www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
§6. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI....................................................................................... 3 A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. ....................................................................................................... 3
H
Ơ
2. Dấu của tam thức bậc hai ................................................................................................... 3
N
1. Tam thức bậc hai.................................................................................................................. 3
N
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. .............................................................. 4 DẠNG TOÁN 1: XÉT DẤU CỦA BIỂU THỨC CHỨA TAM THỨC BẬC HAI. .... 4
TP
.Q
1. Phương pháp giải. ............................................................................................................ 4 2. Các ví dụ minh họa. ......................................................................................................... 4
ẠO
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
3. Bài tập luyện tập. .............................................................................................................. 9 DẠNG TOÁN 2: BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ LIÊN QUAN ĐẾN TAM THỨC
Đ
N
G
BẬC HAI LUÔN MANG MỘT DẤU. ................................................................................ 15
H Ư
1. Các ví dụ minh họa. ....................................................................................................... 15
TR ẦN
3. Bài tập luyện tập. ............................................................................................................ 17 §7. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ................................................................................... 20
B
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. ..................................................................................................... 20
10 00
1. Định nghĩa và cách giải .................................................................................................... 20 2. Ứng dụng ............................................................................................................................ 20 DẠNG TOÁN 1: GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ...................................... 20
Ó
A
H
1. Các ví dụ minh họa. ....................................................................................................... 20
-L
Í-
2. Bài tập luyện tập. ............................................................................................................ 24 DẠNG TOÁN 2: GIẢI HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN. ............. 27
ÁN
TO
1. Các ví dụ minh họa. ....................................................................................................... 27 3. Bài tập luyện tập.............................................................................................................. 32
D
IỄ N
Đ
ÀN
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y
DẠNG TOÁN 3: GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
CHỨA ẨN Ở MẤU THỨC. .................................................................................................. 36 1. Các ví dụ minh họa. ....................................................................................................... 36 2. Bài tập luyện tập. ............................................................................................................. 42
1
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
DẠNG TOÁN 4: ỨNG DỤNG TAM THỨC BẬC HAI, BẤT PHƯƠNG TRÌNH
BẬC HAI TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT. ............................................................................................................ 44
H
Ơ
2. Các ví dụ minh họa. ....................................................................................................... 44
N
1. Phương pháp giải. .......................................................................................................... 44
N
3. Bài tập luyện tập. ............................................................................................................. 46
U Y
C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN. .............................................................................. 51
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
10 00
B
TR ẦN
H Ư
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
TP
TỔNG HỢP LẦN 2. ............................................................................................................... 61
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
TỔNG HỢP LẦN 1. ............................................................................................................... 51
2
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
§6. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
TR ẦN
H Ư
N
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 1. Tam thức bậc hai Tam thức bậc hai (đối với x ) là biểu thức dạng ax 2 + bx + c . Trong đó a , b , c là nhứng số cho trước với a ≠ 0 . Nghiệm của phương trình ax 2 + bx + c = 0 được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai f ( x) = ax 2 + bx + c ; ∆ = b 2 − 4 ac và ∆ ' = b '2 − ac theo thứ tự được gọi là biệt thức và biệt
10 00
B
thức thu gọn của tam thức bậc hai f ( x) = ax 2 + bx + c .
f ( x) = ax 2 + bx + c , (a ≠ 0)
H
Ó
A
2. Dấu của tam thức bậc hai Dấu của tam thức bậc hai được thể hiện trong bảng sau
a. f ( x) > 0, ∀x ∈ ℝ
∆=0
b a. f ( x) > 0, ∀x ∈ ℝ \− 2a a. f ( x) > 0, ∀x ∈ (−∞; x1 ) ∪ ( x2 ; +∞)
∆> 0 a. f ( x) < 0, ∀x ∈ ( x1 ; x2 )
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
∆<0
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
ẠO
TP
.Q
U Y
N
H
Ơ
N
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
Nhận xét: Cho tam thức bậc hai ax 2 + bx + c a > 0 • ax 2 + bx + c > 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆ < 0
a > 0 • ax 2 + bx + c ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆ ≤ 0
3
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Ơ H
U Y
N
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. DẠNG TOÁN 1: XÉT DẤU CỦA BIỂU THỨC CHỨA TAM THỨC BẬC HAI. 1. Phương pháp giải. Dựa vào định lí về dấu của tam thức bậc hai để xét dấu của biểu thức chứa nó. * Đối với đa thức bậc cao P( x) ta làm như sau
N
a < 0 • ax 2 + bx + c < 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆ < 0 a < 0 • ax 2 + bx + c ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆ ≤ 0
ẠO
P( x) (trong đó P ( x) , Q ( x) là các đa thức) ta làm như sau Q( x)
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
* Đối với phân thức
TP
nhất) • Lập bảng xét dấu của P ( x) . Từ đó suy ra dấu của nó .
N
G
• Phân tích đa thức P ( x) , Q ( x) thành tích các tam thức bậc hai (hoặc có cả nhị thức P( x ) . Từ đó suy ra dấu của nó. Q( x)
2. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Xét dấu của các tam thức sau
10 00
A. 3 x 2 − 2 x + 1 ≥ 0, ∀x ∈ ℝ
B
a) 3x 2 − 2 x + 1
TR ẦN
• Lập bảng xét dấu của
H Ư
bậc nhất)
D. 3 x 2 − 2 x + 1 ≤ 0, ∀x ∈ ℝ
A
C. 3 x 2 − 2 x + 1 < 0, ∀x ∈ ℝ
B. 3 x 2 − 2 x + 1 > 0, ∀x ∈ ℝ
H
Ó
b) −x 2 + 4 x + 5
-L
Í-
A. −x 2 + 4 x + 5 > 0 ⇔ x ∈ (−1; 5)
ÁN
B. −x 2 + 4 x + 5 < 0 ⇔ x ∈ (−1; 5)
TO
C. −x 2 + 4 x + 5 > 0 ⇔ x ∈ (−∞; −1) ∪ (5; +∞)
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
• Phân tích đa thức P ( x) thành tích các tam thức bậc hai (hoặc có cả nhị thức bậc
ÀN
D. −x 2 + 4 x + 5 < 0 ⇔ x ∈ (−∞; −1)
D
IỄ N
Đ
c) −4 x 2 + 12 x − 9
3 A. −4 x 2 + 12 x − 9 < 0 ∀x ∈ ℝ \− 2
3 B. −4 x 2 + 12 x − 9 > 0 ∀x ∈ ℝ \ 2
3 C. −4 x 2 + 12 x − 9 < 0 ∀x ∈ ℝ \ 2
3 D. −4 x 2 + 12 x − 9 > 0 ∀x ∈ ℝ \− 2
§6. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 4
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
d) 3 x 2 − 2 x − 8
4 A. 3 x 2 − 2 x − 8 < 0 ⇔ x ∈ −∞; − ∪ (2; +∞) 3
Ơ
N
4 B. 3 x 2 − 2 x − 8 < 0 ⇔ x ∈ −∞; − 3
TP
.Q
4 D. 3 x 2 − 2 x − 8 > 0 ⇔ x ∈ − ; 2 3
ẠO
1 B. 25 x 2 + 10 x + 1 < 0 ∀x ∈ ℝ \− 5
1 C. 25 x 2 + 10 x + 1 < 0 ∀x ∈ ℝ \ 5
1 D. 25 x 2 + 10 x + 1 > 0 ∀x ∈ ℝ \− 5
H Ư
N
G
Đ
1 A. 25 x 2 + 10 x + 1 > 0 ∀x ∈ ℝ \ 5
TR ẦN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
e) 25 x 2 + 10 x + 1
f) −2 x 2 + 6 x − 5
B. −2 x 2 + 6 x − 5 ≤ 0 ∀x ∈ ℝ
10 00
B
A. −2 x 2 + 6 x − 5 > 0 ∀x ∈ ℝ C. −2 x 2 + 6 x − 5 ≥ 0 ∀x ∈ ℝ
D. −2 x 2 + 6 x − 5 < 0 ∀x ∈ ℝ
Lời giải: a) Ta có ∆ ' = −2 < 0, a = 3 > 0 suy ra 3 x − 2 x + 1 > 0, ∀x ∈ ℝ x = −1 b) Ta có −x 2 + 4 x + 5 = 0 ⇔ x=5 Bảng xét dấu x −∞ −1 5 2 − − + | 0 −x + 4 x + 5
+∞
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
2
TO
Suy ra −x 2 + 4 x + 5 > 0 ⇔ x ∈ (−1; 5) và −x 2 + 4 x + 5 < 0 ⇔ x ∈ (−∞; −1) ∪ (5; +∞)
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y
N
H
4 C. 3 x 2 − 2 x − 8 < 0 ⇔ x ∈ − ; 2 3
D
IỄ N
Đ
ÀN
3 c) Ta có ∆ ' = 0, a < 0 suy ra −4 x 2 + 12 x − 9 < 0 ∀x ∈ ℝ \ 2 x=2 2 d) Ta có 3 x − 2 x − 8 = 0 ⇔ x = − 4 3
Bảng xét dấu
x
−∞
−
4 3
2
§6. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 5
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
+∞ 2
+ | + 0 − 4 4 Suy ra 3 x 2 − 2 x − 8 > 0 ⇔ x ∈ −∞; − ∪ (2; +∞) và 3 x 2 − 2 x − 8 < 0 ⇔ x ∈ − ; 2 3 3
3x − 2 x − 8
N
TP
* Nghiệm kép khi đó tam thức bậc hai f ( x) = ax 2 + bx + c cùng dấu với a với mọi
b 2a * Có hai nghiệm f ( x) cùng dấu với a khi và chỉ khi x ∈ (−∞; x1 ) ∪ ( x2 ; +∞) (ngoài hai
ẠO
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
x≠−
N
G
nghiệm) và f ( x) trái dấu với a khi và chỉ khi x ∈ ( x1 ; x2 ) (trong hai nghiệm)(ta có thể
H Ư
nhớ câu là trong trái ngoài cùng)
Ví dụ 2: Tùy theo giá trị của tham số m, hãy xét dấu của các biểu thức
TR ẦN
f ( x) = x 2 + 2 mx + 3m − 2
Lời giải:
10 00
B
Tam thức f ( x) có a = 1 > 0 và ∆ ' = m 2 − 3m + 2 . * Nếu 1 < m < 2 ⇒ ∆ ' < 0 ⇒ f ( x) > 0 ∀x ∈ R .
H
Ó
A
m = 1 ⇒ ∆ ' = 0 ⇒ f ( x) ≥ 0 ∀x ∈ R và f ( x) = 0 ⇔ x = −m * Nếu m = 2
-L
Í-
m > 2 * Nếu ⇒ ∆ ' > 0 ⇒ f ( x) có hai nghiệm m < 1
ÁN
x1 = −m − m2 − 3m + 2 và x2 = −m + m 2 − 3m + 2 . Khi đó:
TO
+) f ( x) > 0 ⇔ x ∈ (−∞; x1 ) ∪ ( x2 ; +∞)
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
U Y
Nhận xét: Cho tam thức bậc hai ax 2 + bx + c . Xét nghiệm của tam thức, nếu: * Vô nghiệm khi đó tam thức bậc hai f ( x) = ax 2 + bx + c cùng dấu với a với mọi x
H
Ơ
N
1 e) Ta có ∆ ' = 0, a > 0 suy ra 25 x 2 + 10 x + 1 > 0 ∀x ∈ ℝ \− 5 f) Ta có ∆ ' = −1 < 0, a < 0 suy ra −2 x 2 + 6 x − 5 < 0 ∀x ∈ ℝ
ÀN
+) f ( x) < 0 ⇔ x ∈ ( x1 ; x2 ) .
D
IỄ N
Đ
Ví dụ 3: Xét dấu của các biểu thức sau
a) (−x 2 + x − 1)(6 x 2 − 5x + 1)
1 1 A. (−x 2 + x − 1)(6 x 2 − 5x + 1) dương khi và chỉ khi x ∈ ; 3 2
§6. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 6
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
1 1 B. (−x 2 + x − 1)(6 x 2 − 5x + 1) âm khi và chỉ khi x ∈ ; 3 2
Ơ H
x2 − x − 2 âm khi và chỉ khi x ∈ (2; 4) , −x 2 + 3 x + 4
B.
x2 − x − 2 dương khi và chỉ khi x ∈ (2; 4) , −x 2 + 3 x + 4
C.
x2 − x − 2 dương khi và chỉ khi x ∈ (−∞; −1) ∪ (−1; 2) . −x 2 + 3 x + 4
D.
x2 − x − 2 âm khi và chỉ khi x ∈ (−1; 2) ∪ (4; +∞) . −x 2 + 3 x + 4
Đ
ẠO
TP
.Q
A.
N
H Ư
TR ẦN
c) x3 − 5 x + 2
(
)
10 00
B
A. x 3 − 5 x + 2 âm khi và chỉ khi x ∈ −1 − 2; −1 + 2 ∪ (2; +∞)
(
B. x 3 − 5 x + 2 dương khi và chỉ khi x ∈ −1 − 2; −1 + 2
(
H
Ó
A
C. x3 − 5 x + 2 âm khi và chỉ khi x ∈ −1 − 2; −1 + 2
(
)
) )
Í-
D. x3 − 5 x + 2 dương khi và chỉ khi x ∈ −1 − 2; −1 + 2 ∪ (2; +∞)
-L
x2 − x + 6 −x 2 + 3 x + 4
ÁN
d) x −
x2 − x + 6 dương khi và chỉ khi x ∈ (−2; −1) ∪ (4; +∞) −x 2 + 3 x + 4
B. x −
x2 − x + 6 dương khi và chỉ khi x ∈ (4; +∞) −x 2 + 3 x + 4
C. x −
x2 − x + 6 âm khi và chỉ khi x ∈ (−∞; −2) ∪ (3; 4) −x 2 + 3 x + 4
D. x −
x2 − x + 6 âm khi và chỉ khi x ∈ (−∞; −2) ∪ (−1; 1) ∪ (3; 4) −x 2 + 3 x + 4
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
A. x −
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y
N
x2 − x − 2 −x 2 + 3 x + 4
G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
b)
N
1 1 C. (−x 2 + x − 1)(6 x 2 − 5x + 1) dương khi và chỉ khi x ∈ −∞; ∪ ; +∞ 3 2 1 D. (−x 2 + x − 1)(6 x 2 − 5x + 1) âm khi và chỉ khi x ∈ −∞; 3
§6. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 7
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Lời giải:
a) Ta có −x 2 + x − 1 = 0 vô nghiệm, 6 x 2 − 5 x + 1 = 0 ⇔ x =
1 1 hoặc x = 2 3
Bảng xét dấu
N Ơ
Đ
G
N
H Ư
−
||
0
+
+ −
−
||
B
−
TR ẦN
x2 − x − 2 −x 2 + 3 x + 4
+∞
4 | 0
10 00
x2 − x − 2 x2 − x − 2 dương khi và chỉ khi , âm khi và chỉ khi ∈ 2; 4 x ( ) −x 2 + 3 x + 4 −x 2 + 3 x + 4 x ∈ (−∞; −1) ∪ (−1; 2) ∪ (4; +∞) .
A
Suy ra
H
Ó
c) Ta có x 3 − 5 x + 2 = ( x − 2)( x 2 + 2 x − 1)
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
Ta có x 2 + 2 x − 1 = 0 ⇔ x = −1 ± 2 Bảng xét dấu x −∞ −1 − 2 +∞ − − 0 x−2 2 + 0 − x + 2x −1 3 0 + − x − 5x + 2
(
−1 + 2 0 | 0
2
− + −
| 0 0
+ + +
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
x = −1 x = −1 , − x 2 + 3x + 4 = 0 ⇔ b) Ta có x 2 − x − 2 = 0 ⇔ x=2 x=4 Bảng xét dấu x −∞ −1 2 2 − + 0 0 + x −x−2 2 − 0 + | + − x + 3x + 4
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
H
ẠO
1 1 Suy ra (−x 2 + x − 1)(6 x 2 − 5x + 1) dương khi và chỉ khi x ∈ ; 3 2 (−x2 + x − 1)(6 x 2 − 5x + 1) âm khi và chỉ khi x ∈ −∞; 13 ∪ 21 ; +∞
− + −
N
+ x − 1)(6 x 2 − 5x + 1)
− − +
+∞
U Y
2
− + −
2 3 | 0 0
.Q
−x 2 + x − 1 6 x2 − 5x + 1
(−x
1 3 0 | 0
−∞
TP
x
)
D
IỄ N
Đ
Suy ra x3 − 5 x + 2 dương khi và chỉ khi x ∈ −1 − 2; −1 + 2 ∪ (2; +∞) , x3 − 5 x + 2 âm
(
) (
)
khi và chỉ khi x ∈ −∞; −1 − 2 ∪ −1 + 2; 2 . 2 x2 − x + 6 −x 3 + 2 x 2 + 5 x − 6 ( x − 1)(−x + x + 6) d) Ta có x − 2 = = −x + 3 x + 4 −x 2 + 3 x + 4 −x 2 + 3 x + 4
§6. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 8
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Ơ
| 0
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
TP
.Q
+
N
G
Bài 4.84: Xét dấu các tam thức sau
TR ẦN
1 A. f ( x) < 0 ⇔ x ∈ ( ;1) 2
H Ư
a) f ( x) = −2 x2 + 3 x − 1
10 00
B
1 B. f ( x) > 0 ⇔ x ∈ (−∞; ) ∪ (1; +∞) . 2
1 C. f ( x) < 0 ⇔ x ∈ (−∞; ) ∪ (1; +∞) . 2
Í-
1 2 x − x +1 4
-L
b) g( x) =
H
Ó
A
1 D. f ( x) < 0 ⇔ x ∈ (−∞; ) . 2
B. g( x) > 0, ∀x ∈ ℝ
C. g( x) < 0, ∀x ∈ ℝ
D. g( x) ≤ 0, ∀x ∈ ℝ
TO
ÁN
A. g( x) ≥ 0, ∀x ∈ ℝ
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
x2 − x + 6 + || − 0 + 0 − || − 0 −x 2 + 3 x + 4 2 x −x+6 Suy ra x − 2 dương khi và chỉ khi x ∈ (−2; −1) ∪ (1; 3) ∪ (4; +∞) , −x + 3 x + 4 x2 − x + 6 x− 2 âm khi và chỉ khi x ∈ (−∞; −2) ∪ (−1; 1) ∪ (3; 4) . −x + 3 x + 4 3. Bài tập luyện tập. x−
+ − −
H
|
N
4
N
x = −2 x = −1 Ta có −x 2 + x + 6 = 0 ⇔ , − x 2 + 3x + 4 = 0 ⇔ x=3 x=4 Bảng xét dấu −∞ −2 −1 1 3 x +∞ + | + − | − | − 0 x −1 2 − 0 + | + | + 0 − −x + x + 6 2 − | − 0 + | + | + −x + 3 x + 4
U Y
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
A. g( x) > 0 ∀x ∈ R .
B. g( x) ≤ 0 ∀x ∈ R .
C. g( x) ≥ 0 ∀x ∈ R .
D. g( x) < 0 ∀x ∈ R . Lời giải:
D
IỄ N
Đ
ÀN
c) h( x) = −2 x 2 + x − 1 .
Bài 4.84: a) Tam thức f ( x) có a = −2 < 0 , có hai nghiệm x1 =
1 ; x =1 2 2
§6. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 9
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
1 * f ( x) > 0 (trái dấu với a) ⇔ x ∈ ( ;1) 2
Ơ
1 1 1 > 0 , có ∆ = 0 ⇒ g( x) > 0 (cùng dấu với a) ∀x ≠ và g( ) = 0 . 4 2 2
N
c) Tam thức g( x) có a = −2 > 0 , có ∆ = −7 < 0 ⇒ g( x) < 0 (cùng dấu với a) ∀x ∈ R .
H
b) Tam thức g( x) có a =
N
1 * f ( x) < 0 (cùng dấu với a) ⇔ x ∈ (−∞; ) ∪ (1; +∞) . 2
TP
.Q
a) f ( x) = ( x 2 − 5 x + 4)(2 − 5 x + 2 x2 )
+
|
+
0
–
2 x2 − 5x + 2
+
0
–
|
+
f(x)
+
0
−∞
1 2
x2 − 5x + 4
+
|
2 x2 − 5x + 2
+
f(x)
0
10 00
H Ư
2
–
|
+
0
+
|
–
0
+
|
1 2
x2 − 5x + 4
+
|
+
0
+
|
–
0
2 x2 − 5x + 2
+
0
–
|
+
0
+
|
f(x)
+
0
–
0
+
0
+∞
+
0
+ + +
ÁN
-L
0
+
4
0
–
+
+
+
A Ó
H
–
−∞
+
ÀN
TO
x
Đ
0
0
0
C.
1
–
0
2
+
0
+∞
4 +
+ +
D
IỄ N
0
|
1
0
–
Í-
x
0
B
B.
| +
+
+∞
4
TR ẦN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
+
2
Đ
x2 − 5x + 4
1
G
1 2
N
−∞
x
ẠO
A.
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y
Bài 4.85: Xét dấu các biểu thức sau
D.
§6. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 10
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
−∞
1 2
x2 − 5x + 4
+
|
+
0
–
|
–
0
2 x2 − 5x + 2
+
0
–
|
–
0
+
|
f(x)
+
0
–
0
0
+
+∞
4
0
+
N
+
Ơ
–
2
+
H
1
1
2
3
+∞
4
x 2 − 3x
+
| +
0 + |
–
|
– 0
+
x2 − 3x − 4
+
0 –
| +
|
–
|
– |
N
0
x2 − 3x + 2
+
|
+
| + 0
–
0 + |
f(x)
+
||
–
0 + ||
-1
10 00
H Ư
–
+
||
0
|
+ 0
+ +
– ||
+
B
B.
–
+
G
|
TR ẦN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
-1
Đ
−∞
x
ẠO
A.
−∞
x 2 − 3x
+
| +
x2 − 3x − 4
+
Ó
0
x2 − 3x + 2
+
|
-L
x
||
1
3
+∞
4
+
|
– 0
|
+
|
– |
+
| + 0
–
0 + |
–
0 + ||
+
|
+
A
0 – |
2
–
0
+
Í-
H
| –
+
–
||
+
|
+ 0
+
– ||
+
ÁN
f(x)
0 –
TO
C.
ÀN
x
−∞
-1
0
1
2
3
+∞
4
+
| +
0 – |
–
|
+ 0
x2 − 3x − 4
+
0 –
| –
|
–
|
+ |
x2 − 3x + 2
+
|
+
| + 0
–
0 + |
f(x)
+
||
–
0 + ||
+
|
+
D
IỄ N
Đ
x 2 − 3x
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
8 . x − 3x 2
TP
b) f ( x) = x 2 − 3 x − 2 −
U Y
N
x
–
||
– +
+ 0
0 | – ||
+ + +
D.
§6. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 11
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn 3
x 2 − 3x
+
| +
0 – |
–
|
– 0
x2 − 3x − 4
+
0 –
| –
|
–
|
– |
x2 − 3x + 2
+
|
+
| + 0
–
0 + |
f(x)
+
||
–
0 + ||
||
+
| –
+ 0
+
+
|
+ 0
+
– ||
+
U Y
–
+∞
4
.Q
Lời giải:
Đ
ẠO
1 2
2 − 5 x + 2 x 2 = 0 ⇔ x = 2; x =
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
TP
Bài 4.85: a) Ta có: x 2 − 5 x + 4 = 0 ⇔ x = 1; x = 4
1 2
x2 − 5x + 4
+
|
+
0
2 x2 − 5x + 2
+
0
–
|
f(x)
+
0
2
TR ẦN |
–
0
–
0
+
|
–
0
B
–
0
+
0
10 00
–
+∞
4
+ + +
( x 2 − 3 x)2 − 2( x 2 − 3 x) − 8 ( x 2 − 3 x + 2)( x 2 − 3 x − 4) = x2 − 3x x 2 − 3x
Ó
A
b ) Ta có: f ( x) =
1
H Ư
−∞
x
N
G
Bảng xét dấu:
−∞
0
-L
1
2
3
0 – |
–
|
– 0
x2 − 3x − 4
+
0 –
| –
|
–
|
– |
x2 − 3x + 2
+
|
+
| + 0
–
0 + |
+
||
–
0 + ||
ÀN
TO
ÁN
| +
f(x)
–
||
+∞
4
+
Đ IỄ N D
-1
Í-
x
x 2 − 3x
H
Bảng xét dấu
+
| –
+
+ 0
+ 0
| – ||
+
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
2
N
1
Ơ
0
H
-1
N
−∞
x
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
+ +
Bài 4.86: Xét dấu các biểu thức sau a)
1 1 1 − − x+9 x 2
§6. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 12
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
A. f ( x) ≥ 0 ⇔ x ∈ (−6; −3) ∪ (2; 0) B. f ( x) < 0 ⇔ (−∞; −6) ∪ (−3; 2) ∪ (0; +∞) C. f ( x) ≤ 0 ⇔ (−∞; −6) ∪ (−3; 2) ∪ (0; +∞)
Ơ
N
D. f ( x) < 0 ⇔ x ∈ (−6; −3) ∪ (2; 0)
N
H
b) x 4 − 4 x + 1 .
3x + 7 +5 x −x−2 2
B
c)
TR ẦN
2 − 4 2 − 2 2 + 4 2 − 2 ∪ D. f ( x) > 0 ⇔ x ∈ −∞; ; +∞ 2 2
3 5x 2 − 2 x − 3 < 0 ⇔ x ∈ (−∞; −1) ∪ − ;1 ∪ (2; +∞) 2 5 x −x−2
B.
5x2 − 2 x − 3 − 3 ; 1 0 ( ; 1) > ⇔ ∈ −∞ − ∪ x 5 x2 − x − 2
C.
5x2 − 2 x − 3 3 < 0 ⇔ x ∈ −1; − ∪ (1; 2) 2 5 x −x−2
-L
Í-
H
Ó
A
10 00
A.
ÁN
5x2 − 2 x − 3 3 > 0 ⇔ x ∈ −1; − ∪ (1; 2) 2 5 x −x−2
TO
D.
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q TP
ẠO Đ G
H Ư
2 − 4 2 − 2 2 + 4 2 − 2 C. f ( x) ≥ 0 ⇔ ; 2 2
N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
2 − 4 2 − 2 2 + 4 2 − 2 B. f ( x) > 0 ⇔ ; 2 2
U Y
2 − 4 2 − 2 2 + 4 2 − 2 A. f ( x) ≤ 0 ⇔ x ∈ −∞; ∪ ; +∞ 2 2
D
IỄ N
Đ
ÀN
d) x 3 − 3 x + 2
A. f ( x) > 0 ⇔ x ∈ (−2; +∞) B. f ( x) > 0 ⇔ x ∈ (−∞; −2) C. f ( x) < 0 ⇔ x ∈ (−∞; −2) D. f ( x) < 0 ⇔ x ∈ (−2; +∞)\{1}
§6. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 13
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Lời giải:
Bài 4.86: a) Ta có: f ( x) =
2 x − 2( x + 9) − x( x + 9) −x 2 − 9 x − 18 = 2 x( x + 9) 2 x( x + 2)
N
⇒ f ( x) > 0 ⇔ x ∈ (−6; −3) ∪ (2; 0)
H N
G N H Ư
3 5x2 − 2 x − 3 > 0 ⇔ x ∈ (−∞; −1) ∪ − ;1 ∪ (2; +∞) 2 5 x −x−2 5x2 − 2 x − 3 3 < 0 ⇔ x ∈ −1; − ∪ (1; 2) 2 5 x −x−2
B
Và
TR ẦN
c)
Đ
2 − 4 2 − 2 2 + 4 2 − 2 f ( x) < 0 ⇔ ; 2 2
10 00
d) f ( x) = ( x − 1)2 ( x + 2) ⇒ f ( x) > 0 ⇔ x ∈ (−2; +∞)\{1}
H
Ó
A
f ( x) < 0 ⇔ x ∈ (−∞; −2)
Í-
Bài 4.87: Tùy theo giá trị của tham số m g( x) = ( m − 1)x 2 + 2( m − 1) + m − 3 , Khẳng định
-L
nào sau đây đúng là sai?
ÁN
A. m = 1 ⇒ g( x) < 0 ∀x ∈ R
a < 0 C. m < 1 ⇒ ⇒ g( x ) < 0 ∀ x ∈ R . ∆ ' < 0 D. Cả A, B, C đều sai
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
3 B. T = 0; có hai nghiệm phân biệt 2
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
2 − 4 2 − 2 2 + 4 2 − 2 ∪ ⇒ f ( x) > 0 ⇔ x ∈ −∞; ; +∞ 2 2
.Q
)
TP
)(
ẠO
(
⇒ f ( x) = x 2 − 2 x + 1 − 2 x 2 + 2 x + 1 + 2
2
U Y
b) Ta có: f ( x) = x 4 + 2 x 2 + 1 − 2( x 2 + 2 x + 1) = ( x 2 + 1)2 − 2( x + 1)
Ơ
f ( x) < 0 ⇔ (−∞; −6) ∪ (−3; 2) ∪ (0; +∞)
Lời giải: Bài 4.87: Nếu m = 1 ⇒ g( x) = −2 < 0 ∀x ∈ R
§6. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 14
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Nếu m ≠ 1 , khi đó g( x) là tam thức bậc hai có a = m − 1 và ∆ ' = 2( m − 1) , do đó ta có các trường hợp sau:
m − 1 + 2( m − 1) . m −1
Ơ U Y
⇒ g( x) > 0 ⇔ x ∈ (−∞; x1 ) ∪ ( x2 ; +∞) ; g( x) < 0 ⇔ x ∈ ( x1 ; x2 ) .
ẠO
TP
.Q
a < 0 * m <1⇒ ⇒ g( x ) < 0 ∀ x ∈ R ∆ ' < 0
(
)
3m − 2 x + 1 = 0 luôn vô nghiệm
Lời giải
TR ẦN
b) Phương trình (m2 + 5) x 2 −
H Ư
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
DẠNG TOÁN 2: BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ LIÊN QUAN ĐẾN TAM THỨC BẬC HAI LUÔN MANG MỘT DẤU. 1. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì a) Phương trình mx 2 − (3m + 2) x + 1 = 0 luôn có nghiệm
2
B
a) Với m = 0 phương trình trở thành −2 x + 1 = 0 ⇔ x =
1 suy ra phương trình có nghiệm 2
10 00
Với m ≠ 0 , ta có ∆ = (3m + 2) − 4 m = 9 m 2 + 8 m + 4 Vì tam thức 9 m 2 + 8 m + 4 có am = 9 > 0, ∆ 'm = −20 < 0 nên 9 m2 + 8 m + 4 > 0 với mọi m
)
Ó
(
2
3m − 2 − 4 (m2 + 5) = −m2 − 4 3m − 16
H
b) Ta có ∆ =
A
Do đó phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m .
Í-
Vì tam thức −m2 − 4 3m − 8 có am = −1 < 0, ∆ 'm = −4 < 0 nên −m2 − 4 3m − 8 < 0 với
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
mọi m Do đó phương trình đã cho luôn vô nghiệm với mọi m . Ví dụ 2: Tìm các giá trị của m để biểu thức sau luôn âm a) f ( x) = mx 2 − x − 1
1 A. − < m < 0 4
1 B. − < m 4
C. m < 0
m > 0 D. m < − 1 4
C. m > 4
D. m ≤ 2
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
và x2 =
H
m − 1 − 2( m − 1) m −1
N
x1 =
N
3 * T = 0; có hai nghiệm phân biệt 2
b) g ( x) = (m − 4) x 2 + (2 m − 8) x + m − 5
A. m < 4
B. m ≤ 4
Lời giải:
§6. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 15
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
a) Với m = 0 thì f ( x) = −x − 1 lấy cả giá trị dương(chẳng hạn f (−2) = 1 ) nên m = 0 không thỏa mãn yêu cầu bài toán Với m ≠ 0 thì f ( x) = mx 2 − x − 1 là tam thức bậc hai dó đó
TP ẠO Đ G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
a = m−4 < 0 g ( x) < 0, ∀x ⇔ ∆ ' = (m − 4)2 − (m − 4)(m − 5) < 0 m < 4 ⇔ ⇔ m<4 m − 4 < 0
H Ư
N
Vậy với m ≤ 4 thì biểu thức g ( x) luôn âm.
5 8
b) k ( x) = x 2 − x + m − 1
C. m > −
1 4
A
B. m ≥
1 4
C. m ≤
1 4
5 8
D. m < −
D. m >
3 8
3 4
Ó
A. m >
5 8
B
B. m ≤ −
10 00
A. m < −
TR ẦN
Ví dụ 3: Tìm các giá trị của m để biểu thức sau luôn dương −x 2 + 4 (m + 1) x + 1 − 4 m 2 a) h ( x) = −4 x 2 + 5 x − 2
Í-
H
Lời giải: a) Tam thức −4 x + 5 x − 2 có a = −4 < 0, ∆ = −7 < 0 suy ra −4 x 2 + 5 x − 2 < 0 ∀x 2
-L
Do đó h ( x) luôn dương khi và chỉ khi h ' ( x) = −x 2 + 4 (m + 1) x + 1 − 4 m 2 luôn âm
ÀN
TO
ÁN
a = −1 < 0 5 ⇔ ⇔ 8m + 5 < 0 ⇔ m < − 2 2 ∆ ' = 4 (m + 1) + (1 − 4 m ) < 0 8 5 Vậy với m < − thì biểu thức h ( x) luôn dương. 8
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
Với m ≠ 4 thì g ( x) = (m − 4) x 2 + (2 m − 8) x + m − 5 là tam thức bậc hai dó đó
U Y
N
H
Ơ
N
m < 0 a = m < 0 1 ⇔ ⇔− <m<0 f ( x) < 0, ∀x ⇔ ∆ = 1 + 4 m < 0 m > − 1 4 4 1 Vậy với − < m < 0 thì biểu thức f ( x) luôn âm. 4 b) Với m = 4 thì g ( x) = −1 < 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán
D
IỄ N
Đ
b) Biểu thức k ( x) luôn dương ⇔ x 2 − x + m − 1 > 0, ∀x
⇔ x 2 − x + m > 1, ∀x ⇔ x 2 − x + m > 0, ∀x a = 1 > 0 1 ⇔ ⇔ m> ∆ = 1 − 4m < 0 4 1 Vậy với m > thì biểu thức k ( x) luôn dương. 4
§6. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 16
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Ví dụ 4: Chứng minh rằng hàm số sau có tập xác định là ℝ với mọi giá trị của m . mx a) y = 2 (2m + 1) x2 − 4mx + 2
N Ơ
m2 x 2 − 2 mx + m 2 + 2
N
H
b) y =
2 x 2 − 2 (m + 1) x + m 2 + 1
Lời giải: 2
TP
.Q
Xét tam thức bậc hai f ( x) = (2 m 2 + 1) x 2 − 4 mx + 2
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Suy ra với mọi m ta có f ( x) = (2 m 2 + 1) x 2 − 4 mx + 2 > 0 ∀x ∈ ℝ
G
Đ
Do đó với mọi m ta có (2 m2 + 1) x 2 − 4mx + 2 ≠ 0, ∀x ∈ ℝ
ẠO
Ta có a = 2m 2 + 1 > 0, ∆ ' = 4 m 2 − 2 (2 m 2 + 1) = −2 < 0
TR ẦN
H Ư
N
Vậy tập xác định của hàm số là D = ℝ 2 x 2 − 2 (m + 1) x + m 2 + 1 ≥ 0 và m 2 x 2 − 2 mx + m 2 + 2 ≠ 0 b) ĐKXĐ: m 2 x 2 − 2 mx + m 2 + 2 Xét tam thức bậc hai f ( x) = 2 x 2 − 2 (m + 1) x + m 2 + 1 và 2
2
Ta có a f = 2 > 0, ∆ f ' = (m + 1) − 2 (m2 + 1) = −m2 + 2 m − 1 = −(m − 1) ≤ 0
B
Suy ra với mọi m ta có f ( x) = 2 x 2 − 2 (m + 1) x + m 2 + 1 ≥ 0, ∀x ∈ ℝ (1)
10 00
Xét tam thức bậc hai g ( x) = m 2 x 2 − 2mx + m2 + 2 Với m = 0 ta có g ( x) = 2 > 0 , xét với m ≠ 0 ta có
Ó
A
ag = m2 > 0, ∆ g ' = m 2 − m 2 (m2 + 2) = −m2 (m 2 + 1) < 0
Í-
H
Suy ra với mọi m ta có g ( x) = m 2 x 2 − 2mx + m2 + 2 > 0, ∀x ∈ ℝ (2) 2 x 2 − 2 (m + 1) x + m 2 + 1
≥ 0 và m 2 x 2 − 2 mx + m 2 + 2 m 2 x 2 − 2 mx + m 2 + 2 ≠ 0 đúng với mọi giá trị của x Vậy tập xác định của hàm số là D = ℝ 3. Bài tập luyện tập. Bài 4.88: Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì a) Phương trình x 2 − 2 (m + 2) x − (m + 3) = 0 luôn có nghiệm
b) Phương trình (m2 + 1) x 2 +
(
)
3m − 2 x + 2 = 0 luôn vô nghiệm Lời giải:
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Từ (1) và (2) suy ra với mọi m thì
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y
a) ĐKXĐ: (2m + 1) x − 4 mx + 2 ≠ 0 2
2
Bài 4.88: a) Ta có ∆ = (m + 2) + m + 3 = m2 + 5m + 7 Vì tam thức m2 + 5m + 7 có am = 1 > 0, ∆ 'm = −2 < 0 nên x = −4, x = 0 với mọi m
§6. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 17
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Do đó phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m . b) Ta có ∆ =
(
2
)
3m − 2 − 8 (m2 + 1) = −5m 2 − 4 3m − 4
Vì tam thức −5m 2 − 4 3m − 4 có am = −5 < 0, ∆ 'm < 0 nên −5m 2 − 4 3m − 4 < 0 với mọi
N
m . Do đó phương trình đã cho luôn vô nghiệm với mọi m .
H N TP
.Q
D. ℝ
B. m > −1
C. m ≤ −1
D. m < −1
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
A. m < 1
ẠO
b) g ( x) = 4 mx 2 − 4 (m − 1) x + m − 3
Lời giải:
TR ẦN
H Ư
N
G
a = −1 < 0 1 ⇔ m> Bài 4.89: a) f ( x) < 0, ∀x ⇔ ∆ ' = 1 − 4 m < 0 4 1 Vậy với − < m < 0 thì biểu thức f ( x) luôn âm. 4 b) Với m = 0 không thỏa mãn yêu cầu bài toán Với m ≠ 0 thì g ( x) = 4 mx 2 − 4 (m − 1) x + m − 3 là tam thức bậc hai dó đó
Ó
A
10 00
B
a = 4m < 0 g ( x) < 0, ∀x ⇔ ∆ ' = 4 (m − 1)2 − 4 m (m − 3) < 0 m < 0 m < 0 ⇔ ⇔ ⇔ m < −1 4 m + 4 < 0 m < −1
Í-
H
Vậy với m < −1 thì biểu thức g ( x) luôn âm.
-L
Bài 4.90: Chứng minh rằng hàm số sau có tập xác định là ℝ với mọi giá trị của m .
2 x + 3m
TO
b) y =
ÁN
a) y = m 2 x 2 − 4 mx + m2 − 2 m + 5
x + 2 (1 − m) x + 2 m2 + 3 2
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
1 C. − < m < 0 4
B. m < 0
U Y
1 A. − < m 4
Ơ
Bài 4.89: Tìm các giá trị của m để biểu thức sau luôn âm a) f ( x) = −x 2 − 2 x − m
2
2
D
IỄ N
Đ
ÀN
Lời giải: Bài 4.90: a) ĐKXĐ: m x − 4mx + m − 2 m + 5 ≥ 0 (*) Với m = 0 thì điều kiện (*) đúng với mọi x Với m ≠ 0 xét tam thức bậc hai f ( x) = m 2 x 2 − 4 mx + m2 − 2 m + 5 2
Ta có a = m2 > 0, ∆ ' = 4 m2 − 8 (2 m2 + 1) = −12m 2 − 8 < 0 Suy ra f ( x) = m 2 x 2 − 4 mx + m2 − 2 m + 5 ≥ 0 ∀x ∈ ℝ Do đó với mọi m ta có m2 x 2 − 4 mx + m2 − 2 m + 5 ≥ 0, ∀x ∈ ℝ
§6. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 18
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Vậy tập xác định của hàm số là D = ℝ b) ĐKXĐ: x 2 + 2 (1 − m) x + 2 m 2 + 3 > 0 Xét tam thức bậc hai f ( x) = x 2 + 2 (1 − m) x + 2 m 2 + 3 2
N
Ta có a = 1 > 0, ∆ ' = (1 − m) − (2 m2 + 3) = −m 2 − 2 m − 2 < 0
Ơ
(Vì tam thức bậc hai f (m) = −m 2 − 2 m − 2 có am = −1 < 0, ∆ 'm = −1 < 0 )
N
H
Suy ra với mọi m ta có x 2 + 2 (1 − m) x + 2 m2 + 3 > 0, ∀x ∈ ℝ
TP
.Q
Bài 4.91: Tìm m để a) 3x 2 − 2( m + 1)x − 2 m 2 + 3m − 2 ≥ 0 ∀x ∈ R
C. m ≤ −1
D. Vô nghiệm
ẠO
B. m > −1
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
A. m < 1
C. m ≤ −1
x+m ≤ 1 ∀x ∈ R x + x +1 2
10 00
B
c)
B. m ≥ 1
B. m ≤ 1
C. 0 ≤ m ≤ 1
m > 1 D. m < 0
Lời giải:
Ó
A
A. 0 ≤ m
D. m < −1
TR ẦN
A. m < 1
H Ư
N
b) Hàm số y = ( m + 1)x 2 − 2( m − 1) x + 3m − 3 có nghĩa với mọi x.
Í-
H
Bài 4.91: a) 3x 2 − 2( m + 1)x − 2 m 2 + 3m − 2 ≥ 0 ∀x ∈ R
-L
⇔ ∆ ' = ( m + 1)2 + 3(2 m 2 − 3m + 2) ≤ 0 7 m 2 − 7 m + 7 ≤ 0 bpt vô nghiệm
ÁN
Vậy không có m thỏa mãn yêu cầu bài toán
TO
b) Hàm số có nghĩa với mọi x
ÀN
⇔ ( m + 1)x 2 − 2( m − 1)x + 3m − 3 ≥ 0 ∀x ∈ ℝ (1)
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y
Vậy tập xác định của hàm số là D = ℝ
D
IỄ N
Đ
* m = −1 không thỏa mãn
m + 1 > 0 ⇔ m≥1 * m ≠ −1 ⇒ (1) ⇔ ∆ ' = ( m − 1)(−2 m − 4) ≤ 0
c) Ta có x 2 + x + 1 > 0 ∀x ∈ ℝ
§6. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 19
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
⇒
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
2 (1) x+m x+m x + 1 − m ≥ 0 ≤ 1 ⇔ − 1 ≤ ≤ 1 ⇔ 2 2 2 x + 2 x + m + 1 ≥ 0 (2) x + x +1 x + x +1
(1) đúng ∀x ∈ ℝ ⇔ 1 − m ≥ 0 ⇔ m ≤ 1
N
(2) đúng ∀x ∈ ℝ ⇔ ∆ ' = −m ≤ 0 ⇔ m ≥ 0
TP
.Q
§7. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 1. Định nghĩa và cách giải Bất phương trình bậc hai (ẩn x ) là bất phương trình có một trong các dạng f ( x) > 0, f ( x) < 0, f ( x) ≥ 0, f ( x) ≤ 0 , trong đó f ( x) là một tam thức bậc hai.
TR ẦN
H Ư
N
Cách giải. Để giải bất phương trình bậc hai, ta áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai. 2. Ứng dụng Giải bất phương trình tích, thương chứa các tam thức bậc hai bằng cách lập bảng xét dấu của chúng
B
DẠNG TOÁN 1: GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1. Các ví dụ minh họa.
10 00
Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau:
Ó
1 D. S = (−∞; − ) ∪ (1; +∞) 3
ÁN
-L
Í-
1 C. S = − ;1 3
B. S = (1; +∞)
H
1 A. S = (−∞; − ) 3
A
a) −3 x 2 + 2 x + 1 < 0
A. S = (−4; 3)
B. S = (−∞; −4)
C. S = (3; +∞)
D. S = ℝ
3 5 B. S = ℝ \± 5
3 5 C. S = ℝ \ 5
D. S = ℝ
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
b) x 2 + x − 12 < 0
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y
N
H
Ơ
Vậy 0 ≤ m ≤ 1 là những giá trị cần tìm
c) 5 x 2 − 6 5 x + 9 > 0
3 5 A. S = ℝ \− 5
§6. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 20
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
d) −36 x 2 + 12 x − 1 ≥ 0
1 B. S = −∞; 6
1 C. S = 6
1 D. S = ; +∞ 6
N H
TP
1 hoặc x > 1 3
1 Vậy tập nghiệm của bất phương trình : S = (−∞; − ) ∪ (1; +∞) . 3
Đ
ẠO
Suy ra −3 x 2 + 2 x + 1 < 0 ⇔ x < −
.Q
( f ( x) cùng dấu với hệ số a ).
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
N
U Y
1 a) Tam thức f ( x) = −3 x 2 + 2 x + 1 có a = −3 < 0 và có hai nghiệm x1 = − ; x2 = 1 3
Ơ
Lời giải:
N
G
b) Tam thức f ( x) = x 2 + x − 12 có a = 1 > 0 và có hai nghiệm x1 = −4; x2 = 3
H Ư
( f ( x) trái dấu với hệ số a ).
TR ẦN
Suy ra x 2 + x − 12 < 0 ⇔ −4 < x < 3 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (−4; 3)
c) Tam thức f ( x) = 5 x 2 − 6 5 x + 9 có a = 5 > 0 và ∆ = 0
10 00
B
( f ( x) cùng dấu với hệ số a ).
A
Suy ra 5 x 2 − 6 5 x + 9 > 0 ⇔ x ≠
3 5 5
Í-
H
Ó
3 5 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = ℝ \ 5
-L
d) Tam thức f ( x) = −36 x 2 + 12 x − 1 có a = −36 < 0 và ∆ = 0
1 1 và f = 0 6 6
TO
ÁN
f ( x) trái dấu với hệ số a nên f ( x) âm với ∀x ≠
ÀN
Suy ra −36 x 2 + 12 x − 1 ≥ 0 ⇔ x =
1 6
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
1 A. S = ± 6
D
IỄ N
Đ
1 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = 6 Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm a) x 2 − mx + m + 3 = 0
A. m ∈ (−∞; −2]
B. m ∈ [6; +∞)
§6. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 21
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
C. m ∈ −2; 6
D. m ∈ (−∞; −2] ∪ [6; +∞)
b) (1 + m) x 2 − 2 mx + 2 m = 0
m > 0 D. m < −2
C. −2 ≤ m ≤ 0
N
B. −2 ≤ m
H Ư
N
Vậy với −2 ≤ m ≤ 0 thì phương trình có nghiệm Ví dụ 3: Tìm m để mọi x ∈ −1; 1 đều là nghiệm của bất phương trình
A. m ∈ (−∞; −3] ∪ [7; +∞)
B. m > −
1 2
D. m ≤ −3
10 00
B
C. m ≥ 7
TR ẦN
3 x 2 − 2 (m + 5) x − m 2 + 2 m + 8 ≤ 0 (1)
Lời giải:
Ó
A
Ta có 3 x 2 − 2 (m + 5) x − m 2 + 2 m + 8 = 0 ⇔ x = m + 2 hoặc x =
4−m 3
H
4−m 1 ⇔ 3m + 6 > 4 − m ⇔ m > − ta có 3 2 4−m ≤ x ≤ m+2 Bất phương trình (1) ⇔ 3 4−m ; m + 2 Vậy tập nghiệm của bất phương trình (1) là 3 Suy ra mọi x ∈ −1;1 đều là nghiệm của bất phương trình (1) 4−m −1 ≥ 4 − m khi và chỉ khi −1;1 ⊂ ;m+2 ⇔ 3 3 1 ≤ m + 2
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
* Với m + 2 >
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
TP
.Q
U Y
N
H
Lời giải: a) Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi ∆ ≥ 0 m≥6 ⇔ m2 − 4 (m + 3) ≥ 0 ⇔ m 2 − 4 m − 12 ≥ 0 ⇔ m ≤ −2 Vậy với m ∈ (−∞; −2] ∪ [6; +∞) thì phương trình có nghiệm b) Với m = −1 phương trình trở thành 2 x − 2 = 0 ⇔ x = 1 suy ra m = −1 thỏa mãn yêu cầu bài toán Với m ≠ −1 phương trình có nghiệm khi và chỉ khi ∆ ≥ 0 ⇔ m2 − 2 m (1 + m) ≥ 0 ⇔ m 2 + 2 m ≤ 0 ⇔ −2 ≤ m ≤ 0
Ơ
A. m ≤ 0
m ≥ 7 ⇔ ⇔ m≥7 m ≥ −1 Kết hợp với điều kiện m > −
1 ta có m ≥ 7 thỏa mãn yêu cầu bài toán 2
§6. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 22
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
4−m 1 ⇔ m < − ta có 3 2 4−m Bất phương trình (1) ⇔ m + 2 ≤ x ≤ 3
* Với m + 2 <
H
Ơ
N
4− m Vậy tập nghiệm của bất phương trình (1) là m + 2; 3 Suy ra mọi x ∈ −1;1 đều là nghiệm của bất phương trình (1)
TR ẦN
Ví dụ 4: Cho ( m + 1)x 2 − 2(2 m − 1)x − 4 m + 2 < 0 khẳng định nào sau đây sai? A. m = −1 bất phương trình có tập nghiệm là S = (−∞; −1)
10 00
B
1 1 B. − ≤ m ≤ bất phương trình có tập nghiệm là S = ∅ 4 2
Í-
H
Ó
A
1 m > 2 C. bất phương trình có tập nghiệm là S = ( x1 ; x2 ) 1 −1 < m < − 4
-L
D. m > −1 bất phương trình có tập nghiệm là S = (−∞; x1 ) ∪ ( x2 ; +∞)
ÁN
Lời giải:
TO
Với m = −1 : bất phương trình trở thành 6 x + 6 < 0 ⇔ x < −1
ÀN
Với m ≠ −1 ta có g( x) = ( m + 1)x 2 − 2(2 m − 1)x − 4 m + 2 là tam thức bậc hai có :
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
H Ư
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
TP
.Q
U Y
N
−1 ≥ m + 2 4 − m ⇔ khi và chỉ khi −1;1 ⊂ m + 2; 4−m 3 1 ≤ 3 m ≤ −3 ⇔ ⇔ m ≤ −3 m ≤ 1 1 Kết hợp với điều kiện m < − ta có m ≤ −3 thỏa mãn yêu cầu bài toán 2 1 3 1 * Với m = − ta có bất phương trình (1) ⇔ x = nên m = − không thỏa mãn yêu cầu 2 2 2 bài toán. Vậy m ∈ (−∞; −3] ∪ [7; +∞) là giá trị cần tìm.
Đ
a = m + 1; ∆ ' = 8 m2 − 2 m − 1 .
IỄ N
Bảng xét dấu
D
m m+1 8 m − 2m − 1 2
−∞
−1
− +
0 0
1 4 | 0
1 2
− + +
+ −
+∞ |
0
+
+
§6. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 23
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
1 1 a > 0 * − ≤m≤ ⇒ ⇒ g( x) ≥ 0 ∀x ∈ R ⇒ bất phương trình vô nghiệm. 4 2 ∆ ' ≤ 0
Ơ H N
2 m − 1 − (2 m − 1)( m + 1) 2 m − 1 + (2 m − 1)( m + 1) ; x2 = . m +1 m +1
TP
.Q
a < 0 * m < −1 ⇒ ⇒ S = (−∞; x1 ) ∪ ( x2 ; +∞) ∆ ' > 0
ẠO
Kết luận
Đ G
H Ư
1 1 − ≤ m ≤ bất phương trình có tập nghiệm là S = ∅ 4 2
N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
m = −1 bất phương trình có tập nghiệm là S = (−∞; −1)
B
TR ẦN
1 m > 2 bất phương trình có tập nghiệm là S = ( x1 ; x2 ) 1 −1 < m < − 4
10 00
m < −1 bất phương trình có tập nghiệm là S = (−∞; x1 ) ∪ ( x2 ; +∞)
2. Bài tập luyện tập.
-L
Í-
1 A. T = ; 1 2
H
a) −2 x 2 + 3 x − 1 ≥ 0
Ó
A
Bài 4.92: Giải các bất phương trình sau:
1 C. T = ;1 2
D. T = (1; +∞)
B. T = {4}
C. T = (2; 3)
D. T = {2}
B. T = ℝ \{1}
C. T = (−1; +∞)
D. T = ℝ \(3; 7 )
3 B. ; 2 2
3 C. −∞; 2
D. (2; +∞)
ÁN
1 2 x − x +1≤ 0 4
TO
b)
1 B. T = −∞; 2
ÀN
A. T = {3}
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y
x1 =
N
1 m > a > 0 2 * ⇒ ⇒ S = ( x1 ; x2 ) , với 1 ∆ ' > 0 −1 < m < − 4
D
IỄ N
Đ
c) −2 x 2 + x − 1 ≤ 0 .
A. T = ℝ
d) 7 x > 2 x 2 − 6
3 A. ; 2 2
§6. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 24
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
e) x 2 − 22 x + 51 < 0
A. T = ∅
170 C. T = 9; 3
B. T = ℝ
D. T = (−∞; 2)
Ơ
D. T = −2; +∞)
H
C. T = −3; −2
N
B. T = (−∞; −3
.Q
1 Bài 4.92: a) T = ;1 2
b) T = {2}
3 d) ; 2 2
f) T = (−∞; −3 ∪ −2; +∞)
TP ẠO Đ
e) T = ∅
c) T = ℝ
TR ẦN
a) x 2 − 2 mx + m + 3 = 0
1 − 3 13 1 + 3 13 B. m ∈ ; 2 2
10 00
B
1 − 2 13 1 + 2 13 A. m ∈ ; 2 2 1 − 4 13 1 + 4 13 ; C. m ∈ 2 2
H Ư
Bài 4.93: Tìm m để phương trình sau vô nghiệm
N
G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Lời giải:
1 − 13 1 + 13 D. m ∈ ; 2 2
m≥3 B. m < −3
H Í-
-L
m≥2 A. m < −2
Ó
A
b) ( m − 1) x 2 − (2 m − 2) x + 2 m = 0
m≥1 C. m < −1
m≥4 D. m < −4
ÁN
Lời giải: Bài 4.93: a) Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi ∆ ' < 0
TO
1 − 13 1 + 13 <x< 2 2 1 − 13 1 + 13 thì phương trình vô nghiệm Vậy với m ∈ ; 2 2
D
IỄ N
Đ
ÀN
⇔ m2 − m − 3 < 0 ⇔
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y
A. T = (−∞; −3 ∪ −2; +∞)
N
f) x 2 + 5 x + 6 ≥ 0
b) Với m = 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán Với m ≠ 1 phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi ∆ ' < 0 m>1 2 ⇔ (m − 1) − 2 m (m − 1) < 0 ⇔ ( m − 1)(−m − 1) < 0 ⇔ m < −1
§6. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 25
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
m≥1 Vậy với thì phương trình có nghiệm m < −1
N
Bài 4.94: Cho mx 2 − 2 mx + m − 1 > 0 . Khẳng định nào sau đây là sai?
N
m− m m+ m )∪( ; +∞) m m
.Q
C. Cả A, B đều đúng
TP
D.Cả A, B đều sai
ẠO
Lời giải:
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Bài 4.94:Với m = 0 , bất phương trình trở thành: −1 > 0 ⇒ bất phương trình vô nghiệm
N
G
Với m ≠ 0 ⇒ f ( x) = mx 2 − 2 mx + m − 1 là tam thức bậc hai có a = m , ∆ ' = m
TR ẦN
H Ư
∆ ' > 0 m− m m+ m * m>0 ⇒ ⇒ bất phương trình có tập nghiệm: S = (−∞; )∪( ; +∞) . a > 0 m m a < 0 * m<0 ⇒ ⇒ bất phương trình vô nghiệm . ∆ ' < 0
10 00
B
Kết luận
m ≤ 0 bất phương trình có tập nghiệm là S = ∅
m− m m+ m )∪( ; +∞) m m
H
Ó
A
m > 0 bất phương trình có tập nghiệm là S = (−∞;
2
− 1) x 2 − 8 mx + 9 − m2 ≥ 0
-L
(m
Í-
Bài 4.95: Tìm m để mọi x ∈ 0; +∞) đều là nghiệm của bất phương trình
ÁN
A. m ∈ (−3; −1)
B. m ∈ {−3; −1}
C. m ∈ −3; −1
D. m ∈ ∅
TO
Lời giải: Bài 4.95: m = 1 không thỏa mãn ycbt; m = −1 thỏa mãn ycbt
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y
B. m > 0 bất phương trình có tập nghiệm là S = (−∞;
H
Ơ
A. m ≤ 0 bất phương trình có tập nghiệm là S = ∅
D
IỄ N
Đ
ÀN
Với m ≠ ±1 ta có bpt ⇔ (m + 1) x + m − 3 ( m − 1) x − m − 3 ≥ 0
Đáp số m ∈ −3; −1
7 Bài 4.96: Cho hàm số f ( x) = x 2 + bx + 1 với b ∈ 3, . Giải bất phương trình f ( f ( x)) > x . 2
§6. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 26
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
1 − b − 2 b 2 − 2b − 3 1 − b + 2 b2 − 2b − 3 A. S = −∞; ∪ +∞ ; 2 2
Ơ
N
1 − 2b − b2 − 2b − 3 1 − 2b + b 2 − 2b − 3 B. S = −∞; ; +∞ ∪ 2 2
N
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Bài 4.96: Ta có f ( f ( x)) – x = x 2 + ( b + 1) x + b + 2 x 2 + (b − 1) x + 1
H Ư
N
G
Suy ra f ( f ( x)) – x > 0 ⇔ x 2 + (b + 1) x + b + 2 x 2 + ( b − 1) x + 1 > 0 Đặt g ( x) = x 2 + (b – 1) x + 1, h ( x) = x 2 + (b + 1) x + b + 2
TR ẦN
Ta có ∆ g( x ) = b 2 − 2b − 3 , ∆h(x) = b 2 − 2b − 7
1 − b − b 2 − 2b − 3 1 − b + b 2 − 2b − 3 , x2 = 2 2
A
x1 =
10 00
B
7 Vì b ∈ 3, nên ∆ g( x ) > 0 và ∆h( x ) < 0 . Phương trình g ( x) = 0 có hai nghiệm 2
Ó
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là
ÁN
-L
Í-
H
1 − b − b 2 − 2b − 3 1 − b + b2 − 2b − 3 S = −∞; ; +∞ ∪ 2 2
TO
DẠNG TOÁN 2: GIẢI HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN. 1. Các ví dụ minh họa.
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y .Q
ẠO
Lời giải:
TP
1 − b − b 2 − 2b − 3 1 − b + b2 − 2b − 3 D. S = −∞; ; +∞ ∪ 2 2
H
1 − 3b − b2 − 2b − 3 1 − 3b + b2 − 2b − 3 C. S = −∞; ; +∞ ∪ 2 2
ÀN
Ví dụ 1: Giải các hệ bất phương trình sau:
D
IỄ N
Đ
2 x 2 + 9 x + 7 > 0 a) 2 x + x − 6 < 0
A. S = −1; 2
B. S = (−1; 2)
C. S = (−∞; −1)
D. S = ℝ
§6. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 27
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
B. S = (3; +∞)
C. S = (−2; 3)
D. S = (−∞; −2] ∪ (3; +∞)
H
Ơ
A. S = (−∞; −2]
N
2 x 2 + x − 6 > 0 b) 2 3 x − 10 x + 3 ≥ 0
ẠO
TP
−1 + 53 B. S = (−∞;1) A. S = 1; 2
Đ
−1 + 53 D. S = 1; 2
x 2 + 4 x + 3 ≥ 0 d) 2 x 2 − x − 10 ≤ 0 2 x 2 − 5 x + 3 > 0 3 B. S = 1; 2
Ó
A
10 00
B
3 A. S = 1; 2
TR ẦN
H Ư
N
G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
−1 + 53 ; +∞ C. S = 2
C. S = (−∞;1)
3 D. S = ; +∞ 2
Lời giải:
H
x ≥ −1 2 x + 9 x + 7 > 0 7 a) Ta có 2 ⇔ x ≤ − ⇔ −1 < x < 2 x + x − 6 < 0 2 −3 < x < 2
ÁN
-L
Í-
2
TO
Vậy tập nghiệm hệ bất phương trình là S = (−1; 2) .
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
U Y
N
−x 2 + 5x − 4 ≥ 0 c) 2 x + x − 13 ≤ 0
D
IỄ N
Đ
ÀN
x ≥ 3 2 2 x 2 + x − 6 ≥ 0 x ≤ −2 x>3 b) Ta có ⇔ ⇔ 2 x ≤ −2 3 x − 10 x + 3 > 0 x > 3 1 x < 3
§6. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 28
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Vậy tập nghiệm hệ bất phương trình là S = (−∞; −2] ∪ (3; +∞) .
H
Ơ
−1 + 53 2
N .Q TP ẠO Đ G
N
TR ẦN
H Ư
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
x ≥ −1 x ≤ −3 2 x + 4 x + 3 ≥ 0 2 3 5 d) Ta có 2 x − x − 10 ≤ 0 ⇔ −2 ≤ x ≤ ⇔ 1 ≤ x ≤ 2 2 2 x 2 − 5 x + 3 ≤ 0 3 1 ≤ x ≤ 2 3 Vậy tập nghiệm hệ bất phương trình là S = 1; . 2
U Y
−1 + 53 . Vậy tập nghiệm hệ bất phương trình là S = 1; 2
10 00
B
mx 2 − x − 5 ≤ 0 Ví dụ 2: Cho hệ bất phương trình 2 (1 − m) x + 2 mx + m + 2 ≥ 0 a) Giải hệ bất phương trình khi m = 1
1 − 3 21 1 + 3 21 B. S = ; 2 2
H
Ó
A
1 − 2 21 1 + 2 21 A. S = ; 2 2
1 − 21 1 + 21 D. S = ; 2 2
ÁN
-L
Í-
1 − 4 21 1 + 4 21 C. S = ; 2 2
A.
31 −1 − 2 17 ≤ m ≤− 4 20
B. m ≤ −
C.
−1 − 17 ≤m 4
D.
1 20
1 −1 − 17 ≤ m ≤− 4 20
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
b) Tìm m để hệ bất phương trình nghiệm đúng với mọi x
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
⇔ 1≤ x ≤
N
1≤ x ≤ 4 −x 2 + 5 x − 4 ≥ 0 ⇔ −1 − 53 c) Ta có 2 −1 + 53 ≤x≤ x + x − 13 ≤ 0 2 2
Lời giải: a) Khi m = 1 hệ bất phương trình trở thành
§6. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 29
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
1 − 21 1 + 21 ≤x≤ x − x − 5 ≤ 0 1 − 21 1 + 21 2 ⇔ 2 ⇔ ≤x≤ 2 x + 3 ≥ 0 2 2 3 x ≥− 2 2
H
Ơ
N
1 − 21 1 + 21 Vậy tập nghiệm hệ bất phương trình là S = ; 2 2
Khi m = 1 theo câu a ta thấy cũng không thỏa mãn yêu cầu bài toán
TP
.Q
thỏa mãn yêu cầu bài toán
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
m ≠ 0 ta có hệ bất phương trình nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi các bất Khi m ≠ 1
B
TR ẦN
H Ư
m < 0 m<0 1 m ≤ − ∆1 = 1 + 20 m ≤ 0 ⇔ ⇔ 20 1− m > 0 m < 1 '2 = m 2 − (1 − m)(m + 2) ≤ 0 2 ∆ 2 m + m − 2 ≤ 0
N
G
phương trình trong hệ bất phương trình nghiệm đúng với mọi x
1 −1 − 17 ≤ m ≤− là giá trị cần tìm. 4 20
ÁN
Vậy
-L
Í-
H
Ó
A
10 00
m < 0 1 m ≤ − 1 −1 − 17 20 ⇔ ⇔ ≤ m ≤− m < 1 4 20 − 1 − 17 ≤ m ≤ −1 + 17 4 4
TO
Ví dụ 3: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ sau có nghiệm
A. m > −
1 2
B. m = −
1 2
C. m ≥ −
1 2
D. m = ∅
D
IỄ N
Đ
ÀN
x 2 − 3 x + 2 ≤ 0 . 2 mx − 2 (2 m + 1) x + 5m + 3 ≥ 0
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y
N
−x − 5 ≤ 0 b) Khi m = 0 hệ bất phương trình trở thành 2 (vô nghiệm) do đó m = 0 không x + 2 ≥ 0
Lời giải: Ta có bất phương trình x 2 − 3 x + 2 ≤ 0 ⇔ 1 ≤ x ≤ 2 .
§6. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 30
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Yêu cầu bài toán tương đương với bất phương trình: mx 2 – 2 (2 m + 1) x + 5m + 3 ≤ 0 (1) có nghiệm x ∈ S = 1; 2 . Ta đi giải bài toán phủ định là: tìm m để bất phương trình (1) vô nghiệm trên S
Ơ N
H
3 nên (2) không đúng với ∀x ∈ S 2
Bảng xét dấu
− +
0 |
1+ 5 2 + | + 0
ẠO
m −m + m + 1 2
0
Đ
1− 5 2 | − − 0
−∞
G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
m
TP
.Q
• m ≠ 0 tam thức f ( x) có hệ số a = m , biệt thức ∆ ' = −m2 + m + 1
+∞
+ −
N
a > 0 nên f ( x) ≥ 0, ∀x ∈ ℝ , suy ra m ≥ 1 + 5 không thỏa mãn ∆ ' ≤ 0 2
1+ 5 ta có: 2
+) m ≤
3 − 5 a < 0 1− 5 = 0 , suy ra m ≤ 1 − 5 thỏa ta có: nên f ( x) ≤ 0, ∀x ∈ ℝ và f ∆ ' ≤ 0 2 2 2
TR ẦN
H Ư
+) m ≥
10 00
1− 5 < m < 0 ta có: a < 0 và f ( x) có hai nghiệm phân biệt 2
A
+)
B
mãn.
Ó
2m + 1 + ∆ ' 2m + 1 − ∆ ' ( x1 < x2 ) , x2 = m m
H
x1 =
ÁN
-L
Í-
x < x1 x > 2 Do đó: f ( x) < 0 ⇔ , suy ra (2) đúng với ∀x ∈ S ⇔ 1 (*) x > x x < 1 2 2
TO
Ta có x1 = 2 +
1+ ∆ ' <2 m
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y
• m = 0 ta có (2) ⇔ −2 x + 3 < 0 ⇔ x >
N
Tức là bất phương trình f ( x) = mx 2 − 2 (2 m + 1) x + 5m + 3 < 0 (2) đúng với mọi x ∈ S .
D
IỄ N
Đ
ÀN
1 − 5 <m<0 x2 < 1 ⇔ ∆ ' < m + 1 ⇔ 2 ∆ ' < m2 + 2 m + 1
§6. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 31
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
H TR ẦN
Vì m > 0 nên (**) vô nghiệm.
1 Từ đó, ta thấy (2) đúng với ∀x ∈ S ⇔ m < − . 2
10 00
B
1 là những giá trị cần tìm. 2
A
Vậy m ≥ −
H
Ó
3. Bài tập luyện tập
Í-
Bài 4.97: Giải các hệ bất phương trình sau:
ÁN
-L
−x 2 + 4 x − 7 < 0 a) 2 x − 2 x − 1 ≥ 0
)
B. T = 1 + 2; +∞
(
(
)
C. T = −∞; 1 − 2 ∪ 1 + 2; +∞
D. T = 1 − 2;1 + 2
(
)
1 C. S = ; 4 2
D. S = {1; 2}
x 2 + x + 5 < 0 b) 2 x − 6 x + 1 > 0
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
A. T = −∞; 1 − 2
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
H Ư
N
G
x < 1 ∆ ' + m + 1 < 0 ⇔ Do đó (2) đúng với ∀x ∈ S ⇔ 2 (**) x1 > 2 ∆ ' + 1 > 0
Đ
Suy ra f ( x) < 0 ⇔ x ∈ ( x2 ; x1 )
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
U Y TP
2m + 1 + ∆ ' 2m + 1 − ∆ ' , x2 = ( x1 > x2 ) m m
ẠO
x1 =
1+ 5 ta có: a < 0 và f ( x) có hai nghiệm phân biệt 2
.Q
+) 0 < m <
1− 5 1 < m <− 2 2
N
Suy ra (*) ⇔
Ơ
N
1 − 5 < m < 0 1 − 5 2 1− 5 1 0 < < m ⇔ 2 ⇔ m > 0 ⇔ < m <− . 2 2 2 m 2 + m > 0 m < − 1 2
A. S = ℝ
B. S = ∅
§6. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 32
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
3 B. T = −4; − 5
3 C. T = −4; − ∪ 1; +∞) 5
D. T = ∅
N
H
Ơ
N
A. T = 1; +∞)
.Q
U Y
1 x2 − 2 x − 2 ≤ 2 ≤1 13 x − 5 x + 7
B. T = ℝ
11 C. T = ; 3 4
D. T = (−∞; −1
ẠO
TP
11 A. T = (−∞; −1 ∪ ; 3 4
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
d)
x2 − 2x − 7 ≤1 x2 + 1
N
(
G
Lời giải:
)
Bài 4.97: a) T = −∞; 1 − 2 ∪ 1 + 2; +∞
H Ư
b) Vô nghiệm
B
A
H
Ó
11 d) T = (−∞; −1 ∪ ; 3 4
10 00
3 Suy ra tập T = −4; − ∪ 1; +∞) 5
TR ẦN
−4 ( x 2 + 1) ≤ x 2 − 2 x − 7 5 x 2 − 2 x − 3 ≥ 0 x2 − 2x − 7 ≤1⇔ ⇔ c) −4 ≤ x 2 − 2 x − 7 ≤ x 2 + 1 x2 + 1 2 x ≥ −8
-L
Í-
Bài 4.98: Tìm m để bất phương trình m 2 x + m( x + 1) − 2( x − 1) > 0 nghiệm đúng với mọi
ÁN
x ∈ −2; 1
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
3 A. 0 < m < 2
3 C. m < 2
B. 0 < m
m < 0 D. m > 3 2
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
c) −4 ≤
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Lời giải:
Bài 4.98: Đặt f ( x) = (m 2 + m – 2) x + m + 2 f (−2) > 0 ( m 2 + m − 2)(−2) + m + 2 > 0 Bài toán thỏa mãn: ⇔ ⇔ 2 f (1) > 0 ( m + m − 2)(1) + m + 2 > 0
§6. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 33
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
−2 < m < 3 −2 m − m + 6 > 0 2 3 ⇔ 2 ⇔ ⇔ 0<m< m < − 2 m +2 m > 0 2 m > 0
Ơ
N
2
.Q
A. m ≤ −1 : S = −2;1 ,
TP
B. − 1 < m < 0 : S = 2a; −a
ẠO
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
C. m = 0 : S = {0}
G
Đ
D. m > 0 : S = {1}
N
Lời giải:
TR ẦN
H Ư
Bài 4.99: m ≤ −1 : S = −2;1 , − 1 < m < 0 : S = 2a; −a , m = 0 : S = {0} , m > 0 : S = ∅
Bài 4.100: Tìm m để bất phương trình 2 x 2 − (2 m + 1) x + m 2 − 2 m + 2 ≤ 0 nghiệm đúng với
10 00
A
21 + 2 34 10
Í-
ÁN
-L
C. 2 ≤ m
H
Ó
A. 2 ≤ m ≤
B
1 mọi x ∈ ; 2 . 2
B. m ≤
21 + 2 34 10
m < 2 D. m > 21 + 2 34 10
Lời giải:
TO
Bài 4.100: Đặt f ( x) = 2 x 2 − (2m + 1) x + m2 − 2 m + 2 , có ∆ = −4 m2 + 20 m − 15
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y
N
H
x 2 − (1 + 2 m) x + 2 m ≤ 0 Bài 4.99: Cho 2 khẳng định nào sai? x + (2 + m) x + 2 m ≤ 0
D
IỄ N
Đ
ÀN
m ≤ 5 − 10 2 • ∆≤0 ⇔ , suy ra f ( x) ≥ 0, ∀x ∈ ℝ nên trường hợp này không thỏa yêu cầu m ≥ 5 + 10 2
bài toán.
5 − 10 5 + 10 , khi đó f ( x) có hai nghiệm • ∆ > 0 ⇔ m ∈ ; 2 2
§6. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 34
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
x1 =
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
2m + 1 − ∆ 2m + 1 + ∆ , x2 = ( x1 < x2 ) 4 4
Và f ( x) ≤ 0 ⇔ x ∈ x1 ; x2 .
Ơ H N
TR ẦN
Bài 4.101: Cho phương trình: x 2 − 2 mx + m 2 − m + 1 = 0 (1) a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x ≥ 1 .
B. m ∈ 3; +∞)
10 00
B
A. m ∈ 2; +∞)
C. m ∈ 4; +∞)
D. m ∈ 1; +∞)
C. m ∈ (2; +∞)
D. m ∈ 1; 2
H
B. m ∈ (−∞;1)
-L
Í-
A. m ∈ (1; 2)
Ó
A
b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x ≤ 1 .
ÁN
c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x1 < 1 < x2 .
B. m < 2
C. 1 < m < 2
m < 1 D. m > 2
d) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x1 < x2 < 1 .
A. 1 < m
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
A. 1 < m
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y .Q TP
ẠO Đ G
21 + 2 34 là những giá trị cần tìm. 10
H Ư
Vậy 2 ≤ m ≤
N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
2 20 m − 84 m + 61 ≤ 0 21 + 2 34 ⇔ m 2 − 6 m + 8 ≤ 0 ⇔ 2≤m≤ 10 7 1 ≤ m ≤ 2 2
N
(2 m − 1)2 ≤ 4∆ x ≤ 1 2 m − 1 ≤ 2 ∆ 2 1 Do đó yêu cầu bài toán ⇔ ⇔ (7 − 2 m) ≤ ∆ 2 ⇔ 7 − 2 m ≤ ∆ x2 ≥ 2 1 ≤ m ≤ 7 2 2
B. m < 2
C. 1 < m < 2
D.không tồn tại m
Lời giải:
§6. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 35
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Bài 4.101: Đặt t = x − 1 ⇒ x = t + 1 , thay vào pt (1) ta được phương trình: t 2 + 2 (1 − m) t + m 2 − 3m + 2 = 0 (2) a) Để phương trình (1) có nghiệm x ≥ 1 ⇔ phương trình (2) có nghiệm t ≥ 0
Ơ
N
TH1: Phương trình (2) có nghiệm t1 ≤ 0 ≤ t2 ⇔ P ≤ 0 ⇔ m2 − 3m + 2 ≤ 0 ⇔ 1 ≤ m ≤ 2 .
H
TH2: Phương trình (2) có nghiệm :
ẠO
Kết luận: với m ∈ 1; +∞) thì phương trình (1) có nghiệm x ≥ 1 .
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
b) Để phương trình (1) có nghiệm x ≤ 1 ⇔ phương trình (2) có nghiệm t ≤ 0
N
G
TH1: Phương trình (2) có nghiệm t1 ≤ 0 ≤ t2 ⇔ P ≤ 0 ⇔ m2 − 3m + 2 ≤ 0 ⇔ 1 ≤ m ≤ 2 .
TR ẦN
H Ư
∆ ' ≥ 0 m − 1 ≥ 0 TH2: Phương trình (2) có nghiệm t1 ≤ t2 ≤ 0 ⇔ P ≥ 0 ⇔ m2 − 3m + 2 ≥ 0 ⇔ m = 1 S ≥ 0 m − 1 ≤ 0 Kết luận: với m ∈ 1; 2 thì phương trình (1) có nghiệm x ≤ 1 .
10 00
B
c) Phương trình (1) có 2 nghiệm thỏa x1 < 1 < x2 ⇔ phương trình (2) có 2 nghiệm:
t1 < 0 < t2 ⇔ m2 − 3m + 2 < 0 ⇔ 1 < m < 2 .
Ó
A
Kết luận: với 1 < m < 2 thì phương trình (1) có hai nghiệm x1 < 1 < x2
Í-
H
d) Phương trình (1) có 2 nghiệm thỏa x1 < x2 < 1 ⇔ phương trình (2) có 2 nghiệm:
TO
ÁN
-L
∆ ' > 0 m − 1 > 0 t1 < t2 < 0 ⇔ P > 0 ⇔ m 2 − 3m + 2 > 0 (vô nghiệm) S > 0 m − 1 < 0
ÀN
Kết luận: không tồn tại m để phương trình (1) có nghiệm x1 < x2 < 1 .
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
TP
.Q
U Y
N
m ≥ 1 ∆ ' ≥ 0 m − 1 ≥ 0 m = 1 2 0 ≤ t1 ≤ t2 ⇔ P ≥ 0 ⇔ m − 3m + 2 ≥ 0 ⇔ m ≥ 2 ⇔ m ≥ 2 S ≥ 0 m − 1 ≥ 0 m ≤ 1
D
IỄ N
Đ
DẠNG TOÁN 3: GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẤU THỨC. 1. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Giải các bất phương trình :
a) (1 − 2 x)( x 2 − x − 1) > 0
§6. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 36
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com 1 − 5 1 B. S = ; 2 2
1 − 5 1 1 + 5 C. S = ; ∪ ; +∞ 2 2 2
1 1 + 5 D. S = ; 2 2
H
Ơ
1+ 5 A. S = ; +∞ 2
N
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
TP
.Q
−1 − 13 1 − 5 A. S = ; 2 2
ẠO Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
−1 + 13 1 + 5 B. S = ; 2 2
H Ư
N
G
−1 − 13 1 − 5 −1 + 13 1 + 5 ∪ ; ; C. S = 2 2 2 2
TR ẦN
D. S = ∅
Lời giải:
10 00
1− 5 2
−∞
−
H
+
|
+
0
–
|
–
0
+
−
0
+
0
−
0
+
ÁN
-L
0
+∞
+
Í-
x2 − x − 1 VT
−
|
Ó
1 − 2x
1+ 5 2
1 2
A
x
B
a) Bảng xét dấu
TO
Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:
ÀN
1 − 5 1 1 + 5 S = ; ∪ ; +∞ 2 2 2
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y
N
b) x 4 − 5 x 2 + 2 x + 3 ≤ 0
D
IỄ N
Đ
b) Bất phương trình ( x 4 − 4 x 2 + 4) − ( x 2 − 2 x + 1) ≤ 0
⇔ ( x 2 − 2)2 − ( x − 1)2 ≤ 0 ⇔ ( x 2 + x − 3)( x 2 − x − 1) ≤ 0 . Bảng xét dấu
§6. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 37
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
+
0
–
x2 − x − 1
+
|
+
VT
+
0
–
|
1+ 5 2
–
0
+
0
–
|
–
0
+
0
–
+∞
|
+
0
+
0
+
(x
2
− 3)(−3 x 2 + 2 x + 8)
>0
H Ư
(
3; 2
)
TR ẦN
4 D. S = − 3; − ∪ (−1; 1) ∪ 3
)
(
3; 2
|
+
)
B
3; 2
2 x2 + 1 x2 − 8
10 00
b) x 2 + 10 ≤
(
4 B. S = − 3; − ∪ 3
N
4 A. S = − 3; − ∪ (−1;1) 3
C. S = (−1;1) ∪
TP
ẠO
x2 − 1
Đ
a)
G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Ví dụ 2: Giải các bất phương trình :
.Q
−1 − 13 1 − 5 −1 + 13 1 + 5 ∪ . S = ; ; 2 2 2 2
U Y
Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:
B. S = [ − 3; −2 2)
A
A. S = (2 2; 3]
Ó
{
C. S = [ − 3; −2 2) ∪ (2 2; 3]
}
-L
Í-
H
D. S = ℝ \ ± 8
Lời giải:
ÁN
a) Bảng xét dấu
−∞
− 3
−
4 3
−1
1
3
2
+∞ x2 − 1
+
|
+
|
+
0
x2 − 3
+
0
−
|
−
|
−3 x 2 + 2 x + 8
−
|
+
0
−
0
−
+
|
−
|
+ 0
+
|
+
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
x
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
x2 + x − 3
−1 + 13 2
N
1− 5 2
Ơ
−1 − 13 2
−∞
H
x
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
N
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
−
0
+
|
+
|
+
0
−
§6. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 38
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn −
VT
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
||
+
||
−
0
+
−
0
||
+
||
3; 2
)
−
H
2x2 + 1 2 x2 + 1 ⇔ − ( x 2 + 10) ≥ 0 x2 − 8 x2 − 8 2 x 2 + 1 − ( x 2 − 8)( x 2 + 10) 81 − x 4 ⇔ ≥ 0 ⇔ ≥0 x2 − 8 x2 − 8 9 − x 2 )(9 + x 2 ) ( 9 − x2 ⇔ ≥ 0 ⇔ ≥0 x2 − 8 x2 − 8
(
+
0
−
|
+
|
+
−
0
+
|
+
x2 − 8
+
|
+
0
−
VT
−
0
+
−
+∞
3
|
9 − x2
||
Đ
2 2
G
−2 2
TR ẦN
−3
N
−∞
H Ư
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Bảng xét dấu
||
+
0
−
B
Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
-L
Í-
H
Ó
A
10 00
S = [ − 3; −2 2) ∪ (2 2; 3] Ví dụ 3: Giải bất phương trình sau x2 − x − 2 a) 2 ≥0 x − x −1 1 − 5 1 + 5 A. S = (−∞; −1] ∪ ; 2 2
ÁN
B. S = (−∞; −1] ∪ [2; +∞)
1 − 5 1 + 5 ∪ [2; +∞) D. S = (−∞; −1] ∪ ; 2 2
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
1 − 5 1 + 5 ; C. S = ∪ [2; +∞) 2 2
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
ẠO
TP
.Q
U Y
N
b) Ta có x 2 + 10 ≤
x
Ơ
4 S = − 3; − ∪ (−1; 1) ∪ 3
N
Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:
b)
x2 + 1 − x + 1 x 2 + 3x − 6
≤0
A. S = −1; 0
B. S = [1; 3)
§6. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 39
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
C. S = −1; 0 ∪ [1; 3) D. S = ∅ Lời giải: 2
)(
− x − 2 x2 − x + 2
x2 − x − 1
x2 − x − 1
≥0
0
−
|
−
|
x2 − x + 2
+
|
+
|
+
|
x2 − x − 1
+
|
+
||
+
0
−
−
+
Đ
−
+∞
0
+
|
+
+
0
+
||
−
0
+
N
G
||
− x − 2)( x 2 − x + 2) x2 − x − 1
||
+
x 2 + 1 + x + 1 > 0 nên
-L
Vì
Í-
H
Ó
A
10 00
B
Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho là 1 − 5 1 + 5 ∪ [2; +∞) ; S = (−∞; −1] ∪ 2 2 x ≥ −1 + 1 ≥ 0 x x ≠ 3 x ≥ −1 b) ĐKXĐ: ⇔ ⇔ x 2 + 3 x − 6 ≠ 0 x ≠ 3 x ≠ −2 3
ÁN
x2 + 1 − x + 1
( ≤0 ⇔
x2 + 1 − x + 1
x2 + 1 + x + 1
x 2 + 3x − 6
)≤0
ÀN
TO
x 2 + 3x − 6 x2 − x ⇔ 2 ≤0 x + 3x − 6
)(
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
+
ẠO
x2 − x − 2
2
U Y
1+ 5 2
.Q
1− 5 2
−1
−∞
H Ư
2
− x − 2)( x 2 − x + 2)
TR ẦN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
x
(x
2
N
x2 − x − 1 Bảng xét dấu
) ≥ 0 ⇔ (x
Ơ
2
H
(x ≥0⇔
TP
x2 − x − 2
N
a) Vì x − x + 2 > 0 nên
D
IỄ N
Đ
Bảng xét dấu
x
−∞
−2 3
1
0
x2 − x
+
0
+
x2 + 3x − 6
+
0
−
−
0 |
−
0
+ |
+∞
3 |
−
+ 0
+
§6. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 40
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
x2 − x +
−
||
0
+
−
0
||
+
m < −2 D. m > 1
G
TR ẦN
H Ư
N
Lời giải: ( x − 2)(3 x 2 + 3 x − 4) x +1 <0 3− 3 > 0 Ta có (* ) ⇔ (**) ⇔ ( x − 1)( x 2 − 3) x − x 2 − 3x + 3 2 x>m +m x > m2 + m
−
x−2
−
-L
+
ÁN
x2 − 3
Í-
H
Ó
x −1
3x 2 + 3x − 4
IỄ N
Đ
ÀN
TO
( x − 2 )( 3 x 2 + 3 x − 4 (x − 1)(x 2 − 3)
D
−3 − 57 6
0
+
+
0
−3 + 57 6
− 3
10 00
−∞
A
x
B
Bảng xét dấu
−
−
−
−
−
−
−
0
−
+
0
−
||
+
1
0
3 +
+
−
−
−
+
+
+
+
−
−
+
+
−
0
+∞
2
||
0
+
||
+ 0
−
+
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
C. −2 < m < 1
ẠO
B. m < 1
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
A. −2 < m
TP
.Q
U Y
N
H
Ơ
Dựa vào bảng xét dấu và đối chiếu điều kiện, ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = −1; 0 ∪ [1; 3) Nhận xét: Ở câu b chúng ta phải đặt điều kiện thì khi đó các phép biến đổi trên mới đảm bảo là phép biến đổi tương đươc. x +1 Ví dụ 4: Tìm m để bất phương trình x − m 2 − m 3 − 3 < 0 (*) có nghiệm . 2 x − x − 3 x + 3
N
x 2 + 3x − 6
0
+
( x − 2 )( 3 x 2 + 3 x − 4 ) Tập nghiệm của bất phương trình <0 (x − 1)(x 2 − 3)
−3 − 57 −3 + 57 ; − 3 ∪ ; 1 ∪ S = 6 6
(
3; 2
là
)
§6. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 41
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Do đó bất phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi hệ bất phương trình (**) có nghiệm
⇔ m 2 + m < 2 ⇔ m 2 + m − 2 < 0 ⇔ −2 < m < 1 Vậy −2 < m < 1 là giá trị cần tìm.
Ơ
N
2. Bài tập luyện tập.
H
Bài 4.102: Giải các bất phương trình sau
TP
.Q
4 B. T = 1; 3
1 A. T = (−∞; ] 2
ẠO Đ
3 ≤0 x + x−2 2
G
b) x 2 + x −
1 D. T = ; 1 2
N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
1 4 C. T = (−∞; ] ∪ 1; 2 3
−1 + 13 B. T = 1; 2
TR ẦN
H Ư
−1 − 13 ; −2 A. T = 2
D. T = (−2; 1)
10 00
B
−1 − 13 −1 + 13 ; −2 ∪ 1; C. T = 2 2
Ó
A
c) x 4 − x 2 − 2 x − 1 > 0
1+ 5 B. T = ; +∞ 2
-L
Í-
H
1 − 5 A. T = −∞; 2
1 − 5 1 + 5 D. T = ; 2 2
TO
ÁN
1 − 5 1 + 5 C. T = −∞; ; +∞ ∪ 2 2
D
IỄ N
Đ
ÀN
(x d)
2
− 4)(−3 x 2 + 2 x + 8) x2 − 2x
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y
N
a) (4 − 3 x)(−2 x 2 + 3 x − 1) ≤ 0
<0
4 A. T = (−∞; −2) ∪ − ; 0 ∪ 3
(
2; 2
)
4 B. T = (−∞; −2) ∪ − ; 0 ∪ (2; +∞) 3
§6. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 42
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn C. T = (−∞; −2) ∪
(
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
)
2; 2 ∪ (2; +∞)
(
)
2; 2 ∪ (2; +∞)
1 − x2 − 2 x
≥0
N
x2 + x − 2
B. T = 1; 1 + 2
(
D. T = 1 − 2;1
C. T = (−1; 0) ∪ 1; +∞)
D. T = (0;1)
Lời giải:
x
−∞
1 2
+
|
4 3
1
+
|
+
+∞ 0
−
H
Ó
A
4 − 3x
-L
Í-
−2 x 2 + 3 x − 1 VT
10 00
B
Bài 4.102: a) BXD :
−
0
+
0
−
|
−
0
+
0
−
0
− +
TO
ÁN
1 4 T = (−∞; ] ∪ 1; 2 3
D
IỄ N
Đ
ÀN
b) Bpt ⇔
⇔
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
ẠO G
B. T = 1; +∞)
N
A. T = (−1; 0)
H Ư
f)
Đ
x2 + 1 − x 3 + 1 ≤0 x2 + x
TR ẦN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
)
.Q
(
C. T = −2;1 − 2 ∪ 1;1 + 2
U Y
(
A. T = −2;1 − 2
TP
e)
H
Ơ
N
4 D. T = (−∞; −2) ∪ − ; 0 ∪ 3
( x 2 + x)2 − 2( x 2 + x) − 3 ≤0 x2 + x − 2
( x 2 + x + 1)( x 2 + x − 3) x2 + x − 3 ≤ 0 ⇔ ≤0 x2 + x − 2 x2 + x − 2
−1 − 13 −1 + 13 ⇒ T = ; −2 ∪ 1; 2 2
§6. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 43
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
1 − 5 1 + 5 c) T = −∞; ∪ +∞ ; 2 2
(
)
2; 2 ∪ (2; +∞)
N
4 d) T = (−∞; −2) ∪ − ; 0 ∪ 3
(
H
Ơ
e) T = −2;1 − 2 ∪ 1;1 + 2
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
TP
.Q
DẠNG TOÁN 4: ỨNG DỤNG TAM THỨC BẬC HAI, BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT. 1. Phương pháp giải. • Ta đưa bất đẳng thức về một trong các dạng ax 2 + bx + c > 0 , ax 2 + bx + c ≥ 0 , a > 0 , ax 2 + bx + c < 0 hoặc ax 2 + bx + c ≤ 0 rồi đi chứng minh(theo thứ tự) ∆ < 0
TR ẦN
H Ư
a > 0 , a < 0 hoặc a < 0 . ∆ ≤ 0 ∆ < 0 ∆ ≤ 0 • Nếu BĐT cần chứng minh có dạng: A 2 ≤ 4 BC (hoặc A 2 ≤ BC ) ta có thể chứng minh tam thức f ( x) = Bx 2 + Ax + C (hoặc f ( x) = Bx 2 + 2 Ax + C )
B
luôn cùng dấu với B. Khi đó ta sẽ có ∆ ≤ 0 .
10 00
2. Các ví dụ minh họa.
Í-
H
Ó
A
Ví dụ 1: Cho hai số thực x , y . Chứng minh rằng 3 x 2 + 5 y 2 − 2 x − 2 xy + 1 > 0
Lời giải:
Viết bất đẳng thức lại dưới dạng 3 x − 2( y + 1)x + 5 y 2 + 1 > 0
-L
2
ÁN
Đặt f ( x) = 3 x 2 − 2( y + 1)x + 5 y 2 + 1 xem y là tham số khi đó f ( x) là tam thức bậc hai ẩn
TO
x có hệ số ax = 3 > 0 và
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y
N
f) T = (−1; 0) ∪ 1; +∞)
ÀN
∆x ' = ( y + 1)2 − 3(5 y 2 + 1) = −14 y 2 + 2 y − 2
D
IỄ N
Đ
Xét tam thức g ( y) = −14 y 2 + 2 y − 2 có hệ số ay = −14 < 0 và ∆ 'y = −27 < 0 Suy ra ∆ 'x < 0
Do đó f ( x) < 0 với mọi x , y .
Nhận xét: * Khi gặp bài toán chứng minh BĐT có dạng: f ( a1 , a2 ,..., an ) ≥ 0
§6. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 44
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
∀a1 , a2 ,..., an mà f ( a1 , a2 ,..., an ) = g( ai ) là một tam thức bậc hai với ẩn ai có hệ số a > 0 , ta có thể sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai để chứng minh. Khi đó
g( ai ) ≥ 0 ⇔ ∆ai ≤ 0 .
N
Ví dụ 2: Cho x , y , z là số thực. Chứng minh rằng
Lời giải: Bất đẳng thức viết lại (1 + y z ) x − 4 xyz + y 2 + z 2 + y 2 z 2 − 2 yz + 1 ≥ 0
.Q
2
TP
2 2
ẠO
Đặt f ( x) = (1 + y 2 z 2 ) x 2 − 4 xyz + y 2 + z 2 + y 2 z 2 − 2 yz + 1 , khi đó f ( x) là một tam thức bậc
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
hai ẩn x có hệ số a = 1 + y 2 z 2 > 0 và ∆ ' x = 4 y 2 z 2 − (1 + y 2 z 2 )( y 2 + z 2 + y 2 z 2 − 2 yz + 1)
H Ư
N
G
⇒ ∆ 'x = −(1 + y 2 − 2 yz + z 2 − 2 y 2 z 2 + y 4 z 2 − 2 y 3 z 3 + y 2 z 4 + y 4 z 4 ) Áp dụng BĐT a 2 + b 2 ≥ 2 ab ta có
10 00
Do đó f ( x) ≥ 0, ∀x , y , z . ĐPCM.
B
Cộng vế với vế lại suy ra ∆ 'x ≤ 0
TR ẦN
y 4 z 2 + y 2 z 4 ≥ 2 y 3 z 3 , y 4 z 4 + 1 ≥ 2 y 2 z 2 và y 2 + z 2 ≥ 2 yz
Ví dụ 3: Cho a , b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và x , y , z thỏa mãn:
H
Ó
A
a 2 x + b2 y + c 2 z = 0 .Chứng minh rằng: xy + yz + zx ≤ 0 .
-L
Í-
Lời giải:
ÁN
* Nếu trong ba số x,y,z có một số bằng 0, chẳng hạn x = 0 ⇒ b 2 y = −c 2 z .
TO
⇒ xy + yz + zx = yz = −
c2 2 z ≤0. b2
D
IỄ N
Đ
ÀN
* x , y , z ≠ 0 .Do a 2 x + b2 y + c 2 z = 0 ⇒ x = −
⇒ xy + yz + zx ≤ 0 ⇔ −( y + z)
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y
N
H
Ơ
x 2 + y 2 + z 2 + x 2 y 2 z 2 − 4 xyz + y 2 z 2 − 2 yz + 1 ≥ 0 .
b2 y + c 2 z a2
b2 y + c 2 z + yz ≤ 0 a2
⇔ f ( y ) = b2 y 2 + (b2 + c 2 − a 2 ) yz + c 2 z 2 ≥ 0 . Tam thức f ( y ) có ∆ y = ( b 2 + c 2 − a2 )2 − 4b2 c 2 z 2 .
§6. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 45
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
| b − c |< a Vì ⇒ −2bc < b 2 + c 2 − a 2 < 2bc b + c > a ⇒ (b 2 + c 2 − a 2 )2 < 4c 2 b2 ⇒ ∆y ≤ 0, ∀z ⇒ f ( y ) ≥ 0 ∀y , z .
Ơ
N
Ví dụ 4: (BĐT Bunhiacốpski) Cho 2n số a1 , a2 ,.., an , b1 , b2 ,..., bn . Chứng minh rằng :
2 2
.Q
Lời giải: 2 1
2 n
TP
* Nếu a + a + ... + a = 0 ⇒ BĐT hiển nhiên đúng.
ẠO
* Nếu a12 + a22 + ... + an2 > 0 . Xét tam thức :
H Ư
N
G
+b12 + b22 + ... + bn2
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
f ( x) = (a12 + a22 + ... + an2 ) x 2 − 2( a1b1 + a2 b2 + ... + an bn ) x
⇒ ∆ = ( a1b1 + a2 b2 + ... + anbn )2 −
TR ẦN
= ( a1 x − b1 )2 + ( a2 x − b2 )2 + ... + ( an x − bn )2 ≥ 0 ∀x
−( a12 + a22 + ... + an2 )(b12 + b22 + ... + bn2 ) ≤ 0
a a1 a2 = = ... = n . b1 b2 bn
H
3. Bài tập luyện tập.
Ó
A
Đẳng thức có ⇔
10 00
B
⇔ ( a1b1 + a2 b2 + ... + anbn )2 ≤ ( a12 + a22 + ... + an2 )(b12 + b22 + ... + bn2 )
x 2 + 9 y 2 + 5 z 2 + 6 xy − 4 xz − 12 yz − 2 z + 1 ≥ 0 .
ÁN
-L
Í-
Bài 4.104: Tìm tất cả các giá trị của y sao cho BĐT sau đúng với ∀x , z ∈ R .
2 y < − D. 3 y > 0
Lời giải:
Đ IỄ N D
2 C. − ≤ y ≤ 0 3
B. y ≤ 0
ÀN
TO
2 A. − ≤ y 3
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y
N
H
( a1b1 + a2 b2 + ... + anbn )2 ≤ ( a12 + a22 + ... + an2 )(b12 + b22 + ... + bn2 ) .
Bài 4.104: BĐT đã cho đúng với ∀x , z ∈ R ⇔ tam thức f ( x) ≥ 0 ∀x , z (Trong đó f ( x) = x 2 + 2(3 y − 2 z)x + 9 y 2 + 5 z 2 − 12 yz − 2 z + 1 )
⇔ ∆ 'x = (3 y − 2 z)2 − (9 y 2 + 5 z 2 − 12 yz − 2 z + 1)
= −z 2 + 2(3 y + 1)z − 1 ≤ 0 ∀z
§6. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 46
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
2 ⇔ ∆ 'z = (3 y + 1)2 − 1 ≤ 0 ⇔ 3 y(3 y + 2) ≤ 0 ⇔ − ≤ y ≤ 0 . 3
Ơ
N
2 Vậy − ≤ y ≤ 0 là những giá trị cần tìm. 3
N
H
Bài 4.105: Cho x, y, z ≥ 0 thỏa mãn: xy + yz + zx + xyz = 4 .
4 − yz 4 − yz + y + z ≥ ( y + z) + yz y + z + yz y + z + yz
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Nên (1) ⇔
H Ư
N
G
⇔ f ( y ) = (1 + z − z 2 ) y 2 + ( z 2 + z − 4) y + ( z − 2)2 ≥ 0 .
Tam thức f ( y ) có hệ số a = 1 + z − z 2 > 0 (do z ≤ 1 ) và có biệt thức :
TR ẦN
∆ = z( z − 1)2 (5 z − 8) ≤ 0 ⇒ f ( y ) ≥ 0 đpcm.
10 00
B
Đẳng thức xảy ra ⇔ x = y = z = 1 hoặc ( x; y ; z) = (2; 2; 0) và các hoán vị.
Bài 4.106: Cho các số thực dương x,y,z. Chứng minh rằng:
Lời giải:
H
Ó
A
xzy + 2( x 2 + y 2 + z 2 ) + 8 ≥ 5( x + y + z) (THTT).
Í-
Bài 4.106: Trong ba số x,y,z luôn tồn tại hai số cùng không nhỏ hơn 1 hoặc cùng không lớn
-L
hơn 1. Ta giả sử hai số đó là x và y. Khi đó ta có:
ÁN
( x − 1)( y − 1) ≥ 0 ⇔ xy ≥ x + y − 1 ⇒ xyz ≥ xz + yz − z .
TO
⇒ xyz + 2( x 2 + y 2 + z 2 ) + 8 ≥ xz + yz − z + 2( x 2 + y 2 + z 2 ) + 8 .
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
4 − yz y + z + yz
TP
Bài 4.105: Ta giả sử z = min{ x , y , z} ⇒ z ≤ 1 . Từ giả thiết ⇒ x =
ẠO
Lời giải:
.Q
U Y
Chứng minh rằng : x + y + z ≥ xy + yz + zx .
ÀN
Nên ta chứng minh:
D
IỄ N
Đ
xz + yz − z + 2( x 2 + y 2 + z 2 ) + 8 ≥ 5( x + y + z)
⇔ f ( z) = 2z 2 + ( x + y − 6)z + 2( x 2 + y 2 ) − 5( x + y ) + 8 ≥ 0 .
Tam thức f ( z) có a = 2 > 0 và ∆z = −15 x 2 + 2( y + 14)x − 15 y 2 + 28 y − 28
∆ z là tam thức bậc hai ẩn x, có a = −15 < 0 và ∆x = −224( y − 1)2 ≤ 0 ⇒ ∆z ≤ 0 ⇒ f ( z) ≥ 0 (đpcm). Đẳng thức xảy ra ⇔ x = y = z = 1 .
§6. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 47
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Bài 4.107: Cho các số thực x , y thỏa mãn bất phương trình 5 x 2 + 5 y 2 − 5 x − 15 y + 8 ≤ 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = x + 3 y.
C.4
D.5
N
B.3
Ơ
A.2
H
Lời giải:
N
Bài 4.107: Cho các số thực x , y thỏa mãn bất phương trình 5 x 2 + 5 y 2 − 5 x − 15 y + 8 ≤ 0 .
TP
.Q
HD: Do S = x + 3 y ⇒ x = S − 3 y , thay vào giả thiết 5 x 2 + 5 y 2 − 5 x − 15 y + 8 ≤ 0 và viết
ẠO
theo hệ số của biến y ta thu được
G
Vì bất đẳng thức trên đúng với mọi y nên ta có ∆ ≥ 0, tức là
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
50 y 2 − 30Sy + 5S2 − 5S + 8 ≤ 0(*)
H Ư
N
900S 2 − 4.50.(5S 2 − 5S + 8) ≥ 0
TR ẦN
Biến đổi tương đương ta thu được −100S 2 + 1000S − 1600 ≤ 0 hay 100S 2 − 1000S + 1600 ≤ 0 ⇔ 2 ≤ S ≤ 8
10 00
B
Khi S = 2 thay vào (*) được 50 y 2 − 60 y + 18 ≤ 0 ⇔ y =
3 9 1 nên x = S − 3 y = 2 − = 5 5 5
Khi S = 8 thay vào (*) được 50 y 2 − 240 y + 288 ≤ 0 ⇔ y =
Í-
H
Ó
A
max S = 8, min S = 2
12 36 4 ⇒ x = S − 3y = 8 − = 5 5 5
-L
Bài 4.108: Cho a ,b là các số thực thỏa mãn a 2 + b2 = 4 a − 3b. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ
ÁN
nhất của biểu thức P = 2 a + 3b. −9 + 45 13 18
TO
A.
B.
−9 + 5 13 18
−9 + 4 13 18
D.
−9 + 45 13 8
ÀN
Lời giải:
Đ
Bài 4.108: Ta có: P = 2 a + 3b ⇒ b =
P − 2a 3
Thay vào biểu thức phía trên ta được:
D
IỄ N
C.
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = x + 3 y.
a2 + (
P − 2a 2 P − 2a ) = 4 a − 3( ) ⇔ 13a 2 − 2(27 + 2 P )a + 9 P + P 2 = 0 3 3
Ta cần tìm P để phương trình trên tồn tại a. Tức là ta phải có:
§6. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 48
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn ∆i = −9 P 2 − 9 P + 729 ≥ 0 ⇔
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
−9 − 45 13 −9 + 45 13 ≤P≤ 18 18
B.1
C.2
D.3
.Q
Lời giải:
2
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
x +y =
( x + y)
2
+ ( x − y)
2
2
= 5 − z 2 ⇒ ( x + y) = 10 − 2 z 2 − (3 − z)
ẠO
2
2
TP
Bài 4.109: Từ điều kiện ta có
2
Đ
2
G
Do đó ( x + y) = 1 + 6 z − 3 z 2
H Ư
N
Dễ thấy z ≠ −2 . Ta có P ( z + 2) + 2 = x + y 2
TR ẦN
Do đó P ( z + 2) + 2 = 1 + 6 z − 3 z 2 2
⇔ ( z + 2 ) P 2 + 4 ( z + 2) P + 4 = 1 + 6 z − 3 z 2
10 00
B
⇔ ( P 2 + 3) z 2 + (4 P 2 + 4 P − 6) z + 4 P 2 + 8 P + 3 = 0 Phương trình có nghiệm ẩn z khi và chỉ khi 2
H
Ó
36 ≤P≤0 23
Í-
⇔−
A
∆'z ≥ 0 ⇔ (2 P 2 + 2 P − 3) − ( P 2 + 3)(4 P 2 + 8 P + 3) ≥ 0
-L
Ta có P = 0 khi x = 2, y = 0, z = 1
ÁN
36 20 66 7 khi x = , y =− , z = 23 31 31 31
TO
P =−
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
A.0
N
H
Ơ
x+ y−2 z+2
U Y
lớn nhất P =
N
Bài 4.109: Cho các số thực x , y , z thỏa mãn x 2 + y 2 + z 2 = 5 và x − y + z = 3 . Tìm giá trị
ÀN
Bài 4.110: Cho a , b , c là số thực. Chứng minh rằng
D
IỄ N
Đ
2( a + b + c − ab − bc − ca + 1)2 + ( ab + bc + ca − 2)2 ≥ 3 Lời giải:
ab + bc + ca ≤ 2 − 3 Bài 4.110: Nếu . thì bất đẳng thức dễ dàng được chứng minh. ab + bc + ca ≥ 2 + 3
§6. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 49
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Xét trường hợp ngược lại 2 − 3 ≤ ab + bc + ca ≤ 2 + 3 . Ta đặt x = a + b + c , y = ab + bc + ca . Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
Đặt f ( x) = 2 x 2 − 4 x( y − 1) + 3 y 2 − 8 y + 3 . Ta dễ dàng tính được
ẠO
Bài 4.111: Cho a và b là các số thực thỏa mãn 9 a2 + 8 ab + 7 b2 ≤ 6 . Chứng minh rằng
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
7 a + 5b + 12 ab ≤ 9 .
G
Lời giải:
Bài 4.111: Xét tam thức bậc hai f (a) = 9 a − (4b + 7 ) a + 7 b2 − 5b + 3 với b là tham số
H Ư
N
2
2
2
TR ẦN
Ta có ∆ f = (4b + 7 ) − 36 (7 b2 − 5b + 3) = −59 (2b − 1) ≤ 0 Suy ra f (a) ≥ 0 ⇔ 9 a 2 − (4b + 7 ) a + 7 b 2 − 5b + 3 ≥ 0
10 00
B
⇔ 7 a + 5b + 12 ab − 9 ≤ 9 a 2 + 8 ab + 7 b2 − 6
A
Theo giả thiết ta có 9 a 2 + 8ab + 7 b2 ≤ 6 nên 7 a + 5b + 12 ab ≤ 9 .
H
Ó
Bài 4.112: Cho các số thực không âm x,y,z thỏa mãn: x + y + z = 1 . Tìm giá trị lớn nhất
-L
Í-
của: P = 9 xy + 10 yz + 11zx .
45 18
B. max P =
TO
ÁN
A. max P =
49 148
C. max P =
95 148
D. max P =
495 148
Lời giải:
ÀN
Bài 4.112: Để ý rằng, với giả thiết x + y + z = 1 thì
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
TP
Theo định lí về dấu của tam thức bậc hai thì bài toán được chứng minh.
U Y
N
∆ ' f ( x ) = 4( y − 1)2 − 2(3 y 2 − 8 y + 3) = −2 y 2 + 8 y − 2 = −2 y − (2 − 3) y − (2 + 3) ≤ 0.
H
Ơ
N
2( x − y + 1)2 + ( y − 2)2 ≥ 3 ⇔ 2 x 2 − 4 x( y − 1) + 3 y 2 − 8 y + 3 ≥ 0 .
Khai triển và rút gọn, ta thu được
P = −11x 2 − 10 y 2 + 11x + 10 y − 12 xy
D
IỄ N
Đ
P = 9 xy + 10 yz + 11zx = 9 xy + z (10 y + 11x) = 9 xy + (1 − x − y)(10 y + 11x)
Tương đương với
11x 2 + (12 y − 11) x + 10 y 2 − 10 y + P = 0
(* ) §6. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 50
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Coi đây là tam thức bậc hai ẩn x, do điều kiện tồn tại của x nên suy ra (*) phải có nghiệm, tức
∆ = (12 y − 11)2 − 44(10 y 2 − 10 y + P) ≥ 0
Ơ N
H
74 2 22 121 y − y − 11 37 296
.Q TP
495 148
ẠO
Vậy max P =
U Y
74 5445 495 22 121 5445 Suy ra P ≤ − .− y− ≥− = 11 10952 148 37 296 10952
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN.
N
A. (2; +∞) . Câu 2.
H Ư
Tập nghiệm củabất phương trình x 2 + 4 x + 4 > 0 là:
C. ℝ \{−2} .
B. ℝ .
TR ẦN
Câu 1.
G
TỔNG HỢP LẦN 1.
D. ℝ \{2} .
Tập nghiệm củabất phương trình x 2 − 6 x + 9 > 0 là:
A. (3; +∞) .
C. ℝ \{−3} .
D. ℝ \{3} .
Câu 3.
10 00
B
B. ℝ .
Tập nghiệm củabất phương trình x 2 + 6 x + 9 > 0 là:
A. (3; +∞) .
A
Ó
C. ℝ \{−1} .
B. ℝ .
D. ℝ \{1} .
-L
Í-
A. (1; +∞) .
Tập nghiệm củabất phương trình x 2 − 2 x + 1 > 0 là:
ÁN
Câu 5.
D. ℝ \{3} .
Tập nghiệm củabất phương trình x 2 + 2 x + 1 > 0 là:
H
Câu 4.
C. ℝ \{−3} .
B. ℝ .
C. ℝ \{−1} .
B. ℝ .
D. ℝ \{1} .
TO
A. (1; +∞) .
Câu 7.
Tam thức y = x 2 − 2 x − 3 nhận giá trị dương khi và chỉ khi
A. x < –3 hoặc x > –1 .B. x < –1 hoặc x > 3 . C. x < –2 hoặc x > 6 .
D.
–1 < x < 3 . Tam thức y = x 2 − 12 x − 13 nhận giá trị âm khi và chỉ khi
A. x < –13 hoặc x > 1 . B. x < –1 hoặc x > 13 .
D
IỄ N
Đ
ÀN
Câu 6.
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
Tương đương P ≤ −
Ta có y 2 −
N
Hay −296 y 2 + 176 y + 121 − 44 P ≥ 0
C. –13 < x < 1 .
D. –1 < x < 13 . Câu 8.
Tam thức y = −x 2 − 3 x − 4 nhận giá trị âm khi và chỉ khi
C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN. 51
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
A. x < –4 hoặc x > –1 .B. x < 1 hoặc x > 4 . C. –4 < x < –4 . Tam thức nào sau đây nhận giá trị âm với mọi x < 2 ?
A. y = x 2 − 5 x + 6 .
B. y = 16 − x 2 .
C. y = x 2 − 2 x + 3 .
D. y = −x 2 + 5 x − 6 .
Ơ
N
Câu 9.
D. x ∈ ℝ .
B. (−1; +∞) .
C. (−1;1) .
D. (−∞; −1) ∪ (1; +∞) .
TP
−1 − 5 −1 + 5 B. −∞; ∪ +∞ ; . 2 2
Đ
ẠO
A. ℝ .
N
D.
H Ư
(−∞; −1− 5 ) ∪ (−1 +
G
−1 − 5 −1 + 5 . ; C. 2 2
)
TR ẦN
5; +∞ .
Câu 12. Tập nghiệm củabất phương trình x 2 − 4 x + 4 > 0 là: A. (2; +∞) .
C. ℝ \{−2} .
D. ℝ \{2} .
B
B. ℝ .
(
10 00
Câu 13. Tập nghiệm của bất phương trình x 2 − 4 2 x + 8 < 0 là:
)
{ }
B. ℝ \ 2 2 .
C. ∅ .
D. ℝ .
A
A. −∞; 2 2 .
H
Ó
Câu 14. Tập nghiệm của bất phương trình x 2 − x − 6 < 0 là: B. (−3; 2) .
Í-
A. (−∞; −3) ∪ (2; +∞) .
D. (−∞; −2) ∪ (3; +∞) .
ÁN
-L
C. (−2; 3) .
A. ( –3; 3) .
B. (−∞; −3) .
C. (−∞; 3) .
D. (−∞; −3) ∪ (3; +∞) .
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
Câu 15. Tập nghiệm của bất phương trình x 2 < 9 là:
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
U Y
N
A. (1; +∞) .
Câu 11. Tập nghiệm của bất phương trình x 2 + x − 1 > 0 là:
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
H
Câu 10. Tập nghiệm của bất phương trình x 2 − 1 > 0 là:
Câu 16. Tập nghiệm củabất phương trình x 2 − 6 2 x + 18 ≥ 0 là:
(
)
A. 3 2; +∞ .
)
B. 3 2; +∞ .
Câu 17. Tập nghiệm của bất phương trình x 2 +
C. ∅ .
(
D. ℝ .
)
3 + 2 x + 6 ≤ 0 là:
C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN. 52
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn A.
(
)
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
(
B. 2; 3 .
2; 3 .
)
D. − 3; − 2 .
C. − 3; 2 .
Câu 18. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng ? A. Nếu a 2 > 0 thì a > 0 .
B. Nếu a 2 > a
N
C. (−1; 2) .
D. (−2; −1) ∪ (−1;1) .
TP
ẠO
G
Đ
2 x2 − 3x + 1 < 0 là 4x − 3
1 3 3 B. ; ∪ ;1 . 2 4 4
H Ư
N
1 3 3 A. ; ∩ ;1 . 2 4 4
TR ẦN
1 C. ;1 . 2
1 D. −∞; ∪ (1; +∞) . 2
B. −2 2; 2 2 .
)
D. −∞; −2 2 ∪ 2 2; +∞ .
10 00
( ) C. (−∞; −2 2 ) ∪ (2
(
2; +∞ .
)
Ó
A
A. −2 2; 2 2 .
B
Câu 21. Tập xác định của hàm số y = 8 − x 2 là
H
Câu 22. Tập xác định của hàm số y = 5 − 4 x − x 2 là
Í-
1 B. − ;1 . 5
-L
A. −5;1 .
ÁN
1 D. −∞; − ∪ 1; +∞) . 5
TO
C. (−∞; −5 ∪ 1; +∞) .
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
B. (−4; −1) .
.Q
A. (−4; −1) ∪ (−1; 2) .
Câu 20. Tập nghiệm của bất phương trình
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
x2 + 2x − 8 < 0 là: x +1
U Y
Câu 19. Tập nghiệm của bất phương trình
Ơ
D. Nếu a < 0 thì a 2 > a .
H
C. Nếu a 2 > a thì a < 0 .
N
thì a > 0 .
D
IỄ N
Đ
ÀN
Câu 23. Tập xác định của hàm số y = 5x 2 − 4 x − 1 là 1 A. −∞; ∪ 1; +∞) . 5
1 B. − ;1 . 5
1 C. −∞; − ∪ 1; +∞) . 5
1 D. −∞; − ∪ 1; +∞) . 5
Câu 24. Tập xác định của hàm số y =
2 là: x + 5x − 6 2
C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN. 53
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
A. (−∞; −6 ∪ 1; +∞) .
B. (−6;1) .
C. (−∞; −6) ∪ (1; +∞) .
D. (−∞; −1) ∪ (6; +∞) .
C. (−4; −3) .
D. (−∞; −4) ∪ (−3; +∞) .
H
B. ℝ .
B. (−∞; −4) ∪ (3; +∞) .
C. (−6; −2) ∪ (−3; 4) .
D. (−4; 3) .
ẠO
TP
.Q
A. (−∞; −3) ∪ (4; +∞) .
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Câu 27. Biểu thức (m2 + 2) x 2 − 2 (m − 2) x + 2 luôn nhận giá trị dương khi và chỉ khi:
G
A. m ≤ −4 hoặc m ≥ 0 .
m < −4
H Ư
N
hoặc m > 0 .
B.
D. m < 0 hoặc m > 4 .
TR ẦN
C. −4 < m < 0 .
Câu 28. Tập xác định của hàm số y = x 2 + x − 2 +
1 x−3
là
B. 3; +∞) .
10 00
B
A. (3; +∞) .
C. (−∞;1) ∪ (3; +∞) . D. (1; 2) ∪ (3; +∞) .
H
Ó
A
Câu 29. Tập xác định của hàm số y = x 2 − 3 x + 2 +
Í-
C. (−3;1 ∪ (2; +∞) .
-L
ÁN
x − 2 x < 0 là
1 A. ; +∞ . 4
1 B. 0; . 4
1 C. 0; . 4
1 D. {0} ∪ ; +∞ . 4
TO ÀN Đ
là
D. (−3; 1) ∪ (2; +∞) .
Câu 30. Tập nghiệm củabất phương trình
IỄ N
x+3
B. (−3;1 ∪ 2; +∞) .
A. (−3; +∞) .
D
1
Câu 31. Tập nghiệm của bất phương trình 1 A. ; +∞ . 2
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
Câu 26. Tập nghiệm của bất phương trình x 2 − x − 12 > x + 12 − x 2 là
U Y
N
A. ∅ .
Ơ
N
Câu 25. Tập nghiệm của bất phương trình x 2 + x + 12 > x 2 + x + 12 là
1 < 2 là x 1 B. 0; . 2
C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN. 54
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
1 C. (−∞; 0) ∪ ; +∞ . 2
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
10 00
B
TR ẦN
H Ư
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
TP
.Q
U Y
N
H
Ơ
N
D. (−∞; 0) .
C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN. 55
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
1 D. −∞; ∪ (1; +∞) . 2
N
C. ( −2; +∞ ) .
Ơ
B. (−∞; −2) .
N
A. (−2; 0) .
1 B. ; +∞ . 2
C. (1; +∞) .
1 D. −∞; ∪ (1; +∞) . 2
Tập nghiệm của bất phương trình
x − 3 x ≤ 0 là
N
Câu 34.
G
Đ
ẠO
TP
1 A. ;1 . 2
1 B. 0; . 9
TR ẦN
H Ư
1 A. ; +∞ . 9
Tập nghiệm của bất phương trình
10 00
Câu 35.
B
1 C. {0} ∪ ; +∞ . 9
x
≥
1 là 4
B. 0;16 .
C. (0; 4 .
D. 16; +∞) .
H
Tập nghiệm của bất phương trình
Í-
Câu 36.
Ó
A
A. (0;16 .
1
1 D. {0} ∪ ; +∞ . 9
B. 0; +∞) .
x
≥ 3 là D. (0;1 .
C. (0; +∞) .
ÁN
-L
A. 1; +∞) .
x + x +1
Phương trình (m + 2) x 2 − 3 x + 2 m − 3 = 0 có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi
A. m < –2.
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
Câu 37.
C. m > Câu 38.
3 . 2
B. −2 < m <
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y
x2 + x − 1 > −x là 1− x
.Q
Câu 33. Tập nghiệm của bất phương trình
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
2 > −1 là m
H
Câu 32. Tập nghiệm của bất phương trình
3 2.
D. m < −2 hoặc m >
3 . 2
Tập nghiệm của phương trình x 2 − 5 x + 6 = x 2 − 5 x + 6 là
A. {2; 3} .
B. (2; 3) .
C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN. 56
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com D. (−∞; 2 ∪ 3; +∞) .
C. (−∞; 2) ∪ (3; +∞) .
D. (−∞; 3 ∪ 4; +∞) .
Tập nghiệm của bất phương trình
x 2 − 8 x + 12 5− x
B. (2; 5) .
>
N U Y D. (5; +∞) .
x 2 − 8 x + 12 5− x
là
C. ( –6; –2).
D. (5; 6).
N
H Ư
Nếu 2 < m < 8 thì số nghiệm của phương trình x 2 − mx + 2 m − 3 = 0 là
TR ẦN
B. 1.
C. 2.
D. Chưa xác định được.
B. m < –1 hoặc m >
10 00
4 . 3
D. −1 < m <
A
4 . 3
3 . 4
4 . 3
Ó
C. m >
B
Phương trình (m + 1) x 2 − x − 3m + 4 = 0 có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi
A. m < –1 hoặc m >
Phương trình x 2 − mx − 2 m = 0 có nghiệm khi và chỉ khi
H
Câu 44.
là
C. 2; 5 .
A. 0.
Câu 43.
x−3
.Q
B. (3; 5 .
A. (2; 6) . Câu 42.
x−3
x 2 − 7 x + 10
B. m ≤ 0 hoặc m ≥ 8 .
-L
Í-
A. m ≤ −2 hoặc m ≥ 0 . C. −8 ≤ m ≤ 0 .
ÁN
D. m ≤ −8 hoặc m ≥ 0 .
Phương trình x 2 − mx + m 2 + m = 0 có nghiệm khi và chỉ khi
TO
Câu 45.
Đ
ÀN
A. 0 ≤ m ≤
D
IỄ N
Câu 46.
4 . 3
4 B. − ≤ m ≤ 0 . 3
1 C. − ≤ m ≤ 0 . 3
Số nào sau đây là nghiệm của phương trình
2−x 2
=
x − x +1
A. 0.
B. –4.
C. 4.
D. 0 ≤ m ≤
1 . 3
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Câu 41.
=
TP
A. 5; +∞) .
x 2 − 7 x + 10
ẠO
Tập nghiệm của phương trình
N
C. 3; 4 .
Ơ
B. (3; 4) .
H
A. {3; 4} .
Đ
Câu 40.
Tập nghiệm của phương trình x 2 − 7 x + 12 = 7 x − x 2 − 12 là
G
Câu 39.
2x + 2 x2 − x + 1
D.
4 . 3
Câu 47. Phương trình mx 2 − 2 mx + 1 = 0 có nghiệm khi và chỉ khi
C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN. 57
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn A. m < 0 hoặc m ≥ 1 .
B. m < 0 hoặc m ≥ 4 .
C. m ≤ 0 hoặc m ≥ 1 .
D. 0 < m ≤ 1 .
Phương trình x 2 − 2( m + 2) x + m2 − m − 6 = 0 có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi
D. –2 < m < 3.
Ơ
C. m > –2.
−3 hoặc m ≥ 1 . 4
ẠO
Phương trình x 2 − ( m + 1)x + 1 = 0 có nghiệm khi và chỉ khi
B. –3 < m < 1.
C. m ≤ −3 hoặc m ≥ 1 .
D. −3 ≤ m ≤ 1 .
N
G
Đ
A. m > 1.
H Ư
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Câu 51.
TP
3 − ≤ m ≤ 1. 4
Câu 50.
Phương trình x 2 − mx − m = 0 vô nghiệm khi và chỉ khi
TR ẦN
A. –1 < m < 0. C. –4 < m < 0.
B. −4 ≤ m ≤ 0 .
D. m < –4 hoặc m > 0.
B
x + m ≤ 0 (1) Cho hệ bất phương trình 2 x − x + 4 < x 2 − 1 (2)
10 00
Câu 52.
D.
Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi:
B. m > –5.
C. m > 5.
Tập xác định của hàm số y = x 2 − x + 1 +
B. ℝ \{4} .
D. m < 5.
1 là x+4
C. ℝ \{−4} .
D. (−4; +∞) .
ÁN
-L
A. ℝ .
Í-
Câu 53.
H
Ó
A
A. m < –5.
Tập xác định của hàm số y = 4 x − 3 + x 2 + 5 x − 6 là
ÀN
TO
Câu 54.
IỄ N
Đ
Câu 55.
A. 1; +∞) .
D
3 C. ;1 . 4
6 3 D. − ; 5 4
.
Tập xác định của hàm số y = x 2 + x − 2 + 2 x − 3 là
A. 1; +∞) . Câu 56.
3 B. ; +∞ . 4
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
C. m ≤
U Y
3 B. − < m < 1 . 4
A. m < 1.
N
Phương trình x 2 − 4 mx + m + 3 = 0 vô nghiệm khi và chỉ khi
.Q
Câu 49.
B. –3 < m < 2.
H
A. m < –2.
N
Câu 48.
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
3 3 B. −2;1 ∪ ; +∞ . C. ; +∞ . 2 2
3 D. ; +∞ . 2
Phương trình x 2 − 2( m − 2)x + m 2 − m − 6 = 0 có hai nghiệm đối nhau khi và chỉ khi
C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN. 58
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
Câu 57.
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
A. m = 2.
B. –3 < m < 2.
C. m < –2 hoặc m > 3.
D. –2 < m < 3.
Hai phương trình x 2 + x + m + 1 = 0 và x 2 + ( m + 1) x + 1 = 0 cùng vô nghiệm khi
2x − 3
3 C. ; +∞ . 2
3 D. ; +∞ . 2
Các giá trị của m để phương trình 3 x 2 + (3m − 1)x + m 2 − 4 = 0 có hai nghiệm trái
B 10 00 A Ó
Í-
H
Tập xác định của hàm số y =
-L
B. –2 < m < 2. D. m < –2 hoặc m > 2. x2 − 1 là 1− x
B. −1; ∞)\{1} .
TO
ÁN
Tập nghiệm của bất phương trình
C. (−∞; −1 ∪ (1; ∞) . D. (−∞;1) .
2 x 2 − 3x + 4 > 1 là: x2 + 2
A. (−∞; −1) ∪ (2; +∞) .
B. (−∞; −2) ∪ (−1; +∞) .
C. (−∞;1) ∪ (2; +∞) .
D. (−∞; 2) ∪ (4; +∞) .
Đ IỄ N D
là
Tập hợp các giá trị của m để phương trình
( m − 1)x 4 − x2
=
( m + 2) x − 2 m + 1 4 − x2
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
Đ
TR ẦN
2 B. ; +∞ . 3
A. (−∞; −1 .
ÀN
1
G
Tập xác định của hàm số y = x 2 + x + 2 +
C. m < 2.
Câu 63.
Ơ
D. (−∞; −3) ∪ (3; +∞) .
A. m < 4.
Câu 62.
H
C. (3; +∞) .
dấu là
Câu 61.
.Q
B. ℝ .
ẠO
A. (−∞; −3 ∪ 3; +∞) .
2 A. ; +∞ . 3
Câu 60.
1 1 là ≥ x−3 x + 3
N
Câu 59.
−5 < m < 1. 4
H Ư
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Câu 58. Tập nghiệm của bất phương trình
D.
N
−3 hoặc m > 1. 4
−3 < m < 1. 4
TP
C. m <
B.
U Y
A. 0 < m < 1.
N
và chỉ khi
có
nghiệm là
−7 3 A. ; . 2 2
−5 7 B. ; . 2 2
5 7 C. ; . 2 2
D. ℝ .
C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN. 59
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Câu 64.
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com x−m
x −1 +
Tập hợp các giá trị của m để phương trình
=
x −1
2m x −1
có nghiệm
C. ℝ \{1; −1} .
D. −1; 1 .
Ơ
1 D. ; +∞ . 3
H
x2 + 3 là 1− x
.Q
TP
Tập hợp các giá trị của m để phương trình m 2 ( x − 1) = −2 x − 5m + 6 có nghiệm
A. (2; 3) . Câu 68.
B. ℝ .
Đ G 1− x2
=
5 − 2m 1 − x2
có nghiệm là
C. 2; 3 .
D. ( –1;1).
B
10 00
A. M < 0.
B. 6 < M < 12. D. M nhận giá trị bất kì.
A
C. M > 12.
x < 3 x khi và chỉ khi
H
Ó
Số dương x thoả mãn bất phương trình
B. x >
-L
Í-
A. x > 9. Tập
hợp
tất
cả
các
1 . 3
C. x <
giá
trị
của
m
1 . 9
để
D. x > phương
trình
1 . 9 bậc
ÁN
Câu 70.
C.
Cho biểu thức M = x 2 + 3 x + 2 , trong đó x là nghiệm của bất phương trình
x 2 − 3 x + 2 < 0 . Khi đó
Câu 69.
x
Tập hợp các giá trị của m để phương trình
H Ư
Câu 67.
D. (2; 3) .
N
(−∞; 2) ∪ (3; ∞) .
B. ( –1; 6).
TR ẦN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
A. (−∞; −1) ∪ (−6; ∞) .
ẠO
dương là
TO
x 2 + 2( m + 1) x + 3m = 0 có nghiệm là
ÀN
A. {0} .
D
IỄ N
Đ
Câu 71.
B. ℝ \{0} .
C. ℝ .
D. ∅ .
hai
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
Tập xác định của hàm số y =
A. (−∞; −1) ∪ (1; ∞) . B. ( –1;1). Câu 66.
C. (1; +∞) .
N
Câu 65.
1 B. −∞; . 3
U Y
1 A. ; +∞ . 3
N
là
Phương trình mx 2 − mx + 2 = 0 có nghiệm khi và chỉ khi
A. m ≤ 0 hoặc m ≥ 8 .
B. m < 0 hoặc m ≥ 8 .
C. 0 < m ≤ 8 .
D. 0 ≤ m ≤ 8 .
Câu 72. Tập nghiệm của bất phương trình 1 5 3 A. − ; 0 ∪ ; +∞ B. ; +∞ 2 4 4
x + 1 < 2 x − 1 là. 1 5 C. ; 2 4
5 D. ; +∞ 4
C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN. 60
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Câu 73. Nếu 1 < m < 3 thì số nghiệm của phương trình x 2 − 2 mx + 4 m − 3 = 0 là bao nhiêu.
A. 0
B. 1
C. 2
D. Chưa xác
Ơ
Câu 74. Nếu 1 < m < 2 thì số nghiệm của phương trình x 2 − 2 mx + 5m − 6 = 0 là bao C. 2
D. Chưa xác
N
định được
TP
.Q
Câu 75. Bất phương trình: mx 2 − mx + 3 > 0 với mọi x khi và chỉ khi.
B. m < 0 hoặc m > 12
C. 0 ≤ m < 12
D. 0 < m < 12
ẠO
A. m ≤ 0 hoặc m > 12
G
Đ
Câu 76. Tam thức f ( x) = 2 mx 2 − 2 mx − 1 nhận giá trị âm với mọi x khi và chỉ khi. B. m < –2 hoặc m ≥ 0
C. –2 < m < 0
D. –2 < m ≤ 0
H Ư
N
A. m ≤ 2 hoặc m > 0
1 B. 2
1 C. −∞; − 2
1 D. ; +∞ 2
10 00
B
1 A. −∞; 2
TR ẦN
1 Câu 77. Bất phương trình x 2 − x + ≤ 0 có tập nghiệm là. 4
TỔNG HỢP LẦN 2.
Ó
A
Câu 1. Cho tam thức bậc hai f ( x) = x 2 − bx + 3 . Với giá trị nào của b thì tam thức f ( x) có
H
hai nghiệm?
A. b ∈ −2 3;2 3 .
( ) D. b ∈ ( −∞; −2 3 ) ∪ ( 2
-L
Í-
B. b ∈ −2 3;2 3 .
C. b ∈ −∞; −2 3 ∪ 2 3; +∞ .
)
)
3; +∞ .
ÁN
(
TO
Câu 2. Giá trị nào của m thì phương trình x 2 − mx + 1 − 3m = 0 có 2 nghiệm trái dấu? 1 3
ÀN
A. m > .
1 3
B. m < .
C. m > 2 .
D. m < 2 .
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
B. 1
U Y
A. 0
H
nhiêu.
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
N
định được
D
IỄ N
Đ
Câu 3. Gía trị nào của m thì phương trình ( m − 1) x 2 − 2 ( m − 2 ) x + m − 3 = 0 có 2 nghiệm trái dấu?
A. m < 1 .
B. m > 2 .
C. m > 3 .
D. 1 < m < 3 .
Câu 4. Giá trị nào của m thì phương trình ( m − 3) x 2 + ( m + 3) x − ( m + 1) = 0 (1) có hai nghiệm phân biệt?
C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN. 61
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
−3
−3
A. m ∈ −∞; ∪ (1; +∞ ) \ {3} . 5 −3
B. m ∈ ;1 . 5
ax 2 − x + a ≥ 0, ∀x ∈ ℝ D. m ∈ ℝ \{3} .
C. m ∈ ; +∞ . 5
−4 . 3
4 3
D. m > .
3 3 <m< . 4 2
B. a < 0 .
C. 0 < a ≤
1 . 2
1 2
D. a ≥ .
G
A. a = 0 .
D. 1 < m < 3 .
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Câu 7. Với giá trị nào của a thì bất phương trình ?
.Q
C.
TP
3 4
B. m > .
ẠO
3 2
A. m > .
U Y
Câu 6. Tìm m để f ( x) = x 2 − 2 (2 m − 3) x + 4 m − 3 > 0, ∀x ∈ ℝ ?
Ơ
C. m <
H
B. m > −1 .
N
A. m < −1 .
N
Câu 5. Tìm m để (m + 1) x 2 + mx + m < 0, ∀x ∈ ℝ ?
B. m > 1 .
1 4
C. m < .
TR ẦN
A. m < 1 .
H Ư
N
Câu 8. Với giá trị nào của m thì bất phương trình x 2 − x + m ≤ 0 vô nghiệm? 1 4
D. m > .
Câu 9. Tìm tập xác định của hàm số y = 2 x 2 − 5 x + 2
1
B. [ 2; +∞ ) .
1
C. −∞; ∪ [ 2; +∞ ) . 2
1
D. ;2 . 2
10 00
B
A. −∞; . 2
Câu 10. Với giá trị nào của m thì phương trình ( m − 1) x 2 − 2( m − 2) x + m − 3 = 0 có hai
Ó
B. 1 < m < 3 .
C. m > 2 .
D. m > 3 .
H
A. 1 < m < 2 .
A
nghiệm x1 , x2 và x1 + x2 + x1 x2 < 1 ?
-L
sau đúng?
Í-
Câu 11. Gọi x1 , x2 là nghiệm phân biệt của phương trình x 2 − 5 x + 6 = 0 . Khẳng định nào
ÁN
A. x1 + x2 = −5 .
B. x12 + x2 2 = 37 .
C. x1 x2 = 6 .
D.
ÀN
TO
x1 x2 13 + + =0. x2 x1 6
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
D
IỄ N
Đ
Câu 12. Các giá trị m làm cho biểu thức x 2 + 4 x + m − 5 luôn luôn dương là: A. m < 9 .
B. m ≥ 9 .
C. m > 9 .
D. m ∈ ∅ .
Câu 13. Các giá trị m để tam thức f ( x) = x 2 − ( m + 2)x + 8 m + 1 đổi dấu 2 lần là A. m ≤ 0 hoặc m ≥ 28 . B. m < 0 hoặc m > 28 .
C. 0 < m < 28 .
D. m > 0 .
C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN. 62
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Câu 14. Tập xác định của hàm số f ( x) = 2 x 2 − 7 x − 15 là 3 A. −∞; − ∪ (5; +∞) . 2
B.
3 C. −∞; − ∪ 5; +∞) . 2
H
Ơ
N
−∞; − 3 ∪ 5; +∞) . 2
Câu 15. Dấu của tam thức bậc 2: f ( x) = −x 2 + 5 x − 6 được xác định như sau
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
A. f ( x) < 0 với 2 < x < 3 và f ( x) > 0 với x < 2 hoặc x > 3 .
G
Đ
B. f ( x) < 0 với −3 < x < −2 và f ( x) > 0 với x < −3 hoặc x > −2 .
N
C. f ( x) > 0 với 2 < x < 3 và f ( x) < 0 với x < 2 hoặc x > 3 .
H Ư
D. f ( x) > 0 với −3 < x < −2 và f ( x) < 0 với x < −3 hoặc x > −2 .
TR ẦN
Câu 16. Giá trị của m làm cho phương trình ( m − 2)x 2 − 2 mx + m + 3 = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt là:
B. m < 0 hoặc 2 < m < 6 .
B
A. m < 6 và m ≠ 2 .
10 00
C. 2 < m < 6 .
D. m > 6 .
Câu 17. Cho f ( x) = mx 2 − 2 x − 1 . Xác định m để f ( x) < 0 với x ∈ ℝ . B. m < 0 .
C. −1 < m < 0 .
D. m < 1 và
Ó
A
A. m < −1 .
H
m≠0.
-L
Í-
Câu 18. Xác định m để phương trình ( m − 3)x 3 + (4 m − 5)x 2 + (5m + 4)x + 2 m + 4 = 0 có ba nghiệm phân biệt bé hơn 1.
ÁN
25 < m < 0 hoặc m > 3 và m ≠ 12 . 8
B. −
25 < m < 0 hoặc m > 3 và m ≠ 4 . 8
C. m ∈ ∅ .
D. 0 < m <
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
A. −
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
TP
.Q
U Y
−∞; 3 ∪ 5; +∞) . 2
N
D.
5 . 4
Câu 19. Cho phương trình ( m − 5)x 2 + ( m − 1)x + m = 0 (1). Với giá trị nào của m thì (1) có 2 nghiệm x1 , x2 thỏa x1 < 2 < x2 .
A. m <
22 . 7
B.
22 <m<5. 7
C. m ≥ 5 .
D.
22 ≤m≤5. 7
C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN. 63
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Câu 20. Cho phương trình x 2 − 2 x − m = 0 (1). Với giá trị nào của m thì (1) có 2 nghiệm x1 < x2 < 2 .
A. m > 0 .
B. m < −1 .
1 D. m > − . 4
C. −1 < m < 0 .
Ơ
D. m = 6 .
N
C. m ∈ ℝ .
H
B. m ∈ ℝ \{6} .
A. m ∈ ∅ .
N
Câu 21. Cho f ( x) = −2 x 2 + ( m − 2)x − m + 4 . Tìm m để f ( x) không dương với mọi x .
16 . 9
7 16 C. − < m < −1 và m ≠ − . 2 9
7 19 D. − < m < −3 và m ≠ − . 2 6
ẠO
Đ
N
Câu 23. Phương trình ( m + 1)x 2 − 2( m − 1)x + m 2 + 4 m − 5 = 0 có đúng hai nghiệm x1 , x2 B. m > 1 .
C. −5 < m < −3 .
TR ẦN
A. −2 < m < −1 .
H Ư
thoả 2 < x1 < x2 . Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau
D. −2 < m < 1 .
Câu 24. Cho bất phương trình (2 m + 1) x 2 + 3( m + 1)x + m + 1 > 0 (1). Với giá trị nào của m
B
thì bất phương trình trên vô nghiệm.
1 A. m ≠ − . 2
10 00
B. −5 < m < −1 .
C. −5 ≤ m ≤ −1 .
D. m ∈ ∅ .
A
Câu 25. Cho phương trình mx 2 − 2( m + 1)x + m + 5 = 0 (1). Với giá trị nào của m thì (1) có
H
Ó
2 nghiệm x1 , x2 thoả x1 < 0 < x2 < 2 .
Í-
A. −5 < m < −1 .
B. −1 < m < 5 .
C. m < −5 hoặc m > 1 .
D.
-L
m > −1 và m ≠ 0 .
ÁN
Câu 26. Cho f ( x) = −2 x 2 + ( m + 2)x + m − 4 . Tìm m để f ( x) âm với mọi x . B. −14 ≤ m ≤ 2 .
C. −2 < m < 14 .
D. m < −14 hoặc m > 2 .
ÀN
TO
A. −14 < m < 2 .
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
B. −2 < m < 1 và m ≠ −
TP
7 A. m < − . 2
G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
U Y
Câu 22. Xác định m để phương trình ( x − 1) x 2 + 2( m + 3) x + 4 m + 12 = 0 có ba nghiệm phân biệt lớn hơn –1.
Đ
Câu 27. Tìm m để phương trình x 2 − 2( m + 2)x + m + 2 = 0 có một nghiệm thuộc khoảng
D
IỄ N
(1; 2) và nghiệm kia nhỏ hơn 1. A. m = 0 .
2 B. m < −1 hoặc m > − . 3
2 C. m > − . 3
2 D. −1 < m < − . 3
C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN. 64
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Câu 28. Cho f ( x) = 3 x 2 + 2(2 m − 1)x + m + 4 . Tìm m để f ( x) âm với mọi x .
11 < m <1. 4
B. −1 < m <
D. −1 ≤ m ≤
11 . 4
C.
11 . 4
TP
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
C
A
D
A
C
D
C
D
C
B
C
B
B
C
Đ
C
ẠO
1
C
A
A
B
H Ư
N
G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ĐÁP ÁN
D
A
C
A
A
D
B
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
10 00
B
D
TR ẦN
21 22 23 24 25 26 27 28
C
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
U Y
N
H
Ơ
−
11 . 4
N
A. m < −1 hoặc m >
C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN. 65
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
§3. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN .............................. 2 A TÓM TẮT LÝ THUYẾT. ........................................................................................................................... 2
Ơ
N
1. Giải và biện luận bất phương trình dạng ax + b < 0 . ......................................................................... 2
N
H
2. Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn .................................................................................................. 2
U Y
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. ................................................................................. 2
.Q
TP
1. Các ví dụ minh họa. ............................................................................................................................. 2
ẠO
2. Các bài tập luyện tập. .......................................................................................................................... 6 DẠNG TOÁN 2: GIẢI HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN. ............................ 10
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
N
G
1. Các ví dụ minh họa. ........................................................................................................................... 10
H Ư
3. Bài tập luyện tập. ............................................................................................................................... 13
TR ẦN
DẠNG TOÁN 3: BẤT PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN. ................................................................................................................ 17
1. Các ví dụ minh họa. ........................................................................................................................... 17
10 00
B
2. Bài tập luyện tập ................................................................................................................................. 24
§4. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT.................................................................................................... 27
Ó
A
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT. ......................................................................................................................... 27
H
1. Nhị thức bậc nhất và dấu của nó......................................................................................................... 27
-L
Í-
a) Định nghĩa nhị thức bậc nhất: ......................................................................................................... 27 b) Dấu của nhị thức bậc nhất................................................................................................................. 28
ÁN
2. Một số ứng dụng.................................................................................................................................... 28
TO
a) Giải bất phương trình tích ............................................................................................................... 28
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
DẠNG TOÁN 1: GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH DẠNG ax + b < 0 . ............................................. 2
ÀN
b) Giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu ............................................................................................ 28
Đ
c) Giải bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối(GTTĐ) ............................................ 28
D
IỄ N
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. ............................................................................ 28
DẠNG 1: LẬP BẢNG XÉT DẤU BIỂU THỨC CHỨA NHỊ THỨC BẬC NHẤT HAI ẨN. .... 28
1. Các ví dụ minh họa. ........................................................................................................................... 28 2. Bài tập luyện tập. ............................................................................................................................... 38
1
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
DẠNG 2: ỨNG DỤNG XÉT DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT HAI ẨN VÀO GIẢI
TOÁN. ........................................................................................................................................................ 46 1. Các ví dụ minh họa. ........................................................................................................................... 46
N
3. Bài tập luyện tập ................................................................................................................................. 54
H
Ơ
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN TỔNG HỢP LẦN 1. ................................................................ 57
N
Bài 2: Bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn.................................................................. 57
10 00
B
TR ẦN
H Ư
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
§3. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN A TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 1. Giải và biện luận bất phương trình dạng ax + b < 0 . Giải bất phương trình dạng ax + b < 0 (1) • Nếu a = 0 thì bất phương trình có dạng 0.x + b < 0 - Với b < 0 thì tập nghiệm BPT là S = ∅ - Với b ≥ 0 thì tập nghiệm BPT là S = ℝ b b • Nếu a > 0 thì (1) ⇔ x < − suy ra tập nghiệm là S = −∞; − a a b b • Nếu a < 0 thì (1) ⇔ x > − suy ra tập nghiệm là S = − ; +∞ a a Các bất phương trình dạng ax + b > 0, ax + b ≤ 0, ax + b ≥ 0 được giải hoàn toán tương tự
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
2. Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn Để giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn ta giải từng bất phương trình của hệ bất phương trình. Khi đó tập nghiệm của hệ bất phương trình là giao của các tập nghiệm từng bất phương trình. B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. DẠNG TOÁN 1: GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH DẠNG ax + b < 0 . 1. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Khẳng định nào sau đây là Sai? a) mx + 6 ≤ 2 x + 3m A. m = 2 bất phương trình nghiệm đúng với mọi x (có tập nghiệm là S = ℝ ). B. m > 2 bât phương trình có nghiệm là x < 3 (có tập nghiệm là S = (−∞; 3) )
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
TP
.Q
U Y
Bài 3: Dấu của nhị thức bậc nhất .............................................................................................................. 62
ÀN
C. m < 2 bât phương trình có nghiệm là x > 3 (có tập nghiệm là S = (3; +∞) )
IỄ N
Đ
D. Cả A, B, C đều sai
D
b)
(x + m) m + x > 3x + 4 A. m = 2 bất phương trình vô nghiệm B. m > 2 bât phương trình có nghiệm là x > −m − 2 C. m < 2 bât phương trình có nghiệm là x < −m − 2
2
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
D. Cả A, B, C đều sai c) (m2 + 9) x + 3 ≥ m (1 − 6 x)
H
Ơ
N
A. m = −3 bất phương trình nghiệm đúng với mọi x . m−3 . B. m ≠ −3 bât phương trình có nghiệm là x ≥ 2 (m + 3)
.Q
D. Cả A, B đều sai
TP
d) m (m2 x + 2) < x + m 2 + 1
G
Đ
2
H Ư
N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
m −1 m + m +1 m −1 C. m < 1 bât phương trình có nghiệm là x > 2 . m + m +1
B. m > 1 bât phương trình có nghiệm là x <
ẠO
A. m = 2 bất phương trình vô nghiệm
TR ẦN
D. Cả A, B, C đều sai Lời giải: a) Bất phương trình tương đương với (m − 2) x < 3m − 6
-L
Í-
H
Ó
A
10 00
B
Với m = 2 bất phương trình trở thành 0 x ≤ 0 suy ra bất phương trình nghiệm đúng với mọi x . 3m − 6 Với m > 2 bât phương trình tương đương với x < =3 m−2 3m − 6 Với m < 2 bât phương trình tương đương với x > =3 m−2 Kết luận m = 2 bất phương trình nghiệm đúng với mọi x (có tập nghiệm là S = ℝ ). m > 2 bât phương trình có nghiệm là x < 3 (có tập nghiệm là S = (−∞; 3) )
ÁN
m < 2 bât phương trình có nghiệm là x > 3 (có tập nghiệm là S = (3; +∞) )
TO
b) Bất phương trình tương đương với (m − 2) x > 4 − m2
D
IỄ N
Đ
ÀN
Với m = 2 bất phương trình trở thành 0 x > 0 suy ra bất phương trình vô nghiệm. 4 − m2 = −m − 2 Với m > 2 bât phương trình tương đương với x > m−2 4 − m2 Với m < 2 bât phương trình tương đương với x < = −m − 2 m−2 Kết luận m = 2 bất phương trình vô nghiệm m > 2 bât phương trình có nghiệm là x > −m − 2 m < 2 bât phương trình có nghiệm là x < −m − 2
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y
N
C. Cả A, B đều đúng
3
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com 2
c) Bất phương trình tương đương với (m + 3) x ≥ m − 3 Với m = −3 bất phương trình trở thành 0 x ≥ −6 suy ra bất phương trình nghiệm đúng với mọi x . m−3 Với m ≠ −3 bât phương trình tương đương với x ≥ 2 (m + 3)
2
2
(m − 1)
10 00
B
TR ẦN
H Ư
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
TP
2 m + 1 + 3 > 0 ) (vì + + 1 = m m 2 4 m2 + m + 1 Với m = 1 bất phương trình trở thành 0 x < 0 suy ra bất phương trình vô nghiệm. m −1 Với m > 1 bât phương trình tương đương với x < 2 m + m +1 m −1 Với m < 1 bât phương trình tương đương với x > 2 m + m +1 Kết luận m = 2 bất phương trình vô nghiệm m −1 m > 1 bât phương trình có nghiệm là x < 2 m + m +1 m −1 . m < 1 bât phương trình có nghiệm là x > 2 m + m +1 ⇔ (m − 1) x <
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
d) Bất phương trình tương đương với ⇔ (m 3 − 1) x < m 2 − 2 m + 1
.Q
U Y
N
H
Ơ
N
Kết luận m = −3 bất phương trình nghiệm đúng với mọi x . m−3 . m ≠ −3 bât phương trình có nghiệm là x ≥ 2 (m + 3)
Ví dụ 2. Tìm m để bất phương trình (m2 − m) x + m < 6 x − 2 vô nghiệm.
Ó H
-L
C. m = 5 và m = 3
Í-
B. m = −2 và m = 5
A
A. m = −2 và m = 3
TO
ÁN
D. m = 5 và m = 2
Lời giải:
Đ
ÀN
Bất phương trình tương đương với (m2 − m − 6) x < −2 − m
D
IỄ N
m ≠ −2 Rõ ràng nếu m 2 − m − 6 ≠ 0 ⇔ bất phương trình luôn có nghiệm. m ≠ 3
Với m = −2 bất phương trình trở thành 0 x < 0 suy ra bất phương trình vô nghiệm Với m = 3 bất phương trình trở thành 0 x < −5 suy ra bất phương trình vô nghiệm
4
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Vậy giá trị cần tìm là m = −2 và m = 3 .
Ví dụ 3. Tìm m để bất phương trình 4 m 2 (2 x − 1) ≥ (4 m 2 + 5m + 9) x − 12 m có nghiệm đúng ∀x ∈ ℝ . 9 4
B. m =
7 4
C. m =
5 4
D. m =
3 4
N Ơ
Lời giải: Bất phương trình tương đương với (4m − 5m − 9) x ≥ 4 m 2 − 12m
N
H
2
U Y
m ≠ −1 Dễ dàng thấy nếu 4 m − 5m − 9 ≠ 0 ⇔ thì bất phương trình không thể có nghiệm đúng m ≠ 9 4 ∀x ∈ ℝ Với m = −1 bất phương trình trở thành 0 x ≥ 16 suy ra bất phương trình vô nghiệm
9 27 bât phương trình trở thành 0 x ≥ − suy ra bất phương trình nghiệm đúng với mọi x . 4 4
N
9 . 4
H Ư
Vậy giá trị cần tìm là m =
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Với m =
ẠO
TP
.Q
2
A. m = −2
TR ẦN
Ví dụ 4. Tìm m để bất phương trình (4m 2 + 2 m + 1) x − 5m ≥ 3 x − m − 1 có tập nghiệm là [−1; +∞) . C. m = −5
D. m = −1
B
B. m = −3
10 00
Lời giải:
Bất phương trình tương đương với (4 m + 2m − 2) x ≥ 4 m − 1 ⇔ (m + 2)(4 m − 1) x ≥ 4 m − 1 2
Í-
H
Ó
A
m = −2 Với (m + 2)(4 m − 1) = 0 ⇔ thì bất phương trình vô nghiệm hoặc nghiệm đúng với mọi x do m= 1 2
-L
đó không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
ÁN
1 1 ⇒ (m + 2)(4 m − 1) > 0 bất phương trình tương đương với x ≥ m+2 4
TO
Với m >
Đ
ÀN
Do đó để bất phương trình có tập nghiệm là [−1; +∞) thì
D
IỄ N
Với −2 < m <
−2 < m <
1 = −1 ⇔ m = −3 (không thỏa mãn) m+2
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
A. m =
1 1 ⇒ (m + 2)(4 m − 1) < 0 bất phương trình tương đương với x ≤ suy ra m+2 4
1 không thỏa mãn yêu cầu bài toán. 4
Với m < −2 ⇒ (m + 2)(4 m − 1) > 0 bất phương trình tương đương với x ≥
1 m+2
5
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Do đó để bất phương trình có tập nghiệm là [−1; +∞) thì
1 = −1 ⇔ m = −3 (thỏa mãn) m+2
Vậy m = −3 là giá trị cần tìm.
N
Ví dụ 5: Tìm m để hai bất phương trình sau tương đương
D. m = −2 ± 11
H
C. m = 2 ± 12
N
.Q
Lời giải:
ẠO
3 do đó hai bất phương trình không tương đương. 2
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
2x − 3 ≥ 0 ⇔ x ≥
TP
* Với m = 1 bất phương trình (1) trở thành 0.x − 1 ≥ 0 (vô nghiệm), bất phương trình (2) trở thành
N
G
5 * Với m = −1 bất phương trình (1) trở thành −2 x − 5 ≥ 0 ⇔ x ≤ − , bất phương trình (2) trở thành 2
3 − 2m 4−m , (2) ⇔ x ≥ m −1 m+1
3 − 2m 4 − m = m−1 m +1
⇔ m2 + 4 m − 7 = 0 ⇔ m = −2 ± 11
10 00
B
Suy ra hai bất phương trình tương đương ⇔
TR ẦN
* Với m > 1 ta có (1) ⇔ x ≥
H Ư
0.x − 5 ≥ 0 (nghiệm đúng với mọi x ) do đó hai bất phương trình không tương đương.
A
Đối chiếu với điều kiện m > 1 suy ra m = −2 + 11 .
Ó
4−m 3 − 2m , ( 2) ⇔ x ≥ do đó hai bất phương trình không tương m+1 m −1
Í-
H
* Với −1 < m < 1 ta có (1) ⇔ x ≤
-L
đương.
4−m 3 − 2m , ( 2) ⇔ x ≤ m+1 m−1
TO
ÁN
* Với m < −1 ta có (1) ⇔ x ≤
ÀN
Suy ra hai bất phương trình tương đương ⇔
3 − 2m 4 − m = m−1 m +1
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
B. m = −2 ± 12
U Y
A. m = 2 ± 11
Ơ
(m − 1) x + 2m − 3 ≥ 0 (1) và (m + 1) x + m − 4 ≥ 0 (2).
Đ
⇔ m2 + 4 m − 7 = 0 ⇔ m = −2 ± 11
D
IỄ N
Đối chiếu với điều kiện m < −1 suy ra m = −2 − 11
Vậy hai bất phương trình tương đương khi m = −2 ± 11 .
2. Các bài tập luyện tập. Bài 4.66: Khẳng định nào sau đây là sai?
6
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
a) m( x − m) ≤ x − 1.
A. Nếu: m=1 thì 0 x ≤ 2 (đúng). Tập nghiệm: S=R. Tập nghiệm: S= (−∞; m + 1 .
B. Nếu: m>1 thì x ≤ m+1.
Ơ
N
Tập nghiệm: S= m + 1; +∞) .
C. Nếu : m<1 thì x ≥ m+1.
N
H
D. Cả A, B, C đều sai
U Y
b) 3 x + m 2 ≥ m( x + 3).
TP
B. Nếu: m>3 thì bất phương trình có nghiệm x ≤ m.
ẠO
C. Nếu: m<3 thì bất phương trình có nghiệm x ≥ m.
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
D. Cả A, B, C đều sai
N
G
Lời giải:
m( x − m) ≤ x − 1 ⇔ ( m − 1)x ≤ m2 − 1
H Ư
Bài 4.66: a)
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
A. Nếu: m=3 thì bất phương trình 0x ≤ 0: nghiệm với mọi x .
TR ẦN
Nếu: m=1 thì 0 x ≤ 2 (đúng). Tập nghiệm: S=R. Tập nghiệm: S= (−∞; m + 1 .
Nếu : m<1 thì x ≥ m+1.
Tập nghiệm: S= m + 1; +∞) .
10 00
b) 3 x + m 2 ≥ m( x + 3) ⇔ ( m − 3) x ≤ m 2 − 3m.
B
Nếu: m>1 thì x ≤ m+1.
A
Nếu: m=3 thì bất phương trình 0x ≤ 0: nghiệm với mọi x .
H
Ó
Nếu: m>3 thì bất phương trình có nghiệm x ≤ m.
-L
Í-
Nếu: m<3 thì bất phương trình có nghiệm x ≥ m.
B. m = −3
C. m = ∅
D. m = −1
ÀN
TO
A. m = 1
ÁN
Bài 4.67: a) Tìm m để bất phương trình mx − 2 ≤ x − m vô nghiệm.
D
IỄ N
Đ
b) Tìm m để bất phương trình m 2 ( x − 1) ≥ 9 x + 3m có nghiệm đúng ∀x ∈ ℝ .
A. m = 1
B. m = −3
C. m = ∅
D. m = −1
Lời giải:
Bài 4.67: a) Bất phương trình tương đương với (m − 1) x ≤ 2 − m Rõ ràng nếu m ≠ 1 bất phương trình luôn có nghiệm.
7
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Xét m = 1 bât phương trình trở thành 0 x ≤ 1 suy ra bất phương trình nghiệm đúng với mọi x . Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ơ
Dễ dàng thấy nếu m2 − 9 ≠ 0 ⇔ m ≠ ±3 thì bất phương trình không thể có nghiệm đúng ∀x ∈ ℝ Với m = 3 bất phương trình trở thành 0 x > 18 suy ra bất phương trình vô nghiệm
N
b) Bất phương trình tương đương với (m2 − 9) x ≥ m 2 + 3m
N
H
Với m = −3 bât phương trình trở thành 0 x ≥ 0 suy ra bất phương trình nghiệm đúng với mọi x .
TP
Bài 4.68: Cho hàm số f ( x) = (2 m + 1) x − 3m + 2 .
ẠO
G
C. m ≤ 3
TR ẦN
b) Tìm m để f ( x) ≥ 0 với mọi x ∈ −1; 2 .
B
A. −4 ≤ m
m ≤ −4 C. m ≥ 1 5
10 00
1 B. m ≤ 5
m ≥ 3 D. m ≤ 2 3
Đ
2 B. ≤ m 3
H Ư
2 A. ≤ m ≤ 3 3
N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
a) Tìm m để phương trình f ( x) = 0 có nghiệm x ∈ 0;1 .
D. −4 ≤ m ≤
1 5
A
Lời giải:
H
Ó
Bài 4.68: a) Ta có đồ thị hàm số y = f ( x) trên 0; 1 là một đoạn thẳng AB với A( 0; −3m + 2) và
Í-
B(1; −m + 3) nên phương trình f ( x) = 0 có nghiệm trên
-L
0;1 ⇔ đoạn thẳng AB có điểm chung với trục hoành ⇔ các điểm đầu mút A, B nằm về hai phía
ÁN
của Ox (có thể nằm trên Ox). Điều này có nghĩa là
2 ≤ m≤ 3. 3
ÀN
TO
f (0) . f (1) ≤ 0 ⇔ (−3m + 2)(−m + 3) ≤ 0 ⇔
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
U Y
Vậy giá trị cần tìm là m = −3 .
Đ
b) Ta có f ( x) ≥ 0 với mọi x ∈ [−1; 2] ⇔ đồ thị của hàm số y = f ( x) trên đoạn [−1; 2] nằm trên Ox ⇔
D
IỄ N
hai đầu mút của đoạn thẳng đó đều nằm trên Ox
f (−1) ≥ 0 −5m + 1 ≥ 0 1 ⇔ ⇔ ⇔ −4 ≤ m ≤ . f (2) ≥ 0 m + 4 ≥ 0 5
8
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Bài 4.69: Tìm m để bất phương trình m (2 x − 1) ≥ 2 x + 1 có tập nghiệm là [1; +∞) . B. m = 1
A. m = 3
C. m > 1
D. m < 1
Lời giải:
Ơ
N
Bài 4.69: Bất phương trình tương đương với (2m − 2) x ≥ m + 1
m +1 suy ra m < 1 không thỏa mãn yêu cầu bài 2m − 2
ẠO
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Với m < 1 bất phương trình tương đương với x ≤
G
Đ
toán.
H Ư
N
Vậy m = 3 là giá trị cần tìm.
và (m + 1) x + m 2 − 4 ≥ 0 .
A. m < −1
C. m > 2
D. m = ∅
10 00
B. −1 < m < 2
B
(2 − m) x + 2m + 4 ≥ 0
TR ẦN
Bài 4.70: Tìm m để hai bất phương trình sau tương đương
Lời giải:
A
Bài 4.70: * Với m = 2 bất phương trình (2 − m) x + 2 m + 4 ≥ 0 (1) trở thành 0.x + 8 ≥ 0 (nghiệm đúng
Í-
trình không tương đương.
H
Ó
với mọi x ), bất phương trình (m + 1) x + m 2 − 4 ≥ 0 (2) trở thành 3 x ≥ 0 ⇔ x ≥ 0 do đó hai bất phương
ÁN
-L
2 * Với m = −1 bất phương trình (1) trở thành 3 x + 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ − , bất phương trình (2) trở thành 3
TO
0.x − 3 ≥ 0 ( vô nghiệm) do đó hai bất phương trình không tương đương.
ÀN
* Với m > 2 không thỏa mãn yêu cầu bài toán
IỄ N
Đ
* Với −1 < m < 2 ta có (1) ⇔ x ≥
2m + 4 4 − m2 , ( 2) ⇔ x ≥ m−2 m +1
Suy ra hai bất phương trình tương đương ⇔
D
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y
m +1 = 1 ⇔ m = 3 (thỏa mãn) 2m − 2
TP
Do đó để bất phương trình có tập nghiệm là [1; +∞) thì
N
m +1 2m − 2
.Q
Với m > 1 bất phương trình tương đương với x ≥
H
Với m = 1 thì bất phương trình vô nghiệm do đó không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
2m + 4 4 − m2 = ⇔ m = −2 (loại) m−2 m+1
* Với m < −1 không thỏa mãn yêu cầu bài toán Vậy không có giá trị nào của m để hai bất phương trình tương đương.
9
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
DẠNG TOÁN 2: GIẢI HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN. 1. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1. Giải các hệ bất phương trình sau:
C. x <
3 2
C. x >
7 4
D. Vô nghiệm
TP ẠO Đ G 22 7
22 7
C. −1 < x < 7
D. Vô nghiệm
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
B. x < 7
10 00
A. −1 < x
TO
11 5 ≤x≤ 5 2
B. x ≥ 2
Đ
ÀN
A.
D. x >
B
5 x − 2 < 4 x + 5 c) 2 x < ( x + 2)2
x − 1 ≤ 2 x − 3 d) 3 x < x + 5 5 − 3 x ≤ x−3 2
N
B. x <
H Ư
7 4
TR ẦN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
6 x + 5 < 4 x + 7 7 b) 8 x + 3 < 2x + 5 2
A. x <
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
B. x > 7
U Y
x > 7 A. x < 3 2
N
H
Ơ
N
5 x − 2 > 4 x + 5 a) 5 x − 4 < x + 2
C.
11 ≤x 5
D. x ≤
5 2
Lời giải:
D
IỄ N
a) Hệ bất phương trình tương đương với
5 x − 2 > 4 x + 5 x > 7 ⇔ x < 3 5 x − 4 < x + 2 2
10
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Suy ra hệ bất phương trình vô nghiệm. b) Hệ bất phương trình tương đương với
N
7 4
U Y .Q
x < 7 c) Hệ bất phương trình tương đương với ⇔ −1 < x < 7 x > −1
Vậy hệ bất phương trình có nghiệm là
TP Đ G N
TR ẦN
H Ư
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
Vậy hệ bất phương trình có nghiệm là −1 < x < 7 .
x ≥ 2 5 11 5 d) Hệ bất phương trình tương đương với x < ⇔ ≤ x ≤ 2 5 2 11 x ≥ 5
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
Vậy hệ bất phương trình có nghiệm là x <
H
Ơ
N
6 x + 5 < 4 x + 7 x < 22 7 7 ⇔ x< 7 ⇔ 8 x + 3 4 7 < 2 x + 5 x < 4 2
11 5 ≤x≤ . 5 2
10 00
B
Ví dụ 2. Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm.
Ó
A
2 x − 1 ≤ x + 2 a) m (m + 1) x + 4 m ≥ (m − 2) x + 3m 2 + 6
A. m ≥ 0
C. m ≤ 0
D. m = 0
-L
Í-
H
B. m < 0
TO
1 3
ÁN
m (mx − 1) < 2 b) m (mx − 2) ≥ 2 m + 1
B. m =
1 3
C. m ≤
1 3
D. m <
1 3
D
IỄ N
Đ
ÀN
A. m >
Lời giải:
x≤3 x≤3 2 a) Hệ bất phương trình tương đương với 2 ⇔ (m + 2) x ≥ 3m2 − 4 m + 6 x ≥ 3m − 4 m + 6 m2 + 2
11
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Suy ra hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
3m 2 − 4 m + 6 ≤3⇔ m≥0. m2 + 2
Vậy m ≥ 0 là giá trị cần tìm.
U Y
N
H
0 x < 2 Với m = 0 ta có hệ bất phương trình trở thành suy ra hệ bất phương trình vô nghiệm 0 x ≥ 1
Ơ
N
m2 x < m + 2 b) Hệ bất phương trình tương đương với 2 m x ≥ 4 m + 1
72 13
C. m ≥
72 13
.Q TP D. m >
72 13
H Í-
-L
mx + 1 ≤ x − 1 b) 2 ( x − 3) < 5 ( x − 4)
Ó
A
B. m ≠
10 00
72 13
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
2 2 ( x − 3) ≥ x + 7 x + 1 a) 2 m ≤ 8 + 5 x
B
TR ẦN
Ví dụ 3. Tìm m để hệ bất phương trình sau vô nghiệm.
A. m <
ẠO
Đ
1 là giá trị cần tìm. 3
N
Vậy m <
m + 2 4m + 1 1 > ⇔ m< 2 2 3 m m
G
Suy ra hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
H Ư
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
x < m + 2 m2 Với m ≠ 0 ta có hệ bất phương trình tương đương với 4m + 1 x ≥ m2
A. m ≥ 1
C. m = 1
D.Vô nghiệm
TO
ÁN
B. m > 1
D
IỄ N
Đ
ÀN
Lời giải: x ≤ 8 13 a) Hệ bất phương trình tương đương với 2m − 8 x ≥ 5 8 2m − 8 72 Suy ra hệ bất phương trình vô nghiệm ⇔ < ⇔ m> 13 5 13
Vậy m >
72 là giá trị cần tìm. 13
12
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
Ơ H N U Y
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
H Ư
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
TP
(m − 1) x ≤ −2 b) Hệ bất phương trình tương đương với 14 x> 3 0 x ≤ −2 Với m = 1 hệ bất phương trình trở thành (hệ bpt vô nghiệm) x > 14 3 x ≤ −2 m − 1 suy ra hệ bất phương trình vô nghiệm Với m > 1 hệ bất phương trình 14 x > 3 −2 14 4 ⇔ ≤ ⇔ −6 ≤ 14 (m − 1) ⇔ m ≥ m−1 3 7 Do đó m > 1 thì hệ bất phương trình vô nghiệm x ≥ −2 m − 1 (hệ bpt luôn có nghiệm) Với m < 1 hệ bất phương trình 14 x > 3 Vậy giá trị cần tìm là m ≥ 1 .
N
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
.Q
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
B. m =
3 4
C. m = 1
D. m =
B
1 4
1 2
10 00
A. m =
TR ẦN
2 m ( x + 1) ≥ x + 3 Ví dụ 4. Tìm m để hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất. 4 mx + 3 ≥ 4 x
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
Lời giải: (2 m − 1) x ≥ 3 − 2m Hệ bất phương trình tương đương với (4 m − 4) x ≥ −3 3 − 2m −3 Giả sử hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất thì = 2m − 1 4m − 4 3 5 ⇔ 8 m 2 − 26 m + 15 = 0 ⇔ m = hoặc m = 4 2 3 3 − 1 x ≥ 3 − x ≥ 3 3 ⇔ x=3 Với m = hệ phương trình trở thành 2 2 ⇔ x ≤ 3 4 −x ≥ −3 4 x ≥ −2 1 5 Với m = hệ phương trình trở thành ⇔ x ≥− 6 x ≥ −3 2 2 Vậy giá trị cần tìm là m =
3 . 4
3. Bài tập luyện tập. Bài 4.71: Giải các hệ bất phương trình sau:
13
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
B. −
26 <x 3
28 5
D. Vô nghiệm
5 13 ≤x< 78 14
D. Vô nghiệm
C. x <
Ơ
26 28 <x< 3 5
U Y
N
H
A. −
N
4 x − 5 < x + 3 a) 7 3 x + 8 > 2x − 5 4
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q TP 13 14
C.
ẠO
B. x <
Đ
5 ≤x 78
H Ư
N
A.
G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
4 − 12 x ≤ x + 1 2 b) 3 4 x − 3 2 − x < 3 2
TR ẦN
x ≤ x + 4 3 c) 2 2 x − 9 19 + x ≥ 2 3
A. x ≥ 12
10 00 Ó H Í-L
B. x ≤
ÁN
12 21 ≤x≤ 11 5
26 28 <x< 3 5
b) d) −
C. −
12 ≤x 11
D. Vô nghiệm
5 13 ≤x< 78 14
12 21 ≤x≤ 11 5
D
IỄ N
c) x ≥ 75
−
21 5
Lời giải:
TO
Đ
ÀN
Bài 4.71: a)
D. x < 75
A
11 − x ≥ 2 x − 5 d) 2 x−8 2 (3 x + 1) ≥ 2
A. −
C. x > 75
B
B. x ≥ 75
Bài 4.72: Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm.
14
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
4 ( x − 3) + 1 ≤ 3 ( x − 3) a) x + m > 1
C. m > 0
D. m > 2
C. m > −1
D. m < 1
N
B. m > −2
H N
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
Đ
ẠO
Lời giải: x ≤ 2 Bài 4.72: a) Hệ bất phương trình tương đương với x > 1 − m
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
U Y
B. m ≤ 2
TP
A. m ≤ −2
Ơ
2 ( x + 5) < 3( x + 4) b) −3 x − 8 ≥ 5 ( x − 8) m ( x + 2) < (m + 1) x + m − 2
.Q
A. m > −1
N
G
Suy ra hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 2 > 1 − m ⇔ m > −1
H Ư
Vậy m > −1 là giá trị cần tìm.
TR ẦN
x > −2 −2 < x ≤ 4 b) Hệ bất phương trình tương đương với x ≤ 4 ⇔ x> m+2 x > m + 2
10 00
B
Suy ra hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
m + 2 ≤ 4 ⇔ m ≤ −2
H
Ó
A
Vậy m ≤ −2 là giá trị cần tìm.
-L B. m > −3
C. m ≥ −3
D. m < −3
B. m > −3
C. m ≥ −3
D. m < −3
ÀN
TO
A. m ≥ 3
ÁN
2 x + 7 ≥ 8 x + 1 a) m + 5 < 2 x
Í-
Bài 4.73: Tìm m để hệ bất phương trình sau vô nghiệm.
D
IỄ N
Đ
3 x + 5 ≥ x − 1 2 2 b) ( x + 2) ≤ ( x − 1) + 9 mx + 1 > (m − 2) x + m
A. m ≥ 3
Lời giải:
15
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
N
x ≤ 1 Bài 4.73: a) Hệ bất phương trình tương đương với x > m + 5 2 m+5 Suy ra hệ bất phương trình vô nghiệm ⇔ 1 ≤ ⇔ m ≥ −3 2
Ơ
Vậy m ≥ −3 là giá trị cần tìm.
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Vậy m ≥ 3 là giá trị cần tìm.
9 A. − < m < 0 2
TR ẦN
H Ư
x < y Bài 4.74: Tìm m để phương trình 15 x 2 − 11xy + 2 y 2 = −7 có nghiệm thỏa mãn 2 . 2 m x + 3my < 0
B. m = 0
C. m ≠ 0
D.Vô nghiệm
B
Lời giải:
10 00
Bài 4.74: Ta thấy nếu y = 0 thì phương trình vô nghiệm Với y ≠ 0 . Đặt x = ty khi đó
H
Ó
A
15 x 2 − 11xy + 2 y 2 = −7 ⇔ y 2 (15t 2 − 11t + 2) = −7
-L
Í-
x < y y(t − 1) < 0 (*) ⇔ 2 m2 x + 3my < 0 y(2 m 2t + 3m) < 0 1 2 <t < 3 5
TO
ÁN
Phương trình có nghiệm ⇔ 15t 2 − 11t + 2 < 0 ⇔ (3t − 1)(5t − 2) < 0 ⇔
ÀN
y>0 Do đó (*) ⇔ 2 2 m t + 3m < 0
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
ẠO
TP
.Q
U Y
N
H
x ≥ −3 −3 ≤ x ≤ 1 b) Hệ bất phương trình tương đương với x ≤ 1 ⇔ x > m − 1 m − 1 2 x > 2 m−1 Suy ra hệ bất phương trình vô nghiệm ⇔ ≥1⇔ m≥3 2
D
IỄ N
Đ
1 < t < 2 Như vậy ta cần tìm m để hệ bất phương trình 3 5 (**) có nghiệm với ẩn t . 2 2 m t + 3m < 0
Với m = 0 thì hệ bất phương trình (**) có nghiệm
16
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
1 < t < 2 5 do đó Với m ≠ 0 (**) ⇔ 3 3 t < − 2m
Ơ H N
1. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Cho bất phương trình tham số
mx − m + 1 > 0 , Khẳng định nào sau đây sai? x −1
B
1− m 1 tập nghiệm bất phương trình là S = (−∞;1) ∪ ; +∞ m 2
10 00
A. 0 < m <
TR ẦN
H Ư
DẠNG TOÁN 3: BẤT PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN.
1 tập nghiệm bất phương trình là S = ℝ \{1} 2
C. m >
1 1 − m tập nghiệm bất phương trình là S = −∞; ∪ (1; +∞) 2 m
-L
Í-
H
Ó
A
B. m =
Đ
ÀN
TO
ÁN
1 − m D. m < 0 tập nghiệm bất phương trình là S = ℝ \2; m
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y .Q
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
TP
9 Vậy − < m < 0 là những giá trị cần tìm. 2
N
m > 0 m < − 9 3 1 9 2 Hệ bất phương trình (**) có nghiệm ⇔ − > ⇔ ⇔ − < m<0. m < 0 2m 3 2 m > 9 2
Lời giải:
D
IỄ N
ĐKXĐ: x ≠ 1
x>1 Bất phương trình tương đương với (3) hoặc mx − m + 1 > 0
x <1 (4) mx − m + 1 < 0
17
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
x > 1 x < 1 + TH1: m > 0 ta có (3) ⇔ và (4) ⇔ x > 1 − m x < 1 − m m m 1− m 1 1− m và (4) ⇔ x < 1 > 1 ⇔ m < khi đó (3) ⇔ x > m 2 m
N H N U Y
1− m 1 = 1 ⇔ m = khi đó (3) ⇔ x > 1 và (4) ⇔ x < 1 m 2
.Q
Nếu
Ơ
1− m Suy ra nghiệm của bất phương trình là x ∈ (−∞;1) ∪ ; +∞ m
H Ư
N
1 − m Suy ra nghiệm của bất phương trình là x ∈ −∞; ∪ (1; +∞) m
Đ
ẠO
1− m 1 1− m < 1 ⇔ m > khi đó (3) ⇔ x > 1 và (4) ⇔ x < m 2 m
G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Nếu
TP
Suy ra nghiệm của bất phương trình là x ∈ ℝ \{1}
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
Nếu
TR ẦN
x > 1 ⇔ x > 1 , (4) trở thành + TH2: m = 0 ta có (3) trở thành 0 x + 1 > 0
x < 1 (vô nghiệm) 0 x + 1 < 0
Suy ra nghiệm của bất phương trình là x ∈ (1; +∞)
10 00
B
x > 1 x < 1 và (4) ⇔ + TH3: m < 0 ta có (3) ⇔ x < 1 − m x > 1 − m m m
Ó
A
1 − m 1− m 1− m 1 > 1 ⇔ m < khi đó (3) ⇔ x ∈ 1; ; +∞ và (4) ⇔ x ∈ (−∞;1) ∪ m m m 2
H
Nếu
-L
Í-
1 − m Suy ra với m < 0 nghiệm của bất phương trình là x ∈ ℝ \1; m
TO
1− m 1 tập nghiệm bất phương trình là S = (−∞;1) ∪ ; +∞ m 2
ÀN
0<m<
ÁN
Kết luận
1 tập nghiệm bất phương trình là S = ℝ \{1} 2
IỄ N
Đ
m=
D
m>
1 − m 1 tập nghiệm bất phương trình là S = −∞; ∪ (1; +∞) m 2
m = 0 tập nghiệm bất phương trình là S = (1; +∞)
18
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
1 − m m < 0 tập nghiệm bất phương trình là S = ℝ \1; m
Ví dụ 2: Cho bất phương trình
(m
2
− 4) x − m + 3 > 2 .
D. S = ∅
U Y
N
C. S = ℝ
D.Không tồn tại m
Đ
Lời giải:
N
G
−3 x + 2 > 2
TR ẦN
2 Vậy tập nghiệm bất phương trình là S = (−∞; − ] 3 2 b) ĐKXĐ: (m − 4) x − m + 3 ≥ 0 (*)
H Ư
a) Khi m = 1 bất phương trình trở thành −3 x + 2 ≥ 0 2 ⇔ ⇔ x ≤− −3 x + 2 ≥ 4 3
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
TP
C. m = ±2
ẠO
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
B. m = −2
.Q
b) Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x
A. m = 2
H
2 B. S = − ; +∞ 3
2 A. S = (−∞; − ] 3
Ơ
N
a) Giải bất phương trình khi m = 1
10 00
B
Giả sử bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thì khi đó (*) đúng mọi x Suy ra m 2 − 4 = 0 ⇔ m = ±2 Với m = 2 ta có bất phương trình trở thành
0.x + 2 + 3 > 2 (đúng với mọi x )
H
Ó
A
Với m = −2 ta có bất phương trình trở thành Vậy m = −2 là giá trị cần tìm.
0.x − 2 + 3 > 2 (vô nghiệm)
-L
Í-
Ví dụ 3: Cho bất phương trình x − 1( x − 2 m + 2) ≥ 0 a) Giải bất phương trình khi m = 2 A. S = {1} ∪ [2; +∞)
ÁN
D. S = ∅
TO
C. S = ℝ
B. S = {1} ∪ (−∞; 2
Đ
ÀN
b) Tìm m để mọi x ∈ 2; 3 đều là nghiệm của bất phương trình đã cho.
3 2
B.
3 <m≤2 2
D
IỄ N
A. m <
C. m ≤ 2
D. m =
3 2
Lời giải: a) Khi m = 2 bất phương trình trở thành
x − 1( x − 2) ≥ 0
19
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
x −1 = 0 Bất phương trình tương đương với x − 1 ≥ 0 x − 2 ≥ 0
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q TP ẠO
N
H Ư
Do đó mọi x ∈ 2; 3 đều là nghiệm của bất phương trình (*)
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
x=1 x −1 = 0 b) Bất phương trình tương đương với x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1 x ≥ 2 m − 2 x − 2 m + 2 ≥ 0 x=1 3 + TH1: 2 m − 2 > 1 ⇔ m > : Ta có bất phương trình ⇔ x ≥ 2m − 2 2 Suy ra tập nghiệm bất phương trình là S = {1} ∪ [2 m − 2; +∞) .
U Y
N
H
Ơ
N
x=1 x = 1 ⇔ x ≥ 1 ⇔ x ≥ 2 x ≥ 2 Vậy tập nghiệm bất phương trình là S = {1} ∪ [2; +∞) .
⇔ 2; 3 ⊂ S ⇔ 2 m − 2 ≤ 2 ⇔ m ≤ 2
TR ẦN
3 < m ≤ 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán. 2 x = 1 3 ⇔ x ≥1 + TH2: 2 m − 2 = 1 ⇔ m = : Ta có bất phương trình ⇔ x ≥ 1 2
10 00
B
Suy ra
3 thỏa mãn yêu cầu bài toán. 2 x = 1 3 ⇔ x ≥1 + TH3: 2 m − 2 < 1 ⇔ m < : Ta có bất phương trình ⇔ x ≥ 1 2
Ó
A
Suy ra m =
TO
ÁN
-L
Í-
H
3 Suy ra m < thỏa mãn yêu cầu bài toán. 2 Vậy giá trị cần tìm là m ≤ 2 . Ví dụ 4: Tìm tất cả các giá trị của m để a) Bất phương trình mx + 4 > 0 (1) nghiệm đúng với mọi x < 8 1 1 A. − ≤ m ≤ 2 2
C. m > 0
Đ
ÀN
B. m < 0
D
IỄ N
b) Bất phương trình
A. m ≥ −
3 2
1 D. − ≤ m < 0 2
mx − 2 m − 3 < 0 (2) nghiệm đúng với mọi x ∈ (0; +∞) x +1 2
B. m < −
3 2
C. m > 0
3 D. − ≤ m < 0 2
Lời giải:
20
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
a) Cách 1: Ta có x < 8 ⇔ −8 < x < 8 ⇔ x ∈ (−8; 8) + TH1: m > 0 ta có (1) ⇔ mx > −4 ⇔ x > −
4 m
Ơ
N
4 Suy ra tập nghiệm bất phương trình (1) là S = − ; +∞ m
4 1 ≤ −8 ⇔ m ≤ m 2
Suy ra 0 < m ≤
1 thỏa mãn yêu cầu bài toán. 2
N Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
+ TH2: m = 0 khi đó bất phương trình (1) trở thành 0.x + 4 > 0 (đúng với mọi x )
N
4 m
TR ẦN
4 Suy ra tập nghiệm bất phương trình (1) là S = −∞; − m
H Ư
+ TH3: m < 0 ta có (1) ⇔ mx > −4 ⇔ x < −
G
Do đó m = 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
4 1 ≥ 8 ⇔ m ≥− m 2
10 00
(−8; 8) ⊂ S ⇔ −
B
Bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x < 8 khi và chỉ khi
H
Ó
A
1 Suy ra − ≤ m < 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán. 2
-L
Í-
1 1 Vậy − ≤ m ≤ là giá trị cần tìm. 2 2
TO
ÁN
Cách 2: Bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x < 8 khi và chỉ khi mx + 4 > 0, ∀x ∈ (−8; 8)
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
ẠO
TP
.Q
U Y
(−8; 8) ⊂ S ⇔ −
H
Bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x < 8 khi và chỉ khi
ÀN
Xét hàm số f ( x) = mx + 4 . Ta biết đồ thị là một đường thẳng do đó
D
IỄ N
Đ
f (−8) ≥ 0 f ( x) = mx + 4 > 0, ∀x ∈ (−8; 8) ⇔ f (8) ≥ 0
1 −8 m + 4 ≥ 0 m ≤ 2 1 1 ⇔ ⇔ ⇔− ≤m≤ 2 2 m ≥ − 1 8 m + 4 ≥ 0 2
21
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
1 1 Vậy − ≤ m ≤ là giá trị cần tìm. 2 2 x bất phương trình trở thành mt − 2 m − 3 < 0 x +1 2
N
x x 1 1 ≤ = khi đó 0 < t ≤ 2 2 x + 1 2 x2
Ơ
2
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
ẠO
3 là giá trị cần tìm. 2
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Vậy m ≥ −
TP
−2 m − 3 ≤ 0 m ≥ − 3 1 3 mt − 2 m − 3 < 0 đúng với mọi t ∈ (0; ] ⇔ 1 ⇔ 2 ⇔ m ≥− m − 2 m − 3 < 0 2 2 2 m > −2
U Y
Bất phương trình (2) nghiệm đúng với mọi x ∈ (0; +∞) khi và chỉ khi bất phương trình
H
Với x > 0 ta có
N
b) Đặt t =
H Ư
N
G
f (α) > 0 , Bất phương trình Nhận xét : Bất phương trình f ( x) = ax + b > 0, ∀x ∈ α ; β ⇔ f (β ) > 0
TR ẦN
f (α) ≥ 0 f ( x) = ax + b > 0, ∀x ∈ (α ; β ) ⇔ . Các trường hợp khác tương tự. f (β ) ≥ 0
Ví dụ 5: Cho phương trình (m + 1) x 2 − (4 m + 3) x + 4 m + 1 = 0 (1). Tìm m để phương trình (1)
10 00
B
a) Có một nghiệm lớn hơn 2 và một nghiệm nhỏ hơn 2.
B. m = −1
C. m ≠ −1
D. Vô nghiệm
C. m > −1
D. m ≥ −
Ó
A
A. m > −1
-L
5 B. − < m < −1 4
5 4
TO
ÁN
A. m = −1
Í-
H
b) Có ít nhất một nghiệm lớn hơn 2
Lời giải:
ÀN
Đặt y = x − 2 ⇒ x = y + 2 khi đó phương trình (1) trở thành 2
IỄ N
Đ
(m + 1)( y + 2) −(4m + 3)( y + 2) + 4m + 1 = 0
D
⇔ (m + 1) y 2 + 4 (m + 1) y + 4 (m + 1) − (4 m + 3) y − 2 (4 m + 3) + 4 m + 1 = 0 ⇔ (m + 1) y 2 + y − 1 = 0 (2)
22
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
a) Phương trình (1) có một nghiệm lớn hơn 2 một nghiệm nhỏ hơn 2 khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm trái + TH1: Với m = −1 phương trình (2) trở thành y − 1 = 0 ⇔ y = 1 suy ra m = −1 không thỏa mãn yêu
N
cầu bài toán
H N
−1 < 0 ⇔ m + 1 > 0 ⇔ m > −1 m+1
.Q
Vậy với m > −1 thì phương trình (1)
TP
b) Ta có phương trình (1) có ít nhất một nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2 khi và chỉ khi phương trình (2)
ẠO
có ít nhất một nghiệm dương.
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
• Với m = −1 phương trình (2) trở thành y − 1 = 0 ⇔ y = 1 suy ra m = −1 thỏa mãn yêu cầu bài
N
10 00
B
TR ẦN
1 + 4 (m + 1) > 0 1 ∆ > 0 m > − 5 5 − > 0 ⇔ S > 0 ⇔ ⇔ 4 ⇔ − < m < −1 m + 1 4 P > 0 m < −1 1 >0 − m+1
H Ư
+ TH1: Phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt
G
toán • Với m ≠ −1 phương trình (2) là phương trình bậc hai
+ TH2: Phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu ⇔ m > −1 (theo câu a)
Ó
A
+ TH3: Phương trình (2) có nghiệm kép dương
-L
Í-
H
1 + 4 (m + 1) = 0 m = − 5 ∆ = 0 5 ⇔ ⇔ ⇔ 4 ⇔ m =− S > 0 − 1 > 0 4 m+1 m < −1
ÁN
+ TH4: Phương trình (2) có một nghiệm dương và một nghiệm bằng không
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
− 1 > 0 S > 0 m+1 1 ⇔ P = 0 ⇔ (không tồn tại giá trị nào của m ) =0 − m + 1 ∆ > 0 1 + 4 (m + 1) > 0
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y
⇔ P<0 ⇔
Ơ
TH2: Với m ≠ −1 phương trình (2) là phương trình bậc hai do đó nó có hai nghiệm trái dấu
Vậy m ≥ −
5 là giá trị cần tìm. 4
23
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Nhận xét: Để so sánh nghiệm phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 với số thực α ta đặt y = x − α và quy về việc xét dấu nghiệm của phương trình bậc hai 2. Bài tập luyện tập
TP
ẠO
1 − m C. m > 3 tập nghiệm bất phương trình là S = −∞; ∪ (−1; +∞) . 2
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
B. m = 3 tập nghiệm bất phương trình là S = ℝ \{−1}
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Ơ U Y
N
1− m A. m < 3 tập nghiệm bất phương trình là S = (−∞; −1) ∪ ; +∞ 2
G
Đ
D. Cả A, B, C đều sai
N
Lời giải:
H Ư
Bài 4.75: ĐKXĐ: x ≠ −1
B
10 00
x > −1 x < −1 Ta có (1) ⇔ , (2) ⇔ x > 1 − m x < 1 − m 2 2
x < −1 (2) 2 x + m − 1 < 0
TR ẦN
x > −1 Bất phương trình tương đương với (1) hoặc 2 x + m − 1 > 0
1− m 1− m > −1 ⇔ m < 3 thì (1) ⇔ x > , (2) ⇔ x < −1 2 2
Ó
A
Nếu
N
2x + m − 1 > 0 . Khẳng định nào sau đây là sai? x +1
H
Bài 4.75: Cho bất phương trình
Í-
H
1− m Suy ra bất phương trình có nghiệm là x ∈ (−∞; −1) ∪ ; +∞ 2
-L
1− m = −1 ⇔ m = 3 thì (1) ⇔ x > −1 , (2) ⇔ x < −1 2
ÁN
Nếu
1− m 1− m < −1 ⇔ m > 3 thì (1) ⇔ x > −1 , (2) ⇔ x < 2 2
Đ
ÀN
Nếu
TO
Suy ra bất phương trình có nghiệm là x ∈ ℝ \{−1}
D
IỄ N
1 − m Suy ra nghiệm của bất phương trình là x ∈ −∞; ∪ (−1; +∞) 2
Kết luận
1− m m < 3 tập nghiệm bất phương trình là S = (−∞; −1) ∪ ; +∞ 2
24
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
m = 3 tập nghiệm bất phương trình là S = ℝ \{−1}
N
1 − m m > 3 tập nghiệm bất phương trình là S = −∞; ∪ (−1; +∞) . 2
N
H
Ơ
Bài 4.76: Tìm điều kiện của m để phương trình 2 x 2 + (2 m − 1) x + m − 1 = 0
C. m ≠
3 2
D. Vô nghiệm
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
3 2
.Q
C. m ≠
TP
B. m < 1
ẠO
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
m > 1 A. m ≠ 3 2
U Y
a) Có hai nghiệm khác dấu
D. Vô nghiệm
m > 1 A. m ≠ 3 2
C. m ≠
3 2
D. Vô nghiệm
H
Ó
A
B. m > 1
10 00
B
c) Có hai nghiệm phân biệt đều dương
H Ư
B. m > 1
TR ẦN
m > 1 A. m ≠ 3 2
N
G
Đ
b) Có hai nghiệm phân biệt đều âm
B. m > 1
C. m =
1 2
D. Vô nghiệm
Lời giải:
ÀN
TO
ÁN
m > 1 A. m ≠ 3 2
-L
Í-
d) Có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau
Đ
Bài 4.76: a) Phương trình có hai nghiệm khác dấu khi P < 0 hay m − 1 < 0 ⇔ m < 1 .
D
IỄ N
b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm khi 2 ∆ > 0 (2 m − 3) > 0 m > 1 S < 0 ⇔ 1 − 2 m < 0 ⇔ m ≠ 3 P > 0 m − 1 > 0 2
25
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt đều dương khi ∆ > 0 (2 m − 3) > 0 S > 0 ⇔ 1 − 2 m > 0 ⇔ không có giá trị nào của m thoả mãn P > 0 m − 1 > 0
Ơ
N
2
N
H
d) Phương trình có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau hay phương trình có
TP
4 − x (m 2 + 1) x − 5m 2 ≤ 0 . Khẳng định nào sau đây là sai?
ẠO
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Bài 4.77: Cho bất phương trình
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
∆ ≥ 0 1 Phương trình có hai nghiệm đối nhau khi và chỉ khi ⇔ 1 − 2m = 0 ⇔ m = . S = 0 2
U Y
hai nghiệm đối nhau .
H Ư
N
G
Đ
x=4 2 A. Nếu −2 < m < 2 ⇔ x ≤ 5m m2 + 1
TR ẦN
B. Nếu m ≤ −2 ∨ m ≥ 2 ⇔ x ≤ 4 C. Cả A, B đều đúng D. Cả A, B đều sai
10 00
B
Lời giải:
H
Ó
A
x=4 x=4 x < 4 x<4 ⇔ (*) Bài 4.77: Ta có bpt ⇔ 2 2 m 5 2 (m + 1) x − 5m ≤ 0 x ≤ 2 m +1
Í-
5m 2 < 4 ⇔ m 2 < 4 ⇔ −2 < m < 2 ta có 2 m +1
-L
• Nếu
ÀN
TO
ÁN
x=4 2 (*) ⇔ x ≤ 5m m2 + 1
m≥2 x = 4 5m 2 ⇔ x≤4 ≥ 4 ⇔ m2 ≥ 4 ⇔ : (* ) ⇔ 2 m ≤ −2 x < 4 m +1
D
IỄ N
Đ
• Nếu
Bài 4.78: 4 x 2x < 3 . Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi a) Cho bất phương trình 1 + m + 2 1+ x 1 + x2
26
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
x ≥ 0.
B. m <
2 3
C. −4 < m <
2 3
D. Vô nghiệm
C. a = 0; b = 0
D. a ≠ 0; b ≥ 0
b) a = 0; b ≥ 0
TP
2 3
ẠO
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Bài 4.78: a) −4 < m <
.Q
Lời giải:
2
G
Đ
Bài 4.79: Tìm m để phương trình ( x 2 − 2 x) − 2 m ( x 2 − 2 x) + m + 3 = 0 có 2 nghiệm phân biệt. −1 + 13 B. m = 2
TR ẦN
H Ư
N
−1 + 13 A. m ∈ (−∞; −4) ∪ 2
C. m ∈ (−∞; −4)
D.Vô nghiệm
Lời giải: 2
10 00
B
Bài 4.79: Đặt t = x − 2 x + 1 khi đó t ≥ 0 , suy ra x 2 − 2 x = t − 1 . Thay vào phương trình (1) ta được phương trình sau: t 2 − 2 (m + 1) t + m + 4 = 0 (* )
Ó
A
Để phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt thì pt (*) có 2 nghiệm thỏa t1 < 0 < t2 , hoặc phương
H
trình (*) có 2 nghiệm thỏa 0 < t1 = t2 .
-L
Í-
• Phương trình (2) có nghiệm t1 < 0 < t2 ⇔ P < 0 ⇔ m + 4 < 0 ⇔ m < −4 .
TO
ÁN
∆ = 0 m 2 + m − 3 = 0 −1 + 13 • Phương trình (2) có nghiệm 0 < t1 = t2 ⇔ . ⇔ ⇔ m= S > 0 m + 1 > 0 2
ÀN
−1 + 13 Kết luận: với m ∈ (−∞; −4) ∪ thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. 2
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
B. a = 0; b > 0
U Y
A. a = 0; b ≥ 0
N
H
Ơ
1 b) Với điều kiện nào của a , b thì bất phương trình a x + + b ≥ 0 nghiệm đúng với mọi x ≠ 0 . x
N
A. −4 < m
D
IỄ N
Đ
§4. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT A TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 1. Nhị thức bậc nhất và dấu của nó. a) Định nghĩa nhị thức bậc nhất:
Nhị thức bậc nhất (đối với x ) là biểu thức dạng ax + b , trong đó a và b là hai số cho trước với a ≠ 0 .
27
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn x0 = −
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
b được gọi là nghiệm cảu nhị thức bậc nhất f ( x) = ax + b . a
b) Dấu của nhị thức bậc nhất
Ơ
N
Định lí: Nhị thức bậc nhất f ( x) = ax + b cùng dấu với hệ số a khi x lớn hơn nghiệm và trái dấu với
N
H
hệ số a x nhỏ hơn nghiệm của nó.
TP
.Q
a) Giải bất phương trình tích • Dạng P( x) > 0 (1) (trong đó P ( x) là tích các nhị thức bậc nhất.) • Cách giải: Lập bảng xét dấu của P ( x) . Từ đó suy ra tập nghiệm của (1).
H Ư
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
b) Giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu P( x ) > 0 (2) (trong đó P ( x) , Q ( x) là tích những nhị thức bậc nhất.) • Dạng Q( x) P( x ) • Cách giải: Lập bảng xét dấu của . Từ đó suy ra tập nghiệm của (2). Q( x)
A.
3 2
ÀN
TO
x
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
10 00
B
TR ẦN
Chú ý: 1) Không nên qui đồng và khử mẫu. 2) Rút gọn bớt các nhị thức có lũy thừa bậc chẵn (cần lưu ý trong việc rút gọn để tránh làm mất nghiệm). c) Giải bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối(GTTĐ) • Tương tự như giải phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ. A < −B . Chú ý: Với B > 0 ta có A < B ⇔ −B < A < B ; A > B ⇔ A > B B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. DẠNG 1: LẬP BẢNG XÉT DẤU BIỂU THỨC CHỨA NHỊ THỨC BẬC NHẤT HAI ẨN. 1. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Lập bảng xét dấu các biểu thức sau a) −2 x + 3
−∞ +∞
−2 x + 3
−
Đ IỄ N D
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y
2. Một số ứng dụng.
0
−
B.
x
−∞
3 2
+∞
28
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn +
−2 x + 3
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
0
+
C. 3 2
Ơ
−∞
N
x
+
0
U Y
−
N
−2 x + 3
H
+∞
+∞
−
H Ư
N
G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
0
Đ
+
−2 x + 3
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
TP
3 2
−∞
ẠO
x
.Q
D.
3
−∞ +∞
x 4 x − 12
0
−
10 00
−
B
A.
TR ẦN
b) 4 x − 12
A
B.
H
4 x − 12
Ó
−∞ +∞
x
0
+
C.
3
−∞ +∞
TO
x
ÁN
-L
Í-
+
3
4 x − 12
0
+
D
IỄ N
Đ
ÀN
−
D.
x 4 x − 12
4
−∞ +∞
−
0
+
29
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
c) x 2 − 4
A.
− − +
| 0
+
Ơ
0 | 0
N
2
+
0
+
+
0
|
|
− −
+ 0 0
+ +
N
0
ẠO
2
H Ư
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
x+2 x−2 x2 − 4
−2
Đ
−∞ +∞ + − +
G
x
TP
B.
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
U Y
x+2 x−2 x2 − 4
−2
H
−∞ +∞ − − +
N
x
2
0 | 0
+ − −
| 0 0
+ + +
A
x+2 x−2 x2 − 4
−2
B
−∞ +∞ − + +
10 00
x
TR ẦN
C.
−2
-L
ÁN
2
0 | 0
+ − −
| 0 0
+ + +
ÀN
TO
x+2 x−2 x2 − 4
−∞ +∞ − − +
Í-
x
H
Ó
D.
D
IỄ N
Đ
d) −2 x 2 + 5 x − 2
A.
x
1 2
−∞
2
+∞ 1− 2x
+
0
−
|
−
30
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn x−2 −2 x + 5 x − 2
| 0
− −
2
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com 0
− +
+ −
0
1 2
2
Ơ
|
0
− 0
TP
+
− + −
U Y
+
.Q
0 | 0
+ − +
1− 2x x−2 2 −2 x + 5 x − 2
N
+∞
Đ
1 2
−∞
2
G
x
ẠO
C.
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
−∞
H
x
N
B.
+
0 | 0
TR ẦN
0
0 | 0
2 | 0 0
− − +
− + −
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
+ − −
A
+∞
− + −
B
10 00
1 2
−∞
1− 2x x−2 2 −2 x + 5 x − 2
0
− +
D. x
|
H Ư
+ − −
1− 2x x−2 2 −2 x + 5 x − 2
N
+∞
ÀN
a) Ta có −2 x + 3 = 0 ⇔ x =
D
IỄ N
Đ
Bảng xét dấu x
Lời giải: 3 , a = −2 < 0 . 2
−∞
3 2
+∞
0 + −2 x + 3 b) Ta có 4 x − 12 = 0 ⇔ x = 3 , a = 4 > 0 . Bảng xét dấu x −∞ 4
−
31
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
+∞ + − 0 4 x − 12 2 c) Ta có x − 4 = ( x − 2)( x + 2) , x − 2 = 0 ⇔ x = 2, x + 2 = 0 ⇔ x = −2
Ơ
+ + +
H
| 0 0
N ẠO
1 Suy ra −2 x 2 + 5 x − 2 = −2 ( x − 2) x − = ( x − 2)(1 − 2 x) 2
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
+ 0 − | − 0 x = 2 2 d) Ta có −2 x + 5 x − 2 = 0 ⇔ x = 1 2
x+2 x−2 x2 − 4
N
2
U Y
−2
.Q
−∞ +∞ − − +
TP
Bảng xét dấu x
1 2
2 | 0 0
− + −
10 00
B
TR ẦN
+∞ − + 0 1− 2x − − | x−2 2 0 + − −2 x + 5 x − 2 Ví dụ 2: Lập bảng xét dấu các biểu thức sau −2 x + 3 a) x−2
N
−∞
H Ư
x
G
Đ
Bảng xét dấu
H
−∞
Ó
x
A
A.
3 2
2
-L
ÁN
−2 x + 3 x−2 −2 x + 3 x−2
Í-
+∞
+ +
0
− −
| 0
+
||
− + −
ÀN
TO
−
0 |
x
D
IỄ N
Đ
B.
3 2
−∞
2
+∞ −2 x + 3 x−2
+ −
0 |
− +
| 0
− +
32
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn −2 x + 3 x−2
0
−
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
+
||
−
3 2
2
H
−∞
Ơ
0
+
U Y
0
− +
||
−
ẠO
−
|
− +
.Q
0 |
TP
+ +
−2 x + 3 x−2 −2 x + 3 x−2
N
+∞
3 2
+∞ 0 |
− −
| 0
−
0
+
||
TR ẦN
+ −
− +
−
4 x − 12 x2 − 4x
A
b)
10 00
B
−2 x + 3 x−2 −2 x + 3 x−2
G
2
N
−∞
H Ư
x
Đ
D.
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
x
N
C.
H
Ó
A.
-L
0
− − −
| 0 |
−
||
4
3
− + −
0
|
+ + +
0
−
|
+
| | 0
+ + +
||
+
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
4 x − 12 x x−4 4 x − 12 x2 − 4x
−∞ +∞
Í-
x
B.
x
0
−∞ +∞
4 x − 12 x
+ −
| 0
4
3
− +
0 |
+ +
| |
+ +
33
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn x−4 4 x − 12 x2 − 4x
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
−
|
−
|
−
0
−
||
+
0
−
||
+ +
+
H
| |
+ +
|
−
0
+
0
−
||
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
||
+ +
N
−
0 |
U Y
+ + −
.Q
| 0 |
TP
− − −
4
3
+
ẠO
4 x − 12 x x−4 4 x − 12 x2 − 4x
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
0
−∞ +∞
x
Ơ
N
C.
| 0 |
−
||
− + −
B
+
N
0
|
+ + −
0
−
|
TR ẦN
− − −
4
| | 0
+ + +
||
+
10 00
4 x − 12 x x−4 4 x − 12 x2 − 4x
3
H Ư
0
−∞ +∞
x
G
Đ
D.
Ó
A
c) x (4 − x 2 ) ( x + 2)
Í-
H
A.
TO
ÁN
x 2−x x+2
−∞ +∞
-L
x
2
0
− + −
| | 0
− + +
0 | |
+ + +
| 0 |
+ − +
−
0
−
0
+
0
−
D
IỄ N
Đ
ÀN
x (4 − x 2 ) ( x + 2)
−2
B.
x
−2
−∞ +∞
x
+
|
2
0
−
0
+
|
+
34
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn + +
2−x x+2
x (4 − x ) ( x + 2)
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
|
0
+
|
+
|
+
0 |
+ +
+
0
−
+
2
0
0
−
N
−
N
0 | |
+ + +
| 0 |
+ + +
−
0
−
0
+
0
−
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
− + +
U Y
| | 0
.Q
− + −
TP
x (4 − x 2 ) ( x + 2)
2
0
Đ
ẠO
x 2−x x+2
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
−2
−∞ +∞
x
H
Ơ
C.
H Ư
| 0 |
+ − +
0
+
0
−
TR ẦN
+ + +
B
0
0 | |
−
H
2
A.
TO
ÁN
x
-L
Í-
(x + 1)
−1
−∞
−
1 3
1
+∞
3x + 1 1− x x +1 4x2 1− 2 (x + 1)
ÀN Đ
−
− + +
Ó
4x2
+ + −
−
| | 0 ||
0 | |
− + + −
+ + + 0
| 0 | +
+ − + 0
−
D
IỄ N
| | 0
2
A
x (4 − x 2 ) ( x + 2)
+ + −
0
10 00
x 2−x x+2
d) 1 −
−2
−∞ +∞
x
N
G
D.
B.
35
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn x
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
−1
−∞
−
1 3
1
− + −
| | 0
−
||
0 | |
− + +
+ + +
| 0 |
+ − +
+
0
+
U Y
N
0
−
H
Ơ
3x + 1 1− x x +1 4x2 1− 2 (x + 1)
−
1 3
1
+∞
+
||
+
0
+
x
10 00
B
D.
−
| | 0
0 | |
−1
−∞
| 0 |
0
+ − +
−
−
||
− + + −
1 3
0
1 + + +
| 0 |
+ − +
+
0
−
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
− + −
A
+∞ 3x + 1 1− x x +1 4x2 1− 2 (x + 1)
+ + +
Đ
0 | |
G
− + +
N
| | 0
H Ư
− + −
TR ẦN
3x + 1 1− x x +1 4x2 1− 2 (x + 1)
TP
−1
−∞
ẠO
x
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
C.
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
N
+∞
ÀN
Lời giải:
D
IỄ N
Đ
a) Bảng xét dấu x
3 2
−∞
2
+∞ −2 x + 3 x−2
+ −
0 |
− −
| 0
− +
36
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn −2 x + 3 x−2 4 x − 12 4 x − 12 b) Ta có 2 = x − 4 x x ( x − 4)
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
0
−
+
||
−
0
−
|
+
Ơ
| | 0 ||
2
2
(x + 1)
=
H Ư
| 0 |
+ − +
0
−
0
+
0
−
(3x + 1)(1 − x) 2 (x + 1)
A
−
Ó
H − + −
| | 0
−
||
Í-L
ÁN
TO
ÀN
=
Đ
IỄ N D
B.
1 3
0 | |
− + +
Ví dụ 3: Tùy vào m xét dấu các biểu thức sau A.
Đ + + +
−1
−∞ +∞
3x + 1 1− x x +1 4x2 1− 2 (x + 1)
0 | |
2
Bảng xét dấu
N
G
(x + 1) − 4 x 2 ( x + 1)
x
− + +
− 2
4x2
| | 0
TR ẦN
x (4 − x 2 ) ( x + 2)
2
0
B
− + −
x 2−x x+2
d) Ta có 1 −
−2
−∞ +∞
10 00
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Bảng xét dấu
x
+
ẠO
c) Ta có x (4 − x 2 ) ( x + 2) = x (2 − x)( x + 2)
+ + +
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
||
|
+ + −
H
−
0
− + −
N
| 0 |
U Y
− − −
.Q
4 x − 12 x x−4 4 x − 12 x2 − 4x
4
3
TP
0
−∞ +∞
x
N
Bảng xét dấu
0
−
1 + + +
| 0 |
+ − +
+
0
−
−2 x + m . x−2
C.
D.
Lời giải: m a) Ta có x − 2 = 0 ⇔ x = 2, − 2 x + m = 0 ⇔ x = 2
37
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn m > 2 ⇔ m> 4 : 2 Bảng xét dấu x −∞
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
TH1:
m 2
m −2 x + m −2 x + 2 = 2 ⇔ m = 4 : Ta có = = −2 2 x−2 x−2 −2 x + m Suy ra < 0 ⇔ x ∈ ℝ \{2} x−2 m <2 ⇔ m<4 : TH3: 2 Bảng xét dấu m x −∞ 2 2 +∞ − − + 0 | −2x + m − − | 0 + x−2 −2 x + m − − || + 0 x−2 m −2 x + m −2 x + m m < 0 ⇔ x ∈ −∞; ∪ (2; +∞) Suy ra > 0 ⇔ x ∈ ; 2 và 2 x−2 x−2 2
Ơ H N U Y .Q
ẠO
H
Ó
A
10 00
B
TR ẦN
H Ư
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
TH2:
TP
| + 0 − −2x + m 0 + | + x−2 −2 x + m − || + 0 x−2 m m −2 x + m −2 x + m Suy ra < 0 ⇔ x ∈ (−∞; 2) ∪ ; +∞ > 0 ⇔ x ∈ 2; và x−2 x−2 2 2
N
+∞ + − −
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
2
-L
Í-
2. Bài tập luyện tập. Bài 4.80: Lập bảng xét dấu các biểu thức sau a) −4 x + 8
ÁN
A.
2
−∞
+
0
+∞ +
ÀN
TO
x −4 x + 8
D
IỄ N
Đ
B.
x −4 x + 8
−∞
−
2 0
+∞
−
C.
38
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn x −4 x + 8
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
2
−∞ +
+∞
0
−
2 0
Ơ
−
+∞ +
H
−∞
U Y
N
x −4 x + 8
N
D.
x
−∞ +∞
−3 0
−
TP
−∞
+∞
ẠO
x 3x + 9
−
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
A.
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
b) 3 x + 9
TR ẦN
−3 +
3x + 9
H Ư
N
B.
+
0
−3 0
−∞
−
+∞ +
Ó
A
x 3x + 9
10 00
B
C.
−∞
-L
+
−3 0
+∞
−
TO
ÁN
x 3x + 9
Í-
H
D.
c) x 2 + 4 x + 3
ÀN
A.
D
IỄ N
Đ
x x+2 x−2 x2 − 4
−∞ + − +
−3 0 | 0
−1 +
− −
|
+∞ +
0 0
+ +
B.
39
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn −∞ +∞ − − +
x
−1
−3 + + −
0 | 0
| 0 0
+ + +
Ơ
N
x+2 x−2 x2 − 4
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
+ + +
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
| 0 0
U Y
+ − −
.Q
0 | 0
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
x+2 x−2 x2 − 4
−1
−3
TP
−∞ +∞ − + +
x
N
H
C.
N
| 0 0
+ + +
H Ư
+ − −
0 | 0
10 00
B
x+2 x−2 x2 − 4
−1
−3
TR ẦN
−∞ +∞ − − +
x
G
D.
d) −3 x 2 + 10 x − 3
x
H
−∞
Ó
A
A.
x
IỄ N
Í-
0 | 0
− − +
| 0 0
1 3
−∞
Đ
ÀN
B.
D
+ + −
3
+∞
− + −
TO
ÁN
-L
1 − 3x x−3 2 −3 x + 10 x − 3
1 3
1 − 3x x−3 2 −3 x + 10 x − 3
+ − −
0 | 0
3 +
− +
|
0 0
+∞
− + −
C.
40
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn x
1 3
−∞ + − −
0 | 0
3
+∞
| 0 0
− − +
− + +
Ơ
N
1 − 3x x−3 2 −3 x + 10 x − 3
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
− + −
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
| 0 0
− − +
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
0 | 0
+∞
U Y
+ − −
1 − 3x x−3 2 −3 x + 10 x − 3
3
.Q
1 3
−∞
TP
x
N
H
D.
-L
ÁN
−1
−3
0 | 0
+ − −
| 0 0
+ + +
TO
x+2 x−2 x2 − 4
−∞ +∞ − − +
Í-
Bảng xét dấu x
H
Ó
A
10 00
B
TR ẦN
H Ư
N
G
Lời giải: Bài 4.80: a) Ta có −4 x + 8 = 0 ⇔ x = 2 , a = −4 < 0 . Bảng xét dấu x −∞ 2 +∞ − + 0 −4 x + 8 b) Ta có 3 x + 9 = 0 ⇔ x = −3 , a = 4 > 0 . Bảng xét dấu x −∞ −3 +∞ − + 0 3x + 9 2 c) Ta có x + 4 x + 3 = ( x + 1)( x + 3) , x + 1 = 0 ⇔ x = −1, x + 3 = 0 ⇔ x = −3
x = 3 d) Ta có −3 x + 10 x − 3 = 0 ⇔ x = 1 3 2 Suy ra −3 x + 10 x − 3 = ( x − 3)(1 − 3 x)
IỄ N
Đ
ÀN
2
D
Bảng xét dấu
x
1 3
−∞
3
+∞ 1 − 3x
+
0
−
|
−
41
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn x−3 −3 x + 10 x − 3
| 0
− −
2
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com 0
− +
+ −
0
Ơ
N
Bài 4.81: Lập bảng xét dấu các biểu thức sau −2 x + 4 a) x−3
−∞
H +∞
+ +
0 |
+ −
| 0
− +
+
0
+
||
−
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
x −2 x + 4 x−3 −2 x + 4 x−3
N
−∞
3
U Y
x −2 x + 4 x−3 −2 x + 4 x−3
2
.Q
−∞
TP
x −2 x + 4 x−3 −2 x + 4 x−3
ẠO
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
A.
− −
−
0
+
+ −
2 0 |
||
− + +
+
3 | 0
+
||
− + −
+
+∞
− +
H
Ó
A
10 00
B
C.
N
0 |
+∞
TR ẦN
+ −
3 | 0
H Ư
2
G
Đ
B.
0
−
-L
Í-
−
ÁN
D.
+ −
0 |
− −
3 | 0
−
0
+
||
ÀN
+∞
D
IỄ N
Đ
2
−∞
TO
x −2 x + 4 x−3 −2 x + 4 x−3
b)
4x − 8 x 2 − 3x A.
42
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
−∞
x 4x − 8 x x−3 4x − 8 x 2 − 3x
−∞
x 4x − 8 x x−3 4x − 8 x 2 − 3x
−∞
x 4x − 8 x x−3 4x − 8 x 2 − 3x
−∞
− − −
0 | 0 |
−
||
− + −
2 0 | |
+ + −
+
0
−
− + +
2 0 | |
+
0
− + +
2 0 | |
3 | | 0
+∞ + + +
||
+
H
Ơ
x 4x − 8 x x−3 4x − 8 x 2 − 3x
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
N
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
− − −
0 | 0 |
−
||
.Q
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
||
U Y
N −
+ + +
TP
| 0 |
+∞ + + +
ẠO
+ − −
3 | | 0 ||
−
+
Đ
0
B
+ + +
0
− + −
2 0 | |
+ + −
+
0
−
− +
0 0 |
10 00
+
−
3 | | 0
+∞ + + +
||
+
H
Ó
A
D.
TR ẦN
C.
H Ư
N
G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
B.
−
||
+ +
−3 | |
3 | | 0
+∞ + + +
||
+
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
− − +
0 | 0 |
D
IỄ N
Đ
c) x (9 − x 2 )( x + 3)
A. x x 3− x
−∞
+ +
3 | 0
+∞ + −
43
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn x+3 x (9 − x )( x + 3) 2
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
− −
0 0
+ −
| 0
+ +
| 0
+ −
− + − −
−3 | | 0 0
+ + + −
0 0 | | 0
+ + + +
3 | 0 | 0
+∞ + − + −
− + − −
−3 | | 0 0
+ + +
3 | 0 |
− + − −
−3 | | 0 0
Ơ H N
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
0
Đ G
N
− + + +
+
0
+∞ + − +
+
TR ẦN
x (9 − x 2 )( x + 3)
0 0 | |
H Ư
−∞
x x 3− x x+3
ẠO
C.
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
U Y
TP
x (9 − x 2 )( x + 3)
.Q
−∞
x x 3− x x+3
N
B.
A
− + + −
+ + + +
3 | 0 | 0
+∞ + − + −
2
(x + 1)
x
D
IỄ N
Đ
ÀN
A.
−1
ÁN
x2
TO
d)
-L
Í-
H
Ó
x (9 − x 2 )( x + 3)
0 0 | | 0
10 00
−∞
x x 3− x x+3
B
D.
−1
−∞
2x + 1 x +1 x2 −1 2 (x + 1)
− −
| 0
−
||
− + +
−
1 2
0 |
+∞ + +
0
+
44
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
B.
| 0
−
||
+∞
0 |
− +
+ + 0
−
N
+ −
1 2
+
U Y
N
2x + 1 x +1 x2 −1 2 (x + 1)
−
Ơ
−1
−∞
H
x
||
|
+ 0
−
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
+
+
+
Đ
0
−
G
|
− +
+∞
ẠO
−
+
H Ư
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
2x + 1 x +1 x2 −1 2 (x + 1)
1 2 0
TP
−1
−∞
N
x
.Q
C.
−1
−∞
− −
− +
+ +
−
0
+
+∞
||
H
Ó
A
−
| 0
10 00
2x + 1 x +1 x2 −1 2 x + 1 ( )
1 2 0 |
−
B
x
TR ẦN
D.
Í-
Lời giải: 2
3
0 |
− −
| 0
− +
0
+
||
−
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Bài 4.81: a) Bảng xét dấu x −∞ +∞ + −2 x + 4 − x−3 −2 x + 4 − x−3 4x − 8 4x − 8 b) Ta có 2 = x − 3 x x ( x − 3) Bảng xét dấu
x 4x − 8
2
0
−∞ +∞
−
|
−
0
3 +
|
+
45
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn x x−3 4x − 8 x 2 − 3x
− −
0 |
−
||
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com + −
|
+
+
|
+
|
−
0
0
−
||
+ +
2
N
c) Ta có x (9 − x 2 )( x + 3) = x (3 − x)( x + 3)
N | 0 | 0
ẠO
2
G
Bảng xét dấu
−1
−∞
− −
| 0
−
||
B
− +
10 00
2x + 1 x +1 x2 −1 2 x + 1 ( )
1 2
TR ẦN
+∞
−
H Ư
x
N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Đ
(x + 1) − x2 2 x + 1 d) Ta có −1 = = 2 2 2 (x + 1) (x + 1) (x + 1) x2
+ − + −
U Y
+ + + +
.Q
0 | | 0
− + + −
0 |
−
+ + 0
+
2 C. S = ;1 3
2 D. S = ;1 3
B. S = (2; 4)
C. S = ∅
D. S = (−∞; 1) ∪ (2; 4)
1 B. S = ; 1 2
1 C. S = ;1 2
1 D. S = ;1 2
-L
2 B. S = ;1 3
TO
ÁN
2 A. S = ; 1 3
Í-
H
Ó
A
DẠNG 2: ỨNG DỤNG XÉT DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT HAI ẨN VÀO GIẢI TOÁN. 1. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau a) ( x − 1)(2 − 3 x) ≥ 0
ÀN
b) ( x − 2)( x 2 − 5x + 4) < 0
IỄ N
Đ
A. S = (−∞;1)
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
x (9 − x 2 )( x + 3)
3
TP
| | 0 0
− + − −
x 3− x x+3
0
H
−3
−∞ +∞
x
Ơ
Bảng xét dấu
D
c) (2 x − 1)( x 3 − 1) ≤ 0
1 A. S = ;1 2
46
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
)
3 x − 3 (3 − x 2 ) ≤ 0 A. S = (−∞; − 3]
B. S = [0; +∞)
C. S = ∅
D. S = (−∞; − 3] ∪ [0; +∞)
N
(
H
Ơ
d) x
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
U Y
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q TP + − −
Đ
0 | 0
− − +
G
| 0 0
ẠO
1
N
x −1 2 − 3x (x − 1)(2 − 3x)
+∞ − + −
2 3
H Ư
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
x=1 a) Ta có ( x − 1)(2 − 3 x) = 0 ⇔ x = 2 3 Bảng xét dấu x −∞
N
Lời giải:
Bảng xét dấu
x
0 | | 0
− − − −
Ó H
− 5 x + 4)
-L
( x − 2) ( x
2
Í-
x −1 x−2 x−3
1
A
−∞ +∞
10 00
B
TR ẦN
2 Suy ra bất phương trình có tập nghiệm là S = ; 1 . 3 b) Ta có ( x − 2)( x 2 − 5 x + 4) = ( x − 2)( x − 1)( x − 4)
2 + − − +
| 0 | 0
4 + + − −
| | 0 0
+ + + +
ÁN
Suy ra bất phương trình có tập nghiệm là S = (−∞; 1) ∪ (2; 4) .
TO
c) Ta có (2 x − 1)( x 3 − 1) ≤ 0 ⇔ (2 x − 1)( x − 1)( x 2 + x + 1) ≤ 0 2
1 3 ⇔ (2 x − 1)( x − 1) ≤ 0 (vì x + x + 1 = x + + > 0 ) 2 4
ÀN
2
D
IỄ N
Đ
Bảng xét dấu
x
x −1 2x − 1
−∞ +∞ − −
1 2 | 0
1 − +
0 |
+ +
47
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn +
(x − 1)(2 − 3x)
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
0
0
−
+
1 Suy ra bất phương trình có tập nghiệm là S = ; 1 . 2
(
)(
)
3+x ≤0
x= 3 x+ 3 ≤0 ⇔ x x + 3 ≥ 0
)
(
N
)(
3 −x
Ơ
(
⇔ − 3x x − 3
2
)(
)
+
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
(x − 1)(2 − 3x)
0 |
+ +
0
−
0
+
.Q
− +
TP
| 0
ẠO
x+ 3
0
Đ
x
(
− 3
−∞ +∞ − −
)
Suy ra x x + 3 ≥ 0 ⇔ x ∈ (−∞; − 3] ∪ [0; +∞)
TR ẦN
H Ư
N
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (−∞; − 3] ∪ [0; +∞) Ví dụ 2: Giải các bất phương trình sau −2 x + 4 a) ≤0 (2 x − 1)(3x + 1)
G
x
U Y
Bảng xét dấu
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
)
3 x − 3 (3 − x 2 ) ≤ 0 ⇔ x 3 x − 3
H
(
N
d) Ta có x
1 1 A. S = (− ; ) 3 2
B
B. S = [2; +∞)
10 00
1 1 C. S = (− ; ) ∪ [2; +∞) 3 2
Í-L
<1 x2 − 1 A. S = (1; +∞)
H
(x − 3)(x + 2)
ÁN
b)
Ó
A
D. S = ∅
≤
ÀN
1
2
( x − 2)
1 x+4
A. S = [4; +∞)
B. S = (−4; 0]
C. S = (−4; 0] ∪ [4; +∞)
D. S = ∅
D
IỄ N
Đ
c)
D. S = ∅
TO
C. S = (−5; −1) ∪ (1; +∞)
B. S = (−5; −1)
Lời giải: a) Bảng xét dấu
48
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn x
−∞
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com 1 3
−
1 2
2
+∞ 0 | |
+ − +
+
||
−
|
+ + +
0 |
| | 0
+ + − 0
U Y
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q TP Đ
1
0
| 0 |
+
||
+ + −
G
−
+ − −
N
0 | |
H Ư
− − −
TR ẦN
x+5 x +1 x −1 x+5 (x − 1)(x + 1)
−1
−5
−∞ +∞
ẠO
Bảng xét dấu
x
−
H
+
N
||
1 1 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (− ; ) ∪ [2; +∞) 3 2 − + − + x x x x 3 2 3 2 ( )( ) ( )( ) x+5 b) Ta có < 1 ⇔ 1− >0⇔ >0 2 2 x −1 x −1 ( x − 1)(x + 1)
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
N
− − +
Ơ
3x + 1 2x − 1 −2 x + 4 −2 x + 4 (2 x − 1)(3x + 1)
−
| | 0
+ + +
||
+
Ó
x ( x − 4)
H
2
(x + 4)(x − 2)
≥0 ⇔
Bảng xét dấu
ÁN
x
x ( x − 4)
( x + 4)
≥0
−4
−∞ +∞
4
0
x+4 x x−4 x ( x − 4)
− − −
0 | |
+ − −
( x + 4)
−
||
+
TO ÀN Đ IỄ N D
2
(x + 4)(x − 2)
≥0 ⇔
Í-
x2 − 4x
-L
⇔
A
10 00
B
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (−5; −1) ∪ (1; +∞) x ≠ 2 c) ĐKXĐ: x ≠ −4 1 1 1 1 Ta có ≤ ⇔ − ≥0 2 2 ( x − 2 ) x + 4 x + 4 ( x − 2)
| 0 |
+ + −
0
−
| |
0
+ + +
0
+
Kết hợp với điều kiện xác định suy ra tập nghiệm của bất phương trình là S = (−4; 0] ∪ [4; +∞) Ví dụ 3: Giải các bất phương trình sau: a) 2 x + 1 < 3 x
49
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn 1 B. S = ; +∞ 5
A. S = (1; +∞)
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com −1 C. S = −∞; 2
D. S = ∅
b) 2 x − 1 − 4 > 3
B. S = (0; 1)
C. S = (4; +∞)
D. S = (−∞; −3) ∪ (0;1) ∪ (4; +∞)
N U Y
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
C. S = [2; +∞)
D. S = [4; +∞)
TP
B. S = [3; +∞)
ẠO
A. S = [1; +∞)
.Q
c) x + 1 − x − 2 ≥ 3
Lời giải:
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
H
Ơ
N
A. S = (−∞; −3)
Đ
1 ta có bất phương trình tương đương với 2 x + 1 < 3 x ⇔ x > 1 2 1 Kết hợp với điều kiện x ≥ − suy ra bất phương trình có tập nghiệm là (1; +∞) 2 1 1 Với x < − ta có bất phương trình tương đương với −2 x − 1 < 3 x ⇔ x > − 2 5 1 Kết hợp với điều kiện x < − suy ra bất phương trình vô nghiệm 2 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (1; +∞) .
10 00
B
TR ẦN
H Ư
N
G
a) Với x ≥ −
-L
Í-
H
Ó
A
2x −1 − 4 > 3 2x − 1 > 7 b) Ta có 2 x − 1 − 4 > 3 ⇔ ⇔ 2 x − 1 − 4 < −3 2 x − 1 < 1 2x − 1 > 7 x>4 ⇔ 2 x − 1 < −7 ⇔ x < −3 −1 < 2 x − 1 < 1 0 < x < 1 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (−∞; −3) ∪ (0;1) ∪ (4; +∞) .
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
c) Bảng xét dấu x −∞ −1 2 +∞ + | + − 0 x +1 − − | 0 + x−2 Từ bảng xét dấu đó ta chia ra các trường hợp sau Với x < −1 ta có bất phương trình tương đương với −( x + 1) + ( x − 2) ≥ 3 ⇔ −3 ≥ 3 (vô nghiệm) Với −1 ≤ x < 2 ta có bất phương trình tương đương với
(x + 1) + (x − 2) ≥ 3 ⇔ x ≥ 2 Kết hợp với điều kiện −1 ≤ x < 2 suy ra bất phương trình vô nghiệm
50
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Với x ≥ 2 ta có bất phương trình tương đương với (x + 1) − (x − 2) ≥ 3 ⇔ 3 ≥ 3
Ơ H N TP
≥0 B. S = (−∞; −1)
C. S = (0; +∞)\{1}
D. S = (−∞; −1) ∪ (0; +∞)\{1}
)(
H Ư
N
G
A. S = (−∞; −1) ∪ (0; +∞)\{−1}
x + 1 − 2x −1
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
(
ẠO
x4 − x 2
Đ
x −1 −1
U Y
D. S = ∅
.Q
2 C. S = (−∞; 0) ∪ ( ; +∞) 3
x +1 −2
x −1
TR ẦN
c)
B. S = (−∞; 0)
)≤0
B. S = (1; 2]
B
A. S = [3; +∞)
A
C. S = (1; 2] ∪ [3; +∞) D. S = ∅
10 00
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
b)
2 A. S = ( ; +∞) 3
N
Kết hợp với điều kiện x ≥ 2 suy ra bất phương trình có nghiệm là x ≥ 2 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = [2; +∞) . Ví dụ 4: Giải các bất phương trình sau: x−2 −x a) <1 x
ÁN
-L
Í-
H
Ó
Lời giải: a) Với x ≥ 2 ta có bất phương trình tương đương với x−2−x −2 <1⇔ < 1 ⇔ x > −2 x x Kết hợp điều kiện x ≥ 2 suy ra tập nghiệm bất phương trình là S1 = [2; +∞)
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
Với x < 2 ta có bất phương trình tương đương với 2−x−x 2 − 2x 2 − 2x 3x − 2 <1⇔ < 1 ⇔ 1− >0 ⇔ >0 x x x x Bảng xét dấu 2 x −∞ 0 3 +∞ 0 + | + − x − − | 0 + 3x − 2 3x − 2 − + || 0 + x
51
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
x4 − x2
≥0 ⇔
x4 − x 2
+ −
+
||
−
.Q TP
|
+ +
0
Đ
0 |
||
+
N
G
− −
ẠO
0
H Ư
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
−1
−∞ +∞
x +1 x 1 x ( x + 1)
U Y
x ( x − 1) x2 − x 1 ≥0 ⇔ 2 ≥0 ⇔ ≥0 4 2 x ( x + 1) x −x x ( x − 1)( x + 1) Bảng xét dấu x
Ơ
≥0
TR ẦN
Kết hợp điều kiện xác đinh suy ra tập nghiệm bất phương trình là S = (−∞; −1) ∪ (0; +∞)\{1} .
)(
x + 1 + 2x −1
)(
x +1 −2
A
x + 1 − 2x −1
Ó
(
10 00
B
1 2 x − 1 ≥ 0 x ≥ 1 x≥ 2 c) ĐKXĐ: x + 1 ≥ 0 ⇔ ⇔ 2 x ≥ −1 ≠ 1 x x ≠ 1 x ≠ 1 Vì x + 1 + 2 x − 1 > 0, x + 1 − 2 > 0 nên bất phương trình tương đương với
)(
x+1 + 2
≤0
ÁN
x −1 Bảng xét dấu
Í-
(−x + 2)(x − 3)
-L
⇔
H
x −1
TO
x
ÀN
x −1 −x + 2 x−3 (−x + 2)( x − 3)
1
−∞ +∞
− + −
0 | |
2
+ + −
| 0 |
3
+ − −
| | 0
+ − +
D
IỄ N
Đ
)≤0
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
≥0 ⇔
2
x −1 −1
H
x4 − x 2
( x − 1 + 1)( x − 1 − 1)
N
Ta có
x −1 −1
N
2 Kết hợp điều kiện x < 2 suy ra tập nghiệm bất phương trình là S2 = (−∞; 0) ∪ ( ; 2) . 3 2 Vậy tập nghiệm bất phương trình là S = S1 ∪ S2 = (−∞; 0) ∪ ( ; +∞) 3 x≠0 b) ĐKXĐ: x 4 − x 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ ±1
− − + || 0 + 0 x −1 Kết hợp với điều kiện xác định suy ra tập nghiệm của bất phương trình là S = (1; 2] ∪ [3; +∞) . Nhận xét: * Đối với bất phương trình phức tạp chúng ta nên đặt điều kiện xác định sau đó rồi rút gọn cho biểu thức chung hoặc rút gọn biểu thức luôn xác định một dấu.
52
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
* Nhiều khi chúng ta cần phải nhân hay chia với một biểu thức luôn xác định một dấu nhằm khử đi căn thức hay dấu giá trị tuyệt đối thì bài toán trở nên đơn giản hơn. x − 2 2 − 2 x ( ) ≥ 0 (1) Ví dụ 5: Cho hệ bất phương trình (2 x − 1)( x + 2) (2) mx > 2 a) Giải hệ bất phương trình khi m = −1 1 A. S = ∅ B. S = (−∞; −2) C. S = −2; ∪ 2 D. S = ℝ 2
)
H
Ơ
N
(
TP
b) Tìm m để hệ bất phương trình có nghiệm
A. −1 < m < 1 và m > 2 .
ẠO
B. −1 < m < 0 và m > 3 .
Đ
C. −21 < m < 0 và m > 12 .
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
U Y
N
{ }
x ≠ −2 ĐKXĐ: x ≠ 1 2 2 −x
(2 x − 1)(x + 2)
) ≥ 0 ⇔
x= 2
10 00
)(
1 ≤0 (2 x − 1)( x + 2)
A
Ta có (1) ⇔
(
2 x− 2
B
TR ẦN
Lời giải:
H Ư
N
G
D. −1 < m < 0 và m > 2 .
Ó
Bảng xét dấu
H
x
1 2
−2
Í-
−∞
0 |
+ −
+
||
−
-L
+∞ − −
| 0 ||
+ + +
ÀN
TO
ÁN
x+2 2x −1 1 (2 x − 1)(x + 2)
Đ
1 Kết hợp với điều kiện suy ra tập nghiệm bất phương trình (1) là S1 = −2; ∪ 2
{ 2}
D
IỄ N
a) Khi m = −1 ta có bất phương trình (2) trở thành −x > 2 ⇔ x < −2
Kết hợp với điều kiện suy ra tập nghiệm bất phương trình (2) là S2 = (−∞; −2) Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình là S = S1 ∩ S2 = ∅ .
b) Với m = 0 bất phương trình (2) trở thành 0.x > 2 suy ra bất phương trình vô nghiệm do đó hệ bất
53
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
phương trình vô nghiệm
Ơ H
U Y
Đối chiếu với điều kiện ta có 2 2 1 Nếu ≥ ⇔ m ≤ 4 thì tập nghiệm bất phương trình (2) là S2 = ; +∞ m m 2 0 < m ≤ 4 0 < m ≤ 4 ⇔ ⇔ 2 <m≤4 Hệ bất phương trình có nghiệm ⇔ S1 ∩ S2 ≠ 0 ⇔ 2 < 2 m> 2 m
N
2 m
N
• Với m > 0 bất phương trình (2) ⇔ x >
2 1 2 1 < ⇔ m > 4 thì tập nghiệm bất phương trình (2) là S2 = ; +∞\ m m 2 2 m > 4 m > 4 Hệ bất phương trình có nghiệm ⇔ S1 ∩ S2 ≠ 0 ⇔ 2 ⇔ ⇔ m>4 < 2 m > 2 m 2 • Với m < 0 bất phương trình (2) ⇔ x < m Đối chiếu với điều kiện ta có 2 2 Nếu > −2 ⇔ m > −1 thì tập nghiệm bất phương trình (2) là S2 = −∞; \{−2} m m −1 < m < 0 −1 < m < 0 Hệ bất phương trình có nghiệm ⇔ S1 ∩ S2 ≠ 0 ⇔ 2 ⇔ ⇒ −1 < m < 0 m > −1 > −2 m 2 2 Nếu ≤ −2 ⇔ m ≤ −1 thì tập nghiệm bất phương trình (2) là S2 = −∞; m m
10 00
B
TR ẦN
H Ư
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
TP
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
Nếu
H
Ó
A
m ≤ −1 m ≤ −1 Hệ bất phương trình có nghiệm ⇔ S1 ∩ S2 ≠ 0 ⇔ 2 ⇔ (loại) > −2 m > −1 m
ÁN
3. Bài tập luyện tập
-L
Í-
Vậy hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi −1 < m < 0 và m > 2 .
TO
Bài 4.82: Giải các bất phương trình sau:
ÀN
a) 3 x 2 − 10 x + 3 ≥ 0
B. T = [3; +∞)
C. T = ∅
1 D. T = (−∞; ] ∪ [3; +∞) 3
D
IỄ N
Đ
1 A. T = (−∞; ] 3
54
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
(
)
2 − x ( x 2 − 2) ( 2 x − 4) < 0
(
)
(
)
B. T = −∞; − 2
C. T = ∅
D. T = −∞; − 2 ∪ (2; +∞)
N
A. T = (2; +∞)
N U Y
2x
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
TP
1 x> 3 C. 1 −1 < x ≤ 4
−9 < x < −6 D. 3<x<6
ẠO 1 x> 3 B. 1 −1 < x ≤ 8
Đ
>1 1 5
C. x <
1 5
G
1 x≥ 2 D. 1 −1 < x ≤ 8
D. Vô nghiệm
A
B. 0 < x
N
H Ư
B
2x − 1 − x
A. 0 < x <
H Í-
−1 ≤ x ≤ 0 B. 1< x ≤ 4
−1 < x ≤ 0 C. 1< x ≤ 4
2 B. − < x ≤ 0 3
C. x >
-L
≥0 x2 − 1 −1 < x < 0 A. 1< x < 4
Ó
2− x−2
−1 < x ≤ 2 D. 1< x ≤ 4
TO
ÁN
f)
−9 < x < 6 C. −3 < x < 0
2 3 ≤ 1− 2x x + 1 1 x> 2 A. 1 −1 < x ≤ 8
e)
−3 < x < −6 B. −3 < x < 0
TR ẦN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
d)
1 1 1 − > x+9 x 2 −9 < x < −6 A. −3 < x < 0
10 00
c)
H
Ơ
b)
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
x+ 4 −2 ≤0 4 − 9x2 2 A. x > 3
D
IỄ N
Đ
ÀN
g)
h)
3
x2 − 2x − 3 3x − 1 + 3 4 − 5x
2 2 , − < x ≤ 0 D. S = ∅ 3 3
≥0
55
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn 3 <x≤3 A. 2 x ≤ −1
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
3 <x≤3 2
B.
C. x ≤ −1
D. Vô nghiệm
Lời giải:
Ơ
1 3
3
N
−∞
H
+
0
0
−
+
.Q
VT
U Y
+∞
ẠO
(
TP
1 Tập nghiệm : T = (−∞; ] ∪ [3; +∞) 3
)
Đ N
G
−9 < x < −6 (x + 3)( x + 6) >0⇔ −3 < x < 0 x ( x + 9)
H Ư
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
b) T = −∞; − 2 ∪ (2; +∞) c) bpt ⇔
B 10 00
3 x − 1 + 3 4 − 5 x > 0 ⇔ 3 − 2 x > 0 suy ra
H
Í-
≥0⇔
3 − 2x
3
2 2 , − <x≤0 3 3
3 x − 1 + 3 4 − 5 x cùng dấu với 3 − 2x
3 <x≤3 ≥ 0 ⇔ 2 x ≤ −1
ÁN
3x − 1 + 3 4 − 5x
(x + 1)(x − 3)
-L
x2 − 2x − 3 3
g) x >
A
3
−1 < x ≤ 0 f) 1< x ≤ 4
Ó
h)
1 5
TR ẦN
1 x> 8x − 1 2 d) bpt ⇔ ≤0 ⇔ 1 (2 x − 1)(x + 1) −1 < x ≤ 8 e) bpt ⇔ 0 < x <
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
x
N
Bài 4.82: a) BXD :
TO
Bài 4.83: Giải các bất phương trình sau: x 2
ÀN
a) x − 2 <
D
IỄ N
Đ
A.
4 <x 3
4 <x<4 3
B. x < 4
C.
B. x < 2
C. x ≤ 1
D. Vô nghiệm
b) 4 x − 2 x + 1 ≤ 3
A. x ≤ 2
D. x ≤ 3
56
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
c) 3 x − 2 − 1 > 4
A. x < −1
7 3
C. x < −1, x >
B. x ≤ 4
C. −6 ≤ x ≤ 4
7 3
D. Vô nghiệm
N
B. x >
d) −6 ≤ x ≤ 4
D. 2 x − 1 > 3 .
Số x = −1 là nghiệm của bất phương trình nào sau đây?
C. 2 x − 1 > 0 .
B
B. 2 x + 1 < 0 .
10 00
Số nào sau đây là nghiệm của bất phương trình
A
B. 1 .
1− x 3− x
C. 0 .
D. x − 1 > 0 .
>
x −1 3− x D.
Í-L
B. m< 3 .
ÁN
TO
B. m ≤ 1 .
ÀN Đ IỄ N
D. m<1 .
C. −1 ≤ m ≤ 1 .
D. m ≥ −1 .
Xác định tính đúng-sai của các mệnh đề sau:
A. x + 2 x − 1 > 2 x − 1 ⇔ x > 0 . Sai
D
C. m= 3 .
Số x= 1 là nghiệm của bất phương trình 2 m − 3mx 2 ≥ 1 khi và chỉ khi
A. m ≤ −1 .
Câu 7.
3 . 2
Số x = −1 là nghiệm của bất phương trình m − x 2 < 2 khi và chỉ khi
A. m> 3 .
Câu 6.
?
H
Ó
A. 2 .
Câu 5.
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
C. 4 x − 11 > x .
TR ẦN
B. 3 x + 1 < 4 .
A. 3 − x < 0 .
Câu 4.
H
N
H Ư
Số x= 3 là nghiệm của bất phương trình nào sau đây?
A. 5 − x < 1 .
Câu 3.
G
Bài 2: Bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn
Câu 2.
N
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN TỔNG HỢP LẦN 1.
Câu 1.
U Y
b) x ≤ 2
.Q
4 <x<4 3
TP
Bài 4.83: a)
Lời giải: 7 c) x < −1, x > 3
D. Vô nghiệm
ẠO
A. −6 ≤ x
Ơ
c) 2 x + 3 − 3 x + 4 ≥ −5
B.
x + x + 1 > x + 1 ⇔ x > 0 .Đúng
C.
(
2
)
2 x − 3 ≤ 2 ⇔ 2 x − 3 ≤ 2 . Sai
D. x + x − 1 > x − 1 ⇔ x > 0 . Sai
Bất phương trình nào sau đây tương đương với bất phương trình 2 x> 1 ?
57
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn B. 2 x −
C. 4 x 2 > 1 .
D. 2 x + x + 2 > 1 + x + 2 .
U Y
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
là:
2 − 3x
2 B. −∞; . 3
TP
1
3 C. −∞; . 2
3 D. −∞; . 2
Đ
2 A. −∞; . 3
D. (−∞; 5) .
ẠO
Câu 10. Tập xác định của hàm số y =
C. (5; +∞) .
.Q
B. (−∞; −5) .
N
Tập nghiệm của bất phương trình 2 x + 1> 3 (2 − x) là
A. (1; +∞) .
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
D. (1; +∞) .
Ơ
C. (−∞;1) .
H
B. (3; +∞) .
N
Tập nghiệm của bất phương trình 3 − 2 x < x là
A. (−∞; 3) . Câu 9.
1 1 . > 1− x−3 x−3
A. 2 x + x − 2 > 1 + x − 2 .
8 B. ; +∞ . 3
8 C. −∞; . 7
TR ẦN
8 A. ; +∞ . 7
H Ư
N
Câu 11. Tập nghiệm của bất phương trình 5 x − 2 (4 − x)> 0 là:
G
Câu 8.
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
8 D. − ; +∞ . 7
Câu 12. Tập nghiệm của bất phương trình 3 x < 5 (1 − x) là:
B
Í-L
ÁN
x−3 x−2
B. 3; +∞) .
ÀN
TO
C. (−∞; 2 .
D
IỄ N
Đ
Câu 15. Tập nghiệm của bất phương trình A. (−∞; 2) .
B. (2; ∞) .
5 D. −∞; . 8
là:
2−x
B. (2; +∞) .
Câu 14. Tập nghiệm của phương trình A. (3; +∞) .
1
H
Ó
A
Câu 13. Tập xác định của hàm số y = A. (−∞; 2) .
5 C. −∞; . 4
10 00
5 5 A. − ; +∞ . B. ; +∞ . 2 8
x−3
=
x−2
D. 2; +∞) . là
C. {3} .
2−x 5− x
>
D. (2; +∞) .
x−2 5− x
C. (2; 5) .
là
D. (−∞; 2 .
Câu 16. Tập nghiệm của bất phương trình 3 − 2 x + 2 − x < x + 2 − x là A. (1; 2) .
B. (1; 2 .
C. (−∞;1) .
D. (1; +∞) .
58
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Câu 17. Phương trình A. 0 .
6−x
1− 4x
=
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
2x + 3 1− 4x
có bao nhiêu nghiệm ?
B. 1 .
C. 2 .
D. nhiều hơn 2 .
C. {0} .
D. {1} .
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
C. {0;1} .
TP
B. {0} .
A. (0; 1) .
N
Câu 19. Tập hợp các giá trị của m để bất phương trình (m2 − m) x < m vô nghiệm là
H
Ơ
D. −2; 0 .
U Y
B. {−2; 0} .
A. (−2; 0) .
N
Câu 18. Tập hợp các giá trị của m để bất phương trình ( m 2 + 2 m)x ≤ m2 thoả mãn với mọi x là
Câu 20. Phương trình x 2 − 7 mx − m − 6 = 0 có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi B. m > −6 .
C. m< 6 .
D. m> 6 .
ẠO
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
A. m < −6 .
N
1 C. m ≥ . 3
H Ư
1 B. m ≤ . 3
TR ẦN
1 A. m < . 3
G
Đ
Câu 21. Phương trình x 2 − 2 mx + m2 + 3m − 1 = 0 có nghiệm khi và chỉ khi
1 D. m ≥ − . 3
3 B. m < . 2
10 00
2 A. m > . 3
B
Câu 22. Phương trình (m2 + 1) x 2 − x − 2m + 3 = 0 có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi 3 C. m > . 2
3 D. m > − . 2
Câu 23. Phương trình x 2 + 4 mx + 4 m2 − 2 m − 5 = 0 có nghiệm khi và chỉ khi −5 . 2
Ó
A
B. m >
−5 . 2
5 C. m ≥ . 2
D. m ≤
−5 . 2
H
A. m ≥
B. (−∞;1) .
TO
ÁN
1 A. ;1 . 5
-L
Í-
3 x + 2 > 2 x + 3 Câu 24. Tập nghiệm của hệ bất phương trình là: 1 − x > 0
D
IỄ N
Đ
ÀN
Câu 25. Tập nghiệm của bất phương trình 1 A. −3; . 2
C. (1; +∞) .
D. ∅ ( tập rỗng ).
2x − 1 < 0 là x+3
B. (−∞; −3) .
1 C. ; +∞ . 2
1 D. −∞; \{−3} . 2
2 x + 1 > 3x − 2 Câu 26. Tập nghiệm của hệ bất phương trình là −x − 3 < 0 A. (−3; +∞) .
B. (−∞; 3) .
C. (−3; 3) .
D. (−∞; −3) ∪ (3; +∞) .
59
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
2 x − 5 ≥ 0 Câu 27. Tập nghiệm của hệ bất phương trình là 8 − 3 x ≥ 0
Ơ
+ 2 x − 1 là:
H
1 3 B. ; . 2 2
2 C. ; +∞ . 3
1 D. ; +∞ . 2
4 3 C. ; . 3 2
D. ∅ .
ẠO
2 3 B. ; . 3 4
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
3 4 A. ; . 2 3
TP
Câu 29. Tập xác định của hàm số y = 2 x − 3 + 4 − 3x là
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
2 − 3x
N
1 2 A. ; . 2 3
1
8 D. ; +∞ . 3
U Y
Câu 28. Tập xác định của hàm số y =
8 5 C. ; . 3 2
N
3 2 B. ; . 8 5
.Q
5 8 A. ; . 2 3
B.
3 8 ≤x≤ . 2 3
8 C. x ≤ . 3
H Ư
8 2 ≤x≤ . 3 3
TR ẦN
A.
N
G
Câu 30. Hai đẳng thức: 2 x − 3 = 2 x − 3; 3 x − 8 = 8 − 3 x cùng xảy ra khi và chỉ khi: 3 D. x ≥ . 2
Câu 31. Tập xác định của hàm số y = 3 − 2 x + 5 − 6 x là
3 C. −∞; . 2
B
6 B. −∞; . 5
10 00
5 A. −∞; . 6
2 D. −∞; . 3
Câu 32. Tập xác định của hàm số y = 4 x − 3 + 5 x − 6 là 6 B. ; +∞ . 5
Ó H
1− x 3− x
B. (1; 3) .
TO
ÁN
-L
Í-
Câu 33. Tập nghiệm của bất phương trình A. ∅ .
ÀN
Câu 34. Tập xác định của hàm số y = x − 1 +
Đ
3 C. ; +∞ . 4
A
6 A. ; +∞ . 5
A. 1; +∞) .
>
x −1 3− x
3 6 D. ; . 4 5
là
C. (−∞;1) .
D. (−∞; 3) .
1 là x+4
B. 1; +∞)\{4} .
C. (1; +∞)\{4} .
D. (−4; +∞) .
D
IỄ N
Câu 35. Tập hợp nghiêm của bất phương trình x − 1 < x + 1 là: A. (0; 1) .
B. (1; +∞) .
C. (0; +∞) .
D. 0; +∞) .
Câu 36. Tập hợp nghiêm của bất phương trình x − 1 ≤ x − 1 là:
60
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn A. (0; 1) .
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
B. (1; +∞) .
D. 1; +∞) .
C. (0; +∞) .
x + y = 1 Câu 37. Với giá trị nào của a thì hệ phương trình có nghiệm (x;y) với x > y? x − y = 2 a − 1 1 C. a > − . 2
D. a <
1 . 2
N
1 B. a > . 3
Ơ
1 . 2
N
H
A. a >
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
7 C. m < . 2
5 D. m ≥ − . 2
TP
5 B. m ≤ − . 2
ẠO
5 A. m < − . 2
U Y
2 x − 1 > 0 Câu 38. Hệ phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi x − m < 3
C. m > 5 .
N
B. m > −5 .
D. m < 5 .
H Ư
A. m < −5 .
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
x + m ≤ 0 (1) Câu 39. Cho hệ bất phương trình . Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi: −x + 5 < 0 (2)
A. m < 3 .
B. m < 1 .
TR ẦN
Câu 40. Phương trình x 2 − 2( m − 1) x + m − 3 = 0 có hai nghiệm đối nhau khi và chỉ khi C. m = 1 .
D. 1 < m < 3 .
3 B. m < − . 4
10 00
3 A. m > − . 4
B
Câu 41. Phương trình x 2 + x + m = 0 vô nghiệm khi và chỉ khi
Ó
A
Câu 42. Tập nghiệm của bất phương trình B. ℝ .
5 D. m > − . 4
x −1 > 1 là x−3
C. (3; +∞) .
D. (−∞; 5) .
Í-
H
A. ∅ .
1 C. m > . 4
ÁN
-L
2 x − 1 > 0 Câu 43. Hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi x − m < 2
TO
3 A. m < − . 2
3 B. m ≤ − . 2
3 C. m > − . 2
3 D. m ≥ − . 2
D
IỄ N
Đ
ÀN
2 x − 1 ≥ 3 Câu 44. Tập hợp các giá trị m để hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất là x − m ≤ 0 A. ∅ .
B. {2} .
C. 2; +∞) .
D. (−∞; 2 .
x + y = 2 Câu 45. Hệ phương trình có nghiệm ( x; y) với x < 0 khi và chỉ khi x − y = 5a − 2
61
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn A. a <
2 . 5
B. a >
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
2 . 5
6 C. a < . 5
D. a <
5 . 2
Câu 46. Phương trình 3 ( x − m) = x + m − 1 có nghiệm khi và chỉ khi
x−2
x−2
B. 2; +∞)
Câu 49. Tập nghiệm của bất phương trình
N Ơ H
là
C. (2; +∞) .
D. 1; +∞)\{2} .
1− x 3− x
>
x −1 3− x
là
C. 1; 3) .
B. (1; 3) .
D. (−∞;1) .
TR ẦN
A. (−∞; 3) .
TP
x −1
=
ẠO
1− x
D. Nhiều hơn 2.
.Q
C. 2 .
Đ
A. 1; +∞) .
là bao nhiêu?
Bài 3: Dấu của nhị thức bậc nhất
10 00
B
Câu 50. Nhị thức nào sau đây nhận giá trị âm với mọi x nhỏ hơn 2 ? A. f ( x) = 3 x + 6 .
B. f ( x) = 6 – 3 x .
C. f ( x) = 4 – 3 x .
B. f ( x) = 3 x + 2 .
C. f ( x) = −3 x – 2 .
-L
Í-
A. f ( x) = −6 x – 4 .
H
Ó
A
Câu 51. Nhị thức nào sau đây nhận giá trị âm với mọi số x nhỏ hơn −
ÁN
Câu 52. Nhị thức nào sau đây nhận giá trị âm với mọi số x nhỏ hơn −
TO
A. f ( x) = 2 x + 3 .
B. f ( x) = −2 x − 3 .
C. f ( x) = −3 x – 2 .
D. f ( x) = 3 x – 6 . 2 ? 3
D. f ( x) = 2 x + 3 . 3 ? 2
D. f ( x) = −2 x + 3 .
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
1− 2x
N
2x + 3
B. 1 .
Câu 48. Tập nghiệm của phương trình
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
1− 2x
=
G
A. 0 .
3− x
D. m ≥ 4 .
N
Câu 47. Số nghiệm của phương trình
1 C. m < . 4
U Y
1 B. m ≥ . 4
H Ư
1 A. m > . 4
Đ
ÀN
Câu 53. Nhị thức nào sau đây nhận giá trị âm với mọi x lớn hơn 2 ? A. f ( x) = 2 x – 1 .
B. f ( x) = x – 2 .
C. f ( x) = 2 x + 5 .
D. f ( x) = 6 − 3 x .
1 C. x > − . 5
1 D. x > . 5
D
IỄ N
Câu 54. Nhị thức −5 x + 1 nhận giá trị âm khi 1 A. x < . 5
1 B. x < − . 5
Câu 55. Nhị thức −3 x + 2 nhận giá trị dương khi
62
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn 3 A. x < . 2
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
2 B. x < . 3
3 C. x > − . 2
2 D. x > . 3
Câu 56. Nhị thức −2 x − 3 nhận giá trị dương khi và chỉ khi 3 C. x > − . 2
2 D. x > − . 3
N
2 B. x < − . 3
Ơ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
A. (−∞;1 .
N
D. f ( x) = 3 x – 6 .
C. ℝ \{1} .
D. (−∞;1) .
.Q
x2 + 1 là 1− x
B. (1; ∞) .
TP
Câu 58. Tập xác định của hàm số y =
C. f ( x) = 4 – 3 x .
U Y
B. f ( x) = 6 – 3 x .
ẠO
A. f ( x) = 3 x + 6 .
H
Câu 57. Nhị thức nào sau đây nhận giá trị dương với mọi x nhỏ hơn 2 ?
C. m =
1 . 2
H Ư
B. m = 1 .
N
1 A. m = − . 2
G
Đ
Câu 59. Tập xác định của hàm số y = x − 2 m − 4 − 2 x là 1; 2 khi và chỉ khi
1 D. m > . 2
B. m < 3
C. m > 3
D. m <
1 3
B
A. m = 3
TR ẦN
Câu 60. Tập xác định của hàm số y = x − m − 6 − 2 x là một đoạn trên trục số khi và chỉ khi
10 00
Câu 61. Tập xác định của hàm số y = m − 2 x − x + 1 là một đoạn trên trục số khi và chỉ khi B. m > 2 .
1 C. m > − . 2
D. m > −2 .
H
Ó
A
A. m < −2 .
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
Vẫn còn tổng hợp…..
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
3 A. x < − . 2
63
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Mục lục
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. ............................................................................................................ 1 B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. .................................................................... 3
Ơ
1. Phương pháp giải. ................................................................................................................ 3
N
DẠNG TOÁN 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍCH CHẤT CƠ BẢN. .............................. 3
H
2. Các ví dụ minh họa. ............................................................................................................. 3
U Y
N
Loại 1: Biến đổi tương đương về bất đẳng thức đúng. ......................................................... 3
TP
3. Bài tập luyện tập................................................................................................................... 9 DẠNG TOÁN 2: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY(côsi) ĐỂ CHỨNG MINH BẤT
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRI LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT................................................ 13
G
Đ
Loại 1: Vận dụng trực tiếp bất đẳng thức côsi..................................................................... 13
N
Loại 2: Kĩ thuật tách, thêm bớt, ghép cặp............................................................................. 17
H Ư
Loại 3: Kĩ thuật tham số hóa ................................................................................................. 24
TR ẦN
Loại 4: Kĩ thuật côsi ngược dấu. ........................................................................................... 27 3. Bài tập luyện tập................................................................................................................. 29
B
DẠNG 3: ĐẶT ẨN PHỤ TRONG BẤT ĐẲNG THỨC. ......................................................... 45
10 00
DẠNG 4: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ. ..................................................................... 56 C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỔNG HỢP ................................................................................. 66
Ó
A
TỔNG HỢP LẦN 1 ................................................................................................................... 66
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
H
TỔNG HỢP LẦN 2 ................................................................................................................... 72
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
Loại 2: Xuất phát từ một BĐT đúng ta biến đổi đến BĐT cần chứng minh ....................... 6
BẤT ĐẲNG THỨC
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 1. Định nghĩa :
1
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Cho a , b là hai số thực. Các mệnh đề " a > b ", " a < b ", " a ≥ b ", " a ≤ b " được gọi là những bất đẳng thức.
N
H
Ơ
đẳng thức A > B (với điều kiện nào đó) nghĩa là chứng minh mệnh đề chứa biến " A > B " đúng với tất cả các giá trị của biến(thỏa mãn điều kiện đó). Khi nói ta có bất đẳng thức A > B mà không nêu điều kiện đối với các biến thì ta hiểu rằng bất đẳng thức đó xảy ra với mọi giá trị của biến là số thực.
N
• Chứng minh bất đảng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng(mệnh đề đúng) • Với A , B là mệnh đề chứ biến thì " A > B " là mệnh đề chứa biến. Chứng minh bất
U Y
2. Tính chất :
TP
* a> b ⇔ a+c > b+c
ẠO
* a > b và c > d ⇒ a + c > b + d
Đ
* Nếu c > 0 thì a > b ⇔ ac > bc
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
* a > b và b > c ⇒ a > c
N
G
Nếu c < 0 thì a > b ⇔ ac < bc
H Ư
* a>b≥0⇒ a > b
3. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối.
10 00
* − a ≤ a ≤ a với mọi số thực a .
B
* a > b ≥ 0 ⇒ a n > bn
TR ẦN
* a ≥ b ≥ 0 ⇔ a 2 ≥ b2
Ó H
( Với a > 0 )
Í-
x > a * x >a⇔ x < −a
A
* x < a ⇔ −a < x < a ( Với a > 0 )
-L
4. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (Bất đẳng thức Cauchy)
ÁN
a) Đối với hai số không âm a+b ≥ ab . Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi a = b 2
ÀN
TO
Cho a ≥ 0, b ≥ 0 , ta có
Hệ quả :
D
IỄ N
Đ
* Hai số dương có tổng không đổi thì tích lớn nhất khi hai số đó bằng nhau
* Hai số dương có tích không đổi thì tổng nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau
b) Đối với ba số không âm Cho a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0 , ta có
a+b+c 3 ≥ abc . Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi a = b = c 3
2
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. DẠNG TOÁN 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍCH CHẤT CƠ BẢN.
.Q
U Y
N
H
Ơ
Để chứng minh bất đẳng thức(BĐT) A ≥ B ta có thể sử dụng các cách sau: Ta đi chứng minh A − B ≥ 0 . Để chứng minh nó ta thường sử dụng các hằng đẳng thức để phân tích A − B thành tổng hoặc tích của những biểu thức không âm. Xuất phát từ BĐT đúng, biến đổi tương đương về BĐT cần chứng minh. 2. Các ví dụ minh họa. Loại 1: Biến đổi tương đương về bất đẳng thức đúng.
N
1. Phương pháp giải.
TP
2
a2 + b2 2
2
Đ
2
c) 3 (a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ (a + b + c)
ẠO
a + b b) ab ≤ 2
Lời giải:
N
G
d) (a + b + c) ≥ 3 (ab + bc + ca)
H Ư
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
a) ab ≤
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
Ví dụ 1 : Cho hai số thực a , b , c . Chứng minh rằng các bất đẳng thức sau
2
TR ẦN
a) Ta có a 2 + b 2 − 2 ab = ( a − b)2 ≥ 0 ⇒ a 2 + b2 ≥ 2 ab . Đẳng thức ⇔ a = b .
B
a + b b) Bất đẳng thức tương đương với − ab ≥ 0 2 2
10 00
⇔ a 2 + 2 ab + b2 ≥ 4 ab ⇔ (a − b) ≥ 0 (đúng) ĐPCM.
A
Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b
2
H
Ó
c) BĐT tương đương 3 (a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ a 2 + b2 + c 2 + 2 ab + 2bc + 2ca 2
2
-L
Í-
⇔ (a − b) + (b − c) + (c − a) ≥ 0 (đúng) ĐPCM.
ÁN
Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c
TO
d) BĐT tương đương a 2 + b 2 + c 2 + 2 ab + 2bc + 2ca ≥ 3 (ab + bc + ca) 2
2
2
ÀN
⇔ 2 (a 2 + b2 + c 2 ) − 2 (ab + bc + ca) ≥ 0 ⇔ (a − b) + (b − c) + (c − a) ≥ 0 (đúng) ĐPCM.
D
IỄ N
Đ
Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c
Nhận xét: Các BĐT trên được vận dụng nhiều, và được xem như là "bổ đề" trong
chứng minh các bất đẳng thức khác.
Ví dụ 2 : Cho năm số thực a , b , c , d , e . Chứng minh rằng a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 ≥ a(b + c + d + e) .
3
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Lời giải:
Ta có : a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 − a(b + c + d + e ) =
=(
a2 a2 a2 a2 − ab + b2 ) + ( − ac + c 2 ) + ( − ad + d 2 ) + ( − ae + e 2 ) 4 4 4 4
Ơ H
1 1 2 . + 2 ≥ a + 1 b + 1 1 + ab
ẠO Đ
1 1 2 1 1 1 2 )+( 2 ) + 2 − =( 2 − − a + 1 b + 1 1 + ab a + 1 1 + ab b + 1 1 + ab 2
ab − a 2 ab − b2 a−b b a a − b b − a + a2 b − b2 a + = ( − ) = . 1 + ab (1 + b2 )(1 + a 2 ) ( a 2 + 1)(1 + ab) (b 2 + 1)(1 + ab) 1 + ab 1 + b 2 1 + a 2
=
( a − b)2 ( ab − 1) a − b ( a − b)( ab − 1) = ≥ 0 (Do ab ≥ 1) . 1 + ab (1 + b2 )(1 + a 2 ) (1 + ab)(1 + b2 )(1 + a 2 )
H Ư
N
G
=
TR ẦN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
2
Lời giải: Ta có
.Q
Ví dụ 3 : Cho ab ≥ 1 . Chứng minh rằng :
U Y
N
a . 2
TP
Đẳng thức xảy ra ⇔ b = c = d = e =
N
a a a a = ( − b)2 + ( − c )2 + ( − d)2 + ( − e )2 ≥ 0 ⇒ đpcm. 2 2 2 2
1 1 2 + 2 ≤ . a + 1 b + 1 1 + ab 2
B
Nhận xét : Nếu −1 < b ≤ 1 thì BĐT có chiều ngược lại :
10 00
Ví dụ 4: Cho số thực x . Chứng minh rằng b) x 4 + 5 > x 2 + 4 x
c) x12 + x 4 + 1 > x 9 + x
Lời giải:
Ó
A
a) x 4 + 3 ≥ 4 x
Í-
H
a) Bất đẳng thức tương đương với x 4 − 4 x + 3 ≥ 0 2
-L
⇔ ( x − 1)( x 3 + x 2 + x − 3) ≥ 0 ⇔ ( x − 1) ( x 2 + 2 x + 3) ≥ 0
TO
ÁN
2 2 ⇔ ( x − 1) ( x + 1) + 1 ≥ 0 (đúng với mọi số thực x )
ÀN
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 1 .
D
IỄ N
Đ
b) Bất đẳng thức tương đương với x 4 − x 2 − 4 x + 5 > 0 2
2
⇔ x 4 − 2 x 2 + 1 + x 2 − 4 x + 4 > 0 ⇔ ( x 2 − 1) + ( x − 2) > 0 2
2
2
2
Ta có ( x 2 − 1) ≥ 0,( x − 2) ≥ 0 ⇒ ( x 2 − 1) + ( x − 2) ≥ 0
x 2 − 1 = 0 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (không xảy ra) x − 2 = 0 4
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn 2
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
2
Suy ra ( x 2 − 1) + ( x − 2) > 0 ĐPCM. c) Bất đẳng thức tương đương với x12 − x 9 + x 4 − x + 1 > 0 + Với x < 1 : Ta có x12 − x 9 + x 4 − x + 1 = x12 + x 4 (1 − x 5 ) + (1 − x)
Ơ
N
Vì x < 1 nên 1 − x > 0, 1 − x 5 > 0 do đó x12 − x9 + x 4 − x + 1 > 0 .
N
H
+ Với x ≥ 1 : Ta có x12 − x 9 + x 4 − x + 1 = x9 ( x 3 − 1) + x ( x 3 − 1) + 1
U Y
Vì x ≥ 1 nên x 3 − 1 ≥ 0 do đó x12 − x 9 + x 4 − x + 1 > 0 .
TP
Ví dụ 5: Cho a , b , c là các số thực. Chứng minh rằng
ẠO
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
a) a 4 + b 4 − 4ab + 2 ≥ 0 2
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
Vậy ta có x12 + x 4 + 1 > x 9 + x .
2
N
)
TR ẦN
Lời giải:
H Ư
(
c) 3 (a 2 + b 2 ) − ab + 4 ≥ 2 a b2 + 1 + b a 2 + 1
G
Đ
b) 2 (a 4 + 1) + (b2 + 1) ≥ 2 (ab + 1)
a) BĐT tương đương với (a4 + b4 − 2 a2 b2 ) + (2 a2 b2 − 4 ab + 2) ≥ 0 2
10 00
B
2
⇔ (a 2 − b 2 ) + 2 (ab − 1) ≥ 0 (đúng)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = ±1 .
Ó
A
b) BĐT tương đương với 2 (a 4 + 1) + (b4 + 2b2 + 1) − 2 (a 2 b 2 + 2 ab + 1) ≥ 0
Í-
H
⇔ (a 4 + b 4 − 2 a 2 b2 ) + (2 a2 − 4 ab + 2b2 ) + (a 4 − 4 a 2 + 1) ≥ 0
-L
⇔ ( a 2 − b2 ) 2 + 2( a − b)2 + ( a 2 − 1)2 ≥ 0 (đúng)
ÁN
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = ±1 .
(
)
TO
c) BĐT tương đương với 6 (a 2 + b 2 ) − 2 ab + 8 − 4 a b2 + 1 + b a 2 + 1 ≥ 0
D
IỄ N
Đ
ÀN
⇔ a2 − 4a b2 + 1 + 4 (b2 + 1) + b2 − 4b a 2 + 1 + 4 (a 2 + 1) + (a 2 − 2 ab + b2 ) ≥ 0
(
2
) (
2
)
2
⇔ a − 2 b2 + 1 + b − 2 a 2 + 1 + (a − b) ≥ 0 (đúng) Đẳng thức không xảy ra.
Ví dụ 6: Cho hai số thực x , y thỏa mãn x ≥ y . Chứng minh rằng;
5
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
3
a) 4 ( x 3 − y 3 ) ≥ ( x − y)
b) x 3 − 3x + 4 ≥ y 3 − 3 y
Lời giải: 3
Ơ
N
a) Bất đẳng thức tương đương 4 ( x − y)( x2 + xy + y 2 ) −( x − y) ≥ 0
N
H
2 ⇔ ( x − y) 4 ( x 2 + xy + y 2 ) − ( x − y) ≥ 0 ⇔ ( x − y) 3 x 2 + 3 xy + y 2 ≥ 0
ẠO
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y .
Đ
3 1 (x − y) , do đó ta chỉ cần chứng minh 4
G
Theo câu a) ta có x 3 − y 3 ≥
N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
b) Bất đẳng thức tương đương x3 − y 3 ≥ 3x − 3 y − 4
TR ẦN
10 00
2 ⇔ ( x − y − 2) ( x − y) + 2 ( x − y) − 8 ≥ 0
B
3
BĐT (*) ⇔ ( x − y) − 12 ( x − y) + 16 ≥ 0
H Ư
3 1 (x − y) ≥ 3x − 3 y − 4 (*), Thật vậy, 4
2
⇔ ( x − y − 2) ( x − y + 4) ≥ 0 (đúng với x ≥ y )
H
Ó
A
Đẳng thức xảy không xảy ra.
Í-
Loại 2: Xuất phát từ một BĐT đúng ta biến đổi đến BĐT cần chứng minh
-L
Đối với loại này thường cho lời giải không được tự nhiên và ta thường sử dụng khi các biến
ÁN
có những ràng buộc đặc biệt
TO
* Chú ý hai mệnh đề sau thường dùng
(* )
ÀN
a ∈ α; β ⇒ (a − α)(a − β ) ≤ 0
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
TP
.Q
U Y
2 y 3 y 2 ⇔ 3 ( x − y) x + + ≥ 0 (đúng với x ≥ y ) ĐPCM. 2 4
D
IỄ N
Đ
a , b , c ∈ α ; β ⇒ (a − α )(b − α)(c − α) + (β − a)(β − b)(β − c) ≥ 0 (* * )
Ví dụ 7 : Cho a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác. Chứng minh rằng : a 2 + b 2 + c 2 < 2( ab + bc + ca) .
Lời giải: Vì a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác nên ta có :
6
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
a + b > c ⇒ ac + bc > c 2 . Tương tự bc + ba > b 2 ; ca + cb > c 2 cộng ba BĐT này lại với nhau ta có đpcm
Nhận xét : * Ở trong bài toán trên ta đã xuất phát từ BĐT đúng đó là tính chất về độ dài ba cạnh của tam giác. Sau đó vì cần xuất hiện bình phương nên ta nhân hai vế của BĐT với
H
Ngoài ra nếu xuất phát từ BĐT | a − b|< c rồi bình phương hai vế ta cũng có được kết quả.
U Y
N
Ví dụ 8 : Cho a , b , c ∈ [0; 1] . Chứng minh : a 2 + b 2 + c 2 ≤ 1 + a 2 b + b2 c + c 2 a
TP
Cách 1: Vì a , b , c ∈ [0;1] ⇒ (1 − a 2 )(1 − b 2 )(1 − c 2 ) ≥ 0
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
Lời giải:
ẠO
⇔ 1 + a 2 b2 + b2 c 2 + c 2 a 2 − a 2 b 2 c 2 ≥ a 2 + b 2 + c 2 (*)
Đ
N
a 2 + b 2 + c 2 ≤ 1 + a 2 b2 + b2 c 2 + c 2 a 2 ≤ 1 + a 2 b + b2 c + c 2 a đpcm.
G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Ta có : a 2 b2 c 2 ≥ 0; a 2 b 2 + b2 c 2 + c 2 a 2 ≤ a 2 b + b2 c + c 2 a nên từ (*) ta suy ra
H Ư
Cách 2: BĐT cần chứng minh tương đương với a 2 (1 − b) + b2 (1 − c) + c 2 (1 − a) ≤ 1
TR ẦN
Mà a , b , c ∈ 0;1 ⇒ a 2 ≤ a , b 2 ≤ b , c 2 ≤ c do đó
Ơ
N
c.
a 2 (1 − b) + b 2 (1 − c) + c 2 (1 − a) ≤ a (1 − b) + b (1 − c ) + c (1 − a)
10 00
B
Ta chỉ cần chứng minh a (1 − b) + b (1 − c ) + c (1 − a) ≤ 1
Thật vậy: vì a , b , c ∈ 0;1 nên theo nhận xét (* * ) ta có
H
Ó
A
abc + (1 − a)(1 − b)(1 − c) ≥ 0
Í-
⇔ a + b + c − (ab + bc + ca) ≤ 1
ÁN
-L
⇔ a (1 − b) + b (1 − c) + c (1 − a) ≤ 1
vậy BĐT ban đầu được chứng minh
TO
Ví dụ 9 : Cho các số thực a,b,c thỏa mãn : a 2 + b2 + c 2 = 1 . Chứng
D
IỄ N
Đ
ÀN
minh : 2(1 + a + b + c + ab + bc + ca) + abc ≥ 0 .
Lời giải:
Vì a 2 + b2 + c 2 = 1 ⇒ a , b , c ∈ [−1; 1] nên ta có : (1 + a)(1 + b)(1 + c ) ≥ 0 ⇔ 1 + a + b + c + ab + bc + ca + abc ≥ 0 (*)
7
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Mặt khác :
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
(1 + a + b + c )2 ≥ 0 ⇔ 1 + a + b + c + ab + bc + ca ≥ 0 (**) 2
Cộng (*) và (**) ta có đpcm.
N
Ví dụ 10: Chứng minh rằng nếu a ≥ 4, b ≥ 5, c ≥ 6 và a 2 + b 2 + c 2 = 90 thì
H
Ơ
a + b + c ≥ 16
N
Lời giải:
ẠO
được:
H Ư
vậy a + b + c ≥ 16 dấu “=” xảy ra khi a = 4, b = 5, c = 7
Đ
1 2 (a + b2 + c 2 + 118) = 16 vì a2 + b2 + c 2 = 90 13
G
a+b+c ≥
N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
a 2 + b2 + c 2 − 13( a + b + c) + 118 ≤ 0 suy ra
TR ẦN
Ví dụ 11: Cho ba số a , b , c thuộc −1; 1 và không đồng thời bằng không. Chứng minh rằng
10 00
B
a4 b2 + b4 c 2 + c 4 a 2 + 3 ≥2 a 2012 + b2012 + c 2012
Lời giải:
H
Ó
A
Vì ba số a , b , c thuộc −1; 1 nên 0 ≤ a 2 , b2 , c 2 ≤ 1
Í-
Suy ra (1 − b2 )(1 + b2 − a 4 ) ≥ 0 ⇔ a 4 + b4 − a 4 b2 ≤ 1 (*)
-L
Mặt khác a 4 ≥ a2012 , b 4 ≥ b2012 đúng với mọi a , b thuộc −1; 1
TO
ÁN
Suy ra a 4 + b 4 − a 4 b2 ≥ a2012 + b2012 − a 4 b2 (**)
ÀN
Từ (*) và (**) ta có a 2012 + b2012 ≤ a 4 b2 + 1 hay
b 4 c 2 + a 2012 + 1 c 4 a 2 + b2012 + 1 ≥ 1 ≥1 và a2012 + b2012 + c 2012 a2012 + b2012 + c 2012
Cộng vế với ta được
D
IỄ N
Đ
Tương tự ta có
Hay
a 4 b 2 + c 2012 + 1 ≥1 a2012 + b2012 + c 2012
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
nhân ra và cộng các BĐT cùng chiều lại ta
TP
(a − 4)(a − 9) ≤ 0,(b − 5)(b − 8) ≤ 0,(c − 6)(c − 7) ≤ 0
U Y
Từ giả thiết ta suy ra a < 9, b < 8, c ≤ 7 do đó áp dụng (* ) ta có
a4 b2 + b4 c 2 + c 4 a 2 + a 2012 + b2012 + c 2012 + 3 ≥3 a 2012 + b2012 + c 2012
a4 b2 + b4 c 2 + c 4 a 2 + 3 ≥ 2 ĐPCM. a 2012 + b2012 + c 2012
8
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
3. Bài tập luyện tập Bài 4.0. Cho các số thực a , b , c là số thực. Khẳng định nào sau đây đúng nhất. a)
B. 2 a + 2b + 2c ≥ ab + bc + ca
C. a + b + c ≥ 3 ab + 2 bc + ca
D. a + b + c ≥ ab + bc + ca
A. a 2 + b 2 + 1 ≥ ab + 3a + 2b
B. a 2 + b2 + 1 ≥ ab + a + b
C. a 2 + b2 + 1 ≥ 2 ab + a + b
1 D. a 2 + b 2 + 1 ≥ ab + a + b 2
3 A. a 2 + b 2 + c 2 + ≥ 2( a + b + c) 2
B. a 2 + b2 + c 2 + 3 ≥ 2( a + b + c)
C. 2 a 2 + 2b 2 + 2c 2 + 3 ≥ 2( a + b + c)
D.
Ơ
N
A. a + b + c ≥ 2 ab + 2 bc + 2 ca
ẠO
TP
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
U Y
N
H
b)
Đ
G
N H Ư
1 2 1 2 1 2 a + b + c + 3 ≥ 2( a + b + c) 2 2 2
TR ẦN
d)
10 00
A. a 2 + b 2 + c 2 ≥ 3( ab + bc − ca)
B
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
c)
D. a 2 + b 2 + c 2 ≥ 2( ab + bc − ca)
H
Ó
A
C. a 2 + b 2 + c 2 ≥ 2( ab + bc − ca)
2 B. a 2 + b2 + c 2 ≥ ( ab + bc − ca) 3
-L
Í-
Lời giải: 2
2
2
ÁN
Bài 4.0: a) BĐT ⇔ ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) ≥ 0
TO
b) BĐT⇔ ( a − b)2 + ( a − 1)2 + (b − 1)2 ≥ 0
ÀN
c) BĐT ⇔ ( a − 1)2 + (b − 1)2 + ( c − 1)2 ≥ 0
Bài 4.1: Cho a , b , c , d là số dương. Khẳng định nào sau đây đúng nhất?
a)
D
IỄ N
Đ
d) BĐT⇔ ( a − b + c )2 ≥ 0
A.
a a+c a < với > 1 . b b+c b
B.
a a−c a < với < 1 . b b−c b
9
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
C.
a a+c a < với < 1 . b b+c b
D.
a a+c a < với = 1 . b b+c b
A.
a b c + + <1 a+b b+c c+a
B.
a b c + + <2 a+b b+c c+a
C.
a b c + + <3 a+b b+c c+a
D.
a b c + + <4 a+b b+c c+a
D. 1 <
a b c d 5 + + + < a+b+c b+c+d c+d+a d+a+b 2
A. 2 <
a+b b+c c+d d+a 5 + + + < a+b+c b+c+d c+d+a d+a+b 2
B. 2 <
a+b b+c c+d d+a + + + <4 a+b+c b+c+d c+d+a d+a+b
C. 2 <
a+b b+c c+d d+a + + + <5 a+b+c b+c+d c+d+a d+a+b
TP
a b c d + + + <4 a+b+c b+c+d c+d+a d+a+b
ẠO
C. 1 <
Đ
a b c d + + + <2 a+b+c b+c+d c+d+a d+a+b
G
B. 1 <
N
a b c d + + + <3 a+b+c b+c+d c+d+a d+a+b
TR ẦN
H Ư
A. 1 <
10 00
B
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
c)
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
U Y
N
H
Ơ
N
b)
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
d)
a+b b+c c+d d+a + + + <3 a+b+c b+c+d c+d+a d+a+b
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
D. 2 <
Lời giải:
Bài 4.1: a) BĐT ⇔ (a – b) c < 0
b) Sử dụng câu a), ta được:
a a+c b b+a c c+b < , < , < . a+b a+b+c b+c a+b+c c+a a+b+c
Cộng các BĐT vế theo vế, ta được đpcm.
10
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn c) Sử dụng tính chất phân số, ta có: Tương tựta có
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com a a a < < a+b+c+d a+b+c a+c
b b b c c c < < , < < ; a+b+c+d b+c+d b+d a+b+c+d c+d+a a+c
Ơ H
a+b a+b a+b+d < < a+b+c+d a+b+c a+b+c+d
N
d) Chứng minh tương tự câu c). Ta có:
N
d d d < < . Cộng các BĐT vế theo vế ta được đpcm. a+b+c+d d+a+b d+b
U Y
Cùng với 3 BĐT tương tự, ta suy ra đpcm
TP
Bài 4.2: Chứng minh các bất đẳng thức sau
c 2 + b2
ẠO Đ
. với a > b > 0; c > ab .
G
c+b
a+b c+b 1 1 2 + ≥ 4 với a , b , c > 0 và + = 2 a − b 2c − b a c b
TR ẦN
c)
c 2 + a2
≥
N
c+a
H Ư
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
a) ( ax + by )(bx + ay ) ≥ ( a + b)2 xy ( với a , b > 0; x , y ∈ R ) . b)
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
Bài tập tự luận
d) a(b − c)2 + b(c − a)2 + c( a − b)2 > a 3 + b3 + c 3 với a , b , c là ba cạnh của tam giác
B
Lời giải:
2
10 00
Bài 4.2: a) BĐT ⇔ abx 2 + (a 2 + b2 ) xy + aby 2 ≥ (a + b) xy 2
Ó
A
⇔ ab ( x − y) ≥ 0 (đúng)
Í-
H
b) Bình phương 2 vế, ta phải chứng minh:
( c + a ) 2 ( c + b) 2 ≥ 2 c 2 + a2 c + b2
-L
⇔ ( a − b)( c 2 − ab) ≥ 0 . Điều này hiển nhiên đúng do giải thiết.
ÁN
1 1 2 a 1 a c 1 c + = ⇒ = + , = + a c b b 2 2c b 2 2 a
TO
c) Ta có
D
IỄ N
Đ
ÀN
1 a 1 c a c +1 +1 + +1 + +1 + b ≥ 4 ⇔ 2 2c + 2 2a ≥4 BĐT ⇔ b a c a c 2 −1 2 −1 1+ −1 1 + −1 b b c a
⇔
2 3c 1 3a 1 3 a2 + c 2 + + + ≥4⇔ ≥ 3 ⇔ (a − c) ≥ 0 (đúng) 2 a 2 2c 2 2 ac
d) BĐT ⇔ ( a + b − c )( b + c − a)( c + a − b) > 0 (đúng)
Bài 4.3: Cho x ≥ y ≥ z ≥ 0 . Chứng minh rằng:
11
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
a) xy 3 + yz 3 + zx 3 ≥ xz 3 + zy 3 + yx 3 b)
x2 y y2 z z2 x x2 z y 2 x z2 y + + ≥ + + . z x y y z x
Lời giải:
Ơ
N
Bài 4.3: a) BĐT ⇔ −x 3 y + xy 3 + x 3 z − y 3 z − xz 3 + yz 3 ≤ 0
1 1 + a+c b+d
.Q
.
1 1 + c d
≤
N
1
1 1 1 + a+c b+d
⇔
1 1 1 + ≤ a+b c+d a+b+c+d ab cd (a + c)(b + d)
H Ư
1 1 + a b
+
TR ẦN
1
G
Lời giải: Bài 4.4: Ta có:
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
1
ẠO
1 1 + c d
≤
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
1 1 + a b
1
TP
Bài 4.4: Cho bốn số dương a , b , c , d . Chứng minh rằng: +
U Y
1 ( x − y )( y − z)( x − z)( xy + yz + zx) ≥ 0 (đúng vì x ≥ y ≥ z ≥ 0 ) xyz
b) BĐT ⇔
1
N
H
⇔ ( x − y )( y − z)( z − x)( x + y + z) ≤ 0 (đúng vì x ≥ y ≥ z ≥ 0 )
(a + c)(b + d) ab (c + d) + cd (a + b) (a + c)(b + d) ab cd + ≤ ⇔ ≤ a+b c+d a+b+c+d a+b+c+d (a + b)(c + d)
⇔
abc + abd + acd + bcd ab + ad + bc + cd ≤ ac + ad + bc + bd a+b+c+d
A
10 00
B
⇔
Ó
⇔ (a + b + c + d)(abc + abd + acd + bcd) ≤ ( ab + ad + bc + cd)(ac + ad + bc + bd) 2
Í-
H
⇔ 2 abcd ≤ a 2 d 2 + b2 c 2 ⇔ a 2 d 2 − 2 abcd + b 2 c 2 ≥ 0 ⇔ ( ad − bc) ≥ 0 .
-L
Do bất đẳng thức cuối cùng đúng nên bất đẳng thức cần chứng minh cũng đúng.
TO
ÁN
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi ad = bc .
ÀN
Bài 4.5: Cho a , b , c ∈ 1; 3 và thoả mãn điều kiện a + b + c = 6 . Giá trị lớn nhất của
A.14
B.13
C.12
D.11
Lời giải:
D
IỄ N
Đ
P = a2 + b2 + c 2
Bài 4.5: Vì a , b , c ∈ 1; 3 do đó ta có
(a − 1)(b − 1)(c − 1) + (3 − a)(3 − b)(3 − c) ≥ 0 12
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com 2
⇔ 2 (ab + bc + ca) − 8 (a + b + c) + 26 ≥ 0 ⇔ (a + b + c) − 8 (a + b + c) + 26 ≥ a 2 + b 2 + c 2
Mà a + b + c = 6 suy ra a 2 + b2 + c 2 ≤ 14 .
DẠNG TOÁN 2: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY(côsi) ĐỂ CHỨNG MINH
N
BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRI LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT.
H
Ơ
1. Phương pháp giải.
* Khi áp dụng bđt côsi thì các số phải là những số không âm
TP
* Điều kiện xảy ra dấu ‘=’ là các số bằng nhau
3
Đ
TR ẦN
a + b + c a 3 + b3 + c 3 Đối với ba số: abc ≤ , abc ≤ 3 3
G
Đối với hai số: x + y ≥ 2 xy ;
2
N
2
ẠO
x + y 2 . xy ≤ 2
( x + y )2 x +y ≥ ; 2
2
H Ư
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
* Bất đẳng thức côsi còn có hình thức khác thường hay sử dụng 2
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
* BĐT côsi thường được áp dụng khi trong BĐT cần chứng minh có tổng và tích
U Y
N
Một số chú ý khi sử dụng bất đẳng thức côsi:
2. Các ví dụ minh họa.
10 00
B
Loại 1: Vận dụng trực tiếp bất đẳng thức côsi
Ví dụ 1: Cho a , b là số dương thỏa mãn a 2 + b2 = 2 . Chứng minh rằng 5
b) (a + b) ≥ 16 ab (1 + a 2 )(1 + b 2 )
Lời giải:
Í-
H
Ó
A
a b a b a) + 2 + 2 ≥ 4 b a b a
-L
a) Áp dụng BĐT côsi ta có
TO
ÁN
2 a b a b a b a b + ≥ 2 . = 2, 2 + 2 ≥ 2 2 . 2 = b a b a b a b a ab
Đ
ÀN
a b a 4 b Suy ra + 2 + 2 ≥ (1) b a b a ab
D
IỄ N
Mặt khác ta có 2 = a 2 + b2 ≥ 2 a 2 b2 = 2 ab ⇒ ab ≤ 1 (1)
a b a b Từ (1) và (2) suy ra + 2 + 2 ≥ 4 ĐPCM. b a b a Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1 .
13
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
5
b) Ta có (a + b) = (a 2 + 2 ab + b2 )(a 3 + 3ab2 + 3a 2 b + b3 ) Áp dụng BĐT côsi ta có
a 2 + 2 ab + b 2 ≥ 2 2 ab (a 2 + b 2 ) = 4 ab và + 3ab2 )(3a 2 b + b3 ) = 4 ab (1 + b2 )(a 2 + 1)
Suy ra (a 2 + 2 ab + b2 )(a 3 + 3ab2 + 3a 2 b + b3 ) ≥ 16 ab
(a
2
+ 1)(b 2 + 1)
U Y
5
.Q
Do đó (a + b) ≥ 16 ab (1 + a 2 )(1 + b 2 ) ĐPCM.
TP
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1 .
ẠO
Ví dụ 2: Cho a , b , c là số dương. Chứng minh rằng
G
Đ
1 1 1 a) a + b + c + ≥ 8 b c a
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
3
N
(a
Ơ
+ 3ab2 ) + (3a 2 b + b3 ) ≥ 2
H
3
N
(a
H Ư
N
b) a 2 (1 + b2 ) + b 2 (1 + c 2 ) + c 2 (1 + a 2 ) ≥ 6 abc 3
TR ẦN
c) (1 + a)(1 + b)(1 + c ) ≥ (1 + 3 abc )
d) a 2 bc + b2 ac + c 2 ab ≤ a 3 + b3 + c 3
B
Lời giải:
10 00
a) Áp dụng BĐT côsi ta có
Ó
A
a b c 1 1 1 a+ ≥2 , b+ ≥2 , c+ ≥2 b b c c a a
-L
Í-
H
1 1 1 a b c Suy ra a + b + c + ≥ 8 . . = 8 ĐPCM. b c a b c a Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c .
ÁN
b) Áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có
TO
1 + a 2 ≥ 2 a 2 = 2 a , tương tự ta có 1 + b2 ≥ 2b , 1 + c 2 ≥ 2c
Đ
ÀN
Suy ra a 2 (1 + b2 ) + b 2 (1 + c 2 ) + c 2 (1 + a 2 ) ≥ 2 (a 2 b + b2 c + c 2 a)
D
IỄ N
Mặt khác, áp dụng BĐT côsi cho ba số dương ta có
a 2 b + b2 c + c 2 a ≥ 3 a 2 b.b2 c.c 2 a = 3abc Suy ra a 2 (1 + b2 ) + b 2 (1 + c 2 ) + c 2 (1 + a 2 ) ≥ 6 abc . ĐPCM. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 .
14
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
c) Ta có (1 + a)(1 + b)(1 + c ) = 1 + (ab + bc + ca) + ( a + b + c) + abc Áp dụng BĐT côsi cho ba số dương ta có 3
2
abc
Suy ra (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ 1 + 3
(
) 3
và a + b + c ≥ 3 3 abc 2
abc
) +3
3
3
abc + abc = (1 + 3 abc ) ĐPCM
N
(
Ơ
ab + bc + ca ≥ 3 3 ab.bc.ca = 3
N
H
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c .
U Y
d) Áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có
TP
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
c 3 + c 3 + a3 2 b3 + b3 + c 3 2 c 3 + c 3 + b3 c a≤ , b c≤ , c b≤ 3 3 3
N
TR ẦN
2
H Ư
a 3 + a 3 + b3 2 b3 + b3 + a 3 2 a3 + a3 + c 3 , b a≤ , a c≤ , 3 3 3
G
Mặt khác theo BĐT côsi cho ba số dương ta có
a2 b ≤
ẠO
a 2 b + b2 a + a 2 c + c 2 a + b2 c + c 2 b (1) 2
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Suy ra a 2 bc + b2 ac + c 2 ab ≤
.Q
b + c 2 a + c 2 a + b a 2 bc ≤ a 2 , b ac ≤ b2 , c ab ≤ c 2 2 2 2
B
Suy ra a 2 b + b2 a + a 2 c + c 2 a + b2 c + c 2 b ≤ 2 ( a3 + b3 + c 3 ) (2)
10 00
Từ (1) và (2) suy ra a 2 bc + b2 ac + c 2 ab ≤ a 3 + b3 + c 3 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c .
H
Í-
a+b+c+d 4 ≥ abcd 4
-L
a)
Ó
A
Ví dụ 3: Cho a , b , c , d là số dương. Chứng minh rằng
ÁN
a b c d b) 3 + 3 + 3 + 3 (a + b)(b + c) ≥ 16 b c d a 8 abc ≥ 4. ( a + b)(b + c)(c + a)
TO
a+b+c 3
abc
+
Lời giải:
D
IỄ N
Đ
ÀN
c)
a) Áp dụng BĐT côsi ta có
a + b ≥ 2 ab , c + d ≥ 2 cd và Suy ra
ab + cd ≥ 2
ab . cd = 2 4 abcd
a + b + c + d 2 ab + 2 cd 4 ≥ ≥ abcd ĐPCM. 4 4 15
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d . b) Áp dụng câu a) ta có
4 a b c d a b c d + 3 + 3 + 3 ≥ 44 3 . 3 . 3 . 3 = 3 b c d a b c d a abcd
H
Ơ
N
a b c d 4 Suy ra 3 + 3 + 3 + 3 (a + b)(c + d) ≥ .2 ab .2 cd = 16 ĐPCM b c d a abcd
.Q
c) Áp dụng câu a) ta có 3
3
a + b + c 8 (a + b + c) 8 abc 8 abc VT = 3. 3 + ≥ 4 4 3 = 44 ( a + b)(b + c)(c + a) 27( a + b)( b + c)( c + a) 3 abc ( a + b)( b + c)( c + a) 3 abc
ẠO
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
TP
a+b+c
G
≥4
N
27( a + b)(b + c)(c + a)
H Ư
Như vậy ta chỉ cần chứng minh 4 4
Đ
3
8 (a + b + c)
3
TR ẦN
⇔ 8 (a + b + c) ≥ 27 (a + b)(b + c)(c + a) (*) Áp dụng BĐT côsi cho ba số ta có
3
10 00
B
3 (a + b) + (b + c) + (c + a) 8 ( a + b + c) (a + b)(b + c)(c + a) ≤ = 3 27
Suy ra BĐT (*) đúng nên BĐT ban đầu đúng. ĐPCM.
Ó
A
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c .
H
Nhận xét: BĐT câu a) là bất đẳng côsi cho bốn số không âm. Ta có BĐT côsi cho n số
a1 + a2 + ... + an n ≥ a1a2 ...an . n
ÁN
Khi đó ta có
-L
Í-
không âm như sau: Cho n số không âm ai , i = 1, 2,..., n .
TO
Ví dụ 4: Cho a , b , c là số dương thỏa mãn a 2 + b 2 + c 2 = 3 . Chứng minh rằng
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y
N
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d .
ÀN
a) a 2 b + b2 c + c 2 a ≤ 3
ab bc ca 3 + + ≤ 2 2 2 4 3+c 3+a 3+b
D
IỄ N
Đ
b)
Lời giải: 2
a) Ta có (a 2 + b2 + c 2 ) = 9 ⇔ a 4 + b4 + c 4 + 2 a 2 b2 + 2b 2 c 2 + 2c 2 b2 = 9 (1) Áp dụng BĐT côsi ta có a 4 + b4 ≥ 2 a 2 b 2 , b4 + c 4 ≥ 2b 2 c 2 , c 4 + a4 ≥ 2c 2 a 2
16
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Cộng vế với vế lại ta được a 4 + b 4 + c 4 ≥ a 2 b 2 + b2 c 2 + c 2 a 2 (2) Từ (1) và (2) ta có a 2 b2 + b2 c 2 + c 2 a 2 ≤ 3 (3) Áp dụng BĐT côsi ta có
N
a 2 + a 2 b 2 ≥ 2 a 2 .a 2 b2 = 2 a 2 b , tương tự ta có b2 + b 2 c 2 ≥ 2b2 c , c 2 + c 2 a 2 ≥ 2c 2 a
H
Ơ
Cộng vế với vế ta được a 2 + b 2 + c 2 + a2 b2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ≥ 2 (a 2 b + b2 c + c 2 a) (4)
.Q
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 .
(3 − b )(3 − c ) 2
2
=
ẠO
bc
2
1 b2 c2 1 b2 c 2 1 b2 c 2 . ≤ + = + 2 3 − c 2 3 − b2 4 3 − c 2 3 − b 2 4 b2 + a2 c 2 + a 2
Đ
bc ≤ 3 + a2 2
2
N
⇒
(3 − b )(3 − c )
G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
3 + a 2 = 3 + (3 − b2 − c 2 ) = (3 − b2 ) + (3 − c 2 ) ≥ 2
TP
b) Áp dụng BĐT côsi ta có
H Ư
ab 1 a 2 b 2 ca 1 c 2 a 2 ≤ + , ≤ + 3 + c 2 4 a 2 + c 2 b2 + c 2 3 + b2 4 c 2 + b 2 a 2 + b2
TR ẦN
Tương tự ta có
ab bc ca 3 + + ≤ ĐPCM. 2 2 2 4 3+c 3+a 3+b
Cộng vế với vế ta được
10 00
B
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 .
Loại 2: Kĩ thuật tách, thêm bớt, ghép cặp.
Í-
H
Ó
A
• Để chứng minh BĐT ta thường phải biến đổi (nhân chia, thêm, bớt một biểu thức) để tạo biểu thức có thể giản ước được sau khi áp dụng BĐT côsi. • Khi gặp BĐT có dạng x + y + z ≥ a + b + c (hoặc xyz ≥ abc ), ta
-L
thường đi chứng minh x + y ≥ 2 a (hoặc ab ≤ x 2 ), xây dựng các BĐT tương tự rồi
TO
ÁN
cộng(hoặc nhân) vế với vế ta suy ra điều phải chứng minh. • Khi tách và áp dụng BĐT côsi ta dựa vào việc đảm bảo dấu bằng xảy ra(thường dấu bằng xảy ra khi các biến bằng nhau hoặc tại biên).
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y
N
Từ giả thiết và (3), (4) suy ra a 2 b + b2 c + c 2 a ≤ 3 ĐPCM
ÀN
Ví dụ 5: Cho a , b , c là số dương. Chứng minh rằng:
ab bc ac + + ≥ a+b+c c a b
b)
a b c 1 1 1 + 2+ 2≥ + + 2 a b c b c a
Lời giải:
D
IỄ N
Đ
a)
a) Áp dụng BĐT côsi ta có
ab bc ab bc . = 2b + ≥2 c a c a
17
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Tương tự ta có
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
bc ac ac ba + ≥ 2c , + ≥ 2 a . a b b c
Cộng vế với vế các BĐT trên ta được
N
ab bc ac ab bc ac 2 + + ≥ 2 (a + b + c) ⇔ + + ≥ a + b + c ĐPCM c a b c a b
H N
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
b 1 2 c 1 2 + ≥ , + ≥ c 2 b c a2 c a
TP
Tương tự ta có
a 1 a 1 2 + ≥2 2 . = 2 a b b a b
U Y
b) Áp dụng BĐT côsi ta có
Ơ
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c .
ẠO
Cộng vế với vế các BĐT trên ta được
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
a b c 1 1 1 2 2 2 a b c 1 1 1 + 2 + 2 + + + ≥ + + ⇔ 2 + 2 + 2 ≥ + + ĐPCM. 2 a b c a b c a b c b c a b c a
N
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c .
b)
ab bc ca + + ≥ 3. c a b
TR ẦN
a3 b3 b3 c 3 c 3 a 3 + + ≥ 3abc c a b
10 00
B
a)
H Ư
Ví dụ 6: Cho a , b , c dương sao cho a 2 + b 2 + c 2 = 3 . Chứng minh rằng
Lời giải:
A
a3b 3 b 3c 3 a 3b 3 b3 c 3 + ≥2 . = 2b 3 ac c a c a
Í-
b3 c 3 c 3 a 3 c 3 a3 a3b3 + ≥ 2 abc 3 , + ≥ 2 a3 bc a b b c
-L
Tương tự ta có
H
Ó
a) Áp dụng BĐT côsi ta có
a 3 b3 b3 c 3 c 3 a 3 + + ≥ 3abc . ĐPCM c a b
ÀN
⇔
a 3 b3 b 3c 3 c 3 a 3 ≥ 2 abc (a 2 + b2 + c 2 ) 2 + + c a b
TO
ÁN
Cộng vế với vế ta có
D
IỄ N
Đ
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1 . 2
ab bc ca b) BĐT tương đương với + + ≥ 9 c a b 2
2
2
2
2
2
ab bc ca ab bc ca ⇔ + + + 2 (a 2 + b2 + c 2 ) ≥ 9 ⇔ + + ≥ 3 c a b c a b
18
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
ab 2 bc 2 Áp dụng BĐT côsi ta có + ≥ 2 c a 2
2
2 2 ab . bc = 2b2 c a
2
2
bc ca ca ab Tương tự ta có + ≥ 2c 2 , + ≥ 2a 2 a b b c 2
2
2
N
H
Ơ
N
ab bc ca Cộng vế với vế và rút gọn ta được + + ≥ 3 ĐPCM. c a b
U Y
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1 .
TP
a) 8 (a + b)(b + c)(c + a) ≤ (3 + a)(3 + b)(3 + c)
ẠO
b) (3 − 2 a)(3 − 2b)(3 − 2c) ≤ abc
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
Ví dụ 7: Cho a , b , c là số dương thỏa mãn a + b + c = 3 . Chứng minh rằng
Đ
Lời giải:
N
G
a) Áp dụng BĐT côsi ta có
4
, (c + a)(a + b) ≤
B
Tương tự ta có (b + c)(c + a) ≤
TR ẦN
2
(3 + c)
H Ư
2
2 (a + b) + (b + c) ( 3 + a) (a + b)(b + c) ≤ = 2 4
2
( 3 + a) 4
2
10 00
Nhân vế với vế lại ta được (a + b)(b + c)(c + a) ≤ 64 (3 + a)(3 + b)(3 + c)
2
Ó
A
Suy ra 8 (a + b)(b + c)(c + a) ≤ (3 + a)(3 + b)(3 + c) ĐPCM
H
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1 .
-L
Í-
b) * TH1: Với (3 − 2 a)(3 − 2b)(3 − 2c) ≤ 0 : BĐT hiển nhiên đúng.
ÁN
* TH2: Với (3 − 2 a)(3 − 2b)(3 − 2c) > 0 :
TO
+ Nếu cả ba số (3 − 2 a) , (3 − 2b) , (3 − 2c) đều dương. Áp dụng BĐT côsi ta có 2
D
IỄ N
Đ
ÀN
(3 − 2 a) + (3 − 2b) = c 2 , tương tự ta có − a − b ≤ 3 2 3 2 ( )( ) 2
(3 − 2b)(3 − 2c) ≤ a2 , (3 − 2c)(3 − 2a) ≤ b2 2
Nhân vế với vế ta được (3 − 2 a)(3 − 2b)(3 − 2c) ≤ a 2 b 2 c 2 Hay (3 − 2 a)(3 − 2b)(3 − 2c) ≤ abc .
19
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
+ Nếu hai trong ba số (3 − 2 a) , (3 − 2b) , (3 − 2c) âm và một số dương. Không mất tính tổng quát giả sử 3 − 2 a < 0, 3 − 2b < 0 suy racó 6 − 2 a − 2b < 0 ⇔ c < 0 (không xảy ra) Vậy BĐT được chứng minh.
ẠO Đ
b2 c+a c2 a+b + ≥ b; + ≥c. c+a a+b 4 4
G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
TP
a2 b+c a2 b + c . + ≥2 = a. 4 b+c b+c 4
N
Cộng ba BĐT này lại với nhau ta đươc :
10 00
B
Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c .
TR ẦN
a2 b2 c2 a+b+c + + ≥ b+c c+a a+b 2
H Ư
a2 b2 c2 a+b+c + + + ≥ a+b+c b+c c+a a+b 2
a2 b+c + và đánh giá như trên là vì những lí do sau: 4 b+c
A
Lưu ý :Việc ta ghép
Ó
Thứ nhất là ta cần làm mất mẫu số ở các đại lượng vế trái (vì vế phải không có phân số),
H
a2 khi đó ta sẽ áp dụng BĐT côsi cho đại lượng đó với một đại b+c
-L
Í-
chẳng hạn đại lượng
ÁN
lượng chứa b + c .
TO
Thứ hai là ta cần lưu ý tới điều kiện xảy ra đẳng thức ở BĐT côsi là khi hai số đó bằng nhau. a2 a = và b + c = 2 a do đó ta ghép như b+c 2
ÀN
Ta dự đoán dấu bằng xảy ra khi a = b = c khi đó
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
Áp dụng BĐT Côsi cho hai số thực dương ta có :
⇔
Ơ
U Y
Lời giải:
Tương tự ta có
H
a2 b2 c2 a+b+c + + ≥ . b+c c+a a+b 2
N
Ví dụ 8: Cho a , b , c là số dương. Chứng minh rằng
N
Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c = 1 .
D
IỄ N
Đ
trên.
a)
b)
Ví dụ 9: Cho a , b , c là số dương thỏa mãn a + b + c = 3 . Chứng minh rằng: a b +1
+
b c +1
+
c a+1
≥
3 2 2
3 a3 b3 c3 + + ≥ b+3 c+3 a+3 2
20
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Lời giải:
a
a) Đặt P =
b +1
b
+
c +1
c
+
a +1
Áp dụng BĐT côsi ta có
4
a
≥ 33
b +1
.
a b +1
2 a (b + 1)
.
4
=
3 2a 2
N
2 a (b + 1)
Ơ
c +1
c +1
+
2b (c + 1)
4
≥
3 2b , 2
c a +1
+
c a +1
+
2c (a + 1)
4
≥
3 2c 2
2
ẠO G
15 2 2 − (ab + bc + ca) (vì a + b + c = 3 ) 8 8
N
⇔P≥
Đ
2 3 2 (ab + bc + ca + a + b + c) ≥ ( a + b + c) 4 2
H Ư
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Cộng vế với vế ba BĐT trên ta được
2P +
.Q
b
+
TP
b
U Y
Tương tự ta có
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
b +1
+
H
b +1
a
+
N
a
TR ẦN
Mặt khác ta có (a + b + c) ≥ 3 (ab + bc + ca) (theo ví dụ 1) Do đó ab + bc + ca ≤ 3
B
15 2 2 3 2 ĐPCM. − .3 = 8 8 2
10 00
Suy ra ⇔ P ≥
A
Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c = 1 .
Ó
a3 b3 c3 + + b+3 c+3 a+3
Í-
H
b) Đặt Q =
a2
+
-L
Ta có Q =
b (c + 3)
+
c2 c (a + 3)
ÁN
a (b + 3)
b2
TO
Áp dụng BĐT côsi ta có 4 a (b + 3) = 2 4 a (b + 3) ≤ 4 a + b + 3
D
IỄ N
Đ
ÀN
Suy ra
a2
a ( b + 3)
b2 b (c + 3)
≥
≥
4a2 , tương tự ta có 4a + b + 3
4b2 , 4b + c + 3
c2 c (a + 3)
Cộng vế với vế lại ta được Q ≥
≥
4c 2 4c + a + 3
4 a2 4b2 4c 2 + + =L 4 a + b + 3 4b + c + 3 4c + a + 3 21
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Áp dụng BĐT côsi ta có
4a2 1 4a2 1 + (4 a + b + 3) ≥ 2 . (4 a + b + 3) = a 4 a + b + 3 16 4 a + b + 3 16 Tương tự ta có
Ơ H N
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
3 3 suy ra Q ≥ ĐPCM 2 2
TP
Vì a + b + c = 3 nên L ≥
1 5 (a + b + c) + 9 ≥ a + b + c 16
U Y
Cộng vế với vế lại ta được L +
N
4b2 1 4c 2 1 + (4b + c + 3) ≥ b , + (4c + a + 3) ≥ c 4b + c + 3 16 4c + a + 3 16
ẠO
Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c = 1 .
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Ví dụ 10: Cho a , b , c là số dương thỏa mãn abc = 1 . Chứng minh rằng
H Ư
Lời giải:
N
G
1 1 1 + 2 + 2 + 3 ≥ 2 ( a + b + c) . 2 a b c
Do đó không mất tính tổng quát giả sử
TR ẦN
2 2 2 Ta có (a − 1)(b − 1) (b − 1)(c − 1) (c − 1)(a − 1) = (a − 1) (b − 1) (c − 1) ≥ 0
Do đó ta chỉ cần chứng minh
1 1 1 + 2 + 2 + 3 ≥ 2 (ab + c + 1) 2 a b c
Ó
A
1 1 1 + 2 + 2 + 1 ≥ 2 (ab + c ) 2 a b c
H
⇔
10 00
B
(a − 1)(b − 1) ≥ 0 ⇔ ab + 1 ≥ a + b ⇔ 2 (ab + c + 1) ≥ 2 (a + b + c)
1 1 2 1 2 + 2 ≥ = 2c , 2 + 1 ≥ = 2 ab (do abc = 1 ) 2 ab c a b c
Í-
ÁN
-L
Áp dụng BĐT côsi ta có
1 1 1 + 2 + 2 + 1 ≥ 2 (ab + c) ĐPCM. 2 a b c
TO
Cộng vế với vế ta được
ÀN
Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c = 1 .
a) f ( x) =
2
(x − 1) x−2
D
IỄ N
Đ
Ví dụ 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
c) h ( x) = x +
với x > 2
b) g( x) = 2 x +
1 2
(x + 1)
với x > −1
3 1 1 với x ≥ 2 d) k ( x) = 2 x + 2 với 0 < x ≤ . x 2 x
Lời giải:
22
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn 1 x2 − 2x + 1 = x−2+ +2 x−2 x−2 1 > 0 . Áp dụng BĐT côsi ta có x−2
Do x > 2 nên x − 2 > 0, 1 ≥2 x−2
( x − 2) .
1 =2 x−2
Ơ
x−2+
N
a) Ta có f ( x) =
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
U Y
2 1 ⇔ ( x − 2) = 1 ⇔ x = 1 (loại) hoặc x = 3 (thỏa mãn) x−2
TP
Vậy min f ( x) = 4 khi và chỉ khi x = 3 .
Đẳng thức xảy ra ⇔ x + 1 =
1
3
2
(x + 1)
ẠO
Đ
−2 = 1
B 10 00
3 3x 3 3x + ≥2 . =3 x 4 x 4
Ó
A
Áp dụng BĐT côsi ta có
2
( x + 1)
⇔ ( x + 1) = 1 ⇔ x = 0 (thỏa mãn)
Vậy min g ( x) = 1 khi và chỉ khi x = 0 .
3 3x x c) Ta có h ( x) = + + x 4 4
1
G
(x + 1)
− 2 ≥ 3 3 ( x + 1) .( x + 1) .
N
2
H Ư
1
TR ẦN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
b) Do x > −1 nên x + 1 > 0 . Áp dụng BĐT côsi ta có
g( x) = ( x + 1) + ( x + 1) +
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
Đẳng thức xảy ra ⇔ x − 2 =
N
H
Suy ra f ( x) ≥ 4
Í-
H
3 3x x 2 7 Mặt khác x ≥ 2 suy ra h ( x) = + + ≥ 3 + = x 4 4 4 2
TO
ÁN
-L
3 = 3 x Đẳng thức xảy ra ⇔ x 4 ⇔ x=2 x = 2
ÀN
Vậy min h ( x) =
7 khi và chỉ khi x = 2 . 2
D
IỄ N
Đ
d) Ta có k ( x) = x + x +
1 7 + 2 2 8x 8x
Áp dụng BĐT côsi ta có x + x + Mặt khác 0 < x ≤
1 1 3 ≥ 3 3 x.x. 2 = 2 2 8x 8x
1 7 7 3 7 ⇒ 2 ≥ suy ra k ( x) ≥ + = 5 2 2 2 2 8x
23
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
x = 1 8x2 ⇔ x = 1 Đẳng thức xảy ra ⇔ 2 1 x = 2
N
1 . 2
Ơ
Vậy min k ( x) = 5 khi và chỉ khi x =
N
H
Loại 3: Kĩ thuật tham số hóa
.Q
tham số vào rồi chọn sau sao cho dấu bằng xảy ra.
TP
Ví dụ 12: Cho a , b , c là số dương thỏa mãn a 2 + b2 + c 2 = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của
ẠO
A = (1 + 2 a)(1 + 2bc)
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Phân tích
N
G
Rõ ràng ta sẽ đánh giá biểu thức A để làm xuất hiện a 2 + b 2 + c 2 .
a2 + m (với m > 0 ) m
H Ư
Trước tiên ta sẽ đánh giá a qua a 2 bởi a 2 + m2 ≥ 2 ma ⇒ 2 a ≤
TR ẦN
Do b , c bình đẳng nên dự đoán dấu bằng A đạt giá trị nhỏ nhất khi b = c nên ta đánh giá
B
a2 2bc ≤ b 2 + c 2 . Suy ra A ≤ + m + 1(1 + b2 + c 2 ) = B . Tiếp tục ta sẽ sử dụng BĐT côsi dưới m
10 00
x + y 2 để là xuất hiện a 2 + b 2 + c 2 nên ta sẽ tách như sau dạng xy ≤ 2 2
Í-
H
Ó
A
2 2 2 2 1 2 1 (a + m + m) + (1 + b + c ) 2 2 2 B = (a + m + m)(1 + b + c ) ≤ m m 2
-L
2 1 m 2 + m + 2) ( 4m
ÁN
Suy ra A ≤
TO
Dấu bằng xảy ra khi a = m, b = c , a 2 + m2 + m = 1 + b2 + c 2 và a 2 + b 2 + c 2 = 1 .
2 . Do đó ta có lời giải như sau: 3
D
IỄ N
Đ
ÀN
Từ đây ta có m =
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y
Nhiều khi không dự đoán được dấu bằng xảy ra(để tách ghép cho hợp lí) chúng ta cần đưa
Lời giải:
4 4 3a 2 2 + và 2bc ≤ b 2 + c 2 Áp dụng BĐT côsi ta có a 2 + ≥ a ⇒ 2 a ≤ 9 3 2 3 3a 2 2 + + 1(b2 + c 2 + 1) Suy ra A ≤ 2 3 24
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Áp dụng BĐT côsi ta có
Ơ H N
Đ
Ví dụ 13: Cho a , b , c là số dương thỏa mãn 2 a + 4b + 3c 2 = 68 . Tìm giá trị nhỏ nhất
N
G
của A = a 2 + b2 + c 3 .
H Ư
Phân tích
TR ẦN
Ta cần đánh giá biểu thức A qua biểu thức 2 a + 4b + 3c 2 . Do đó ta sẽ cho thêm vào các tham số vào và đánh giá như sau ( m , n , p dương)
c3 c3 + + 4 p 3 ≥ 3 pc 2 2 2
10 00
B
a 2 + m2 ≥ 2 am , b2 + n2 ≥ 2bn và
Suy ra a 2 + b2 + c 3 + m2 + n2 + 4 p 3 ≥ 2 am + 2bn + 3 pc (*)
Ó
A
Để 2 am + 2bn + 3 pc 2 có thể bội số của 2 a + 4b + 3c 2 thì
-L
Í-
H
2 m 2n 3 p n = = ⇔ m= = p 2 4 3 2
ÁN
Mặt khác dấu bằng ở BĐT (*) xảy ra khi a = m, b = n, c = 2 p 2
TO
Hay a = m , b = 2 m , c = 2 m ⇒ 2 m + 4.(2 m) + 3 (2 m) = 68
ÀN
⇔ 12 m2 + 10 m − 68 = 0 ⇔ m = 2 (nhận) hoặc m = −
17 (loại) 6
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
5 98 2 khi và chỉ khi a = và b = c = . 27 3 18
ẠO
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Vậy max A =
TP
.Q
U Y
a = 2 2 3 b = c a = 98 3 Suy ra A ≤ , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ⇔ 2 10 27 5 2 2 a + = b + c + 1 b = c = 9 18 a 2 + b2 + c 2 = 1
N
2 10 2 2 2 a + + b + c + 1 3a2 2 3 10 3 9 = 98 (b2 + c 2 + 1) = a 2 + (b 2 + c 2 + 1) ≤ + + 1 2 3 2 9 2 2 27
D
IỄ N
Đ
Suy ra p = 2, n = 4 do đó ta có lời giải như sau
Lời giải: Áp dụng bĐT côsi ta có
a 2 + 4 ≥ 4 a , b 2 + 16 ≥ 8b và
c3 c3 + + 32 ≥ 6c 2 2 2 25
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Cộng vế với vế ta được
a 2 + b 2 + c 3 + 52 ≥ 4 a + 8b + 6c 2 , kết hợp với 2 a + 4b + 3c 2 = 68 Suy ra a 2 + b 2 + c 3 ≥ 84
N
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = 2, b = 4, c = 4
Ơ
Vậy min A = 84 ⇔ a = 2, b = 4, c = 4 .
N với x < 1
TP
b) B = −x 2 + 4 x + 21 − −x 2 + 3 x + 10 với −2 ≤ x ≤ 5 .
ẠO Đ
x2 − x + 3
(1 − x)(x 2 + x + 1)
G
a) Ta có A =
N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Lời giải:
H Ư
Áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có
B
x2 − x + 3 =2 2 x2 − x + 3
10 00
Suy ra A ≥
2
TR ẦN
2 1 2 (1 − x) + x + x + 1 x 2 − x + 3 2 (1 − x). x + x + 1 ≤ = (1 − x)(x + x + 1) = 2 2 2 2 2
1
2
2 2
−3 ± 13 2
H
Ó
A
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 (1 − x) = x 2 + x + 1 ⇔ x 2 + 3 x − 1 = 0 ⇔ x =
−3 ± 13 2
Í-
Vậy min A = 2 2 khi x =
ÁN
b) Ta có B =
-L
x<1
2
x + 11 2
x + 11 ( x + 3)(7 − x) + ( x + 2)(5 − x)
TO
−x + 4 x + 21 + −x + 3 x + 10
=
Với −2 ≤ x ≤ 5 thì x + 11 ; x + 3 ; 7 − x ; x + 2 ; 5 − x là các số không âm nên theo BĐT côsi ta
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
1 − x3
U Y
x2 − x + 3
.Q
a) A =
H
Ví dụ 14: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau
Đ
ÀN
có :
D
IỄ N
( x + 3)(7 − x) =
( x + 2)(5 − x) =
1 2 1 2
(2 x + 6)(7 − x) ≤
1 (2 x + 6) + (7 − x) x + 13 (1) = 2 2 2 2
(2 x + 4)(5 − x) ≤
1 (2 x + 4) + (5 − x) x + 9 = 2 2 2 2
(2)
26
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Từ (1) và (2) suy ra
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
( x + 3)(7 − x) + ( x + 2)(5 − x) ≤
x + 11 2
, từ đó ta có B ≥ 2 .
Dấu bằng xảy ra ⇔ (1) và (2) đồng thời xảy ra dấu bằng ⇔ x =
1 . 3
H
Ơ
−2≤x≤5
N
1 . 3
Vậy min B = 2 ⇔ x =
N
Loại 4: Kĩ thuật côsi ngược dấu.
ca b + 2 ca
+
ab c + 2 ab
.
ẠO
1 a a ≤ 1 1 − = 1 − a + 2 bc 2 a + 2 bc 2 a + b + c bc
1 b ab 1 c , ≤ 1 − ≤ 1 − b + 2 ca 2 a + b + c c + 2 ab 2 a + b + c
H Ư
ca
TR ẦN
Tương tự ta có
N
G
Áp dụng BĐT côsi ta có
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Lời giải:
Cộng vế với vế các BĐT trên ta được
10 00
B
1 a b c = 1 − − P ≤ 3 − 2 a + b + c a + b + c a + b + c
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
A
Vậy min P = 1 ⇔ a = b = c
H
Ó
Ví dụ 16: Cho a , b , c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 3 . Chứng minh rằng
a b c 3 + + ≥ . 2 2 2 2 1+ b 1+ c 1+ a
b)
a2 b2 c2 + + ≥1 a + 2b 3 b + 2 c 3 c + 2 a 3
TO
ÁN
-L
Í-
a)
Lời giải:
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
a + 2 bc
+
.Q
bc
TP
P=
U Y
Ví dụ 15: Cho a , b , c là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của
ÀN
a) Áp dụng BĐT côsi ta có:
D
IỄ N
Đ
a (1 + b2 − b2 ) a ab2 ab2 ab = = a − ≥ a − = a− 2 2 2 2b 2 1+ b 1+ b 1+ b Tương tự ta có
b bc c ca ≥ b− và ≥c− 2 2 2 2 1+ c 1+ a
Cộng vế theo vế các BĐT trên ta được:
27
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
a b c ab + bc + ca ab + bc + ca + + ≥ a+b+c− = 3− 2 2 2 2 2 1+ b 1+ c 1+ a 2
Mặt khác ta có (a + b + c) ≥ 3 (ab + bc + ca) ⇒ ab + bc + ca ≤ 3 .
a b c 3 3 + + ≥ 3 − = ĐPCM. 2 2 2 2 2 1+ b 1+ c 1+ a
N
Do đó
H
Ơ
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1
U Y
N
b) Theo bất đẳng thức Côsi ta có :
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
TP
b2 c2 2c 3 b 2a 3 c ≥ b − , ≥ c − 3 3 b + 2c 3 c + 2a3
ẠO
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Tương tự ta có
.Q
a (a + 2b 3 ) − 2 ab 3 a2 2 ab 3 2b 3 a 2 = ≥ a − = a − . 3 a + 2b 3 a + 2b 3 3 3 ab6
G
Đ
Cộng vế theo vế các BĐT trên ta được:
H Ư
(
N
a2 b2 c2 2 + + ≥ a + b + c − b 3 a2 + a 3 c 2 + c 3 b2 3 3 3 3 a + 2b b + 2c c + 2a
)
TR ẦN
Mặt khác a + b + c = 3 do đó ta chỉ cần chứng minh: b 3 a 2 + c 3 b 2 + a 3 c 2 ≤ 3 .
2bc + c 3 2 2ca + a ,a c ≤ 3 3
A
Tương tự ta có c 3 b 2 ≤
10 00
1 2 ab + b b 3 a 2 ≤ b.(a + a + 1) = 3 3
B
Thật vậy, theo bất đẳng thức Côsi ta có :
H
Ó
Cộng vế theo vế các BĐT trên ta có: 2 ab + b 2bc + c 2ca + a 2 1 + + = (ab + bc + ca) + ( a + b + c) 3 3 3 3 3
-L
Í-
b 3 a2 + c 3 b2 + a 3 c 2 ≤
ÁN
2 1 Từ đó suy ra: b 3 a 2 + c 3 b 2 + a 3 c 2 ≤ .3 + .3 = 3 ĐPCM. 3 3
TO
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 .
ÀN
Ví dụ 17: Cho a , b , c là các số thực không âm thỏa mãn a 2 + b2 + c 2 = 1 .
IỄ N
Đ
Chứng minh rằng
c b a + + ≥1 1 + ab 1 + ac 1 + bc
D
Lời giải: Đặt P =
c b a + + 1 + ab 1 + ac 1 + bc
Áp dụng BĐT côsi ta có
28
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn c abc abc = c− ≥c− = c− 1 + ab 1 + ab 2 ab
(ca)(cb) 2
≥c−
ca + cb 4
b ba + bc a ab + ac ≥ b− , ≤ a− 1 + ac 4 1 + bc 4
N
ab + bc + ca 2
Ơ
Cộng vế theo vế các BĐT trên ta được: P ≥ a + b + c −
H
2
−1 2
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Suy ra P ≥ a + b + c −
( a + b + c)
−1
4
=
( a + b + c − 1)(3 − a − b − c) + 1 (1) 4
TP
.Q
2
ẠO
ab + bc + ca =
U Y
2
(a + b + c )
N
Mặt khác a 2 + b 2 + c 2 = 1 ⇒ (a + b + c) = 1 + 2 (ab + bc + ca) (*)Hay
Đ
Từ giả thiết ta có a , b , c ∈ [0;1] ⇒ 3 − a − b − c ≥ 0 (2)
N
G
Và từ (*) suy ra a + b + c ≥ 1 (3)
H Ư
Từ (1), (2) và (3) suy ra P ≥ 1 . ĐPCM
TR ẦN
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi trong ba số a, b, c có một số bằng 1 và hai số còn lại bằng 0.
B
3. Bài tập luyện tập.
10 00
Bài 4.6: Cho x , y , z dương. Chứng minh rằng
2 y 2 x 2 z 1 1 1 + 3 + 3 ≤ 2+ 2+ 2. 2 2 2 x +y y +z z +x x y z 3
A
Lời giải:
H
Ó
Bài 4.6: Áp dụng BĐT Côsi cho hai số thực dương ta có:
Í-
2 x 2 x 1 . ≤ = 2 x +y 2 xy x xy 3
-L
x 3 + y 2 ≥ 2 xy x ⇒
ÁN
2 y 3
y +z
TO
Tương tự:
2
≤
1 2 z 1 1 1 1 ; 3 ≤ ⇒ VT ≤ + + . 2 yz z + x zx xy yz zx
D
IỄ N
Đ
ÀN
Mặt khác: a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca ⇒
Vậy : VT ≤
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
Tương tự ta ta có
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
1 1 1 1 1 1 + + ≤ 2+ 2+ 2 xy yz zx x y z
1 1 1 + 2 + 2 ⇒ đpcm. Đẳng thức xảy ra ⇔ x = y = z = 1 . 2 x y z
Bài 4.7: Cho các số dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
29
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn 1 + x3 + y3
P= A. 3 3
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
xy
1 + y3 + z3
+
yz
B. 2 3
+
1 + z 3 + x3 zx
C. 4 3
D. 5 3
xy
N
xy
Ơ
3
≥
H
1 + x3 + y 3
Bài 4.7: Áp dụng BĐT Cô-si, ta có: 1 + x 3 + y 3 ≥ 3 xy ⇒
N
Lời giải:
yz
1 + z3 + x3 3 ≥ zx zx
,
yz
(1)
xy
1
+
Từ (1) và (2), ta có điều phải chứng minh.
yz
+
1
≥
3
H Ư
1
zx
3
xyz
=3
( 2)
TR ẦN
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:
N
G
xy
1 1 + z3 + x3 1 1 ≥ 3 + + zx yz zx xy
+
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
+
1 + y3 + z3
ẠO
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên, ta được: 1 + x3 + y 3
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
3
U Y
yz
≥
.Q
Chứng minh tương tự, ta được:
TP
1 + y3 + z3
B
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1 .
H
1 81
C.2
D.
Í-
B.1
1 64
Lời giải:
TO
ÁN
-L
A.
Ó
A
Giá trị lớn nhất của P = abcd
a b c d + + + =1 1+ a 1+ b 1+ c 1+ d
10 00
Bài 4.8: Với các số dương a, b, c, d sao cho:
1 a b c d bcd = 1− = + + ≥ 33 1+ a 1+ a 1+ b 1+ c 1+ d (1 + b)(1 + c)(1 + d)
D
IỄ N
Đ
ÀN
Bài 4.8:
Xây dựng các BĐT tương tự rồi nhân vế với vế ta được abcd ≤
Bài 4.9: Với các số dương a, b, c sao cho:
1 81
a b c + + =1 1+ b 1+ c 1+ a
30
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
1 + b 1 + c 1 + a Giá trị nhỏ nhất của P = − 1 − 1 − 1 a b c
A.3
B.4
C.6
D.8
Lời giải:
a 1+ b− a b c = = + ≥2 1+ b 1+ b 1+ c 1+ a
H
Ơ
N
bc (1 + c)(1 + a)
N U Y
Chứng minh tương tự, ta thu được:
.Q
(1 + b − a)(1 + c − b)(1 + a − c) ≥ 8abc
ẠO
TP
1 + b 1 + a 1+ c ⇔ − 1 − a − 1 ≥ 8 a b c
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
Bài 4.9: 1 −
B.4
C.6
Đ
H Ư
A.2
N
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = ( x + y)( x + z) .
G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Bài 4.10: Cho ba số dương x , y , z thoả mãn hệ thức xyz ( x + y + z) = 1 .
TR ẦN
Lời giải:
D.8
Bài 4.10: Ta có 1 = xyz ( x + y + z) = yz ( x 2 + xy + xz)
10 00
B
Áp dụng BĐT côsi ta có
P = ( x + y)( x + z) = yz + ( x 2 + xy + zx) ≥ 2 yz.( x 2 + xy + zx) = 2
Ó
A
Suy ra min P = 2 .
3 2
b
1+ b
2
+
ÀN Đ IỄ N D
1 + c2 1 2
C.1
D.2
Lời giải:
Bài 4.11: Ta có
Tương tự
c
B.
TO
A.
+
Í-
1+ a
2
-L
a
ÁN
P=
H
Bài 4.11: Cho ba số thực dương a , b , c thỏa mãn ab + bc + ca = 1 . Giá trị lớn nhất của
a
1 + a2
=
a ab + cb + ca + a 2
=
a 1 a ≤ + (a + b)(a + c) 2 a + b a + c a
b c c 1 b 1 c ≤ + ≤ + , . 2 2 a + b b + c 1+ c 2 a + c b + c 1+ b b
2
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên suy ra điều phải chứng minh.
31
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Bài 4.12: Cho ba số thực dương a , b , c thỏa mãn a + b + c = 1 . Giá trị lớn nhất của c + ab
A.
+
bc a + bc
+
3 2
ca b + ca
B.
.
1 2
C.1
D.2
N
ab
P=
H
Ơ
Lời giải:
bc 1 bc ≤ + , a + bc 2 a + b a + c
Cộng vế với vế các BĐT trên ta được
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ca 1 ca ≤ + b + ca 2 b + a b + c
bc
ca
ab c + ab
bc
+
a + bc
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
Tương tự ta có
U Y
c (a + b + c) + ab
ab 1 ab ≤ + (c + a)(c + b) 2 c + a c + b ab
.Q
=
TP
ab
ẠO
c + ab
=
1 ≤ . b + ca 2 ca
+
Đ
ab
N
Bài 4.12: Áp dụng BĐT côsi ta có
G
Bài tập tự luận
N
3 6 . ≥ ab + bc + ca a + b + c
H Ư
Bài 4.13: Cho ba số thực dương a , b , c . Chứng minh rằng 1 +
ab + bc + ca
≥6
B
3 (a + b + c )
10 00
Bài 4.13: BĐT ⇔ a + b + c +
TR ẦN
Lời giải:
ab + bc + ca
A
Áp dụng BĐT côsi ta có a + b + c +
3 ( a + b + c)
H
Ó
Do đó ta chỉ cần chứng minh 2 2
2
≥2
3 (a + b + c)
ab + bc + ca
2
3 (a + b + c)
ab + bc + ca
≥6
-L
Í-
⇔ (a + b + c) ≥ 3 (ab + bc + ca) (đúng)
ÁN
Bài 4.14: Cho ba số thực dương a , b , c thỏa mãn abc = 1 .
ÀN
TO
Giá trị nhỏ nhất của P =
3 2
D
IỄ N
Đ
A.
1 1 1 + + a (1 + b) b (1 + c) c (1 + a)
B.
1 2
C.1
D.4
Lời giải:
1 1 1 Bài 4.14: Ta có (1 + abc) + + + 3 = a (1 + b) b (1 + c) c (1 + a)
32
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
1 + abc 1 + abc 1 + abc = + 1 + + 1 + + 1 a (1 + b) b (1 + c) c (1 + a) 1 + a + ab + abc 1 + b + bc + abc 1 + c + ca + abc = + + a (1 + b) b (1 + c) c (1 + a)
Ơ
N
b (1 + c) c (1 + b) a (1 + b) 1+ a 1+ b 1+ c + + + + + a (1 + b) a (1 + b) b (1 + c) b (1 + c) c (1 + a) c (1 + a)
=
N
H
Áp dụng BĐT côsi ta có
b (1 + c)
+
a (1 + b) c (1 + a)
≥ 33
b (1 + c) c (1 + b) a (1 + b) . . =3 a (1 + b) b (1 + c) c (1 + a)
ẠO Đ N
G
1 1 1 3 + + ≥ ĐPCM. a (1 + b) b (1 + c) c (1 + a) 2
H Ư
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
1 1 1 Suy ra (1 + abc) + + + 3 ≥ 6 a (1 + b) b (1 + c) c (1 + a)
⇔
.Q
c (1 + b)
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
a (1 + b)
+
TP
b (1 + c)
U Y
1+ a 1+ b 1+ c 1+ a 1+ b 1+ c + + ≥ 33 . . =3 a (1 + b) b (1 + c) c (1 + a) a (1 + b) b (1 + c) c (1 + a)
TR ẦN
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1
Bài 4.15: Cho ba số thực dương a , b , c thỏa mãn a + b + c = 3 .
B
B.2
Ó
A
A.3
a+b b+c c+a + + . 2 ab 2bc 2ca
10 00
Giá trị nhỏ nhất của P =
C.4
D.1
Lời giải:
Í-
H
Bài 4.15: Áp dụng BĐT côsi ta có
ÁN
-L
a+b b+c c+a + + ≥ 33 2 ab 2bc 2ca
TO
Do đó ta chỉ cần chứng minh
a+b b+c c+a . . ≥ 1 (*) 2 ab 2bc 2ca
2 a + b b + c c + a 2 ab 2 bc 2 ca . . ≥ . . = (1) 2 ab 2bc 2ca 2 ab 2bc 2ca abc
ÀN
Ta có
a+b b+c c+a . . 2 ab 2bc 2ca
D
IỄ N
Đ
Mặt khác 3 = a + b + c ≥ 3 3 abc ⇒ abc ≤ 1 (2) Từ (1) và (2) suy ra (*) đúng. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 .
Bài tập tự luận
33
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Bài 4.16: Cho ba số thực dương a , b , c . Chứng minh rằng 1 + a 1 + b 1 + c ≥ 2 1 + a + b + c . 3 b c a abc
Lời giải:
Ơ H N
Cộng vế với vế các BĐT trên ta được
ẠO Đ
≥3
G
abc
N
3
a b c b c a a+b+c + + + + + ≥ 2. ĐPCM. 3 b c a a b c abc
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c .
H Ư
Do đó
a+b+c
TR ẦN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
a b c b c a a+b+c + + + + + + 3 ≥ 3. 3 b c a a b c abc Mặt khác theo BĐT côsi ta có
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
b b b 3b c c c 3c + + ≥ , + + ≥ 3 3 c a b abc a b c abc
TP
Tương tự ta có
a a a a a a 3a + + ≥ 33 . . = b c a b c a 3 abc
U Y
Áp dụng BĐT côsi ta có
N
a b c b c a a+b+c Bài 4.16: Ta có BĐT ⇔ + + + + + ≥ 2. 3 b c a a b c abc
B
Bài 4.17: Cho a , b , c là độ dài ba cạnh tam giác. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2a 2b 2c + + 2b + 2c − a 2c + 2 a − b 2 a + 2b − c
10 00
P=
B. min P = 26
Ó
A
A. min P = 6
C. min P = 5
D. min P = 5
H
Lời giải:
-L
Í-
Bài 4.17: Áp dụng BĐT Côsi ta có:
TO
ÁN
2a a 6 a 6 = ≥ 2 b + 2c − a 3a(2b + 2c − a) a + b + c
ÀN
Tương tự:
2b b 6 ≥ ; 2c + 2 a − b a + b + c
2c c 6 ≥ 2 a + 2b − c a + b + c
D
IỄ N
Đ
Cộng 3 BĐT trên ta được: P≥
6( a + b + c ) = 6 . Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c . a+b+c
Vậy min P = 6 .
Bài tập tự luận
34
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Bài 4.18: Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:
U Y
Lời giải:
.Q
Bài 4.18: a) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:
TP
a 3 + b 3 + b3 ≥ 3ab2 , b 3 + c 3 + c 3 ≥ 3bc 3 , c 3 + a 3 + a 3 ≥ 3ca 2
ẠO
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được:
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
a6 b 6 c 6 a 4 b 4 c 4 + + ≥ + + c a b b3 c 3 a 3
Ơ
c)
H
a3 b 3 c 3 + + ≥ ab + bc + ca b c a
N
b)
N
a) a 3 + b 3 + c 3 ≥ ab 2 + bc 2 + ca 2
Đ
3 (a3 + b3 + c 3 ) ≥ 3 (ab2 + bc 2 + ca 2 )
H Ư
N
G
⇔ a 3 + b3 + c 3 ≥ ab2 + bc 2 + ca 2 Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c
a3 b3 c3 + ab ≥ 2 a 2 , + bc ≥ 2b2 , + ca ≥ 2c 2 b c a
TR ẦN
b) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:
B
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được:
10 00
a3 b 3 c 3 + + + ab + bc + ca ≥ 2 (a 2 + b2 + c 2 ) (1) b c a
Ó
A
Lại có, a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca (2)
H
a3 b 3 c 3 + + + ab + bc + ca ≥ 2 (ab + bc + ca) b c a
a3 b3 c 3 + + ≥ ab + bc + ca b c a
ÁN
⇔
-L
Í-
Từ (1) và (2) suy ra:
ÀN
TO
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c .
D
IỄ N
Đ
c) Áp dụng BĐT côsi
a6 a6 b6 3a4 .Chứng minh tương tự, ta thu được: + + ≥ c b3 b 3 c 3
a6 b 6 c 6 a 4 b 4 c 4 + + ≥ + + c a b b3 c 3 a 3
Bài 4.19: Với các số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P = a 3 + b 3 + c 3
35
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn 1
A.
1
B.
3
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com 1
C.
2
1
D.
13
12
Lời giải:
3 3
Ơ
1
≥ ca 3
3
⇒ a 3 + b3 + c 3 ≥
.Q
1 3
1 3
H Ư
Dấu đẳng thức xảy ra a = b = c =
TP
2
ẠO
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
⇒ 2 (a 3 + b3 + c 3 ) ≥
≥ 3 (ab + bc + ca) = 3
Đ
3
G
1
N
2 (a 3 + b3 + c 3 ) +
U Y
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được:
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
3 3
≥ bc 3 , c 3 + a 3 +
≥ ab 3
H
1
3 3
N
b3 + c 3 +
1
N
Bài 4.19: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: a 3 + b 3 +
Tìm giá trị nhỏ nhất của : P =
13 8
B
B.
10 00
3 8
A
A.
1 1 1 + 3+ 3 3 a b c
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:
C.
23 8
D.2
Lời giải:
Ó H
-L
Í-
Bài 4.20: Ta có: 4 (a + b + c) = 3abc ⇔
1 1 1 3 + + = ab bc ca 4 1 1 1 3 1 + 3+ ≥ . 3 8 2 ab a b
TO
ÁN
TR ẦN
Bài 4.20: Với các số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện 4 (a + b + c) = 3abc .
ÀN
1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 + 3+ ≥ . , 3+ 3+ ≥ . 3 8 2 bc c 8 2 ca b c a
D
IỄ N
Đ
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được: 1 1 1 3 3 1 1 1 9 1 1 1 3 2 3 + 3 + 3 + ≥ + + = ⇔ 3 + 3 + 3 ≥ a 8 b c 8 2 ab bc ca 8 a b c
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 2
Bài tập tự luận
36
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Bài 4.21: Với các số dương a, b, c. Chứng minh rằng:
a3 2
(b + 2c)
+
b3 2
(c + 2a)
+
c3 2
(a + 2b)
≥
2 (a + b + c) 9
N
b)
a3 b3 c3 1 + + ≥ ( a + b + c) b (b + c) c (c + a) a (a + b) 2
Ơ
a)
N
H
Lời giải:
U Y
Bài 4.21: a) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
TP ẠO
b3 c c+a 3 c3 a a+b 3 + + ≥ b, + + ≥ c 4 2 a (a + b) 2 4 2 c ( c + a) 2
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Tương tự, ta có:
.Q
a3 b b+c a3 b b+c 3 . . + + ≥ 33 = a 4 2 b (b + c ) 2 b (b + c) 2 4
N H Ư
TR ẦN
a3 b3 c3 3 + + + a + b + c ≥ ( a + b + c) 2 b (b + c) c (c + a) a (a + b)
G
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được:
a3 b3 c3 1 + + ≥ ( a + b + c) b (b + c) c (c + a) a (a + b) 2
⇔
10 00
B
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c b) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:
2
A
b + 2 c b + 2c a3 b + 2c b + 2 c a + ≥ 33 = . . 2 27 27 27 3 (b + c) 27
b3
-L
Tương tự, ta có:
Í-
H
(b + 2c)
+
Ó
a3
2
c + 2a c + 2a b + ≥ , 27 27 3
ÁN
( c + 2 a)
+
a + 2b a + 2b c + ≥ 27 27 3
TO
c3
2
ÀN
(a + 2b)
+
D
IỄ N
Đ
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được:
a3 2
(b + 2c) ⇔
+
a3 2
(b + 2 c )
b3 2
(c + 2a) +
+
b3 2
( c + 2 a)
c3 2
( a + 2 b) +
+
c3 2
(a + 2b)
a+b+c a+b+c ≥ 9 3 ≥
2 ( a + b + c) 9
37
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
Bài 4.22: Cho x , y , z dương thỏa mãn và xyz = 1 . Chứng minh rằng : x 3 + y 3 + z 3 ≥ x + y + z . Lời giải: Bài 4.22: Áp dụng BĐT Côsi cho ba số thực không âm ta có :
Ơ
N
x 3 + 1 + 1 ≥ 3 3 x 3 .1.1 = 3 x ⇔ x 3 + 2 ≥ 3 x .Tương tự : y 3 + 2 ≥ 3 y ; z 3 + 2 ≥ 3 y
N
H
Cộng ba BĐT trên lại với nhau ta được : x 3 + y 3 + z 3 + 6 ≥ 3( x + y + z)
ẠO
Đẳng thức xảy ra ⇔ x = y = z = 1 .
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Bài 4.23: Cho a , b , c dương và a + b + c = 1 .Chứng minh rằng: 9( a 4 + b 4 + c 4 ) ≥ a 2 + b2 + c 2 .
N H Ư
Bài 4.23: Áp dụng BĐT Côsi ta có:
1 2 1 2 1 2 2 b cộng ba BĐT lại với nhau ≥ a 2 ; b4 + ≥ b2 ; c 4 + ≥ 81 9 81 9 81 9
a 2 + b2 + c 2 a2 + b2 + c 2 1 . ≥ + 27 9 9
B
⇒ a4 + b4 + c 4 +
TR ẦN
a4 +
G
Lời giải:
10 00
1 1 Mặt khác: a 2 + b 2 + c 2 ≥ ( a + b + c )2 = ⇒ 9( a 4 + b4 + c 4 ) ≥ a 2 + b2 + c 2 đpcm. 3 3
1 . 3
H
Ó
A
Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c =
Í-
Bài 4.24: Cho x , y , z dương thỏa mãn x + y + z = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất
ÁN
-L
1 1 1 của: P = (1 + )4 + (1 + )4 + (1 + )4 . x y z B.244
C.453
D.489
Lời giải:
ÀN
TO
A. 768
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
TP
⇒ x 3 + y 3 + z 3 + 6 ≥ ( x + y + z) + 2( x + y + z) ⇒ x 3 + y 3 + z 3 ≥ x + y + z đpcm.
.Q
U Y
Mặt khác : x + y + z ≥ 3 3 xyz = 3 ⇒ 2( x + y + z) ≥ 6 .
D
IỄ N
Đ
1 1 1 Bài 4.24: Đặt a = 1 + ; b = 1 + ; c = 1 + ⇒ a + b + c ≥ 12 x y z
Ta có : a 4 + 4 4 + 4 4 + 4 4 ≥ 4 4 412 a 4 = 4 4 a ⇔ a 4 + 3.4 4 ≥ 4 4 a. Tương tự b 4 + 3.4 4 ≥ 4 4 b; c 4 + 3.4 4 ≥ 4 4 c cộng ba BĐT trên lại với nhau ta được
a 4 + b 4 + c 4 + 9.4 4 ≥ 4 4 ( a + b + c) ≥ 12.4 4 ⇒ a 4 + b4 + c 4 ≥ 3.4 4 = 768 đpcm
38
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c = 4 ⇔ x = y = z =
1 . 3
Bài 4.25: Cho a , b dương thỏa mãn a + b = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của:
B.8
C.9
D.1
B.12
C.14
D.17
29 16
C.
28 16
TR ẦN
Lời giải:
G
Đ B.
N
289 16
H Ư
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
1 1 c) P = a 2 + 2 b 2 + 2 b a A.
Bài 4.25: a) Áp dụng BĐT côsi ta có
D.
10 00
B
1 1 1 1 1 1 1 2 + 2 = + + 2 +2 ≥ +2 ≥ 2 2 2 2 2 ab a + b 2 ab 2 ab a + b 2 ab 2 ab (a + b ) (a + b) dụng BĐT côsi ta có
289 26
4 2
( a + b)
= 6 b) Áp
Ó
A
1 1 1 2 1 5 + + 4 ab = 2 + + + 4 ab . + 2 2 a + b ab 2 ab 4 ab 4 ab a +b 2
2
(a + b)
+
5
+4
-L
4
2
(a + b)
1 .4 ab = 4 + 5 + 4 = 11 . 4 ab
ÁN
A≥
Í-
H
A=
.Q
TP
A.11
2
ÀN
TO
1 1 a 2 b 2 + 1 a 2 b 2 + 1 1 c) Ta có a 2 + 2 b2 + 2 = = ab + . 2 2 ab b a b a
1 1 15 = ab + + ab 16 ab 16 ab
(1)
Áp dụng BĐT Côsi ta có: ab +
D
IỄ N
Đ
Ta có: ab +
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y
1 2 + + 4 ab 2 ab a +b 2
ẠO
b) P =
N
H
A.6
N
1 1 + 2 ab a + b 2
Ơ
a) P =
mà
1 1 1 ≥ 2 ab. = (2) 16 ab 16 ab 2
1 a+b 1 1 = ≥ ab nên ab ≤ ⇒ ≥ 4 2 2 4 ab
(3)
39
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Từ (1) (2) (3) ⇒ ab +
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
1 1 15 17 ≥ + .4 = ab 2 16 4 2
1 1 17 289 ⇒ a 2 + 2 b 2 + 2 ≥ = 16 b a 4
N
H
Ơ
N
Bài 4.26: Cho hai số thực dương a , b . Chứng minh rằng a 2 + b + 3 b 2 + a + 3 ≥ 2 a + 1 2b + 1 . 4 4 2 2
.Q TP
Đ G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
2
2
H Ư
N
1 1 2 a + 2b + 1 1 Theo BĐT côsi ta lại có 2 a + 2b + ≤ = a + b + (2) 2 2 2 2
TR ẦN
Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.
3 2
A
B.1
C.2
D.
1 2
Lời giải:
Í-
H
A.
10 00
1 4 + xyz ( x + y )( y + z)( z + x)
Ó
P=
B
Bài 4.27: Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn xy + yz + zx = 3 .Tìm giá trị nhỏ nhất của
-L
Bài 4.27: Trước tiên, ta dễ dàng có xyz ≤ 1
1 1 4 2 2 ≥ 1 + + + 2 xyz 2 xyz ( x + y )( y + z)( z + x) 2 xyz xyz( x + y )( y + z)( z + x)
D
IỄ N
Đ
ÀN
=
1 4 + xyz ( x + y )( y + z )( z + x)
TO
ÁN
Áp dụng côsi ta có
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
2
3 3 1 Suy ra a 2 + b + b2 + a + ≥ a + b + (1) 4 4 2
ẠO
1 3 1 Bài 4.26: Áp dụng BĐT côsi ta có a 2 + ≥ a ⇒ a 2 + b + ≥ a + b + 4 4 2 1 3 1 b2 + ≥ b ⇒ b 2 + a + ≥ a + b + 4 4 2
U Y
Lời giải:
=
1 + 2xyz
2 2
( xy + xz)( yz + yx)(zx + zy)
40
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
1 2 2 3 ≥ + = 3 2 2 xy + xz + yz + yx + zx + zy 3 Bài 4.28: Cho x , y , z dương thỏa mãn x + y + z = 3 . Chứng minh rằng
H
Ơ
N
y3 x3 z3 1 2 + + ≥ + ( xy + yz + zx) 3 3 3 y + 8 z + 8 x + 8 9 27
27
27
2
=
3 + ( x + y + z) − ( x 2 + y 2 + z 2 )
G mà ta lại có
1 2 = + ( xy + yz + zx) 9 27
TR ẦN
12 − ( x 2 + y 2 + z 2 )
=
N
27
12 − ( x 2 + y 2 + z 2 )
H Ư
10 ( x + y + z) − ( x 2 + y 2 + z 2 ) − 18
Đ
y3 9 y + z − z2 − 6 z3 9z + x − x2 − 6 ≥ , ≥ nên 27 27 z3 + 8 x3 + 8
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
ẠO
Tương tự ta có
VT ≥
.Q
TP
( y + 2) ( y 2 − 2 y + 4) x 9x + y − y 2 − 6 x3 x3 Bài 4.28: Ta có 3 + + ≥ ⇒ 3 ≥ 27 27 3 27 y +8 y +8
U Y
N
Lời giải:
27
10 00
B
Từ đó suy ra điều phải chứng minh . Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1 .
Bài 4.29: Cho a , b , c dương . Chứng minh rằng 2
A
2
2
3b + 8c + 14bc
c2
+
2
2
3c + 8 a + 14ca
≥
1 ( a + b + c) 5
Lời giải:
-L
Í-
3a + 8b + 14 ab
b2
Ó
2
+
H
a2
ÁN
Bài 4.29: Áp dụng BĐT côsi ta có
a2
ÀN
⇒
TO
3a2 + 8b 2 + 14 ab =
D
IỄ N
Đ
3a 2 + 8b2 + 14 ab
Mặt khác Do đó
1 2
(a + 4b)(3a + 2b) ≤ (4a + 6b) = 2a + 3b ≥
a2 2 a + 3b
a2 2 a + 3b 2 a a2 8 a − 3b + ≥ ⇒ ≥ 2 a + 3b 25 5 2 a + 3b 25
a2 3a 2 + 8b2 + 14 ab
≥
8 a − 3b 25
41
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn b2
Tương tự ta có
3b 2 + 8c 2 + 14bc
≥
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com c2
8 b − 3c , 25
3c 2 + 8 a 2 + 14ca
≥
8 c − 3a 25
Cộng vế với vế các BĐT trên ta được điều phải chứng minh.
Bài 4.30: Cho ba số thực dương x , y , z . Tìm giá trị nhỏ nhất
Ơ C.6
D.12
16 x 16 x 1+ = 1 + − 1 + 1 = y+z y+z
G N
16 x y+z
16 x y+z 6x +1≥ +1= + 1. Tươ 8 x + 5 y + 5z x+ y+z 16 x +1 +1 1+ 3( y + z) y+z
16 y 6y ≥ + 1, z+x x+y+z
1+
10 00
B
1+
ng tự, ta cũng có
Đ
8 x + 5 y + 5z 16 x (*) . Sử dụng (*), ta có ≤ y+z 3( y + z )
H Ư
1+
Suy ra
ẠO
2(8 x + 5 y + 5 z ) 16 x 16 x + 9 = ≤ 1 + y + z y + z y+z
TR ẦN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
TP
Bài 4.30: Áp dụng bất đẳng thức BĐT côsi ta có
16 z 6z ≥ + 1. x+ y x+ y+z
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Ó
A
Bài 4.31: Cho a , b , c là số dương thỏa mãn abc ≥ 1 . Chứng minh rằng
-L
Í-
H
a 2 + 1 + b 2 + 1 + c 2 + 1 ≤ 2 ( a + b + c)
a2 + 1 =
1
2
(2 + 2 )(a + 1−
2
(a + 1)
)(
− 2a =
(a + 1 −
)(
2a 2 − 2 a + 1 + 2a
)(
2a a + 1 + 2a
)
)
ÀN
=
TO
ÁN
Bài 4.31: Ta có
Lời giải:
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
Lời giải:
6 1+
H
B.3
N
A.9
N
16 y 16 x 16 z + 1+ + 1+ y+z z+x x+y
U Y
P = 1+
D
IỄ N
Đ
Áp dụng BĐT côsi ta có
a2 + 1 ≤
(
)(
) (
)(
)
1 2 + 2 a + 1 − 2a + 2 − 2 a + 1 + 2a = 2 a− a +1 2 2
Tương tự ta có
(
)
(
(
)
)
b2 + 1 ≤ 2 b − b + 1 , c 2 + 1 ≤ 2 c − c + 1
Cộng vế với vế các BĐT ta có
42
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
(
)
a 2 + 1 + b2 + 1 + c 2 + 1 ≤ 2 a + b + c − a − b − c + 3 (1) a + b + c ≥ 3 3 abc ≥ 1 (2)
Mặt khác theo BĐT côsi ta có
a 2 + 1 + b 2 + 1 + c 2 + 1 ≤ 2 ( a + b + c)
Từ (1) và (2) suy ra
Ơ
N
Bài 4.32: Cho a , b , c là số dương. Chứng minh rằng 2
3
b3 + (c + a)
+
N c3 3
c 3 + (a + b)
U Y
b3
≥1
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
3
a 3 + (b + c )
+
.Q
a3
TP
b)
H
a b c 1 1 1 a) + + ≥ (a + b + c) + + b c a a b c
ẠO
Lời giải:
TR ẦN
Áp dụng BDT côsi ta có có :
N
a 2 b2 c 2 a b c a b b + 2 + 2 + + + ≥ 3+ + + 2 c a b b a c b c a
H Ư
⇔
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
a 2 b2 c 2 a b c a b b c a c Bài 4.32: a) BĐT ⇔ 2 + 2 + 2 + 2( + + ) ≥ 3 + + + + + + c a b b a c b c a b c a
a2 2a b2 2b a2 2a b2 2b c 2 2c + 1 ≥ ; + 1 ≥ ; + 1 ≥ ; + 1 ≥ ; 2 +1≥ 2 2 2 2 b c c b b c c a a b
B
a b b a b c + + + + + ≥6 b a c c a b
10 00
Mặt khác
a + (b + c )
1 b+c với x = 3 a 1+ x
Ó
3
3
=
H
a3
Í-
b) Ta có
A
Cộng các vế các BĐT lại ta có ĐPCM.
-L
Áp dụng BĐT côsi ta có
ÀN
TO
ÁN
1 1 2 2 2a2 = ≥ = = 2 2 2 1 + x3 1 + x x 2 − x + 1 x + 2 b + c b + c) + 2 a2 ( +1 a
Đ IỄ N D
Do đó ta có
2 a2
2
Mặt khác ta có (b + c) ≤ 2 (b2 + c 2 ) ⇒ a3 3
a 3 + (b + c )
≥
2
(b + c)
+ 2a2
≥
a2 a2 + b2 + c 2
a2 a2 + b2 + c 2
43
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn b3
Tương tự ta có
≥
3
b3 + (c + a)
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
b2 , a2 + b2 + c 2
c3 3
c 3 + (a + b)
≥
c2 a2 + b2 + c 2
Cộng vế với vế các BĐT trên ta được điều phải chứng minh.
Bài 4.33: Cho x , y , z là các số thực không âm thỏa mãn x 3 + y 3 + z 3 = 3 . Tìm giá trị lớn
Bài 4.33: Không mất tính tổng quát giả sử (1 − x)(1 − y ) ≥ 0 ⇔ x + y − xy ≤ 1
Ơ
Đ
ẠO
x3 + y 3 + 1 z3 + 1 + 1 . ; z = 3 z 3 .1.1 ≤ 3 3
G
x3 + y 3 + z3 + 3 = 2 ĐPCM. 3
H Ư
N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Suy ra xy + z ≤
TP
Suy ra z( x + y − xy ) ≤ z ⇒ xy + yz + zx − xyz ≤ xy + z
của biểu thức P = x + y + z .
C.1
D. 3
10 00
B
B.2
A. 2
3x 2 . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất 2
TR ẦN
Bài 4.34: Cho x , y , z dương thỏa mãn y 2 + yz + z 2 = 1 −
Lời giải:
A
3x 2 2
Ó
Bài 4.34: y 2 + yz + z 2 = 1 −
Í-
H
1 1 1 1 1 ⇔ ( x 2 + y 2 ) + ( x 2 + z 2 ) + yz + ( x 2 + y 2 + z 2 ) = 1 . 2 2 2 2 2
-L
1 ( x + y + z )2 ≤ 1 ⇔ P ≤ 2 2
TO
Suy ra
1 2 1 2 1 1 x + y ≥ xy , x 2 + z 2 ≥ yz 2 2 2 2
ÁN
Ta có
D
IỄ N
Đ
ÀN
Bài 4.40: Cho x , y , z dương thỏa mãn T=
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
Lời giải:
Mặt khác, theo BĐT côsi ta có xy = 3 x 3 .y 3 .1 ≤
H
D.6
N
C.4
U Y
B.3
.Q
A.2
N
nhất P = xy + yz + zx − xyz .
xy + yz + zx = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của:
y2 x2 z2 + + x+y y+z z+x
A. min T =
1 2
B. min T =
1 12
C. min T =
1 22
D. min T =
1 32
Lời giải:
44
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
x ( x + y) − xy xy xy x2 = = x− ≥ x− 2 x+y x+y x+y
xy + yz + zx
2
1 1 1 = x + y + z − ≥ 1− = 2 2 2
N U Y .Q
1 1 khi x = y = z = . 2 3
TP
Vậy min T =
N
(vì x + y + z ≥ xy + yz + zx = 1 )
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
Suy ra: T ≥ x + y + z −
yz z 2 y2 zx ≥ y− ; ≥ z− y+z 2 z+x 2
Ơ
Chứng minh tương tự:
H
Bài 4.40: Ta có:
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Bài 4.41: Cho x , y , z dương thỏa mãn x + y + z = 3 .Tìm giá trị nhỏ nhất của
Đ C. minA = 3
B. minA = 1
TR ẦN
Lời giải: Bài 4.41: Theo BĐT côsi ta có
G
3 22
N
A. minA =
ẠO
y2 x2 z2 + + . x + y2 y + z2 z + x2
(
xy + yz + zx
3 2
)
10 00
B
xy 2 yz 2 zx 2 1 ≥ 3− A = x + y + z − + + 2 2 2 2 y+z z + x x + y
D. minA =
H Ư
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
A=
Lại có
Í-
H
Ó
A
1 1 xy + yz + zx ≤ [( x + 1) y + ( y + 1)z + ( z + 1)x] = ( x + y + z + xy + yz + zx) 2 2 1 1 ≤ (3 + ( x + y + z)2 ) = 3 2 3
ÁN
-L
3 ⇒ A ≥ . Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1 2 3 2
ÀN
TO
Vậy minA =
D
IỄ N
Đ
DẠNG 3: ĐẶT ẨN PHỤ TRONG BẤT ĐẲNG THỨC.
1. Phương pháp giải.
Điều quan trọng trong kĩ thuật này là phát hiện ra ẩn phụ (ẩn phụ có thể là x = f (a , b , c) , y = g (a , b , c) , z = h (a , b , c) hoặc là chỉ một ẩn phụ t = f (a; b; c) ). Ẩn phụ có
thể có ngay trong biểu thức của bất đẳng hoặc qua một số phép biến đổi, đánh giá.
2. Các ví dụ minh họa.
45
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Ví dụ 1: Cho các số dương a , b , c.
a+b 6 b + 8 c 3 a + 2b + c + + ≥7 a + b + c 2a + b b+c
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P =
a+b b+c c+a + + . a + b + c b + c + 4a c + a + 16b
N
a) Chứng minh rằng
Ơ
Lời giải:
N
H
a) Đặt x = a + b + c , y = 2 a + b , z = b + c
ẠO Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
y z 4x 4z x y ⇔ −1 + + + − 2 + + + ≥ 7 x x y y z z
H Ư
N
G
y 4 x z x 4z y ⇔ + + + + + ≥ 10 (*) x y x z y z y 4x z x 4z y + ≥ 4, + ≥ 2, + ≥4 x y x z y z
TR ẦN
Áp dụng BĐT côsi ta có
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
−x + y + z 4 x − 2 y + 4 z x + y + + ≥7 x y z
TP
Bất đẳng thức trở thành
U Y
Suy ra a = x − z , b = −2 x + y + 2 z , c = 2 x − y − z
Suy ra BĐT (*) đúng. ĐPCM.
10 00
B
2 x = y Đẳng thức xảy ra ⇔ x = z ⇔ 2 x = y = 2 z suy ra không tồn tại a , b , c. 2 z = y
Ó
A
Dấu đẳng thức không xảy ra.
-L
y−x 21x − 5 y − z z−x , b= ,c= 3 15 15
−6 x + 5 y + z 4 x − y 16 x − z + + 15 x 3y 15 z
ÁN
Suy ra a =
Í-
H
b) Đặt x = a + b + c , y = b + c + 4 a , z = c + a + 16b
TO
Khi đó ta có P =
y 4x z 16 x 4 + + + − 3 x 3 y 15 y 15 z 5
D
IỄ N
Đ
ÀN
⇒P=
Áp dụng BĐT côsi ta có
y 4x 4 16 y z 8 + ≥ , + ≥ 3 x 3 y 3 15 y 15 z 15
4 8 4 16 5 b 5c Suy ra P ≥ + − = , đẳng thức xảy ra ⇔ 4 x = 2 y = z ⇔ a = = 3 15 5 15 3 7
46
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Vậy min P =
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
16 5b 5c khi và chỉ khi a = = . 15 3 7
Ví dụ 2: Cho a , b , c là ba cạnh của tam giác có chu vi là 2p . Chứng minh rằng
N
a b c b+c c+a a+b + + ≥ + + p−a p−b p−c p−a p−b p−c
H
Ơ
Lời giải:
U Y
N
Đặt x = p − a; y = p − b; z = p − c suy ra a = y + z; b = z + x; c = x + y .
TP
Bất đẳng thức cần chứng minh được đưa về dạng:
Đ
ẠO
y+z z+x x+y y+z x+y z+x + + ≥ 2+ + 2+ + 2+ x y z x y z
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
Do a , b , c là ba cạnh của tam giác nên x , y , z dương
G
N
x+y x+y z+x z+x ≤ + 6, 4 2 + ≤ +6 y y z z
TR ẦN
Tương tự ta có 4 2 +
y + z y + z y+z ≤ 2 + + 4= +6 x x x
H Ư
Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có: 4 2 +
B
Cộng vế với vế các BĐT trên ta được
10 00
y+z x + y y + z z + x x + y z+x 4 2 + + 2+ + 2+ + + + 18 ≤ x y z x y z
A
y + z z + x x + y 1 y + z z + x x + y + + ≥ + + + 18 x y z 4 x y z
-L
y+z z+x x+y + + ≥6. x y z
y + z z + x x + y y x y z x z + + = + + + + + x y z x y z y z x
ÀN
TO
Ta có
ÁN
⇔
Í-
H
Ó
Vì vậy ta chỉ cần chứng minh
D
IỄ N
Đ
Áp dụng BĐT côsi ta có
Suy ra
y x y x y z x z + ≥ 2 . = 2, + ≥ 2, + ≥ 2 x y x y z y z x
y+z z+x x+y + + ≥ 6 . ĐPCM. x y z
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hay tam giác đều.
47
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Nhận xét : Đối với BĐT có giả thiết a , b , c là ba cạnh của tam giác thì ta thực hiện phép đặt ẩn phụ x =
a+b−c a−b + c −a + b + c thì khi đó a = y + z; b = z + x; c = x + y và , y= , z= 2 2 2
x , y , z dương. Ta chuyển về bài toán với giả thiết x , y , z dương không còn ràng buộc là ba
G
1590 1331
N
BĐT trở thành a 3 + 2b 3 + 3c 3 ≥
Đ
ẠO
y x z , b= , c= ⇒ a , b , c dương và a + b + c = 1 x+y+z x+y+z x+y+z
3
3
3
H Ư
Áp dụng BĐT côsi ta có 3
3
3
6 6 3 3 2 2 18 18 18 a + + ≥ a , 2b3 + 2 + 2 ≥ b , 3c 3 + 3 + 3 ≥ c 11 11 11 11 11 11 11 11 11
TR ẦN
3
1590 . 1331
H
Ó
Suy ra a 3 + 2b 3 + 3c 3 ≥
10 00
588 18 18 ≥ ( a + b + c) = 1331 11 11
A
a 3 + 2 b 3 + 3c 3 +
B
Cộng vế với vế các BĐT trên ta được
Í-
Nhận xét: Phương pháp đặt ẩn phụ trên được áp dụng khi BĐT là đồng bậc(Người ta gọi là
-L
phương pháp chuẩn hóa)
ÁN
Ví dụ 4: Cho x , y , z là số dương thỏa mãn x + y + z ≤
3 2
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
1 1 1 15 Chứng minh rằng x + y + z + + + ≥ . 2 x y z
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
TP
.Q
3 3 3 y x z + 2 Ta có BĐT ⇔ x + y + z + 3 x + y + z ≥ x + y + z
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
H
U Y
Lời giải:
Đặt a =
Ơ
3 1590 ( x + y + z) 1331
N
Ví dụ 3: Cho x , y , z là số dương. Chứng minh rằng x 3 + 2 y 3 + 3 z 3 ≥
N
cạnh của tam giác.
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có:
1 1 1 1 1 1 1 9 + + ≥ 33 và x + y + z ≥ 3 3 xyz nên + + ≥ x y z xyz x y z x+y+z
48
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
1 1 1 9 Suy ra x + y + z + + + ≥ x + y + z + x y z x+y+z 3 2
9 9 15 =t+ ≥ 2 x+y+z t
Ơ
Khi đó ta chỉ cần chứng minh x + y + z +
N
Đặt t = x + y + z ⇒ 0 < t ≤
N
H
Áp dụng BĐT côsi ta có
4 3
abc
.
ẠO
TR ẦN
Lời giải:
1 1 1 + + = 1 ⇔ 4 = abc + ab + bc + ca a+2 b+2 c+2
B
Ta có
Đ
N
của biểu thức P = a + b + c +
1 1 1 + + = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất a+2 b+2 c+2
G
Ví dụ 5: Cho ba số thực dương a , b , c thỏa mãn
H Ư
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
1 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = . 2
2
10 00
Áp dụng BĐT côsi ta có ab + bc + ca ≥ 3 3 (abc) 2
Ó
A
Suy ra 4 = abc + ab + bc + ca ≥ abc + 3 3 (abc) = t 3 + 3t 2 , với t = 3 abc . 2
Í-
H
⇒ t 3 + 3t 2 − 4 ≤ 0 ⇔ (t − 1)(t + 2) ≤ 0 ⇔ t ≤ 1
-L
Cũng theo BĐT côsi ta có
4
ÁN
P = a+b+c+
abc
≥ 3 3 abc +
4 3
abc
TO
3
ÀN
4 3 1 Suy ra P ≥ 3t + = 3t + + t t t
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
TP
.Q
U Y
9 9 27 9 27 15 t + = t + + ≥ 2 t. + = ĐPCM. 3 4t 4t 4t 2 t 4. 2
D
IỄ N
Đ
3 3 1 Áp dụng BĐT côsi ta có 3t + ≥ 2 3t. = 6 , mặt khác t ≤ 1 ⇒ ≥ 1 t t t
4 Do đó P ≥ 3t + ≥ 7 , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t = 1 hay a = b = c = 1 t Vậy min P = 7 ⇔ a = b = c = 1
49
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
1 1 1 Ví dụ 6: Cho x , y , z dương thỏa mãn 1 + 1 + 1 + = 8 . x y z Tìm giá trị lớn nhất của P =
x 2 + y 2 + z 2 + 14 xyz 2
4 ( x + y + z) + 15 xyz
Ơ
N
Lời giải:
U Y
N
H
1 1 1 Ta có 1 + 1 + 1 + = 8 ⇔ 8 xyz = 1 + x + y + z + xy + yz + zx + xyz x y z 2
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
với x + y + z = t > 0 .
2
Suy ra
TR ẦN
(t − 3) t 2 + 2t + 2 1 −t 2 + 6t − 9 − = = − ≤0 Xét 3 4t 2 + 15 12t 2 + 45 12t 2 + 45
H Ư
N
G
Từ (1) và (2) ta có
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
2
( x + y + z ) + 2 ( x + y + z ) + 2 t 2 + 2t + 2 P≤ = 2 4t 2 + 15 4 ( x + y + z) + 15
TP
ẠO
1 1 1 8 Áp dụng BĐT côsi ta có: 8 = 1 + 1 + 1 + ≥ ⇒ xyz ≥ 1 (2) x y z xyz
.Q
⇔ x 2 + y 2 + z 2 + 14 xyz = ( x + y + z) + 2 ( x + y + z) + 2 (1)
t 2 + 2t + 2 1 1 ≤ do đó P ≤ 2 3 3 4t + 15
H
3. Bài tập luyên tập.
A
1 khi và chỉ khi x = y = z = 1 3
Ó
Vậy max P =
10 00
B
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t = 3 hay x = y = z = 1
-L
Í-
Bài 4.42: Cho x , y , z dương , CMR
4y 25 x 9z + + > 12 y+z z+x x+y
ÁN
Lời giải:
TO
Bài 4.42: Đặt a = y + z , b = z + x , c = x + y ( với a,b,c dương) b+c−a c + a−b a + b−c ,y = ,z = 2 2 2
D
IỄ N
Đ
ÀN
⇒x=
2VT =
25 (b + c − a)
+
4 (c + a − b)
a b ≥ 20 + 30 + 12 = 24 ⇒ VT ≥ 12
+
9 ( a + b − c) c
25b 4 a 25c 9 a 4c 9b = + + + + + − 38 a Dấu b a c b c
2 2 25b = 4 a ⇔ 5b = 2 a ⇒ 5b + 5c = 5a ⇒ x = 0 (vô lí) bằng xảy ra khi 25c 2 = 9 a 2 5c = 3a
50
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Bài 4.43: Cho các số dương a , b , c. Tìm giá trị nhỏ nhất của
4a b + 3c 8c + − a + b + 2 c 2 a + b + c a + b + 3c A. 12 2 − 17
B. 12 2 − 13
C. 12 2 − 14
D. 14 2 − 17
Ơ
N
Lời giải:
H
Bài 4.43: Đặt x = a + b + 2c , y = 2 a + b + c , z = a + b + 3c
U Y
ẠO Đ G
4 y 2x 4z 8x + ≥ 4 2, + ≥8 2 x y x z
N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
4 y 2x 4z 8x ⇔ + + + + ≥ 12 2 (*) y x z x Áp dụng BĐT côsi ta có
.Q
−8 x + 4 y + 4 z 2 x − y −8 x + 8 z + − ≥ 12 2 − 17 x y z
TP
Bất phương trình trở thành
N
Suy ra a = −2 x + y + z , b = 5 x − y − 3 z , c = z − x
H Ư
Cộng vế với vế lại suy ra BĐT (*) đúng. ĐPCM.
TR ẦN
Bài 4.44: Cho x , y , z là các số dương thoả mãn xyz ≥ x + y + z + 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
P = x+y+z . B.7
C.9
D.10
B
A.6
10 00
Lời giải:
Bài 4.44: Áp dụng BĐT Côsi ta có 3
A
( x + y + z)
Ó
x + y + z ≥ 3 xyz ⇒
27
≥ xyz
Í-
H
3
3
ÁN
-L
Mặt khác xyz ≥ x + y + z suy ra
TO
Đặt t = x + y + z , t > 0 ta có
( x + y + z) 27
≥ x+y+z+2
2 t3 ≥ t + 2 ⇔ t 3 − 27 t − 54 ≥ 0 ⇔ (t − 6)(t + 3) ≥ 0 ⇔ t ≥ 6 27
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
P=
ÀN
Suy ra x + y + z ≥ 6 , đẳng thức xảy ra ⇔ x = y = z = 2 .
Chứng minh rằng
3 a11 b11 c11 a6 + b6 + c 6 + 9 + + + 2 2 2≥ bc ca ab a b c 2
D
IỄ N
Đ
Bài 4.45: Cho a , b , c là các số thực dương.
Lời giải:
51
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Bài 4.45: Sử dụng bất đẳng thức côsi ta có
Hay là 3( a6 + b6 + c 6 ) +
6 − 6 abc ≥ 9 abc 2 2 2
Ơ N
ẠO G
6 − 6t ≥ 9 t2
H Ư
Sử dụng bất đẳng thức côsi ta được
6 6 6 − 6t ≥ 9t 2 + 2 − 3(t 2 + 1) = 6t 2 + 2 − 3 ≥ 12 − 3 = 9 ĐPCM. 2 t t t
TR ẦN
9t 2 +
Đ
2 2 2
N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Đặt t = abc , t > 0 . BĐT trở thành 9t 2 +
6 − 6 abc ≥ 9 abc
TP
Bây giờ lại sử dụng bất đẳng thức côsi ta được a6 + b6 + c 6 ≥ 3a 2 b 2 c 2 Do đó ta chỉ cần chứng minh 9 a 2 b 2 c 2 +
H
3 a 6 + b6 + c 6 + 9 ≥ 2 a2b2c 2
U Y
Vậy ta chỉ cần chứng minh 2( a6 + b6 + c 6 ) − 3abc +
N
a11 b11 c11 + + ≥ 2( a6 + b6 + c 6 ) − 3abc bc ca ab
.Q
Từ đó suy ra
b11 c11 + abc ≥ 2b6 , + abc ≥ 2c 6 ca ab
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1
P = x+y+z . B.7
C.9
H
Ó
A
A.3
10 00
B
Bài 4.46: Cho x , y , z là số không âm thoatr mãn x 2 + y 2 + z 2 + xyz = 4 . Giá trị lớn nhất của
D.1
Lời giải:
-L
Í-
Bài 4.46: Từ điều kiện suy ra x , y , z ∈ 0; 2 . Áp dụng BĐT Côsi ta có: 3
ÁN
27(2 − x)(2 − y )(2 − z) ≤ (2 − x + 2 − y + 2 − z)
TO
3 ⇔ 27 8 − 4 ( x + y + z) + 2 ( xy + yz + zx) − xyz ≤ (8 − x − y − z)
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
Tương tự ta có
a11 a11 .abc = 2 a6 + abc ≥ 2 bc bc
D
IỄ N
Đ
ÀN
3 ⇔ 27 8 − 4 ( x + y + z) + 2 ( xy + yz + zx) + ( x 2 + y 2 + z 2 ) − 4 ≤ (8 − x − y − z) 2 3 ⇔ 27 4 − 4 ( x + y + z) + ( x + y + z) ≤ (8 − x − y − z)
Đặt t = x + y + z , t ≥ 0 ta có
52
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
3
⇔ 27(t 2 − 4t + 4) ≤ (6 − t ) ⇔ t 3 + 9t 2 − 108 ≤ 0 2
⇔ (t − 3)(t + 6) ≤ 0 ⇔ t ≤ 3 Suy ra x + y + z ≤ 3 .
N
Bài 4.47: Cho x , y , z là số thực thỏa mãn x 2 + y 2 + z 2 = 2 . Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của
B. min P = −4 2 , maxP = 4 2 . C.
N
A. min P = −2 2 , maxP = 2 2 .
H
Ơ
3 3 3 biểu thức P = x + y + z − 3 xyz .
TP
.Q
Lời giải:
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
Bài 4.47: Giả thiết của bài toán và P là những đa thức đối xứng ba biến nên ta biểu diễn các
G
Đ
đa thức này qua ba đa thức đối xứng cơ bản x + y + z , xy + yz + zx , xyz .
H Ư
N
Ta có: x 2 + y 2 + z 2 + 2( xy + yz + zx) = ( x + y + z )2
x 3 + y 3 + z 3 − 3 xyz = ( x + y + z )( x 2 + y 2 + z 2 − xy − yz − zx) . Suy ra: 2
t2 − 2 t3 ) = − + 3t . 2 2
B
2
TR ẦN
( x + y + z )2 − 2 ) P = ( x + y + z)( x + y + z − xy − yz − zx) = ( x + y + z )(2 − 2 2
t3 + 3t ≤ 2 2 ⇔ t 3 + 4 2 ≥ 6t 2
Ó
A
Ta sẽ đi chứng minh −
10 00
Đặt t = x + y + z , t ≥ 0 suy ra P = t(2 −
Í-
H
Thật vậy theo BĐT côsi ta có t 3 + 4 2 = t 3 + 2 2 + 2 2 ≥ 3 t 3 .2 2.2 2 = 6t
-L
Do đó P ≤ 2 2 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t = 2 .
ÁN
Ta có P = 2 2 chẳng hạn khi x = 2 , y = z = 0 , P = −2 2 chẳng hạn khi x = − 2
TO
,y= z=0,
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y
D. min P = −5 2 , maxP = 5 2 .
min P = −3 2 , maxP = 3 2 .
ÀN
Vậy min P = −2 2 , maxP = 2 2 .
D
IỄ N
Đ
Nhận xét : 1) Việc chúng biết phải đi chứng minh −
t3 + 3t ≤ 2 2 là do chúng ta dự đoán được dấu 2
bằng xảy ra tại biên.
53
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
2) Ta có mọi đa thức đối xứng ba ẩn luôn biểu diễn qua được các đa thức đối xứng sơ cấp
a = x + y + z; b = xy + yz + zx; c = xyz . Hơn nữa giữa ba đa thức đối xứng sơ cấp này luôn có sự đánh giá qua lại giữa chúng, cụ thể a 2 ≥ 3b ≥ 9 3 c 2 . Với bài toán trên từ giả thiết ta có:
a2 − 2 tức là ta đã thay thế b bởi a do đó khi biểu diễn 2
H
Ơ
P = x 3 + y 3 + z 3 − 3 xyz thì chỉ còn hai biến là a và c. Mặt khác ta luôn đánh giá được c qua a
N
a 2 − 2b = 2 ⇔ b =
C.2
D.3
Đ
Lời giải:
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
B.1
TP
3 4
ẠO
A.
.Q
P = x2 + y2 + z2
U Y
Bài 4.48: Cho x , y , z ∈ (0;1) và xyz = (1 − x)(1 − y )(1 − z) . Tìm giá trị nhỏ nhất của
N
(hoặc a qua c) và lúc đó trong P chỉ còn một biến là a hoặc c.
H Ư
2
⇔ x 2 + y 2 + z 2 = 2 − 2 ( x + y + z) + ( x + y + z) − 4 xyz
N
G
Bài 4.48: Ta có xyz = (1 − x)(1 − y )(1 − z) ⇔ 1 − ( x + y + z) + xy + yz + zx = 2 xyz
TR ẦN
x + y + z 3 Áp dụng BĐT côsi ta có ≥ xyz nên 3
10 00
B
x + y + z 3 2 x 2 + y 2 + z 2 ≥ 2 − 2 ( x + y + z) + ( x + y + z) − 4 3
Ó
4 3 1 15 3 3 t + t 2 − 2t + 2 = (2t − 3)2 ( − t ) + ≥ 27 27 4 4 4
Í-
H
x2 + y 2 + z 2 ≥ −
A
Đặt t = x + y + z thì 0 < t < 3 . Khi đó:
3 1 hay x = y = z = . ĐPCM 2 2
ÁN
-L
Đẳng thức xảy ra khi t =
ÀN
TO
Cho x , y ∈ R và x , y > 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P =
P=
3
+ y 3 )−(x2 + y 2 ) ( x − 1)( y − 1)
.
t2 . 4
t 3 − t 2 − xy(3t − 2) t2 . Do 3t − 2 > 0 và −xy ≥ − nên ta có 4 xy − t + 1
D
IỄ N
Đ
Đặt t = x + y ; t > 2 . ta có xy ≤
(x
54
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
t 2 (3t − 2) 4 t2 4 = = t−2+ +4≥8 2 t−2 t−2 t −t +1 4
t3 − t2 − P≥
Ơ
N
x + y = 4 x = 2 . ⇔ min P = min f (t ) = f (4) = 8 đạt được khi ( 2;+∞ ) xy = 4 y = 2
U Y C.3
D.6
ẠO
Lời giải: Bài 4.49: Áp dụng BĐT côsi ta có
2t 2 − 2t + 13 2
(t + 2)
,t=
2
N
10 00
(t − 3) Xét Q − 1 = ≥0 ⇒Q ≥1⇒ P ≥6 2 (t + 2)
x y
TR ẦN
Rõ ràng y ≠ 0 ta có Q =
H Ư
6(2 x 2 + 13 y 2 − xy ) − 6 xy 2 x 2 + 13 y 2 − 2 xy 6. = = 6.Q ( x + 2 y )2 ( x + 2 y )2
B
P≥
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
B.2
.Q
A.5
N
(2 x2 + 13 y 2 − xy )2 − 6 xy + 9 . ( x + 2 y )2
TP
P=
H
Bài 4.49: Cho các số thực x , y thỏa x ≠ −2 y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
-L
Í-
H
Ó
A
x = ±3 3 28 Suy ra min P = 6 ⇔ . 3 y = ± 28
Bài 4.50 Cho a,b,c là ba số thực không âm có tổng bằng 3. Tìm giá trị lớn nhất của :
TO
ÁN
P = a + ab + 2 abc
B.
9 2
C.3
ÀN
A.5
D
IỄ N
Đ
Lời giải: 2
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM dạng xy ≤ 2
1 b + 2abc = 2 a.b c + ≤ 2 a. 2
D.6
b + c + 1 2 4
( x − y) 4
ta có 2
= 2 a.
3 − a + 1 2 4
a(7 − 2a)2 = 8 55
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Do đó, chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được
a+
a(7 − 2 a)2 9 ≤ ⇔ (4 − a)(2 a − 3)2 ≥ 0 (Luôn đúng với 0 ≤ a ≤ 3 ). 8 2
Ơ
N
3 1 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ( a , b , c) = ,1, 2 2
H
DẠNG 4: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ.
U Y
N
1. Phương pháp giải.
TP
phụ có thể là những BĐT cơ bản đã có hoặc là chúng ta từ đặc điểm của BĐT cần chứng minh chúng ta dự đoán và đưa ra BĐT phụ từ đó vận dụng vào bài toán.
ẠO
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
2. Các ví dụ minh họa.
G
Đ
Ví dụ 1: Cho a , b , c là số dương. Chứng minh rằng: a b c a+b+c + 3+ 3≥ 3 abc b c a
b)
1 1 1 1 + 3 + 3 ≤ 3 3 3 a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc
TR ẦN
3
H Ư
N
a)
Lời giải:
10 00
B
Trước tiên ta chứng minh a 3 + b3 ≥ a 2 b + b 2 a .
BĐT tương đương với a 3 + b3 − a 2 b − b2 a ≥ 0 ⇔ a 2 ( a − b) + b2 (b − a) ≥ 0
Ó
A
⇔ ( a − b)2 ( a + b) ≥ 0 (đúng với mọi a > 0, b > 0 )
Í-
H
⇒ a 3 + b3 ≥ a 2 b + b 2 a . Đẳng thức xảy ra khi a = b .
ÁN
-L
a) Ta có a 3 + b 3 ≥ a 2 b + b2 a ⇔
TO
Hoàn toàn tương tự ta có
a 1 1 1 + 2≥ 2+ 3 ab b a b
b 1 1 1 c 1 1 1 + 2≥ 2+ , 3+ 2≥ 2+ 3 bc a ac c b c c a
Đ
ÀN
Cộng vế với vế rút gọn ta được
D
IỄ N
Hay
a b c 1 1 1 + 3+ 3≥ + + 3 a b c b c a
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
Điều quan trọng dạng toán này là cần phát hiện ra được bất đẳng thức phụ. Bất đẳng thức
a b c a+b+c , đẳng thức xảy ra khi a = b = c . + 3+ 3≥ 3 abc b c a
b) Theo bài toán trên ta có : a 3 + b 3 ≥ a 2 b + b 2 a = ab( a + b)
⇒ a 3 + b3 + abc ≥ ab( a + b + c) ⇒
1 1 c ≤ = 3 a + b + abc ab( a + b + c) abc( a + b + c ) 3
56
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Tương tự :
1 3
3
b + c + abc
≤
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
a 1 b ; 3 ≤ 3 abc( a + b + c) c + a + abc abc( a + b + c )
Cộng ba BĐT trên lại với nhau ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi a = b = c .
Ơ
N
Ví dụ 2: Cho a , b là các số thực. Chứng minh rằng:
H
a) 3( a + b + 1)2 + 1 ≥ 3ab .
N
6
.Q
Lời giải: 2
ẠO
TP
a + b 3 a) Áp dụng bất đẳng thức ab ≤ nên ta chứng minh 3( a + b + 1)2 + 1 ≥ ( a + b)2 (*) 2 4
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Thật vậy : (*) ⇔ 12( a + b)2 + 24( a + b) + 16 ≥ 3( a + b)2
N
G
⇔ 9( a + b)2 + 24( a + b) + 16 ≥ 0 ⇔ (3a + 3b + 4)2 ≥ 0 (đúng) ĐPCM
2
TR ẦN
b) Dễ thấy bất đẳng thức đúng khi ab ≤ 0 .
H Ư
2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = − . 3
10 00
B
a + b Xét ab > 0 . Áp dụng BĐT ab ≤ ta có 2
2
a + b 2 64a b ( a + b ) = 16ab 2 ab( a 2 + b2 ) ≤ 16 2 2
2 2
A
3 3
2
2 ab + ( a 2 + b 2 ) = (a + b)6 2
Ó
6
H
Suy ra 64 a 3b 3 ( a 2 + b 2 )2 ≤ (a + b)
-L
Í-
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b .
ÁN
Ví dụ 3: Cho a là số dương và b là số thực thỏa mãn a 2 + b2 = 5 .
2a3 + a + 1 − 2b . a2 Lời giải:
ÀN
TO
Tìm giá trị nhỏ nhất của P =
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y
b) 64 a 3b 3 ( a 2 + b 2 )2 ≤ (a + b)
2
D
IỄ N
Đ
Áp dụng bất đẳng thức (a 2 + b2 )(c 2 + d 2 ) ≥ (ac + bd) (*), dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ad = bc . 2
Ta có (a 2 + b2 )(1 + 4) = 25 ≥ (a + 2b) ⇔ a + 2b ≤ 5 Suy ra −2b ≥ a − 5
57
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Do đó P =
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
2a3 + a + 1 2a3 + a + 1 1 1 − 2 ≥ + a − 5 = 3a + + 2 − 5 (1) b 2 2 a a a a
1 1 Áp dụng BĐT côsi ta có a + ≥ 2, a + a + 2 ≥ 3 a a
Ơ
N
1 1 Do đó 3a + + 2 ≥ 5 (2) a a
N
H
Từ (1) và (2) suy sa P ≥ 0 . Đẳng thức xảy ra khi a = 1, b = 2 .
TP
.Q
Nhận xét: Bất đẳng thức (*) là bất đẳng thức Bunhiacopxki cho bốn số. Ta có thể tổng quát
ẠO
bất đẳng thức Cho 2n số a1 , a2 ,.., an , b1 , b2 ,..., bn . Khi đó ta có bất đẳng thức
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
( a1b1 + a2 b2 + ... + anbn )2 ≤ ( a12 + a22 + ... + an2 )(b12 + b22 + ... + bn2 ) .
G
Ví dụ 4: Cho a, b, c dương thỏa mãn a + b + c = 3 . Chứng minh rằng
a 3 b3 c 3 + + ≥3 bc ca ab
b)
1 1 1 + 2 + 2 ≥ a2 + b2 + c 2 2 a b c
TR ẦN
H Ư
N
a)
Lời giải:
10 00
B
a) Áp dụng BĐT a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca này hai lần ta có : a 4 + b 4 + c 4 = ( a 2 )2 + (b2 )2 + (c 2 )2 ≥ a 2 b2 + b2 c 2 + c 2 a 2 = ( ab)2 + ( bc)2 + (ca)2 ≥
Ó
A
≥ ab.bc + bc.ca + ca.ab = abc( a + b + c ) = 3abc (vì a + b + c = 3 )
H
a4 + b 4 + c 4 a 3 b3 c 3 ≥ 3 hay + + ≥ 3 ĐPCM. abc bc ca ab
-L
Í-
Suy ra
ÁN
Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c
TO
b) Áp dụng a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca ta có
ÀN
Do đó ta cần chứng minh
1 1 1 1 1 1 3 + 2+ 2≥ + + = 2 ab bc ca abc a b c
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y
Vậy min P = 0 ⇔ a = 1, b = 2 .
3 ≥ a 2 + b2 + c 2 ⇔ abc (a 2 + b 2 + c 2 ) ≤ 3 (*) abc
Đ
2
D
IỄ N
Lại áp dụng (a + b + c) ≥ 3 (ab + bc + ca) (ví dụ 1) ta có 2
2
(ab + bc + ca)
≥ 3abc (a + b + c) ⇒ abc ≤
(ab + bc + ca) 9
(**)
58
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com 3
a + b + c Áp dụng bất đẳng thức abc ≤ và (**) ta có 3 abc (a 2 + b2 + c 2 ) ≤
9
3
2 1 (a + b + c) ≤ = 3 9 3
N
2
(ab + bc + ca) (a2 + b2 + c 2 )
Ơ
Vậy BĐT (*) đúng nên BĐT ban đầu đúng. ĐPCM..
N
H
Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c .
U Y
1 1 1 1 1 1 1 + + ≤ ( + + ) a + b + 2c 4 a b c 2a + b + c 2 a + 2b + c
b)
1 1 1 1 1 1 + + ≥ + + a + 3b b + 3c c + 3a 2 a + b + c a + 2b + c a + b + 2c
TP ẠO G
Lời giải:
H Ư
TR ẦN
B
1 1 4 + ≥ (*). Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b . a b a+b
10 00
Suy ra
N
Áp dụng BĐT Côsi cho hai số thực không âm ta có: a + b ≥ 2 ab 1 1 1 1 1 1 ⇒ ( a + b)( a + b ) ≥ 2 ab .2 ab = 4 + ≥2 a b ab
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
a)
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Ví dụ 5: Cho a , b , c là số dương. Chứng minh rằng
a) Áp dụng BĐT (*) ta có:
H
Ó
A
1 1 1 1 1 1 2 1 1 )≤ ( + + ) = ≤ ( + 2 a + b + c ( a + b) + ( a + c ) 4 a + b a + c 16 a b c
Í-
1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 ≤ ( + + ); ≤ ( + + ) a + 2b + c 16 a b c a + b + 2c 16 a b c
-L
Tương tự ta có
ÁN
Cộng ba BĐT trên ta có được đpcm. Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c .
TO
b) Áp dụng BĐT (*) ta có:
ÀN
1 1 4 2 + ≥ = . a + 3b a + b + 2 c 2 a + 4 b + 2 c a + 2 b + c
D
IỄ N
Đ
Tương tự
1 1 2 1 1 2 + ≥ ; + ≥ b + 3c 2 a + b + c a + b + 2c c + 3a a + 2b + c 2 a + b + c Cộng ba BĐT trên ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c .
Ví dụ 6: Cho a , b , c dương thỏa mãn a + b + c = 1 . Chứng minh rằng
59
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn a)
a b c 3 + + ≤ . 1+ a 1+ b 1+ c 4
b)
1 1 1 1 + + + ≥ 30 2 2 ab bc ca a +b +c
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
2
N
Lời giải:
Ơ
Áp dụng BĐT Côsi cho ba số thực dương ta có :
N U Y .Q
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
Áp dụng BĐT (*) ta có
ẠO Đ G
H Ư
1 1 1 3 1 1 1 9 + + + + ≥ . )≤ ⇔ 4 a +1 b +1 c +1 a +1 b +1 c +1 4
1 1 1 9 9 + + ≥ = đpcm. a +1 b +1 c +1 a + b + c + 3 4 1 . 3
B
Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c =
TR ẦN
⇔ 3 −(
a + 1− 1 b + 1− 1 c + 1− 1 3 + + ≤ 4 a+1 b +1 c +1
N
a) Ta có BĐT ⇔
TP
1 1 1 9 + + ≥ (*) . Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c . a b c a+b+c
Suy ra
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
H
a + b + c ≥ 3 3 abc 1 1 1 1 3 =9 1 1 1 1 ⇒ ( a + b + c)( + + ) ≥ 3 abc .3 3 a b c + + ≥3 abc 3 a b c abc
A
1 1 1 1 1 9 + + + ≥ 2 + 2 2 2 2 ab bc ca a + b + c ab + bc + ca a +b +c
Ó
2
H
⇒
1 1 1 9 + + ≥ ab bc ca ab + bc + ca
10 00
b) Áp dụng BĐT (*) ta có :
Í-
1 1 1 7 + + + 2 2 ab + bc + ca ab + bc + ca ab + bc + ca a +b +c 2
-L
=
TO
ÁN
1 1 7 Mặt khác : ab + bc + ca ≤ ( a + b + c)2 = ⇒ ≥ 21 3 3 ab + bc + ca 1 1 1 9 + + ≥ 2 =9 2 2 2 2 ab + bc + ca ab + bc + ca a + b + c + 2( ab + bc + ca) a +b +c
ÀN
2
D
IỄ N
Đ
Suy ra :
1 1 1 1 + + + ≥ 9 + 21 = 30 đpcm. 2 2 ab bc ca a +b +c 2
Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c =
1 . 3
1 2 3 6 + 4 + 4 = . Ví dụ 7: Cho a , b , c là các số thuộc 0;1 thỏa mãn 4 4 a + 5 4 b + 5 4c + 5 7 60
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Tìm giá trị lớn nhất của P = ab2 c 3
Lời giải: Ta chứng minh bất đẳng thức sau
1 1 2 (*) + 4 ≤ 2 2 4x + 5 4 y + 5 4x y + 5
Với x , y thuộc [0,1] , ta luôn có
Ơ
N
4
H
Thật vậy, BĐT (*)
U Y
N
⇔ (2 x 4 + 2 y 4 + 5)(4 x 2 y 2 + 5) ≤ (4 x 4 + 5)(4 y 4 + 5)
TP
⇔ (5 − 4 x 2 y 2 )( x2 − y 2 )2 ≥ 0 (đúng với x , y ∈ [0,1] )
ẠO
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y .
Đ
1 1 2 1 1 2 + 4 ≤ 2 2 , 4 + 4 ≤ 2 2 4 a + 5 4 c + 5 4 a c + 5 4b + 5 4 c + 5 4 b c + 5
Áp dụng BĐT (*) ta có:
4
N
G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
⇔ 8 x 4 y 4 − 10 x 2 y 2 + ( x 4 + y 4 )(5 − 4 x 2 y 2 ) ≥ 0
H Ư
+5
2
1 1 2 + 4 + ≤ 4b + 5 4 c + 5 7 4 + 4 abc 2 + 5
4 bc
2
b
4.
4.
2
c
2
+5
4.
2
4.
c
2
8 ab2 c 3 2
+5
4.
4 bc
ÀN
8
≥
2 3
4.
ab c 2
+5
2
(2)
+5
(3)
+5
1 2 3 2 + 4 + 4 + ≤ 4 a + 5 4b + 5 4c + 5 7
Đ IỄ N
≤
2
8
4
Kết hợp giả thiết suy ra
D
+5
2
TO
ÁN
Từ (1), (2) và (3) ta có
4.
+5
-L
2
2
+
2
≤
Í-
Ta lại có
4
TR ẦN
b
1 1 + ≤ c +5 7 4
A
Suy ra
4.
,
B
2 2
10 00
1 1 + ≤ 4b + 5 7 4
Ó
Và
1 1 2 2 2 4 + 4 + 4 ≤ 2 2 + 2 2 ≤ (1) 4a + 5 4b + 5 4c + 5 4 a c + 5 4b c + 5 4 abc 2 + 5 4
H
Suy ra
4.
ab 2 c 3 2
+5
8 2 ⇒ ab2 c 3 ≤ 7 4
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 4
1 2
61
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Vậy max P =
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
1 1 khi và chỉ khi a = b = c = 4 . 16 2
3. Bài tập luyện tập. Bài 4.50: Cho a, b, x, y ∈ R. Chứng minh bất đẳng thức sau:
a 2 + x 2 + b 2 + y 2 ≥ ( a + b) 2 + ( x + y ) 2
Ơ
N
(1)
N U Y
( a 2 + b2 )( x 2 + y 2 ) ≥ ab + xy (*)
TP
• Nếu ab + xy ≥ 0 thì bình phương 2 vế ta được: (*) ⇔ (bx − ay )2 ≥ 0 (đúng).
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
• Nếu ab + xy < 0 thì (*) hiển nhiên đúng.
.Q
Bình phương 2 vế ta được: (1) ⇔
H
Lời giải:
ẠO
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Áp dụng chứng minh các bất đẳng thức sau:
17 2
B. 17
D.4
1 1 + b2 + 2 . 2 b a
C.1
D.54
B
A.
a2 +
TR ẦN
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
N
C.3
H Ư
B.1
A. 5
G
Đ
a) Cho a, b ≥ 0 thoả a + b = 1 . Giá trị nhỏ nhất của P = 1 + a 2 + 1 + b2 .
1 1 1 + y2 + 2 + z2 + 2 . 2 x y z
Ó
A
P = x2 +
10 00
c) Cho x, y, z > 0 thoả mãn x + y + z = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
A. 82
C.1
D.4
Í-
H
B. 12
223 + x 2 + 223 + y 2 + 223 + z 2 .
ÁN
P=
-L
d) Cho x, y, z > 0 thoả mãn x + y + z = 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
B.2010
IỄ N
Đ
Bài 4.50: Bình phương 2 vế ta được: (1) ⇔
D
C.232
D.12
Lời giải:
ÀN
TO
A. 2010
( a 2 + b2 )( x 2 + y 2 ) ≥ ab + xy (*)
• Nếu ab + xy < 0 thì (*) hiển nhiên đúng. • Nếu ab + xy ≥ 0 thì bình phương 2 vế ta được: (*) ⇔ (bx − ay )2 ≥ 0 (đúng). a) Sử dụng (1). Ta có:
1 + a 2 + 1 + b2 ≥ (1 + 1)2 + ( a + b)2 = 5 .
62
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com 2
b) Sử dụng (1). P ≥
1 1 4 + ≥ (với a, b > 0). a b a+b
Ơ
N
c) Áp dụng (1) liên tiếp hai lần ta được: 2
N
H
1 1 1 1 1 1 + y 2 + 2 + z 2 + 2 ≥ ( x + y + z )2 + + + 2 x y z x y z
U Y
x2 +
.Q
≥ 2 9 ( x + y + z) + = 82 . x + y + z
Bài 4.51: Cho a , b dương. Chứng minh Áp dụng chứng minh các BĐT sau:
ẠO G
2
223 ) + ( x + y + z)2 = 2010 .
N
(3
H Ư
d) Tương tự câu c). Ta có: P ≥
Đ
1 1 1 9 + + ≥ (với x, y, z > 0). x y z x+ y+z
1 1 4 + ≥ (1). a b a+b
TR ẦN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Chú ý:
TP
2
1 1 1 1 1 1 + + ≥ 2 + + ; với a, b, c > 0. a + b b + c c + a a b c
b)
1 1 1 1 1 1 ; với a, b, c > 0. + + ≥ 2 + + 2 a + b + c a + 2b + c a + b + 2c a+b b+c c+a 1 1 1 1 1 1 + + ≤1 + + = 4 . Chứng minh: a b c 2 a + b + c a + 2b + c a + b + 2c
ab bc ca a+b+c + + ≤ ; với a, b, c > 0. a+b b+c c+a 2
ÁN
d)
-L
Í-
H
c) Cho a, b, c > 0 thoả
Ó
A
10 00
B
a)
TO
e) Cho x , y , z dương thoả mãn x + 2 y + 4 z = 12 . Chứng minh:
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
Chú ý:
2
1 1 4 ( a + b)2 + + ≥ ( a + b)2 + = 17 a b a + b
D
IỄ N
Đ
ÀN
2 xy 8 yz 4 xz + + ≤6. x + 2y 2y + 4z 4z + x
f) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi. Chứng minh rằng:
1 1 1 1 1 1 + + ≥ 2 + + . a b c p−a p−b p−c Lời giải:
63
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Bài 4.51: a) Áp dụng (1) ba lần ta được:
1 1 4 1 1 4 1 1 4 + ≥ ; + ≥ ; + ≥ . a b a+b b c b+c c a c+a
Cộng các BĐT vế theo vế ta được đpcm. b) Tương tự câu a).
Đ
N
G
1 1 4 4 + ≥ = . p − a p − b ( p − a) + ( p − b ) c
ẠO
f) Nhận xét: ( p – a) + ( p – b) = 2 p – (a + b) = c .
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
N
TP
e) Áp dụng câu d) với a = x , b = 2 y , c = 4 z thì a + b + c = 12 ⇒ đpcm.
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
Cùng với các BĐT tương tự, cộng vế theo vế ta được đpcm.
Áp dụng (1) ta được:
Ơ
U Y
N
1 1 1 1 ab 1 ≤ ( a + b) . ≤ + ⇔ a + b 4 a b a+b 4
.Q
d) Theo (1):
1 1 1 1 1 1 . + + ≥ 4 + + 2 a + b + c a + 2b + c a + b + 2c a b c
H
c) Áp dụng a) và b) ta được:
Áp dụng chứng minh các BĐT sau:
1 1 1 9 + + ≥ (1). a b c a+b+c
TR ẦN
Bài 4.52: Cho a , b , c là số dương. Chứng minh
H Ư
Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta được đpcm.
10 00
B
1 1 1 3 + + a) ( a 2 + b2 + c 2 ) ≥ ( a + b + c) với a , b , c dương a + b b + c c + a 2 a b c 3 + + ≤ . Với a , b , c dương thoả a + b + c = 1 . a +1 b+1 c +1 4
c)
1 1 1 + 2 + 2 ≥ 9 . Với a , b , c dương thỏa mãn a + b + c ≤ 1 a + 2bc b + 2 ac c + 2 ab
d)
1 2009 + ≥ 670 . Với a , b , c dương thỏa mãn a + b + c = 3 2 2 ab + bc + ca a +b +c
H
Ó
A
b)
-L
Í-
2
ÁN
2
TO
Lời giải:
D
IỄ N
Đ
ÀN
1 1 1 Bài 4.52: Ta có: (1) ⇔ ( a + b + c) + + ≥ 9 . Dễ dàng suy từ BĐT Cô–si. a b c
a) Áp dụng (1) ta được:
⇒ VT ≥
1 1 1 9 + + ≥ . a + b b + c c + a 2( a + b + c)
9( a 2 + b2 + c 2 ) 3 3( a 2 + b2 + c 2 ) 3 = . ≥ ( a + b + c) 2( a + b + c) 2 a+b+c 2
Chú ý: ( a + b + c)2 ≤ 3( a 2 + b 2 + c 2 ) .
64
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
b) Để áp dụng (1), ta biến đổi P như sau:
1 1 1 x + 1− 1 y + 1− 1 z + 1− 1 + + = 3 − + + x + 1 y + 1 z + 1 x +1 y +1 z +1
Ơ
9 9 = ≥9. 2 a + 2bc + b + 2ca + c + 2 ab ( a + b + c)2 2
2
N
c) Ta có: P ≥
N
1 1 1 9 9 9 3 + + ≥ = . Suy ra: P ≤ 3 − = . 4 4 x +1 y +1 z +1 x + y + z + 3 4
Ta có:
H U Y
d) Ta có
.Q
1 1 1 9 9 + + ≥ 2 = ≥1 2 2 2 2 ab + bc + ca ab + bc + ca a + b + c + 2 (ab + bc + ca) (a + b + c)2 a +b +c
ẠO
2007 3.2007 ≥ ≥ 669 . ab + bc + ca (a + b + c)2
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
nên
G
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1
H Ư
Bài 4.53: Cho a , b , c ≥ 0 và abc = 1 . Chứng minh rằng :
ab bc ca + 5 + 5 ≤1. 5 5 a + b + ab b + c + bc c + a 5 + ac
TR ẦN
5
N
2
và 3 (ab + bc + ca) ≤ (a + b + c)
TP
2
Lời giải:
ab c = . a+b+c a+b+c ab c
A
ab ≤ a + b5 + ab 5
a+b+c c
Í-
bc a ca b ≤ ≤ ; 5 5 5 b + c + bc a + b + c c + a + ac a + b + c 5
-L
Tương tự :
H
Ó
⇒
10 00
B
Bài 4.53: Ta có : a 5 + b 5 ≥ a 3 b2 + b3 a 2 = a 2 b2 ( a + b) ⇒ a 5 + b5 + ab ≥ ab
TO
ÁN
Cộng ba BĐT này lại với nhau ta có đpcm.
ÀN
Bài 4.54: Cho ba số thực không âm a , b , c và không có hai số đồng thời bằng không. Tìm giá
A. min P = 6
a b c ab + bc + ca + + + 4 2. 2 b+c c+a a+b a + b2 + c 2
B. min P = 7
C. min P = 8
D. min P = 12
Lời giải:
D
IỄ N
Đ
trị nhỏ nhất của biểu thức P =
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
P=
Trước tiên, ta sẽ chứng minh kết quả sau:
a b c a2 + b 2 + c 2 + + ≥ (1) b + c c + a a + b ab + bc + ca
65
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Nhân hai vế của (1) với ab + bc + ca , và để ý rằng
a a abc .( ab + bc + ca) = a(b + c ) + bc = a 2 + b+c b+c b+c abc abc abc + b2 + + c2 + ≥ a2 + b2 + c 2 b+c c+a a+b
N N
H
Ơ
1 1 1 Hay abc + + ≥ 0 (hiển nhiên đúng). Điều phải chứng minh. b + c c + a a + b
4 2 với t ≥ 1 . t
G
Đ
Vậy ta sẽ tìm giá trị nhỏ nhất của f (t ) = t 2 +
ẠO
Với cách đặt trên, dễ dàng suy ra t ≥ 1 .
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
.Q
a 2 + b2 + c 2 4 2 a 2 + b2 + c 2 ab + bc + ca 2 , với + 4 2. 2 = t + t = ab + bc + ca t ab + bc + ca a + b2 + c 2
TP
ra P ≥
U Y
* Quay trở lại bài toán, sử dụng kết quả trên, ta suy
N
2 2 2 2 2 2 2 2 + ≥ 3 3 t2 . . =6 t t t t
H Ư
Áp dụng BĐT côsi ta có f (t ) = t 2 +
TR ẦN
Đẳng thức xảy ra khi t = 2 hay a = b > 0, c = 0 hoặc các hoán vị tương ứng.
10 00
B
Vậy min P = 6 khi và chỉ khi a = b > 0, c = 0 hoặc các hoán vị tương ứng.
C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỔNG HỢP
Ó
H
Nếu a > b và c > d. thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng?
Í-
Bài 1.
A
TỔNG HỢP LẦN 1
B. a − c > b − d .
C. a − d > b − c .
D. −ac > −bd .
Nếu m > 0 , n < 0 thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng?
ÁN
Bài 2.
-L
A. ac > bd .
B. n – m < 0 .
C. – m > – n .
D. m – n < 0 .
TO
A. m > −n .
Đ
ÀN
Bài 3.
IỄ N
Bài 4.
Nếu a , b và c là các số bất kì và a > b thì bất đẳng nào sau đây đúng?
A. ac > bc .
D
C. a + c > b + c .
D. c − a > c − b .
Nếu a > b và c > d thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng?
A. Bài 5.
B. a 2 < b2 .
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
Dễ thấy khi đó, (1) trở thành a 2 +
a b > . c d
B. a − c > b − d .
C. ac > bd .
D. a + c > b + d .
Bất đẳng thức nào sau đây đúng với mọi số thực a?
A. 6 a > 3a .
B. 3a > 6 a .
C. 6 − 3a > 3 − 6 a .
D. 6 + a > 3 + a .
66
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
Nếu a , b , c là các số bất kì và a < b thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng?
A. 3a + 2c < 3b + 2c .
C. a 2 > b2 .
D. ac > bd .
Sắp xếp ba số
6 + 13 , 19 và
3 + 16
theo thứ tự từ bé đến lớn thì thứ tự
.Q B.
3 + 16 , 19 , 6 + 13 .
C.
19 , 6 + 13 , 3 + 16 .
D.
6 + 13 , 3 + 16 , 19 .
B. a 2 > b2 .
N
H Ư
C. −3a > −3c .
C. 3 .
D. 4 .
A
C. a 2 − 2 a + 1 .
D. a 2 + 2 a − 1 .
H
Ó
B. a 2 + a + 1 .
Í-
Với số thực a bất kì, biểu thức nào sau đây luôn luôn dương.
B. a 2 + a + 1 .
Trong các số 3 + 2 ,
15 , 2 + 3 , 4
ÁN
-L
A. a 2 + 2 a + 1 .
C. a 2 − 2 a + 1 .
TO ÀN Đ IỄ N D
D. a 2 > c 2 .
Với số thực a bất kì, biểu thức nào sau đây có thể nhận giá trị âm?
A. số nhỏ nhất là 15 , số lớn nhất là 2 + 3 .
Bài 16.
1 1 < . a b
10 00
B. 2 .
A. a 2 + 2 a + 1 .
Bài 15.
D.
Một tam giác có độ dài các cạnh là 1, 2, x trong đó x là số nguyên. Khi đó, x bằng
KHÔNG ĐÁP ÁN
Bài 14.
TR ẦN
B. a > c .
A. 1 .
Bài 13.
C. 2 a > 2b .
Nếu 2 a > 2b và −3b < −3c thì bất đẳng thức nào sau đây đúng?
A. a < c . Bài 12.
G
Đ
Nếu a + 2c > b + 2c thì bất đẳng thức nào sau đây đúng?
A. −3a > −3b . Bài 11.
TP
19 , 3 + 16 , 6 + 13 .
ẠO
A.
B
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
đúng là
Bài 10.
Ơ
a d D. > . b c
H
a b C. > . c d
B. ac > bd .
N
Nếu a > b > 0 , c > d > 0. thì bất đẳng thức nào sau đây không đúng?
D. a 2 + 2 a − 1 .
B. số nhỏ nhất là 2 + 3 , số lớn
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
B. a − c > b − d .
A. a + c > b + d . Bài 9.
D. ac < bc .
Nếu a > b > 0 , c > d > 0 thì bất đẳng thức nào sau đây không đúng?
A. ac > bc . Bài 8.
C. ac > bc .
N
Bài 7.
B. a 2 < b2 .
U Y
Bài 6.
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
nhất là 4 .
C. số nhỏ nhất là
15 , số lớn nhất là 3 + 2 .
D. số nhỏ nhất là 2 + 3 , số
lớn nhất là 3 + 2 . Cho hai số thực a , b sao cho a > b . Bất đẳng thức nào sau đây không đúng?
A. a 4 > b4 .
B. −2 a + 1 < −2b + 1 .
C. b − a < 0 . D.
a−2 > b−2 .
67
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Bài 17.
Nếu 0 < a < 1 thì bất đẳng thức nào sau đây đúng ?
A. Bài 18.
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
1 > a . a
B. a >
1 . a
D. a 3 > a 2 .
C. a > a .
Cho a , b , c , d là các số thực trong đó a , c ≠ 0 . Nghiệm của phương trình ax + b = 0
D.
N
ẠO
C. b2 + c 2 < a 2 + 2bc . D.
1 . 4
Đ
1 . 4
. Mệnh đề nào sau đây là đúng ?
10 00
x +1
D. f ( x) có giá trị lớn nhất bằng
B
1 2
1 . 2
TR ẦN
1 C. f ( x) có giá trị nhỏ nhất bằng − . 4
Cho hàm số f ( x) =
B. f ( x) có giá trị lớn nhất bằng
N
A. f ( x) có giá trị nhỏ nhất bằng
G
Cho f ( x) = x − x 2 . Kết luận nào sau đây là đúng?
A. f ( x) có giá trị nhỏ nhất là 0 , giá trị lớn nhất bằng 1 .
A
B. f ( x) không có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất bằng 1 .
H
Ó
C. f ( x) có giá trị nhỏ nhất là 1 , giá trị lớn nhất bằng 2 .
Í-
D. f ( x) không có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất.
-L
x + y = 1 Với giá trị nào của a thì hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) với x.y x − y = 2 a − 1 lớn nhất
TO
ÁN
Bài 23.
ÀN
A. a =
D
IỄ N
Đ
Bài 24.
Bài 25.
1 . 4
B. a =
1 . 2
C. a = −
1 . 2
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
B. ab + bc > b 2 .
H Ư
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
D. a > 0 và b < 0 .
Cho a , b , c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Mệnh đề nào sau đây không đúng ?
b2 + c 2 > a 2 + 2bc .
Bài 22.
U Y
C. a < b < 0 .
.Q
B. b < a .
A. a 2 < ab + ac .
Bài 21.
b d > . a c
Ơ
b a C. > . d c
Nếu a + b < a và b − a > b thì bất đẳng thức nào sau đây đúng?
A. ab > 0 . Bài 20.
b c > . a d
TP
Bài 19.
B.
H
b c A. < . a d
N
nhỏ hơn nghiệm của phương trình cx + d = 0 khi và chỉ khi
D. a = 1 .
Cho biết hai số a và b có tổng bằng 3 . Khi đó, tích hai số a và b
A. có giá trị nhỏ nhất là
9 . 4
B. có giá trị lớn nhất là
9 . 4
C. có giá trị lớn nhất là
3 . 2
D. không có giá trị lớn nhất.
Cho a − b = 2 . Khi đó, tích hai số a và b
68
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn C. có giá trị nhỏ nhất khi a = b .
D. không có giá trị nhỏ nhất.
B. S ≥ 2 .
C. − 2 ≤ S ≤ 2 .
D. −1 ≤ S ≤ 1 .
B. giá trị nhỏ nhất của m là 4 .
C. giá trị lớn nhất của m là 2 .
D. giá trị lớn nhất của m là 4 .
.Q
U Y
A. giá trị nhỏ nhất của m là 2 .
Với mỗi x > 2 , trong các biểu thức:
2 2 2 x +1 x , , , , giá trị biểu thức x x + 1 x −1 2 2
9 B. − . 4
Đ
G
27 . 4
B
10 00
C. 0 .
A
C. 0 .
x . 2
D. −
81 . 8
D.
3 . 2
D. 3 .
H
Ó
B. −6 .
-L
Í-
Cho biểu thức P = −a + a với a ≥ 0 . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
ÁN
TO ÀN Đ IỄ N D
D.
Giá trị nhỏ nhất củabiểu thức x2 − 6 x với x ∈ ℝ là:
C. Giá trị lớn nhất của P là
Bài 34.
C. −
3 B. − . 2
A. Giá trị lớn nhất của P là
Bài 33.
2 . x −1
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức x 2 + 3 x với x ∈ ℝ là:
A. −9 . Bài 32.
C.
N
3 . 2
9 A. − . 4 Bài 31.
2 . x +1
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức x 2 + 3 x với x ∈ ℝ là:
A. − Bài 30.
B.
H Ư
Bài 29.
2 . x
TR ẦN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
nào là nhỏ nhất?
A.
N
H
Cho x , y là hai số thực thay đổi sao cho x + y = 2 . Gọi m = x 2 + y 2 . Khi đó ta có:
Ơ
A. S ≤ − 2 .
N
Cho x 2 + y 2 = 1 , gọi S = x + y . Khi đó ta có
1 . 4
B. Giá trị nhỏ nhất của P là
1 . 2
D. P đạt giá trị nhỏ nhất tại a =
Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x) =
A.
11 . 4
B.
4 . 11
1 . 4 1 . 4
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
Bài 28.
B. có giá trị lớn nhất là −1 .
TP
Bài 27.
A. có giá trị nhỏ nhất là −1 .
ẠO
Bài 26.
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
2 bằng x − 5x + 9 2
C.
11 . 8
D.
8 . 11
Cho biểu thức f ( x) = 1 − x 2 . Kết luận nào sau đây đúng?
A. Hàm số f ( x) chỉ có giá trị lớn nhất, không có giá trị nhỏ nhất.
69
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
B. Hàm số f ( x) chỉ có giá trị nhỏ nhất, không có giá trị lớn nhất. C. Hàm số f ( x) có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất. D. Hàm số f ( x) không có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất.
C. P < −1 .
D. P ≤ 1 .
Cho Q = a2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ca với a , b , c là ba số thực. Khẳng định nào sau đây là
N
U Y
đúng?
.Q
A. Q ≥ 0 chỉ đúng khi a , b , c là những số dương.
TP
B. Q ≥ 0 chỉ đúng khi a , b , c là những số không âm.
ẠO
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
C. Q > 0. với a , b , c là những số bất kì.
N
C. 5.
D. 6.
H Ư
B. 4.
G
Số nguyên a lớn nhất sao cho a 200 < 3300 là:
A. 3.
Điền dấu ( >, <, ≥, ≤ ) thích hợp vào ô trống để được một bất đẳng thức đúng
A. Nếu a , b dương thì
ab a+b
TR ẦN
Bài 38.
Đ
D. Q ≥ 0 với a , b , c là những số bất kì. Bài 37.
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
Bài 36.
B. P > 1 .
H
A. P > −1 .
2a . Bất đẳng thức nào sau đây đúng với mọi a? a +1 2
N
Cho a là số thực bất kì, P =
Ơ
Bài 35.
a+b . 4
10 00
B
B. Với a , b bất kỳ 2 (a 2 − ab + b2 ) a 2 + b2 .
a b c + + b+c c+a a+b
1.
A
C. Nếu a , b , c dương thì
Ó
Cho a , b là các số thực. Xét tính đúng–sai của các mệnh đề sau: 2
H
Bài 39.
-L
Í-
a + b a 2 + b 2 A. . ≥ 2 2
ÁN
B. a 2 + b2 + 1 ≥ a + b + ab .
TO
C. a 2 + b2 + 9 > 3 (a + b) + ab .
D
IỄ N
Đ
ÀN
Bài 40.
Bài 41.
Cho hai số thực a , b tùy ý. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. a + b = a + b
.
B. a + b ≤ a + b
.
C. a + b < a + b
.
D. a + b > a + b
.
Cho hai số thực a , b tùy ý. Mệnh đề nào sau đây là đúng? a a với b ≠ 0 . > b −b
A. −ab < a . b .
B.
C. Nếu a < b thì a 2 < b2 .
D. a − b > a − b .
70
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn A. a − b ≤ a + b .
B. a − b = a + b .
C. a − b = a − b .
D. a − b > a − b .
C. −b ≤ a ≤ b .
D. a ≤ b .
Cho a > 0 . Nếu x < a thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng?
C. x < a .
D.
1 1 > . x a
H Ư
N
B. −x ≤ x .
B.
1 1 < . x a
TR ẦN
Nếu x < a thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng?
A. x < −a .
C. − x < −a .
D. x < a .
Cho a ≥ 1, b ≥ 1 . Bất đẳng thức nào sau đây không đúng ?
10 00
B
Bài 47.
Ơ
TP
B.
.Q
1 1 ≤ với ab ≠ 0 . a b
A. a 2 ≤ b2 .
A. x < a .
Bài 46.
U Y
N
Nếu a , b là những số thực và a ≤ b thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng?
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Bài 45.
D. x ≥ x .
ẠO
Bài 44.
2
C. x > x 2 .
B. x > −x .
A. a ≥ 2 a − 1 .
B. ab ≥ 2 a b − 1 . D. 2 b − 1 ≤ b .
Ó
A
C. ab < 2b a − 1 .
ÀN Đ IỄ N
Bài 50.
A. 4 3 .
D
2
.
B.
6.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) =
A. 2 .
Bài 51.
1
2 với x > 0 là x
C.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) = 2 x +
TO
Bài 49.
B.
ÁN
A. 4.
Í-
H
Giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) = x +
-L
Bài 48.
H
A. x > x .
N
Bất đẳng thức nào sau đây đúng với mọi số thực x ?
Đ
Bài 43.
Cho hai số thực a , b tùy ý. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
G
Bài 42.
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
B.
5 . 2
D. 2 2 .
2. 3 với x > 0 là x
C. 2 3 .
D. 2 6 .
x 2 + với x > 1 là 2 x −1
C. 2 2 .
Cho x ≥ 2 . Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x) =
D. 3.
x−2 bằng x 71
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
2
.
1 với x > 0 là x
D. 2 2 .
2. 1 với x > 0 là x2
D. 2 2 .
TP
Cho a , b , c , d là các số dương. Hãy điền dấu (>, <, ≥, ≤) thích hợp vào ô trống
B. Nếu
a c a+b c+d > thì > . b d b d
ẠO
a c a+b c+d > thì < . b d a c
N
G
D. 2 ab ( a + b ) ≤ 2 ab + a + b .
H Ư
Điền số thích hợp vào chỗ chấm để được mệnh đề đúng
TR ẦN
A. Giá trị lớn nhất của hàm số y = x − 1 + 3 − x với 1 ≤ x ≤ 3 là…. 2 2 khi x = 2 …………..
Bài 56.
10 00
B
B. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2 x 2 − 5 x + 1 là …… −
17 5 khi x = ……… 8 4
Cho a 2 + b2 + c 2 = 1 . Hãy xác định tính đúng-sai của các mệnh đề sau:
H
Ó
A
A. ab + bc + ca ≥ 0 . Sai
D. ab + bc + ca ≤ 1 .Đúng
-L
Í-
C. ab + bc + ca < 1 . Sai
1 B. ab + bc + ca ≥ − .Đúng 2
ÁN
TỔNG HỢP LẦN 2
A. a < b ⇒ ac < bc .
1 1 B. a < b ⇒ > . a b
C. a < b ∨ c < d ⇒ ac < bd
D. a < b ⇒ ac < bc ,(c > 0) .
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
Bài 57. Tìm mệnh đề đúng?
Bài 58.
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
C. 3 .
.Q
B. 2 .
C. a + b + c ≥ ab + bc + ca . Bài 55.
1
N
C.
.
D.
Ơ
2
Giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) = 2 x +
A. Nếu
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
1
2 . 2
H
B.
A. 1 . Bài 54.
2
C.
.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) = 2 x +
A. 2 .
Bài 53.
2
N
2 2
B.
.
Đ
Bài 52.
1
U Y
A.
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Suy luận nào sau đây đúng
a > b A. ⇒ ac > bd . c > d
a > b a b ⇒ > . B. c > d c d
72
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
a > b ⇒ a−c > b−d . C. c > d 2
Bất đẳng thức (m + n) ≥ 4 mn tương đương với bất đẳng thức nào sau đây 2
2
B. a 2 − ab + b 2 < 0 . C. a 2 + ab + b 2 > 0 .
Với hai số x , y dương thoả xy = 36 , bất đẳng thức nào sau đây đúng?
B. x + y ≥ 2 xy = 72 .
C. 4 xy ≤ x 2 + y 2 .
D. 2 xy < x 2 + y 2 .
Đ
ẠO
A. x + y ≥ 2 xy = 12 .
x + y 2 B. xy < = 36 . 2
xy ≤ 6 .
H Ư
A.
N
G
Cho hai số x , y dương thoả x + y = 12 , bất đẳng thức nào sau đây đúng?
TR ẦN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Bài 62.
C. 2 xy < x 2 + y 2 .
D.
B. 1.
H
-L
1 1 1 9 a b a b c Cho các bất đẳng thức: (I) + ≥ 2 (II) + + ≥ 3 (III) + + ≥ (với b a b c a a b c a+b+c
ÁN
Bài 65.
D. Không so sánh được.
Í-
C. x = y .
D. 4.
B. x < y .
Ó
A. x > y .
C. 0.
1+ a 1+ b , y= Mệnh đề nào sau đây đúng ? 2 1+ a + a 1 + b + b2
A
Cho a > b > 0 và x =
B
A. 2. Bài 64.
xy ≥ 6 .
Cho x , y là hai số thực bất kỳ thỏa và xy = 2 . Giá trị nhỏ nhất của A = x 2 + y 2
10 00
Bài 63.
D. a − b > 0 .
.Q
A. a − b < 0 . Bài 61.
N
Với mọi a , b ≠ 0 , ta có bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng?
U Y
Bài 60.
D. (m − n) ≥ 2 mn .
Ơ
C. (m + n) + m − n ≥ 0 .
TO
a, b, c > 0). Bất đẳng thức nào trong các bất đẳng thức trên là đúng?
Đ
ÀN
A. chỉ I đúng.
IỄ N
Bài 66.
D
C. chỉ III đúng.
D. I, II, III đều
đúng. Với a , b , c > 0 . Biểu thức P =
3 A. 0 < P < . 2 Bài 67.
B. chỉ II đúng.
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
2
N
B. m 2 + n2 ≥ 2 mn .
H
2
A. n (m − 1) − m (n − 1) ≥ 0 .
TP
Bài 59.
a > b > 0 D. ⇒ ac > bd . c > d > 0
B.
a b c + + . Mệnh đề nào sau đây đúng? b+c c+a a+b
3 <P. 2
C.
4 ≤P. 3
D.
3 ≤P. 2
Cho a , b > 0 và ab > a + b . Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. a + b = 4 .
B. a + b > 4 .
C. a + b < 4 .
D. a + b ≤ 4 .
73
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Bài 68.
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Cho a < b < c < d và x = (a + b)(c + d) , y = (a + c)(b + d) , z = (a + d)(b + c) . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. x < y < z .
C. z < x < y .
D. x < z < y .
ẠO
D. Có ít nhất hai trong ba mệnh đề trên là sai. 2
Cho x , y , z > 0 và xét ba bất đẳng thức (I) x 3 + y 3 + z 3 ≥ 3 xyz (II) nào là đúng?
B. Chỉ I và III đúng. C. Chỉ III đúng.
D. Cả ba đều
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
10 00
đúng.
D. a ≠ b .
1 1 1 9 x y z + + ≤ (III) + + ≥ 3 . Bất đẳng thức x y z x+ y+z y z x
B
A. Chỉ I đúng.
Đ G
C. a = b .
N
Bài 71.
B. a > b .
H Ư
A. a < b .
TR ẦN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Bài 70.
a2 + b2 a + b Hai số a , b thoả bất đẳng thức ≤ thì 2 2
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
a c a a+c c < ⇒ > > . b d b b+c d
.Q
C.
Ơ
a a a+c >1⇒ > . b b b+c
H
B.
N
a a a+c <1⇒ < . b b b+c
U Y
A.
N
Với a , b , c , d > 0 . Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề sai?
TP
Bài 69.
B. y < x < z .
74
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
g( x) < 0 f ( x) có nghĩa • f ( x) > g( x) ⇔ g( x) ≥ 0 f ( x) < −g( x) f ( x) > g( x) Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
TO
a) 2 x 2 − 3 x − 1 = −x 2 + 2 x + 1
Ơ
d) x 2 − 3 x + 1 + x − 1 = 12 ( x − 3)
Lời giải:
D
IỄ N
Đ
ÀN
c) x 2 − 5 x + 4 − x + 1 = x 2 + x
b) x 2 − 5 x + 4 = x 3 − 3 x + 4
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
10 00
B
TR ẦN
H Ư
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
TP
.Q
U Y
N
H
DẠNG TOÁN 1: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 1. Phương pháp giải Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối(GTTĐ) ta cần khử dấu GTTĐ. Sau đây là một số cách thường dùng để khử dấu GTTĐ + Sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ. + Đặt ẩn phụ là biểu thức chứa dấu GTTĐ để khử dấu GTTĐ 2. Các ví dụ minh họa. Loại 1: Sử dụng định nghĩa và tính chất của dấu giá trị tuyệt đối. *Lưu ý: Sau đây là một số loại toán phương trình, bất phương trình cơ bản có thể thức hiện bằng phép biến đổi tương đương. g( x) ≥ 0 • f ( x) = g( x) ⇔ f ( x) = g( x) f ( x) = −g( x) f ( x ) = g( x ) • f ( x ) = g( x ) ⇔ f ( x ) = − g( x ) g( x) > 0 f ( x ) < g( x ) ⇔ • −g( x) < f ( x) < g( x)
N
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI
−x 2 + 2 x + 1 ≥ 0 x 2 − 2x − 1 ≤ 0 ⇔ 3 x 2 − 5 x − 2 = 0 a) Ta có phương trình ⇔ 2 x 2 − 3 x − 1 = −x 2 + 2 x + 1 2 x 2 − 3 x − 1 = −(−x 2 + 2 x + 1) x 2 − x = 0
1
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
U Y
N
H
Ơ
N
1 − 2 ≤ x ≤ 1 + 2 x = 2 x = 2 x = − 1 1 ⇔ ⇔ x = − 3 3 x = 0 x = 0 x = 1 x = 1
TP ẠO
b) Với 1 ≤ x ≤ 4 ⇒ x 2 − 5 x + 4 ≥ 0 ta có
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
1 Vậy nghiệm của phương trình là x ∈ 0;1; 2; − 3
N
G
Đ
Phương trình ⇔ −( x 2 − 5 x + 4) = x 3 − 3 x + 4 ⇔ x 3 + x 2 − 8 x + 8 = 0
(
)
H Ư
Áp dụng BĐT côsi ta có x 3 + 4 + 2 ≥ 3 3 8 x 3 = 6 x , x 2 + 2 ≥ 2 2 x
TR ẦN
Suy ra x 3 + x 2 − 8 x + 8 ≥ 6 x + 2 2 x − 8 x = 2 2 − 2 x > 0
B
Do đó phương trình vô nghiệm.
A
10 00
x > 4 ⇒ x 2 − 5 x + 4 > 0 ta có Với x <1
H
Ó
Phương trình ⇔ x2 − 5x + 4 = x 3 − 3x + 4
-L
Í-
⇔ x3 − x 2 + 2 x = 0 ⇔ x = 0 (thỏa mãn)
ÁN
Vậy nghiệm của phương trình là x = 0
Đ
ÀN
TO
c) Bảng xét dấu
x x +1 2 x − 5x + 4
−∞
− +
−1 0 0
+ +
1 0 0
+ −
4 | 0
+∞
+ +
D
IỄ N
Từ đó ta có các trường hợp sau
• Với x ≤ −1 , ta có phương trình ⇔ ( x 2 − 5 x + 4) + ( x + 1) = x 2 + x ⇔ x = 1 (loại)
2
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
• Với −1 < x ≤ 1 , ta có phương trình ⇔ ( x 2 − 5 x + 4) − ( x + 1) = x 2 + x 3 (thỏa mãn) 7
Ơ
N
⇔x=
N
H
• Với 1 < x ≤ 4 , ta có phương trình −( x 2 − 5 x + 4) − ( x + 1) = x 2 + x
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
TP
G
TR ẦN
H Ư
x≥3 d) Ta có phương trình 2 x − 3 x + 1 + x − 1 = 12 ( x − 3)
Đ
3 . 7
N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Vậy phương trình đã cho có duy nhất nghiệm x =
3 (loại) 7
ẠO
• Với x > 4 , ta có phương trình ⇔ x 2 − 5 x + 4 − ( x + 1) = x 2 + x ⇔ x =
.Q
U Y
⇔ 2 x 2 − 3 x + 5 = 0 phương trình này vô nghiệm.
10 00
A
x ≥ 3 ⇔ ⇔ x = 7 ± 13 x = 7 ± 13
B
x≥3 x≥3 ⇔ 2 ⇔ 2 x − 3 x + 1 + x − 1 = 12 ( x − 3) x − 14 x + 36 = 0
H
Ó
Vậy phương trình có nghiệm là x = 7 ± 13 .
-L
a) x 2 − x − 1 ≥ x − 1
Í-
Ví dụ 2: Giải các bất phương trình sau
TO
ÁN
c) 3 x 2 − 2 + 3 − 2 x 2 ≤ 6 ( x 2 − 2)
b) −x 2 + 3 x + 2 < x 2 − 3 x + 2 d) 2 x 2 − 5 x + 3 − x − 1 > x − 2 .
Lời giải:
Đ
ÀN
a) Với x < 1 ta có VT ≥ 0, VP < 0 suy bất phương trình nghiệm đúng với mọi x < 1
D
IỄ N
Với x ≥ 1 ta có bất phương trình tương đương với
x≥1 x ≥ 1 x 2 − x − 1 ≥ x − 1 ⇔ x 2 − 2 x ≥ 0 2 x − x − 1 ≤ 1 − x x 2 − 2 ≤ 0
3
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
H
Ơ
N
x ≥1 x ≥ 1 x ≥ 2 ≥ 2 x ⇔ ⇔ x ≥ 2 ⇔ x≤0 1 ≤ x ≤ 2 − 2 ≤ x ≤ 2 x ≤ 2
U Y
N
Vậy nghiệm của bất phương trình là x ∈ (−∞; 2] ∪ [2; +∞)
TP
nghiệm
G
Đ
ẠO
x ≥ 2 Với ta có x 2 − 3 x + 2 ≥ 0 ⇔ x ≤1
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
b) Với x 2 − 3 x + 2 < 0 ⇔ 1 < x < 2 ta có VT ≥ 0, VP < 0 suy ra bất phương trình vô
H Ư
N
Bất phương trình tương đương với −( x 2 − 3 x + 2) < −x 2 + 3 x + 2 < x 2 − 3 x + 2
TR ẦN
x > 3 ⇔ 2x2 − 6x > 0 ⇔ x < 0
10 00
B
x ≥ 2 Đối chiếu với điều kiện suy ra nghiệm bất phương trình là x ≤1
x > 3 x < 0
A
Vậy bất phương trình có nghiệm x ∈ (−∞; 0) ∪ (3; +∞) .
H
Ó
c) Nếu x 2 − 2 < 0 thì VT ≥ 0, VP < 0 suy ra bất phương trình vô nghiệm
ÁN
-L
Í-
x2 − 2 ≥ 0 Do đó bất phương trình ⇔ 2 3 x − 2 + 2 x 2 − 3 ≤ 6 ( x 2 − 2)
Đ
ÀN
TO
x2 ≥ 2 x 2 ≥ 2 x ≥ 7 ⇔ 2 ⇔ ⇔ 3 x − 2 + 2 x 2 − 3 ≤ 6 ( x 2 − 2) x 2 ≥ 7 x ≤ − 7
D
IỄ N
Vậy nghiệm của bất phương trình là x ∈ (−∞; − 7 ] ∪ [ 7 ; +∞) d) 2 x 2 − 5 x + 3 − x − 1 > x − 2 Với x < 2 ta có VT ≥ 0, VP < 0 suy bất phương trình nghiệm đúng với mọi x < 2
4
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Với x ≥ 2 ta có 2 x 2 − 5 x + 3 = ( x − 1)(2 x − 3) > 0 suy ra bất phương trình tương đương với
N
2 x 2 − 5 x + 3 − ( x − 1) > x − 2 ⇔ 2 x 2 − 6 x + 4 > x − 2
H N .Q TP
ẠO
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt
U Y
2
G
−x 2 − x + 6 = 4 x + m .
H Ư
TR ẦN
Ta có −x 2 − x + 6 = 4 x + m ⇔ −x 2 − x + 6 − 4 x = m
N
Lời giải:
Xét hàm số f ( x) = −x 2 − x + 6 − 4 x
10 00
B
−x 2 − 5 x + 6 khi x ∈ −3; 2 Ta có f ( x) = 2 x − 3 x − 6 khi x ∈ (−∞; −3) ∪ (2; +∞)
−3
Ó
−∞
−
3 2
2
+∞ +∞
99 4
12
ÀN
TO
ÁN
+∞
-L
f ( x)
5 2
Í-
H
x
A
Bảng biến thiên
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
x> 2 ⇔ 2x − 7 x + 6 > 0 ⇔ x < 3 2 Đối chiếu với điều kiện x ≥ 2 ta có nghiệm bất phương trình là x > 2 Vậy bất phương trình có nghiệm là x ∈ ℝ \{2} .
Ơ
⇔ 2 x 2 − 6 x + 4 > x − 2 (vì x ≥ 2 ⇒ 2 x 2 − 6 x + 4 = ( x − 1) (2 x − 4) ≥ 0 )
D
IỄ N
Đ
−4
Từ bảng biến thiên ta có Phương trình ban đầu có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đồ thị hàm số f cắt
đường thẳng y = m tại bốn điểm phân biệt ⇔ 12 < m <
99 . 4
5
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
99 là giá trị cần tìm. 4 Nhận xét: Nghiệm của phương trình f ( x) = g (m) là hoành độ giao điểm của đồ thị
N
Vậy 12 < m <
.Q
y = f ( x)
TP
• Số nghiệm phương trình f ( x) = g (m) ⇔ số giao điểm của đường thẳng y = g (m) và
ẠO Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
đồ thị hàm số y = f ( x) .
N
H Ư
m thì ta sử dụng đồ thị(hoặc bảng biến thiên) để giải.
G
Do đó khi gặp bài toán liên quan đến phương trình f ( x , m) = 0 mà ta có thể cô lập được
TR ẦN
Ví dụ 4: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm x 2 − 3 x + 2 ≥ 3 x 2 + 5 x + 3m2 + 5m .
10 00
B
Lời giải:
Bất phương trình ⇔ x 2 − 3 x + 2 − 3 x 2 − 5 x ≥ 3m2 + 5m
H
Ó
A
Xét hàm số f ( x) = x 2 − 3 x + 2 − 3 x 2 − 5 x
ÁN
-L
Í-
−2 x 2 − 8 x + 2 khi x ∈ (−∞;1] ∪ [2; +∞) Ta có f ( x) = −4 x 2 − 2 x − 2 khi x ∈ (1; 2)
−∞
f ( x)
D
IỄ N
Đ
ÀN
x
TO
Bảng biến thiên
−2
−
1 4
1
2
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y
N
• Phương trình f ( x) = g (m) có nghiệm ⇔ đường thẳng y = g (m) cắt đồ thị hàm số
H
Ơ
hàm số y = f ( x) và đường thẳng y = g (m) . Từ đó suy ra
+∞
10 −8 −22
6
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
−∞
N
−∞
H
Ơ
Từ đó ta có: max f ( x) = f (−2) = 10
H Ư
N
G
Nhận xét . Cho hàm số y = f ( x) xác định trên D
• Bất phương trình f ( x) ≥ k ( f ( x) ≤ k ) có nghiệm trên D ⇔ max f ( x) ≥ k ( min f ( x) ≤ k ) D
TR ẦN
D
với điều kiện tồn tại max f ( x) ( min f ( x) ). D
D
10 00
B
• Bất phương trình f ( x) ≥ k ( f ( x) ≤ k ) nghiệm đúng với ∀x ∈ D ⇔ min f ( x) ≥ k D
( max f ( x) ≤ k ) với điều kiện tồn tại max f ( x) ( min f ( x) ). D
D
D
Í-
H
Ó
A
Loại 2: Đặt ẩn phụ Ví dụ 5: Giải các phương trình và bất phương trình sau
-L
a) 3 ( x 2 − 4 x) − x − 2 > 12
b)
(x
2
2
+ 1) x
2
≤3 x+
1 −2 x
TO
Lời giải
ÁN
c) x 4 − 2 x 2 + 4 x − (2 x + 5) x 2 − 1 + 7 = 0
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y .Q ẠO
−5 − 145 −5 + 145 ≤m≤ là giá trị cần tìm. 6 6
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Vậy
−5 − 145 −5 + 145 ≤m≤ 6 6
TP
⇔ 3m2 + 5m − 10 ≤ 0 ⇔
N
Do đó bất phương trình đã cho có nghiệm ⇔ 10 ≥ 3m2 + 5m
ÀN
a) Đặt t = x − 2 , t ≥ 0 ⇒ t 2 = x 2 − 4 x + 4
Đ
Bất phương trình trở thành 3 (t 2 − 4) − t > 12
D
IỄ N
t>3 ⇔ 3t − t − 24 > 0 ⇔ t < − 8 3 Kết hợp điều kiện t ≥ 0 ta có t > 3 suy ra 2
7
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
N
x−2 > 3 x>5 x−2 > 3 ⇔ ⇔ x − 2 < −3 x < −1 Vậy bất phương trình có nghiệm là x ∈ (−∞; −1) ∪ (5; +∞) .
H N Đ
Bất phương trình trở thành t 2 + 2 ≤ 3t
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
1 1 1 = x + ≥2 x . =2⇒t≥2 x x x
TP
Ta có t = x +
.Q
1 1 ⇒ t 2 = x2 + 2 + 2 x x
ẠO
Đặt t = x +
1 1 +4≤3 x+ 2 x x
U Y
Bất phương trình ⇔ x 2 +
Ơ
b) ĐKXĐ: x ≠ 0
N
G
⇔ t 2 − 3t + 2 ≤ 0 ⇔ 1 ≤ t ≤ 2 Kết hợp với t ≥ 2 suy ra t = 2
H Ư
x2 + 1 = 2x 1 ⇒ 2 x = x 2 + 1 ⇔ 2 ⇔ x = ±1 (thỏa mãn) x + = − x 1 2 x Vậy bất phương trình có nghiệm là x = ±1 .
TR ẦN
Do đó 2 = x +
2
c) Phương trình ⇔ ( x 2 − 1) − (2 x + 5) x 2 − 1 + 4 x + 6 = 0
10 00
B
Đặt t = x 2 − 1 , t ≥ 0
Phương trình trở thành t 2 − (2 x + 5) t + 4 x + 6 = 0
Ó
A
t = 2 x + 3 ⇔ (t − 2 x − 3)(t − 2) = 0 ⇔ t=2
ÁN
-L
Í-
H
2 x + 3 ≥ 0 Với t = 2 x + 3 ta có 2 x + 3 = x 2 − 1 ⇔ x 2 − 1 = 2 x + 3 x 2 − 1 = −2 x − 3
IỄ N
Đ
ÀN
TO
2 x + 3 ≥ 0 3 x ≥− 2 ⇔ x − 2 x − 4 = 0 ⇔ 2 ⇔ x = 1± 5 2 x + 2 x + 2 = 0 x = 1 ± 5 x2 − 1 = 2 2 Với t = 2 ta có 2 = x − 1 ⇔ 2 ⇔ x2 = 3 ⇔ x = ± 3 x − 1 = −2
{
}
D
Vậy phương trình có nghiệm là x ∈ − 3;1 − 5;1 + 5; 3 .
Ví dụ 6: Tìm m để phương trình x 2 − 2 x + m = x − 1 có nghiệm.
8
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Lời giải:
Ơ H N
2
ẠO
Đặt t = x2 − 2 x , vì x ≥ 1 ⇒ t = ( x − 1) − 1 ≥ −1
N
G
Đ
Phương trình (*) trở thành t 2 − (2 m − 1) t + m 2 − 1 = 0 (**)
H Ư
Phương trình ban đầu có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (**) có nghiệm t ≥ −1
b 2m − 1 = 2a 2
B
−
TR ẦN
⇔ Đồ thị hàm số f (t ) = t 2 − (2 m − 1) t + m2 − 1 trên [ − 1; +∞) cắt trục hoành. Ta có
2m − 1 1 > −1 ⇔ m > − ta có 2 2
10 00
+ TH1: Nếu
Í-
2m − 1 2
f (−1)
+∞
ÀN
TO
ÁN
+∞
−1
H
−∞
-L
x
Ó
A
Bảng biến thiên
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
TP
.Q
U Y
2 2 ( x − 2 x) + (2 m − 1)( x 2 − 2 x) + m2 − 1 = 0 (*) ⇔ x ≥1
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
N
Phương trình tương đương với 2 2 2 ( x 2 − 2 x + m) = ( x − 1) ( x 2 − 2 x) + 2 m ( x 2 − 2 x) + m 2 = x 2 − 2 x + 1 ⇔ x ≥ 1 x≥1
D
IỄ N
Đ
f ( x)
2 m − 1 f 2
9
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Suy ra phương trình đã cho có nghiệm
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
TP
.Q
3 1 −2 ± 7 −2 + 7 > −1 suy ra m = − thảo mãn yêu cầu bài t 2 + 2t − = 0 ⇔ t = có t = 4 2 2 2 toán 2m − 1 1 + TH3: Nếu < −1 ⇔ m < − ta có 2 2
−1
TR ẦN
H Ư
−∞
x
N
G
Bảng biến thiên
+∞
10 00
B
f ( x)
+∞
H
Ó
A
f (−1)
-L
Í-
Suy ra phương trình đã cho có nghiệm ⇔ f (−1) ≤ 0
Đ
ÀN
TO
ÁN
⇔ 1 + 2 m − 1 + m 2 − 1 ≤ 0 ⇔ m 2 + 2 m − 1 ≤ 0 ⇔ −1 − 2 ≤ m ≤ −1 + 2 1 1 Kết hợp với điều kiện m < − suy ra −1 − 2 ≤ m < − thỏa mãn yêu cầu bài toán 2 2 5 Vậy −1 − 2 ≤ m < là giá trị cần tìm. 4 Ví dụ 7: Tìm m để bất phương trình x ( x − 2) − m x − 1 + 2 > 0 nghiệm đúng với mọi
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y
N
H
Ơ
N
2
2 m − 1 2 m − 1 2 m − 1 5 ⇔ f ≤ 0 ⇔ − (2 m − 1) + m2 − 1 ≤ 0 ⇔ m < 2 2 2 4 1 1 5 Kết hợp với điều kiện m > − suy ra − < m < thỏa mãn yêu cầu bài toán 2 2 4 2m − 1 1 = −1 ⇔ m = − phương trình (**) trở thành + TH2: Nếu 2 2
D
IỄ N
x∈ℝ.
Lời giải: 2
Bất phương trình tương đương với ( x − 1) − m x − 1 + 1 > 0
10
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
t2 + 1 > m (*) t Suy ra bất phương trình ban đầu nghiệm đúng với mọi x ≠ 1 khi và chỉ khi bất phương t2 + 1 >m trình (*) nghiệm đúng với mọi t > 0 ⇔ min t>0 t t 2 + 1 2t ≥ = 2 , đẳng thức xảy ra ⇔ t = 1 Ta có t t 2 t +1 Suy ra min = 2 , do đó m < 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán t>0 t Vậy m < 2 là giá trị cần tìm. 3. Bài tập luyện tập. Bài 4.113: Giải các phương trình sau a) 3 x − 2 = x 2 + 2 x + 3 b) |2 x 2 − 7 x + 2|= x + 2
2x 1 1 = + x +1 x +1 x −1
TR ẦN
d)
Lời giải:
10 00
B
Bài 4.113: a) Ta thấy x 2 + 2 x + 3 > 0 ∀x nên phương trình đã cho
Ó
A
x2 + 2 x + 3 = 3x − 2 x2 − x + 5 = 0 −5 ± 21 . ⇔ 2 ⇔ 2 ⇔ x= 2 x + 2 x + 3 = −3 x + 2 x + 5 x + 1 = 0
ÁN
-L
Í-
H
x+2≥0 x ≥ −2 2 2 b) Phương trình ⇔ 2 x − 7 x + 2 = x + 2 ⇔ 2 x − 8 x = 0 2 2 2 x − 7 x + 2 = −x − 2 2 x − 6 x + 4 = 0
TO
Phương trình đã cho có bốn nghiệm x = 0; x = 1; x = 2; x = 4 .
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
c) x 2 − 3 x + 2 − x + 2 = x 2 − 3 x
H Ư
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
TP
.Q
U Y
N
H
Ơ
Bất phương trình trở thành t 2 − mt + 1 > 0 ⇔
N
Với x = 1 ta có bất phương trình luôn đúng với mọi m Với x ≠ 1 . Đặt t = x − 1 ⇒ t > 0
Đ
ÀN
c) x = −4, x = 0
D
IỄ N
d) ĐKXĐ: x ≠ ±1 . Với ĐK đó:
PT ⇔
2x 2x 2x 2x 1 = 2 ⇔ = . x + 1 x −1 x + 1 x + 1 x −1
11
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
N
H
Ơ
N
2 x 1 − 1 = 0 2 x 1 + 1 = 0 x − 1 x − 1 x − 1 x − 1 hoặc ⇔ 2 x 2 x ≥0 <0 x + 1 x + 1 Giải ra ta có nghiệm của phương trình là x = 0 và x = 2 .
d) 2 x − 1 + 3 x − 2 ≤ x + 3
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
c) x − 3 x − 1 > x + 2
.Q
b) x 2 − x − 6 < x
TP
a) x 2 − 5 x + 4 > x − 2
1 1 ≤ 3 x− 3 x x
ẠO
e) x 3 −
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
U Y
Bài 4.114: Giải các bất phương trình sau
N
TR ẦN
H Ư
Bài 4.114: a) * Nếu x − 2 < 0 ⇔ x < 2 ⇒ bpt luôn đúng. x 2 − 5x + 4 > x − 2 * Nếu x ≥ 2 ⇒ bpt ⇔ 2 x − 5 x + 4 < −x + 2
G
Đ
Lời giải:
10 00
B
x < 3 − 3 V x > 3 + 3 x2 − 6x + 6 > 0 ⇔ . ⇔ 2 2 − 2 < x < 2 + 2 x − 4 x + 2 < 0
A
Kết hợp với x ≥ 2 ta có: 2 ≤ x < 2 + 2 V x > 3 + 3 .
-L
Í-
H
Ó
2 ≤ x < 2 + 2 Vậy nghiệm của bất phương trình : . x > 3 + 3
ÀN
TO
ÁN
x > 0 x > 0 ⇔ x 2 − 2 x − 6 < 0 b) Bất phương trình ⇔ −x < x 2 − x − 6 < x 2 x − 6 > 0
Đ
⇔ 6 < x < 1+ 7 . 6 < x < 1+ 7 .
1 c) T = −∞; ∪ ( 5; +∞) 5
3 d) T = 0; 2
D
IỄ N
Vậy nghiệm bất phương trình :
12
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Ơ
N
2 1 1 1 2 1 1 1 3 e) Đặt t = x − , t ≥ 0 ⇒ x − 3 = x − x + 2 + 1 = x − x − + 3 x x x x x x Đáp số: x ≤ −1, 0 < x ≤ 1
U Y
N
H
Bài 4.115: Biện luận số nghiệm của phương trình : x − 1 − x 2 − 3 x + 2 = 5m − 3 .
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
Lời giải:
TP
Bài 4.115: Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đường thẳng
ẠO
Ó
A
10 00
B
TR ẦN
H Ư
N
G
−x 2 + 4 x − 3 khi x ≥ 2 x 2 − 2 x + 1 khi 1 ≤ x < 2 Ta có: y = 2 −x + 2 x − 1 khi x ≤ 1 Lập bảng biến thiên ta có 4 • Nếu 5m − 3 > 1 ⇔ m > ⇒ phương trình vô nghiệm. 5 4 • Nếu m = ⇒ phương trình có một nghiệm. 5 4 • Nếu m < ⇒ phương trình có hai nghiệm phân biệt. 5
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
y = 5m − 3 và đồ thị (C) : y = x − 1 − x 2 − 3 x + 2
−2 x 2 + 10 x − 8 = m − 5 x + x 2 .
Lời giải:
TO
ÁN
-L
Í-
H
Bài 4.116: Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt:
ÀN
Bài 4.116: PT ⇔ 2 x 2 − 10 x + 8 − x 2 + 5 x = m
D
IỄ N
Đ
x 2 − 5 x + 8 khi x ∈ (−∞; 1 ∪ 4; +∞) Xét hàm số f ( x) = 2 x 2 − 10 x + 8 − x 2 + 5 x = 2 −3 x + 15 x − 8 khi x ∈ (1; 4)
Phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt ⇔ Đồ thị hàm số
f ( x) = 2 x 2 − 10 x + 8 − x 2 + 5 x cắt đường thẳng y = m ⇔ 4 < m <
43 . 4
13
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Bài 4.117: Tìm m để bất phương trình 2 x 2 − 3 x − 2 ≥ 5m − 8 x − 2 x 2 nghiệm đúng
H
Ơ
N
với mọi x .
TP ẠO
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
4 x 2 + 5 x − 2 khi x ∈ −∞; − 1 ∪ 2; +∞) 2 Xét hàm số y = f ( x) = . 1 11x + 2 khi x ∈ − ; 2 2
.Q
Bài 4.117: Bất phương trình ⇔ 2 x 2 − 3 x − 2 + 8 x + 2 x 2 ≥ 5m .
TR ẦN
H Ư
N
4 x 2 + 5 x − 2 khi x ∈ −∞; − 1 ∪ 2; +∞) 2 Lập bảng biến thiên của hàm số y = f ( x) = 1 11x + 2 khi x ∈ − ; 2 2
10 00
B
57 57 57 suy ra yêu cầu bài toán ⇔ 5m ≤ − ⇔ m ≤ − 16 16 80
A
Ta có min y = −
ÁN
-L
Í-
H
Ó
Bài 4.118: Cho bất phương trình x 2 − 4 x − 3| x − 2|+2m − 2 = 0 a) Giải phương trình khi m = 1 b) Tìm m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt. Lời giải:
TO
Bài 4.118: Đặt t = x − 2 , t ≥ 0 ta có phương trình: t 2 − 3t + 2 m − 6 = 0 (*)
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y
N
Lời giải:
ÀN
a) x = −2, x = 6
D
IỄ N
Đ
b) Yêu cầu bài toán ⇔ (*) có hai nghiệm dương phân biệt
∆ = 27 − 8 m > 0 27 ⇔ ⇔ 3<m< . 2 m − 6 > 0 8
14
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Bài 4.119: Cho bất phương trình x 2 − 2 mx + 2 x − m − m 2 + 2 > 0
Ơ
N
a) Giải bất phương trình khi m = 2 b) Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với ∀x ∈ ℝ Lời giải:
H
Ó
A
10 00
B
TR ẦN
H Ư
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
TP
DẠNG TOÁN 2: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN 1. Phương pháp giải. Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn mục đích chúng ta phải khử căn thức đi. Sau đây là một số phương pháp thường dùng. + Biến đổi tương đương( Bình phương hai vế, phân tích thành nhân tử) Lưu ý: Đối với bất phương trình, bình phương hai vế không âm thì mới thu về bất phương trình tương đương cùng chiều + Đặt ẩn phụ + Đánh giá 2. Các ví dụ minh họa. Loại 1: Sử dụng phép biến đổi tương đương Lưu ý một số phương trình, bất phương trình cơ bản sử dụng phép biến đổi tương đương như sau Phương trình: f ( x) ≥ 0 ( hoặc g ( x) ≥ 0 ) f ( x) = g( x) ⇔ • f ( x) = g( x)
Í-
g( x) ≥ 0 f ( x) = g( x) ⇔ f ( x) = g( x) 2
-L
•
TO
f ( x) > g( x) f ( x) > g( x) ⇔ g( x) ≥ 0 f ( x) ≥ 0 f ( x) < g( x) ⇔ g( x) > 0 2 f ( x) < g( x)
ÀN
•
ÁN
Bất phương trình:
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
U Y
N
H
Bài 4.119: a) x > 2, x < 0 b) m < 1 .
D
IỄ N
Đ
•
15
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Ơ N
H
•
N
g( x) < 0 f ( x) ≥ 0 f ( x) > g( x) ⇔ g( x) ≥ 0 f ( x) > g( x) 2
x 3 − x + 1 = −2 x 2 − x + 2
b)
2x2 + 3x − 1 = 3 − x2
c)
x + 4 − 1− x = 1− 2x
d)
x−
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
ẠO Đ G
10 00
B
TR ẦN
H Ư
N
−2 x 2 − x + 2 ≥ 0 a) Ta có phương trình ⇔ 3 2 x − x + 1 = −2 x − x + 2 −1 − 17 ≤ x ≤ −1 + 17 −1 − 17 4 4 −1 + 17 ≤x≤ x = −1 ⇔ ⇔ 4 4 3 2 x + 2x − 1 = 0 x = −1 ± 5 2
TP
1 1 + 1− = x x x
Lời giải:
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
.Q
a)
U Y
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau
Ó
A
x = −1 ⇔ x = −1 ± 5 2
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
H
−1 − 5 −1 + 5 Vậy phương trình có nghiệm là x ∈ ; −1; . 2 2 2 3− x ≥ 0 b) Phương trình ⇔ 2 2 2 x + 3 x − 1 = (3 − x 2 ) − 3 ≤x≤ 3 − 3 ≤x≤ 3 ⇔ 4 ⇔ x − 8 x 2 − 3 x + 10 = 0 ( x − 1)( x + 2)( x 2 − x − 5) = 0 − 3 ≤ x ≤ 3 x = −2 ⇔ x = 1 ⇔ x=1 1 ± 21 x = 2
16
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
N
Vậy phương trình có nghiệm là x = 1 . 1 c) ĐKXĐ: −4 ≤ x ≤ 2
H
Ơ
Phương trình ⇔ x + 4 = 1 − 2 x + 1 − x
U Y
N
⇔ x + 4 = 1 − 2 x + 2 (1 − 2 x)(1 − x) + 1 − x
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
TP ẠO Đ G N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
x ≥ − 1 ⇔ ⇔ x = 0 (thỏa mãn điều kiện) 2 2 2 x + 7 x = 0
.Q
2 x + 1 ≥ 0 ⇔ 2 x + 1 = (1 − 2 x)(1 − x) ⇔ (2 x + 1)2 = (1 − 2 x)(1 − x)
H Ư
Vậy phương trình có nghiệm là x = 0 .
Ó
A
10 00
B
TR ẦN
x > 0 1 x − ≥ 0 x≥1 x d) Phương trình ⇔ 1 ⇔ 1 − ≥ 0 x − 1 = x − 1− 1 x x x x − 1 + 1 − 1 = x x x
ÁN
-L
Í-
H
x≥1 x ≥1 ⇔ ⇔ 2 2 x − 1 = x 2 + 1 − 1 − 2 x 1 − 1 x − x − 2 x − x + 1 = 0 x x x
Đ
ÀN
TO
x ≥ 1 x ≥ 1 x ≥ 1 1+ 5 ⇔ 2 ⇔ 2 ⇔ ⇔ x= 1 ± 5 x − x = 1 x − x − 1 = 0 x = 2 2
D
IỄ N
Vậy phương trình có nghiệm là x =
1+ 5 . 2
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau
a)
−5 x 2 + 8 x − 3 + 5 x − 3 = 1 − x + 1
17
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
(
b) x 2 + (3 − x) 2 x − 1 = x 3 2 x 2 − 5 x + 2 − x − 2
)
Lời giải:
Ơ H N
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
ẠO Đ G N H Ư
TR ẦN
(
)
x − 2 2 x − 1 − x x − 2 + 3x − x 2 − 3 2 x − 1 + x 2 x − 1 = 0
)
2 x − 1 − x + x (3 − x) + 2 x − 1 ( x − 3) = 0
B
⇔ x−2
(
10 00
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
⇔ ( 5 x − 3 − 1)( 1 − x + 1) = 0 4 ⇔ 5x − 3 = 1 ⇔ x = (thỏa mãn điều kiện) 5 4 Vậy phương trình có nghiệm x = . 5 2 x 2 − 5 x + 2 ≥ 0 b) ĐKXĐ: 2 x − 1 ≥ 0 ⇔ x≥2 x − 2 ≥ 0 Phương trình ⇔
U Y
5x − 3 = 1 − x + 1
.Q
(5x − 3)(1 − x) +
TP
Phương trình
N
−5 x 2 + 8 x − 3 ≥ 0 3 a) ĐKXĐ: ⇔ ≤ x ≤1 5x − 3 ≥ 0 5 1− x ≥ 0
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
2x −1 = x ⇔ ( 2 x − 1 − x)( x − 2 − 3 + x) = 0 ⇔ x − 2 = 3 − x 2x − 1 = x2 x2 − 2x + 1 = 0 ⇔ 3 − x ≥ 0 ⇔ x≤3 2 2 x − 7 x + 11 = 0 x − 2 = (3 − x) x=1 x=1 x ≤ 3 ⇔ ⇔ x = 7 − 5 7± 5 2 x = 2
Đ
7− 5 thỏa mãn 2 7− 5 Vậy phương trình có nghiệm là x = . 2
D
IỄ N
Đối chiếu với điều kiện x ≥ 2 suy ra x =
Ví dụ 3: Giải các phương trình 5
(
)
x + 3 + 3 x − 2 = 5 x 2 − 31x + 41
18
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Lời giải:
Ơ H
)
N
+
−x 2 + 7 x − 6
U Y
−x 2 + 7 x − 6
⇔
= 5 x 2 − 35 x + 30
H Ư
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
TP
5 x + 3 + x + 9 5 3x − 2 + 3x + 2 1 1 ⇔ ( x 2 − 7 x + 6) + + 5 = 0 5 x + 3 + x + 9 5 3 x − 2 + 3 x + 2 x = 1 ⇔ x2 − 7 x + 6 = 0 ⇔ (thỏa mãn điều kiện) x = 6 Vậy phương trình có nghiệm là x = 1 và x = 6 . Nhận xét: Ở phương trình đầu (câu a) dễ thấy x = 1, x = 6 là nghiệm do đó ta tìm cách
TR ẦN
làm xuất hiện nhân tử chung x 2 − 7 x + 6 . Đối với 5 x + 3 ta ghép thêm với α x + β , 5 x + 3 + (α x + β )
như vậy
B
như thế sau khi trục căn thức ta có 5 x + 3 − (α x + β ) =
2
25 ( x + 3) − (α x + β )
10 00
α = 1 5 1 + 3 − (α + β ) = 0 để có đại nhân tử x − 7 x + 6 thì . Hoàn toàn tương tự ⇔ 5 6 + 3 − (α.6 + β ) = 0 β = 9 với đại lượng 5 3 x − 2 . Do đó ta tách được như lời giải ở trên. Ví dụ 4: Giải các bất phương trình sau
Í-
b)
5x − 1 − x − 1 > 2 x − 4
ÁN
c)
-L
a) x + 1 ≥ 2( x 2 − 1)
H
Ó
A
2
( x + 5)(3 x + 4) > 4( x − 1) d) ( x − 3) x 2 − 4 ≤ x 2 − 9 Lời giải:
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
2 2( x − 1) ≥ 0 a) Bất phương trình ⇔ x + 1 ≥ 0 . 2 2 2( x − 1) ≤ ( x + 1)
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
) (
x + 3 − x − 9 + 5 3 x − 2 − 3 x − 2 = 5 x 2 − 35 x + 30
.Q
(5
N
x ≥ −3 x + 3 ≥ 0 2 ĐKXĐ: ⇔ ⇔ x≥ 2 3 3 x − 2 ≥ 0 x ≥ 3 Phương trình tương đương với
19
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
N
H
Ơ
N
x ≥ 1 x ≥ 1 x ≤ −1 x ≤ −1 x = −1 ⇔ x ≥ −1 ⇔ x ≥ −1 ⇔ 2 1 ≤ x ≤ 3 1 ≤ x ≤ 3 x − 2 x − 3 ≤ 0
TP ẠO Đ G N H Ư
TR ẦN
-L
Í-
H
Ó
A
x ≤ −5 x ≤ −5 4 ⇔ − ≤ x < 1 ⇔ 4 − ≤ x < 4 3 3 1 ≤ x < 4
10 00
x < 1 x ≤ −5 4 x ≥ − 4 − 3 ≤ x < 1 3 ⇔ x ≤ −5 ⇔ x ≥ 1 1 x ≥ 1 − < x < 4 13 x 2 − 51x − 4 < 0 13
B
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
4( x − 1) < 0 ( x + 5)(3 x + 4) ≥ 0 b) Bất phương trình ⇔ x − 1 ≥ 0 ( x + 5)(3 x + 4) > 16( x − 1)2
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
U Y
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là S = {−1} ∪ 1; 3 .
ÁN
4 Vậy bất phương trình có tập nghiệm là S = (−∞; −5] ∪ [ − ; 4) . 3
IỄ N
Đ
ÀN
TO
5 x − 1 ≥ 0 c) ĐKXĐ: x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 2 x − 4 ≥ 0
D
Bất phương trình ⇔ 5 x − 1 > x − 1 + 2 x − 4
⇔ x+2>
(2 x − 4)( x − 1) 20
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
⇔ x2 + 4 x + 4 > 2 x 2 − 6 x + 4 (do x ≥ 2 )
N
⇔ x2 − 10 x < 0 ⇔ 0 < x < 10
H
Ơ
Kết hợp điều kiện ta được tập nghiệm của bất phương trình S = [2;10)
U Y
N
d) ( x − 3) x 2 − 4 ≤ x 2 − 9
TP ẠO
Nhận xét x = 3 là nghiệm bất phương trình
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
x≥2 ĐKXĐ: x 2 − 4 ≥ 0 ⇔ x ≤ −2
G
Đ
+) Với x > 3 : ta có
H Ư
13 6
TR ẦN
2
⇔ x 2 − 4 ≤ ( x + 3) ⇔ x ≥ −
N
Bất phương trình ⇔ x 2 − 4 ≤ x + 3
10 00
B
Kết hợp với điều kiện x > 3 ta có tập nghiệm bất phương trình là S = (3; +∞) . +) Với x < 3
H
x + 3 > 0 (II) x 2 − 4 ≥ ( x + 3)2
-L
Í-
x + 3 ≤ 0 (I) hoặc ⇔ 2 x − 4 ≥ 0
Ó
A
Bất phương trình ⇔ x 2 − 4 ≥ x + 3
ÀN
TO
ÁN
x ≤ −3 Ta có (I) ⇔ x ≥ 2 ⇔ x ≤ −3 x ≤ −2
D
IỄ N
Đ
x > −3 x > −3 13 (II) ⇔ ⇔ ⇔ −3 < x ≤ − 13 6 6 x + 13 ≤ 0 x ≤ − 6 Kết hợp với điều kiện x < 3 suy ra bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −
13 ] 6
21
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Vậy tập nghiệm bất phương trình là S = (−∞; −
13 ] ∪ [3; +∞) 6
x−3
Ơ
.
H
7−x
U Y
x−3
+ x−3 >
N
2x − 3 4 + 3 ≥ 6 2x − 3 + x +1 x +1
ẠO
Lời giải:
N H Ư
TR ẦN
x < 1 Ta có bất phương trình ⇔ 51 − 2 x − x 2 ≥ 0 2 51 − 2 x − x < 1 − x
G
Đ
a) * Nếu 1 − x > 0 ⇔ x < 1
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
b)
.Q
c) 8
2( x 2 − 16)
TP
a)
51 − 2 x − x 2 <1 1− x
N
Ví dụ 5: Giải các bất phương trình sau
10 00
B
x < 1 ⇔ 1 − 52 ≤ x ≤ 1 + 52 ⇔ 1 − 52 ≤ x < −5 . 2 x > 25
Ó
A
* Nếu x > 1 ⇒ luôn đúng vì VT < 0 < 1 .
Í-
H
Vậy nghiệm tập bất phương trình đã cho là S = [1 − 52 ; −5) ∪ (1; +∞) .
TO
ÁN
-L
x ≥ 4 x 2 ≥ 16 b) ĐKXĐ: ⇔ x ≤ −4 ⇔ x ≥ 4 . x > 3 x > 3
Đ
ÀN
Bất phương trình ⇔ 2( x 2 − 16) + x − 3 > 7 − x
D
IỄ N
⇔ 2( x 2 − 16) > 10 − 2 x kết hợp với điều kiện x ≥ 4 ta có bất phương trình
10 − 2 x < 0 ⇔ (I) hoặc x ≥ 4
x ≥ 4 10 − 2 x ≥ 0 (II) 2 2( x − 16) > (10 − 2 x)2
22
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
x > 5 Ta có ( I ) ⇔ ⇔ x>5 x ≥ 4
U Y
N
H
Ơ
N
x ≥ 4 4 ≤ x ≤ 5 . ⇔ 2 ( II ) ⇔ 10 − 2 x ≥ 0 − 20 + 66 < 0 x x 2 2 2( x − 16) > (10 − 2 x)
TP
(
)
Đ
ẠO
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = 10 − 34; +∞
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
4≤x≤5 ⇔ 10 − 34 < x ≤ 5 10 − 34 < x ≤ 10 + 34
H Ư
N
G
2 x − 3 ≥ 0 3 ⇔ x≥ . c) ĐKXĐ: x + 1 > 0 2
(
)
TR ẦN
Bất phương trình ⇔ 8 2 x − 3 + 3 x + 1 = 6 (2 x − 3)( x + 1) + 4
(
)(
)
)(
2 2x − 3 + 1 4 + 3 x + 1
)
Ó
(
≥0
A
(8 x − 13)(7 − 9 x)
H
⇔
10 00
⇔ 2 2x − 3 −1 4 − 3 x + 1 ≥ 0
B
⇔ 4(2 2 x − 3 − 1) + 3 x + 1 1 − 2 2 x − 3 ≥ 0
7 13 ≤x≤ 9 8
-L
Í-
⇔ (8 x − 13)(7 − 9 x) ≥ 0 ⇔
TO
ÁN
3 13 Kết hợp điều kiện ta có tập nghiệm bất phương trình là: S = ; . 2 8
Đ
ÀN
Loại 2: Đặt ẩn phụ Ví dụ 6: Giải các bất phương trình sau
D
IỄ N
a) ( x + 1)( x + 4) < 5 x 2 + 5 x + 28
b) ( x + 1)( x − 3) <
1− x2 + 2x
−x 2 + 2 x + 3
23
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
7 x + 7 + 7 x − 6 + 2 49 x 2 + 7 x − 42 < 181 − 14 x 3 2 x
< 2x +
1 −7 2x
N
d) 3 x +
Ơ
c)
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
N
H
Lời giải:
TP
Đặt t = x 2 + 5 x + 28 , t > 0 ⇒ x 2 + 5x + 4 = t 2 − 24
ẠO
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Bất phương trình trở thành t 2 − 24 < 5t
B
b) ĐKXĐ: −x 2 + 2 x + 3 > 0 ⇔ −1 < x < 3
TR ẦN
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là S = (−9; 4)
H Ư
N
x 2 + 5x + 28 < 8 ⇔ x 2 + 5x − 36 < 0 ⇔ −9 < x < 4
G
Đ
⇔ t 2 − 5t − 24 < 0 ⇔ −3 < t < 8 Suy ra
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
U Y
a) Bất phương trình ⇔ x 2 + 5 x + 4 < 5 x 2 + 5 x + 28
10 00
Bất phương trình ⇔ ( x 2 − 2 x − 3) −x 2 + 2 x + 3 < 1 − x 2 + 2 x
Ó
A
Đặt t = −x 2 + 2 x + 3 , t > 0 ⇒ −x 2 + 2 x = t 2 − 3 .
Í-
H
Bất phương trình trở thành −t 3 < −2 + t 2 ⇔ t 3 + t 2 − 2 > 0
-L
⇔ (t − 1)(t 2 + 2t + 2) > 0 ⇔ t > 1
TO
ÁN
Do đó ta có −x 2 + 2 x + 3 > 1 ⇔ −x 2 + 2 x + 3 > 1
ÀN
⇔ x2 − 2x − 2 < 0 ⇔ 1− 3 < x < 1 + 3 .
Đ
Kết hợp với điều kiện xác định suy ra tập nghiệm bất phương trình là
(
D
IỄ N
S = 1 − 3; 1 + 3
)
7 x + 7 ≥ 0 6 ⇔ x≥ : c) ĐKXĐ: 7 x − 6 ≥ 0 7
24
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Đặt : t = 7 x + 7 + 7 x − 6 , t ≥ 0
(7 x + 7)(7 x − 6)
Ơ
N
⇒ t2 = 7 x + 7 + 7 x − 6 + 2
N
H
(7 x + 7 )(7 x − 6) = t 2 − 1
U Y
Bất phương trình trở thành t 2 + t − 1 < 181
TP
.Q
⇔ t 2 + t − 182 < 0 ⇔ −14 < t < 13
ẠO Đ
TR ẦN
H Ư
N
x < 12 ⇔ 49 x 2 + 7 x − 42 < 84 − 7 x ⇔ 49 x 2 + 7 x − 42 < (84 − 7 x)2 x < 12 ⇔ ⇔ x<6 x < 6
G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Ta có 7 x + 7 + 7 x − 6 < 13
B
6 Đối chiếu với điều kiện xác định suy ra tập nghiệm của bất phương trình là S = [ ; 6) 7
10 00
d) ĐKXĐ: x > 0 .
2 x
,t > 0 ⇒ t2 = x +
Í-
1
-L
Đặt t = x +
H
Ó
A
1 1 < 2 x + − 7 Bất phương trình ⇔ 3 x + 4x 2 x 1 1 +1⇒ x + = t2 −1 4x 4x
TO
ÁN
Bất phương trình trở thành 3t < 2 (t 2 − 1) − 7
t>3 ⇔ 2t − 3t − 9 > 0 ⇔ ⇔ t > 3 (do t > 0 ) t < − 3 2
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
⇒ 14 x + 2
IỄ N
Đ
ÀN
2
D
Ta có x +
1 2 x
> 3 ⇔ x + 1+
1 >9 4x
25
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Ơ
N
x > 8 + 3 7 2 ⇔ 4 x 2 − 36 x + 1 > 0 ⇔ x < 8−3 7 2
ẠO
TP
8 − 3 7 8 + 3 7 ∪ S = 0; ; +∞ 2 2
1 x −1 2
TR ẦN
Lời giải:
+
G
Đ 1− x
2
N
3
b) 1 >
H Ư
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Ví dụ 7: Giải các bất phương trình a) x + 1 + x2 − 4 x + 1 ≥ 3 x
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
U Y
N
H
Kết hợp với điều kiện xác định suy ra tập nghiệm bất phương trình là
10 00
B
x ≥ 2 + 3 x≥2+ 3 x 2 − 4x + 1 ≥ 0 a) ĐKXĐ: ⇔ x ≤ 2 − 3 ⇔ x≥0 0 ≤ x ≤ 2 − 3 x ≥ 0
H
Ó
A
Dễ thấy x = 0 là nghiệm của bất phương trình.
1
-L
Í-
Với x > 0 , bất phương trình tương đương với
x+
1
1 + x+ −4 ≥ 3 x x
1 , t > 0 ⇒ t 2 − 2 = x + , bất phương trình trở thành x x
t2 − 6 ≥ 3 −t
TO
ÁN
Đặt t = x +
D
IỄ N
Đ
ÀN
t>3 3−t < 0 t ≤ 3 5 3 − t ≥ 0 ⇔ ⇔ ⇔t≥ 2 2 t ≥ 5 t 2 − 6 ≥ (3 − t ) 2
Từ đó ta có
x+
1 x
≥
5 1 25 ⇔ x+ +2≥ 2 4 x
26
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
x ≥ 4 ⇔ 4 x − 17 x + 4 ≥ 0 ⇔ x ≤ 1 4
N
2
H
Ơ
Kết hợp với điều kiện suy ra tập nghiệm bất phương trình đã cho là
ẠO
1 3 −1+ 2 > 2 1− x 1− x2
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Bất phương trình ⇔
TP
b) ĐKXĐ: 1 − x 2 > 0 ⇔ −1 < x < 1
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
U Y
N
1 S = 0; ∪ [4; +∞) 4
1− x2
N H Ư
x
t < 1 ta có bất phương trình : t 2 − 3t + 2 > 0 ⇔ t > 2
TR ẦN
Đặt t =
G
x2 x ⇔ −3 +2>0. 2 1− x 1− x2
A
10 00
B
−1 < x < 0 x < 1 ⇔ 1 − x 2 > x ⇔ 0 ≤ x < 1 * t <1⇔ 2 1− x 2 2 1 − x > x
-L
Í-
H
Ó
−1 < x < 0 1 ⇔ ⇔ −1 < x < . 1 0 ≤ x < 2 2
ÁN
ÀN
2
0 < x < 1 > 2 ⇔ x > 2 1 − x 2 ⇔ 2 x > 4(1 − x 2 ) 1− x2 x
TO
* t>2⇔
5
< x <1.
D
IỄ N
Đ
⇔
1 2 ∪ Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là: T = −1; ; 1 . 2 5 Ví dụ 8: Giải các bất phương trình sau
27
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
a) x 3 − 3 x 2 + 2
3
( x + 2)
− 6x ≥ 0
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
b) x 3 − 4 x 2 − 5x + 6 ≤ 3 7 x2 + 9 x − 4
N
Lời giải:
H
Ơ
a) ĐKXĐ: x ≥ −2 .
U Y
N
Đặt y = x + 2 , điều kiện y ≥ 0 .
TP
x+2 = x x = y ⇔ ( x − y) ( x + 2 y) ≥ 0 ⇔ ⇔ x + 2y ≥ 0 2 x + 2 ≥ −x
ẠO Đ G
x ≥ 0 ⇔ x=2 x + 2 = x ⇔ x + 2 = x 2
H Ư
N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
2
Với
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
x 3 − 3 xy 2 + 2 y 3 ≥ 0
Bất phương trình trở thành:
B
TR ẦN
x ≥ 0 x ≥ 0 Với 2 x + 2 ≥ −x ⇔ x ≤ 0 ⇔ ⇔ x ≥ 2−2 3 . 2 − 2 3 ≤ ≤ 0 x 2 4( x + 2) ≥ x
A
10 00
Kết hợp điều kiện suy ra tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = 2 − 2 3; +∞
)
3
Í-
H
Ó
b) Bất phương trình tương đương với ( x + 1) − 7 x 2 − 8 x + 5 ≤ 3 7 x 2 + 9 x − 4 3
ÁN
-L
⇔ ( x + 1) + x + 1 ≤ 3 7 x 2 + 9 x − 4 + 7 x 2 + 9 x − 4
TO
Đặt a = x + 1, b = 3 7 x 2 + 9 x − 4 , bất phương trình trở thành :
ÀN
a 3 + a ≤ b 3 + b ⇔ (a − b)(a 2 + ab + b2 ) + a − b ≤ 0
D
IỄ N
Đ
⇔ (a − b)(a 2 + ab + b2 + 1) ≤ 0 ⇔ a ≤ b (do a 2 + ab + b2 + 1 > 0 )
Suy ra x + 1 ≤ 3 7 x 2 + 9 x − 4 ⇔ x3 − 4 x 2 − 6 x + 5 ≤ 0
28
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
H
ẠO
a) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất
Đ
b) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm.
N
G
Lời giải:
H Ư
ĐKXĐ: 0 ≤ x ≤ 1
TR ẦN
a) Giả sử phương trình cso nghiệm duy nhất x0 tức là ta có
(1 − x0 ) x0 = m
do đó 1 − x0 cũng là nghiệm của phương trình đã cho
A
1 − x0 + x0 +
10 00
B
x0 + 1 − x0 + x0 (1 − x0 ) = m ta có thể viết lại là
1 2
1+ 2 2 2
1+ 2 2 ta có phương trình 2
ÀN
TO
Với m =
ÁN
-L
thay vào ta có m =
Í-
H
Ó
Do đó phương trình có nghiệm duy nhất thì x0 = 1 − x0 ⇔ x0 =
x − x 2 = x (1 − x) ≤
IỄ N
Đ
Áp dụng BĐT côsi ta có
(
x + 1− x
2
)
1+ 2 2 (*) 2
x + 1− x 1 = 2 2
= 1 + 2 x (1 − x) ≤ 2 ⇒ x + 1 − x ≤ 2
D
Mặt khác
x + 1− x + x − x2 =
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
TP
.Q
Ví dụ 9: Cho phương trình x + 1 − x + x − x 2 = m
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
N
U Y
−1 − 5 −1 + 5 ; 5 . Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = −∞; ∪ 2 2
Ơ
N
x ≤ −1 − 5 2 ⇔ ( x − 5)( x 2 − x + 1) ≤ 0 ⇔ −1 + 5 ≤x≤5 2
Suy ra
x + 1− x + x − x2 ≤
1+ 2 2 1 , đẳng thức xảy ra ⇔ x = 2 2
29
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Do đó phương trình (*) có nghiệm duy nhất
N
1+ 2 2 là giá trị cần tìm. 2
Ơ
Vậy m =
2
)
= 1 + 2 x (1 − x) ≤ 2
Đ
t2 −1 = m ⇔ t 2 + 2t − 1 = 2 m (**) 2
G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Phương trình trở thành t +
ẠO
Suy ra 1 ≤ t ≤ 2
H Ư
N
Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (**) có nghiệm thỏa mãn
TR ẦN
1≤t ≤ 2
10 00
Xét hàm số y = t 2 + 2t − 1 trên 1; 2
A
Bảng biến thiên t
B
⇔ Đồ thị hàm số y = t 2 + 2t − 1 trên 1; 2 cắt đường thẳng y = 2m .
2
ÁN
-L
1+ 2 2
Í-
H
Ó
1
0
IỄ N
Đ
ÀN
TO
y
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
x + 1− x
.Q
(
TP
Theo câu a ta có 1 ≤
U Y
N
H
b) Đặt t = x + 1 − x ⇒ t 2 = 1 + 2 x (1 − x)
D
Suy ra phương trình đã cho có nghiệm ⇔ 1 ≤ 2 m ≤ 1 + 2 2 hay ⇔
1 1+ 2 2 ≤m≤ 2 2
Ví dụ 10: Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x ≥ 1
30
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
3 x − 1 + m x + 1 ≥ 2 4 x2 − 1 .
N
Lời giải:
U Y
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q ẠO
x −1 4 2 = 1− ⇒ 0 < t < 1, ∀x ≥ 1 x +1 x +1
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
x −1 x −1 + m ≥ 24 . x +1 x +1
TP
Bất phương trình tương đương với 3
N
x + 1 > 0 ta có
Chia hai vế phương trình cho
Đặt t = 4
H
Ơ
ĐKXĐ: x ≥ 1 .
H Ư
N
G
Bất phương trình trở thành: 3t 2 + m ≥ 2t ⇔ −3t 2 + 2t ≤ m (*) .
TR ẦN
Bất hương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x ≥ 1 ⇔ (*) nghiệm đúng t ∈ (0;1)
⇔ m ≥ max f (t) với f (t ) = −3t 2 + 2t .
10 00
Xét hàm số f (t ) = −3t 2 + 2t trên (0; 1)
A
Bảng biến thiên t
1 3
1
1 3
ÁN
-L
Í-
H
Ó
0
f (t )
B
(0;1)
−1
Đ
ÀN
TO
0
(0;1)
1 3
D
IỄ N
Từ bảng biến thiên suy ra max f (t ) =
Bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x ≥ 1 ⇔ m ≥
1 3
31
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
Ơ
x − x − 1− x = 1
d)
4
.Q TP
x + 8 + x + 4 = 2 x + 3 + 3x Lời giải:
10 00
B
a) ĐKXĐ: x < 2 .
N
c)
x − 1 + x x 3 − 3x + 2 = 1 − x
H Ư
b)
TR ẦN
6 8 + =6 3− x 2−x
G
Ví dụ 11: Giải các phương trình sau a)
ẠO Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
tổng các bình phương. Cách 3: Với phương trình f ( x) = g( x) có tập xác định D f ( x) ≥ m( x) f ( x) = m( x) Nếu , ∀x ∈ D thì f ( x) = g( x) ⇔ . g( x) ≤ m( x) g( x) = m( x)
Ta thấy rằng phương trình có một nghiệm là x =
H
Ó
A
nhất .
3 và ta chứng minh đó là nghiệm duy 2
3 6 6 >4⇒ > 2 và ta có 2 3− x 3− x
8 3 2− 2
=4
6 8 + > 6 ⇒ phương trình vô nghiệm. 3−x 2−x
Đ
ÀN
⇒
8 > 2−x
TO
ÁN
* Với x <
-L
Í-
Thật vậy
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y
N
Loại 3: Phương pháp đánh giá Đối với phương trình ta thường làm như sau Cách 1: Tìm một nghiệm và chứng minh nó là nghiệm duy nhất. Cách 2: Biến đổi hằng đẳng thức đưa về bất phương trình f ( x) = 0 trong đó f ( x) là
N
1 là giá trị cần tìm. 3
H
Vậy m ≥
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
3 6 6 < x < 2 ta có <4⇒ < 2 và 2 3− x 3− x
D
IỄ N
* Với
8 < 2−x
8 3 2− 2
=4
32
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
6 8 + < 6 ⇒ phương trình vô nghiệm. 3− x 2−x
N
3 . 2
Ơ .Q
U Y
N
x −1 ≥ 0 x − 1 ≥ 0 ⇔ ⇔ x ≥1 b) ĐKXĐ: 3 x − 3 x + 2 ≥ 0 ( x − 1)2 ( x + 2) ≥ 0 Với x > 1 ta có
TP
Dễ thấy x = 1 là nghiệm của phương trình
x − 1 + x x 3 − 3 x + 2 > 0, 1 − x < 0 do đó phương trình vô nghiệm
ẠO
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1
x − 1 − x + 1 ≥ 1 ⇒ x ≥ 1 ⇒ x ≥ 1 (**)
Do
N
x = x − 1− x + 1
H Ư
Phương trình tương đương với
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
x ≥ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 1 (*) c) Rõ ràng phương trình có nghiệm phải thỏa mãn 1 − x ≥ 0
10 00
B
TR ẦN
0 ≤ x ≤ 1 Từ (*) và (**) phương trình có nghiệm thì phải thỏa mãn ⇔ x=1 x ≥ 1 Thử x = 1 vào thấy không là nghiệm của phương trình Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. d) ĐKXĐ: x ≥ 0
Ó
A
Phương trình tương đương với 2 x + 3 − x + 4 = 4 x + 8 − 3 x Dễ thấy x = 1 là nghiệm của phương trình
H
Với x > 1 ta có 2 x + 3 > x + 4 ⇔ 2 x + 3 − x + 4 > 0
Í-
Và ( x − 1)(9 x + 8) > 0 ⇔ 9 x 2 − x − 8 > 0 ⇔ x + 8 < 9 x 2 ⇔ 4 x + 8 − 3 x < 0
-L
Suy ra phương trình vô nghiệm
ÁN
Với 0 ≤ x < 1 ta có 2 x + 3 < x + 4 ⇔ 2 x + 3 − x + 4 < 0
TO
Và ( x − 1)(9 x + 8) > 0 ⇔ 9 x 2 − x − 8 > 0 ⇔ x + 8 > 9 x 2 ⇔ 4 x + 8 − 3 x > 0
Đ
ÀN
Suy ra phương trình vô nghiệm Vậy phương trình cso nghiệm duy nhất x = 1 . Ví dụ 12: Giải các phương trình sau
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x =
H
Suy ra
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
IỄ N
a) x 2 − 9 x + 28 = 4 x − 1
D
b)
1− 2x + 1 + 2x = 2 − x2
c) 20 x + 38 = 4 x + 1 + 6 2 x + 3 + 12 2 x2 + 5x + 3 Lời giải:
33
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
a) ĐKXĐ: x ≥ 1 Phương trình tương đương với x 2 − 10 x + 25 + ( x − 1) − 4 x − 1 + 4 = 0
N
⇔ ( x − 5)2 + ( x − 1 − 2)2 = 0 (*)
H N
)
1− 4x2 − 1 + x4 = 0
(x + 1− 4
10 00
Phương trình tương đương với
B
TR ẦN
x=0 ⇔ ⇔ x=0 1 − 4 x 2 − 1 = 0 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0 . x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ −1 c) ĐKXĐ: 2 x + 3 ≥ 0
) (
) (
)
x + 1 + 4 + 2 x + 3 − 6 x + 1 + 9 + 9 x + 9 − 12 ( x + 1)(2 x + 3) + 8 x + 12 = 0
-L
Í-
H
Ó
A
⇔ ( x + 1 − 2)2 + ( 2 x + 3 − 3)2 + (3 x + 1 − 2 2 x + 3)2 = 0 x + 1 − 2 = 0 ⇔ 2x + 3 − 3 = 0 ⇔ x = 3 (thỏa mãn điều kiện) 3 x + 1 − 2 2 x + 3 = 0
TO
ÁN
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3 . Ví dụ 13: Giải các phương trình sau
x 2 + x − 1 + −x 2 + x + 1 = x 2 − x + 2
ÀN
a)
2x2 + x − 1
D
IỄ N
Đ
b)
c)
1+ 3 x +1
3
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y .Q TP
2
ẠO
2
Đ
(
2
) = (2 − x )
G
⇔ 2 + 2 1− 4x2 = 4 − 4x2 + x4 ⇔
2
N
(
1− 2x + 1 + 2x
H Ư
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Phương trình tương đương với
Ơ
Vì ( x − 5)2 + ( x − 1 − 2)2 ≥ 0 với mọi x nên x − 5 = 0 ⇔ x=5 Phương trình (*) ⇔ x − 1 − 2 = 0 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 5 . 1 − 2 x ≥ 0 1 1 b) ĐKXĐ: ⇔− ≤x≤ 1 + 2 x ≥ 0 2 2
= x( x − 1)
x2 − 1 + x = x3 − 2 Lời giải:
34
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
a) Giả sử PT có nghiệm x . Theo bất đẳng thức côsi ta có :
Ơ N
H
1 − x 2 + x + 1 −x 2 + x + 2 = 2 2
U Y
x 2 + x − 1 + −x 2 + x + 1 ≤ x + 1
Cộng vế với vế ta được
TP
2
ẠO
Suy ra x 2 − x + 2 ≤ x + 1 ⇔ ( x − 1) ≤ 0 ⇔ x = 1 Thử lại thấy x = 1 là nghiệm của phương trình
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
1.(−x 2 + x + 1) ≤
N
1 + x2 + x − 1 x2 + x = 2 2
.Q
1.( x 2 + x − 1) ≤
TR ẦN B
x + 1 > 0 x ( x − 1) ≥ 0 ⇔ x ∈ {−1} ∪ [1; +∞) 2 x 2 + x − 1 ≥ 0
H Ư
N
G
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 . b) Giả sử phương trình có nghiệm, khi đó nghiệm của nó phải thỏa mãn
10 00
Rõ ràng x = −1 không là nghiệm của phương trình, ta xét x ≥ 1
Í-
H
Áp dụng BĐT côsi ta có
Ó
A
Phương trình đã cho ⇔ 2 x 2 + x − 1 = x 2 − x + 3 x( x 2 − 1) (*)
3 ( x + x 2 − 1) x2 − x 2 x −x ≤ , 3 x( x − 1) ≤ 2 2
ÁN
-L
2
ÀN
TO
2 x 2 − x 3 ( x + x − 1) Suy ra VP(*) ≤ + = 2 x2 + x − 1 = VT (*) 2 2
D
IỄ N
Đ
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x 2 − x − 1 = 0 ⇔ x =
Thử lại phương trình ta thấy x =
1± 5 2
1+ 5 là nghiệm của phương trình 2
35
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x =
1+ 5 . 2
N
c) ĐKXĐ: x 3 − 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3 2
Đ 2 ≤ x ≤ 3. (**)
và
x 2 − 1 ≥ x − 1 ⇔ x + 1 ≥ ( x − 1)2 ⇔ x(3 − x) ≥ 0 (đúng với đk (**))
TR ẦN
3
Ta có
H Ư
N
G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
3
x 3 − 2 ≤ 2 x − 1 ⇔ ( x − 3)( x 2 − x + 1) ≤ 0 (đúng với đk (**)) 3
x2 − 1 + x ≥ 2x − 1 ≥ x3 − 2
10 00
B
Suy ra
Đẳng thức xảy ra khi x = 3 . Thử lại ta thấy x = 3 là nghiệm của phương trình đã cho
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3 . Nhận xét: Với điều kiện xác định của phương trình thì việc đánh giá của chúng ta khó khăn, đôi khi là không thể đánh giá vì miền của biến lúc đó rộng không đảm bảo cho việc đánh giá. Do đó ràng buộc thêm điều kiện đối với nghiệm của phương trình giúp chúng ta thuận lợi trong đánh giá từ đó giải quyết được bài toán. Ví dụ 14: Giải các bất phương trình sau 2 a) x 2 + b) 2 x 2 − 11x + 21 ≤ 3 3 4 x − 4 > 2x 2 −x + 6 x − 5
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
TP
x +1 + x ≥ x3 − 2 2
⇔ 4( x 3 − 2) ≤ (3 x + 1)2 ⇔ ( x − 3)(4 x 2 + 3 x + 3) ≤ 0 ⇔ x ≤ 3 Như vậy ta có
N
2( x − 1) + ( x + 1) + 4 x + 1 . = 6 2
U Y
x2 − 1 ≤
ẠO
Kết hợp với phương trình suy ra
3
.Q
Sử dụng bất đẳng thức côsi, ta được
H
Ơ
Giả sử phương trình có nghiệm
Đ
Lời giải:
D
IỄ N
a) ĐKXĐ : −x 2 + 6 x − 5 > 0 ⇔ 1 < x < 5 Ta có x 2 +
2 2
−x + 6 x − 5
= x2 +
2 2
≥ x 2 + 1 (1)
−( x − 3) + 4
36
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Mặt khác x 2 + 1 ≥ 2 x , dấu bằng xảy ra ⇔ x = 1 suy ra x 2 + 1 > 2 x , ∀x ∈ (1; 5) (2)
2
> 2x
U Y
N
−x + 6 x − 5
.Q
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là S = (1; 5) .
ẠO
Suy ra f ( x) > 0, ∀x
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
TP
b) Xét tam thức f ( x) = 2 x 2 − 11x + 21 , có a = 2 > 0, ∆ = −47 < 0
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
2
H
x2 +
Ơ
N
Từ (1) và (2) ta có với mọi x ∈ (1; 5) ta có
H Ư
N
Do đó phương trình có nghiệm thì phải thỏa mãn 3 3 4 x − 4 > 0 ⇔ x > 1
TR ẦN
Áp dụng BĐT Côsi ta có :
3 3 4 x − 4 = 3 3 2.2 ( x − 1) ≤ 2 + 2 + x − 1 = x + 3
10 00
B
Kết hợp với phương trình suy ra 2 x 2 − 11x + 21 ≤ x + 3 2
A
⇔ 2 ( x − 3) ≤ 0 ⇔ x = 3
H
Ó
Thử x = 3 ta thấy là nghiệm của bất phương trình
-L
Í-
Vậy bất phương trình có nghiệm duy nhất x = 3 .
ÁN
3. Bài tập luyện tập Bài 4.120: Giải các bpt sau :
b. x 2 − x + 1 ≤ x + 3
c. 3 x − 2 > 4 x − 3
d. 3 x2 + x − 4 ≥ x + 1 Lời giải:
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
a. x − 3 < 2 x − 1
37
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
H
Ơ
N
1 x> 2 x − 1 > 0 2 ⇔ x ≥ 3 ⇔ x≥3 Bài 4.120: a) Bpt ⇔ x − 3 ≥ 0 2 2 x − 3 < (2 x − 1) 4 x − 5 x + 4 > 0
TP
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
2 3 ≤x< 4 x − 3 < 0 4 x − 3 ≥ 0 4 ⇔ 2 ≤ x<1 c) Bpt ⇔ ⇔ 3 ∪ 2 3 x − 2 ≥ 0 3 x − 2 > (4 x − 3) 3 3 ≤ x<1 4
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
U Y
N
x 2 − x + 1 ≥ 0 8 ⇔ x ≥− b) Bpt ⇔ x + 3 ≥ 0 2 7 x − x + 1 ≤ ( x + 3)2
10 00
B
TR ẦN
H Ư
4 x + 1 ≤ 0 x ≤ − 3x 2 + x − 4 ≥ 0 3 d) Bpt ⇔ ⇔ x + 1 > 0 1 + 41 x ≥ 2 2 4 3 x + x − 4 ≥ ( x + 1)
Ó
A
Bài 4.121: Giải các bất phương trình sau. b)
x2 (1 + 1 + x )2
> x−4
-L
Í-
H
a) ( x 2 − 3 x) 2 x 2 − 3 x − 2 ≥ 0
TO
ÁN
c) x 2 + 3 x + 1 ≤ ( x + 3) x 2 + 1 .
Lời giải:
ÀN
Bài 4.121: a) Ta xét hai trường hợp
D
IỄ N
Đ
1 TH 1: 2 x 2 − 3 x − 2 = 0 ⇔ x = 2, x = − . Khi đó BPT luôn đúng 2
2 x 2 − 3 − 2 > 0 x < − 1 V x > 2 1 TH 2: Bpt ⇔ 2 ⇔ ⇔ x <− V x ≥ 3 . 2 x − 3 x ≥ 0 2 x ≤ 0 V x ≥ 3
38
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
1 Vậy nghiệm của Bpt đã cho là: T = (−∞; − ] ∪ {2} ∪ [3; +∞) . 2
Ơ
N
b) ĐK: x ≥ −1
N
H
* Với x = 0 ta thấy Bpt luôn đúng
.Q
> x − 4 ⇔ (1 − x + 1)2 > x − 4 ⇔ x + 1 < 3 ⇔ x < 8
Vậy nghiệm của Bpt đã cho là: T = [ − 1; 8) .
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
(1 + x + 1) (1 − x + 1)
2
TP
2
ẠO
x 2 (1 − x + 1)2
U Y
* Với x ≠ 0 ⇒ 1 − x + 1 ≠ 0 . Nhận lượng liên hợp ở VT của Bpt ta được
H Ư
N
G
c) Bất phương trình ⇔ x( x + 3) − ( x + 3) x 2 + 1 + 1 ≤ 0
(
x2 + 1 − x
)(
)
x2 + 1 − 3 ≤ 0
(*)
x2 + 1 − x > x2 − x = x − x ≥ 0
10 00
Do
B
⇔
TR ẦN
⇔ ( x + 3)( x − x 2 + 1) + ( x 2 + 1)2 − x 2 ≤ 0
Ó
A
⇒ (*) ⇔ x 2 + 1 ≤ 3 ⇔ x 2 ≤ 8 ⇔ −2 2 ≤ x ≤ 2 2 .
-L
Í-
H
Vậy −2 2 ≤ x ≤ 2 2 là nghiệm của bất phương trình đã cho.
ÁN
Bài 4.122: Giải các bpt sau : b) 2 x 2 − 6 x + 1 − x + 2 > 0
c) −x 2 + 6 x − 5 > 8 − 2 x
d) x + 3 ≥ 2 x − 8 + 7 − x ’
ÀN
TO
a) 2 x − 1 ≤ 8 − x
x + 2 − x +1 < x
D
IỄ N
Đ
e)
f)
2x2
(3 −
9 + 2x
2
)
< x + 21
Lời giải:
39
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Ơ H N U Y .Q
N
G
Đ
ẠO
TP
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
2
)
TR ẦN
2x − 8 + 7 − x
⇔ 3 ≥ −1 + 2
(2 x − 8)(7 − x)
(2 x − 8)(7 − x) ⇔ 4 ≥ −2 x 2 + 22 x − 56
H
Ó
x ≤ 5 ⇔ x 2 − 11x + 30 ≥ 0 ⇔ x ≥ 6
A
⇔ 2≥
(
10 00
bpt ⇔ x + 3 ≥
x>3 x ≥ 2 ⇔ 2 x − 2 x − 3 > 0 x ≤ 3 − 7 2
H Ư
x + 3 ≥ 0 d) ĐKXĐ: 2 x − 8 ≥ 0 ⇔ 4 ≤ x ≤ 7 7 − x ≥ 0
B
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
x − 2 < 0 b) bpt ⇔ 2 x 2 − 6 x + 1 > x − 2 ⇔ 2 2 x − 6 x + 1 ≥ 0 x < 2 x ≤ 3 − 7 x − 2 ≥ 0 hoặc 2 hoặc 2 ⇔ 2 (2 x − 6 x + 1) > ( x − 2) 3+ 7 x ≥ 2 c) ĐS: 3 < x ≤ 5
N
8 − x ≥ 0 x ≤ 8 1 1 ⇔ x ≥ ⇔ ≤x≤5 Bài 4.122: a) bpt ⇔ 2 x − 1 ≥ 0 2 2 2 x − 1 ≤ (8 − x)2 2 x − 18 x + 65 ≥ 0
ÁN
-L
Í-
4 ≤ x ≤ 5 Đối chiếu điều kiện ta nghiệm bpt là 6 ≤ x ≤ 7
Đ
ÀN
TO
x + 2 ≥ 0 e) ĐKXĐ : x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 0 x ≥ 0
D
IỄ N
bpt ⇔ x + 2 < x + 1 + x ⇔ x + 2 < 2 x + 1 + 2 ( x + 1)x
40
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
1 − x < 0 1 − x ≥ 0 ⇔ 1 − x < 2 ( x + 1)x ⇔ hoặc (1 − x)2 < 4 x( x + 1) x ≥ 0
(
4x
2
)
< x + 21 ⇔ 9 + 2 x < 4 ⇔ x <
2
TR ẦN
bpt ⇔
2x2 3 + 9 + 2x
H Ư
N
G
Đ
9 + 2 x ≥ 0 x ≥ − 9 f) ĐKXĐ : ⇔ 2 3 − 9 + 2 x ≠ 0 0 ≠ x
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
TP
−3 + 2 3 3
ẠO
Đối chiếu điều kiện ta nghiệm bpt là x >
.Q
U Y
N
H
Ơ
N
x < − 3 + 2 3 3 ⇔ −3 + 2 3 <x 3
7 2
Ó
A
10 00
B
− 9 ≤ x < 7 Đối chiếu điều kiện ta nghiệm bpt là 2 2 x ≠ 0
Í-
H
Bài 4.123: Giải các bất phương trình sau :
c)
x 2 − 8 x + 15 + x 2 + 2 x − 15 ≤ 4 x 2 − 18 x + 18
b)
x 2 − 3x + 2 + x 2 − 4 x + 3 ≥ 2 x 2 − 5x + 4
ÀN
TO
ÁN
-L
a)
−3 x 2 + x + 4 + 2 <2 x
d) 1 + x + 1 − x ≤ 2 −
x2 4
Lời giải:
D
IỄ N
Đ
−1 ≤ x ≤ 4 Bài 4.123: a) ĐKXĐ : 3: x ≠ 0 Với 0 < x ≤
4 −3 x 2 + x + 4 + 2 < 2 ⇔ −3 x 2 + x + 4 < 2 x − 2 : BPT ⇔ 3 x
41
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
9 2 x − 2 ≥ 0 x ≥ 1 ⇔ ⇔ ⇔ x> 2 2 2 −3 x + x + 4 < (2 x − 2) 7 7 x − 9 x > 0
H
Ơ
N
9 4 <x≤ 7 3
N
Suy ra nghiệm của bất phương trình là
U Y
Với −1 ≤ x < 0 : bpt luôn đúng
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
TP ẠO Đ G N H Ư
(x − 1)( x − 2) + ( x − 1)( x − 3) ≥ 2 ( x − 1)( x − 4)
Ó
⇔ 2− x + 3− x ≥ 2 4− x
10 00
(1 − x)(2 − x) + (1 − x)(3 − x) ≥ 2 (1 − x)(4 − x)
A
+ Với x < 1 : Bpt ⇔
B
Dễ thấy x = 1 là nghiệm của bpt.
TR ẦN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
2 x − 3 x + 2 ≥ 0 x≥4 b) ĐKXĐ: x 2 − 4 x + 3 ≥ 0 ⇔ x 2 − 5 x + 4 ≥ 0 x ≤ 1 bpt ⇔
.Q
−1 ≤ x < 0 Đối chiếu điều kiện ta nghiệm bpt là 9 <x≤ 4 7 3
Í-
H
Ta có : 2 − x + 3 − x < 4 − x + 4 − x = 2 4 − x
ÁN
-L
Suy ra x < 1 bpt vô nghiệm .
TO
+) Với x ≥ 4 : bpt ⇔ x − 2 + x − 3 ≥ 2 x − 4 x − 2 + x − 3 ≥ x − 4 + x − 4 = 2 x − 4 , ∀x , x ≥ 4
ÀN
Ta có :
Đ
Suy ra : x ≥ 4 bất pt luôn đúng .
D
IỄ N
x = 1 Vậy nghiệm của bpt là : x ≥ 4 c) ĐS: x ≤ −5, x = 3, 5 ≤ x ≤
17 3
42
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
1 + x ≥ 0 d) ĐKXĐ: ⇔ −1 ≤ x ≤ 1 : 1 − x ≥ 0
Ơ
N
x4 16
H
Khi đó : bpt ⇔ 1 + x + 1 − x + 2 1 − x 2 ≤ 4 − x 2 +
)
U Y
x4 ≥ 0 (luôn đúng) 16
Vậy nghiệm của bpt là : −1 ≤ x ≤ 1
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
(
.Q
2
1− x2 − 1 +
TP
⇔
)
ẠO
(
2
N
x4 ⇔ 1− x − 2 1− x + 1 + ≥ 0 16 2
H Ư
1 + x − 1− x ≥ x
b)
TR ẦN
a) 4( x + 1)2 ≥ (2 x + 10)(1 − 3 + 2 x )2
N
Bài 4.124: Giải các bất phương trình sau:
2x
c)
25 − x 2 + x 2 + 7 x > 3
e)
−3 x 2 + x + 4 + 2 <2 x
g)
x 2 − 8 x + 15 + x 2 + 2 x − 15 > 4 x 2 − 18 x + 18
h)
9 x 2 + 16
< 2x + 1 − 1
2x + 9
10 00
B
d)
x+
1 1 2 + x− 2 > 2 x x x
H
Ó
A
f)
Í-
)
-L
2 x + 4 − 2 2 − x >12x − 8 Lời giải:
TO
ÁN
(
2 Bài 4.124: a) bpt ⇔ 4( x + 1)2 1 + 3 + 2 x − 2 x + 10 ≥ 0
)
ÀN
(
D
IỄ N
Đ
ĐS: x = −1, x ≥ 3
b) 0 ≤ x ≤ 1
c) 0 ≤ x ≤ 5
d) 0 < x <
45 8
43
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
9 4 <x≤ 7 3
f) x > 3
5 4
(
17 3
)
2x + 4 + 2 2 − x )
H
Ơ
h) bpt ⇔ 9 x 2 + 16 (3 x − 2) > 2 (3 x − 2)
g) x >
N
e) −1 ≤ x < 0,
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
TP ẠO
b) 2 x 2 + 4 x + 3 3 − 2 x − x 2 > 1
c) 3 x 2 + 5 x + 7 − 3 x 2 + 5 x + 2 ≥ 1
d)
Đ
a) 3 x 2 + 6 x + 4 < 2 − 2 x − x 2
G
x + 2 x −1 + x − 2 x −1 >
2 x
< 2x +
1 +4 2x
f)
x x +1 −2 >3 x +1 x
TR ẦN
5
H Ư
N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Bài 4.125: Giải các bất phương trình sau:
e) 5 x +
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
U Y
N
2 4 2 <x≤2 Chia hai trường hợp và giải ta được −2 ≤ x < , 3 3
g) x +
x 2
x −1
>
3 2 35 12
10 00
B
Lời giải:
Bài 4.125: a) Đặt : t = 3 x 2 + 6 x + 4 , t ≥ 0 ⇒ x 2 + 2 x =
t2 − 4 3
Í-
H
Ó
A
t2 − 4 Bất phương trình trở thành t < 2 − 3
-L
⇔ t 2 + 3t − 10 < 0 ⇔ 0 ≤ t < 2(t ≥ 0)
ÁN
3x 2 + 6 x + 4 < 2 ⇔ 3x 2 + 6 x + 4 < 4
TO
Ta có
ÀN
⇔ 3 x 2 + 6 x < 0 ⇔ −2 < x < 0
Đ
Vậy nghiệm bpt là −2 < x < 0 .
D
IỄ N
b) ĐKXĐ: −3 ≤ x ≤ 1 Đặt : t = 3 − 2 x − x2 , t ≥ 0 ⇒ t 2 = 3 − 2 x − x 2 ⇒ 2 x + x 2 = 3 − t 2
Bất phương trình trở thành 2 ( 3 − t 2 ) + 3t > 1
44
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
5 ⇔ 2t 2 − 3t − 5 < 0 ⇔ 0 ≤ t < (dot ≥ 0) 2
Ơ H N
Ta có
N
−3 ≤ x ≤ 1 5 3 − 2 x − x 2 < ⇔ ⇔ −3 ≤ x ≤ 1 3 − 2 x − x 2 < 25 2 4
TP ẠO
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
2 x ≥ − c) ĐKXĐ: 3 x ≤ −1
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
U Y
Vậy nghiệm bpt là −3 ≤ x ≤ 1 −2 < x < 0 .
N
G
Đ
Đặt t = 3 x 2 + 5 x + 2 , t ≥ 0 ⇒ 3 x 2 + 5 x = t 2 − 2
H Ư
t2 + 5 −t ≥ 1
Bất phương trình trở thành
2
TR ẦN
⇔ t 2 + 5 ≥ t + 1 ⇔ t 2 + 5 ≥ (t + 1) ⇔ t ≤ 2
3 x 2 + 5 x + 2 ≥ 0 3 x 2 + 5 x + 2 ≤ 2 ⇔ 2 3 x + 5 x + 2 ≤ 4
TO
ÁN
d) ĐKXĐ: x ≥ 1
-L
Í-
H
Ó
A
x ≥ − 2 −2 ≤ x ≤ −1 3 ⇔ x ≤ −1 ⇔ −2 1 ≤x≤ 1 3 3 −2 ≤ x ≤ 3
10 00
B
Ta có
(
2
)
x −1 + 1 +
ÀN
bpt ⇔
x −1 + 1 + x −1 −1 >
D
IỄ N
Đ
⇔
(
2
)
x −1 −1 >
3 2
3 2
Đặt t = x − 1, t ≥ 0
Bất phương trình trở thành t + 1 + t − 1 >
3 (*) 2
45
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
3 3 ⇔t> 2 4
N H
3 đúng mọi t 2
U Y
+) Với 0 ≤ t < 1 ta có (*) ⇔ 2 >
x −1 ≥ 1 ⇔ x ≥ 2
Ơ
Suy ra nghiệm bpt(*) là t ≥ 1 do đó
N .Q
x ≥ 1 Do đó 0 ≤ x − 1 ≤ 1 ⇔ x ≤ 2
TP ẠO
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Vậy nghiệm bpt là x ≥ 1
G
Đ
e) ĐKXĐ : x > 0
2 x
≥2
x.
1 2 x
H Ư TR ẦN
1
N
1 1 < 2 x + + 4 bpt ⇔ 5 x + 2x 2 x Đặt t = x +
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
+) Với t ≥ 1 ta có (*) ⇔ 2t >
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
= 2 ,t ≥ 2 ⇒ x +
1 = t2 −1 4x
10 00
B
1 t < Bất phương trình trở thành 5t < 2 (t − 1) + 4 ⇔ 2t − 5t + 2 > 0 ⇔ 2 t > 2 2
A
2
1
Ó H
x+
2 x
> 2 ⇔ 2x − 4 x + 1 > 0
-L
Í-
Vì t ≥ 2 ⇒ t > 2 ta có
ÀN
TO
ÁN
0 < x < 2 − 2 0 < x < 3 − 2 2 2 ⇔ 2 ⇔ x > 2+ 2 x > 3 + 2 2 2 2
3−2 2 3+2 2 và x > . 2 2
IỄ N
Đ
Vậy nghiệm bpt là 0 < x <
D
f) ĐKXĐ: x < −1, x > 0 Đặt: t =
1 x +1 x ,t > 0 ⇒ = 2 x x +1 t
46
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
1 − 2t > 3 ⇔ 2t 3 + 3t 2 − 1 < 0 ⇔ (t + 1)(2t 2 + t − 1) < 0 2 t
⇔ 0<t <
1 (vì t > 0 ) 2
H
Ơ
N
Ta được :
TP
4 Vậy nghiệm bpt là − < x < −1 . 3
ẠO Đ G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
x < −1 g) ĐKXĐ: x 2 − 1 > 0 ⇔ x > 1
, t > 0 , bất phương trình trở thành
A
x2 − 1
Í-
1225 25 > 0 ⇔ t > (dot > 0) 144 12
-L
⇔ t 2 + 2t −
H
Ó
Đặt : t =
x2
10 00
x4 x2 1225 + 2. − >0 2 x −1 x 2 − 1 144
TR ẦN
1225 x2 x2 2. + > 2 x −1 x 2 − 1 144
B
+) Với x > 1 : bpt ⇔ x 2 +
H Ư
N
+) Với x < −1 : bpt VN
⇔
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
U Y
N
4 x +1 1 < ⇔ − < x < −1 x 2 3
Ta có 0 <
x2
ÁN
Do đó ta có
25 ⇔ 144 x 4 > 625 x 2 − 625 12
TO
x2 − 1
>
D
IỄ N
Đ
ÀN
25 5 0 ≤ x2 < 1 < x < 16 ⇔ 4 (dox > 1) ⇔ 144 x 4 − 625 x 2 + 625 > 0 ⇔ 25 5 2 x > x > 3 9
Bài 4.126: Giải các phương trình sau:
47
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
a) x + 2 7 − x = 2 x − 1 + −x 2 + 8 x − 7 + 1
(2 x − 1)2 2
2x + 1 + 3 − 2x =
c)
10 x + 1 + 3 x − 5 = 9 x + 4 + 2 x − 2
d)
x − 1 − ( x − 1)2 = 8 − x 3
U Y
N
H
Ơ
N
b)
TP
Ta có: PT ⇔ x − 1 + 2 7 − x − 2 x − 1 −
ẠO
Bài 4.26: a) ĐKXĐ: 1 ≤ x ≤ 7 .
(7 − x)( x − 1) = 0
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
Lời giải:
(
x −1 − 2
)(
)
x −1 − 2 = 0
)
x −1 − 7 − x = 0
10 00
B
x −1 = 2 x = 5 . ⇔ ⇔ x = 4 x − 1 = 7 − x −1 3 ≤x≤ 2 2
(
2x + 1 + 3 − 2x
2
)
=
(4 x 2 − 4 x + 1)2 4
-L
Í-
H
Phương trình đã cho ⇔
Ó
A
b) ĐKXĐ:
G
(
N
)
x −1 − 2 − 7 − x
H Ư
⇔
(
TR ẦN
⇔ x −1
ÁN
⇔ 4 + 2 −4 x 2 + 4 x + 3 =
(4 x 2 − 4 x + 1)2 . 4
ÀN
TO
Đặt t = −4 x 2 + 4 x + 3 = 4 − (2 x − 1)2 ⇒ 0 ≤ t ≤ 2 . Ta có phương trình :
Đ
16 + 8t = (4 − t 2 )2 ⇔ t 4 − 8t 2 − 8t = 0 ⇔ t(t 3 − 8t − 8) = 0
D
IỄ N
t = 0 (n) ⇔ t(t + 2)(t 2 − 2t − 4) = 0 ⇔ . t = 1 + 5 (l)
48
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Ơ
N
1 x = − 2. t = 0 ⇔ −4 x 2 + 4 x + 3 = 0 ⇔ 4 x 2 − 4 x − 3 = 0 ⇔ 3 x = 2
U Y
N
H
1 3 Vậy x = − ; x = là nghiệm của phương trình đã cho. 2 2
3x − 5 + 2 x − 2
TP ẠO
x−3
=0
N
10 x + 1 + 9 x + 4
+
Đ
x−3
G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Phương trình ⇔ 10 x + 1 − 9 x + 4 + 3 x − 5 − 2 x − 2 = 0
⇔
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
5 c) ĐKXĐ: x ≥ . 3
TR ẦN
H Ư
1 1 = 0 ⇔ x = 3 (thỏa điều kiện). ⇔ ( x − 3) + 10 x + 1 + 9 x + 4 3 x − 5 + 2 x − 2
10 00
d) PT ⇔ x − 1 + x 3 − x 2 + 2 x − 9 = 0
H
Ó
x −1 + 1
+ ( x − 2)( x 2 + x + 4) = 0
A
x−2
⇔
B
Vây x = 3 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
TO
ÁN
-L
Í-
1 ⇔ ( x − 2) + x 2 + x + 4 = 0 ⇔ x = 2 x − 1 + 1
Bài 4.127: Giải các phương trình sau
ÀN
a) x 2 − 2 x + 3 = 2 x 2 − x + 1 + 3 x − 3x 2 3
14 − x 3 = 2 x 2 − 2 x − 1 + 2 − x 2 =5 c) 2 1 + 3 x − x + x
D
IỄ N
Đ
b)
Lời giải:
Bài 4.127: a) Theo côsi ta có:
49
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
−x 2 + 2 x + 3 2
N
2 x2 − x + 1 + 3x − 3x 2 ≤
2 + 3x − 3x 2 2
U Y
N
−x 2 + 2 x + 3 ≤ 2. 2
TP
Dấu bằng xảy ra <=>x=1. Thử lại thấy thỏa mãn.
ẠO
Vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất x=1.
Đ G
3
14 − x3 ≥ 2 − x
N
x 2 − 2 x − 1 ≥ 0 nên
TR ẦN
⇔ 14 − x 3 ≥ 8 − 12 x + 6 x 2 − x 3 ⇔ x 2 − 2 x − 1 ≤ 0
H Ư
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
b) ĐKXĐ: x 2 − 2 x − 1 ≥ 0 Do
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
Mà
1 + 3x − 3 x2 ≤
H
Suy ra
2x2 − x + 1 ; 2
Ơ
2x2 − x ≤
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Suy ra phương trình có nghiệm thì x 2 − 2 x − 1 = 0 ⇔ x = 1 ± 2
10 00
B
Thử lại ta thấy phương trình cso nghiệm duy nhất x = 1 − 2 .
)
⇒ 2 1 + 3x ≥ 1 + 3 x
Ó
2
x
H
(1 + 3x)(1 + 3) ≥ (1 + 3
A
c) ĐK: x > 0 . Áp dụng BĐT Bunhiacopxky ta có:
Í-
2
x
≥2 x+
2 x
+1≥ 5 .
ÁN
-L
Suy ra 2 1 + 3 x − x +
TO
Đẳng thức xảy ra khi x = 1 và đó cũng là nghiệm của phương trình.
2 x + 3 + x + 1 = x 2 − 11x + 33 + 3x − 5 Lời giải:
D
IỄ N
Đ
ÀN
Bài 4.128: Giải phương trình
50
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Ơ
N
2 x + 3 ≥ 0 x + 1 ≥ 0 5 Bài 4.128: ĐKXĐ: 2 ⇔ x≥ x − 11x + 33 ≥ 0 3 3 x − 5 ≥ 0
.Q TP
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
⇔ ( x − 11x + 24) 2
− 11x + 33)(3 x − 5)
ẠO = x 2 − 11x + 24
Đ
(2 x + 3)( x + 1) + ( x
2
= x 2 − 11x + 24
G
(2 x + 3)( x + 1) + ( x − 11x + 33)(3x − 5) (3x − 7)(−x 2 + 11x − 24) 2
⇔2
U Y
)
− 11x + 33)(3 x − 5) = x 2 − 11x + 24
2
−3 x 3 + 40 x − 149 x + 168
⇔2
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
(x
N
( (2x + 3)(x + 1) −
+ 1 = 0 (2 x + 3)( x + 1) + (x 2 − 11x + 33)(3x − 5)
H Ư
⇔2
N
(2 x + 3)( x + 1) = x 2 − 11x + 24 + 2 ( x 2 − 11x + 33)(3x − 5)
2 (3 x − 7 )
TR ẦN
2
H
Phương trình tương đương với
A
10 00
B
x = 3 ⇔ x 2 − 11x + 24 = 0 ⇔ (thỏa mãn điều kiện) x = 8 Vậy phương trình có nghiệm là x = 3 và x = 8 .
2 x 2 − 2 (m + 1) x + m2 + m = x − 1 (1)
H
Ó
Bài 4.129: Cho phương trình:
-L
Í-
a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm.
ÁN
b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
ÀN
TO
c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất.
Lời giải:
D
IỄ N
Đ
x − 1 ≥ 0 Bài 4.129: Phương trình (1) ⇔ 2 x − 2 (m + 1) x + m2 + m = ( x − 1)2 (2)
Đặt t = x − 1 , vì x − 1 ≥ 0 nên ta có điều kiện t ≥ 0 , thay vào phương trình (2) ta được phương trình: t 2 − 2 (m − 1) t + m2 − m = 0 (3)
51
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
a) Để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (3) có nghiệm t ≥ 0
Ơ H N
TP
.Q
Kết luận: Với m ∈ 0;1 thì phương trình (1) có nghiệm.
ẠO
Đ G
H Ư
∆ > 0 1 − m > 0 0 ≤ t1 < t2 ⇔ P ≥ 0 ⇔ m 2 − m ≥ 0 (vô nghiệm) S > 0 m − 1 > 0
N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
b) Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình (3) có 2 nghiệm
10 00
B
TR ẦN
Kết luận: Không tồn tại m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
A
c) Để phương trình (1) có nghiệm duy nhất thì phương trình (3) có đúng 1 nghiệm t ≥ 0
H
Ó
TH1: Phương trình (3) có nghiệm t1 < 0 < t2 ⇔ P < 0 ⇔ m 2 − m < 0 ⇔ 0 < m < 1 .
ÁN
-L
Í-
∆ > 0 1 − m > 0 TH2: Phương trình (3) có nghiệm t1 < 0 = t2 ⇔ P = 0 ⇔ m 2 − m = 0 ⇔ m = 0 . S < 0 m − 1 < 0
ÀN
TO
∆ = 0 1 − m = 0 ⇔ ⇔ m =1. TH3: Phương trình (3) có nghiệm 0 ≤ t1 = t2 ⇔ S ≥ 0 m − 1 ≥ 0
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
U Y
∆ ' ≥ 0 1 − m ≥ 0 TH2: Phương trình (3) có nghiệm 0 ≤ t1 ≤ t2 ⇔ P ≥ 0 ⇔ m 2 − m ≥ 0 ⇔ m = 1 . S ≥ 0 m − 1 ≥ 0
N
TH1: Phương trình (3) có nghiệm t1 ≤ 0 ≤ t2 ⇔ P ≤ 0 ⇔ m 2 − m ≤ 0 ⇔ 0 ≤ m ≤ 1 .
D
IỄ N
Đ
Kết luận: Với m ∈ 0;1 thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất.
Bài 4.130: Cho phương trình x 2 − m x 2 + 1 + 3m + 2 = 0 (1) .
a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm.
52
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
b) Tìm m để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt.
N
c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất.
H
Ơ
Lời giải: 2
N
Bài 4.130. ĐK x ∈ R . Đặt t = x 2 + 1 − 1 (t ≥ 0) suy ra x 2 = (t + 1) − 1 , thay vào phương
N
TR ẦN
H Ư
TH2: Phương trình (2) có nghiệm ∆ ≥ 0 m2 − 16 m − 4 ≥ 0 0 ≤ t1 ≤ t2 ⇔ P ≥ 0 ⇔ 3m + 2 ≥ 0 ⇔ m ≥ 8 + 68 S ≥ 0 m − 2 ≥ 0
−2 . 3
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
TH1: Phương trình (2) có nghiệm t1 ≤ 0 ≤ t2 ⇔ P ≤ 0 ⇔ 3m + 2 ≤ 0 ⇔ m ≤
−2 ∪ 8 + 68; +∞ thì phương trình (1) có hai nghiệm phân Kết luận: với m ∈ −∞; 3
10 00
B
)
biệt
Ó
A
b) Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (2) có 2 nghiệm thỏa:
ÁN
-L
Í-
H
∆ > 0 m2 − 16 m − 4 > 0 0 < t1 < t2 ⇔ P > 0 ⇔ 3m + 2 > 0 ⇔ m > 8 + 68 S > 0 m − 2 > 0
(
)
ÀN
TO
Kết luận: Với m ∈ 8 + 68; +∞ thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
ẠO
TP
a) Để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (2) có nghiệm t ≥ 0
.Q
U Y
trình (1) ta được phương trình: t 2 − (m − 2) t + 3m + 2 = 0 (2)
Đ
c) Để pt (1) có nghiệm duy nhất ta xét 2 trường hợp sau:
D
IỄ N
∆ > 0 m2 − 16 m − 4 > 0 −2 TH1: Phương trình (2) có nghiệm t1 < 0 = t2 ⇔ P = 0 ⇔ 3m + 2 = 0 . ⇔m= 3 S < 0 m − 2 < 0
53
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
∆ = 0 m 2 − 16 m − 4 = 0 TH2: Phương trình (2) có nghiệm 0 = t1 = t2 ⇔ (vô nghiệm) ⇔ S = 0 m − 2 = 0
Ơ
N
−2 thì pt (1) có nghiệm duy nhất. 3
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
10 00
B
TR ẦN
H Ư
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
TP
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
.Q
U Y
N
H
Kết luận: với m =
54
ST> bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial