN

x = y 2 − y + m  Bài 3.58: Tìm m để các hệ phương trình  có nghiệm duy nhất.  y = x 2 − x + m 

C. m = 1

D. m = 2

10 00

B. m = −2

Lời giải:

Bài 3.58: • Giả sử hệ có nghiệm ( x0 ; y0 ) thì ( y0 ; x0 ) cũng là nghiệm của hệ nên để hệ có nghiệm duy

Í-

nhất thì trước hết x0 = y0 .

Thay vào hệ ta được: x02 − 2 x0 + m = 0 phương trình này có nghiệm duy nhất ⇔ ∆ ' = 1 − m = 0 ⇔ m = 1 .

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Vậy hệ có nghiệm: x = y = 1 .

ÀN

ÁN

x = y 2 − y + 1  • Với m = 1 hệ trở thành:  ⇒ x2 + y2 − 2x − 2 y + 2 = 0 2  y = x − x + 1 

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y .Q

3x 3 = 3 ⇔ x = 1 = y .

Thay vào hệ ta được:

3 7 (Do 2 x 2 + 3 xy + 2 y 2 = 2( x + y )2 + y 2 > 0 ) 4 8

⇔ ( x − 1)2 + ( y − 1)2 = 0 ⇔ x = y = 1 .Thử lại ta thấy thỏa mãn hệ

IỄ N

Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.

128 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

DẠNG TOÁN 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI . 1. Phương pháp giải.

TP C.3 nghiệm

TR ẦN

Lời giải:

B.2 nghiệm

H Ư

A.1 nghiệm

ẠO

 x 2 + 6 y 2 − 5 xy = 0 (1) Ví dụ 1:Tìm số nghiệm của hệ phương trình sau:  2 4 x + 2 xy + 6 x = 27 (2)

D.4 nghiệm

Nếu x = 0 thay vào (1) ⇒ y = 0 , thay vào (2) thấy ( x; y) = (0; 0) là nghiệm của phương trình (2) nên

10 00

không phải là nghiệm của hệ phương trình.

x 2 + 6t 2 y 2 − 5tx 2 = 0 Nếu x ≠ 0 , đặt y = tx , thay vào hệ ta được  2 4 x + 2tx 2 + 6 x = 27 

1 thay vào (**) ta được 4 x 2 + x 2 + 6 x = 27 ⇔ 5 x 2 + 6 x − 27 = 0 2

IỄ N

Với t =

1 1 hoặc t = 2 3

ÀN

(*) ⇔ t =

ÁN

-L

Í-

 x 2 (1 + 6t 2 − 5t ) = 0  6t 2 − 5t + 1 = 0 (*)  ⇔  2 ⇔ 2 2 4 x + 2tx 2 + 6 x = 27 4 x + 2tx + 6 x = 27 (**) 

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

2. Các ví dụ minh họa.

hai theo k . Giải phương trình này ta tìm được k , từ đó tìm được ( x; y) .

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

a x 2 + b xy + c y 2 = d 1 1 1 Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai là hệ phương trình có dạng: (I)  1 2 . 2 a2 x + b2 xy + c2 y = d2 • Giải hệ khi x = 0 (hoặc y = 0). • Khi x ≠ 0, đặt y = tx . Thế vào hệ (I) ta được hệ theo k và x . Khử x ta tìm được phương trình bậc

 3  x = −3 ⇒ y = −  2 ⇔ 9 9   x= ⇒y=  5 10

129 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

1 2 thay vào (**) ta được 4 x 2 + x 2 + 6 x = 27 ⇔ 14 x 2 + 18 x − 81 = 0 3 3

(

)

(

) (

15 − 1 3 ; 14

15 − 1   .  14 

)

(

)

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

TR ẦN

A.1 nghiệm

H Ư

x 2 − xy + y 2 = 1  Ví dụ 2:Tìm số nghiệm của hệ phương trình sau  2 2 x − 3 xy + 4 y 2 = 3 

10 00

Lời giải:

Dễ thấy x = 0 không thoả hệ

Í-

x 2 (t 2 − t + 1) = 1 (*)  Với x ≠ 0 , đặt y = tx , thay vào hệ ta được  2 2 x (2t − 3t + 4) = 3 

Thay vào (*) thì

-L

Suy ra 3(t 2 − t + 1) = 2t 2 − 3t + 4 ⇒ t = ±1

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

(

ẠO

 3 1 + 15   9    9 9   9 1 + 15 3   ,  −3; −  ,  ;  , − ;−        2   5 10   14 14   

Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y) là

ÀN

 x =1⇒ y =1 Với t = 1 , ta có x 2 = 1 ⇔   x = −1 ⇒ y = − 1 

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

)

(

)

(

 9 1 + 15 3 1 + 15  x = − ⇒ y =−  14 14 ⇔  9 15 − 1 3 15 − 1  ⇒y=  x=  14 14

U Y

Với t =

IỄ N

 x = 3 ⇒ y = −  1 3 Với t = −1 ta có x 2 = ⇔   3 x = − 3 ⇒ y =  3

3 3 3 3

 1 −1   −1 1     Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y) là   3 ; 3  ,  3 ; 3  , (−1; −1) và (1; 1)

130 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

x 2 + 2 xy + y 2 = 11 Ví dụ 3: Với giá trị nào của m thì hệ:  2 có nghiệm x + 2 xy + 3 y 2 = 17 + m 

B. m ≤ −6

C. m < −6

D. m ≥ 6

N H

Lời giải:

U Y

Dễ thấy x = 0 không thoả hệ

Với x ≠ 0 , đặt y = tx , thay vào hệ ta được

TP ẠO N

(17 + m)(1 + 2 k + k 2 ) = 11(1 + 2 k + 3k 2 ) .

Suy ra

TR ẦN

H Ư

⇔ (m − 16) k 2 + 2 (m + 6) k + m + 6 = 0 (* * ) 2

Ta có: 3 + 2 k + k 2 = ( k + 1) + 2 > 0, ∀k ⇒ (* ) luôn có nghiệm x với mọi k do đó hệ ban đầu có nghiệm

khi và chỉ khi phương trình (**) có nghiệm ẩn k .

10 00

Với m = 16 : Phương trình (**) trở thành 44 k + 88 = 0 ⇔ k = −2 . Vậy m = 16 thỏa mãn. Phương trình (**) có nghiệm ⇔ ∆ 'k ≥ 0

Với m ≠ 16 : 2

Í-

⇔ (m + 6) − (m − 16)( m + 6) ≥ 0 ⇔ 22 ( m + 6) ≥ 0 ⇔ m ≥ −6 Vậy hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi m ≥ −6 .

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

x 2 (3 + 2 k + k 2 ) = 11 (* )   2 x 1 + 2 k + 3 k 2 ) = 17 + m  (

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

A. m ≥ −6

ÁN

3. Bài tập luyện tập.

ÀN

3 x 2 + 5 xy − 4 y 2 = 38 Bài 3.59: Tìm số nghiệm của hệ phương trình sau:  2  5 x − 9 xy − 3 y 2 = 15 

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

Lời giải:

IỄ N

A.1 nghiệm

Bài 3.59: Ta thấy x=0 không thoả hệ phương trình

131 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

3 x 2 + 5tx 2 − 4t 2 x 2 = 38 Xét x ≠ 0 . Đặt x = ky và thay vào hệ ta được:  2  5 x − 9tx 2 − 3t 2 x 2 = 15 (*) 

x 2 (3 + 5t − 4t 2 ) = 38 ⇔  2 ⇒ 15 (3 + 5t − 4t 2 ) = 38 (5 − 9t − 3t 2 )  x (5 − 9t − 3t 2 ) = 15 

N H Ư B

TR ẦN

x = 3 x = −3 Vậy  hay  .   y = 1  y = −1

10 00

 3 x 2 + 2 xy + y 2 = 11 Bài 3.60: Tìm số nghiệm của hệ phương trình sau :  2 x + 2 xy + 3 y 2 = 17 

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm Lời giải:

-L

Í-

A.1 nghiệm

Bài 3.60: Dễ thấy x = 0 không thoả hệ

ÀN

x 2 (3 + 2 k + k 2 ) = 11(*) Với x ≠ 0 , đặt y = tx , thay vào hệ ta được  2  x (1 + 2 k + 3 k 2 ) = 17 

D. 4 nghiệm

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y .Q TP Đ G

145 15.108 thì (*) ⇔ x 2 = − : Phương trình vô nghiệm 18 12655

Với t = −

ẠO

 x=3⇒ y=1 1 thì (*) ⇔ x 2 = 9 ⇔   x = −3 ⇒ y = −1 3 

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Với t =

 1  t=  3 ⇔ 54t 2 + 417 t − 145 = 0 ⇔  145  t = −  18

IỄ N

Suy ra 17 (3 + 2 k + k 2 ) = 11(1 + 2 k + 3 k 2 )

 5 k = − ⇔ 16 k − 12 k − 40 = 0 ⇔  4   k = 2 2

Thay vào (*) ta được:

132 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

TP Đ

ẠO

x 2 − 4 xy + y 2 = m Bài 3.61: Cho hệ phương trình :  2  y − 3 xy = 4 

B.2 nghiệm

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm

B. m = (0; 7 )

D. 4 nghiệm

D. m = ∅

C. ∀m

10 00

A. m = 2

C. 3 nghiệm

TR ẦN

A.1 nghiệm

H Ư

a) Tìm số nghiệm của hệ phương trình với m = 1

Lời giải:

Bài 3.61: Dễ thấy y = 0 không phải là nghiệm của hpt.

Í-

Đặt x = ty , ta có :

-L

 2 t 2 y 2 − 4ty 2 + y 2 = m  y 2 (t 2 − 4t + 1) = m  t − 4t + 1 = m Hệ ⇔  2 ⇔  2 ⇔  1 − 3t 4 (I)  y − 3ty 2 = 4  y (1 − 3t ) = 4  2    y (1 − 3t ) = 4

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

U Y

 4 5 4 5  x= ⇒ y =− . =−  4 3 5 33 2 16 3 3 ⇔ • k= − ⇒ x = 11 ⇔ x 2 =  4 5 4 5 4 16 3 x = − ⇒ y = − .(− ) =  4 3 3 3   x =1⇒ y = 2 • k = 2 ⇒ 11x 2 = 11 ⇔ x 2 = 1 ⇔   x = −1 ⇒ y = −2   4 5   4 5   ;  ; ; −  ; (1; 2) ; (−1; −2) Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y) là −  3 3   3 3 

ÀN

Do y ≠ 0 nên từ y 2 (1 − 3t ) = 4 ⇒ 1 − 3t > 0 ⇔ t <

1 3

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

IỄ N

 2  t − 4t + 1 = 1 a) Với m = 1 ta có hệ phương trình  1 − 3t 4  2  y (1 − 3t ) = 4

Ta có nghiệm là (1 ; 4) , (−1 ; −4) .

133 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

4(t 2 − 4t + 1) = m(1 − 3t ) b) Ta có : (I) ⇔  2  y (1 − 3t ) = 4 

4t 2 − (16 − 3m)t + 4 − m = 0 (*) ⇔  2  y (1 − 3t ) = 4 

TP ẠO

DẠNG TOÁN 4: HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN . 1. Phương pháp giải.

TR ẦN

H Ư

• Đưa về phương trình tích: Việc phân tích thành tích có thể có ngay từ một phương trình trong hệ hoặc qua phép biến đổi đại số(phép thế, cộng đại số) ta thu về được phương trình tích. • Đặt ẩn phụ: Điều quan trọng là ta cần phát hiện ra ẩn phụ. Thường chúng ta cần biến đổi đại số(cộng trừ nhân, chia với mộ số, biểu thức) thì mới xuất hiện ẩn phụ. 2. Các ví dụ minh họa.

10 00

Loại 1: Hệ phương trình có thể đưa về phương trình tích

Ví dụ 1: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau

Í-

4 x 2 + 1 = y 2 − 4 x a)  2  x + xy + y 2 = 1 

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

 1 t ∈ −∞;  cắt trục hoành ⇔ ∀m  3

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

ÁN

A.1 nghiệm

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

1 ⇔ Đồ thị hàm số f (t ) = 4t 2 − (16 − 3m) t + 4 − m với 3

Hệ có nghiệm ⇔ (*) có nghiệm thoả mãn t <

Đặt f (t ) = 4t 2 − (16 − 3m) t + 4 − m thì

ÀN

 2 xy + 3 x + 4 y = −6 b)   2 x + 4 y 2 + 4 x + 12 y = 3

IỄ N

A.1 nghiệm

134 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

 x + 5 xy = 2 ( y + 1) x2 + y2 c)    2  ( x − 1) = y (3 − 5 y)  C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

B.2 nghiệm

A.1 nghiệm

TP ẠO Đ G

  x+2 = 0 2y + 3 = 0  ⇔  2 (1) hoặc (2) x + 4 y 2 + 4 x + 12 y = 3 x 2 + 4 y 2 + 4 x + 12 y = 3

TR ẦN

H Ư

  x = −2 x = −2  Ta có (1) ⇔  ⇔ (Vô nghiệm)  2  2 2 x − y + 2 x − 4 y = 5  y + 4 y + 5 = 0

10 00

   x = 1 x = − 5  3  3  y =− y =− 2 hoặc  2 ⇔  ⇔  (2) ⇔   2 2    x 2 − y 2 + 2 x − 4 y = 5 4 x 2 + 8 x − 5 = 0  y = − 3  y = − 3     2 2

 5 3  1 3 Vậy hệ phương trình có nghiệm là − ; −  và  ; −  .  2 2   2 2 

-L

Í-

  ( 2 x + 1)2 = y 2  y = ± (2 x + 1) b) Hệ phương trình tương đương với  ⇔  2  2 2 2   x + xy + y = 1 x + xy + y = 1

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

 ( x + 2)(2 y + 3) = 0 a) Hệ phương trình tương đương với  2 x + 4 y 2 + 4 x + 12 y = 3 

ÀN

 y = 2x + 1  y = 2 x + 1  ⇔ Xét hệ   2  2 2 2 x + xy + y = 1 x + x (2 x + 1) + (2 x + 1) = 1

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

Lời giải:

IỄ N

    x = 0    y = 2 x + 1   y = 1  y = 2 x + 1    x=0 ⇔  2 ⇔   ⇔  x = − 5  5 7 x + 5 x = 0   7  x = −    7  y = − 3  7 

135 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

 y = −2 x − 1  y = −2 x − 1   ⇔ Xét hệ  2  2 2 2 x + xy + y = 1 x − x (2 x + 1) + ( 2 x + 1) = 1

10 00

 x = 2y ⇔ ( x − 2 y )( x 2 + y 2 − 2 x + y ) = 0 ⇔  2  x + y 2 − 2x + y = 0 

x 2 + y 2 − 2 x + y = 0  (4)  ( x − 1)2 = y (3 − 5 y) 

-L

Í-

 x = 2y  (3) hoặc ( x − 1)2 = y ( 3 − 5 y) 

Suy ra hệ phương trình tương đương với

ÀN

   x = 2 y x = 2y  x = 2 y  Ta có (3) ⇔  ⇔  ⇔ (2 y − 1)2 = y ( 3 − 5 y) 9 y 2 − 7 y + 1 = 0  y = 7 ± 13   18

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

(x − 2 y)( y − 2 x) 5 xy − 2 x 2 − 2 y 2 = 0 ⇔ x − 2y + =0 2 2 x +y x2 + y 2

⇔ x − 2y +

ẠO Đ

H Ư

5 xy 5 xy = 2 ( y + 1) ⇔ x − 2 y + 2 −2 = 0 2 x +y x + y2 2

TR ẦN

Phương trình thứ nhất của hệ phương trình tương đương với

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

c) ĐKXĐ: x ≠ 0 và y ≠ 0

 5 3 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y) là (0; 1) , − ; −  , (0; −1) và (−1;1) .  7 7 

U Y

 x = 0  y = −2 x − 1   y = −1   y = −2 x − 1  ⇔  2 ⇔   x = 0 ⇔   3 x + 3 x = 0   x = −1     x = −1  y = 1

IỄ N

   x = 7 + 13  x = 7 − 13   9 9 hoặc  (thõa mãn) ⇔   7 + 13 7 − 13  y = y =  18 18 

136 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

2  2  x 2 − 2 x = −y 2 − y x 2 − 2 x = −y 2 − y x − 2 x = −y − y ⇔ (4) ⇔ 1 − y 2 − y = y 3 − 5 y ⇔  2 1 ( )  4 y − 4 y + 1 = 0  y=   2

 7 + 13 7 + 13   7 − 13 7 − 13   1 1     ,   ,  ;  và  3 ; 1  ; ; Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y) là   2 2   9 18   9 18   2 2 

ẠO Đ D. 4 nghiệm

3 2  3 x + 2 y + 2 y = 2 xy ( x + 1) b)   3 xy = 2 ( x 2 − y) 

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

-L

 1  2 −   y = 2  x y 2 +  c)   2 + 1  x = 2  2 x + y  

Í-

A.1 nghiệm

C. 3 nghiệm

TR ẦN

B.2 nghiệm

10 00

A.1 nghiệm

H Ư

 x 2 + 3 = xy a)  2 2  y + 5 x = 4 xy + 3

ÀN

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Ví dụ 2: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau

B.2 nghiệm

IỄ N

A.1 nghiệm

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

   x 2 − 2 x + 3 = 0  x = 1  x = 3   4 2 hoặc  2 (thỏa mãn) ⇔ ⇔     1 1 1 y=   y =  y = 2 2 2   

Lời giải:

 xy − x 2 = 3  a) Hệ phương trình tương đương với  2  y + 5 x 2 = 4 xy + ( xy − x 2 ) 

137 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

  xy − x 2 = 3 xy − x 2 = 3  ⇔  2 ⇔  2   6 x − 5 xy + y = 0 (2 x − y)(3 x − y) = 0

xy − x 2 = 3 xy − x 2 = 3   (1) hoặc  (2) ⇔  2 x − y = 0  3 x − y = 0  

ẠO

 6 3 6     và − 6 ; − 3 6  . 3; 2 3 , − 3; −2 3 ,  ;  2  2 2  2  

)(

)

(

H Ư

Vậy hệ phương trình có nghiệm là

TR ẦN

x 3 − 2 y 3 − 2 x 2 y + 2 y ( y − x) = 0 b) Hệ phương trình tương đương với   2 y = 2 x 2 − 3 xy 

10 00

x 3 − 2 y 3 − 2 x 2 y + (2 x 2 − 3 xy) ( y − x) = 0 x 3 − 3 x 2 y + 3 xy 2 − 2 y 3 = 0 ⇔  ⇔  2   2 y = 2 x 2 − 3 xy 2 y = 2 x − 3 xy  

Í-

( x − 2 y)( x 2 − xy + y 2 ) = 0  x − 2 y = 0 ⇔  ⇔  (3) hoặc 2  2 y = 2 x 2 − 3 xy = − 2 y 2 x 3 xy 

2  2 x − xy + y = 0 (4)  2 y = 2 x 2 − 3 xy 

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ÁN

 x = 2 y  x = 2y  x = 2 y Giải hệ (3): (3) ⇔  ⇔ 2 ⇔   y = 0 2 y = 8 y 2 − 6 y 2 2 y − 2 y = 0     y = 1

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

   x = 6  x = − 6  6 2 x = 3 x = ±  2 hoặc  2 Giải hệ (2): (2) ⇔  ⇔ ⇔   2  y = 3 x    3 6 3 6   y = 3 x  y =  y = −   2 2

U Y

 x = − 3  x 2 = 3 x = ± 3  x = 3  Giải hệ (1): (1) ⇔  ⇔  ⇔ hoặc   y = 2 x  y = 2 x  y = 2 3  y = −2 3   

IỄ N

ÀN

 x = 0 x = 2 ⇔  hoặc   y = 0  y = 1 2

 y 3y2 ≥ 0 , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = 0 và x = y = 0 Giải hệ (4): Ta có x − xy + y =  x −  +  2  4 2

thỏa mãn phương trình thứ hai của (4) do đó hệ phương trình (4) có nghiệm là x = y = 0 . Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y) là (0; 0) và (2;1) .

138 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

 x ≥ 0 c) ĐKXĐ:  và 2 x + y ≠ 0  y ≥ 0

Ơ H N U Y

(5), trừ vế với vế ta được −

1 1 1 = − (6) 2x + y y x

2 1 1 = − ⇔ −2 xy = ( x − y)(2 x + y) 2x + y y x

TR ẦN

⇔−

H Ư

 2 1  1 1   1 Nhân hai vế của phương trình (5) và (6) ta được − = − +   2x + y  y x  y x 

10 00

 y = −x ⇔ 2 x 2 + xy − y 2 = 0 ⇔ ( x + y)(2 x − y) = 0 ⇔   y = 2x 

Đối chiếu với điều kiện ta thấy chỉ có y = 2 x thỏa mãn, thay vào (*) ta được

⇔ x=

ÁN

-L

Í-

  x = 2 +2  1 1 4 1− = ⇔ 8 x − 4 2. x − 1 = 0 ⇔   8x 2x  x = 2 − 2 (VN ) 4 

3+2 2 3+2 2 ⇒y= (thỏa mãn) 8 4

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

ẠO

(*)

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Cộng vế với vế ta được 2 =

 1 1 − =  2 (2 x + y) Hệ phương trình tương đương với   1 =  1 + 2 (2 x + y) 

Dễ thấy x = 0 hoặc y = 0 thì hệ phương trình vô nghiệm. Xét xy ≠ 0 ta có

IỄ N

ÀN

 3 + 2 2 3 + 2 2   . Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y) =  ;  8 4 

Nhận xét: Đây là loại hệ phương trình có thể biến đổi đưa về phương trình đẳng cấp(cùng bậc) từ đó dễ dàng phân tích thành nhân tử.

Ví dụ 3: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau

139 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

x 2 − 2 y 2 + xy + 3 x + 2 = 0 a)   x2 + y2 = x + y 

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

A.1 nghiệm

ẠO Đ G

  x + 2 y + 2 = 0 (2) x 2 + y 2 = x + y

TR ẦN

   x − y + 1 = 0  x − y + 1 = 0 (1) hoặc ⇔   x + 2 y + 2 = 0 ⇔  2 x + y 2 = x + y  2 2 x + y = x + y

H Ư

( x − y + 1)( x + 2 y + 2) = 0 a) Hệ phương trình tương đương với   x2 + y2 = x + y

10 00

 y = x +1  y = x + 1 x = 0  Giải hệ (1): (1) ⇔  2 ⇔  2 ⇔ 2 x + ( x + 1) = x + x + 1  2 x = 0  y = 1

Í-

 x = −2 y − 2  x = −2 y − 2  Giải hệ (2): (2) ⇔  ⇔ (vô nghiệm)  2 (−2 y − 2) + y 2 = −2 y − 2 + y 5 y 2 + 9 y + 6 = 0 

-L

Vậy hệ phương trình có nghiệm là ( x; y) = (0;1)

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Lời giải:

b) Cộng hai phương trình của hệ ta có

ÀN

2 x 2 + y 2 + 3 xy − 7 x − 5 y + 6 = 0 ⇔ ( y + 2 x − 3)( y + x − 2) = 0

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y .Q

A.1 nghiệm

 x 2 + y 2 + xy = 3 b)  2 x + 2 xy + 9 = 7 x + 5 y

IỄ N

 y + 2 x − 3 = 0 y = 3 − 2 x ⇔ ⇔   y + x−2 = 0   y = 2 − x

x 2 + xy + y 2 = 3 Suy ra hệ phương trình tương đương với  (3) hoặc  y = 3 − 2 x 

2  2 x + xy + y = 3 (4)  y = 2−x 

140 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

2  2 2 x + x (3 − 2 x) + ( 3 − 2 x) = 3 3 x − 9 x + 6 = 0 Giải hệ (3): (3) ⇔  ⇔ y = 3 − 2x   y = 3 − 2 x

    x = 1  x = 1  x = 2 hoặc  ⇔   x = 2 ⇔   y = −1   y = 1 y = 3 − 2x 

Nhận xét:

+ Để phân tích phương trình một phương trình bậc hai hai ẩn thành tích ta xem một ẩn, ẩn còn lại là

H Ư

tham số từ đó dựa vào ứng dụng của định lí Viét để phân tích.(xem lại phần ứng dụng định lí Viét)

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

.Q TP

ẠO

Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y) là (1; 1) và (2; −1)

TR ẦN

+ Đối với hệ hai phương trình bậc hai hai ẩn mà trong mỗi phương trình không thể phân tích được thành tích(như ở câu b) ta là như sau: ta tìm số thực α sao cho x 2 + 2 xy − 7 x − 5 y + 9 + α ( x 2 + xy + y 2 ) = 3α

10 00

⇔ (1 + α) x 2 + ( 2 y + α y − 7 ) x + α y 2 − 5 y + 9 − 3α = 0 có thể phân tích thành nhân tử. Điều này có được khi 2

∆x = (2 y + α y − 7 ) − 4 (1 + α)(α y 2 − 5 y + 9 − 3α) = (4 − 3α 2 ) y 2 + (6α − 8) y + 12α 2 − 24α + 13 là số chính 2

phương hay ∆ ' y = (3α − 4) − ( 4 − 3α 2 )(12α 2 − 24α + 13) = 36α 4 − 72α 3 + 72α − 36 = 0

Í-

⇔ α = 1 hoặc α = −1 . Từ đó ta có lời giải như trên(ngoài ra ta cũng có thể trừ vế với vế).

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

U Y

2  2 2 x + x (2 − x) + (2 − x) = 3 x − 2 x + 1 = 0  x = 1 Giải hệ (4): (4) ⇔  ⇔ ⇔   y = 2 − x  y = 1 y x = 2 −  

ÁN

Ví dụ 4: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau

ÀN

  1 + y = 2 x + 2 a)  y  x x  2 2 y − 2 y + 1 = 3 xy

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

IỄ N

A.1 nghiệm

 2 + 6 y + x − 2 y = x y b)    2  x (1 − 8 y) = x + 2 y

141 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn A.1 nghiệm

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

Lời giải:

a) Điều kiện xác định: x > 0, y ≠ 0 .

y 2 x = + 2 ⇔ y x + y 2 = 2 x x + 2 xy ⇔ y 2 + y( x − 2 x) − 2 x x = 0 x y

ẠO

∆ x = ( x − 2 x) 2 + 8 x x = x + 4 x x + 4 x 2 = ( x + 2 x) 2 > 0 .

Do đó, phương trình này có hai nghiệm là

H Ư

(2 x − x ) − ( x + 2 x) (2 x − x ) + ( x + 2 x) = − x và y = = 2x 2 2

TR ẦN

  y = 2 x (4) 2 y 2 − 2 y + 1 = 3 xy 

 y = − x Suy ra hệ phương trình tương đương với  (3) hoặc  2 2 y − 2 y + 1 = 3 xy

10 00

 y = − x 2  Ta có (3) ⇔  (vô nghiệm vì y 2 + ( y − 1) > 0, − 3 x x < 0 )  2 2   y + ( y − 1) = −3 x x

-L

Í-

  y = 2 x  y = 2 x  y = 2 x    ⇔ 2 ⇔ (4) ⇔  2  x = 2 ± 2 2 x − 4 x + 1 = 0 2 2 x − 2 2 x + 1 = 3 x 2 x ( ) ( ) ( )    2

ÀN

ÁN

  x = 2 + 2 x = 2 − 2  hoặc ⇔  (thỏa mãn điều kiện) ⇔  2 2    y = 2 + 2  y = 2 − 2

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

Xem đây là phương trình bậc hai theo biến y, ta có

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

U Y

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với

IỄ N

2 + 2  2− 2  Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y) là  ; 2 + 2  và  ; 2 − 2  .  2  2  

x ≥ 2 y b) ĐKXĐ:    y ≠ 0 Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với

142 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

(

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

)(

)

6 y 2 + y x − 2 y − ( x − 2 y) = 0 ⇔ 3 y − x − 2 y 2 y + x − 2 y = 0

 3 y − x − 2 y = 0 (1) ⇔   2 y + x − 2 y = 0 (2)

• TH1: Với 3 y − x − 2 y = 0 ⇔ 3 y = x − 2 y : Dễ thấy khi y < 0 thì phương trình vô nghiệm.

.Q TP ẠO Đ

9 y 2 = x − 2 y  (1'')  x + 9 y = 0

9 y 2 = x − 2 y (1') hoặc ⇔   x − y = 0

H Ư

 y = 0    x = y = 0 9 y = −y  1   Hệ phương trình (1') tương đương  ⇔  y = − ⇔  1  x − y = 0  x= y =− 9      9  x = y

TR ẦN

10 00

 y = 0 9 y 2 = −9 y − 2 y   x = 99  x = 0 Hệ phương trình (1") tương đương  hoặc  ⇔  y = −11 ⇔     y = −11 x = −9 y    y = 0 x = − 9 y 

Kết hợp điều kiện suy ra trong trường hợp này hệ phương trình vô nghiệm

-L

Í-

• TH2: Với 2 y + x − 2 y = 0 ⇔ −2 y = x − 2 y : Dễ thấy khi y > 0 thì phương trình vô nghiệm. Ta xét y ≤ 0 ta có (2) ⇔ 4 y 2 = x − 2 y kết hợp với phương trình thứ hai của hệ thì

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

 9 y 2 = x − 2 y  9 y 2 = x − 2 y  9 y 2 = x − 2 y    ⇔ ⇔    x (1 − 8 y) = x 2 + 2 y x 2 + 8 xy = 9 y 2 ( x − y)( x + 9 y) = 0   

ÀN

 4 y 2 = x − 2 y  4 y 2 = x − 2 y  4 y 2 = x − 2 y   ⇔ 2 ⇔  2 2 x (1 − 8 y) = x + 2 y x + 8 xy = 4 y  x = −4 y ± 2 5 y

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

Ta xét y ≥ 0 ta có (1) ⇔ 9 y 2 = x − 2 y kết hợp với phương trình thứ hai của hệ thì

 4 y 2 = x − 2 y  4 y 2 = x − 2 y   ⇔ (2') hoặc ⇔  (2'')  x = −4 + 2 5 y x = −4 − 2 5 y  

)

(

)

IỄ N

(

143 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

  y=0   4 y 2 = −6 + 2 5 y      −3 + 5 Hệ phương trình (2') tương đương với  ⇔   y =  2  x = −4 + 2 5 y     x = −4 + 2 5 y 

)

(

)

(

)

N TR ẦN

H Ư

 x = 11 + 5 5  ⇔ x = y = 0 hoặc   y = − 3 + 5 2 

10 00

 −3 + 5  Kết hợp điều kiện suy ra trong trường hợp này hệ phương trình 11 − 5 5;  và  2 

  11 + 5 5; − 3 + 5    2  

Í-

   −3 + 5  11 + 5 5; − 3 + 5  . Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y) là 11 − 5 5; và     2 2   

ÁN

 x 3 + 2 xy 2 = 2 x 2 y + 4  Ví dụ 5: Tìm số nghiệm của hệ phương trình sau  2 . x + 2 y 2 = xy + x + 2 y 

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

Lời giải:

IỄ N

ÀN

A.1 nghiệm

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

(

)

(

ẠO

)

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

(

  y=0   4 y 2 = −6 − 2 5 y      3+ 5  Hệ phương trình (2") tương đương với  ⇔   y = − 2  x = −4 − 2 5 y     x = −4 − 2 5 y 

U Y

 x = 11 − 5 5  ⇔ x = y = 0 hoặc   y = −3 + 5 2 

Nhân phương trình thứ hai với −2 rồi cộng vế với vế với phương trình đầu ta được

+ 2 xy 2 ) − 2 ( x 2 + 2 y 2 ) = (2 x 2 y + 4) − 2 ( xy + x + 2 y)

⇔ ( x 3 − 2 x 2 ) + (2 xy 2 − 4 y 2 ) = (2 x 2 y − 2xy − 4 y) + ( 4 − 2x)

144 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

⇔ x 2 ( x − 2) + 2 y 2 ( x − 2) = y ( x − 2)(2 x + 2) − 2 ( x − 2) ⇔ ( x − 2 ) ( x 2 − 2 xy + 2 y 2 − 2 y + 2 ) = 0

2 2   ⇔ ( x − 2) ( x − y) + ( y − 1) + 1 = 0   2

⇔ x = 2 (vì ( x − y) + ( y − 1) + 1 > 0 )

4 + 2 y2 = 2y + 2 + 2y ⇔ 2y2 − 4 y + 2 = 0 ⇔ y = 1

ẠO

Nhận xét: Việc nhân vào với −2 được "mò mẫm" như sau: Nhận thấy rằng đối với biến y thấy có sự

+ 2 xy 2 ) + α ( x 2 + 2 y 2 ) = (2 x 2 y + 4) + α ( xy + x + 2 y)

TR ẦN

H Ư

khác không rồi cộng vế với vế với phương trình đầu ta được

tương đồng về bậc trong hai phương trình có ở hệ do đó ta nhân với phương trình hai một số thực α

⇔ ( 2 x + 2α ) y 2 − ( 2 x 2 + α x + 2α ) y + x 3 + α x 2 − α x − 4 = 0

10 00

Ta sẽ chọn α sao cho đúng với mọi y , suy ra 2 x + 2α = 2 x2 + α x + 2α = x 3 + α x 2 − α x − 4 = 0 (*)

Ta có 2 x 2 + α x + 2α = 0 ⇔ 2 x ( x + α ) − α x + 2α = 0 ⇒ −α x + 2α = 0 ⇒ x = 2 ⇒ α = −2

Dễ thấy x = 2, α = −2 thỏa mãn (*) do đó ta có lời giải như trên.

Í-

Ví dụ 6: Tìm số nghiệm của hệ phương trình sau

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Vậy phương trình có nghiệm là ( x; y) = (2;1)

ÁN

2 x 2 + 3 y = y 2 + x + 3 a)  2 2 y + 8 = x 2 + x + 7 y 

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

IỄ N

ÀN

A.1 nghiệm

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

Thay x = 2 vào phương trình thứ hai ta có

 x 3 = 8 y 3 + 3 y b)  2 2 x + y = 4 y + x

A.1 nghiệm

Lời giải:

145 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

a) Cộng vế với vế của hai phương trình ta có

2x2 + 3y + 2 y 2 + 8 = y2 + x + 3 + x2 + x + 7 y 2

⇔ x 2 − 2 x + y 2 − 4 y + 5 = 0 ⇔ ( x − 1) + ( y − 2) = 0

Thay x = 1; y = 2 vào hệ thấy thỏa mãn

ẠO

b) Phương trình thứ hai nhân với −3 rồi cộng vế với vế với phương trình thứ nhất ta được

H Ư

x 3 − 3 ( x 2 + y) = 8 y 3 + 3 y − 3 (4 y 2 + x) ⇔ x 3 − 3x 2 + 3x − 1 = 8 y 2 − 12 y 2 + 3 y − 1 3

+ y = 4y2 + 2y ⇔ y = 0 ⇒ x = 0

10 00

(2 y)

Thay vào phương trình thứ hai ta được

TR ẦN

⇔ ( x − 1) = ( 2 y − 1) ⇔ x = 2 y

Vậy hệ phương trình có nghiệm là ( x; y) = (0; 0) .

Nhận xét: Các biến x , y trong mỗi phương trình độc lập với nhau do đó ta sẽ chọn α bằng cách lấy

Í-

phương trình thứ nhất(hoặc phương trình thứ hai) nhân với α rồi cộng với phương trình thứ hai sao cho n

-L

đưa về dạng phương trình (ax + b) = ± (a ' y + b ') .

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Vậy hệ phương trình có nghiệm là ( x; y) = (1; 2) .

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

 x = 1 ⇔ x − 1 = y − 2 = 0 ⇔   y = 2

ÀN

Loại 2: Hệ phương trình giải bằng cách đặt ẩn phụ.

IỄ N

Ví dụ 7: Tìm số nghiệm của hệ phương trình sau

 2 x 2 − y 2 − 4 ( x − y) = 1  a)  x 2 ( x − 2)2 + 2 = ( xy − 2 y)( xy − 4 x) 

A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 6 nghiệm

146 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

 3x 2 + y = y 2  b)  2 2 x ( x + 45) = y ( y 3 − 15)  C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

Lời giải:

U Y .Q TP

G N H Ư

TR ẦN

a = −1 a = 2 ⇔  hoặc  b = −3 b = 3

10 00

 x = 1 −1 = x 2 − 2 x  x 2 − 2 x + 1 = 0  ⇔  ⇔  y = 1  −3 = y 2 − 4 y  y 2 − 4 y + 3 = 0     y = 3

 2 = x 2 − 2 x  x 2 − 2 x − 2 = 0  x = 1 ± 3 ⇔ ⇔  3 = y 2 − 4 y  y 2 − 4 y − 3 = 0  y = 2 ± 7   

Í-

a = 2 Với  ta có b = 3

 a = −1 ta có Với  b = −3

ẠO

  2 a − b = 1 a 2 − ab + 2 = 0

 b = 2 a − 1 b = 2a − 1   b = 2 a − 1 ⇔ 2 ⇔ ⇔   a = −1 a − a (2 a − 1) + 2 = 0 a2 − a − 2 = 0      a = 2

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

 a = x 2 − 2 x Đặt  khi đó hệ trở thành 2 b = y − 4 y

 2 ( x 2 − 2 x) − ( y 2 − 4 y ) = 1  a) Hệ phương trình tương đương với  2 ( x 2 − 2 x) − ( x 2 − 2 x)( y 2 − 4 y) + 2 = 0 

(

)(

) (

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

B.2 nghiệm

A.1 nghiệm

)

ÁN

Vậy hệ có nghiệm ( x; y) là (1;1) , (1; 3) , 1 + 3; 2 + 7 , 1 + 3; 2 − 7 , 1 − 3; 2 + 7 và 1 − 3; 2 − 7 .

ÀN

 3x 2 + y = y 2  y 2 − 3 x 2 = y  b) Hệ phương trình tương đương với  4 ⇔ 4 (*) 4 2 4 2  y − x = 15 (3 x + y)  y − x = 15 y

IỄ N

• Với y = 0 từ hệ suy ra x = 0 .

2   y − 3 x = 1  y • Với y ≠ 0 ta có hệ phương trình (*) tương đương với   2 x 4  y − 2 = 15 y 

147 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

  y − 3 z = 1  y 2 − z 2 = 15

Ơ H N U Y .Q ẠO Đ N H Ư

TR ẦN

 17  17   y = − 17  y = −  y = −  4  4 4 ⇔  ⇔   x 2 7  2 119  119  = − x = x = ± 4  16 4   y

  y = − 17  4 suy ra Với   7  z = − 4 

  y = 4  y = 4  y = 4  x 2 ⇔  2 ⇔   y = 1 x = 4 x = ±2 

10 00

 y = 4 Với  suy ra  z = 1

  y = − 17  y = 4  4 ⇔  hoặc   z = 1  7  z = − 4 

Í-

 119  17  119 17      Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y) là (2; 4) , (−2; 4) ,  ; −  và − ;− .  4  4  4 4 

Ví dụ 8: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

  y = 3 z + 1  y = 3z + 1    z = 1 y = 3z + 1   ⇔ ⇔ ⇔   2 ( 3 z + 1) − z 2 = 15 8 z 2 + 6 z − 14 = 0   7    z = −  4  

ÀN

ÁN

  x 2 + y 2 + 1 + 1 = 5 x2 y 2 a)   2 ( xy − 1) = x 2 − y 2 + 2 

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

IỄ N

A.1 nghiệm

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

x2 = z , hệ trở thành y

Đặt

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

3 x − y = 3 x + y b)  3 x + y = 3 x − y  A.1 nghiệm

148 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Lời giải:

 x ≠ 0 a) ĐKXĐ:   y ≠ 0

Ơ H N

10 00

2 2   ( a + b) − 2 ab = 5 (a + b) = 9 a + b = ±3 ⇔ ⇔ ⇔ ab = 2   ab = 2  ab = 2

a + b = 3 X = 1 Với hệ phương trình  thì a , b là nghiệm của phương trình X 2 − 3X + 2 = 0 ⇔  X = 2  ab = 2 

Í-

Do đó hệ có nghiệm (a; b) là (2;1) và (1; 2)

-L

 X = −1 a + b = −3 Với hệ phương trình  thì a , b là nghiệm của phương trình X 2 + 3X + 2 = 0 ⇔   X = −2  ab = 2 

ÀN

Do đó hệ có nghiệm (a; b) là (−2; −1) và (−1; −2)

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

TR ẦN

H Ư

2  2 a + b = 5  ab = 2 

 a = x + 1  x , khi đó hệ phương trình trở thành Đặt  1  = − b y  y 

ẠO

2 2    2   1 1 1 1  2  x + y + 2 + 2 = 5  x +  +  y −  = 5  x y x   y ⇔  ⇔  1  1   xy − 1 − x + y = 2   = 2 x + y −     xy y x x  y    

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

  x 2 + y 2 + 1 + 1 = 5 Hệ phương trình tương đương với  x2 y2  2 2 x y − 1 − x 2 + y 2 = 2 xy

1 1 = x + ≥ 2 nên chỉ còn hai trường hợp sau x x

IỄ N

Vì a = x +

 2 = x + 1  x = 1 2  x  x − 2 x + 1 = 0  TH1: (a; b) = ( 2; 1) khi đó ta có  ⇔ 2 ⇔ 1   y − y − 1 = 0  y = 1 ± 5  1 = y −  2  y 

149 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

 1 + 5     và 1; 1 − 5  Do đó hệ phương trình ban đầu có nghiệm ( x; y) là 1;   2  2  

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

ẠO

 1 + 5   1 − 5       , 1;  , −1; −1 + 5  và −1; −1 − 5  . Vậy hệ phương trình ban đầu có nghiệm ( x; y) là 1;   2   2   2 2   

 a 2 + 2b2 = 3a (1) Hệ phương trình trở thành  2 2 2 a + b = 3b (2)

TR ẦN

H Ư

 x + y = a  , a ≥ 0, b ≥ 0 khi đó 2a 2 + b2 = 3 x + y , a 2 + 2b2 = 3 x − y b) Đặt   x − y = b 

10 00

Trừ vế với vế của hai phương trình (1) và (2) ta được

 a=b b2 − a2 = 3 (a − b) ⇔ ( a − b)(3 + a + b) = 0 ⇔   a = −b − 3 

Í-

a = 0 ⇒ b = 0 Với a = b thay vào phương trình (1) suy ra 3a2 = 3a ⇔  a =1⇒ b =1 

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

   −1 + 5  −1; −1 − 5  Do đó hệ phương trình ban đầu có nghiệm ( x; y) là −1; và     2 2   

U Y

 −2 = x + 1  x = −1 2  x x + 2 x + 1 = 0  TH2: (a; b) = (−2; −1) khi đó ta có  ⇔ 2 ⇔ 1   y + y − 1 = 0  y = −1 ± 5  1 y − = −  2  y 

ÁN

Với a = −b − 3 thay vào phương trình (1) suy ra (−b − 3) + b2 = 3b ⇔ 2b 2 − 3b + 9 = 0 (vô nghiệm)

ÀN

 x + y = 0 x + y = 0  x = 0 TH1: a = b = 0 ta có  ⇔  ⇔   x − y = 0  x − y = 0  y = 0 

IỄ N

 x + y = 1 x + y = 1  x = 1  TH2: a = b = 1 ta có  ⇔  ⇔   x − y = 1  x − y = 1  y = 0 Vậy hệ phương trình ban đầu có nghiệm ( x; y) là (0; 0) và (1; 0)

Ví dụ 9: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau

150 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

 5 ( x 2 + y 2 ) = 6 xy + 2  a)  . 2 x 2 + 3 x = 2 y 2 + y + 3  B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

A.1 nghiệm

2   a 2 + b2 = 2 ( a + b) − 2 ab = 2  ⇔ (*)  a + b + ab = 3 a + b + ab = 3 

TR ẦN

 a = x + y Đặt  , hệ phương trình trở thành b = 2 ( x − y ) 

H Ư

2 2  x + y ) +  2 ( x − y) = 2  (   a) Hệ phương trình tương đương với  ( x + y) + 2 ( x − y) + ( x + y) 2 ( x − y) = 3

10 00

a + b = S 2 , S ≥ 4 P khi đó hệ phương trình (*) trở thành Đặt   ab = P

 2 S − 2 P = 2  S + P = 3 

Í-

  S2 − 2 ( 3 − S) = 2 S 2 + 2S − 8 = 0   S = 2 ⇔  ⇔  ⇔  S = −4    P = 3−S  P = 3 − S   P = 3 − S

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Lời giải:

 S = −4 (loại)  P = 7

ÁN

S = 2 ⇔  (thỏa mãn) hoặc P = 1

 a + b = 2 suy ra a , b là nghiệm của phương trình X 2 − 2 X + 1 = 0 ⇔ X = 1  ab = 1

ÀN

S = 2 Với  ta có P = 1

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y .Q

B.2 nghiệm

ẠO

A.1 nghiệm

 5 ( x 2 + y 2 ) = y − 2 x  b)  3 x 2 + y 2 ) + 2 x = y + 8 xy  (

IỄ N

Do đó hệ phương trình (*) có nghiệm là (a; b) = (1;1)

  x = 3  1 = x + y  4. Suy ra  ⇔ 1 = 2 ( x − y)  1   y = 4 

151 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

 3 1 Vậy hệ phương trình ban đầu có nghiệm là ( x; y) =  ;  .  4 4 

Ơ N

2  2 a + b + a + b = 0   2 ab + (a + b) = 0 

.Q TP ẠO G N H Ư

TR ẦN B

 2  3 x + y = 1  x =  5 ⇔  Với a = b = 1 ta có   x − 3 y = 1  1   y = − 5  

3 x + y = 0  x = 0 Với a = b = 0 ta có  ⇔  x − 3 y = 0  y = 0 

10 00

 2 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y) là (0; 0) và  ; −  .  5 5 

3. Bài tập luyện tập.

-L

Í-

Bài 3.62: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau  x + y = 3 x + y  a)   3  x − y = x − y − 12

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

  a = b ( a + b)2 − 2 ab = 0   = a b  a = 0 ⇔  a = b = 0 ⇔  ⇔  2    2 ab + (a + b) = 0 2 a + 2 a = 0  a = 1  a = b = 1 

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

IỄ N

ÀN

A.1 nghiệm

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

3 x + y = a Đặt  , hệ phương trình trở thành  x − 3 y = b

(3 x + y )2 + ( x − 3 y )2 + (3 x + y ) + ( x − 3 y ) = 0 b) Hệ phương trình tương đương với   2(3 x + y )( x − 3 y ) + (3 x + y ) + ( x − 3 y ) = 0 

 5 8( x 2 + y 2 ) + 4 xy + = 13  ( x + y )2 b)   1 =1 2 x + x+y 

A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

152 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Lời giải:

 x = −y x + y )6 ⇔ ( x + y )3 = ( x + y )2 ⇔ ( x + y )2 ( x + y − 1) = 0 ⇔  . x + y = 1 

x + y = 3 x + y ⇔ ( x + y )6 = (

x ≥ y Bài 3.62: a) ĐKXĐ :  x ≥ −y

10 00

5( a2 − 2) + 3b 2 = 13 5a 2 + 3b2 = 23  giải hệ này ta tìm được ⇔  a + b = 1 a + b = 1  

 a = − 5  2 a = 4 và  b = −3  7 b = 2 

Í-

 −1 ± 3 5 ± 3   3 11  3   ,  ; −  ,  ; −2 . ; Từ đó ta tìm được nghiệm của hệ: ( x; y) =    2 2   4 4   2 

-L

Bài 3.63: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau

ÀN

  x + y = 7 + 1  x a)  y xy  x xy + y xy = 78 

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

.Q Đ G N H Ư

TR ẦN

  1  5 ( x + y )2 + + 3( x − y )2 = 13 2   ( x + y)  Hệ ⇔   nên ta có:  1 ( x + y + )+ x−y = 1 x+y 

ẠO

1 ,b = x− y x+y

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

b) Đặt a = x + y +

U Y

x − y = 3 x − y − 12 ta được y = −2 ⇒ x = 2 .

Thay x = −y vào

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

IỄ N

A.1 nghiệm

 2 2  x + y + 2 xy = 8 2 b)   x + y = 4 

153 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

Ơ H

Lời giải:

ẠO

Bài 3.63: a) Điều kiện: x , y > 0

H Ư

Suy ra x + y và − xy là nghiệm của phương trình:

 ( x + y ) + (− xy ) = 7 HPT ⇔  ( x + y )(− xy ) = −78 

TR ẦN

 x + y = 13 t = 13  x + y = 13  t − 7 t − 78 = 0 ⇒ ⇔  ⇔  t = −6  xy = 36  − xy = −6  2

10 00

 x = 4 u = 4  y = 9 2 ⇔ Suy ra x , y là nghiệm của phương trình: u − 13 u + 36 = 0 ⇔   u = 9 x = 9   y = 4

Í-

Vậy, hệ phưong trình có nghiệm là ( 4, 9) , (9, 4) .

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

N U Y

A.1 nghiệm

 2 2  x + y + 2 xy = 8 2 c)   x + y = 4 

ÁN

b) Điều kiện :x ≥ 0 ,y ≥ 0

ÀN

  2 2 2 2  2 x + 2 y + 4 xy = 16  2 x + 2 y = x + y HPT ⇔  ⇔ x + y + 4 xy = 16  x + y = 4  

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

A.1 nghiệm

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

IỄ N

2 x 2 + 2 y 2 = x 2 + y 2 + 2 xy ( x − y )2 = 0 ⇔ x= y=4 ⇔  ⇔   x + y = 4  x + y = 4

Vậy hệ có nghiệm là ( 4; 4) .

154 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

x ≥ 0 c) Điều kiện:   y ≥ 0

Ơ H

)

x+ y =4

ẠO Đ TR ẦN

H Ư

⇒ P 2 − 32 P + 128 = 8 8 − P ≥ 0 ⇔  2 ⇔P=4 P − 32 P + 128 = (8 − P )2 

10 00

S = 4  x + y = 4 Vậy ta được:  ⇒ ⇔ x=y=4 P = 4  xy = 4 

H ÍB.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

ÀN

A.1 nghiệm

-L

 x + y + x − y = 4  a)  x 2 + y 2 = 128 

Bài 3.64: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

(

2  x + y − 2 xy  − 2 xy + 2 xy = 8 2 

U Y

  

 2  (S2 − 2 P) − 2 P 2 + 2 P = 8 2 ⇔  S = 4

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

   Khi đó hệ phương trình có dạng:    

S = x + y  Đặt  , điều kiện S , P ≥ 0 và S 2 − 4 P ≥ 0 P = xy 

IỄ N

 x y + y x = 30 b)  x x + y y = 35 

A.1 nghiệm

155 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

 2 2 2( x + y ) = 3( 3 x y + 3 xy ) c)   3 x + 3 y = 6 

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

Lời giải:

N U Y .Q

x−y = 4

ẠO

 x + y + x − y = 4 ⇔  1 2 ( x − y ) = 128 ( x + y )2 + ( x − y )2 = 256 2

 x + y +  Viết lại hệ phương trình dưới dạng:  1  ( x + y )2  2

10 00

TR ẦN

 uv = 0 u + v = 4 u + v = 4 Ta được:  4 ⇔  ⇔ uv = 32 4    u + v = 256 uv(uv − 32) u + v = 4 

H Ư

u = x + y  Đặt:  , u, v ≥ 0 v = x − y 

u + v = 4 u + v = 4 ⇔  Hoặc  uv = 32 uv = 0

Í-

Giải hệ ta được nghiệm là (8,8) ; (8 , −8) . b) Hệ có nghiệm là ( 4; 9) , (9; 4)

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

x + y ≥ 0  y ≥ −x ⇔  ⇔ −x ≤ y ≤ x ⇒ x ≥ 0 Bài 3.64: a) Điều kiện:  x − y ≥ 0  y ≤ x

ÀN

ÁN

c) Hệ có nghiệm là (8; 64) , (64; 8)

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

B.2 nghiệm

A.1 nghiệm

IỄ N

 x + 1 + y − 1 = a Bài 3.65: Xác định các giá trị của a sao cho hệ sau có nghiệm duy nhất:  x + y = 2 a + 1 

A. a = 2 + 6

B. a = 2 − 6

C. a = 6

D. a = 2

Lời giải:

156 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Bài 3.65: • Giả sử hệ có nghiệm ( x0 , y0 ) ⇒ ( y0 − 2, x0 + 2) cũng là nghiệm của hệ phương trình. Vậy hệ có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là x0 = y0 − 2

 y − 1 + y − 1 = a 2 y − 1 = a  0 0 Khi đó hệ có dạng:  0 ⇔  y − 2 + y = 2a + 1 2 y = 2 a + 3 0  0  0

ẠO

 u + v = 2 + 6 u + v = 2 + 6  ⇔   2 u + v 2 = 5 + 2 6 uv = 5 + 2 6   2

H Ư

u = x + 1  ; u, v ≥ 0 . Ta được: Đặt:  v = y − 1 

TR ẦN

Suy ra u,v là nghiệm phương trình:

1 2+ 6 2+ 6 t 2 − (2 + 6)t + (5 + 2 6 ) = 0 ⇔ t = ⇒u= v= 2 2 2

Í-

10 00

  2+ 6 6+4 6  x + 1 = x = 2 ⇔ 4 là nghiệm duy nhất. ⇔   2+ 6 14 + 4 6    y − 1 = 2  y = 4   Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi a = 2 + 6 .

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

 x + 1 + y − 1 = 2 + 6  x + 1 + y − 1 = 2 + 6 ⇔  • Với a = 2 + 6 , hệ có dạng:  x + y = 2(2 + 6) + 1 ( x + 1) + ( y − 1) = 5 + 2 6

ÁN

Bài 3.66: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau

ÀN

2  2 x − xy + y = 3 ( x − y) a)  x 2 + xy + y 2 = 7 ( x − y)2 

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

a ≥ 0 ⇒ 2(2 a + 3) − 1 = a ⇔  ⇔ a= 2+ 6 4 a − 2 = a 2 

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

IỄ N

A.1 nghiệm

 x 3 y + xy 2 + x 2 + y + xy = − 5  4 b)   4 5 2 2 x + 2 x y + y + xy = − 4 

157 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

Lời giải:

-L

Í-

 x 2 + y = 0 x = 3 5 a = 0   4 *  ⇔  ⇔  5 5 25 b = − xy = −  3 4  4   y = − 16 

N TP

ẠO Đ G

IỄ N

ÀN

  a = − 1 x 2 + y = − 1 x = 1  2 ⇔ 2 ⇔  *    y = − 3 3  3  b = − xy = −   2  2  2 

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

10 00

  b = − 5 − a2 a = − 1 a = 0  2 4 ⇔  ⇔  5 hoặc   3  1 b=− 2 b = − 3 a + a + a = 0  4  2 4 

TR ẦN

H Ư

 x 2 + y + xy( x 2 + y ) + xy = − 5  4 . Đặt a = x2 + y; b = xy b) HPT ⇔   2 5 2 ( x + y ) + xy = − 4 

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Từ đó giải được các nghiệm của hệ là (0; 0) , (2;1) , (−1; −2) .

  a + ab + b = − 5 b = − 5 − a2  4 ⇔ 4 Ta có:    2  5 5 5 5 2 2 a + b = − a + a(− − a ) − − a = − 4 4 4 4  

U Y

 u = 1 v = 2

u2 − 3u + v = 0 u = 0 Đặt u = x − y , v = xy . Hệ trở thành  . hoặc ⇔  v = 2u2 v = 0 

2  ( x − y) − 3 xy = 3 ( x − y) Bài 3.66: a) Ta có: HPT ⇔  xy = 2 x − y 2 ( ) 

 5 24   3  Vậy hệ có hai cặp nghiệm ( x; y ) =  3 ; − 3  , 1; −  .  4 16   2

158 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Bài 3.67: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau

D. 4 nghiệm

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

C. 3 nghiệm

B.2 nghiệm

.Q TP ẠO

A.1 nghiệm

TR ẦN

A.1 nghiệm

H Ư

x 2 − 2 xy + x + y = 0  c)  4 x − 4 x 2 y + 3 x 2 + y 2 = 0 

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

10 00

Lời giải:

Í-

 x + x + 1 = 7  y y Bài 3.67: a) Vì y = 0 không thỏa hệ đã cho nên hệ đã cho ⇔   2 x 1 x + + 2 = 13 y y 

-L

1 x 1 Đặt a = x + ; b = ⇒ x 2 + 2 = a 2 − 2b . y y y

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

 y(1 + 2 x 3 y ) = 3 x6 b)  1 + 4 x 6 y 2 = 5 x 6 

ÀN

a + b = 7 a + b = 7 a = 4 a = −5 Ta có hệ là  2 ⇔  hoặc  . ⇔  2 a − b = 13 a + a − 20 = 0 b = 3 b = 12  

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

A.1 nghiệm

xy + x + 1 = 7 y a)  2 2 x y + xy + 1 = 13 y 2 

IỄ N

 x + 1 = 4  x 2 − 4 x + 3 = 0  x = 1 ⇒ y = 1  y  * ⇔ ⇔ 3   x x = 3 y  = 3 ⇒ = 1 x y  = 3    y

159 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

 x + 1 = −5 x 2 + 5 x + 12 = 0  y *  ⇔  hệ vô nghiệm.  x x = 12 y   = 12  y

1 Vậy hệ đã cho có hai cặp nghiệm: ( x; y ) = (1; ), (3;1) . 3

a = 2  y = 1 *  ⇒  . b = 1 x = 1

Í-

Vậy hệ đã cho có hai cặp nghiệm : ( x; y ) = (1; 1), ( 3

1 ; ). 2 2

ÁN

c) Nếu x = 0 thay vào hệ ⇒ y = 0 ⇒ x = y = 0 là một nghiệm của hệ

IỄ N

ÀN

 x + y = 2 y − 1  x Với x ≠ 0 ta có hệ đã cho ⇔   2 y 2 x + 2 = 4 y − 3 x 

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

10 00

 1  a = 1  y = 2 *  ⇒  . 1 b = 2  x = 3 2 

TR ẦN

ab = 2 a = 1 a = 2 ⇔  ⇔  v  . a + b = 3 b = 2 b = 1

U Y

G N

H Ư

  6 6 ab( a + b) = 6 a + b = a+b =  ⇔ ⇔ ab ab  2 a + b2 = 5   3 3 2 2 2  ( a + b) − 2 ab = 5 2 a b + 5a b − 36 = 0

ẠO

 2 y 1 ( 1 + 2 y ) = 6 1  x 3 x 3 . Đặt a = 2 y , b = 3 , ta có hệ   1 x 2  6 + (2 y ) = 5  x

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

b) Ta thấy x = 0 không là nghiệm của hệ nên ta biến đổi hệ trở thành

 y  x + = 2 y − 1 x + y = 2 y − 1 (1) x  ⇔ ⇔ x   y 2 2 ( x + ) = 6 y − 3 (2 y − 1) = 6 y − 3 (2) x 

160 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn (2) ⇔ 2 y 2 − 5 y + 2 = 0 ⇔ y = 2; y =

2 = 3 ⇔ x 2 − 3 x + 2 = 0 ⇔ x = 1; x = 2 . x

1 1 ⇒ (1) ⇔ x + = 0 phương trình vô nghiệm. 2 2x

N TP

U Y

Vậy hệ đã cho có ba cặp nghiệm: ( x; y) = (0; 0), (1; 2), (2; 2) .

ẠO D. 4 nghiệm

x 3 − y 3 = 35 b)  2 2 x + 3 y 2 = 4 x − 9 y 

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

Lời giải:

A.1 nghiệm

C. 3 nghiệm

TR ẦN

B.2 nghiệm

10 00

A.1 nghiệm

H Ư

x 3 + 3 xy 2 = 6 xy − 3 x − 49  a)  2 x − 8 xy + y 2 = 10 y − 25 x − 9 

Í-

Bài 3.68: a) Nhân phương trình thứ hai của hệ với 3 và cộng hai phương trình theo vế ta có

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Bài 3.68: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau

ÁN

x 3 + 3x 2 + 3 y 2 ( x + 1) − 24 xy = 6 xy + 30 y − 78 x − 76

⇔ ( x + 1)( x 2 + 2 x + 76) + 3 y 2 ( x + 1) − 30 y( x + 1) = 0

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

* y=

1 . 2

* y = 2 ⇒ (1) ⇔ x +

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ÀN

⇔ ( x + 1)( x 2 + 2 x + 3 y 2 − 30 y + 76) = 0 (*)

IỄ N

Do x 2 + 2 x + 3 y 2 − 30 y + 76 = ( x + 1)2 + 3( y − 5)2 ≥ 0 và không có đẳng thức xảy ra nên (*) tương đương

với x = −1 . Thay vào hệ ta tìm được y = −3, y = 5 .

b) Phương trình thứ hai của hệ tương đương với (6 x 2 − 12 x + 8) + (9 y 2 + 12 y + 27) = 35 Thay vào phương trình thứ nhất của hệ, ta được:

161 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

x 3 − y 3 = (6 x 2 − 12 x + 8) + (9 y 2 + 12 y + 27) ⇔ ( x − 2)3 = ( y + 3)3 ⇔ x = y + 5 Lại thay vào phương trình thứ hai của hệ, ta được:

2( y + 5)2 + 3 y 2 = 4( y + 5) − 9 y ⇔ 5 y 2 + 25 y + 30 = 0 . ⇔ ( y + 2)( y + 3) = 0 ⇔ y = −2 ∨ y = −3

Thử lại ta thấy thỏa.

TP ẠO

TR ẦN

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

)=2

x+y

x+ y

x+y

)=1 D. 4 nghiệm

A.1 nghiệm

x+ y

H Ư

 4 1 2  x ( 4 + Bài 3.69: Tìm số nghiệm của hệ phương trình sau   2  4 y ( 1 −  4

10 00

Lời giải:

x , y ≥ 0 Bài 3.69: Điều kiện:  x + y ≠ 0

ÁN

2 x+ y x+y

 1  2 1  4 1  2 = − −  4 +  = 4  x 4 y  x 4 y  x y

IỄ N

Suy ra

-L

 2 x + y 2 1 2 = − 4 4 x+y  x+y x x 4y ⇔   1 x+ y 2 1 1  = + = 4 4 y 2 x+y x 4y  x+ y

ÀN

  1 2  4 +    1 2  −  4 

Í-

Ta thấy x = 0 ( y = 0) không là nghiệm của hệ nên hệ đã cho tương đương với

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là ( x , y) = (−2, 3),(−3, 2) .

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

Với y = −2 , ta có x = 3 , với y = −3 , ta có x = 2 .

⇔ x x − 2x y + 2 y x − 4 y y = 0 .

Đặt t =

x ta có: t 3 − 2t 2 + 2t − 4 = 0 ⇔ t = 2 ⇔ x = 4 y y

162 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

(

)

2 +1 4

)

2 +1

(

  x =  Từ đó ta tìm được     y = 

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Trong một phương trình mà có hai đại lượng có mối liên hệ với nhau thì ta đặt mỗi đại lượng ấy là một ẩn mới từ đó ta đưa về được hệ phương trình(dễ dàng giải được) có được từ mối liên hệ hai đại

ẠO

đầu.

H Ư

2. Các ví dụ minh họa.

TR ẦN

Ví dụ 1: Tìm số nghiệm của phương trình sau 20 + x + 16 − x = 6

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

2 ( x − 2) + 4 4 ( x + 2 ) = 2 .

10 00

A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

-L

Í-

A.1 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

Lời giải:

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

lượng đó và phương trình ban đầu. Giải hệ phương trình từ đó tìm được nghiệm của phương trình ban

a) ĐKXĐ: x ≤ 16 .

ÀN

 u = 3 20 + x Đặt  suy ra u ≤ 3 36 , v ≥ 0 và u3 + v 2 = 36  v = 16 − x 

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

DẠNG TOÁN 5: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH ĐẶT ẨN PHỤ ĐƯA VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH. 1. Phương pháp giải.

IỄ N

Khi đó phương trình trở thành u + v = 6

u + v = 6   v = 6 − u v = 6 − u Ta có hệ phương trình:  3 ⇔ ⇔ u + v 2 = 36 u3 + (6 − u)2 = 36 u(u2 + u − 12) = 0 (*)   

163 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

 u=0  Phương trình (*) ⇔ u = 3 thỏa mãn u ≤ 3 36 .  u = −4 

Với u = 0 ⇒ 0 = 3 20 + x ⇔ x = −20 , u = 3 ⇒ 3 = 3 20 + x ⇔ x = 7 và u = −4 ⇒ −4 = 3 20 + x ⇔ x = −84

TP G

ẠO

 u = 3 2 ( x − 2) Đặt  suy ra u ≥ 0, v ≥ 0 và v 4 − 2u3 = 16 v = 4 4 ( x + 2) 

H Ư

Khi đó phương trình trở thành u + v = 2

TR ẦN

 u + v = 2 u = 2 − v ⇔ Ta có hệ phương trình:  4  4 3 3 v − 2u = 16 v − 2 (2 − v) = 16

10 00

 u = 2 − v u = 2 − v ⇔  4 ⇔ (* )  3 2 3 2 v + 2 v − 12 v + 24 v − 32 = 0 (v − 2)(v + 4 v − 4 v + 16) = 0

Vì v 3 + 4 v 2 − 4 v + 16 = v 3 + (2 v − 1) + 15 > 0 nên hệ phương trình

u = 2 − v u = 0 (thỏa mãn) ⇔  v = 2 = 2 v 

Í-

(* ) ⇔ 

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

b) ĐKXĐ: x ≥ −2

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm: x = −20; x = −84; x = 7 .

ÁN

Ta có u = 0 ⇒ 3 2 ( x − 2) = 0 ⇔ x = 2 (thỏa mãn)

ÀN

Vậy phương trình có nghiệm là x = 2

Nhận xét : Khi gặp phương trình có chứa các đại lượng

a + f ( x) , f ( x) và

b − f ( x) (hoặc

b + f ( x) )

IỄ N

 g (u; v) = c thì ta đặt u = a + f ( x) , v = b − f ( x) (hoặc v = b − f ( x) ) và đưa về hệ phương trình  2 u + v 2 = a + b   g (u; v) = c (hoặc  2 ). Giải hệ tìm được u, v từ đó giải phương trình u = a + f ( x) hoặc u − v 2 = a − b  v = b ± f ( x) tìm được x .

164 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ví dụ 2: Tìm số nghiệm của phương trình a)

13 + 2 x + 3 13 − 2x − 2 3 169 − 4 x 2 = 8 B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

ẠO Đ D. 4 nghiệm

TR ẦN

Lời giải:

C. 3 nghiệm

B.2 nghiệm

H Ư

A.1 nghiệm

10 00

u = 3 13 + 2 x  a) Đặt  ⇒ u3 + v 3 = 26  v = 3 13 − 2 x  Phương trình trở thành u + v − 2uv = 8

Í-

3   u3 + v 3 = 26 (u + v) − 3uv (u + v) = 26 Vậy ta có hệ phương trình  ⇔ (*) u + v − 2uv = 8  u + v − 2 uv = 8  

-L

S = u + v 2 Đặt  , S ≥ 4 P , hệ phương trình (*) trở thành  P = uv

S3 − 3SP = 26   S − 2 P = 8

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

c) (15 x 2 + 6) 3 ( x 2 + 2) = 25 x 3 + 36 x + 2

ÀN

2  3  3 2S − 3S (S − 8) = 52 ⇔ 2S − 3S + 24S − 52 = 0 ⇔  S = 2      P = −3 2P = S − 8 2P = S − 8  

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

B.2 nghiệm

A.1 nghiệm

b) x + 3 4 − x 3 = 2 + 3 x 3 4 − x 3

U Y

A.1 nghiệm

IỄ N

2 = u + v Thay vào ta có  , do đó u, v là nghiệm của phương trình  −3 = uv

 X = −1 X 2 − 2X − 3 = 0 ⇔  . Suy ra  X=3 

  u = −1 hoặc  u = 3  v = 3 v = −1

165 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

u = −1 3 ⇒ 13 + 2 x = −1 ⇔ x = −7 Với   v = 3

 u = 3 Với  ⇒ 3 13 + 2 x = 3 ⇔ x = 7 v = −1

Vậy phương trình có nghiệm là x = ±7 .

Đặt y = 3 4 − x 3 ⇒ x 3 + y 3 = 4

ẠO Đ

 3 S − 3SP = 4  S = 2 + P 

TR ẦN

S = x + y 2 Đặt  , S ≥ 4 P , hệ phương trình (*) trở thành  P = xy

H Ư

3   x 3 + y 3 = 4 ( x + y ) − 3 xy ( x + y) = 4 Vậy ta có hệ phương trình  (*) ⇔ x + y = 2 + xy  x + y = 2 + xy  

10 00

2  3  3 S − 3S (S − 2) = 4 ⇔ S − 3S + 6S − 4 = 0 ⇔  S = 1      P = −1 P = S−2 P = S−2  

1 = x + y Thay vào ta có  ⇒ x , y là nghiệm của phương trình  −1 = xy

-L

Í-

 x = 1+ 5  1± 5 2 X2 − X −1 = 0 ⇔ X = ⇒  2  x = 1− 5  2

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Phương trình trở thành x + y = 2 + xy

1± 5 . 2

ÀN

Do đó phương trình có nghiệm là x =

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

b) x + 3 4 − x 3 = 2 + 3 x 3 4 − x 3

IỄ N

c) Phương trình tương đương với

166 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

−25 x 3 + 15 3 ( x 2 + 2)x 2 + 6 3 ( x 2 + 2) − 36 x = 2

( ⇔ x +(

)

⇔ x 3 + −26 x 3 + 15 3 ( x 2 + 2)x 2 + 6 3 ( x 2 + 2) − 36 x = 2 3

)

3 ( x 2 + 2) − 2 x = 2

U Y

Đặt y = 3 ( x 2 + 2) − 2 x ⇒ (2 x + y) = 3 ( x 2 + 2) ⇔ x 2 + 4 xy + y 2 = 6

Phương trình trở thành x 3 + y 3 = 2

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

ẠO

được nghiệm của hệ phương trình là ( x; y) = (1;1)

Ví dụ 3: Tìm số nghiệm của phương trình sau

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

ÍB.2 nghiệm

A.1 nghiệm

2 3 + 3 2 x x

-L

b) x 2 + 3 x + 3 = 2 3

A.1 nghiệm

10 00

a) x 2 − x + 1 = 1 − 8 x

TR ẦN

H Ư

Vậy phương trình có nghiệm là x = 1 .

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

 x 3 + y 3 = 2  Do đó ta có hệ phương trình  2 , đây là hệ đối xứng loại 1 giải hoàn toàn tương tự trên ta x + 4 xy + y 2 = 6 

Lời giải:

1 8

ÀN

IỄ N

a) ĐKXĐ: x ≤

Đặt

1− 8x = 1− 2y , y ≤

1 ⇒ 1− 8x = 4 y 2 − 4 y + 1 ⇔ y 2 + 2x = y 2

Phương trình trở thành x 2 − x + 1 = 1 − 2 y ⇔ x 2 + 2 y = x

167 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

 y 2 + 2 x = y Vậy ta có hệ phương trình  2 (*)  x + 2 y = x 

 x=y ⇒ x 2 − y 2 + 2 y − 2 x = x − y ⇔ ( x − y)( x + y − 3) = 0 ⇔  x = 3 − y 

Thay vào phương trình đầu của hệ phương trình (*):

Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 0 và x = −1 .

H Ư

b) ĐKXĐ: x ≠ 0 .

TR ẦN

Phương trình tương đương với x 3 + 3 x 2 + 3 x = 2 3 2 x + 3 ⇔ ( x + 1) − 1 = 2 3 2 ( x + 1) + 1

 y 3 − 1 = 2t  Khi đó ta có hệ  3 t − 1 = 2 y

10 00

Đặt y = x + 1 phương trình trở thành y 3 − 2 = 2 3 2 y + 1 , đặt t = 3 2 y + 1 ⇒ y =

(1) ( 2)

Í-

Lấy (1) trừ (2) ta có: y 3 − t 3 = 2t − 2 y

-L

⇔ ( y − t)( y 2 + yt + t 2 ) + 2 ( y − t) = 0

ÁN

⇔ ( y − t)( y 2 + yt + t 2 + 2) = 0 ⇔ y − t = 0 2

 t 3 (Vì y + yt + t + 2 =  y +  + t 2 + 2 > 0 )  2 4 2

ÀN

t3 −1 . 2

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

.Q TP

ẠO

Với x = 3 − y ta có y 2 + 2 (3 − y) = y ⇔ y 2 − 3 y + 6 = 0 (vô nghiệm)

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

U Y

 y=0⇒x=0 Với x = y ta có y 2 + 2 y = y ⇔ y 2 + y = 0 ⇔  (thỏa mãn)  y = −1 ⇒ x = − 1 

IỄ N

Với t = y thay vào (1) ta có y 3 − 1 = 2 y ⇔ y 3 − 2 y − 1 = 0

168 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ơ H TP

Nhận xét:

ẠO

a ' x + b ' = α y + β ⇒ α 2 y 2 + 2αβ y − a ' x + β − b ' = 0 và phương trình trở thành ax 2 + bx + c − α y − β = 0 .

H Ư

α 2 y 2 + 2αβ y − a ' x + β − b ' = 0  là đối xứng. Hoàn toàn Từ đó ta chọn α , β sao cho hệ phương trình   ax 2 + bx + c − α y − β = 0 

TR ẦN

tương tự đối với phương trình chứa căn bậc n .

• Khi gặp phương trình có thể đưa về dạng f n ( x) + b = a n af ( x) − b

ta đưa về hệ đối xứng loại 2 bằng

10 00

t n + b = ay cách đặt t = f ( x) , y = n af ( x) − b ta có hệ  n  y + b = at 

Ví dụ 4: Tìm số nghiệm của phương trình sau

H B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

-L

Í-

A.1 nghiệm

a) 4 x 2 + 5 + 3 x + 1 = 13 x

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

• Phương trình có dạng ax 2 + bx + c = a ' x + b ' ta đặt

b) 10 x 2 + 12 x + 3 = x 2 x 2 + 2 x + 1

B.2 nghiệm

IỄ N

ÀN

A.1 nghiệm

a) ĐKXĐ: x ≥ −

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

1+ 5 −1 + 5 ;x=− 2 2

Vậy phương trình có 3 nghiệm x = −2; x =

  y = −1 ⇒ x = −2   1+ 5 −1 + 5  2 ⇔ ( y + 1)( y − y − 1) = 0 ⇔  y = ⇒x= 2 2   1− 5 1+ 5  ⇒ x =− y =  2 2

Lời giải: 1 3 2

Phương trình tương đương với (3 − 2 x) + 3 x + 1 = x + 4

169 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

 u = 3 − 2 x 11 , v ≥ 0, u ≤ ⇒ v 2 + u = x + 4 Đặt   3 x + 1 = v 3 

Phương trình trở thành u2 + v = x + 4 (*)

 v=u ⇒ (v 2 + u) − (u2 + v) = 0 ⇔ (v − u)(u + v − 1) = 0 ⇔  v = 1− u 

H Ư

15 ± 97 15 + 97 (loại x = vì khi đó v = u < 0 ) 8 8 2

11 ± 73 11 − 73 (loại x = vì v = 1 − (3 − 2 x) < 0 ) 8 8

⇔ 4 x 2 − 11x + 3 = 0 ⇔ x =

TR ẦN

Với v = 1 − u thay vào (*) ta có u2 + 1 − u = x + 4 hay (3 − 2 x) + 1 − (3 − 2 x) = x + 4

10 00

15 − 97 11 − 73 và x = . 8 8

Vậy phương trình có hai nghiệm x =

b) Phương trình tương đương với (3 x + 2)2 + x 2 − 1 = x x(3 x + 2) − x 2 + 1

-L

Í-

u = x( 3 x + 2) − x 2 + 1 Đặt  , u ≥ 0 suy ra u2 = xv − x 2 + 1  v = 3x + 2 

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

⇔ 4 x 2 − 15 x + 8 = 0 ⇔ x =

ẠO

Với v = u thay vào (*) ta có u2 + u = x + 4 hay (3 − 2 x) + 3 − 2 x = x + 4

Phương trình trở thành v 2 + x 2 − 1 = xu .

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

v 2 + u = x + 4 Vậy ta có hệ phương trình  2 u + v = x + 4 

ÀN

u2 = xv − x 2 + 1 Vậy ta có hệ phương trình  2 v + x 2 − 1 = xu 

IỄ N

 u=v ⇒ u2 − v 2 − x 2 + 1 = xv − x 2 + 1 − xu ⇔ (u − v)(u + v + x) = 0 ⇔  u + v + x = 0  2

Với u = v ta có v 2 = xv − x 2 + 1 hay (3 x + 2) = x (3 x + 2) − x 2 + 1

170 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

 x = −1  (loại x = −1 vì khi đó u = v = −1 < 0 ) ⇔ 7 x + 10 x + 3 = 0 ⇔  x = − 3  7 2

ẠO

thể đưa về phương trình tích. Sau khi tìm được nghiệm cần tìm u, v để kiểm tra xem có thỏa mãn điều

kiện ẩn phụ hay không.

2. 3 − 2 x3 = 3 3 − x 2 B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

10 00

A.1 nghiệm

TR ẦN

H Ư

Ví dụ 5: Tìm số nghiệm của phương trình sau

Lời giải:

D. 4 nghiệm

-L

3 2

C. 3 nghiệm

a) ĐKXĐ: x ≤ 3

B.2 nghiệm

A.1 nghiệm

Í-

b) 2 x + 3 9 − x 3 = 3 x 2 + 13

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Chú ý: Đây là phương trình bằng sau khi đặt u = f ( x) , v = g ( x) đưa về hệ hương trình còn ẩn x mà có

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

−7 − 7 . 14

Vậy phương trình có hia nghiệm là x = −1 và x =

−7 ± 7 −7 + 7 (loại x = vì khi đó u < 0 ) 14 14

⇔ 14 x 2 + 14 x + 3 = 0 ⇔ x =

Với u + v + x = 0 ⇒ u = −x − v = −4 x − 2 ta có (−4 x − 2) = x (3 x + 2) − x 2 + 1

ÀN

Đặt y = 3 − 2 x 3 , y ≥ 0 ⇒ 2 x 3 + y 2 = 3 3

2 y = 3 3 − x2 ⇔ 2 y 3 + x2 = 3

IỄ N

Phương trình trở thành

2 x 3 + y 2 = 3 (1)  Vậy ta có hệ phương trình  3 ⇒ 2x3 − 2 y 3 + y 2 − x2 = 0 2 2 y + x = 3 (2) 

 x=y ⇔ ( x − y)(2 x 2 + 2 xy + 2 y 2 − x − y) = 0 ⇔  2 (*)  2 x + 2 xy + 2 y 2 − x − y = 0 

171 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ta có 2 x 2 + 2 xy + 2 y 2 − x − y > 0, ∀x , ∀y , thật vậy Nếu x ≥ 1 thì 2 x 2 + 2 xy + 2 y 2 − x − y = x (2 x − 1) + y (2 x − 1) + 2 y 2 > 0

Nếu 0 < x < 1 ⇒ 1 < y < 3 thì 2 x 2 + 2 xy + 2 y 2 − x − y = 2 x 2 + x (2 y − 1) + y (2 y − 1) > 0

U Y

Nếu x ≤ 0 ⇒ y ≥ 3 thì 2 x 2 + 2 xy + 2 y 2 − x − y = x 2 + ( x + y) − x + y ( y − 1) > 0

Suy ra phương trình có nghiệm x = 1 .

ẠO Đ

9 − x3 = y ⇒ x3 + y3 = 9

b) Đặt

TR ẦN

H Ư

Phương trình trở thành 2 x + y = 3 x 2 + 13 ⇒ ( 2 x + y) = 3 x 2 + 13 ⇔ x 2 + y 2 + 4 xy = 13

10 00

3   ( x + y) − 3 xy ( x + y) = 9 x3 + y3 = 9 Vậy ta có hệ phương trình  2 ⇔ (**) 2 2   x + y + 4 xy = 13  ( x + y) + 2 xy = 13

 3 S − 3SP = 9 S2 + 2 P = 13 

S = x + y 2 , S ≥ 4 P , hệ phương trình (**) trở thành Đặt   P = xy

Í-

2S3 − 3S (13 − S 2 ) = 18 5S3 − 39S − 18 = 0 (S − 3)(5S 2 + 15S + 6) = 0 ⇔  ⇔  ⇔  (***) 2 2 2 P = 13 − S 2 P = 13 − S2   2 P = 13 − S 

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 .

ÁN

Ta có S 2 ≥ 4 P ⇒ S2 ≥ 2 (13 − S 2 ) ⇒ S 2 ≥

26 3

 15  225 26 225 ≥ +6− >0 Mặt khác 5S + 15S + 6 = 2S +  + S 2 + 6 −   4 16 3 16

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

Do đó (*) ⇔ x = y , thay vào phương trình (1) ta được 2 x 3 + x 2 = 3 ⇔ 2 x3 + x 2 − 3 = 0 ⇔ x = 1

ÀN

 3 = x + y , x , y là nghiệm của phương trình  2 = xy

IỄ N

 S = 3 Do đó hệ phương trình (***) ⇔  suy ra P = 2 X = 1 X 2 − 3X + 2 = 0 ⇔  X = 2 

Suy ra hệ phương trình (**) có nghiệm ( x; y) là (1; 2) và (2;1) .

172 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Thử x = 1, x = 2 vào thấy thỏa mãn phương trình Vậy phương trình có nghiệm là x = 1, x = 2

3. Bài tập luyện tập.

+ 3 (3 x − 1) + 3 9 x 2 − 1 = 1

C. 3 nghiệm

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

ẠO N

TR ẦN

Lời giải:

D. 4 nghiệm

H Ư

A.1 nghiệm

x + 4 17 − x = 3

Bài 3.70: a) Đặt: u = 3 3 x + 1 và v = 3 3 x − 1

10 00

u2 + v 2 + u.v = 1 ⇒ u− v = 2 ⇒ u = v + 2 (6) trở thành:  3 u − v 3 = 2 

Ó H

Do đó: (v + 2) + v 2 + v (v + 2) = 1

-L

Í-

⇔ 3v 2 + 6 v + 3 = 0 ⇔ 3 ( v + 1) = 0 ⇔ v = −1 ⇒ u = 1

u = 3 3 x + 1 = 1  ⇒x=0 Vậy ta có:  v = 3 3 x − 1 = −1 

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

B.2 nghiệm

A.1 nghiệm

U Y

(3x + 1)

Bài 3.70: Tìm số nghiệm của phương trình sau

ÀN

b) ĐKXĐ: 0 ≤ x ≤ 2 .

IỄ N

Đặt a = 4 x; b = 4 17 − x ; a , b ≥ 0 . Ta có hệ phương trình

    a + b = 3 a + b = 3 a + b = 3 a + b = 3 ⇔ . ⇔ ⇔ a 4 + b4 = 17 [( a + b)2 − 2 ab]2 − 2 a2 b2 = 17 a 2 b2 − 18 ab + 32 = 0  2 16 ab = V ab =    

•

a + b = 3 a = 1 a = 2  x = 1 Với  ⇒ V  ⇒ .  ab = 2 b = 2 b = 1  x = 16

173 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

a + b = 2 ⇒ hệ vô nghiệm.Vậy phương trình đã cho có hai ngiệm x = 1; x = 16 . Với   ab = 16

Ơ N

x+3 2

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

ẠO

A.1 nghiệm

U Y

a) 2 x 2 + 4 x =

Bài 3.71: Tìm số nghiệm của phương trình sau

Đ G

D. 4 nghiệm

3 x − 5 = 8 x 3 − 36 x 2 + 53 x − 25

A.1 nghiệm

TR ẦN

H Ư

A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

10 00

Lời giải:

Bài 3.71: a) ĐKXĐ: x ≥ −3 .

( x + 1) + 2 1 x +1 ⇔ ( x + 1)2 − 1 = +1 . 2 2 2

Í-

Phương trình ⇔ 2( x + 1)2 − 2 =

x +1 t t +1 = + 1 ⇒ y 2 − 1 = , ta có hệ phương trình: 2 2 2

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

b) 4 x 2 + 7 x + 1 = 2 x + 2

ÁN

Đặt t = x + 1; y =

IỄ N

ÀN

 2 t = y t − 1 = 1 y  2 ⇒ (t − y )(t + y + 1 ) = 0 ⇔    y = −t − 1 2  y 2 − 1 = 1 t  2  2

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

•

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

1 ± 17 t −3 ± 17 ⇔ 2t 2 − t − 2 = 0 ⇔ t = ⇔ x= (thỏa đk x ≥ −3 ) 2 4 4

* t = y ⇔ t2 −1 =

1 1 t −1 ± 13 −5 ± 13 * y = −t − ⇒ (t + )2 − 1 = ⇔ 4t 2 + 2t − 3 = 0 ⇔ t = ⇔ x= 2 2 2 4 4 (thỏa đk x ≥ −3 ).

174 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm: x =

−3 ± 17 −5 ± 13 ;x= . 4 4

b) ĐKXĐ: x ≥ 2

Phương trình ⇔ (2 x + 1)2 + 3 x = 2 2(2 x + 1) − 3 x

.Q TP ẠO

 x = −1  * y = t ⇔ t − 2t + 3 x = 0 ⇔ 4 x + 3 x − 1 = 0 ⇔  . x = 1  4

H Ư

 x = −1  * y = −t − 2 ⇒ t + 3 x + 2(t + 2) = 0 ⇔ 4 x + 11x + 7 = 0 ⇔  . x = − 7  4 2

TR ẦN

(

)

x + 2 +1

Cách khác : pt ⇔ 4x 2 + 8 x + 4 =

10 00

7 1 Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm: x = −1; x = − ; x = . 4 4

c) Ta có phương trình ⇔ 3 3x − 5 = (2x − 3)3 − x + 2 3

3 x − 5 = 2 y − 3 ⇒ (2 y − 3)2 = 3 x − 5 , khi đó ta có hệ phương trình

Í-

Đặt

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

2  t + 3 x = 2 y ⇒ (t − y )(t + y + 2) = 0 ⇔  y = t .  2  y = −t − 2  y + 3 x = 2t  

ÁN

3  (2x − 3) = 2 y − 3 + x − 2 ⇒ a 3 − b3 = b − a (Với a = 2 x − 3; b = 2 y − 3 )  (2 y − 3)3 = 2x − 3 + x − 2 

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

Đặt t = 2 x + 1; y = 2t − 3 x ⇒ y 2 + 3 x = 2t ⇒ ta có hệ phương trình

ÀN

⇔ ( a − b)( a 2 + ab + b 2 + 1) = 0 ⇔ a = b ⇔ (2 x − 3)3 = 3 x − 5

IỄ N

x = 2  ⇔ 8 x 3 − 36 x 2 + 51x − 22 = 0 ⇔ ( x − 2)(8 x 2 − 20 x + 11) = 0 ⇔  . x = 5 ± 3  4 

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm x = 2; x =

5± 3 . 4

175 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Bài 3.72: Tìm số nghiệm của phương trình sau

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

B.2 nghiệm

Lời giải:

H Ư

Bài 3.72: a) ĐK: 0 ≤ x ≤ 2 .

TR ẦN

a + b = 2 (I) Đặt a = x ; b = 2 − x , ta có hệ phương trình:  4 a + b4 = 2 

(I) ⇔ a = b = 1 ⇔ x = 1 là nghiệm của phương trình đã cho.

10 00

b) ĐKXĐ: x ≤ 3 2

Đặt a = 3 2 − x 2 , a ≥ 0 ⇒ a3 = 2 − x 2 ⇔ a 3 + x 2 = 2

Mặt khác từ phương trình ban đầu ⇒ a = 2 − x 3 ⇔ x 3 + a 2 = 2

-L

Í-

a 3 + x 2 = 2  Vậy ta có hệ phương trình:  3 trừ hai phương trình của hệ ta được x + a2 = 2 

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

A.1 nghiệm

a 3 − x 3 − ( a2 − x 2 ) = 0 ⇔ ( a − x)( a 2 + ax + x 2 − a − x) = 0 (*)

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

2 − x2 = 2 − x 3 .

ẠO

U Y

A.1 nghiệm

2 − x 2 = (2 − x )2

ÀN

Ta có: a 2 + ax + x 2 − a − x = a2 + ( a + x)( x − 1)

IỄ N

* Với x ≥ 1 ⇒ a + x > 0 ⇒ ( a + x)( x − 1) ≥ 0 ⇒ a 2 + ( a + x)( x − 1) > 0

* Với 0 ≤ x < 1 ⇒ a ≥ 1 ⇒ a2 + ax + x 2 − a − x = a( a − 1) + ax + x( a − 1) > 0 * Với x < 0 ⇒ a + x < 0 ⇒ ( a + x)( x − 1) > 0 ⇒ a 2 + ( a + x)( x − 1) > 0

⇒ a2 + ax + x 2 − a − x > 0 ∀x

176 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Do đo (*) ⇔ a = x thay vào hệ ta được:

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com 0 ≤ x ≤ 3 2 2 − x 3 = x ⇔  3 ⇔ x = 1. x + x 2 − 2 = 0 

Đ G

TR ẦN

H Ư

2 y 3 − 2 x 3 = 3 Bài 3.73: Đặt y = 4 x3 − x + 3 . (1) có dạng:  3 (I ) 4 x − x + 3 = y  3 2 y 3 − 2 x 3 = 3  3 2 y − 2 x = 3(2) (I) ⇔  3 ⇔  2 x + 2 y 3 − ( x + y ) = 0 ( x + y )(2 x 2 − 2 xy + 2 y 2 − 1) = 0(3)  

ẠO

Lời giải:

3 4

10 00

TH1: y = −x kết hợp(2), có nghiệm của (1): x = − 3

TH2: 2 x 2 − 2 xy + 2 y 2 − 1 = 0; ∆ ' x = 2 − 3 y 2 . Nếu có nghiệm thì y ≤ 3

2 2 . Tương tự cũng có x ≤ . Khi 3 3

Í-

 2  8 2 < 3 . Chứng tỏ TH2 vô nghiệm. đó VT (2) ≤ 4   =  3 3  3 

3 4

-L

KL (1) có 1 nghiệm x = − 3

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

D. 4 nghiệm

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

C. 3 nghiệm

B.2 nghiệm

A.1 nghiệm

3 (1) 2

U Y

Bài 3.73: Tìm số nghiệm của phương trình sau: (4 x 3 − x + 3)3 − x 3 =

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1 .

3x + 4 = x 3 + 3x 2 + x − 2

IỄ N

ÀN

Bài 3.74: Tìm số nghiệm của phương trình sau

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

A.1 nghiệm

b) x 2 − 3 x + 4 = x 3 x3 − x 2 − x − 1

177 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn A.1 nghiệm

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

Lời giải:

Bài 3.74: a) Dễ thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình. 3

H N

ẠO

Phương trình trở thành v 3 + x + 1 = x 2 v

u3 + x + 1 = x 2 v Vậy ta có hệ phương trình  3 2 v + x + 1 = x v

TR ẦN

H Ư

 u=v ⇒ u3 − v 3 = x 2 (v − u) ⇔ (u − v)(u2 + uv + v 2 + x 2 ) = 0 ⇔  2 u + uv + v 2 + x 2 = 0 

x = 0 3 Với u = v ta có ( x − 1) + x + 1 = x 2 ( x − 1) ⇔ 2 x 2 − 4 x = 0 ⇔  (loại x = 0 ) x = 2 

10 00

 v 3 Với u + uv + v + x = 0 ⇔ u +  + v 2 + x 2 = 0 ⇔ u = v = x = 0 (loại)  2 4 2

Vậy phương trình có nghiệm là x = 2 .

3x + 4 + 2 x + 3 = ( x + 1)3

-L

Í-

b) Phương trình đã cho tương đương với

ÁN

( x + 1)3 = 2 x + y + 4 Đặt y + 1 = 3 3 x + 4 . Ta có hệ phương trình  ( y + 1)3 = 3 x + 4 

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

u = 3 x 2 ( x − 1) − x − 1 Đặt  ⇒ u3 + x + 1 = x 2 v  v = x −1 

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Xét x ≠ 0 phương trình tương đương với ( x − 1) + x + 1 = x 2 3 x 2 ( x − 1) − x − 1

ÀN

Trừ hai phương trình của hệ, vế theo vế, ta được

IỄ N

( x − y ) ( x − 1)2 + ( x − 1)( y − 1) + ( y − 1)2  = y − x   x − y = 0 ⇔  ⇔ x=y 2 2 ( x − 1) + ( x − 1)( y − 1) + ( y − 1) = −1

Suy ra x + 1 = 3 3 x + 4 ⇔ ( x + 1)3 = 3 x + 4 ⇔ x 3 + 3 x 2 = 4 ⇔ ( x − 1)( x + 2)2 = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = −2 . Thử lại ta thấy thỏa.

178 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là x = 1, x = −2 .

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

179 ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

Loại 1: Bình phương hai vế của phương trình.

ẠO B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

A.1 nghiệm

x2 + 2x + 4 = 2 − x

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Ví dụ 1: Tìm số nghiệm của phương trình sau

TR ẦN

A.1 nghiệm

H Ư

b) x − 2 x − 5 = 4

D.4 nghiệm

10 00

x 2 + 2 x + 4 ≥ 0 a) ĐKXĐ:  ⇔ x≤2  2 − x ≥ 0 

Lời giải:

Với điều kiện đó phương trình tương đương với

-L

Í-

 x = −1 x2 + 2x + 4 = 2 − x ⇔ x2 + 3x + 2 = 0 ⇔   x = −2 

ÁN

Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là x = −1 và x = −2 .

ÀN

b) ĐKXĐ: 2 x − 5 ≥ 0 ⇔ x ≥

5 . 2

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

DẠNG TOÁN 3: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG CĂN BẬC HAI. 1. Phương pháp giải. Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn ta tìm cách để khử dấu căn, bằng cách: – Nâng luỹ thừa hai vế. – Phân tích thành tích. – Đặt ẩn phụ. 2. Các ví dụ minh họa.

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

IỄ N

x − 2 x − 5 = 4 ⇔ 2 x − 5 = x − 4 (*)

TH1: Với x − 4 < 0 ⇔ x < 4 ta có VT (*) ≥ 0, VP(*) < 0 suy ra phương trình vô nghiệm

TH2: Với x − 4 ≥ 0 ⇔ x ≥ 4 ta có hai vế không âm nên phương trình (*) tường đương với

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

x = 3 2 2 x − 5 = ( x − 4) ⇔ x 2 − 10 x + 21 = 0 ⇔  x = 7 

Đối chiếu với điều kiện x ≥ 4 và điều kiện xác định suy ra chỉ có x = 7 là nghiệm.

Vậy phương trình có nghiệm là x = 7 .

 f ( x) = g( x) f ( x) = g( x) ⇔   f ( x) ≥ 0 ( hay g( x) ≥ 0)  f ( x) =  g( x) 2    • f ( x ) = g( x ) ⇔   g( x) ≥ 0  Ví dụ 2: Tìm số nghiệm của phương trình sau

có thể giải bằng cách thực hiện phép biến đổi tương đương:

3x 2 + 1 − 1

B.2 nghiệm

ẠO Đ G N C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

10 00

A.1 nghiệm

H Ư

a) x =

TR ẦN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

•

2 x − 1 + x 2 − 3x + 1 = 0

B.2 nghiệm

Lời giải:

Í-

A.1 nghiệm

ÁN

-L

a) Phương trình tương đương với

ÀN

x ≥ 0 x ≥ 0   ⇔ 2 2 2  2  x = 3 x + 1 − 1  3 x + 1 = x + 1

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

Nhận xét: Từ các lời giải các bài toán trên ta suy ra đối với các dạng phương trình sau ta

IỄ N

x ≥ 0 x ≥ 0 x ≥ 0   ⇔  2 ⇔ ⇔ 3 x + 1 = ( x 2 + 1)2 x 4 − x 2 = 0 x 2 ( x 2 − 1) = 0   

  x ≥ 0 x = 0 ⇔  x = 0 ⇔  x = 1   x = ±1 

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Vậy phương trình có nghiệm là x = 0 và x = 1

2 x − 1 + x 2 − 3 x + 1 = 0 ⇔ 2 x − 1 = −x 2 + 3 x − 1

N U Y

2   −x 2 + 3 x − 1 ≥ 0  −x + 3 x − 1 ≥ 0  ⇔ ⇔ 2 2 x − 1 = (−x 2 + 3 x − 1) ( x − 1)2 ( x 2 − 4 x + 2) = 0  

.Q TP ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

−x 2 + 3 x − 1 ≥ 0 −x 2 + 3 x − 1 ≥ 0   x=1  ⇔   ⇔   x = 1 ⇔  x=1  x = 2 − 2   x 2 − 4 x + 2 = 0     x = 2 ± 2  

3 2

B. m ≥ −

9 2

H Ư

A. m ≥

x 2 + mx + 2 = 2 x + 1 có hai nghiệm phân biệt. C. m ≥

TR ẦN

Ví dụ 3: Tìm m để phương trình

Vậy phương trình có nghiệm là x = 1 và x = 2 − 2

9 2

D. m ≥ −

3 2

Lời giải:

10 00

 x ≥ − 1 . Phương trình ⇔  2  2 3 x + (4 − m)x − 1 = 0 (*)

Phương trình đã cho có hai nghiệm ⇔ (*) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn hoặc

ÁN

-L

Í-

1 1 bằng − ⇔ đồ thị hàm số y = 3x 2 + (4 − m)x − 1 trên [ − ; +∞) cắt trục hoành tại 2 2 hai điểm phân biệt.

ÀN

1 b m−4 Xét hàm số y = 3x 2 + (4 − m)x − 1 trên [ − ; +∞) . Ta có − = 2 2a 6

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

b) Ta có

m−4 1 1 ≤ − ⇔ m ≤ 1 thì hàm số đồng biến trên [ − ; +∞) nên m ≤ 1 6 2 2 không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

IỄ N

+ TH1: Nếu

+ TH2: Nếu

m−4 1 >− ⇔ m>1 : 6 2

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ta có bảng biến thiên

1 2

m− 4 6

 1 y −   2 

+∞

U Y

+∞

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

H Ư

 m − 4  y    6 

10 00

TR ẦN

1 Suy ra đồ thị hàm số y = 3x 2 + (4 − m)x − 1 trên [ − ; +∞) cắt trục hoành tại hai 2  1  m − 4  2m − 9 1 điểm phân biệt ⇔ y −  ≥ 0 > y  ≥ 0 > (−m 2 + 8 m − 28) (1)  ⇔  2   6  4 12

9 (thỏa mãn m > 1 ) 2

9 là giá trị cần tìm. 2

ÁN

Vậy m ≥

-L

Í-

(1) ⇔ 2 m − 9 ≥ 0 ⇔ m ≥

Vì −m2 + 8 m − 28 = −(m − 4) − 12 < 0, ∀m nên

Loại 2: Phân tích thành tích bằng cách nhân liên hợp.

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

−

IỄ N

ÀN

Để trục căn thức ta nhân với các đại lượng liên hợp;

(

A− B

)(

A+ B

A− B A+ B

• A− B =

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

•3 A − 3 B =

(

 A − 3 B  

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com



) ( A ) + A B + ( B )  A−B = ( A) + A B +( B) ( A) + A B +( B) 3

Với A, B không đồng thời bằng không.

)

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

3x − 2 + 3 x = 2

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

c) 3 3 x + x 2 + 8 = x 2 + 15 + 2

B.2 nghiệm

Í-

A.1 nghiệm

10 00

A.1 nghiệm

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

A.1 nghiệm

7 + 2x

= x + 20

ẠO

(3 −

2 ( x − 1)

-L

Lời giải:

ÀN

ÁN

 x ≥ − 7  7 + 2 x ≥ 0  a) ĐKXĐ:  ⇔ 2 3 ≠ 7 + 2 x    x ≠ 1

(3 −

)

7 + 2x

)

= x + 20

IỄ N

Phương trình ⇔

( 7 + 2 x ) (3 + 2

2 ( x − 1) 3 + 7 + 2 x

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

Ví dụ 4: Tìm số nghiệm của phương trình

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

⇔

(

2 ( x − 1) 10 + 2 x + 6 7 + 2 x 2

( 2 − 2 x)

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

) = x + 20

⇔ 10 + 2 x + 6 7 + 2 x = 2 ( x + 20)

2 3

ẠO

b) ĐKXĐ: x ≥

Vậy phương trình có ngjiệm x = 9

)+(

3x − 2 + 1

3x − 2 + 1 3x − 3

⇔

3x − 2 + 1

)(

x −1 3

Đ G N 3

)=0

x2 + 3 x + 1

 3 1  = 0 ⇔ ( x − 1) +  = 0 (*)  3 x − 2 + 1 3 x 2 + 3 x + 1 x2 + 3 x + 1

 1 3 x 2 + 3 x + 1 =  3 x +  + > 0 nên   2 4

3 3x − 2 + 1

1 3

x + x +1

)

x −1 = 0

x −1

H Ư

)(

3x − 2 − 1

) (

3x − 2 − 1 +

TR ẦN

( ⇔

(

Phương trình ⇔

10 00

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Nhẩm ta thấy x = 1 là nghiệm của phương trình nên ta tách như sau

-L

Í-

Phương trình (*) ⇔ x = 1 (thỏa mãn điều kiện)

ÁN

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 .

c) Phương trình được viết lại như sau: 3 3 x − 2 = x 2 + 15 − x 2 + 8

x 2 + 15 − x 2 + 8 > 0 nên phương trình có nghiệm thì phải thỏa mãn 3 3 x − 2 hay

8 27

IỄ N

ÀN

Vì

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

⇔ 7 + 2 x = 5 ⇔ x = 9 (thỏa mãn điều kiện)

Ta có phương trình tương đương với:

3 3 x − 3 = x 2 + 15 − 4 + 3 − x 2 + 8

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

x2 + 8 + 3

x +1

x2 + 8 + 3

x + 3 x +1

x +1

−

) = 0 (**)

x 2 + 15 + 4

x +1 x 2 + 15 + 4

> 0 nên

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Phương trình (**) ⇔ x = 1

H Ư

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 .

TR ẦN

Ví dụ 5: Tìm số nghiệm của phương trình a) ( x + 3) 2 x 2 + 1 = x 2 + x + 3

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

10 00

A.1 nghiệm

b) ( 3 x + 1) x 2 + 3 = 3 x 2 + 2 x + 3

B.2 nghiệm

Lời giải:

Í-

A.1 nghiệm

ÁN

-L

a) Ta thấy x = −3 không là nghiệm của phương trình

Xét x ≠ −3 , phương trình ⇔ 2 x 2 + 1 =

 x=0 2x2 x2 x2 ⇔ = ⇔  2 x+3  2 ( x + 3) = 2 x + 1 + 1 (*) 2x2 + 1 + 1 x + 3

IỄ N

ÀN

⇔ 2x2 + 1 − 1 =

x2 + x + 3 x+3

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

x +1

−

x + x +1

1 3

x2 + 8 + 3

8 suy ra 27

x +1

x2 + 8 + 3

U Y

⇔ ( x − 1)(

Vì x >

x 2 + 15 + 4

x2 − 1

−

x + 3 x +1

x2 − 1

ẠO

x −1

⇔3

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Phương trình (*) ⇔ 2 x 2 + 1 = 2 x + 5

  5 5   x ≥− x ≥− ⇔ ⇔ 2 2  2  2 2 2 + 1 = 4 + 25 + 20 + 10 + 12 =0 x x x x x  

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

  x ≥ − 5 ⇔ ⇔ x = 5 + 13 (thỏa mãn) 2  x = −5 ± 13

ẠO G

1 8 Đến đây, chú ý 3 x 2 + 2 x + 3 = 3( x + )2 + > 0 3 3

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

1 3x 2 + 2 x + 3 Xét x ≠ − , phương trình đã cho ⇔ x 2 + 3 = 3 3x + 1

H Ư

1 Nên phương trình có nghiệm phải thỏa mãn x > − ⇒ x 2 + 3 + 2 x > 0 3

10 00

 x2 = 1 3(1 − x 2 )  = ⇔ 3x + 1  x 2 + 3 + 2 x = 3 x + 1 x2 + 3 + 2x

3(1 − x 2 )

-L

Í-

* TH1: x 2 = 1 ⇔ x = ±1

⇔

3x 2 + 2 x + 3 − 6 x 2 − 2 x = 3x + 1 x2 + 3 + 2x

⇔

x2 + 3 − 4x2

3x 2 + 2 x + 3 − 2x 3x + 1

TR ẦN

Do đó phương trình đã cho ⇔ x 2 + 3 − 2 x =

1 nên phương trình có nghiệm x = 1 3

x 2 + 3 + 2 x = 3x + 1 ⇔ x2 + 3 = x + 1

* TH2:

ÁN

Nhưng x = −1 không thoả mãn x > −

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

1 không là nghiệm của phương trình 3

b) Ta thấy x = −

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 0 và x = −5 + 13

IỄ N

ÀN

 x ≥ −1 ⇔  2 ⇔ x = 1 (thỏa mãn) x + 3 = x 2 + 1 + 2 x

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 .

Loại 3: Đặt ẩn phụ Ví dụ 6: Tìm số nghiệm của phương trình

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

a) x 2 + x 2 + 11 = 31

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

A.1 nghiệm

TR ẦN

H Ư

A.1 nghiệm

Lời giải:

10 00

a) Đặt t = x2 + 11, t ≥ 0 . Khi đó phương trình đã cho trở thành:

 t=6 t 2 + t − 42 = 0 ⇔   t = −7 

x 2 + 11 = 6

Í-

Vì t ≥ 0 ⇒ t = 6 , thay vào ta có

-L

x 2 + 11 = 36 ⇔ x = ±5

ÁN

Vậy phương trình có nghiệm là x = ±5

ÀN

b) Phương trình ⇔ x2 + 3 x + 3 x2 + 3 x − 10 = 0

D.4 nghiệm

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

=3 x

x2 − x + 1

x2 + x + 1

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

A.1 nghiệm

b) ( x + 5)(2 − x) = 3 x 2 + 3 x

Đặt t = x 2 + 3 x , t ≥ 0 . Phương trình đã cho trở thành

IỄ N

 t=2 t 2 + 3t − 10 = 0 ⇔  .  t = −5 

Vì t ≥ 0 ⇒ t = 2 , thay vào ta có

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

x 2 + 3x = 2

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

 x=1 ⇔ x2 + 3 x − 4 = 0 ⇔   x = −4 

Vậy phương trình có nghiệm là x = 1 và x = −4 .

1 1 = 3 x −1+ x x

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

Xét x > 0 , phương trình ⇔ x 2 + x + 1 = 3 x . x 2 − x + 1 ⇔ x + 1 +

Dễ thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình

H Ư

1 1 Đặt t = x − 1 + , t ≥ 1 ⇒ x + = t 2 + 1 x x

TR ẦN

t = 1 Phương trình trở thành t 2 + 2 = 3t ⇔ t 2 − 3t + 2 = 0 ⇔  t = 2  x −1+

1 = 1 ⇔ x 2 − x + 1 = x ⇔ x = 1 (thỏa mãn) x

• Với t = 2 ta có

x −1+

1 5 ± 21 = 2 ⇔ x 2 − 5x + 1 = 0 ⇔ x = x 2

10 00

• Với t = 1 ta có

-L

Í-

Vậy phương trình có nghiệm là x =

5 ± 21 và x = 1 . 2 f ( x) = t .

ÁN

Nhận xét: Phương trình có dạng af ( x) + b f ( x) + c = 0 ta đặt

ÀN

Ví dụ 7: Tìm số nghiệm của phương trình

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

c) ĐKXĐ: x ≥ 0

4 x − 1 + 4 x2 − 6 x + 1 = 0

A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

IỄ N

3x 2 − 2 x + 9 + 3x 2 − 2 x + 2 = 7

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

B.2 nghiệm

H D.4 nghiệm

t2 + 1 4

Đặt t = 4 x − 1, t ≥ 0 ⇒ x =

1 4

10 00

a) ĐKXĐ: x ≥

TR ẦN

Lời giải:

H Ư

A.1 nghiệm

Í-

 t 2 + 1 t2 + 1  − 6 Phương trình trở thành t + 4  +1= 0  4  4

-L

⇔ 4t + t 4 + 2t 2 + 1 − 6 (t 2 + 1) + 4 = 0

ÁN

⇔ t 4 − 4t 2 + 4t − 1 = 0 ⇔ (t − 1)(t 3 + t 2 − 3t + 1) = 0

IỄ N

ÀN

 t=1 2 ⇔ (t − 1) (t 2 + 2t − 1) = 0 ⇔  (loại t = −1 − 2 ) 1 2 t = − ± 

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

ẠO

2x2 + 8x + 1 =5 x 2x + 1

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

A.1 nghiệm

1 1 c) 3 x + 8 = 9 x + + x x

A.1 nghiệm

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

1 2

Với t = 1 ta có 1 = 4 x − 1 ⇔ x =

Với t = −1 + 2 ta có −1 + 2 = 4 x − 1 ⇔ 4 x − 1 = 3 − 2 2 ⇔ x =

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

2− 2 2

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

1 2− 2 và x = . 2 2

t2 + 7 + t = 7

N U Y .Q TP ẠO TR ẦN

H Ư

  x = 1 + 22  3 ⇔ 3x 2 − 2 x + 2 = 9 ⇔ 3x 2 − 2 x − 7 = 0 ⇔    x = 1 − 22  3

3x 2 − 2 x + 2 = 3

Với t = 3 ta có

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

t ≤7  ⇔ t 2 + 7 = 7 − t ⇔  2 t + 7 = t 2 − 14t + 49 t ≤ 7 ⇔  ⇔t=3 t = 3

1 ± 22 . 3

10 00

Vậy phương trình có hai nghiệm x =

c) ĐKXĐ: x > 0 .

Phương trình tương đương với

ÁN

-L

Í-

 1  1  + 8 = 9( x + ) . 3  x − 9x  3 x  1

Đặt t = x −

1 2 1 2 − ⇒ x+ = t2 + 9x 3 9x 3

ÀN

3 x

⇒ t2 = x +

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

Phương trình trở thành

3x 2 − 2 x + 9 = t 2 + 7 .

b) Đặt t = 3x 2 − 2 x + 2 , điều kiện t ≥ 0 . Khi đó

Vậy phương trình có hai nghiệm x =

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Phương trình trở thành:

IỄ N

 2  t=  2 2   3 3t + 8 = 9 t +  ⇔ 9t 2 − 3t − 2 = 0 ⇔   1 3  t = −  3

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

  x =1 2 = ⇔ 3x − 2 x − 1 = 0 ⇔  ⇔ x=1 x−  x =−1 3 x 3  3 

2 Với t = ta có 3

3 x

=−

1 3

U Y .Q TP ẠO G

7 − 13 . 18

Vậy phương trình có nghiệm là x = 1 và x = d) ĐK: x ≥ 0 .

TR ẦN

Dễ thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình.

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

  x = −1 + 13  7 − 13 6 ⇔ 3x + x − 1 = 0 ⇔  ⇔ x=  18  x = −1 − 13  6

) = 2( x +

10 00

10 x x + 5 x = 2 x 2 + 1 + 8 x ⇔ 5( x +

Xét x ≠ 0 . Khi đó phương trình tương đương với

= 2 ⇒t≥ 2

2 x

≥2

-L

1 = t 2 − 1 . Phương trình trở thành: 4x

ÁN

Suy ra x +

Í-

Đặt t = x +

2 x

1 )+4 4x

ÀN

5t = 2(t 2 − 1) + 4 ⇔ 2t 2 − 5t + 2 = 0 ⇔ t = 2 (thỏa mãn) hoặc t =

1 3±2 2 = 3 ⇔ 4 x 2 − 12 x + 1 = 0 ⇔ x = (thỏa mãn) 4x 2

IỄ N

Với t = 2 ta có x +

1 (loại) 2

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

x−

1 ta có 3

Với t = −

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

3±2 2 2 1 1 Nhận xét: Phương trình có chứa af ( x) ± và a 2 f 2 ( x) + 2 2 thì ta đặt ẩn phụ là bf ( x) b f ( x)

Ơ H

bf ( x)

Ví dụ 8: Tìm số nghiệm của phương trình 2

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

A.1 nghiệm

ẠO

a) ( x + 1) − 2 2 x( x 2 + 1) = 0

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

10 00

A.1 nghiệm

TR ẦN

b) 10 x 3 + 1 = 3( x 2 + 2)

c) 4 + x + 1 = 3 x 2 − 1 + 2 x − 1

B.2 nghiệm

Í-

A.1 nghiệm

-L

Lời giải:

2 x = a , x 2 + 1 = b; a ≥ 0, b ≥ 0

ÀN

Đặt

ÁN

a) ĐKXĐ: 2 x ( x 2 + 1) ≥ 0 ⇔ x ≥ 0

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

t = af ( x) ±

Vậy phương trình có nghiệm là x =

IỄ N

Suy ra a 2 + b 2 = 2 x + x 2 + 1 = ( x + 1)

Phương trình trở thành a 2 + b2 − 2 ab = 0 ⇔ (a − b) = 0 ⇔ a = b

Suy ra

2 x = x 2 + 1 ⇔ 2 x = x 2 + 1 ⇔ ( x − 1) = 0 ⇔ x = 1 (thỏa mãn)

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Vậy phương trình có nghiệm là x = 1

b) ĐKXĐ: x 3 + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ −1 .

H N

x + 1 = a , x 2 − x + 1 = b , a ≥ 0, b ≥ 0

Suy ra a 2 + b2 = x 2 + 2 khi đó

ẠO

Phương trình trở thành

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

10 ab = 3 ( a2 + b2 ) ⇔ 3a 2 − 10 ab + 3b2 = 0

H Ư

 3a = b ⇔ (3a − b)(a − 3b) = 0 ⇔   a = 3b 

TR ẦN

Với 3a = b ta có 3 x + 1 = x 2 − x + 1 ⇔ 9 ( x + 1) = x 2 − x + 1

⇔ x 2 − 10 x − 8 = 0 ⇔ x = 5 ± 33 (thỏa mãn điều kiện)

x + 1 = 3 x 2 − x + 1 ⇔ x + 1 = 9 ( x 2 − x + 1)

10 00

Với a = 3b ta có

⇔ 9 x 2 − 10 x + 8 = 0 (phương trình vô nghiệm)

Í-

Vậy phương trình có nghiệm là x = 5 ± 33 .

ÁN

x + 1 = a , x − 1 = b; a ≥ 0, b ≥ 0

Đặt

-L

c) ĐKXĐ: x ≥ 1

ÀN

Phương trình trở thành 4 + a = 3ab + 2b

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

Đặt

Phương trình ⇔ 10 ( x + 1)( x 2 − x + 1) = 3( x 2 + 2)

Mặt khác a 2 + b2 = 2 suy ra 2 ( a2 + b2 ) + a = 3ab + 2b ⇔ (a − 2b)(2 a + b + 1) = 0

IỄ N

⇔ a = 2b (do 2 a + b + 1 > 0 )

Suy ra

x + 1 = 2 x − 1 ⇔ x + 1 = 4 ( x − 1) ⇒ x =

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

5 (thỏa mãn) 3

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Vậy phương trình có nghiệm là x =

5 . 3

Ví dụ 9: Tìm m để phương trình sau có nghiệm 2

−12 + 3 2

C. m ≤

−12 + 3 2

C. −1 < m ≤

1 3

ẠO

1 3

B. m ≤

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

b) 3 x − 1 + m x + 1 = 2 4 x 2 − 1 (2)

A. −1 < m

H Ư

Lời giải:

TR ẦN

a) Đặt t = x 2 − x + 1 2

⇒ t 2 = x 2 − x + 1 ⇒ (2x − 1) = 4x 2 − 4x + 1 = 4t 2 − 3 2

10 00

 1 3 3 3 Vì x − x + 1 =  x −  + ≥ nên t ≥   2 4 4 2

Phương trình (1) trở thành 4t 2 − 3 + m = t ⇔ −4t 2 + t + 3 = m (1')

1 3 b = < 2a 8 2

Ta có −

3 2

ÁN

-L

Í-

Xét hàm số y = −4t 2 + t − 3 với t ≥

D. m <

−12 + 3 2

D. −1 < m <

1 3

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

B. m >

−12 + 3 2

A. m ≥

U Y

a) (2 x − 1) + m = x 2 − x + 1 (1)

IỄ N

ÀN

Bảng biến thiên

3 2

+∞

−12 + 3 2

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

x2 − 1 x +1

⇔ −3

+m= 2

x −1 x −1 +24 =m x +1 x +1

10 00

x +1

x + 1 ta có

2 x −1 4 = 1− ⇒ 0≤t <1 x +1 x +1

Í-

Đặt t = 4

x −1

TR ẦN

b) ĐKXĐ: x ≥ 1 .

( 2) ⇔ 3

−12 + 3 2

H Ư

Vậy phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi m ≤

Chia cả hai vế cho

U Y .Q TP

ẠO

−12 + 3 . 2

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

y= m ⇔ m≤

3 ; +∞) cắt đường thẳng 2

3 2

Phương trình (1) có nghiệm ⇔ phương trình (1') có nghiệm t ≥

⇔ đồ thị hàm số y = −4t 2 + t − 3 trên [

−∞

ÁN

-L

Phương trình (2) trở thành −3t 2 + 2t = m (2')

Xét hàm số y = −3t 2 + 2t trên [0; 1) , ta có −

 1 1 b 1 = , y   = 2a 3  3  3

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

IỄ N

ÀN

Bảng biến thiên

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

1 3

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

−1

Ơ H

Lưu ý: Khi giải bài toán bằng cách đặt ẩn phụ , đối với loại toán không chứa tham số thì

ẠO

có thể không nêu điều kiện(hoặc điều kiện "lỏng") của ẩn phụ vì sau khi tìm được

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

nghiệm ẩn phụ rồi chúng ta phải thay lại để giải. Nhưng với bài toán chứa tham số thì

chúng ta cần phải nêu điều kiện "chặt" đối với ẩn phụ.

H Ư

Loại 4: Đặt ẩn phụ không hoàn toàn

A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

TR ẦN

Ví dụ 10: Tìm số nghiệm nguyên của phương trình 3 x + 3 = 3 x 2 + 4 x − 1 C. 3 nghiệm

D. Vô nghiệm

10 00

Lời giải:

ĐKXĐ: x ≥ −3

Í-

(t ≥ 0) phương trình trở thành −27t 2 − 3t + 3x2 + 31x + 80 = 0

-L

Đặt t = x + 3

Phương trình ⇔ −27 ( x + 3) − 3 x + 3 + 3 x 2 + 31x + 80 = 0

x+3 =

ÀN

•

IỄ N

•

−3 x − 16 x+5 ,t 2 = 9 3

ÁN

Có ∆t = (18 x + 93) suy ra t1 =

x+3 =

−3 x − 16 −3 x − 16 <0 Vô nghiệm vì với x ≥ −3 thì 9 9

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

1 3

Vậy phương trình (2) có nghiệm khi và chỉ khi −1 < m ≤

1 3

⇔ đồ thị hàm số y = −3t 2 + 2t trên [0; 1) cắt đường thẳng y = m ⇔ −1 < m ≤

Phương trình (2) có nghiệm ⇔ phương trình (2') có nghiệm t ∈ [0;1)

x+5 ⇔ x 2 + x − 2 = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = −2 3

Vậy phương trình ban đầu có hai nghiệm x = 1 và x = −2

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Nhận xét:Trong lời giải trên ta thấy khó nhất là biến đổi phương trình ban đầu thành

−27 ( x + 3) − 3 x + 3 + 3 x 2 + 31x + 80 = 0

để sau khi đặt ẩn phụ t = x + 3

thì

Ơ H

△ không là bình phương của một nhị thức hoặc là một

Nếu ta tách không hợp lý thì

phương trình ẩn t có △= (18 x + 93) ( là bình phương của một nhị thức)

hiện được.

Vậy làm thế nào để tách được phương trình mà thỏa mãn các điều kiện trên và việc tách

ẠO

ra như thế có là duy nhất?.Để trả lời được câu hỏi này ta thực hiện theo các bước như

( m ≠ 0)

(t ≥ 0) pt trở thành

mt 2 − 3t + 3 x 2 + (4 − m) x − 1 − 3m = 0

TR ẦN

B2: Đặt t = x + 3

H Ư

B1: Viết (1) ⇔ m ( x + 3) − 3 x + 3 + 3 x 2 + ( 4 − m) x − 1 − 3m = 0

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Có ∆t = −12 mx 2 − 4 m (4 − m) x + 12 m2 + 4 m + 9 = f ( x)

10 00

−12 m > 0 −12 m > 0 B3: Tìm m sao cho  ⇔ / ⇔ m = −27  / ∆ f = 0 ∆ f = 4m (m + 27)(m 2 + m + 1) = 0  

Đến đây việc giải pt như đã trình bày ở trên

60 − 24 x − 5x 2 = x 2 + 5 x − 10

B.2 nghiệm

ÁN

-L

A.1 nghiệm

Í-

Ví dụ 11: Tìm số nghiệm của phương trình sau

C. 3 nghiệm

D. Vô nghiệm

Lời giải:

ÀN

ĐKXĐ: 60 − 24 x − 5 x 2 ≥ 0

IỄ N

Đặt t = 60 − 24 x − 5 x 2 (t ≥ 0) pt trở thành

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

hằng số ,trong trường hợp đó việc giải phương trình theo hướng trên là không thể thực

1 2 1 t + t − x 2 − x = 0 ⇔ t 2 + 6t − x 2 − 6 x = 0 6 6

Phuơng trình ẩn t này có ∆/ = ( x + 3) nên ta tìm được t1 = x , t2 = −x − 6

x ≥ 0 • 60 − 24 x − 5 x 2 = x ⇔  2 ⇔ x = −2 + 14 x + 4 x − 10 = 0 

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

−x − 6 ≥ 0 • 60 − 24 x − 5 x 2 = −x − 6 ⇔  2 ⇔ x = −3 − 13 x + 6 x − 4 = 0 

TP Đ

ẠO

ĐKXĐ: −x 2 − 8 x + 48 ≥ 0

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

D. Vô nghiệm

Lời giải:

N H Ư

(t ≥ 0)

TR ẦN

−1 2 −1 2 t + ( x + 3) t + x − 3x − 4 = 0 2 2

t = −x 2 − 8 x + 48 (t ≥ 0) phương trình trở thành

C. 3 nghiệm

Phương trình bậc hai ẩn t có ∆t = 1 từ đó có t = x + 2, t = x + 4

10 00

 x + 2 ≥ 0 • −x 2 − 8 x + 48 = x + 2 ⇔  2 ⇔ x = −3 + 31  x + 6 x − 22 = 0 

 x + 4 ≥ 0 • −x 2 − 8 x + 48 = x + 4 ⇔  2 ⇔ x = −4 + 4 2  x + 8 x − 16 = 0 

-L

Í-

Vậy pt ban đầu có hai nghiệm x1 = −3 + 31 , x2 = −4 + 4 2

ÁN

3. Bài tập luyện tập.

2 x + 1 = 3x + 1

A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. Vô nghiệm

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. Vô nghiệm

IỄ N

ÀN

Bài 3.33: Tìm số nghiệm của phương trình sau:

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

B.2 nghiệm

A.1 nghiệm

(4 − x)(12 + x) = 28 − x

U Y

Ví dụ 12: Tìm số nghiệm của phương trình ( x + 3)

Vậy pt ban đầu có hai nghiệm x1 = −2 − 14 , x2 = −3 − 13

x3 − x = 4x + 4 A.1 nghiệm

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

x 4 + 3x + 1 = x4 − x2 − 1 B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. Vô nghiệm

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. Vô nghiệm

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. Vô nghiệm

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

A.1 nghiệm

e) 2 x + 3 = 9 x 2 − x − 4

TR ẦN

A.1 nghiệm

H Ư

f) x 2 + x + 7 = 7

Lời giải:

-L

Í-

  x=0 x ≥ − 1   3 ⇔ ⇔ x = − 4  4 x x = 0, = −  9  9 

10 00

 x ≥ − 1 3 x + 1 ≥ 0 ⇔ . Bài 3.33: a) Pt ⇔  3 2 x + 1 = (3 x + 1)2  2  9 x + 4 x = 0

ÀN

ÁN

 x = −1  x ≥ −1  b) PT ⇔  3 ⇔ x − 5 x − 4 = 0  x = 1 + 7  2 

D. Vô nghiệm

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

A.1 nghiệm

2x + 6x2 + 1 = x + 1

U Y

A.1 nghiệm

IỄ N

2   4 x4 − x2 − 1 ≥ 0  x − x − 1 ≥ 0 ⇔ x = −2 c) PT ⇔  ⇔  4 x + 3 x + 1 = x 4 − x 2 − 1 x 2 + 3 x + 2 = 0  

x + 1 ≥ 0 x ≥ −1   d) Pt ⇔  ⇔ 2 x + 6 x 2 + 1 = ( x + 1)2  6 x 2 + 1 = x 2 + 1  

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

x ≥ −1  x ≥ −1 ⇔  2 ⇔ ⇔ x = 0, x = 2 6 x + 1 = ( x 2 + 1)2 x 4 − 4 x 2 = 0  

N Ơ H N ẠO

1 − 29 . 2

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Từ đó phương trình đã cho có hai nghiệm x = 2; x =

f) x 2 − ( x + 7) + ( x + x + 7 ) = 0 ⇔ ( x + x + 7 )( x − x + 7 + 1) = 0

H Ư

Bài 3.34: Tìm số nghiệm của phương trình sau:

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. Vô nghiệm

C. 3 nghiệm

D. Vô nghiệm

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. Vô nghiệm

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. Vô nghiệm

10 00

A.1 nghiệm

TR ẦN

x 2 + 12 + 5 = 3x + x 2 + 5

b) 3 3 x 2 + x 2 + 8 − 2 = x 2 + 15

B.2 nghiệm

Í-

A.1 nghiệm

5x − 1 + 3 9 − x = 2 x 2 + 3 x − 1

ÁN

-L

ÀN

A.1 nghiệm

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

)

x = 1  x + 3 + 1 = 3x  = 9 x 2 ⇔  ⇔ −5 − 97  x + 3 + 1 = −3 x  x = 18 

U Y

(

e) 1 + 3 + x

x + 6 + x2 = 7 − x − 1

A.1 nghiệm

Lời giải:

IỄ N

Bài 3.34: a) ĐKXĐ: x ≥

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

5 3

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Phương trình đã cho tương đương với:

x2 + 5 + 3

x 2 + 12 + 4

x2 − 4

= 3 ( x − 2) +

x2 − 4

⇔

x 2 + 12 − 4 = 3x − 6 + x 2 + 5 − 3

x2 + 5 + 3

⇒

ẠO Đ

x 2 + 12 + 4

−

x+2

x2 + 5 + 3

< 0 nên pt (*) vô nghiệm.

TR ẦN

x 2 + 12 + 4

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

x = 2  ⇔  x+2 x+2 − − 3 = 0(*)  x 2 + 12 + 4 2 x +5 +3 

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2.

) (

x2 − 1 +

) (

x2 + 8 − 3 =

(

x 2 + 15 − 4

)

x4 + 3 x2 + 1

x2 − 1

Í-

3 ( x 2 − 1)

x2 + 8 + 3

-L

⇔

PT ⇔ 3

10 00

b) Ta dự đoán được nghiệm x = ±1 , và ta viết lại phương trình như sau:

x2 − 1 x 2 + 15 + 4

ÀN

ÁN

 x2 = 1  ⇔  1 1 1 + = 3 4 3 2 x2 + 8 + 3 x 2 + 15 + 4  x + x + 1

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

 x+2 x+2  ⇔ ( x − 2) − − 3 = 0   x 2 + 12 + 4 x2 + 5 + 3

x 2 + 15 > x 2 + 8 ⇒ x 2 + 15 + 4 > x 2 + 8 + 3 ⇒

IỄ N

Mặt khác, ta có:

1 2

x + 15 + 4

1 2

x +8 +3

Nên phương trình thức hai vô nghiệm.

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Vậy pt có 2 nghiệm x = 1, x = −1 .

1 c) ĐKXĐ: x ≥ . 5

Phương trình đã cho tương đương với:

(

)

(

.Q TP

  =0 2  3 3 9−x + 2 9−x + 4  1

)

  5 5x − 1 + 5 ⇔ ( x − 1)  2 x + + 5x − 1 + 2  

  =0 2  3 9− x + 23 9− x + 4  1

10 00

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất x = 1 .

d) ĐKXĐ: x ≥ 1

Í-

PT ⇔ 3 x + 6 + x − 1 + x 2 − 7 = 0

-L

⇔ ( 3 x + 6 − 2) + ( x − 1 − 1) + ( x 2 − 4) = 0 (1)

ÁN

Ta có ∀x ≥ 1 : 3 ( x + 6)2 + 2 3 x + 6 + 4 = ( 3 x + 6 + 1)2 + 3 > 0 & x − 1 + 1 > 0

x−2 2

( x + 6) + 2 3 x + 6 + 4

x−2 x −1 + 1

+ ( x − 2)( x + 2) = 0

ÀN

Do đó PT ⇔

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

  5 ⇔ ( x − 1)  2 x + 5 − + 5x − 1 + 2  

= ( x − 1)(2 x + 5)

ẠO

)

9−x +23 9−x + 4

(

1− x 2

5x − 1 + 2

H Ư

5 ( x − 1)

TR ẦN

⇔

U Y

5x − 1 − 2 + 3 9 − x − 2 = 2 x 2 + 3x − 5

IỄ N

  1 1   ⇔ ( x − 2)  + + x + 2 = 0 ⇔ x = 2 x −1 + 1  3 ( x + 6)2 + 2 3 x + 6 + 4 

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2 .

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Bài 3.35: Tìm số nghiệm của phương trình

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. Vô nghiệm

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. Vô nghiệm

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

A.1 nghiệm

b) (2 x − 1) = x 2 − x + 1

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. Vô nghiệm

C. 3 nghiệm

D. Vô nghiệm

C. 3 nghiệm

D. Vô nghiệm

1 2

-L

x +1 − 3− x

= x−

Í-

x +1

10 00

A.1 nghiệm

D. Vô nghiệm

TR ẦN

d) x 2 − 2 x − 22 − −x 2 + 2 x + 24 = 0

C. 3 nghiệm

H Ư

B.2 nghiệm

A.1 nghiệm

c) 13 x + 2(3x + 2) x + 3 + 42 = 0

B.2 nghiệm

4 x − 1 + 4 x2 − 6 x + 1 = 0

A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

IỄ N

ÀN

ÁN

A.1 nghiệm

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

A.1 nghiệm

x2 + x + 2 = x2 + x

g) x 2 + 2 x x −

1 = 3x + 1 x

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. Vô nghiệm

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. Vô nghiệm

N .Q

Lời giải:

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

t = −1(l) Phương trình trở thành: t = t 2 − 2 ⇔ t 2 − t − 2 = 0 ⇔   t=2 

ẠO

Bài 3.35: a) Đặt t = x 2 + x + 2 , ( t ≥ 0) ⇒ x 2 + x = t 2 − 2

TR ẦN

H Ư

 x=1 Với t = 2 ta có: 2 = x 2 + x + 2 , ( t ≥ 0) ⇔ x 2 + x − 2 = 0 ⇔   x = −2  b) Đặt t = x 2 − x + 1, ( t ≥ 0) ⇒ x 2 − x = t 2 − 1

t =1  Phương trình trở thành: 4 (t − 1) + 1 = t ⇔ 4t − t − 3 = 0 ⇔  t = 3  4 2

10 00

Từ đó phương trình có nghiệm là x = 0, x = 1

-L

Í-

c) Điều kiện x + 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ −3 . Đặt t = x + 3 , t ≥ 0 ⇒ x = t 2 − 3

ÁN

Lúc đó phương trình đã cho trở thành: 13(t 2 − 3) + 2  3(t 2 − 3) + 2 t + 42 = 0 ⇔ 6t 3 + 13t 2 − 14t + 3 = 0  

U Y

A.1 nghiệm

h) x 2 + 3 x 4 − x 2 = 2 x + 1

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

A.1 nghiệm

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

IỄ N

ÀN

 t = 1  2 ⇔ (t + 3)(6t 2 − 5t + 1) = 0 ⇔ 6t 2 − 5t + 1 = 0,(t ≥ 0) ⇔   1 t = 3 

Từ đó x = −

11 26 ;x =− . 4 9

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

d) Đặt t = −x 2 + 2 x + 24 , ( t ≥ 0) ⇒ −x 2 + 2 x + 24 = t 2 ⇒ x 2 − 2 x − 22 = 2 − t 2

−x 2 + 2 x + 24 = 1 ⇔ x 2 − 2 x − 23 = 0 ⇔ x = 1 ± 2 6

)

x + 1 + 3 − x = (2 x − 1)(2 x − 2)

ẠO

(

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

PT ⇔ 2 x + 1

e) ĐKXĐ: −1 ≤ x ≤ 3, x ≠ 1 .

H Ư

⇔ −x 2 + 2 x + 3 = 2 ( x 2 − 2 x) .

1 2− 2 , x= 2 2

ĐS: x =

TR ẦN

f) Đặt t = 4 x − 1 , ta có t 4 − 4t 2 + 4t − 1 = 0 ⇔ (t − 1)2 (t 2 + 2t − 1) = 0

10 00

g) Điều kiện: −1 ≤ x < 0

1 1 = 3+ x x

Chia cả hai vế cho x ta nhận được: x + 2 x −

-L

Í-

 t =1 1 Đặt t = x − , ta được t 2 + 2t − 3 = 0 ⇔  .  t = −3 x 

ÀN

ÁN

 1 1 h) x = 0 không phải là nghiệm , Chia cả hai vế cho x ta được:  x −  + 3 x − = 2  x x 1 1± 5 , Ta có : t 3 + t − 2 = 0 ⇔ t = 1 ⇒ x = x 2

IỄ N

Đặt t = 3 x −

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

Với t = 1 ta có:

 t =1 Phương trình trở thành: 2 − t 2 − t = 0 ⇔ t 2 + t − 2 = 0 ⇔  t = −2(l) 

Bài 3.36: Tìm số nghiệm của phương trình a) 4 x 2 + 22 + 3 x − 2 = 21x

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. Vô nghiệm

C. 3 nghiệm

D. Vô nghiệm

)

(

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

ẠO

B.2 nghiệm

D. Vô nghiệm

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

A.1 nghiệm

c) 51 x − 2 = 3 x 2 − 58 x + 110

D. Vô nghiệm

TR ẦN

A.1 nghiệm

H Ư

d) x 2 + x 3 x − 1 + 2 = 6 x

Lời giải:

10 00

Bài 3.36: a) PT ⇔ −(3 x − 2) + 3 x − 2 + 4 x 2 − 18 x + 20 = 0

Đặt t = 3 x − 2 , t ≥ 0 .

-L

Í-

Phương trình trở thành −t 2 + t + 4 x 2 − 18 x + 20 = 0 , có ∆t = ( 4 x − 9)

ÁN

Từ đó ta có nghiệm phương trình là x =

19 + 73 23 − 97 , x= 8 8

ÀN

b) PT ⇔ 2 ( x + 3) + 5x x + 3 + 3 x 2 − 3 x − 18 = 0

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

A.1 nghiệm

b) x 1 − 5 x + 3 = 3 ( x 2 − 4)

Đặt t = x + 3 , t ≥ 0 .

IỄ N

Phương trình trở thành 2t 2 + 5xt + 3 x2 − 3 x − 18 = 0 2

Có ∆t = ( x + 12) . Từ đó ta có nghiệm phương trình là x = 1, x = −

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

16 + 2 10 9

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

c) PT ⇔ −27 ( x − 2) − 51 x − 2 + 3 x 2 − 31x + 56 = 0

Đặt t = x − 2 , t ≥ 0 .

Phương trình trở thành −27t 2 − 51t + 3x 2 − 31x + 56 = 0 2

N H Ư

3± 5 . 2

TR ẦN

Từ đó ta có nghiệm phương trình là x =

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

d) PT ⇔ −2 (3 x − 1) + x 3 x − 1 + x 2 = 0 ⇔ ( x − 3 x − 1)(2 3 x − 1 + x) = 0

B.2 nghiệm

2( x + 3) . ( x − 3)2

C. 3 nghiệm

D. Vô nghiệm

Lời giải:

10 00

A.1 nghiệm

Bài 3.37: Tìm số nghiệm của phương trình x + x 2 − 9 =

-L

Í-

a2 + b2 = 2 x Bài 3.37: • Với x > 3 : Đặt a = x + 3; b = x − 3; a > 0, b > 0 ⇒  2  a − b2 = 6 

ÁN

Phương trình trở thành: 4a2 a ⇔ a+b = 2 2 4 b b 2 a (a − b) ⇔ (a + b)(a − b) = ⇔ 6b2 = 2 a (a − b) 2 b 1 ± 13 ⇔ a 2 − ab − 3b2 = 0 ⇔ a = b 2

IỄ N

ÀN

a 2 + b 2 + 2 ab =

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

25 + 3 33 41 − 3 93 , x= 2 6

ẠO

Từ đó ta có nghiệm phương trình là x =

U Y

Có ∆t = (18 x − 93)

Do a > 0, b > 0 ⇒ a =

1 + 13 b 2

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

1 + 13 x − 3 ⇔ x = 8 − 13 (thỏa mãn). 2

• Với x ≤ −3 tương tự ta có phương trình vô nghiệm.

• Với −3 < x ≤ 3 khi đó phương trình không xác định nên nó vô nghiệm.

TR ẦN

x 2 − x + 1 = −x − 2

Lời giải: Bài 3.38: Xét phương trình

ẠO

C. 3 nghiệm

B.2 nghiệm

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

A.1 nghiệm

x 3 + 2 x 2 − 3x + 1 x2 + 2

x2 − x + 1 =

Bài 3.38: Tìm số nghiệm của phương trình

U Y

Vậy phương trình có nghiệm là x = 8 − 13 .

10 00

 x ≤ −2  x ≤ −2  (vô nghiệm) ⇔ 2 ⇔  x − x + 1 = x 2 + 4 x + 4 x = − 3 5 

x 2 − x + 1 + x + 2 ≠ 0 do đó

Suy ra

ÁN

−5 x − 3

x2 − x + 1 + x + 2

x 3 + 2 x 2 − 3x + 1 − ( x + 2) x2 + 2

 5x + 3 = 0 −5 x − 3  ⇔  2 2 x2 + 2  x − x + 1 + x + 2 = x + 2

⇔

-L

Í-

Phương trình ⇔ x 2 − x + 1 − ( x + 2) =

IỄ N

ÀN

 3  x =−  5 ⇔  2  x − x + 1 = x 2 − x (**)

D. Vô nghiệm

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

x+3 =

Suy ra

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

 x2 − x ≥ 0  1± 3 + 2 5 Ta có (**) ⇔  2 2 ⇔ x= x − x + 1 = ( x 2 − x) 2 

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

   3 1 − 3 + 2 5 1 + 3 + 2 5  Suy ra phương trình có nghiệm là x ∈ − ; ;   5  2 2  

Để giải phương trình f ( x) = 0 ta phân tích f ( x) = f1 ( x) . f2 ( x) ... fn ( x) khi đó

ẠO Đ G N H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

  f 1 ( x) = 0   f ( x) = 0 f ( x) = 0 ⇔  2 ....   f ( x) = 0  n

TR ẦN

Để đưa về một phương trình tích ta thường dùng các cách sau:

• Sử dụng các hằng đẳng thức đưa về dạng a 2 − b2 = 0, a3 − b3 = 0,... • Nhẩm nghiệm rồi chia đa thức: Nếu x = a là một nghiệm của phương trình f ( x) = 0 thì ta luôn có sự phân thích: f ( x) = ( x − a) g( x) .

10 00

* Để dự đoán nghiệm ta chú ý các kết quả sau:

Cho đa thức f ( x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0

+ Nếu phương trình f ( x) = 0 có nghiệm nguyên thì nghiệm đó phải là ước của a0 .

ÁN

nghiệm bằng 1.

-L

Í-

+ Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng không thì phương trình f ( x) = 0 có một

+ Nếu đa thức có tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì phương trình

ÀN

f ( x) = 0 có một nghiệm bằng -1.

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

1. Phương pháp giải

U Y

DẠNG TOÁN 4: PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO. Loại 1: Đưa về phương trình tích.

* Để phân tích f ( x) ta sử dụng lược đồ Hooc-ne như sau:

IỄ N

Nếu f ( x) có nghiệm là x = x0 thì f ( x) chứa nhân tử

– x0 ) tức là :

f ( x) = ( x – x0 ) .g ( x) , trong đó g ( x) = bn−1 x n−1 + bn − 2 x n − 2 + ... + b1 x + b0 Với hệ số bi được xác định như sau:

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

bn−2 = a.an + an−1 ..........

bn−1 = an

b1 = a.a2 + a1

..........

an − 1

Lược đồ Hoócne

Suy ra phương trình có hai nghiệm x1 = 1, x2 = −1

x=1

x = −1

-1

TR ẦN

10 00

H Ư

Lược đồ Hoócne

Ta có phương tình thương đương với ( x − 1)( x + 1)( x 2 + x + 1) = 0 ⇔ x = ±1 .

• Sử dụng phương pháp hệ số bất định 2. Các ví dụ minh họa.

-L

Í-

Ví dụ 1: Tìm số nghiệm của phương trình

ÁN

a) x 3 − 3 x2 − 6 x + 8 = 0

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. Vô nghiệm

C. 3 nghiệm

D. Vô nghiệm

ÀN

A.1 nghiệm

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

a4 + a2 + a0 = 1 + 0 + (−1) = a3 + a1 = 1 + (−1)

U Y

Và :

a4 + a3 + a2 + a1 + a0 = 1 + 1 + 0 + (−1) + (−1) = 0

Nhận thấy :

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Ví dụ : Giải phương trình x 4 + x 3 – x – 1 = 0

A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

IỄ N

b) 3x 5 − 13x 4 + 16 x3 + 5x 2 − 21x + 6 = 0 .

Lời giải:

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

a) Phương trình tương đương với ( x + 2)( x 2 − 5 x + 4) = 0

 x = −2  ⇔ ( x + 2)( x − 1)( x − 4) = 0 ⇔  x = 1  x=4 

Vậy phương trình có nghiệm là x = −1, x =

1 và x = 2 3

10 00

Ví dụ 2: Tìm số nghiệm của phương trình : x 4 − 4 x 3 − 10 x 2 + 37 x − 14 = 0 B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

Lời giải:

A.1 nghiệm

Í-

Đối với phương trình này ta không nhẩm được nghiệm nguyên hay hữu tỉ

+ a1 x + b1 )( x 2 + a2 x + b2 ) = 0

ÁN

-L

Bây giờ ta giả sử phương trình trên phân tích được thành dạng

⇔ x 4 + (a1 + a2 ) x 3 + (a1a2 + b1 + b2 ) x 2 + (a1b2 + a2 b1 ) x + b1b2 = 0

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

Đ G N H Ư

TR ẦN

 x = −1  x = 2 ⇔ (3 x − 1)( x − 2)( x + 1)( x 2 − 3 x + 3) = 0 ⇔    x= 1  3

ẠO

⇔ ( x + 1)( x − 2)(3 x 3 − 10 x 2 + 12 x − 3) = 0

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

b) Phương tình tương đương với ( x + 1)(3 x 4 − 16 x 3 + 32 x 2 − 27 x + 6) = 0

U Y

Vậy phương trình có nghiệm là x = −2, x = 1 và x = 4

IỄ N

ÀN

 a1 + a2 = −4 a a + b + b = −10 1 2 Đồng nhất các hệ số ta có  1 2 a1b2 + a2 b1 = 37  b1b2 = −14

Suy ra b1 = −2; b2 = −7; a1 = −5; a2 = 1 Do đó phương trình tương đương với

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

− 5 x + 2)( x 2 + x − 7 ) = 0

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ơ N

5 ± 17 −1 ± 29 và x = 2 2

Ví dụ 3: Tìm số nghiệm của phương trình:

C. 3 nghiệm

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. Vô nghiệm

ẠO

B.2 nghiệm

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

A.1 nghiệm

a) x 4 − 4 x 2 + 12 x − 9 = 0

TR ẦN

A.1 nghiệm

H Ư

b) x 4 − 4 x = 1

D. 4 nghiệm

10 00

Lời giải:

a) Phương trình tương đương với x 4 − (2 x − 3)2 = 0

Í-

 x=1 ⇔ ( x 2 + 2 x − 3)( x 2 − 2 x + 3) = 0 ⇔   x = −3 

ÁN

-L

Vậy phương trình có nghiệm là x = 1 và x = −3

b) Phương trình tương đương với x 4 − 2 x 2 + 1 − 2( x 2 − 2 x + 1) = 0

ÀN

⇔ ( x 2 − 1)2 − [ 2( x − 1)]2 = 0 ⇔ ( x 2 + 2 x − 2 − 1)( x 2 − 2 x + 2 − 1) = 0

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

Vậy phương trình có nghiệm là x =

 5 ± 17   x2 − 5x + 2 = 0  x = 2 ⇔  2 ⇔  x + x 7 − = 0   x = −1 ± 29  2

 − 2 ± 2 +3  x =  + 2x − 2 −1 = 0  2 ⇔ 2 x − 2x + 2 − 1  2 ± 3− 2  x=  2

IỄ N

 x  

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Vậy phương trình có nghiệm là x ∈ {

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

− 2±

2 +3 2

;

2 ± 3− 2 } 2 2

B. m > 0

C. m < 0

D. m > 1

A. m < 1

ba nghiệm dương phân biệt.

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Lời giải:

Nhẩm nghiệm ta thấy phương trình luôn có nghiệm x = 3 do đó dùng lược đồ

hoócne ta có

TR ẦN

H Ư

 x=3 (*) ⇔ ( x − 3)  x 2 − 2 (m + 1) x + m 2 + 1 ⇔  2 2    x − 2 (m + 1) x + m + 1 = 0 (**)

10 00

Phương trình (*) có ba nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi phương trình (**) có  ∆ ' > 0 P > 0 hai nghiệm dương phân biệt khác 3 ⇔  S > 0  2 3 − 2 (m + 1) .3 + m − 2 ≠ 3

ÁN

-L

Í-

2  2 ( m + 1) − m − 1 > 0  m > 0   2 m + 1) > 0 ⇔  ( ⇔ m > −1 ⇔ m > 0 m 2 + 1 > 0   m ≠ −2 m ≠ −2 

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

Ví dụ 4: Tìm m để phương trình x 3 − (2 m + 5) x 2 + (m 2 + 6 m + 7 ) x − 3m2 − 3 = 0 (*) có

Nhận xét: Đây là phương trình đưa về được dạng ( x 2 + α) = a ( x + β )

ÀN

Vậy m > 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán

IỄ N

3. Bài tập luyện tập.

Bài 3.39: Tìm số nghiệm của phương trình:

a) 2 x 4 + 5x 3 − 3 x 2 − 8 x + 4 = 0

A.1 nghiệm

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

b) −12 + 20 x + 19 x 2 − 21x 3 − 4 x 4 + 4 x 5 = 0

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.5 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

N TP

B.2 nghiệm

d) x 5 − 2 x 4 + 3 x 3 − 6 x 2 + 2 x − 4 = 0

A.1 nghiệm

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Lời giải:

Bài 3.39: a) PT ⇔ ( x − 1)(2 x − 1)( x + 2)( x + 2) = 0

H Ư

b) PT ⇔ ( x − 2)(2 x − 3)( x + 2)( x + 1)(2 x − 1) = 0

TR ẦN

c) PT ⇔ ( x 2 + 1)( x − 2)( x + 3) = 0

10 00

d) PT ⇔ ( x 2 + 1)( x 2 + 2)( x − 2) = 0

Bài 3.40: Tìm số nghiệm của phương trình

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

Í-

B.2 nghiệm

ÁN

-L

A.1 nghiệm

a) x 4 − 2 x 2 − 2 x + 1 = 0

b) x 4 − x 2 − 2 x − 1 = 0

IỄ N

ÀN

A.1 nghiệm

Bài 3.40: a) ( x 2 − x + 1)2 − 3 x 2 = 0 ⇔ x =

Lời giải:

1 − 4 12 + 3 1 − 4 12 + 3 hoặc x = 2 2

b) PT ⇔ ( x 2 − x − 1)( x 2 + x + 1) = 0 ⇔ x =

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

B.2 nghiệm

U Y

A.1 nghiệm

c) −6 + x − 5x 2 + x3 + x 4 = 0

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

A.1 nghiệm

1± 5 . 2

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Bài 3.41: Tìm m để phương trình x 3 − (2 m + 1) x 2 + (m2 + m + 1) x − m 2 + m − 1 = 0 có

ẠO

Bài 3.41: PT ⇔ ( x − 1)( x 2 − 2 mx + m 2 − m + 1) = 0

Từ đó suy ra 2 ≠ m > 1 .

H Ư

Loại 2: Đặt ẩn phụ.

TR ẦN

1. Phương pháp giải:

Điểm quan trọng nhất trong đối với phương trình dạng này là phát hiện ẩn phụ

t = f ( x) có ngay trong từng phương trình hoặc xuất hiện sau một phép biến đổi hằng

10 00

đẳng thức cơ bản hoặc phép chia cho một biểu thức khác 0.

2. Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1: Tìm số nghiệm của phương trình

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D. 4 nghiệm

C.3 nghiệm

D. 4 nghiệm

ÁN

-L

A.1 nghiệm

Í-

a) 2 x 4 − 5x 3 + 6 x 2 − 5 x + 2 = 0

A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

IỄ N

ÀN

b) 2 x 4 − 21x 3 + 74 x 2 − 105x + 50 = 0

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

Lời giải:

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

D. 2 ≠ m > 0

C. 2 ≠ m > −1

B. 2 ≠ m > 1

U Y

A. 2 ≠ m > −2

ba nghiệm dương phân biệt.

Lời giải:

a) Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình nên chia hai vế phương trình cho x2 ta được: 2( x 2 +

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

1 1 ) − 5( x + ) + 6 = 0 . 2 x x

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

1 1 1 Đặt t = x + , ⇒ x 2 + 2 = ( x + )2 − 2 = t 2 − 2 x x x

t = 2  Ta có phương trình: 2(t 2 − 2) − 5t + 6 = 0 ⇔ 2t 2 − 5t + 2 = 0 ⇔  t = 1  2

.Q TP

1 = 2 ⇔ x2 − 2x + 1 = 0 ⇔ x = 1 x

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1

b) Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình nên chia hai vế phương

H Ư

105 50 25 5 + 2 = 0 ⇔ 2( x 2 + 2 ) − 21( x + ) + 74 = 0 . x x x x

TR ẦN

trình cho x2 ta được: 2 x 2 − 21x + 74 −

5 25 5 Đặt t = x + , ⇒ x 2 + 2 = ( x + )2 − 10 = t 2 − 10 x x x

10 00

t = 6  Ta có phương trình: 2(t − 10) − 21t + 74 = 0 ⇔ 2t − 21t + 54 = 0 ⇔  t = 9  2 2

-L

Í-

x = 2  9 5 9 2 * t = ⇒ x + = ⇔ 2 x − 9 x + 10 = 0 ⇔  .(thỏa mãn) x = 5 2 x 2  2

ÁN

x = 1 5 = 6 ⇔ x2 − 6x + 5 = 0 ⇔  (thỏa mãn) x = 5 x 

* t = 6⇒ x+

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

* t = 2 ⇒ x+

U Y

1 1 1 ⇒ x + = ⇔ 2 x 2 − x + 2 = 0 (vô nghiệm). 2 x 2

ẠO

* t=

IỄ N

ÀN

5   Vậy phương trình có nghiệm là x ∈ 1; 2; ; 5 .  2 

Chú ý: Các phương trình trên có dạng tổng quát là ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx ± e = 0 với 2

e  d  =   = k 2 . Tức là có dạng ax 4 + bx 3 + cx 2 ± bkx + ak 2 = 0 . a  b 

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Cách giải: Xét x = 0 xem có phải là nghiệm của phương trình không

Ví dụ 2: Tìm số nghiệm của phương trình

C.3 nghiệm

D. 4 nghiệm

H Ư

b) 4 ( x + 5)( x + 6)( x + 10)( x + 12) = 3 x 2

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D. 4 nghiệm

TR ẦN

A.1 nghiệm

ẠO

B.2 nghiệm

A.1 nghiệm

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

a) x( x + 1)( x + 2)( x + 3) = 24

Lời giải:

10 00

a) Phương rình tương đương với ( x 2 + 3 x)( x 2 + 3 x + 2) = 24 . Đặt t = x2 + 3 x , phương trình trở thành

Í-

 t = −6 t(t + 2) = 24 ⇔ t 2 + 2t − 24 = 0 ⇔   t=4 

-L

* t = −6 ⇒ x2 + 3 x = −6 ⇔ x2 + 3 x + 6 = 0 (Phương trình vô nghiệm)

ÁN

 x=1 * t = 4 ⇒ x 2 + 3x = 4 ⇔ x 2 + 3x − 4 = 0 ⇔  .  x = −4 

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

về phương trình bậc hai a(t 2 ∓ 2 k ) + bt + c = 0 .

k k2 k Đặt t = x ± , ta có x 2 + 2 = ( x ± )2 ∓ 2 k = t 2 ∓ 2 k thay vào phương trình ta quy x x x

k2 k ) + b( x ± ) + c = 0 2 x x

Với x ≠ 0 ta chia hai vế phương trình cho x2 ta có pt: a( x 2 +

ÀN

Vậy phương rình có nghiệm là x = −4 và x = 1 .

IỄ N

b) Phương trình tương đương với 4 ( x 2 + 17 x + 60)( x 2 + 16 x + 60) = 3 x 2 (*)

Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình.

Xét x ≠ 0 , chia hai vế cho x2 ta có

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

Đặt y = x + 16 +

60 phương trình trở thành x



www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

 x = −8  1 60 1 2 Với y = ta có x + 16 + = ⇔ 2 x + 31x + 120 = 0 ⇔   x = − 15 2 x 2  2

U Y

 1  y=  2 4 ( y + 1) y = 3 ⇔ 4 y 2 + 4 y − 3 = 0 ⇔  3  y = −  2

H Ư

3 60 3 −35 ± 265 ta có x + 16 + = − ⇔ 2 x 2 + 35 x + 120 = 0 ⇔ x = 2 x 2 4 15 −35 ± 265 và x = . 2 4

TR ẦN

Với y = −

Vậy phương trình có nghiệm là x = −8, x = −

10 00

Chú ý:

• Phương trình có dạng ( x + a)( x + b)( x + c )( x + d) = e trong đó a + b = c + d

Cách giải: Đặt t = x 2 + ( a + b)x ta quy về phương trình bậc hai (t + ab)(t + cd) = e

• Phương trình có dạng ( x + a)( x + b)( x + c)( x + d) = mx 2 trong đó ab = cd

-L

Í-

Cách giải: Kiểm tra xem x = 0 có là nghiệm của phương trình hay không.

ÁN

 ab  cd  Xét x ≠ 0 chia hai vế cho x2 ta được  x + a + b +  x + c + d +  = m x  x   ab ta quy về phương trình bậc hai (t + a + b)(t + c + d) = m x

ÀN

Đặt t = x +

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

60   x + 16 + 60  = 3  x  x 

(* ) ⇔ 4  x + 17 +



www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

IỄ N

Ví dụ 3: Tìm số nghiệm của phương trình a) ( x + 1)4 + ( x + 3)4 = 2

A.1 nghiệm

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D. 4 nghiệm

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

C.3 nghiệm

D. 4 nghiệm

a) Đặt x = t − 2 phương trình trở thành

(t − 1)4 + (t + 1)4 = 2 ⇔ t 4 + 6t 2 = 0 ⇔ t 2 (t 2 + 6) = 0 ⇔ t = 0

ẠO

Suy ra x = −2

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = −2 .

H Ư

b) Vì x = −1 không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế cho x 3 + 1 ta được:

x2 − x + 1 , phương trình trở thành x +1

10 00

Đặt t =

TR ẦN

x2 − x + 1 x +1 3 −2 2 =5. x +1 x − x +1

 t=2  2 3t − = 5 ⇔ 3t 2 − 5t − 2 = 0 ⇔  t = − 1 t  3

Í-

3 ± 13 x2 − x + 1 = 2 ⇔ x 2 − 3x − 1 = 0 ⇔ x = x +1 2

-L

* t=2⇒

ÀN

ÁN

1 x2 − x + 1 1 = − ⇔ 3 x 2 − 2 x + 4 = 0 phương trình vô nghiệm. * t =− ⇒ 3 x +1 3

3 ± 13 2

IỄ N

Vậy phương trình có nghiệm là x =

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

Lời giải:

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

B.2 nghiệm

A.1 nghiệm

b) 3( x 2 − x + 1)2 − 2( x + 1)2 = 5( x 3 + 1)

Chú ý: Phương trình ở câu a) có dạng ( x + a)4 + ( x + b)4 = c . Cách giải: Đặt x = t −

a+b ta đưa về phương trình trùng phương 2

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Phương trình có nghiệm ⇔ c ≥ 2(

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

a−b 4 ) 2

Ví dụ 4: Cho phương trình (m + 1) x 4 − 4 x 2 + 1 = 0 (*). Tìm m để

D. m < 3

C. −1 < m

D. m < 3

Đ G

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Lời giải:

H Ư

(*)

TR ẦN

(m + 1) t 2 − 4t + 1 = 0

Đặt t = x2 , t ≥ 0 , phương trình trở thành

a) Với m = −1 phương trình (*) trở thành −4 x 2 + 1 = 0 ⇔ x = ±

10 00

phương trình (*) có nghiệm

1 suy ra m = −1 thì 2

Với m ≠ −1 phương trình (**) là phương trình bậc hai.

Phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (**) có nghiệm không âm

ÀN

ÁN

-L

Í-

• TH1: Phương trình (**) có hai nghiệm không âm  4 − (m + 1) ≥ 0 ∆ ' ≥ 0   4   m ≤ 3 ⇔  S ≥ 0 ⇔  m + 1 ≥ 0  ⇔ −1 < m ≤ 3  P ≥ 0  m > −1 1   ≥0  m + 1

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

ẠO

B. −1 ≤ m ≤ 3

b) Phương trình (*) có bốn nghiệm phân biệt

A. −1 < m < 3

C. m > 3

U Y

B. m ≤ 3

A. m ≥ 3

a) Phương trình (*) có nghiệm

1 < 0 ⇔ m < −1 m +1 • TH3: Phương trình (**) có một nghiệm bằng không và một nghiệm âm(không xảy ra vì x = 0 không là nghiệm của phương trình (**) với mọi m ) Vậy phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi m ≤ 3 .

IỄ N

• TH2: Phương trình (**) có hai nghiệm trái dấu ⇔ P < 0 ⇔

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

b) Với m = −1 phương trình (*) trở thành −4 x 2 + 1 = 0 ⇔ x = ±

1 suy ra m = −1 2

không thỏa mãn

TP ẠO Đ G N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

 4 − (m + 1) > 0 ∆ ' > 0   4   m < 3 ⇔  S > 0 ⇔  m + 1 > 0  ⇔ −1 < m < 3   m > −1  P > 0  1 >0   m + 1

H Ư

Vậy phương trình (*) có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi −1 < m < 3 .

TR ẦN

Ví dụ 5: Cho phương trình x 4 + 4 x 3 − 3x 2 − 14 x + m = 0

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

C. m ≤ 0

D. m ≤ 1

10 00

A.1 nghiệm

a) Tìm số nghiệm của phương trình khi m = 6

b) Tìm m để phương trình có nghiệm

B. m ≤ 2

A. m ≤ −1

-L

Í-

Lời giải:

ÁN

Phương trình tương đương ( x 4 + 4 x 3 + 4 x 2 ) − (7 x 2 + 14 x) + m = 0 2

ÀN

⇔ ( x 2 + 2 x) − 7 ( x 2 + 2 x) + m = 0

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

nghiệm dương phân biệt

Phương trình (*) bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (**) có hai

Với m ≠ −1 phương trình (**) là phương trình bậc hai.

Đặt t = x 2 + 2 x , x 2 + 2 x = ( x + 1) − 1 ≥ −1 suy ra t ≥ −1

IỄ N

Phương trình trở thành t 2 − 7t + m = 0 (*)

t = 1 a) Khi m = 6 ta có t 2 − 7 t + 6 = 0 ⇔  t = 6 

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Với t = 1 thì x 2 + 2 x = 1 ⇔ x 2 + 2 x − 1 = 0 ⇔ x = −1 ± 2

Với t = 6 thì x 2 + 2 x = 6 ⇔ x 2 + 2 x − 6 = 0 ⇔ x = −1 ± 7

⇔ Đồ thị hàm số y = t 2 − 7 t + m trên [ − 1; +∞) cắt trục hoành tại hai điểm phân

ẠO

biệt

Đ G

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Xét hàm số y = t 2 − 7 t + m trên [ − 1; +∞)

TR ẦN

H Ư

Ta có bảng biến thiên

−1

+∞

10 00

8+m

+∞

-L

Í-

ÁN

Suy ra để phương trình có nghiệm là m ≤ 0 .

Chú ý: Phương trình trên là phương trình có thể đưa về dạng

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

t ≥ −1

b) Phương trình ban đầu có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm

Vậy phương trình có nghiệm là x = −1 ± 2 và x = −1 ± 7 .

ÀN

A ( x 2 + ax) + B ( x 2 + ax) + C = 0 và cách giải là đặt t = x 2 + ax và đưa về phương

IỄ N

trình bậc hai At 2 + Bt + C = 0 .

3. Bài tập luyện tập. Bài 3.42: Tìm số nghiệm của phương trình

a) 2 x 4 + 3x 3 − 16 x 2 + 3 x + 2 = 0

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

A.1 nghiệm

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

A.1 nghiệm

b) ( x + 3) + ( x − 5) = 1312

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

TR ẦN

B.2 nghiệm

A.1 nghiệm

H Ư

c) (2 x − 1)(4 x + 5)(8 x + 3)(16 x − 15) = 99 x 2

10 00

d) x 4 − 9 x 2 − 2 x + 15 = 0

B.2 nghiệm

A.1 nghiệm

-L

Í-

e) 2 ( x 2 − x + 1) + 5 ( x + 1) = 11( x 3 + 1) .

B.2 nghiệm

ÁN

A.1 nghiệm

Lời giải:

H N

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

A.1 nghiệm

b) x6 + 3x 5 − 6 x4 − 21x 3 − 6 x 2 + 3 x + 1 = 0

ÀN

Bài 3.42: a) Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình

IỄ N

  3 2 1 1 Với x ≠ 0 ta có PT ⇔ 2 x 2 + 3 x − 16 + + 2 = 0 ⇔ 2  x 2 + 2  + 3  x +  − 16 = 0   x x x  x 

Đặt y = x +

1 1 thì y 2 − 2 = x 2 + 2 x x

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Phương trình trở thành: 2 ( y 2 − 2) + 3 y − 16 = 0 ⇔ 2 y 2 + 3 y − 20 = 0

N N

1 1 1 + 3( x 2 + 2 ) − 6( x + ) − 21 = 0 . 3 x x x

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

x3 , ta được: x 3 +

ẠO

a) Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình . Chia hai vế của phương trình cho

H Ư

1 1 1 Đặt t = x + , |t |≥ 2 . Ta có : x 2 + 2 = t 2 − 2; x 3 + 3 = t(t 2 − 3) . x x x

TR ẦN

Nên phương trình trở thành : t(t 2 − 3) + 3(t 2 − 2) − 6t − 21 = 0

1 3± 5 = 3 ⇔ x 2 − 3x + 1 = 0 ⇔ x = . x 2

* t = 3 ⇔ x+

10 00

t = 3 ⇔ t 3 + 3t 2 − 9t − 27 = 0 ⇔ (t + 3)2 (t − 3) = 0 ⇔  .  t = −3 

−3 ± 5 . 2

-L

Í-

* t = −3 ⇔ x 2 + 3 x + 1 = 0 ⇔ x =

ÁN

Vậy phương trình có bốn nghiệm x = 4

3± 5 −3 ± 5 ; x= . 2 2

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

1 ,x = 2 . 2

Từ đó ta tìm đuợc các nghiệm là: x = −2 ± 3 , x =

1 1 5 = −4 và x + = tức là x 2 + 4 x + 1 = 0 và 2 x 2 − 5 x + 2 = 0 x x 2

Vì vậy x +

5 2

Phương trình này có nghiệm là y1 = −4, y2 =

ÀN

b) . Đặt x = t + 1 , ta có: (t + 4) + (t − 4) = 1312

IỄ N

⇔ t 4 + 96t 2 − 400 = 0 ⇔ t 2 = 4 ⇔ t = ±2

Suy ra x = 3, x = −1 là nghiệm của phương trình đã cho. c) Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình nên

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Phương trình ⇔ (32 x 2 + 52 x + 15)(32 x 2 − 46 x + 15) − 99 x 2 = 0

H Ư

 15 53 ± 889  Vậy tập nghiệm phương trình đã cho là: 1, , .  32  64   2

TR ẦN

d) Phương trình ⇔ ( x 2 − m) + (2 m − 9) x 2 − 2 x + 15 − m2 = 0

10 00

Ta chọn m sao cho ∆ ' = 1 − (15 − m2 )(2 m − 9) = 0 ta tìm được m = 4 2

Nên ta có: ( x 2 − 4) − ( x − 1) = 0 ⇔ ( x 2 + x − 5)( x 2 − x − 3) = 0

 −1 ± 21  x + x − 5 = 0 x = 2 ⇔  2 ⇔   x − x − 3 = 0  x = 1 ± 13  2

ÁN

-L

Í-

ÀN

−1 ± 21 1 ± 13  Vậy tập nghiệm của phương trình là:  ; .   2 2  

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

53 ± 889 . 64

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

• t = −53 ⇔ 32 x 2 − 53 x + 15 = 0 ⇔ x =

15 32

• t = 47 ⇔ 32 x 2 − 47 x + 15 = 0 ⇔ x = 1, x =

U Y

15 .Ta có: (t + 52)(t − 46) − 99 = 0 ⇔ t 2 + 6t − 2491 = 0 ⇔ t = 47, t = −53 x

Đặt t = 32 x +

 15  15  ⇔ 36 x + 52 + 32 x − 46 +  − 99 = 0 .  x  x

e) Ta thấy x = −1 không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế cho x 3 + 1 ta

IỄ N

x2 − x + 1 x +1 được: 2 +5 2 = 11 . x +1 x −x +1 Đặt t =

5 1 x2 − x + 1 ⇒ 2t + = 11 ⇔ 2t 2 − 11t + 5 = 0 ⇔ t = 5, t = . 2 x +1 t

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

1 x2 − x + 1 1 = ⇔ 2 x 2 − 3 x + 1 = 0 ⇔ x = 1, x = . 2 2 x +1

U Y

B. m ≥ −16

C. m ≥ −3

D. m ≥ −1

A. m < −16

Lời giải:

ẠO

Bài 3.43:Phương trình ⇔ ( x − 1)( x + 5)( x + 1)( x + 3) = m

⇔ ( x 2 + 4 x − 5)( x 2 + 4 x + 3) = m

H Ư

Đặt t = x 2 + 4 x = ( x + 2)2 − 4 ≥ −4 ,ta có phương trình :

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Bài 3.43: Tìm m để phương trình : ( x 2 − 1)( x + 3)( x + 5) = m có nghiệm.

TR ẦN

⇔ (t − 5)(t + 3) = m ⇔ t 2 − 2t − 15 = m (2) .

Phương trình (1) có nghiệm ⇔ (2) có nghiệm t ≥ −4 .

10 00

Với t ≥ −4 ⇒ t 2 − 2t − 15 = (t − 1)2 − 16 ≥ −16 ⇒ (2) có nghiệm t ≥ −4 ⇔ m ≥ −16 .

Bài 3.44: Tìm m để phương trình : x 4 − 4 x 3 + 8 x = m có bốn nghiệm phân biệt. A. −1 < m

Í-

B. m < 3

C. −1 < m < 3

D. m ≤ 1

-L

Lời giải:

ÁN

Bài 3.44: Phương trình ⇔ ( x 2 − 2 x)2 − 4( x 2 − 2 x) = m

ÀN

Đặt t = x 2 − 2 x = ( x − 1)2 − 1 ≥ −1 . Phương trình trở thành: t 2 − 2t = m (*).

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

• t=5⇔

x2 − x + 1 = 5 ⇔ x 2 − 6 x − 4 = 0 ⇔ x = 3 ± 13 x +1

• t=5⇔

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Phương trình có bốn nghiệm phương trình ⇔ (*) có hai nghiệm phân biệt t > −1 .

IỄ N

Xét hàm số : f (t ) = t 2 − 2t với t ≥ −1 , ta có bảng biến thiên:

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

-1

+∞

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

+∞

f ( t ) = t 2 − 2t

-1

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

Dựa vào bảng biến thiên ⇒ −1 < m < 3 .

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

CHƯƠNG III: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH §1 ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.

U Y

1. Định nghĩa.

D = D f ∩ Dg . Mệnh đề chứa biến " f ( x) = g ( x) " được gọi là phương trình một ẩn ; x

ẠO

được gọi là ẩn số (hay ẩn) và D gọi là tập xác định của phương trình.

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

x0 ∈ D gọi là một nghiệm của phương trình f ( x) = g ( x) nếu " f ( x0 ) = g ( x0 ) " là mệnh

đề đúng.

H Ư

Chú ý: Các nghiệm của phương trình f ( x) = g ( x) là các hoành độ giao điểm đồ thị hai

TR ẦN

hàm số y = f ( x) và y = g ( x) .

2. Phương trình tương đương, phương trình hệ quả.

10 00

a) Phương trình tương đương: Hai phương trình f1 ( x) = g1 ( x) và f 2 ( x) = g 2 ( x) được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm. Kí hiệu là

f1 ( x) = g1 ( x) ⇔ f 2 ( x) = g 2 ( x) .

ÁN

-L

Í-

• Phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm của phương trình gọi là phép biến đổi tương đương. b) Phương trình hệ quả: f 2 ( x) = g 2 ( x) gọi là phương trình hệ quả của phương trình

f1 ( x) = g1 ( x) nếu tập nghiệm của nó chứa tập nghiệm của phương trình f1 ( x) = g1 ( x) .

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

Cho hai hàm số y = f ( x) và y = g ( x) có tập xác định lần lượt là D f và D g . Đặt

ÀN

Kí hiệu là f1 ( x) = g1 ( x) ⇒ f 2 ( x) = g 2 ( x)

IỄ N

c) Các định lý:

Định lý 1: Cho phương trình f ( x) = g ( x) có tập xác định D ; y = h ( x) là hàm số xác

định trên D . Khi đó trên D , phương trình đã cho tương đương với phương trình sau 1) f ( x) + h ( x) = g ( x) + h ( x)

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

2) f ( x) .h ( x) = g ( x) .h ( x) nếu h ( x) ≠ 0 với mọi x ∈ D

Định lý 2: Khi bình phương hai vế của một phương trình, ta được phương trình hệ quả

của phương trình đã cho.

Lưu ý: Khi giải phương trình ta cần chú ý

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

• Đặt điều kiện xác định(đkxđ) của phương trình và khi tìm được nghiệm của phương trình phải đối chiếu với điều kiện xác định. • Nếu hai vế của phương trình luôn cùng dấu thì bình phương hai vế của nó ta thu được phương trình tương đương. • Khi biến đổi phương trình thu được phương trình hệ quả thì khi tìm được nghiệm của phương trình hệ quả phải thử lại phương trình ban đầu để loại bỏ nghiệm ngoại lai. B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

DẠNG TOÁN 1: TÌM ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH. 1. Phương pháp giải.

10 00

- Điều kiện xác định của phương trình bao gồm các điều kiện để giá trị của f ( x) , g ( x)

Í-

1 xác định là f ( x) ≠ 0 f ( x)

ÁN

•

f ( x) xác định là f ( x) ≥ 0

-L

•

- Điều kiện để biểu thức

cùng được xác định và các điều kiện khác (nếu có yêu cầu trong đề bài)

•

f ( x)

xác định là f ( x) > 0

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

f ( x) = g ( x) ⇒ f 2 ( x) = g 2 ( x) .

ÀN

2. Các ví dụ điển hình.

IỄ N

Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình sau: a) x +

5 =1 x −4 2

A. x ≠ 0

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

B. x ≠ ±2

C. x ≠ −2

D. x ≠ 2

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

C. x ≤ 3

D. 2 ≤

3 2

D. x ≥

B. 2 ≤ x ≤ 3

x +1 x − 3x + 2 3

x < 4 B.   x ≠ 1

x < 2 C.   x ≠ 1

x < 3 D.   x ≠ 1

TR ẦN

 x < 2 A.  x ≠ −1

5 2

ẠO

C. x ≥

3 4

4 − 2x =

B. x ≥

3 2

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

A. x <

c) 1 + 2 x − 3 = 3 x − 2

10 00

Lời giải:

a) Điều kiện xác định của phương trình là x 2 − 4 ≠ 0 ⇔ x 2 ≠ 4 ⇔ x ≠ ±2

-L

Í-

3 − x ≥ 0  x ≤ 3 b) Điều kiện xác định của phương trình là  ⇔  ⇔ 2≤x≤3  x − 2 ≥ 0 x ≥ 2

ÀN

ÁN

 3  2 x − 3 ≥ 0 x ≥ 2 3 ⇔ ⇔ x≥ c) Điều kiện xác định của phương trình là  3 x − 2 ≥ 0  2 2 x ≥ 3 

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

A. 2 < x < 3

b) 1 + 3 − x = x − 2

d) Điều kiện xác định của phương trình là

IỄ N

 x≤2  4 − 2 x ≥ 0 ⇔   3 x − 3x + 2 ≠ 0 ( x − 1)( x 2 + x − 2) ≠ 0 

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

 x ≤ 2   ≤ x 2    x ≠ 1 ⇔ x < 2 ⇔ ⇔ 2 ( x − 1) ( x − 2) ≠ 0  x ≠ 1  x ≠ 2 

Ví dụ 2: Tìm điều kiện xác định của phương trình sau rồi suy ra tập nghiệm của nó:

ẠO Đ G

N H Ư

 5  D. S =    3 

x + x − 2 = −3 − x  3  A. S =    4 

C. S = ∅

 5  D. S =    3 

C. S = ∅

 5  D. S =    3 

10 00

B. S = {3}

( x − 3) (5 − 3x) + 2 x =

3x − 5 + 4

 3  A. S =    4 

Lời giải:

ÁN

-L

Í-

B. S = {3}

IỄ N

ÀN

 3  4x − 3 ≥ 0 x ≥ 4 3 ⇔ ⇔ x= a) Điều kiện xác định của phương trình là  3 − 4x ≥ 0  3 4 x ≤ 4 

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

C. S = ∅

B. S = {3}

 5  D. S =    3 

−x 2 + 6 x − 9 + x 3 = 27  3  A. S =    4 

C. S = ∅

TR ẦN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

B. S = {3}

 3  A. S =    4 

U Y

a) 4 x + 4 x − 3 = 2 3 − 4 x + 3

Thử vào phương trình thấy x =

3 thỏa mãn 4

 3  Vậy tập nghiệp của phương trình là S =    4 

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

b) Điều kiện xác định của phương trình là −x 2 + 6 x − 9 ≥ 0 ⇔ −( x − 3) ≥ 0 ⇔ x = 3

Thay x = 3 vào thấy thỏa mãn phương trình

Vậy tập nghiệp của phương trình là S = {3}

TR ẦN

H Ư

2  ( x − 3) (5 − 3 x) ≥ 0 d) Điều kiện xác định của phương trình là  (*)  3 x − 5 ≥ 0 

10 00

 5  5 − 3 x ≥ 0 x ≤ 3 5 ⇔  ⇔ x= Nếu x ≠ 3 thì (*) ⇔  3 x − 5 ≥ 0  5 3 x ≥ 3 

Í-

Vậy điều kiện xác định của phương trình là x = 3 hoặc x =

5 3

ÁN

-L

5 vào phương trình thấy chỉ có x = 3 thỏa mãn. 3

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {3} .

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

Đ G

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = ∅

Thay x = 3 và x =

.Q TP

ẠO

Không có giá trị nào của x thỏa mãn điều kiện

Dễ thấy x = 3 thỏa mãn điều kiện (*).

U Y

   x ≥ 0  x ≥ 0 c) Điều kiện xác định của phương trình là  x − 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2   −  3 − x ≥ 0 x ≤ −3

ÀN

3. Bài tập luyện tập.

IỄ N

Bài 3.0: Tìm điều kiện xác định của phương trình sau:

5 =3x x − x −1 2

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

B. x ∈ ∅

  x ≥ 3 C. x ≠ 1  x ≠ 2

D. x ≠

B. x ∈ ∅

  x ≥ 3 C. x ≠ 1  x ≠ 2

D. x ≠

B. x ∈ ∅

  x ≥ 3 C. x ≠ 1  x ≠ 2

1± 5 2

A. x ≥ 2

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ó H Í-L

ÁN

Bài 3.0: a) ĐKXĐ: x 2 − x − 1 ≠ 0 ⇔ x ≠

D. x ≠

1± 5 2

Lời giải:

1± 5 2

ÀN

 x − 1 ≥ 0 ⇔ x≥2 b) ĐKXĐ:   x − 2 ≥ 0

  x ≥ 3 C. x ≠ 1  x ≠ 2

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

TP Đ G

H Ư

B. x ∈ ∅

A. x ≥ 2

1± 5 2

TR ẦN

x +1 x − 3x + 2 2

10 00

2x − 6 =

D. x ≠

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

c) 1 + 2 x − 4 = 2 − 4 x

A. x ≥ 2

1± 5 2

ẠO

A. x ≥ 2

U Y

b) 1 + x − 2 = x − 1

IỄ N

2 x − 4 ≥ 0 c) ĐKXĐ:  ⇔ x ∈∅  2 − 4 x ≥ 0

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

  x ≥ 3  2 x − 6 ≥ 0 d) ĐKXĐ:  2 ⇔ x ≠ 1 x − 3 x + 2 ≠ 0  x ≠ 2

Bài 3.1: Tìm điều kiện xác định của phương trình

ẠO Đ G N

H Ư

TR ẦN

3 4

2x + x − 2 = 2 − x + 2

A. x ≥

B. x ∈ ∅

C. x = 2

x = 1 D.  x = 2 

C. x = 2

x = 1 D.  x = 2 

x 3 − 4 x 2 + 5x − 2 + x = 2 − x 3 4

Í-

B. x ∈ ∅

-L

A. x ≥

3 4

x = 1 D.  x = 2 

ÁN

Lời giải:

ÀN

3 3 Bài 3.1: a) ĐKXĐ: x ≥ . Dễ thấy x = là nghiệm của phương trình 4 4

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

C. x = 2

B. x ∈ ∅

x = 1 D.  x = 2 

C. x = 2

−x 2 + x − 1 + x = 1 A. x ≥

B. x ∈ ∅

3 4

10 00

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

A. x ≥

U Y

a) 4 x + 2 4 x − 3 = 2 4 x − 3 + 3

 1 3 b) ĐKXĐ: −x + x − 1 ≥ 0 ⇔ − x −  − ≥ 0 ⇔ x ∈ ∅  2 4

IỄ N

Vậy tập nghiệp của phương trình là S = ∅

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

  x ≥ 0 x − 2 ≥ 0 ⇔ x = 2 c) ĐKXĐ:   2 − x ≥ 0

Thử lại phương trình thấy x = 2 thỏa mãn

ẠO

2 x 3 − 4 x 2 + 5 x − 2 ≥ 0 ( x − 1) ( x − 2) ≥ 0  x = 1 ⇔ ⇔ d) ĐKXĐ:   2−x ≥ 0 x≤2   x = 2

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Thay vào phương trình ta có tập nghiệm của phương trình là S = {1} .

TR ẦN

H Ư

DẠNG TOÁN 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ HỆ QUẢ 1. Phương pháp giải. Để giải phương trình ta thực hiện các phép biến đổi để đưa về phương trình tương đương với phương trình đã cho đơn giản hơn trong việc giải nó. Một số phép biến đổi

10 00

thường sử dụng

ÀN

ÁN

-L

Í-

• Cộng (trừ) cả hai vế của phương trình mà không làm thay đổi điều kiện xác định của phương trình ta thu được phương trình tương đương phương trình đã cho. • Nhân (chia) vào hai vế với một biểu thức khác không và không làm thay đổi điều kiện xác định của phương trình ta thu được phương trình tương đương với phương trình đã cho. • Bình phương hai vế của phương trình ta thu được phương trình hệ quả của phương trình đã cho. • Bình phương hai vế của phương trình(hai vế luôn cùng dấu) ta thu được phương trình tương đương với phương trình đã cho. 2. Các ví dụ minh họa.

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {2}

Ví dụ 1: Tìm số nghiệm của các phương trình sau:

IỄ N

a) 1 +

1 5 = 2 x−3 x − x−6

A.1 nghiệm duy nhất

B. vô nghiệm.

C. 3 nghiệm

D. 5 nghiệm

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

x−2

− x−2

B. vô nghiệm.

C. 3 nghiệm

D. 5 nghiệm

A.1 nghiệm duy nhất

B. vô nghiệm.

C. 3 nghiệm

D. 5 nghiệm

ẠO G

x − 1( x 2 − x − 2) = 0

B. vô nghiệm.

C. 2 nghiệm

D. 5 nghiệm

A.1 nghiệm duy nhất

H Ư

A.1 nghiệm duy nhất

U Y

x + 3( x 4 − 3x 2 + 2) = 0

10 00

  x ≠ 3 x≠3 a) ĐKXĐ :  ⇔   2 x − x − 6 ≠ 0 x ≠ −2

Lời giải:

1 5 = ⇔ ( x − 3)( x + 2) + x + 2 = 5 x − 3 ( x − 3)( x + 2)

-L

Í-

Với điều kiện đó phương trình tương đương với

ÁN

⇔ x 2 = 9 ⇔ x = ±3

Đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là x = −3 .

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

TR ẦN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

x−2

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ÀN

b) ĐKXĐ: x > 2

IỄ N

Với điều kiện đó phương trình tương đương với

x 2 = 1 − ( x − 2) ⇔ x 2 + x − 3 = 0 ⇔ x =

−1 ± 13 2

Đối chiếu với điều kiện ta thấy không có giá trị nào thỏa mãn

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Vậy phương trình vô nghiệm.

c) ĐKXĐ: x ≥ −3

 x+3 =0 Phương trình tương đương với  4 2  x − 3 x + 2 = 0

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là

H Ư TR ẦN

 x ≥ 0 x ≥ 0 ⇔  ⇔ x≥1 d) ĐKXĐ:   x − 1 ≥ 0  x ≥ 1 

x = −3, x = ±1 và x = ± 2 .

Với điều kiện đó phương trình tương đương với

10 00

 x=1   x −1 = 0   x = −1 ⇔    x 2 − x − 2 = 0   x = 2

Í-

Đối chiếu với điều kiện ta có ngiệm của phương trình là x = 1 và x = 2 .

ÁN

2 x − 3 = 4 x 2 − 15

A.1 nghiệm duy nhất

B. vô nghiệm.

C. 3 nghiệm

D. 5 nghiệm

ÀN

-L

Ví dụ 2: Tìm số nghiệm của phương trình sau:

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

ẠO

U Y

 x = −3  x = −3    x = −3  x 2 − 1 = 0 ⇔  x = ±1 ⇔  2 ⇔ 2   ( x − 1)( x − 2) = 0  2   x − 2 = 0  x = ± 2

IỄ N

b) . x 2 − 3 x + 4 = 8 − 3 x .

A.1 nghiệm duy nhất

B. vô nghiệm.

C. 3 nghiệm

D. 5 nghiệm

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

c) 2 x + 1 = x − 2

B. vô nghiệm.

C. 2 nghiệm

D. 5 nghiệm

A.1 nghiệm duy nhất

C. 3 nghiệm

D. 2 nghiệm

TP ẠO Đ

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Lời giải:

) ( =

4 x 2 − 15

)

⇔ 2x − 3 = 4x 2 − 15

 x=2  ⇔ 4x − 2x − 12 = 0 ⇔  x = − 3 2 

(

2x − 3

TR ẦN

Với điều kiện (*) phương trình tương đương với

H Ư

 2x − 3 ≥ 0 a) ĐKXĐ:  (*)  2 4x − 15 ≥ 0

10 00

Thay vào điều kiện (*) ta thấy chỉ có x = 2 thỏa mãn

-L

Í-

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2 2

 3 7 b) ĐKXĐ: x − 3 x + 4 ≥ 0 ⇔  x −  + ≥ 0 (luôn đúng với mọi x )  2  4

ÁN

ÀN

Bình phương hai vế của phương trình ta được

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

B. vô nghiệm.

A.1 nghiệm duy nhất

U Y

d) 2 x + 1 = x − 1

IỄ N

x 2 − 3 x + 4 = (8 − 3 x) ⇔ x 2 − 3 x + 4 = 9 x 2 − 48 x + 64

8 x 2 − 45 x + 60 = 0 ⇔ x =

45 ± 105 16

Thay vào phương trình ta thấy chỉ có x =

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

45 − 105 và đó là nghiệm duy nhất của 16

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

phương trình. 2

c) Phương trình tương đương với ( 2 x + 1 ) = ( x − 2 )

d) Ta có 2 x + 1 = x − 1 ⇒ (2 x + 1) = ( x − 1)

H Ư

⇒ 4 x 2 + 4 x + 1 = x 2 − 2 x + 1 ⇔ 3x 2 + 6 x = 0

TR ẦN

 x=0 ⇒  x = −2 

10 00

Vậy phương trình vô nghiệm.

Thử vào phương trình ta thấy không có giá trị nào thỏa mãn

20 − 8 x + 6 x 2 − y 2 = y 7 − 4 x

Í-

Ví dụ 3: Tìm nghiệm ( x; y) với x là số nguyên dương của phương trình sau

 1 + 3   B. 3;  2 

 3 + 3   C. 1;  2 

 −3 + 2 3  D. −1;    2

Lời giải:

ÀN

ÁN

-L

 3 + 2 3   A. 2;  2 

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

1 . 3

ẠO

Vậy phương trình có hai nghiệm là x = −3 và x =

U Y

⇔ 4x2 + 4x + 1 = x2 − 4x + 4  x = −3  2 ⇔ 3x + 8 x − 3 = 0 ⇔   x= 1  3

IỄ N

 20  20 − 8x ≥ 0 x ≤ 8 7 Nếu phương trình có nghiệm ( x; y) thì x phải thỏa mãn  ⇔ ⇔ x≤   7 − 4x ≥ 0  7 4  x ≤ 4  Vì x là số nguyên dương nên x = 1

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Thay x = 1 vào phương trình ta được

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

12 + 6 − y 2 = y 3 (*)

Điều kiện xác định của phương trình (*) là 6 − y 2 ≥ 0

(*) ⇒ 6 − y 2 = 3 ( y − 2) ⇒ 6 − y 2 = 3 ( y − 2)

H Ư

 3 + 3    .  Vậy phương trình có nghiệm thỏa mãn đề bài là 1;  2 

TR ẦN

Ví dụ 4: Tìm m để cặp phương trình sau tương đương

a) mx 2 − 2 ( m − 1) x + m − 2 = 0 (1) và (m − 2) x 2 − 3 x + m 2 − 15 = 0 (2)

C. m = 2

B. m = 4

D. m = 3

10 00

A. m = 1

b) 2 x 2 + mx − 2 = 0 (3) và 2 x 3 + (m + 4) x 2 + 2 (m − 1) x − 4 = 0 (4)

B. m = 4

C. m = 2

D. m = 3

Lời giải:

Í-

A. m = 1

ÁN

-L

a) Giả sử hai phương trình (1) và (2) tương đương

ÀN

 x=1 Ta có (1) ⇔ ( x − 1)(mx − m + 2) = 0 ⇔   mx − m + 2 = 0 

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

3+ 3 là thỏa mãn 2

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Thử vào phương trình (*) thấy chỉ có y =

U Y

3± 3 2

⇒ 4 y 2 − 12 y + 6 = 0 ⇒ y =

Do hai phương trình tương đương nên x = 1 là nghiệm của phương trình (2)

IỄ N

Thay x = 1 vào phương trình (2) ta được

 m=4  m = −5

(m − 2) − 3 + m2 − 15 = 0 ⇔ m2 + m − 20 = 0 ⇔ 

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

x=1  • Với m = −5 : Phương trình (1) trở thành −5 x + 12 x − 7 = 0 ⇔  x = 7  5  x=1  Phương trình (2) trở thành −7 x 2 − 3 x + 10 = 0 ⇔   x = − 10  7

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

 1 x = • Với m = 4 : Phương trình (1) trở thành 4 x − 6 x + 2 = 0 ⇔  2   x = 1 x=1  2 Phương trình (2) trở thành 2 x − 3 x + 1 = 0 ⇔  x = 1  2 2

Suy ra hai phương trình không tương đương

TR ẦN

Suy ra hai phương trình tương đương Vậy m = 4 thì hai phương trình tương đương.

10 00

b) Giả sử hai phương trình (3) và (4) tương đương

Ta có 2 x 3 + (m + 4) x 2 + 2 (m − 1) x − 4 = 0 ⇔ ( x + 2)(2 x 2 + mx − 2) = 0

Í-

 x = −2 ⇔ 2  2 x + mx − 2 = 0 

-L

Do hai phương trình tương đương nên x = −2 cũng là nghiệm của phương trình (3)

ÁN

Thay x = −2 vào phương trình (3) ta được 2 (−2) + m (−2) − 2 = 0 ⇔ m = 3

ÀN

 x = −2  • Với m = 3 phương trình (3) trở thành 2 x + 3 x − 2 = 0 ⇔   x= 1  2

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

IỄ N

Phương trình (4) trở thành 2 x 3 + 7 x 2 + 4 x − 4 = 0 ⇔ ( x + 2) (2 x + 1) = 0

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

 x = −2  ⇔  x= 1  2

Suy ra phương trình (3) tương đương với phương trình (4)

3. Bài tập tự luyện.

ẠO

1 6 = 2 − x 4 − x2

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

a) 1 +

3− x

− 3− x

10 00

A.1 nghiệm duy nhất B.2 nghiệm c)

D.Vô nghiệm

H Ư

TR ẦN

C.3 nghiệm

A.1 nghiệm duy nhất B.2 nghiệm

Bài 3.2: Tìm số nghiệm của các phương trình sau:

x + 1( x 2 − 16) = 0

D.Vô nghiệm

C.3 nghiệm

D.Vô nghiệm

C.3 nghiệm

D.Vô nghiệm

-L

3− x =0 x − 2x − 3 2

ÁN

Í-

A.1 nghiệm duy nhất B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

Lời giải:

ÀN

A.1 nghiệm duy nhất B.2 nghiệm

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

Vậy m = 3 .

IỄ N

 x ≠ 2 Bài 3.2: a) ĐKXĐ :  2 ⇔ x ≠ ±2 x − 4 ≠ 0

Với điều kiện đó phương trình tương đương với

x = 0 4 − x2 + x + 2 = 6 ⇔ x2 − x = 0 ⇔  (thỏa mãn) x = 1 

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

b) ĐKXĐ: x < 3

pt ⇔ 2 x = 1 − (3 − x) ⇔ x = −2 (thỏa mãn)

c) ĐKXĐ: x ≥ −1

C.3 nghiệm

D.Vô nghiệm

C.3 nghiệm

D.Vô nghiệm

C.3 nghiệm

D.Vô nghiệm

A.1 nghiệm duy nhất B.2 nghiệm

TR ẦN

x − 2 = x2 − 8

10 00

3x 2 − x − 9 = x − 1 .

ẠO

H Ư

Bài 3.3: Tìm số nghiệm của phương trình a)

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

 x < 3 d) ĐKXĐ:  . PT ⇔ x = 3 (không thỏ mãn điều kiện)  x ≠ −1

Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là x = −1 và x = 4 .

A.1 nghiệm duy nhất B.2 nghiệm

Í-

c) 2 x + 3 = 2 x − 3

ÁN

-L

A.1 nghiệm duy nhất B.2 nghiệm

d) 2 x − 1 = 3 x − 4

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.Vô nghiệm

IỄ N

ÀN

A.1 nghiệm duy nhất

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

 x +1 = 0  x = −1  Phương trình tương đương với  2 ⇔   x − 16 = 0  x = ±4

Bài 3.3: a) x = 3

Lời giải:

b) x = 2 c ) x = 0 d ) x = 3

Bài 3.4: Tìm m để cặp phương trình sau tương đương

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

a) x 2 + mx − 1 = 0 (1) và (m − 1) x 2 + 2 (m − 2) x + m − 3 = 0 (2)

B. m = −1

C. m = 2

D. m = ∅

A. m = 1

C. m = 2

D. m = ∅

Lời giải:

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

 x = −1 Ta có (m − 1) x 2 + 2 (m − 2) x + m − 3 = 0 ⇔  (m − 1) x + m − 3 = 0

ẠO

Bài 3.4: a) Giả sử hai phương trình (1) và (2) tương đương

TR ẦN

Thay x = −1 vào phương trình (1) ta được m = 0

H Ư

Do hai phương trình tương đương nên x = −1 cũng là nghiệm của phương trình (1)

Với m = 0 thay vào hai phương trình ta thấy không tương đương.

10 00

Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn.

b) Cộng vế với vế để khử m 2 ta thu được phương trình mới có thể nhẩm nghiệm

Kết quả m = 4 thì hai phương trình tương đương.

-L

Í-

§2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI MỘT ẨN

ÁN

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.

ÀN

1. Định nghĩa.

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

B. m = −4

U Y

A. m = 4

b) (2 m − 2) x 2 − (2 m + 1) x + m2 + m − 17 = 0 (3) và (2 − m) x 2 + 3 x + 15 − m2 = 0 (4)

IỄ N

• Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng ax + b = 0 với a , b là số thực và a ≠ 0 • Phương trình bậc hai một ẩn phương trình có dạng ax 2 + bx + c = 0 với a , b , c là số thực và a ≠ 0 2. Giải và biện luận phương trình ax + b = 0 (1).

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

b b do đó phương trình có nghiệm duy nhất x = − a a • Nếu a = 0 : phương trình (1) trở thành 0 x + b = 0 Th1: Với b = 0 phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ R

• Nếu a ≠ 0 : (1) ⇔ x = −

Th2: Với b ≠ 0 phương trình vô nghiệm

ẠO

Đ G

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Th3: ∆ < 0 phương trình vô nghiệm.

b 2a

−b ± ∆ 2a

Th1: ∆ > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt x =

TH2: ∆ = 0 phương trình có nghiệm kép x = −

• Nếu a = 0 : trở về giải và biện luận phương trình dạng (1) • Nếu a ≠ 0 : ∆ = b2 − 4 ac

4. Định lí Vi-ét và ứng dụng.

10 00

a) Định lí Vi-ét.

Hai số x1 và x2 là các nghiệm của phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 khi và chỉ khi

b c và x1 x2 = . a a

chúng thỏa mãn hệ thức x1 + x2 = −

-L

Í-

b) Ứng dụng.

ÁN

• Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai • Phân tích thành nhân tử: Nếu đa thức f ( x) = ax 2 + bx + c có hai nghiệm x1 và x2

thì nó có thể phân tích thành nhân tử f ( x) = a ( x − x1 )( x − x2 ) .

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

3. Giải và biện luận phương trình ax 2 + bx + c = 0

IỄ N

ÀN

• Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng: Nếu hai số có tổng là S và tích là P thì chúng là nghiệm của phương trình x 2 − Sx + P = 0 . • Xét dấu của các nghiệm phương trình bậc hai: b c Cho phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (*), kí hiệu S = − , P = khi đó a a + Phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi P < 0

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

 ∆ ≥ 0 + Phương trình (*) có hai nghiệm dương khi và chỉ khi  P > 0   S > 0

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

DẠNG TOÁN 1: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH DẠNG ax + b = 0 . 1. Phương pháp giải.

Để giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0 ta dựa vào kết quả đã nêu ở trên.

H Ư

Lưu ý:

10 00

TR ẦN

 a≠0 • Phương trình ax + b = 0 có nghiệm ⇔  a = b = 0  a = 0 • Phương trình ax + b = 0 vô nghiệm ⇔  b ≠ 0

• Phương trình ax + b = 0 có nghiệm duy nhất ⇔ a ≠ 0

2. Các ví dụ minh họa.

-L

Í-

Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình sau với m là tham số.

ÁN

a) (m − 1) x + 2 − m = 0

A. m = 1 : Phương trình vô nghiệm

IỄ N

ÀN

B. m ≠ 1 : Phương trình có nghiệm duy nhất x =

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

 ∆ ≥ 0 + Phương trình (*) có hai nghiệm âm khi và chỉ khi  P > 0   S < 0

m− 2 m −1

C.Cả A, B đều đúng D.Cả A, B đều sai

b) m (mx − 1) = 9 x + 3

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

A. m = 3 : Phương trình vô nghiệm

1 m− 3

C. m ≠ ±3 : Phương trình có nghiệm x =

B. m = −3 : Phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ R

ẠO

c) ( m + 1)2 x = (3m + 7)x + 2 + m

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

A. m = 3 : Phương trình vô nghiệm

H Ư

B. m = −2 : Phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ R

1 m− 3

TR ẦN

C. m ≠ 3 và m ≠ −2 : Phương trình có nghiệm x = D.Cả A, B, C đều đúng

10 00

Lời giải:

a) Phương trình tương đương với (m − 1) x = m − 2

+ Với m − 1 = 0 ⇔ m = 1 : Phương trình trở thành 0 x = −1

-L

Í-

Suy ra phương trình vô nghiệm.

Kết luận

ÁN

+ Với m − 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1 : Phương trình tương đương với x =

m− 2 m −1

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

D. Cả A, B, C đều đúng

ÀN

m = 1 : Phương trình vô nghiệm

IỄ N

m ≠ 1 : Phương trình có nghiệm duy nhất x =

m− 2 m −1

b) Ta có m (mx − 1) = 9 x + 3 ⇔ (m 2 − 9) x = m + 3 + Với m 2 − 9 = 0 ⇔ m = ±3 :

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Khi m = 3 : Phương trình trở thành 0 x = 6 suy ra phương trình vô nghiệm Khi m = −3 : Phương trình trở thành 0 x = 0 suy ra phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ R m+3 1 + Với m 2 − 9 ≠ 0 ⇔ m ≠ ±3 : Phương trình tương đương với x = 2 = . m −9 m−3

Ơ H

m = 3 : Phương trình vô nghiệm

ẠO

1 m− 3

m ≠ ±3 : Phương trình có nghiệm x =

m = −3 : Phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ R

H Ư

c) Phương trình tương đương với ( m + 1)2 − 3m − 7  x = 2 + m  

10 00

 m=3 + Với m 2 − m − 6 = 0 ⇔  :  m = −2 

TR ẦN

⇔ ( m 2 − m − 6) x = 2 + m

Khi m = 3 : Phương trình trở thành 0 x = 5 suy ra phương trình vô nghiệm Khi m = −2 : Phương trình trở thành 0 x = 0 suy ra phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ R  m≠3 m+2 1 + Với m 2 − m − 6 ≠ 0 ⇔  : Phương trình tương đương với x = 2 = .  m ≠ −2 m −m−6 m−3 

-L

Í-

• •

ÁN

Kết luận:

m = 3 : Phương trình vô nghiệm

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

Kết luận:

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

• •

ÀN

m = −2 : Phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ R

IỄ N

m ≠ 3 và m ≠ −2 : Phương trình có nghiệm x =

1 m− 3

Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình sau với a , b là tham số.

a) a 2 ( x − a) = b 2 ( x − b)

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

A. a = b : phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ R B. a = −b và b ≠ 0 : phương trình vô nghiệm

a2 + ab + b 2 a+b

C. a ≠ ±b : Phương trình có nghiệm là x =

b) b (ax − b + 2) = 2 (ax + 1)

ẠO

A. a = 0 hoặc b = 2 thì phương trình vô nghiệm

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

b 2 − 2b + 2 B. a ≠ 0 và b ≠ 2 thì phương trình có nghiệm là x = a ( b − 2)

H Ư

C.Cả A, B đều đúng

TR ẦN

D.Cả A, B đều sai

Lời giải:

10 00

a) Ta có a 2 ( x − a) = b2 ( x − b) ⇔ (a 2 − b2 ) x = a 3 − b3

+ Với a 2 − b2 = 0 ⇔ a = ±b

Khi a = b : Phương trình trở thành 0 x = 0 suy ra phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ R • Khi a = −b và b ≠ 0 : Phương trình trở thành 0 x = −2b3 suy ra phương trình vô nghiệm (Trường hợp a = −b , b = 0 ⇒ a = b = 0 thì rơi vào trường hợp a = b )

ÁN

-L

Í-

•

a3 − b3 a 2 + ab + b2 + Với a − b ≠ 0 ⇔ a ≠ ±b : Phương trình tương đương với x = 2 = a+b a − b2 2

ÀN

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

D.Cả A, B, C đều đúng

IỄ N

Kết luận

a = b : phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ R a = −b và b ≠ 0 : phương trình vô nghiệm

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

a ≠ ±b : Phương trình có nghiệm là x =

a2 + ab + b 2 a+b

b) Ta có b (ax − b + 2) = 2 (ax + 1) ⇔ a (b − 2) x = b2 − 2b + 2

• Khi a = 0 : Phương trình trở thành 0 x = b2 − 2b + 2 , do 2

b2 − 2b + 2 = (b − 1) + 1 > 0 nên phương trình vô nghiệm.

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

• Khi b = 2 : Phương trình trở thành 0 x = 2 suy ra phương trình vô nghiệm a ≠ 0 b 2 − 2b + 2 + Với a (b − 2) ≠ 0 ⇔  : Phương trình tương đương với x = .  b ≠ 2 a ( b − 2)

H Ư

Kết luận

TR ẦN

a = 0 hoặc b = 2 thì phương trình vô nghiệm

b 2 − 2b + 2 a ( b − 2)

10 00

a ≠ 0 và b ≠ 2 thì phương trình có nghiệm là x =

Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất.

a) ( m2 − m)x = 2 x + m 2 − 1

A. m ≠ −2 và m ≠ 2

Í-

B. m ≠ −1 và m ≠ −2 D. m ≠ −1 và m ≠ −3

ÁN

-L

C. m ≠ −1 và m ≠ 2

b) m (4 mx − 3m + 2) = x( m + 1)

1± 7 8

IỄ N

ÀN

A. m ≠

B. m ≠

1 ± 17 2

C. m ≠

1 ± 17 8

D. m ≠

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

a = 0 + Với a (b − 2) = 0 ⇔  b = 2 

2 ± 17 8

Lời giải:

a) Ta có ( m2 − m)x = 2 x + m 2 − 1 ⇔ ( m2 − m − 2)x = m2 − 1

m ≠ −1 Phương trình có nghiệm duy nhất ⇔ a ≠ 0 hay m 2 − m − 2 ≠ 0 ⇔    m ≠ 2

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Vậy với m ≠ −1 và m ≠ 2 thì phương trình có nghiệm duy nhất

Ơ H N

ẠO

Ví dụ 4: Tìm m để đồ thị hai hàm số sau không cắt nhau y = (m + 1) x 2 + 3m2 x + m và

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

y = (m + 1) x 2 + 12 x + 2 .

C. m = −2

H Ư

Lời giải:

B. m = −1

A. m = −3

TR ẦN

Đồ thị hai hàm số không cắt nhau khi và chỉ khi phương trình

10 00

⇔ 3 (m2 − 4) x = 2 − m vô nghiệm

vô nghiệm

(m + 1) x 2 + 3m2 x + m = (m + 1) x 2 + 12 x + 2

m 2 − 4 = 0 m = ±2 ⇔ ⇔ ⇔ m = −2  2 − m ≠ 0  m ≠ 2 

-L

Í-

Vậy với m = −2 là giá trị cần tìm.

ÁN

3. Bài tập luyên tập.

Bài 3.5: Giải và biện luận phương trình sau với m là tham số.

D. m = 2

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

1 ± 17 thì phương trình có nghiệm duy nhất 8

Vậy với m ≠

1 ± 17 8

U Y

Phương trình có nghiệm duy nhất ⇔ a ≠ 0 hay 4 m 2 − m − 1 ≠ 0 ⇔ m ≠

b) Ta có m (4 mx − 3m + 2) = x( m + 1) ⇔ (4 m 2 − m − 1) x = 3m2 − 2 m

IỄ N

ÀN

a) (2 m − 4) x + 2 − m = 0

A. m = 2 : Phương trình nghiệm đúng với mọi x

B. m ≠ 2 : Phương trình có nghiệm duy nhất x = −1 C.Cả A, B đều đúng D.Cả A, B đều sai

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

b) ( m + 1)x = (3m 2 − 1)x + m − 1

2 : Phương trình vô nghiệm 3

Ơ N TP

D.Cả A, B, C đều đúng

Bài 3.5: a) Phương trình tương đương với (2 m − 4) x = m − 2

ẠO

Lời giải:

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

U Y

2 −1 và m = 1 : Phương trình có nghiệm x = 3 3m + 2

C. m = −

B. m = 1 : Phương trình nghiệm đúng với mọi x

TR ẦN

Suy ra phương trình nghiệm đúng với mọi x .

H Ư

+ Với 2 m − 4 = 0 ⇔ m = 2 : Phương trình trở thành 0 x = 0

+ Với 2 m − 4 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2 : Phương trình tương đương với x = −1

10 00

Kết luận

m = 2 : Phương trình nghiệm đúng với mọi x

m ≠ 2 : Phương trình có nghiệm duy nhất x = −1

-L

Í-

b) Phương trình tương đương với (3m 2 − m − 2) x = 1 − m

ÀN

ÁN

 m=1  + Với 3m − m − 2 = 0 ⇔  : m = − 2  3 2

•

Khi m = 1: Phương trình trở thành 0 x = 0 phương trình nghiệm đúng với mọi

2 5 Khi m = − : Phương trình trở thành 0 x = suy ra phương trình vô nghiệm 3 3   m ≠ 1 1− m −1 2 + Với 3m − m − 2 ≠ 0 ⇔  : PT ⇔ x = = . 2 2 m ≠ − 3 m − m − 2 3m + 2  3

IỄ N D

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

A. m = −

•

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Kết luận:

2 : Phương trình vô nghiệm 3

Ơ N U Y

2 −1 và m = 1 : Phương trình có nghiệm x = 3 3m + 2

m=−

m = 1 : Phương trình nghiệm đúng với mọi x

ẠO Đ

x + a − b x + b − a b2 − a 2 − = (1) a b ab

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Bài 3.6: Giải và biện luận các phương trình sau:

A. Với b ≠ a, phương trình có nghiệm duy nhất x = 2(b + a).

TR ẦN

B. Với b = a, phương trình có vô số nghiệm

D.Cả A, B đều sai

a ( x 2 + 1) ax − 1 2 b) + = 2 (2) x −1 x + 1 x −1

10 00

C.Cả A, B đều đúng

-L

Í-

A. Với a ≠ −1 và a ≠ −2 thì phương trình có nghiệm duy nhất x =

ÁN

B. Với a = −1 hoặc a = −2 thì phương trình vô nghiệm.

ÀN

C.Cả A, B đều đúng

a+3 a +1

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

m=−

IỄ N

D.Cả A, B đều sai Lời giải:

Bài 3.6: a) ĐK: a ≠ 0; b ≠ 0.

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

(1) ⇔ b ( x + a − b) − a ( x + b − a) = b2 − a2

⇔ bx + ab − b2 − ax − ab + a2 = b2 − a 2

= 2 (b + a)

b−a

-Nếu b – a = 0 ⇒ b = a thì phương trình có vô số nghiệm.

ẠO Đ

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

-Với b = a, phương trình có vô số nghiệm

Vậy: -Với b ≠ a, phương trình có nghiệm duy nhất x = 2(b + a).

b) ĐKXĐ: x ≠ ±1

a+3 a +1

10 00

-Nếu a + 1 ≠ 0 ⇒ a ≠ −1 thì x =

TR ẦN

⇔ (a + 1) x = a + 3

⇔ ax 2 + ax − x − 1 + 2 x − 2 = ax 2 + a

H Ư

⇔ (ax − 1)( x + 1) + 2 ( x − 1) = a ( x 2 + 1)

-Nếu a + 1 = 0 ⇒ a = −1 thì phương trình vô nghiệm. a+3 a +1

-L

Í-

Vậy: -Với a ≠ −1 và a ≠ −2 thì phương trình có nghiệm duy nhất x =

ÁN

-Với a = −1 hoặc a = −2 thì phương trình vô nghiệm.

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

2 (b − a)(b + a)

U Y

-Nếu b – a ≠ 0 ⇒ b ≠ a thì x =

⇔ (b − a) x = 2 (b − a)(b + a)

ÀN

Bài 3.7: Tìm m để phương trình sau vô nghiệm.

A. m = 4

B. m = 2

C. m = 3

D. m = 1

IỄ N

a) ( m2 − m)x = 2 x + m 2 − 1

b) m 2 ( x − m) = x − 3m + 2

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

B. m = −1

C. m = 12

D. m = −3

Lời giải:

Bài 3.7: a) Ta có ( m2 − m)x = 2 x + m 2 − 1 ⇔ ( m2 − m − 2)x = m2 − 1

U Y

m 2 − m − 2 = 0 a = 0 Phương trình vô nghiệm ⇔  hay  ⇔m=2 b ≠ 0  m 2 − 1 ≠ 0 

ẠO

Vậy với m = 2 thì phương trình vô nghiệm

Đ G

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

b) Ta có PT ⇔ (m 2 − 1) x = m 3 − 3m + 2

H Ư

 m2 − 1 = 0 a = 0 Phương trình vô nghiệm ⇔  hay  3 ⇔ m = −1 b ≠ 0 m − 3m + 2 ≠ 0 

TR ẦN

Vậy với m = −1 thì phương trình vô nghiệm.

10 00

Bài 3.8: Tìm điều kiện của a , b để phương trình sau có nghiệm .

a) a (bx − a + 2) = (a + b − 1) x + 1

A. a ≠ 1

D. a ≠ 1, b = 4

C. a ≠ 1, b ≠ 4

D. a ≠ 0, b ≠ 0

Í-

C. a ≠ 1, b ≠ 4

-L

2x − a 2x − b −b = − a ( a , b ≠ 0) a b

ÁN

B. b ≠ 1

ÀN

A. a ≠ 1

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

A. m = −34

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Lời giải:

IỄ N

Bài 3.8: a) Ta có a (bx - a + 2) = (a + b − 1) x + 1 ⇔ (ab − a − b + 1) x = a 2 − 2 a + 1 2

⇔ (a − 1)(b − 1) x = (a − 1)

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

 (a − 1)(b − 1) ≠ 0 a ≠ 1    b ≠ 1 ⇔ a ≠ 1 Phương trình có nghiệm ⇔ ( a − 1)(b − 1) = 0 ⇔      a − 1 2 = 0 )  a = 1  (

Vậy a ≠ 1 là điều kiện cần tìm.

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

 a−b ≠ 0  a ≠ b Phương trình có nghiệm ⇔  a − b = 0 ⇔  đúng với mọi a , b  ab a − b = 0  a = b ( ) 

TR ẦN

H Ư

Vậy với mọi a , b khác không thì phương trình có nghiệm.

10 00

DẠNG TOÁN 2: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH DẠNG ax 2 + bx + c = 0 . 1. Phương pháp giải.

Để giải và biện luận phương trình dạng ax 2 + bx + c = 0 ta làm theo như các bước đã

-L

Í-

2. Các ví dụ minh họa.

nêu ở trên.

ÁN

Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình sau với m là tham số.

a) x 2 − x + m = 0

1 1 ± 1 − 4m : Phương trình có hai nghiệm phân biệt x = 4 2

B. m =

1 1 : Phương trình có nghiệm kép x = 4 2

IỄ N

ÀN

A. m <

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

b (2 x − a) − ab2 = a (2 x − b) − a2 b ⇔ 2 (a − b) x = ab (a − b)

U Y

b) Phương trình tương đương với

1 C. m > : Phương trình vô nghiệm 4

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

D. Cả A, B, C đều đúng

3 2

A. m = −1 : phương trình có nghiệm là x =

b) (m + 1) x 2 − 2 mx + m − 2 = 0

ẠO Đ

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

D. Cả A, B, C đều đúng

B. m = −

1 2 , m > − phương trình vô nghiệm. 4 5

TR ẦN

A. m = −2 phương trình có nghiệm x = −

H Ư

c) (2 m2 + 5m + 2) x 2 − 4 mx + 2 = 0

1 2 phương trình có nghiệm x = −1 , m = − phương trình có nghiệm 2 5

10 00

(kép) x = −5

khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt

2 1 C. m < − , m ≠ −2 và m ≠ − 5 2

-L

Í-

D. Cả A, B, C đều đúng

ÁN

Lời giải:

ÀN

a) Ta có ∆ = 1 − 4m

IỄ N

Với ∆ > 0 ⇔ 1 − 4 m > 0 ⇔ m <

1 : Phương trình có hai nghiệm phân biệt 4

1 ± 1 − 4m 2

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

m± m+2 m +1

C. m > −2 và m ≠ −1 : Phương trình có hai nghiệm phân biệt x =

U Y

B. m = −2 : phương trình có nghiệm là x = 2 , m < −2 : phương trình vô nghiệm

Với ∆ = 0 ⇔ 1 − 4 m = 0 ⇔ m =

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

1 1 : Phương trình có nghiệm kép x = 4 2

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Với ∆ < 0 ⇔ 1 − 4 m < 0 ⇔ m >

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

1 : Phương trình vô nghiệm 4

1 1 : Phương trình có nghiệm kép x = 4 2

H Ư

b) + TH1: Với m + 1 = 0 ⇔ m = −1 khi đó phương trình trở thành 2 x − 3 = 0 ⇔ x =

TR ẦN

+ TH2: Với m + 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ −1 khi đó phương trình trên là phương trình bậc hai Ta có ∆ ' = m2 − (m − 2)( m + 1) = m + 2

10 00

m± m+2 m +1

Khi ∆ > 0 ⇔ m + 2 > 0 ⇔ m > −2 khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt

Khi ∆ = 0 ⇔ m + 2 = 0 ⇔ m = −2 khi đó phương trình có nghiệm là x = 2

-L

Í-

Khi ∆ < 0 ⇔ m + 2 < 0 ⇔ m < −2 khi đó phương trình vô nghiệm

ÁN

Kết luận

m = −1 : phương trình có nghiệm là x =

3 2

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

.Q TP Đ

ẠO

1 m > : Phương trình vô nghiệm 4

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

1 1 ± 1 − 4m : Phương trình có hai nghiệm phân biệt x = 4 2

U Y

Kết luận

ÀN

m = −2 : phương trình có nghiệm là x = 2

IỄ N

m > −2 và m ≠ −1 : Phương trình có hai nghiệm phân biệt x =

m± m+2 m +1

m < −2 : phương trình vô nghiệm c) (2 m2 + 5m + 2) x 2 − 4 mx + 2 = 0

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

 m = −2  + TH1: Với 2 m + 5m + 2 = 0 ⇔  m = − 1  2

1 4

Khi m = −2 phương trình trở thành 8 x + 2 = 0 ⇔ x = −

  m ≠ −2 + TH2: Với 2 m + 5m + 2 ≠ 0 ⇔  khi đó phương trình đã cho là phương trình m ≠ − 1 2 

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

2 m ± −2 ( 5 m + 2 )

2 m2 + 5m + 2

10 00

2 khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt 5

TR ẦN

Khi ∆ > 0 ⇔ −2 (5m + 2) > 0 ⇔ m < −

H Ư

Ta có ∆ = 4 m2 − 2 (2 m 2 + 5m + 2) = −2 (5m + 2)

bậc hai

2 phương trình có nghiệm kép x = −5 5

Khi ∆ < 0 ⇔ m > −

2 phương trình vô nghiệm. 5

-L

Í-

Khi ∆ = 0 ⇔ m = −

ÁN

Kết luận

1 4

ÀN

m = −2 phương trình có nghiệm x = −

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

1 phương trình trở thành 2 x + 2 = 0 ⇔ x = −1 2

Khi m = −

IỄ N

m=−

1 phương trình có nghiệm x = −1 2 2 phương trình có nghiệm (kép) x = −5 5

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

2 m ± −2 ( 5 m + 2 ) 2 m2 + 5m + 2

2 phương trình vô nghiệm. 5

Ơ U Y

Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình sau với a , b là tham số.

ax 2 − 2 (a + b) x + a + 2b = 0

a+b a

H Ư

C. a ≠ 0 và b = 0 phương trình có nghiệm kép x =

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

B. a = 0 và b ≠ 0 phương trình có nghiệm duy nhất x = 1

ẠO

A. a = b = 0 phương trình nghiệm đúng với mọi x

TR ẦN

D. a ≠ 0 và b ≠ 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt là x =

E. Cả A, B, C đều đúng

a + 2b và x = 1 a

10 00

Lời giải:

+ TH1: Với a = 0 phương trình trở thành −2bx + 2b = 0 ⇔ bx = b

Khi b = 0 phương trình là 0 x = 0 do đó phương trình nghiệm đúng với mọi x

-L

Í-

Khi b ≠ 0 phương trình có nghiệm là x = 1

ÁN

+ TH2: Với a ≠ 0 phương trình là phương trình bậc hai 2

ÀN

Ta có ∆ ' = (a + b) − a (a + 2b) = b2

IỄ N

Khi b = 0 phương trình có nghiệm kép x =

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

m>−

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

a+b a

 a + b + b a + 2b x = =  a a Khi b ≠ 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt là  a+ b−b  =1  x=  a

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Kết luận

a = b = 0 phương trình nghiệm đúng với mọi x

H ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Ví dụ 3: Tìm m để phương trình mx 2 + x + m + 1 = 0

B. m = −

3 2

G B

C. m ≠ 1 và m ≠

B. m ≠ 0 và m ≠ 1

10 00

1 2

D. m = 1

D. m ≠ 0 và m ≠

1 2

Lời giải:

A. m ≠ 1 và m ≠

C. m = 3

TR ẦN

b) Có hai nghiệm phân biệt

1 2

H Ư

A. m =

a) Có nghiệm kép.

-L

Í-

a) Với m = 0 phương trình trở thành phương trình bậc nhất x + 1 = 0 suy ra m = 0

ÁN

không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

IỄ N

ÀN

Với m ≠ 0 m ≠ 0 phương trình trên là phương trình bậc hai nên nó có nghiệm kép khi  m ≠ 0   a ≠ 0  m≠0  m≠0 1   và chỉ khi  ⇔ 2 ⇔  ⇔ m= ⇔ 1 ∆ = 0 1 − 4 m (m + 1) = 0 4 m − 4 m + 1 = 0 m = 2  2 

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

a + 2b và x = 1 a

a ≠ 0 và b ≠ 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt là x =

U Y

a+b a

a ≠ 0 và b = 0 phương trình có nghiệm kép x =

a = 0 và b ≠ 0 phương trình có nghiệm duy nhất x = 1

1 thì phương trình có nghiệm kép 2

Vậy m =

b) Với m = 0 phương trình trở thành phương trình bậc nhất x + 1 = 0 suy ra m = 0 không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Với m ≠ 0 phương trình trên là phương trình bậc hai nên nó có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

N H N

1 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt. 2

3. Bài tập luyện tập

D. m = −3

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

C. m = −4

B. m = −2

A. m = −5

ẠO

Bài 3.9: Tìm m để phương trình x 2 − 3mx + (2 m 2 − m − 1) = 0 có nghiệm kép

H Ư

Lời giải:

TR ẦN

Bài 3.9: ∆ = 9 m2 − 4 (2 m2 − m − 1) = 9 m2 − 8 m2 + 4 m + 4 = ( m + 2)2 Phương trình có nghiệm kép khi ∆ = ( m + 2)2 = 0 ⇒ m = −2

3 m −6 = = −3 . 2 2

10 00

Nghiệm kép đó là x1 = x2 =

Bài 3.10: Cho phương trình: mx 2 − 2 mx + m + 1 = 0

-L

2±3 2 2

B. x =

2± 2 2

C. x =

2± 2 4

D. x =

1± 2 2

ÁN

A. x =

Í-

a) Giải phương trình đã cho khi m = −2 .

b) Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm

B. m = 0

C. m ≤ 0

D. m > 0

Lời giải:

IỄ N

ÀN

A. m < 0

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

Vậy m ≠ 0 và m ≠

1 2

∆ > 0 ⇔ 1 − 4 m (m + 1) > 0 ⇔ 4 m 2 − 4 m + 1 > 0 ⇔ (2 m − 1) > 0 ⇔ m ≠

Bài 3.10: a) Với m = −2 ta có phương trình: −2 x 2 + 4 x − 1 = 0 ⇔ 2 x 2 − 4 x + 1 = 0 ,

phương trình này có hai nghiệm phân biệt x =

2± 2 . 2

b) Với m = 0 ta thấy phương trình vô nghiệm

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Với m ≠ 0 thì phương trình có nghiệm khi và chỉ khi ∆ ' = m2 − m (m + 1) ≥ 0 ⇔ m < 0 .

Bài 3.11: Giải và biện luận phương trình

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

 x = m + 1+ 3 m −1  m−2 C. 1 < m ≠ 2 : phương trình có 2 nghiệm phân biệt    x = m + 1− 3 m − 1  m−2

b) ( m − 2)x 2 − (2 m − 1)x + m + 2 = 0

TR ẦN

D.Cả A, B, C đều đúng

17 4 phương trình vô nghiệm., m = 2 phương trình có một nghiệm x = 4 3

B. m =

17 10 phương trình có nghiệm kép x = . 4 3

Í-

10 00

A. m >

ÁN

-L

 m < 17 2 m − 1 ± −4 m + 17 C.  . 4 phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1,2 =  2 ( m − 2) m ≠ 2

Lời giải:

ÀN

D.Cả, A, B, C đều đúng

IỄ N

Bài 3.11: a) * m − 2 = 0 ⇔ m = 2 : Pt ⇔ −6 x − 3 = 0 ⇔ x = −

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

1 2

B. m = 2 : phương trình có nghiệm x = −

U Y

A. m < 1 : Phương trình vô nghiệm, m = 1 : phương trình có nghiệm x = −2

a) ( m − 2)x 2 − 2( m + 1)x + m − 5 = 0

1 2

* m − 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2 : ∆ ' = ( m + 1)2 − ( m − 2)( m − 5) = 9 m − 9 = 9( m − 1)

+ ∆ ' < 0 ⇔ 9( m − 1) < 0 ⇔ m < 1 : Phương trình vô nghiệm.

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

+ ∆ ' = 0 ⇔ 9( m − 1) = 0 ⇔ m = 1 : Phương trình có nghiệm kép x =

m +1 = −2 . m−2

+ ∆ ' > 0 ⇔ 9( m − 1) > 0 ⇔ m > 1 : Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

ẠO

Kết luận:

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

+ m < 1 : Phương trình vô nghiệm

N H Ư

1 2

TR ẦN

+ m = 2 : phương trình có nghiệm x = −

+ m = 1 : phương trình có nghiệm x = −2

10 00

 x = m + 1+ 3 m −1  m−2 + 1 < m ≠ 2 : phương trình có 2 nghiệm phân biệt    x = m + 1− 3 m − 1  m−2 4 . 3

b) * m − 2 = 0 ⇔ m = 2 , khi đó (1) ⇔ −3 x + 4 = 0 ⇔ x =

-L

Í-

* m ≠ 2 , khi đó (1) là phương trình bậc hai có: ∆ = −4 m + 17 .

17 ⇒ ∆ < 0 ⇒ (1) vô nghiệm 4

ÁN

i) m >

17 ⇒ ∆ = 0 ⇒ (1) có nghiệm kép: 4

IỄ N

ÀN

ii) m =

iii) m <

x1 = x2 =

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

 x = m + 1 + 3 m −1  m−2 ⇔   x = m + 1− 3 m − 1  m−2

2m − 1 10 = . 2( m − 2) 3

17 ⇒ ∆ > 0 ⇒ (1) có hai nghiệm phân biệt 4

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

2 m − 1 + −4 m + 17 2 m − 1 − −4 m + 17 . ; x2 = 2 ( m − 2) 2 ( m − 2)

4 3

Kết luận: * m = 2 phương trình có một nghiệm x =

x1 =

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

17 phương trình vô nghiệm. 4

* m=

17 10 phương trình có nghiệm kép x = . 4 3

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

 m < 17 2 m − 1 ± −4 m + 17 . * 4 phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1,2 =  2 ( m − 2) m ≠ 2

TR ẦN

Bài 3.12: Tùy thuộc vào giá trị của tham số m , hãy tìm hoành độ giao điểm của đường

thẳng d : y = 2 x + m và Parabol (P): y = (m – 1) x 2 + 2 mx + 3m – 1.

10 00

A. Nếu m ∈ (−∞; 0) ∪ (1; +∞) thì ∆ ' < 0 nên (*) vô nghiệm nên d và (P) không có giao điểm

Í-

B. Nếu m = 0 thì ∆ ' = 0 và (*) có một nghiệm x = −1

-L

C. Nếu m ∈ (0; 1) thì ∆ ' > 0 và (*) có hai nghiệm phân biệt x1,2 = 1 ±

m (1 − m) m −1

ÁN

D.Cả, A, B, C đều đúng Lời giải:

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

ẠO

U Y

* m>

ÀN

Bài 3.12: Hoành độ giao điểm của đường thẳng d và Parabol (P) là nghiệm của : ⇔ (m − 1) x 2 + 2 (m − 1) x + 2 m − 1 = 0 (*)

IỄ N

(m − 1) x 2 + 2mx + 3m − 1 = 2 x + m

• Với m = 1 ta thấy (*) vô nghiệm nên d và (P) không có giao điểm

• Với m ≠ 1 thì (*) là phương trình bậc hai có 2

• ∆ ' = (m – 1) – (m – 1)(2 m – 1) = – m (m – 1)

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Do đó ta có các trường hợp sau:

TH1: Nếu m ∈ (−∞; 0) ∪ (1; +∞) thì ∆ ' < 0 nên (*) vô nghiệm nên d và (P) không có giao

điểm

TH2: Nếu m = 0 thì ∆ ' = 0 và (*) có một nghiệm x = −1

m −1

ẠO Đ

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

H Ư

DẠNG TOÁN 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VI-ÉT. Loại 1: Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai, phân tích thành nhân tử.

3 2

B. m =

13 2

10 00

A. m =

TR ẦN

Ví dụ 1: Cho phương trình 2 x 2 − mx + 5 = 0 . Biết phương trình có một nghiệm là 2. Tìm

C. m =

1 2

D. m = −

Lời giải:

-L

Í-

Cách 1: Vì phương trình có nghiệm nên theo hệ thức Viét ta có x1 x2 =

ÁN

Giả sử x1 = 2 suy ra x2 =

ÀN

Mặt khác x1 + x2 =

5 . 4

m 5 m 13 ⇒ 2+ = ⇒ m = . 2 4 2 2

13 5 và nghiệm còn lại là 2 2

IỄ N

Vậy m =

5 2

13 2

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

m (1 − m)

TH3: Nếu m ∈ (0; 1) thì ∆ ' > 0 và (*) có hai nghiệm phân biệt x1,2 = 1 ±

Cách 2: Thay x = 2 vào phương trình ta được 8 − 2 m + 5 = 0 ⇔ m =

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

13 . 2

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Theo hệ thức Viét ta có x1 x2 =

5 5 mà x1 = 2 nên x2 = . 2 4

13 5 và nghiệm còn lại là . 2 2

Vậy m =

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

C. (3 x − 2)( x − 4)

D. (3 x − 2)(2 x − 4)

B. (3 x − 1)( x − 4)

ẠO

A. (3 x − 2)( x − 1)

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

a) f ( x) = 3 x2 − 14 x + 8

H Ư

b) g( x) = −x 4 + 5x 2 − 4

D. −( x − 1)( x + 1)( x − 2)( x + 2)

B. (3 x − y)( x − 3 y)

A. (3 x − y)(2 x − 3 y)

c) P( x; y ) = 6 x 2 − 11xy + 3 y 2 .

10 00

C. −( x − 3)( x + 1)( x − 2)( x + 2)

B. −( x − 1)( x + 3)( x − 2)( x + 2)

TR ẦN

A. −( x − 1)( x + 1)( x − 2)( x + 2)

-L

Í-

C. (3 x − y)(2 x + 3 y) D. (3 x − y)(2 x − y)

ÁN

d) Q( x; y ) = 2 x 2 − 2 y 2 − 3 xy + x − 2 y .

B. ( x − 2 y)(2 x + y − 1)

C. ( x − 2 y)( 2 x + y + 1)

IỄ N

ÀN

A. ( x + 2 y)(2 x + y + 1)

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

D. ( x − 2 y)( x − y + 1) Lời giải:

 2 x = a) Phương trình 3 x − 14 x + 8 = 0 ⇔  3  = 4 x  2

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

 2 Suy ra f ( x) = 3  x − ( x − 4) = (3 x − 2)( x − 4)  3 

)

 x2 = 1  + 5x − 4 = 0 ⇔  2  x = 4

b) Phương trình −x + 5 x − 4 = 0 ⇔ −( x 4

ẠO

c) Xét phương trình 6 x 2 − 11xy + 3 y 2 = 0 ẩn x . 2

Đ TR ẦN

H Ư

 y  x= 11y ± 7 y  3 ⇔ Suy ra phương trình có nghiệm là x = 12 3y  x =  2

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

∆x = (11y) − 4.18 y 2 = 49 y 2

10 00

 3y  y  Do đó P( x; y ) = 6  x −  x −  = (3 x − y)( 2 x − 3 y) 3  2  

d) Xét phương trình 2 x 2 − 2 y 2 − 3xy + x − 2 y = 0 ( ẩn x )

-L

Í-

⇔ 2 x 2 + (1 − 3 y) x − 2 y 2 − 2 y = 0 2

ÁN

∆x = (1 − 3 y) − 8 (−2 y 2 − 2 y) = 25 y 2 + 10 y + 1 = (5 y + 1)

 x = 2y  ⇔  x = −y − 1  2

IỄ N

ÀN

Suy ra phương trình có nghiệm là x =

3 y − 1 ± ( 5 y + 1)

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

Suy ra g( x) = −( x 2 − 1)( x 2 − 4) = −( x − 1)( x + 1)( x − 2)( x + 2)

 −y − 1 Do đó Q( x; y ) = 2 ( x − 2 y) x −  = ( x − 2 y)( 2 x + y + 1)  2 

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ví dụ 3: Phân tích đa thức f ( x) = x 4 − 2 mx 2 − x + m 2 − m thành tích của hai tam thức

bậc hai ẩn x .

A. f ( x) = (m − x 2 − x − 2)(m + x 2 + x)

C. f ( x) = 2 (m − x 2 − x − 2)(m − x 2 + x)

ẠO Đ

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

D. f ( x) = (m − x 2 − 2 x − 1)(m − x 2 − 2 x)

Lời giải:

TR ẦN

⇔ m 2 − (2 x 2 + 1) m + x 4 − x = 0

H Ư

Ta có f ( x) = 0 ⇔ x 4 − 2 mx 2 − x + m 2 − m = 0

10 00

∆m = (2 x 2 + 1) − 4 ( x 4 − x) = 4 x 2 + 4 x + 1 = (2 x + 1)

-L

Í-

2  m = 2x + 1 + 2x + 1 = x2 + x + 1  2 Suy ra f ( x) = 0 ⇔  2  2x + 1− 2x − 1  m= = x2 − x  2

ÁN

Vậy f ( x) = (m − x 2 − x − 1)(m − x 2 + x) .

Loại 2: Bài toán liên quan đến biểu thức đối xứng hai nghiệm x1 , x2 của phương trình

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

B. f ( x) = (m − x 2 − x − 1)(m − x 2 + x)

ÀN

bậc hai.

IỄ N

Ví dụ 4: Cho phương trình x 2 − 2 (m + 1) x + m 2 + 2 = 0 với m là tham số. Tìm m để

phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 sao cho

a) x13 + x23 = 2 x1 x2 ( x1 + x2 )

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

A. m = 2

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

B. m =

1 2

C. m = 1

D. m = 4 ± 10

B. m =

1 2

C. m = 1

D. m = 4 ± 10

C. m = 1

D. m = 4 ± 10

1 2

G H Ư

B. m =

C. m = 1

TR ẦN

A. m = 2

d) B = 2 ( x12 + x22 ) + 16 − 3 x1 x2 đạt giá trị lớn nhất

D. m = 4 ± 10

Lời giải:

10 00

Ta có phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 ⇔ ∆ ' ≥ 0 2

1 (*) 2

⇔ (m + 1) − (m2 + 2) ≥ 0 ⇔ m ≥

-L

Í-

x1 + x2 = 2 m + 2 Theo Viet ta có:    x1 .x2 = m 2 + 2 3

ÁN

a) Ta có x13 + x23 = ( x1 + x2 ) − 3 x1 x2 ( x1 + x2 ) 3

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

ẠO

1 2

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

B. m =

c) A = x1 x2 − 2 ( x1 + x2 ) − 6 đạt giá trị nhỏ nhất

A. m = 2

U Y

A. m = 2

b) x14 − x24 = 16 m2 + 64 m

ÀN

Suy ra x13 + x23 = 2 x1 x2 ( x1 + x2 ) ⇔ ( x1 + x2 ) − 3 x1 x2 ( x1 + x2 ) = 2 x1 x2 ( x1 + x2 )

IỄ N

2   ⇔ ( x1 + x2 ) ( x1 + x2 ) − 5 x1 x2  = 0  

2   Suy ra (2 m + 2) (2 m + 2) − 5 (m2 + 2) = 0 ⇔ 2 (m + 1)(−m 2 + 8 m − 6) = 0  

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

 m = −1  m +1 = 0  ⇔ ⇔ −m2 + 8 m − 6 = 0  m = 4 ± 10  

Đối chiếu với điều kiện (*) ta thấy chỉ có m = 4 ± 10 thỏa mãn

( 2 m + 2)

− 4 x1 x2 =

− 4 ( m 2 + 2) = 8 m − 4

TR ẦN

2   x14 − x24 = ( 2 m + 2) − 2 (m2 + 2) 8 m − 4 2 m + 2  

H Ư

Suy ra

= ( 2 m 2 + 8 m) 8 m − 4 2 m + 2

)

8m − 4 2m + 2 − 8 = 0

(

⇔ (m 2 + 4 m)

10 00

Suy ra x14 − x24 = 16 m2 + 64 m ⇔ (2 m 2 + 8 m) 8 m − 4 2 m + 2 = 16 m 2 + 64 m

-L

Í-

 m 2 + 4 m = 0 (1)  ⇔  8 m − 4 2 m + 2 = 8 (2)

ÁN

 m=0 Ta có (1) ⇔  (loại)  m = −4  2

= 64 ⇔ 32 m 3 + 48 m2 − 80 = 0

ÀN

(2) ⇔ (8m − 4)(2m + 2)

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

( x1 + x2 )

( x1 − x2 )

x1 − x2 =

ẠO

Mà

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

2   b) Ta có x14 − x24 = ( x12 + x22 )( x12 − x22 ) = ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2  x1 − x2 x1 + x2  

U Y

Vậy m = 4 ± 10 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

IỄ N

⇔ m = 1 (thỏa mãn (*))

Vậy m = 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán. c) Ta có A = x1 x2 − 2 ( x1 + x2 ) − 6 = m 2 + 2 − 2 (2 m + 2) − 6 = m 2 − 4 m − 8

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

⇒ A = (m − 2) − 12 ≥ −12

Suy ra min A = −12 ⇔ m = 2 , m = 2 thỏa mãn (*)

Vậy với m = 2 thì biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất. 2

ẠO Đ G

1 2

H Ư

Xét hàm số y = −3m 2 + 2 m − 2 với m ≥

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

= 2 m + 4 − 3 ( m 2 + 2 ) = −3 m 2 + 2 m − 2

−

+∞

7 4

Í-

1 2

10 00

TR ẦN

Bảng biến thiên

ÁN

-L

−∞

m≥

1 2

7 1 khi m = 4 2

ÀN

Suy ra giá trị max y = −

IỄ N

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức B là −

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

= 2 (2 m + 2) − 4 (m 2 + 2) + 16 − 3 (m 2 + 2) = 4 m 2 + 16 m + 16 − 3 (m2 + 2)

U Y

d) B = 2 ( x12 + x22 ) + 16 − 3 x1 x2 = 2 ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2 + 16 − 3 x1 x2

7 1 khi m = . 4 2

Ví dụ 5: Cho phương trình x 2 − mx + m − 1 = 0 với m là tham số. a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

b) Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 , x2 không

phụ thuộc vào m

A. x1 x2 = 2 x1 + x2 − 1 B. x1 x2 = x1 + x2 − 2

B. max A = 2 , min A = −

C. max A = 1 , min A = −

1 4

D. max A = 1 , min A = −

Đ G

1 2

TR ẦN

1 2

∆ = m 2 − 4 (m − 1) = ( m − 2) ≥ 0 nên phương trình có nghiệm với mọi giá trị

a) Ta có

10 00

của m

b) Theo hệ thức Viét ta có: x1 + x2 = m và x1 x2 = m − 1

-L

Í-

Suy ra hệ thức liên hệ giữa x1 , x2 không phụ thuộc vào m là x1 x2 = x1 + x2 − 1 2

ÁN

c) Ta có x12 + x22 = ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 = m 2 − 2 m + 2 .

2 x1 x2 + 3 2m + 1 = 2 2 x + x2 + 2( x1 x2 + 1) m + 2 2 1

ÀN

Suy ra A =

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

3 2

ẠO

A. max A = 1 , min A = −

Lời giải:

2 x1 x2 + 3 x + x22 + 2( x1 x2 + 1) 2 1

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

c) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức A =

U Y

C. x1 x2 = x1 + 2 x2 − 1 D. x1 x2 = x1 + x2 − 1

IỄ N

(m − 1) 2m + 1 2m + 1 − m2 − 2 Vì A − 1 = 2 −1 = =− 2 ≤ 0, ∀m ⇒ A ≤ 1, ∀m 2 m +2 m +2 m +2 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi m = 1

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

2 ( m + 2) 1 2 m + 1 1 2 (2 m + 1) + m + 2 1 Và A + = 2 + = = ≥ 0, ∀m ⇒ A ≥ − , ∀m 2 2 2 m +2 2 2 2 ( m + 2) 2 ( m + 2)

ẠO

−km 2 + 2 m − 2 k 2 + 1 . Khi đó để biểu thức đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất thì m2 + 2

Xét A − k =

2m + 1 ta làm như sau m2 + 2

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Chú ý: Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =

H Ư

tử số là biếu thức f (m) = −km2 + 2 m − 2 k 2 + 1 phải biểu diễn được dưới dạng bình

 k =1  phương hay ∆m = 0 ⇔ 1 + k (1 − 2 k ) = 0 ⇔ −2 k + k + 1 = 0 ⇔  . Vì vậy ta mới đi k = − 1  2 xét như trên.

TR ẦN

10 00

3. Bài tập luyện tập.

Í-

a) f ( x) = 2 x 2 − 5 x + 3

Bài 3.13: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

ÁN

-L

A. f ( x) = (2 x − 3)(2 x − 1)

C. f ( x) = (2 x − 4)( x − 1)

B. f ( x) = (2 x − 3)( x − 2) D. f ( x) = (2 x − 3)( x − 1)

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

1 khi và chỉ khi m = −2 2

Vậy max A = 1 khi và chỉ khi m = 1 , min A = −

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi m = −2

IỄ N

ÀN

b) g( x) = 2 x 4 − 14 x 2 − 36

A. g( x) = 2 ( x 2 + 1)( x − 3)( x + 3)

B. g( x) = ( x 2 + 2)( x − 2)( x + 3)

C. g( x) = 2 ( x 2 + 2)( x − 3)( x + 3)

D. g( x) = 2 ( x 2 + 2)( x − 3)( x + 2)

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

c) P( x; y ) = 3 x 2 − 5 xy − 2 y 2 .

B. P( x; y ) = ( x − 2 y)(3 x + 2 y)

C. P( x; y ) = ( x − 2 y)(3 x + y)

D. P( x; y ) = (2 x − 2 y)( 3 x + y)

.Q TP

B. Q( x; y ) = (2 x − 2 y − 1)( x + y + 1)

C. Q( x; y ) = ( x − 2 y − 1)( x + y + 1)

D. Q( x; y ) = ( x − 2 y − 2)( x + y + 2)

ẠO

A. Q( x; y ) = ( x − y − 1)( x + y + 1)

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

d) Q( x; y ) = x 2 − 2 y 2 − xy − 3 y − 1 .

 3 x =  Bài 3.13: a) Phương trình 2 x − 5 x + 3 = 0 ⇔ 2   x = 1

TR ẦN

H Ư

Lời giải:

10 00

Suy ra f ( x) = (2 x − 3)( x − 1)

b) g( x) = 2 ( x 2 + 2)( x 2 − 9) = 2 ( x 2 + 2)( x − 3)( x + 3)

-L

Í-

c) P( x; y ) = ( x − 2 y)(3 x + y)

ÁN

d) Q( x; y ) = ( x − 2 y − 1)( x + y + 1)

Bài 3.14: Phân tích đa thức f ( x) = 2 x 3 + ( m + 1) x 2 + 2 mx + m 2 + m (biến x với tham số

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

A. P( x; y ) = ( x − 2 y)( x + y)

IỄ N

ÀN

m ) thành tích một đã thức bậc hai và một bậc nhất. A. f ( x) = ( x 2 + m)(2 x + m + 2)

B. f ( x) = ( x 2 + 2 m)(2 x + 2 m + 1)

C. f ( x) = ( x 2 + m)(2 x + 3m + 1)

D. f ( x) = ( x 2 + m)(2 x + m + 1)

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Lời giải:

B. B = 83

C. C = 3 13

D.Cả A, B, C đều đúng

ẠO

A. A = 11

H Ư

Lời giải:

Bìa 3.15: Ta có ∆ = 32 + 4 = 13 > 0 nên phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân

TR ẦN

biệt x1 , x2

10 00

Khi đó: A = 11 , B = 83 , C = 3 13 .

Theo định lí Viét ta có: x1 + x2 = 3, x1 x2 = −1 .

Bài 3.16: Tìm m để phương trình 3 x 2 + 4 (m − 1) x + m 2 − 4 m + 1 = 0 có hai nghiệm phân

Í-

1 1 1 + = ( x1 + x2 ) . x1 x2 2

ÁN

-L

biệt x1 , x2 thỏa mãn:

B. m = 1, m = 5

C. m = 1, m = 3

D. m = 1, m = 4

Lời giải:

ÀN

A. m = 1, m = 2

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

1 1 − 2 . 2 x1 x2

A = x12 + x22 ; B = x13 ( x1 − 1) + x23 ( x2 − 1) ; C =

U Y

các biểu thức:

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Bài 3.15: Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình: −x 2 + 3x + 1 = 0 . Tính giá trị của

Bài 3.14: f ( x) = ( x 2 + m)(2 x + m + 1)

IỄ N

Bài 3.16: Trước hết phương trình phải có hai nghiệm khác 0 nên: ∆ ' = m2 + 4 m + 1 > 0 m2 + 4 m + 1 > 0   2 (*) . ⇔ 2  c m − 4m + 1  = m − 4 m + 1 ≠ 0 ≠0   a 3

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

4 (1 − m)

; x1 x2 =

m2 − 4m + 1 3

1 1 1 + = ( x1 + x2 ) ⇔ ( x1 + x2 )( x1 x2 − 2) = 0 (Do x1 x2 ≠ 0 ) x1 x2 2

Ta có:

U Y

m = 1  x + x2 = 0 ⇔ 1 ⇔  2 ⇔ m = 1, m = −1, m = 5 . x x − 2 = 0 m − 4 m − 5 = 0  1 2  

Thay vào (*) ta thấy m = −1 không thỏa mãn

ẠO Đ

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Vậy m = 1, m = 5 là giá trị cần tìm.

Bài 3.17: Cho phương trình x 2 − 2 (m − 1) x + m 2 − 3 = 0 với m là tham số. Tìm m để

H Ư

phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 sao cho

 m = −2 B.   m=2 

 m = −1 C.   m=2 

 m = −1 D.   m=3 

10 00

 m = −1 A.   m=3 

TR ẦN

a) x1 + x2 = 2 x1 x2

b) A = 2 ( x12 + x22 ) − x1 x2 đạt giá trị lớn nhất

B. m =

2 5

C. m =

1 5

D. m =

3 5

C. m =

1 5

D. m =

3 5

-L

Í-

x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất x + x22 − x1 x2 2 1

ÁN

c) B =

4 5

A. m =

B. m =

2 5

ÀN

A. m = 1

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

Khi đó theo định lí Viet ta có: x1 + x2 =

Lời giải:

IỄ N

Bài 3.17: Ta có phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 ⇔ ∆ ' ≥ 0 2

⇔ (m − 1) − (m 2 − 3) ≥ 0 ⇔ m ≤ 2 (*)

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

x1 + x2 = 2 m − 2 Theo Viet ta có:    x1 .x2 = m2 − 3

 m = −1 a) x1 + x2 = 2 x1 x2 ⇔ 2m − 2 = 2 (m 2 − 3) ⇔  (thỏa mãn (*))  m=2  2

 2 = −5m + 4 m + 11 = −5 m −  + 3 ≤ 3 5 

TP ẠO

2 5

Đẳng thức xảy ra ⇔ m =

1 khi và chỉ khi m = 1 3

H Ư

Suy ra min B = −

m2 − 3 c) B = = = 2 2 2 ( x1 + x2 ) − 3x1x2 (2 m − 2) − 3 (m2 − 3) m − 8m + 13

TR ẦN

m2 − 3

10 00

x1 x2

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

DẠNG TOÁN 4: Một số bài toán liên quan đến nghiệm của phương trình bậc hai. 1. Phương pháp giải và các ví dụ minh họa.

ÁN

-L

Í-

• Bài toán 1: Tìm điều kiện để hai phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 và a / x 2 + b / x + c / = 0 có nghiệm chung. Chúng ta làm như sau: ax 2 + bx + c = 0 0 Bước 1: Giả sử hai phương trình có nghiệm chung là x0 thì  / 0 2 a x + b / x + c / = 0 0  0

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

b) A = 2 ( x1 + x2 ) − 5x1 x2 = 2 ( 2m − 2) − 5 (m 2 − 3)

ÀN

Giải hệ tìm được x0 ,suy ra giá trị của tham số

IỄ N

Bước 2: Thế giá trị của tham số tìm được vào hai phương trình để kiểm tra và kết luận.

Ví dụ 1:Tìm tất cả các giá trị của a để hai phương trình x 2 + ax + 1 = 0 và x 2 + x + a = 0 có nghiệm chung

A. a = 2

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

B. a = −2

C. a = −3

D. a = −1

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Lời giải: Điều kiện cần: Giả sử hai phương trình có nghiệm chung là x0 thì

x 2 + ax + 1 = 0 0  0 ⇒ ( a − 1) x0 + 1 − a = 0  2 x + x + a = 0 0  0

Nếu a ≠ 1 thì x0 = 1 ⇒ a = −2

ẠO

Điều kiện đủ: Với a = −2 thì hai phương trình trở thành x 2 − 2 x + 1 = 0 và

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

x2 + x − 2 = 0

Giải hai pt này ta thấy chúng có nghiệm chung là x = 1

H Ư

Vậy a = −2 là giá trị cần tìm

TR ẦN

Ví dụ 2:Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình ( x 2 − 2 mx + m − 1)( x 2 − 3 x + 2 m) = 0

9 và m ≠ 1 . 8

10 00

C. m <

5 và m ≠ 1 . 4

B. m <

9 và m ≠ −1 8

D. m < −

9 và m ≠ −2 . 8

A. m <

có bốn nghiệm phân biệt

Í-

Lời giải:

ÁN

-L

 x 2 − 2 mx + m − 1 = 0 (1)  Phương trình tương đương với  2  x − 3 x + 2 m = 0 (2)

ÀN

Phương trình đầu có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi hai phương trình (1) và (2)

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

Nếu a = 1 thay vào hai phương trình ta thấy chúng vô nghiệm

mỗi phương trình phải có hai nghiệm phân biệt và chúng không có nghiệm chung. 2

IỄ N

 1 3 * Ta có ∆ '1 = m − m + 1 = m −  + > 0, ∀m nên phương trình (1) có nghiệm với mọi  2 4 2

m .

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Do đó điều kiện để cả hai phương trình (1) và (2) có hai nghiệm phân biệt là

9 ∆2 = 9 − 8 m > 0 ⇔ m < . 8

* Giả sử hai phương trình (1) và (2) có nghiệm chung là x0 thì

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

x = 0 Với m = 1 phương trình (1) trở thành x 2 − 2 x = 0 ⇔  , phương trình (2) trở thành x = 2  x = 1 x 2 − 3x + 2 = 0 ⇔  do đó m = 1 thì hai phương trình có nghiệm chung. x = 2 

TR ẦN

Suy ra để khi hai phương trình (1) và (2) không có nghiệm chung là m ≠ 1 .

9 và m ≠ 1 . 8

Vậy để phương trình đầu có bốn nghiệm phân biệt thì m <

10 00

• Bài toán 2: Chứng minh trong các phương trình bậc hai có ít nhất một phương trình có nghiệm Để giải quyết bài toán này chúng ta sẽ đi chứng minh tổng các biệt thức Delta là một số

không âm.

Í-

Ví dụ 3: Cho các số dương a , b , c thỏa mãn diệu kiện a + 2b + 3c = 1 .Chứng minh rằng

4 x 2 − 4 (2 a + 1) x + 4 a2 + 192 abc + 1 = 0 4 x 2 − 4 (2b + 1) x + 4b2 + 96 abc + 1 = 0

Lời giải:

ÀN

ÁN

-L

có ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

x 2 − 2 mx + m − 1 = 0 3 x0 − x02 2 2 0  0 ⇒ x0 − ( 3 x0 − x0 ) .x0 + −1 = 0  2 x − 3 x + 2 m = 0 2 0  0 ⇒ 2 x03 − 5 x02 + 3 x0 − 2 = 0 ⇒ x0 = 2 ⇒ m = 1

IỄ N

Hai phương trình trên lần lượt có ∆1/ = 16 a (1 − 48bc) , ∆/2 = 16b (1 − 24 ac) Vì a , b là các số dương nên ∆1/ , ∆2/ lần lượt cùng dấu với 1 − 48bc và 1 − 24ac 2

Mặt khác ta lại có 1 − 48bc + 1 − 24 ac = 2 − 24c (a + 2b) = 2 − 24c (1 − 3c) = 2 (6c − 1) ≥ 0

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Dẫn đến ∆1/ + ∆/2 ≥ 0

Ví dụ 4: Cho các số a , b , c thỏa mãn điệu kiện a + b + c = 6 .Chứng minh rằng có ít nhất

Vậy có ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm

một trong ba phương trình sau có nghiệm

x 2 + bx + 1 = 0

x 2 + cx + 1 = 0

ẠO N

Ba pt trên lần lượt có ∆1 = a2 − 4, ∆2 = b2 − 4 , ∆3 = c 2 − 4

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Lời giải:

H Ư

⇒ ∆1 + ∆2 + ∆3 = a2 + b2 + c 2 − 12

Ta có bất đẳng thức quen thuộc sau b + c ≥

− 12

− 12 =

(6 − a )

≥ 0 ⇒ ∆1 + ∆2 + ∆3 ≥ 0

Mặt khác a 2 +

− 12 = a +

3 ( a − 2)

(6 − a )

10 00

Suy ra ∆1 + ∆2 + ∆3 ≥ a +

(b + c)

TR ẦN

-L

Í-

Do đó có ít nhất một trong ba biệt thức ∆1 , ∆2 , ∆3 không âm

ÀN

có nghiệm

ÁN

Vậy với a , b , c thỏa mãn điệu kiện a + b + c = 6 thì có ít nhất một trong ba phương trình

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

x 2 + ax + 1 = 0

IỄ N

• Bài toán 3: Chứng minh bất đẳng thức có chứa các hệ số của phương trình bậc hai với nghiệm của nó có điều kiện. Để làm xuất hiện điều kiện ràng buộc đối với hệ số phương trình bậc hai ta thường dựa

trên + Nếu phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 có nghiệm thực thì ∆≥ 0 ⇔ b 2 ≥ 4 ac .

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

+ Sử dụng định lí Viét và điều kiện nghiệm của đề bài đã cho để suy ra ràng buộc của

Ví dụ 5: Cho phương trình x 2 − bx + c = 0 có hai nghiệm thực dương x1 , x2 thoả mãn

hệ số a , b , c .

1 a) c ≤ . 4

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

b) b(c + 1) ≥ 5c.

Lời giải:

TR ẦN

 x1 + x2 2 1  ≤ . a) Ta có c = x1 x2 ≤  2  4

H Ư

Chứng minh.

1 1 + + x1 + x2 ≥ 5 x1 x2

( x1 + x2 )( x1 x2 + 1) ≥ 5 x1 x2 ⇔

10 00

c) Thay b = x1 + x2 , c = x1 x2 ta có bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

Í-

1 1 1 1 3 1 1 3 4 ≥ 5. + + x1 + x2 = x1 + + x2 + +  +  ≥ 1 + 1 + x1 x2 4 x1 4 x2 4  x1 x2  4 x1 + x2

ÁN

-L

Ta c ó:

Ví dụ 6: Cho phương trình x 2 − bx + c = 0 có hai nghiệm thực dương x1 , x2 thoả mãn

ÀN

x1 + x2 ≥ 1.

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

x1 + x2 ≤ 1. Chứng minh rằng.

IỄ N

1 a) Chứng minh rằng: b2 − 2c ≥ . 2

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = 2bc − b3 − 3b + 1 .

Lời giải:

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

a) Thay b = x1 + x2 , c = x1 x2 ta có bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

1 1 − 2 x1 x2 ≥ ⇔ x12 + x22 ≥ 2 2

N H Ư

2. Bài tập luyện tập.

B. m = −2

C. m = −1

D. m = 2

10 00

A. m = 1

x 2 + (3m + 1) x + 2 m + 1 = 0 (2).

TR ẦN

Bài 3.18: Tìm m để hai phương trình sau có nghiệm chung x 2 − 2 mx − 4 m + 1 = 0 (1) và

Lời giải:

Í-

Bài 3.18: • Giả sử hai phương trình đã cho có nghiệm chung x0 , thế thì ta phải có:

ÀN

ÁN

-L

2  m = x0 + 1 x0 ≠ −2  x02 − 2 mx0 − 4 m + 1 = 0  x + 2 4 0 với  ⇔   2 2 x0 + (3m + 1) x0 + 2 m + 1 = 0  x0 ≠ − 2 − − − 1 x x 0   m = 0 3 3 x0 + 2 

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y .Q

5 1 khi b = 1, c = . 2 4

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Vậy PMAX =−

b2 1 5 b3 nên P ≤− − 3b + 1≤− − 3 + 1 =− . 4 2 2 2

b) Theo giả thiết ta có: b ≥ 1, c ≤

2 1 1 ( x1 + x2 ) ≥ . 2 2

ẠO

Ta có: x12 + x22 ≥

( x1 + x2 )

x02 + 1 −x02 − x0 − 1 ⇔ ( x0 + 1)( 5 x02 + 3 x0 + 6) = 0 ⇔ x0 = −1 ⇒ m = 1 = 2 x0 + 4 3 x0 + 2

IỄ N

Suy ra

• Với m = 1 ta thấy (1) và (2) có nghiệm chung là x = −1 .

Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Bài 3.19: Chứng minh rằng nếu hai phương trình x 2 + ax + b = 0 và x 2 + mx + n = 0 có 2

nghiệm chung thì (n − b) = ( m − a)( an − bm) .

Lời giải:

Bài 3.19: Gọi x0 là nghiệm chung của hai phương trình.

+) Nếu a − m = 0 ⇔ a = m , từ (*) ⇒ n − b = 0 ⇔ b = n ⇒ đúng.

ẠO

n−b thay vào một trong hai phương trình ban đầu ta a−m

được: 2

TR ẦN

H Ư

 n − b   n − b  2   + a   + b = 0 ⇔ (n − b) = (m − a)( an − bm)  a − m   a − m 

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

+) Nếu m ≠ a , từ (*) ⇒ x0 =

Bài 3.20: Cho a , b , c là các số thực không đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng trong ba

phương trình sau có ít nhất một phương trình có nghiệm ax 2 + 2bx + c = 0 (1);

10 00

bx 2 + 2cx + a = 0 (2); cx 2 + 2bx + b = 0 (3).

Lời giải:

Bài 3.20: • Nếu trong ba số a, b, c có một số bằng 0, chẳng hạn a = 0 ⇒ (2) có nghiệm

-L

Í-

x=0.

• abc ≠ 0 , khi đó ba phương trình đã cho là ba phương trình bậc hai lần lượt có biệt

ÁN

thức: ∆ '1 = b 2 − ac ; ∆ '2 = c 2 − ab; ∆ '3 = a 2 − bc .

ÀN

Ta có: ∆ '1 + ∆ '2 + ∆ '3 = a 2 + b2 + c 2 − ab − bc − ca

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

x 2 + ax + b = 0 0 ⇒ ( a − m)x0 = n − b (*). Ta có:  02 x + mx + n = 0 0  0

2 2 1 2 (a − b)) + (b − c) + (c − a)  ≥ 0 .  2

IỄ N

Suy ra trong ba số ∆ '1 ; ∆ '2 ; ∆ '3 có ít nhất một số không âm hay ba phương trình đã

cho có ít nhất một phương trình có nghiệm. Vậy ta có điều phải chứng minh.

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Bài 3.21: Cho phương trình x 2 + bx + c = 0 có hai nghiệm thực dương x1 , x2 thoả mãn

x1 x2 ≥ 1.

a) Chứng minh rằng: b2 ≥ 4.

ẠO

Lời giải:

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Bài 3.21: a) Ta có: b2 = ( x1 + x2 )2 ≥ 4 x1 x2 ≥ 4.

TR ẦN

2b 2 + b + 2 b ≤− 2 suy ra P ≥ . Ta có b2 + 1

H Ư

b) Do phương trình đã cho có hai nghiệm dương x1 , x2 thoả mãn x1 x2 ≥ 1 nên b2 ≥ 4c , và

10 00

2 2 8 5 (2b + b + 2) − 8 (b + 1) 2b2 + 5b + 2 (b + 2)( 2b + 1) = = ≥ 0 với mọi b ≤− 2 . P− = 5 b2 + 1 b2 + 1 b2 + 1

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b =− 2, c = 1.

Í-

8 khi b =− 2, c = 1. 5

-L

Vậy Pmin =

ÁN

Bài 3.22: Giả sử phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 có hai nghiệm thuộc [0; 3] . Tìm 18 a 2 − 9 ab + b2 9 a 2 − 3ab + ac

Lời giải:

ÀN

giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q =

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

3b 2 − 4 c + b + 2 . b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = b2 + 1

IỄ N

 x + x = − b 2  1 a. Bài 3.22: Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình, theo Viet ta có:   c x1 x2 = a 

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

b b 2 18 − 9 +   18 + 9 ( x1 + x2 ) + ( x1 + x2 ) a  a  Ta có: Q = = . b c 9 + 3( x1 + x2 ) + x1 x2 9−3 + a a

• Ta tìm Max của Q. 2

TP ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

x 2 ≤ x x 1 2 Giả sử 0 ≤ x1 ≤ x2 ≤ 3 ⇒  12 x ≤ 9  2 2

9 + 3 ( x1 + x2 ) + x1 x2

H Ư

18 + 9 ( x1 + x2 ) + 3 x1 x2 + 9

=3.

TR ẦN

⇒Q≤

Suy ra ( x1 + x2 ) = x12 + x22 + 2 x1 x2 ≤ 9 + 3 x1 x2

  b = −6 a hoặc b = −3a . c = 9 a c = 0

10 00

 x = x2 = 3 Đẳng thức xảy ra ⇔  1 .Hay là:  x = 0; x = 3 2  1 • Ta tìm Min của Q

9 + 3 ( x1 + x2 ) + x1 x2

≥0⇒Q≥2.

Ta có: Q − 2 =

3 ( x1 + x2 ) + x12 + x22

-L

Í-

Đẳng thức xảy ra ⇔ x1 = x2 = 0 ⇔ b = c = 0 .

ÁN

Vậy max Q = 3 và min Q = 2 .

ÀN

Bài 3.23: Cho phương trình bậc hai ax 2 − x + c = 0 có hai nghiệm thực dương x1 , x2 thoả

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

Ta đánh giá ( x1 + x2 ) qua x1 x2 với điều kiện x1 , x2 ∈ [0; 3] .

IỄ N

a2 − c mãn x1 + x2 ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2 . a c − a3 Lời giải:

Bài 3.23: Từ giả thiết của bài toán suy ra: a ≥ 1, 0 < c ≤

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

1 . 4a

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

3 4a3 −1 4a3 −1 4 a4 − 4 a 3 − a 2 + 1 (a − 1)(4 a − a − 1) Suy ra P ≥ 2 ⇒ P +1≥ 2 +1= = a − 4a4 a − 4a4 a 2 − 4a4 a 2 (1 − 4 a 2 )

ẠO

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

)

1 ≥ 0 ⇒ P ≥ −1 . Dấu đẳng thức xẩy ra khi: a = 1, c = . 4

U Y

a (1 − 4 a 2

(a − 1)(4a3 − a − 1)

Vì a ≥ 1 nên 4 a 3 − a − 1 = a ( a2 − 1) + 3a 2 − 1 > 0 do đó

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Bài 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN A - ĐỀ BÀI Cho phương trình x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 (1) . Điều kiện để (1) là phương trình của đường tròn là A. a 2 + b 2 − 4c > 0 . B. a 2 + b 2 − c > 0 . C. a 2 + b 2 − 4c ≥ 0 . D. a 2 + b 2 − c ≥ 0 . Hướng dẫn giải Chọn B. Ta có: x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 2

⇔ x 2 − 2ax + a 2 + y 2 − 2by + b 2 − a 2 − b 2 + c = 0 ⇔ ( x − a ) + ( y − b ) = a 2 + b 2 − c

Để x 2 + y 2 − ax − by + c = 0 (1) là phương trình đường tròn, điều kiện cần và đủ là B. a 2 + b 2 − c ≥ 0 . C. a 2 + b 2 − 4c > 0 . Hướng dẫn giải

D. a 2 + b 2 + 4c > 0 .

A. a 2 + b 2 − c > 0 .

H Ư

Chọn C. Ta có: x 2 + y 2 − ax − by + c = 0

(1)

TR ẦN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Câu 2:

ẠO

Vậy điều kiện để (1) là phương trình đường tròn: a 2 + b 2 − c > 0

2 a b b2 a b a ⇔ x 2 − 2. .x +   + y 2 − 2. . y +   − − +c=0 2 2 4 4 2 2 2

10 00

a  b a2 b2  ⇔ x−  + y−  = + −c 2  2 4 4 

Phương trình x 2 + y 2 − 2( m + 1) x − 2( m + 2) y + 6m + 7 = 0 là phương trình đường tròn khi và chỉ khi

Câu 3:

a 2 b2 + − c > 0 ⇔ a 2 + b 2 − 4c > 0 4 4

Vậy điều kiện để (1) là phương trình đường tròn:

Í-

C. m > 1. Hướng dẫn giải

x 2 + y 2 − 2 ( m + 1) x − 2 ( m + 2 ) y + 6m + 7 = 0

D. m < −1 hoặc m > 1.

-L

ÁN

Chọn D. Ta có:

B. m < 1 .

A. m < 0.

(1) 2

⇔ x 2 − 2 ( m + 1) x + ( m + 1) + y 2 − 2 ( m + 2 ) y + ( m + 2 ) − ( m + 1) − ( m + 2 ) + 6m + 7 = 0 2

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

Câu 1:

Dạng 1. Nhận dạng phương trình ñường tròn. Tìm tâm, bán kính

IỄ N

ÀN

⇔  x − ( m + 1)  +  y − ( m + 2 )  = 2m 2 − 2

Câu 4:

 m < −1 Vậy điều kiện để (1) là phương trình đường tròn: 2 m 2 − 2 > 0 ⇔   m >1

Định m để phương trình x 2 + y 2 − 2mx + 4 y + 8 = 0 không phải là phương trình đường tròn. A. m < −2 hoặc m > 2 . B. m > 2 .

C. −2 ≤ m ≤ 2 . Hướng dẫn giải

D. m < −2 .

Chọn C. Ta có: x 2 + y 2 − 2mx − 4 y + 8 = 0

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

(1) www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com 2

⇔ x 2 − 2mx + m 2 + y 2 − 2.2. y + 22 − m 2 − 2 2 + 8 = 0 ⇔ ( x − m ) + ( y − 2 ) = m 2 − 4 Vậy điều kiện để (1) không phải là phương trình đường tròn: m 2 − 4 ≤ 0 ⇔ −2 ≤ m ≤ 2 Cho hai mệnh đề (I)

( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = R 2 là phương trình đường tròn tâm I (a; b) , bán kính R .

(I)

x 2 + y 2 − 4 x + 15 y − 12 = 0 .

(III) 2 x 2 + 2 y 2 − 4 x + 6 y + 1 = 0 .

C. Chỉ (III). Hướng dẫn giải

Ơ H N D. Chỉ (I) và (III).

H Ư

B. Chỉ (II).

( I ) có: a 2 + b 2 − c = 4 +  15 

 12 

+ 12 =

TR ẦN

Chọn D. 281 >0 16

55 3 4 <0 a 2 + b 2 − c =   +   − 20 = − 2 2 4    

1  3  1 11 = 0 , phương trình này có: a 2 + b 2 − c = 1 +   − = > 0 2 2 2 4

( III ) ⇔ x 2 + y 2 − 2 x − 3 y +

10 00

( II ) có:

U Y

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

(II) x 2 + y 2 − 3 x + 4 y + 20 = 0 .

A. Chỉ (I).

.Q TP

Phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn?

ẠO

Câu 6:

(II) x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 là phương trình đường tròn tâm I (a; b) . Hỏi mệnh đề nào đúng? A.Chỉ (I). B.Chỉ (II). C.Cả (I) và (II) đều sai. D.Cả (I) và (II). Hướng dẫn giải Chọn A. Đúng, (II) sai vì thiếu điều kiện a 2 + b 2 − c > 0

Mệnh đề nào sau đây đúng?

Í-

Câu 7:

Vậy chỉ ( I ) và ( III ) là phương trình đường tròn.

-L

(I) Đường tròn (C1 ) : x 2 + y 2 − 2 x + 4 y − 4 = 0 có tâm I (1; −2) bán kính R = 3 .

1 5 3 = 0 có tâm I  ; −  bán kính R = 3 . 2 2 2 C. (I) và (II). D. Không có. Hướng dẫn giải

ÁN

(II) Đường tròn (C1 ) : x 2 + y 2 − 5 x + 3 y −

B. Chỉ (II).

A. Chỉ (I).

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

Câu 5:

IỄ N

ÀN

Chọn C.

Câu 8:

Ta có: ( C1 ) : a = 1, b = −2 ⇒ I (1; − 2 ) ; R = a 2 + b 2 − c = 1 + 4 + 4 = 3 . Vậy ( I ) đúng

( C2 ) : a = 5 , b = −3 ⇒ I  5 ; −3  ; R = 2

2 2 

a 2 + b2 − c =

25 9 1 + + = 3 . Vậy ( II ) đúng 4 4 2

Cho đường tròn (C ) : x 2 + y 2 − 4 x + 3 = 0 . Hỏi mệnh đề nào sau đây sai?

A. (C ) có tâm I (2; 0).

B. (C ) có bán kính R = 1.

D. (C ) cắt trục Ox tại 2 điểm.

D. (C ) cắt trục Oy tại 2 điểm. Hướng dẫn giải

Chọn D.

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Cho x = 0 thì y 2 + 3 = 0 : vô nghiệm. Vậy ( C ) không có điểm chung nào với trục tung. Cho đường tròn (C ) : x 2 + y 2 + 8 x + 6 y + 9 = 0 . Mệnh đề nào sau đây sai?

A. (C ) không đi qua điểm O (0; 0) .

B. (C ) có tâm I ( −4; −3) .

C. (C ) có bán kính R = 4 .

D. (C ) đi qua điểm M (−1; 0) . Hướng dẫn giải

Câu 9:

U Y

( C ) : a = −4, b = −3 ⇒ I ( −4; −3 ) ; R = a 2 + b 2 − c = 16 + 9 − 9 = 4 . Vậy B , C đúng. Thay O ( 0;0 ) vào ( C ) ta có: 0 2 + 0 2 + 8.0 + 6.0 + 9 = 0 ⇔ 9 = 0 ( vô lý). Vậy A đúng. 2 Thay M ( −1;0 ) vào ( C ) ta có: ( −1) + 0 2 + 8. ( −1) + 6.0 + 9 = 0 ⇔ 2 = 0 ( vô lý). Vậy D

Chọn D.

A. (C ) không cắt trục Oy .

B. (C ) cắt trục Ox tại hai điểm.

C. (C ) có tâm I (2; −4) .

D. (C ) có bán kính R = 19 .

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Câu 10: Cho đường tròn (C ) : 2 x 2 + 2 y 2 − 4 x + 8 y + 1 = 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?

Hướng dẫn giải

1 =0 2

H Ư

(C ) ⇔ x2 + y2 − 2 x + 4 y +

Chọn B.

TR ẦN

⇒ a = 1, b = −2 ⇒ I (1; −2 ) ; R = a 2 + b 2 − c = 1 + 4 −

Vậy C , D sai.

10 00

Cho x = 0 thì ( C ) : 2 y 2 + 8 y + 1 = 0 ⇔ y =

1 3 2 = 2 2

−4 − 14 −4 + 14 hoặc y = 2 2

Do đó ( C ) cắt y ' Oy tại hai điểm phân biệt. Vậy A sai

Cho y = 0 thì ( C ) : 2 x 2 − 4 x + 1 = 0 ⇔ y =

2− 2 2+ 2 hoặc y = 2 2

Í-

Do đó ( C ) cắt x ' Ox tại hai điểm phân biệt. Vậy B đúng

-L

Câu 11: Đường tròn x 2 + y 2 − 10 x − 11 = 0 có bán kính bằng bao nhiêu? B. 2 .

ÁN

A. 6 .

C. 36 . Hướng dẫn giải

D. 6 .

Chọn A.

a 2 + b2 − c = 6

ÀN

Có a = 5, b = 0, c = −11 ⇒ bán kính

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

sai.

IỄ N

Câu 12: Cho đường tròn (C ) : x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 (a 2 + b 2 − c > 0) có tâm I (a; b) và bán kính R . Đặt f ( x; y ) = x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c . Xét điểm M ( xM ; yM ) . Hỏi mệnh đề nào sau sau đây đúng? (I)

f ( xM ; yM ) = IM 2 − R 2

(II) f ( xM ; yM ) > 0 khi và chỉ khi M nằm ngoài đường tròn (C ) . (III) f ( xM ; yM ) < 0 khi và chỉ khi M nằm trong đường tròn (C ) .

A. Chỉ (I).

B. Chỉ (II).

C. Chỉ (III). Hướng dẫn giải

D. Cả (I), (II) và (III).

Chọn D.

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ta có: IM 2 − R 2 = ( xM − a ) + ( yM − b ) − R 2 = xM2 + yM2 − 2axM − 2byM + a 2 + b 2 − R 2 = xM2 + yM2 − 2axM − 2byM + c = f ( xM ; yM )

Vậy ( I ) đúng nên ( II ) , ( III ) cũng đúng.

Câu 13: Đường tròn x 2 + y 2 − 6 x − 8 y = 0 có bán kính bằng bao nhiêu ? C. 5 . Hướng dẫn giải

D. 10 .

Ơ N

Chọn C.

U Y

Đường tròn x 2 + y 2 − 6 x − 8 y = 0 có bán kính R = 32 + 42 = 5 .

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Chọn C.

N H Ư

 2  B.  − ;0   4 

TR ẦN

x − 3 = 0 có tâm là điểm nào trong các điểm sau đây ? 2 C.

(

2; 3

)

 1  D.  ;0  2 2 

10 00

 3 A.  0;  .  2  Hướng dẫn giải Chọn B

5  5 Đường tròn có tâm và bán kính: I  0;  , R =  2 2 Câu 15: Đường tròn x 2 + y 2 +

25 . 2

5 C. . 2 Hướng dẫn giải

ẠO

B. 25 .

A. 5 .

Câu 14: Đường tròn x 2 + y 2 − 5 y = 0 có bán kính bằng bao nhiêu ?

− 2  ;0  . I   4 

1   2  −2 a = a = − Ta có:  2 ⇒ 4 nên tâm −2b = 0 b = 0  

-L

A. ( −2; 1)

Í-

Câu 16: Đường tròn 2 x 2 + 2 y 2 − 8 x + 4 y − 1 = 0 có tâm là điểm nào trong các điểm sau đây ? B. ( 8; −4 ) .

C. ( −8; 4 )

D. ( 2; −1)

ÀN

ÁN

Hướng dẫn giải Chọn D. −2a = −8 a = 2 Ta có:  ⇒ nên tâm I ( 2; −1) . −2b = 4 b = −1

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

B. 25 .

A. 10 .

IỄ N

Câu 17: Đường tròn 3 x 2 + 3 y 2 − 6 x + 9 y − 9 = 0 có bán kính bằng bao nhiêu ?

5 25 B. 5 C. . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A. Ta có: 3 x 2 + 3 y 2 − 6 x + 9 y − 9 = 0 ⇔ x 2 + y 2 − 2 x + 3 y − 3 = 0

25 4

5 3 Suy ra a = 1; b = − ; c = −3 và bán kính R = a 2 + b 2 − c = 2 2

Câu 18: Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn ?

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

D. x 2 − y 2 − 2 x + 3 y − 1 = 0.

1 Câu A: a = b = , c = 9 ⇒ a 2 + b 2 − c < 0 nên không phải phương trình đường tròn. 2 Câu D: loại vì có − y 2 .

ẠO

D. x 2 + y 2 − 100 y + 1 = 0 .

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

C. x 2 + y 2 − 2 = 0 . Hướng dẫn giải : Chọn A.

Câu 19: Phương trình nào sau đây không phảilà phương trình đường tròn ? A. x 2 + y 2 − x + y + 4 = 0 B. x 2 + y 2 − y = 0

U Y

1 Câu B: a = , b = 0, c = 0 ⇒ a 2 + b 2 − c > 0 nên là phương trình đường tròn. 2

H Ư

Câu 20: Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn? A. x 2 + 2 y 2 − 4 x − 8 y + 1 = 0. B. 4 x 2 + y 2 − 10 x − 6 y − 2 = 0. C. x 2 + y 2 − 2 x − 8 y + 20 = 0.

TR ẦN

Chọn D.

D. x 2 + y 2 − 4 x + 6 y − 12 = 0.

x2 + y 2 + 2 x – 4 y + 9 = 0

(I)

Câu 21: Cho 3 phương trình:

(II)

10 00

x 2 + y 2 – 6 x + 4 y –13 = 0

(III) x2 + y 2 – 4 x – 2 y – 3 = 0 Trong các phương trình trên, phương trình nào là phương trình của đường tròn? A.Chỉ (II). B.(II) và (III). C.Chỉ (III). D.Chỉ (I). Chọn B.

-L

Í-

Câu 22: Phương trình nào dưới đây là phương trình đường tròn? A. x 2 + y 2 – 2 xy − 1 = 0. B. x 2 + y 2 − x – y + 9 = 0.

ÁN

C. x 2 + y 2 − x = 0.

D. x 2 − y 2 − 2 x + 3 y − 1 = 0.

Chọn C.

IỄ N

ÀN

Câu 23: Phương trình nào dưới đây là phương trình đường tròn ? A. x 2 + y 2 − x – y + 9 = 0. B. x 2 + y 2 − 100 x = 0. C. x 2 + y 2 – 2 xy − 1 = 0.

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

C. x 2 + y 2 − 2 xy − 1 = 0. Hướng dẫn giải Chọn B. Loại C vì có số hạng −2xy .

B. x 2 + y 2 − x = 0 .

A. x 2 + y 2 − x − y + 9 = 0 .

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

D. x 2 − y 2 − 2 x + 3 y − 1 = 0.

Chọn B.

Câu 24: Phương trình nào dưới đây không là phương trình đường tròn? A. x 2 − y 2 − y = 0. B. x 2 + y 2 –100 y + 1 = 0. C. x 2 + y 2 – 2 = 0.

D. x 2 + y 2 − x + y + 4 = 0.

Chọn D. Câu 25: Đường tròn 2 x 2 + 2 y 2 − 8 x + 12 y − 1 = 0 có tâm là điểm nào sau đây?

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn A. (2; −1).

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

B. (2; −3).

D. ( 8; 4 ) .

C. ( −8;12).

Chọn B. Câu 26: Đường tròn x 2 + y 2 − 2 x + 10 y + 1 = 0 đi qua điểm nào sau đây? C. (4; −1).

D. ( −1;3).

Chọn C.

C. x 2 + y 2 − 2 x + 6 y = 0.

D. x 2 + y 2 + 2 x − 20 = 0.

B. x 2 + y 2 − 6 x − 2 y + 9 = 0.

U Y

A. x 2 + y 2 − 4 x + 7 y − 8 = 0.

Câu 27: Đường tròn nào sau đây đi qua điểm A( 4; −2) ?

A. ( −8; 4) .

B. (2; −1) .

C. (8; −4) .

D. (−2;1) .

ẠO

Chọn B.

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Câu 28: Đường tròn 2 x 2 + 2 y 2 – 8 x + 4 y − 1 = 0 có tâm là điểm nào sau đây ?

Chọn C.

Câu 29: Đường tròn 2 x 2 + 2 y 2 –12 x − 16 y = 0 có bán kính bằng bao nhiêu ? C. 25 .

B. 5 .

D. 100 .

H Ư

A. 10 . Chọn B.

Câu 30: Đường tròn x 2 + y 2 –10 x − 11 = 0 có bán kính bằng bao nhiêu ? C. 6 .

TR ẦN

B. 36 .

A. 2 . Chọn C.

10 00

Câu 31: Đường tròn x 2 + y 2 – 5 y = 0 có bán kính bằng bao nhiêu ? A. 5 .

B. 25 .

25 . 2

D. 2, 5 .

Chọn D.

Câu 32: Đường tròn 3 x 2 + 3 y 2 – 6 x + 9 y − 9 = 0 có bán kính bằng bao nhiêu ? B. 2, 5 .

A. 7, 5 .

D. 5 .

-L

Í-

Chọn B.

C. 25 .

ÁN

Câu 33: Cho đường cong ( Cm ) : x 2 + y 2 – 8 x + 10 y + m = 0 . Với giá trị nào của m thì ( Cm ) là đường

tròn có bán kính bằng 7 ? A. m = 4 . B. m = 8 .

C. m = –8 . Hướng dẫn giải

D. m = – 4 .

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

B. ( 2;1) .

A. (3; −2).

Ta có R = 42 + 52 − m = 7 ⇔ m = −8 .

Dạng 2. Viết phương trình ñường tròn

IỄ N

ÀN

Chọn C.

Câu 34: Đường tròn tâm I (3; −1) và bán kính R = 2 có phương trình là A. ( x + 3) 2 + ( y − 1) 2 = 4 .

B. ( x − 3) 2 + ( y − 1) 2 = 4 .

C. ( x − 3) 2 + ( y + 1) 2 = 4 .

D. ( x + 3) 2 + ( y + 1) 2 = 4 . Hướng dẫn giải

Chọn C.

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com 2

Phương trình đường tròn có tâm I ( 3; −1) , bán kính R = 2 là: ( x − 3) + ( y + 1) = 4

Câu 35: Đường tròn tâm I (−1; 2) và đi qua điểm M (2;1) có phương trình là A. x 2 + y 2 + 2 x − 4 y − 5 = 0 .

B. x 2 + y 2 + 2 x − 4 y − 3 = 0.

C. x 2 + y 2 − 2 x − 4 y − 5 = 0 .

D. x 2 + y 2 + 2 x + 4 y − 5 = 0.

Hướng dẫn giải 2

Chọn A.

B. ( x − 1) + ( y − 4 ) = 5

D. ( x − 1) + ( y − 4 ) = 5

ẠO

C. ( x + 1) + ( y + 4 ) = 5 .

Hướng dẫn giải

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

A. ( x + 1) + ( y + 4 ) = 5 .

Câu 36: Đường tròn tâm I (1; 4) và đi qua điểm B (2; 6) có phương trình là

U Y

Khi đó có phương trình là: ( x + 1) + ( y − 2 ) = 10 ⇔ x 2 + y 2 + 2 x − 4 y − 5 = 0

+ (6 − 4) = 5 2

H Ư

( 2 − 1)

R = IB =

Chọn D. Đường tròn có tâm I (1; 4) và đi qua B (2; 6) thì có bán kính là:

TR ẦN

Khi đó có phương trình là: ( x − 1) + ( y − 4 ) = 5

10 00

 x = −1 + 2cost Câu 37: Cho điểm M ( x; y ) có  (t ∈ ℝ) . Tập hợp điểm M là  y = 2 − 2sin t A. Đường tròn tâm I (1; −2) , bán kính R = 2 . B. Đường tròn tâm I ( −1; 2) , bán kính R = 2 .

C. Đường tròn tâm I ( −1; 2) , bán kính R = 4 . D. Đường tròn tâm I (1; −2) , bán kính R = 4 . Hướng dẫn giải Chọn B.

-L

Í-

 ( x + 1) 2 = 4cos 2 t  x = −1 + 2cos t  x + 1 = 2cos t ⇔ ⇔ Ta có: M  2 2  y = 2 − 2sin t  y − 2 = −2sin t ( y − 2 ) = 4sin t 2

⇒ ( x + 1) + ( y − 2 ) = 4 cos 2 t + 4 sin 2 t ⇔ ( x + 1) + ( y − 2 ) = 4 ( sin 2 t + cos 2 t )

ÁN

⇔ ( x + 1) + ( y − 2 ) = 4

Vậy tập hợp điểm M là phương trình đường tròn có tâm I ( −1; 2 ) , bán kính R = 2

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

Đường tròn có tâm I ( −1;2 ) và đi qua M ( 2;1) thì có bán kính là: R = IM = 32 + ( −1) = 10

IỄ N

ÀN

 x = 2 + 4sin t (t ∈ ℝ ) là phương trình đường tròn có Câu 38: Phương trình   y = −3 + 4 cos t A. Tâm I ( −2;3) , bán kính R = 4 . B. Tâm I (2; −3) , bán kính R = 4 .

C. Tâm I ( −2;3) , bán kính R = 16 .

D. Tâm I (2; −3) , bán kính R = 16 . Hướng dẫn giải

Chọn B.

 ( x − 2 )2 = 16sin 2 t  x = 2 + 4sin t  x − 2 = 4sin t ⇔ ⇔ Ta có:  2 2  y = −3 + 4 cos t  y + 3 = 4cos t ( y + 3) = 16 cos t

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn 2

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com 2

⇒ ( x − 2 ) + ( y + 3 ) = 16 sin 2 t + 16 cos 2 t ⇔ ( x − 2 ) + ( y + 3 ) = 16 ( sin 2 t + cos 2 t ) ⇔ ( x − 2 ) + ( y + 3 ) = 16

(t ∈ ℝ )

là phương trình đường tròn có tâm I ( 2; −3) , bán kính R = 4 .

D. x 2 + y 2 + 6 x + 5 y + 1 = 0.

U Y

Hướng dẫn giải

Chọn C.

( −3 − 5 ) + ( 7 + 1)

=4 2

ẠO

1 1 AB = 2 2

Tâm I của đường tròn là trung điểm AB nên I (1;3) . Bán kính R =

C. x 2 + y 2 − 2 x − y + 1 = 0 .

B. x 2 + y 2 − 2 x − 6 y + 22 = 0.

A. x 2 + y 2 + 2 x − 6 y − 22 = 0 .

Câu 39: Cho hai điểm A(5; −1) , B (−3; 7) . Đường tròn có đường kính AB có phương trình là

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Vậy phương trình đường tròn là: ( x − 1) + ( y − 3) = 32 ⇔ x 2 + y 2 − 2 x − 6 y − 22 = 0

H Ư

Câu 40: Cho hai điểm A( −4; 2) và B (2; −3) . Tập hợp điểm M ( x; y ) thỏa mãn MA2 + MB 2 = 31 có phương trình là A. x 2 + y 2 + 2 x + 6 y + 1 = 0 . B. x 2 + y 2 − 6 x − 5 y + 1 = 0. C. x 2 + y 2 − 2 x − 6 y − 22 = 0 .

TR ẦN

D. x 2 + y 2 + 2 x + 6 y − 22 = 0.

Chọn A. Ta có: MA2 + MB 2 = 31 2

Hướng dẫn giải

10 00

⇔ ( x + 4 ) + ( y − 2 ) + ( x − 2 ) + ( y + 3) = 31 ⇔ x 2 + y 2 + 2 x + y + 1 = 0

Câu 41: Đường tròn (C ) tâm I ( −4;3) và tiếp xúc với trục tung có phương trình là B. ( x + 4) 2 + ( y − 3) 2 = 16 .

A. x 2 + y 2 − 4 x + 3 y + 9 = 0 .

D. x 2 + y 2 + 8 x − 6 y − 12 = 0. Hướng dẫn giải

-L

Chọn B.

Í-

C.. ( x − 4) 2 + ( y + 3) 2 = 16 .

ÁN

( C ) tiếp xúc với y ' Oy và có tâm I ( −4; 3) nên: a = −4, b = 3, R = a = 4 . 2 2 Do đó, ( C ) có phương trình ( x + 4 ) + ( y − 3) = 16 . Câu 42: Đường tròn (C ) tâm I (4; 3) và tiếp xúc với đườngthẳng ∆ : 3 x − 4 y + 5 = 0 có phương trình là B. ( x − 4) 2 + ( y − 3) 2 = 1 .

C.. ( x + 4) 2 + ( y + 3) 2 = 1 .

D. ( x − 4) 2 + ( y + 3) 2 = 1

IỄ N

ÀN

A. ( x + 4) 2 + ( y − 3) 2 = 1 .

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

 x = 2 + 4sin t Vậy   y = −3 + 4cost

Hướng dẫn giải Chọn B.

( C ) có bán kính

R = d ( I, ∆) =

3.4 − 4.3 + 5 32 + ( −4 )

= 1.

Do đó, ( C ) có phương trình ( x − 4) 2 + ( y − 3) 2 = 1 .

Câu 43: Đường tròn ( C ) đi qua điểm A ( 2;4 ) và tiếp xúc với các trục tọa độ có phương trình là

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

A. ( x − 2) 2 + ( y − 2) 2 = 4 hoặc ( x − 10) 2 + ( y − 10) 2 = 100 B. ( x + 2) 2 + ( y + 2) 2 = 4 hoặc ( x − 10) 2 + ( y − 10) 2 = 100 C. ( x + 2) 2 + ( y + 2) 2 = 4 hoặc ( x + 10) 2 + ( y + 10) 2 = 100 D. ( x − 2) 2 + ( y − 2) 2 = 4 hoặc ( x + 10) 2 + ( y + 10) 2 = 100 Hướng dẫn giải 2

Chọn A. 2

a = b = R . V ậy ( x − a ) + ( y − a ) = a 2 ( C ) . 2

A ∈ ( C ) ⇒ ( 2 − a ) + ( 4 − a ) = a 2 ⇔ a 2 − 12a + 20 = 0

( x − 2 ) + ( y − 2 ) = 4 a = 2 ⇒ ⇒ 2 2  a = 10 ( x − 10 ) + ( y − 10 ) = 100

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

H Ư

Câu 44: Đường tròn (C ) có tâm I (−1;3) và tiếp xúc với đường thẳng d : 3 x − 4 y + 5 = 0 có phương trình là A. ( x + 1) 2 + ( y − 3) 2 = 4 . B. ( x + 1) 2 + ( y − 3) 2 = 2 . D. ( x − 1)2 + ( y + 3) 2 = 2 .

C. ( x + 1) 2 − ( y − 3) 2 = 10 . Chọn A.

3.( −1) − 4(3) + 5

10 00

Đường tròn có bán kính R = d ( I , d ) =

TR ẦN

Hướng dẫn giải

32 + (−4) 2

= 2.

Vậy phương đường tròn là: ( x + 1) + ( y − 3) = 4

Câu 45: Có một đường tròn đi qua hai điểm A(1;3) , B ( −2;5) và tiếp xúc với đường thẳng d : 2 x − y + 4 = 0 . Khi đó

Í-

A. phương trình đường tròn là x 2 + y 2 − 3 x + 2 y − 8 = 0 .

-L

B. phương trình đường tròn là x 2 + y 2 + 3 x − 4 y + 6 = 0 .

ÁN

C. phương trình đường tròn là x 2 + y 2 − 5 x + 7 y + 9 = 0 . D. Không có đường tròn nào thỏa mãn bài toán. Hướng dẫn giải Chọn D.

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

( C ) : ( x − a ) + ( y − b ) = R 2 tiếp xúc với các trục tọa độ nên a = b = R và điểm A ( 2; 4 ) ∈ ( C ) nằm trong góc phần tư thứ nhất nên I ( a; b ) cũng ở góc phần tư thứ nhất. Suy ra

ÀN

Đặt f ( x; y ) = 2 x − y + 4 . Ta có: f (1;3) = 3 > 0, f ( −2;5) = −4 − 5 + 4 < 0 ở ngoài ( C ) . ⇒ A , B ở hai bên đường thẳng d ; do đó không có đường tròn nào thỏa điều kiện đề bài.

IỄ N

Câu 46: Đường tròn (C ) đi qua hai điểm A(1;3) , B (3;1) và có tâm nằm trên đường thẳng d : 2 x − y + 7 = 0 có phương trình là A. ( x − 7) 2 + ( y − 7)2 = 102 .

B. ( x + 7)2 + ( y + 7) 2 = 164 .

C. ( x − 3) 2 + ( y − 5) 2 = 25 .

C. ( x + 3)2 + ( y + 5) 2 = 25 . Hướng dẫn giải

Chọn B.

I ( a; b ) là tâm của đường tròn ( C ) , do đó:

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn 2

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

AI 2 = BI 2 ⇒ ( a − 1) + ( b − 3) = ( a − 3) + ( b − 1)

Hay : a = b (1) . Mà I ( a; b ) ∈ d : 2 x − y + 7 = 0 nên 2a − b + 7 = 0 (2) . Thay (1) vào (2) ta có: a = −7 ⇒ b = −7 ⇒ R 2 = AI 2 = 164 . 2

D. ( x − 3)2 + ( y + 2) 2 = 4

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Vì y A = yB = −2 nên AB ⊥ y ' Oy và AB là đường kính của ( C ) . Suy ra I ( 2; − 2 ) và bán kính 2

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

R = IA = 2 . Vậy ( C ) : ( x − 2 ) + ( y + 2 ) = 4 .

C. x + y − 3 = 0 Hướng dẫn giải

D. x + y + 3 = 0

B. x − y − 3 = 0

H Ư

A. x − y + 3 = 0 .

Câu 48: Tâm của đường tròn qua ba điểm A ( 2; 1) , B ( 2; 5 ) , C ( −2; 1) thuộc đường thẳng có phương trình

Chọn A.

TR ẦN

Phương trình ( C ) có dạng: x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 (a 2 + b 2 + c > 0) . Tâm I ( a; b ) .

10 00

 A ( 2; 1) ∈ ( C ) 4 + 1 − 4a − 2b + c = 0 a = 0     B ( 2; 5 ) ∈ ( C ) ⇔ 4 + 25 − 4a − 10b + c = 0 ⇔ b = 3 ⇒ I ( 0; 3)  4 + 1 + 4a − 2b + c = 0   c = 1 C ( −2; 1) ∈ ( C ) Lần lượt thế tọa độ I vào các phương trình để kiểm tra.

Câu 49: Tìm tọa độ tâm đường tròn đi qua 3 điểm A ( 0; 4 ) , B ( 2; 4 ) , C ( 4;0 ) . B. (1;0 ) .

A. ( 0; 0 ) .

D. (1;1) .

Hướng dẫn giải

-L

Í-

Chọn D.

C. ( 3; 2 ) .

16 − 8b + c = 0 a = 1   Gọi ( C ) : x + y − 2ax − 2by + c = 0 . A, B, C ∈ ( C ) nên  20 − 4a − 8b + c = 0 ⇔ b = 1 . 16 − 8a + c = 0 c = −8   2

ÁN

ÀN

Vậy tâm I (1;1)

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

C. ( x − 3)2 + ( y − 2)2 = 4

Câu 47: Đường tròn (C ) tiếp xúc với trục tung tại điểm A(0; −2) và đi qua điểm B (4; −2) có phương trình là A. ( x − 2) 2 + ( y + 2) 2 = 4 . B. ( x + 2)2 + ( y − 2) 2 = 4

Vậy ( C ) : ( x + 7 ) + ( y + 7 ) = 164 .

IỄ N

Câu 50: Tìm bán kính đường tròn đi qua 3 điểm A ( 0; 4 ) , B ( 3; 4 ) , C ( 3; 0 ) . A. 5 .

B. 3 .

C. 10 .

5 D. . 2

Hướng dẫn giải Chọn C.

3  a = 2 16 − 8b + c = 0  Gọi ( C ) : x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 . A, B, C ∈ ( C ) nên  25 − 6a − 8b + c = 0 ⇔ b = 2 .  9 − 6 a + c = 0  c = 0

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Vậy bán kính R = a 2 + b2 − c = 10

Câu 51: Tìm tọa độ tâm đường tròn đi qua 3 điểm A ( 0;5 ) , B ( 3; 4 ) , C ( −4;3) . A. ( −6; −2 ) .

B. ( −1; −1) .

C. ( 3;1) .

D. ( 0; 0 ) .

Hướng dẫn giải

B. 5 .

C. 10 . Hướng dẫn giải

D. 5 .

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

A. 6 .

Câu 52: Tìm bán kính đường tròn đi qua 3 điểm A ( 0; 0 ) , B ( 0; 6 ) , C ( 8; 0 ) .

Vậy tâm I ≡ O ( 0;0 )

Chọn B.

0 + c = 0 a = 4   Gọi ( C ) : x + y − 2ax − 2by + c = 0 . A, B, C ∈ ( C ) nên 36 − 12b + c = 0 ⇔ b = 3 . 64 − 16a + c = 0 c = 0   2

Vậy bán kính R = a 2 + b2 − c = 5

TR ẦN

H Ư

Câu 53: Đường trònnào dưới đây đi qua 3 điểm A ( 2; 0 ) , B ( 0; 6 ) , O ( 0;0 ) ?

A. x 2 + y 2 − 3 y − 8 = 0

10 00

C. x 2 + y 2 − 2 x + 3 y = 0

B. x 2 + y 2 − 2 x − 6 y + 1 = 0 .

D. x 2 + y 2 − 2 x − 6 y = 0 .

Hướng dẫn giải

Chọn D. Thay toạ độ ba điểm A, B, C vào từng phương trình; nếu cùng thoả một phương trình nào thì

Í-

đường tròn đó qua ba điểm A, B, C

-L

Câu 54: Đường tròn đi qua 3 điểm O ( 0;0 ) , A ( a; 0 ) , B ( 0; b ) có phương trình là

ÁN

A. x 2 + y 2 − 2ax − by = 0 . C. x 2 + y 2 − ax − by = 0.

B. x 2 + y 2 − ax − by + xy = 0 . D. x 2 − y 2 − ay + by = 0 .

Hướng dẫn giải

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

 25 − 10b + c = 0 a = 0   Gọi ( C ) : x + y − 2ax − 2by + c = 0 . A, B, C ∈ ( C ) nên  25 − 6a − 8b + c = 0 ⇔ b = 0 .  25 + 8a − 6b + c = 0 c = −25   2

Chọn D.

IỄ N

ÀN

Chọn C. Ta có tam giác OAB vuông tại O nên tâm I của đường tròn đi qua 3 điểm 1 2 a b O ( 0;0 ) , A ( a;0 ) , B ( 0; b ) là trung điểm AB ⇒ I  ;  và bán kính R = a + b2 . 2 2 2 Phương trình đường tròn đi qua 3 điểm O ( 0;0 ) , A ( a;0 ) , B ( 0; b ) là 2

a  b a 2 + b2  − + − = ⇔ x 2 + y 2 − ax − by = 0 x y     2 2 4    

Câu 55: Đường tròn đi qua 3 điểm A ( 0; 2 ) , B ( 2; 2 ) , C (1;1 + 2 ) có phương trình là A. x 2 + y 2 + 2 x + 2 y − 2 = 0 .

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

B. x 2 + y 2 − 2 x − 2 y = 0 .

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com D. x 2 + y 2 + 2 x − 2 y + 2 = 0 .

C. x 2 + y 2 − 2 x − 2 y − 2 = 0 .

Hướng dẫn giải Chọn B. Gọi phương trình đường tròn cần tìm có dạng: x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 ( a 2 + b 2 − c > 0 ) .

Đường tròn đi qua 3 điểm A ( 0; 2 ) , B ( 2; 2 ) , C (1;1 + 2 ) nên ta có:

H N .Q

Vậy phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A ( 0; 2 ) , B ( 2; 2 ) , C (1;1 + 2 ) là

x2 + y 2 − 2 x − 2 y = 0

C. 5 . Hướng dẫn giải

D. 2 .

Chọn C.

ẠO

B. 1.

A. 2 .

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Câu 56: Đường tròn đi qua 3 điểm A (11;8) , B (13;8) , C (14;7 ) có bán kính R bằng

H Ư

Gọi phương trình đường tròn cần tìm có dạng: x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 ( a 2 + b 2 − c > 0 ) .

TR ẦN

Đường tròn đi qua 3 điểm A (11;8) , B (13;8) , C (14;7 ) nên ta có:

10 00

121 + 64 − 22a − 16b + c = 0 a = 12   169 + 64 − 26a − 16b + c = 0 ⇔ b = 6 196 + 49 − 28a − 14b + c = 0 c = 175   Ta có R = a 2 + b2 − c = 5

Vậy phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A (11;8) , B (13;8) , C (14;7 ) có bán kính là

R= 5.

ÁN

B. ( 0; 0 ) .

-L

A. (0; −1) .

Í-

Câu 57: Đường tròn đi qua 3 điểm A (1; 2 ) , B(−2;3), C ( 4;1) có tâm I có tọa độ là

IỄ N

ÀN

C.Không có đường tròn đi qua 3 điểm đã cho.  1 D.  3;  .  2 Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có: AB ( −3;1) , BC ( 6; −2 ) ⇒ BC = −2 AB nên 3 điểm A, B , C thẳng hàng.

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

)

U Y

(

 a = 1  4 − 4b + c = 0  ⇔ b = 1 8 − 4a − 4b + c = 0  c = 0   4 + 2 2 − 2a − 2 1 + 2 b + c = 0

Vậy không có đường tròn qua 3 điểm A (1; 2 ) , B(−2;3), C ( 4;1) .

Câu 58: Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A( −1;1), B (3;1), C (1;3) . A. x 2 + y 2 − 2 x − 2 y − 2 = 0 .

B. x 2 + y 2 + 2 x − 2 y = 0 .

C. x 2 + y 2 − 2 x − 2 y + 2 = 0 .

D. x 2 + y 2 + 2 x + 2 y − 2 = 0 . Hướng dẫn giải

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Chọn A. Gọi phương trình đường tròn có dạng (C ) : x 2 + y 2 + 2ax + 2by + c = 0 trong đó a 2 + b 2 − c > 0 . Vì (C ) đi qua 3 điểm A( −1;1), B (3;1), C (1;3) nên ta có hệ phương trình

1 + 1 − 2a + 2b + c = 0 −2a + 2b + c = −2 a = −1    9 + 1 + 6a + 2b + c = 0 ⇔ 6a + 2b + c = −10 ⇔ b = −1 .    1 + 9 + 2a + 6b + c = 0 2a + 6b + c = −10 c = −2

Vậy phương trình đường tròn là x 2 + y 2 − 2 x − 2 y − 2 = 0 .

C. x 2 + y 2 − x + y = 0 .

D. x 2 + y 2 − 4 x − 4 y + 3 = 0 .

ẠO

Điểm A(1; 0) không thuộc đường tròn B. Điểm A(1; 0), B (3; 4) thuộc đường tròn D.

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Chọn D. Thử phương án Điểm B (3; 4) không thuộc đường tròn A.

Hướng dẫn giải

Điểm B (3; 4) không thuộc đường tròn C.

H Ư

Câu 60: Đường tròn nào sau đây đi qua ba điểm A ( 2;0 ) , B ( 0; 6 ) , O ( 0; 0 ) ? B. x 2 + y 2 − 2 x − 6 y = 0.

C. x 2 + y 2 − 2 x + 3 y = 0.

D. x 2 + y 2 − 3 x − 8 = 0.

TR ẦN

A. x 2 + y 2 − 2 x − 6 y − 1 = 0. Chọn B.

A. x 2 + y 2 − ax + by = 0 C. x 2 + y 2 − ax − by − xy = 0

B. x 2 + y 2 − 2ax − 2by = 0. D. x 2 + y 2 − ax − by = 0.

Chọn D.

10 00

Câu 61: Đường tròn nào sau đây đi qua ba điểm O, A ( a;0 ) , B ( 0; b ) ?

Câu 62: Đường tròn nào sau đây đi qua ba điểm A( −1;1) , B ( 3;1) , C (1;3) ? B. x 2 + y 2 − 2 x − 2 y + 2 = 0

C. x 2 + y 2 − 2 x + 2 y = 0 .

D. x 2 + y 2 + 2 x + 2 y − 2 = 0 .

ÁN

Chọn A.

-L

Í-

A. x 2 + y 2 − 2 x − 2 y − 2 = 0 .

Câu 63: Tìm tọa độ tâm đường tròn đi qua ba điểm có tọa độ ( 0;5) , ( 3; 4 ) , ( −4;3) ? A. ( 0;0 ) .

B. ( 3;1) .

C. ( −6; −2) .

D. ( −1; −1) .

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

B. x 2 + y 2 − 3 x − 16 = 0 .

A. x 2 + y 2 + 8 x − 2 y − 9 = 0 .

U Y

Câu 59: Đường tròn nào dưới đây đi qua 2 điểm A(1;0), B (3; 4) ?

ÀN

Chọn A.

IỄ N

Câu 64: Tìm tọa độ tâm đường tròn đi qua ba điểm có tọa độ ( 0; 4 ) , ( 2; 4 ) , ( 4;0 ) ? A. ( 3;2) .

B. (1;1) .

C. ( 0;0 ) .

D. (1;0) .

Chọn B.

Câu 65: Tìm bán kính đường tròn đi qua ba điểm ( 0; 4 ) , ( 3;4) , ( 3;0) ? A. 3 .

B. 5 .

C. 2, 5 .

D. 10 .

Chọn C. Câu 66: Tìm bán kính đường tròn đi qua ba điểm (0;0), (0;6), (8;0) ?

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn A. 10 . Chọn D.

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

B. 6 .

C. 5 .

D. 5 .

Câu 67: Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A (1;0 ) , B ( 0; 2 ) , C ( 3;1) ? B. x 2 + y 2 − 3 x − 3 y + 2 = 0

C. x 2 + y 2 − 3 x − 3 y − 2 = 0

D. x 2 + y 2 − 3 x − 3 y = 0

A. x 2 + y 2 + 3 x + 3 y + 2 = 0 .

Hướng dẫn: Chọn B.

2a + 0b + c = −1 −3   a = b = Ta có hệ 0a + 4b + 2 = −4 ⇒  2 6a + 2b + c = −10 c = 2 

ẠO

có tâm I ( 6; 2 ) và tiếp xúc ngoài với đường tròn

là

( C′) : x2 + y 2 − 4 x + 2 y + 1 = 0

(C )

Câu 68: Phương trình đường tròn

A. x 2 + y 2 − 12 x − 4 y − 9 = 0 .

B. x 2 + y 2 − 6 x − 12 y + 31 = 0 .

C. x 2 + y 2 + 12 x + 4 y + 31 = 0 .

D. x 2 + y 2 − 12 x − 4 y + 31 = 0 .

TR ẦN

Hướng dẫn: Chọn D.

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Vậy phương trình đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 − 3x − 3 y + 2 = 0 .

Đường tròn ( C ′ ) : x 2 + y 2 − 4 x + 2 y + 1 = 0 có tâm I ′ ( 2; −1) bán kính R′ = 2 .

10 00

Đường tròn ( C ) tâm I ( 6; 2 ) tiếp xúc ngoài với ( C ′ ) khi

II ′ = R + R′ ⇒ R = II ′ − R′ = 3 II ′ = R + R′ ⇒ II ′ − R = 3 . 2

Phương trình đường tròn cần tìm ( x − 6 ) + ( x − 2 ) = 9 hay x 2 + y 2 − 12 x − 4 y + 31 = 0 .

Câu 69: Phương trình đường tròn đường kính AB với A (1;1) , B ( 7;5) là : B. x 2 + y 2 + 8 x – 6 y –12 = 0 .

C. x 2 + y 2 + 8 x + 6 y + 12 = 0 .

D. x 2 + y 2 – 8 x – 6 y – 12 = 0 .

-L

Í-

A. x 2 + y 2 – 8 x – 6 y + 12 = 0 .

ÁN

Hướng dẫn giải

Chọn A

( x − 4) 2 + ( y − 3) 2 = 13 ⇔ x 2 + y 2 – 8 x – 6 y + 12 = 0

ÀN

Có trung điểm của AB là I (4,3), IA = 13 nên phương trình đường tròn đường kính AB là

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

Gọi ( C ) : x 2 + y 2 + 2ax + 2by + c = 0 là đường tròn đi qua ba điểm A (1;0 ) , B ( 0; 2 ) , C ( 3;1)

Dạng 3. Vị trí tường ñối. Phương trình tiếp tuyến của ñường tròn

IỄ N

Câu 70: Cho đường tròn (C ) : ( x + 1) 2 + ( y − 3) 2 = 4 và đường thẳng d : 3 x − 4 y + 5 = 0 . Phương trình của đường thẳng d ′ song song với đường thẳng d và chắn trên (C ) một dây cung có độ dài lớn nhất là A. 4 x + 3 y + 13 = 0 . B. 3 x − 4 y + 25 = 0 . C. 3 x − 4 y + 15 = 0 . D. 4 x + 3 y + 20 = 0 . Hướng dẫn giải Chọn C.

( C ) có tâm I ( −1;3) và

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

R = 2. d ′// d ⇒ d ′ : 3 x − 4 y + c = 0 .

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Yêu cầu bài toán có nghĩa là d ′ qua tâm I ( −1; 3) của ( C ) , tức là : −3 − 12 + c = 0 ⇔ c = 1

Câu 71: Cho đường tròn (C ) : x 2 + y 2 + 4 x − 6 y + 5 = 0 . Đường thẳng d đi qua A(3; 2) và cắt (C ) theo một dây cung dài nhất có phương trình là A. x + y − 5 = 0 . B. x − y − 5 = 0 . C. x + 2 y − 5 = 0 . D. x − 2 y + 5 = 0 .

Hướng dẫn giải

Vậy d ′ : 3 x − 4 y + 15 = 0 .

Chọn A.

Dây cung dài nhất khi dây cung đó là đường kính của ( C ) . Vậy d qua I ( 2; 3) và A ( 3; 2 ) .

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Câu 72: Cho đường tròn (C ) : x 2 + y 2 + 4 x − 6 y + 5 = 0 . Đường thẳng d đi qua A(3; 2) và cắt (C ) theo một dây cung ngắn nhất có phương trình là A. 2 x − y + 2 = 0 . B. x + y − 1 = 0 . C. x − y − 1 = 0 .

Hướng dẫn giải

Chọn C.

f (3; 2) = 9 + 4 − 12 − 12 + 5 = −6 < 0.

M I

TR ẦN

Vậy A ( 3; 2 ) ở trong ( C ) .

H Ư

f ( x; y ) = x 2 + y 2 − 4 x − 6 y + 5.

pháp

Dây cung MN ngắn nhất ⇔ IH lớn nhất ⇔ H ≡ A ⇔ MN có vectơ tuyến là IA = (1; − 1) . Vậy d có phương trình: 1( x − 3) − 1( y − 2) = 0 ⇔ x − y − 1 = 0 .

10 00

Câu 73: Cho đường tròn (C ) : ( x − 3) 2 + ( y − 1) 2 = 10 . Phương trình tiếp tuyến của (C ) tại điểm A(4; 4) là A. x − 3 y + 5 = 0 .

B. x + 3 y − 4 = 0 .

C. x − 3 y + 16 = 0 .

D. x + 3 y − 16 = 0 .

Hướng dẫn giải

Chọn D.

-L

Í-

( C ) có tâm I ( 3;1) ⇒ IA = (1; 3) là vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến Suy ra D :1( x − 4 ) + 3 ( y − 4 ) = 0 ⇔ x + 3 y − 16 = 0 .

Câu 74: Cho đường tròn (C ) : ( x − 2) 2 + ( y − 2) 2 = 9 . Phương trình tiếp tuyến của (C ) đi qua điểm

ÁN

A( −5;1) là

B. x = 5 và y = −1 .

C. 2 x − y − 3 = 0 và 3 x + 2 y − 2 = 0 .

D. 3 x − 2 y − 2 = 0 và 2 x + 3 y + 5 = 0 .

A. x + y − 4 = 0 và x − y − 2 = 0 .

Hướng dẫn giải

ÀN Đ IỄ N D

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

x−3 y −2 = ⇔ x+ y −5 = 0 3− 2 2−3

Do đó: d :

Chọn B.

( C ) có tâm I ( 2; 2 ) và bán kính R = 3 . n = ( A; B ) là vectơ pháp tuyến nên D : A ( x − 5) + B ( y + 1) = 0 . D là tiếp tuyến của ( C ) khi và chỉ khi : A ( 2 − 5 ) + B ( 2 + 1)  A = 0 chon B = 0 ⇒ y = −1 = 3 ⇔ A.B = 0 ⇔  d ( I , ∆) = R ⇔ . 2 2 A +B

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

 B = 0 chon A = 0 ⇒ x = 5

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 75: Cho đường tròn (C ) : x 2 + y 2 + 2 x − 6 y + 5 = 0 . Phương trình tiếp tuyến của (C ) song song với đường thẳng D : x + 2 y − 15 = 0 là A. x + 2 y = 0 và x + 2 y − 10 = 0 .

B. x − 2 y = 0 và x + 2 y + 10 = 0 .

C. x + 2 y − 1 = 0 và x + 2 y − 3 = 0 .

D. x − 2 y − 1 = 0 và x − 2 y − 3 = 0 . Hướng dẫn giải

( C ) có tâm I ( −1; 3) và bán kính R = 1 + 9 − 5 = d là tiếp tuyến của ( C ) khi và chỉ khi:

Ơ H N TP

Câu 76: Cho đường tròn (C ) : x 2 + y 2 − 6 x + 2 y + 5 = 0 và đường thẳng d : 2 x + ( m − 2) y − m − 7 = 0 . B. m = 15 .

C. m = 13 . Hướng dẫn giải

Chọn D.

4 + (m − 2)

H Ư

m = 3 . = 5 ⇔ m 2 − 16m + 39 = 0 ⇔   m = 13

TR ẦN

6−m+2−m−7

( C ) có tâm I ( 3; − 1) và bán kính R = 5 . d là tiếp tuyến của ( C ) khi va chỉ khi: d (I, d ) = R ⇔

D. m = 3 hoặc m = 13 .

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

A. m = 3 .

ẠO

Với giá trị nào của m thì d là tiếp tuyến của (C ) ?

Câu 77: Cho đường tròn (C ) : x 2 + y 2 + 6 x − 2 y + 5 = 0 và đường thẳng d đi qua điểm A( −4; 2) , cắt

10 00

(C ) tại hai điểm M , N sao cho A là trung điểm của MN . Phương trình của đường thẳng d là

B. 7 x − 3 y + 34 = 0 .

A. x − y + 6 = 0 .

D. 7 x − y + 35 = 0 .

Hướng dẫn giải

Chọn A.

C. 7 x − 3 y + 30 = 0 .

5 . Do đó, IA = 2 < R ⇒ A ở trong ( C ) . A là trung điểm của MN ⇒ IA ⊥ MN ⇒ IA = ( −1;1) là vectơ pháp tuyến của d , nên d có

-L

Í-

( C ) có tâm I ( −3;1) , R =

ÁN

phương trình: −1( x + 4) + 1( y + 2) = 0 ⇔ x − y + 6 = 0 .

ÀN

Câu 78: Cho hai điểm A( −2;1) , B (3;5) và điểm M thỏa mãn AMB = 90o . Khi đó điểm M nằm trên đường tròn nào sau đây? A. x 2 + y 2 − x − 6 y − 1 = 0 . B. x 2 + y 2 + x + 6 y − 1 = 0 .

IỄ N

C. x 2 + y 2 + 5 x − 4 y + 11 = 0 .

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

1+ 4

 m − 5 = −5 m = 0 ⇒ d : x + 2 y = 0 = 5 ⇔ m −5 = 5 ⇔  . ⇔ m − 5 = 5  m = 10 ⇒ d : x + 2 y − 10 = 0

U Y

−1 + 6 − m

5, d : x + 2 y − m = 0 .

d (I, d ) = R ⇔

Chọn A.

D. x 2 + y 2 − 5 x + 4 y − 11 = 0 . Hướng dẫn giải

Chọn A. 1  M nằm trên đường tròn đường kính AB , có tâm I  ; 3  là trung điểm của AB và bán kính 2  1 1 1 25 + 16 = 41 nên có phương trình R = AB = 2 2 2 2

1 41 2  ⇔ x2 + y2 − x − 6 y −1 = 0 .  x −  + ( y − 3) = 2 4 

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 79: Đường tròn (C ) có tâm I ( −1;3) và tiếp xúc với đường thẳng d : 3 x − 4 y + 5 = 0 tại điểm H có tọa độ là  1 7 1 7 1 7  1 7 A.  − ; −  . B.  ;  . C.  ; −  . D.  − ;  .  5 5 5 5 5 5  5 5 Hướng dẫn giải Chọn B.

IH ⊥ d ⇒ IH : 4 x + 3 y + c = 0 . Đường thẳng IH qua I ( −1; 3) nên

4( −1) + 3.3 + c = 0 ⇔ c = −5 . Vậy IH : 4 x + 3 y − 5 = 0 .

ẠO

Câu 80: Cho đường tròn (C ) : x 2 + y 2 − 4 x + 6 y − 3 = 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

(I) Điểm A(1;1) nằm ngoài (C ) .

(II) Điểm O (0; 0) nằm trong (C ) .

D. Cả (I), (II) và (III).

TR ẦN

Chọn D.

C. Chỉ (III). Hướng dẫn giải

H Ư

B. Chỉ (II).

(III) (C ) cắt trục tung tại hai điểm phân biệt.

Đặt f ( x; y ) = x 2 + y 2 − 4 x + 6 y − 3

f (1;1) = 1 + 1 − 4 + 6 − 3 = 1 > 0 ⇒ A ở ngoài ( C ) .

10 00

f ( 0; 0 ) = −3 < 0 ⇒ O ( 0; 0 ) ở trong ( C ) .

x = 0 ⇒ y 2 + 6 y − 3 = 0 . Phương trình này có hai nghiệm, suy ra ( C ) cắt y ' Oy tại 2 điểm.

Câu 81: Cho đường tròn (C ) : x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 (a 2 + b 2 − c > 0) . Hỏi mệnh đề nào sau đây sai?

A. (C ) có bán kính R = a 2 + b2 − c .

Í-

B. (C ) tiếp xúc với trục hoành khi và chỉ khi b 2 = R 2 .

-L

C. (C ) tiếp xúc với trục tung khi và chỉ khi a = R .

ÁN

D. (C ) tiếp xúc với trục tung khi và chỉ khi b 2 = c . Hướng dẫn giải

ÀN

Chọn C. ( C ) tiếp xúc với y ' Oy khi d ( I , y ' Oy ) = R ⇔ a = R .

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

1  x=  4 3 5 0 x + y − =   1 7 5 Giải hệ:  ⇔ ⇒ H  ; . 5 5 3 x − 4 y + 5 = 0 y = 7  5

A. Chỉ (I).

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Do đó đáp án ( C ) sai vì nếu a = −9 ⇒ R = −9 < 0 (vô lý)

IỄ N

Câu 82: Mệnh đề nào sau đây đúng? (I) Đường tròn ( x + 2) 2 + ( y − 3) 2 = 9 tiếp xúc với trục tung. (II) Đường tròn ( x − 3)2 + ( y + 3) 2 = 9 tiếp xúc với các trục tọa độ. A. Chỉ (I). B. Chỉ (II). C. Cả (I) và (II). Hướng dẫn giải Chọn B. 2

( I ) : ( x + 2 ) + ( y − 3) ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

D. Không có.

= 9 . Vì b = 3 = R nên đường tròn tiếp xúc với x ' Ox ⇒ ( I ) sai.

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn 2

( II ) : ( x − 3) + ( y + 3) ( II ) đúng.

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

= 9 . Vì a = b = 3 = R nên đường tròn tiếp xúc với các trục tọa độ nên

Câu 83: Cho phương trình x 2 + y 2 − 4 x + 2my + m 2 = 0 (1) . Mệnh đề nào sau đây sai? A. Phương trình (1) là phương trình đường tròn, với mọi giá trị của m ∈ ℝ .

B. Đường tròn (1) luôn tiếp xúc với trục tung.

C. Đường tròn (1) tiếp xúc với các trục tọa độ khi và chỉ khi m = 2 .

D. Đường tròn (1) có bán kính R = 2 .

ẠO

Từ đó suy ra C sai, vì đường tròn tiếp xúc với x ' Ox khi và chỉ khi b = m = 2 ⇔ m = ±2 .

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Câu 84: Cho đường tròn (C ) : x 2 + y 2 − 2 x + 6 y + 6 = 0 và đường thẳng d : 4 x − 3 y + 5 = 0 . Đường thẳng

TR ẦN

H Ư

d ′ song song với đường thẳng d và chắn trên (C ) một dây cung có độ dại bằng 2 3 có phương trình là A. 4 x − 3 y + 8 = 0 . B. 4 x − 3 y − 8 = 0 hoặc 4 x − 3 y − 18 . C. 4 x − 3 y − 8 = 0 . D. 4 x + 3 y + 8 = 0 . Hướng dẫn giải N ( C ) có tâm I (1; − 3) , R = 2

d ′// d ⇒ d ′ có phương trình 4 x − 3 y + m = 0 ( m ≠ 5 ) .

4.1 − 3.(−3) + m 16 + 9

d ( I , d ′ ) = IH ⇔

10 00

Vẽ IH ⊥ MN ⇒ HM = 3 ⇒ IH 2 = R 2 − HM 2 = 4 − 3 = 1 .

 m = −8 = 1 ⇔ m + 13 = 5 ⇔   m = −18.

Í-

d ′ : 4 x − 3 y − 8 = 0 Vậy:  .  d ′ : 4 x − 3 y − 18 = 0

ÁN

-L

Câu 85: Đường thẳng d : x cos α + y sin α + 2 sin α + 4 = 0 ( α là tham số) luôn tiếp xúc với đường tròn nào sau đây? A. Đường tròn tâm I (3; −2) và bán kính R = 4 .

B. Đường tròn tâm I (−3; 2) và bán kính R = 4 . C. Đường tròn tâm O (0; 0) và bán kính R = 1 .

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có: a 2 + b 2 − c = 4 + m 2 − m 2 = 4 > 0 nên A , D đúng. Vì a = R = 2 nên B đúng.

IỄ N

ÀN

D. Đường tròn tâm I (−3; −2) và bán kính R = 4 . Hướng dẫn giải Chọn A. Khoảng cách từ điểm M ( xo ; yo ) đến d là:

( xo − 3) cosα + ( yo + 2 ) sin α + 4

= ( xo − 3) cosα + ( yo + 2 ) sin α + 4 sin 2 α + cos 2α Chọn xo = 3, yo = −2 thì d = 4 : không lệ thuộc vào α . d=

Suy ra d luôn tiếp xúc với đường tròn tâm I ( 3; − 2) , bán kính R = 4

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 86: Đường thẳng ∆ : x cos 2α + y sin 2α − 2 sin α (cos α + sin α ) + 3 = 0 ( α là tham số) luôn tiếp xúc với đường tròn nào sau đây? A. Đường tròn tâm I (2;3) và bán kính R = 1 . B. Đường tròn tâm I ( −1;1) và bán kính R = 1 .

C. Đường tròn tâm I ( −1;1) và bán kính R = 2 . D. Đường tròn tâm I (−2; −3) và bán kính R = 1 .

Hướng dẫn giải

= ( xo + 1) cos 2α + ( yo − 1) sin 2α + 2 = 2 (khi chọn xo = −1; yo = 1 ).

ẠO

Vậy đường thẳng ∆ luôn tiếp xúc với đường tròn tâm I ( −1;1) , R = 2 .

C. x + 2 = 0 .

B. x + y − 3 = 0 .

H Ư

Chọn B. Đường tròn có tâm I ( 0; −2 ) , bán kính R = 2 .

Hướng dẫn giải

TR ẦN

– Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng ( ∆1 ) : x − 2 = 0 : d ( I , ∆1 ) = xúc ( ∆1 )

D.Trục hoành.

A. x − 2 = 0 .

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Câu 87: Đường tròn x 2 + y 2 + 4 y = 0 không tiếp xúc đường thẳng nào trong các đường thẳng dưới đây?

0−2 = 2 = R ⇒ ( C ) tiếp 1

10 00

– Tương tự: ( C ) tiếp xúc ( ∆ 2 ) : x + 2 = 0 ; ( C ) tiếp xúc trục hoành ( Ox ) : y = 0 – Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng ( ∆3 ) : x + y − 3 = 0 : d ( I , ∆1 ) =

−2 − 3 5 = ≠R 1+1 2

⇒ ( C ) không tiếp xúc ( ∆3 )

B. 3 x + 4 y − 1 = 0 .

-L

A. x + y = 0 .

Í-

Câu 88: Đường tròn x 2 + y 2 − 1 = 0 tiếp xúc đường thẳng nào trong các đường thẳng dưới đây ? C. 3 x − 4 y + 5 = 0 .

D. x + y − 1 = 0 .

Hướng dẫn giải

ÁN

Chọn C. Đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 − 1 = 0 có tâm I ≡ O ( 0;0 ) , bán kính R = 1 .

ÀN

– Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng ( ∆1 ) : x + y = 0 : d ( I , ∆1 ) =

0 = 0 ≠ R ⇒ ( C ) không 2

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

sin 2 2α + cos 2 2α

Cho M ( xo ; yo ) , ta có: d ( M , ∆ ) =

xo cos 2α + yo sin 2α − 2sin α .cos α + 3 − 2sin 2 α

Chọn C.

IỄ N

tiếp xúc ( ∆1 )

– Tương tự, ( C ) không tiếp xúc ( ∆ 2 ) : 3 x + 4 y − 1 = 0 ; ( ∆3 ) x + y − 1 = 0 – Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng 5 ( ∆ 4 ) : 3x − 4 y + 5 = 0 : d ( I , ∆ 4 ) = 2 2 = 1 = R ⇒ ( C ) tiếp xúc ( ∆ 4 ) 3 +4

Câu 89: Tìm giao điểm 2 đường tròn ( C1 ) : x 2 + y 2 − 4 = 0 và ( C2 ) : x 2 + y 2 − 4 x − 4 y + 4 = 0 A. ( 2; 2 ) và ( ( 2; − 2 ) .

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

B. ( 0; 2 ) và ( 0; −2 ) .

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

C. ( 2;0 ) và ( 0; 2 ) .

D. ( 2; 0 ) và ( −2; 0 ) . Hướng dẫn giải

2 2  x2 + y 2 − 4 = 0  x 2 + y 2 − 4 = 0  x 2 + ( 2 − x )2 − 4 = 0  x + y − 4 = 0 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔  2 2  x + y − 4 x − 4 y + 4 = 0 4 − 4 x − 4 y + 4 = 0  x + y = 2  y = 2 − x

2 x = 2  x 2 + ( 2 − x ) − 4 = 0  x = 0 ⇔ . hay    y = 2 − x y = 2 y = 0

2; 3 ) .

B. (1; 2 ) .

3; 2 ) .

D. (1; 2 ) và ( 2;1) .

ẠO

( C. (1; 2 ) và (

Câu 90: Tìm toạ độ giao điểm hai đường tròn ( C1 ) : x 2 + y 2 = 5 và ( C2 ) : x 2 + y 2 − 4 x − 8 y + 15 = 0

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Hướng dẫn giải

Chọn B.

H Ư

2 2  x2 + y2 = 5 5 y 2 − 20 y + 20 = 0  x = 1  x + y = 5 ⇔ ⇔ ⇔ . Giải hệ PT  2   2  x + y − 4 x − 8 y + 15 = 0  −4 x − 8 y + 20 = 0  x = 5 − 2 y y = 2

TR ẦN

Vậy toạ độ giao điểm là (1; 2 ) .

Câu 91: Đường tròn ( C ) : ( x − 2) 2 + ( y − 1) 2 = 25 không cắt đường thẳng nào trong các đường thẳng sau

đây? A.Đường thẳng đi qua điểm ( 2; 6 ) và điểm ( 45;50 ) .

10 00

B.Đường thẳng có phương trình y − 4 = 0 .

C.Đường thẳng đi qua điểm ( 3; −2 ) và điểm (19;33) .

-L

Í-

D.Đường thẳng có phương trình x − 8 = 0 . Hướng dẫn giải Chọn D. Đường tròn có tâm và bán kính là: I ( 2;1) , R = 5

ÁN

Xét khoảng cách d từ tâm I đến từng đường thẳng và so sánh với R ; nếu d > R thì đường tròn không cắt đường thẳng

* Đường thẳng đi qua điểm ( 2;6 ) và điểm ( 45;50 ) : ∆1 : 44 x − 43 y + 170 = 0 ⇒ khoảng cách

IỄ N

ÀN

d ( I , ∆1 ) =

215 < R ⇒ ( C ) cắt ∆1 3785

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

Vậy giao điểm A ( 0; 2 ) , B ( 2;0 )

A. (1; 2 ) và

Chọn C. Giải hệ PT

* ∆ 2 : y − 4 = 0 ⇒ khoảng cách d ( I , ∆ 2 ) = 3 < R ⇒ ( C ) cắt ∆1 * Đường thẳng đi qua điểm ( 3; −2 ) và điểm (19;33) : ∆ 3 : 35 x − 16 y − 137 = 0

⇒ khoảng cách d ( I , ∆ 3 ) =

116 1481

< R ⇒ ( C ) c ắt ∆ 3

* ∆ 4 : x − 8 = 0 ⇒ khoảng cách d ( I , ∆ 4 ) = 6 > R ⇒ ( C ) không cắt ∆1

Câu 92: Một đường tròn có tâm I ( 3; −2 ) tiếp xúc với đường thẳng ∆ : x − 5 y + 1 = 0 . Hỏi bán kính đường tròn bằng bao nhiêu?

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn A. 6 .

B. 26 .

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com 14 . 26 Hướng dẫn giải C.

7 . 13

14 26

Bán kính bằng khoảng cách từ tâm đến đường thẳng ⇒ R = d ( I , ∆ ) =

C. 4 . Hướng dẫn giải

D. 4 2 .

Chọn C.

4 2 =4 2

ẠO

Bán kính bằng khoảng cách từ tâm đến đường thẳng ⇒ R = d ( I , ∆ ) =

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Câu 94: Xác định vị trí tương đối giữa 2 đường tròn ( C1 ) : x 2 + y 2 = 4 và ( C2 ) : ( x + 10) 2 + ( y − 16) 2 = 1 . B.Không cắt nhau. C.Tiếp xúc ngoài. Hướng dẫn giải

D.Tiếp xúc trong.

A.Cắt nhau.

TR ẦN

H Ư

Chọn B. ( C1 ) có tâm và bán kính: I1 ≡ ( 0;0 ) , R1 = 2 ; ( C2 ) có tâm và bán kính: I 2 ( −10;16 ) , R2 = 1 ; khoảng cách giữa hai tâm I1 I 2 = 10 2 + 162 = 2 89 > R1 + R2 . Vậy ( C1 ) và ( C2 ) không có điểm chung

10 00

Câu 95: Với những giá trị nào của m thì đường thẳng ∆ : 4 x + 3 y + m = 0 tiếp xúc với đường tròn

(C ) : x2 + y 2 − 9 = 0 .

A. m = −3 . C. m = 3 .

Chọn D.

B. m = 3 và m = −3 . D. m = 15 và m = −15 . Hướng dẫn giải

-L

Í-

Đường tròn ( C ) có tâm và bán kính là I ≡ ( 0;0 ) , R = 3 .

ÁN

∆ tiếp xúc ( C ) ⇔ d ( I , ∆ ) = R ⇔

 m = 15 m =3⇔ 5  m = −15

Câu 96: Đường tròn nào sau đây tiếp xúc với trục Ox ? B. x 2 + y 2 + 6 x + 5 y + 9 = 0 .

ÀN

A. x 2 + y 2 − 2 x − 10 y = 0 .

IỄ N

C. x 2 + y 2 − 10 y + 1 = 0 .

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

B. 1.

U Y

A. 2 .

Câu 93: Một đường tròn có tâm là điểm ( 0; 0 ) và tiếp xúc với đường thẳng ∆ : x + y − 4 2 = 0 . Hỏi bán kính đường tròn đó bằng bao nhiêu?

Chọn C.

D. x 2 + y 2 − 5 = 0 . Hướng dẫn giải

Chọn B. 2

5 5  Ta có: Đường tròn: x + y + 6 x + 5 y + 9 = 0 ⇔ ( x + 3) +  y +  =   có tâm và bán kính 2 2  5 5 5  lần lượt là I  −3; −  ; R = .Mà d( I ,Ox ) = = R 2 2 2  2

Câu 97: Đường tròn nào sau đây tiếp xúc với trục Oy ? A. x 2 + y 2 − 10 y + 1 = 0 .

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

B. x 2 + y 2 + 6 x + 5 y − 1 = 0 .

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

C. x 2 + y 2 − 2 x = 0 .

D. x 2 + y 2 − 5 = 0 . Hướng dẫn giải

Chọn C. 2

Ta có: đường tròn: x 2 + y 2 − 2 x = 0 ⇔ ( x − 1) + y 2 = 1 có tâm và bán kính lần lượt là

I (1;0 ) , R = 1 .Mà d( I ,Oy ) = 1 = R D. 5 .

Ta có: đường tròn: x 2 + y 2 − 10 x + 1 = 0 ⇔ ( x − 5 ) + y 2 = 24 có tâm I ( 5;0 ) .

Khoảng cách từ I đến Oy là d( I ,Oy ) = 5

ẠO

Câu 99: Đường tròn nào dưới đây đi qua điểm A(4; −2)

B. x 2 + y 2 − 4 x + 7 y − 8 = 0 .

C. x 2 + y 2 − 6 x − 2 y + 9 = 0 .

D. x 2 + y 2 + 2 x − 20 = 0 . Hướng dẫn giải

A. x 2 + y 2 − 2 x + 6 y = 0 .

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Chọn D.

TR ẦN

H Ư

Chọn A. Thế tọa độ của điểm A(4; −2) vào phương trình đường tròn x 2 + y 2 − 2 x + 6 y = 0 ta có: 2

42 + ( −2 ) − 2.4 + 6 ( −2 ) = 16 + 4 − 8 − 12 = 0 nên A( 4; −2) thuộc đường tròn.

-L

Í-

10 00

Câu 100: Một đường tròn có tâm I (1;3) tiếp xúc với đường thẳng ∆ : 3 x + 4 y = 0 . Hỏi bán kính đường tròn bằng bao nhiêu ? 3 A. . B. 1.C. 3 . D. 15 . 5 Hướng dẫn giải Chọn C. 3.1 + 3.4 = 3. ycbt ⇔ R = d ( I ; ∆ ) = 32 + 42

ÁN

Câu 101: Đường tròn ( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = R 2 cắt đường thẳng x + y − a − b = 0 theo một dây cung có độ dài bằng bao nhiêu ?

IỄ N

ÀN

A. 2R .

B. R 2 .

R 2 . 2 Hướng dẫn giải

D. R .

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

C. 10 . Hướng dẫn giải

B. 0 .

U Y

A. −5 .

Câu 98: Tâm đường tròn x 2 + y 2 − 10 x + 1 = 0 cách trục Oy một khoảng bằng

Chọn A. Vì đường tròn có tâm I ( a; b) , bán kính R và tâm I ( a; b) thuộc đường thẳng x + y − a − b = 0 . Nên độ dài của dây cung bằng độ dài đường kính bằng 2R .

Câu 102: Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng ∆ : x − 2 y + 3 = 0 và đường tròn (C ) : x 2 + y 2 − 2 x − 4 y = 0 A. ( 3;3) và ( −1;1) .

B. ( −1;1) và ( 3; −3) .

C. ( 3;3) và (1;1) .

D. ( 2;1) và ( 2; −1) .

Hướng dẫn giải Chọn A. Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình sau

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

x − 2 y + 3 = 0  x = 2 y − 3 ⇔  2 2 2 2 ( 2 y − 3) + y − 2 ( 2 y − 3) − 4 y = 0 x + y − 2x − 4 y = 0

 y2 − 4 y + 3 = 0  y = 1 ⇔ ⇔ hoặc  x = −1 x = 2 y − 3

y = 3  x = 3

A. ( 2;1) .

B. ( 3; −2 ) .

C. ( −1;3) .

D. ( 4; −1) .

Câu 103: Đường tròn x 2 + y 2 − 2 x + 10 y + 1 = 0 đi qua điểm nào trong các điểm dưới đây ?

Vậy tọa độ giao điểm là ( 3;3) và ( −1;1) .

TR ẦN

Cách 2 Đường tròn x 2 + y 2 − 2 x + 10 y + 1 = 0 có tâm I (1; −5) và bán kính R = 5 . Ta tính độ dài lần lượt các phương án

IA = 37 > R; IB = 13 < R; IC = 2 17 > R; ID = 5 = R

10 00

Câu 104: Xác định vị trí tương đối giữa 2 đường tròn (C1 ) : x 2 + y 2 − 4 x = 0 và (C2 ) : x 2 + y 2 + 8 y = 0 . B.Không cắt nhau. C.Cắt nhau. Hướng dẫn giải

D.Tiếp xúc ngoài.

A.Tiếp xúc trong.

Chọn C. Đường tròn (C1 ) : x 2 + y 2 − 4 x = 0 có tâm I1 (2;0) , bán kính R1 = 2 .

-L

Í-

Đường tròn (C2 ) : x 2 + y 2 + 8 y = 0 có tâm I 2 (0; −4) , bán kính R2 = 4 .

ÁN

Ta có R2 − R1 < I1I 2 = 2 5 < R2 + R1 nên hai đường tròn cắt nhau.

Câu 105: Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng ∆ : x + y − 7 = 0 và đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 − 25 = 0 . B. ( 4;3) .

C. ( 3; 4 ) .

D. ( 3; 4 ) và ( 4;3) .

Hướng dẫn giải

ÀN

A. ( 3; 4 ) và ( −4;3) .

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

22 + 12 − 2.2 + 10.1 + 1 = 12  2 2 3 + 2 − 2.3 − 10.2 + 1 = −12 . 2 2 1 + 3 + 2.1 + 10.3 + 1 = 43 42 + 12 − 2.4 − 10.1 + 1 = 0 

ẠO

U Y

Hướng dẫn giải Chọn D. Cách 1 Thay lần lượt các điểm vào đường tròn điểm nào thỏa mãn phương trình đường tròn thì điểm đó thuộc đường tròn

IỄ N

Chọn D.

 x 2 + y 2 − 25 = 0 2 x 2 − 14 x + 24 = 0  x = 4 x = 3 ⇔ ⇔ hay  Giải hệ PT  y = 3 y = 4 x + y − 7 = 0 y = 7 − x

Câu 106: Đường tròn x 2 + y 2 − 2 x − 2 y − 23 = 0 cắt đường thẳng x − y + 2 = 0 theo một dây cung có độ dài bằng bao nhiêu? A. 5 .

B. 2 23 .

C. 10 . Hướng dẫn giải

D. 5 2 .

Chọn B.

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

  46 46 x = −  x 2 + y 2 − 2 x − 2 y − 23 = 0 2 x 2 − 23 = 0  x = 2  2 . Vậy ⇔ ⇔ Giải hệ PT  hay  4 46 4 46 + − x − y + 2 = 0 y = x + 2 y =    y = 2 2

 46 4 + 46   46 4 − 46  hai giao điểm là A  ; ; , B−  . Độ dài dây cung AB = 2 23  2    2 2 2

C. 6 . Hướng dẫn giải

D. 3 2 .

Chọn A.

  2+5 2 2−5 2 x=  x =  x + y − 2 x − 2 y − 23 = 0 2 x − 4 x − 23 = 0   2 2 Giải hệ PT  ⇔ ⇔ hay  + − = = − x y 2 0 y 2 x   y = 2 −5 2 y = 2+5 2   2 2 Độ dài dây cung AB = 10 2

B. x 2 + y 2 − 4 y − 5 = 0 .

TR ẦN

A. x 2 + y 2 − 10 x + 2 y + 1 = 0 .

H Ư

Câu 108: Đường tròn nào sau đây tiếp xúc với trục Oy ?

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

C. x 2 + y 2 − 1 = 0 .

D. x 2 + y 2 + x + y − 3 = 0 .

Hướng dẫn giải

10 00

Chọn A. PT Oy : x = 0

– Tâm và bán kính của x 2 + y 2 − 10 x + 2 y + 1 = 0 là I1 ( 5; −1) , R1 = 5 .

Khoảng cách d ( I1 ; Oy ) = 5 = R1 ⇒ đường tròn này tiếp xúc Oy

– Tâm và bán kính của x 2 + y 2 − 4 y − 5 = 0 là I 2 ( 0; 2 ) , R2 = 3

Í-

Khoảng cách d ( I 2 ; Oy ) = 0 ≠ R2 ⇒ đường tròn này không tiếp xúc Oy

-L

– Tâm và bán kính của x 2 + y 2 − 1 = 0 là I 3 ≡ O ( 0;0 ) , R3 = 1 Khoảng cách

ÁN

d ( I3 ; Oy ) = 0 ≠ R3 ⇒ đường tròn này không tiếp xúc Oy

IỄ N

ÀN

14  1 1 – Tâm và bán kính của x 2 + y 2 + x + y − 3 = 0 là I 4  − ; −  , R4 =  2 2 2 1 Khoảng cách d ( I 4 ; Oy ) = ≠ R4 ⇒đường tròn này không tiếp xúc Oy 2 CÁCH 2: PT Oy : x = 0 . Giải hệ PT Oy và PT đường tròn bằng phương pháp thế x = 0 vào PT

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

B. 8 .

A. 10 .

U Y

Câu 107: Đường tròn x 2 + y 2 − 2 x − 2 y − 23 = 0 cắt đường thẳng x + y − 2 = 0 theo một dây cung có độ dài bằng bao nhiêu?

đường tròn; nếu PT nào được nghiệm kép theo y thì khi đó Oy tiếp xúc đường tròn.

x = 0 Hệ  2 có nghiệm kép y = −1 nên đường tròn này tiếp xúc Oy 2  x + y − 10 x + 2 y + 1 = 0

Câu 109: Tìm giao điểm 2 đường tròn ( C1 ) : x 2 + y 2 − 2 = 0 và ( C2 ) : x 2 + y 2 − 2 x = 0 A. ( 2;0 ) và ( 0; 2 ) .

B. ( 2;1) và (1; − 2 ) .

C. (1; −1) và (1;1) .

D. ( −1; 0 ) và ( 0; −1) .

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Hướng dẫn giải

Chọn C. 2 2  x2 + y 2 − 2 = 0  x = 1 x = 1  x + y − 2 = 0 Giải hệ PT  2 . ⇔ ⇔ hay    2  x + y − 2 x = 0 2 x − 2 = 0 y =1  y = −1

Câu 110: Đường tròn x 2 + y 2 − 4 x − 2 y + 1 = 0 tiếp xúc đường thẳng nào trong các đường thẳng dưới đây? A.Trục tung. B. 4 x + 2 y − 1 = 0 . C.Trục hoành. D. 2 x + y − 4 = 0 .

Vậy hai giao điểm A (1;1) , B (1; −1)

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Chọn A. Đường tròn có tâm và bán kính: I ( 2;1) , R = 2 . Tính khoảng cách từ tâm I đến từng đường thẳng và so sánh R . * Xét trục tung Oy : x = 0 có d ( I , Oy ) = 2 = R ⇒ đường tròn tiếp xúc trục tung Oy 9 ≠ R ⇒ đường tròn không tiếp xúc ∆ 20

* Xét đường thẳng ∆ : 4 x + 2 y − 1 = 0 có d ( I , ∆ ) =

* Xét trục hoành Ox : y = 0 có d ( I , Ox ) = 1 ≠ R ⇒ đường tròn tiếp xúc trục tung Ox

H Ư

1 ≠ R ⇒ đường tròn không tiếp xúc D 5

TR ẦN

* Xét đường thẳng D : 2 x + y − 4 = 0 có d ( I , D ) =

Câu 111: Cho đường tròn x 2 + y 2 + 5 x + 7 y − 3 = 0 . Tìm khoảng cách từ tâm đường tròn tới trục Ox A. 5 .

B. 7 .

C. 3, 5 .

D. 2, 5 .

Hướng dẫn giải

10 00

Chọn C.

7  5 7 Đường tròn có tâm : I  − ; −  . Khoảng cách d ( I , Ox ) = = 3, 5  2 2 2

Câu 112: Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng ∆ : y = x và đường tròn (C) : x 2 + y 2 − 2 x = 0 .

Í-

A. ( 0;0 ) .

B. ( 0;0 ) và (1;1) .

C. ( 2;0 ) .

D. (1;1) .

ÁN

-L

Hướng dẫn giải Chọn B. y = x y = x x = y = 0 ⇔ 2 ⇔ Ta có:  2 2  x + y − 2 x = 0 2 x − 2 x = 0  x = y = 1

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

Hướng dẫn giải

ÀN

Câu 113: Với những giá trị nào của m thì đường thẳng ∆ : 3 x + 4 y + 3 = 0 tiếp xúc với đường

IỄ N

tròn ( C ) : ( x − m)2 + y 2 = 9

A. m = 0 và m = 1. Hướng dẫn giải Chọn B.

B. m = 4 và m = −6

C. m = 2

D. m = 6

Ta có ( C ) có tâm I ( m;0 ) và bán kính R = 3 nên theo đề bài ta được: d ( I; ∆) = 3 ⇔

3m + 4.0 + 3

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

32 + 42

= 3 ⇔ 3m + 3 = 15 ⇔ m = 4 ∨ m = −6

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

x = 1+ t Câu 114: Tọa độ giao điểm của đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 − 2 x − 2 y + 1 = 0 và đường thẳng ∆ :   y = 2 + 2t 1 2 A. (1; 2) và ( 2; 1) . B. (1; 2) và  ;  . 5 5

C. ( 2; 5) .

D. (1; 0 ) và ( 0; 1) .

Ơ H N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

C.Tiếp xúc ngoài.

B.Cắt nhau.

D.Tiếp xúc trong.

H Ư

A.Không cắt nhau. Hướng dẫn giải Chọn B.

Câu 115: Xác định vị trí tương đối giữa 2 đường tròn ( C1 ) : x 2 + y 2 = 4 và ( C2 ) : ( x − 3) 2 + ( y − 4)2 = 25 .

nên 2 đường tròn trên cắt nhau, do đó

TR ẦN

Ta có: tâm I1 ( 0;0 ) , I 2 ( 3;4 ) , bán kính R1 = 2, R2 = 5 nên R 2 − R1 = 3 < I1 I 2 = 5 < R 2 + R1 = 7

Câu 116: Đường tròn (C): x 2 + y 2 − 6 x = 0 không tiếp xúc đường thẳng nào trong các đường thẳng dưới

đây? A. y − 2 = 0 .

10 00

B. x − 6 = 0 .

C.Trục tung.

D. 3 + y = 0 .

Hướng dẫn giải Chọn A. Ta có: tâm I ( 3;0 ) và bán kính R = 3 .

Í-

Với ( ∆ ) : y − 2 = 0 thì d ( I ; ∆ ) = 2 < R nên (C) cắt ( ∆ ) do đó chọn B.

ÁN

-L

Câu 117: Đường tròn x 2 + y 2 − 2 x − 2 y − 23 = 0 cắt đường thẳng x + y − 2 = 0 theo một dây cung có độ dài bằng bao nhiêu ? B. 10 .

A. 6 .

C. 5 .

D. 5 2 .

Hướng dẫn giải

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

(1; 2 ) 1 + t = 1   − 6 (1 + t ) + 1 = 0 ⇔ ⇒  1 2  1 1 + t = ; 5  5 5  

− 2 (1 + t ) − 2 ( 2 + 2t ) + 1 = 0 ⇔ 5 (1 + t )

ẠO

(1 + t ) + ( 2 + 2t )

Hướng dẫn giải Chọn B. x = 1+ t Thế  vào ( C ) ta có:  y = 2 + 2t

IỄ N

ÀN

Chọn B. Đường tròn x 2 + y 2 − 2 x − 2 y − 23 = 0 có tâm I (1;1) và bán kính R = 5 . Vì I thuộc đường thẳng ∆ : x + y − 2 = 0 nên ∆ cắt đường tròn theo đường kính có độ dài

2 R = 10 .

Câu 118: Đường tròn. x 2 + y 2 − 2 x − 2 y − 23 = 0 cắt đường thẳng 3 x + 4 y + 8 = 0 theo một dây cung có độ dài bằng bao nhiêu ? A. 8 .

B. 6 .

C. 4 .

D. 3 2 .

Hướng dẫn giải

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Chọn A. Đường tròn x 2 + y 2 − 2 x − 2 y − 23 = 0 có tâm I (1;1) và bán kính R = 5 . Vì khoảng cách từ I đến đường thẳng ∆ : 3 x + 4 y + 8 = 0 là d = d ( I , ∆ ) = 3 nên ∆ cắt đường

tròn theo đường kính có độ dài l = 2 R 2 − d 2 = 8 .

C. x + y = 0 .

D. 3 x + 4 y − 1 = 0 .

U Y

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Đường tròn x 2 + y 2 –1 = 0 có tâm là gốc tọa độ O và bán kính R = 1 .

ẠO

Để đường thẳng tiếp xúc với đường tròn thì khoảng cách từ O đến đường thẳng bằng 1. C. 2 x + y − 4 = 0 .

B. 4 x + 2 y − 1 = 0 .

Hướng dẫn giải

H Ư

Chọn A.

D. Trục hoành.

A. Trục tung.

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Câu 120: Đường tròn x 2 + y 2 – 4 x − 2 y + 1 = 0 tiếp xúc với đường thẳng nào sau đây ?

TR ẦN

Đường tròn x 2 + y 2 – 4 x − 2 y + 1 = 0 có tâm I ( 2;1) và bán kính R = 2 . Để đường thẳng tiếp xúc với đường tròn thì khoảng cách từ I đến đường thẳng bằng 2. Câu 121: Đường tròn x 2 + y 2 – 4 x − 2 y − 4 = 0 tiếp xúc với đường thẳng nào sau đây ? B. 4 x + 2 y − 1 = 0 .

C. 3 x − 4 y + 13 = 0 .

D. Trục hoành.

10 00

A. Trục tung.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Đường tròn x 2 + y 2 – 4 x − 2 y − 4 = 0 có tâm I ( 2;1) và bán kính R = 3 .

Í-

Để đường thẳng tiếp xúc với đường tròn thì khoảng cách từ I đến đường thẳng bằng 3.

-L

Câu 122: Đường tròn x 2 + y 2 – 6 x = 0 khôngtiếp xúc với đường thẳng nào sau đây ? B. Trục tung.

C. x − 6 = 0 .

D. y + 3 = 0 .

Hướng dẫn giải

ÁN

A. y − 2 = 0 . Chọn A.

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

B. x + y − 1 = 0 .

A. 3 x − 4 y + 5 = 0 .

Câu 119: Đường tròn x 2 + y 2 –1 = 0 tiếp xúc với đường thẳng nào sau đây ?

IỄ N

ÀN

Đường tròn x 2 + y 2 – 6 x = 0 có tâm I ( 3;0 ) và bán kính R = 3 .

Để đường thẳng không tiếp xúc với đường tròn thì khoảng cách từ I đến đường thẳng khác 3.

Câu 123: Đường tròn x 2 + y 2 + 6 x = 0 khôngtiếp xúc với đường thẳng nào sau đây ? A. y − 2 = 0 .

B. Trục tung.

C. x + 6 = 0 .

D. y + 3 = 0 .

Hướng dẫn giải Chọn A. Đường tròn x 2 + y 2 + 6 x = 0 có tâm I ( −3;0 ) và bán kính R = 3 . Để đường thẳng không tiếp xúc với đường tròn thì khoảng cách từ I đến đường thẳng khác 3.

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 124: Đường tròn x 2 + y 2 + 4 y = 0 khôngtiếp xúc với đường thẳng nào sau đây ? A. x + y − 3 = 0 .

B. Trục hoành.

C. x + 2 = 0 .

D. x − 2 = 0 .

Hướng dẫn giải Đường tròn x 2 + y 2 + 4 y = 0 có tâm I ( 0; −2) và bán kính R = 2 .

Để đường thẳng không tiếp xúc với đường tròn thì khoảng cách từ I đến đường thẳng khác 2.

Chọn A.

ẠO

Chọn D.

kính. Tức là đường tròn có tâm I ( a, b ) và bán kính R = b .

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Đường tròn tiếp xúc với trục Ox thì khoảng cách từ tâm của đường tròn đến trục Ox bằng bán

H Ư

Trắc nghiệm: cho y = 0 được phương trình bậc hai theo ẩn x có nghiệm kép.

TR ẦN

Câu 126: Trong các đường tròn sau đây, đường tròn nào tiếp xúc với trục Ox ? A. x 2 + y 2 – 5 = 0 . B. x 2 + y 2 − 4 x − 2 y + 4 = 0 . C. x 2 + y 2 – 10 x + 1 = 0 .

D. x 2 + y 2 – 2 x + 10 = 0 .

Hướng dẫn giải

10 00

Chọn B.

Đường tròn tiếp xúc với trục Ox thì khoảng cách từ tâm của đường tròn đến trục Ox bằng bán

kính. Tức là đường tròn có tâm I ( a, b ) và bán kính R = b .

Trắc nghiệm: cho y = 0 được phương trình bậc hai theo ẩn x có nghiệm kép.

Í-

Câu 127: Trong các đường tròn sau đây đường tròn nào tiếp xúc với trục Oy ? B. x 2 + y 2 – 2 x = 0 .

C. x 2 + y 2 – 10 x + 1 = 0 .

D. x 2 + y 2 + 6 x + 5 y − 1 = 0 .

ÁN

-L

A. x 2 +y 2 − 5=0 .

Hướng dẫn giải

Chọn B. -Trục Oy có phương trình trục x = 0

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

Hướng dẫn giải

U Y

D. x 2 + y 2 + 6 x + 5 y + 9 = 0 .

C. x 2 + y 2 – 10 x + 1 = 0 .

Câu 125: Trong các đường tròn sau đây, đường tròn nào tiếp xúc với trục Ox ? A. x 2 + y 2 – 5 = 0 . B. x 2 + y 2 – 2 x − 10 y = 0 .

IỄ N

ÀN

Đường tròn x 2 + y 2 – 2 x = 0 ⇔ ( x − 1) 2 + y 2 = 1 có tâm I (1, 0 ) và bán kính R = 1 . Khoảng cách từ tâm I (1, 0 ) đến đường thẳng ( Oy ) là d ( I , Oy ) =

|1| = 1 = R .Chọn B. 1

Đường tròn x 2 +y 2 − 5=0 có tâm O ( 0, 0 ) và bán kính R = 5 , Khoảng cách từ tâm O ( 0, 0 ) đến đường thẳng ( Oy ) là d (O, Oy ) =

|0| = 0 ≠ R loại A. 1

Đường tròn x 2 + y 2 – 10 x + 1 = 0 có tâm I ( 5,0 ) và bán kính R = 52 − 1 = 24 , Khoảng cách từ tâm I ( 5,0 ) đến đường thẳng ( Oy ) là d (I, Oy ) =

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

|5| = 5 ≠ R loại C. 1

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

−5   Đường tròn x 2 + y 2 + 6 x + 5 y − 1 = 0 có tâm I  −3,  và bán kính 2  

5 65 R = (−3)2 + (− ) 2 + 1 = 2 4

−5  | −3 |  Khoảng cách từ tâm I  −3,  đến đường thẳng ( Oy ) là d (I, Oy ) = = 3 ≠ R loại D. 1 2  

C. x 2 + y 2 + x + y − 3 = 0 .

D. x 2 + y 2 − 4 y − 5 = 0 .

B. x 2 + y 2 – 10 x + 2 y + 1 = 0 .

Hướng dẫn giải

Chọn B. -Trục Oy có phương trình trục x = 0

|5| = 5 = R . Chọn B. 1

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

Đường tròn x 2 + y 2 – 10 x + 2 y + 1 = 0 có tâm I ( 5, −1) và bán kính R = 52 + 11 − 1 = 5 .

Khoảng cách từ tâm I ( 5, −1) đến đường thẳng ( Oy ) là d ( I , Oy ) =

H Ư

Đường tròn x 2 +y 2 − 1=0 có tâm O ( 0, 0 ) và bán kính R = 1 ,

TR ẦN

Khoảng cách từ tâm O ( 0, 0 ) đến đường thẳng ( Oy ) là d (O, Oy ) =

|0| = 0 ≠ R loại A. 1

10 00

1 7 −1 R = (− )2 + ( )2 + 3 = , 2 2 2

 1 1 Đường tròn x 2 + y 2 + x + y − 3 = 0 có tâm I  − , −  và bán kính  2 2

−1 | | 1  1 1 Khoảng cách từ tâm I  − , −  đến đường thẳng ( Oy ) là d (I, Oy ) = 2 = ≠ R loại C. 1 2  2 2

ÁN

-L

Í-

5 65 Đường tròn x 2 + y 2 − 4 y − 5 = 0 có tâm I ( 0, 2 ) và bán kính R = ( −3) 2 + (− ) 2 + 1 = , 2 4 |0| = 0 ≠ R loại D. Khoảng cách từ tâm I ( 0, 2 ) đến đường thẳng ( Oy ) là d (I, Oy ) = 1

Câu 129: Với giá trị nào của m thì đường thẳng 4 x + 3 y + m = 0 tiếp xúc với đường

tròn x 2 + y 2 − 9 = 0 ?

B. m = ± 3 .

IỄ N

ÀN

A. m = ±15 .

C. m = −3 . Hướng dẫn giải

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

A. x 2 + y 2 –1 = 0 .

Câu 128: Trong các đường tròn sau đây đường tròn nào tiếp xúc với trục Oy ?

D. m = 3 .

Chọn A. Đường tròn x 2 + y 2 − 9 = 0 có tâm I ( 0,0 ) và bán kính R = 3 . Gọi ( d ) : 3x + 4 y + m = 0 Khoảng cách từ tâm I ( 0,0 ) đến đường thẳng ( d ) là h( I , d) =

Câu 130: Với giá trị nào của m 2

thì đường thẳng

|m| = 3 ⇔ m = ±15 . 5

d : 3x + 4 y + 3 = 0

tiếp xúc với đường

tròn ( C ) : ( x − m) + y = 9 ?

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn A. m = 4 và m = −6 .

B. m = 2 .

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com C. m = 6 . Hướng dẫn giải

D. m = 0 và m = 1 .

Chọn A. Đường tròn ( x − m) 2 + y 2 = 9 có tâm I ( m;0 ) và bán kính R = 3 . Gọi d : 3 x + 4 y + 3 = 0

 m = −6 | 3m + 3 | . =3⇔  5 m = 4

Khoảng cách từ tâm I ( m, 0 ) đến đường thẳng ( d ) là d ( I , d) =

Câu 131: Đường tròn có tâm O và tiếp xúc với đường thẳng d : x + y − 4 2 = 0 . Hỏi bán kính của đường tròn bằng bao nhiêu? D. 1.

Chọn B. Tâm O ( 0, 0 ) bán kính R . Gọi d : x + y − 4 2 = 0

ẠO Đ

|4 2| = 4⇒ R = 4. 2

d (O, d) =

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Khoảng cách từ tâm O ( 0, 0 ) đến đường thẳng ( d ) là

H Ư

Câu 132: Đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 – 2 x − 2 y + 1 = 0 cắt đường thẳng d : x + y − 2 = 0 theo một dây cung A. 1.

B. 2 .

TR ẦN

có độ dài bằng bao nhiêu?

C. 2 .

2 . 2

Hướng dẫn giải

10 00

Chọn B.

Tâm I (1,1) bán kính R = 1 . Gọi d : x + y − 2 = 0 , Khoảng cách từ tâm I (3; −2) đến đường thẳng ( d ) là d (I, d) = 0 nên dây cung đi qua tâm I có

độ dài bằng đường kính.

ÀN

ÁN

-L

Í-

Câu 133: Đường tròn có tâm I (3; −2) và tiếp xúc với đường thẳng d : x − 5 y + 1 = 0. Hỏi bán kính của đường tròn bằng bao nhiêu? 14 7 A. 26 . B. . C. . D. 6 . 13 26 Hướng dẫn giải Chọn B. Tâm I (3; −2) bán kính R . Gọi d : x − 5 y − 1 = 0

Khoảng cách từ tâm I (3; −2) đến đường thẳng d là d ( I , d ) =

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

C. 15 . Hướng dẫn giải

U Y

B. 4 .

A. 4 2 .

| 3 + 10 + 1| 14 14 . = ⇒R= 1 + 25 26 26

IỄ N

Câu 134: Đường tròn có tâm I (1;3) và tiếp xúc với đường thẳng d : 3 x + 4 y = 0 . Hỏi bán kính của đường tròn bằng bao nhiêu? 3 A. . B. 3 . 5

C. 1.

D. 2 .

Hướng dẫn giải Chọn B. Tâm I (1;3) bán kính R . Gọi d :3x + 4 y = 0

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Khoảng cách từ tâm I (1;3) đến đường thẳng d là d ( I , d ) =

| 3 + 3.4 | 32 + 4 2

= 3 ⇒ R = 3.

Câu 135: Tìm toạ độ giao điểm của đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 − 25 = 0 và đường thẳng ∆ : x + y − 7 = 0 ? B. ( 4;3) .

C. ( 3;4) và ( 4;3) .

D. ( 3;4) và (−4;3) .

Hướng dẫn giải  x 2 + y 2 – 25 = 0 Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ   x + y − 7 = 0

U Y

(1) ( 2)

( 3)

ẠO

x = 3 ⇒ y = 4 Thay ( 3) vào (1) ta được phương trình 2 x 2 − 14 x − 24 = 0 ⇔  x = 4 ⇒ y = 3

Từ ( 2 ) ta được y = − x + 7

Chọn C.

C. ( 2;1) và (2; −1) .

B. ( −1;1) và (3; −3) .

Hướng dẫn giải

H Ư

Chọn D.

D. ( 3;3) và ( −1;1) .

A. ( 3;3) và (1;1) .

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Câu 136: Tìm toạ độ giao điểm của đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 – 2 x − 4 y = 0 và đường thẳng d : x − 2 y + 3 = 0

Từ ( 2 ) ta được x = 2 y − 3

( 3)

TR ẦN

 x 2 + y 2 – 2 x − 4 y = 0 (1) Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ  ( 2)  x − 2 y + 3 = 0

10 00

y = 3⇒ x = 3 Thay ( 3) vào (1) ta được phương trình 5 y 2 − 20 y + 15 = 0 ⇔   y = 1 ⇒ x = −1

Câu 137: Tìm toạ độ giao điểm của đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 – 2 x = 0 và đường thẳng d : x − y = 0 ? B. (1;1) .

A. ( 0;0 ) .

D. ( 0;0 ) và (1;1) .

Hướng dẫn giải

Í-

Chọn D.

C. ( 2;0 ) .

-L

Toạ độ giao điểm của d và ( C ) là nghiệm của hệ

ÁN

 x2 + y 2 − 2 x = 0  x − y = 0

 x = 0  ⇔   x = 1 y = x 

x = 1 .  y =1

ÀN

x = 0 hoặc ⇔ y = 0

 x2 + y 2 − 2 x = 0  x2 + x2 − 2 x = 0 ⇔ ⇔ y = x  y = −x

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

A. ( 3;4) .

IỄ N

 x = 1+ t Câu 138: Toạ độ giao điểm của đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 – 2 x − 2 y + 1 = 0 và đường thẳng ∆ :   y = 2 + 2t 1 2 A. (1;0) và ( 0;1) . B. (1; 2 ) và ( 2;1) . C. (1; 2 ) và  ;  . D. ( 2;5) . 5 5 Hướng dẫn giải Chọn D.

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

 x2 + y 2 – 2 x − 2 y + 1 = 0  Tọa độ giao điểm của ( C ) và ∆ là nghiệm của hệ  x = 1 + t   y = 2 + 2t

(1) ( 2) ( 3)

Thay ( 2 ) , ( 3) vào (1) ta được phương trình

−4 5

C. ( 2;1) và (1; − 2) .

D. ( 2; − 2) và ( 2; 2) .

Hướng dẫn giải Chọn B.

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Tọa độ giao điểm của ( C1 )

 x 2 + y 2 – 2 x = 0 (1) và ( C2 ) là nghiệm của hệ  2 2  x + y − 2 = 0 ( 2 )

Lấy (1) trừ ( 2 ) ta được −2x + 2 = 0 ⇔ x = 1 ( 3)

TR ẦN

H Ư

 y = −1 Thay ( 3) vào ( 2 ) ta được phương trình y 2 − 1 = 0 ⇔  y =1

Câu 140: Tìm toạ độ giao điểm của hai đường tròn ( C1 ) : x 2 + y 2 − 4 = 0 và ( C2 ) : x 2 + y 2 – 4 x − 4 y + 4 = 0 A. ( 2; 0 ) và ( −2; 0) .

B. ( 2; 0 ) và (0; 2) .

C. ( 2;1) và (1; − 2) .

D. ( 2; − 2) và ( 2; 2) .

10 00

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Tọa độ giao điểm của ( C1 )

 x 2 + y 2 – 4 x − 4 y + 4 = 0 (1) và ( C2 ) là nghiệm của hệ  2 2 ( 2)  x + y − 4 = 0

Í-

Lấy (1) trừ ( 2 ) ta được −4 x − 4 y +4 + 4 = 0 ⇔ x = − y + 2 ( 3)

ÁN

-L

y = 0 ⇒ x = 2 Thay ( 3) vào ( 2 ) ta được phương trình 2 y 2 − 4 y = 0 ⇔  y = 2 ⇒ x = 0

Câu 141: Tìm toạ độ giao điểm của hai đường tròn ( C1 ) : x 2 + y 2 −5 = 0 và ( C2 ) : x 2 + y 2 − 4 x − 8 y +15 = 0 B. (1; 2 ) .

IỄ N

ÀN

A. (1; 2 ) và ( 2;1) .

C. (1; 2 ) và ( 2; 3) .

D. (1; 2 ) và ( 0;1) .

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

B. (1; −1) và (1;1) .

A. ( 2;0 ) và ( −2; 0) .

U Y

Câu 139: Tìm toạ độ giao điểm của hai đường tròn ( C1 ) : x 2 + y 2 − 2 = 0 và ( C2 ) : x 2 + y 2 – 2 x = 0 ?

(1 + t ) 2 + (2 + 2t ) 2 – 2(1 + t ) − 2(2 + 2t ) + 1 = 0 ⇔ 5t 2 + 4t = 0 ⇔ t = 0 hoặc t =

Hướng dẫn giải

Chọn B. Tọa độ giao điểm của ( C1 ) và ( C2 )

 x 2 + y 2 − 4 x − 8 y +15 = 0 là nghiệm của hệ  2 2  x + y − 5 = 0 ( 2 )

(1)

Lấy (1) trừ ( 2 ) ta được −4 x − 8 y +15 + 5 = 0 ⇔ x = −2 y + 5 ( 3) Thay ( 3) vào ( 2 ) ta được phương trình 5 y 2 − 20 y + 20 = 0 ⇔ y = 2 ⇒ x = 1

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Câu 142: Xác

định

vị

trí

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

tương

đối

của

hai

đường

tròn

( C1 ) : x2 + y 2 − 4 = 0

và

( C2 ) : ( x − 3)2 + ( y − 4)2 = 25 A. Không cắt nhau.

B. Cắt nhau.

C. Tiếp xúc nhau. Hướng dẫn giải

D. Tiếp xúc ngoài.

Chọn B.

( C1 ) : x2 + y 2 − 4 = 0 có tâm O ( 0, 0) bán kính R = 2 ; ( C2 ) : ( x − 3)2 + ( y − 4)2 = 25 có tâm I ( 3;4) bán kính

R =5

tương

đối

của

hai

đường

+ ( y − 16) 2 = 1

và

B. Cắt nhau.

C. Tiếp xúc nhau. Hướng dẫn giải

D. Tiếp xúc ngoài.

ẠO

A. Không cắt nhau. Chọn A.

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

( C1 ) : x2 + y 2 −4 = 0

tròn

+ ( y − 16) 2 = 1 có tâm I ( −10;16 ) bán kính R = 1 . Mà OI = 356 > 1 + 2 . Nên

H Ư

( C2 ) : ( x + 10 )

Đường tròn ( C1 ) : x 2 + y 2 −4 = 0 có tâm O ( 0, 0 ) bán kính R = 2 ; chúng không cắt nhau.

A. Không cắt nhau.

TR ẦN

Câu 144: Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 − 4 x = 0 và ( C ′ ) : x 2 + y 2 + 8 y = 0 ? B. Cắt nhau.

Chọn B.

C. Tiếp xúc nhau. Hướng dẫn giải

10 00

( C ) : x2 + y 2 − 4 x = 0 có tâm I ( 2, 0) bán kính

D. Tiếp xúc ngoài.

R = 2 ; ( C ′ ) : x 2 + y 2 + 8 y = 0 có tâm J ( 0; −4 )

bán kính R = 4 mà 4 − 2 < OI = 20 < 4 + 2 . Nên chúng cắt nhau. 2

Câu 145: Cho đường tròn ( C ) : ( x − 3) + ( y + 1) = 5 . Phương trình tiếp tuyến của ( C ) song song với B. 2 x + y + 1 = 0; 2 x + y − 1 = 0

C. 2 x − y + 10 = 0; 2 x + y − 10 = 0

D. 2 x + y = 0; x + 2 y − 10 = 0

-L

Í-

đường thẳng d : 2 x + y + 7 = 0 là A. 2 x + y = 0; 2 x + y − 10 = 0

ÁN

Hướng dẫn: Chọn A. Phương trình tiếp tuyến có dạng ∆ : 2 x + y + m = 0 với m ≠ 7 . 2

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

( C2 ) : ( x + 10 )

trí

U Y

vị

định

Câu 143: Xác

Mà 5 − 2 < OI = 5 < 5 + 2 nên chúng cắt nhau.

IỄ N

ÀN

Đường tròn ( C ) : ( x − 3) + ( y + 1) = 5 có tâm I ( 3; −1) và bán kính R = 5 Đường thẳng ∆ tiếp xúc với đường tròn ( C ) khi d ( I ; ∆ ) = R ⇒

2.3 − 1 + m 5

m = 0 = 5⇒  m = −10

Vậy ∆1 : 2 x + y = 0; ∆ 2 : 2 x + y − 10 = 0 2

Câu 146: Nếu đường tròn ( C ) : ( x − 1) + ( y − 3) = R 2 tiếp xúc với đường thẳng d : 5 x + 12 y − 60 = 0 thì giá trị của R là:

A. R = 2 2 .

B. R =

19 . 13

C. R = 5 .

D. R = 2 .

Hướng dẫn:

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Chọn B. 2

Đường tròn ( C ) : ( x − 1) + ( y − 3) = R 2 có tâm I (1;3) bán kính R . Đường thẳng d : 5 x + 12 y − 60 = 0 tiếp xúc với đường tròn ( C ) khi 5.1 + 12.3 − 60 53 + 123

19 13

10 . 2

D. 10 .

Hướng dẫn: Chọn D.

ẠO

Độ dài tiếp tuyến là

IM 2 − R 2 = 10 .

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 − 2 x + 8 y − 23 = 9 có tâm I (1; −4 ) bán kính R = 40 .

B. x − 3 y − 2 = 0 .

C. x − 3 y + 2 = 0 .

H Ư

A. x + 3 y − 2 = 0 .

Câu 148: Cho đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 − 3x − y = 0 . Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại M (1; −1) là: D. x + 3 y + 2 = 0 .

10 00

TR ẦN

Hướng dẫn: Chọn D. Áp dụng công thức phân đôi tọa độ ta được phương trình tiếp tuyến x + x y0 + y 1 + x −1 + y − = 0 ⇒ 1.x + ( −1) . y − 3 − = 0 ⇒ x + 3y + 2 = 0 x0 x + y0 y − 3 ⋅ 0 2 2 2 2 Cách khác : Dễ thấy điểm M (1; −1) không thuộc các đường thẳng x + 3 y − 2 = 0 , x − 3 y − 2 = 0 ,

x − 3 y + 2 = 0 , và thuộc đường thẳng x + 3 y + 2 = 0 .

Cách khác :

Í-

3 1 Đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 − 3x − y = 0 có tâm I  ;  . 2 2

-L

Điểm M (1; −1) thuộc đường tròn ( C ) .

ÁN

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn ( C ) tại điểm M (1; −1) là đường thẳng đi qua M và

ÀN

 1 3  1 nhận vec tơ IM =  − ; −  = − (1;3) nên có phương trình x + 3 y + 2 = 0 . 2  2 2

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

B. 2 10 .

U Y

A. 10 .

là :

( C ) xuất phát từ M

Câu 147: Cho đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 − 2 x + 8 y − 23 = 9 và điểm M ( 8; −3) . Độ dài đoạn tiếp tuyến của

d = d (I,d ) =

IỄ N

Câu 149: Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn ( C1 ) : x 2 + y 2 − 4 x = 0 và ( C2 ) : x 2 + y 2 + 2 y = 0 . A. Không cắt nhau. B. Cắt nhau tại 2 điểm. C. Tiếp xúc trong. D. Tiếp xúc ngoài. Hướng dẫn: Chọn B. Đường tròn ( C1 ) : x 2 + y 2 − 4 x = 0 có tâm I1 ( 2;0 ) và bán kính R1 = 2 . Đường tròn ( C2 ) : x 2 + y 2 + 2 y = 0 có tâm I 2 ( 0;1) và bán kính R2 = 1 . R1 − R2 < I1 I 2 = 5 < R1 + R2 ⇒ ( C1 ) ⇒ ( C1 ) và ( C2 ) cắt nhau.

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 150: Cho 2 đường tròn ( C1 ) : x 2 + y 2 − 8x − 2 y + 7 = 0 , ( C2 ) : x 2 + y 2 − 3x − 7 y + 12 = 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A. ( C1 ) và ( C2 ) không có điểm chung.

B. ( C1 ) và ( C2 ) tiếp xúc ngoài.

C. ( C1 ) và ( C2 ) tiếp xúc trong.

D. ( C1 ) và ( C2 ) cắt nhau.

ẠO

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

25 < R1 + R2 ⇒ ( C1 ) và ( C2 ) cắt nhau. 2

R1 − R2 < I1 I 2 =

10 3 7 R1 = 10 ; ( C2 ) có tâm I 2  ;  , bán kính R2 = 2 2 2

( C1 ) có tâm I1 ( 4;1) bán kính

Hướng dẫn: Chọn D.

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

1 A

2 C

3 D

4 C

5 A

6 D

7 C

B - BẢNG ĐÁP ÁN 8 9 10 11 12 13 D D C A D C

21 B

22 C

23 B

24 D

25 B

26 C

27 C

28 B

29 B

30 C

31 D

32 B

33 C

34 C

35 A

36 D

37 B

38 B

39 C

40 A

41 B

42 B

43 A

44 A

45 B

46 C

47 C

48 A

49 D

50 C

51 D

52 B

53 D

54 C

55 B

56 C

57 C

58 A

59 D

60 B

61 D

62 A

63 A

64 B

65 C

66 D

67 B

68 D

69 A

70 C

71 A

72 C

73 D

74 B

75 A

76 D

77 A

78 A

79 B

81 C

82 B

83 C

84 B

85 A

86 C

87 B

88 C

89 C

90 B

91 D

92 C

93 C

94 B

95 D

96 B

97 C

98 D

99 100 A C

15 B

16 D

17 A

18 B

19 A

20 D

14 C

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 C A A A D B B B A A B B B B C D D D B B

N H Ư

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

C - HƯỚNG DẪN GIẢI

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

80 D

101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 A A D C D B A A C A C B B B B A B A A A

141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 B B A B A B D D B D

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial