ĐỀ THI THỬ TN THPT KHỐI 12 CÁC TRƯỜNG, TRƯỜNG CHUYÊN, CÁC SỞ GIÁO DỤC NĂM 2021 MÔN TOÁN by Dạy Kèm Quy Nhơn Official

ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT KHỐI 12 MÔN TOÁN

vectorstock.com/20159037

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection

ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT KHỐI 12 CÁC TRƯỜNG, TRƯỜNG CHUYÊN, CÁC SỞ GIÁO DỤC TRÊN CẢ NƯỚC MỚI NHẤT NĂM 2021 MÔN TOÁN CÓ LỜI GIẢI (11-20) WORD VERSION | 2021 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM

Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT KHỐI 12 CÁC TRƯỜNG, TRƯỜNG CHUYÊN, CÁC SỞ GIÁO DỤC TRÊN CẢ NƯỚC MỚI NHẤT NĂM 2021 MÔN TOÁN CÓ LỜI GIẢI (11-20) 11. Đề thi thử TN THPT 2021 - Môn Toán - THPT Chuyên Hưng Yên - Lần 1 12. Đề thi thử TN THPT 2021 - Môn Toán - THPT Tam Dương - Vĩnh Phúc - Lần 2 13. Đề thi thử TN THPT 2021 - Môn Toán - THPT Quế Võ 1 - Bắc Ninh - Lần 1 14. Đề thi thử TN THPT 2021 - Môn Toán - Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc - Lần 1 15. Đề thi thử TN THPT 2021 - Môn Toán - THPT Hàn Thuyên - Bắc Ninh - Lần 1 16. Đề thi thử TN THPT 2021 - Môn Toán - THPT Hưng Nhân - Thái Bình - Lần 1 17. Đề thi thử TN THPT 2021 - Môn Toán - THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh - Lần 1 18. Đề thi thử TN THPT 2021 - Môn Toán - THPT Chuyên Bắc Ninh - Lần 2 19. Đề thi KSCL HK 1 năm 2020-2021 - Môn Toán 12 - Sở GD&ĐT Nam Định 20. Đề thi thử TN THPT 2021 - Môn Toán - THPT Liễn Sơn - Vĩnh Phúc - Lần 1

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HƯNG YÊN

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN 1

TRƯỜNG THPT CHUYÊN HƯNG YÊN

NĂM HỌC 2020-2021

--------------------

Môn thi: TOÁN 12 Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian phát đề) Mã đề 121

Họ và tên: ……………………………………………………………. Số báo danh: …………..………… Câu 1: Hình chóp tứ giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 2.

B. 1.

C. 4.

D. 3.

C. y = x 4 − 2 x 2 − 3.

D. y = − x 4 + 2 x 2 − 3.

Câu 2: Bảng biến thiên sau đây là của hàm số nào?

A. y = x3 − 2 x 2 − 3

B. y = 2 x 2 − 3.

Câu 3: Với các số thực dương a, b bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. ln

a ln a . = b ln b

B. ln ( a + b ) = ln a.ln b.

C. ln ( ab ) = ln a + ln b.

D. ln ( ab ) = ln a.ln b.

C. ( −∞; −1) .

D. (1;3) .

Câu 4: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng xét dấu của đạo hàm

Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. ( 3; 4 ) .

B. ( 2; 4 ) .

Câu 5: Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 4 bạn học sinh vào dãy có 4 ghế? A. 4.

B. 12.

C. 8.

D. 24.

Câu 6: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A ' B ' C ' có AB = a, góc giữa đường thẳng A ' C và mặt phẳng ( ABC ) bằng 450. Thể tích của khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' bằng a3 3 . A. 12

a3 3 . B. 4

a3 3 . C. 2 1

a3 3 . D. 6

Câu 7: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) = x ( x 3 − x ) ( x + 1) với mọi x thuộc ℝ. Số điểm cực trị của hàm số f ( x ) là

A. 0.

B. 2.

Câu 8: Đồ thị hàm số y = A. x = 2.

C. 3.

D. 1.

3x − 1 có đường tiệm cận ngang là x +1

B. y = −1.

C. x = −1.

D. y = 3.

Câu 9: Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực của phương trình

f ( x ) = 3 là

A. 1.

B. 3.

C. 2.

D. 0.

Câu 10: Trong các hàm số sau hàm số nào đồng biến trên ℝ ? A. y =

x +1 . x+3

B. y = x 2 + 1.

C. y = x 4 + 5 x 2 − 1.

D. y = x 3 + x.

Câu 11: Một cấp số cộng có u1 = −3, u8 = 39. Công sai của cấp số cộng đó là A. 6.

B. 5.

C. 8.

D. 7.

Câu 12: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD. A.

a 2 . 2

B. a 2.

C. a.

D. 2a.

Câu 13: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AB = a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích V của khối chóp S . ABC. A. V =

a3 3 . 4

B. V =

a3 3 . 3

C. V =

a3 3 . 12

D. V =

2a 3 3 . 3

Câu 14: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA = OB = OC = a. Khi đó thể tích của khối tứ diện OABC là a3 A. . 2

a3 B. . 12

a3 C. . 6 2

a3 . D. 3

Câu 15: Lăng trụ tam giác đều có độ dài tất cả các cạnh bằng 3. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng A.

9 3 . 4

9 3 . 2

27 2 . 3

27 3 . 4

Câu 16: Biểu thức Q = a 2 . 3 a 4 (với a > 0; a ≠ 1). Đẳng thức nào sau đây là đúng? 5 3

A. Q = a .

7 3

7 4

B. Q = a .

11 6

C. Q = a .

D. Q = a .

C. ( 0;3) .

D. ( −2;7 ) .

C. A = 86.

D. A = 8.

Câu 17: Điểm cực đại của hàm số y = x3 + 3 x 2 + 3 là A. x = 0

B. x = −2

Câu 18: Giá trị của biểu thức A = 2log4 9+ log2 5 là A. A = 15.

B. A = 405.

Câu 19: Số giao điểm của đường thẳng y = 4 x và đường cong y = x3 là A. 2.

B. 1.

C. 0.

D. 3.

Câu 20: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a 2. Thể tích của khối chóp S . ABCD bằng A. V = 2a3 .

B. V =

2a 3 . 3

C. V =

2a 3 . 6

D. V =

2a 3 . 4

Câu 21: Hình lăng trụ tam giác có bao nhiêu mặt? A. 6.

B. 4.

C. 5.

D. 3.

 a2 3 b  Câu 22: Biết log a b = 2, log a c = 3; với a, b, c > 0; a ≠ 1. Khi đó giá trị của log a   bằng c  

A. 6.

2 . 3

C. 5.

1 D. − . 3

Câu 23: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

Khẳng định nào sau đây sai?

A. Hàm số có ba điểm cực trị.

B. Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 3.

C. Hàm số có hai điểm cực tiểu.

D. Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0. 3

Câu 24: Giá trị lớn nhất của hàm số y = 2 x 3 + 3 x 2 − 12 x + 2 trên đoạn [ −1; 2] là A. 6.

B. 11.

C. 15.

D. 10.

Câu 25: Cho hàm số y = x 3 − x − 1 có đồ thị ( C ) . Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại giao điểm của ( C ) với trục tung là A. y = 2 x − 1.

B. y = 2 x + 2.

C. y = − x + 1.

D. y = − x − 1.

Câu 26: Cho hàm số y = x 3 − x − 1 có bảng biến thiên

Với giá trị nào của m thì phương trình f ( x ) + m = 0 có 3 nghiệm phân biệt.

A. −1 < m < 1.

B. −4 < m < 0.

C. 0 < m < 4.

Câu 27: Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số y =

D. −2 < m < 1.

ax + b với a, b, c, d là các số thực. Mệnh đề nào dưới cx + d

đây đúng?

A. y ' > 0, ∀x ≠ 1.

B. y ' < 0, ∀x ∈ ℝ.

C. y ' < 0, ∀x ≠ 1.

D. y ' > 0, ∀x ∈ ℝ.

Câu 28: Biết 9 x + 9 − x = 23, tính giá trị của biểu thức P = 3x + 3− x. A. 25.

27.

23.

D. 5.

Câu 29: Hàm số y = 3 x 4 + 2 nghịch biến trên khoảng nào sau đây? A. ( −∞; 0 ) .

 2  C.  − ; +∞  .  3 

B. ( 0; +∞ ) .

2  D.  −∞;  . 3 

Câu 30: Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 + 3 x 2 − 3 song song với trục hoành? 4

A. 0.

B. 2.

C. 1.

D. 3.

Câu 31: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng. A. 450.

B. 600.

Câu 32: Giá trị của biểu thức P = A. 10. Câu 33: Đồ thị của hàm số y = A. 2.

23.2−1 + 5−3.54 10 −3 :10−2 − ( 0,1)

C. 300.

D. 900.

C. -10.

D. -9.

là

B. 9.

x +1 có bao nhiêu đường tiệm cận? x + 2x − 3 2

B. 0.

C. 1.

D. 3.

C. 20.

D. 30.

Câu 34: Số cạnh của hình mười hai mặt đều là A. 16.

B. 12.

Câu 35: Cho khối lăng trụ có diện tích đáy B = 3 và chiều cao h = 2. Thể tích khối chóp đã cho bằng A. 3.

B. 12.

C. 2.

D. 6.

Câu 36: Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của m để hàm số y = x3 − 3 ( 2m + 1) x 2 + (12m + 5) x + 2 đồng biến trên khoảng ( 2; +∞ ) . Số phần tử của S bằng A. 2.

B. 3.

C. 0.

D. 1.

Câu 37. Gọi d là đường thẳng đi qua A ( 2;0 ) có hệ số góc m ( m > 0 ) cắt đồ thị ( C ) : y = − x3 + 6 x 2 − 9 x + 1 tại ba điểm phân biệt A, B, C. Gọi B ', C ' lần lượt là hình chiếu vuông góc của B, C lên trục tung. Biết rằng hình thang BB ' C ' C có diện tích bằng 8, giá trị của m thuộc khoảng nào sau đây?

A. ( 5;8) .

B. ( −5; 0 ) .

C. ( 0; 2 ) .

D. (1;5 ) .

Câu 38: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) và SA = 3a. Mặt phẳng ( P ) chứa cạnh BC và cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là một tứ giác có 2 5a 2 . Tính khoảng cách h giữa đường thẳng AD và mặt phẳng ( P ) . diện tích 3

A. h = a.

B. h =

2 5a . 5

C. h =

5a . 5

D. h =

3 13a . 13

Câu 39: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, SB = 12, SB vuông góc với ( ABC ) . Gọi D, E lần lượt là các điểm thuộc các đoạn SA, SC sao cho SD = 2 DA, ES = EC. Biết DE = 2 3, hãy tính thể tích của khối chóp B. ACED.

96 . 5

144 . 5

C. 5

288 192 . D. . 5 5

Câu 40: Một loại thuốc được dùng cho một bệnh nhân và nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân được giám sát bởi bác sĩ. Biết rằng nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân sau khi tiêm vào cơ thể trong t giờ được cho t bởi công thức c ( t ) = 2 ( mg / L ) . Sau khi tiêm thuốc bao lâu thì nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao t +1 nhất? A. 4 giờ.

B. 3 giờ.

C. 1 giờ.

D. 2 giờ.

Câu 41: Cho hàm số y = ax3 + bx 2 + cx + d ( a, b, c, d ∈ ℝ ) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Có bao nhiêu số dương trong các số a, b, c, d ?

A. 4.

B. 1.

C. 3.

D. 2.

Câu 42: Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = mx 4 + ( 2m − 1) x 2 + m − 2 chỉ có một cực đại và không có cực tiểu. m ≤ 0 . A.  m > 1 2 

m ≤ 0 . C.  m ≥ 1 2 

B. m ≤ 0.

1 D. m ≤ . 2

Câu 43: Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng d : y = x + m − 1 cắt đồ thị hàm số y =

2x +1 tại hai điểm x +1

phân biệt M , N sao cho MN = 2 3.

A. m = 2 ± 10.

B. m = 4 ± 3.

C. m = 2 ± 3

D. m = 4 ± 10.

Câu 44: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [ −4; 4] và có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới

Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của m ∈ [ −4; 4] để hàm số g ( x ) = f ( x 3 + 2 x ) + 3 f ( m ) có giá trị lớn nhất trên

đoạn [ −1;1] bằng 8? 6

A. 11.

B. 9.

C. 10.

D. 12.

Câu 45: Cho các số dương a, b, c khác 1 thỏa mãn log a ( bc ) = 3, log b ( ca ) = 4. Tính giá trị của log c ( ab ) . A.

16 . 9

16 . 4

11 . 9

9 . 11

Câu 46: Cho hàm số y = x3 + 3 x 2 + 1 có đồ thị ( C ) và điểm A (1; m ) . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để qua A có thể kể được đúng ba tiếp tuyến tới đồ thị ( C ) . Số phần tử của S là

A. 9.

B. 5.

C. 7.

D. 3.

Câu 47: Cho hình chóp S . ABC có SA = SB = SC = 3, tam giác ABC vuông cân tại B và AC = 2 2. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên hai cạnh SA, SB lấy các điểm P, Q tương ứng sao cho SP = 1, SQ = 2. Tính thể tích V của tứ diện MNPQ. A. V =

7 . 18

B. V =

34 . 12

C. V =

3 . 12

D. V =

34 . 144

Câu 48: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có AB = AC = a, góc BAC = 1200 , AA ' = a. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của B ' C ' và CC '. Số đo góc giữa mặt phẳng ( AMN ) và mặt phẳng ( ABC ) bằng A. 600.

B. 300.

C. arccos

3 . 4

D. arcsin

3 . 4

Câu 49: Cho một đa giác đều có 18 đỉnh nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi X là tập hợp tất cả các tam giác có 3 đỉnh trùng với 3 trong số 18 đỉnh của đa giác đã cho. Chọn 1 tam giác trong tập hợp X . Xác suất để tam giác được chọn là tam giác cân bằng A.

3 . 17

144 . 136

23 . 136

11 . 68

Câu 50: Cho hàm số f ( x ) = ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e, ( a ≠ 0 ) có đồ thị của đạo hàm f ' ( x ) như hình vẽ. Biết rằng e > n.

Số điểm cực trị của hàm số y = f ' ( f ( x ) − 2 x ) là 7

A. 7.

B. 6.

C. 10.

D. 14.

--------------------- HẾT -------------------

BẢNG ĐÁP ÁN 1-C

2-C

3-C

4-D

5-D

6-B

7-B

8-D

9-C

10-D

11-A

12-C

13-D

14-B

15-D

16-A

17-B

18-A

19-D

20-B

21-C

22-D

23-B

24-C

25-D

26-C

27-C

28-D

29-A

30-B

31-A

32-C

33-D

34-D

35-D

36-C

37-D

38-B

39-D

40-C

41-D

42-B

43-D

44-A

45-D

46-C

47-A

48-C

49-D

50-A

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Chọn C. Có 4 mặt phẳng đối xứng.

Câu 2: Chọn C. Hình dạng bảng biến thiên là của hàm trùng phương nên chọn đáp án C hoặc D. Nhìn và bnagr biến thiên thấy hệ số a > 0 nên chọn đáp án C.

Câu 3: Chọn C. Với các số thực dương a, b bất kì ta có: ln ( ab ) = ln a + ln b.

Câu 4: Chọn D.

f ' ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ( a; b ) . Dấu “=” xảy ra một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên khoảng ( a; b ) . Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm ta thấy hàm số đồng biến trên (1;3) .

Câu 5: Chọn D. Số cách sắp xếp chỗ ngồi cho 4 bạn học sinh vào dãy có 4 ghế là số hoán vị của 4 phần tử P4 = 4! = 24.

Câu 6: Chọn B.

)

(

+ Ta có AA ' ⊥ ( ABC ) nên A ' C , ( ABC ) = ( A ' C , AC ) = A ' CA = 450. Khi đó:

tan 450 =

AA ' ⇒ AA ' = AC.tan 450 = a. AC

1 a2 3 . + S ABC = . AB. AC.sin 600 = 2 4 + Vậy VABC . A ' B 'C ' = S ABC . AA ' =

a2 3 a3 3 .a = . 4 4

Câu 7: Chọn B. x = 0 2 . Ta có f ' ( x ) = 0 ⇔ x ( x3 − x ) ( x + 1) = 0 ⇔   x = ±1 Bảng xét dấu của f ' ( x )

Do đó hàm số f ( x ) có hai điểm cực trị.

Câu 8: Chọn D. 1 1 3− 3x − 1 x = 3; lim y = lim 3 x − 1 = lim x = 3. = lim Ta có lim y = lim x →+∞ x →+∞ x + 1 x →+∞ x →−∞ x →−∞ x + 1 x →−∞ 1 1 1+ 1+ x x 3−

Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 3.

Câu 9: Chọn C.

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy số nghiệm của phương trình f ( x ) = 3 là 2.

Câu 10: Chọn D. Xét đáp án D, ta có y = x3 + x ⇒ y ' = 3 x 2 + 1 > 0 ∀x ∈ ℝ. Suy ra hàm số y = x 3 + x đồng biến trên ℝ.

Câu 11: Chọn A. Gọi d là công sai của cấp số cộng. Ta có u8 = u1 + 7 d ⇔ d =

u8 − u1 39 − ( −3) = = 6. Vậy công sai của cấp số cộng là d = 6. 7 7

Câu 12: Chọn C.

Ta có AB / / CD ⇒ CD / / ( SAB ) ⇒ d ( SA, CD ) = d ( CD, ( SAB ) ) = d ( D, ( SAB ) ) .

 AD ⊥ AB Do  ⇒ AD ⊥ ( SAB ) ⇒ d ( D, ( SAB ) ) = AD = a.  AD ⊥ SA Câu 13: Chọn D.

Gọi H là trung điểm của AB suy ra SH = a 3

AB = 2a ⇒ BC = 2a ⇒ S ∆ABC =

1 2 ( 2a ) = 2 a 2 2

1 1 2a 3 3 . VS . ABC = .S ABC .SH = .2a 2 .a 3 = 3 3 3

Câu 14: Chọn B.

a3 1 1 1 Ta có: V = SOBC .OA = . .OB.OC.OA = . 3 3 2 6

Câu 15: Chọn D.

Diện tích đáy B là diện tích một tam giác đều có độ dài cạnh bằng 3 ⇒ B = Chiều cao khối lăng trụ h = 3; 11

32 3 9 3 ; = 4 4

Khi đó thể tích khối lăng trụ đều này là S = B.h =

9 3 27 3 .3 = 4 4

Vậy ta chọn phương án D làm đáp án.

Câu 16: Chọn A. 4

Q = a 2 . 3 a 4 = a 2 .a 3 = a 3 = a 3.2 = a 6 = a 3 . Vậy ta chọn phương án A làm đáp án.

Câu 17: Chọn B. x = 0 . Ta có y ' = 3 x 2 + 6 x ⇒ y = 0 ⇔   x = −2

−2

−∞

−

+∞ +

Điểm cực đại của hàm số là x = −2. Câu 18: Chọn A. Ta có: A = 2log4 9+ log2 5 = 2log2 3+ log2 5 = 2log2 15 = 15.

Câu 19: Chọn D. Số giao điểm của đường thẳng y = 4 x và đường cong y = x3 là số nghiệm của phương trình hoành độ giao x = 0 điểm: x3 = 4 x ⇔ x3 − 4 x = 0 ⇔ x ( x 2 − 4 ) = 0 ⇔  x = 2 .  x = −2 Vậy số giao điểm của đường thẳng và đường cong là 3.

Câu 20: Chọn B.

Thể tích khối chóp S . ABCD bằng 12

1 1 2a 3 V = .S ABCD .SA = .a 2 .a 2 = (đvtt). 3 3 3

Câu 21: Chọn C.

Hình lăng trụ tam giác có 5 mặt.

Câu 22: Chọn D.  a2 3 b  1 1 1 Ta có: log a   = 2 + log a v − log a c = 2 + .2 − 3 = − .  3 3 3  c  Câu 23: Chọn B. Xét đáp án A hàm số có hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại vì vậy đáp án A đúng. Xét đáp án B hàm số đạt điểm cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là y = 3 nên đáp án B là khẳng định sai, chọn đáp án B. Xét đáp án C đúng nên loại. Xét đáp án D đúng nên loại.

Câu 24: Chọn C. Ta có: y ' = 6 x 2 + 6 x − 12

 x = 1 ∈ [ −1; 2 ] y'= 0 ⇔   x = −2 ∉ [ −1; 2]

f ( −1) = 15, f ( 2 ) = 6, f (1) = −5 Vậy giá trị lớn nhất của hàm số y = 2 x 3 + 3 x 2 − 12 x + 2 trên đoạn [ −1; 2] là max f ( x ) = 15 tại x = −1 nên chọn [ −1;2]

đáp án C. Câu 25: Chọn D. Gọi A ( x0 ; y0 ) là giao điểm của ( C ) với trục tung. 13

Khi đó: x0 = 0 ⇒ y0 = −1 nên A ( 0; −1) . Ta có: y ' = 3x 2 − 1 ⇒ y ' ( 0 ) = −1. Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại A ( 0; −1) là

y = y ' ( x0 )( x − x0 ) + y0

⇔ y = −1( x − 0 ) − 1 ⇔ y = −x −1

Câu 26: Chọn C. Ta có: f ( x ) + m = 0 ⇔ f ( x ) = −m.

Đặt ( C ) : y = f ( x ) và ( d ) : y = −m. Số nghiệm của phương trình f ( x ) = −m là số giao điểm của ( C ) và ( d ) .

Để phương trình f ( x ) = −m có 3 nghiệm phân biệt thì −4 < − m < 0 ⇔ 0 < m < 4. Câu 27: Chọn C. Từ dạng của đồ thị hàm số, ta thấy y ' < 0 ∀x ≠ 1.

Câu 28: Chọn D. 2

P 2 = ( 3x + 3− x ) = 32 x + 2.3x.3− x + 3−2 x = 9 x + 9− x + 2 = 23 + 2 = 25

⇒ P = 25 = 5. Câu 29: Chọn A. Hàm số y = 3 x 4 + 2 TXĐ: D = ℝ. y ' = 4 x3 = 0 ⇔ x = 0. Bảng xét dấu:

−∞

−

+∞ +

Vậy hàm số y = 3 x 4 + 2 nghịch biến trên khoảng ( −∞; 0 ) .

Câu 30: Chọn B. Hàm số y = x3 + 3 x 2 − 3 TXĐ: D = ℝ. 14

y ' = 3x2 + 6 x Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm. Hệ số góc của tiếp tuyến tại M : k = y ' ( x0 )

 x0 = 0 . Mà tiếp tuyến song song với trục hoành nên hệ số góc k = 0 ⇒ 3 x02 + 6 x0 = 0 ⇒   x0 = −2 + x0 = 0 tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M ( 0; −3) là: y − ( −3) = 0 ( x − 0 ) ⇒ y = −3. + x0 = −2 tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M ( −2;1) là: y − 1 = 0 ( x + 2 ) ⇒ y = 1. Vậy có 2 tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 + 3 x 2 − 3 song song với trục hoành.

Câu 31: Chọn A.

. SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) nên góc giữa SB và mặt phẳng ( ABC ) là SBA = Xét tam giác SBA vuông tại A, ta có: tan SBA

SA a = 450. = = 1 ⇒ SBA AB a

Câu 32: Chọn C. P=

23.2−1 + 5−3.54 10−3 :10−2 − ( 0,1)

22 + 5 9 9 = = = −10. −1 1 − 9 10 − 1 −1 10 10

Câu 33: Chọn D. lim y = lim

x →+∞

x +1 x +1 = 0, lim y = lim 2 = 0 nên đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị x →−∞ x →−∞ x + 2x − 3 x + 2x − 3 2

hàm số. x +1 x +1 = +∞, lim− y = lim− 2 = −∞ nên đường thẳng x = 1 và x = −3 là tiệm cận đứng x →1 x →1 x + 2 x − 3 x →−3 x →−3 x + 2 x − 3 của đồ thị hàm số. lim+ y = lim+

Vậy đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận. 15

Câu 34: Chọn D. Hình mười hai mạt đều có ba mươi cạnh.

Câu 35: Chọn D. Thể tích khối lăng trụ V = B.h = 3.2 = 6 .

Câu 36: Chọn C. Tập xác định D = ℝ

y ' = 3 x 2 − 6 ( 2m + 1) x + 12m + 5 Hàm số đồng biến trong khoảng ( 2; +∞ ) khi y ' ≥ 0, ∀x ∈ ( 2; +∞ ) .

⇔ 3x 2 − 6 ( 2m + 1) x + 12m + 5 ≥ 0∀x ∈ ( 2; +∞ ) . 3 x 2 − 6 ( 2m + 1) x + 12m + 5 ≥ 0 ⇔ m ≤

Xét hàm số g ( x ) =

g '( x) =

3x 2 − 6 x + 5 , ∀x ∈ ( 2; +∞ ) . 12 ( x − 1)

3x 2 − 6 x + 1 12 ( x − 1)

3x 2 − 6 x + 5 , ∀x ∈ ( 2; +∞ ) 12 ( x − 1)

> 0, ∀x ∈ ( 2; +∞ ) ⇒ Hàm số g ( x ) đồng biến trong khoảng ( 2; +∞ ) .

Do đó: m ≤ g ( x ) , ∀x ∈ ( 2; +∞ ) ⇒ m ≤ g ( 2 ) ⇔ m ≤ Vì 0 < m ≤

5 . 12

5 . Do đó không có giá trị nguyên dương nào của m thỏa mãn bài toán. 12

Câu 37: Chọn D. Cách 1: Phương trình đường thẳng ( d ) có hệ số góc m và đi qua A ( 2;0 ) là y = mx − 2m Hoành độ giao điểm của ( d ) và ( C ) là nghiệm của phương trình:

x = 2 − x3 + 6 x 2 − 9 x + 2 = m ( x − 1) ⇔ ( x − 2 ) ( x 2 − 4 x + m + 1) = 0 ⇔  2  x − 4 x + m + 1 = 0 (1)

x = 2 ⇒ y = 0 ⇒ A ( 2;0 ) . Do đó: ( C ) cắt ( d ) tại 3 điểm phân biệt ⇔ phương trình (1) có hai nghiệm phân ∆ ' = 3 − m > 0  − m > −3 m < 3 ⇔ ⇔ ⇔m<3 biệt x1 ; x2 khác 2 ⇔  2 m − 3 ≠ 0 m ≠ 3 − + + ≠ 2 4.2 m 1 0     x1 + x2 = 4  x + x > 0  x1 > 0 , mà m > 0 ⇒ m + 1 > 0 ⇒  1 2 ⇒ Theo định lí Vi-et:   x1 x2 = m + 1  x1.x2 > 0  x2 > 0 Giả sử B ( x1; mx1 − 2m ) và C ( x2 ; mx2 − 2m ) ⇒ B ' ( 0; mx1 − 2m ) và C ' ( 0; mx2 − 2m ) . ⇒ B ' C ' = m ( x1 − x2 ) = m x1 − x2 ; BB ' = x1 = x1 ; CC ' = x2 = x2 Ta có: S BB 'C 'C =

1 B ' C ' ( BB '+ CC ' ) = 8 ⇔ B ' C ' ( BB '+ CC ' ) = 16 ⇔ m x1 − x2 ( x1 + x2 ) = 16 2

2 2 ⇔ m x1 − x2 = 4 ⇔ m 2 ( x1 − x2 ) = 16 ⇔ m2 ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2  = 16 ⇔ m2 (16 − 4m − 4 ) = 16   2

⇔ m3 − 3m 2 + 4 = 0 ⇔ ( m + 1)( m − 2 ) = 0 ⇔ m = −1 hoặc m = 2 Vì 0 < m < 3 ⇒ m = 2 ⇒ m ∈ (1;5 ) .

Cách 2: Phương trình đường thẳng ( d ) có hệ số góc m và đi qua A ( 2;0 ) và y = m ( x − 2 ) Xét hàm số y = f ( x ) = − x 3 + 6 x 2 − 9 x + 2 ( C ) TXĐ: D = ℝ

y ' = −3x 2 + 12 x − 9 = 0 ⇔ −6 x = −12 ⇔ x = 2; f ( 2 ) = 0 ⇒ Đồ thị ( C ) nhận điểm A ( 2;0 ) làm điểm uốn. ⇒ B và C đối xứng nhau qua A; B ' và C ' đối xứng nhau qua O ⇒ OA là đường trung bình của hình thang BB ' C ' C ⇒

BB '+ CC ' = OA = 2 2

Diện tích của hình thang BB ' C ' C bằng 8 ⇒ B ' C ' = 4

 xB = 0 Không mất tính tổng quát, giả sử yB > 0 ⇒ yB = 2 ⇒ − xB 3 + 6 xB2 − 9 xB + 2 = 2 ⇒   xB = 3 + xB = 0 ⇒ B ( 0; 2 ) ⇒ ( d ) có phương trình y = − x + 2 ⇒ m = −1 < 0 (loại). + xB = 3 ⇒ B ( 3; 2 ) ⇒ ( d ) có phương trình y = 2 x − 4 ⇒ m = 2 (thỏa mãn). Vậy giá trị của m thuộc khoảng (1;5 ) .

Câu 38: Chọn B.

Gọi M , N lần lượt là giao điểm của ( P ) với SA, SD ⇒ MN / / AD; kẻ AH ⊥ BM tại H

AD ⊥ SA; AD ⊥ AB ⇒ AD ⊥ ( SAB ) ⇒ MN ⊥ ( SAB ) ⇒ MN ⊥ MB và MN ⊥ AH * MN ⊥ MB ⇒ Thiết diện là hình thang vuông BMNC có diện tích là 18

MB . ( MN + BC ) 2

* AH ⊥ MN , AH ⊥ BM , MN / / AD ⇒ AH là khoảng cách từ AD đến ( P ) ⇒ AH = h

Đặt AM = x ( 0 < x < 3a ) ⇒ SM = 3a − x. Ta có: ⇒

MN SM = (do MN / / AD ). AD SA

MN 3a − x 3a − x , mà MB = AB 2 + AM 2 = a 2 + x 2 = ⇒ MN = a 3a 3

Diện tích thiết diện là

2 5a 2 a2 + x2 ⇒ 3 2

2  3a − x  2 5a . + a = 3  3 

⇔ a 2 + x 2 . ( 6a − x ) = 4 5a 2 ⇔ ( a 2 + x 2 )( 36a 2 − 12ax + x 2 ) = 80a 4

⇔ 36a 4 − 12a 3 x + a 2 x 2 + 36a 2 x 2 − 12ax 3 + x 4 − 80a 4 = 0 ⇔ x 4 − 12 x3 x + 37 x 2 a 2 − 12ax3 − 44a 4 = 0 ⇒ x = 2a

⇒ MB = a 5 ⇒ h = AH =

AM . AB 2a.a 2a 2 5a = = = 5 MB a 5 5

Vậy khoảng cách h giữa đường thẳng AD và mặt phẳng ( P ) là

Câu 39: Chọn D.

Ta có VB. ACED = VS . ABC − VABED VSBED SE SD 1 2 1 = = . = . VSABC SC SA 2 3 3

Đặt AB = AC = a. Khi đó, ta có: SA2 = SB 2 + AB 2 = 122 + a 2 SC 2 = SB 2 + BC 2 = 12 2 + 2a 2 19

2 5a . 5

Câu 40: Chọn C. Xét hàm số f ( t ) = Có: f ' ( t ) =

t trên khoảng ( 0; +∞ ) . t +1 2

1− t2

+ 1)

, f ' ( t ) = 0 ⇔ 1 − t 2 = 0 ⇔ t = ±1

Từ bảng biến thiên trên suy ra sau khi tiêm thuốc 1 giờ thif tổng nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất.

Câu 41: Chọn D. Từ đồ thị ta có: lim y = −∞ ⇒ a < 0. x →+∞

Gọi x1 và x2 lần lượt là hai điểm cực trị của hàm số đã cho ( x1 < x2 ) . Từ đồ thị ta thấy: x1 + x2 > 0 ⇒ ab < 0 ⇒ b > 0. Và: x1.x2 > 0 ⇒ ac > 0 ⇒ c > 0.

Đồ thị hàm số giao với trục tung tại điểm có tung độ y ⇒ d > 0. Vậy trong các số a, b, c, d có hai số dương.

Câu 42: Chọn B. Khi m = 0, hàm số trở thành y = − x 2 − 2 có đồ thị là một Parabol có bề lõm quay xuống nên hàm số có một cực đại và không có cực tiểu (thỏa mãn bài toán) Khi m ≠ 0, hàm số có một cực đại và không có cực tiểu khi và chỉ khi:

m < 0 m < 0 m < 0  ⇔ ⇔  1 ⇔ m < 0. m ≤  2m − 1 ≤ 0 m ( 2m − 1) ≥ 0  2 Vậy hàm số có một cực đại và không có cực tiểu khi m ≤ 0.

Câu 43: Chọn D. Ta có PTHĐGĐ của đường thẳng ( d ) và đồ thị hàm số y =

2x +1 x +1

2x +1 = x + m − 1, ( x ≠ −1) x +1

⇔ 2 x + 1 = ( x + m − 1)( x + 1) ⇔ x2 + ( m − 2) x + m − 2 = 0 ( 2) 2x +1 = x + m − 1 có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình ( 2 ) có hai nghiệm phân x +1 biệt x1 , x2 ≠ −1.

Phương trình

( m − 2 )2 − 4 ( m − 2 ) > 0 ∆ > 0 m < 2 ⇔ ⇔ ⇔ m 2 − 8m + 12 > 0 ⇔  1 − m + 2 + m − 2 ≠ 0 m > 6 1 ≠ 0 Gọi M ( x1 ; x1 + m − 1) , N ( x2 ; x2 + m − 1) là giao điểm của hai đồ thị. 2

Ta có MN = 2 3 ⇔ MN 2 = 12 ⇔ ( x2 − x1 ) + ( x2 − x1 ) = 12 2

⇔ x22 − x12 − 2 x1 x2 = 6 ⇔ ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2 − 6 = 0 2

⇔ ( m − 2 ) − 4 ( m − 2 ) − 6 = 0 ⇔ m 2 − 8m + 6 = 0 2

⇔ ( m − 2 ) − 4 ( m − 2 ) − 6 = 0 ⇔ m 2 − 8m + 6 = 0

 m = 4 + 10 ⇔  m = 4 − 10 So với điều kiện có hai nghiệm phân biệt, ta nhận cả hai giá trị m = 4 ± 10.

Câu 44: Chọn A. Đặt t = x 3 + 2 x ⇒ t ' = x 2 + 2 > 0, ∀x ⇒ t ( x ) đồng biến trên [ −1;1] .

∀x ∈ [ −1;1] ⇒ t ( −1) ≤ t ≤ t (1) ⇔ −3 ≤ t ≤ 3 Suy ra −6 ≤ f ( t ) ≤ 5 Như vậy khi đó

g (t ) = f (t ) + 3 f ( m )

{

}

⇒ Max g ( t ) = Max 5 + 3 f ( m ) ; −6 + 3 f ( m ) =

5 + 3 f (m) − 6 + 3 f (m) + 5 + 3 f ( m) + 6 − 3(m)

6 f ( m ) − 1 + 11 2 21

Câu 45: Chọn D. Ta có:

log a ( bc ) = log b ( ca ) =

log c ( bc ) log c a log c ( ca ) log c b

log c b + 1 = 3 ⇒ 3log c a − log c b = 1. (1) log c a

log c a + 1 = 4 ⇒ log c a − 4 log c b = −1. ( 2 ) log c b

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình 5  log a = c  3log c a − log c b = 1 9 11 ⇔ ⇒ log c ( ab ) = log c a + log c b = .  11 log c a − 4 log c b = −1 log b = 4  c 11

Câu 46: Chọn C. Đường thẳng d đi qua điểm A (1; m ) hệ số góc k có phương trình là y = k ( x − 1) + m. Đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị ( C ) khi và chỉ khi hệ phương trình  x3 + 3 x 2 + 1 = k ( x − 1) + m (1) có nghiệm x.  2 ( 2) 3 x + 6 x = k Thay (2) vào (1) ta có phương trình x3 + 3 x 2 + 1 = ( 3 x 2 + 6 x ) ( x − 1) + m ⇔ 2 x 3 − 6 x − 1 = − m ( 3) . Qua điểm A (1; m ) kẻ được đúng 3 tiếp tuyến với đồ thị ( C ) ⇔ phương trình ( 3) có ba nghiệm phân biệt ⇔ hai đồ thị hàm số y = f ( x ) = 2 x 3 − 6 x − 1 và y = − m cắt nhau tại ba điểm phân biệt. Ta có bảng biến thiên của hàm số y = 2 x 3 − 6 x − 1 như sau:

−1

−∞ +

f '( x)

−

+∞ +

f ( x)

+∞ y = −m

−∞

−5

m∈Z Từ bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) suy ra −5 < −m < 3 ⇔ −3 < m < 5  → m ∈ {−2; −1; 0;1; 2;3; 4} . Vậy

có tất cả 7 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 47: Chọn A.

Gọi I là giao điểm của PQ và AB VMNPQ = VI .MPN − VI .QMN = VP.MNI − VQ.MNI . Tính diện tích ∆MNI MN = 1 Gọi E là trung điểm của SQ ⇒ PE / / AB và PE =

1 AB 3

Ta có ∆PEQ = ∆IBQ ( g.c.g ) ⇒ PE = IB

⇒ IB =

1 2 AB = . 3 3

IN 2 = BN 2 + IB 2 = 1 +

4 13 13 . = ⇒ IN = 9 9 3

Áp dụng định lý cosin cho tam giác IAM có: IM = IA2 + AM 2 − 2 IA. AM .cos 450 2

8 =  + 3

( 2)

8 2 34 34 . − 2. . 2. = ⇒ IM = 3 2 9 9

2 2 2 = MN + IN − MI = cos MNI 2.MN .IN

13 34 − 9 9 = −2 13 . 13 13 2.1. 3

= 1 − cos 2 MNI = 3 . sin MNI 13 23

1 = 1 .1. 13 . 3 = 1 . S MNI = .MN .NI .sin MNI 2 2 3 13 2 1 1 VMNPQ = .d ( P; ( MIN ) ) .S MIN − .d ( Q; ( MIN ) ) .S MIN 3 3 1 2 1 1 = . d ( S ; ( MIN ) ) .S MIN − . .d ( S ; ( MIN ) ) .S MIN 3 3 3 3 1 1 1 = . d ( S ; ( MIN ) ) .S MIN = d ( S ; ( ABC ) ) .S MIN 3 3 9 Vì SA = SB = SC nên hình chiếu của đỉnh S trên mặt phẳng ( ABC ) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Mà tam giác ABC vuông tại B nên tam đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC chính là điểm M .

1 1 7 . Vậy VMNPQ = . 7. = 9 2 18

Câu 48: Chọn C.

1 2 Ta có ∆A ' MC ' vuông tại M có A ' C ' M = 300 ⇒ A ' M = . A ' C ' = 2 2 MC ' =

a 3 ⇒ B ' C ' = a 3. 2

(

AMN ) ; ( A ' B ' C ' ) Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng ( AMN ) và mặt phẳng ( ABC ) ⇒ α = ( Tam giác A ' MC ' là hình chiếu của tam giác AMN trên mặt phẳng ( A ' B ' C ') nên cos α = 24

)

S A ' MC ' S AMN

2 1 1 = 3a . Ta có S A ' MC ' = .S ABC = . AB. AC.sin BAC 2 4 8 2

2 a 5  a  5a . AN = AC + CN = a +   = ⇒ AN = 4 2 2 2

2 a 5  A ' C '  5a AM 2 = AA '2 + A ' M 2 = AA '2 +  = ⇒ AM =  4 2  2  2

a2  a 3  2 MN = C ' N + C ' M = +  = a ⇒ MN = a. 4  2  2

Gọi I là trung điểm của MN ⇒ AI ⊥ MN

AI = AN 2 − IN 2 = a 1 3 a2 S AMN = . AI .MN = ⇒ cos α = 2 2 4 Vậy số đo góc giữa mặt phẳng ( AMN ) và mặt phẳng ( ABC ) bằng arccos

3 . 4

Câu 49: Chọn D. Chọn ngẫu nhiên 3 trong số 18 đỉnh của đa giác ta được 1 tam giác nên n ( Ω ) = C183 = 816. Vì đa giác đã cho là đa giác đều có 18 đỉnh nên từ mỗi đỉnh có thể tìm ra 8 cặp điểm để cùng với nó tạo ra 1 tam giác cân, trong đó có 1 tam giác đều. Từ 18 đỉnh của đa giác đều có thể tạo ra 6 tam giác đều. Vậy số tam giác cân và đều mà 18 đỉnh của đa giác đều đó tạo ra là: 18.7 + 6 = 132 Xác suất cần tìm là:

132 11 = . 816 68

Câu 50: Chọn A. Ta có: y ' = ( f ' ( x ) − 2 ) f "  f ( x ) − 2 x 

 f '( x) − 2 = 0 (1) y ' = 0 ⇔ ( f ' ( x ) − 2 ) f "  f ( x ) − 2 x  = 0 ⇔   f "  f ( x ) − 2 x  = 0 ( 2 ) Xét phương trình (1) ⇔ f ' ( x ) = 2.

Từ đồ thị ta có phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt x1 , 0, x2 ( x1 < m < 0 < n < x2 ) . Xét phương trình ( 2 ) . Trước hết ta có: f ' ( x ) = 4ax 3 + 3bx 2 + 2cx + d .

f ' ( 0 ) = 2 ⇔ d = 2. Suy ra: f ( x ) = ax 4 + bx3 + cx 2 + 2 x + e.

( 2) ⇔

 f ( x) − 2x = m  ax 4 + bx 3 + cx 2 + e = m f "  f ( x ) − 2 x  = 0 ⇔  ⇔ 4 3 2  f ( x ) − 2 x = n  ax + bx + cx + e = n

 ax 4 + bx3 + cx 2 = m − e ( 2a ) . ⇔ 4 3 2  ax + bx + cx = n − e ( 2b ) Số nghiệm của hai phương trình ( 2a ) và ( 2b ) lần lượt bằng số giao điểm của hai đường thẳng y = m − e và

y = n − e (trong đó m − e < n − e < 0) với đồ thị hàm số g ( x ) = ax 4 + bx3 + cx 2 .

g ' ( x ) = 4ax3 + 3bx 2 + 2cx. g ' ( x ) = 0 ⇔ 4ax 3 + 3bx 2 + 2cx = 0 ⇔ 4ax 3 + 3bx3 + 2cx + 2 = 2  x = x1 < 0 ⇔ f ' ( x ) = 2 ⇔  x = 0  x = x2 > 0 Từ đồ thị hàm số y = f ' ( x ) suy ra: +) lim f ' ( x ) = +∞ nên a < 0 nên lim g ( x ) = −∞, lim g ( x ) = −∞. x →−∞

x →−∞

x →+∞

Bảng biến thiên của hàm số y = g ( x ) :

Từ bảng biến thiên suy ra hai phương trình ( 2a ) , ( 2b ) mỗi phương trình có hai nghiệm phân biệt (hai phương trình không có nghiệm trùng nhau) và khác x1 , 0, x2 . Suy ra phương trình

( f ' ( x ) − 2 ) f "  f ( x ) − 2 x  = 0

y = f '  f ( x ) − 2 x  có 7 điểm cực trị.

có 7 nghiệm đơn phân biệt. Vậy hàm số

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC

ĐỀ THI THỬ CHUYÊN ĐỀ LẦN 2

TRƯỜNG THPT TAM DƯƠNG

NĂM HỌC 2020-2021

--------------------

Môn thi: TOÁN 12 Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian phát đề)

Họ và tên: ……………………………………………………………. Số báo danh: …………..………… Câu 1:Cho hàm số y = ax 4 + bx 2 + c(a, b, c ∈ R ) có đồ thị như hình vẽ bên.

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là? A. 3

B. 2.

Câu 2: Hàm số y = 2 x

−x

C. 1

D. 0

có đạo hàm là 2

A. 2 x − x.ln 2 .

C. ( x 2 − x).2 x

B. (2 x − 1).2 x − x.ln 2 .

− x −1

D. (2 x − 1).2 x

Câu 3: Tìm tập xác định D của hàm số y = log 3 ( x 2 − 4 x + 3) . A. D = (1;3 )

(

B. D = ( −∞;1) ∪ ( 3; +∞ )

) (

)

(

) (

D. D = 2 − 2;1 ∪ 3;2 + 2

C. D = −∞; 2 − 2 ∪ 2 + 2; +∞ .

)

Câu 4: Hình đa diện trong hình vẽ bên có bao nhiêu mặt?

A. 6.

B. 12.

C. 11.

D. 10.

C. 6a3 .

D. 4a 2 .

Câu 5: Khối lập phương cạnh 2a có thể tích là: A. a 2 .

B. 8a 3 . 1

−x

(

)

Câu 6: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = log x 2 − 2mx + 4 có tập xác định là ℝ :

m > 2 C.  . D. −2 < m < 2 .  m < −2 Câu 7: Cho khối chóp có diện tích đáy B = 6a 2 và chiều cao h = 2a . Thể tích khối chóp đã cho bằng: A. −2 ≤ m ≤ 2 .

B. m = 2 .

A. 2a 3 .

B. 4a 3 .

C. 6a 3 .

D. 12a 3 .

1 1 Thể tích của khối chóp là: V = B.h = .6a 2 .2a = 4a 3 3 3

Câu 8: Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên như sau:

−1

−∞

−

+∞

−

−∞

Hàm số đồng biến trên khoảng nào?

A. (0;1)

B. (−1; 0)

Câu 9: Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = A. x = 1 .

C. (−1;1)

D. (1; +∞)

C. y = 0 .

D. y = 2

x +1 là x −1

B. y = 1 .

Câu 10: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng xét dấu đạo hàm như sau

−2

−∞ +

0 ||

−

+∞ +

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng (−2;0)

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2) .

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 0) .

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; −2)

Câu 11: Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên như sau:

x f '( x) f ( x)

−2

−∞

−

0 +

0 2

+∞

−

+∞ +

+∞

−1

Số nghiệm thực của phương trình f ( x) − 1 = 0 là

A. 2

B. 0

C. 4

D. 3

C. 6.

D. 12.

Câu 12: Số cạnh của một bát diện đều là: B. 8.

A. 10.

Câu 13: Giá trị của m để tiệm cận đứng của đồ thị hsố y = A.– 2

B. 2

Câu 14: Xác định a , b để hàm số y =

2x + 1 đi qua điểm M(2 ; 3) là. x+m C. 3

D. 0

ax − 1 có đồ thị như hình vẽ bên. Chọn đáp án đúng? x+b y

1 -1

-2

A. a = 1, b = −1 .

B. a = −1, b = 1 .

C. a = 1, b = 1 .

D. a = −1, b = −1.

Câu 15: Một khối lập phương có độ dài đường chéo bằng a 6 . Thể tích khối lập phương đó là: A. V = 2 2 a 3 .

B. V = 3 3a 3 .

Câu 16: Cho hàm số f ( x) =

C. V = 6 6a3 .

D. V = 64 a3 .

2x + 3 . Hàm số nghịch biến trên khoảng nào? x −1

A. ( −∞; +∞ )

B. (−∞;1)

C. (1; +∞)

D. (−∞;1) và (1; +∞)

Câu 17: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

−1

−∞ +

−

+∞ + 2

Mệnh đề nào dưới đây đúng? 3

A. Hàm số có bốn điểm cực trị.

B. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2

C. Hàm số không có cực đại.

D. Hàm số đạt cực tiểu tại x = −5

Câu 18: Giá trị lớn nhất của hàm số y = A. 3 .

x+4 trên đoạn [3;5] bằng x−2 C. 5 .

B. −2 .

D. 7 .

3 2

Câu 19: Rút gọn biểu thức a .a 3 ta được: 1 2

9 2

A. a .

9 4

B. a .

D. a 4 .

C. a .

Câu 20: Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên?

A. y = x3 − 3 x + 1

B. y = − x3 + 3 x + 1

C. y = x 4 − 2 x 2 + 1

D. y = − x 4 + 2 x 2 + 1

Câu 21: Cho khối chóp có đáy là hình vuông cạnh a và chiều cao bằng 2a . Thể tích của khối chóp đã cho bằng?

4 B. a 3 3

A. 4a 3

2 D. a 3 3

C. 2a 3

Câu 22: Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau:

−∞ +

−

+∞ +

+∞

−4

−∞ Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng?

A. 2

B. 3.

C. 0

D. -4

Câu 23: Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x) = x 4 − 4 x 2 + 5 trên đoạn [ −2;3] bằng: A. 5

B. 50

C. 1

Câu 24: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình sau:

D. 122

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. ( 0; +∞ ) .

B. ( −∞;1) .

C. ( 2; + ∞ ) .

D. (0;1) .

Câu 25: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm f '( x) = ( x − 1)( x + 2) 2 , ∀x ∈ R . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là: A. 3

B. 1

C. 5

D. 2

Câu 26: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = 3a , BC = 4a , SA = 12a và SA vuông góc với đáy. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD . A. R =

13a 2

B. R = 6 a

C. R =

5a 2

D. R =

17 a 2

1 Câu 27: Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số y = x 3 − mx 2 + m2 − 4 x + 3 đạt cực đại tại x = 3 ? 3

(

A. m = 1

В. m = −1

Câu 28: Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = A. 3

C. m = −7

B. 2

C. 0 2

−x

+ 2x

B. 0.

Câu 31: Cho hàm số y =

− x +1

D. 1 = 3 .Tính x1 − x2

C. 2.

Câu 30: Tồn tại bao nhiêu số nguyên m để hàm số y = A. 3 .

D. m = 5

x+9 −3 là: x2 + x

Câu 29: Gọi x1 ; x2 là 2 nghiệm của phương trình 4 x A. 3.

)

D. 1

x−2 đồng biến trên khoảng ( −∞; − 1) . x−m

B. 4 .

C. 2 .

D.Vô số.

2x + 2 . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng: x −1

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 0; + ∞ ) .

B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞;2) .

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 2; + ∞ ) .

D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( 0; + ∞ ) .

Câu 32: Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng 3π a 2 và có bán kính đáy bằng a . Độ dài đường sinh của hình nón đã cho bằng: 5

A. 3a

B. 2a

3a 2

D. 2 2a

Câu 33: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình log 32 x − ( m + 2 ) .log 3 x + 3m − 1 = 0 có hai nghiệm x1 , x2 sao cho x1.x2 = 27 .

A. m =

14 . 3

B. m = 25 .

C. m =

28 . 3

D. m = 1 .

Câu 34: Cho một hình nón có bán kính đáy bằng a và góc ở đỉnh bằng 60° . Tính diện tích xung quanh của hình nón đó. A. S xq = 4π a 2 .

B. S xq =

2 3π a 2 . 3

C. S xq =

4 3π a 2 . 3

D. S xq = 2π a 2 .

Câu 35: Cho hàm số y = f ( x ) . Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị như hình bên.

Hàm số y = f ( x ) có bao nhiêu điểm cực trị ?

B. 3.

A. 2.

C. 0.

D. 1.

Câu 36: Phương trình log 3 ( 3 x − 2 ) = 3 có nghiệm là A. x =

25 . 3

B. x = 87 .

C. x =

29 . 3

D. x =

Câu 37: Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị như hình sau:

Đồ thị hàm số g ( x) = A. 2.

2020 có số đường tiệm cận đứng là: 2 f ( x) + 1 B. 3.

C. 4.

D. 5.

Câu 38: Biết 4x + 4− x = 23 tính giá trị của biểu thức P = 2 x + 2− x : A. 25 .

B. 27 .

C. 23 . 6

D. 5 .

11 . 3

Câu 39 : Cho phương trình log 9 x 2 − log 3 ( 5 x − 1) = − log 3 m (Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm? A. 4.

B. 6.

C. Vô số.

D. 5.

C. 4π R 3

D. 2π R 3

Câu 40: Thể tích của khối cầu bán kính R bằng 3 A. π R 3 4

4 B. π R 3 3

Câu 41: Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay có bán kính đáy r và độ dài đường sinh l bằng A. 4πrl

4 C. πrl 3

B. 2πrl

D. πrl

Câu 42: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, AD = DC = a, AB = 2a , cạnh SC hợp với đáy một góc 300 .Tính thể tích khối chóp S . ABC theo a? A.

a3 . 3

a3 6 . 6

a3 6 . 3

a3 6 . 9

Câu 43: Hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng? y

x O

A. a < 0, b > 0, c > 0.

B. a < 0, b < 0, c > 0.

C. a < 0, b > 0, c < 0.

D. a < 0, b < 0, c < 0.

Câu 44: Một hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông, diện tích xung quanh bằng 36π a 2 . Tính thể tích V của lăng trụ lục giác đều nội tiếp hình trụ. A. 27 3a3 .

B. 24 3a3 .

C. 36 3a3 .

D. 81 3a3 .

Câu 45: Một vật chuyển động theo quy luật S = −t 3 + 9t 2 + t + 10 , với t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và S (mét) là quảng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 12 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động tại thời điểm t bằng bao nhiêu giây thì vật đạt vận tốc lớn nhất? A. t = 3s .

B. t = 6 s .

C. t = 5s .

Câu 46: Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như hình dưới:

D. t = 2 s .

−1

−∞ +

−

+∞ +

+∞

−∞ Số điểm cực trị của hàm số y = f ( x 2 − 4 x + 1) là:

A. 1.

B. 5.

C. 3.

D. 2.

Câu 47: Cho hàm số y = − x3 − mx 2 + (4m + 9) x + 5 , với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến R ? A. 6.

B. 4.

C. 7.

D. 5.

Câu 48: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên. Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình 2 f ( x) − 2m = 0 có 4 nghiệm phân biệt.

A. 1 < m < 3 .

B. Không có giá trị nào của m .

C. 0 < m < 3 .

D. 1 < m ≤ 3 .

Câu 49: Cho hàm số f ( x ) = ln A. ln 2018 .

2018 x . Tính tổng S = f ′ (1) + f ′ ( 2 ) + ... + f ′ ( 2018 ) . x +1

B. 1 .

C. 2018 .

Câu 50: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị của hàm số f '( x) như sau:

2018 . 2019

Trên khoảng (−10;10) có tất cả bao nhiêu số nguyên của m để hàm số g ( x) = f ( x) + mx + 2020 có đúng một cực trị ?

A. 0.

B. 15.

C. 16.

D. 13.

------------------------ HẾT ------------------------

BẢNG ĐÁP ÁN 1-A

2-B

3-B

4-B

5-B

6-D

7-B

8-A

9-B

10-B

11-C

12-D

13-A

14-C

15-A

16-D

17-B

18-D

19-B

20-B

21-D

22-D

23-B

24-C

25-B

26-A

27-B

28-D

29-D

30-A

31-C

32-A

33-D

34-D

35-B

36-C

37-C

38-D

39-A

40-B

41-B

42-D

43-C

44-D

45-A

46-B

47-C

48-A

49-D

50-C

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Chọn A. Từ đồ thị ta có hàm số có ba điểm cực trị.

Câu 2: Chọn B. Do ( a u ) ' = u '.a u ln a nên chọn B.

Câu 3: Chọn B. x <1 . Hàm số xác định ⇔ x 2 − 4 x + 3 > 0 ⇔  x > 3 Vậy D = ( −∞;1) ∪ ( 3; +∞ ) .

Câu 4: Chọn B. Từ hình vẽ, ta thấy hình đa diện trên có 12 mặt.

Câu 5: Chọn B. 9

Thể tích khối lập phương là V = ( 2a ) = 8a 3 .

Câu 6: Chọn D. Hàm số y = log ( x 2 − 2mx + 4 ) có tập xác định là ℝ ⇔ x 2 − 2mx + 4 > 0 ∀x ∈ ℝ.

⇔ ∆'< 0 ⇔ m2 − 4 < 0 ⇔ −2 < m < 2

Câu 7: Chọn B. 1 1 Thể tích của khối chóp là: V = B.h = .6a 2 .2a = 4a 3 3 3

Câu 8: Chọn B. Nhìn vào BBT ta dễ thấy hàm số đồng biến trên khoảng (0,1)

Câu 9: Chọn B. Tập xác định D = ℝ \ {1} .

x +1 x +1 = 1, lim = 1 nên tiệm cận ngang của hàm số là y = 1 x →−∞ x − 1 x →+∞ x − 1

Ta có lim

Vậy đáp án là B.

Câu 10: Chọn B.

x y'

−2

−∞ +

−

+∞ +

Nhìn vào bảng xét dấu đạo hàm ta thấy y ' < 0 trên khoảng ( −2;0 ) , nên hàm số nghịch biến trên khoảng

( −2;0 ) . Vậy đáp án B. Câu 11: Chọn C. Phương trình f ( x ) − 1 = 0 ⇔ f ( x ) = 1. Số nghiệm của phương trình f ( x ) − 1 = 0 chính bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x ) và đường thẳng y = 1. Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình f ( x ) − 1 = 0 có 4 nghiệm thực.

Câu 12: Chọn D. Số cạnh của một bát diện đều là: 12.

Câu 13: Chọn A.

Đồ thị hàm số y =

2x +1 có đường tiệm cận đứng là x = −m. x+m

Đường tiệm cận đứng đi qua điểm M ( 2;3) ⇔ − m = 2 ⇔ m = −2. Câu 14: Chọn C. Đồ thị hàm số y =

ax − 1 có đường tiệm cận đứng là x = −b và đường tiệm cận ngang là y = a. x+b

 −b = −1  a = 1 . Theo đồ thị, ta có  ⇔ a = 1 b = 1 Câu 15: Chọn A.

Gọi cạnh của hình lập phương là x ( x > 0 ) .

⇒ AC = x 2 + x 2 = x 2. Xét tam giác A ' AC là tam giác vuông tại A có:

A ' C = AC 2 + A ' A2 = 2 x 2 + x 2 = x 3 Theo bài ra ta có: x 3 = a 6 ⇒ x = a 2. Thể tích của khối lập phương bằng V =

(

)

= 2 2a 3 .

Câu 16: Chọn D. Tập xác định: D = ℝ \ {1} . Ta có: f ' ( x ) =

2 ( −1) − 3

( x − 1)

=−

( x − 1)

< 0, ∀x ≠ 1.

Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞;1) và (1; +∞ ) .

Câu 17: Chọn B. 11

Xét đáp án A hàm số có một điểm cực tiểu và một điểm cực đại vì vậy có hai điểm cực trị nên đáp án A là đáp án sai. Xét đáp án B hàm số đạt điểm cực tiểu tại x = 2, giá trị cực đại là y = −5 nên đáp án B là đáp án đúng, chọn đáp án B. Xét đáp án C sai nên loại. Xét đáp án D sai nên loại.

Câu 18: Chọn D. Ta có: y ' =

−6

( x − 2)

< 0 với mọi x ≠ 2.

Hàm số luôn nghịch biến trên đoạn [3;5] và f ( 3) = 7, f ( 5 ) = 3. Vậy giá trị lớn nhất của hàm số y =

x+4 trên đoạn [3;5] là max f ( x ) = 7 tại x = 3 nên chọn đáp án D. [ −1;2] x−2

Câu 19: Chọn B. 3

Ta có a 2 .a 3 = a 2

= a2.

Câu 20: Chọn B. Dựa vào đồ thị hàm số thấy đây là đồ thị của hàm số bậc 3 có hệ số a < 0. Do đó chọn đáp án B.

Câu 21: Chọn D.

Vì đáy là hình vuông cạnh a nên diện tích của đáy là S = a 2 .

1 1 2 Thể tích của khối chóp đã cho là V = .h.S = .2a.a 2 = a 3 . 3 3 3

Câu 22: Chọn D. Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua x = 3 do đó hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 và giá trị cực tiểu là yCT = y ( 3) = −4. 12

Câu 23: Chọn B. Ta có f ' ( x ) = 4 x3 − 8 x = 4 x ( x 2 − 2 ) .

 x = 0 ∈ [ −2;3]  Giải f ' ( x ) = 0 ⇔  x = 2 ∈ [ −2;3]   x = − 2 ∈ [ −2;3] Tính f ( 0 ) = 5; f

( 2 ) = 1; f ( − 2 ) = 1; f ( −2) = 5; f (3) = 50.

Suy ra max y = 50 = f ( 3) . [ −2;3]

Câu 24: Chọn C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −∞;0 ) , (1; +∞ ) .

⇒ Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( 2; +∞ ) . Câu 25: Chọn B.  x = −1 2 2 . Do ( x + 1) ≥ 0, ∀x ∈ ℝ cho nên dấu f ' ( x ) phụ thuộc vào biểu Ta có f ' ( x ) = ( x + 1)( x + 2 ) = 0 ⇔   x = −2 thức x + 1 và f ' ( x ) chỉ đổi dấu một lần. Hàm số f ( x ) có một cực trị. Câu 26: Chọn A.

* Gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD. Dựng đường thẳng Ox vuông góc mặt phẳng đáy, ta có Ox / / SA ⇒ Ox ∩ SC = I . Dễ thấy, I là trung điểm của SC , cách đều các đỉnh S , A, C và là tâm của mặt cầu SC . ngoại tiếp hình chóp S . ABCD, ta có R = 2 * Xét tam giác ABC : AC = AB 2 + BC 2 = 9a 2 + 16a 2 = 5a. 13

Xét tam giác SAC : SC = SA2 + AC 2 = 144a 2 + 25a 2 = 13a. Vậ y R =

SC 13a . = 2 2

Câu 27: Chọn B. Ta có y ' = x 2 − 2mx + m 2 − 4, y " = 2 x − 2m. m = 1 . Vì x = 3 là điểm cực đại của hàm số nên y ' ( 3) = 0 ⇔ m 2 − 6m + 5 = 0 ⇔  m = 5

* Khi m = 1, ta có y " ( 3) = 4 > 0 ⇒ x = 3 là điểm cực tiểu, không thỏa mãn. * Khi m = 5, ta có y " ( 3) = 6 − 10 = −4 < 0 ⇒ x = 3 là điểm cực tiểu, thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Câu 28: Chọn D. x = 0 . * Xét x 2 + x = 0 ⇔   x = −1

x+9 −3 = lim x →0 x2 + x

* Ta có: lim x →0

(

x+9 −3

+ x)

)(

(

x+9 +3 x+9 +3

)

) = lim x →0

x x ( x + 1)

(

x+9 +3

)

= lim x →0

( x + 1) (

Đường thẳng x = 0 không phải là tiệm cận đứng. * Ta có: lim+ x →−1

x +9 −3 = +∞ và lim− x →−1 x2 + x

x +9 −3 = −∞. Đường thẳng x = −1 là tiệm cận đứng. x2 + x

Vậy đồ thị hàm số trên có một tiệm cận đứng.

Câu 29: Chọn D. Ta có 4 x

−x

+ 2x

− x +1

(

= 3 ⇔ 2x

−x

)

+ 2.2 x

−x

(

− 3 = 0 ⇔ 2x

−x

)

+ 2.2 x

−x

−3= 0

2x −x = 1 ⇔ 2 ⇔ x 2 − x = 0 ⇔ x = 0; x = 1 ⇒ x1 − x2 = 1. x −x  2 = −3 (VN ) 2

Câu 30: Chọn A. Tập xác định: D = ℝ \ {m} . Ta có y ' =

−m + 2

( x − m)

Hàm số y =

x−2 đồng biến trên khoảng ( −∞; −1) khi và chỉ khi x−m 14

 y ' < 0  m ∉ ( −∞; −1)

1 = . x+9 +3 6

)

−m + 2 > 0 m < 2 ⇔ ⇔ ⇔ −1 ≤ m < 2. Mặt khác m ∈ ℤ nên m ∈ {−1; 0;1} .  m ≥ −1  m ≥ −1

Câu 31: Chọn C. Ta có y ' =

−4

( x − 1)

< 0 ∀x ∈ ( −∞;1) và (1; +∞ ) .

Câu 32: Chọn A. Ta có S xq = π Rl = 3π a 2 . Thay R = a. Suy ra l = 3a.

Câu 33: Chọn D. Điều kiện: x > 0 Đặt lo3 x = t ⇒ x = 3t Khi đó ta có phương trình: t 2 − ( m + 2 ) t + 3m − 1 = 0 (*) Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ⇔ phương trình (*) có hai nghiệm t phân biệt 2

⇔ ∆ > 0 ⇔ ( m + 2 ) − 4 ( 3m − 1) > 0 ⇔ m 2 + 4m + 4 − 12m + 4 > 0 ⇔ m 2 − 8m + 8 > 0 m > 4 + 2 2 ⇔  m < 4 − 2 2 m > 4 + 2 2 Vớ i  có hai nghiệm phân biệt t1 ; t2 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 ; x2 với x1 = 3t2 , x2 = 3t1  m < 4 − 2 2

t1 + t2 = m + 2 Áp dụng hệ thức Vi-ét với phương trình (*) ta có:  t1t2 = 3m − 1 Theo đề bài ta có: x1 x2 = 27 ⇔ 3t1.3t2 = 3t1 +t2 = 27 ⇔ t1 + t2 = 3 ⇔ m + 2 = 3 ⇔ m = 1( tm ) . 15

Câu 34: Chọn D. Ta có hình vẽ của hình nón đã cho như hình

Gọi H là tâm của đường tròn đáy và là trung điểm của AB.

= 600 ⇒ ∆SAB đều ⇒ l = 2 R = 2a. Góc ở đỉnh bằng 600 nên ⇒ BSA Diện tích xung quanh của hình nón là: S xq = π Rl = π a.2a = 2π a 2 .

Câu 35: Chọn B. Ta có: f ' ( x ) = a ( x + 1)( x − 1)( x − 4 ) , a > 0

 x = −1 f ' ( x ) = 0 ⇔  x = 1 là các nghiệm đơn  x = 4 Mặt khác dựa vào đồ thị f ' ( x ) đổi dấu qua các nghiệm {−1;1; 4} nên hàm số đã cho có 3 cực trị.

Câu 36: Chọn C. Điều kiện: x >

2 3

Phương trình đã cho tương đương: 3 x − 2 = 33 ⇔ x =

29 . 3

Câu 37: Chọn C.

1 Ta có 2 f ( x ) + 1 = 0 ⇔ f ( x ) = − . 2 Từ đồ thị ta có phương trình này có 4 nghiệm x1 , x2 , x3 , x4 . Xét giới hạn lim g ( x ) = lim x → xi

số y = g ( x ) =

x → xi

2020 = ∞ do đó x = xi ( i = 1, 2,3, 4 ) đều là các tiệm cận đứng của đồ thị hàm 2 f ( x) +1

2020 . 2 f ( x) +1

Vậy đồ thị hàm số y = g ( x ) =

2020 có 4 đường tiệm cận đứng. 2 f ( x) +1

Câu 38: Chọn D. 2

Ta có P 2 = ( 2 x + 2− x ) = 4 x + 4 − x + 2.2 x.2− x = 25 do đó P = 5. Vậy P = 2 x + 2− x = 5.

Câu 39: Chọn A. x ≠ 0  x2 > 0 1   1   x > Điều kiện xác định: 5 x − 1 > 0 ⇔  x > ⇔  5 5 m > 0  m > 0  m > 0 Ta có:

log 9 x 2 − log3 ( 5 x − 1) = − log 3 m 1 ⇔ .2.log 3 x + log 3 m = log 3 ( 5 x − 1) 2

⇔ log3 ( mx ) = log3 ( 5 x − 1) ⇔ mx = 5 x − 1

⇔ ( m − 5) x + 1 = 0 17

Xét m = 5, phương trình vô nghiệm nên loại m = 5. Xét m ≠ 5, phương trình có nghiệm x = Dựa vào điều kiện ta được

−1 . m−5

−1 −1 1 −m 1 > ⇔ − >0⇔ > 0 ⇔ 0 < m < 5. m−5 5 m−5 5 m−5

Khi đó m ∈ {1, 2,3, 4} .

Câu 40: Chọn B. Công thức tính thể tích khối cầu có bán kính R là

4 π R3. 3

Câu 41: Chọn B. Câu 42: Chọn D.

(

) (

. SA ⊥ ( ABCD ) nên SC ; ( ABCD ) = SC ; AC = SCA

)

Tam giác ADC vuông tại D có AC = AD 2 + DC 2 = a 2 + a 2 = a 2. Tam giác SAC vuông tại A có SA = AC. tan ( 300 ) = a 2. Diện tích tam giác ABC là S ABC =

3 a 6 . = 3 3

1 1 1 AB.d ( C , AB ) = AB.DA = .2a.a = a 2 2 2 2

1 1 a 6 2 a3 6 Thể tích khối chóp S . ABC là VS . ABC = SA.S ABC = .a = . 3 3 3 9

Câu 43: Chọn C. Dựa vào dáng đồ thị ta có a < 0, dựa vào giao điểm của đồ thị với trục tung ta có c < 0. y ' = 4ax3 + 2bx = 2 x ( 2ax 2 + b ) dựa vào đồ thị ta có y ' = 0 có 3 nghiệm phân biệt suy ra −b < 0 ⇒ b > 0. 18

Câu 44: Chọn D.

Ta có S xq = 2π rl = 36π a 2 ⇒ rl = 18a 2 mà thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông nên l = 2r. Do đó r = 3a, l = 6a. Gọi S là diện tích lục giác đều nội tiếp đường tròn đáy. Ta có

( 3a ) S = 6.

V = Bh =

27 a 2 3 . = 2

27 a 2 3 .6a = 81a 3 3. 2

Câu 45: Chọn A.

v ( t ) = S ' ( t ) = −3t 2 + 18t + 1 trên đoạn [ 0;12] . Bảng biến thiên: t

v (t ) 1

−215

Vận tốc của chuyển động đạt giá trị lớn nhất theo dữ kiện của bài là: t = 3s.

Câu 46: Chọn B. Xét hàm số: y = g ( x ) = f ( x 2 − 4 x + 1) y ' = g ' ( x ) = ( 2 x − 4 ) f ' ( x 2 − 4 x + 1)

x = 2  2 x − 4 = 0 x = 2 x = 2 + 2 x − 4 = 0  2  2 g '( x) = 0 ⇔  ⇔  x − 4 x + 1 = −1 ⇔  x − 4 x + 2 = 0 ⇔  x = 2 − 2  f ' ( x − 4 x + 1) = 0  x2 − 4 x + 1 = 3  x2 − 4 x − 2 = 0 x = 2 +     x = 2 − 19

2 2 6 6

Suy ra g ' ( x ) bị đổi dấu 5 lần, nên hàm số y = f ' ( x 2 − 4 x + 1) có 5 điểm cực trị.

Câu 47: Chọn C. Ta có y ' = −3 x 2 − 2mx + 4m + 9.

Để hàm số đã cho nghịch biến trên ℝ thì y ' ≤ 0, ∀x ∈ ℝ ⇔ −3 x 2 − 2mx + 4m + 9 ≤ 0, ∀x ∈ ℝ ⇔ ∆ ' ≤ 0

⇔ m 2 + 3 ( 4m + 9 ) ≤ 0 ⇔ −9 ≤ m ≤ −3. Vì m ∈ ℤ nên m ∈ {−9; −8;...; −3} . Vậy có 7 số nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 48: Chọn A. Ta có 2 f ( x ) − 2m = 0 ⇔ f ( x ) = m.

Đồ thị của hàm số y = f ( x )

Dựa vào đồ thị, để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt thì đường thẳng y = m cắt đồ thị y = f ( x ) tại 4

điểm phân biệt ⇔ 1 < m < 3. Vậy với 1 < m < 3 thì phương trình 2 f ( x ) − 2m = 0 có 4 nghiệm phân biệt.

Câu 49: Chọn D. Ta có f ' ( x ) =

2018

( x + 1)

1 1 1 x +1 = = − 2018 x x ( x + 1) x x + 1

Ta có

S = f ' (1) + f ' ( 2 ) + f ' ( 3) + ... + f ' ( 2018)

1   1 1 1 1 1  1 = 1 −  +  −  +  −  + ... +  −   2  2 3 3 4  2018 2019  = 1−

1 2018 . = 2019 2019

Câu 50: Chọn C. Ta có: g ' ( x ) = f ' ( x ) + m Cho g ' ( x ) = 0 ⇔ f ' ( x ) = − m, (1)

Hàm số g ( x ) có đúng một điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình (1) có đúng một nghiệm bội lẻ  −m ≥ 3  m ≤ −3 . ⇔ ⇔  − m ≤ −1  m ≥ 1 m ∈ ( −10;10 ) Kết hợp điều kiện  ⇒ m ∈ {−9, −8, −7, −6, −5, −4, −3,1, 2,3, 4, 5, 6, 7,8,9} m ∈ ℤ

Suy ra có 16 giá trị m thỏa yêu cầu bài toán.

SỞ GD-ĐT BẮC NINH

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN 1 - NĂM HỌC 2020-2021

TRƯỜNG THPT QUẾ VÕ 1

MÔN: TOÁN 12

---------------

(Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề)

ĐỀ CHÍNH THỨC

Mã đề: 101

Đề gồm có 7 trang, 50 câu

(Thí sinh không được sử dụng tài liệu) Họ tên thí sinh:............................................................SBD:............................................................... Câu 1: Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng đường cong trong hình vẽ sau?

A. y = 2 x 4 − x 2 + 1 .

B. y = −x 4 + x 2 + 1 .

Câu 2: Số nghiệm của phương trình A. 3030

D. y = x 4 − 2 x 2 + 1 .

sin 2 x = 0 trên đoạn [ 0; 2020π ] là cos x + 1

B. 2020

Câu 3: Số nghiệm của phương trình log 4 ( 3 x 2 + x ) = A. 1

C. y = −x 4 + 2 x 2 + 1 .

B. 5 .

C. 3031

D. 4040

1 là 2

C. 0 .

2 .

Câu 4: Với a là số thực dương khác 1 tùy ý, log a5 a 4 bằng A.

1 . 5

4 . 5

C. 20 .

5 . 4

Câu 5: Khối chóp có một nửa diện tích đáy là S , chiều cao là 2h thì có thể tích là: A. V =

1 S .h . 2

1 B. V = S .h . 3

C. V = S .h .

D. V =

4 S .h . 3

Câu 6: Gọi l , h, R lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của hình trụ (T). Diện tích toàn phần Stp của hình trụ (T) là: A. Stp = π Rl + 2π R 2

B. Stp = π Rh + π R 2

C. Stp = 2π Rl + 2π R 2

Câu 7: Nghiệm của phương trình 2 cos x + 1 = 0 là 1

D. Stp = π Rl + π R 2

π x = ± + k 2π, k ∈ ℤ. 3

 π  x = + k 2π  3 , k ∈ ℤ.   2π + k 2π x =  3

C. x = ±

2π + k π, k ∈ ℤ. 3

Câu 8: Gọi S là tập các giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y =

D. x = ±

2π + k 2 π, k ∈ ℤ. 3

x−3 có đúng 3 x − 2mx + 2m 2 − 9 2

đường tiệm cận. Số phần tử của S là A. 6 .

B. 7 .

C. 4 .

D. 5 .

Câu 9: Nhà bạn Minh cần khoan một cái giếng nước. Biết rằng giá tiền của mét khoan đầu tiên là 200.000đ và kể từ mét khoan thứ hai, giá tiền của mỗi mét sau tăng thêm 7% so với giá tiền của mét khoan ngay trước nó. Hỏi nếu nhà bạn An khoan cái giếng sâu 30m thì hết bao nhiêu tiền (làm tròn đến hàng nghìn)? A. 18895000 đ.

B. 1422851 đ.

C. 18892000 đ.

D. 18892200 đ.

Câu 10: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ) : x 2 + y 2 − 2 x − 4 y − 11 = 0 . Tìm bán kính của đường tròn (C ') là ảnh của đường tròn (C) qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số k = −2020 và phép tịnh tiến theo véctơ v = (2019;2020) là: A. 16.

B. 8080.

C. 32320.

D. 4.

Câu 11: Tính đạo hàm của hàm số f ( x ) = sin 2 x − cos 2 x . A. f ′ ( x ) = 3sin 2 x

B. f ′ ( x ) = 2sin x + sin 2 x .

C. f ′ ( x ) = − sin 2 x .

D. f ′ ( x ) = 2sin x + 2sin 2 x

Câu 12: Biết giới hạn lim A. 6

a 3 − 2n a tối giản. Tính a.b . = trong đó a, b ∈ Z và 5n + 1 b b

B. 3

C. −10

D. 15

Câu 13: Cho a là số thực dương thỏa mãn a ≠ 10 , mệnh đề nào dưới đây sai?  100  A. log   = 2 − log a  a 

B. log ( a10 ) = a .

C. log (10a ) = a .

D. log (1000.a ) = 3 + log a .

Câu 14: Cho mặt cầu ( S ) có tâm O , bán kính 6 .Biết khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (α ) bằng 4 . Mặt phẳng (α ) cắt mặt cầu ( S ) theo giao tuyến là đường tròn ( C ) có bán kính bằng

A. r = 10 .

B. r = 2 5

C. r = 52

Câu 15: Cho hình chóp đều S . ABCD cạnh đáy bằng a , d ( S , ( ABCD ) ) =

( SBC )

D. r = 2 a 3 . Góc giữa mặt phẳng 2

và mặt phẳng ( ABCD ) bằng

A. 600 .

B. 900 .

C. 450 .

D. 300 .

Câu 16: Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = A. y = −1 .

B. x =

x −1 là: 1− 2 x

1 . 2

C. y =

1 . 2

1 D. y = − . 2

Câu 17: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau: x

−2

−∞

−

+∞ −

−∞

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng

A. 1

B. 4

C. 2

D. 0

Câu 18: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi AC = 2a; BD = 3a , SA = a , SA vuông góc với mặt đáy. Thể tích của khối chóp S . ABCD là A. 2a 3 .

B. a3 .

1 Câu 19: Tập nghiệm của bất phương trình    3

A. ( −∞; −4] .

2 3 a . 3

D. 4a3 .

x+ 2

≥9

B. [ −4; +∞ ) .

C. ( −∞; 4] .

D. [ 0; +∞ ) .

x+a ( ab ≠ −2 ) . Biết rằng a và b là các giá trị thỏa mãn tiếp tuyến của đồ thị bx − 2 hàm số tại điểm A ( −1; 2 ) song song với đường thẳng d : 3 x − y − 7 = 0 . Khi đó giá trị của a − 3b bằng

Câu 20: Cho hàm số y =

A. −13 .

B. 4 .

C. 32 .

D. 7 .

Câu 21: Cho tập hợp A gồm có 2021 phần tử. Số tập con của A có số phần tử ≥ 1011 bằng A. 22020 .

B. 22021 .

C. 2020 .

D. 22019 .

Câu 22: Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: A. Cnk = Cnn − k .

B. Cnk −1 + Cnk = Cnk+1 .

C. Ank = n ( n − 1)( n − 2 ) ... ( n − k − 1) .

D. Cnk =

Ank . k!

Câu 23: Cho hàm số y = x (1 − x ) ( x 2 − 3 x + 2 ) có đồ thị ( C ) . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. ( C ) cắt trục hoành tại 1 điểm.

B. ( C ) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. 3

C. ( C ) cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt.

D. ( C ) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.

Câu 24: Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C ′ . Gọi I , J , K lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC , AA ' C , A′B′C ′ . Mặt phẳng nào sau đây song song với mặt phẳng ( IJK ) ? A.

( A′BC ′) .

Câu

25:

Cho

( AA ' B ) .

hình

S . ABCD ,

chóp

AB = a; AD = 4a; SA = a 15 , SA ⊥ ( ABCD ) ,

D. ( AA′C ) .

( BB ' C ) . đáy

ABCD

là

hình

chữ

nhật

M là trung điểm của AD , N thuộc cạnh BC sao cho

BC = 4 BN . Khoảng cách gữa MN và SD là A.

2 33a . 11

2 690a . 23

a 33 . 11

690a . 23

Câu 26: Tính thể tích khối lăng trụ tam giác đều ABC. A′B′C ′ biết tất cả các cạnh của lăng trụ đều bằng 2a . A. 2 3a 3 .

3a 3 . 2

3a 3 . 6

2 3a 3 . 3

Câu 27: Cho 40 thẻ được đánh số từ 1 đến 40, chọn ngẫu nhiên 3 thẻ. Xác suất để tổng các số ghi trên 3 thẻ được chọn là một số chia hết cho 3 bằng A.

9 . 95

127 . 380

11 . 380

Câu 28: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị là đường cong trong hình

vẽ bên. Tìm số nghiệm của phương trình 2 f ( x ) − 3 = 0 .

A. 2 .

B. 1.

C. 3 .

D. 4 .

2 3

−1 O

Câu 29: Gọi S là tập giá trị nguyên nghiệm.Tính tổng các phần tử của S A. S = 2020

11 . 190

m ∈ [− 2020; 2020 ]

B. S = 0

để phương trình 2 sin 2 x + m sin 2 x = 2m vô

C. S = −1

D. S = 1

Câu 30: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên R và hàm số f ' ( x ) có bảng biến thiên như sau. Tìm mệnh đề đúng?

−1

−∞

f "( x )

−

f '( x)

+∞ +

+∞ −1

−∞

A. Hàm số y = f ( x ) có 2 điểm cực tiểu và 1 điểm cực đại . 4

B. Hàm số y = f ( x ) có 1 điểm cực tiểuvà 1 điểm cực đại C. Hàm số không có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất. D. Hàm số y = f ( x ) có 1 điểm cực tiểu và 2 điểm cực đại . Câu 31: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a , BC = a 3 . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và đường thẳng SC tạo với mặt phẳng ( SAB ) một góc 30° . Tính thể tích V của khối chóp S . ABCD theo a .

A. V =

15a 3 . 3

3a 3 . 3

B. V =

C. V = 2 3a 3 .

Câu 32: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = ( x − 2 )

2019

− x − 2)

D. V = 2020

( x + 3)

2 15a 3 . 3

. Số điểm cực trị của hàm

số f ( x ) là

A. 5 .

B. 1.

C. 2 .

D. 3 .

Câu 33: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên R và có đồ thị như hình

vẽ. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình f ( cos x ) = −2m + 3 có 4 nghiệm thuộc khoảng [ 0; 2π ] là

A. {1} .

 3 B. 1;  .  2

 3 C. 1;  .  2

1 1 1 1

( 0;1) .

Câu 34: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A′B′C ′ có tất cả các cạnh bằng 3a . Gọi M thuộc cạnh B ' C ' sao cho MC ' = 2MB ' , N thuộc cạnh AC sao cho AC = 4 NC Mặt phẳng ( A′MN ) cắt cạnh BC tại Q . Tính thể tích V khối đa diện CNQ.C ' A ' M .

A. V =

189 3a 3 64

B. V =

63 3a 3 . 32

C. V =

26 3a 3 . 16

D. V =

31 3a 3 . 16

Câu 35: Cho lăng trụ tam giác đều ABC. A ' B ' C ' có AA ' = a . Khoảng cách giữa AB ' và CC ' bằng a 3 . Thể tích khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' A.

2a 3 3 . 3

B. a 3 3.

Câu 36: Giá trị m để hàm số y = A. m > 2 .

a3 3 2

a3 3 3

2− x − 2 nghịch biến trên ( −1; 0 ) là 2− x − m

B. m < 2 .

C. m ≤ 0 . 5

D. m ≤ 1 .

Câu 37: Gọi S là tập các giá trị m nguyên m để phương trình 9.

(

) (

10 + 3 +

)

10 − 3 − m + 2020 = 0 có

đúng hai nghiệm âm phân biệt. Số tập con của S là A. 7 .

B. 3 .

C. 6 .

D. 8 .

Câu 38: Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) = x 3 − 15 x trên đoạn [ −4;1] bằng A. 22

B. −14

C. −10 5

Câu 39: Cho mặt cầu có diện tích bằng

A. R =

a 6 2

B. R =

D. 10 5

8πa 2 , khi đó bán kính mặt cầu là 3

a 3 3

C. R =

a 2 3

D. R =

a 6 3

Câu 40: Một khối nón có đường sinh bằng 2a và diện tích xung quanh của mặt nón bằng πa 2 . Tính thể tích của khối nón đã cho? A. V =

πa 3 15 12

B. V =

πa 3 15 24

C. V =

πa 3 7 24

D. V =

πa 3 15 8

Câu 41: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau: x

f '( x)

−1

−∞

+∞

−

f ( x)

+∞

−17

−∞ Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (−17;15) .

B. (−∞;−3) .

C. (3; +∞) .

D. (− 1;3 ) .

Câu 42: Cho tứ diện SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B với

BC = 4a, SA = a 3 ,

SA ⊥ ( ABC ) và cạnh bên SB tạo với mặt đáy góc 300. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp SABC .

28 7π a3 A. V = . 3

B. V = 28 7π a .

C. V = 28π a .

20 5π a 3 D. V = . 6

Câu 43: Biết đồ thị hàm số y = x 3 + 3 x 2 − 1 có hai điểm cực trị A , B . Khi đó phương trình đường trung trực của đoạn AB là A. x − 2 y − 2 = 0 .

B. 2 x + y − 1 = 0 .

C. 2 x + y + 1 = 0.

D. x − 2 y + 3 = 0.

Câu 44: Cho 2 hàm số y = log 2 ( x + 2 ) (C1 ) và y = log 2 x + 1 ( C2 ) . Goị A, B lần lượt là giao điểm của

( C1 ) ; ( C2 ) với trục hoành, C

là giao điểm của ( C1 ) và ( C2 ) . Diện tích tam giác ABC bằng

A. 3 (đvdt)

3 (đvdt) 4

C. 3 (đvdt)

D. 1 (đvdt)

Câu 45: Cho hai hàm số y = x( x − 2)( x − 3)( m− | x |); y = x 4 − 6 x3 + 5 x 2 + 11x − 6 có đồ thị lần lượt là

( C1 ) , ( C2 ) . Có bao nhiêu giá trị nguyên

m thuộc đoạn [ −2020; 2020] để ( C1 ) cắt ( C2 ) tại 4 điểm phân

biệt?

A. 2021

B. 2019

C. 4041

Câu 46: Số nghiệm của phương trình e A. 4 .

x2 + x − 2020 2

= ln ( x 2 − 2 ) +

B. 2

D. 2020

x2 − x + 2018 là 2

C. 0 .

D. 3 .

C. ( −∞; − 3) ∪ ( 3; + ∞ ) .

D. ( −∞; − 3) .

Câu 47: Tập xác định của hàm số y = ( 9 − x 2 ) 2020 là: A. [ −3;3] .

B. ( −3;3) .

Câu 48: Cho cấp số nhân ( un ) biết u4 = 7; u10 = 56 . Tìm công bội q A. q = ±2

B. q = ± 2

C. q = 2

D. q = 2

Câu 49: Cho một hình nón đỉnh S có độ dài đường sinh bằng 10cm , bán kính đáy bằng 6cm . Cắt hình nón đã cho bởi một mặt phẳng song song với mặt phẳng chứa đáy được một hình nón ( N ) đỉnh S có chiều cao bằng

A. S =

16 cm . Tính diện tích xung quay của khối nón ( N ) . 5 48 π cm2 . 10

B. S =

48 π cm2 . 5

C. S =

48 2 cm . 5

D. S =

96 π cm2 . 5

Câu 50: Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương ABCDA ' B ' C ' D ' bằng a . Tính thể tích của khối lập phương ABCDA ' B ' C ' D ' A. a3

8 3 3 a 9

1 3 a 27

8 3 a 27

------ HẾT ------

BẢNG ĐÁP ÁN 1-C

2-C

3-D

4-B

5-D

6-C

7-D

8-C

9-C

10-B

11-A

12-C

13-B

14-B

15-A

16-D

17-A

18-B

19-A

20-C

21-C

22-C

23-D

24-B

25-D

26-A

27-B

28-C

29-C

30-A

31-D

32-D

33-C

34-B

35-B

36-D

37-D

38-D

39-D

40-B

41-D

42-A

43-D

44-C

45-A

46-A

47-B

48-B

49-B

50-B

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Chọn C. Dựa vào đồ thị ta có đồ thị trên là đồ thị hàm bậc bốn trùng phương có bề lõm hướng xuống nên hệ số a < 0 nên loại đáp án A và D. Xét điểm (1; 2 ) thuộc đồ thị hàm số trên.

Thay (1; 2 ) vào y = − x 4 + x 2 + 1 ta được 2 =1 (vô lý). Thay (1; 2 ) vào y = − x 4 + 2 x 2 + 1 ta được 2 = 2 (đúng). Nên đồ thị trong hình vẽ trên là đồ thị của hàm số y = − x 4 + 2 x 2 + 1.

Câu 2: Chọn C. Điều kiện: cos x + 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ π + l 2π ( l ∈ ℤ ) . Ta có:

π   x = 2 + mπ ( m ∈ ℤ )  sin 2 x π = 0 ⇔ sin 2 x = 0 ⇔ 2 x = kπ ( k ∈ ℤ ) ⇔ x = k ( k ∈ ℤ ) ⇔  x = n 2π ( n ∈ ℤ ) cos x + 1 2   x = π + p 2π ( p ∈ ℤ ) 

π  x = + mπ ( m ∈ ℤ )  . So lại với điều kiện, phương trình có họ nghiệm là 2  x = n 2 n ∈ ℤ π ( )  Xét 0 ≤

+ mπ ≤ 2020π ⇔ −

2 mãn đề bài.

π 2

≤ mπ ≤

4039 1 4039 . Vì m ∈ ℤ nên có 2002 giá trị m thỏa π ⇔− ≤m≤ 2 2 2

Xét 0 ≤ n 2π ≤ 2020π ⇔ 0 ≤ nπ ≤ 1010. Vì n ∈ ℤ nên có 1011 giá trị n thỏa mãn đề bài. Vậy phương trình có tổng cộng 3031 nghiệm trên đoạn [ 0; 2020π ] .

Câu 3: Chọn D. Ta có log 4 ( 3x 2 + x ) =

1 ⇔ 3x 2 + x = 2 2

⇔ 3x 2 + x − 2 = 0

 x = −1 . ⇔ x = − 2 3  8

Vậy phương trình có hai nghiệm.

Câu 4: Chọn B. Ta có log a5 a 4 =

4 4 log a a = . 5 5

Câu 5: Chọn D. 1 4 Áp dụng công thức thể tích khối chóp ta có: V = .2 S .2h = S .h 3 3 Vậy chọn đáp án D.

Câu 6: Chọn C. Ta có: Stp = 2π Rl + 2π R 2 = 2π Rh + 2π R 2 nên chọn đáp án C.

Câu 7: Chọn D. Ta có 2 cos x + 1 = 0 ⇔ cos x = −

1  2π = cos  2  3

2π  + k 2π , k ∈ ℤ. ⇔ x=± 3 

Câu 8: Chọn C. Ta có lim y = 0 ⇒ y = 0 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số x →±∞

Do đó đồ thị hàm số y =

x−3 có đúng 3 đường tiệm cận khi và chỉ khi đồ thị hàm số có đúng x − 2mx + 2m 2 − 9 2

hao tiệm cận đứng.

⇔ phương trình x 2 − 2mx + 2m 2 − 9 = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 3 2 ∆ ' > 0 −3 < m < 3 9 − m > 0 ⇔ 2 ⇔ 2 ⇔ 2 m − 3m ≠ 0 m ≠ 0; m ≠ 3 3 − 2.m.3 + 2m − 9 ≠ 0

Mà m nguyên nên m ∈ {−2; −1;1; 2} . Vậy số phần tử của S là 4.

Câu 9: Chọn C. Bài toán tổng quát: Giả sử giá tiền của mét khoan đầu tiên là x (đồng) và giá tiền của mỗi mét sau tăng thêm y % so với giá tiền của mét khoan ngay trước đó ( x > 0; y > 0 ) . Ta có: * Giá tiền mét khoan đầu tiên là S1 = x (đồng) * Giá tiền mét khoan thứ hai là S 2 = x +

y y + 100 .x = .x (đồng) 100 100 2

y y + 100  y + 100  .S 2 = .S 2 =  * Giá tiền mét khoan thứ ba là S3 = S 2 +  .x (đồng) 100 100  100  9

y y + 100  y + 100  * Giá tiền của mét khoan thứ ba là S 4 = S3 + .S3 = .S3 =   .x (đồng) 100 100  100  ………………………………………………………………………………………… * Giá tiền của mét khoan thứ n là S n = S n −1 +

y y + 100  y + 100  .Sn −1 = .Sn −1 =   100 100  100 

n −1

.x (đồng)

⇒ Giá tiền để khoan cái giếng sâu n mét là: n −1  y + 100  y + 100  2  y + 100   S = S1 + S 2 + S3 + ... + S n = 1 + ... + + +     .x 100  100   100   

x (1 − k n ) y + 100 2 n −1 Đặt k = ⇒ S = (1 + k + k + ... + k ) .x = 100 1− k k = 1, 07 và S30 =

200000. (1 − 1.0730 ) 1 − 1, 07

≈ 18892000 (đồng)

Vậy nếu nhà bạn An khoan cái giếng sâu 30 m thì hết 18892000 đồng.

Câu 10: Chọn B. 2

Đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 − 2 x − 4 y − 11 = 0 ⇔ ( x − 1) + ( y − 2 ) = 42 ⇒ Bán kính của đường tròn ( C ) là R = 4. Phép vị tự tâm O, tỉ số k = −2020 biến đường tròn có bán kính R thành đường tròn có bán kính là

R1 = −2020 R = 2020.4 = 8080 Phép tịnh tiến theo véctơ v = ( 2019; 2020 ) biến đường tròn R ' thành đường tròn có cùng bán kính Vậy bán kính của đường tròn ( C ' ) là ảnh của đường tròn ( C ) qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số k = −2020 và phép tịnh tiến theo véctơ v = ( 2019; 2020 ) là 8080.

Câu 11: Chọn A. Ta có f ( x ) = sin 2 x − cos 2 x.

⇒ f ' ( x ) = 2sin x.cos x + sin 2 x.2 = sin 2 x + 2sin 2 x = 3sin 2 x. Câu 12: Chọn C. 3 −2 3 − 2n 2 n = lim =− . Ta có lim 1 5n + 1 5 5+ n Vậy ab = −10.

Câu 13: Chọn B. Ta có log a10 = 10 log a ≠ a.

Câu 14: Chọn B.

Dựa vào hình vẽ, ta có: R = 6, h = 4 và bán kính cần tìm của đường tròn giao tuyến là r. Sử dụng định lý Pytago: r 2 = R 2 − h 2 = 6 2 − 42 = 20 ⇒ r = 2 5.

Câu 15: Chọn A.

Hình chóp S . ABCD là chóp đều nên gọi O là tâm của hình vuông ABCD ta suy ra SO ⊥ ( ABCD ) , do đó

d ( S , ( ABCD ) ) = SO hay ta có SO =

a 3 . 2

OI ⊥ BC suy ra góc giữa mặt phẳng ( SBC ) và mặt phẳng ( ABCD ) là Gọi I là trung điểm của BC ta có   SI ⊥ BC . góc SIO

a 3 SO = 600. = Ta có tan SIO = 2 = 3, do vậy SIO a IO 2 Vậy góc giữa mặt phẳng ( SBC ) và mặt phẳng ( ABCD ) bằng 600.

Câu 16: Chọn D.

1 1− x −1 x = − 1 do đó y = − 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = x − 1 . Ta có lim y = lim = lim x →±∞ x →±∞ 1 − 2 x x →±∞ 1 2 2 1 − 2x −2 x

Câu 17: Chọn A. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng 1.

Câu 18: Chọn B.

Ta có S ABCD =

1 1 AC.BD = .2a.3a = 3a 2 . 2 2

1 1 Do đó VS . ABCD = .SA.S ABCD = .a.3a 2 = a 3 . 3 3

Câu 19: Chọn A. Bất phương trình đã cho tương đương với

1    3

x+2

−2

1 ≥   ⇔ x + 2 ≤ −2 ⇔ x ≤ −4. 3

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = ( −∞; −4] .

Câu 20: Chọn C. Ta có y ' =

−2 − ab

( bx − 2 )

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm A ( −1; 2 ) là

∆ : y ' ( −1) . ( x + 1) + 2 hay ∆ : y = y ' ( −1) .x + 2 + y ' ( −1) .  y ' ( −1) = 3 Để ∆ song song với đường thẳng d : y = 3 x − 7 thì   2 + y ' ( −1) ≠ −7

 −2 − ab =3 (1) 2   (b + 2) . ⇔ 2 + −2 − ab ≠ −7 ( 2 )  ( b + 2 )2 

A ( −1; 2 ) thuộc đồ thị hàm số nên

Mà điểm

−2 − b ( −2b − 3)

(b + 2)

1− a = 2 ⇔ a = −2b − 3 thay vào (1) ta được b+2

b 2 + 9b + 14 = 0 =3⇔  ⇔ b = −7 suy ra a = 11 thỏa mãn (2). b ≠ −2

Vậy a − 3b = 11 − 3. ( −7 ) = 32.

Câu 21: Chọn C. Số tập con của A có số phần tử ≥ 1011 là 1011 1012 2020 2021 1010 1009 1 0 . C2021 + C2021 + ... + C2021 + C2021 = C2021 + C2021 + ... + C2021 + C2021

0 1 1010 1011 1012 2020 2021 + C2021 + ... + C2021 + C2021 + C2021 + ...C2021 + C2021 = (1 + 1) Do C2021

2021

= 22021.

Khi đó: 0 1 1010 1011 0 1 1009 1010 2 ( C2021 + C2021 + ... + C2021 + C2021 + C2021 + ... + C2021 + C2021 = ) = 22021 ⇔ C2021

22021 = 22020 2

Câu 22: Chọn C. Mệnh đề sai là mệnh đề Ank = n ( n − 1)( n − 2 ) ... ( n − k − 1) do Ank = n ( n − 1)( n − 2 ) ... ( n − k + 1) .

Câu 23: Chọn D. Hàm số y = x (1 − x ) ( x 2 − 3 x + 2 ) TXĐ: D = ℝ. Phương trình x (1 − x ) ( x 2 − 3 x + 2 ) = 0 ⇔ x (1 − x )( x − 1)( x − 2 ) = 0

x = 0 ⇔ − x ( x − 1) ( x − 2 ) = 0 ⇔  x = 1 ⇒ Phương trình có ba nghiệm phân biệt  x = 2 2

Vậy ( C ) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.

Câu 24: Chọn B.

Do I và K là trọng tâm của ∆ABC và A ' B ' C ' nên IK / / AA ' ⇒ AA '/ / ( IJK ) Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AA ' và AB ⇒ Kẻ JH / / AA ', H ∈ AC ⇒

(1)

CJ 2 CI 2 = và = CF 3 CE 3

CH CJ 2 CH CI = = ⇒ = ⇒ HI / / AE hay AB / / HI CA CF 3 CA CE

JH / / AA ' ⇒ JH / / IK ⇒ H ∈ ( IJK ) ⇒ HI ⊂ ( IJK ) , mà AB / / HI ⇒ AB / / ( IJK ) Từ (1) và ( 2 ) ⇒ mặt phẳng ( IJK ) song song với mặt phẳng ( AA ' B ) .

Câu 25: Chọn D.

( 2)

Gọi P là trung điểm SA. Ta có SD / / MP ⇒ SD / / ( MNP ) Do đó d ( SD, MN ) = d ( SD, ( MNP ) ) = d ( D, ( MNP ) ) = d ( A, ( MNP ) ) (vì M là trung điểm AD). Trong mặt phẳng ( ABCD ) kẻ AK ⊥ MN và trong mặt phẳng ( AKP ) kẻ AH ⊥ PK Suy ra d ( A, ( MNP ) ) = AH Ta có AP =

SA a 15 = 2 2

Gọi E = MN ∩ AB ⇒ AE = 2a.

∆AME vuông tại A ⇒

1 1 1 1 1 1 = + = 2+ 2 = 2 2 2 2 AK AM AE 4a 4a 2a

∆AKP vuông tại A ⇒

1 1 1 1 4 23 690a = + = 2+ = ⇒ AH = 2 2 2 2 2 AH AK AP 2a 15a 30a 23

Vậy d ( SD, MN ) =

690a . 23

Câu 26: Chọn A.

∆ABC đều cạnh 2a ⇒ S ∆ABC = a 2 3 Vậy thể tích khối lăng trụ đều ABC. A ' B ' C ' là

V = AA '.S ∆ABC = 2a.a 2 3 = 2 3a 3 . Câu 27: Chọn B. Gọi không gian mẫu là Ω. 3 Chọn 3 từ 40 thẻ có C40 cách. 3 ⇒ n ( Ω ) = C40 = 9880.

Gọi A: “Tổng 3 số ghi trên thẻ là một số chia hết cho 3”. Các số chia hết cho 3 từ 1 đến 40 là: {3;6;9;...30;33;36;39} : có 13 số. Các số chia cho 3 dư 1 từ 1 đến 40 là: {1; 4;7;...31;34;37; 40} : có 14 số. Các số chia cho 3 dư 2 từ 1 đến 40 là: {2;5;8;...32;35;38} : có 13 số.

Trường hợp 1: 3 số cùng chia hết cho 3; chia cho 3 dư 1; chia cho 3 dư 2: Có: C133 + C133 + C143 = 286 + 286 + 364 = 936 cách.

Trường hợp 2: 1 số chia hết cho 3, 1 số chia cho 3 dư 1 và 1 số chia cho 3 dư 2: 1 .C131 .C141 = 2366 cách. Có: C13

Vậy số cách chọn để được tổng 3 số chia hết cho 3 là: 936 + 2366 = 3302 cách.

⇒ n ( A) = 3302. Xác suất biến cố A là: p ( A ) =

n ( A ) 3302 127 . = = n ( Ω ) 9880 380

Câu 28: Chọn C. 16

2 f ( x) − 3 = 0 ⇔ f ( x) =

3 (1) . 2

Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của 2 đường:

3 y = f ( x ) và đường thẳng y = . 2 Dựa vào đồ thị ta thấy đường thẳng y =

3 cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) tại 3 điểm phân biệt. 2

Vậy số nghiệm của phương trình 2 f ( x ) − 3 = 0 là 3 nghiệm.

Câu 29: Chọn C.  1 − cos 2 x  Ta có 2sin 2 x + m sin 2 x = 2m ⇔ 2.   + m sin 2 x = 2m ⇔ m sin 2 x − cos 2 x = 2m − 1. 2   m < 0 Phương trình vô nghiệm ⇔ m + ( −1) < ( 2m − 1) ⇔ 3m − 4m > 0 ⇔  . m > 4 3  2

Do m nguyên và m ∈ [ −2020; 2020] nên suy ra m ∈ {−2020; −2019;...; −2; −1; 2;...; 2019; 2020} Vậy tổng các phần tử của S bằng −1.

Câu 30: Chọn A.

 x = x1 ∈ ( −∞; −1)  Dựa vào bảng biến thiên của f ' ( x ) , ta có f ' ( x ) = 0 ⇔  x = x2 ∈ ( −1;1) .  x = x ∈ 1; +∞ ( ) 3 

f ' ( x ) đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm x1 , suy ra x1 là điểm cực tiểu. f ' ( x ) đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua điểm x2 , suy ra x2 là điểm cực đại. f ' ( x ) đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm x3 , suy ra x3 là điểm cực tiểu. Câu 31: Chọn D.

SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ BC , mà BC ⊥ AB (hình chữ nhật ABCD ) ⇒ BC ⊥ ( SAB ) = ( SC , ( SAB ) ) = 300 ⇒ B là hình chiếu của C trên mặt phẳng ( SAB ) ⇒ BSC = a 3.cot 300 = 3a ∆BSC vuông tại B, ta có: SB = BC.cot BSC

∆SAB vuông tai A, ta có: SA = SB 2 − AB 2 = 9a 2 − 4a 2 = 5a 2 = a 5 Diện tích hình chữ nhật ABCD là AB.BC = 2a.a 3 = 2a 2 3

1 2 15a 3 . Vậy thể tích khối chóp S . ABCD là V = .a 5.2a 2 3 = 3 3

Câu 32: Chọn D. Biến đổi: f ' ( x ) = ( x − 2 )

2019

( x + 1)

2020

( x − 2)

2020

( x + 3)

= ( x − 2)

4039

( x + 1)

2020

( x + 3)

⇒ Hàm số f ( x ) có 1 điểm cực trị có hoành độ dương là x = 2 ⇒ Hàm số f ( x ) có 2.1 + 1 = 3 điểm cực trị → Chọn D.

Câu 33: Chọn C. Đặt t = cos x, với x ∈ [ 0; 2π ] ta có t ∈ [ −1;1] và: + Nếu t ∈ ( −1;1] thì tương ứng mỗi giá trị của t ta được 2 giá trị của x ∈ [ 0; 2π ]. + Nếu t = −1 thì ta chỉ được duy nhất giá trị x = π ∈ [ 0; 2π ] . Phương trình viết lại: f ( t ) = −2m + 3 (1)

Trường hợp 1. m >

3 thì (1) vô nghiệm nên phương trình đã cho vô nghiệm. 2

3 Trường hợp 2. m = , khi đó (1) viết về f ( t ) = 0 ⇔ f ( t ) = 0, từ đồ thị có thể thấy phương trình thu được 2 có đúng 1 nghiệm duy nhất trên ( −1;1] , ta có điều kiện:  −2 m + 3 < 3  m > 0 ⇔ ⇔ m ≥ 1.   2m − 3 ≥ −1  m ≥ 1

3 Kết hợp lại ta được 1 ≤ m < . 2 Câu 34: Chọn B. Cách 1.

Mặt phẳng ( A ' MN ) cắt các mặt phẳng ( ABC ) và ( A ' B ' C ') theo các giao tuyến song song nên Q là giao

điểm của đường thẳng qua N song song với A ' M với cạnh BC. Kéo dài các đường A ' N , MQ và C ' C đồng quy tại cùng một điểm P (3 mặt phẳng cắt nhau theo 3 giao tuyến đồng quy). Như vậy khối đa diện cần tính thể tích là một khối chóp cụt. Ta có C ' M =

2 1 1 3 3 3a 2 . B ' C ' = 2a.S1 = S ∆A 'C ' M = A ' C '.C ' M .sin 600 = .3a.2a. = 3 2 2 2 2

Gọi E là điểm trên cạnh BC sao cho EC = 2 EB thì A ' M / / AE nên

1 1 1 CQ CN 1 = = ⇒ CQ = CE = C ' M = a. CE CA 4 4 4 2 1 1 a 3a 3 3 3a 2 . Diện tích tam giác CNQ là S 2 = S ∆CNQ = CQ.CN .sin 600 = . . . = 2 2 2 4 2 32

Vậy VCNQ.C ' A ' M =

 3 3a 2 3 3a 2 CC ' 3 3a 2 3 3a 2 . S1 + S 2 + S1S 2 = a  + +  2 3 32 2 32 

(

)

 63 3a 3 = .  32 

Cách 2:

Mặt phẳng ( A ' MN ) cắt các mặt phẳng ( ABC ) và ( A ' B ' C ') theo các giao tuyến song song nên Q là giao

điểm của đường thẳng qua N song song với A ' M với cạnh BC. Ta có C ' M = Lại có

2 1 1 3 3 3a 2 . B ' C ' = 2 A, S ∆A 'C ' M = A ' C '.C ' M .sin 600 = .3a.2a. = 3 2 2 2 2

PC CN CN 1 PC 1 1 = = = ⇒ = ⇒ PC = .3a = a ⇒ PC ' = 4a. PC ' A ' C ' AC 4 CC ' 3 3

1 3 3a 2 Thể tích khối chóp P.C ' A ' M là VP.C ' A ' M = .4a. = 2 3a 3 . 3 2 Gọi E là điểm trên cạnh BC sao cho EC = 2 EB thì A ' M / / AE nên

1 1 1 CQ CN 1 = = ⇒ CQ = CE = C ' M = a. CE CA 4 4 4 2 Ta có S ∆CNQ

1 1 1 1 3a 3 1 3a 2 3 . a= . = D ( N , CQ ) .CQ = . .d ( A, BC ) .CQ = . 2 2 4 8 2 2 32

1 1 3a 2 3 a 3 3 . Thể tích khối chóp P.CNQ là VP.CNQ = PC.S ∆CNQ = .a. = 3 3 32 32 Vậy VCNQ.C ' A ' M = VP.C ' A ' M − VP.CNQ = 2 3a 3 −

a 3 3 63 3a 3 . = 32 32

Cách 3:

Mặt phẳng ( A ' MN ) cắt các mặt phẳng ( ABC ) và ( A ' B ' C ') theo các giao tuyến song song nên Q là giao

điểm của đường thẳng qua N song song với A ' M với cạnh BC. Ta có VCNQ.C ' A ' M = VN .MC ' A ' + VN .CQMC ' . Ta có C ' M =

2 1 1 3 3 3a 2 . B ' C ' = 2 A, S ∆A 'C ' M = A ' C '.C ' M .sin 600 = .3a.2a. = 3 2 2 2 2 1 1 3 3a 2 3 3a 3 . VCNQ.C ' A ' M = .CC '.S A 'C ' M = .3a. = 3 3 2 2

Gọi E là điểm trên cạnh BC sao cho EC = 2 EB thì A ' M / / AE nên NQ / / AE , ta có:

1 1 1 CQ CN 1 = = ⇒ CQ = CE = C ' M = a. CE CA 4 4 4 2 2 1 1 1  15a . Diện tích hình thang CQMC ' là S ∆CQNC ' = CC ' ( CQ + C ' M ) = .3a.  a + 2a  = 2 2 4 2 

Thể tích khối chóp N .CQMC ' là

1 1 1 1 3a 3 15a 2 15 3a 3 . . VN .CQMC ' = .d ( N , ( CQMC ' ) ) .SCQNC ' = . d ( A, ( BCC ' B ') ) .SCQNC ' = . = 3 3 4 12 2 4 32 Thể tích khối đa diện cần tìm là VCNQ.C ' A ' M = VN .MC ' A ' + VN .CQMC ' =

Câu 35: Chọn B.

3 3a 3 15 3a 3 63 3a 3 . + = 2 32 32

Ta có BB '/ / CC ' ⇒ CC '/ / ( ABB ' ) hay CC '/ / ( ABB ' A ' ) . Do đó d ( AB ', CC ' ) = d ( CC ', ( ABB ' A ') ) = d ( C , ( ABB ' A ' ) ) . Kẻ CH ⊥ AB tại H . Ta có CH ⊥ AB và CH ⊥ BB ' nên CH ⊥ ( ABB ' A ' ) . Do đó d ( AB ', CC ' ) = d ( C , ( ABB ' A ') ) = CH = a 3. Trong tam giác ABC có HB 2 + HC 2 = BC 2 ⇔

BC 2 + 3a 2 = BC 2 ⇔ BC = 2a. 4

1 1 3 Vậy VABC . A ' B 'C ' = AA '.S ABC = AA '. BA.BC.sin 600 = a. .2a.2a. = a 3 3. 2 2 2

Câu 36: Chọn D. Ta có y ' =

2−m

−x

− m)

2−m

. ( 2− x ) ' =

−x

− m)

. ( −2 − x.ln 2 ) .

Nhận xét: Với x ∈ ( −1;0 ) ⇒ 2− x ∈ (1; 2 ) .

2− x ≠ m Hàm số đã cho nghịch biến trên ( −1; 0 ) ⇔  ∀x ∈ ( −1; 0 ) y' < 0 m ≥ 2 m ≥ 2   ⇔   m ≤ 1 ⇔   m ≤ 1 ⇔ m ≤ 1. 2 − m > 0 m < 2   Vậy với m ≤ 1 thì hàm số y =

2− x − 2 nghịch biến trên ( −1; 0 ) . 2− x − m

Câu 37: Chọn D. x

) (

(

10 + 3 .

Đặt

(

10 + 3 = t với t > 0 ⇒

)

10 − 3

)

= 1 nên:

(

10 − 3

)

1 = , ta có phương trình t 22

1 1 9t + − m + 2020 = 0 ⇔ m = 9t + + 2020 (*) . t t Phương trình đã cho có đúng hai nghiệm âm phân biệt ⇔ ( *) có hai nghiệm t ∈ ( 0;1) .

1 1 Xét hàm số f ( t ) = 9t + + 2020 ⇒ f ' ( t ) = 9 − 2 . t t

1 f '(t ) = 0 ⇔ t = ± . 3 Bảng biến thiên:

1 3

f '(t ) f (t )

−

1 + 2030

+∞

2026 Do đó, m ∈ ( 2026; 2029 ) . Do m ∈ ℤ ⇒ S = {2027; 2028; 2029} . Vậy số tập con của S là 8.

Câu 38: Chọn D. Trên đoạn [ −4;1] , ta có

f ' ( x ) = 3x 2 − 15; f ' ( x ) = 0 ⇔ x = ± 5.

(

)

f ( −4 ) = 4; f − 5 = 10 5; f (1) = −14. Vậy max = 10 5. [ −4;1]

Câu 39: Chọn D. Diện tích mặt cầu S = 4π R 2 ⇔ R 2 = Vậy: Bán kính mặt cầu R =

S 8π a 2 2a 2 a 6 . = = ⇒R= 4π 12π 3 3

a 6 . 3

Câu 40: Chọn B.

Diện tích xung quanh của mặt nón S xq = π Rl ⇔ R =

Đường cao của hình nón h = l 2 − R 2 = 4a 2 −

S xq

πl

π a2 a = . 2π a 2

a 2 a 15 = 4 2

1 1 a 2 a 15 π a 3 15 . Vậy: Thể tích của khối nón là V = π R 2 h = π . . = 3 3 4 2 24

Câu 41: Chọn D. Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số nghịch biến trên khoảng ( −1;3) .

Câu 42: Chọn A.

Do tam giác ABC vuông tại B, AB là hình chiếu vuông góc của SB trên ( ABC ) nên suy ra tam giác SBC vuông tại B; SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SAC là tam giác vuông tại A. Suy ra A, B nằm trên mặt cầu đường kính SC. Gọi I là trung điểm của SC thì I là tâm mặt cầu.

SB, AB = SBA Ta có ( SB, ( ABC ) ) = ( ) = 300. Câu 43: Chọn D. y = x3 + 3x 2 − 1

x = 0 y ' = 3x 2 + 6 x = 0 ⇔   x = −2 Vậy 2 điểm cực trị là A ( −2;3) ; B ( 0;1) . Gọi H ( −1;1) là trung điểm của AB AB = ( 2; −4 )

Chọn nd ( −1; 2 ) ⇒ ( d ) : x − 2 y + 3 = 0 Câu 44: Chọn C. * ( C1 ) ∩ ( C2 )

log 2 ( x + 2 ) = log 2 ( x ) + 1 ⇔ log 2 ( x + 2 ) = log 2 ( 2 x ) ⇔ x + 2 = 2 x ⇔ x = 2 ( tm )

⇒ ( C1 ) ∩ ( C2 ) = C ( 2; 2 ) * ( C1 ) ∩ Ox

log 2 ( x + 2 ) = 0 ⇒ A ( −1;0 ) * ( C2 ) ∩ Ox

1  log 2 ( x ) + 1 = 0 ⇒ B  ; 0  2   3  ⇒ AB  ;0  ; AC ( 3; 2 ) 2 

⇒ S ABC =

1 3 x AB . y AC − x AC . y AB = (đvdt). 2 2

Câu 45: Chọn A. Xét phương trình hoành độ giao điểm: x ( x − 2 )( x − 3) ( m − x ) = x 4 − 6 x3 + 5 x 2 + 11x − 6 (1) Số giao điểm của ( C1 ) ; ( C2 ) là số nghiệm của phương trình (1) . Do x = 0; x = 2; x = 3 không là nghiệm của phương trình (1) nên:

(1) ⇔

x 4 − 6 x3 + 5 x 2 + 11x − 6 = m− x x ( x − 2 )( x − 3)

⇔ x −1−

2 3 1 − − + x =m x − 2 x −3 x 25

2 3 1  2x −1− − − ,x > 0  2 3 1  x−2 x−3 x Đặt f ( x ) = x − 1 − − − + x = x−2 x−3 x  −1 − 2 − 3 − 1 , x < 0  x − 2 x −3 x 2 3 1  + + 2 ,x≥0 2 2 2 + x  ( x − 2 ) ( x − 3) Ta có f ' ( x ) =  ⇒ f ' ( x ) > 0, ∀x ∈ ℝ. 3 1  2 + + ,x<0  ( x − 2 ) 2 ( x − 3)2 x 2  Suy ra f ( x ) đồng biến trên từng khoảng xác định của nó: ( −∞;0 ) ; ( 0; 2 ) ; ( 2;3) ; ( 3; +∞ ) . Mặt khác lim f ( x ) = +∞; lim f ( x ) = −1 x →+∞

x →−∞

lim f ( x ) = +∞; lim+ f ( x ) = −∞; lim− f ( x ) = +∞; lim+ f ( x ) = −∞; lim− f ( x ) = +∞; lim+ f ( x ) = −∞

x →0 −

x →0

x→2

x →3

Bảng biến thiên

−∞

f '( x)

f ( x)

+∞

−1

+∞

−∞

+∞

−∞

+∞

−∞

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi m > −1. Vậy số giá trị nguyên của m ∈ [ −2020; 2020] thỏa mãn là 2021.

Câu 46: Chọn A.

x2 + x − 2020 2

⇔e

x + x − 2020 x2 x2 = ln ( x − 2 ) + − x + 2018 (1) ⇔ e 2 + + x − 2020 = ln ( x 2 − 2 ) + x 2 − 2 2 2

x2 + x − 2020 2

x2 ln ( x 2 − 2 ) + x − 2020 = e + x2 − 2 2

( 2)

Xét hàm số: f ( t ) = et + t , t ∈ ℝ Ta có f ' ( t ) = et + 1 > 0, ∀t ∈ ℝ. Do đó f ( t ) đồng biến trên ℝ.

 x2  x2 2 2 ⇔ + − 2020 = ln − 2 ⇔ + x − 2020 = ln ( x 2 − 2 ) f x f x ( ) ( )   2  2 

(

⇔

)

x2 − x − 2020 − ln ( x 2 − 2 ) = 0 ( 3) 2 26

Xét hàm số: g ( x) =

x > 2 2x x2 x3 + x2 − 4 x − 2 + x − 2020 − ln ( x 2 − 2 ) ,  ⇒ g '( x) = x +1− 2 = 2 x −1 x2 − 2  x < − 2

Xét h ( x ) = x 3 + x 2 − 4 x − 2 liên tục trên ℝ và có: h ( −3) = −8; h ( −2 ) = 2; h ( −1) = 2; h ( 0 ) = −2; h

( 3) = 1−

3; h ( 2 ) = 2

h −3 .h −2 < 0  x = a ∈ −3; −2 ( )  ( ) ( )   ⇒ h ( −1) .h ( 0 ) < 0 ⇒ h ( x ) = 0 ⇔  x = b ∈ ( −1;0 )    x = c ∈ 3; 2 h 3 .h ( 2 ) < 0 

( )

(

)

lim − g ( x ) = +∞; lim + g ( x ) = +∞; lim g ( x ) = +∞; lim g ( x ) = +∞ x →−∞ x →+∞ x →( 2 ) ( 2)

x→

Bảng biến thiên hàm số g ( x )

−∞

− 2

h ( x)

g '( x)

−

g ( x)

+∞

− +∞

)

3; 2 suy ra g ( c ) < g

−

9 − 3 − 2020 − ln 7 < 0 2

( 3 ) = 32 +

3 − 2020 < 0

Do đó phương trình ( 3) có 4 nghiệm phân biệt.

Câu 47: Chọn B. Hàm số đã cho xác định khi 9 − x 2 > 0 ⇔ −3 < x < 3. Tập xác định của hàm số đã cho: D = ( −3;3) .

Câu 48: Chọn B. Ta có u4 = 7 ⇔ u1.q 3 = 7. (1) 27

+∞

g (c)

Với a ∈ ( −3; −2 ) suy ra g ( a ) < g ( −3) =

(

+∞

Từ bảng biến thiên ta có:

+∞

g (a)

Vớ i c ∈

u10 = 56 ⇔ u1.q 9 = 56. ( 2 ) Từ (1) và (2) ta có:

u1.q 9 = 8 ⇔ q 6 = 8 ⇔ q = ± 2. 3 u1.q

Câu 49: Chọn B.

Hình nón ban đầu có bán kính đáy r = OA = 6cm, đường sinh l = SA = 10cm 2

SO = h = l − r = 10 − 6 = 8cm. Hình nón ( N ) có chiều cao h1 = SI =

16 đường sinh l1 = SM và bán kính đáy là r1 = IM . 5

Hai tam giác vuông SIM và SOA đồng dạng nên: Suy ra: r1 =

h1 r1 l1 16 r1 l1 = = ⇒ = = . h r l 5.8 6 10

12 cm; l1 = 4cm. 5

Vậy ta có S xq = π r1l1 = π .

12 48 .4 = π ( cm 2 ) . 5 5

Câu 50: Chọn B. Gọi x là độ dài của hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D '. Suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương là r =

x 3 2a x 3 . Vậ y . =a⇒ x= 2 2 3 3

 2a  8 3a 3 Thể tích khối lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' là V = x =   = 9 .  3 3

và chiều cao

SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC

KỲ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT LẦN 1 KHỐI 12

------------------

NĂM HỌC 2020 – 2021 MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 90 phút không kể thời gian phát đề

Câu 1: Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = A. x = −2.

B. y = −2.

C. y = 0. 1

2 ? −x + 3

D. x = 3.

a3 b + b3 a Câu 2: Cho hai số thực dương a, b. Rút gọn biểu thức A = 6 ta thu được A = a m .b n . 6 a+ b

1 . 21

1 . 9

1 . 18

1 . 8

Câu 3: Cắt hình nón S bởi một mặt phẳng đi qua trục của hình nón ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a 2. Tính theo a thể tích của khối nón đã cho. A.

π a3 2 4

π a3 7 3

π a3 2 12

π a3 4

Câu 4: Đồ thị hàm số y = − x 4 + x 2 + 2 cắt trục Oy tại điểm nào? A. A ( 2;0 ) .

B. A ( 0; 0 ) .

C. A ( 0; −2 ) .

D. A ( 0; 2 ) .

Câu 5: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 5, BC = 4 . Tính thể tích của khối lăng trụ tạo thành khi cho hình chữ nhật ABCD quay quanh AB. A. V = 100π .

B. V = 80π .

C. V =

80 π. 3

D. V = 20π .

Câu 6: Một nhóm có 6 học sinh gồm 4 nam và 2 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3 học sinh trong đó có đúng 2 học sinh nam? A. 6.

B. 30.

C. 24.

Câu 7: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

D. 12.

Hàm số y = f ( x ) có bao nhiêu điểm cực tiểu

A. 0.

B. 3.

C. 2.

Câu 8: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =

D. 1.

2x −1 , biết tiếp tuyến có hệ số góc k = −3 x−2

A. y = −3 x + 4.

B. y = −3 x + 14 và y = −3 x + 2.

C. y = −3 x − 14 và y = −3 x − 2.

D. y = −3 x − 14.

Câu 9: Cho số thực dương a khác 1, biểu thức D = log a3 a có giá trị bằng bao nhiêu? 1 A. − . 3

1 . 3

C. −3.

Câu 10: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = A. 5.

D. 3.

x +1 tại điểm có hoành độ x0 = −1 có hệ số góc bằng bao nhiêu? 2x − 3

1 . 5

1 C. − . 5

D. −5.

Câu 11: Tính đạo hàm của hàm số y = log 2 ( 2 x − 1) . A. y ' =

2 . 2x −1

B. y ' =

1 . ( 2 x − 1) ln 2

C. y ' =

2 . ( 2 x − 1) ln 2

D. y ' =

1 . 2x −1

Câu 12: Cho cấp số nhân ( un ) có số hạng đầu u1 = 5 và công bội q = −2. Tìm số hạng thứ sáu của ( un ) . A. u6 = −160.

B. u6 = −320.

C. u6 = 160.

D. u6 = 320.

C. Hình 2.

D. Hình 3.

Câu 13: Hình nào dưới đây là hình đa diện?

A. Hình 1.

B. Hình 4.

Câu 14: Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị của hàm số đã cho có tổng số bao nhiêu tiệm cận đứng và tiệm cận ngang? A. 1.

B. 3.

C. 4.

D. 2.

C. y = 3 x + 2.

D. y = x 4 − 2 x 2 .

Câu 15: Trong các hàm số sau, hàm số đồng biến trên ℝ ? A. y =

2x −1 . x+3

B. y = x 2 + 2 x − 1.

Câu 16: Cho khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có thể tích V . Tính thể tích của khối chóp tứ giác ABCC ' B '. A.

1 V. 2

1 V. 3

2 V. 3

3 V. 4

Câu 17: Cho hình lăng trụ có bán kính đáy bằng 5. Biết rằng cắt hình trụ đã cho bởi một mặt phẳng qua trục của hình trụ, thiết diện thu được là một hình chữ nhật có chu vi bằng 32. Tính diện tích xung quanh của hình trụ đã cho. A. 110π . Câu 18: Tính lim+ x →−1

A. +∞

B. 55π .

C. 60π .

D. 150π .

B. −1.

C. −2.

D. −∞.

2x −1 . x +1

Câu 19: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ −2; 4] và có đồ thị như hình vẽ.

Phương trình 3 f ( x ) − 4 = 0 có bao nhiêu nghiệm thực trên đoạn [ −2; 4] ?

A. 3.

B. 2.

C. 0.

D. 1.

Câu 20: Hàm số y = ax 4 + bx 2 + c ( a ≠ 0 ) có tối đa bao nhiêu điểm cực trị? A. 1.

B. 2.

C. 3.

Câu 21: Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = A. x = −3.

B. y = −1.

D. 0. 2− x ? x+3

C. y = −3.

D. x = 2.

C. x = 3.

D. x = 1.

Câu 22: Giải phương trình 52− x = 125. A. x = −1.

B. x = −5.

Câu 23: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên ℝ là f ' ( x ) = x 2 ( x − 1) . Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. ( −∞; +∞ ) .

B. (1; +∞ ) .

C. ( −∞;1) .

D. ( 0;1) .

Câu 24: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −1;3) .

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −2;1) .

C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞; 2 ) .

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 2 ) .

Câu 25: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = x3 − 3 x 2 trên [ −1; 2] . A. -1.

B. 0.

Câu 26: Tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số y = A. A ( 3; 2 ) .

C. 2.

D. −4.

C. D ( −1;3) .

D. C (1; −3) .

2x + 1 . x−3

B. B ( −3; 2 ) .

Câu 27: Đường cong ở hình vẽ sau là của hàm số nào dưới đây?

A. y = x3 − 3 x 2 + 1.

B. y = x 4 − 2 x 2 + 1.

C. y = x3 − 3 x + 1.

D. y = − x 3 + 3 x + 1.

Câu 28: Tính diện tích xung quanh Sxq của hình nón có bán kính đáy r = 3 và độ dài đường sinh l = 5. A. S xq = 30π .

B. S xq = 45π .

Câu 29: Tìm tập xác định của hàm số y = ( x − 6 ) A. [ 6; +∞ ) .

−2019

C. S xq = 24π .

D. S xq = 15π .

C. ℝ.

D. ( 6; +∞ ) .

B. ℝ \ {6} .

Câu 30: Biết log 7 2 = m, tính giá trị của log 49 28 theo m. A.

m+4 . 2

1 + 4m . 2

1 + 2m . 2

1+ m . 2

Câu 31: Cho hình nón đỉnh S , đường cao SO, A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho khoảng cách từ O đến mặt phẳng ( SAB ) bằng

A. a 3.

a 3 = 300 , SAB = 600. Tính độ dài đường sinh của hình nón theo a. và SAO 3

B. 2a 3.

C. a 5.

D. a 2.

Câu 32: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC vuông tại A, AB = a, BC = 2a, mặt bên ACC ' A ' là hình vuông. Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của AC , CC ', A ' B ' và H là hình chiếu của A lên BC. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MP và HN . A.

a 3 . 4

a 3 . 2

C. a 3.

a . 4

Câu 33: Cho hàm số y = ax3 + bx 2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. a > 0, b < 0, c = 0, d > 0

B. a > 0, b < 0, c > 0, d > 0

C. a < 0, b > 0, c > 0, d > 0

D. a < 0, b > 0, c = 0, d > 0 5

Câu 34: Đường thẳng y = m 2 cắt đồ thị hàm số y = x 4 − x 2 − 10 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB vuông (với O là gốc tọa độ). Mệnh đề nào sau đây đúng? A. m 2 ∈ ( 5; 7 ) .

B. m 2 ∈ ( 3;5) .

C. m 2 ∈ ( 0;1) .

D. m 2 ∈ (1;3) .

Câu 35: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [ −20; 2] để hàm số y = x3 − x 2 + 3mx − 1 đồng biến trên ℝ.

A. 2.

B. 23.

C. 20.

D. 3.

2 x −1

Câu 36: Phương trình 3x.5 x = 15 có một nghiệm dạng x = − log a b, với a, b là các số nguyên dương lớn hơn 1 và nhỏ hơn 8. Giá trị của biểu thức P = a + 2b bằng bao nhiêu? A. P = 5.

B. P = 13.

C. P = 8.

D. P = 3.

Câu 37: Cho hình chóp S . ABC có SA ⊥ ( ABC ) , hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SBC ) vuông góc với nhau, a3 = 450 , . SB = a 3, BSC ASB = 300. Thể tích khối chóp S . ABC là V . Tìm tỉ số V

8 . 3

8 3 . 3

4 . 3

2 3 . 3

x 2 + xy + y 2 Câu 38: Cho biểu thức P = với x 2 + y 2 ≠ 0. Tính giá trị nhỏ nhất của P. 2 x − xy + y A.

1 . 3

B. 4.

C. 1.

D. 3

Câu 39: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ, có đạo hàm f ' ( x ) = ( x 2 − x − 2 )( x 3 − 6 x 2 + 11x − 6 ) .g ( x ) với

g ( x ) là hàm đa thức có đồ thị như hình vẽ.

Hàm số y = f ( x ) có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 5.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Câu 40: Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên ℝ \ {1} , liên tục trên mỗi khoảng xác định có bảng biến thiên như sau 6

Đồ thị y =

1 có bao nhiêu đường tiệm cận đứng? f ( x) + 2

A. 3.

B. 1.

C. 2.

D. 4.

Câu 41: Cho lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có độ dài cạnh bên là 2a, đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, góc giữa AC ' và mặt phẳng ( BCC ' B ') bằng 300 (tham khảo hình vẽ).

Tính theo a thể tích khối trụ có hai đáy là hai đường tròn ngoại tiếp hai đáy của lăng trụ ABC. A ' B ' C '.

A. π a 3 .

B. 3π a 3 .

C. 2π a 3 .

D. 4π a 3 .

−2

Câu 42: Cho hàm số y = ( x + 2 ) . Tìm hệ thức giữa y và y " không phụ thuộc vào x. A. y "− 4 y = 0.

C. y "− 6 y 2 = 0.

B. y "+ 2 y = 0.

D. 2 y "− 3 y = 0.

= 1200. Gọi G là trọng tâm của Câu 43: Cho hình hộp đứng BACD. A ' B ' C ' D ' có đáy là hình thoi cạnh a, BAD tam giác ABD, góc tạo bởi C ' G và mặt đáy bằng 300. Tính theo a thể tích khối hộp ABCD. A ' B ' C ' D '.

A. a 3 .

a3 . 3

a3 . 12

Câu 44: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ, hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị như hình vẽ

a3 . 6

Hàm số g ( x ) = f ( x − 1) +

2021 − 2020 x đồng biến trên khoảng nào dưới đây? 2020

A. ( 0;1) .

B. ( −1; 0 ) .

Câu 45: Tìm m để hàm số y = A. m = −1.

C. (1; 2 ) .

D. ( 2;3) .

1 3 x − mx 2 + ( m 2 − 4 ) x + 3 đạt cực đại tại điểm x = 3. 3

B. m = 1.

C. m = 5.

D. m = −5.

Câu 46: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m ∈ ( −10;10 ) để phương trình

log ( mx + 1) log ( x + 1)

= 2 có nghiệm thực duy

nhất?

A. 15.

B. 10.

C. 16.

D. 11.

Câu 47: Cho hình chóp đều S . ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 600. Tính theo a diện tích xung quanh S xq của hình nón đỉnh S , có đáy là đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. A. S xq =

π a 2 10 8

B. S xq =

π a2 7 6

C. S xq =

π a2 3 3

D. S xq =

π a2 7 4

Câu 48: Một lô hàng gồm 30 sản phẩm tốt và 10 sản phẩm xấu, lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 sản phẩm. Tính sác xuất để trong 3 sản phẩm lấy ra có ít nhất 1 sản phẩm tốt. A.

135 . 998

15 . 26

3 . 247

244 . 247

Câu 49: Cho log a x = 2;logb x = 3;log c x = 4, ( 0 < a < b < c ≠ 1, x > 0 ) . Tính giá trị của biểu thức log a2b A.

12 . 13

1 B. . 9

6 . 13

24 . 35

Câu 50: Cho hàm số y = ax 4 + bx3 + cx 2 + dx + e với a, b, c, d , e là các số thực và a ≠ 0, có bảng biến thiên như sau: 8

Đồ thị hàm số y = A. 4.

x2 có bao nhiêu tiệm cận đứng? f 2 ( x) + 3 f ( x)

B. 3.

C. 5. -------------------HẾT-------------------

D. 6.

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 1-C

2-B

3-C

4-D

5-B

6-D

7-A

8-B

9-B

10-C

11-C

12-A

13-B

14-B

15-C

16-C

17-C

18-D

19-A

20-C

21-A

22-A

23-B

24-D

25-B

26-A

27-C

28-D

29-B

30-C

31-D

32-A

33-D

34-D

35-A

36-B

37-A

38-A

39-D

40-C

41-D

42-C

43-B

44-B

45-C

46-B

47-B

48-D

49-D

50-A

Câu 1: Chọn C. Vì lim

x →−∞

−2 −2 = 0 (hoặc lim = 0) nên đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho. x →+∞ −x + 3 −x + 3

Câu 2: Chọn B. 1  16  a b  a + b6  1 1 a b + b a a .b + b .a   = a 3b3 ⇒ m = n = 1 . = = A= 6 1 1 1 1 3 a+6b a6 + b6 a6 + b6 1 3

1 3

1 2

1 3

1 2

1 3

1 1 1 Vậy m.n = . = . 3 3 9

Câu 3: Chọn C. Ta có bán kính đáy và chiều cao của hình nón đều bằng nửa cạnh huyền: r = h =

a 2 . Do vậy thể tích của khối 2

1 π a3 2 nón là: V = π r 2 h = . 3 12

Câu 4: Chọn D. Cho x = 0 ⇒ y = 2.

Câu 5: Chọn B. Khối lăng trụ tạo thành khi cho hình chữ nhật ABCD quay quanh AB có bán kính đáy là R = BC = 4, có

đường cao là h = AB = 5. Vậy thể tích khối trụ là V = π R 2 h = π .4 2.5 = 80π . Câu 6: Chọn D. Chọn ra 2 học sinh nam từ 4 học sinh nam, có C42 =

4! = 6 (cách chọn) 2!.2!

Ứng với mỗi cách chọn ra 2 học sinh nam có 2 cách chọn ra 1 học sinh nữ từ 2 học sinh nữ. Vậy có 6.2 = 12 cách chọn ra 3 học sinh trong đó có đúng 2 học sinh nam. 10

Câu 7: Chọn A. Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số y = f ( x ) không có điểm cực tiểu.

Câu 8: Chọn B. Tập xác định của hàm số là D = ℝ \ {2} .

Đạo hàm y ' = −3

( x0 − 2 )

−3

( x − 2)

, gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm của tiếp tuyến với hệ số góc k = −3 ta có phương trình

 x0 = 3 . = −3 ⇔ x0 − 2 = ±1 ⇔  = 1 x  0

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M ( 3;5 ) là y = −3 x + 14. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M (1; −1) là y = −3 x + 2. Vậy đồ thị hàm số có hai tiếp tuyến trên với hệ số góc bằng −3.

Câu 9: Chọn B. 1 1 Ta có: D = log a3 a = log a a = . 3 3

Câu 10: Chọn C. Ta có: y ' =

−5

( 2 x − 3)

1 Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0 = −1 là y ' ( −1) = − . 5

Câu 11: Chọn C. Ta có y ' =

( 2 x − 1) ' = 2 . ( 2 x − 1) ln 2 ( 2 x − 1) ln 2

Câu 12: Chọn A. 5

Ta có u6 = u1.q 5 = 5. ( −2 ) = −160.

Câu 13: Chọn B. Câu 14: Chọn B.  lim− f (x) = +∞  x →0 Dựa vào bảng biến thiên ta có:  => x = 0, x = -2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. = −∞ lim f (x)  x →( −2)+ Mặt khác: lim f (x) = 0 => y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. x →+∞

Vậy đồ thị có tổng số 3 tiệm cận.

Câu 15: Chọn C. Hàm số y = 3 x + 2 là hàm số bậc nhất có a = 3 > 0 nên hàm số luôn đồng biến trên ℝ.

Câu 16: Chọn C.

1 h.S A ' B 'C ' V A. A ' B ' C ' 1 1 Ta có =3 = ⇒ VA. A ' B 'C ' = V . 3 3 VABC . A ' B 'C ' h.S ABC

1 2 Mà VA. BCC ' B ' = VABC . A ' B 'C ' − VA. A ' B 'C ' = V − V = V . 3 3

Câu 17: Chọn C.

Thiết diện là hình chữ nhật ABCD như hình vẽ. Ta có r = MA = 5 ⇒ AD = 10. Chu vi hình chữ nhật là 2 ( AD + AB ) = 32 ⇒ l = AB = 6. Diện tích xung quanh của hình trụ là S xq = 2π rl = 60π (đvdt).

Câu 18: Chọn D. Ta có lim+ ( 2 x − 1) = −3 < 0, lim+ ( x + 1) = 0. x →−1

x →−1

 2x −1  Do x → −1+ ⇒ x > −1 ⇒ x + 1 > 0 ⇒ lim+   = −∞. x →−1  x + 1 

Câu 19: Chọn A. 4 4 Phương trình 3 f ( x ) − 4 = 0 ⇔ f ( x ) = . Đường thẳng y = cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) tại 3 điểm phân biệt 3 3 trên đoạn [ −2; 4] nên phương trình đã cho có 3 nghiệm thực trên đoạn [ −2; 4].

Câu 20: Chọn C. Vì hàm số y = ax 4 + bx 2 + c ( a ≠ 0 ) là hàm bậc bốn trùng phương nên có tối đa 3 cực trị.

Câu 21: Chọn A. Tập xác định: D = ℝ \ {−3} . Ta có lim− y = lim− x →−3

x →−3

2− x 2− x = −∞, lim+ y = lim+ = +∞. x →−3 x →−3 x + 3 x+3

Vậy: Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng x = −3.

Câu 22: Chọn A. 52− x = 125 ⇔ 52− x = 53 ⇔ 2 − x = 3 ⇔ x = −1. Vậy: Phương trình đã cho có nghiệm x = −1.

Câu 23: Chọn B. Ta có f ' ( x ) = x 2 ( x − 1) > 0, ∀x > 1 nên hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞ ) . Vậy chọn đáp án B.

Câu 24: Chọn D. Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng ( −∞; −1) và ( 0;1) . Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −1; 0 ) và (1; +∞ ) . Do đó, đáp án A, B, C loại. Vì hàm số nghịch biến trên khoảng (1; +∞ ) nên hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 2 ) . Chọn đáp án D.

Câu 25: Chọn B. Ta có: y ' = 3 x 2 − 6 x x = 0 y ' = 0 ⇔ 3x2 − 6 x = 0 ⇔  (nhận). x = 2

y ( 0 ) = 0; y ( −1) = −4; y ( 2 ) = −4. Vậy Max y = 0 ⇔ x = 0. [ −1;2]

Câu 26: Chọn A. Ta có: lim y = 2 ⇒ đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. x →±∞

lim y = +∞; lim− y = −∞ ⇒ đường thẳng x = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

x →3+

x →3

Vậy tâm đối xứng của đồ thị là A ( 3; 2 ) .

Câu 27: Chọn C. Đường cong đã cho là đồ thị hàm số bậc ba y = ax3 + bx 2 + cx + d có hệ số a > 0 và đi qua điểm A ( −1;3) nên đường cong đã cho là đồ thị của hàm số y = x3 − 3 x + 1. Câu 28: Chọn D. Áp dụng công thức: S xq = π rl = 15π .

Câu 29: Chọn B. Do −2019 ∈ ℤ − nên điều kiện xác định của hàm số là x − 6 ≠ 0 ⇔ x ≠ 6. Vậy tập xác định của hàm số D = ℝ \ {6} .

Câu 30: Chọn C. Ta có log 49 28 = log 72 ( 22.7 ) =

1 1 1 2m + 1 log 7 2 2 + log 7 7 ) = log 7 2 + = m + = . ( 2 2 2 2

Câu 31: Chọn D.

Gọi H là trung điểm của AB. Tam giác OAB là tam giác cân nên OH ⊥ AB Mặt khác SO ⊥ AB nên AB ⊥ ( SOH ) do đó ( SOH ) ⊥ ( SAB ) theo giao tuyến SH Từ O kẻ OK ⊥ SH suy ra OK ⊥ ( SAB ) ⇒ d ( O; ( SAB ) ) = OK 14

Tam giác SAB là tam giác cân tại S (vì SA = SB )

= 600 nên tam giác SAB là tam giác đều Lại có SAB

Đặt SA = SB = AB = 2 x; OA = r = r Trong tam giác vuông SOA có SO = OA. tan SAO 3 Trong tam giác vuông SOH có OH = OA2 − AH 2 = r 2 − x 2 Trong tam giác đều SAB có SH =

AB 3 =x 3 2

Ta có SH 2 = SO 2 + OH 2 ⇔ 3 x 2 =

r2 + r 2 − x2 ⇔ r = x 3 3

Trong tam giác vuông SOH có

1 1 1 1 1 1 = + ⇔ = + 2 2 2 2 2 2 2 OK SO OH a 3  r  r −x      3  3  ⇔

3 1 1 a 2 = 2 + 2 ⇔ x= 2 a x 2x 2

Vậy độ dài đường sinh của hình nón là l = SA = 2 x = a 2.

Câu 32: Chọn A.

Gọi P ', M ' lần lượt là trung điểm của AB và A ' C '.

 P ' M / / BC  Ta có  P ' M ⊄ ( BCC ' B ' ) ⇒ P ' M / / ( BCC ' B ' )(1)   BC ⊂ ( BCC ' B ') Tương tự ta chứng minh được M ' M / / ( BCC ' B ')( 2 ) Từ (1) và (2) ta có ( PP ' MM ') / / ( BCC ' B ')

( PP ' MM ' ) / / ( BCC ' B ' )  Ta có  PM ⊂ ( PP ' MM ' )   HN ⊂ ( BCC ' B ' ) ⇒ d ( HN ; PM ) = d ( ( PP ' MM ' ) ; ( BCC ' B ' ) ) = d ( M ; ( BCC ' B ' ) ) =

1 d ( A; ( BCC ' B ') ) 2

 AH ⊥ BC Lại có  ⇒ AH ⊥ ( BCC ' B ' ) ⇒ d ( A; ( BCC ' B ' ) ) = AH  AH ⊥ BB '

Trong tam giác vuông ABC có AC = BC 2 − AB 2 = a 3

1 1 1 1 1 = + = 2+ 2 2 2 AH AB AC a a 3

(

)

4 a 3 ⇒ AH = 2 3a 2

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng MP và HN là d ( MP; HN ) =

Câu 33: Chọn D. y = 3ax 2 + 2bx + c

Đồ thị hàm số đi xuống ⇒ a < 0 Đồ thị cắt trục tung tại tung độ dương ⇒ d > 0 Hàm số đạt cực trị tại x = 0 ⇒ c = 0 x1 + x2 > 0 ⇒ −

2b > 0 ⇒ 2b > 0 ⇒ b > 0. 3a

Câu 34: Chọn D. Phương trình hoành độ giao điểm: x 4 − x 2 − m 2 − 10 = 0 ( *)

Đặt t = x 2 ≥ 0

(*) ⇔ t 2 − t − m2 − 10 = 0 có

ac = − m 2 − 10 < 0

⇒ Phương trình luôn có hai nghiệm t1 , t2 trái dấu 16

a 3 . 4

 1 + 4m 2 + 41   1 + 4m2 + 41  2 2   Khi đó: A ;m , B − ;m     2 2     ∆OAB vuông tại O ⇔ OA.OB = 0.

1 + 4m 2 + 41 + m 4 = 0 ⇔ 2m 4 = 1 + 4m2 + 41 ⇔ 4a + 41 = 2a 2 − 1 với ( a = m 2 ) 2 ⇒ a = m2 = 2

−

Câu 35: Chọn A. Ta có y ' = 3 x 2 − 2 x + 3m.

Để hàm số đồng biến trên ℝ thì y ' ≥ 0 ∀x ∈ ℝ ⇔ 3 x 2 − 2 x + 3m ≥ 0 ∀x ∈ ℝ 1 ⇔ ∆ ' ≤ 0 ⇔ 1 − 9m ≤ 0 ⇔ m ≥ . Mà m nguyên thuộc đoạn [ −20; 2] nên suy ra 9 Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 36: Chọn B. Điều kiện: x ≠ 0. Ta có 3 .5 x

2 x −1 x

= 15 ⇔ 3 .5 x

2 x −1 x

x −1

= 3.5 ⇔ 3 .5

2 x −1 −1 x

=1⇔ 5

x −1 x

1 = x −1 ⇔ 5 3

Lấy lôgarit cơ số 5 hai vế của phương trình ta được: x −1 x −1 log 5 5 = − ( x − 1) log 5 3 ⇔ = − ( x − 1) log 5 3 x x x = 1  x −1 = 0 x = 1 ⇔ 1 ⇔ 1 ⇔ (TM ) x = −  = − log 5 3 x = − log 5 3  log 5 3  x

Vậy a = 3, b = 5 nên P = a + 2b = 3 + 2.5 = 13.

Câu 37: Chọn A.

x −1 x

−( x −1)

m = 1 m = 2 . 

∆SAB vuông tại A có SB = a 3, ASB = 300 ⇒ AB =

a 3 3a , SA = . 2 2

Gọi K là hình chiếu của A trên SB. Vì ( SAB ) ⊥ ( SBC ) ⇒ AK ⊥ ( SBC ) ⇒ AK ⊥ BC. Mà SA ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ SB, BC ⊥ AB. Do đó ∆SBC vuông cân tại B, ∆ABC vuông tại A.

1 1 3a 1 a 3 3a 3 a3 8 .a 3 = ⇒ = . Thể tích khối chóp S . ABC là V = SA.S ABC = . . . 3 3 2 2 2 8 V 3

Câu 38: Chọn A. Với y = 0 ⇒ P = 1. x t2 + t +1 −2t 2 + 2 . Ta có BBT: Với y ≠ 0, đặt t = ⇒ P = 2 ⇒ P' = 2 y t − t +1 ( t 2 − t + 1)

−1

−∞

−

1 3 Vậ y

+∞

1 1 ≤ P ≤ 3 ⇒ min P = . 3 3

Câu 39: Chọn D. 2

Ta có g ( x ) = a.x ( x + 1) ( x − 1)( x − 2 )( a > 0 ) 2

f ' ( x ) = a ( x 2 − x − 2 )( x3 − 6 x 2 + 11x − 6 ) .x ( x + 1) ( x − 1)( x − 2 ) 2

⇔ f ' ( x ) = a ( x + 1)( x − 2 )( x − 1)( x − 3)( x − 2 ) .x ( x + 1) ( x − 1)( x − 2 ) 3

⇔ f ' ( x ) = a ( x + 1) ( x − 2 ) ( x − 1) ( x − 3) x

 x = −1 x = 2  f ' ( x ) = 0 ⇔  x = 1 . Trong đó x = 1 là nghiệm kép, các nghiệm còn lại là nghiệm bội lẻ, nên f ' ( x ) đổi dấu 4  x = 3  x = 0 lần khi qua các giá trị x = −1; x = 0; x = 2; x = 3. Vậy hàm số đã cho có 4 điểm cực trị. 18

Câu 40: Chọn C. Xét hàm số: y =

1 f ( x) + 2

x ≠ 2  f ( x ) ≠ −2  Điều kiện xác định:  ⇔  x ≠ x0 ( x0 < 1)  x ≠ 1 x ≠ 1  Tập xác định: D = {∀x ∈ ℝ; x ≠ 1, x ≠ 2, x ≠ x0 ( x0 < 1)}.

lim+

1 1 = −∞; lim− = +∞ x →e f ( x ) + 2 f ( x) + 2

lim+

1 1 = +∞; lim− = +∞ x→ 2 f ( x ) + 2 f ( x) + 2

lim+

1 1 = 0; lim− =0 x →1 f ( x ) + 2 f ( x) + 2

x→e

x→ 2

x →1

Vậy đồ thị y =

1 có 2 đường tiệm cận đứng x = 2, x = x0 ( x0 < 1) . f ( x) + 2

Câu 41: Chọn D.

Gọi H là trung điểm của đoạn BC , vì ∆ABC là tam giác vuông cân nên H là chân đường cao xuất phát từ đỉnh A đồng thời cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. Suy ra bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy của lăng trụ ABC. A ' B ' C ' là HC.  AH ⊥ BC Vì  nên AH ⊥ ( BCC ' B ') .  AH ⊥ BB ' Suy ra HC là hình chiếu vuông góc của AC lên ( BCC ' B ') . Góc giữa AC ' và mặt phẳng ( BCC ' B ') là AC ' H = 300. 19

Đặt HC = x ⇒ AC = x 2. Áp dụng định lý Pytago trong ∆ACC ' ta được AC ' = 2 x 2 + 4a 2 . Áp dụng định lý Pytago trong ∆HCC ' ta được HC ' = x 2 + 4a 2 . Xét ∆AHC ' vuông tại H có: cos ( 300 ) = Khi đó:

HC ' x 2 + 4a 2 3 . ⇔ = AC ' 2 2 x 2 + 4a 2

3 x 2 + 4a 2 = 2 ⇔ 6 x 2 + 12a 2 = 4 x 2 + 16a 2 ⇔ x = a 2. 2 4 2 x + 4a

Thể tích khối trụ có hai đáy là hai đường tròn ngoại tiếp của lăng trụ ABC. A ' B ' C ' là: 2

(

)

V = π R 2 h = π ( HC ) CC ' = π a 2 .2a = 4π a 3 .

Câu 42: Chọn C. −2

−3

−4

(( x + 2 ) ) ' = ( x + 2) '.( −2 ) .( x + 2) = −2 ( x + 2) y " = ( −2 ( x + 2 ) ) ' = ( −2 )( x + 2 ) '. ( −3) . ( x + 2 ) = 6 ( x + 2 )

Ta có: y ' =

−3

(

Vì 6 y 2 = 6 ( x + 2 )

−4

−2 2

)

= 6 ( x + 2)

−4

nên y "− 6 y 2 = 0.

Câu 43: Chọn B.

Do C ' C vuông góc với mặt phẳng đáy nên hình chiếu của C ' G trên mặt phẳng ( ABCD ) là đoạn thẳng GC , ' GC = 300 do đó góc C ' G và đáy ( ABCD ) là C Ta có: VABCD. A ' B 'C ' D ' = C ' C.S ABCD S ABCD = 2 S ABC

a2 3 a2 3 = 2. = (Do tam giác ABC đều cạnh a ) 4 3

2 2 CG = CA = a 3 3

Xét tam giác vuông C ' CG : C ' C = CG.tan 300 =

Vậy VABCD. A ' B 'C ' D ' = C ' C.S ABCD

2a 3 3

2a a 2 3 a 3 . = = . 3 3 3 2

Câu 44: Chọn B. Ta có: g ' ( x ) = f ' ( x − 1) − 1 ≥ 0 ⇔ f ' ( x − 1) ≥ 1

 x − 1 ≤ −1  x ≤ 0 ⇔ ⇔  x −1 ≥ 2 x ≥ 3 Do đó hàm số y = g ( x ) đồng biến trên ( −1; 0 ) .

Câu 45: Chọn C. Ta có y ' = x 2 − 2mx + m 2 − 4.

y ' ( 3 ) = 9 − 6 m + m 2 − 4 = m 2 − 6m + 5 = 0 m = 1 Ta có: ⇔  m = 5 Có y " = 2 x − 2m. Với m = 5 ta có: y " ( 3) = 6 − 10 = −4 < 0. Suy ra hàm số đạt cực đại tại x = 3 Với m = 1 ta có y " ( 3) = 6 − 2 = 4 > 0 suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 3

Câu 46: Chọn B. Điều kiện: x > −1; x ≠ 0. 2

Phương trình tương đương log ( mx ) = log ( x + 1) ⇔ mx = ( x + 1) Xét hàm số f ( x) =

( x + 1) ⇔m= x

( x + 1)2 trên (−1; +∞) ta có: x

1 1 f '( x) = ( x + 2 + ) ' = 1 − 2 x x

x =1 f '( x) = 0 <=>   x = −1 Ta có bảng biến thiên sau:

−∞

−1

1 21

+∞

f '( x)

−

f ( x)

+∞

+∞ 4

−∞

 m = 4 m∈[−10;10] Dựa vào BBT, ta thấy TCBT ⇔   → m ∈ {−9; −8;...; −1; 4} có 10 giá trị m nguyên. m∈ℤ m < 0

Câu 47: Chọn B.

Ta có AO =

a 3 a 3 a 3 a , OE = , SO = SE.tan 600 = . 3= 3 6 6 2 2

 a 3   a 2 a 21 ⇒ SA = OA + SO =   +   = 3 6   2 2

⇒ S xq = π .OA.SA = π .

a 3 a 21 a 2π 7 . . = 3 6 6

Câu 48: Chọn D. 3 . Ta có n ( Ω ) = C40

Gọi A là biến cố: “chọn 3 sản phẩm có ít nhất 1 sản phẩm tôt”. Khi đó A là biến cố: “chọn 3 sản phẩm không có sản phẩm tốt”. C103 3 3 244 . Ta có n A = C ⇒ P A = 3 = ⇒ P ( A) = 1 − P A = 1 − = 247 247 C40 247

( )

3 10

( )

Câu 49: Chọn D. 22

Ta có

log a2b

1 1 1 24 = = = . 2 log x a b c 2 log a + log b + 1 log c 2. 1 + 1 + 1 . 1 35 x x x 2 2 3 2 4

Câu 50: Chọn A. Ta có y =

x2 f ( x )  f ( x ) + 3

 f ( x) = 0 Nhận xét: f ( x )  f ( x ) + 3 = 0 ⇔   f ( x ) = −3

f Dựa vào bbt ta có   f

 x = a1 ∈ ( 0;1)   x = a2 > 1 ( x) = 0 ⇔  x = a3 < −2 ( x = 0 là nghiệm bội chẵn) ( x ) = −3  x = a > a  4 2 x = 0 

x2 1 Suy ra y = 2 = với g ( x ) ≠ 0, ∀x ∈ ℝ. f ( x ) + 3 f ( x ) ( x − a1 )( x − a2 )( x − a3 )( x − a4 ) g ( x ) Xét lim y = +∞ ⇒ x = a1 là TCĐ

x → a1+

lim y = +∞ ⇒ x = a2 là TCĐ

x → a2+

lim y = +∞ ⇒ x = a3 là TCĐ

x → a3+

lim y = +∞ ⇒ x = a4 là TCĐ

x → a4+

Vậy hàm số y =

x2 có 4 TCĐ. f 2 ( x) + 3 f ( x)

SỞ GD&ĐT BẮC NINH

KÌ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT 2021 LẦN 1

TRƯỜNG THPT HÀN THUYÊN

NĂM HỌC 2020 - 2021 MÔN Toán – Khối 12 Thời gian làm bài: 90 phút

(Đề thi có 06 trang)

(không kể thời gian phát đề) Mã đề 105

Họ và tên học sinh: ...................................................... Số báo danh: ……….................... Câu 1. Cho hàm số y = x3 − 6 x 2 + 7 x + 5 có đồ thị là ( C ) . Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm có hoành độ bằng 2 là: A. y = 5 x + 13 .

B. y = −5 x − 13 .

C. y = −5 x + 13 .

D. y = 5 x − 13 .

C. 1 .

D. 2 .

x3 + 2 x 2 + 1 là x →−1 x2 + 1

Câu 2. Giá trị của giới hạn lim A. −2 .

B. Không tồn tại.

Câu 3. Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên

x y' y

−3

−∞

−

+∞ +

+∞

−2

+∞

−2

Tìm m để phương trình 2 f ( x) + m = 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt A. m = − 1 .

B. m = − 2 .

C. m = 4 .

D. m = 2 .

C. 10 .

D. 12 .

Câu 4. Tìm số mặt của hình đa diện ở hình vẽ bên:

A. 9 .

B. 11 .

Câu 5. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau? A. C104 .

B. 9.A93 .

C. A104 . 1

D. 9.C93 .

Câu 6. Cho hàm số y =

ax + b có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Khẳng định nào sau đây đúng? cx + d

A. ab > 0 .

B. ac > 0 .

C. ad > bc .

D. cd > 0 .

Câu 7. Số giao điểm của đồ thị hàm số y = x 3 − 3 x 2 − 9 x − 2 với trục hoành là: A. 2 .

C. 0 .

B. 1 .

D. 3 .

Câu 8. Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc nhau và OA = OB = OC = 3a . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và OB . A.

3a 2 . 2

3a . 4

a 2 . 2

3a . 2

Câu 9. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau

−1

−∞ +

−

+∞ +

+∞

−2

−∞ Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây

A. ( −2; +∞ ) .

B. ( −∞; −1) .

C. ( −∞; 2 ) .

D. ( −1;1) .

C. y = x3 − 3x − 1 .

D. y = x 4 + 4 x 2 + 1 .

Câu 10. Hàm số nào sau đây không có cực trị? A. y = x3 + 3 x + 1 .

B. y = x 2 − 2 x .

Câu 11. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ sau

A. y = x 4 − 3 x 2 .

B. y = x3 − 3 x 2 .

Câu 12. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = A. 0 .

B. 1 .

C. y = − x 4 + 3 x 2 .

D. y = − x 3 + 3 x 2 .

3 bằng x−2 C. 3 .

D. 2 .

Câu 13. Một hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh bằng 2 và có chiều cao bằng 4. Tính thể tích khối chóp đó. A.

4 3 . 3

B. 2 .

C. 4 .

D. 2 3 .

Câu 14. Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị hàm f '( x) như hình vẽ

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. 4 .

B. 1 .

C. 2 .

D. 3 .

Câu 15. Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x) = 2 x 4 − 3 x 2 + 1 trên đoạn [ 0;3] bằng: A. 0 .

B. 21 .

C. 1 .

D. 136

Câu 16. Số cách chia 15 học sinh thành 3 nhóm A, B, C lần lượt gồm 4, 5, 6 học sinh là: A. C154 + C155 + C156 .

B. C154 .C115 .C66 .

D. C154 + C115 + C66 .

C. A154 . A115 . A66 .

Câu 17. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau

−2

−∞

f '( x) f ( x)

−

+∞ −

+∞

−3

−∞

Hàm số đã cho đạt cực đại tại

A. x = 3 .

B. x = 2 .

C. x = −2 .

D. x = −3 .

Câu 18. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA ⊥ ( ABCD ) , SB = a 3 . Tính thể tích V của khối chóp S . ABCD theo a .

A. V =

a3 2 . 6

B. V = a3 2 .

C. V =

Câu 19. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) = 2 x −

a3 2 . 3

D. V =

a3 3 . 3

2 , ∀x ≠ 0 . Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên ( 0; +∞ ) x2

là

A. f (1) .

B. f ( 3) .

C. f ( 0 ) .

D. f ( −2 ) .

Câu 20. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích khối chóp S . ABCD là A.

a3 3 . 2

B. a3 .

a3 3 . 6

a3 3 . 3

1 Câu 21. Cho hàm số f ( x) = − x3 + mx 2 + ( 3m + 2 ) x − 5 . Tập hợp các giá trị của tham số m để hàm số nghịch 3 biến trên ℝ là [ a; b ] . Khi đó 2 a − b bằng A. 6 .

B. − 3 .

C. 5 .

D. −1 .

Câu 22. Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình sau 32 x +8 − 4.3x +5 + 27 = 0 . A. −

4 . 27

C. 5 .

D. − 5 .

Câu 23. Hàm số y = ( x − 1) ( x + 1) có bao nhiêu điểm cực trị? A. 2 .

B. 4 .

C. 3 .

D. 1 .

= 600. Câu 24. Cho hình chóp S . ABC có SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) , SA = a, AB = a , AC = 2a, BAC Tính diện tích hình cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC .

A. 20π a 2 .

5 2 .π a . 3

C. 5π a 2 .

20 2 πa . 3

Câu 25. Đặt log 2 5 = a , log 3 2 = b . Tính log15 20 theo a và b ta được A. log15 20 =

2b + 1 . 1 + ab

B. log15 20 =

2b + a . 1 + ab

C. log15 20 =

b + ab + 1 2b + ab . D. log15 20 = . 1 + ab 1 + ab

Câu 26. Cho hình chóp S . ABC có ∆ABC vuông tại B , BA = a , BC = a 3 . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a . Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC .

a 5 . 2

A. R =

B. R =

a 5 . 4

C. R = a 5 .

D. R = 2a 5 .

Câu 27. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng

a 5 . Số đo góc giữa hai 2

mặt phẳng ( SAB ) và ( ABCD ) là:

A. 300 .

B. 900 .

C. 450 .

D. 60 0 .

Câu 28. Tính thể tích V của khối lăng trụ tứ giác đều ABCD. A′B ′C ′D′ biết độ dài cạnh đáy của lăng trụ bằng 2 đồng thời góc tạo bởi A′C và đáy ( ABCD ) bằng 30° . A. V =

8 6 . 9

B. V = 8 6 .

C. V = 24 6 .

D. V =

8 6 . 3

Câu 29. Cho hình chóp S . ABCD , đáy là hình chữ nhật tâm O , AB = a , AD = a 3 , SA = 3a , SO vuông góc với mặt đáy ( ABCD ) . Thể tích khối chóp S . ABC bằng

A. a

B. 2a

a3 6 C. . 3

Câu 30. Hình vẽ bên dưới là đồ thị của hàm số nào?

2a 3 6 D. . 3

A. y = −

1 . 3x

B. y =

1 . 3x

C. y = −3x .

D. y = 3 x .

Câu 31. Cho a > 1 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 3

a2 >1. a

1 3

B. a > a .

C. a −

1 a

2016

1 a

2017

Câu 32. Tỷ lệ tăng dân số hàng năm của Việt Nam là 1,07%. Năm 2016, dân số của Việt Nam là 93.422.000 người. Hỏi với tỷ lệ tăng dân số như vậy thì năm 2026 dân số Việt Nam gần với kết quả nào nhất? A. 122 triệu người.

B. 115 triệu người.

C. 118 triệu người.

D. 120 triệu người.

Câu 33. Cho hình lập phương ABCD. A′B ′C ′D ′ , góc giữa A ' D và CD ' bằng: A. 300 .

B. 60 0 .

C. 450 .

D. 900 .

Câu 34. Cho hình lăng trụ đứng ABC . A′B ′C ′ có đáy là tam giác vuông cân tại A , AB = AC = a , AA′ = 2a . Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình tứ diện AB ′A′C là A.

π a3 3

B. 4π a 3 .

C. π a3 .

4π a 3 . 3

Câu 35. Cho hình chóp S . ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) , đáy ABCD là hình chữ nhật với AC = a 3 và BC = a . Tính khoảng cách giữa SD và BC .

A. a 2 .

a . 2

a 2 . 2

D. 2a 2 .

x+m có đồ thị là đường cong ( H ) và đường thẳng ∆ có phương trình y = x + 1 . Số x −1 giá trị nguyên của tham số m nhỏ hơn 10 để đường thẳng ∆ cắt đường cong ( H ) tại hai điểm phân biệt nằm về hai nhánh của đồ thị. Câu 36. Cho hàm số y =

A. 26 .

B. 10 .

C. 24 .

D. 12 .

Câu 37. Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = mx 4 − ( m − 3) x 2 + m2 không có điểm cực đại là A. 4 .

B. 2 .

C. 5 . 6

D. 0 .

Câu 38. Cho hình lăng trụ đứng ABC . A′B ′C ′ có đáy ABC là tam giác vuông tại A . Biết AB = AA′ = a , AC = 2 a . Gọi M là trung điểm của AC . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện MA′B ′C ′ bằng A. 5π a 2 .

B. 3π a 2 .

C. 4π a 2 .

D. 2π a 2 .

Câu 39. Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( C ) : y = ( 2m − 1) x 4 − mx 2 + 8 tại điểm có hoành độ x = 1 vuông góc với đường thẳng ( d ) : 2 x − y − 3 = 0 .

A. m =

9 . 2

B. m = −

1 . 2

C. m =

7 . 12

D. m = 2 .

Câu 40. Cho hình lăng trụ đứng ABC . A′B ′C ′ có đáy ABC là tam giác vuông tại A , gọi M là trung điểm của cạnh AA ' , biết rằng AB = 2a; BC = a 7 và AA ' = 6a . Khoảng cách giữa A'B và CM là: A.

a 13 . 13

a 13 . 3

C. a 13 .

3a . 13

Câu 41. Cho tứ diện ABCD có AC = AD = BC = BD = 1 , mặt phẳng ( ABC ) ⊥ ( ABD) và ( ACD ) ⊥ ( BCD) . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( BCD ) là:

A. 2 6 .

6 . 3

6 . 2

6 . 3

Câu 42. Cho hàm đa thức y = f ( x) . Hàm số y = f '( x) có đồ thị như hình vẽ sau

Có bao nhiêu giá trị của m ∈ [ 0;6] ; 2m ∈ ℤ để hàm số g ( x) = f x 2 − 2 x − 1 − 2 x + m có đúng 9 điểm cực trị?

(

A. 7 .

B. 5 .

)

D. 6 .

C. 3 .

Câu 43. Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên ℝ , có bảng biến thiên như sau. Hỏi đồ thị hàm số

1 có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận? f ( x) + 2 x

−∞

f ( x)

−1

0 1 7

+∞ +∞

−2

A. 5 .

−3

B. 4 .

C. 3 .

D. 2 .

Câu 44. Cho hàm số f ( x) liên tục trên [ 2;4] và có bảng biến thiên như hình vẽ bên

f ( x)

7 2

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình x + 2 x 2 − 2 x = m. f ( x) có nghiệm thuộc đoạn [ 2;4] ?

B. 6 .

A. 3 .

C. 5 .

D. 4 .

Câu 45. Cho hàm số y = ( x + 1)( 2 x + 1)( 3x + 1) ( m + 2 x ) và y = −12 x 4 − 22 x 3 − x 2 + 10 x + 3 có đồ thị lần lượt là ( C1 ) và ( C2 ) . có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m trên đoạn [ −2020;2020] để ( C1 ) cắt ( C2 ) tại 3 điểm phân biệt.

A. 2020 .

B. 4040 .

C. 2021 .

D. 4041 .

Câu 46. Cho hình chóp S . ABC có SA = x , BC = y , AB = AC = SB = SC = 1 . Thể tích khối chóp S . ABC lớn nhất khi tổng ( x + y ) bằng

A. 4 3 .

2 . 3

4 . 3

Câu 47. Một hộp đựng 3 viên bi màu xanh, 5 viên bi màu đỏ, 6 viên bi màu trắng và 7 viên bi màu đen. Chọn ngẫu nhiên đồng thời từ hộp 4 viên bi, tính xác suất để 4 viên bi được chọn không nhiều hơn 3 màu và luôn có bi màu xanh? A.

2295 . 5985

2259 . 5985

2085 . 5985

2058 . 5985

Câu 48. Cho 4 số a, b, c, d thỏa mãn điều kiện a 2 + b 2 = 4a + 6b − 9 và 3c + 4 d = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của 2

biểu thức P = ( a − c ) + ( b − d ) ?

8 . 5

64 . 25

7 . 5

49 . 25

Câu 49. Cho x, y là các số thực thỏa mãn log9 x = log12 y = log16 ( x + 2 y ) . Giá trị tỉ số A.

2− 2 . 2

2+ 2 . 2

2 + 1.

x là y

2 −1.

Câu 50. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi M , N là trung điểm của SA , SB . Mặt phẳng MNCD chia hình chóp đã cho thành hai phần. tỉ số thể tích hai phần S .MNCD và MNABCD là A. 1 .

4 . 5

3 . 4

3 . 5

------ HẾT ------

BẢNG ĐÁP ÁN 1-C

2-C

3-B

4-A

5-B

6-B

7-D

8-A

9-B

10-A

11-B

12-D

13-A

14-C

15-D

16-B

17-A

18-C

19-A

20-C

21-B

22-D

23-C

24-C

25-A

26-A

27-D

28-D

29-C

30-C

31-C

32-B

33-B

34-A

35-A

36-B

37-A

38-A

39-C

40-C

41-D

42-D

43-C

44-D

45-C

46-D

47-A

48-D

49-D

50-D

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Chọn C. Ta có y ' = 3x 2 − 12 x + 7, x0 = 2 ⇒ y0 = 3, y ' ( 2 ) = −5. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại M 0 ( 2;3) có dạng y = f ' ( x0 )( x − x0 ) + y0 thay số vào ta được

y = −5 ( x − 2 ) + 3 ⇔ y = −5 x + 13. Câu 2: Chọn C. 3

x3 + 2 x 2 + 1 x3 + 2 x 2 + 1 ( −1) + 2. ( −1) + 1 = − 1 lim = = 1. Vì hàm số f ( x ) = xác đị nh t ạ i x nên 2 x →−1 x2 + 1 x2 + 1 ( −1) + 1

Câu 3: Chọn B. Xét phương trình 2 f ( x ) + m = 0 ⇔ f ( x ) = −

m 2

Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình có đúng 3 nghiệm phân biệt ⇔ đường thẳng y = −

y = f ( x ) tại 3 điểm ohaan biệt ⇔ −

m cắt đồ thị 2

m = 1 ⇔ m = −2. 2

Câu 4: Chọn A. Câu 5: Chọn B. Gọi số cần tìm có dạng: x = abcd Chọn a ≠ 0 có 9 cách. Chọn bcd có A93 cách. Vậy có 9.A93 cách chọn được số cần tìm.

Câu 6: Chọn B. b b Giao của đồ thị với trục hoành là x = − . Dựa vào đồ thị ta có x = − > 0 ⇔ ab < 0 nên loại A. a a a a nên y = là đường tiệm cận ngang của đồ thị. Dựa vào đồ thị ta có đường tiệm cận ngang c c

Do lim y = x →+∞

a > 0 nên chọn B. c

ad − bc

( cx + d )

. Dựa vào đồ thị ta có hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định nên ad < bc do đó loại C.

lim + y = +∞ nên x = −

 d x → −   c

x=−

d là đường tiệm cận đứng của đồ thị. Dựa vào đồ thị ta có đường tiệm cận đứng c

d > 0 ⇔ cd < 0 nên loại D. c

Câu 7: Chọn D. Phương trình hoành độ giao điểm của y = x3 − 3 x 2 − 9 x − 2 và trục hoành là

 x ≈ −1, 67 x − 3 x − 9 x − 2 = 0 ⇔  x ≈ −0, 24.  x ≈ 4,91 3

Vậy số giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục hoành là 3.

Câu 8: Chọn A.

Trong mặt phẳng ( OAC ) , kẻ OK ⊥ AC (1) .

OB ⊥ AC Vì OA, OB, OC đôi một vuông góc nhau nên  ⇒ OB ⊥ ( OAC ) . OB ⊥ OA Mà OK ⊂ ( OAC ) ⇒ OB ⊥ OK (2). Từ (1) và (2) suy ra d ( AC , OB ) = OK =

OA.OC 2

OA + OC

3a.3a 2

( 3a ) + ( 3a )

3a 2 . 2

Câu 9: Chọn B. Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞; −1) và (1; +∞ ) .

Câu 10: Chọn A. Hàm số y = x3 + 3 x + 1 có y ' = 3 x 2 + 3 = 0 vô nghiệm. Vậy hàm số y = x3 + 3 x + 1 không có cực trị.

Câu 11: Chọn B. Đồ thị hàm số trong hình vẽ là đồ thị của một hàm số bậc ba có hệ số a > 0. Vậy chọn đáp án B. Câu 12: Chọn D. Ta có: lim y = lim

3 = 0. Suy ra đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là y = 0. x−2

lim y = lim+

3 = +∞. Suy ra đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là x = 2. x−2

x →+∞

x → 2+

x →+∞

x→ 2

Vậy đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận.

Câu 13: Chọn A. Ta có: B =

1 1 4 3 22 3 = 3 (đvtt) ⇒ V = Bh = . 3.4 = (đvtt). 4 3 3 3

Câu 14: Chọn C. Từ đồ thị hàm f ' ( x ) suy ra x = −1 là điểm cực đại, x = 2 là điểm cực tiểu của hàm số đã cho.

Câu 15: Chọn D.   x = 0 ∈ [ 0;3]  3 3 f ' ( x ) = 8x − 6 x = 0 ⇔  x = ∈ [ 0;3]  2   x = − 3 ∉ 0;3 [ ]  2

f ( 0) = 1 f ( 3) = 136  3 1 f  =−  8  2  Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [ 0;3] bằng 136.

Câu 16: Chọn B. Số cách chia học sinh vào nhóm A : C154 . Số cách chia học sinh vào nhóm B : C115 . Số cách chia học sinh vào nhóm C : C66 . Theo quy tắc nhân ta có số cách chia 15 học sinh vào 3 nhóm là: C154 .C115 .C66

Câu 17: Chọn A. Nhìn vào bảng biến thiên suy ra hàm số đạt cực đại tại điểm x = 3.

Câu 18: Chọn C. Trong tam giác vuông SBA ta có: SA = SB 2 − AB 2 = 3a 2 − a 2 = a 2.

1 1 2 a3 2 Vậy thể tích V của khối chóp S . ABCD là V = .S ABCD .SA = .a .a 2 = (đvtt). 3 3 3 12

Câu 19: Chọn A. Ta có f ' ( x ) = 2 x −

2 ⇒ f '( x) = 0 ⇔ x = 1 x2

Bảng biến thiên của f ( x ) trên ( 0; +∞ )

f '( x)

−

+∞ +

f ( x)

f (1) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy min f ( x ) = f (1) . ( 0;+∞ )

Câu 20: Chọn C.

Gọi H là trung điểm AB ⇒ h = SH =

a 3 . 2

1 a 3 a3 3 . ⇒ V = a2 . = 3 2 6

Câu 21: Chọn B. Ta có f ' ( x ) = − x 2 + 2mx + 3m + 2. Để thỏa mãn yêu cầu của đề bà, ta cần có:

a y ' = −1 < 0 ⇔ −2 ≤ m ≤ −1. f ' ( x ) = − x 2 + 2mx + 3m + 2 ≥ 0, ∀x ∈ ℝ ⇔  2 ∆ ' y ' = m + 3m + 2 ≤ 0 Suy ra a = −2; b = −1 ⇒ 2a − b = −3.

Câu 22: Chọn D. 13

Biến đổi phương trình, ta có: 32 x +8 − 4.3x +5 + 27 = 0 ⇔ ( 3x + 4 ) − 12.3x + 4 + 27 = 0. t = 9 . Đặt t = 3x + 4 ( t > 0 ) , phương trình trở thành t 2 − 12t + 27 = 0 ⇔  t = 3

* Với t = 9, ta có 3x + 4 = 9 ⇔ 3x + 4 = 3x ⇔ x + 4 = 2 ⇔ x = −2. * Với t = 3, ta có 3x + 4 = 3 ⇔ x + 4 = 1 ⇔ x = −3. Vậy tổng các nghiệm của phương trình trên là −5.

Câu 23: Chọn C. 3

f ( x ) = ( x − 1) ( x + 1) . 2

f ' ( x ) = 3 ( x − 1) ( x + 1) + ( x − 1) = ( x − 1) ( 4 x + 2 ) .

x = 1⇒ y = 0 f ' ( x ) = 0 ⇔ ( x − 1) ( 4 x + 2 ) = 0 ⇔  1 27 . x = − ⇒ y = − 2 16  2

f ' ( −1) = 0. Bảng biến thiên:

x f '( x) f ( x)

−1

−∞

−

1 2

−

+∞

+∞ 0

0 −

f ( x)

+∞

27 16

+∞

+∞ 27 16 0

0 3

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số y = ( x − 1) ( x + 1) có 3 cực trị.

Câu 24: Chọn C.

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. Gọi ∆ là đường thẳng qua I và vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) . ⇒ ∆ là trục đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.

Gọi E là trung điểm SA. Trong ( SA, ∆ ) , gọi O là giao điểm của ∆ với đường trung trực cạnh SA. OA = OB = OC ( O ∈ ∆ ) Ta có  . OS = OA ( O thuoä c ñöôøng trung tröïc caï nh SA )

⇒ OS = OA = OB = OC ⇒ O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC , bán kinh R = OA.

BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2. AB. AC.cos 600 = 3a 2 . ⇒ BC = a 3.

S ∆ABC

1 1 3 a2 3 0 . = . AB. AC.sin 60 = .a.2a. = 2 2 2 2

S ∆ABC =

AB. AC.BC AB. AC.BC a.2a.a 3 ⇔ R( ABC ) = = = a. 4 R( ABC ) 4 S ∆ABC a2 3 4. 2

⇒ AI = a.

Tứ giá AEOI là hình chữ nhật ⇒ AO = AE 2 + AI 2 = a 2 +

⇒R=

a 5 . 2

a2 a 5 = 4 2

a 5 2 Diện tích mặt cầu: S = 4π   = 5π a . 2  

Câu 25: Chọn A. Ta có: log15 20 =

log 2 20 2 + log 2 5 2 + a 2b + ab = = = log 2 15 log 2 3 + log 2 5 1 + a 1 + ab b

Câu 26: Chọn A.

 SA  Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC là: R = R1 +   .  2  Bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy: R1 =

AC 2a = = a. 2 2

a 5 a . Ta có: R = a 2 +   = 2 2

Câu 27: Chọn D.

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì S . ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SO ⊥ ( ABCD ) . 16

Gọi H là trung điểm của AB.  SO ⊥ AB = ( Ta có  ⇒ AB ⊥ ( SHO ) ⇒ SHO ( SAB ) ; ( ABCD ) ) . OH ⊥ AB OH =

a 1 AD = 2 2

OA =

1 a 2 AC = 2 2 2

a 5 a 2 a 3 . Trong tam giác vuông SOA có SO = SA − OA =   −   =   2  2   2  2

= tan SHO

SO = 600. = 3 ⇒ SHO OH

Số đo góc giữa hai mặt phẳng ( SAB ) và ( ABCD ) là 600.

Câu 28: Chọn D.

Vì ABCD. A ' B ' C ' D ' là khối trụ tứ giác đều nên đáy là hình vuông và cạnh bên vuông góc với mặt đáy. Hình chiếu của A ' C trên mặt phẳng ( ABCD ) là AC.

⇒ ( A ' C ; ( ABCD ) ) = ( A ' C ; AC ) = A ' CA = 300. Trong tam giác vuông A ' AC có AC = AB 2 = 2 2 A ' A = AC. tan 300 =

2 6 3

S ABCD = AB 2 = 4 Thể tích V của khối lăng trụ tứ giác đều ABCD. A ' B ' C ' D ' là V = S ABCD . A ' A = 17

8 6 . 3

Câu 29: Chọn C.

Ta có S ∆ABC =

S ABCD V ⇒ VS . ABC = S . ABCD . 2 2 2

 AC  Ta có AC = AB + BC = a + 3a = 2a ⇒ SO = SA −   = 2 2a  2  2

Thể tích chóp S . ABC bằng VS . ABC =

VS . ABCD 1 1 a3 6 . = .SO.S ABCD = .2 2a.a 2 3 = 2 6 6 3

Câu 30: Chọn C. Ta có lim y = 0 vì toàn bộ đồ thị nằm phía dưới Ox , tức là y < 0, ∀x ∈ ℝ nên chọn C. x →−∞

Câu 31: Chọn C. 3

−1

Xét đáp án A có

a2 1 = a 3 = 3 < 1, ∀a > 1 nên loại. a a

Xét đáp án B có

a = a 2 > a 3 , ∀a > 1 nên loại.

Xét đáp án C có a −

1 a

mà 0 < a

< a 5 , ∀a > 1 do

3< 5⇒

1 a

Nên chọn C. Xét đáp án D có a 2016 < a 2017 , ∀a > 1 ⇒

1 a

2016

1 a

2017

nên loại.

Câu 32: Chọn B. Đến năm 2026 tức là sau 10 năm. Theo công thức S = A.e Nr = 93422000.e10.1,07% ≈ 103972544 người nên chọn đáp án B.

Câu 33: Chọn B.

Hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' ⇒ BC / / A ' D ' và BC = A ' D ' ⇒ Tứ giác BCD ' A ' là hình bình hành ⇒ A ' B / / CD ' ⇒ ( A ' D; CD ') = ( A ' D; A ' B ) = DA 'B

Mặt khác: A ' D = A ' B = DB (3 đường chéo của 3 hình vuông có cạnh bằng nhau) ⇒ ∆A ' DB là tam giác đều ⇒ DA ' B = 600 ⇒ ( A ' D; CD ' ) = 600

Vậy góc giữa A ' D và CD ' bằng 600.

Câu 34: Chọn A.

Khối cầu ngoại tiếp tứ diện AB ' A ' C là khối cầu ngoại tiếp lăng trụ BAC. A ' B ' C ' Gọi D, E lần lượt là trung điểm của BC , B ' C '; O là trung điểm của DE 19

⇒ O là tâm khối cầu ngoại tiếp lăng trụ BAC. A ' B ' C ' (do đáy là ∆ABC vuông cân tại A)

Ta có: OD =

AA ' a 2 BC a 2 = và BC = AB 2 + AC 2 = 2a 2 = a 2 ⇒ AD = = 2 2 2 2

⇒ Bán kính khối cầu ngoại tiếp lăng trụ ABC. A ' B ' C ' là R = OA = AD 2 + OD 2 = a 2 = a

4 4π a 3 . Vậy thể tích khối cầu cần tính là V = π R 3 = 3 3

Câu 35: Chọn A.

Vì ABCD là hình chữ nhật nên

BC / / AD ⇒ BC / / ( SAD ) ⇒ d ( BC , SD ) = d ( BC , ( SAD ) ) = d ( B, ( SAD ) )  AB ⊥ SA ( SA ⊥ ( ABCD ) ) Ta có:  ⇒ AB ⊥ ( SAD ) ⇒ d ( B, ( SAD ) ) = AB  AB ⊥ AD

Xét hình chữ nhật ABCD ta có: AB 2 = AC 2 − BC 2 = 3a 2 − a 2 = 2a 2 ⇒ AB = a 2. Vậy: d ( BC , SD ) = a 2.

Câu 36: Chọn B. Xét phương trình hoành độ giao điểm:

x+m = x + 1 ⇔ g ( x ) = x 2 − x − m − 1 = 0 (1)( x ≠ 1) x −1

Ycbt ⇔ phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: x1 < 1 < x2

g (1) < 0 ⇔ − m − 1 < 0 ⇔ m > −1 20

Do m nguyên nhỏ hơn 10 nên số giá trị nguyên của m là 10.

Câu 37: Chọn A. Trường hợp 1. m = 0, khi đó hàm số có dạng y = 3 x 2 . Hàm số này không có điểm cực đại nên m = 0 thỏa mãn. m > 0 Trường hơp 2. m ≠ 0. Để hàm số không có cực đại thì  ⇔ 0 < m ≤ 3 ⇒ m ∈ {1; 2;3} . − ( m − 3) ≥ 0

Vậy có 4 giá trị của m thỏa mãn bài.

Câu 38: Chọn A.

Gọi I là trung điểm của cạnh B ' C '. Khi đó I là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆A ' B ' C '. Gọi M ' là trung điểm của cạnh A ' C '. Khi đó MM ' ⊥ ( A ' B ' C ') . Do MA ' = MC ' = a 2 nên ∆MA ' C ' vuông tại M , do đó M ' là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆MA ' C ' nên IM ' là trục của đường tròn ngoại tiếp ∆MA ' C '. Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện M . A ' B ' C ' . Bán kính mặt cầu là r = IB ' =

BC a 5 . = 2 2

Diện tích mặt cầu là S = 4π r 2 = 5π a 2 .

Câu 39: Chọn C. Có y ' = 4 ( 2m − 1) x 3 − 2mx nên hệ số góc tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 1 là

k1 = y ' (1) = 4 ( 2m − 1) − 2m = 6m − 4.

Hệ số góc của đường thẳng ( d ) : 2 x − y − 3 = 0 là k2 = 2

Để thỏa mãn yêu cầu bài toán ta phải có k1k2 = −1 ⇔ ( 6m − 4 ) .2 = −1 ⇔ m =

7 . 12

Câu 40: Chọn C.

Có AC 2 = BC 2 − AB 2 ⇔ AC 2 = 7 a 2 − 4a 2 ⇔ AC = a 3 Gọi N là trung điểm của AB suy ra A ' B / / ( MNC ) nên d ( A ' B, CM ) = d ( A ' B, ( CMN ) ) = d ( B. ( CMN ) )

= d ( A, ( CMN ) ) = d . Xét tứ diện AMNC có AM , AN , AC đôi một vuông góc nên

1 1 1 1 1 1 1 1 1 13 3a . = + + ⇔ 2 = 2 + 2 + 2 ⇔ 2 = 2 ⇔d = 2 2 2 2 9a 9a d AM AN AC d a 3a d 13

Câu 41: Chọn D.

Gọi H , K lần lượt là trung điểm của CD và AB. 22

∆ACD cân tại A nên AH ⊥ CD ⇒ AH ⊥ ( BCD ) ⇒ d ( A; ( BCD ) ) = AH

Đặt AH = x.

HD = AD 2 − AH 2 = 1 − x 2 . ∆BCD = ∆ACD ⇒ HB = HA = x (hai đường cao tương ứng bằng nhau).

⇒

1 1 1 2 x 2 . = + = 2 ⇒ HK = 2 2 2 HK HA HB x 2

Mặt khác, ta lại có: ∆ABD cân tại D nên DK ⊥ AB ⇒ AH ⊥ ( ABC ) ⇒ DK ⊥ CK ⇒ ∆KCD là tam giác vuông tại K .

1 6 x 2 . = 1 − x2 ⇔ x = Suy ra HK = CD ⇔ HK = HD = 2 2 3 Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( BCD ) bằng

6 . 3

Câu 42: Chọn D. Cách 1: Ta có:

g(x) = f (| x − 1|2 −2 | x − 1| + m − 1) Đặt t = x − 1 => g(t) = f (| t |2 −2 | t | + m − 1) Xét g1 (t) = f (t 2 − 2t + m − 1)

=> g1' (t) = f '(t 2 − 2t + m − 1) t = 1 => g1' (t) = 0 <=>  2 f '(t − 2t + m − 1) = 0 g(x) có 9 cực trị khi g(t) có 9 cực trị. <=> g1 (t) có 4 cực trị dương.

t = 1  2  t − 2t + m − 1 = 1 ' g1 (t) = 0 <=>  t 2 − 2t + m − 1 = 0  2  t − 2t + m − 1 = 2  t 2 − 2t + m − 1 = 3 

 m − 2 ≥ 1  3 < m < 4 0 < m − 3 < 1 g1 (t) có 4 cực trị dương khi:   . <=>   m − 4 ≤ 0 m ≤ 2   m − 2 ≤ 0

1 3 7 Mà m ∈ [0, 6], 2m ∈ ℤ => m = {0, ,1, , 2, } 2 2 2 Vậy có 6giá trị của m thỏa mãn đề bài

Cách 2: Dùng ghép trục Đặt t(x) = x 2 − 2x − 2 | x − 1| + m

 x 2 + m − 2 khi x<1 => t(x) =  2  x − 4x + 2 + m khi x ≥ 1 2x khi x<1 => t '(x) =  , t '(x) không xác định tại x=1 2x − 4 khi x>1 x = 0 t '(x) = 0 <=>  x = 2 Ta có bảng biến thiên sau:

Ta xét các trường hợp sau, sử dụng phương pháp ghép trục: TH1: m − 1 < 1 <=> m < 2 Ta có bảng biến thiên sau:

=> Hàm số có 9 cực trị => thỏa mãn TH2: m = 2 24

Ta có bảng biến thiên sau:

=> Hàm số có 9 cực trị => thỏa mãn TH3: 2 < m < 3 <=> 0 < m − 2 < 1 < m − 1 < 2 Ta có bảng biến thiên sau:

=> Hàm số có 11 cực trị => không thỏa mãn TH4: m = 3 Ta có bảng biến thiên sau:

=> Hàm số có 7 cực trị => không thỏa mãn TH5: 3 < m < 4 <=> 1 < m − 2 < 2 < m − 1 < 3 Ta có bảng biến thiên sau:

=> Hàm số có 11 cực trị => không thỏa mãn TH6: m = 4 Ta có bảng biến thiên sau:

=> Hàm số có 5 cực trị => không thỏa mãn TH7: m > 4, m < 5 <=> 2 < m − 2 < 3 < m − 1 Ta có bảng biến thiên sau:

=> Hàm số có 9 cực trị => thỏa mãn TH8: m = 5 . Tương tự => Không thỏa mãn TH9: m > 5 <=> 3 < m − 2 < m − 1 . Tương tự => Không thỏa mãn Kết hợp các trường hợp ta được:

m < 2 m ≤ 2  <=>  m = 2 4 < m < 5 4 < m < 5   1 3 9 Mà 2m ∈ ℤ và 0 ≤ m ≤ 6 => m = 0, ,1, , 2, )  2 2 2 Vậy có 6 giá trị của m thỏa mãn.

Câu 43: Chọn C. Xét phương trình f ( x ) + 2 = 0 ⇔ f ( x ) = −2 số nghiệm của phương trình f ( x ) + 2 = 0 bằng số giao điểm của hàm số y = f ( x ) với đường thẳng y = −2. Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f ( x ) + 2 = 0 có ba nghiệm phân biệt đó là:

x1 = −1, x2 ∈ ( 0; 2 ) , x3 ∈ ( 2; +∞ )       1 1 1 Ta có lim+  = +∞, lim+  = +∞, lim+     = +∞ x →−1 x → x1 x → x2  f ( x) + 2   f ( x) + 2   f ( x) + 2

Suy ra hàm số y =

1 có ba đường tiệm cận đứng. f ( x) + 2

  1     1 1 1 Xét lim  = ; lim+  = +∞; lim    =0 x →−∞ f ( x ) + 2 x →+∞ f ( x ) + 2   4 x → x1  f ( x ) + 2    Suy ra hàm số y =

1 có hai đường tiệm cận ngang. f ( x) + 2

Vậy hàm số có 5 đường tiệm cận, vì vậy ta chọn đáp án A.

Câu 44: Chọn D. Ta có: x + 2 x 2 − 2 x = mf ( x ) ⇔ m =

Số nghiệm của phương trình m =

x + 2 x2 − 2x f ( x)

x + 2 x2 − 2x x + 2 x2 − 2x bằng số giao điểm của hàm số y = với đường f ( x) f ( x)

thẳng y = m.

Đặt g ( x ) = x + 2 x 2 − 2 x Ta có min g ( x ) = 2 tại x = 2, max g ( x ) = 4 + 4 2 tại x = 4 [ 2;4]

[ 2;4]

min f ( x ) = 2 tại x = 4, max f ( x ) = 4 tại x = 2 [ 2;4]

[ 2;4]

Do min g ( x ) = 2 và max f ( x ) = 4 đều đồng thời xảy ra tại x = 2 [ 2;4]

[ 2;4]

g ( x)  x + 2 x 2 − 2 x  min 2 1 [ 2;4] Suy ra: min  = = =  [ 2;4]  f ( x) f ( x) 4 2   max [ 2;4] Do min f ( x ) = 2 và max g ( x ) = 4 + 4 2 đều đồng thời xảy ra tại x = 4 [ 2;4]

[ 2;4]

g ( x)  x + 2 x 2 − 2 x  max 4+4 2 [ 2;4] Suy ra: max  = = 2+2 2 =  min f ( x ) [ 2;4]  f x 2 ( )   [2;4]

x + 2 x2 − 2x Mà hàm số y = liên tục trên đoạn [ 2; 4] . f ( x)

Vậy

1 ≤ m ≤ 2 + 2 2, mà m nguyên nên m nhận các giá trị {1; 2;3; 4} nên chọn đáp án D. 2 27

Câu 45: Chọn C. 1 1 Nhận thấy −1; − ; − không là nghiệm của phương trình: 2 3 −12 x 4 − 22 x 3 − x 2 + 10 x + 3 = ( x + 1)( 2 x + 1)( 3 x + 1) ( m + 2 x ) (1) . −12 x 4 − 22 x 3 − x 2 + 10 x + 3 11x 2 + 12 x + 3 . Nên (1) ⇒ m + 2 x = = −2 x + ( x + 1)( 2 x + 1)( 3x + 1) ( x + 1)( 2 x + 1)( 3x + 1) ⇔ m = −2 x − 2 x +

1 1 1 . + + x + 1 2 x + 1 3x + 1

Xét hàm số f ( x ) = −2 x − 2 x + Ta có: f ' ( x ) =

1 1 1 1 1  + + trên ℝ \ −1; − ; −  . x + 1 2 x + 1 3x + 1 2 3 

1 2 3 1 1 −2 x  −2− − − < 0, ∀x ∈ ℝ \ −1; − ; −  2 2 2 2 3 x  ( x + 1) ( 2 x + 1) ( 3x + 1)

Bảng biến thiên

x y' y

−1

−∞

−

1 2

−

+∞

−∞

1 3

−

+∞

−∞

+∞ −

+∞

−∞

1 1  Từ bảng biến thiên ta thấy, phương trình m = f ( x ) có 3 nghiệm phân biệt trên ℝ \ −1; − ; −  khi và chỉ khi 2 3  m ≥ 0. m ∈ ℤ Mặt khác:  ⇒ m ∈ {0;1;...; 2020} . Vậy có 2021 giá trị m cần tìm. m ∈ [ −2020; 2020 ]

Câu 46: Chọn D.

 BC ⊥ AI Gọi I , J lần lượt là trung điểm BC , SA nên  ⇒ BC ⊥ ( SAI ) .  BC ⊥ SI

Hai tam giác cân ABC , SBC bằng nhau nên IA = IS suy ra ∆ISA cân tại I . Trong ∆SBI vuông tại I ta có SI = SB 2 − BI 2 = 12 −

y2 . 4

y 2 x2 Trong ∆SAI cân tại I ta có IJ = SI − SJ = 1 − − . 4 4 2

y 2 + x2 1 1 1 Khi đó thể tích khối chóp S . ABC là V = .BC.S SAI = .BC. AI .IJ = xy 1 − 3 3 6 4

Ta có x 2 + y 2 ≥ 2 xy, ∀x, y ∈ ℝ ⇒ V ≤

xy 1 xy 1 − 6 2 3

1 1  xy + xy + 4 − 2 xy  2 2 3 ⇔ xy . xy . 4 − 2 xy ≤   ≤ 12 12  3 27  Dấu “=” xảy ra tại x = y =

2 4 . suy ra x + y = 3 3

Câu 47: Chọn A. 29

Gọi A là biến cố để 4 viên bi được chọn không nhiều hơn 3 màu và luôn có bi màu xanh. Gọi A là biến cố để 4 viên bi được chọn có đủ 4 màu hoặc không có bi màu xanh. 4 Số phần tử không gian mẫu: n ( Ω ) = C21 = 5985.

Trường hợp 1: 4 bi được chọn có đủ 4 màu: có 3.5.6.7 = 630 cách chọn.

( )

Số phần tử biến cố A : n A = 630 + 3060 = 3690.

( )

Số phần tử biến cố A : n ( A ) = n ( Ω ) − n A = 5985 − 3690 = 2295. Xác suất của biến cố A : P ( A ) =

n ( A) n (Ω)

2295 . 5985

Câu 48: Chọn D. 2

Ta có: a 2 + b 2 = 4a + 6b − 9 ⇔ ( a − 2 ) + ( b − 3) = 22. Trong hệ trục tọa độ Oxy gọi A ( a; b ) , B ( c; d ) . 2

Khi đó A ( a; b ) nằm trên đường tròn tâm I ( 2;3) bán kính R = 2 có phương trình: ( x − 2 ) + ( y − 3) = 22.

B ( c; d ) nằm trên đường thẳng: 3 x + 4 y = 1. 2 2 2 Vì BA = ( a − c; b − d ) nên P = ( a − c ) + ( b − d ) = BA . Khi đó P đạt giá trị nhỏ nhất khi BA nhỏ nhất.

Khoảng cách từ I đến ( ∆ ) : d( I ,( ∆ ) ) =

3.2 + 4.3 − 1 17 = . Vì d ( I ,( ∆ )) > R nên ( I ) và ( ∆ ) không giao nhau. 5 32 + 4 2

Suy ra BA nhỏ nhất khi I , A, B thẳng hàng và A nằm giữa I , B và IB ⊥ ( ∆ ) như hình sau.

17 7 min BA = d(I,( ∆ )) − R = − 2 = . 5 5

( )

2  7 2 49 min ( P ) = min BA =   = . 25 5

( )

Câu 49: Chọn D.

 x = 9t t  x 9t  3  t . Khi đó = t =   . Đặt log 9 x = log12 y = log16 ( x + 2 y ) = t ⇒  y = 12 y 12  4   x + 2 y = 16t  Mặt khác ta có phương trình:   4 t   = 1 + 2 ( nhan ) t t 16 4 3     9t + 2.12t = 16t ⇔   − 2.   − 1 = 0 ⇔   4 t 9 3   = 1 − 2 ( loai )  3  t

x 3 1 Do đó =   = = 2 − 1. y  4  1+ 2

Câu 50: Chọn D.

Ta có VS .MNCD = VS .MCD + VS .MNC +

VS .MCD SM SC SD 1 1 1 . . = = ⇒ VS .MCD = VS . ACD = VS . ABCD . VS . ACD SA SC SD 2 2 4

VS .MNC SM SN SC 1 1 1 . . = = ⇒ VS .MNC = VS . ABC = VS . ABCD . VS . ABC SA SB SC 4 4 8 31

1 1 3 ⇒ VS .MNCD = VS .MCD + VS .MNC = VS . ABCD + VS . ABCD = VS . ABCD . 4 8 8 3 5 ⇒ VMNABCD = VS . ABCD − VS .MNCD = VS . ABCD − VS . ABCD = VS . ABCD . 8 8 3 V VS .MNCD 8 S . ABCD 3 = = . Do đó 5 VMNABCD 5 V S . ABCD 8

SỞ GD&ĐT THÁI BÌNH

ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI KHỐI 12

TRƯỜNG THPT HƯNG NHÂN

NĂM HỌC 2020 - 2021 MÔN Toán – Khối 12 Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề) Mã đề 101

Họ và tên học sinh: ...................................................... Số báo danh: ……….................... 2

Câu 1. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ, có f ' ( x ) = ( x + 2 ) ( x − 2 ) ( − x + 5 ) . Số điểm cực trị của hàm số

y = f ( x ) là A. 0.

B. 2.

C. 1.

D. 3.

Câu 2. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

−1

−∞

f '( x)

−

+∞ +

f ( x)

+∞

−∞

Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. ( −∞; −1) .

B. ( −1;1) .

C. ( 0; 2 ) .

D. ( 0; 4 ) .

Câu 3. Hàm số nào sau đây nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó? A. y =

x+5 . −x −1

B. y =

x −1 . x +1

C. y =

2x +1 . x−3

D. y =

x−2 . 2x −1

Câu 4. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ, có đạo hàm f ' ( x ) = x 3 ( x − 1) ( x + 2 ) . Hỏi hàm số y = f ( x ) có bao nhiêu điểm cực trị? A. 0.

B. 2.

C. 3.

D. 1.

Câu 5. Tổng diện tích các mặt của một hình lập phương bằng 96. Tính thể tích của khối lập phương đó là? A. 84.

B. 64.

C. 48.

D. 91.

Câu 6. Cho biểu thức P = 4 x 3 x 2 . 3 x , x > 0. Mệnh đề nào dưới đây là đúng? 2

A. P = x 3 .

B. P = x 4 .

C. P = x 24 . 1

D. P = x 2 .

Câu 7. Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên ℝ \ {1} , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình vẽ.

−∞

−1

+∞

f '( x) f ( x)

+∞ 3 0

−1 −∞ Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình f ( x ) = m có 3 nghiệm phân biệt là

A. 1.

B. 0.

C. 3.

D. 2.

Câu 8. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y = ( m − 1) x3 − 3 ( m − 1) x 2 + 3 x + 2 đồng biến trên ℝ. A. 1 ≤ m < 2.

B. 1 < m ≤ 2 .

C. 1 < m < 2 .

D. 1 ≤ m ≤ 2 .

Câu 9. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a; BC = 2a. Hai mặt phẳng ( SAB ) và mặt phẳng ( SAD ) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh SC hợp với mặt đáy góc 600. Tính thể tích khối chóp S . ABCD theo a.

2a 3 15 . 9

B. 2a 3 15 .

C. 2a 3 .

2a 3 15 . 3

Câu 10. Một mi tự tháp ở Ai Cập được xây dựng vào khoảng 2500 năm trước Công nguyên. Kim tự tháp này là một khối chóp tứ giác đều có chiều cao 150m, cạnh đáy dài 220 m. Hỏi diện tích xung quanh của kim tự tháp là bao nhiêu? (Diện tích xung quanh của hình chóp là tổng diện tích các mặt bên) A. 2200 346 ( m 2 ) .

(

B. 1100 346 ( m 2 ) .

)

C. 4400 346 + 48400 ( m 2 ) .

D. 4400 346 ( m 2 ) .

Câu 11. Tập xác định của hàm số y = log 2 ( x 2 − 2 x ) là A. [ 0; 2] .

B. ( −∞; 0] ∪ [ 2; +∞ ) .

C. ( 0; 2 ) .

D. ( −∞; 0 ) ∪ ( 2; +∞ ) .

Câu 12. Cho hai hàm số y = log a x, y = log b x với a, b là hai số thực dương, khác 1 có đồ thị lần lượt là

( C1 ) , ( C2 ) như hình vẽ. Khẳng định nào dưới đây sai?

A. 0 < b < 1 < a .

B. 0 < b < a < 1 .

C. a > 1 .

D. 0 < b < 1 .

Câu 13. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau

−∞

y' y

−

+∞

−1

+∞

−∞

Đồ thị hàm số y = f ( x ) có tổng số bao nhiêu tiệm cận (chỉ xét các tiệm cận đúng và ngang)? A. 1.

B. 3.

C. 2.

D. 0.

Câu 14. Một hình nón có bán kính đáy bằng 5 cm và diện tichs xung quanh bằng 30π cm 2 . Tính thể tích V của khối nón đó. A. V =

25π 61 cm3 ) . ( 3

B. V =

25π 34 cm3 ) . ( 3

C. V =

25π 39 cm3 ) . ( 3

D. V =

25π 11 cm3 ) . ( 3

Câu 15. Cho hàm số y = − x 4 + 2 x 2 có đồ thị như hình vẽ bên.

Tìm tất cả các giá trị m để phương trình − x 4 + 2 x 2 = log 2 m có bốn nghiệm thực phân biệt

A. 1 < m < 2 .

B. 0 ≤ m ≤ 1 .

C. m > 0 .

D. m ≥ 2.

Câu 16. Cho hàm số f ( x ) xác định trên ℝ, có đạo hàm f ' ( x ) = ( x + 1) ( x − 2 ) ( x + 3) . Số điểm cực trị của hàm số f ( x ) là

A. 2.

B. 3.

C. 5.

D. 1.

 2π π  Câu 17. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đoạn  − là tập hợp con của tập nghiệm bất ;  3 3  phương trình log 1 ( cos 2 x + 1) < log 1 ( cos 2 x + 4 cos x + m ) + 1. 5

7  A. m ∈  ; 4  . 4 

7  B. m ∈  ; 4  . 4 

7  C. m ∈  ; 4  . 4 

7  D. m ∈  ; 4  . 4 

Câu 18. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Hình chiếu vuông góc của S lên cạnh AB là điểm H thỏa mãn AH = 2 BH . Tính theo a thể tích V của khối chóp S . ABCD. A. V =

a3 2 . 9

B. V =

a3 2 . 3

C. V =

a3 3 . 9

D. V =

Câu 19. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 6 − x + x − 4 +

a3 2 . 6

( 6 − x )( x − 4 )

là M , m. Tính

tổng M + m.

A. 3 + 2 2 .

B. 2 + 2 .

C. 2 + 2 2 .

D. 3 + 2 .

Câu 20. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị là đường cong ( C ) , biết đồ thị của f ' ( x ) như hình vẽ

Tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại điểm có hoành độ bằng 1 cắt đồ thị ( C ) tại hai điểm A, B phân biệt lần lượt có hoành độ a, b. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. a, b < 3 .

B. a 2 + b 2 > 10 .

C. 4 ≥ a − b ≥ −4 .

D. a, b ≥ 0 .

Câu 21. Có bao nhiêu giá trị nguyên m để hàm số y = x3 − 3 x 2 − mx + 4 có hai điểm cực trị thuộc khoảng

( −3;3) ? A. 13.

B. 10.

C. 12.

D. 11.

Câu 22. Một hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB = 1, đáy lớn CD = 3, cạnh bên BC = AD = 2. Cho hình thang ABCD quay quanh AB ta được khối nó xoay có thể tích là

7 A. V = π . 3

B. V = 2π .

C. V = 3π .

8 D. V = π . 3

Câu 23. Anh Minh muốn xây dựng một hố ga không có nắp đậy dạng hình hộp chữ nhật có thể tích chứa được 3200cm3 , tỉ số giữa chiều cao và chiều rộng của hố ga bằng 2 . Xác định diện tích đáy của hố ga để khi xây hố tiết kiệm được nguyên vật liệu nhất. A. 170cm 2 .

B. 160cm 2 .

C. 150cm 2 .

D. 140cm 2 .

Câu 24. Cho mặt nón tròn xoay đỉnh S đáy là đường tròn tâm O có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh bằng a. A, B là hai điểm bất kì trên đường tròn ( O ) . Thể tích khối chóp S .OAB đạt giá trị lớn nhất bằng

a3 A. . 96

a3 3 B. . 24

a3 3 C. . 96

a3 3 D. . 48

Câu 25. Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn log 4 a = log 6 b = log 9 ( a + b ) . Tính A.

1 . 2

−1 + 5 . 2

−1 − 5 . 2

a . b 1+ 5 . 2

Câu 26. Ông An gửi 320triệu đồng vào ngân hàng ACB và VietinBank theo phương thức lãi kép. Số tiền thứ nhất gửi vào ngân hàng ACB với lãi suất 2,1% một quý trong thời gian 15tháng. Số tiền còn lại gửi vào ngân hàng VietinBank với lãi suất 0,73% một tháng trong thời gian 9tháng. Biết tổng số tiền lãi ông An nhận được ở hai ngân hàng là 26670725,95đồng. Hỏi số tiền ông An lần lượt ở hai ngân hàng ACB và VietinBank là bao nhiêu (số tiền được làm tròn tới hàng đơn vị)? A. 120 triệu đồng và 200 triệu đồng.

B. 200 triệu đồng và 120 triệu đồng.

C. 140 triệu đồng và 180 triệu đồng.

D. 180 triệu đồng và 140 triệu đồng.

Câu 27. Giả sử trong trận chung kết AFF Cup 2018, đội tuyển Việt Nam phải phân định thắng thua trên chấm đá phạt 11 m. Biết xác suất để mỗi cầu thủ Việt Nam thực hiện thành công quả đá 11 m của mình đều là 0,8. Gọi p là xác suất để đội tuyển Việt Nam thực hiện thành công từ 4 quả trở lên trong 5 lượt sút đầu tiên. Khẳng định nào sau đây đúng? A. 0, 72 < p < 0, 75 .

B. p < 0, 7 .

C. 0, 7 < p < 0, 72 .

D. p > 0, 75 .

Câu 28. Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có cạnh bằng 1. Cắt hình lập phương bằng một mặt phẳng đi qua đường chéo BD ' . Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích thiết diện thu được. A.

6 . 3

6 . 2

6 . 4

D. 2 .

Câu 29. Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác đều và A ' A = A ' B = A ' C. Biết rằng các cạnh bên của lăng trụ tạo với đáy một góc 600 và khoảng cách giữa đường thẳng AA ' và mặt phẳng ( BCC ' B ') bằng 1. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.

4 3 . 9

16 3 . 27

16 3 . 9

16 3 . 18

Câu 30. Cho parabol ( P ) : y = − x 2 và đồ thị hàm số y = ax3 + bx 2 + cx − 2 có đồ thị như hình vẽ. Tính giá trị của biểu thức P = a − 3b − 5c.

A. P = 3 .

B. P = −7 .

C. P = 9 .

D. P = −1 .

Câu 31. Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có cạnh bằng a. Số đo góc giữa ( BA ' C ) và ( DA ' C ) . A. 450 .

B. 900 .

C. 600 .

D. 300 .

Câu 32. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thang có AD / / BC , M là điểm di động trong hình thang ABCD. Qua M kẻ đường thẳng song song với SA và SB lần lượt cắt các mặt ( SBC ) và ( SAD ) tại N và P. Cho SA = a, SB = b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = MN 2 .MP.

a 2b A. . 8

ab 2 B. . 8

4a 2 b C. . 27

4ab 2 D. . 27

6 C. C102 .

4 D. C100 .

3 Câu 33. Giá trị của tổng S = C33 + C43 + ... + C100 bằng 4 A. C101 .

5 B. C105 .

Câu 34. Cho hàm số y = f ( x ) . Đồ thị của hàm số y = f ' ( x ) như hình bên.

Đặt h ( x ) = f ( x ) −

x2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2

A. Hàm số y = h ( x ) đồng biến trên khoảng ( 0; 4 ) . B. Hàm số y = h ( x ) nghịch biến trên khoảng ( 0;1) . C. Hàm số y = h ( x ) nghịch biến trên khoảng ( 2; 4 ) . D. Hàm số y = h ( x ) đồng biến trên khoảng ( −2;3) . Câu 35. Cho a, b, c là các số thực khác 0 thỏa mãn 4a = 25b = 10c. Tính giá trị biểu thức A = A. A =

1 . 2

B. A =

1 . 10

C. A = 2 .

c c + . a b

D. A = 10 .

Câu 36. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a 3, BC = 2a, đường thẳng AC ' tạo với mặt phẳng ( BCC ' B ') một góc 300. Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho bằng A. 24π a 2 .

B. 3π a 2 .

C. 4π a 2 .

D. 6π a 2 .

Câu 37. Một hình lập phương có cạnh 4cm. Người ta sơn đỏ mặt ngoài của hình lập phương rồi cắt hình lập phương bằng các mặt phẳng song song với các mặt của hình lập phương thành 64 hình lập phương nhỏ có cạnh 1cm. Có bao nhiêu hình lập phương có đúng một mặt được sơn đỏ? A. 96.

B. 16.

C. 72.

D. 24.

Câu 38. Cho tứ diện ABCD có độ dài cạnh bằng a, ( S ) là mặt tiếp xúc với sáu cạnh của tứ diện ABCD.M là một điểm thay đổi trên ( S ) . Tính tổng T = MA2 + MB 2 + MC 2 + MD 2 .

A. 4a 3 .

B. 2a 3 .

3a 2 . 8

D. a 2 .

Câu 39. Cho các số thực dương x, y, z và thỏa mãn x + y + z = 3. Biểu thức P = x 4 + y 4 + 8 z 4 đạt GTNN bằng 7

a a , trong đó a, b là các số tự nhiên dương, là phân số tối giản. Tính a − b. b b

A. 234.

B. 523.

C. 235.

D. 525.

= 600 , SBA = SCA = 900 , góc giữa Câu 40. Cho khối chóp S . ABC , đáy ABC là tam giác có AB = AC = a, BAC

( SAB ) A.

và ( SAC ) bằng 600. Thể tích của khối chóp đã cho bằng:

3 3a 3 . 4

2 3a 3 . 3

3a 3 . 3

3a 3 . 4

)

(

Câu 41. Tập nghiệm của bất phương trình log 2 x x 2 + 2 + 4 − x 2 + 2 x + x 2 + 2 ≤ 1 là − a ; − b  . A.

15 . 16

12 . 5

16 . 15

(

5 . 12

Câu 42. Cho phương trình: 2

− m3 − 3 m 2 +1

(

)

.log 81 x 3 − 3 x 2 + 1 + 2 + 2

  1 =0 .log 3  3  m − 3m 2 + 1 + 2   

− x3 − 3 x 2 +1 − 2

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m nguyên để phương trình đã cho có 6 nghiệm hoặc 7 nghiệm hoặc 8 nghiệm. Tính tổng bình phương tất cả các phần tử của tập S .

A. 20.

B. 19.

C. 14.

D. 28.

Câu 43. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AD = DC = a, AB = 2a. Hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SAD ) cùng vuông góc với đáy. Góc giữa SC và mặt đáy bằng 600. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB.

A. a 2 .

2a 15 . 5

a 6 . 2

D. 2a .

Câu 44. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

 π 3π   1  Tập hợp tất cả các giá trị của m để phương trình f   = m có nghiệm thuộc khoảng  ;  là? 2 2   cos x  A. [ 2; +∞ ) .

 −19  B.  ; +∞  .  4 

 19 13  C.  − ;  .  4 4

 13  D.  2;  .  4

Câu 45. Cho hai hàm số f ( x ) và g ( x ) đều có đạo hàm trên ℝ và thỏa mãn:

f 3 ( 2 − x ) − 2 f 2 ( 2 + 3 x ) + x 2 g ( x ) + 36 x = 0, ∀x ∈ ℝ. Tính A = 3 f ( 2 ) + 4 f ' ( 2 ) . A. 14.

B. 10.

C. 11.

D. 13.

Câu 46. Cho tập X = {1; 2;3;...;8} . Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau từ X . Lấy ngẫu nhiên một số từ A. Tính xác suất để số lấy được chia hết cho 2222.

384 . 8!

192 . 8!

4!.4! . 8!

C82 .C62 .C22 . 8!

Câu 47. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với cạnh AD = 2CD. Biết hai mặt ( SAC ) , ( SBD ) cùng vuông góc với mặt đáy và đoạn BD = 6; góc giữa ( SCD ) và mặt đáy bằng 600. Hai điểm M , N lần lượt là trung điểm của SA, SB. Thể tích khối đa diện ABCDMN bằng

128 15 . 15

16 15 . 15

18 15 . 5

108 15 . 25

Câu 48. Cho hàm số f ( x ) có đại hàm f ' ( x ) = ( x + 1) ( x 2 − 4 x ) . Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số g ( x ) = f ( 2 x 2 − 12 x + m ) có đúng 5 điểm cực trị?

A. 17.

B. 16.

C. 19.

Câu 49. Hàm số y = f ( x ) có đồ thị hàm số y = f ' ( x ) như hình vẽ

D. 18.

x2 Hàm số y = f (1 − x ) + − x nghịch biến trên khoảng 2

A. (1;3) .

B. ( −3;1) .

3  D.  −1;  . 2 

C. ( −2;0 ) .

Câu 50. Cho khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' , khoảng cách từ C đến BB ' bằng 2a, khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB ' và CC ' lần lượt bằng a và a 3 , hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng ( A ' B ' C ') là trung điểm M của B ' C ' và A ' M =

A. a 3 3 .

2a 3 . Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng 3

2a 3 3 . 3

C. 2a 3 .

D. a 3 .

------ HẾT ------

BẢNG ĐÁP ÁN 1-B

2-B

3-C

4-B

5-B

6-C

7-D

8-D

9-D

10-D

11-D

12-B

13-C

14-D

15-A

16-B

17-C

18-A

19-D

20-B

21-D

22-A

23-B

24-D

25-B

26-A

27-A

28-B

29-B

30-A

31-C

32-C

33-A

34-B

35-C

36-D

37-D

38-B

39-B

40-D

41-C

42-D

43-C

44-A

45-B

46-B

47-C

48-A

49-A

50-C

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Chọn B. 10

 x = −2 Ta có y ' = 0 ⇔ ( x + 2 ) ( x − 2 ) ( − x + 5 ) = 0 ⇔  x = 2 .  x = 5 2

Bảng biến thiên của hàm số như sau

−2

−∞

f '( x)

−

+∞

−

f ( x) Vậy hàm số y = f ( x ) có 2 điểm cực trị.

Câu 2: Chọn B. Từ bảng biến thiên ta có hàm số nghịch biến trên khoảng ( −1;1) .

Câu 3: Chọn C. Xét hàm số y =

2x + 1 . x−3

Tập xác định D = ℝ \ {3} . Ta có y ' =

−7

( x − 3)

< 0, ∀x ∈ D.

Vậy hàm số trên nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.

Câu 4: Chọn B.

x = 0 Ta có f ' ( x ) = 0 ⇔ x ( x − 1) ( x + 2 ) = 0 ⇔  x = 1 .  x = −2 3

Bảng biến thiên

x f '( x) f ( x)

−2

−∞ +

−

1 +

f ( −2 )

+∞ +

+∞ f (1) f ( 0) 11

−∞ Vậy hàm số y = f ( x ) có 2 điểm cực trị.

Câu 5: Chọn B. Gọi a là cạnh hình lập phương, ta có:

Stp = 6a 2 = 96 ⇔ a 2 = 16 ⇔ a = 4 Vậy thể tích của khối lập phương là V = a 3 = 43 = 64

Câu 6: Chọn C. 4

3 2

7 2

7 6

P = x x . x = x x .x = x x = x.x = x

13 6

13 24

Câu 7: Chọn D. Dựa vào bảng biến thiên suy ra 0 < m < 3. Vậy có 2 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn bài toán.

Câu 8: Chọn D. Tập xác định D = ℝ Ta có: y ' = 3 ( m − 1) x 2 − 6 ( m − 1) x + 3. Trường hợp 1: m − 1 = 0 ⇔ m = 1 ⇒ y = 3 x + 2 ⇒ Hàm số đồng biến trên ℝ. m − 1 > 0 Trường hợp 2: m − 1 ≠ 0 ⇒ y ' ≥ 0 ∀x ∈ ℝ ⇔  ∆ ' ≤ 0 m > 1 m > 1 ⇔ ⇔ ⇔ 1 < m ≤ 2. 2 1 ≤ m ≤ 2 9 ( m − 1) − 9 ( m − 1) ≤ 0

Kết hợp hai trường hợp trên suy ra 1 < m ≤ 2.

Câu 9: Chọn D.

Ta có 12

( SAB ) ⊥ ( ABCD )   ( SAD ) ⊥ ( ABCD )  ⇒ SA ⊥ ( ABCD ) . ( SAB ) ∩ ( SAD ) = SA S ABCD = AB.BC = a.2a = 2a 2 . Xét ∆ABC vuông tại B có: AC = AB 2 + BC 2 = a 2 + 4a 2 = a 5.

. Góc giữa SC tạo với mặt phẳng đáy là SCA Xét ∆SAC vuông tại A có: tan 600 =

SA ⇔ SA = AC.tan 600 = a 5. 3 = a 15. AC

1 1 2a 3 15 . VS . ABCD = .S ABCD .SA = .2a 2 .a 15 = 3 3 3

Câu 10: Chọn D.

Xét hình chóp tứ giác đều S . ABCD có chiều cao SO = 150m, AB = 220m. Gọi H là trung điểm của CD ⇒ OH ⊥ CD và SH ⊥ CD. Xét ∆SOH vuông tại O có: SH = SO 2 + OH 2 = 1502 + 1102 = 10 346. 1 1 Diện tích tam giác ∆SCD là: S ∆SCD = .SH .CD = .10. 346.220 = 1100 346. 2 2 Diện tích xung quanh của kim tự tháp là S xq = 4.S ∆SCD = 4.1100 346 = 4400 346.

Câu 11: Chọn D. x < 0 . Điều kiện xác định: x 2 − 2 x > 0 ⇔  x > 2

Tập xác định: D = ( −∞;0 ) ∪ ( 2; +∞ ) .

Câu 12: Chọn B. 13

Dựa trên đồ thị ( C1 ) ta thấy hàm số y = log a x là hàm số đồng biến nên a > 1. Dựa trên đồ thị ( C2 ) ta thấy hàm số y = log a x là hàm số nghịch biến nên 0 < b < 1. Suy ra 0 < b < 1 < a.

Câu 13: Chọn C. Vì lim+ y = −∞ (hoặc lim− y = +∞) nên đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số và lim y = −1 x →1

x →1

x →−∞

nên đường thẳng y = −1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Câu 14: Chọn D. S xq = π rl ⇒ l =

S xq

πr

30π = 6 ( cm ) 5π

⇒ h = l 2 − r 2 = 6 2 − 52 = 11 ( cm ) 1 1 25π 11 cm3 ) . ⇒ V = π r 2 h = π .52. 11 = ( 3 3 3

Câu 15: Chọn A. Phương trình có 4 nghiệm thực phân biệt khi: 0 < log 2 m < 1 ⇔ 1 < m < 2.

Câu 16: Chọn B.

 x = −1 + Ta có: f ' ( x ) = 0 ⇔  x = 2  x = −3 + BBT của hàm số y = f ( x )

−3

x f '( x)

−

−1

−

f ( x)

+ Căn cứ BBT của hàm số y = f ( x ) suy ra BBT của hàm số y = f ( x ) là

−2

x f '( x )

−

0 +

−

f (x)

Vậy hàm số y = f ( x ) có 3 điểm cực trị.

Câu 17: Chọn C. đoạn

Để

 2π π   − 3 ; 3 

là

tập

hợ p

con

của

tập

nghiệm

log 1 ( cos 2 x + 1) < log 1 ( cos 2 x + 4 cos x + m ) + 1 thì: 5

 2π π  log 1 ( cos 2 x + 1) < log 1 ( cos 2 x + 4 cos x + m ) + 1, ∀x ∈  − ;  3 3  5 5  cos 2 x + 4 cos x + m   2π π  ; ⇔ log 1 ( cos 2 x + 1) < log 1   , ∀x ∈  − 5  3 3   5 5  2 cos x + 4 cos x + m > 0  2π π  , ∀x ∈  − ; ⇔ 2 2  3 3  5cos x + 5 > cos x + 4 cos x + m 2 m > − cos x − 4 cos x  2π π  , ∀x ∈  − ; ⇔ 2  3 3  m < 4 cos x − 4 cos x + 5

(1)

m > −t 2 − 4t  1  Đặt t = cos x. Khi đó ta có (1) trở thành:  , ∀t ∈  − ;1 . 2  2  m < 4t − 4t + 5  1  + Để m > −t 2 − 4t , ∀t ∈  − ;1 ⇔ m > max ( −t 2 − 4t )  1   2   − 2 ;1 

( 2)



7 7  1 7 Xét hàm số f  −  = ; f ( −1) = −5. Do đó max f ( t ) = . Nên ( 2 ) ⇔ m > .  1  4 4  2 4  − 2 ;1 



 1  + Để m < 4t 2 − 4t + 5, ∀t ∈  − ;1 ⇔ m < min ( 4t 2 − 4t + 5 )  1   2   − 2 ;1 

( 3)



1  1  Xét hàm số f ( t ) = 4t 2 − 4t + 5, ∀t ∈  − ;1 . Ta có g ' ( t ) = 8t − 4 = 0 ⇔ t = . 2  2   1 1 g  −  = 8, g (1) = 5, g   = 4. Do đó min g ( t ) = 4. Nên ( 3) ⇔ m < 4.  1   2 2  − 2 ;1 



bất

phương

trình

7  Vậy m ∈  ; 4  thỏa mãn yêu cầu bài toán. 4 

Câu 18: Chọn A.

+ Theo giả thiết ta suy ra được AH =

a 2a ; BH = . 3 3

+ Do tam giác SAB vuông tại S và SH là đường cao nên: AH . AB = SA2 ⇒ SA = AH . AB = + SH . AB = SA.SB ⇒ SH =

a 6 a 3 ; BH .BA = SB 2 ⇒ SB = BH .BA = . 3 3

SA.SB a 2 . = AB 3

1 1 2 a 2 a3 2 . + Do đó V = .S ABCD .SH = .a . = 3 3 3 9

Câu 19: Chọn D. TXĐ: D = 4 ≤ x ≤ 6. t2 Đặt t = 6 − x + x − 4 ⇒ − 1 = 2

( 6 − x )( x − 4 ).

Xét hàm số f ( x ) = 6 − x + x − 4 với 4 ≤ x ≤ 6. Ta có: f ' ( x ) = 0 ⇔ 6 − x − x − 4 = 0 ⇔ x = 5. Bảng biến thiên

x f '( x) f ( x)

5 +

−

Vậy f ( x ) ∈  2; 2  ⇒ t ∈  2; 2  Hàm số đã cho trở thành y = f ( t ) =

t2 + t − 1 với t ∈  2; 2  . 2

Khi đó y ' = t + 1. Suy ra y ' = 0 ⇔ t = −1 ∉  2; 2  . Ta có: f

( 2) =

2; f ( 2 ) = 3. Suy ra M = 3, m = 2.

Vậy M + m = 3 + 2.

Câu 20: Chọn B. Từ đồ thị f ' ( x ) suy ra f ' (1) = 0. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại điểm có hoành độ bằng 1 là

y = f ' (1)( x − 1) + f (1) ⇔ y = f (1) . Phương trình hoành độ giao điểm của tiếp tuyến và đồ thị ( C ) là: f ( x ) = f (1) Từ đồ thị f ' ( x ) suy ra f ' ( −1) = f ' ( 3) = 0. Ta có bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) .

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng y = f (1) cắt đồ thị hàm số tại ba điểm có hoành độ lần lượt là

a,1, b với a < −1 và b > 3. Suy ra b 2 > 9 và a 2 > 1. Vậy a 2 + b 2 > 10.

Câu 21: Chọn D. 17

Ta có y = x3 − 3x 2 − mx + 4 (1)

y ' = 3x 2 − 6 x − m Xét: g ( x ) = 3x 2 − 6 x − m Hàm số (1) có hai cực trị thuộc khoảng ( −3;3) khi g ( x ) = 0 có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng ( −3;3) . Ta có: g ( x ) = 0 ⇔ 3x 2 − 6 x − m = 0 ⇔ 3x 2 − 6 x = m Xét: h ( x ) = 3x 2 − 6 x ⇒ h ' ( x ) = 6 x − 6, cho h ' ( x ) = 0 ⇔ x = 1. Bảng biến thiên:

−∞

−3

h '( x) h ( x)

−

+∞

−3 Dựa vào bảng biến thiên, ta có m ∈ ( −3;9 ) . Vậy có 11 giá trị nguyên của m.

Câu 22: Chọn A.

Khi quay hình thang quanh cạnh AB ta được khối tròn xoay. Kẻ các đường cao AH , BK . Khi đó: HK = AB = 1 ⇒ CK = DK = 1 Áp dụng pitago trong các tam giác vuông AHC , BKD ta được: AH = BK = 1 Xét khối trụ có đường cao CD = 3, bán kính AH = 1. Khi đó thể tích khối trụ: V(T ) = π . AH 2 .CD = 3π Xét khối nón có đường sinh AD = 2, bán kính AH = 1, đường cao DH = 1. Khi đó thể tích khối nón

π 1 V( N ) = .π . AH 2 .DH = 3 3 Thể tích khối tròn xoay: 18

V = V(T ) − 2V( N ) =

7π 3

Câu 23: Chọn B. Gọi chiều rộng của hố ga là x ( cm )( x > 0 ) ⇒ chiều cao của hố ga là 2 x ( cm ) Hố ga dạng hình hộp chữ nhật có thể tích là 3200cm3 ⇒ Chiều dài hố ga là

3200 1600 = 2 ( cm ) x.2 x x

Tổng diện tích cần xây hố ga (5 mặt, trừ mặt đáy trên) là: 1600  1600 8000  S = 2.  x + 2  .2 x + x. 2 = 4 x 2 + cm 2 ) ( x  x x  Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có: S = 4 x 2 + Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 4 x 2 =

4000 4000 4000 400 . + ≥ 3 3 4 x2 . = 1200 x x x x

4000 ⇔ x3 = 1000 ⇔ x = 10 (thỏa mãn) x

Với x = 10 thì diện tích mặt đáy của hố ga là 10.

1600 = 160 ( cm 2 ) . 2 10

Câu 24: Chọn D.

Gọ i AOB = α . Hình chóp S .OAB ⇒ 00 < α < 1800 ⇒ 0 < sin α ≤ 1 Diện tích ∆OAB là

1 1 .OA.ON .sin α ⇒ Thể tích khối chóp S .OAB là V = .SO.OA.OB.sin α 2 6

Vì thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh bằng a ⇒ SO =

1 a 3 a a a 3 3.sin α a 3 3 ⇒V = . . . .sin α = ≤ 6 2 2 2 48 48 Dấu “=” xảy ra ⇔ sin α = 1 ⇔ α = 900 ⇔ OA ⊥ OB 19

a 3 a ; OA = OB = 2 2

Vậy thể thchs khối chóp S .OAB đạt giá trị lớn nhất bằng

a3 3 . 48

Câu 25: Chọn B. Đặt log 4 a = log 6 b = log9 ( a + b ) = t.

 a = 4t log 4 a = t   . ⇔ log 6 b = t ⇔ b = 6t   a + b = 9t log 9 ( a + b ) = t    2  t −1 + 5   = t t 2 a −1 + 5 3 4 2 t t t Ta có 4 + 6 = 9 ⇔   +   − 1 = 0 ⇔  . ⇔ = t  b 2 9 3 − − 2 1 5     = (VN ) 2  3 

Câu 26: Chọn A. Gọi x (triệu) là số tiền ông An gửi vào ngân hàng ACB, y (triệu) là số tiền ông An gửi vào ngân hàng VietinBank.  x = 120  x + y = 320 Ta có  . ⇔ 5 9 200 y = x 1 + 2,1% + y 1 + 0, 73% = 346, 67072595 ( ) ( )  

Câu 27: Chọn A. 4

Xác suất để 4 quả thành công là: ( 0,8 ) .0, 2.5 = 0, 4096. 5

Xác suất để 5 quả thành công là: ( 0,8 ) = 0,32768. Vậy xác suất để đội tuyển Việt Nam thực hiện thành công từ 4 quả trở lên trong 5 lượt sút đầu tiên là: 0, 4096 + 0, 32768 = 0, 73728.

Câu 28: Chọn B.

Gọi O là trung điểm BD '. Gọi E , F là tâm hình vuông ABB ' A ' và DCC ' D '. Giả sử thiết diện qua BD ' và cắt AD trung điểm M của AD. Trong ( ADC ' B ') gọi N = B ' C '∩ OM ⇒ N là trung điểm B ' C '.

⇒ MN = AB ' = BC ' = 2.  5 Tứ giác BMD ' N là hình thoi  MB = MD ' = NB = ND ' =  . 2   S BMD ' N =

1 6 . MN .BD ' = 2 2

Ta chứng minh M là trung điểm của AD thì diện tích thiết diện đạt giá trị nhỏ nhất. Lấy M ' bất kỳ trên AD. Kẻ M ' H ⊥ EF , M ' K ⊥ BD '.  M ' H = MO . Tứ giác MM ' HO là hình bình hành ⇒   M ' H / / MO Mà MO ⊥ ( A ' BCD ') ⇒ M ' H ⊥ ( A ' BCD ') .

∆M ' HK vuông tại H ⇒ M ' K ≥ M ' H = MO 1   S BM ' D ' N ' = 2 S ∆M ' BD ' = 2. 2 M ' K .BD ' = 3M ' K  1 S 3MO BMD ' N = 2 S ∆MBD = 2. MO.BD ' =  2 ⇒ S BM ' D ' N ' ≥ S BMD ' N . Dấu “=” xảy ra ⇔ M ' ≡ M .

Câu 29: Chọn B.

* Gọi H là trung điểm BC , O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Vì A ' A = A ' B = A ' C nên hình chiếu của A ' lên ( ABC ) là điểm O hay A ' O ⊥ ( ABC ) . Gọi E là điểm sao cho BCAE là hình bình hành.

⇔ d ( AA '; ( BCC ' B ') ) = d ( ( AA ' E ) ; ( BCC ' B ') ) = d ( H ; ( AA ' E ) ) . * Gọi K là hình chiếu của O lên AA '.  A ' O ⊥ AE Vì  ⇒ ( AA ' O ) ⊥ AE ⇒ OK ⊥ AE  A ' O ⊥ AE

⇒ OK ⊥ ( AA ' E ) . * Ta có:

d ( O; ( A ' AE ) ) d ( H ; ( A ' AE ) )

2 OK AO 2 = = ⇒ OK = . 3 d ( H ; ( A ' AE ) ) AH 3

* Góc giữa AA ' và ( ABC ) là góc giữa AA ' và AO bằng 600.

⇒ AO =

4 4 OK AB 3 = = ⇒ AB = . 0 sin 60 3 3 3 3

4 * A ' O = AO. tan 600 = . 3 2

Vậy V = A ' O.S ABC

4 3 4  3  16 3 . = . = 3 4 27

Câu 30: Chọn A. 22

* Xét phương trình hoành độ giao điểm:

ax 3 + bx 2 + cx − 2 = − x 2 ⇔ ax3 + ( b + 1) x 2 + cx − 2 = 0 Từ đồ thị ta thấy hai đồ thị hàm số cắt nhau tại điểm có hoành độ x = 1; x = −1; x = −2 nên ta có hệ phương trình sau:

−4a + 2b − c = −1 a = 1   ⇔ b = 1  a − b + c = −1 a + b + c = 1  c = −1   Vậy P = a − 3b − 5c = 3.

Câu 31: Chọn C .

Gọi H,K lần lượt là trung điểm của A ' B, A ' D Ta có: AH ⊥ (BA 'C), AK ⊥ (DA 'C)

'C);(DA 'C)) = (AH, AK) = HAK => ((BA Lại có : HK là đường trung bình của ∆A ' BD => HK =

Mặt khác AH = AK =

1 a 2 BD = 2 2

a 2 => AH = AK = HK = a 2 2

=> ∆AHK đều.

= 60o. 'C);(DA 'C)) = HAK => ((BA Câu 32: Chọn C . 23

Gọi giao điểm của BM với AD là J, giao điểm của AM với BC là I Gọi độ dài MN là x, độ dài MP là y. Ta có:  MN IM  SA = IA x y => + = 1  a b  MP = JM = AM  SB JB AI

x y y 3 ( + + ) x x y 4a 2 4a 2 1 4a 2 4a 2 b => P = ( . . ). ≤ 2a 2a3 b = . = (BĐT Cauchy) 2a 2a b b 3 b 27 b 27

Câu 33: Chọn A . Ta có: 3 C33 + C34 + C35 + .... + C100

3! 4! 5! 100! + + + .... + 3!.0! 3!.1! 3!.2! 3!.97! 1 = .(1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + .... + 98.99.100) 3! =

Chứng minh bằng quy nạp ta được: 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ... + n(n + 1)(n + 2) = 3 Áp dụng vào ta có: C33 + C34 + C35 + .... + C100 =

1 98.99.100.101 101! 4 . = = C101 3! 4 4!.97!

Câu 34: Chọn B . 24

n(n + 1)(n + 2)(n + 3) 4

Nhìn vào đồ thị ta dễ thấy đáp án đúng là B

Câu 35: Chọn C. Ta có 4a = 25b = 10c ⇔ a log 4 = b log 25 = c. c  a = log 4 ⇒ ⇒ A = log 4 + log 25 = log100 = 2.  c = log 25  b

Câu 36: Chọn D.

Ta có AC = BC 2 − AB 2 = a AB. AC a 3 . = BC 2

Gọi H là hình chiếu của A trên BC ⇒ AH =

AC ' H ⇒ AC ' H = 300 ⇒ AC ' = 2 AH = a 3. Ta có ( AC ', ( BCC ' B ' ) ) = ( AC ', HC ' ) =

⇒ CC ' = AC '2 − AC 2 = a 2. Gọi O, O ', I lần lượt là trung điểm của BC , B ' C ', OO ' ⇒ I là tâm mặt cầu ngại tiếp lăng trụ. 2

a 6  BC   CC '  . ⇒ R = AI = AO + OI =   +  = 2  2   2  2

a 6 2 Vậy diện tích mặt cầu là 4.π .   = 6π a .   2 

Câu 37: Chọn D. Mỗi mặt hình lập phương có cạnh bằng 4cm thì có 4 hình lập phương cạnh bằng 1cm được sơn màu đỏ. Vậy số hình lập phương cạnh bằng 1cm được sơn màu là 4.6=24 (hình).

Câu 38: Chọn B.

Gọi I là tâm mặt cầu (S) thì I là tâm của tứ diện ABCD. Gọi N là trung điểm của CD, O là tâm của tam giác BCD. Ta có: BO =

2 a 3 1 a 3 BN = , ON = BN = 3 3 3 6

AO = AB2 − BO 2 =

a 6 3

3 a 6 1 a 6 AO = , OI = AO = 4 4 4 12 a 2 IN = OI2 + ON 2 = 4

AI =

a 2 4 T = MA 2 + MB2 + MC2 + MD 2 = (IM − IA) 2 + (IM − IB) 2 + (IM − IC) 2 + (IM − ID) 2 2 2 2 2 2 = 4IM − 2IM(IA + IB + IC + ID) + (IA + IB + IC + ID )

Bán kính mặt cầu là R = IN =

= 4R 2 + 4IA 2

= 2a 2 Vậy T = 2a 2

Câu 39: Chọn B.

1 5 5 1 5 5 . 2.z) 2 ≤ (x 2 + y 2 + 2z 2 ) = (x 2 + y 2 + .2. 2.z 2 ) ≤ . .(x 4 + y 4 + 8z 4 ) 2 2 2 2 2 2 5 5 648 => x 4 + y 4 + 8z 4 ≥ (9 : )2 : = 2 2 125

9 = (x + y +

Vậy GTNN của P là

a 648 = => a − b = 523 . b 125

Câu 40: Chọn D.

Ta có: ∆SBA = ∆SCA => SB = SC Gọi M là trung điểm của BC, ta có: SM ⊥ BC => BC ⊥ (SAM)  AM ⊥ BC

= 60o Dựng SH ⊥ AM => SH ⊥ (ABC) . Khi đó SBH Do SH 2 + HB2 = SB2 ;SB2 + AB2 = SA 2 Ta có: SA 2 = SH 2 + HB2 + AB2 , mặt khác SA 2 = HA 2 + SH 2 Do đó HB2 + AB2 = HA 2 => HB ⊥ AB =a 3 Ta có: AB = a => BH = AB tan BAH

Khi đó: SH = HB tan 60o = 3a;SABC =

AB.AC.sin A a 2 3 = 2 4

1 a3 3 => V = .SH.SABC = 3 4 27

Câu 41: Chọn C. Ta có: x x 2 − 2 − x 2 = x

((

x2 + 2 − x =

2x x2 + 2 + x

) )

((

x2 + 2 − x + 4 + 2 x + x2 + 2 ≤ 1

Ta có: log 2 x

⇔ log 2 x

)

(

) )

x 2 + 2 − x + 4 + 2 x + x 2 + 2 ≤ 1.

(

)

2 3x + 2 x 2 + 2   2x 2 ⇔ log 2  + 4  + 2 x + x + 2 ≤ 1 ⇔ log 2 + 2 x + x 2 + 2 ≤ 1, (1) 2 2 x +2+x  x +2+ x  Ta có

x 2 + 2 + x > 0, ∀x ∈ ℝ.

x ≥ 0 8  Điều kiện: 3 x + 2 x 2 + 2 > 0 ⇔ 2 x 2 + 2 > −3 x ⇔   x < 0 ⇔ x > − . ( *) 5   4 x 2 + 8 > 9 x 2  Với điều kiện (*), ta có

)

(1) ⇔ log 2 ( 3x + 2

x 2 + 2 + 3 x + 2 x 2 + 2 ≤ log 2

(

Xét hàm số f ( t ) = log 2 t + t với t > 0. Có f ' ( t ) =

)

x 2 + 2 + x + x 2 + 2 + x, ( 2 ) . 1 + 1 > 0, ∀t ∈ ( 0; +∞ ) . t.ln 2

)

(

Hàm số f ( t ) = log 2 t + t đồng biến trên ( 0; +∞ ) , 3 x + 2 x 2 + 2 ∈ ( 0; +∞ ) và

) (

(

Nên ( 2 ) ⇔ f 3 x + 2 x 2 + 2 ≤ f

x2 + 2 + x

(

)

x 2 + 2 + x ∈ ( 0; +∞ ) .

)

 −2 x ≥ 0 x ≤ 0 2 ⇔ 3 x + 2 x 2 + 2 ≤ x 2 + 2 + x ⇔ x 2 + 2 ≤ −2 x ⇔  2 ⇔ 2 ⇔ x≤− . 2 3 x + 2 ≤ 4x 3 x ≥ 2  8 16 2 Kết hợp với ĐK ta có tập nghiệm bất phương trình là  − ; −  hay a.b = . 15 3  5

Câu 42: Chọn D. Ta có:

− m3 − 3 m 2 +1

(

)

.log 81 x − 3 x + 1 + 2 + 2

  1   = 0 (1) .log 3  m3 − 3m 2 + 1 + 2   

− x3 − 3 x 2 +1 − 2

⇔2 ⇔2

− m3 − 3 m 2 +1 − 2

(

)

− x3 − 3 x 2 +1 − 2

(

)

− m3 −3 m 2 +1 + 2

(

)

.log 3 x 3 − 3 x 2 + 1 + 2 + 2

x 3 −3 m 2 +1 + 2

(

)

.log 3 x3 − 3 x 2 + 1 + 2 = 2

.log 3 m3 − 3m 2 + 1 + 2 = 0

.log 3 m3 − 3m 2 + 1 + 2

( 2)

Xét hàm số f ( t ) = 2t log 3 t với t ≥ 2. Có f ' ( t ) = 2t ln 2.log 3 t +

2t 1   = 2t  ln 2.log 3 t +  > 0, ∀c ∈ [ 2; +∞ ) . t.ln 3 t.ln 3  

Hàm số f ( t ) = 2t log 3 t đồng biến trên ( 2; +∞ ) .

( 2) ⇔

) (m

− 3x 2 + 1 + 2 = f

− 3m 2 + 1 + 2

)

⇔ x3 − 3 x 2 + 1 + 2 = m3 − 3m 2 + 1 + 2 ⇔ x3 − 3 x 2 + 1 = m3 − 3m 2 + 1  x3 − 3 x 2 + 1 = m3 − 3m 2 + 1  x3 − 3 x 2 = m3 − 3m2 ( 3) ⇔ ⇔  x3 − 3 x 2 + 1 = − m3 + 3m 2 − 1  x3 − 3 x 2 = − m3 + 3m 2 − 2  

( 4)

x = 0 Xét hàm số g ( x ) = x 3 − 3x 2 có g ' ( x ) = 3 x 2 − 6 x = 0 ⇔  . x = 2 Ta có bảng biến thiên của hàm số g ( x ) = x 3 − 3x 2

−∞ +

g '( x)

−

g ( x)

+∞ +

+∞

−4

−∞ 3

Suy ra bảng biến thiên của hàm số g ( x ) = x − 3 x 2

Để phương trình (1) có 6 nghiệm hoặc 7 nghiệm hoặc 8 nghiệm thì phương trình (3) có 4 nghiệm và phương trình (4) có ít nhất 2 nghiệm hoặc phương trình (3) có 3 nghiệm thì phương trình (4) có ít nhất 3 nghiệm hoặc phương trình (3) có 2 nghiệm thì phương trình (4) có 4 nghiệm. TH1: phương trình (3) có 4 nghiệm và phương trình (4) có ít nhất 2 nghiệm 3 2 3 2 2    3  2 −4 < m − 3m < 0 −4 < m − 3m < 0  m − 3m < 0  m ( m − 3) < 0 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ −3 < m < 3  2 3 2 3 2 3 2 − m + 3m − 2 ≥ −4  m − 3m ≤ 2  m − 3m + 4 > 0 ( m − 2 ) ( m + 1) > 0 TH2:

phương

trình

(3) có 3 nghiệm thì phương m 2 ( m − 3) = 0 3 2   m = 0  m − 3m = 0  3 m − 3m 2 ≥ −2 ⇔  ⇔   3 2  m = ±3 −4 < − m + 3m − 2 ≤ 0  3 2 m − 3 m < 2 

trình

(4)

có

ít

nhất

TH3: phương trình (3) có 2 nghiệm thì phương trình (4) có 4 nghiệm   m3 − 3m 2 = −4 2   3 m ( m − 3 ) > 0  m > 3 2 m 3 m 0 − > ⇔ ⇔ ⇔ m ∈∅   3  3 2 2 m 3 m 2 − < m 3 m 2 − <      3 2 −4 < − m + 3m − 2 < 0 Xét phương trình: − m3 + 3m 2 − 2 = m3 − 3m 2 ⇔ m3 − 3m 2 + 1 = 0 không có nghiệm nguyên. Vậy S = {0; ±1; ±2; ±3} . Tổng bình phương các phần tử của S là: 28.

Câu 43: Chọn C.

nghiệm

Gọi M là trung điểm AB, dễ thấy ADCM là hình vuông ⇒ MC = AM =

⇒ ∆ACB là tam giác vuông tại C Gọi N đối xứng với C qua M ⇒ ACBN là hình chữ nhật AC / / BN ⇒ AC / / ( SBN ) ⇒ d ( AC , SB ) = d ( A, ( SBN ) ) =

3VS . ABN . S ∆SBN

1 1 1 Tính VS . ABN = SA.S ∆ABN = SA. AN .NB = SA.BC. AC 3 6 6

SA = AC.tan 600 = a 2. 3 = a 6; BC = AB 2 − AC 2 = 4a 2 − 2a 2 = a 2 Như vậy: VS . ABN

1 a3 6 = .a 6.a 2.a 2 = 6 3

Ta có: SN = SA2 + AN 2 = 6a 2 + 2a 2 = 2 2a Xét ∆SBN vuông tại N , ( BN ⊥ AN ; BN ⊥ SA ⇒ BN ⊥ SN ) Ta có: S SBN =

1 1 SN .NB = .2 2a.a 2 = 2a 2 2 2

Suy ra d ( AC , SB ) = d ( A, ( SBN ) ) =

3VS . ABN = S ∆ABN

a3 6 3 = a 6. 2a 2 2

Câu 44: Chọn A.

1 AB 2

Đặt t =

1 ; cosx

Ta có: 1  π 3π  ∀x ∈  ;  => −1 ≤ cos x < 0 => ≤ −1 cosx 2 2  => t ∈ (−∞; −1] Phương trình f (t) = m có nghiệm t ∈ (−∞; −1] .

=> m ≥ 2 Vậy m ∈ [2; +∞)

Câu 45: Chọn B. Thay x = 0 vào đẳng thức f 3 ( 2 − x ) − 2 f 2 ( 2 + 3x ) + x 2 g ( x ) + 36 x = 0 ta có:  f ( 2) = 0 . f 3 ( 2) − 2 f 2 ( 2) = 0 ⇔   f ( 2 ) = 2 Lấy đạo hàm theo x hai vế của đẳng thức trên ta có:

−3 f 2 ( 2 − x ) . f ' ( 2 − x ) − 12. f ( 2 + 3x ) . f ' ( 2 + 3x ) + 2 xg ( x ) + x 2 .g ' ( x ) + 36 = 0. Thay x = 0 vào đẳng thức trên ta có: −3 f 2 ( 2 ) . f ' ( 2 ) − 12 f ( 2 ) . f ' ( 2 ) + 36 = 0 (*) Dễ thấy f ( 2 ) = 0 không thỏa mãn (*) . Khi đó, với f ( 2 ) = 2 ta được: −12. f ' ( 2 ) − 24. f ' ( 2 ) + 36 = 0 ⇒ f ' ( 2 ) = 1. Với f ( 2 ) = 2 ⇒ f ' ( 2 ) = 1. Khi đó A = 3 f ( 2 ) + 4 f ' ( 2 ) = 10.

Câu 46: Chọn B. A là tập hợp các số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau từ X = {1; 2;3;...;8} nên A có số phần tử là 8! (số). Giả sử lấy được từ tập A số có dạng a1a2 a3a4 a5 a6 a7 a8 chia hết cho 2222 (với ai ∈ X , i = 1,8). Vì 2222 = 2.11.101 (2; 11; 101 là các số đôi một nguyên tố cùng nhau) nên a1a2 a3a4 a5 a6 a7 a8 là số chữ đồng thời chia hết cho 11 và 101. Ta có: a1a2 a3a4 a5 a6 a7 a8 ⋮11 ⇒ ( a1 + a3 + a5 + a7 ) − ( a2 + a4 + a6 + a8 )  ⋮11. Mà ( a1 + a3 + a5 + a7 ) + ( a2 + a4 + a6 + a8 ) = 1 + 2 + ... + 8 = 36, ai ∈ X , i = 1,8. Suy ra a1 + a3 + a5 + a7 = a2 + a4 + a6 + a8 = 18. 32

Lại có: a1a2 a3a4 a5 a6 a7 a8 ⋮101 ⇒ a1 + a5 = a3 + a7 = a2 + a6 = a4 + a8 = 9. Nhận thấy các cặp chữ số có tổng bằng 9 lấy được từ X là: {1;8} ; {2; 7} ; {3;6} ; {4;5} . Khi đó để lập được một số có dạng a1a2 a3a4 a5 a6 a7 a8 chia hết cho 2222, ta thực hiện liên tiếp các công đoạn sau: + Chọn 1 trong 4 cặp chữ số có tổng bằng 9: có 4 cách. + Xếp chữ số chẵn vào vị trí a8 và chữ số lẻ vào vị trí a4 : có 1 cách. + Chọn 1 trong 3 cặp chữ số có tổng bằng 9 còn lại: có 3 cách. + Xếp 2 chữ số trên vào vị trí a1 , a5 : có 2 cách. + Chọn 1 trong 2 cặp chữ số có tổng bằng 9 còn lại: có 2 cách. + Xếp 2 chữ số trên vào vị trí a2 , a6 : có 2 cách. + Cuối cùng xếp 2 chữ số của cặp còn lại vào vị trí a3 , a7 : có 2 cách. Như vậy số các số cần tìm là 4.1.3.2.2.2.2 = 192 số. Xét phép thử: “Lấy ngẫu nhiên một số từ A ”. Khi đó số phần tử của không gian mẫu là: n ( Ω ) = 8!. Biến cố B. “Số lấy được chia hết cho 2222” ⇒ n ( B ) = 192. Vậy xác suất để số lấy được chia hết cho 2222 là: P ( A ) =

Câu 47: Chọn C.

192 . 8!

Gọi O là giao điểm của AC và BD; E là trung điểm của CD

( SAC ) ⊥ ( ABCD )  ⇒ SO ⊥ ( ABCD ) . ( SBD ) ⊥ ( ABCD )  ( SAC ) ∩ ( SBD ) = SO OE ⊥ CD = 600 Ta có  ⇒ CD ⊥ ( SOE ) ⇒ ( SCD ) ; ( ABCD ) = SEO SO ⊥ CD 

)

(

Đặt AD = 2CD = 2 x BD 2 = AB 2 + AD 2 = 5 x 2 ⇔ 5 x 2 = 36 ⇒ x = ⇒ AD =

OE =

6 5 5

12 5 6 5 72 ; CD = ⇒ S ABCD = 5 5 5

AD 6 5 = 2 5

Trong tam giác vuông SOE có SO = OE.tan 600 =

6 15 . 5

1 144 15 ⇒ VS . ABCD = .SO.S ABCD = 3 25

VS .MNCD = VS .MCD + VS .MNC VS .MCD SM 1 VS .MNC SM SN 1 = = ; = = . VS . ACD SA 2 VS . ABC SA SB 4 3 3 ⇒ VS .MNCD = .VS . ABC = .VS . ABCD 4 8

5 18 15 . VABCDMN = VS . ABCD − VS .MNCD = .VS . ABCD = 8 5

Câu 48: Chọn A. g ' ( x ) = ( 4 x − 12 ) . f ' ( 2 x 2 − 12 x + m ) 2

= ( 4 x − 12 ) ( 2 x 2 − 12 x + m + 1) ( 2 x 2 − 12 x + m )( 2 x 2 − 12 x + m − 4 ) Hàm số g ( x ) có đúng 5 điểm cực trị

⇔ g ' ( x ) đổi dấu 5 lần 34

⇔ g ' ( x ) = 0 có 5 nghiệm đơn phân biệt ⇔ phương trình 2 x 2 − 12 x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 3 và phương trình 2 x 2 − 12 x + m − 4 = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 3 và các nghiệm này khác nhau Phương trình 2 x 2 − 12 x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 3 và phương trình 3 x 2 − 12 x + m − 4 = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 3. ∆ '1 > 0 36 − 2m > 0 ∆ ' > 0   2 36 − 2 ( m − 4 ) > 0 ⇔ 2 ⇔ ⇔ m < 18 2.3 12.3 0 − + m ≠ m ≠ 18   2.32 − 12.3 + m − 4 ≠ 0   m ≠ 22  Với điều kiện m < 18 thì phương trình 2 x 2 − 12 x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt là a; b và phương trình

2 x 2 − 12 x + m − 4 = 0 có hai nghiệm phân biệt là c, d .

a + b = c + d = 6  Theo Vi-ét ta có a.b = m c.d = m − 4  Nếu a = c thì b = d (vì a + b = c + d = 6) ⇒ a.b = c.d ⇔ m = m − 4 điều này là vô lí Do đó các nghiệm của hai phương trình 2 x 2 − 12 x + m = 0 và 2 x 2 − 12 x + m − 4 = 0 luôn khác nhau. Mà m là số nguyên dương nên m ∈ {1; 2;3; 4...17} . Do đó có 17 giá trị m thỏa mãn bài toán.

Câu 49: Chọn A. Ta có y = f (1 − x ) +

x3 − x ⇒ y ' = − f ' (1 − x ) + x − 1. 2

Đặt t = 1 − x. Khi đó ta có y ' = − f ' ( t ) − t = 0 ⇔ f ' ( t ) = −t Vẽ đồ thị hàm số y = −t và y = f ' ( t ) trên cùng mặt phẳng tọa đọ ta thấy:

f ' ( t ) = −t ⇔ t = −3, t = 1, t = 3. Bảng xét dấu

−3

−∞

f '(t )

1 0

−

3 +

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy hàm số nghịch biến trên các khoảng  −3 < t < 1  −3 < 1 − x < 1  0 < x < 4 . ⇔ ⇔ t > 3  1 − x > 3  x < −2 35

+∞ −

Ta thấy (1;3) ⊂ ( 0; 4 ) . Chọn A.

Câu 50: Chọn C.

Gọi E , F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên BB ', CC ' ⇒ AE = a, AF = a 3.  BB ' ⊥ AE Ta có  ⇒ BB ' ⇒ ( AEF ) ⇒ BB ' ⊥ EF ⇒ EF = d ( C , BB ') = 2a.  BB ' ⊥ AF

Suy ra ∆AEF vuông tại A. Gọi K = MM '∩ EF ⇒ K là trung điểm của EF ⇒ AK =

1 EF = a. 2

Lại có MM '/ / BB ' ⇒ MM ' ⊥ ( AEF ) ⇒ MM ' ⊥ AK . Suy ra

1 1 1 1 1 3a 2 = + ⇒ = + ⇒ AM = 2a. AK 2 AM 2 AM '2 a 2 AM 2 4

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên EF ⇒ AH ⊥ ( BCC ' B ') . Ta có

1 1 1 a 3 16a 4 3a , M ' M 2 = AM 2 + AM '2 = . = + ⇒ AH = ⇒ MM ' = 2 2 2 AH AE AF 2 3 3

Ta cũng có S BCC ' B ' = d ( C , BB ' ) .BB ' =

8 3a 2 . 3

3 3 1 Suy ra VABC . A ' B 'C ' = VA. BCC ' B ' = . . AH .S BCC ' B ' = 2a 3 . 2 2 3

SỞ GD & ĐT BẮC NINH

KỲ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT LẦN 1 KHỐI 12

TRƯỜNG THPT LÝ THÁI TỔ

NĂM HỌC 2020 – 2021

------------------

MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 90 phút không kể thời gian phát đề

Câu 1: Phương trình tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = 3 A. y = . 4

3 B. y = − . 4

4 − 3x là 4x + 5 3 C. x = . 4

5 D. x = − . 4

Câu 2: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy và SA = a 2. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABCD ) bằng A. 600.

B. 300.

C. 900.

D. 450.

C. 12.

D. 13.

Câu 3: Hình bát diện đều có bao nhiêu cạnh? A. 10.

B. 11.

Câu 4: Cho x, y, z là ba số dương lập thành cấp số nhân; còn log a x;log Tính giá trị của biểu thức Q =

A. 2019.

y; log 3 a z lập thành cấp số cộng.

2017 x 2 y z + + . y z x

B. 2021.

C. 2020.

D. 2018.

Câu 5: Mặt cầu ( S ) có tâm I bán kính R có diện tích bằng A.

4 π R2 . 3

B. 4π R 2 .

C. 2π R 2 . x+4 −2 là x2 − x

Câu 6: Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = A. 1.

D. π R 2 .

B. 2.

C. 3.

D. 0.

Câu 7: Đội văn nghệ của lớp 12A có 5 học sinh nam và 7 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn ra 2 học sinh của đội văn nghệ sao cho 2 học sinh có 1 học sinh nam và 1 học sinh nữ. A. 35.

B. 20.

C. 12.

D. 70.

Câu 8: Gọi S là tổng các nghiệm của phương trình log 21 x − 6 log 8 ( 4 x ) + 1 = 0. Tính giá trị của S . 2

A. 6.

B. 1.

17 . 2

D. 2.

Câu 9: Gọi x1 , x2 ( x1 < x2 ) là hai nghiệm của phương trình 32 x −1 − 4.3x + 9 = 0. Giá trị của biểu thức P = x2 − 2 x1 bằng

A. -2.

B. -1.

C. 0.

Câu 10: Biết cho 9 x + 9 − x = 47. Khi đó giá trị của biểu thức P = 5 A. − . 2

B. 2.

D. 2. 13 + 3x + 3− x bằng 2 − 3x − 3− x 3 . 2

C. −4.

C. ( 4; +∞ ) .

D. ( −∞; 4] .

Câu 11: Tập nghiệm của bất phương trình 3x−1 > 27 là A. ( −∞; 4 ) .

B. (1; +∞ ) .

Câu 12: Cho hai số dương a, b thỏa mãn a 2b3 = 64. Giá trị của biểu thức P = 2 log 2 a + 3log 2 b bằng A. 3.

B. 4.

C. 5.

D. 6.

Câu 13: Cho biểu thức P = a 3 4 a5 với a > 0. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 9

A. P = a 4 .

B. P = a 4 .

C. P = a 4 .

D. P = a 4 .

Câu 14: Giá trị của biểu thức ln 8a − ln 2a bằng A. ln 6.

B. ln 2.

C. 2 ln 2.

D. ln 8.

Câu 15: Một người gửi 200 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 0,3% một tháng. Biết rằng nếu không rút tiền khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đều để tính lãi cho tháng tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng người đó thu được (cả số tiền gửi ban đầu và số tiền lãi) hơn 225 triệu đồng? (Giả định trong khoảng thời gan này lãi suất không thay đổi và người đó không rút tiền ra). A. 41.

B. 39.

C. 42.

D. 40.

Câu 16: Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều cạnh 2a và chiều cao a. Thể tích của khối lăng trụ bằng A.

a3 3 . 12

a3 3 . 4

C. a 3 3.

a3 3 . 3

Câu 17: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ( ABCD ) . Góc giữa mặt phẳng ( SBC ) và mặt đáy bằng 600. Tính thể tích của khối chóp. A.

8a 3 3 . 3

B. a 3 3.

C. 6a 3 3.

D. 8a 3 3.

Câu 18: Cho hàm số f ( x ) , bảng xét dấu của f ' ( x ) như sau:

−∞

−3

−1 2

+∞

f '( x)

−

Hàm số y = f (1 − 2 x ) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (1;3) .

B. ( 3; +∞ ) .

C. ( −2;0 ) .

D. ( 0;1) .

Câu 19: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 − 2 x + 3 tại điểm M ( 2; 7 ) là A. y = x + 5.

B. y = 10 x − 27.

C. y = 7 x − 7.

D. y = 10 x − 13.

Câu 20: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) = x ( x − 3) ( x 2 − 2 x − 3) . Số điểm cực đại của hàm số đã cho là A. 4.

B. 3.

Câu 21: Số nghiệm của phương trình 5 x A. 1. Câu 22: Cho hàm số y = x3 −

−3 x + 2

C. 1.

D. 2.

C. 0.

D. 3.

= 25 là

B. 2.

3 2 x + 1. Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên 2

11    −25;  . Tìm M. 10  

1 129 C. M = 0 D. M = 2 250 Câu 23: Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên?

A. M = 1.

B. M =

-1

A. y = x 4 − 2 x 2 .

B. y = − x3 + 3 x .

C. y = x 3 − 3x .

D. y = − x 4 + 2 x 2 .

Câu 24: Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số y = −x 3 + 6x 2 − 9x + 5 trên đoạn −1;2 . Khi đó tổng M + m bằng   A. 24.

B. 22.

C. 6.

D. 4

Câu 25: Tổng tất cả nghiệm của phương trình sin 2 x + 4sin x − 2 cos x − 4 = 0 trên đoạn [ 0;100π ] . A. 100π .

B. 25π .

C. 2475π .

Câu 26: Đường thẳng y = x + 1 cắt đồ thị hàm số y = bằng 3

D. 2476π .

x −1 tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó độ dài AB x−2

A. AB = 4.

B. AB = 8.

C. AB = 6.

D. AB = 2 2.

Câu 27: Cho khối nón có bán kính đường tròn đáy bằng r = 3a, đường sinh l = 5a, thể tích của khối nón bằng bao nhiêu? A. 4π a 3 .

B. 9π a 3 .

C. 12π a 3 .

D. 36π a 3 .

Câu 28: Cho tứ diện ABCD có AB, AC , AD đôi một vuông góc với nhau. Biết AB = 3a; AC = 2a và AD = a. Tính thể tích của khối tứ diện đã cho? B. a 3 .

A. a 3 14.

C. 3a 3 .

D. a 3 13.

Câu 29: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh SA vuông góc với mặt đáy ABC. Biết SA = 2a, BC = 2a 2. Bán kính R của mặt dầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC bằng

A. R = a.

B. R = a 3.

C. R = a 5.

D. R = 3a.

Câu 30: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

−1

−∞ +

+∞

−

+∞ 4

−2 −∞ Giá trị cực tiểu của hàm số là

A. 4.

B. −2.

C. −1.

D. 3.

Câu 31: Cho ( un ) là một cấp số cộng có u1 = 3 và công sai d = 2. Tìm u20 ? A. 41.

B. 45.

C. 43. 5

D. 20.

Câu 32: Hệ số của x5 trong khai triển x 2 ( x − 2 ) + ( 2 x − 1) bằng A. 152.

B. −232.

C. 232.

D. −152.

Câu 33: Tập nghiệm của bất phương trình 6.9 x − 12.6 x + 6.4 x ≤ 0 có dạng S = [ a; b] . Giá trị của biểu thức a 2 + b 2 bằng

A. 2.

B. 4.

C. 5.

D. 3.

Câu 34: Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

x f '( x)

−1

−∞

−

0 +

0 4

−

+∞ +

f ( x)

+∞

+∞ 3

−2

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. ( 0; +∞ ) .

B. ( −1; 0 ) .

C. ( 0;1) .

D. (1; +∞ ) .

Câu 35: Cho hình trụ với hai đáy là đường tròn đường kính 2a, thiết diện qua trục là hình chữ nhật có diện tích bằng 6a 2 . Diện tích toàn phần của hình trụ bằng

A. 5π a 2 .

B. 8π a 2 .

C. 4π a 2 .

D. 10π a 2 .

Câu 36: Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có bốn chữ số đôi một khác nhau lập từ các số 0;1; 2;3; 4;5;6; 7. Chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập hợp S . Tính xác suất để số được chọn có đúng 2 chữ số chẵn. A.

18 . 35

Câu 37: Cho hàm số y = A. m > 3.

24 . 35

144 . 245

72 . 245

x+m (m là tham số) thỏa mãn min y = −2. Mệnh đề nào dưới đây đúng? [ −1;2] x −3

B. −1 < m < 1.

C. m < −3.

D. −3 < m ≤ −1.

Câu 38: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BC = 2a, BA = a 3. Biết tam giác SAB vuông tại A, tam giác SBC cân tại S , ( SAB ) tạo với mặt phẳng ( SBC ) một góc ϕ thỏa mãn sin ϕ =

20 . Thể 21

tích của khối chóp S . ABC bằng 3

A. 2 2a .

B. 6 2a .

2a .

2 2a 3 . D. 3

Câu 39: Cho bất phương trình ln ( x 3 − 2 x 2 + m ) ≥ ln ( x 2 + 5 ) . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m ∈ [ −20; 20] để bất phương trình đúng nghiệm với mọi x trên đoạn [ 0;3] . A. 10.

B. 12.

C. 41.

D. 11.

Câu 40: Cho lăng trụ tam giác ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a 3, AC = a. Điểm A ' cách đều ba điểm A, B, C. Góc giữa đường thẳng AB ' và mặt phẳng ( ABC ) bằng 600. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA ' và BC bằng

a 21 . 29

B. a 3.

a 21 . 29

a 3 . 2

Câu 41: Đường cong ở hình dưới đây là đồ thị của hàm số y =

x+a , ( a, b, c ∈ ℤ ) . Khi đó giá trị biểu thức bx + c

T = a − 3b − 2c bằng

A. 3.

B. 2.

C. 0.

D. −3.

mx − 18 . Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để hàm số đồng biến x − 2m trên khoảng ( 2; +∞ ) . Tổng các phần tử của S bằng

Câu 42: Cho hàm số y =

A. −2.

B. −5.

C. 2.

D. −3.

Câu 43: Cho hình lăng trụ có hai đáy là đường tròn tâm O và O ', bán kính đáy bằng chiều cao bằng 4a. Trên đường tròn đáy có tâm O lấy điểm A, D; trên đường tròn O ' lấy điểm B, C sao cho AB song song với CD và AB không cắt OO '. Tính độ dài AD để thể tích khối chóp O '. ABCD đạt giá trị lớn nhất? A. AD = 4a 2.

B. AD = 8a.

C. AD = 2a.

D. AD = 2a 3.

Câu 44: Cho hàm số f ( x ) = x5 + 3 x3 − 4m. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

(

)

f ( x ) + m = x3 − m có nghiệm thuộc đoạn [1; 2] ?

A. 16.

B. 18.

C. 15.

D. 17.

Câu 45: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a. Biết SA = SB = SC = a. Đặt SD = x 0 < x < a 3 . Tính x theo a sao cho AC.SD đạt giá trị lớn nhất.

(

a 6 . 12

)

a 3 . 2

a 6 . 2

D. a 3.

Câu 46: Cho phương trình log 32 x − ( 2m + 1) log3 x + m 2 + m = 0. Gọi S là tập họp các giá trị của tham số thực

m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 ( x1 < x2 ) thỏa mãn ( x1 + 1)( x2 + 3) = 48 . Số phần tử của tập S là

A. 1.

B. 3.

C. 2.

D. 0.

Câu 47: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ có đồ thị như hình vẽ. Phương trình f ( 2 − f ( x ) ) = 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

A. 5.

B. 7.

C. 4.

D. 6.

Câu 48: Cho hàm số y = − x 3 − 3 ( m + 1) x 2 + 3 ( 2m − 1) x + 2020. Có bao nhiêu giá trị nguyên m để hàm số nghịch biến trên ( −∞; +∞ ) ?

A. 4.

B. 6.

C. 2.

D. 5.

Câu 49: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ:

Gọi S là tập các giá trị nguyên của tham số m để phương trình f ( 4 sin x + m ) − 3 = 0 có đúng 12 nghiệm phân biệt thuộc nửa khoảng ( 0; 4π ] . Tổng các phần tử của S bằng

A. −3.

B. 1.

C. 3.

D. −1.

Câu 50: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B có AC = 2a. Cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Mặt phẳng ( P ) đi qua A, vuông góc với cạnh SB tại K và cắt cạnh SC tại H . Gọi V1 , V2 lần lượt là thể tích của khối tứ diện SAHK và khối đa dienj ABCHK . Tỉ số

4 A. . 5

2 3

4 C. . 9

---------------HẾT---------------7

V2 bằng V1

5 . 4

BẢNG ĐÁP ÁN 1-B

2-D

3-C

4-C

5-B

6-A

7-A

8-C

9-C

10-C

11-C

12-C

13-B

14-C

15-D

16-D

17-A

18-C

19-D

20-C

21-B

22-A

23-A

24-B

25-C

26-A

27-C

28-B

29-B

30-B

31-A

32-D

33-A

34-C

35-A

36-A

37-B

38-C

39-B

40-C

41-D

42-A

43-A

44-A

45-C

46-A

47-A

48-D

49-A

50-A

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Chọn B. Vì lim

x →−∞

4 − 3x 3 4 − 3x 3 3 = − (hoặc lim = − ) nên đường thẳng y = − là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã x →+∞ 4x + 5 4 4x + 5 4 4

cho.

Câu 2: Chọn D.

. Ta có: SA ⊥ ( ABCD ) ⊃ AC ⇒ SA ⊥ AC ⇒ ( SC , ( ABCD ) ) = SCA

= Xét tam giác vuông SAC , ta có: tan SCA

SA a 2 = 450. = = 1 ⇒ SCA AC a 2

Câu 3: Chọn C. Hình bát diện đều có 12 cạnh.

Câu 4: Chọn C. Theo bài ra, x, y, z là ba số dương lập thành cấp số nhận và log a x;log

 xz = y 2 có:  log a x + log 3 a z = 2 log

y; log 3 a z lập thành cấp số cộng nên ta

 x.z = y 2  xz = y 2  x.z = y 2 ⇔ ⇔ ⇔  3 3 4 4 y  xz = y log a xz = log a y log a x + 3log a z + 4 log a y

 x.z = y 2  x. y = y 2 ⇔ 2 2 ⇔ ⇔ x = y = z.  4 z = y  y z = y  8

Do đó: Q =

2017 x 2 y z 2017 x 2 x x + + = + + = 2017 + 2 + 1 = 2020. y z x x x x

Câu 5: Chọn B. Diện tích mặt cầu ( S ) là S = 4π R 2 .

Câu 6: Chọn A. Tập xác định: D = [ 4; +∞ ) \ {0;1} . Ta có lim x →0

lim+

x →1

1 1 x+4 −2 x = lim = lim =− 2 2 x → 0 x → 0 4 x −x ( x − 1) x + 4 + 2 ( x − x) x + 4 + 2

(

)

(

)

x+4 −2 x 1 = lim+ = lim+ = +∞ 2 x →1 x −x ( x2 − x ) x + 4 + 2 x→1 ( x − 1) x + 4 + 2

(

Vậy đồ thị hàm số y =

)

(

)

x+4 −2 có một đường tiệm cận đứng là đường thẳng x = 1. x2 − x

Câu 7: Chọn A. Chọn 1 học sinh nam trong số 7 học sinh nam có 7 cách. Chọn 1 học sinh nam trong số 5 học sinh nam có 5 cách. Vậy số cách chọn ra 2 học sinh của đội văn nghệ sao cho 2 học sinh có 1 học sinh nam và 1 học sinh nữ là 7.5 = 35 cách.

Câu 8: Chọn C. Điều kiện: x > 0. log 21 x − 6 log 6 ( 4 x ) + 1 = 0. 2

⇔ log 22−1 x − 6 log 23 ( 4 x ) + 1 = 0. ⇔ log 22 x − 2 ( log 2 4 + log 2 x ) + 1 = 0. ⇔ log 22 x − 2 log 2 x − 3 = 0. 1  log 2 x = −1  x = (TM ) . ⇔ ⇔ 2  log 2 x = 3  x = 8 (TM ) Vậ y S =

1 17 +8 = . 2 2

Câu 9: Chọn C. 9

2 x −1

Ta có 3

3x = 3 x =1 1 x 2 x . − 4.3 + 9 = 0 ⇔ ( 3 ) − 4.3 + 9 = 0 ⇔  x ⇔ 3 x = 2 3 = 9 x

Vậy x1 = 1; x2 = 2 suy ra P = x2 − 2 x1 = 0.

Câu 10: Chọn C. 2

Ta có ( 3x + 3− x ) = 9 x + 9− x + 2 ⇔ ( 3x + 3− x ) = 49 ⇔ 3x + 3− x = 7. Do vậy P =

Vậ y P =

13 + 3x + 3− x 13 + 3x + 3− x 13 + 7 = = = −4. 2 − 3x − 3− x 2 − ( 3x + 3− x ) 2 − 7

13 + 3x + 3− x = −4. 2 − 3x − 3− x

Câu 11: Chọn C. 3x −1 > 27 ⇔ 3x −1 > 33 ⇔ x − 1 > 3 ⇔ x > 4. Vậy: Tập nghiệm của bất phương trình là S = ( 4; +∞ ) .

Câu 12: Chọn C. Ta có a 2b3 − 64 ⇔ log 2 ( a 2b3 ) = log 2 64 ⇔ log 2 a 2 + log 2 b3 = log 2 26 ⇔ 2 log 2 a + 3log 2 b = 6 . Vậy: Giá trị của biểu thức P = 2 log 2 a + 3log 2 b = 6.

Câu 13: Chọn B. Ta có P = a

5 4

a = a .a = a

5 4

17 4

=a .

Câu 14: Chọn C. Ta có ln 8a − ln 2a = ln

8a = ln 4 = 2 ln 2. 2a

Câu 15: Chọn D. Bài toán tổng quát: Gọi a triệu đồng là số tiền người đó gửi, lãi suất là b% một tháng ( a > 0; b > 0 ) * Sau tháng thứ nhất, số tiền người đó thu được là: S1 = a +

b b   .a = a 1 +  (triệu đồng) 100  100 

* Sau tháng thứ hai, số tiền người đó thu được là: 2

b b  b    S 2 = S1 + .S1 = S1 1 +  = a 1 +  (triệu đồng) 100  100   100  10

* Sau tháng thứ ba, số tiền người đó thu được là: 3

b b  b    S3 = S 2 + .S 2 = S 2 1 +  = a 1 +  (triệu đồng). 100  100   100  ……………………………………………………………………………………………………………. * Sau tháng thứ n, số tiền người đó thu được là: n

b b  b    S n = S n −1 + .S n −1 = S n−1 1 +  = a 1 +  (triệu đồng) 100  100   100 

Áp dụng: Với a = 200 và b = 0, 3 thì số tiền người đó thu được sau tháng thứ n là: n

 0,3  S n = 200. 1 +  (triệu đồng)  100  n

 0, 3   100,3  Ta có: S n > 225 ⇔ 200. 1 +  > 225 ⇔   > 1,125 ⇔ n > log1,003 1,125 ≈ 39,32  100   100  Vậy sau ít nhất 40 tháng thì người đó thu được số tiền hơn 225 triệu đồng.

Câu 16: Chọn D. Tam giác đều cạnh 2a có chiều cao là 2a.

3 = a 3. 2

1 ⇒ Diện tích đáy hình lăng trụ (diện tích tam giác đều cạnh 2a ) là: S = .2a.a 3 = a 2 3 2

1 1 a3 3 . Vậy thể tích khối lăng trụ đã cho là V = Sh = .a 2 3.a = 3 3 3

Câu 17: Chọn A.

 BC ⊥ AB (1) Ta có  ⇒ BC ⊥ SB ( 2 ) .  BC ⊥ SA 11

, kết hợp giả thiết suy ra Từ (1) và (2) suy ra góc giữa mặt phẳng ( SBC ) và mặt đáy ( ABCD ) là góc SBA = 600. SBA Xét tam giác vuông SAB ta có tan 600 =

SA ⇒ SA = AB. tan 600 = 2a 3. AB

1 1 1 8a 3 3 2 . Thể tích của khối chóp S . ABCD là V = .Bh = S ABCD .SA = ( 2a ) 2a 3 = 3 3 3 3

Câu 18: Chọn C. Ta có y ' = −2 f ' (1 − 2 x ) . Hàm số y = f (1 − 2 x ) nghịch biến khi và chỉ khi y ' = −2 f ' (1 − 2 x ) < 0 ⇔ f ' (1 − 2 x ) > 0.  −3 < 1 − 2 x < −1 1 < x < 2 Từ bảng xét dấu đã cho, ta có f ' (1 − 2 x ) > 0 ⇔  ⇔ 1 − 2 x > 1 x < 0

Do đó, hàm số y = f (1 − 2 x ) nghịch biến trên các khoảng ( −∞;0 ) và (1; 2 ) . Vậy, hàm số y = f (1 − 2 x ) nghịch biến trên khoảng ( −2;0 ) .

Câu 19: Chọn D. Hàm số y = x3 − 2 x + 3. TXĐ: D = ℝ. Hệ số góc của tiếp tuyến tại M : k = f ' ( 2 ) = 10 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M ( 2; 7 ) là y − 7 = 10 ( x − 2 ) hay y = 10 x − 13.

Câu 20: Chọn C.

x = 0  2 f ' ( x ) = x ( x − 3) ( x 2 − 2 x − 3) = 0 ⇔ ( x − 3) = 0  2  x − 2x − 3 = 0 2

x = 0 ⇔  x = 3 (bội 2)  x = −1 ∪ x = 3 Bảng biến thiên

x f '( x)

−1

−∞

−

3 +

−

+∞ +

Vậy hàm số f ( x ) có 1 điểm cực đại.

Câu 21: Chọn B. Ta có 5 x

−3 x + 2

= 25 ⇔ 5 x

−3 x + 2

x = 0 . = 52 ⇔ x 2 − 3 x + 2 = 2 ⇔ x 2 − 3 x = 0 ⇔  x = 3

Câu 22: Chọn A. 1 Hình chóp có chiều cao h và diện tích đáy B và có thể tích bằng V = Bh. 3

Câu 23: Chọn A. Nhìn vào đồ thị ta dễ thấy đây là đồ thị hàm bậc 4 trùng phương, mà lim y = +∞ nên hệ số của x 4 phải > 0 => x →±∞

Đáp án A Câu 24: Chọn B. Ta có:

y ' = −3 x 2 + 12 x − 9 x = 3 y ' = 0 <=>  x = 1 Vì xét trong khoảng [-1;2] nên ta lấy x = 1 Với x = 1 thì y = 1 Với x = -1 thì y = 21 Với x = 2 thì y = 3

=> Min y = 1, Max y = 21 => Tổng bằng 22 x∈[ −1;2]

x∈[ −1;2]

Câu 25: Chọn C. Ta có sin 2 x + 4sin x − 2 cos x − 4 = 0 ⇔ ( sin 2 x + 4sin x ) − 2 ( cos x + 2 ) = 0

⇔ 2sin x ( cos x + 2 ) − 2 ( cos x + 2 ) = 0 ⇔ ( 2sin x − 2 )( cos x + 2 ) = 0 . ⇔ sin x = 1 ⇔ x =

π 2

+ k 2π , ( k ∈ ℤ ) .

Trên đoạn [ 0;100π ] ta có 0 ≤ x ≤ 100π . ⇔0≤

π 2

+ k 2π ≤ 100π ⇔

−1 199 ≤k≤ 4 4

Với k ∈ ℤ ta có k ∈ {0;1; 2;....; 48; 49} . 13

Vậy tổng các nghiệm của phương trình trên đoạn [ 0;100π ] là S=

π  π  π  π  +  + 2π  +  + 2.2π  +  + 3.2π  + ... +  + 49.2π  2 2  2  2  2 

50π + (1 + 2 + ... + 49 ) .2π = 2475π . 2

Câu 26: Chọn A. Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng y = x + 1 và đồ thị hàm số y =

x −1 x −1 là x + 1 = x−2 x−2

x = 1+ 2  x ≠ 2 x ≠ 2 ⇔ 2 ⇔  ( x + 1)( x − 2 ) = x − 1  x − 2 x − 1 = 0  x = 1 − 2

(

) (

)

Ta có A 1 + 2; 2 + 2 ; B 1 − 2; 2 − 2 . Vậy AB = 4.

Câu 27: Chọn C. Chiều cao khối nón là: h = l 2 − r 2 =

( 5a ) − ( 3a )

= 4a

1 1 2 Thể tích khối nón: V = π r 2 h = π . ( 3a ) .4a = 12π a 3 . 3 3

Câu 28: Chọn B. Do khối tứ diện ABCD có AB, AC , AD đôi một vuông góc với nhau nên thể tích của khối tứ diện ABCD là: 1 1 V = AB. AC. AD = 3a.2a.a = a 3 6 6

Câu 29: Chọn B.

Gọi M là trung điểm của SA Gọi O là trung điểm của BC , suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Kẻ trục ∆ của đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. Khi đó ∆ / / SA. Trên mặt phẳng ( SAO ) kẻ đường trung trực của SA cắt ∆ tại I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC. AS 2 BC 2 4 a 2 8a 2 + = + = a 3. 4 4 4 4

Bán kính R = IC = OI 2 + OC 2 = AM 2 + OC 2 =

Câu 30: Chọn B. Từ bảng biến thiên ta có hàm số đạt cực tiểu bằng −2 tại điểm x = 3.

Câu 31: Chọn A. Ta có u20 = u1 + 19d = 3 + 19.2 = 41.

Câu 32: Chọn D. +) Tìm hệ số của x3 trong khai triển ( x − 2 ) k

Ta có Tk +1 = C5k ( x ) . ( −2 )

5− k

, hệ số của x3 là khi k = 3 ⇒ hệ số bằng C53 .4 = 40.

+) Tìm hệ số của x5 trong khai triển ( 2 x − 1) k

Ta có Tk +1 = C6k . ( 2 x ) . ( −1)

6−k

= C6k . ( 2 ) . ( x ) . ( −1)

6−k

Vậy số hạng chứa x5 tương ứng với k = 5 ⇒ hệ số của x5 là: −192. Vậy hệ số của x5 trong khai triển là: −152.

Câu 33: Chọn A. 2

9 6 3 3 Ta có: 6.9 − 13.6 + 6.4 ≤ 0 ⇔ 6.   − 13.   + 6 ≤ 0 ⇔ 6.   − 13.   + 6 ≤ 0 (1) . 4 4 2 2 x

3 Đặt   = t ; ( t > 0 ) 2 2

2 3 2 3 3 (1) ⇔ 6t − 13t + 6 ≤ 0 ⇔ ≤ t ≤ ⇔ ≤   ≤ ⇔ −1 ≤ x ≤ 1. 3 2 3 2 2 2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = [ −1;1] ⇒ a = −1; b = 1 ⇒ a 2 + b 2 = 2.

Câu 34: Chọn C. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng ( 0;1) ⇒ chọn C.

Câu 35: Chọn A. Gọi R, h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ. 15

R = a R = a . Theo giả thiết, ta có  ⇔ 2 h 3 a = 2. R . h = 6 a   Vậy Stp = 2π Rh + 2π R 2 = 2π a.3a + 2π a 2 = 8π a 2 .

Câu 36: Chọn A. Đặt A = {0;1; 2;3; 4;5; 6;7} . Gọi số tự nhiên cần tìm có 4 chữ số khác nhau thỏa mãn đề bài là abcd ( a ≠ 0 ) . Số phần tử của S là 7. A73 = 1470. * Số có 4 chữ số khác nhau sao cho có đúng 2 chữ số chẵn. TH1: Tìm số có 4 chữ số khác nhau sao cho có đúng 2 chữ số chẵn (bao gồm cả số có chữ số 0 đứng đầu). + Chọn 2 chữ số chẵn trong tập A ⇒ có C42 cách. + Chọn 2 chữ số lẻ trong tập A ⇒ có C42 cách. Vì là 4 chữ số khác nhau nên ta có C42 .C42 .4! = 864 số. TH2: Tìm số có 4 chữ số khác nhau sao cho có đúng 2 chữ số chẵn (chữ số 0 luôn đứng đàu) + Xếp chữ số 0 vào vị trí đầu tiên ⇒ có 1 cách. + Chọn 1 chữu số chẵn trong tập A \ {0} ⇒ có C31 cách. + Chọn 2 chữ số lẻ trong tập A ⇒ có C42 cách. Vì là 4 chữ số khác nhau mà chữ số 0 luôn đứng đầu nên ta có C31.C42 .3! = 108 số. Vậy có 864 − 108 = 756 số thỏa mãn yêu cầu. 1 * Không gian mẫu: n ( Ω ) = C1470 = 1470. 1 A là biến cố “Số được chọn có đúng 2 chữ số chẵn” ⇒ n ( A ) = C756 = 756.

Vậ y P ( A ) =

n ( A) n (Ω)

756 18 = . 1470 35

Câu 37: Chọn B. Hàm số y =

x+m −3 − m liên tục trên đoạn [ −1; 2] và có đạo hàm y ' = 2 x−3 ( x − 3)

Nếu y ' > 0 ⇔ m < −3 thì hàm số đồng biến trên đoạn [ −1; 2] nên min y = y ( −1) = [ −1;2]

thỏa mãn. 16

−1 + m = −2 ⇔ m = 9 không −4

Nếu y ' < 0 ⇔ m > −3 hàm số nghịch biến trên đoạn [ −1; 2] nên min y = y ( 2 ) = [ −1;2]

2+m = −2 ⇔ m = 0 thỏa mãn. −1

Vậy đáp án B đúng.

Câu 38: Chọn C.

+ Gọi M là trung điểm của BC , dựng hình chữ nhật ABMH  AB ⊥ SH Khi đó  ⇒ SH ⊥ ( ABC )  BC ⊥ SH

Kẻ HI ⊥ SA ⇒ HI ⊥ ( SAB ) .

HJ ⊥ SM ⇒ HJ ⊥ ( SBC ) ⇒ ( ( SAB ) , ( SBC ) ) = ∠IHJ . + Đặt SH = x ⇒ HI =

a2 + x2

; HJ =

a 3a 3a 2 + x 2

; SI =

a2 + x2

; SJ =

x2 3a 2 + x 2

4a 2 x 4 cos ASM = ; IJ = SI + SJ − 2 SI .SJ .cos ASM = 2 ( a + x2 )( 3a 2 + x2 ) a 2 + x 2 . 3a 2 + x 2

sin ϕ = cos ϕ =

20 1 . ⇒ cos ϕ = 21 21 HI 2 + HJ 2 − IJ 2 2 HI .HJ

⇔

2 ax a 3a a2 x2 3a 2 x 2 4a 2 x 4 . . = 2 + − 2 2 2 21 a 2 + x 2 3a 2 + x 2 a + x 3a + x ( a 2 + x 2 )( 3a 2 + x 2 )

⇔

2 a 2 + x 2 . 3a 2 + x 2 = 6a 2 ⇔ x = a 6. 7 17

1 VS . ABC = SH .S ABC = a 3 2. 3

Câu 39: Chọn B. Theo yêu cầu bài toán ta có:

ln ( x 3 − 2 x 2 + m ) ≥ ln ( x 2 + 5 ) , ∀x ∈ [ 0;3] ⇔ x3 − 2 x 2 + m ≥ x 2 + 5, ∀x ∈ [ 0;3]

⇔ m ≥ − x3 + 3x 2 + 5, ∀x ∈ [ 0;3] ⇔ m ≥ max ( − x3 + 3 x 2 + 5 ) [0;3]

x = 0 Xét hàm số f ( x ) = − x3 + 3 x 2 + 5, ∀x ∈ [ 0;3] ⇒ f ' ( x ) = −3 x 2 + 6 x = 0 ⇔  . x = 2

Ta có: f ( 0 ) = 5, f ( 2 ) = 9, f ( 3) = 5 ⇒ max f ( x ) = 9. [0;3]

Do đó ta được m ≥ 9, kết hợp với điều kiện m ∈ [ −20; 20] nên m ∈ {9;10;11;...; 20} do đó có 12 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán.

Câu 40: Chọn C.

Ta có BC = 2a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A ' xuống mặt phẳng ( ABC ) . Do A ' cách đều A, B, C nên hình chiếu vuông góc của A ' lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Do đó H là trung điểm của cạnh BC và ∆AHC đều cạnh a. Dựng hình bình hành HABK ⇒ K là hình chiếu vuông góc của B ' xuống mặt phẳng ( ABC ) .

(

) (

Do đó AB ', ( ABC ) = AB ', AK = A ' AK = 600.

)

Áp dụng định lý côsin trong ∆AHK ta có:

(

AK = AH 2 + HK 2 − 2. AH .HK .cos (1500 ) = a 2 + a 3

)

 3 − 2a.a 3.  −  = a 7.  2 

⇒ A ' H = B ' K = AK .tan 600 = a 21. Dựng hình bình hành ACBM ta có:

BC / / AM ⇒ d ( BC , A ' A) = d ( BC , ( A ' AM ) ) = d ( H , ( A ' AM ) ) Kẻ HE ⊥ AM , HN ⊥ A ' E ⇒ d ( H , ( A ' AM ) ) = HN . Ta có HE = AH .sin 600 = a.

3 a 3 1 1 1 a 609 a 21 . = ⇒ = + ⇒ HN = = 2 2 2 HN HE A'H 2 2 29 29

Vậy d ( AA ', BC ) = d ( H , ( A ' AM ) ) =

a 21 . 29

Câu 41: Chọn D. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 1 ⇒

1 = 1 ⇔ b = 1. b

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 1 ⇒ − Đồ thị hàm số đi qua điểm ( 0; 2 ) ⇒ 2 =

c = 1 ⇔ b = −c ⇒ c = −1. b

0+a ⇔ a = −2. 1.0 + ( −1)

Vậy T = a − 3b − 2c = ( −2 ) − 3.1 − 2. ( −1) = −3.

Câu 42: Chọn A. Điều kiện: x ≠ 2m. Ta có: y ' =

−2m 2 + 18

( x − 2m )

Để hàm số đồng biến trên khoảng ( 2; +∞ ) thì: −2m 2 + 18 > 0  −3 < m < 3  y ' > 0 ⇔ ⇔ ⇔ −3 < m ≤ 1.  m ≤ 1  2m ≤ 2 2m ∉ ( 2; +∞ ) Vậy S = {−2; −1;0;1} . Tổng các phần tử của S : −2.

Câu 43: Chọn A.

Từ B, C kẻ các đường thẳng song song với đường sinh của hình trụ cắt đường tròn tâm O lần lượt tại B ', C '. Vì AD và BC là giao tuyến của mặt phẳng ( AB; CD ) với hai mặt phẳng song song nên AD / / BC. Suy ra: AD / / B ' C ' hay AB ' C ' D là hình bình hành nộp tiếp nên nó là hình chữ nhật.

 B ' C ' ⊥ DC ' ⇒ B ' C ' ⊥ CD mà BC / / B ' C ' suy ra BC ⊥ CD.   B ' C ' ⊥ CC ' Vậy tứ giác ABCD là hình chữ nhật.

Đặt BC = AD = 2 x, gọi I , I ' lần lượt là trung điểm của AD và BC. OI ' ⊥ BC Ta có:  ⇒ BC ⊥ ( OO ' I ' ) ⇒ ( OO ' I ' ) ⊥ ( ABCD ) và có giao tuyến I ' I . OO ' ⊥ BC Từ O ' kẻ đường vuông góc với I ' I tại H , suy ra O ' H là đường cao của hình chóp O '. ABCD . Gọi J là giao điểm của OO ' và I ' I , J là trung điểm của OO '. Ta có: OI = O ' I ' = O ' C 2 − I ' C 2 = 16a 2 − x 2 .

DC ' = 2.OI = 2 16a 2 − x 2 ⇒ DC = DC '2 + CC '2 = 4 (16a 2 − x 2 ) + 16a 2 = 2 20a 2 − x 2 O ' J 2 + O ' I '2 O ' J .O ' I ' 1 1 1 2a. 16a 2 − x 2 = + = ⇒ O'H = = O ' H 2 O ' J 2 O ' I '2 O ' J 2 .O ' I '2 O ' J 2 + O ' I '2 20a 2 − x 2 1 1 2a 16a 2 − x 2 8 Suy ra: VO '. ABCD = .O ' H . AD.DC = . .2 x.2 20a 2 − x 2 = .x 16a 2 − x 2 3 3 3 20a 2 − x 2 =

8a 2 8a x 2 + 16a 2 − x 2 64a 3 . x (16a 2 − x 2 ) ≤ . = 3 3 2 3

Vậy max VO '. ABCD =

64a 3 ⇔ x 2 = 16a 2 − x 2 ⇔ x = 2 2a ⇒ AD = 4 2a. 3

Câu 44: Chọn A. Đặt u =

f ( x ) + m ⇔ u3 = f ( x ) + m ⇔ u3 − m = f ( x ).

 f ( u ) = x3 − m Ta có hệ:  ⇒ f ( u ) = x 3 − u 3 ⇔ f ( u ) + u 3 = f ( x ) + x 3 ( *) 3  f ( x ) = u − m Xét g ( t ) = f ( t ) + t 3 , g ' ( t ) = f ' ( t ) + 3t 2 = 5t 4 + 12t 2 ≥ 0, ∀t ∈ ℝ, suy ra hàm số g ( t ) đồng biến trên ℝ.

(*) ⇔ g ( u ) = g ( x ) ⇔ u = x. Suy ra: x = 3 g ( x ) + m ⇔ x3 = f ( x ) + m ⇔ x3 = x 5 + 3 x 3 − 4m + m ⇔ 3m = x5 + 2 x3 . Xét

hàm

số

h ( x ) = x5 + 2 x3 .

Để

phương

trình

đã

cho

có

nghiệm

thuộc

đoạn

min h ( x ) ≤ 3m ≤ max h ( x ) . [1;2]

[1;2]

Ta có: h ' ( x ) = 5 x 4 + 6 x 2 > 0, ∀x ∈ [1; 2] , suy ra h ( x ) đồng biến trên [1; 2] . Suy ra: min h ( x ) = h (1) = 3, max h = h ( 2 ) = 25 + 2.23 = 32 + 16 = 48. [1;2]

[1;2]

Vậy: 3 ≤ 3m ≤ 48 ⇔ 1 ≤ m ≤ 16.

Câu 45: Chọn C.

Ta có ∆SAC = ∆ABC ( c − c − c ) và ∆SAC , ∆ABC lần lượt cân tại S và B. Khi đó SO = BO =

BD 1 . Suy ra ∆SBD vuông tại S (đường trung tuyến bằng cạnh đối diện). 2 2

Trong ∆SBD ta có: BD = SB 2 + SD 2 = a 2 + x 2 . Trong ∆ABD áp dụng công thức đường trung tuyến ta có: 21

[1; 2]

thì

AO =

2 ( AB 2 + AD 2 ) 4

2 ( a2 + a2 ) − ( a 2 + x2 ) BD 2 3a 2 − x 2 . − = = 4 4 2

Suy ra AC = 2 AO = 3a 2 − x 2 . Khi đó AC.SD = 3a 2 − x 2 .x =

( 3a

− x2 ) x2 .

3a 2 − x 2 + x 2 3a 2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (AM-GM) ta có: AC.SD = ( 3a − x ) x ≤ = 2 2 2

Vậy max AC.SD =

3a 2 . 2

Dấu “=” xảy ra 3a 2 − x 2 = x 2 ⇔ x 2 =

3a 2 a 6 . ⇒x= 2 2

Câu 46: Chọn A. Đặt t = log 3 x. Khi đó phương trình trở thành: t 2 − ( 2m + 1) t + m 2 + m = 0 (*) . Nhận xét: Ứng với mỗi nghiệm t của phương trình (*) có một nghiệm x > 0. Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân biệt khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt 2

⇔ ∆ > 0 ⇔ ∆ = ( 2m + 1) − 4 ( m2 + m ) = 1 > 0. Vậy phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. Khi đó t1 =

2m + 1 + 1 2m + 1 − 1 = m + 1 ⇒ x1 = 3m +1; t2 = = m ⇒ x2 = 3m với x1 < x2 . 2 2

Theo đề bài

( x1 + 1)( x2 + 3) = 48 ⇔ ( 3

+ 1)( 3

m +1

+ 3) = 48 ⇔ 3.3

 3m = 3 + 6.3 − 45 = 0 ⇔  m ⇔ m = 1. 3 = −5 m

Kết luận: Số phần tử của tập S là 1.

Câu 47: Chọn A.

 2 − f ( x ) = a; a ∈ ( −2; −1)  f ( x ) = 2 − a; 2 − a ∈ ( 3; 4 )   f ( 2 − f ( x ) ) =  2 − f ( x ) = b; b ∈ ( 0;1) ⇔  f ( x ) = 2 − b; 2 − b ∈ (1; 2 )  2 − f x = c; c ∈ 1; 2  f x = 2 − c; 2 − c ∈ 0;1 ( ) ( ) ( )   ( ) Nhìn vào đồ thị ta có Trường hợp: f ( x ) = 2 − a; 2 − a ∈ ( 3; 4 ) có 1 nghiệm.

Trường hợp: f ( x ) = 2 − b; 2 − b ∈ (1; 2 ) có 1 nghiệm. Trường hợp: f ( x ) = 2 − c; 2 − c ∈ ( 0;1) có 3 nghiệm. Vậy phương trình f ( 2 − f ( x ) ) = 0 có 5 nghiệm thực.

Câu 48: Chọn D.

y ' = −3x 2 − 6 ( m + 1) x + 3 ( 2m − 1) . Để hàm số nghịch biến trên ℝ. ⇔ y'≤ 0 ⇔ ∆'≤ 0 ⇔ 9 ( m 2 + 2m + 1) + 18m − 9 ≤ 0 ⇔ 9m 2 + 36m ≤ 0 −4 ≤ m ≤ 0. Vậy có 5 giá trị nguyên m.

Câu 49: Chọn A. Phương trình đã cho tương đương với: f ( 4 sin x + m ) = 3 ( *) m +1   4 sin x + m = −1  sin x = − 4 (1) Từ đồ thị hàm số suy ra (*) ⇔  ⇔  4 sin x + m = 2  sin x = 2 − m ( 2 )  4

 m +1 − ≥0 m + 1 ≤ 0  4 ⇔ ⇔ −5 ≤ m ≤ −1. Điều kiện để phương trình (1) có nghiệm là:   m + 1 ≥ −4 − m + 1 ≤ 1  4 2 − m ≥0 2 − m ≥ 0  4 ⇔ ⇔ −2 ≤ m ≤ 2. Điều kiện để phương trình (2) có nghiệm là:  2 − m 2 − m ≤ 4   ≤1  4 Xét phương trình sin x = α Nếu α = 0 thì sin x = 0 ⇔ x = kπ . Phương trình có 4 nghiệm thuộc khoảng ( 0; 4π ] . Nếu α = 1 thì sin x = ±1 ⇔ x =

π 2

+ kπ . Phương trình có 4 nghiệm thuộc khoảng ( 0; 4π ] .

Nếu 0 < α < 1 thì sin x = ±α . Phương trình có 8 nghiệm thuộc khoảng ( 0; 4π ] . 23

Vậy nếu m < −2 thì phương trình ( 2 ) vô nghiệm, phương trình (1) chỉ có tối đa 8 nghiệm. Nếu m > −1 thì phương trình (1) vô nghiệm, phương trình ( 2 ) chỉ có tối đa 8 nghiệm. Vì m nguyên nên: +) m = −2 Phương trình (1) có 8 nghiệm, phương trình ( 2 ) có 4 nghiệm (thỏa mãn). +) m = −1 Phương trình ( 2 ) có 8 nghiệm, phương trình (1) có 4 nghiệm (thỏa mãn). Vậy S = {−2; −1} .

Câu 50: Chọn A.

Từ A kẻ đường thẳng vuông góc SB, cắt SB tại K . Từ K kẻ đường thẳng vuông góc với SB cắt SC tại H .

 BC ⊥ SA Ta có:  ⇒ CB ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ SB, suy ra BC / / HK .  BC ⊥ AB Tam giác ABC vuông cân tại B nên AB = BC =

AC = a 2. 2

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAB ta có: SA2 = SK .SB ⇔ Vì BC / / HK nên Ta có:

V1 VS . ABC

4a 2 2 SK SA2 SA2 = 2 = = = . 2 2 2 2 SB SB AB + AS 2a + 4 a 3

SH SK 2 = = . SC SB 3

SA SK SH 2 2 4 4 5 . . = 1. . = ⇒ V1 = VS . ABC ⇒ V2 = VS . ABC . SA SB SC 3 3 9 9 9 24

Váº y

V1 4 = . V2 5

SỞ GD & ĐT BẮC NINH

KỲ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT LẦN 2 KHỐI 12

TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC NINH

NĂM HỌC 2020 – 2021

------------------

MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 90 phút không kể thời gian phát đề

x 2 + 3x − 4 a a Câu 1: Cho giới hạn lim = với là phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức a 2 − b 2 . 2 x →−4 x + 4x b b A. −9

B. 41.

C. 9.

D. 14.

Câu 2: Cho hình chóp S . ABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) , biết AB = AC = a, BC = a 3. Tính góc giữa hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SAC ) .

A. 450. ∠SCA

B. 300.

C. 600.

D. 900.

Câu 3: Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào

A. y = ( x − 1)( x − 2 ) .

B. y = ( x − 1)( x + 2 ) .

C. y = ( x − 1) ( x + 2 ) .

D. y = ( x + 1) ( x + 2 ) .

3a , hình chiếu vuông góc của S 2 trên mặt phẳng ( ABCD ) là trung điểm của cạnh AB. Tính theo a thể tích khối chóp S . ABCD.

Câu 4: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SD =

a3 . 4

2a 3 . 3

a3 . 3

a3 . 2

Câu 5: Gọi M ( x0 ; y0 ) là điểm thuộc đồ thị hàm số y = log 3 x. Tìm điều kiện của x0 để điểm M nằm phía trên đường thẳng y = 2. A. x0 > 9.

B. x0 > 0.

C. x0 < 2.

D. x0 > 2.

Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông tâm O cạnh a, SO vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) và SO = a. Khoảng cách giữa SC và AB bằng: 1

a 3 . 15

2a 3 . 15

2a 5 . 5

a 5 . 5

Câu 7: Cho dãy số ( un ) là cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 1, công bội q = 2. Tổng ba số hạng đầu của cấp số nhân là A. 3.

B. 7.

C. 9.

D. 5.

r cắt mặt cầu ( S ) theo giao 2 tuyến là một đường tròn. Hãy tính theo r chu vi của đường tròn là giao tuyến của mặt phẳng ( P ) và mặt cầu

Câu 8: Cho mặt cầu S ( O; r ) , mặt phẳng ( P ) cách tâm O một khoảng bằng

( S ). A. π r 3.

B. π r.

Câu 9: Đạo hàm của hàm số y = A. 2.

ln ( x 2 + 1) x

πr 3 4

πr 3 2

tại điểm x = 1 là y ' (1) = a ln 2 + b, ( a, b ∈ ℤ ) . Tính a − b.

B. −1.

C. 1.

D. −2.

Câu 10: Bạn An gửi tiết kiệm một số tiền ban đầu là 1000000 đồng với lãi suất 0,58% / tháng (không kỳ hạn). Hỏi bạn An phải gửi ít nhất bao nhiêu tháng thì được cả vốn lẫn lãi bằng hoặc vượt quá 1300000 đồng? A. 46.

B. 45.

C. 42.

D. 40.

Câu 11: Thể tích của khối nón có chiều dài đường sinh bằng 3 và bán kính đáy bằng 2 là A.

2π 5 . 3

4π 5 . 3

π 5 3

4π . 3

Câu 12: Trên giá sách có 6 quyển sách toán khác nhau, 7 quyển sách văn khác nhau và 8 quyển sách Tiếng anh khác. Hỏi có bao nhiêu cách lấy 2 quyển thuộc 2 môn khác nhau? A. 146.

B. 336.

C. 420.

D. 210.

Câu 13: Cho x, y là hai số thực không âm thỏa mãn x + y = 1. Giá trị lớn nhất của x, y là: 1 A. . 4

1 . 2

C. 1. 2

D. 0. 2

Câu 14: Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình 5sin x + 5cos x = 2 5 trên đoạn [ 0; 2π ] . A. T =

3π . 4

B. T = π .

C. T = 4π .

D. T = 2π .

Câu 15: Một hộp có 8 quả cầu đỏ khác nhau, 9 quả cầu trắng khác nhau, 10 quả cầu đen khác nhau. Số cách lấy ngẫu nhiên 1 quả cầu trong hộp là? A. 816.

B. 720.

C. 4896. 2

D. 27.

Câu 16: Cho dãy số ( un ) với un = n 2 + n + 1 với n ∈ ℕ * . Số 21 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số đã cho? A. 5.

B. 3.

C. 6.

D. 4.

Câu 17: Nếu dãy số (U n ) là cấp số cộng có công sai d thì ta có công thức là A. U n +1 = U n − nd , ∀n ∈ ℕ *

B. U n +1 = U n + d n , ∀n ∈ ℕ *

C. U n +1 = U n + nd , ∀n ∈ ℕ *

D. U n +1 = U n + d , ∀n ∈ ℕ *

Câu 18: Giới hạn lim ( 2n 2 − 1) bằng A. 2.

B. −∞.

C. 0.

D. +∞. n

1   Câu 19: Cho số tự nhiên n thỏa mãn Cn0 + Cn1 + Cn2 = 11. Số hạng chứa x 7 trong khai triển  x3 − 2  bằng x  

B. −12 x 7 .

A. −4.

C. 9 x 7 .

Câu 20: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = A. m < 2

B. m = 2.

D. −4 x 7 . 2x − 4 có tiệm cận đứng x−m

C. m ≠ 2.

D. m > 2.

1 Câu 21: Tiếp tuyến tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = x 3 − 3 x 2 + 5 x − 1 3

A. có hệ số góc bằng −1.

B. song song với trục hoành.

C. song song với đường thẳng x = 1.

D. có hệ số góc dương.

Câu 22: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y =

log 3 ( x 2 − 2 x + 3m )

có tập xác định là

ℝ.

2  A.  ;10  . 3 

2  B.  ; +∞  . 3 

2  C.  −∞;  . 3 

2  D.  ; +∞  . 3 

1 C. π r 3 . 3

C. ℝ

D. ( −∞; 2 ) .

Câu 23: Thể tích khối cầu có bán kính r là: A.

4 3 πr . 3

Câu 24: Hàm số y = A. ℝ \ {−2} .

B. 4π r 3 .

4 2 πr . 3

2x − 5 đồng biến trên: x+2

B. ( 2; +∞ )

Câu 25: Cho lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác ABC vuông tại B; AB = 2a, BC = a, AA ' = 2a 3. Thể tích khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' là 3

4a 3 3 . 3

B. 2a 3 3.

C. 4a 3 3. 4x

 2020   2021  Câu 26: Tìm tập nghiệm S của phương trình   =   2021   2020 

A. S = {−3} .

B. S = {1} .

2a 3 3 . 3

2 x −6

là

C. S = {3} .

D. S = {−1} .

Câu 27: Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào trong bốn hàm số dưới đây?

A. y = 3 . x

1 C. y =   . 3

B. y = log 1 x. 3

D. y = log 3 x.

Câu 28: Số nghiệm của phương trình log 2020 x + log 2021 x = 0 là A. 0.

B. 3.

C. 2.

D. 1.

Câu 29: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên ℝ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. Nếu hàm số đạt cực trị tại x0 thì đạo hàm đổi dấu khi x qua x0 . B. Nếu f ' ( x0 ) = 0 thì hàm số đạt cực trị tại x0 . C. Nếu f ' ( x0 ) = f " ( x0 ) = 0 thì hàm số không đạt cực trị tại x0 . D. Nếu đạo hàm đổi dấu khi x qua x0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x0 . Câu 30: Có bao nhiêu cách sắp xếp 8 học sinh thành một hàng dọc? A. 88.

B. 8.

C. 8!.

Câu 31: Cho bất phương trình log 1 ( x 2 − 2 x + 6 ) ≤ −2. Mệnh đề nào sau đây đúng? 3

A. Tập nghiệm của bất phương trình là hợp của hai đoạn. B. Tập nghiệm của bất phương trình là một đoạn. C. Tập nghiệm của bất phương trình là nửa khoảng. D. Tập nghiệm của bất phương trình là hợp của hai nửa khoảng.

D. 7!.

Câu 32: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

−1

−∞

−

−∞

−

+∞ +

+∞

−∞

Hàm số nghịch biến trong khoảng nào?

A. ( 4; +∞ )

B. ( 0;1)

C. ( −∞; 2 )

D. ( −1;1) .

Câu 33: Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có cạnh bên bằng 2a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 600. Tính thể tích của khối nón có đỉnh là S và đáy là đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. A.

π a3 3 3

π a3 3 6

2π a 3 3 . 3

4π a 3 . 9

Câu 34: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng a và chiều cao gấp 2 lần đường kính đáy của hình trụ. Tính diện tích xung quanh của hình trụ. B. 4π a 2 .

A. 8π a.

C. 4a 2 .

D. 8π a 2

2 C. − . 3

D. 1.

2x −1 bằng x →+∞ 2 − 3 x

Câu 35: Giới hạn lim 2 A. . 3

B. −1.

Câu 36: Có bao nhiêu cách chọn một bạn lớp trưởng và một bạn lớp phó từ một lớp học gồm 35 học sinh, biết rằng em nào cũng có khả năng làm lớp trưởng và lớp phó? A. C352 .

B. 352.

C. 235.

D. A352 .

Câu 37: Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của BC. Khi đó cosin của góc giữa hai đường thẳng nào sau đây có giá trị bằng A. ( AM , DM ) .

3 ? 6

B. ( AD, DM ) .

C. ( AB, DM ) .

Câu 38: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m

trong

D. ( AB, AM ) .

[ −2020; 2020]

để phương trình

log ( mx ) = 2 log ( x + 1) có nghiệm duy nhất? A. 2020.

B. 4040.

C. 2021. 5

D. 4041.

Câu 39: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ℝ. Biết hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên m ∈ [ −2021; 2021] để hàm số g ( x ) = f ( x + m ) nghịch biến trên khoảng (1; 2 ) . Hỏi S có bao nhiêu phần tử?

A. 2020.

B. 2021.

C. 2022.

D. 2019.

Câu 40: Ông X muốn xây một bình chứa hình trụ có thể tích 72m3 . Đáy làm bằng bê tông giá 100 nghìn đồng/m2, thành làm bằng tôn giá 90 nghìn đồng/m2, nắp bằng nhôm giá 140 nghìn đồng/m2. Vậy đáy của hình trụ có bán kính bằng bao nhiêu để chi phí xây dựng là thấp nhất? A.

3 3

( m).

3 3

( m).

2 3

( m).

33 3 ( m). 23 π

Câu 41: Cho hàm số y = x 4 − 2mx 2 + m, có đồ thị ( C ) với m là tham số thực. Gọi A là điểm thuộc đồ thị ( C ) 2

có hoành độ bằng 1. Tìm m để tiếp tuyến ∆ với đồ thị ( C ) tại A cắt đường tròn ( γ )( x − 1) + ( y − 1) = 4 tạo thành một dây cung có độ dài nhỏ nhất.

A. −

15 . 16

C. −

17 . 16

Câu 42: Gọi ( S ) là tập hợp các giá trị nguyên m để đồ thị hàm số y = 3 x 4 − 8 x 3 − 6 x 2 + 24 x − m có 7 điểm cực trị. Tính tổng các phần tử của S .

A. 42.

B. 30.

C. 50.

D. 63.

Câu 43: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình dưới đây. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 1 5 g ( x ) = f ( 4 x − x 2 ) + x3 − 3 x 2 + 8 x − trên đoạn [1;3] . 3 3

−∞

f '( x) f ( x)

−

+∞ −

+∞ 5 −3 −∞

A. 10.

B. 9.

C. −10. 6

5 D. − . 3

Câu 44: Một cơ sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, bán kính đáy lần lượt bằng 1m và 1, 2m. Chủ cơ sở dự định làm một bể nước mới, hình trụ, có cùng chiều cao và có thể tích bằng tổng thế tích của hai bể nước trên. Bán kính đáy của bể nước dự định làm gần nhất với kết quả nào dưới đây? A. 1, 75m.

B. 1,56m.

C. 1, 65m.

D. 2,12m.

Câu 45: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là: A.

a 7 . 3

a 11 . 4

a 21 . 6

2a . 3

Câu 46: Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có tâm O. Gọi I là tâm của hình vuông A ' B ' C ' D ' và M là điểm thuộc đoạn thẳng OI sao cho MO = 2 MI . Khi đó côsin góc tạo bởi hai mặt phẳng ( MC ' D ') và ( MAB ) bằng A.

17 13 . 65

6 85 . 85

6 13 . 65

7 85 . 85

Câu 47: Cho đa giác lồi A1 A2 ... A20 . Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác đó. Xác suất để 3 đỉnh được chọn tạo thành một tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác đã cho bằng A.

24 . 57

40 . 57

27 . 57

28 . 57

Câu 48: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = x3 − 3 x 2 tại 3 điểm phân biệt A, B, C (B nằm giữa A và C ) sao cho AB = 2 BC. Tính tổng các phần tử thuộc S .

A. −4.

7− 7 . 7

C. −2.

D. 0.

Câu 49: Cho hình chóp S . ABC có AB = AC = 4, BC = 2, SA = 4 3; ∠SAB = ∠SAC = 300. Gọi G1 , G2 , G3 lần lượt là trọng tâm của các tam giác ∆SBC ; ∆SCA; ∆SAB và T đối xứng S qua mặt phẳng ( ABC ) . Thể tích của khối chóp T .G1G2G3 bằng

A. 3.

a a với a, b ∈ ℕ và tối giản. Tính giá trị P = 2a − b. b b

B. 5.

C. −9.

D. 1.

Câu 50: Cho hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có thể tích bằng V . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, A ' C '.P là điểm trên các cạnh BB ' sao cho PB = 2 PB '. Thể tích khối tứ diện CMNP bằng: 1 A. V . 3

7 V. 12

5 V. 12

---------------- HẾT -------------

2 V. 9

ĐÁP ÁN 1-C

2-C

3-C

4-C

5-A

6-C

7-B

8-A

9-D

10-A

11-B

12-A

13-A

14-C

15-D

16-B

17-D

18-D

19-D

20-C

21-B

22-D

23-A

24-B

25-B

26-B

27-A

28-B

29-A

30-C

31-D

32-B

33-A

34-D

35-C

36-D

37-C

38-C

39-B

40-B

41-D

42-A

43-A

44-B

45-C

46-D

47-B

48-A

49-B

50-D

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Chọn C.

( x − 1)( x + 4 ) = lim x − 1 = 5 . x 2 + 3x − 4 lim = lim 2 4 x →−4 x →− x →−4 x x + 4x x ( x + 4) 4 ⇒ a = 5; b = 4 ⇒ a 2 − b 2 = 25 − 16 = 9.

Câu 2: Chọn C.

 SA = ( SAB ) ∩ ( SAC )   AB ⊥ SA ( SA ⊥ ( ABC ) )   AC ⊥ SA ( SA ⊥ ( ABC ) ) ⇒ ( ( SAB ) , ( SAC ) ) = ( AB, AC )   AB ⊂ ( SAB )  AC ⊂ ( SAC )  8

∆ABC có: cos A=

AB 2 + AC 2 − BC 2 1 =− ⇒ A = 1200. 2. AB. AC 2

⇒ ( ( SAB ) , ( SAC ) ) = 600. Câu 3: Chọn C. Do đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành tại điểm

(1;0 )

nên đường cong là đồ thị của hàm số

y = ( x − 1) ( x + 2 ) .

Câu 4: Chọn C.

Gọi H là trung điểm cạnh AB. Khi đó SH ⊥ ( ABCD ) .

a2 5a 2 2 . Tam giác AHD vuông tại H có DH = AH + AD = +a = 4 4 2

Tam giác SHD vuông tại H có SH 2 = SD 2 − DH 2 =

9 a 2 5a 2 − = a 2 ⇒ SH = a. 4 4

a3 1 (đvtt). Vậy VS . ABCD = a.a 2 = 3 3

Câu 5: Chọn A. Điểm M nằm phía trên đường thẳng y = 2 khi y0 > 2 ⇔ log 3 x0 > 2 ⇔ x0 > 9. Câu 6: Chọn C.

Gọi M là trung điểm của CD, khi đó OM ⊥ CD tại M . Trong mặt phẳng ( SOM ) kẻ OH ⊥ SM tại H . Ta có AB / / CD ⇒ AB / / ( SCD ) . Khi đó d ( AB, SC ) = d ( AB, ( SCD ) ) = d ( A, ( SCD ) ) = 2d ( O, ( SCD ) ) .

OM ⊥ CD Do  ⇒ CD ⊥ ( SOM ) ⇒ CD ⊥ OH .  SO ⊥ CD OH ⊥ CD Mặt khác  ⇒ OH ⊥ ( SCD ) ⇒ d ( O, ( SCD ) ) = OH . OH ⊥ SM Xét tam giác SOM có Vậy d ( AB, SC ) =

1 1 1 1 4 5 a 5 . = + = 2 + 2 = 2 ⇒ OH = 2 2 2 OH SO OM a a a 5

2a 5 . 5

Câu 7: Chọn B.

q3 − 1 23 − 1 = 1. = 7. Ta có S3 = u1 q −1 2 −1 Câu 8: Chọn A. 2

Bán kính đường tròn giao tuyến là

r 3 r . r −  = 2 2

Chu vi đường tròn giao tuyến là 2π .

r 3 = π r 3. 2

Câu 9: Chọn D. 2x .x − ln ( x 2 + 1) 2 x 2 − ( x 2 + 1) ln ( x 2 + 1) Ta có y ' = x + 1 = x2 x 2 ( x 2 + 1) 2

⇒ y ' (1) =

 a = −1 2 − ln 2 = 1 − ln 2 ⇒  ⇒ a − b = −2. 2 b = 1

Câu 10: Chọn A. Gọi A0 là số tiền ban đầu bạn An mang đi gửi tiếp kiệm, r là lãi suất đem gửi, x là số tháng bạn An cần gửi tiết kiệm để thu được cả vốn lẫn lãi bằng hoặc vượt quá 1300000 đồng. Vì bạn An gửi tiết kiệm không thời hạn nên số tiền gốc và lãi thu được của tháng này sẽ là tiền gốc hay chính là số tiền đem gửi tiết kiệm của tháng sau. 10

Vậy sau 1 tháng bạn An thu được cả gốc và lãi là A0 + A0 .r = A0 (1 + r ) . 2

Sau 2 tháng bạn An thu được số tiền cả gốc và lãi là A0 (1 + r ) + A0 (1 + r ) .r = A0 (1 + r ) . x

Sau x tháng bạn An thu được số tiền cả gốc và lãi là A0 (1 + r ) . Vậy ta có x

1300000 ≤ 1000000 (1 + 0, 0058 ) ⇔ x ≥ log1,0058 1,3 ≈ 45, 366. Vậy bạn An phải gửi ít nhất là 46 tháng thì thu được cả vốn và lãi bằng hoặc vượt quá 1300000 đồng.

Câu 11: Chọn B.

Độ dài đường cao bằng h = 32 − 22 = 5 1 1 4π 5 Thể tích của khối nón bằng V = π R 2 h = π 22 5 = . 3 3 3

Câu 12: Chọn A. Số cách lấy 2 quyển thuộc 2 môn khác nhau là: C61 .C71 + C61 .C81 + C71 .C81 = 146.

Câu 13: Chọn A. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số x, y ≥ 0 ta có Do đó giá trị lớn nhất của xy là

xy ≤

1 x+ y 1 = ⇔ xy ≤ . 2 2 4

1 1 . Đẳng thức xảy ra khi x = y = . 4 2

Câu 14: Chọn C. 2

Ta có 5sin x + 5cos x ≥ 2 5sin x.5cos

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 5sin ⇔ cos 2 x = 0 ⇔ x =

π 4

π 2

⇔ 5sin x + 5cos x ≥ 2 5sin 2

x + cos 2 x

= 5cos x ⇔ sin 2 x = cos 2 x

, k ∈ ℤ.

 π 3π 5π 7π  Mà x ∈ [ 0; 2π ] nên x ∈  ; ; ;  4 4 4 4 

=2 5

Khi đó T =

π 4

3π 5π 7π + + = 4π . 4 4 4

Câu 15: Chọn D. Tổng số quả cầu là 27 quả. 1 Vậy số cách để lấy ngẫu nhiên 1 quả là: C27 = 27.

Câu 16: Chọn B.  n = 4 ( tm ) ⇔ n = 4. un = 21 ⇔ n 2 + n + 1 = 21 ⇔   n = −5 ( l ) Vậy 21 là số hạng thứ 4.

Câu 17: Chọn D. Theo định nghĩa cấp số cộng ta có: U n +1 = U n + d , ∀n ∈ ℕ *.

Câu 18: Chọn D. 1  1    Do lim n 2 = +∞;lim  2 − 2  = 2 > 0 nên ta có lim ( 2n 2 − 1) = lim n 2  2 − 2  = +∞. n  n   

Câu 19: Chọn D. Với n ≥ 2, n ∈ ℕ * ta có:

Cn0 + Cn1 + Cn2 = 11 ⇔

⇔ n+

n ( n − 1) 2

n! n! n! + + = 11 0!. ( n − 0 ) ! 1!. ( n − 1) ! 2!. ( n − 2 ) !

 n = −5 (*) = 10 ⇔ n 2 + n − 20 = 0 ⇔  → n = 4 n = 4 n

1   1   n = 4 ⇒  x3 − 2  =  x3 − 2  x   x   4

4 4 k  3 1  k 3 4 − k ( −1) − = . . = −1) .C4k .x12−5 k ( 0 ≤ k ≤ 4, k ∈ ℕ ) x C x ( ( ) ∑ ∑ 4  k 2  x  k =0  ( x 2 ) k =0

Số hạng tổng quát ( −1) C4k .x12−5k Phải có x12−5 k = x 7 ⇒ 12 − 5k = 7 ⇔ k = 1. 1

Số hạng chứa x 7 trong khai triển là: ( −1) C41 .x 7 = −4 x 7 .

Câu 20: Chọn C. Tập xác định: D = ℝ \ {m} 12

Đồ thị y =

h ( x)

g ( x)

2x − 4 có tiệm cận đứng khi: x−m

2x − 4 2x − 4 = ±∞; lim+ y = lim+ = ±∞ x→m x→m x − m x−m

lim− y = lim−

x→ m

h ( x ) ≠ 0 2m − 4 ≠ 0 ⇔ ⇔ ⇔ m ≠ 2. m − m = 0  g ( m ) = 0

Câu 21: Chọn B. 1 Hàm số y = x 3 − 3 x 2 + 5 x − 1 3 TXĐ: D = ℝ

y ' = x2 − 6 x + 5

x = 1 y ' = 0 ⇔ x2 − 6x + 5 = 0 ⇔  1  x2 = 5 4 28 x1 = 1 ⇒ y1 = ; x2 = 5 ⇒ y2 = − 3 3 lim y = −∞; lim y = +∞

x →−∞

x →+∞

Bảng biến thiên:

−∞ +

+∞

−

+∞ 4 3 −

28 3

−∞ 28   Từ bảng biến thiên suy ra điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là  5; −  3   Ta có y ' ( 5 ) = 0 ⇒ tiếp tuyến tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số có phương trình là: y = y ' ( 5 )( x − 5 ) + y ( 5 ) ⇒ y = − Vậy tiếp tuyens là đường thẳng song song với trục hoành. 13

28 3

Câu 22: Chọn D.

log 3 ( x 2 − 2 x + 3m ) > 0 Hàm số y = có tập xác định là ℝ ⇔  với ∀x ∈ ℝ. 2 log 3 ( x 2 − 2 x + 3m )  x − 2 x + 3m > 0

⇔ x 2 − 2 x + 3m > 1 với ∀x ∈ ℝ ⇔ x 2 − 2 x + 3m − 1 > 0 với ∀x ∈ ℝ ⇔ ∆ ' = 1 − ( 3m − 1) < 0 ⇔ −3m + 2 < 0 ⇔ −3m < −2 ⇔ m >

2 3

1 2  Vậy với m ∈  ; +∞  thì hàm số y = có tập xác định là ℝ. 3  log 3 ( x 2 − 2 x + 3m ) Câu 23: Chọn A. 4 Công thức tính thể tích khối cầu bán kính r là V = π r 3 . Chọn đáp án A. 3

Câu 24: Chọn B. Tập xác định: D = ℝ \ {−2} . y'=

( x + 2)

> 0 với ∀x ≠ −2. Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( −∞; −2 ) và ( −2; +∞ ) .

Vậy chọn đáp án B.

Câu 25: Chọn B.

Ta có S ∆ABC =

1 BA.BC = a 2 ⇒ VABC . A ' B 'C ' = S ABC . AA ' = a 2 .2a 3 = 2a 3 3. 2

Vậy V = 2a 3 3.

Câu 26: Chọn B.

 2020   2021  Ta có   =   2021   2020 

2 x −6

 2020   2020  ⇔  =   2021   2021 

−2 x − 6

⇔ 4 x = −2 x + 6 ⇔ x = 1.

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {1} .

Câu 27: Chọn A. - Đồ thị hàm số đi qua điểm ( 0;1) loại B, D. - Đây là đồ thị của hàm số đồng biến nên loại C.

Câu 28: Chọn B. Điều kiện: x > 0 Cách 1 Nhận thấy x = 1 là nghiệm của phương trình Với 0 < x ≠ 1, ta có

log 2020 x + log 2021 x = 0 ⇔ log 2020 x +

1 =0 log x 2021

⇔ log 2020 x.log x 2021 + 1 = 0 ⇔ log 2020 2021 + 1 = 0 (vô lý) Vậy phương trình có nghiệm x = 1.

Cách 2 log 2020 x + log 2021 x = 0 ⇔ log 2020 x = − log 2021 x ⇔ log 2020 x = log 2021

1 =t x

 x = 2020t 1 t  ⇔ 1 ⇔ 2020t = ⇔ ( 2020.2021) = 1 ⇔ t = 0 t t 2021  = 2021 x Với t = 0 ⇒ x = 20200 = 1 Vậy phương trình có nghiệm x = 1.

Câu 29: Chọn A. Câu 30: Chọn C. Số cách sắp xếp 8 học sinh thành một àng dọc là: 8!.

Câu 31: Chọn D.  x ≤ −1 Ta có: log 1 ( x 2 − 2 x + 6 ) ≤ −2 ⇔ x 2 − 2 x + 6 ≥ 9 ⇔ x 2 − 2 x − 3 ≥ 0 ⇔  x ≥ 3 3 Vậy S = ( −∞; −1] ∪ [3; +∞ ) . 15

Câu 32: Chọn B. Từ bảng biến thiên của hàm số, ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng ( −1; 0 ) và ( 0;1) .

Câu 33: Chọn A.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên ( ABC ) . Suy ra SH là đường cao của hình chóp.

= 600. AH là hình chiếu của SA lên ( ABC ) . Do đó góc giữa cạnh bên SA và ( ABC ) là góc SAH Nên h = SH = sin 600 , SA =

3 .2a = a 3 2

Vì SA = SB = SC nên HA = HB = HC = R Suy ra H cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. 1 Bán kính R = cos 600.SA = 2a. = a. 2 Thể tích khối nón có đỉnh là S và đáy là đường tròn ngoại tiếp ∆ABC là

1 1 2 π a3 3 2 . V = πR h = πa a 3 = 3 3 3

Câu 34: Chọn D. Hình trụ có bán kính đáy R = a. Chiều cao của hình trụ là: h = 2d = 4 R = 4a Diện tích xung quanh của hình trụ là:

S xq = 2π Rh = 2π a.4a = 8π a 2 . Câu 35: Chọn C.

1 2− 2x −1 x = − 2. lim = lim x →−∞ 2 − 3 x x →−∞ 2 3 −3 x

Câu 36: Chọn D. Mỗi cách chọn một bạn lớp trưởng và một bạn lớp phó từ lớp 35 học sinh là một chỉnh hợp chấp 2 của 35. Vậy số cách chọn là A352 .

Câu 37: Chọn C.

Đặt các cạnh của hình tứ diện là 1 thì ta có: AM = DM = Suy ra cos AMD =

3 , 2

3 AM 2 + DM 2 − AD 2 1 AD 2 + DM 2 − AM 2 ; = ;cos ADM = = 2 AM .DM 3 2. AD.DM 3

= 300 ; BAM = Lấy N là trung điểm của AC thì ta có ( AB, DM ) = ( MN , DM ) , và cos DMN

Câu 38: Chọn C. 2 2 mx = ( x + 1)  x + x ( 2 − m ) + 1 = 0 (1) Phương trình đã cho tương đương với  ⇔  x > −1  x + 1 > 0

Yêu cầu bài toán tương đương với (1) có nghiệm duy nhất trong ( −1; +∞ ) . m = 0 . Trường hợp 1. (1) có nghiệm kép ∆ = 0 ⇔ m 2 − 4m = 0 ⇔  m = 4 Thử lại: m = 0 thì phương trình có nghiệm x = −1, loại; m = 4 thì phương trình có nghiệm x = 1, thỏa mãn; 2

Trường hợp 2. (1) có nghiệm là −1 ⇔ ( −1) + ( −1)( 2 − m ) + 1 = 0 ⇔ m = 0. 17

3 MN 2 + MD 2 − ND 2 . = 2.MN .MD 6

Thử lại thấy không thỏa mãn.

Trường hợp 3. (1) có 2 nghiệm là x1 , x2 và x1 < −1 < x2

m > 4 ∆ > 0 m 2 − 4m > 0  ⇔ ⇔ ⇔   m < 0 ⇔ m < 0. ( x1 + 1)( x2 + 1) < 0  x1 x2 + x1 + x2 + 1 < 0 1 + m − 2 + 1 < 0  Vậy có 2020 giá trị nguyên của tham số m.

Câu 39: Chọn B. Ta có g ' ( x ) = f ' ( x + m )  x + m ≤ −1  x ≤ −m − 1 g '( x) ≤ 0 ⇔ f '( x + m) ≤ 0 ⇔  ⇔ 1 ≤ x + m ≤ 3 1 − m ≤ x ≤ 3 − m Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 2 ) khi (1; 2 ) ⊂ ( −∞; −m − 1] ∪ [1 − m;3 − m ]

 2 ≤ −m − 1  m ≤ −3  . Vậy có 2021 giá trị nguyên m ∈ [ −2021; 2021] thỏa mãn. ⇔  1 − m ≤ 1 ⇔  0 ≤ m ≤1    2 ≤ 3 − m Câu 40: Chọn B. Gọi bán kính đáy của hình trụ là r ( m ) , ( r > 0 ) suy ra chiều cao của hình trụ là h = Diện tích xung quanh là: S xq = 2π rh =

72 ( m). π r2

144 2 (m ) r

Diện tích đáy là: S day = π r 2 ( m3 ) Tổng chi phí để xây là: π r 2 .100 + π r 2 .140 +

144 12960 .90 = π r 2 .240 + (nghìn đồng). r r

Xét hàm số

f ( r ) = π r 2 .240 +

12960 6480 6480 6480 6480 = π r 2 .240 + + ≥ 3 3 π r 2 .240. . = 6480 3 π r r r r r

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất khi π r 2 .240 =

6480 3 ⇔r= 3 . r π

Câu 41: Chọn D.

y ' = 4 x3 − 4mx, y ' (1) = 4 − 4m, y (1) = 1 − m. Ta có điểm A (1;1 − m ) . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại điểm A (1;1 − m ) là 18

y = y ' (1)( x − 1) + 1 − m ⇒ y = ( 4 − 4m )( x − 1) + 1 − m ⇒ y = ( 4 − 4m ) x + 3m − 3 suy ra phương trình tiếp tuyến ∆ là ( 4 − 4m ) x − y + 3m − 3 = 0.

MN = 2 MH = 2 IM 2 − IH 2 = 2 4 − IH 2 . Ta có MN nhỏ nhất khi IH lớn nhất. Ta có IH = d ( I , ∆ ) =

( 4 − 4m )

. +1

m2 IH lớn nhất khi IH lớn nhất hay lớn nhất. 16m2 − 32m + 17 2

Xét hàm f ( m ) =

m2 −32m 2 + 34m ' . suy ra f m = ( ) 2 16m 2 − 32m + 17 (16m2 − 32m + 17 )

m f '(m)

17 16

−∞

−

+∞ −

17 16

f ( m) 1 16

1 16 0

Từ bảng ta có IH lớn nhất khi m =

17 17 . Vậy dây cung MN nhỏ nhất khi m = . 16 16

Câu 42: Chọn A. Đặt g ( x ) = 3x 4 − 8 x 3 − 6 x 2 + 24 x − m. Ta có số điểm cực trị của hàm số y = 3 x 4 − 8 x3 + 24 x − m bằng a + b. Với a là số điểm cực trị của hàm g ( x ) và b là số nghiệm đơn (bội lẻ) của phương trình g ( x ) = 0. Xét hàm số g ( x ) = 3x 4 − 8 x 3 − 6 x 2 + 24 x − m ta có

g ' ( x ) = 12 x3 − 24 x 2 − 12 x + 24 = 12 ( x + 1)( x − 2 )( x − 1) suy ra hàm số g ( x ) có 3 điểm cực trị. 19

Xét phương trình

g ( x ) = 0 ⇔ g ( x ) = 3x 4 − 8 x 3 − 6 x 2 + 24 x − m = 0 ⇔ 3x 4 − 8 x 3 − 6 x 2 + 24 x = m. Đồ thị hàm số y = g ( x ) có 7 điểm cực trị khi phương trình g ( x ) = 0 có đúng 4 nghiệm phân biệt tương đương với hai đồ thị hàm số y = 3 x 4 − 8 x3 − 6 x 2 + 24 x và y = m có 4 giao điểm phân biệt.

−1

−∞

f '( x) f ( x)

−

+∞

+∞ +

+∞ 13

−19 Từ bảng biến thiên ta có phương trình g ( x ) = 0 có 4 nghiệm phân biệt khi 8 < m < 13. Mà m ∈ ℤ nên m ∈ {9,10,11,12} . Vậy tổng các giá trị của tham số m là S = 9 + 10 + 11 + 12 = 42.

Câu 43: Chọn A. Ta có g ' ( x ) = ( 4 − 2 x ) . f ' ( 4 x − x 2 ) + x 2 − 6 x + 8 = ( 2 − x )  2 f ' ( 4 x − x 2 ) + 4 − x  .

4 − x > 0 Với x ∈ [1;3] thì  nên f ' ( 4 x − x 2 ) > 0. 2 3 ≤ 4 − ≤ 4 x x  Suy ra 2 f ' ( 4 x − x 2 ) + 4 − x > 0, ∀x ∈ [1;3] . Khi đó g ' ( x ) = 0 ⇔ x = 2 ∈ [1;3] . Bảng biến thiên

2 +

g '( x)

−

g ( 2)

g ( x)

g (1)

g ( 3)

Dựa vào bảng biến thiên suy ra max g ( x ) = g ( 2 ) = f ( 4 ) + 5 = 5 + 5 = 10. x∈[1;3]

Câu 44: Chọn B. Gọi h ( m ) là chiều cao của hai bể nước hình trụ đã cho ( h > 0 )

R là bán kính đáy của bể nước hình trụ mới ( R > 0 ) . Suy ra thể tích của bể nước hình trụ mới là V = π R 2 h. Vì thể tích của bể nước mới bằng tổng thể tích của hai bể nước hình trụ ban đầu nên

V = V1 + V2 ⇔ π R 2 h = π .12.h + π .1.22.h ⇔ R = 2, 44 ≈ 1,56m. Câu 45: Chọn C.

Gọi H là trung điểm của AB . Ta có ( SAB ) ∩ ( ABCD ) = AB mà SH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) Gọi I là tâm của hình vuông ABCD Dựng Ix / / SH khi đó Ix là trục của đường tròn ngoại tiếp đáy ABCD Do tam giác SAB đều nên trọng tâm G là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác SAB Dựng Gy ⊥ ( SAB ) , Gy / / HI , khi đó Gy là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB Khi đó Ix ∩ Gy = O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABCD và R = SO = GO 2 + GS 2 Ta có: GO =

a a 3 a 2 a 2 a 21 , SG = ⇒R= + = 2 3 4 3 6

Câu 46: Chọn D.

Gọi F , P, Q lần lượt là trung điểm AB, C ' D ', BD 21

C ' D ' ⊥ IP   ⇒ CD ' ⊥ ( FMP ) , ( FMP ) ≡ ( OIP ) C ' D ' ⊥ OI 

 NM ⊥ MP Kẻ NM / / C ' D '( N ∈ AA ' D ' D ) ⇒ NM ⊥ ( FMP ) ⇒   NM ⊥ MF

Do đó góc tạo bởi mặt phẳng ( MC ' D ') và ( MAB ) bằng góc 1800 − FMP

Đặt độ dài cạnh của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ là a. Ta có: MI =

a a , IP = , FP = AD ' = a 2. 6 2

Áp dụng pitago cho tam giác vuông MIP : MP = MI 2 + PI 2 = Ta có: MQ =

a 10 6

a 5a , QF = , áp dụng pitago cho tam giác vuông 6 2

MQF : MF = MQ 2 + QF 2 =

a 34 6

Áp dụng định lí hàm số côsin cho tam giác MFP

= cos FMP

7 85 MF 2 + MP 2 − FP 2 =− 2 MF .MP 85

Vậy côsin góc tạo bởi hai mặt phẳng ( MC ' D ') và ( MAB ) bằng

7 85 . 85

Câu 47: Chọn B. 3 . Mỗi cách chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh từ các đỉnh của đa giác sẽ tạo ra một tam giác và số tam giác là n ( Ω ) = C20

Gọi A là biến cố 3 đỉnh được chọn tạo thành một tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác đã cho. Ta có mỗi tam giác thuộc Ω thì có một trong 4 trường hợp sau: TH1: Cả 3 cạnh của tam giác là các cạnh của đa giác, trường hợp này không có tam giác nào. TH2: Chỉ có 2 cạnh của tam giác là cạnh của đa giác, khi đó đỉnh chung của 2 cạnh này sẽ là đỉnh của đa giác ban đầu, trường hợp này có 20 tam giác. TH3: Chỉ có 1 cạnh của tam giác là cạnh của đa giác khi đó ứng với mỗi cạnh bất ký của đa giác thì sẽ có 16 tam giác thỏa mãn, vậy trường hợp này sẽ có 20x16 = 320 tam giác. TH4: Không có cạnh nào của tam giác là cạnh của đa giác, khi đó tất cả các cạnh của tam giác đều là các đường chéo của đa giác. Từ đây ta có n ( A ) = n ( Ω ) − 20 − 320 = 800 tam giác.

Vậy xác suất để chọn được 3 đỉnh tạo thành tam giác không có cạnh nào của đa giác đã cho là n ( A ) 40 P ( A) = = . n ( Ω ) 57

Câu 48: Chọn A. Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng y = m và đồ thị hàm số y = x3 − 3 x 2 là x3 − 3x 2 − m = 0 (*) . Gọi x1 , x2 , x3 ( x1 < x2 < x3 ) lần lượt là 3 nghiệm của (*), theo giả thiết ta giả sử A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) , C ( x3 ; y3 ) khi đó

AB = 2 BC ⇔ x2 − x1 = 2 x3 − x2

⇔ x2 − x1 = 2 ( x3 − x2 ) ⇔ x1 − 3 x2 + 2 x3 = 0 ⇔ x1 + x2 + x3 = 4 x2 − x3 ⇔ x3 = 4 x2 − 3 (theo ĐL Vi-et cho PT(*) có x1 + x2 + x3 = 3). 3

Thay nghiệm x3 = 4 x2 − 3 vào (*) ta có phương trình ( 4 x2 − 3) − 3 ( 4 x2 − 3) = m Lại có x2 cũng là nghiệm của (*) nên x23 − 3 x22 = m do đó ta có phương trình

( 4 x2 − 3)

− 3 ( 4 x2 − 3) = x23 − 3 x22

⇔ 64 x23 − 144 x22 + 108 x2 − 27 − 3 (16 x22 − 24 x2 + 9 ) = x23 − 3 x22

⇔ 63 x23 − 189 x23 + 180 x2 − 54 = 0 ⇔ 7 x23 − 21x23 + 20 x2 − 6 = 0

 7+ 7  x2 = 7  ⇔  x2 = 1  x = 7 − 7  2 7 Với x2 = 1 suy ra x3 = 1 (loại). Với x2 =

7± 7 48 ± 20 7 . ⇒m=− 7 49

Thử lại trực tiếp ta thấy m = −

98 + 20 7 98 − 20 7 và m = − là thỏa mãn được yêu cầu bài toán. 49 49

 98 − 20 7 98 + 20 7  Vậ y S =  − ;−  và tổng các phần tử thuộc tập S là −4. 49 49   23

Câu 49: Chọn B.

Xét hai tam giác: ∆SAC ; ∆SAB có:

SA chung. AB = AC ; ∠SAB = ∠SAC = 300 ⇒ ∆SAB = ∆SAC ⇒ SB = SC. Suy ra tam giác ∆SBC ; ∆ABC cân.

 BC ⊥ SI Gọi I là trung điểm của BC ta có  ⇒ BC ⊥ ( SAI ) ⇒ ( SAI ) ⊥ ( ABC )  BC ⊥ AI Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên AI ⇒ SH ⊥ ( ABC ) Xét tam giác ∆SAB ta có: SB 2 = SA2 + AB 2 − 2 SA.2 B.cos ∠SAB = 48 + 16 − 2.4 3.4.cos 300 = 16 ⇒ SB = SC = 4 Suy ra ∆SBC = ∆ABC ( c.c.c ) ⇒ AI = SI = AB 2 − BI 2 = 16 − 1 = 15 Tam giác ∆SIA cân tại I . Gọi J là trung điểm của SA ta có: IJ = AI 2 − JA2 = 15 − 12 = 3 Ta lại có S ∆SIA = Ta có: S ∆ABC =

1 1 3.4 3 12 IJ .SA = = IJ .SA = SH . AI ⇒ SH = 2 2 AI 15 15

1 1 1 12 . 15 = 4. AI .BC = 15 ⇒ VS . ABC = SH .S ∆ABC = . 2 3 3 15

Xét hình chóp T .G1G2G3 có: 2

1 1 4 1 4 4 16 2 2 1 VT .G1G2G3 = TK .S ∆G1G2G3 = . SH .   .S ∆IMN = . SH .   S ∆ABC = VS . ABC = 3 3 3 3 3 27 27 3 3 4 Suy ra a = 16; b = 27 ⇒ P = 2a − b = 5.

Câu 50: Chọn D.

Gọi I là giao điểm của AA ' và CN ; J là giao điểm của A ' B ' và IB suy ra I đối xứng với A qua A ' và J là trung điểm của IB. Gọi K là giao điểm của AA ' và PM suy ra AK = BP 25

2 AA ' OB BP 3 1 = = = ⇒ OI = 4OB ⇒ d ( I , ( MPC ) ) = 4d ( B; ( MPC ) ) ∆OBP ∼ ∆OIK ⇒ OI IK 8 AA ' 4 3 1 1 1 1 1 VCMNP = d ( N , ( MPC ) ) .S ∆MPC = . d ( I , ( MPC ) ) .S ∆MPC = . .4d ( B, ( MPC ) ) .S ∆MPC = 2VPMBC 3 3 2 3 2

V 1 1 2 1 VPMBC = d ( P, ( MBC ) ) .S MBC = . d ( B ', ( MBC ) ) . S ∆ABC = 3 3 3 2 9 2 ⇒ VCMNP = V 9

SỞ GD & ĐT NAM ĐỊNH

KỲ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC KÌ I

------------------

NĂM HỌC 2020 – 2021 MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 90 phút không kể thời gian phát đề

Câu 1: Cho hàm số bậc ba y = ax3 + bx 2 + cx + d có đồ thị là đường cong trong hình bên. Hàm số đã cho đạt cực đại tại điểm nào dưới đây?

A. x = −6.

B. x = −1.

C. x = 2.

D. x = 3.

Câu 2: Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông tại B, AB = a, SA = a 3 và SA vuông với mặt phẳng đáy (tham khảo hình bên). Góc giữa SB và mặt phẳng đáy bằng

A. 900.

B. 600.

C. 450.

Câu 3: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

D. 300.

Số đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f ( x ) là

A. 3.

B. 2.

C. 1.

D. 0.

Câu 4: Cho hình trụ có bán kính đáy r = 3 và độ dài đường sinh l = 1. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng A. 3π .

B. 9π .

C. 24π .

D. 6π .

Câu 5: Cho khối lăng trụ ABCD. A ' B ' C ' D ' có chiều cao h = 9. Đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng 2. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng A. 18.

B. 36.

Câu 6: Tập xác định của hàm số y = log A. [ 0; +∞ ) .

B. R \ {0} .

C. R.

D. ( 0; +∞ ) .

C. ( 5; +∞ ) .

D. ( −2; +∞ ) .

C. y = −2.

D. x = 3.

1 là 25

B. ( −1; +∞ ) .

Câu 8: Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = A. x = 2.

D. 6.

x là:

Câu 7: Tập nghiệm của bất phương trình 5 x > A. ( 2; +∞ ) .

C. 12.

3x − 1 x+2

B. x = −2.

Câu 9: Cho khối nón có bán kính đáy r = 1 và chiều cao h = 3. Thể tích của khối nón đã cho bằng A.

2 2π . 3

B. π .

C. 2 2π .

D. 3π .

C. x = 0.

D. x = 1.

C. −1.

D. 0.

Câu 10: Nghiệm của phương trình 2 x +1 = 4 là A. x = 2.

B. x = −1.

Câu 11: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng

A. 1.

B. 2.

Câu 12: Tập xác định của hàm số y = x −2 là: 2

A. [ 0; +∞ ) .

B. ℝ.

C. ( 0; +∞ ) .

D. ℝ \ {0} .

Câu 13: Cho khối lập phương có cạnh bằng 5. Thể tích của khối lập phương đã cho bằng A. 125.

B. 15.

C. 25.

D. 50.

Câu 14: Cho khối chóp có diện tích đáy B = 12 và chiều cao h = 6. Thể tích khối chóp đã cho bằng A. 72.

B. 24.

C. 36.

D. 6.

C. ( −1; +∞ ) .

D. ( −∞; 2 ) .

Câu 15: Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên như sau

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. ( 2; +∞ ) .

B. ( −1; 2 ) .

Câu 16: Cho khối trụ có bán kính đáy r = 6 và chiều cao h = 2. Thể tích của khối trụ đã cho bằng A. 72π .

B. 18π .

C. 24π .

D. 36π .

C. x = 10.

D. x = 5.

Câu 17: Nghiệm của phương trình log 3 ( 2 x − 1) = 2 là A. x = 4.

B. x =

11 . 2

Câu 18: Cho hình nón có bán kính đáy r = 2 và độ dài đường sinh l = 4. Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng A. 8π .

B. 3π .

C. 16π .

Câu 19: Đồ thị của hàm số nào sau đây có dạng như đường cong trong hình vẽ dưới?

D. 9π .

A. y = x3 + 1.

B. y =

3x + 2 . x+2

C. y = x 4 + 2 x 2 + 1.

D. y = x 4 − 2 x 2 + 1.

Câu 20: Cho a là số thực dương và m, n là các số thực tùy ý. Khẳng định nào dưới đây đúng? A. a m .a n = a m + n .

B. a m + a n = a m + n .

C. a m .a n = a mn .

D. a m + a n = a mn .

Câu 21: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ và có bảng xét dấu của f ' ( x ) như sau:

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. 3.

B. 1.

C. 2.

D. 0.

Câu 22: Tập nghiệm của bất phương trình log 1 ( x − 1) > −1 là 5

A. ( 0; 6 ) .

B. ( 6; +∞ ) .

Câu 23: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình 2 x A. 0.

C. (1;6 ) . 2

−3 x − 3

B. −3.

D. ( −∞; 6 ) .

= 8− x bằng

C. 3.

D. 2 3.

Câu 24: Cắt hình nón đỉnh S bởi một mặt phẳng qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng 2. Thể tích của khối nón tạo bởi hình nón đã cho bằng A.

2π . 3

4π . 3

C. π .

π 3

Câu 25: Cho a, b là những số dương và a khác 1. Khẳng định nào dưới đây đúng? A. log a6 ( ab ) =

1 1 + log a b. 6 6

B. log a6 ( ab ) =

1 1 + log a b. 5 6

1 D. log a6 ( ab ) = log a b. 6

C. log a6 ( ab ) = 6 + 6 log a b. Câu 26: Tính đạo hàm của hàm số y = 31− x. A. y ' = −31− x.

B. y ' = 3−1x.ln 3.

C. y ' = 31− x.

D. y ' = −31− x.ln 3.

Câu 27: Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình f ( x ) = −2 là

A. 3.

B. 1.

C. 0.

D. 2.

Câu 28: Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng ( −∞; +∞ ) ? A. y =

x+5 . x−2

B. y =

x−2 . x+3

C. y = x 3 + 3 x.

D. y = − x 3 − 3 x.

Câu 29: Cho khối chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và tam giác SAC là tam giác cân (tham khảo hình bên). Tính thể tích V của khối chóp đã cho.

A. V = a 3 2.

B. V =

a3 . 3

Câu 30: Cho a là số thực dương, a ≠ 1 và P = log A. P = 2.

C. V =

a3 2 . 3

D. V = a 3 .

a 4 . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

B. P = 6.

C. P = 4.

D. P = 8.

Câu 31: Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC. A ' B ' C ' có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 4a (tham khảo hình vẽ bên). Thể tích của khối trụ đã cho bằng

A. a 3 .

B. 3a 3 .

3a 3 . 3

D. 2 3a 3 .

Câu 32: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AC = 5a, AA ' = 3a (tham khảo hình bên). Khoảng cách từ C ' đến mặt phẳng ( A ' BC ) bằng

3a . 4

B. 3a.

3a . 2

Câu 33: Số giao điểm của đồ thị hàm số y = x 3 − x và trục hoành là A. 1.

B. 3.

C. 0.

D. 2.

Câu 34: Cắt hình trụ bởi một mặt phẳng đi qua trục ta được thiết diện là một hình vuông có diện tích bằng 4. Thể tích của khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho bằng A. 8π .

2π . 3

C. 2 2π .

D. 2π .

Câu 35: Giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) = x3 − 3x + 1 trên đoạn [ 0; 2] bằng A. −2.

B. 1.

C. −1.

D. 3.

Câu 36: Cho hình nón có chiều cao bằng 4. Một mặt phẳng đi qua đỉnh hình nón và cắt hình nón theo một thiết diện là tam giác vuông có diện tích bằng 32. Thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đó bằng

A. 32π . Câu 37: Cho hàm số y =

B. 64π .

C. 192π .

64π . 3

ax + 4 − b có đồ thị là đường cong trong hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? cx + d

A. a < 0, 0 < b < 4, c < 0.

B. a > 0, b > 4, c < 0.

C. a > 0, 0 < b < 4, c < 0.

D. a > 0, b < 0, c < 0.

Câu 38: Cho khối chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành. M là trung điểm của SC. Mặt phẳng qua AM và song song với BD chia khối chóp thành hai phần, trong đó phần chứa đỉnh S có thể tích V1 , phần còn lại có thể V tích V2 (tham khảo hình vẽ bên). Tính tỉ số 1 . V2

V1 1 = . V2 3

V1 = 1. V2

V1 2 = . V2 7

V1 1 = . V2 2

1 Câu 39: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = x 3 − mx 2 + 16 x + 10 đồng biến trên khoảng 3 ( −∞; +∞ ) ?

A. 7.

B. 10.

C. 9. 7

D. 8.

Câu 40: Cho a, b, c là các số thực dương khác 1. Đồ thị hàm số y = a x , y = log b x, y = log c x được cho trong hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. c < a < b.

B. c < b < a.

C. b < a < c.

(

Câu 41: Biết rằng tập nghiệm của bất phương trình 3 + 5

) + (3 − 5 )

D. b < c < a. x

< 3.2 x là khoảng ( a; b ) , hãy tính

S = b − a.

A. S = 1.

B. S = 4.

C. S = 3.

D. S = 2. x + 21

 7  x +3 m Câu 42: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈ [ −2020; 2020] để hàm số y =   đồng biến trên 9 khoảng ( 3; +∞ ) ? A. 2015.

B. 8.

C. 2014.

D. 9.

Câu 43: Cho khối chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 2. Tam giác SAB là tam giác đều, tam giác SCD vuông tại S (tham khảo hình vẽ bên). Tính thể tích V của khối chóp đã cho.

A. V =

2 3 . 3

B. V = 2 3.

C. V =

4 3 . 3

D. V =

8 3 . 3

Câu 44: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm trên ℝ. Đồ thị của hàm số y = f ' ( x ) trên đoạn [ −2; 2] là đường cong trong hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. max f ( x ) = f (1) .

B. max f ( x ) = f ( −2 ) .

C. min f ( x ) = f (1) .

D. max f ( x ) = f ( 2 ) .

[ −2;2]

Câu 45: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 2. Các điểm M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và CD, SA = 5 và SA vuông góc với mặt phẳng đáy (tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng SN và DM bằng

10 . 2

5 . 10 2− x2 − 2 x + m 2

10 . 10

10 . 5

10 , với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị 3 nguyên của m để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x ∈ [ 0; 2] ?

Câu 46: Cho bất phương trình 3

A. 10.

x2 − 2 x + m − 2

B. 15.

C. 9.

D. 11.

Câu 47: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y = x3 − 9 x 2 + ( m + 8 ) x − m có năm điểm cực trị? A. 14.

B. 15.

C. Vô số.

D. 13.

Câu 48: Cho hàm số bậc năm f ( x ) . Hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị là đường cong trong hình bên dưới. 9

Hàm số g ( x ) = f ( 7 − 2 x ) + ( x − 1) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. ( −2;0 ) .

B. ( −3; −1) .

C. ( 3; +∞ ) .

D. ( 2;3) .

= 900 , BAA ' = 600 , DAA ' = 1200 và Câu 49: Cho khối hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' có AA ' = 2 AB = 2 AD, BAD AC ' = 6. Tính thể tích của khối hộp đã cho.

A. V = 2.

B. V = 2 3.

C. V =

2 . 2

D. V = 2 2.

Câu 50: Cho hàm số y = f ( x ) = x 3 − 3x 2 có đồ thị là đường cong trong hình bên.

Phương trình

A. 4.

f ( f ( x )) − 4 2 f 2 ( x) + f ( x) +1

= −4 có bao nhiêu nghiệm?

B. 6.

C. 3.

D. 7.

BẢNG ĐÁP ÁN 1-B

2-B

3-A

4-D

5-B

6-D

7-D

8-B

9-B

10-D

11-A

12-D

13-A

14-B

15-A

16-A

17-D

18-A

19-C

20-A

21-C

22-C

23-A

24-D

25-A

26-D

27-A

28-C

29-C

30-D

31-B

32-D

33-B

34-D

35-C

36-B

37-C

38-D

39-A

40-D

41-D

42-B

43-A

44-A

45-C

46-A

47-A

48-D

49-A

50-D

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Chọn B. Câu 2: Chọn B. Góc giữa SB và mặt phẳng ( ABC ) bằng góc giữa SB và AB và bằng góc SBA.

= SA = 3 ⇒ SBA = 600. Tam giác SAB vuông tại A : tan SBA AB

Câu 3: Chọn A. Từ bảng biến thiên ta có lim y = −3, lim y = 5. Suy ra đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận là y = −3, y = 5. x →−∞

x →+∞

Câu 4: Chọn D. Diện tích xung quanh của hình trụ S = 2π rl = 6π .

Câu 5: Chọn B. S ABCD = 4. VABCD. A ' B ' C ' D ' = S ABCD .h = 4.9 = 36

Câu 6: Chọn D. Điều kiện xác định của hàm số đã cho là x > 0. Vậy hàm số có tập xác định là: ( 0; +∞ ) .

Câu 7: Chọn D. Ta có: 5 x >

1 ⇔ 5 x > 5− x ⇔ x > −2. 25

Vậy S = ( −2; +∞ ) .

Câu 8: Chọn B.

Vì lim+ x →−2

3x − 1 3x − 1 = −∞ (hoặc lim− = +∞ ) nên đường thẳng x = −2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã x →−2 x + 2 x+2

cho.

Câu 9: Chọn B. 1 1 Thể tích của khối nón đã cho bằng: V = π r 2 h = π .12.3 = π (đvtt) 3 3

Câu 10: Chọn D. Ta có: 2 x +1 = 4 ⇔ 2 x +1 = 22 ⇔ x + 1 = 2 ⇔ x = 1 Vậy phương trình có nghiệm là x = 1.

Câu 11: Chọn A. Từ bảng biến thiên suy ra giá trị cực tiểu của hàm số bằng 1.

Câu 12: Chọn D. Tập xác định của hàm số y = x −2 là: D = ℝ \ {0} .

Câu 13: Chọn A. Thể tích khối lập phương cạnh a là V = a 3 = 53 = 125.

Câu 14: Chọn B. 1 1 Thể tích khối chóp V = B.h = .12.6 = 24. 3 3

Câu 15: Chọn A. Dựa vào bảng biến thiên: Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −∞; −1) và ( 2; +∞ ) .

Câu 16: Chọn A. Thể tíc khối trụ là V = hπ r 2 = 2π .62 = 72π .

Câu 17: Chọn D. Ta có log 3 ( 2 x − 1) = 2 ⇔ 2 x − 1 = 32 ⇔ x = 5. Vậy nghiệm của phương trình là x = 5.

Câu 18: Chọn A. Diện tích xung quanh của hình nón đã cho là S xq = π rl = π .2.4 = 8π .

Câu 19: Chọn C. Vì đồ thị hàm số nằm hoàn toàn phía trên trục hoành nên hàm số luôn nhận giá trị dương với mọi giá trị của x, 2

mà y = x 4 + 2 x 2 + 1 = ( x 2 + 1) > 0 với mọi x 12

Vậy hàm số cần tìm là y = x 4 + 2 x 2 + 1.

Câu 20: Chọn A. Theo công thức nhân hai lũy thừa có cùng cơ số thì khẳng định đúng là A.

Câu 21: Chọn C. Do f ' ( x ) đổi dấu 2 lần nên hàm số đã cho có 2 điểm cực trị.

Câu 22: Chọn C. Điều kiện: x > 1 . Ta có:

log 1 ( x − 1) > −1 ⇔ log 1 ( x − 1) > − log 1 5

1 ⇔ log 1 ( x − 1) > log 1 5 ⇔ x − 1 < 5 ⇔ x < 6. 5 5 5

Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là S = (1; 6 ) .

Câu 23: Chọn A. 2x

− 3 x −3

= 8− x ⇔ 2 x

−3 x −3

= 2−3 x ⇔ x 2 − 3 x − 3 = −3 x ⇔ x 2 − 3 = 0

Câu 24: Chọn D.

Thiết diện qua trục là tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng 2 nên bán kính đáy của khối nón bằng chiều cao 2 của khối nón: r = h = = 1. 2

π 1 1 Thể tích khối nón là V = π r 2 h = π 12.1 = . 3 3 3 Câu 25: Chọn A. 1 1 1 1 1 Ta có: log a6 ( ab ) = log a ( ab ) = ( log a a + log a b ) = (1 + log a b ) = + log a b. 6 6 6 6 6 Chọn đáp án A.

Câu 26: Chọn D. Ta có: y ' = (1 − x ) '.31− x.ln 3 = −31− x.ln 3. Chọn đáp án D. 13

Câu 27: Chọn A. Ta có số nghiệm của phương trình f ( x ) = −2 chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x ) và đường thẳng y = −2. Dựa vào đồ thị ta có đường thẳng y = −2 cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) tại 3 điểm phân biệt nên phương trình

f ( x ) = −2 có 3 nghiệm thực phân biệt. Câu 28: Chọn C. Loại đáp án A vì tập xác định của hàm số là ℝ \ {2} Loại đáp án B vì tập xác định của hàm số là ℝ \ {−3} Chọn đáp án C vì y ' = 3 x 2 + 3 > 0 ∀x ∈ ℝ Loại đáp án D vì y ' = −3 x 2 − 3 < 0 ∀x ∈ ℝ

Câu 29: Chọn C. Ta có: AC = a 2, S ABCD = a 2 . Vì tam giác cân SAC tại A nên SA = a 2.

1 1 a3 2 . VS . ABCD = S ABCD .SA = .a 2 .a 2 = 3 3 3

Câu 30: Chọn D. P = log

a 4 = log 1 a 4 = a2

1 .4.log a a = 8. 1 2

Câu 31: Chọn B. Diện tích tam giác ABC là S =

a2 3 . 4

Thể tích khối lăng trụ là V = S . AA ' =

a2 3 .4a = 3a 3 . 4

Câu 32: Chọn D.

Gọi O = A ' C ∩ AC '. Ta có C ' O = AO ⇒ d ( C ', ( A ' BC ) ) = d ( A, ( A ' BC ) ) . Kẻ AH ⊥ A ' B (1) .

 BC ⊥ AB Ta có:  ⇒ BC ⊥ ( A ' AB ) ⇒ BC ⊥ AH ( 2 ) .  BC ⊥ AA ' Từ (1) và (2) ⇒ AH ⊥ ( A ' BC ) ⇒ d ( A, ( A ' BC ) ) = AH . Ta có AB = AC 2 − BC 2 = a. Suy ra

1 1 1 1 1 4 a 3 . = + = 2 + 2 = 2 ⇒ AH = 2 2 2 AH AA ' AB 3a a 3a 2

Vậy d ( C ', ( A ' BC ) ) =

a 3 . 2

Câu 33: Chọn B. Xét phương trình hoành độ giao điểm: x3 − x = 0 (1) x = 0 . Ta có: (1) ⇔ x ( x 2 − 1) = 0 ⇔   x = ±1 15

Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số đã cho có 3 điểm chung với trục hoành.

Câu 34: Chọn D.

Thiết diện là hình vuông có diện tích bằng 4 nên cạnh của thiết diện bằng 2. Khi đó, hình trụ có chiều cao h = 2 và đường kính đáy 2r = 2 ⇔ r = 1. Vậy, thể tích khối trụ là: V = π r 2 h = 2π .

Câu 35: Chọn C.  x = −1 ∉ ( 0; 2 ) Ta có f ' ( x ) = 3 x 2 − 3 = 0 ⇔   x = 1 ∈ ( 0; 2 )

f ( 0 ) = 1; f (1) = −1; f ( 2 ) = 3 Vậy min f ( x ) = −1 tại x = 1. [0;2]

Câu 36: Chọn B.

Vì tam giác SAB vuông tại S có diện tích bằng 32 nên

1 SA.SB = 32 ⇔ SA2 = 64 ⇔ SA = 8. 2

Mặt khác, tam giác SAO vuông tại O nên OA = SA2 − SO 2 = 4 3. 2 1 1 Do đó, V = π .OA2 .SO = π 4 3 .4 = 64π . 3 3

(

)

Câu 37: Chọn C. 16

Giao với trục tung là y =

4−b > 0 ⇒ 0 < b < 4. b

Giao với trục hoành là x =

b−4 <0⇒a >0 a

Câu 38: Chọn D.

Gọi O = AC ∩ BD, G = SO ∩ AM nên G là trọng tâm của ∆SAC suy ra

SG 2 = . SO 3

Mặt phẳng qua AM và song song với BD cắt mặt phẳng ( SBD ) theo giao tuyến là đường thẳng đi qua G song song với BD và cắt SB, SD lần lượt tại B ', D '. Ta có

SB ' SD ' SG 2 = = = . SB SD SO 3

VS . AB ' M SB ' SM 2 1 1 1 . = = . = ⇒ VSAB ' M = VSABCD . VS . ABC SB SC 3 2 3 6 Tương tự

VSAD ' M SD ' SM 2 1 1 1 = . = . = ⇒ VSAD ' M = VSABCD VSADC SD SC 3 2 3 6

1 2 V 1 V1 = VSAB ' M + VSAD ' M = VSABCD ⇒ V2 = VSABCD ⇒ 1 = 3 3 V2 2

Câu 39: Chọn C. Ta có y ' = x 2 − 2mx + 16. Để hàm số đồng biến trên ℝ ⇔ y ' ≥ 0∀x ∈ ℝ ⇔ x 2 − 2mx + 16 ≥ 0∀x ∈ ℝ.

⇔ m 2 − 16 ≤ 0 ⇔ −4 ≤ m ≤ 4. Mà m ∈ ℤ ⇒ m ∈ {±4; ±3; ±2; ±1; 0} . Vậy có 9 giá trị nguyên của m thỏa mãn đề bài.

Câu 40: Chọn D. Từ đồ thị các hàm số đã cho ta thấy: 17

Hàm số y = a x luôn đồng biến trên ℝ nên a > 1 . Hàm số y = log b x và y = log c x luôn nghịch biến trên (0; +∞) nên 0 < b; c < 1. Mặt khác, với mọi giá trị của x trong khoảng (1; +∞) thì log b x > log c x => b < c Do đó: 0 < b < c < 1 < a <=> b < c < a

Câu 41: Chọn D. x

(

Ta có 3 + 5

) + (3 − 5 )

 3+ 5   3− 5  < 3.2 ⇔   +  2  − 3 < 0 (1) 2     x

 3+ 5   3+ 5   3− 5  Đặt t =   điều kiện t > 0, vì   .   = 1 nên ta có  2   2   2 

 3− 5  1   = .  2  t

1 Khi đó (1) trở thành t + − 3 < 0 ⇔ t 2 − 3t + 1 < 0 (vì t > 0). t x

3− 5 3+ 5 3− 5  3+ 5  3+ 5 ⇔ <t < ⇒ <   < 2 ⇔ −1 < x < 1 2 3 2  2  Do đó bất phương trình có tập nghiệm là ( −1;1) từ đó suy ra a = −1, b = 1 Vậy S = b − a = 1 − ( −1) = 2.

Câu 42: Chọn B. x + 21

3m − 21  7  x +3m 7 .  ln , x ≠ −3m. Ta có y ' = 2  9 ( x + 3m )  9  Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( 3; +∞ ) khi và chỉ khi y ' > 0, ∀x ∈ ( 3; +∞ ) . x+2

m < 7 m < 7 7 3m − 21 < 0  7  x +3 m > 0 và ln < 0. ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ −1 ≤ m < 7. Vì   9 9 −3m ≤ 3 m ≥ −1 −3m ∉ ( 3; +∞ ) Kết hợp với điều kiện m là số nguyên và m ∈ [ −2020; 2020] suy ra m {−1, 0,1, 2,3, 4,5, 6} . Vậy có 8 giá trị nguyên của tham số m.

Câu 43: Chọn A.

Gọi E , F lần lượt là trung điểm của cạnh AB, CD. Vì ∆SAB là tam giác đều nên SE ⊥ AB và SA = SB. Vì SA = SB, EA = EB, FA = FB (do ABCD là hình vuông và F là trung điểm của CD ) nên ( SEF ) là mặt phẳng trung trực của AB và cũng là mặt phẳng trung trực của CD. Suy ra ( SEF ) ⊥ ( ABCD ) và SC = SD. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên EF . Vì CD ⊥ ( SEF ) nên CD ⊥ SH .

 SH ⊥ EF  Vì  SH ⊥ CD nên SH ⊥ ( ABCD ) .SH là đường cao của hình chóp S . ABCD. CD ∩ EF = F  SE là đường cao trong tam giác đều SAB nên SE =

2 3 = 3. 2

SF là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông cân SCD nên SF =

2 = 1. 2

Vì ABCD là hình vuông nên EF = 2. Xét ∆SEF có EF 2 = SE 2 + SF 2 nên ∆SEF vuông tại S . Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SEF . SH .EF = SE.EF ⇔ SH =

3 . 2

Thể tích khối chóp S . ABCD là

1 1 3 2 3 . V = .B.h = .2 2. = 3 3 2 3

Câu 44: Chọn A. Dựa vào đồ thị ta có bảng biến thiên:

−2

1 19

f '( x)

−

f (1)

f ( x)

Do đó max f ( x ) = f (1) . [ −2;2]

Câu 45: Chọn C.

Dựng hình bình hành DEFM ⇒ DM / / ( SEF ) và F là trung điểm của CM ⇒ d ( SN ; DM ) = d ( DM ; ( SEF ) ) = d ( D; ( SEF ) ) =

DE .d ( A; ( SEF ) ) AE

DE MF 1 1 1 = = ⇒ DE = . AE ⇒ d ( SN ; DM ) = d ( A; ( SEF ) ) . AD AD 4 5 5

5 5 Ta có AE = AD + DE = . AD = 4 2 2

5 3 Trong tam giác vuông ABF có AF = AB 2 + BF 2 = 2 2 +   = 2 2 Do đó tam giác vuông ABF cân tại A ⇒ AN ⊥ EF Mặt khác có SA ⊥ EF .

⇒ EF ⊥ ( SAK ) ⇒ ( SEF ) ⊥ ( SAK ) theo giao tuyến SN 20

Từ A hạ AH ⊥ SN ⇒ AH ⊥ ( SEF )

⇒ d ( A; ( SEF ) ) = AH

EF = DM = CD 2 + CM 2 = 22 + 12 = 5 2

 DM  Trong tam giác vuông ANF có AN = AF − NF = AF −   = 5  2  2

1 1 1 2 10 = 2+ = ⇒ AH = 2 2 AH SA AN 5 2 1 10 . ⇒ d ( SN ; DM ) = . AH = 5 10

Câu 46: Chọn A. Điều kiện: x 2 − 2 x + m ≥ 0 Đặt X =

2 − x2 − 2 x + m ( X ≤ 1) . 2 −

Bất phương trình ⇔ 3 X + 3 −

Xét hàm f ( X ) = 3 + 3 X

1 X

10 . 3

với ( −∞;1] .

1 − X1 f ' ( X ) = 3 ln 3 + 2 .3 ln 3 > 0, ∀X ≠ 0 X X

Bảng biến thiên:

−1

−∞

f '( X )

f (X )

10 3

+∞ 10 3 1

Từ bảng biến thiên ta có f ( X ) >

X ∈ ( −1; 0 ) ⇔ −1 <

1 10 ⇔ X ∈ ( −1;0 ) 3

2 − x2 − 2 x + m <0 2 21

⇔ 2 < x 2 − 2 x + m < 4 (*) Bất phương trình đã cho có nghiệm đúng với mọi x ∈ [ 0; 2] ⇔ bất phương trình (*) nghiệm đúng ∀x ∈ [ 0; 2] .

 x 2 − 2 x + m > 2 ∀x ∈ [ 0; 2]   ⇔  x 2 − 2 x + m < 4 ∀x ∈ [ 0; 2]  2  x − 2 x + m ≥ 0 ∀x ∈ [ 0; 2]  x 2 − 2 x + m > 4, ∀x ∈ [ 0; 2] ⇔ 2  x − 2 x + m < 16, ∀x ∈ [ 0; 2]  x 2 − 2 x > 4 − m, ∀x ∈ [ 0; 2] ⇔ 2 (I )  x − 2 x < 16 − m, ∀x ∈ [ 0; 2]

Xét hàm g ( x ) = x 2 − 2 x trên [ 0; 2]

g '( x) = 2x − 2 g '( x) = 0 ⇔ x = 1 x

g '( x) g ( x)

−

2 + 0

−1  4 − m < −1 Hệ bất phương trình ( I ) ⇔  16 − m > 0 m > 5 ⇔ ⇔ 5 < m < 16 m < 16

Mà m nguyên nên m ∈ {6;7;8;....;15} ⇒ có 10 giá trị của m thỏa mãn bài toán.

Câu 47: Chọn A. Xét hàm số f ( x ) = x3 − 9 x 2 + ( m + 8 ) x − m.

Để hàm số y = f ( x ) có năm điểm cực trị thì hàm số y = f ( x ) có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành. 22

Tức là đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. Hay x3 − 9 x 2 + ( m + 8 ) x − m = 0 (1) có ba nghiệm phân biệt. x = 1

(1) ⇔ 

2 h ( x ) = x − 8 x + m = 0

(1)

∆ 'h( x ) > 0 16 − m > 0  m < 16 . có ba nghiệm phân biệt ⇔  ⇔ ⇔ m − 7 ≠ 0 m ≠ 7 h (1) ≠ 0

Do m là số nguyên dương nên có 14 số nguyên m thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 48: Chọn D. Ta có g ' ( x ) = −2. f ' ( 7 − 2 x ) + 2 ( x − 1) . Cho g ' ( x ) = 0 ⇔ f ' ( 7 − 2 x ) = x − 1. 5 t 5 t − , ta được f ' ( t ) = − đây là phương trình hoành độ giao điểm giữa đồ thị hàm 2 2 2 2 5 t số y = f ' ( t ) và đường thẳng y = − . 2 2

Đặt t = 7 − 2 x ⇒ x − 1 =

5 t 5 t − , ta được f ' ( t ) = − đây là phương trình hoành độ giao điểm giữa hai hàm số 2 2 2 2 5 t y = f ' ( t ) và đường thẳng y = − . 2 2

Đặt t = 7 − 2 x ⇒ x − 1 =

Để hàm số g ( x ) = f ( 7 − 2 x ) + ( x − 1) đồng biến thì g ' ( x ) ≥ 0 ⇔ f ' ( t ) ≤

5 t − . 2 2

 −3 ≤ t ≤ −1  −3 ≤ 7 − 2 x ≤ −1  4 ≤ x ≤ 5 . Dựa vào đồ thị hàm số, ta có  ⇔ hay  1 ≤ t ≤ 3 1 ≤ 7 − 2 x ≤ 3 2 ≤ x ≤ 3

Câu 49: Chọn A.

Cách 1: = 900 nên là hình chữ nhật, lại có AB = AD nên ABCD là hình Ta có đáy ABCD là hình bình hành có BAD vuông.

Đặt AB = AD = x ta được AC = x 2 và AA ' = 2 x. Trong hình bình hành A ' ABB ' có AB '2 = x 2 + 4 x 2 − 2.x.2 x.cos1200 = 7 x 2 suy ra DC ' = x 7. Ta có AB '. AD = AB + AA ' . AD = AA '. AD = x.2 x.cos1200 = − x 2 do vậy DA.DC ' = x 2 từ đây ta có

(

)

1 . x.x 7.cos ADC ' = x 2 ⇔ cos ADC ' = 7 Trong tam giác ∆ADC ' ta có  1  AD 2 + DC '2 − 2 AD.DC '.cos ADC ' = 6 ⇔ x 2 + 7 x 2 − 2.x.x 7   = 6 ⇔ x = 1.  7

= 900 , BAA ' = 600 , DAA ' = 1200 và thể tích của khối tứ diện A ' ABD Từ đây ta có AB = 1, AD = 1, AA ' = 2, BAD được tính theo công thức VA '. ABD =

1 cos BAA 'cos DAA ' − cos 2 BAD − cos 2 BAA ' − cos 2 DAA ' AB. AD. AA ' 1 + 2 cos BAD 6

1 2 . = .1.1.2. 1 + 2 cos 600 cos1200 cos 900 − cos 2 600 − cos 2 1200 − cos 2 900 = 6 6 Do đó thể tích của khối hộp là Vhop = 6VA '. ABD = 2.

Cách 2: Đặt x = AB = AD, ( x > 0 ) thì AA ' = 2 x. Áp dụng định lý côsin trong tam giác ABA ', ta có 24

1 A ' B 2 = AB 2 + AA '2 − 2 AB. AA '.cos 600 = x 2 + 4 x 2 − 2.x.2 x. = 3 x 2 . 2 Suy ra AA '2 = AB 2 + A ' B 2 . Do đó tam giác ABA ' vuông tại B hay AB ⊥ BA '. Mà AB ⊥ BC (do AB ⊥ AD ) nên AB ⊥ ( BCD ' A ') . Vì vậy. V = 2VABA '. DCD ' = 2.3VA. A ' BC = 2 AB.S A ' BC . 2 1 BC 2 .BA '2 − BC.BA ' 2 Mà BC.BA ' = AD. AA ' − AB = AD. AA ' − AD. AB = x.2 x.cos1200 − 0 = − x 2 nên

(

Mặt khác, S A ' BC =

(

)

S A ' BC

1 2 2 2 x2 2 2 . = x .3 x − ( − x ) = 2 2

2x2 = 2 x3 . 2 Theo quy tắc hình hộp, AC ' = AB + AD + AA '. Suy ra 2 2 2 2 AC ' = AB + AD + AA ' + 2 AB. AD + AD. AA ' + AA '. AB

Do đó, V = 2 x.

(

)

1 1  ⇒ 6 = x 2 + x 2 + 4 x 2 + 2  0 − x.2 x. + 2 x.x.  ⇒ x = 1. 2 2  Vậy thể tích của khối hộp đã cho là V = 2.

Câu 50: Chọn D. Ta có

f ( f ( x )) − 4 2 f 2 ( x) + f ( x) +1

= −4 ⇔

f 3 ( x) − 3 f 2 ( x) − 4 2 f 2 ( x) + f ( x) +1

= −4

 f ( x) = 0  ⇔ f 3 ( x ) + 5 f 2 ( x ) + 4 f ( x ) = 0 ⇔  f ( x ) = −1.  f x = −4  ( ) x = 0  x = −1 Từ đồ thị hàm số đã vẽ ta có f ( x ) = 0 ⇔  và f ( x ) = −4 ⇔  . x = 3 x = 2

x = a Phương trình f ( x ) = −1 ⇔  x = b với a, b, c đôi một khác nhau và cùng khác với các phần tử thuộc tập  x = c

{−1;0; 2;3} . Vậy phương trình đã cho có 7 nghiệm. 25

SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC

KỲ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT KHỐI 12

TRƯỜNG THPT LIỄN SƠN

NĂM HỌC 2020 – 2021

------------------

MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 90 phút không kể thời gian phát đề

Câu 1: Cho a, b là hai số thực dương bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2

A. ln ( ab 2 ) = ln a + ( ln b ) .

B. ln ( ab ) = ln a.ln b.

C. ln ( ab 2 ) = ln a + 2 ln b.

D. ln

a ln a . = b ln b

Câu 2: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên ở hình vẽ. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng

x y' y

−1

−∞

−

+∞

A. 1.

+∞

B. 3.

C. −1.

D. 0.

Câu 3: Cho tập hợp A có 26 phần tử. Hỏi A có bao nhiêu tập con gồm 6 phần tử? 6 . A. A26

B. 26.

C. P6 .

6 . D. C26

Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ảnh của điểm M ( −6;1) qua phép vị tự tâm O tỷ số k = 2 là A. M ' (12; −2 ) .

B. M ' (1; −6 ) .

C. M ' ( −12; 2 ) .

D. M ' ( −6;1) .

Câu 5: Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên tập xác định của nó? A. y = ln x.

B. y = log 2 x.

C. y = log x.

D. y = log 5 x.

Câu 6: Phương trình 1 − cos 2 x = 0 có tập nghiệm là π  A.  + k 2π , k ∈ ℤ  . 2 

π  C.  + kπ , k ∈ ℤ  . 4 

B. {k 2π , k ∈ ℤ} .

D. {kπ , k ∈ ℤ} .

Câu 7: Thể tích của khối chóp có diện tích đáy bằng 10 và độ dài chiều cao bằng 3 là A. 30.

B. 5.

C. 6.

Câu 8: Cho cấp số nhân ( un ) , biết u1 = 1; u4 = 64. Công bội q của cấp số nhân bằng 1

D. 10.

A. q = 2.

B. q = 8.

Câu 9: Tập xác định của hàm số y = ( x 2 − x ) A. ℝ \ {0;1} .

−3

C. q = 4.

D. q = 2 2.

C. ℝ \ {0} .

D. ( −∞; 0 ) ∪ (1; +∞ ) .

là:

B. ( 0;1) .

Câu 10: Đồ thị hàm số nào sau đây có đường tiệm cận ngang? x A. y = . 2

1 C. y = . x

B. y = x + 3 x.

x2 − 2x . D. y = x −1

Câu 11: Cho hình chóp tứ giác S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh AB = a, SA ⊥ ( ABCD ) và SA = a. Thể tích của khối chóp S . ABCD bằng

a3 . 6

2a 3 .

a3 . 3

D. a 3 .

Câu 12: Chọn khẳng định sai. A. Mỗi đỉnh của khối đa diện là đỉnh chung của ít nhất 3 mặt. B. Hai mặt bất kỳ của khối đa diện luôn có ít nhất một đỉnh chung. C. Mỗi mặt của đa diện có ít nhất 3 cạnh chung. D. Mỗi cạnh của khối đa diện là cạnh chung của đúng 2 mặt của khối đa diện. Câu 13: Tập xác định của hàm số y = 3 − 2 x + 5 − 6 x là: 5 3 A.  ;  . 6 2

5  B.  −∞;  . 6 

5  C.  ; +∞  . 6 

3  D.  −∞;  . 2 

Câu 14: Khoảng nghịch biến của hàm số y = x3 − 3 x + 3 là ( a; b ) thì P = a 2 − 2ab bằng A. P = 4.

B. P = 1.

C. P = 3.

D. P = 2.

Câu 15: Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

A. y = x3 − 3 x 2 + 1.

B. y = x3 − 3 x 2 .

C. y = − x 3 + 3 x 2 + 1.

D. y = x3 + 3 x 2 + 1.

Câu 16: Biết rằng phương trình log 3 ( x 2 − 2020 x ) = 2021 có 2 nghiệm x1 , x2 . Tính tổng x1 + x2 . 2

A. x1 + x2 = 2020.

C. x1 + x2 = −20213.

B. x1 + x2 = −2020.

D. x1 + x2 = −32021.

Câu 17: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số y = f ( x ) có bao nhiêu cực trị?

A. 3.

B. 4.

Câu 18: Phương trình log 22 x = log 2 A. 9.

C. 6.

D. 5.

x4 có nghiệm là a, b. Khi đó a.b bằng 2

B. 1.

C. 4.

D. 16.

Câu 19: Hàm số nào sau đây không có cực trị? A. y = sin x.

B. y = x3 − 2 x 2 + 1.

C. y =

Câu 20: Tìm hoành độ các giao điểm của đường thẳng y = 2 x − A. x = 1; x = 2; x = 3.

B. x = −

11 . 4

x −1 . 3x

D. y = 2 x 4 + x 2 − 3.

13 x2 − 1 . với đồ thị hàm số y = 4 x+2

C. x = −

11 ; x = 2. 4

D. x = 2 ±

2 . 2

Câu 21: Hàm số y = x3 − 2 x, hệ thức liên hệ giữa giá trị cực đại ( yCD ) và giá trị cực tiểu ( yCT ) là: A. yCT = − yCD .

B. yCT =

3 yCD . 2

C. yCT = 2 yCD .

D. 2 yCT = yCD .

Câu 22: Đạo hàm của hàm số y = 7 x là A. y ' = 2 x ln 7.

B. y ' = 7 x .ln 7.

C. y ' = x.14 x .ln 7.

D. y ' = 2 x.7 x .ln 7

Câu 23: Cho lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác vuông cân tại B, BB ' = a và AC = a 2. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng A.

a3 . 6

B. a 3 .

a3 . 3

Câu 24: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số y =

a3 . 2

x −8 đồng biến trên từng khoảng xác định x−m

của nó?

A. 7.

B. 9.

C. 8. 3

D. 6.

Câu 25: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = A.

11 . 5

2x + 3 trên đoạn [ 0; 4] là x +1 7 C. . 5

B. 3.

D. 2.

Câu 26: Tìm giá trị của m để hàm số y = x3 − x 2 + mx − 1 có hai điểm cực trị. 1 A. m ≤ . 3

1 B. m < . 3

1 C. m ≥ . 3

1 D. m > . 3

Câu 27: Hàm số f ( x ) = log 3 ( 2 x + 1) có đạo hàm là A.

2 . ( 2 x + 1) ln 3

Câu 28: Phương trình 2 x A. 4.

B. 2

+ x −3

2 ln 3 . 2x +1

1 . ( 2 x + 1) ln 3

ln 3 . 2x +1

= 8 có hai nghiệm là a, b. Khi đó a + b bằng

B. −1.

C. 1.

D. −6.

Câu 29: Cho hình chóp tam giác S . ABC , gọi M , N lần lượt là trung điểm của SB và SC. Tỉ số thể tích của khối chóp S . AMN và S . ABC là 1 A. . 4

1 B. . 8

1 C. . 6

1 . 2

Câu 30: Cho đồ thị hai hàm số y = a x và y = log b x như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. a > 1, 0 < b < 1.

B. 0 < a < 1, 0 < b < 1.

C. a > 1, b > 1.

D. 0 < a < 1, b > 1.

Câu 31: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số y = f ( x ) đồng biến tren khoảng nào dưới đây ?

A. ( −2; 2 ) .

B. ( 2; +∞ ) .

C. ( 0; 2 ) .

D. ( −∞; 0 ) .

Câu 32: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) = x 3 ( x + 1) ( x − 2 ) . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 2.

B. 0.

C. 1.

D. 3.

Câu 33: Tập xác định của hàm số y = log12 ( x 2 − 5 x − 6 ) A. ( −1; 6 ) .

B. ( −∞; −1) ∪ ( 6; +∞ ) .

C. [ −1;6] .

D. ( −∞; −1] ∪ [ 6; +∞ ) .

Câu 34: Cho tứ diện ABCD có AB = CD. Mặt phẳng (α ) qua trung điểm của AC và song song với AB, CD cắt ABCD theo thiết diện là:

A. Hình vuông.

B. Hình thoi.

C. Hình tam giác.

D. Hình chữ nhật.

C. 7.

D. 8.

Câu 35: Số mặt phẳng đối xứng của hình lập phương là: A. 6. Câu 36: Cho hàm số y =

B. 9.

x − x2 + 2 x có đồ thị ( C ) . Giá trị của m để ( C ) có đúng hai tiệm cận thuộc tập x 2 + mx − m − 3

nào sau đây?

A. ( −2;1) .

B. (1;5 ) .

C. ( 5;8) .

D. ( −5; 2 ) .

Câu 37: Một cửa hàng bán bưởi Đoan Hùng của Phú Thọ với giá bán mỗi quả là 50.000 đồng. Với giá này thì cửa hàng chỉ bán được khoảng 40 quả bưởi. Cửa hàng này dự định giảm giá bán, ước tính nếu cửa hàng cứ giảm mỗi quả 5000 đồng thì số bưởi bán được tăng thêm 50 quả. Xác định giá bán để cửa hàng đó thu được lợi nhuận lớn nhất, biết rằng giá nhập về ban đầu mỗi quả là 30.000 đồng. A. 44.000 đ.

B. 41.000 đ.

C. 43.000 đ

D. 42.000 đ.

Câu 38: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC vuông tại A, AB = a 3, AC = AA ' = a. Sin góc giữa đường thẳng AC ' và mặt phẳng ( BCC ' B ') bằng

6 . 3

6 . 4

C. 5

3 . 3

10 . 4

Câu 39: Cho hình chóp tam giác S . ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh có độ dài là a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh bên SC tạo với mặt đáy một góc 300. Thể tích khối chóp

a3 . 4

a3 . 12

a3 3 . 3

a3 3 . 6

Câu 40: Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên ℝ \ {0} có bảng biến thiên như hình vẽ. Số nghiệm của phương trình f ( x ) + 1 = 0 là

−∞

y' y

−

+∞ −

+∞

−1

A. 3.

−∞

B. 0.

C. 1.

D. 2.

Câu 41: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ ( ABCD ) , SA = a 3. Gọi M là điểm trên đoạn SD sao cho MD = 2 MS . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CM bằng A.

a 3 . 2

2a 3 . 3

3a . 4

a 3 . 4

Câu 42: Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông đỉnh B, AB = a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SBC ) bằng

a . 2

a 2 . 2

a 6 . 3

D. a.

Câu 43: Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng 3a. Tính thể tích V của hình chóp đã cho. A. V = 4 7 a 3 .

B. V =

4 3 a. 3

C. V =

4 7a 3 . 3

D. V =

4 7a 3 . 9

Câu 44: Cho hàm số y = x3 − 3 x 2 + mx − 1 với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đạt cực trị tại hai điểm x1 ; x2 thỏa mãn x12 + x22 = 6.

A. 1.

B. −3.

C. 3.

Câu 45: Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = mx −

D. −1. 1 + 2 x3 đồng biến trên khoảng 3 x

( 0; +∞ ) là A. [ −9; +∞ ) .

B. ( −∞; −9 ) .

C. ( −9; +∞ ) . 6

D. ( −∞; −9] .

Câu 46: Tổng các nghiệm của phương trình log 22 ( 3x ) + log 3 ( 9 x ) − 7 = 0 bằng A. 84.

28 . 81

244 . 81

244 . 3

Câu 47: Cho phương trình 27 x + 3 x.9 x + ( 3 x 2 + 1) 3x = ( m3 − 1) x3 + ( m − 1) x, m là tham số. Biết rằng giá trị m nhỏ nhất để phương trình đã cho có nghiệm trên ( 0; +∞ ) là a + e ln b, với a, b là các số nguyên. Giá trị của biểu thức 17 a + 3b

A. 26.

B. 48.

C. 54.

D. 18.

Câu 48: Hình chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = 3, BC = 4, SC = 5. Tam giác SAC nhọn và nằm 3 trong mặt phẳng vuông góc với ( ABCD ) . Các mặt ( SAB ) và ( SAC ) tạo với nhau một góc α và cos α = . 29 Tính thể tích khối chóp S . ABCD A. 20.

B. 15 29.

C. 16.

D. 18 5.

Câu 49: Ba bạn tên Học, Sinh, Giỏi mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn [1;19] . Tính xác suất để ba số viết ra có tổng chia hết cho 3 A.

3272 . 6859

775 . 6859

1512 . 6859

2287 . 6859

Câu 50: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ có đồ thị như hình vẽ.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f

A. 5.

B. 2.

(

C. 4.

 π 4 + 2 f ( cos x ) = m có nghiệm x ∈  0;  .  2

)

D. 3.

ĐÁP ÁN 1-C

2-D

3-D

4-C

5-B

6-D

7-D

8-C

9-A

10-C

11-C

12-B

13-B

14-C

15-A

16-A

17-D

18-D

19-C

20-C

21-A

22-D

23-D

24-A

25-A

26-B

27-A

28-B

29-A

30-A

31-C

32-A

33-B

34-B

35-B

36-D

37-D

38-B

39-B

40-D

41-A

42-B

43-C

44-B

45-A

46-C

47-A

48-C

49-D

50-C

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Chọn C. ln ( ab 2 ) = ln a + ln b 2 = ln a + 2 ln b. Do đó câu A sai.

ln ( ab ) = ln a + ln b nên câu B sai. ln

a = ln a − ln b nên câu D sai. b

Câu 2: Chọn D. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy y ' đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x1 = −1 và x3 = 1. Mặt khác y ( −1) = y (1) = 0. Vậy giá trị cực tiểu của hàm số là 0.

Câu 3: Chọn D. 6 . Số các tập con bằng số tổ hợp chập 6 của 26: C26

Câu 4: Chọn C. Phép vị tự tâm O ( 0; 0 ) tỉ số k = 2 biến điểm M ( −6;1) thành điểm M ' ( x '; y ') thỏa mãn:

 x ' = −6.2  x ' = −12 ⇒ ⇒ M ' ( −12; 2 )   y ' = 1.2 y ' = 2 Câu 5: Chọn B. Hàm số y = log a x nghịch biến trên tập xác định khi 0 < a < 1. Vậy hàm số y = log 2 x nghịch biến trên tập xác định. 3

Câu 6: Chọn D. 8

Ta có 1 − cos 2 x = 0 ⇔ cos 2 x = 1 ⇔ 2 x = k 2π ⇔ x = kπ ( k ∈ ℤ ) . Vậy tập nghiệm của phương trình là {kπ , k ∈ ℤ} .

Câu 7: Chọn D. 1 1 Thể tích của khối chóp là V = Bh = .10.3 = 10 (đvtt). 3 3

Câu 8: Chọn C. Ta có: u4 = u1.q 3 , do đó q =

u4 3 64 = = 4. u1 1

Câu 9: Chọn A. Do hàm số y = ( x 2 − x )

−3

x ≠ 0 . có số mũ nguyên âm nên điều kiện xác định là x 2 − x ≠ 0 ⇔  x ≠ 1

Vậy tập xác định D = ℝ \ {0;1} .

Câu 10: Chọn C. + Ta có hàm số y = + Xét hàm số: y =

x và y = x3 + 3 x là hai hàm đa thức nên không có tiệm cận ngang. 2

1 x

1 1 = 0; lim = 0 nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng y = 0. x →+∞ x x →−∞ x

lim

+ Xét hàm số: y =

x2 − 2x x −1

x2 − 2x x2 − 2 x = +∞; lim = −∞ nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang. lim x →+∞ x − 1 x →−∞ x − 1

Câu 11: Chọn C. Ta có đáy là hình vuông ABCD nên diện tích đáy là B = a 2 , SA ⊥ ( ABCD ) nên đường cao h = SA = a. a2 1 Vậy thể tích của chóp V = Bh = . 3 3

Câu 12: Chọn B. Câu 13: Chọn B.

3  x≤  3 − 2 x ≥ 0 5  2 ⇔ ⇔ x≤ . Điều kiện:  6 5 − 6 x ≥ 0 x ≤ 5  6

5  Vậy tập xác định của hàm số là D =  −∞;  . 6 

Câu 14: Chọn C. Tập xác định D = ℝ. y ' = 3x 2 − 3

x = 1 y'= 0 ⇔   x = −1 BBT

−1

−∞

−

+∞ +

+∞

−∞

⇒ Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −1;1) do đó a = −1; b = 1 2

⇒ P = ( −1) − 2. ( −1) .1 = 3

Câu 15: Chọn A. Theo đồ thị trê ta có hàm số đang xét dạng y = ax3 + bx 2 + cx + d với a > 0, đồ thị đi qua điểm cực trị A ( 0;1) và B ( 2; −3) nên ta chọn đáp án A.

Câu 16: Chọn A. Điều kiện x 2 − 2020 x > 0 ⇔ x < 0 ∪ x > 2020. log 3 ( x 2 − 2020 x ) = 2021 ⇔ x 2 − 2020 x = 32021 ⇔ x 2 − 2020 x − 32021 = 0. Vậy phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 thỏa x1 + x2 = 2020.

Câu 17: Chọn D. Từ đồ thị hàm số ta suy ra hàm số có 5 điểm cực trị.

Câu 18: Chọn D. Điều kiện: x > 0 10

Phương trình log 22 x = log 2

x4 ⇔ log 22 x = log 2 x 4 + log 2 2 ⇔ log 22 x − 4 log 2 x − 1 = 0 2

 x = 2 2+  log 2 x = 2 + 5 ⇔ ⇔ 2−  log 2 x = 2 − 5  x = 2

Tích hai nghiệm là 22− 5.22+

5 5

= 24 = 16.

Câu 19: Chọn C. Xét hàm số y =

x −1 3 có y ' = 2 > 0, ∀x ∈ ℝ \ {0} . 3x 9x

Suy ra hàm số luôn đồng biến trên ( −∞;0 ) và ( 0; +∞ ) . Vậy hàm số y =

x −1 không có cực trị. 3x

Câu 20: Chọn C. 13 x2 − 1 Phương trình hoành độ giao điểm của y = 2 x − và y = là 4 x+2 2x −

13 x 2 − 1 = ⇔ ( x + 2 )( 8 x − 13) = 4 ( x 2 − 1) (với x ≠ −2) 4 x+2

11  x=−  ⇔ 4 x + 3 x − 22 = 0 ⇔ 4.  x = 2 2

Vậy hoành độ các giao điểm của hai đồ thị đã cho là x = −

11 ; x = 2. 4

Câu 21: Chọn A. Ta có y ' = 3 x 2 − 2, y " = 6 x.

 6 x = −   6 6 3 , y "  − y ' = 0 ⇔ 3x2 − 2 = 0 ⇔   = −2 6 < 0, y "   = 2 6 > 0.  6  3   3  x = 3  Suy ra hàm số đạt cực đại tại x = −

6 4 6 6 4 6 , yCD = . Hàm số đạt cực tiểu tại x = , yCT = − 3 9 3 9

Vậy: yCT = − yCD .

Câu 22: Chọn D.

( ) 2

Ta có y ' = 7 x ' = ( x 2 ) '.7 x .ln 7 = 2 x.7 x .ln 7 .

Câu 23: Chọn D.

a2 1 . Ta có AB 2 + BC 3 = AC 2 ⇒ AB = BC = a ⇒ S ABC = .a.a = 2 2 Vậy thể tích khối lăng trụ là V = S ABC .BB ' =

a2 a3 .a = . 2 2

Câu 24: Chọn A. Tập xác định của hàm số D = ℝ \ {m} ; y ' =

8−m

( x − m)

Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định ⇔ y ' > 0, ∀x ≠ m ⇔ 8 − m > 0 ⇔ m < 8. Vậy có 7 giá trị nguyên dương của m là 1; 2;3; 4;5;6; 7.

Câu 25: Chọn A. Ta có y ' = −

( x + 1)

Vậy ymin = y ( 4 ) =

< 0 với mọi x ∈ [ 0; 4]. Suy ra, hàm số luôn nghịch biến trên [ 0; 4] .

11 . 5

Câu 26: Chọn B. Ta có y ' = 3 x 2 − 2 x + m. Hàm số có hai điểm cực trị khi y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt.

1 ⇔ ∆ ' > 0 ⇔ 1 − 3m > 0 ⇔ m < . 3

Câu 27: Chọn A. 12

Ta có: f ' ( x ) = ( log 3 ( 2 x + 1) ) ' =

( 2 x + 1) ' = 2 ( 2 x + 1) ln 3 ( 2 x + 1) ln 3

Vậy đáp án đúng là đáp án A.

Câu 28: Chọn B. Phương trình 2 x

+ x −3

 x = −3 = 8 ⇔ x2 + x − 3 = 3 ⇔ x2 + x − 6 = 0 ⇔  1  x2 = 2

⇒ a + b = −3 + 2 = −1

Vậy a + b = −1.

Câu 29: Chọn A.

Ta có

VSAMN SM SN 1 = . = . VSABC SB SC 4

Câu 30: Chọn A. Nhận thấy hàm số mũ đồng biến và hàm số lôgarit nghịch biến trên tập xác định nên a > 1, 0 < b < 1.

Câu 31: Chọn C. Câu 32: Chọn A.

x = 0 f ' ( x ) = 0 ⇔ x ( x + 1) ( x − 2 ) = 0 ⇔  x = −1. Trong đó x = −1 là nghiệm bội chẵn.  x = 2 2

Bảng xét dấu:

−∞

−1

+∞

f '( x)

−

Đạo hàm đổi dấu 2 lần qua x = 0, x = 2 nên hàm số có 2 cực trị. Câu 33: Chọn B.  x < −1 . Điều kiện để hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi: x 2 − 5 x − 6 > 0 ⇔  x > 6

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D = ( −∞; −1) ∪ ( 6; +∞ ) .

Câu 34: Chọn B.

Gọi M là trung điểm của AC. Theo bài ta có M ∈ (α ) . Vì mặt phẳng (α ) qua trung điểm của AC và song song với AB, CD. Nên: - Từ M , kẻ đường thẳng song song với AB, cắt BC tại Q, khi đó MQ là đường trung bình của ∆ABC.  MQ / / AB  => Q là trung điểm của BC. =>  1 MQ = AB  2 QP / / CD  - Từ Q, kẻ đường thẳng song song với CD, cắt BD tại P. Tương tự ta cũng có  và P là trung 1 QP = 2 CD điểm của BD.

 MN / / CD  - Từ M , kẻ đường thẳng song song với CD, cắt AD tại N . Tương tự ta cũng có  và N là trung 1  MN = 2 CD  NP / / AB  điểm của AD. Khi đó suy ra NP / / AB và  . 1 NP AB =  2  MQ / / NP / / AB  MN / / PQ / / CD   Như vậy M , N , P, Q ∈ (α ) ,  và  (1) . 1 1  MQ = NP = 2 AB  MN = PQ = 2 CD

Câu 35: Chọn B. Có 9 mặt đối xứng của khối lập phương. Trong đó có 3 mặt phẳng đi qua trung điểm 4 cạnh song song với nhau chia khối lập phương thành 2 khối hộp chữ nhật.

Sáu mặt còn lại chia khối lập phương thành 2 khối lăng trụ tam giác bằng nhau.

Câu 36: Chọn D.

x − x2 + 2x −2 x = lim =0 Xét lim y = lim 2 x →+∞ x →+∞ x + mx − m − 3 x →+∞ x + x 2 + 2 x ( x 2 + mx − m − 3)

)

(

1 x − x + 2x x =0 = lim 2 Và lim y = lim 2 x →−∞ x →−∞ x + mx − m − 3 x →−∞ x + mx − m − 3 x + x 1+

Vậy hàm số luôn có một tiệm cận ngang.

Để đồ thị hàm số có đúng hai tiệm cận khi và chỉ khi đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng. Yêu cầu bài toán tương đương x 2 + mx − m − 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt trong đó một nghiệm bằng 0 hoặc x 2 + mx − m − 3 = 0 có một nghiệm duy nhất khác 0. Trường hợp 1: x 2 + mx − m − 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt trong đó một nghiệm bằng 0.

⇔ − m − 3 = 0 ⇔ m = −3

 m ≠ −3 Trường hợp 2: x 2 + mx − m − 3 = 0 có một nghiệm duy nhât khác 0 ⇔  2 ∆ = m + 4m + 12 = 0 Trường hợp này không tồn tại m. Vậy m = −3 ∈ ( −5; 2 ) . Ta chọn đáp án D.

Câu 37: Chọn D. Gọi x đồng ( 30 < x < 50 ) là giá bán bưởi mới để cửa hàng thu được lợi nhuận lớn nhất. Suy ra giá bán ra đã giảm là 50 − x đồng. Số lượng bưởi bán ra đã tăng thêm là

50 ( 50 − x )

= 500 − 10 x.

Tổng số bưởi bán được là 40 + 500 − 10 x = 540 − 10 x. 16

Doanh thu của cửa hàng là ( 540 − 10 x ) x. Số tiền vốn ban đầu để mua bưởi là ( 540 − 10 x ) 30. Vậy lợi nhuận của cửa hàng là ( 540 − 10 x ) x − ( 540 − 10 x ) 30 = −10 x 2 + 840 x − 16200. 2

Ta có: f ( x ) = −10 x 2 + 840 x − 16200 = −10 ( x − 42 ) + 1440 ≤ 1440. Suy ra max f ( x ) = 1440 khi x = 42. Vậy giá bán mỗi quả là 42.000 đồng thì cửa hàng thu được lợi nhuận lớn nhất.

Câu 38: Chọn B.

Trong mặt phẳng ( ABC ) kẻ AH ⊥ BC với H ∈ BC. Do BB ' ⊥ ( ABC ) ⇒ BB ' ⊥ AH . Suy ra AH ⊥ ( BCC ' B ') . Khi đó góc giữa đường thẳng AC ' và mặt phẳng ( BCC ' B ') là góc giữa đường thẳng AC ' và đường thẳng

HC ' hay là góc AC ' H . Ta có BC = AB 2 + AC 2 = 3a 2 + a 2 = 2a; AC ' = AC 2 = a 2 Khi đó trong tam giác ABC vuông tại A ta có: AH .BC = AB. AC ⇔ AH =

AB. AC a 3.a a 3 . = = BC 2a 2

a 3 6 AH . Trong tam giác AHC ' vuông tại H ta có: sin AC ' H = = 2 = 4 AC ' a 2

Câu 39: Chọn B. 17

= 300. Do SA ⊥ ( ABC ) nên góc giữa SC với mặt phẳng đáy là góc ( SC , AC ) = SCA

Trong tam giác vuông SAC : SA = AC. tan 300 = Diện tích tam giác ABC là S ∆ABC = Vậy thể tích hình chóp là VS . ABC

a 3 . 3

a2 3 . 4

1 1 a 3 a 2 3 a3 = SA.S ∆ABC = = . 3 3 4 4 12

Câu 40: Chọn D. Ta có f ( x ) + 1 = 0 ⇔ f ( x ) = −1 Từ BBT ta thấy phương trình f ( x ) = −1 có 2 nghiệm phân biệt.

Câu 41: Chọn A.

Ta có AB / / CD nên AB / / ( SCD ) , mà CM ⊂ ( SCD ) . Do đó d ( AB, CM ) = d ( AB, ( SCD ) ) = d ( A, ( SCD ) ) . Kẻ AH ⊥ SD CD ⊥ AD Ta có  ⇒ CD ⊥ ( SAD ) ⇒ AH ⊥ CD. CD ⊥ SA 18

Khi đó AH ⊥ ( SCD ) ⇒ d ( A, ( SCD ) ) = AH . 2

Xét tam giác SAD vuông tại A, AH =

Vậy d ( AB, CM ) =

SA2 . AD 2 = SA2 + AD 2

( a 3 ) .a (a 3) + a 2

a 3 . 2

Câu 42: Chọn B.

Kẻ AH ⊥ SB  BC ⊥ AB Ta có  ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ AH ⊥ BC.  BC ⊥ SA

Khi đó AH ⊥ ( SBC ) ⇒ d ( A, ( SBC ) ) = AH . Xét tam giác SAB vuông cân tại A, AH = Vậy d ( A, ( SBC ) ) =

SB a 2 . = 2 2

a 2 . 2

Câu 43: Chọn C.

= 2

a 3 . 2

Gọi O = AC ∩ BD. Vì S . ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SO ⊥ ( ABCD ) . Theo bài ra ta có: OA =

1 AC = a 2. 2

Xét tam giác SOA vuông tại O ta có: SO = SA2 − OA2 =

( 3a )

(

− a 2

)

= a 7.

Diện tích hình vuông ABCD bằng: S ABCD = ( 2a ) = 4a 2 .

1 1 4 7a 3 . Thể tích của khối chóp S . ABCD bằng: VS . ABCD = .SO.S ABCD = .a 7.4a 2 = 3 3 3

Câu 44: Chọn B. Tập xác định: D = ℝ. Ta có: y ' = 3 x 2 − 6 x + m Hàm số đã cho có cực trị ⇔ y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt. Hay: ∆ ' = 9 − 3m > 0 ⇔ m < 3. (1)

 x1 + x2 = 2  Khi đó y ' = 0 có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn:  m  x1.x2 = 3 2

Theo bài ra: x12 + x22 = 6 ⇔ ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 = 6 ⇔ 2 2 −

2m = 6 ⇔ m = −3 (thỏa mãn (1)). 3

Vậy với m = −3 thỏa mãn yêu cầu bài toán. 20

Câu 45: Chọn A. Ta có y ' = m +

3 + 6x2. x4

Hàm số đồng biến trên khoảng ( 0; +∞ ) ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ ( 0; +∞ ) ⇔ Mặt khác ∀x ∈ ( 0; +∞ ) ,

3 + 6 x 2 ≥ −m, ∀x ∈ ( 0; +∞ ) . 4 x

3  1  + 6 x 2 = 3  4 + x 2 + x 2  ≥ 9. 4 x x 

Vậy − m ≤ 9 ⇔ m ≥ −9.

Câu 46: Chọn C. Điều kiện x > 0. Ta có 2

log 22 ( 3 x ) + log 3 ( 9 x ) − 7 = 0 ⇔ (1 + log 3 x ) + 2 + log 3 x − 7 − 0 ⇔ log 32 x + 3log 3 x − 4 = 0 x = 3  log 3 x = 1 ⇔ ⇔ 1. x = log x = − 4  3 81  Vậy tổng các nghiệm bằng

244 . 81

Câu 47: Chọn A. Phương trình đã cho tương đương x 3

(3 )

+ 3 x. ( 3x ) + ( 3 x 2 + 1) .3x = ( m3 − 1) x 3 + ( m − 1) x 3

⇔ ( 3x + x ) + 3x + x = ( mx ) + mx (*) Xét hàm số f ( u ) = u 3 + u, f ' ( u ) = 3u 2 + 1 > 0, ∀u ∈ ℝ. Phương trình (*) tương đương f ( 3x + x ) = f ( mx ) 3x Nên 3 + x = mx ⇔ m = + 1, x > 0. x x

Xét hàm số g ( x ) = Ta có g ' ( x ) =

3x + 1, x > 0. x

3x ( x ln 3 − 1) ⇒ g ' ( x ) = 0 ⇔ x = log 3 e. x2

log 3 e 21

+∞

g '( x)

−

g ( x) g ( log 3 e ) x = 1 . Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi m ≥ g ( log 3 e ) = 1 + e ln 3 ⇒  b = 3

Câu 48: Chọn C.

Kẻ SH ⊥ AC ( H ∈ AC ) vì ∆SAC nhọn. ( SAC ) ∩ ( ABCD ) = AC Ta có  ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) .  SH ⊥ AC Kẻ MB ⊥ AC ⇒ MB ⊥ ( SAC ) ⇒ MB ⊥ SA, (1) . Ta có AC = SC = 5 nên ∆SAC cân tại C. Gọi E là trung điểm của SA nên SA ⊥ EC , kẻ MN / / EC ( N ∈ SA) nên SA ⊥ MN ( 2 ) . = α. Từ (1), (2) suy ra SA ⊥ ( MNB ) ⇒ BNM

Ta có

1 1 2 5 . = 1 + tan 2 α ⇒ tan α = −1 = 2 2 cos α 3  3     29 

Trong ∆ABC : MB =

AB.BC 2

AB + BC Trong ∆BMN : MN =

12 9 , AM = AB 2 − MB 2 = . 5 5

MB 18 5 . = tan α 25

9 25MN AM MN 5 9 Trong ∆SAC : = = = suy ra EC = = 2 5. AC EC 5 25 9 Ta có SA = 2SE = 2 SC 2 − EC 2 = 2 5 Và SH . AC = SA.EC ⇔ SH =

SA.EC 2 5.2 5 = = 4. AC 5

1 1 Vậy thể tích khối chóp là V = .SH .S ABCD = .4.3.4 = 16. 3 3

Câu 49: Chọn D. Mỗi bạn có 19 cách để viết ra số mình chọn nên không gian mẫu có n ( Ω ) = 193 = 6859 cách. Gọi A là biến cố 3 số được viết ra của 3 bạn có tổng là một số chia hết cho 3. Ta đặt S1 = {1; 4; 7;10;13;16;19} là tập hợp các số tự nhiên trong đoạn [1;19] khi chia cho 3 thì dư 1.

S2 = {2;5;8;11;14;17} là tập hợp các số tự nhiên trong đoạn [1;19] khi chia cho 3 thì dư 2. S3 = {3;6;9;12;15;18} là tập hợp các số tự nhiên trong đoạn [1;19] chia hết cho 3. Khi đó biến cố A xảy ra khi và chỉ khi các số của mỗi bạn viết ra cùng thuộc một tập Si ( i = 1; 2;3) hoặc ba số của 3 bạn viết ra thuộc về 3 tập phân biệt, khi đó ta có

n ( A ) = 73 + 63 + 7.6.6.6 = 2287 cách Vậy xác suất để ba số viết ra có tổng chia hết cho 3 là P ( A ) =

Câu 50: Chọn C.

n ( A) n (Ω)

2287 . 6859

 π Với x ∈  0;  ta có 0 < cos x ≤ 1 từ đồ thị suy ra −2 ≤ f ( cos x ) < 0.  2 Do vậy 0 ≤ 4 + 2 f ( cos x ) < 4 từ đây ta được 0 ≤ 4 + 2 f ( cos x ) < 2. Lại từ đồ thị ta có −2 ≤ f

(

)

4 + 2 f ( cos x ) < 2 suy ra phương trình f

(

)

4 + 2 f ( cos x ) = m có nghiệm khi và

chỉ khi −2 ≤ m < 2. Xét với m ∈ ℤ ta chọn m ∈ {−2; −1; 0;1} . Vậy có 4 giá trị nguyên của tham số m để phương trình f

(

 π 4 + 2 f ( cos x ) = m có nghiệm x ∈  0;  .  2

)