PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG BÀI
TOÁN 11
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
MỤC LỤC
PHẦN 1: ĐẠI SỐ
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
(trong đó P ( n ) , Q ( n ) là hai đa thức của n)
.Q
P ( n) Q ( n)
TP
DẠNG 1: un là một phân thức hữu tỉ dạng un =
U Y
N
TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY (un) CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN
H
Ơ
N
CHUYÊN ĐỀ 1: GIỚI HẠN
G
Phương pháp: Chia cả tử và mẫu cho n k với n k là lũy thừa số mũ lớn nhất của P ( n ) và Q ( n ) (hoặc rút n k là
Ví dụ: Tìm giới hạn của dãy ( un ) biết:
2n 2 − 3n + 1 5n 2 + 3
b) un =
−2n3 + 3n 2 + 4 n 4 + 4n 3 + n
c) un =
2n 4 + 3n 2 − n ( 2n + 1)(1 − 3n ) ( 2n2 + 1)
10 00
B
a) un =
TR ẦN
H Ư
N
lũy thừa có số mũ lớn nhất của P ( n ) và Q ( n ) ra làm nhân tử) sau đó áp dụng các định lý về giới hạn.
LỜI GIẢI
Ó
A
a) Ta thấy n 2 là lũy thừa cao nhất của tử và mẫu, nên chia cả tử và mẫu của un cho n 2 được:
H
2n 2 − 3n + 1 3 1 2− + 2 2 2n − 3n + 1 n n n . Ta có lim 3 = 0, lim 1 = 0 và lim 3 = 0 nên un = = = 2 2 3 5n + 3 n n2 n2 5n + 3 5 + n2 n2
-L
Í-
2
ÁN
2−0+0 2 = . 5+0 5
TO
lim un =
ÀN
b) Dễ dàng thấy n 4 là lũy thừa cao nhất của tử và mẫu, nên chia cả tử và mẫu của un cho n 4 được:
Đ
2 3 4 −2n3 + 3n 2 + 4 − + 2+ 4 4 −2n + 3n + 4 2 3 4 4 un = 4 = 4 n 3 = n n n . Ta có lim = 0, lim 2 = 0, lim 4 = 0, lim = 0 3 4 1 n + 4n + n n + 3n + n n n n n 1+ + 3 4 n n n 2
D
IỄ N
3
và lim
1 0+0+0 = 0 . Do đó lim un = = 0. 3 n 1+ 0 + 0
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
2n 4 + 3n 2 − n 3 1 1 2n + 1 4 c) Có 2n 4 + 3n 2 − n = n 4 = n 2 + − 3 , 2n + 1 = n = n2 + 4 n n n n n
H N
U Y
TP
2+0−0 1 3 1 1 1 = 0, lim 3 = 0, lim = 0 và lim 2 = 0 . Nên lim un = =− . n n n n ( 2 + 0 )( 0 − 3)( 2 + 0 ) 6
. Vì
ẠO
lim
.Q
3 1 3 1 3 1 n4 2 + − 3 n4 2 + − 3 2+ − 3 n n n n n n un = = = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n 2 + n − 3 n 2 2 + 2 n 4 2 + − 3 2 + 2 2 + − 3 2 + 2 n n n n n n n n n
Ơ
N
2 1 1 − 3n 1 2 2 2n + 1 2 1 − 3n = n = n 2 + 2 . T ừ đó = n − 3 và 2n + 1 = n 2 n n n n
P ( n) Q ( n)
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
DẠNG 2: un là một phân thức hữu tỉ dạng un =
H Ư
N
(trong đó P ( n ) , Q ( n ) là các biểu thức chứa căn của n)
4n 2 − n + 1 − n
b) un =
2
9n + 3n
2n + 1 − n + 3 4n − 5
10 00
B
a) un =
TR ẦN
Ví dụ: Tìm giới hạn của dãy ( un ) biết:
LỜI GIẢI
2
9n + 3n
=
A
4n − n + 1 − n
9n + 3n n2 2 n 2
=
có
lim
1 = 0, n
-L
Vì
ÁN
4 − 0 + 0 −1 1 1 3 = 0 , và lim = 0 . Nên lim un = = 2 n n 3 9+0
TO
lim
1 1 1 1 + 2 −n 4 − + 2 −1 n n n n = . 3 3 9+ n 9+ n n
n 4−
Í-
un =
H
a)
Ó
2
4n 2 − n + 1 n2 −n n2
D
IỄ N
Đ
ÀN
2n + 1 n+3 1 3 1 3 n n. 2 + − n. 1 + 2 + − 1+ − n 2n + 1 − n + 3 n n n n = n n. b) un = = = 4n − 5 5 5 4n − 5 n. 4 − 4− n n n n Vì có lim
1 3 5 = 0 , lim = 0 và lim = 0 . n n n
Từ đó có lim un =
2 + 0 − 1+ 0 2 −1 = . 2 4−0
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
DẠNG 3: un là một phân thức hữu tỉ dạng un =
P ( n) (trong đó P ( n ) , Q ( n ) là các biểu thức Q ( n)
chứa hàm mũ an, bn, cn,… Chia cả tử và mẫu cho an với a là cơ số lớn nhất)
c) un =
Ơ
3.2 n − 5n 5.4n + 6.5n
4 n + 2 + 6n +1 5n −1 + 2.6n +3
H
b) un =
N
2n + 4 n 4n − 3n
U Y
a) un =
N
Ví dụ: Tìm giới hạn của dãy ( un ) biết:
.Q
LỜI GIẢI n
N
0 +1 = 1. 1− 0 n
H Ư
Nên lim un =
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
TP
2n + 4 n 2n 4n 2 + 1 n n + n n n n n 2 +4 4 2 3 4 4 4 a) Ta có un = n n = n n = n . Ta có lim = 0 và lim = 0 . = 2 4 −3 4 3n 4 −3 4 4 3 − 1− n n n 4 4 4 4
2
A
4 +6 5n −1 + 2.6n +3
4n.4 2 + 6n.6 4n.42 6n.6 + n 4 .4 + 6 .6 6n 6n 6 = n −1 = = 5 .5 + 2.6n.63 5n.5−1 + 2.6n.63 5n.5−1 2.6 n.63 + 6n 6n 6n n
n
-L
Í-
c) Ta có un =
n +1
Ó
n+ 2
10 00
3.0 − 1 1 =− . 5.0 + 6 6
H
Do đó lim un =
B
TR ẦN
2 3.2 n − 5n 3.2 n 5n 3 −1 n n − n n n n n 3.2 − 5 2 4 5 5 5 = 5 b) Ta có un = . Ta có và lim = 0 lim = = =0. n 5.4n + 6.5n 5.4n + 6.5n 5.4n 6.5n 5 5 4 + n 5 + 6 5n 5n 5 5
n
4 4 +6 n n 4 5 6 . Ta có và lim = 0 lim = =0. n 6 6 3 −1 5 5 + 2.6 6
ÀN
TO
ÁN
2
D
IỄ N
Đ
Do đó lim un =
42.0 + 6 1 = . −1 3 5 .0 + 2.6 72
DẠNG 4: Nhân lượng liên hợp
PHƯƠNG PHÁP: Sử dụng các công thức nhân lượng liên hợp sau:
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
•
a −b =
a 3 − b3 a 2 + ab + b 2
•
a+b =
a 3 + b3 a 2 − ab + b 2
•
3
Ơ H
a 2 + a. 3
( a + b ) a
a−3b=
2
a 2 − a. 3
(
3
a+3b=
+ a. 3 b +
( b) 3
2
3
3
3
3
3
-L
3
3
2
3
3
2
3
2
− a. 3 b +
( b) 3
3
3
3
3
TP ẠO Đ G N
2
2
2
3
2
a3 + b
) ( a ) − a . b + ( b ) = ( a ) − a. b + ( b ) ( a)
ÁN
3
2
a+3b
TO
•
3
2
) ( a ) + a . b + ( b ) = ( a ) + a. b + ( b ) ( a) 3
2
a3 − b
2
3
2
3
a−3b 3
(
( b ) = b +( b) a
− a. 3 b +
3
2
3
2
3
2
3
( b ) = b +( b) a
+ a. 3 b +
U Y
N 2
3
2
3
2
TR ẦN
( a − b ) a
2
3
10 00
a+ 3 b =
3
B
2
3
•
2
3
3
a− 3 b =
2
3
) ( a ) − a .b + b a+b = ( a ) − a .b + b ( a ) − a .b + b
a +b 3
•
2
3
A
a +b =
3
Ó
•
3
3
2
3
H Ư
2
3
(
2
3
.Q
) ( a ) + a .b + b a −b = ( a ) + a .b + b ( a ) + a .b + b
a −b
H
a −b =
3
Í-
3
(
N
•
a 2 − b2 a − b = a+b a 2 − b 2 = ( a + b )( a − b ) → a2 − b2 + = a b a −b
•
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
a−b 2
+ 3 a.3 b +
( b)
2
( b)
2
3
2
2
3
a+b 2
3
− a.3 b +
3
Đ
ÀN
Ví dụ 1: Tìm giới hạn của dãy ( un ) biết: b) un = 9n 2 + 3n − 4 − 3n + 2
c) un = 3 n3 + 3n 2 − n
d) un = 3 8n3 + 4n 2 + 2 − 2n + 3
D
IỄ N
a) un = n 2 + 3n + 5 − n
LỜI GIẢI
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
n 2 + 3n + 5 − n
)(
n 2 + 3n + 5 + n
2
n + 3n + 5 + n
)=
3n + 5 2
n + 3n + 5 + n
.
.Q
U Y
N
5 5 n3+ 3+ 3 5 3 5 n n Do đó un = , vì lim = 0 , lim = 0 và lim 2 = 0 . Nên lim un = . = n n n 2 3 5 3 5 1+ + 2 +1 n 1+ + 2 + n n n n n
Ơ
N
n 2 + 3n + 5 3 5 n 2 + 3n + 5 = n 2 = n 1+ + 2 2 n n n
5 3n + 5 Và có 3n + 5 = n = n 3 + và n n
H
a) Ta có un =
( n + 3n + 5 − n = 2
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
TP
NHẬN XÉT: Tại sao phải nhân lượng liên hiệp?
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
Quay lại ví dụ a) thông thường ta đặt n k làm nhân tử chung nhưng sao lại phải nhân lượng liên hợp. Bây giờ ta
Đ
thử làm lại câu a) theo phương pháp đặt n k trong căn thức thử xem sao, và sau đó rút ra nhận xét. Ta có
H Ư
N
G
n 2 + 3n + 5 3 5 3 5 3 5 un = n 2 + 3n + 5 − n = n 2 − n = n 1 + + 2 = n 1 + + 2 − 1 . Vì lim = lim 2 = 0 nên 2 n n n n n n n
TR ẦN
3 5 lim 1 + + 2 − 1 = 0 và lim n = +∞ do đó lim un = +∞.0 (đây là dạng vô định). Nên cách làm này không là n n không được rồi, ta phải sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp để khử vô định sau đó cách làm hoàn toàn
10 00
B
như dạng 1.
Dấu hiệu nhận biết nhân lượng liên hợp: Để nhận biết một bài tập có nhân lượng liên hợp hay không các bạn
A
chỉ chú ý tới n có mũ cao nhất sau đó đưa ra ngoài dấu căn thức, nếu chúng trừ nhau bằng 0 thì bài này ta phải
H
Ó
nhân lượng liên hợp. Cụ thể ta làm lại câu a) un = n 2 + 3n + 5 − n biểu thức trong căn thức có n 2 là cao nhất
-L
Í-
và ta quan tâm đến “nó”, những thừa số sau bỏ hết có nghĩa xem un = n 2 − n = n − n = 0 (nên các bạn phải
ÁN
nhân lượng liên hợp). Chúng ta xem bài này có nhân lượng liên hợp hay không un = 2n 2 + 3n + 5 − n chúng ta
TO
cũng quan tâm đến số hạng có chứa mũ có nhất đó là 2n 2 , có nghĩa un
(
)
2 − 1 ta có
2 − 1 ≠ 0 nên bài này được làm trực tiếp không cần nhân lượng
ÀN
u n = 2n 2 − n = n 2 − n = n
được viết lại
Đ
liên hợp. Cụ thể bài này ta làm như sau:
D
IỄ N
2n 2 + 3n + 5 3 5 3 5 3 5 − = 2 + + − = 2 + + − 1 un = 2n 2 + 3n + 5 − n = n 2 n n n n do lim = lim 2 = 0 2 2 2 n n n n n n n
3 5 nên lim 2 + + 2 − 1 = 2 − 1 và lim n = +∞ do đó lim un = +∞. n n
(
)
2 − 1 = +∞ (cụ thể các bạn xem phương
pháp tìm giới hạn dãy số có giới hạn vô cực).
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
2
9n + 3n − 4 + 3n
)+2=
3n − 4 2
9n + 3n − 4 + 3n
9n 2 + 3n − 4 3 4 9n 2 + 3n − 4 = n 2 = n 9+ − 2 . 2 n n n
và
3n 2
(
3
un =
n3 + 3n 2
) + n. 2
3
n3 + 3n 2 + n 2
3n 2 2
3 3 n2 3 1 + + n 2 . 3 1 + + n 2 n n
3
TO 2
8n + 4n + 2
ÀN
(
3
3
3
ẠO Đ G
, ta có lim
3 = 0 . Nên lim un = 1 n
A Ó H
) + 2n 2
3
3
) + 2n. 8n + 4n + 2 + 4n 2
N
3 3 3 1+ + 3 1+ +1 n n
3
8n3 + 4n 2 + 2 + 4n 2 +3
) + 2n. 8n + 4n + 2 + 4n 2
n3 + 3n 2 + n 2
n3 + 3n 2 3 n3 + 3n 2 = 3 n3 = n 3 1 + . Do đó 3 n n
2
4n 2 + 2
3
3
3
2
2
+3. 2
8n3 + 4n 2 + 2 3 4 2 8n3 + 4n 2 + 2 = 3 n3 n 8 + + 3 . Do đó: 3 n n n
Đ
=
3
2
8n3 + 4n 2 + 2
8n 3 + 4 n 2 + 2
n3 + 3n 2 + n 2
2
ÁN
(
3
3
=
Í-
)(
8n3 + 4n 2 + 2 − 2n
-L
3
) + n.
n3 + 3n 2
. Ta có
d) un = 3 8n3 + 4n 2 + 2 − 2n + 3
(
3
) + n. 2
H Ư
(
n3 + 3n 2
TR ẦN
)(
3
B
=
ra
10 00
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
c) un = 3 n3 + 3n 2 − n =
(
n3 + 3n 2 − n
3
suy
TP
3−0 1 = . 9+0−0 +3 2
lim un =
đó
.Q
2 2 n3− 3− 2 3 4 n n +2= + 2 , vì lim = 0, lim = 0 và lim 2 = 0 . Nên un = n n n 3 4 3 4 n 9 + − 2 + 3n 9+ − 2 +3 n n n n
Từ
+ 2 . Ta có
N
9n 2 + 3n − 4 + 3n
Ơ
2 3n − 2 3n − 2 = n = n3− n n
)(
H
9n 2 + 3n − 4 − 3n
2
N
un =
b)
( 9n + 3n − 4 − 3n + 2 =
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
U Y
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
3
D
IỄ N
Ta có
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
2 n2 4 + 2 n un = = 2 4 2 4 2 4 2 n 2 3 8 + + 3 + 2n 2 . 3 8 + + 3 + 4n 2 3 8 + + 3 n n n n n n
2
2 n2
4 2 + 2. 3 8 + + 3 + 4 n n
. Vì lim
4 2 = 0 , lim = 0 2 n n
Ơ
N
1 2 = 0 . Nên lim un = . 3 n 3
H
và lim
4+
U Y
N
GIỚI HẠN HÀM SỐ LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
TP
.Q
TOÁN
ẠO
TÓM TẮT LÝ THUYẾT x → x0
Đ
x → x0
● lim f ( x ) − g ( x ) = L − M x → x0
● lim f ( x ) .g ( x ) = L.M x → x0
● Nếu M ≠ 0 thì lim
H Ư
N
G
● lim f ( x ) + g ( x ) = L + M x → x0
TR ẦN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Định lí 1: Giả sử lim f ( x ) = L và lim g ( x ) = M (với L, M ∈ ℝ ). Khi đó:
10 00
● Nếu c là một hằng số thì lim c. f ( x ) = c.L . x → x0
f ( x) L = g ( x) M
B
Hệ quả:
x → x0
● lim ( a.x k ) = ax0k (a hằng số và k ∈ ℤ + )
A
x → x0
Ó
Định lí 2: Giả sử lim f ( x ) = L . Khi đó:
H
x → x0
x → x0
3
f ( x) = 3 L
f ( x ) ≥ 0 với mọi x ∈ J \ { x0 } , trong đó J là một khoảng nào đó chứa x0 , thì L ≥ 0 và
ÁN
● N ếu
● lim
-L
x → x0
Í-
● lim f ( x ) = L
f ( x) = L .
TO
lim
x → x0
ÀN
Chú ý:
D
IỄ N
Đ
Định lí 1 và định lí 2 vẫn đúng khi thay x → x0 bởi x → +∞ hoặc x → −∞ . Định lí 3: Nếu lim f ( x ) = +∞ thì lim x → x0
x → x0
1 = 0. f ( x)
4). Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực: Qui tắc 1: Nếu lim f ( x ) = ±∞ và lim g ( x ) = L (với L ≠ 0 ) thì lim f ( x ) .g ( x ) được cho bởi bảng sau: x → x0 x → x0 x → x0
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
lim f ( x )
Dấu của L
+∞
+
+∞
+∞
−
−∞
−∞
+
−∞
−∞
−
+∞
lim f ( x ) .g ( x )
N
H
Ơ
N
x → x0
U Y
x → x0
ẠO Dấu của g ( x )
+
+
Đ
Dấu của L
lim
TR ẦN
H Ư
N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
x → x0
f ( x) được cho bởi bảng sau: g ( x)
G
lim
x → x0
TP
x → x0
.Q
Qui tắc 2: Nếu lim f ( x ) = L, ( L ≠ 0 ) , lim g ( x ) = 0 và g ( x ) > 0 hoặc g ( x ) < 0 với mọi x ∈ ( a; b ) \ { x0 } thì
+
10 00
−
−∞
+
−∞
−
+∞
A
5). Các dạng vô định:
+∞
−
B
−
x → x0
f ( x) g ( x)
Ó
H
ÁN
a). Giới hạn hữu hạn:
-L
6). Giới hạn một bên:
0 ∞ , , 0.∞, ∞ − ∞ . 0 ∞
Í-
Các dạng vô định thường gặp:
TO
* Giới hạn bên phải: Giả sử hàm số f xác định trên khoảng ( x0 ; b ) , ( x0 ∈ ℝ ) . Ta nói rằng hàm số f có giới hạn
ÀN
bên phải là số thức L khi x dần đến x0 (hoặc tại điểm x0 ) nếu với mọi dãy số ( xn ) trong khoảng ( x0 ; b ) mà
Đ
lim xn = x0 , ta đều có lim f ( xn ) = L . Khi đó ta viết:
IỄ N
lim f ( x ) = L hoặc f ( x ) → L khi x → x0+ .
D
x → x0+
* Giới hạn bên trái: Giả sử hàm số f xác định trên khoảng ( a; x0 ) , ( x0 ∈ ℝ ) . Ta nói rằng hàm số f có giới hạn bên trái là số thực L khi x dần đến x0 (hoặc tại điểm x0 ) nếu với mọi dãy số ( xn ) trong khoảng ( a; x0 ) mà lim xn = x0 , ta đều có lim f ( xn ) = L . Khi đó ta viết:
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
lim f ( x ) = L hoặc f ( x ) → L khi x → x0− .
x → x0−
Định lí 5: lim f ( x ) = L ⇔ lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = L x → x0
x → x0
x → x0
N
* Giới hạn vô cực: x → x0
H
x → x0
N
x → x0
Ơ
lim f ( x ) = +∞, lim+ f ( x ) = −∞, lim− f ( x ) = +∞, lim− f ( x ) = −∞ được phát biểu tương tự như các định nghĩa ở
x → x0+
U Y
phần giới hạn hữu hạn.
.Q
Định lí 5 vẫn đúng với giới hạn vô cực.
TP
Các định lí về giới hạn hữu hạn và các quy tắc tìm giới hạn vô cực vẫn đúng trong trường hợp x → x0+ hay
ẠO
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
x → x0− .
G
N
(Dạng này thường gặp khi
x → x0 )
P (n) trong đó P ( x ) , Q ( x ) là đa thức theo biến x Q (n)
TR ẦN
DẠNG 1: Hàm số f ( x ) =
0 0
H Ư
CÁCH KHỬ DẠNG VÔ ĐỊNH
Đ
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
B
PHƯƠNG PHÁP: Phân tích đa thức thành nhân tử, sau đó rút gọn biểu thức làm cả tử và mẫu bằng 0.
10 00
Phân tích đa thức thành nhân tử có các phương pháp sau: Sử dụng bảy hằng đẳng thức đáng nhớ
•
Nếu tam thức bậc hai thì sử dụng ax 2 + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 ) , ( a ≠ 0 ) với x1 , x2 là nghiệm của
H
Ó
A
•
Í-
phương trình ax 2 + bx + c = 0 .
Sử dụng phương pháp Hoocner. Phép chia đa thức P ( x ) = ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e cho ( x − x0 ) theo sơ
-L
•
x0
a
b
c
d
e
a
b1 = ax0 + b
c1 = ax02 + bx0 + c
d1 = ax03 + bx02 + cx0 + d
0
Đ
ÀN
TO
ÁN
đồ Hoocner như sau:
D
IỄ N
Hàng thứ nhất điền hệ số của đa thức P ( x ) từ ô thứ hai đến ô cuối cùng. Ở hàng thứ hai ô đầu tiên điền giá trị x0 là một nghiệm của P ( x ) , ô thứ hai viết lại a, lấy
( x0 .a + b )
đặt vào ô thứ ba, lấy x0 ( x0 a + b ) + c
= ax02 + bx0 + c điền vào ô thứ tư, lấy x0 ( ax02 + bx0 + c ) + d = ax03 + bx02 + cx0 + d điền vào ô thứ năm, lấy x0 ( ax03 + bx02 + cx0 + d ) + e = 0 (bắt buộc tổng này phải bằng 0, thì đây mới là phép chia hết).
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Khi đó P ( x ) được viết lại P ( x ) = ( x − x0 ) ( ax 3 + b1 x 2 + c1 x + d1 )
2 x3 + 5 x 2 + 4 x + 1 x →1 x3 + x 2 − x − 1
Ơ
2 x3 − 5 x 2 − 2 x − 3 x →3 4 x 3 − 13 x 2 + 4 x − 3
b) L = lim
.Q
U Y
12 1 d) lim − 3 x→2 x − 2 x −8
H
c) lim
N
x3 + 8 x →−2 x 2 + 11x + 18
a) lim
N
Ví dụ: Tìm các giới hạn sau:
TP
LỜI GIẢI
ẠO
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
a). Ta có x3 + 8 = x 3 + 23 = ( x + 2 ) ( x 2 + 2 x + 4 ) (áp dụng hằng đẳng thức), và x 2 + 11x + 18 = ( x + 2 )( x + 9 ) (với
G
Đ
x1 = −2 và x2 = −9 là hai nghiệm của phương trình x 2 + 11x + 18 = 0 )
TR ẦN
H Ư
N
( x + 2) ( x2 − 2x + 4) x3 + 8 x 2 − 2 x + 4 12 = lim = lim = Do đó lim 2 x →−2 x + 11x + 18 x →−2 x →−2 7 x+9 ( x + 2 )( x + 9 ) 2 x3 − 5 x 2 − 2 x − 3 x →3 4 x 3 − 13 x 2 + 4 x − 3
b). L = lim
10 00
( x − 3)
B
Thay x = 3 vào cả tử và mẫu thấy đều bằng 0, nên x = 3 là một nghiệm của hai đa thức cả mẫu và tử. Có nghĩa là nhân tử chung, ta phân tích đa thức ở tử và mẫu thành nhân tử bằng phương pháp Hoocner. Cách làm
A
như sau:
H
Ó
Phân tích tử số: 2 x 3 − 5 x 2 − 2 x − 3 = ( x − 3) ( 2 x 2 + x + 1)
Í-
Kẻ bảng như sau. Sau đó điền hệ số của từng số hạng với số mũ giảm dần vào các ô ở hàng đầu tiên với ô thứ
-L
nhất để trống. Ở hàng thứ hai: điền giá trị làm đa thức bằng 0 ở đây là chữ số 3. Ô thứ hai điền lại giá trị ở ô thứ
ÁN
hai của hàng một xuống (ta thường hay nói “đầu rơi xuống”), sau đó lấy 3.2 + ( −5 ) = 1 điền chữ số 1 vào ô thứ
3
2
-5
-2
-3
2
1
1
0
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ba, lấy 3.1 + ( −2 ) = 1 điền chữ số 1 vào ô thứ tư, cuối cùng lấy 3.1 + ( −3) = 0 điền vào ô cuối cùng.
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Phân tích mẫu số: 4 x 3 − 13 x 2 + 4 x − 3 = ( x − 3) ( 4 x 2 − x + 1) -13
4
-3
4
-1
1
0
U Y
N
( x − 3) ( 2 x 2 + x + 1) 2 x 2 + x + 1 11 L = lim = lim = x →3 x − 3 4 x 2 − x + 1 ( )( ) x→3 4 x 2 − x + 1 17
.Q
Do đó
H
Ơ
N
3
4
TP
2 x3 + 5 x2 + 4 x + 1 . Ta thấy lim ( 2 x 3 + 5 x 2 + 4 x + 1) = 0 và lim ( x3 + x 2 − x − 1) = 0 như vậy đây là 3 2 x →−1 x →−1 x →−1 x + x − x −1 0 ta phải phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử để khử vô định. Phân tích nhân tử bằng 0
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
dạng giới hạn vô định
ẠO
c). L = lim
N
G
phương pháp Hoocner
2
3
4
1
1
0
TR ẦN
5
B
-1
2
H Ư
Phân tích tử số: 2 x 3 + 5 x 2 + 4 x + 1 = ( x + 1) ( 2 x 2 + 3 x + 1)
10 00
Phân tích mẫu số: x3 + x 2 − x − 1 = ( x + 1) ( x 2 + 0 x − 1) = ( x + 1) ( x 2 − 1)
1
1
-1
-1
0
-1
0
H
Ó
-1
A
1
Í-
( x + 1) ( 2 x 2 + 3x + 1) 2 x 2 + 3x + 1 = lim , ta thấy x →−1 x →−1 x2 −1 ( x + 1) ( x 2 − 1)
lim ( 2 x 2 + 3 x + 1) = 0 và lim ( x 2 − 1) = 0 ta vẫn
x →−1
x →−1
ÁN
-L
Từ đó L = lim
0 nên phân tích thành nhân tử tiếp, ta làm như sau: 0
TO
còn dạng vô định
ÀN
( x + 1)( 2 x + 1) = lim 2 x + 1 = 1 . 2 x 2 + 3x + 1 = lim 2 x →−1 x →−1 ( x + 1)( x − 1) x →−1 x − 1 2 x −1
Đ
L = lim
D
IỄ N
d). Bước đầu tiên ta phải quy đồng mẫu, sau đó phân tích đa thức của tử thành phân tử và rút gọn hạng tử vô
1 12 12 x2 + 2 x − 8 1 định L = lim − 3 = lim − = lim x→2 x − 2 x − 8 x→2 x − 2 ( x − 2 ) ( x 2 + 2 x + 4 ) x→2 ( x − 2 ) ( x 2 + 2 x + 4 )
( x − 2 )( x + 4 ) = lim x + 4 = 1 . x→2 x − 2 ( ) ( x 2 + 2 x + 4 ) x →2 x 2 + 2 x + 4 2
= lim
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
DẠNG 2: NHÂN LIÊN HỢP Tính các giới hạn sau: (CĂN BẬC 2)
x +3 −3 x−6
b) lim x →6
Ơ
x −3 9x − x2
H
x →9
N
a) lim
N
Ví dụ: Tìm các giới hạn sau:
(
)
(
x →6
)
(
ẠO
( x + 3 − 9) 1 1 x+3 −3 x−6 = lim = lim = lim = x → 6 x → 6 x → 6 x−6 x+3 +3 6 ( x − 6) x + 3 + 3 ( x − 6) x + 3 + 3
b). lim
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
)
TP
(
.Q
1 5 x −3 x−9 = lim = lim =− 2 9 9 x → x → 9x − x 4 − x ( x − 9) x + 3 −x x + 3
)
Đ
x →9
G
a). lim
U Y
LỜI GIẢI
H Ư
N
Tìm các giới hạn sau: (CÓ 2 CĂN BẬC 2) 3x + 1 − x + 3 x +8 −3
x →1
b) lim x →9
TR ẦN
a) lim
3− x x −5 − 2
LỜI GIẢI
)
3x + 1 + x + 3
(
A
x +8 +3
)
2
x+8 +3
Ó
( x − 1) (
(
= lim x →1
H
2 ( x − 1)
Í-
x →1
)
B
10 00
(
x →1
= lim
(
( 3 x + 1 − x − 3) x + 8 + 3 3x + 1 − x + 3 = lim x →1 x +8 −3 ( x + 8 − 9 ) 3x + 1 + x + 3
a). lim
(
)
3x + 1 + x + 3
) )
)
=3
(
)
(
)
-L
− ( x − 9) x − 5 + 2 − x −5 + 2 (9 − x) x − 5 + 2 3− x 2 = lim = lim = lim =− x → 9 x → 9 x → 9 3 x−5 −2 3+ x ( x − 5 − 4) 3 + x ( x − 9) 3 + x
b). lim
(
(
)
TO
ÁN
x →9
ÀN
Tìm các giới hạn sau: (CÓ 2 CĂN BẬC 3) 3
a) lim
b) lim
D
IỄ N
Đ
x →−1
1− 3 1− x x →0 x
5x − 3 + 2 x +1
LỜI GIẢI 3
a). lim
x →−1
5x − 3 + 2 = lim x →−1 x +1 ( x + 1)
5x − 3 + 8
(
3
5x − 3
)
2
− 2 3 5 x − 3 + 4
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
5
= lim
x →−1
(
3
5x − 3
)
− 2 3 5x − 3 + 4
2
(
)
(
3
1− x
)
2
5 12
=
1 3
H
1 − (1 − x ) 1− 3 1− x 1 = lim = lim 2 x →0 x →0 x →0 x 1+ 3 1− x + x 1 + 3 1 − x + 3 1 − x
b). lim
=
N
( x + 1) ( 3 5 x − 3 − 2. 3 5 x − 3 + 4 )
x →−1
Ơ
5 ( x + 1)
= lim
x →1
(
x →1
= lim x →1
(
3
x3 + 7
(
(
x →0
ẠO G
N )
x + 16 + 4 x
1 1 7 + lim = 0 → x x+9 +3 x + 16 + 4 24
2
3
10 00
A
x3 + 7 + 4 ( x − 1)
3
) +2
+ lim x →1
+ lim
(2 + (
2 − x2 − 3
)
x 2 + 3 ( x − 1)
− ( x − 1)( x + 1)
)
2 + x 2 + 3 ( x − 1) x3 + 7 + 4 ( x − 1) 2 x +x+4 x +1 3 + lim = 2 2 1 x → 2+ x +3 4 x 3 + 7 + 2 3 x3 + 7 + 4
3
x3 + 7
2
3
x →1
)
IỄ N
Đ
x →1
) +2
( x − 1) ( x 2 + x + 1)
ÀN
= lim
2 − x2 + 3 x3 + 7 + lim x →1 x −1 x −1 x3 + 7 − 8
)
x + 16 + 4 x
Í-
= lim
(
= lim
Ó
x →1
x
(
3 3 x3 + 7 − x 2 + 3 x + 7 − 2 + 2 − x2 + 3 = lim x →1 x −1 x −1
x →1
3
x →0
x →0
x + 16 − 16
B
3
b). lim
= lim
)
x+9 +3 x
+ lim
+ lim
H Ư
x
)
x+9 +3 x
-L
x →0
ÁN
= lim
(
H
x →0
x+9−9
TR ẦN
x +9 −3 x + 16 − 4 + lim = lim x →0 x→0 x x
= lim
Đ
x + 9 + x + 16 − 7 x + 9 − 3 + x + 16 − 7 = lim → 0 x x x
x →0
TO
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
LỜI GIẢI a). lim
U Y
x3 + 7 − x2 + 3 x −1
TP
x →0
b) lim
.Q
3
x + 9 + x + 16 − 7 x
a) lim
N
Tìm các giới hạn sau: (THÊM BỚT ĐỂ NHÂN LIÊN HỢP)
D
GIỚI HẠN KHI x TIẾN TỚI VÔ CỰC Câu 1: Tìm các giới hạn sau:
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
( 4 x + 1) ( 7 x − 1) lim ( 2 x − 1) ( x + 3) 2
3x 2 − x + 7 a) lim x →−∞ 2 x3 − 1
b)
3
x →+∞
N
LỜI GIẢI
Ơ
1 7 1 7 x2 3 − + 2 3− + 2 3x − x + 7 x x x x = lim 3 = 0 a). lim = lim = lim 3 →−∞ →−∞ x →−∞ x x 1 1 x →−∞ 2 x 2x −1 x3 2 − 3 x2 − 3 x x
.Q
1 1 1 1 x2 4 + 2 x 7 − 4 + 2 7 − 28 x x x x b). lim = lim = lim = lim =0 →+∞ →+∞ x →+∞ 2 x 3 − 1 x + 3 x →+∞ x x 1 3 1 3 2x 3 ( )( ) x 2 − 3 1 + x 2 − 3 x 1 + x x x x
TP
ẠO
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
( 4 x 2 + 1) ( 7 x − 1)
G
c) lim
2
x →−∞
2 x +3
N
2 x +3
b) lim
H Ư
a)
2
x →−∞
x + x+5
TR ẦN
2
Đ
Câu 2: Tìm các giới hạn sau:
( x − 1) ( 5 x + 2 ) lim 4 x →−∞ ( 3x + 1)
U Y
N
H
2
x2 + x + 5
LỜI GIẢI 2
2
B
A
a).
2
2
10 00
2
( x − 1) ( 5 x + 2 ) lim 4 x →−∞ ( 3x + 1)
2
2 2 1 1 x 1 − x 2 5 + 1 − 5 + 25 x x x x = lim = lim = 4 4 x →−∞ x →−∞ 81 1 1 x4 3 + 3+ x x 2
Ó
2 2 2 x 6 1 + 6 x3 1 + 3 1 + 3 x +2 x x = lim x = 1 b). lim = lim = lim 3 x →+∞ 3 x − 1 x →+∞ 1 1 x →+∞ 3 1 x →+∞ 3 3− 3 x3 3 − 3 x 3− 3 x x x
ÁN
-L
Í-
H
6
2 x +3
= lim
TO
c). lim
x2 + x + 5
ÀN
x →−∞
x →−∞
3 3 x −2 + −2 + x x = −2 = lim = lim x →−∞ x →−∞ 1 5 1 5 1 5 1+ + 2 x 1+ + 2 x 2 1 + + 2 x x x x x x −2 x + 3
D
IỄ N
Đ
GIỚI HẠN MỘT BÊN Ví dụ 1: Tìm các giới hạn sau: a) lim+ x →3
x −3
b) lim+
5 x − 15
x→0
x+ x x− x
LỜI GIẢI
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
a). Vì x → 3+ ⇒ x > 3 ⇔ x − 3 > 0 . Vậy x − 3 = x − 3
x→0
( x(
x
) = lim x − 1)
x +1
x→0
+
N
x+ x = lim x − x x →0+
x +1 = −1 x −1
Ơ
b). Ta có lim+
H
x →3
x−3 1 x −3 = lim+ = . 5 x − 15 x →3 5 ( x − 3 ) 5
N
Ta có lim+
.Q
U Y
HÀM SỐ LIÊN TỤC
TP
DẠNG 1: XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM
ẠO
PHƯƠNG PHÁP 1:
Đ G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Bước 1: Tính f ( x0 ) . x → x0
H Ư
x → x0
N
Bước 2: Tính lim f ( x ) . Nếu lim f ( x ) = f ( x0 ) thì hàm số f ( x ) liên tục tại x0 .
TR ẦN
PHƯƠNG PHÁP 2: Bước 1: Tìm lim− f ( x ) x → x0
Bước 2: Tìm lim+ f ( x )
10 00
B
x → x0
Nếu lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = f ( x0 ) thì hàm số f ( x ) liên tục tại x0 . x → x0
A
x → x0
Í-
x≠2
tại x0 = 2 và tại x0 = 4
-L
x 2 − 3x + 2 1). f ( x ) = x − 2 1
H
Ó
Ví dụ: Xét tính liên tục tại giá trị x0 của các hàm số sau:
ÁN
x=2
x ≠1 tại x0 = 1
x =1
Đ
ÀN
TO
x+3−2 2). f ( x ) = x − 1 1 4
D
IỄ N
x−5 x>5 3). f ( x ) = 2 x − 1 − 3 tại x0 = 5 , tại x0 = 6 và tại x0 = 4 ( x − 5 )2 + 3 x ≤ 5
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Ơ H
x >1
N
x = 1 tại x0 = 1
.Q
U Y
x <1
TP
x 2 − 3x + 2 x2 −1 1 5). f ( x ) = 2 3 x− 2
N
2x + 3 −1 x > −1 x +1 4). f ( x ) = tại x0 = −1 3− x x ≤ −1 2
ẠO
LỜI GIẢI
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
1).
N
G
● Xét tính liên tục tại x0 = 2 :
x→2
x→2
( x − 2 )( x − 1) = lim x − 1 = 1 x 2 − 3x + 2 = lim ( ) x →2 x→2 x−2 x−2
Ta có lim f ( x ) = f ( 2 ) ⇒ hàm số liên tục tại x = 2 .
10 00
B
x→2
TR ẦN
Có lim f ( x ) = lim
H Ư
Có f ( x0 ) = f ( 2 ) = 1
● Xét tính liên tục tại x0 = 4 :
A
Ó
x→4
x+3 −2 = lim x →1 x −1
ÁN
Có lim f ( x ) = lim
1 4
-L
2). Có f ( x0 ) = f (1) =
H
x→4
x 2 − 3 x + 2 42 − 3.4 + 2 = = 3 = f ( 4 ) ⇒ hàm số f ( x ) liên tục tại x0 = 4 . x−2 4−2
Í-
Có lim f ( x ) = lim
x →1
(
x +3−4
)
x + 3 + 2 ( x − 1)
= lim x →1
(
x −1
)
x + 3 + 2 ( x − 1)
= lim = x →1
1 1 = x+3 +2 4
(2)
TO
x →1
(1)
ÀN
Từ (1) và (2) suy ra lim f ( x ) = f (1) . Vậy hàm số liên tục tại x = 1 . x →1
D
IỄ N
Đ
x−5 2x −1 − 3 x > 5 3). f ( x ) = tại x0 = 5 , tại x0 = 6 và tại x0 = 4 ( x − 5 )2 + 3 x ≤ 5
● Xét tính liên tục tại x0 = 5 Áp dụng nếu lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = f ( x0 ) ⇒ hàm số liên tục tại x0 . x → x0
x → x0
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
(
( x − 5 ) ( 2 x − 1 + 3) ( = lim x →5 2 ( x − 5)
2x −1 + 3 2
+
)=
)
2.5 − 1 + 3 = 3. 2
N
x →5
(
Ơ
x →5
= lim+
)
( x − 5) 2 x − 1 + 3 ( x − 5) 2 x − 1 + 3 x−5 = lim+ = lim+ x →5 2x −1 − 9 2 x − 10 2 x − 1 − 3 x →5
Có lim+ f ( x ) = lim+ x →5
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
N
H
2 Có lim− f ( x ) = lim− ( x − 5 ) + 3 = 0 + 3 = 3 = f ( 5 ) . x →5 x →5
x →5
.Q
x →5
U Y
Vì lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = f ( 5 ) ⇒ hàm số liên tục tại x0 = 5 .
x −5 6−5 1 = = = f ( 6 ) . Vậy hàm số f ( x ) liên tục tại x0 = 6 . 2x −1 − 3 2.6 − 1 − 3 11 − 3
x→6
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
Có lim f ( x ) = lim x →6
TP
● Xét tính liên tục tại x0 = 6
N
G
● Xét tính liên tục tại x0 = 4
H Ư
2 2 Có lim f ( x ) = lim ( x − 5 ) + 3 = ( 4 − 5 ) + 3 = 4 = f ( 4 ) ⇒ hàm số f ( x ) liên tục tại x0 = 4 . x→4 x→4
)
2 x + 3 + 1 ( x + 1)
Có lim− f ( x ) = lim− x →−1
2 2 = = 1. 2x + 3 +1 2. ( −1) + 3 + 1
3 − ( −1) 3− x = =1. 2 2
3 − ( −1)
=1
-L
Có f ( −1) =
Í-
H
x →−1
x →−1
B
(
= lim+
)
2 x + 3 + 1 ( x + 1)
A
x →−1
2 ( x + 1)
(
Ó
= lim+
x →−1
10 00
x →−1
2x + 3 −1
TR ẦN
2x + 3 −1 = lim+ x →−1 x +1
4). Có lim+ f ( x ) = lim+
2
ÁN
Vì lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = f ( −1) ⇒ hàm số liên tục tại x0 = −1 . x →−1
TO
x →−1
Đ
ÀN
5). Ta có f ( x0 ) = f (1) = Có lim+ f ( x ) = lim+ x →1
D
IỄ N
x →1
1 2
( x − 1)( x − 2 ) = lim x − 2 = 1 − 2 = − 1 x 2 − 3x + 2 = lim+ 2 x →1 ( x − 1)( x + 1) x →1+ x + 1 1+1 2 x −1
3 3 1 Có lim− f ( x ) = lim− x − = 1 − = − . x →1 x →1 2 2 2 Vì f (1) ≠ lim f ( x ) ⇒ hàm số không liên tục tại x0 = 1 . x →−1
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
x 2 − 3x + 2 Ví dụ 2: Cho hàm số f ( x ) = x − 2 a
x≠2 x=2
Ơ
N
Với giá trị nào của a thì hàm số đã cho liên tục tại điểm x = 2 ?
x→2
x→2
N
( x − 1)( x − 2 ) = lim x − 1 = 1 x 2 − 3x + 2 = lim ( ) x→2 x→2 x−2 x−2
U Y
Ta có lim f ( x ) = lim
H
LỜI GIẢI
.Q
Hàm liên tục tại x = 2 khi và chỉ khi lim f ( x ) = f ( 2 ) ⇔ a = 1 .
TP
x→2
. Xác định a để hàm số f ( x ) liên tục tại x0 = 2 .
N
G
khi x < 2 khi x ≥ 2
TR ẦN
LỜI GIẢI Ta có:
x−2
x→2
( x − 2 )( 2 x − 3)
B
= lim−
= lim−
( 2 − x )( 2 x − 3)
10 00
● lim− f ( x ) =
2 x2 − 7 x + 6
x−2
x →2
= lim− ( 3 − 2 x ) = −1
x−2
x→2
Ó
A
x→2
H Ư
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
2x2 − 7 x + 6 x−2 Ví dụ 5: Cho hàm số y = f ( x ) = a + 1− x 2+ x
Đ
ẠO
Vậy hàm số đã cho liên tục tại x = 2 khi a = 1 .
-L
Í-
H
1− x 1 ● lim+ f ( x ) = lim+ a + = a − = f ( 2) x→2 x→2 2+ x 4 Hàm số liên tục tại x0 = 2 ⇔ lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = f ( 2 ) ⇔ a − x→2
ÁN
x→2
1 3 = −1 ⇔ a = − 4 4
ÀN
TO
ĐẾM SỐ NGHIỆM
Đ
Chứng minh phương trình sau có ít nhất một nghiệm:
D
IỄ N
a) x3 − 5 x 2 + 7 = 0
b) x5 + x − 3 = 0
LỜI GIẢI
a). Đặt f ( x ) = x3 − 5 x 2 + 7 . Tập xác định của hàm số f ( x ) là D = ℝ . Vì f ( x ) là hàm đa thức ⇒ f ( x ) liên tục trên ℝ .
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Ta có f ( −1) = −1 − 5.1 + 7 = 1 và f ( −2 ) = −21 , nên suy ra f ( −1) f ( −2 ) = −21 < 0 với mọi m. Do đó f ( x ) = 0 luôn có ít nhất 1 nghiệm x0 ∈ ( −2; −1) với mọi m.
N
b). Đặt f ( x ) = x5 + x − 3 . Tập xác định của hàm số f ( x ) là D = ℝ . Vì f ( x ) là hàm đa thức ⇒ f ( x ) liên tục
Ơ
trên ℝ .
N
H
Ta có f (1) = −1 và có f ( 2 ) = 31 , nên suy ra f (1) f ( 2 ) = 31. ( −1) = −31 < 0 với mọi m.
.Q
U Y
Do đó f ( x ) = 0 luôn có ít nhất 1 nghiệm n0 ∈ (1; 2 ) với mọi m.
b) x5 + x 4 − 2 x 3 + 4 x 2 − 1 = 0
ẠO
a) 4 x 4 + 2 x 2 − x − 3 = 0
TP
Chứng minh các phương trình sau có ít nhất hai nghiệm:
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
LỜI GIẢI
N
G
a). Đặt f ( x ) = 4 x 4 + 2 x 2 − x − 3 . Tập xác định của hàm số f ( x ) là D = ℝ . Vì f ( x ) là hàm đa thức ⇒ f ( x )
H Ư
liên tục trên ℝ .
TR ẦN
Ta có f ( 0 ) = −3, f ( −1) = 4, f (1) = 2
Vì f (1) f ( 0 ) = −12 < 0, ∀m ⇒ phương trình (1) luôn có ít nhất 1 nghiệm ∈ ( −1; 0 ) (2)
10 00
B
Vì f ( 0 ) f (1) = −6 < 0∀m ⇒ phương trình (1) có ít nhất 1 nghiệm ∈ ( 0;1) (3) Từ (2), (3) ⇒ phương trình (1) luôn có ít nhất 2 nghiệm phân biệt.
LỜI GIẢI
Í-
H
Ó
A
10. Chứng minh rằng với mọi a, b, c phương trình x3 + ax 2 + bx + c = 0 luôn có nghiệm.
-L
Đặt f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx + c thì f ( x ) liên tục trên ℝ . x →+∞
ÁN
Ta có: lim f ( x ) = +∞ ⇒ ∃x1 > 0 để f ( x1 ) > 0
TO
lim f ( x ) = −∞ ⇒ ∃x2 > 0 để f ( x2 ) < 0 .
ÀN
x →−∞
Đ
Như vậy có x1 , x2 để f ( x1 ) . f ( x2 ) < 0 suy ra phương trình có nghiệm x ∈ ( x1 ; x2 ) vậy phương trình đã cho
D
IỄ N
luôn có nghiệm.
SỬ DỤNG MÁY TÍNH: TÍNH GIỚI HẠN
1. Ý tưởng: * Gán cho biến X một giá trị gần đúng rồi tính giá trị biểu thức (dùng phím CALC)
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
* Ví dụ:
Giới hạn
Giá trị của X a + 0.00000001
x → a−
a − 0, 00000001
x→a
a + 000000001 hoặc a − 0, 000000001
x → +∞
9999999999
x → −∞
−999999999
N U Y .Q TP ẠO
(Nếu máy báo lỗi thì lấy ít chữ số thập hơn)
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
H
Ơ
N
x → a+
G
Đ
CHÚ Ý: KHÔNG NHẤT THIẾT PHẢI LẤY NHIỀU SỐ 0 Y NHƯ THẦY, ƯỚC LƯỢNG THÔI Ý nghĩa
Số có số mũ lớn: VD: 2.1020
Dương vô cực
TR ẦN
H Ư
N
Các kết quả hay gặp trong máy
Âm vô cực
Số có số mũ lớn: VD: −2.10 20
0
Số chưa đẹp: VD: 2,3333.
10 00
B
Số có số mũ nhỏ: VD: 2.10−20
A
Ta gõ lại vào máy tính lần nữa:
H
Ó
2,3333333333333
-L
Í-
Máy sẽ tự làm tròn giúp
Ví dụ 1: lim
7 2x +1
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
x →+∞
ÁN
2. Một số ví dụ:
Ấn
999999 =
Rơi vào trường hợp kết quả có số mũ nhỏ: Kết quả là 0
2 x 2 − 3x (Bậc tử = bậc mẫu, lấy hệ số X mũ cao nhất tử mẫu chia nhau được 2/3) x →−∞ 3 x 2 + 1
Ví dụ 2: lim
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
TP
.Q
U Y
N
H
Ơ
N
Ta làm tròn kết quả: nhập vào máy:
5x2 − 7 x + 1 (Bậc tử > bậc mẫu kết quả ra vô cực) x →−∞ 3 + 2x
ẠO H Ư
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Ví dụ 3: lim
TR ẦN
Ta thấy kết quả âm một số to. ⇒ Kết quả −∞
Ví dụ 4: lim ( − x3 + 3 x 2 − 2 x + 5 )
H
Ó
A
10 00
B
x →−∞
-L
Í-
kết quả là +∞ .
ÁN
Ví dụ 5: Giới hạn của dãy số ( un ) với un = 2 +
1 2
C. lim un =
1 + 2 2
D. lim un =
2 + 2 2
Đ
Giải
B. lim un =
ÀN
TO
A. limu n = 2 2
2 2 + ... + n là: 2 2
D
IỄ N
Ấn
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Chọn A.
CHUYÊN ĐỀ 2: ĐẠO HÀM VÀ BÀI TOÁN
H
Ơ
N
LIÊN QUAN
N
LÝ THUYẾT ĐẠO HÀM
U Y
TÓM TẮT GIÁO KHOA
ta có f ' ( x0 ) = lim
f ( x ) − f ( x0 ) x − x0
.
N
x → x0
ẠO
khi x → x0 được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại x0 , kí hiệu f ' ( x0 ) hay y ' ( x0 ) . Như vậy
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
x − x0
G
f ( x ) − f ( x0 )
TP
.Q
1). Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên khoảng ( a; b ) và x0 ∈ ( a; b ) . Giới hạn hữu hạn nếu có của tỉ số
H Ư
Nhận xét:
∆y . Trong đó ∆x được gọi là số gia ∆x → 0 ∆x
TR ẦN
Nếu đặt x − x0 = ∆x và ∆y = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) thì ta có f ' ( x0 ) = lim
của biến số tại x0 và ∆y gọi là số gia của hàm số ứng với số gia ∆x tại x0 .
10 00
B
Nếu hàm số f ( x ) có đạo hàm tại điểm x0 thì f ( x ) liên tục tại x0 . Tuy nhiên điều ngược lại chưa chắc đúng. 2). Cho đường cong (C), điểm M 0 cố định thuộc ( C ) và M ∈ ( C ) . Gọi k M là hệ số góc của cát tuyến M 0 M .
A
Giả sử tồn tại giới hạn hữu hạn k0 = lim k M . Khi đó đường thẳng M 0T qua M 0 có hệ số góc k0 được gọi là
H
Ó
xM → x0
Í-
tiếp tuyến của (C) tại M 0 . Điểm M 0 gọi là tiếp điểm.
Hệ quả:
TO
M 0 ( x0 ; f ( x0 ) ) .
ÁN
-L
3). Đạo hàm của hàm số y = f ( x ) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại đó tại điểm
ÀN
Nếu hàm số y = f ( x ) có đạo hàm tại điểm x0 thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x ) tại điểm
D
IỄ N
Đ
M 0 ( x0 ; f ( x0 ) ) có phương trình: y = f ' ( x0 )( x − x0 ) + f ( x0 ) .
4). Kí hiệu D là một khoảng hay là hợp của những khoảng nào đó. Nếu hàm số f ( x ) có đạo hàm tại mọi điểm x0 ∈ D thì ta nói hàm số có đạo hàm trên D. Khi đó đạo hàm của hàm số f ( x ) tại điểm x tùy ý của D được kí
hiệu y ' hay f ' ( x ) . Ta nói y ' hay f ' ( x ) là đạo hàm của hàm số y = f ( x ) trên tập D.
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
DẠNG 1: Tìm số gia của hàm số. PHƯƠNG PHÁP
Để tính số gia của hàm số y = f ( x ) tại điểm x0 tương ứng với số gia ∆x cho trước ta áp dụng công thức:
H
Ơ
N
∆y = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 )
U Y .Q
b) x0 = 1; ∆x = −0,1
LỜI GIẢI
ẠO
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
a). Ta có ∆y = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) = f ( 2 ) − f (1) = 23 − 3.2 2 + 2 − (13 − 3.12 + 2 ) = −2
G
Đ
b). Ta có ∆y = f ( x0 + ∆ ) − f ( x0 ) = f ( 0,9 ) − f (1)
H Ư
N
= 0,93 − 3.0,9 2 + 2 − (13 − 3.12 + 2 ) = 0, 229
∆y của các hàm số sau theo x và ∆x ∆x
TR ẦN
Ví dụ 2: Tính ∆y và
b) y = 2 x 2 − 3 x + 1
d) y = 2 x 3 − 3 x 2
c) y = 2 x 2 + 1
B
a) y = 2 x + 3
TP
a) x0 = 1; ∆x = 1
N
Ví dụ 1: Tìm số gia của hàm số y = f ( x ) = x 3 − 3 x 2 + 2 , biết rằng:
10 00
LỜI GIẢI
Ó
A
a). Ta có ∆y = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) = 2 ( x0 + ∆x ) + 3 − ( 2 x0 + 3) = 2∆ . Suy ra
∆y =2 ∆x
b). Ta có ∆y = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) = 2 ( x0 + ∆x ) − 3 ( x0 + ∆x ) + 1 − ( 2 x02 − 3 x0 + 1)
Í-
H
2
2
-L
= 4 x0 ∆x + 2 ( ∆x ) − 3∆x = ∆x ( 4 x0 + 2∆x − 3)
ÁN
∆y ∆x ( 4 x0 + 2∆x − 3) = = 4 x0 + 2∆x − 3 ∆x ∆x
TO
Suy ra
2
D
IỄ N
Đ
ÀN
c). Ta có ∆y = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) = 2 ( x0 + ∆x ) + 1 − 2 x02 + 1
Suy ra
∆x ( 2 x0 + ∆x )
=
∆y = ∆ x ∆x
2
2 ( x0 + ∆x ) + 1 + 2 x02 + 1
(
∆x ( 2 x0 + ∆x ) 2
2 ( x0 + ∆x ) + 1 + 2 x02 + 1
)
=
2 x0 + ∆x 2
2 ( x0 + ∆x ) + 1 + 2 x02 + 1
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
d). Ta có ∆y = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) = 2 ( x0 + ∆x ) − 3 ( x0 + ∆x ) − ( 2 x03 − 3 x02 ) 3
(
2
) ( − 6 x − 3∆x )
)
= 2 x03 + 3 x02 ∆x + 3 x0 ( ∆x ) + ( ∆x ) − 3 x02 + 2 x0 ∆x + ( ∆x ) − ( 2 x03 − 3 x02 )
2
)
U Y
2 ∆y ∆x 6 x0 + 6 x0 ∆x + 3 ( ∆x ) − 6 x0 − 3∆x Suy ra = ∆x ∆x
N
0
Ơ
(
2
2
H
(
= ∆x 6 x02 + 6 x0 ∆x + 3 ( ∆x )
3
N
2
2
ẠO
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
PHƯƠNG PHÁP
TP
DẠNG 2: Tìm đạo hàm bằng định nghĩa
.Q
= 6 x02 + 6 x0 ∆x + 3 ( ∆x ) − 6 x0 − 3∆x
G
Đ
Để tìm đạo hàm của hàm số f ( x ) tại điểm x0 bằng định nghĩa ta có thể sử dụng một trong hai cách sau đây:
Cho x0 một số gia ∆x = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) . Lập tỉ số
•
Tìm giới hạn lim
•
Kết luận:
∆y . ∆x
TR ẦN
•
H Ư
N
Cách 1:
10 00
B
∆y ∆x → 0 ∆x
∆y ∆y tồn tại hữu hạn thì tại x0 hàm số có đạo hàm là: f ' ( x0 ) = lim ∆x → 0 ∆x ∆x → 0 ∆x
A
+ Nếu lim
Ó
-L
Cách 2:
Tính giá trị của lim
•
Kết luận:
ÁN
•
f ( x ) − f ( x0 ) x − x0
ÀN
TO
x → x0
IỄ N
Đ
+ Nếu lim
D
∆y không tồn tai hữu hạn thì tại x0 hàm số không có đạo hàm ∆x
Í-
∆x → 0
H
+ Nếu lim
x → x0
+ Nếu lim
x → x0
f ( x ) − f ( x0 ) x − x0
f ( x ) − f ( x0 ) x − x0
tồn tại hữu hạn bằng L thì tại x0 , ta có f ' ( x0 ) = L
không tồn tại hữu hạn thì tại x0 hàm số không có đạo hàm
Ví dụ: Tính đạo hàm (bằng định nghĩa) của mỗi hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra:
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
a) y = 2 x 2 + x + 1 tại x0 = 2
b) y = x3 + x − 2 tại x0 = −2
c) y = 2 x + 1 tại x0 = 1
d) y =
2x −1 tại x0 = 3 x +1
Ơ
N
LỜI GIẢI
N
H
a). Cách 1: Cho x0 = 2 một số gia ∆x . Khi đó hàm số nhận một số gia tương ứng: ∆y = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) = 2 ( 2 + ∆x ) + ( 2 + ∆x ) + 1 − ( 2.22 + 2 + 1) = ∆x ( 9 + 2∆x )
U Y
2
.Q
∆ x ( 9 + 2 ∆x ) ∆y = lim = lim ( 9 + 2∆x ) = 9 . ∆x → 0 ∆x ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x
ẠO
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
= lim
x−2
x→2
( 2 x + 5) = 9
H Ư
x →2
( x − 2 )( 2 x + 5 ) = lim
Đ
x−2
x→2
2 x 2 + x + 1 − 11 2 x 2 + x − 10 = lim x→2 x→2 x−2 x−2
= lim
G
f ( x ) − f ( 2)
N
Cách 2: lim
TP
Ta có f ' ( 2 ) = lim
TR ẦN
Kết luận theo định nghĩa, hàm số có đạo hàm tại x0 = 2 và f ' ( 2 ) = 9 . b). y = x 3 + x − 2 tại x0 = −2
3
10 00
B
Cách 1: Cho x0 = −2 một số gia ∆x . Khi đó hàm số nhận một số gia tương ứng: 2
∆y = f ( −2 + ∆x ) − f ( −2 ) = ( −2 + ∆x ) + ( −2 + ∆x ) − 1 + 12 = 13∆x − 6 ( ∆x ) + ( ∆x )
) (
A
2
Ó
(
= ∆x 13 − 6∆x + ( ∆x )
ÀN
TO
x →−2
) = lim 13 − 6∆x + ( ∆x ) = 13 . ( ) 2
∆x → 0
f ( x ) − f ( −2 ) x3 + x − 2 + 12 x3 + x + 10 = lim = lim x →−2 x →−2 x+2 x+2 x+2
ÁN
Cách 2: lim
2
-L
Í-
H
∆x 13 − 6∆x + ( ∆x ) ∆y Ta có f ' ( −2 ) = lim = lim ∆x → 0 ∆x ∆x →0 ∆x
3
= lim
x →−2
( x + 2 ) ( x 2 − 2 x + 5) x+2
= lim ( x 2 − 2 x + 5 ) = 13 x →−2
IỄ N
Đ
Kết luận theo định nghĩa, hàm số có đạo hàm tại x0 = −2 và f ' ( −2 ) = 13
D
c). y = 2 x + 1 tại x0 = 1
Cách 1: Cho x0 = 1 một số gia ∆x . Khi đó hàm số nhận một số gia tương ứng:
∆y = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) = f (1 + ∆x ) − f (1) = 2 (1 + ∆x ) + 1 − 3 =
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
2∆x 3 + 2∆x + 3
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
(
x →1
x →1
2 1 = 2x +1 + 3 3
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
1 . 3
TP
Kết luận theo định nghĩa, hàm số có đạo hàm tại x0 = 1 và f ' (1) = d). y =
)
N
2 ( x − 1) 2x +1 − 3 = lim x →1 x −1 ( x − 1) 2 x + 1 + 3
= lim
= lim
2 1 = 3 + 2∆x + 3 3
Ơ
x −1
)
∆x → 0
H
x →1
3 + 2∆x + 3
= lim
N
f ( x ) − f (1)
(
2 ∆x
U Y
Cách 2: lim
∆y = lim ∆x ∆x →0 ∆x
.Q
∆x → 0
2x −1 tại x0 = 3 x +1
∆x → 0
N
∆y 3∆x 3 3 = lim = lim = . ∆ x → 0 ∆ x → 0 4 ( 4 + ∆x ) 16 ∆x ∆x.4 ( 4 + ∆x )
TR ẦN
Ta có f ' ( 3) = lim
2 ( 3 + ∆x ) − 1 5 5 + 2∆x 5 3∆x − = − = 3 + ∆x + 1 4 4 + ∆x 4 4 ( 4 + ∆x )
H Ư
∆y = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) = f ( 3 + ∆x ) − f ( 3) =
G
Đ
Cách 1: Cho x0 = 3 một số gia ∆x . Khi đó hàm số nhận một số gia tương ứng:
ẠO
Ta có f ' (1) = lim
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
10 00
B
2x −1 5 − f ( x ) − f ( 3) 3 ( x − 3) 3 3 x + 1 4 = lim Cách 2: lim = lim = lim = . x →3 x → 3 x → 3 x → 3 x−3 x−3 ( x + 1) 4 16 ( x − 3)( x + 1) 4
3 . 16
H
Ó
A
Kết luận theo định nghĩa, hàm số có đạo hàm tại x0 = 3 và f ' ( 3) =
TÓM TẮT GIÁO KHOA
ÁN
-L
Í-
CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
TO
1). Định lý 1: Cho các hàm số u = u ( x ) , v = v ( x ) có đạo hàm trên ( a; b ) thì tổng và hiệu của chúng cũng có
ÀN
đạo hàm trên khoảng ( a; b ) và ( u + v ) ' = u '+ v '; ( u − v ) ' = u '− v '
Đ
Chú ý: Định lý 1 có thể mở rộng cho tổng hay hiệu của hữu hạn các hàm số.
D
IỄ N
2). Định lý 2: Cho các hàm số u = u ( x ) , v = v ( x ) có đạo hàm trên ( a; b ) thì tích của chúng cũng có đạo hàm trên khoảng ( a; b ) và ( u.v ) ' = u ' v + uv ' .
Đặc biệt: ( a.u ) ' = a.u ' (a là hằng số), Chú ý: Định lý 2 có thể mở rộng cho tích của hữu hạn các hằng số. Chẳng hạn:
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
u v
u u ' v − uv ' cũng có đạo hàm trên khoảng ( a; b ) và ' = . v2 v
H
Ơ
3). Định lý 3: Cho các hàm số u = u ( x ) , v = v ( x ) có đạo hàm trên ( a; b ) và v ( x ) ≠ 0 trên ( a; b ) thì thương
N
( u.v.w ) ' = u ' vw + uv ' w + uvw '
U Y
N
v' 1 Hệ quả: ' = − 2 ( v ≠ 0 ) . v v
TP
.Q
4). Cho hai hàm số y = f ( u ) và u = g ( x ) . Ta gọi hàm số y = F ( x ) = f g ( x ) là hàm số hợp của hai hàm số
ẠO
u = g ( x ) và y = f ( u ) . Tập xác định của hàm số f g ( x ) là tập hợp tất cả các giá trị của x làm cho biểu thức
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
f g ( x ) có nghĩa.
N
G
5). Định lý 4: Nếu hàm số u = u ( x ) có đạo hàm tại điểm x0 và hàm số y = f ( u ) có đạo hàm tại điểm
H Ư
u0 = u ( x0 ) thì hàm số hợp y = F ( x ) = f u ( x ) cũng có đạo hàm tại điểm x0 và F ' ( x0 ) = f ' ( u0 ) .u ( x0 ) hay
( u ) ' = 2 1u .u ' .
B
Hệ quả: ( u n ) ' = n.u n −1.u ' ( n ∈ ℕ và n ≥ 2 );
TR ẦN
yx/ = yu/ .u x/ .
10 00
QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
A
Giả sử u = u ( x ) , v = v ( x ) , w = w ( x ) là các hàm số có đạo hàm, khi đó:
3). ( k .u ) ' = k .u ' ( k ∈ ℝ )
H
Ó
1). ( u + v − w ) ' = u '+ v '− w ' ; 2). ( uv ) ' = u ' v + v ' u ; /
v' 1 5). = − 2 v v
ÁN
-L
Í-
/
u u 'v − v 'u 4). = v2 v
TO
BẢNG ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN Đạo hàm của hàm số hợp (u = u(x))
ÀN
Đạo hàm của hàm số sơ cấp cơ bản
D
IỄ N
Đ
(C ) ' = 0
(x )
α /
= α xα −1 , (α ∈ ℝ, x > 0 )
( x ) ' = 2 1 x ( x > 0)
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
(u )
α /
= α uα −1u ', (α ∈ ℝ, u > 0 )
( u ) ' = 2u 'u ( u > 0)
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
1 1 ' = − 2 ( x ≠ 0) x x
u' 1 ' = − 2 (u ≠ 0) u u
/
/
n 1 n = − n +1 .u ', ( u ≠ 0 ) u u
( sin x ) ' = cos x ( cos x ) ' = − sin x
( sin u ) ' = cos u.u ' ( cos u ) ' = − sin u.u '
1 = 1 + tan 2 x cos 2 x π x ≠ + kπ , k ∈ ℤ 2 1 ( cot x ) ' = − 2 = − (1 + cot 2 x ) sin x ( x ≠ kπ , k ∈ ℤ )
( tan u ) ' =
H N
G
Đ
ẠO
TP
.Q
U Y
u' = (1 + tan 2 u ) u ' cos 2 u π u ≠ + kπ , k ∈ ℤ 2 u' ( cot u ) ' = − 2 = − (1 + cot 2 u ) u ' sin u ( u ≠ kπ , k ∈ ℤ )
( tan x ) ' =
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Ơ
N
n 1 n = − n +1 , ( x ≠ 0 ) x x
H Ư
/
N
MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM NHANH
/
ax 2 + bx + c adx 2 + 2aex + be − dc ● = 2 ( dx + e ) dx + e
TR ẦN
ad − bc ax + b ● = 2 cx + d ( cx + d ) /
10 00
B
ax 2 + bx + c ( ae − bd ) x 2 + 2 ( af − dc ) x + bf − ec ● 2 = 2 dx + ex + f ( dx2 + ex + f )
Ó
A
BÀI TẬP TỔNG HỢP
H
ĐẠO HÀM
ÁN
-L
Í-
2 3 1 1: y = x 5 + x 4 − x 3 − x 2 + 4 x − 5 3 2 2 /
/
/
/
TO
/ 2 3 / 1 1 2 3 y ' = x 5 + x 4 − x 3 − x 2 + 4 x − 5 ⇔ y ' = x 5 + x 4 − ( x 3 ) − x 2 + ( 4 x ) − 5/ 3 2 2 2 3 2
ÀN
5 4 8 3 x + x − 3x 2 − 3x + 4 2 3
Đ
y'=
1 1 − x + x 2 − 0,5 x 4 4 3
D
IỄ N
2: y =
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
1 1 y / = − x + x 2 − 0, 5 x 4 4 3 /
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
/
/
H
Ơ
N
/ / 1 1 ⇔ y / = − x + ( x 2 ) − ( 0,5 x 4 ) 4 3 1 ⇔ y / = − + 2 x − 2 x3 3
)
2
− 5/ ⇔ y ' = 8 x 3 − x 2 +
ẠO
x 4 x3 1 2 − + x − x + a (a là hằng số) 4 3 2 /
2 x
+
(
2 / x. x+ 3
N H Ư /
( x ) .x ) ⇔ y ' = −x6 − 2 1 x + 23 /
3
x+
.x 2 x 1
Ó
A
1 2 x −6 1 −6 − + x + + x = 3 − 3 x 2 x 2 x 3 2 x
Í-
H
⇔ y'=
1
/
10 00
⇔ y ' = 3. ( −2 ) .x −3 −
( x ) + 32 ( x x )
B
/
/ 2 3 y ' = 2 − x + x x ⇔ y ' = ( 3.x −2 ) − 3 x
TR ẦN
3 2 − x+ x x 2 x 3
G
x 4 x3 1 y ' = − + x 2 − x + a ⇔ y ' = x3 − x 2 + x − 1 4 3 2 5: y =
1 x
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
4: y =
(
.Q
/
TP
/
/ 1 1 y ' = 2 x 4 − x3 + 2 x − 5 ⇔ y ' = ( 2 x 4 ) − x3 + 2 x 3 3
U Y
N
1 3: y = 2 x 4 − x 3 + 2 x − 5 3
-L
Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
ÁN
a). y = ( x 2 + 3 x ) ( 2 − x ) b). y = ( 2 x − 3) ( x 5 − 2 x )
c). y = ( x 2 + 1)( 5 − 3 x 2 )
TO
a). y = ( x 2 + 3 x ) ( 2 − x )
(( x
2
)
/
+ 3 x ) ( 2 − x ) = ( x 2 + 3x ) . ( 2 − x ) + ( x 2 + 3 x ) . ( 2 − x )
ÀN
y'=
/
/
D
IỄ N
Đ
= ( 2 x + 3)( 2 − x ) + ( x 2 + 3 x ) ( −1) = −3 x 2 − 2 x + 6 b). y = ( 2 x − 3) ( x 5 − 2 x ) /
/ y ' = ( 2 x − 3) ( x5 − 2 x ) = ( 2 x − 3) ( x 5 − 2 x ) + ( x5 − 2 x ) ( 2 x − 3) /
= 2 ( x5 − 2 x ) + ( 5 x 4 − 2 ) ( 2 x − 3) = 12 x 5 − 15 x 4 − 8 x + 6
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
c). y = ( x 2 + 1)( 5 − 3 x 2 ) /
y ' = ( x 2 + 1)( 5 − 3 x 2 ) = ( x 2 + 1) ( 5 − 3 x 2 ) + ( 5 − 3 x 2 ) ( x 2 + 1) /
/
N
= 2 x ( 5 − 3 x 2 ) − 6 x ( x 2 + 1) = 10 x − 6 x 3 − 6 x3 − 6 x = −12 x 3 + 4 x
H
c). y = (1 − 2 x 2 )
2
3
N
b). y = ( 2 x 3 − 3 x 2 − 6 x + 1)
2
U Y
a). y = ( x 7 + x )
Ơ
Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a). y = ( x 7 + x ) . Sử dụng công thức ( uα ) = α .u α −1.u ' (với u = x 7 + x ) 2
TP
.Q
/
y ' = 2 ( x 7 + x ) . ( x 7 + x ) = 2 ( x 7 + x )( 7 x 6 + 1)
ẠO
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
/
b). y = ( 2 x 3 − 3 x 2 − 6 x + 1) . Sử dụng công thức ( uα ) với u = 2 x 3 − 3 x 2 − 6 x + 1 /
G
Đ
2
y ' = 2 ( 2 x3 − 3 x 2 + 6 x + 1)( 2 x 3 − 3 x 2 + 6 x + 1) = 2 ( 2 x3 − 3 x 2 + 6 x + 1)( 6 x 2 − 6 x + 6 )
H Ư
N
/
c). y = (1 − 2 x 2 ) . Sử dụng công thức ( uα ) với u = 1 − 2 x 2 /
TR ẦN
3
y ' = 3 (1 − 2 x 2 ) (1 − 2 x 2 ) = 3 (1 − 2 x 2 ) ( −4 x ) = −12 x (1 − 2 x 2 ) 2
/
2
10 00
b). y = 1 + 2 x − x 2
a). y = x 2 + x x + 1
)
Ó H
(
/
-L
Í-
y ' = ( x 2 ) + x x + 1/ = 2 x + x '. x +
( x ) .x = 2 x + /
TO
ÁN
b). y = 1 + 2 x − x 2 . Sử dụng công thức
(1 + 2 x − x ) y'=
2 /
=
( u)
/
x+
1 2 x
.x = 2 x +
3 x 2
với u = 1 + 2 x − x 2
1− x 1 + 2 x − x2
Đ
ÀN
1 + 2x − x
2
c). y = x 2 + 1 − 1 − x 2
A
a). y = x 2 + x x + 1 /
B
Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
2
D
IỄ N
c). y = x 2 + 1 − 1 − x 2 y'=
(
2
) ( /
x +1 −
1− x
2
)
/
(x =
2
+ 1) 2
/
2 x +1
(1 − x ) −
2 /
2 1− x
2
=
x 2
x +1
+
x 1 − x2
Bài 5: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com 3
a). y = x cos x
sin x b). y = 1 + cos x
d). y = sin 2 + x 2
e). y = sin x + 2 x
c). y = sin 3 ( 2 x + 1) f). y = 2sin 2 4 x − 3cos3 5 x
Ơ
N
a). y = x cos x . Ta áp dụng đạo hàm tích. /
N
H
y ' = x 'cos x + x. ( cos x ) = cos x − x sin x .
U Y
3
sin x . 1 + cos x
TP
2
/
/
ẠO
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
sin x y ' = 3 1 + cos x
.Q
sin x sin x α / b). y = . Bước đầu tiên ta áp dụng công thức ( u ) với u = 1 + cos x 1 + cos x
/
(1 + cos x )
2
=
1 . 1 + cos x
TR ẦN
cos x + cos 2 x + sin 2 x
=
H Ư
N
G
/
Đ
2 sin x ( sin x ) (1 + cos x ) − (1 + cos x ) .sin x cos x (1 + cos x ) + sin x Tính: = = 2 2 1 + cos x (1 + cos x ) (1 + cos x )
10 00
B
2
1 3sin 2 x sin x . Vậy y ' = 3 = . 3 1 + cos x 1 + cos x (1 + cos x )
c). y = sin 3 ( 2 x + 1) . Bước đầu tiên áp dụng công thức ( uα ) với u = sin ( 2 x + 1) /
Vậy y ' = ( sin 3 ( 2 x + 1) ) = 3sin 2 ( 2 x + 1) . ( sin ( 2 x + 1) ) . /
H
Ó
A
/
Tính ( sin ( 2 x + 1) ) : Áp dụng ( sin u ) , với u = ( 2 x + 1) /
-L
Í-
/
Ta được: ( sin ( 2 x + 1) ) = cos ( 2 x + 1) . ( 2 x + 1) = 2 cos ( 2 x + 1) /
ÁN
/
TO
⇒ y ' = 3.sin 2 ( 2 x + 1) .2 cos ( 2 x + 1) = 6sin 2 ( 2 x + 1) cos ( 2 x + 1) /
Đ
ÀN
d). y = sin 2 + x 2 . Áp dụng công thức ( sin u ) với u = 2 + x 2 2
D
IỄ N
y ' = cos 2 + x .
(
2+ x
2
) = cos /
e). y = sin x + 2 x . Áp dụng
( sin x + 2 x ) y'=
/
2 sin x + 2 x
=
(2 + x ) .
2 /
2+ x
2
2 2+ x
2
=
x 2+ x
2
.cos 2 + x 2 .
( u ) , với u = sin x + 2 x /
cos x + 2 2 sin x + 2 x
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
f). y = 2sin 2 4 x − 3cos3 5 x . Bước đầu tiên áp dụng ( u + v )
y ' = ( 2sin 2 4 x ) − 3 ( cos3 5 x ) /
/
/
Tính ( sin 2 4 x ) : Áp dụng ( uα ) , với u = sin 4 x , ta được:
N
4 x ) = 2sin 4 x. ( sin 4 x ) = 2sin 4 x.cos 4 x ( 4 x ) = 4sin 8 x . /
/
H
/
Tương tự: ( cos3 5 x ) = 3cos 2 5 x. ( cos 5 x ) = 3cos 2 5 x. ( − sin 5 x ) . ( 5 x ) /
ẠO Đ
b. f ' ( x ) = −2
a. f ' ( x ) = 0
N
G
x3 x 2 + − 2 x . Với những giá trị nào của x thì: 3 2
H Ư
Cho f ( x ) =
45 cos 5 x.sin10 x 2
c. f ' ( x ) = 10
TR ẦN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Kết luận: y ' = 8sin 8 x +
15 cos 5 x.sin10 x . 2
TP
= −15cos 2 5 x.sin 5 x =
/
.Q
/
N
2
U Y
( sin
/
Ơ
/
LỜI GIẢI
10 00
B
x3 x 2 Ta có f ' ( x ) = + − 2 x = x 2 + x − 2 3 2
A
a). f ' ( x ) = 0 ⇔ x 2 + x − 2 = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = −2
H
Ó
b). f ' ( x ) = −2 ⇔ x 2 + x − 2 = −2 ⇔ x 2 + x = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = −1
-L
Í-
c). f ' ( x ) = 10 ⇔ x 2 + x − 2 = 10 ⇔ x 2 + x − 12 = 0 ⇔ x = 3 ∨ x = −4
ÁN
Câu: Giải
TO
a). Cho f ( x ) = 2 x 3 + x − 2, g ( x ) = 3 x 2 + x + 2 . Giải bất phương trình f ' ( x ) > g ' ( x ) .
Đ
ÀN
b). Cho f ( x ) = 2 x 3 − x 2 + 3, g ( x ) = x3 +
60 64 − + 5 . Giải phương trình f ' ( x ) = 0 x x3
LỜI GIẢI
D
IỄ N
Cho f ( x ) = 3 x +
x2 − 3 . Giải bất phương trình f ' ( x ) > g ' ( x ) . 2
(
a). Ta có f ' ( x ) = 2 x3 + x − 2
)
/
(
= 6 x 2 + 1, g ' ( x ) = 3 x 2 + x + 2
)
/
= 6x +1
f ' ( x ) > g ' ( x ) ⇔ 6 x 2 + 1 > 6 x + 1 ⇔ 6 x 2 − 6 x > 0 ⇔ x ∈ ( −∞;0 ) ∪ (1; +∞ )
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com /
x2 b). f ' ( x ) = 2 x − x + 3 = 6 x − 2 x, g ' ( x ) = x 3 + − 3 = 3 x 2 + x 2
(
3
)
2
/
2
N
f ' ( x ) > g ' ( x ) ⇔ 6 x 2 − 2 x > 3 x 2 + x ⇔ 3 x 2 − 3 x > 0 ⇔ x ∈ ( −∞;0 ) ∪ (1; +∞ ) /
H N .Q TP
1 1 ∨t = 4 16
1 1 1 ⇔ 2 = ⇔ x 2 = 4 ⇔ x = ±2 4 x 4
Với t =
1 1 1 ⇔ 2 = ⇔ x 2 = 16 ⇔ x = ±4 16 x 16
G
Đ
ẠO
Với t =
N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
(1) ⇔ 192t 2 − 60t + 3 = 0 ⇔ t =
U Y
60 192 1 + 4 = 0 (1). Đặt t = 2 , ( t > 0 ) 2 x x x
H Ư
f '( x) = 0 ⇔ 3 −
Ơ
60 64 60 192 c). Ta có f ' ( x ) = 3 x + − 3 + 5 = 3 − 2 + 4 x x x x
TR ẦN
Vậy f ' ( x ) = 0 có 4 nghiệm x = ±2, x = ±4 .
VI PHÂN
10 00
B
TÓM TẮT GIÁO KHOA Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm tại x0 . Gọi ∆x là số gia của biến số tại x0 . Ta gọi tích f ' ( x0 ) .∆x là vi phân
Ó
A
của hàm số f ( x ) tại điểm x0 ứng với số gia ∆x . Kí hiệu df ( x0 ) = f ' ( x0 ) .∆x .
Í-
H
Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm tại x. Ta gọi tích f ' ( x ) .∆x là vi phân của hàm số f ( x ) tại điểm x ứng với
-L
số gia ∆x (gọi tắt là vi phân của f tại điểm x). Kí hiệu df ( x ) = f ' ( x ) .∆x . Nếu chọn hàm số y = x thì ta có
ÁN
dy = dx = 1.∆x = ∆x . Vì vậy ta thường kí hiệu ∆x = dx và dy = f ' ( x ) dx .
TO
Công thức tính gần đúng nhờ vi phân là: f ( x0 + ∆x ) ≈ f ( x0 ) + f ' ( x0 ) .∆x
DẠNG 1: Tìm vi phân của hàm số
IỄ N
Đ
ÀN
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
D
PHƯƠNG PHÁP a). Tính vi phân của hàm số f ( x ) tại x0 cho trước: Tính đạo hàm của hàm số tại x0 . Suy ra vi phân của hàm số tại x0 ứng với số gia ∆x là df ( x0 ) = f ' ( x0 ) .∆x .
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
b). Tính vi phân của hàm số f ( x ) . Tính đạo hàm của hàm số.
N
H
Ơ
Ví dụ 1: Cho hàm số y = x 3 − 4 x 2 + 2 . Tính vi phân của hàm số tại điểm x0 = 1 , ứng với số gia ∆x = 0, 02 .
N
Suy ra vi phân của hàm số: dy = df ( x ) = f ' ( x ) dx
U Y
LỜI GIẢI
.Q
Ta có y ' = f ' ( x ) = 3 x 2 − 4 x . Do đó vi phân của hàm số tại điểm x0 = 1 , ứng với số gia ∆x = 0, 02 là:
ẠO
TP
df (1) = f ' (1) .∆x = ( 3.12 − 4.1) .0, 02 = −0, 02 .
c) y = sin x cos
LỜI GIẢI
x 2
( 2x =
2
− 3 x + 1) ' ( x 2 + x + 1) − ( x 2 + x + 1) ' ( 2 x 2 − 3 x + 1)
(x
d). y = x sin x − cos x
+ x + 1)
2
=
(x
2
+ x + 1)
2
10 00
B
suy ra dy = f ' ( x ) dx =
2
TR ẦN
a). Ta có: y ' = f ' ( x )
Đ
b). y = 3 x 3 + 2 x 2
G
2 x 2 − 3x + 1 x2 + x + 1
N
a). y =
H Ư
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Ví dụ 2: Tính vi phân của các hàm số sau:
DẠNG 2: Tính gần đúng giá trị của hàm số:
H
Ó
A
Để tính gần đúng giá trị của hàm số f ( x ) tại điểm x = ( x0 + ∆x ) cho trước, ta áp dụng công thức
-L
Í-
f ( x0 + ∆x ) ≈ f ( x0 ) + f ' ( x0 ) .∆x
TO
a). 16, 25
ÁN
Ví dụ tính gần đúng các giá trị sau (lấy 4 chữ số thập phân trong kết quả). b). cos 30°15'
c). sin 46°
d).
1 0,9995
LỜI GIẢI
IỄ N
Đ
ÀN
e). tan 53°15'
D
a). Ta có 16, 25 = 16 + 0, 25 . Xét hàm số f ( x ) = x ⇒ f ' ( x ) =
1 2 x
chọn x0 = 16 và ∆x = 0, 25 , ta có f ( x0 + ∆x ) ≈ f ( x0 ) + f ' ( x0 ) .∆x
⇒ 16 + 0, 25 ≈ 16 +
1 .0, 25 = 4 + 0, 03125 = 4, 03125 ⇒ 16 + 0, 25 ≈ 4, 0313 2 16
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
π π b). Ta có cos 30°15' = cos ( 30° + 15' ) = cos + 6 720 Xét hàm số f ( x ) = cos x ⇒ f ' ( x ) = − sin x .
π 720
, ta có f ( x0 + ∆x ) ≈ f ( x0 ) + f ' ( x0 ) .∆x .
N
6
và ∆x =
Ơ
π
H
Chọn x0 =
U Y
N
π π π π π 3 π ⇒ cos + = − ≈ cos − sin . 6 6 720 2 1440 6 720
TP
.Q
π π c). Ta có sin 46° = sin ( 45° + 1° ) = sin + 4 180
4
và ∆x =
180
ẠO
π
, ta có f ( x0 + ∆x ) ≈ f ( x0 ) + f ' ( x0 ) .∆x
TR ẦN 10 00
1 1 ⇒ f '( x) = − 2 x x
B
1 1 = 0,9995 1 − 0, 0005
Xét hàm số f ( x ) =
H Ư
π π π π 2 2π π ⇒ sin + = + ≈ sin + cos . 4 4 180 2 360 4 180 d). Ta có
Đ
π
G
Chọn x0 =
N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Xét hàm số f ( x ) = sin x ⇒ f ' ( x ) = cos x
H
1 ≈ 1 − 1. ( −0, 0005 ) ≈ 1, 0005 . 1 − 0, 0005
Í-
⇒
Ó
A
Chọn x0 = 1 và ∆x = −0, 0005 , ta có f ( x0 + ∆x ) ≈ f ( x0 ) + f ' ( x0 ) .∆x
ÁN
-L
π 3π e). tan 53°15' = tan ( 60° − ( 6°45' ) ) = tan − 3 80
TO
Xét hàm số f ( x ) = tan x ⇒ f ' ( x ) = 1 + tan 2 x
ÀN
π
3
và ∆x = −
3π , ta có f ( x0 + ∆x ) ≈ f ( x0 ) + f ' ( x0 ) .∆x 80
Đ
Chọn x0 =
D
IỄ N
π 3π π 3π 2 π ⇒ tan − ≈ tan + 1 + tan . − ≈ 1, 2608 3 3 80 3 80
ĐẠO HÀM CẤP CAO A. TÓM TẮT GIÁO KHOA.
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
1. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) . Hàm số f ' ( x ) còn gọi là đạo hàm cấp 1 của hàm số f ( x ) . Nếu hàm số f ' ( x ) có đạo hàm thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm cấp 2 của hàm số f ( x ) , kí hiệu y '' hay
f '' ( x ) . Đạo hàm của đạo hàm cấp 2 được gọi là đạo hàm cấp 3 của hàm số f ( x ) , ký hiệu là y ''' hay f ''' ( x ) .
Ơ
N
Tương tự, ta gọi đạo hàm của đạo hàm cấp ( n − 1) là đạo hàm cấp n của hàm số f ( x ) , kí hiệu là y ( n ) hay
n −1)
N
) ' ( n ∈ ℕ, n > 1) .
.Q
n
U Y
(
y( ) = y(
H
f ( n ) ( x ) , tức là ta có:
TP
2. Đạo hàm cấp 2 của hàm số f ( t ) là gia tốc tức thời của chuyển động s = f ( t ) tại thời điểm t.
ẠO
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
DẠNG 1: Tính đạo hàm cấp cao của hàm số.
(
N
G
1. PHƯƠNG PHÁP
)
TR ẦN
H Ư
Áp dụng trực tiếp định nghĩa: y ( n ) = y ( n −1) ' để tính đạo hàm đến cấp mà đề bài yêu cầu.
Ví dụ: Tính đạo hàm đến cấp đã chỉ ra của các hàm số sau:
( ))
e). y = sin 2 2 x, y (
5
f). y =
3 x − 1 ( 4) , y x+2
( )
LỜI GIẢI
Ó
A
4
B
( ))
d). y = x 4 − sin 2 x, y (
( )
c). y = x 4 + 4 x3 − 3x 2 + 1, y ( n )
b). y = cos 2 x, ( y ''' )
10 00
a). y = x sin 2 x, ( y ''' )
Í-
H
a). Có y ' = x 'sin 2 x + x. ( sin 2 x ) ' = sin 2 x + 2 x cos 2 x
-L
⇒ y '' = ( sin 2 x ) '+ ( 2 x ) 'cos 2 x + 2 x ( cos 2 x ) ' = 4 cos 2 x − 4 x sin 2 x
ÁN
⇒ y ''' = 4 ( cos 2 x ) '− ( 4 x ) 'sin 2 x − 4 x ( sin 2 x ) ' = −8sin 2 x − 4sin 2 x − 8cos 2 x
TO
= −12sin 2 x − 8cos 2 x
ÀN
b). Ta có y = cos 2 x =
1 (1 + cos 2 x ) ⇒ y ' = − sin 2 x 2
IỄ N
Đ
⇒ y '' = −2 cos 2 x ⇒ y''' = 4sin 2 x
D
c). y = x 4 + 4 x 3 − 3 x 2 + 1
⇒ y ' = 4 x 3 + 12 x 2 − 6 x ⇒ y '' = 12 x 2 + 24 x − 6 ⇒ y ''' = 24 x + 24 ⇒ y ( ) = 24 ⇒ y ( ) = 0 ⇒ ... ⇒ y ( ) = 0 4
5
n
d). y = x 4 − sin 2 x
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
⇒ y ' = 4 x 3 − 2 cos 2 x ⇒ y'' = 12 x 2 + 4sin 2 x ⇒ y ''' = 24 x + 8cos 2 x ⇒ y ( ) = 24 − 16sin 2 x 4
1 (1 − cos 4 x ) 2
N
e). y = sin 2 2 x =
Ơ
⇒ y ' = 2sin 4 x ⇒ y '' = 8cos 4 x ⇒ y ''' = −32sin 4 x ⇒ y ( ) = −128cos 4 x ⇒ y ( ) = 512sin 4 x
H
5
N
4
3 x − 1 ( 4) , y x+2
U Y
( )
.Q
f). y =
/
TP ẠO
/
/
H Ư
3 ( x + 2 ) 4 14 ( x + 2 ) − 42 42 4 = = −168 ⇒ y ''' = ⇒ y( ) = 6 4 8 5 ( x + 2) ( x + 2) ( x + 2) ( x + 2)
Đ
2
G
( x + 2)
2 −7 ( x + 2 ) = −14 ⇒ y '' = 4 3 ( x + 2) ( x + 2)
N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
⇒ y'=
7
TR ẦN
DẠNG 2: Tìm đạo hàm cấp n của một hàm số PHƯƠNG PHÁP
B
Bước 1: Tính y ', y '', y ''' . Dựa vào các đạo hàm vừa tính, dự đoán công thức tính y ( n ) .
10 00
Bước 2: Chứng minh công thức vừa dự đoán là đúng bằng phương pháp quy nạp. Chú ý: Cần phân tích kĩ các kết quả của đạo hàm y ', y '', y ''' tìm ra quy luật để dự đoán công thức y ( n ) chính
Ó
A
xác.
LỜI GIẢI
ÁN
-L
Í-
H
Ví dụ 1: Tìm đạo hàm cấp n của hàm số y = sin x ( n ∈ ℕ* )
TO
π π Bước 1: Ta có: y ' = cos x = sin x + 1. ; y '' = − sin x = sin x + 2 2 2
Đ
ÀN
π Dự đoán: y ( n ) = sin x + n (1), ∀n ∈ ℕ* 2
D
IỄ N
Bước 2: Chứng minh (1) bằng quy nạp:
* n = 1 : (1) hiển nhiên đúng.
π * Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1 nghĩa là ta có: y k = sin x + k ta phải chứng minh (1) cũng đúng với 2 n = k + 1 nghĩa là ta phải chứng minh
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
k +1)
π = sin x + ( k + 1) (2) 2
Thật vậy: vế trái (2) = y
/
π π π = y = sin x + k = cos x + k = sin x + ( k + 1) = vế phải (2) 2 2 2
k +1
/
k
N
y(
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
N
H
Ơ
⇒ ( 2 ) đúng, nghĩa là (1) đúng với n = k + 1 .
.Q TP
1 ( n ∈ ℕ* ) x+3
ẠO
Ví dụ 2: Tìm đạo hàm cấp n của hàm số y =
U Y
π Bước 3: Theo nguyên lí quy nạp suy ra y n = sin x + n , ∀n ∈ ℕ* 2
( x + 3)
= ( −1) .
( x + 3)
3
n!
n
Dự đoán: y n = ( −1) .
( x + 3)
2
Đ
;
G
( x + 3)
2!
2
3
1!
/
N
= ( −1)
H Ư
2
.
(1), ∀n ∈ ℕ* .
n +1
TR ẦN
( x + 3)
1.2
2
y '' = ( −1) .
1
/
B
Ta có: y ' = ( −1)
10 00
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
LỜI GIẢI
Chứng minh (1) bằng phương pháp quy nạp:
Ó
A
* n = 1: (1) hiển nhiên đúng.
k
k!
( x + 3)
k +1
ta phải chứng minh (1) cũng đúng với
Í-
H
* Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1 , nghĩa là ta có: y k = ( −1)
-L
n = k + 1 , nghĩa là ta phải chứng minh:
( k + 1)! k +2 ( x + 3)
ÁN
k +1
(2)
TO
y k +1 = ( −1)
ÀN
Thật vậy, vế trái
D
IỄ N
Đ
( 2) = y = ( −1)
k +1
k +1
.
/
k! k! k k +1 k +1 / = y = ( −1) = ( −1) . . ( x + 3) k +1 2 ( x + 3) ( x + 3)k +1 k
/
k !( k + 1)
( x + 3)
k +2
= ( −1)
k +1
.
( k + 1) ! k +2 ( x + 3)
= vt (2)
Vậy (2) đúng nghĩa là (1) đúng với n = k + 1 .
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
n!
n
Theo nguyên lí quy nạp ta suy ra y n = ( −1) .
( x + 3)
n +1
, ∀n ∈ ℕ*
DẠNG 3: Chứng minh đẳng thức:
Ơ
N
Bài 11:
N
H
a). Cho hàm số y = x sin x . Chứng minh x. y ''− 2 ( y '− sin x ) + xy = 0 (*)
U Y
b). Cho hàm số: y = 2 x − x 2 chứng minh y 3 . y ''+ 1 = 0 (*)
TP Đ
ẠO
x−3 2 chứng minh: 2 ( y ') = ( y − 1) . y '' (*) x+4
d). Cho hàm số: y =
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
.Q
c). Cho hàm số: y = x tan x chứng minh: x 2 . y ''− 2 ( x 2 + y 2 ) (1 + y ) = 0 (*)
/
H Ư
N
a). Cho hàm số y = x sin x . Chứng minh x. y ''− 2 ( y '− sin x ) + xy = 0 (*)
G
LỜI GIẢI
/
/
/
TR ẦN
Ta có y ' = ( x sin x ) ⇔ y ' = x '.sin x + x. ( sin x ) ⇔ y ' = sin x + x cos x /
/
y '' = ( sin x + x cos x ) = ( sin x ) + ( x cos x ) = cos x + x '.cos x + x. ( cos x ) = 2 cos x − x sin x
10 00
B
(1) ⇔ x ( 2 cos x − x sin x ) − 2 ( sin x + x cos x − sin x ) + x 2 sin x = 0 ⇔ 2 x cos x − x 2 sin x − 2 x cos x + x 2 sin x = 0 ⇔ 0 = 0 ( ®pcm )
) ⇔ y'= 2 /
-L
2x − x2
. 2x − x2 −
(
D
ÀN
IỄ N
2x − x2 .
(*) ⇔
(
(
2 x − x2
2 x − x2
).
)
) (
(
2x − x2
/
/
1− x 2x − x2
− 2 x − x2 − =
(
1− x 2 x − x2
2 x − x2
)
. (1 − x )
2
−1
=
2x − x2
−1
3
)
2
2
2
2x − x2
.( 2 x − x2 ) =
2 x − x 2 . (1 − x )
2 x − x2
− ( 2 x − x 2 ) − (1 − x 2 )
Đ
=
(
ÁN
/
TO
y '' =
(1 − x )
1
Í-
(
Ta có: y ' =
H
Ó
A
b). Cho hàm số y = 2 x − x 2 chứng minh y 3 . y ''+ 1 = 0 (*)
)
3
)
3
+ 1 = 0 ⇔ −1 + 1 = 0 ( ®pcm )
c). Cho hàm số: y = x tan x chứng minh: x 2 . y ''− 2 ( x 2 + y 2 ) (1 + y ) = 0 (*)
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Ta có: y ' = ( x tan x ) = x '.t + x. ( tan x ) = tan x + x (1 + tan 2 x ) /
/
y '' = ( tan x ) + x '. (1 + tan x ) + x (1 + tan x ) = 2 (1 + tan 2 x ) + x. ( 2 tan x ) . ( tan 2 x + 1) /
/
Ơ
N
= 2 (1 + tan 2 x ) (1 + x tan x )
N
H
(*) ⇔ 2 x 2 (1 + tan 2 x ) . (1 + x tan x ) − 2 ( x 2 + x 2 tan 2 x ) (1 + x tan x ) = 0
U Y
⇔ 2 x 2 (1 + tan 2 x ) (1 + x tan x ) − 2 x 2 (1 + tan 2 x ) (1 + x tan x ) = 0
TP
x−3 2 chứng minh: 2 ( y ') = ( y − 1) . y '' (*) x+4
ẠO
d). Cho hàm số: y =
.Q
⇔ 0 = 0 ( ®pcm )
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
/
G N
=
2
H Ư
( x + 4)
)
2 /
−14
( x + 4)
3
TR ẦN
y '' =
(
−7 ( x + 4 )
Đ
7 x −3 Ta có: y ' = = 2 x + 4 ( x + 4)
2
10 00
B
7 x − 3 −14 98 98 ®pcm ) (*) ⇔ 2 = − 1 . ⇔ = 2 3 4 4 ( ( x + 4) x + 4 ( x + 4) ( x + 4) ( x + 4) e) Cho hàm số y = cos 2 3 x chứng minh 18 ( 2 y − 1) + y '' = 0
Ó
A
Ta có: y = cos 2 3 x
(*)
/
/
Í-
H
y ' = 2.cos 3 x ( cos 3 x ) = 2 cos 3 x. ( − sin 3 x )( 3 x ) = −3sin 6 x
-L
y '' = −18cos 6 x
TO
Bài 12:
ÁN
(*) ⇔ 18 ( 2 cos 2 3x − 1) − 18cos 6 x = 0 ⇔ 18.cos 6 x − 18cos 6 x = 0 ( ®pcm )
Đ
ÀN
a). Cho hàm số y =
sin 3 x + cos3 x . Chứng minh y ''+ y = 0 (*) 1 − sin x.cos x
b). Cho hàm số y = ( x 2 − 1) . Chứng minh: y 4 + 2 xy '''− 4 y '' = 40 (*)
D
IỄ N
2
c). Cho hàm số y = x + 1 + x 2 . Chứng minh: 4 ( x 2 + 1) . y ''+ 4 x. y '− y = 0 (*)
(
d). Chứng minh (1 + x 2 ) . y ''+ x. y '− k 2 . y = 0 nếu y = x + x 2 + 1
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
)
k
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
LỜI GIẢI a). Cho hàm số y =
N
( sin x + cos x ) ( sin 2 x + cos2 x − sin x cos x )
Ta có: y =
H
Ơ
1 − sin x cos x
N
( sin x + cos x )(1 − sin x cos x ) = sin x + cos x 1 − sin x cos x
U Y
=
sin 3 x + cos3 x chứng minh y ''+ y = 0 (*) 1 − sin x.cos x
.Q
y ' = cos x − sin x
TP
y '' = − sin x − cos x
ẠO
(*) ⇔ − sin x − cos x + sin x + cos x = 0 ⇔ 0 = 0 ( ®pcm ) b). Cho hàm số y = ( x 2 − 1) . Chứng minh: y 4 + 2 xy '''− 4 y '' = 40 (*)
Đ G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
2
H Ư
N
Ta có: y = x 4 − 2 x 2 + 1
y ' = 4 x3 − 4 x
10 00
(*) ⇔ 24 + 2 x ( 24 x ) − 4 (12 x 2 − 4 ) = 40
B
TR ẦN
y '' = 12 x 2 − 4 y ''' = 24 x y '''' = 24
A
⇔ 24 + 48 x 2 − 48 x 2 + 16 = 40 ⇔ 40 = 40 ( ®pcm )
Í-
H
Ó
c). Cho hàm số y = x + 1 + x 2 . Chứng minh: 4 ( x 2 + 1) . y ''+ 4 x. y '− y = 0 (*) x . 1 + 2 1 + x2 2 x + 1+ x
ÁN
-L
1
Ta có: y ' =
/
=
x + 1 + x2 2 1 + x2
)
(
TO
x + 1 + x 2 .2 1 + x 2 − 2 1 + x 2 / . x + 1 + x 2 y '' =
(2 1+ x )
Đ
ÀN
2
IỄ N D
=
(
x + 1 + x2 . 2 1 + x2 − 4 x 8 (1 + x ) . 1 + x
( *) ⇔ 4 ( x
2
2
+ 1)
2
)
2
(
x + 1 + x2 2 1 + x2 − 4x 8 (1 + x
2
)
1+ x
2
) + 4 x.
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
x + 1 + x2 2 1+ x
2
− x + 1 + x2 = 0
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
2 1+ x
⇔ x + 1 + x2 −
2
) + 2x
2x x + 1 + x2 1+ x
2
+
x + 1 + x2 1+ x
− x + 1 + x2 = 0
2
2 x x + 1 + x2 1+ x
− x + 1 + x2 = 0
2
N
⇔
Ơ
(
x + 1 + x2 2 1 + x2 − 4 x
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
N
H
⇔ 0 = 0 ( ®pcm )
(
x + x2 + 1 x + x2 + 1 . = k. 2 x 1 x2 + 1 + /
)
(
)
2
)(
(
x2 + 1 − x
(
B
10 00
)( k
k x + x2 + 1 . k x2 + 1 − x
(x
TO
(
)
)( k
2
+ 1) x 2 + 1
ÀN
k x + x2 + 1 . k x2 + 1 − x
Đ
x2 + 1
)
H
+ 1) x 2 + 1
(*) ⇔ (1 + x 2 )
⇔
k
+ 1)
(
k
Í-
2
) (k
2
x2 + 1
. x + x2 + 1
-L
(x
(x
ÁN
=
(
k x + x2 + 1
x
x2 + 1 −
A
x2 + 1
= k.
).
k
Ó
(
k
)
TR ẦN
k / 2 2 2 2 x + x + 1 . x + 1 − x + 1 . x + x + 1 y '' = k x2 + 1
k x + x2 + 1
.Q
1 . 1 + x2 + 1
TP
k −1
ẠO
)
Đ
(
⇒ y ' = k x + x2 + 1
G
)
k
N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
(
= k x + x2 + 1
k −1
)
H Ư
(
Ta có: y = x + x 2 + 1
)
k
U Y
(
d). Chứng minh (1 + x 2 ) . y ''+ x . y'− k 2 . y = 0 nếu y = x + x 2 + 1
)+ (
)+ (
x.k x + x 2 + 1
x.k x 2 + x 2 + 1 x2 + 1
)
k
x2 + 1
)
k
(
− k 2 x + x2 + 1
)
k
=0
D
IỄ N
Quy đồng đặt thừa số chung ta được:
(x +
x2 + 1 2
x +1
)
k
(k
2
)
x 2 + 1 − kx + kx − k 2 x 2 + 1 = 0 ⇔ 0 = 0 ( ®pcm )
Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ≥ 1 ta có:
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
a) Nếu y =
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
1 n! n thì y n = ( −1) . n +1 x x
b) Nếu y = cos x thì y 4 n = cos x .
Ơ
N
Ví dụ 4: Chứng minh rằng:
N
H
a) Nếu y = sin ax thì y 4 n = a 4 n .sin ax (a là hằng số)
U Y
b) Nếu y = sin 2 x thì y 4 n = −24 n −1 cos 2 x
TP
.Q
PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN
ẠO
I- Kiến thức cần nhớ
Đ
Với k = y ' ( x0 ) là hệ số góc tiếp tuyến.
N
∆ : y = k ( x − x0 ) + y0
G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
- Phương trình tiếp tuyến của ( C ) : y = f ( x ) tại điểm M ( x0 ; y0 ) có dạng:
H Ư
↓ ↓ ↓
TR ẦN
→ Để viết phương trình tiếp tuyến ∆, ta cần tìm ba thành phần x, y, k
10 00
có nghiệm (nhớ: “hàm = hàm, đạo = đạo”)
B
f ( x ) = g ( x ) - Điều kiện cần và đủ để hai đường ( C1 ) : y = f ( x ) và ( C2 ) : y = g ( x ) tiếp xúc nhau ⇔ hệ f ' ( x ) = g ' ( x )
II- Các dạng toán viết phương trình tiếp tuyến thường gặp
H
Ó
A
Viết PTTT ∆ của ( C ) : y = f ( x ) , biết ∆ có hệ số góc k cho trước
Í-
- Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm. Tính y ' ⇒ y ' ( x0 )
-L
- Do phương trình tiếp tuyến ∆ có hệ số góc k ⇒ y ' ( x0 ) = k
ÁN
(i)
TO
→ y0 = f ( x0 ) → ∆ : y = k ( x − x0 ) + y0 - Giải (i) tìm được x0
ÀN
Lưu ý: Hệ số góc k = y ' ( x0 ) của tiếp tuyến ∆ thường cho gián tiếp như sau:
IỄ N
Đ
- Phương trình tiếp tuyến ∆ / / d : y = ax + b ⇒ k = a
D
- Phương trình tiếp tuyến ∆ ⊥ d : y = ax + b ⇒ k = −
1 a
- Phương trình tiếp tuyến ∆ tạo với trục hoành góc α ⇒ k = tan α - Phương trình tiếp tuyến ∆ tạo với d : y = ax + b góc α ⇒
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
k −a = tan α 1 + k .a
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Viết PTTT ∆ của ( C ) : y = f ( x ) , biết ∆ đi qua (kẻ từ) điểm A ( x A ; y A ) - Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm. Tính y0 = f ( x0 ) và k = y ' ( x0 ) theo x0 .
- Do A ( xA ; y A ) ∈ ∆ ⇒ y A = k ( x A − x0 ) + y0
N
- Phương trình tiếp tuyến ∆ tại M ( x0 ; y0 ) là ∆ : y = k ( x − x0 ) + y0
N
H
Ơ
(i)
U Y
- Giải phương trình (i) → phương trình ∆. → x0 → y0 và k
.Q
Viết PTTT ∆ của ( C ) : y = f ( x ) , biết ∆ cắt hai trục tọa độ tại A và B sao cho tam giác OAB vuông cân
TP
hoặc có diện tích S cho trước
ẠO Đ
(i ) ( ii )
H Ư
N
∆OAB vu«ng c©n ⇔ ∆ t¹o víi Ox mét gãc 45° vµ O ∉ ∆ - Đề cho S ∆OAB = S ⇔ OA.OB = 2 S
G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
- Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm và tính hệ số góc k = y ' ( x0 ) theo x0 .
→ x0 → y0 ; k → phương trình tiếp tuyến ∆. - Giải (i) hoặc (ii)
TR ẦN
Tìm những điểm trên đường thẳng d : ax + by + c = 0 mà từ đó vẽ được 1, 2, 3, …, n tiếp tuyến với đồ thị hàm số ( C ) : y = f ( x )
10 00
B
- Gọi M ( xM ; yM ) ∈ d : ax + by + c = 0 (sao cho có một biến xM trong M)
A
- PTTT ∆ qua M và có hệ số góc k có dạng ∆ : y = k ( x − xM ) + yM
(i ) ( ii )
Í-
H
Ó
f ( x ) = k ( x − xM ) + yM - Áp dụng điều kiện tiếp xúc: f '( x) = k - Thế k từ (ii) vào (i), được: f ( x ) = f ' ( x ) . ( x − xM ) + yM
-L
(iii)
TO
ÁN
- Số tiếp tuyến của ( C ) vẽ từ M = số nghiệm x của (iii).
Tìm những điểm M ( x0 ; y0 ) mà từ đó vẽ được hai tiếp tuyến với đồ thị hàm số ( C ) : y = f ( x ) và hai
ÀN
tiếp tuyến đó vuông góc nhau
D
IỄ N
Đ
- PTTT ∆ qua M có hệ số góc k có dạng ∆ : y = k ( x − xM ) + yM f ( x ) = k ( x − xM ) + yM - Áp dụng điều kiện tiếp xúc: f '( x) = k - Thế k từ (ii) vào (i), được: f ( x ) = f ' ( x ) . ( x − xM ) + yM
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
(i ) ( ii ) (iii)
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
- Qua M vẽ được hai tiếp tuyến với ( C ) ⇔ ( iii ) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 - Hai tiếp tuyến đó vuông góc nhau ⇔ k1.k2 = −1 ⇔ y ' ( x1 ) . y ' ( x2 ) = −1
Ơ
sao cho hai tiếp điểm nằm về hai phía với trục hoành thì
H
(C )
- Qua M vẽ được hai tiếp tuyến với
N
Lưu ý:
U Y
N
( iii ) : có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 . f ( x1 ) . f ( x2 ) < 0
TP
.Q
- Đối với bài toán tìm điểm M ∈ ( C ) : y = f ( x ) sao cho tại đó tiếp tuyến song song hoặc vuông góc với đường
ẠO
thẳng d cho trước, ta chỉ cần gọi M ( x0 ; y0 ) và ∆ là tiếp tuyến với k = f ' ( x0 ) . Rồi áp dụng k = f ' ( x0 ) = kd
Đ
N
BÀI TẬP TỔNG HỢP
G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
nếu cho song song và f ' ( x0 ) kd = −1 nếu cho vuông góc ⇒ x0 ⇒ y0 ⇒ M ( x0 ; y0 )
H Ư
Cho đường cong ( C ) : y = f ( x ) = x 3 − 3 x 2 . Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) trong các trường hợp sau:
TR ẦN
a) Tại điểm M 0 (1; −2 )
Í-
-L
Ta có f ' ( x ) = 3x 2 − 6 x
LỜI GIẢI
H
Ó
A
d) Biết tiếp tuyến đi qua điểm A ( −1; −4 )
10 00
c) Tại giao điểm của ( C ) với trục hoành
B
b) Tại điểm thuộc ( C ) có hoành độ x0 = −1
ÁN
a). Ta có f ' ( x0 ) = f ' (1) = −3
TO
Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm M (1; −2 ) : y = f ' ( x0 )( x − x0 ) + y0
ÀN
⇔ y = −3 ( x − 1) − 3 ⇔ y = −3 x
IỄ N
Đ
b). Ta có x0 = −1 ⇒ y0 = −4, f ' ( x0 ) = 9
D
Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm N ( −1; −4 ) là y = f ' ( x0 )( x − x0 ) + y0
y = 9 ( x + 1) − 4 ⇔ y = 9 x + 5 x = 0 c). Phương trình hoành độ giao điểm của ( C ) với trục hoành: x3 − 3 x 2 = 0 ⇔ x = 3
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Với x0 = 0 ⇒ y0 = 0, f ' ( x0 ) = f ' ( 0 ) = 0 Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm ( 0;0 ) là y = f ' ( x0 )( x − x0 ) + y0 ⇔ y = 0
N
Với x0 = 3 ⇒ y0 = 0, f ' ( x0 ) = f ' ( 3) = 9
H
Ơ
Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm ( 3;0 ) là y = f ' ( x0 )( x − x0 ) + y0
U Y
N
⇔ y = 9 ( x − 3) ⇔ y = 9 x − 27
.Q
d). Gọi ( x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm của phương trình tiếp tuyến d đi qua điểm A
TP
Vì điểm ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) ⇒ y0 = x03 − 3 x02 , và f ' ( x0 ) = 3 x02 − 6 x0
ẠO Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Phương trình d: y = f ' ( x0 )( x − x0 ) + y0 ⇔ y = ( 3 x02 − 6 x0 ) ( x − x0 ) + x03 − 3 x02
N
G
Vì A ( −1; −4 ) ∈ d nên ( 3 x02 − 6 x0 ) ( −1 − x0 ) + x03 − 3 x02 = −4
H Ư
⇔ 2 x03 − 6 x0 − 4 = 0 ⇔ x0 = 2 ∨ x0 = −1
TR ẦN
Với x0 = 2 ⇒ y0 = −4, f ' ( 2 ) = 0 , phương trình tiếp tuyến y = −4
3x + 1 . 1− x
10 00
Cho đường cong ( C ) : y =
B
Với x0 = −1 ⇒ y0 = −4, f ' ( −1) = 9 , phương trình tiếp tuyến y = 9 ( x + 1) − 4 ⇔ y = 9 x + 5
Ó
A
a). Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng ( d ) : x − 4 y − 21 = 0
Í-
H
b). Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng ( ∆ ) : 2 x + 2 y − 9 = 0
-L
c). Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng: ( d ) : x − 2 y + 5 = 0 một góc 30°.
TO
ÁN
LỜI GIẢI
ÀN
Tập xác định D = ℝ \ {1} . Ta có: y ' = f ' ( x ) =
D
IỄ N
Đ
a). Có ( d ) : x − 4 y − 21 = 0 ⇔ y =
4
(1 − x )
2
1 21 1 x − ⇒ kd = 4 4 4
Vì tiếp tuyến song song với d nên ktt = kd =
1 4
Gọi M ( x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến, ta có f ' ( x0 ) = ktt ⇔
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
4
(1 − x0 )
2
=
1 4
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
2
⇔ ( x0 − 1) = 16 ⇔ x0 = 5 ∨ x0 = −3 Với x0 = 5 ⇒ y0 = −4 , phương trình tiếp tuyến tại điểm này là: y = f ' ( x0 )( x − x0 ) + y0
N
1 1 21 ( x − 5) − 4 ⇔ y = x − (loại, vì trùng với d) 4 4 4
Ơ
⇔ y=
N .Q
9 ⇒ k∆ = −1 2
TP
b). ( ∆ ) : 2 x + 2 y − 9 = 0 ⇔ y = − x +
U Y
1 1 5 ( x + 3) − 2 ⇔ y = x − . 4 4 4
ẠO
⇔ y=
G
4
(1 − x0 )
2
=1
H Ư
N
Gọi N ( x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến, ta có f ' ( x0 ) = ktt ⇔
Đ
Vì tiếp tuyến vuông góc với ∆ nên ktt .k∆ = −1 ⇒ ktt = 1
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
H
Với x0 = −3 ⇒ y0 = −2 , phương trình tiếp tuyến tại điểm này là: y = f ' ( x0 )( x − x0 ) + y0
2
TR ẦN
⇔ ( x0 − 1) = 4 ⇔ x0 = 3 ∨ x0 = −1 .
Với x0 = 3 ⇒ y0 = −5 , phương trình tiếp tuyến tại điểm này là y = f ' ( x0 )( x − x0 ) + y0
10 00
B
⇔ y = −1( x − 3) − 5 ⇔ y = − x − 2
Ó
⇔ y = −1( x + 1) − 1 ⇔ y = − x − 2 .
A
Với x0 = −1 ⇒ y0 = −1 , phương trình tiếp tuyến tại điểm này là y = f ' ( x0 )( x − x0 ) + y0
H
1 5 1 x + ⇒ kd = 2 2 2
-L
Í-
c). ( d ) : x − 2 y + 5 = 0 ⇔ y =
ktt − kd = tan 30° 1 + ktt kd
TO
ÁN
Ta có tiếp tuyến hợp với d một góc 30°, nên có
1 2 2 2 = 1 ⇔ 3 k − 1 = 1 + 1 k ⇔ 11 k 2 − 4k − 1 = 0 tt tt tt tt 1 2 2 4 4 3 1 + ktt 2
D
IỄ N
Đ
ÀN
ktt −
Cho hàm số y = f ( x ) =
x2 − x + 2 (C ) x −1
a). Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm M ( 2; 4 ) b). Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) biết tiếp tuyến có hệ số góc k = 1
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
LỜI GIẢI Ta có: f ' ( x ) =
x2 − 2 x −1
( x − 1)
2
Ơ
N
a). Ta có x0 = 2 ⇒ f ' ( x0 ) = f ' ( 2 ) = −1
N
H
Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm M ( 2; 4 ) là y = f ' ( x0 )( x − x0 ) + y0
U Y
⇔ y = −1( x − 2 ) + 4 ⇔ y = − x + 6
( x0 − 1)
2
TP
= 1 ⇔ −1 = 1 (vô lý)
ẠO
x02 − 2 x0 − 1
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
⇔
.Q
b). Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị, ta có, f ' ( x0 ) = 1
N
G
Kết luận không có tiếp tuyến nào có hệ số góc bằng 1.
1 2
TR ẦN
a) Tại điểm có hoành độ x0 =
H Ư
Cho hàm số ( C ) : y = 1 − x − x 2 . Tìm phương trình tiếp tuyến với ( C ) :
10 00
B
b) Song song với đường thẳng ( d ) : x + 2 y = 0
LỜI GIẢI
H
Ó
A
−1 − 5 −1 + 5 −1 − 2 x Tập xác định D = ; . Ta có f ' ( x ) = 2 2 1 − x − x2 2
Í-
1 1 1 1 1 ⇒ y0 = 1 − − = , f ' ( x0 ) = f ' = −2 2 2 4 2 2
-L
a). Với x0 =
TO
ÁN
1 1 Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm ; là y = f ' ( x0 )( x − x0 ) + y0 2 2
Đ
ÀN
1 1 3 y = −2 x − + ⇔ y = −2 x + 2 2 2
D
IỄ N
1 1 b). Ta có ( d ) : x + 2 y = 0 ⇔ y = − x ⇒ kd = − 2 2
1 Vì tiếp tuyến song song với d nên, ktt = kd = − . Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị, ta có 2 f ' ( x0 ) = −
1 + 2 x0 ≥ 0 −1 − 2 x0 1 1 ⇔ = − ⇔ 1 + 2 x0 = 1 − x0 − x02 ⇔ 2 2 2 2 1 − x0 − x0 x0 = 0 ∨ x0 = −1
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
So với điều kiện x0 = 0 (nhận), x0 = −1 (loại) Với x0 = 0 ⇒ y0 = 1 , phương trình tiếp tuyến tại điểm ( 0;1) là: y = −
1 1 ( x − 0) +1 ⇔ y = − x + 1 . 2 2
Ơ
N
Cho hàm số y = x3 + 3 x 2 − 9 x + 5 ( C ) . Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị ( C ) , hãy tìm tiếp tuyến có hệ số
N
H
góc nhỏ nhất.
U Y
LỜI GIẢI
.Q
Ta có y ' = f ' ( x ) = 3 x 2 + 6 x − 9
ẠO
TP
Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến, vậy f ' ( x0 ) = 3 x02 + 6 x0 − 9 Ta có 3 x02 + 6 x0 − 9 = 3 ( x02 + 2 x0 + 1) − 12 = 3 ( x0 + 1) − 12 ≥ −12, ∀x0 ∈ ( C )
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
2
N
G
Vậy min f ' ( x0 ) = −12 tại x0 = −1 ⇒ y0 = 16
H Ư
Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm: y = −12 ( x + 1) + 16 ⇔ y = −12 x + 4
x+2 (1). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục 2x + 3
TR ẦN
Cho hàm số y =
B
hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O.
10 00
(Khối A – 2009)
A
LỜI GIẢI
Í-
H
Ó
−1 3 Tập xác định D = R \ − . Ta có y ' = f ' ( x ) = 2 2 ( 2 x + 3)
-L
Vì tiếp tuyến (d) cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại A, B tạo thành tam giác OAB vuông cân, nên đường thẳng (d)
ÁN
hợp với trục Ox một góc 45°.
TO
Vậy có ktt = ± tan 45° ⇔ ktt = ±1
ÀN
Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến, ta có f ' ( x0 ) = ±1
D
IỄ N
Đ
Với f ' ( x0 ) = 1 ⇔
−1
( 2 x0 + 3)
Với f ' ( x0 ) = −1 ⇔
2
= 1 (phương trình vô nghiệm)
−1
( 2 x0 + 3)
2
2
= −1 ⇔ ( 2 x0 + 3) = 1 ⇔ x0 = −1 ∨ x0 = −2
Với x0 = −1 ⇒ y0 = 1 , phương trình tiếp tuyến tại điểm này y = −1( x + 1) + 1 ⇔ y = − x . Tiếp tuyến này loại vì
đường thẳng này đi qua gốc tọa độ nên không tạo thành được tam giác.
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Với x0 = −2 ⇒ y0 = 0 , phương trình tiếp tuyến tại điểm này y = −1( x + 2 ) ⇔ y = − x − 2 Cho hàm số y = x 3 + 3mx 2 + ( m + 1) x + 1 (1), m là tham số thực. Tìm các giá trị của m để tiếp tuyến của đồ thị
N
của hàm số (1) tại điểm có hoành độ x = −1 đi qua điểm A (1; 2 )
H
Ơ
(Dự bị A1 – 2008)
U Y
N
LỜI GIẢI
.Q
Tập xác định D = ℝ
TP
y ' = f ' ( x ) = 3 x 2 + 6mx + m + 1
ẠO
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Với x0 = −1 ⇒ y0 = 2m − 1, f ' ( −1) = −5m + 4
N
3x + 1 (1). Tính diện tích của tam giác tạo bởi các trục tọa độ và tiếp tuyến của đồ thị của hàm x +1
TR ẦN
Cho hàm số y =
5 8
H Ư
Ta có A (1; 2 ) ∈ ( d ) ⇔ ( −5m + 4 ) .2 + 2m − 1 = 2 ⇔ m =
G
Đ
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M ( −1; 2m − 1) : y = ( −5m + 4 )( x + 1) + 2m − 1( d )
B
số (1) tại điểm M ( −2;5 ) .
10 00
(Dự bị D1 – 2008)
2
Ó
Tập xác định D = ℝ \ {−1} . Có y ' =
A
LỜI GIẢI
2
.
Í-
H
( x + 1)
-L
Phương trình tiếp tuyến ( d ) tại điểm M ( −2;5 ) : y = 2 ( x + 2 ) + 5 ⇔ y = 2 x + 9
TO
ÁN
9 9 Gọi A là giao điểm của d và trục hoành ⇒ y A = 0 ⇒ xA = − , vậy A − ; 0 2 2
ÀN
Gọi B là giao điểm của d và trục tung ⇒ xB = 0 ⇒ yB = 9 , vậy B ( 0;9 )
D
IỄ N
Đ
1 1 9 81 Ta có tam giác OAB vuông tại O nên S ∆OAB = OA.OB = − 9 = 2 2 2 4 Cho hàm số y = 3 x 3 + 4 ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng
(d ) : −x +
3 y + 6 = 0 góc 30°.
LỜI GIẢI
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Tập xác định D = ℝ . Ta có y ' = 3 3 x 2
3 3 x − 2 3 ⇒ kd = 3 3
ktt − kd = tan 30° 1 + ktt kd
3 2 2 3 = 1 ⇔ 3 k − 3 = 1 + 3 k ⇔ k 2 − 3k = 0 ⇔ k = 0 ∨ k = 3 tt tt tt tt tt tt 3 3 3 3 1+ ktt 3
N
H
Vì tiếp tuyến tạo với đường thẳng d một góc 30° nên thỏa
N
3y − x + 6 = 0 ⇔ y =
Ơ
(d ) :
.Q TP
ẠO
Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm
U Y
ktt −
1 3
⇒ y0 =
N
11 1 11 14 , phương trình tiếp tuyến y = 3 x + + ⇔ y = 3x + 3 3 3 3
10 00
Với x0 = −
TR ẦN
1 13 10 1 13 ⇒ y0 = , phương trình tiếp tuyến y = 3 x − + ⇔ y = 3x + 3 3 3 3 3
B
Với x0 =
1 1 ⇔ x0 = ± 3 3
H Ư
Với ktt = 3 ⇔ 3 3 x02 = 3 ⇔ x02 =
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Với ktt = 0 ⇔ 3 3 x02 = 0 ⇔ x0 = 0 ⇒ y0 = 4 . Phương trình tiếp tuyến tại điểm ( 0; 4 ) : y = 4
Cho hàm số y = − x 3 − 3 x 2 + 9 x − 5 ( C ) . Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị ( C ) , hãy tìm tiếp tuyến có hệ số
H
Ó
A
góc lớn nhất.
Í-
LỜI GIẢI
-L
Tập xác định D = ℝ . Ta có y ' = −3 x 2 − 6 x + 9
TO
ÁN
Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến, ta có f ' ( x0 ) = −3 x02 − 6 x0 + 9
⇔ f ' ( x0 ) = −3 ( x02 + 2 x0 + 1) + 12 − 3 ( x0 + 1) + 12 ≤ 12
ÀN
2
Đ
Từ đó suy ra max f ' ( x0 ) = 12 tại x0 = −1 .
D
IỄ N
Với x0 = −1 ⇒ y0 = −16 , phương trình tiếp tuyến cần tìm: y = 12 ( x + 1) − 16 ⇔ y = 12 x − 4 .
Cho hàm số y =
2x −1 ( C ) . Gọi I (1; 2 ) . Tìm điểm M ∈ ( C ) sao cho tiếp tuyến của ( C ) tại M vuông góc với x −1
đường thẳng IM.
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
(Dự bị B2 – 2003)
LỜI GIẢI 2
N
( x − 1)
N
H
2 x0 − 1 x0 − 1
U Y
Gọi M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) ⇒ y0 =
−1
Ơ
Tập xác định D = ℝ . Ta có y ' =
TP
1
ẠO
2
( x0 − 1)
4
= 1 ⇔ x0 − 1 = ±1 ⇔ x0 = 0 ∨ x0 = 2
H Ư
1
TR ẦN
⇔
N
Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng IM nên có ktt .k IM = −1
Đ
( x0 − 1)
G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Hệ số góc của tiếp tuyến tại M : ktt = f ' ( x0 ) = −
.Q
2x −1 1 1 Ta có IM = x0 − 1; 0 − 2 ⇔ IM = x0 − 1; ⇒ k IM = 2 x0 − 1 x0 − 1 ( x0 − 1)
Vậy có 2 điểm M 1 ( 0;1) , M 2 ( 2;3) thỏa yêu cầu bài toán.
B
2x ( C ) . Tìm điểm M ∈ ( C ) , biết tiếp tuyến của ( C ) tại M cắt hai trục tọa độ tại A, B và tam x +1
1 . 4
A
giác OAB có diện tích bằng
10 00
Cho hàm số y =
H
Ó
(Khối D – 2007)
-L
Í-
LỜI GIẢI
TO
ÁN
Tập xác định D = ℝ \ {−1} . Ta có y ' =
( x + 1)
2
2 x0 x0 + 1
ÀN
Gọi M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) ⇒ y0 =
2
IỄ N
Đ
Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại M: y = f ' ( x0 )( x − x0 ) + y0
D
⇔ y=
2
( x0 + 1)
x − x0 ) + 2 (
2 x0 2 x02 2 ⇔ y= + (d) 2 2 x0 + 1 ( x0 + 1) ( x0 + 1)
Gọi A là giao điểm của d và trục Ox, có y A = 0 ⇒ x = − x02 . Vậy A ( − x02 ;0 )
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
2 x02 Gọi B là giao điểm của d và trục Oy, có xB = 0 ⇒ yB = . Vậy B 0; 2 ( x + 1)2 ( x0 + 1) 0
2 x02
2
N H
( x0 + 1)
2 x02 = x0 + 1 2 x02 − x0 − 1 = 0 1 2 2 = ⇔ 4 x0 = ( x0 + 1) ⇔ 2 ⇔ 2 2 2 x0 = − x0 − 1 2 x0 + x0 + 1 = 0
N
⇔ −x .
2 x02
U Y
2 0
1 1 1 ⇔ OA.OB = 4 2 4
Ơ
Ta có tam giác OAB cân tại O, theo giả thiết ta có: S ∆OAB =
.Q
1 2
Với x0 = 1 ta có M (1;1) . Với x0 = −
1 1 ta có M − ; −2 2 2
Đ
ẠO
TP
Với 2 x02 − x0 − 1 = 0 ⇔ x0 = 1 ∨ x0 = −
H Ư
N
1 Vậy có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán là M (1;1) , M − ; −2 2
G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Với 2 x02 + x0 + 1 = 0 phương trình vô nghiệm.
1 3 4 4 x − 2 x 2 + 3 x ( C ) . Qua điểm A ; có thể kẻ được mấy tiếp tuyến đến đồ thị ( C ) . 3 9 3
TR ẦN
(*) Cho hàm số y =
B
Viết phương trình các tiếp tuyến ấy.
x 2
và y =
x2 . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị của các hàm số đã cho tại giao 2
A
1
Ó
Cho hai hàm số y =
10 00
LỜI GIẢI
-L
Í-
H
điểm của chúng. Tìm góc giữa hai tiếp tuyến trên. LỜI GIẢI
ÁN
3x + 1 (C ) . 1− x
TO
Cho hàm số: y =
ÀN
a) Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm M ( −1; −1) ;
IỄ N
Đ
b) Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại giao điểm của ( C ) với trục hoành;
D
c) Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại giao điểm của ( C ) với trục tung; d) Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng ( d ) : 4 x − y + 1 = 0 ;
e) Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ( ∆ ) : 4 x + y − 8 = 0 .
LỜI GIẢI
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
Tìm các điểm trên đồ thị ( C ) : y =
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
1 3 2 1 2 x − x + mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng y = − x + 3 3 3 3
LỜI GIẢI
Ơ
N
Tập xác định D = ℝ . Ta có y ' = x 2 − 1
U Y
N
H
2 1 Gọi M x0 ; x03 − x0 + là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến d với đồ thị ( C ) , sao cho d vuông góc với đường 3 3
TP
.Q
1 2 thẳng ∆ : y = − x + . 3 3
ẠO
1 2 Phương trình tiếp tuyến d là: y = f ' ( x0 )( x − x0 ) + y0 ⇔ y = ( x02 − 1) ( x − x0 ) + x03 − x0 + 3 3
Đ G
1 vuông góc với ( ∆ ) khi và chỉ khi ( x02 − 1) − = −1 ⇔ x0 = ±2 3
N
(d )
H Ư
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
2 2 ⇔ y = ( x02 − 1) x − x03 + . 3 3
TR ẦN
4 Kết luận có hai tọa độ điểm M cần tìm là M 2; và M ( −2; 0 ) . 3
B
( 3m + 1) x − m . Tìm m để tiếp tuyến tại giao điểm của x+m
10 00
Cho đồ thị: ( Cm ) : y =
A
thẳng d : y = − x − 5 .
H
Ó ( x + m)
với Ox song song với đường
LỜI GIẢI
3m 2 + 2m
-L
Í-
Tập xác định D = ℝ \ {−m} . Ta có y ' =
( Cm )
2
.
TO
ÁN
m Tọa độ giao điểm của ( Cm ) và trục Ox là A ;0 . Phương trình tiếp tuyến ∆ của ( Cm ) tại điểm A là: 3m + 1
( 3m + 1)
2
2
( 3m + 1) x − m ( 3m + 1) m x− ⇔ y= 2 3m + 2m 3m + 1 3m 2 + 2m 3m 2 + 2m
Đ
ÀN
y = f ' ( x0 )( x − x0 ) + y0 ⇔ y =
D
IỄ N
Để ∆ song song với d : y = − x − 5 khi và chỉ khi: ( 3m + 1) 2 = −1 12m 2 + 8m + 1 = 0 1 1 3m 2 + 2m ⇔ ⇔ m=− ∨m=− 2 6 2 12m + 9m ≠ 0 m ( 3m + 1) ≠ 5 2 3m + 2m
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
1 1 Kết luận m = − ∨ m = − thỏa yêu cầu. 6 2
x+2 . Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A ( −6;5 ) của đồ thị ( C ) . x−2
N
Cho hàm số ( C ) : y =
H 2
U Y
( x − 2)
N
−4
.Q
Tập xác định D = ℝ \ {2} . Ta có y ' =
Ơ
LỜI GIẢI
( x0 − 2 )
2
. Phương trình tiếp tuyến ( d ) :
ẠO
−4
x0 + 2 và x0 − 2
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
f ' ( x0 ) =
TP
Gọi M ( x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến ( d ) cần tìm với đồ thị hàm số ( C ) nên y0 =
( x0 − 2 )
2
( −6 − x0 ) +
x0 + 2 x0 − 2
G
( x − x0 ) +
N
( x0 − 2 )
2
H Ư
−4
Ta có A ( −6;5 ) ∈ d ⇔
−4
x0 + 2 = 5 ⇔ 4 x02 − 24 x0 = 0 ⇔ x0 = 0 ∨ x0 = 6 x0 − 2
TR ẦN
y = f ' ( x0 )( x − x0 ) + y0 ⇔ y =
1 3 m 2 1 x − x + (*) (m là tham số). 3 2 3
A
Gọi ( Cm ) là đồ thị của hàm số y =
10 00
B
1 7 Kết luận có hai tiếp tuyến cần tìm là y = − x − 1 và y = − x + 4 2
Í-
LỜI GIẢI
ÁN
-L
đường thẳng 5 x − y = 0 .
H
Ó
Gọi M là điểm thuộc ( Cm ) có hoành độ bằng −1 . Tìm m để tiếp tuyến của ( Cm ) tại điểm M song song với
TO
Tập xác định D = ℝ . Ta có y ' = x 2 − mx
ÀN
m Điểm thuộc ( Cm ) có hoành độ x = −1 là M −1; − 2
D
IỄ N
Đ
Phương trình tiếp tuyến của ( Cm ) tại M là:
( ∆ ) : y = f ' (1)( x + 1) −
m m+2 ⇔ y = ( m + 1) x + 2 2
m + 1 = 5 Để ∆ song song với d : 5 x − y = 0 ⇔ y = 5 x khi và chỉ khi: ⇔m=4 m + 2 ≠ 0
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Kết luận m = 4 . Cho hàm số y = 4 x 3 − 6 x 2 + 1 (1). Viết phương trình tiếp tuyến của (1), biết tiếp tuyến đi qua điểm M ( −1; −9 ) .
N
LỜI GIẢI
H
Ơ
Tập xác định D = ℝ . Có y ' = 12 x 2 − 12 x .
U Y
N
Gọi A ( x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến ( d ) cần tìm với đồ thị hàm số (1) nên y0 = 4 x03 − 6 x02 + 1 và
.Q
f ' ( x0 ) = 12 x02 − 12 x0 . Phương trình tiếp tuyến ( d ) :
TP
y = f ' ( x0 )( x − x0 ) + y0 ⇔ y = (12 x02 − 12 x0 ) ( x − x0 ) + 4 x03 − 6 x02 + 1
15 21 x− . 4 4
TR ẦN
Kết luận có hai tiếp tuyến cần tìm là y = 24 x + 15 và y =
1 4 9 x − 2 x 2 − . Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại giao điểm của ( C ) với Ox. 4 4
B
Cho đồ thị ( C ) : y =
ẠO Đ G
5 4
N
⇔ −8 x03 − 6 x02 + 12 x0 + 10 = 0 ⇔ x0 = −1 ∨ x0 =
H Ư
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Ta có M ( −1; −9 ) ∈ d ⇔ (12 x02 − 12 x0 ) ( −1 − x0 ) + 4 x03 − 6 x02 + 1 = −9
10 00
LỜI GIẢI
A
Tập xác định D = ℝ . Ta có y ' = x 3 − 4 x .
H
Ó
Phương trình hoành độ giao điểm của ( C ) và trục Ox:
1 4 9 x − 2 x 2 − = 0 ⇔ x 2 = 9 ∨ x 2 = −1 (loại) 4 4
ÁN
-L
Í-
x = 3 ⇒ y = 0 Với x 2 = 9 ⇔ x = −3 ⇒ y = 0
TO
Phương trình tiếp tuyến tại M ( 3;0 ) của ( C ) : y = f ' ( 3)( x − 3) ⇔ y = 15 x − 45 .
ÀN
Phương trình tiếp tuyến tại M ( −3;0 ) của ( C ) : y = f ' ( −3)( x − 3) ⇔ y = −15 x + 45 .
D
IỄ N
Đ
Tìm A, B ∈ ( C ) : y =
2x sao cho tiếp tuyến của ( C ) tại A, B song song với nhau và ∆OAB vuông tại O? x −1
LỜI GIẢI
−2 2a 2b ● Gọi A a; . , B b; ∈ ( C ) , ( a; b ≠ 1; a ≠ b ) . Ta có: y ' = 2 a −1 b −1 ( x − 1)
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
● Tiếp tuyến tại A và B lần lượt có hệ số góc: k A =
−2
( a − 1)
2
−2
( b − 1)
−2
( a − 1)
2
=
2
.
−2
( b − 1)
2
a − 1 = b − 1 a = b 2 2 ⇔ ( a − 1) = ( b − 1) ⇔ ⇔ ⇔ a = 2−b a − 1 = 1 − b a = 2 − b
Ơ
N
● Do tiếp tuyến tại A và B song song nhau nên k A = k B ⇔
; kB =
U Y
N
H
(i)
Đ G
TR ẦN
H Ư
a = 2 − b 4 2 ⇔1= − ⇔ ( b − 1) = 4 (i), (ii) ⇒ 4 1 + = 0 (1 − b )( b − 1) ( a − 1)( b − 1)
(ii)
N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
a, b ≠ 0 a, b ≠ 0 4 ⇔ ⇔ ⇔ 1+ =0 4ab ab + = 0 a − 1)( b − 1) ( OA.OB = 0 ( a − 1)( b − 1)
ẠO
TP
.Q
O ≠ A ≠ B ● Do ba điểm O, A, B tạo thành tam giác vuông tại O nên OA ⊥ OB
⇔ b = 3 ⇒ a = −1 ∨ b = −1 ⇒ a = 3 .
Tìm những điểm M ∈ ( C ) : y =
10 00
B
● Vậy A ( −1;3) , B ( 3;3) hoặc A ( −3;3) , B ( −1;1) là các điểm cần tìm. x −1 sao cho tiếp tuyến với ( C ) tại M tạo với hai trục tọa độ một tam giác có 2x + 2
LỜI GIẢI
Í-
H
Ó
A
trọng tâm nằm trên đường thẳng d : 4 x + y = 0 ?
( x − x0 ) +
TO
1
( x0 + 1)
2
x0 − 1 2 ( x0 − 1)
(i)
ÀN
∆: y =
ÁN
-L
x −1 ● Gọi M x0 ; 0 ∈ ( C ) , ( x0 ≠ −1) và tiếp tuyến ∆ tại điểm M có phương trình 2 x0 + 2
D
IỄ N
Đ
x2 − 2 −1 − x02 + 2 x0 + 1 0 ● Gọi A = ∆ ∩ Ox ⇒ A ; 0 , B = ∆ ∩ Oy ⇒ B 0; 0 2 2 2 ( x0 + 1)
x2 − 2 x − 1 x2 − 2 x − 1 0 0 ● Khi đó tọa độ trọng tâm của ∆OAB là G − 0 ; 0 2 6 6 x + 1 ( ) 0
● Do G ∈ d : 4 x + y = 0 ⇔ −4
x02 − 2 x0 − 1 x02 − 2 x0 − 1 + =0 2 6 6 ( x0 + 1)
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
2
⇔ ( x0 + 1) = 4 (do: A ≠ B ≠ O ⇒ x02 − 2 x0 − 1 ≠ 0 )
1 3 1 3 3 5 ⇔ x0 = − ∨ x0 = − nên (i) ⇒ M 1 − ; − hoặc M 2 − ; . 2 2 2 2 2 2
Ơ
N
Tìm A ∈ ( C ) : y = x 3 − 3 x + 1 biết rằng tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại điểm A, cắt đồ thị ( C ) tại B (khác điểm A)
N
H
thỏa: xA + xB = 1 ?
U Y
LỜI GIẢI
TP ẠO
∆ : y = ( 3 x A2 − 3) ( x − x A ) + x3A − 3 xA + 1 .
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
.Q
● Gọi A ( x A ; x3A − 3 xA + 1) ∈ ( C ) và phương trình tiếp tuyến tại điểm A có dạng:
− 3) ( xB − x A ) + x 3A − 3 x A + 1 = xB3 − 3 xB + 1
(i)
N
2 A
H Ư
( 3x
G
Đ
● Ta có ∆ ∩ ( C ) = B có hoành độ nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm:
(ii)
TR ẦN
● Theo giả thiết, ta có: xA + xB = 1 ⇒ xB = 1 − x A (i), (ii) ⇒ ( 3 xA2 − 3) (1 − 2 xA ) + x A3 − 3 x A = (1 − x A ) − 3 (1 − x A ) 3
10 00
B
x A = −1 ⇒ xB = 2 −4 x 3A + 3 x A − 1 = 0 ⇔ ⇔ ⇒ A ( −1;3) x A = 1 ⇒ xB = 1 ( L ) xA ≠ xB , ( do A ≠ B ) 2 2
Ó
A
Cho hàm số y = x 3 − 3 x + 2 ( C ) . Tìm điểm M thuộc ( C ) , sao cho tiếp tuyến của ( C ) tại M cắt ( C ) tại điểm thứ
-L
Í-
H
hai là N và MN = 6 5 .
LỜI GIẢI
TO
ÁN
Gọi M ( m; m3 − 3m + 1) ∈ ( C ) . Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại M là
ÀN
y = ( 3m 2 − 3) ( x − m ) + m 2 − 3m + 2 ( d ) . Phương trình hoành độ giao điểm của ( d ) và ( C ) :
IỄ N
Đ
x = m 2 , để d cắt ( C ) tại hai điểm x3 − 3x + 2 = ( 3m 2 − 3) ( x − m ) + m 2 − 3m + 2 ⇔ ( x − m ) ( x + 2m ) = 0 ⇔ x = −2 m
D
phân biệt ⇔ m ≠ −2m ⇔ m ≠ 0 , khi đó N ( −2m; −8m3 + 6m + 2 ) . Có MN 2 = 81m 6 − 2.81m 4 + 90m 2 = 180 . Đặt t = m 2 , t ≥ 0 ⇒ 9t 3 − 18t 2 + 10t − 20 = 0 ⇔ t = 2, m = ± 2
(
) (
)
Vậy có hai điểm N cần tìm N −2 2; −10 2 + 2 , N 2 2;10 2 + 2 .
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Chứng minh rằng với mọi m thì đường thẳng d : y = x + m luôn cắt đồ thị ( C ) : y =
1− x tại hai điểm phân 2x −1
biệt A và B. Gọi k1 , k2 là hệ số góc của các tiếp tuyến với ( C ) tại A và B. Tìm m để tổng k1 + k2 đạt giá trị lớn
Ơ
N
nhất?
N ẠO Đ
TR ẦN
1 1 ● Ta có: T = k1 + k2 = y ' ( a ) + y ' ( b ) = − + 2 2 ( 2a − 1) ( 2b − 1)
H Ư
● Gọi A ( a; a + m ) , B ( b; b + m ) với a, b là hai nghiệm của g ( x ) = 0 .
N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
∆ /g = m 2 + m + 2 > 0 ● Ta có: 1 : luôn đúng ∀m ∈ ℝ ⇒ d ∩ ( C ) = { A; B} 1 g = − ≠ 0 2 2
TP
.Q
1 2
G
⇔ g ( x ) = 2 x 2 + 2mx − ( m + 1) = 0, ∀x ≠
1− x 1 = x + m, ∀x ≠ 2x −1 2
U Y
● Phương trình hoành độ giao điểm giữa d và ( C ) :
H
LỜI GIẢI
4 ( a + b ) − 2ab − 4 ( a + b ) + 2 2 ⇒T = − = −4 ( m + 1) − 2 ≤ −2 2 4ab − 2 ( a + b ) + 1
10 00
B
2
Ó
A
● Dấu “=” xảy ra ⇔ m + 1 = 0 ⇔ m = −1 thì Tmax = ( k1 + k2 )min = −2
Í-
H
Cho hàm số y = x 3 − ( m + 2 ) x 2 + 4m − 3 (1)
-L
Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng y = 2 x − 7 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao
ÁN
cho tổng hệ số góc của các tiếp tuyến với đồ thị hàm số (1) tại các điểm A, B, C bằng 28.
TO
LỜI GIẢI
ÀN
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d : y = 2 x − 7 và đồ thị hàm số (1):
D
IỄ N
Đ
x 3 − ( m + 2 ) x 2 + 4 m − 3 = 2 x − 7 ⇔ x 3 − ( m + 2 ) x 2 − 2 x + 4m + 4 = 0 x = 2 ⇔ 2 x − mx − 2m − 2 = 0
( 2)
. Đặt g ( x ) = x 2 − mx − 2m − 2
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Đường thẳng d cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A, B, C ⇔ phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt
N
m < −4 − 2 2 ∨ m > −4 + 2 2 m 2 + 8m + 8 > 0 ∆ ( 2 ) > 0 ⇔ ⇔ (3) và khác 2 ⇔ 1 ≠ m 2 − 4m ≠ 0 g ( 2 ) ≠ 0 2
H
Ơ
Gọi A ( 2; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) , C ( x3 ; y3 ) với x1 , x2 là hai nghiệm của (2). Hệ số góc của tiếp tuyến tại các điểm A, B,
N
C với đồ thị hàm số (1) lần lượt là:
.Q
U Y
k A = y ' ( 2 ) = 4 − 4m, k B = y ' ( x2 ) = 3 x22 − 2 ( m + 2 ) x2 , kC = y ' ( x3 ) = 3 x32 − 2 ( m + 2 ) x3 . Theo đề bài
TP
k A + k B + kC = 28 ⇔ 4 − 4m + 3 x22 − 2 ( m + 2 ) x2 + 3 x32 − 2 ( m + 2 ) x3 = 28
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
2 ⇔ 4 − 4m + 3 ( x22 + x32 ) − 2 ( m + 2 )( x2 + x3 ) = 28 ⇔ 4 − 4m + 3 ( x2 + x3 ) − 2 x2 x3 − 2 ( m + 2 )( x2 + x3 ) = 28
G
Đ
⇔ 4 − 4m + 3 m 2 − 2 ( −2m − 2 ) − 2 ( m + 2 ) m = 28 ⇔ m 2 + 4m − 12 = 0 ⇔ m = −6 ∨ m = 2 . Kết hợp với điều
H Ư
N
kiện (3) được m = 2 .
TR ẦN
Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 + m 2 x + 2 − m 2 (1). Định m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm A, B, C phân biệt sao cho tổng các hệ số góc của các tiếp tuyến với đồ thị (1) tại ba điểm A, B, C lớn nhất.
B
LỜI GIẢI
10 00
Ta có: y ' = 3x 2 − 6 x + m 2
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (1) với trục hoành:
Í-
H
Ó
A
x = 1 x3 − 3 x 2 + m 2 x + 2 − m 2 = 0 ⇔ ( x − 1) ( x 2 − 2 x + m 2 − 2 ) = 0 ⇔ 2 2 g ( x ) = x − 2 x + m − 2 = 0 ( *)
-L
Đồ thị hàm số (1) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt ⇔ phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt và khác 1
TO
ÁN
2 ∆ (*) > 0 3 − m > 0 ⇔ ⇔ 2 ⇔ − 3 < m < 3 . Gọi A (1; y A ) , B( x1 ; yB ), C ( x2 ; yC ) với x1 , x2 là hai nghiệm của g (1) ≠ 0 m − 3 ≠ 0
ÀN
phương trình (*) theo định lý Vi ét có x1 + x2 = 2 và x1.x2 = m 2 − 2 .
Đ
Ta có P = k A + k B + kC = y ' (1) + y ' ( x1 ) + y ' ( x2 )
D
IỄ N
= −3 + m 2 + ( 3 x12 − 6 x1 + m 2 ) + ( 3 x22 − 6 x2 + m 2 ) 2 = 3 ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 − 6 ( x1 + x2 ) + 3m 2 − 3 = 9 − 3m 2 ≤ 9
Vậy max P = 9 khi m = 0 . Kết luận với m = 0 thỏa yêu cầu bài toán.
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Cho hàm số y = − x 3 + 3 x 2 − 2 (1) Tìm tham số m để đường thẳng d : y = m ( 2 − x ) + 2 cắt đồ thị ( C ) của hàm số (1) tại ba điểm phân biệt
N
A ( 2; 2 ) , B, C sao cho tích các hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị ( C ) tại B và C đạt giá trị nhỏ nhất?
H
Ơ
LỜI GIẢI
U Y
N
● Phương trình hoành độ giao điểm: − x3 + 3 x 2 − 2 = m ( 2 − x ) + 2
TP
.Q
x = 2 ⇒ y = 2 ⇔ ( x − 2) ( x2 − x − m − 2) = 0 ⇔ 2 g ( x ) = x − x − m − 2 = 0
ẠO
Đ
9 ∆ g = 9 + 4m > 0 m > − ⇔ ⇔ 4 g ( 2 ) = −m ≠ 0 m ≠ 0
(i)
H Ư
N
G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
● Để d cắt ( C ) tại ba điểm phân biệt A ( 2; 2 ) , B, C ⇔ g ( x ) = 0 có ba nghiệm phân biệt ≠ 2
TR ẦN
● Ta có: y ' = −3 x 2 + 6 x và gọi B ( x1 ; m ( 2 − x1 ) + 2 ) , C ( x2 ; m ( 2 − x2 ) + 2 ) với x1 , x2 là hai nghiệm của x1 + x2 = 1 g ( x ) = 0 . Theo Viét: x1 x2 = − ( m + 2 )
10 00
B
● Ta có: k1k2 = y ' ( x1 ) . y ' ( x2 ) = ( −3 x12 + 6 x1 )( −3 x22 + 6 x2 ) 2
2
A
⇔ k1k2 = 9 ( x1 x2 ) − 18 x1 x2 ( x1 + x2 ) + 36 x1 x2 = 9 ( m + 2 ) − 18 ( m + 2 ) ⇔ k1k2 = 9 ( x ) 2
Í-
H
Ó
⇔ k1k2 = 9 ( m + 1) − 9 ≥ −9 ⇒ ( k1k2 )min = −9 khi m = −1 (thỏa (i)). 2
-L
Cho hàm số y = ( x + 2 )( x − 1)
(C )
ÁN
b). Tìm các điểm M thuộc đường thẳng d : y = −2 x + 19 , biết rằng tiếp tuyến của đồ thị ( C ) đi qua điểm M
ÀN
TO
vuông góc với đường thẳng x + 9 y − 8 = 0
LỜI GIẢI
D
IỄ N
Đ
1 8 Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x + 9 y − 8 = 0 ⇔ y = − x + ( ∆ ) nên ktt .k∆ = −1 ⇒ ktt = 9 , gọi tọa 9 9
độ tiếp điểm của tiếp tuyến là I ( x0 ; y0 ) , từ đó ta có y ' ( x0 ) = ktt ⇔ x02 − 1 = 3 ⇔ x0 = 2 ∨ x0 = −2 ● Với x0 = 2 ⇒ y0 = 4 khi đó phương trình tiếp tuyến d1 : y = y ' (1)( x − 2 ) + 4 ⇔ d1 : y = 9 x − 14 . Suy ra M là
y = 9 x − 14 giao điểm của d và d1 tọa độ điểm M là nghiệm của hệ ⇒ M ( 3;13) . y = −2 x + 19
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
● Với x0 = −2 ⇒ y0 = 0 khi đó phương trình tiếp tuyến d 2 : y = 9 x + 18 . Suy ra M là giao điểm của d và d 2 tọa y = 9 x + 18 1 201 độ điểm M là nghiệm của hệ ⇒M ; 11 11 y = −2 x + 19
H
Ơ
N
1 201 Kết luận tọa độ điểm M cần tìm là M ( 3;13) hoặc M ; . 11 11
U Y
N
Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 + ( m − 2 ) x + 3m ( Cm ) (m là tham số).
.Q
Tìm m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị ( Cm ) của hàm số đã cho vuông góc với đường thẳng
TP
d : x− y+2 = 0.
ẠO
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
LỜI GIẢI
N
H Ư
Gọi M ( x0 ; y0 ) ∈ ( Cm ) , suy ra hệ số góc tiếp tuyến của ( Cm ) tại M là
G
Đ
Có y ' = 3x 2 − 6 x + m − 2
2
tuyến nhỏ nhất là kmin = m − 5 tại điểm M (1; 4m − 4 )
TR ẦN
k = y ' ( x0 ) = 3 x02 − 6 x0 + m − 2 = 3 ( x0 − 1) + m − 5 ≥ m − 5 , dấu “=” xảy ra ⇔ x0 = 1 suy ra hệ số góc của tiếp
10 00
Kết luận với m = 4 thỏa yêu cầu đề bài.
B
Để tiếp tuyến vuông góc với d ⇔ ktt .kd = −1 ⇔ ( m − 5 ) .1 = −1 ⇔ m = 4 .
Ó
A
Gọi k1 là hệ số góc của tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị hàm số ( Cm ) : y =
x+m với trục hoành. Gọi k2 là hệ x +1
Í-
H
số góc của tiếp tuyến với đồ thị ( Cm ) tại điểm có hoành độ x = 1 . Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho
ÁN
-L
k1 + k2 đạt giá trị nhỏ nhất?
TO
1− m
( x + 1)
2
. Hoành độ giao điểm ( Cm ) với trục hoành: x = −m .
ÀN
● Ta có: y ' =
LỜI GIẢI
D
IỄ N
Đ
● Hệ số góc tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = −m là k1 = y ' ( −m ) = ● Hệ số góc tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 1 là k2 = y ' (1) = ● Ta có: k1 + k2 =
1 1− m
1− m . 4
1 − m Cauchy 1 1− m 1 1 1− m + = + ≥ 2 . 1− m 4 1− m 4 1− m 4
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
⇔ k1 + k2 ≥ 1, ∀m ≠ 1 . Dấu “=” xảy ra ⇔
min
m = −1 = 1 khi . m = 3
H
2x −1 , biết rằng tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho x −1
N
Viết phương trình tiếp tuyến d của ( C ) : y =
Ơ
N
m = −1 2 . Vậy k1 + k2 ⇔ (1 − m ) = 4 ⇔ m = 3
1 1− m = 1− m 4
U Y
AB = 82.OB ?
TP
.Q
LỜI GIẢI
ẠO
Phân tích và tìm hướng giải
Đ
OB . OA
G
k = tan α =
TR ẦN
H Ư
1 OB 1 AB = 82.OB Ta có: ⇒ 81.OB 2 = OA2 ⇔ = ⇒k = 2 2 2 9 OA 9 OA + OB = AB
N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
TT ∆ cắt trục Ox, Oy tại A, B ⇒ ∆OAB vuông tại O và tạo với trục Ox một góc α với
Bài giải
( x0 − 1)
2
( x − x0 ) +
2 x0 − 1 x0 − 1
(i)
A
1
Ó
∆: y =−
10 00
B
2x −1 −1 ● Gọi M x0 ; 0 , ( x0 ≠ 1) là tiếp điểm ⇒ k = . Phương trình tiếp tuyến có dạng 2 x0 − 1 ( x0 − 1)
-L
Í-
H
OB 1 AB = 82.OB ● Ta có: 2 ⇒ AB 2 = 82.OB 2 = OA2 + OB 2 ⇔ = . 2 2 OA 9 OA + OB = AB
1 1 : phương trình vô nghiệm = 9 ( x0 − 1)2
ÀN
● Với k =
1 1 OB 1 = ⇔k = ∨k =− OA 9 9 9
TO
ÁN
● Hệ số góc tiếp tuyến được tính k = tan α =
D
IỄ N
Đ
x0 = 4 1 1 ● Với k = − = ⇔ ( x0 − 1) = 9 ⇔ 2 9 ( x0 − 1) x0 = −2
(ii)
1 25 1 13 (i), (ii) ⇒ ∆ : y = − x + hoặc ∆ : y = − x + là các tiếp tuyến cần tìm 9 9 9 9 Lập phương trình tiếp tuyến của ( C ) : y = x 3 − 3 x 2 + 1 , biết nó song song với đường thẳng d : 9 x − y + 6 = 0 ?
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
LỜI GIẢI ● Ta có: y ' = 3 x 2 − 6 x . Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến có dạng:
N
∆ : y = k ( x − x0 ) + y0 . Do tiếp tuyến ∆ / / d : y = 9 x + 6 ⇒ k = 9 .
N
H
Ơ
x0 = −1 ⇒ y0 = −3 ⇔ y ' ( x0 ) = 9 ⇔ 3 x02 − 6 x0 = 9 ⇔ x0 = 3 ⇒ y0 = 1
U Y
● Với x0 = −1; y0 = −3; k = 9 ⇒ ∆ : y = 9 x + 6 (loại do ∆ ≡ d )
TP
.Q
● Với x0 = 3; y0 = 1; k = 9 ⇒ ∆ : y = 9 ( x − 3) + 1 hay ∆ : y = 9 x − 26
ẠO
1 x −1 ? 6
TR ẦN
LỜI GIẢI
Đại học khối D năm 2010
H Ư
N
G
d:y=
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) : y = − x 4 − x 2 + 6 , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
● Ta có: y ' = −4 x3 − 2 x . Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến có dạng:
B
1 1 x − 1 ⇒ k . = −1 6 6
10 00
∆ : y = k ( x − x0 ) + y0 . Do ∆ ⊥ d : y =
⇔ k = y ' ( x0 ) = −6 ⇔ −4 x03 − 2 x0 = −6 ⇔ x0 = 1 ⇒ y0 = 4 .
Cao đẳng khối A, A1, B, D năm 2013 LỜI GIẢI
ÀN
TO
ÁN
và B. Tính S ∆OAB ?
Í-
2x +1 có tung độ bằng 5. Tiếp tuyến của ( C ) tại M cắt các trục tọa độ Ox, Oy lần lượt tại A x −1
-L
G ọi M ∈ ( C ) : y =
H
Ó
A
● Phương trình tiếp tuyến là ∆ : y = −6 ( x − 1) + 4 hay ∆ : y = −6 x + 10
Đ
Phân tích và tìm hướng giải
D
IỄ N
Viết PTTT ∆ tại M khi biết y0 = 5 =
2 x0 + 1 ⇒ x0 ⇒ k = y ' ( x0 ) . Tìm tọa độ A = ∆ ∩ Ox, B = ∆ ∩ Oy và tính x0 − 1
1 S ∆OAB = OA.OB = ? 2 Bài giải
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
● Ta có: y ' =
−3
( x − 1)
2
và y0 = 5 =
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
2 x0 + 1 ⇒ x0 = 2 ⇒ k = y ' ( x0 ) = −3 x0 − 1
● Phương trình tiếp tuyến tại M ( 2;5 ) là ∆ : y = −3 x + 11
N
H
Ơ
N
11 ∆ : y = −3x + 11 x = 11 ● Ta có: A = ∆ ∩ Ox thỏa ⇔ 3 ⇒ A ;0 3 Ox : y = 0 y = 0
TP
.Q
U Y
∆ : y = −3 x + 11 x = 0 ● Ta lại có: B = ∆ ∩ Oy thỏa ⇔ ⇒ B ( 0;11) Oy : x = 0 y = 11
ẠO
x+2 , biết rằng tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung 2x + 3
G
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( C ) : y =
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
1 1 11 121 ⇒ S ∆OAB = OA.OB = . .11 = (đvdt) 2 2 3 6
Đại học khối A năm 2009
TR ẦN
H Ư
N
lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O?
Phân tích và tìm hướng giải
B
Tiếp tuyến ∆ ∩ Ox = { A} , ∆ ∩ Oy = { B} mà ∆OAB vuông cân tại O
10 00
⇒ ∆ song song với phương trình đường thẳng phân giác góc phần tư thứ
Ó
A
I ( d1 : y = x ) và thứ II ( d 2 : y = − x ) ⇒ k = ±1 ⇒ x0 ⇒ y0 ⇒ ∆ .
( 2 x + 3)
2
. Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm và tiếp tuyến là ∆.
-L
−1
ÁN
● Ta có: y ' =
Í-
H
LỜI GIẢI
−1
( 2 x0 + 3)
2
= ±1
ÀN
TO
● Theo đề ⇒ ∆ / / d1,2 : y = ± x ⇒ k = y ' ( x0 ) =
D
IỄ N
Đ
x0 = −1 ⇒ y0 = 1 ⇒ k = −1 2 ⇔ ( 2 x0 + 3) = 1 ⇔ x0 = −2 ⇒ y0 = 0 ⇒ k = −1 ∆ : y = −1( x + 1) + 1 ∆ : y = − x ⇒ hay ∆ : y = −1( x + 2 ) = 0 ∆ : y = − x − 2
( lo¹i do
≡ d : y = −x)
● Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: ∆ : y = − x − 2 .
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
Cho hàm số y =
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
2x − 3 có đồ thị ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến ∆ với đồ thị hàm số ( C ) sao cho ∆ cắt trục x−2
hoành tại A mà OA = 6 ?
Ơ
N
Phân tích và tìm hướng giải
U Y
N
H
2x − 3 2x − 3 −1 Gọi M x0 ; 0 x − x0 ) + 0 là tiếp điểm ⇒ tt ∆ : y = 2 ( x0 − 2 x0 − 2 ( x0 − 2 )
.Q
∆ ∩ Ox = { A} ⇒ tọa độ điểm A theo x0 → giải OA = 6 ⇒ x0 ⇒ tt ∆ .
( x − 2)
2
2x − 3 . Gọi M x0 ; 0 ∈ ( C ) , ( x0 ≠ 2 ) là tiếp điểm. x0 − 2
ẠO
−1
1
( x0 − 2 )
2
( x − x0 ) +
( x − x0 ) +
2 x0 − 3 x0 − 2
2 x0 − 3 x0 − 2
N
( x0 − 2 )
2
(i)
H Ư
● Ta có: A = ∆ ∩ Ox ⇒ y = 0 ⇒ 0 =
−1
TR ẦN
● Phương trình tiếp tuyến tại M là: ∆ : y =
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Ta có: y ' =
TP
LỜI GIẢI
B
⇔ x = 2 x02 − 6 x0 + 6 ⇒ A ( 2 x02 − 6 x0 + 6;0 )
● Theo đề OA = 6 ⇔ 2 x02 − 6 x0 + 6 = 0 ⇒ x0 = 0 ∨ x0 = 3
10 00
(ii)
Í-
H
Ó
A
1 3 ∆: y = − x+ ● Thế (ii) vào (i) ⇒ các tiếp tuyến cần tìm là: 4 2 ∆ : y = − x + 6
-L
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị
biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng
4 và tiếp điểm có hoành độ nguyên? 41
TO
ÁN
∆ : x + y + 1 = 0 một góc α, sao cho cos α =
( C ) : y = x3 − 6 x 2 + 9 x ,
ÀN
Phân tích và tìm hướng giải
IỄ N
Đ
Gọi M ( x0 ; x03 − 6 x02 + 9 x0 ) là tiếp điểm thì k = y ' ( x0 ) = 3 x02 − 12 x0 + 9 và có ∆ : y = − x − 1 ⇒ k∆ = −1 .
D
Khi đó ta có hai hướng xử lý: một lá áp dụng công thức tan α =
k − k∆ , hai là sử dụng 1 + k .k∆
n∆ .nd cos α = cos n∆ , nd = với n∆ = (1;1) và nd = ( k ; −1) là vecto pháp tuyến của ∆ và tiếp tuyến d. n∆ . nd
(
)
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
LỜI GIẢI ● Gọi M ( x0 ; x03 − 6 x02 + 9 x0 ) là tiếp điểm và k = y ' ( x0 ) = 3 x02 − 12 x0 + 9
H
Ơ
N
● Phương trình tiếp tuyến có dạng: d : y = k ( x − x0 ) + x03 − 6 x02 + 9 x0 và có vecto pháp tuyến nd = ( k ; −1) . Ta có: n∆ = (1;1) .
.Q
1 9
TP
⇔ 9k 2 − 82k + 9 = 0 ⇔ k = 9 ∨ k =
U Y
)
ẠO
(
N
n∆ .nd k −1 4 ● Theo đề: cos α = cos n∆ , nd = = = 2 41 n∆ . nd 2. k + 1
Đ G
1 1 18 ± 2 21 ⇒ 3 x02 − 12 x0 + 9 = ⇔ x0 = (loại do x0 , y0 ∈ ℤ ) 9 9 9
N
● Với k =
H Ư
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
x = 0 ⇒ y0 = 0 ∆ : y = 9 x ● Với k = 9 ⇒ 3 x02 − 12 x0 = 0 ⇔ 0 ⇒ x0 = 4 ⇒ y0 = 4 ∆ : y = 9 x − 32
2x −1 , biết tiếp tuyến cách đều hai điểm A ( −2; 4 ) và B ( 4; −2 ) ? x −1
10 00
B
Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) : y =
TR ẦN
● Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: ∆ : y = 9 x hoặc ∆ : y = 9 x − 32 .
Phân tích và tìm hướng giải
H
Ó
A
2x −1 2x −1 1 Gọi M x0 ; 0 là tiếp điểm ⇒ tt ∆ : y = x − x0 ) + 0 . Do ∆ cách đều hai điểm A và B nên có 2 ( x0 − 1 x0 − 1 ( x0 − 1)
Í-
các trường hợp sau đây xảy ra: tiếp tuyến ∆ qua trung điểm I của AB ( I ∈ ∆ ) hoặc song song với AB hoặc trùng
LỜI GIẢI
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
với AB ( k = k AB ) . Giải hai trường hợp ⇒ x0 ⇒ ∆ .
D
IỄ N
2x −1 2x −1 x −x ● Gọi M x0 ; 0 , ( x0 ≠ 1) ⇒ tiếp tuyến ∆ : y = 0 + 0 2 x0 − 1 ( x0 − 1) x0 − 1
(i)
● Do tiếp tuyến cách đều hai điểm A ( −2; 4 ) và B ( 4; −2 ) nên có các trường hợp: Trường hợp 1. Gọi I là trung điểm của AB ⇒ I (1;1) ∈ ∆
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
⇔1=
x0 − 1
( x0 − 1)
2
+
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
2 x0 − 1 1 5 ⇔ x0 = −1 ⇒ ∆ : y = − x + 4 4 x0 − 1
Trường hợp 2. ∆ / / AB hoặc ∆ ≡ AB ⇒ k = k AB 2
Ơ
( x0 − 1)
N
1
N
H
Phương trình đường thẳng AB : y = − x + 2 ⇒ k AB = −1 = k = −
U Y
⇔ x0 = 2 ∨ x0 = 0 . Thế vào (i) được ∆ : y = − x + 5 hoặc ∆ : y = − x + 1 .
TP
2x + m có tiếp tuyến song song và cách đường thẳng d : 3 x + y − 1 = 0 một x −1
ẠO
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Xác định m để đồ thị ( C ) : y =
.Q
1 5 ● Vậy ∆ : y = − x + hoặc ∆ : y = − x + 5 hoặc ∆ : y = − x + 1 . 4 4
G
Đ
khoảng cách bằng 10 ?
H Ư
N
Phân tích và tìm hướng giải
TR ẦN
2x + m −2 − m M x0 ; 0 . Do ∆ / /d ⇒ k = −3 sẽ thu được một phương trình với ∈ ( C ) là tiếp điểm ⇒ k = 2 x0 − 1 ( x0 − 1)
B
hai ẩn x0 , m và d ( M ; d ) = 10 sẽ thu thêm được một phương trình nữa. Giải hệ này tìm được ⇒ x0 , m
10 00
LỜI GIẢI
H Í-
⇔ 3 x02 − 6 x0 − m + 1 = 0
Ó
A
2x + m −2 − m = −3 (do tiếp tuyến ∆ / / d : y = −3 x + 1 ) ● Gọi M x0 ; 0 , ( x0 ≠ 1) và tiếp tuyến ∆ có k = 2 x0 − 1 ( x0 − 1)
2 x0 + m = 10 x0 − 1
(ii)
ÁN
-L
● Vì d ( ∆; d ) = d ( M ; d ) = 10 ⇒ 3 x0 +
(i)
ÀN
TO
3 x02 − 11x0 + m + 10 = 0 3 x02 + 9 x0 + m − 10 = 0 (i), (ii) ⇒ 2 ∨ 2 3 x0 − 6 x0 − m + 1 = 0 3 x0 − 6 x0 − m + 1 = 0
D
IỄ N
Đ
x0 = 1( L ) x0 = 1( L ) ⇔ ∨ 3 67 11 1 x0 = ⇒ m = x0 = − ⇒ m = 6 12 2 4
● Vậy m =
1 67 ∨m= là các giá trị cần tìm. 12 4
Tìm tất cả các giá trị của tham số m ≠ 0 sao cho tiếp tuyến của đồ thị ( Cm ) : y = mx3 − ( 2m + 1) x + m + 1 tại giao
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
điểm của nó với trục tung tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4? LỜI GIẢI
N
● Ta có: M = ( Cm ) ∩ Oy : x = 0 ⇒ y = m + 1 ⇒ M ( 0; m + 1)
∆ : y = − ( 2m + 1) x + m + 1
U Y TP ẠO Đ
G N H Ư
1 1 m +1 ● Theo đề: S ∆AOB = OA.OB = . . m +1 = 4 2 2 2m + 1
TR ẦN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
.Q
m +1 ;0 A 2m + 1
x = 0 x = 0 ∆ ∩ Oy = B thỏa ⇔ ⇒ B ( 0; m + 1) y = − ( 2m + 1) x + m + 1 y = m + 1
1 m +1 , OB = m + 1 với m ≠ − 2 2m + 1
N
(i)
m +1 y = 0 x = ● ∆ ∩ Ox = A thỏa ⇔ 2m + 1 ⇒ y = − ( 2m + 1) x + m + 1 y = 0
⇒ OA =
H
Ơ
● Mà y ' = 3mx 2 − 2m − 1 ⇒ k = y ' ( 0 ) = −2m − 1 là hệ số góc tiếp tuyến tại điểm M và có phương trình
10 00
B
m = 7 ± 2 14 16m + 8 = m 2 + 2m + 1 2 ⇔ ( m + 1) = 8 2m + 1 ⇔ ⇔ 2 16m + 8 = −m − 2m − 1 m = −9 ± 6 2
LỜI GIẢI
H
Ó
A
Tìm m để tiếp tuyến của ( Cm ) : y = x3 + 3mx 2 + ( m + 1) x + 1 tại điểm có hoành độ x = −1 đi qua điểm A (1; 2 ) ?
-L
Í-
Ta có: y ' = 3x 2 + 6mx + m + 1 ⇒ k = y ' ( −1) = 4 − 5m .
ÁN
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M ( −1; 2m − 1) có dạng:
ÀN
TO
d : y = ( 4 − 5m )( x + 1) + 2m − 1 và A (1; 2 ) ∈ d nên m =
2x −1 , biết rằng tiếp điểm của tiếp tuyến đó với ( C ) cách điểm x +1
IỄ N
Đ
Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) : y =
5 8
D
A ( 0;1) một khoảng = 2 ? LỜI GIẢI
2x −1 Gọi M x0 ; 0 , ( x0 ≠ −1) là tiếp điểm. Theo đề thì MA = 2 hay x0 + 1
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
2
2x −1 − 1 = 4 ⇔ x0 = 0 ∨ x0 = 2 . x + 0 x0 + 1 2 0
tiếp
tuyến
là
d1 : y = 3 x − 1
và
với
x 1 + 3 3
H
x tại M, biết rằng tiếp tuyến đó cắt các trục tọa độ tại A và B sao 1− x
N
Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) : y =
Ơ
N
x0 = 2 ⇒ d 2 : y =
x0 = 0 ⇒
Với
U Y
cho M là trung điểm của AB?
(1 − m )
2
G N H Ư
m2
=
2m 1− m
TR ẦN
Để M là trung điểm của đoạn AB thì m ≠ 0, m 2 = 2m; −
Đ
−m2 2 ∆ : x − (1 − m ) y − m 2 = 0 . Khi đó: A ( m 2 ;0 ) và B 0; (1 − m 2 )
ẠO
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
m Gọi M m; , ( m ≠ 1) là tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng: 1− m
TP
.Q
LỜI GIẢI
B
⇔ m = 2 . Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: ∆ : x − y − 4 = 0
A
1 ? 26
Ó
cos α =
10 00
Tìm m để đồ thị hàm số ( Cm ) : y = x 3 − 3mx + 2 có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d : x + y + 7 = 0 góc α, biết
-L
Í-
H
LỜI GIẢI Gọi k là hệ số góc tiếp tuyến ⇒ tiếp tuyến có vtpt n1 = ( k ; −1)
TO
ÁN
Đường thẳng d : x + y + 7 = 0 có vtpt n2 = (1;1)
(
)
IỄ N
Đ
ÀN
3 k= n1.n2 k −1 1 2 Theo đề cos α = cos n1 , n2 = ⇔ = ⇔ 2 26 n1 . n2 2. k + 1 k = 2 3
D
YCBT ⇔ ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm: y' = y' =
3 2 3 x − 3m = 2 ⇔ 2 3 x 2 − 3m = 3
3 2 2m + 1 2m + 1 x = 2 ≥0 1 2 2 ⇔ ⇔ ⇔ m≥− 2 2 x 2 = 9m + 2 9m + 2 ≥ 0 3 9 9
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) : y =
2x −1 , biết rằng tiếp tuyến này cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A, x −1
B thỏa OA = 4OB ?
N
LỜI GIẢI
H
Ơ
Giả sử tiếp tuyến d của ( C ) tại M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) cắt Ox tại A, cắt Oy tại B sao cho OA = 4OB . Do ∆OAB
=−
N
U Y
1 3 5 ⇔ x0 = −1 ⇒ y0 = hoặc x0 = 3 ⇒ y0 = . 4 2 2
ẠO
( x0 − 1)
2
<0
Đ
1
2
TP
( x0 − 1)
H Ư
1 5 1 13 hoặc d : y = − x + Khi đó có hai tiếp tuyến là: d : y = − x + 4 4 4 4
G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
⇒−
1
N
y ' ( x0 ) = −
1 1 OB 1 hoặc − . Mà hệ số góc của d là: = ⇒ hệ số góc của d bằng OA 4 4 4
.Q
vuông tại O nên tan A =
2
TR ẦN
Tìm các điểm M trên đường thẳng d : y = −2 x + 19 , biết rằng tiếp tuyến của đồ thị ( C ) : y = ( x + 2 )( x − 1) đi qua điểm M vuông góc với đường thẳng d ' : x + 9 y − 8 = 0 ?
● Hàm số được viết lại: y = x 3 − 3 x + 2
10 00
B
LỜI GIẢI
H
Ó
A
1 8 1 ● Vì tiếp tuyến ∆ ⊥ d ' : y = − x + nên ⇔ k . − = −1 ⇔ k = 9 9 9 9
-L
Í-
● Gọi M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) là tiếp điểm ⇒ k = y ' ( x0 ) = 3 x02 − 3 = 9 ⇔ x0 = ±2
ÁN
● Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng: ∆ : y = k ( x − x0 ) + x03 − 3 x0 + 2
TO
Hay ∆1 : y = 9 x − 14 hoặc ∆ 2 : y = 9 x + 18 là hai tiếp tuyến tại M.
ÀN
● Khi đó, tọa độ điểm M là giao điểm của đường thẳng d và tiếp tuyến
D
IỄ N
Đ
y = −2 x + 19 x = 3 d ∩ ∆1 = M 1 thỏa ⇔ ⇒ M 1 ( 3;13) y = 9 x − 14 y = 13 1 x= y = − 2 x + 19 1 207 11 d ∩ ∆ 2 = M 2 thỏa ⇔ ⇒ M2 ; 11 11 y = 9 x + 18 y = 207 11
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
1 207 ● Vậy có hai điểm M là M 1 ( 3;13) hoặc M 2 ; thỏa yêu cầu bài toán. 11 11
N
Tìm các điểm A, B ∈ ( C ) : y = − x 3 + 3 x sao cho tiếp tuyến của ( C ) tại A, B song song với nhau và AB = 4 2 ?
Ơ
LỜI GIẢI
N
H
Gọi A ( a; −a 3 + 3a ) , B ( b; −b3 + 3b ) ∈ ( C ) , ( a ≠ b )
.Q
U Y
Do tiếp tuyến tại A và B song song nhau nên y ' ( a ) = y ' ( b ) hay
TP
⇔ −3a 2 + 3 = −3b 2 + 3 ⇔ a = −b (nhận) hoặc a = b (loại)
ẠO N
G
Vậy A ( 2; −2 ) , B ( −2; 2 ) hoặc A ( −2; 2 ) , B ( 2; −2 ) thì thỏa yêu cầu bài toán.
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ab = −4 a = 2; b = −2 Theo đề ⇒ AB 2 = 32 ⇔ ⇔ a = −b a = −2; b = 2
H Ư
Tìm M ∈ ( C ) : y = x3 − 3x + 2 để tiếp tuyến của ( C ) tại điểm M cắt đồ thị ( C ) tại điểm thứ hai là N thỏa mãn
TR ẦN
xM − x N = 6 ?
LỜI GIẢI
10 00
B
Gọi M ( a; a 3 − 3a + 2 ) ∈ ( C ) . Phương trình tiếp tuyến tại điểm M:
A
∆ : y = ( 3a 2 − 3) ( x − a ) + a 3 − 3a + 2 hay ∆ : y = ( 3a 2 − 3) x − 2a 3 + 2
H
Ó
Phương trình hoành độ giao điểm: x3 − 3 x + 2 = ( 3a 2 − 3) x − 2a 3 + 2 2
-L
Í-
⇔ ( x − a ) ( x + 2a ) = 0 ⇔ x = a ∨ x = −2a ⇒ xM = a; xN = −2a
ÁN
Theo đề: xM − xN = 6 ⇔ a − ( −2a ) = 6 ⇔ a = 2 ⇒ a = ±2
ÀN
TO
Vậy có hai điểm M thỏa yêu cầu bài toán: M ( 2; 4 ) ∨ M ( −2;0 )
IỄ N
Đ
Tìm các điểm trên ( C ) : y =
D
bằng
2x − 3 , sao cho tiếp tuyến tại đó tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích x +1
18 (đvdt)? 5 LỜI GIẢI
2x − 3 Gọi M x0 ; 0 ∈ ( C ) , ( x0 ≠ −1) và phương trình tiếp tuyến tại M: x0 + 1
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
∆: y =
5
( x0 + 1)
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
7 x 2 − x0 − 3 2 x0 − 3 ;0 và ∆ ∩ Ox = A 0 x0 + 1 5 x0
x − x0 ) + 2 (
Ơ
N
2 x2 − 6 x − 3 18 1 18 0 ∆ ∩ Oy = B 0; 0 . Do S ∆ABO = ⇔ AO.BO = 2 5 2 5 ( x0 + 1)
N
H
Giải phương trình này, sẽ tìm được x0 ⇒ M cần tìm.
U Y
2x −1 , sao cho khoảng cách từ điểm I ( −1; 2 ) tới tiếp tuyến của ( C ) tại M là x +1
.Q
Tìm tọa độ điểm M ∈ ( C ) : y =
TP
lớn nhất?
ẠO
LỜI GIẢI
6
( x0 + 1) 9
+ ( x0 + 1)
2
2
H Ư
9 + ( x0 + 1)
4
6 và d max = 6 khi và chỉ khi
2
= ( x0 + 1) ⇔ ( x0 + 1) = 3 ⇔ x0 = −1 ± 3
(
hoặc M 2 −1 − 3; 2 + 3
)
là hai điểm cần tìm.
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
)
H
(
Vậy: M 1 −1 + 3; 2 − 3
Ó
A
( x0 + 1)
2
≤
2
4
6 x0 + 1
B
9
Cauchy
9 + ( x0 + 1)
=
10 00
Hay d ( I ; ∆ ) =
3 ( −1 − x0 ) − 3 ( x0 + 1)
TR ẦN
đó khoảng cách từ I ( −1; 2 ) đến tiếp tuyến là: d ( I ; ∆ ) =
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
3 3 3 x − x0 ) + 2 − . Khi Gọi M x0 ; 2 − ∈ ( C ) , ( x0 ≠ −1) . Khi đó tiếp tuyến tại M dạng ∆ : y = 2 ( x0 + 1 x0 + 1 ( x0 + 1)
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1. Cho hàm số ( C ) : y = x 3 + 3x 2 . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại điểm M (1; 4 ) là: D. y = 9 x − 5
N
C. y = −9 x − 5
Ơ
B. y = 9 x + 5
Câu 3. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = A. y = 2 x + 1
x −1 tại điểm C ( −2;3) là: x +1 C. y = 2 x + 7
D. y = −2 x − 1
ẠO
B. y = −2 x + 7
D. y = −4 x + 2
U Y
C. y = −4 x + 6
.Q
B. y = 4 x + 2
TP
A. y = 4 x + 6
H
Câu 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x 4 − 4 x 2 + 1 tại điểm B (1; −2 ) là:
N
A. y = −9 x + 5
B. y = 9 x + 14
C. y = −9 x + 22
D. y = 9 x + 22
N
A. y = −9 x + 14
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Câu 4. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = − x 3 + 3 x − 2 tại điểm D có hoành độ bằng 2 có phương trình là:
A. y = − x + 5
H Ư
2x −1 tại điểm F có hoành độ bằng 2 có phương trình là: x −1
TR ẦN
Câu 5. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
B. y = x + 5
C. y = − x − 1
D. y = x − 1
B
Câu 6. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x 4 + 2 x 2 − 3 tại điểm H có tung độ bằng 21 có phương trình là: y = 40 x − 59 B. y = −40 x − 101
10 00
y = 40 x − 101 A. y = −40 x − 59
y = 40 x + 59 C. y = −40 x + 101
y = −40 x − 59 D. y = 40 x + 101
A
x+2 tại điểm I có tung độ bằng 1 có phương trình là 2x −1
1 2 B. y = − x − 5 5
Í-
1 8 x+ 5 5
-L
A. y =
H
Ó
Câu 7. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
D. y =
1 2 x− 5 5
1 4 x − 2 x 2 . Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm M có hoành độ x0 > 0 , biết 4
TO
ÁN
Câu 8. Cho hàm số ( C ) : y =
1 8 C. y = − x + 5 5
ÀN
y '' ( x0 ) = −1 là:
B. y = −3 x + 1
C. y = −3 x +
5 4
D. y = −3 x +
1 4
IỄ N
Đ
A. y = −3 x − 2
D
Câu 9. Cho hàm số ( C ) : y = x3 − 3x + 2 . Phương trình tiếp tuyến của ( C ) biết hệ số góc của tiếp tuyến đó bằng
9 là: y = 9 x − 14 A. y = 9 x + 18
y = 9 x + 15 B. y = 9 x − 11
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
y = 9x −1 C. y = 9x + 4
y = 9x + 8 D. y = 9x + 5
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Câu 10. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 − 3 x 2 − 2 có hệ số góc k = −3 có phương trình là B. y = −3 x + 7
C. y = −3 x + 1
D. y = −3x − 1
B. y = −48 x + 160
C. y = −48 x − 160
D. y = −48 x − 192
y = 4x − 3 B. y = 4 x − 13
U Y
y = 4x + 3 C. y = 4 x + 13
y = 4x + 3 D. y = 4 x − 13
TP
y = 4x − 3 A. y = 4 x + 13
x+3 biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 4. 1− x
.Q
Câu 12. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
N
H
A. y = −48 x + 192
Ơ
1 Câu 11. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = − x 4 + 2 x 2 có hệ số góc bằng x + 2 y − 9 = 0 có phương trình là 4
N
A. y = −3 x − 7
B. 1
C. 3
D. 4
G
A. 2
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
Câu 13. Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = − x 3 + 2 x 2 song song với đường thẳng y = x ?
H Ư
N
Câu 14. Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = −36 x + 5 của đồ thị hàm số y = x 4 + x 2 − 2 có phương trình là
A. y = −36 x − 54
2x + 1 . Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) biết tiếp tuyến song song với x+2
10 00
đường thẳng có phương trình ∆ : 3 x − y + 2 = 0 B. y = 3 x + 14
C. y = 3 x + 5
D. y = 3 x − 8
A
A. y = 3 x − 2
D. y = −36 x + 90
B
Câu 15. Cho hàm số ( C ) : y =
C. y = −36 x − 90
TR ẦN
B. y = −36 x + 54
H
Ó
Câu 16. Cho hàm y = 2 x 3 − 3 x − 1 có đồ thị là ( C ) . Tiếp tuyến của đồ thị ( C ) vuông góc với đường thẳng
ÁN
1 x − 33 21 1 x + 31 21
y = −21x − 33 B. y = −21x + 31
y = 21x − 33 C. y = 21x + 31
TO
y = A. y =
-L
Í-
x + 21 y − 2 = 0 có phương trình là:
y = D. y =
−1 x − 33 21 −1 x + 31 21
ÀN
Câu 17. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = − x 4 − 2 x 2 + 3 vuông góc với đường thẳng x − 8 y + 2017 = 0 có
D
IỄ N
Đ
phương trình là
1 A. y = − x + 8 8
B. y = 8 x + 8
C. y = −8 x + 8
Câu 18. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
1 D. y = x − 8 8
2x − 2 biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x+2
y = −6 x + 1 là
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
A. y =
1 1 x+ 6 3
B. y =
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
1 1 y = − 6 x + 3 C. y = − 1 x −1 6
1 x −1 6
1 1 y = 6 x+ 3 D. y = 1 x + 13 6 3
Ơ
N
Câu 19. Cho hàm số ( C ) : y = −4 x3 + 3 x + 1 . Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) biết tiếp tuyến đi qua điểm
y = x −7 C. y = 3x − 5
y = −x − 5 D. y = 2x − 2
U Y
y = 4x + 2 B. y = x +1
.Q
y = −9 x − 7 A. y = 2
N
H
A ( −1; 2 )
TP
Câu 20. Cho hàm số y = − x 3 + 6 x 2 + 3 x − 1 có đồ thị ( C ) . Trong các tiếp tuyến của ( C ) , tiếp tuyến có hệ số
C. y = 15 x − 5
D. y = −15 x + 55
G
B. y = −15 x − 5
ẠO
A. y = 15 x + 55
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
góc lớn nhất có phương trình là
H Ư
N
Câu 21. Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 + 6 x + 1 có đồ thị ( C ) . Trong các tiếp tuyến của ( C ) , tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất có phương trình là
A. y = −3 x + 2
C. y = −3 x + 8
TR ẦN
B. y = 3 x + 2
D. y = 3 x + 8
Câu 22. Đường thẳng y = ax − b tiếp xúc với đồ thị hàm số y = x3 + 2 x 2 − x − 2 tại điểm M (1;0 ) . Khi đó ta có C. ab = −36
B
B. ab = −6
D. ab = −5
10 00
A. ab = 36
Câu 23. Cho hàm số ( C ) : y = −4 x3 + 3x + 1 . Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) biết tiếp tuyến đi qua điểm
Ó
A
A ( −1; 2 )
y = 4x + 2 B. y = x +1
y = x −7 C. y = 3x − 5
y = −x − 5 D. y = 2x − 2
-L
Í-
H
y = −9 x − 7 A. y = 2
ÁN
Câu 24. Cho hàm số y = x 3 + 3mx 2 + ( m + 1) x + 1 có đồ thị ( C ) . Với giá trị nào của m thì tiếp tuyến với đồ thị
7 9
−1 đi qua A (1;3) ?
B. m =
1 2
C. m = −
1 2
D. m = −
7 9
Đ
ÀN
A. m =
TO
( C ) tại điểm có hoành độ bằng
IỄ N
Câu 25. Cho hàm số y = −2 x3 + 6 x 2 − 5 . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) , biết tiếp tuyến đi qua
D
điểm A ( −1; −13) y = 6x + 7 A. y = −48 x + 61
y = −6 x − 7 B. y = 48 x − 61
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
y = 6x − 7 C. y = −48 x − 61
y = 6x − 7 D. y = −48 x + 61
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
2x −1 . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) , biết tiếp tuyến đi qua điểm x +1
Câu 26. Cho hàm số: y =
A ( −1; 4 ) . 1 13 C. d : y = − x − 3 3
1 13 D. d : y = x + 3 3
D. 4
Câu 29. Cho hàm số: y =
TR ẦN B
D. d : y = −
ẠO
1 1 x+ 12 24
1 3 3 2 x − x + 5 . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) , biết tiếp tuyến cắt trục 4 2
H
Câu 30. Cho hàm số: y =
10 00
1 1 x+ 12 24
1 1 x− 12 24
A
C. d : y =
B. d : y = −
Ó
1 1 x− 12 24
1 13 D. y = − x − 4 4
1− x . Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) , biết tiếp tuyến đi qua giao điểm của 2x +1
đường tiệm cận và trục hoành Ox? A. d : y =
1 13 x− 4 4
Đ
C. y =
G
1 13 B. y = − x + 4 4
N
1 13 x+ 4 4
H Ư
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
A ( −1;3) ? A. y =
N
2x +1 . Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) , biết tiếp tuyến đó đi qua điểm x +1
.Q
Câu 28. Cho hàm số y =
C. 3
U Y
B. 2
TP
A. 1
H
Câu 27. Cho hàm số: y = x 4 − 2 x 2 − 1 . Có bao nhiêu tiếp tuyến đi qua điểm M ( 0; −1) ?
N
1 13 B. d : y = − x + 3 3
Ơ
1 13 A. d : y = x − 3 3
-L
9 B. y = − x + 5 4
y = −5 C. y = − 9 x −5 4
9 D. y = − x − 5 4
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
y = 5 A. y = − 9 x +5 4
Í-
tung tại điểm có tung độ bằng 5.
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
ĐÁP ÁN Câu
Đáp án
Câu
Đáp án
Câu
Đáp án
Câu
Đáp án
1
D
7
C
13
B
19
A
25
C
2
D
8
C
14
A
20
A
26
D
3
C
9
A
15
B
21
B
27
4
A
10
D
16
C
22
A
5
A
11
B
17
C
23
A
6
B
12
D
18
D
24
B
Ơ H N
U Y 29
B
30
A
.Q TP
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
10 00
B
TR ẦN
H Ư
N
G
Đ
ẠO
C
A
28
N
Đáp án
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Câu
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
PHẦN 2: HÌNH HỌC GÓC TRONG KHÔNG GIAN
N
VẤN ĐỀ 1
H
Ơ
DẠNG 1: GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
N
1. Phương pháp
U Y
+ Nếu a và b song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng 0°
TP
.Q
+ Nếu a và b cắt nhau thì góc giữa chúng là góc nhỏ nhất trong các góc được tạo bởi hai đường thẳng.
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
+ Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là góc giữa hai đường thẳng a '
G
Đ
và b ' cùng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b.
H Ư
N
a / / a ' Tức là: ⇒ ( a, b ) = a ', b ' b / / b '
TR ẦN
Chú ý: 0° ≤ ( a, b ) ≤ 90°
*
Để xác định góc giữa hai đường thẳng, ta có thể lấy một điểm (thuộc một
B
*
10 00
trong hai đường thẳng đó) từ đó kẻ đường thẳng song song với đường
A
còn lại.
H
Ó
AB, CD ) . Ta kẻ AE / / CD . Ví dụ: Để tính (
-L
Í-
AB, CD ) = AB, AE = BAE Khi đó: (
Nếu u1 , u2 lần lượt là hai vecto chỉ phương của hai đường thẳng a và b thì:
ÁN
*
,u = α u ( a, b ) = 1 2 180° − α
ÀN
TO
(
khi α ≤ 90° khi α > 90°
Đ
u1.u2 Tức là: cos ( a, b ) = cos u1 , u2 = u1 . u2
(
)
D
IỄ N
)
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a, M là trung điểm của cạnh BC. Gọi α là góc giữa hai đường thẳng AB và DM, khi đó cos α bằng
2 2
C.
3 2
D.
1 2
N
B.
Ơ
3 6
H
A.
U Y
N
Lời giải:
.Q
Gọi N là trung điểm của AC
TP
⇒ MN là đường trung bình của ∆ABC
ẠO Đ G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
MN / / AB ⇒ 1 MN = 2 AB
H Ư
a 3 . 2
TR ẦN
⇒ MD = ND =
Vì MN / / AB ⇒ α = ( AB, DM ) = ( MN , DM )
10 00
B
Xét ∆MND , ta có:
MN 2 + MD 2 − ND 2 2MN .MD
A
= cos NMD
N
Vì ∆BCD và ∆ACD là các tam giác đều cạnh bằng a
2
2
ÁN
-L
Í-
H
Ó
2 a a 3 a 3 − + 2 2 2 1 3 = = = >0 6 a a 3 2 3 2. . 2 2
TO
< 90° ⇒ ( MN , DM ) = NMD ⇒ NMD
Đ
ÀN
= 3 ⇒ Chọn đáp án A. Vậy cos α = cos NMD 6
IỄ N
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bằng a; SA vuông góc với đáy và
D
SA = a 3 . Khi đó, cosin góc giữa SB và AC bằng
A.
2 2
B.
2 4
C.
3 2
D.
3 4
Lời giải
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Gọi I là trung điểm của SD
⇒ OI là đường trung bình của ∆SBD
Ơ
N
SA2 + AB 2 3a 2 + a 2 = =a 2 2
H
OI / / SB ⇒ SB = OI = 2
U Y
3a 2 + a 2 SA2 + AD 2 = =a 2 2
.Q
SD = 2
TP
Ta có: AI =
N
SB, AC ) = ( OI , AC ) = AOI Vì OI / / SB ⇒ (
ẠO
⇒ AI = OI ⇒ ∆AOI cân tại I.
Đ N
G
OA AC a 2 = = 2 4 4
= OH = Xét ∆OHI , ta có: cos HOI OI
H Ư
Và OH =
a 2 4 = 2 a 4
TR ẦN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Gọi H là trung điểm của OA ⇒ IH ⊥ OA
2 ⇒ Chọn đáp án B. 4
10 00
B
= SB, AC ) = cos HOI Vậy cos (
Chú ý: Để tính cos AOI ta có thể tính cách khác như sau: 2
-L
Í-
H
Ó
A
a 2 2 2 +a −a 2 2 2 2 OA + OI − AI 2 AOI = = = cos 2OA.OI 4 a 2 2. .a 2
TO
ÁN
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, cạnh AB = 2a, AD = DC = a ; 2a 3 . 3
ÀN
SA ⊥ AB, SA ⊥ AD và SA =
Đ
a) Góc giữa đường thẳng SB và DC bằng
D
IỄ N
A. 30°
A.
B. 45°
C. 60°
D. 75°
b) Gọi α là góc giữa SD và BC. Khi đó, cos α bằng
3 14
B.
42 14
C.
42 28
D.
3 28
Lời giải
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
a) Vì DC / / AB
. SB, DC ) = ( SB, AB ) = SBA ⇒ (
N
< 90° ). (vì ∆SAB vuông tại A ⇒ SBA
H U Y
N
2a 3 3 = 3 ⇒ SBA = 30° 2a 3
.Q
= SA = tan SBA AB
Ơ
Xét ∆SAB vuông tại A, ta có:
TP
= 30° . SB, DC ) = SBA Vậy (
ẠO
⇒ Chọn đáp án A.
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
b) Gọi E là trung điểm của AB.
N
G
Khi đó, BCDE là hình bình hành
H Ư
⇒ DE / / BC ⇒ ( SD, BC ) = ( SD, DE ) = α
B
TR ẦN
7 2 4a 2 7a 2 2 2 2 2 SE = SD = SA + AD = + a = SE = SD = a Ta có 3 3 ⇒ 3 2 2 DE = 2a DE = a 2
2a 2 3 42 < 90° = = > 0 ⇒ SDE 14 14 7 2.a .a 2 3
A
SD 2 + DE 2 − SE 2 = 2 SD.DE
H
Ó
= cos SDE
10 00
Áp dụng định lí hàm cosin trong tam giác SDE, ta được:
-L
Í-
=α SD, BC ) = ( SD, DE ) = SDE Vậy ( 42 ⇒ Chọn đáp án B. 14
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
= ⇒ cos α = cos SDE
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
DẠNG 2: GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 1. Phương pháp
N
+ Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng ( P ) thì góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng ( P ) bằng
Ơ
90°.
U Y
N
H
Tức là: a ⊥ ( P ) ⇒ ( a, ( P ) ) = 90°
thì
H Ư
N
G
a, ( P ) ) = ( a, a ' ) = ϕ (
( P)
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Tức là: Nếu a ⊥ ( P ) và a ' là hình chiếu của a trên
ẠO
thẳng a và mặt phẳng ( P ) .
TP
đường thẳng a và hình chiếu a ' của nó trên ( P ) gọi là góc giữa đường
.Q
+ Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng ( P ) thì góc giữa
Chú ý: 0° ≤ ( a, ( P ) ) ≤ 90°
*
a / / ( P ) ⇒ ( N ếu a , ( P ) ) = 0° a ⊂ ( P )
*
Để tìm hình chiếu a ' của a trên ( P ) ta có thể làm như sau:
B 10 00
A
H
Ó
Tìm giao điểm M = a ∩ ( P )
TR ẦN
*
ÁN
-L
hai điểm A và M.
Í-
Lấy một điểm A tùy ý trên a và xác định hình chiếu H của A trên ( P ) . Khi đó, a ' là đường thẳng đi qua
Góc giữa cạnh bên và mặt đáy
ÀN
TO
2. Một số loại góc giữa đường thẳng và mặt phẳng thường gặp đối với hình chóp
IỄ N
Đ
H là hình chiếu vuông góc của S trên ( ABCD )
D
⇒ HD là hình chiếu vuông góc của SD trên ( ABCD )
V ậy
SD, ( ABCD ) ) = ( SD, HD ) = SDH ( Góc giữa cạnh bên và mặt đứng
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Dựng CE ⊥ HD ( E ∈ HD )
CE ⊥ HD Vì ⇒ CF ⊥ ( SDH ) CE ⊥ SH
H
Ơ
N
⇒ E là hình chiếu vuông góc của C trên ( SHD )
U Y
SC , ( SHD ) ) = ( SC , SE ) = CSE (
TP
.Q
V ậy
N
⇒ SE là hình chiếu vuông góc của SC trên ( SHD )
ẠO
Góc giữa đường cao và mặt bên
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Dựng HE ⊥ CD ( E ∈ CD )
H Ư
N
G
CD ⊥ HE Vì ⇒ CD ⊥ ( SHE ) CD ⊥ SH
Mà ( SCD ) ∩ ( SHE ) = SE .
SH , ( SAD ) ) = SH , SE = HSE (
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
V ậy
10 00
B
⇒ SE là hình chiếu vuông góc của SH trên ( SAD ) .
TR ẦN
⇒ ( SCD ) ⊥ ( SHE )
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
3. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a; SA vuông góc với đáy và
C. 60°
Ơ
B. 45°
D. 75°
N
H
A. 30°
N
a 6 . Gọi α là góc giữa SC và ( ABCD ) , khi đó số đo góc α bằng 3
SA =
U Y
Lời giải
.Q
Vì SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ AC là hình chiếu vuông góc SC lên mặt phẳng ( ABCD ) .
ẠO
TP
Do đó: α = ( SC , ( ABCD ) ) = ( SC , AC ) = SCA
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
< 90° ) (vì ∆SAC vuông tại A ⇒ SCA
N
G
Xét ∆SAC vuông tại A, ta có:
TR ẦN
H Ư
a 6 = SA = 3 = 3 ⇒ α = SCA = 30° tan SCA AC a 2 3
⇒ Chọn đáp án A.
B
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC, có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a; SA vuông góc với đáy và SA = 2a .
51 17
Ó
B.
A
3 17
C.
4 3 17
D.
2 3 17
H
A.
10 00
Gọi α là góc giữa SC và mặt phẳng ( SAB ) , khi đó tan α nhận giá trị nào trong các giá trị sau
Í-
Lời giải
-L
Gọi M là trung điểm của AB ⇒ CM ⊥ AB .
ÁN
CM ⊥ AB Vì ⊥ CM SA do
ÀN
TO
SA ⊥ ( ABC ) CM ⊥ ( ABC )
IỄ N
Đ
⇒ CM ⊥ ( SAB ) ⇒ SM là hình chiếu vuông góc của SC trên ( SAB ) .
D
SC , ( SAB ) ) = ( SC , SM ) = CSM Khi đó: α = (
CM ⊥ ( SAB ) < 90° ) (vì ⇒ CM ⊥ SM ⇒ ∆SCM vuông tại S ⇒ CSM SM ⊂ SAB ( )
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
= CM = Xét ∆SCM vuông tại S, ta có: tan CSM SM
CM SA2 + AM 2
a 3 2
=
4a 2 +
51 17
=
a2 4
C. 60°
D. 90°
ẠO
B. 45°
TP
.Q
giữa đường thẳng SA và ( ABC ) bằng
A. 30°
Đ
Lời giải
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
a 3 . Góc 3
U Y
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC, có đáy ABC là tam giác vuông tại A; BC = a và SA = SB = SC =
N
H
Ơ
N
= 51 ⇒ Chọn đáp án B. Vậy tan α = tan CSM 17
N
G
Gọi H là trung điểm của BC.
AH =
BC a = . 2 2
Mà
SA = SB = SC ⇒ SH
là
trục
của
đường
tròn
ngoại
tiếp
H
Ó
. SA, ( ABC ) ) = ( SA, HA ) = SAH ⇒ (
A
⇒ HA là hình chiếu của SA trên ( ABC )
10 00
B
∆ABC ⇒ SH ⊥ ( ABC ) .
TR ẦN
H Ư
Vì ∆ABC vuông tại A nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC và
Í-
< 90° ). (vì ∆SHA vuông tại H nên SAH
TO
ÁN
-L
a AH 3 = = 30° Xét ∆SHA vuông tại H, ta có: cos SAH = 2 = ⇒ SAH SA a 3 2 3
D
IỄ N
Đ
ÀN
= 30° ⇒ Chọn đáp án A. Vậy ( SA, ( ABC ) ) = SAH
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
DẠNG 3: GÓC GIỮA 2 MẶT PHẲNG 1. Ví dụ minh họa
N
Để xác định góc giữa hai mặt phẳng ( P ) và ( Q ) , ta có thể thực hiện theo một trong
Ơ
các cách sau:
N
H
Cách 1: Theo định nghĩa
TP
.Q
U Y
a ⊥ ( P ) ⇒ ( ( P ) , ( Q ) ) = ( a, b ) b ⊥ ( Q )
ẠO
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Cách 2: Khi xác định được ( P ) ∩ ( Q ) = c thì ta làm như sau:
G
Đ
+ Bước 1: Tìm mặt phẳng ( R ) ⊥ c .
H Ư
N
p = ( R ) ∩ ( P ) + Bước 2: Tìm q = ( R ) ∩ ( Q )
TR ẦN
Khi đó: ( p, q ) ( P ) , ( Q ) ) = (
Ví dụ: Góc giữa mặt bên và mặt đáy.
H
Ó
A
Dựng HE ⊥ CD ( E ∈ CD )
10 00
B
( P ) ⊃ p ⊥ c Đặc biệt: Nếu xác định được 2 đường thẳng p, q sao cho: ⇒ ( ( P ) , ( Q ) ) = ( p, q ) ( Q ) ⊃ q ⊥ c
-L
Í-
CD ⊥ HE Vì ⇒ CD ⊥ ( SHD ) ⇒ CD ⊥ SE CD ⊥ SH
ÀN
TO
ÁN
( SCD ) ∩ ( ABCD ) = CD Vì CD ⊥ HE ⊂ ( ABCD ) CD ⊥ SE ⊂ ( SCD )
IỄ N
Đ
SE , HE ) = SEH ⇒ ( ( SCD ) , ( ABCD ) ) = (
D
Cách 3: Theo định lí về hình chiếu
S ' = S .cos ϕ ⇒ cos ϕ =
S' S
2. Ví dụ minh họa
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, chiều cao hình chóp bằng
a 3 . Góc giữa 2
mặt bên và mặt đáy là
B. 45°
C. 60°
D. 75°
Ơ
N
A. 30°
H
Lời giải
U Y
N
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD và E là trung điểm của CD.
.Q
⇒ OE là đường trung bình của ∆ACD
TP ẠO
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
OE / / AD ⇒ 1 a OE = 2 AD = 2
G
Đ
Vì OE / / AD ⇒ OE ⊥ CD
H Ư
N
CD ⊥ OE VÌ ⇒ CD ⊥ ( SOE ) ⇒ CD ⊥ SE CD ⊥ SO
B
TR ẦN
( ABCD ) ∩ ( SCD ) = CD Vì SE ⊥ CD ⇒ ( ( ABCD ) , ( SCD ) ) = SE , OE = SEO OE ⊥ CD
Ó
A
10 00
a 3 SO = = 60° = 2 = 3 ⇒ SEO Xét ∆SEO vuông tại O, ta có: tan SEO a OE 2
Í-
H
= 60° ⇒ ⇒ Chọn đáp án C. Vậy ( ( ABCD ) , ( SCD ) ) = SEO
-L
Ví dụ 2: Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có cạnh bằng a. Gọi O ' là tâm của hình vuông A ' B ' C ' D '
TO
1 2
ÁN
và α là góc giữa hai mặt phẳng ( O ' AB ) và ( ABCD ) . Góc α thỏa mãn hệ thức nào sau đây?
B. tan α = 2
Đ
ÀN
A. cos α =
C. sin α =
1 2
D. tan α =
1 2
Lời giải
D
IỄ N
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD và I là trung điểm của AB ⇒ OI ⊥ AB . AB ⊥ OI Vì ⇒ AB ⊥ ( OIO ' ) ⇒ AB ⊥ O ' I AB ⊥ OO '
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
( O ' AB ) ∩ ( ABCD ) = AB Vì OI ⊥ AB O ' I ⊥ AB
Ơ
N
⇒ ( ,O' I = O ' IO = α . ( O ' AB ) , ( ABCD ) ) = OI
N
H
Xét ∆O ' OI vuông tại I, ta có:
TP
.Q
U Y
OO ' a tan α = tan O ' IO = = = 2. a OI 2
ẠO
⇒ Chọn đáp án B.
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và BA = BC = a; SA vuông góc với
Gọi H là trung điểm của AC ⇒ BH ⊥ AC .
10 00
H
Ó
A
⇒ BH ⊥ ( SAC )
B
SA ⊥ ( ABC ) BH ⊂ ( ABC )
D. 75°
TR ẦN
Lời giải
BH ⊥ AC Vì BH ⊥ SA do
G
C. 60°
N
B. 45°
H Ư
A. 30°
Đ
đáy, SA = a . Góc α giữa hai mặt phẳng ( SAC ) và ( SBC ) bằng
S ∆SHC S ∆SBC
-L
Í-
⇒ ∆SHC là hình chiếu của ∆SBC lên ( SAC ) ⇒ cos α =
1 1 a 2 a2 2 SA.HC = a. = 2 2 2 4
ÀN
TO
S ∆SHC =
ÁN
+ Ta có: AC = BA2 + BC 2 = a 2
⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ SB ⇒ ∆SBC vuông tại B.
D
IỄ N
Đ
BC ⊥ AB + Vì BC ⊥ SA ( do SA ⊥ ( ABC ) )
Khi đó: S ∆SBC =
1 1 a2 2 SB.BC = . a 2 + a 2 .a = 2 2 2
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
Vậy cos α =
S ∆SHC S∆SBC
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
a2 2 1 = 24 = ⇒ α = 60° ⇒ Chọn đáp án C. a 2 2 2
Ơ
N
Bình luận: Trong bài toán trên, ta dễ dàng xác định được giao tuyến SC = ( SAC ) ∩ ( SBC ) nhưng lại gặp khó
H
khăn trong việc tìm một mặt phẳng vuông góc với SC, mất nhiều thời gian tính toán…, không phù hợp với yêu
U Y
N
cầu tốc độ của hình thức thi trắc nghiệm. Đồng thời nhận thấy rằng việc xác định hình chiếu của B lên ( SAC )
.Q
và tính diện tích hai tam giác ∆SHC ; ∆SBC là khá dễ dàng nên ta vận dụng cách 3 trong nội dung phương
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
10 00
B
TR ẦN
H Ư
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
TP
pháp đã trình bày ở trên để giải quyết nhanh bài toán.
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG 1. Phương pháp
Ơ
N
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( P ) là MH, với H là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng ( P ) . ( ) → d ( M , ( P ) ) = MH H ∈( P )
N
H
MH ⊥ P
U Y
Phương pháp giải chung: Muốn tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt
.Q
phẳng, trước hết ta phải tìm hình chiếu vuông góc của điểm đó trên mặt
TP
phẳng. Việc xác định hình chiếu của điểm trên mặt phẳng ta thường dùng một
ẠO
trong các cách sau:
+ Bước 2: Xác định giao tuyến: ∆ = ( P ) ∩ ( Q )
Đ
B
10 00
( P ) ⊥ ( Q ) Vì ∆ = ( P ) ∩ ( Q ) ⇒ MH ⊥ ( P ) ( Q ) ⊃ MH ⊥ ∆
TR ẦN
+ Bước 3: Trong ( Q ) , dựng MH ⊥ ∆, ( H ∈ ∆ ) .
H Ư
N
+ Bước 1: Tìm một mặt phẳng ( Q ) chứa M và vuông góc với ( P )
G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Cách 1:
Ó
A
⇒ d ( M , ( P ) ) = MH
H
Cách 2:
-L
Í-
Nếu đã biết trước một đường thẳng d ⊥ ( P ) thì ta sẽ dựng Mx / / d , khi đó:
ÁN
H = Mx ∩ ( P ) là hình chiếu vuông góc của M trên ( P ) .
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
⇒ d ( M , ( P ) ) = MH
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Cách 3: Dựa vào tính chất trục của tam giác: Cho ∆ABC nằm trên
( P) ,
nếu
MA = MB = MC thì hình chiếu vuông góc của điểm M trên ( P ) chính là
Ơ
N
tâm O của đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.
.Q
U Y
N
H
Khi đó: MO ⊥ ( P ) ⇒ d ( M , ( P ) ) = MO .
TP
KHOẢNG CÁCH DỰNG TRỰC TIẾP
ẠO
Khoảng cách từ chân đường cao tới mặt bên
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Bài toán: Cho hình chóp có đỉnh S có hình chiếu vuông góc lên mặt đáy là H. Tính khoảng cách từ điểm H đến
N
G
mặt bên ( SAB ) .
+ Kẻ HK ⊥ SI , ( K ∈ SI ) SH .HI
SH 2 + HI 2
10 00
B
Khi đó: d ( H , ( SAB ) ) = HK =
TR ẦN
H Ư
+ Kẻ HI ⊥ AB, ( I ∈ AB )
A
Khoảng cách từ một điểm trên mặt đáy tới mặt đứng (chứa đường cao)
Ó
Bài toán: Cho hình chóp có đỉnh S có hình chiếu vuông góc lên mặt đáy là H.
ÁN
AK ⊥ HB ⇒ AK ⊥ ( SHB ) AK ⊥ SH
TO
+
-L
+ Kẻ AK ⊥ HB
Í-
H
Tính khoảng cách từ điểm A bất kì đến mặt bên ( SHB ) .
D
IỄ N
Đ
ÀN
⇒ d ( A, ( SHB ) ) = AK
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau Cho hình chóp có đỉnh S có các cạnh bên có độ dài bằng nhau:
SA = SB = SC = SD (đáy có thể là bốn đỉnh hoặc ba đỉnh). Khi đó nếu
N
như O là tâm đường tròn ngoại tiếp đi qua các đỉnh nằm trên mặt đáy
Ơ
thì SO là trục đường tròn ngoại tiếp của đa giác đáy hay nói cách khác:
N
H
SO ⊥ ( ABCD ) ⇒ d ( S , ( ABCD ) ) = SO .
U Y
Chú ý:
TP
.Q
Nếu đáy là:
ẠO
+ Tam giác đều, O là trọng tâm
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
+ Tam giác vuông, O là trung điểm cạnh huyền
G
Hình vuông, hình chữ nhật, O là giao của 2 đường chéo đồng thời là trung điểm mỗi đường
H Ư
N
TÍNH KHOẢNG CÁCH BẰNG CÁCH GIÁN TIẾP
TR ẦN
Giả sử ta muốn dựng trực tiếp khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng ( P ) mà không thực hiện được. Đồng thời từ điểm B ta lại dựng được trực tiếp khoảng cách tới ( P ) khi đó ta sẽ thực hiện tính khoảng cách gián tiếp như
B
sau:
A
10 00
Cách 1: (Đổi điểm): Tính thông qua tỉ số khoảng cách.
( ) → d ( A, ( P ) ) = d ( B, ( P ) )
-L
Í-
H
Ó
AB ∩ P
d ( A, ( P ) )
ÁN
( ) {} →
d ( B, ( P ) )
=
AI BI
ÀN
TO
AB ∩ P = I
IỄ N
Đ
Cách 2: (Đổi đỉnh): Sử dụng phương pháp thể tích để tìm khoảng cách:
D
Bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong nhiều trường hợp có thể qui về bài toán thể
tích khối đa diện. Việc tính khoảng cách này dựa vào công thức: +
h=
3V : V , S , h lần lượt là thể tích, diện tích đáy và chiều cao của hình chóp. S
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
+
h=
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
V : V, S, h lần lượt là thể tích, diện tích đáy và chiều cao của hình lăng trụ. S
Phương pháp này áp dụng được trong trường hợp sau: Giả sử có thể qui bài toán tìm khoảng cách về bài
N
toán tìm chiều cao của một hình chóp (hoặc một lăng trụ) nào đó. Dĩ nhiên, các chiều cao này thường là không
Ơ
tính được trực tiếp bằng cách sử dụng các phương pháp thông thường như định lí Pitago, công thức lượng
N
H
giác… Tuy nhiên, các khối đa diện này lại dễ dàng tính được thể tích và diện tích đáy. Như vậy, chiều cao của
U Y
nó sẽ được xác định bởi công thức đơn giản trên.
TP
.Q
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AD = 2a; SA vuông góc với đáy và
2a 3 3
ẠO C.
2a 5
Lời giải
D.
3a 7
TR ẦN
Trong ( SAD ) , kẻ AH ⊥ SD, ( H ∈ SD ) .
Đ
B.
G
3a 2 2
N
A.
H Ư
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
SA = a . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SCD ) bằng
10 00
B
CD ⊥ AD AH ⊂( SAD ) → CD ⊥ AH . Vì ⇒ CD ⊥ ( SAD ) CD ⊥ SA
2
H
SA. AD
SA + AD
2
=
Í-
⇒ d ( A, ( SCD ) ) = AH =
Ó
A
AH ⊥ SD Vì ⇒ AH ⊥ ( SCD ) AH ⊥ CD
a 2 + 4a 2
-L
2a ⇒ Chọn đáp án C. 5
ÁN
⇒ d ( A, ( SCD ) ) =
a.2a
TO
Ví dụ 2: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 2a và chiều cao bằng a 3 . Khoảng cách từ tâm
ÀN
O của đáy ABC đến một mặt bên bằng
Đ
a 5 2
B.
2a 3 3
D
IỄ N
A.
C. a
3 10
D. a
2 5
Lời giải
Vì O là tâm của đáy của hình chóp tam giác đều S.ABC nên SO ⊥ ( ABC ) ⇒ SO = a 3 Gọi M là trung điểm của BC.
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
AM ⊥ BC Vì ∆ABC đều cạnh bằng 2a ⇒ 2a 3 =a 3 AM = 2
N
1 a 3 AM = 3 3
Ơ
Khi đó OM =
U Y
N
H
BC ⊥ AM Vì ⇒ BC ⊥ ( SAM ) ⇒ ( SBC ) ⊥ ( SAM ) BC ⊥ SO
TP
.Q
Trong ( SAM ) , kẻ OH ⊥ SM , ( H ∈ SM ) .
2
OS + OM
2
(a 3)
2
=a
ẠO
H Ư
=
3 ⇒ Chọn đáp án C. 10
TR ẦN
OS .OM
a 3 3
a 3 + 3
2
B
d ( O, ( SBC ) ) = OH =
N
Xét ∆SOM vuông tại O có đường cao OH, ta có:
a 3.
Đ G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
( SAM ) ⊥ ( SBC ) Vì ( SAM ) ∩ ( SBC ) = SM ⇒ OH ⊥ ( SBC ) ⇒ d ( O, ( SBC ) ) = OH ( SAM ) ⊃ OH ⊥ SM
O của đáy ABCD đến một mặt bên bằng
A
a 2 3
C.
H
B.
Ó
a 3 2
Í-
A.
10 00
Ví dụ 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng a 2 . Khoảng cách từ tâm
2a 5 3
D.
a 5 2
-L
Lời giải
ÁN
Vì O là tâm của đáy của hình chóp tứ giác đều S.ABCD nên
TO
SO ⊥ ( ABCD ) ⇒ SO = a 2 .
Đ
ÀN
OM ⊥ CD Gọi M là trung điểm của CD ⇒ BC a OM = 2 = 2
D
IỄ N
Trong ( SOM ) , kẻ OH ⊥ SM , ( H ∈ SM ) . ⇒ OH ⊥ ( SCD ) ⇒ d ( O, ( SCD ) ) = OH =
OS .OM
OS 2 + OM 2
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
(a 2 )
a 2
a + 2
2
2
=
a 2 ⇒ Chọn đáp án B. 3
N
Vậy d ( O, ( SCD ) ) =
a 2.
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Ơ
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AD = 2a, AB = a . SAD là tam giác cân và nằm
N
H
trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ
C.
a 2 2
D.
ẠO
Lời giải
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
a 3 2
.Q
B. a 3
TP
A. a 2
U Y
C đến mặt phẳng ( SHB ) bằng
G
Đ
Vì O là tâm của đáy của hình chóp tứ giác đều S.ABCD nên SO ⊥ ( ABCD ) ⇒ SO = a 2 .
TR ẦN
H Ư
N
OM ⊥ CD Gọi M là trung điểm của CD ⇒ BC a OM = 2 = 2 Trong ( SOM ) , kẻ OH ⊥ SM , ( H ∈ SM ) .
B
A
a + 2
a 2 ⇒ Chọn đáp án B. 3
2
Ó
2
=
H
(a 2 )
a 2
OS 2 + OM 2
Í-
Vậy d ( O, ( SCD ) ) =
a 2.
OS .OM
10 00
⇒ OH ⊥ ( SCD ) ⇒ d ( O, ( SCD ) ) = OH =
-L
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, ABC = 30° , tam giác SBC là tam giác đều
a 39 26
B.
a 39 13
Đ
ÀN
A.
TO
ÁN
cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ( SAB ) bằng
C.
a 13 13
D.
a 13 26
Lời giải
D
IỄ N
Gọi H là trung điểm của BC.
( SBC ) ⊥ ( ABC ) Vì ( SBC ) ∩ ( ABC ) = BC ⇒ SH ⊥ ( ABC ) . ( SBC ) ⊃ SH ⊥ BC
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
Vì CH ∩ ( SAB ) = B ⇒
d ( C , ( SAB ) )
d ( H , ( SAB ) )
=
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
CB =2 HB
⇒ d ( C , ( SAB ) ) = 2d ( H , ( SAB ) )
Ơ
N
Gọi E là trung điểm của AB ⇒ HE / / AC ⇒ HE ⊥ AB .
N
H
Trong ( SHE ) , kẻ HK ⊥ SE , ( K ∈ SE ) (1)
.Q
U Y
AB ⊥ HE HK ⊂ ( SHE ) Vì ⇒ AB ⊥ ( SHE ) → AB ⊥ HK (2) AB ⊥ SH
ẠO
TP
Từ (1) và (2) ⇒ HK ⊥ ( SAB ) ⇒ d ( H , ( SAB ) ) = HK .
Đ G N H Ư
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
a 3 SH = 2 Ta có: AC BC.sin ABC a = = = HE 2 2 4 SH .HE
Xét ∆SHE vuông tại H có đường cao HK, ta có: HK =
TR ẦN
SH + HE
2
=
a 39 26
a 39 ⇒ Chọn đáp án B. 13
10 00
B
Vậy d ( C , ( SAB ) ) = 2d ( H , ( SAB ) ) = 2 HK =
2
Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a ; cạnh bên SA = a và
2a 3
H
2a 3 3
C.
Í-
B.
2a 5 5
D.
a 3 2
Lời giải
ÁN
-L
A.
Ó
A
vuông góc với đáy. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SBD ) bằng:
TO
Trong ( ABCD ) , kẻ AE ⊥ BD, ( E ∈ BD ) .
ÀN
Trong ( ABCD ) , kẻ AH ⊥ SE , ( H ∈ SE ) (1)
D
IỄ N
Đ
BD ⊥ SA Vì ⇒ BD ⊥ ( SAE ) ⇒ BD ⊥ AH (2) BD ⊥ AE Từ (1) và (2) ⇒ AH ⊥ ( SBD ) ⇒ d ( A, ( SBD ) ) = AH .
Xét ∆ABD vuông tại A có đường cao AE, ta có:
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
AE =
AB. AD 2
AB + AD
=
2
a.2a 2
a + 4a
2
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
=
2a . 5
=
2a 3
Ơ
2a a2 + 5
2
2a ⇒ Chọn đáp án B. 3
TP
Vậy d ( A, ( SBD ) ) = AH =
=
H
SA + AE
2
N
2
U Y
SA. AE
2a 5
.Q
AH =
a.
N
Xét ∆SAE vuông tại A có đường cao AH, ta có:
ẠO
Ví dụ 7 [Trích Đề Minh Họa - 2017]: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a 2 .
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Tam giác SAD cân tại S và mặt bên ( SAD ) vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích khối chóp S.ABCD bằng
B. h =
N H Ư
2 a 3
4 a 3
8 C. h = a 3
TR ẦN
A. h =
G
4 3 a . Tính khoảng cách h từ B đến mặt phẳng ( SCD ) . 3
D. h =
3 a 4
Lời giải
B
Gọi I là trung điểm của AD, vì ∆SAD cân tại S nên
10 00
SI ⊥ AD ⇒ SI ⊥ ( ABCD ) .
H
Ó
A
1 ⇒ VS . ABCD = .SI .S ABCD 3
-L
)
ÁN
(
Í-
4 3. a 3 3VS . ABCD ⇒ SI = = 3 2 = 2a . S ABCD a 2
TO
Trong ( SAD ) , dựng IH ⊥ SD, ( H ∈ SD ) .
Đ
ÀN
CD ⊥ AD Vì ⇒ CD ⊥ ( SAD ) ⇒ CD ⊥ IH CD ⊥ SI
D
IỄ N
IH ⊥ SD Vì ⇒ IH ⊥ ( SCD ) ⇒ d ( I , ( SCD ) ) = IH IH ⊥ CD AI ∩( SCD ) ={D}
AB / / ( SCD ) ⇒ d ( B, ( SCD ) ) = d ( A, ( SCD ) ) ===============
AD .d ( I , ( SCD ) ) = 2 IH HD
Xét ∆SID vuông tại I có đường cao IH, ta có:
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
IH =
ID.IS ID 2 + IS 2
=
a 2 .2a 2a = 2 = 3 ID 2 + IS 2 a2 + 4a 2 2
ID.IS
Ơ
N
4a ⇒ Chọn đáp án B. 3
H
Vậy d ( B, ( SCD ) ) = 2 IH =
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
N
Bình luận: Thông thường khi tính khoảng cách từ điểm đến mặt ta có 3 hướng đi chính: Đổi điểm, đổi đỉnh và
U Y
đổi sang hình học tọa độ không gian (phương pháp tọa độ hóa). Nếu đi theo hướng giải đổi điểm là đổi gián
.Q
tiếp từ B sang A rồi sang H (như lời giải trên) sẽ mất nhiều thời gian không đáp ứng được yêu cầu về tốc độ thi
TP
theo hình thức trắc nghiệm. Đồng thời khi nhận ra đề bài cho thể tích V của khối chóp S.ABCD cho trước bạn
Đ
4a 2
G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
3 4 3 VS . ABCD . a 3VS .BCD 3. 2 2 3 d ( B, ( SCD ) ) = = = = 1 1 S SCD 2 2 .a 2 SI + ID SD.CD 2 2 2
ẠO
nên dùng phương pháp đổi đỉnh sẽ phù hợp hơn. Cụ thể:
H Ư
N
a 2 ( 2a ) + 2 2
2
=
4a 3
TR ẦN
Ví dụ 8: Cho lăng trụ tam giác đều ABC. A ' B ' C ' có AA ' = a, AB = a . Gọi M là trung điểm của B ' C ' . Khoảng
B.
2a 7 7
10 00
2a 21 7
C.
a 21 7
D.
a 21 21
Lời giải
Ó
A
A.
B
cách từ A tới mặt phẳng ( A ' BC ) bằng
-L
Í-
H
AI ⊥ BC Gọi I là trung điểm của BC ⇒ AB 3 a 3 = AI = 2 2
ÁN
Trong ( AA ' I ) , kẻ AH ⊥ A ' I , ( H ∈ A ' I ) .
ÀN
TO
BC ⊥ AI Vì ⇒ BC ⊥ ( AA ' I ) ⇒ ( A ' BC ) ⊥ ( AA ' I ) BC ⊥ AA '
D
IỄ N
Đ
( A ' BC ) ⊥ ( AA ' I ) Vì ( A ' BC ) ∩ ( AA ' I ) = A ' I ⇒ AH ⊥ ( A ' BC ) ( AA ' I ) ⊃ AH ⊥ A ' I
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
a.
AA '. AI
=
AA '2 + AI 2
a 3 2
a 3 a + 2
2
=
a 21 ⇒ Chọn đáp án C. 7
2
N
⇒ d ( A, ( A ' BC ) ) = AH =
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
H
Ơ
= 60° đồng thời AA ' = a . Gọi Ví dụ 9: Hình hộp đứng ABCD. A ' B ' C ' D ' có đáy là hình thoi cạnh a, góc BAD
2a 7 7
C.
a 21 7
D.
ẠO
Lời giải
Đ G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
BD ⊥ AC Vì ⇒ BD ⊥ ( AA ' O ) ⇒ ( A ' BD ) ⊥ ( AA ' O ) BD ⊥ AA '
H Ư
N
Trong ( AA ' O ) , kẻ AH ⊥ A ' O, ( H ∈ A ' O ) .
AA '2 + AO 2
10 00
B
AA '. AO
TR ẦN
( A ' BD ) ⊥ ( AA ' O ) Vì ( A ' BD ) ∩ ( AA ' O ) = A ' O ⇒ AH ⊥ ( A ' BD ) ( AA ' O ) ⊃ AH ⊥ A ' O ⇒ d ( A, ( A ' BD ) ) = AH =
a 21 21
U Y
B.
.Q
2a 21 7
TP
A.
N
G là trọng tâm tam giác BCD. Khoảng cách từ G tới mặt phẳng ( A ' BD ) bằng
H
Ó
A
= 60° ⇒ ∆ABD đều có cạnh bằng a ⇒ AO = a 3 Tam giác ABD cân có BAD 2
Í-
-L 3
=
a.
AA '. AO 2
3 AA ' + AO
2
=
a 3 2
a 3 3 a2 + 2
2
=
a 21 21
TO
ÁN
Vậy d ( G , ( A ' BD ) ) =
d ( A, ( A ' BD ) )
ÀN
⇒ Chọn đáp án D.
IỄ N
Đ
Ví dụ 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; SD =
D
trên ( ABCD ) trùng với trung điểm H của cạnh AB. Khi đó, tỉ số
A.
2 2
B.
3 2 2
C.
3 2
3a ; hình chiếu vuông góc của S 2
d ( H , ( SDC ) ) a
bằng
D.
3 3 2
Lời giải
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Theo đề bài, ta có: SH ⊥ ( ABCD ) . HI = a Gọi I là trung điểm của CD ⇒ . HI ⊥ CD
H
Ơ
N
CD ⊥ HI Vì ⇒ CD ⊥ ( SHI ) ⇒ ( SCD ) ⊥ ( SHI ) . CD ⊥ SH
U Y
N
Trong ( SHI ) , kẻ HK ⊥ SI , ( K ∈ SI ) .
.Q TP ẠO Đ
SH .HI
Suy ra: d ( H , ( SCD ) ) = HK =
G
SH 2 + HI 2
N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
( SCD ) ⊥ ( SHI ) Vì ( SCD ) ∩ ( SHI ) = SI ⇒ HK ⊥ ( SCD ) ( SHI ) ⊃ HK ⊥ SI
2
5a 2 a Ta có: HD = AH + AD = + a 2 = 4 2 2
H Ư
2
TR ẦN
2
2
SH + HI
2
=
a.a 2
a +a
2
=
a 2 . 2
Ó
A
a 2 2 = 2 = ⇒ Chọn đáp án A. a 2
H
a
2
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
Vậy
d ( H , ( SDC ) )
SH .HI
10 00
Do đó: d ( H , ( SCD ) ) = HK =
B
2 3a 5a ⇒ SH = SD 2 − HD 2 = − =a. 4 2
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU 1. Phương pháp
N
a) Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
H
Ơ
Đường thẳng ∆ cắt hai đường thẳng a, b và cùng vuông góc với mỗi đường ấy gọi
N
là đường vuông góc chung của a và b. Đoạn thẳng MN gọi là đoạn vuông góc
U Y
chung của a và b.
.Q
b) Một số hướng tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
TP
TH1: Khi a, b chéo nhau và a ⊥ b .
ẠO Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
+ Bước 1: Dựng mặt phẳng ( P ) chứa b và vuông góc với a tại M.
N
G
+ Bước 2: Trong ( P ) dựng MN ⊥ b tại N.
H Ư
+ Bước 3: Đoạn MN là đoạn vuông góc chung của a và b ⇒ d ( a, b ) = MN
TR ẦN
TH2: Khi a, b chéo nhau và a ⊥ b .
Mục tiêu: Chuyển về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
B
Hướng 1: Chuyển thông qua khoảng cách từ một đường đến một mặt
10 00
phẳng.
a/ /( P)
A
* Bước 1: Dựng mặt phẳng ( P ) chứa b và song song với a.
Í-
H
b ⊂( P )
Ó
* Bước 2: d ( a, b ) ====== d ( a, ( P ) ) M ∈a
ÁN
-L
====== d ( M , ( P ) )
TO
Hướng 2: Chuyển thông qua khoảng cách giữa mặt phẳng song song: * Bước 1: Dựng hai mặt phẳng ( P ) , ( Q ) sao cho a ⊂ ( P ) / / ( Q ) ⊃ b .
D
IỄ N
Đ
ÀN
* Bước 2: Khi đó d ( a, b ) = d ( ( P ) , ( Q ) ) = d ( M , ( Q ) )
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD bằng
C. a 3
D. 2a
N
B. a 2
H
Ơ
A. a
N
Lời giải
U Y
Vì CD / / ( SAB )
TP
.Q
⇒ d ( CD, SB ) = d ( CD, ( SAB ) ) = d ( D, ( SAB ) ) .
ẠO Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
DA ⊥ AB Vì ⇒ DA ⊥ ( SAB ) ⇒ d ( D, ( SAB ) ) = DA = a . DA ⊥ SA
N
G
Vậy d ( CD, SB ) = d ( D, ( SAB ) ) = a .
H Ư
⇒ Chọn đáp án A.
a 3 2
B.
a 2 3
C.
a 2 2
D.
a 3 3
B
A.
TR ẦN
Ví dụ 2: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD bằng
10 00
Lời giải
A
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
H
Ó
Vì ∆BCD và ∆ACD là các tam giác đều cạnh bằng a nên AN = BN =
ÁN
-L
Í-
AN ⊥ CD ( *) BN ⊥ CD
a 3 và 2
(1)
TO
MN ⊂ ( ABN ) CD ⊥ MN (*) ⇒ CD ⊥ ( ABN ) →
ÀN
Mặt khác, vì AN = BN ⇒ ∆ABN cân tại N ⇒ MN ⊥ AB (2)
Đ
Từ (1) và (2) ⇒ MN là đoạn vuông góc chung của AB và CD. 2
2
D
IỄ N
a 3 a 2 a 2 Do đó: d ( AB, CD ) = MN = AN − AM = . − = 2 2 2 2
Vậy d ( AB, CD ) =
a 2 ⇒ Chọn đáp án C. 2
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của S trên ( ABC ) trùng với trung điểm của BC. Biết SA hợp với đáy một góc 30°. Khi đó, khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng B.
a 3 4
C.
a 2 3
D.
2a 2 3
N
a 3 2
Ơ
A.
N
H
Lời giải
U Y
Gọi H là trung điểm của BC ⇒ SH ⊥ ( ABC )
TP
.Q
⇒ SH ⊥ BC (1)
ẠO Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
AH ⊥ BC (2) Vì ∆ABC đều ⇒ a 3 AH = 2
N
G
Từ (1) và (2) ⇒ BC ⊥ ( SAH ) .
H Ư
Trong ( SAH ) , kẻ HK ⊥ SA, ( K ∈ SA ) (3)
TR ẦN
BC ⊥ ( SAH ) Vì ⇒ BC ⊥ HK (4) HK ⊂ ( SAH )
10 00
B
Từ (3) và (4) ⇒ HK là đoạn vuông góc chung của SA và BC ⇒ d ( SA, BC ) = HK . Vì SH ⊥ ( ABC ) ⇒ HA là hình chiếu của SA trên ( ABC )
H
Ó
A
= 30° . ⇒ ( SA, ( ABC ) ) = ( SA, HA ) = SAH
-L
Í-
= Xét ∆AHK vuông tại K, ta có: sin HAK
a 3 ⇒ Chọn đáp án B. 4
TO
ÁN
Vậy d ( SA, BC ) = HK =
HK =a 3. ⇒ HK = AH .sin HAK AH 4
ÀN
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AD = 2 AB = 2a , cạnh SA vuông góc với mặt
Đ
phẳng đáy ( ABCD ) và SB tạo với mặt phẳng đáy ( ABCD ) một góc 60°. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
D
IỄ N
AB và SC bằng
A.
a 21 7
B.
2a 21 7
C.
a 21 14
D.
a 21 21
Lời giải
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Vì AB / / ( SCD ) ⇒ d ( AB, SC ) = d ( AB, ( SCD ) ) = d ( A, ( SCD ) ) Trong ( SAD ) , kẻ AH ⊥ SD, ( H ∈ SD )
Ơ
N
CD ⊥ AD Vì ⇒ CD ⊥ ( SAD ) ⇒ CD ⊥ AH . CD ⊥ SA
U Y
N
H
AH ⊥ SD Vì ⇒ AH ⊥ ( SCD ) ⇒ d ( A, ( SCD ) ) = AH AH ⊥ CD
2
2
4a + 3a
2
=
TP
2a 21 ⇒ Chọn đáp án B. 7
Đ
2a.a 3
=
N
SA + AD
2
G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
SA. AD
ẠO
SA = a.tan 60° = a 3 . ⇒ SA = AB. tan SBA AB
= Xét ∆SAB vuông tại A, ta có: tan SBA
Vậy d ( AB, SC ) = AH =
.Q
= 60° . SB, ( ABCD ) ) = ( SB, AB ) = SBA Ta có: (
9 2
3 2
B.
C. 2
D. 1
B
A.
TR ẦN
3a ( AA ', BC ' ) bằng a
10 00
số
H Ư
Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác vuông tại A với BC = 2a , AB = a . Khi đó, tỉ
Lời giải
Ó
A
Vì AA '/ / ( BB ' C ' C )
Í-
H
⇒ d ( AA ', BC ') = d ( AA ', ( BB ' C ' C ) ) = d ( A, ( BB ' C ' C ) )
-L
Trong ( ABC ) , kẻ AH ⊥ BC , ( H ∈ BC ) .
TO
ÁN
AH ⊥ BC Vì ⇒ AH ⊥ ( BB ' C ' C ) AH ⊥ BB '
AB. AC
AB 2 + AC 2
.
Đ
ÀN
⇒ d ( A, ( BB ' C ' C ) ) = AH =
D
IỄ N
Ta có: AC = BC 2 − AB 2 = 4a 2 − a 2 = a 3 .
⇒ d ( A, ( BB ' C ' C ) ) =
AB. AC AB 2 + AC 2
=
a.a 3 a 2 + 3a 2
=
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
a 3 . 2
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
a 3 3. 3d ( A, ( BB ' C ' C ) ) 3d ( AA ', BC ' ) 2 = 3 ⇒ Chọn đáp án B. = = a a a 2
Vậy
N
Ví dụ 6: Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và
B.
H C.
3 2 4
D.
⇒ d ( M , ( A ' BC ) ) =
d ( A, ( A ' BC ) )
=
MB 1 = AB 2
H Ư
d ( M , ( A ' BC ) )
TR ẦN
Vì AM ∩ ( A ' BC ) = { B} ⇒
N
Vì MN / / ( A ' BC ) ⇒ d ( MN , A ' C ) = d ( MN , ( A ' BC ) ) = d ( M , ( A ' BC ) )
Đ
ẠO
1 1 1 AA '.S A ' B ' C ' D ' = .a.a 2 = a 3 . 3 3 3
G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
TP
Lời giải Ta có: VA. A ' B 'C ' D ' =
2 3
N
2 2
U Y
2 4
.Q
A.
Ơ
a 2 .d ( MN , A ' C ) CD. Khi đó, tỉ số bằng VA. A ' B 'C ' D '
1 d ( A, ( A ' BC ) ) 2
10 00
B
BC ⊥ ( AA ' B ' B ) ⇒ BC ⊥ AH . Trong ( AA ' B ' B ) , kẻ AH ⊥ A ' B, ( H ∈ A ' B ) . Vì AH ⊂ ( AA ' B ' B )
Í-
H
Ó
A
AH ⊥ A ' B Vì ⇒ AH ⊥ ( A ' BC ) ⇒ d ( A, ( A ' BC ) ) = AH = AB 2 − BH 2 AH ⊥ BC 2
ÁN
-L
a 2 A' B a 2 a 2 = ⇒ AH = a 2 − . Ta có: BH = = 2 2 2 2
1 1 a 2 d ( A, ( A ' BC ) ) = AH = . 2 2 4
ÀN
TO
Khi đó: d ( MN , A ' C ) = d ( M , ( A ' BC ) ) =
D
IỄ N
Đ
2 a 2 a 2 .d ( MN , A ' C ) a . 4 3 2 = = ⇒ Chọn đáp án C. Vậy 1 3 VA. A ' B 'C ' D ' 4 a 3
Vậy
a 3 3. 3d ( A, ( BB ' C ' C ) ) 3d ( AA ', BC ' ) 2 = 3 ⇒ Chọn đáp án B. = = a a a 2
Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial