Chuyên đề 11 + 12 - PHÉP BIẾN HÌNH KHÔNG GIAN + KHỐI ĐA DIỆN VÀ LĂNG TRỤ

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Chuyên đề 11: PHÉP BIẾN HÌNH KHÔNG GIAN 1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

N

Phép dời hình trong không gian

U

Y

thì M ' N ' = MN .

- Hợp thành của những phép dời hình là phép dời hình.

ẠO

Các phép dời hình trong không gian

G

Đ

- Phép tịnh tiến: Phép tịnh tiến theo vectơ v là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho MM ' = v .

Ư N

H

- Phép đối xứng qua đường thẳng (phép đối xứng trục): Cho đường thẳng d, phép đối xứng qua

TR ẦN

đường thẳng d là phép biến hình biến mỗi điểm thuộc d thành chính nó và biến mỗi điểm M không thuộc d thành điểm M' sao cho trong mặt phẳng (M,d), d là đường trung trực của đoạn thẳng MM' .

10

00

B

- Phép đối xứng qua một điểm (phép đối xứng tâm): Cho điển O, phép đối xứng qua điểm O là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M ' sao cho OM + OM ' = 0 , hay O là trung điểm

3

của MM' .

2+

- Phép đối cứng qua mặt phẳng (P) là phép biến hình biến mỗi điểm thuộc (P) thành chính nó và

ẤP

biến mỗi điểm M không thuộc (P) thành điểm M' sao cho (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn

C

thẳng MM ' .

Ó

A

- Hai hình H và H ' gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.

Í-

H

Đối với các khối đa diện lồi: Nếu phép dời hình F biến tập các đỉnh của khối đa diện lồi H thành

-L

tập các đỉnh của khối đa diện lồi H ' thì F biến H thành H ' .

ÁN

Định lý: Hai hình tứ diện ABCD và A ' B 'C ' D ' bằng nhau nếu chúng có các cạnh tương ứng

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

TP .Q

Phép dời hình biến đường thẳng thành đường thẳng thành mặt phẳng…

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

N

cách giữa hai điểm bất kỳ: Nếu F biến hai điểm bất kỳ M, N lần lượt thành hai điểm M ', N '

H Ơ

- Một phép biến hình F trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng

TO

bằng nhau, nghĩa là AB = A 'B', BC = B'C ', CD = C'D ', DA = D 'A ', AC = A 'C ', BD = B'D '.

Phép vị tự trong không gian

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

- Cho số k không đổi khác 0 và một điểm O cố định. Phép biến hình trong không gian biến mỗi điểm M thành điểm M ' sao cho OM ' = kOM gọi là phép vị tự. Điểm O gọi là tâm vị tự, số k gọi là tỉ số vị tự. Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M,N thành hai điểm M ', N ' thì M ' N ' = kMN và do đó

M ' N ' = k MN . Trang 1

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Phép vị tự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng, bốn điểm đồng phẳng thành bốn

điểm đồng phẳng.

N

- Hình H được gọi là đồng dạng với hình H ' nếu có một phép vị tự biến hình H thành hình H1

2. CÁC BÀI TOÁN

U

Y

Bài toán 11.1: Cho hình tứ diện ABCD. Chứng tỏ rằng phép dời hình biến mỗi điểm A,B,C,D

N

H Ơ

mà hình H1 hằng hình H ' .

TP .Q

thành chính nó phải là phép đồng nhất.

Hướng dẫn giải

Đ

f (A) = A, f (B) = B, f (C) = C, f (D) = D . Ta chứng minh rằng f biến điểm M bất kỳ thành M.

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

Thật vậy, giả sử M ' = f (M) và M ' khác với M. Khi đó vì phép dời hình không làm thay đổi

H

khoảng cách giữa hai điểm nên AM = AM ', BM = BM ',CM = CM ', DM = DM ', suy ra bốn

là hình tứ diện. Vậy M ' trùng với M và do đó f là phép đồng nhất.

TR ẦN

điểm A,B,C,D nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn MM ' , điều đó trái với giả thiết ABCD

00

B

Bài toán 11.2: Cho hai hình tứ diện ABCD và A ' B 'C ' D ' có các cạnh tương ứng bằng nhau:

10

AB = A 'B', BC = B'C ', CD = C'D ', DA = D 'A ', DB = D 'B', AC = A 'C'. Chứng minh rằng có

3

không quá một phép dời hình biến các điểm A,B,C,D lần lượt thành các điểm A ' B 'C ' D ' .

2+

Hướng dẫn giải

ẤP

Giả sử có hai phép dời hình f1 và f2 đều biến các điểm A,B,C,D lần lượt thành các điểm

A

C

A ', B',C ', D '. Nếu f1 và f2 khác nhau thì có ít nhất một điểm M sao cho nếu M1 = f1 (M) và

và

A ' M 2 = AM ,

vậy

A ' M1 = A 'M 2 ,

tương

tự

-L

Í-

A 'M1 = AM

H

Ó

M 2 = f 2 (M) thì M1 và M2 là hai điểm phân biệt. Khi đó vì f1 và f2 đều là phép dời hình nên

ÁN

B' M1 = B'M 2 , C 'M1 = C 'M 2 , D ' M1 = D 'M 2 , do đó bốn điểm A ', B', C ', D ' cùng nằm trên

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

ẠO

Giả sử phép dời hình f biến các điểm A,B,C,D thành các điển đó, tức là

TO

mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng M1M2, trái với giả thiết A ', B', C ', D ' là hình tứ diện. Do

đó với mọi điểm M ta đều có f1 (M) = f 2 (M), tức là hai phép dời hình f1 và f2 trùng nhau.

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

Vậy có không quá một phép dời hình biến các điểm A,B,C,D lần lượt thành các điểm

A ', B',C ', D '. Bài toán 11.3: Cho tam giác ABC và phép dời hình f biến tam giác ABC thành chính nó, tức là

f (A) = A, f (B) = B, f (C) = C . Chứng minh rằng f biến mọi điểm M của mp(ABC) thành chính nó.

Trang 2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Hướng dẫn giải

Vì f (A) = A, f (B) = B và f (C) = C nên f biến mp(ABC). Bởi vậy nếu M thuộc mp(ABC) và

H Ơ

N

f (M) = M ' thì M ' thuộc mp(ABC) và AM = AM ', BM = BM ', CM = CM '. Nếu M ' và M phân biệt thì ba điểm A,B,C thuộc đường thẳng trung trực của đoạn thẳng MM '

11.4:

Cho

hai

tam

bằng

giác

nhau

ABC

và

Y

toán

A ' B 'C '

U

Bài

N

trên mp(ABC), trái với giả thiết ABC là tam giác. Vậy f (M) = M.

ẠO

biến tam giác ABC thành tam giác A ' B 'C ' . Có những phép dời hình nào biến tam giác ABC thành chính nó?

TR ẦN

điểm D khác A, trên đường thẳng a ' vuông góc với

Ư N

Trên đường thẳng a vuông góc với mp(ABC) tại A lấy

H

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

Đ

Hướng dẫn giải

mp(A 'B'C ') tại A ' có hai điểm phân biệt D1 và D2 sao

B

cho A 'D1 = A ' D2 = AD . Ta có các hình tứ diện ABCD,

10

00

A 'B'C ' D1 và

3

A 'B 'C 'D 2 có các cạnh tương ứng bằng nhau.

2+

Nếu f là phép dời hình biến tam giác ABC thành tam giác

ẤP

A ' B'C ' thì f biến D thành D1 hoặc f biến D thành D2.

C

Vậy có đúng hai phép dời hình biến tam giác ABC thành

Ó

A

tam giác A ' B 'C ' . Đó là phép dời hình f1 biến tứ diện

Í-

H

ABCD thành tứ diện A 'B'C ' D1 và phép dời hình f2 biến

-L

tứ diện ABCD thành tứ diện A 'B'C 'D 2 .

ÁN

Đây là trường hợp riêng khi hai tam giác ABC và A ' B 'C ' trùng nhau. Vậy ta có hai phép dời

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

TP .Q

(AB = A 'B', BC = B'C ', AC = A 'C ') . Chứng minh rằng có đúng hai phép dời hình, mỗi phép

TO

hình biến ABCD thành chính nó: đó là phép đồng nhất và phép đối xứng qua mp(ABC).

Bài toán 11.5: Chứng minh rằng các phép tịnh tiến, phép đối xứng tâm là các phép dời hình.

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

Hướng dẫn giải - Nếu phép tịnh tiến theo vectơ v biến hai điểm M,N lần lượt thành hai điểm M ', N ' thì MM ' = NN ' = v , suy ra MN = M ' N ' do đó MN = M ' N ' . Vậy phép tịnh tiến là một phép dời hình.

Trang 3

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ

N

- Nếu phép đối xứng tâm O biến hai điểm M,N lần lượt thành hai điểm M ', N ' thì OM ' = −OM, ON = −ON . Suy ra: M ' N ' = ON ' − OM ' = −ON + OM = NM

Y

Bài toán 11.6: Chứng minh rằng phép đối xứng trục, đối xứng qua mặt phẳng là các phép dời Hướng dẫn giải

ẠO

- Giả sử phép đối cứng qua đường thẳng d biến hai điểm

)

2

(

G Ư N H

)

B

)(

2

Suy ra MN = M ' N ' hay MN = M ' N '

10

Vậy phép đối cứng qua d là phép dời hình.

00

(

TR ẦN

trung điểm của MN ' và NN ' , ta có: MN + M ' N ' = 2HK, MN − M ' N ' = HN − HM − HM ' + HM ' = N ' N + MM ' Vì hai vectơ MM ' và NN ' đều vuông góc với HK nên: MN + M ' N ' . MN − M ' N ' = 2HK N ' N + MM ' = 0

Đ

M,N lần lượt thành hai điểm M ' N ' . Gọi H và K lần lượt là

2+

3

- Giả sử phép đối cứng qua mặt phẳng (P) biến M,N thành M ', N '. Nếu M,N thuộc (P) thì

ẤP

M ' ≡ M, N ' ≡ N nên M ' N ' = MN .

C

Nếu có ít nhất một trong hai điểm M,N không nằm trên (P) thì qua bốn điểm M,N, M ', N ' có

Ó

A

một mặt phẳng (Q) ( MM ' và NN ' cùng vuông góc với (P) nên song song với nhau). Gọi ∆ là

H

giao tuyến của (P) và (Q) thì trong mp(Q), phép đối cứng qua đường thẳng ∆ biến hai điểm

Í-

M,N thành hai điểm M ' và N ' nên MN = M ' N ' .

-L

Bài toán 11.7: Gọi Đ là phép đối xứng qua mặt phẳng (P) và a là một đường thẳng nào đó. Giả

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

TP .Q

U

hình.

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

N

Do đó M ' N ' = MN , suy ra phép đối xứng tâm O là một phép dời hình.

ÁN

sử Đ biến đường thẳng a thành đường thẳng a ' .Trong trường hợp nào thì: b) a song song với a '

c) a cắt a '

d) a và a ' chéo nhau?

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

a) a trùng với a '

Hướng dẫn giải a) a trùng với a ' khi a nằm trên mơ(P) hoặc a vuông góc với mp(P) b) a song song với a ' khi a song song với mp(P) c) a cắt a ' khi cắt mp(P) nhưng không vuông góc với (P) d) a và a ' không bao giờ cắt nhau.

Trang 4

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Bài toán 11.8: Cho hai đường thẳng song song a và a ' , hai mặt phẳng (P) và (P ') cùng vuông góc với a. Tìm phép tịnh tiến biến a thành a ' và biến (P) thành (P ') .

N

Y

Gọi O là giao điểm của a và (P), O ' là giao điểm của a ' và (P). Khi đó phép tịnh tiến vectơ v = OO ' sẽ biến a thành a ' và biến (P) thành (P ') .

H Ơ

N

Hướng dẫn giải

Đ

ẠO

ACD, ABD, ABC. Với điểm M bất kỳ trong không gian ta gọi M1 là ảnh của M qua phép tịnh tiến AA1 , M 2 là ảnh của M1 qua phép tịnh tiến theo BB1 , M3 là ảnh của M2 qua phép tịnh tiến theo CC1 , M4 là ảnh của M3 qua phép tịnh tiến theo DD1 Chứng minh rằng M trùng với M4.

G Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Hướng dẫn giải

Ta có M4 là ảnh của M qua 4 phép tịnh tiến lien tiếp. Hợp thành phép tịnh tiến đó là một phép

TR ẦN

H

tịnh tiến theo vectơ v = AA1 + BB1 + CC1 + DD1

Gọi G là trọng tâm tứ diện, theo tính chất trọng tâm thì :

00

)

10

(

B

4 4 4 4 4 v = − GA − GB − GC − GD = − GA + GB + GC + GD = 0 3 3 3 3 3

3

Do đó M trùng với M4.

2+

Bài toán 11.10: Chứng minh rằng phép vị tự biến mỗi đường thẳng thành một đường thẳng

ẤP

song song hoặc trùng với nó, biến mỗi mặt phẳng thành một mặt phẳng song song hoặc trùng

Hướng dẫn giải

Ó

A

C

với mặt phẳng đó.

H

- Giải sử phép vị tự V tỉ số k biến đường thẳng a thành đường thẳng a ' . Lấy hai điểm phân biệt

ÁN

-L

Í-

M,N nằm trên a thì ảnh của chúng là các điểm M ', N ' nằm trên a ' . Theo tính chất của phép vị tự thì M ' N ' = kMN . Do đó hai đường thẳng a và a ' song song hoặc trùng nhau.

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

TP .Q

U

Bài toán 11.9: Cho tứ diện ABCD. Gọi A1,B1,C1,D1 lần lượt là trọng tâm các tam giascc BCD,

TO

- Giả sử phép vị tự V biến mp ( α ) thành mp ( α ' ) . Lấy trên ( α ) hai đường thẳng cắt nhau a và

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

b thì ảnh của chúng qua V là hai đường thẳng a ' và b ' nằm trên ( α ' ) và lần lượt song song hoặc trùng với a và b. Từ đó suy ra hai mặt phẳng

(α)

và ( α ' ) song song hoặc trùng nhau.

Bài toán 11.11: Cho hai hình tứ diện ABCD và A 'B 'C 'D ' có các cạnh tương ứng song song: AB// A 'B', AC // A 'C ', AD // A 'D ', CB // C 'B ', BD // B'D ', DC // D 'C ' . Chứng minh rằng có một phép tịnh tiến hoặc một phép vị tự biến tứ diện này thành tứ diện kia.

Hướng dẫn giải Trang 5

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ

U

)

TP .Q

(

)

Y

(

N

giác ABC và A 'B 'C ' có các cạnh tương ứng song song nên ta phải có các số n và m sao cho và Khi đó: AC = nA 'C ' CB = mC 'B ' . AB = kA 'B' ⇔ AC − BC = k A 'C ' − B'C ' ⇔ nA 'C ' − BC = k A 'C ' − B'C ' ⇔ ( n − k ) A 'C ' = ( m − k ) B'C '

N

Vì AB// A ' B' nên có số k ≠ 0 sao cho AB = KA 'B' . Ta chứng minh rằng khi đó ta cũng có AC = kA 'C ', AD = kA 'D ', CB = kC 'B ', BD = kB 'D ', DC = kD 'C '. Thật vậy, xem xét tam

G

Đ

Các đẳng thức còn lại được chứng minh tương tự.

TR ẦN

H

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Xét trường hợp k = 1 Khi đó AB = A 'B ', BC = B 'C ',... nên AA ' = BB ' = CC ' = ... Suy ra phép tịnh tiến theo vectơ v = AA ' biến tứ diện ABCD thành tứ diện A 'B 'C 'D ' . Nếu k≠1 thì hai đường thẳng AA ' và BB ' cắt nhau tại một điểm O nào đó. Khi đó phép vị tự V

B

tâm O tỉ số k biến tứ diện ABCD thành tứ diện A ' B 'C 'D ' .

00

Bài toán 11.12: Chứng minh rằng hợp thành của các phép tịnh tiến là một phép tịnh tiến.

10

Hướng dẫn giải

2+

3

Giả sử T1 và T2 lần lượt là các phép tịnh tiến theo vectơ v1 và v 2 . Nếu T1 biến điểm M thành

H

Ó

A

C

ẤP

điểm M1 và T2 biến điểm M1 thành M2 thì hợp thành T2 o T1 biến điểm M thành điểm M2. Vì MM1 = v1 và M1M 2 = v 2 nên MM 2 = MM1 = v1 + v 2 Vậy T2 o T1 là phép tịnh tiến vectơ v1 + v 2 .

Í-

Tổng quát : Hợp thành của n phép tịnh tiến đã cho là một phép tịnh tiến có vectơ tịnh tiến bằng

-L

tổng các vectơ của các phép tịnh tiến đã cho.

ÁN

Bài toán 11.13 : Cho phép dời hình j thoả mãn điều kiện phép hợp thành của f và f ' là phép

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

ẠO

Vì hai vectơ A 'C ' và B 'C ' không cùng phương nên đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi n − k = m − k = 0 , tức là n = m , vậy AC = kA 'C ' và BC = kB 'C '

TO

đồng nhất : f o f = e, biết rằng có một điểm I duy nhất sao cho f biến I thành chính nó. Chứng

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

minh rằng f là phép đối xứng tâm.

Hướng dẫn giải

Với một điểm M bất kỳ khác I, ta gọi M ' là ảnh của M qua f, khi đó M và M ' không trùng nhau. Vì f o f = e nên f biến M ' thành M, vậy f biến đoạn thẳng MM ' thành đoạn thẳng M ' M . Từ đó suy ra f biến trung điểm đoạn thẳng MM ' thành chính nó và vì vậy, theo giả thiết trung

điểm MM ' phải là điểm I. Vậy f là phép đối xứng qua tâm I. Bài toán 11.14 :Chứng minh rằng : Trang 6

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

a) Hợp thành của một số chẵn các phép đối xứng tâm là một phép tịnh tiến. b) Hợp thành của một số lẻ của phép đối xứng tâm là phép đối xứng tâm.

N

Hướng dẫn giải

N Y U

TP .Q

bất kỳ, M1 = Đ1(M) và M ' = Đ2(M1) thì phép hợp thành Đ1 o Đ2 biến M thành M ' . Ta có : MM ' = MM1 + M1M ' = 2O1M1 + 2M1O 2 Suy ra Đ1 o Đ2 là phép tịnh tiến theo vectơ v = 2O1O 2

H Ơ

a) Giải sử Đ1 và Đ2 là các phép đối xứng tâm có tâm lần lượt là O1 và O2. Gọi M là một điểm

tịnh tiến.

G

Đ

b) Với điểm M ta lấy M1 đối xứng với M qua O, và lấy M ' sao cho M1M ' = v .

H

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

v Khi đó hợp thành Tv o Đo biến M thành M ' . Nếu gọi I là trung điểm của MM ' thì OI = . 2

TR ẦN

Vậy điểm I cố định. Suy ra Tv o Đo là phép đối xứng qua I.

B

v Tương tự ĐO o T V là phép đối xứng qua điểm I ' mà OI ' = − . 2

10

00

Hợp thành của 2n + 1 phép đối xứng tâm là hợp thành của một phép tịnh tiến và một phép đối

2+

Bài toán 11.15 : Chứng minh rằng

3

xứng tâm nên là một phép đối xứng tâm.

ẤP

a) Hợp thành của hai phép đối xứng trục có các trục đối xứng song song là một phép tịnh tiến

C

b) Hợp thành của một phép đối xứng trục và một phép tịnh tiến theo vectơ vuông góc với trục

Hướng dẫn giải

H

Ó

A

đối xứng là một phép đối xứng trục.

Í-

a) Giả sử Đa và Đb là các phép đối xứng trục có trục lần lượt

-L

là các đường thẳng a và b song song với nhau. Lấy hai điểm

ÁN

I và J lần lượt nằm trên a và b sao cho IJ ⊥ a. Với điểm M

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

ẠO

Vì hợp thành của hai phép đối xứng tâm là hợp thành của n phép tịnh tiến và do đó là một phép

TO

bất kỳ, ta gọi M1 = Đa(M) và M ' = Đb(M1) thì phép hợp

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

thành Đb o Đa biếm M thành M ' . Nếu gọi H là trung điểm của MM ' và K là trung điểm của M1M ' thì : MM ' = MM1 + M1M ' = 2HM1 + 2HK = 2IJ

Vậy hợp thành Đb o Đa chính là phép tịnh tiến theo vectơ v = 2IJ .

Trang 7

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

v thì phép b) Giả sử Da là phép đối xứng qua đường thẳng a, Tv là phép tịnh tiến theo vectơ 2

H Ơ

N

tịnh tiến Tv là hợp thành của hai phép đối xứng Đb và Đa qua các đường thẳng a và b : Tv = Đ b o Đa .

Y

N

Bởi vậy Tv o Đa = Đb o Đa o Đa = Đ b o e = Đ b .

ẠO

phép đối xứng Đb’ và Đa qua các đường thẳng b ' và a :

Đ

Tv = Đa o Đb'

G

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Do đó : Đa oTv = Đa o Đa o Đb ' = e o Đb ' = Đb ' .

Ư N

Bài toán 11.16 : Chứng minh :

H

a) Hợp thành của hai phép đối xứng qua hai mặt phẳng song song (P) và (Q) là một phép tịnh

TR ẦN

tiến.

b) Hợp thành của hai phép đối xứng qua hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau là một

B

phép đối xứng qua đường thẳng.

10

00

Hướng dẫn giải

3

a) Lấy hai điểm A và B lần lượt nằm trên (P) và (Q) sao cho

2+

AB ⊥ (P) . Với một điểm M bất kì, ta gọi M1 là điểm đối xứng

ẤP

với M qua mp(P) và M ' là điểm đối xứng với M1 qua mp(Q).

C

Gọi H và K lần lượt là trung điểm của MM1 và M1M ' thì ta

(

)

Í-

H

Ó

A

có : MM ' = MM1 + M1M ' = 2 HM1 + M1K = 2HK = 2AB

ÁN

-L

Vậy phép hợp thành là phép tịnh tiến theo vectơ 2AB .

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

TP .Q

U

v Gọi b ' là ảnh của a qua phép tịnh tiến theo vectơ − thì phép tịnh tiến Tv là hợp thành của hai 2

TO

b) Gọi d là giao tuyến của (P) và (Q). Với một điểm

mp(P) và M ' là điểm đối xứng của M1 qua mp(Q).

Nếu M nằm trên (P) hoặc trên (Q) thì thấy M ' là điểm đối xứng của M qua d.

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

M bất kỳ, ta gọi M1là điểm đối xứng với m qua

Trang 8

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Nếu M nằm trên cả (P) và (Q) thì ba điểm M,M1 và M ' xác định mặt phẳng (R) vuông góc với (P) và (Q), do đó vuông góc với d.

N

Gọi giao tuyến của (R) với (P) và (Q) lần lượt là p,q, còn O là giao điểm của p và q.

N

đường thẳng p và phép đối xứng qua đường thẳng q.

H Ơ

Xét trong mặt phẳng (R) thì điểm M ' là ảnh của điểm M qua hợp thành của phép đối xứng qua

TP .Q

Mặt khác MM ' ⊥ d nên phép hợp thành là phép đối xứng qua đường thẳng d.

U

Y

Suy ra O là trung điểm của MM ' .

Bài toán 11.17 : Cho mặt phẳng (P) và cho phép dời hình f có tính chất : f biến điểm M thành

Đ

Hướng dẫ giải

đi qua A và vuông góc với (P). Nếu H là giao điểm của a

G Ư N

Với điểm A không nằm trên (P) ta gọi a là đường thẳng

H

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Phép dời hình f biến mọi điển M nằm trên (P) thành M.

TR ẦN

và (P), vì f (H) = H nên f biến a thành đường thẳng đi qua H và vuông góc với (P), vậy f (a) = a .

00

B

Từ đó suy ra điểm A biến thành điểm A ' nằm trên a,

trung trực của đoạn thẳng AA ' .

ẤP

2+

Suy ra f là phép đối xứng qua mp(P).

3

10

A ' khác với A và HA = HA ' . Vậy (P) là mặt phẳng

C

Bài toán 11.18 : Cho phép vị tự V tâm O tỉ số k ≠ 1 và phép vị tự V ' tâm O ' tỉ số k ' . Chứng

Ó

A

minh rằng nếu kk ' = 1 thì phép hợp thành V 'oV là một phép tịnh tiến.

H

Hướng dẫn giải

ÁN

-L

Í-

Gọi V là phép vị tự tâm O tỉ số k, V ' là phép vị tự tâm O ' tỉ số k ' . Với mỗi điểm M ta lấy M1 sao cho OM1 = kOM rồi lấy điểm M ' .

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

ẠO

điểm M khi và chỉ khi M nằm trên (P). Chứng tỏ rằng f là phép đối xứng qua mặt phẳng (P).

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

 1  Ta có : MM ' = MM1 + M1M ' = OM1 − OM − O 'M1 = 1 −  OM1 + (1 + k ') M1O '  k Vì kk ' = 1 nên k ' =

1 bởi vậy đẳng thức trên trở thành : k

 1  k − 1 MM ' =  1 −  OM1 + M1O ' = OO ' k  k

(

)

k − 1 OO ' Từ đó suy ra V 'oV là phép tịnh tiến theo vectơ v = k Trang 9

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Bài toán 11.19 : Cho phép vị tự V tâm O tỉ số k và phép vị tự V ' tâm O ' tỉ số k ' với kk ' ≠ 1 . Gọi F = V 'oV . Chứng minh rằng :

N

a) Có điểm I duy nhất sao cho F(I) = I

Hướng dẫn giải

(

)

Đ G Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

(1 − k ) OO ' ⇔ (1 − kk ' ) OI = (1 − k ' ) OO ' ⇔ OI = 1 − kk ' Vậy điểm I được xác định duy nhất với kk ' ≠ 1

(

)

00

)

10

(

B

TR ẦN

H

b) Với điểm M bất kì, gọi M1 là ảnh của M qua phép vị tự V, M’ là ảnh của M1 qua phép vị tự V’, thì F biến M thành M’. Khi đó ta có OM 1 = kOM và O ' M ' = k ' O ' M 1 . Từ đó ta có: IM ' = O ' M ' − O ' I = k ' O ' M 1 − O ' I = k ' OM 1 − OO ' − O ' I = k ' kOM − OO ' − O ' I

= kk ' OM − k ' OO ' − O ' I = kk ' OI + IM − k ' OO ' − O ' I

)

2+

3

(

ẤP

= kk ' IM + kk ' OI − k ' OO ' − OI + OO ' = kk ' IM

C

Vậy F là phép vị tự tâm I tỉ số kk’.

Ó

A

Bài toán 11.20: Cho phép vị tự V tâm O tỉ số k ≠ 1 và một phép tịnh tiến T theo vectơ v . Đặt

H

F = T V và F ' = V T . Chứng minh rằng:

-L

Í-

a) Có một điểm I duy nhất sao cho F ( I ) = I và điểm I duy nhất sao cho F ' ( I ' ) = I ' .

ÁN

b) F là phép vị tự tâm I tỉ số k, F’ là phép vị tự tâm I’ tỉ số k.

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

)

ẠO

(

TP .Q

U

Y

a) Giả sử F ( I ) = I . Điều đó xảy ra khi và chỉ khi nếu V biến I thành I1 thì V’ biến I1 thành I, tức là: nếu OI1 = kOI thì O ' I = k ' O ' I1 hay: OI − OO ' = k ' OI1 − OO ' = k ' kOI − OO '

N

H Ơ

b) F là phép vị tự tâm I tỉ số kk '

Hướng dẫn giải

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

a) Giả sử F ( I ) = I . Điều đó xảy ra khi và chỉ khi nếu V biến I thành I1 thì T biến I1 thành I, tức v là: nếu OI1 = kOI thì I1 I = v từ đó suy ra: OI − OI1 = v hay OI = kOI = v , do đó OI = . 1− k Vậy điểm I xác định duy nhất, với k ≠ 1 . Giả sử F ( I ' ) = I ' . Điều đó xảy ra khi và chỉ khi nếu T biến I’ thành I '1 thì V biến I '1 thành I’, tức là: nếu I ' I '1 = v thì OI ' = kOI '1 .

Trang 10

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

kv . Từ đó suy ra : OI ' = k OI ' + I ' I '1 hay (1 − k ) OI ' = k I ' I '1 = kv , do đó OI ' = 1− k

(

)

Đ

= (1 − k ) IO + v + k IM = k IM

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

Suy ra F = T V là phép vị tự tâm I tỉ k. Chứng minh tương tự thì F ' = V T là phép vị tự tâm I’ tỉ k.

TR ẦN

H

Bài toán 11.21: Chứng minh rằng một hình tứ diện không thể có tâm đối xứng, tổng quát một hình chóp không có tâm đối xứng.

Hướng dẫn giải

00

B

Trước hết ta thấy rằng nếu một hình chóp có tâm đối xứng O, thì số mặt chẵn. Thật vậy nếu M

10

là điểm bất kì thuộc một mặt nào đó của hình chóp, thì điểm M’ đối xứng với M phải thuộc một

3

mặt hình chóp (vì phép đối xứng biến mặt thành mặt, cạnh thành cạnh và đỉnh thành đỉnh). Điều

2+

đó chứng tỏ mỗi cặp mặt của hình chóp ứng với một đoạn thẳng MM’.

ẤP

Vì số các đoạn như vậy là nguyên, nên số mặt là chẵn. Vậy đáy của hình chóp có tâm đối xứng

C

đa giác với số lẻ cạnh nên O không thuộc mặt phẳng đáy và không thuộc các mặt bên.

Ó

A

Gọi (T) là thiết diện của hình chóp đi qua O và song song với đáy ((T) tồn tại vì phép đối xứng

H

qua O biến đỉnh hình chóp thành điểm thuộc đáy chóp), khi đó (T) là đa giác có tâm đối xứng

-L

Í-

lại có số lẻ cạnh (vì các cạnh của (T) chỉ nằm trên các mặt xung quanh của hình chóp). Mâu thuẫn đó chứng minh bài toán, và suy cho tứ diện bất kỳ.

H Ơ N

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

)

ẠO

(

TP .Q

U

Y

b) Với mỗi điểm M bất kì ta lấy điểm M1 sao cho OM 1 = kOM , rồi lấy điểm M’ sao cho M 1M ' = v . Khi đó phép hợp thành F = T V biến M thành M’. Ta xác định điểm O’ sao cho v thì O’ là điểm cố định không phụ thuộc M và có: OO ' = 1− k IM ' = IO + OM 1 + M 1M ' = IO + kOM + v = IO + k IM − IO + v

N

Vậy điểm I’ xác định duy nhất, với k ≠ 1 .

TO

ÁN

Bài toán 11.22: Tìm các mặt phẳng đối xứng của các hình sau đây: a) Hình chóp tứ giác đều.

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

b) Hình chóp cụt tam giác đều. c) Hình hộp chữ nhật mà không có mặt nào là hình vuông.

Hướng dẫn giải a) Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có 4 mặt phẳng đối xứng: mp(SAC), mp(SBD), mặt phẳng trung trực của AB (đồng thời của CD) và mặt phẳng trung trực của AD (đồng thời của BC).

Trang 11

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

b) Hình chóp cụt tam giác đều ABC.A’B’C’ có ba mặt phẳng đối xứng, đó là ba mặt phẳng trung trực của ba cạnh AB, BC, CA.

N

c) Hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ (mà không có mặt nào là hình vuông) có ba mặt phẳng

TR ẦN

b) Tìm tất cả các mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều ABCD.

Hướng dẫn giải

B

a) Giả sử d là trục đối xứng của tứ diện đều ABCD, tức là ghép đối xứng qua đường thẳng d

00

biến các đỉnh của tứ diện thành các đỉnh của tứ diện.

10

Trước hết ta nhận thấy rằng trục đối xứng d không thể là đường thẳng đi qua hai đỉnh nào đó

2+

3

của hình tứ diện, vì hiển nhiên phép đối xứng qua đường thẳng d như thế không biến hình tứ

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

C

ẤP

diện thành chính nó.

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

a) Tìm các trục đối xứng của hình tứ diện đều ABCD.

H

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Bài toán 11.23:

Ư N

G

Đ

ẠO

TP .Q

U

Y

N

H Ơ

đối xứng, đó là ba mặt phẳng trung trực của ba cạnh AB, AD, AA’.

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

Bây giờ ta chứng tỏ rằng trục đối xứng d cũng không đi một đỉnh nào của tứ diện. Thật vậy, nếu d đi qua A thì vì B không thể nằm trên d nên B biến thành C hoặc D. Nếu B biến thành C thì C

biến thành B nên D biến thành D và do đó d đi qua A và D, vô lí. Nếu B biến thành D thì D biến thành B và do đó C biến thành C và d đi qua A và C, vô lí Vậy phép đối xứng Đ qua đường thẳng d biến điểm A thành một trong ba điểm B, C hoặc D.

Trang 12

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Do đó tứ diện đều có 3 trục đối xứng là 3 đường thẳng đi qua trung điểm 2 cạnh đối diện (đường trung bình).

N

b) Giả sử α là mặt phẳng đối xứng của tứ diện đều ABCD, tức là phép đối xứng Đ α biến tập

ẠO

b) Mặt đối xứng

Đ

c) Trục đối xứng

G Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Hướng dẫn giải

a) Tâm đối xứng O là giao điểm của 4 đường chéo AC’, BD’. CA’ và DB’.

H

b) Gọi α là mặt đối xứng của hình lập phương thì phép đối xứng qua α biến hình vuông

TR ẦN

ABCD thành chính nó, hoặc thành hình vuông chung cạnh hoặc thành hình vuông A’B’C’D’. Từ đó thì hình lập phương có 9 mặt phẳng đối xứng là 3 mặt phẳng trung trực của các cạnh và 6

00

B

mặt phẳng chứa hai cạnh đối.

10

c) 9 trục đối xứng gồm 3 trục của các mặt và 6 đường thẳng đi qua trung điểm của hai cạnh đối.

3

Bài toán 11.25: Cho hình bát diện đều. Tìm:

b) Mặt đối xứng.

2+

a) Tâm đối xứng.

ẤP

c) Trục đối xứng.

C

Hướng dẫn giải

Ó

A

a) Hình bát diện đều ABCDEF có tâm đối xứng O là giao điểm

H

của 3 đường chéo AC, BD và EF.

Í-

b) Hình bát diện đều ABCDEF có tất cả 9 mặt phẳng đối xứng:

-L

ba mặt phẳng (ABCD), (BEDF), (AECF) và 6 mặt phẳng, mỗi

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

Bài toán 11.24: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tìm a) Tâm đối xứng

N

TP .Q

Vậy tứ diện ABCD có 6 mặt phẳng đối xứng, đó là các mặt phẳng trung trực của các cạnh.

U

hạn. Khi đó α là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB (hiển nhiên α đi qua C và D).

Y

Đ α là phép đồng nhất) nên phải có một đỉnh, A chẳng hạn, biến thành một đỉnh khác, B chẳng

H Ơ

hợp {A, B, C, D} thành chính nó. Vì Đ α không thể biến mỗi đỉnh thành chính nó (vì khi đó

ÁN

mặt phẳng là mặt phẳng trung trực của hai cạnh song song

TO

(chẳng hạn AB và CD).

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

c) Hình bát diện đều ABCDEF có 9 trục đối xứng: ba trục của mặt (ABCD), (BEDF), (AECF) và 6 đường thẳng đi qua 2 trung

điểm của 2 cạnh song song.

Bài toán 11.26: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh: a) Các hình chóp A.A’B’C’D’ và C’.ABCD bằng nhau b) Các hình lăng trụ ABC.A’B’C’ và AA’D’.BB’C’ bằng nhau.

Trang 13

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Hướng dẫn giải

a) Gọi O là tâm của hình lập phương. Vì phép đối xứng tâm O biến các đỉnh của hình chóp

N

A.A’B’C’D’ thành các đỉnh của hình chóp C’ABCD. Vậy hai hình chóp đó bằng nhau.

N

của hình lăng trụ AA’D’.BB’C’ nên hai hình lăng trụ đó bằng nhau.

H Ơ

b) Phép đối xứng qua mp(ADC’B’) biến các đỉnh của hình lăng trụ ABC.A’B’C’ thành các đỉnh

U

Y

Bài toán 11.27: Chứng minh 2 hình lập phương có cạnh bằng nhau thì bằng nhau.

TP .Q

Hướng dẫn giải

Giả sử ABCD.A’B’C’D’ và MNPQ.M’N’P’Q’ là hai hình lập phương có cạnh đều bằng a. Hai

Đ

dời hình F biến các điểm A, B, D, A’ lần lượt thành M, N, Q, M’. Vì F là phép dời hình nên F

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

biến hình vuông thành hình vuông, do đó F biến điểm C thành điểm P, biến điểm B’ thành N’

Ư N

biến điểm D’ thành Q’ và biến điểm C’ thành P’. Vậy hai hình lập phương đã cho bằng nhau.

H

Bài toán 11.28: Cho hai tứ diện ABCD và A’B’C’D’ có các cạnh tương ứng tỉ lệ:

TR ẦN

A ' B ' B 'C ' C ' D ' D ' A ' A 'C ' B ' D ' = = = = = = k . Chứng minh hai tứ diện đồng dạng. AB BC CD DA AC BD

B

Hướng dẫn giải

00

Xét phép vị tự V tâm O nào đó và có tỉ k.

3

10

Gọi A1 B1C1 D1 là ảnh của ABCD qua V. Ta có:

2+

A1 B1 = kAB, B1C1 = kBC , C1 D1 = kCD, D1 A1 = kDA , A1C1 = kAC , B1 D1 = kBD

ẤP

Theo giả thiết thì A1 B1 = A ' B ', B1C1 = B ' C ', C1 D1 = C ' D ',

A

C

D1 A1 = D ' A ', A1C1 = A ' C ', B1 D1 = B ' D ' , do đó hai tứ diện A1 B1C1 D1 và A’B’C’D’ bằng nhau.

Ó

Vậy hai tứ diện ABCD và A’B’C’D’ đồng dạng.

-L

Í-

H

Bài toán 11.29: Chứng minh rằng hai hình lập phương bất kì đều đồng dạng với nhau. Hướng dẫn giải

ÁN

Giả sử hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a và hình lập phương MNPQ.M’N’P’Q’ cạnh b.

TO

Xét phép vị tự V tâm O nào đó và tỉ k =

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

ẠO

tứ diện ABDA’ và MNQM’ có các cạnh tương ứng bằng nhau nên bằng nhau, tức là có phép

b . Khi đó ảnh của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ a

Do đó hai hình lập phương EFGH.E’F’G’H’ và MNPQ.M’N’P’Q’ có cùng cạnh b nên bằng nhau. Vậy hai hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ và MNPQ.M’N’P’Q’ đồng dạng.

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

cạnh a thành hình lập phương EFGH.E’F’G’H’ có cạnh là ka = b .

Trang 14

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Bài toán 11.30: Cho hình tứ diện ABCD. Gọi A’, B’, C’, D’ lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD, ACD, ABD, ABC. Chứng minh rằng hai tứ diện ABCD và A’B’C’D’ đồng dạng.

N

Suy ra nếu ABCD là tứ diện đều thì A’B’C’D’ cũng là tứ diện đều.

H Ơ

Hướng dẫn giải

N

Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD.

U Đ

thành các điểm A’, B’, C’, D’. Vậy V biến tứ diện ABCD thành tứ diện

TR ẦN

H

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

A’B’C’D’ nên 2 tứ diện đó đồng dạng.

B

Bài toán 11.31: Cho tứ diện ABCD nội tiếp mặt cầu (S) bán kính R = AB , một điểm M thay đổi trên mặt cầu. Gọi C’, D’, M’ là các điểm sao cho: CC ' = DD ' = MM ' = AB . Chứng minh

00

nếu BC’D’M’ là hình tứ diện thì tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đó nằm trên (S).

2+

3

10

Hướng dẫn giải Phép tịnh tiến T theo vectơ v = AB biến A thành B, C thành C’, D thành D’ và M thành M’, tức

ẤP

là biến tứ diện ACDM thành tứ diện BC’D’M’.

Ó

A

C

Do đó T biến tâm O của mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ACDM thành tâm O’ của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện BC’D’M’, tức là OO ' = v = AB . Vì OO ' = AB = R nên điểm O’ nằm trên mặt cầu

H

(S).

Í-

Bài toán 11.32: Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD.

KA + KB + KC + KD ≥ OA + OB + OC + OD

TO

ÁN

-L

Gọi O là trung điểm của đoạn MN. Chứng minh rằng với mọi điểm K nằm trong tứ diện ta có:

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

TP .Q

1 biến các điểm A, B, C, D lần lượt 3

ẠO

Suy ra phép vị tự tâm G, tỉ số k = −

Y

1 1 1 1 Ta có: GA ' = − GA, GB ' = − GB ; GC ' = − GC , GD ' = − GD 3 3 3 3

Hướng dẫn giải

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

Ta có MN là trục đối xứng của tứ diện đều ABCD. Gọi K’ là điểm đối xứng với K qua MN, H là giao của KK’ và MN. Ta có: KA + KB = AK + AK ' > 2 AH và KC + KD = CK + CK ' > 2CH .

Ta chứng minh rằng AH + CH > OA + OC . Xét trong mặt phẳng (MCD), điểm A’ sao cho tia MA’ vuông góc với MN, ngược chiều với tia NC và độ dài MA ' = MA .

Trang 15

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ta có HA ' = HA nên HA + HC = HA '+ HC > A ' C . Vì A’C đi qua O nên A ' C = OC + OA ' = OC + OA .

N

Vậy KA + KB + KC + KD ≥ OA + OB + OC + OD

U

Y

gian sao cho M = f ( M ) trong các trường hợp sau đây:

ẠO

b) f ( A ) = B, f ( B ) = A, f ( C ) = D

Đ

c) f ( A ) = B, f ( B ) = C , f ( C ) = D

G Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Hướng dẫn giải

H

a) Theo giả thiết f ( A ) = B và f ( B ) = C , f ( C ) = A . Do đó f ( M ) = M khi và chỉ khi

TR ẦN

MA = MB = MC . Suy ra tập hợp các điểm M là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

f ( A ) = B, f ( B ) = A, f ( C ) = D . Do đó f ( M ) = M khi và chỉ khi

B

MA = MB và MC = MD , tức là M đồng thời nằm trên các mặt phẳng trung trực của AB và

00

CD. Suy ra tập hợp các điểm M là đường thẳng đi qua trung điểm của AB và CD.

10

f ( A ) = B, f ( B ) = C , f ( C ) = D . Do đó f ( M ) = M khi và chỉ khi

3

c) Theo giả thiết

2+

MA = MB = MC = MD . Suy ra tập hợp các điểm M gồm một điểm duy nhất là trọng tâm của tứ

ẤP

diện ABCD.

Ó

A

C

Bài toán 11.34: Cho mặt phẳng (P) và tứ diện ABCD. Với mỗi điểm M thuộc (P) ta xác định điểm N theo công thức: MA + MB + MC + MD = 2 MN Hướng dẫn giải

-L

Í-

H

Tìm tập hợp N, khi M di động trong (P).

TO

ÁN

Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD thì G cố định. Ta có MA + MB + MC + MD = 2 MN ⇔ 4 MG = 2 MN ⇔ MG = GN ⇔ GM = −GN

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

TP .Q

a) f ( A ) = B, f ( B ) = C , f ( C ) = A

b) Theo giả thiết

N

biến mỗi đỉnh của tứ diện thành một đỉnh của tứ diện. Tìm tập hợp các điểm M trong không

H Ơ

Bài toán 11.33: Cho tứ diện đều ABCD và phép dời hình f biến ABCD thành chính nó, nghĩa là

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

Do đó N là ảnh của M qua phép đối xứng tâm G. Vậy tập hợp N là mặt phẳng đối xứng với (P) qua G.

Bài toán 11.35: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, có đáy là tam giác cân ABC ( AB = AC ) . Trên các cạnh AC và A’B’ ta lấy điểm tương ứng M và M’ sao cho AM = A ' M ' . Tìm tập hợp trung điểm của đoạn MM’.

Trang 16

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Hướng dẫn giải

Gọi I, J là trung điểm cạnh bên AA’ và giao các đường chéo hình chữ nhật BCC’B’.

N

Ta có IJ là trục đối xứng của hai đoạn AC và A’B’, do đó M và M’ đối xứng với nhau IJ. Vậy

U

Y

C’ lần lượt thuộc các mặt (BCD), (CAD), (ABD) sao cho MA’ // AD, MB’ // BD, MC’ // CD.

N

Bài toán 11.36: Cho tứ diện ABCD. Điểm M lưu động trong tam giác ABC. Các điểm A’, B’,

H Ơ

tập hợp các trung điểm của MM’ thuộc đoạn IJ.

ẠO

Hướng dẫn giải Ta chứng minh: DA ' + DB ' + DC ' = 2 DM

Đ G Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Vì G là trọng tâm tam giác A’B’C’ nên: DA ' + DB ' + DC ' = 3DG

TR ẦN

Phép vị tự tâm D tỉ số k =

H

2 Do đó: 3DG = 2 DM nên DG = DM . 3

2 biến M thành G nên tập hợp 3

B

các điểm G là ảnh của tam giác ABC qua phép vị tự đó.

00

3. BÀI LUỆN TẬP

10

Bài tập 11.1: Cho tứ diện ABCD có các cạnh đối bằng nhau. Gọi M, N lần lượt là trung điểm

2+

3

của AB và CD. Gọi A’, B’ là hình chiếu của A, B lên CD và C’, D’ là hình chiếu C, D lên AB.

Hướng dẫn

C

ẤP

Chứng minh đoạn A ' C ' = B ' D ' và A ' D ' = B ' C ' .

A

Dùng phép đối xứng trục.

H

Ó

Bài tập 11.2: Cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R) cùng qua đường thẳng d. Với điểm M bất kì thuộc

Í-

(R), gọi M’ là ảnh của M qua phép đối xứng mặt phẳng (P), gọi M” là ảnh của M’ qua phép đối

ÁN

-L

xứng mặt phẳng (Q). Tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn MM”.

Hướng dẫn

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

TP .Q

Tìm tập hợp các trọng tâm của tam giác A’B’C’.

TO

Dùng tính chất phép phép đối xứng qua mặt phẳng.

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

Kết quả: mặt phân giác.

Bài tập 11.3: Cho điểm I nằm trên đường thẳng d, đường thẳng d nằm trên mặt phẳng (P).

Chứng minh phép dời hình f biến (P) thành (P), d thành d và có một điểm bất động duy nhất là I là phép đối xứng tâm I.

Hướng dẫn Dùng định nghĩa phép dời hình.

Trang 17

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Bài tập 11.4: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b, a’ và b’ có góc và khoảng cách giữa các cặp đường thẳng chéo nhau đó bằng nhau. Chứng minh có một phép dời hình biến đường thẳng

N

a thành a’ và đường thẳng b thành b’.

U

Y

đã cho có cạnh tương ứng bằng nhau.

N

Gọi đoạn vuông góc chung AB và A’B’, từ đó dựng các tứ diện trên hai đường thẳng chéo nhau

H Ơ

Hướng dẫn

nhau. Chứng minh tứ diện ABCD có trục đối xứng.

ẠO

Hướng dẫn

Đ

Hai tam giác cùng đáy có diện tích thì chiều cao tương ứng bằng nhau.

Ư N

Bài tập 11.6:

G

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Kết quả: trục đối xứng đi qua trung điểm AB và CD.

H

a) Dựng 4 điểm A, B, C, D trong không gian cho biết 4 trung điểm của 4 đoạn AB, BC, CD,

TR ẦN

DA lần lượt là I, J, K, L.

b) Dựng 5 điểm A, B, C, D, E trong không gian cho biết 4 trung điểm của 5 đoạn AB, BC, CD,

B

DE, EA lần lượt là I, J, K, L, M.

a) Lý luận IJKL là hình bình hành.

10

00

Hướng dẫn

2+

3

b) Dùng hợp thành của 5 phép đối xứng tâm là phép đối xứng tâm.

ẤP

Bài 11.7: Cho 2 mặt cầu S ( O; R ) và S ( O '; R ') . Tìm các phép vị tự biến mặt cầu này thành

Hướng dẫn

Ó

A

C

mặt cầu kia.

H

Dùng đường nối tâm và đường thẳng qua 2 mút của 2 vectơ bán kính cùng hướng và ngược

-L

Í-

hướng. Kết quả có 2 phép vị tự.

ÁN

Bài 11.8: Cho tứ diện ABCD. Chứng minh:

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

TP .Q

Bài tập 11.5: Cho tứ diện ABCD có diện tích hai tam giác ACD và BCD, ABC và ABD bằng

a) Bán kính mặt cầu đi qua trọng tâm 4 mặt không nhỏ hơn bán kính mặt cầu nội tiếp.

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

b) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp không nhỏ hơn 3 lần bán kính mặt cầu nội tiếp.

Hướng dẫn

a) Dùng phép vị tự tâm hay so sánh bằng cách vẽ các mặt song song với tiếp diện.

1 b) Dùng phép vị tự tâm G là trọng tâm tứ diện và tỉ k = − . 3 Bài tập 11.9: Cho 3 tia Ox, Oy, Oz và điểm M. Tìm 3 điểm A, B, C lần lượt trên 3 tia đó để M là trọng tâm tam giác ABC.

Trang 18

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Hướng dẫn

Tìm các giao điểm của 3 mặt Oxy, Oyz, Ozx với các đường thẳng qua M và song song với Oz,

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

C

ẤP

2+

3

10

00

B

TR ẦN

H

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

Đ

ẠO

TP .Q

U

Y

N

H Ơ

N

Ox,Oy. Dùng phép vị tự tâm O tỉ k = 3 .

Trang 19

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

CHUYÊN ĐỀ 12: KHỐI ĐA DIỆN VÀ LĂNG TRỤ 1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

H Ơ

N

Khối đa diện

N

− Hình đa diện gồm một số hữu hạn đa giác phẳng thỏa mãn hai điều kiện:

Y

(1) Hai đa giác bất kì hoặc không có điểm chung, hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh

TP .Q

U

chung. (2) Mỗi cạnh của một đa giác là cạnh chung của đúng hai đa giác.

diện cùng với phần bên trong của nó gọi là khối đa diện.

G

Đ

Khối đa diện đều

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Khối đa diện đều loại {n, p} khi mỗi mặt là đa giác đều n cạnh và mỗi đỉnh là đỉnh chung

H

của p cạnh.

TR ẦN

Có 5 loại khối đa diện đều: Khối tứ diện đều là loại {3; 3}; khối bát diện đều là loại {3; 4}; khối lập phương là loại {4; 3}; khối 20 mặt đều là loại {3; 5} và khối 12 mặt đều là loại

C

ẤP

2+

3

10

00

B

{5;3}.

Ó

A

Hình lăng trụ: Có 2 đáy song song bằng nhau và các cạnh bên song song bằng nhau. Ta

Í-

H

thường phân loại theo đa giác đáy: lăng trụ tam giác, tứ giác...

-L

− Lăng trụ đứng khi cạnh bên vuông góc với đáy.

ÁN

− Lăng trụ đều là lăng trụ đứng và có đáy là đa giác đều. V = B.h

TO

− Thể tích khối lăng trụ:

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

ẠO

− Hình đa diện chia không gian làm hai phần: phần bên trong và phần bên ngoài. Hình đa

Hình hộp: Là hình lăng trụ tứ giác có đáy là hình bình hành. Hình hộp có 6 mặt là hình bình

Ỡ N

G

hành, 4 đường chéo đồng qui tại tâm hình hộp.

BỒ

ID Ư

− Hình hộp chữ nhật: hộp đứng và có đáy là hình chữ nhật. Gọi a, b, c là 3 kích thước thì có đường chéo: d = a 2 + b 2 + c 2 , diện tích toàn phần: S = 2 ( ab + bc + ca ) và thể tích

khối hộp chữ nhật: V = abc . − Hình lập phương: hình hộp chữ nhật có 3 kích thước bằng nhau.

Trang 1

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Chú ý:

H Ơ

N

1 1) Thể tích khối chóp: V = B.h 3 2) Để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất hay chứng minh bất đẳng thức ta có thể dùng vectơ, bất

N

đẳng thức Cauchy hoặc dùng đạo hàm.

U

Y

2. CÁC BÀI TOÁN

TP .Q

Bài toán 12.1: Cho khối đa diện lồi. Chứng minh rằng: a) Số góc của tất cả các mặt là số chẵn.

Đ

nhất ba mặt.

G Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Hướng dẫn giải

TR ẦN

cạnh, mà số cạnh được tính 2 lần nên G = 2C, do đó G chẵn.

H

a) Gọi số góc là G và số cạnh khối đa diện là C. Trong mỗi mặt là đa giác thì số góc bằng số b) Ta dùng phản chứng. Nếu xuất phát từ một đỉnh nào đó chỉ có hai cạnh thì mỗi cạnh như thế là cạnh của chỉ một đa giác, trái với điều kiện trong định nghĩa của hình đa diện.

00

B

Vậy mỗi đỉnh phải là đỉnh chung của ít nhất là ba cạnh, và vì vậy nó cũng phải là đỉnh chung

10

của ba mặt.

3

Bài toán 12.2: Cho khối đa diện lồi. Chứng minh rằng:

2+

a) Không tồn tại khối đa diện có một số lẻ mặt và mỗi mặt lại có một số lẻ cạnh.

Hướng dẫn giải

A

C

ẤP

b) Tổng số đo các góc của các mặt là T = 2 ( C − M ) π .

H

Ó

a) Giả sử tồn tại khối đa diện có số mặt là M lẻ và mỗi mặt chứa số lẻ cạnh Ci, i = 1, 2,...M .

Í-

Ta có số góc của khối đa diện: G = C1 + C2 + ... + CM ⇒ G lẻ; vô lý.

-L

Vậy không tồn tại khối đa diện thỏa đề bài.

ÁN

b) Gọi Ci là số cạnh của mặt thứ i, i = 1, 2,..., M

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

ẠO

b) Mỗi đỉnh của một hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất ba cạnh và là đỉnh chung của ít

G

TO

M M  Ta có T = ∑ ( Ci − 2 ) π =  ∑ Ci − 2 M  π = ( 2C − 2 M ) π = 2 ( C − M ) π . i =1  i =1 

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Bài toán 12.3: Chứng minh rằng nếu khối đa diện có các mặt là tam giác thì số mặt phải là

số chẵn. Hãy chỉ ra những khối đa diện như thế với số mặt bằng 4, 6, 8, 10.

Hướng dẫn giải Gọi số cạnh của khối đa diện là C, số mặt là M. Vì mỗi mặt có ba cạnh và mỗi cạnh lại chung cho hai mặt nên 3M = 2C . Suy ra M là số chẵn. Sau đây là một số khối đa diện số các mặt tam giác là 4, 6, 8, 10. Trang 2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

TP .Q

U

Bài toán 12.4: Chứng minh đặc số Ơ-le của khối đa diện lồi: Đối với mỗi khối đa diện lồi H,

Y

N

H Ơ

N

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

ẠO

Suy ra: không tồn tại khối đa diện lồi có 7 cạnh.

Đ

Hướng dẫn giải

G

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Ta chứng minh quy nạp theo số đỉnh Đ ≥ 4 .

đúng.

TR ẦN

Giả sử khẳng định đúng với số đỉnh Đ: Đ – C + M = 2.

H

Ư N

Khi Đ = 4 thì khối đa diện là tứ diện có Đ = 4, C = 6, M = 4 nên Đ – C + M = 4 – 6 + 4 = 2:

Xét khối đa diện có Đ’ = Đ + 1 đỉnh. Gọi A là một đỉnh và mặt A1 A2 ... An là một mặt của

00

B

khối đa diện sao cho mặt phẳng chứa mặt này chia không gian làm 2 phần, một phần chứa

10

đỉnh A và phần kia chứa khối đa diện lồi có Đ đỉnh còn lại, ta có Đ – C + M = 2.

3

Số đỉnh Đ’ = Đ + 1, số cạnh C’ = C + n, số mặt M’ = M + n – 1

ẤP

Vậy χ ( H ) = Đ – C + M = 2.

2+

Do đó: Đ’ – C’ + M’ = (Đ+1) – (C+n) + (M+n–1) = Đ – C + M = 2

Ó

nào của khối đa diện.

A

C

Cách khác: Dùng phép chiếu từ một điểm S không thuộc bất kỳ mặt nào, mặt đi qua 3 đỉnh

H

Giả sử tồn tại khối đa diện lồi có C = 7 .

-L

Í-

Ta có đặc số Ơ-le: Đ – C + M = 2 nên Đ + M = 9

ÁN

Vì Đ ≥ 4 , M ≥ 4 nên hoặc Đ = 4, M = 5 hoặc Đ = 5, M = 4.

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

ta kí hiệu Đ là số đỉnh, C là số cạnh, M là số mặt của H thì đặc số χ ( H ) = Đ – C + M = 2.

Với Đ = 4 thì khối đa diện lồi là tứ diện: loại.

TO

Với M = 4 thì khối đa diện lồi là tứ diện: loại

G

Vậy không tồn tại khối đa diện lồi có 7 cạnh.

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Bài 12. 5: Chứng minh tâm các mặt của một khối tám mặt đều là các đỉnh của một khối lập

phương.

Hướng dẫn giải Cho khối tám mặt đều SABCDS’.

Trang 3

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Gọi M, N, P, Q, M’, N’, P’, Q’ lần lượt là trọng tâm của các mặt SAB, SBC, SCD, SAD, S’AB, S’BC, S’CD, S’DA thì các tứ giác

H Ơ

N

MNPQ, M’N’P’Q’, MNN’M’, PQQ’P’, NPP’N’, MQQ’M’ đều là hình vuông.

Y

N

Mỗi đỉnh M, N, P, Q, M’, N’, P’, Q’ đều là đỉnh chung của 3 cạnh.

U

Vậy MNPQ.M’N’P’Q’ là khối lập phương. trung điểm của các cạnh của nó là các đỉnh của một khối tám mặt đều.

Đ

G

Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, AC,

ẠO

Hướng dẫn giải

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

BD, AD, BC của khối tứ diện đều ABCD. Khi đó, tam giác MPR,

H

MRQ, MQS, MSP, NPR, NRQ, NSP là những tam giác đều, chúng

TR ẦN

làm thành khối đa diện với các đỉnh là M, N, P, Q, R, S mà mỗi đỉnh là

đỉnh chung của bốn cạnh.

Bài toán 12.7: Hãy phân chia:

3

a) Một khối hộp thành năm khối tứ diện.

10

00

B

Vậy đó là khối tám mặt đều.

ẤP

2+

b) Một khối tứ diện thành bốn khối tứ diện bởi hai mặt phẳng.

Hướng dẫn giải

A

C

a) Có thể phân chia khối hộp ABCD.A’B’C’D’ thành năm khối tứ diện sau đây:

Ỡ N

G

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

ABDA’, CBDC’, B’A’C’B, D’A’C’D, BDA’C’.

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

TP .Q

Bài toán 12.6: Cho một khối tứ diện đều. Chứng minh rằng các

BỒ

ID Ư

b) Cho khối tứ diện ABCD. Lấy điểm M nằm giữa A và B, điểm N nằm giữa C và D. Bằng hai mặt phẳng (MCD) và (NAB), ta chia khối tứ diện đã cho thành bốn khối tứ diện: AMCN, AMND, BMCN, BMND.

Bài toán 12.8: Tính thể tích của khối lăng trụ n-giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a. Hướng dẫn giải Trang 4

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Gọi A1 A2 ... An là đáy của khối lăng trụ đều và O là tâm của đa giác đều A1 A2 ... An . Hạ

N

ON ⊥ A1 A2 . Ta có:

N

H Ơ

= a cot π ON = A1 N cot NOA 1 2 n

Y

Do đó diện tích đáy của khối lăng trụ đều là:

Đ

π 1 Vậy thể tích của khối lăng trụ là V = S .h = .na 3 cot . 4 n

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

Bài toán 12.9: Tính thể tích của khối lập phương có các đỉnh là trọng tâm các mặt của một

TR ẦN

Hướng dẫn giải

H

khối tám mặt đều cạnh a.

Giả sử có khối tám mặt đều với các đỉnh là S, S’, A, B, C, D. Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của tam giác SAB và SBC thì đoạn

00

B

thẳng MN là một cạnh của khối lập phương.

10

Gọi M’, N’ lần lượt là trung điểm của AB và BC thì M và N lần

3

2 2 AC a 2 M 'N '= = 3 3 2 3

ẤP

2+

lượt nằm trên SM’ và SN’ nên: MN =

C

Vậy thể tích của khối lập phương là: V = MN 3 =

2a 3 2 (đvtt). 27

Ó

A

Bài toán 12.10: Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật với

Í-

H

AB = 3, AD = 7 . Hai mặt bên (ABB’A’) và (ADD’A’) lần lượt tạo với đáy những góc

-L

450 và 600. Hãy tính thể tích khối hộp nếu biết cạnh bên bằng 1.

ÁN

Hướng dẫn giải

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

ẠO

Vì lăng trụ đã cho là lăng trụ đều nên chiều cao của nó bằng cạnh bên: h = a .

TP .Q

U

π 1 1 S = n.SOA1 A2 = n. . A1 A2 .ON = na 2 cot 2 4 n

TO

Hạ A ' H ⊥ ( ABCD ) , HM ⊥ AD, HK ⊥ AB

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

Ta có: AD ⊥ A ' M , AB ⊥ A ' K

⇒ A ' MH = 600 , A ' KH = 450

Đặt A ' H = x . Khi đó: A ' M = x : sin 600 =

AM = AA '2 − A ' M 2 =

2x 3

3 − 4 x2 = HK 3

Trang 5

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Vậy VABCD . A ' B ' C ' D ' = AD. AB.x = 7. 3.

N

3 − 4 x2 3 ⇒x= 3 7

3 = 3. 7

H Ơ

Mà HK = x cot 450 = x nên x =

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Y

N

Bài toán 12.11: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tính:

TP .Q

U

a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.

ẠO

Hướng dẫn giải

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

b) Điểm A và C’ cách đều ba đỉnh của tam giác đều A’BD nên

G

Đ

1 1 1 a) VABC . A ' B 'C ' = S ABC . AA ' = .a. .a 3.a = a 3 3 (đvtt). 2 2 4

H

AC’ là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác A’BD, do đó

TR ẦN

đường thẳng AC’ vuông góc với mặt phẳng (A’BD) tại tâm I của tam giác đều A’BD. Ta có: d ( A; ( A ' BD ) ) = AI

B

1 a 3 AC = 3 3

00

Vì AO / / A ' C ' và A ' C ' = 2 AO nên AI =

3

10

Vì AC ' ⊥ mp ( A ' BD ) nên A ' I ⊥ AC ' , do đó: d ' ( A; AC ') = A ' I

C

a 6 3

Ó

A

Vậ y A ' I =

6a 2 9

ẤP

2+

Tam giác AA’I vuông tại I nên A ' I 2 = AA '2 − AI 2 =

toán

12.12:

-L

Bài

Í-

H

Do ( A ' BD ) / / ( CB ' D ') nên khoảng cách từ A’, B, C, D’ đến AC’ đều bằng Cho

hình

chữ

nhật

ABCD.A’B’C’D’

có

a 6 . 3 3

kích

ÁN

AB = AA ' = a, AC ' = 2a .

thước

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

b) Khoảng cách từ A đến mp(A’BD) và khoảng cách từ A’, B, C, D’ đến đường thẳng AC’.

TO

a) Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (ACD’).

Ỡ N

G

b) Tìm đoạn vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC’ và CD’.

Hướng dẫn giải

BỒ

ID Ư

a) Xét tứ diện DACD’ có DA, DC, DD’ đôi một vuông góc

nên khoảng cách DH từ D đến mặt phẳng (ACD’) với H là trực tâm tam giác ACD’, được tính bởi hệ thức:

1 1 1 1 = + + 2 2 2 DH DA DC DD '2 Trang 6

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ta có: DC = a, DD ' = a, AC '2 = AC 2 + CC '2 = DA2 + DC 2 + CC '2

H Ơ

1 1 1 1 5 a 10 = 2 + 2 + 2 = 2 ⇒ DH = 2 DH 2a a a 2a 5

N

IJ IC ' C'D a 2 a = ⇒ IJ = AD. = a 2. = AD AC ' 2 AC ' 2.2a 2

U

Đ

Ta có:

ẠO

Hạ IJ ⊥ AC ' thì IJ là đoạn vuông góc chung của AC’ và CD’.

TP .Q

CD ' ⊥ AC ' và CD ' ⊥ mp ( AC ' D ) . Gọi giao điểm của CD’ với mp(AC’D) là I.

Y

b) Vì CD = DD ' = a nên CD ' ⊥ C ' D . Mặt khác AD ⊥ ( CDD ' C ) nên

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

Bài toán 12.13: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng d và ba góc của

TR ẦN

a) Tính độ dài các đường chéo và thể tích V của hình hộp.

H

đỉnh A đều bằng 600.

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt song song của hình hộp. Có thể cắt hình hộp bằng một mặt phẳng sao cho thiết diện nhận được là một hình vuông?

00

B

Hướng dẫn giải

)

2+

(

3

10

d2 a) Đặt AA ' = a, AB = b, AD = c thì a.b = b.c = c.a = 2 2 2 Ta có: AC ' = a + b + c

C

ẤP

2 2 2 = a + b + c + 2a.b + 2b.c + 2c.a = 6d 2

H

)

Í-

(

Ó

A

Suy ra : AC ' = d 6 và 2 2 2 2 2 BD ' = a − b + c = a + b + c − 2a.b − 2b.c + 2c.a = 2d 2

-L

.

ÁN

Suy ra BD ' = d 2 .

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

Do đó DH =

N

Nên 4a 2 = DA2 + a 2 + a 2 ⇒ DA2 = 2a 2

TO

Tương tự DB ' = CA ' = d 2 nên ta có AA’BD là hình tứ diện đều cạnh d, nên:

Ỡ N

G

V( AA ' BD ) =

d3 2 d3 2 , do đó V = 6VAA ' BD = (đvtt). 12 12

BỒ

ID Ư

b) Gọi h là khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (A’B’C’D’) thì: V = S ABCD .h =

d2 3 d 6 ⇒h= 2 2

Vậy khoảng cách giữa hai mặt song song nào cũng bằng

d 6 . 2

Trang 7

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Hình bình hành BCD’A’ có các cạnh bằng d, và hai đường chéo bằng d 2 nên nó là hình vuông. Vậy hình hộp có thiết diện BCD’A’ là hình vuông.

H Ơ

N

Tương tự thiết diện CDA’B’ cũng là hình vuông.

N

Bài 12.14: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Góc tạo bởi cạnh

Y

bên và mặt phẳng đáy bằng 300. Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng (A’B’C’) thuộc

TP .Q

U

đường thẳng B’C’. a) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy.

G

AA ' H là góc giữa AA’ và

AH ⊥ ( A ' B ' C ') nên

mp(A’B’C’). Theo giả thiết thì AA ' H = 300 .

a 3 2

B

AA '2 − AH 2 =

10

b) A ' H =

a 2

00

AH = AA 'sin 300 =

TR ẦN

H

a) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy là AH, ta có:

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Do

Đ

Hướng dẫn giải

3

Vì A’B’C’ là tam giác đều cạnh a, H thuộc đường thẳng B’C’ nên A ' H ⊥ B ' C ' và H là

ẤP

là khoảng cách giữa AA’ và B’C’.

2+

trung điểm của B’C’. Mặt khác AH ⊥ B ' C ' nên AA ' ⊥ B ' C ' . Hạ HK ⊥ AA ' thì HK chính

Ó

A

C

a a 3 . a 3 Do AA '.HK = AH . A ' H nên HK = 2 2 = . a 4

Í-

H

Bài toán 12.15: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có các cạnh đáy đều bằng a. Biết góc tạo thành

-L

bởi cạnh bên và mặt đáy là 600 và hình chiếu H của đỉnh A lên mp(A’B’C’) trùng với trung

ÁN

điểm của B’C’.

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

ẠO

b) Chứng minh rằng hai đường thẳng AA’ và B’C’ vuông góc, tính khoảng cách giữa chúng.

TO

a) Tính tang của góc giữa hai đường thẳng BC và AC’; tang của góc giữa (ABB’A’) và đáy. b) Tính thể tích khối lăng trụ.

Ỡ N

G

Hướng dẫn giải

BỒ

ID Ư

a) Theo giả thiết tam giác AA’H vuông tại H và có AA ' H = 600 .

Từ đó suy ra: AH =

3a . Đặt ϕ = ( AC ', BC ) 2

Trang 8

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ACH Vì BC / / B ' C ' nên ϕ = ( AC ', BC ' ) =

N

AH =3 C 'H

H Ơ N

Vẽ HI ⊥ A ' B ' ta suy ra AI ⊥ A ' B ' .

U

Y

Vậ y α = AIH chính là góc giữa (ABB’A’) và đáy.

ẠO

TP .Q

3a AH 2 Ta có: tan α = = =2 3 IH B ' H .sin 600

Đ

1 1 3a 3a 3 3 b) V = S ABC . AH = .a. a. 3. = (đvtt). 2 2 2 8

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

Bài toán 12.16: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại đỉnh

H

C, CA = a, CB = b ; mặt bên ABB’A’ là hình vuông. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua C và vuông

TR ẦN

góc với AB’. Xác định và tính diện tích thiết diện của hình lăng trụ cắt bởi (P).

Hướng dẫn giải

B

Kẻ đường cao CH của tam giác vuông ABC thì CH ⊥ AB ' . Vì

10

HK ⊥ AB ' nên thiết diện là tam giác CHK.

00

ABB’A’ là hình vuông nên AB ' ⊥ AB . Vẽ HK / / A ' B thì

2+

3

Do CH ⊥ AB, mp ( ABB ' A ' ) ⊥ mp ( ABC ) nên CH ⊥ ( ABB ' A ') ,

C

ẤP

1 từ đó tam giác CHK vuông tại H nên SCHK = CH .HK . 2

H

Ó

A

Ta có: CH . AB = CA.CB ⇒ CH =

a2 + b2

a2 AB

-L

Í-

AH . AB = a 2 ⇒ AH =

ab

TO

ÁN

HK AH a2 a 2 + b 2 . 2.a 2 a2 2 = ⇒ HK = A ' B. = = A ' B AB AB 2 a 2 + b2 a 2 + b2

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

Suy ra tan ϕ =

Ỡ N

G

Do đó: SCHK =

a 3b 2 2 ( a2 + b2 )

BỒ

ID Ư

Bài toán 12.17: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a.

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AA’, AC, A’B’. Hãy dựng và tính diện tích của thiết diện của hình lăng trụ khi cắt bởi mp(MNP).

Hướng dẫn giải Trang 9

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Đường thẳng MN cắt A’C’ tại I và CC’ tại J. Đường thẳng IP cắt B’C’ tại Q và QJ cắt BC tại R.

H Ơ N

a ' P = 1200 nên và IA A ' IP = 300 2

Y U

Do đó tam giác IQC’ vuông tại Q.

TP .Q

Và vì vậy ∆IQJ vuông tại Q.

3a 5  3a   3a   3a  JQ = JC ' + C ' Q =   +   = 5   ⇒ JQ = 4  2  4  4  2

2

2

Ư N

G

3 3a 3 IC ' = 2 4 1 1 3a 3 3a 5 9a 2 15 JQ.IQ = . = . . 2 2 4 4 32

H

Vậ y S =

Ta có tam giác JRN đồng dạng với ∆JQI với tỉ số

1 1 nên diện tích của JRN là S1 = S . 3 9

00

B

1 2 2 IM 1 IP 2 = ; = nên nếu gọi S2 là diện tích tam giác IMP thì S 2 = . S = S . 3 3 9 IJ 3 IQ 3

10

Mặt khác

ẠO

2

TR ẦN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

IQ =

2

Đ

2

3

Gọi S3 là diện tích thiết diện thì

ẤP

2+

1 2 2 2 9a 2 15 3a 2 15 S3 = S − S1 − S 2 = S − S − S = S = . = . 9 9 3 3 32 16

C

Bài toán 12.18: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đáy đều bằng a, góc

Ó

A

tạo thành bởi cạnh bên và mặt đáy là 600 và hình chiếu H của đỉnh A lên mp(A’B’C’) trùng

H

với trung điểm của cạnh B’C’.

-L

Í-

a) Tính khoảng cách giữa hai mặt đáy và góc giữa hai đường thẳng BC và AC’.

ÁN

b) Tính góc giữa mp(ABB’A’) với mặt đáy và tính thể tích của khối lăng trụ.

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

Ta có A ' I = A ' P =

N

Thiết diện là ngũ giác NMPQR.

Hướng dẫn giải

TO

a) Ta có AH là khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy.

Ỡ N

G

Vì A’H là hình chiếu vuông góc của cạnh bên AA’ trên mặt phẳng đáy nên AA ' H = 600 .

BỒ

ID Ư

Trong tam giác AA’H có: AH = A ' H tan 600 =

a 3 3a . 3= 2 2

Góc giữa BC và AC’ là ACB’. Trong tam giác vuông AHC’ có: tan AC ' B ' =

AH 3a a = : =3 HC ' 2 2

Trang 10

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

b) Từ H hạ HK ⊥ A ' B ' . Ta có HK là hình chiếu của AK trên mặt phẳng (A’B’C’). Suy ra

AK ⊥ A ' B ' . Vậy góc giữa mặt phẳng (ABB’A’) và mặt phẳng (A’B’C’) là AKH. Gọi I là

H Ơ N U

AH 3a a 3 : = =2 3 HK 2 4

1 3a 1 a 3 3 3a 3 B ' C '. A ' H . AH = . .a. = (đvtt). 2 2 2 2 8

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

Bài toán 12.19: Cho khối lăng trụ tam giác ABC. A1 B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông cân 2 . Mặt phẳng (AA1B) vuông góc với mặt phẳng (ABC),

H

với cạnh huyền AB bằng

TR ẦN

A1 AB nhọn và mặt phẳng (A1AC) tạo một góc 600 với mặt phẳng (ABC). AA1 = 3 , góc

Hãy tìm thể tích khối lăng trụ.

00

B

Hướng dẫn giải

10

Hạ A1 K ⊥ AB ( K ∈ AB ) .

2+

3

A1 AB nhọn. K thuộc đoạn AB vì

ẤP

Hạ KM ⊥ AC ⇒ AM ⊥ AC (định lý ba đường vuông góc).

C

Ta có A1 K ⊥ ( ABC ) vì ( AA1 B ) ⊥ ( ABC ) ⇒ A1MK = 600

Ó

A

Đặt A1 K = x , ta có:

Í-

H

AK = A1 A2 − A1 K 2 = 3 − x 2

ÁN

-L

= 3 − x 2 sin 450 = 3 − x 2 . 2 MK = AK sin KAM 2

G

TO

Mặt khác, MK = A1 K .cot 600 =

ID Ư

Ỡ N

⇒

BỒ

Đ

V = S A ' B ' C ' . AH =

ẠO

Ta có thể tích khối lăng trụ là:

2 (3 − x 2 ) 2

=

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

TP .Q

Tam giác vuông AKH có: tan AKH =

CI a 3 = . 2 4

Y

HK là đường trung bình của tam giác B’C’I, suy ra HK =

N

trung điểm của A’B’, ta có C ' I ⊥ A ' B ' , suy ra CI / / HK . Vì H là trung điểm của B’C’ nên

x . 3

3 x ⇒x= 3 5

1 3 5 Vậy VABC . A1B1C1 = S ABC . A1 K = . AC.CB. A1 K = 2 10

Trang 11

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Bài toán 12.20: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ với cạnh bên không vuông góc với mặt đáy.

H Ơ

N

Gọi (α ) là mặt phẳng vuông góc với các cạnh bên của hình lăng trụ và cắt chúng tại P, Q, R. Phép tịnh tiến theo vectơ AA ' biến tam giác PQR thành tam giác P’Q’R’.

N

a) Chứng minh rằng thể tích V của hình lăng trụ đã cho bằng thể tích của hình lăng trụ

Hướng dẫn giải

ẠO

a) Mặt phẳng (PQR) chia khối lăng trụ ABC.A’B’C’ thành hai khối đa diện H1

Đ

và H2, trong đó H1 chứa tam giác ABC còn H2 chứa tam giác A’B’C’. Mặt

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

phẳng (A’B’C’) chia khối lăng trụ PQR.P’Q’R’ thành hai khối đa diện H2 và H3 trong đó H3 chứa tam giác P’Q’R’.

TR ẦN

H

Gọi V1 , V2 , V3 lần lượt là thể tích của các khối đa diện H1 , H 2 , H 3 , ta có:

B

VABC . A ' B 'C ' = V1 + V2 , VPQR.P'Q'R' = V2 + V3 Vì phép tịnh tiến theo vectơ AA ' biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’

00

và biến tam giác PQR thành tam giác P’Q’R’ nên khối đa diện H1 biến thành

10

khối đa diện H3, vì vậy ta có V1 = V3 . Từ đó suy ra: VABC . A ' B 'C ' = VPQR.P'Q'R' . PP ' = AA ' nên :

ẤP

VABC . A ' B 'C ' = VPQR .P'Q'R' = S PQR . AA ' .

2+

3

b) Vì lăng trụ PQR.P’Q’R’ là lăng trụ đứng có chiều cao

C

Bài toán 12.21: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Biết rằng góc giữa CA’ và (ABCD) bằng

Ó

A

300, góc giữa mp(A’BC) và mp(ABCD) bằng 450 và khoảng cách từ C’ đến (A’CD) bằng a.

Hướng dẫn giải

-L

Í-

H

Tính thể tích khối hộp đã cho.

ÁN

Vì AA ' ⊥ ( ABCD ) nên ( CA ', ( ABCD ) ) = A ' CD = 900

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

b) Chứng minh rằng V = S PQR . AA ' , trong đó S PQR là diện tích tam giác PQR.

TP .Q

U

Y

PQR.P’Q’R’.

TO

Vì AA ' ⊥ ( ABCD ) và AB ⊥ BC

G

nên

A ' BA = 45 ( ( A ' BC ) , ( ABCD ) ) =

0

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Ta có: d ( C '; ( A ' CD ) ) = d ( D '; ( A ' CD ) ) = d ( A, ( A ' CD ) ) = AH với

H là hình chiếu của A lên A’D.

Đặt AA ' = x . Tam giác A’AB vuông cân tại A nên AB = x .

Trang 12

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

A ' CA = 300 suy ra AC = x 3 . Tam giác A’AC vuông tại A, có

N

Khi đó AD = BC = AC 2 − AB 2 = 3 x 2 − x 2 = x 2 .

H Ơ

Tam giác A’AD vuông tại A, có đường cao AH

Y U

a 6 a 6 a 12 3a 3 3 = (đvtt). . . 2 2 2 2

TP .Q

Vậy VABCD. A' B ' C ' D ' =

N

1 1 1 1 1 1 a 6 = + ⇔ 2 = 2 + 2 ⇒x= 2 2 2 AH AA ' AD a x 2x 2

Đ

A cách đều A’, B’, C’, D’. Biết rằng khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác AB’D’ đến

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Ư N

G

a . Tính thể tích khối lăng trụ cho và khoảng cách từ tâm O của hình 2

mp(AA’D’) bằng

H

vuông A’B’C’D’ đến mặt phẳng (ADC’B’).

TR ẦN

Hướng dẫn giải

00

3 3a d ( G, ( AA ' D ) ) = 2 4

10

Ta có: d ( O; ( AA ' D ) ) =

2 AO . 3

B

Vì G là trọng tâm của tam giác AB’D’ nên G nằm trên đoạn thẳng AO và AG =

2+

3

Gọi M là trung điểm của A’D’.

ẤP

Hạ OH ⊥ AM thì OH ⊥ ( AA ' D ') .

3a 4

A

C

Do đó OH = d ( O; ( AA ' D ') ) =

H

Ó

Tam giác AOM vuông tại O:

-L

Í-

1 1 1 16 1 4 3a = + ⇔ 2 = + 2 ⇒ OA = 2 2 2 2 OH OA OM 9a OA 3a 2

3a 9a 3 = (đvtt). 2 2

TO

ÁN

Vậy VABCD. A ' B 'C ' D ' = S ABCD .OA = 3a 2 .

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

ẠO

Bài toán 12.22: Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông cạnh bằng a 3 ,

Gọi N là trung điểm của B’C’. Hạ OK ⊥ AN .

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

Ta có OK ⊥ ( ADC ' B ' ) nên OK = d ( O, ( ADC ' B ' ) ) Tam giác AON vuông tại O:

1 1 1 1 4 16 3a = + = 2 + 2 = 2 ⇒ OK = 2 2 2 OK OA ON 9a 3a 9a 4

Bài toán 12.23: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật. AB = a 3, AA ' = AC = 2a 3 . Hình chiếu của B lên mp(A’B’C’D’) là trung điểm O của

Trang 13

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

B’D’. Tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ và cosin của góc giữa hai đường thẳng AC và BB’.

H Ơ

N

Hướng dẫn giải

N

Ta có O là tâm của hình chữ nhật A’B’C’D’ nên BO ⊥ ( A ' B ' C ' D ' )

U

Y

Tam giác vuông ABC: BC = AC 2 − AB 2 = 12a 2 − 3a 2 = 3a

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

AA ' O Ta có: cos ( AC , BB ' ) = cos ( A ' C ', AA ') = cos

TR ẦN

H

Vì BO ⊥ ( ABCD ) ⇒ BO ⊥ AB Tam giác ABO vuông cân tại B:

B

AO = AB 2 + BO 2 = 3a 2 + 9a 2 = 2a 3

00

Áp dụng định lý cosin trong tam giác AA’O ta có:

10

A ' A2 + A ' O 2 − AO 2 12a 2 + 3a 2 − 12a 2 1 = = 2 A ' A. A ' O 4 2.2a 3.a 3 1 . 4

ẤP

Vậy cos ( AC , BB ' ) =

2+

3

cos AA ' O =

A

C

Bài toán 12.24: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt

Ó

nằm trên hai cạnh B’C’ và DD’ sao cho C ' M = DN = x . Mặt phẳng (MAD’) cắt BB’ tại P.

Í-

H

Chứng minh rằng CM vuông góc BN và tìm x theo a để thể tích khối lập phương gấp 3 lần

-L

thể tích khối đa diện MPB’D’AA’.

TO

ÁN

Hướng dẫn giải Ta có CM .BN = CC ' + C ' M BA + AD + DN

(

)(

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

G

Nên VABCD. A ' B 'C ' D ' = S ABCD .BO = AB.BC.BO = a 3.3a.3a = 9a 3 3

ẠO

AC 2 = 12a 2 − 3a 2 = 3a 4

Đ

BO = BB '2 − B ' O 2 = BB '2 −

TP .Q

Tam giác vuông BOB’ ta có:

)

G

= CC '.DN + C ' M . AD = a.x − x.a = 0

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Suy ra CM ⊥ BN

Ta có các đường thẳng AP, D’M, A’B’ đồng quy tại S. a2 a4 1 1 1 VS . AA ' D ' = .S AA ' D ' .SA ' = . .a 2 . = 3 3 2 x 6x

Trang 14

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ

3 2 a4   x   a3   x   x   1 − 1 − = 1 + 1 − + 1 −           6 x   a   6   a   a  

N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

U TP .Q

2  a3  x  x = ⇔ 1 −    + 1 −  − 1 = 0 3 a    a 

3− 5 x −1 + 5 a. = >0⇒ x= a 2 2

Đ

Chọn 1 −

2

ẠO

a3   x   x  1 + 1 −  + 1 −  6   a   a 

G

⇔

Y

1 1 1 Ta có VACB ' D ' = VABCD. A ' B 'C ' D ' = a 3 nên VMPB '. D ' AA ' = a 3 3 3 3

Ư N

Bài toán 12.25: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân,

H

AB = AC = a, AA ' = a . Hình chiếu của B lên mp(A’B’C’) là trung điểm của B’C’. Gọi M là

TR ẦN

trung điểm của A’C’. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và tính cosin của góc giữa hai

đường thẳng BC’, MB’.

00

B

Hướng dẫn giải

10

Gọi H là trung điểm của B’C’ thì BH ⊥ ( A ' B ' C ' )

a2 a = 2 2

ẤP

2+

3

Tam giác vuông BB’H ta có: HB = BB '2 − B ' H 2 = a 2 −

A

C

1 a a3 2 Do đó: VABC . A ' B 'C ' = S ABC .BH = .a.a. = (đvtt). 2 4 2

Ó

Gọi N là trung điểm của AC thì BN / / B ' M

Í-

H

Nên góc ( BC ', MB') = ( BC ', BN )

-L

Gọi I là trung điểm của BC thì C ' I / / BH . Suy ra C ' I ⊥ ( ABC ) .

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

Suy ra: VMPB '. D ' AA ' =

2

N

2

VSPB ' M SP SB ' SM  a − x   x  = = . .  = 1 −  VSAA 'D' SA SA ' SD '  a   a 

TO

ÁN

Tam giác vuông C’IN ta có: a2 a2 a 3 + = 2 4 2

 a2  a 5 a2 a2 a 3 Tam giác BNC’ có BN = a 2 +   = , BC ' = + = a, C ' N = 2 2 2 2  2 

Áp dụng định lý cosin trong tam giác BNC’:

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

C ' N = C ' I 2 + IN 2 =

Trang 15

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

5a 2 3a 2 + a2 − 4 =3 5 ' = BN + BC ' − NC ' = 4 cos NBC 2.BN .BC ' 10 a 5 2. .a 2

H Ơ

3 5 . 10

U

Vậy cos ( BC ', MB ') = cos ( BC ', BN ) =

N

2

N

2

Y

2

TP .Q

Bài toán 12.26: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có cạnh bên AA ' = 2a 3, AC = a ,

Đ

Hướng dẫn giải

Tương tự ta có CB ' = 2a và CM ⊥ BB ' .

00

2+

CM = BC 2 − BM 2 = 4a 2 − 3a 2 = a

3

10

Trong tam giác vuông BCM ta có:

B

Suy ra ( MAC ) ⊥ BB ' ⇒ AA ' ⊥ ( MAC ) .

Ư N

G

Suy ra tam giác ABB’ vuông tại A nên AM ⊥ BB ' .

H

3 = 4a 2 ⇒ AB ' = 2a 2

TR ẦN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Áp dụng định lý cosin vào tam giác ABB’ ta có: AB '2 = 4a 2 + 12a 2 − 2.2a.2a 3.

ẠO

vuông góc với mp (MAC) và tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.

ẤP

Tương tự ta có AM = a nên tam giác ACM cân tại M

A

C

Gọi N là trung điểm của AC. Ta có MN ⊥ AC . a2 a 3 = 4 2

H

Ó

Trong tam giác vuông AMN ta có: MN = AM 2 − AN 2 = a 2 −

ÁN

-L

Í-

a3 1 1 1 a 3 .a.a 3 = VB. AMC = .S ABC .BM = . . 3 3 2 2 4

TO

Nên: VABC . A ' B 'C ' = S ABC .d ( B ', ( ABC ) ) = 3VB '. ABC = 6VM . ABC =

3a 3 (đvtt). 2

ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình bình hành,

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

Bài toán 12.27: Cho hình hộp đứng

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

' = 300 . Gọi M là trung điểm của BB’. Chứng minh rằng A’A AB = BC = a, ABB ' = CBB

= 600 , góc giữa đường thẳng B’C và mặt phẳng (ACC’A’) bằng 300. AB = 2a, BC = a, BAD

Tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ và khoảng cách giữa hai

đường thẳng AM, DD’ với M là trung điểm của CC’. Hướng dẫn giải Hạ BH ⊥ A ' C ' thì có BH ⊥ ( ACC ' A ') .

Trang 16

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

' CH . Từ đó suy ra góc giữa B’C và mặt phẳng (ACC’A’) bằng B

N

Áp dụng định lý côsin trong tam giác ABC ta có:

N

H Ơ

 1 AC 2 = BC 2 + BA2 − 2 BC.BA.cos1200 = a 2 + 4a 2 − 2a.2a.  −  = 7 a 2  2

84a 2 a 35 − a2 = 49 7

Nên: VABCD. A ' B 'C ' D ' = AB. AD.sin 600. AA ' = 2a.a.

3 a 35 a 3 . 105 . = 2 7 7

Ư N

Tam giác vuông BB’C: BB ' = B ' C 2 − BC 2 =

TR ẦN

B

Ta có AM song song với (ACC’A’).

3

a 21 7

2+

= d ( B ', ( ACC ' A ') ) = B ' H =

10

00

Do đó d ( DD ', AM ) = d ( DD ', ( ACC ' A ' ) ) = d ( D ', ( ACC ' A ' ) )

ẤP

Bài toán 12.28: Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai

Hướng dẫn giải

H

Ó

A

thể tích của hai phần đó.

C

cạnh AA’ và BB’. Mặt phẳng (MNC’) chia khối lăng trụ đã cho thành hai phần. Tính tỉ số

Í-

Nếu gọi V là thể tích của khối lăng trụ thì thể tích của khối tứ diện C’ABC

-L

V 2V , do đó thể tích của khối chóp C’.ABB’A là . 3 3

ÁN

là

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

TP .Q ẠO Đ

2a 21 B'H = 0 sin 30 7

H

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Tam giác vuông B’CH: B ' C =

3 2 = a 21 7 a 7

a.2a.

G

2S B ' A '.B ' C '.sin1200 Ta có: B ' H = A ' B 'C ' = = A 'C ' A 'C '

U

Y

Suy ra AC = a 7 .

TO

Vì hai khối chóp C’.ABNM và C’MNB’A’ có cùng chiều cao và có mặt

Ỡ N

G

1 2V V = . đáy bằng nhau nên thể tích của khối chóp C’.MNB’A’ là: V1 = . 2 3 3 V1 1 = . V2 2

BỒ

ID Ư

Do đó tỉ số thể tích hai phần được phân chia là k =

Trang 17

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Bài toán 12.29: Cho một khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có AA ' = h . Trên BB’ và DD’ lấy hai

N

h . Mặt phẳng (AMN) chia khối hộp thành hai phần. 2

H Ơ

Tính tỉ số thể tích hai phần đó.

Y

N

Hướng dẫn giải

U

Ta có mp(AMN) cắt khối hộp theo một hình bình hành AMEN,

TP .Q

với E nằm trong đoạn CC’ mà C ' E = x . Qua M vẽ một mặt phẳng song song với mp(ABCD) cắt khối hộp theo hình bình

ẠO

hành MJNI.

Đ

Gọi V1 là thể tích phần khối hộp nằm giữa thiết diện AMEN và

G Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

mp(A’B’C’D’) và V2 là thể tích phần còn lại của khối hộp.

H

Ta có: V1 = VMJNA ' B 'C ' D ' − VJMNE + VIAMN

V1 MB ' h − x . = = V2 BM x

B

Do đó V2 = VIMJNABCD . Vậy

TR ẦN

Vì VJMNE = VIAMN nên V1 = VIMJNA ' B 'C ' D '

10

00

Bài toán 12.30: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD. A1 B1C1 D1 có chiều cao bằng nửa cạnh đáy. Với M là một điểm trên cạnh AB, tìm giá trị lớn nhất của góc A1MC1 .

2+

3

Hướng dẫn giải

ẤP

Chọn cơ sở AB = a, AD = b, AA1 = c

-L

Í-

H

Ó

A

C

Gọi chiều cao là h thì đáy hình vuông cạnh 2h M ∈ AB nên có số α sao cho: AM = α AB = α a , với 0 ≤ α ≤ 1 MA1 = AA1 − AM = c − α a MC1 = MB + BC + CC1 = (1 − α ) a + b + c

MA12 = c − α a

)

2

2 2 2 = c − 2α .a.c + α 2 a = h 2 (1 + 4α )

TO

ÁN

(

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

điểm M và N sao cho BM = DN = x <

Ỡ N

G

2 2 MC12 = (1 − α ) a + b + c  = h 2  4 (1 − α ) + 5   2

2 MA1.MC1 = c − α a (1 − α ) a + b + c  = h 2 ( 2α − 1)

(

)

BỒ

ID Ư

Do đó MA1 = h 1 + 4α 2 và MC1 = h 4 (1 − α ) + 5

Trang 18

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

2

( 2α − 1) 2 2 (1 + 4α )  4 (1 − α ) + 5

cos ϕ = cos MA1 , MC1 =

)

≥0

U

Bài 12.31: Cho ABC. A1 B1C1 là một hình lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh dài bằng a.

N

1 nên M là trung điểm của AB. 2

Y

Vậy ϕ lớn nhất ⇔ ϕ = 900 ⇔ α =

H Ơ

N

(

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

TP .Q

Xét các đoạn thẳng có hai đầu lần lượt nằm trên hai đường chéo BC1 và CA1 của hai mặt bên

ẠO

thẳng như thế.

Đ H

Gọi M thuộc đoạn BC1 , và N thuộc đoạn CA1. Ta có: MA1 = α CA1 = α c − b với 0 ≤ α ≤ 1

)

TR ẦN

(

G Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Hướng dẫn giải Chọn hệ cơ sở: AB = a, AC = b, AA1 = c

C1 N = β C1 B = β −b − c + a với 0 ≤ β ≤ 1

) MN = MA + A C + C N = α ( c − b ) + b + β ( a − b − c ) 1

1

1

00

B

(

1

3

10

= β a + (1 − α − β ) b + (α − β ) c

ẤP

2+

Vì MN / / mp ( ABB1 A1 ) và CC1 / / mp ( ABB1 A1 ) nên ba vectơ AB, MN , CC1 là đồng phẳng.

Ó

A

C

Do đó có cặp số ( p, q ) sao cho: MN = p AB + qCC1 = pa + qc

-L

Í-

H

β = p p = β   Do đó β a + (1 − α − β ) b + (α − β ) c = pa + qc ⇔ 1 − α − β = 0 ⇔ α = 1 − β α − β = q q = 1 − 2β  

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

lăng trụ và song song với mặt phẳng (ABB1A1). Tính đoạn thẳng ngắn nhất trong các đoạn

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

ÁN

Do đó MN = β 2 a + 0.b + (1 − 2 β ) c nên:

2

MN 2 = β 2 a + (1 − 2 β )

2 2c

+ 2 β (1 − 2 β ) .a.c 2

= β a + (1 − 2 β ) 2

2

2

2

2 1 1  a + 0 = ( 5β − 4 β + 1) a = 5  β −  a 2 + ≥ a 2 5 5 5  2

2

MN nhỏ nhất ⇔ MN 2 nhỏ nhất ⇔ β =

2

2 5

Trang 19

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Vậy MN =

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

a 5 là giá trị nhỏ nhất của các đoạn MN. 5

H Ơ

N

3. BÀI LUYỆN TẬP Bài tập 12.1: Cho khối đa diện lồi. Chứng minh rằng

TP .Q

Hướng dẫn

U

b) Nếu các mặt là tam giác và mỗi đỉnh là đỉnh chung của ba cạnh thì đó là khối tứ diện.

Y

N

a) Nếu mỗi đỉnh là đỉnh chung của ba cạnh thì số đỉnh phải là số chẵn.

a) Giả sử khối đa diện có C cạnh và có Đ đỉnh thì 3Đ = 2C.

Đ

cạnh AB, AC, AD rồi chứng minh ABCD là khối tứ diện.

G Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Bài tập 12.3: Chứng minh:

H

a) Tâm các mặt của một khối lập phương là các đỉnh của một khối tám mặt đều

TR ẦN

b) Tâm của các mặt của khối tứ diện đều là các đỉnh của một khối tứ diện đều.

Hướng dẫn

a) Dùng định nghĩa khối đa diện đều loại {n, p} khi mỗi mặt là đa giác đều n cạnh và mỗi

00

B

đỉnh là đỉnh chung của p cạnh.

3

10

1 b) Dùng phép vị tự tâm là trọng tâm G của tứ diện và tỉ k = − . 3

2+

Bài tập 12.3: Chứng minh tổng bình phương khoảng cách từ 8 đỉnh của hình lập phương

C

ẤP

cạnh a, đến một đường thẳng d bất kỳ đi qua tâm là số không đổi.

Hướng dẫn

Ó

A

Gọi hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ tâm O thì d qua O. Ghép tổng bình phương các cặp

H

có 2 đỉnh là 2 mút đường chéo có trung điểm chung là O. Kết quả 4a 2 .

-L

Í-

Bài tập 12.4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Trên AB, CC’, C’D’ và AA’

ÁN

lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q sao cho AM = C ' N = C ' P = AQ = x ( 0 ≤ x ≤ a ) . Chứng

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

ẠO

b) Xét đỉnh A bất kỳ, mỗi đỉnh là đỉnh chung của ba cạnh nên đỉnh A là đỉnh chung của ba

TO

minh 4 điểm M, N, P, Q đồng phẳng và tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của chu vi thiết diện

Hướng dẫn

Ỡ N

G

cắt bởi (MNPQ).

Bài tập 12.5: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’, đường cao h. Mặt phẳng (A’BD) hợp với mặt bên ABB’A’ một góc α . Tính thể tích và diện tích xung quanh của lăng trụ.

BỒ

ID Ư

Dùng hình học hoặc vectơ, có thể trải thiết diện MNPQ lên mp(AA’,BB’).

Hướng dẫn

Trang 20

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông và cạnh bên vuông góc với đáy.

N

Kết quả V = h3 ( tan 2 α − 1) .

H Ơ

Bài tập 12.6: Cho hình lập phương ABCDA1 B1C1 D1 có cạnh bằng a.

U

b) Gọi M, N, P lần lượt là các trung điểm của các cạnh BB1, CD, A1D1. Tính góc giữa hai

Hướng dẫn

Đ G

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

a 6 . 6

ẠO

a) Dùng đường chéo là đường thẳng cùng vuông góc với A1B và B1D.

Ư N

b) Dùng định lý côsin hay vectơ.

H

Bài tập 12.7: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi K và L lần lượt là trung

TR ẦN

điểm của các cạnh B’C’ và C’D’. Hãy xác định và tính thiết diện của hình lập phương với mặt phẳng (AKL).

B

Hướng dẫn

10

00

Thiết diện của hình lập phương với mặt phẳng (AKL) là ngũ giác. Tính gián tiếp cắt chai hay

2+

7 17 2 a . 24

ẤP

Kết quả S =

3

bù trừ, có thể dùng S ' = S .cos φ .

C

Bài tập 12.8: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có: AB = AA ' = a và AD = 2a .

Ó

A

a) Chứng minh AB’ vuông góc với BD’ và tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB’ và

H

C’D’.

Í-

b) Tính khoảng cách từ điểm C’ đến mặt phẳng (B’CD’)

-L

Hướng dẫn

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

TP .Q

đường thẳng MP và C1N.

Kết quả d ( A1 B, B1 D ) =

Y

N

a) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A1B và B1D.

TO

ÁN

a) Dùng hình chiếu vuông góc. Kết quả d ( AB ', C'D' ) = 2a .

G

b) Kết quả d ( C ', ( B ' D ' C ) ) =

2a 3

AD = CD = BC = a, AB = 2a . Mặt phẳng (P) qua A cắt các cạnh BB’, CC’, DD’ lần lượt tại

' = M, N, P. Cho góc BCC ADB ' = 600 và BM = 3a . Định (P) để AMNP là hình thang cân.

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Bài tập 12.9: Cho một hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’, đáy là hình thang AB//CD có

Hướng dẫn

Trang 21

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Dùng hình học hoặc vectơ. Kết quả PD =

5 a. 4

H Ơ

N

Bài tập 12.10: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy là tam giác vuông tại

N

A, AB = a, AC = a 3 và hình chiếu đỉnh A’ trên mp(ABC) là trung điểm BC. Tính thể tích

Y

khối chóp A’.ABC và cosin của góc giữa 2 đường thẳng AA’, B’C’.

TP .Q

Tính trực tiếp. Kết quả VA '. ABC =

U

Hướng dẫn

1 a3 , cos ϕ = 2 4

G

Đ

và điểm A’ cách đều các điểm A, B, C. Cạnh bên AA’ tạo với mặt phẳng đáy một góc 600.

H

Hướng dẫn

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Tính thể tích của lăng trụ và diện tích mặt bên BCC’B’.

TR ẦN

Vẽ hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC nằm dưới trước rồi, xác định A’ cách

2a 2 3 a3 3 (đvtt), S = (đvdt). 4 3

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

C

ẤP

2+

3

10

00

Kết quả V =

B

đều các điểm A, B, C.

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

ẠO

Bài tập 12.11: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a

Trang 22

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial