www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
CHUYÊN Đề 3 - BÀI TOÁN LIÊN QUAN Đồ THị
N
1. KIếN THứC TRọNG TÂM
N
H Ơ
Sự tương giao: Cho 2 đồ thị của hàm số: y = f ( x ) , y = g ( x )
Y
Phương trình hoành độ giao điểm: f ( x ) = g ( x ) ⇔ f ( x ) − g ( x ) = 0 là một phương trình đại số, tùy theo số
ẠO
Chú ý:
Đ
Nếu có nghiệm x = x0 thì phân tích: ( x − x0 ) Ax 2 + Bx + C = 0
G
)
Ư N
(
H
Nếu đặt hàm số f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d thì điều kiện: có 1 nghiệm: đồ thị không có cực trị hoặc
TR ẦN
yC Ð . yCT > 0 , có 2 nghiệm: yC Ð . yCT = 0 , có 3 nghiệm phân biệt: yCÐ . yCT < 0 .
10
00
B
yC Ð . yCT < 0 Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm dương khi: xC Ð , xCT > 0 a. f 0 < 0 ( )
3
g ( x) , ta thường lấy hai hoành độ k − a và k + b với a, b > 0 . x−k
ẤP
2+
2) Hai điểm trên 2 nhánh đồ thị y =
C
Góc và khoảng cách:
( )
H
Ó
A
- Góc giữa 2 vectơ: cos u, v =
xx '+ yy '
x 2 + y 2 . x '2 + y '2
Í-
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
1) Phương trình bậc 3: ax 3 + bx 2 + cx + d , a ≠ 0
(
)
ÁN
-L
- Góc giữa 2 đường thẳng: cos α = cos n, n ' =
TO
- Khoảng cách AB =
2
( xB − x A ) + ( y B − y A )
AA '+ BB '
A 2 + B 2 . A '2 + B '2
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
TP .Q
U
nghiệm mà có quan hệ tương giao. Vô nghiệm: không có điểm chung, 1 nghiệm (đơn): cắt nhau, 1 nghiệm kép: tiếp xúc, 2 nghiệm phân biệt: 2 giao điểm,…
2
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
- Khoảng cách từ M 0 ( x0 ; y0 ) đến ( ∆ ) : Ax + By + C = 0 :
d=
Ax0 + By0 + C A2 + B 2
- Đồ thị hàm bậc 3: y = f ( x ) cắt trục hoành tại 3 điểm A, B, C theo thứ tự có khoảng cách AB = BC tức
là 3 nghiệm x1 , x2 , x3 lập cấp số cộng thì điểm uốn thuộc trục hoành.
Trang 1 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
- Phương trình trùng phương ax 4 + bx 2 + c = 0, a ≠ 0 có 4 nghiệm phân biệt lập cấp số cộng khi 0 < t1 < t2 ,
t2 = 9t1 .
N
Tiếp tuyến và tiếp xúc:
N
H Ơ
- Tiếp tuyến tại điểm M ( x0 ; y0 ) của đồ thị ( C ) : y = f ( x )
U
Y
y − y0 = f ' ( x0 )( x − x0 ) , hệ số góc: f ' ( x ) = k = tan ( 0 x, t )
Đ
ẠO
f ( x ) = g ( x ) có nghiệm f ' ( x ) = g ' ( x )
G
Ư N H
K ( a; b ) thì tìm ra x0 .
TR ẦN
Chú ý: Với hai đường thẳng d : y = ax + b, d ' : y = a ' x + b ' thì có: d ≡ d ' khi a = a ' , b = b ' ; d / / d ' khi a = a ' , b ≠ b ' ; d ⊥ d ' khi a.a ' = −1
B
Yếu tố đối xứng:
10
00
- Hàm số chẵn: ∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D và f ( − x ) = f ( x )
3
Đồ thị hàm số chẵn đối xứng nhau qua trục tung.
2+
- Hàm số lẻ: ∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D và f ( − x ) = − f ( x )
C
ẤP
Đồ thị hàm số lẻ đối xứng nhau qua gốc O.
Ó
A
- Công thức chuyển hệ trục bằng phép tịnh tiến OI .
x = X + x0 y = Y + y0
Í-
H
( Oxy ) → ( IXY ) với I ( x0 ; y0 ) :
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
- Tiếp tuyến đi qua điểm K ( a; b ) : Lập phương trình tiếp tuyến tại x0 bất kỳ rồi cho tiếp tuyến đi qua điểm
f ( x0 − x ) + f ( x0 + x ) , ∀x0 − x, x0 + x ∈ D , hoặc chuyển trục bằng phép tịnh tiến đến gốc I nói trên 2
TO
y0 =
ÁN
- Điều kiện ( C ) nhận I ( x0 , y0 ) là tâm đối xứng.
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
TP .Q
- Điều kiện 2 đồ thị y = f ( x ) và y = g ( x ) tiếp xúc là hệ phương trình:
Ỡ N
G
là hàm số lẻ.
ID Ư
- Điều kiện ( C ) nhận d : x = a làm trục đối xứng;
BỒ
f ( a − x ) = f ( a + x ) , ∀a − x, a + x ∈ D , hoặc chuyển trục bằng phép tịnh tiến đến S ( a;0 ) là hàm số
chẵn. Quỹ tích điểm M: Tìm tọa độ x, y của M, khử tham số giữa x và y. Trang 2
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Giới hạn: Chuyể ndk nếu có của tham số về điều kiện của x (hay y). Đặc biệt: Nếu M ( x; y ) ∈ (V ) thì chỉ cần tìm x rồi rút tham số để thế, khử tham số.
H Ơ
N
2. CÁC BÀI TOÁN
N
Bài toán 3.1: Chứng minh rằng đồ thị hàm số y = x 4 + 2m 2 x 2 + 1 luôn cắt đường thẳng y = x + 1 tại đúng hai
Y
điểm phân biệt với mọi giá trị m.
TP .Q
U
Hướng dẫn giải Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:
Vì lim f ( x ) = lim x 3 + 2m 2 x − 1 = −∞ x →∞
x →−∞
(
)
và lim f ( x ) = lim x 3 + 2m 2 x − 1 = +∞
(
)
Đ G
B
x →+∞
00
x →+∞
H
TR ẦN
f ' ( x ) = 3 x 2 + 2m 2 ≥ 0 nên hàm số này đồng biến trên ℝ .
Ư N
Xét hàm số f ( x ) = x3 + 2m 2 x − 1 . Ta có f ( 0 ) = −1 ≠ 0 và
3
10
nên phương trình f ( x ) = 0 luôn có nghiệm duy nhất x ≠ 0 : đpcm.
2+
Bài toán 3.2: Tìm m để đồ thị hàm số sau cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt:
C
ẤP
a) y = x 3 + ( 2m + 1) x 2 + ( 3m + 2 ) x + m + 2 .
H
Ó
A
b) y = x 3 − 3mx + m + 1 .
Hướng dẫn giải
Í-
a) Cho y = 0 ⇔ x3 + ( 2m + 1) x 2 + ( 3m + 2 ) x + m + 2 = 0
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
⇔ x = 0 hoặc x3 + 2m 2 x − 1 = 0
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
ẠO
x 4 + 2m 2 x 2 + 1 = x + 1 ⇔ x ( x3 + 2m 2 x − 1) = 0
ÁN
⇔ ( x + 1) ( x 2 + 2mx + m + 2 ) = 0
TO
⇔ x = −1 hoặc f ( x ) = x 2 + 2mx + m + 2 = 0 (1)
Ỡ N
G
Đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác −1.
BỒ
ID Ư
∆ ' = 0 m2 − m − 2 > 0 ⇔ ⇔ m < −1 hoặc m > 2, m ≠ 3 − m + 3 ≠ 0 f ( −1) ≠ 0
b) D = ℝ . Ta có y ' = 3 x 2 − 3m, y ' = 0 ⇔ x 2 = m . Điều kiện ( Cm ) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt là đồ thị có CĐ, CT và yC Ð . yCT < 0 Trang 3
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
(
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
) ( m) < 0
⇔ m > 0 và yC Ð . yCT < 0 ⇔ f − m . f
(
)(
2
)
N
⇔ m + 1 − 2m. m m + 1 + 2m m < 0 ⇔ ( m + 1) − 4m3 < 0 .
N
H Ơ
⇔ −4m3 + m 2 + 2m + 1 < 0 ⇔ ( m − 1) ( 4m 2 + 3m + 1) > 0 ⇔ m > 1 .
U
Y
(vì ∆ = 9 − 16 < 0 nên 4m 2 + 3m + 1 > 0, ∀m ).
Đ TR ẦN
Phương trình của ( d m ) : y = m ( x + 2 ) + 2 = mx + 2m + 2 .
H
Hướng dẫn giải
Ư N
G
b) Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị?
Phương trình hoành độ giao điểm của ( d m ) và đường cong:
00
B
2x −1 ⇔ ( mx + 2m + 2 )( x + 1) = 2 x − 1, x ≠ −1 x +1
10
mx + 2m + 2 =
⇔ mx 2 + 3mx + 2m + 3 = 0, x ≠ −1
2+
3
(1)
ẤP
a) Đường thẳng ( d m ) cắt đường cong đã cho tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai
C
nghiệm phân biệt khác −1.
H
Ó
A
a ≠ 0 m ≠ 0 ⇔ 2 ⇔ m < 0 hoặc m > 12 . ∆ > − ≠ 0, g 1 0 ( ) − > m 12 m 0
Í-
b) Hai nhánh của đường cong đã cho nằm về hai bên của đường tiệm cận đứng x = −1 của đồ thị. Đường
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
a) Tại hai điểm phân biệt?
ÁN
thẳng ( d m ) cắt đường cong đã cho tại hai điểm thuộc hai nhánh của nó khi và chỉ khi phương trình (1) có
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
2x −1 x +1
ẠO
của hàm số: y =
TP .Q
Bài toán 3.3: Tìm các giá trị của m để đường thẳng ( d m ) đi qua điểm A ( −2; 2 ) và có hệ số góc m cắt đồ thị
TO
hai nghiệm x1 , x2 và x1 < −1 < x2 .
G
Đặt x = t − 1 thì x1 < −1 < x2 ⇒ t1 < 0 < t2 . 2
ID Ư
Ỡ N
Phương trình trở thành: m ( t − 1) + 3m ( t − 1) + 2m + 3 = 0
BỒ
⇔ mt 2 + mt + 3 = 0 ( 2 ) .
ĐK phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu ⇔ P < 0 ⇔ m < 0 .
Bài toán 3.4: Tìm tham số để đường thẳng
Trang 4 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
a) y = m, m > 0 cắt đồ thị ( C ) của hàm số y = x 4 − 3 x 2 − 2 tại hai điểm A, B sao cho tam giác OAB vuông tại gốc tọa độ O.
H Ơ
N
x2 b) y = 3 x + m cắt đồ thị ( C ) của hàm số y = tại 2 điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 và x1 − x2 đạt x −1
N
giá trị nhỏ nhất.
U
Y
Hướng dẫn giải
TP .Q
a) Phương trình hoành độ giao điểm:
x 4 − 3 x 2 − 2 = m ⇔ x 4 − 3x 2 − 2 − m = 0
Đ
qua Oy, x A < xB .
TR ẦN
H
Mà x A + xB = 0 nên x A = − m; xB = m
Ư N
Tam giác OAB vuông tại O nên OA.OB = 0 ⇔ x A .xB + m 2 = 0
G
Do đó m 4 − 3m 2 − m − 2 = 0 ⇔ ( m − 2 ) m3 + 2m 2 + m + 1 = 0
(
)
10
00
b) Phương trình hoành độ giao điểm:
B
⇔ m = 2 (vì m > 0 )
ẤP
Điều kiện có 2 nghiệm phân biệt khác 1:
2+
3
x2 = 3x + m ⇔ 2 x 2 + ( m − 3) x − m = 0, x ≠ 1. x −1
H
Ó
A
C
m 2 + 2m + 9 > 0 ∆ > 0 ⇔ : Đúng ∀m −1 ≠ 0 g (1) ≠ 0
Í-
−b + ∆ −b − ∆ ∆ − = 2a 2a 4
-L
Ta có: x1 − x2 =
ÁN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
ẠO
Với mọi m > 0 thì đường thẳng y = m cắt ( C ) tại hai điểm phân biệt A ( x A ; m ) và B ( xB ; m ) đối xứng
TO
=
m 2 + 2m + 9 1 = 4 4
( m + 1)
2
+8 ≥
2 2
Ỡ N
G
Vậy giá trị x1 − x2 nhỏ nhất khi m = −1 .
ID Ư
Bài toán 3.5: Tìm các giá trị của m sao cho
BỒ
a) Đồ thị của hàm số y = x 4 − ( m + 1) x 2 + m cắt trục hoành tại bốn điểm, tạo thành ba đoạn thẳng có độ dài bằng nhau.
b) Đường thẳng d : y = − x + m cắt ( C ) : y =
2x −1 tại hai điểm A, B mà AB = 10 . x −1 Hướng dẫn giải Trang 5
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
a) Hoành độ giao điểm của đường cong và trục hoành là nghiệm phương trình:
x 4 − ( m + 1) x 2 + m = 0 ⇔ x 2 = 1 hoặc x 2 = m .
H Ơ
N
Điều kiện m > 0 và m ≠ 1 . Khi đó, phương trình có 4 nghiệm
TP .Q
U
Y
N
x = −1, x = 1, x = − m , x = m
Ư N
b) Phương trình hoành độ giao điểm của d và ( C ) :
TR ẦN
H
2 2x −1 x − ( m − 1) x + m − 1 = 0 = −x + m ⇔ x −1 x ≠ 1
00
B
Đường thẳng d cắt ( C ) tại 2 điểm A, B phân biệt khi phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 phân biệt khác 1.
2+
3
10
∆ = ( m − 1)2 − 4 ( m − 1) > 0 m 2 − 6m + 5 > 0 m < 1 ⇔ ⇔ m > 5 1 ≠ 0, ∀m 1 − ( m − 1) + m − 1 ≠ 0
2
ẤP
Khi đó A ( x1 ; − x1 + m ) , B ( x2 ; − x2 + m ) và x1 + x2 = m − 1; x1.x2 = m − 1 2
2
A
C
Ta có AB = 10 ⇔ ( x2 − x1 ) + ( x2 − x1 ) = 10 ⇔ ( x2 − x1 ) = 5 2
2
H
Ó
⇔ ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2 = 5 ⇔ ( m − 1) − 4 ( m − 1) − 5 = 0
Í-
m − 1 = −1 m = 0 (thỏa mãn). ⇔ ⇔ m − 1 = 5 m = 6
ÁN
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
G
Đ
1 1 ⇔ m = 9 hoặc m = (chọn). 3 9
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
m=
m = 3 hoặc
ẠO
Đường cong cắt trục hoành tại 4 điểm tạo thành ba đoạn thẳng bằng nhau khi:
TO
Vậy m = 0 hay m = 6 .
Ỡ N
G
Bài toán 3.6: Chứng minh các đường thẳng d : y = m − x luôn cắt đồ thị ( C ) : y =
x2 − 3x tại 2 điểm M, N x −1
BỒ
ID Ư
và cắt 2 tiệm cận của ( C ) tại P, Q đồng thời hai đoạn MN, PQ có cùng trung điểm. Hướng dẫn giải
Phương trình hoành độ giao điểm d và ( C ) :
x2 − 3x = m − x ⇔ 2 x 2 − ( m + 4 ) x + m = 0, x ≠ 1 . x −1 Trang 6 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Ta có x = 1 không là nghiệm và ∆ = m 2 + 16 > 0 , ∀m nên d luôn cắt ( C ) tại 2 điểm phân biệt M, N.
N
2 x 2 − 3x Ta có y = = x−2− nên TCĐ: x = 1 , TCX: y = x − 2 . x −1 x −1
N
H Ơ
Do đó xP = 1 , hoành độ giao điểm Q của d với TCX: m − x = x − 2
TP .Q
U
Y
xP + xQ m + 4 xM + xN m+2 . Do đó = = : đpcm. 2 2 2 2
Bài toán 3.7: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số:
(
Đ H
Hướng dẫn giải
)
TR ẦN
a) Ta có phương trình tiếp tuyến tại điểm x0 , f ( x0 ) :
y = f ' ( x0 )( x − x0 ) + f ( x0 )
B 3 2+
1 1 3 ( x − 2) + 2 = x + . 4 4 2
C
Thế vào: y =
10
1 1 nên f ' ( x0 ) = . 4 2 x+2
ẤP
f '( x) =
x + 2 = 2 ⇔ x0 = 2
00
Vì y0 = 2 ⇔
H
Ó
A
b) y ' = − x 2 − 4 x − 3 . Đường thẳng d có hệ số góc k =
Í-
Tiếp tuyến song song với nên y ' =
ÁN
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
3 x+9 4
G
1 3
b) y = − x3 − 2 x 2 − 3 x + 1 song song với d : y =
ẠO
x + 2 biết tung độ tiếp điểm là y0 = 2
3 3 ⇔ −x2 − 4x − 3 = 4 4
5 3 hoặc x0 = − . 2 2
5 29 3 37 thì f ( x0 ) = nên có tiếp tuyến y = x + 2 24 4 12
Với x0 = −
3 5 3 1 thì f ( x0 ) = − nên có tiếp tuyến y = x − . 2 4 4 8
Ỡ N
ID Ư
BỒ
3 . 4
G
TO
⇔ 4 x 2 + 16 x + 15 = 0 ⇔ x0 = − Với x0 = −
Ư N
a) y =
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
⇒ xQ =
Vậy có 2 tiếp tuyến y =
3 1 3 37 x − và y = x + . 4 8 4 12
Bài toán 3.8: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị: Trang 7 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
a) y = 2 x 3 − 6 x 2 + 3 và có hệ số góc bé nhất. b) y = f ( x ) thỏa mãn f 2 (1 + 2 x ) = x − f 3 (1 − x ) tại x = 1
H Ơ
N
Hướng dẫn giải a) Ta có hệ số góc của tiếp tuyến là đạo hàm tại đó.
N
2
U
Y
y ' = 6 x 2 − 12 x = −6 + 6 ( x − 1) ≥ −6 , dấu = khi x0 = 1
b) Lấy đạo hàm 2 vế, ta có:
Ư N
B
Với f (1) = 0 thì (*) : 0 = 1 (loại)
TR ẦN
⇒ f 2 (1) (1 + f (1) ) = 0 ⇒ f (1) = 0 hoặc f (1) = −1 .
H
Thế x = 0 vào f 2 (1 + 2 x ) = x − f 3 (1 − x ) ⇒ f 2 (1) = − f 3 (1)
G
(*)
−1 . 7
3
2+
1 ( x − 1) 7
ẤP
Vậy phương trình tiếp tuyến y = −
10
00
Với f (1) = 1 thì (*) : −4 f ' (1) = 1 + 3 f ' (1) ⇒ f ' (1) =
C
Bài toán 3.9: Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) hàm số:
Ó
A
x −3 biết khoảng cách từ tâm đối xứng của ( C ) đến tiếp tuyến bằng 2 2 . x +1
H
a) y =
Í-
b) y = x 3 − 3 x 2 + 2 biết rằng tiếp tuyến cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm phân biệt A, B sao cho
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Thế x = 0 : 4 f (1) . f ' (1) = 1 + 3 f 2 ( x ) . f ' (1)
Đ
ẠO
4 f (1 + 2 x ) . f ' (1 + 2 x ) = 1 + 3 f 2 (1 − x ) . f ' (1 − x )
TO
ÁN
OB = 9OA .
4
( x + 1)
2
Hướng dẫn giải
, x ≠ −1
Ỡ N
G
a) Ta có y ' =
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
TP .Q
nên max y ' = −6 , do đó tiếp tuyến tại A (1; −1) là y = −6 x + 5 .
BỒ
ID Ư
Phương trình tiếp tuyến d tại M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) , x0 ≠ −1
y=
4
( x0 + 1)
2
( x − x0 ) +
x0 − 3 x0 + 1
2
⇔ 4 x − ( x0 + 1) y + ( x02 − 6 x0 − 3) = 0 nên Trang 8 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
2
16 + ( x0 + 1)
4
=2 2
N
2
N
H Ơ
4 2 2 ⇔ ( x0 + 1) − 8 ( x0 + 1) + 16 = 0 ⇔ ( x0 + 1) − 4 = 0
TP .Q
U
Y
x0 = 1 2 ⇔ ( x0 + 1) = 4 ⇔ x0 = −3 Với x0 = 1 ta có phương trình tiếp tuyến y = x − 2
ẠO
Với x0 = −3 , ta có phương trình tiếp tuyến y = x + 6 .
Đ G
H
Ư N
Tiếp tuyến cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm phân biệt A, B sao cho OB = 9OA nên hệ số góc của tiếp tuyến d là:
OB = ±9 OA
TR ẦN
k = tan OAB = ±
10 3
2+
x2 − 2x − 3 = 0 x0 = −1 ⇔ 2 ⇔ x0 = 3 x − 2 x + 3 = 0 (VN )
00
B
Do đó y ' = ±9 ⇔ 3 x 2 − 6 x = ±9
ẤP
Với x0 = 1 , phương trình của d là y = 9 x + 7
A
C
Với x0 = 3 , phương trình của d là y = 9 x − 25 .
H
Ó
Bài toán 3.10: Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) hàm số: y =
Í-
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
b) Ta có y ' = 3 x 2 − 6 x .
-L
tuyến tạo với hai trục tọa độ thành tam giác có diện tích S =
Hướng dẫn giải
ÁN TO
−3
( x − 2)
2
1 . 6
,x ≠ 2
Ỡ N
G
Ta có y ' =
x +1 tại điểm M có hoành độ âm, biết tiếp x−2
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
d ( I, ∆) = 2 2 ⇔
−4 − ( x0 + 1) + ( x02 − 6 x0 − 3)
BỒ
ID Ư
Tiếp tuyến d với ( C ) tại M ( x0 ; y0 ) , x0 < 0
d:y=
−3
( x0 − 2 )
2
( x − x0 ) +
x0 + 1 x0 − 2
Gọi A, B lần lượt là giao điểm của d với Ox và Oy.
Trang 9 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
x 2 + 2 x0 − 2 x02 + 2 x0 − 2 . Ta có A 0 ;0 , B 0; 2 3 ( x0 − 2 )
H Ơ
N
1 1 1 1 x02 + 2 x0 − 2 x02 + 2 x0 − 2 1 ⇔ OA.OB = ⇔ = . 2 6 2 6 2 3 6 x − 2 ( 0 )
N TP .Q
U
Y
x02 + x0 = 0 x0 = −1 ∨ x0 = 0 ⇔ 2 ⇔ x0 = −4 ∨ x0 = 1 x0 + 3x0 − 4 = 0
Ư N
G
Đ
1 1 1 ( x + 1) ; d 2 : y = − x + . 3 12 6
H
Bài toán 3.11: Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) hàm số:
(1 − m ) x + 2 − m , m ≠ 0 và đi qua mx + m − 1
M ( −1; −1)
B
b) y =
TR ẦN
a) y = x 3 − 5 x 2 + 2 và đi qua A ( 0; 2 )
10
00
Hướng dẫn giải
2+
3
a) Ta có: y ' = 3 x 2 − 10 x . Phương trình tiếp tuyến tại điểm M ( x0 ; y0 )
ẤP
y = f ' ( x0 )( x − x0 ) + y0
A
C
y = ( 3x03 − 10 x0 ) ( x − x0 ) + ( x03 − 5 x02 + 2 )
Cho tiếp tuyến qua A ( 0; 2 ) : 2 = 3 x02 − 10 x0
3 0
)(0 − x ) + ( x 0
Í-
H
Ó
(
⇔ 2 x03 − 5 x02 = 0 ⇔ x02 ( 2 x0 − 5 ) = 0 ⇔ x0 = 0 hoặc x0 =
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
d1 : y = −
ẠO
Chọn x0 < 0 nên có hai tiếp tuyến là:
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
S=
− 5 x02 + 2 ) 5 2
TO
ÁN
Với x0 = 0 thì có tiếp tuyến y = 2
5 25 thì có tiếp tuyến y = − x+2 2 4
Ỡ N
G
Với x0 =
BỒ
ID Ư
b) Ta có y ' =
−1
( mx + m − 1)
2
,x ≠
1− m m
Gọi d là tiếp tuyến với ( Cm ) tại điểm T ( x0 ; y0 ) bất kỳ.
d : y = y ' ( x0 )( x − x0 ) + y0
Trang 10 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
−1
( mx0 + m − 1)
( x − x0 ) +
2
(1 − m ) x0 + 2 − m mx0 + m − 1
( mx0 + m − 1)
H Ơ N U
Y
mx0 + m − 1
x0 + 1 =0 mx0 + m − 1
2
+
2
= 0 ⇔ x0 = −1 (vì m ≠ 0 )
Đ
( mx0 + m − 1)
ẠO
2
G
m ( x0 + 1)
(1 − m ) x0 + 2 − m
TP .Q
x0 + 1
+
Vậy phương trình tiếp tuyến d : y = − x − 2 .
TR ẦN
Bài toán 3.12: Lập phương trình tiếp tuyến chung của 2 đồ thị:
( P1 ) : y = x 2 − 5 x + 6 và ( P2 ) : y = − x 2 + 5 x − 11
00
10
( P1 ) : y = f ( x ) = x 2 − 5 x + 6 ⇒ f ' ( x ) = 2 x − 5
B
Hướng dẫn giải
2+
3
( P2 ) : y = g ( x ) = − x 2 + 5 x − 11 ⇒ g ' ( x ) = −2 x + 5
ẤP
Gọi tiếp tuyến chung là y = ax + b và M 1 ( x1 ; f ( x1 ) ) , M 2 ( x2 ; g ( x2 ) ) là 2 tiếp điểm tương ứng. Ta có hệ:
Í-
H
Ó
A
C
f ( x1 ) = ax1 + b x12 − 5 x1 + 6 = ax1 + b f ' ( x1 ) = a 2 x1 − 5 = a ⇔ 2 g ( x2 ) = ax2 + b − x2 + 5 x2 − 11 = ax2 + b g ' x = a −2 x + 5 = a 2 ( 2)
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
⇔
( mx0 + m − 1)
2
Ư N
⇔
x0 + 1
H
−1 =
N
Tiếp tuyến d đi qua M ( −1; −1) nên ta có:
ÁN
Do đó 2 ( x1 + x2 ) − 10 = 0 nên x2 = 5 − x1
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
y=
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
G
TO
và x12 − 5 x1 + 6 − − x22 + 5 x2 − 11 = ( 2 x1 − 5 )( x1 − x2 )
(
)
2
2
Ỡ N
nên x12 − 5 x1 + 17 + ( 5 − x1 ) − 5 ( 5 − x1 ) − ( 2 x1 − 5 ) = 0
BỒ
ID Ư
⇔ 2 x12 − 10 x1 + 8 = 0 ⇔ x1 = 1 hoặc x1 = 4 .
Với x1 = 1 thì a = −3, b = 5 . Với x1 = 4 thì a = 3, b = −10 .
Vậy có 2 tiếp tuyến chung: y = 3 x − 10 và y = −3 x + 5 .
Trang 11 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
2x − 2 sao cho tiếp tuyến tại M cắt hai đường tiệm x−2
Bài toán 3.13: Tìm điểm M trên đồ thị ( C ) hàm số: y =
N
cận của A, B với AB = 2 5 .
H Ơ
Hướng dẫn giải
Y U
2 x0 − 2 x0 − 2
2
4
( x0 − 2 )
2
TR ẦN
=5
+
B
( x0 − 2 )
2
00
4
2
Ta có AB = 2 5 ⇔ ( x0 − 2 ) +
( x0 − 2 )
Ư N
2
2 x0 AB = ( 2 x0 − 4 ) + 2 − =2 x0 − 2 2
G
Giao điểm của d với tiệm cận ngang y = 2 là B ( 2 x0 − 2;2 )
10
( x0 − 2 )2 = 1 x0 = 1; x0 = 3 ⇔ ( x0 − 2 ) − 5 ( x0 − 2 ) + 4 = 0 ⇔ ⇔ x = 0; x = 4 ( x0 − 2 )2 = 4 0 0 2
ẤP
2+
3
4
C
Vậy M ( 0;1) , M (1;0 ) , M ( 3; 4 ) , M ( 4;3) .
Ó
A
Bài toán 3.14: Cho hàm số y = f ( x ) = x 4 − 2 x 2 có đồ thị ( C ) . Trên đồ thị ( C ) lấy điểm phân biệt là A và B
Í-
H
có hoành độ lần lượt là a, b. Tìm điều kiện của a, b để tiếp tuyến của ( C ) tại các điểm A và B song song với
-L
nhau.
Hướng dẫn giải
ÁN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
2 x0 ; x0 − 2
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
Giao điểm của d với tiệm cận đứng x = 2 là A 2;
TP .Q
( x − x0 ) +
ẠO
( x0 − 2 )
2
Đ
−2
H
d:y=
N
Phương trình tiếp tuyến tại M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) , x0 ≠ 2
TO
Ta có f ' ( x ) = 4 x 3 − 4 x . Gọi a, b lần lượt là hoành độ của A và B, a ≠ b . Hệ số góc của tiếp tuyến của
G
( C ) tại A và B lần lượt là:
Ỡ N
k A = f ' ( a ) = 4a 3 − 4a,
k B = f ' ( b ) = 4b3 − 4b
BỒ
ID Ư
Tiếp tuyến tại A và B lần lượt có phương trình là
y = f ' ( a )( x − a ) + f ( a ) = f ' ( a ) x + f ( a ) − af ' ( a ) y = f ' ( b )( x − b ) + f ( b ) = f ' ( b ) x + f ( b ) − bf ' ( b )
Hai tiếp tuyến này song song hoặc trùng nhau khi và chỉ khi: Trang 12 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
k A = k B ⇔ 4a 3 − 4a = 4b3 − 4b ⇔ ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 − 1) = 0
⇔ a 2 + ab + b 2 = 1
H Ơ
N
Hai tiếp tuyến của ( C ) tại A và B trùng nhau khi và chỉ khi
TP .Q
U
Y
N
2 2 2 2 a + ab + b = 1, a ≠ b a + ab + b = 1, a ≠ b ⇔ 4 2 4 2 −3a + 2a = −3b + 2b f ( a ) − af ' ( a ) = f ( b ) − bf ' ( b )
Giải hệ này, ta được nghiệm là ( a; b ) = ( −1;1) , (1; −1)
Đ
G
1 tại điểm M có hoành độ x = a ≠ 2 , cắt trục hoành Ox tại A x−2
Ư N
Bài toán 3.15: Tiếp tuyến (T ) của ( H ) : y =
TR ẦN
H
và cắt đường thẳng d : x = 2 tại B. Chứng minh M là trung điểm của AB và diện tích tam giác giới hạn bởi tiếp tuyến, Ox và d không đổi. Hướng dẫn giải
−1
( a − 2)
2
00
B
. Phương trình tiếp tuyến (T ) tại x = a :
( x − a) +
10
2
1 . a−2
3
( x − 2)
2+
y=
−1
ẤP
y' =
=
1 ⇒ x A = 2a − 2 . a−2
A
( a − 2)
2
Ó
x−a
H
Cho y A = 0 thì
C
Giao điểm A với trục hoành
Í-
Giao điểm B với đường thẳng d : x = 2 .
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
a ≠ ±1 , a ≠ b .
( a − 2)
2
+
1 2 = . a−2 a−2
G
x A + xB 2 a − 2 + 2 y + yB 1 = = a = xM , A = = yM 2 2 2 a−2
Ỡ N
Vì:
−(2 − a)
TO
ÁN
Cho xB = 2 thì yB =
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
ẠO
Vậy điều kiện cần và đủ để hai tiếp tuyến của ( C ) tại A và B song song với nhau là a 2 + ab + b 2 = 1 ,
ID Ư
nên tiếp điểm M là trung điểm của AB.
BỒ
Gọi I là giao điểm của Ox và d thì I ( 2;0 ) . Tam giác cần xác định là tam giác ABI vuông tại I có diện tích:
S=
1 1 2 − 0 = 2 : không đổi IA.IB = 2a − 2 − 2 2 2 a−2
Trang 13 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
x 2 − 3x + 3 . Chứng minh rằng qua điểm M ( 3; −1) vẽ được hai tiếp tuyến với Bài toán 3.16: Cho hàm số y = x −1 đồ thị và hai tiếp tuyến đố vuông góc với nhau.
H Ơ
N
Hướng dẫn giải
N
Phương trình đường thẳng qua M ( 3; −1) hệ số góc là a là y = a ( x − 3) − 1 , đường thẳng là tiếp tuyến với
U (1)
Đ
ẠO
( 2)
Ư N
G
Thay (2) vào (1) và rút gọn ta được: x 2 − x − 1 = 0
( x1 x2 − x1 − x2 + 1)
2
=
TR ẦN
1+ 2 − 4
B
− 2 x1 x2 ( x1 + x2 ) + 4 x1 x2
( −1 − 1 + 1)
2
= −1
00
2
10
(x x ) = 1 2
x12 − 2 x1 x22 − 2 x2 . 2 2 ( x1 − 1) ( x2 − 1)
2+
Vậy 2 tiếp tuyến qua M vuông góc với nhau.
3
Ta có: y ' ( x1 ) . y ' ( x2 ) =
H
PT có 2 nghiệm thỏa mãn: x1 + x2 = 1, x1.x2 = −1 .
ẤP
Bài toán 3.17: Cho hàm số y = − x 3 + 3 x 2 − 2 ( C ) . Tìm trên ( C ) những điểm mà qua đó chỉ kẻ được một
C
tiếp tuyến với ( C ) .
H
Ó
A
Hướng dẫn giải
Giả sử M ( x0 ; y0 ) là một điểm trên ( C ) . Giả sử tiếp tuyến ( t ) kẻ từ M đến ( C ) tiếp xúc với ( C ) tại
ÁN
-L
N ( x1 ; y1 ) . Khi đó phương trình của ( t ) có dạng: y − y1 = ( −3x12 + 6 x1 ) ( x − x1 ) Vì ( t ) đi qua M nên ta có: y0 − y1 = −3 x12 + 6 x1
)( x
− x1 )
⇔ ( x1 − x0 ) ( 2 x1 + x0 − 3) = 0 ⇔ x1 = x0 hay x1 =
3 − x0 2
0
TO
(
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
TP .Q
x2 − 3x + 3 = a ( x − 3) − 1 ( x) = g ( x) x −1 ⇔ 2 '( x ) = g '( x ) x − 2 x2 = a ( x − 1)
Í-
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
f f
Y
đồ thị khi hệ sau có nghiệm:
Ỡ N
G
Và N thuộc ( C ) nên ta có: y1 = x13 + 3 x12 − 2
ID Ư
Suy ra 2 x13 − 3 ( x0 + 1) x12 + 6 x0 x1 − 2 − y0 = 0
BỒ
nên 2 x13 − 3 x0 x12 + x03 − 3 x12 + 6 x0 x1 − 3 x02 = 0 2
Điều kiện có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi: Trang 14 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
3 − x0 = x0 ⇔ x0 = 1 . Từ đó tính được y0 = 0 . 2
N
H Ơ
x2 + 2 x + 2 Bài toán 3.18: Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị ( C ) : y = đi qua giao điểm của 2 tiệm cận. x +1
N
Vậy M (1;0 ) là điểm duy nhất trên ( C ) mà qua đó có thể kẻ đúng một tiếp tuyến với ( C ) .
U
1 , x ≠ −1 nên có TCĐ: x = −1 , x +1
Đ
ẠO
TCX: y = x + 1 , giao điểm 2 tiệm cận I ( −1;0 )
G Ư N
10
1 1 2 = = 0 : vô lý ( x ≠ −1) ⇒ x +1 x +1 x +1
2+
3
⇒−
00
B
TR ẦN
1 1 1 k x + = x + + ( ) x +1 1 1 1 1 ⇒ x + − = x +1+ ( ) 2 1 x +1 k = 1 − ( x + 1) 2 ( x + 1)
H
Giả sử d là tiếp tuyến của ( C ) thì hệ sau có nghiệm.
ẤP
Vậy không một tiếp tuyến nào của ( C ) đi qua I.
C
Bài toán 3.19: Chứng minh tiếp tuyến tại A ( −1;0 ) của đồ thị ( C ) : y = − x 4 + 2 x 2 + x cũng là tiếp tuyến của Hướng dẫn giải
Í-
H
Ó
A
đồ thị này tại một điểm B khác A nữa. Ta có y ' = −4 x 3 + 4 x + 1 .
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Phương trình đường thẳng ( d ) qua I với hệ số góc k là y = k ( x + 1) .
ÁN
Với x0 = −1, y0 = 0 thì f ' ( x0 ) = 1 nên tiếp tuyến tại A ( −1;0 ) là y = x + 1 .
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
TP .Q
Ta có y = x + 1 +
Y
Hướng dẫn giải
TO
Đặt y = f ( x ) = − x 4 + 2 x 2 + x; y = g ( x ) = x + 1 .
Ỡ N
G
Để tiếp tuyến tại A cũng là tiếp tuyến tại B khác A thì hệ sau có nghiệm x0 ≠ −1 :
BỒ
ID Ư
4 2 f ( x ) = g ( x ) − x + 2 x + x = x + 1 ⇔ 3 −4 x + 4 x + 1 = 1 f ' ( x ) = g ' ( x )
( x 2 − 1)2 = 0 − x 4 + 2 x 2 − 1 = 0 ⇔ ⇔ ⇔ x = ±1 . 3 −4 x + 4 x = 0 4 x ( x 2 − 1) = 0 Trang 15
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Chọn nghiệm x0 = 1 ≠ −1 nên B (1; 2 ) : đpcm. Chú ý: Đây là tiếp tuyến đi qua 2 tiếp điểm.
H Ơ
N
3x x2 3 Bài toán 3.20: Chứng minh hai đồ thị sau tiếp xúc nhau: y = f ( x ) = + x và y = g ( x ) = . Viết 2 2 x+2
N
phương trình tiếp tuyến chung của chúng tại tiếp điểm.
U
Y
Hướng dẫn giải
ẠO
(1)
H
TR ẦN
x = 0 x = 0 x = 0 Ta có (1) ⇔ x + 3 ⇔ 2 ⇔ . 3 = − 5 x = x + 5 x = 0 x+2 2
Ư N
G
Đ
( 2)
00
B
Suy ra hệ phương trình có một nghiệm duy nhất x = 0 . Vậy hai đường cong tiếp xúc với nhau tại gốc tọa độ O.
10
3 3 nên phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong tại điểm chung là y = x . 2 2
ẤP
Bài toán 3.21: Tìm tham số để đồ thị hàm số
2+
3
Ta có y ' ( 0 ) =
( C ) : y = x3 − 1 − k ( x − 1) tiếp xúc với trục hoành
b)
(C ) : y =
C
a)
Í-
H
Ó
A
x 2 + ( m + 2 ) x + 2m + 2 có tiệm cận tiếp xúc với đường cong: y = x 3 − 3x 2 − 8 x . x+2 Hướng dẫn giải
ÁN
a) Đồ thị ( C ) tiếp xúc với trục hoành ứng với k sao cho:
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
TP .Q
x2 3 x2 3 3x 3x + x = + x= 2 2 x+2 x+2 2 2 ⇔ 2 3 6 x + 3 x = 3x x + = 2 ( x + 2 )2 2 2 x + 2
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Hoành độ tiếp điểm của hai đường cong là nghiệm của hệ phương trình:
Ỡ N
G
TO
k = 3 x3 − 1 − k ( x − 1) = 0 y = 0 ⇔ 2 ⇔ k = 3 y ' = 0 3x − k = 0 4
BỒ
ID Ư
b) Ta có y =
( x + 2 )( x + m ) + 2 = x + m + x+2
2 nên tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là y = x + m . Đường x+2
thẳng này tiếp xúc với y = x 3 − 3x 2 − 8 x khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm 3 2 3 2 x + m = x − 3 x − 8 x m = x − 3 x − 9 x ⇔ 2 2 1 = 3 x − 6 x − 8 x − 2 x − 3 = 0
Trang 16 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
m = x3 − 3 x 2 − 9 x ⇔ x = −1 ∨ x = 3
N
Với x = −1 , ta có m = 5 và với x = 3 thì m = −27
H Ơ
Vậy có hai giá trị m cần tìm là m = 5 , m = −27 .
Hướng dẫn giải
ẠO
Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm A ( x A ; y A ) có dạng:
Đ − 3) ( x − x A ) + y A = x 3 − 3 x + 2
H
2 A
TR ẦN
( 3x
G
Phương trình hoành độ giao điểm của ( C ) và tiếp tuyến có dạng:
Ư N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
y = ( 3x A2 − 3) ( x − x A ) + y A
⇔ ( 3x A2 − 3) ( x − x A ) + x3A − 3 x A + 2 = x3 − 3x + 2
B
2
00
⇔ ( x − xA ) ( x + 2 xA ) = 0
10
Do đó tiếp tuyến của ( C ) tại A cắt ( C ) tại 2 điểm có hoành độ x A chính là A và điểm có hoành độ −2 x A
ẤP
Tương tự xB ' = −2 xB , xC ' = −2 xC .
2+
3
là điểm A ' , tức là x A ' = −2 x A .
A
C
Ta chứng minh nhận xét: A, B, C thuộc ( C ) thẳng hàng khi và chỉ khi x A + xB + xC = 0 .
H
Ó
Thật vậy, giả sử A, B, C nằm trên đường thẳng có phương trình y = ax + b .
-L
Í-
Khi đó x A , xB , xC là nghiệm của phương trình.
ÁN
x3 − 3 x + 2 = ax + b ⇔ x3 − ( 3 + a ) x + ( 2 − b ) = 0
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
TP .Q
U
là giao điểm của ( C ) với tiếp tuyến của ( C ) tại A, B, C. Chứng minh rằng A ', B ', C ' thẳng hàng.
Y
N
Bài toán 3.22: Cho hàm số y = x 3 − 3 x + 2 ( C ) . Xét 3 điểm A, B, C thẳng hàng và thuộc ( C ) . Gọi A ', B ', C '
TO
Áp dụng định lý Viet, ta suy ra x A + xB + xC = 0
G
Ngược lại, giả sử x A + xB + xC = 0 . Viết phương trình đường thẳng đi qua A, B cắt C ' thì theo phần thuận
Ỡ N
ta có x A + xB + xC = 0 suy ra xC ' = xC suy ra C ' trùng với C và có nghĩa là A, B, C thẳng hàng. Nhận xét
ID Ư
được chứng minh.
BỒ
Áp dụng do A, B, C thẳng hàng nên ta có x A + xB + xC = 0 . Mà x A ' + xB ' + xC ' = −2 ( x A + xB + xC ) = 0 nên suy ra A ', B ', C ' thẳng hàng (đpcm).
Bài toán 3.23: Cho hàm số y =
mx 2 + ( 3m 2 − 2 ) x − 2
x + 3m
. Tìm m để góc giữa 2 tiệm cận bằng 45°. Trang 17
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Hướng dẫn giải
6m − 2 1 ,m ≠ x + 3m 3
N
Ta có: y = mx − 2 +
H Ơ
Khi m = 0 thì đồ thị có TCĐ và TCN vuông góc: loại
Y U
Hai tiệm cận hợp nhau góc 45° khi tiệm cận xiên hợp với trục hoành một góc 45° ⇔ m = ±1 .
N
Khi m ≠ 0 thì đồ thị có tiệm cận đứng: x = −3m và tiệm cận xiên: y = mx − 2 .
x 2 + 2mx − 1 tại hai điểm phân biệt M và x −1
ẠO
N sao cho OM vuông góc với ON.
Đ
Hướng dẫn giải
G
Ư N B
( 2 x + 2m )( x − 1) − ( x 2 + 2mx − 1) 2m y' = ⇒ y ' ( xi ) = 2 xi ( x − 1)
3
2m 2m 4m 2 . = −1 ⇔ = −1 x1 x2 x1 x2
2+
Điều kiện OM ⊥ ON ⇔
10
00
Ta có
TR ẦN
x 2 + 2mx − 1 1 = 2m ⇔ x 2 − 1 + 2m = 0 . Do đó: m < , m ≠ 0 . x −1 2
H
biệt x1 , x2 khác 1:
C
ẤP
−1 ± 5 (chọn). 4
Ó
A
⇔ 4m 2 + 2m − 1 = 0 ⇔ m =
4 x2 + 5x − 4 đến 2 x+2
Í-
H
Bài toán 3.25: Chứng minh tích các khoảng cách từ điểm M bất kỳ thuộc đồ thị ( C ) : y = tiệm cận là một hằng số.
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Đường thẳng y = 2m cắt đồ thị hàm số tại hai điểm M và N khi phương trình hoành độ có 2 nghiệm phân
ÁN
Hướng dẫn giải
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
TP .Q
Bài toán 3.24: Tìm m để đường thẳng y = 2m cắt đồ thị hàm số y =
G
TO
4 x2 + 5x − 4 2 y= = 4x − 3 + nên TCĐ ∆ : x = −2 , x+2 x+2
Ỡ N
TCX: ∆ ' : y = 4 x − 3 ⇔ 4 x − y − 3 = 0
BỒ
ID Ư
Với M x; 4 x − 3 +
2 ∈ ( C ) , khoảng cách đến 2 tiệm cận: x+2
d ( M , ∆ ) .d ( M , ∆ ') = x + 2 .
2 2 = : không đổi. 16 + 1. x + 2 17
Trang 18 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Bài toán 3.26: Tìm m để đồ thị hàm số: y = x 3 − 3x 2 + mx + 1 có cực đại, cực tiểu và hai điểm đó cách đều đường thẳng d : y = −2 x .
N
Hướng dẫn giải
H Ơ
D = ℝ . Ta có y ' = 3 x 2 − 6 x + m .
Y
N
Điều kiện có CĐ và CT là ∆ ' = 9 − 3m > 0 ⇔ m < 3
Đ
ẠO
1 1 d ' : y = 2 m − 1 x + m + 1 . 3 3
G
Ư N
của đoạn nối CĐ, CT.
TR ẦN
H
1 1 2 m − 1 = −2, m + 1 ≠ 0 hoặc m − 1 = −2 3 3
B
⇔ m = 0 hoặc m = −1 (chọn)
3
tại một điểm A cách đều gốc O và tiếp điểm M.
2+
Hướng dẫn giải
1 1 − 8x thì: y ' = 4 4 x − 4 x2
A
C
ẤP
Với điều kiện x − 4 x 2 > 0 ⇔ 0 < x <
( x − x0 ) + 2
4 x0 − 4 x0
2 4 x0 − 4 x0
x0
Ỡ N
G
TO
1 x0 − 4 x02 2
Í-
1 − 8x
-L
y=
H
Ó
Phương trình tiếp tuyến tại M ( x0 ; y0 ) là:
Tiếp tuyến cắt Oy tại A 0;
ID Ư
1 x0 2 Ta có: AM = ( x0 − 0 ) + x0 − 4 x02 − 2 4 x0 − 4 x02
BỒ
1 x − 4 x 2 cắt trục tung Oy 2
10
00
Bài toán 3.27: Chứng minh tiếp tuyến tại điểm M bất kỳ thuộc đồ thị ( C ) : y =
ÁN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Điều kiện CĐ, CT cách đều d : y = −2 x là d ' hoặc song song với d hoặc d đi qua trung điểm I (1; m − 1)
=
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
TP .Q
U
1 1 1 1 y = x − y '+ 2 m − 1 x + m + 1 nên đường thẳng qua 2 điểm CĐ, CT là 3 3 3 3
Ta có
2
x02 = AO : đpcm 16 ( x0 − 4 x02 ) Trang 19
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
x +1 sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm hai đường tiệm x −1
Bài toán 3.28: Tìm các điểm M thuộc ( C ) : y =
N
cận của ( C ) ngắn nhất.
N
x +1 có TCĐ: x = 1 , TCN: y = 1 nên giao điểm 2 tiệm cận là I (1;1) . Ta có x −1
U
Y
Đồ thị ( C ) : y =
H Ơ
Hướng dẫn giải
≥4
⇔ ( x − 1) = 2 ⇔ x = 1 ± 2 .
H
2
(
)
Vậy M 1 1 + 2;1 + 2 , M 2 1 − 2;1 − 2 .
x +1 có đồ thị ( C ) . Tìm điểm M trên đồ thị ( C ) sao cho tổng khoảng cách x −1 từ M đến các đường thẳng ∆1 : 2 x + y − 4 = 0 và ∆ 2 : x + 2 y − 2 = 0 là nhỏ nhất.
10
00
B
Bài toán 3.29: Cho hàm số: y =
2+
3
Hướng dẫn giải
5
4 x0 − 1
Ó H
x0 +
+
Í-
d=
2 −3 x0 − 1
5
-L
2 x0 +
A
C
x0 + 1 ∈ ( C ) , x0 ≠ 1 . Tổng khoảng cách là x0 − 1
ẤP
Giả sử M x0 ;
1 2 4 − 3 + x0 + 2 x0 + x0 − 1 x0 − 1 5
≥
1 2 4 3 2 2 x0 + − 3 + x0 + = x0 − 1 + x0 − 1 x0 − 1 x0 − 1 5 5
ID Ư
Ỡ N
G
TO
ÁN
=
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
2
G
( x − 1)
ẠO
4
2
( x − 1)
)
+
TR ẦN
(
2
Ư N
4
2
Dấu = xảy ra khi ( x − 1) =
( x − 1)
Đ
2
x +1 − 1 = IM = ( x − 1) + x −1 2
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
TP .Q
x +1 M x; ∈ ( C ) nên khoảng cách: x −1
BỒ
=
3 2 6 2 x0 − 1 + ≥ x0 − 1 5 5 2
x0 = 1 + 2
Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ x0 − 1 = 2 ⇔
x0 = 1 − 2 Trang 20
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
4x − 3 có tổng các khoảng cách đến 2 tiệm cận bé nhất. x−3
Hướng dẫn giải
N Y U TP .Q Đ
4x − 3 9 −4 = x −3 + ≥2 9 =6 x−3 x−3
9 2 ⇔ ( x − 3) = 9 , do đó có 2 điểm M ( 6;7 ) và M ' ( 0;1) . x−3
Bài toán 3.31: Tìm điểm M thuộc đồ thị ( C ) : y =
TR ẦN
H
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x − 3 =
x −1 có tổng khoảng cách đến 2 trục bé nhất. x +1
00
B
Hướng dẫn giải
x −1 x −1 , x ≠ −1 . ∈ ( C ) , tổng khoảng cách đến 2 trục là d = x + x +1 x +1
2+
3
10
Gọi M x;
ẤP
Xét điểm A ( 0;1) ∈ ( C ) thì d = 1 nên min d ≤ 1 , khi đó chỉ xét các điểm có: x ≤ 1 ,
A
C
0 < x < 1 , khi đó:
x −1 ≤ 1 nên x +1
H
Ó
x −1 2 2 = x −1 + = −2 + ( x + 1) + ≥ −2 + 2 2 x +1 x +1 x +1
Í-
d = x+
2 2 ⇔ ( x + 1) = 2 ⇔ x = −1 ± 2 x +1
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
= x−3 +
ẠO
4x − 3 ∈ ( C ) , ta có d ( M ; ∆ ) + d ( M ; ∆ ' ) x−3
G
Gọi M x;
4x − 3 có TCĐ ∆ : x = 3 , TCN ∆ ' : y = 4 . x−3
Ư N
Đồ thị y =
ÁN
Dấu = xảy ra khi x + 1 =
(
) (
TO
Vậy có 2 điểm M −1 − 2;1 + 2 , M ' −1 + 2;1 − 2
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
Bài toán 3.30: Tìm điểm M thuộc đồ thị ( C ) : y =
) N
) (
Vậy điểm M thỏa mãn M 1 + 2;1 + 2 , M 1 − 2;1 − 2
H Ơ
(
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
)
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
x2 − 3 Bài toán 3.32: Tìm điểm M thuộc đồ thị ( C ) : y = có tổng khoảng cách đến 2 trục bé nhất. x−2 Hướng dẫn giải
Gọi M x;
x2 − 3 x2 − 3 thì tổng khoảng cách đến 2 trục C = + , x ≠ 2. ∈ d x ( ) x−2 x−2
Trang 21 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
3 3 3 , do đó min d ≤ nên chỉ xét các điểm có hoành độ x ≤ . 2 2 2
3 2
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Xét điểm A 0; ∈ ( C ) thì d =
H Ơ Y U TP .Q
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
Đ
3 . 2
3 2
Do đó g nghịch biến trên − ;0 ⇒ g ( x ) > g ( 0 ) =
00
B
3 3 tại M ≡ A 0; . 2 2
10
So sánh thì min d =
3 . 2
TR ẦN
H
3 x2 − 3 −1 , g '( x ) = <0 Nếu − ≤ x < 0 thì d = g ( x ) = − x + 2 2 x−2 ( x − 2)
2+
3
Bài toán 3.33: Tìm hai điểm trên 2 nhánh đồ thị ( C ) :
Hướng dẫn giải
Ó
A
C
ẤP
x2 − x − 1 y= có khoảng cách bé nhất. x−2
H
1 x2 − x − 1 = x +1+ ,x ≠ 2 x−2 x−2
Í-
Hàm số y =
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Lập BBT thì min d = f ( 0 ) =
ẠO
2 . 2
G
f '( x) = 0 ⇔ x = 2 −
N
3 2 x2 − 8x + 7 x2 − 3 thì d = f ( x ) = x + , f '( x ) = 2 2 x−2 ( x − 2)
Ư N
Nếu 0 ≤ x ≤
N
x2 − 3 x2 − 3 Khi đó > 0 nên d = x + . x−2 x−2
1 1 , B 2 − b;3 − b − là 2 điểm thuộc 2 nhánh với a, b > 0 . Ta có: a b
TO
ÁN
Gọi A 2 + a;3 + a +
1 1 1 2 BA = ( a + b ) + a + b + + = ( a + b ) 1 + 1 + a b ab 2
2
Ỡ N
G
2
2
BỒ
ID Ư
2 1 2 1 2 = (a + b) 2 + + 2 2 ≥ 4ab 2 + + 2 2 ab a b ab a b
1 = 8 + 4 2ab + ≥ 8 + 4.2 2 . ab
Trang 22 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
1 1 ⇔a=b= 4 ab 2
Dấu = xảy ra khi a = b và 2ab =
N
1 1 1 1 4 4 ;3 + 2 + và B 2 − ;3 − 2 − 4 4 4 4 2 2 2 2
H Ơ
Vậy A 2 +
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
N
Bài toán 3.34: Tìm điểm M thuộc ( P ) : y = f ( x ) = −3x 2 + 8 x − 9 và N thuộc ( P ') : y = g ( x ) = x 2 + 8 x + 13
U
Y
sao cho MN bé nhất.
Đ G Ư N
⇔ −6 x + 8 = 2 x1 + 8
TR ẦN
H
⇔ x1 = −3x Do đó MN 2 = 4 36 x 4 − 192 x3 + 392 x 2 − 352 x + 121 = h ( x )
(
)
)
B
(
00
Ta có h ' ( x ) = 64 9 x 3 − 36 x 2 + 49 x − 22 2
10
= 64 ( x − 1) ( 9 x 2 − 27 x + 22 )
2+
3
h ' ( x ) = 0 ⇔ x = 1 . Lập BBT thì min h ( x ) = h (1) = 5 .
ẤP
Khi đó M (1; 4 ) , N ( −3; −2 ) ; kiểm tra MN vuông góc với 2 tiếp tuyến tại M, N: đúng. Vậy M (1; 4 ) ,
A
C
N ( −3; −2 ) .
H
Ó
Bài toán 3.35: Chứng minh đồ thị ( C ) :
Í-
x2 − 2 x + 2 a) y = có tâm đối xứng. x−3
ÁN
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Gọi M ( x; f ( x ) ) , N ( x1 ; g ( x1 ) ) thì f ' ( x ) = g ' ( x1 )
ẠO
Ta có khoảng cách MN bé nhất khi 2 tiếp tuyến tại M và N song song với nhau và chúng vuông góc với đoạn MN.
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
TP .Q
Hướng dẫn giải
TO
b) y = x 4 + 4 x 3 + 4 x 2 có trục đối xứng. Hướng dẫn giải
G
5 nên ( C ) có TCĐ: x = 3 và TCX: y = x + 1 , do đó giao điểm 2 tiệm cận I ( 3; 4 ) . x−3 x = X + 3 Chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI : . Thế vào ( C ) thì được: y = Y + 4
BỒ
ID Ư
Ỡ N
a) Ta có y = x + 1 +
Y + 4 = X + 3 +1+
5 5 ⇔Y = X + X +3−3 X Trang 23
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
5 là hàm số lẻ ⇒ đpcm. X
b) y ' = 4 x 3 + 12 x 2 + 8 x = 4 x x 2 + 3 x + 2
(
)
N
Vì Y = F ( X ) = X +
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
N
H Ơ
y ' = 0 ⇔ x = −2 hoặc x = −1 hoặc x = 0 .
x = X − 1 . Thế và hàm số: y = Y +1
4
3
TP .Q
U
Y
Xét điểm I ( −1;1) . Chuyển hệ trục bằng phép tịnh tiến theo vectơ OI : 2
Ư N H
4 . Gọi E ( x1; y1 ) , F ( x2 ; y2 ) theo đề bài: x −1
TR ẦN
Ta có y = x + 2 +
G
Hướng dẫn giải
00
B
x1 + x2 = 0 x1 + x2 = 0 x1 + x2 = 0 ⇔ ⇔ 4 4 y1 + y2 = 5 x1 x2 = −9 x1 + x2 + 4 + x − 1 + x − 1 = 5 1 2
3
10
Do đó x1 = − x2 , x12 = −9 nên E ( −3; −2 ) và F ( 3;7 ) .
Ó
A
C
ẤP
2+
x2 − 2 x + 2 Bài toán 3.37: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số y = đối xứng nhau qua đường thẳng x −1 d : y = x + 3. Hướng dẫn giải
Í-
H
Xét đường thẳng d ' vuông góc với d thì d ' : y = − x + b .
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Đ
ẠO
x2 + x + 2 5 Bài toán 3.36: Tìm hai điểm E, F thuộc đồ thị hàm số y = đối xứng nhau qua điểm I 0; . x −1 2
ÁN
PT hoành độ giao điểm của d ' và ( C ) :
x2 − 2 x + 2 = − x + b, x ≠ 1. x −1
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
Y + 1 = ( X − 1) + 4 ( X − 1) + 4 ( X − 1) ⇔ Y = X 4 − 2 X 2 là hàm số chẵn ⇒ đpcm.
TO
⇔ 2 x 2 − ( b + 3) x + 2 + b = 0 . 2
Ỡ N
G
Điều kiện ∆ = ( b + 3) − 8 ( 2 + b ) = b 2 − 2b − 7 > 0
BỒ
ID Ư
Hoành độ giao điểm I của d và d ' : x + 3 = − x + b ⇒ xI =
I là trung điểm đoạn AB: xI =
⇔
b−3 2
x A + xB 2
b−3 b+3 = ⇔ b = 9 (chọn). 2 4 Trang 24
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
14 14 14 14 ;6 + ;6 − , B3 + . 2 2 2 2
Vậy A 3 −
N
H Ơ
N
x2 + ( m + 2) x − m Bài toán 3.38: Tìm m để đường thẳng y = − x − 4 cắt đồ thị hàm số y = tại hai điểm đối x +1 xứng nhau qua y = x .
U
Y
Hướng dẫn giải
G
Ư N
H
TR ẦN
Gọi x1 , x2 là hoành độ hai giao điểm, ta có x1 , x2 là nghiệm của (1) theo định lí Viet: x1 + x2 = −
m+7 . 2
B
Hai giao điểm đối xứng qua đường thẳng y = x vuông góc với đường thẳng y = − x − 4 nên tung độ của
10
00
hai giao điểm lần lượt là x2 , x1 .
2+
3
Do đó x2 = − x1 − 4 ⇔ x1 + x2 = −4 ⇔ m + 7 = 8 ⇔ m = 1 (thỏa mãn).
ẤP
Bài toán 3.39: Tìm những cặp điểm nguyên trên ( C ) : y = x 3 − 4 x − 1 đối xứng với nhau qua đường thẳng
A
C
y = x và không nằm trên đường thẳng đó.
Hướng dẫn giải
H
Ó
Nếu gọi A ( x; y ) thì điểm đối xứng của A qua đường thẳng y = x có tọa độ là ( y; x ) . Vì thế yêu cầu của
Í-
bài toán tương đương với việc tìm nghiệm nguyên ( x; y ) với x ≠ y của hệ phương trình
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Đ
1 2 ( −1)2 − ( m + 7 ) + 4 − m ≠ 0 m ≠ − 2 Đk: ⇔ 2 ∆ = m + 7 − − m > 8 4 0 ( ) ( ) m < −11 − 104 hay m > −11 + 104
TO
ÁN
y = x3 − 4 x − 1 3 x = y − 4 y − 1
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
x2 + ( m + 2) x − m = − x − 4 ⇔ 2 x 2 + ( m + 7 ) x + 4 − m = 0 (1) . x +1
ẠO
TP .Q
Điều kiện PT hoành độ giao điểm có 2 nghiệm phân biệt khác −1:
(
)
Ỡ N
G
nên ( x − y ) x 2 + xy + y 2 − 3 = 0 ⇔ x 2 + xy + y 2 = 3
ID Ư
Phương trình x 2 + xy + y 2 = 3 có nghiệm nguyên x ≠ y là ( 2; −1) , ( −1; 2 ) , ( −2;1) , (1; −2 ) .
BỒ
Thử lại vào hệ, ta chọn 2 nghiệm ( 2; −1) , ( −1; 2 ) Vậy cặp điểm nguyên duy nhất đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x và không nằm trên đường thẳng đó là ( 2; −1) và ( −1; 2 ) .
Trang 25 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Bài toán 3.40: Cho f ( x ) là hàm đa thức bậc 4. Chứng minh đồ thị của f ( x ) có trục đối xứng x = a khi và chỉ khi: f ' ( a ) = 0 và f ''' ( a ) = 0 .
H Ơ
N
Hướng dẫn giải
4
3
N
Ta khai triển f ( x ) theo x − a : 2
U
Y
f ( x ) = a4 ( x − a ) + a3 ( x − a ) + a2 ( x − a ) + a1 ( x − a ) + a0
f ( ) (a) nên đồ thị của đa thức f ( x ) có trục đối xứng x = a khi và chỉ khi trong đó: ai = i! g ( x ) = f ( x − a ) là hàm số chẵn:
2 m −1)
(a) = 0 .
B
f ' ( a ) = f ''' ( a ) = ... = f (
3 2+
ẤP
x 2 − 2 ( m + 2 ) x + 6m + 5 a) Các đồ thị y = x−2
10
Bài toán 3.41: Tìm điểm cố định của:
Hướng dẫn giải
Ó
A
C
b) Các đường thẳng qua CĐ, CT của đồ thị: y = mx 3 − 3mx 2 + ( 2m + 1) x + 3 − m .
Í-
H
a) Gọi M ( x0 ; y0 ) là tọa độ điểm mà đồ thị đi qua ∀m . Ta có y0 = − x0 − m, ∀m
TO
ÁN
⇔ ( x02 − 1) m − y0 + x02 − x0 = 0, ∀m .
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
Đ Ư N H TR ẦN
Mở rộng cho các đa thức bậc chẵn 2m mà đồ thị có trục đối xứng x = a khi và chỉ khi
00
•
G
f ( 3) ( a ) =0 f ' ( a ) = 0 a3 = 0 3! ⇔ 1 ⇔ () a1 = 1 f ''' ( a ) = 0 f (a) = 0 1!
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
TP .Q
i
Ỡ N
G
2 x0 = 1, y0 = 0 x0 = 1 ⇔ ⇔ 2 y0 = x0 − x0 x0 = −1, y0 = 0
ID Ư
Vậy đồ thị có hai điểm cố định M (1;0 ) và M ' ( −1;0 ) .
BỒ
b) y ' = 3mx 2 − 6mx + 2m + 1, ∆ > 0 ⇔ m < 0 hoặc m > 1 . Ta có y =
x −1 2 − 2m 10 − m y '+ x+ nên đường thẳng qua CĐ, CT là: 3 3 3 Trang 26
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
2 − 2m 10 − m 2 x − 10 m x+ = − ( 2 x + 1) + . 3 3 3 3 1 2
H Ơ
N
Suy ra đường thẳng đi qua CĐ, CT qua điểm cố định A − ;3 .
U
Y
mx + 9 . x −9
TP .Q
a) y =
N
Bài toán 3.42: Tìm những điểm M mà mọi đồ thị sau không đi qua
b) y = x 3 − 3mx 2 + 2m 2 − 1 x + m 2 − 5m + 1 với M thuộc d : x = 1 .
)
ẠO
(
Đ
Hướng dẫn giải
G Ư N H
x0 = 9 mx0 + 9 , ∀m ⇔ x0 − 9 x0 ≠ 9, mx0 + 9 ≠ y0 ( x0 − 9 ) , ∀m
TR ẦN
y0 ≠
00
B
x0 = 9 . Vậy tập hợp các điểm cần tìm là 2 đường thẳng: x = 9 và x = 0 , bỏ điểm A ( 0; −1) . ⇔ x0 ≠ 0, y0 ≠ −1
10
b) Gọi M (1; y ) ∈ d là điểm cần tìm:
2+
3
y ≠ 1 − 3m + 2m 2 − 1 + m 2 − 5m + 1, ∀m .
C
ẤP
⇔ 3m 2 − 8m + (1 − y ) ≠ 0 ⇔ ∆ = 16 − 3 (1 − y ) < 0 ⇔ y < − 13 . 3
H
Ó
A
Vậy các điểm cần tìm là M (1; y ) với y < −
13 3
Í-
Bài toán 3.43: Chứng minh các đồ thị y = (1 + m ) x 3 + 3 (1 + m ) x 2 − 4mx − m luôn đi qua 3 điểm cố định
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
a) Gọi M ( x0 ; y0 ) là các điểm mà mọi đồ thị không đi qua:
Hướng dẫn giải
ÁN
thẳng hàng.
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
y=
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
G
TO
Gọi M ( x0 ; y0 ) điểm cố định của các đồ thị:
Ỡ N
y0 = (1 + m ) x03 + 3 (1 + m ) x02 − 4mx0 − m, ∀m .
BỒ
ID Ư
⇔ y0 = ( x03 + 3x02 − 4 x0 − 1) m + x03 + 3 x02 , ∀m .
x03 + 3x02 − 4 x0 − 1 = 0 ⇔ 3 2 y0 = x0 + 3x0
(1) (2)
Trang 27 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Ta chứng minh (1) có 3 nghiệm phân biệt. Xét hàm số f ( x ) = x 3 + 3 x 2 − 4 x − 1 thì f liên tục trên ℝ , ta có
f ( −6 ) = −85 < 0 , f ( −1) = 5 > 0 , f ( 0 ) = −1 < 0 , f ( 2 ) = 11 > 0 nên (1) có 3 nghiệm phân biệt thuộc 3
H Ơ
N
khoảng ( −6; −1) , ( −1;0 ) , ( 0; 2 ) .
N
Từ (1) ⇒ x03 + 3x02 = 4 x0 + 1 nên ( 2 ) ⇒ y0 = 4 x0 + 1 .
U
Y
Vậy 3 điểm cố định thẳng hàng trên đường thẳng y = 4 x + 1 .
( m − 1) x + m , m ≠ 0 luôn tiếp xúc với 1 đường thẳng cố x−m
ẠO
định tại một điểm cố định.
x0 − m
⇔ ( x0 + 1 + y0 ) m − x0 (1 + y0 ) = 0, x0 ≠ m, ∀m ≠ 0
Đ
B
2
, x ≠ m ⇒ y ' ( 0 ) = −1 .
00
( x − m)
10
⇔ x0 = 0, y0 = −1 . Ta có y ' =
G
TR ẦN
⇔ ( m − 1) x0 + m = y0 ( x − m ) , x0 ≠ m, ∀m ≠ 0 .
−m 2
Ư N
( m − 1) x0 + m , ∀m ≠ 0
H
Gọi M ( x0 ; y0 ) là điểm cố định: y0 =
2+
3
Vậy các đồ thị luôn luôn tiếp xúc nhau tại điểm cố định M ( 0; −1) , có tiếp tuyến chung y = − x − 1 .
ẤP
Bài toán 3.45: Trên đồ thị ( C ) của hàm số y = − x 3 + 3 x 2 − 2 có những cặp điểm mà tại đó 2 tiếp tuyến cùng Hướng dẫn giải
Ó
A
C
có hệ số góc p, chứng minh trung điểm của các đoạn thẳng nối từng cặp điểm đó là điểm cố định.
H
Tiếp tuyến với ( C ) có hệ số góc p, hoành độ tiếp điểm là nghiệm phương trình:
Í-
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Hướng dẫn giải
-L
y ' = p ⇔ 3x 2 + 6 x = p ⇔ 3 x 2 − 6 x + p = 0 (1)
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
TP .Q
Bài toán 3.44: Chứng minh các đồ thị hàm số y =
ÁN
∆' = 9 − 3p > 0 ⇔ p < 3
G
TO
Với p < 3 thì ( C ) có 2 tiếp tuyến song song với hệ số góc p.
Ỡ N
Gọi x1 , x2 là nghiệm của (1), với 2 tiếp điểm M 1 , M 2 thì trung điểm M 1M 2 có hoành độ: xI =
x1 + x2 =1 2
BỒ
ID Ư
⇒ yI = 0 .
Vậy trung điểm M 1M 2 là điểm cố định I (1;0 ) .
− x 2 + mx − m 2 Bài toán 3.46: Tìm các điểm trong mặt phẳng sao cho có đúng hai đường của họ ( Cm ) : y = đi x−m
qua. Trang 28 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Hướng dẫn giải
Giả sử ( x0 ; y0 ) là một điểm trong mặt phẳng mà có đúng hai đường cong ( Cm ) đi qua. Khi đó phương
N
trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt
Y
N
H Ơ
− x02 + mx0 − m 2 ⇔ m 2 − ( x0 + y0 ) m + x0 ( x0 + y0 ) = 0 y0 = x0 − m
Vậy các điểm cần tìm có tọa độ ( x0 ; y0 ) thỏa mãn quan hệ
ẠO
( x0 + y0 )( y0 − 3x0 ) > 0
Đ G
5 x−m
Ư N
( m + 1) x + m
b) y = mx − 6m + 1 +
x+m
H
a) y =
x →±∞
00
( m + 1) x + m = m + 1 nên TCN: x+m
y = m +1
3
x →±∞
x →( − m )
10
Ta có lim y = lim
lim − y = +∞, lim + y = −∞ nên TCĐ: x = − m với m ≠ 0 .
x →( − m )
B
a) D = ℝ \ {−m} . Ta có
TR ẦN
Hướng dẫn giải
2+
x = X − m . Thế vào y = Y + m +1
ẤP
Giao điểm 2 tiệm cận I ( −m; m + 1) , chuyển hệ trục theo phép tịnh tiến OI :
A
C
( Cm ) thì được:
H
Ó
m + 1)( X − m ) + m ( m2 Y + m +1 = ⇔Y = X ( X − m) + m
Í-
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Bài toán 3.47: Tìm quỹ tích các tâm đối xứng của các đồ thị ( Cm ) :
-L
m2 là hàm số lẻ nên ( C ) có tâm đối xứng I có tọa độ x = − m ; y = m + 1 . Khử tham X số m thì quỹ tích các tâm đối xứng là đường thẳng d : y = − x + 1, x ≠ 0 .
TO
ÁN
Ta có Y = F ( x ) =
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
TP .Q
U
Điều kiện ∆ > 0 ⇔ ( x0 + y0 )( y0 − 3x0 ) > 0
Ỡ N
G
b) Đồ thị ( Cm ) : y = mx − 6m + 1 +
5 , x ≠ m có TCĐ: x−m
BỒ
ID Ư
x = m và TCX: y = mx − 6m + 1 nên giao điểm I ( m; m 2 − 6m + 1) . Chuyển hệ trục bằng phép tịnh tiến OI thì được tâm đối xứng I có tọa độ: x = m , y = m 2 − 6m + 1 .
Khử tham số m thì quỹ tích các tâm đối xứng là parabol ( P ) : y = x 2 − 6 x + 1 .
Bài toán 3.48: Tìm quỹ tích của điểm: Trang 29 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
x 2 − 2mx + 3m − 5 a) Cực đại của đồ thị y = x −1 b) Cực tiểu của đồ thị y = x 3 + 3mx 2 + 3 m 2 − 1 x + m3 − 3m
N
)
H Ơ
(
Hướng dẫn giải
U
Y
N
x 2 − 2mx + 3m − 5 ,∆' = m − 4 . x −1
TP .Q
a) D = ℝ \ {1} , y ' =
x = 1 − m − 4 < 1 nên giới hạn là x < 1 .
b) D = ℝ , y ' = 3 x 2 + 6mx + 3 m 2 − 1
H
)
TR ẦN
(
G
Đ
thế vào y thì được quỹ tích các điểm cực đại thuộc
Ư N
( P ) : y = −2 x 2 + 6 x − 10 , vì
2
Vì ∆ ' = 9 > 0 , ∀m nên đồ thị luôn có CĐ, CT có hoành độ x = − m ± 1 .
00
B
Lập BBT thì điểm cực tiểu là B : x = 1 − m; y = f (1 − m ) = −2 .
10
Vậy quỹ tích của điểm cực tiểu là đường thẳng d : y = −2 .
2+
3
2x2 − x + 1 tại hai điểm phân Bài toán 3.49: Với các giá trị nào của m đường thẳng y = m − x cắt đồ thị y = x −1
C
ẤP
biệt A, B. Khi đó, tìm tập hợp các trung điểm M của đoạn AB.
H
Ó
A
2 x2 − x + 1 = m − x ⇔ 3 x 2 − ( m + 2 ) x + m + 1 = 0, x ≠ 1 . x −1
Í-
PT hoành độ giao điểm:
Hướng dẫn giải
Vì x = 1 không phải là nghiệm nên đường thẳng cắt đường cong đã cho tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi:
ÁN
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Ta có x = 1 − m − 4 ⇒ m = 4 + (1 − x )
ẠO
Lập BBT thì điểm cực đại A: x = 1 − m − 4, y = f ( x ) .
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
Điều kiện có 2 cực trị là ∆ > 0,1 − 2 − m + 5 ≠ 0 ⇔ m > 4 , hoành độ cực trị là x = 1 ± m − 4 .
2
TO
∆ = ( m + 2 ) − 12 ( m + 1) > 0 ⇔ m 2 − 8m − 8 > 0
G
⇔ m < 4 − 2 6 hoặc m > 4 + 2 6 . Hoành độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là:
x A + xB m + 2 = . 2 6
Ỡ N ID Ư
xM =
BỒ
Vì điểm M nằm trên đường thẳng y = m − x nên yM = m − xM .
Khử m, ta có m = 6 xM − 2 nên yM = 6 xM − 2 − xM = 5 xM − 2 . Vậy tập hợp các điểm M nằm trên đường thẳng y = 5 x − 2 . Trang 30
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Giới hạn: m < 4 − 2 6 ⇒ 6 x − 2 < 4 − 2 6 ⇔ x < 1 −
6 và m > 4 + 2 6 3
H Ơ
N
6 . 3
⇒ 6x − 2 > 4 + 2 6 ⇔ x > 1 +
U
Y
x2 − x + 1 . x −1
TP .Q
Cho x = 0 thì y =
Xét f ( x ) =
( x0 − 1)
2x −1
( x − 1)
2
Đ
2
, x ≠ 1 thì f ' ( x ) =
( x − 1)
3
3 2+ 0
1
Ó
0
+∞
+
−
H
−
A
C
−∞
y'
−2 x
ẤP
Bảng biến thiên
+∞
Í-
0
+∞
−1
0
ÁN
-L
y
G
2 x0 − 1
Cho f ' (1) = 0 ⇔ x = 0 .
x
Ư N
x02 − x0 + 1 x0 − 1
H
2
nên phương trình tiếp tuyến tại điểm M có hoành độ x0 ≠ 1.
TR ẦN
( x0 − 1)
( x − x0 ) +
2
B
x0 ( x0 − 2 )
( x − 1)
00
y=
x ( x − 2)
10
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Ta có D = ℝ \ {1} , y ' =
ẠO
Hướng dẫn giải
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
y=
N
Bài toán 3.50: Tim quỹ tích các điểm thuộc trục tung mà từ đó vẽ ít nhất một tiếp tuyến với đồ thị
TO
Do đó y ≥ −1 , nên quỹ tích của điểm thuộc trục tung cần tìm là B ( 0; y ) với y ≥ 1 .
Ỡ N
G
Bài toán 3.51: Tìm quỹ tích các điểm mà từ đó vẽ được 2 tiếp tuyến đến ( C ) : y = x − 1 +
1 x mà 2 tiếp x −1
BỒ
ID Ư
tuyến này vuông góc với nhau. Hướng dẫn giải
Gọi M ( a; b ) , phương trình đường thẳng d qua M có hệ số góc k: y = k ( x − a ) + b . Điều kiện d tiếp xúc ( C ) là hệ sau có nghiệm x ≠ 1
Trang 31 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
N Y
N
2 2 1 = k (1 − a ) + b ⇒ 1 − ( k (1 − a ) + b ) = k . x −1 4
U TP .Q
Ta có phương trình bậc 2 theo hệ số góc k: 2
ẠO
g ( k ) = ( a − 1) k 2 + 2 ( (1 − a ) b + 2 ) k + b 2 − 4 = 0, k ≠ 1 .
2
Ư N
2
H
⇔ ( a − 1) + b 2 = 4, a ≠ 1, a ≠ b + 1 .
)
(
2
TR ẦN
Vậy quỹ tích các điểm cần tìm là đường tròn
(
G
⇔ a ≠ 1, b 2 − 4 = − ( a − 1) , ( a − 1) + 2 ( (1 − a ) b + 2 ) + b 2 − 4 ≠ 0 .
( x − 1)
)
+ y 2 = 4 bỏ đi 4 điểm A (1; 2 ) , B (1; −2 ) ,
00
B
C 1 + 2; 2 và D 1 − 2; − 2 .
10
3. BÀI LUYệN TậP
2+
3
Bài tập 3.1: Tìm m để đường thẳng
ẤP
x2 + x − 1 a) y = −2 x + m cắt đồ thị hàm số y = tại hai điểm phân biệt A, B sao cho trung điểm của đoạn x
A
C
thẳng AB thuộc trục tung.
H
Ó
b) y = m cắt đồ thị y = x 4 − 2 x 2 + 2 tại 4 điểm phân biệt có hoành độ tạo thành một cấp số cộng.
Í-
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
2
Đ
Yêu cầu bài toán: a ≠ 1, k1k2 = −1, g (1) ≠ 0 .
Hướng dẫn
ÁN
-L
a) Phương trình hoành độ giao điểm 3x 2 + (1 − m ) x − 1 = 0 ( x ≠ 0 ) .
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
Do đó
1 = k ( x − a) + b x −1 1 = k ( x − 1) x −1
H Ơ
1 x −1 + x −1 + x −1 = k ( x − a) + b ⇔ ⇔ 1 1 − x −1 − = k 2 ( x − 1)
TO
Vì a, c trái dấu nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khác 0 với mọi m. Hoành độ trung điểm I
x1 + x2 m − 1 = . 2 6
Ỡ N
G
của AB: x1 =
ID Ư
Kết quả m = 1 .
BỒ
b) Kết quả m =
41 25
Bài tập 3.2: Tìm m sao cho đường thẳng
x2 + 4 a) y = m ( x − 2 ) + 4 cắt đồ thị hàm số y = ( C ) tại hai điểm thuộc hai nhánh của nó. x Trang 32 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
x2 − 1 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB = 4 . b) y = − x + m cắt đồ thị hàm số y = x
N
Hướng dẫn
H Ơ
a) Phương trình hoành độ giao điểm có 2 nghiệm cùng dấu.
N
Kết quả m > 1
3 . 8
(
)
G H
3 3 , x0 = 1 ± 5 2 4
TR ẦN
Các tiếp điểm x0 =
Ư N
Hướng dẫn
Bài tập 3.4: Cho hàm số y = f ( x ) = cos 2 x + m sin x . Tìm m để hai tiếp tuyến tại x = −
4
và x =
π 3
song
00
B
song hoặc trùng nhau.
π
10
Hướng dẫn
(
3
− 3+2 π π = f ' . Kết quả m = 2 −1 4 3
)
ẤP
2+
Điều kiện f ' −
C
( 2m − 1) x − m2 x −1
luôn tiếp xúc với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.
H
Ó
A
Bài tập 3.5: Tìm m để đồ thị y =
Hướng dẫn
Í-
Đường phân giác của góc phần tư thứ nhất y = x .
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Đ
( C ) tại M cắt hai trục tọa độ Ox, Oy lần lượt tại hai điểm A, B và diện tích tam giác OAB là
ÁN
Điều kiện 2 đồ thị y = f ( x ) và y = g ( x ) tiếp xúc là hệ phương trình:
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
x có đồ thị ( C ) . Tìm tọa độ điểm M thuộc ( C ) sao cho tiếp tuyến của 4 ( x − 3)
ẠO
Bài tập 3.3: Cho hàm số y =
TP .Q
U
Y
b) Kết quả m = ±2 6 .
Ỡ N
G
TO
f ( x ) = g ( x ) có nghiệm. Kết quả m ≠ 1 . f ' ( x ) = g ' ( x )
ID Ư
Bài tập 3.6: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị a) y = − x 4 + 2 x 2 − 2 tại điểm uốn
BỒ
b) y = − x 3 + 3 x 2 và có hệ số góc lớn nhất Hướng dẫn
a) y ' = −4 x 3 + 4 x, y '' = −12 x 2 + 4 Trang 33 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
Kết quả y = −
8 3 3
x−
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
7 8 7 và y = x− 3 3 3 3
H Ơ
x 2 + 2m 2 x + m 2 có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc O. x +1
N
Bài tập 3.7: Tìm m để đồ thị hàm số y =
N
b) Kết quả y = 3 x − 1
U
Y
Hướng dẫn
Đ
Hướng dẫn
) (
)
TR ẦN
(
Kết quả A 1 + 4 5; 2 + 4 5 , B 1 − 4 5; 2 + 4 5
Ư N
G
2x + 3 có khoảng cách bé nhất. x −1
H
Bài tập 3.8: Tìm hai điểm trên 2 nhánh đồ thị ( C ) : y =
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
ẠO
1 1 , m ≠ ±1 . hoặc m > 2 2
B
Bài tập 3.9: Tìm những điểm mà mọi đồ thị không đi qua:
10
00
y = x 3 + ( m + 1) x 2 + ( m 2 − 3m ) x + ( 5 + 2m − m 2 )
3
Hướng dẫn
− 4 ( x3 + x2 + 5 − y ) < 0
C
2
A
( x − 1) ( x − 1)( x − 2 )
ẤP
2+
Kết quả đường thẳng x = 1 , bỏ điểm A (1;7 ) và các điểm M ( x; y ) sao cho
Í-
H
Ó
Bài tập 3.10: Tìm điểm M trên đồ thị ( H ) : y =
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Kết quả m < −
TP .Q
Điều kiện f ( − x ) = − f ( x ) có nghiệm x ≠ 0 và x ≠ −1 .
4x − 3 có tổng khoảng cách đến 2 tiệm cận bé nhất. x −3 Hướng dẫn
ÁN
Kết quả M ( 0;1) hoặc M ( 6;7 )
TO
Bài tập 3.11: Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y = x 3 + mx + m + 1 , tại giao điểm với trục Oy, tạo với
Ỡ N
G
hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 2. Hướng dẫn
BỒ
ID Ư
Kết quả m = 1 hay m = −3 ± 2 2
Trang 34 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial