Gi¸o ¸n : Båi d−ìng häc sinh giái líp 7 §Ò kh¶o s¸t Câu 1:
a, cho A = 4 + 22 + 23 + 24 + … + 220
Hái A cã chia hÕt cho 128 kh«ng? b, TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc
212.13 + 212.65 310.11 + 310.5 + 210.104 39.2 4 Bµi 2 :
a, Cho A = 3 + 32 + 33 + …+ 32009
T×m sè tù nhiªn n biÕt r»ng 2A + 3 = 3n b, T×m sè tù nhiªn cã ba ch÷ sè chia hÕt cho 5 vµ 9 biÕt r»ng ch÷ sè hµng chôc b»ng trung b×nh céng cña hai ch÷ sè kia Bµi 3 :
Cho p vµ p + 4 lµ c¸c sè nguyªn tè( p > 3) .
Chøng minh r»ng p + 8 lµ hîp sè Bµi 4 :
T×m hai sè tù nhiªn biÕt tæng cña chóng b»ng 84 ,
¦CLN cña chóng b»ng 6. Bµi 5:
Gäi A vµ B lµ hai ®iÓm trªn tia Ox sao cho OA = 4 cm ;
OB = 6 cm . Trªn tia BA lÊy ®iÓm C sao cho BC = 3 cm . So s¸nh AB víi AC
1
Gi¸o ¸n : Båi d−ìng häc sinh giái líp 7 H−íng dÉn chÊm Bµi a, 2A – A = 2 A⋮ 128 1
2
21
212.78 b, = 10 + 2 .104
H−íng dÉn chÊm ⋮ 27
§iÓm 0.5 0.5
310.16 39.16
0.5
=3+3 =6 a, T×m ®−îc n = 2010 b, Gäi sè ph¶i t×m lµ abc theo bµi ra ta cã a + b + c ⋮ 9 vµ 2b = a + c nªn 3b ⋮ 9 ⇒ b ⋮ 3 vËy b ∈ {0;3;6;9}
abc ⋮ 5 ⇒ c∈ {0;5} XÐt sè abo ta ®−îc sè 630 XÐt sè ab5 ta ®−îc sè 135 ; 765 P cã d¹ng 3k + 1; 3k + 2 k∈N 3
4
5
0.5
D¹ng p = 3k + 2 th× p + 4 lµ hîp sè tr¸i víi ®Ò bµi ⇒ p = 3k + 1 ⇒ p + 8 = 3k + 9 ⋮ 3 ⇒ p + 8 lµ hîp sè Gäi 2 sè ph¶i t×m lµ a vµ b ( a ≤ b) ta cã (a,b) = 1 nªn a = 6a/ b= 6b/ trong ®ã (a/,b/) = 1 ( a,b,a/,b/∈N) ⇒ a/ + b/ = 14 a/ 1 3 5 / b 13 11 9 a 6 18 30 b 78 66 54 O
C
A
B
0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 1
x
Hai ®iÓm A vµ B trªn tia Ox mµ OA< OB (4<6) nªn ®iÓm A n¨m gi÷a O vµ B suy ra AB = OB – OA AB = 6 – 4 = 2 (cm) Hai ®iÓm Avµ C trªn tia BA mµ BA < BC ( 2<3 ) nªn ®iÓm A n¨m gi÷a hai ®iÓm B vµ C Suy ra AC = BC – BA = 3 – 2 = 1 (cm) VËy AB > AC ( 2 >1)
2
0.5 1 0.5
0.5 0.5 0.5 0.5
Gi¸o ¸n : Båi d−ìng häc sinh giái líp 7 ¤n tËp sè h÷u tØ sè thùc PhÇn 1: Lý thuyÕt 1. Céng , trõ , nh©n, chia sè h÷u tØ a m
b ( a,b,m ∈ Z m ≠ 0 ) m a b = + = m m a b = − = m m
Víi x= , y= x
+
y
x
−
y
x
=
x
. y
x
:
a b
, a b
= y
y
=
. a b
=
c d
c d
=
:
c d
a a
(
+ m − m
y
a . c b . d a = b
b b
0
≠
.
d c
)
=
a . d b . c
2,Gi¸ tri tuyÖt ®èi cña mét sè h÷u tØ +/ Víi x∈ Q Ta cã x neáu x ≥ 0 x = -x neáu x < 0 Nhaän xeùt : Vôùi moïi x ∈ Q, ta coù: x≥ 0, x = -xvaø x≥ x +/ Víi x,y ∈ Q Ta cã x + y ≤ x + y ( DÊu b»ng x¶y ra khi cïng dÊu nghÜa lµ x.y ≥ 0 ) x − y ≥ x − y ( // ….. // ) PhÇn II: Bµi tËp vËn dông Bµi 1. Thùc hiÖn phÐp tÝnh: (
(
1 1 1 1 1 − 3 − 5 − 7 − ... − 4 9 + + + ... + ) 4 .9 9 .1 4 1 4 .1 9 4 4 .4 9 89
1 1 1 1 1 − 3 − 5 − 7 − ... − 4 9 + + + ... + ) 4 .9 9 .1 4 1 4 .1 9 4 4 .4 9 89
=
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 − (1 + 3 + 5 + 7 + ... + 49) ( − + − + − + ... + − ). 5 4 9 9 14 14 19 44 49 12
3
Gi¸o ¸n : Båi d−ìng häc sinh giái líp 7 1 1 1 2 − (1 2 . 5 0 + 2 5 ) 5 .9 .7 .8 9 9 ( − ). = − = − 5 4 49 89 5 .4 .7 .7 .8 9 28
=
Bài 2: Thực hiện phép tính:
A =
A =
2 1 2 .3 5 − 4 6 .9 2 2
( 2 .3 )
6
4
+ 8 .3
2 1 2 .3 5 − 4 6 .9 2
(2
2
6
4
.3 ) + 8 .3
5
5
−
−
5 1 0 .7 3 − 2 5 5 .4 9 2
(1 2 5 .7 )
3
+ 5 9 .1 4 3
5 1 0 .7 3 − 2 5 5 .4 9 2
(1 2 5 .7 )
3
+ 5 9 .1 4 3
10
2 1 2 .3 5 − 2 1 2 .3 4 5 1 0 .7 3 − 5 .7 4 = 12 6 − 9 3 2 .3 + 2 1 2 .3 5 5 .7 + 5 9 .2 3 .7 3 2 1 2 .3 4 . ( 3 − 1 ) 5 1 0 .7 3 . (1 − 7 ) = 12 5 − 9 3 2 .3 . ( 3 + 1 ) 5 .7 . (1 + 2 3 ) 5 1 0 .7 3 . ( − 6 ) 2 .3 .2 = 12 5 − 2 .3 .4 5 9 .7 3 .9 1 −10 7 = − = 6 3 2 12
4
:
Bµi 3. a) T×m x biÕt: 2x + 3 = x + 2 b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = x − 2006 + 2007 − x Khi x thay ®æi Gi¶i a) T×m x biÕt: 2x + 3 = x + 2 Ta cã: x + 2 ≥ 0 => x ≥ - 2. + NÕu x ≥ -
3 th× 2x + 3 = x + 2 => 2x + 3 = x + 2 => x = - 1 (Tho¶ mjn) 2
+ NÕu - 2 ≤ x < => x = -
3 Th× 2x + 3 = x + 2 => - 2x - 3 = x + 2 2
5 (Tho¶ mjn) 3
+ NÕu - 2 > x Kh«ng cã gi¸ trÞ cña x tho¶ mjn b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = x − 2006 + 2007 − x Khi x thay ®æi + NÕu x < 2006 th×: A = - x + 2006 + 2007 – x = - 2x + 4013 4
Gi¸o ¸n : Båi d−ìng häc sinh giái líp 7 Khi ®ã: - x > -2006 => - 2x + 4013 > – 4012 + 4013 = 1 => A > 1 + NÕu 2006 ≤ x ≤ 2007 th×: A = x – 2006 + 2007 – x = 1 + NÕu x > 2007 th× A = x - 2006 - 2007 + x = 2x – 4013 Do x > 2007 => 2x – 4013 > 4014 – 4013 = 1 => A > 1. VËy A ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ 1 khi 2006 ≤ x ≤ 2007 C¸ch 2 : Dùa vµo hai sè ®èi nhau cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi b»ng nhau - GV: Gäi häc sinh tr×nh bµy Bài 4: Tìm x biết: a. x −
1 4 2 + = ( −3, 2 ) + 3 5 5 x +1
x +11
=0 b. ( x − 7 ) − ( x − 7 ) - GV: H−íng dÉn gi¶i a,
x−
1 4 2 1 4 −16 2 + = ( −3, 2 ) + ⇔ x − + = + 3 5 5 3 5 5 5
⇔ x−
1 4 14 + = 3 5 5
x −1 = 2 1 ⇔ x− =2⇔ 3 x−1=−2 3 3 x=2+1= 7 3 3 ⇔ x=−2+1= −5 3 3 x +1 x +11 ( x − 7) − ( x − 7) = 0 b)
⇔ ( x − 7)
x +1
1 − ( x − 7 )10 = 0
5
Gi¸o ¸n : Båi d−ìng häc sinh giái líp 7
⇔ ( x − 7)
( x +1)
1 − ( x − 7 )10 = 0
x −7 x +1=0 ⇔ 1−( x −7)10 =0 ⇔ x −7=010⇒ x =7 ( x −7) =1⇒ x =8 1,11 + 0,19 − 1,3.2 1 1 −( + ):2 2, 06 + 0,54 2 3 Bµi tËp vÒ nhµ : Bµi 1,Cho 7 1 23 B = (5 − 2 − 0,5) : 2 8 4 26 A=
a, Rót gän A vµ B b, T×m x ∈ Z ®Ó A < x < B. Bµi 2: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc M= x − 2002 + x − 2001
6
Gi¸o ¸n : Båi d−ìng häc sinh giái líp 7
Chuyªn ®Ò:
Gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña mét sè h÷u tØ.
I.Lý thuyÕt 1/ §Þnh nghÜa +/ Víi x∈ Q Ta cã x neáu x ≥ 0 x = -x neáu x < 0 2, TÝnh chÊt : Vôùi moïi x ∈ Q, ta coù: x≥ 0, x = -xvaø x≥ x +/ Víi x,y ∈ Q Ta cã x + y ≤ x + y ( DÊu b»ng x¶y ra khi cïng dÊu nghÜa lµ x.y ≥ 0 ) x − y ≥ x − y ( // ….. // ) II.Bµi tËp Bµi 1: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc a, A= 3x2- 2x+1 víi x= Ta cã x=
1 2
1 1 1 suy ra x= hoÆc x= − 2 2 2
HS tÝnh gi¸ trÞ trong 2 tr−êng hîp +/ Víi x= +/ Víi x= −
1 3 th× A= 2 4
1 11 th× A= 2 4
b, B= 6 x3 − 3x 2 + 2 x + 4 víi x= -2/ 3 c, C= 2 x − 3 y víi x=1/2 vµ y=-3 d, D= 2 x − 2 − 3 1 − x víi x=4 e, E=
5x2 − 7 x + 1 1 víi x= (vÒ nhµ ) 3x − 1 2
T−¬ng tù phÇn a gi¸o viªn yªu cÇu häc sinh lµm vµ ch÷a phÇn b vµ c KQ:
B=20/ 9 C= -8 D = -5 Bµi 2: T×m x biÕt a,
x − 7 + 2x + 5 = 6
x − 7 =1-2x
Do x − 7 ≥ 0 víi mäi x nªn xÐt víi 1 – 2x ≥ 0 ⇔ x ≤
7
1 2
Gi¸o ¸n : Båi d−ìng häc sinh giái líp 7 Tr−êng hîp 1:
x-7 = 1-2x => 3x =8 => x=
8 (lo¹i do kh«ng tho¶ mjn ®iÒu kiÖn 3
1 2
x≤ ) Tr−êng hîp 2: x – 7 = 2x -1 ⇒ x = - 6( tho¶ mjn ®iÒu kiÖn cña x) b, 2 x − 3 − x = 2 − x c, x + 3 + x + 1 = 3 x GV: yªu cÇu häc sinh lµm gäi lªn b¶ng tr×nh bµy Bµi 3: T×m x vµ y biÕt 1 2 b, 7,5 − 3 5 − 2 x = −4,5
a, 2 2 x − 3 =
c, 3x − 4 + 5 y + 5 = 0 GV: Tæ chøc cho häc sinh lµm bµi Häc sinh lªn b¶ng tr×nh bµy Bµi 4 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc a, A= 3, 7 + 4,3 − x Ta cã 4,3 − x ≥ 0 víi mäi x ⇒ 4,3 − x + 3, 7 ≥ 3, 7 Hay A ≥ 3, 7 4,3 − x = 0
DÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi 4,3 − x = 0 x = 4,3
VËy gi¸ tri nhá nhÊt cña A= 3,7 khi x= 4,3 T−¬ng tù gi¸o viªn cho häc sinh lµm phÇn b, c b, B= 3x + 8, 4 − 24, 2 c, C= 4 x − 3 + 5 y + 7,5 + 17,5 Bµi tËp vÒ nhµ Bµi 1: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc sau a, D = 5, 5 − 2 x − 1,5 b, E = − 10, 2 − 3 x − 14 c, F = 4 − 5 x − 2 − 3 y + 12
` 8
Gi¸o ¸n : Båi d−ìng häc sinh giái líp 7
Chuyªn ®Ò:Gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña mét sè h÷u tØ.(tiÕp theo) I. Lý thuyÕt 1/ §Þnh nghÜa +/ Víi x∈ Q Ta cã x neáu x ≥ 0 x = -x neáu x < 0 2, TÝnh chÊt Vôùi moïi x ∈ Q, ta coù: x≥ 0, x = -xvaø x≥ x +/ Víi x,y ∈ Q Ta cã x + y ≤ x + y ( DÊu b»ng x¶y ra khi cïng dÊu nghÜa lµ x.y ≥ 0 ) x − y ≥ x − y ( // ….. // ) II. Bµi tËp : Bµi 1: T×m tÊt c¶ c¸c sè a tho¶ mjn mét trong c¸c ®iÒu kiÖn sau: a) a = |a|; b) a < |a|; c) a > |a|; d) |a| = - a; e) a ≤ |a|. Bµi 2: Bæ sung thªm c¸c ®iÒu kiÖn ®Ó c¸c kh¼ng ®Þnh sau lµ ®óng: a) |a| = |b| ⇒ a = b; b) a > b ⇒ |a| > |b|. Bµi 3: Cho |x| = |y| vµ x < 0, y > 0. Trong c¸c kh¼ng ®Þnh sau, kh¼ng ®Þnh nµo sai a) x2y > 0; b) x + y = 0; c) xy < 0; d)
1 1 − = 0; x y
d)
x + 1 = 0. y
Bµi 4: T×m gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau: a) B = 2|x| - 3|y| víi x = 1/2; y = -3. b) C = 2|x – 2| - 3|1 – x| víi x = 4; Bµi 5: Rót gän c¸c biÓu thøc sau: a) |a| + a; b) |a| - a; c) |a|.a; d) |a|:a; e) 3(x – 1) – 2|x + 3|; g) 2|x – 3| - |4x - 1|. Bµi 6: T×m x trong c¸c ®¼ng thøc sau: a) |2x – 3| = 5; b) |2x – 1| = |2x + 3|; c) |x – 1| + 3x = 1; d) |5x – 3| - x = 7. Bµi 7: T×m c¸c sè a vµ b tho¶ mjn mét trong c¸c ®iÒu kiÖn sau: a) a + b = |a| + |b|; b) a + b = |b| - |a|. Bµi 8: Cã bao nhiªu cÆp sè nguyªn (x; y) tho¶ mjn mét trong c¸c ®iÒu kiÖn sau: a) |x| + |y| = 20; b) |x| + |y| < 20. Bµi 9: §iÒn vµo chç trèng (…) c¸c dÊu ≥, ≤, = ®Ó c¸c kh¼ng ®Þnh sau ®óng víi mäi a vµ b. Hjy ph¸t biÓu mçi kh¼ng ®Þnh ®ã thµnh mét tÝnh chÊt vµ chØ râ khi nµo x¶y ra dÊu 9
Gi¸o ¸n : Båi d−ìng häc sinh giái líp 7 ®¼ng thøc ? a) |a + b|…|a| + |b|;
b) |a – b|…|a| - |b| víi |a| ≥ |b|;
c) |ab|…|a|.|b|;
d)
a |a| ... . b |b |
Bµi 10: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: a) A = 2|3x – 2| - 1; b) B = 5|1 – 4x| - 1; 2 c) C = x + 3|y – 2| - 1; d) D = x + |x|. Bµi 11: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña c¸c biÓu thøc: a) A = 5 - |2x – 1|;
b) B =
1 ; | x − 1 | +3
Bµi 12: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc C = (x + 2)/|x| víi x lµ sè nguyªn. Bµi 13: Cho |a – c| < 3, |b – c| < 2. Chøng minh r»ng: |a – b| < 5. Bµi 14: §−a biÓu thøc A sau ®©y vÒ d¹ng kh«ng chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi: A = |2x + 1| + |x - 1| - |x – 2|.
10
Gi¸o ¸n : Båi d−ìng häc sinh giái líp 7
Chuyªn ®Ò:Luü thõa cña sè h÷u tØ A--Lý thuyÕt
1, x
m
2 , x
.x
=
: x
m
3 , ( x
n
m
)
x 5 , ( ) m y 1 6 , = a n
n
n
4 , ( x . y )
x =
x
= m
=
x x y
m − n
( x
≠
0 , m
n )
≥
m .n
x
= a
m + n
. y
m
m
m m
( y
≠
0 )
− n
GV: Cho häc sinh ghi l¹i néi dung c¸c c«ng thøc B – Bµi tËp Bµi 1: a,Cã thÓ kh¼ng ®Þnh ®−îc x2 lu«n lu«n lín h¬n x hay kh«ng ? 1 2
Kh«ng kh¼ng ®Þnh ®−îc nh− vËy ch¼ng h¹n x=1/2 th× ( ) 2 < b, Khi nµo x2< x x2< x ⇔ x 2 − x < 0 ⇔ x( x − 1) < 0 x¶y ra nÕu x vµ x-1 tr¸i dÊu V× x-1 < x nªn x-1 < 0 vµ x > 0 suy ra 0 < x <1 VËy 0 < x <1 th× x2 < x Bµi 2: TÝnh
1 2
a, (32 ) 2 − (23 ) 2 − (−52 )2 1 1 1 b, 23 + 3.(− )0 − ( ) 2 .4 + (−2) 2 : : 8 2 2 2 1 c, (4.25 ) : (23. ) 16
GV : Yªu cÇu häc sinh lµm vµ gäi häc sinh lªn b¶ng tr×nh bµy Bµi 3: Thùc hiÖn phÐp tÝnh : 1 2 1 1 a- 6. − − 3. − + 1 : (− − 1 3 3 3 3
b-
)
2
2 3 2003 . − .(− 1) 3 4 2 3 2 5 . − 5 12
? Hjy nªu thø tù thùc hiÖn phÐp tÝnh GV: yªu cÇu häc sinh lµm bµi , gäi häc sinh tr×nh bµy 11
Gi¸o ¸n : Båi d−ìng häc sinh giái líp 7 Bµi 4: TÝnh a, b,
0
8 3 4 1 15 1 6 7 . 15 + 3 . 9 . 3 . 12 4 10 4.81 − 16.152 4 4.675
( )
Gv: H−íng dÉn häc sinh gi¶i 0
8 8 8 3 4 1 15 1 6 1 2 + . 9 . . 4 =1. . 8.34 a, . 3 2 .3 7 15 3 3 12
( )
= 35
10 4.81 − 16.152 2 4.5 4.3 4 − 2 4.3 2.5 2 2 4.3 2.5 2 (5 2.3 2 − 1) b, = = =…. 4 4.675 2 8.33.5 2 2 8.33.5 2 2 5.7 14 124 2 =4 = 4 = 4 = 3 2 .3 2 .3 3 Bµi 5: a,TÝnh tæng A
= 1+5+52+53+… +52008+52009
b , B= 2100-299+298-297+…..+22 suy ra 2B = 2101-2100+299-298+…+23-22suy ra 2B+B= 2101-2 3B = 2( 2100-1) Suy ra B = 2(2100-1)/3 C, Bµi tËp vÒ nhµ Bµi 1: Chøng minh r»ng: 76 + 75 – 74 chia hÕt cho 55 Bµi 2: TÝnh tæng C = 3100- 399 + 398 - 397 +…. +32 - 3 + 1 Bµi 3: TÝnh gi¸ trÞ cña ®a thøc sau t¹i x = -1 x2 + x4 + x6 + x8 + … + x100
12
Gi¸o ¸n : Båi d−ìng häc sinh giái líp 7
Chuyªn ®Ò : LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ (TiÕp theo) I. Môc tiªu. KiÕn thøc: N¾m ®−îc c¸c kiÕn thøc, quy t¾c vµ c«ng thøc c¬ b¶n vÒ biÕn ®æi c¸c lòy thõa cña mét sè h÷u tØ vµ mét sè kiÕn thøc bæ sung n©ng cao BiÕt vËn dông linh ho¹t c¸c c«ng thøc, kiÕn thøc ®Ó biÕn ®æi c¸c biÓu thøc lòy thõa cña mét sè h÷u tØ trong qu¸ tr×nh lµm bµi tËp Kü n¨ng :- Cã kÜ n¨ng thµnh th¹o trong viÖc biÕn ®æi c¸c lòy thõa vµ tr×nh bµy chÝnh x¸c khoa häc mét biÓu thøc cã chøa lòy thõa cña mét sè h÷u tØ Th¸i ®é : NhËn thøc ®óng ®¾n tÇm quan träng cña viÖc biÕn ®æi c¸c biÓu thøc cã c¶ lòy thõa qua ®ã cã th¸i ®é tÝch cùc h¬n trong viÖc häc bµi vµ lµm bµi II. ChuÈn bÞ : Gi¸o ¸n båi d−ìng häc sinh giái to¸n 7 C¸c tµi liÖu, t− liÖu liªn quan hç trî cho viÖc gi¶ng d¹y chuyªn ®Ò III. TiÕn tr×nh tiÕt d¹y: Bµi 1: Dïng 10 ch÷ sè kh¸c nhau ®Ó biÓu diÔn sè 1 mµ kh«ng dïng c¸c phÐp tÝnh céng, trõ, nh©n, chia. Bµi 2: TÝnh: a) (0,25)3.32;
b) (-0,125)3.804;
c)
82.45 ; 2 20
d)
8111.317 . 2710.915
Bµi 3: Cho x ∈ Q vµ x ≠ 0. Hjy viÕt x12 d−íi d¹ng: a) TÝch cña hai luü thõa trong ®ã cã mét luü thõa lµ x9 ? b) Luü thõa cña x4 ? c) Th−¬ng cña hai luü thõa trong ®ã sè bÞ chia lµ x15 ? Bµi 4: TÝnh nhanh: a) A = 2008(1.9.4.6).(.9.4.7)…(1.9.9.9); b) B = (1000 - 13).(1000 - 23).(1000 - 33 )…(1000 – 503). Bµi 5: TÝnh gi¸ trÞ cña: a) M = 1002 – 992 + 982 – 972 + … + 22 – 12; b) N = (202 + 182 + 162 + … + 42 + 22) – (192 + 172 + 152 + … + 32 + 12); c) P = (-1)n.(-1)2n+1.(-1)n+1. Bµi 6: T×m x biÕt r»ng: a) (x – 1)3 = 27; b) x2 + x = 0; c) (2x + 1)2 = 25; d) (2x – 3)2 = 36; e) 5x + 2 = 625; f) (x – 1)x + 2 = (x – 1)x + 4; g) (2x – 1)3 = -8. 1 2 3 4 5 30 31 . ... . = 2 x; 4 6 8 10 12 62 64
h) . . .
Bµi 7: T×m sè nguyªn d−¬ng n biÕt r»ng: a) 32 < 2n < 128; b) 2.16 ≥ 2n > 4; c) 9.27 ≤ 3n ≤ 243. Bµi 8: Cho biÓu thøc P = ( x − 4)( x−5) Bµi 9: So s¸nh:
( x −6)( x +6)
( x +5)
13
. Hjy tÝnh gi¸ trÞ cña P víi x = 7 ?
Gi¸o ¸n : Båi d−ìng häc sinh giái líp 7 a) 9920 vµ 999910; b) 321 vµ 231; c) 230 + 330 + 430 vµ 3.2410. Bµi 10: Chøng minh r»ng nÕu a = x3y; b = x2y2; c = xy3 th× víi bÊt k× sè h÷u tØ x vµ y nµo ta còng cã: ax + b2 – 2x4y4 = 0 ? Bµi 11: Chøng minh ®¼ng thøc: 1 + 2 + 22 + 23 + … + 299 + 2100 = 2101 – 1. Bµi 12: T×m mét sè cã 5 ch÷ sè, lµ b×nh ph−¬ng cña mét sè tù nhiªn vµ ®−îc viÕt b»ng c¸c ch÷ sè 0; 1; 2; 2; 2.
14
Gi¸o ¸n : Båi d−ìng häc sinh giái líp 7
Chuyªn ®Ò: BIỂU THỨC ĐẠI SỐ (Tiết 1) I. Môc tiªu KiÕn thøc : N¾m ®−îc c¸c kiÕn thøc liªn quan ®Ó gi¶i c¸c d¹ng to¸n c¬ b¶n nhÊt : TÝnh gi¸ trÞ cña mét biÓu thøc. Thùc hiÖn phÐp tÝnh mét c¸ch hîp lý. Bµi to¸n vÒ dRy cã quy luËt Mét sè bµi to¸n kh¸c vÒ biÓu thøc ®¹i sè KÜ n¨ng : Gi¶i ®−îc hoµn chØnh, nhanh vµ chÝnh x¸c c¸c bµi to¸n c¬ b¶n. BiÕt vËn dông vµo c¸c bµi to¸n kh¸c t−¬ng tù. Tù t×m tßi s¸ng t¹o ®Ó hiÓu s©u thªm vµ tæng qu¸t hãa cho c¸c bµi to¸n Th¸i ®é : Yªu thÝch, say mª, t×m tßi s¸ng t¹o khi häc bµi. CÈn thËn, cÇu tiÕn, kh«ng nao nóng khi lµm bµi IIChuÈn bÞ: GV : Gi¸o ¸n so¹n tØ mØ vµ c¸c tµi liÖu liªn quan ®Ó cã thÓ ®−a ra c¸c bµi tËp ®Çy ®ñ vµ ®a d¹ng Hsinh: - ¤n tËp kiÕn thøc cò cã liªn quan . III.TiÕn tr×nh tiÕt d¹y: PhÇn 1 . Mét sè d¹ng chÝnh D¹ng 1 D y Sè viÕt theo quy luËt - D y c¸c ph©n sè viÕt theo quy luËt A- Kiến thức cần nắm vững: B- Bài tập áp dụng I. D'y sè céng Bài 1: Tìm chữ số thứ 1000 khi viết liên tiếp liền nhau các số hạng của dãy số lẻ 1; 3; 5; 7;... Bài 2: a) Tính tổng các số lẻ có hai chữ số b) Tính tổng các số chẵn có hai chữ số c) Tính: S = 1 + 3 + 5 + ⋯ + 2n + 1 với (n ∈ N ) d) Tính: S = 2 + 4 + 6 + ⋯ + 2n với (n ∈ N * ) Bài 3: Có số hạng nào của dãy sau tận cùng bằng 2 hay không? 1;1 + 2;1 + 2 + 3;1 + 2 + 3 + 4;...
H−íng dÉn: Sè h¹ng thø n cña djy b»ng:
n(n + 1) 2
NÕu sè h¹ng thø n cña djy cã ch÷ sè tËn cïng b»ng 2 th× n(n + 1) tËn cïng b»ng 4. §iÒu nµy v« lÝ v× n(n + 1) chØ tËn cïng b»ng 0, hoÆc 2, hoÆc 6. Bài 4: a) Viết liên tiếp các số hạng của dãy số tự nhiên từ 1 đến 100 tạo thành một số A. Tính tổng các chữ số của A b) Cũng hỏi như trên nếu viết từ 1 đến 1000000 Hướng dẫn: a) ta bổ sung thêm chữ số 0 vào vị trí đầu tiên của dãy số (không làm thay đổi kết quả). Tạm chưa xét số 100. Từ 0 đến 99 có 100 số, ghép thành 50 cặp: 0 và 99; 1 và 98; 2 và 97;… mỗi cặp có tổng các chữ số bằng 18. Tổng các 15
Gi¸o ¸n : Båi d−ìng häc sinh giái líp 7 chữ số của 50 cặp bằng: 18.50 = 900. Thêm số 100 có tổng các chữ số bằng 1. ĐS: 901 b) Tương tự: ĐS: 27000001 S1 = 1 + 2, S 2 = 3 + 4 + 5,
Bài 5: Cho S3 = 6 + 7 + 8 + 9, S 4 = 10 + 11 + 12 + 13 + 14,
...
Tính S100 ? Hướng dẫn: Số số hạng của S1,..., S99 theo thứ tự bằng 2; 3; 4; 5; …100 ĐS: S100 = 515100 Bài 6: Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số 100! chứa thừa số nguyên tố 7 với số mũ băng bao nhiêu? Bài 7: Tính số hạng thứ 50 của các dãy sau: a) 1.6; 2.7; 3.8; ... b) 1.4; 4.7; 7.10;... Bài 8: Cho A = 1 + 3 + 32 + 33 + ... + 320 ; B = 321 : 2 Tính B − A Bài 9: Tính các tổng sau: A = 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 22007
B = 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 2n
C = 1 + 22 + 2 4 + ... + 2 2008
D = 1 + 22 + 2 4 + ... + 2 2 n
E = 2 + 23 + 25 + ... + 22007
F = 2 + 23 + 25 + ... + 2 2 n +1
Bài 10: Tổng quát của bài 8 Tính : a) S = 1 + a + a 2 + a 3 + ... + a n , với ( a ≥ 2, n ∈ N ) b) S1 = 1 + a 2 + a 4 + a 6 + ... + a 2 n , với ( a ≥ 2, n ∈ N ) c) S2 = a + a3 + a5 + ... + a 2 n +1 , với ( a ≥ 2, n ∈ N * ) Bµi 11: Cho A = 1 + 4 + 42 + 43 + ... + 499 , B = 4100 . Chứng minh rằng: A < Bài 12: Tính giá trị của biểu thức: a ) A = 9 + 99 + 999 + ... + 999...9
b) B = 9 + 99 + 999 + ... + 999...9
50 ch÷ sè
200 ch÷ sè
16
B . 3
Gi¸o ¸n : Båi d−ìng häc sinh giái líp 7 D y Sè viÕt theo quy luËt - D y c¸c ph©n sè viÕt theo quy luËt ( tiÕp ) II. D'y ph©n sè cã quy luËt 1. Các công thức cần nhớ đến khi giải các bài toán về dãy các phân số viết theo qui luật: 1 1 1 = − . n(n + 1) n n + 1 k 1 1 2) = k ⋅ − . n(n + 1) n n +1 1 1 1 1 3) = ⋅ − . n(n + k ) k n n + k 1 k 1 4) = − . n(n + k ) n n + k 1 1 1 1 1 1 1 1 5) = = ⋅ − = ⋅ − . 2n(2n + 2) 4n(n + 1) 2 2n 2n + 2 4 n n + 1 1 1 1 1 6) = ⋅ − . (2n + 1)(2n + 3) 2 2n + 1 2n + 3 1 1 1 7) < 2< . n.(n + 1) n (n − 1).n (Trong đó: n, k ∈ N∗ , n > 1 )
1)
2. Bài tập TỪ MỘT BÀI TOÁN TÍNH TỔNG Chúng ta cùng bắt đầu từ bài toán tính tổng rất quen thuộc sau : Bài toán A : Tính tổng : Lời giải :
Vì 1 . 2 = 2 ; 2 . 3 = 6 ; ... ; 43 . 44 = 1892 ; 44 . 45 = 1980 ta có bài toán khó hơn chút xíu. Bài 1 : Tính tổng :
17
Gi¸o ¸n : Båi d−ìng häc sinh giái líp 7 Và tất nhiên ta cũng nghĩ đến bài toán ngược. Bài 2 : Tìm x thuộc N biết : Hơn nữa ta có : ta có bài toán Bài 3 : Chứng minh rằng :
Do vậy, cho ta bài toán “tưởng như khó” Bài 4 : Chứng tỏ rằng tổng : không phải là số nguyên. Chúng ta cũng nhận ra rằng nếu a1 ; a2 ; ... ; a44 là các số tự nhiên lớn hơn 1 và khác nhau thì Giúp ta đến với bài toán Hay và Khó sau : Bài 5 : Tìm các số tự nhiên khác nhau a1 ; a2 ; a3 ; ... ; a43 ; a44 sao cho Ta còn có các bài toán “gần gũi” với bài toán 5 như sau : Bài 6 : Cho 44 số tự nhiên a1 ; a2 ; ... ; a44 thỏa mãn Chứng minh rằng, trong 44 số này, tồn tại hai số bằng nhau. Bài 7 : Tìm các số tự nhiên a1 ; a2 ; a3 ; ... ; a44 ; a45 thỏa mãn a1 < a2 a3 < ... < a44 < a45 và Các bạn còn phát hiện được điều gì thú vị nữa rồi chăng ? Bài toán 2: Tính nhanh: 1 1 1 1 1 1 + 3 + 4 +⋯ + 7 + 8 . 2 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 b) B = + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 2007 + 2008 . 3 3 3 3 3 3
a) A = +
18
Gi¸o ¸n : Båi d−ìng häc sinh giái líp 7 1 1 1 1 1 1 + 3 + 4 + ⋯ + n −1 + n ; n ∈ N ∗ . 2 3 3 3 3 3 3
c) C = +
Bài toán 3: (Bài toán tổng quát của bài toán 2) 1 a
Tính nhanh: S = +
1 1 1 1 1 + 3 + 4 + ⋯ + n −1 + n ; ( n ∈ N ∗ ; a ≠ 0) . 2 a a a a a
Bài toán 3: Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của các dãy saug: a)
1 1 1 1 ; ; ; ;... 1.2 2.3 3.4 4.5
1 6
b) ;
1 1 1 ; ; ,... 66 176 336
Hướng dẫn: b) Ta thấy 6 = 1.6; 66 = 6.11; 176 = 11.16; 336 = 16.21,… Do đó số hạng thứ n của dãy có dạng (5n – 4)(5n + 1). Bài toán 4: Tính tổng: 1 1 1 1 + + +⋯ + . 1.2.3 2.3.4 3.4.5 37.38.39 1 1 1 1 b) S = + + +⋯ + . 1.2.3 2.3.4 3.4.5 2006.2007.2008 1 1 1 1 + + +⋯ + ; (n ∈ N ∗ ) . c) S = 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n.(n + 1).(n + 2)
a) S =
Bài toán 5: Tính giá trị của biểu thức: 1 1 1 1 1+ + +⋯ + + 3 5 97 99 a) A = . 1 1 1 1 1 + + +⋯ + + 1.99 3.97 5.99 97.3 99.1 1 1 1 1 1 + + +⋯ + + 99 100 . B= 2 3 4 99 98 97 1 + + +⋯ + 1 2 3 99
b)
Hướng dẫn: a) Biến đổi số bị chia: (1 +
1 1 1 1 1 1 1 100 100 100 100 ) + ( + ) + ( + ) +⋯ + ( + ) = + + +⋯ 99 3 97 5 95 49 51 1.99 3.97 5.95 49.51
Biểu thức này gấp 50 lần số chia. Vậy A = 50. 100 − 1 100 − 2 100 − 3 100 − 99 + + +⋯ + = 1 2 3 99 100 100 100 100 1 2 3 99 b) Biến đổi số chia: = + + +⋯ + − + + +⋯ + = 2 3 99 1 2 3 99 1 1 1 1 1 1 1 1 = 100 + 100 + + ⋯ + − 99 = 1 + 100 + + ⋯ + + 99 99 100 2 3 2 3 1 Biểu thức này bằng 100 lần số bị chia. Vậy B = . 100
Bài toán 6: Tìm tích của 98 số hạng đầu tiên của dãy: 1 1 1 1 1 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ;... 3 8 15 24 35
Hướng dẫn: các số hạng đầu tiên của dãy được viết dưới dạng: 19
Gi¸o ¸n : Båi d−ìng häc sinh giái líp 7 4 9 16 25 36 ; ; ; ; ;... 3 8 15 24 35 2 2 32 4 2 52 62 ; ; ; ; Hay 1.3 2.4 3.5 4.6 5.7 ;... 99 2 . 98.100 2 2 32 4 2 5 2 6 2 992 99 A= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋯ = Ta cần tính: 1.3 2.4 3.5 4.6 5.7 98.100 50
Do đó số hạng thứ 98 có dạng
1 2
1 3
Bài toán 7: Cho A = 1 + + + ⋯ +
1 . Hãy chứng minh rằng A không phải là số 100
tự nhiên. Hướng dẫn: Để qui đồng mẫu các phân số của A ta chọn mẫu chung là tích của 26 với các thừa số lẻ nhỏ hơn 100. Gọi k1, k2, …, k100 là các thừa số phụ tương ứng, tổng A có dạng: B=
k1 + k 2 + ⋯ + k n . Trong 100 phân số của tổng A, chỉ có duy nhất phân số 1/64 2 6.3.5.7.9...99
có mẫu chứa 26 nên trong các thừa số phụ k1,..., k100 chỉ có k64 là số lẻ, còn các thừa số phụ khác đều chẵn. 1 2
1 3
1 n
Bài toán tổng quát của bài toán 7: Cho A = 1 + + + ⋯ + . Hãy chứng minh rằng A không phải là số tự nhiên.
20
Gi¸o ¸n : Båi d−ìng häc sinh giái líp 7 D y Sè viÕt theo qui luËt - D y c¸c ph©n sè viÕt theo qui luËt ( tiÕp ) PhÇn 2 . C¸c d¹ng kh¸c. C¸c bµi to¸n n +1
Bài 2: Tính a) ( 22 )(2
Bài 2: So sánh
2)
b)
5 − 7 c) n (n ≥ 1) 5 − 7
814 412
224 và 316
Bài 3: Tính giá trị biểu thức a)
4510.510 7510
b)
( 0,8 )5 ( 0, 4 )6
c)
215.94 63.83
d)
810 + 410 84 + 411
Bµi 1: Khai triÓn c¸c tÝch sau: a) (x – 2)(y + 3); 1 3 2 10 x − 27 3 b) x + 5 . y − 1 ; c) x + y 3 7 2 2 5 Bµi 3: ViÕt c¸c tæng sau thµnh tÝch: a) ax2 - bx2 + bx - ax + a - b; b) y2 – 5y + 6; c) x2 - 7x + 12; d) 2a2 + 4a + 2. Bµi 4: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: M = ax + ay + bx + by + x + y biÕt x + y = -9/4 vµ a + b = 1/3; N = ax + ay - bx - by - x - y biÕt x - y = -1/2 vµ a - b = 1/2. Bµi 5: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:
P=
1 1 1 1 1 1 1 1 + + +…+ 3.10 10.17 17.24 73.80 2.9 9.16 16.23 23.30
Bµi 6: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: Q=
1 1 1 1 1 1 + +…+ 1.3 2.4 3.5 4.6 97.99 98.100
Bµi 7: T×m x ®Ó biÓu thøc sau nhËn gi¸ trÞ b»ng 0: 1 1 1 1 1 1 xx + − x − xx − − x + C = 2 5 10 × 2 3 6 3 5
Bµi 8: T×m c¸c cÆp sè nguyªn (x; y) ®Ó biÓu thøc sau nhËn gi¸ trÞ lµ sè nguyªn: 21
Gi¸o ¸n : Båi d−ìng häc sinh giái líp 7 K=
3x ( x + y ) − 6 ( x + y ) + 1 x−2
Bµi 9: T×m sè nguyªn x ®Ó biÓu thøc sau ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt: H=
1996x + 1 1997x − 1997
Bµi 10: T×m mèi quan hÖ gi÷a c¸c sè nguyªn a; b; c (b ≠ 0; c ≠ 0) ®Ó cã ®¼ng thøc sau: a a a − = b c b.c
Bµi 2: TÝnh: a) (0,25)3.32; b) (-0,125)3.804; c)
82.45 8111.317 ; d) . 2 20 2710.915
Bµi 4: TÝnh nhanh: a) A = 2008(1.9.4.6).(.9.4.7)…(1.9.9.9); b)B=(1000 - 13).(1000 - 23).(1000 - 33)…(1000 - 503) Bµi 5: TÝnh gi¸ trÞ cña: M = 1002 – 992 + 982 – 972 + … + 22 – 12; N = (202 + 182 + 162 + … + 42 + 22) – (192 + 172 + 152 + … + 32 + 12); P = (-1)n.(-1)2n+1.(-1)n+1. Bµi 6: T×m x biÕt r»ng: a) (x – 1)3 = 27; b) x2 + x = 0; c) (2x + 1)2 = 25; d) (2x – 3)2 = 36; e) 5x + 2 = 625; f) (x – 1)x + 2 = (x – 1)x + 4; g) (2x – 1)3 = -8.
1 2 3 4 5 30 31 . ... . = 2 x; 4 6 8 10 12 62 64
h) . . .
Bµi 7: T×m sè nguyªn d−¬ng n biÕt r»ng: a) 32 < 2n < 128; b) 2.16 ≥ 2n > 4; c) 9.27 ≤ 3n ≤ 243. ( x − 5)( x−6)
( x +6)( x +5)
Bµi 8: Cho biÓu thøc P = ( x − 4) . Hjy tÝnh gi¸ trÞ cña P víi x = 7 ? Bµi 9: So s¸nh: a) 9920 vµ 999910; b) 321 vµ 231; c) 230 + 330 + 430 vµ 3.2410. Bµi 10: Chøng minh nÕu a = x3y; b = x2y2; c = xy3 th× víi bÊt k× sè h÷u tØ x vµ y nµo ta còng cã: ax + b2 – 2x4y4 = 0 ? Bµi 11: Chøng minh ®¼ng thøc: 1 + 2 + 22 + 23 + … + 299 + 2100 = 2101 – 1.
22
Gi¸o ¸n : Båi d−ìng häc sinh giái líp 7 Chuyªn ®Ò: TÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau. I. Môc tiªu KiÕn thøc :- N¾m ®−îc c¸c kiÕn thøc, c«ng thøc, quy t¾c c¸c tÝnh chÊt dRy tØ sè b»ng nhau vµ mét sè kiÕn thøc më réng do gi¸o viªn cung cÊp Kü n¨ng :- Cã kÜ n¨ng sö dông chÝnh x¸c tÝnh chÊt dRy tØ sè b»ng nhau trong viÖc lµm bµi tËp, ®Æc biÖt lµ ph¶i hoµn thiÖn kÜ n¨ng tr×nh bµy khoa häc s¸ng sña vµ ®óng khi ®øng tr−íc mét bµi tËp ®R biÕt ®−îc ®−êng lèi gi¶i quyÕt Th¸i ®é :- NhËn thÊy chuyªn ®Ò tÝnh chÊt dRy tØ sè b»ng nhau lµ mét trong nh÷ng chuyªn ®Ò quan träng nhÊt cña ch−¬ng tr×nh to¸n 7 tõ ®ã cã th¸i ®é nghiªm tóc trong viÖc häc tËp nghiªn cøu c¸c d¹ng to¸n trong chuyªn ®Ò II. ChuÈn bÞ : Gi¸o ¸n båi giái to¸n 7 C¸c tµi liÖu t− liÖu s−u tËp qua s¸ch b¸o, héi th¶o chuyªn m«n III. TiÕn tr×nh tiÕt d¹y : Bµi 1: Cho tØ lÖ thøc a)
a+b c+d = ; b d
a c = . Chøng minh r»ng: b d a −b c−d b) = ; b d
Bµi 2: T×m hai sè x vµ y biÕt: a)
x 7 = vµ 5x – 2y = 87; y 3
b)
x y = vµ 2x – y = 34; 19 21
Bµi 3: T×m c¸c sè a, b, c biÕt r»ng: 2a = 3b; 5b = 7c vµ 3a + 5c – 7b = 30. Bµi 4: T×m c¸c sè x; y; z biÕt r»ng: x y y z = ; = vµ 2x + 3y – z = 186; 3 4 5 7 2x 3y 4z c) 3x = 2y; 7y = 5z vµ x – y + z = 32; d) = = vµ x + y + z = 49; 3 4 5 x −1 y − 2 z − 3 e) = = vµ 2x + 3y – z = 50; 2 3 4
a)
x y z = = vµ 5x + y – 2z = 28; 10 6 24
b)
Bµi 5: T×m c¸c sè x; y; z biÕt r»ng: a)
x y z = = vµ xyz = 810; 2 3 5
b)
x 3 y3 z3 = = vµ x2 + y2 + z2 = 14. 8 64 216
Bµi 6: T×m c¸c sè x; y; z biÕt r»ng: y + z +1 x + z + 2 x + y − 3 1 = = = ; x y z x+y+z 1 + 2y 1 + 4y 1 + 6y 2x + 1 3y − 2 2x + 3y − 1 b) = = ; c) = = 18 24 6x 5 7 6x
a)
23
Gi¸o ¸n : Båi d−ìng häc sinh giái líp 7 a b c . T×m gi¸ trÞ cña mçi tØ sè , , b+c c+a a+b 2a + 13b 2 c + 1 3d . Chøng minh r»ng: a = c . = 3a − 7 b 3c − 7 d b d
Bµi 7: Cho ba tØ sè b»ng nhau: Bµi 8: Cho tØ lÖ thøc: Bµi 9: Cho tØ lÖ thøc: a)
5a + 3b 5c + 3d = 5a − 3b 5c − 3d
a c = b d
;
7 a 2 + 3ab 7c 2 + 3cd . = 11a 2 − 8b 2 11c 2 − 8d 2 bz − cy cx − az a y − b x . Chøng = = a b c
b)
Bµi 10: Cho djy tØ sè : x y z = = a b c
; Chøng minh r»ng:
minh r»ng:
.
Bµi 11: Cho 4 sè a1; a2; a3; a4 tho¶ mjn: a22 = a1.a3 vµ a32 = a2.a4. Chøng minh r»ng:
a13 + a 32 + a 33 a1 = . a 32 + a 33 + a 34 a 4
Bµi 12*: Cho tØ lÖ thøc :
a2 + b2 ab = 2 2 c + d cd
. Chøng minh r»ng: a = c .
24
b
d
®ã ?
Gi¸o ¸n : Båi d−ìng häc sinh giái líp 7
Chuyªn ®Ò: TÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau (TiÕp theo) I. Môc tiªu KiÕn thøc : - N¾m ®−îc c¸c kiÕn thøc, c«ng thøc, quy t¾c c¸c tÝnh chÊt dRy tØ sè b»ng nhau vµ mét sè kiÕn thøc më réng do gi¸o viªn cung cÊp Kü n¨ng : - Cã kÜ n¨ng sö dông chÝnh x¸c tÝnh chÊt dRy tØ sè b»ng nhau trong viÖc lµm bµi tËp, ®Æc biÖt lµ ph¶i hoµn thiÖn kÜ n¨ng tr×nh bµy khoa häc s¸ng sña vµ ®óng khi ®øng tr−íc mét bµi tËp ®R biÕt ®−îc ®−êng lèi gi¶i quyÕt Th¸i ®é : - NhËn thÊy chuyªn ®Ò tÝnh chÊt dRy tØ sè b»ng nhau lµ mét trong nh÷ng chuyªn ®Ò quan träng nhÊt cña ch−¬ng tr×nh to¸n 7 tõ ®ã cã th¸i ®é nghiªm tóc trong viÖc häc tËp nghiªn cøu c¸c d¹ng to¸n trong chuyªn ®Ò - II. ChuÈn bÞ : Gi¸o ¸n båi giái to¸n 7 C¸c tµi liÖu t− liÖu s−u tËp qua s¸ch b¸o, héi th¶o chuyªn m«n II. TiÕn tr×nh tiÕt d¹y : Bµi 1: T×m ph©n sè a biÕt r»ng nÕu céng thªm cïng mét sè kh¸c 0 vµo tö vµ mÉu b
th× gi¸ trÞ cña ph©n sè ®ã kh«ng thay ®æi ? Më réng: Víi mét ph©n sè bÊt kú
a b
ta céng thªm vµo a sè x, céng thªm vµo b sè
y. Hjy t×m quan hÖ cña x vµ y ®Ó gi¸ trÞ cña ph©n sè céng ? Bµi 2: Cho
a b c = = ; b c a
a b
kh«ng thay ®æi sau khi
CMR: a = b = c; víi gi¶ thiÕt c¸c tØ sè ®Òu cã nghÜa.
Bµi 3: Cho ba tØ sè b»ng nhau:
a b c , , b+c c+a a+b
. T×m gi¸ trÞ cña mçi tØ sè ®ã ?
a c ; Chøng minh r»ng : = b d 2 2 a) 5a + 3b = 5c + 3d ; b) 7 a 2 + 3ab2 = 7c 2 + 3cd2 . 5a − 3b 5c − 3d 11a − 8b 11c − 8d 5: Cho tØ lÖ thøc: 2 a + 1 3 b = 2 c + 1 3d ; Chøng minh r»ng: a = c . 3a − 7 b 3c − 7 d b d 3 6: Cho a = b = c . CMR: a + b + c = a ; víi gi¶ thiÕt c¸c tØ sè ®Òu cã b c d d b+c+d 7: Cho djy tØ sè b»ng nhau: a 1 = a 2 = a 3 = ... = a 2 0 0 8 a2 a3 a4 a 2009
Bµi 4: Cho tØ lÖ thøc:
Bµi Bµi Bµi
CMR: Ta cã ®¼ng thøc:
a1 a 2009
a + a 2 + a 3 + ... + a 2 0 0 8 = 1 a 2 + a 3 + a 4 + ... + a 2 0 0 9
2008
Bµi 8: Cho 4 sè a1; a2; a3; a4 tho¶ mjn: a22 = a1.a3 vµ a32 = a2.a4. a13 + a 32 + a 33 a1 Chøng minh r»ng: 3 3 3 = . a2 + a3 + a4 a4
25
nghÜa.
Gi¸o ¸n : Båi d−ìng häc sinh giái líp 7 bz − cy cx − az a y − b x ; CMR: x = = = a a b c a b' b c' ’ ’ ’ + = 1; + = 1 . CMR: abc + a b c = 0. ' ' a b b c 2 2 thøc : a 2 + b 2 = a b . Chøng minh r»ng: a = b c + d cd
Bµi 9: Cho djy tØ sè : Bµi 10: Cho biÕt : Bµi 11*: Cho tØ lÖ
y z = b c
c d
.
.
Bµi 12: T×m c¸c sè x, y, z biÕt : a) x : y : z = 3 : 4 : 5 vµ 5z2 – 3x2 – 2y2 = 594; b) x + y = x : y = 3.(x – y) Bµi 13: T×m hai sè h÷u tØ a vµ b biÕt r»ng hiÖu cña a vµ b b»ng th−¬ng cña a vµ b vµ b»ng hai lÇn tæng cña a vµ b ? Bµi 14: Cho 2002 sè tù nhiªn, trong ®ã cø 4 sè bÊt kú trong chóng ®Òu lËp nªn mét tØ lÖ thøc. CMR: trong c¸c sè ®ã lu«n lu«n tån t¹i Ýt nhÊt 501 sè b»ng nhau. Bµi 15: Cã 130 häc sinh thuéc ba líp 7A, 7B, 7C cña mét tr−êng cïng tham gia trång c©y. Mçi häc sinh cña 7A, 7B, 7C theo thø tù trång ®−îc 2 c©y, 3 c©y, 4 c©y. Hái mçi líp cã bao nhiªu häc sinh tham gia trång c©y biÕt r»ng sè c©y trång ®−îc cña ba líp b»ng nhau ?
H−íng dÉn gi¶i : Bµi 11: Ta cã : ⇒
a2 + b2 ab = cd c2 + d 2
= 2 ab 2 cd
2
=
a 2 + 2 ab + b 2 (a + b ) ab (a + b )(a + b ) = a.b = = ⇒ 2 2 2 c + 2cd + d (c + d ) cd (c + d )(c + d ) c.d
;
c (a + b ) b(c + d ) ca + cb bc + bd ca − bd a c = = = = = 1 ⇒ ca + cb = ac + ad ⇒ cb = ad ⇒ = a (c + d ) d (a + b ) ac + ad da + db ca − bd b d
Bµi 12: a) §¸p sè: x = 9; y = 12; z = 15 hoÆc x = - 9; y = - 12; z = - 15. b) Tõ ®Ò bµi suy ra: 2y(2y – x) = 0, mµ y kh¸c 0 nªn 2y – x = 0, do ®ã : x = 2y. Tõ ®ã t×m ®−îc : x = 4/3; y = 2/3. Bµi 13: Rót ra ®−îc: a = - 3b, tõ ®ã suy ra : a = - 2,25; b = 0,75. Bµi 14: NhËn xÐt: Trong 2002 sè ®j cho chØ nhËn nhiÒu nhÊt 4 gi¸ trÞ kh¸c nhau. ThËt vËy: Gi¶ sö cã nhiÒu h¬n 4 gi¸ trÞ kh¸c nhau, ta gäi a1 < a2 < a3 < a4 < a5 lµ 5 sè kh¸c nhau bÊt kú. Khi ®ã víi 4 sè ®Çu tiªn ta cã: a1.a2 kh¸c a3a4; a1a3 kh¸c a2a4; ChØ cã thÓ a1a4 = a2a3 (1) Nh−ng khi ®ã víi 4 sè a1, a2, a3, a5 th× còng cã a1a5 = a2a3 (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra a1a4 = a1a5 suy ra a4 = a5 v« lý. VËy cã Ýt nhÊt 2002 div 4 + 1= 501 sè b»ng nhau. 26
Gi¸o ¸n : Båi d−ìng häc sinh giái líp 7 häc sinh giái huyÖn M«n: To¸n 7 Thêi gian lµm bµi: 120 phót (kh«ng kÓ giao ®Ò) §Ò 1.1 A/ PhÇn ®Ò chung C©u 1 (1,5®iÓm): a. (0,75®) TÝnh tæng B = 1+5+52+53+… +52008+52009
1 1 1 1 + + 1 : − − 1 25 625 5 25
b. (0,75®) Thùc hiÖn phÐp tÝnh C©u 2 (2®iÓm):
2x + 1 3 y − 2 2x + 3 y − 1 = = 5 7 6x x +1 x +1 x +1 x +1 x +1 b. (1®) T×m x biÕt + + = + 10 11 12 13 14
a. (1®) T×m x, y biÕt :
C©u 3 (1,5®iÓm): 2 3
VÏ ®å thÞ hµm sè: y = - x C©u 4 (3®iÓm): a. (1,5®) HiÖn nay anh h¬n em 8 tuæi. Tuæi cña anh c¸ch ®©y 5 n¨m vµ tuæi cña em sau 8 n¨m n÷a tØ lÖ víi 3 vµ 4. Hái hiÖn nay anh bao nhiªu tuæi? Em bao nhiªu tuæi? b. (1,5®) Cho ∆ABC (gãc A=900). KÎ AH ⊥ BC, kÎ HP ⊥ AB vµ kÐo dµi ®Ó cã PE = PH. KÎ HQ ⊥ AC vµ kÐo dµi ®Ó cã QF = QH. a./ Chøng minh ∆ APE = ∆ APH vµ ∆ AQH = ∆ AQF b./ Chøng minh 3 ®iÓm E, A, F th¼ng hµng. B/ PhÇn ®Ò riªng C©u 5 A (2®iÓm): (Dµnh cho häc sinh chuyªn to¸n) a. (1,5®) TÝnh tæng S = 1 + 2 + 5 + 14 + …+
3n−1 + 1 (víi n ∈ Z+) 2
b. (0,5®) Cho ®a thøc f(x) = x4 + 2x3 – 2x2 – 6x + 5 Trong c¸c sè sau: 1, -1, 5, -5 sè nµo lµ nghiÖm cña ®a thøc f(x) C©u 5 B (2®iÓm): (Dµnh cho häc sinh kh«ng chuyªn to¸n) a. (1,5®) T×m x ∈ Z ®Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn A=
5x − 2 x−2
b. (0,5®) Chøng minh r»ng: 76 + 75 – 74 chia hÕt cho 55
27
Gi¸o ¸n : Båi d−ìng häc sinh giái líp 7 ®¸p ¸n 1.1 I. PhÇn ®Ò chung C©u 1 (1,5®) a. (0,75®) - Nh©n 2 vÕ tæng B víi 5 - LÊy 5B - B rót gän vµ tÝnh ®−îc B = b. (0,75®)
5 2010 − 1 4
- Khai c¨n råi quy ®éng 2 ngoÆc
- Thùc hiÖn phÐp chia ®−îc kÕt qu¶ b»ng -1
2 29
C©u 2 (2®) (1®) - ¸p dông tÝnh chÊt djy TSBN cho tØ sè (1) vµ (2) ®−îc tØ sè (4) a. Tõ tØ sè (3) vµ tØ sè (4) ta cã 6x + 12 ⇒ x = 2 tï ®ã tÝnh ®−îc y = 3 b. (1®) - ChuyÓn c¸c sè h¹ng ë vÕ ph¶i sang vÕ tr¸i - §Æt thõa sè chung ®−a vÒ 1 tÝch b»ng 0 - TÝnh ®−îc x = -1 C©u 3 (1,5®) (Mçi ®å thÞ cho 0,75®) 2 3
2 3
y = - x = - x víi x ≥ 0 2 x víi x < 0 3
C©u 4 (3®) a. (1,5®) - Gäi tuæi anh hiÖn nay lµ x (x > 0), tuæi em hiÖn nay lµ y (y>0) → tuæi anh c¸ch ®©y 5 n¨m lµ x – 5 Tuæi cña em sau 8 n¨m n÷a lµ y + 8 Theo bµi cã TLT:
x −5 y +8 = vµ x - y = 8 3 4
Tõ ®ã tÝnh ®−îc: x = 20; y = 12 - VËy tuæi anh hiÖn nay lµ 20 tuæi em lµ 12 b. (1,5®) - APE = APH (CH - CG ⊥ ) - AQH = AQF (CH - CG ⊥ ) - gãc EAF = 1800 ⇒ E, A, F th¼ng hµng II. PhÇn ®Ò riªng C©u 5A (2®) a. (1,5®) - BiÕn ®æi S =
1 30 3 3 2 3n−1 ⋅ n + ( + + + ... + ) 2 2 2 2 2
- §−a vÒ d¹ng 3S – S = 2S - BiÕn ®æi ta ®−îc S =
2n + 3n − 1 (n ∈ Z + ) 4
b. (0,5®) - NghiÖm l¹i c¸c gi¸ trÞ 1, -1, 5, -5 vµo ®a thøc - Gi¸ trÞ nµo lµm cho ®a thøc b»ng 0 th× gi¸ trÞ ®ã lµ nghiÖm 28
Gi¸o ¸n : Båi d−ìng häc sinh giái líp 7 C©u 5 B (2®) a. (1,5®) A = 5 +
8 x−2
A nguyªn ⇔
8 nguyªn ⇔ x – 2 ∈ − (8) x−2
LËp b¶ng x
-
-
-
-
1
2
4
8
x
-
-
0
1
3
4
6
10
V× x ∈ Z ⇒ x = {-6; -2; 0; 1; 3; 4; 6; 10} th× A ∈ Z b. (0,5®) 76 + 75 – 74 = 74 (72 + 7 – 1) = 74 . 55 ⋮ 55
29
Gi¸o ¸n : Båi d−ìng häc sinh giái líp 7 §Ò thi häc sinh giái huyÖn M«n: To¸n 7 Thêi gian lµm bµi: 120 phót (kh«ng kÓ giao ®Ò) §Ò 1.2 A/ PhÇn ®Ò chung C©u 1 (1,5®iÓm) a,(1®) TÝnh tæng: M = -
4 4 4 4 − − −⋯− (n + 4 )n 1.5 5.9 9.13
b,(0,5®) T×m x biÕt: -4x(x – 5) – 2x(8 – 2x) = -3 C©u 2 (1,5®iÓm) a,(1®) T×m x, y, z biÕt: x3 y3 z3 vµ x2 + y2 + z2 = 14 = = 8 64 216
b.(0,5®) Cho x1 + x2 + x3 + …+ x50 + x51 = 0 vµ x1 + x2 = x3 + x4 = x5 + x6 = … = x49 + x50 = 1 tÝnh x50 C©u 3 (2®iÓm) 1,(1®) Trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é, cho 2 ®iÓm M(-3;2) vµ N(3;-2). Hjy gi¶i thÝch v× sao gèc to¹ ®é O vµ hai ®iÓm M, N lµ 3 ®iÓm th¼ng hµng? x2 1 3 1 1 4 − x + x − − x + x 2 2 2 2 2
2.(1®) Cho ®a thøc: Q(x) = x a./ T×m bËc cña ®a thøc Q(x) 1 b./ TÝnh Q − 2
c./ Chøng minh r»ng Q(x) nhËn gi¸ trÞ nguyªn víi mäi sè nguyªn x C©u 4 (3®iÓm) a.(1®) Ba tæ c«ng nh©n A, B, C ph¶i s¶n xuÊt cïng mét sè s¶n phÈm nh− nhau. Thêi gian 3 tæ hoµn thµnh kÕ ho¹ch theo thø tù lµ 14 ngµy, 15 ngµy vµ 21 ngµy. Tæ A nhiÒu h¬n tæ C lµ 10 ng−êi. Hái mçi tæ cã bao nhiªu c«ng nh©n? (N¨ng suÊt lao ®éng cña c¸c c«ng nh©n lµ nh− nhau) b.(2®) Cho h×nh vu«ng ABCD. Trªn nöa mÆt ph¼ng chøa ®iÓm B bê lµ ®−êng th¼ng AD vÏ tia AM (M ∈ CD) sao cho gãc MAD = 200. Còng trªn nöa mÆt ph¼ng nµy vÏ tia AN (N ∈ BC) sao cho gãc NAD = 650. Tõ B kÎ BH ⊥ AN (H ∈ AN) vµ trªn tia ®èi cña tia HB lÊy ®iÓm P sao cho HB = HP chøng minh: a./ Ba ®iÓm N, P, M th¼ng hµng b./ TÝnh c¸c gãc cña ∆ AMN B/ PhÇn ®Ò riªng C©u 5 A. (2®iÓm) Dµnh cho häc sinh chuyªn a.(1®) Chøng minh r»ng: 222333 + 333222 chia hÕt cho 13 b.(1®) T×m sè d− cña phÐp chia 109345 cho 7 C©u 5 B. (2®iÓm) Dµnh cho häc sinh kh«ng chuyªn a.(1®) T×m sè nguyªn d−¬ng n biÕt 30
Gi¸o ¸n : Båi d−ìng häc sinh giái líp 7 4 5 + 4 5 + 4 5 + 45 6 5 + 6 5 + 65 + 65 + 6 5 + 6 5 ⋅ = 2n 5 5 5 5 5 3 +3 +3 2 +2
b.(1®) Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn d−¬ng n th×: 3n+3 + 2n+3 – 3n+2 + 2n+2 chia hÕt cho 6 ®¸p ¸n 1.2 I. PhÇn ®Ò chung C©u 1 (1,5®) a. (1®)- §−a dÊu “ – “ ra ngoµi dÊu ngoÆc - T¸ch mét ph©n sè thµnh hiÖu 2 ph©n sè råi rót gän ®−îc A = b. (0,5®)
BiÕn ®æi råi rót gän ta ®−îc x = -
1 −1 n
3 4
C©u 2 (1,5®) a. (1®)- BiÕn ®æi c¸c mÉu d−íi d¹ng lËp ph−¬ng ®−a vÒ d¹ng
a c e = = b d f
- ¸p dông tÝnh chÊt djy TSBN råi t×m x, y, z b. (0,5®) KÕt qu¶ x50 = 26 C©u 3 (2®) a. (1®) Gäi ®−êng th¼ng (d) ®i qua O vµ M(-3;2) lµ ®å thÞ hµm sè d¹ng y = ax (a ≠ 0) tõ ®ã tÝnh a ®Ó x¸c ®Þnh hµm sè ⇒ OM lµ ®å thÞ hµm sè. - KiÓm tra ®iÓm N(3;-2) cã thuéc ®å thÞ hµm sè kh«ng? → kÕt luËn: O, M, N th¼ng hµng x3 − x 2 ⇒ bËc Q(x) lµ 3 2 −1 1 1 1 − (− ) 3 − (− ) 2 1 8 4 = −3 2 2 - Q(- ) = = 2 2 2 16 2 x ( x − 1) - Q(x) = lµ mét sè ch½n ⇒ Q(x) ∈ Z 2
b. (1®) - Thu gän Q(x) =
(0,25®) (0,25®) (0,5®)
C©u 4(3®) a. (1®) Gäi sè ng−êi tæ A, tæ B, tæ C lÇn l−ît lµ x, y,z tØ lÖ nghÞch víi 14, 15, 21 ⇒ x, y, z TLT víi
1 1 1 ; ; Tõ ®ã tÝnh ®−îc x = 30; y = 28; z = 20 14 15 21
b. (2®) * - BNA = PNA (c.c.c) ⇒ gãc NPA = 900 (1) - ∆ DAM = ∆ PAM (c.g.c) ⇒ gãc APM = 900 (2) Tõ (1) vµ (2) ⇒ gãc NPM = 1800 ⇒ KÕt luËn * Gãc NAM = 450 ; gãc ANP = 650; gãc AMN = 700 31
Gi¸o ¸n : Båi d−ìng häc sinh giái líp 7 II. phÇn ®Ò riªng C©u 5 A (2®) a. (1®) 222333 + 333222 = 111333.2333 + 111222.3222 = 111222[(111.23)111 + (32)111] = 111222 (888111 + 9111) V× 888111 + 9111 = (888 + 9)(888110 – 888109.9 + … - 888.9109 + 9110) = 13.69 (888110 – 888109.9 + …- 888109 + 9110) ⋮ 13 ⇒ KL b. (1®) Ta cã 109345 = (109345 – 4345) + (4345 – 1) + 1. v× 109345 – 4345 ⋮ 7 4345 – 1 ⋮ 7 ⇒ 109345 chia hÕt cho 7 d− 1 C©u 5 B (2®) §¸p ¸n 2 a. (1®) VT: - §−a tæng c¸c luü thõa b»ng nhau d−íi d¹ng tÝch vµ biÕn ®æi ®−îc 212 ⇒ n = 12 b. (1®) - Nhãm sè h¹ng thø nhÊt víi sè h¹ng thø 3 råi ®Æt TSC. Sè h¹ng thø 2 víi sè hµng thø 4 råi ®Æt TS C - §−a vÒ mét tæng cã c¸c sè h¹ng ⋮ cho 2 vµ 3 mµ UCLN(2;3) = 1 ⇒ tæng ⋮ 6
32
Gi¸o ¸n : Båi d−ìng häc sinh giái líp 7
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN M«n: To¸n 7 Thêi gian lµm bµi: 120 phót (kh«ng kÓ giao ®Ò) §Ò 1.3 A/ PhÇn ®Ò chung C©u 1 (2,5®iÓm): a.
(1,75®) TÝnh tæng: M = 3
1 1 1 761 4 5 ⋅ − ⋅4 − + 417 762 139 762 417.762 139
b.
(0,75®) TÝnh gi¸ trÞ cña ®a thøc sau t¹i x = -1 x2 + x4 + x6 + x8 + … + x100 C©u 2 (1®iÓm): a. b.
3x − y 3 x = tÝnh gi¸ trÞ cña x+ y 4 y a c 2a + 3b 2c + 3d (0,5®) Cho tØ lÖ thøc = chøng minh r»ng = b d 2a − 3b 2c − 3d
(0,5®) Cho tØ lÖ thøc
C©u 3 (2,5®iÓm): a.
1 3
(1,5®) Cho hµm sè y = - x vµ hµm sè y = x -4 1 3
* VÏ ®å thÞ hµm sè y = - x * Chøng tá M(3;-1) lµ giao cña hai ®å thÞ hµm sè trªn * TÝnh ®é dµi OM (O lµ gèc to¹ ®é) b. (1®) Mét «t« t¶i vµ mét «t« con cïng khëi hµnh tõ A B, vËn tèc «t« con lµ 40km/h, vËn tèc «t« t¶i lµ 30km/h. Khi «t« t¶i ®Õn B th× «t« con ®j ®Õn B tr−íc 45 phót. TÝnh ®é dµi qujng ®−êng AB. C©u 4 (2®iÓm): Cho ∆ ABC cã gãc A = 900, vÏ ph©n gi¸c BD vµ CE (D ∈ AC ; E ∈ AB) chóng c¾t nhau t¹i O. a. (0,5®) TÝnh sè ®o gãc BOC b. (1®) Trªn BC lÊy ®iÓm M vµ N sao cho BM = BA; CN = CA chøng minh EN// DM c. (0,5®) Gäi I lµ giao cña BD vµ AN chøng minh ∆ AIM c©n. B/ PhÇn ®Ò riªng C©u 5 A (2®iÓm): Dµnh cho häc sinh chuyªn b. (1®) Chøng minh r»ng ®a thøc sau kh«ng cã nghiÖm: P(x) = 2x2 + 2x + c.
5 4
(1®) Chøng minh r»ng: 2454.5424.210 chia hÕt cho 7263
C©u 5 B (2®iÓm): Dµnh cho häc sinh kh«ng chuyªn a. (1®) T×m nghiÖm cña ®a thøc 5x2 + 10x b. (1®) T×m x biÕt: 5(x-2)(x+3) = 1
33
Gi¸o ¸n : Båi d−ìng häc sinh giái líp 7 ®¸p ¸n 1.3 I. PhÇn ®Ò chung C©u 1 (2,5®) a. (2®)
1 1 1 ;b= ;c= 417 762 139 3 - Rót gän råi thay gi¸ trÞ a, b, c vµo ta tÝnh ®−îc M = 762
- BiÕn ®æi M d−íi d¹ng mét tæng råi ®Æt a =
b. (0,5®)
(-1)2 + (-1)4 + (-1)6 + … + (-1)100 = 1 + 1 +1 + … + 1 = 50
C©u 2 (1®) a.
(0,5®) ¸p dông tÝnh chÊt cña tØ lÖ thøc
a c x 7 = ⇒ ad = bc ⇒ = b d y 9 a c a b 2a 3b 2a + 3b 2a − 3b 2a + 3b 2c + 3d b. (0,5®) Tõ = ⇒ = ⇒ = = = ⇒ = b d c d 2c 3d 2c + 3d 2c − 3d 2a − 3b 2c − 3d
C©u 3 (2,5®) a. (1,5®) 1 3
* VÏ ®å thÞ hµm sè y = - x 1 3
* Tõ 2 hµm sè trªn ta ®−îc ph−¬ng tr×nh hoµnh ®é - x = x -4 1 3
- Thay ®iÓm M(3; -1) vµo ph−¬ng tr×nh hoµnh ®é ta ®−îc - . 3 = 3 – 4 = -1 ⇒ M(3; -1) lµ giao cña 2 ®å thÞ hµm sè trªn.
* Trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é ta thÊy ∆OMP vu«ng t¹i P ⇒ OM 2 = OP 2 + PM 2 = 12 + 32 ⇒ OM = 1 + 9 = 10 (®v®d)
b. (1®) - §æi 45 phót =
45 3 h= h 60 4
- Gäi vËn tèc cña «t« t¶i vµ «t« con lµ v1 vµ v2 (km/h) t−¬ng øng víi thêi gian lµ t1 vµ t2 (h). Ta cã v1.t1 = v2.t2 - V× vËn tèc vµ thêi gian lµ hai ®¹i l−îng TLN ⇒ 3 . 4 = 3 (h) 4 3 9 T1 = ⋅ 3 = (h) 4 4
- TÝnh ®−îc t2 =
⇒ S = v2 . t2 = 3 . 30 = 90km
34
v1 t 2 3 = ; t2 – t1 = v2 t1 4
Gi¸o ¸n : Båi d−ìng häc sinh giái líp 7 C©u 4 (2®) a. (0,5®)
Cã gãc B + gãc C = 900
90 0 ⇒ gãc OBC + gãc BCO = = 45 0 (BD, CE lµ ph©n gi¸c) 2 0 ⇒ gãc BOC = 180 – 450 = 1350
b. (1®) ∆ ABD = ∆ MBD (c.g.c) gãc A = gãc M = 900 ⇒ DM ⊥ BC (1) ∆ ECN = ∆ ECA (c.g.c) gãc A = gãc N = 900 ⇒ EN ⊥ BC (2) Tõ (1) vµ (2) ⇒ EN // DM
B N I E
A
M O
D
c. (0,5®) ∆ IBA = ∆ IBM (c.g.c) ⇒ IA = IM thay ∆ IAM c©n t¹i I
II. PhÇn ®Ò riªng C©u 5 A (2®) a. (1®)
P(x) = (x+1)2 + x2 +
1 1 ≥ víi ∀ x 4 4
vËy P(x) kh«ng cã nghiÖm b. (1®)
2454 . 5424 . 210 = (23.3)54 . (2.33)24 . 210 = 2196 . 3126 7263 = (23 . 32)63 = 2189 . 3126 Tõ ®ã suy ra 2454 . 5424 . 210 ⋮ 7263
C©u 5 B (2®) a. (1®)
Cho 5x2 + 10x = 0 5 x = 0 x = 0 ⇒ 5x(x + 10) = 0 ⇔ ⇔ x + 10 = 0 x = −10
NghiÖm cña ®a thøc lµ x = 0 hoÆc x = -10 b. (1®)
x − 2 = 0 x = 2 ⇒ x + 3 = 0 x = −3
5(x-2)(x+3) = 1 = 50 ⇒ (x-2)(x+3) = 0 ⇔ VËy x = 2 hoÆc x = -3 35
C
Gi¸o ¸n : Båi d−ìng häc sinh giái líp 7 §Ò thi häc sinh giái huyÖn M«n: To¸n 7 Thêi gian lµm bµi: 120 phót (kh«ng kÓ giao ®Ò) §Ò 1.4 A/ PhÇn ®Ò chung C©u 1 (1,5®iÓm): a. (0,75®) TÝnh tæng M = 5
4 3 3 4 ⋅ 27 + 4 ⋅ ( −5 ) 23 47 47 23
b. (0,75®) Cho c¸c sè a1, a2, a3 …an mçi sè nhËn gi¸ trÞ lµ 1 hoÆc -1 BiÕt r»ng a1a2 + a2a3 + … + ana1 = 0. Hái n cã thÓ b»ng 2002 ®−îc hay kh«ng? C©u 2 (2 ®iÓm) a. (1®) T×m x biÕt
1+ 2y 1+ 4y 1+ 6y = = 18 24 6x
b. (1®) T×m x, y, z biÕt 3x = 2y; 7y = 5z vµ x – y + z = 32 C©u 3 (1,5®iÓm) Cho h×nh vÏ, ®−êng th¼ng OA lµ ®å thÞ hµm sè y = f(x) = ax (a ≠ 0) a. TÝnh tØ sè
yo − 2 xo − 4
y B
y0 2 1
b. Gi¶ sö x0 = 5 tÝnh diÖn tÝch ∆OBC
o
A 1 2
C 3
4 5
X0
x
C©u 4 (3®iÓm) a. (1®) Mét «t« t¶i vµ mét «t« con cïng khëi hµnh tõ A B, vËn tèc «t« con lµ 40km/h, vËn tèc «t« t¶i lµ 30km/h. Khi «t« t¶i ®Õn B th× «t« con ®j ®Õn B tr−íc 45 phót. TÝnh ®é dµi qujng ®−êng AB. b. (2®) Cho ∆ ABC, gäi M vµ N theo thø tù lµ trung ®iÓm cña AC vµ AB. Trªn tia ®èi cña tia MB lÊy ®iÓm D sao cho MD = MB, trªn tia ®èi cña tia NC lÊy ®iÓm E sao cho NE = NC. Chøng minh r»ng: • Ba ®iÓm E, A, D th¼ng hµng • A lµ trung ®iÓm cña ED B/ PhÇn ®Ò riªng C©u 5 A (2®iÓm) Dµnh cho häc sinh chuyªn a. (1®) So s¸nh 8 vµ 5 + 1 b. (1®) Cho hai ®a thøc P(x) = x2 + 2mx + m2 vµ Q(x) = x2 + (2m+1)x + m2 T×m m biÕt P(1) = Q(-1) C©u 5 B (2®iÓm) Dµnh cho häc sinh kh«ng chuyªn a. (1®) So s¸nh 2300 vµ 3200 b. (1®) TÝnh tæng A = 1 + 2 + 22 + … + 22010 36
Gi¸o ¸n : Båi d−ìng häc sinh giái líp 7 ®¸p ¸n ®Ò 1.4 I. PhÇn ®Ò chung C©u 1 (1,5®) a. (0,75®) - BiÕn ®æi M d−íi d¹ng mét tæng - §Æt b. (0,75®)
1 =a ; 23
1 =b 47
- Rót gän råi thay gi¸ trÞ cña a, b vµo ®−îc A = 119 XÐt gi¸ trÞ cña mçi tÝch a1a2, a2a3, …ana1
⇒ sè tÝch cã gi¸ trÞ b»ng 1 b»ng sè tÝch cã gi¸ trÞ b»ng -1 vµ b»ng
n 2
v× 2002 ⋮ 2 ⇒ n = 2002 C©u 2 (2®) 1 + 2 y (1) 1 + 4 y ( 2) 1 + 6 y (3) = = 18 24 6x
a. (1®) T×m x biÕt
- ¸p dông tÝnh chÊt djy TSBN cho tØ sè (1) vµ (3) ®−îc tØ sè (4) - XÐt mèi quan hÖ gi÷a tØ sè (4) vµ (2) ⇒ 6x = 2 . 24 = 48 ⇒ x = 8 b. (1®)
- §−a vÒ d¹ng
a c e = = b d f
- ¸p dông tÝnh chÊt djy TSBN ⇒ tÝnh x, y, z C©u 3 (1,5®) a. (0,75®) - Trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é ta thÊy ®iÓm B(x0;y0) ∈ ®å thÞ hµm sè y = f(x) = ax y0 =a x0 1 y ⇒ a= = 0 2 x0 y0 2 y0 − 2 = = x 0 4 x0 − 4
⇒ y0 = ax0
Mµ A(2;1)
b. (0,75®)
⇒
- ∆ OBC vu«ng t¹i C
1 1 OC.BC = OC. y 0 2 2 1 5 Víi x0 = 5 ⇒ S ∆OBC = ⋅ 5 ⋅ = 6,25 (®vdt) 2 2 ⇒ S ∆OBC =
C©u 4 (3®) a. (1®)
- §æi 45 phót =
45 3 h= h 60 4
- Gäi vËn tèc cña «t« t¶i vµ «t« con lµ v1 vµ v2 (km/h) t−¬ng øng víi thêi gian lµ t1 vµ t2 (h). Ta cã v1.t1 = v2.t2 - V× vËn tèc vµ thêi gian lµ hai ®¹i l−îng TLN ⇒ - TÝnh ®−îc t2 =
3 . 4 = 3 (h) 4
t1 =
3 9 ⋅ 3 = (h) 4 4
⇒ S = v2 . t2 = 3 . 30 = 90km
37
v1 t 2 3 = ; t2 – t1 = v2 t1 4
Gi¸o ¸n : Båi d−ìng häc sinh giái líp 7 b. (2®) - ∆ MAD = ∆ MCB (c.g.c) ⇒ gãc D = gãc B ⇒ AD // BC (1) - ∆ NAE = ∆ NBC (c.g.c) ⇒ gãc E = gãc C ⇒ AE // BC (2) Tõ (1) vµ (2) ⇒ E, A, D th¼ng hµng - Tõ chøng minh trªn ⇒ A lµ trung ®iÓm cña ED
E
A N M
B
II. PhÇn ®Ò riªng C©u 5 A (2®) a. (1®) So s¸nh 8 vµ 5 + 1 ta cã 2 < 5 ⇒ 2 + 6 < 5 + 6 = 5 + 5 + 1 ⇒ 8 < ( 5 + 1) 2 ⇒ 8 < 5 + 1 b. (1®) - Thay gi¸ trÞ cña x vµo 2 ®a thøc - Cho 2 ®a thøc b»ng nhau ta tÝnh ®−îc m = C©u 5 B (2®) a. (1®) Ta cã 2 300 = (2 3 )100 3 200 = (32 )100 ⇒ 3200 > 2300 b. (1®)
- Nh©n hai vÕ cña tæng víi A víi 2 - LÊy 2A – A rót gän ®−îc A =
2 2010 − 1 2
38
D
1 4
C
Gi¸o ¸n : Båi d−ìng häc sinh giái líp 7
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN Môn: Toán 7 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể giao đề) §Ò 1.5 A/ PhÇn ®Ò chung C©u 1 (1,5 ®iÓm):
1 1 1 3 3 3 − − 0,6 − − − 25 125 625 (1®) TÝnh tæng: A = 9 7 11 + 4 4 4 4 4 4 − − − 0,16 − − 9 7 11 5 125 625
a. (0,5®) T×m c¸c sè a1, a2, a3, … a9 biÕt
a −9 a1 − 1 a2 − 2 a3 − 3 = = = ... = 9 vµ a1 + a2 + a3 + … + a9 = 90 9 8 7 1
C©u 2 (2 ®iÓm) 1+ 3y 1 + 5y 1 + 7 y = = 12 5x 4x b. (1®) ChØ ra c¸c cÆp (x;y) tho¶ mjn x 2 + 2 x + y 2 − 9 = 0
a. (1®) T×m x, y biÕt
C©u 3 (1,5®iÓm) a.(1®)Cho hµm sè y = f(x) = x + 1 víi x ≥ -1 -x – 1 víi x < -1 * ViÕt biÓu thøc x¸c ®Þnh f * T×m x khi f(x) = 2 b. (0,5®) Cho hµm sè y =
2 x 5
* VÏ ®å thÞ hµm sè * T×m trªn ®å thÞ ®iÓm M cã tung ®é lµ (-2), x¸c ®Þnh hoµnh ®é M (gi¶i b»ng tÝnh to¸n). C©u 4 (3®iÓm) a. (1®) Mét «t« dù ®Þnh ®i tõ A ®Õn B trong mét thêi gian dù ®Þnh víi vËn tèc 40km/h. Sau khi ®i ®−îc 1/2 qujng ®−êng AB th× «t« t¨ng vËn tèc lªn 50km/h trªn qujng ®−êng cßn l¹i. Do ®ã «t« ®Õn B sím h¬n dù ®Þnh 18 phót. TÝnh qujng ®−êng AB. b. (2®) Cho ∆ ABC vu«ng c©n ë A, M lµ trung ®iÓm cña BC, ®iÓm E n»m gi÷a M vµ C. KÎ BH, CK vu«ng gãc víi AE (H vµ K thuéc ®−êng th¼ng AE). Chøng minh r»ng:* BH = AK * ∆ MBH = ∆ MAK * ∆ MHK lµ tam gi¸c vu«ng c©n B/ PhÇn ®Ò riªng C©u 5 A (2®iÓm) Dµnh cho häc sinh chuyªn a. (1®) T×m c¸c sè x, y, z tho¶ mjn ®¼ng thøc ( x − 2 ) 2 + ( y + 2) 2 + x + y + z = 0 b. (1®) T×m x, y, z biÕt: x + y = x : y = 3(x – y) C©u 5 B (2®iÓm) Dµnh cho häc sinh kh«ng chuyªn a. (1®) T×m x biÕt: 2x + 2x+1 + 2x+2 + 2x+3 = 120
39
Gi¸o ¸n : Båi d−ìng häc sinh giái líp 7 1−
b. (1®) Rót gän biÓu thøc sau mét c¸ch hîp lÝ: A =
1 1 1 + − 49 49 (7 7) 2 2
64 4 2 4 − + − 2 7 7 343
§¸p ¸n 1.5 I. phÇn ®Ò chung C©u 1 (1,5®: mçi ý ®óng 0,75®) a. A = 1 b. ¸p dông tÝnh chÊt cña djy TSBN ta tÝnh ®−îc a1 = a2 = … = a9 = 10 C©u 2 (2®iÓm: mçi ý ®óng 1®) a. - ¸p dông tÝnh chÊt djy TSBN cho tØ sè (1) vµ (3) ®−îc tØ sè (4) - Tõ tØ sè (4) vµ tØ sè (2) 12 + 4x = 2.5x x = 2 1 15 2 2 - V× x + 2 x ≥ 0 vµ y − 9 ≥ 0
- Tõ ®ã tÝnh ®−îc y = b.
⇒ x2 + 2x = 0 vµ y2 – 9 = 0 tõ ®ã t×m c¸c cÆp (x;y)
C©u 3 (1,5®) a. (1®) - BiÓu thøc x¸c ®Þnh f(x) = x + 1 - Khi f(x) = 2 ⇒ x + 1 = 2 tõ ®ã t×m x b. (0,5®)
- VÏ ®å thÞ hµm sè y = x y
0 0
2 x 5
5 2
O (0;0) A (5;2)
- BiÓu diÔn O(0;0); A(5;2) trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é ⇒ OA lµ ®å thÞ hµm sè y = - M ∈ ®å thÞ y =
2 x 5
2 2 x ⇒ -2 = x ⇒ x = -5 5 5
C©u 4 (3®iÓm) a. (1®)
18 phót =
18 3 = (h) 60 10
- Gäi vËn tèc vµ thêi gian dù ®Þnh ®i nöa qujng ®−êng tr−íc lµ v1; t1, vËn tèc vµ thêi gian ®j ®i nöa qujng ®−êng sau lµ v2; t2. - Cïng mét qujng ®−êng vËn tèc vµ thêi gian lµ 2 ®¹i l−îng TLN do ®ã: 40
Gi¸o ¸n : Båi d−ìng häc sinh giái líp 7 V1t1 = v2t2 ⇔ ⇒ t1 =
v2 v1 v2 − v1 100 = = = 3 t1 t 2 t1 − t 2
B
3 (giê) ⇒ thêi gian dù ®Þnh ®i 2
c¶ qujng ®−êng AB lµ 3 giê - Qujng ®−êng AB dµi 40 . 3 = 120 (km) b. (2®) - HAB = KCA (CH – GN) ⇒ BH = AK - ∆ MHB = ∆ MKA (c.g.c) ⇒ ∆ MHK c©n v× MH = MK (1) Cã ∆ MHA = ∆ MKC (c.c.c) ⇒ gãc AMH = gãc CMK tõ ®ã ⇒ gãc HMK = 900 (2) Tõ (1) vµ (2) ⇒ ∆ MHK vu«ng c©n t¹i M II. PhÇn ®Ò riªng C©u 5 A (2®)
M K E H A
a. (1®) – V× (x − 2) 2 ≥ 0 víi ∀ x ( y + 2) 2 ≥ 0 víi ∀ y
x+ y+z
≥ 0 víi ∀ x, y, z
( x − 2) 2 = 0 §¼ng thøc x¶y ra ⇔ ( y + 2) 2 = 0 x+ y+x =0
x = 2 ⇔ y = − 2 z = 0
b. (1®)Tõ x + y = 3(x-y) = x : y ⇒ 2y(2y – x) = 0 mµ y ≠ 0 nªn 2y – x = 0 ⇒ x = 2y Tõ ®ã ⇒ x =
4 2 ;y= 3 3
C©u 5 B (2®) a. (1®) - §Æt 2x lµm TSC rót gän - BiÕn ®æi 120 d−íi d¹ng luü thõa c¬ sè 2 råi t×m x b. (1®) BiÕn ®æi tö vµo mÉu råi rót gän ®−îc A =
41
1 4
C