www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
§11. Sử dụng máy tính cầm tay trong các bài toán
TP .Q
U
Bài tập 1: (Câu 23 đề minh họa của Bộ năm 2016). Tìm nguyên hàm của hàm số
Y
N
H Ơ
N
tìm nguyên hàm, tính tích phân và ưng dụng
f ( x ) = 2x −1 .
2x −1 + C .
∫ f ( x ) dx = 3 ( 2 x − 1)
D.
∫ f ( x ) dx = 2
1
2x −1 + C .
H
Cách giải nhanh trắc nghiệm bằng tay:
TR ẦN
Ta có: 1
f ( x ) dx = ∫
+1
1 ( 2 x − 1) 2 +C 2 x − 1dx = ∫ ( 2 x − 1) dx = 2 1 +1 2 1 2
3
2+
3
10
1 ( 2 x − 1) 2 1 = + C = ( 2 x − 1) 2 x − 1 + C 3 2 3 2
00
B
∫
2x −1 + C .
ẠO
−1 ∫ f ( x ) dx = 3 ( 2 x − 1)
1
B.
Đ
C.
2x −1 + C
G
∫ f ( x ) dx = 3 ( 2 x − 1)
Ư N
2
A.
ẤP
Vậy, đáp án B là đúng.
Ó
∫
1
2 x − 1dx = ∫ ( 2 x − 1) 2 dx chỉ đúng với x >
H
trên, mặc dù
A
C
Lứu ý: Do ở đâu là bài tập trắc nghiệm nên đề cho nhanh ta có thể viết như đã trình bày ở 1 1 , trong khi ở bài này x ≥ . 2 2
Í-
Cách giải bằng máy tính:
-L
Để kiểm tra một hàm số F(x) nào đó có pahir là nguyên hàm của hàm số f(x) hay không, ta là
TO
ÁN
như sau:
G
Bước 1: Nhập biểu thức
BỒ
ID Ư
Ỡ N
Bước 2: Nhấn
d ( F ( x ) ) − f ( A) vào máy. dx x= A
, máy hỏi nhập X?, ta nhấn dấu bằng để bỏ qua. Máy hỏi nhập A?, ta
nhập A tùy ý. Nếu nhập A tùy ý mà biểu thức ở bước 1 có kết quả luôn bằng 0 thì hàm số F(x) đang kiểm tra chính là nguyên hàm của hàm số f(x).
Trong bài toán nay, để kiểm tra đấp án A đúng hay sai, ta làm như sau:
Trang 1
Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
Bước 1: Nhập biểu thức Bước 2: Nhấn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
d 2 − 2 A − 1 vào máy. ( 2 x − 1) 2 x − 1 dx 3 x= A
H Ơ
N
, máy hỏi nhập X?, ta nhấn dấu bằng để bỏ qua. Máy hỏi nhập A?, ta
ẠO
TP .Q
U
Y
N
nhập A=2. Màn hình xuất hiện:
Do đó, đáp án A không phải là nguyên hàm của hàm số đã cho.
G
Đ
Tiếp tục kiểm tra với đáp án B.
Bước1: Nhấn phím
00
d 1 − 2 A −1 . ( 2 x − 1) 2 x − 1 dx 3 x= A
TR ẦN
1 trong đấp án B. Màn hình hiện 3
B
đáp án A bởi phân số
2 trong 3
H
Ư N
quay lại biểu thức vừa nhập ở bước 1, ta thay phân số
Bước 2: Nhấn
10
, máy hỏi nhập X?, ta nhấn dấu bằng để bỏ qua. Máy hỏi nhập A?, ta
Ó
A
C
ẤP
2+
3
nhập A=2. Màn hình xuất hiện:
Í-
H
Kết quả này xấp xỉ bằng 0.
Ỡ N
G
TO
ÁN
-L
Tiếp tục nhấn dấu bằng nhập A=3. Màn hình xuất hiện:
BỒ
ID Ư
Kết quả này cũng xấp xỉ bằng 0. Do đó, đáp án B là đáp án đúng.
Bài tập 2: Tính ∫ 2 A. 2
x +1
x
ln 2 dx . Kết quả sai là: x
+C .
(
B. 2 2
x
)
−1 + C .
(
C. 2 2
x
)
+1 + C .
D. 2
x
+C.
Trang 2
Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Cách giải nhanh trắc nghiệm bằng tay: Ta có:
= 2.2
x
+C = 2
x +1
N
2 x x = 2 ln 2. +C ln 2
H Ơ
( )
N
ln 2 dx = 2 ln 2∫ 2 x d x
+C
TP .Q
U
Các đáp án B và C sai khác với đáp án A một hằng số. Do đó, đáp án B và C cũng là kết quả
Y
∫2
x
đúng. Vậy, đáp án D là đáp án cần tìm.
ẠO
Cách giải bằng máy tính:
Bước 2: Nhấn
(
x +1
)
−2
A
x= A
ln 2 vào máy. A
G
d 2 dx
Ư N
Bước 1: Nhập biểu thức
Đ
Trong bài toán này, để kiểm tra đáp án A đúng hay sai, ta làm như sau:
H
, máy hỏi nhập X?, ta nhấn dấu bằng để bỏ qua. Máy hỏi nhập A?, ta
10
00
B
TR ẦN
nhập A=2. Màn hình xuất hiện:
2+
3
Kết quả này xấp xỉ bằng 0.
Í-
H
Ó
A
C
ẤP
Tiếp tục, nhấn dấu bằng và nhập A=6. Màn hình xuất hiện:
-L
Kết quả này xấp xỉ bằng 0. Do đó, đáp án A là đáp án đúng.
ÁN
Các đáp án B và C sai khác với đáp án A một hằng số. Do đó, đáp án B và C cũng là kết quả
TO
đúng. Vậy đáp án D là đáp án cần tìm. π
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
Bài tập 3. (Câu 25 đề minh họa của Bộ năm 2016). Tính tích phân I = ∫ cos3 x sin xdx . 0
1 A. I = − π 4 4
B. I = −π 4
1 D. I = − . 4
C. I = 0
Cách giải nhanh trắc nghiệm bằng tay: π
π
π
cos 4 x = cos sin = − cos cos = − =0 I x xdx xd x ( ) Ta có: ∫0 ∫0 4 0 3
3
Trang 3
Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Vậy, đáp án C là đáp án cần tìm.
Các giải bằng máy tính:
∫ cos
3
x sin xdx .
H Ơ
Nhập vào máy tính tích phân
N
π
N
0
G
Đ
ẠO
TP .Q
U
Y
Rồi nhấn đâu bằng. Màn hình xuất hiện
Ư N
Tức là:
0
Vậy đáp án ta chọn đáp án C.
TR ẦN
I = ∫ cos 3 x sin xdx = 0
H
π
3
10
00
B
Các thao tác trên máy tính, ta ấn liên tục các phím:
H
Ó
A
C
ẤP
2+
Khi đó màn hình máy tính hiện:
Í-
e
ÁN
-L
Bài tập 4. (Câu 26 đề minh họa của Bộ năm 2016). Tính tích phân I =
TO
A. I =
1 2
∫ x ln xdx . 1
B. I =
e2 − 2 2
C. I =
e2 + 1 4
D. I =
e2 − 1 . 4
Ỡ N
G
Cách giải nhanh trắc nghiệm bằng tay:
x2 1 dx và v = . Do đó x 2
BỒ
ID Ư
Đặt u = ln x và dv = xdx , ta có du =
Trang 4
Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
e
e
e
1
e2 1 + 4 4
H Ơ
=
N
e
Y
e2 x2 = − 2 4
N
x2 x I = ∫ x ln xdx = v = ln − ∫ dx 2 1 12 1
U
Vậy đáp án C là đáp án cần tìm.
TP .Q
Cách giải bằng máy tính: e
∫ x ln xdx
ẠO
Nhập vào máy tích phân
Đ
1
00
B
TR ẦN
H
Ư N
G
Rồi nhấn dấu bằng. Màn hình xuất hiện:
để lưu kết quả. Màn hình hiện
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
C
ẤP
2+
3
10
Ta nhấn
để xóa màn hình.
TO
Sau đó , ta nhấn
G
Tiếp theo ta lần lượt lấy A trừ các kết quả trong đáp án. Nếu đáp án nào cho kết quả là số 0
Ỡ N
thì đáp án đó là đáp án đúng.
BỒ
ID Ư
Kiểm tra với đáp án A. Nhập vào máy như sau
A−
1 2
Rồi nhấn dấu bằng,màn hình hiện
Trang 5
Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Y
N
H Ơ
N
www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
TP .Q
U
Vậy, đáp án A là không đúng. Kiểm tra với đáp án B. Nhập vào máy như sau
ẠO
e2 − 2 2
Đ
A−
B
TR ẦN
H
Ư N
G
Rồi nhấn dấu bằng, màn hình hiện
00
Vậy đáp án B cũng không đúng.
10
Kiểm tra với đáp án C. Nhập vào máy như sau
ẤP
2+
3
e2 + 1 A− 4
Í-
H
Ó
A
C
Rồi nhấn dấu bằng màn hình hiện
-L
Vậy đáp án C đúng.
ÁN
5
TO
Bài tập 5. Giả sử
dx
∫ 2 x − 1 = ln c . Giá trị của c là: 1
B. 3
C. 81
D. 8
G
A. 9
BỒ
ID Ư
Ỡ N
Cách giải nhanh trắc nghiệm bằng tay: Ta có 5
5
dx 1 1 ∫1 2 x − 1 = 2 ln 2 x − 1 1 = 2 ln 9 = ln 3 Vậy, đáp án B là đáp án cần tìm.
Trang 6
Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Cách giải bằng máy tính: 5
dx
∫ 2 x − 1dx − ln ( C )
N
Nhập vào máy tính biểu thức
H Ơ
1
N
, nhập C bởi các đáp án của bài toán. Nếu đáp án nào mà giá trị của biểu thức
Nhấn
, máy hỏi nhập X?, ta nhấn dấu bằng để bỏ qua. Máy
TP .Q
U
Kiểm tra với đáp án A. nhấn
Y
bằng 0 thì đá án đó là đúng.
H
Ư N
G
Đ
ẠO
hỏi nhập C?, ta nhập C=9, rồi nhấn dấu bằng. Màn hình hiện
TR ẦN
Vậy, đáp án A không đúng.
Kiểm tra với đáp án B. Tiếp tục nhấn dấu bằng máy hỏi nhập X ?, ta nhấn dấu bằng để bỏ
ẤP
2+
3
10
00
B
qua. Máy hỏi nhập C ?, ta nhập C=3, rồi nhấn dấu bằng. Màn hình hiện
Giá trị 5.99 ×10−12 ≈ 0 . Do đó, Đáp án đúng là đáp án B.
A
C
Lưu ý : Thao tác nhập biểu thức 5
-L
Í-
H
Ó
dx ∫1 2 x − 1dx − ln ( C ) .
TO
ÁN
Ta nhấn liên tiếp các phím :
G
Bài tập 6. (Câu 27 đề minh hoạn của bộ năm 2016). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
BỒ
ID Ư
Ỡ N
đồ thị hàm số y = x3 − x và đồ thị hàm số y = x − x 2 . A.
37 12
B.
9 4
C.
81 12
D. 13
Kết hợp bằng tay và máy tính: Phương trình hoành độ giao điểm
Trang 7
Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
x3 − x = x − x2 x = −2 ⇔ x + x − 2 x = 0 ⇔ x = 0 x = 1
H Ơ
N
2
N
3
S=
∫
x 3 + x 2 − 2 x dx =
−2
37 12
TP .Q
1
U
Y
Diện tích cần tìm là
ẠO
Để tính được giá trị của tích phân 1
x3 + x 2 − 2 x dx
Đ
∫
G
S=
Ư N
−2
H
Ta sử dụng máy tính như sau:
TR ẦN
Nhập vào máy tích phân 1
∫
x 3 + x 2 − 2 x dx
B
−2
A
C
ẤP
2+
3
10
00
Rồi nhấn dầu bằng. Màn hình xuất hiện:
để lưu kết quả. Màn hình hiện
G
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
Ta nhấn
để xóa màn hình.
Ỡ N
Sau đó, ta nhấn
BỒ
ID Ư
Tiếp theo ta lần lượt lấy A trừ các kết quả trong đáp án. Nếu đáp án nào cho kết quả là số 0
thì đáp án đó là đáp án đúng. Kiểm tra với đáp án A. Nhập vào máy như sau
A−
37 12
Trang 8
Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
4.539 × 10−11 ≈ 0 . Do đó,
TP .Q
U
trị
Giá
Y
N
H Ơ
N
Rồi nhấn dấu bằng,màn hình hiện
đáp án đúng là đáp án A.
ẠO
Lưu ý: Để nhập tích phân
Ư N
G
Đ
vào mát ta nhán liên tiếp các phím:
H
Bài tập 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường thằng x = 0, x = π và đồ thị hàm
A.
TR ẦN
số y = cos x, y = − sin x
B. 2 2
2
C. 3 2
00
B
Diện tích cần tìm là
D. 2 3
π
∫ sin x − cos x dx = 2
10
S=
2+
ẤP
Để tìm được giá trị của tích phân
2.
3
0
π
∫ sin x − cos x dx . 0
Ó
A
C
S =
H
Ta sử dụng máy tính như sau:
ÁN
-L
Í-
Nhập vào máy tích phân
π
∫ sin x − cos x dx . 0
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
Rôi nhấn dấu bằng. Màn hình xuất hiện:
Ta nhấn
để lưu kết quả. Màn hình hiện
Trang 9
Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
U
để xóa màn hình.
TP .Q
Sau đó, ta nhấn
Y
N
H Ơ
N
www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
Tiếp theo ta lần lượt lấy A trừ các kết quả trong đáp án. Nếu đáp án nào cho kết quả là số 0
ẠO
thì đáp án đó là đáp án đúng.
Đ
Kiểm tra với đáp án A. Nhập vào máy như sau
G
A− 2 .
10
Do đó, đáp án A không phải là đáp án đúng.
00
B
TR ẦN
H
Ư N
Rồi nhấn dấu bằng màn hình hiện
2+
3
Kiểm tra với đáp án B. Nhập vào máy như sau
ẤP
A−2 2 .
-L
Í-
H
Ó
A
C
Rồi nhấn dấu bằng màn hình hiện
ÁN
Do đó, đáp án B là đáp án đúng.
TO
Bài tập 8. (Câu 28 đề minh họa của Bộ năm 2016). Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi x
Ỡ N
G
đồ thị hàm số y = 2 ( x − 1) e , trục tung và trục hoành. Tính thể tích V của khối tròn xoay
BỒ
ID Ư
thu được khi quay hình (H) xung quanh trục Ox.
A. V = 4 − 2e 2
C. V = e − 5
B. V = ( 4 − 2e ) π
(
2
D. V = e − 5
)π
Kết hợp bằng tay và máy tính: Trang 10
Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
2 ( x − 1) e x = 0 ⇔ x = 1
Phương trình hoành độ giao điểm:
1
V = π ∫ 2 ( x − 1) e x
(
)
2
(
H Ơ
N
Thể tích cần tìm là
)
dx = e2 − 5 π
1
Y
N
0 2
TP .Q
U
Để tính được giá trị của tích phân V = π ∫ ( 2 ( x − 1) e x ) dx 0
1
ẠO
Ta sử dụng máy tính như sau: 2
Đ
x Nhập vào máy tích phân π ∫ ( 2 ( x − 1) e ) dx
G
0
00
B
TR ẦN
H
Ư N
Rồi nhấn dấu bằng. Màn hình xuất hiện
để lưu kết quả. Màn hình hiện
để xóa màn hình.
Í-
Sau đó, ta nhấn
H
Ó
A
C
ẤP
2+
3
10
Ta nhấn
-L
Tiếp theo ta lần lượt lấy A trừ các kết quả trong đáp án. Nếu đáp án nào cho kết quả là số 0
ÁN
thì đáp án đó là đáp án đúng.
A − ( 4 − 2e )
G
TO
Kiểm tra với đáp án A. Nhập vào máy như sau
BỒ
ID Ư
Ỡ N
Rồi nhấn dấu bằng màn hình hiện
Trang 11
Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Do đó, đáp án A không phải là đáp án đúng. Kiểm tra với đáp án B. Nhập vào máy như sau
H Ơ
N
A − ( 4 − 2e ) π
TP .Q
U
Y
N
Rồi nhấn dấu bằng màn hình hiện
phải là đáp án đúng.
ẠO
Do đó, đáp án B không
(
Đ
Kiểm tra với đáp án D. Nhập vào máy như sau
)
Ư N
G
A − e2 − 5 π ,
00
B
TR ẦN
H
Rồi nhấn dấu bằng màn hình hiện
3
10
Do đó, đáp án D là đáp án đúng.
+
3 − 2 x dx . Kết quả là: x
A
2
C
∫ x
11.1. Tính
ẤP
2+
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
x3 4 3 x − 3ln x − B. 3 3
Í-
H
Ó
x3 4 3 + 3ln x − x +C A. 3 3
x3 4 3 − 3ln x − x +C D. 3 3
ÁN
-L
x3 4 3 + 3ln x + x +C C. 3 3
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
x2 − x + 1 dx . 11.2. Tính nguyên hàm: ∫ x −1 A. x +
C.
1 +C x −1
B. 1 −
x2 + ln x − 1 + C 2
11.3. Tìm nguyên hàm của hàm số
1
( x − 1)
2
+C
2 D. x + ln x − 1 + C
y = x.e2 x
Trang 12
Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
2x C. 2e ( x − 2 ) + C
1 +C 1 + cos x
11.5. Hàm số F ( x ) =
B. x + 3ln x
C.
3 2+
H
Ó
A
B.
Í-
-L
x2 + 1
1
∫ 1+
x
ÁN
TO G Ỡ N ID Ư
N
x2 + 1
Đ
là
A. tan 3 x + C 11.10. Tính nguyên hàm
C. 2 x 2 + 1
B. 2 ln
D.
1 x +1
D.
1 3 tan x + C 3
2
x +1 + C
D. 2 x − 2 ln
x +1 + C
11.9. Tính nguyên hàm
BỒ
x
dx
A. 2 x + C
C. 2 2 − 2 ln
D. − x sin x − cos x + C
C
ẤP
11.7. Một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
11.8. Tính nguyên hàm
3 . x2
B. x sin x + cos x + C
C. x cos x − sin x + C
)
D. −
10
A. − x cos x + sin x + C
x2 + 1
3 x2
00
11.6. Nguyên hàm của f ( x ) = x sin x là:
(
U
x−3 là một nguyên hàm của hàm số nào? x
A. x − 3ln x
A. ln
x +C 2
G
D. 2 ln cos
Ư N
x +C 2
ẠO
B. ln (1 + cos x ) + C
H
ln cos
Y
sin x 1 + cos x
TP .Q
y=
B
C.
1 2x e ( x − 2) + C 2
D.
11.4. Tìm nguyên hàm của hàm số A. ln
1 +C 2
N
2x B. 2e x −
H Ơ
1 2x 1 e x− +C 2 2
TR ẦN
A.
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
x +1 + C
sin 2 x ∫ cos 4 x dx
B.
1 tan x + C 3
C. 3 tan 3 x + C
cos 2 x
∫ sin x + cos x dx
Trang 13
Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
A. sin x + cos x + C
B. − sin x + cos x + C
C. 2sin x − cos x + C
D. 2sin x + cos x + C
N
π
1 − sin 3 x dx 11.11. Tính tích phân ∫ 2 π sin x
N
H Ơ
4
3+ 2 −2 2
B.
3+ 2 2
C.
3+2 2 −2 2
D.
TP .Q
3−2 2
A.
a
cos 2 x
ẠO
π
1
∫ 1 + 2sin 2 x dx = 4 ln 3 . Tìm giá trị của a
Đ
11.12. Cho
G
0
C. 4
B. 2
D. 6
Ư N
A. 3
2
1
7 3
0
B. 2 ln 2 + 3ln 3
C
0
A. e − 1
C. 2 ln 2 + ln 3
D. 2 ln 3 + ln 4
ẤP
11.15. Tính tích phân I = ∫ e − x dx
8 7 ln 2 − 3 9
2+
1
D.
00
2
3
A. 2 ln 3 + 3ln 2
5x + 7 dx x + 3x + 2
8 7 ln 2 − 3 3
10
2
11.14. Tính tích phân I = ∫
C.
B
B. 24 ln 2 − 7
TR ẦN
H
11.13. Tính tích phân I = ∫ x 2 ln xdx A. 8ln 2 −
U
Y
6
1 −1 e
C. 1 −
1 e
D.
1 +1 e
D.
10 3
H
Ó
A
B.
2
∫
-L
Í-
11.16. Tính tích phân
0
π
B.
G
TO
ÁN
A.
5π 3
C.
8 3
π 4
∫ cot xdx π 6
A. − ln 2
B. ln 2
C. ln 4
D. ln 2
BỒ
ID Ư
Ỡ N
11.17. Tính tích phân
4 − x 2 xdx
Trang 14
Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
π 2
∫ x cos xdx
N
11.18. Tính tích phân
2
B.
−2
π
C.
2
π 2
+1
D.
π
e −1 2
D.
e −1 2e
2
−1
N
π
Y
A.
H Ơ
0
U
1
11.19. Tính tích phân I = ∫ e− x xdx e −1 2
B.
2e + 1 2e
C. −
Đ
A.
π
G
2
2
H
−
Ư N
∫π sin 2 x cos xdx
A. 0
B. 1
C.
∫x
2
ln xdx 2e 3 − 1 9
C.
2+
B.
3
2e 3 + 1 9
10
1
A.
1 6
D.
e3 + 2 9
00
11.21. Tính tích phân
D.
B
e
1 3
TR ẦN
11.20. Tính tích phân
ẠO
0
TP .Q
2
e3 − 2 9
ẤP
11.22. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = 2 − x 2 và y = x B. 7
C.
9 2
D.
11 2
Ó
A
C
A. 5
-L
A. 0
Í-
H
11.23. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = x3 và y = x 5 B. 4
C.
1 6
D. 2
TO
ÁN
11.24. Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = 2 x − x 2 và y = 0 . Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng đó khi nó quay quanh trục Ox
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
A.
16π 15
B.
17π 15
C.
18π 15
D.
19π 15
11.25. Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số x = 0; x = 1; y = 3 x; y = x . Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng đó khi nó quay quanh trục Ox
A.
8π 3
B.
8π 2 3
C. 8π 2
D. 8π
Trang 15
Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
11.7. B
11.8. C
11.9. D
11.10. A
11.11. B
11.12. D
11.13. D
11.14. A
11.15. C
11.16. A
11.17. D
11.18. D
11.19. D
11.20. A
11.21. A
11.22. C
11.23. C
11.24. A
11.25. A
H Ơ
11.6. A
N
11.5. A
Y
11.4. A
U
11.3. A
TP .Q
11.2. C
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
C
ẤP
2+
3
10
00
B
TR ẦN
H
Ư N
G
Đ
ẠO
11.1. A
N
§11
Trang 16
Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
B.
H Ơ C.
9 4 − i 5 5
D.
9 23 − i 25 25
Cách giải nhanh trắc nghiệm bằng tay:
ẠO
Ta có:
Đ
3 − 4i ( 3 − 4i )( 4 + i ) 16 − 3i 16 13 = = = − i 4−i 17 17 17 ( 4 − i )( 4 + i )
G
z=
N
16 11 − i 15 15
Y
16 13 − i 17 17
TP .Q
A.
3 − 4i 4−i
U
Bài tập 1. Số phức bằng: z =
N
§12. Sử dụng máy tính cầm tay trong các bài toán số phức
Ư N
Do đó, ta chọn dáp án A.
H
Cách giải bằng máy tính:
TR ẦN
3 − 4i , rồi nhấn dấu bằng. Màn hình xuất hiện 4−i
2+
3
10
00
B
Nhập vào máy tính biểu thức
ẤP
Do đó, ta chọn đáp án A.
3 − 4i vào máy ta nhân liên tục các phím như sau: 4−i
H
Ó
A
C
Lưu ý: Để nhập biểu thức
A. − 2
-L
Í-
Bài tập 2: Phần ảo của số phức z thỏa mãn là: z = B.
(
2
) (1 − 2i )
2 +1
C. 2
2
D. −2
ÁN
Cách giải nhanh trắc nghiệm bằng tay:
z=
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
Ta có:
(
2
) (1 − 2i ) = (1 + 2 2i )(1 − 2 2i ) = 5 +
2 +1
2i
Suy ra z = 5 + 2i
Vậy phần ảo của số phức z là − 2 . Do đó, ta chọn đáp án A.
Cách giải bằng máy tính: Nhập vào máy biểu thức
(
2
) (1 − 2i ) rồi nhấn dấu bằng. Màn hình xuất hiện
2 +1
Trang 1
Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
N
H Ơ
N
www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
Y
Tức là ta tính được z = 5 + 2i . Suy ra z = 5 − 2i
TP .Q
U
Vậy phần ảo của số phức z là − 2 . Do đó, ta chọn đáp án A.
C. z1 + z2 = 1
D. z1 + z2 = 5
H
Cách giải nhanh trắc nghiệm bằng tay:
G
B. z1 + z2 = 5
Ư N
A. z1 + z2 = 13
Đ
Cho hai số phức z1 = 1 + i và z2 = 2 − 3i . Tính môđun của số phức z1 + z2 .
ẠO
Bài tập 3. (Câu 30 đề minh họa của Bộ năm 2016).
TR ẦN
Ta có: z1 + z2 = 1 + i + 2 − 3i = 3 − 2i Suy ra z1 + z2 = 4 + 9 = 13
00
B
Do đó, ta chọn đáp án A.
10
Cách giải bằng máy tính:
Ó
A
C
ẤP
2+
3
Nhập vào máy biểu thức 1 + i + 2 − 3i , rồi nhấn dấu bằng. màn hình xuất hiện
Í-
H
Do đó, ta chọn đáp án A
ÁN
-L
Lưu ý. Để nhập biểu thức 1 + i + 2 − 3i vào máy ta nhân liên tục các phím như sau:
TO
Bài tập 4: (Câu 32 đề minh họa của Bộ năm 2016). Cho số phức z = 2 + 5i . Tìm số phức
Ỡ N
G
w = iz + z
A. w = 7 − 3i
B. w = −3 − 3i
C. w = 3 − 7i
D. w = −7 − 7i
BỒ
ID Ư
Cách giải nhanh trắc nghiệm bằng tay: Ta có:
w = i ( 2 + 5i ) + ( 2 − 5i ) = 2i − 5 + 2 − 5i = −3 − 3i Do đó, ta chọn đáp án B.
Trang 2
Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Cách giải bằng máy tính:
TP .Q
U
Y
N
H Ơ
N
Nhập vào máy biểu thức i ( 2 + 5i ) + 2 − 5i rồi nhấn dấu bằng. Màn hình xuất hiện
Bài tập 5. (Câu 33 đề minh họa của Bộ năm 2016). Kí hiệu z1 , z2 , z3 , z4 là bốn nghiệm
B. T = 2 3
C. T = 4 + 2 3
D. T = 2 + 2 3
Ư N
H
Cách giải kết hợp bằng tay và máy tính:
G
Đ
A. T = 4
ẠO
phức của phương trình z 4 − z 2 − 12 = 0 . Tính tổng T = z1 + z2 + z3 + z4
TR ẦN
Ta có:
3
10
00
B
z = −i 3 2 z = − 3 z =i 3 z 4 − z 2 − 12 = 0 ⇔ 2 ⇔ z = 4 z = 2 z = −2
2+
Suy ra
C
ẤP
T = z1 + z2 + z3 + z4 = −i 3 + i 3 + 2 + −2 = 4 + 2 3
Ó
A
Do đó, ta chọn đáp án C.
2
H
Bài tập 6: Cho số phức z thỏa (1 + i ) ( 2 − i ) z = 8 + i + (1 + 2i ) z . Tìm phần thực của số phức z B. -3.
C. 2.
D. -1.
-L
Í-
A. -6.
ÁN
Cách giải nhanh trắc nghiệm bằng tay:
TO
Ta có:
(1 + i ) ( 2 − i ) z = 8 + i + (1 + 2i ) z ⇔ (1 + i ) ( 2 − i ) − (1 + 2i ) z = 8 + i 2
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
2
⇔ 2i ( 2 − i ) − 1 − 2i z = 8 + i ⇔ [ 4i + 2 − 1 − 2i ] z = 8 + i
⇔ ( 2i + 1) z = 8 + i ⇔ z =
( 8 + i )( −2i + 1) = 2 − 3i 8+i = 2i + 1 ( 2i + 1)( −2i + 1)
Suy ra phần thực của số phức z là số 2. Do đó, ta chọn đáp án B.
Cách giải bằng máy tính: Trang 3
Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Ta thao tác trên máy tính liên tục các bước như sau:
Bước 1: Nhập vào máy tính biểu thức 2
H Ơ
N
(1 + i ) ( 2 − i ) − (1 + 2i )
ẠO
TP .Q
U
Y
N
Rồi nhấn dấu bằng, Màn hình hiện
TR ẦN
H
Ư N
G
Đ
Bước 2: Nhấn AC rồi nhập vào máy tính như màn hình
2+
3
10
00
B
Rồi nhấn dấu bằng. Màn hình xuất hiện
ẤP
Tức là z = 2 − 3i . Suy ra phần thực của số phức z là số 2. Do đó, ta chọn đáp án B.
C
Lưu ý: Để tìm nhanh đáp án bằng tất cả các thao tác trên máy tính ta nhân liên tục các phím
-L
Í-
H
Ó
A
sau:
2 (1 + 2i )
1+ i
= 7 + 8i . Tính môđun của số phức
TO
ÁN
Bài tập 7: Cho số phức z thỏa mãn ( 2 + i ) z +
ω = z +1+ i
Ỡ N
G
A. 3.
B. 4.
C. 5.
D. 8.
Ta có:
BỒ
ID Ư
Cách giải nhanh trắc nghiệm bằng tay:
Trang 4
Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
1+ i
= 7 + 8i ⇔ ( 2 + i ) z = 7 + 8i −
⇔ ( 2 + i ) z = 7 + 8i −
⇔ ( 2 + i ) z = 4 + 7i
Y
N
4 + 7i = 3 + 2i 2+i
ω = z + 1 + i = 3 + 2i + 1 + i = 4 + 3i
TP .Q
Suy ra
1+ i
1+ i
U
⇔z=
2 (1 + 2i )
2 (1 + 2i )
N
2 (1 + 2i )
H Ơ
(2 + i) z +
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
ẠO
Vậy ω = 4 + 3i = 5 . Do đó, ta chọn đáp án C.
Đ
Cách giải bằng máy tính:
G
Ta thao tác trên máy tính liên tục các bước sau:
1+ i
,
H
2 (1 + 2i )
TR ẦN
7 + 8i −
Ư N
Bước 1: Nhập vào máy tính biểu thức
2+
3
10
00
B
Rồi nhấn dấu bằng. Màn hình hiện
ẤP
Bước 2: Nhấn
-L
Í-
H
Ó
A
C
, rồi nhập vào máy như màn hình
Bước 3: Nhấn
,rồi nhập vào máy như màn hình
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
ÁN
Rồi nhấn dấu bằng. Màn hình xuất hiện
Trang 5
Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
4:
U
Nhấn , rồi nhập vào máy tính như mà hình
Ư N
G
Đ
ẠO
TP .Q
Bước
Y
N
H Ơ
N
Rồi nhấn dấu bằng. Màn hình xuất hiện
10
00
B
TR ẦN
H
Rồi nhấn dấu bằng. Màn hình xuất hiện
3
Do đó, ta chon đáp án C.
2+
Lưu ý: Để tìm nhanh đáp án bằng tất cả các thao tác trên máy tính ta nhấn liên tục các phím
Í-
H
Ó
A
C
ẤP
sau:
-L
Bài tập 8: Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 + 2 z + 10 = 0 . Tính giá trị 2
ÁN
của biểu thức A = z1 + z2
B. 15.
TO
A. 10.
2
C. 20.
D. 25.
G
Cách giải nhanh trắc nghiệm bằng tay:
BỒ
ID Ư
Ỡ N
Ta có:
z = −1 + 3i z 2 + 2 z + 10 = 0 ⇔ z = −1 − 3i
Suy ra 2
2
A = −1 + 3i + −1 − 3i = 10 + 10 Trang 6
Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Do đó, ta chọn đáp án C.
Cách giải bằng máy tính:
Y
N
H Ơ
N
Ta thao tác trên máy tính ta nhấn liên tục các phím sau:
G
Đ
ẠO
TP .Q
U
Màn hình xuất hiện
z = 2 + 3i B. . z = −2 + 3i
z = −2 + 3i C. . z = 2 − 3i
TR ẦN
z = 2 + 3i A. . z = 2 − 3i
H
Bài tập 9: Cho số phức u = −5 + 12i . Tìm số phức z thỏa z 2 = u
Ư N
Do đó, ta chon đáp án C.
B
Cách giải nhanh trắc nghiệm bằng tay:
z = −2 + 3i D. . z = −2 − 3i
00
Đặt z = a + bi, a, b ∈ ℝ
10
Khi đó
= −5 + 12i ⇔ a 2 − b 2 + 2abi = −5 + 12i
3
2
2+
( a + bi )
ẤP
2 36 a 4 + 5a 2 − 36 = 0 a − 2 = −5 a − b = −5 a ⇔ ⇔ ⇔ 6 6 2ab = 12 b = b = a a 2
Ó
A
C
2
TO
ÁN
-L
Í-
H
a = 2 a 2 = 4 b = 3 ⇔ ⇔ 6 a = −2 b = a b = −3
G
Vậy có hai số phức thỏa bài toán là: z = 2 + 3i, z = −2 − 3i
Cách giải bằng máy tính:
Ta thao tác trên máy tính liên tục các bước sau:
BỒ
ID Ư
Ỡ N
Do đó, ta chọn đáp án C.
Trang 7
Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
2
H Ơ
N
Từ màn hình ta thấy với z = 2 + 3i thì z 2 = u . Vì z 2 = u và ( − z ) = u
N
Nên ta suy ra có hai số phức thỏa bài toán là:
U
Y
z = 2 + 3i, z = −2 − 3i
TP .Q
Do đó, ta chọn đáp án B.
Bài tập 10: Trong ℂ , phương trình z 2 + 3iz + 4 = 0 có nghiệm là: z = i B. . z = −4i
z = 2 − 3i D. . z = 1+ i
ẠO
z = 1+ i . C. z = 3i
Đ
z = 3i A. . z = 4i
Ư N
G
Cách giải bằng máy tính:
H
Bước 1: Nhập vào máy tính biểu thức:
Bước 2: Nhấn
TR ẦN
z 2 + 3iz + 4
, máy hỏi nhaapjX?. Ta nhập X bởi các đáp án của bài toán. Nếu đáp
B
án nào cho giá trị của biểu thức bằng 0 thì đáp án đó là nghiệm của phương trình.
C
ẤP
2+
3
10
00
Cụ thể, với đáp án A, ta nhập X = 3i . Màn hình xuất hiện
A
Vậy đáp án A là không đúng.
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
Tiếp tục nhấn dấu bằng với đáp án B, ta nhập X = i. Màn hình xuất hiện
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
Rồi nhấn dấu bằng, nhập X = -4i. Màn hình xuất hiện
Vậy, đáp án B là đáp án đúng.
Trang 8
Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Bài tập 11. Cho phương trình z 2 + bz + c = 0 . Nếu phương trình nhận làm một nghiệm thì b
C. b = -2, c = 2.
D. b = 4, c = 3.
H Ơ
B. b = 1, c = 3.
N
A. b = 3, c = 5.
N
và c bằng
Y
Cách giải bằng máy tính: 2
vào máy biểu thức: (1 + i ) + B (1 + i ) + C
Bước 2: Nhấn
, máy hỏi nhập B?., ta nhập số b trong các đáp án rồi nhấn dấu bằng.
TP .Q
U
Bước 1: Nhập
ẠO
máy hỏi nhập c cũng trong đáp án đó rồi nhấn dấu bằng. Nếu đáp án nào có giá trị của biểu
Đ
thức bằng 0 thì đáp án đó là đáp án đúng.
. Máy hỏi nhập B?, ta nhập B = 3, rồi nhấn dấu bằng.
Ư N
G
Cụ thể, với đáp án A, ta nhấn
10
Do đó, đáp án A không phải là đáp án đúng.
00
B
TR ẦN
H
Máy hỏi nhập C?, ta nhập C = 5, rồi nhấn dấu bằng. Màn hình xuất hiện
3
Tiếp tục nhấn dấu bằng (với đáp án B). Máy hỏi nhập B?, ta nhập B = 1, rồi nhấn dấu bằng.
H
Ó
A
C
ẤP
2+
Máy hỏi nhập C?. ta nhập C = 3, rồi nhấn dấu bằng. Màn hình xuất hiện
Í-
Do đó, đáp án B cũng không phải đáp án đúng.
-L
Tiếp tục nhấn dấu bằng (với đáp án C). Máy hỏi nhập B?, ta nhập B = -2, rồi nhấn dấu bằng.
Vậy đáp án C là đáp án đúng
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
ÁN
Máy hỏi nhập C?. ta nhập C = 2, rồi nhấn dấu bằng. Màn hình xuất hiện
Trang 9
Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
BÀI TẬP TỰ LUYỆN 2
B. 3
C. 5
H Ơ
A. 7
N
12.1. Cho số phức z thỏa z = 5 + 2i − (1 + i ) . Tìm môđun của số phức z. D. 2
N
3
C. -9
D. 9.
U
B. -13
TP .Q
A. 13
Y
12.2. Cho số phức z thỏa z + 2 z = ( 2 − i ) (1 − i ) . Tìm phần ảo của số phức z.
12.3. Cho hai số phức thỏa z1 = 2 + 3i, z2 = 1 + i . Tính giá trị của biểu thức z1 + 3 z2 B. 6
C.
D.
61
55
ẠO
A. 5
2
B. 7
1− i
A. 8 2
. Tính môđun của số phức w = z + iz
B. 7 2
A. 6 2
C. 6 2
D. 9 2
B
(1 + i )( 2 − i ) . Tính môđun của số phức z 1 + 1i
10
12.6. Cho số phức z thỏa mãn z =
H
3
TR ẦN
(1 − 3i ) 12.5. Cho số phức z thỏa mãn z =
D. 21.
Ư N
C. 14
00
A. 10
2
G
Đ
12.4. Gọi z1,z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 + 4 z + 7 = 0 . Tính z1 + z2
C. 2 2
D.
2
3
B. 3 2
2+
12.7. Cho số phức z thỏa mãn z1 = 3 + i, z2 = 2 − i . Tính giá trị của biểu thức A = z1 + z1 z2 . B. 10
ẤP
A. 0
C. -10
D. 100.
A. z = 1 + 2i
Ó
A
C
12.8. Tính z = i + ( 2 − 4i ) − ( 3 − 2i )
12.9. Tính z =
3 + 2i 1 − i + 1 − i 3 + 2i
C. z = 5 + 3i
Í-
B. z =
TO
-L
21 61 + i 26 26
15 55 + i 26 26
D. z =
ÁN
A. z =
−21 61 + i 26 26 2 6 + i 13 13
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
C. z =
D. z = −1 − i
H
B. z = −1 − 2i
1 3 12.10. Cho số phức z = − + i . Tìm số phức w = 1 + z + z 2 2 2 1 3 i A. z = − + 2 2
B. 2 − 3i
C. 1
D. 0.
12.11. Giải phương trình z 2 + 4 = 0 trên tập số phức ℂ Trang 10
Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
z = 1 + 2i B. z = 1 − 2i
z = 2i A. z = −2i
z = 1+ i C. z = 3 − 2i
z = 5 + 2i D. z = 3 − 5i
z = i D. z = −2 + 5i
B. ± (1 − 2i ) ; ± (1 + 2i )
C. ± (1 − 3i ) ; ± (1 + 3i )
D. ± (1 − 4i ) ; ± (1 + 4i )
(
2 + 3i
)
2
B. z = 11 − 6i
C. z = 4 + 3i
D. z = −1 − i
G
B
A. z = −7 + 6 2i
2+
12.17. Tính z = i ( 2 − i )( 3 + i )
B. z = 1 + 7i
C. z = −9i
D. z = 4 − 9i
C. z = 6
D. z = 5i
C. 3 − 2i
D. 4 + 3i
C. 54 − 27i
D. 2 + 24i
C. -4
D. 4.
C. ( 3; 2 )
D. ( 4; −1)
C
3
A
12.18. Tính z = (1 + i )
ẤP
A. z = 2 + 5i
10
B. z = 13
3
A. z = 4
00
12.16. Tính z = ( 2 + 3i )( 2 − 3i )
A. −2 + 2i
D. 4 + i
TR ẦN
12.15. Tính z =
C. 3 − 2i
Ư N
B. 2 + i
H
A. −4 − 3i
Đ
12.14. Cho P ( z ) = z 3 + 2 z − 3 z + 1 . Khi đó P (1 − i ) bằng:
ẠO
A. ± (1 − i ) ; ± (1 + i )
TP .Q
U
12.13. Trong ℂ , phương trình có nghiệm là:
H Ơ
z = 2i C. z = −1 + i
N
z = 5 + 3i B. z = 2 − i
Y
z = 3i A. z = −2 + i
N
12.12. Trong ℂ , phương trình z 2 + (1 − 3i ) z − 2 (1 + i ) = 0 có nghiệm là:
H
Ó
B. 4 + 4i
-L
A. −46 − 9i
Í-
12.19. Nếu z = 2 − 3i thì z3 bằng: B. 46 + 9i 4
ÁN
12.20. Số phức z = (1 − i ) bằng
TO
A. 2i
B. 4i
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
12.21. Điểm biểu diễn của số phức z = A. ( 2;3)
2 3 B. ; 13 13
1 là: 2 − 3i
12.22. Cho số phức z = 1 − 3i . Tìm số phức nghịch đảo của số phức z
Trang 11
Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
1 3 i + 2 2
B. z −1 =
C. z −1 = 1 + 3i
1 3 i + 4 4
2
bằng:
1 3 i B. − + 2 2
C. 1 + 3i
D.
3 −1
TP .Q
1 3 i A. − − 2 2
C. z = 1 + 2i
H
B. z = 2 + i
D. z = 4 − 3i
TR ẦN
A. z = 1 − 2i
Ư N
12.25. Trong ℂ , phương trình iz + 2 − i = 0 có nghiệm là:
z = 1 + 2i D. z = 2 − i
Đ
z = 1 + 2i C. z = −1 − 2i
G
2 + 2i B. z = 2 − i
ẠO
12.24. Cho số phức u = −1 + 2 2i . Tìm số phức z thỏa z 2 = u z = 2 + i A. z = 2 2 − i
U
Y
()
H Ơ
1 3 12.23. Cho số phức z = − + i . Số phức z 2 2
N
D. z −1 = −1 + 3i
N
A. z −1 =
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
12.26. Trong ℂ , phương trình ( 2 + 3i ) z = z − 1 có nghiệm là:
B
2 3 + i 5 5
00
C. z =
B. z = − D. z =
10
7 9 + i 10 10
1 3 + i 10 10
6 2 − i 5 5
3
A. z =
B. z =
4 8 − i 5 5
D. z =
6 2 − i 5 5
C
2 3 + i 5 5
A
C. z =
Ó
8 4 − i 5 5
H
A. z =
ẤP
2+
12.27. Trong ℂ , phương trình ( 2 − i ) z − 4 = 0 có nghiệm là:
(
)
z = 1 A. z = 2 − 3i
z = 2i B. z = 5 + 3i
z = 0 C. z = 2 + 3i
z = 3i D. z = 2 − 5i
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
ÁN
-L
Í-
12.28. Trong ℂ , phương trình ( iz ) z − 2 + 3i = 0 có nghiệm là:
12.29. Trong ℂ , phương trình A. z = 2 − i
4 = 1 − i có nghiệm là: z +1
B. z = 3 + 2i
C. z = 5 − 3i
D. z = 1 + 2i
12.30. Trong ℂ , phương trình có nghiệm là:
Trang 12
Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
1 + 3i z = 2 B. 1 − 3i z = 2
1 + 5i z = 2 C. 1 − 5i z = 2
z = 3 + 5i D. z = 3 − 5i
(
TP .Q
U
Y
N
2 + 3i z = 2 A. 2 − 3i z = 2
N
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
H Ơ
www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
)
C.
1 2
1 3
Đ
3 2
B.
D.
G
2 3
Ư N
A.
ẠO
12.31. Môđun của số phức z thỏa mãn phương trình ( 2 z − 1)(1 + i ) + z + 1 (1 − i ) = 2 − 2i là
z = 3 + 2i B. z = 5 − 2i
z = 3 + i C. z = 1 + 2i
TR ẦN
z = 3 + i A. z = 1 − 2i
H
12.32. Tìm hai số phức biết rằng tổng của chúng bằng ( 4 − i ) và tích của chúng bằng 5 (1 − i ) z = 1+ i D. z = 2 − 3i
2 ( −1 + i ) , i 2
B. 1 − i. − 1 + i, 2i
10
2
,
3
2 (1 − i )
A.
00
B
12.33. Trong ℂ , phương trình ( z 2 + i )( z 2 − 2iz − 1) = 0 có nghiệm là:
D. 1 − 2i , −15i ,3i
ẤP
2+
3 3 (1 − 2i ) , ( −2 + i ) , 4i 2 2
C.
C
12.34. Trong ℂ , phương trình z 4 + 6 z 2 + 25 = 0 có nghiệm là: A. ±3 ± 4i
Ó
-L
)
Í-
H
12.35. Trong ℂ , phương trình z +
(
C. ±8 ± 5i
A
B. ±5 ± 2i
1 = 2i có nghiệm là: z
(
)
B. 5 ± 2 i
(
)
C. 1 ± 3 i
(
)
D. −1;
5±i 3 4
D. 2 ± 5 i
ÁN
A. 1 ± 2 i
D. ±2 ± 1
TO
12.36. Trong ℂ , phương trình z 3 + 1 = 0 có nghiệm là:
Ỡ N
G
A. −1;
1± i 3 2
B. −1;
2±i 3 2
C. −1;
1± i 5 4
A. ±2, ±2i
B. ±3, ±4i
C. ±1, ±i
D. ±1, ±2i
BỒ
ID Ư
12.37. Trong ℂ , phương trình z 4 − 1 = 0 có nghiệm là:
Trang 13
Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
12.38. Cho hai số phức z1 =
−1 − 5i 5 −1 + 5i 5 , z2 = . Phương trình bậc hai nhận z1, z2 3 3 B. 3 z 2 + 2 z + 42 = 0
C. 2 z 2 + 3 z + 4 = 0
D. z 2 + 2 z + 27 = 0
U
Y
N
A. z 2 − 2 z + 9 = 0
H Ơ
N
làm nghiệm là
20
A. -1024
B. 1024i
TP .Q
12.39. Tính (1 − i ) , ta được: C. 512 (1 + i )
D. 512 (1 − i )
ẠO
12.40. Đẳng thức nào trong các đẳng thức sau đây là đúng? B. (1 + i ) = 16i
8
8
D. (1 + i ) = −16i
TR ẦN
H
12.41. Cho số phức u = 3 + 4i . Tìm số phức z thỏa z 2 = u z = 2 + i B. z = −2 − i
z = 4 + i C. z = −4 − i
B
z = 1+ i A. z = 1− i
G
Ư N
8
C. (1 + i ) = 16
Đ
8
A. (1 + i ) = −16
z = 1 + 2i D. z = 2 − i
2
10
11 19 − i 2 2
C. z =
3
B. z = 11 − 19i
11 19 + i 2 2
2+
A. z =
00
12.42. Số phức z thỏa mãn phương trình z + 3 z = ( 3 − 2i ) ( 2 + i ) là: D. z = 11 + 19i
3
ẤP
12.43. Phần ảo của số phức z thỏa phương trình z + 3 z = ( 2 + i ) ( 2 − i ) là: B. -10
A Ó
(
5 z+i
z +1
15 4
D. −
C. 13 2
D.
3
TO
1 1 1 12.45. Tính giá trị biểu thức P = z + + z 2 + 2 + z 3 + 3 z z z B. 13
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
A. 1
15 4
) = 2 − i . Môđun của số phức ω = 1 + z + z
B. 9
ÁN
-L
Í-
H
12.44. Cho số phức z thỏa mãn A. 4
C.
C
A. 10
C. 3
5
2
là:
3.
1 3 i với z = − + 2 2
D. 16
§12 12.1. A
12.2. A
12.3. C
12.4. C
12.5. A
12.6. D
12.7. B
12.8. D
12.9.C
12.10. D
12.11. A Trang 14
12.12. C
12.13.A
12.14. A
12.15. A
Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
12.20. C
12.21. B
12.22. B
12.23. B
12.24. C
12.25. C
12.26. B
12.27. A
12.28. C
12.29.D
12.30.B
12.31. A
12.32. C
12.33. A
12.34. D
12.35. A
12.36. A
12.37. C
12.38.B
12.39. A
12.40.C
12.41. B
12.42. A
12.43. B
12.44. D
12.45.D
H Ơ
12.19. A
N
12.18. A
Y
12.17. B
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
C
ẤP
2+
3
10
00
B
TR ẦN
H
Ư N
G
Đ
ẠO
TP .Q
12.16. B
N
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
U
www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
Trang 15
Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
§13. Sử dụng máy tính cầm tay trong các bài toán hình học giải tích trong không gian
B. u = ( 0; −27;3)
C. u = ( 0; −27; −3)
các
vecto
D. u = ( 0; 27; −3)
H Ơ
A. u = ( 0; 27;3)
cho
N
Bài tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, a = ( 2; −5;3) , b = ( 0;2; −1) , c = (1;7; 2 ) . Tìm tọa độ của vecto u = a − 4b − 2c
Y
N
Cách giải bằng máy tính:
TP .Q
U
Ta thực hiện như sau:
Đ
ẠO
(nhập vecto a ) (nhập vecto b ) (nhập vecto c )
G
(xóa màn hình)
Ư N
(tìm tọa độ vecto u )
10
00
B
TR ẦN
H
Màn hình hiện
3
Vậy, u = ( 0; −27;3) . Do đó đáp án đúng là đáp án B
C. 11
D. 0
H
Ó
A
A. -13 B. 13 Cách giải bằng máy tính:
C
ẤP
2+
Bài tập 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vecto a = ( 2; −5;3) và b = ( 0; 2; −1) . Tính a.b
Ỡ N
G
TO
ÁN
-L
Í-
Ta thực hiện như sau:
(nhập vecto a ) (nhập vecto b ) (xóa màn hình) Tính a.b
BỒ
ID Ư
Màn hình hiện
Trang 1
Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Vậy a.b = −13 . Do đó, ta chọn đáp án A
H Ơ
D. a.b = ( −1; 2; −4 )
N
C. a.b = ( −1; 2; 4 )
Ta thực hiện như sau:
Đ
ẠO
(nhập vecto a ) (nhập vecto b )
TP .Q
U
Y
A. a.b = (1; 2; 4 ) B. a.b = ( −1; −2; 4 ) Cách giải bằng máy tính:
N
Bài tập 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vecto a = ( 2; −5;3) và b = ( 0; 2; −1) . Tính a.b
Ư N
G
(xóa màn hình) Tính a.b
2+
3
Vậy a.b = ( −1; 2; 4 ) . Do đó ta chọn đáp án C
10
00
B
TR ẦN
H
Màn hình hiện
A
C
ẤP
Bài tập 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vecto a = ( 2; −5;3) và b = ( 0; 2; −1) . Tính góc giữa hai vecto a và b . A. a.b = 450
B. a.b = 900
C. a.b = 1350
( )
( )
H
Ó
( )
D. a.b = 00
( )
ÁN
-L
Í-
Công thức: Công thức tính góc giữa hai vecto:
a.b cos a, b = a.b
( )
TO
Cách giải bằng máy tính:
ID Ư
Ỡ N
G
Ta thực hiện như sau:
(nhập vecto a ) (nhập vecto b )
BỒ
(xóa màn hình) Tính a.b
Trang 2
Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
N
H Ơ
N
Màn hình hiện
TP .Q
U
Y
Tiếp tục nhấn:
TR ẦN
H
Ư N
G
Đ
ẠO
Màn hình hiện
(lưu giá trị vừa tìm)
ẤP
2+
3
10
00
B
(chuyển đổi sang góc). Màn hình xuất hiện
Vậy, a.b = 1350 . Do đó, đáp án đúng là đáp án C.
C
( )
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
Bài tập 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vecto a = ( 2; −5;3) , b = ( 0; 2; −1) , c = (1;7; 2 ) . a.u = −5 Tìm tọa độ vecto u thỏa mãn u.b = −11 u.c = 20
TO
A. u = ( −2; −3; 2 )
B. u = ( 2; −3; 2 )
C. u = ( 2; −3; −2 )
D. u = ( 2;3; −2 )
Ỡ N
G
Cách giải có hỗ trợ của máy tính:
BỒ
ID Ư
Đặt u = ( x; y; z ) . Khi đó, ta có: 2.x + ( −1) .y + 3.z = −5 a.u = −5 x = 2 u.b = −11 ⇔ 1.x + ( −3) .y + 2.z = −11 ⇔ y = 3 z = −2 u.c = 20 3.x + 2.y + ( −4 ) .z = 20 Trang 3
Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Vậy, u = ( 2;3; −2 ) . Do đó, đáp án đứng là đáp án D
N
H Ơ
N
Lưu ý: Để tìm x, y, z trong hệ trên. Đối với máy CASIO 570VN PLUS, ta nhấn liên tục các phím sau:
Đ
ẠO
TP .Q
U
Y
Nhấn dấu bằng màn hình xuất hiện:
B
TR ẦN
H
Ư N
G
Nhấn tiếp dấu bằng màn hình xuất hiện
H
Ó
A
Vậy nghiệm của hệ là ( 2;3; −2 )
C
ẤP
2+
3
10
00
Tiếp tục nhấn dấu bằng màn hình xuất hiện
TO
ÁN
-L
Í-
Còn đối với máy VINACAL 570ES PLUS, ta nhấn liên tiếp các phím sau:
G
Sau đó nhấn dấu bằng xem nghiệm:
BỒ
ID Ư
Ỡ N
Bài tập 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vecto a = ( −1;1;0 ) , b = (1;1;0 ) , c = (1;1;1) . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. a + b + c = 0
B. a, b cùng phương
2 C. cos b, c = 6
( )
D. a.c = 1
Trang 4
Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Ta giải và tìm đáp án của bài toán này bằng tất cả các thao tác trên máy tính. Nhập tpaj độ các vecto vào máy.
Y
N
H Ơ
N
(nhập vecto a ) (nhập vecto b ) (nhập vecto c )
TP .Q
U
(xóa màn hình)
ẠO
Kiểm tra đáp án A. Ta nhấn liên tục các phím:
B 00
Tức là a + b + c = (1;3;1) ≠ 0 . Do đó, đáp án A sai.
TR ẦN
H
Ư N
G
Đ
Màn hình hiện:
ẤP
2+
3
Kiểm tra đáp án B. Ta nhấn liên tục các phím:
10
(xóa màn hình)
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
C
Màn hình hiện
(xóa màn hình)
Ỡ N
G
TO
Tức là a, b = ( 0;0; 2 ) ≠ 0 . Do đó, đáp án B sai.
BỒ
ID Ư
Kiểm tra đáp án B. Ta nhấn liên tục các phím:
Màn hình hiện
Trang 5
Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
H Ơ
N
www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
2 Tức là cos b, c = 0.8164965809 = . Do đó, đáp án C đúng. 6
U
Y
N
( )
TP .Q
Vậy đáp án D còn lại là đáp án sai. Hoặc ta cũng có thể kiểm tra đáp án D như sau:
Đ
ẠO
Ta nhấn liến tục các phím:
B
TR ẦN
H
Ư N
G
Màn hình hiện
10
00
Do đó, đáp án D là đáp án sai.
3
Bài tập 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (1; 2; −3) , B ( 0;3;7 ) , C (12;5;0 ) . Tính
ẤP
6847 2
C
B. SABC =
8647 2
C. SABC =
8467 2
D. SABC =
8764 2
Ó
A
A. SABC =
2+
diện tích ∆ ABC .
Í-
H
Cách giải có hỗ trợ của máy tính:
ÁN
-L
Ta có: AB = ( −1;1;10 ) , AC = (11;3;3)
TO
SABC =
1 6847 AB, AC = 2 2
ID Ư
Ỡ N
G
Ta thao tác trên máy tính như sau:
(nhập vecto AB ) (nhập vecto AC )
BỒ
(xóa màn hình)
Trang 6
Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
TP .Q
U
Y
N
H Ơ
N
Màn hình hiện
H
màn hình hiện
10
00
B
TR ẦN
Nhấn phím ,
Ư N
G
Đ
ẠO
Nhấn dấu bằng, màn hình hiện
-L
, màn hình hiện
Nhấn phím
, màn hình hiện
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
ÁN
Nhấn phím
Í-
H
Ó
A
C
ẤP
2+
3
Nhấn dấu bằng, màn hình hiện
Trang 7
Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
N
6847 AB, AC = . Do đó, ta chọn đáp án A. 2
Y
1 2
TP .Q
U
Vậy SABC =
H Ơ
N
www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
Bài tập 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (1; 2; −3) , B ( 0;3;7 ) , C (12;5;0 ) . Tính
ẠO
độ dài đường cao AH của ∆ ABC
13649 13694 13694 16349 B. AH = C. AH = D. AH = 197 179 197 197 Công thức: Cho điểm M, đường thẳng d đi qua M 0 và có vecto chỉ phương a . Khi đó, khoảng cách
Ư N
G
Đ
A. AH =
B
TR ẦN
M 0 M, a d ( M, d ) = a
H
từ điểm M đến đường thẳng d xác định bởi:
00
Cách giải có hỗ trợ của máy tính:
10
Ta có:
C
ẤP
2+
3
BA, BC AH = d ( A, BC ) = BC
H
Ó
A
BA = (1; −1; −10 ) , BC = (12; 2; −7 )
(nhập vecto BA ) (nhập vecto BC ) (xóa màn hình)
Ỡ N
G
TO
ÁN
-L
Í-
Do đó, để tính AH ta thao tác trên máy tính như sau:
BỒ
ID Ư
Màn hình xuất hiện
Trang 8
Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
U
13694 197
TP .Q
Vậy, AH =
Y
N
H Ơ
N
Màn hình hiện
tập
9:
Trong
không
gian
với
hệ
tọa
độ
Oxyz,
cho
b ốn
điểm
Đ
Bài
ẠO
Do đó, ta chọn đáp án C
Ư N
G
A (1;1;0 ) , B ( 0; 2; 0 ) , C ( 0;0;3) , D (1; 2;3) . Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng ( ABC ) .
12 17 7 B. d ( D, ( ABC ) ) = 12 C. d ( D, ( ABC ) ) = D. d ( D, ( ABC ) ) = 7 2 12 Cách giải có hỗ trợ của máy tính:
TR ẦN
1 AB, AC .AD = d ( D, ( ABC ) ) .SABC 3
B
1 6
00
Ta có: VABCD =
H
A. d ( D, ( ABC ) ) =
2+
3
10
AB, AC .AD AB, AC .AD Suy ra: d ( D, ( ABC ) ) = = 2SABC AB, AC
C
ẤP
Ta có: AB = ( −1; 2; 0 ) , AC = ( −1; 0;3) , AD = ( 0; 2;3)
(nhập vecto AB ) (nhập vecto AC ) (nhập vecto AD )
(xóa màn hình)
Màn hình hiện
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
Ta thao tác trên máy tính như sau:
Trang 9
Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Bài tập 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm không đồng phẳng
U
Y
N
12 Do đó, a chọn đáp án A. 7
TP .Q
Vậy, d ( D, ( ABC ) ) =
H Ơ
N
www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
ẠO
A (1;1;0 ) , B ( 0; 2; 0 ) , C ( 0;0;3) , D (1; 2;3) . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và OB.
1 1 B. d ( OB, ( AC ) ) = C. d ( OB, ( AC ) ) = 2 D. d ( OB, ( AC ) ) = 2 2 2 Công thức: Cho hai đường thẳng d1 và d 2 chéo nhau. Đường thẳng d1 đi qua M1 và có vecto chỉ phương u1 ; đường thẳng d 2 đi qua M 2 và có vecto chỉ phương u 2 . Khi đó, khoảng cách giữa hai
H
Ư N
G
Đ
A. d ( OB, ( AC ) ) =
TR ẦN
đường thẳng d1 và d 2 được xác định bởi công thức:
10
00
B
u1 , u 2 .M1M 2 d ( d1 , d 2 ) = u1 , u 2 Cách giải có hỗ trợ của máy tính:
ẤP
2+
3
Ta có: AC = (1;1;1) , OB = ( 0;0;1) , OA = (1;0;0 )
H
Ó
A
C
AC, OB .OA 1 d ( AC, OB ) = = 2 AC, OB
(nhập vecto AC ) (nhập vecto OB ) (nhập vecto OA ) (xóa màn hình)
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
ÁN
-L
Í-
Ta thao tác trên máy tính như sau:
Màn hình hiện
Trang 10
Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
H Ơ
N
www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
Đ
ẠO
TP .Q
U
Y
N
Màn hình hiện
00
1 1 . Như thế ta chọn đáp án A = 2 2
3
10
Vậy d ( OB, ( AC ) ) =
B
TR ẦN
H
Ư N
G
Màn hình hiện
2+
Bài tập 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 :
x −1 y + 3 z − 4 = = và 2 1 −2
386 3
H
Ó
A
C
ẤP
x = −2 − 4t d 2 : y = 1 − 2t . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d1 , d 2 . z = −1 + 4t
386 386 97 C. d ( d1 , d 2 ) = D. d ( d1 , d 2 ) = 2 3 3 3 Công thức: Cho hai đường thẳng d1 và d 2 song song với nhau. Đường thẳng d1 đi qua M1 và có vecto chỉ phương u1 ; đường thẳng d 2 đi qua M 2 và có vecto chỉ phương u 2 . Khi đó, khoảng cách
Í-
B. d ( d1 ,d 2 ) =
TO
ÁN
-L
A. d ( d1 , d 2 ) =
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
giữa hai đường thẳng d1 và d 2 được xác định bởi công thức:
M1M 2 , u 2 d ( d1.d 2 ) = d ( M1 , d 2 ) = u2
Cách giải có hỗ trợ của máy tính:
Đường thẳng d1 đi qua M1 (1; −3; 4 ) và có vecto chỉ phương là: u1 = ( 2;1; −2 ) Trang 11
Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Đường thẳng d 2 đi qua M2 ( −2;1; −1) và có vecto chỉ phương là: u 2 = ( −4; −2; −4 ) . Ta có: u 2 = −2u1 và M1 (1; −3; 4 ) ∉ d 2 . Suy ra d1 / /d 2
H Ơ
N
Ta có M1M 2 = ( −3; 4; −5)
TP .Q
U
Y
N
M1M 2 , u 2 386 d ( d1.d 2 ) = d ( M1 , d 2 ) = = u2 3 Ta thao tác trên máy tính như sau:
G
Đ
ẠO
(nhập vecto M1M2 ) (nhập vecto u 2 )
H
Ư N
(xóa màn hình)
3
10
00
B
TR ẦN
Màn hình hiện
Í-
H
Ó
A
C
ẤP
2+
Màn hình hiện
Vậy d ( d1 , d 2 ) =
386 như thế ta chọn đáp án A 3
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
ÁN
-L
Màn hình hiện
Trang 12
Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Bài tập 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 :
x y +1 z −1 = = và 2 1 −2
)
(
H Ơ
)
(
)
(
)
0 D. d 1 ,d 2 = 0 Công thức: Cho hai đường thẳng d1 và d 2 . Đường thẳng d1 có vecto chỉ phương u1 ; đường thẳng d 2 vecto chỉ phương u 2 . Khi đó, góc giữa hai đường thẳng d1 và d 2 được xác định bởi công thức:
Y
0 C. d 1 , d 2 = 135
TP .Q
U
0 B. d 1 , d 2 = 90
N
(
0 A. d 1 , d 2 = 45
N
x = −1 d 2 : y = t . Tính góc giữa hai đường thẳng. z = 3 − t
Ư N
Cách giải có hỗ trợ của máy tính:
TR ẦN
H
Ta có: u1 = ( 2;1; −2 ) , u 2 = ( 0;1; −1) u1 , u 2 cos d1 , d 2 = cos ( u1 , u 2 ) = = 0, 7071067812 u1 u 2
)
2+
3
10
00
B
(
Đ
)
G
(
ẠO
u1 , u 2 cos d1 , d 2 = cos ( u1 , u 2 ) = u1 u 2
(nhập vecto u1 ) (nhập vecto u 2 )
A
C
ẤP
(xóa màn hình)
Màn hình hiện
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
Màn hình hiện
Trang 13
Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
(
H Ơ
N
www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
)
TP .Q
Bài tập 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm không đồng phẳng
U
Y
N
0 Vậy, d 1 , d 2 = 45 . Như thế ta chọn đáp án A.
D.
6 2
H
Ư N
G
B.
6
Đ
6 6 C. − 3 3 Công thức: Cho mặt phẳng ( α ) và ( β ) lần lượt có phương trình
A.
ẠO
A (1;0;0 ) , B ( 0;1;0 ) , C ( 0; 0;1) , D ( 2; −1;3) . Tính cosin góc tạo bởi hai mặt phẳng ( ABC ) và ( ABD )
TR ẦN
A1x + B1y + C1z + D1 = 0, A 2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
Các vecto pháp tuyến của chúng lần lượt là n ( α ) = ( A1; B1;C1 ) , n (β ) = ( A 2 ; B2 ;C 2 )
00
B
Khi đó, góc giữa hai mặt ( α ) và ( β ) được xác định bởi công thức:
(
)
ẤP
2+
3
)
(
10
n( α ) , n(β) cos ( α ) , ( β ) = cos n ( α ) , n ( β ) = n ( α) n(β)
C
Cách giải có hỗ trợ của máy tính:
Ó
A
Ta có: AB = ( −1;1;0 ) , AC = ( −1;0;1) , AD = (1; −1;3)
-L
Í-
H
n ( ABC) = AB, AC = (1;1;1) , n ( ABD ) = AB, AD = ( 3;3;0 )
n ( ABC ) , n ( ABD ) 6 cos ( ABC ) , ( ABD ) = cos n ( ABC ) , n ( ABD ) = = 3 n ( ABC ) n ( ABD )
)
(
)
TO
ÁN
(
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
Ta thao tác trên máy tính như sau: (nhập vecto AB ) (nhập vecto AC ) (nhập vecto AD )
(xóa màn hình)
Trang 14
Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
U
Y
N
H Ơ
N
Màn hình hiện
TP .Q
Tức là: n ( ABC ) = AB, AC = (1;1;1)
Ư N
G
Đ
ẠO
(xóa màn hình)
TR ẦN
H
Màn hình hiện
10
00
B
Tức là: n ( ABD ) = AB, AD = ( 3;3;0 )
(nhập tọa độ vecto n ( ABC ) ) (nhập vecto u 2 )
(xóa màn hình)
Màn hình hiện
ID Ư
Ỡ N
G
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
C
ẤP
2+
3
Nhấn ON. Sau đó, ta tiếp tục nhấn
BỒ
Màn hình hiện
Trang 15
Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
)
TP .Q
U
(
Y
)
(
N
n ( ABC ) , n ( ABD ) 2 6 . Do đó, ta chọn đáp Tức là: cos ( ABC ) , ( ABD ) = cos n ( ABC) , n ( ABD ) = = = 3 3 n ( ABC ) n ( ABD )
H Ơ
N
www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
án B
G
Đ
ẠO
x = 1 Bài tập 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : y = 2 + t và mặt phẳng z = 3 + t
H
)
(
)
(
B. d, ( α ) = 900
C. d, ( α ) = 300
TR ẦN
)
(
A. d, ( α ) = 600
Ư N
( α ) : x + y − 3 = 0 . Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng ( α ) .
(
)
D. d, ( α ) = 1200
Công thức: Cho mp ( α ) : Ax + By + Cz + D = 0 có vecto pháp tuyến n = ( A; B; C ) và đường thẳng
10
00
B
x = x 0 + at d : y = y 0 + bt có vecto chỉ phương u = ( a; b;c ) . Khi đó, góc tạo bởi đường thẳng d và mặt phẳng z = z + ct 0
2+
3
( α ) được xác định bởi:
n.u Aa + Bb + Cc sin d, ( α ) = = n.u A 2 + B2 + C 2 . a 2 + b 2 + c 2
)
C
ẤP
(
Ó
A
Cách giải có hỗ trợ của máy tính:
Í-
H
Vecto chỉ phương của d là u d = ( 0;1;1)
n ( α ) .u d sin d, ( α ) = = 0,5 ⇒ d, ( α ) = 300 n(α) . u d
(
)
(
)
Ỡ N
G
TO
ÁN
-L
Vecto pháp tuyến của ( α ) là n ( α ) = (1;1;0 )
ID Ư
Ta thao tác trên máy tính như sau:
(nhập vecto u d = ( 0;1;1) )
BỒ
(nhập vecto n ( α ) = (1;1;0 ) )
Trang 16
Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com (xóa màn hình)
TP .Q
U
Y
N
H Ơ
N
Màn hình hiện
(
TR ẦN
H
Ư N
G
Đ
ẠO
Màn hình hiện
)
Vậy, d, ( α ) = 300 . Như thế ta chọn đáp án C.
B
x − 2 y z +1 = = và mặt phẳng 1 2 −3 ( P ) : x + 2y − 3z + 2 = 0 . Tìm tọa độ giao điểm M của đường thẳng ∆ và mặt phẳng ( P ) . B. M ( 2;0; −1)
2+
A. M ( 5; −1; −3)
3
10
00
Bài tập 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ :
C. M ( −1;1;1)
D. M (1; 0;1)
C
ẤP
Cách giải có hỗ trợ của máy tính:
Ó
A
Tạo độ giao điểm của đường thẳng ∆ và mặt phẳng ( P ) là nghiệm của hệ:
TO
ÁN
-L
Í-
H
x − 2 y −3 = 1 x + 3y = 2 x = −1 y z +1 ⇔ 2y − z = 1 ⇔ y = 1 = 2 1 x + 2y − 3z = −2 z = 1 x + 2y − 3z + 2 = 0
Ỡ N
G
Do đó, ta chọn đáp án C
BỒ
ID Ư
Lưu ý: Để tìm nghiệm của hệ trên ta nhấn liên tiếp các phím sau:
Trang 17
Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Ư N
G
Đ
ẠO
TP .Q
U
Y
N
H Ơ
N
Màn hình lần lượt xuất hiện các kết quả như sau:
TR ẦN
H
Bài tập 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (1;0;0 ) , B ( 0; −2;0 ) , C ( 0; 0; −3) . Lập phương trình mặt phẳng ( ABC ) .
B. 6x − 3y − 2z − 6 = 0
C. 3x − 2y − 5z + 1 = 0
D. x + 2y + 3x = 0
2+
Ta có: AB = ( −1; −2; 0 ) , AC = ( −1;0; −3)
3
Cách giải có hỗ trợ của máy tính:
10
00
B
A. x − 2y − 3x = 0
C
ẤP
Vecto pháp tuyến của mặt phẳng ( ABC ) là: n ( ABC ) = AB, AC = ( 6; −3; −2 )
Ó
A
Phương trình mặt phẳng ( ABC ) là: 6 ( x − 1) − 3y − 2z = 0 ⇔ 6x − 3y − 2z − 6 = 0
ÁN
-L
Í-
H
Lưu ý: Để tính được n ( ABC ) = AB, AC = ( 6; −3; −2 ) , ta nhấn liên tiếp các phím sau:
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
Màn hình xuất hiện
Trang 18
Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Bài tập 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (1;0;0 ) , B ( 0; −2;0 ) , C ( 0; 0; −3) .
B. x + 13y + 5z − 5 = 0
C. − x + 13y + 5z − 5 = 0
D. − x − 13y + 5z − 5 = 0
H Ơ
A. − x + 13y + 5z − 8 = 0
N
Viết phương trình mặt phẳng ( α ) đi qua hai điểm A và B, đồng thời vuông góc với mặt phẳng ( β )
TP .Q
U
Y
N
Cách giải có hỗ trợ của máy tính: Ta có: AB = ( −1; −2;5 ) . Vecto pháp tuyến của mặt phẳng ( β ) là: n (β ) = ( 2; −1;3)
Đ
ẠO
Vì mặt phẳng ( α ) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng ( β ) nên vecto pháp tuyến của mặt phẳng ( α ) là: n ( α ) = AB, n (β ) = ( −1;13;5 )
Ư N
G
Phương trình mặt phẳng ( α ) là: −1. ( x − 3) + 13 ( y − 1) + 5 ( z + 1) = 0 ⇔ − x + 13y + 5z − 5 = 0
H
Như thế ta chọn đáp án C.
00
B
TR ẦN
Lưu ý: Để tính được n ( α ) = AB, n (β ) = ( −1;13;5 ) ta nhấn liên tiếp các phím sau:
Ó
A
C
ẤP
2+
3
10
Màn hình xuất hiện
Í-
H
Bài tập 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M ( −1; −2;5 ) và hai mặt phẳng
ÁN
-L
( β ) : x + 2y − 3z + 1 = 0, ( γ ) : 2x − 3y + z + 1 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng ( α ) vuông góc với hai mặt phẳng ( β ) , ( γ ) B. x + y − z − 2 = 0
C. x + y + z − 2 = 0
D. x + y + z − 5 = 0
Ỡ N
G
TO
A. x + y + z − 3 = 0
đi qua điểm M và
BỒ
ID Ư
Cách giải có hỗ trợ của máy tính: Vecto pháp tuyến của mặt phẳng ( β ) là: n (β ) = (1; 2; −3) Vecto pháp tuyến của mặt phẳng ( γ ) là: n ( γ ) = ( 2; −3;1)
Trang 19
Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Vì mặt phẳng ( α ) vuông góc với hai mặt phẳng ( β ) và ( γ ) nên vecto pháp tuyến của mặt phẳng ( α ) là:
H Ơ
N
n ( α ) = n (β ) , n ( γ ) = ( −7; −7; −7 )
Y
N
Phương trình mặt phẳng ( α ) là: −7 ( x + 1) − 7 ( y + 2 ) − 7 ( z − 5 ) = 0 ⇔ x + y + z − 2 = 0
G
Đ
ẠO
Lưu ý: Để tính được n ( α ) = n (β ) , n ( γ ) = ( −7; −7; −7 ) , ta nhấn liên tiếp các phím sau:
TP .Q
U
Như thế ta chọn đáp án C.
00
B
TR ẦN
H
Ư N
Màn hình xuất hiện
10
Bài tập 19: Cho tứ diện ABCD với A (1;0; 0 ) , B (1;0; 0 ) , C ( 0;0;1) , D (1;1;1) . Mặt cầu ngoại tiếp tứ
3 B. 2 2 Cách giải có hỗ trợ của máy tính:
C.
D.
3
3 4
A
C
ẤP
A.
2+
3
diện có bán kính là:
H
Ó
Phương trình mặt cầu ( S) có dạng:
(
)
-L
Í-
x 2 + y 2 + z 2 − 2Ax − 2By − 2Cz + D = 0 A 2 + B2 + C 2 − D > 0
ÁN
Vì mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D nên ta có hệ:
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
2 A = 3 11 + 02 + 02 − 2A.1 − 2B.0 − 2C, 0 + D = 0 −2A + D = −1 B = 2 2 2 2 0 + 1 + 0 − 2A.0 − 2B.1 − 2C.0 + D = 0 −2B + D = −1 3 ⇔ ⇔ 2 2 2 0 + 0 + 1 − 2A.0 − 2B.0 − 2C.1 + D = 0 −2C + D = −1 C = 2 2 2 1 −2A − 2B − 2C + D = −3 3 1 + 1 + 1 − 2A.1 − 2B.1 − 2C.1 + D = 0 1 D = 3 Trang 20
Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
H Ơ
N
Lưu ý: Để giải hệ trên, đối với máy tính VINACAL 570ES PLUS II, ta nhấn liên tiếp các phím sau:
TP .Q
U
Y
N
2 2 2 1 Sau đó, ta nhấn dấu bằng thu được nghiệm X = , Y = , Z = , T = . 3 3 3 3
ẠO
2 2 2 1 Tức là A = , B = , C = , D = 3 3 3 3
G
Đ
Còn đối với máy tính CASIO 570VN PLUS, ta khử một biến đưa về hệ ba phương trình ba ẩn rồi sử dụng chức năng giải hệ của máy tính tìm nghiệm.
Ư N
Bài tập 20: Cho mặt phẳng ( P ) : 2x − y + 2z − 6 = 0 và điểm M ( 2; −3;5 ) . Tìm tọa độ hình chiếu H
−4 −16 23 ; A. H ; 9 9 9
TR ẦN
H
của M trên ( P ) .
−4 16 23 B. H ; ; 9 9 9
4 −16 23 ; C. H ; 9 9 9
−4 −16 −23 ; D. H ; 9 9 9
B
Công thức: Cho ( P ) : Ax + By + Cz + D = 0, M ( x 0 , y0 , z 0 ) . Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên
A 2 + B2 + C 2
ẤP
− ( Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D )
Chứng minh
H
Ó
A
C
Trong đó, k =
2+
3
10
00
x H = x 0 + Ak ( P ) . Khi đó, tọa điểm H được xác định bởi công thức: y H = y0 + Bk z = z + Ck 0 H
Í-
Gọi d là đường thẳng qua M và vuông góc với mặt phẳng ( P ) . Khi đó, d nhận vecto pháp tuyến của
TO
ÁN
-L
x = x 0 + At ( P ) làm vecto chỉ phương. Do đó, phương trình tham số của d là: y = y0 + Bt z = z + Ct 0
( P ) nên
H = d ∩ ( P ) . Khi đó H ∈ d , suy ra
G
Vì H là hình chiếu vuông góc của M lên
ID Ư
Ỡ N
H ( x 0 + Ak; y0 + Bk; z 0 + Ck ) . Hơn nữa H ∈ ( P ) nên ta có:
BỒ
A ( x 0 + Ak ) + B ( y0 + Bk ) + C ( z 0 + Ck ) + D = 0
⇔ Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D + A 2 k + B2 k + C2 k = 0 ⇔ k =
− ( Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D ) A 2 + B2 + C 2
Trang 21
Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
H Ơ
− ( Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D ) A 2 + B2 + C 2
N
Trong đó, k =
N
x H = x 0 + Ak Vậy tọa độ điểm H được xác định bởi công thức: y H = y 0 + Bk z = z + Ck 0 H
TP .Q
U
Y
Cách giải có hỗ trợ của máy tính:
Đ G Ư N
H
TR ẦN
−4 −16 23 ; . Như thế ta chọn đáp án A Vậy, tọa độ điểm . H ; 9 9 9
ẠO
−4 x H = 2 + 2.k = 9 − ( 2.2 − ( −3) + 2.5 − 6 ) −16 11 Ta có: k = . Khi đó: y H = −3 − k = =− 2 2 2 9 9 2 + ( −1) + 2 23 z H = 5 + 2.k = 9
Lưu ý: Các thao tác trên máy tính đối với bài toán này như sau. Để tính k, ta nhập vào máy biểu thức
00
B
− ( 2X − Y + 2M − 6 ) 2
ẤP
2+
3
10
22 + ( −1) + 22
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
C
Sau đó nhấn CALC nhập X = 2; Y = −3; M = 5 . Rồi nhấn dấu bằng, màn hình hiện
11 9
G
TO
Tức là k = −
(lưu vào biến A). Màn hình hiện
BỒ
ID Ư
Ỡ N
Nhấn
Trang 22
Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Nhấn AC, xóa màn hình. . Màn hình hiện
TP .Q
U
Y
N
H Ơ
N
Tính x H , ta nhấn
Nhấn AC, xóa màn hình. . Màn hình hiện
TR ẦN
H
Ư N
G
Đ
ẠO
Tính y H , ta nhấn
Nhấn AC, xóa màn hình.
Màn hình hiện
C
ẤP
2+
3
10
00
B
Tính z H , ta nhấn .
A
Bài tập 21: Cho mặt phẳng ( P ) : 2x − y + 2z − 6 = 0 và điểm M ( 2; −3;5 ) . Tìm tọa độ điểm M’ đối
H
Ó
xứng với M qua ( P ) .
−26 5 −1 ; ; B. M ' 9 9 9
Í-
-L
−26 5 1 ; ; A. M ' 9 9 9
26 5 1 C. M ' ; ; 9 9 9
−26 −5 1 ; ; D. M ' 9 9 9
TO
ÁN
Công thức: Cho ( P ) : Ax + By + Cz + D = 0, M ( x 0 , y0 , z 0 ) . Gọi M’ là điểm đối xứng với M qua. Khi
k=
. Trong đó,
− ( Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D ) A 2 + B2 + C 2 Chứng minh
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
đó, tọa độ điểm M’ được xác định bởi công thức:
x M ' = x 0 + 2Ak y M ' = y0 + 2Bk z = z + 2Ck 0 M'
Trang 23
Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
H Ơ
− ( Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D ) A 2 + B2 + C 2
N
Trong đó, k =
N
x H = x 0 + Ak Gọi H là hình chiếu của M lên ( P ) , tọa độ điểm H được xác định bởi công thức: y H = y 0 + Bk z = z + Ck 0 H
U
Y
Vì M’ là điểm đối xứng với M qua ( P ) nên H là trung điểm của MM’. Theo tính chất trung điểm ta
TP .Q
có:
H
Ư N
G
Đ
ẠO
xM + xM' = xH 2 x M ' = x 0 + 2Ak x M ' = 2x H − x M yM + yM ' = y H ⇔ y M ' = 2y H − y M ⇔ y M ' = y0 + 2Bk 2 z = 2z − z z = z + 2Ck H M M' 0 M' zM + zM ' = zH 2
TR ẦN
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Cách giải có hỗ trợ của máy tính:
ẤP
2+
3
10
00
B
−26 x M ' = 2 + 2.2.k = 9 − ( 2.2 − ( −3) + 2.5 − 6 ) 11 −5 Ta có: k = =− . Khi đó: y M ' = −3 − 2.k = 2 2 2 9 9 2 + ( −1) + 2 1 z M ' = 5 + 2.2.k = 9
H
Ó
A
C
−26 −5 1 ; ; . Như thế ta chọn đáp án D. Vây, tọa độ điểm M 9 9 9
-L
Í-
Lưu ý: Các thao tác trên máy tính đối với bài toán này như sau. Để tính k, ta nhập vào máy biểu thức − ( 2X − Y + 2M − 6 ) 2
Sau đó, nhấn CALC nhập X = 2; Y = −3; M = 5 . Rồi nhấn dấu bằng, màn hình hiện
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
ÁN
22 + ( −1) + 22
Trang 24
Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Y
N
11 9
TP .Q
( lưu vào biến A). Màn hình hiện
Nhấn AC, xóa màn hình. . Màn hình hiện
10
00
B
TR ẦN
Tính x M ' , ta nhấn
H
Ư N
G
Đ
ẠO
Nhấn
U
Tức là k = −
H Ơ
N
www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
2+
3
Nhấn AC, xóa màn hình.
. Màn hình hiện
-L
Í-
H
Ó
A
C
ẤP
Tính y M ' , ta nhấn
ÁN
Nhấn AC, xóa màn hình. Màn hình hiện
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
Tính z M ' , ta nhấn .
Bài tập 22: Cho hai mặt phẳng ( P ) : x − 2y + 3z − 4 = 0 và ( Q ) : 3x + 2y − 5z − 4 = 0 . Viết phương trình tham số của đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng ( P ) và ( Q ) .
Trang 25
Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn x = 2 + 2t A. y = −1 + 7t z = 4t
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
x = −2 + 2t B. y = −1 + 7t z = 4t
x = 2 − 2t C. y = −1 + 7t z = 4t
x = 2 + 2t D. y = −1 + 7t z = −4t
H Ơ
N
Cách giải có hỗ trợ của máy tính:
N
Gọi d = ( P ) ∩ ( Q ) . Lấy A ( 2; −1;0 ) ∈ d
TP .Q
U
Y
Vecto pháp tuyến của mặt phẳng ( P ) là: n ( P ) = (1; −2;3)
ẠO
Vecto pháp tuyến của mặt phẳng ( Q ) là: n ( Q ) = ( 3; 2; −5 )
Ư N
G
Đ
Vì d là giao tuyến của hai mặt phẳng ( P ) và ( Q ) nên vecto chỉ phương của đường thẳng d là: n P , n Q = ( 4;14;8 ) ( ) ( )
B 00
x = 2 + 2t Phương trình đường thẳng của d là: y = −1 + 7t z = 4t
TR ẦN
H
Chọn u ( d ) = ( 2;7; 4 )
10
Như thế, ta chọn đáp án A.
H
Ó
A
C
ẤP
2+
3
Lưu ý: để tính được n ( P ) , n ( Q ) = ( 4;14;8 ) , ta nhấn liên tục các phím sau:
Ỡ N
G
TO
ÁN
-L
Í-
Màn hình hiện
BỒ
ID Ư
Bài tập 23: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (1;0;5 ) và hai đường thẳng
x = 1 + 2t x = 1 − t d1 : y = 3 − 2t và d 2 : y = 2 + t . Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và z = 1 + t z = 1 − 3t
vuông góc với hai đường thẳng d1 , d 2 .
Trang 26
Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn x = 1 − t A. y = t z = 5
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
x = 1 + t B. y = t z = 5
x = 1 + t C. y = − t z = 5
x = 1 + t D. y = t z = 5 + t
H Ơ
N
Cách giải có hỗ trợ của máy tính:
N
Vecto chỉ phương của đường thẳng d1 là: u1 = ( 2; −2;1)
TP .Q
U
Y
Vecto chỉ phương của đường thẳng d 2 là: u 2 = ( −1;1; −3)
ẠO
Vì đường thẳng d cần lập vuông góc với hai đường thẳng d1 , d 2 nên vecto chỉ phương của đường thẳng d là: [ u1 , u 2 ] = ( 5;5; 0 ) . Chọn u ( d ) = (1;1;0 )
H
Ư N
G
Đ
x = 1 + t Phương trình tham số của đường thẳng d là: y = t z = 5
TR ẦN
Như thế ta chọn đáp án B.
3
10
00
B
Lưu ý: để tính được [ u1 , u 2 ] = ( 5;5;0 ) , ta nhấn liên tục các phím sau:
Í-
H
Ó
A
C
ẤP
2+
Màn hình hiện
x −1 y z + 2 = = . Viết phương trình của đường thẳng 2 4 −3 ( m ) qua giao điểm của ( d ) và ( α ) , vuông góc với ( d ) đồng thời nằm trong mp ( α ) .
TO
ÁN
-L
Bài tập 24: Cho ( α ) : 2x + y + z − 1 = 0 và ( d ) :
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
7 7 x = 5 + 7t x = 5 + 7t 4 4 A. y = + 8t B. y = − 8t 5 5 −13 −13 z = 5 − 6t z = 5 − 6t Cách giải có hỗ trợ của máy tính:
7 x = 5 + 7t 4 C. y = + 8t 5 −13 z = 5 + 6t
7 x = 5 − 7t 4 D. y = + 8t 5 −13 z = 5 − 6t
Trang 27
Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Tọa độ giao điểm của đường thẳng ( d ) và ( α ) là nghiệm của hệ:
TP .Q
U
Y
N
H Ơ
N
7 x −1 y x = 5 2 =4 2x − y = 2 4 y z+ 2 ⇔ 3y + 4z = −8 ⇔ y = = −3 5 4 2x + y + z = 1 −13 2x + y + z − 1 = 0 z = 5
ẠO
7 4 −13 Tọa độ giao điểm của đường thẳng ( d ) và mặt phẳng ( α ) là M ; ; 5 5 5
Đ
Vecto chỉ phương của đường thẳng ( d ) là: u d = ( 2; 4; −3)
Ư N
G
Vecto pháp tuyến của ( α ) là: n ( α ) = ( 2;1;1)
TR ẦN
H
Vì đường thẳng d cần lập vuông góc với ( d ) , đồng thời nằm trong mp ( α ) nên vecto chỉ phương của đường thẳng d là: u d , n ( α ) = ( 7; −8; −6 ) .
ẤP
2+
3
10
00
B
7 x = 5 + 7t 4 Phương trình tham số đường thẳng d là: y = − 8t . Như thế, ta chọn đáp án B. 5 −13 z = 5 − 6t
H
Ó
A
C
Lưu ý: Trong bài tập này ta dùng máy tính cầm tay giải hệ phương trình ba ẩn tìm giao điểm 7 4 −13 M ; ; và tìm tọa độ vecto u d , n ( α ) = ( 7; −8; −6 ) 5 5 5
ÁN
x −1 y − 2 z −1 = = . Tìm M ∈ ( d ) sao cho MA 2 + MB2 nhỏ nhất. 2 1 1
TO
thẳng d :
-L
Í-
Bài tập 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A ( 2; −2;1) , B ( 0; 2; −3) và đường
5 7 4 C. M ; ; 3 3 3
4 7 5 D. M ; ; 3 3 3
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
5 7 5 5 4 7 A. M ; ; B. M ; ; 3 3 3 3 3 3 Cách giải có hỗ trợ của máy tính: Vì M ∈ ( d ) nên M (1 + 2t; 2 + t;1 + t )
2
2 2 1 49 49 Ta có: MA 2 + MB2 = ( 2t − 1) + ( t + 4 ) + t 2 = 6t 2 + 4t + 17 = 4 t + + ≥ 3 3 3
Trang 28
Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
1 5 7 4 Dấu bằng xảy ra khi t = . Khi đó, tọa độ điểm M là M ; ; 3 3 3 3
H Ơ
N
Như thế, ta chọn đáp án C. 2
Y
N
1 49 Lưu ý: Để phân tích 6t 2 + 4t + 17 = 4 t + + . Ta thực hiện trên máy tính như sau: 3 3
ẠO
TP .Q
U
Đối với máy CASIO 570VN PLUS, ta nhấn liên tiếp các phím:
TR ẦN
H
Ư N
G
Đ
Màn hình hiện
2+
3
10
00
B
Nhấn dấu bằng, màn hình hiện
A
C
ẤP
Đối với máy tính VINACAL 570ES PLUS II, ta nhấn liên tiếp các phím sau:
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
Màn hình hiện
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
Nhấn dấu bằng, màn hình hiện
Trang 29
Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Bài tập 26: Trong không gian cho hai đường thẳng ∆1 , ∆ 2 có phương trình: x − 8z + 23 = 0 x − 2z − 3 = 0 . Viết phương trình các mặt phẳng ( P ) và ( Q ) song ; ( ∆2 ) : y − 4z + 10 = 0 y + 2z + 2 = 0
Y
G Ư N H
Phương trình ( ∆ 2 )
x = 3 + 2t viết lại dạng tham số: ( ∆ 2 ) : y = −2 − 2t z = t
00
B
TR ẦN
Phương trình ( ∆1 )
x = −23 + 8t viết lại dạng tham số: ( ∆1 ) : y = −10 + 4t z = t
U
( P ) : x − y − 4z − 13 = 0 D. ( Q ) : x − y − 4z + 5 = 0
TP .Q
( P ) : x − y − 4z + 13 = 0 C. ( Q ) : x − y − 4z + 5 = 0 Cách giải có hỗ trợ của máy tính:
ẠO
( P ) : x − y − 4z + 15 = 0 B. ( Q ) : x − y − 4z − 5 = 0
Đ
( P ) : x − y − 4z + 13 = 0 A. ( Q ) : x − y − 4z − 5 = 0
N
H Ơ
song với nhau và lần lượt đi qua ( ∆1 ) và ( ∆ 2 )
N
( ∆1 ) :
10
Đường thẳng ( ∆1 ) đi qua M1 (1; 2;3) và có vecto chỉ phương là: u1 = ( 8; 4;1)
ẤP
2+
3
Đường thẳng ( ∆ 2 ) đi qua M 2 ( 3; −2; 0 ) và có vecto chỉ phương là: u 2 = ( 2; −2;1)
H
Í-
Chọn n = (1; −1; −4 )
Ó
A
C
Vì các mặt phẳng ( P ) và ( Q ) song song với nhau và lần lượt đi qua ( ∆1 ) và ( ∆ 2 ) nên vecto pháp tuyến của chúng là: [ u1 , u 2 ] = ( 6; −6; −24 ) .
ÁN
-L
Mặt phẳng ( P ) đi qua M1 (1; 2;3) , có vecto pháp tuyến n = (1; −1; −4 ) , có phương trình là:
TO
( x − 1) − ( y − 2 ) − 4 ( z − 3) = 0 ⇔ x − y − 4z + 13 = 0
Ỡ N
G
Mặt phẳng ( Q ) đi qua M 2 ( 3; −2;0 ) , có vecto pháp tuyến n = (1; −1; −4 ) , có phương trình là:
BỒ
ID Ư
( x − 3) − ( y + 2 ) − 4z = 0 ⇔ x − y − 4z − 5 = 0
Do đó ta chọn đáp án A
Lưu ý: Để tính được [ u1 , u 2 ] = ( 6; −6; −24 ) , ta nhấn liên tục các phím sau: Trang 30
Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
H Ơ
N
www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
ẠO
TP .Q
U
Y
N
Màn hình hiện
Ư N
G
Đ
x = −1 + t Bài tập 27: Trong không gian cho đường thẳng ∆ : x = − t và điểm A ( −2;3; 4 ) . Tìm điểm M trên z = 4 − t
H
sao cho khoảng cách AM ngắn nhất.
4 7 16 C. M ; − ; 3 3 3
4 7 16 D. M − ; − ; 3 3 3
B
TR ẦN
7 4 16 7 16 4 A. M − ; ; B. M − ; ; 3 3 3 3 3 3 Cách giải có hỗ trợ của máy tính:
10
00
Vì M ∈ ( d ) nên M ( −1 + t; − t; 4 − t ) 2
ẤP
2+
3
14 4 14 Ta có: AM = 3t 2 + 8t + 10 = 3 t + + ≥ 3 3 3
Ó
A
C
4 7 4 16 Dấu bằng xảy ra khi t = − . Khi đó, tọa độ điểm M là M − ; ; 3 3 3 3
Í-
H
Như thế, ta chọn đáp án A.
2
4 14 Lưu ý: Để phân tích 3t + 8t + 10 = 3 t + + . Ta thực hiện trên máy tính như sau: 3 3
ÁN
-L
2
Ỡ N
G
TO
Đối với máy CASIO 570VN PLUS, ta nhấn liên tiếp các phím:
BỒ
ID Ư
Màn hình hiện
Trang 31
Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
N
H Ơ
N
Nhấn dấu bằng, màn hình hiện
TP .Q
U
Y
Đối với máy tính VINACAL 570ES PLUS II, ta nhấn liên tiếp các phím sau:
H
Ư N
G
Đ
ẠO
Màn hình hiện
10
00
B
TR ẦN
Nhấn dấu bằng, màn hình hiện
2+
3
Bài tập 28: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : 2x + 3y + z − 11 = 0 và mặt cầu
ẤP
( S) : x 2 + y 2 + z 2 − 2x + 4y − 2z − 8 = 0 . Tìm tọa độ tiếp điểm của ( P ) B. H ( 3;1; 2 )
C
A. H ( 3;1; −2 )
và ( S) .
C. H ( 3; −1; 2 )
D. H ( −3; −1; 2 )
H
Ó
A
Cách giải có hỗ trợ của máy tính:
-L
Í-
Mặt cầu ( S) có tâm I (1; −2;1) và bán kính là R = 14
ÁN
Ta có d ( I, ( P ) ) =
2.1 + 3. ( −2 ) + 1 − 11 22 + 32 + 1
= 14 = R . Do đó, mặt phẳng ( P ) tiếp xúc với mặt cầu ( S) .
Ỡ N
G
TO
Tiếp điểm của ( P ) và ( S) chính là hình chiếu vuông góc của I lên ( P ) .
BỒ
ID Ư
Ta có: k =
− ( 2.1 + 3. ( −2 ) + 1 − 11)
22 + 32 + 12
x H = 1 + 2k = 3 = 1 . Khi đó y H = −2 + 3k = 1 z = 1 + k = 2 H
Vậy, tọa độ tiếp điểm là H ( 3;1;2 ) . Như thế ta chọn đáp án B.
Lưu ý: Các thao tác trên máy tính đối với bài toán này như sau. Trang 32
Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com − ( 2X + 3Y2M − 11)
22 + 32 + 12
N
H Ơ
N
Để tính k, ta nhập vào máy biểu thức
Đ
ẠO
TP .Q
U
Y
Sau đó, nhấn CALC nhập X = 1;Y = −2;M = 1. Rồi nhấn dấu bằng, màn hình hiện
(lưu vào biến A). Màn hình hiện
00
B
TR ẦN
H
Nhấn
Ư N
G
Tức là k = 1
10
Nhấn AC, xóa màn hình.
. Màn hình hiện
H
Ó
A
C
ẤP
2+
3
Tính x H , ta nhấn
-L
Í-
Nhấn AC, xóa màn hình.
. Màn hình hiện
Nhấn AC, xóa màn hình.
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
ÁN
Tính y H , ta nhấn
Trang 33
Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com . Màn hình hiện
N
H Ơ
N
Tính z H , ta nhấn
U
Y
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
B. u = (10; −2; 20 )
C. u = ( −10; −2; 20 )
D. u = (10; −2; −20 )
ẠO
A. u = (10; 2; 20 )
TP .Q
13.1. Cho a = ( 2; −5;3) , b = (1; 2; −1) , c = (1;3; 2 ) . Tìm tọa độ của các vecto u = 3a − b + 5c
45 23 B. u = − ; ; 2 7 7
45 23 45 23 C. u = − ; − ; 2 D. u = ; − ; 2 7 7 7 7
TR ẦN
45 23 A. u = − ; ; −2 7 7
H
Ư N
G
Đ
a.u = −5 13.2. Cho a = ( 2;3;1) , b = (1; −2; −1) , c = ( −2; 4;3) . Tìm tọa độ vecto thỏa u.b = −11 u.c = 20
B. SABC = 481
C. SABC = 418
10
A. SABC = 148
00
B
13.3. Cho A (1;1;1) , B ( 5;1; −2 ) , C ( 7;9;1) . Tính diện tích ∆ABC
D. SABC = 814
10 19
10 19
ẤP
B. d = 2
C. d =
20 19
D. d =
10 19
C
A. d = 3
2+
3
13.4. Cho A ( 0; 2;0 ) , B (1; −1;3) , O ( 0; 0;0 ) . Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng AB.
70 3
H
B. VABCD =
Í-
A. VABCD =
Ó
A
13.5. Cho tứ diện ABCD, với A ( 2;3;1) , B ( 4;1; −2 ) , C ( 6;3; 7 ) , D ( −5; −4;8 ) . Tính thể tích tứ diện
154 3
C. VABCD =
13 7
D. VABCD = 308
ÁN
-L
13.6. Cho ba điểm A (1;0;0 ) , B ( 0; 0;1) ,C ( 2;1;1) . Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng ( ABC )
Trong
không
B. d ( O, ( ABC ) ) = gian
với
hệ
1 3
C. d ( O, ( ABC ) ) = 2 t ọa
độ
Oxyz,
D. d ( O, ( ABC ) ) = 3 cho
tứ
diện
ABCD
với
G
13.7.
TO
A. d ( O, ( ABC ) ) = 1
BỒ
ID Ư
Ỡ N
A ( 2;1;0 ) , B (1;1;3) ,C ( 2; −1;3) , D (1; −1;0 ) . Tìm tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
ABCD.
14 3 3 A. I − ;0; ; R = 2 2 2
3 14 3 B. I ;0; − ; R = 2 2 2
Trang 34
Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
14 3 3 C. I ; 0; ; R = 2 2 2
3 14 3 D. I − ;0; − ; R = 2 2 2
13.8. Trong hệ trục Oxyz, cho ba điểm A ( −2;1;0 ) , B ( −3;0; 4 ) , C ( 0; 7;3) . Khi đó, cos AB, BC bằng
B. −
7 2 3 59
C.
14 57
3 2
Đ
x y +1 z −1 x +1 y z − 3 = = và d 2 : = = bằng 1 −1 2 1 1 1
1 3
B.
4 3
C.
2 3
D.
4 3
H
A.
D.
G
13.10. Cosin góc hợp bởi hai đường thẳng d1 :
2 3
ẠO
C.
TP .Q
1 3
B.
Ư N
17 26
U
13.9. Cosin góc hợp bởi Oy và mặt phẳng ( P ) : 4x − 3y + z − 7 = 0 bằng: A.
N
14 57
D. −
N
14 3 118
Y
A.
)
H Ơ
(
TR ẦN
13.11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x + 2y + z − 4 = 0 và điểm A ( 2;3; 2 ) . Tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua mặt phẳng ( P ) là
A. A ' ( 0; −1;0 )
C. A ' ( 0; −3; 4 )
D. A ' (1;1;1)
00
B
B. A ' ( −2;1;3)
ẤP
2+
3
10
x = −3 − 2t 13.12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi α là góc hợp bởi đường thẳng d : y = 1 + t (t ∈ ℝ) z = 2 + t
B.
− 6 3
A
3 6
Ó
A.
C
và trục Ox. Thế thì cos α bằng
C.
6 3
D.
3 2
Í-
H
13.13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : 2x + y − 2z − 1 = 0 và đường thẳng
-L
x−2 y z+3 = = . Tìm tọa độ giao điểm của d và ( P ) . 1 −2 3
ÁN
d:
TO
3 7 A. M ; −3; − 2 2
3 7 B. M ; −3; 2 2
3 7 C. M ;3; − 2 2
7 3 D. M ;3; 2 2
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
13.14. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : 2x + y − 2z − 1 = 0 và đường thẳng
d:
x−2 y z+3 = = . Viết phương trình mặt phẳng chứa d và vuông góc với ( P ) . 1 3 −2
A. x + 8y − 5z + 13 = 0
B. x + 8y + 5z + 13 = 0 C. x − 8y − 5z + 13 = 0 D. x + 8y − 5z − 13 = 0
Trang 35
Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
13.15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : 6x + 3y − 2z − 1 = 0 và mặt cầu
( S) : x 2 + y 2 + z 2 − 6x − 4y − 2z − 11 = 0 . Mặt phẳng ( P ) tròn ( C ) . Tìm tọa độ tâm của ( C )
13.16. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
A ( 3;5;0 )
và mặt phẳng
( P ) : 2x + 3y − z − 7 = 0 . Tìm tọa độ điểm đối xứng của A qua ( P ) B. ( −1;1; 2 )
C. (1; −1; 2 )
D. (1;1; 2 )
ẠO
A. B ( −1; −1; 2 )
N
3 5 13 D. ; ; 7 7 7
Y
3 5 13 C. ; ; − 7 7 7
U
3 5 13 B. ; − ; 7 7 7
TP .Q
3 5 13 A. − ; ; 7 7 7
H Ơ
N
cắt mặt cầu ( S) theo giao tuyến là một đường
G
Đ
13.17. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A (1; −1;1) , B ( −1; 2;3) và đường thẳng
x +1 y − 2 x − 3 = = . Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với hai đường thẳng 1 3 −2 AB và ∆
TR ẦN
H
Ư N
∆:
x −1 y +1 z −1 = = 7 2 4
B. d :
x −1 y −1 z −1 = = 7 2 4
C. d :
x −1 y −1 z + 1 = = 7 2 4
D. d :
x −1 y +1 z −1 = = 7 −2 4
00
B
A. d :
3
10
13.18. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A ( −1; −1; −2 ) , B ( 0;1;1) và mặt phẳng
2+
( P ) : x + y + z − 1 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, B và vuông góc với ( P ) A. x − 2y − z − 1 = 0
ẤP
B. x − 2y − z + 1 = 0
C. x + 2y − z + 1 = 0
D. x − 2y + z + 1 = 0
A
C
13.19. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : 2x − 2y − z − 4 = 0 và mặt cầu cắt mặt cầu ( S) theo một đường tròn. Xác
H
Ó
( S) : x 2 + y 2 + z 2 − 2x − 4y − 6z − 11 = 0 . Mặt phẳng ( P )
-L
B. H ( 3;0; −2 )
C. H ( −3;0; −2 )
D. H ( 3;0; 2 )
ÁN
A. H ( −3;0; 2 )
Í-
định tọa độ tâm của đường tròn đó.
x −1 y + 2 z = = . Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ sao cho MA 2 + MB2 nhỏ nhất 1 2 −1
Ỡ N
G
∆:
TO
13.20. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1; 4; 2 ) , B ( −1; 2; 4 ) và đường thẳng
BỒ
ID Ư
A. M (1;0; 4 )
B. M ( −1;0; −4 )
13.21. Tìm giao điểm của đường thẳng d : A. M ( 3;1;0 )
B. M ( 3; −1; 0 )
C. M ( −1;0; 4 )
D. M (1;0; −4 )
x − 3 y +1 z = = và mặt phẳng ( P ) : 2x − y − z − 7 = 0 1 −1 2 C. M ( −3;1;0 )
D. M ( −3; −1;0 )
Trang 36
Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
13.22. Cho hai điểm A ( −2; −1;3) , B ( 4; −2;1) và mặt phẳng ( β ) : 2x + 3y − 2z + 5 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng ( α ) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng ( β )
B. 4x + 4y + 5z − 18 = 0
C. 4x − 4y + 5z − 18 = 0
D. 4x + 4y + 5z − 18 = 0 Viết
B. 2x + y − 3z + 4 = 0
C. −2x + y − 3z − 4 = 0
D. −2x + y + 3z − 4 = 0
ẠO
A. 2x + y − 3z − 4 = 0
TP .Q
U
( β ) : 2x + y − z − 2 = 0, ( γ ) : x − y − z − 3 = 0 . phương trình mặt phẳng ( α ) đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng ( β ) , ( γ ) .
Y
13.23. Cho điểm M (1;0; −2 ) và hai mặt phẳng
N
H Ơ
N
A. 4x + 4y + 5z + 18 = 0
B. H ( 2;3;3)
C. H ( 2; −3; −3)
D. H ( −2; −3;3)
TR ẦN
A. H ( 2; −3;3)
H
trên ( P )
Ư N
G
Đ
13.24. Cho mặt phẳng ( P ) : x + y + 5z − 14 = 0 và điểm M (1; −4; −2 ) . Tìm tọa độ hình chiếu H của M
13.25. Cho mặt phẳng ( P ) : x + y + 5z − 14 = 0 và điểm M (1; −4; −2 ) . Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng
A. M ' ( −3; −2;8 )
B
với M qua ( P )
C. M ' ( 3; −2;8 )
D. M ' ( −3; 2; −8 )
10
00
B. M ' ( 3; 2;8 )
3
13.26. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A ( 2; −1;1) và hai đường thẳng
C
ẤP
2+
x = 1 + t x = 1 + 3t d1 : y = −2 + t , d 2 : y = −2 + t . Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm A và z = 3 z = 3 + t
x = 2 + t B. d : y = 1 − t z = 1 − 2t
Í-
H
x = 2 + t D. d : y = 1 − t z = −1 + 2t 13.27. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 vecto a = ( −1;1;0 ) , b = (1;1; 0 ) , c = (1;1;1) . Trong
x = 2 + t C. d : y = 1 − t z = 1 − 2t
TO
ÁN
-L
x = 2 + t A. d : y = −1 − t z = 1 − 2t
Ó
A
vuông góc với hai đường thẳng d1 , d 2 .
G
các mệnh đề sau mệnh đề nào sai:
BỒ
ID Ư
Ỡ N
A. a = 2
B. c = 3
C. a ⊥ b
D. b ⊥ c
13.28. Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD, với A (1;0;0 ) , B ( 0;1; 0 ) ,C ( 0;0;1) , D (1;1;1) . Tính
thể tích tứ diện.
A.
1 6
B.
2 3
C. 2
D.
1 3
Trang 37
Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
13.29. Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD, với A (1;0;0 ) , B ( 0;1;0 ) ,C ( 0; 0;1) , D (1;1;1) . Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có bán kính là:
C.
2
D.
3
3 4
N
B.
N
13.30. Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD, với A ( 2; −1; −2 ) ; B ( −1;1; 2 ) ;C ( −1;1;0 ) ; D (1; 0;1) .
H Ơ
3 2
A.
A.
1
1 13
B.
3 3
2 13
C.
TP .Q
U
Y
Độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ D bằng:
D. 13
ẠO
13.31. Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A ( 0; 2;1) ; B ( 3; 0;1) ;C (1;0;0 ) . Lập phương trình mặt
G
Đ
phẳng ( ABC )
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng.
4 2 3
C.
1 6
B
B.
D.
2
00
A. 4 2
x − 2 y +1 z + 3 x −1 y −1 z + 1 . = = ; d': = = 1 2 2 1 2 2
H
13.32. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d :
Ư N
B. 2x − 3y − 4z + 1 = 0 C. 4x + 6y − 8z + 2 = 0 D. 2x + 3y − 4z − 2 = 0
TR ẦN
A. 2x − 3y − 4z + 2 = 0
A. x − 2y + 3z = 1
x y z + + =6 1 −2 3
ẤP
B.
2+
3
10
13.33. Mặt phẳng qua 3 điểm A (1;0;0 ) , B ( 0; −2;0 ) , C ( 0;0;3) có phương trình là; C.
H
A.
B.
5 5
854 29
C.
854 29
D.
-L
Í-
5
D. 6x − 3y + 2z = 6
x − 2 y − 3 z −1 x −1 y z + 1 và d 2 : = = = = −2 2 −4 −5 1 2
Ó
A
C
13.34. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d1 :
x y z + + =1 −1 2 −3
ÁN
13.35. Trong mặt phẳng Oxyz, cho tứ diện ABCD, với A ( 2;3;1) ; B ( 4;1; −2 ) ; C ( 6;3;7 ) ; D ( −5; −4; −8 ) .
45 7
B.
6 5 5
C.
5 5
D.
4 3 3
Ỡ N
G
A.
TO
Độ dài đường cao kẻ từ D của tứ diện là:
BỒ
ID Ư
13.36. Cho tứ diện ABCD, với A (1;0;0 ) ; B ( 0;1;0 ) ; C ( 0;0;1) ; D ( −2;1; −1) . Thể tích của tứ diện ABCD
là:
A. 1
B. 2
C.
1 2
D.
1 3
Trang 38
Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn 13.37.
trình
m ặt
phẳng
chứa
đường
hai
thẳng
d1 :
x −1 y + 2 z − 4 = = 1 3 −2
và
C. −8x + 19y + z + 4 = 0
D. 6x + 9y + z − 8 = 0
N
B. 6x + 9y + z + 8 = 0
TP .Q
13.38. Hình chiếu vuông góc của A ( −2; 4;3) trên mặt phẳng 2x − 3y + 6z + 4 = 0 có tọa độ là:
Y
A. 3x + 2y − 5 = 0
H Ơ
N
x +1 y z + 2 = = là: 1 −1 3
U
d2 :
Phương
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
2 37 31 20 37 3 C. − ; ; D. − ; − ; − 7 7 5 5 5 7 13.39. Trong không gian Oxyz, cho các vecto a = ( x; 2;1) và b = ( 3; 2; 0 ) . Gía trị của a − b nhỏ nhất
G
Đ
ẠO
20 37 3 B. − ; ; 7 7 7
A. (1; −1; 2 )
Ư N
khi:
B. x = 2
C. x = 1 D. x = −3 13.40. Trong không gian Oxyz, cho các vecto a = ( 3; x + 1;1) , b = ( 0; −1;1) . Gía trị của a − 2b nhỏ
TR ẦN
H
A. x = 3
nhất khi:
A. x = 3 không
B
với
gian
00
Trong
C. x = −2 hệ
tọ a
độ
Oxyz,
D. x = −1 cho
hai
đường
thẳng
10
13.41.
B. x = −3
B. 300
C
A. 00
ẤP
2+
3
x = 1 + 2t x −2 y+2 z−3 ∆: = = ; d : y = −1 − t . Tính góc giữa hai đường thẳng. −1 1 1 z = 1 + 3t C. 900
D. 600
Ó
A
13.42. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A ( 3; −1; 2 ) ; B ( 4; −1; −1) ;C ( 2;0; 2 ) . Mặt
Í-
H
phẳng đi qua ba điểm A, B, C có phương trình:
B. 3x + 3y + z − 8 = 0
C. 3x − 3y + z − 8 = 0
D. −3x + 3y + z − 8 = 0
ÁN
-L
A. 3x + 3y − z − 8 = 0
TO
13.43. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M (1; −1;5 ) , N ( 0; 0;1) . Mặt phẳng ( α )
G
chứa M, N và song song với trục Oy có phương trình là;
BỒ
ID Ư
Ỡ N
A. ( α ) : 4x − z + 1 = 0
B. ( α ) : x − 4z + 1 = 0
C. ( α ) : −4x − z + 1 = 0 D. ( α ) : 4x − z + 3 = 0
13.44. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng ( α ) đi qua điểm M ( 0; 0; −1) và song song với giá của hai vecto a = (1; −2;3) , b = ( 3;0;5 ) . Phương trình của mặt phẳng ( α ) là: A. ( α ) : −5x + 2y + 3z + 3 = 0
B. ( α ) : −5x + 2y − 3z + 3 = 0
Trang 39
Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
C. ( α ) : 5x + 2y + 3z + 3 = 0
D. ( α ) : −5x + 2y + 3z − 3 = 0
13.45. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng ( α ) đi qua A ( 2; −1;1) và vuông góc với hai
H Ơ
D. ( α ) : y + 2z − 4 = 0
N
C. ( α ) : x + 2y − 4 = 0
Y
B. ( α ) : x + 2z − 4 = 0
TP .Q
U
A. ( α ) : x − 2z − 4 = 0
N
mặt phẳng ( P ) : 2x − z + 1 = 0 và ( Q ) : y = 0 . Phương trình của mặt phẳng ( α ) là:
13.2.A
13.3.B
13.4.B
13.6. A
13.7.C
13.8.A
13.9.A
13.11.A
13.12.C
13.13.B
13.14.B
13.16.A
13.17.A
13.18.D
13.19.D
13.21.B
13.22.B
13.23.C
13.26.A
13.27.D
13.28.D
13.31.D
13.32.B
13.33.D
13.36.C
13.37.B
13.38.B
13.41.C
13.42.B
13.43.A
G Ư N H
13.15.D
13.20.C
13.24.A
13.25.C
13.29.A
13.30.B
B 00 10
3
13.10.C
13.34.A
13.35.A
13.39.A
13.40.B
13.44.A
13.45.B
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
C
ẤP
2+
13.5.B
Đ
13.1.B
TR ẦN
ẠO
§ 13
Trang 40
Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial