www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
CHUYÊN Đề 4 - HÀM Số MŨ VÀ LÔGARIT
N
1. KIếN THứC TRọNG TÂM
a = a = n a m (với a > 0 và r =
m , n ∈ ℤ, n ∈ ℕ * ) n
Đ
aα = lim a rn (với a > 0, α ∈ ℝ, rn ∈ ℚ và lim rn = α ).
G Ư N
(với a ≥ 0 ).
H
n b = a
TR ẦN
b ≥ 0
- Biến đổi lũy thừa: Với các số a > 0, b > 0,α và β tùy ý, ta có: β
00
α
= aα .bα ; ( a : b ) = aα : bα
3
10
α
( a.b )
B
aα .a β = aα + β ; aα : a β = aα − β ; ( aα ) = aαβ
2+
- So sánh: Nếu 0 < a < b thì: aα < bα ⇔ α > 0; aα > bα ⇔ α < 0
ẤP
Lôgarit:
A
C
- Lôgarit cơ số a: α = log a b ⇔ aα = b ( 0 < a ≠ 1 và b > 0 )
H
Ó
- Lôgarit cơ số 10: log10 b = lg b hay log b
Í-
- Lôgarit cơ số e: log e b = ln b ( e ≈ 2,7183)
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Khi n lẻ, b = n a ⇔ b n = a (với mọi a) Khi n chẵn, b = n a ⇔
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
m n
r
TP .Q
U
Y
N
1 (với a ≠ 0 và n ∈ ℕ* ) n a
ẠO
a−n =
H Ơ
Lũy thừa và căn thức:
ÁN
- Tính chất: log a 1 = 0 và log a a b = b với a > 0, a ≠ 1 .
TO
a log a b = b với a > 0, b > 0, a ≠ 1 .
G
- Biến đổi lôgarit trong điều kiện xác định:
ID Ư
Ỡ N
log a ( b.c ) = log a b + log a c
BỒ
log a
b 1 = log a b − log a c,log a = − log a c c c
log a bα = α log a b (với mọi α ), log a n b =
1 log a b ( n ∈ ℕ* ) n
- Đổi cơ số trong điều kiện xác định: Trang 1 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
log a x hay log a b.log b x = log a x log a b
log b a =
1 1 hay log a b.log b a = 1;log aα b = log a b log a b α
H Ơ
log b x =
N
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
Y
N
Hàm số lũy thừa y = xα :
TP .Q
U
Liên tục trên tập xác định của nó Đạo hàm xα ' = axα −1 , uα ' = α uα −1u ' ;
=
n
n x
( x > 0) , ( n u ) n −1
u'
/
=
n u n −1 n
, với u = u ( x ) > 0 .
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
1
/
Ư N
G
Hàm số y = xα đồng biến trên ( 0; +∞ ) khi α > 0 ; nghịch biến trên ( 0; +∞ ) khi α < 0 .
H
Hàm số mũ:
TR ẦN
Liên tục trên tập xác định ℝ , nhận mọi giá trị thuộc ( 0; +∞ ) .
khi a > 1
0 ; lim a x = khi 0 < a < 1 x→−∞ +∞
khi a > 1
B
khi 0 < a < 1
00
+∞ lim a x = x →+ 0
( ) ( ) ( a ) ' = a u 'ln a; ( e ) ' = e u ' với u = u ( x ) . u
3
u
u
2+
u
10
Đạo hàm: a x ' = a x ln a; e x ' = e x ;
A
Ó
Hàm số lôgarit y = log a x :
C
ẤP
Đồng biến trên ℝ nếu a > 1 , nghịch biến trên ℝ nếu 0 < a < 1 .
H
Liên tục trên tập xác định ( 0; +∞ ) , nhận mọi giá trị thuộc ℝ .
khi a > 1
Í-
+∞ lim log a x = x →+∞ −∞
ÁN
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
n
ẠO
( x)
( )
Đ
( )
G
TO
Đạo hàm ( log a x ) ' =
x →+0
khi a > 1 khi 0 < a < 1
1 1 1 ; ( ln a ) ' = ; ( ln x ) ' = x ln a x x
u' u' u' ; ( ln u ) ' = ; ( ln u ) ' = với u = u ( x ) . u ln a u u
ID Ư
Ỡ N
( log a u ) ' =
khi 0 < a < 1
−∞ +∞
; lim+ log a x =
BỒ
Hàm số y = log a x đồng biến trên ( 0; +∞ ) nếu a < 1 , nghịch biến trên ( 0; +∞ ) nếu 0 < a < 1 .
Giới hạn: x
ln (1 + x ) ex −1 1 lim 1 + = e;lim = 1;lim =1 x →+∞ x →0 x x x x →0
Trang 2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
2. CÁC BÀI TOÁN Bài toán 4.1: Thực hiện phép tính 3
1 2 1 − −1 2 −2 1 5 3 3 − ; B = 0, 001 − ( −2 ) .64 − 8 3 + ( 90 ) 32 −
−1
−
Y
3 5
U
1 − 2
5
−3
)
− 2 .( 2 −2
4 3 −3
) − (2 )
+ 1 = 10 − 22 − 2−4 + 1 = 7 −
1 111 = . 16 16
G
2 6 3
Ư N
1 −3 − 3
Đ
1 1 80 1 1 + − = +5−8 = −3= − 27 27 27 5 2
Bài toán 4.2: Đơn giản biểu thức trong điều kiện xác định:
a −1
5 3
10
a +a
1 3
a+ a a −a a −a .a + 1; Q = 1 − 2 4 1 − a +1 a3 − a 3 a3 + a 3
.
1 2
−
B
3 4
7 3
00
P=
1 3
1 4
4
TR ẦN
H
B = (10
1 3
)(
) . a ( a + 1) . a ( a + 1) ( a + 1)
a +1
4
C
1 3
A
−
) − a (1 − a ) = (1 + a ) − (1 − a ) = 2a
a 3 (1 − a )
a
−
2
Ó
2
1 3
H
1
a +1 = a −1+1 = a
( a + 1)
Í-
a (1 − a
4
ẤP
4
1 3
Q=
4
a −1
2+
( P=
3
Hướng dẫn giải
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
= ( 3)
−3
−
TP .Q
( )
A = ( 3)
3
ẠO
1 + 5
3 4 −4
N
Hướng dẫn giải
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
1 3
N
−
H Ơ
1 A = 81−0,75 + 125
1 2+33
6
G Ỡ N ID Ư
3 1 3− 2 = = 3 2+33 9 −2
BỒ
a)
b) Vì 5 − 13 + 48 = 5 −
1
b)
TO
a)
ÁN
Bài toán 4.3: Trục căn ở mẫu
5 − 13 + 48
Hướng dẫn giải
(
3
)(
3 − 2 33 3 + 2 3 9 + 4
)
1
(2
)
3 +1
2
= 4−2 3 =
(
3−2
)
2
Trang 3 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
6
=
5 − 13 + 48
3
=
3 −1
3 −1
2
) =(
3 −1
)
3 + 1 .3 4 − 2 3 2
7+5 2 − 3 7−5 2
N
3
b)
Y
15 + 6 6 + 15 − 6 6
a)
H Ơ
Bài toán 4.4: Không dùng máy, tính giá trị đúng:
TP .Q
2
= 18 + 12 ± 12 6 = 30 ± 12 6
Ư N
15 + 6 6 + 15 − 6 6 = x; x > 0 .
Cách khác: Đặt
00
B
3
(
)
3
7 + 5 2 − 3 7 − 5 2 = 1+ 2 − 1− 2 = 2 2
2+
3
)
3
10
(
Tương tự 7 − 5 2 = 1 − 2
)
TR ẦN
(
b) Ta có: 7 + 5 2 = 1 + 3 2 + 6 + 2 2 = 1 + 2
H
Ta có x 2 = 30 + 2 225 − 216 = 36 nên chọn x = 6 .
Do đó
ẠO
3 2 +2 3 3 2 −2 3 + =6 2 2
Đ
15 + 6 6 + 15 − 6 6 =
nên
(
3
7 − 5 2 − 3 7 + 5 2 . 3 7 + 5 2 7 − 5 2
)
C
)
(
)(
)
(
3
)
7 + 5 2 − 3 7 − 5 2 = 10 2 + 3x .
Í-
= 10 2 + 3
H
Ó
A
(
x3 = 7 + 5 2 − 7 − 5 2 − 3
ẤP
Cách khác: Đặt x = 3 7 + 5 2 − 3 7 − 5 2 . Ta có:
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
)
G
(
a) Ta có 3 2 ± 2 3
U
Hướng dẫn giải
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
nên
1
(
N
1
3
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
ÁN
Ta có phương trình:
(
)(
)
TO
x3 − 3 x − 10 2 = 0 ⇔ x − 2 2 x 2 + 2 2 x + 5 = 0 ⇔ x = 2 2
4
49 + 20 6 + 4 49 − 20 6
ID Ư
a)
Ỡ N
G
Bài toán 4.5: Tính gọn
4
2+ 5 +2 2+ 5 + 4 2+ 5 −2 2+ 5
BỒ
b)
a) Ta có
Hướng dẫn giải 4
49 + 20 6 = 4 25 + 10 24 + 24 =
4
(5 + 2 6 )
2
Trang 4 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
4
3+ 2
)
4
= 3+ 2
49 − 20 6 = 3 − 2 (do
3> 2)
49 + 20 6 + 4 49 − 20 6 = 2 3
N
Suy ra
4
(
N
Tương tự:
4
H Ơ
=
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
)
)
5 +1
5 +1 ⇒ M + N = 5 + 2 ⇒ M + N + 2 MN = 5 + 3 = 2 Vậy
4
2
2
2
2
5 +1 . 2
TR ẦN
2
2
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
(
ẠO
M 4 + N 4 = 4 + 2 5 ⇒ M 4 + N 2 + 2M 2 N 2 = 6 + 2 5 =
2+ 5 +2 2+ 5 + 4 2+ 5 −2 2+ 5 = M + N =
00
B
Bài toán 4.6:
10
1 23 + 513 3 23 − 513 + − 1 . Tính A = x3 + x 2 + 1 3 4 4
2+
3
a) Cho x = 3
A
C
ẤP
4+ 3 6+ 8 2k + k 2 − 1 200 + 9999 b) Tính B = + + ... + + ... + 1+ 3 2+ 4 99 + 101 k −1 + k +1
H
Ó
Hướng dẫn giải
3
23 + 513 ,b = 4
3
23 − 513 4
Í-
a) Đặt a =
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
U TP .Q
(
− 4 2 + 5 =1
Đ
)
2
G
(
2+ 5
Ư N
4
H
Ta có: MN =
Y
b) Đặt M = 4 2 + 5 + 2 2 + 5 , N = 4 2 + 5 − 2 2 + 5
ÁN
23 , ab = 1 và 3x + 1 = a + b 2
TO
⇒ a 3 + b3 = 3
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
Vì ( 3 x + 1) = 27 x 3 + 27 x 2 + 9 x + 1
( 3x + 1) A=
= 27 ( x3 + x 2 + 1) + 3 ( 3 x + 1) − 29 nên 3
3
− 3 ( 3 x + 1) + 29 ( a + b ) − 3 ( a + b ) + 29 = 27 27
23 a 3 + b3 + 3ab ( a + b ) − 3 ( a + b ) + 29 2 + 29 3 = = = 27 27 2 Trang 5
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
b) Với mọi k ≥ 2 thì
)
N
)(
) H Ơ
( k − 1)
k +1
k +1 − k −1 k +1 − k −1
3
. Do đó
2
ẠO
1 3 3 − 13 + 43 − 23 + 53 − 33 + 63 − 43 + ... + 1013 − 993 2
H
Ư N
G
Đ
1 999 + 1013 − 8 3 3 3 = −1 − 2 + 101 + 100 = 2 2 999 + 101 101 − 2 2 = 2
TR ẦN
a x − a− x a x + a− x a x − a− x ; ch ( x ) = ; th ( x ) = x với a > 0, a ≠ 1 . Chứng minh 2 2 a + a− x 2th ( x ) . ch 2 ( x ) − sh 2 ( x ) = 1 , th ( 2 x ) = 1 + th 2 ( x )
10
00
B
Bài toán 4.7: Cho sh ( x ) =
2
3
Hướng dẫn giải 2
C
ẤP
2
2+
a x + a−x a x − a−x Ta có ch ( x ) − sh ( x ) = − 2 2 2
H
Ó
A
a 2 x + a −2 x + 2 − a 2 x − a −2 x + 2 4 = = =1 4 4 2
Í-
2 ( a 2 x + a −2 x ) a x − a− x Ta có: 1 + th ( x ) = 1 + x = 2x −x + a a a + a −2 x + 2 2
ÁN
TO
2th ( x ) a x − a − x a 2 x + a −2 x + 2 = 2 . a x + a − x 2 ( a 2 x + a −2 x ) 1 + th 2 ( x )
G
nên
Ỡ N
2 ( a x − a − x )( a x − a − x )
2
2 ( a x + a − x )( a 2 x − a −2 x )
ID Ư
=
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
−
( k − 1)( k + 1) (
N
3
+
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
B=
( k + 1)
2
Y
=
2
) ( k + 1) ( k −1 +
k −1 +
U
(
TP .Q
2k + k − 1 = k −1 + k +1 2
=
a 2 x − a −2 x = th ( 2 x ) . a 2 x + a −2 x
BỒ
Bài toán 4.8: Cho số tự nhiên n lẻ, chứng minh: a) Nếu
1 1 1 1 1 1 1 1 + + = thì n + n + n = n a b c a+b+c a b c a + bn + c n Trang 6
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn b) Nếu ax n = by n = cz n ,
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
1 1 1 + + = 1 thì: x y z
ax n −1 + by n−1 + cz n −1 = n a + n b + n c
n
N
Hướng dẫn giải
N
H Ơ
1 1 1 1 + = − a b a+b+c c
U
Y
⇒ ( a + b ) . ( a + b + c ) c = abc − ab ( a + b + c ) ⇒ ( a + b )( b + c )( c + a ) = 0
Đ Ư N
G
1 1 1 ⇒ VT + + = n a + n b + n c ⇒ đpcm. x y z
TR ẦN
H
Bài toán 4.9: Tính: 5
log 1 25 2
1 125
00
−3
= 2log2 5 = 5−3 =
10
1 5 = 2
−3) log 2 5
= 25 = 32 .
C
1 6 −2 log 7 36 − log 7 14 − 3log 7 3 21 = log 7 = log 7 7 = −2 . 2 14.21
Ó
A
b)
log 0,5 2
= 2(
ẤP
1 32
log 2 5
3
= ( 2−3 )
2+
log 2 5
B
a) 3log3 18 = 18;35 log3 2 = 3log3 2 = 25 = 32
1 8
ẠO
1 1 1 ax n by n cz n + + = n ax n + + = n ax n = x n a = y n b = z n c x y z x y z
H
Bài toán 4.10: Rút gọn các biểu thức:
log a b
−b
log b a
Hướng dẫn giải
TO
b) B = a
-L
Í-
a) A = log 3 2.log 4 3.log 6 5.log 7 6.log8 7
ÁN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
b) VT =
n
TP .Q
⇒ có 2 số đối nhau mà ta có n lẻ ⇒ đpcm.
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
a) Từ giả thiết suy ra
G
a) A = log 3 2.log 4 3.log 5 4.log 6 5.log 7 6.log8 7
Ỡ N
log log 3 log 4 log 5 log 6 log 7 log 2 1 1 = = log8 2 = log 2 2 = . . . . . log 3 log 4 log 5 log 6 log 7 log8 log 8 3 3
ID Ư
=
BỒ
b) Đặt x = log a b ⇒ log a b = x 2 ⇒ b = a x Mặt khác log b a =
2
1 1 ⇒ log b a = 2 x x Trang 7
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
x
Do đó: B = a − a
x2 .
1 x
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
= 0.
Bài toán 4.11:
H Ơ
N
a) Cho log 6 15 = x,log12 18 = y , tính log 25 24 theo x, y
N
b) Cho a = log 2 3, b = log 3 5, c = log 7 2 , tính log140 63 theo a, b, c.
U
Y
Hướng dẫn giải
Đ G H
Ư N
log 2 23.3 5− y Do đó log 25 24 = = . log 2 52 2 ( x + 1 − 2 y + xy ) b) log140 63 = log140 32.7 = 2 log140 3 + log140 7
)
TR ẦN
(
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
ẠO
x + 1 − 2 y + xy 2 y −1 ;log 2 5 = 2− y 2− y
Suy ra log 2 3 =
2 1 2 1 + = + log 3 140 log 7 140 log 3 ( 22.5.7 ) log 7 ( 22.5.7 )
=
2 1 + 2log 3 2 + log 3 5 + log 3 7 2log 7 2 + log 7 5 + 1
2+
3
10
00
B
=
ẤP
1 1 = ,log 7 5 = log 7 2.log 2 3.log 3 5 = cab ; log 2 3 a
C
Ta có log 3 2 =
Ó
A
1 1 1 = = log 7 3 log 7 2.log 2 3 ca
H
log 3 7 =
Í-
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
TP .Q
log 2 3.5 log 2 3 + log 2 5 log 2 2.32 1 + 2log 2 3 a) Ta có x = = và y = = log 2 2.3 1 + log 2 3 log 2 22.3 2 + log 2 3
2
-L
Vậy log140 63 =
1 2ac + 1 = 2c + cab + 1 abc + 2c + 1
ÁN
2 1 +b+ a ca
+
TO
Bài toán 4.12: Cho các số thực a, b, c thỏa mãn:
Ỡ N
G
a log3 7 = 27, b log7 11 = 49, c log11 25 = 11 ( log 3 7 )2
BỒ
ID Ư
Tính T = a
+ b(
log 7 11)
2
+ c(
log11 25)
2
Hướng dẫn giải
Ta có:
T = a log3 7
(
)
log3 7
+ b log7 11
(
)
log 7 11
+ c log11 25
(
)
log11 25
Trang 8 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
= 27
log3 7
+ 49
log 7 11
+
( 11 )
log11 25
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
3
1 2
2
= 7 + 11 + 25 = 469 .
N
Bài toán 4.13: Trong điều kiện có nghĩa, chứng minh:
Y
N
n ( n + 1) 1 1 1 1 + + + ... + = log a b log a2 b log a3 b log a n b 2 log a b
U
log c b
= b logc b.logb a = b logc a
G Ư N
n ( n + 1) 1 = log a b 2log a b
H
= (1 + 2 + 3 + ... + n ) .
Đ
n 1 2 3 + + + ... + log a b log a b log a b log a b
b) VT =
Bài toán 4.14: Trong điều kiện có nghĩa, chứng minh:
B
a) Nếu a 2 + c 2 = b 2 thì log b + c a + log b −c a = 2log b+ c a.log b−c a .
00
log a d − log b d log a d = log b d − log c d log c d
10
b) Nếu a, b, c lập cấp số nhân thì
2+
3
Hướng dẫn giải
C
ẤP
a) Theo giả thiết: a 2 = ( b − c )( b + c ) . Xét a = 1 : đúng.
1 1 + =2 log b −c a log b + c a
H
Ó
A
Xét a ≠ 1 thì log a ( b − c ) + log a ( b + c ) = 2 ⇒ nên log b + c a + log b −c a = 2log b+ c a.log b−c a
Í-
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
= b logb a
ẠO
log c b
TR ẦN
a) a
TP .Q
Hướng dẫn giải
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
b)
H Ơ
a) a logc b = blogc a
TO
ÁN
-L
c log d 1 1 b b) Ta có log a d − log b d = − = log d a log d b ( log d a )( log d b )
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
c log d 1 1 a Tương tự: log b d − log c d = − = log d b log d c ( log d b )( log d c )
Vì a, b, c lập thành cấp số nhân nên
Do đó
c b c b = ⇒ log d = log d a a b a
log a d − log b d log d c log a d = = log b d − log c d log d a log c d Trang 9
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Bài toán 4.15: Cho x, y, z, a là các số thực dương đôi một khác nhau và khác 1. Chứng minh: a) Nếu log a x = 1 + log a x.log a z , log a y = 1 + log a y.log a x thì:
H Ơ U
Y
N
x ( y + z − x) y ( z + x − y) z ( x + y − z ) = = thì x y . y x = y z .z y = z x .x z log x log y log z Hướng dẫn giải
Ư N
G
Đ
1 1 = = log a z 1 − log a z log a z a z x
log a y log a y ⇒ 1 − log a z = 1 − log a z log a y − 1
B
Mà log a y = 1 + log a y.log a z , nên log a y = 1 +
TR ẦN
z
H
Do đó: log x a log a z = 1 . Tương tự log y a log a x = 1
10
00
⇒ log a z = 1 + log a y.log a z
3
Tương tự trên, ta cũng có log z a log a y = 1 . Do đó
2+
y
A
C
ẤP
A = log a x.log y a . log a y.log z a . log a z.log x a = 1 x y z
H
x = y = z = 0 , mâu thuẫn.
Ó
b) Nếu một trong các số x + y − z , y + z − x, z + x − y bằng 0 thì cả ba số đều bằng 0 và dẫn đến
Í-
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
⇒ log a x =
ẠO
a) Từ giả thiết, ta có: log a x = 1 + log a x.log a z
-L
Do đó x + y − z , y + z − x, z + x − y khác 0.
Ỡ N
G
TO
ÁN
x ( log y ) . ( y + z − x ) = y ( log x ) . ( z + x − y ) Từ giả thiết thì: y ( log z ) . ( z + x − y ) = z ( log y ) . ( x + y − z ) z ( log x ) . ( x + y − z ) = x ( log z ) . ( y + z − x )
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
TP .Q
b) Nếu
N
a A = log x.log a y.log a z.log x a.log y a.log z a = 1 . x y z
BỒ
ID Ư
Ta có: x ( log y ) . ( y + z − x ) = y ( log x )( z + x − y )
⇒ x log y = y ( log x ) .
z+x− y y+z−x
z+x− y ⇒ x log y + y log x = y ( log x ) . + 1 y + z − x Trang 10
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
2z z+x− y 2x z+x− y
N Y U
2z 2x = z log y. y+z−x z+x− y
TP .Q
⇔ y log x.
N
Do đó: x y . y x = y z .z y ⇔ x log y + y log x = y log z + z log y
ẠO
⇔ y ( log x ) . ( z + x − y ) = x ( log y )( y + z − x ) : đúng
Cho
các
số
Đ
4.16:
thực
a,
b,
c
mãn 1 < a < b < c .
thỏa
G
toán
Chứng
minh
rằng:
Ư N
Bài
TR ẦN
Hướng dẫn giải
H
log a ( log a b ) + log b ( log b c ) + log c ( log c a ) > 0 . Vì 1 < a < b nên log a b > 1 ⇒ log a ( log a b ) > log b ( log a b ) > 0
00
B
Ta có 1 < a < c nên log c a < 1
10
Suy ra 0 > log c ( log c a ) > log b ( log c a )
2+
3
Do đó log a ( log a b ) + log b ( log b c ) + log c ( log c a )
ẤP
> log b ( log a b ) + log b ( log b c ) + log b ( log c a )
A
C
= log b ( log a b.log b c.log c a ) = log b (1) = 0 13
Í-
H
Ó
−2 Bài toán 4.17: Trong khai triển nhị thức P ( x ) = x 3 + x x , x > 0 .
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Chứng minh tương tự: y z .z y = z x .x z .
a) Tìm hệ số của x13
ÁN
b) Tìm số hạng không chứa x
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
Tương tự y log z + z log y = z ( log y ) .
H Ơ
⇒ x log y + y log x = y ( log x ) .
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
TO
Hướng dẫn giải 13
Ỡ N
G
− 23 Số hạng tổng quát của P ( x ) = x + x x là: 13− k
BỒ
ID Ư
−2 Tk +1 = C x 3 k 13
(
x x
a) Hệ số của x13 ứng với
)
k
= C13k .x
13 k −52 6
13k − 52 = 13 ⇔ k = 10 là: 16
T11 = C1310 = 286 . Trang 11 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
b) Số hạng không chứa x ứng với 13k − 52 = 0 ⇔ k = 4 là T5 = C134 = 715 . 6
H Ơ
N
1 lg x +1 12 Bài toán 4.18: Trong khai triển nhị thức x + x , biết số hạng thứ tư bằng 200. Tìm x?
U
Y
1 . Ta có: 10 6
= 10 ⇔
7 + lg x lg x = 1 4lg x + 4
ẠO Đ Ư N
= 200 ⇔ x
7 + lg x 4 lg x + 4
H
C x
3 1 + 2( lg x +1) 4
TR ẦN
3 6
G
Số hạng thứ 4 ứng với k = 3 , theo giả thiết bằng 200 nên:
00
B
x = 10 lg x = 1 ⇔ lg 2 x + 3lg x − 4 = 0 ⇔ ⇔ (Chọn). −4 lg 4 x = − x = 10
3
ẤP
x
2+
log a (1 + x ) 1 ax −1 = ln a;lim = x →0 x →0 x x ln a
a) lim
10
Bài toán 4.19: Chứng minh các giới hạn:
A
C
n 1 + ax − 1 a a = b) lim 1 + = e a ;lim x →+∞ x →0 x n x
H
Ó
Hướng dẫn giải
x
Í-
ax −1 eln a − 1 e x ln a − 1 a) lim .ln a = ln a = lim = lim x →0 x →0 x →0 x ln a x x
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
1 6− k 1 k 1 6 2( lg x +1) k 2( lg x +1) 12 lg x +1 12 12 x + x =x + x = ∑ C6 x .x k =0
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
6
TP .Q
ĐK: x > 0, x ≠
N
Hướng dẫn giải
ÁN
log a (1 + x ) ln (1 + x ) 1 = lim log a e = x →0 x →0 x x ln a
TO
lim
a
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
x a x 1 a b) lim 1 + = lim 1 + = e a x →+∞ x x x→+∞ a n
lim x →0
1 + ax − 1 = lim x →0 x x
1 + ax + 1
(
n
(1 + ax )
n −1
+ n (1 + ax )
n−2
+ ... + 1
)
=
a n Trang 12
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Bài toán 4.20: Tìm các giới hạn sau:
e 2 x − e5 x a) lim x →0 x
N
2 x + 5x − 2 b) lim x x→0 3 + 5 x − 2
H Ơ
Hướng dẫn giải
U
Y
N
e 2 x − 1 e5 x − 1 e 2 x − e5 x a) lim = lim − = 2 − 5 = −3 x →0 x →0 x x x
TP .Q
2 x − 1 5x − 1 + 2 +5 −2 x x = ln 2 + ln 5 = ln10 b) lim x = lim x x x x →0 3 + 5 − 2 x →0 3 − 1 5 − 1 ln 3 + ln 5 ln15 + x x
G Ư N
6 x − 3x b) lim x →0 ln (1 + 6 x ) − ln (1 + 3 x )
H
1 − cos 2 x
TR ẦN
x →0
ln (1 + 3 x 2 )
Hướng dẫn giải
x →0
B
= lim
1 − cos 2 x
2sin 2 x
00
x →0
ln (1 + 3 x 2 )
10
a) lim
ln (1 + 3x 2 )
ẤP
2+
3
3ln (1 + 3x 2 ) sin x 2 3 1 = lim : = 2 x →0 3x2 x 2
Ó
A
C
6 x − 1 3x − 1 ln (1 + 6 x ) ln (1 + 3x ) 6 x − 3x = lim − − b) lim : x →0 ln (1 + 6 x ) − ln (1 + 3 x ) x →0 x x x x
Í-
H
1 = ( ln 6 − ln 3) : ( 6 − 3) = ln 2 . 3
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Bài toán 4.21: Tìm các giới hạn sau: a) lim
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
ẠO
x
Đ
x
ÁN
Bài toán 4.22: Tìm các giới hạn sau: x
x +3 b) lim x →+∞ x + 1
Ỡ N
G
TO
1 a) lim 1 + x →+∞ x −3
x
Hướng dẫn giải x
BỒ
ID Ư
x −3 1 1 x −3 1 a) lim 1 + 1 + = xlim =e =e x →+∞ →+∞ x − 3 x −3 x
Trang 13 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
= e2
N
N
x
2x x +1
H Ơ
x + 3 2 1 = lim 1 + = lim 1 + b) lim x →+∞ x + 1 x +1 x→+∞ x + 1 x →+∞ 2 x
x +1 2
1
2
ax + bx x b) lim với 0 < a, b ≠ 1 . x →0 2
Đ Ư N H
2 7 ln (1 + x ) =− : 2 3 x + 3 1 + x2 + 1
3
2 2
(1 + x )
TR ẦN
1
B
−2 x 2 −1 e = lim −2 − 2 x →0 2 − x
G
2 e −2 x2 − 1 3 1 + x 2 − 1 ln (1 + x 2 ) e −2 x − 3 1 + x 2 a) lim = lim − : 2 2 x →0 x →0 x x x2 ln (1 + x 2 )
1 x
C =e
A
x →0
ln a + ln b 2
= eln
00
ab
= ab
Ó
x →0
= lim e
a x −1 b x −1 + 2x 2x
H
= lim e
a x +b x −1 2 x
ẤP
2+
3
10
1 1 x x x a + bx ax + bx x a +b −1 b) lim − 1 2 = lim 1 + x →0 x →0 2 2
a x +b x −1 2 x
x
Vậy lim x →0
Í-
a +b = ab 2 x
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Hướng dẫn giải
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
ẠO
TP .Q
e−2 x − 3 1 + x 2 a) lim x →0 ln (1 + x 2 )
U
Y
Bài toán 4.23: Tìm các giới hạn sau:
TO
ÁN
Bài toán 4.24: Tính các giới hạn sau:
1 1 − x − 1 ln x
ID Ư
Ỡ N
G
a) lim x →1
b) lim (1 + x )
cot x
x →0
Hướng dẫn giải
1 ln x − x + 1 1 − = lim x − 1 ln x x→1 ( x − 1) ln x
BỒ
a) lim x →1
Trang 14 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
H Ơ
N
1 −1 ln x − x + 1) ' ( x = lim = lim x →1 ( x − 1) ln x ' ( ) x→1 ln x + x − 1 x
(1 − x ) ' = lim −1 = − 1 1− x = lim x →1 ln x + x − 1 x →1 ( x ln x + x − 1) ' x →1 ln x + 2 2
x →0
lim ( cot x ln (1+ x ) )
= e x →0
=e
U TP .Q
Ư N
G
Bài toán 4.25: Tìm các giới hạn sau: 1
5
b) lim ( cos 3 x ) x
a) lim ( cos x ) 2 x 2
x →0
TR ẦN
x →0
Hướng dẫn giải
ln ( cos x ) ( ln ( cos x ) ) ' = lim − tan x = lim ( − tan x ) ' = lim 2 x →0 x →0 2x ( 2 x 2 ) ' x →0 4 x x →0 ( 4 x ) '
= lim e
3 2 x2
lim
ln ( cos x )
=e
x→0
2 x2
x →0
=e
−
1 4
A
x →0
ln ( cos x )
ẤP
Nên lim ( cos x )
1 2 x2
1 4
2+
4
x →0
=−
C
= lim =
− ( tan 2 x + 1)
10
00
B
a) Ta có lim
Í-
H
Ó
15sin 3 x − 5ln ( cos 3x ) ) ' 5ln ( cos 3x ) ( b) lim = lim = lim cos3 x = 0 x →0 x → 0 x →0 x 1 ( x) '
ÁN
5 x
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
x →0
cot x ln (1+ x )
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
= lim e
Đ
cot x
H
nên lim (1 + x )
ẠO
1 ln (1 + x ) ) ' ln (1 + x ) ( = lim = lim 12+ x = 1 b) Ta có: lim ( cot x ln (1 + x ) ) = lim x →0 x →0 x → 0 tan x ( tan x ) ' x→0 tan x + 1
Y
N
= lim
Nên lim ( cos 3x ) = lim e x →0
=e
lim
5( ln ( cos 3 x ) )
x→0
x
= e0 = 1
TO
x →0
5 ln ( cos 3 x ) x
G
Bài toán 4.26: Tính giới hạn sau: b) lim x →π
BỒ
ID Ư
Ỡ N
1 a) lim 2 x →+∞ x − x −1
1 ln x
ln (π x−π )
x −π
Hướng dẫn giải 1
ln x 1 a) lim = lim x + x 2 + 1 2 x →+∞ x →+∞ x − x −1
(
)
1 ln x
Trang 15 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
ln x
x →+∞
) = lim
x2 + 1 = 1 1 x
x →+∞
N
(
ln x + x + 1
1
H Ơ
Ta có: lim
2
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
1
Y U ẠO
Đặt g ( x ) = ln π x thì g ( π ) = ln π và g ' ( x ) = ln π
Đ G H
Ư N
g ( x ) − g (π ) ln π x −π lim = lim = g ' (π ) = ln π x →π x − π x →π x −π
2 x − 2− x b) y = x 2 + 2− x
e +1
c) y = x 5 − 5 x + x x
B
4x
00
a) y = x
TR ẦN
Bài toán 4.27: Tìm đạo hàm của hàm số sau:
3
=
2+
e4 x + 1
2 x ( x + 1) e 4 x + 1 e4 x + 1
(2
x
C
ln 2 + 2− x ln 2 )( 2 x + 2− x ) − ( 2 x − 2− x )( 2 x ln 2 − 2− x ln 2 )
x
+ 2− x )
2
2
+ 2 − x ) − ( 2 x − 2− x )
( 2 x + 2− x )
2
2
Í-
x
-L
(2 =
H
Ó
A
b)
(2 y' =
+1 +
2 x 2e 4 x
ẤP
a) y ' = 2 x e
4x
10
Hướng dẫn giải
4ln 2 2
2
ln 2 =
(2
x
+ 2− x )
2
ÁN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Theo định nghĩa đạo hàm ta có:
2
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
x →π
πx 1 1 ln π x − ln π π ln (π x −π ) = lim ln π = lim x →π x − π x →π x −π x −π π
TP .Q
b) lim
N
ln x 1 Vậy: lim = e1 = e 2 x →+∞ x − x −1
TO
c) Ta có y = x 5 − 5 x + x x = x 5 − 5 x + e x ln x nên
G
y ' = 5 x 4 − 5 x ln 5 + e x ln x ( ln x + 1) = 5 x 4 − 5 x ln 5 + x x ( ln x + 1)
ID Ư
Ỡ N
Bài toán 4.28: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
(
BỒ
a) y = ln x + x 2 + a 2 b) y = log
3
(−x
2
)
+ 5x + 6)
c) y = cos x.e 2 tan x Hướng dẫn giải Trang 16 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
x 1
a) y ' =
x2 + a2 = x + x2 + a2
b) y ' =
−2 x + 5 −4 x + 10 = 2 ( − x + 5 x + 6 ) ln 3 ( − x + 5x + 6) ln 3
N
x2 + a2
H Ơ
1+
U
Y
2 2 .e 2 tan x = e 2 tan x − sin x cos x cos x
TP .Q ẠO
Bài toán 4.29: Chứng minh:
Đ G H
Hướng dẫn giải
Ư N
x2 1 + x x 2 + 1 + ln x + x 2 + 1 thì: 2 y = xy '+ ln y ' b) Nếu y = 2 2
TR ẦN
a) y ' = 4e 4 x − 2e − x , y '' = 16e 4 x + 2e − x , y ''' = 64e 4 x − 2e − x nên:
10
1 2 x x2 + 1 x +1 + + 2 2 x2 + 1 2 x + x2 + 1
b) y ' = x +
2 x +1
2+
ẤP
2
+
1 2
2 x +1
= x + x2 + 1
C
2 x2 + 1
)
3
(
Ó
A
= x+
x
1+
2
00
B
y '''− 13 y '− 12 y = ( 64e 4 x − 2e − x ) − 13 ( 4e 4 x − 2e − x ) − 12 ( e 4 x + 2e − x ) = 0
(
H
Do đó, ta có: 2 y = x 2 + x x 2 + 1 + ln x +
x2 + 1
Í-
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
a) Nếu y = e 4 x + 2e − x thì: y '''− 13 y '− 12 y = 0
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
c) y ' = − sin x.e 2 tan x +
N
2
)
(
)
ÁN
-L
xy ' = x 2 + x x 2 + 1 và ln y ' = ln x + x 2 + 1
TO
⇒ 2 y = xy '+ ln y ' : đpcm.
G
Bài toán 4.30: Tìm đạo hàm cấp n của hàm số b) y = ln 6 x 2 − x − 1
(
Ỡ N
a) y = 5kx
)
ID Ư
Hướng dẫn giải 2
BỒ
a) y ' = ( k ln 5 ) .5kx ; y '' = ( k ln 5 ) .5kx Ta chứng minh quy nạp: y
( n)
n
= ( k ln 5 ) .5kx
Trang 17 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
b) Với x < −
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
1 1 hoặc x > : 3 2
m
n −1
n −1
Đ
ẠO
−1) ( n − 1)!2n −1 ( −1) ( n − 1)!3n −1 ( = + n n ( 2 x − 1) ( 3x + 1)
G
Bài toán 4.31: Tìm khoảng đơn điệu và cực trị hàm số:
ex a) y = x
TR ẦN
H
b) y = x 2 .e − x Hướng dẫn giải
00
B
e x ( x − 1) a) D = ℝ \ {0} , y ' = , y ' = 0 ⇔ x = 1. x2
x
3
10
BBT
2+
−∞
y'
−
C
y
Ó
0
+
+∞ e
−∞
Í-
H
+∞
+∞
A
+∞
1
ẤP
−
0
Vậy hàm số nghịch biến trong các khoảng ( −∞;0 ) và ( 0;1) đồng biến trên khoảng (1; +∞ ) , đạt CT (1; e )
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Suy ra y
( n)
U
−1) m !a m ( = m +1 ( ax + b )
b) D = ℝ, y ' = 2 x − x 2 e x , y ' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2 .
TO
)
x y' y
0
−∞ −
0
2 +
0
+∞ −
4e −2
+∞
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
BBT
ÁN
(
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
( m)
TP .Q
1 Ta chứng minh quy nạp ax + b
Y
N
H Ơ
1 1 + 2 x − 1 3x + 1
Ư N
⇒ y' =
N
y = ln ( ( 2 x − 1)( 3x + 1) ) = ln 2 x − 1 + ln 3x + 1
0
−∞
Trang 18 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Vậy hàm số đồng biến trong khoảng ( 0; 2 ) , nghịch biến trong các khoảng ( −∞;0 ) và ( 2; +∞ ) , đạt CĐ −2
( 2; 4e ) , CT ( 0;0 ) . a) y = ln x 2 − 1
)
b) y = x − ln (1 + x )
N U
2x x −1
TP .Q
a) D = ( −∞; −1) ∪ (1; +∞ ) , y ' =
Y
Hướng dẫn giải 2
ẠO
Khi x < −1 thì y ' < 0 nên hàm số nghịch biến trên ( −∞; −1)
Đ G H
1 y = , y' = 0 ⇔ x = 0 1+ x 1+ x
y ' > 0, ∀x ∈ ( 0; +∞ ) nên hàm số đồng biến trên ( 0; +∞ )
TR ẦN
b) D = ( −1; +∞ ) , y ' = 1 −
Ư N
Hàm số không có cực trị.
2
10
(1 + x )
> 0 nên đạt cực tiểu tại x = 0, yCT = 0 .
3
1
2+
Ta có y '' =
00
B
y ' < 0, ∀x ∈ ( −1;0 ) nên hàm số nghịch biến trên ( −1;0 )
ẤP
Bài toán 4.33: Cho a, b, c là các sự thực dương. Chứng minh hàm số
A
C
ax bx cx + + đồng biến với mọi x dương. bx + cx cx + ax ax + bx
Ó
f ( x) =
Í-
H
x x x x x x a x a .ln a ( b + c ) − a ( b .ln b + c .ln c ) Ta có x '= 2 x b +c (bx + cx )
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Khi x > 1 thì y ' > 0 nên hàm số đồng biến trên (1; +∞ )
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
(
H Ơ
N
Bài toán 4.32: Tìm khoảng đơn điệu và cực trị hàm số:
ÁN
TO
(b
x
+ cx )
2
G
=
a xb x ( ln a − ln b ) + a x c x ( ln a − ln c )
BỒ
ID Ư
Ỡ N
/ a xb x ln a − ln b + a x c x ln a − ln c ax ( ) ( ) Do đó f ' ( x ) = ∑ x = ∑ 2 x sym b + c sym (b x + c x )
a xb x ln a − ln b a xb x ln a − ln b ( )− ( ) = ∑ 2 2 x x sym ( a x + c x ) (b + c ) Trang 19
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
( a − b )( a + b + 2c ) > 0 ( ln a − ln b ) ( a + c ) (b + c ) x
= ∑a b x
x
x
x
x
x 2
x
sym
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com x
x 2
x
5
23
b)
3
7 + 15 và 10 + 3 28
Ta có 371293 > 279841 nên 3
13 > 5 23
4
7 + 15 < 2 + 4 = 3 + 3 < 10 + 3 28
Đ
b)
U
13 = 20 135 = 20 371293; 3 23 = 20 234 = 20 279841
TP .Q
4
ẠO
a)
Y
Hướng dẫn giải
G Ư N
và 3−3
2
H
và 5
4 5
TR ẦN
a) 3
1 b) 3
400
Hướng dẫn giải
1 = 3
00
B
2 5
−3 2
và 3
(
2
) (
< 2 5
Ó
Ta có 3 2 < 2 5 ⇔ 3 2
1 = 3
H
2 5
Í-
1 1 Vì cơ số 0 < < 1 nên 3 3
10
3 2
3
4 5
= 25200 . Vậy 3600 > 5400
2+
1 b) Ta có 3
200
= 27 200 và
ẤP
5400 = ( 52 )
200
2
C
( )
A
a) Ta có: 3600 = 33
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Bài toán 4.35: So sánh các số: 600
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
13 và
H Ơ
4
N
a)
N
Bài toán 4.34: So sánh các số:
1 < 3
)
3 2
⇔ 18 < 20 : đúng 1 ⇒ 3
4 5
< 3−3
2
.
ÁN
Bài toán 4.36: Hãy so sánh các số:
1 3
log 6 11
b) 3
Ỡ N
G
TO
a) log 3 4 và log 4
ID Ư
a) Ta có log 3 4 > 1 và log 4
và 7
log 6 0,99
Hướng dẫn giải
1 1 < 0 , suy ra log 3 4 > log 4 3 3
BỒ
b) Ta có log 6 1,1 > 0 nên 3log6 1,1 > 30 = 1 (vì 3 > 1 ) và log 6 0,99 < 0 nên 7 log6 0,99 < 7 0 = 1 (vì 7 > 1 ). Suy ra 3log6 1,1 > 7 log 6 0,99 . Bài toán 4.37: Hãy so sánh các số: Trang 20
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
a) log8 27 > log 9 25
b) log 4 9 > log 9 25 Hướng dẫn giải
N
a) log8 27 > log8 25 > log 9 25
H Ơ
b) log 4 9 = log 2 3 = log8 27 > log 9 25
U
2
> 222...2222...2
2
24
16
G
= 22 = 22
Ư N
22
22
2
> 264000
TR ẦN
⇒ 216 = 210.26 > 64000 nên 22
H
Mà 210 = 1024 > 1000, 26 = 64
2
> 12 + 22 + 33 + ... + 10001000
00
3
22
ẤP
b) Ta chứng minh quy nạp 2 n −2 > n, ∀n ≥ 6
2+
Từ đó suy ra 22
= 210010 < 264000
10
1001
< ( 210 )
B
Mặt khác: 12 + 22 + 33 + ... + 10001000 < 1000.10001000 = 10001001
2
24 n
4n
= 24 n.2 < 22
5n
Í-
bn < ( 24 n )
H
Ó
Ta có 222...2 < 10n < 24 n nên
A
C
Với n số 2, đặt an = 2 n⋰ , bn = 222...2 222...2
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
a) Ta thấy rằng 22
Đ
Hướng dẫn giải
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
ẠO
⋰2
b) Chứng minh với n số 2, n > 6 thì 22
22
TP .Q
a) So sánh hai số 11 + 22 + 33 + ... + 10001000 và 22
Y
N
Bài toán 4.38:
2
an − 2
n−2
− 2n +1 > 0
5n
> 22 > bn . Ta có đpcm.
TO
Nên an = 2 2
ÁN
Và mặt khác an − 2 − 5n > 2 2⋰ − 8.2 n− 2 > 2 2
Ỡ N
G
Bài toán 4.39: Chứng minh:
ID Ư
a) log n ( n + 1) > log n+1 ( n + 2 ) với mọi số nguyên n > 1
BỒ
b) a m + b m < c m , nếu m > 1 , a + b = c với a > 0, b > 0 Hướng dẫn giải
a) A = log n ( n + 1) = log n n 1 +
1 1 = 1 + log n 1 + n n Trang 21
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
1 1 B = log n+1 ( n + 2 ) = log n +1 ( n + 1) 1 + = 1 + log n +1 1 + n +1 n +1
H Ơ Y
N
1 1 > log n +1 1 + n +1 n +1
U
m
ẠO
1 1 ⇒ log n 1 + > log n+1 1 + . Do đó A > B . n n +1 m
a b b) Ta có a + b < c ⇔ + < 1 c c
Đ
m
1
m
a a Suy ra với m > 1 thì < c c
H
1
m
b b ; < c c
m
B
m
a b < 1,0 < < 1 c c
TR ẦN
Mà a + b = c, a > 0, b > 0 nên 0 <
Ư N
G
m
10
00
a b a b Từ đó ta có: + < + = 1 c c c c
2+
3
Bài toán 4.40:
ẤP
a) Cho a, b, c > 0 . Chứng minh a a .bb .c c ≥ a b .b c .c a
C
b) Cho a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác nhọn. Chứng minh:
Í-
H
Ó
A
2 2 2 2 2 2 3 3 3 b + b + c + c > a + a
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
m
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
và log n 1 +
N
1 1 1 1 > 1+ ⇒ log n 1 + > log n 1 + n n +1 n n +1
TP .Q
Ta có 1 +
Hướng dẫn giải
ÁN
a) Giả sử a = max {a; b; c} .
TO
- Xét a ≥ b ≥ c : BĐT ⇔ a a −b .bb −c ≥ c a −c
Ỡ N
G
Vì a ≥ b ≥ c > 0 nên a a −b .bb−c ≥ c a −b .bb −c = c a −c
ID Ư
- Xét a ≥ c ≥ b : BĐT ⇔ a a −b ≥ bc −b .c a −c Vì a ≥ c ≥ b > 0 nên bc −b .c a −c ≤ a c −b .a a −c = a a −b
BỒ
b) Không mất tính tổng quát, ta giả sử a là cạnh lớn nhất trong các cạnh của tam giác. Khi đó, ta có 2
2
2
2 3
2 3
2 3
a > b > c , a > b > c nên:
Trang 22 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 a + a + b + b > c + c a + a + c + c > b + b và
1 3
2
2
3
2
2
= y 6 + z 6 + 3 y 2 z 2 ( y 2 + z 2 ) > y 6 + z 6 + 2 y 3 z 3 = ( y 3 + z 3 ) > ( x3 ) = x 6 2 3
2
2 3
2 3
ẠO
Suy ra y + z > x hay b + c > a ⇒ đpcm.
≤ a a .bb .c c
G
a +b +c 3
Ư N
a) Cho a, b, c > 0 . Chứng minh ( abc )
Đ
Bài toán 4.41:
1 4
TR ẦN
H
b) Cho 4 số x, y, z , t ∈ ;1 . Chứng minh:
B
1 1 1 1 log x y − + log y z − + log z t − + log t x − ≥ 8 . 4 4 4 4
≤ log ( a a .bb .c c )
3
a +b+ c 3
2+
a) BĐT ⇔ log ( abc )
10
00
Hướng dẫn giải
ẤP
⇔ ( a + b + c ) log ( abc ) ≤ 3 ( log a a + log bb + log c c )
A
C
⇔ ( a + b + c )( log a + log b + log c ) ≤ 3 ( a log a + b log b + c log c )
H
Ó
⇔ ( a − b )( log a − log b ) + ( b − c )( log b − log c ) + ( c − a )( log c − log a ) ≥ 0 BĐT này đúng vì cơ số 10 > 1 nên x ≥ y > 0 ⇒ log x ≥ log y hoặc 0 < x ≤ y ⇒ log x ≤ log y nên
Í-
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Y
)
U
(
TP .Q
Ta có: y 2 + z 2
N
x = a ; y = b ; z = c thì y 3 + z 3 > x3
ÁN
-L
( x − y )( log x − log y ) ≥ 0 , ∀x > 0, ∀y > 0 .
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
1 3
H Ơ
1 3
N
Do a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác nhọn nên b 2 + c 2 > a 2
2
TO
1 1 b) Ta có: a − ≥ 0 ⇒ a − ≤ a 2 với mọi a. 2 4
G
1 < x, y, z , t < 1 nên hàm nghịch biến, do đó: 4
ID Ư
Ỡ N
Và vì
BỒ
VT ≥ log x y 2 + log y z 2 + log z t 2 + log t x 2
= 2 ( log x y + log y z + log z t + log t x )
≥ 8. 4 log x y.log y z.log z t.log t x = 8 4 1 = 8 . Bài toán 4.42: Chứng minh: Trang 23 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
n
a) n n+1 > ( n + 1) , ∀n ∈ ℕ, n > 3 b)
n
x n + y n ≥ n +1 x n +1 + y n+1 với n nguyên, n ≥ 2 và x, y ≥ 0 .
H Ơ
N
Hướng dẫn giải
Y U TP .Q
x ln x − 1 > 0. trên ( 3; +∞ ) thì f ' ( x ) = ln x ln 2 x
n +1
G
n
. Xét f ( t ) =
n +1 n + 2 n
(1 + t )
n n −1
(1 + t )
H
; f '(t ) = 0 ⇔ t = 1 .
2+
3
n +1
với t ∈ ( 0; +∞ ) .
00
t n−1. (1 − t )
Ta có f ' ( t ) =
1 + t n+1
B
n +1
1+ tn
10
n
x x n 1+ ≥ n +1 1 + y y
TR ẦN
Với xy > 0 , bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
Ư N
b) Với x = 0 hoặc y = 0 , bất đẳng thức đúng.
0
f '(t )
0
1
+∞
+
0
−
Í-
f (t )
H
Ó
A
C
x
ẤP
BBT
1
1
ÁN
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Đ
Do đó f đồng biến trên ( 3; +∞ ) nên: n + 1 > n > 3 ⇒ f ( n + 1) > f ( n ) (đpcm)
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
Xét f ( x ) =
n +1 n > ln ( n + 1) ln n
ẠO
( n + 1) ln n > n ln ( n + 1) ⇔
N
a) Với n ∈ ℕ, n > 3 , bất đẳng thức tương đương
TO
Suy ra f ( t ) ≥ 1 với mọi t ∈ ( 0; +∞ ) ⇒ đpcm.
Ỡ N
G
Bài toán 4.43: Chứng minh các bất đẳng thức sau với mọi x > 0 b) e x > 1 + x +
BỒ
ID Ư
a) e x > x + 1
x2 2
x2 c) ln (1 + x ) > x − 2 Hướng dẫn giải
Trang 24 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
a) Xét hàm số f ( x ) = e x − x − 1, x ≥ 0 thì f ' ( x ) = e x − 1 > 0, ∀x > 0 nên f đồng biến trên ( 0; +∞ ) vì f liên tục trên [ 0; +∞ ) nên f đồng biến trên [ 0; +∞ ) : x > 0 ⇒ f ( x ) > f ( 0 ) = 0 : đpcm.
N
x2 b) Xét f ( x ) = e − − x − 1, x ≥ 0 thì f ' ( x ) = e x − x − 1 . 2
H Ơ
x
Y
N
Theo câu a) thì f ' ( x ) > 0 nên f đồng biến trên [ 0; +∞ ) .
TP .Q
U
x > 0 ⇒ f ( x ) > f ( 0 ) = 0 : đpcm.
H
và f liên tục trên [ 0; +∞ ) nên f đồng biến trên [ 0; +∞ )
TR ẦN
Do đó: x > 0 ⇒ f ( x ) > f ( 0 ) = 0 : đpcm. Bài toán 4.44: Chứng minh:
B
π 2
10
00
a) 4sin x + 2 tan x > 23 x + 2 , ∀x ∈ 0;
3
x với mọi x x − 2x + 2
2+
2
ẤP
b) e x >
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
Ư N
G
Đ
x2 x2 , x ≥ 0, f ' ( x ) = ≥0 2 1+ x
Xét f ( x ) = ln (1 + x ) − x +
C
Hướng dẫn giải
A
a) Áp dụng bất đẳng thức Côsi:
H
Ó
4sin x + 2 tan x ≥ 2 4sin x.2 tan x = 22 sin x + tan x + 2
Í-
Ta cần chứng minh: 22 sin x + tan x + 2 > 23 x + 2 ⇔ 2sin x + tan x > 3 x
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
x2 > 0, ∀x > 0 c) BĐT: ln (1 + x ) − x + 2
TO
ÁN
Xét f ( x ) = 2sin x + tan x − 3x, 0 ≤ x <
Ỡ N
G
f ' ( x ) = 2cos x +
π 2
1 1 − 3 > 2 cos 2 x + −3≥ 2 2 −3> 0 2 cos x cos 2 x
π : x > 0 ⇒ f ( x ) > f ( 0 ) = 0 : đpcm. 2
ID Ư
nên f đồng biến trên 0;
BỒ
b) Nếu x ≤ 0 thì BĐT đúng. Nếu x > 0 , vì x 2 − 2 x + 2 > 0, ∀x nên BĐT ⇔ x 2 − 2 x + 2 >
x . Xét f ( x ) = x 2 − 2 x + 2, x > 0 x e Trang 25
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
f ' ( x ) = 2 x − 2, f ' ( x ) = 0 ⇔ x = 1 . Lập BBT thì min f ( x ) = f (1) = 1
1 . Vì min f ( x ) > max g ( x ) ⇒ đpcm. e
H Ơ
Lập BBT thì max g ( x ) = g ( x ) =
N
x e x − xe x 1 − x , x > 0, g ' x = = x ; g '( x ) = 0 ⇔ x = 1 ( ) ex e2 x e
N U TP .Q
x2 , ∀x 2
ẠO
a) e x + cos x ≥ 2 + x −
Y
Bài toán 4.45: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
)
(
Đ Ư N
G
Hướng dẫn giải
x2 a) Xét hàm số f ( x ) = e + cos x − 2 − x + , D = ℝ 2
TR ẦN
H
x
f ' ( x ) = e x − sin x − 1 + x; f ' ( x ) = 0 ⇔ x = 0
00
B
f '' ( x ) = e x + 1 − cos x > 0, ∀x nên f ' ( x ) đồng biến trên ℝ , ta có:
10
f ' ( x ) < f ' ( 0 ) = 0, ∀x; f ' ( x ) > f ' ( 0 ) = 0, ∀x > 0 .
x
2+
3
BBT:
−
0 0
+∞ +
A
C
f '( x )
ẤP
−∞
H
Ó
f ( x)
0
Í-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
b) e x − e − x ≥ 2ln x + 1 + x 2 , ∀x ≥ 0 .
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
Xét g ( x ) =
TO
ÁN
Vậy f ( x ) = e x + cos x − 2 − x +
x2 ≥ 0, ∀x 2
(
)
Ỡ N
G
b) Xét hàm số f ( x ) = e x − e− x − 2 ln x + 1 + x 2 , D = [ 0; +∞ )
BỒ
ID Ư
f ' ( x ) = e x + e− x −
Vì e x + e − x > 2 và
2 1 + x2 2 1 + x2
: f '( x) = 0 ⇔ x = 0 .
< 2 nên f ' ( x ) > 0, ∀x > 0 .
Do đó f ( x ) đồng biến trên [ 0; +∞ ) nên f ( x ) ≥ f ( 0 ) = 0 ⇒ đpcm. Trang 26 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Bài toán 4.46: Cho 0 < x < 1;0 < y < 1 và x ≠ y . Chứng minh rằng:
N
1 y x − ln ln >4 y − x 1− y 1− x
H Ơ
Hướng dẫn giải
Y
N
Do x ≠ y , không giảm tổng quát, giả sử y > x . Xét hàm số 2
biến
đồng
( 0;1)
trên
mà
nên
y>x
có
f ( y ) > f ( x)
hay
Ư N
G
Đ
y x − 4 y > ln − 4 x và do y − x > 0 nên suy ra: 1− y 1− x
ta
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
hàm
TP .Q
là
TR ẦN
H
1 y x − ln ln > 4 ⇒ đpcm. y − x 1− y 1− x b
a
B
1 1 Bài toán 4.47: Cho a > b > 0 . Chứng minh 2a + a ≤ 2b + b 2 2
10
00
Hướng dẫn giải
b
3
Với a > b > 0 , bất đẳng thức tương đương b
C
ẤP
2+
b a 4 a + 1 4b + 1 a b a ≤ b ≤ ( 4 + 1) ≤ ( 4 + 1) 2 2
⇔ b.ln ( 4 + 1) ≤ a.ln ( 4 + 1) ⇔
ln (1 + 4a )
A
b
b
Í-
x
,x > 0
1 4 x ln 4 1 x x . − ln 1 + 4 = 4 .ln 4 x − (1 + 4 x ) .ln (1 + 4 x ) < 0 x ( ) 2 x 2 x 1+ 4 x
(
)
G
TO
f '( x) =
≤
-L
Xét f ( x ) =
ln (1 + 4 x )
a
ln (1 + 4b )
H
Ó
a
ÁN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ln
f (t )
ẠO
Vậy
U
( 2t − 1) ≥ 0 t f (t ) = − 4t , với 0 < t < 1 ⇒ f ' ( t ) = 1− t t (1 − t )
Ỡ N
nên f nghịch biến: a > b > 0 ⇒ f ( a ) < f ( b ) : đpcm.
BỒ
ID Ư
Bài toán 4.48: Cho p > 1, q > 1 thỏa p + q = pq và a, b > 0 .
a p bq + Chứng minh ab ≤ p q Hướng dẫn giải
Trang 27 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
a p bq + − ab với a > 0 . Xét hàm số f ( a ) = p q =b⇔a=b
1 p −1
N N
Mà p + 1 = pq ⇒ ( p − 1)( q − 1) = 1 nên a = b q −1 Lập BBT thì min f = f b q −1 = 0 ⇒ đpcm.
U
Y
)
TP .Q
(
Bài toán 4.49: Cho a, b > 0 và a + b = 1 . Chứng minh bất đẳng thức
ẠO
e ax +by ≤ a.e x + b.e y , ∀x, ∀y
Đ
Hướng dẫn giải
⇔ e y .e
G Ư N
ax + (1− a ) y
a( x − y )
H
≤ a.e x + (1 − a ) e y
≤ e y + a ( e x − y − 1)
e
a( x − y )
− a.e x − y + a − 1 ≤ 0
TR ẦN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Ta có b = 1 − a do đó 0 < a < 1 nên BĐT:
e
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
− b, f ' ( a ) = 0 ⇔ a
p −1
H Ơ
f '( a ) = a
p −1
f ' ( t ) = a ( e at − et ) , f ' ( t ) ⇔ t = 0
00
B
Xét f ( t ) = e at − a.et + a − 1, t ∈ ℝ.
x
2+
3
−∞
f'
0
ẤP
+
0
+∞ −
C
0
H
Ó
A
f
10
BBT
-L
Í-
Suy ra f ( t ) ≤ 0, ∀t ⇒ đpcm.
ÁN
Bài toán 4.50: Cho a, b, c > 0 . Chứng minh c
a
b
b) ( a + b ) + ( b + c ) + ( c + a ) > 2
TO
a) a b + b a > 1
G
Hướng dẫn giải
Ỡ N
a) Nếu a ≥ 1 hoặc b ≥ 1 thì a b + b a > 1 α
BỒ
ID Ư
Nếu 0 < a, b < 1 . Xét f ( x ) = (1 + x ) − 1 − α x, x > 0,0 < α < 1 α −1
f ' ( x ) = α (1 + x )
1 −α = α − 1 <0 (1 + x )1−α α
nên x > 0 ⇒ f ( x ) < f ( 0 ) = 0 ⇒ (1 + x ) < 1 + α x
(*) Trang 28
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
1 1 a +1 , x > 0 ⇒ ab > = 1+ x 1 + xb a + b + ab
nếu
có
N
một
số,
chẳng
a + b ≥ 1 thì
hạn
c
≥ 1 và
b
+ ( c + a ) > b a + a b > 1 suy ra đpcm. Còn nếu cả 3 số đó bé hơn 1 thì dùng bất đẳng thức (*).
3. BÀI LUYệN TậP
B = ( −0,5 )
1 − 6250,25 − 2 4
+ 19 ( −3)
−3
TR ẦN
Dùng 5 quy tắc về mũ. Kết quả A = 12, B = 10 .
1 2
H
Hướng dẫn
−1
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
− 250,5
−4
Đ
−0,75
G
1 A = 27 + 16
Ư N
2 3
ẠO
Bài tập 4.1: Thực hiện phép tính
Bài tập 4.2: Rút gọn các biểu thức:
B
−2
2+
3
10
00
4 ax3 − 4 a 3 x 1 + ax a a a) R = + 4 + với a > 0, x > 0, a ≠ x . . 1+ 2 x x a x ax −
ẤP
a + a2 − b a − a2 − b b) S = ± , với a, b > 0, a 2 ≥ b . 2 2
Ó
x+ a
)
a + a2 − b a − a2 − b − 2 2
TO
b) Kết quả S =
(
-L
a = a x
Í-
a) Kết quả R = ax 1 +
H
A
C
Hướng dẫn
ÁN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
( a + b)
U
a
a + b, b + c, c + a
số
TP .Q
(b + c )
3
H Ơ
b) Trong
1 b +1 = ⇒ ab + ba > 1 1 + ya a + b + ab
N
Tương tự: b a >
Y
Áp dụng a =
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
G
Bài tập 4.3: Tính gọn
4+2 3 − 4−2 3 = 2
ID Ư
Ỡ N
a)
b)
3
9 + 80 + 3 9 − 80 = 3
Hướng dẫn
BỒ
a) Viết bình phương đủ trong căn thức hay đặt ẩn phụ VT rồi bình phương. Kết quả
4+2 3 − 4−2 3 = 2.
b) Viết lập phương đủ trong căn thức hay đặt ẩn phụ VT rồi lập phương. Kết quả
3
9 + 80 + 3 9 − 80 = 3 Trang 29
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com 21
a + Bài tập 4.4: Trong khai triển nhị thức: 3 b
b , tìm hệ số của số hạng chứa a và b có số mũ bằng 3 b
N
nhau.
H Ơ
Hướng dẫn
∑C a k n
n−k
bk
Y
Dùng nhị thức Niutơn: ( a + b ) =
N
n
2
21! = 293 930 . 9!12!
TP .Q Đ
50 theo log 3 15 = a,log 3 10 = b .
G
3
Ư N
b) Tính ln 6, 25 theo c = ln 2, d = ln 5 .
TR ẦN
a) Đưa về cơ số 3. Kết quả 2a + 2b − 2 b) Đưa về cơ số e. Kết quả 2d − 2c .
00
B
Bài tập 4.6: Trong điều kiện có nghĩa, chứng minh:
10
a+b 1 = ( log 7 a + log 7 b ) 3 2
2+
3
a) Nếu a 2 + b 2 = 7 ab thì log 7
H
Hướng dẫn
Hướng dẫn
C
ẤP
b) Nếu log12 18 = a, log 24 54 = b , thì ab + 5 ( a − b ) = 1 .
2
Ó
A
a) a 2 + b 2 = 7 ab ⇒ ( a + b ) = 9ab hoặc biến đổi tương đương điều cần chứng minh.
H
2a − 1 3b − 1 và log 2 3 = . 2−a 3−b
Í-
b) Đưa về cơ số 2: log 2 3 =
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
a) Tính log
ẠO
Bài tập 4.5:
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
9 Kết quả C21 =
U
k =0
ÁN
Bài tập 4.7: Tìm các giới hạn sau: 3
sin 4 x x →0 e 2 x − 7 x
TO
b) lim x →0
Ỡ N
G
a) lim
Hướng dẫn
4 3 − ln 7
BỒ
ID Ư
a) Chia tử và mẫu thức cho x. Kết quả
1 + 2x − 4 1 + x tan x
b) Thêm bớt 1 trên tử thức rồi chia tử và mẫu thức cho x. Kết quả
5 12
Bài tập 4.8: Tìm đạo hàm của các hàm số sau: Trang 30 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
2
x + 1.log 3 x
a) y =
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
2
b) y =
ln ( x 2 + 1)
x
H Ơ N
2
f ( x ) ≥ 1 + x , ∀x, y ∈ ℝ . Tính f ' ( x ) . f ( x + y ) ≥ f ( x ) . f ( y )
ẠO
Bài tập 4.9: Cho f liên tục trên ℝ :
TP .Q
U
ln ( x + 1) 2 − b) Kết quả y ' = 2 x +1 x2
G Ư N
Dùng định nghĩa và kẹp giới hạn. Kết quả f ' ( x ) = e x .
3 + 30 và
3
63
b)
7 6
TR ẦN
a)
3
H
Bài tập 4.10: So sánh các số:
( 3)
−
và
3
3−1 4
1 3
< 3 3−1 4
10
1 3
3
5 6
2+
( 3)
b) Kết quả
−
3 + 3 30 > 1 + 3 27 = 4 = 3 64 > 3 63
ẤP
a) So trung gian. Kết quả
00
B
Hướng dẫn
C
Bài tập 4.11:
Ó
A
a) Không dùng bảng số và máy tính, hãy so sánh:
H
5+ 7 log 5 + log 7 và 2 2
Í-
log
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Đ
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
x2 + 1
2 x2 + 1 ln 3 x
+
Y
x log 3 x 2
a) Kết quả y ' =
N
Hướng dẫn
TO
1 1 1 + + 4 + 2ln (1 + x ) − y 4 + 2 ln (1 + y ) − z 4 + 2 ln (1 + z ) − x
Ỡ N
G
K=
ÁN
b) Cho 3 số không âm x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3 . Tìm GTNN của
BỒ
ID Ư
a) Đặt a = log Suy ra
Hướng dẫn
5+ 7 log 5 + log 7 và b = 2 2
5+ 7 = 10a và 2
5 7 = 10b .
Trang 31 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
Kết quả log
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
5 + 7 log 5 + log 7 > . 2 2
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
C
ẤP
2+
3
10
00
B
TR ẦN
H
Ư N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
G
Đ
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
ẠO
TP .Q
U
Y
N
H Ơ
N
b) Dùng bất đẳng thức AM-GM.
Trang 32 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial