www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
CHUYÊN Đề 2 - KHảO SÁT VÀ Vẽ Đồ THị HÀM Số
N
1. KIếN THứC TRọNG TÂM
H Ơ
Tính lồi lõm của đồ thị:
N
Hàm số f xác định trên K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng.
U
B
Cho hàm số y = f ( x ) liên tục và có đạo hàm cấp 2 trên K
10
00
f lõm trên K ⇔ f '' ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ K
3
f lồi trên K ⇔ f '' ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ K .
(
2+
Điểm uốn của đồ thị:
)
C
ẤP
Điểm U x0 ; f ( x0 ) được gọi là điểm uốn của đường cong ( C ) : y = f ( x ) nếu tồn tại một khoảng ( a; b )
Ó
A
chứa điểm x0 sao cho một trong 2 khoảng ( a; x0 ) , ( x0 ; b ) thì tiếp tuyến tại điểm U nằm phía trên đồ thị còn
H
ở khoảng kia thì tiếp tuyến nằm phía dưới đồ thị.
-L
Í-
Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm cấp 2 một khoảng ( a; b ) chứa điểm x0 . Nếu f '' ( x0 ) = 0 và f '' ( x )
(
)
TO
Chú ý:
ÁN
đổi dấu khi x qua điểm x0 thì U x0 ; f ( x0 ) là điểm uốn của đường cong ( C ) : y = f ( x ) .
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
TP .Q
TR ẦN
H
Ư N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
G
Đ
ẠO
f gọi là lồi trên K nếu ∀α , β , α + β = 1: f (α x + β y ) ≥ α f ( x ) + β f ( y ) , ∀x, y ≥ 0
Y
f gọi là lõm trên K nếu ∀α , β , α + β = 1: f (α x + β y ) ≤ α f ( x ) + β f ( y ) , ∀x, y ≥ 0
G
1) Nếu y = p ( x ) . y ''+ r ( x ) thì tung độ điểm uốn tại x0 là y0 = r ( x0 )
ID Ư
Ỡ N
2) Nếu f lồi trên đoạn [ a; b ] thì GTLN = max { f ( a ) ; f ( b )}
BỒ
3) Nếu f lõm trên đoạn [ a; b ] thì GTNN = min { f ( a ) ; f ( b )}
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm đa thức: gồm 3 bước: Bước 1: Tập xác định - Tập xác định D = ℝ Trang 1
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
- Xét tính chẵn, lẻ nếu có. Bước 2: Sự biến thiên
N
- Tính các giới hạn
H Ơ
- Tính đạo hàm cấp một, xét dấu
N
- Lập bảng biến thiên rồi chỉ ra khoảng đồng biến, nghịch biến và cực đại, cực tiểu
U
Y
Bước 3: Vẽ đồ thị
- Cho vài giá trị đặc biệt, giao điểm với hai trục tọa độ
ẠO
- Vẽ đúng đồ thị
G Ư N H TR ẦN
2+
3
10
00
B
Bốn dạng đồ thị hàm trùng phương: y = ax 4 + bx 2 + c, a ≠ 0
ẤP
Đường tiệm cận
A
Ó
điều kiện sau được thỏa mãn:
C
- Đường thẳng x = x0 được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f ( x ) nếu ít nhất một trong các
x → x0
H
lim f ( x ) = +∞; lim+ f ( x ) = +∞; lim− f ( x ) = −∞; lim+ f ( x ) = −∞
x → x0−
x → x0
x → x0
Í-
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Đ
Bốn dạng đồ thị hàm bậc 3: y = ax 3 + bx 2 + cx + d , a ≠ 0 có tâm đối xứng là điểm uốn.
x →+∞
ÁN
lim f ( x ) = y0
-L
- Đường thẳng y = y0 được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f ( x ) nếu lim f ( x ) = y0 hoặc
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
TP .Q
- Tính đạo hàm cấp hai, xét dấu để chỉ ra điểm uốn của hàm đa thức
TO
x →−∞
y = ax + b, a ≠ 0 được gọi là tiệm cận xiên của đồ thị y = f ( x ) nếu
G
- Đường thẳng
Ỡ N
lim f ( x ) − ( ax + b ) = 0 hoặc lim f ( x ) − ( ax + b ) = 0 . x →−∞
x →+∞
ID Ư
Chú ý:
BỒ
1) Nếu chia tách được y = f ( x ) = ax + b + r ( x ) và lim r ( x ) = 0 thì tiệm cận xiên: y = ax + b x →±∞
2) Biểu thức tiệm cận khi x → ±∞ : x 2 + bx + c ≈ x +
b 2
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm hữu tỉ: gồm 3 bước: Trang 2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Bước 1: Tập xác định - Tìm tập xác định
N
- Xét tính chẵn, lẻ nếu có
H Ơ
Bước 2: Chiều biến thiên
N
- Tính các giới hạn, tìm các tiệm cận
Bước 3: Vẽ đồ thị
G
Ư N
ax + b với c ≠ 0, ad − bc ≠ 0 cx + d
( a ≠ 0, a ' ≠ 0 )
10
ax 2 + bx + c a'x + b'
H
Ó
A
C
ẤP
2+
3
Bốn dạng đồ thị hàm hữu tỉ: y =
00
B
TR ẦN
H
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Hai dạng đồ thị hàm hữu tỉ bậc 1/1: y =
Đ
- Vẽ đúng đồ thị, lưu ý tâm đối xứng là giao điểm 2 tiệm cận
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
ẠO
- Cho vài giá trị đặc biệt, giao điểm với hai trục tọa độ
TP .Q
- Lập bảng biến thiên rồi chỉ ra khoảng đồng biến, nghịch biến và cực đại, cực tiểu
U
Y
- Tính đạo hàm cấp một, xét dấu
-L
Í-
Chú ý:
ÁN
1) Từ đồ thị ( C ) : y = f ( x ) suy ra các đồ thị:
TO
y = − f ( x ) bằng cách lấy đối xứng qua trục hoành
G
y = f ( − x ) bằng cách lấy đối xứng qua trục tung
BỒ
ID Ư
Ỡ N
y = − f ( − x ) bằng cách lấy đối xứng qua gốc y = f ( x ) bằng cách lấy phần đồ thị ở phía trên trục hoành, còn phần phía dưới trục hoành thì đối
xứng qua trục hoành.
y = f ( x ) là hàm số chẵn, bằng cách lấy phần đồ thị ở phía bên phải trục tung, rồi lấy đối xứng phần đó qua trục tung. Trang 3
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
2) Bài toán về biện luận số nghiệm phương trình dạng g ( x, m ) = 0 Đưa phương trình về dạng f ( x ) = h ( m ) trong đó vế trái là hàm số đang xét, đã vẽ đồ thị ( C ) : y = f ( x ) .
H Ơ
N
Số nghiệm là số giao điểm của đồ thị ( C ) với đường thẳng y = h ( m ) .
N
3) Điểm đặc biệt của họ đồ thị: ( Cm ) : y = f ( x, m )
U
Y
- Điểm cố định của họ là điểm mà mọi đồ thị đều đi qua:
TP .Q
M 0 ( x0 ; y0 ) ∈ ( Cm ) , ∀m ⇔ y0 = f ( x0 , m ) , ∀m
- Điểm mà họ không đi qua là điểm mà không có đồ thị nào của họ đi qua với mọi tham số:
Đ G
Nhóm theo tham số và áp dụng các mệnh đề sau:
Ư N
Am + B = 0, ∀m ⇔ A = 0, B = 0
TR ẦN
H
Am 2 + Bm + C = 0, ∀m ⇔ A = 0, B = 0, C = 0
Am + B ≠ 0, ∀m ⇔ A = 0, B ≠ 0
B
Am 2 + Bm + C ≠ 0, ∀m ⇔ A = 0, B = 0, C ≠ 0
10
00
hoặc A ≠ 0, ∆ = B 2 − 4 AC < 0
2+
3
2. CÁC BÀI TOÁN
ẤP
Bài toán 2.1: Tìm điểm uốn và các khoảng lồi lõm của đồ thị: b) y = x 4 + 8 x 2 + 9
Hướng dẫn giải
Ó
A
C
a) y = x 3 − 2 x 2 + x + 1
Í-
H
a) D = ℝ . Ta có y ' = 3 x 2 − 4 x + 1, y '' = 6 x − 4
2 2 2 y '' = 0 ⇔ x = ; y '' > 0 ⇔ x > ; y '' < 0 ⇔ x < 3 3 3
ÁN
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
ẠO
M 0 ( x0 ; y0 ) ∉ ( Cm ) , ∀m ⇔ y0 ≠ f ( x0 , m ) ∀m
2 29 , hàm số lồi trên khoảng 3 37
2 2 −∞; và lõm trên khoảng ; +∞ . 3 3
G
TO
Vậy điểm uốn I ;
Ỡ N
b) D = ℝ . Ta có y ' = 4 x 3 + 16 x, y '' = 12 x 2 + 16 > 0∀x
ID Ư
Vậy đồ thị không có điểm uốn và hàm số lõm trên ℝ .
BỒ
Bài toán 2.2: Tìm điểm uốn và các khoảng lồi lõm của đồ thị:
x2 − 2 x + 3 a) y = x +1
b) y =
2x + 1 x −5
Hướng dẫn giải Trang 4 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
6 x2 − 2x + 3 = x −3+ a) D = ℝ \ {−1} . Ta có y = x +1 x +1
( x + 1)
2
, y '' =
12
( x + 1)
3
≠ 0, ∀x ≠ −1
N
6
H Ơ
Nên y ' = 1 −
( x − 5)
2
, y '' =
22
( x − 5)
3
≠ 0, ∀x ≠ 5
Đ H
x+a luôn có ba điểm uốn thẳng hàng. x + x +1 2
TR ẦN
Bài toán 2.3: Chứng minh rằng với mọi a, đồ thị hàm số y =
Ư N
G
Vậy đồ thị không có điểm uốn, hàm số lồi trên khoảng ( −∞;5 ) và lõm trên khoảng ( 5; +∞ ) .
Hướng dẫn giải
( x2 + x + 1) + x + 1)
(x
2
+ x + 1)
2
2+
2
=
3
2 ( x3 + 3ax 2 + 3 ( a − 1) x − 1)
(x
B
2
x 2 + 2ax + a − 1
00
+ x + 1) − ( x + a )( 2 x + 1)
3
ẤP
y '' =
2
10
(x Ta có: y ' =
A
C
y '' = 0 ⇔ x3 + 3ax 2 + 3 ( a − 1) x − 1 = 0
H
Ó
Đặt f ( x ) = x 3 + 3ax 2 + 3 ( a − 1) x − 1, x ∈ ℝ
Í-
Ta có: f ( 0 ) = −1 < 0, f ( −1) = 1 > 0
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
y '' > 0 ⇔ x > 5; y '' < 0 ⇔ x < 5
ÁN
lim f ( x ) = −∞, lim f ( x ) = +∞ và đồng thời hàm số này liên tục trên tập số thực nên phương trình
x →−∞
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
−11
ẠO
b) D = ℝ \ {5} . Ta có y ' =
TP .Q
U
Vậy đồ thị không có điểm uốn, hàm số lồi trên khoảng ( −∞; −1) và lõm trên khoảng ( −1; +∞ ) .
Y
N
y '' > 0 ⇔ x > −1; y '' < 0 ⇔ x < −1
x →+∞
TO
f ( x ) = 0 có ba nghiệm phân biệt thuộc các khoảng ( −∞; −1) , ( −1;0 ) , ( 0; +∞ ) .
x03 + 3ax02 + 3 ( a − 1) x0 − 1 = 0
ID Ư
Ỡ N
G
Giả sử hoành độ của một trong các điểm uốn là x0 nên
BỒ
Ta có: x03 + 3ax02 + 3ax0 + 3a − 1 = 3 x0 + 3a
⇔ ( x0 + 3a − 1) ( x02 + x0 + 1) = 3 ( x0 + a )
Trang 5 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
( x0 + 3a − 1) ( x02 + x0 + 1) x0 + 3a − 1 x0 + a Suy ra y0 = 2 = = x0 + x0 + 1 3 3 ( x02 + x0 + 1)
H Ơ
N
x + 3a − 1 nên chúng thẳng hàng 3
N
Vậy các điểm uốn của đồ thị thuộc đường thẳng y =
Y
Bài toán 2.4: Cho hàm số: y = x 3 − 6 x 2 + 3mx − m + 2 , m là tham số.
TP .Q
U
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 3
ẠO
Hướng dẫn giải
Đ G
Tập xác định D = ℝ
•
Sự biến thiên: y ' = 3 x 2 − 12 x + 9
Ư N
•
H
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
a) Khi m = 3 hàm số trở thành y = x 3 − 6 x 2 + 9 x − 1
TR ẦN
y ' = 0 ⇔ x = 1∨ x = 3 Bảng biến thiên:
−∞ +
−
0
2+ ẤP
+
+∞
3
−∞
+∞
3
3
y
0
00
y'
B
1
10
x
−1
A
C
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( −∞;1) và ( 3; +∞ ) , nghịch biến trên (1;3) . Hàm số đạt cực đại khi
H
Ó
x = 1 , yC Ð = 3 và đạt cực tiểu tại x = 3, yCT = −1 .
-L
ÁN
y '' = 6 x − 12 ,
Í-
• Đồ thị:
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực đai, cực tiểu A và B mà khoảng cách AB = 4 65 .
TO
y '' = 0 ⇔ x = 2
G
nên tâm đối xứng là điểm uốn I ( 2;1) .
Ỡ N
Cho x = 0 thì y = −1 .
BỒ
ID Ư
b) Ta có y ' = 3 x 2 − 12 x + 3m Đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi phương trình y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ ' = 36 − 9m > 0 ⇔ m < 4
Gọi các điểm cực trị là A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) .
Trang 6 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
x1 + x2 = 4 x1 x2 = m
Theo định lý Viet
2
2
TP .Q
( 4m
− 32m + 65 ) (16 − 4m )
) + 193m = 0 ⇔ m ( 4m
ẠO
=
U
2 2 = 1 + ( 2m − 8 ) ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2
(
Đ G
2
− 48m + 193) = 0
Ư N
⇔ 4m3 − 48m 2
TR ẦN
Bài toán 2.5: Cho hàm số: y = −
H
⇔ m = 0 (thỏa mãn). Vậy m = 0 .
2 3 5 x + ( m − 1) x 2 + ( 3m − 2 ) x − có đồ thị ( Cm ) với m là tham số. 3 3
00
B
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2
10
b) Tìm m để trên đồ thị ( Cm ) có hai điểm phân biệt có hoành độ cùng dấu và tiếp tuyến của ( Cm ) tại mỗi
2+
3
điểm đó vuông góc với đường thẳng d : x − 3 y + 1 = 0 .
2 3 5 x + x2 + 4 x − . 3 3
A
C
a) Khi m = 2 hàm số trở thành y = −
ẤP
Hướng dẫn giải
Tập xác định D = ℝ
•
Sự biến thiên: y ' = −2 x 2 + 2 x + 4 ;
Í-
H
Ó
•
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
nên AB = 4 65 ⇔ 4m 2 − 32m + 65 (16 − 4m ) = 1040
ÁN
y ' = 0 ⇔ x = −1 ∨ x = 2
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
2
+ ( 2m − 8 ) ( x2 − x1 )
H Ơ
2
N
( x1 − x2 )
Y
AB =
N
Ta có y1 = ( 2m − 8 ) x1 + m + 2, y2 = ( 2m − 8 ) x2 + m + 2
x
−∞
y' y
−1 −
0
+∞
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
Bảng biến thiên
+∞
2 +
0
+
5 −4
−∞
Trang 7 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Hàm số đồng biến trên khoảng ( −1; 2 ) và nghịch biến trên mỗi khoảng ( −∞; −1) , ( 2; +∞ ) . Hàm số đạt cực tiểu tại x = −1 và yCT = −4 , đạt cực đại tại x = 2 và yC Ð = 5 .
N
Đồ thị:
H Ơ
5 3
Y
N
Đồ thị cắt Oy tại 0; − ,
TP .Q
1 nên đồ thị nhận điểm uốn 2
1 1 I ; làm tâm đối xứng. 2 2
ẠO
y '' = 0 ⇒ x =
U
y '' = −4 x + 2 ,
Đ G
1 3
H
Hệ số góc của d : x − 3 y + 1 = 0 là k =
Ư N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
b) y ' = −2 x 2 + 2 ( m − 1) x + 3m − 2
TR ẦN
Tiếp tuyến của ( Cm ) tại mỗi điểm vuông góc với đường thẳng d : x − 3 y + 1 = 0 khi y ' = −3
⇔ −2 x 2 + 2 ( m − 1) x + 3m − 2 = −3
00
B
⇔ 2 x 2 − 2 ( m − 1) x − 3m − 1 = 0
10
Phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1.x2 > 0
C
ẤP
2+
3
∆ ' = ( m − 1) 2 + 2 ( 3m + 1) > 0 m 2 + 4m + 3 > 0 m < −3 ⇔ −3m − 1 ⇔ ⇔ 1 −1 < m < − 1 < − m >0 3 3 2
A
1 3
Í-
H
Ó
Vậy m < −3 hay −1 < m < − .
1 3 1 2 3 x − x − x + 2 . Tìm m để hai điểm A, B thuộc đồ thị ( C ) có tung độ m 6 2 2
ÁN
-L
Bài toán 2.6: Cho hàm số y =
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
•
TO
và gốc O tạo thành tam giác OAB cân tại O. Hướng dẫn giải
Ỡ N
G
Hai điểm A, B thuộc đồ thị ( C ) có tung độ m nên thuộc đường thẳng d : y = m .
BỒ
ID Ư
Hoành độ giao điểm của d và đồ thị ( C ) là nghiệm của phương trình
Phương trình ⇔ x 3 − 3x 2 − 9 x + 12 − 6m = 0
1 3 1 2 3 x + x − x+2=m 6 2 2
(1)
Trang 8 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
)( x − x ) = 0
Phương trình ⇔ x 3 − x2 x 2 − x12 x + x12 x2 = 0
N
2
Y TP .Q
U
(2)
ẠO Đ G Ư N
5 2
H
Suy ra 12 − 6m = 27 ⇔ m = −
TR ẦN
Bài toán 2.7: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
b) y = x 3 − 3 x 2 + 3 x + 1
a) y = − x 3 + 3 x 2 − 4 x + 2
B
Hướng dẫn giải
10
00
a) y = − x 3 + 3 x 2 − 4 x + 2 Tập xác định D = ℝ
•
Sự biến thiên lim y = −∞ và lim y = +∞ x →−∞
ẤP
x →+∞
2+
3
•
C
Ta có y ' = −3 x 2 + 6 x − 4 < 0, ∀x nên hàm số nghịch biến trên ℝ . Hàm số không có cực trị.
Ó
x
A
Bảng biến thiên
H
−∞
y'
-L
−
y
TO
ÁN
+∞
−∞
G
Đồ thị: y '' = −6 x + 6, y '' = 0
Ỡ N
•
+∞
Í-
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
x2 = 3 Đồng nhất các hệ số của (1) và (2): x12 = 9 x 2 x = 12 − 6m 1 2
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
(
Khi đó x1 , x2 là nghiệm của phương trình x 2 − x12
H Ơ
N
17 5 − ≤ m ≤ Đường thẳng d cắt ( C ) tại A, B thỏa mãn tam giác OAB cân tại O khi 2 6 và phương trình (1) m ≠ 0 có nghiệm x1 , − x1 , x2 (trong đó x1 , − x1 là hoành độ của A, B)
ID Ư
⇔ x = 1 nên đồ thị có điểm uốn I (1;0 ) .
BỒ
Cho x = 0 ⇒ y = 2 . Cho y = 0
⇔ − x3 + 3x2 − 4 x + 2 = 0
⇔ ( x − 1) ( x 2 − 2 x + 2 ) = 0 ⇔ x = 1 b) y = x 3 − 3x 2 + 3 x + 1 Trang 9 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
•
Tập xác định D = ℝ
•
Sự biến thiên: lim y = −∞ và lim y = +∞ x →−∞
x →+∞
2
H Ơ
N
Ta có y ' = 3 x 2 − 6 x + 3 = 3 ( x − 1) ≥ 0, ∀x nên hàm số đồng biến trên
N
ℝ , hàm số không có cực trị.
+
0
−
y
Đ
+∞
G Ư N
•
Đồ thị: y '' = 6 x − 6, y '' = 0
TR ẦN
H
⇔ x = 1 nên đồ thị có điểm uốn I (1; 2 ) Cho x = 0 ⇒ y = −1 .
(
)
00
B
Bài toán 2.8: Cho hàm số: y = x 3 − 3 ( m − 3) x 2 + 3 m 2 − 3m + 5 x + 1 , m là tham số. Tìm m để đồ thị của
10
hàm số đã cho đạt cực đại, cực tiểu tại x1 , x2 thỏa mãn x1 + x2 − x1 x2 < 7 .
2+
3
Hướng dẫn giải
ẤP
D =ℝ,
C
y ' = 3 x 2 − 6 ( m − 3) x + 3 ( m 2 − 3m + 5 )
số
cực
đại,
cực
Í-
Hàm
H
Ó
A
y ' = 0 ⇔ 3x 2 − 6 ( m − 3) x + 3 ( m 2 − 3m + 5 ) = 0
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
−∞
tiểu
ÁN
x1 , x2 ⇔ ∆ ' = −3m + 4 > 0 ⇔ m <
tại
x1 , x2
khi
phương
trình
có
2
nghiệm
phân
biệt
4 3
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
y'
+∞
1
TP .Q
−∞
ẠO
x
U
Y
Bảng biến thiên:
TO
Ta có x1 + x2 = 2 ( m − 3) ; x1 x2 = m 2 − 3m + 5 2
Ỡ N
G
Do đó x1 + x2 − x1 x2 < 7 ⇔ 2 ( m − 3) + 3m − 5 < 7
BỒ
ID Ư
⇔ m 2 − 5m + 11 < 7 m 2 − 5m + 11 < 7 m 2 − 5m + 4 < 0 ⇔ 2 ⇔ 2 ⇔1< m < 4 m − 5m + 11 > −7 m − 5m + 18 > 0
Kết hợp thì chọn: 1 < m <
4 3 Trang 10
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Bài toán 2.9: Cho hàm số: y = x 4 − 2mx 2 + 2m − 1 , với m là tham số. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3
N
b) Tìm m để đồ thị của hàm số đã cho có 3 điểm cực trị lập thành một tam giác vuông.
H Ơ
Hướng dẫn giải
Y
N
a) Khi m = 3 , hàm số trở thành y = x 4 − 6 x 2 + 5 Tập xác định D = ℝ , hàm số chẵn.
•
Sự biến thiên: y ' = 4 x 3 − 12 x = 4 x x 2 − 3
)
ẠO
y ' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = ± 3
−
0
+
5
−
)
+
+∞ −4
(
) (
3; +∞ và nghịch biến trên khoảng −∞; − 3 ; 0; 3
)
3
10
)(
Hàm số đồng biến trên khoảng − 3;0 ,
0
00
B
−4
+∞
3
0
+∞
(
G
Đ
y' y
0
− 3
Ư N
−∞
H
x
TR ẦN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Bảng biến thiên
2+
Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yC Ð = 5 và đạt cực tiểu tại x = ± 3, yCT = −4
ẤP
Đồ thị: Đồ thị hàm số nhận Oy tại trục đối xứng
ID Ư
Ỡ N
G
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
C
•
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
(
TP .Q
U
•
(
BỒ
b) Ta có D = ℝ . y ' = 4 x x 2 − m
)
y ' = 0 ⇔ 4 x ( x 2 − m ) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x 2 = m
Hàm số có 3 điểm cực trị ⇔ y ' = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ m > 0 Khi đó 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là: Trang 11 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
(
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
)
A − m ; − m 2 + 2m − 1 , B ( 0; 2m − 1) , C
(
)
m ; − m 2 + 2m − 1
Vì hàm số chẵn nên tam giác ABC cân tại B ∈ Oy , A và C đối xứng nhau qua Oy.
H Ơ
N
ABC là tam giác vuông ⇔ tam giác ABC vuông cân tại B
N
⇔ AC = AB. 2 ⇔ m 2 = m ⇔ m = 1 hoặc m = 0 .
U
Y
Vậy chọn m = 1 .
cực trị sao cho 3 điểm cực trị cùng với gốc tọa độ là 4 đỉnh của một hình thoi.
ẠO
Hướng dẫn giải
G
Đ
Ta có y ' = 4 x 3 − 2mx
Ư N H
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
x = 0 y ' = 0 ⇔ 4 x3 − 2mx = 0 ⇔ 2 2x = m
TR ẦN
Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y ' = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ m > 0 Khi đó các điểm cực trị:
10
00
B
m m2 m m2 ;− + 2m − 1 , B ( 0; 2m − 1) , C ;− + 2m − 1 A − 2 4 4 2
ẤP
2+
3
Vì tam giác ABC cân tại B, AC song song Ox nên O, A, B, C là 4 đỉnh hình thoi khi và chỉ khi OABC là hình thoi
yO + yB = yA 2
A
C
⇔ O và B đối xứng nhau qua AC ⇔
H
Ó
2m − 1 m2 =− + 2m − 1 ⇔ m 2 − 4m + 2 = 0 2 4
Í-
⇔
-L
⇔ m = 2 ± 2 (thỏa mãn). Vậy m = 2 ± 2 .
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
TP .Q
Bài toán 2.10: Cho hàm số: y = x 4 − mx 2 + 2m − 1 , với m là tham số. Tìm m để đồ thị hàm số cho có 3 điểm
TO
ÁN
Bài toán 2.11: Cho hàm số: y = − x 4 − 2mx 2 + m 2 + m , với m là tham số a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = −2
ID Ư
Ỡ N
G
b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành Ox tại 4 điểm phân biệt A, B, C, D sao cho AB = BO = OC = CD . Hướng dẫn giải
BỒ
a) Khi m = −2 hàm số trở thành y = − x 4 + 4 x 2 + 2 •
Tập xác định D = ℝ , hàm số chẵn
•
Sự biến thiên: y ' = −4 x3 + 8 x = −4 x x 2 − 2
(
)
y' = 0 ⇔ x = 0∨ x = ± 2 Trang 12 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Bảng biến thiên 0
− 2
y'
+
0
y
−
+∞
2
0
+
0 6
−∞
−∞
) (
)
(
TP .Q
(
U
2
Y
N
6
−
N
−∞
H Ơ
x
)
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng −∞; − 2 và 0; 2 ; nghịch biến trên mỗi khoảng − 2;0 và
)
Đ G
•
ẤP
2+
3
10
00
B
TR ẦN
H
Ư N
Đồ thị: nhận Oy là trục đối xứng
A
C
b) Cho y = 0 ⇔ − x 4 − 2mx 2 + m 2 + m = 0
H
Ó
Đặt t = x 2 , t ≥ 0 thì PT: −t 2 + 2mt − m 2 − m = 0
Í-
Đồ thị cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt khi phương trình bậc 2 có 2 nghiệm dương phân biệt t1 < t2 .
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
x = ± 2 , giá trị cực đại yC Ð = 6 .
G
TO
ÁN
∆ ' = m 2 + m 2 + m > 0 2m 2 + m > 0 ⇔ S = −2m > 0 ⇔ m < 0 2 2 P = −m − m > 0 m + m < 0
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
2; +∞ . Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0 , giá trị cực tiểu yCT = 2 ; hàm số đạt cực đại tại các điểm
ẠO
(
BỒ
ID Ư
Ỡ N
1 m > 0 ∨ m < 2 1 ⇔ m < 0 ⇔ −1 < m < − 2 −1 < m < 0
Vì đồ thị đối xứng qua trục tung nên 4 giao điểm A, B, C, D thỏa mãn AB = BO = OC = CD khi và chỉ khi
t2 = 2 t1 ⇔ t2 = 4t1 . Trang 13 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Theo định lý Viet ta có t1 + t2 = −2m; t1t2 = − m 2 − m .
4t = − m − m
⇒ 4.4m 2 = 25 ( − m 2 − m )
N 1 4 x − 2 x2 + 3 4
ẠO
Bài toán 2.12: Cho hàm số y =
TP .Q
U
25 . 41
Đ
Ta chọn m = −
25 . 41
Y
⇔ 42m 2 + 25m = 0 ⇔ m = 0 hay m = −
G Ư N H
b) Tìm m để phương trình x 4 − 8 x 2 + 6 = m có 8 nghiệm phân biệt
TR ẦN
Hướng dẫn giải
Tập xác định D = ℝ . Hàm số chẵn.
•
Sự biến thiên: y ' = x3 − 4 x = x x 2 − 4
)
3
(
10
•
00
B
1 4 x − 2 x2 + 3 . 4
2+
y ' = 0 ⇔ x = 0 hay x = ±2
C
x
ẤP
Bảng biến thiên
−∞
0
+∞
2
Ó
A
−2
y' y
−∞
0
Í-
H
−
+
0
−
0
+∞
3 −1
+
−1
ÁN
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
a) y =
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
2
H Ơ
2 1
N
5t1 = −2m
Do đó
TO
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( −2;0 ) ; ( 2; +∞ ) , hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( −∞; −2 ) ;
x = 0; yC Ð = 3 , đạt cực tiểu tại x = ±2, yCT = −1 .
Ỡ N
G
( 0; 2 ) . Hàm số đạt cực đại tại
Đồ thị: Đồ thị ( C ) hàm số nhận Oy là trục đối xứng
BỒ
ID Ư
•
Trang 14 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
G
Ư N
m 1 4 x − 2x2 + 3 = 4 4
H
x 4 − 8 x 2 + 12 = m ⇔
1 4 x − 2 x 2 + 3 được suy ra từ đồ thị ( C ) bằng cách giữ nguyên phần nằm 4
TR ẦN
Đồ thị ( C ' ) của hàm số y =
B
phía trên Ox, còn phần nằm phía dưới Ox thì lấy đối xứng qua Ox.
m m 1 4 x − 2 x2 + 3 = là giao điểm của đồ thị ( C ' ) và đường thẳng y = . 4 4 4
10
00
Số nghiệm của phương trình
2+
3
Dựa vào đồ thị, phương trình có 8 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:
A
1 4 x − ( 3m + 1) x 2 + 2 ( m + 1) , với m là tham số. Tìm m để đồ thị hàm số có 3 4
H
Ó
Bài toán 2.13: Cho hàm số: y =
m <1⇔ 0 < m < 4 . 4
C
ẤP
0<
Í-
điểm cực trị lập thành một tam giác có trọng tâm là gốc tọa độ.
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Đ
b) Ta có phương trình
Hướng dẫn giải
ÁN
y ' = x3 − 2 ( 3m + 1) x = x x 2 − 2 ( 3m + 1)
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
ẠO
TP .Q
U
Y
N
H Ơ
N
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
G
TO
y ' = 0 ⇔ x = 0 ∨ x 2 = 2 ( 3m + 1)
ID Ư
Ỡ N
Hàm số đã cho có 3 điểm cực trị ⇔ 3m + 1 > 0 ⇔ m > −
BỒ
Khi đó 3 điểm cực trị của đồ thị là:
C
(
1 3
(
)
A ( 0; 2m + 2 ) , B − 6m + 2; −9m 2 − 4m + 1
và
)
6m + 2; −9m 2 − 4m + 1
Vì hàm số chẵn nên tam giác ABC cân tại A thuộc trục Oy, B, C đối xứng nhau qua Oy. O là trọng tâm của tam giác ABC ⇔ y A + yB + yC = 0 Trang 15 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
⇔ 2m + 2 + 2 ( −9m 2 − 4m + 1) = 0
N
H Ơ
N
2 = − m 1 3 . Chọn giá trị m = . ⇔ 9m 2 + 3m − 2 = 0 ⇔ 3 m = 1 3
U
3 x4 + x2 − b) y = 2 2
a) y = − x − 2 x + 5
ẠO
Hướng dẫn giải
Đ G
•
Sự biến thiên lim y = −∞ và lim y = −∞
Ư N
Tập xác định D = ℝ . Hàm số chẵn
H
•
x →+∞
x →−∞
TR ẦN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
a) y = − x 4 − 2 x 2 + 5 .
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
2
TP .Q
4
Y
Bài toán 2.14: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
y ' = −4 x3 − 4 x = −4 x ( x 2 + 1) , y ' = 0 ⇔ x = 0
−∞ +
0
y
ẤP
5
−
3
y'
−∞
Ó
A
C
−∞
+∞
10
0
2+
x
00
B
BBT
Í-
H
Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞;0 ) và nghịch biến trên khoảng ( 0; +∞ )
-L
Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0 : yC Ð = 5 .
ÁN
Đồ thị: y '' = −12 x 2 − 4 < 0, ∀x nên đồ thị không có điểm uốn.
TO
•
6 −1
G
Cho y = 0 ⇒ x = ±
BỒ
ID Ư
Ỡ N
3 x4 b) y = + x2 − 2 2 •
Tập xác định D = ℝ : Hàm số chẵn.
•
Sự biến thiên: lim y = +∞ . x →±∞
y ' = 2 x3 + 2 x = 2 x ( x 2 + 1) , y ' = 0 ⇔ x = 0 . Trang 16 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
BBT
−∞ −
0
+
N
y' y
+∞
0
+∞
N
+∞
H Ơ
x
U
Y
−3/2
3 2
ẠO
đạt cực tiểu tại 0; − .
Đ G Ư N
3 2
H
Giao điểm với trục tung 0; − , giao điểm với trục hoành ( −1;0 ) và (1;0 ) .
TR ẦN
Bài toán 2.15: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị mỗi hàm số sau:
x2 + x + 1 b) y = −5 x 2 − 2 x + 3
00
B
x3 + 2 a) y = 2 x − 2x
2+
3
a) D = ℝ \ {0; 2} suy ra 2 TCĐ: x = 0 và x = 2 .
10
Hướng dẫn giải
C
ẤP
4x + 2 x3 + 2 Ta có y = 2 = x+2+ 2 nên TCX: y = x + 2 . x − 2x x − 2x 3 5
3 . 5
H
Ó
A
b) D = ℝ \ −1; suy ra 2 TCĐ: x = −1 và x =
x →±∞
1 1 nên TCN: y = − . 5 5
Í-
Ta có lim y = −
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
• Đồ thị: y '' = 6 x 2 + 2 > 0, ∀x nên đồ thị không có điểm uốn.
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
TP .Q
Hàm số đồng biến trên khoảng ( 0; +∞ ) , nghịch biến trên khoảng ( −∞;0 ) và
TO
ÁN
Bài toán 2.16: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị mỗi hàm số sau:
3 x
b) y =
Ỡ N
G
a) y = x +
x2 − 4 x + 3
Hướng dẫn giải
BỒ
ID Ư
a) D = ( 0; +∞ ) . Ta có lim+ y = +∞ nên TCĐ: x = 0 (khi x → 0+ ) x →0
Ta có lim ( y − x ) = lim x →+∞
x →+∞
3 nên TNX: y = x (khi x → +∞ ). x
b) D = ( −∞;1] ∪ [3; +∞ ) . Đồ thị không có TCĐ. Trang 17 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Gọi y = ax + b là TCN, TCX thì:
x →+∞
x →+∞
x2 − 4x + 3 − x
N
(
)
U TP .Q
x →+∞
ẠO
= lim
Y
3 x = lim = −2 2 x →+∞ 4 3 x − 4x + 3 + x 1− + 2 +1 x x −4 +
−4 x + 3
Đ
Vậy tiệm cận xiên: y = x − 2 (khi x → +∞ ).
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
b1 = lim ( y − x ) = lim
H Ơ
x →+∞
4 3 y x2 − 4 x + 3 = lim = lim 1 − + 2 = 1 ; x →+∞ x x→+∞ x x x
N
a1 = lim
G
y x2 − 4 x + 3 = lim x →−∞ x x →−∞ x
Ư N H
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
a2 = lim
4 3 + x x 2 = − lim 1 − 4 + 3 = −1 x →+∞ x x x2
−4 x + 3
= lim
x →−∞
4 3 + −1 x x2
B 00
−4 =2 −2
-L
Í-
−x 1 −
=
H
= lim
3 x
C
−4 +
−4 x + 3 x →−∞ 4 3 −x 1 − + 2 − x x x
= lim
ẤP
x2 − 4 x + 3 − x
x →−∞
)
10
x →+∞
x2 − 4x + 3 + x
3
x →−∞
(
2+
b2 = lim ( y + x ) = lim
A
x →−∞
Ó
= lim
TR ẦN
−x 1 −
ÁN
Vậy tiệm cận xiên: y = − x + 2 (khi x → −∞ )
x2 − 4 x + 3 = x − 2 +
TO
Cách khác: y =
(
G
và vì lim
Ỡ N
x →±∞
(
x2 − 4x + 3 − x − 2
)
)
x 2 − 4 x + 3 − x − 2 = 0 suy ra TCX.
ID Ư
Bài toán 2.17: Tùy theo m, tìm các tiệm cận của đồ thị:
BỒ
a) y =
x 2 + mx + 1 x −1
b) y =
mx3 − 1 x2 − 3x + 2
Hướng dẫn giải
Trang 18 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
x 2 + mx + 1 m+2 = x + m +1+ ,x ≠1 a) Ta có y = x −1 x −1 m+2 = 0 nên y = x + m + 1 là tiệm cận xiên. Ta có: x →±∞ x − 1
N Y x −1
ẠO
2
(với x ≠ 1 ), đồ thị là đường thẳng (trừ điểm (1;0 ) ) nên nó trùng với tiệm
Đ
- Khi m = −2 thì
( x − 1) y=
TP .Q
x 2 + mx + 1 = −∞ khi m < −2 nên TCĐ x = 1 . Khi m > −2 và lim+ x →1 x −1
Ư N
G
cận xiên.
x3 − 1 x2 + x + 1 = , x ≠ 1, x ≠ 2 x2 − 3x + 2 x−2
Khi m = 1 thì y =
TR ẦN
H
mx3 − 1 7 mx − 1 − 6m b) Ta có: y = 2 = mx + 3m + 2 x − 3x + 2 x − 3x + 2
10
00
B
1 x3 − 8 x2 + 2 x + 4 Khi m = thì y = = , x ≠ 1, x ≠ 2 8 8 ( x − 1) 8 ( x2 − 3x + 2)
ẤP
1 thì x = 1 là tiệm cận đứng. 8
C
Với m =
2+
3
Từ đó suy ra: Với m = 1 thì x = 2 là tiệm cận đứng
Ó
A
1 thì đồ thị có hai tiệm cận đứng là x = 1 và x = 2 . 8
Í-
H
Với m ≠ 1 và m ≠
7mx − 1 − 6m = 0 nên đồ thị có TCN, TCX: y = mx + 3m . x →±∞ x 2 − 3 x + 2
Ta có lim ( y − ( mx + 3m ) ) = lim
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
x →1
x 2 + mx + 1 = +∞ x −1
U
lim+
H Ơ
x →±∞
N
- Khi m ≠ −2 thì lim ( y − ( x + m + 1) ) = lim
x →±∞
TO
ÁN
2 x 2 + ( m + 1) x − 3 Bài toán 2.18: Cho đường cong ( Cm ) : y = x+m
Ỡ N
G
a) Tìm m để tiệm cận xiên của ( Cm ) đi qua A (1;1)
BỒ
ID Ư
b) Tìm m để giao điểm của hai tiệm cận nằm trên ( P ) : y = x 2 + 3 Hướng dẫn giải
2 x 2 + ( m + 1) x − 3 y = lim =2 x →∞ x x →∞ x ( x + m)
a) Ta có lim
Trang 19 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
2 x 2 + ( m + 1) x − 3 lim ( y − 2 x ) = lim − 2 x x →∞ x →∞ x ( x + m)
H Ơ
N
2 x 2 + ( m + 1) x − 3 − 2 x 2 − 2mx = lim = 1− m x →∞ x+m
Y
N
Suy ra phương trình tiệm cận xiên là y = 2 x + 1 − m .
TP .Q
U
TCX đi qua A (1;1) khi và chỉ khi: 1 = 2.1 + 1 − m ⇔ m = 2 .
Đ
ẠO
Giao điểm này nằm trên đường cong y = x 2 + 3 khi 2
G
Ư N
TR ẦN
H
x 2 + (1 − m ) x − 2 Bài toán 2.19: Cho hàm số y = ( Cm ) . Tìm m để tiệm cận xiên của ( Cm ) tạo với các trục tọa x +1 độ thành một tam giác có diện tích bằng 18.
Hướng dẫn giải
(
00
B
m−2 , D = ℝ \ {−1} . x +1
10
Hàm số y = x − m +
)
2+
x →±∞
3
Ta có lim y − ( x − m ) = 0 nên tiệm cận xiên d của ( Cm ) có phương trình y = x − m . Giao điểm của d
C
1 2 m . 2
Ó
A
Diện tích tam giác OAB là S =
ẤP
với Ox: A ( m;0 ) , giao điểm của d với Oy: B ( 0; − m )
H
1 2 m = 18 ⇔ m = ±6 2
Í-
Điều kiện S = 18 ⇔
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
1 − 3m = ( −m ) + 3 ⇔ m 2 + 3m + 2 = 0 ⇔ m = −1 hoặc m = −2
ÁN
Bài toán 2.20: Cho hàm số: y =
2x −1 . x −1
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
b) Đồ thị có tiệm cận đứng là x = − m . Từ đó suy ra giao điểm của hai tiệm cận là I ( − m;1 − 3m ) .
G
TO
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số
BỒ
ID Ư
Ỡ N
b) Suy ra đồ thị y =
a) y =
2x −1 . x −1 Hướng dẫn giải
2x −1 . x −1
• Tập xác định D = ℝ \ {1} . Trang 20 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
• Sự biến thiên: Ta có: lim− y = −∞ và lim+ y = +∞ x →1
x →1
Do đó đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng
( x − 1)
2
< 0, ∀x ≠ 1
N
−1
Y −∞
y'
−
Ư N
G
+∞
TR ẦN
−∞ Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( −∞;1) , (1; +∞ )
B
1 2
2
H
2
10
hai tiệm cận làm tâm đối xứng.
G
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
C
ẤP
2+
( C ) nhận giao điểm I ( 0; 2 )
00
Đồ thị: Đồ thị ( C ) cắt Ox tại ;0 cắt Oy tại ( 0;1) .
3
•
Đ
−
y
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
+∞
−1
ẠO
x
TP .Q
Bảng biến thiên
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
Ta có: y ' =
H Ơ
x →+∞
U
x →−∞
N
Vì lim y = lim y = 2 nên đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị.
BỒ
ID Ư
Ỡ N
2x −1 2x −1 x −1 b) Ta có y = = x −1 2x −1 − x − 1
khi x > 1 nên đồ thị ( C ' ) giữ nguyên phần bên phải tiệm cận đứng x = 1
khi x < 1
của đồ thị ( C ) , còn phần bên trái tiệm cận đứng x = 1 của đồ thị ( C ) thì lấy đối xứng qua trục hoành.
Trang 21 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Bài toán 2.21: Cho hàm số: y =
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
2x − 2 . x +1
N
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số.
H Ơ
b) Lập phương trình tiếp tuyến của ( C ) , biết tiếp tuyến cắt đường tiệm cận đứng tại A, cắt đường tiệm cận
N
ngang tại B mà OB = 2OA .
U
Tập xác định D = ℝ \ {−1}
•
Sự biến thiên: Ta có lim − y = +∞ và lim + y = −∞
G
x →( −1)
Đ
ẠO
•
x →( −1)
H
Do đó đường thẳng x = −1 là tiệm cận đứng
4
( x + 1)
2
> 0, ∀x ≠ −1
00
y' =
x →+∞
B
x →−∞
TR ẦN
Ta có lim y = lim y = 2 nên đường thẳng y = 2 là tiệm cận đứng
10
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( −∞; −1) ; ( −1; +∞ )
3
Đồ thị: Đồ thị ( C ) cắt Ox tại (1;0 ) , cắt Oy tại ( 0; −2 ) , và nhận giao điểm I ( −1; 2 ) của hai đường tiệm
2+
•
ID Ư
Ỡ N
G
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
C
ẤP
cận làm tâm đối xứng.
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
TP .Q
2x − 2 x +1
Ư N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
a) y =
Y
Hướng dẫn giải
BỒ
b) Phương trình tiếp tuyến tại M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) , x0 ≠ −1
d:y=
4
( x0 + 1)
2
( x − x0 ) +
2 x0 − 2 x0 + 1
Trang 22 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Giao điểm của d với tiệm cận đứng x = −1 là A −1;
2 x0 − 6 ; x0 + 1
H Ơ N Y TP .Q
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
ẠO
Ư N H TR ẦN
x−2 . x −1
00
B
x−2 . x −1
Tập xác định: D = ℝ \ {1}
•
Sự biến thiên: Ta có lim− y = +∞ và lim+ y = −∞
2+
3
10
•
x →1
ẤP
x →1
C
Do đó đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng.
1
( x − 1)
TO
x
2
> 0, ∀x ≠ 1 .
ÁN
Bảng biến thiên
H
Ta có y ' =
Ó
x →+∞
Í-
x →−∞
A
Vì lim y = lim y = 1 nên đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang.
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Bài toán 2.22: Cho hàm số: y =
−∞
y'
+∞
1 +
G Ỡ N ID Ư
BỒ
2 x02 − x0 + 13 = 0 (VN ) ⇔ 2 4 x0 − 12 2 x0 + 7 x0 − 11 = 0 x0 + 1
−7 ± 137 . Thế vào d thì có tiếp tuyến cần tìm. 4
⇔ x0 =
a) y =
4 x0 − 12 x0 + 1
Đ
2 x0 + 1 = 2 x0 − 6 2 ⇔ ( 2 x0 + 1) = 4 ⇔ x + 1 0 2 x0 + 1 = 2
2
U
2x − 6 = 2 1+ 0 x0 + 1
G
4 + ( 2 x0 + 1)
Do đó OB = 2OA ⇔
2
N
Giao điểm của d với tiệm cận ngang y = 2 là B ( 2 x0 + 1; 2 ) .
y
+
+∞ 1
1
−∞
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( −∞;1) , (1; +∞ )
•
Đồ thị: Đồ thị ( C ) cắt Ox tại ( 2;0 ) , cắt Oy tại ( 0; 2 ) , ( C ) nhận giao điểm I (1;1) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng. Trang 23
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
G H
Ư N
x−2 = m−5 x −1
x−2 x − 2 x − 1 Ta có: y = = x −1 x − 2 − x − 1
TR ẦN
khi x ≥ 2 khi 1 ≠ x < 2
00
B
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
x − 2 = ( x − 1)( m − 5 ) ⇔
Đ
b) Vì x = 1 không là nghiệm nên phương trình
10
x−2 gồm phần của ( C ) ứng với x ≥ 2 và đối xứng phần ( C ) ứng với x −1
3
Suy ra đồ thị ( C ' ) của y =
2+
x < 2 qua trục hoành.
C
ẤP
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị ( C ' ) và đường thẳng y = m − 5 :
A
Xét m − 5 ≥ 1 hay m − 5 = 0 hay m − 5 < −1
H
Ó
⇔ m ≥ 6 hay m = 5 hay m < 4 thì phương trình có 1 nghiệm.
Í-
Xét 0 < m − 5 < 1 ⇔ 5 < m < 6 thì phương trình có 2 nghiệm.
-L
Xét −1 ≤ m − 5 < 0 ⇔ 4 < m < 5 thì phương trình vô nghiệm.
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
ẠO
TP .Q
U
Y
N
H Ơ
N
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
ÁN
m−x , với m là tham số. Tìm m để đường thẳng d : 2 x + 2 y − 1 = 0 cắt đồ thị x+2 3 tại hai điểm A, B sao cho tam giác OAB có diện tích là S = . 8
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
Bài toán 2.23: Cho hàm số: y =
Phương trình hoành độ giao điểm
Hướng dẫn giải
−x + m 1 = −x + x+2 2
⇔ 2 x 2 + x + 2 ( m − 1) = 0, x ≠ −2 Ycbt là phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 phân biệt khác −2 Trang 24
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
2 2
1 1 2 1 17 − 16m AB.h = . . 17 − 16m . = 2 2 2 8 2 2
Nên SOAB =
3 17 − 16m 3 1 ⇔ = ⇔ m = (thỏa mãn). 8 8 8 2
−x +1 . Tìm trên ( H ) các điểm A, B sao cho độ dài AB = 4 và đường thẳng x−2 AB vuông góc với đường thẳng y = x .
10
00
B
Bài toán 2.24: Cho hàm số y =
2+
3
Hướng dẫn giải
A
C
ẤP
Vì đường thẳng AB vuông góc với y = x nên phương trình của AB là:
−x +1 = −x + m x−2
Í-
H
Ó
Hoành độ của A, B là nghiệm của phương trình
y = −x + m .
⇔ x 2 − ( m + 3) x + 2m + 1 = 0, x ≠ 2 .
ÁN
Điều kiện phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 và khác 2:
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
1
H
SOAB =
2 . 17 − 16m 2
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến d là h =
U
Y − 4 x1 x2 =
TP .Q
2
ẠO
( x2 + x1 )
Đ
= 2
2
G
2
+ ( y2 − y1 )
Ư N
( x2 − x1 )
2
TR ẦN
= 2
( x2 − x1 )
N
1 x1 + x2 = − Ta có 2 nên AB = x1 x2 = m − 1
H Ơ
N
17 ∆ = 17 − 16m > 0 m < ⇔ ⇔ 66 2 2 ( −2 ) − 2 + 2 ( m − 1) ≠ 0 m ≠ −2
Ỡ N
G
TO
2 2 ∆ = ( m + 3) − 4 ( 2m + 1) = m − 2m + 5 > 0, ∀m 4 − ( m + 3) .2 + 2m + 1 = −1 ≠ 0, ∀m
ID Ư
luôn thỏa mãn. Ta có x1 + x2 = m + 3; x1.x2 = 2m + 1 2
2
BỒ
Nên AB 2 = 16 ⇔ ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) = 16 2
2
⇔ ( x2 − x1 ) + ( − x2 + m + x1 − m ) = 16 2
2
⇔ ( x2 − x1 ) = 8 ⇔ ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2 = 8 Trang 25 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
2
⇔ ( m + 3) − 4 ( 2m + 1) = 8 ⇔ m 2 − 2m − 3 = 0 ⇔ m = 3 ∨ m = −1
H Ơ
)(
)
Y
N
)(
)
2; −2 − 2 , 3 − 2; −2 + 2 .
Đ
ẠO
x2 + 2 x + 5 x +1
G
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số
H
b) Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm dương phân biệt:
Ư N
Bài toán 2.25: Cho hàm số y =
TR ẦN
x 2 + 2 x + 5 = ( m 2 + 2m + 5 ) ( x + 1) Hướng dẫn giải
•
Sự biến thiên: y ' = 1 −
00 10
Tập xác định D = ℝ \ {−1} .
2+
•
B
4 x2 + 2x + 5 = x +1+ x +1 x +1
3
a) y =
C
ẤP
4 x2 + 2x − 3 = , y ' = 0 ⇔ x = 1, x = −3 . 2 x +1 x + 1 ( )
Ó
x
A
Bảng biến thiên
H
−∞
−3
Í-
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
TP .Q
(1 +
U
Với m = −1 , tương tự hai điểm A, B có tọa độ:
y'
-L
+
−
0
+∞ −∞
+
+∞ 4
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
−∞
+∞
1
−
−4
TO
ÁN
y
0
−1
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
(
Nên A, B có tọa độ 3 + 2; − 2 , 3 − 2; 2
N
Với m = 3 thì phương trình: x 2 − 6 x + 7 = 0 ⇔ x = 3 ± 2
Trang 26 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
TR ẦN
Hàm số đạt CĐ ( −3; −4 ) , CT (1; 4 ) . Ta có lim − y = −∞, lim + y = +∞ nên TCĐ: x = 2 x →( −1)
B
x →( −1)
00
4 = 0 nên TCX: y = x + 1 . x →±∞ x + 1
Đồ thị:
2+
•
3
x →±∞
10
lim ( y − ( x + 1) ) = lim
ẤP
Cho x = 0 ⇒ y = 5
A
C
Tâm đối xứng là giao điểm 2 tiệm cận I ( −1;0 )
H
Ó
b) Vì x = −1 không là nghiệm nên phương trình đã cho tương đương với:
Í-
x2 + 2 x + 5 = m 2 + 2m + 5 . Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số x +1
TO
ÁN
x2 + 2 x + 5 y= với đường thẳng y = m 2 + 2m + 5 . x +1
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
G Ư N
H
Hàm số đồng biến trên ( −∞; −3) , (1; +∞ ) , nghịch biến trên ( −3; −1) , ( −1;1) .
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Đ
ẠO
TP .Q
U
Y
N
H Ơ
N
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
G
Phương trình có hai nghiệm dương khi và chỉ khi:
ID Ư
Ỡ N
m ≠ −1 4 < m 2 + 2m + 5 < 5 ⇔ −2 < m < 0
BỒ
x2 − 2 x − 3 Bài toán 2.26: Cho hàm số y = x−2 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số.
b) Tìm các điểm trên ( C ) có tọa độ là số nguyên và chứng minh đồ thị ( C ) có tâm đối xứng. Trang 27 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Hướng dẫn giải
•
Tập xác định D = ℝ \ {2} .
•
Sự biến thiên: lim− y = +∞ và lim+ y = −∞ nên TCĐ: x = 2
2
U
> 0 với mọi x ≠ 2 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( −∞; 2 ) và ( 2; +∞ ) .
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
( x − 2)
ẠO
3
Đ
y ' = 1+
x ±∞
3 = 0 nên TCX: y = x . x−2
TP .Q
lim ( y − x ) = lim
Y
x→2
x→2
x →±∞
H Ơ
N
3 x−2
N
a) Ta có y = x −
G −∞
Ư N
x y'
H
2 +
y
+∞
+∞ +
+∞
−∞
Ỡ N
G
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
C
ẤP
2+
3
10
00
B
−∞
TR ẦN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Bảng biến thiên:
ID Ư
•
Đồ thị:
BỒ
Cho x = 0 ⇒ y =
3 2
y = 0 ⇒ x = −1; x = 3
b) Điểm M ( x; y ) ∈ ( C ) có tọa độ nguyên khi x − 2 là ước số của 3 nên x − 2 = ±1, ±3 . Trang 28 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Do đó ( C ) có 4 điểm có tọa độ nguyên: (1; 4 ) , ( 3;0 ) , ( −1;0 ) và ( 5; 4 ) .
x = X + 2 y = Y + 2
H Ơ N
3 3 ⇔Y = X − X ( X + 2) − 2
3 là hàm số lẻ nên đồ thị ( C ) nhận gốc I ( 2; 2 ) làm tâm đối xứng. X
Đ
ẠO
x2 + 1 Bài toán 2.27: Cho hàm số y = x
G H
Ư N
x2 + 1 m2 + 1 = x m
b) Biện luận theo m số nghiệm của PT:
B
Tập xác định D = ℝ \ {0} . Hàm số lẻ.
00
•
1 x
10
a) y = x +
TR ẦN
Hướng dẫn giải
ẤP
2+
3
x2 −1 , y ' = 0 ⇔ x = −1 hoặc x = 1 . • Sự biến thiên: y ' = x2 lim y = −∞; lim+ y = +∞ nên TCĐ: x = 0
x →0 −
C
x →0
A
1 = 0 nên TCX: y = x . x →±∞ x
Í-
H
x →±∞
Ó
lim ( y − x ) = lim
Bảng biến thiên
x
ID Ư
ÁN
Ỡ N
G
y
TO
y'
−∞
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. Tính góc giữa 2 tiệm cận
BỒ
•
+
−1 0
0 −
−
−∞
0
+∞
−2
+∞
1
−∞
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
TP .Q
Vì Y = F ( X ) : X −
U
Y
Đồ thị ( C ) : Y + 2 = ( X + 2 ) −
N
Giao điểm 2 tiệm cận I ( 2; 2 ) chuyển trục bằng phép tịnh tiến vectơ OI :
+
+∞ 2
Đồ thị: Đối xứng nhau qua gốc O.
TCĐ: x = 0 , TCX: y = x nên hai tiệm cận hợp nhau góc 45°.
x2 + 1 m2 + 1 m2 + 1 b) Số nghiệm phương trình = là số giao điểm của đồ thị với đường thẳng y = = f ( m) . x m m Dựa vào đồ thị ta có: Trang 29
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
Đ G
Ư N
m2 + 1 m2 + 1 < −2 hoặc > 2 ⇔ m ≠ 0, m ≠ ±1 , thì PT có 2 nghiệm Nếu m m
H
m2 + 1 m2 + 1 = −2 hoặc = 2 ⇔ m = −1 hoặc m = 1 thì PT có 1 nghiệm. m m
TR ẦN
Nếu
10
(1)
00
mx 2 − mx + 1 Bài toán 2.28: Cho hàm số y = x −1
B
Còn khi m = 0 thì PT vô nghiệm.
2+
3
a) Tìm điểm cố định của đồ thị hàm số (1).
Hướng dẫn giải
Ó
A
C
ẤP
x2 − x + 1 b) Khảo sát và vẽ đồ thị ( C ) khi m = 1 . Suy ra đồ thị hàm số y = x −1
Í-
H
a) Gọi M ( x0 ; y0 ) là điểm cố định của đồ thị (1):
m ( x02 − x0 ) + 1 mx02 − mx0 + 1 y0 = , ∀m ⇔ y0 = , ∀m x01 − 1 x0 − 1
ÁN
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
TP .Q
U
Y
N
H Ơ
N
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
Ỡ N
G
TO
x02 − x0 = 0, x0 − 1 ≠ 0 x0 = 0 ⇔ ⇔ 1 y0 = −1 y0 = x − 1 0
ID Ư
Vậy các đồ thị luôn luôn qua M ( 0; −1) .
BỒ
1 x2 − x + 1 b) Khi m = 1 thì y = = x+ x −1 x −1 •
Tập xác định D = ℝ \ {1} Trang 30
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
•
Sự biến thiên y ' = 1 −
1
( x − 1)
=
2
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
x2 − 2x
( x − 1)
2
, y ' = 0 ⇔ x = 0, x = 2 .
+
0
y
−
−
0
+
+∞
−1
+∞
−∞
3
H Ơ
A
C
ẤP
2+
3
10
00
B
TR ẦN
H
Ư N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
G
Đ
Đồ thị
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
ẠO
−∞ •
+∞
2
N
y'
1
Y
0
U
−∞
TP .Q
x
N
Bảng biến thiên:
Í-
H
Ó
x2 − x + 1 Ta có y = là hàm số chẵn nên đồ thị ( C ' ) đối xứng nhau qua Oy. x −1
ÁN
-L
Khi x ≥ 0 thì lấy phần đồ thị ( C ) , sau đó lấy đối xứng phần đó qua Oy thì được đồ thị ( C ' ) .
TO
3. BÀI LUYệN TậP
G
Bài tập 2.1: Tìm khoảng lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị: b) y = 5 + x 2
ID Ư
Ỡ N
a) y = 3 1 − x
−1
a) y ' =
BỒ
Hướng dẫn giải
3 (1 − x ) 3
2
; y '' =
−2 9 (1 − x )
3
(1 − x )
2
≠0
Kết quả đồ thị lồi trên khoảng ( −∞;1) , lõm trên khoảng (1; +∞ ) và không có điểm uốn. Trang 31 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
5+ x
2
; y '' =
5
(5 + x ) 2
5 + x2
> 0, ∀x
N
Kết quả đồ thị lõm trên ℝ .
H Ơ
Bài tập 2.2: Tìm tham số để đồ thị:
Y
N
a) y = f ( x ) = x 3 − ax 2 + x + b nhận I (1;1) làm điểm uốn.
TP .Q
U
b) y = f ( x ) = x 4 − mx 2 + 3 có 2 điểm uốn. Hướng dẫn giải
ẠO
f ' ( x ) = 3 x 2 − 2ax + 1; f '' ( x ) = 6 x − 2a . Kết quả a = 3 và b = 2
Đ Ư N
Bài tập 2.3: Cho hàm số: y = x 3 − 3 ( m + 1) x 2 + 9 x − m , với m là tham số.
TR ẦN
H
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1 .
b) Tìm m để đồ thị hàm số đã cho đạt cực trị tại x1 , x2 sao cho x1 − x2 ≤ 2 .
B
Hướng dẫn
10
00
a) Khi m = 1 thì y = x 3 − 6 x 2 + 9 x − 1 .
3
b) Kết quả −3 ≤ m < −1 − 3 và −1 + 3 < m ≤ 1 .
ẤP
2+
Bài tập 2.4: Cho hàm số: y = 2 x 3 − 3 ( m − 1) x 2 + m , với m là tham số.
C
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2 .
A
b) Tìm m để đồ thị của hàm số đã cho có hai điểm cực trị sao cho điểm I ( 3;1) nằm trên đường thẳng đi qua 2
H
Ó
cực trị.
Í-
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
b) Kết quả m > 0
G
a)
Hướng dẫn
ÁN
-L
a) Khi m = 2 thì y = 2 x 3 − 3 x 2 + 2
TO
b) Lấy y chia y ' . Kết quả m =
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
x
b) y ' =
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
4 . 3
Ỡ N
G
Bài tập 2.5: Cho hàm số y = x 4 − 3 x 2 − 2 .
ID Ư
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số.
BỒ
b) Tìm số m dương để đường thẳng y = m cắt ( C ) tai hai điểm A, B sao cho tam giác OAB vuông tại gốc tọa độ O. Hướng dẫn
a) Tập xác định D = ℝ . y ' = 4 x 3 − 4 x; y '' = 12 x 2 − 4 . Trang 32 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
b) Kết quả a = 2 . Bài tập 2.6: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị mỗi hàm số sau: b) y = x +
x2 − 1
N
x3 + x + 1 x2 −1
H Ơ N
Hướng dẫn
U
Y
a) Chia tử cho mẫu thức để tách bậc nhất.
TP .Q
Kết quả TCĐ: x = −1 và x = 1 ; TCX: y = x . b) Kết quả TCX: y = 2 x (khi x → +∞ ); TCN: y = 0 (khi x → −∞ )
ẠO G Ư N
TR ẦN
x 2 + mx − 1 tạo với 2 trục tọa độ thành tam giác có S = 1 x −1
H
y=
b)
Đ
2 x 2 + ( m + 1) x − 3 a) y = qua H (1;1) x+m
Hướng dẫn
00
B
a) Tìm TCX rồi thế tọa độ H (1;1) vào TCX. Kết quả m = 2
3
x +1 . x −1
2+
Bài tập 2.8: Cho hàm số: y =
10
b) Kết quả m = −1 ± 2
C
ẤP
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số đã cho.
Ó
A
b) Tìm điểm M trên đồ thị ( C ) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1 : 2 x + y − 4 = 0 và
H
∆ 2 : x + 2 y − 2 = 0 là nhỏ nhất.
Í-
Hướng dẫn
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Bài tập 2.7: Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị:
TO
ÁN
a) Tập xác định D = ℝ \ {1} . y ' =
(
−2
( x − 1)
) (
2
.
Ỡ N
G
b) Kết quả M 1 + 2;1 + 2 , M 1 − 2;1 − 2
ID Ư
Bài tập 2.9: Cho hàm số: y =
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
a) y =
)
x −3 . x +1
BỒ
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số đã cho
b) Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) biết khoảng cách từ tâm đối xứng của ( C ) đến tiếp tuyến bằng 2 2 . Hướng dẫn Trang 33
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
4
a) Tập xác định D = ℝ \ {−1} . y ' =
( x + 1)
2
.
H Ơ
2x −1 x −1
N
Bài tập 2.10: Cho hàm số: y =
N
b) Kết quả y = x − 2; y = x + 6 .
TP .Q
U
Y
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số.
Đ
2
.
Ư N
( x − 1)
G
−3
00
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số.
TR ẦN
x2 + 4 x
B
Bài tập 2.11: Cho hàm số y =
H
b) Kết quả m = 0 hay m = 6 .
10
b) Tìm m sao cho đường thẳng y = m ( x − 2 ) + 4 cắt đường cong ( C ) tại hai điểm thuộc hai nhánh của nó.
ẤP
4 x2 + 4 = x+ . x x
C
a) Tập xác định D = ℝ \ {0} . y ' =
2+
3
Hướng dẫn
A
b) Điều kiện phương trình hoành độ giao điểm có 2 nghiệm khác dấu.
H
Ó
Kết quả m > 1
x 2 + ( m − 1) x + 2 1− x
Í-
Bài tập 2.12: Cho hàm số y =
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
a) Tập xác định D = ℝ \ {1} . y ' =
ẠO
Hướng dẫn
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
b) Với giá trị nào của m, đường thẳng d : y = − x + m cắt ( C ) tại hai điểm A, B thỏa mãn AB = 10 .
ÁN
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên khi m = 2 .
TO
b) Xác định m để hàm số đạt cực trị tại x1 , x2 sao cho x1 x2 = −3 .
Ỡ N
G
Hướng dẫn
ID Ư
a) Khi m = 2 thì y =
x2 + x + 2 1− x
BỒ
b) Dùng định lý Viet. Kết quả m = 2 .
Trang 34 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial