TTLT H Di u Hi n Tp C n Th
GTLN & GTNN c a bi u th c nhi u bi n
Chuyên
TÌM GTLN VÀ GTNN C A HÀM S NHI U BI N B NG CÁCH K T H P B T NG TH C I S VÀ TÍNH N I U C A HÀM S Hu nh Chí Hào THPT Chuyên Nguy n Quang Diêu - ng Tháp I. M
U
Bài toán tìm giá tr l n nh t (GTLN), giá tr nh nh t (GTNN) c a các bi u th c 3 bi n th ng c ch n làm bài khó nh t trong k thi tuy n sinh i h c nh ng n m g n ây. Ph ng pháp th ng s d ng là k t h p b t ng th c i s và tính n i u c a hàm s tìm GTLN và GTNN. II. PH B
NG PHÁP CHUNG
c 1: Bi n i bi u th c nhi u bi n v bi u th c có th t n ph K thu t bi n i th ng dùng là bi n i ng nh t ho c
B
c 2: S d ng các b t n ph .
ng th c
i s (b t
B
c 3: Tìm GTLN, GTNN b ng cách s d ng
ng th c c
o hàm
i n, b t
a v m t bi n. c l ng.
(gi m bi n).
ng th c ph ) tìm i u ki n c a (th ng là i u ki n ÚNG).
kh o sát tính
n i u c a hàm m t bi n. (kh o sát hàm c a n ph ).
L u ý: V i các bi u th c i x ng 3 bi n (t c là các bi u th c không thay ba bi n ) ta có th t m t trong các bi u th c sau là n ph
i v i m i hoán v c a
1
TTLT H Di u Hi n Tp C n Th
TT
M TS i u ki n c a bi n
GTLN & GTNN c a bi u th c nhi u bi n B T
NG TH C PH TH NG DÙNG B t ng th c ph
i u ki n x y ra ng th c ( i m r i)
1
2
3
4 5
6
7 và 8 9 10 11
12
13
và và và
(s d ng ph i CM) (s d ng ph i CM)
ho c ho c
(s d ng ph i CM) (s d ng ph i CM)
ho c
(s d ng ph i CM)
(s d ng ph i CM)
(s d ng ph i CM)
2
TTLT H Di u Hi n Tp C n Th
GTLN & GTNN c a bi u th c nhi u bi n
III. CÁC VÍ D MINH H A
1. Ba bi n
i x ng
D ng 1: Bi n
i
Ví d 1. Cho
ng nh t không âm th a mãn
.
Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a bi u th c
.
H ng d n gi i + là bi u th c i x ng theo 3 bi n . + Bi n i theo bi u th c . + t n ph và ánh giá chính xác giá tr c a bi n . L i gi i B1 Bi n T
i bi u th c
v bi u th c có th
t n ph .
ng th c
, k t h p v i gi thi t
.
Ta suy ra:
t
thì
B2 Tìm i u ki n ÚNG cho bi n . Ta có:
mà
nên (1)
D u “=” v trái c a (1) x y ra khi D u “=” v trái c a (1) x y ra khi B3 Tìm GTNN và GTNN c a hàm m t bi n, t Xét hàm s Ta có:
và các hoán v . ó suy ra GTNN và GTLN c a
.
trên o n ;
B ng bi n thiên 3
3
TTLT H Di u Hi n Tp C n Th
GTLN & GTNN c a bi u th c nhi u bi n
T b ng bi n thiên suy ra:
,
D u “=”
VT c a (2) x y ra khi
D u “=” B4 K t lu n:
VP c a (2) x y ra khi
và các hoán v .
Giá tr nh nh t c a bi u th c
là
Giá tr l n nh t c a bi u th c
là
Bài t p t Cho
(2)
t khi t khi
và các hoán v .
ng t là các s th c th a mãn
.
Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a bi u th c H
ng d n gi i
+
t
.
v i
+ Xét hàm s
v i
+ K t qu Giá tr nh nh t c a bi u th c
là
t khi
và các hoán v
Giá tr l n nh t c a bi u th c
là
t khi
Ví d 2. Cho các s th c không âm
th a mãn
Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a bi u th c H +
ng d n gi i là bi u th c
+ Bi n +
i x ng theo 3 bi n
i bi u th c
t n ph
L i gi i B1 Bi n i bi u th c T gi thi t
theo
. .
. .
và ánh giá chính xác giá tr c a bi n .
v bi u th c có th
t n ph .
Do ó:
4
TTLT H Di u Hi n Tp C n Th
GTLN & GTNN c a bi u th c nhi u bi n
Nên: t
thì
B2 Tìm i u ki n ÚNG cho bi n . T gi thi t
(1) D u “=”
(1) x y ra khi
Do
và các hoán v . Suy ra: nên t gi thuy t ta l i suy ra
c
(2) D u “=”
(2) x y ra khi
Suy ra:
. Suy ra:
.V y
B3 Tìm GTNN và GTNN c a hàm m t bi n, t Xét hàm s
ó suy ra GTNN và GTLN c a
v i
.
, ta có (S d ng TABLE c a MTCT ánh giá)
B ng bi n thiên 3
T b ng bi n thiên suy ra: D u “=” D u “=” B4 K t lu n
VT c a (3) x y ra khi VP c a (3) x y ra khi
, t khi t khi
(3) và các hoán v . . 5
TTLT H Di u Hi n Tp C n Th
GTLN & GTNN c a bi u th c nhi u bi n
Giá tr nh nh t c a bi u th c
là
t khi
Giá tr l n nh t c a bi u th c
là
t khi
Ví d 3. Cho
là các s th c d
ng th a mãn
và các hoán v . .
Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c H +
ng d n gi i là bi u th c
i x ng theo 3 bi n
+ Bi n i bi u th c + t n ph L i gi i B1 Bi n
.
theo
i bi u th c
.
. và ánh giá chính xác giá tr c a bi n .
v bi u th c có th
t n ph .
Ta có: Do ó: t
thì
B2 Tìm i u ki n ÚNG cho bi n . Ta có: D u “=” (1) x y ra khi
(1) . Suy ra:
Do Suy ra:
.V y
B3 Tìm GTNN c a hàm m t bi n, t Xét hàm s
v i
ó suy ra GTNN c a
.
, ta có
B ng bi n thiên
6
TTLT H Di u Hi n Tp C n Th
GTLN & GTNN c a bi u th c nhi u bi n
T b ng bi n thiên suy ra: D u “=” B4 K t lu n
,
(2) x y ra khi
(2) .
Giá tr nh nh t c a bi u th c
là
.
t khi
Ví d 4. Cho các s th c
th a mãn
.
Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a bi u th c
.
H ng d n gi i + là bi u th c i x ng theo 3 bi n . + Bi n i bi u th c theo . t n ph và ánh giá chính xác giá tr c a bi n . + L i gi i B1 Bi n
i bi u th c
v bi u th c có th
t n ph .
Ta có: Ta có: t
thì
B2 Tìm i u ki n ÚNG cho bi n . T gi thi t
(1) D u “=”
(1) x y ra khi
và các hoán v . Suy ra:
Do D u “=”
. (2) x y ra khi
Suy ra:
(2) . Suy ra:
.V y
B3 Tìm GTLN và GTNN c a hàm m t bi n, t Xét hàm s
v i
ó suy ra GTLN và GTNN c a
.
, ta có:
B ng bi n thiên 7
TTLT H Di u Hi n Tp C n Th
GTLN & GTNN c a bi u th c nhi u bi n
T b ng bi n thiên suy ra:
,
D u “=” c a VT (2) x y ra khi D u “=” c a VP (2) x y ra khi B4 K t lu n Giá tr nh nh t c a bi u th c là Giá tr l n nh t c a bi u th c
Ví d 5. Cho
(2) . và các hoán v .
t khi
là
. và các hoán v
t khi
là các s th c th a mãn
.
Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c
.
H ng d n gi i + Khai tri n và thu g n + t n ph
n
L i gi i B1 Bi n
i bi u th c
s c bi u th c có liên quan và ánh giá chính xác giá tr c a bi n .
v bi u th c có th
t n ph .
Ta có: t
thì
B2 Tìm i u ki n ÚNG cho bi n . Ta có: D u “=”
(1) (1) x y ra khi
. Suy ra:
B3 Tìm GTNN c a hàm m t bi n, t Xét hàm s
ó suy ra GTNN c a
.
trên n a kho ng
8
TTLT H Di u Hi n Tp C n Th
GTLN & GTNN c a bi u th c nhi u bi n
Ta có:
;
B ng bi n thiên
T b ng bi n thiên suy ra: D u “=”
,
(2)
(2) x y ra khi
.
B4 K t lu n Giá tr nh nh t c a bi u th c Ví d 6. Cho
là các s th c d
là
.
t khi
ng th a mãn
.
Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c
H
ng d n gi i
+
t
.
v i
+ Xét hàm s
v i
+ K t qu : Giá tr l n nh t c a bi u th c L i gi i B1 Bi n
i bi u th c
là
t khi
v bi u th c có th
t n ph .
Ta có: t
thì
B2 Tìm i u ki n ÚNG cho bi n . T gi thi t 9
TTLT H Di u Hi n Tp C n Th
GTLN & GTNN c a bi u th c nhi u bi n
Suy ra: D u “=”
. (1) x y ra khi
.V y
B3 Tìm GTLN c a hàm m t bi n, t
ó suy ra GTLN c a
v i
Xét hàm s
(1)
.
, ta có
B ng bi n thiên
T b ng bi n thiên suy ra: D u “=”
,
(2) x y ra khi
(2) .
B4 K t lu n Giá tr l n nh t c a bi u th c
là
t khi
Ví d 7. Cho các s th c không âm
th a mãn
.
Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a bi u th c H
ng d n gi i
+
t
v i
+ Xét hàm s
v i
+ K t qu : Giá tr nh nh t c a bi u th c
là
t khi
. 10
TTLT H Di u Hi n Tp C n Th Giá tr l n nh t c a bi u th c L i gi i B1 Bi n
i bi u th c
t
GTLN & GTNN c a bi u th c nhi u bi n là
t khi
v bi u th c có th
và các hoán v .
t n ph .
thì
B2 Tìm i u ki n ÚNG cho bi n . Do
. D u “=” x y ra khi
Vì . D u “=” x y ra khi
và các hoán v .
V y B3 Tìm GTNN và GTNN c a hàm m t bi n, t Xét hàm s
ó suy ra GTNN và GTLN c a
v i
.
, ta có
B ng bi n thiên
T b ng bi n thiên suy ra:
, (2)
D u “=”
VT c a (2) x y ra khi
D u “=”
VP c a (2) x y ra khi
và các hoán v .
B4 K t lu n Giá tr nh nh t c a bi u th c
là
Giá tr l n nh t c a bi u th c
là
t khi
. t khi
và các hoán v . 11
TTLT H Di u Hi n Tp C n Th D ng 2: Bi n Ví d 8 (
i
cl
GTLN & GTNN c a bi u th c nhi u bi n
ng ( ánh giá)
thi THPTQG 2015). Cho các s th c
và th a mãn i u ki n
Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c
.
H ng d n gi i là bi u th c i x ng theo 3 bi n . - Nh l i r ng có th bi u di n theo các bi u th c . - Phân tích d ki n và th a mãn i u ki n h ng i. t n ph h p lý, tìm i u ki n n ph bi u th c m t bi n sau ó s d ng công c L i gi i B1 Bi n
i bi u th c
.
i x ng c b n:
, k t h p v i bi u th c
bi u di n bi u th c o hàm gi i quy t.
v bi u th c có th
ho c
(ho c
cl
ng bi u th c
ho c nh ra các ) thành
t n ph .
(1) So sánh Do
v i
cl
ng bi u th c
nên
(2)
T (1) và (2) suy ra: v i B2 Tìm i u ki n ÚNG cho bi n . i) Do D u “=” (1) x y ra khi ii) Vì nên
(1)
(2) Do
nên (3) (4)
T (2) và (3) suy ra: D u “=” (4) x y ra khi Do ó:
.V y
B3 Tìm GTLN c a hàm m t bi n, t Xét hàm s Ta có:
. . ó suy ra GTLN c a
.
v i , 12
TTLT H Di u Hi n Tp C n Th
GTLN & GTNN c a bi u th c nhi u bi n
B ng bi n thiên 11
12
T b ng bi n thiên suy ra: D u “=” B4 K t lu n
(5) x y ra khi
Giá tr l n nh t c a bi u th c Ví d 9. Cho
(5)
b ng
không âm th a mãn
.
Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c H
ng d n gi i
+
t
.
v i
+ Xét hàm s
v i
+ K t qu : Giá tr nh nh t c a bi u th c L i gi i B1 Bi n
i bi u th c
là
v bi u th c có th
t khi
và các hoán v
t n ph .
Do và Suy ra: (
cl
ng)
t thì B2 Tìm i u ki n ÚNG cho bi n . Do
. Suy ra
D u “=”
VT c a (1) x y ra khi
D u “=”
VP c a (1) x y ra khi
(1) và các hoán v .
.V y 13
TTLT H Di u Hi n Tp C n Th
GTLN & GTNN c a bi u th c nhi u bi n
B3 Tìm GTNN c a hàm m t bi n, t
ó suy ra GTNN c a
Xét hàm s
v i
.
, ta có (S d ng TABLE c a MTCT ánh giá)
S d ng
o hàm c p hai
xét d u
Ta có: B ng bi n thiên c a
T b ng bi n thiên T
ta suy ra:
ây ta có b ng bi n thiên c a
nh sau
T b ng bi n thiên suy ra: D u “=” (2) x y ra khi B4 K t lu n Giá tr nh nh t c a bi u th c Ví d 10. Cho các s th c Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c
(2) và các hoán v . là
và các hoán v
t khi th a mãn
. . 14
TTLT H Di u Hi n Tp C n Th H +
ng d n gi i t
GTLN & GTNN c a bi u th c nhi u bi n
v i
+ Xét hàm s
v i
+ K t qu :Giá tr nh nh t c a bi u th c L i gi i B1 Bi n i bi u th c Ta có:
là
v bi u th c có th
t khi t n ph .
Suy ra:
(1) D u “=”
(1) x y ra khi
t
thì
B2 Tìm i u ki n ÚNG cho bi n . Do .V y B3 Tìm GTNN c a hàm m t bi n, t
ó suy ra GTNN c a
Xét hàm s
v i
.
, ta có
, B ng bi n thiên
T b ng bi n thiên suy ra
,
(2)
15
TTLT H Di u Hi n Tp C n Th D u “=”
GTLN & GTNN c a bi u th c nhi u bi n
(2) x y ra khi
B4 K t lu n Giá tr nh nh t c a bi u th c Ví d 11. Cho các s th c d
là
t khi th a mãn
ng
.
Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c H
.
ng d n gi i
+ ánh giá +
t
v i
+ Xét hàm s
v i
+ K t qu : Giá tr nh nh t c a bi u th c L i gi i B1 Bi n
i bi u th c
là
v bi u th c có th
t khi t n ph .
Do Theo Cauchy
Suy ra:
t
. D u “=” x y ra khi
thì
B2 Tìm i u ki n ÚNG cho bi n . Do
th a mãn
nên
. D u “=” x y ra khi
V y B3 Tìm GTNN c a hàm m t bi n, t Xét hàm s
v i
ó suy ra GTNN c a
.
, ta có
16
TTLT H Di u Hi n Tp C n Th
GTLN & GTNN c a bi u th c nhi u bi n
T b ng bi n thiên suy ra: D u “=”
(1)
(1) x y ra khi
B4 K t lu n Giá tr nh nh t c a bi u th c Ví d 12. Cho các s th c d
ng
là
t khi th a mãn
.
Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c H
.
ng d n gi i
+ ánh giá +
t
v i
+ Xét hàm s
v i
+ K t qu : Giá tr nh nh t c a bi u th c là L i gi i B1 Bi n i bi u th c v bi u th c có th
t khi
t n ph .
Do Theo Cauchy thì
Suy ra:
17
TTLT H Di u Hi n Tp C n Th t
GTLN & GTNN c a bi u th c nhi u bi n
thì
B2 Tìm i u ki n ÚNG cho bi n . th a mãn Do V y
nên
. D u “=” x y ra khi
.
B3 Tìm GTNN c a hàm m t bi n, t
ó suy ra GTNN c a
v i
Xét hàm s
.
, ta có
T b ng bi n thiên suy ra:
(1)
D u “=” (1) x y ra khi B4 K t lu n Giá tr nh nh t c a bi u th c Ví d 13. Cho các s th c d
là
ng
t khi th a mãn
.
Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c H
.
ng d n gi i
+ ánh giá +
t
v i
+ Xét hàm s
v i
+ K t qu : Giá tr nh nh t c a bi u th c L i gi i B1 Bi n
i bi u th c
là
v bi u th c có th
t khi
t n ph .
Ta có:
18
TTLT H Di u Hi n Tp C n Th
GTLN & GTNN c a bi u th c nhi u bi n
Do
D u “=” x y ra khi Suy ra:
t
thì
B2 Tìm i u ki n ÚNG cho bi n . Do
. D u “=” x y ra khi
V y B3 Tìm GTNN c a hàm m t bi n, t Xét hàm s
ó suy ra GTNN c a
v i
.
, ta có:
B ng bi n thiên
T b ng bi n thiên suy ra: D u “=” B4 K t lu n
(1)
(1) x y ra khi
Giá tr nh nh t c a bi u th c Ví d 14. Cho các s th c d
ng
Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c
H
là
t khi th a mãn
. .
ng d n gi i
19
TTLT H Di u Hi n Tp C n Th
GTLN & GTNN c a bi u th c nhi u bi n
+ ánh giá +
t
v i
+ Xét hàm s
v i
+ K t qu : Giá tr nh nh t c a bi u th c L i gi i B1 Bi n i bi u th c Ta có:
là
v bi u th c có th
t khi
t n ph .
Do Suy ra: D u “=” x y ra khi t
thì
B2 Tìm i u ki n ÚNG cho bi n . Do
. D u “=” x y ra khi
V y B3 Tìm GTNN c a hàm m t bi n, t
ó suy ra GTNN c a
Xét hàm s
v i
.
, ta có:
B ng bi n thiên
T b ng bi n thiên suy ra: D u “=” (1) x y ra khi B4 K t lu n Giá tr nh nh t c a bi u th c
(1)
là
t khi
20
TTLT H Di u Hi n Tp C n Th Ví d 15. Cho
GTLN & GTNN c a bi u th c nhi u bi n
là các s th c d
ng và th a mãn i u ki n
Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c
.
L i gi i B1 c l ng bi u th c v hàm m t bi n s . S d ng Cauchy-Schwarz: và b t
.
v i
ng th c ph :
v i
Không m t tính t ng quát gi s
và
Ta có:
D u “=”
(1) x y ra khi
Suy ra:
. .
t
thì
B2 Tìm i u ki n ÚNG cho bi n . Do
. Suy ra:
B3 Tìm GTLN c a hàm m t bi n, t Xét hàm s
.V y ó suy ra GTLN c a
.
trên n a kho ng
Ta có: B ng bi n thiên
T b ng bi n thiên suy ra:
,
(1) 21
TTLT H Di u Hi n Tp C n Th D u “=” B4 K t lu n
GTLN & GTNN c a bi u th c nhi u bi n
(1) x y ra khi
Giá tr l n nh t c a bi u th c
2. Ba bi n không Ví d 16. Cho
.
là
.
t khi
i x ng là các s th c không âm và th a mãn i u ki n
Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c
. .
H ng d n gi i + Bi u th c không có tính i x ng theo 3 bi n. Tuy nhiên i u ki n và m u s trong bi u th c l i có tính i x ng, gi thi t g i lên ý t ng v các h ng + C n ánh giá c l ng hai s h ng th nh t và th ba trong bi u th c ba bi n. C th ánh giá các bi u th c và v i l u ý n vi c s
c a s h ng th 2 ng th c. c bi u th c i x ng d ng i u ki n
. L i gi i B1 Bi n i bi u th c + Ta có:
v bi u th c có th
t n ph .
và nên T
. ó suy ra
c:
.
+ M t khác:
Suy ra: Do ó: v i B2 Tìm i u ki n ÚNG cho bi n . Vì Suy ra:
.
D u “=”
VP c a (1) x y ra khi
D u “=”
VT c a (1) x y ra khi
(1)
và các hoán v 22
TTLT H Di u Hi n Tp C n Th
GTLN & GTNN c a bi u th c nhi u bi n
V y B3 Tìm GTLN c a hàm m t bi n, t Xét hàm s
ó suy ra GTLN c a
.
v i ,
Ta có: B ng bi n thiên
T b ng bi n thiên suy ra: D u “=” B4 K t lu n
(*)
(*) x y ra khi
Giá tr l n nh t c a bi u th c
Ví d 17. Cho
b ng
là các s th c d
ng và th a mãn i u ki n
Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c
. .
H ng d n gi i + Bi u th c th 1 và 2 có tính i x ng theo hai bi n + S d ng b t ng th c i s và i u ki n ánh giá hai bi u th c th 1 và 2 nh m bi n
a v hàm theo
L i gi i B1 c l ng bi u th c v hàm m t bi n s . Theo b t ng th Cauchy ta có: (1)
D u “=”
(1) x y ra khi
. K t h p v i i u ki n
, ta
c:
23
TTLT H Di u Hi n Tp C n Th
GTLN & GTNN c a bi u th c nhi u bi n
B2 Tìm i u ki n ÚNG cho bi n Do
là các s th c d
.
ng và th a mãn i u ki n
nên
V y B3 Tìm GTNN c a hàm m t bi n, t
ó suy ra GTNN c a
Xét hàm s
.
trên kho ng
Ta có:
B ng bi n thiên
T b ng bi n thiên suy ra: D u “=”
,
(2) x y ra khi
(2) .
B4 K t lu n Giá tr nh nh t c a bi u th c Ví d 18. Cho
là
.
t khi
là các s th c không âm và th a mãn i u ki n
Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c
.
.
H ng d n gi i + Bi u th c th 1 và 2 có tính i x ng theo hai bi n + S d ng b t ng th c i s và i u ki n ánh giá hai bi u th c th 1 và 2 nh m bi n
a v hàm theo
24
TTLT H Di u Hi n Tp C n Th L i gi i B1 cl
ng bi u th c
GTLN & GTNN c a bi u th c nhi u bi n
v hàm m t bi n s .
. D u “=”
(1) x y ra khi
.
Suy ra: t
thì
B2 Tìm i u ki n ÚNG cho bi n . là các s th c không âm và th a mãn i u ki n Do Suy ra:
nên
.V y
B3 Tìm GTLN c a hàm m t bi n, t Xét hàm s
ó suy ra GTLN c a
.
trên n a kho ng
Ta có: B ng bi n thiên
T b ng bi n thiên suy ra: D u “=” B4 K t lu n
(1)
(1) x y ra khi
Giá tr l n nh t c a bi u th c Bài t p t
, . là
t khi
.
ng t 25
TTLT H Di u Hi n Tp C n Th Cho
là các s th c d
GTLN & GTNN c a bi u th c nhi u bi n
ng và th a mãn i u ki n
.
Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c
.
K t qu : Giá tr l n nh t c a bi u th c
Ví d 19. Cho
là các s th c d
là
t khi
ng và th a mãn
.
Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c
L i gi i B1 cl
ng bi u th c
.
v hàm m t bi n s .
Ta có:
t
thì
Vì Ta
nên
và
. Khi ó:
. Suy ra:
(ch ng minh k t qu n y)
c:
. D u “=” x y ra khi
B2 Tìm i u ki n ÚNG cho bi n Do
.
. Suy ra
B3 Tìm GTLN c a hàm m t bi n, t Xét hàm s Ta có:
ó suy ra GTLN c a
.
trên n a kho ng ;
B ng bi n thiên
26
TTLT H Di u Hi n Tp C n Th
GTLN & GTNN c a bi u th c nhi u bi n
T b ng bi n thiên suy ra: D u “=”
,
(1) x y ra khi
(1)
hay
.
B4 K t lu n Giá tr l n nh t c a bi u th c
là
.
t khi
Ví d 20. Cho
là ba s th c thu c o n [1;4] và x y , x z . x y z Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P . 2x 3 y z y z x L i gi i B1 cl
Bi n
ng bi u th c 1 3y 2 x
i: P
S d ng b t
Suy ra: P
t
v hàm m t bi n s . 1
1
z 1 y
x 1 z
ng th c ph :
1 3y 2 x
1 1
1
1
1 a
1 b
1 z y
. Do
x 1 z
1 3y 2 x
2 1
ab 2
1
x y
và x
y, x
v i a
0, b
z
0 và ab 1
. D u “=” x y ra khi
ho c
thì
B2 Tìm i u ki n ÚNG cho bi n . Do
và x
y, x
z
B3 Tìm GTLN c a hàm m t bi n, t ó suy ra GTLN c a t2 2 Xét hàm s f (t ) v i , ta có: 2 2t 3 1 t
.V y .
27
TTLT H Di u Hi n Tp C n Th
GTLN & GTNN c a bi u th c nhi u bi n
T b ng bi n thiên suy ra: D u “=” B4 K t lu n
,
(1) x y ra khi
.
Giá tr l n nh t c a bi u th c IV. CÁC BÀI TOÁN CÓ H Bài 1. Cho
(1)
là
.
t khi
NG D N GI I
là các s th c không âm và th a mãn i u ki n
.
Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c H
.
ng d n gi i
+ ánh giá Gi i thích:
+
t
v i
Gi i thích: + L p b ng bi n thiên c a
v i
+ K t qu : Giá tr l n nh t c a bi u th c
Bài 2. Cho
là các s th c d
Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c H
là
t khi
ng và th a mãn i u ki n
. .
ng d n gi i
+ ánh giá Gi i thích:
+
t
v i
Gi i thích: 28
TTLT H Di u Hi n Tp C n Th
GTLN & GTNN c a bi u th c nhi u bi n
+ L p b ng bi n thiên c a hàm s
v i
+ K t qu : Giá tr nh nh t c a bi u th c
Bài 3. Cho
là các s th c d
là
t khi
ng và th a mãn i u ki n
.
Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c
H
.
ng d n gi i
+ ánh giá Gi i thích: S d ng b t +
t
ng th c Cauchy.
v i
Gi i thích: + L p b ng bi n thiên c a hàm s
v i
+ K t qu : Giá tr nh nh t c a bi u th c Bài 4. Cho
là các s th c d
là
t khi
ng. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c .
H
ng d n gi i
+ ánh giá Gi i thích: S d ng b t + t v i
ng th c Cauchy d ng c ng m u.
+ L p b ng bi n thiên c a hàm s + K t qu : Giá tr nh nh t c a bi u th c Bài 5. Cho
v i là
.
là các s th c không âm và th a mãn i u ki n
Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c
.
. 29
TTLT H Di u Hi n Tp C n Th H
GTLN & GTNN c a bi u th c nhi u bi n
ng d n gi i
+ ánh giá Gi i thích: (V trái là tam th c b c hai theo bi n )
+
t
v i
+ L p b ng bi n thiên c a hàm s + K t qu : Giá tr l n nh t c a bi u th c
Bài 6. Cho
v i là
t khi
là các s th c không âm và th a mãn i u ki n
.
Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c
H
.
ng d n gi i
+ Bi n
i
ánh giá +
t
v i
+ L p b ng bi n thiên c a hàm s + K t qu : Giá tr nh nh t c a bi u th c
v i là
t khi
30
TTLT H Di u Hi n Tp C n Th Bài 7. Cho c a bi u th c
GTLN & GTNN c a bi u th c nhi u bi n
là các s th c th a mãn i u ki n
và
. Tìm giá tr l n nh t
. H
ng d n gi i
+ Bi n
i
v i
Gi i thích: + L p b ng bi n thiên c a hàm s
+ K t qu : Giá tr l n nh t c a bi u th c
v i
là
t khi
31
TTLT H Di u Hi n Tp C n Th
“TH
GTLN & GTNN c a bi u th c nhi u bi n
S C V I GTLN & GTNN” (Th i gian làm 1 bài là 60 phút)
Bài 1 (1 i m). Cho các s th c d P
Bài 2 (1 i m). Cho các s th c d Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:
ng a, b, c. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: 1 2 . 2 2 2 a b c 1 (a 1)(b 1)(c 1) ng a, b, c th a mãn : 9 a 4 b 4 c 4 P
a2 b 2c
Bài 3 (1 i m). Cho a, b, c là các s th c không a b c
b2 c 2a
25 a 2 b 2 c 2
48 0
c2 . a 2b
ng th i b ng 0 th a mãn:
2
2 a2 b2 c 2 a 3 b3 c 3 . a b c ab bc ca
Tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a bi u th c: P
Bài 4 (1 i m). Cho a, b, c là các s th c d ng . Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: 4 9 T 2 2 2 a 2c b 2c a b c 4 a b Bài 5 (1 i m). Cho ba s th c d
ng a, b, c . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: 24 3 P= . 13a + 12 ab + 16 bc a+b+c
Bài 6 (1 i m). Cho ba s th c a, b, c th a 0 a b c . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: 2a 2 b 2 c 2 a b c P 2 a b c. 2 2 2 2 (a b )(a c ) (a b)c Bài 7 (1 i m). Cho các s th c không âm a, b, c th a mãn c Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: Bài 8 (1 i m). Cho các s th c d
P
1 a
2
1 c
2
b
2
ng a, b, c th a mãn
c2
min a, b, c . a
b
c. .
Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:
32
TTLT H Di u Hi n Tp C n Th
GTLN & GTNN c a bi u th c nhi u bi n
ÁP ÁN Bài 1. Cho các s th c d
ng a, b, c. 1
Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c P a
2
b
2
2 c
2
(a 1)(b 1)(c 1)
1
.
áp án
Áp d ng B T Côsi ta có a2
b2
c2 1
1 ( a b) 2 2
1 (c 1) 2 2
1 (a b c 1) 2 , 4
3
a b c 3 (a 1)(b 1)(c 1) . 3 2 54 Suy ra P . a b c 1 (a b c 3) 3 2 54 t t a b c 1, t 1 . Khi ó ta có P t ( t 2) 3 2 54 Xét hàm f (t ) trên (1; ) . Ta có t (t 2) 3 t 2 54.3 f ' (t ) 0 9t (t 2) 2 2 4 t ( t 2) t Suy ra BBT t 1 4 f ' (t ) + 0 1 4 f (t )
0,5 .
1 ; f ' (t ) 4
0
1 . D u ng th c x y ra khi và ch khi t 4 1 V y giá tr l n nh t c a P là , t c khi a b c 1 . 4
D a vào BBT suy ra P
1 t
4.
0,5
4
a
b
c 1.
33
TTLT H Di u Hi n Tp C n Th
GTLN & GTNN c a bi u th c nhi u bi n
ng a, b, c th a mãn : 9 a 4 b 4 c 4
Bài 2. Cho các s th c d
Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:
a2 b 2c
P
b2 c 2a
25 a 2 b 2 c 2
48 0 (*)
c2 . a 2b
áp án 25 a 2 b 2 c 2
Ta có: (*)
1 2 a b2 c2 , t 3
a 4 b4 c 4
25 a 2 b 2 c 2 Áp d ng b t
48 9 a 4 b 4 c 4 k t h p v i
2
48 3 a 2 b 2 c 2
T
ó P
a2 b 2c a 2b c 2 9
c2 a
a
b
2 2 a 3
b2
c2
3 a 2 b2 c 2
tt
1 3 t 27
Cho nên P Xét hàm s t
3; 4 min f t t 3;4
16 3 2 b 2c a 2a 2 9 3 2 2c . 3
3 a 2 b2 c2
ng th c AM-GM ta có:
c 2a b 2 2b 2 c2 , 9 3 a 2b 2 2 1 2 Khi ó P a b2 c2 a b 3 9 a3 a3 c3 c3 Mà a 2 c c 2 b b 2 a 3 2 2 Suy ra : a b 2c b c 2a c 2 c 2b
c a2
2 2 t 9
b2
1 2 a 9 3 t
b2
2c
b2 c
c2 a
2a
c2 c2
a2
b2
3 a2
c2
32 9
2b
b2
3 a2
b2
0.25 b2a
c2
c2 0.25
4.
f t ,t
3; 4
1 3 2 2 t2 t t , t 3; 4 f t 27 9 9 f t liên t c và ng bi n trên o n 3; 4 2
0.25
c 3 b3 b3 b3 c3 a3 b3 c3 3 3 3 a 2b a a 2b a 2 c b3 b 2c
33 1 27
min P
min f t
t 4 t 9
4t 9
f t
f 3
0.25
ó suy ra:
b2 c 2a
c3
ng th c
1
a
b
0
c 1
t 3;4
34
TTLT H Di u Hi n Tp C n Th
GTLN & GTNN c a bi u th c nhi u bi n
Bài 3. Cho a, b, c là các s th c không
ng th i b ng 0 th a mãn:
a b c
2
2 a2 b2 c 2 a 3 b3 c 3 . a b c ab bc ca
Tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a bi u th c: P
áp án Vì ab bc ca
1 2
a b c
4 a 3 b 3 c3
Do ó P a b c
t x
4a , y a b c
3
2
1 16
a2
b2
c2 3
4a a b c
4b , z a b c
8 Vì y z 4 yz nên 0 x 3 1 3 1 Ta có P x y3 z 3 x3 16 16
gt
ab bc ca
4b a b c
3
1 a b c 4
4c a b c
x y z 4 4c thì a b c xy yz zx 4
2
0.25
3
y
z
yz
4 x x
2
4x 4
0.25
2
Xét hàm s
f x
Trên o n 0;
y
z
3
3x 3 12 x 2 12 x 16 v i x
8 ta tìm 3
c min f x
V y min P 1 ch ng h n a 0, b c
3 yz y 0;
z
1 3x3 12 x 2 12 x 16 16
8 3
16 , max f x
176 9
11 0 . max P , b 2a , c 9
0.25
0.25 4c , a 0 .
35
TTLT H Di u Hi n Tp C n Th
GTLN & GTNN c a bi u th c nhi u bi n
Bài 4. Cho a, b, c là các s th c d
ng . 4
Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c T a
2
b
9
2
c
2
4
a b
.
a 2c b 2c
áp án Áp d ng b t a2 b2 a b
ng th c Côsi ta có 1 1 1 2 2 2 c2 4 a b c 2 a b c 2 2 2 4 1 1 a 2c b 2c a b a b 4c 3a 3b a b 4c 2 6
2 a b c 3 Suy ra T
2
8
f t
27
a b c 2
t a b c t,t Xét hàm s
0.25
t 2 27 t3
8 t 2
2
t 2
27 , t 2.t 2 f t
0.25
8
0 . Khi ó T 8
f t
.
2
2 a b c
27 2.t 2
0 ta có
0
t 6 8t
2
21t 18
0
t
6, f 6
5 8
0.25
B ng bi n thiên t
0
f t
6 0
+
5 8
f t
0.25
Theo b ng bi n thiên ta th y T V y giá tr l n nh t c a T b ng
f t
5 . D u b ng x y ra khi a 8
5 khi a 8
b
c
b
c
2
2
36
TTLT H Di u Hi n Tp C n Th
Bài 5. Cho ba s th c d
GTLN & GTNN c a bi u th c nhi u bi n
ng a, b, c .
Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P =
24 13a + 12 ab + 16 bc
3
-
.
a+b+c
áp án Áp d ng b t
ng th c Côsi ta có
13a 12 ab 16 bc 13a 6 a.4b 8 b.4c 13a 6. 16 bc
13a 12 ab Suy ra P
t t
a
b
3
b
c
c, t
2t
f' t
0
3
b 4c
16(a b c)
2
4b 16c .
a
c
0.25 3
3
2t
t
trên kho ng (0;
t 3
3
2t t
2t
2
0
t
) , ta có f ' t 1 ; lim f (t) x
0
3
3
2t t
2t
2
.
; lim f (t) x
0
BBT.
V y ta có P
0.25
.
b
0 . Khi ó ta có: P 3
Xét hàm s f t
a
8.
2
16(a b c) . D u “ = ” x y ra
3 2 a
a 4b
0.25
3 2
,
ng th c x y ra
V y giá tr nh nh t c a P là
a
b c 1
a
4b 16c
3 khi và ch khi a, b, c 2
a
16 ;b 21
4 ;c 21
16 4 1 . , , 21 21 21
1 . 21 0.25
37
TTLT H Di u Hi n Tp C n Th
GTLN & GTNN c a bi u th c nhi u bi n
Bài 6. Cho ba s th c a, b, c th a 0 a b c . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: 2a 2 b 2 c 2 a b c P 2 a b c. 2 2 2 2 (a b )(a c ) (a b)c áp án Ta có: P
2a 2 b 2 c 2 (a 2 b2 )(a 2 c 2 )
a b c 2 a b c ( a b )c
Vì 0 a b c nên: a 2 b 2 T
ng t : a
Nên: P
2
c 1
a b 2
1
a c 2
b
a
2
1 c
2
a b
1 2 a b c c
2
, d u b ng x y ra khi a
, d u b ng x y ra khi a
1 2
a
1 2
0.
2
a c 2
2
a b 2
ab b 2
1 2
2
a b
0.
1 2 a b c , d u b ng x y ra khi a c
0
0,25
Áp d ng các b t ng th c: v i x 0, y 0 ta có: 1 1 8 d u b ng x y ra khi x y . (ph i ch ng minh) 2 2 x y ( x y)2 1 1 4 d u b ng x y ra khi x y . x y x y Ta có: P
8 a b c
2
4 2 a b c a b c
0,25
tt
a b c v i t 0. 32 8 2t 5 8t 2 32 8 4 Xét hàm s f (t ) 4 2 2t v i t 0 . Ta có: f '(t ) 2 t t t5 t3 t5 f '(t ) 0 2t 5 8t 2 32 0 2(t 2)(t 4 2t 2 4t 8) 0 t 2 B ng bi n thiên: t 0 2 _ f’(t) 0 +
0,25
f(t) 11 2
t a b c 11 Suy ra P , d u b ng x y ra khi: a 0, b c 2 a b c V y giá tr nh nh t c a P là
2
0,25 a 0 b c 2
11 . 2 38
TTLT H Di u Hi n Tp C n Th
GTLN & GTNN c a bi u th c nhi u bi n
Bài 7. Cho các s th c không âm a, b, c th a mãn c 1
P
a
2
min a, b, c . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c 1
c
2
b
2
a
c2
b
c.
áp án a2
Ta có:
c2
a2
ac
a2
ac
c2 4
c 2
a
2
0.25
2
c 2 Do ó ta có theo b t ng th c Cô-si thì 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 a c b c c c a a b 2 2 V y nên ta có 8 P a b c 2 a b c T
b2
ng t ta có
tt
a
c2
b
c v it 0 8 Xét hàm s f (t ) t trên (0; ) . Ta có: t4 32 t 5 32 f '(t ) 1 5 0 t t t5 B ng bi n thiên t f' t
0.25 8 b
c
2
0.25
b
0
2.
2 0
f t 5 2 D a vào BBT suy ra min f t 0; khi và ch khi t
f 2
5 . Do ó P 2 0
2 và c 5 V y giá tr nh nh t c a P là , t c khi a 2 2
a
b
b
5 .D u 2 2 và c
ng th c x y ra
0.25
0
39
TTLT H Di u Hi n Tp C n Th
Bài 8. Cho các s th c d
GTLN & GTNN c a bi u th c nhi u bi n
ng a, b, c th a mãn
. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c
áp án 0.25
Ta có . Do ó t Vì
0.25
. và
nên
Suy ra M t khác Suy ra
.V y 0,25
Xét hàm s
,
BBT 1 0
+
0,25 Suy ra
v i
.V y
thì
v im i
th a i u ki n
bài. H n n a,
và
V y -----------------------H t----------------------
40