Chuyên đề 7+8 - Nguyên hàm, hàm hữu tỉ, hàm lượng giác+Nguyên hàm hàm vô tỉ và hàm lôgarit

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

CHUYÊN Đề 7 - NGUYÊN HÀM, HÀM HữU Tỉ, HÀM LƯợNG GIÁC

N

1. KIếN THứC TRọNG TÂM

H Ơ

Nguyên hàm

Y

N

Cho K là một khoảng ( a; b ) , nửa khoảng ( a; b ] , [ a; b ) hay đoạn [ a; b ] . Hàm số F ( x ) gọi là một nguyên

ẠO

C là hằng số bất kì

Đ Ư N

G

Nếu x = u ( t ) có đạo hàm liên tục trên K thì:

TR ẦN

H

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( u ( t ) ) .u ' ( t )dt

00

∫ f ( x ) dx = ∫ g ( t ) dt

B

Nếu t = v ( x ) có đạo hàm liên tục trên K thì:

∫

∫

10

- Phương pháp nguyên hàm từng phần: Nếu u ( x ) , v ( x ) có đạo hàm liên tục trên K thì udv = uv − vdu

2+

3

Tích phân:

ẤP

Giả sử f ( x ) liên tục trên khoảng K và a, b ∈ K và F ( x ) là 1 nguyên hàm của f ( x ) thì: b

b

C

∫ f ( x ) dx = F ( b ) − F ( a ) = F ( x )

a

A

a

H

Ó

- Phương pháp tích phân đổi biến số: β

b

∫ f ( x ) dx = ∫α f ( u ( t ) ) .u ' ( t ) .dt

-L

a

Í-

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

- Phương pháp đổi biến số:

f ( x ) dx = g ( t ) dt thì:

∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C ,

f ( x ) dx = ∫

v( b )

v( a )

g ( t ) dt

G

a

TO

∫

b

ÁN

Nếu t = v ( x ) có đạo hàm liên tục và f ( x ) dx = g ( t ) dt thì:

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

Neesu F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) thì họ các nguyên hàm của f ( x ) là:

TP .Q

U

hàm của hàm số f ( x ) trên K nếu: F ' ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ K

Ỡ N

- Phương pháp tích phân từng phần:

BỒ

ID Ư

Nếu u ( x ) , v ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ a; b ] thì

∫

b

a

b

udv = u.v a − ∫ v.du b

a

Tổng tích phân

Trang 1 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Cho f là một hàm số xác định trên [ a; b ] ( a < b ) . Phân hoạch T đoạn [ a; b ] thành n đoạn nhỏ bởi những điểm chia tùy ý a = x0 < x1 < ... < xn = b , trên mỗi đoạn  xi −1 , x j  ta lấy một điểm ξi và lập tổng tích phân n

H Ơ

N

σ T = ∑ f (ξ j )( x j − xi −1 ) . i =1

)

N Y U

∑ f (ξ )( x j

Ta chọn phân hoạch đều xi = a +

− xi −1 ) thì giới hạn đó được gọi là tích phân xác định của hàm f

b

ẠO

∫ f ( x ) dx .

i ( b − a ) , tổng tích phân n

n

b

i =1

a

Sn = ∑ f (ξ j )( x j − xi −1 ) thì lim S n = ∫ f ( x ) dx . Nguyên hàm đa thức và phân thức:

∫ kdx = kx + C với k là hằng số

00

B

∫ dx = x + C

Đ

a

G

trên đoạn [ a; b ] và được kí hiệu là: I =

10

1

xα +1 uα +1 + C ; ∫ uα .u '.dx = +C α +1 α +1

C

ẤP

α ∫ x .dx =

Với α ≠ −1 thì

u'

∫ u dx = ln u + C

2+

3

∫ x dx = ln x + C

A

Các biến đổi: chia tách, thêm bớt, khai triển tích số, hằng đẳng thức, phân tích thành phân số đơn giản,…

H

Ó

Tổng quát với hàm hữu tỉ, nếu bậc của tử lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu thì phải chia tách phần đa thức, còn lại hàm hữu tỉ với bậc tử bé hơn mẫu.

Í-

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

j

i =1

Ư N

d (T )→0

H

Nếu tồn tại giới hạn I = lim

TP .Q

n

TR ẦN

1≤i ≤ n

(

ÁN

-L

Nếu bậc của tử bé hơn bậc của mẫu thì phân tích mẫu ra các thừa số bậc nhất ( x + a ) hay x 2 + px + q

TO

bậc hai vô nghiệm rồi đồng nhất hệ số theo phần tử đơn giản:

)

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

(

Kí hiệu d (T ) = max x j − xi −1 .

A Bx + C ; 2 ; Đồng nhất hệ số ở tử x + a x + px + q

Ỡ N

G

thức thì tính được các hằng số A, B, C, … Kết hợp với các biến đổi sai phân, thêm bớt đặc biệt để phân tích nhanh.

BỒ

ID Ư

Các dạng tích phân đa thức, phân thức hữu tỉ: b

∫ P ( x ) dx : Chia miền xét dấu P ( x ) , a b

α

∫ x ( mx + n )

dx : Đặt u = mx + n hoặc phân tích,

a

Trang 2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn b

∫ ( mx + n ) ( px

2

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

α

+ qx + r ) dx : Đặt u = px 2 + qx + r ,

a b

N

thì đặt u = x + n .

H Ơ

a ( mx + n )

∆ >0⇒ ∫ a b

- Dạng

∫ px a

Y U Đ G

1 1  1 1  dx : Biến đổi 2 = −   2 2 x −k 2k  x − k x + k  x −k 2

Ư N

b

dx : Đặt x = k tan t x + k2 2

mx + n dx : Lập ∆ = q 2 − 4 pr 2 + qx + r

10

∆ ≥ 0 ⇒ Phân tích và dùng công thức.

(

)

=∫ a

x (1 + x n

n m

)

: đặt t = 1 + x n .

H

a

n m

C

∫ x 1+ x

A

- Dạng

x n−1dx

b

dx

Ó

b

ẤP

2+

3

A ( px 2 + qx + r ) ' mx + n B ∆<0⇒ 2 = + 2 2 px + qx + r px + qx + r (x +α ) + k2

Í-

Chú ý: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [ −a; a ] . a

∫

f ( x ) dx = 0 . Nếu f chẵn thì

ÁN

Nếu f lẻ thì

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

a

: Dùng công thức

2

H

b

∆<0⇒ ∫

TP .Q

dx

∆ =0⇒∫

ẠO

b

TR ẦN

a

B

∫

1 dx : Lập ∆ = q 2 − 4 pr . 2 px + qx + r

00

b

- Dạng

N

a

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

α β ∫ ( x + m ) .( x + m ) dx : Nếu α < β

a

∫

f ( x ) = 2 ∫ f ( x ) dx .

a

0

TO

−a

a

G

Nguyên hàm lượng giác:

∫ cos u.u '.dx = sin u + C

∫ sin xdx = − cos x + C

∫ sin u.u '.dx = − cos u + C

BỒ

ID Ư

Ỡ N

∫ cos xdx = sin x + C dx

∫ cos

2

x

= tan x + C

dx ∫ sin 2 x = − cot x + C

u'

∫ cos

2

u

dx = tan u + C

u' ∫ sin 2 u dx = − cot u + C Trang 3

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Các biến đổi: hạ bậc lượng giác, tích thành tổng, theo góc phụ t = tan

x ,… 2

H Ơ

N

sin ( x + a ) − ( x + b )  1 1 = .  sin ( x + a ) .sin ( x + b ) sin ( a − b ) sin ( x + a ) sin ( x + b )

Y U

α

sin x + b cos x ) 2

2

2

=

(a

2

α

sin 2 x + b 2 cos 2 x )

00

ẠO

B

(a

2

A ( a 2 sin 2 x + b 2 cos 2 x ) '

TR ẦN

sin x cos x

Đặc biệt cận tích phân: đối, bù, phụ thì đặt tương ứng t = − x, t = π − x, t =

π

2+

3

10

− x . Tích phân liên kết, để 2 tính I thì đặt thêm J mà việc tính tích phân I + J và I − J hoặc I + kJ và I − mJ dễ dàng lợi hơn. Tích

ẤP

phân truy hồi I n theo I n −1 hay I n− 2 thì sin n x,cos n x tách lũy thừa 1 và dùng phương pháp tích phân từng

C

phần còn tan n x,cot n x tách lũy thừa 2 và dùng phương pháp tích phân đổi biến số.

π /2

H

π /2

Ó

A

Nếu hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b ] thì: π

π

π

∫ f ( sin x ) dx = ∫ f ( cos x ) dx; ∫ xf ( sin x ) dx = 2 ∫ f ( sin x ) dx 0

-L

0

0

0

ÁN

Các dạng tích phân lượng giác:

TO

b

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

TP .Q

1 1 1 = . 2 2 2 a sin x + b sin x cos x + cos x a tan x + b tan x + c cos x 2

Ư N

A ( a sin x + b cos x + c ) ' B + a sin x + b cos x + c a sin x + b cos x + c

Í-

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

a sin x + b cos x + c

=

H

α sin x + β cos x + γ

1 a 2 + b 2 1 ± cos ( x + α ) .

Đ

a sin x + b cos x ± a 2 + b 2

1

=

G

1

N

1 1 1 . = a sin x + b cos x a 2 + b 2 sin ( x + α )

b

Ỡ N

a

G

∫ P ( x ) .sin α xdx, ∫ P ( x ) .cos α xdx : đặt u = P ( x ) , v ' = sin hoặc cos α x

BỒ

ID Ư

π /2

a

π

∫ R ( x,sin x,cos x ) dx : đặt x = 2 − t 0

π

∫ R ( x,sin x,cos x ) dx : đặt x = π − t 0

Trang 4 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

2π

∫ R ( x,sin x,cos x )dx : đặt x = 2π − t 0

x

H Ơ

N

∫ R ( sin x,cos x ) dx : đặt t = tan 2 , đặc biệt: a

Y

N

Nếu R ( − sin x,cos x ) = − R ( sin x, cos x ) thì đặt t = cos x

TP .Q

U

Nếu R ( sin x, − cos x ) = − R ( sin x, cos x ) thì đặt t = sin x

ẠO

Nếu R ( − sin x, − cos x ) = − R ( sin x,cos x ) thì đặt t = tan x,cot x .

Đ

i3 ∑ 4 i =1 n

i2 ∑ 3 3 i =1 i + n n

TR ẦN

b) un =

H

n

a) un =

Ư N

G

Bài toán 7.1: Tính giới hạn dãy un xác định bởi:

Hướng dẫn giải

1

∫

Ta có: lim S n = x3dx =

1 1 . Vậy lim un = . 4 4

C

0

2+

3

10

3 i n i f   = ∑ 4 = un  n  i =1 n

ẤP

1 n ∑ n i =1

Sn =

00

B

a) Xét hàm số f ( x ) = x 3 . Tổng tích phân của hàm số f trên đoạn [ 0;1] là:

2

đoạn [ 0;1] .

-L

Í-

H

Ó

A

1 2   n n x2 1 i n  b) Ta viết un = ∑ 3 nên un chính là tổng tích phân của hàm số f ( x ) = 3 trên = ∑ 3 x +1 n i =1  1 3 i =1 i + n   +1 n

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

2. CÁC BÀI TOÁN

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

b

1

1

Ỡ N

G

TO

1 ln 2 x2 Do đó: lim un = ∫ 3 dx = ln ( x3 + 1) = . 1 3 3 x + 0 0

ID Ư

Bài toán 7.2: Tính giới hạn dãy un xác định bởi:

BỒ

un = 1 −

1 1 1 1 + − ... + − . 2 3 2n − 1 2n Hướng dẫn giải

n

Đặt S =

1

∑ i . Ta có: i =1

Trang 5 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

2n

n n n 1 1 1 n 1 1 1 n 1 = ∑ u n = ∑ − 2∑ = ∑ − ∑ = S 2 n − S n = ∑ n i =1 i + 1 i =1 i i =1 2i i =1 i i =1 i i =1 i + n n

H Ơ

N

1 trên đoạn [ 0;1] . x +1

N

Do đó un là tổng tích phân của hàm số f ( x ) = 1

U

Y

1 1 ln 1 dx = x + = ln 2 . ( ) ∫0 x + 1 0

TP .Q

Bài toán 7.3: Chứng minh:

ẠO

1

∫

a) lim x n sin π xdx = 0

Đ 0

t 1+ t4

G

∫

dt là hàm số chẵn

Ư N

b) f ( x ) =

TR ẦN

Hướng dẫn giải a) Với x ∈ [ 0;1] thì 0 ≤ x n sin π x ≤ x n .

0

2+

3

1 = 0 ⇒ đpcm. n +1

ẤP

Vì lim

0

1 . n +1

B

∫

Do đó: 0 ≤ x sin π xdx ≤ x n dx =

00

∫

1

n

10

1

∫ 0

x

s

∫

1+ t4

-L

0

t

H

−x

Ó

C

b) Đặt t = − s trong tích phân f ( − x ) =

A

−x

ta được f ( − x ) =

H

x

dt = ∫

Í-

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

0

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

Suy ra lim un =

0

t

1+ t4

1 + s4

dt

ds = f ( x ) ⇒ đpcm.

x

∫ cos tdt

TO

a) f ( x ) =

ÁN

Bài toán 7.4: Tính đạo hàm các hàm số:

ID Ư

Ỡ N

G

0

BỒ

a)

f ' ( x ) = cos x .

3x

t2 −1 b) g ( x ) = ∫ 2 dt t +1 2x Hướng dẫn giải

( x ) ' = cos2 xx

t 2 −1 . Gọi F là một nguyên hàm của f, theo định nghĩa tích phân, ta có: t2 +1 g ( x ) = F ( 3 x ) − F ( 2 x ) nên g ' ( x ) = 3F ' ( 3x ) − 2 F ' ( 2 x ) = 3 f ( 3 x ) − 2 f ( 2 x )

b) Đặt

f (t ) =

Trang 6 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

=

3 ( 9 x 2 − 1) 9 x2 + 1

−

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

2 ( 4 x 2 − 1) 4 x2 + 1

N

Bài toán 7.5:

H Ơ

x2

N

∫ f ( t ) dt = x cos (π x ) . Tính f ( 4 ) .

Y

0

∫ ( x − x ) dx có giá trị lớn nhất. 2

TP .Q

b) Tìm số b dương để tích phân

U

b

a

ẠO

Hướng dẫn giải

( )

x

∫ ( t − t ) dt

TR ẦN

b) Xét hàm số f ( x ) =

Đ G Ư N

1 . 4

H

Cho x = 2 : 4 f ( 4 ) = −2π sin 2π + cos 2π ⇒ f ( 4 ) = 2

0

00

B

Ta có F ' ( x ) = x − x 2 , F ' ( x ) = 0 ⇔ x = 1 .

10

Lập bảng biến thiên của F ( x ) trên ( 0; +∞ ) thì F ( x ) đạt giá trị lớn nhất khi x = 1 , do đó b = 1 .

1

0

1

−1

0

∫ f ( x ) dx = ∫  f ( x ) + f ( − x )dx

Hướng dẫn giải

Ó

A

0

1

b)

ẤP

∫ f ( x ) dx = ∫ f (1 − x ) dx

C

a)

2+

1

3

Bài toán 7.6: Chứng minh rằng:

H

a) Đặt u = 1 − x thì du = −dx, x = 0 ⇒ u = 1, x = 1 ⇒ u = 0 . 1

Í-

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

a) Lấy đạo hàm 2 vế thì có 2 xf x 2 = −π x sin (π x ) + cos (π x )

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

a) Cho

0

1

1

0

0

-L

∫ f ( x ) dx = − ∫ f (1 − u ) du = ∫ f (1 − u ) du = ∫ f (1 − x ) dx 1

f ( x ) dx =

−1

0

∫

f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx và

Ỡ N

−1

G

∫

1

0

TO

1

b)

ÁN

0

ID Ư

Do đó

1

1

−1

0

0

∫ −1

0

1

1

0

f ( x ) dx = − ∫ f ( −u ) du = ∫ f ( − x ) dx

∫ f ( x ) dx = ∫  f ( x ) + f ( − x ) dx

BỒ

Bài toán 7.7: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên [ −a; a ] . Chứng minh:

a) Nếu f là hàm số lẻ thì

a

∫ f ( x ) dx = 0 . −a

Trang 7 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

b) Nếu f là hàm số chẵn thì

a

a

a

0

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

∫ f ( x ) = 2∫ f ( x ) dx a

−a

−a

0

Y

N

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx

I=

U

0

TP .Q

∫ f ( x ) dx ta được:

Đổi biến x = −t đổi với tích phân

−a

−a

a

−a

0

0

a

a

a

−a

0

0

0

H

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx ⇒ I = 2∫ f ( x ) dx

TR ẦN

b) Nếu f chẵn thì

0

Ư N

G

⇒I =0

Bài toán 7.8: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b ] . Chứng minh: π /2

0

0

∫ f ( sin x ) dx = ∫ f ( cos x ) dx

π

π

∫ xf ( sin x ) dx = 2 ∫ f ( sin x ) dx

00

b)

10

a)

π

B

π /2

0

0

π

,x =

ẤP

2

π /2

0

∫ f ( sin x ) dx = −π∫

/2

 π  f  sin  − t   dt =   2 

π 2

⇒t = 0.

π /2

π /2

0

0

∫ f ( cos t ) dt = ∫ f ( cos x ) dx

H

0

C

2

− t thì dx = − dt , x = 0 ⇒ t =

A

π

Ó

a) Đặt x =

2+

3

Hướng dẫn giải

-L

Í-

b) Đặt x = π − t thì dx = − dt , x = 0 ⇒ t = π , x = π ⇒ t = 0 . π

0

0

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

a

ẠO

∫

0

f ( x ) dx = − ∫ f ( −t ) dt = − ∫ f ( t ) dt = − ∫ f ( x ) dx

Đ

0

a) Nếu f lẻ thì

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

0

H Ơ

a

N

Hướng dẫn giải

∫ xf ( sin x ) dx − ∫ (π − t ) f ( sin t ) dt π

TO

π

π

π

π

0

0

0

Ỡ N

0

G

= π ∫ f ( sin t ) dt − ∫ tf ( sin t ) dt = π ∫ f ( sin x ) dx − ∫ xf ( sin x ) dx

ID Ư

π

∫

π

BỒ

Do đó 2 xf ( sin x ) dx = π 0

Bài toán 7.9: Tính: a)

∫ f ( sin x ) dx ⇒ đpcm. 0

x +1 ∫ ( x − 2 )( x + 3) dx b)

x4 − 2 ∫ x3 − x dx Hướng dẫn giải Trang 8

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

U

Y

N

  x +1 3 2 dx = +  ∫ ( x − 2 )( x + 3) ∫  5 ( x − 2 ) 5 ( x + 3)  dx  

ẠO

3 2 = ln x − 2 + ln x + 3 + C 5 5

Đ G

Ư N

x2 − 2 A B C nên x 2 − 2 = ( A + B + C ) x 2 + ( B − C ) x − A , đồng nhất hệ số thì = + + x ( x − 1)( x + 1) x x − 1 x + 1 1 2

TR ẦN

H

Đặt

1 2

được A = 2, B = − , C = − , do đó:

1

1

1

1 

1

1 + 2ln x − ln x 2 − 1 + C 2

10

00

2

B

2



∫ f ( x ) dx = ∫  x + x − 2 . x − 1 − 2 . x + 1  dx = 2 x

3

dx

2+

∫ x (3 − x)

57

 x3  b) ∫ x  − 1 dx  18  2

ẤP

Bài toán 7.10: Tính: a)

5

C

Hướng dẫn giải

Ó

A

a) Đặt u = 3 − x ⇒ x = 3 − u ⇒ dx = − du 5

H

5 6 5 ∫ x ( 3 − 5) dx = −∫ ( 3 − u ) .u .du = ∫ ( u − 3u ) du

Í-

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

x4 − 2 x2 − 2 x2 − 2 b) 3 = x+ 3 = x+ x −x x −x x ( x − 1)( x + 1)

ÁN

-L

1 3 1 6  3− x = u7 − u6 + C = (3 − x )  − +C 7 6 2  7

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

TP .Q

Do đó:

3 2 ,B = . 5 5

H Ơ

Do đó x + 1 = ( A + B ) x + ( 3 A − 2 B ) , đồng nhất hệ số thì A + B = 1,3 A − 2 B = 1 nên A =

N

x +1 A B = + nên x + 1 = A ( x + 3) + B ( x − 2 ) ( x − 2 )( x + 3) x − 2 x + 3

a) Đặt

Ỡ N

G

TO

x3 x2 b) Đặt u = − 1 ⇒ du = dx ⇒ x 2 dx = 6du 18 6 57

58

 x3  3 58 3  x3  57 x − dx = u du = u + C = 1 6  − 1 + C ∫  18  ∫ 29 29  18 

ID Ư

2

BỒ

dx Bài toán 7.11: Tính a) ∫ b) x (1 + x8 )

x2 − 1 ∫ x 4 + x 2 + 1 dx Hướng dẫn giải Trang 9

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

d (x ) dx x 7 dx 1 1 x8 a) ∫ = = = ln +C 8 x (1 + x8 ) ∫ x8 (1 + x8 ) 8 ∫ x8 (1 + x8 ) 8 1 + x 8

N

1  dx+  x −1 1 x2 − x + 1 x  b) ∫ 4 dx = = +C. ln ∫  1 2 x + x2 + 1 2 x2 + x + 1  x +  −1 x 

U

Y

N

H Ơ

2

4

∫ ( x + 2 ) ( x − 3)

b) B =

dx

2

∫x

2

− 4 x + 3 dx

−1

G Ư N

a) Đặt u = x − 3 thì x = u + 3, dx = du .

∫ ( u + 5)

0

8

u du =

2

+ 10u + 25 ) u 8 du

−1

B

−1

∫ (u

TR ẦN

A=

2

H

Khi x = 2 thì u = −1, x = 3 ⇒ u = 0 .

0

0

8

3

−1

1

4

2+

1

ẤP

2 2 2 ∫ ( x − 4 x + 3) dx + ∫ ( − x + 4 x − 3)dx + ∫ ( x + 4 x − 3) dx

C

b) B =

3

10

9

00

 u11 25  −185 = ∫ ( u + 10u + 25u ) du =  + u10 + u 9  = 9  −1 99  11 −1 10

1

3 3

4

H

Ó

A

 x3   x3   x3  28 2 2 =  − 2 x + 3x  +  − + 2 x − 3x  +  − 2 x 2 + 3 x  =  3  −1  3 1  3 3 3 1

Í-

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Hướng dẫn giải

0

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

8

Đ

a) A =

2

ẠO

3

TP .Q

Bài toán 7.12: Tính:

∫x

2

− 2 x + m dx .

0

TO

ÁN

-L

Bài toán 7.13: Tính l ( m ) =

Hướng dẫn giải

G

Tam thức f ( x ) = x 2 − 2 x + m, ∆ ' = 1 − m . Ta xét 2 trường hợp sau:

Ỡ N

- Nếu ∆ ' ≤ 0 ⇔ 1 − m ≤ 0 ⇔ m ≥ 1

 x3  2 Khi đó: l ( m ) = ∫ ( x − 2 x + m ) dx =  − x 2 + mx  = m − 3  3 0 0

ID Ư

BỒ

1

1

2

- Nếu ∆ ' > 0 ⇔ 1 − m > 0 ⇔ m < 1

Trang 10 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

 x1 = 1 + 1 − m > 1

Khi đó: f ( x ) = 0 ⇔ 

 x2 = 1 − 1 − m < 1

H Ơ

N

Với x2 ≤ 0 thì 1 − 1 − m ≤ 0 hay m ≤ 0 1

 x3  2 l ( m ) = − ∫ ( x − 2 x + m ) dx = −  − x 2 + mx  = − m  3 0 3 0

U

Y

N

2

∫ (x

− 2 x + m ) dx −

0

2

− 2 x + m ) dx

Đ G

1

 x3  =  − x 2 + mx   3  1−

Ư N

1− 1− m

1− m

b)

∫x

−1

dx + 2x + 4

B

0

2

00

3x + 1 Bài toán 7.14: Tính: a) ∫ 2 dx 4 3 x − x + 4

10

5

TR ẦN

4 (1 − m ) 1 − m + 3m − 2 3

A B 3x + 1 3x + 1 = = + x − 4 x + 3 ( x − 1)( x − 3) x − 1 x − 3

ẤP

2

Ó

A

nên 3x + 1 = ( A + B ) x − 3 A − B .

C

a) Ta có

2+

3

Hướng dẫn giải

H

A + B = 3  A = −2 ⇔  −3 A − B = 1  B = 5

5

5

ÁN

3x + 1 5   −2 ∫4 x 2 − 4 x + 3 dx − ∫4  x − 1 + x − 3  dx

TO

Vậy

Í-

Đồng nhất hệ số 

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

∫ (x 1− 1− m

 x3  =  − x 2 + mx   3 0 =

1

H

l (m) =

2

ẠO

1− 1− m

TP .Q

Với x2 > 0 thì 0 < m < 1

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

1

5

Ỡ N

G

= ( −2ln x − 1 + 5ln x − 3 ) = ln 2 + 2ln 3 = ln18 . 0

0

dx dx = 2 ∫ x + 2 x + 4 −∫1 ( x + 1)2 + 3 −1

BỒ

ID Ư

b)

4

Đặt x + 1 = 3 tan t , −

π 2

<t <

π 2

.

Trang 11 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn , khi x = −1 thì t = 0 .

∫

π /6

−1

∫

=

3 ( tan 2 t + 1)

−1

π /6

3 3 3π dt = t = 3 3 0 18

2

4

2

TP .Q

U

Y

6x + 2  x−2 Bài toán 7.15: Tính: a) A = ∫  dx  dx b) B = ∫ 2 x+3 x − x +1 −2  0 Hướng dẫn giải

ẠO

a) Đặt t = x + 3 thì x − 2 = t − 5, dx = dt

Đ

2 2 3 ( 2 x − 1) + 5 2 x − 1) dx ( dx b) B = ∫ dx = 3∫ 2 + 5∫ 2 2 x − x +1 x − x +1 1 3 0 0 0  x−  + 2 4 

Ư N

10 3

2+

π π 1 3 3 = tan t − < t < ⇒ dx = 1 + tan 2 t ) dt ( 2 2 2 2 2

ẤP

Đặt x −

π 6

, x = 2 thì t =

π

3

.

H

Khi x = 0 thì t = −

C

0

2 2x −1 2 3ln 1 dx = x − x + = 3ln 3 0 x2 − x + 1

A

3∫

Ó

2

00

B

TR ẦN

2

H

25  192  10 25   A = ∫  1 − + 2  dt =  t − 10ln t −  = − 10ln 7 t t  t 1 7  2

G

7

7

2

π /3

π /3

2 3 10 3 5 3π =5 ∫ = 5∫ dt = t 2 3 3 −π /6 3 1 3 0  −π /6 x−  + 2 4 

Í-

dx

TO

ÁN

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Khi x = −2 thì t = 1, x = 4 thì t = 7 .

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

3 ( tan 2 t + 1) dt

π /6

N

dx ∫−1 x 2 + 2 x + 4 =

6

H Ơ

0

π

N

Khi x = 0 thì t =

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ỡ N

G

Vậy B = 3ln 3 +

5 3 π. 3 a /2

BỒ

ID Ư

Bài toán 7.16: Tính: a) I =

1 a) I = 2a

∫ 0

dx 2 x − a2

a

b) J =

∫a

2

0

dx + x2

Hướng dẫn giải a /2

∫ 0

1  1 x−a  1 ln −   dx = 2a x + a  x−a x+a

a /2

=− 0

1 ln 3 2a Trang 12

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

π

(

∫

a 2 (1 + tan 2 t )

0

π /4

∫ 0

N

. π /4

π 1 dt = t = a 0 4a

Bài toán 7.17: Tính: 1

x4 + x2 + 1 b) L = ∫ dx x6 + 1 0

Đ

x4 − x + 1 a) K = ∫ 2 dx x +4 0

H TR ẦN

4

t − 2 tan t + 1) dt

B

0

∫ (16 tan t (1 + tan t ) − 16 tan 2

2

00

π /4

)

2

t − 2 tan t + 1 dt

10

1 = 2

∫ (16 tan

0

16 17π + − ln 2 3 8

ẤP

Từ đó tính được K = −

3

0

π /4

2+

∫

K=

16 tan 4 t − 2 tan t + 1 2dt 1 . 2 = 2 cos t 2 4 ( tan t + 1)

G Ư N

 π .  4 

a) Đặt x = 2 tan t , x ∈ [ 0; 2] ⇔ t ∈ 0;

Ó

A

C

17 x4 − x + 1 −x Cách khác: = x2 − 4 + 2 + 2 2 x +4 x +4 x −4 3 1 1  1 2 x2  dx 2 d (x ) b) L = ∫  2 + 6 + ∫  dx = ∫ 2 x + 1 x + 1 x + 1 3 0 ( x3 )2 + 1   0 0

Í-

H

1

ÁN

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Hướng dẫn giải

π /4

ẠO

2

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

J=

1 = a

4

N

a (1 + tan 2 t ) dt

π

H Ơ

2

Khi x = 0 thì t = 0, x = a thì t = π /4

)

thì dx = a 1 + tan 2 t dt

Y

2

<t <

U

π

TP .Q

b) Đặt x = a tan t với −

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

G

TO

Lần lượt đặt x = tan t , x 3 = tan u thì L = 3

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Bài toán 7.18: Tính: a)

a)

x2 + 1

∫ ( x − 1) ( x + 3) dx 3

5π 12 1/ 4 3

b) N =

2

∫ 0

xdx x8 − 1

Hướng dẫn giải

x2 + 1 3

( x − 1) ( x + 3)

=

A B C D + + + 2 3 x − 1 ( x − 1) ( x − 1) x+3

Trang 13 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Đồng nhất thì được A =

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

5 3 1 5 , B = ,C = , D = − nên 32 8 2 32 3

0

H Ơ N ẠO Đ

(

)

2

8 x7 + 2 dx b) Q = ∫ dx 7 x4 − 2 x2 + 1 1 x (1 + x )

B

∫

π 1 = ln 2 − 3 − 8 24

00

1/2

Bài toán 7.19: Tính: a) P =

TP .Q

U 1/ 3

 1 t −1 1  =  ln − arctan t   8 t +1 4 0

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

0

1   1 − 2  2  dt  t −1 t +1 

G

∫

Ư N

0

1/ 3

H

∫

dt 1 = 4 t −1 4

10

Hướng dẫn giải 2

ẤP

2+

3

1 1 1 1 1  = =  − a) Ta có: 4  2 2 2 4  x −1 x +1  x − 2 x + 1 ( x + 1) ( x − 1)

H

Ó

A

C

 1 1 1 2 =  + −  4  ( x − 1)2 ( x + 1) 2 ( x − 1)( x + 1) 

Í-

1 1 1 1 1  =  + + −  4  ( x − 1)2 ( x + 1) 2 x + 1 x − 1 

ÁN

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

1/ 3

1 1 thì t = 4 3 3

TR ẦN

Khi x = 0 thì t = 0, x =

Y

1 dt . 2

b) Đặt t = x 2 thì xdx =

1 N= 2

N

 −1 3 5 37 5 2 x −1  ln M = − + − ln  = 3  4 ( x − 1) 16 ( x − 1) 32 x + 3    2 56 32 15

1/2

G

TO

1 1 1 1 ln 3 x +1  Từ đó P =  − + + ln = −  4  x −1 x +1 3 4 x −1  0 2

2

2

BỒ

ID Ư

Ỡ N

8x7 + 1 + 1 8 x7 + 1 1 b) Q = ∫ dx = ∫ 8 dx + ∫ dx 7 7 x +x 1 x (1 + x ) 1 1 x (1 + x ) = ln ( x + x ) 8

2 1

d (x ) x6 1 +∫ 7 dx = ln129 + 7 7 ∫1 x 7 (1 + x 7 ) 1 x (1 + x ) 2

2

7

Trang 14 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

2

1 1 256 x7 = ln129 + ln = ln129 + ln 7 7 1+ x 1 7 129

N

H Ơ

N

−2 ( x + 1) khi x ≤ 0 Bài toán 7.20: Cho hàm số f ( x ) =  2 k (1 − x ) khi x > 0

U

∫ f ( x )( dx ) = 7 . −1

Hướng dẫn giải 1

2k Ta có ∫ f ( x ) dx = ∫ −2 ( x + 1) dx + ∫ k (1 − x ) dx = −1 + nên 3 0 −1 −1

1

∫ f ( x ) dx = 7 ⇒ k = 12 .

G

−1

Ư N

Bài toán 7.21: Cho f ( x ) là hàm liên tục và a > 0 thỏa mãn: f ( x ) > 0 và f ( x ) . f ( a − x ) = 1 với mọi a

H

dx theo a. f x + 1 ( ) 0

TR ẦN

x ∈ [ 0; a ] . Tính I = ∫

Hướng dẫn giải

00

B

Đặt x = a − t thì dx = − dt

10

Khi x = 0 ⇒ t = a, x = a ⇒ t = 0 , ta có: 0

C

ẤP

2+

3

a a f ( t ) dt dt dt =∫ =∫ I = −∫ 1+ f (a − t) 0 1+ 1 1 + f (t ) a 0 f (t )

a f ( t ) dt a dt nên 2 I = I + I = ∫ + = dt = a 1 + f ( t ) ∫0 1 + f ( t ) ∫0 0

Í-

H

Ó

A

a

a . 2

ÁN

Vậy I =

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

2

ẠO

0

Đ

1

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

TP .Q

Xác định k để

Y

1

∫

TO

Bài toán 7.22: Tính:

∫

b) J = sin 4 xdx

ID Ư

Ỡ N

G

a) I = sin 3 x cos 2 xdx

BỒ

a) I =

Hướng dẫn giải

1 1 1  x + x dx = − x + sin sin 5 cos cos 5 x  + C ( )  ∫ 2 2 5 

b) sin 4 x =

1 1 2 (1 − cos 2 x ) = (1 − 2 cos 2 x + cos2 2 x ) = 4 4

13 1   − 2 cos 2 x + cos 4 x  4 2 2 

Trang 15 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

13 1   x − sin 2 x + sin 4 x  + C . 4 2 8 

nên J =

TP .Q

sin x cos 2 x cos x 1 + = = nên cos x sin 2 x cos x sin x sin 2 x

ẠO G

Đ

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

sin 4 x sin 3 x

1 1

1

1



∫ tan x + cot 2 x dx = − 4  − 9 cos9 x + cos x + 5 cos 5x + 3 cos3x  + C

TR ẦN

Vậy

H

Ư N

1 1 ( sin 4 x cos 5 x − sin 4 x cos x ) = − ( sin 9 x − sin x − sin 5 x − sin 3x ) 2 4

10

3

tan 5 x ∫ cos7 x dx

2+

tan 6 x dx b) Bài toán 7.24: Tìm: a) ∫ cos 4 x

00

B

2 x sin 2 x − cos 2 x + 1 − x 1 1   b) ∫ dx = ∫  2 + − 2  dx = 2 x + ln x + cot x + C 2 x sin x x sin x  

C

1 dx . Ta có: cos 2 x

Ó

A

a) Đặt u = tan x thì du =

ẤP

Hướng dẫn giải

Í-

H

tan 6 x tan 6 x 1 2 6 ∫ cos 4 x dx = ∫ cos2 x cos2 x dx = ∫ (1 + tan x ) tan x ( tan x ) ' dx

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

sin 4 x sin 3x 1 = sin 4 x sin 3 x sin 2 x = − sin 4 x ( cos5 x − cos x ) tan x + cot 2 x 2 =

N U

Y

Hướng dẫn giải

H Ơ

2 x sin 2 x − cos 2 x + 1 − x dx b) ∫ x sin 2 x

sin 4 x sin 3 x a) ∫ dt tan x + cot 2 x

a) tan x + cot 2 x =

N

Bài toán 7.23: Tính:

u9 u7 tan 9 x tan 7 x + +C = + +C 9 7 9 7

TO

ÁN

= ∫ (1 + u 2 ) u 6 du =

1 sin x dx . Ta có: thì du = cos x cos 2 x

Ỡ N

G

b) Đổi biến u =

BỒ

ID Ư

2 sin x tan 5 x 1 2 dx x dx = tan ( ) ∫ cos7 x ∫ cos6 x cos 2 x

∫ u (u 6

2

2

− 1) du = ∫ ( u10 − 2u 8 + u 6 ) du

u11 2u 9 u 7 1 2 1 = − + +C = − + +C 11 9 11 9 7 11cos x 9cos x 7 cos7 x Trang 16

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Bài toán 7.25: Tính: a) I =

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

cos x

∫ cos x + sin x dx

∫

b) E = cos 2 x.cos3 xdx

N

2

U

1 ( x + ln cos x + sin x ) + C . 2

∫

1 3

∫

b)

Đ

00 10

∫

Bài toán 7.26: Tính: a) cot 5 xdx

B

1 1 1 sin 5 x + sin 3x + sin x + C 20 6 4 cot x

∫ 1 + sin

dx

3

Suy ra E =

G Ư N H

1 1 sin 5 x + sin x + C2 10 2

9

x

2+

=

1 ( cos 5 x + cos x ) dx 2∫

TR ẦN

E − F = ∫ cos 2 x.cos3 xdx =

ẤP

Hướng dẫn giải

xdx = ∫

C

cos sin 5

A

5

2

Ó

∫ cot

2

(1 − sin x ) d ( sin x ) x dt = ∫ x sin x 5

H

a)

5

Í-

2 1  1 1  1 = ∫ 5 − 3 + + 2 + ln sin x + C  d ( sin x ) = − 4 4sin x sin x  sin x sin x sin x 

ÁN

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

b) Xét F = sin 2 x.cos3 xdx thì: E + F = cos3 xdx = sin 3 x + C1

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

Suy ra I =

Y

cos x − sin x dx = ln cos x + sin x + C2 cos x + sin x

TP .Q

I−J =∫

H Ơ

sin x

∫ cos x + sin x dx = ln cos x + sin x + C

ẠO

a) Xét J =

N

Hướng dẫn giải

G

TO

d ( sin 9 x ) cot x cos x.sin 8 x 1 b) ∫ dx = ∫ 9 dx = ∫ 9 1 + sin 9 x 9 sin x (1 + sin 9 x ) sin x (1 + sin 9 x )

ID Ư

Ỡ N

9 9 1 d ( sin x ) 1 d ( sin x ) 1 sin 9 x = ∫ − = +C ln 9 sin 9 x 9 ∫ sin 9 x + 1 9 1 + sin 9 x

∫

BỒ

Bài toán 7.27: Tính: a) I = x 2 cos 2 xdx

∫

b) J = sin xdx Hướng dẫn giải

a) Đặt u = x 2 , v ' = cos 2 x . Khi đó u ' = 2 x, v =

1 sin 2 x . 2 Trang 17

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

1 2 1 1 x sin 2 x − ∫ x sin 2 xdx = x 2 sin 2 x + ∫ xd ( cos 2 x ) 2 2 2

I=

H Ơ

N

1 2 1 1 x sin 2 x + x cos 2 x − sin 2 x + C . 2 2 4

N

x ⇒ x = t 2 ⇒ dx = 2dt

)

= 2 ( −t cos t + sin t ) + C = 2 − x cos x + sin x + C

0

∫ ( sin 0

Hướng dẫn giải

x − cos 7 x ) dx

TR ẦN

π

π

π

7

Đ

b) D =

Ư N

a) C = cos x.sin 8 xdx

H

∫

2

G

π /2

π

1 2 a) Xét I = ∫ sin x.sin 8 xdx thì C + I = ∫ sin 8 x = − cos 9 x = 9 9 0 0 0 π

π

0

0

B

2

∫ cos

ID Ư

Ỡ N

Bài toán 7.29: Tính: a)

a) Đặt t = tan

BỒ

π /2

xdx ⇒ D =

G

0

7

TO

=

3

2+

C

π /2

π

A

π  sin xdx = − ∫ sin  − t  dt = 2  π 7

Í-

0

0

7

-L

∫

2

− t thì dx = − dt , x = 0 ⇒ t =

H

π /2

π

Ó

b) Đặt x =

π /2

∫ 0

∫ ( sin

7

π

1  cos10 x cos 6 x  1 + −  =0⇒C = 2 10 6 0 9

ẤP

π

1 = ∫ ( sin10 x − sin 6 x ) dx = 20

10

00

C − I = ∫ ( cos 2 x − sin 2 x ) sin 8 xdx = ∫ cos 2 x sin 8 xdx

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

Bài toán 7.28: Tính:

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

(

)

Y

(

J = ∫ sin t.2t.dt = 2 ∫ t.sin t.dt = 2 −t cos t + ∫ cos tdt

U

b) Đặt t =

TP .Q

=

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

2

,x =

π 2

⇒t = 0.

π /2

∫ cos

7

tdt

0

x − cos7 x ) dx = 0 .

0

π

dx sin 4 x b) ∫ dx 1 + cos x 1 + sin x 0 Hướng dẫn giải

x 1 ⇒ dt = 1 + tan 2 2 2

Khi x = 0 thì t = 0; x =

π 2

x 2dt  dx ⇒ dx = 2 1+ t2

thì t = 1 . Trang 18

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn π /2

∫ 0

1

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

1

dx 2 1+ t2 =∫ . dt = ∫ dt = 1 1 + cos x 0 1 + t 2 2 0

π

H Ơ

π

Y

π

π

U

sin 4 x sin 4 x = 0 ⇒ dx ∫0 1 + sin x ∫0 1 + sin x dx = 0

TP .Q

Do đó 2

N

sin 4 x − sin 4 x sin 4t sin 4 x ∫0 1 + sin x dx = −π∫ 1 + sin t dt = −∫0 1 + sin t dt = −∫0 1 + sin x dx

sin 2 x + 2 cos x cos 2

∫ 0

b) B =

∫ 0

B

00

π /6

∫ 0

dx π 1 . Khi x = 0 thì t = 0, x = thì t = 2 cos x 6 3

∫ 0

1/ 3 4

∫ 0

t −1+1 dt = 1− t2

H

B=

t4 dt = 1− t2

Í-

1/ 3

Ó

A

Đặt t = tan x thì dt =

tan 4 x dx (1 − tan 2 x ) cos2 x

10

tan 4 x dx = cos 2 x

3

π /6

2+

0

ẤP

∫

π /2 d (1 + cos x ) π /2 sin xdx =−∫ = − ln (1 + cos x ) 0 = ln 2 1 + cos x 1 + cos x 0

C

π /2

H

TR ẦN

x = sin 2 x + cos x (1 + cos x ) = 1 + cos x . 2

a) sin 2 x + 2 cos x cos 2 nên A =

tan 4 x dx cos 2 x

Đ

x 2

Hướng dẫn giải

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

0

b) B =

G

∫

π /6

sin xdx

Ư N

π /2

a) A =

ẠO

Bài toán 7.30: Tính

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

0

π

N

b) Đặt x = π − t thì dx = − dt , khi x = 0 thì t = π , x = π thì t = 0 .

1/ 3

TO

ÁN

 t3 1 t +1  =  − − t + ln  2 t −1  0  3

1/ 3

∫ 0

 2 1 1  −  −t − 1 + dt 2 (1 + t ) 2 ( t − 1)  

1 10 = ln 2 + 3 − 2 9 3

(

)

Ỡ N

G

Bài toán 7.31: Tính: π /2

∫ 0

BỒ

ID Ư

a) I =

π /2

cos xdx 13 − 7 sin x − cos 2 x

b) J =

dx

∫ ( 2sin x + cos x )

2

0

Hướng dẫn giải

a) Đặt t = sin x ⇒ dt = cos xdx, x = 0 ⇒ t = 0, x =

π 2

⇒ t = 1. Trang 19

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

1  t−4  1 = ∫ −  dt = ln t −4 t −3 t −3 0

1

= ln 0

9 8

1  2  sin x + cos x  = 5 sin ( x + α ) 5  5 

U TP .Q

2

Y

b) Ta có 2sin x + cos x = 5  2

2

0

0

1 1  1 = −  − − 2 = 5 2  2

Đ

π /2

G

1

dx

∫ 5sin ( x + α ) = − 5 cot ( x + α )

π /2

π

1

TR ẦN

3sin x + cos x + 3 a) K = ∫ dx sin x + 2cos x + 3 0

H

Bài toán 7.32: Tính: b) L =

∫ cos x + 2 dx 0

00

B

Hướng dẫn giải

3

2+

= ( A − 2 B ) sin x + ( 2 A + B ) cos x + 3 A

10

a) Xét 3sin x + cos x + 3 = A ( sin x + 2cos x + 3) + B ( cos x − 2sin x )

ẤP

Đồng nhất thì A − 2 B = 0, 2 A + B = 0,3 A = 3 nên A = 1, B = −1 , do đó: π

Ó

A

C

π cos x − 2sin x   ln sin 2cos 3 = − + + = π − ln 5 K = ∫ 1 − dx x x x ( )  0 sin x + 2cos x + 3  0

1 2  1 + tan 2

H

x ⇒ du = 2

Í-

b) Đặt u = tan

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

J=

Ư N

π /2

ẠO

2 1  2   1  Vì  = cos α , = sin α  +  = 1 nên có số α để 5 5  5  5

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

1

N

0

1

H Ơ

∫

I=

1

cos xdx dt dt =∫ 2 =∫ 2 sin x − 7 sin x + 12 0 t − 7t + 12 0 ( t − 3)( t − 4 )

N

π /2

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

x 2du  dx ⇒ dx = 2 1+ u2

( ) ( )

1 1 d 3u 1 2du 1 du π 3 L=∫ . = 2 = = . 2 2 2 2 ∫ ∫ 1− u 1+ u 9 u + 3 2 3 0 3u + 1 0 0 +2 1+ u2

G

TO

ÁN

π

Ỡ N

Bài toán 7.33: Tính: π /2

ID Ư

2π

a) A =

∫

1 − cos 2 xdx

b) B =

0

BỒ

0

3sin 2 x − 2cos x dx 8sin x + 1

Hướng dẫn giải 20

a) A =

∫

∫ 0

2π

2sin xdx = 2 ∫ sin x dx 2

0

Trang 20 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

2π π  π 2π = 2  ∫ sin xdx − ∫ sin xdx  = 2 ( − cos x ) 0 + cos x π = 4 2 π 0 

)

(

2cos x ( 3sin x − 1)

∫

8sin x + 1

0

H Ơ N Y U

3

3

1 1 1 dx = ∫ ( 3t 2 − 11) dt = ( t 3 − 11t ) = 16 1 16 4 1

ẠO

B=

⇒t =3

α

π

G

x sin x ∫0 1 + cos 2 x dx

Ư N

b) F =

H

a)

( sin x ) E= ∫ α α dx sin x + cos x ) ( ) π /3 ( π 2

− t ⇒ dx = − dt ; x = 0 ⇒ t =

π 2

,x =

α

2

⇒t =0

α

00

π /2 ( cos t ) ( cos x ) E=−∫ dt = α α α α dx ∫ cos + + t sin t sin x cos x ) ( ) ) ( ) 0 ( π /2 (

π

π

∫ dx = 2 ⇒ E = 4 .

ẤP

Do đó E + E =

2+

π /2

3

10

0

π

B

a) Đặt x =

TR ẦN

Hướng dẫn giải

0

(π − t ) sin t dt = π π

π

0

π

H

1 + cos t

sin t

∫ 1 + cos

2

Í-

2

Ó

0

F = −∫

A

C

b) Đặt x = π − t ⇒ dx = − dt , x = 0 ⇒ t = π , x = π ⇒ t = 0 .

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

π /2

Đ

Bài toán 7.34: Tính

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

π /2

2

TP .Q

π

Khi x = 0 ⇒ t = 1, x =

N

1 t 2 −1 b) Đặt t = 8sin x + 1 ⇒ sin x = ⇒ cos x.dx = tdt 8 4

t

dt − J

1

TO

ÁN

sin t 1 Do đó 2 J = π ∫ dt = ∫ du 2 1 + cos t 1+ u2 0 −1

Ỡ N

G

Đặt u = tan t thì tính được F =

π2 4

.

ID Ư

Bài toán 7.35: Tính:

BỒ

a) C =

π /2

2 ∫ ( 2 x − 1) cos xdx

π /2

b) D =

0

∫ ( x + sin x ) cos xdx 2

0

Hướng dẫn giải

Trang 21 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

0

π /2

0

0

π /2

π /2

1



∫ ( 2 x − 1) dx + ∫  x − 2  cos 2 xdx π /2

 1

π π

∫ sin 2 xdx = 4  2 − 1 − 2 0

N

1 1 1 1 = ( 2 x − 1) +  x −  − 4 2 20 2 0 π /2

∫ ( x + sin x ) d ( sin x )

Y

2

U

b) D =

(( x + sin x ) sin x )

π /2

π /2

−

0

∫ (1 + 2sin x.cos x ) sin xdx 0

π /2

2

Ư N

G ∫

b) J =

xdx

0

x sin xdx

TR ẦN

∫ x tan

H

π 2 /4

π /4

Bài toán 7.36: Tính: I =

Đ

2 π 2 π  =  + 1 + ( cos x ) − ( sin 3 x ) = − . 3 2 3 2  0 0

0

Hướng dẫn giải

π /4

π /4

xd ( tan x ) −

0

∫

∫

xdx = x tan x x −

0

x ⇒ x = t 2 ⇒ dx = 2dt .

B 00 10

0

π /4

π /4

0

x2 tan xdx − 2

π /4

= x

π 4

+ ln

2 π2 − 2 32

C

b) Đặt t =

∫ xdx

Khi x = 0 ⇒ t = 0, x =

π2

A

∫

0

Ó

=

∫

π /4

3

0

xdx − cos 2 x

2+

∫

π /4

⇒t =

H

a) I =

 1  x − 1dx = 2  cos x 

ẤP

π /4

4

π

2

π /2

nên J = 2

∫ t .sin tdt 3

0

Í-

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

π /2

ẠO

=

2

TP .Q

0

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

∫

π /2

N

a) C =

1 + cos 2 x 1 dx = ( 2 x − 1) 2 2

H Ơ

π /2

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ÁN

-L

Đặt u = t 3 , dv = sin tdt . Khi đó du = 3t 2 dt , v = − cos t

J = 2 ( −t cos t )

π /2 0

π /2

π /2

+ 6 ∫ t cos tdt = 6 ∫ t 2 cos tdt 2

0

0

G

TO

3

Ỡ N

Áp dụng tích phân từng phần 2 lần nữa thì J = 3 (π − 4 ) .

BỒ

ID Ư

Bài toán 7.37: Tính: 1

x cos 5 x dx a) A = ∫ 2 x 3 + tan −1

π /6

b) B =

∫ 0

sin 2 x dx sin x + 3 cos x

Hướng dẫn giải a) Đặt x = −t thì dx = − dt , x = −1 ⇒ t = 1, x = 1 ⇒ t = −1 . Trang 22 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn −1

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

1

−t cos5t x cos 5 x A = −∫ dt = − ∫ dx = − A ⇒ A = 0 2 2 3 + tan t 3 + tan x 1 −1

π  sin  x +  6 

π /6

0

0

N

)

3 cos x dx = 1 − 3

H TR ẦN

3 1− 3 ln 3 + 16 4

B

π /2

10

00

∫ max {sin x,cos x} dx ∫

ẤP

0

t t .cos 2 dt = π . 4 4

2+

x

b) Giải phương trình: sin 2

Hướng dẫn giải

C π /4

π /2

A

π /2

Ó

∫ max {sin x;cos x} dx = ∫ cos xdx + π∫ sin xdx

H

a)

3

0

0

0

/4

Í-

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

∫ ( sin x −

Bài toán 7.38: a) Tính

N

1 = ln 3 4

0

nên B =

  π  d  tan  x +   π 6   tan  x +    6  1

∫

π /6

và B − 3C =

H Ơ

π /6

Đ

1 π  = ln tan  x +  2 6 

1 2

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

0

=

Y

∫

dx

U

π /6

TP .Q

1 2

B+C =

ẠO

0

G

∫

cos 2 x , ta có sin x + 3 cos x

Ư N

π /6

b) Xét C =

x

TO

ÁN

-L

 2   π /4 π /2 2 = ( sin x ) 0 − ( cos x ) π /4 =  − 0 − 0 − = 2 2 2     x

x

t t 1 t 1 b) ∫ sin .cos 2 dt = ∫ sin 2 dt = ∫ (1 − cos t ) dt 4 4 40 2 80 0

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

2

x

1 1 = ( t − sin t ) = ( x − sin x ) . 8 8 0

Phương trình

1 ( x − sin x ) = π ⇔ x − sin x = 8π ⇔ x = 8π . 8

Bài toán 7.39: Tìm hàm số y = f ( x ) biết: Trang 23 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

(

)

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

3

a) dy = 12 x 3x 2 − 1 dx và f (1) = 3

N

b) y ' = sin 7 x.cos 3 x và f (π ) = 79 .

H Ơ

Hướng dẫn giải

N

a) Đặt u = 3x 2 − 1 thì du = 6 xdx nên 12 xdx = 2du . 4

U 4

−5.

2

G Ư N

00

B

sin 8 x sin10 x − + 79 . 8 10

10

Vì f (π ) = 79 nên C = 79 . Vậy f ( x ) =

TR ẦN

t 8 t10 sin 8 x sin10 x = ∫ ( t − t ) dt = − + C = − +C 8 10 8 10 9

H

f ( x ) = ∫ y ' dx = ∫ sin 7 x (1 − sin 2 x ) cos xdx = ∫ t 7 (1 − t 2 ) dt

3

Bài toán 7.40: Tính I n theo I n −2 , n ≥ 3 .

∫

∫

b) I n = sin n xdx, n ∈ ℕ*

ẤP

2+

a) I n = tan n xdx, n ∈ ℕ*

C

Hướng dẫn giải

∫

∫

(

)

Ó

A

a) Với n ≥ 3 : I n = tan n− 2 x tan 2 xdx = tan n − 2 x tan 2 x + 1 − 1 dx

H

1 tan n −1 x − I n − 2 . n −1

Í-

= ∫ tan n− 2 xdx ( t ) − I n− 2 =

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

b) Đặt t = sin x thì dt = cos xdx

7

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

− 1)

TP .Q

2

ẠO

( 3x f ( x) =

Đ

Vì f ( t ) = 8 + C = 3 nên C = −5 . Vậy

Y

3 x 2 − 1) ( u4 3 f ( x ) = ∫ dy = ∫ 2u du = +C = +C 2 2

∫

∫

ÁN

b) I n = sin n−1 x.sin xdx = − sin n −1 xd ( cos x )

G

TO

= − sin n−1 x.cos x + ( n − 1) ∫ sin n− 2 x.cos 2 xdx

Ỡ N

= − sin n−1 x.cos x + ( n − 1) ∫ sin n− 2 x (1 − sin 2 x ) dx

BỒ

ID Ư

= − sin n−1 .cos x + ( n − 1) I n −2 − ( n − 1) I n 1 n

Do đó I n = − sin n −1 x.cos x +

n −1 I n−2 . n

1

∫

n

Bài toán 7.41: Đặt I ( m,n ) = x m (1 − x ) dx, m, n ∈ ℕ* 0

Trang 24 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

1

∫

n

Chứng minh I ( m,n ) = x m (1 − x ) dx, m > 0, n > 1 . 0

0

( x2 + a2 )

n

Ư N

G

1 1 2n − 3 .I n −1 . + 2. n 2 n −1 a 2n − 2 ( n − 1) 2 .a

xdx

(x

)

+a

)

−x 2 ( n − 1) ( x 2 + a 2 n

)

1 .I n −1 ⇒ đpcm. 2 ( n − 1)

0

dx, n ∈ ℕ . Tính I n và suy ra hệ thức:

-L

Í-

∫ (1 − x ) 0

+

2 n −1

H

1

Bài toán 7.43: Đặt I n =

−1 1 . 2 ( n − 1) ( x 2 + a 2 ) n−1

ẤP

2

=

C

(x

2 n

A

0

x dx

n

Ó

∫

+ a2 )

. Khi đó du = dx, v =

2 n

a 2

2

10

+a

0

3

2

∫

2+

(x

x 2 dx

a

B

a

00

1 x2 + a2 − x2 1 1 In = 2 ∫ = 2 I n −1 − 2 n a 0 ( x2 + a2 ) a a

TR ẦN

Hướng dẫn giải

Đặt u = x, dv =

U

, với a > 0, n ∈ ℕ, n ≥ 2 .

H

Chứng minh I n =

dx

TP .Q

∫

Đ

Bài toán 7.42: Đặt I n =

ẠO

a

a

H Ơ

1

x m +1 n n n n −1 I ( m+1,n −1) = x m +1 (1 − x ) dx = (1 − x ) + ∫ m +1 m 1 m 1 + + 0 0

I ( m,n )

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

x m +1 ,v = m +1

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

1

n −1

N

Đặt u = (1 − x ) , dv = x dx . Khi đó du = −n (1 − x ) m

Y

n

N

Hướng dẫn giải

n

TO

ÁN

( −1) C n = 2.4...( 2n ) 1 0 1 1 1 2 1 3 Cn − Cn + Cn − Cn + ... + n 1 3 5 7 2n + 1 3.5... ( 2n + 1)

Ỡ N

G

Hướng dẫn giải

(

BỒ

ID Ư

Với n ≥ 1 , đặt u = 1 − x 2 1

I n = ∫ (1 − x

2 n

)

0 1

)

n

dx = x (1 − x

và dv = dx thì: 1 2 n

)

0

1

n −1

+ ∫ 2nx 2 (1 − x 2 ) dx 0

n −1

= 0 − 0 + 2n ∫ ( x 2 − 1 + 1)(1 − x 2 ) dx = −2nI n + 2nI n −1 nên 0

Trang 25 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

2n 2n 2n − 2 2n 2n − 2 2 I n−1 = . I n − 2 = ... = . ... I 0 2n + 1 2n + 1 2n − 1 2n + 1 2n − 1 3 2.4... ( 2n ) 3.5...( 2n + 1)

N

)

k =0

1

n

Y

2 k

dx = ∑ ( −1) .C .∫ x 2 k .dx k

k n

k =0

U

I n = ∫ ∑ C .( − x k n

TP .Q

n

N

Khai triển nhị thức dưới dấu tích phân:

0

1

k

n  x 2 k +1  ( −1) .C k = ∑ ( −1) .C   =∑ n k =0  2k + 1  0 k =0 2k + 1 k

ẠO

k n

Đ

n

∫ cos

G

xdx, n ∈ ℕ* . Tính I n theo I n −2 , n ≥ 3 và suy ra

n

π 2 ( n + 1)

< In <

π 2n

00

B

0

x.cos xdx =

n −1

x.d ( sin x )

0

0

π /2

+ ( n − 1)

0

4 4 2 8 n −1 I n− 2 Suy ra: I 5 = .I 3 = . I1 = n 5 5 3 15

TO

n = 2m ⇒ I 2 m =

2m − 1 2m − 1 2m − 3 1 π . ... . I 2 m −2 = ... = 2m 2m 2m − 2 2 2

Ỡ N

G

x (1 − cos 2 x ) dx = ( n − 1) ( I n − 2 − I n )

-L

0

n−2

x.sin 2 xdx

Í-

∫ cos

n −2

H

π /2

= 0 + ( n − 1)

∫ cos

C

x

π /2

Ó

= x cos

n −1

ẤP

0

∫ cos

3

∫ cos

A

In =

π /2 n −1

2+

π /2

10

Hướng dẫn giải

Do đó: I n =

ID Ư

n = 2m + 1 ⇒ I 2 m+1 =

BỒ

Ư N

TR ẦN

π /2

Bài toán 7.44: Đặt I n =

H

n

( −1) C n = 2.4...( 2n ) 1 0 1 1 1 2 1 3 Cn − Cn + Cn − Cn + ... + n 1 3 5 7 2n + 1 3.5... ( 2n + 1)

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

So sánh thì ta có điều phải chứng minh:

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

Mà I 0 = 1 nên có: I n =

H Ơ

In =

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

2m 2m 2m − 2 2 . ... I 2 m−1 = ... = 2m + 1 2m + 1 2m − 1 1

Xét dãy f ( n ) = ( n + 1) I n .I n +1 thì f ( n + 1) = f ( n ) ⇒ f ( n ) = f ( 0 ) =

Do đó ( n + 1) I n .I n +1 =

π 2

, nI n −1.I n =

π 2

π 2 Trang 26

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

π 2

π

> nI n2 ⇒ I n <

2n

2 ( n + 1) ⇒ đpcm.

N

Và I n −1 > I n ⇒

2

π

< ( n + 1) I n2 ⇒ I n >

H Ơ

π

Mà I n > I n +1 ⇒

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Y

N

Bài toán 7.45: Cho hàm số f liên tục trên [ a; b ] . Chứng minh rằng tồn tại điểm c ∈ [ a; b ] sao cho b

ẠO

Hướng dẫn giải

[ a; b] .

Ta có

b

b

b

a

a

a

a

TR ẦN

∫ mdx ≤ ∫ f ( x ) dx ≤ ∫ Mdx ⇒ m ( b − a ) ≤ ∫ f ( x ) dx ≤ M ( b − a )

H

b

Ư N

G

m ≤ f ( x ) ≤ M ∀x ∈ [ a; b ] nên:

b

1 f ( x ) dx . b − a ∫a

00

B

Vì f là hàm liên tục nên tồn tại c ∈ [ a; b ] để f ( c ) =

10

Bài toán 7.46: Chứng minh: Nếu f, g liên tục trên [ a; b ] thì:

3

2

ẤP

2+

b b  b 2 2  ∫ f ( x ) g ( x ) dx  ≤ ∫ f ( x ) dx.∫ g ( x ) dx a a  a

A

C

Hướng dẫn giải

2

H

Ó

Ta có ( yf ( x ) + g ( x ) ) ≥ 0, ∀y

Í-

⇒ y 2 . f 2 ( x ) + 2 y. f ( x ) g ( x ) + g 2 ( x ) ≥ 0, ∀y nên

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Đ

Giả sử m và M tương ứng là giá trị bé nhất và lớn nhất của hàm số f trên

b

b

b

a

ÁN

∫ f ( x ) dx + 2 y ∫ f ( x ) g ( x )dx + ∫ g ( x ) ≥ 0, ∀y 2

TO

y

2

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

TP .Q

U

1 f ( x ) dx = f ( c ) . b − a ∫a

2

a

a 2

Ỡ N

G

b b  b 2 Do đó ∆ ' =  ∫ f ( x ) g ( x )dx  − ∫ f ( x ) dx.∫ g 2 ( x ) dx ≤ 0 ⇒ đpcm. a a  a

ID Ư

Bài toán 7.47: Chứng minh rằng:

BỒ

a) 54 2 ≤

11

∫(

−7

)

x + 7 + 11 − x dx ≤ 108

Trang 27 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn 3

b) 0 <

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

π e − x sin x dx < 2 x +1 12e

∫ 1

N

Hướng dẫn giải

N

H Ơ

x + 7 + 11 − x trên [ −7;11]

U

Y

1 1 11 − x − x + 7 − = 2 x + 7 2 11 − x 2 ( x + 7 )(11 − x )

−7





3

Do đó 0 <

e − x sin x 1 dx < 2 x +1 e

∫ 1

3

∫x 1

π 1 dx = . +1 12e

2

10

00

Bài toán 7.48: Chứng minh:

x2 xn a) e > 1 + x + + ... + , ∀x > 0 2! n! n

2+

< 1 − ln 2, ∀m ∈ ℕ, m > 1

Hướng dẫn giải

H

a) Ta chứng minh quy nạp.

Ó

A

n =1

ẤP

∑ n ( n + 1) .2

C

1

m

3

x

b)

G

e − x sin x e −1 1 < = 2 2 x +1 x + 1 e ( x 2 + 1)

Ư N

b) ∀x ∈ 1; 3  ⇒ 0 <

Đ

∫ f ( x ) dx ≤ ∫ 6dx ⇒ đpcm.

Í-

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

−7

H

2dx ≤

−7

11

TR ẦN

∫3

Do đó

11

B

11

ẠO

f ' ( x ) = 0 ⇔ x = 2 . Lập BBT thì 3 2 ≤ f ( x ) < 6, ∀x ∈ [ −7;11]

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

Với −7 < x < 11 thì f ' ( x ) =

TP .Q

a) Xét f ( x ) =

x

∫

x

∫

Khi n = 1 BĐT: e > 1 + x, ∀x > 0 : Đúng vì e > 1, ∀y ∈ ( 0; x ) ⇒ e dy > dy ⇒ e x − 1 > x .

ÁN

-L

x

y

0

y

0

TO

Giả sử BĐT đúng khi n = k . Ta chứng minh BĐT đúng khi n = k + 1.

x2 xk Vì e > 1 + x + + ... + , ∀x > 0 2! k!

ID Ư

Ỡ N

G

x

BỒ

nên e y > 1 + y +

y2 yk + ... + , ∀y ∈ ( 0; x ) 2! k!

 y2 yk  ⇒ ∫ e dy > ∫ 1 + y + + ... +  dy 2! k!  0 0 x

x

y

Trang 28 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

x 2 x3 x k +1 ⇒ e − 1 > x + + + ... + : đpcm. 2! 3! ( k + 1)! x

N

1 − x k +1 1 < 1− x 1− x

H Ơ

b) Với k ∈ ℕ* , x ∈ ( 0;1) : 1 + x + x 2 + ... + x k =

+ ... +

0

Y

1 k +1 y < − ln (1 − y ) k +1

z

G Ư N

TR ẦN

B

1 và k = m − 1 thì được đpcm. 2 n

Bài toán 7.49: Xác định đa thức f ( x ) =

∑a

k

00

Chọn z =

H

1 2 1 3 1 z + z + ... + .z k + 2 < z + (1 − z ) ln (1 − z ) k ( k + 1) 1.2 2.3

cos kx biết rằng f ( x ) = 0, ∀x ∈ [ 0; 2π ]

10

⇒

Đ

1 2 1 k +1   ∫0  y + 2 y + .... + k + 1 y dy < ∫0 ( − ln (1 − y ) ) dy

3

k =1

2+

Hướng dẫn giải

2π

∫ cos ( p + q ) x + cos ( p − q ) x dx 0

H

Ó

0

1 2

C

∫ cos px.cos qxdx =

A

2π

I=

ẤP

Với các số nguyên p, q ta có:

Í-

nếu p ≠ q thì I = 0 , nếu p = q thì I = π n

Vì f ( x ) =

∑a

k

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

z

ẠO

Tiếp tục với mọi z ∈ ( 0;1) ta có:

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

0

2

U

1

dx

∫ (1 + x + ... + x ) dx < ∫ 1 − x ⇒ y + 2 y k

TP .Q

1

y

N

Do đó với mọi y ∈ ( 0;1) , ta có:

cos kx = 0, ∀x ∈ [ 0; 2π ]

TO

2π

⇒0=

ÁN

k =1

∫ f ( x ) .cos pxdx = a .π k

với p = k , k = 1, 2,..., n

Ỡ N

G

0

ID Ư

Do đó tất cả các hệ số ak = 0 . Vậy f ( x ) = 0 .

BỒ

3. BÀI LUYệN TậP

Bài tập 7.1: Tìm:

∫

11

a) A = x ( x − 3) xdx

∫

b) B = x ( ax + b ) dx , a ≠ 0 Hướng dẫn giải Trang 29

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn 13

( x − 3)

a) Đổi biến t = x − 3 . Kết quả

13

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com 12

( x − 3) +

+C

4

H Ơ U

Y

1 ( ax + b − ln ax + b ) + C a2

TP .Q

4

+ 3x2 + 2 )

1001

1  x2  a) Đổi biến t = x + 1 . Kết quả .  2002  x 2 + 1  2

(

)

ẠO

B 00

( )

+C

5 ln ( x 2 + 2 ) + C 2

9

3

dx b) ∫ x3 (1 + x 4 ) dx

ẤP

∫ ( 2 x + 1)

Hướng dẫn giải

C

Bài tập 7.3: Tính: a)

2+

3

10

3 2

b) Kết quả − ln x 2 + 4ln x 2 + 1 −

Đ

TR ẦN

Hướng dẫn

G

∫ x( x

b) I =

1002

( x2 + 1)

Ư N

∫

2 ( x 2 − 3) dx

H

Bài tập 7.2: Tính a) I =

x 2001dx

A

1 10 ( 2 x + 1) + C 20

4 1 1 + x4 ) + C ( 16

ÁN

b) Kết quả

Í-

H

Ó

a) Đổi biến t = 2 x + 1 . Kết quả

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

α +2 α +1 ax + b )  ( 1  ( ax + b ) Khi α ≠ −2, −1 thì B = 2  + +C a  α + 2 α + 1 

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

Khi α = −1 thì B =

1  1  + ln ax + b  + C 2  a  ax + b 

N

Kết quả Khi α = −2 thì B =

N

b) Đổi biến t = ax + b .

1

∫ 0

2

5x

(x

2

+ 4)

2

dx b) B = ∫ 1

G

TO

Bài tập 7.4: Tính: a)

ID Ư

Ỡ N

Hướng dẫn

BỒ

a) Đổi biến t = x 2 + 4 . Kết quả b) Kết quả

x9 dx x10 + 4 x5 + 4

1 8

1  34 31   ln −  . 5  3 51 

∫

∫

Bài tập 7.5: Tính: a) I = cos5 x cos 7 xdx b) J = cos3 xdx Trang 30 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Hướng dẫn

cos 2 x

N

sin x cos x a 2 sin 2 x + b 2 cos 2 x

Y

∫

dx, a 2 ≠ b 2

Hướng dẫn

ẠO

a) Đổi biến t = cos x thì dt = − sin xdx

Đ G Ư N

1 a 2 sin 2 x + b 2 cos 2 x + C 2 a −b 1

∫ sin

Bài tập 7.7: Tính a)

3

x

b)

dx

H

2

x

∫ sin

2

x

TR ẦN

b) Kết quả

dx

B

Hướng dẫn

10

C

ẤP

b) Kết quả − x cot x + ln sin x + C π /3

A

b)

∫ sin

2

x tan xdx

0

Í-

/4

xdx

Ó

∫ tan π

π /3

3

H

Bài tập 7.8: Tính: a)

3

1 x cos x +C ln tan − 2 2 2sin 2 x

2+

Kết quả

00

a) Nhân chia thêm sin x và đổi biến t = cos x .

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Kết quả −3 3 cos x + C

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

3

b)

dx

U

sin x

∫

Bài tập 7.6: Tính a)

H Ơ

1 3 sin 3x + sin x + C 12 4

TP .Q

b) Kết quả

11   sin12 x + sin 2 x  + C 46 

N

a) Biến đổi tích thành tổng. Kết quả

Hướng dẫn

1 ln 2 2

ÁN

a) Tách tan 2 x.tan x . Kết quả 1 −

3 8

TO

Ỡ N

G

b) Kết quả ln 2 −

∫ 0

π /2

sin xdx

(1 + cos x ) 2

BỒ

ID Ư

Bài tập 7.9: a) A =

π /2

a) Đổi biến t = cos x . Kết quả

5

b) B =

sin 2 xdx

∫ 3 + 4sin x − cos 2 x 0

Hướng dẫn

15 64 Trang 31

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn b) Kết quả ln 2 −

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

1 2

b) D =

2sin 2 x

∫

2

2

cos x + 4sin x

0

dx

U

Y

Hướng dẫn 2

Đ

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

ẠO

1 ln 2 2

Ư N

G

2 3 2

2x −1 x −1 dx ≤ ∫ dx a) ∫ 1 x x + 1 1

b)

π /2

TR ẦN

2

H

Bài tập 7.11: Chứng minh rằng:

π

14

≤

∫ 0

π dx ≤ 2 4 + 3cos x 8

3

10

x −1 2x −1 ≤ x x +1

2+

a) Chứng minh ∀x ∈ [1; 2] :

00

B

Hướng dẫn

1 1  π 1 ≤ . : ≤ 2   2  7 4 + 3cos x 4

C

+ 4 x + 3)

2

Ó

(x

và lập công thức truy hồi:

A

dx

3

H

∫

Í-

Bài tập 7.12: Tính J 3 =

ẤP

b) Chứng minh ∀x ∈ 0;

Jn = ∫

ÁN

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

b) Kết quả

TP .Q

a) Để ý 1 + sin 2 x = ( sin x + cos x ) và đổi biến t = sin x + cos x Kết quả

H Ơ

∫ π

π /2

sin x − cos x dx 1 + sin 2 x

N

5π /4

a) C =

N

Bài tập 7.10: Tính

TO G

4 ( x 2 + 4 x + 3)

ID Ư

BỒ

Và tách J n +1 =

∫

2

+

3( x + 2) 8 ( x + 4 x + 3) 2

dx

(x

2

(x

+ 4 x + 3)

2

n

Hướng dẫn

x+2

Ỡ N

J3 = −

dx

+ 4 x + 3)

n +1

=∫

+

x +1 3 +C ln 16 x + 3 1

(x

2

+ 4 x + 3)

n

.

1 dx x + 4x + 3 2

Trang 32 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

CHUYÊN Đề 8 - NGUYÊN HÀM HÀM VÔ Tỉ VÀ HÀM LÔGARIT

N

1. KIếN THứC TRọNG TÂM

H Ơ

Nguyên hàm vô tỉ:

Y

N

Với α ≠ −1 thì:

xα +1 uα +1 α ∫ x .dx = α + 1 + C ; ∫ u .u '.dx = α + 1 + C

TP .Q

U

α

m

b

x+m +

x+n

x +m

b

H

1

:Đặt t = x + x 2 + m

2

Í-

∫

Ó

a b

x +m

b

x 2 + mdx : Đặt u = x 2 + m , dv = dx

ÁN

∫

TO

a b

Ỡ N

G

∫ (α x + β )

ID Ư

a

b

∫ R ( x, a

b

∫ R ( x, a

G

C

k 2 − x 2 dx : Đặt x = k sin t hoặc k cos t

A

∫

Ư N

3

dx : Đặt u = x 2 + m

2+

a

px 2

ẤP

∫

10

a

a

BỒ

H

dx

∫ ( x + m )( x + n ) : Đặt t = b

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

a

TR ẦN

∫

x−k dx : trục căn ở tử x+k

B

b

00

a

dx : nhân hợp liên hiệp (trục căn ở mẫu) px + q + px + r

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

∫

a m = a n ,…

Đ

Các dạng tích phân vô tỉ: b

n

ẠO

Các biến đổi: chia tách, thêm bớt, khai triển, nhân chia lượng liên hợp, mũ phân số

dx

px 2 + qx + r

: Đặt t =

1 αx + β

)

k 2 − x 2 dx : Đặt x = k sin t hoặc k cos t

)

k 2 + x 2 dx : Đặt x = k tan t hoặc k cot t Trang 1

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

x 2 − k 2 dx : Đặt x =

∫ R  x;

αx+ β γ x +δ

n

a

 αx + β  dx : Đặt t = n γ x +δ 

N



b

H Ơ

a

k k hoặc sin t cos t

b

t

Y

2

U

∫ R ( x, ( x − α )( β − x ) )dx : Đặt x = α + ( β − α ) sin

)

∫ R ( x,

px 2 + qx + r = t + x p hoặc

a

px 2 + qx + r = t − x r

ẠO

px 2 + qx + r dx : Đặt

x

∫ e .u ' dx = e u

+c

ax ∫ a dx = ln a + c

TR ẦN

u

Các dạng tích phân từng phần:

B

b

dx : Đặt u = P ( x ) , dv = eα x dx

00

αx

+c

au ∫ a .u '.dx = ln a + c ( a > 0, a ≠ 1)

x

∫ P ( x ) .e

u

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

x

H

∫ e dx = e

Đ

Nguyên hàm mũ và lôgarit:

G

b

TP .Q

a

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

)

∫ R ( x,

N

b

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

10

a

α

.ln xdx : Đặt u = ln x, dv = xα .dx

ẤP

a b

.sin β xdx : Đặt u = eα x , dv = sin β xdx

A

αx

C

∫e

2+

∫x

3

b

Ó

a

∫e

.cos β xdx : Đặt u = eα x , dv = cos β xdx

Í-

αx

H

b

-L

a

TO

ÁN

2. CÁC BÀI TOÁN

∫(

)

x + 3 x dx

Ỡ N

G

Bài toán 8.1: Tính a)

∫(

ID Ư

BỒ

a)

b)

b)

∫ x(

3

)

x − 4 x + 1 dx

Hướng dẫn giải

1  12  2 32 3 34 3 x + x dx = ∫  x + x  dx = x + x + C 3 4  

∫ x(

3

3

)

3 1  56  6 116 4 47 4 23 4 2 x − x + 1 dx = ∫  x − x + 2 x  dx = x − x + x + C 11 7 3   4

)

Trang 2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài toán 8.2: Tính a)

∫

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

1   1 − 3  dx x x

x x+ x dx x2

∫

b) 

N

Hướng dẫn giải

Y

N

H Ơ

3 −   1 x x+ x 2 a) ∫ dx = ∫  + x 2  dx = 2 x − +C 2 x x  x 

TP .Q

U

1 −   1 1  3  1 − 3  dx = ∫  − x 3  dx = 2 x − 3 x 2 + C b) ∫  2 x  x  x 

dx x+3− x−4

b) J =

∫

dx , a ≠ 0, b ≠ c ax + b + ax + c

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

ẠO

∫

TR ẦN

H

Ư N

G

Đ

a) I =

Hướng dẫn giải

=

2 a (b − c )

(

B

3 2+ ẤP

)

ax + b − ax + c dx

C

(

( ax + b )

3

−

( ax + c )

A

1 b−c∫

10

3 3 2   2 + ( x − 4)2 + C x + 3 ( )   21  

3

Ó

b) J =

)

1 1 1   2 + ( x − 4 ) 2 dx 3 x + ( )   ∫ 7  

)+C

H

=

(

x + 3 + x − 4 dx =

00

1 7∫

a) I =

Í-

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Bài toán 8.3: Tính

∫

x 4 + x −4 + 2dx

ÁN

-L

Bài toán 8.4: Tính a) E =

∫

3

xdx x+2

TO

Hướng dẫn giải

2

G

∫ (x

2 1  1 1  + x −2 ) dx = ∫  x 2 + 2  dx = x 3 − + C 3 x  x 

Ỡ N

a) E =

b) F =

BỒ

ID Ư

b) F =

2 1 5 2 x+2−2 3 −   3 − 2 ( x + 2 ) 3 dx = 3 − 3( x + 2) 3 + C dx = x + x + 2 2 ( ) ( )  ∫ 3 x+2 ∫  5 

Bài toán 8.5: Tính: a) A =

∫ ( 2 x − 3)

x − 3dx

b) B =

1

∫1−

x

dx

Hướng dẫn giải Trang 3 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

x − 3 ⇒ x = t 2 + 3 ⇒ dx = 2t.dt

a) Đổi biến: Đặt t = 2

N

A = 2∫ ( 2t 2 + 3) dt = 2∫ ( 2t 4 + 3t 2 ) dt

N

H Ơ

3 4 2 = t 5 + 2t 3 + C = ( x − 3) 2 ( 2 x − 1) + C 5 5 2

U

(

x 1+ x

)

b)

2

∫

ẠO Đ

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

dx

1 2

x +9

G

∫

)

x + ln 1 − x + C

dx

Ư N

Bài toán 8.6: Tính: a)

(

TR ẦN

Hướng dẫn giải

00 10

∫

1+ x t 2 dt 1   dx = 2∫ 2 = 2 1 + 2  dt x t −1  t −1 

B

a) Đặt t = 1 + x ⇒ x = t 2 − 1 ⇒ dx = 2t.dt

C

1+ x −1 +C 1+ x +1

Ó

A

= 2 1 + x + ln

ẤP

2+

3

1   1 = 2∫ dt + ∫  −  dt = 2t + ln t − 1 − ln t + 1 + C  t −1 t +1

Í-

H

b) Đặt t = 1 + x ⇒ x = t 2 − 1 ⇒ dx = 2t.dt

ÁN

∫

1+ x t 2 dt 1   dx = 2∫ 2 = 2 1 + 2  dt x t −1  t −1 

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

= 2 ( t − ln t ) + C = −2

TP .Q

t −1  1 dt = 2 ∫ 1 −  dt t  t

H

Q = 2∫

Y

b) Đặt t = 1 − x ⇒ x = (1 − t ) ⇒ dx = −2 (1 − t ) dt

Ỡ N

G

TO

1   1 = 2∫ dt + ∫  −  dt = 2t + ln t − 1 − ln t + 1 + C  t −1 t +1

BỒ

ID Ư

= 2 1 + x + ln

1+ x −1 +C 1+ x +1



b) Đặt t = x + x 2 + 9 ⇒ dt =  1 +



  dx ⇒ x2 + 9  x

dx x2 + 9

=

dt t

Trang 4 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

x +9

=∫

dt = ln t + C = ln x + x 2 + 9 + C t 7/3

∫

Bài toán 8.7: Tính: a) K =

0

x +1 dx 3 3x + 1

3

∫

b) L =

2

dx x +1 − x −1

Y

N

Hướng dẫn giải

t3 −1 a) Đặt t = 3 x + 1 ⇒ x = ⇒ dx = t 2 dt 3

TP .Q Đ Ư N

G a /2

a

Bài toán 8.8: Tính: a) A =

∫

2

2

a − x dx

b) B =

∫ 0

2

a − x2

10

0

dx

TR ẦN

)

B

(

H

2

3 3 1 7−3 3 +2 2  x + 1 + x − 1 dx =  ( x + 1) 2 + ( x − 1) 2  = 3 3 1

00

3

1 b) L = ∫ 22

2

 t5 t3  46  +  =  15 3  1 15

2

2+

2

π

≤t ≤

thì dx = a cos t

π

2

.

Ó

A

Khi x = 0 thì t = 0, x = a thì t =

ẤP

π

C

a) Đặt x = a sin t với −

3

Hướng dẫn giải

A=a

∫

π /2

a2 cos tdt = 2

H

π /2 2

cos t .cos tdt = a

2

∫

Í-

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

2

ẠO

7 thì t = 2 . 3

Khi x = 0 thì t = 1, x =

1 K = ∫ ( t 4 + 2t ) dt = 31

U

3

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

2

N

dx

H Ơ

∫

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

0

-L

0

2

π /2

∫ (1 + cos 2t ) dt 0

π /2

TO

ÁN

a 2  sin 2t  π a2 = t + =  2 2 0 4

ID Ư

Ỡ N

G

b) Đặt x = a sin t với −

π 2

BỒ

Khi x = 0 thì t = 0; x = π /6

B=

∫ 0

a cos tdt = a cos t

π /6

<t <

π 2

thì dx = a cos tdt

a π thì t = . 2 6

π

∫ dt = 6 0

Trang 5 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn b

Bài toán 8.9: Tính: a) C =

b

dx

∫

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

∫

b) D =

2

x +b

0

x 2 + b .dx

0

∫

x2 + b − b

0

2

x +b

b 2 b nên D = − 2 2

∫

U TP .Q dx

2

x +b

(

1 + x2 dx x4

2

b) L =

∫

(x

2

)

+ 1) dx

1/2

x x4 + 1

3

0

ẠO

1

b 2 1 − ln 1 + 2 2 2

dx =

x +b 2

dx

Đ

0

b

1

Bài toán 8.10: Tính: a) K =

x2 + b

dx = b 2 − D + b ∫

2

0

∫

0

b

∫

0

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

b

=b 2−

−

C 1  15 5 2 2 2 1 1 2 2 + + = − − t d t ( ) ( )   ∫1 3 8 

A

1/2

Í-

1

1 2

Ó

1/2

K = − ∫ t 1 + t 2 dt = −

ẤP

−1 dt t2

H

1 t

a) Đặt x = ⇒ dx =

2+

Hướng dẫn giải

∫

G

1/2

-L

b) L =

1 2 1 1  x 2 dx = dx−  ∫ 2 x 1  1/2  1 x2 + 2 x − + 2   x x 

1+

ÁN

2

TO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

0

)

x2

b

b

G

(

∫

x 2 + bdx = x + x 2 + b

)

Ư N

b

b) D =

(

= ln 1 + 2

H

b

TR ẦN

b + 2b

B

b

dt = ln t t

00

∫

C=

x +b

dt t

10

b + 2b

=

2

Y



dx

H Ơ

  dx ⇒ x2 + b 

x

N



a) Đặt t = x + x 2 + b ⇒ dt = 1 +

N

Hướng dẫn giải

2

BỒ

ID Ư

Ỡ N

2   1 1 13 + 3   = ln x − +  x −  + 2  = ln   x x 13 − 3    1/2 1

∫

Bài toán 8.11: Tính: a) A = x

1

2

1 − x dx b) B = ∫ x 5 1 − x 2 dx 2

0

0

Hướng dẫn giải Trang 6 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

π  π ≤ t ≤  ⇒ dx = cot dt 2  2

a) Đặt x = sin t  −

∫ 0

N N

2tdt

0

π /2

TP .Q

π /2

2

π 1 − cos 4t 1  sin 4t  = t −  = 2 8 4 0 16

ẠO

1 = 4

∫ sin

1

Đ

 t7 2 5 1 3  8 .t ( −t ) dt = ∫ ( t − 2t + 1) t dt =  − t + t  = 3  0 105 7 5 0 4

2

2

Bài toán 8.12: Tính: 1

b) J =

00

∫

B

x 2 dx x2 + x + 1

a/ 3

∫ 0

xdx a2 + x2 +

(a

2

+ x2 )

3

3

0

10

a) I =

Ư N

)

1

1

H

B = ∫ (1 − t

2 2

TR ẦN

0

G

Khi x = 0 thì t = 1, x = 1 thì t = 0 .

2+

Hướng dẫn giải

ẤP

2

1 3  x + x + 1 =  x +  + , ( x 2 + x + 1) ' = 2 x + 1 2 4  2

A

C

a) Ta có

Ó

2  1 3 Đặt x = A   x +  +  + B ( x + 1) + C  2  4  

Í-

H

2

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

b) Đặt t = 1 − x 2 ⇒ x 2 = 1 − t 2 ⇒ xdx = −tdt

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

0

π /2

2

Y

∫

A=

1 sin t cos tdt = 4 2

2

U

π /2

π

H Ơ

Khi x = 0 thì t = 0, x = 1 thì t =

1 nên 2

TO

ÁN

Đồng nhất thì được A = 1, B = −2, C = −

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

  2 1 1 3 2x + 1 1 1   I = ∫  x +  + − − 2 3 2 4 0  1 3 2  1 3  2 x+  + x+  +  2 4 2 4   

    dx   

1

 2x + 1 2 1  1  = x + x + 1 − ln  x + + x 2 + x + 1   8  2  0  4 Trang 7

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

3 3 −1 1  2  − ln  1 +  4 8  3 a/ 3

=2

(

2a + 1 − a + 1

4096

∫

3

128

x2 − 4 x

6

Y U

dx

∫

b) L =

x2 − 5x + 6

4

H

Hướng dẫn giải

TR ẦN

a) Đặt x = t12 thì dt = 12t11dt Khi x = 128 thì t = 2, x = 4096 thì t = 2 .

2+

2

A

C

x−2 + x−3

b) Đặt t =

00

 464 − 4 2 1 31  = 12  + ln  5 5 4 2 −1  

3

2

ẤP

 t10 t 5 1  = 12  + + ln t 5 − 1   10 5 5 

10

2  9 4 t14 t4  K = 12 ∫ 5 dt = 12 ∫  t + t + 5  dt t −1 t −1 2 2

B

2

Í-

H

Ó

 1 1  x − 2 + x − 3 ⇒ dt  +  dx 2 x − 2 2 x − 3  

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Bài toán 8.13: Tính: a) K =

xdx

)

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

a +1

a +1

TP .Q

( )

∫

2 a +1

ẠO

dt = 2 t t

⇒ xdx = ( t − 1) dt

Đ

2 a +1

a2 + x2

G

xdx

Đặt t = 1 + a 2 + x 2 ⇒ dt =

N

a2 + x2 . 1 + a2 + x2

0

J=

H Ơ

N

xdx

∫

b) J =

Ư N

=

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

TO

ÁN

 1 1  ⇒ dt =  +  dx ⇒  2 x−2 2 x−3  6

G

L=∫

2+ 3

dx

( x − 2 )( x − 3)

Ỡ N 4

:

2dt ∫ t = ln t 2 +1

dx

( x − 2 )( x − 3) 2+ 3 2 +1

= ln

=

2dt t

2+ 3 2 +1

BỒ

ID Ư

Bài toán 8.14: Tính: a) A =

1

∫ ( x + 1) 0

dx x2 + 2x + 2

1/2

b) B =

∫ (x 0

dx 2

− 1) x 2 + 2

Hướng dẫn giải Trang 8 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

dt 1 1 ⇒ x = − 1 ⇒ dx = − 2 x +1 t t

1+ 2

(

2 1+ 2 du (1+ 5 )/2 = − ( ln u ) 1+ 2 = ln u 1+ 5

N

du u

)

2t 2 2dx ⇒ dt = b) Đặt t = x + 2 ⇒ x = 2 1− t ( x2 + 2) x2 + 2

3/2

= 2

1 2 3

ln

(

G

2

Đ

1 1  − dt 3 −1 t 3 +1 

Ư N

1  t 3 −1  =  ln  2 3  t 3 + 1 



∫  t

) 6)

5 3 − 12 3

(

23 7 − 2

H

3/2

dt 1 D= ∫ 2 = 3t − 1 2 3 2

∫ (1 + x ) n

1+ x

n

dx

1

∫

b) J n = x n . 1 − xdx 0

3

0

n

00

a) I n =

1

10

1

B

Bài toán 8.15: Tính:

2+

Hướng dẫn giải

n

0

dx = ∫ 0

1

1  1 − ∫ xd  n 1 + xn 0 0  n 1 + xn

1 + xn

n

dx − ∫ 0

(1 + x ) n

n

1 + xn

dx

 1 xn dx −  ∫ n n n 1 . 1 + x + x  0( )

H

x

ẤP

1 + xn

xn

Í-

=

n

1

A

∫ (1 + x )

1

Ó

a) I n =

1

1 + xn − xn

C

1

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

3/2

ẠO

2

TR ẦN

2

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

∫

Do đó A = −

t2 +1

=

H Ơ

(1+ 5 ) /2

dt

N

t2 +1

1

. Đặt u = t + t 2 + 1 ⇒

Y

dt

U

1/2

A= −∫

TP .Q

a) Đặt t =

1

1

TO

ÁN

1 1 xn xn = n +∫ dx − ∫ dx = n n n n 2 0 (1 + x n ) n 1 + x n 2 0 (1 + x ) . 1 + x

Ỡ N

G

b) u = x n , dv = 1 − xdx

BỒ

ID Ư

Khi đó du = nx n −1dx, v = −

2 Jn = − x 3

(

1− x

)

3

1

2 3

(1 − x )

3

1

2n n−1 x ( x − 1) 1 − xdx + 3 ∫0 0

Trang 9 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

∫ a

f (t ) dt + 6 = 2 x với mọi x > 0 . t2

N

Bài toán 8.16: Tìm hàm số f và số thực a > 0 thỏa mãn điều kiện:

Y

x

Hướng dẫn giải

G H

Ư N

F ( x) − F (a) + 6 = 2 x

)

b)

dx

∫

00

−3

5 x (1 − 5− x )

10

∫(2

x 2

3x

dx

3

Bài toán 8.17: Tính: a)

x

B

f ( x) 1 1 ⇒ 2 = ⇒ f ( x ) = x3 x x x

TR ẦN

Cho x = a ta được a = 9 và F ( x ) − F ( 0 ) + 6 = 2 x

2+

Hướng dẫn giải

)

x

x

ẤP

−3

4x 6x 9x dx = ∫ ( 4 − 2.6 + 9 ) dx = −2 + +C ln 4 ln 6 ln 9 x

C

∫(2

x 2

A

a)

x

x

Í-

H

Ó

5 x x   5 x (1 − 5− x )   5 −1 3x 3 5 −x  b) ∫ dx = ∫ x = ∫    − 3 dx = + +C  3   5 ln 3 3x 3   ln 3

ÁN

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Theo định nghĩa tích phân, ta có với mọi x > 0

nên F ' ( x ) =

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

ẠO

f (t ) t2

Đ

Gọi F ( t ) là một nguyên hàm của hàm số

H Ơ

N

2n 2 ( n − 1) 2 2n+1.n! . ... J 0 = 2n + 3 2n + 1 5 3.5... ( 2n + 3)

U

Vậy J n =

2n 2n J n−1 ( J n−1 − J n ) ⇒ J n = 3 2n + 3

TP .Q

= 0+

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

∫

b)

x

1 dx − e− x

Ỡ N ∫e

sin x

ID Ư

a)

∫e

Hướng dẫn giải

G

TO

Bài toán 8.18: Tính: a) esin x cos xdx

cos xdx = ∫ esin x d ( sin x ) = esin x + C

1 t

BỒ

b) Đặt t = e x thì dt = e x dx ⇒ dx = dt

1 1 1 1  1 1  dx dt dt = = = −  ∫ e x − e− x ∫ t ( t − t −1 ) ∫ t 2 − 1 2 ∫  t − 1 t + 1 dt Trang 10

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

1 1 ex −1 +C . ln t − 1 − ln t + 1 ) + C = ln x ( 2 2 e +1 e 2 x dx b)

( x + 1) dx

∫ x (1 + xe ) x

2

e 2 x dx = ∫ (1 + tan 2 x + 2 tan x ) e 2 x dx

U

∫ (1 + tan )

TP .Q

a)

Y

Hướng dẫn giải

ẠO

= ∫ ( tan x.e 2 x ) dx = tan x.e2 x + C

G

Đ ∫

b) J = e

3 x −9

dx

TR ẦN

∫

Bài toán 8.20: Tính: a) I = x 3 .e x dx

H

t −1 xe x  1 1 ∫ x (1 + xe x ) = ∫  t − 1 − t  dt = ln t + C = ln 1 + xe x + C

Ư N

( x + 1) dx

∫

∫

B

Hướng dẫn giải

2 x

x

(

)

− 2 ∫ xe x dx = 2 xe x − I

ẤP

Do đó J = e x x 3 − 3x 2 + 6 x − 6 + C

10

2

3

∫ x .e dx = x e

2+

Đặt u = x 2 , v ' = e x thì

00

a) Đặt u = x 3 , v ' = e x thì J = x 3 .e x dx = e x x 3 − 3 x 2 .e x dx

2 tdt 3

Ó

A

C

b) Đặt t = 3 x − 9 ⇒ 3x = t 2 + 9 ⇒ dx =

Í-

H

2 t te dt . Đặt u = t , v ' = et thì ∫ tet dt = t.et − et + C ∫ 3 2 3

(

3 x − 9e

TO

nên J =

-L

J=

3 x −9

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

b) Đặt t = 1 + xe x thì dt = ( x + 1) e x dx

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

2

N

∫ (1 + tan x )

H Ơ

Bài toán 8.19: Tính: a)

N

=

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

∫

−e

)+C

b)

∫

G

Bài toán 8.21: Tính: a) ln xdx

3 x −9

Ỡ N

Hướng dẫn giải

ID Ư

a) Đặt u = ln x, dv = dx . Khi đó du =

BỒ

x ln xdx

1 dx, v = x . Ta có: x

1

∫ ln xdx = x ln x − ∫ x. x dx = x ln x − ∫ dx = x ln x − x + C Trang 11

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

1 2 32 b) Đặt u = ln x, v ' = x ⇒ u ' = , v = x . Ta có: x 3

x

H Ơ

x dx 1+ x

ẠO

x

1 2 dx = ∫ ( ln x ) d ( ln x ) = ln 3 x + C 3

Đ

∫

2

Ư N H

x x2 x 1 x dx = ln dx − ∫ 1+ x 2 1+ x 2 1+ x

TR ẦN

∫ x ln

G

x2 x 1 , du = xdx . Khi đó du = b) Đặt u = ln ,v = 1+ x 2 x (1 + x )

00

B

x2 x 1  1 x2 x 1 1  = ln + ∫ − 1 dx = ln + ln 1 + x − x + C 2 1+ x 2 1+ x  2 1+ x 2 2

10

Bài toán 8.23: Tìm nguyên hàm

∫

∫

b) J = x 2 cos ( 2 x ) dx

2+

3

a) I = x 3 ln ( 2 x ) dx

ẤP

Hướng dẫn giải

x4 1 dx, v = . x 4

Ó

A

C

a) Đặt u = ln ( 2 x ) , dv = x 3 dx . Khi đó du =

Í-

H

x 4 ln ( 2 x ) x 4 ln ( 2 x ) x 4 x3 Ta có: I = − ∫ dx = − +C 4 4 4 16

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

a)

( ln x )

TP .Q

Hướng dẫn giải

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

dx b) ∫ x ln

N

∫

2

Y

Bài toán 8.22: Tính: a)

( ln x )

U

∫

N

2 32 2 12 2 32 4 32 x ln xdx = x ln x − ∫ x dx = x ln x − x + C 3 3 3 9

sin ( 2 x ) . 2

TO

ÁN

b) Đặt u = x 2 , dv = cos ( 2 x ) dx . Khi đó du = 2 xdx, v = −

Ỡ N

G

x 2 sin ( 2 x ) Ta có: J = − ∫ x sin ( 2 x ) dx 2

BỒ

ID Ư

Đặt u = x, dv = sin ( 2 x ) dx . Khi đó du = dx, v =

∫ x sin ( 2 x ) dx = −

cos ( 2 x ) : 2

x cos ( 2 x ) cos ( 2 x ) x cos ( 2 x ) sin ( 2 x ) +∫ dx = + +C 2 2 2 4

x 2 sin ( 2 x ) x cos ( 2 x ) sin ( 2 x ) + − +C nên J = 2 2 4 Trang 12 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Bài toán 8.24: Tính:

∫

∫

a) I = sin ( ln x ) dx

2

b) J = e x ( cos x + 2 x sin x ) dx

H Ơ

N

Hướng dẫn giải

N

a) Đặt u = ln x thì x = eu nên dx = eu du

U

Y

A = ∫ sin u.eu du = ∫ sin ud ( eu ) = sin u.eu − ∫ cos u.eu du

2

G Ư N

2

2

.cos xdx = e x .sin x − ∫ 2 xe x .sin xdx

∫

2

H

x2

2

∫(x

Bài toán 8.25: Tính: a) K =

2

1

+ x + 1) e dx x

b) L =

∫(x

3

B

1

TR ẦN

nên J = e x ( cos x + 2 x sin x ) = e x .sin x + C

0

00

0

+ 2 ) e x dx

10

Hướng dẫn giải

2+

3

a) Đặt u = x 2 + x + 1, dv = e x dx . Khi đó du = ( 2 x + 1) dx, v = e x . 1

1

ẤP

1

0

C

K = ( x 21 + x + 1) e x − ∫ ( 2 x + 1) e x dx = 3e − 1 − ∫ ( 2 x + 1) e x dx 0

A

0

H

Ó

Đặt tiếp u = 2 x + 1, dv = dx thì được K = 2 ( e − 1) .

Í-

b) Đặt u = x 3 + 2, dv = e x dx . Khi đó du = 3 x 2 dx, v = e x . 1

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

b) Đặt u = e x , dv = cos x . Khi đó du = 2 xe x dx, v = sin x

∫e

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

2

ẠO

1 x ( sin ( ln x ) − cos ( ln x ) ) + C 2

Đ

Từ đó suy ra A =

TP .Q

= sin u.eu − ∫ cos u.d ( eu ) = sin u.eu − cos u.eu − ∫ sin u.eu du

1

ÁN

L = e ( x + 2 ) − 3∫ x 2e x dx 3

x

0

TO

0

G

Dùng tích phân từng phần 2 lần nữa thì L = 4 .

Ỡ N

ln 4

Bài toán 8.26: Tính: a) A =

∫

ID Ư

ln 2

dx ex −1

1

b) B =

xe x

∫ (1 + x )

2

dx

0

BỒ

Hướng dẫn giải

a) Đặt u = x 2 + x + 1, dv = e x dx . Khi đó du = ( 2 x + 1) dx, v = e x . 1

1

1

0

0

K = ( x 2 + x + 1) e x − ∫ ( 2 x + 1) e x dx = 3e − 1 − ∫ ( 2 x + 1) e x dx 0

Trang 13 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Đặt tiếp u = 2 x + 1, dv = dx thì được K = 2 ( e − 1) . b) Đặt u = x 3 + 2, dv = e x dx . Khi đó du = 3 x 2 dx, v = e x .

N

1

1

0

H Ơ

L = e ( x + 2 ) − 3∫ x 2e x dx 0

N

∫

b) B =

ex −1

ln 2

U

Bài toán 8.26: Tính: a) A =

1

dx

xe x

∫ (1 + x )

2

TP .Q

ln 4

Y

Dùng tích phân từng phần 2 lần nữa thì L = 4 .

dx

0

1

Đ G

2

1

1

 −e x 1 1 e x  e ex =∫ +∫ dx −  dx  = − 1 . 1+ x 0 0 1+ x  2 1+ x 0  

2+

1

π

∫

00

B

ex ex dx − ∫0 1 + x ∫0 (1 + x )2 dx

10

b) B =

Ư N

dt π . Đặt t = tan u thì B = +1 6

H

∫t

3

A=

2tdt t2 +1

TR ẦN

3

π

∫

ẤP

Bài toán 8.27: Tính: a) e cos xdx b) J = e 2 x sin 2 xdx x

C

0

0

H

Ó

A

Hướng dẫn giải

π

π

Í-

a) Đặt u = cos x, dv = e x , du = − sin x, v = e x π

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

a) Đặt t = e x − 1 ⇒ e x = t 2 + 1 ⇒ dx =

ẠO

Hướng dẫn giải

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

3

x

I = cos x.e x + ∫ e x .sin xdx = −1 − eπ + ∫ sin xd ( e x )

ÁN

0

TO

0

= −1 − e + ( sin x.e

Ỡ N

G

π

x

0

π

π

) − ∫e 0

x

cos xdx = −1 − eπ − I

0

ID Ư

1 + eπ Do đó 2 I = −1 − e ⇒ I = − . 2 π

π

π

π

BỒ

1 1 1 b) J = ∫ (1 − cos 2 x ) d ( 22 x ) = e 2 x (1 − cos 2 x ) − ∫ e 2 x .sin 2 xdx 40 4 20 0 Dùng từng phần 2 lần liên tiếp thì J =

1 2π ( e − 1) . 8 Trang 14

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn 2

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com 1

1

1  x+  Bài toán 8.28: Tính a) I = ∫  1 + x −  e x dx x 0.5 

b) J =

3x ∫0 3x + 3− x dx

H Ơ N 1

1  x+  , dv = dx . Khi đó du =  x −  e x dx, v = x x 

2

1 2

1

0,5

∫e

1 x

dx

0,5

0,5

3 = e2,5 . 2

Ư N

1 2 x

−

x+

H

Suy ra I = xe

x+

2

G

x+ 1  x+  Ta có: ∫  x −  e x dx = xe x x 0,5 

1

1

B

3− x b) Xét E = ∫ x dx thì J + E = ∫ dx = 1 3 + 3− x 0 0 1

1

10

00

3x − 3− x 1 1 5 và J − E = ∫ x .ln ( 3x + 3− x ) = ln dx = −x 3 +3 ln 3 ln 3 3 0 0

2+ ẤP

H

−1

C

∫

Bài toán 8.29: Tính: a) A =

1 − x2 dx 1 + 2x

A

1

3

1 1 5 ln  . 1 + 2  ln 3 3 

∫ −1

TO

0

G Ỡ N ID Ư

Hướng dẫn giải

1 − x2 1 − x2 dx + ∫0 1 + 2 x dx 1 + 2x

Đặt x = −t thì

Do đó A =

BỒ

0

Í-

1

∫

b) B = x 2e x sin xdx

-L

0

a) A =

1

Ó

Do đó: J =

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Y

1 x

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

x+

U

Đặt u = e

1

1  x+  dx + ∫  x −  e x dx x 0,5 

TP .Q

0,5

2

ẠO

∫e

1 x

Đ

a) I =

x+

TR ẦN

2

N

Hướng dẫn giải

∫

−1 1

∫ 0

1

1

1 − x2 2t 1 − t 2 2x 1 − x2 dx dt = = ∫0 1 + 2t ∫0 1 + 2 x dx 1 + 2x

(1 + 2 ) x

1 − x2

1 + 2x

Đặt x = sin t thì A =

π 4

1

dx = ∫ 1 − x 2 dx 0

.

b) Đặt u = x 2 sin x, dv = e x dx thì Trang 15 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

1

1

B = e x sin x − ∫ e x ( 2 x sin x + x 2 cos x ) dx x

2

0

0 1

1

= e sin1 − 2∫ xe sin xdx − ∫ x 2e x cos xdx

H Ơ

0

N

x

0

π

TP .Q

U

sin 2 x b) J = ∫ x dx 3 +1 −π

dx Bài toán 8.30: Tính a) I = ∫ x 2 −1 ( e + 1)( x + 1)

ẠO

Hướng dẫn giải

1

H

Ư N

G

−1

dx dt et = − = ∫−1 ( e x + 1)( x 2 + 1) ∫1 ( e−t + 1)( t 2 + 1) −∫1 ( et + 1)( t 2 + 1)dt

1

−1

B 00

π π dt = . Vậy I = . 4 +1 2

2

−π

∫

π

sin 2 t 3x.sin 2 x dt = ∫ dx x 1 1 + 3 − π +1 3t

2+

b) Đặt x = −t thì dx = − dt nên: J = −

10

∫t

3

1

nên 2 I = I + I =

TR ẦN

ex I=∫ x dx 2 −1 ( e + 1)( x + 1)

π

π

H

−π

π 1 + ⇒ = 1 cos x dx J 2 ( ) 2 −∫π 2

A

2 ∫ sin xdx =

Ó

Do đó 2 J =

C

ẤP

π

3

Í-

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

1

Ta có I =

Đ

a) Đặt x = −t thì dx = − dt . Khi x = −1 ⇒ t = 1, x = −1 ⇒ t = 1 .

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

1

Y

N

Từ đó tính được B = e sin1

∫ (

2

)

∫

-L

Bài toán 8.31: Tính a) A = ln x − x dx b) B = x 5 ln xdx 2

1

TO

ÁN

2

Hướng dẫn giải 3

3

2x −1 1   a) A = x ln ( x − x ) − ∫ dx = 3ln 6 − 2ln 2 − ∫  2 +  dx = 3ln 3 − 2 2 x −1 x −1  2 2 3

Ỡ N

G

2

BỒ

ID Ư

b) Đặt u = ln x, dv = x 5 dx . Khi đó du =

1 dx , v = x6 x 6

2

2 5  x 6 ln x  7 x dx 32 − = ln 2 − B=  ∫ 3 4  6 1 1 6

Trang 16 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

e

e

∫

2

Bài toán 8.32: Tính a) C = x ln xdx

b) D =

∫(x

1

2

− x + 1) ln xdx

1

H Ơ

2ln x 1 dx, v = x 2 x 2

N Y

e

TP .Q

U

e e  x2 2  e2 C =  ln x  − ∫ x ln xdx = − ∫ x ln xdx 2 1  2 1 1

1 x2 e2 1 2 e2 − 1 ∫1 x ln xdx = 2 ln x − 2 ∫1 xdx = 2 − 4 ( e − 1) ⇒ C = 4 1

)

TR ẦN

b) Đặt u = ln x, dv = x 2 − x + 1 dx thì: e

00

B

e  x3 x 2   x3 x 2 1 D =  − + x  ln x − ∫  − + x  dx 3 2  3 2  x 1 1

10

e  x2 x  2e3 e 2 31 e3 e 2 − + e − ∫  − + 1 dx = − + 3 2 3 2 9 4 36  1

2+

3

=

Ư N H

(

G

e

4

e

∫

ẤP

Bài toán 8.33: Tính: a) I =

1 + ln x ln x dx b) J = ∫ dx x x 1

C

1

Ó

A

Hướng dẫn giải

a) I =

∫ (1 + ln x )

1 2

∫

( ) (

ÁN

4

Ỡ N

G

= 4ln 4 − 4

ID Ư

x = 2 x .ln x

TO

b) J = 2 ln xd 1

3 1 2 d (1 + ln x ) = (1 + ln x ) 2 = 2 2 − 1 2 3 1

-L

1

e

H

e

( x)

4 1

)

4 1

4

− 2∫ 1

)

dx x

= 4 ( ln 4 − 1)

Bài toán 8.34: Tính: a) A =

3

π /2

∫

cos x ln ( sin x ) dx

∫

b) B = ln 2

BỒ

π /4

x −1 dx x +1

Hướng dẫn giải π /2

a) A =

(

Í-

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

e

Đ

e

ẠO

dx x2 Đặt u = ln x, dv = xdx . Khi đó du = ,v = x 2

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

a) Đặt u = ln 2 x, dv = xdx . Khi đó du =

N

Hướng dẫn giải

π /2

∫π ln ( sin x ) d ( sin x ) = sin x.ln ( sin x ) π /4

/4

π /2

−

∫π cos xdx /4

Trang 17 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

π /2

2 2 2− 2 = ln 2 − sin x = ln 2 − 4 4 2 π /4 3

3

x2 + 1

0

N

H Ơ

)dx

3

3

ẠO

Hướng dẫn giải 3

x 2 + 1 , dv = 2

)

− 0

∫ dx = 2ln 3 − 0

1 + x ln x

A

1

ÁN e

Đ G dx

∫

1 + x ln x

1 e

TO

G e

Ỡ N

Tính J =

ID Ư

3

1

1 + ln x 1 + ln x e dx = 2 x 1 + ∫ dx = 2 ( e − 1) + J 1 + x ln x 1 + x ln x 1 1

= 2∫ dx + ∫ 1

x + 2ln x

∫ ( x + 1)

Hướng dẫn giải

Ó 1 + x ln x

1 e

b) I =

H

∫

a) Ta có I =

2

(1 + 2 x ) ln x + 3 dx = e 2 (1 + x ln x ) + (1 + ln x ) dx

Í-

e

Ư N

2+

(1 + 2 x ) ln x + 3 dx

ẤP

∫

3

C

a) I =

H B

3

3

Bài toán 8.36: Tính: e

thì:

3

D = x + 1.ln x + x + 1

x2 + 1

10

(

2

x

)

(

b) Đặt u = ln x +

1 27   3 + ln  4 16 

TR ẦN

3

00

3

3 + ln 3 3 1 dx =− + + ∫ dx − ∫ = 4 2 1x x +1 1

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

dx 3 + ln x  −1  a) C = ∫ ( 3 + ln x ) d  +∫ =− x + 1 1 1 x ( x + 1)  x +1 2

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

∫

1

(

Y

∫ ( x + 1)

b) D =

dx 2

x ln x + x 2 + 1

U

Bài toán 8.35: Tính: a) C =

3

3 + ln x

TP .Q

3

N

x −1  2x  b) B =  x ln  − ∫ 2 dx = 3ln 3 − 6ln 2 x +1 2 2 x −1 

1 + ln x

∫ 1 + x ln x dx 1

BỒ

Đặt t = 1 + x ln x ⇒ dt = (1 + ln x ) dx

Khi x = 1 thì t = 1 , khi x = e thì t = 1 + e 1+ e

nên J =

∫ 1

dt 1+ e = ln t 1 = ln (1 + e ) nên I = 2 ( e − 1) + ln (1 + e ) t Trang 18

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

∫ ( x + 1)

3

1

 1 1 2 ln x  dx = ∫  − +  dx 2 3 3  ( x + 1) ( x + 1)  1  ( x + 1) 2

2

2

2

2

N

ln x

U

∫ ( x + 1) dx 3

TP .Q

Tính J =

Y

2

H Ơ

1 1 1 ln x 7 ln x dx = + 2∫ dx =− + . + 2∫ 2 3 3 x + 1 1 2 ( x + 1) 12 1 ( x + 1) 1 ( x + 1) 1

1

2 ( x + 1)

2 1

Đ G

2 2 1 dx ln 2 1  1 1 1  + ∫ = − + − −   dx 2 1 x ( x + 1) 2 18 2 ∫1  x x + 1 ( x + 1) 2 

Ư N

ln x

1 1 dx ,v = − . x 2 ( x + 1) 2

. Khi đó du =

H

2

TR ẦN

2

ln 2 1  1  ln 2 1  4 1  x =− +  ln + +  ln −   =− 18 2  x + 1 x + 1  1 18 2  3 6 

00 10

2+

3

7 4 ln 2 5  ln 2 1 4 1  + 2 − + ln −  = ln − − 12 3 9 72  18 2 3 12  ln 2

∫

Bài toán 8.37: Tính: a) I =

Ó ∫

x dx = x e + e− x + 2

ÁN

0

Ỡ N

G

TO

Đặt u = x, dv =

(e

ex

x

+ 1) ln 2

BỒ

ID Ư

x Ta có: I = − x + e +1 0 Tính J =

ln 2

∫e 0

2

b) I =

ln 2

∫ 0

xe x

(e

x

+ 1)

2

dx

dx . Khi đó du = dx, v = −

ln 2

∫ 0

2 + xe x ∫0 x 2 + 2 x + 1dx

Hướng dẫn giải

H a) Ta có I =

Í-

ln 2

1

x dx x e + e− x + 2

A

0

ẤP

Suy ra I =

B

ln 2 1 4 1 + ln − 18 2 3 12

C

=−

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

J =−

( x + 1)

3

ẠO

dx

Đặt u = ln x, dv =

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

b) I =

x + 2ln x

N

2

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

dx ln 2 = + x 3 e +1

ln 2

∫e 0

1 e +1 x

dx +1

x

dt dx . Đặt e x = t thì x = ln t ⇒ dx = t +1

x

Khi x = 0 ⇒ t = 1; x = ln 2 ⇒ t = 2 Trang 19 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn 2

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

2

2 2 dt 1 1  = ∫ − J =∫  dt = ln t 1 − ln t + 1 1 t t + 1) 1  t t + 1  1 (

1

1

1

1

1

2

.

1 x +1 1

1

Y

00

B

1 e e e = − + ∫ e x dx = − + e x dx = − 1 0 2 0 2 2

10

e 2. 2

3

Thay vào ta được I =

U

TR ẦN

H

−1 xe x dx Ta có: ∫ = − − ( x + 1) e x dx 2 ∫ x +1 0 0 x +1 0 ( x + 1) xe x

ẤP

2+

Bài toán 8.38: Chứng minh F ( x ) là nguyên hàm của f ( x ) :

)

(

1

1 + x2

Ó

A

C

a) F ( x ) = ln x + 1 + x 2 + C ; f ( x ) =

1 x π +  + C; f ( x ) = cos x 2 4

Í-

H

b) F ( x ) = ln tan 

x2 + 1 = x + x2 + 1

Ỡ N

G

a) F ' ( x ) =

BỒ

ID Ư

b) F ' ( x ) =

=

Hướng dẫn giải

x

TO

1+

ÁN

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Khi đó du = ( x + 1) e x .dx; v = −

( x + 1)

TP .Q

0

dx

ẠO

dx . Đặt u = xe x , dv =

Đ

∫ ( x + 1)

2

G

xe x

Ư N

1

Tính

N

−2 xe x xe x dx dx dx dx + = + = + b) Ta có I = ∫ 1 2 2 2 2 ∫ ∫ ∫ x + 1 x + x + x + x + 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 xe x

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

1

2

H Ơ

1

N

5 = 2ln 2 − ln 3 nên I = ln 2 − ln 3 . 3

1 x2 + 1

⇒ đpcm.

1 1 . x π x π 2cos 2  +  tan  +  2 4 2 4

1 1 1 = = π  cos x x π x π  2cos  +  sin  +  sin  x +  2 2 4 2 4  Trang 20

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com e2 x

Bài toán 8.39: Tìm cực đại và cực tiểu của hàm số f ( x ) =

∫ t ln tdt

ex

N

Hướng dẫn giải

N

x

x

U

2x

= 4 xe4 x − xe 2 x = xe2 x ( 4e2 x − 1)

TP .Q

2x

Y

Ta có: f ( x ) = F e 2 x − F e x , suy ra:

ẠO

f ' ( x ) = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = − ln 2

Đ

∫

Ư N

G

Bài toán 8.40: Đặt I n = x n e x dx, n ∉ ℕ* . Tính I theo I n −1 với n ≥ 2 . Suy ra I 3 .

TR ẦN

I n = ∫ x n d ( ex ) = x n .e x − n ∫ x n −1e x dx = x n .e x − nI n −1

H

Hướng dẫn giải

∫

)

00

(

B

Do đó I 3 = x3e x − 3I 2 , I 2 = x 2e x − 2 I1 , I1 = xe x dx = e x ( x − 1) + C

10

nên I 3 = e x x3 − 3x 2 + 6 x − 6 + C . 1

3

∫

2+

Bài toán 8.41: Cho I n = x n e x dx . Tính I n theo I n −1 .

ẤP

0

1

1

1

C

Hướng dẫn giải

Ó

A

I n = ∫ x n d ( e x ) = ( x n .e x ) − n ∫ x n−1e x dx = e − nI n−1 0

0

H

0

Í-

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Lập BBT thì f đạt cực tiểu tại x = 0 và đạt cực đại tại x = − ln 2 .

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

( ) ( ) f ' ( x ) = F ' ( e ) 2e − F ' ( e ) e

H Ơ

Gọi F ( t ) là một nguyên hàm của hàm số t ln t trên ( 0; +∞ )

e

∫ ( ln x )

TO

ÁN

-L

Bài toán 8.42: Cho J n =

Ỡ N

G

J n = x ( ln x )

n e

1

n

dx . Chứng minh J n −1 ≤ J n ≤

1

e

− n ∫ ( ln x )

e n +1

Hướng dẫn giải n −1

= e − nJ n−1

1

ID Ư

Với 1 ≤ x ≤ e ⇒ 0 ≤ ln x ≤ 1 ⇒ J n+1 ≤ J n

BỒ

Do đó J n = e − nJ n −1 ≤ e − nJ n

⇒ ( n + 1) J n ≤ e ⇒ đpcm.

Bài toán 8.43: Tính tích phân Trang 21 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com 2

1

∫

2

a) I = x 2 − x dx

b) I =

0

x2 − 1 ∫1 x 2 ln xdx

1

1

N

Hướng dẫn giải 1

H Ơ

1/2 1 1 a) I = ∫ x 2 − x dx = − ∫ ( 2 − x 2 ) d ( 2 − x 2 ) = − ∫ u1/2 du 20 22 0

Y

2

2

N

2

)

TP .Q

(

U

1 1  1 = ∫ u1/2 du (đặt u = ( 2 − x 2 ) ) =  u 3/2  = 2 2 − 1 . 21 3 1 3 2

t

+ e − t ) dt =

dx x

10

Cách khác: Đặt u = ln x ⇒ du =

00

0

5ln 2 − 3 2

G

Đ ∫ (e

− e− t ) dt

B

ln 2

0

t

2

C

ẤP

2+

1  1 x2 −1  = − ⇒ = + dx 1 dx v x   2 x2 x  x 

3

ln 2

∫ t (e

TR ẦN

Đặt u = t ⇒ du = dt , dv = et − e − t , chọn v = et + e − t

⇒ I = t ( et + e − t )  − 0

ln 2

H

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

dx Đặt t = ln x ⇒ = dt , x = et , t (1) = 0, t ( 2 ) = ln 2 ⇒ I = x

dv =

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

ẠO

x2 − 1 ∫1 x 2 ln xdx

Ư N

b) I =

2

2

2

H

Ó

A

1 1  dx 5 1  5 1     ⇒ I =  x +  ln x − ∫  x +  = ln 2 − ∫ 1 + 2  dx = ln 2 −  x −  x x x 2 x  x 1 2   1 1 1

ÁN

-L

Í-

5 1 5 3  = ln 2 −  2 −  = ln 2 − . 2 2 2 2 

TO

3. BÀI LUYệN TậP

Ỡ N

G

Bài toán 8.1: Chứng minh F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) :

ID Ư

a) F ( x ) = x ln x − x; f ( x ) = ln x

BỒ

b) F ( x ) = ln tan

1 x + C; f ( x ) = 2 sin x Hướng dẫn

a) Dùng định nghĩa và công thức đạo hàm Trang 22 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

b) P =

∫

x x2 + 4

3

dx

N

∫

Bài tập 8.2: Tính: a) A = x 7 − 3x 2 dx

u' u

H Ơ

b) Dùng định nghĩa và công thức ( ln u ) ' =

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

N

Hướng dẫn

Y

3 1 2 2 a) Đổi biến t = 7 − 3 x . Kết quả − ( 7 − 3 x ) + C 3

TP .Q

U

2

− 1 + 3 x2 − 1

2 x2 −1 + 1

+C

ẤP

∫

2+

Bài tập 8.4: Tính

b) I =

C

1 + x 2 dx

A

a) I =

TR ẦN 00

B

2

10

2

)

x2 − 1 + 1

2 +C 1+ x

3

1 ( b) Kết quả ln

x . Kết quả −

H

Hướng dẫn a) Đổi biến t = 1 +

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

Đ

xdx 2

G

)

∫ 2x

b)

2

Ư N

(

x 1+ x

∫

1 + 2 x x2 + 1 + 2 x2 1 + x + x2 + 1

dx

H

Ó

Hướng dẫn

)

-L

(

1 x + x2 + 1  2

(

2

) ( x −1 +

Ỡ N

G

b) Kết quả

1 ln x + 1 + x 2 + x 1 + x 2 + C 2

ÁN

Kết quả

Í-

a) Dùng nguyên hàm từng phần

TO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

dx

∫

Bài tập 8.3: Tính a)

ẠO

2 3 2 b) Kết quả ( x + 4 ) 3 + C 4

BỒ

ID Ư

Bài tập 8.5: Tính: a) I =

1

∫ 0

)

3

x 3dx 4− x

 x 2 + 1 + 2ln x + x 2 + 1 + 1  + C 

2

a) Đổi biến t = 4 − x 2 . Kết quả

b) J =

∫ 0

x5 + 2 x 3 2

x +1

dx

Hướng dẫn

16 −3 3 3 Trang 23

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

26 5 1

b) D =

∫ x+ 0

x3dx x2 + 1

Y

(

))

U

(

G

∫ x e dx

Đ

12 x dx b) ∫ x 16 − 9 x

4 x

H

Hướng dẫn

TR ẦN

a) Dùng tích phân từng phần 4 lần liên tiếp.

(

)

Kết quả x 4 − 4 x 3 + 12 x 2 − 24 x + 24 e x + C

00 10

ln ( sin x ) dx b) ∫ ln x + 1 + x 2 dx 2 cos x

(

3

∫

)

Hướng dẫn

C

ẤP

Bài tập 8.8: Tính: a)

B

1 4 x − 3x +C .ln x 2 ( ln 4 − ln 3) 4 + 3x

2+

b) Kết quả

Ư N

Bài tập 8.7: Tính a)

ẠO

2 2 −1 15

b) Kết quả D =

)

(

Ó

A

a) Dùng tích phân từng phần. Kết quả tan x.ln ( sin x ) − x + C

Í-

H

b) Kết quả x ln x + 1 + x 2 − 1 + x 2 + C

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

1 3 − 2 − ln 1 + 2 3

TP .Q

a) Trục căn thức ở mẫu. Kết quả

N

Hướng dẫn

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

dx ∫0 1 + x + x + 1

N

1

Bài tập 8.6: Tính: a) C =

H Ơ

b) Kết quả

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

e

b) J =

TO

ÁN

1− x dx Bài tập 8.9: Tính a) I = ∫ x ln 1+ x

ln x ∫1 x 2 dx

Hướng dẫn

Ỡ N

G

a) Dùng tích phân từng phần

ID Ư

Kết quả

1 2 1− x 1 1+ x 1 x ln + ln − x+C 2 1+ x 4 1− x 2

BỒ

b) Kết quả 1 −

2 e

Bài tập 8.10: Tính: Trang 24 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn π /2

a) I =

∫ (e

sin x

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com π /2

+ cos x ) cos xdx

b) J =

0

∫e

3x

sin 5 xdx

0

N

Hướng dẫn

N

−1

TP .Q

3π

∫ (

e

)

2

Bài tập 8.11: Tính: a) I = ln x + 1 dx

b) J =

2

dx

Ư N

G

1

Hướng dẫn

H

π

TR ẦN

a) Dùng tích phân từng phần. Kết quả ln 2 − 2 +

2

b) Kết quả e − 2

00

B

Bài tập 8.12: Tính: a) I =

∫ ( x + 1) e

−x

10

1

dx



∫ x

b) J =  1

1  + 2  ln xdx 1 + 3ln x 

2+

3

0

e

ẤP

Hướng dẫn

3 e

A

C

a) Dùng tích phân từng phần. Kết quả 2 −

Í-

62 . 27

-L

Kết quả

H

Ó

b) Tách 2 tích phân và dùng đổi biến, tích phân từng phần.

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

1

∫ ( ln x )

Đ

1

ẠO

3.e 2 + 5 b) Kết quả 34

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

4

Y

π

U

Kết quả e +

H Ơ

a) Tách 2 tích phân và dùng đổi biến, tích phân từng phần.

Trang 25 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial