Issuu

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN

vectorstock.com/28062405

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection DẠY KÈM QUY NHƠN EBOOK PHÁT TRIỂN NỘI DUNG

SÁNG KIẾN HÌNH HỌC HÓA BÀI TOÁN SỐ PHỨC LĨNH VỰC ÁP DỤNG TOÁN HỌC TRƯỜNG THPT YÊN KHÁNH A WORD VERSION | 2021 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM

Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN Kính gửi: - Trường THPT Yên Khánh A; - Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Ninh Bình. Tôi (hoặc chúng tôi) ghi tên dưới đây: STT

Họ và tên

Tỷ lệ (%) đóng Ngày tháng Chức Trình độ Nơi công tác góp vào việc tạo năm sinh vụ chuyên môn ra sáng kiến

1. Nguyễn Hương Thơm

25/10/1979

THPT. YKA

Cử nhân

40%

2. Trịnh Đình Ngọc

29/11/1981

THPT.YKA

Cử nhân

30%

3. Đinh Thị Minh Tân

14/2/1980

THPT.YKA

Cử nhân

30%

1. TÊN SÁNG KIẾN, LĨNH VỰC ÁP DỤNG Tên sáng kiến: “Hình học hóa bài toán số phức” Lĩnh vực áp dụng:Toán học. 2. NỘI DUNG a. Giải pháp cũ thường làm. Trước đây khi chưa có hình thức thi trắc nghiệm dạy chuyên đề số phức, chúng tôi thường dạy như sau: Dạy theo từng bài. Ứng với mỗi bài, chúng tôi cho bài tập áp dụng đơn giản, chỉ đảm bảo kiến thức trong Sách giáo khoa không mở rộng, nâng cao. Vì thế mà chúng tôi thấy rằng phương pháp đó có những hạn chế là: 1. Chưa khắc sâu được khái niệm nên học sinh hay nhầm lẫn giữa tập hợp số thực và tập hợp số phức. 2. Vì hệ thống bài tập dễ nên học sinh chủ quan, không chịu rèn luyện kĩ năng nên tính toán hay sai. Học sinh cảm thấy bài tập đơn điệu, nhàm chán, không đáp ứng được nhu cầu học của học sinh khá, giỏi. 3. Học sinh không thấy được mối liên hệ với các bài toán ở lớp dưới, không biết qui lạ về quen, không được củng cố, ôn tập một số dạng toán cơ bản ở lớp 10. 4. Học sinh không biết xây dựng hệ thống bài tập từ một bài tập đã cho. b. Giải pháp mới cải tiến. Với giai đoạn hiện nay thi trắc nghiệm đòi hỏi học sinh phản xạ nhạnh với các kiểu câu hỏi và bài tập, làm bài trong thời gian ngắn nhất nhưng hiệu quả nhất chế trên, chúng tôi đã cải tiến phương pháp dạy chuyên đề số phức thông qua các giải pháp như sau: 1) Cung cấp lí thuyết về số phức: Khái niệm số phức, phần thực, phần ảo của số phức, hai số phức bằng nhau, số phức liên hợp, biểu diễn hình học của số phức và môđun của số phức, các phép toán cộng, trừ, nhân, chia trên tập số phức, căn bặc hai của số thực âm, căn bậc hai của số phức, giải phương trình bậc hai với hệ số thực, hệ số phức trên tập hợp số phức. 2) Chia thành nhiều dạng bài tập, có những bài tập nâng cao. Ứng với mỗi dạng bài tập, chúng tôi hướng dẫn học sinh phương pháp giải, bài tập minh họa và cho bài tập tự luyện. 3) Dạy học sinh sử dụng MTCT 4) Cung cấp cho học sinh những công thức giải nhanh và các thủ thuật tính toán 5) Hướng dẫn cách sáng tạo ra bài tập mới. * Với đề tài này chúng tôi tập trung vào mảng kiến thức biểu diễn hình học của số phức và cực trị số phức chúng tôi đã tiến hành 1) Cung cấp những dạng biểu diễn hình học cơ bản của số phức, cực trị cơ bản

2) Chia thành nhiều dạng bài tập, có những bài tập nâng cao. Ứng với mỗi dạng bài tập, chúng tôi hướng dẫn học sinh phương pháp giải tự luận, trắc nghiệm, đặc biệt chúng tôi mô tả đưa ra góc nhìn mới cho học sinh dưới dạng quy về bài toán hình học, bài tập minh họa và cho bài tập tự luyện. 3) Dạy học sinh sử dụng MTCT 4) Cung cấp cho học sinh những công thức giải nhanh và các thủ thuật tính toán 5) Hướng dẫn cách sáng tạo ra bài tập mới. Ưu điểm của giải pháp mới: 1. Học sinh được củng cố, khắc sâu kiến thức cũ. 2. Ứng với mỗi dạng bài tập, học sinh đều được tiếp cận với các khái niệm liên quan đến số phức, và các phép toán trên tập hợp số phức các em có góc nhìn mới về số phức tạo được sự hứng thú say mê trong học tập. Qua các dạng bài, các em thấy được mối liên hệ của bài toán số phức hình học giải tích trong mặt phẳng đã được học ở lớp 10. Rèn luyện cho học sinh tư duy tổng hợp. 3. Cách sáng tạo ra bài toán mới, giúp học sinh biết qui lạ về quen. Học sinh không còn bỡ ngỡ khi giải các bài toán khó về số phức. Học sinh còn cảm thấy hứng thú vì mình có thể tự ra được bài tập. Khi các em tự ra được các đề toán các em sẽ nắm vấn đề của bài toán tốt hơn và nhanh chóng đưa ra được lời giải. 4. Hướng dẫn sử dụng MTCT giúp các em xử lí bài toán nhanh chóng chính xác hơn 5. Hệ thống các công thức giải nhanh giúp các em áp dụng trực tiếp không mất nhiều thời gian giải tự luận , rút ngắn thời gian làm bài 6. Hệ thống bài tập tự luyện sẽ giúp học sinh biết phân tích, đánh giá để lựa chọn phương pháp giải thích hợp nhất cho từng bài. Rèn luyện cho học sinh kĩ năng vận dụng linh hoạt, sáng tạo. 3. HIỆU QUẢ KINH TẾ VÀ XÃ HỘI DỰ KIẾN ĐẠT ĐƯỢC a. Hiệu quả kinh tế Với sự nhiệt tình trong giảng dạy và hướng dẫn học sinh tự học, tự tìm tòi, cùng với sự hỗ trợ của mạng internet đem lại hiệu quả rất lớn cho cả người dạy lẫn người học. Mỗi học sinh không phải mất hàng triệu đồng thậm chí hàng chục triệu đồng để đi học thêm ở các trung tâm luyện thi mà các em vẫn nắm được kiến thức một cách sâu sắc và vận dụng một cách sáng tạo vào cuộc sống. Những phẩm chất và những trải nghiệm mà các em học sinh lĩnh hội được sau bài học giúp các em có thêm hiểu biết, tránh xa được các tai tệ nạn xã hội như nạn số đề, thậm chí các em còn có thể giải thích cho những bạn đã và đang có ý định chơi số đề làm giàu từ số đề từ bỏ ý định, tu chí học hành, xây dựng tương lai. Từ đó giúp cho gia đình và xã hội tránh được một khoản tiền rất lớn do nạn số đề gây ra. Ngoài ra những phẩm chất đó còn giúp cho các em khi trưởng thành sẽ trở thành những công dân có ích cho đất nước, những chính trị gia, những nhà khoa học, những nhà kinh tế…… phục vụ tổ quốc, làm giàu cho quê hương đất nước. b. Hiệu quả xã hội Dạy học theo hướng đổi mới ở trên không chỉ giúp học sinh phát triển tư duy, phát triển khả năng tự học, tự giác tích cực trong học tập mà còn giúp cho các em hình thành các năng lực, phẩm chất cao quý, cần thiết cho xã hội hiện đại, xã hội của công nghệ thông tin, của số hóa, của liên kết và hợp tác toàn cầu, cần thiết cho hội nhập và phát triển.

Ngoài ra giúp học sinh hứng thú học tập, lôi cuốn vào các hoạt động học, tạo ra môi trường học tập lành mạnh, bạn học, tôi học từ đó các em không còn thời gian mà sa vào các tai tệ nạn xã hội, tạo môi trường sống tốt đẹp hơn. Các em biết yêu thương, quý trọng bản thân, cha mẹ, ông bà, yêu thương gia đình, quê hương đát nước, sống có ý nghĩa, sống có trách nhiệm. 4. ĐIỀU KIỆN VÀ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG Đề tài được áp dụng khi học sinh nắm tương đối tốt các bài toán đếm. Đề tài có tính khả thi cao, có thể thực hiện ở nhiều trường THPT trong toàn tỉnh cũng như trong cả nước. Đề tài cũng đã được chúng tôi áp dụng trong giảng dạy, kết quả cho thấy số lượng điểm khá giỏi tăng lên, học sinh hào hứng, tích cực trong học tập. Từ đó càng tạo điều kiện cho chúng tôi thêm hăng say nghiên cứu, tìm tòi, đổi mới các phương pháp dạy học, vận dụng các kĩ thuật dạy học tích cực vào trong giảng dạy. - Danh sách những người đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có): Ngày tháng Chức Trình độ Nội dung công việc hỗ Nơi công tác TT Họ và tên năm sinh danh chuyên môn trợ 1. Nguyễn Hương 25/10/1979 Yên khánh A GV Cử nhân Âp dụng giảng dạy thử Thơm lớp 12B 3. Trịnh Đình Ngọc 29/11/1981 Yên khánh A GV Cử nhân Âp dụng giảng dạy thử lớp 12K 4. Đinh Thị Minh Tân 14/2/1980 Yên khánh A GV Cử nhân Âp dụng giảng dạy thử lớp 12N Tôi (chúng tôi) xin cam đoan mọi thông tin nêu trong đơn là trung thực, đúng sự thật và hoàn toàn chịu trách nhiệm trước pháp luật. XÁC NHẬN CỦA LÃNH ĐẠO Yên Khánh, ngày 08 tháng 05 năm 2018 ĐƠN VỊ CƠ SỞ Người nộp đơn Nguyễn Hương Thơm Trịnh Đình Ngọc Đinh Thị Minh Tân

PHỤ LỤC 1 I CHUYÊN ĐỀ 1: BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC. Dạng 1. Tìm tọa độ điểm M (biểu diễn M trên mặt phẳng tọa độ). A. Phương pháp Từ z = x + yi ( x, y ∈ R ) ⇒ M ( x; y ) biểu diễn cho số phức z trong mặt phẳng toạ độ. B. Bài tập minh họa. Đầu tiên tôi cho học sinh làm các bài tập trắc nghiệm sau nhằm củng cố lại lý thuyết: Câu 1:

Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z = a + bi a, b ∈ ℝ trong mặt phẳng tọa độ.

(

)

mệnh đề nào sau đây đúng? A. OM = z .

B. OM =

C. OM = a − b .

D. OM = a 2 − b 2 .

a2 − b2 .

Câu 2: Gọi M , N lần lượt là hai điểm biểu diễn số phức z1 , z2 trong mặt phẳng tọa độ. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. z1 − z2 = OM + ON .

B. z1 − z2 = MN .

C. z1 − z2 = OM + MN .

D. z1 − z2 = OM − MN .

Câu 3: Cho số phức z = 1 − 2i . Điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức w = iz trên mặt phẳng tọa độ ? A. Q (1; 2). B. N (2;1). C. M (1; −2). D. P ( −2;1). Hướng dẫn giải: w = iz = i (1 − 2i ) = 2 + i ⇒ điểm biểu diễn số phức z có tọa độ ( 2;1) Hướng dẫn casio: w 2 U(1p2U)=2+U ⇒ N (2;1). Câu 4: Số phức z thỏa mãn z = 4 − 3i 1 + i . Hỏi điểm biểu diễn của số phức z là điểm nào

(

)(

)

trong các điểm M, N, P, Q sau? A. M ( 7;1) .

B. N ( 7; −1) .

C. P (1;7 ) .

D. Q ( −1;7 ) .

Hướng dẫn giải:

z = ( 4 − 3i )(1 + i ) = 7 + i ⇒ z = 7 − i w 2 conjg ( 4 − 3i )(1 + i )  = 7 − i → N ( 7; −1) Câu 5: Số phức z thỏa mãn (2 − i ) z = 7 − i. Hỏi điểm biểu diễn của z là điểm nào trong các điểm M, N, P, Q ở hình dưới ? A. Điểm P.

B. Điểm Q.

C. Điểm M. Hướng dẫn giải: (2 − i ) z = 7 − i ⇒ z =

D. Điểm N. 7−i = 3+i 2−i

Do đó ta chọn đáp án C

Câu 6: Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z . Tìm phần thực và phần ảo của số phức z ? y 3

A. Phần thực là −4 và phần ảo là 3 . B. Phần thực là 3 và phần ảo là −4i . C. Phần thực là 3 và phần ảo là −4 . D. Phần thực là −4 và phần ảo là 3i . Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C Câu 7:

−4

(đề minh họa của bộ GD –ĐT lần 2 năm 2017) Kí hiệu z0 là nghiệm phức có phần

ảo dương của phương trình 4 z 2 − 16 z + 17 = 0 . Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức w = iz0 ? 1  A. M  ; 2  . 2  Hướng dẫn giải:

 1  B. M  − ; 2   2 

 1  C. M  − ;1 .  4 

1  D. M  ;1 4 

1 1 w 534=16=17=== được hai nghiệm z1 = 2 + i; z 2 = 2 − i 2 2

⇒ z0 = z1  1  U(2+1a2$U)=p1a2$+2U → M  − ; 2   2 

Dạng 2. Tìm tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z thoả mãn điều kiện cho trước. Tìm số phức z có hình biểu diễn cho trước. A. Phương pháp • Tìm tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z thoả mãn điều kiện cho trước Gọi z = x + yi ( x, y ∈ R ) ⇒ M ( x; y ) biểu diễn cho số phức z trong mặt phẳng toạ độ. Dựa vào dữ kiện bài toán, thiết lập mối liên hệ giữa x và y Dựa vào mối liên hệ đó, để kết luận tập hợp điểm trong mặt phẳng biểu diễn cho số phức z. • Tìm số phức z có hình biểu diễn cho trước. Tìm toạ độ điểm M (phụ thuộc tham số) biểu diễn cho số phức z trên mặt phẳng toạ độ.

Cho M thuộc và hình biểu diễn của z , ta tìm được giá trị của tham số. Kết luận số phức z cần tìm. B. Bài tập minh họa Dạng 2.1. Tập hợp điểm biểu diễn của số phức là đường tròn. Bài toán 1: Trên mặt phẳng toạ độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện sau: a) z = 1 b) z + 4i − 3 = 2 c) z + 1 − i = −3.z + 2 + 3i d) (1 + i ) z + 1 − 7i = 2

Lời giải: Gọi z = x + yi ( x, y ∈ R ) ⇒ M ( x; y ) biểu diễn cho số phức z trong mặt phẳng toạ độ. a) Ta có z = 1 ⇔

x2 + y 2 = 1 ⇔ x2 + y 2 = 1

Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O ( 0;0 ) và bán kính R = 1 .

Giáo viên hướng dẫn khai thác: Sau khi học sinh hoàn thiện bài tập này, chúng tôi thay đổi giả thiết và hướng dẫn các em cách làm tương ứng.

a1 ) z ≤ 1 ⇔ x 2 + y 2 ≤ 1 . Vậy tập hợp các điểm M là hình tròn tâm O, bán kính R = 1 .

a2 ) z < 1 ⇔ x 2 + y 2 < 1 . Vậy tập hợp các điểm M là miền trong hình tròn tâm O, bán kính R = 1.

a3 ) z ≥ 1 ⇔ x 2 + y 2 ≥ 1 .Vậy tập hợp các điểm M là những điểm không thuộc miền trong hình tròn tâm O, bán kính R = 1 .

a4 ) z > 1 ⇔ x 2 + y 2 > 1 . Vậy tập hợp các điểm M là miền ngoài hình tròn tâm O, bán kính R = 1.

a5 ) 1 < z ≤ 2 ⇔ 1 < x 2 + y 2 ≤ 4 . Tập hợp những điểm M là những điểm nằm ngoài hình tròn tâm O ( 0;0 ) và bán kính R = 1 đồng thời nằm trong hình tròn tâm O ( 0;0 ) và bán kính

R = 2. Từ đó học sinh có thể tự trình bày lời giải cho bài tập:

b) z + 4i − 3 = 2 ⇔ ( x − 3) + ( y + 4 ) = 4 Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I ( 3; −4 ) và bán kính R = 2 Ngoài ra còn có thể giàng buộc thêm điều kiện ( ví dụ phần thực không âm…) c)

z + 1 − i = −3.z + 2 + 3i ⇔ x + 1 + ( y − 1) i = −3x + 2 + ( 3 y + 3) i 2

⇔ ( x + 1) + ( y − 1) = ( −3 x + 2 ) + ( 3 y + 3)

⇔ 8 x 2 + 8 y 2 − 14 x + 20 y + 11 = 0 7 5 11 ⇔ x2 + y2 − x + y + = 0 4 2 8

7 8

5 4

Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I  ; −  và bán kính R = 2

61 8

d) Ta có (1 + i ) z + 1 − 7i = 2 ⇔ z − 3 − 4i = 1 ⇔ ( x − 3) + ( y − 4 ) = 1

Tập hợp M là đường tròn(C) tâm I ( 3; −4 ) và bán kính R = 1 Tôi đưa ra dạng tổng quát của quỹ tích điểm biểu diễn là đường tròn:

Tổng quát 1: Tập hợp các điểm M biểu diễn cho số phức z thỏa mãn:

•

z − ( a + bi ) = R với R > 0 : Là đường tròn tâm I ( a; b ) , bán kính R

•

z − ( a + bi ) ≤ R với R > 0 : Là miền trong của hình tròn tâm I ( a; b ) , bán kính R

•

z − ( a + bi ) < R với R > 0 : Là hình tròn tâm I ( a; b ) , bán kính R . Mở rộng ta chứng minh cho học sinh thấy rằng tập hợp các điểm M biểu diễn cho số phức z thỏa mãn:

z1.z + z2 = c (với c > 0 ) thì quỹ tích các điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn.

 mz + a + bi = m ' z + a '+ b ' i  2)  m.z + a + bi = m '.z + a '+ b ' i (với m ≠ m ', m ≠ − m ' ) thì quỹ tích các điểm biểu diễn số   m.z + a + bi = m '.z + a '+ b ' i  phức z là một đường tròn. Ngược lại nếu cho tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thuộc đường tròn có phương trình cho trước ta có tìm được số phức z hay không. Tôi cho học sinh làm bài 2.

Bài toán 2. Số phức z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) Hỏi a , b thỏa mãn điều kiện gì để :

a) Có tập hợp các điểm biểu diễn của nó trên mặt phẳng tọa độ là

đường tròn tâm I ( 0;1) bán kính R = 2 . b) Biết tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là phần tô đậm ở hình bên (không kể biên).

Lời giải: 2

a) Đường tròn ( C ) tâm I ( 0;1) bán kính R = 2 có phương trình: x 2 + ( y − 1) = 4 2

M ( a; b ) biểu diến số phức z thuộc đường tròn ( C ) nên a 2 + ( b − 1) = 4 b) tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z nằm giữa hai đường tròn nên tọa độ thỏa mãn: 1 < a2 + b2 < 2

Giáo viên hướng dẫn khai thác: Sau khi học sinh hoàn thiện bài tập này, chúng tôi hương dẫn học sinh viết hệ điều kiện tương đương 2

a 2 + ( b − 1) = 4 ⇔ z − i = 2

1 < a 2 + b2 < 2 ⇔ 1 < z < 2

Sau đó tôi đưa ra một số bài tập trắc nghiệm theo chiều xuôi (tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn), chiều ngược (cho tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z , tìm điều kiện mà z thỏa mãn) được xây dựng từ bài 1b. Cho học sinh làm các câu hỏi trắc nghiệm như sau:

Câu 1:

Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + 4i − 3 = 2 . Tập hợp các điểm M biểu diễn số

phức z là đường tròn:

A. Tâm I ( 3; −4 ) , bán kính R = 2 .

B. Tâm I ( 3;4 ) , bán kính R = 2

C. Tâm I ( −3;4 ) , bán kính R = 2 .

D. Tâm I ( 3; −4 ) , bán kính R = 4 .

Câu 2:

Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + 4i − 3 ≤ 2 . Biết tập hợp các điểm biểu diễn số

phức z là hình tròn, tính diện tích hình tròn đó? A. S = 4π . B. S = 8π C. S = 2π . D. S = 16π . Hướng dẫn giải: Như câu 1. Ta tìm được bán kính đường tròn là R = 2 ⇒ S = π .R 2 = 4π Câu 3: Số phức z thỏa mãn điều kiện nào thì có tập hợp các điểm biểu diễn của nó trên mặt phẳng tọa độ là đường tròn tâm I ( 3; −4 ) , bán kính R = 2 .

A. z + 4i − 3 = 2 .

B. z + 4i − 3 = 4

C. z + 3 + 4i = 2 .

D. z + 3 − 4i = 2 .

Câu 4: Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z , biết tập hợp các điểm M là phần tô đậm ở hình bên (không kể biên). Mệnh đề nào sau đây đúng? A. z + 4i − 3 = 2 . B. z + 4i − 3 < 2 . C. z + 4i − 3 ≤ 2 . D. z + 3 − 4i < 2 . Các bài toán trên là các bài toán không khó đối với học sinh khá, giỏi; nhưng với học sinh trung bình và yếu thì nếu biến đổi theo kiểu tự luận một cách nhanh và chính xác cũng mất vài ba phút, chưa kể nhầm lẫn. Bằng cách sử dụng máy tính cầm tay, thì kể cả các học sinh yếu kém cũng có thể giải quyết bài toán trong vòng dưới 20 giây. Tôi hướng dẫn học sinh dùng máy tính casio để làm bài 1c

Bài 1c. Trên mặt phẳng toạ độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện sau: c) z + 1 − i = −3.z + 2 + 3i

Cách 1. Giải tự luận. Cách 2. Sử dụng máy tính cầm tay: Dự đoán quỹ tích điểm M là đường tròn có dạng x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 . Ta tìm a , b, c như sau: Chuyển môi trường tính toán sang hệ số phức: w 2

( X +1− i r [1= −

r [U=

− −3co njg ( X ) + 2 + 3i

) : (1 − ( −3) ) − X 2

r [0=

11 11 →c= 8 8

7 7 →a=− 4 4

5 5 →b= 2 2

vậy quỹ tích điểm M là đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 −

7 5 11 x+ y+ = 0 4 2 8

Dạng 2.2. Tập hợp điểm biểu diễn của số phức là đường thẳng. Bài toán 1. Trên mặt phẳng toạ độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện sau: a) z 2 là số ảo.

z+i là số thực. z +i

c) z − 2 − 4i = z − 2i

3z + 1 − i =1 −3 z + 2 + 3i

Lời giải: Gọi z = x + yi ( x, y ∈ R ) ⇒ M ( x; y ) biểu diễn cho số phức z trong mặt phẳng toạ độ.

y = x  y = −x

a) Ta có z 2 = x 2 − y 2 + 2 xyi nên z 2 là số ảo ⇔ x 2 − y 2 = 0 ⇔  Tập hợp M là hai đường phân giác y = x và y = − x

z + i x 2 − ( y − 1) 2 2 xy b) Ta có = 2 + 2 i 2 z − i x + ( y − 1) x + ( y − 1) 2

 x = 0  xy = 0 z+i  Nên là số thực ⇔  ⇔  y = 0 z +i  x + (1 − y )i ≠ 0 ( x; y ) ≠ (0;1)  Vậy tập hợp điểm M là hai trục toạ độ bỏ đi điểm M ( 0;1) c) Ta có

z − 2 − 4i = z − 2i

(*) ⇔ ( x − 2) + ( y − 4)i = x + ( y − 2)i

⇔ ( x − 2) 2 + (4 − y ) 2 = x 2 + ( y − 2) 2 ⇔ y = − x + 4 Tập hợp M là đường thẳng có phương trình y = − x + 4 d)

3z + 1 − i = 1 ⇔ 3 z + 1 − i = −3 z + 2 + 3i −3 z + 2 + 3i

⇔ ( 3 x + 1) + ( 3 y − 1) i = ( −3 x + 2 ) + ( 3 y + 3) i 2

⇔ ( 3 x + 1) + ( 3 y − 1) = ( −3 x + 2 ) + ( 3 y + 3)

⇔ 18 x − 24 y − 11 = 0 Sau khi học sinh làm xong bài 1c, d như trên tôi hướng dẫn học sinh làm theo cách 2: sử dụng hình học, cách sử dụng máy tính casio.

Cách 2. Phương pháp hình học c) z − 2 − 4i = z − 2i Gọi A, B lần lượt là hai điểm biểu diễn các số z1 = 2 + 4i, z2 = 2i . Khi đó A ( 2; 4 ) , B ( 0; 2 ) Ta có z − 2 − 4i = z − 2i ⇔ MA = MB . Vậy M nằm trên đường trung trực của tức là M nằm trên đường thẳng y = − x + 4 . Bài 1d cũng làm được theo phương pháp hình học nhưng khó hơn.

Cách 3. Sử dụng máy tính casio Dự đoán: quỹ tích các điểm là đường thẳng có dạng ax + by + c = 0 . Ta tìm a , b, c như sau: c) Chuyển sang hệ số phức: w 2 2

nhập máy: X − 2 − 4i − X − 2i 2

r0=16 → c = 16

X − 2 − 4i − X − 2i − 16 r1=p4 → a = −4

rU=p4 → b = −4 Vậy quỹ tích điểm M là đường thẳng: −4 x − 4 y + 16 = 0 ⇔ y = − x + 4 d) Chuyển sang hệ số phức: w 2 2

nhập máy: 3 X + 1 − i − −3conjg ( X ) + 2 + 3i 2

r0=p11 → c = −11

3 X + 1 − i − −3conjg ( X ) + 2 + 3i + 11 r1=18 → a = 18

rU=p24 → b = −24 Vậy quỹ tích điểm M là đường thẳng: 18 x − 24 y − 11 = 0

Để có được dự đoán trên tôi cho học sinh về nhà chứng minh các bài toán tổng quát sau: Tổng quát 2: Nếu số phức z thỏa mãn một trong các điều kiện sau:  mz + a + bi = m ' z + a '+ b ' i   mz + a + bi = m ' z + a '+ b ' i (với m = m ' ∨ m = − m ' )   mz + a + bi = m ' z + a '+ b ' i  Thì quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là một đường thẳng.

Bài toán 2. Cho số phức z = a + bi,(a, b ∈ R) . Hỏi a, b phải thoả mãn điều kiện gì để:

a) Điểm biểu diễn chúng nằm trong giải giữa 2 đường thẳng x = −2 và x = 2 ? b) Điểm biểu diễn chúng nằm trong giải giữa 2 đường thẳng y = −3 và y = 3 ? c) Điểm biểu diễn của số phức nằm trên đường phân giác thứ hai y = − x .

Lời giải: a) Để điểm biểu diễn chúng nằm trong giải giữa 2 đường thẳng x = −2 và x = 2 thì

−2 < a < 2 b) Để điểm biểu diễn chúng nằm trong giải giữa 2 đường thẳng y = −3 và y = 3 thì

−3 < b < 3 c) Để M (điểm biểu diễn số phức z ) nằm trên đường phân giác thứ hai y = − x thì

b = −a . Khi đó z = a − ai ( a ∈ ℝ ) Tôi đưa ra một số bài tập trắc nghiệm để củng cố:

Câu 1:

(THPT Lê Qúy Đôn, Vũng Tàu 2017) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện

z + 3 = 2i − z . Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường thẳng: 3 5 3 5 B. y = − x − . x− . 2 4 2 4 3 5 3 5 C. y = − x + . D. y = x + . 2 4 2 4 Hướng dẫn giải: Dự đoán : quỹ tích điểm M biểu diễn số phức z là đường thẳng dạng ax + by + c = 0 .

A. y =

Chuyển sạng môi trường số phức w 2 2

nhập máy: X + 3 − 2i − X 2

r0=5 → c = 5

X + 3 − 2i − X − 5 r1=6 → a = 6

rU=4 → b = 4 3 5 Vậy phương trình đường thẳng là: 6 x + 4 y + 5 = 0 ⇔ y = − x − 2 4

Câu 2:

(Sở GD-ĐT Bình Thuận) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + 2i = z + 1 . Tập hợp

các điểm M biểu diễn số phức z là đường thẳng: A. −2 x + 4 y + 3 = 0 .

B. 2 x + 4 y − 3 = 0

C. 2 x − 4 y + 3 = 0 .

D. 2 x + 4 y + 3 = 0 .

Hướng dẫn giải: Dự đoán : quỹ tích điểm M biểu diễn số phức z là đường thẳng dạng ax + by + c = 0 . Chuyển sạng môi trường số phức w 2

nhập máy: X + 2i − conjg ( X ) + 1 2

r0=3 → c = 3

X + 2i − conjg ( X ) + 1 − 3 r1=p2 → a = −2

rU=4 → b = 4 Vậy quỹ tích cần tìm là: −2 x + 4 y + 3 = 0

Câu 3: (THPT Mỹ Đức A, Hà Nội - 2017) Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z sao cho 1 là số thuần ảo. z−4 A. Đường thẳng y = 4 , bỏ đi điểm ( 0; 4 ) . B. Đường thẳng y = 4. C. Đường thẳng x = 4 bỏ đi điểm ( 4;0 ) .

D. Đường thẳng x = 4 .

Hướng dẫn giải: Đặt: z = x + yi ( x, y ∈ R ) → z có điểm biểu diễn trên mặt phẳng phức là M ( x; y ) .

( x − 4 ) − yi = x − 4 − 1 1 y i = = 2 2 2 2 2 z − 4 ( x − 4 ) + yi ( x − 4 ) + y ( x − 4) + y ( x − 4) + y2 x = 4 x−4 1  = 0 ⇔ x ≠ 4 là số thuần ảo khi 2 2 z−4 ( x − 4) + y y ≠ 0  Dạng 2.3. Tập hợp điểm biểu diễn của số phức là đường elip. Bài 1. Trên mặt phẳng toạ độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện sau:

z −i + z +i = 4 Lời giải: Đặt: z = x + yi ( x, y ∈ R ) → z có điểm biểu diễn trên mặt phẳng phức là M ( x; y ) .

z − i + z + i = 4 ⇔ x 2 + ( y − 1) 2 + x 2 + ( y + 1) 2 = 4 (*) Đặt F1 (0; −1) ; F2 (0;1)

(*) ⇔ MF1 + MF2 = 4 > F1F2 = 2 Suy ra tập hợp M là elíp (E) có 2 tiêu điểm là F1 , F2 . Gọi (E) có phương trình

x2 y 2 + 2 = 1 (0 < a < b; b 2 = a 2 + c 2 ) 2 a b

 MF1 + MF2 = 2a a = 2 ⇔ ⇒ b2 = a 2 + c2 = 5 F F = 2 c c = 1   1 2

Ta có 

Vậy (E) có phương trình

x2 y 2 + =1 4 5

Bài 2. Trên mặt phẳng toạ độ. Chứng minh rằng tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn 2 2 + iz + = 4 nằm trên một đường elip. điều kiện sau: iz + 1− i i −1 Lời giải: Đặt: z = x + yi ( x, y ∈ R ) → z có điểm biểu diễn trên mặt phẳng phức là M ( x; y ) .

iz +

2 2 + iz + = 4 ⇔ z +1 − i + z −1 + i = 4 ⇔ 1− i i −1

( x + 1) + ( y − 1)

( x − 1) + ( y + 1)

Đặt F1 ( −1;1) , F2 (1; −1) . Khi đó: MF1 + MF2 = 4 , F1 F2 = 2 2 < MF1 + MF2 Do đó tập hợp các điểm M nằm trên ( E ) nhận F1 , F2 làm hai tiêu điểm .

Để có thể nhận dạng được dễ dàng quỹ tích các điểm biểu diễn số phức z tôi cho học sinh về nhà chứng minh các bài toán tổng quát sau: Tổng quát 3: Cho số phức z thỏa mãn: z − ( a + bi ) + z − ( a '+ b ' i ) = 2a Với F1 ( a; b ) , F2 ( a ', b ') •

Nếu F1F2 = 2a thì quỹ tích là đoạn thẳng F1 F2

•

Nếu F1F2 < 2a thì quỹ tích là một elip nhận F1 , F2 là hai tiêu điểm với độ dài trục lớn là

•

2a . Đặc biệt: ∗

z + c + z − c = 2a ( c ∈ ℝ, 2c < 2a ) thì quỹ tích là một elip có phương trình chính x2 y 2 + = 1 b = a2 − c2 a 2 b2 z + ci + z − ci = 2a ( c ∈ ℝ, 2c < 2a ) thì quỹ tích là một elip có phương trình

(

tắc ∗

)

x2 y2 + 2 = 1 b = a2 − c2 2 b a Tôi đưa ra một số bài tập trắc nghiệm để củng cố:

(

Câu 1:

)

(Sở GD – ĐT Bình Phước)Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + 2 + z − 2 = 8 . Tập

hợp các điểm M biểu diễn số phức z là:

A. ( E ) :

x2 y 2 + = 1. 16 12 2

B. ( E ) : 2

x2 y 2 + = 1. 12 16 2

C. ( C ) : ( x + 2 ) + ( y − 2 ) = 64 .

D. ( C ) : ( x + 2 ) + ( y − 2 ) = 8 .

Hướng dẫn giải: Đặt: z = x + yi ( x, y ∈ R ) → z có điểm biểu diễn trên mặt phẳng phức là M ( x; y ) . 2

z + 2 + z − 2 = 8 ⇔ x2 + ( y + 2) + x 2 + ( y − 2) = 8

F1 ( −2;0 ) , F2 ( 2;0 ) ⇒ MF1 + MF2 = 8 Suy ra M nằm trên elip có 2a = 8 ⇔ a = 4, c = 2 ⇒ b 2 = 12 Vậy phương trình elip là: ( E ) :

x2 y 2 + =1 16 12

Làm trắc nghiệm: Nhận dạng được phương trình đường biểu diến quỹ tích điểm biểu diến số phức thỏa mãn z + 2 + z − 2 = 8 ⇒ loại C, D, B.

Câu 2: Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn: z − i + z + i = 4 là: A. Elip (E ) :

x 2 y2 + = 1. 4 3

C. Hình tròn tâm I(0;-1), bán kính R=4.

B. Elip (E ) :

x 2 y2 + =1 3 4

D. Elip (E ) :

x 2 y2 + = 4. 4 3

Hướng dẫn giải: Đặt: z = x + yi ( x, y ∈ R ) → z có điểm biểu diễn trên mặt phẳng phức là M ( x; y ) . 2

z − i + z + i = 4 ⇔ x 2 + ( y − 1) + x 2 + ( y + 1) = 4

F1 ( 0; −1) , F2 ( 0;1) ⇒ MF1 + MF2 = 4 Suy ra M nằm trên elip (nhận Oy làm trục lớn) có 2a = 4 ⇔ a = 2, c = 1 ⇒ b 2 = 4 − 1 = 3 x2 y 2 + =1 3 4 Câu 3: Biết số phức z có tập hợp các điểm biểu diễn trong mặt phẳng tọa độ là đường elip như hình vẽ. Số phức z thỏa mãn điều kiện nào sau đây:

Vậy phương trình elip là: ( E ) :

A. z − 3 + z + 3 = 4

B. z − 3 + z + 3 = 2 C. z − 3 + z + 3 = 4 . D. z − 3i + z + 3i = 4 . Hướng dẫn giải: Đặt: z = x + yi ( x, y ∈ R ) → z có điểm biểu diễn trên mặt phẳng phức là M ( x; y ) .

M ∈(E) :

x2 y2 + = 1( a > b > 0, a 2 = b 2 + c 2 ) a 2 b2

Từ hình vẽ ta có a = 2, b = 1 ⇒ c = 22 − 12 = 3

(

) (

Vậy MF1 + MF2 = 2.2 = 4; F1 − 3;0 , F2

)

3;0 ⇒ z − 3 + z + 3 = 4

V. CHUYÊN ĐỀ 2: CỰC TRỊ CỦA SỐ PHỨC. Bài toán mở đầu. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − 2 − 4i = 5 . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của mô đun số phức z ? Lời giải: Giả sử điểm M ( x; y ) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi . Khi đó tập hợp điểm M là đường 2

tròn ( C ) tâm I ( 2;4 ) , bán kính R = 5 ; ( C ) : ( x − 2 ) + ( y − 4 ) = 5

Cách 1. Sử dụng bất đẳng thức 2

z = x 2 + y 2 = ( x − 2 ) + ( y − 4 ) + 4 x + 8 y − 20 = 4 x + 8 y − 15 = 4 ( x − 2 ) + 2 ( y − 4 )  + 25 (1) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

( x − 2) + 2 ( y − 4) ≤

2 2 + 2 2 ) ( x − 2 ) + ( y − 4 )  = 5  

⇒ −5 ≤ ( x − 2 ) + 2 ( y − 4 ) ≤ 5 ( 2 ) Từ (1) và (2) ta có:

5≤ z ≤3 5

x = 1 x = 3 Vậy z min = 5 ⇔  ⇒ z = 1 + 2i ; z max = 3 5 ⇔  ⇒ z = 3 + 6i y = 2 y = 6 Cách 2. Sử dụng hình học.

z = OM ⇒ z min ⇔ OM min ; z max ⇔ OM m ax Ta có OI = 2 5 > R ⇒ O nằm ngoài đường tròn ( C )

OM min ⇔ M ≡ A; OM max ⇔ M ≡ B OA ⇒ z min = OA = OI − R = 5 ⇔ OM = OA = .OI ⇔ OM = (1; 2 ) ⇔ z = 1 + 2i OI OB z m ax = OB = OI + R = 3 5 ⇔ OM = OB = .OI ⇔ OM = ( 3;6 ) ⇔ z = 3 + 6i . OI

Giáo viên hướng dẫn khai thác: Nếu bài toán yêu cầu tìm số phức z sao cho z lớn nhất (nhỏ nhất). Ta làm như sau:

OM min ⇔ M ≡ A

OA ⇒ z min = OA = 5 ⇔ OM = OA = .OI ⇔ OM = (1; 2 ) ⇔ z = 1 + 2i OI OB OM max ⇔ M ≡ B ⇒ z m ax = OB = 3 5 ⇔ OM = OB = .OI ⇔ OM = ( 3;6 ) ⇔ z = 3 + 6i OI Như vậy để giải quyết bài toán trên chúng tôi hướng dẫn học sinh thực hiện theo 2 phương pháp: sử dụng bất đẳng thức và bài toán cực trị hình học. Và chúng tôi thấy rằng Hầu hết các bài toán cực trị của số phức đều được xây dựng trên các bài toán cực trị hình học. Trong phần V của sáng kiến này tôi muốn gợi ý cho học sinh một lối tư duy linh hoạt các phương pháp chuyển

đổi từ đại số sang hình học và ta có thể dựa trên các bài toán cực trị hình học để ra một loạt các đề toán. Trước khi đưa ra các bài tập cho học sinh luyện tập chúng tôi nhắc lại một số bài toán cực trị trong hình học như sau: Bài toán xuất phát 1. Trong mặt phẳng cho đường thẳng ∆ và điểm A . a) Tìm điểm M thuộc ∆ sao cho AM là ngắn nhất. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của AM (với M là điểm bất kì thuộc ∆ ): Lời giải: a) Ta có: AM ≥ AH (Với H là hình chiếu vuông góc của A trên ∆ ) Nên AM min = AH ⇔ M ≡ H hay M là hình chiếu vuông góc của A trên ∆ b) AM min = AH = d ( M , ∆ )

Bài toán 1.1: Biết các số phức z có tập hợp các điểm biểu diễn trong mặt phẳng tọa độ là đường thẳng như hình vẽ bên. Tìm giá trị nhỏ nhất của z ? A. z B. z

min min

=2. = 1. C. z D. z

min

= 2. =

1 2

Bài toán 1.2: Biết số phức z thỏa mãn z − 2 − 4i = z − 2i , mô đun nhỏ nhất của số phức z bằng:

A. 2 2 . Hướng dẫn giải:

B. 2 .

D. 4 .

Đặt: z = x + yi ( x, y ∈ R ) → z có điểm biểu diễn trên mặt phẳng phức là M ( x; y ) .

Ta có: z − 2 − 4i = z − 2i ⇔ ( x − 2 ) + ( y − 4 ) = x 2 + ( y − 2 ) ⇔ x + y − 4 = 0 ⇒ M ∈∆: x + y −4 = 0

z = OM . Nên z nhỏ nhất ⇔ OM nhỏ nhất ⇔ M là hình chiếu vuông góc của O trên ∆ (*). ⇒ z min = d ( O, ∆ ) =

4 2

=2 2

Bài toán 1.3: Biết số phức z = x + yi ( x, y ∈ ℝ ) thỏa mãn z − 2 − 4i = z − 2i và đồng thời có mô đun nhỏ nhất. Tính giá trị của biểu thức P = x 2 + y 2 ? A. P = 8 . B. P = 10 . C. P = 16 . Hướng dẫn giải: Ta giải như bài toán 1.2 đến bước (*) rồi tìm tọa độ điểm M

D. P = 26 .

Ta được M ( 2; 2 ) ⇒ z = 2 + 2i nên x = 2, y = 2 ⇔ P = 8 .

Trong khi làm bài toán 1.2 và 1.3 chúng tôi nhấn mạnh cho học sinh thấy rằng: • •

Khi bài toán yêu cầu tìm z nhỏ nhất ta chỉ cần tính d ( O, ∆ ) Khi bài toán yêu cầu tìm z hoặc biểu thức liên quan đến phần thực, phần ảo của z thì ta phải tìm rõ tọa độ điểm M biểu diễn z . Sau đó suy ra z

Bài toán 1.4: Tìm modul nhỏ nhất của số phức z − 3 + 2i . Biết số phức z thỏa mãn: z − 2 − 4i = z − 2i

3 2 2 . B. . C. 2 2 . D. 2 . 2 2 Hướng dẫn giải: Đặt: z = x + yi ( x, y ∈ R ) → z có điểm biểu diễn trên mặt phẳng phức là M ( x; y ) . A.

⇒ M ∈∆: x + y −4 = 0

Gọi A ( 3; −2 ) . Ta có: z − 3 + 2i = MA 3− 2− 4

3 2 2 2 Giáo viên chú ý cho học sinh: Nếu bài toán yêu cầu tìm số phức z thỏa mãn bài toán 1.4 ta làm như sau: M là hình chiếu vuông góc của A trên ∆ .  MA.u = 0 ( với u ( −1;1) là véctơ chỉ phương của ∆ , MA ( 3 − x; −2 − y ) ) ⇔  x + y − 4 = 0 Khi đó z − 3 + 2i min ⇔ MA nhỏ nhất ⇔ MA = d ( A, ∆ ) =

9   x = 2 ( −1)( 3 − x ) + 1. ( −2 − y ) = 0 9 1 ⇔ ⇔ ⇒z= + i 1 2 2  x + y − 4 = 0 y = −  2

Như vậy sau khi làm xong các bài tập trắc nghiệm chúng tôi tổng quát lại kiến thức cho học sinh như sau: Tổng quát 1: Qũy tích các điểm biểu diễn số phức thuộc đường thẳng Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: z − z1 = z − z2 . Gọi M , A, B lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z, z1 , z2

Tổng quát 1.1: Tìm giá trị nhỏ nhất của z ? •

Khi đó M ( x; y ) thuộc đường trung trực của AB

•

z min ⇔ M là hình chiếu vuông góc của O trên AB

•

z min = d ( O, AB )

Nhận xét: Nếu đầu bài yêu cầu tìm số phức z ta đi tìm tọa độ điểm M là hình chiếu vuông góc của O trên AB . Từ đó suy ra z Tổng quát 1.2: Tìm giá trị nhỏ nhất của z − z0 •

Gọi N là điểm biểu diễn số phức z0 . Khi đó z − z0 = MN

•

z − z0 min ⇔ M là hình chiếu vuông góc của N trên AB

•

z − z0 min = d ( N , AB )

Nhận xét: Nếu đầu bài yêu cầu tìm số phức z ta đi tìm tọa độ điểm M là hình chiếu vuông góc của N trên AB . Từ đó suy ra z Đề bài có thể suy biến thành 1 số dạng sau, khi đó ta cần thực hiện các phép biến đổi để đưa về dạng cơ bản.  mz + a + bi = m ' z + a '+ b ' i   mz + a + bi = m ' z + a '+ b ' i (với m = m ' ∨ m = − m ' )   mz + a + bi = m ' z + a '+ b ' i   z + c + di = z + c '+ d ' i  ⇔  z + c + di = z + c '+ d ' i (chia cả hai vế cho m )   z + c + di = z + c '+ d ' i 

 z + c + di = z + c '+ d ' i  ⇔  z + c + di = z + c '− d ' i  z + c − di = z + c '− d ' i  Bài toán xuất phát 2. Trong mặt phẳng cho 3 điểm A, B, C cố định. M là điểm di động thuộc đoạn AB a) Tìm giá trị nhỏ nhất (lớn nhất) của MC . b) Tìm M để MC nhỏ nhất (lớn nhất). Lời giải:

Trường hợp 1. Nếu hình chiếu vuông góc của C là điểm H thuộc đoạn AB

MCmin = min {CH ; CA; CB} MCm ax = m ax {CH ; CA; CB} Trường hợp 2. Nếu hình chiếu vuông góc của C là điểm H không thuộc đoạn AB

MCmin = min {CA; CB} MCm ax = m ax {CA; CB} Bài toán 2.1: Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) thỏa mãn: z − 1 + 2i + z + 2 − 2i = 5 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của P = z + 3 − 5i

A. 10 .

65 .

C. 1 .

D. 10 .

65 .

C. 10 .

D. 10 .

C. 3 .

D. − 2 .

2.Tìm giá trị lớn nhất của P = z + 3 − 5i

A. 65 .

3.Khi P = z + 3 − 5i đạt giá trị lớn nhất, tính 2a + b

A. 0 . Hướng dẫn giải:

B. 4 .

Đặt: z = x + yi ( x, y ∈ R ) → z có điểm biểu diễn trên mặt phẳng phức là M ( x; y ) . Gọi A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z1 = 1 − 2i, z2 = −2 + 2i, z3 = −3 + 5i Ta có: z − 1 + 2i + z + 2 − 2i = 5 ⇔ MA + MB = 5 mà AB = 5 nên M thuộc đoạn thẳng AB lại có: P = MC Nên bài toán chuyển về tìm M thuộc đoạn AB sao cho MC đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Vẽ phác họa hình trên mặt phẳng tọa độ ta dễ dàng thấy:

Pmin = CB = 10 Pmax = CA = 65 3. Pmax = CA = 65 ⇔ M ≡ A ⇒ z = 1 − 2i ⇒ a = 1, b = −2 Nên 2a + b = 2 − 2 = 0

Bài toán 2.2: Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) thỏa mãn: z − 1 + 2i + z + 2 − 2i = 5 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P = z − 1 − 2i

12 12 . B. 3 . C. 4 . D. . 5 7 Hướng dẫn giải: Đặt: z = x + yi ( x, y ∈ R ) → z có điểm biểu diễn trên mặt phẳng phức là M ( x; y ) . A.

Gọi A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z1 = 1 − 2i, z2 = −2 + 2i, z3 = 1 + 2i

Ta có: z − 1 + 2i + z + 2 − 2i = 5 ⇔ MA + MB = 5 mà AB = 5 nên M thuộc đoạn thẳng AB lại có: P = MC Nên bài toán chuyển về tìm M thuộc đoạn AB sao cho MC đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Dễ thấy đường thẳng AB có phương trình: 4 x + 3 y + 2 = 0 Vẽ phác họa hình trên mặt phẳng tọa độ ta dễ dàng thấy: Pmin = CH ⇔ M ≡ H và Pmin = d ( C , AB ) = Hoặc

4.1 + 3.2 + 2 5

12 5

1 1 1 12 = + ⇒ CH = . 2 2 2 CH CB AC 5

Như vậy sau khi làm xong các bài tập trắc nghiệm chúng tôi tổng quát lại kiến thức cho học sinh như sau: Tổng quát 2: Qũy tích các điểm biểu diễn số phức thuộc đoạn thẳng. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: z + z1 + z − z2 = 2a . Tìm GTLN, GTNN của P = z − z0 với 2a = z1 − z2 Gọi M , A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z, z1 , z2 , z0 . •

M thuộc đoạn thẳng AB

•

Trường hợp 1: Nếu điểm H là hình chiếu vuông góc của C trên AB thuộc đoạn AB . Khi

đó: Pmin = d ( C , AB ) ; Pm ax = m ax {CA, CB} Trường hợp 2: Nếu điểm H là hình chiếu vuông góc của C trên AB không thuộc đoạn AB . Khi

đó: Pmin = min {CA, CB} ; Pm ax = m ax {CA, CB} •

Đối với dạng bài toán này, nên vẽ phác họa hình trên hệ trục tọa độ Oxy .

Bài toán xuất phát 3. Trong mặt phẳng cho đường tròn ( C ) tâm I bán kính R và điểm A . Điểm M di động trên ( C ) a) Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của MA . b) Tìm M để MA đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Lời giải: TH1: A thuộc đường tròn (C) Ta có: AM đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi M trùng với A AM đạt giá trị lớn nhất bằng 2 R khi M là điểm đối xứng với A qua I

TH2: A không thuộc đường tròn (C) Gọi B, C là giao điểm của đường thẳng d ≡ AI và đường tròn ( C )

+) Nếu A nằm ngoài đường tròn ( C ) thì với điểm M bất kì trên

( C ) , ta có: AM ≥ AI − IM = AI − IB = AI − R . Đẳng thức xảy ra khi M ≡ B AM ≤ AI + IM = AI + IC = AI + R . Đẳng thức xảy ra khi M ≡ C +) Nếu A nằm trong đường tròn ( C ) thì với điểm M bất kì trên

( C ) , ta có: AM ≥ IM − IA = IB − R . Đẳng thức xảy ra khi M ≡ B AM ≤ AI + IM = AI + R . Đẳng thức xảy ra khi M ≡ C ⇒ MAmax = AI + R; MAmin = AI − R

Bài toán 3.1: Biết các số phức z có tập hợp các điểm biểu diễn trong mặt phẳng tọa độ là hình tròn tô đậm như hình vẽ bên. (kể cả đường viền) 1. Mô đun lớn nhất của số phức z là: A. z

max

B. z

= 1. C. z

max

D. z

= 3.

max

= 2. = 3.

2. Mô đun nhỏ nhất của số phức z là:

A. z C. z

1 . 2

min

= 3.

B. z D. z

min

2 . 3

Bài toán 3.2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − 2 − 4i = 5 . 1.Giá trị lớn nhất của z bằng:

A. z max = 3 5 .

B. z max = 5 .

C. z max = 5 .

B. z min = 5 .

C. z min = 5 .

z max = 13 .

2. Giá trị nhỏ nhất của z bằng:

A. z min = 3 5 . z min = 13 .

3. Biết số phức z = x + yi ( x, y ∈ ℝ ) sao cho z nhỏ nhất. Tính P = 2 x + y

A. P = 9 .

B. P = 15 .

C. P = 4 .

D. P = 5 .

C. 13 + 5 .

4. Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của z bằng:

A. 4 5 .

B. 5 + 5 .

13 + 3 5 .

Bài toán 3.3: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − 2 − 4i = 5 .

1. Giá trị lớn nhất của P = z + 1 − i

A. 3 2 + 5 .

B. 3 2 − 5 .

5 −3 2 .

B. 3 2 − 5 .

5 −3 2 .

23 + 6 10 .

2. Giá trị nhỏ nhất của P = z + 1 − i

A. 3 2 + 5 . 23 − 6 10 .

Hướng dẫn giải: Giả sử điểm M ( x; y ) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi . Khi đó tập hợp điểm M là đường 2

tròn ( C ) tâm I ( 2; 4 ) , bán kính R = 5 ; ( C ) : ( x − 2 ) + ( y − 4 ) = 5 Gọi N ( −1;1) khi đó z + 1 − i = MN . Do đó z + 1 − i max ⇔ MN max ; z + 1 − i min ⇔ MN min Ta có IN =

( −1 − 2 ) + (1 − 4 )

=3 2 >R

Nên N nằm ngoài đường tròn ( C ) (như hình vẽ bên)

MN max = NB = NI + R = 3 2 + 5

MN min = NA = NI − R = 3 2 − 5 3. Biết mô đun của số phức w = z + 1 − i đạt giá trị lớn nhất. Khi đó phần thực của số phức z bằng:

10 . 2 Hướng dẫn giải: Từ hình vẽ ta có: A. 4 +

B. 2 −

10 . 2

C. 2 +

10 . 2

D. 4 −

10 . 2

NB Pmax ⇔ M ≡ B ⇒ NB = .NI (*) NI với

NB NI + R 3 2 + 5 10 , NI = ( 3;3) = = = 1+ NI NI 6 3 2

   xB + 1 =  1 +   ( *) ⇔     yB − 1 = 1 +   ⇒ z = 2+

10   .3 6 

  xB = 2 +  ⇔ 10    .3  yB = 4 +  6 

10 2 10 2

10  10  +  4 + i 2 2  

Bài toán 3.4: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện iz + 4 − 2i = 5 .

1. Giá trị nhỏ nhất của z bằng:

A. z min = 3 5 .

B. z min = 5 .

C. z min = 5 .

z min = 13 .

2. Biết số phức z = x + yi ( x, y ∈ ℝ ) sao cho z nhỏ nhất. Tính P = 2 x + y

A. P = 9 .

B. P = 15 .

C. P = 4 .

D. P = 5 .

B. 3 2 − 5 .

3. Giá trị lớn nhất của P = z + 1 + i

A. 3 2 + 5 .

5 −3 2 .

23 + 6 10 . Hướng dẫn giải:

Tôi hướng dẫn học sinh sử dụng tính chất

iz + 4 − 2i = 5 ⇔

iz + 4 − 2i i

z z1 = 1 , z = z , z1 + z2 = z1 + z2 như sau: z2 z2

5 ⇔ z − 2 − 4i = 5 i

P = z +1+ i = z +1+ i = z +1− i Khi đó chuyển bài toán 2.3 về bài toán 2.1, bài toán 2.2. Như vậy sau khi làm xong các bài tập trắc nghiệm tôi tổng quát lại kiến thức cho học sinh như sau: Tổng quát 3: Qũy tích các điểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn.

Tổng quát 3.1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: z − ( a + bi ) = R .Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của z Gọi M , I lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z, z1 = a + bi •

Khi đó M ( x; y ) thuộc đường tròn ( C ) tâm I ( a; b ) , bán kính R

•

z = OB = OI + R = a 2 + b 2 + R  max z = OM  2 2  z min = OA = OI − R = a + b − R 

•

Để tìm tọa độ điểm A, B ta có thể làm theo 2 cách sau

( x − a )2 + ( y − b )2 = R 2 Cách 1: Tọa độ A, B là nghiệm của hệ   Ax + By + C = 0 Với Ax + By + C = 0 là phương trình đường thẳng OI

Cách 2:

a 2 + b 2 + R OB = .OI ; a2 + b2

a 2 + b 2 − R OA = .OI a2 + b2

Tổng quát 3.2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: z − ( a + bi ) = R . Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của z − z0 Gọi M , I , N lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z, z1 = a + bi, z0 •

 z − z0 max = NB = NI + IB = NI + R z − z0 = MN  z − z  0 min = NA = NI − IA = NI − R

•

Để tìm tọa độ điểm A, B ta có thể làm theo 2 cách sau: ( x − a )2 + ( y − b )2 = R 2 Cách 1: Tọa độ A, B là nghiệm của hệ   Ax + By + C = 0

Với Ax + By + C = 0 là phương trình đường thẳng IN NI + R NI − R Cách 2: OB = .OI ; OA = .OI NI NI Tổng quát 3.3: Cho số phức z thỏa mãn: z1.z − z2 = R ( R > 0 ) . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P = z − z3 •

Pmax =

z2 R z R − z3 + , Pmin = 2 − z3 − z1 z1 z1 z1

Bài toán xuất phát 4. Trong mặt phẳng cho đường tròn ( C ) và hai điểm A, B thỏa mãn: đường thẳng AB và ( C ) không có điểm chung và IA = IB (với I là tâm đường tròn ( C ) ). Điểm M di

động trên ( C ) . Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của P = MA + MB Lời giải: Gọi N là trung điểm của AB

P = MA + MB ≤ 2 ( MA2 + MB 2 ) mà: MA2 + MB 2 = 2 MN 2 +

AB 2 2

⇒ Pmax ⇔ MN max ; Pmin ⇔ MN min

Pmax = 2 NK 2 +

AB 2 AB 2 AB 2 AB 2 2 2 = 2 ( R + IN ) + ; Pmin = 2 NH 2 + = 2 R − IN + 2 2 2 2

Bài toán 4.1: (Câu 46 – đề tham khảo THPT QG - 2018) Cho hai số phức z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) thỏa mãn:

z − 4 − 3i = 5 . Tính P = a + b khi

z + 1 − 3i + z − 1 + i đạt giá trị lớn nhất.

A. P = 10 . B. P = 4 . C. P = 6 . D. P = 8 . Hướng dẫn giải: - Quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức z thuộc đường tròn tâm I ( 4;3) , bán kính R= 5.

- Gọi A, B lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z1 = −1 + 3i, z2 = 1 − i ; N là trung điểm của AB . Luôn có: IA = IB

- Đặt Q = z + 1 − 3i + z − 1 + i = MA + MB Q = MA + MB ≤ 2 ( MA2 + MB 2 )

AB 2 2 ⇔ N là hình chiếu vuông góc của M trên

mà: MA2 + MB 2 = 2 MN 2 + Nên Qmax ⇔ MN max

AB ⇔ M , I , N thẳng hàng và MA = MB ( vì IA = IB ) ⇔ M ≡ K (như hình vẽ). NK = NI + R = 2 5 + 5 = 3 5

NK  NK 3 5 3  Ta có NK = .NI  NI = ( 4; 2 ) , = =  NI NI 2 5 2  

x = 6 ⇔ K ⇒ z = 6 + 4i  yK = 4 Giáo viên hướng dẫn khai thác: Nếu bài toán yêu cầu tìm GTLN của z + 1 − 3i + z − 1 + i ta dường lại ở bước tính  AB 2   Qmax = 2  2 NK 2 +  = 2 3 5 2   

(

)

20  = 110 2 

Nếu bài toán yêu cầu tìm GTNN của z + 1 − 3i + z − 1 + i ⇔ yêu cầu tìm GTNN của

 AB 2   MN ⇔ M ≡ H và Qmin = 2  2 NH 2 +  = 2 2 2   

( 5)

20  = 2 10 2 

Nếu yêu cầu tìm z sao cho z + 1 − 3i + z − 1 + i đạt GTNN tức là ta đi tìm tọa độ điểm H ta NH làm như sau: NH = .NI NI Bài toán 4.2: Cho hai số phức z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) thỏa mãn: z − 2 − 3i = 3 . Tìm trị nhỏ nhất của z + 2 − 5i + z − 4 + i

A. 58 − 12 2 .

B. 58 + 12 2 .

(

)

C. 2 58 − 12 2 .

D. 3 − 2 .

Hướng dẫn giải: - Quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức z thuộc đường tròn tâm I ( 2;3) , bán kính R = 3.

- Gọi A, B lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z1 = −2 + 5i, z2 = 4 − i ; N là trung điểm của AB . Luôn có: IA = IB

- Đặt Q = z + 2 − 5i + z − 4 + i = MA + MB Q = MA + MB ≤ 2 ( MA2 + MB 2 ) AB 2 2 ⇔ M ≡ H (như hình vẽ).

mà: MA2 + MB 2 = 2 MN 2 + Nên Qmin ⇔ MN min

NH = NI − R =

Qmin

2 −3 = 3− 2

 AB 2  2 = 2  2 NH +  = 2 58 − 12 2 2  

(

)

Giáo viên hướng dẫn khai thác: Nếu thay đổi yêu cầu của bài toán ta được các bài toán mới như sau: •

Tìm GTLN của z + 2 − 5i + z − 4 + i ?

 AB 2   Qmax = ( z + 2 − 5i + z − 4 + i )max = 2  2 NK 2 +  = 2 2 3 + 2  2  

(

•

)

+ 36  = 2 58 + 12 2 

(

)

Tìm số phức z sao cho z + 2 − 5i + z − 4 + i đạt giá trị nhỏ nhất?

Qmin ⇔ MN min ⇔ M ≡ H (như hình vẽ)

 −3 + 2 2 −3 + 3 2  NH 3 − 2 NH = − .NI ⇔ NH = − .NI ⇔ H  ;  NI 2 2 2   ⇒z= •

−3 + 2 2 −3 + 3 2 + i 2 2 2

Tìm GTLN, GTNN của L = z + 2 − 5i + z − 4 + i ?

AB 2 2 Vậy L đạt GTLN (GTNN) ⇔ MN đạt GTLN (GTNN) , đưa về bài toán trên. 2

z + 2 − 5i + z − 4 + i = MA2 + MB 2 = 2 MN 2 +

Như vậy sau khi làm xong các bài tập trắc nghiệm tôi tổng quát lại kiến thức cho học sinh như sau:

Tổng quát 4: Cho số phức z thỏa mãn z − z1 = R . Tổng quát 4.1: Tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của z − z2 + z − z3 với z1 − z2 = z1 − z3 Gọi M, I, A, B lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z, z1 , z2 , z3 . •

Điểm I thuộc đường trung trực của AB.

 AB 2  z − z2 + z − z3 = MA + MB ≤ 2 ( MA2 + MB 2 ) ⇒ z − z2 + z − z3 ≤ 2  2 MN 2 +  2   (Với N là trung điểm của AB) Trường hợp 1: d ( I , AB ) ≠ R •

z − z2 + z − z3 min

2  z3 − z 2  2  AB 2  2 = 2  2 NH +   = 2  2 ( d ( I , AB ) − R ) + 2  2   

z − z2 + z − z3 m ax

2  z3 − z 2  2  AB 2  2 = 2  2 NK +   = 2  2 ( d ( I , AB ) + R ) + 2  2   

Trường hợp 2: d ( I , AB ) = R z − z2 + z − z3 min = z3 − z2 z − z2 + z − z3 m ax

2  z3 − z2  2 = 2  8.R +    2  

•

Ta tìm tọa độ điểm H , K như sau:

d ( I , AB ) − R d ( I , AB ) + R .NI ; NK = .NI Trường hợp 1: d ( I , AB ) > R Ta có: NH = NI NI d ( I , AB ) − R d ( I , AB ) + R Trường hợp 2: d ( I , AB ) < R Ta có: NH = − .NI ; NK = .NI NI NI Trường hợp 3: d ( I , AB ) = R Ta có: H ≡ N ; IK = NK 2

Tổng quát 4.2: Tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của z − z2 + z − z3 với z1 − z2 = z1 − z3 Gọi M, I, A, B lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z, z1 , z2 , z3 . • •

Điểm I thuộc đường trung trực của AB. 2

z − z2 + z − z3 = MA2 + MB 2 = 2 MN 2 + ⇒ ( z − z 2 + z − z3

( z−z

+ z − z3

)

Min

= 2 ( d ( I , AB ) − R ) +

Max

AB 2 2

= 2 ( d ( I , AB ) + R ) +

z3 − z2

z3 − z 2

Bài toán xuất phát 5. Trong mặt phẳng cho đường tròn ( C ) và đường thẳng ∆ ; ∆, ( C ) không có điểm chung. Điểm M di động trên ( C ) , N là điểm di động trên ∆ . Tìm điểm M , N sao cho MN nhỏ nhất. Lời giải:

Giả sử ( C ) có tâm là điểm I bán kính R Gọi d là đường thẳng đi qua điểm I và vuông góc với ∆ d cắt ( C ) , ∆ lần lượt tại K , H , J (như hình vẽ) Khi đó ta có: HI ≤ MN Nên MN min = d ( I , ∆ ) − R ⇔ M ≡ H , N ≡ I

Bài toán 5.1: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn: z1 + 5 = 5, z2 + 1 − 3i = z2 − 3 − 6i . Tìm giá trị nhỏ nhất của z1 − z2 .

5 . 2

25 . 2

15 . 2

D. 5 .

Hướng dẫn giải: - Quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức z1 thuộc đường tròn tâm I ( −5;0 ) , bán kính R = 5.

- Quỹ tích các điểm biểu diễn N số phức z2 thuộc đường thẳng ∆ : 8 x + 6 y − 35 = 0 . 15 >R 2 5 =d −R= , 2

Ta thấy ∆ và ( C ) không cắt nhau do: d ( I , ∆ ) = Nên từ hình vẽ ta có z1 − z2 min = MN min

Giáo viên hướng dẫn học sinh khai thác: Nếu bài toán yêu cầu “Tìm z1 + z2 sao cho z1 − z2 đạt giá trị nhỏ nhất”

z1 − z2 min ⇔ M ≡ H và N là hình chiếu của I trên ∆ . Bài toán quy về việc tìm tọa độ điểm H và tọa độ hình chiếu của I trên ∆ Chúng tôi đưa ra bài toán tổng quát như sau:

Tổng quát 5: Cho số phức z, z ' thỏa mãn z − z1 = R, z '− z2 = z '− z3 . Trong đó z1 , z2 , z3 là các số phức cho trước. Tìm giá trị nhỏ nhất của z − z ' . Gọi M , N lần lượt là các điểm biểu diễn của số phức z, z ' •

Qũy tích các điểm M là đường tròn C ( I , R ) ; Qũy tích các điểm N là đường thẳng ∆ ( ∆ là đường trung trực của AB với A, B là các điểm biểu diễn số phức z2 , z3 ).

•

z − z ' = MN

z − z ' min = MN min = d ( I , ∆ ) − R nếu ∆ ∩ ( C ) = ∅ z − z ' min = MN min = 0 nếu ∆ ∩ ( C ) ≠ ∅

Bài toán xuất phát 6. Trong mặt phẳng cho đường tròn ( C ) và đường thẳng ∆ ; ∆, ( C ) không có điểm chung, điểm M di động trên ( C ) . Tìm vị trí điểm M trên ( C ) sao cho khoảng cách từ M đến ∆ là lớn nhất (nhỏ nhất). Lời giải: Gọi d là đường thẳng đi qua I và vuông góc với ∆ cắt đường tròn và ∆ lần lượt tại K , H , N , như hình vẽ. Ta có HN ≤ d ( M , ∆ ) ≤ KN ⇔ d ( I , ∆ ) − R ≤ d ( M , ∆ ) ≤ d ( I , ∆ ) + R

Do đó: Maxd ( M , ∆ ) = d ( I , ∆ ) + R ⇔ M ≡ K

Mind ( M , ∆ ) = d ( I , ∆ ) − R ⇔ M ≡ H Bài toán 6.1: Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) thỏa mãn: (1 + i ) z + 1 − 7i = 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P = a − b + 3

A. 2 − 2 . Hướng dẫn giải:

(1 + i ) z + 1 − 7i

B. 2 − 1 .

C. 2 + 2 .

D. 1 + 2 .

= 2 ⇔ z − 3 − 4i = 1

Khi đó quỹ tích điểm M biểu diễn số phức z thuộc đường tròn ( C ) tâm I ( 3; 4 ) , bán kính R = 1 . Xét đường thẳng ∆ : x − y + 3 = 0 . Gọi K , H , N lần lượt là giao điểm của đường thẳng qua I vuông góc với ∆ , với đường tròn ( C ) và đường thẳng ∆ Khi đó: d ( M , ∆ ) =

a−b+3 2

3−4+3 P ; d (I, ∆) = = 2>R 2 2

Nên Pmin ⇔ d ( M , ∆ ) min ⇔ M ≡ H Vậy Pmin = 2.HN = 2.  d ( I , ∆ ) − R  = 2 − 2

Tương tự như các bài toán trên tôi hướng dẫn học sinh khai thác bài toán khi thay đổi giả thiết hoặc yêu cầu bài toán: • Tìm giá trị lớn nhất của P = a − b + 3 •

Tìm z biết P = a − b + 3 đạt giá trị nhỏ nhất (lớn nhất).

•

Thay giả thiết (1 + i ) z + 1 − 7i = 2 bởi giả thiết (1 + i ) .z + 7 − i = 2 , ta sẽ được

các bài toán tương tự.

Tổng quát 6. Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) thỏa mãn: z − z1 = R . Tìm giá trị nhỏ nhất của

P = αa + βb +γ Gọi M , I lần lượt là điểm biểu diễn số phức z, z1 .

Đường thẳng ∆ : α x + β y + γ = 0 , •

Qũy tích điểm M là đường tròn ( C ) tâm I bán kính R

•

Gọi đường thẳng d đi qua I và vuông góc với ∆ ; K , H , N lần lượt là giao điểm của d với ( C ) , ∆

Pmin = α 2 + β 2  d ( I , ∆ ) − R  ⇔ M ≡ H Pmax = α 2 + β 2  d ( I , ∆ ) + R  ⇔ M ≡ K

Bài toán xuất phát 7. Cho hai đường tròn (C1 ) có tâm I , bán kính R1 ; đường tròn (C2 ) có tâm J , bán kính R2 ( R1 − R2 < IJ < R1 + R2 ). Tìm vị trí của điểm M trên (C1 ) , điểm N trên (C2 ) sao cho MN đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Lời giải:

- Gọi d là đường thẳng đi qua I , J ; d cắt đường tròn (C1 ) tại hai điểm phân biệt A, B (giả sử JA > JB ) ; d cắt (C2 ) tại hai điểm phân biệt C , D ( giả sử ID > IC ).

- Với điểm M bất khì trên (C1 ) và điểm N bất kì trên (C2 ) , ta có: •

MN ≤ IM + IN ≤ IM + IJ + JN = R1 + R2 + IJ = AD . Dấu “=” xảy ra khi M trùng với A và N trùng với D

•

MN ≥ IM − IN ≥ IJ − IM − JN = IJ − R1 − R2 = BC . Dấu “=” xảy ra khi M trùng với B và N trùng với C

Bài toán 7.1.(THPT Hưng Nhân- Thái Bình 2017-l3) .  z1 + 3 − 4i = 1 Cho hai số phức z1 , z2 thảo mãn :   z2 + 6 − i = 2

Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức z1 − z2

A. 18 . Hướng dẫn giải:

B. 6 2 .

C. 6 .

D. 3 2 .

Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn số phức z1 , z2 ; z1 − z2 = MN Qũy tích điểm M là đường tròn ( C1 ) tâm I1 ( −3; 4 ) , bán kính R1 = 1 Qũy tích điểm N là đường tròn ( C2 ) tâm I 2 ( −6;1) , bán kính R2 = 2 Gọi A, B, C , D lần lượt là các giao điểm của IJ với ( C1 ) , ( C2 ) Ta có CB ≤ MN ≤ AD ⇔ IJ − R1 − R2 ≤ MN ≤ IJ + R1 + R2 Nên MN min = 3 2 − 1 − 2 = 3 2 − 3

MN m ax = 3 2 + 1 + 2 = 3 2 + 3 ⇒ MN min + MN max = 6 2 Sau khi làm xong bài toán trên tôi cho học sinh tự tổng quát công thức tìm GTLN, GTNN liên quan mô đun số phức.

Tổng quát 7: Cho số phức z, z ' thỏa mãn: z − z1 = R; z '− z2 = R ' . Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của z − z ' ,với R − R ' < z1 − z2 ≤ R + R ' •

Bài

z − z ' min = z1 − z2 − R − R '; z − z ' m ax = z1 − z2 + R + R ' toán

xuất

phát

Cho

F1 , F2

cố

định

và

F1 F2 = 2c ,

xét

elip

( E ) = {M : MF1 + MF2 = 2a} , a > c . Gọi I là trung điểm của F1 F2 khi đó ta có: b ≤ IM ≤ a với b = a 2 − c 2

Bài toán 8.1:Tìm số phức z sao cho mô đun của z đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất. Biết số phức z thỏa mãn: z + 1 + z − 1 = 4

Hướng dẫn giải: x2 y 2 Ta thấy tập hợp các điểm M là elip có phương trình ( E ) : + =1 4 3

x2 y 2 + = 1 được vẽ trên hệ trục Oxy như hình vẽ. 4 3 Từ hình vẽ ta có:

(E):

OB2 ≤ OM ≤ OA2 ( OB1 ≤ OM ≤ OA1 ) ⇔ 3 ≤ z ≤ 2 Từ đó ta có: z min

 M 0; − 3  M ≡ B1  = 3⇔ ⇔ ⇒ z = ± 3i  M 0; 3  M ≡ B2 

( (

)

 M ( −2;0 )  M ≡ A1 z max = 2 ⇔  ⇔ ⇒ z = ±2  M ( 2;0 )  M ≡ A2 Giáo viên hướng dẫn khai thác: Sau khi học sinh hoàn thiện bài toán này, chúng tôi thay đổi giả thiết và hướng dẫn các em cách làm tương ứng dưới dạng các câu hỏi trắc nghiệm như sau:

Bài toán 8.2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + 1 + z − 1 = 4 .

1. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z . Khi đó biểu thức P = M + m 2 bằng:

A. P = 5 .

B. P = 4 .

P = 3 +4.

D. P = 2 3 + 2 . 2. Biết số phức z có mô đun lớn nhất. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. z là số thuần ảo. B. z là số vô tỷ . C. z là có phần ảo không nguyên . D. z là số nguyên.

Bài toán 8.3: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + i + z − i = 4 . Giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của

z bằng: A. z min = 2, z max = 3 .

B. z min = 3, z max = 2 .

C. z min = 1, z max = 2 .

D. z min = 3, z max = 4 .

Hướng dẫn giải: Gọi M ( x; y ) , F1 ( 0; −1) , F2 ( 0;1) lần lượt là điểm biểu diễn số phức z , −i, i Theo phần IV thì M thuộc elip ( E ) :

x2 y 2 + = 1 , nhận F1 , F2 là hai tiêu điểm như hình vẽ. 3 4

 M ( 0; −2 )  M ≡ B1 Từ đó ta có: z m ax = 3 ⇔  ⇔ ⇒ z = ±2  M ( 0; 2 )  M ≡ B2 z min

 M − 3;0  M ≡ A1  =2⇔  ⇔ ⇒z=± 3  M 3;0  M ≡ A2 

( (

)

Bài toán 8.4: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − 1 + 3i + z + 2 − i = 8 . Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của P = 2 z + 1 + 2i

Lời giải:

P 1 = z + +i = P' 2 2 Bài toán chuyển về tìm GTLN, GTNN của P’. Gọi M , F1 , F2 , N lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức: P = 2 z + 1 + 2i ⇒

1 z, z1 = 1 − 3i, z2 = −2 + i, z0 = − − i . Ta có N là trung 2 điểm của F1 F2 .

B2 M

z − 1 + 3i + z + 2 − i = 8 ⇔ MF1 + MF2 = 8 ⇒ M thuộc elip nhận F1 , F2 làm 2 tiêu điểm và có tiêu

A1 F1

F2 A2

cự bằng F1 F2 = 2c = 5 B1

5 25 39 ⇒ c = ; 2a = 8 ⇒ a = 4 ⇒ b = 16 − = 2 4 2

39 ⇒ Pmax = 8, Pmin = 39 2 Như vậy sau khi làm xong các bài tập trắc nghiệm tôi tổng quát lại kiến thức cho học sinh như sau: Tổng quát 8: Qũy tích các điểm biểu diễn số phức thuộc đường Elíp.

Vậy P 'max = 4, P 'min =

Tổng quát 8.1. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: z + c + z − c = 2a ( c ∈ ℝ, 2c < 2a ) . Tìm GTLN, GTNN của z . •

Khi đó M ( x; y ) thuộc đường elip có phương trình chính tắc:

x2 y2 + = 1 a > b > 0; b = a 2 − c 2 . Với A1 ( −a; 0 ) , A2 ( a; 0 ) , B1 ( 0; −b ) , B2 ( 0; b ) là các đỉnh của a2 b2 elip.

(

•

)

 z max = OA1 = OA2 = a khi z = ± a z = OM  z = OB = OB = b khi z = ±bi  min 1 2

Tổng quát 8.2.Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: z + ci + z − ci = 2a ( c ∈ ℝ, 2c < 2a ) . Tìm GTLN, GTNN của z . •

Khi đó M ( x; y ) thuộc đường elip có phương trình

x2 y2 + = 1 b = a2 − c2 b2 a2

(

)

(elip đứng nhân trục Oy làm trục đối xứng) Với A1 ( −a; 0 ) , A2 ( a; 0 ) , B1 ( 0; −b ) , B2 ( 0; b ) là các

đỉnh của elip.

•

 z min = OA1 = OA2 = a khi z = ± a z = OM  z  m ax = OB1 = OB2 = b khi z = ±bi

Tổng quát 8.3.Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: z + z1 + z − z2 = 2a . Tìm GTLN, GTNN của

z1 + z2 . 2 Gọi M , F1 , F2 , N lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z, z1 , z2 , z0

P = z − z0 với 2a > z1 − z2 ; z0 =

•

Khi đó M ( x; y ) thuộc đường elip nhận F1 , F2 làm 2 tiêu điểm ( N là trung điểm của F1 F2 ). 2

•

 z max = a  z −z  P = z − z0 = NM  (với b = a 2 −  1 2  ) z = b  2   min

Sau khi trang bị xong cho học sinh một loạt công thức tổng quát về cực trị của số phức, tôi cho học sinh làm các bài toán sau để củng cố: Bài tập củng cố: Câu 1: Biết các số phức z có tập hợp các điểm biểu diễn trong mặt phẳng tọa độ là hình vuông tô đậm như hình vẽ bên. (kể cả đường viền) 1. Mô đun lớn nhất của số phức z là:

A. z B. z C. z

max

= 1.

1 2

= 2 .

2 . 2 2. Mô đun nhỏ nhất của số phức z là:

D. z

max

A. z

min

= 0.

B. z

min

C. z

min

= 2.

D. z

min

2 . 2

Câu 2: Biết các số phức z có tập hợp các điểm biểu diễn trong mặt phẳng tọa độ là đường elip như hình vẽ bên. Mô đun nhỏ nhất của số phức z là:

1 . 2

A. z

min

B. z

min

=1 C. z

min

= 2.

3 min 2 Câu 3: Biết các số phức z có tập hợp các điểm biểu diễn trong mặt phẳng tọa độ là hình elip như hình vẽ bên. Mô đun lớn nhất của số phức z là: D. z

A. z B. z

max max

=1 . = 2. C. z

max

1 . 2

D. z

max

3 . 2

Cho số phức z = a + bi a, b ∈ ℝ thỏa mãn: z − 2 − 3i = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của

(

Câu 4:

)

z A. 1 + 13

C. 1 .

D. 3 .

13 − 1

−2 − 3i z +1 = 1 3 − 2i

Câu 5: Tìm giá trị lớn nhất của z , biết A. 2 .

C. 2 + 13

B. 2 .

Câu 6: Biết số phức z = a + bi, ( a, b ∈ ℝ ) thỏa mãn điều kiện z − 2 − 4i = z − 2i có mô đun nhỏ nhất. Tính P = a 2 + b 2 A. P = 8 .

Câu 7:

B. P = 10 .

Cho số phức z thỏa mãn điều kiện

C. P = 16 .

D. P = 26 .

z − 1 = 2 . Tìm giá trị lớn nhất của

T = z +i + z −2−i . A. max T = 8 2 .

B. max T = 4 .

Câu 8: Cho số phức z thỏa mãn iz +

C. max T = 4 2 .

D. max T = 8 .

2 2 + iz + = 4 . Gọi M và n lần lượt là giá trị lớn 1− i i −1

nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Tính M . n .

A. M . n = 2 .

B. M . n = 1 .

C. M . n = 2 2 .

M .n = 2 3 . Câu 9: Cho số phức z thỏa mãn z − 3 = 2 z và giá trị lớn nhất của z − 1 + 2i bằng a + b 2 . Tính a + b .

A. 4 .

B. 4 2 .

C. 3 .

Câu 10: Cho số phức z thỏa mãn z không phải số thực và w =

D. 4 . 3

z là số thực. Giá trị lớn 2 + z2

nhất của biểu thức P = z + 1 − i là

A. 2 2 .

C. 2 .

D. 8 .

Hướng dẫn giải: Câu 1: Câu 2: Câu 3: Câu 4: Câu 5:

Chọn C; Chọn A Chọn B Chọn A Chọn B

Câu 6: Chọn A Dễ thấy M ( z ) thuộc đường thẳng: x + y − 4 = 0

z min = OM min = d ( O, ∆ ) =

4 2 =2 2 ⇒ P = z =8 2

Câu 7: Chọn B Điểm M ( z ) thuộc đường tròn ( C ) tâm I (1;0 ) , R = 2

A ( z1 ) , B ( z2 ) : z1 = −i, z2 = 2 + i , gọi N là trung điểm của AB  AB 2  T = MA + MB ≤ 2 ( MA2 + MB 2 ) = 2  2 MN 2 + 2   2  z1 − z2  2 max T = 2  2 ( R + IN ) +  =4 2  

Câu 8: Chọn C. iz +

2 2 + iz + = 4 ⇔ z + 1 − i + z −1 + i = 4 . 1− i i −1

Đặt F1 ( −1;1) , F2 (1; −1) ⇒ F1 F2 = 2 2 < 4 . Suy ra quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là elíp có tiêu điểm F1 ( −1;1) , F2 (1; −1) và độ dài trục lớn là 2a = 4 và tiêu cự 2c = F1 F2 = 2 2 .

 M = max z = a = 2 ⇒ M .n = 2 2 . Khi đó:  2 2 n = min z = b = a − c = 2 Câu 9: .Chọn A. Gọi z = x + yi ( x, y ∈ ℝ ) . Khi đó z − 3 = 2 z ⇔ ( x − 3) + yi = 2 x + yi ⇔

( x − 3)

+ y2 = 2 x2 + y2

⇔ ( x − 3) + y 2 = 4 ( x 2 + y 2 ) ⇔ 3x 2 + 3 y 2 + 6 x − 9 = 0 ⇔ x 2 + y 2 + 2 x − 3 = 0 ⇔ ( x + 1) + y 2 = 2 2 Suy ra tập hợp các điểm M biểu diễn z chính là đường tròn tâm I ( −1; 0 ) , R = 2 Ta có z − 1 + 2i = z − (1 − 2i ) = MN , N (1; −2 ) . Dựa vào hình vẽ nhận thấy

lớn

nhất

khi

đi

qua

tâm.

Khi

đó

MN = NI + IM = 2 2 + R = 2 2 + 2 . Suy ra a = 2, b = 2. Do đó a + b = 2 + 2 = 4.

Câu 10: A. Xét z ≠ 0 suy ra

Suy ra

Vì

1 2 = z + . Gọi z = a + bi, b ≠ 0 w z

1 2  2a   2  = z+ = 2 + a − b 2 − 1 i 2 2 w z  a +b   a +b 

b = 0 1  2  − 1 = 0 ⇔  2 2 suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z trên ∈ ℝ nên b  2 2 w  a +b  a + b = 2

mặt phẳng Oxy là đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 = 2 . Xét điểm A ( −1;1) là điểm biểu diễn số phức z0 = −1 + i suy ra

P = MA ⇒ max P = OA + r = 2 2 . Với r là bán kính đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 = 2 .

Tài liệu tham khảo 1. Sách giáo khoa giải tích 12 cơ bản, nâng cao 2. Sách Bài tập giải tích lớp 12 Cơ bản, nâng cao 3. Tài liệu chuẩn kiến thức, kỹ năng môn Toán của Bộ giáo dục và đào tạo. 4. Tài liệu tham khảo,Intenet