www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
TÍCH PHÂN CƠ BẢN
1
1
a ) I1 = ∫ x dx
N
HT. Tính các tích phân sau: 1
b) I 2 = ∫ (2 x + 1) dx c) I 3 = ∫ (1 − 4 x )3 dx
3
0
1
1
0
0
ẠO
TP .Q
0
U
0
Y
3
G
Đ
d ) I = ∫ ( x − 1)( x 2 − 2 x + 5)3 dx e) I 5 = ∫ (2 x − 3)( x 2 − 3x + 1)3 dx
0
1 4
= 0
Ư N
1
x4 4
H
1
a) I1 = ∫ x3 dx = 1
1 d (2 x + 1) 2
B
b) I 2 = ∫ (2 x + 1)3 dx Chú ý: d (2 x + 1) = 2dx ⇒ dx =
TR ẦN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Bài giải
1
=− 0
81 1 − = 10 16 8
2+
3
0
1
1 1 (2 x + 1) 4 3 (2 1) (2 x + d x + 1) = 2 ∫0 2 4
10
1
⇒ I 2 = ∫ (2 x + 1)3 dx =
00
0
1
C
ẤP
1 c) I 3 = ∫ (1 − 4 x)3 dx Chú ý: d (1 − 4 x) = −4dx ⇒ dx = − d (1 − 4 x ) 4 0 1
A
1 1 (1 − 4 x) 4 3 (1 − 4 x ) d (1 − 4 x ) = − 4 ∫0 4 4
=−
H
0
Í-
0
1
Ó
1
⇒ I 3 = ∫ (1 − 4 x)3 dx = − 1
81 1 + = −5 16 16
0
ÁN
-L
d) I 4 = ∫ ( x − 1)( x 2 − 2 x + 5)3 dx Chú ý d ( x 2 − 2 x + 5) = (2 x − 2) dx ⇒ ( x − 1)dx =
TO
1
⇒ I 4 = ∫ ( x − 1)( x 2 − 2 x + 5)3 dx =
Ỡ N
G
0
BỒ
ID Ư
⇒
1 ( x 2 − 2 x + 5) 4 2 4
1
= 162 − 0
1
1 ( x 2 − 2 x + 5)3 d ( x 2 − 2 x + 5) 2 ∫0
615 671 = 8 8
1 d ( x 2 − 2 x + 5) 2
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
H Ơ
N
Toàn bộ tài liệu thi đại học môn toán của thầy Lưu Huy Thưởng:
1
e) I 5 = ∫ (2 x − 3)( x 2 − 3 x + 1)3 dx Chú ý: d ( x2 − 3x + 1) = (2 x − 3)dx 0
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn 1
1
0
0
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
⇒ I 5 = ∫ (2 x − 3)( x 2 − 3 x + 1)3 dx = ∫ ( x 2 − 3 x + 1)
0
1 1 − =0 4 4
7
4
0
2
0
U
1
Y
N
HT2. Tính các tích phân sau:
1
1
TP .Q
a) I1 = ∫ xdx b) I 2 = ∫ x + 2dx c) I 3 = ∫ 2 x + 1dx 1
2
0
1
1
0
0
7
7
2 b) I 2 = ∫ x + 2dx = ( x + 2) x + 2 3 2
1
1 1 2 1 + x 2 d (1 + x 2 ) = ⋅ (1 + x 2 ) 1 + x 2 ∫ 20 2 3
1
-L
TO
G
0
Ỡ N
g) I 7 = ∫ x 2 x 3 + 1dx =
1
0
1 1 = 0+ = 3 3
1
1 x 2 − 2 x + 3d ( x 2 − 2 x + 3) ∫ 20
1 2 = − ⋅ ( x 2 − 2 x + 3) x ? − 2 x + 3 2 3
ID Ư
0
1
f) I 6 = ∫ (1 − x) x 2 − 2 x + 3dx = −
2 2 1 − 3 3
=
1 1 2 1 − x 2 d (1 − x 2 ) = − ⋅ (1 − x 2 ) 1 − x 2 ∫ 20 2 3
ÁN
0
0
1
Í-
H
0
1
4
ẤP
1
d) I 4 = ∫ x 1 + x 2 dx =
1
2+
4
1 26 1 1 2 2 x + 1dx = ∫ 2 x + 1d (2 x + 1) = ⋅ (2 x + z ) 2 x + 1 = 9 − = 3 3 20 2 3 0
C
0
2
16 38 = 3 3
A
c) I 3 = ∫
= 18 −
Ó
4
Ư N
B
0
2 3
00
=
10
0
1
2 x x 3
3
1
H
Bài giải
TR ẦN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
g) I 7 = ∫ x 2 x 3 + 1dx h) I 8 = ∫ ( x 2 − 2 x) x 3 − 3 x 2 + 2dx
e) I 5 = ∫ x 1 − x 2 dx = −
BỒ
Đ
0
G
0
a) I1 = ∫ xdx =
ẠO
d) I 4 = ∫ x 1 + x dx e) I 5 = ∫ x 1 − x dx f) I 6 = ∫ (1 − x) x 2 − 2 x + 3dx 2
1
=− 0
1
2 2 + 3 3
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
=
N
1
H Ơ
( x 2 − 3x + 1) 4 = 4
1
1 1 2 4 2 −2 x3 + 1d ( x3 + 1) = ⋅ ( x3 + 1) x 3 + 1 = ∫ 30 3 3 9 0
1
h) I 8 = ∫ ( x 2 − 2 x) x3 − 3 x 2 + 2dx = 0
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
1
1 x 3 − 3 x 2 + 2d ( x3 − 3 x 2 + 2) 3 ∫0
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
1
1 2 = ⋅ ( x 3 − 3 x 2 + 2) x 3 − 3 x 2 + 2 3 3
= 0− 0
4 2 4 2 =− 9 9
0
1
( x + 1) dx
x + 2x + 2
0
( x − 2)dx
e) I 5 = ∫
2
Y
1
d) I 4 = ∫
U
1
TP .Q
a) I1 = ∫
N
1 dx dx dx b) I 2 = ∫ c) I 3 = ∫ x 2x +1 −1 1 − 2 x 0
x2 − 4 x + 5
0
1
Đ
= 4−2 = 2 1 1
1
0
0
∫ −1 1
1
= −1 + 3 −1
B
dx 1 d (1 − 2 x ) =− ∫ = − 1 − 2x 2 −1 1 − 2 x 1 − 2x
TR ẦN
0
H
dx 1 d (2 x + 1) = ∫ = 2x +1 = 3 −1 2x +1 2 0 2x +1 0
b) I 2 = ∫
1
1
e) I 5 = ∫
x2 − 4 x + 5
=
1 d ( x 2 − 4 x + 5) = x2 − 4x + 5 2 ∫0 x 2 − 4 x + 5
-L
Í-
H
Ó
A
C
0
1
( x − 2)dx
2+
0
3
10
d) I 4 = ∫
G Ỡ N ID Ư
BỒ
1 1
d) I 4 = ∫ 0
0
1 dx dx xdx b) I 2 = ∫ c) I 3 = ∫ 2 x 1− 2x x +1 0 −1
TO
e
ÁN
HT 4. Tính các tích phân sau: a) I1 = ∫
1
00
1 d ( x 2 + 2 x + 2) = ∫ = x2 + 2 x + 2 2 2 x + 2x + 2 2 0 x + 2x + 2 ( x + 1)dx
ẤP
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
1
G
a) I1 = ∫
c) I 3 =
4
dx =2 x x
Ư N
4
ẠO
Bài giải
1
( x + 1) dx x−2 dx e) I 5 = ∫ 2 2 x + 2x + 2 x − 4x + 5 0
= 5− 2
0 1
= 2− 5 0
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
4
H Ơ
N
HT 3. Tính các tích phân sau:
Bài giải e
a) I1 = ∫ 1
dx = ln x x
e
= ln e − ln 1 = 1 1
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn 0
1
1 ln 3 = − (ln1 − ln 3) = 2 2 −1
1
( x + 1)dx 1 d ( x 2 + 2 x + 2) 1 = ∫ 2 = ln x 2 + 2 x + 2 d) I 4 = ∫ 2 x + 2x + 2 2 0 x + 2x + 2 2 0
0
0
1
x−2 1 d ( x 2 − 4 x + 5) 1 dx = = ln x 2 − 4 x + 5 x2 − 4x + 5 2 2 ∫0 x 2 − 4 x + 5
N
1 1 5 = (ln 5 − ln 2) = ln 2 2 2 1
0
1 1 2 = (ln 2 − ln 5) = ln 2 2 5
ẠO
1
e) I 5 = ∫
1
H Ơ
0
1 ln 2 = (ln 2 − ln1) = 2 2
Đ
HT 5. Tính các tích phân sau:
G Ư N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
1
0
1 dx dx dx b) c) I = I = 2 3 2 2 ∫ ∫ (3 x + 1) 2 x (2 x − 1) 0 −1
H
2
a) I1 = ∫
1
1 1 = − +1 = 2 2
0
0
=
1 1 1 − = 2 6 3
10
dx 1 d (2 x − 1) 1 1 ∫−1 (2 x − 1)2 = 2 −∫1 (2 x − 1)2 = − 2 ⋅ 2 x − 1
B
0
3
1
−1
1
1
2+
b) I 2 =
2
00
2
dx dx 1 a) I1 = ∫ 2 = ∫ 2 = − x x x 1 1
TR ẦN
Bài giải 2
1 1 1 dx 1 d (3 x + 1) 1 1 = ∫ =− ⋅ =− + = 2 2 12 4 6 3 3x + 1 0 (3 x + 1) 3 0 (3 x + 1) 0
H
Ó
A
C
ẤP
c) I 3 = ∫
Í-
HT 6. Tính các tích phân sau: 1
1
0
0
-L
1
1
ÁN
a) I 1 = ∫ e3 x dx b) I 2 = ∫ e x (2e x + 1)3 dx c) I 3 = ∫ e x (1 − 4e x )3 dx 0
TO
G Ỡ N ID Ư
BỒ
2
2
e 2 x dx e 2 x dx e x dx e) I = f) I = 5 ∫1 (e2 x − 1)2 6 ∫1 (1 − 3e2 x )3 ex + 1 0
d) I 4 = ∫
N
1
1
Y
0
1
xdx 1 d ( x 2 + 1) 1 = = ln x 2 + 1 2 2 ∫ x +1 2 0 x +1 2
U
1
c) I 3 = ∫
1
1
1
0
0
0
g) I 7 = ∫ e x 2e x + 1dx h) I 8 = ∫ e x 1 + 3e 2 x dx i) I 9 = ∫
e x dx ex + 1
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
dx 1 d (1 − 2 x) 1 ∫−1 1 − 2 x = − 2 −∫1 1 − 2 x = − 2 ln 1 − 2 x
TP .Q
0
b) I 2 =
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Bài giải 1
1 a) I 1 = ∫ e3 x dx = e3 x 3 0
1
= 0
e3 1 − 3 3
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
0
1
1 1 (2e x + 1)4 3 x x (2 e + 1) d (2 e + 1) = ⋅ 2 ∫0 2 4
1
0
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
2
H Ơ N Y
1
= ln(e + 1) − ln 2 = ln 0
2
ẠO
1
e x dx d (e x + 1) = = ln e x + 1 x x ∫ e + 1 e + 1 0 0
d) I 4 = ∫
e +1 2
Đ
0
G
1
1 (1 − 4e) 4 81 81 − (1 − 4e) 4 =− − = 4 4 4 16
1
Ư N
1 (1 − 4e x ) 4 =− ⋅ 4 4
U
0
1
3 1 (1 − 4e x ) d 91 − 4e x ) ∫ 40
TP .Q
1
c) I 3 = ∫ e x (1 − 4e x )3 dx = −
N
1 (2e + 1) 4 81 (2e + 1)4 81 = − = − 2 4 4 8 8
2
e 2 x dx 1 d (e 2 x − 1) 1 1 1 1 e2 = = − ⋅ = − + = 2(e 4 − 1) 2(e 2 − 1) 2(e 4 − 1) (e 2 x − 1) 2 2 ∫1 (e 2 x − 1)2 2 e2 x − 1 1 1
2
2
2
=
1
1 1 − 4 12(1 − 3e ) 12(1 − 3e 2 )
1
0
10
ex +1
0
1 8 = (1 + 3e2 ) 1 + 3e 2 − 9 9
1
= 2 ex + 1 = 2 e + 1 − 2
A
ex +1
d (e x + 1)
1
0
Í-
H
0
=∫
Ó
i) I 9 = ∫
1
e x dx
C
0 1
1
1 1 2 1 + 3e 2 x d (1 + 3e 2 x ) = ⋅ (1 + 3e 2 x ) 1 + 3e 2 x ∫ 60 6 3
ẤP
h) I8 = ∫ e x 1 + 3e 2 x dx =
1
3
0
1
1 1 1 2 2e x + 1d (2e x + 1) = ⋅ (2e x + 1) 2e x + 1 = (2e + 1) 2e + 1 − 3 ∫ 20 2 3 3 0
2+
1
g) I 7 = ∫ e x 2e x + 1dx =
00
B
e 2 x dx −1 1 d (1 − 3e 2 x ) 1 f) I 6 = ∫ = − =− ⋅ 2x 3 2x 3 ∫ 6 1 (1 − 3e ) 6 2(1 − 3e2 x ) 2 (1 − 3e ) 1
TR ẦN
H
e) I 5 = ∫
e
ÁN
-L
HT 7. Tính các tích phân sau: ln x dx x 1
TO
a) I1 = ∫
e
e
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
4 ln 3 x + 3ln 2 x − 2 ln x + 1 d) I 4 = ∫ dx e) I 5 = x 1 e
g) I 7 = ∫ 1
e
(3ln x + 1)3 dx x 1
3ln x + 1 dx x 1
b) I 2 = ∫
3ln x + 1dx x
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
e2
∫ e e
h) I 8 = ∫ 1
c) I 3 = ∫
dx x ln x
e
f) I 6 = ∫ 1
dx x (3ln x + 1)
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
1
b) I 2 = ∫ e x (2e x + 1)3 dx =
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
dx x 3ln x + 1
Bài giải
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn e
e
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
e
ln x ln 2 x dx = ∫ ln xd (ln x ) = x 2 1 1
a) I1 = ∫
= 1
ln 2 1 1 = 2 2
e 3ln 2 x e 3 5 3ln x + 1 dx = ∫ (3ln x + 1)d (ln x) = + ln x = + 1 − 0 = 2 x 2 1 2 1 1 e
e
e
∫ e
e
Đ G
e2
= ln(ln e 2 ) − ln(ln e) = ln 2 e
e
e
1
e
10
3
e
h) I8 = ∫
e
e
2+
1
e
16 2 14 3ln x + 1dx 1 1 2 = ∫ 3ln x + 1d (3ln x + 1) = ⋅ (3ln x + 1) 3ln x + 1 = − = x 31 3 3 9 9 9 1 4 2 2 dx 1 d (3ln x + 1) 1 = ∫ = ⋅ 2 3ln x + 1 = − = 3 3 3 x 3ln x + 1 3 1 3ln x + 1 3 1
A
C
HT 8. Tính các tích phân sau:
ẤP
e
g) I 7 = ∫
00
B
1 ln 4 dx 1 d (3ln x + 1) 1 f) I 6 = ∫ = ∫ = ln(3ln x + 1) = (ln 4 − ln1) = 3 3 x(3ln x + 1) 3 1 3ln x + 1 3 1 1
Ó
π
-L
0
d) I 4 = ∫
4
0
0
π
2
sin x dx cos x
e) I 5 = ∫ sin x 3cos x + 1dx 0
TO
0
π
2
π
ÁN
4
π
b) I 2 = ∫ sin 2 x cos xdx c) I 3 = ∫ sin 3 2 x cos 2 xdx
Í-
a) I1 = ∫ cos 2 x sin xdx
H
2
π
G Ỡ N ID Ư
π
π
cos3 x a) I1 = ∫ cos x sin xdx = − ∫ cos xd (cos x) = − 3 0 0 2
2
2
π
2
π
sin 3 x b) I 2 = ∫ sin x cos xdx = ∫ sin xd (sin x) = 3 0 0 2
2
2
2
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
2
f) I 6 = ∫ 0
Bài giải
BỒ
Ư N
∫
d (ln x ) = ln(ln x ) ln x
H
e) I 5 =
e2
TR ẦN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
1
dx = x ln x
N
H Ơ
e
4 ln 3 x + 3ln 2 x − 2 ln x + 1 dx = ∫ (4 ln 3 x + 3ln 2 x − 2 ln x + 1) d (ln x) x 1
= (ln 4 x + ln 3 x − ln 2 x + ln x = (1 + 1 − 1 + 1) − 0 = 2 e2
Y
1
64 1 85 − = 3 12 4
π 2
=
1 3
cos x dx 3sin x + 1
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
1
=
ẠO
e
d) I 4 = ∫
e
U
e
(3ln x + 1)3 1 1 (3ln x + 1)4 dx = ∫ (3ln x + 1)3 d (3ln x + 1) = ⋅ c) I 3 = ∫ x 31 3 4 1
TP .Q
e
N
b) I 2 = ∫
0
π 2
0
=
1 3
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn π
14 sin 4 2 x c) I 3 = ∫ sin 3 2 x cos 2 xdx = ∫ sin 3 2 xd (sin 2 x) = 20 8 0
0
4
= − ln
H Ơ
π
2 2 + ln1 = − ln 2 2
0
π
12 1 2 e) I 5 = ∫ sin x 3cos x + 1dx = ∫ 3cos x + 1d (3cos x + 1) = ⋅ (3cos x + 1) 3cos x + 1 30 2 3 0 cos x 1 2 d (3sin x + 1) 2 3sin x + 1 dx = ∫ = 3 0 3sin x + 1 3 3sin x + 1
f) I 6 = ∫
0
4 2 2 − = 3 3 3
H TR ẦN B
1
C
dx 3x + 1 0
0
1
0
dx 1 = − ln 1 − 3 x 1 − 3x 3 −1
1 ln 4 = (ln 4 − ln 1) = 3 3 0
1 ln 4 = − (ln1 − ln 4) = − 3 3 −1
Ỡ N
G
b) ∫ 1
ID Ư
Bài giải
Í-
TO
ÁN
-L
dx 1 = ln 3 x + 1 a) ∫ 3x + 1 3 0 0
1 3 1 c) ∫ − dx 2x +1 4 − 2x 0
dx 1 − 3x −1
b) ∫
H
Ó
A
a) ∫
2+
HT 1. Tính các tích phân sau:
3
1
dx
∫ ax + b = a ln ax + b + c
ẤP
I.DẠNG 1:
10
00
PHẦN II TÍCH PHẦN HÀM HỮU TỶ
1
BỒ
=
0
Ư N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
0
π 2
1 4 = − = −1 3 3
Đ
π
2
2
G
π
π
ẠO
2
1
3 3 3 3 1 1 1 1 − c) ∫ dx = ln 2 x + 1 + ln 4 − 2 x = ln 3 + ln 2 − ln1 + ln 4 2x + 1 4 − 2x 2 2 2 2 2 0 2 0
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
π
1 8
Y
4 sin x d (cos x) d) I 4 = ∫ dx = − ∫ = − ln(cos x) cos x cos x 0 0
=
N
π
4
4
U
π
π
N
4
TP .Q
π
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
HT 2. Tính các tích phân sau:
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
c) I 3 =
3
0
x3 − 3x + 2 x − 1 dx x−2
2
2 x − 3x + 4 x − 1 dx 1 − 2 x −1
∫
Y U
1
2
x 4 + 3x3 − 2 x 2 + 5 x − 1 5 1 dx = ∫ x 2 + 3 x − 2 + − 2 dx 2 x x x 1
TP .Q
2
a) I1 = ∫
N
Bài giải
Đ G TR ẦN
x3 x 2 1 1 1 1 = − − ln x − 2 = − − ln 1 − (− ln 2) = ln 2 − 6 3 2 0 3 2
0 2 2 x3 − 3x 2 + 4 x − 1 3 1 dx = −x + x − + dx ∫−1 ∫ 1 − 2x 2 2( −2 x + 1) −1 0
10
0
−1
2+
3
x3 x 2 3 1 = − + − x − ln −2 x + 1 4 3 2 2
00
B
c) I 3 =
dx + bx + c
A
2
Ó
∫ ax
H
II. DẠNG 2:
C
ẤP
1 1 1 3 1 ln 3 7 = − ln1 − + + − ln 3 = − 4 3 4 3 2 2 4
Í-
HT 3. Tính các tích phân sau( mẫu số có hai nghiệm phâm biệt): 1
-L
1
dx ( x + 1)( x + 2) 0
dx ( x + 1)(3 − x) 0
b) ∫
1
TO
ÁN
a) ∫
Bài giải 1
1
G
( x + 2) − ( x + 1) 1 dx 1 dx = ∫ =∫ − dx ( x + 1)( x + 2) 0 ( x + 1)( x + 2) x +1 x + 2 0 0
ID Ư
Ỡ N
a) ∫
BỒ
Ư N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
0
1
x3 − 3 x + 2 x − 1 1 dx = ∫ x 2 − x − dx x−2 x−2 0
H
1
b) I 2 = ∫
ẠO
2 x3 3 x 2 1 1 1 3 8 13 = + − 2 x + 5ln x + = + 6 − 4 + 5ln 2 + − + − 2 + 5ln1 + 1 = + 5ln 2 2 x 1 3 2 3 2 3 3
1
= ( ln x + 1 − ln x + 2 ) = ln 0 1
x +1 x+2
1
1
0
1
dx ( x + 1)(2 x + 3) 0
c) ∫
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
0
b) I 2 = ∫
N
1
1
x 4 + 3 x3 − 2 x 2 + 5 x − 1 dx x2
H Ơ
2
a) I1 = ∫
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
2 1 4 = ln − ln = ln 3 2 3 1
dx 1 ( x + 1) + (3 − x) 1 1 1 dx = ∫ = ∫ + dx ( x + 1)(3 − x) 4 0 ( x + 1)(3 − x) 4 0 3 − x x +1 0
b) ∫
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
1
1
1 x +1 1 − ln 3 − x + ln x + 1 ) = ln ( 4 4 3− x 0 1
0
1
1 1 ln 3 = ln1 − ln = − 4 4 3 1
H Ơ N Y
0
2 1 6 = ln − ln = ln 5 3 5
U
0
1
x +1 2x + 3
TP .Q
1
= ( ln x + 1 − ln 2 x + 3 ) = ln
N
dx (2 x + 3) − 2( x + 1) 2 1 dx = ∫ =∫ − dx ( x + 1)(2 x + 3) 0 ( x + 1)(2 x + 3) x +1 2x + 3 0 0
c) ∫
HT 4.Tính các tích phân sau: 0
dx 1 − 2 x − 3x 2 1
b) ∫
c) ∫
Đ
0
2
dx 2 2 x − 5x + 2 −1
dx 2 x − x − 12
ẠO
1
a) ∫
G
1
1
1
1 x−4 1 1 1 1 − dx = ( ln x − 4 − ln x + 3 ) = ln ∫ 7 0 x−4 x+3 7 7 x+3 0
0
10
1 3 4 1 9 ln − ln = ln 7 4 3 7 16 0
0
0
1 (2 x − 1) − 2( x − 2) dx dx dx =∫ = ∫ 1 ( x − 2)(2 x − 1) 3 −1 ( x − 2)(2 x − 1) 2( x − 2) x − −1 2
A
C
dx b) ∫ 2 = 2 x − 5 x + 2 −∫1 −1
ẤP
0
2+
3
=
1
00
B
=
Ư N
1
1 ( x + 3) − ( x − 4) dx dx a) ∫ 2 dx =∫ = ∫ x − x − 12 0 ( x + 3)( x − 4) 7 0 ( x + 3)( x − 4) 0
H
1
TR ẦN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Bài giải
0
H
Ó
1 1 2 1 − dx = ( ln x − 2 − ln 2 x − 1 ) ∫ 3 −1 x − 2 2 x − 1 3
0
−1
0
1 ln 2 = (ln 2 − ln1) = 3 3 −1
2
TO
ÁN
1 x−2 = = ln 3 2x −1
-L
Í-
=
2
2
2
1 3( x + 1) + (1 − 3 x) dx dx dx dx =∫ =∫ = ∫ 2 1 1 − 2 x − 3x ( x + 1)(1 − 3 x) 4 1 ( x + 1)(1 − 3 x) 1 1 −3( x + 1)( x − ) 1 3
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
c) ∫
2
2
1 1 3 1 1 x +1 = ∫ + dx = ( − ln 1 − 3 x + ln x + 1 ) = ln 4 1 − 3x 4 1 1 − 3x x + 1 4 1
2
= 1
1 3 1 3 (ln − ln1) = ln 4 5 4 5
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
=
HT 5. Tính các tích phân sau: (Mẫu số có nghiệm kép) 2
a) ∫ 1
dx x2
1
dx (3 x + 1) 2 0
b) ∫
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
0
dx (1 − 2 x ) 2 −1
c) ∫
0
dx 2 9x − 6x +1 −1
d) ∫
0
dx −16 x + 8 x − 1 −1
e) ∫
2
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Bài giải
2
1 1 = − +1 = 2 2
N
1
dx 1 1 =− ⋅ 2 (3x + 1) 3 (3x + 1) 0
1
0
0
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
0
0
0
0
Đ 1 1 1 =− + =− 5 4 20 −1
3
dx x +1
a) I1 = ∫
b) I 2 =
2
0
dx +3
2
2+ Ó
A
C
dx x2 + 1
0
Bài giải
ẤP
1
a) I1 = ∫
TO
ÁN
-L
Í-
H
π π Đặt: x = tan t t ∈ − ; 2 2 dt cos 2 t
G
Đổi cận: Với x = 0 ⇒ t = 0
ID Ư
Ỡ N
Với x = 1 ⇒ t =
π 4
π
π
4
4
π
4 dt dt ⇒ I1 = ∫ =∫ = ∫ dt = t 2 2 cos t (tan t + 1) 0 cos 2 t ⋅ 1 0 0 cos 2 t
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
2 2
c) I 3 =
dx 2 +3
∫ 2x 0
3
0
∫x
10
1
00
B
HT 6. Tính các tích phân sau: (Mẫu số vô nghiệm)
⇒ dx =
BỒ
0
TR ẦN
dx dx dx 1 1 = −∫ = −∫ = ⋅ 2 2 2 −16 x + 8 x − 1 (4 x − 1) 4 4x −1 16 x − 8 x + 1 −1 −1 −1
e) ∫
ẠO
1 1 1 = − − + = 3 12 4 −1
G
0
dx dx 1 1 =∫ =− ⋅ d) ∫ 2 2 9 x − 6 x + 1 −1 (3 x − 1) 3 3x − 1 −1
Ư N
0
TP .Q
1 1 1 = −− + = 2 6 3 −1
dx dx 1 1 =∫ =− ⋅ 2 2 (1 − 2 x) (2 x − 1) 2 2x −1 −1 −1
H
0
c) ∫
U
Y
0
1 1 1 = − − = 12 3 4
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
1
b) ∫
H Ơ
dx 1 =− 2 x x 1
N
2
a) ∫
π 4
=
π 4
0
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
∫x 0
dx +3
2
N
H Ơ
N
π π Đặt: x = 3 tan t Với t ∈ − ; 2 2
π
Đổi cận: Với x = 0 ⇒ t = 0 ;Với x = 3 ⇒ t =
Đặt: x =
x2 +
0
Đ H
TR ẦN
dx
∫
3 2
3 π π tan t Với t ∈ t ∈ − ; 2 2 2 6 dt 2 cos 2 t
ẤP
⇒ dx =
0
2 2
0
00
0
∫
1 = 3 2 2 x2 + 2
dx
3π 12
10
∫
2 2
=
3
c) I 3 =
dx = 2 x2 + 3
4
B
2 2
π
2+
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
3dt 34 dt 3 ⇒ I2 = ∫ = = t 2 2 ∫ 1 cos t (3 tan t + 3) 3 3 2 0 0 cos t ⋅ cos 2 t
G
π
4
ẠO
4
Ư N
π
TP .Q
U
Y
3dt cos 2 t
⇒ dx =
Ó
A
C
Đổi cận: Với x = 0 ⇒ t = 0 ; Với x =
H
π
π 2 ⇒t = 2 6 π
π 6
=
6π 36
0
ÁN
-L
Í-
dt 16 6dt 66 6 t ⇒ I3 = ∫ = = ∫ 2 0 2 cos 2 t ( 3 tan 2 t + 3 ) 6 0 cos 2 t ⋅ 1 6 2 2 cos 2 t
TO
HT 7. Tính các tích phân sau: (Mẫu số vô nghiệm) 0
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
a) I1 =
dx ∫−1 ( x + 1)2 + 1
2
dx 2 x − 4x + 8
Bài giải 0
a) I1 =
4
b) I 2 = ∫
0
dx x2 + x + 1
dx
∫ ( x + 1)
−1
1
c) I 3 = ∫
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
3
b) I 2 =
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
2
+1
π π Đặt: x + 1 = tan t Với t ∈ − ; 2 2
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
dt cos 2 t
4
=
0
π 4
4
2
ẠO
dx dx =∫ 2 x − 4 x + 8 2 ( x − 2) 2 + 4
b) I 2 = ∫
Đ G Ư N
Đổi cận:Với x = 2 ⇒ t = 0 ; Với x = 4 ⇒ t = π
4
4
π 4 π
00
π
TR ẦN
H
2dt cos 2 t
⇒ dx =
B
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
−π π Đặt: x − 2 = 2 tan t Với t ∈ ; 2 2
1
2+
3
10
2dt 1 dt 14 1 ⇒ I2 = ∫ = = dt = t 2 2 ∫ ∫ 1 cos t (4 tan t + 4) 2 0 cos 2 t ⋅ 20 2 0 cos 2 t 1
Ó
A
C
ẤP
dx dt =∫ c) I 3 = ∫ 2 2 x + x +1 0 1 3 0 x+ + 2 4
Í-
H
1 3 π π tan t Với t ∈ − ; = 2 2 2 2
-L
Đặt x +
ÁN
3 dt ⋅ 2 cos 2 t
TO
⇒ dx =
ID Ư
Ỡ N
G
Đổi cận: Với x = 0 ⇒ t =
BỒ
π
π 6
; Với x = 1 ⇒ t =
π 3
π 3
π
3dt 2 33 dt ⇒ I3 = ∫ = ∫ 3 3 3 π cos 2 t ⋅ 1 π 2 cos 2 t ( tan 2 t + ) 6 6 4 4 cos 2 t
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
π 4
0
=
π 8
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
4
H Ơ
4 4 dt dt ⇒ I1 = ∫ = = ∫0 dt = t cos 2 t (tan 2 t + 1) ∫0 cos 2 t ⋅ 1 0 cos 2 t
N
π
4
Y
π
4
U
π
N
π
Đổi cận: Với x = −1 ⇒ t = 0 ; Với x = 0 ⇒ t =
TP .Q
⇒ dx =
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn π
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
π
2 33 2 3 = dt = t ∫ 3 π 3
= π
2 3π 2 3π 2 3π − = 9 18 18
6
TP .Q
HT 8. Tính các tích phân sau: (Mẫu số có 2 nghiệm phân biệt) b) I 2 =
0
2 x + 10 ∫−1 − x 2 + x + 2 dx
c) I 3 =
−1
0
G Ư N
1
x −1 ( x − 1)dx dx = ∫ 2 ( x + 1)( x + 3) x + 4x + 3 0
x −1 A B Ax + A + Bx + 3B ( A + B) x + A + 3B = + = = ( x + 3)( x + 1) x + 3 x + 1 ( x + 3)( x + 1) ( x + 3)( x + 1)
B
Xét đồng nhất thức:
H
1
TR ẦN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Bài giải a) I1 = ∫
7 − 4x dx 2 − 3x + 2
∫ −2 x
ẠO
0
0
x −1 dx x2 + 4 x + 3
Đ
1
a) I1 = ∫
3
10
00
A+ B =1 A = 2 Đồng nhất thức hai vế ta được: = A + 3B = −1 B = −1 1
1
0
C
ẤP
2+
1 2 − Vậy, I1 = ∫ dx = ( 2 ln x + 3 − ln x + 1 ) x + 3 x +1 0
H
Ó
A
4 = (2 ln 4 − ln 2) − (2 ln 3 − ln1) = 2 ln − ln 2 3 0
0
Í-
2 x + 10 2 x + 10 ∫−1 − x 2 + x + 2 dx = −∫1 ( x + 2)(1 − x) dx
ÁN
-L
b) I 2 =
TO
Xét đồng nhất thức:
2 x + 10 A B A − Ax + Bx + 2 B ( B − A) x + A + 2 B = + = = ( x + 2)(1 − x) x + 2 1 − x ( x + 2)(1 − x) ( x + 2)(1 − x )
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
B − A = 2 A = 2 Đồng nhất thức hai vế ta được: ⇔ A + 2 B = 10 B = 4 0
4 2 + Vậy, I 2 = ∫ dx = ( 2 ln x + 2 − 4 ln 1 − x ) x + 2 1− x −1
0
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
N
mx + n dx 2 + bx + c
Y
∫ ax
U
III.Dạng 3:
H Ơ
N
6
3
−1
= (2 ln 2 − 4 ln1) − (2 ln1 − 4 ln 2) = 2 ln 2 + 4 ln 2 = ln 4 + ln16 = ln 64
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn 0
0
7 − 4x 7 − 4x ∫−1 −2 x 2 − 3x + 2 dx = −∫1 ( x + 2)(1 − 2 x)dx
7 − 4x A B A − 2 Ax + Bx + 2 B ( B − 2 A) x + A + 2 B = + = = ( x + 2)(1 − 2 x) x + 2 1 − 2 x ( x + 2)(1 − 2 x) ( x + 2)(1 − 2 x)
ẠO
−1
Đ
3 2
G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
= ( − ln1 + 2 ln 2) − ( − ln 3 + 3ln 2) = ln 3 − ln 2 = ln
0
0
H
0
(3x + 1) dx x2 + 2x +1
b) I 2 =
3x − 1 ∫−1 4 x 2 − 4 x + 1dx
00
10
0
1 1 1 3 (3 x + 1) dx 3x + 1 3( x + 1) − 2 2 dx dx dx = = = − 2 2 2 2 ∫ ∫ ∫ ( 1) 1 ( 1) x + 2 x + 1 0 ( x + 1) x + x + x + 0 0
3
z
B
Bài giải a) I1 = ∫
1
C
ẤP
2+
2 = 3ln x + 1 + = (3ln 2 + 1) − (3ln1 + 2) = 3ln 2 − 1 x +1 0 3 1 0 0 ( 2 x − 1) + 3x − 1 3x − 1 2 dx b) I 2 = ∫ 2 dx = ∫ dx = ∫ 2 2 2 4 x − 4 x + 1 (2 x − 1) (2 x − 1) −1 −1 −1
Í-
H
Ó
A
0
0
−1
ÁN
-L
0 3 1 1 1 1 1 3 = ∫ ⋅ + ⋅ dx = ln 2 x − 1 − ⋅ 2 2 2 x − 1 2 (2 x − 1) 4 2x −1 4 −1
G
TO
1 3 1 3 1 3 = ln1 + − ln 3 + = − ln 3 + 4 4 12 4 6 4
BỒ
ID Ư
Ỡ N
3 5 (2 x + 3) − 3x + 2 3x + 2 2 dx c) I 3 = ∫ 2 dx = ∫ dx = ∫ 2 2 2 4 x + 12 x + 9 (2 x + 3) (2 x + 3) 0 0 0 1
1
1
1 3 1 5 1 5 1 3 = ∫ ⋅ − ⋅ dx = ln 2 x + 3 + ⋅ 2 2 2 x + 3 2 (2 x + 3) 4 2x + 3 4 0
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
1
c) I 3 = ∫
TR ẦN
z
a) I1 = ∫
Ư N
HT 9. Tính các tích phân sau: (Mẫu có nghiệm kép)
0
3x + 2 dx 4 x + 12 x + 9 2
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
0
3 2 + Vậy, I 3 = ∫ dx = ( − ln 1 − 2 x + 3ln x + 2 ) 1− 2x x + 2 −1
TP .Q
U
Y
N
B − 2 A = −4 A = 3 Đồng nhất thức hai vế ta được: ⇔ A + 2B = 7 B = 2
N
Xét đồng nhất thức:
H Ơ
c) I 3 =
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
1
0
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
1 3 5 3 5 1 3 = ln 5 + − ln 3 + = ln − 4 4 12 4 3 6 4
c) I 3 = ∫ 0
3x − 1 dx 4x − 4x + 2 2
TP .Q
U
Bài giải 1
3x + 1 dx x2 + 1 0
ẠO
a) I1 = ∫
Đ
3 1 1 1 ⋅ 2x +1 dx 3 2x 3 2x Chú ý: ( x + 1) ' = 2 x Nên: I1 = ∫ 2 2 dx = ∫ ⋅ 2 dx = ∫ 2 dx + ∫ 2 2 x +1 2 0 x +1 x +1 x +1 0 0 0 1
0
G
Ư N
dx x +1
H
1
Xét: N = ∫
2
TR ẦN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
2
00 3
10
dt cos 2 t
2+
⇒ dx =
B
π π Đặt: x = tan t t ∈ − ; 2 2
C
π
A
4
Ó
Với x = 1 ⇒ t =
ẤP
Đổi cận: Với x = 0 ⇒ t = 0
π
H
π
-L
ÁN
G
TO
Vậy, I1 = M + N = 3
ID Ư
Ỡ N
b) I 2 = ∫
BỒ
π
4 4 dt dt ⇒M =∫ = = ∫0 dt = t cos 2 t (tan 2 t + 1) ∫0 cos 2 t ⋅ 1 0 cos 2 t
Í-
4
1
π 4
0
=
π 4
3ln 2 π + 2 4
3x + 2 dx x − 4x + 5 2
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
1
Y
3x + 2 b) I 2 = ∫ 2 dx x − 4x + 5 1
3x + 1 a) I1 = ∫ 2 dx x +1 0
N
3
1
H Ơ
N
HT 10. Tính các tích phân sau: (Mẫu số vô nghiệm)
Chú ý: ( x 2 − 4 x + 5)' = 2 x − 4 3 (2 x − 4) + 8 3 2x − 4 1 3 2 Khi đó: I 2 = ∫ 2 dx = ∫ ⋅ 2 + 8⋅ 2 dx x − 4x + 5 2 x − 4x + 5 x − 4x + 5 1 1 3
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn 3
3
3 2x − 4 1 dx + 8∫ 2 dx 2 ∫ 2 1 x − 4x + 5 x − 4x + 5 1
1
3 (ln 2 − ln 2) = 0 2
3
U
1
Y
1 dx dx = 8∫ 2 ( x − 2) 2 + 1 x − 4x + 5 1
+Xét: N = 8∫
π 4
⇒ N =8∫
π
4 dt 8 = ∫π dt = 8t cos 2 t (tan 2 t + 1) −
4
4
4
= 4π −
π 4
00
−
π
π
3 2+ A
Chú ý: (4 x 2 − 4 x + 2) ' = 8x − 4
ẤP
0
3x − 1 dx 4x − 4x + 2 2
C
1
10
Vậy, I 2 = M + N = 4π
c) I 3 = ∫
H
π π ; Với x = 3 ⇒ t = 4 4
TR ẦN
Đổi cận: Với x = 1 ⇒ t = −
Ư N
G
Đ
dt cos 2 t
B
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
⇒ dx =
ẠO
π π Đặt: x − 2 = tan t Với t ∈ − ; 2 2
Ó
3 1 (8 x − 4) + 3x − 1 2 dx Ta có: I 3 = ∫ 2 dx = ∫ 8 2 4x − 4x + 2 4x − 4x + 2 0 0 1
-L
Í-
H
1
1
1
ÁN
3 8x − 4 1 dx dx + ∫ 2 2 ∫ 8 0 4x − 4x + 2 2 0 4x − 4x + 2
TO
=
1
1
1
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
3 8x − 4 3 d (4 x 2 − 4 x + 2) 3 = ln 4 x 2 − 4 x + 2 dx + ∫ + Xét: M = ∫ 2 2 8 0 4x − 4x + 2 8 0 4x − 4x + 2 8 1
+Xét: N =
1
1 dx 1 dx = ∫ 2 ∫ 2 0 4 x − 4 x + 2 2 0 (2 x − 1) 2 + 1
0
3 = (ln 2 − ln 2) = 0 8
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
=
N
3
3
N
3
3 2x − 4 3 d ( x 2 − 4 x + 5) 3 = = ln x 2 − 4 x + 5 dx 2 2 ∫ ∫ 2 1 x − 4x + 5 2 1 x − 4x + 5 2
H Ơ
3
+Xét: M =
TP .Q
=
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
π π Đặt: 2 x − 1 = tan t Với t ∈ − ; 2 2
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn dt dt ⇔ dx = 2 cos t 2 cos 2 t
∫π
−
4
Vậy, I 3 = M + N =
π
π
4
4
1 ∫π dt = 2 t
−
4
N π
= −
4
π 4
π 4
b) I 2 = ∫
H
0
0
2
x3 + 3x 2 − 6 x + 1 c) I 3 = ∫ dx x2 + 2 x + 2 −1
d) I 4 = ∫ 1
x2 dx x 2 − 7 x + 12
0
0
0
0
10
x3 − 5 x 2 + 6 x − 1 −2 x + 3 −2 x + 3 ∫−1 x 2 − 3x + 2 dx = −∫1 x − 2 + x 2 − 3x + 2 dx = −∫1 ( x − 2)dx + −∫1 x 2 − 3x + 2 dx
x2 +Xét: M = ∫ ( x − 2)dx = − 2 x 2 −1
0
5 1 = − + 2 = − 2 2 −1
0
0
Ó
A
−2 x + 3 −2 x + 3 ∫−1 x 2 − 3x + 2dx = −∫1 ( x − 1)( x − 2)dx
Í-
H
+Xét: N =
C
ẤP
0
2+
3
a) I1 =
00
B
Bài giải
-L
Dùng đồng nhất thức ta tách được: 0
TO
ÁN
−1 −1 N = ∫ + dx = ( − ln x − 1 − ln x − 2 ) x −1 x − 2 −1
ID Ư
Ỡ N
G
Vậy, I1 = M + N = ln 3 −
BỒ
x 4 + 5 x3 − 3x 2 + 2 x − 1 dx x2 + 2 x + 1
Ư N
1
x3 − 5 x 2 + 6 x − 1 ∫ x 2 − 3x + 2 dx −1
TR ẦN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
0
a) I1 =
G
Đ
HT 11. Tính các tích phân sau:
1
b) I 2 = ∫ 0
0
= (− ln1 − ln 2) − (− ln 2 − ln 3) = ln 3 −1
5 2 1
x 4 + 5 x3 − 3x 2 + 2 x − 1 19 x + 9 dx = ∫ ( x 2 + 3 x − 10 + 2 ) dx 2 x + 2x +1 x + 2x +1 0
1 x3 3 x 2 − 10 x +Xét: M = ∫ ( x 2 + 3 x − 10)dx = + 2 3 0
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
1
0
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
dt 1 = 2 2 2 cos t (tan t + 1) 2
N
4
4
Y
π
1 ⇒N= 2
π
H Ơ
; Với x = 1 ⇒ t =
4
U
π
TP .Q
Đổi cận: Với x = 0 ⇒ t = −
ẠO
⇒ 2dx =
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
1 3 49 = ( + − 10) − 0 = − 3 2 6
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn 1
+Xét: N = ∫ 0
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
1 1 19 19 x + 9 19( x + 1) − 10 10 dx dx = = − dx 2 2 ∫ ∫ x + 2x +1 ( x + 1) x + 1 ( x + 1) 2 0 0
1
0
0
G
Đ
1 1 = − − 1 = 2 2 −1
Ư N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
0
0
H
10 x + 1 5(2 x + 2) − 9 9 5(2 x + 2) ∫−1 x 2 + 2 x + 2 dx = −∫1 x 2 + 2 x + 2 dx = −∫1 x 2 + 2 x + 2 − x 2 + 2 x + 2 dx
0
TR ẦN
+Xét: N =
ẠO
x2 +Xét: M = ∫ ( x + 1)dx = + x 2 −1 0
0
2x + 2 d ( x 2 + 2 x + 2) 5 dx = = 5ln x 2 + 2 x + 2 2 2 ∫ x + 2 x + 2 x + 2 x + 2 −1 −1
0
0
0
ẤP
2+
3
dx dx = 9∫ 2 ( x + 1) 2 + 1 x + 2x + 2 −1 −1
Q = 9∫
= 5(ln 2 − ln1) = 5ln 2
−1
10
00
B
P = 5∫
H
Ó
dt cos 2 t
-L
Í-
⇒ dx =
A
C
π π Đặt: x + 1 = tan t Với t ∈ − ; 2 2
ÁN
Đổi cận: Với x = −1 ⇒ t = 0 ; Với x = 0 ⇒ t =
TO
π
4
G Ỡ N ID Ư
⇒ N = P − Q = 5 ln 2 −
π 4
π
dt ⇒ Q = 9∫ = 9t 2 cos t (tan 2 t + 1) 0
BỒ
H Ơ N U
0
x3 + 3x 2 − 6 x + 1 10 x + 1 ∫−1 x 2 + 2 x + 2 dx = −∫1 x + 1 − x 2 + 2 x + 2 dx
c) I 3 =
4
=
9π 4
0
9π 1 9π ⇒ I 3 = M + N = + 5 ln 2 − 4 2 4
2
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
0
Y
79 6
TP .Q
Vậy, I 2 = M + N = 19 ln 2 −
N
10 = 19 ln x + 1 + = (19 ln 2 + 5) − (19 ln1 + 10) = 19 ln 2 − 5 x +1 0
2
x2 dx = ( x + 16 ln x − 4 − 9 ln x − 3 ) = 1 + 25ln 2 − 16 ln 3 d) I 4 = ∫ 2 x − 7 x + 12 1 1 HT 12.Tính các tích phân sau:
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
1
1
dx 5 x + x3
xdx ( x + 1)3 0
b) I 2 = ∫
H Ơ TP .Q
U
x 1 1 1 =− + 3 + 2 2 x ( x + 1) x x x +1 3
2
1
3 1 3 = − ln 2 + ln 5 + 2 2 8
Đ
1 1 ⇒ I1 = − ln x − 2 + ln( x 2 + 1) 2x 2
ẠO
Ta có:
N
1
dx x + x3 5
Y
2
a) I1 = ∫
N
Bài giải
1
G
xdx ( x + 1)3 0
H
Ư N
1
⇒ ∫ ( x + 1) −2 − ( x + 1) −3 dx =
1 8
C
ẤP
2+
3
10
0
TR ẦN
x x + 1 −1 = = ( x + 1) −2 − ( x + 1) −3 3 ( x + 1) ( x + 1)3
B
Ta có:
00
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
b) I 2 = ∫
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
HT 13. Tính các tích phân sau: (Đổi biến số)
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
2
a) I1 = ∫
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com 2
1
1 + x2 dx 1 + x4 1
x7 dx (1 + x 2 )5 0
1. I = ∫
9. I = ∫
2
1 − x2 dx 1 + x4 1
2
3 3
1− x dx x(1 + x 7 )
1 3
∫ 1 1
0
dx 6 x (1 + x 2 )
1
14. I = ∫ 0
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
( x − 1) 2 dx 7. I = ∫ (2 x + 1) 4 0
1+ 5 2
15. =
99
1
dx 7x −1 8. I = ∫ ⋅ 2 x + 1 (2 x + 1) 2 0
∫ 1
00
B
Bài giải 2 3
2+
3
1
10
( x ) xdx x7 1. I = ∫ dx = ∫ 2 5 (1 + x ) (1 + x 2 )5 0 0 1
ẤP
Đặt t = 1 + x 2 ⇒ dt = 2 xdx
2
Í-
H
Ó
1 (t − 1)3 1 1 ⇒I= ∫ dt = ⋅ 5 5 21 t 4 2
A
C
Đổi cận: Với x = 0 ⇒ t = 1 Với x = 1 ⇒ t = 2
1
1
-L
2. ∫ x5 (1 − x 3 ) 6 dx = ∫ x3 (1 − x 3 ) x 2 dx 0
ÁN
0
G
TO
Đặt t = 1 − x3 ⇒ dt = −3 x 2 dx ⇒ x 2 dx = −
dt 3
ID Ư
Ỡ N
Đổi cận: Với x = 0 ⇒ t = 1 Với x = 1 ⇒ t = 0
BỒ
∫
13. I =
1 1 6 1 t7 t8 1 t (1 − t ) dt = − = ∫ 30 3 7 8 168
⇒I= 4
3. I =
3
∫ x( x 1
4
1 4
+ 1)
dx =
3
∫ 1
N Y
x4 + 1 dx x6 + 1
U
0
7
5. I = ∫ 6. I =
12. I = ∫
TP .Q
1
dx 4. I = ∫ 10 x( x + 1) 2 1
x2 dx x4 −1
xdx x + x2 + 1 4
ẠO
dx
Đ
+ 1)
G
4
1 2
1 − x2 dx x + x3 1
11. I = ∫
Ư N
∫ x( x
2
1
x2 + 1 dx x4 − x2 + 1
H
3
TR ẦN
4
3. I =
H Ơ
0
N
10. I = ∫
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
1
2. ∫ x5 (1 − x 3 )6 dx
x 3 dx x 4 ( x 4 + 1)
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Đặt t = x 4 ⇒ dt = 4 x 3 dx ⇒ x3 dx =
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
dt 4
3
3
Y
2
N
1 1 1 1 1 t 1 3 dt = ∫ − dt = ln = ln ∫ 4 1 t (t + 1) 4 1 t t + 1 4 t +1 1 4 2
⇒I=
2
ẠO
dt 10
Đ
Đặt t = x10 + 1 ⇒ dt = 10 x9 dx ⇒ x9 dx =
TP .Q
U
dx x9 dx 4. I = ∫ = x( x10 + 1) 2 ∫1 x10 ( x10 + 1) 2 1
2
2
2
G Ư N
1 1 1 − − 2 dt t −1 t t
1 1 1 1 = (10ln 2 − ln(210 + 1) + 10 ) − (− ln 2 + 5 2 +1 5 2)
2
dt 7
ẤP
Đặt t = x 7 ⇒ dt = 7 x 6 dx ⇒ x 6 dx =
2+
3
10
1 − x7 (1 − x 7 ) x 6 5. I = ∫ dx = ∫1 x 7 (1 + x7 ) dx x(1 + x 7 ) 1
∫
∫
2 1 1 − dt = ( ln t − 2 ln 1 + t ) 7 t 1+ t
1
TO
ÁN
1 1 10 2 (7 ln 2 − 2 ln129) − (−2 ln 2) = ln 2 − ln129 7 7 7 7 3
∫
G
6. I =
Ỡ N
1
ID Ư
128
-L
1
1− t 1 dt = t (1 + t ) 7
Đặt t =
128
H
128
Í-
1 7
⇒I=
Ó
A
C
Đổi cận: Với x = 1 ⇒ t = 1 ;Với x = 2 ⇒ t = 128
=
BỒ
∫
210 +1
1 1 = ln(t − 1) − ln t + t 5 2
210 +1
H
∫
1 dt = 2 (t − 1)t 5
TR ẦN
210 +1
B
1 ⇒I= 5
00
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Đổi cận: Với x = 1 ⇒ t = 2 ;Với x = 2 ⇒ t = 210 + 1
dx = 6 x (1 + x 2 )
3
∫ 1
dx 1 x 2 .x 6 ( 2 + 1) x
1 1 ⇒ dt = − 2 dx x x
Đổi cận: Với x = 1 ⇒ t = 1 ; Với x = 3 ⇒ t =
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
1
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
3
H Ơ
N
Đổi cận: Với x = 1 ⇒ t = 1 ; Với x = 4 3 ⇒ t = 3
1 3
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
∫ t
4
− t2 +1−
3 3
1
1 117 − 41 3 π + dt = 135 12 t2 +1
2
1
Y
N
dx ( x − 1)2 x −1 dx = ∫ 7. I = ∫ ⋅ 4 (2 x + 1) 2 x + 1 (2 x + 1) 2 0 0
TP .Q ẠO
x −1 dx dt 3dx =t ⇒ = dt ⇒ = 2 2 2x + 1 (2 x + 1) (2 x + 1) 3
Đ
Đặt:
U
3 x −1 Chú ý: = 2 2 x + 1 (2 x + 1)
=− 0
1 9
99
1
G Ư N
−1
H
−1
1 2 t3 = t dt 3 ∫0 9
⇒t=
99
1
=
2+
3
0
1 2100 − 1 900
10
100 1
1 1 7x −1 = ⋅ 9 100 2 x + 1
00
B
1 7 x −1 7 x −1 dx 7 x −1 = ∫ 8. I = ∫ ⋅ d 2 2 x + 1 (2 x + 1) 9 0 2x + 1 2x + 1 0
TR ẦN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Đổi cận: Với x = 0 ⇒ t = −1 ; Với x = 1 ⇒ t = 0
2
1 + x2 dx 1 + x4 1
A
1 1 ⇒ dt = 1 + 2 dx x x
TO
ÁN
Đặt t = x −
-L
Í-
H
1+
Ó
1 1+ x x2 Ta có: = 4 1 1+ x x2 + 2 x 2
C
ẤP
9. I = ∫
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
Đổi cận: Với x = 1 ⇒ t = 0 ; Với x = 2 ⇒ t = 3 2
3 2
3 2
dt 1 1 1 1 t− 2 ⇒I =∫ 2 = − dt = ⋅ ln ∫ t −2 2 2 0t − 2 t + 2 2 2 t+ 2 0
3 2
0
=
1 ln(3 − 2 2) 2
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
1
1
t6 dt = t2 +1
N
⇒I =−∫
H Ơ
3 3
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
2
1 − x2 dx 1 + x4 1
10. I = ∫
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
U
5 2
TP .Q
Đổi cận: Với x = 1 ⇒ t = 2 ; Với x = 2 ⇒ t =
Y
N
1 1 ⇒ dt = 1 − 2 dx x x
Đặt t = x +
5 2
ẠO
dt t +2 2 2
Đ
⇒ I = −∫
G
Ư N
2
1 − x2 dx x + x3 1
1
00 10 3 A
C
1 1 ⇒ dt = 1 − 2 dx x x
H
Ó
Đặt t = x +
2+
Ta có: I = ∫
1 −1 x 2 dx 1 +x x
ẤP
2
B
11. I = ∫
TR ẦN
u
2 2 2 2 5 (u2 − u1 ) = du = arctan − arctan 2 ∫ 2 u1 2 2 2
⇒I=
-L
Í-
Đổi cận: Với x = 1 ⇒ t = 2 ; Với x = 2 ⇒ t =
ÁN
5 2
G
TO
dt I = − ∫ = − ln t t 2 1
ID Ư
Ỡ N
12. I = ∫
BỒ
5 5 du ; tan u = 2 ⇒ u1 = arctan 2; tan u = ⇒ u 2 = arctan 2 cos u 2 2
H
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Đặt t = 2 tan u ⇒ dt = 2
Ta có:
0
5 2
5 2
5 4 = − ln + ln 2 = ln 2 5
2
x4 + 1 dx x6 + 1
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
H Ơ
N
1 −1 2 1 − x2 x Ta có: = 1 + x4 x2 + 1 x2
x 4 + 1 ( x 4 − x 2 + 1) + x 2 x4 − x2 + 1 x2 x2 1 = = + = + ( x 2 + 1)( x 4 − x 2 + 1) x 6 + 1 x 2 + 1 x 6 + 1 x6 + 1 x6 + 1 1
1
π 1 π π 1 1 d ( x3) ⇒ I = ∫ 2 dx + ∫ 3 2 dx = + ⋅ = 3 0 (x ) +1 4 3 4 3 x +1 0
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn 3 3
U TP .Q
0
xdx x + x2 + 1 4
Đặt t = x 2 ⇒ dt = 2 xdx ⇒ xdx =
dt 2
ẠO
1
14. I = ∫
0
π 1 1 1 + 2 dx = ln(2 − 3) + 4 12 −1 x +1
2
1
H TR ẦN B 00
∫
x2 + 1 dx x4 − x2 + 1
C
ẤP
2+
3
1 1+ 2 x2 + 1 x Ta có: 4 = x − x2 + 1 x2 + 1 − 1 x2
A
1 1 ⇒ dt = 1 + 2 dx x x
H
Ó
Đặt t = x −
ÁN
-L
dt t +1 0 2
Í-
1
⇒I=∫
G
TO
Đặt t = tan u ⇒ dt =
π 4 π du ⇒ = I du = 2 ∫ cos u 4 0
PHẦN III TÍCH PHÂN HÀM SỐ VÔ TỶ
Ỡ N ID Ư
BỒ
G
1
π 1 dt 1 dt = ∫ = 2 2 ∫ 2 2 0 t + t +1 2 0 1 3 6 3 t + + 2 2
1+ 5 2
15. =
Ư N
1
⇒I=
10
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Đổi cận: Với x = 0 ⇒ t = 0 ; Với x = 1 ⇒ t = 1
HT 1. Tính các tích phân sau: 3
a) I1 =
∫ 0
xdx 2
x +1
3
b) I 2 =
∫ 0
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
0
∫ x
Y
x 1 dx = 2 2 − 1)( x + 1)
2
3 3
Đ
∫ (x
I=
2
H Ơ
3 3
N
0
N
x2 dx x4 −1
∫
13. I =
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
3
dx
c) I 3 =
2
x +1
∫
x 2 + 1dx
0
Bài giải
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn xdx
∫
x2 + 1
0
3
1 2
3
d ( x 2 + 1)
∫
x2 + 1
0
1
= x2 + 1 = 2 0
H Ơ
N
dx
∫
x + x2 + 1 x2 + 1
dx = dt ⇔
dx x2 + 1
=
dt t
Y
x2 + 1
) dx = dt ⇔
U
x
Đặt x + x 2 + 1 = t ⇒ (1 +
N
x2 + 1
0
TP .Q
b) I 2 =
=
∫
3+2
= ln( 3 + 2) 1
Ư N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
G
1
dt = ln t t
Đ
3+2
⇒ I2 =
ẠO
Đổi cận x = 0 ⇒ t = 1; x = 3 ⇒ t = 3 + 2
3
∫
x 2 + 1dx
H
c) I 3 =
TR ẦN
0
∫
3
∫
x 2 + 1dx +
0
x2 + 1
10
00 0
= 2 3 − I 3 + I 2 = 2 3 − I 3 + ln( 3 + 2)
A
0
dx
∫
x2 + 1 −1 dx x2 + 1
C
3
=2 3−
x2 + 1
=2 3−
3
∫ 0
0
3
x 2 dx
2+
−
ẤP
3
3
⇒ I3 = x x2 + 1
B
x dx u = x 2 + 1 du = ⇒ Đặt: x2 +1 dv = dx v = x
Í-
H
Ó
1 ⇒ 2 I 3 = 2 3 + ln( 3 + 2) ⇒ I 3 = 3 + ln( 3 + 2) 2
-L
HT 2. Tính các tích phân sau: 0
ÁN
1
TO 0
c) I = ∫ ( x − 1)3 2 x − x 2 dx 0
−1
Bài giải
G Ỡ N ID Ư
BỒ
1
b) I = ∫ x. 3 x + 1dx
a) I = ∫ x3 1 − x 2 dx
1
1
0
0
a) I = ∫ x3 1 − x 2 dx = ∫ x 2 1 − x 2 xdx
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
3
a) I1 =
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Đặt: t = 1 − x 2 (t ≥ 0) ⇔ x 2 = 1 − t 2 ⇒ xdx = −tdt Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1; x=1 ⇒ t = 0
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
0 1 t3 t5 ⇒ I = − ∫ (1 − t 2 )t.tdt = ∫ (t 2 − t 4 ) dt = − 3 5 1 0
1
= 0
1 1 2 − = 3 5 15
0
N
−1
U
Y
Đặt: t = 3 x + 1 ⇒ t 3 = x + 1 ⇒ dx = 3t 2 dt
=− 0
9 28
ẠO
1
G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Đ
1 t7 t4 ⇒ I = ∫ 3(t 3 − 1) dt = 3 − 7 4 0
TP .Q
Đổi cận: x = −1 ⇒ t = 0; x = 0 ⇒ t = 1
Ư N
1
c) I = ∫ ( x − 1)3 2 x − x 2 dx 1
1
0
0
TR ẦN
H
0
B
I = ∫ ( x − 1)3 2 x − x 2 dx = ∫ ( x 2 − 2 x + 1) 2 x − x 2 ( x − 1) dx
10
00
Đặt t = 2 x − x 2 ⇔ t 2 = 2 x − x 2 ⇒ 2tdt = (2 − 2 x)dx ⇔ ( x − 1)dx = −tdt
2+
3
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t = 1
= 0
1 1 2 − =− 5 3 15
-L
Í-
2x +1 a) I = ∫ dx 2x +1 0 1+
H
4
Ó
A
HT 3. Tính các tích phân sau:
3
x−3 dx 0 3 x +1 + x + 3
TO
ÁN
d) I = ∫ 1
6
dx b) I = ∫ 2 2x +1+ 4x +1 5
1
4
h) I = ∫ 0
ID Ư
2
j) I = ∫
3
0
27
m) I =
2
x3 dx 4+ x
1
2
1
x −2
∫ x+
3
k) I = ∫
x2
8
dx
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
n) I =
∫
3
1 + 2x
2
)
x2 + 1
2
dx
i) I = ∫
2 x3 − 3x 2 + x
0
x2 − x + 1
2 5
l) I =
∫ 2
4
dx
2 x2 + x −1 dx x +1
0
4 − x2 xdx x
x −1
1+ x dx x 0 1+
c) I = ∫
f) I = ∫
x +1
(1 +
1
3
x2 + 1 dx x 3x + 1
e) I = ∫
Ỡ N
G
x 2 dx g) I = ∫ 0 ( x + 1) x + 1
BỒ
1
C
ẤP
1 1 t5 t3 ⇒ I = − ∫ ( −t 2 + 1)t.tdt = ∫ (t 4 − t 2 ) dt = − 5 3 0 0
o) I = ∫ 1
dx
x 2
( x + 1) x 2 + 5 x2 + x
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
H Ơ
N
b) I = ∫ x. 3 x + 1dx
dx
dx
1+ x x
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Bài giải
4
2x +1 dx 2x +1 0 1+
N
Đặt t = 2 x + 1 ⇒ t 2 = 2 x + 1 ⇒ 2tdt = 2dx = tdt
3 t2 1 t2 ⇒I =∫ dt = ∫ t − 1 + dt = − t + ln t + 1 1+ t t +1 2 1 1 3
U
Y
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1; x = 4 ⇒ t = 3
TP .Q
3
ẠO
1
Đ G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
9 1 = − 3 + ln 4 − − 1 + ln 2 = 2 + ln 2 2 2 6
Ư N
dx 2 2x +1+ 4x +1
Đặt t = 4 x + 1 ⇒ t 2 = 4 x + 1 ⇒ 2tdt = 4dx ⇒ dx =
00
B
Đổi cận: x = 2 ⇒ t = 3; x = 6 ⇒ t = 5
tdt 2
TR ẦN
H
b) I = ∫
10
5 5 5 5 1 1 tdt tdt tdt 1 = = = − dt 2 2 2 ∫ ∫ ∫ ∫ 2 3 t −1 t + 2t + 1 3 (t + 1) t + 1 (t + 1) 2 3 3 +1+ t 2
3
1 1 3 1 = (ln 6 + ) − (ln 4 + ) = ln − 6 4 2 12
C
5
Ó
A
1 = ln t + 1 + t +1
ẤP
2+
3
⇒I=
-L
Í-
1+ x dx x 0 1+
H
1
c) I = ∫
ÁN
Đặt t = 1 + x ⇒ x = (t − 1) 2 ⇒ dx = 2(t − 1)dt
TO
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1; x = 1 ⇒ t = 2 2 t2 1 + (t − 1) 2 2 dt = ∫ t − 2 + dt = − 2t + 2 ln t t t 2 1 1 2
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
⇒I =∫ 3
x−3 dx 0 3 x +1 + x + 3
2
= 1
11 − 4 ln 2 3
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
H Ơ
N
a) I = ∫
d) I = ∫
Đặt t = x + 1 ⇒ 2tdt = dx Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1; x = 3 ⇒ t = 2
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn 2
2
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
2
2t 3 − 8t 1 3 dt = ∫ (2t − 6) dt + 6∫ dt = −3 + 6 ln 2 2 t + 3t + 2 t +1 1 1 1
⇒I =∫
H Ơ Y
N
2tdt 3
U
Đặt t = 3 x + 1 ⇒ dx =
Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 2; x = 5 ⇒ t = 4 2
3
2
100 9 + ln 27 5
00
0
B
2 x2 + x −1 dx x +1
f) I = ∫
2
= 1
A
C
1
2 4t 5 2(t 2 − 1) 2 + (t 2 − 1) − 1 ⋅ 2tdt = 2 ∫ (2t 4 − 3t 2 ) dt = − 2t 3 t 5 1
ẤP
2
⇒I =∫
3
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1; x = 3 ⇒ t = 2
10
x + 1 = t ⇔ x = t 2 − 1 ⇒ dx = 2tdt
Đặt
Ư N
=
H
4
21 3 t −1 t − t + ln 93 t +1 2
TR ẦN
4
=
2+
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
G
Đ
ẠO
t 2 −1 +1 4 4 4 4 4 3 dt 2tdt 2 2 2 2 1 1 2 ( 1) 2 ( 1) t dt t dt ⇒I =∫ ⋅ = − + = − + − dt 2 2 ∫ ∫ ∫ ∫ t −1 3 92 t −1 9 2 t −1 t +1 2 2 2 ⋅t 3
TP .Q
1
N
x2 + 1 dx x 3x + 1
1
Ó
x 2 dx 0 ( x + 1) x + 1
Í-
H
g) I = ∫
ÁN
-L
Đặt t = x + 1 ⇒ t 2 = x + 1 ⇒ 2tdt = dx
TO
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1; x = 1 ⇒ t = 2 2
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
⇒I=
∫ 1
4
h) I = ∫ 0
2
2 t3 (t 2 − 1) 2 1 2 16 − 11 2 1 ⋅ 2 tdt = 2 t − dt = 2 − 2 t − = ∫1 t t3 t1 3 3
x +1
(1 +
1 + 2x
)
2
54 5
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
5
e) I = ∫
dx
Đặt t = 1 + 1 + 2 x ⇒ dt =
t 2 − 2t dx và x = ⇒ dx = (t − 1)dt 2 1 + 2x
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 2; x = 4 ⇒ t = 4 4
= 2 ln 2 − 2
N H Ơ
4
1 4
N
1 t2 2 − 3t + 4 ln t + 2 2 t
2 x3 − 3x 2 + x x2 − x + 1
0
2
dx = ∫
( x 2 − x)(2 x − 1) x2 − x + 1
0
dx
TP .Q
2
i) I = ∫
U
Y
=
4
Đ
ẠO
Đặt t = x 2 − x + 1 ⇒ 2tdt = (2 x − 1) dx
2
j) I = ∫
G
4 3
TR ẦN
1
Ư N
3
⇒ I = 2 ∫ (t 2 − 1) dt =
H
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1; x = 2 ⇒ t = 3
x3 dx 3
4 + x2
00
B
0
10
Đặt t = 3 4 + x 2 ⇒ x 2 = t 3 − 4 ⇒ 2 xdx = 3t 2 dt
2+
2
38 = − + 43 2 25
ẤP
2 3 3 t5 ⇒ I = ∫ (t 4 − 4t )dt = − 2t 2 2 34 2 5
3
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 3 4; x = 2 ⇒ t = 2
-L
Í-
1
Ó
4 − x2 xdx x
H
2
k) I = ∫
4
A
C
3
ÁN
Đặt t = 4 − x 2 ⇒ t 2 = 4 − x 2 ⇒ tdt = − xdx
TO
Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 3; x = 2 ⇒ t = 0 0
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
t (−tdt ) ⇒I= ∫ = 4 − t2 3 2 5
l) I =
∫ 2
0
t2 ∫ t 2 − 4dt = 3
x 2
( x + 1) x 2 + 5
4 t−2 ∫ 1 + t 2 − 4 dt = t + ln t + 2 3 0
0
3
2− 3 = − 3 + ln 2 + 3
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
4
1 (t 2 − 2t + 2)(t − 1) 1 t 3 − 3t 2 + 4t − 2 1 4 2 dt dt = ∫ t − 3 + − 2 dt = 2 2 ∫ ∫ 22 22 2 2 t t t t
⇒I=
dx
Đặt t = x 2 + 5 ⇒ t 2 = x 2 + 5 ⇒ tdt = xdx Đổi cận: x = 2 ⇒ t = 3; x = 2 5 ⇒ t = 5
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn 5
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
5
x −2
dx
x2
U
Y
Đặt t = 6 x ⇒ t 6 = x ⇒ dx = 6t 5 dt
x 1 1 ∫ x2 + 1 − x 2 + 1 dx = 2 3 8
I=
= 1 + ln( 3 + 2) − ln( 8 + 3) 3
4
x2
dx + ∫
x
1+ x x
0
dx
1+ x x
dx
1+ x x
Ó
0
x2
0
3
dx +1
2
ẤP
4
+ I1 = ∫
1+ x x
dx = ∫
x +1
∫x
C
1
)
4
3
2
8
−
A
o) I = ∫
x2 + x
∫
d ( x 2 + 1)
B
(
8
8
= x 2 + 1 − ln x + x 2 + 1 4
-L
Í-
H
4 Đặt t = 1 + x x ⇔ t 2 − 1 = x x ⇔ x3 = (t 2 − 1) 2 ⇔ x 2 dx = t (t 2 − 1)dt 3
ÁN
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1; x = 4 ⇒ t = 3 3
3
Ỡ N
G
TO
4 4 80 4 ⇒ ∫ (t 2 − 1) dt = t 3 − t = 3 3 1 9 9 1 4
BỒ
ID Ư
+ I2 = ∫ 0
Vậy: I =
4
2 d (1 + x x ) 4 = dx = ∫ 1+ x x 3 0 1+ x x 3 1+ x x x
ẠO Đ G
Ư N
dx
H
x2 + 1
TR ẦN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
3
x −1
00
∫
n) I =
10
8
2t 1 2 5π 2 1 − t + t 2 + 1 − t 2 + 1 dt = 5 3 − 1 + ln 3 − 12
3
1
3
t3 − 2 dt = 5 ∫ t (t 2 + 1) 1
2+
3
⇒ I = 5∫
TP .Q
Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 1; x = 27 ⇒ t = 3
4
= 0
8 3
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
3
1
H Ơ
∫ x+
N
27
m) I =
N
1 1 1 1 15 dt = ∫ − dt = ln 2 4 7 t −4 4 3t−2 t+2 3
I =∫
104 9
HT 4. Tính các tích phân sau:
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
∫ 1+ x +
a) I =
1
dx
b) I = ∫
1 + x2
−1
1 3 3
(x − x ) x
1 3
3
1
c) I = ∫
dx
4
0
1 x2 + x + 1
dx
N
1
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
3
1
g) I =
∫
3
x dx 1 2 x − x +1 x
1 3
1
G Ư N 1
TR ẦN
=1
10
−1
2+
3
1 + x2 dx .Đặt t = 1 + x 2 ⇒ t 2 = 1 + x 2 ⇒ 2tdt = 2 xdx ⇒ I 2 = 2x
2
t 2 dt ∫ 2(t 2 − 1) − 0 2
ẤP
∫
1
B
1
−1
1
1 + x − 1 + x2 1 + x − 1 + x2 1 1 1 + x2 dx dx dx 1 − = = + ∫ (1 + x)2 − (1 + x 2 ) −∫1 ∫ 2 x dx 2x 2 −∫1 x −1 −1
1 1 1 + 1 dx = ln x + x ∫ 2 −1 x 2 1
1
H
1 + x2
1
Ta có: I =
+ I2 =
3x + 9 x 2 − 1
00
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
dx
∫ 1+ x +
−1
+ I1 =
x
Đ
Bài giải a) I =
Y
N h) I = ∫
C
Vậy: I = 1
H
Ó
A
Cách 2: Đặt t = x + x 2 + 1 ⇔ t − x = x 2 + 1 ⇒ (t − x )2 = x 2 + 1 ⇔ t 2 − 2tx = 1 ⇔ x =
ÁN
-L
Í-
1 1 ⇒ dx = + 2 dt 2 2t
TO
Đổi cận: x = −1 ⇒ t = −1 + 2; x = 1 ⇒ t = 1 + 2 1+ 2
=
1+ 2
(t 2 + 1)dx 1 1 1 2 ∫ 2t 2 (1 + t ) = 2 ∫ t + 1 + t 2 − t dt −1+ 2 −1+ 2
1 1 = 2 ln t + 1 − − ln 2 t
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
⇒I=
t
1+ 2
−1+ 2
1 (t + 1) 2 1 = ln − 2 t t
1+ 2
U
x − x + 2011x dx x4
2 3
4
dx
TP .Q
∫
2 2
3
ẠO
f) I =
2 2 3
H Ơ
x2 x2 d) I = ∫ e) dx I = ∫0 2( x + 1) + 2 x + 1 + x x + 1 dx 2 2 0 (1 + 1 + x ) (2 + 1 + x )
t2 −1 2t
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
−1+ 2
1 1 (ln(2 + 2 2) + 1 − 2) − (ln(2 − 2 2) − 1 − 2) = 1 2 2
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
dx
1
1
N
1 3 1 Ta có: I = ∫ 2 − 1 ⋅ 3 dx x 1 x
U
1 ⇒ t = 8; x = 1 ⇒ t = 0 3
Đ
Đổi cận x ==
TP .Q
dx dt 1 2 − 1 ⇒ dt = − 3 dx ⇔ 3 = − 2 x x x 2
ẠO
Đặt t =
Y
3
1
1
1
c) I = ∫
x2 + x + 1
0
G Ư N
=6 0
dx 2
1 3 x+ + 2 4
B
0
dx = ∫
8
H
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
8
1 13 1 18 1 3 43 = = ⋅ ⋅t t dt t dt 2 ∫8 2 ∫0 2 4
TR ẦN
0
⇒I =−
00
1 2 x + x +1 + x + 2 2x +1 Đặt: dt = 1 + dx ⇔ dt = dx ⇒ 2 x2 + x + 1 2 x + x +1
10
dx 2
2+
3
x + x +1
Ó
3 3+ 2 3 3 = ln + 3 − ln = ln 2 3 2
3 2
-L
3 2
dt = ln t t
H
∫
I=
3 + 3 2
Í-
3 + 3 2
A
C
ẤP
3 3 1 Đổi cận: x = 0 ⇒ t = ; x = 1 ⇒ t = + 3 ⇒ t = x + + x 2 + x + 1 2 2 2
3
TO
ÁN
x2 dx 2 2 0 (1 + 1 + x ) (2 + 1 + x )
d) I = ∫
Ỡ N
G
Đặt 2 + 1 + x = t ⇒ t − 2 = 1 + x ⇒ (t − 2)2 = 1 + x ⇒ 2(t − 2)dt = dx
BỒ
ID Ư
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 3; x = 3 ⇒ t = 4 4
⇒I =∫ 3
( (t − 2)
2
− 1)
(t − 1) 2 .t 2
2
4
=
dt t
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
x4
1 3
N
b) I = ∫
1 3 3
(x − x )
H Ơ
1
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
4
(t − 1) 2 (t − 3) 2 .2(t − 2) dt 2(t − 3) 2 (t − 2) dt = ∫3 (t − 1) 2 .t 2 t2 3
=∫
4
42 36 36 = ∫ 2t − 16 + − 2 dt = t 2 − 16t + 42 ln t + t t t 3
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
4
= −12 + 42 ln 3
4 3
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn 3
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
x2 dx 2( x + 1) + 2 x + 1 + x x + 1
0
H Ơ
N
Đặt t = x + 1 ⇒ t 2 = x + 1 ⇒ 2tdt = dx
2 2 3
∫
Ta có: I =
Y ẠO
1 −1 2 2 x 2 dx + 2011 dx = M + N ∫1 x3 x3
H
1
Đ
∫
2 2 3
∫
+M =
B
1
1 −1 x 2 dx x3
TR ẦN
2 2 3
1 1 2 3 dx − 1 ⇒ t 3 = 2 − 1 ⇒ 3t 2 dt = − 3 dx ⇒ 3 = − t 2 dt 2 x x x x 2
00
Đặt: t =
2+
ẤP 21 3 7 128
A
∫
t 3 dt = −
Ó
3 2
7 2
0
H
⇒M =−
7 2
C
3
−
3
3
10
3
Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 0; x = 2 2 ⇒ t = −
2011 2011x −3dx = − 2 2x
∫ 1
2 2
= 1
ÁN
1
14077 213 7 − 16 128
Ỡ N
G
TO
⇒I =
2011 dx = x3
-L
∫
2 2
Í-
2 2
+N =
ID Ư
g) I =
BỒ
U
1
2 3
x − x 3 + 2011x dx x4
1
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
=
G
1
f) I =
2
TP .Q
2
2t (t 2 − 1) 2 dt 2 = 2 ∫ (t − 1) 2 dt = (t − 1)3 3 t (t + 1) 2
Ư N
2
⇒I =∫
N
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1; x = 3 ⇒ t = 2
2 2
∫
3
x4 dx = 1 2 x − x +1 x
Đặt t = x 2 + 1 ⇒ dt =
2 2
∫
3
x 4 .xdx
( x 2 − 1) x 2 + 1
14077 16
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
e) I = ∫
xdx x2 + 1
Đổi cận: x = 3 ⇒ t = 2; x = 2 2 ⇒ t = 3
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
3 4 3 3 (t 2 − 1)2 1 19 2 4+ 2 t − 2t 2 + 1 2 ln dt = dt = t dt + dt = + 2 2 2 ∫ ∫ ∫ 3 4 4 − 2 t −2 t −2 t −2 2 2 2 2 3
2 3
= 1 3
2 3
2
3
3
= 1 3
b) I = ∫
0
−1
3
1
e) I = ∫ 1 − 2 x 1 − x 2 dx
4 − x6
0
f) I = ∫ 0
Bài giải
Ó
A
C
0
x dx
2+
d) I = ∫
1 2
2
ẤP
1
-L
Í-
0
H
2
a) I = ∫ x 2 4 − x 2 dx
ÁN
TO
G
⇒ dx = 2 cos tdt
Ỡ N
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = 2 ⇒ t =
ID Ư
H Ơ 0
10
0
1
c) I = ∫ 3 + 2 x − x 2 dx
− x 2 − 2 xdx
00
2
a) I = ∫ x 2 4 − x 2 dx
B
HT5. Tính các tích phân sau:
π π Đặt: x = 2sin t Với t ∈ − ; ⇒ cos t ≥ 0 2 2
BỒ
3 9
H
7 −3 3 27
2 3
TR ẦN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
3 1 3 1 + I 2 = ∫ x 9 x 2 − 1dx = ∫ 9 x 2 − 1d (9 x 2 − 1) = (9 x 2 − 1) 2 18 1 27 1
⇒I =
N
8 1 7 − = 27 27 27
π 2
π
π
2
2
0
0
x 2 dx 3 + 2x − x2
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
1 3
1 3
U
+ I1 = ∫ 3x 2 dx = x3
1 3
TP .Q
2 3
1 3
Y
3x + 9 x − 1
dx = ∫ x(3x − 9 x 2 − 1)dx = ∫ 3x 2 dx − ∫ x 9 x 2 − 1dx
ẠO
2
2 3
Đ
1 3
x
2 3
G
h) I = ∫
2 3
Ư N
2 3
N
⇒I =∫
⇒ I = ∫ 4sin 2 t 4 − 4sin 2 t .2 cos tdt = 16 ∫ sin 2 t 1 − sin 2 t .cos tdt
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
π
π
π
π
2
2
2
2
0
0
0
0
= 16 ∫ sin 2 t. cos t cos tst = 16 ∫ sin 2 t.cos 2 tdt = 4 ∫ sin 2 4t.dt = 2 ∫ (1 − cos8t )dt
=π
Y
0
−1
− x 2 − 2 xdx =
∫
1 − ( x + 1) 2 dx
U
0
TP .Q
b) I = ∫
N
0
−1
Đ
ẠO
π π Đặt: x + 1 = sin t Với t ∈ − ; ⇒ cos t ≥ 0 2 2
π
2
2
0
0
2 π
12 (1 + cos 2t )dt 2 ∫0
00
B
⇒ I = ∫ 1 − sin 2 t .cos tdt = ∫ cos 2 tdt = π 2
=
π 4
10
1 sin 2t = t + 2 2 1
2+
3
0 1
c) I = ∫ 3 + 2 x − x dx = ∫ 4 − ( x − 2) 2 dx 0
C
0
ẤP
2
H
Ó
A
π π Đặt: x − 2 = 2sin t ,Với t ∈ − ; ⇒ cos t ≥ 0 2 2
-L
Í-
⇒ dx = 2 cos tdt
π π ; x =1⇒ t = − 2 6
TO
ÁN
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = − −
ID Ư
Ỡ N
G
⇒I =
BỒ
Ư N
G
π
π
H
Đổi cận: x = −1 ⇒ t = 0; x = 0 ⇒ t =
TR ẦN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
⇒ dx = cos tdt
π 6
∫π
−
−
π 6
−
π 2
−
π 6
4 − 4sin 2 t .2cos tdt = 4 ∫ cos 2 tdt = 2 ∫ (1 + cos 2t )dt −
2
sin 2t = 2t + 2
−
π 6
=− −
π 2
π 12
−
π 2
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
2
H Ơ
N
π
sin 8t = 2(t − ) 8
3 π π 3 + = − 4 4 6 4
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
0
x 2 dx 4 − x6
H Ơ
N
Đặt: t = x 3 ⇒ dt = 3 x 2 dx
N
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t = 1 1
U
Y
dt 1 ∫ 3 0 4 − t2
TP .Q
⇒I=
Đ π 6
=
Ư N
π
1 6 2 cos u.du 16 u ⇒I= ∫ = ∫ du = 3 0 4 + 4sin 2 u 3 0 3
G
6
π
H
π
π
18
TR ẦN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Đổi cận: t = 0 ⇒ u = 0; t = 1 ⇒ u =
ẠO
π Đặt t = 2sin u, u ∈ 0; ⇒ dt = 2cos udu 2
0
B
Chúý: Các em học sinh có thể đặt trực tiếp: x 3 = 2 sin t
00
1 2
10
e) I = ∫ 1 − 2 x 1 − x 2 dx
2+
3
0
C
ẤP
π π Đặt: x = sin t ,Với t ∈ − ; ⇒ cos t ≥ 0;cos t > sin t 2 2
Ó
A
⇒ dx = cos t.dt
π 1 ⇒t = 2 6
-L
Í-
H
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = π 6
π
π
6
6
0
0
π
π
π
16 1 sin 2t cos 2t ) = ∫ (cos t − sin t ) cos tdt = ∫ (cos t − sin t.cos t )dt = ∫ (1 + cos 2t − sin 2t )dt = (t + + 20 2 2 2 0 0
G
6
TO
0
ÁN
⇒ I = ∫ 1 − 2sin t 1 − sin 2 t .cos tdt = ∫ 1 − 2sin t.cos t .cos tdt = ∫ (sin t − cos t ) 2 cos tdt
6
BỒ
ID Ư
Ỡ N
2
=
π 12
+ 1
f) I = ∫ 0
π 2
0
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
1
d) I = ∫
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
3 1 − 8 8 x 2 dx 3 + 2x − x2
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn 1
0
x 2 dx
22 − ( x − 1)2
H Ơ
N
π π Đặt: x − 1 = 2sin t ,Với t ∈ − ; ⇒ cos t ≥ 0 2 2
6
4 − (2sin t ) 2
−
−
2
−
6
(1 + 4sin t + 4sin 2 t ) dt =
6
∫π (1 + 4sin t + 2 − 2 cos8t )dt
−
2
π
2
π
π 2
+
3 3 −4 2
H
6
= −
Ư N
π
TR ẦN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
−
sin 8t = (3t − 4 cos t − ) 4
2
2
2
(3 − 4 − x 2 ) dx 2 x4 1
a) I = ∫ ( x 5 + x 2 ) 4 − x 2 dx
10
00
b) I = ∫
−2
ẤP
2+
2− x dx x+2
Bài giải
A
C
0
1 1− x − 2 x ln(1 + x ) dx d) I = ∫ x 0 1+
3
2
c) I = ∫
B
HT 6. Tính các tích phân sau :
Ó
2
H
a) I = ∫ ( x 5 + x 2 ) 4 − x 2 dx
-L
Í-
−2 2
ÁN
= ∫ ( x 5 + x 2 ) 4 − x 2 dx =
TO
−2
2
2
2
−2
−2
5 2 2 2 ∫ x 4 − x dx + ∫ x 4 − x dx = A + B
2
5 2 ∫ x 4 − x dx =
∫x
−2
−2
4
4 − x 2 xdx
ID Ư
Ỡ N
G
+Tính A =
BỒ
U
π
∫π
dt =
6
G
−
(1 + 2sin t )2 2 cos t
TP .Q
π
∫π
⇒I=
2
π
ẠO
−
; x =1⇒ t = −
Đ
π
Đổi cận: x = o ⇒ t = −
Y
N
⇒ dx = 2 cos tdt
Đặt t = 4 − x 2 ⇒ t 2 = 4 − x 2 ⇒ xdx = −tdt
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
Ta có: I = ∫
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Đổi cận : x = −2 ⇒ t = 0; x = 2 ⇒ t = 0 0
⇒ I = ∫ (4 − t 2 ) 2 .t 2 .dt = 0 0
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
2
+Tính B =
∫x
2
4 − x 2 dx
−2
π 2
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
U
2 π 2
−
2
π 2
π
π
π
π
2
2
2
2
π
−
2
π
−
2
π
−
2
π 2
π
00
−
B
= 2π
2
2
10
sin 8t ) = 2(t − 8
π
TR ẦN
−
H
= 16 ∫ sin 2 t. cos t cos tdt = 16 ∫ sin 2 t.cos 2 t.dt = 4 ∫ sin 2 4t.dt = 2 ∫ (1 − cos8t )dt
2+
3
Vậy, I = 2π 2
(3 − 4 − x 2 ) dx 2 x4 1
2
C
A
Ó
H 2
3 3 7 dx = ∫ x −4 dx = 4 2x 21 16
ÁN
1
Í-
1
2
3 4 − x2 dx − ∫1 2 x 4 dx 2x4
-L
2
Ta có : I = ∫
ẤP
b) I = ∫
+Tính I1 = ∫ 2
TO
+Tính I 2 = ∫
4 − x2 dx 2 x4
G
1
ID Ư
Ỡ N
Đặt x = 2sin t ⇒ dx = 2 cos tdt
BỒ
ẠO
t 4 − 4sin 2 t .2cos t.dt = 16 ∫ sin 2 t 1 − sin 2 t .cos t.dt
2
Đ
−
π
G
∫π 4sin
2
;x = 2⇒ t =
Ư N
⇒B=
π
TP .Q
Đổi cận : x = −2 ⇒ t = −
Y
N
⇒ dx = 2 cos tdt
Đổi cận x = 1 ⇒ t = π
6
;x = 2⇒t = π
π 2 π
1 cos tdt 1 1 12 2 3 2 = cot t dt = − cot t.d (cot t ) = 4 2 ∫ ∫ ∫ 8 π sin t 8π 8π 8 sin t 2
⇒ I2 =
π
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
H Ơ
N
π π Đặt : x = 2sin t ,Với t ∈ − ; ⇒ cos t ≥ 0 2 2
6
2
2
6
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
6
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
2
1 (7 − 2 3) 16
H Ơ
0
N
2− x dx x+2
c) I = ∫
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
2
Y U ẠO
t sin 2 2 − 2 cos t 2 2sin t.dt 2sin tdt = ∫ 2 + 2 cos t 2 t cos 2
Đ
π
;x = 2⇒ t = 0
G
⇒I=∫
2
Ư N
0
π
TP .Q
Đổi cận : x = 0 ⇒ t =
N
Đặt x = 2cos t ⇒ dx = −2sin tdt
π t 2 t 2 4sin dt = 2(1 − cos t )dt =∫ ∫0 t 2 0 cos 2 π
TR ẦN
H
sin
2
π 2
B
=π −2
00
= 2(t − sin t )
3 2+
C
π π x = cos t ; t ∈ 0; ⇒ H = 2 − 2 2
H
Ó
0
1− x dx Đặt 1+ x
A
1
Tính H = ∫
ẤP
1 1− x − 2 x ln(1 + x ) dx d) I = ∫ x 0 1+
10
0
-L
Í-
1 u = ln(1 + x) 1 Tính K = ∫ 2 x ln(1 + x) dx Đặt ⇒K= 2 dv = 2 xdx 0
ÁN
3 π − 2 2
PHẦN IV TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC
Ỡ N
G
TO
Vậy I =
BỒ
ID Ư
HT1. Tính các tích phân sau: π 2
π π
a) I = ∫ cos 4 xdx 0
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
2
b) I = ∫ (sin 6 x + cos6 x) dx 0
c) I =
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
Vậy : I =
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
∫π sin 2 x.sin 5 x.dx
−
2
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com π 2 sin x − 4 dx cos x
π
π
3
4sin 3 x d) I = ∫ dx 1 + cos x 0 2
e) I = ∫
4
dx 1 + cos 2 x 0
f) I = ∫
π
2
π
Y
π
N
Bài giải π
= 0
TP .Q
3π 8
Đ
π
π
2
2
0
0
H
Ư N
b) I = ∫ (sin 6 x + cos6 x)dx = ∫ (sin 2 x + cos 2 x)(sin 4 x − sin 2 x cos 2 x + cos 4 )dx π
TR ẦN
π
2 3 = ∫ (sin 2 x + cos 2 x) 2 − 3sin 2 x cos 2 x )dx = ∫ (1 − sin 2 2 x) dx 4 0 0
π 2
=
5π 16
π
π
1 sin 3 x sin 7 x ∫π (cos 3x − cos 7 x)dx = 2 3 − 7 −
1 2
2
2
2
=− −
π
4 21
2
π
Ó
A
−
π
ẤP
∫π
sin 2 x.sin 5 x.dx =
2
C
2
c) I =
2+
3
0
10
5 3 3 5 = ∫ ( + cos 4 x)dx = x + sin 4 x 8 8 32 8 0 2
00
π
B
2
π 3
π 2
2 4 sin x 4(1 − cos x) sin x d) I = ∫ dx = ∫ dx = ∫ 4(1 − cos x) d (1 − cos x) = 2(1 − cos x) 2 1 + cos x 1 + cos x 0 0 0
H
2
-L
Í-
2
3
TO
e) I = ∫
π π π 2 sin x − 3 3 sin x − cos x 4 sin x dx = ∫ dx = ∫ − 1 dx cos x cos x cos x 0 0
ÁN
π
Ỡ N
G
0
ID Ư
= ( − ln cos x − x )
BỒ
π
G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
1 3 cos 4 x 13 sin 4 x 2 cos 2 x + dx = x + sin 2 x + ∫ 4 02 2 42 8
ẠO
π
=
U
1 1 + cos 2 x 2 a) I = ∫ cos 4 xdx = ∫ (cos 2 x ) 2 dx = ∫ dx = ∫ (1 + 2 cos 2 x + cos 2 x ) dx 2 4 0 0 0 0
π 3
= ln 2 −
π 3
0
π
π
4
4 1 dx dx f) I = ∫ =∫ = tan x 2 1 + cos 2 x 0 2 cos x 2 0
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
π 2
0
=2
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
H Ơ
N
0
π
π 4
=
1 2
0
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
HT2 . Tính các tích phân sau: a) I = ∫ cos 2 x cos 2 xdx
π 4
b) I = ∫ (cos3 x − 1) cos 2 xdx 0
0
dx cos 6 x
π
2
2
e) I = ∫ cos 2 x(sin 4 x + cos 4 x) dx
0
TP .Q
d) I = ∫ (sin 4 x + cos 4 x)(sin 6 x + cos6 x) dx
0
ẠO
Bài giải π
Đ
2
G
a) I = ∫ cos 2 x cos 2 xdx π
π
H
π
Ư N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
0
12 12 I = ∫ cos 2 x cos 2 xdx = ∫ (1 + cos 2 x) cos 2 xdx = ∫ (1 + 2 cos 2 x + cos 4 x) dx 20 40 0
TR ẦN
2
π
=
π
B
2
8
00
1 1 = ( x + sin 2 x + sin 4 x) 4 4
π
2
2
0
0
3
π
10
0
2
0
0
ẤP
π
2
C
π
2+
b) I = ∫ (cos3 x − 1) cos 2 xdx = ∫ (cos5 x − cos 2 x) dx
Ó H
π
8 15
Í-
π
A
A = ∫ cos5 xdx = ∫ (1 − sin 2 x) 2 d (sin x) =
π 12 B = ∫ cos 2 xdx = ∫ (1 + cos 2 x) dx = 20 4 0 8 π − 15 4
G
TO
Vậy I =
ÁN
-L
2
BỒ
ID Ư
Ỡ N
π
π
π
4
4 4 28 dx dx c) I = ∫ = = (1 + 2 tan 2 x + tan 4 x) d (tan x) = 6 4 2 ∫ ∫ cos x 0 cos x.cos x 0 15 0
U
π
Y
N
0
c) I = ∫
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
2
N
π
2
H Ơ
π
π 2
d) I = ∫ (sin 4 x + cos 4 x)(sin 6 x + cos6 x) dx 0
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Ta có: (sin 4 x + cos 4 x)(sin 6 x + cos 60 x) =
33 7 3 + cos 4 x + cos 8 x 64 16 64
π
N
2
Y
e) I = ∫ cos 2 x(sin 4 x + cos 4 x) dx π
TP .Q
U
0
π
1 2 1 1 I = ∫ cos 2 x 1 − sin 2 2 x dx = ∫ 1 − sin 2 2 x d (sin 2 x) = 0 2 0 2 2 0
G
Đ
ẠO
2
π 6
cot x − tan x − 2 tan 2 x dx ∫π sin 4 x
1 b) I = ∫ dx 0 2 sin x − 3
12
3
10
00
2π 8cos 2 x − sin 2 x − 3 dx f) I = ∫ 1 + sin xdx sin x − cos x 0
∫ π
cot x − tan x − 2 tan 2 x dx sin 4 x
C
a) I =
H
Ó
12 π
π 8
∫ π 12
TO 6
G
b) I = ∫
1 dx 2sin x − 3
ID Ư
Ỡ N
0
π π 1 6 16 1 2 Ta có: I = ∫ dx = ∫ dx π 2 0 sin x − sin π 0 sin x − sin 3 3
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
π
π
8
8
2 cot 4 x cos 4 x 1 dx = 2 ∫ dx = − 2 sin 4 x 2sin 4 x π sin 4 x
ÁN
12
Í-
∫ π
2 cot 2 x − 2 tan 2 x dx = sin 4 x
-L
8
π
Bài giải
ẤP
2+
3
e) I = ∫
A
π 8
Ta có: I =
BỒ
π
dx 2 + 3 sin x − cos x
B
π cos 2 x + 8 d) I = ∫ dx sin 2 x + cos 2 x + 2
π
c) I = ∫
TR ẦN
a) I =
Ư N
π 8
H
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
HT 3. Tính các tích phân sau:
12
= π 12
2 3 −3 6
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
H Ơ
N
33 π 128
⇒I=
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
x π x π cos + − − 3 6 2 6 dx 3 dx = ∫ =∫ π x π x π 0 sin x − sin 0 2 cos + ⋅ sin − 3 2 6 2 6
π
π
x π − ln cos + 2 6
0
π 6
0
dx 2 + 3 sin x − cos x
π 1
G Ư N
10 3 2+
ẤP
π 1 + cos 2 x + 1 4 Ta có: I = dx ∫ 2 2 1 + sin 2 x + π 4
00
B
π cos 2 x + 8 d) I = ∫ dx sin 2 x + cos 2 x + 2
-L
Í-
H
Ó
A
C
π cos 2 x + dx 1 4 dx + ∫ = 2 ∫ π 2 2 1 + sin 2 x + π π sin x + 8 + cos x + 8 4
G
TO
ÁN
π cos 2 x + 1 1 dx 4 ∫ = dx + ∫ 3π 2 2 2 1 + sin 2 x + π sin 2 x + 4 8 1 π 3π ln 1 + sin 2 x + − cot x + 4 8 4 2
Ỡ N ID Ư
=
BỒ
H
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
3
π
1 1 dx dx = ∫ = π x x 4π 0 1 − cos x + 2sin 2 + 4 3 3 3 2 6
TR ẦN
1 2 π∫
Đ
3
I=
= ...
+ C
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
π
6
ẠO
π
c) I = ∫
π
N
6
Y
π x π x π cos − + 6 cos 1 1 2 6 2 6 x π = ∫ dx + ∫ dx = ln sin − 20 20 x π x π 2 6 sin − sin + 2 6 2 6 π
H Ơ
N
6
U
cos
6
TP .Q
π
8cos 2 x − sin 2 x − 3 e) I = ∫ dx sin x − cos x I =∫
(sin x − cos x) 2 + 4 cos 2 x dx = ∫ [ (sin x − cos x − 4(sin x + cos x)]dx sin x − cos x
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
= 3cos x − 5sin x + C 2π
f) I =
∫
1 + sin xdx
∫
2π
x x x π sin + cos dx = 2 ∫ sin + dx 2 2 2 4 0
∫ 0
U
Y
0
2π
ẠO
TP .Q
32π 2π x π x π = 2 ∫ sin + dx − ∫ sin + dx = 4 2 2 4 2 4 3π 0 2
π 2
sin 2 x dx (2 + sin x) 2 0
cos 2 x dx (cos x − sin x + 3)3 0
1. I = ∫
9. I = ∫
π
4
4
sin 4 x
2. I = ∫
sin 6 x + cos6 x
0
TR ẦN
π
10. I = ∫
dx
0
π
B
2+
∫
3
x + ( x + sin x)sin x dx sin 3 x + sin 2 x
π
cos 2 x + 4sin 2 x π π 6 tan x − 4 6. I = ∫ dx cos 2 x 0
dx
4
cos x − sin x dx 3 − sin 2 x 0
13. I = ∫ π 3
cot x dx π π sin x.sin x + 6 4
14. I = ∫
-L
2
π
ÁN
7. I = 2 ∫ 6 1 − cos3 x .sin x.cos5 .xdx 1
3
15. I = ∫ π
TO 4
G
dx sin x.cos 4 x
4
tan xdx
cos x 1 + cos 2 x
Ỡ N ID Ư
BỒ
tan 3 x dx cos 2 x 0 6
π
Í-
H
Ó
0
π
12. I = ∫
A
sin 2 x
5. I = ∫
C
ẤP
3 π 2
sin 4 x dx 1 + cos 2 x 0
00 10
cos x 3 + sin x
0
0
dx
11. I = ∫
dx
2
2π 3
8. I = ∫
cos 2 x. tan 4 x + 1
4
sin x
3. I = ∫
π
sin 4 x
π
3
4. I =
Ư N
2
H
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
π
G
Đ
HT 4. Tính các tích phân sau:
Bài giải π
2
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
x x sin + cos dx = 2 2
N
2
2π
I=
H Ơ
N
0
2
sin 2 x dx (2 + sin x) 2 0
1. I = ∫
π
π
2
2 sin 2 x sin x cos x dx dx Đặt t = 2 + sin x = 2 2 ∫ (2 + sin x) (2 + sin x)2 0 0
Ta có: I = ∫
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn 3
3
t−2 1 2 dt = 2 ∫ − 2 2 t t t 2 2
⇒ I = 2∫
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
2 dt = 2 ln t + t
3
= 2 ln 2
3 2 − 2 3
1 4 3 4 sin 4 x 2 1 dx . Đặt t = 1 − sin 2 2 x ⇒ I = ∫ − ⋅ dt = t 4 3 t 3 3 2 1 1 − sin 2 x 4
4
I=∫ 0
1
= 1 4
2 3
dx
Đ
cos x 3 + sin 2 x
G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
0
sin x
sin x cos x
3 + sin 2 x
dx
π
3
4. I =
∫ π
1 15 + 4 = ln − ln 4 15 − 4
3+2 3−2
B
3
x + ( x + sin x)sin x dx sin 3 x + sin 2 x
1 = ln( 15 + 4) − ln( 3 + 2) 2
(
2
dx +
x
dx
∫ π 1 + sin x
Í-
x
∫ π sin
I=
2π 3
-L
2π 3
H
Ó
3
3
ÁN
3
∫
π 3 2π 3
∫ π
+Tính I 2 =
u = x x du = dx π dx . Đặ t ⇒ I1 = dx ⇒ 2 cot sin x = − v x 3 dv = sin 2 x dx = 1 + sin x
3
BỒ
ID Ư
Ỡ N
+Tính I1 =
G
TO
2π 3
Vậy: I =
π 3
2π 3
∫ π 3
dx = π 1 + cos − x 2
1
3
A
2π 3
cos 2 x 3 + sin 2 x
1
∫ t + 2 − t − 2 dt
00
15 2
1 t+2 = ln 4 t−2
0
∫
15 2
10
cos x 3 + sin 2 x
dx =
dt 1 = 2 4−t 4
2+
0
dx = ∫
15 2
sin x cos x
ẤP
I =∫
3
sin x
C
3
3
π
TR ẦN
H
Đặt t = 3 + sin 2 x = 4 − cos 2 x .Ta có cos 2 x = 4 − t 2 và dt =
Ư N
3
3. I = ∫
ẠO
π
2π 3
∫ π 3
dx = 4−2 3 x 2 π 2 cos − 4 2
)
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
π
N
H Ơ
dx
Y
sin x + cos6 x
0
U
sin 4 x 6
TP .Q
4
2. I = ∫
N
π
+4−2 3
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
π
sin 2 x 2
cos x + 4sin 2 x
0
N
0
H Ơ
2
2sin x cos x
Y
I=∫
N
2 udu 2 2 2 = ∫ du = dx Đặt u = 3sin 2 x + 1 ⇒ I = ∫ 3 31 3 u 3sin 2 x + 1 1
π 2
dx
π tan x − 4 6. I = ∫ dx cos 2 x 0
U
π
ẠO
TP .Q
6
π π tan x − 6 tan 2 x + 1 1 4 I=∫ dx = − ∫ dx Đặt t = tan x ⇒ dt = dx = (tan 2 x + 1) dx 2 2 cos 2 (tan 1) x x + cos x 0 0 π
⇒I =−∫ 0
1− 3 2
=
0
2
B
7. I = 2 ∫ 6 1 − cos3 x .sin x.cos5 .xdx
10
00
1
1
2t 5 dt cos 2 x sin x
12 91
ẤP
1 t 7 t 13 ⇒ I = 2 ∫ t 6 (1 − t 6 ) dt = 2 − 7 13 0
2+
3
Đặt t = 6 1 − cos3 x ⇔ t 6 = 1 − cos3 x ⇒ 6t 5 dt = 3cos 2 x sin xdx ⇒ dx =
=
A
C
0
Í-
cos x 1 + cos 2 x
-L
0
tan xdx
4
tan xdx
ÁN
Ta có: I = ∫
TO
0
3
ID Ư
Ỡ N
G
⇒I =
H
4
8. I = ∫
Ó
π
π
BỒ
1 3
Ư N
1 dt = 2 (t + 1) t +1
H
1 3
TR ẦN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
G
Đ
6
2
2
.Đặt t = 2 + tan 2 x ⇒ t 2 = 2 + tan 2 x ⇒ tdt =
cox x tan + 2
tdt ∫ t = 2
3
∫ dt =
3− 2
2
π
tan x dx cos 2 x
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
2
5. I = ∫
2
cos 2 x dx (cos x − sin x + 3)3 0
9. I = ∫
4
1 t −3 dt = − 3 32 t 2
Đặt t = cos x − sin x + 3 ⇒ I = ∫
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
π
dx
2 2
sin 4 x
Ta có: I = ∫
4
dx .Đặt t = sin 4 x + cos 4 x ⇒ I = −2 ∫ dt = 2 − 2
4
sin x + cos x
1
Y
0
U
π 4
sin 4 x dx 1 + cos 2 x 0
TP .Q
11. I = ∫
ẠO
1
π
2 2(2t − 1) 1 2sin 2 x(2 cos 2 x − 1) 2 Ta có: I = ∫ cos . Đặ t t = x ⇒ I = − dt = 2 − 6 ln dx 2 ∫ 3 1 + cos x t +1 1 0
Ư N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
G
Đ
4
π
tan 3 x dx cos 2 x 0 6
π
TR ẦN
H
12. I = ∫
π
00
6 tan x tan 3 x dx = ∫0 cos 2 x(1 − tan 2 x) dx cos 2 x − sin 2 x 0
Ta có: I = ∫
B
3
6
10
3 3
2+
3
1 1 2 t3 Đặt: t = tan x ⇒ I = ∫ dt = − − ln 2 1− t 6 2 3 0
ẤP
π 4
cos x − sin x dx 3 − sin 2 x 0
Ó
A
C
13. I = ∫
H
2
∫ 1
du 4 − u2
ÁN
-L
Í-
Đặt u = sin x + cos x ⇒ I = π 4
Ỡ N
G
TO
Đặt u = 2sin t ⇒ I = ∫ π 6
2cos tdt 2
4 − 4sin t
π 4
= ∫ dt = π 6
π 12
π 3
cot x dx π π sin x.sin x + 6 4
BỒ
ID Ư
14. I = ∫
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
π 4
N
cos x. tan 4 x + 1
H Ơ
0
sin 4 x 2
N
4
10. I = ∫
π 3
I = 2∫ π
cot x 1 dx Đặt 1 + cot x = t ⇒ dx = − dt sin x(1 + cot x) sin 2 x 2
6
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn 3 +1
3 +1
t −1 dt = 2 ( t − ln t ) ⇒I= 2 ∫ t 3 +1
∫ 1
(1 + t 2 ) 2 dt = t2
1 t3 1 2 + + = − + + 2 t dt 2 t ∫1 t 2 3 t
TP .Q
3
3
= 1
8 3−4 3
TR ẦN 0
00
2
2
C
π 3
H
Ó
A
5. I = ∫ sin 2 x.tan xdx
-L
Í-
6. I = ∫ sin 2 x(2 − 1 + cos 2 x )dx
dx sin x.cos 4 x
TO
7. I = ∫
ÁN
π 3
sin x dx 5sin x.cos 2 x + 2 cos x 0 π 4
14. I =
∫π
−
15. I = ∫ π 6 π 2
16. I = ∫
8. I = ∫
17. I = ∫
6
sin x dx cos 2 x 0
π
sin 2 xdx cos 4 x(tan 2 x − 2 tan x + 5)
4
π 2
π 4 π
Ỡ N ID Ư
4
G
π 4 π
2
0
π
13. I = ∫
ẤP
sin 2 x.cos x 4. I = ∫ dx 1 + cos x 0
2
dx
12. I = ∫ 1 − 3 sin 2 x + 2 cos 2 xdx
π
π
sin x + 3 cos x
π
dx sin x.cos3 x
0
1
B
dx sin x.cos5 x 3
10
3. I = ∫
6
11. I = ∫
3
2. I = ∫
π
sin 2 xdx 3 + 4sin x − cos 2 x
2+
1. I = ∫
H
HT 5. Tính các tích phân sau:
π
BỒ
ẠO
3
Đ
π 4
dx dt .Đặt t = tan x ⇒ dx = 2 sin 2 x.cos x 1+ t2 2
G
Ta có: I = 4 ∫
Ư N
π 3
U
Y
π 4
N
2
sin 2 x dx sin 3x sin x − cos x dx 1 + sin 2 x
3
π
dx 4
3
sin x.cos5 x
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
dx sin x.cos 4 x
15. I = ∫
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
H Ơ
π 3
⇒I =
3 +1 3
2 = 2 − ln 3 3
N
3
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
4
2
sin x 9. I = ∫ dx 3 0 (sin x + 3 cos x ) π 4
10. I =
∫π
−
sin x 1 − cos 2 x dx cos 2 x
π
18. I = ∫ x( 0
cos3 x + cos x + sin x )dx 1 + cos 2 x
3
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com π 2
19. I = ∫ π
cos x
dx
sin x 3 + cos 2 x
6
U
TR ẦN
3 1 3 1 Đặt t = tan x. I = ∫ t 3 + 3t + + t −3 dt = tan 4 x + tan 2 x + 3ln tan x − +C t 4 2 2 tan 2 x
B 00 3 2+ C
dx dx dx 2t = 2∫ Đặt t = tan x ⇒ dt = ;sin 2 x = 2 2 2 sin x.cos x.cos x sin 2 x.cos x cos x 1+ t2
H
dt t2 +1 1 t2 tan 2 x =∫ dt = ∫ (t + )dt = + ln t + C = + ln tan x + C 2t 2 2 t t 1+ t2
-L
Í-
⇒ I = 2∫
Ó
A
I =∫
dx sin x.cos3 x
ẤP
3. I = ∫
2t 1+ t2
10
Chú ý: sin 2 x =
2
ÁN
π
sin 2 x.cos x dx 1 + cos x 0
Ỡ N
G
TO
4. I = ∫
π
ID Ư
2
(t − 1) 2 sin x.cos 2 x dx .Đặt t = 1 + cos x ⇒ I = 2 ∫ dt = 2 ln 2 − 1 1 + cos x t 0 1 2
Ta có: I = 2 ∫
BỒ
TP .Q
Đ G
dx dx = 8∫ 3 3 2 sin x.cos x.cos x sin 2 x.cos 2 x 3
H
I =∫
dx sin x.cos5 x 3
Ư N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
2. I = ∫
2sin x cos x 1 dx .Đặt t = sin x ⇒ I = ln sin x + 1 + +C 2sin 2 x + 4sin x + 2 sin x + 1
ẠO
Ta có I = ∫
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
H Ơ N
sin 2 xdx 3 + 4sin x − cos 2 x
Y
1. I = ∫
N
Bài làm
π 3
5. I = ∫ sin 2 x.tan xdx 0
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn π
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
π
3 sin x (1 − cos 2 x) sin x Ta có I = ∫ sin 2 x ⋅ dx = ∫ dx .Đặt t = cos x cos x cos x 0 0 3
N
1 2
N Y
π
TP .Q
U
6. I = ∫ sin 2 x(2 − 1 + cos 2 x )dx π 2
π
π
π
+ H = ∫ 2sin xdx = ∫ (1 − cos 2 x)dx = π − π
π
2
2
π 2
=
π 2
H
2
π
π
TR ẦN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
π
Đ
2
G
π
2
Ư N
π
ẠO
Ta có : I = ∫ 2sin 2 xdx − ∫ sin 2 x 1 + cos 2 xdx = H + K
π
+ K = ∫ sin 2 x 2 cos 2 x = − 2 ∫ sin 2 x.cos xdx = − 2 ∫ sin 2 xd (sin x) = π
π
2
2
2
2
00
−
2 3
10
π
7. I = ∫
2
A
C
π 4
dx sin x.cos 4 x
ẤP
π 3
2+
3
⇒I=
B
π
π
∫
TO
1
(1 + t 2 ) 2 dt = t2
ÁN
3
-L
4
I=
H
dx dx .Đặt t = tan x ⇒ dt = 2 sin 2 x.cos x cos 2 x 2
Í-
3
I = 4∫
Ó
π
1 t3 1 2 + 2 + t dt = − + 2 t + ∫1 t 2 3 t 3
3
= 1
8 3−4 3
G
π
6
BỒ
ID Ư
Ỡ N
8. I = ∫ 0
π 6
I=∫ 0
sin x dx cos 2 x
2 3
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
H Ơ
1− t2 3 dt = ln 2 − 8 t 1
⇒ I = −∫
π 6 sin x sin x dx = ∫ dx Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx cos 2 x 2 cos 2 x − 1 0
Đổi cận x = 0 ⇒ t = 1; x =
π 6
⇒t =
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
3 2
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn 3 2
Ta được I = − ∫
1
1 1 2t − 2 ln dt = 2 2t − 1 2 2 2t + 2
1
=
2 2
3 2
ln
3− 2 2 5−2 6
N
1
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
TP .Q
U
π Ta có : sin x + 3 cos x = 2 cos x − ; 6
Đ
ẠO
π π π 1 π 3 sin x = sin x − + = sin x − + cos x − 6 6 2 6 2 6
G
π π sin x − dx 3 1 2 3 dx 6 I= + = ∫ ∫ π 16 0 π 6 16 0 cos3 x − cos 2 x − 6 6
Ư N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
π
TR ẦN
H
2
π
4
3
A
Ó
π
3
4 sin 2 x sin 2 x 7π + − 3 −1 dx dx = 2 2 ∫ cos x cos x 12 0
3
Í-
−
4 sin x sin x x dx sin + ∫0 cos2 x sin x dx cos 2 x
H
=−∫
3
∫π
−
π
C
π 0
∫π
−
2+
−
sin x sin x dx = cos 2 x
ẤP
sin x 1 − cos 2 xdx = cos 2 x
0
3
π
4
10
3
π
∫π
I=
B
∫π
−
sin x 1 − cos 2 x dx cos 2 x
00
4
10. I =
π sin x + 1 1 1 1 1 3 dxI = ∫ dx = ∫ dx = ∫ dx 11. I = ∫ π π 20 20 0 sin x + 3 cos x 0 sin x + 3 cos x sin x + 1 − cos 2 x x + 3 3
-L
π
π
π
π
6
6
6
TO
ÁN
6
G
π π π sin x + 16 1 16 3 I =∫ dx = ∫ dx = ∫ dx π π 2 2 0 sin x + 3 cos x 0 sin x + 0 1 − cos 2 x x + 3 3 6
1
BỒ
ID Ư
Ỡ N
π
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
N
0
sin x dx (sin x + 3 cos x)3
Y
2
9. I = ∫
H Ơ
π
1 2
π π 1 1 1 Đặt t = cos x + ⇒ dt = − sin x + dx ⇒ I = ∫ dt = ln 3 2 3 3 2 0 1− t 4
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
π 2
12. I = ∫ 1 − 3 sin 2 x + 2 cos 2 xdx π
3
2
0
0
π
N
I = ∫ sin x − 3 cos x dx ⇒ I = ∫ sin x − 3 cos x dx + ∫ sin x − 3 cos x dx = 3 − 3
Y
3
U
π 4
TP .Q
sin x dx 5sin x.cos 2 x + 2 cos x 0
ẠO
13. I = ∫
π 4
tan x 1 dx . Đặt t = tan x ⋅ 2 5 tan x + 2(1 + tan x) cos 2 x 0
0
π
∫π 4
00
−
sin 2 xdx cos 4 x(tan 2 x − 2 tan x + 5)
Đ G
B
4
14. I =
10
1
1
dt t 2 dt dt 2 ⇒ I = = 2 + ln − 3 ∫ 2 2 2 ∫ 1+ t t − 2t + 5 3 −1 t − 2t + 5 −1
2+
3
Đặt t = tan x ⇒ dx =
Ư N
1
1 2 1 1 2 t dt = ∫ − dt = ln 3 − ln 2 2 2t + 5t + 2 3 0 t + 2 2t + 1 2 3
H
1
⇒I =∫
TR ẦN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Ta có I = ∫
1
π
π
2
2 sin x s ?n dx dx = 3 2 ∫ 3sin x − 4 sin x π 4 cos x − 1
TO
I=∫
ÁN
2
H
sin 2 x dx sin 3x
6
π
4
Í-
π
−
2 3π Vậy I = 2 + ln 2 − 3 8
-L
2
π
∫π du = 8
Ó
π
15. I = ∫
0
A
C
ẤP
dt t −1 1 = tan u ⇒ I1 = Tính I1 = ∫ 2 .Đặt t − 2t + 5 2 2 −1
6
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
6
0
dt 1 = 2 4t − 1 4 3
Đặt t = cos x ⇒ dt = − − sin xdx ⇒ I = − ∫ 2
π 2
16. I = ∫ π 4
3 2
∫ 0
1 = ln(2 − 3) 1 4 t2 − 4 dt
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
π
2
H Ơ
π
N
0
sin x − cos x dx 1 + sin 2 x
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
π π Ta có : 1 + sin 2 x = sin x + cos x = sin x + cos x (vì x ∈ ; ) 4 2 π
H Ơ
π
N
sin x − cos x dx .Đặt t = sin x + cos x ⇒ dt = (cos x − sin x ) dx sin x + cos x
π 3
1
ẠO
sin x.cos5 x
Đ
3
4
sin 3 x ⋅ cos8 x 3 cos x 3
Đặt t = tan x ⇒ I =
−
π
1
4
1 dx 2 tan 3 x cos x ⋅
4
TR ẦN
4
dx = ∫
3
8 ∫ t 4 dt = 4( 3 − 1)
B
∫ π
3
1
Ư N
π
3
H
π
G
4
π 4
Ta có :
U
1 ln 2 2
=
dx
17. I = ∫
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
2
1 ∫1 t dt = ln t
TP .Q
2
⇒I=
Y
N
4
ẤP
0
cos3 x + cos x + sin x ) dx 1 + cos 2 x
2+
π
18. I = ∫ x (
3
10
00
1
H
Ó
A
C
π π π cos x(1 + cos 2 x) + sin x x.sin x dx = x x dx + dx = J + K . .cos Ta có I = ∫ x 2 ∫ ∫ 1 + cos x 1 + cos 2 x 0 0 0
u = x du = dx +Tính J = ∫ x.cos x.dx Đặt ⇒ ⇒ J = −2 dv = cos xdx v = sin x 0
ÁN
-L
Í-
π
π
x.sin x dx Đặt x = π − t ⇒ dx = −dt 1 + cos 2 x 0
G
TO
+Tính K = ∫ π
π
π
BỒ
ID Ư
Ỡ N
(π − t ).sin(π − t ) (π − t ).sin t (π − x).sin x dt = ∫ dt = ∫ dx ⇒K =∫ 2 2 1 + cos (π − t ) 1 + cos t 1 + cos 2 x 0 0 0 π
π
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
2
⇒I=∫
π
( x + π − x).sin x sin x.dx π sin x.dx dx = π ∫ ⇒K= ∫ 2 2 1 + cos x 1 + cos x 2 0 1 + cos 2 x 0 0
⇒ 2K = ∫
Đặt t = cos x ⇒ K =
π
1
dt
2 ∫ 1+ t
2
,Đặt t = tan u ⇒ dt = (1 + tan 2 u ) du
−1
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn π
∫π
π 6
4
4
−2
Y
π 2
19. I = ∫
π
N
4
−
4
π2
cos x sin x 3 + cos 2 x
dx
2
dx .Đặt t = 3 + cos 2 x
2
sin x 3 + cos x
G
π
sin x cos x
Đ
2
Ta có I = ∫
ẠO
π
⇒I=
∫
3
Ư N 1 dt = ln( 15 + 4) − ln( 3 + 2 2 4−t 2
(
H
15 2
)
TR ẦN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
6
π 2
00
π
2
1 1. I = ∫ sin x. sin 2 x + dx 2 π
3sin x + 4 cos x dx 2 x + 4 cos 2 x 3sin 0
10
2. I = ∫
dx
A
cos x 1 + cos 2 x
π sin x + 4 dx 4. I = ∫ 2 sin .cos x x−3 π π
2
4
Ó
π 6
tan x
C
π 4
ẤP
2+
3
6
3. I = ∫
B
HT 6. Tính các tích phân sau :
Í-
H
Bài giải
-L
π 2
G
TO
6
ÁN
1 1. I = ∫ sin x. sin 2 x + dx 2 π
BỒ
ID Ư
Ỡ N
Đặt cos x =
π
3 34 3π 1 π sin t , 0 ≤ t ≤ ⇒ I = ∫ cos 2 tdt = + 2 2 20 2 4 2
π
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
π2
Vậy I =
2
=
N
4
∫π
−
4
.u
H Ơ
−
du =
π
U
2
π
4
TP .Q
⇒K=
π
(1 + tan 2 u )du π = 1 + tan 2 u 2
4
π
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
2
3sin x + 4 cos x dx 3sin 2 x + 4 cos 2 x 0
2. I = ∫ π
π
π
π
2
2
2
2
π
2 3sin x + 4 cos x 3sin x 4 cos x 3sin x 4 cos x dx dx dx dx dx = + = + 2 2 2 2 ∫ ∫ ∫ ∫ 3 + cos x 3 + cos x 3 + cos x 3 + cos x 4 − sin 2 x 0 0 0 . 0
I=∫
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
π 1
2
3dt 3sin x dx . Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx ⇒ I1 = ∫ 2 3 + cos x 3 + t2 0 0
N
π
3 3(1 + tan 2 u )du π 3 = 3(1 + tan 2 u ) 6 0
H Ơ
6
Y
N
Đặt t = 3 tan u ⇒ dt = 3(1 + tan 2 u ) du ⇒ I1 = ∫ π
π
4
4
tan x
Ta có I = ∫
1 +1 cos x 6 cos 2 x
π
π
dx
∫ 1 3
u 2
dx .Đặt t = u 2 + 2 ⇒ dt =
u +2
C
7 3− 7 = 3 3
H
π sin x + 4 4. I = ∫ dx π 2 sin x.cos x − 3
Í-
-L
ÁN
TO
ID Ư
Ỡ N
G
Ta có I = −
π 1 1 2 sin x + cos x 1 1 dx . Đặ t t x x I dt sin cos = − ⇒ = − 2 2 ∫ ∫ (sin − cos ) x x t 2π 2 0 +2
4
arctan
1 Đặt t = 2 tan u ⇒ I = − 2
∫
1 2
0
u 2
u +2
A
7 3
π
4
U
00 1
ẤP
1 dx ⇒ I = cos 2 x
= 3−
7 3
cos 2 x tan 2 x + 2
6
3
∫ dt = t
tan x
Ó
⇒I=
dx = ∫
2
Đặt u = tan x ⇒ du =
3
TP .Q ẠO
G dx
π
2
BỒ
Ư N
cos x 1 + cos 2 x
H
π 6
tan x
TR ẦN
3. I = ∫
B
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
π 4
+ ln 3
10
6
Đ
π 3
Vậy I =
3
0
1
4 cos x 4dt1 dx .Đặt t1 = sin x ⇒ dt1 = cos xdx I 2 = ∫ dt1 = ln 3 2 4 − sin x 4 − t2 0
2+
2
+Tính I 2 = ∫
du
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
+Tính I1 = ∫
2(1 + tan 2 u ) 1 1 du = − arctan 2 2 tan u + 2 2 2
HT 7.Tính các tích phân sau :
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
∫π
− 3
π
1 + sin x x 2. I = ∫ .e dx 1 + cos 2 0 2
4
3. I = ∫ 0
x cos 2 x dx (1 + sin 2 x) 2
H Ơ
Bài giải 3
x sin x dx 2 x
U
− 3
Y
∫π cos
TP .Q
1. I =
N
π
3
− −
∫
π 3
−
π
π
dx 4π = − J Với J = cos x 3
3
π 3
Để tính J ta đặt t = sin x . Khi đó J =
∫π
−
3
π
1 + sin x x 2. I = ∫ .e dx 1 + cos 2 0
ẤP
2+
2
⇒I=∫
Ó
H
Íπ 2 x + ∫ e x tan dx = e 2 x 0 2 2 cos 2 2
TO
0
π
e x dx
ÁN
2
A
C
x x 1 + 2sin cos 2 2 + tan x x 2 2 cos 2 2
-L
π
G
π
4
x cos 2 x dx (1 + sin 2 x) 2 0
ID Ư
Ỡ N
3. I = ∫
BỒ
2
00
4π 2− 3 − ln 3 2+ 3
1 + sin x Ta có = 1 + cos x
3
1 t −1 dt ∫ 1 − t 2 − 2 ln t + 1 3
10
Vậ y I =
−
3 2
dx = cos x
3
dx
∫π cos x
B
−
3
Đ
3
G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
−
π
3
Ư N
∫π
I=
π
3 2
H
x 1 xd = cos x cos x
3
TR ẦN
π
ẠO
Sử dụng công thức tích phân từng phần ta có:
−
= − ln 3 2
2− 3 2+ 3
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
1. I =
π
x sin x dx cos 2 x
N
π 3
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
u = x du = dx Đặt ⇒ cos 2 x 1 dv = (1 + sin 2 x) 2 dx v = − 1 + sin 2 x
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
1 1 ⇒ I = x. − ⋅ 2 1 + sin 2 x
π 4
π
π
π 14 1 14 1 1 dx = − + ∫ dx + ∫ ⋅ π 2 0 1 + sin 2 x 16 2 0 2 2 cos x − 4 4
=−
π
1 2 2 π + ⋅ − (0 + 1) = 16 2 2 4 16
ẠO
PHẦN V TÍCH PHÂN HÀM MŨ VÀ LOGARIT
0
ln
12. I =
e2 x + 9 ln(1 + x 2 ) x + 2011x 4. I = ∫ dx 2 ln (ex 2 + e) x +1 e xe x + 1 dx 5. I = ∫ x(e x + ln x) 1
(
0
3
ex + 2
ln 2
∫
3
x
e − 1dx
0 ln15
B 00 10 3
ex
∫
(e x + 1)3
0
e2 x
∫
ex −1
ln 2 ln 2
15. I =
∫
0 2
16. I = ∫ 1 1
dx
dx
e x − 1dx 2x − x−x dx 4x + 4x − 2
6 x dx 9 + 3.6 x + 2.4 x 0
17. I = ∫
x
e x . e x + 1 + 5e x − 3 e x + 1 − 15
G
Ỡ N ID Ư
BỒ
3e x − 4dx
ln 5
14. I =
(e 2 x − 24e x )dx
TO
3ln 2
1. I = ∫
∫
ÁN
∫
9. I =
)
2
-L
8. I =
2+ C
dx
A
∫
ẤP
2e 3 x + e 2 x − 1 dx e3 x + e 2 x − e x + 1
0 3ln 2
7. I =
13. I =
Ó
∫
16 3
8 3 ln 3
H
6. I =
−1 + ex − 2 2e 3 x − e 2 x dx e x 4e x − 3 + 1
ln
Í-
ln 2
∫
x
H
11. I =
dx
3. I = ∫
∫e
ln 2 ln 3
G
1 + ex ( x 2 + x )e x dx 2. I = ∫ x + e− x
e 2 x dx
Ư N
10. I =
dx
TR ẦN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ln 3
e2 x
Đ
HT 1. Tính các tích phân sau: 1. I = ∫
e2 x 1 + ex
TP .Q
U
Y
0
Bài giải dx
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
π
N
π 1 1 =− + ⋅ tan x − 16 2 2 4 π
H Ơ
N
0
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Đặt t = e x ⇒ e x = t 2 ⇒ dx = 2tdt ⇒ I = 2∫
t3 2 2 dt = t 3 − t 2 + 2t − 2 ln t + 1 + C = e x e x − e x + 2 e x − 2 ln 1+ t 3 3
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
ex + 1 + C
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn ( x 2 + x )e x dx x + e− x
2x
ẠO Đ G
( x 2 + 1) ln( x 2 + 1) + 1
Ư N
x ln( x 2 + 1) + 2011
H
Ta có I = ∫
+C
dx .Đặt t = ln( x 2 + 1) + 1
TR ẦN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
e2 x + 9 + 3
ln(1 + x 2 ) x + 2011x dx 2 ln (ex 2 + e) x +1
4. I = ∫
1 t + 2010 1 1 1 dt = t + 1005 ln t + C = ln( x 2 + 1) + + 1005 ln(ln( x 2 + 1) + 1) + C ∫ 2 2 2 2 t
B
00 ∫
2+
= ln 1
ee + 1 e
Ó
ln 2
∫ 0
3e3 x + 2e 2 x − e x − 1 dx 3x 2x x e + e − e +1
-L
Í-
0
3e3 x + 2e 2 x − e x − (e3 x + e 2 x − e x + 1) dx = e3 x + e 2 x − e x + 1
H
∫
I=
A
0
2e 3 x + e 2 x − 1 dx e3 x + e 2 x − e x + 1
e
ẤP
ln 2
3
d (e x + ln x) xe x + 1 J = = ln e x + ln x dx x x ∫ e + ln x x(e + ln x) 1
C
1
ln 2
10
e
e
5. I = ∫
ln 2
TO
ÁN
= ln(e3 x + e 2 x − e x + 1)
∫ 0
(
ID Ư
Ỡ N
7. I =
G
3ln 2
BỒ
e2 x + 9 − 3
1 t −3 1 dt = ln + C = ln 2 t −9 6 t +3 6
∫ 0
3
0
ln 2
= ln11 − ln 4 = ln
−x 0
14 4
dx
ex + 2
)
2
x
3ln 2
=
TP .Q
U
e +9
Đặt t = e 2 x + 9 ⇒ I = ∫
6. I =
H Ơ N Y
dx
3. I = ∫
⇒I=
N
( x 2 + x )e x xe x .( x + 1)e x x x x dx = ∫ xe x + 1 dx Đặt t = x.e + 1 ⇒ I = xe + 1 − ln xe + 1 + C x + e− x
e 3 dx x
e3
(
3
ex + 2
)
2
π 1 x 3 3 1 Đặt t = e 3 ⇒ dt = e 3 dx ⇒ I = ln − 3 4 2 6
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
2. I = ∫ I =∫
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
ln 2
8. I =
∫
3
e x − 1dx
0
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
1
e x − 1 = t ⇒ dx = 1
1
dt 3t 2 dt 1 ⇒ I = 3∫ 1 − 3 dt = 3 − 3∫ 3 3 t +1 t +1 t +1 0 0
1
ln15
H Ơ N Y U
(e 2 x − 24e x )dx
∫
ẠO
e x . e x + 1 + 5e x − 3 e x + 1 − 15
3ln 2
4
Đ
Đặt t = e x + 1 ⇒ t 2 − 1 = e x ⇒ e x dx = 2tdt 4
4
G
9. I =
π 3
TP .Q
Vậy I = 3 − ln 2 −
N
π dt 2−t 1 = ∫ + 2 + ln 2 dt = 3 t +1 0 t +1 t − t +1 3 0
Tính I1 = 3∫
H
Ư N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
(2t 2 − 10t )dt 3 7 I =∫ = ∫2− − dt = ( 2t − 3ln t − 2 − 7 ln t + 2 ) = 2 − 3ln 2 − 7 ln 6 + 7 ln 5 2 t −4 t−2 t+2 3 3 3 ln 3
x
ln 2
TR ẦN
∫e
e 2 x dx
−1 + ex − 2
1
B
Đặt t = e x − 2 ⇒ e2 x dx = 2tdt 1
1
00
10. I =
1
1
ẤP
1
2+
3
10
(t 2 + 2)tdt 2t + 1 d (t 2 + t + 1) 2 t 1 dt 2 ( t 1) dt 2 = − + = − + ∫0 ∫0 ∫0 t 2 + t + 1 t 2 + t +1 t 2 +1+1 0
⇒ I = 2∫
x
4e x − 3 + 1
dx
H
∫e
2e 3 x − e 2 x
Ó
ln 3
11. I =
0
A
0
C
= (t 2 − 2t ) + 2 ln(t 2 + t + 1) = 2 ln 3 − 1
-L
Í-
0
ÁN
Đặt t = 4e3 x − 3e 2 x ⇒ t 2 = 4e3 x − 3e 2 x ⇒ 2tdt = (12e3 x − 6e 2 x ) dx ⇒ (2e3 x − e 2 x ) dx = 9
12. I =
9
1 tdt 1 1 1 = ∫ (1 − )dt = (t − ln t + 1 ∫ 3 1 t +1 3 1 3 t +1
TO
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
⇒I=
ln
16 3
∫ ln
3e x − 4dx
9
= 1
8 − ln 5 3
tdt 3
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
3
Đặt
8 3
Đặt: t = 3e x − 4 ⇒ e x =
t2 + 4 2tdt ⇒ dx = 2 3 t +4
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
2
2 3
Tính I1 =
∫
2
∫ 2
dt = 4( 3 − 1) − 8I1 ,với I1 = 2 t +4
2 3
∫ 2
dt t +4 2
dt π π . Đặt: t = 2 tan u , u ∈ − ; ⇒ dt = 2(1 + tan 2 u ) du t +4 2 2 2
N
2
∫
2 3
dt − 8
N
∫
2 3
π
TP .Q
U
Y
3 1 1π π π π Vậy : I = 4( 3 − 1) − I1 = ∫ du = − = 2 3 4 24 3 π 2 4
ex
∫
(e x + 1)3
dx
Đ
0
ẠO
ln 3
13. I =
∫
ln 3
H
Ư N
2tdt tdt ⇒ I = 2 ∫ 3 = 2 −1 x e t 2
e2 x ex − 1
dx
TR ẦN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ln 5
14. I =
G
2
Đặt t = e x + 1 ⇔ t 2 = e x + 1 ⇔ 2tdt = e x dx ⇒ dx =
2
2 t3 2tdt 20 Đặt t = e − 1 ⇔ t = e − 1 ⇔ dx = x ⇒ I = 2 ∫ ( t 2 + 1) d = 2 + t = 3 e 3 1 1 2
B
x
10
00
x
ln 2
e x − 1dx
3
∫
2+
15. I =
ẤP
0
1
1
2td 2td = 2 x e t +1
A
C
Đặt t = e x − 1 ⇔ t 2 = e x − 1 ⇔ 2tdt = e x dx ⇒ dx =
16. I = ∫
ÁN
1
2 x − 2− x dx 4 x + 4− x − 2
-L
2
Í-
H
Ó
2t 2 1 4 −π ⇒I=∫ 2 = 2∫ 1 − 2 dt = 2 t +1 t +1 0 0
TO
2
Ỡ N
G
Đặt t = 2 x + 2− x ⇒ 4 x + 4 − x − 2 = ( 2 x + 2 − x ) − 4 ⇒ I =
1 81 ln 4 ln 2 25
1
6 x dx 9 x + 3.6 x + 2.4 x 0
BỒ
ID Ư
17. I = ∫
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
2t 2 dt = 2 t2 + 4
H Ơ
2 3
⇒I=
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
x
3 3 x 2 dx 1 ln15 − ln14 dt 3 2 = Ta có I = ∫ . Đặt t = I = 2x x 2 ∫ ln 3 − ln 2 1 t + 3t + 2 ln 3 − ln 2 2 3 0 3 + 3 + 2 2 2 1
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
HT 2: Tính các tích phân sau:
e
e
11. I =
1
ln 6
e2 x 4. I = ∫ x dx e + 6e − x − 5 ln 4 e
e
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
6. I = ∫ 1
2
ln x 3 2 + ln 2 x dx x 1
12. I = ∫ e
dx
13. I = ∫
x 1 + 3ln x
1
x + ( x − 2 ) ln x dx x (1 + ln x )
H
2 x ln 2 x − x ln x 2 + 3 dx x (1 − ln x ) e2
00
1
B
ln 2 x − x ln x 2 + 1 dx x2
∫
8. I =
TR ẦN
7. I = ∫
10
Bài giải
e
2+ ẤP
)
C
Ó
1
(
e 2 2− 2 ln x 2e 3 + 1 5 − 2 2 + 2 e 3 dx + 3∫ x 2 ln xdx = + = 3 3 3 x 1 + ln x 1
A
e
I=∫
3
ln x 1. I = ∫ + 3x 2 ln x dx 1 x 1 + ln x
H
e
ln x 3 2 + ln 2 x dx x 1
-L
Í-
2. I = ∫
3
TO
ÁN
Đặt t = 2 + ln 2 x ⇒ dt = e2
ID Ư
Ỡ N
G
3. I =
BỒ
xe x + 1 dx x ( e x + ln x )
e3
e2
N
e
G
1
log 32 x
3 − 2ln x dx 1 + 2ln x
Ư N
5. I = ∫
∫x
2 ln x 1 3 dx ⇒ I = ∫ 3 tdt = x 22 8
(
3
34 − 3 2 4
)
dx
∫ x.ln x.ln ex e
e2
I=∫ e
2
2
e e d ( ln x ) 1 dx 1 =∫ = ∫ − d ( ln x ) = 2ln 2 − ln 3 x.ln x. (1 + ln x ) e ln x. (1 + ln x ) e ln x 1 + ln x
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
1
ln 3 x dx x 1 + ln x
H Ơ
10. I = ∫
dx x.ln x.ln ex
∫
3. I =
e
3
ẠO
e2
)dx
x −1 +1
N
ln x 2 + ln x dx x 1
2. I = ∫
(
x −1+ x −1
2
2
3
ln
Y
9. I = ∫
Đ
e
5
U
ln x 1. I = ∫ + 3 x 2 ln x dx 1 x 1 + ln x
TP .Q
e
ln 6
4. I =
e2 x x ∫ln 4 e x + 6e − x − 5dx Đặt t = e I = 2 + 9 ln 3 − 4 ln 2
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn e
log 32 x
5. I = ∫
x 1 + 3ln 2 x
1
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
dx 2
U
Y
1 2 dx 1 t − 1) ⇒ ln x. = tdt ( 3 x 3
TP .Q
Đặt 1 + 3ln 2 x = t ⇒ ln 2 x = 2
e
1
1
G Ư N
e
e
Tính I = ∫ 1
H
ln x ln x dx = e − 1 − 2 ∫ dx x (1 + ln x ) x (1 + ln x ) 1 2
TR ẦN
e
∫ dx − 2 ∫
t −1 ln x dx . Đặt t = 1 + ln x ⇒ J = ∫ dt = 1 − ln 2 t x (1 + ln x ) 1
B
e
00
1
Đ
x + ( x − 2 ) ln x dx x (1 + ln x )
6. I = ∫
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
1 1 3 4 t −t = 3 3 9ln 2 3 1 27 ln 2
ẠO
Suy ra I =
10
Vậy I = e − 3 + 2 ln 2 e3
2 x ln 2 x − x ln x 2 + 3 dx x (1 − ln x ) e2
2+ e3
ẤP
e3
3
7. I = ∫
1
H
∫
Í-
8. I =
ln 2 x − x ln x 2 + 1 dx x2
TO
ÁN
Đặt
-L
e2
Ó
A
C
1 I = 3∫ dx − 2 ∫ ln xdx = −3ln 2 − 4e3 + 2e2 2 x (1 − ln x ) e e2
2 2 1 2 t −1 dx t 2 − 2t + 1 t −1 t −1 ⇒I =∫ dt = dt = − dt + dt = I1 + I 2 t t t ∫ ∫ ∫ x e e e et 0 0 0 1
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
t = ln x ⇒ dt =
1 1 1 tdt 1 dt 2 dt dt 1 I1 = − ∫ t − ∫ t = −te − t + ∫ t − ∫ t = 1 e e 0e e 0 0 0 e
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
N
H Ơ
N
ln x e e e 3 log 2 x 1 ln 2 x ln xdx ln 2 I =∫ dx = ∫ dx = 3 ∫ . 2 2 2 x ln 2 1 1 + 3ln x 1 x 1 + 3ln x 1 x 1 + 3ln x
2 2 2 tdt 2 dt 2 2 1 2 dt dt I 2 = − ∫ t − ∫ t = −te − t + ∫ t − ∫ t = −te − t = − 2 1 1 e e 1e e e 1 1 1 e
Vậy I =
2 ( e − 1) e2
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn 5
9. I = ∫ 2
ln
(
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
)dx
x −1 +1
x −1+ x −1
ln 3
∫x 1
3
3 − 2ln x dx 1 + 2ln x e
Đặt t = 1 + 2ln x ⇒ I =
4 ∫ ( 2 − t )dt =
2 −5 3
2
00
B
1
e
ln x 3 2 + ln 2 x dx x 1
2+
3
10
12. I = ∫
A
Í-
H
1
xe x + 1 dx x ( e x + ln x )
Ó
e
C
ẤP
3 Đặt t = 2 + ln 2 x ⇒ I = 3 34 − 3 24 8 13. I = ∫
ex + 1 e
TO
ÁN
-L
Đặt t = e x + ln x ⇒ I = ln
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
HT 3: Tính các tích phân sau π 2
1. I = ∫ esin x .sin 2 xdx 0 1
0
3. I = ∫ 3
1 2
1+ x 8. I = ∫ x ln dx 1− x 0 2
2. I = ∫ x ln ( x 2 + x + 1) dx 8
N
2
t 6 − 3t 4 + 3t 2 − 1 1 15 dt = ∫ t 5 − 3t 3 + 3t − dt = − ln 2 t t 4 1 1
Đ
t
2
dt = ∫
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
e
− 1)
H
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
1
2
G
⇒I=∫
(t
3 dx = 2tdt và ln 3 x = ( t 2 − 1) x
Ư N
2
11. I =
H Ơ Y U
Đặt t = 1 + ln x ⇒ 1 + ln x = t 2 ⇒
TP .Q
1
ln 3 x dx x 1 + ln x
ẠO
10. I = ∫
)
dx ⇒ I = 2 ∫ dt = ln 2 3 − ln 2 2 x −1+ x −1 ln 2
TR ẦN
e3
(
x − 1 + 1 ⇒ 2dt =
N
Đặt t = ln
ln x dx x +1
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
1 9. I = ∫ x 2 .ln x + dx x 1 1
10. I = ∫ x 2 .ln (1 + x 2 ) dx 0
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
x
1
3
ln 2 x + e x ( e x + ln 2 x ) 1 + ex
1 2
dx
1
1 x+ 13. I = ∫ x + 1 − e x dx x 1
dx
2
ln ( x + 1) dx x2 1
N
ln ( x 2 + 1)
12. I = ∫
dx
Y
2
6. I = ∫
e
2
2
7. I = ∫
4
14. I = ∫ ln
)
(
x 2 + 9 − x dx
0
ẠO
Bài giải π
Đ
2
G
1. I = ∫ esin x .sin 2 xdx
Ư N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
0
π
π π
2
π 2 0
=2
B
⇒ I = 2sin xesin x 2 − ∫ esin x .cosxdx = 2e − 2esin x
TR ẦN
H
2 u = sin x du = cosx dx I = 2 ∫ esin x .sinxcosxdx Đặt ⇒ sin x sin x dv = e cos xdx v = e 0
00
0
10
0 1
3
2. I = ∫ x ln ( x 2 + x + 1) dx
2+
0
H
Ó
A
C
ẤP
2x +1 u = ln ( x 2 + x + 1) du = x 2 + x + 1 dx ⇒ Đặt 2 v = x dv = xdx 2 1
1
1
1
1
-L
Í-
x2 dx 1 2 x3 + x 2 1 1 1 2x + 1 3 I = n ( x 2 + x + 1) − ∫ 2 dx = ln 3 − ∫ ( 2 x − 1) dx + ∫ 2 dx − ∫ 2 2 2 0 x + x +1 2 20 4 0 x + x +1 4 0 x + x +1 0
ÁN
3 3π ln 3 − 4 12 ln x dx x +1
TO
= 8
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
3. I = ∫ 3
dx u = ln x du = x Đặt ⇒ I = 2 x + 1.ln x dx ⇒ dv = x + 1 v = 2 x + 1
(
8
Tính J = ∫ 3
)
8 3
8
− 2∫ 3
x +1 dx = 6 ln 8 − 4 ln 3 − 2 J x
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
e
ln x 5. I = ∫ + ln 2 x dx 1 x 1 + ln x
( x + 1)
H Ơ
1
ln x
U
1
11. I = ∫
N
3
x 2 + x ln x + 1 x e dx x
4. I = ∫
TP .Q
e
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
x +1 dx x
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
3
3
3
1 1 t t2 tdt dt = = ∫ 2 + 2 2 = − dt 2 2 ∫ t −1 t −1 t −1 t +1 2 2 2
Đặt t = x + 1 ⇒ J = ∫
8
1
e
U
x 2 + x ln x + 1 x e dx x e
e
I = ∫ xe x dx + ∫ ln xe x dx + ∫ 1
1
e
Đ
1
e
e ex dx Tính I1 = ∫ xe x dx = xe x − ∫ e x dx = e e ( e − 1) 1 x 1 1 e
e
ex ex dx = e x − ∫ dx x x 1 1
1
H
e
Vậy I = I1 + I 2 + ∫
ex dx = e e +1 x
TR ẦN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
1
1
e
1
00 10
3
4 2 2 ln x dx Đặt t = 1 + ln x ⇒ I1 = − 3 3 x 1 + ln x
2+
Tính I1 = ∫
B
ln x 5. I = ∫ + ln 2 x dx 1 x 1 + ln x e
ẤP
e
C
Tính I 2 = ∫ ln 2 xdx . Lấy tích phân từng phần 2 lần ta được I 2 = e − 2
1
-L
x3
dx
ÁN
6. I = ∫
ln ( x 2 + 1)
Í-
H
Ó
2 2 2 Vậy I = e − − 3 3
A
1
2
u = ln ( x 2 + 1) du = 2 x ln x 2 + 1 x2 + 1 Đặt ⇒ Do đó I = − dx 2 x2 dv = 3 v = − 1 x 2 x2
TO G Ỡ N ID Ư
BỒ
G
e
Tính I 2 = ∫ ln xe x dx = ln xe x − ∫
Ư N
e
TP .Q
4. I = ∫
ẠO
e
Y
Từ đó I = 20 ln 2 − 6 ln 3 − 4
(
)
2
2
+∫ 1
1
dx x ( x 2 + 1)
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
N
H Ơ
N
t −1 = 2t + ln = 2 + ln 3 − ln 2 t + 1 3
2 2 2 2 ln 2 ln 5 x ln 2 ln 5 dx 1 d ( x + 1) 1 = − + − − +∫ − dx = 2 8 ∫1 x x 2 + 1 2 8 x 2 ∫1 x 2 + 1 1 2
ln 2 ln 5 1 5 = − + ln x − ln x 2 + 1 = 2 ln 2 − ln 5 2 8 2 8 1
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
2
ln ( x + 1) dx x2 1
7. I = ∫
G
Đ
2 1 1 du = dx 1+ x 2 2 2 1 − x) 1 2 1+ x 2 ( u = ln 2 Đặt ⇒ I = x ln 1− x ⇒ −∫x 2 2 1 − x 0 0 1 − x x2 dv = xdx v = 2
Ư N
1 2
ln 3 ln 3 1 ln 3 1 1 2 x +∫ 2 dx = + ∫ 1 + + + ln dx = 8 8 8 2 2 3 x −1 ( x − 1)( x + 1) 0 0 2
TR ẦN
=
H
1 2
2
10
00
B
1 9. I = ∫ x 2 .ln x + dx x 1
C
ẤP
2+
3
1 10 1 u = ln x + x ⇒ I = 3ln 3 − ln 2 + Đặt 3 6 dv = x 2dx 1
H
Ó
0
A
10. I = ∫ x 2 .ln (1 + x 2 ) dx
ÁN
-L
Í-
u = ln (1 + x 2 ) 1 4 π Đặt ⇒ I = .ln 2 + + 2 3 9 6 dv = x dx 3
ln x
TO
11. I = ∫
ID Ư
Ỡ N
G
1
( x + 1)
2
dx
u = ln x 1 3 dx ⇒ I = − ln 3 + ln Đặt dv = 4 2 2 ( x + 1) e
12. I = ∫ 1
ln 2 x + e x ( e x + ln 2 x ) 1 + ex
H Ơ
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
ẠO
TP .Q
1+ x 8. I = ∫ x ln dx 1− x 0
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
N Y U
1 2
BỒ
N
dx u = ln ( x + 1) du = 2 2 dx 1 3 x +1 Đặt ln 1 ⇒ ⇒ I = − x + + = 3ln 2 − ln 3 ( ) ∫ dx x x + 1) x 2 1 1 ( dv = 2 v = − 1 x x
dx
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn e
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
e
e2 x dx = H + K 1 + ex 1
Ta có I = ∫ ln 2 x.dx + ∫
2
H Ơ N
t −1 e +1 dt = ee − e + ln e t e +1 e +1
Y
∫
e +1 ee + 1
ẠO
Vậy I = ee − 2 + ln
ee +1
TP .Q
e2 x K=∫ dx Đặt t = 1 + e x ⇒ I 2 = x 1+ e 1
U
e
N
e e u = ln 2 x H = ∫ ln 2 x.dx Đặt ⇒ H = e − ∫ 2 ln x.dx = e − 2 dv = dx 1 1
1
G
Đ
1 x+ 13. I = ∫ x + 1 − e x dx x 1
1 2
1 x
Ư N
x+
2
1 x+ 1 dx + I = ∫ x − e x dx = H + K x 1 2
x+
1 2 x
(
2
2+
)
ẤP
4
1 2
3
3 5 ⇒ I = e2 2 14. I = ∫ ln
2
1 x+ 1 3 5 − ∫ x − e x dx = e 2 − K 2 x 1
10
00
B
Tính H theo phương pháp từng phần I1 = H = xe
H
2
Ta có I = ∫ e
TR ẦN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
2
x 2 + 9 − x dx
A
C
0
u = ln x 2 + 9 − x Đặt ⇒ I = x ln dv = dx
)
(
x2 + 9 − x
)
4 0
4
+∫ 0
x 2
x +9
dx = 2
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
(
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
1
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
H
Ó
A
HT 1: Tính các tích phân sau
(
e
TO
4. I = ∫ 0
x2 + 1
( x + 1)
3
5. I =
∫ 0
4
7. I = ∫
G
1
6. I = ∫
ÁN
-L
Í-
1 4 3 x 1. I = ∫ x 2 e x + dx 1+ x 0 2 4 − x2 2. I = ∫ x e x − dx x 3 1 1 x 3. I = ∫ e 2 x 4 − x 2 − x 2 dx 2 4−x 0
Ỡ N ID Ư
BỒ
PHẦN VI TỔNG HỢP
3
xe
2
)
e x dx
1+ x
x2 + 1
8. I = ∫
x2 + 9
(x
1
e3
9. I = ∫ 1
)
(
dx
ln x + x 2 + 9 − 3x 3
0
x 2 +1 2
x ln ( x 2 + 1) + x 3
3
dx
+ 1) ln x + 2 x 2 + 1 dx 2 + x ln x
ln 3 x dx x 1 + ln x
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
C
ẤP
2+
3
10
00
B
TR ẦN
H
Ư N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
G
Đ
ẠO
TP .Q
U
Y
N
H Ơ
N
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
π
dx
4
10. I = ∫ 0
x sin x dx cos2 x
Bài giải
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
0
0
x
1+ x
dx 1
1
1
1 1 1 1 Tính I1 = ∫ x e dx Đặt t = x ⇒ I1 = ∫ et dt = et = e − 30 3 0 3 3 0 2 x3
x
1+ x
Y U TP .Q
0
4
1 4
dx Đặt t =
t4 2 π dt = 4 − + 2 1+ t 3 4 0
x ⇒ I2 = 4∫
ẠO
1
I2 = ∫
3
2
2
1
1
Đ G Ư N
4 − x2 dx x2
00
B
I = ∫ xe x dx + ∫
dx
H
2 4 − x2 2. I = ∫ x e x − x3 1
TR ẦN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
1 Vậy I = e + π − 3 3
2
10
Tính I1 = ∫ xe x dx = e 2 2
2+
3
1
C
1
ẤP
4 − x2 dx x2
Tính I 2 = ∫
H
Ó
A
π Đặt x = 2sin t , t ∈ 0; 2 2
π π cos 2 t 2 = − − dt t t cot ( ) π = 3− 2 sin t 3 6
-L
⇒ I2 = ∫
Í-
π
π
ÁN
6
Ỡ N
G
TO
Vậy I = e2 + 3 −
1
BỒ
ID Ư
3. I = ∫ 0
x 4 − x2
(e
1
2x
3
)
4 − x 2 − x 2 dx 1
I = ∫ xe 2 x dx − ∫ 0
π
0
x3 4 − x2
1
Tính I1 = ∫ xe 2 x dx = 0
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
4
H Ơ
1 3
N
1
I = ∫ x 2 e x dx + ∫
N
1 4 3 x 1. I = ∫ x 2e x + dx 1+ x 0
dx = I1 + I 2
e2 + 1 4
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn x3 4−x
0
H Ơ N
e x dx
U
( x + 1)
0
2
N
16 e2 +3 3− 4 12
x2 + 1
4. I = ∫
16 3
Y
1
dx Đặt t = 4 − x 2 ⇒ I 2 = −3 3 +
TP .Q
⇒I =
2
t 2 − 2t + 2 t −1 2 2 t −1 2 e2 = 1 + − = − 1 + − + e = 1 e dt e dt e 2 2 ∫ t t t e 2 1 1 2
2
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
0
1 + x2
dx
Đ
∫
x 2 +1
G
5. I =
x 3e
2
2
Đặt t = 1 + x 2 ⇒ dx = tdt ⇒ I = ∫ ( t 2 − 1) e t dt = ∫ t 2 e t dt − e t = J − ( e 2 − e )
TR ẦN
1
2
x +1
+
10
x ln ( x 2 + 1)
x ( x 2 + 1) − x 2
=
x ln ( x 2 + 1)
3
Ta có f ( x ) =
dx
00
x2 + 1
x +1
2+
6. I = ∫
B
Vậy I = e2 x ln ( x 2 + 1) + x 3
H
1
1
+x−
2
x +1
x x +1 2
1 1 ln ( x 2 + 1) d ( x 2 + 1) + ∫ xdx − ∫ d ln ( x 2 + 1) ∫ 2 2 1 2 2 1 2 1 = ln ( x + 1) + x − ln ( x 2 + 1) + C 4 2 2
H
Ó
A
C
ẤP
⇒ F ( x ) = ∫ f ( x ) dx =
)
0
dx
2
x +9
ÁN
7. I = ∫
Í-
ln x + x 2 + 9 − 3x 3
-L
(
4
4
TO
I =∫
)
(
ln x + x 2 + 9 − 3x 3 x2 + 9
ID Ư
Ỡ N
G
0
BỒ
2
Ư N
3
ẠO
Đặt t = x + 1 ⇒ dx = dt ⇒ I = ∫
4
Tính I1 = ∫ ln 9
dx = ∫
)
(
u2 ⇒ I1 = ∫ udu = 2 ln 3
x2 + 9 ln 9
= ln 3
(
ln x + x 2 + 9
0
ln x + x 2 + 9 − 3x 3
0
4
x2 + 9
(
)dx − 3
4
∫ 0
)
x3 x2 + 9
dx = I1 − 3I 2
dx Đặt ln x + x 2 + 9 = u ⇒ du =
1 x2 + 9
dx
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
1
Tính I 2 = ∫
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
ln 2 9 − ln 2 3 2
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn 4
x3
Tính I 2 = ∫
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com x
dx Đặt x 2 + 9 = v ⇒ dv =
2
2
x +9
x +9
0
dx, x 2 = v 2 − 9
5
N
u3 44 ⇒ I 2 = ∫ ( u − 9 ) du = − 9u = 3 3 3 3
x2 + 9
0
e
e
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
I = ∫ x 2 dx + ∫ 1
1
1 + ln x dx = I1 + I 2 2 + x ln x e
e
H
x3 e3 − 1 = Tính I1 = ∫ x dx = 31 3 1
10 3
A
C
1
ln 3 x dx x 1 + ln x
ẤP
9. I = ∫
e3 − 1 e+2 + ln 3 2
2+
Vậy I =
B
1
e d ( 2 + x ln x ) e 1 + ln x e+2 dx = ∫ = ln 2 + x ln x 1 = ln x x 2 + x ln x 2 ln 2 + 1
00
e
Tính I 2 = ∫
TR ẦN
2
e3
N ẠO Đ
1
+ 1) ln x + 2 x 2 + 1 dx 2 + x ln x
G
8. I = ∫
3
ln 2 9 − ln 2 3 − 44 2
Ư N
(x
e
dx = I1 − 3I 2 =
Y
Vậy I = ∫
U
ln x + x 2 + 9 − 3x 3
4
TP .Q
)
(
H Ơ
2
3 dx = 2tdt Và ln 3 x = ( t 2 − 1) x
H
Ó
Đặt t = 1 + ln x ⇒ 1 + ln x = t 2 ⇒ 2
− 1)
-L
⇒I =∫
(t
t
2
2
t 6 − 3t 4 + 3t 2 − 1 1 15 dt = ∫ t 5 − 3t 3 + 3t − dt = − ln 2 t t 4 1 1
dt = ∫
ÁN
1
3
Í-
2
π
x sin x dx cos2 x
TO
4
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
10. I = ∫ 0
π
π
π u = x du = dx x 4 4 dx π 2 4 dx Đặt ⇒ −∫ = −∫ sin x 1 ⇒I= cos x 0 0 cos x 4 cos x 0 dv = cos 2 x dx v = cos x
π
π
4
4 dx cos xdx =∫ Tính I1 = ∫ Đặt t = sin x ⇒ I1 = cos x 0 1 − sin 2 x 0
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
2 2
dt
∫ 1− t 0
2
=
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
5
1 2+ 2 ln 2 2− 2
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn π 2 4
1 2+ 2 − ln 2 2− 2
2
6. I = ∫ π
2
4
2. I = ∫ x ( 2 − x ) + ln ( 4 + x )dx 2
π
0
3
00
7. I = ∫
ln x dx x +1
10
3. I = ∫ 2
2
8. I = ∫
2+ ẤP
0
π
9. I = ∫
Ó H Í-L 4
( x + sin x )dx 2
1 + sin 2 x
x ( cos3 x + cos x + sin x ) 1 + cos2 x
0 2π 3
A
1
x 2 + x ln x + 1 x e dx x
C
5. I = ∫
0
π
3
1 + x2 4. I = ∫ 3 ln xdx x 1 e
x sin x dx cos3 x
B
4
xcox dx sin 3 x
TR ẦN
ln ( 5 − x ) + x 3 5 − x dx x2 1
10. I =
x + ( x + sin x ) sin x dx 2 x
∫ (1 + sin x ) sin π 3
Bài giải
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
ÁN
ln ( 5 − x ) + x 3 5 − x dx x2 1
1. I = ∫
4
4 ln ( 5 − x ) dx + ∫1 x 5 − xdx = K + H x2 1
Ta có: I = ∫
dx
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
G π
4
1. I = ∫
8
Ư N
HT 2: Tính các tích phân sau
H
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Đ
ẠO
TP .Q
U
Y
N
H Ơ
N
Vậy I =
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
u = ln ( 5 − x ) ln ( 5 − x ) 3 Đặ t ⇒ K = ln 4 dx dx 2 x 5 1 dv = 2 x 4
Tính K = ∫
4
Tính H = ∫ x 5 − xdx Đặt t = 5 − x ⇒ H = 1
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
164 15
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
3 164 Vậy I = ln 4 + 5 15 2
N
2. I = ∫ x ( 2 − x ) + ln ( 4 + x 2 )dx 2
Y
0 2
π
2
2
2
0
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
0
0
ẠO
2
+ I 2 = ∫ ln ( 4 + x 2 )dx = x ln ( 4 + x 2 ) − 2 ∫
(sử dụng đổi biến: x = 1 + sint)
2
0
x2 dx (sử dụng tích phân từng phần) 4 + x2
Đ
0
G
2
+ I1 = ∫ x ( 2 − x )dx = ∫ 1 − ( x − 1) dx =
H
ln x dx x +1
00
3
TR ẦN
3. I = ∫
3π − 4 + 6ln 2 2
B
8
Ư N
= 6ln2 + π – 4 (đổi biến x = 2 tant) Vậy I = I1 + I 2 =
3
3
2t 2 dt 1 = 2∫ 1 + 2 dt = 2 + ln 3 − ln 2 2 t −1 t −1 2 2
x +1 ⇒ J = ∫
A
3
x +1 dx Đặt t = x
C
8
+ Tính J = ∫
ẤP
2+
3
10
dx u = ln x 8 8 x +1 du = x dx Đặt ⇒ I = 2 x + 1 ln x − 2 ∫ dx ⇒ 3 x 3 dv = x + 1 v = 2 x + 1
H
Ó
⇒ I = 6ln8 − 4ln3 − 2 ( 2 + ln3 − ln2) = 20ln2 − 6ln3 − 4 2
Í-
1 + x2 ln xdx 3 x 1
ÁN
-L
4. I = ∫
u = ln x 1 1 Ta có I = ∫ 3 + ln xdx Đặt 1 1 x x 1 dv = x 3 + x dx 2
TO G Ỡ N ID Ư
BỒ
TP .Q
U
0
N
Ta có I = ∫ x ( 2 − x )dx + ∫ ln ( 4 + x 2 )dx = I1 + I1
2
2
1 63 1 −1 −1 1 ⇒ I = 4 + ln x ln x − ∫ 5 + ln x dx = − ln 2 + + ln 2 2 4x x 64 4 2 4x 1 1 e
5. I = ∫ 1
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
2
H Ơ
0
x 2 + x ln x + 1 x e dx x
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn e
e
Ta có I = ∫ xe x dx + ∫ e x ln xdx + ∫ 1
1
e
1
ex dx = H + K + J x
e
e
N
+ H = ∫ xe x dx = xe x − ∫ e x dx = e e ( e − 1)
H Ơ
1
1
1
1
1
ex dx = ee − J x
N
e
Y
e
U
e
+ K = ∫ e x ln xdx = e x ln x − ∫
TP .Q
1
Vậy I = H + K + J = ee+1 − ee + ee − J + J = ee+1
π
xcox dx sin 3 x
Đ
2
6. I = ∫
ẠO
π
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
G
4
π
π
4
π
3 ẤP
0
x sin x dx cos3 x
2+
4
7. I = ∫
π
π 2
Í-
8. I = ∫
( x + sin x )dx 1 + sin 2 x
ÁN
-L
2
H
Ó
A
C
π π u = x du = dx 4 4 1 4 dx π 1 π 1 x Đặt ⇒ ⇒I= − ∫ = − tan x = − sin x 1 2 2 2.cos x 0 2 0 cos x 4 2 4 2 0 dv = cos3 x dx v = 2.cos 2 x
0
π
π
2 x sin 2 x dx + ∫ dx = H + K Ta có I = ∫ 1 + sin 2 x 1 + sin 2 x 0 0 2
TO G Ỡ N ID Ư
BỒ
4
10
4
B
π
π
2 1 2 dx 1π π 1 1 + ∫ 2 = − − − cot x = π 2 π sin x 2 2 2 2 4
00
1 1 ⇒ I = − x. 2 2 sin x
2
TR ẦN
H
Ư N
' u = x du = dv ' 2 cos x 2 cos x 1 1 Đặt 2 = − Ta có 2 = − ⇒ cos x 1 3 3 sin x sin x dv = dx v=− sin x sin x 3 2 sin x 2 sin x
π 2
π
2 x dx = ∫ 1 + sin 2 x 0 0
+H = ∫
x dx π 2 cos 2 x x − 4
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
e
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
u = x du = dx dx Đặt dv = ⇒ π 1 π v = tan x − 2 cos 2 x x − 2 4 4
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com π
π
π 2 1 π2 π x ⇒ H = tan x − + ln cos x − = 2 4 0 2 4 0 4 π
N
2 sin x cos2 x π dx Đặt t = − x ⇒ K = ∫ dx + K=∫ 1 + sin 2 x 2 1 + sin 2 x 0 0
N Y
π
H Ơ
2
2
π
2
9. I = ∫
x ( cos3 x + cos x + sin x ) 1 + cos2 x
dx
TR ẦN
0
TP .Q ẠO Đ
1 2
G
4
+
H
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
π
π
Ư N
Vậy I = H + K =
U
π2 1 1 dx ⇒ 2K = ∫ = tan x − = 1 ⇒ K = π 2 4 0 2 0 2 cos 2 x − 4
B
π π π cos x (1 + cos 2 x ) + sin x x.sin x Ta có I = ∫ x dx = J + K dx = ∫ x.cos x.dx + ∫ 2 1 + cos x 1 + cos 2 x 0 0 0
π
10
00
+ Tính J = ∫ x.cos x.dx 0
ẤP
2+
3
π π u = x π Đặt ⇒ J = ( x.sin x ) 0 − ∫ sin x.dx = 0 + cos x 0 = −2 dv = cos xdx 0 π
x.sin x dx Đặt x = π − t ⇒ dx = − dt 1 + cos 2 x 0
Ó
A
C
+ Tính K = ∫
(π − t ) .sin (π − t )dt = π (π − t ) .sint dt = π (π − x ) .sin x dx ∫0 1 + cos2 t ∫0 1 + cos2 x 1 + cos2 (π − t ) 0 π ( x + π − x ) .sin x dx = π π sin x dx ⇒ K = π π sin x ⇒ 2K =
H
π
-L
Í-
⇒K=∫
ÁN
∫
∫ 1 + cos
1 + cos2 x
1
π
2 ∫0 1 + cos2 x
x
dt
2 ∫ 1+ t
2
π
⇒K=
Vậy I =
2
π
(1 + tan u ) du = π 2
4
π
(
∫π
−
π2 4
1 + tan 2 u
4
2
π
4
∫π
−
4
du =
π 2
.u
4 −
=
π
dx
)
, đặt t = tan u ⇒ dt = 1 + tan 2 u du
−1
Ỡ N
G
Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin x.dx ⇒ K =
BỒ
ID Ư
2
0
TO
0
π2
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
π
4
4
−2
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn 2π 3
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
x + ( x + sin x ) sin x dx 2 x
∫ (1 + sin x ) sin π
10. I =
∫ π 3
Vậy I =
2π 3
∫ π 3
π 3
dx = π 1 + cos x − x 2
∫ π 3
+ 3−2
B π
00
π
6
2
3
x + sin x dx 1. I = ∫ 1 + cos 2 x 0
10
6. I =
3
3
2+
2. I = ∫ x + 1 sin x + 1dx
ẤP
0
π 2
1 + sin x x e dx 1 + cos x 0
Ó
A
C
3. I = ∫ π
H
2
cos x dx e (1 + sin 2 x ) 0
Í-
x
∫π
sin x + cos x dx 6x + 1
6
7. I = ∫ cos ( ln x )dx 1
π 2
x 8. I = ∫ esin .sin x.cos3 xdx 2
0
π 4
9. I = ∫ ln (1 + tan x )dx 0
π 2
10. I = ∫ sin x ln (1 + sin x )dx 0
π 4
G
sin 4 xdx 2− x + 1
eπ
4
11. I = ∫
Ỡ N ID Ư
∫π
−
6
TO
−
6
ÁN
4
-L
4. I = ∫ 5. I =
H Ơ TP .Q
dx = 3−2 x 2 π cos x − 4 2
HT 3.Tính các tích phân sau
π
BỒ
2π 3
ẠO
dx = 1 + sin x
0
Bài giải
tan x.ln ( cos x ) cos x
dx
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
+ K=
u = x du = dx x π dx Đặt ⇒H = dx ⇒ 2 sin x 3 v = − cot x dv = sin 2 x
Đ
2π 3
3
G
3
3
Ư N
∫
π
dx
=H +K ∫ π 1 + sin x
H
+ H=
2π 3
TR ẦN
2π 3
∫ π
x dx + sin 2 x
N
3
2π 3
Y
∫ π
Ta có I =
x ( x + sin x ) + sin 2 x dx = (1 + sin x ) sin 2 x
U
2π 3
N
3
π
x + sin 2 x dx 1 + cos 2 x 0 3
1. I = ∫
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn π
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
π
π
3 3 x + sin 2 x x sin 2 x dx = ∫ dx + Ta có I = ∫ ∫0 2cos2 xdx = H + K 1 + cos2 x 2cos2 x 0 0 3
π
N
u = x x 13 x du = dx dx = ∫ dx Đặt + H =∫ dx ⇒ 2 2 2 cos x 2 0 cos x v = tan x 0 dv = cos 2 x
π
π
0
π
1 − ln 2 2 3 2
π
2
(
G 3 − ln 2
H
6
Ư N
)+1
3 −1
2
2
2
1
1
00
B
0
(
TR ẦN
3
2. I = ∫ x + 1 sin x + 1dx
2
1
2+
3
10
Đặt t = x + 1 ⇒ I = ∫ t sin t.2tdt = ∫ 2t 2 sin t.dt = ∫ 2 x 2 cos xdx
C
ẤP
2 2 u = 2 x 2 du = 4 xdx Đặt ⇒ ⇒ I = −2 x 2 cos x + ∫ 4 x cos xdx 1 dv = sin xdx v = − cos x 1
H
Ó
A
u = 4 x du = 4dx Đặt Từ đó suy ra kết quả ⇒ dv = cos xdx v = sin x
Í-
π 2
1 + sin x x e dx 1 + cos x 0
-L
ÁN π
2
π x
2 1 e dx sin x x e dx + ∫ ∫ x 2 0 cos 2 1 + cos x 0 2
TO ID Ư
Ỡ N
G
I=
BỒ
1 1 π π − ln 2 + 3 − = 2 3 2 3 2
π
Vậy I = H + K =
Đ
3 π sin x 13 2 1 1 dx = tan xdx = [ tan x − x ] = 3 − + K=∫ 2 ∫ 2cos x 20 2 2 3 0 0
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
3
3. I = ∫
N Y
=
TP .Q
3
U
π
ẠO
π 3 π 1 π 1 ⇒ H = x tan x 03 − ∫ tan xdx = + ln cos x 2 2 3 2 0
H Ơ
3
π x x 2sin cos 2 sin x x 2 2 e x dx = tan x e x dx e dx = ∫ + Tính I1 = ∫ ∫0 2 x 1 + cos x 0 0 2 cos2 2 π
π
2
2
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
)
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
π
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
u = e x π du = e x dx π 2 x 1 e dx 2 I e Đặt dv = dx ⇒ tan e x dx + Tính I 2 = ∫ ⇒ = − x 2 ∫ x 2 2 0 cos 2 x 0 v = tan cos2 2 2 2 π
π
N
Do đó I = I1 + I 2 = e 2
Y
π
U
2
TP .Q
cos x dx e (1 + sin 2 x ) 0
4. I = ∫
x
cos x − ( sin x + cos x ) dx u= x du = e cos x ex ⇒ I=∫ x dx Đặ t 2 dx sin x 0 e ( sin x + cos x ) dv = v = 2 ( sin x + cos x ) sin x + cos x
ẠO
π
Ư N
π
π
π
H
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
G
Đ
2
TR ẦN
2 2 2 cos x sin x sin x sin x ⇒I = x . + ∫ x dx = ∫ x dx e sin x + cos x 0 0 e e 0
π
π
3
C
π
ẤP
2+
u2 = cos x du2 = − sin dx Đặt dx ⇒ −1 dv1 = e x v1 = e x
10
00
B
π du1 = cos xdx −1 2 2 cos x −1 2 cos x Đặt I x dx ⇒ = sin + = + ∫ x dx −1 π x ∫0 e x e e v = 0 1 0 2 e ex
π
−
π
π 2 −1 −1 −e 2 1 sin x ⇒ I = π + cos x − ∫ x dx = π + 1 − I ⇒ 2 I = −e 2 + 1 ⇒ I = + 2 2 e 0 0 e 2 2 e e
−1
Í-
H
Ó
A
2
π
π
Đặt t = − x ⇒ dt = − dx ⇒ I =
∫π
−
6t
4
∫ (6 −
⇒I=
π
4
∫π
−
6x
sin 6 x + cos 6 x dx 6x + 1
4
π 6
4
⇒ 2I =
6
sin t + cos t dt = 6t + 1
π
BỒ
ID Ư
π 6
4
Ỡ N
G
TO
4
-L
∫π
−
sin 6 x + cos6 x dx 6x + 1
ÁN
4
5. I =
x
+ 1)
6
sin x + cos x dx = 6x + 1
4
π
4
∫ ( sin −
π 4
6
x + cos 6 x ) dx =
4
5
3
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
H Ơ
N
x
2
5π
∫π 8 + 8 cos 4 x dx = 16
−
4
5π 32
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
π 6
∫π
π
∫π
−
0
−
π
π
0 0 2−t sin 4 ( −t ) sin 4 t sin 4 x dt dt dx = = ∫ t ∫ 2− t + 1 π 2 +1 π 2x +1
6
6
π
6
N
6
Đặt x = −t ⇒ I1 = − ∫
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Y
2 x sin 4 xdx 2x + 1
4
6
π 4
π
sin xdx 2 sin xdx 16 2 4 xdx + = sin = (1 − cos 2 x ) dx x x ∫ ∫ ∫ 2 +1 0 2 +1 40 0 0 x
6
TR ẦN
H
⇒I =∫
6
10
00
B
π
16 4π − 7 3 = ∫ ( 3 − 4cos 2 x + cos 4 x ) dx = 80 64 eπ
3
7. I = ∫ cos ( ln x )dx
2+
1
π
H
Ó
1
Í-
π 2
1 π ( e + 1) dùng phương pháp tích phân từng phần 2
A
⇒ I = ∫ et cos tdt = −
C
ẤP
Đặt t = ln x ⇒ x = et ⇒ dx = et dt
8. I = ∫ esin x .sin x.cos3 xdx
-L
2
ÁN
0
1
1 1 Đặt t = sin x ⇒ I = ∫ et (1 − t ) dt = e dùng phương pháp tích phân từng phần 20 2
Ỡ N
G
TO
2
π 4
BỒ
ID Ư
9. I = ∫ ln (1 + tan x )dx 0
π
Đặt t =
π
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
0
+ Tính I1 =
6
U
6
∫π
−
2 x sin 4 xdx 6 2 x sin 4 xdx +∫ = I1 + I 2 2x + 1 2x +1 0
TP .Q
∫π
−
0
ẠO
Ta có I =
2 x sin 4 xdx = 2x + 1
Đ
6
H Ơ
π
N
6
G
−
sin 4 xdx 2− x + 1
Ư N
6. I =
π
4 1 − tan t 2 π dt dt − x ⇒ I = ∫ ln 1 + tan − t dt = ∫ ln 1 + tan = ln ∫ 4 4 1 tan t 1 tan t + + 0 0 0
π
4
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
4
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn π
π
4
4
0
0
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
π
= ∫ ln 2dt + ∫ ln (1 + tan t )dt = t.ln 2 04 − I
π 8
ln 2
N
π 2
Y
10. I = ∫ sin x ln (1 + sin x )dx
TP .Q
U
0
π
TR ẦN
H
⇒ I = − cos x.ln (1 + sin x ) 02
π
2 2 cos x 1 − sin 2 x π + ∫ cos x dx = 0 + ∫ dx = ∫ (1 − sin x )dx = − 1 1 + sin x 1 + sin x 2 0 0 0 2
Ư N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
π π
G
Đ
ẠO
1 + cos x dx u = ln (1 + sin x ) du = Đặt ⇒ 1 + sin x dv = sin xdx v = − cos x
π
0
tan x.ln ( cos x ) dx cos x
00
1 2
B
4
11. I = ∫
∫
1
ln t dt = t2
∫
10
Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx ⇒ I =
1 2
2+
3
1
ln t dt t2
-L
Í-
H
Ó
A
C
ẤP
1 du = dt u = ln t 2 t ln 2 Đặt ⇒ I = 2 −1− 1 ⇒ 1 2 dv = dt v = t2 t
PHẦN VII: TUYỂN TẬP MỘT SỐ ĐỀ THI THỬ
ÁN
HT 1: Tính các tích phân sau ln x 1. I = ∫ dx 1 x 1 + ln x e ln 1 + ln 2 x dx 2. I = ∫ x 1
TO G Ỡ N ID Ư
BỒ
e
(
)
e
ln x − 2 3. I = ∫ dx x ln x + x 1 e
ln x 4. I = ∫ + 3 x 2 ln x dx 1 x 1 + ln x
e
10. I = ∫
x ln x + 1
1 e
11. I = ∫ 1
(x
3
dx
+ 1) ln x + 2 x 2 + 1 dx 2 + x ln x
π 2
12. I = ∫ sin x cos x ln 1 + sin 2 x dx 0 e
13. I = ∫ 1
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
x ln x + ln ( x.e2 )
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
4
ln 2 ⇒ I =
N
π
H Ơ
⇒ 2I =
(
)
ln 2 − 2 dx x ln x + x
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com e
14. I =
2
e
e x 6. I = ∫ 2 + x + 2 tan x dx 2 cos x 3π x 4 1 x
15. I = ∫ 1 1
1 e
9. I = ∫ 1
+ ln ( x + 1) x2
dx
2
ln x dx x 1 + ln x
G
Đ
Bài giải
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
e
TR ẦN
H
Ư N
ln x 1. I = ∫ dx 1 x 1 + ln x
e 4 2 2 ln x I1 = ∫ dx Đặt t = 1 + ln x ,... Tính được I1 = 3 − 3 1 x 1 + ln x
B
e
00
I 2 = ∫ ( ln 2 x )dx lấy tích phân từng phần 2 lần ta được I 2 = e − 2
x
dx
3 2+
Ó
A
1
C
2. I = ∫
ln (1 + ln 2 x )
ẤP
2 2 2 Vậy I = I1 + I 2 = e − − 3 3
10
1
e
e
Đặt ln x = t , ta có I = ∫ ln (1 + t 2 )dt . Đặt u = ln 1 + t 2 dv = dt
)
-L
Í-
H
(
1
2t dt , v = t 1+ t2
TO
ÁN
Ta có du =
1
e 1 t2 dt ln 2 2 = − − dt dt ∫ ( *) 2 ∫ 1+ t 1+ t2 1 1 0 e
Từ đó có I = t ln (1 + t 2 ) − 2 ∫
Ỡ N
G
0
1
π dt = 2 1+ t 4 1
ID Ư
Tiếp tục đặt t = tan u , ta tính được ∫
BỒ
Thay vào (*) ta có I = ln 2 − 2 + e
3. I = ∫ 1
Y
1 x+ 1 17. I = ∫ x + 1 − e x dx x 1
U
+1
0 2
ẠO
8. I = ∫
2
N
2 x ln x ( ln x − 1) + 3 dx x (1 − ln x ) e2
7. I = ∫
x 3 .3x
x 2 ln x + x ln 2 x + x + 1 dx x 2 + x ln x
16. I = ∫ x ln ( x 2 + x + 1)dx
e3
2
x2 −1 dx x2 + 1
TP .Q
π
∫
x3 ln
N
( x − 2 ) ln x + xdx x (1 + ln x ) 1
H Ơ
e
5. I = ∫
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
π 2
e
ln x − 2 ln x − 2 dx dx = ∫ x ( ln x + 1) x ln x + x 1
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
1 dx x
Đặt t = ln x + 1 ⇒ dt =
2
N
H Ơ
2 t −3 3 dt = ∫ 1 − dt = ( t − ln t ) = 1 − ln 2 1 t t 1 1
Suy ra I = ∫ e
U TP .Q
e
Y
ln x 4. I = ∫ + 3 x 2 ln x dx 1 x 1 + ln x e
Đ G
Đặt t = 1 + ln x ⇒ t 2 = 1 + ln x; 2tdt =
Ư N
1
ln x dx x 1 + ln x
1 dx x
H
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
+ Tính I1 = ∫
TR ẦN
e
ẠO
ln x I =∫ dx + 3∫ x 2 ln xdx = I1 + 3I 2 1 x 1 + ln x 1
Khi x = 1 ⇒ t = 1; x = e ⇒ t = 2
t
1
(
2 2 2− 2 t3 2tdt = 2 ∫ ( t − 1)dt = 2 − t = 3 3 1 1
B
∫
− 1)
2
2
)
10
⇒ I1 =
2
00
(t
2
2+
3
dx du = u = ln x x + Tính I 2 = ∫ x 2 ln xdx . Đặt ⇒ 2 3 dv = x dx v = x 1 3
C
ẤP
e
e
A
e
e
Í-
H
Ó
1 x3 e3 1 x 3 e3 e3 1 2e3 + 1 ⇒ I 2 = .ln x − ∫ x 2 dx = − . = − − = 3 31 3 3 31 3 9 9 9 1 5 − 2 2 + 2e3 3
-L
e
ÁN
I = I1 + I 2 =
( x − 2 ) ln x + xdx x (1 + ln x ) 1
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
5. I = ∫
e
I =∫ 1
e e e x (1 + ln x ) − 2ln x ln x dx = ∫ dx − 2∫ dx Ta có ∫ dx = e − 1 x (1 + ln x ) x (1 + ln x ) 1 1 1 e
Tính J = ∫ 1
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
2
N
Đổi cận x = 1 thì t = 1; x = e thì t = 2
ln x dx x (1 + ln x ) 2
2
t −1 1 dt = ∫ 1 − dt = ( t − ln t ) = 1 − ln 2 t t 1 1
Đặt t = 1 + ln x . Ta có J = ∫
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Vậy I = e −1 − 2 (1 − ln 2) = e − 3 + 2ln 2
1x e x 6. I = ∫ 2 + x x + 2 tan dx 2 cos x 3π x 4
U
1x π π π 1 e 1 x2 x x I = ∫ 2 + x 2 tan x dx e . dx dx + = + + 2 ∫ x 2 3∫π cos2 x 3∫π 2 x tan xdx (1) cos x 3π x 3π 4 4 4 4
Y
N
Ta có
∫ 3π 4
3π 4
x2 dx cos 2 x
H
π
+ J=
3π
Ư N
4
1
= −e π + e 4
TR ẦN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
4
π
ẠO
1 1 1 1 + ∫ e . 2 dx = − ∫ e x .d = −e x x x 3π 3π
Đ
π
1 x
G
π
TP .Q
π
10
00
B
u = x 2 π π du = 2 xdx Đặt ⇒ ⇒ J = ( x 2 tan x ) 3π − ∫ 2 x tan xdx 1 dx v = tan x 3π 4 dv = cos 2 x 4 π
2+
3
9π 2 J= − 2 x tan xdx 16 3∫π
ẤP
4
3π
1
9π 2 16
Ó
A
C
Thay vào (1) ta có I = −e π + e 4 + e3
2 x ln x ( ln x − 1) + 3 dx x (1 − ln x ) e2
-L
Í-
H
7. I = ∫
e e e e 2 x ln x ( ln x − 1) + 3 1 1 e3 I=∫ dx = 3 ∫ dx − 2 ∫ ln xdx = 3 ∫ d ( ln x ) − 2 x ln x e2 − ∫ dx x (1 − ln x ) x (1 − ln x ) 1 − ln x ) e2 e2 e2 e2 ( e2 3
3
TO
ÁN
e3
e3
(
e3
e3
)
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
= −3ln ( 1 − ln x ) 2 − 2 x ln x e2 − x e2 = −3ln 2 − 4e3 + 2e 2 e
I =∫ 1 e
I =∫ 1
e
x 2 + x ln x + 1 x e dx x e
e
e
x 2 + x ln x + 1 x ex e dx = ∫ xe x dx + ∫ ln xe x dx + ∫ dx x x 1 1 1 e
Đặt I1 = ∫ xe dx = xe x
1
x e 1
3
3
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
H Ơ
N
π
e
+ ∫ e x dx = ee ( e − 1) 1
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn e
e
ex ex dx = ee − ∫ dx x x 1 1
e
Đặt I 2 = ∫ e x ln xdx = e x ln x − ∫ 1
1
e
e
e
dx
x2
dx + ∫
1
Tính J = ∫ x .3 3
dx + ∫ 3
x 2 +1
1
Tính K = ∫
ln ( x + 1) x2
1
2
3x +1 117 d ( x + 1) = = 2 ln 3 ln 3 2
1
1 u = ln ( x + 1) u ' = x +1 dx Đặt ⇒ 1 v ' = 2 v = − 1 x x
TR ẦN
2
dx = J + K 2
2
x 2 +1
1
00
B
Suy ra 2
2
2ln 2 − ln 3 2 1 3 + ln − ln = 3ln 2 − ln 3 2 3 2 2
ẤP
=
2+
3
10
2 2 ln ( x + 1) dx x 2 ln 2 − ln 3 ln 3 1 1 K =− +∫ =− + ln 2 + ∫ − + ln dx = 2 2 x x ( x + 1) x x +1 x +1 1 1 1 1
C
117 3 + 3ln 2 − ln 3 ln 3 2
9. I = ∫
ln x
dx
-L
x 1 + ln x
Í-
e
H
Ó
A
Vậy I =
1
TO
ÁN
Đặt t = 1 + ln x có 2tdt =
ID Ư
Ỡ N
G
e
BỒ
x2
1
2
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ln ( x + 1)
ẠO
2
x 2 +1
Đ
Ta có I = ∫ x .3 3
G
2
TP .Q
U
1
H Ơ
+ ln ( x + 1)
N
+1
Y
2
Ư N
8. I = ∫
x 3 .3x
H
2
N
ex ex ex I = I1 + I 2 + ∫ dx = e e+1 − ee + ee − ∫ dx + ∫ dx = ee+1 x x x 1 1 1
ln x I=∫ dx = 1 x 1 + ln x
e
10. I = ∫
x ln x + ln ( x.e2 ) x ln x + 1
1 e
I =∫ 1
2
∫ 1
1 dx ; x = 1 thì t = 1; x = e thì t = 2 x
(
2 2 2− 2 t3 t2 −1 2tdt = 2 − t = t 3 3 1
)
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
e
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
dx
e e e d ( x ln x + 1) x ln x + 1 + ln x + 1 ln x + 1 e dx = ∫ dx + ∫ dx = x 1 + ∫ x ln x + 1 x ln x + 1 x ln x + 1 1 1 1 e
= e − 1 + ln x ln x + 1 1 = e − 1 + ln ( e + 1)
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
(x
e e + 1) ln x + 2 x 2 + 1 x2 1 + ln x dx = ∫ dx + ∫ dx 2 + x ln x 2 + x ln x 2 + x ln x 1 1
3
1
e
x3 e3 − 1 Ta có ∫ x dx = = 3 3 1 1 e
e e d ( 2 + x ln x ) 1 + ln x e+2 = dx ∫1 2 + x ln x ∫1 2 + x ln x = ( ln 2 + x ln x ) 1 = ln ( e + 2 ) − ln 2 = ln 2
G
Đ
e3 − 1 e+2 + ln 3 2
Ư N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Vậy I =
ẠO
e
π 2
12. I = ∫ sin x cos x ln 1 + sin 2 x dx
H
)
TR ẦN
(
0
π
)
sin 2 x dx và v = 1 + sin 2 x 2 1 + sin x
ẤP
Suy ra du =
2+
3
Đặt u = ln 1 + sin 2 x và dv = sin 2 xdx
10
00
B
12 I = ∫ sin 2 x ln (1 + sin 2 x )dx 20
(
H
Ó
A
C
π π 2 1 2 2 2 A = (1 + sin x ) ln (1 + sin x ) − ∫ sin 2 xdx 0 2 0
-L
Í-
π 1 2 2 = (1 + sin x ) ln (1 + sin x ) 2 − ( sin 2 x ) (1 + sin 2 x ) 0 2
ÁN
ln 4 − 1 2
TO
= e
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
13. I = ∫ 1
ln 2 − 2 dx x ln x + x
Đặt t = ln x + 1 ⇒ dt =
TP .Q
U
Y
2
1 dx x
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
e
I =∫
N
1
+ 1) ln x + 2 x 2 + 1 dx 2 + x ln x
H Ơ
11. I = ∫
3
N
(x
e
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Đổi cận x = 1 thì t = 1; x = e thì t = 2 2
2
2 t −3 3 dt = ∫ 1 − dt = ( t − ln t ) = 1 − ln 2 1 t t 1 1
Suy ra I = ∫
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
14. I =
∫
x 3 ln
2
x2 − 1 dx x2 + 1
H Ơ N Y
2
2
e 4 − 1 e2 − 1 x 2 3 e2 ln 2 − + ln 3 − + 1 4 2 e +1 2 4
Đ
ẠO
x 2 ln x + x ln 2 x + x + 1 dx x 2 + x ln x
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
1 e x dx = x ( ln x − 1) e + d ( x + ln x ) I = ∫ ln xdx + ∫ ∫1 x + ln x 1 x + ln x 1 1 e
x+
e
e
TR ẦN
= x ( ln x − 1) + ln ( x + ln x ) = ln e ( e + 1) 1
1
B
16. I = ∫ x ln ( x 2 + x + 1)dx
00
0
ẤP
2+
3
10
2x + 1 u = ln ( x 2 + x + 1) du = x 2 + x + 1 Đặt ⇒ 2 v = x dv = xdx 2 1
1
dx
Í-
1
H
Ó
A
C
1 2 x3 + x 2 3 3 x2 I = ln ( x 2 + x + 1) − ∫ 2 dx = ln 3 − J 2 2 0 x + x +1 4 4 0
2 1 3 x + + 2 2
2
-L
Với J = ∫
ID Ư
BỒ
π
1 3 2 33 π 3 π π Đặt x + = tan t , t ∈ − ; ⇒ J = dt = ∫ 2 2 2 π 9 2 2 6
Ỡ N
G
TO
ÁN
0
Vậy I =
U
∫
xdx =
3 π 3 ln 3 − 4 12
G
1
e
−
Ư N
15. I = ∫
e
H
e
x4 − 1 x2 − 1 ln 2 4 x +1
TP .Q
I=
N
4x du = 4 dx x2 − 1 u = ln x +1 2 Đặt Ta có x +1 4 dv = x 3dx v = x − 1 4
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
e
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
2
1 x + 1x 17. I = ∫ x + 1 − e dx x 1 2
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn 2
2
1
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com 2
1
1
x+ 1 x+ 1 x+ I = ∫ x + 1 − e x dx = ∫ e x dx + ∫ x − e x dx = I1 + I 2 x x 1 1 1 2
2
H Ơ
1 2 x
2
Y
1 2
N
1 x + 1x 3 25 3 52 − ∫ x − e dx = e − I 2 ⇒ I = e 2 2 x 1
U
2
TP .Q
I1 = xe
x+
N
Tính I1 theo phương pháp từng phần
x 1 − x2
2 2
1
0
3
dx 1+ 1− x
5
9. I = ∫
2
1
6
x + 3x dx x − 5x 2 + 6
11. I = ∫
2+
1
2
x (1 + x 5 )
H x 1 − x2
ÁN
1 2
dx
Í-
∫
-L
1. I =
3 2
dx tdt =− 2 x x
dx tdt tdt =− = 2 2 x 1− t t −1
+ Đổi cận x =
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
Đặt t = 1 − x 2 ⇒ t 2 = 1 − x 2 ⇒ 2tdt = −2 xdx ⇒
⇒
3 2
I=
∫ 1 2
dt = 2 t −1
Đ
dx
1 − x5
Ó
A
1 26
2
( x + 1)
2
dx
1 4 3 x 12. I = ∫ x 2e x + dx 1+ x 0 Bài giải
ẤP
∫
3x 4 + x 2 + 1 dx x2 3 x3 + x
C
1 7
0
3
4
0
x ( e x + 1)
00
10. I = ∫
3
5. I = ∫
x2 + 1 dx x 3x + 1 1
10
1
x4 dx 1 2 x − x +1 x
B
dx 4. I = ∫ 4x + 1 2 2x +1+
6. I =
∫
dx
H
8. I =
4 − x2 2. I = ∫ x 3 ln dx 2 4+ x 0 1
3. I = ∫
3x + 9 x 2 − 1
G
1 3
x
Ư N
∫ 1 2
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
7. I = ∫
dx
TR ẦN
1. I =
1
3 2
ẠO
HT 2.Tính các tích phân sau
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
2
1 3 3 1 ⇒t = ⇒t = ;x = 2 2 2 2 1 2
1 t +1 dt ∫ t 2 − 1 = 2 ln 1 − t 3 2
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
3 2 1 2
1 7+4 3 = ln 2 3
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
1 4 − x2 2. I = ∫ x 3 ln dx 2 4+ x 0
4 − x2 1 15 3 Do đó I = ( x 4 − 16 ) ln − 4 ∫ xdx = − ln − 2 2 4 4 5 4+ x 0 0
Ư N H
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
π π Đặt x = sintvới t ∈ − ; 2 2
π 2
. Từ đó
00
B
Đổi cận: Với x = 0 thì t = 0; Với x = 1 thì t =
TR ẦN
Ta có dx = costdt và 1 − x 2 = 1 − sin 2t = cos 2 t = cos t = cos t
π
2
2
H
Ó
A
C
ẤP
2+
3
10
t 2 cos2 − 1 dx cos tdt 2 dt I =∫ =∫ =∫ 2 1 + cos t 0 t 0 1+ 1− x 0 2 cos2 2 π π t π 2 2 d 2 t 2 = t − tan = π − 1 = ∫ dt − ∫ t 2 0 2 0 0 cos 2 2 π
1
6
Í-
dx 4x + 1 2 2x +1+
ÁN
-L
4. I = ∫
Ỡ N
G
TO
Đặt t = 4 x + 1 ⇒ x = 5
Khi đó I = ∫ 3
ID Ư
BỒ
TP .Q ẠO
1 + 1 − x2
Đ
0
dx
G
1
3. I = ∫
1
5 1 1 1 3 1 = ∫ − dt = ln t + 1 + = ln − 2 2 12 t + 1 ( t + 1) t +1 3 3 5
tdt
( t + 1)
t2 − 1 tdt ⇒ dx = ; t ( 2 ) = 3; t ( 6 ) = 5 4 2
2
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
H Ơ N Y U
1
N
16 x 4 − x 2 du = 4 dx ln u = x − 16 2 4 + x Đặt ⇒ 4 v = x − 16 3 dv = x dx 4
5
1 3 1 = ln t + 1 + = ln − 2 12 t +1 3 1
5. I = ∫ 0
x 3 + 3x dx x 4 − 5x 2 + 6
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
1
I=
1
1 x 3 + 3x 1 x2 − 2 + 5 2 dx dx 2 = 2 ∫0 ( x 2 − 2 )( x 2 − 3) 2 ∫0 ( x 2 − 2 )( x 2 − 3) 1
x
3x + 9 x 2 − 1 1
x
2
3x + 9 x − 1
1
Y U TP .Q H
dx = I1 + I 2
1 3 1 d 1 + 2 = − 3 1 + 2 4 x x 1 3 1+ 2 x 1
2
1
ÁN
TO
3
1 3
1
(
)
1
1
dx = ∫ x 3x + 9 x − 1 dx = ∫ 3 x dx − ∫ x 9 x 2 − 1dx
I1 = ∫ 3x 2dx = x 3 1 =
1 3
1
2
2
1 3
1 3
26 27 1
1
3
3
G
3 1 1 16 2 2 2 I 2 = ∫ x 9 x − 1dx = ∫ 9 x 2 − 1d ( 9 x 2 − 1) = x − = 9 1 ( ) 18 1 27 27 1 1 2
Ỡ N ID Ư
1 26
x3 + x
3
Í-
1 3
3
Vậy I =
BỒ
∫
x
2+ dx
-L
I =∫
2 2
8. I =
1 7
1 26
1 23
Ó
1 3
x +x
1 1 dx = − 3 2 1 x 3 1+ 2 x
322 91
∫
dx +
Ư N
G
1
7. I = ∫
3
TR ẦN
1
∫
1 26
Vậy I =
x
23
∫
3
1 7
=
B
Tính I 2 =
1 26
3x + x
00
1 7
∫
1 7
2
ẤP
1 26
3x + x + 1 dx = x2 3 x3 + x
4
C
∫
I=
1 7
2
10
4
A
1 7
H
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
1 26
Đ
3x 4 + x 2 + 1 dx x2 3 x3 + x
∫
6. I =
ẠO
1 7
N
5 5 3 1 1 = ln 2 + ln 2 − ln 3 + ln 2 2 2 2 2 5 2 5 = 3ln 2 − 3ln 3 + ln 2 = 3ln + ln 2 2 3 2
1 26
15 4
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
H Ơ
N
1 1 1 dx 2 5 1 1 2 1 5 x2 − 3 2 ln 3 ln = ∫ 2 + ∫ 2 − 2 dx = x − + 2 0 x −3 2 0 x −3 x −2 2 x2 − 2 2 0
26 − 16 2 27
x4 dx 1 2 x − x +1 x
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
− 1) x 2 + 1
dx
x
2 Đặt t = x + 1 Khi đó dt =
2
dx và x 2 = t 2 − 1
N
x +1
Khi đó I = ∫
(t
2
− 1)
2
2
TP .Q
3
U
Y
Đổi cận x = 3 ⇒ t = 2; x = 2 2 ⇒ t = 3 dt
t2 − 2
3
3
3
Đ
3
Ư N H
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
1 1 1 1 = t3 + − dt ∫ 3 2 2 2 2 t − 2 t + 2
19 1 19 2 4+ 2 + + ln t − 2 − ln t + 2 = ln 2 3 3 2 2 4 4+ 2
B 00 3dx 2tdt ⇒ dx = 3 2 3x + 1
2+
Đặt t = 3x + 1 ⇒ dt =
10
1
x2 + 1 dx x 3x + 1
3
5
9. I = ∫
TR ẦN
3
=
2
ẤP
Khi x = 1 thì t = 2 vàkhi x = 5 thì t = 4
-L
Í-
H
Ó
A
C
t2 + 1 +1 4 4 4 3 2tdt 2 dt 2 . 1 2 = t − dt + Suy ra I = ∫ ( ) 2 2 ∫ ∫ t +1 3 92 t −1 2 2 t 3
ÁN
t = 3x + 1 ⇒ dt = x ( e x + 1)
TO 1
ID Ư
Ỡ N
G
10. I = ∫
BỒ
G
3
ẠO
1 t 4 − 2t 2 + 1 Ta có I = ∫ dt = ∫ t 2 dt + ∫ 2 dt 2 t −2 t −2 2 2 2
0
( x + 1)
2
3dx 2tdt ⇒ dx = 3 2 3x + 1
dx
u = x ( e x + 1) du = ( e x ( x + 1) + 1) dx Đặt dx ⇒ −1 dv = 2 v = ( x + 1) x +1
I =−
x ( e x + 1)
( x + 1)
1
2 0
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
2
3
N
∫ (x
x5
H Ơ
2 2
Ta có I =
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
1
1 1 3 e +1 e + ∫ ex + + ( e x + ln x + 1 ) = + ln 2 − dx = − 0 2 2 2 x +1 0
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
1
N
dx
2
1 − x5 x (1 + x 5 )
dx = I = ∫ 2
1 + x5 − 2 x5 x (1 + x 5 )
1
2
2
dx = ∫ 1
1 x (1 + x 5 )
2
dx − ∫ 2 1
2 x4 5 2
(1 + x )
dx = I1 − I 2
1 1 1 − 2 1 1 1 t4 t x = ⇒ I1 = ∫ dt = ∫ 5 dt = ∫ 5 d ( t 5 + 1) 1 1 t t + 1 5 t + 1 1 1 1 1 + 2 2 t t5
Đ
ẠO
1 2
1
G Ư N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
1 1 = ln t 5 + 1 = ( 6ln 2 − ln 33) 1 5 5
B
1 31 ( 6ln 2 − ln 33) − 5 165
00
I=
2 1 2 1 31 d (1 + x 5 ) = − = 2 5 ∫ 5 5 1 (1 + x ) 5 1 + x 1 165
TR ẦN
2
2
I2 =
H
2
4 3 x 12. I = ∫ x 2e x + dx 1+ x 0
2+
3
10
1
1
A
C
ẤP
1 1 1 4 4 3 x x 2 x3 dx Đặt I = ∫ x 2 e x + Ta có I = ∫ x e dx + ∫ dx 1+ x x 0 0 0 1+ 1
1
1 1 1 1 Ta tính I1 = ∫ x e dx Đặt t = x khi đó I1 = ∫ et dt = et = e − 30 3 0 3 3 0 3
Í-
H
Ó
2 x3
-L
1
4
x
x 0 1+
dx Đặt t = 4 x ⇒ x = t 4 ⇒ dx = 4t 3dt
1
1
t4 1 2 π dx = 4 ∫ t 2 − 1 + dt = 4 − + 2 2 1+ t 1+ t 3 4 0 0
TO
ÁN
Ta tính I 2 = ∫
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
Khi đó I 2 = 4 ∫
1 Vậy I = I1 + I 2 = e + π − 3 3
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
2
I=∫
2
H Ơ
x (1 + x 5 )
N
1
1 − x5
Y
11. I = ∫
U
2
3 e + ln 2 − 2 2
TP .Q
Vậy I =
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
HT 3.Tính các tích phân sau π 2
π
cos x 1. I = ∫ e + sin x sin 2 xdx
(
)
0
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
2
4 4 9. I = ∫ cos2 x sin x + cos x dx
(
)
0
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com π
π
( x + 2sin x − 3) cos x dx
2
2. I = ∫
4
tan x dx 4cos x − sin x ) cos x 0 (
10. I = ∫
3
sin x
π 4
π 6 tan x − 4 dx 4. I = ∫ cos 2 x 0
12. I = ∫
)
N
π
U
Y
x dx x 1 + sin 0
π
2
13. I = ∫
2
( x + 2sin x − 3) cos x dx sin 3 x
π
5. I = ∫ 1 − 3 sin 2 x + 2cos xdx 2
ẠO
4
π
0
2
cot x dx 4 π 1 + sin x
π
0
4
π
π
G
x sin x + sin 2 x dx cos2 x
6. I = ∫
Đ
14. I = ∫
Ư N
4
3
3sin x − sin 2 x dx 2 0 ( cos 2 x − 3cos x + 1) ( 3 − 2sin x )
π
π
3
TR ẦN
cos x + sin 2 x 7. I = ∫ 1 + cos2 x 0
H
15. I = ∫
4
cot x dx π sin x.sin x + π 6 4
16. I = ∫
4
00
B
cot x − tan x 8. I = ∫ dx π sin 2 x cos 2 x − π 8 4
10
π
17. I = ∫ x ( cos x + sin 5 x ) dx
π
π
2
ẤP
2+
3
0
Bài giải
π
2
2
0
0
C
cos x cos x 1. I = ∫ ( e + sin x ) sin 2 xdx = 2∫ e .cos x sin xdx + ∫ sin x sin 2 xdx
Ó
A
0
H
π 2
ÁN
-L
Í-
J = ∫ ecos x .cos x sin xdx 0
π 2
1
1
ID Ư
Ỡ N
G
TO
Đặt t = cosx có J = ∫ et .tdt = t.et − ∫ et .dt = 1
BỒ
TP .Q
π
π
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
(
0
0
0
0
π
π
π
12 1 1 2 2 K = ∫ sin x sin 2 xdx = ∫ ( cos x − cos3x ) dx = sin x − sin3x = 20 2 3 0 3 0 2
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
11. I = ∫ ecos x + sin x sin 2 xdx
H Ơ
2
cos x + sin 2 x dx 3. I = ∫ 1 + cos2 x 0
4
N
π
π
π 2
cos x Vậy I = ∫ e + sin x sin 2 xdx = 2 +
(
)
0
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
2 8 = 3 3
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
π 2
2. I = ∫
( x + 2sin x − 3) cos x dx sin 3 x
π
3
π
4
π
sin 3 x
π 4
π
Y
4
∫
x
N
∫ sin
sin 3 x
π
π
π
π
U
I=∫
π
( x + 2sin x − 3) cos x dx = 2 x cos x dx + 2 ( 2sin x − 3) cos x dx
2 12 1 1 x 2 1 2 1 1π π 1 1 x cos x = − = − + ∫ 2 dx = − − − cot x = I1 = ∫ dx xd 2 3 2 ∫ π 2 π sin x 2 sin x π 2 π sin x 2 2 2 2 2 π sin x 4
4
4
∫ π
3
sin x
π
2−
7 2
4
TR ẦN
H
Vậy I = I1 + I 2 = 2 2 − 3
π 4
cos x + sin 2 x dx 1 + cos2 x 0 π
π
4
4
π
00
B
3. I = ∫
2+
3
10
4 cos x + sin 2 x sin 2 x cos x dx = ∫ dx + ∫ dx = I1 + I 2 1 + cos 2 x 1 + cos 2 x 1 + cos 2 x 0 0 0
I=∫
π
π
ẤP
4
C
sin 2 x 1 I1 = ∫ dx = − ln 1 + cos 2 x 1 + cos 2 x 2 0
4 0
1 = ln 2 2
π
A
π
cos x 1 4 cos x dx = ∫ dx 1 + cos 2 x 2 0 1 + sin 2 x 0
Ó
4
-L
Í-
H
I2 = ∫
ID Ư
Ỡ N
G
TO
ÁN
1 Đặt u = sint I 2 = 2
BỒ
sin x
( sin x ) = 2
Ư N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
4
3
ẠO
I2 = ∫
π
( 2sin x − 3) cos x dx = 2 ( 2sin x − 3) d
G
2
4
4
Đ
π
TP .Q
2
1 2
∫ 0
du 1 = 2 1+ u 4
1 Vậy I = ln 2 + 2 2 2
(
1 2
∫ 0
1 1 u +1 1 + du = ln 4 u −1 1− u 1+ u
)
π tan x − 4 dx 4. I = ∫ cos 2 x 0 π
6
1 2
= 0
1 ln 1 + 2 2
(
)
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
π
2
H Ơ
π
N
4
π π tan x − 6 tan 2 x + 1 4 I=∫ dx = − ∫ dx 2 cos 2 x 0 0 ( tan x + 1) π
6
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn 1 dx = ( tan 2 x + 1) dx 2 cos x
π 2
ẠO
5. I = ∫ 1 − 3 sin 2 x + 2cos2 xdx 0
π
(sin x −
I = ∫ 1 − 3 sin 2 x + 2cos xdx = ∫
)
3 cos dx = ∫ sin x − 3 cos dx
0
0
sin x − 3 cos x = 0 ⇔ tan x = 3 ⇔ x =
π π + kπ Do x ∈ 0; nên x = 3 3 2
H
0
π
π
π
π
3
2
3
∫ ( sin x −
0
π
(
3 0
H
π
0
1 3 1 3 = − − +1 + − 3 + + = 3 − 3 2 2 2 2
π
4 x sin x sin x dx dx + 2 + Ta có I = ∫ 2 ∫ cos x cos x 0 0
ÁN
-L
Í-
4
3
π
4
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
Đặt I1 = ∫ 0
π 4 x sin x sin x dx I dx ; = 2 2 2 ∫ x cos x cos 0
+ Tính I1: Đặt u = x ⇒ du = dx; v = ∫ π
π
sin x 1 dx = − ∫ cos −2 xd ( cos x ) = 2 cos x cos x π
π
4 x dx x 4 1 1 + sin x ⇒ I1 = −∫ = − ln cos x 0 0 cos x cos x 0 2 1 − sin x 4
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
)
3 cos x dx
3
A
Ó
0
x sin x + sin 2 x dx cos2 x
)
∫ ( sin x − π
C
π 4
3
+ − cos x − 3 sin x
2
ẤP
)
π
2+
(
= − cos x − 3 sin x
)
0
10
0
π
3 cos x dx +
00
B
I = ∫ sin x − 3 cos x dx + ∫ sin x − 3 cos x dx =
6. I = ∫
2
2
TR ẦN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
2
Đ
2
G
π
2
Ư N
π
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
Y
1 3 1− 3 = = 2 t +1 0
U
2
N
1
dt
( t + 1)
0
6
1 3
⇒t =
TP .Q
Suy ra I = − ∫
π
N
Đổi cận x = 0 ⇒ t = 0, x =
H Ơ
Đặt t = tan x ⇒ dt =
1 3
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
4
= 0
π 2 1
2+ 2 − ln 4 2 2+ 2
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
π 4 0
= −2ln
2 2
π 2
H Ơ
1 2+ 2 2 − ln − 2 ln 4 2 2+ 2 2
N
Vậy I = I1 + I 2 =
π
π
Y
4
cos x + sin 2 x 1 + cos2 x 0 π
π
4
4
TP .Q
U
7. I = ∫
π
0
1 Vậy I = ln 2 + 2 2
(
0
)
1 2 0
1 = ln 1 + 2 2
(
)
B
π 4
cot x − tan x dx π π sin 2 x cos 2 x − 8 4
π 4
π 4
ẤP
π 4
2+
3
10
00
8. I = ∫
cos 2 x − sin 2 x sin x.cos x
cot x − tan x cot x − tan x dx = ∫ dx = ∫ dx π π π π π π π sin 2 x cos 2 x − sin 2 x cos 2 x − sin 2 x cos 2 x.cos + sin 2 x.sin 8 8 8 4 4 4 4
H
cot 2 x cot 2 x 1 dx = 2 2 ∫ dx 2 sin 2 x ( cos 2 x + sin 2 x ) π 1 + cot 2 x sin 2 x
Í-
= 2 2∫
ÁN
8
TO
Đặt t = cot 2 x ⇒ dt = −
Đổi cận x =
Ỡ N
G
π 4
-L
π 4
Ó
A
C
I=∫
π 8
π 8
2 1 1 dx ⇒ − dt = 2 dx 2 sin 2 x 2 sin 2 x
⇒ t = 1; x =
π 4
0
⇒t =0 1
1
1 t 1 t 1 dt = 2 ∫ 1 − − dt = 2 ∫ dt = 2 ( t − ln t + 1 ) 0 = 2 (1 − ln 2 ) 1+ t t 1+ t 1+ t 1 0 0
ID Ư
BỒ
∫
1 1 u +1 1 + du = ln 4 u −1 1− u 1+ u
Ư N
∫
du 1 = 2 1− u 4
H
Đặt u = sint I 2 =
1 2
TR ẦN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
1 2
G
Đ
ẠO
4 cos x + sin 2 x sin 2 x cos x =∫ dx + ∫ dx = I1 + I 2 1 + cos 2 x 1 + cos 2 x 1 + cos 2 x 0 0 0
I =∫
I = 2 2∫
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
sin x dx = −2 ln cos x cos x 0
N
4
+ I 2 = 2∫
π 2
9. I = ∫ cos 2 x sin4 x + cos4 x dx
(
)
0
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
π
π
1 2 1 1 I = ∫ cos 2 x 1 − sin 2 2 x dx = ∫ 1 − sin 2 2 x d ( sin 2 x ) 2 0 2 2 0 2
π
π
π
N H Ơ N
π
Y
4
tan x dx x x x 4cos − sin cos ( ) 0
TP .Q
U
10. I = ∫
π 4
tan x dx 4 tan x ) cos 2 x 0 (
Đ
ẠO
Ta có I = ∫
−3
Suy ra I = − ∫
Ư N 4
⇒ t = −3
( t + 4 ) dt = − −3 1 + 4 dt = −
∫ −4
t
t
−3 −4
4 = 4 ln − 1 3
10
π 2
( t + 4 ln t )
00
−4
H
π
TR ẦN
Đổi cận: Với x = 0 ⇒ t = −4; x =
B
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
G
dx = dt cos 2 x
Đặt tan x − 4 = t ⇒
11. I = ∫ ecos x + sin x sin 2 xdx
)
3
(
2+
0
π
π
ẤP
π 2
2
2
0
0
C
I = ∫ ( ecos x + sin x ) sin 2 xdx = 2 ∫ ecos x .cos x.sin x.dx + ∫ sin x.sin 2 xdx
A
0
Ó
π 2
H
I = ∫ ecos x .cos x.sin x.dx
-L
Í-
0
1
1
1
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
ÁN
Đặt t = cosxcó I = ∫ t.et .dt = t.et − ∫ et .dt = 1 π
0
0
0
π
π
12 1 1 2 2 K = ∫ sin x.sin 2 xdx = ∫ ( cos x − cos3x ) dx = sin x − sin 3x = 20 2 3 0 3 0 2
π 2
I = ∫ ( ecos x + sin x ) sin 2 xdx = 2 + 0
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
π
2 2 12 12 1 1 = ∫ d ( sin 2 x ) − ∫ sin 2 2 xd ( sin 2 x ) = sin 2 x − sin 3 2 x = 0 20 40 2 12 0 0
2 8 = 3 3
π
x dx 1 + sin x 0
12. I = ∫
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn π
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
π
π
x x x dx = ∫ dx = ∫ dx 2 x π 1 + sin x x x 0 0 0 2 cos 2 − sin + cos 2 4 2 2
Ư N
π
( x + 2sin x − 3) cos x dx = 2 x cos x dx + 2 ( 2sin x − 3) cos x dx
∫ sin
sin 3 x
π 4
3
π 4
π
∫
x
π 4
π
x cos x 12 1 I1 = ∫ dx = − xd 3 2 π∫ sin 2 x π sin x
4
4
C
4
2+
π
π
2 1 2 1 1 π π 1 1 + ∫ 2 dx = − − − cot x = π 2 π sin x 2 2 2 2 2
ẤP
2
3
π
π
π
3
Ó
A
( 2sin x − 3) cos x dx = 2 ( 2sin x − 3) d sin x
H
I2 = ∫
10
4
1 x =− 2 sin 2 x π 2
00
2
4
sin 3 x
3
sin x
( sin x ) = 2
2−
7 2
4
-L
Í-
π 4
∫ π
π 2
ÁN
Vậy I = I1 + I 2 = 2 2 − 3 cot x dx 4 π 1 + sin x
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
14. I = ∫ 4
π 2
π
4
4
π
2 2 cot x cos x sin 3 x cos x Ta có I = ∫ dx dx = = 4 ∫π sin x (1 + sin 4 x ) π∫ sin 4 x (1 + sin 4 x ) dx π 1 + sin x
Đặt t = sin 4 x Ta có x =
H Ơ N Y U
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
I =∫
π
H
π 2
G
sin 3 x
π 4
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Đ
( x + 2sin x − 3) cos x dx
TR ẦN
13. I = ∫
0
B
π 2
π
ẠO
x π ⇒ I = π + 2 ln cos − 2 4
TP .Q
u = x du = dx π π dx x π x π Đặt dv = I x tan tan − dx ⇒ ⇒ = − − x π ∫ x π 2 4 0 0 2 4 v = tan 2 − 4 2 cos2 − 2 4
N
I =∫
4
π
π 1 ⇒ t = , x = ⇒ t = 1 và dt = sin3 x cos xdx 4 4 2
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn 1
1
4
4
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com 1
1 1 1 1 1 1 1 5 dt = ∫ − = ln dt = ln ∫ 4 1 t ( t + 1) 4 1 t t + 1 4 t +1 1 4 2 4
N
π 3
H Ơ
3sin x − sin 2 x dx 2 0 ( cos 2 x − 3cos x + 1) ( 3 − 2sin x ) π
π
sin x ( 3 − 2 cos x )
0
3
( 2 cos x − 3) .cos x. (1 + 2 cos
2
x)
− sin x dx 2 0 cos x. (1 + 2 cos x )
dx = ∫
G
=∫
Đ
3
ẠO
π
TP .Q
3 sin x ( 3 − 2 cos x ) 3sin x − sin 2 x dx dx Ta có I = ∫ = ∫ 2 2 0 ( cos 2 x − 3cos x + 1) ( 3 − 2sin x ) 0 ( 2 cos x − 3) .cos x. (1 + 2 cos x )
cos 2 x. (1 + 2 cos2 x )
Ư N
0
dx
H
cos x ( − sin x )
3
TR ẦN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
π
=∫
1 2
00
3
⇒t =
10
1 2
π
B
Đặt t = cos 2 x ⇒ dt = 4 cos x ( − sin x ) dx Đổi cận x = 0 ⇒ t = 2 Khi x =
1
1
2+
3
1 dt 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 = ∫ − Khi đó I = ∫ = ln − ln = ln dt = ln 2 t +1 2 2 3 3 2 2 2 2 t (1 + t ) 2 1 t t + 1
ẤP
2
A
C
1 Vậy I = − ln 2 2
Ó
π 3
cot x dx π π sin x.sin x + 6 4
-L
Í-
H
16. I = ∫
π 3
ÁN
π 3
TO G Ỡ N ID Ư
BỒ
Đặt 1 + cot x = t ⇒
Khi x =
π 3
cot x cot x cot x dx = 2 ∫ dx = 2 ∫ 2 dx π π π sin x. ( sin x + cos x ) π sin x. (1 + cot x ) sin x.sin x + 6 6 6 4
Tính I = ∫
π 6
1 dx = −dt sin 2 x
⇔ t = 1 + 3; x =
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
π 3
⇔t =
U
π 3
Y
N
15. I = ∫
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
Khi đó I =
3 +1 3
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
3 +1
t −1 dt = 2 ( t − ln t ) t 3 +1
∫
Vậy I = 2
3 +1 3 +1 3
2 = 2 − ln 3 3
N
3
π
N
0
π
U
Y
I = ∫ x ( cos x + sin 5 x ) dx π
π
TP .Q
0
π
0
0
0
π
Đ
π
ẠO
I = ∫ x ( cos x + sin 5 x ) dx = ∫ x cos xdx + ∫ x sin 5 xdx = I1 + I 2 I1 = ∫ x cos xdx = x sin x 0 − ∫ sin xdx = x sin x 0 + cos x 0 = −2 π
π
8π 1 − cos x ) d ( − cos x ) = ( ∫ 2 15 2
2
0
8π −2 15
B
Vậy I =
0
1
10
3 + e x + 2e x + 7
dx
ẤP
( x − 1) e x + x + 1dx
2. I = ∫
1 + ex
0
A H
3 + e x + 2e x + 7
dx
ÁN
Đặt 3 + e x = t Khi đó e x = t 2 − 3 ⇒ e x dx = 2tdt
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
Khi x = 0 ⇒ t = 2 , khi x = ln 6 ⇒ t = 3 3
3
2tdt t dt = 2∫ 2 2 2t + 3t + 1 2 3t + 2 ( t − 3) + 7 2
Suy ra I = ∫ 3
3
1 1 dt = 2 ∫ − dt t + 1)( 2t + 1) t + 1 2t + 1 2 ( 2
= 2∫
t
3
+ x ) ex
x + e− x
∫e
Bài giải
-L
0
2
ln 2
Í-
∫3
ex
(x
0
Ó
ln 6
1. I =
3. I = ∫ 4. I =
C
0
1
3
∫3
ex
2+
ln 6
00
HT 4.Tính các tích phân sau 1. I =
H
Với I2 ta đặt x = π t ⇒ I 2 =
π
Ư N
0
TR ẦN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
0
π
G
π
x
dx
x dx + e− x + 2
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
H Ơ
17. I = ∫ x ( cos x + sin 5 x ) dx
3
= 2 ln t + 1 2 − ln 2t + 1 2 = ( 2 ln 4 − 2 ln 3) − ( ln 7 − ln 5) = ln
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
80 63
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn 1
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
( x − 1) e x + x + 1dx
2. I = ∫
1 + ex
0
1 1 1 x ( e x + 1) + (1 + e x ) − 2e x xe x − e x + x + 1 ex I =∫ dx dx x 1 dx 2 = = + − ( ) ∫0 ∫0 ∫0 1 + e x dx = I1 − 2 I 2 1 + ex 1 + ex 0
x + e− x
0
1
Ta có I = ∫
(x
+ x ) ex
2
x + e− x
1
dx = ∫ 0
xe x ( x + 1) e x dx xe x + 1
00
0
3
2+
x dx + e− x + 2
Í-
0
x
Ó
∫e
= e − ln ( e + 1)
1
H
ln 2
4. I =
e +1
A
Vậy I = ( t − ln t )
ẤP
0
e +1 e +1 xe x ( x + 1) e x t −1 1 dx dt = = 1 − dt x ∫ ∫ xe + 1 t t 1 1
C
1
Suy ra I = ∫
10
Đặt t = xe x + 1 ⇒ dt = ( x + 1) e x dx; x = 0 ⇒ t = 1; x = 1 ⇒ t = e + 1
ln 2
xe x
-L ∫ 0
(e
x
+ 1)
TO
ÁN
Ta có I =
2
dx
ID Ư
Ỡ N
G
Đặt u = x ⇒ du = dx, dv =
BỒ
ẠO Đ G Ư N
dx
H
+ x ) ex
TR ẦN
2
B
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
(x
1
3 e +1 − 2 ln 2 2
ex
(e
x
+ 1)
2
dx ⇒ v = −
1 e +1 x
Theo công thức tính tích phân từng phần ta có ln 2
x I =− x + e +1 0 ln 2
Tính I1 =
∫e 0
ln 2
∫ 0
dx ln 2 =− + x 3 e +1
ln 2
∫e 0
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
Y U TP .Q
1 d ( e x + 1) 1 ex e +1 dx = ∫ dx = ln ( e x + 1) = ln Tính I 2 = ∫ x x 0 1+ e 1+ e 2 0 0 1
3. I = ∫
H Ơ N
1
x2 3 Tính I1 = ∫ ( x + 1)dx = + x = 2 0 2 0 1
Vậy I =
N
1
dx (1) +1
x
dt dx Đặt e x = t ta có x = 0 ⇒ t = 1; x = ln 2 ⇒ t = 2 và dx = +1 2
x
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn 2
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
2
2 1 dt 2 1 = ∫ − dt = ln t 1 − ln ( t + 1) 1 = 2 ln 2 − ln 3 t t + 1) 1 t t + 1 1 (
Suy ra I1 = ∫
TO
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
HT 1.Tính các tích phân sau
1. I =
π 2
2
∫x
2
− 3 x + 2 dx
2. I = ∫ 5 − 4cos x − 4sin xdx 2
0
−3
2
3. I =
∫ ( x − x − 1 ) dx
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
PHẦN VIII: TÍCH PHÂN HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
C
ẤP
2+
3
10
00
B
TR ẦN
H
Ư N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
G
Đ
ẠO
TP .Q
U
Y
N
H Ơ
N
5 Thay vào (1) ta được I = ln 2 − ln 3 3
−1
Bài giải 2
1. I =
∫x
2
− 3 x + 2 dx
−3
Bảng xét dấu
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
59 2
− 3 x + 2 ) dx − ∫ ( x 2 − 3 x + 2 ) dx = 1
U
−3
N
2
TP .Q
π 2
2. I = ∫ 5 − 4 cos2 x − 4sin xdx π
ẠO
0
π 2
Đ
2
I = ∫ 4sin x − 4sin x + 1dx = ∫ 2sin x − 1dx 0
Ư N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
0
π 6
π 2
0
π 6
10
00
B
TR ẦN
H
Bảng xét dấu
A
C
∫ ( x − x − 1 ) dx
ẤP
2
3. I =
2+
3
I = − ∫ ( 2sin x − 1)dx + ∫ ( 2sin x − 1) dx = 2 3 − 2 −
Ó
−1
Í-
H
Cách 1: 2
2
2
∫ ( x − x − 1 ) dx = ∫ x dx − ∫ x − 1 dx
-L
I=
ÁN
−1
0
−1
2
−1
1
2
TO
= − ∫ xdx + ∫ xdx + ∫ ( x − 1) dx − ∫ ( x − 1) dx
ID Ư
Ỡ N
G
−1
BỒ
G
2
0 2 0
x =− 2
−1
2 2
x + 2 −1
1 1
2
x x2 + − x − − x = 0 2 −1 2 1 0 2
π 6
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
2
∫ (x
Y
1
I=
H Ơ
N
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
Cách 2: Bảng xét dấu
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
2
0
1
1
0
U
−1
Y
∫ ( − x + x − 1) dx + ∫ ( x + x − 1) dx + ∫ ( x − x + 1) dx 2
TP .Q
= − x −1 + ( x 2 − x ) + x 1 = 0 0
1
1
Ư N
e
H
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Do ln x ≥ 0∀x ∈ [1; e] nên e
e
TR ẦN
S = ∫ ln x dx = ∫ ln xdx = x ( ln x − 1) 1 = 1
B
Vậy S = 1 (đvdt)
10
00
HT 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = − x 2 + 4 x − 3, x = 0, x = 3 và Ox Bài giải
Ó
A
C
ẤP
2+
3
Bảng xét dấu
1
3
-L
0
Í-
H
S = − ∫ ( − x 2 + 4 x − 3)dx + ∫ ( − x 2 + 4 x − 3)dx 1 1
1
8 Vậy S = (đvdt) 3
ID Ư
Ỡ N
G
TO
ÁN
x3 x3 8 = − − + 2 x 2 + 3x + − + 2 x 2 + 3x = 3 0 3 0 3
BỒ
Đ
G
HT 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = lnx, x = 1, x = e và Ox Bàigiải
ẠO
Vậy I = 0
HT 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = x 3 + 11x − 6, y = 6 x 2 , x = 0, x = 2 Bài giải
(
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
1
N
0
I=
H Ơ
N
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
)
Đặt h ( x ) = x 3 + 11x − 6 − 6 x 2 = x 3 − 6 x 2 + 11x − 6 h ( x ) = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = 2 ∨ x = 3 (loại)
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
2
U
1 1
TP .Q
0
Y
S = − ∫ ( x 3 − 6 x 2 + 11x − 6 )dx + ∫ ( x 3 − 6 x 2 + 11x − 6 )dx 2
G
Đ
5 (đvdt) 2
Ư N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Vậy S =
ẠO
x4 x4 11x 2 11x 2 5 = − − 2 x3 + − 6x + − 2 x3 + − 6x = 2 2 4 0 4 1 2
(
TR ẦN
H
HT 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x 3 + 11x − 6, y = 6 x 2 Bài giải
)
Đặt h ( x ) = x 3 + 11x − 6 − 6 x 2 = x 3 − 6 x 2 + 11x − 6
00
B
h ( x) = 0 ⇔ x = 1∨ x = 2 ∨ x = 3
C
ẤP
2+
3
10
Bảng xét dấu
2
3
S = ∫ ( x − 6 x + 11x − 6 )dx + ∫ ( x 3 − 6 x 2 + 11x − 6 )dx 2
A
3
Ó
1
2
H
2
3
x x4 11x 11x 2 1 = − 2x3 + − 6x − − 2 x3 + − 6x = 4 2 4 2 1 2 2 2
-L
Í-
4
ÁN
1 (đvdt) 2
TO
Vậy S =
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
HT 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x 3 , y = 4 x Bài giải Phương trình hoành độ giao điểm
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
1
N
H Ơ
N
Bảng xét dấu
x 3 = 4 x ⇔ x = −2 ∨ x = 0 ∨ x = 2 0
2
x4 ⇒ S = ∫ ( x − 4 x ) dx + ∫ ( x − 4 x ) dx = − 2 x2 4 −2 0 3
3
0
x4 + − 2 x2 4 −2
2
=8 0
Vậy S = 8 (đvdt)
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
HT 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x 2 − 4 x + 3 và trục hoành Bài giải
N
Phương trình hoành độ giao điểm
−3
= 2 ∫ ( x 2 − 4 x + 3) dx + ∫ ( x 2 − 4 x + 3) dx 0 1 3
ẠO
1
Đ G Ư N H
16 (đvdt) 3
TR ẦN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
1 3 x3 x3 16 2 2 = 2 − 2 x + 3x + − 2 x + 3x = 3 0 3 1 3
HT 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x 2 − 4 x + 3 và y = x + 3
00
B
Bài giải
10
Phương trình hoành độ giao điểm
2+
3
x + 3 ≥ 0 x = 0 2 x − 4 x + 3 = x + 3 ⇔ x − 4 x + 3 = x + 3 ⇔ x = 5 2 x − 4 x + 3 = − x − 3
C
ẤP
2
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
Bảng xét dấu
⇒S=
∫(x
3
5
5
− 5 x ) dx + ∫ ( − x 2 + 3 x − 6 ) dx + ∫ ( x 5 − 5 x ) dx
0
G Ỡ N ID Ư
BỒ
1
1 1
3 3
5
x 3 5 x 2 − x 3 3x 2 x3 5x2 109 = − + + − 6 x + − = 2 0 3 2 2 3 6 3 1 3 Vậy S =
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
TP .Q
∫
x 2 − 4 x + 3 dx = 2 ∫ x 2 − 4 x + 3 dx
−3
Vậy S =
N Y
3
U
3
⇒S=
H Ơ
x =1 t = 1 x = ±1 x 2 − 4 x + 3 = 0 ⇔ t 2 − 4t + 3 = 0, t = x ≥ 0 ⇔ ⇔ ⇔ t = 3 x = 3 x = ±3
109 (đvdt) 6
HT 9. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x 2 − 1 , y = x + 5 Bài giải
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Phương trình hoành độ giao điểm
x 2 − 1 = x + 5 ⇔ t 2 − 1 = t + 5, t = x ≥ 0
TP .Q
∫ −3
U
x 2 − 1 − ( x + 5) dx = 2 ∫ x 2 − 1 − ( x + 5) dx 0
3
2
− x − 4 ) dx + ∫ ( x 2 − x − 6 ) dx
0
1 1
3
10
73 (đvdt) 3
2+
3
Vậy S =
00
B
− x3 x2 x3 x2 73 =2 − − 4x + − − 6x = 2 3 3 0 3 2 1
C
ẤP
HT 10. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x, y = 0, y = 2 − x 2 Bài giải
Ó
A
Ta có y = 2 − x 2 ⇔ x = 2 − y 2 , x ≥ 0
Í-
H
Phương trình hoành độ giao điểm y = 2 − y 2 ⇔ y = 1
-L
1
⇒ S = ∫ 2 − y 2 − y dy =
ÁN
0
1
∫(
TO G Ỡ N
1
π
2 1 4 y = ∫ 2 cos tdt − ∫ ydy = t + sin 2t − 2 2 0 0 0 4
ID Ư
)
2 − y 2 − y dy
0
π
BỒ
Ư N
∫ (− x
H
1
⇒S =2
TR ẦN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
G
Đ
ẠO
Bảng xét dấu
Vậy S =
1
2
π 4
= 0
π 4
(đvdt)
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
H Ơ N
3
Y
3
⇒S=
N
t = x ≥ 0 t = x ≥ 0 ⇔ t 2 − 1 = t + 5 ⇔ ⇔ x = ±3 t = 3 2 t − 1 = −t − 5
HT 11. Tính thể tích hình cầu do hình tròn ( C ) : x 2 + y 2 = R 2 quay quanh Ox Bài giải Hoành độ giao điểm của (C) và Ox là x 2 = R 2 ⇔ x = ± R
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Phương trình ( C ) : x 2 + y 2 = R 2 ⇔ y 2 = R 2 − x 2 R
x3 4π R 3 ⇒ V = π ∫ ( R − x )dx = 2π ∫ ( R − x )dx = 2π R 2 x − = 3 0 3 0 −R R
2
2
U
x2 y2 + = 1 quay quanh Oy a 2 b2 Bài giải
ẠO Đ G
x2 y 2 a2 y 2 2 2 + = 1 ⇔ x = a − a 2 b2 b2
H
Phương trình ( E ) :
y2 = 1 ⇔ y = ±b b2
Ư N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Tung độ giao điểm của € và Oy là
TP .Q
HT 12. Tính thể tích hình khối do ellipse ( E ) :
R
b a2 y2 a2 y2 a2 y3 4π a 2b ⇒ V = π ∫ a 2 − 2 dy = 2π ∫ a 2 − 2 dy = 2π a 2 y − 2 = 3 b b b 0 −b 0
00
B
4π a 2b (đvdt) 3
10
Vậy V =
TR ẦN
b
ẤP
2+
3
HT13. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x 2 , y 2 = x quay quanh Ox Bài giải
1
H
Ó
A
C
x ≥ 0 x = 0 Hoành độ giao điểm 4 ⇔ x = 1 x = x 1
1
1 3π 1 ⇒ V = π ∫ x − x dx = π ∫ ( x − x ) dx = π x 5 − x 2 = 2 0 10 5 0 0 4
-L
Í-
4
3π (đvdt) 10
ÁN
TO
Vậy S =
y = −1 Tung độ giao điểm y = − y 2 + 5 = e − y ⇔ y = 2
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
HT14. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi cácđường y = − y 2 + 5, x = e − y quay quanh Oy Bài giải
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
N
4π R 3 3
Y
Vậy S =
2
H Ơ
2
N
R
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn 2
2
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com 2
⇒ V = π ∫ ( − y 2 + 5) − ( 3 − y ) dy = π
∫(y
2
−1
4
− 11y 2 + 6 y + 16 ) dy
−1 2
TP .Q ẠO
G
1. y = sin x, y = 0, x = 0, x = 2π
14.x =
3
H
2. y = x , y = 0, x = −1, x = 2 3. y = x 2 − 2 x, y = − x 2 + 4 x
TR ẦN
16. y = ( 2 + cos ) sin x, y = 0, x =
3
4. y = x , y = 4 x, x = −1, x = 2
5. y = − x − 5, y = −6 x, x = 0, x = 1
17. y = x 1 + x , y = 0, x = 1
6. y = − x 2 − 2, y = −3 x, x = 0, x = 2
18. y =
B
3 2+
21. y =
23. y = x ( x + 1)( x − 2 ) , y = 0, x = −2, x = 2
H
12. y = x 2 − 4 x + 3 , y = 3
Ó
A
11. y = − 4 − x 2 , x 2 + 3 y = 0
24. y = xe x , y = 0, x = −1, x = 2
Í-
13. y = x 2 − 4 x + 3 , y = 0
-L
25. y 2 = 4 x, x − y + 1 = 0, y = 0
3
ÁN
26.x − y 3 + 1 = 0, x + y − 1 = 0, y = 0
4 − y2
TO G
2π
ID Ư
Ỡ N
1. S =
∫ 2
2. S =
∫ −1
Bàigiải π
sin x dx = ∫ sin xdx +
0
0
0
2π
∫ sin xdx = − cos x π
2
x4 x dx = ∫ x dx + ∫ x dx = 4 −1 0 3
1 + ln x , y = 0, x = 1, x = e x 20. y = 0, y = ln x, x = 2, x = e 1 1 π π ,y= ,x = ,x = 2 2 sin x cos x 6 3 2 2 22. y = x , y = 4 x , y = 4
ẤP
x2 x2 ;y= 4 4 2
ln x , y = 0, x = 1, x = e 2 x
19. y =
C
10. y = 4 −
3
3
3π 2
00
8. y = x3 − 2 x 2 − x + 2 vàtrụchoành 3
2
,x =
10
7. y = − x 2 − 2 x, y = − x − 2
9. y = x − 2 x 2 − x + 2 vàtrụchoành
π
2
2
14.x = y , x =
BỒ
2 1 ,x = , y = 2 ( y ≥ 0) 2 y 8 − y2
Ư N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Đ
HT 15. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường có phương trình sau
0
x4 + 4 −1
2
= 0
π 0
+ − cos
2π
π
= 4 ( dvtt )
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
H Ơ Y
N
153π (đvtt) 5
U
Vậy V =
N
y 5 11y 3 153π =π − + 3 y 2 + 16 y = 3 5 5 −1
17 ( dvtt ) 4
3. x 2 − 2 x = − x 2 + 4 x ⇔ x = 0 ∨ x = 3
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com 3
2 x3 ⇒ S = ∫ ( x − 2 x ) − ( − x + 4 x ) dx = ∫ ( 2 x − 6 x ) dx = − 3 x 2 = 9 ( dvdt ) 3 0 0 0 3
3
2
2
0
2
x4 x4 23 ⇒ S = ∫ x − 4 x dx = ∫ ( x − 4 x ) dx + ∫ ( x − 4 x ) dx = − 2 x 2 + − 2 x 2 = 4 4 −1 4 0 −1 −1 0 0
2
3
N
3
Vậy S =
TP .Q
U
3
Y
2
H Ơ
N
4. x 3 − 4 x = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 2 ∨ x = −2 (loại)
23 (đvdt) 4
Đ
ẠO
5. x 2 − 6 x + 5 = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = 5 (loại) 1
x3 ⇒ S = ∫ x − 6 x + 5 = ∫ ( x − 6 x + 5) = − 3x 2 + 5 x 3 0 0 0 1
1
7 (đvdt) 3
0
∫(x
2
2
− 3 x + 2 ) dx +
∫(x
2
00
1
− 3 x + 2 ) dx
10
2
B
6. x 2 − 3 x + 2 = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = 2 ⇒ S = ∫ x 2 − 3x + 2 dx =
Ư N H
Vậy S =
G
2
TR ẦN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
2
0
1
1
2
ẤP
2+
3
x3 3x 2 x3 3x 2 = − + 2x + − + 2x = 1 2 2 3 0 3 1
Ó
∫
-L
−2
2
H
⇒S =
1
x3 x 2 x + x − 2 dx = ∫ ( x + x − 2 )dx = + − 2 x 3 2 −2 −2 1
2
Í-
1
A
C
7. 7. − x 2 − 2 x = − x − 2 ⇔ x = −2 ∨ x = 1
9 (đvdt) 2
ÁN
Vậy S =
G
TO
8. 8.x 3 − 2 x 2 − x + 2 = 0 ⇒ x = 2 ∨ x = ±1
BỒ
ID Ư
Ỡ N
⇒S=
2
∫x
1
3
2
− 2 x − x + 2 dx =
−1
∫x
2
3
− 2 x − x + 2 dx + ∫ x 3 − 2 x 2 − x + 2 dx 2
−1
1
1 2
x 4 2 x3 x 2 x 4 2 x3 x 2 = − − + 2x + − − + 2x 3 2 3 2 4 −1 4 1
Vậy S =
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
2
37 (đvdt) 12
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
t = x ≥ 0 x = ±1 t = x ≥ 0 ⇔ ⇔ 9. x − 2 x − x + 2 = 0 ⇔ 3 t = 1 2 x = ±2 t = 2 t − 2t − t + 2 = 0 2
2
x3 − 2 x 2 − x + 2 dx = 2 ∫ x 3 − 2 x 2 − x + 2 dx −2
1
N
−2 2
U
1 1
TP .Q
0
Y
= 2 ∫ ( x3 − 2 x 2 − x + 2 ) dx + 2 ∫ ( x 3 − 2 x 2 − x + 2 ) dx 2
0
2 2
∫(
)
16 − x 2 dx dx −
0
π
π
0
∫
2 2
0
Đ Ư N H ∫
x 2 dx
0
1 x3 1 4 x 2 dx = 8 t + sin 2t − 2 0 2 2 3
2 2
10
2
2 2
3
= 16 ∫ cos tdt −
1
2 2
2 2
0
2+
4
1
TR ẦN
∫
x2 x2 − 4− dx = 4 4 2
B
2 2
=2
00
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
10. 4 −
C
ẤP
4 Vậy S = 2π + (đvdt) 3
Ó
A
x2 x2 ⇒ − 4 − x 2 = − ⇔ x 4 + 9 x 2 − 36 = 0 ⇔ x = ± 3 3 3
H
11. x 2 + 3 y = 0 ⇔ y = −
4 − x2 −
-L
∫
∫
1 4 − x dx − 3
TO
=2
ÁN
− 3 3
2
π 3
∫ 0
π
3
1 x dx = 2 4 ∫ cos tdt − 3 0 2
2
3
∫ 0
3 1 3 x x dx = 2 2 t + sin 2t − 2 0 9
ID Ư
Ỡ N
G
0
3 x2 x2 dx = 2 ∫ 4 − x 2 − dx 3 3 − 3
Í-
3
⇒S=
BỒ
G
x2 x2 = ⇔ x 4 + 8 x 2 − 128 = 0 ⇔ x = ±2 2 4 4 2 2 2 2 2 x2 x2 x2 x2 ⇒ S = ∫ 4− − dx = ∫ 4 − − dx 4 4 2 4 4 2 −2 2 −2 2
ẠO
x 4 2 x3 x 2 x4 2 x3 x 2 =2 − − + 2x + 2 − − + 2 x = 3 ( dvtt ) 3 2 3 2 4 0 4 1
Vậy S =
4π + 3 (đvdt) 3
3
2
0
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
∫
H Ơ
2
⇒S=
N
3
x2 − 4x + 3 = 3 x = 0 ⇔ 12. x − 4 x + 3 = 3 ⇔ 2 x − 4 x + 3 = −3 x = 4 2
Bảng xét dấu
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
∫(x
0
− 4 x ) dx +
0
∫(x
4
2
− 4 x − 6) +
1
1
∫(x
2
− 4 x ) dx
3
3
4
TP .Q
U
x3 x3 x3 = − 2 x 2 + + 2 x 2 − 6 x + − 2 x 2 = 8 ( dvdt ) 3 0 3 1 3 3
Đ G Ư N
3
−3
00
∫
3
x 2 − 4 x + 3 dx = 2 ∫ x 2 − 4 x + 3 dx 0
10
⇒S=
B
TR ẦN
H
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Bảng xét dấu
= 2 ∫ ( x 2 − 4 x + 3) dx − ∫ ( x 2 − 4 x + 3) dx 1 0 3
2+
3
1
H
16 (đvdt) 3
-L
Í-
Vậy S =
Ó
A
C
ẤP
1 3 x 3 x3 2 2 = 2 − 2 x + 3x − − 2 x + 3 x 3 0 3 1
TO
ÁN
14. Tung độ giao điểm y =
ID Ư
Ỡ N
G
⇒S=
BỒ
ẠO
x =1 x = ±1 13. x 2 − 4 x + 3 = 0 ⇔ x 2 − 4 x + 3 = 0 ⇔ x = 3 x = ±3
3
∫ 1
Vậy S = 1 −
4 − y2
π 3
15. Tung độ giao điểm
3 y − ∫1 4 − y 2 dy 3
3
6
y =1 ,0 ≤ y ≤ 2 ⇔ 4 − y2 y = 3 3
− y dy =
(đvdt)
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
⇒ S = ∫ x − 4 x + 3 − 3 dx =
3
2
N
1
2
Y
4
H Ơ
N
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
2 1 = ⇔ y=2 2 y 8 − y2
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
π
Vậy S = 2 − 1 −
12
(đvdt)
3π 2
3π 2
π
Y
∫ ( 2 + cos x ) sin x dx = π∫ ( 2 + cos x ) sin xdx − π∫ ( 2 + cos x ) sin xdx
U
16. S =
2
dy = ... 8 − y 2 1
−
2
2
TP .Q
π
2 3π
0
ẠO
1 1 2 = − 2cos x + cos 2 x + 2cos x + cos 2 x = 3 4 4 π π
Đ
2
1
G 1
2
10
00
B
2 2 −1 (đvdt) 3 e
ln x ln x ln x dx = ∫ dx > 0∀x ∈ [1; e] 2 x 2 x 1 2 x
2+
3
e
TR ẦN
2
0
18. S = ∫
1
1 1 x 1 + x dx = ∫ x 1 + x dx = ∫ 1 + x 2 d (1 + x 2 ) = 20 3 0
⇒S=∫
Vậy S =
H
17. Hoành độ giao điểm x 1 + x 2 = 0 ⇔ x = 0
1
ẤP
Đặt t = ln x ⇒ x = et ⇒ dx = et dt
( )
1
0
0
-L
ÁN
e
e
1 + ln x 1 + ln x dx = ∫ dx x x 1
TO
19) S = ∫
G
1
ID Ư
Ỡ N
Đặt t = 1 + ln x ⇒ t 2 = 1 + ln x ⇒ 2tdt =
x = 1 ⇒ t = 1, x = e ⇒ t = 2 2
⇒S=
∫ t.2tdt = 1
2
2 3 2 ∫1 2t dt = 3 t
1
e t = t et − ∫ et dt = e − 2 et
Ó
2 et
1
= ∫ td
Í-
0
tet
H
1
⇒S=∫
A
C
x = 1 ⇒ t = 0, x = e ⇒ t = 1
Vậy S = 2 − e
BỒ
Ư N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Vậy S = 3 (đvdt)
dx x
0
1 0
2 3
1
(1 + x )
0
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
2
2
∫ y
H Ơ
∫
2
N
2 1 − dy = 2 y 8 − y2
N
2
⇒S=
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
2
1
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
4 2 −2 (đvdt) 3
e
e
e
e
2
2
2
H Ơ
2
N
20) S = ∫ ln x dx = ∫ ln xdx = x ln x − ∫ dx
Y
3 1 1 1 1 1 1 dx dx − = − + − 2 dx 2 2 2 2 2 ∫ ∫ cos x sin x sin x sin x π cos x π cos x 6
4
G
6
Đ
π
π
π
3 1 1 1 1 dx = ∫ − + − 2 dx 2 2 2 ∫ sin x sin x π cos x π cos x
H
4
4
π
π
4
4
B
π
6
10
π
3
8 3 − 12 (đvdt) 3
2+
Vậy S =
3
+ ( tgx + cot gx )
00
= ( tgx + cot gx )
TR ẦN
6
Ó
A
C
ẤP
x = y y = x 2 22)Tọa độ giao điểm ⇔ 1 2 y y = 4 x x = 2 4
0
-L
Í-
H
4 y3 1 ⇒ S = ∫ y − y dy = 2 3 0
ÁN
8 (đvdt) 3
TO
Vậy S =
2
∫ x ( x + 1)( x − 2 ) dx
−2
Ỡ N
G
23) S =
BỒ
ID Ư
−1
=
0
2
3 2 ∫ ( x − x − 2 x ) dx +
3 2 ∫ ( x − x − 2 x ) dx +
∫(x
−2
−1
0
x 4 x3 = − − x2 4 3
−1
−2
ẠO
4
⇒S=∫
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
π
π
3
TP .Q
π
U
π π π 1 1 = 2 ⇔ x = ∈ ; 2 cos x sin x 4 6 3
Ư N
21)
N
Vậy S = 2 − 2 ln 2
x 4 x3 + − − x2 4 3
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
0
−1
3
− x 2 − 2 x ) dx
x 4 x3 + − − x2 4 3
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
Vậy S =
2
0
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn 37 (đvdt) 6 dx = ∫ xe dx − ∫ xe dx = ( x − 1) e
−1
x
0
0
2 x
−1
− ( x − 1) e
x
−1
0
Y
N
e3 + 2e − 2 (đvdt) e
Vậy S =
− 4 y + 4 )dy =
0
2 (đvdt) 3
2
0
TR ẦN
Vậy S =
1 1 ⇒ S = ∫ ( y + y − 2 ) dy = y 4 + y 2 − 2 y 2 4 0
1
00
1
B
x − y3 + 1 = 0 x = y3 −1 26) ⇔ ⇒ y3 − 1 = 1 − y ⇔ y3 + y − 2 = 0 ⇔ y = 1 + − = = − x y 1 0 x 1 y
3
0
2+
5 (đvdt) 4
ẤP
Vậy S =
10
3
C
HT 16.Tính thể tích do hình phẳng giới hạn bởi các đường 1) y = 3x, y = x, x = 0, x = 1 quay quanh Ox
A
x2 y2 + = 1 quay 16 9 x2 y2 = 1 quay quanh Ox 7)ellipse ( E ) : + 16 9 quanh Oy 8) y = x 2 + 2, y = 4 − x 2 quay quanh Ox
Ó
6) ellipse ( E ) :
x2 , y = 2, y = 4, x = 0 quay quanh Oy 2 3 3) y 2 = ( x − 1) , x = 2 và y = 0 quay quanh Ox
-L
Í-
H
2) y =
ÁN
4) y 2 = 4 − x, x = 0 quay quanh Oy 2
5) (C ) : x 2 + ( y − 4 ) = 4 quay quanh Oy
TO
9) y = x 2 , y = x quay quanh Ox 10) y = − 4 − x 2 , x 2 + 3 y = 0 quay quanh Ox Bài giải
G Ỡ N ID Ư
BỒ
1 y3 2 − 2y + 4y 4 3
ẠO
2
Đ
∫(y
H
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
0
2
Ư N
1 2 1 y − ( y − 1) dy = 4 4
G
2
⇒S =∫
TP .Q
1 2 y2 = 4x 1 2 x = y 25) ⇔ 4 ⇒ y = y −1 ⇔ y = 2 x − y +1 = 0 x = y − 1 4
1
1
1) V = π ∫ ( 3 x ) − x 2 dx = 8π 0 ∫ x 2 dx = 2
0
Vậy V =
0
8π x 3 3
1
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
0
x
N
∫ xe
2
x
H Ơ
2
U
Vậy S =
24) S =
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
0
8π (đvtt) 3
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
4
2) Ta có y =
4
x2 ⇔ x 2 = 2 y ⇒ V = π ∫ x 2 dy = π ∫ 2 ydy = π y 2 2 2 2
4
2
3
4
1
U
π
4
(đvtt)
TP .Q
Vậy V =
1
4 2
Y
1
( x − 1)
Đ G
512π (đvtt) 15
Ư N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Vậy V =
ẠO
y2 = 4 − x x = 4 − y2 4) Ta có ⇔ ⇒ y = ±2 x = 0 x = 0
2
TR ẦN
2
y −4 = 2 y = 6 =4⇔ ⇔ y − 4 = −2 y = 2
B
( y − 4)
H
5) Tung độ giao điểm (C ) : x 2 + ( y − 4 ) = 4 và Oy :
10
00
6 6 y3 2 V = π ∫ x 2 dy = π ∫ 4 − ( y − 4 ) dy = π − + 4 y 2 − 12 y 3 2 2
2+ ẤP
C
Hình khối tròn xoay là hình cầu bán kính R = 2 nên V =
A
H Í-
ÁN
-L
x2 y 2 9 + = 1 ⇔ y 2 = (16 − x 2 ) 16 9 16 4
TO
⇒ V = π ∫ y 2 dx =
4
2 ∫ (16 − x ) dx =
−4
9π 8
x3 16 x − 3
4
0
G
−4
9π 16
BỒ
ID Ư
Ỡ N
Vậy V = 48π (đvtt)
7) Tung độ giao điểm ( E ) :
4π 23 32π .Vậy V = (đvtt) 3 3
x2 y2 + = 1 và Ox là x = ±4 16 9
Ó
6) Hoành độ giao điểm ( E ) :
Ta có :
2
3
Cách khác :
6
x2 y2 + = 1 và Oy là y = ±3 16 9
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
2
3
N
2
3) Ta có ( x − 1) = 0 ⇔ x = 1 ⇒ V = π ∫ y 2 dx = π ∫ ( x − 1) dx = π
H Ơ
N
Vậy V = 12π (đvtt)
x2 y 2 16 + = 1 ⇔ x2 = ( 9 − y 2 ) 16 9 9
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn 4
⇒ V = π ∫ x 2 dy = −4
16π 9
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
3
3
32π y ∫ (9 − y ) dy = 9 9 y − 3 2
−3
3
0
U
Y
1
0
TP .Q
1 1 2 2 x3 ⇒ V = π ∫ ( x 2 + 2 ) − ( 4 − x 2 ) dx = 24π ∫ x 2 − 1 dx = 24π − x 3 −1 0
N
8) Hoành độ giao điểm x 2 + 2 = 4 − x 2 ⇔ x = ±1
Vậy V = 16π (đvtt)
1
1
H
Ư N
0
3π (đvtt) 10
Vậy V =
G
4
x2 ⇔ x2 = 3 ⇔ x = ± 3 3
− 3
3
3
3 4 ∫ (36 − 3x − x ) dx = 0
2π 9
x5 3 x − x − 36 3 5
3
0
C
28π 3 (đvtt) 5
Í-
H
Ó
A
Vậy V =
x4 2π dx = 9 9
2+
∫
( 4 − x2 ) −
ẤP
3
⇒V =π
10
00
B
10) Hoành độ giao điểm − 4 − x 2 = −
TR ẦN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
4
Đ
x5 x 2 ⇒ V = π ∫ x − x dx = π ∫ ( x − x ) dx = π − 5 2 0 0 1
ẠO
9) Hoành độ giao điểm x 2 = x ⇔ x 4 = x ⇔ x = 0 ∨ x = 1
Mọi sự góp ý xin gửi về :huythuong2801@gmail.com
Toàn bộ tài liệu ôn thi môn toán của Lưu Huy Thưởng ở địa chỉ sau: http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
ÁN
-L
Xin chân thành cảm ơn quý thầy cô và các bạn học sinh đã đọc tài liệu này!
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
H Ơ
N
Vậy V = 64π (đvtt)
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
C
ẤP
2+
3
10
00
B
TR ẦN
H
Ư N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
G
Đ
ẠO
TP .Q
U
Y
N
H Ơ
N
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
C
ẤP
2+
3
10
00
B
TR ẦN
H
Ư N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
G
Đ
ẠO
TP .Q
U
Y
N
H Ơ
N
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
C
ẤP
2+
3
10
00
B
TR ẦN
H
Ư N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
G
Đ
ẠO
TP .Q
U
Y
N
H Ơ
N
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN
N
H Ơ
N
PHẦN 8: CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG THỰC TIỄN
TP .Q
U
Y
CHỦ ĐỀ 8: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Bài 1
G Ư N H
TR ẦN
Hướng dẫn giải:
Không mất tính tổng quát ta xem tâm của đường tròn là tâm O của gốc tọa độ, khi đó ta có
B
phương trình là x 2 + y 2 = 81 , khi đó thể tích của bình là hình tròn xoay bị giới hạn bởi đường
10
)
3
∫(
8
81 − x 2 dx = π ∫ ( 81 − x 2 ) dx = −8
2864 π 3
Í-
H
Ó
A
C
ẤP
−8
2+
8
Vậy thể tích là V = π
00
tròn x 2 + y 2 = 81 và, y = 0; x = −8; x = 8 .
TO
ÁN
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Đ
ẠO
Tính thể tích thùng chứa rượu là một hình tròn xoay có 2 đáy là hình tròn bằng nhau và chiều cao bình là 16cm . Đường cong của bình là một cung tròn của đường tròn bán kính là 9.
G
Bài 2
BỒ
ID Ư
Ỡ N
Một Chi đoàn thanh niên đi dự trại ở một đơn vị bạn, họ dự định dựng một lều trại có dạng parabol (nhìn từ mặt trước, lều trại được căng thẳng từ trước ra sau, mặt sau trại cũng là parabol có kích thước giống như mặt trước) với kích thước: nền trại là một hình chữ nhật có chiều rộng là 3 mét, chiều sâu là 6 mét, đỉnh của parabol cách mặt đất là 3 mét. Hãy tính thể tích phần không gian phía trong trại để cử số lượng người tham dự trại cho phù hợp.
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG
Hướng dẫn giải:
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG
N
3 2
TP .Q
U
Y
4 không gian phía trong trại là : V = 6.2 ∫ − x 2 + 3 dx = 36(m3 ) 3 0
ẠO
Bài 3
G
Ư N
H
TR ẦN
00
B
Hướng dẫn giải:
10
Giả sử ABCDEF là hình lục giác đều có cạnh bằng 2 dm, ta tính diện tích một cánh hoa: Chọn hệ trục tọa
3
độ Oxy sao cho O là trung điểm của cạnh AB , A (1;0 ) , B ( −1; 0 ) , I ( 0;3) và đỉnh I của parabol. Phương
1
∫ ( −3x
+ 3) dx = 4 ( dm 2 )
A
−1
2
C
tích mỗi cánh hoa là: S1 =
ẤP
2+
trình của parabol có dạng: y = ax 2 + b ( a ≠ 0 ) , Do I , A, B thuộc ( P ) nên ta có: y = −3 x 2 + 3 . Do đó: diện
Í-
H
Ó
22 3 + 4 = 6 3 + 24 ≈ 34,39 ( dm 2 ) Vậy : Diện tích của hình là: A = 6 4
ÁN
Bài 4
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Đ
Để trang trí cho một phòng trong một tòa nhà, người ta vẽ lên tường một hình như sau: trên mỗi cạnh của hình lục giác đều có cạnh bằng 2 dm một cánh hoa hình parabol, đỉnh của parabol cách cạnh 3 dm và nằm phía ngoài hình lục giác, hai đầu mút của cạnh cũng là hai điểm giới hạn của đường parabol đó. Hãy tính diện tích của hình nói trên (kể cả hình lục giác đều) để mua sơn trang trí cho phù hợp.
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
Tính thể tích hình xuyến tạo thành do quay hình tròn (C): x2 + (y–2)2 1 quanh trục Ox.
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
H Ơ
4 parabol có dạng : y = ax 2 + b ( a ≠ 0 ) , do I , A, B thuộc ( P ) nên ta có: y = − x 2 + 3 . Vậy thể tích phần 3
N
Giả sử nền trại là hình chữ nhật ABCD có AB = 3 mét, BC = 6 mét, đỉnh của parabol là I . Chọn hệ trục 3 3 tọa độ Oxy sao cho: O là trung điểm của cạnh AB , A − ;0 , B ; 0 , I ( 0;3) , phương trình của 2 2
Hướng dẫn giải:
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG
2
Hình tròn ( C ) có tâm I ( 0; 2 ) , bán kính R = 1 là x 2 + ( y − 2 ) = 1
y = 2 + 1 − x2 Ta có ( y − 1) = 1 − x ( −1 ≤ x ≤ 1) ⇒ y = 2 − 1 − x 2
N
H Ơ
N
2
2
) − (2 −
1 − x2
) dx = 4π 2
2
G Ư N H
Bài 5
B
C. v = 220m / s
10
B. v = 150m / s
00
A. v = 140m / s
TR ẦN
1 4 t + 3t 2 ) , t được tính bằng giây, s được ( 2 tính bằng mét. Tìm vận tốc của chuyển động tại t = 4 (giây)
Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S =
D. v = 0m / s
2+
3
THPT NGUYỄN TRƯỜNG TỘ
ẤP
Hướng dẫn giải:
Í-
H
Ó
A
C
Ta có vận tốc của chuyển động tại t (giây): t4 3 2 v = ( t ) = + t = 2t 3 + 3t ⇒ v ( 4 ) = 140m / s 2 2 Chọn đáp án A.
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Đ
ẠO
(
TP .Q
1
V = π ∫ 2 + 1 − x2 −1
U
Y
Thể tích cần tính:
ÁN
Bài 6
TO
Bạn Minh ngồi trên máy bay đi du lịch thế giới với vận tốc chuyển động của máy báy là
A. 36m
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
v ( t ) = 3t 2 + 5(m / s ) .Quãng đường máy bay bay từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là : B. 252m
C. 1134m
D. 966m
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
2
THPT SỐ 3 TUY PHƯỚC Hướng dẫn giải:
Quãng đường máy bay bay từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là :
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG 10
S = ∫ ( 3t 2 + 5) dt = 966m 4
N
Bài 7
U
Y
Một vật chuyển động chậm dần đều với vận tốc v ( t ) = 160 − 10t (m / s ) . Quãng đường mà vật
B. 1280m
C. 1308m
D. 1380m
Đ
ẠO
A. 1028m
TP .Q
chuyển động từ thời điểm t = 0( s ) đến thời điểm mà vật dừng lại là:
G TR ẦN
16
∫ (160 − 10t ) dt = 1280(m)
Vậy S =
0
00
B
Chọn đáp án A.
3
10
Bài 8
2+
Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian được tính bởi công thức
H
B. 1140m
C. 300m
D. 240m
Í-
A. 1410m
Ó
A
C
ẤP
v ( t ) = 3t + 2 , thời gian tính theo đơn vị giây, quãng đường vật đi được tính theo đơn vị m . Biết tại thời điểm t = 2 s thì vật đi được quãng đường là 10m . Hỏi tại thời điểm t = 30 s thì vật đi được quãng đường là bao nhiêu?
ÁN TO
CHUYÊN HẠ LONG Hướng dẫn giải:
Ỡ N
G
3 Quãng đường tại thời gian t : S ( t ) = ∫ ( 3t + 2 ) dt = t 3 + 2t + c 2
ID Ư
3 Mà S ( 2 ) = 10 ⇒ c = 0 ⇒ S ( t ) = t 2 + 2t 2
BỒ
Ư N H
Gọi t0 là thời điểm vật dừng lại . Ta có v ( t0 ) = 0 . Suy ra t0 = 16
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Hướng dẫn giải:
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
H Ơ
N
Chọn đáp án D.
Tại thời điểm t = 30s : S ( 30 ) = 1410 Chọn đáp án A.
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG
1 D. Q1w 2
C. Q1w
Đ
ẠO
THPT LẠC HỒNG
G Ư N H
Cường độ dòng điện tại thời điểm t là i = i0 sin wt 6
0
i0 2π ⇒ i0 = 2Q1w với T = w 2w
B
Q1 = ∫ i0 sin wtdt =
TR ẦN
π
10
00
Chọn đáp án B.
2+
3
Bài 10
ẤP
Giả sử một vât chuyển động có vận tốc thay đổi theo thời gian, v = f ( t )( 0 < t < T ) . Chứng minh
C
rằng quãng đường L vật đi được trong khoảng thời gian từ thời điểm t = a đến thời điểm
Ó
A
t = b ( 0 < a < b < T ) là: L = F ( b ) − F ( a ) ,trong đó F là một nguyên hàm bất kì của f trên
Í-
H
khoảng ( 0; T ) .
ÁN
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Hướng dẫn giải:
(SGK 12 NC)
Hướng dẫn giải:
TO
Gọi s = s ( t ) là quãng thời đường đi được của vật cho đến thời điểm t Quãng đường vật đi được trong khoảng
G
thời gian từ thời điểm đến t = a đến thời điểm t = b là L = s ( b ) − s ( a ) . Mặt khác, ta đã biết s ' ( t ) = f ( t ) , do
ID Ư
Ỡ N
đó s = s ( t ) là một nguyên hàm của f . Thành thử, tồn tại một hằng số C sao cho s ( t ) = F ( t ) + C . Vậy
BỒ
L = s ( b ) + s ( a ) = F ( b ) + C − F ( a ) + C = F ( b ) − F ( a ) .
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
B. 2Q1w
TP .Q
A. 6Q1 w
U
Y
N
H Ơ
Dòng điện xoay chiều chạy trong dây dẫn có tần số góc w . Điện lượng chuyển qua tiết diện thẳng 1 của dây dẫn trong chu kì dòng điện kể từ lúc dòng điện bằng không là Q1 .Cường độ dòng điện 6 cực đại là:
N
Bài 9
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG
Bài 11
TP .Q
U
Y
khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bằng đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?
ẠO
(SGK 12 NC)
Đ G
Ư N
Lấy mốc thời gian là lúc ô tô bắt đầu được đạp phanh. Gọi T là thời điểm ô tô dừng. Ta có v (T ) = 0 suy ra 0,5
H
20 = 40T ⇔ T = 0,5 Như vậy, khoảng thời gian từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn của ô tô là 0,5 giây. Trong
∫ ( 20 − 40t ) dt = ( 20t − 20t )
TR ẦN
khoảng thời gian 0,5 giây đó, ô tô di chuyển được quãng đường là L =
0
= 5(m) 0
00
B
Bài 12
0,5
2
3
10
Một vật chuyển động với vận tốc v ( t ) = 1 − 2sin 2t (m / s) .Tính quãng đường vật di chuyển trong
3π ( s) 4
ẤP
2+
khoảng thời gian từ thời điểm t = 0 ( s ) đến thời điểm t =
Ó
A
C
(SGK 12 NC)
H
Hướng dẫn giải:
∫ (1 − 2sin 2t ) dt =
ÁN
Quãng đường S =
-L
3π 4
Í-
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Hướng dẫn giải:
TO
0
3π −1 4
G
Bài 13
Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc.
BỒ
ID Ư
Ỡ N
Một vật đang chuyển động với vận tốc 10 ( m / s ) thì tăng tốc với gia tốc a ( t ) = 3t + t 2 ( m / s 2 ) .
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
H Ơ
N
đạp phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v ( t ) = −40t + 20(m / s) trong đó t là
N
Một ô tô đang chạy với vận tốc 20(m / s) thì người người đạp phanh (còn gọi là “thắng”). Sau khi
(SGK 12 NC)
Hướng dẫn giải:
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN
2 Gọi v ( t ) là vận tốc của vật. Ta có v ' ( t ) = a ( t ) = 3t + t .Suy ra v ( t ) =
H Ơ
N
3t 2 t 3 + + 10 2 3
N
Vì v ( 0 ) = 10 nên suy ra C = 10 . Vậy v ( t ) =
3t 2 t 3 + +C 2 3
3t 2 t 3 4300 ∫0 2 + 3 + 10 dt = 3 (m)
10
TP .Q
U
Y
Thành thử quãng đường vật đi được là S =
Bài 14
G H
Ư N
a) Sau bao lâu thì viên đạn đạt tới độ cao lớn nhất?
(SGK 12 NC)
00
B
TR ẦN
b) Tính quãng đường viên đạn đi được từ lúc bắn lên cho đến khi chạm đất (tính chính xác đến hàng phần trăm).
10
Hướng dẫn giải:
2+
3
a) Gọi v ( t ) là vận tốc của viên đạn. Ta có v ' ( t ) = a ( t ) = −9,8
ẤP
∫
A
C
Suy ra v ( t ) = −9,8dt = −9,8t + C . Vì v ( 0 ) = 25 nên C = 25 . Vậy v ( t ) = −9,8t + 25.
H
Ó
b) Gọi T là thời điểm đạn đạt tới độ cao lớn nhất. Tại đó viên đạn có vận tốc bằng 0 .
25 ≈ 2,55 (giây). 9,8
Í-
Vậy v (T ) = 0 . Suy ra T =
ÁN
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Đ
ẠO
Một viên đạn được bắn lên theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu 25 ( m / s ) . Gia tốc trọng trường là 9,8 ( m / s 2 ) .
TO
Vậy quãng đường viên đạn đi được cho đến khi rơi xuống là 2 S ≈ 31,89 ( m )
Ỡ N
G
Bài 15
ID Ư
Giả sử một vật từ trạng nghỉ khi t = 0 ( s ) chuyển động thẳng với vận tốc v ( t ) = t ( 5 − t )
(m / s)
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG
Tìm quãng đường vật đi được cho tới khi nó dừng lại.
BỒ
(SGK 12 NC) Hướng dẫn giải:
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG
5
125 6
∫
Vật dừng lại tại thời điểm t = 5 . Quãng đường vật đi được là S = t ( 5 − t ) dt = 0
( m)
H Ơ
N
Bài 16
U
Y
vận tốc 6 ( m / s ) . Từ thời điểm đó nó chuyển động thẳng đều. Một chất điểm B xuất phát từ
TP .Q
cùng vị trí O nhưng chậm hơn 12 giây so với A và chuyển động thẳng nhanh dần đều. Biết rằng B đuổi kịp A sau 8 giây (kể từ lúc B xuất phát). Tìm vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A.
Ư N
G
Hướng dẫn giải:
H
Thời điểm A và B gặp nhau là 20 giây
TR ẦN
kể từ lúc A xuất phát.
B
Đồ thị vậận tốc của A là đường gấp khúc
10
00
OMN . Quãng đường A đã đi được là
6 = 96 , do 2
C
ẤP
Diện tích của nó là ( 20 + 12 )
2+
3
diện tích hình thang OMNQ .
Ó
A
đó lúc gặp B, A đi được 96 ( m ) . Đồ thị
H
vận tốc của B là đường thẳng HP .
Í-
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Đ
ẠO
(SGK 12 NC)
ÁN
-L
Vì B xuất phát cùng vị trí với A nên quãng đường B đi được là 96 ( m ) .
TO
Mặt khác, quãng đường B đã đi được bằng diện tích hình tam giác HPQ với HQ = 8 và PQ chính là
G
vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A . Suy ra 96 =
BỒ
ID Ư
Ỡ N
thời điểm nó đuổi kịp A là 24 ( m / s ) .
8PQ = 4 PQ nên PQ = 24 . Vậy vận tốc của B tại 2
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
N
Một chất điểm A xuất phát từ vị trí O, chuyển động thẳng nhanh dần đều; 8 giây sau nó đạt đến
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG
4000 và lúc đầu vi trùng 1 + 0,5t
N
có 250000 con. Hỏi sau 10 ngày số lượng vi trùng là bao nhiêu
U
Y
(SGK BT 12 NC)
ẠO
4000 dt = 8000 ln (1 + 0,5t ) + 250000 1 + 0,5t
Đ
Ta có: N ( t ) = ∫
TP .Q
Hướng dẫn giải:
G Ư N TR ẦN
H
Kết quả : ≈ 264334
Bài 18
B
3 ( m / s 2 ) . Vận tốc ban đầu t +1 của vật là 6 ( m / s ) . Hỏi vận tốc của vật sau 10 giây (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). SGK BT 12 NC
00
( m / s ) có gia tốc v ' ( t ) =
Ó
3 dt = 3ln ( t + 1) + c mà t +1
H
Ta có: v ( t ) = ∫
Hướng dẫn giải:
A
C
ẤP
2+
3
10
Một vật chuyển động với vận tốc v ( t )
Í-
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
N (10 ) = 8000 ln 6 + 250000 ≈ 264334
ÁN
-L
v ( 0 ) = 6 ⇒ c = 6 ⇒ v ( t ) = 3ln ( t + 1) + 6
TO
v (10 ) = 3ln11 + 6 ≈ 13 ( m / s )
Ỡ N
G
Kết quả: ≈ 13 ( m / s )
ID Ư
Bài 19
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
H Ơ
Một đám vi trùng tại ngày thứ t có số lượng là N ( t ) . Biết rằng N ' ( t ) =
N
Bài 17
1 sin (π t ) + ( m / s ) . Tính quãng đường di chuyển của 2π π vật đó trong khoảng thời gian 1,5 giây (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm). SGK BT 12 NC
BỒ
Vận tốc của một vật chuyển động là v ( t ) =
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG
Hướng dẫn giải:
1 sin (π t ) 3 1 ∫0 2π + π dt = 4π + π 2 ≈ 0, 34
N
Bài 20 t2 + 4 ( m / s ) . Tính quãng đường di chuyển của t +3 vật đó trong khoảng thời gian 4 giây (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm). SGK BT 12 NC
H
TR ẦN
4 t2 + 4 Quãng đường S = ∫ 1, 2 + dt = 0,8 − 13ln 3 + 13ln 7 ≈ 11,81 t + 3 0
Ư N
G
Hướng dẫn giải:
B
Bài 21
00
Một nhà sản xuất máy ghi âm với chi phí là 40 đôla/cái. Ông ước tính rằng nếu máy ghi âm bán
10
được với giá x đôla/cái thì mỗi tháng khách hàng sẽ mua (120 − x ) cái. Biểu diễn lợi nhuận hàng
ẤP
2+
3
tháng của nhà sản xuất bằng một hàm theo giá bán (gọi hàm lợi nhuận là f(x) và giá bán là x), khi đó hàm cần tìm là
B. f ( x ) = − x 2 + 120 x + 40
A
C
A. f ( x ) = − x 2 + 120 x .
D. f ( x ) = − x 2 + 160 x − 4800
Í-
H
Ó
C. f ( x ) = x 2 − 120 x + 40
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Đ
ẠO
TP .Q
U
Y
Vận tốc của một vật chuyển động là v ( t ) = 1, 2 +
Hướng dẫn giải :
TO
ÁN
Lợi nhuận hàng tháng của nhà sản xuất là : f ( x ) = (120 − x ) x − (120 − x ) 40 = − x 2 + 160 x − 4800
G
Chọn đáp án D.
Ỡ N
Bài 22
ID Ư
Một người chạy xe máy chuyển động thẳng theo phương trình S ( t ) = t 3 − 3t 2 + 4t , trong đó t tính
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
H Ơ
Quãng đường S =
N
1,5
BỒ
bằng giây ( s ) , S tính bằng mét ( m ) . Gia tốc của xe máy lúc t = 2 s bằng?
A. 4m / s 2
B. 6 m / s 2
C. 8m / s 2
D. 12 m / s 2
Hướng dẫn giải :
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG
Vận tại thời điểm t giây là v ( t ) = ( s ( t ) ) ' = 3t 2 − 6t + 4
N
Suy ra gia tốc tại thời điểm t − 2 s giây là a ( 2 ) = 6
TP .Q
U
Y
Chọn đáp án B.
ẠO
Bài 23
G
Ư N
B. 9m / s
C. 11m / s
D. 12m / s
B
2 dt = 2 ln ( t + 1) + c t +1
00
Ta có v ( t ) = ∫
TR ẦN
Hướng dẫn giải :
H
A. 10m / s
3
10
Mà vận tốc ban đầu 5m/s tức là : v ( 0 ) = 5 ⇔ 2 ln ( 0 + 1) + c = 5 ⇔ c = 5 .
ẤP
2+
Nên v ( t ) = 2ln ( t + 1) + 5
A
C
Vận tốc của vật sau 10s đầu tiên là : v (10 ) = 2 ln (11) + 5 ≈ 9,8
Í-
H
Ó
Chọn đáp án A.
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
ÁN
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Đ
Một vật chuyển động với vận tốc ban đầu 5m / s và có gia tốc được xác định bởi công thức 2 a= m / s 2 ) . Vận tốc của vật sau 10s đầu tiên là (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) ( t +1
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
H Ơ
N
Gia tốc tại thời điểm t giây là a ( t ) = ( v ( t ) ) ' = 6t − 6
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG
D. 43π ( dm3 )
H Ơ
TP .Q
G Ư N
TR ẦN
5dm
H
3dm
3
10
00
B
3dm
2+
Hướng dẫn giải :
C
Ó
A
lớn có phương trình x 2 + y 2 = 25
ẤP
Đặt hệ trúc với tâm O , là tâm của mặt cầu ; đường thẳng đứng là Ox , đường ngang là Oy ; đường tròn
H
Thể tích là do hình giới hạn bởi Ox , đường cong y = 25 − x 2 , x = 3, x = −3 quay quanh Ox là
Í-
3
V = π ∫ ( 25 − x 2 ) dx = 132π . Chọn đáp án A.
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Đ
ẠO
C.
ÁN
−3
TO
Bài 25
−2
(m
2
/ s ) . Khi t = 0 thì vận tốc của vật là 30m / s .
G
Một vật di chuyển với gia tốc a ( t ) = −20 (1 + 2t )
Ỡ N
Tính quãng đường vật đó di chuyển sau 2 giây(làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)
B. S = 107 m.
BỒ
ID Ư
A. S = 106m.
Ta có v ( t ) = ∫ a ( t ) dt =
C. S = 108m.
D. S = 109m.
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
100 π ( dm3 ) 3
Y
B. 41π ( dm3 )
U
A. 132π ( dm 3 )
N
Một khối cầu có bán kính 5dm , người ta cắt bỏ hai phần bằng hai mặt phẳng vuông góc bán kính và cách tâm 3dm để làm một chiếc lu đựng. Tính thể tích mà chiếc lu chứa được.
N
Bài 24
Hướng dẫn giải :
10 + C. 1 + 2t
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG
Theo đề ta có v ( 0 ) = 30 ⇔ C = 20 2
Y
N
Chọn đáp án C.
TP .Q
U
Bài 26
Hình 2
ẤP
Hình 1
2+
3
10
00
B
TR ẦN
H
Ư N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
G
Đ
ẠO
Từ một khúc gõ hình trụ có đường kính 30cm , người ta cắt khúc gỗ bởi một mặt phẳng đi qua đường kính đáy và nghiêng với đáy một góc 450 để lấy một hình nêm (xem hình minh họa dưới đây)
A
C
Kí hiệu V là thể tích của hình nêm (hình 2).Tính V .
2250 π cm3 C. V = 1250cm 3 D. V = 1350cm 3 4 Hướng dẫn giải :
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A. V =2250cm 3 B. V =
TO
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó hình nêm có đáy
Ỡ N
G
là nửa hình tròn có phương trình : y = 225 − x 2 , x ∈ [ −15;15]
ID Ư
Một mặt phẳng cắt vuông góc với trục Ox tại điểm có
BỒ
hoành độ x, x ∈ [ −15;15]
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
H Ơ
N
10 Vậy quãng đường vật đó đi được sau 2 giây là : S = ∫ + 20 dt = 5 ln 5 + 100 ≈ 108m. 2t + 1 0
cắt hình nêm theo thiết diện có diện tích là S ( x ) (xem hình) Dễ thấy NP = y , MN = NP tan 450 = y = 15 − x 2
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG
Khi đó S ( x ) =
1 1 1 1 MN .NP = ( 225 − x 2 ) S ( x ) = MN .NP = ( 225 − x 2 ) 2 2 2 2 15
3
N N
−15
TP .Q
U
Y
Chọn đáp án A.
ẠO
Bài 27
Tập đoàn dầu khí Việt Nam PVC dự định đầu tư một khu sản xuất, chế biến dầu thô tại TP.Quảng
G
Ư N
P1 ( t ) = 50 + t 2 trăm đôla/năm, tiếp sau đó dự án lần hai sẽ phát sinh lợi nhuận với tốc độ
H
P2 ( t ) = 200 + 5t trăm đôla/năm. Biết sau thời gian t năm thì tốc độ lợi nhuận của dự án hai bằng
B. 6576, 4 đô
C. 5676, 4 đô
D. 6679, 4 đô
00
B
A. 6676, 4 đô
TR ẦN
một nửa với tốc độ lợi nhuận với dự án một. Tính lợi nhuận vượt thực tế cho khoảng thời gian trên
3
10
Hướng dẫn giải :
Ó
A
C
ẤP
2+
Khoảng thời gian để tốc độ sinh lợi nhuận để dự án hai bằng một nửa dự án lần một khi: t = 5 + 5 15 P1 ( t ) = 2 P2 ( t ) ⇔ 50 + t 2 = 400 + 10t ⇔ t 2 − 10t − 350 = 0 ⇔ t = 5 − 5 15 ⇒ t = 5 + 5 15 năm
H
Lợi nhuận vượt trong khoảng thời gian 0 ≤ t ≤ 5 + 5 15 sẽ xác định bằng tích phân sau:
∫
L=
5+5 15
Í-
5+5 15
P2 ( t ) − P1 ( t ) dt =
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Đ
Ngãi. Giả sử sau t năm đầu tư, dự án đầu tư lần một sẽ phát sinhlợi nhuận với tốc độ
5+5 15
0
∫ ( 350 + 10t − t ) dt 2
0
TO
=
2
ÁN
0
∫ ( 400 + 10t ) − ( 50 + t ) dt
5+ 5 15
= 6674, 6 Chọn đáp án A. 0
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
1 = 350t + 5t 2 − t 3 3
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
∫ S ( x ) dx = 2250cm
H Ơ
Suy ra thể tích hình nêm là V =
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG
.Với t của ta được tính bằng
TP .Q
U
Y
giây. Nhóm sinh viên đã tìm hàm vận tốc v theo t , biết rằng khi t = 0 thì v = 30m / s 2 . Hỏi biểu thức đúng là?
10 B. v = + 20 cm / s 2 1+ t
ẠO
10 A. v = + 25 cm / s 2 1 + 2t
TR ẦN
H
Ư N
G
Đ
10 D. v = + 20 cm / s 2 1 + 2t
00
B
Hướng dẫn giải :
10
Trước hết để giải bài toán này ta cũng chú ý. Biểu thức vận tốc v theo thời gian t có gia tốc a
ẤP
2+
3
là: v = ∫ a.dt
−20
(1 + 2t )
2
dt
Ó
A
C
Áp dụng công thức trên , ta có : v = ∫ adt = ∫
H
Đến đây ta đặt :
du 2
Í-
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
10 C. v = + 10 cm / s 2 1 + 2t
TO
−10 10 10 du = ∫ −10u −2 du = + K = +K u u 1 + 2t
G
v=∫
ÁN
-L
u = 1 + 2t ⇒ du = 2dt ⇒ dt =
Ỡ N
Với t = 0, v = 30 ⇒ K = 20
BỒ
ID Ư
10 Vậy biểu thức vận tốc theo thời gian là : v = + 20 cm / s 2 . 1 + 2t
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
−2
N
điện trường với biểu thức gia tốc (theo cm / s 2 ) là: a = −20 (1 + 2t )
H Ơ
Trong giờ thực hành môn Vật Lí. Một nhóm sinh viên đã nghiên cứu về sự chuyển động của các hạt. Trong quá trình thực hành thì nhóm sinh viên này đã phát hiện một hạt prôton di chuyển trong
N
Bài 28
Chọn đáp án D.
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG
Nhận xét: dựa trên nội dung công thức trên ta có thể tính toán, trả lời các câu hỏi trong Vật Lí ứng dụng và trong đời sống. Ta theo dõi các ví dụ tiếp theo.
D. v = −9,8t − 13
G
Đ
Hướng dẫn giải :
H
TR ẦN
Ta có biểu thức vận tốc v theo thời gian t có gia tốc a là :
Ư N
Tia lửa chịu sự tác động của trọng lực hướng xuống nên ta có gia tốc a = −9,8 ( m / s 2 )
B
v = ∫ adt = ∫ −9,8dt = −9,8t + C
10
00
Ở đây, với : t = 0, v = 15m / s ⇒ C = 15
2+
3
Vậy ta được biểu thức vận tốc có dạng : v = −9,8t + 15
C
ẤP
Đến đây, ta nghĩ đến việc nếu lấy tích phân của vận tốc v lần nữa thì sẽ cho ta kết quả gì? Do đó, ta xét bài toán ứng dụng tiếp theo dưới đây.
Ó
A
Chọn đáp án A.
H
Bài 30
Í-
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
U
C. v = 9,8t + 15
TP .Q
B. v = −9,8t + 13
ẠO
A. v = −9,8t + 15 .
Y
N
Người ta tổ chức thực hành nghiên cứu thí nghiệm bằng cách như sau. Họ tiến hành quan sát một tia lửa điện bắn từ mặt đất bắn lên với vận tốc 15m / s. Hỏi biểu thức vận tốc của tia lửa điện là?
A. 6.235 ( m )
B. 5.635 ( m )
C. 4.235 ( m )
D. 6.875 ( m )
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
ÁN
-L
Người ta tổ chức thực hành nghiên cứu thí nghiệm bằng cách như sau. Họ tiến hành quan sát một tia lửa điện bắn từ mặt đất bắn lên với vận tốc 15m / s . Hỏi sau 2,5 giây thì tia lửa điện đấy có chiều cao là bao nhiêu?
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
H Ơ
N
Bài 29
Hướng dẫn giải :
Tia lửa chịu sự tác động của trọng lực hướng xuống nên ta có gia tốc a = −9,8 ( m / s 2 ) Ta có biểu thức vận tốc v theo thời gian t có gia tốc a là :
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG
v = ∫ adt = ∫ −9,8dt = −9,8t + C
TP .Q
U
Y
N
Vậy ta được biểu thức vận tốc có dạng: v = −9,8t + 15 Lấy tích phân biểu thức vận tốc, ta sẽ có được bểu thức quãng đường:
ẠO
s = ∫ vdt = ∫ ( −9,8t + 15 ) dt = −4,9 t 2 + 15t + K
Đ
Theo đề bài, ta được khi t = 0 ⇒ s = 0 ⇒ K = 0.
G Ư N
TR ẦN
H
Khi t = 2,5 ( s ) , ta sẽ được s = 6,875 ( m ) Chọn đáp án D.
00
B
Bài 31
10
Một vật chuyển động có phương trình v = 5 + at ( m / s ) .Hỏi sau thời gian 5 giây thì vật chuyển động
2+
3
quảng đường là?
B. 157,5 ( m )
C. 137,5 ( m )
Hướng dẫn giải :
A
C
ẤP
A. 147,5 ( m )
H
Ó
Muốn tìm quãng đường, ta lấy tích phân hàm vận tốc, ta được:
Í-
s = ∫ vdt = ∫ ( v0 + at ) dt = ∫ ( 5 + at ) dt
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Vậy biểu thức tọa độ của quảng đường là : s = −4, 9t 2 + 15t.
ÁN
Do đó, quãng đường có biểu thức là :
(1)
.
Ỡ N
G
TO
1 s = v0t + at 2 + C. 2
ID Ư
Khi t = 0 ⇒ s = 0 ⇒ C = 0
BỒ
Theo đề bài : t = 5 ( s ) , a = 9,8 ( m / s 2 ) . Thay vào phương trình của (1) ta được :
D. 127,5 ( m )
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
H Ơ
N
Ở đây, với t = 0, v = 15m / s ⇒ C = 15
1 s = 5.5 + 9,8.52 = 147.5 ( m ) 2
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG
Chọn đáp án A.
B. 2m
C. 6m
D. 8m
H Ơ N
Đ
ẠO
Hướng dẫn giải :
G 2
= 8(m) 0
TR ẦN
4t 2 Quãng đường cần tìm là : s = ∫ v ( t ) = ∫ ( −4t + 8 ) dt = (− + 8t ) 2 0 0
Ư N
2
H
2
Chọn đáp án D.
00
B
Bài 33
16a 3 3
2a 3 3
ẤP
B. V =
C. V =
4a 3 3
D. V = a 3
Hướng dẫn giải :
H
Ó
A
C
A. V =
2+
3
10
Tính thể tích vật thể tạo được khi lấy giao vuông góc hai ống nước hình trụ có cùng bán kính đáy bằng a.
b
Í-
Ta thừa nhận công thức : V = ∫ S ( x ) dx (*)
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Ô tô còn đi thêm được 2 giây.
a
ÁN
Trong đó S ( x ) là diện tích của thiết diện của vật thể V . Thiết diện này vuông góc với trục Ox ,tại
Ỡ N
G
thể V .
TO
x ∈ [ a; b] với a, b là các cận ứng với hai mặt phẳng song song và vuông góc với trục Ox , giới hạn vật
BỒ
ID Ư
Việc nắm giữ vững công thức (*) giúp quý độc giả có thể tính được thể tích của vật thể mà đề bài đã yêu cầu, cụ thể như sau: Ta sẽ gắn hệ trục tọa độ Oxyz vào vật thể này, tức là ta sẽ đi tính thể tích vật thể V giới hạn bởi hai mặt
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
A. 0, 2m
TP .Q
U
Y
Một ô tô đang chạy với vận tốc 8m/s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v ( t ) = −4t + 8 ( m / s ) trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét ?
N
Bài 32
trụ: x 2 + y 2 = a 2 , x 2 + z 2 = a 2 ( a > 0 )
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN
Hình vẽ trên mô tả một phần tám thứ nhất của vật thể này, với mỗi x ∈ [ 0; a ] , thiết diện của vật thể (vuông
Đ
ẠO
góc với trục Ox ) tại x là một hình vuông có cạnh y = a 2 − x 2 ( chính là phần gạch chéo trong hình vẽ). Do đó diện tích thiết diện sẽ là:
2
a
2
0
16a 3 = 3
G
00
B
Bài 34
H
a
TR ẦN
2 x3 V = 8∫ S ( x ) dx = 8∫ ( a − x ) dx = 8 a x − 3 0 0 Chọn đáp án A. a
Ư N
Khi đó áp dụng công thức (*) thì thể tích vật thể cần tìm sẽ bằng:
10
Một vật chuyển động thẳng biến đổi đều với phương trình vận tốc là v = 5 + 2t ( m / s ) . Quãng
2+
3
đường vật đi được kể từ thời điểm t0 = 0 ( s ) đến thời điểm t = 5 ( s ) là: B. 100 ( m )
C. 40 ( m )
D. 10 ( m )
Hướng dẫn giải :
Ó
A
C
ẤP
A. 50 ( m )
Í-
H
Quãng đường vật đi được kể từ thời điểm t0 = 0 ( s ) đến thời điểm t = 5 ( s ) là :
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
S ( x ) = a 2 − x 2 . a 2 − x 2 = a 2 − x 2 x ∈ [ 0; a ] .
5
∫
5
2 ∫ ( 2t + 5) dt = ( t + 5t )
5
0
0
0
= 50 ( m )
TO
ÁN
Quãng đường cần tìm là : s = v ( t ) =
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
Chọn đáp án A.
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
TP .Q
U
Y
N
H Ơ
N
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG
Bài 35
1 sin(π t ) + ( m / s ) . Tính quãng đường di chuyển của 2π π vật đó trong thời gian 1,5 giây (làm tròn kết quả đến hang phần trăm).
Vận tốc của một vật chuyển động là v ( t ) =
A. 0, 43 ( m )
B. 0,53 ( m )
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
C. 3,14 ( m )
D. 0,34 ( m )
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG
Hướng dẫn giải :
= 0
3 1 + 2 ≈ 0, 34 ( m ) 4π π
U
1,5
TP .Q
1,5 1 sin (π t ) 1 t v t dt = ( ) ∫0 ∫0 2π + π dt = 2π − π cos π t
1,5
s=
Y
N
Quãng đường cần tìm là :
ẠO
Chọn đáp án D.
H
Ư N
G
Gọi h ( t ) ( cm ) là mức nước ở bồn chứa sau khi bơm nước được t giây. Biết rằng 1 h ' ( t ) = 3 t + 8 và lúc đầu bồn không có nước. Tìm mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 6 giây (làm tròn5 kết quả đến hàng phần trăm). B. 0,55 ( cm )
C. 3,14 ( cm )
D. 2, 66 ( cm )
TR ẦN
A. 2, 66 ( m )
B
Hướng dẫn giải :
10
00
Thời gian bơm nước được 6 giây.
6
2+
3
Mức nước càn tìm là : 6
4 13 3 t + 8dt = ( t + 8 ) 3 5 20 0
=
0
4 3 12 ⋅14 3 − ≈ 2, 66 ( cm ) 20 5
C
0
6
ẤP
h ( t ) = ∫ h ' ( t ) dt = ∫
Ó
A
Chọn đáp án D.
H
Bài 37
Í-
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Đ
Bài 36
-L
Đường thẳng ( ∆ ) : x − y + 2 = 0 chia hình tròn có tâm I ( 3;3) , bán kính R = 2 thành hai phần.
Ỡ N ID Ư
BỒ
8π + 3 3 3
B. S =
8π − 3 3 3
8π + 2 3 3
D. S =
8π − 2 3 3
A. S =
G
TO
ÁN
Tính diện tích S phần chứa tâm I .
C. S =
Hướng dẫn giải : 2
Phương trình đường tròn tâm I ( 3;3) bán kính R = 2 là ( x − 3) + ( y − 3)
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
2
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
H Ơ
N
Vật đi được 1,5 giây.
CHUYÊN BẮC NINH =4
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG
N
( x − 3) 2 + ( y − 3)2 = 4 X 2 + Y 2 = 4 Phương trình hoành độ giao điểm ta được : ⇒ X − Y + 2 = 0 x − y + 2 = 0
∫ (X +
2 + 4− X
) dX + 2 ∫
X1
8π + 3 3 3
Đ
X1
4 − X 2 dX =
G Ư N TR ẦN
H
Bài 38
00
B
x2 Parabol y = chia hình tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính 2 2 thành 2 phần, Tỉ số diện tích 2 của chúng thuộc khoảng nào: B. ( 0, 7; 0,8 )
2+
3
10
A. ( 0,5;0, 6 )
C. ( 0, 4; 0,5)
D. ( 0, 6;0, 7 )
THPT THUẬN THÀNH 3
ẤP
Hướng dẫn giải :
H
Ó
A
C
x2 y = Phương trình hoành độ giao điểm ta được : ⇒ x = ±2 2 x2 + y 2 = 8
Í-
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Chọn đáp án A.
4 x2 4 2 S1 = 2 ∫ 8 − x − dx = 2π + ; S2 = Shinhtron − S1 = 6π − 2 3 3 0
ÁN
-L
2
TO
S1 ≈ 0, 435 Chọn đáp án C. S2
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
Suy ra
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
S=
X2
2
ẠO
X2
TP .Q
U
Y
N
H Ơ
− 6− 2 X1 = 2 ⇔ 6− 2 X2 = 2
Bài 39
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm số y = x 2 x 2 + 1 , trục Ox và đường thẳng x = 1 bằng
(
a b − ln 1 + b c
) với a, b, c là các số nguyên dương. Khi đó giá trị của a + b + c là:
A. 11 B. 12 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
C. 13 D. 14 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG
0
0
(
)
1
1
0
0
x 2 + 1 = ( x 3 + x ) x 2 + 1 − ∫ x 2 + 1 ( 3x 2 + 1) dx
1
ẠO
= 2 2 − 3S − ∫ x 2 + 1dx
U
1
TP .Q
1
S = ∫ x 2 x 2 + 1dx = ∫ ( x 3 + x ) d
Y
N
Ta có
Đ
0
TR ẦN
Chọn đáp án C.
B
Bài 40
10
00
Trong giải tích, với hàm số y = f ( x ) liên tục trên miền D = [ a, b ] có đồ thị là một đường cong C thì độ dài của L được xác định bằng công thức:
3
b
2
ẤP
2+
L = ∫ 1 + ( f ' ( x ) ) dx. a
Í-
H
Ó
A
C
x2 Với thông tin đó, độ dài của đường cong C cho bởi y = − ln x trên [1; 2] là 8 55 3 31 3 A. − ln 2 B. − ln 4 C. + ln 2 D. 8 24 8 48
ÁN
Hướng dẫn giải:
x 1 − nên áp dụng công thức đã cho sẽ được 4 x
G
TO
Ta có f ' ( x ) =
2
ID Ư
Ỡ N
2 x 1 x 1 1 + ( f ' ( x ) ) = 1 + + = + với x ∈ [1; 2]. 4 x 4 x
BỒ
G
H
0
Ư N
Tiếp tục sử dụng công thức tích phân từng phần để tính T = ∫ x 2 + 1dx được a = 3, b = 2, c = 8
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
1
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
H Ơ
N
Hướng dẫn giải :
x2 2 3 x 1 Do đó L = ∫ + dx = + ln x = + ln 2. 4 x 8 1 8 1 2
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG
Chọn đáp án C.
N
Bài 41
Y
N
chuyển động chậm dần đều với vận tốc v ( t ) = −2t + 25 (m/s), trong đó t là khoảng
625 m 2
C. 2m
D.
Ư N 00
0
625 4
B
∫ ( −2t + 25 ) dt =
TR ẦN
H
25 giây 2
25 2
Quãng đường cần tìm là s =
G
Hướng dẫn giải: Xe chở hàng còn đi thêm được
25 m 2
ẠO
B.
Đ
625 m 4
2+
3
10
Chọn đáp án B.
ẤP
Bài 42
Ó
A
C
Một ô tô đang chạy với tốc độ 36km / h thì hãm phanh, chuyển động chậm dần đều với phương trình vận tốc v = 10 − 0,5t ( m / s ) . Hỏi ô tô chuyển động được quãng đường bao nhiêu thì dừng lại?
B. 200m
C. 300m
Í-
H
A. 100m
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
A.
TP .Q
U
thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, xe còn di chuyển bao nhiêu mét?
ÁN
Hướng dẫn giải:
TO
Ta có : v0 = 36km / h = 10m / s ứng với t0 = 0
Ỡ N
G
v1 = 10 − 0,5t1 = 0 nên t1 = 20
∫ (10 − 0,5t ) dt = 100 ( m ) 0
BỒ
ID Ư
Do đó : quãng đường s =
20
D. 400m
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
H Ơ
Một xe chở hàng chạy với vận tốc 25 m/s thì tài xế đạp phanh; từ thời điểm đó, xe
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG
Chọn đáp án A.
C. 283,01 và cứu được
D. 3716,99 và cứu được
G
Ư N H TR ẦN
Hướng dẫn giải:
1000 dt = 500 ln 2t + 1 2t + 1
10
00
B
Vi khuẩn HP gây đau dạ dày tại ngày thứ m với số lượng là F ( m ) = ∫
ẤP
2+
3
Suy ra số vi khuẩn trong dạ dày bệnh nhân sau 15 ngày bệnh nhân phát hiện ra bị bệnh là F (15 ) = 500 ln 31 + 2000 = 3716,99 < 4000 Chọn đáp án D.
A
C
Bài 45
H
Ó
Một ô tô xuất phát với vận tốc v1 ( t ) = 2t − 10 ( m / s ) sau khi đi được một khoảng thời gian t1 thì bất ngờ gặp chướng ngại vật nên tài xế phanh gấp với vận tốc v2 ( t ) = 20 − 4t ( m / s ) và đi thêm một
ÁN
-L
khoảng thời gian t 2 nữa thì dừng lại. Biết tổng thời gian từ lúc xuất phát đến lúc dừng lại là 4s. Hỏi xe đã đi được quãng đường bao nhiêu mét. B. 64m
TO
A. 57m
C. 50m
D. 47m
Ỡ N
G
Hướng dẫn giải:
BỒ
ID Ư
Đến lúc phanh vận tốc của xe là : 2t1 + 10 đó cũng là vận tốc khởi điểm cho quãng đường đạp phanh ; sau khi đi thêm t 2 thì vận tốc là 0 nên 2t1 + 10 = 20 − 4t2 ⇔ t1 + 2t2 = 5
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
H Ơ
ẠO
B. 1499,45 và cứu được
Đ
A. 5433,99 và không cứu được
Í-
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
TP .Q
U
Y
N
Vi khuẩn HP (Helicobacter pylori) gây đau dạ dày tại ngày thứ m với số lượng là F(m), biết nếu phát hiện sớm khi số lượng vi khuẩn không vượt quá 4000 con thì bệnh nhân sẽ được 1000 cứu chữa. Biết F ' ( m ) = và ban đầu bệnh nhân có 2000 con vi khuẩn. Sau 15 ngày bệnh 2t + 1 nhân phát hiện ra bị bệnh. Hỏi khi đó có bao nhiêu con vi khuẩn trong dạ dày ( lấy xấp xỉ hàng thập phân thứ hai) và bệnh nhân có cứu chữa được không ?
N
Bài 43
t1 = 3s Lại có t1 + t2 = 4 lập hệ được t2 = 1s 2
1
0
0
Tổng quãng đường đi được là: S = ∫ ( 2t + 10 ) dt + ∫ ( 20 − 4t ) dt = 57 m
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG
Chọn đáp án A.
C. 4m
D. 5m
ẠO
Hướng dẫn giải:
Đ G Ư N
H
Gọi T là thời điểm ô tô dừng lại. Khi đó vận tốc lúc dừng là v (T ) = 0
TR ẦN
Vậy thời gian từ lúc đạp phanh đến lúc dừng là v (T ) = 0 ⇔ −40T + 20 = 0 ⇔ T =
1 2
00
B
Gọi s(t) là quãng đường ô tô đi được trong khoảng thời gian T .
10
Ta có v (T ) = s ' ( t ) suy ra s ( t ) là nguyên hàm của v (T )
1 s ô tô đi được quãng đường là: 2
∫ ( −40t + 20 ) dt = 5m 0
C
ẤP
Vậy trong
2+
3
1 2
Ó
A
Chọn đáp án D.
H
Bài 47
Í-
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Lấy mốc thời gian là lúc ô tô bắt đầu phanh ( t = 0 )
-L
Một vật chuyển động với vận tốc v ( t )( m / s ) có gia tốc a ( t ) = 3t 2 + t ( m / s 2 ) . Vận tốc ban đầu của
TO
ÁN
vật là 2 ( m / s ) . Hỏi vận tốc của vật sau 2s
B. 12m / s
C. 16m / s
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
A. 10m / s
Ta có v ( t ) = ∫ a ( t ) dt = ∫ ( 3t 2 + t ) dt = t 3 +
Hướng dẫn giải:
D. 8m / s
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
B. 3m
TP .Q
A. 2m
U
Y
N
H Ơ
Một ô tô chạy với vận tốc 20m / s thì người lái xe đạp phanh còn được gọi là“thắng”. Sau khi đạp phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v ( t ) = −40t + 20 ( m / s ) .Trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh . Quãng đường ô tô di chuyển từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn là bao nhiêu?
N
Bài 46
t2 +C 2
Vận tốc ban đầu của vật là 2m / s ⇒ v ( 0 ) = 2 ⇒ C = 2
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG
Vậy vận tốc của vận sau 2s là: v ( 2 ) = 12
N
Chọn đáp án B.
B.
32 3
C. 16
D.
28 3
ẠO
16 3
G Ư N H TR ẦN B 00 10 3 2+ ẤP C
Hướng dẫn giải:
2
Diện tích là S =
H
Ó
A
Dựa vào đồ thị, ta xây dựng được công thức của hàm số là y = 4 − x 2
∫ ( 4 − x ) dx = 2
-L
−2
Í-
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Đ
A.
TP .Q
U
Y
Có một người cần làm một cái của cổng cố xưa, có hình dạng một parabol bậc hai như hình vẽ. Giả sử đặt cánh cổng vào một hệ trục tọa độ như hình vẽ ( mặt đất là trục Ox ). Hãy tính diện tích của cánh cửa cổng.
32 3
TO
ÁN
Chọn đáp án B.
G
Bài 49
BỒ
ID Ư
Ỡ N
Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài 500m , biết rằng người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol,mỗi nhịp cách nhau 40m ,biết hai bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây một chân trụ rộng 5m . Bề dày nhịp cầu không đổi là 20cm . Biết một nhịp cầu như hình vẽ. Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu (bỏ qua diện tích cốt sắt trong mỗi nhịp cầu) A. 20m3
B. 50m3
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
C. 40m3
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
N
H Ơ
Bài 48
D 100m3
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN
ẠO
Hướng dẫn giải:
G Ư N
H
Ó
A
C
ẤP
2+
3
10
00
B
TR ẦN
H
đỉnh I(25; 2), điểm A(50;0) (điểm tiếp xúc Parabol trên với chân đế)
Í-
Gọi Parabol trên có phương trình: ( P1 ) : y1 = ax 2 + bx + c = ax 2 + bx ( O ∈ ( P1 ) )
20 1 ax = ax 2 + bx − là phương trình parabol dưới 100 2
TO
ÁN
⇒ y2 = ax 2 + bx −
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Đ
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với gốc O(0;0) là chân cầu (điểm tiếp xúc Parabol trên),
2 2 4 2 2 4 1 x + x ⇒ y2 = − x + x− 625 25 625 25 5
Ỡ N
G
Ta có I , A ∈ ( P1 ) ⇒ ( P1 ) : y1 = −
BỒ
ID Ư
Khi đó diện tích mỗi nhịp cầu là S = S1 với S1 là phần giới hạn bởi y1 ; y2 trong khoảng ( 0; 25 )
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
TP .Q
U
Y
N
H Ơ
N
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG
15 0,2 2 2 4 1 S = 2 ∫ − x + x dx + ∫ dx ≈ 0,9m 2 25 5 0,2 0 625
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG
Vì bề dày nhịp cầu không đổi nên coi thể tích là tích diện tích và bề dày V = S .0, 2 ≈ 1, 98m3 ⇒ số lượng bê tông cần cho mỗi nhịp cầu ≈ 2m3
Y
N
Chọn đáp án C.
TP .Q
U
Bài 50
A. 130m
C. 32m
D. 28m
G Ư N
TR ẦN
H
Hướng dẫn giải:
B
t = 0 Thời điểm vật dừng lại khi đó ta có vận tốc: v ( t ) = 0 ⇔ 3t ( 4 − t ) = 0 ⇔ t = 4
10
00
Chúng ta nhận giá trị t = 4 . Vậy vật chuyển động sau 4s thì dừng. 4
C
ẤP
Chọn đáp án C.
2+
0
3
Quãng đường vật đi trong 4s là : S = ∫ 3t ( 4 − t ) dt = 32
Ó
A
Bài 51
Í-
H
Bạn Minh ngồi trên máy bay đi du lịch thế giới với vận tốc chuyển động của máy bay là v ( t ) = 3t 2 + 5 ( m / s ) . Quãng đường máy bay bay từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là:
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Đ
B. 34m
ẠO
Giả sử một vật từ trạng thái nghỉ khi t = 0 ( s ) chuyển động thẳng với vận tốc v ( t ) = 3t ( 4 − t )( m / s ) . Tìm quãng đường vật đi được cho tới khi nó dừng lại.
B. 252m
C. 1134m
Ỡ N
G
TO
ÁN
A. 36m
Hướng dẫn giải: 10
BỒ
ID Ư
Quãng đường máy bay bay từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là : S = ∫ ( 3t 2 + 5) dt = 966
D. 966m
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
H Ơ
N
Vậy mười nhịp cầu hai bên cần ≈ 40m3 bê tông
4
Chọn đáp án D.
Bài 52 Một vật chuyển động với vận tốc ban đầu 5m / s và có gia tốc được xác định bởi công thức 2 a= ( m / s 2 ) . Vận tốc của vật sau 10s đầu tiên là( làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) t +1 www.facebook.com/daykemquynhonofficial 10 m / s 9 m / s 11m / s A. B. C. D. 12m / s Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN
Y U
2 dt = 2 ln ( t + 1) + c t +1
TP .Q
Ta có v ( t ) = ∫
N
Hướng dẫn giải:
Đ G Ư N H
Vận tốc của vật sau 10s đầu tiên là: v (10 ) = 2 ln (11) + 5 ≈ 9,8
TR ẦN
Chọn đáp án A.
Bài 53
10
00
B
Một vật xuất phát từ A chuyển động thẳng và nhanh dần đều với vận tốc v ( t ) = 1 + 2t ( m / s ) . Tính vận tốc tại thời điểm mà vật óó cách A 20cm? (Giả thiết thời điểm vật xuất phát từ A tương ứng với t = 0)
B. 7 m / s
C. 8m / s
D. 9m / s
Hướng dẫn giải:
C
ẤP
2+
3
A. 6m / s
H
Ó
A
Ta có S ( t ) = ∫ (1 + 2t ) dt = t + t 2 + c
Í-
Vật xuất phát từ A tương ứng với thời gian t = 0 nên S ( 0 ) = 0 ⇔ 0 + 02 + c = 0 ⇔ c = 0
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Nên v ( t ) = 2 ln ( t + 1) + 5.
ẠO
Mà vận tốc ban đầu 5m/s tức là: v ( 0 ) = 5 ⇔ 2 ln ( 0 + 1) + c = 5 ⇔ c = 5.
TO
ÁN
Suy ra : S ( t ) = t + t 2
Ỡ N
G
t = 4 Vật cách A 20cm ta có : t 2 + t = 20 ⇔ Nhận t = 4 . t = −5
ID Ư
Vậy sau 4s thì vật cách A 20m và vận tốc tại thời điểm đó là : v ( 4 ) = 9
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
H Ơ
N
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG
BỒ
Chọn đáp án D.
Bài 54 Một vật chuyển động với vận tốc v ( t ) = 1 − 2sin 2t ( m / s ) . Tính quãng đường vật di chuyển trong
3π (s) 4 www.facebook.com/daykemquynhonofficial 3π 3π Đóng góp PDF bởi GV. A. Nguyễn C. 3 D. 1 − 1 m Thanh TúB. + 1 m www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial khoảng thời gian từ thời điểm t = 0 ( s ) đến thời điểm t =
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN
0
U TP .Q
∫ (1 − 2sin 2t ) dt =
Quãng đường cần tìm là:
3π −1 4
ẠO
3π 4
Y
Hướng dẫn giải:
Đ G H
Ư N
Bài 55
00
B. a = 80
C. a = 20
10
A. a = 40
B
TR ẦN
Một ô tô đang chạy đều với vận tốc a (m / s) thì người đạp phanh , từ thời điểm đó , ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = -5t + a (m / s) , trong đó t là thời gian tính bằng giây, kể từ lúc đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến lúc dừng hẳn ô tô di chuyển được 40m thì vận tốc ban đầu a bằng bao nhiêu?
D. a = 25
C
ẤP
2+
3
THPT THUẬN THÀNH SỐ 2
Hướng dẫn giải:
a 5
H
Ó
A
Thời điểm vật dừng lại khi vận tốc bằng 0: v ( t ) = 0 ⇔ −5t + a = 0 ⇔ t =
Í-
a 5
5 Ô tô di chuyển được 40 mét: ∫ ( −5t + a ) dt = − t 2 + at 2 0
ÁN
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Chọn đáp án A.
a 5
=−
a2 a2 a2 + = = 40 10 5 10
0
Bài 56
ID Ư
Ỡ N
G
TO
Chọn đáp án C.
BỒ
Một vật chuyển động với vận tốc v ( t ) ( m / s ) có gia tốc a ( t ) =
3 ( m / s ) . Vận tốc ban đầu của t +1
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
N
H Ơ
N
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG
vật là 6 ( m / s ) . Hỏi vận tốc của vật sau 10 giây là bao nhiêu?
A. 3ln11 + 6.
B. 2 ln11 + 6.
C. 3ln11 − 6.
D. 3 ln 6 + 6.
THPT LÝ THƯỜNG KIỆT
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG
TP .Q
U
Y
Điều kiện vận tốc ban đầu 6(m/s): v ( 0 ) = 6 ⇔ 3ln 0 + 1 + C = 6 ⇔ C = 6 Vậy hàm vận tốc là: v ( t ) = 3ln t + 1 + 6
Đ
ẠO
Vận tốc của vật sau 10 giây là : v (10 ) = 3ln11 + 6
G Ư N H
Bài 57
00
B. 31.89m
C. 32.43m
D. 33.88m
10
A. 30.78m
B
TR ẦN
Một viên đạn được bắn lên theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu là 25m / s , gia tốc trọng trường là 9,8m / s2 . Quảng đường viên đạn đi được từ lúc bắn cho đến khi chạm đất gần bằng kết quả nào nhất trong các kết quả sau:
2+
3
Hướng dẫn giải:
Ó
A
C
ẤP
Ta có hàm vận tốc thay đổi theo quy luật sau : v ( t ) = −9,8t + 25
H
Độ cao cực đại của viên đạn được là : S =
125 49
∫ ( −9,8t + 25) dt = 31,89 0
Í-
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Chọn đáp án A.
ÁN
-L
Quãng đường viên đạn đi được từ lúc bắn cho đến khi chạm đất là : 2S = 62,78
TO
Chọn đáp án B.
G
Bài 58
BỒ
ID Ư
Ỡ N
Một ca nô đang chạy trên hồ Tây với vận tốc 20m / s thì hết xăng; từ thời điểm đó, ca nô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = -5t + 20 , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc hết xăng. Hỏi từ lúc hết xăng đến lúc ca nô dừng hẳn đi được bao nhiêu mét?
A. 10m
B. 20m
C. 30m
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
H Ơ
3 dt = 3ln t + 1 + C. t +1
N
Ta có hàm vận tốc là nguyên hàm của gia tốc: v ( t ) = ∫
N
Hướng dẫn giải:
D. 40m
Hướng dẫn giải: Khi ca nô dừng thì v ( t ) = 0 ⇔ −5t + 20 = 0 ⇔ t = 4
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG
Khi đó quãng đường đi được từ khi hết xăng là 4
= 40m 0
N
Chọn đáp án D.
TP .Q
U
Y
Bài 59
B. t = 4s
D. t = 6s
Ư N
G
Đ
C. t = 2s
H
Hướng dẫn giải:
TR ẦN
Ta có v ( t ) = s ' ( t ) = 12t − 3t 2 và v ' ( t ) = 12 − 6t = 0 ⇔ t = 2.
Lặp bảng biến thiên của hàm số trên khoảng ( −; +∞ ) . Từ đó ta có khi t = 2 s thì đoàn tàu đạt vận tốc lớn
00
B
nhất.
10
Chọn đáp án C.
2+
3
Bài 60
H
B. 125m
C. 150m
Í-
A. 100m
Ó
A
C
ẤP
Một ô tô đang đi với vận tốc lớn hơn 72km / h , phía trước là đoạn đường chỉ cho phép chạy với tốc độ tối đa là 72km / h , vì thế người lái xe đạp phanh để ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = 30 - 2t (m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Từ lúc bắt đầu đạp phanh đến lúc đạt tốc độ 72km / h ô tô đã di chuyển quãng đường dài
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
A. t = 6s
ẠO
Một đoàn tàu chuyển động thẳng khởi hành từ một nhà ga. Quảng đường s (mét) đi được của đoàn tàu là một hàm số của thời gian t (giây), hàm số đó là s = 6t 2 − t 3 . Thời điểm t (giây) mà tại đó vận tốc v (m/s) của chuyển động đạt giá trị lớn nhất là
ÁN
Hướng dẫn giải:
G
TO
Theo đề : v = 72km / h = 20m / s, 5
0
BỒ
ID Ư
Ỡ N
Ta có : 30 − 2t = 20 ⇔ t = 5 ⇒ S = ∫ ( 30 − 2t ) dt = 125
D. 175m
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
H Ơ
−5 Ta có s = ∫ ( −5t + 20 ) dt = t 2 + 20t 2 0
N
4
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG
Chọn đáp án B.
B. s = 2 + 20 ln 2
C. s = −2 + 20 ln 4
D. s = −2 + 20 ln 2
TP .Q
U
A. s = 2 − 20 ln 2
ẠO
Hướng dẫn giải:
Đ G Ư N H
TR ẦN
4 4 t2 + 4 t2 = 1, 5 + − 4 + 20 ln + 4 S = ∫ 1,5 + dt t t t = 20 ln 2 − 2 t + 4 2 0 0
Chọn đáp án D.
00
B
Bài 62
Í-
H
Ó
A
C
ẤP
2+
3
10
Chiều dài ngắn nhất của cái thang AB để nó có thể dựa vào tường AC và mặt đất BC , ngang qua cột đỡ DE cao 4m , song song và cách tường một khoảng CE = 0,5m là:
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Gọi S(tính bằng m) là quãng đường vật đó đi được trong 4 giây đầu
B. Xấp xỉ 6, 5902m
C. Xấp xỉ 5,4902m
D. Xấp xỉ 5, 5902m
THPT NGUYỄN ĐĂNG ĐẠO
ID Ư
Ỡ N
G
TO
ÁN
A. Xấp xỉ 5, 602m
Hướng dẫn giải:
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
Y
N
H Ơ
t2 + 4 Một vật chuyển động với vận tốc v ( t ) = 1,5 + ( m / s ) . Gọi S là quãng đường vật đó đi được t+4 trong 4s đầu . khi đó ta có
N
Bài 61
BỒ
Gọi độ dài cạnh EB là x khi đó ta có AB CB 0,5 2 = ⇔ AB = 1 + x + 16. DB EB x
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG
U TP .Q
Vậy chọn đáp án D.
ẠO
Bài 63
G
Ư N
C. 5,5m2 .
H
B. 4m2 .
B 00 10 3 2+ Hướng dẫn giải:
H
Ó
A
C
ẤP
THPT QUẾ VÕ SỐ 3
Í-
Giả sử parabol có phương trình y = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0 )
TO
ÁN
3 Đi qua A ( 0; 2 ) , B ; 0 nên ta có hệ phương trình : 2
ID Ư
Ỡ N
G
c = 2 c = 2 8 ⇔ b = 0 ⇒ y = − x 2 + 2 b = 0 9 9 8 a+2=0 a = − 4 9
BỒ
D. 6m2 .
TR ẦN
A. 3,5m2.
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Đ
Ông X muốn xây một cổng hình Parapol có chiều dài chân đáy của cổng là 3m và chiều cao của cổng là 2m như hình vẽ ở dưới đây. Ông X muốn tính diện tích của cổng để đặt cửa gỗ cho vừa kích thước. Diện tích của cổng là.
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
N
5 5 khi x = 2 . 2
Y
bằng
H Ơ
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) trên khoảng ( 0; +∞ ) ta thấy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất
N
x3 − 8 0,5 2 f ' x = Xét hàm số f ( x ) = 1 + ta có + 16 x ( ) x x 2 x 2 + 16
3 2
8 S = 2 ∫ − x 2 + 2 dx = 4m 2 9 0
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG
Chọn đáp án B.
Bài 64
D.
200 2 m 3
TP .Q
U
2
Hướng dẫn giải:
ẠO G Ư N H TR ẦN
B 00 10
3
0
25 2 25 200 2 x + dx = m 32 2 3
2+
4
S = 2∫ −
Đ
25 Đi qua C 0; , D ( 4;0 ) nên ta có hệ phương trình: 2
C
ẤP
Chọn đáp án D.
Ó
A
Bài 65
Í-
H
Người ta bơm nước vào một bồn chứa, lúc đầu bồn không chứa nước, mức nước ở bồn chứa sau khi bơm phụ thuộc vào thời gian bơm nước theo một hàm số h = h ( t ) trong đó h tính
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Giả sử parabol có phương trình y = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0 )
25 c = 2 c = 2 25 25 ⇔ b = 0 ⇒ y = − x2 + b = 0 32 2 25 25 16a + a = − =0 2 32
H Ơ
100 2 m 3
TO
243 cm 4
B.
243 80cm
Ỡ N
G
A.
ÁN
bằng cm, t tính bằng giây. Biết rằng h ' ( t ) = 3 2t + 1 và. Mức nước ở bồn sau khi bơm được 13s là
BỒ
ID Ư
Ta có h ( t ) = ∫ 3 2t + 1dt =
C. 30cm
D. 60cm
Hướng dẫn giải:
3 ( 2t + 1) 3 2t + 1 + C 8
Lúc đầu ( t = 0 ) bể không có nước ( h ( 0 ) = 0 ) ⇒ C = −
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
C.
N
B. 200m2
Y
Diện tích của cổng là: A. 100m2
N
Cổng trường ĐHBK Hà nội có hình dạng Parabol, chiều rộng 8m , chiều cao 12, 5m .
3 8
⇒ h (13) = 30
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG
Y
N
Bài 66
A. 2, 66
C. 3, 42
D. 7,12
G Ư N H
4 13 3 12 t + 8dt = ( t + 8) 3 − Nên h ( 6 ) ≈ 2, 66 5 20 5
B
Giả thiết suy ra: h ( t ) = ∫
TR ẦN
Hướng dẫn giải:
10
00
Chọn đáp án A.
2+
3
Bài 67
π
14
Ó
B. 50 −
π
H
14
C. 50 +
14
π
D. 50 +
π 14
Í-
A. 50 −
A
C
ẤP
Tại thành phố Hà Tĩnh nhiệt độ (theo 0 F ) sau t giờ, tính từ 8h → 20h được cho bởi công thức πt . Nhiệt độ trung bình trong khoảng thời gian trên là: f ( t ) = 50 + 14sin 12
TO
ÁN
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Đ
B. 5,34
ẠO
TP .Q
U
13 t + 8 và 5 lúc đầu bồn không có nước. Mức nước của bồn sau khi bơm nước được 6 giây (làm tròn kết quả đến hàng trăm) là:
Gọi h ( t )( cm ) là mức nước ở bồn chứa sau khi bơm nước được t giây. Biết rằng h ' ( t ) =
Ỡ N
G
Nhiệt độ TB được tính theo công thức sau:
20
1 14 πt 50 + 14.sin dt = 50 − ∫ π 20 − 8 8 12
BỒ
ID Ư
Chọn đáp án B.
Hướng dẫn giải:
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
H Ơ
N
Chọn đáp án C.
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial