CHỦ ĐỀ TIẾP TUYẾN VÀ TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐẠI SỐ 12 CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT

CHUYÊN ĐỀ TRẮC NGHIỆM ĐẠI SỐ 12

vectorstock.com/17234361

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection DẠY KÈM QUY NHƠN TEST PREP PHÁT TRIỂN NỘI DUNG

CHỦ ĐỀ TIẾP TUYẾN VÀ TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐẠI SỐ 12 CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT PDF VERSION | 2020 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

CHỦ ĐỀ TIẾP TUYẾN VÀ TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐẠI SỐ 12 CÓ ĐÁP ÁN Chủ đề: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2 dạng bài Tiếp tuyến của đồ thị hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số Trắc nghiệm viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số Dạng 2: Các bài toán về tiếp tuyến của hàm số Trắc nghiệm về tiếp tuyến của hàm số Chủ đề: Tương giao của đồ thị hàm số 100 Bài tập Sự tương giao của đồ thị hàm số có giải chi tiết (mức độ nhận biết) 120 Bài tập Sự tương giao của đồ thị hàm số có giải chi tiết (mức độ vận dụng) 5 dạng bài Sự tương giao của đồ thị hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết Dạng 1: Tìm giao điểm của hai đồ thị hàm số Trắc nghiệm Tìm giao điểm của hai đồ thị hàm số Dạng 2: Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị Trắc nghiệm Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị Dạng 3: Tìm m để giao điểm của hai đồ thị thoả mãn điều kiện Trắc nghiệm Tìm m để giao điểm của hai đồ thị thoả mãn điều kiện Chủ đề: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2 dạng bài Tiếp tuyến của đồ thị hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số. I. Phương pháp giải Cho hàm số y = f(x), gọi đồ thị của hàm số là (C). Dạng 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C): y = f(x) tại M(x0; y0) ♦ Phương pháp • Bước 1. Tính y’= f’(x) suy ra hệ số góc của phương trình tiếp tuyến là k = y’(x0) • Bước 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M(x0; y0) có dạng y - y0 = f'(x0).(x - x0). ◊ Chú ý: • Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0 thì khi đó ta tìm y0 bằng cách thế vào hàm số ban đầu, tức y0 = f(x0). Nếu đề cho y0 ta thay vào hàm số để giải ra x0. • Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại các giao điểm của đồ thị (C): y = f(x) và đường thẳng d: y= ax + b. Khi đó các hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm giữa d và (C) Dạng 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C): y = f(x) có hệ số góc k cho trước. ♦ Phương pháp • Bước 1. Gọi M (x0; y0) là tiếp điểm và tính y' = f'(x). • Bước 2. Hệ số góc tiếp tuyến là k' f'(x0). Giải phương trình này tìm được x0; thay vào hàm số được y0 • Bước 3. Với mỗi tiếp điểm ta tìm được các tiếp tuyến tương ứng d: y – y0 = f'(x0).(x - x0)

ng cho hhệ số góc tiếp tuyến dưới các dạng sau: ◊ Chú ý: Đề bài thường • Tiếp tuyến d // ∆:: y = ax + b ⇒ hệ số góc của tiếp tuyến là k = a. • Tiếp tuyến d ⊥ ∆:: y = ax + b, (a ≠ 0) hệ số góc của tiếp tuyến là k = -1/a.

ục hoành một góc α thì hệ số góc của tiếp ếp tuyến tuy d là k = • Tiếp tuyến tạo với trục ±tanα bi tiếp Dạng 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C): y = f(x) biết tuyến đi qua điểm A(xA; yA). ♦ Phương pháp Cách 1.

tuyến đi qua A(xA; yA) hệ số góc k có dạng dạ • Bước 1: Phương trình tiếp tuy d: y = k(x - xA) + yA (*)

ủa (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm: • Bước 2: d là tiếp tuyến của

• Bước 3: Giải hệ này tìm được x suy ra k và thế vào phương trình (*), ta được tiếp tuyến cần tìm. Cách 2.

p tuyến k = y'(x0) = • Bước 1. Gọi M(x0; f(x0)) là tiếp điểm và tính hệ số góc tiếp f'(x0) theo x0. • Bước 2. Phương trình tiếp tuy tuyến có dạng d: y = y'(x0).(x – x0) + y0 (**). Do điểm A(xA; yA) d nên yA = y'(x0).(xA- x0) + y0 giải phương trình này ta tìm được x0. • Bước 3. Thế x0 vào (**) ta được tiếp tuyến cần tìm. II. Ví dụ minh họa

ng trình tiếp tuyến Ví dụ 1: Cho hàm số y = -2x3 + 6x2 - 5 có đồ thị (C). Viết phương ộc (C) và có hoành độ bằng 3. của (C) tại điểm M thuộc A. y = -18x + 49 C. y = 18x + 49

B. y = -18x – 49

D. y = 18x - 49

Hiển thị đáp án Ta có: y' = -6x2 + 12x. Với x0 = 3 thì y0 = -5 ⇒ M(3; -5) và hệ số góc k = y'(3) = -18.

ến ttại M là: y = -18(x - 3) – 5 = -18x + 49. Vậy phương trình tiếp tuyến Suy ra chọn đáp án A.

ng trình tiếp tuyến Ví dụ 2: Cho hàm số y = x3 - 3x + 2 có đồ thị (C). Viết phương ủa tiêp tuyến đó bằng 9 : của (C) biết hệ số góc của

Hiển thị đáp án Ta có đạo hàm y' = 3x2 - 3. Vậy k = y'(x0) = 9

+ Với x0 = 2 thì y0 = 4 ta có tiếp điểm M(2; 4).

ại M là: y = 9(x - 2) + 4 hay y = 9x - 14. Phương trình tiếp tuyến tại + Với x0 = -2 thì y0 = 0 ta có tiếp điểm N(-2; 0).

ại N là: y = 9(x + 2) + 0 hay y = 9x + 18. Phương trình tiếp tuyến tại

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là y = 9x - 14 và y = 9x + 18. Suy ra chọn đáp án A.

ng trình tiếp tuyến Ví dụ 3: Cho hàm số y = -4x3 + 3x + 1 có đồ thị (C). Viết phương của (C) biết tiếp tuyến đi qua A(-1;2).

Hiển thị đáp án Ta có y' = -12x2 + 3. + Tiếp tuyến của (C) đii qua A(-1;2) với hệ số góc k có phương trình là: (d) y = k(x + 1) + 2 + Do d là tiếp tuyến củaa (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

ợc : Thay k từ (2) vào (1) ta đượ ⇔ -4x3 + 3x + 1 = (-12x2 + 3).(x + 1) + 2 ⇔ -4x3 + 3x + 1 = -12x3 - 12x2 + 3x + 3 + 2 ⇔ 8x3 + 12x2 - 4 = 0

+ Với x = -1 thì k = -9. Phươ ương trình tiếp tuyến là y = -9x - 7.

ương trình tiếp tuyến là y = 2. + Với x = 1/2 ⇒ k = 0. Phươ Suy ra chọn đáp án A.

Ví dụ 4: Cho hàm số

có đồ thị (C)

tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó ó vuông góc với v đường Viết phương trình tiếpp tuyế thẳng d: y = x + 10 = 0 ?

Hiển thị đáp án + Điều kiện: x ≠ -1

+ Đạo hàm: + Do tiếp tuyến ∆ cần tìm vuông góc với đường thẳng ng d: y = x + 10 = 0. Nên ta có: k∆.kd = -1. Mà kd = 1 nên k∆ = -1 Suy ra:

+ Với x = 3 thì y = 3. Phương trình tiếp tuyến tại điểm (3; 3) là: y = -1(x - 3) + 3 hay y = -x + 6

ương trình tiếp tuyến tại điểm (-1;-1) là: + Với x = -1 thì y = -1. Phươ y = -1(x + 1) - 1 hay y = -x - 2

ỏa mãn là y = -x + 6 và y = -x - 2 Vậy có hai tiếp tuyến thỏa Suy ra chọn đáp án B.

tiếp tuyến của đồ thị hàm số. Dạng 2: Các bài toán về tiế I. Phương pháp giải Cho hàm số y = f(x) liên tụục và có đạo hàm trên khoảng K. Để giải được các bài toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số ta cần chú ý: + Tính đạo hàm của hàm số.

tuyến tại một điểm; đi qua một điểm; tiếp ếp tuyến tuy biết hệ + Viết phương trình tiếp tuy số góc... ng song song có hhệ số góc bằng nhau; hai đường ng thẳng thẳ vuông góc + Hai đường thẳng có tích hai hệ số góc bằng – 1. + Giao điểm của hai đồ thịị hàm số. + Hệ thức Vi-et. + Khoảng cách từ một điểm đ ểm đế đến một đường thẳng... II. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hàm số y = -x4 – x2 + 6 có đồ thị (C). Tiếp tuyến của đồ thị (C) cắt m A, B sao cho OB = 36OA có phương trình các trục Ox, Oy lần lượt tại hai điểm là:

Hiển thị đáp án Do OB = 36OA suy ra: OB/OA = 36 ⇒ y'(x0) = ±36 • Với y'(x0) = -36 nên -4x03 - 2x0 = -36 ⇔ -4x03 - 2x0 + 36 = 0 ⇔ x = 2 Vậy y0 = y(2) = - 14.

tuyến y= -36x + 58. Suy ra phương trình tiếpp tuyế

• Với y'(x0) = 36 Nên x0 = -2 Vậy y0 = y(-2) = -14

tuyến y = 36x + 58. Suy ra phương trình tiếpp tuyế Suy ra chọn đáp án C. Ví dụ 2: Cho hàm số

có đồ thị là (C).

Gọi điểm M(x0; y0) với x0 = -1 là điểm thuộc (C) biết tiếp tuyến n của (C) tại t điểm M cắt trục hoành, trụcc tung llần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB đường thẳng d: 4x + y = 0. Hỏi giá trịị của ủa x0 + 2y0 bằng có trọng tâm G nằm trên đư bao nhiêu? A. -7/2

B. 7/2

C. 5/2

D. -5/2

Hiển thị đáp án • Gọi với x0 ≠ -1 là điểm cần tìm.

tại M ta có phương trình. • Gọi ∆ tiếp tuyến củaa (C) tạ

• Gọi A = ∆ ∩ Ox

Và B = ∆ ∩ Oy

ục tọ tọa độ tam giác OAB có trọng tâm là: • Khi đó ∆ tạo với hai trục

ẳng 4x + y = 0 nên • Do G thuộc đường thẳng

(vì A, B không trùng O nên x02 - 2x0 - 1 ≠ 0)

• Vì x0 > -1 nên chỉ chọn x0 = -1/2

Suy ra chọn đáp án A. Ví dụ 3: Cho hàm số y = x4 - 2mx2 + m (1), m là tham số thực. c. Kí hiệu hiệ (Cm) là đồ thị hàm số đã cho; gọi d là tiếp tuyến của (Cm) tại điểm có hoành độ bằng 1. Tìm ểm B(3/4; 1) đến đường thẳng d đạt giá trịị lớn nhất? nh m để khoảng cách từ điểm A. m = -1

B. m = 1

C. m = 2

D. m = -2

Hiển thị đáp án + Gọi A là điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ bằng 1 nên A(1; 1 - m). Ngoài ra y' = 4x3 – 4mx Suy ra: y'(1) = 4 - 4m

ến củ của (Cm) tại A là : + Phương trình tiếp tuyến y - 1 + m = y'(1).(x - 1) hay (4 - 4m)x - y – 3(1 - m) = 0 + Khi đó

Dấu ‘=’ xảy ra khi m = 1. + Do đó d(B; ∆) lớn nhất ất bằ bằng 1 khi và chỉ khi m = 1. Suy ra chọn đáp án B. Ví dụ 4: Cho hàm số

có đồ thị là (C).

ến củ của đồ thị (C) tại những điểm thuộc đồ thị th có khoảng Có bao nhiêu tiếp tuyến cách đến đường thẳng d1: 3x + 4y – 2 = 0 bằng 2. A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 0.

Hiển thị đáp án • Giả sử M(x0; y0) ∈ (C) • Ta có:

• Với 3x0 + 4y0 - 12 = 0

• Với 3x0 + 4y0 + 8 = 0

Ứng với 4 điểm M tìm được ta vi viết được 4 tiếp tuyến thỏa mãn đầu bài. Suy ra chọn đáp án C. Ví dụ 5: Cho hàm số

có đồ thị là (C).

Gọi I là giao điểm hai tiệm ệm ccận của (C). Tìm điểm M thuộcc (C) có hoành độ lớn ng MI? hơn 1 sao cho tiếp tuyếnn của (C) ttại M vuông góc với đường thẳng A. M(4; 7/3) C. M(2; 3)

B. M(3; 5/2) D. M(5; 3)

Hiển thị đáp án ận đứng là x = 1 và tiệm cận ngang là y = 2. Giao điểm • Đồ thị hàm số có tiệm cận của hai tiệm cận là I(1; 2). • Gọi • Phương trình tiếp tuyến ến củ của (C) tại M là:

ẳng MI là: • Phương trình đường thẳng

• Tiếp tuyến tạii M vuông góc vvới MI nên ta có

Vì yêu cầu hoành độ lớn hơn 1 nên điểm cần tìm là M(2;3) . Suy ra chọn đáp án C. Ví dụ 6: Cho hàm số

có đồ thị là (C)

Đường thẳng d: y = x + m. V Với mọi m ta luôn có d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt bi A, ại A, B. Tìm m để B. Gọi k1, k2 lần lượt là hệ ssố góc của các tiếp tuyến với (C) tại ớn nh nhất. tổng k1 + k2 đạt giá trị lớn A. m = -1 C. m = 3

B. m = -2 D. m = -5

Hiển thị đáp án • Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C) là

ử A(x1; y1); B(x2; • Theo định lí Viet ta có x1 + x2 = -m; x1.x2 = (-m - 1)/2. Giả sử y2).

• Ta có Nên tiếp tuyến của (C) tại ại A và B có hệ số góc lần lượt là:

Vậy

• Dấu "=" xảy ra ⇔ m = -1.

ớn nhấ nhất bằng - 2 khi m = -1. Vậy k1 + k2 đạt giá trị lớn Suy ra chọn đáp án A. Dạng 1: Viết phương trình tiếếp tuyến của đồ thị hàm số

dụ A. Phương pháp giảii & Ví d Phương pháp giải 1. Ý nghĩa hình học củaa đạ đạo hàm Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) và điểm. M0 (x0; y0) ∈ (C) Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại đđiểm M0 có dạng y = f'(x0 )(x - x0 ) + y0 Trong đó: ω Điểm M0 (x0; y0) ∈(C) được gọi là tiếp điểm ( với y0 = f(x0)).

tiếp tuyến. ω k = f'x0) là hệ số góc của ti ϖ Chú ý: ω Đường thẳng bất kỳ đi qua M0 (x0; y0) có hệ số góc k, có phương trình y = k(x - x0 ) + y0 ω Cho hai đường thẳng ∆1:y = k1 x + m1 và ∆2:y = k2 x + m2

Lúc đó:

2. Điều kiện tiếp xúc của ủa hai đồ thị Cho hai hàm số y = f(x),(C) và y = g(x),(C')

chỉ khi hệ phương trình (C) và (C' ) tiếpp xúc nhau khi ch

có nghiệm. tiếp điểm của hai đồ thị đó. Nghiệm của hệ là hoành độ ti ng y = kx + m là tiếp tuyến vớii (C):y = f(x) khi chỉ ch khi Đặc biệt: Đường thẳng

hệ

có nghiệm.

3. Các dạng phương trình tiếp tuyến thường gặp

thị của hàm số là (C) Cho hàm số y = f(x) gọi đồ th Dạng 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C):y = f(x) tại M0 (x0; y0) Phương pháp

ến là k = y' (x0). Bướcc 1. Tính y' = f' (x) suy ra hhệ số góc của phương trình tiếp tuyến tuyến của đồ thị (C) tại điểm M0 (x0; y0) có dạng Bước 2. Phương trình tiếp tuy y - y0 = f'(x0)(x - x0) Dạng 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C):y = f(x) có hệ số góc k cho trước.

Phương pháp Bước 1. Gọi M0 (x0; y0) là tiếp điểm và tính y' = f' (x).

tuyến là k = f' (x0). . Giải phương trình này tìm được Bước 2. Hệ số góc tiếpp tuy x0 thay vào hàm số được y0. ểm ta tìm được các tiếp tuyến tương ứng Bước 3. Với mỗi tiếp điểm d: y - y0 = f' (x0)(x - x0) Chú ý: Đề bài thường ng cho hệ số góc tiếp tuyến dưới các dạng sau: Tiếp tuyến d ∆:y = ax + b ⇒ hệ số góc của tiếp tuyến là k = a

:y = ax + b(a ≠ 0)⇒ hệ số góc của tiếp tuyến là k = -1/a Tiếp tuyến d ∆:y ếp tuyến tuy d là k = Tiếp tuyến tạo với trụcc hoành một góc α thì hệ số góc của tiếp ±tan α bi tiếp Dạng 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C):y = f(x) biết tuyến đi qua điểm A(xA; yA) Phương pháp Cách 1. Bước 1: Phương trình tiếp tuy tuyến đi qua A(xA; yA) hệ số góc k có dạng ạng d:y = k(x - xA ) + yA (*)

ủa khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm: Bước 2: là tiếp tuyến của

Bước 3: Giải hệ này tìm được x suy ra k và thế vào phương trình (*), ta được tiếp tuyến cần tìm. Cách 2.

Bước 1. Gọi M(x0; f(x0 )) là tiếp điểm và tính hệ số góc tiếp tuyến k = y'(x0 ) = f' (x0) theo x0

tuyến có dạng d = y'(x0 )(x - x0 ) + y0 (**). Do điểm Bước 2. Phương trình tiếp tuy A(xA; yA) ∈ d nên yA = y'(x0 )(xA - x0 ) + y0 giải phương trình này ta tìm được x0 . Bước 3. Thế x0 vào (**) ta được tiếp tuyến cần tìm. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hàm số (C):y = x3 + 3x2. Viết phương trình tiếp p tuyến tuyế của đồ thị hàm số tại điểm M(1; 4). Hướng dẫn Ta có y' = 3x2 + 6x; y'(1) = 9

ủa đồ thị hàm số tại điểm M(1; 4) là: Phương trình tiếp tuyến của y = 9(x - 1) + 4 = 9x - 5

tuy của (C) Ví dụ 2: Cho hàm số (C):y = 4x3 - 6x2 + 1. Viết phương trình tiếp tuyến ểm A(-1; -9). biết tiếp tuyến đi qua điểm Hướng dẫn Ta có y' = 12x2 - 12x

ếp đđiểm Gọi M(x0, y0) là tọa độ tiếp ủa (C) ttại điểm M có dạng: Phương trình tiếp tuyến của y = (12x02 - 12x0> )(x - x0 ) + 4x03 - 6x02 + 1

m A(-1; -9) nên ta có: Vì tiếp tuyến đi qua điểm -9 = (12x02 - 12x0 )( -1 - x0 ) + 4x03 - 6x03 + 1

Với

.

tuyến cần tìm là y = 15/4 (x - 5/4) - 9/16 = 15/4 x - 21/4 Khi đó phương trình tiếp tuyế

Với x0 = -1 thì

.

tuyến cần tìm là y = 24(x + 1) - 9 = 24x + 15 Khi đó phương trình tiếp tuyế

p tuyến tuyế của (C) biết Ví dụ 3: Cho hàm số (C): . Viết phương trình tiếp tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình ∆:3x - y + 2 = 0 Hướng dẫn ĐKXĐ: x ≠ -2. Ta có y' = 3/(x + 2)2 . Phương trình ∆:3x - y + 2 = 0 hay ∆:y = 3x + 2 Gọi tọa độ tiếp điểm là M(x0, y0) Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình ∆:3x - y + 2 = 0 nên ta có

Với x0 = -1

tuyến cần tìm là y = 3(x + 1) - 1 = 3x + 2 (loại). Khi đó phương trình tiếp tuyế

Với x0 = -3

tuyến cần tìm ìm là y = 3(x + 3) + 5 = 3x + 14 (thỏa mãn) Khi đó phương trình tiếp tuyế B. Bài tập vận dụng

p tuyến tuyế của (C) tại Câu 1: Cho hàm số y = -2x3 + 6x2 - 5. Viết phương trình tiếp ằng 3. điểm M có hoành độ bằng p tuyến tuyế của (C) tại Câu 1: Cho hàm số y = -2x3 + 6x2 - 5. Viết phương trình tiếp ằng 3. điểm M có hoành độ bằng Hiển thị đáp án Ta có y' = -6x2 + 12x; y' (3) = -18; y(3) = -5

ủa đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng ằng 3 là Phương trình tiếp tuyến của y = -18(x - 3) - 5 = -18x + 49

p tuyến tuyế của (C) tại Câu 2: Cho hàm số (C):y = 1/4x4 - 2x2. Viết phương trình tiếp 0 điểm M có hoành độ x > 0 biết rằng y'' (x0 )= -1. Hiển thị đáp án Ta có y' = x3 - 4x; y'' = 3x2 - 4 Vì y'' (x0 ) = -1 ⇒ 3x02 - 4 = -1 ⇒ x02 = 1 ⇒ x0 = 1 (Vì x0 > 0)

ại điểm đ ể M là: Với x0 = 1 ⇒ y0 = -7/4 ; y0' = -3. Khi đó phương trình tiếp tuyến tại y = -3(x - 1) - 7/4 = -3x + 5/4

của đồ thị hàm số (C):y =(x - 5)/(-x + 1) tại điểm A của Câu 3: Gọi d là tiếp tuyến củ ương trình của d. (C) và trục hoành. Viết phươ Hiển thị đáp án Hoành độ giao điểm củaa (C) và trục hoành là nghiệm của phương trình (x - 5)/(-x + 1) = 0 ⇒ x = 5

m A = (5; 0) Khi đó tọa độ điểm ĐKXĐ x ≠ 1. Ta có y'= (-4)/(-x + 1)2 ; y'(5) = -1/4

ẳng d chính là phương trình tiếp tuyến tại ại điểm điể A(5;0) có Phương trình đường thẳng dạng y = -1/4 (x - 5) = -1/4 x + 5 /4

ng trình tiếp tuyến Câu 4: Cho đồ thị hàm số y = 3x - 4x2 có đồ thị (C). Viết phương của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1; 3). Hiển thị đáp án Ta có y' = 3 - 8x

ếp đđiểm Gọi M(x0 , y0) là tọa độ tiếp ủa (C) ttại điểm M có dạng: Phương trình tiếp tuyến của y = (3 - 8x0 )(x - x0 ) + 3x0 - 4x02

m A(1; 3) nên ta có: Vì tiếp tuyến đi qua điểm 3 = (3 - 8x0 )(1 - x0 ) + 3x0 - 4x02

Với x0 = 0 thì

.

Khi đó phương trình tiếp tuyế tuyến cần tìm là y = 3(x - 0) + 0 = 3x

Với x0 = 2 thì

.

tuyến cần tìm là y = -13(x - 2) - 10 = -13x + 16 Khi đó phương trình tiếp tuyế

phươ trình tiếp Câu 5: Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 6x + 1 có đồ thị (C). Viết phương ất. tuyến có hệ số góc nhỏ nhất. Hiển thị đáp án ếp đđiểm. Gọi M(x0,y0) là tọa độ tiếp Ta có y' = 3x2 - 6x + 6 Khi đó y' (x0 )=3x02 - 6x0 + 6 = 3(x02 - 2x0 + 2) = 3[(x0 - 1)2 + 1] ≥ 3

ủa ti tiếp tuyến là y' (x0) = 3, dấu bằng xảy ảy ra khi x0 = 1 Vậy hệ số góc nhỏ nhất của

Với x0 = 1 thì

tuyến cần tìm là y = 3(x - 1) + 5 = 3x + 2 Khi đó phương trình tiếp tuyế p tuyến của c (C) biết Câu 6: Cho hàm số (C):y = x3 - 3x + 2. Viết phương trình tiếp bằng 9. tiếp tuyến đó có hệ số góc bằ Hiển thị đáp án ếp đđiểm. Gọi M(x0, y0) là tọa độ tiếp Ta có y' = 3x2 - 3

Khi đó y'(x0 ) = 3x02 - 3 = 9

Với x0 = 2 thì

tuyến cần tìm là y = 9(x - 2) + 4 = 9x - 14 Khi đó phương trình tiếp tuyế

Với x0 = -2 thì

.

tuyến cần tìm là y = 9(x + 2) + 0 = 9x + 18 Khi đó phương trình tiếp tuyế

ươ trình tiếp Câu 7: Cho hàm số y = (-x + 5)/(x + 2) có đồ thị là (C). Viết phương ếp tuy tuyến đó song song với đường thẳng ng d:y = -1/7 x + 5/7 tuyến của (C) sao cho tiếp Hiển thị đáp án ĐKXĐ: x ≠ -2. Ta có y' = (-7)/(x + 2)2 . Gọi tọa độ tiếp điểm là M(x0, y0) Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình d:y = -1/7 x + 5/7 nên ta có

Với Khi đó phương trình tiếp tuyế tuyến cần tìm là y = -1/7 (x - 5) + 0 = -1/7 x + 5/7 (loại).

Với x0 = -9 Khi đó phương trình tiếp tuyế tuyến cần tìm là y = -1/7 (x + 9) - 2 = -1/7 x - 23/7 (thỏa mãn).

Câu 8: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = -x4 - 2x2 + 3 vuông góc với đường thẳng ∆: x - 8y + 2017 = 0 Hiển thị đáp án Ta có y'= -4x3 - 4x. Gọi tọa độ tiếp điểm là M(x0, y0) Phương trình ∆:x - 8y + 2017 = 0 hay ∆: y = 1/8 x + 2017/8

với đường thẳng có phương trình d:y = 1/8 x + 2017/8 Vì tiếp tuyếnn vuông góc vớ nên ta có y'(x0 ) = -8 hay -4x03 - 4x0 = -8 ⇔ x0 = 1

Với Khi đó phương trình tiếp tuyế tuyến cần tìm là y = -8(x - 1) + 0 = -8x + 8 (thỏa mãn). Câu 9: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 1/3 x3 + 1/2 x2 - 2x + 1 thẳng d:x + 3y - 1 = 0 một góc 450. và tiếp tuyến tạo với đường th Hiển thị đáp án Gọi tọa độ tiếp điểm là M(x0, y0). Có y' = x2 + x - 2

ẳng d: x + 3y - 1 = 0 ⇔ y = -1/3 x + 1/3 Phương trình đường thẳng thẳng d: x + 3y - 1 = 0 một góc 450 nên ta có Vì tiếp tuyến tạo với đường th

Với

tuy cần tìm . Phương trình tiếp tuyến là:

tuy cần tìm . Phương trình tiếp tuyến là:

Với x0 = 0 ⇒ y(x0 )= 1. Phương ương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = -2(x - 0) + 1 = -2x + 1

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: x0 = -1 ⇒ y(x0 ) = 19/6. Phươ y = -2(x + 1) + 19/6 = -2x + 7/6 Vậy là:

các

phương

trình

tiếp

tuyến n ;

cần c

tìm

y = -2x + 1; y = -2x + 7/6 Trắc nghiệm viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

p tuyến tuyế của (C) tại Câu 1: Cho hàm số y= (2x - 1)/(x + 1), viết phương trình tiếp điểm có hoành độ bằng 2 là: A. y = (-1/3)x + 5/3 B. y = (-1/2)x + 2 C. y = (1/3)x + 1/3 D. y = (1/2)x Hiển thị đáp án Đáp án : C Giải thích : Ta có y' = 3/(x + 1)2 ; y'(2) = 1/3; y(2) = 1

ủa đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 2 là: Phương trình tiếp tuyến của

tuyến với đồ thị hàm số y = √(x + 2) tại ạ điểm điể có tung độ Câu 2: Phương trình tiếp tuy bằng 2 là: A. x + 4y - 3 = 0

B. 4x + y + 1 = 0

C. x - 4y + 6 = 0

D. x - 4y + 2 = 0

Hiển thị đáp án Đáp án : C Giải thích : Gọi tọa độ tiếp điểm là M(xo, yo). Có √(xo + 2) = 2 ⇔ xo = 2

Có y' = 1/(2√(x + 2)) ; y'(0) = 1/4. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là : y = (1/4)(x-2) + 2 = (1/4)x + 3/2 hay x - 4y + 6 = 0.

tuyến của đồ thị hàm số y= (x + 3)/(1 - x) biết tiếp tuyến Câu 3: Phương trình tiếp tuy có hệ số góc bằng 4

th đáp án Hiển thị Đáp án : D Giải thích : Gọi tọa độ tiếp điểm là M(xo, yo). Có y' = 4/(1 - x)2 nên 4/(1 - xo)2 = 4

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 4(x - 0)+ 3 = 4x + Với xo = 0 ⇒ y(xo) = 3. Phươ 3 Với xo = 2 ⇒ y(xo) = -5. Phươ Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 4(x - 2)- 5 = 4x 13

ươ trình tiếp Câu 4: Cho hàm số y = (-2x + 3)/(x - 1) có đồ thị (C). Viết phương điểm của (C) và đường thẳng y = x - 3 tuyến của (C) tạii các giao điể A. y = -x - 3; y= -x + 1

C. y = x - 3; y = -x + 1

B. y = -x - 3; y= x + 1

D. y = x + 3; y = -x + 1

Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích :

Có y' = (-1)/(x - 1)2 Phương trình hoành độ giao đđiểm của (C) và đường thẳng y = x - 3 là:

Phương trình cần tìm là y = -x - 3 Với x = 0; y = -3; y'(0) = -1. Ph Phương trình cần tìm là y = -x + 1 Với x = 2; y = -1; y'(2) = -1. Ph tuyến của đường cong (C): y = x3 - 4 đi qua điểm A(2; Câu 5: Phương trình tiếp tuy 4) là: A. y = 2x + 1; y = 12x

B. y = 4x - 1; y = 9x + 3

C. y = x - 1; y = 3x + 2

D. y = 3x - 2; y = 12x - 20

Hiển thị đáp án Câu 6: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 + 1 vuông góc với đường thẳng x - 3y = 0 có phương trình là: A. y = -3x + 2 C. y = 3x + 4

B. y = -3x - 2

D. y = 3x + 2

Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích : Đường thẳng x - 3y = 0 hay y = 1/3x. Có y' = 3x2 - 6x

ới đường thẳng x - 3y = 0 nên 3xo2 -6xo = -3 ⇔ xo = 1 Vì tiếp tuyến vuông góc với Với xo = 1; y(1) = -1; y'(1) = -3. Phương trình cần tìm là: y = -3(x - 1) - 1 = -3x + 2

ại giao điểm của Câu 7: Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 1 (C). Ba tiếp tuyến của (C) tại ng d:y = x - 2 có tổng hệ số góc là: (C) và đường thẳng A. 12

B. 14

C. 15

D. 16

Hiển thị đáp án Đáp án : C Giải thích : Ta có y^'=3x2 -6x

Phương trình hoành độ giao đđiểm x3 - 3x2 + 1 = x - 2 Tổng y'(-1) + y'(1) + y'(1) = 9 + 9 - 3 = 15.

tuyến của đồ thị hàm số y = -x3 + 2x2 song song với Câu 8: Có bao nhiêu tiếp tuy đường thẳng y = x A. 2

B. 1

C. 3

D. 4

Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích : Ta có y^'=-3x2 +4x

Tiếp tuyến song song với đường thẳng y=x nên y'(xo) = 1

ương trình tiếp tuyến cần tìm là y = x (loại) Với xo = 1; y(1) = 1. Phương Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = x - 4/27 (thỏa Với xo = 1/3; y(1) = 5/27. Ph mãn) Câu 9: Cho hàm số y = -x3 + 6x2 + 3x + 3 có đồ thị (C). Trong các tiếp ti tuyến của lớn nhất có phương trình là: (C), tiếp tuyến có hệ số góc lớ A. y = 15x + 55 C. y = 15x - 5

B. y = -15x - 5 D. y = -15x + 55

Hiển thị đáp án Đáp án : C Giải thích : Ta có y' = -3x2 + 12x + 3 = -3(x2 - 4x - 1) = -3[(x - 2)2 - 5] ≤ 15

Dấu bằng xảy ra khi x = 2, khi đó ó y = 25 Hệ số góc lớn nhất là y' = 15. D ần tìm là: y = 15(x - 2) + 25 = 15x - 5 Phương trình tiếp tuyến cần ủa đồ thị (C) tại Câu 10: Cho hàm số y = -x3 + 3x - 2 có đồ thị (C). Tiếp tuyến của ục hoành có phương trình là: giao điểm của (C) với trục

A. y = -9x - 18

C. y = -9x + 18 Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích : Ta có y^'=-3x2 + 3

Phương trình hoành độ giao đđiểm -x3 +3x-2=0 ⇔ Với x = -2; y(2) = 0; y'(2) = -9. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = -9x - 18

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 0 Với x = 1; y(2) = 0; y'(2) = 0. Ph tuyến của đồ thị hàm số (C):y = (-1/4)x4 + 3x2 - 2 tại Câu 11: Phương trình tiếp tuy ới trụ trục tung là: giao điểm M của (C) với

B. y = 2

C. y = -2 Hiển thị đáp án Đáp án : C Giải thích :

m M(0; 2) Với x = 0, y = -2. Điểm

Ta có y' = -x3 + 6x; y'(0) = 0 Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(0; 2) là: y = -2 Câu 12: Tiếp tuyến tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = (1/3)x3-2x2 + 3x - 5 A. Song song với đường thẳng x=1 B. Song song với trục hoành C. Có hệ số góc dương D. Có hệ số góc bằng -1 Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích : Ta có y' = x2 - 4x + 3 Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y= (1/3)x3 - 2x2 + 3x - 5 là: (0; -5) Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = -5 Câu 13: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C):y = (2x - 1)/(x + 1) đi qua điểm A(-1; 4) có phương trình là: A. y = (1/3)x + 13/3 B. y = (1/3)x + 1/3 C. y = (1/3)x + 4 D. Không tồn tại tiếp tuyến Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích : ĐKXĐ x ≠ -1. Ta có y' = 3/(x + 1)2 . Gọi M(xo,yo) là tọa độ tiếp điểm

ủa (C) ttại điểm M có dạng: Phương trình tiếp tuyến của

m A(-1; 4) nên ta có: Vì tiếp tuyến đi qua điểm

Với xo=2 thì

ần tìm là y = (1/3)(x - 2) + 1 = (1/3)x + 1/3 Phương trình tiếp tuyến cần ti tuyến của Câu 14: Cho hàm số y = x3 - x2 + 2x + 5 có đồ thị (C). Trong các tiếp nhỏ nhất, thì hệ số góc của tiếp tuyến đó là: (C), tiếp tuyến có hệ số góc nh A. 1/3

B. 2/3

C. 4/3

D. 5/3

Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích : Ta có y' = 3x2 - 2x + 2 = 3(x2 -2/3x + 2/3) = 3[(x - 1/3)2 + 5/9] ≥ 5/3

ạo với vớ trục hoành Câu 15: Cho hàm số (C):y = ((√3x)/(x - 1). Tiếp tuyến của (C) tạo o ương trình là: một góc bằng 60 có phương

Hiển thị đáp án Đáp án : C Giải thích : ĐKXĐ x ≠ 1. Ta có y' = (-√3)/(x - 1)2 . Vì tiếp tuyến của (C) tạo ạo với vớ trục hoành

một góc bằng 60o nên |y'(xo)| = tan 60o = √3 Với y'(xo) = √3 ⇒ (-√3)/(xo- 1)2 = √3 ⇒ (xo-1)2 = -1 (loại) Với y'(xo) = -√3 ⇒ (-√3)/(xo- 1)2 = -√3 ⇒ (xo-1)2 = 1

xo = 0; y'(0) = -√3; y(0) = 0. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = -√3x xo = 2; y'(0) = -√3; y(2) = 2√3. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = -√3x + 4√3

Dạng 2: Các bài toán về tiếp tuyến của hàm số A. Phương pháp giải & Ví dụ Ví dụ 1: Cho hàm số y = x4 + (1/2)mx2 + m - 1 có đồ thị (C). Biết tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng -1 vuông góc với đường thẳng có phương trình x 3y + 1 = 0. Tìm m. Hướng dẫn giải: - Ta có y' = 4x3 + mx - Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ là -1 là y'(-1)=-4 - m - Hệ số góc của đường thẳng x - 3y + 1 = 0 hay y = (1/3)x + 1/3 là 1/3 - Vì tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng -1 vuông góc với đường thẳng có phương trình x - 3y + 1 = 0 nên (-4 - m).(1/3) = -1 ⇔ -4 - m = 3 ⇔ m = -1 Ví dụ 2: Cho y = (3 - 2x)/(x + 1) (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua hai điểm A(-7;6) và B(-3;10). Hướng dẫn giải: Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ xo (xo ≠ -1) là: ∆: y = y' (xo )(x - xo ) + y(xo ) ⇒ ∆:y = - 5/(xo + 1)2 (x - xo ) + (3 - 2xo )/(xo + 1) ⇒ ∆: 5x + (xo + 1)2 y + 2xo2 - 6xo - 3 = 0 Vì ∆ cách đều các điểm A và B nênc d(A; ∆) = d(B; ∆)

đều A và B là y = (-5/4)x + 7/4 và y = -5x - 17 Vậy các tiếp tuyếnn cách đề ng y = 1 tại t ba điểm Ví dụ 3: Tìm m để (Cm): y = x3 + 3x2 + mx + 1 cắt đường thẳng tiếp tuyến với (Cm) tại D và E vuông góc với phân biệtt C(0; 1), D, E sao cho các ti nhau. Hướng dẫn giải: Phương trình hoành độ giao điểm x3 + 3x2 + mx + 1 = 1 ⇔ x3 + 3x2 + mx = 0

⇔ x(x2 + 3x + m) = 0 ⇔

ểm phân biệt bi C(0; Để (Cm): y = x3 + 3x2 + mx + 1 cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm 1), D, E thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt khác 0

mcủa phương trình (*) khi đó tọa độ của D và E lần lượt có Gọi x1, x2là hai nghiệmcủa dạng D(x1; 1); E(x2; 1) thỏa mãn hệ thức Vi ét Ta có y' = 3x2 + 6x + m Vì các tiếp tuyến với (Cm) tại D và E vuông góc với nhau nên ta có: y'(x1 ).y'(x2)=-1⇔ (3x12 + 6x1 + m)(3x22 + 6x2 + m) = -1 ⇔ 9(x1 x2)2 + 18x1x2(x1 + x2) + 3m[(x1 + x2)2 - 2x1x2] + 36x1x2 + 6m(x1 + x2) + m2 = -1 ⇔ 9m2 -54m + 3m(9 - 2m) + 36m - 18m + m2 = -1

⇔ 4m2 -9m + 1 = 0 ⇔ Vậy giá trị của tham sốố m ccần tìm là m = (9 + √65)/8 và m = (9 - √65)/8 B. Bài tập vận dụng

p tuyến tuyế đi qua điểm Bài 1: Cho hàm số y = 4x2 + 3mx + 6 (C). Tìm m để (C) có tiếp A(1; -2). ếp tuyến tuy tại điểm Bài 2: Cho hàm số y = 3x3 + 3mx2 + (2m + 1)x + 1. Tìm m để tiếp điểm A(2; 2). có hoành độ x = 1 đi qua điể ủa tiếp ti tuyến có Bài 3: Cho y = (1/3)x3 - mx2 - x + m - 1 (C). Tìm m để hệ số góc của ến đó. hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị là -10. Viết phương trình các tiếp tuyến

ộc (Cm) có hoành Bài 4: Cho y = (1/3)x3 - m/2 x2 + (1/3)(Cm). Gọi M là điểm thuộc ếp tuy tuyến tại M của (Cm) song song với đường thẳng th d: 5x độ bằng -1. Tìm m để tiếp y = 0. Bài 5: Cho y = mx4 + (3m + 1/24)x2 + 2 (Cm). Gọi A và B lần lượt là các điểm có hoành độ bằng -1 và 2 của (Cm). Tìm m để các tiếp tuyến củaa (Cm) tại A và B vuông góc với nhau.

n của (C) biết bi tiếp Bài 6: Cho y = (1 - x)/(2x + 1) (C). Viết phương trình tiếp tuyến khoảng bằng 3/√10. tuyến cách I(-1/2; -1/2) một kho p xúc với đường thẳng Bài 7: Tìm m để (Cm):y = x3 /3 - 1/2(m + 2)x2 + 2mx + 1 tiếp y=1 Bài 8: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = x3 - 6x2 + 9x - 2 tại điểm m cực tr trị của (C) tạo thành tam giác có diện tích bằng b 6. M, biết M cùng hai điểm Chủ đề: Tương giao của đồ thị hàm số

nh biết) 30 Bài tập Sự tương giao của đồ thị hàm số có giải chi tiết (mức độ nhận thị hàm số Bài 1. Tiếp tuyến của đồ th phương trình là: A. y = -2x - 2 C. y = x -1

B. y = -4x + 12 D. y = -2x + 2

Hiển thị đáp án Đáp án: B Tập xác định: D = R\ {1}.

Đạo hàm : Suy ra: y’(2) = - 4 và y(2) = 4.

tại điểm có hoành độ x0 = 2 có

Do đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ x0 = 2 là: y = -4(x – 2) + 4 hay y = - 4x+ 12 Bài 2. Cho hàm số y = x3 + x2- 6x+ 1. Phương trình tiếp tuyến tại điểm A(0; 1) A. y = -2x+ 1

B. y = 2x+ 1

C. y = - 6x+ 1

D.y = 3x+ 1

Hiển thị đáp án Đáp án: C Hàm số đã cho liên tục và xác định trên R. Đạo hàm: y’ = 3x2 + 2x- 6 Ta có: y’(0) = - 6 nên phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm A(0; 1) là: y = - 6(x- 0) + 1 hay y = - 6x + 1 Bài 3. Cho hàm số y = 2x2 + 4x+ 1. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ -1 có phương trình là A. y = x+ 1

B.y = x

C. y = 1

D. y = -1

Hiển thị đáp án Đáp án: D Hàm số đã cho liên tục và xác định trên R . Đạo hàm: y’ = 4x+ 4. Với y = -1 ta có: 2x2 + 4x+ 1 = - 1 ⇔ x = -1. Bài toán trở thành viết phương trình tiếp tuyến tại điểm A(- 1; -1) Ta có y’(-1) = 0. Do đó, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 0 (x+1) – 1 hay y = - 1

ủa hàm số y = x3 + 6x2 – 12x+ 1. Viết phương ươ trình tiếp Bài 4. Cho đồ thị (C) của ại đđiểm uốn. tuyến của đồ thị hàm số tại A. y = - 24 x- 7

B. y = 10 x+ 2

C. y = 24 x + 1

D. Đáp áp án khác

Hiển thị đáp án Đáp án: A Hàm số đã cho liên tục và xác định trên R. Ta có: y’ = 3x2 + 12x – 12 và y” = 6x+ 12. Xét phương trình: y” = 0 ⇔ x = - 2 ⇒ y (-2) = 41 và y’(-2) = - 24.

tuy tại điểm Do đó điểm uốn của đồ thị hàm số là I(- 2; 41). Phương trình tiếp tuyến uốn là : y = - 24(x+ 2) + 41 hay y = -24x – 7

Bài 5. Cho đồ thị của hàm số (C) m có hoành độ x = 1. đồ thị hàm số tại điểm

. Viết phương trình tiếp tuyến của

Hiển thị đáp án Đáp án: A + Tập xác định: D = R\ { -2}.

tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm m có hoành độ 1 là Do đó, phương trình tiếp tuyế :

Bài 6. Tiếp tuyến tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số có phương trình là: A. y = 1

B. y = 0

C. y = x+ 1

D. y = x - 1

Hiển thị đáp án Đáp án: A + Hàm số đã cho xác định và liên tục trên R. + Đạo hàm y’ = x2 - 4x + 3.

ểu tạ tại điểm x = 3. Do đó, hàm số đạt cực tiểu tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm ểm có hoành độ x + ta viết phương trình tiếp tuy = 3. Ta có: (3) = 1 và y’(3) = 0.

tuyến tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là : Do đó phương trình tiếpp tuyế y = 0. (x- 3) +1 hay y = 1.

tuy tại giao Bài 7. Cho hàm số có đồ thị là (H). Phương trình tiếp tuyến điểm của (H) với trục hoành là: A. y = - x + 1

B. y = - x+ 2

C. y = - 2x + 4

D. y = x - 2

Hiển thị đáp án Đáp án: B Trực hoành có phương trình là y = 0.

ủa (H) và trục hoành là: Phương trình giao điểm của

⇒ y(2) = 0. Vậy giao điểm của đồ thị hàm số (H) và trục hoành là I(2; 0)

Đạo hàm:

ại giao điểm I của ( H) và trục hoành là: Phương trình tiếp tuyến tại y = -1. (x- 2) + 0 hay y = - x + 2. Bài 8. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thì hàm số thị hàm số với trục tung bằng. A. -2

B. 2

C. 6

Hiển thị đáp án Đáp án: C

D. 3

tại giao điểm của đồ

Tập xác định: D = R\ {- 1}. Điểm A(x; y) là giao điểm ccủa đồ thị hàm số và trục tung thỏaa mãn hệ phương trình:

Suy ra; hệ số góc của tiếp ếp tuy tuyến của đồ thị hàm số đã cho tạii giao điểm điể của đồ thị hàm số với trục tung là k = y’(0) = 6

tuyến của đồ thị hàm số Bài 9. Phương trình tiếp tuy góc k = 3 là

Hiển thị đáp án Đáp án: B Hàm số đã cho xác định và liên tục trên R. Đạo hàm: y’ = x2 – 2x+ 3

Xét phương trình: x2 – 2x+ 3 = 3 (= k) + Với x = 0, y(0) = 1 và y’(0) = 3.

tuyến tại điểm (0; 1) là: Do đó, phương trình tiếpp tuyế

có hệ số

Y = 3(x- 0)+1 hay y = 3x+ 1

+ Với x = 2, y(2) =

và y’(2) = 3.

tuyến tại điểm Do đó, phương trình tiếpp tuyế

là:

Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn là:

Bài 10. Hệ số góc của tiếp ếp tuy tuyến của đồ thị hàm số hoành độ x0 = 1 bằng: A. -2

B. 2

C. 0

tại điểm có

D. Đáp số khác

Hiển thị đáp án Đáp án: B Đạo hàm y’ = x3 + x. Ta có y(1) = 2 và y’(1) = 2.

ếp tuy tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = 1 là: Do đó, hệ số góc của tiếp k = y’(1) = 2

Bài 11. Có mấy tiếp tuyến ến củ của đồ thi hàm số A. 2

B. 1

C. 0

Hiển thị đáp án Đáp án: A

D. 3

có hệ số góc k = - 5?

Đạo hàm: y’ = x2 + 6x

Xét phương trình x2 + 6x = -5

+ Với x = 1, y(1) =

; y’(1) = k = - 5.

tuyến tại điểm có hoành độ x = 1 là: Do đó, phương trình tiếpp tuyế

tuyến tại điểm có hoành độ x = 5 là: Do đó, phương trình tiếpp tuyế

ỏa mãn. Vậy có hai tiếp tuyến thỏa

ng cong (C): Bài 12. Cho đường độ x0 = -1 có hệ số góc là: A. k = 0

B. k = - 1

C. k = 1

đ có hoành , tiếp tuyến với (C) tại điểm

D. k = 2

Hiển thị đáp án Đáp án: A Ta có đạo hàm:

Suy ra, hệ số góc của tiếp ếp tuy tuyến tại điểm có hoành độ x0 = - 1 là: k = y’(-1) = 0.

n tại điểm đ M(x; y) Bài 13. Cho hàm số y = -x2 - 4x+3 có đồ thị (P). Nếu tiếp tuyến ng 8 thì x+ y bằng của (P) có hệ số góc bằng A. 12

B. 10

C. -15

D. 15

Hiển thị đáp án Đáp án: C Đạo hàm: y’ = -2x – 4 Do tiếp tuyến tại điểm m M củ của (P) có hệ số góc bằng 8 nên : -2x - 4 = 8 ⇔ x = - 6 Mà điểm M thuộc đồ thịị (P) nên y = - (-6)2- 4. (-6)+ 3 = - 9. Vậy tọa độ điểm M(- 6; - 9) nên x+ y = - 15.

có đồ thị là (C). Viết phương ng trình tiếp tuyến Bài 14. Cho hàm số m củ của (C) và đường thẳng y = x- 3. của (C) tại các giao điểm A. y = - x - 3 và y = - x+ 1 B. y = x - 3 và y = - x+ 1 C. y = -x + 3 và y = - x+ 1 D. y = -x - 3 và y = x+ 1 Hiển thị đáp án Đáp án: A Phương trình hoành độ giao đđiểm của (C) với đường thẳng y = x- 3 là:

• Với x = 0 ta có y(0) = - 3 và y’(0) = -1

ến ttại điểm có hoành độ x = 0 là: Nên phương trình tiếp tuyến y = -1(x – 0)+ (-3) hay y = - x- 3. • Với x = 2 ta có y(2) = -1 và y’(2) = – 1

ến ttại điểm có hoành độ x = 2 là: Nên phương trình tiếp tuyến y = - 1(x- 2) + (-1) hay y = - x+ 1 Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn là y = - x- 3 và y = - x+ 1.

ng trình tiếp tuyến Bài 15. Cho hàm số y = x3 – 3x2 +1 có đồ thị là (C). Viết phương của (C), biết tiếp tuyếnn song song vvới đường thẳng (d): y = 9x+ 5. A. y = 9x + 1

B. y = 9x+ 6

C. y = 9x - 10

D. y = 9x - 2

Hiển thị đáp án Đáp án: B Đạo hàm: y’ = 3x2 – 6x .

ng d: y = 9x+ 5 có hhệ số góc kd = 9. Đường thẳng Do tiếp tuyến ∆⫽ d nên k∆ = kd = 9.

Xét phương trịnh: 3x2 – 6x = 9

p tuyến tuyế tại điểm có + Với x = 3 thì y(3) = 1 và y’(3) = 9. Nên phương trình tiếp hoành độ x = 3 là: y = 9(x- 3) + 1 hay y = 9x – 26.

p tuyến tuyế tại điểm có + Với x = - 1 thì y(-1) = - 3 và y’(-1) = 9. Nên phương trình tiếp hoành độ x = - là: y = 9(x+ 1) + (-3) hay y = 9x + 6. Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn là y = 9x – 26 và y = 9x+ 6 .

ng cong (C): Bài 16. Cho đường tại điểm M(0; -1) là: A. y = x - 1 C. y = -2x -1

tuy với (C) . Phương trình tiếp tuyến

B. y = 2x + 1 D. y = 2x- 1

Hiển thị đáp án Đáp án: D

Đạo hàm: Suy ra; y’(0) = 2.

ại đđiểm M(0; -1) là: Phương trình tiếp tuyến tại y = 2(x- 0)+ (-1) hay y = 2x - 1.

ằng tiếp ti tuyến đi Bài 17. Lập phương trình tiếp tuyến của (C): y = x3 – 3x+ 2 biết rằng qua A(2; -4) A. y = 3x+ 2 và y = 3x- 10 B. y = 2x+ 1 và y = 3x – 10

C. y = 3x+ 2 và y = 24x – 52 D. Một đáp án khác Hiển thị đáp án Đáp án: C Đạo hàm: y’ = 3x2 -3. Phương trình tiếp tuyến tại ại đđiểm M(x0; y0) thuộc đồ thị hàm số ( là:

)

ểm A (2; -4) nên thay tọa độ điểm A vào phương phươ trình tiếp Do tiếp tuyến đi qua điểm tuyến ta được:

+ Với x0 = 0 thì phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = -3.x + 2 + Với x0 = 3 thì phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 24 x – 52. Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn là y = - 3x+ 2 và y = 24x+ 52. Bài 18. Cho hàm số có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyếnn vuông góc vvới đường thẳng d: y = - x+ 10. A. y = x + 1 và y = x + 7 B. y = x - 1 và y = x + 7 C. y = x + 1 và y = x - 7 D. y = x + 1 và y = x - 7 Hiển thị đáp án

Đáp án: B Tập xác định : D = R\ {-2}. 2}.

Đạo hàm: Do tiếp tuyến củaa (C) vuông góc vvới đường thẳng d nên ta có: ktt. kd = - 1 nên ktt = 1 Suy ra:

* Với x = 0 ta có y(0) = - 1 nên ph phương trình tiếp tuyến tại điểm (0; -1) là : y = 1.(x - 0) + (-1) hay y = x – 1.

phương trình tiếp tuyến tại điểm (- 4; 3) là: * Với x = - 4 ta có y(-4) = 3 nên ph y = 1(x+ 4) + 3 hay y = x + 7. Bài 19. Cho hàm số thị hàm số có pt:

. Tiếp tuyến tại tâm đối xứ x ng của đồ

Hiển thị đáp án Đáp án: A Đạo hàm: y’ = x2 – 4x+ 3; y” = 2x- 4.

Xét phương trình: y’’ = 2x – 4 = 0 ⇔ x = 2 ⇒ y(2) =

Vậy tâm đối xứng của hàm số đã cho là

tuyến tại điểm I: Ta viết phương trình tiếp tuyế ương trình tiếp tuyến tại điểm I là: Ta có: y’(2) = - 1 nên phương

Bài 20. Tìm phương trình tiếp tuyến của (P): y = x2 – 2x + 2 song song với (d): y = 4x là ? A. y = 4x + 7

B. y = 4x+ 10

C. y = 4x+ 2

D. y = 4x- 7

Hiển thị đáp án Đáp án: D Đạo hàm y’ = 2x – 2. Do tiếp tuyến cần tìm song song với đường thẳng (d): y = 4x nên : ktt = kd = 4 Suy ra: 2x- 2 = 4 ⇔ x = 3.

Khi đó, ó, y(3) = 5 và y’(3) = 4. Do đó, phương trình tiếp tuyến tại điểm (3; 5) là: y = 4 (x– 3) + 5 hay y = 4x – 7 Bài 21. Cho (H): 2x + y - 9 = 0 là A. y = - 2x +1 ; y = - 2x- 1

các tiếp tuyến của (H) song song với đường ờ thẳng (d):

B. y = 2x+ 1, y = 2x- 1 C. y = - 2x – 1; y = - 2x + 7 D. y = -2x + 2; y = -2x -7 Hiển thị đáp án Đáp án: C Ta có: 2x+ y – 9 = 0 ⇔ y = - 2x+ 9 có hệ số góc k = - 2.

Đạo hàm : Do tiếp tuyến cần tìm song song với đường thẳng (d): 2x+ y- 9 = 0 nên ta có: ktt = kd = - 2

+ Với x = 0 thì y(0) = -1 nên ph phương trình tiếp tuyến tại điểm (0; -1) là; y = -2(x- 0) – 1 hay y = - 2x- 1 + Với x = 2 thì y(2) = 3 nên phương trình tiếp tuyến tại điểm (2; 3) là; y = -2(x- 2) + 3 hay y = - 2x + 7. Bài 22. Tìm M trên (H): = x+2007 ? A. (1; -1) hoặc(2;- 3) C. (5;3) hoặc (1;- 1) Hiển thị đáp án Đáp án: C

v (d): y sao cho tiếp tuyến tạii M vuông góc với

B. (5;3) hoặc (2;- 3) D. (1;- 1) hoặc (4;5)

Đạo hàm: Đường thẳng d có hệ sốố góc là kd = 1. Do tiếp tuyến tạii M vuông góc vvới đường thẳng d nên ta có: ktt . kd = - 1 nên ktt = - 1. Xét phương trình :

Với x = 5 ⇒ y = 3. Với x = 1 ⇒ y = -1 . Vậy có 2 điểm thỏa mãn là (5; 3) và (1; -1) . Bài 23. Cho (H):

. Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A. (H) có tiếp tuyếnn song song vvới trục tung B. (H) có tiếp tuyếnn song song vvới trục hoành

ến củ của (H) có hệ số góc âm C. Không tồn tại tiếp tuyến ến ccủa (H) có hệ số góc dương D. Không tồn tại tiếp tuyến Hiển thị đáp án Đáp án: D Tập xác định: D = R\ {1}.

Đạo hàm:

ếp tuy tuyến của (H) có hệ số góc dương. Suy ra, không tồn tại tiếp Bài 24. Cho đồ thị hàm số y = x3 – 2x2 + 2x (C). Gọi x1, x2 là hoành độ các điểm tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường ng thẳng thẳ (d): y = M, N trên (C), mà tại đóó tiế x- 2019. Khi đó x1 + x2 là:

Hiển thị đáp án Đáp án: A Đạo hàm: y’ = 3x2 – 4x+ 2. Do tiếp tuyếnn vuông góc với đường thẳng (d): y = - x - 2019 nên : ktt. kd = - 1 ⇒ ktt = 1.

Xét phương trình: 3x2 – 4x +2 = 1

Vậy hai điểm M và N cần tìm có hoành độ là 1 và

Bài 25. Cho hàm số có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của ếp tuy tuyến đó là số nguyên lớn nhất? (C), biết hệ số góc của tiếp A. y = - x+ 1 và y = - x – 3 B. y = -x+ 1 và y = - x+ 5. C. y = -x+ 2 và y = - x – 4

D. Đáp án khác Hiển thị đáp án Đáp án: B Tập xác định :D = R\ {1}.

Đạo hàm : ⇒ Hệ số góc cần tìm là k = - 1. Xét phương trình

• Với x = 0 thì y(0) = 1 và y’(0) = -1 nên phương trình tiếp tuyến cần ần tìm là: y = - 1. (x-0) + 1 hay y = - x+ 1 • Với x = 2 thì y(2) = 3; y’(2) = -1 nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = - 1 (x- 2) + 3 hay y = - x+ 5

ỏa mãn là y = - x+ 1 và y = -x+ 5 . Vậy có hai tiếp tuyến thỏa Bài 26. Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 10 (C). Đường thẳng nào sau đây là tiếp tuyến nhất: của (C) và có hệ số góc nhỏ nh A. y = - x + 3

B. y = 3x + 2

C. y = 3x + 1

D. y = -3x + 11

Hiển thị đáp án Đáp án: D Đạo hàm: y’ = 3x2 – 6x = 3(x-1)2 – 3 ≥ 3 ∀ x

ến củ của (C) thì tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ ỏ nhất nhấ là – 3. Do đó, trong các tiếp tuyến Khi đó, x – 1 = 0 hay x = 1. Ta có y(1) = 8.

ần tìm là Phương trình tiếp tuyến cần y = - 3.(x- 1)+ 8 hay y = - 3x+ 11

ủa (C): Bài 27. Biết tiếp tuyến của thì hoành độ tiếp điểm là ? A. 5 và -2

B. 4 và - 1

C. 5 và -1

D. Đáp áp án khác

vuông góc vớii (d):

Hiển thị đáp án Đáp án: C Đạo hàm:

Đường thẳng (d):

có hệ số góc là

Do tiếp tuyến của đồ thịị (C) vuông góc vvới (d) nên Xét phương trình :

đ ểm th thỏa mãn là 5 và – 1. Vậy hoành độ hai tiếp điểm

. Gọi A là điểm thuộc đồ thị hàm số có Bài 28. Cho (Cm): tiếp tuyến tại A song song vớii (d): y = 3x + 10 ? hoành độ là -1. Tìm m để tiế A. m = 1

B. m = 2

C. m = - 2

D. m = - 1

Hiển thị đáp án Đáp án: A Đạo hàm : y’ = x2 – 2mx ⇒ y’(-1) = 1 +2m.

ng d: y = 3x+ 10 có hhệ số góc k = 3. Đường thẳng Theo giả thiếtt ta có: 1+ 2m = 3 ⇔ m = 1. Bài 29. Đường thẳng y = 3x+ m là tiếp tuyến của đường cong y = x3 + 2 khi m bằng A. 1 hoặc -1

B. 4 hoặc 0

C. 2 hoặc -2

D. 3 hoặc -3

Hiển thị đáp án Đáp án: B Đạo hàm y’ = 3x2.

ng (d): y = 3x+ m có hhệ số góc k = 3. Đường thẳng Do đường thẳng d là tiếp tuyến của đường cong nên ta có:

3x2 = 3 ⇒ x = ±1 + Với x = 1, ta có y(1) = 3 và y’(1) = 3. Phương trình tiếp tuyến tại điểm (1; 3) là : y = 3(x- 1)+ 3 hay y = 3x . Đối chiếu với đường thẳng (d) suy ra m = 0. + Với x = - 1, ta có y(-1) = 1; y’(-1) = 3. Phương trình tiếp tuyến tại điểm (-1; 1) là: y = 3(x+ 1) +1 hay y = 3x + 4 . Đối chiếu với phương trình đường thẳng (d) suy ra m = 4. Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn là m = 0 hoặc m = 4. Bài 30. Cho hàm số y = x3 – 3x+ 2 (C). Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đó đi qua M(1; -5). A. y = 9x- 14 C. y = 3x- 8

B. y = 6x- 11 D. y = -8x+3

Hiển thị đáp án Đáp án: A Lấy điểm A(a, a3 – 3a+2) thuộc đồ thị hàm số (C). Đạo hàm y’ = 3x2 – 3 nên y’(a) = 3.a2 – 3. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A là: y = (3.a2 – 3). (x- a)+ a3 – 3a +2. Do tiếp tuyến này đi qua điểm M (1; - 5) nên ta có: - 5 = (3.a2 – 3). (1-a) + a3 – 3.a + 2

⇔ - 5 = 3.a2 – 3.a3 - 3 + 3.a + a3 – 3.a + 2 ⇔ -2.a3 + 3.a2 + 4 = 0 ⇔ a = 2.

tuyến cần tìm là: y = 9x- 14. Khi đó. Phương trình tiếp tuy vậ dụng) 30 Bài tập Sự tương giao của đồ thị hàm số có giải chi tiết (mức độ vận ng d: y = x + m cắt cắ đồ thị hàm Bài 1. Tìm giá trị thực của tham ssố m để đường thẳng điểm phân biệtt A; B sao cho tam giác OAB vuông tại t O, số (C) tại hai điể với O là gốc tọa độ.

Hiển thị đáp án Đáp án: A Phương trình hoành độ giao đđiểm của đồ thị hàm số (C) và đường ng thẳng thẳ d:

⇔ 2x- 1 = (x + m). (x- 1) ⇔ x2 + (m-3).x + 1- m = 0 (*)

m phân bi biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm Để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt Hay ∆ = (m- 3)2 – 4(1 – m) > 0 ⇔ m2 – 2m + 5 > 0 mọi m

ủa (*). Theo định lí Viet, ta có Gọi x1; x2 là hai nghiệm của Giả sử A(x1; x1 + m) và B(x2; x2 + m) . Tam giác OAB vuông tại O ⇔ x1.x2 + (x1 + m).(x2 + m) = 0 ⇔ 2x1x2 + m(x1 + x2) + m2 =0 ⇔ 2. (1 – m) + m. (3- m) + m2 =0

⇔m + 2 = 0 ⇔ m = - 2 Bài 2. Tìm giá trị thực của ủa tham ssố m để đường thẳng d: y = - 3x + m cắt đồ thị hàm số (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho trọng tâm tam giác OAB thuộc đường thẳng ∆: x- 2y- 2 = 0 với O là gốc tọa độ.

Hiển thị đáp án Đáp án: C

ng (d): Phương trình hoành độ giao đđiểm của đồ thị (C) và đường thẳng

⇔ 2x + 1 = (- 3x + m). (x- 1) ⇔ 2x + 1 = - 3x2 + 3x + mx – m ⇔ 3x2 - (1 + m)x + m + 1 = 0 (*)

m phầ phần biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm Để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt

Gọi x1; x2 là hai nghiệm của (*). Theo Viet, ta có và Giả sử A(x1; - 3x1 + m) và B(x2 ; - 3x2 + m).

ng tâm tam giác OAB là Suy ra tọa độ trọng

thực của tham số m để đường thẳng ng d: y = 2x + m cắt c Bài 3. Tìm tất cả các giá trị th (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho đồ thị hàm số với I là giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị. A. m = ±5.

B. m = 5.

C. m = - 5

,

D. m = 0

Hiển thị đáp án Đáp án: A Phương trình hoành độ giao đđiểm của đồ thị (C) và đường thẳng d là:

⇔ 2x- 4 = (2x + m). (x- 1) ⇔ 2x2 + (m – 4).x – m + 4 = 0 (*)

m phân bi biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm Để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt

Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của (*). Theo Viet, ta có và Giả sử A(x1 ; 2x1 + m) và B(x2 ; 2x2 + m). Theo giả thiết:

Bài 4. Tìm m để đồ thị các hàm số: y = x3 + 3x2 + mx + 2m và (d): y = - x + 2 cắt nhau tại ba điểm phân biệt.

thị đáp án Hiển th Đáp án: A - Ta có phương trình hoành độ giao điểm: x3 + 3x2 + mx + 2m = - x + 2

⇔ ( x + 2). (x2 + x – 1 + m) = 0

- Đặt f(x) = x2 + x – 1 + m

phươ trình f(x) - Để đồ thị các hàm số đã cho cắt nhau tại ba điểm phân biệt thì phương m phân bi biệt khác -2 hay: = 0 phải có hai nghiệm

Bài 5. Đồ thị hàm số (C): y = x3 – 3mx + m + 1 tiếp xúc với trục hoành khi: Hiển thị đáp án Đáp án: A Trục hoành có phương trình là y = 0. Đồ thị hàm số (C) tiếpp xúc vvới trục hoành khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

Từ (1) suy ra: m = x2 thay vào (2) ta được: x3- 3x2.x + x2 + 1 = 0 hay – 2x3 + x2 + 1 =0

Thay vào (1) ta được m=1. Bài 6. Cho đồ thị hàm số (C) thẳng (d) y = 2x + m khi

ếp xúc với v đường . Đồ thị hàm số (C) tiếp

Hiển thị đáp án Đáp án: C Phương trình hoành độ giao đđiểm của (C) và đường thẳng ng y = 2x + m là:

đương: 2x- 3 = 2x2 + (m- 2)x – m Xét phương trình (*), tương đươ ⇔ 2x2 + (m- 4) x- m + 3 = 0 (**)

ếp xúc vvới đường thẳng ng (d): y = 2x + m khi và chỉ khi Để đồ thị hàm số (C) tiếp phương trình (**) có nghiệm kép khác 1.

tiếp tuyến đến (C): Bài 7. Từ A (0; -2) kẻ được 2 ti Giá trị A. 8

là: B. 4

C. 6

Hiển thị đáp án Đáp án: A

D. 2

có hệ số góc là k1, k2.

Đạo hàm: y’ = x.

+ Phương trình tiếp tuyến ến tạ tại điểm M

là:

Để tiếp tuyến này đii qua A(0; -2) thì:

+ Với a=2 ta có phương trình tiếp tuyến là: y = 2x- 2.

ương trình tiếp tuyến là: y = -2x – 2. + Với a = - 2 ta có phương Từ đó,suy ra k1; k2 lần lượt là 2 và -2. Do đó,

ng cong (C): y = x4 – 4x2 + 2 và điểm A(0;a). Nếu ếu qua A kẻ k được Bài 8. Cho đường 4 tiếp tuyến với (C) thì a phải thoả mãn điều kiện:

Hiển thị đáp án Đáp án: B Đạo hàm : y’ = 4x3 – 8x.

ến ttại điểm Viết phương trình tiếp tuyến

+ Để tiếp tuyến (d) đii qua A(0; a) thì:

là:

, khi đó (*) trở thành: - 3t2 + 4t + 2- a=0 (**)

Đặt

bốn tiếp tuyến khi và chỉ khi phương ng trình (*) có 4 Để qua điểm A kẻ được bố nghiệm phân biệt ⇔ phương trình (**)có hai nghiệm dương phân biệt :

ng giá trị tr nào của m Bài 9. Cho phương trình | x3 – 3x2 + 6| - m + 3 = 0 . Với những thì phương trình trên có đúng 4 nghiệm? A. m > 9

B. 5 ≤ m ≤ 9

C. 1 ≤ m ≤ 5

D. m > 5

Hiển thị đáp án Đáp án: B - Ta có đồ thị hàm số (C): y = x3 – 3x2 + 6 và y = |x3 – 3x2 + 6 | (T)

- Ta có: | x3 -3x2 + 6| - m + 3=0 ⇔ | x3 -3x2 + 6| = m - 3 (*) - Từ đồ thị (T) ta suy ra: +) Khi m- 3 ≤ 0 hay m ≤ 3 thì phương trình (*) vô nghiệm.

m duy nhất. nh +) Khi m -3 = 0 hay m = 3 thì phương trình (*) có một nghiệm

+) Khi

+) Khi

Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt.

m phân biệt. Phương trình (*) có ba nghiệm

ệm phân biệt. bi +) Khi 2 ≤ m-3 ≤ 6 hay 5 ≤ m ≤ 9 thì phương trình (*) có bốn nghiệm nh đề sai trong các Bài 10. Cho phương trình 2.|x|3 – 9x2 + 12|x| + m = 0 . Tìm mệnh mệnh đề sau? A. Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi m > 0. B. Điều kiện cần và đủ để phương trình có đúng 1 nghiệm là m = 0 . C. Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi – 4 ≤ m ≤ 0 .

bi D. Không có giá trị nào của m để phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt. Hiển thị đáp án Đáp án: D - Ta có đồ thị (C): y = 2x3 – 9x2 + 12x – 4 và (T): y = 2.|x|3 – 9x2 + 12|x| - 4

- Ta có: 2.|x|3 – 9x2 + 12|x| + m = 0 ⇔ 2.|x|3 – 9x2 + 12|x| - 4 = - m- 4 (*) - Từ đồ thị (T), ta suy ra: +) Khi –m - 4 ≤ - 4 hay m > 0 thì phương trình (*) vô nghiệm.

m duy nhất. nh +) Khi –m - 4 = - 4 hay m = 0 thì phương trình (*) có một nghiệm

+) Khi biệt.

+) Khi

Phương trình (*) có hai nghiệm phân

ệm phân biệt. bi Phương trình (*) có bốn nghiệm

+) Khi 0 ≤ - m- 4 ≤ 1 ⇔ - 5 ≤ m ≤ -4 thì phương trình (*) có sáu nghiệm phân biệt.

m A(0; 2) có th thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với ới đồ thị (C) của Bài 11. Qua điểm 4 2 hàm số y = x – 2x + 2? A. 1

B. 2

C. 3

D. 0

Hiển thị đáp án Đáp án: C Đạo hàm: y’ = 4x3 – 4x. Phương trình tiếp tuyến tại ại đđiểm

thuộc đồ thị hàm số là

Điểm A thuộc tiếp tuyếnn (d) khi:

Ứng với 3 giá trị x0 cho ta ba tiếp tuyến thỏa mãn đầu bài.

ng cong Bài 12. Định m để đường (d): y = 2? A. m = 2 C. m = - 1

B. m = 1 D. A, C đều đúng.

Hiển thị đáp án Đáp án: D

p xúc với đường thẳng tiếp

Phương trình hoành độ giao đđiểm của đường cong và đường thẳng

Để đường cong tiếpp xúc với đường thẳng y = 2 khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm kép:

Vậy để đường cong tiếpp xúc vvới đường thẳng thì m = -1 hoặcc m = 2 .

G x1, x2 là Bài 13. Cho đồ thị hàm số y = x3 – 2x2 + 2x + 10 có đồ thị (C) . Gọi m M, N trên (C), mà tại đó tiếp tuyến ∆ củaa (C) vuông góc với v hoành độ các điểm đường thẳng (d) y = - x + 100 . Khi đó x1 + x2 bằng ?

Hiển thị đáp án Đáp án: A Đạo hàm : y’ = 3x2 – 4x + 2. Đường thẳng (d) : y = - x + 100 có hệ số góc kd = -1.

m M và N của (C) vuông góc với đường thẳng ẳng (d) nên : Do tiếp tuyến ∆ tại điểm kd. k∆ = -1 ⇒ k∆ = 1

ểm M và N là nghiệm phương trình : Suy ra ; hoành độ các điểm

Bài 14. Cho hàm số y = x + m khi

. Đồ thị hàm số (C) tiếp xúc với đường thẳng (d)

A. m = 1 ; m = 2

B. m = 1, m = - 3

C. m = -1, m = 3

D. m = 2, m = - 2

Hiển thị đáp án Đáp án: C

ếp xúc vvới đường thẳng (d) khi và chỉ khi hệ phương trình Để đồ thị hàm số (C) tiếp sau có nghiệm

Từ (2) suy ra, x = 0 hoặc ặc x = 2. + Với x = 0 thay vào (1) ta được : 3 = 0 + m ⇔ m = 3. + Với x = 2 thay vào (2) ta được : 1 = 2 + m ⇔ m = -1.

ỏa mãn là m = 3 hoăc m = -1. Vậy có 2 giá trị của m thỏa

ủa hàm số Bài 15. Cho đồ thị (C) của (C) tại điểm có tọa độ nguyên ddương ? A. y = -x + 5

. Viết phương trình tiếp tuyến của

B. y = 2x + 1 D. y = - 2x- 1

C. y = x – 3

Hiển thị đáp án Đáp án: A * Tìm điểm thuộcc (C) có tọa độ nguyên dương.

Ta có : Do đó, để y nguyên khi và chỉ khi 1 chia hết (x - 1)

Kết hợp tọa độ tiếp điểm nguyên dương ương nên x nguyên Do đó, x = 0 hoặcc x = 2. Kế dương. ⇒ chọn x = 2 ⇒ y(2) = 3.

đ ểm M(2 ; 3) * Viết phương trình tại điểm

Đạo hàm : ⇒ y’(2) = - 1.

ại đđiểm M là Phương trình tiếp tuyến tại y = - 1(x - 2) + 3 hay y = - x + 5

ng (d) : y = m + 1 Bài 16. Đồ thị hàm số (C) y = x3 – 3mx tiếp xúc với đường thẳng khi: A. m = 1

B. m = 2

C. m = -1

D. m = - 2

Hiển thị đáp án Đáp án: A Để đồ thị hàm số (C) tiếp ếp xúc vvới đường thẳng (d) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm :

Từ (2) suy ra, m = x2 thay vào (1) ta được : x3 – 3x2.x = x2 + 1 ⇔ - 2x3 – x2 – 1 = 0 ⇔ x = - 1 Với x = - 1 thì m = 1.

Bài 17. Cho đồ thị (C) của ủa hàm số . Với giá trị nào của m thì tiếp đ ểm có hoành độ bằng 2 song song với đường thẳng th y=x tuyến với đồ thị (C) tại điểm + 29? A. m = - 1

B. m = 1

C. m = 2

D.m = - 2

Hiển thị đáp án Đáp án: B Tập xác định: D = R\ {1}

Đạo hàm: Ta có: y(2) = 2m2 – 2m, y’(2) = - m2 + 2m.

ại đđiểm có hoành độ x = 2 là; Phương trình tiếp tuyến tại y = (-m2 + 2m). (x -2) + 2m2 – 2m

ẳng này song song với đường thẳng ng y=x + 29 nên : Theo giả thiết, đường thẳng - m2 + 2m = 1 ⇔ m2 – 2m + 1 = 0 ⇔ m = 1.

ủa hàm số ếp tuyến tuy với đồ thị Bài 18. Cho đồ thị (C) của . Tìm m để tiếp ng x = 2 song song với đường thẳng (C) tại giao điểm của đồ thị (C) vvới đường thẳng y – x + 99 = 0 A. m = 1

B. m = 2

C. m = - 1

D. m = - 2

Hiển thị đáp án Đáp án: A Tập xác định : D = R\ {1} . * Giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng x = 2 là điểm A(2; 2m2 -2m)

Ta có, đạo hàm ⇒ y’(2) = - m2 + 2m

ủa đồ thị hàm số tại điểm A là: Phương trình tiếp tuyến của

* Do tiếp tuyến trên song song với đường thẳng y- x + 99 = 0 ( hay y = x- 99) nên ta có: - m2 + 2m = 1 ⇔ m2 – 2m + 1=0 ⇔ m = 1.

ủa hàm số: y = x3 – (m2 + 2).x2 – 4m. Với giá trị tr nào của Bài 19. Cho đồ thị (C) của ng 2 song song với v trục m thì tiếp tuyến với đồ thị (C) ttại điểm có hoành độ bằng hoành.

Hiển thị đáp án Đáp án: B * Đạo hàm : y’ = 3x2 – 2(m2 + 2)x. Ta có: y(2) = - 4m2 – 4m và y’(2) = 4- 4m2.

ại đđiểm có hoành độ x = 2 là: Phương trình tiếp tuyến tại y = (4- 4m2). (x – 2) – 4m2 – 4m * Trục hoành có phương trình là y=0 có hệ số góc k = 1

vớ trục hoành Nên để tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ 2 song song với thì: 4- 4m2 = 0 Bài 20. Cho hàm số y = x4 – 2m2x2 + 2m + 1. Với giá trị nào của m thì tiếp tuyến m có hoành độ bằng -1 vuông góc với trụcc tung. với đồ thị (C) tại điểm

Hiển thị đáp án Đáp án: B * Đạo hàm: y’ = 4x3 – 4m2x. Suy ra: y(-1) = - 2m2 + 2m + 2; y’(-1) = 4m2 – 4.

ại đđiểm có hoành độ x = -1 là: Phương trình tiếp tuyến tại y = (4m2 -4). (x + 1) – 2m2 + 2m + m

ó song song với v trục * Do tiếp tuyếnn vuông góc vvới trục tung nên tiếp tuyến đó hoành ⇒ y’ = 4m2 – 4 = 0

ến với v đồ thị (C) Bài 21. Cho hàm số y = x4 – 2m2x2 + 2m + 1. Tìm m để tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thịị (C) vvới đường thẳng x - 1 =0 song song với đường thẳng 12 x + y + 95 = 0

Hiển thị đáp án Đáp án: B

với đường thẳng x- 1=0 là A(1; -2m2 + 2m + 2) * Giao điểm của đồ thị (C) vớ * Đạo hàm: y’ = 4x3 – 4m2x ⇒ y’(1) = 4 – 4m2.

ại đđiểm A: Phương trình tiếp tuyến tại

ng 12x + y + 95 = 0 ⇔ y = - 12 x – 95 có hệ số góc k = - 12. * Đường thẳng Nên 4- 4m2 = 12⇔ 4m2 = 16 ⇔ m2 = 4 Bài 22. Tìm điểm M nằm trên đồ thị (H): ẳng (d): y = x + 201? vuông góc với đường thẳng A. (4; 2) và (1; -1)

B. (5; 3) và (1; -1)

C. (-1; 0) và (5; 3)

D. (-1; 0) và (2; 4)

tuy tại M sao cho tiếp tuyến

Hiển thị đáp án Đáp án: B

Gọi điểm M

thuộc đồ thị hàm số (H).

Đạo hàm:

Phương trình tiếp tuyến tại ại đđiểm M là:

với đường thẳng (d): y = x + 201 nên hệ số góc của tiếp Do tiếp tuyếnn vuông góc vớ tuyến là -1

Vậy có hai điểm M thỏa mãn là M(5; 3) và M(1; -1)

. Cho hai điểm A(1; 0) và B (- 7;4). Viết Bài 23. Cho hàm số ủa (C) , bi biết tiếp tuyến đi qua điểm m trung diểm diể I của AB. phương trình tiếp tuyến của A . y = 2x + 8

B . y = - 3x- 7

C . y = - 2x - 4

D . y = 3x + 11

Hiển thị đáp án Đáp án: C

* Trung điểm I củaa AB có tọ tọa độ là:

tuyến của (C) đi qua I (- 3;2) * Viết phương trình tiếpp tuyế Gọi ∆ qua I(- 3; 2) có hệ số góc k. Khi đó, ∆ có dạng: y = k(x + 3) + 2

Điều kiện ∆ tiếp xúc (C) Giải hệ thế (2) vào (1) ta được x = - 2 ⇒ k = -2.

ến ∆: y = - 2x- 4 Vậy phương trình tiếp tuyến

úng một m tiếp tuyến Bài 24. Có bao nhiêu điểm trên đồ thị (C) mà từ đó vẽ được đúng 3 2 với (C): y = - x + 3x - 2 A. 1

B. 2

C. 0

D. 3

Hiển thị đáp án Đáp án: A - Gọi điểm A(a; - a3 + 3a2 – 2) là điểm thuộc (C).

ẳng ∆ đi qua A có phương trình - Phương trình đường thẳng ∆: y = k (x - a) – a3 + 3a2 - 2.

tuyến của (C) là hệ: - Điều kiện để ∆ là tiếpp tuyế

có nghiệm. - Thay (2) vào (1) ta được: - x3 + 3x2 – 2 = (- 3x2 + 6x).(x- a) – a3 + 3a2 – 2 ⇔ x3 – a3 – 3(x2 – a2) + (-3x2 + 6x) (x - a)=0 ⇔ (x- a).[- 2x2 + (a + 3).x + a2 – 3a] = 0 (*) Đặt f(x) = - 2x2 + (a + 3).x + a2 – 3a

một tiếp tuyến đến (C) thì phương trình f(x) hoặc vô * Để từ A kẻ đượcc duy nhất m m kép x = a. nghiệm hoặc có nghiệm ng trình f(x) =0 vô nghiệm. +) Trường hợp 1: Phương Khi đó ∆ = (a + 3)2 – 4.(-2).(a2 – 3a) ≤ 0 ⇔ 9(a- 1)2 ≤ 0 (vô lý) +) Trường hợp 2:Phương trình f(x) = 0 có nghiệm kép x = a.

ểm A(1;0) th thỏa mãn. Vậy có duy nhất một điểm ất một m tiếp tuyến Bài 25. Có bao nhiêu điểm trên trục tung mà từ đó vẽ được ít nhất với đồ thi hàm số (C): A. 1

B. 2

C. 3

D. vô số

Hiển thị đáp án Đáp án: D - Gọi A(0; a) là điểm thuộc ộc tr trục tung.

dạng (∆): y = kx + a - Đường thẳng đii qua A có dạ

- Để ∆ là tiếp tuyến củaa (C) thì hệ - Thay (2) vào (1) ta được:

⇔ a.(x2 – 4x + 4) = 4x2 – 18x + 18 ⇔ (a - 4)x2 – 2(2a - 9)x + 4a – 18 = 0 (*)

nghi phải có nghiệm.

ất m một tiếp tuyến tới (C) thì phương trình (*) phải có ít - Để từ A kẻ được ít nhất nhất một nghiệm. - Ta xét các trường hợpp sau: +) Trường hợp 1: Nếuu a = 4 Khi đó (*) trở thành: 2x - 2 = 0 ⇔ x = 1 ⇒ a = 2 thỏa mãn. Khi đó, ta có tọa độ A1 (0; 1). +) Trường hợp 2: nếu a ≠ 4. khi đó coi (*) là phương trình bậcc hai ẩn x.

Để (*) có ít nhất mộtt nghiệm thì

Vậy các điểm cần tìm có tọa độ là (0;a) với

thỏa mãn điều kiện bài toán. Vậy có vô số điểm trên trục tung th Bài 26. Có bao nhiêu điểm A(0;a) trên trục tung mà từ điểm đó vẽ được hai tiếp tuyến đến đồ thị hàm số (C)

?

Hiển thị đáp án Đáp án: A - Gọi A(0; a) là điểm thuộc ộc tr trục tung. - Đường thẳng ∆ đii qua A có phương trình: y = kx + a

- Để ∆ là tiếp tuyến củaa (C) thì hệ

nghi phảii có nghiệm.

- Thay (2) vào (1) ta được:

⇔ a(x2 + 2x + 1) + (2x2 + 2x + 1)=0 ⇔ (a-2).x2 + 2(a + 1).x + a + 1 = 0(*)

ếp tuy tuyến tới (C) thì phương trình (*) phải có hai nghiệm nghi - Để từ A kẻ được hai tiếp phân biệt x1; x2 và hệ sốố góc k ttại x1; x2 khác nhau. - Ta xét các trường hợpp sau: +) Trường hợp 1: Nếuu a = 2.

Khi đó (*) trở thành:

không thỏa mãn.

ẩ x. +) Trường hợp 2: Nếu a ≠ 2 khi đó xem (*) là phương trình bậcc hai ẩn m phân bi biệt x1; x2 và hệ số góc tại x1; x2 khác nhau thì: Để (*) có hai nghiệm

Vậy các điểm cần tìm có tọa độ (0; a) với

ến đến đế đồ thị của Bài 27. Tìm các điểm trên trục tung mà từ đó vẽ được ba tiếp tuyến 4 2 hàm số (C): y = - x + 2x – 1 ? A. A(0; 1) C. A (0; - 2)

B. A(0; -1) D. A(0; -3)

Hiển thị đáp án Đáp án: B - Gọi điểm A(0; a) nằm trên trục tung

ẳng ∆ đi qua A; hệ số góc k có phương trình y = kx + a. Phương trình đường thẳng ến ttới (C) khi và chỉ khi hệ sau có ba nghiệm phân biệt: bi - Từ A kẻ được 3 tiếp tuyến

- Thay (2) vào (1) ta được: - x4 + 2x2 – 1 = (- 4x3 + 4x).x + a ⇔ a = 3x4 – 2x2 – 1 (*)

m phân bi biệt thì (*) phải có 3 nghiệm phân biệt. ệt. - Để hệ (I) có 3 nghiệm tiểu của hàm số f(x) = 3x4 – 2x2 – 1. - ta tìm điểm cực đại và cực ti

Đạo hàm: y’ = 12x3 – 4x = 0

nghiệ phân biệt - Lập bảng biến thiên hàm số f(x), ta dễ dàng suy ra để (*) có 3 nghiệm khi a = - 1. Vậy điểm cần tìm là A(0; - 1). Bài 28. Từ điểm A(–2; 5) có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến đồ thị của hàm số : (C): y = x3 – 9x2 + 17x + 2. A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Hiển thị đáp án Đáp án: C - Phương trình đường thẳng ẳng ∆ đi qua A và có hệ số góc có k có dạng: ạng: y = k(x + 2) + 5

tuyến của (C) thì hệ - Điều kiện để ∆ là tiếpp tuyế

có nghiệm.

ừ A đến (C) chính là số nghiệm của hệ (I). - Số tiếp tuyến có thể kẻẻ từ - Thay (2) vào (1) ta được: x3 – 9x2 + 17x + 2 = (3x2 – 18 x + 17). (x + 2) + 5

⇔ x3 – 9x2 + 17 x + 2 = 3x3 + 6x2 – 18x2 – 36x + 17x + 34 + 5 ⇔ -2x3 + 3x2 + 36x - 37 = 0

ếp tuy tuyến tới (C). Vậy từ A có thể kẻ ba tiếp

Bài 29. Từ điểm

ến tới tớ đồ thị hàm có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến

số A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Hiển thị đáp án Đáp án: A

- Phương trình đường thẳng ẳng ∆ đi qua A có hệ số góc k có dạng:

tuyến của (C) thì hệ: - Điều kiện để ∆ là tiếpp tuyế

có nghiệm.

ừ A đến (C) chính là số nghiệm của hệ (I). - Số tiếp tuyến có thể kẻẻ từ - Thay (2) vào (1) ta được:

⇔ 3x3 -11x2 + 8x- 18 = 0 (*) - Đặt f(x) = 3x3 - 11x2 + 8x - 18, ta có: f’(x) = 9x2 – 22x + 8

Xét phương trình f’(x) = 0 - Ta có bảng biến thiên hàm số f(x):

ộ nghiệm duy - Từ bảng biến thiên hàm số f(x), ta suy ra phương trình (*) có một nhất. ột tiế tiếp tuyến tới (C). Vậy từ A kẻ được chỉ một Bài 30. Từ điểm A(1; -4) có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến đồ thị hàm số (C): y = 2x3 + 3x2 – 5 A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Hiển thị đáp án Đáp án: C - Phương trình đường thẳng ẳng ∆ đi qua A; hệ số góc k là: y = k(x- 1)- 4

tuyến của (C) thì hệ - Điều kiện để ∆ là tiếpp tuyế

có nghiệm.

ừ A đến (C) chính là số nghiệm của hệ (I). - Số tiếp tuyến có thể kẻẻ từ - Thay (2) vào (1) ta được: 2x3 + 3x2 – 5 = (6x2 + 6x). (x- 1) – 4 ⇔ 2x3 + 3x2 – 5 = 6x3 – 6x2 + 6x2 – 6x - 4 ⇔ -4x3 + 3x2 + 6x – 1 = 0

Vậy từ A có thể kẻ ba tiếp ếp tuy tuyến tới (C).

gi chi tiết 5 dạng bài Sự tương giao của đồ thị hàm số trong đề thi Đại họcc có giải I. Phương pháp giải Cho đồ thị của hai hàm số: y = f(x) có đồ thị (C1) và y = g(x) có đồ thị (C2). Để tìm giao điểm của hai đồ thị trên ta làm như sau: + Bước 1. Lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị:: f(x) = g(x) + Bước 2. Giải phương trình trên ta tìm được x (chú ý điều kiện) ⇒ y= ..

đ ểm ccủa hai đồ thị đã cho. + Từ đó suy ra số giao điểm II. Ví dụ minh họa

ểm củ của đồ thị (C): y = x3 - 3x2 + 2x + 1 và đường thẳng d: Ví dụ 1: Tìm số giao điểm y=1 A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Hiển thị đáp án Phương trình hoành độ giao đđiểm của đường thẳng d và đồ thị (C): x3 - 3x2 + 2x + 1 = 1 ⇔ x3 – 3x2 + 2x = 0

m A(0;1), B(1;1), C(2; 1). Vậy có ba giao điểm Suy ra chọn đáp án D.

ủa đồ thị (C): y = x4 + 2x2 - 3 và trục hoành là A(x1; y1), Ví dụ 2: Gọi giao điểm của B(x2; y2). Tính x1 + x2 ? A. 0

B. 1

C. 2

D. 4

Hiển thị đáp án Phương trình hoành độ giao đđiểm của (C) và trục hoành:

Vậy có hai giao điểm: A(-1; 0) và B(1; 0) . Suy ra: x1 + x2 = 0 Suy ra chọn đáp án A.

điểm của đồ thị sau và đường thẳng ng d: y = x + 2 Ví dụ 3: Tìm tọa độ giao điể

Hiển thị đáp án Phương trình hoành độ giao đđiểm của đồ thị (C) và đường thẳng d:

Điều kiện: x ≠ 1/2. Với điều kiện trên (1) tương ương đươ đương: 2x + 1 = (2x - 1).(x + 2) ⇔ 2x + 1 = 2x2 + 4x - x - 2 ⇔ 2x2 + x - 3 = 0

Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là (-3/2; 1/2) và (1; 3). Suy ra chọn đáp án B.

Ví dụ 4: Tìm tọa độ giao điể điểm của đồ thị hàm số sau và đường thẳng ẳng y = x + 1?

A. (-1; 0)

B. (2; 3)

C. (1; 2)

D. (4; 5)

Hiển thị đáp án Phương trình hoành độ giao đđiểm của hai đồ thị:

Điều kiện: x ≠ -1 Với điều kiện trên (*) trở thành: x2 – 2x - 3 = (x + 1).(x - 1) ⇔ x2 - 2x - 3 = x2 - 1 ⇔ -2x = 2 nên x = -1 ⇒ y = 0 Vây giao điểm cần tìm là A(-1; 0) Suy ra chọn đáp án A. Ví dụ 5: Cho hai đồ thị hàm số (C1): y = x4 – x3 + x2 + 3 và (C2): y = -x3 + 6x2 – ọa độ nguyên của hai đồ thị hàm số trên ? 1. Tìm số giao điểm có tọa A. 1

B. 2

C. 4

D. 3

Hiển thị đáp án * Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là: x4 – x3 + x2 + 3 = -x3 + 6x2 – 1 ⇔ x4 – x3 + x2 + 3 + x3 – 6x2 + 1 = 0 ⇔ x4 – 5x2 + 4 = 0 (*)

ó; phươ phương trình (*) trở thành: t2 – 5t + 4 = 0 Đặt x2 = t (t ≥ 0). Khi đó;

Suy ra hai đồ thị đã cho cắt nhau tại 4 điểm phân biệt là: A(1; 4); B(-1; 6); C(2;15); D(-2; 31) Suy ra chọn đáp án C.

ng d: y = x + 4. Biết Bi Ví dụ 6: Cho đồ thị hàm số (C): và đường thẳng ẳng d ccắt đồ thị (C) tại điểm m M(x; y). Tính 2x + y? đồ thị (C) cắt đường thẳng A. -3 C. 3

B. -4 D. 2

Hiển thị đáp án Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị (C) là:

Suy ra đường thẳng d cắt ắt đồ thị (C) tại điểm (-8/3; 4/3) nên 2x + y = -4. Suy ra chọn đáp án B.

n theo m số giao điểm của hai đồ thị hàm số. Dạng 2. Biện luận I. Phương pháp giải * Phương pháp cô lậpp tham ssố m:

ng F(x; m) = 0 (phương trình • Bước 1. Lập phương trình hoành độ giao điểm dạng ẩn x; tham số m). • Bước 2. Cô lập m đưaa phương trình về dạng f(m) = g(x) • Bước 3. Lập bảng biếnn thiên cho hàm số y = g(x).

ó suy ra các giá trị tr của • Bước 4. Dựa vào yêu cầu bài toán và bảng biến thiên từ đó m thỏa mãn. ng tính ch chất đặc trưng của phương trình : * Phương pháp sử dụng + Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0

biệt khi ∆ > 0 • Phương trình có hai nghiệm phân bi • Phương trình có 1 nghiệm khi ∆ = 0 • Phương trình vô nghiệm khi ∆ < 0 + Phương trình bậc ba ax3 + bx2 + cx + d = 0 • Nếu đã đoán được phương trình có 1 nghiệm x = x0 ta có thể dùng phép chia đa thức hoặc dùng sơ đồ Hor ner để phân tích đa thức thành nhân tử. Khi đó

ax3 + bx2 + cx + d = 0 Dựa vào yêu cầu bài toán; ta đi giải phương trình (*).

nghiệm và không cô lập được m thì bài toán được giải • Nếu không nhẩm được nghi trị của hàm số. quyết theo hướng dùng cực tr 1. Đồ thị cắt trục hoành đúng 3 điểm phân biệt ⇔ yCT. yCĐ < 0

m chung vvới trục hoành ⇔ yCT. yCĐ = 0 2. Đồ thị có hai điểm m chung vvới trục hoành ⇔ yCT. yCĐ > 0 hoặc hàm số không có 3. Đồ thị có một điểm cực trị . Phương trình trùng phương ương ax4 + bx2 + c = 0 (1)

ng trình (1) trở thành: at2 + bt + c = 0 (2) • Đặt t = x2 (t ≥ 0) phương ệm thì (2) có 2 nghiệm t1, t2 thỏa mãn • Để (1) có đúng 1 nghiệm

ệm thì (2) có hai nghiệm t1, t2 thỏa mãn: • Để (1) có đúng 2 nghiệm

• Để (1) có đúng 3 nghiệm thì (2) có hai nghiệm t1, t2 thỏa mãn: 0 = t1 < t2

ệm thì (2) có hai nghiệm t1, t2 thỏa mãn: 0 < t1 < t2 • Để (1) có đúng 4 nghiệm II. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hàm số y = mx3 – x2 – 2x + 8m có đồ thị là (Cm ). Có bao nhiêu số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. nguyên m để đồ thị (Cm ) cắ A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Hiển thị đáp án Phương trình hoành độ giao đđiểm của đồ thị (Cm) và trục hoành: mx3 – x2 – 2x + 8m = 0 (1) ⇔ (x + 2)[mx2 - (2m + 1)x + 4m] = 0

nghi * Để (Cm) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi (1) có ba nghiệm t. Hay (2) có hai nghi nghiệm phân biệt khác -2. phân biệt.

Vậy m ∈ (-1/6; 1/6)\{0} thỏa yêu cầu bài toán.

Mà m nguyên nên không có giá trị nguyên nào của m thỏa mãn. Suy ra chọn đáp án A. Ví dụ 2: Cho hàm số y = 2x3 – 3mx2 + (m - 1)x + 1 có đồ thịị (C). Tìm m để đường thẳng d: y = -x + 1 cắắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt. A. (-∞; 0) ∪ (8/9; ∞) C. (0; 8/9)

B. (-∞; -8/9) ∪ (0; ∞)

D. (-8/9; 0)

Hiển thị đáp án * Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d: 2x3 - 3mx2 + (m - 1)x + 1 = -x + 1 ⇔ 2x3 – 3mx2 + (m - 1)x + x = 0 ⇔ x(2x2 – 3mx + m) = 0

* Để đường thẳng d cắtt (C) ttại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệtt khác 0

⇔ (-∞; 0) ∪ (8/9; ∞) Vậy (-∞; 0) ∪ (8/9; ∞) thỏa yêu cầu bài toán. Suy ra chọn đáp án A.

ệm phân biệt. bi Ví dụ 3: Tìm m để phương trình x4 – 2x2 – m + 3 = 0 có bốn nghiệm A. 1 < m < 2

B. 2 < m < 4

C. 2 < m < 3

D. 3 < m < 4

Hiển thị đáp án * Ta có: x4 – 2x2 – m + 3 = 0 ⇔ x4 – 2x2 + 3 = m (1) * Phương trình (1) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị (C): y = x4 – ng d: y = m. 2x2 + 3 và đường thẳng Số nghiệm của (1) bằng sốố giao điểm của (C) và d.

ến thiên của hàm số y = x4 - 2x2 + 3. * Khảo sát và vẽ bảng biến Tập xác định: D = R. Đạo hàm: y' = 4x3 – 4x. Xét ph phương trình y' = 0

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta th thấy (1) có bốn nghiệm phân biệtt khi 2 < m < 3. Vậy 2 < m < 3 thỏa yêu cầu bài toán. Suy ra chọn đáp án C. Ví dụ 4: Cho hàm số

có đồ thị là (C).

ng m nhỏ nhất để đường thẳng d: y = -x + m cắt đồ thị (C) Tìm giá trị nguyên dương tại hai điểm phân biệt.

A. 1

B. 5

C. 0

D. 6

Hiển thị đáp án Phương trình hoành độ giao đđiểm:

Điều kiện: x ≠ -1. Khi đó (1) ⇔ (1) ⇔ 2x - 1 = (-x + m)(x-1) ⇔ x2 – (m - 1)x + m - 1 = 0 ( 2)

m phân bi biệt khi (1) có hai nghiệm phân biệt Để d cắt (C) tại hai điểm m phân bi biệt khác ⇔ (2) có hai nghiệm

⇔ m2 – 6m + 5 > 0 ⇔ m ∈ (-∞; 1) ∪ (5; +∞) Vậy giá trị m cần tìm là m ∈ (-∞; 1) ∪ (5; +∞)

ương m nhỏ nhất thỏa mãn là m = 6. Suy ra giá trị nguyên dương Suy ra chọn đáp án D. Ví dụ 5: Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 + mx + 2 cắt trục hoành tại một m điểm duy nhất. A. m > -3 C. m > 3

B. m < -1 D. m < 1

Hiển thị đáp án * Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là: x3 + mx + 2 = 0. * Vì x = 0 không là nghiệm ccủa phương trình, nên phương trình tương đương với

* Xét hàm số

Suy ra Vậy f'(x) = 0 khi x = 1. * Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị cắt trục hoành tại một điểm ểm duy nhất nh khi m > -3. Vậy m > -3 thỏa yêu cầu bài toán. Suy ra chọn đáp án A.

ng thẳ thẳng đi qua A(1;0) và có hệ số góc m. Tìm tất cả các giá Ví dụ 6: Gọi d là đường trị thực của tham số m để d ccắt đồ thị hàm số thuộc hai nhánh của đồ thị. A. m ≠ 0

B. m > 0

C. m < 0

D. 0 < m ≠ 1

Hiển thị đáp án ng y = m(x - 1) = mx - m. Đường thẳng d có dạng Phương trình hoành độ giao đđiểm:

⇔ x + 2 = (mx - m)(x - 1)

đ ể phân biệt (C) tạii hai điểm

Đồ thị (C) có tiệm cận đứng x = 1.

m phân bi biệt thuộc hai nhánh của đồ thị khi phương phươ trình (*) Để d cắt (C) tại hai điểm có hai nghiệm phân biệt x1 < x2 thỏa mãn

x1 < 1 < x2

Suy ra chọn đáp án B. Dạng 3. Tìm m để giao điể điểm của hai đồ thị thỏa mãn điều kiện. I. Phương pháp giải Cho đồ thị của hai hàm số y = f(x) và y = g(x). Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị: f(x) = g(x) hay f(x) - g(x) = 0 * Khi rút gọn nếu ta được phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 Theo hệ thức Viet ta có:

1. Phương trình có hai nghiệệm trái dấu khi và chỉ khi: P < 0. 2. Phương trình có hai nghiệệm dương phân biệt khi

3. Phương trình có hai nghiệệm âm phâm biệt khi

* Nếu ta rút gọn được phươ ương trình bậc ba; ta sử dụng phương ng pháp cô lập m; giải phương trình bậc hai. đoán nghiệm... để đưa về giả * Các công thức hay dùng:

ng d: ax + by + c = 0 và điểm M(x0; y0). • Cho đường thẳng

• Cho điểm A(x1; y1); B(x2; y2). Ta có: • Diện tích tam giác:

Trong đó: a, b, c là độ dài ba cạnh của ủa tam giác; p = (a + b + c)/2 là nửaa chu vi. ha, hb, hc là độ dài của đường cao ương ứng với các cạnh a, b, c .

p tam giác. R, r lần lượt là bán kính của đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp II. Ví dụ minh họa

ng thẳ thẳng đi qua điểm A(-1; 0) với hệ số ố góc k. Tìm k để Ví dụ 1: Gọi d là đường 3 2 ểm phân biệt bi A, B, đường thẳng d cắt đồ thị hàm số (C): y = x – 3x + 4 tại ba điểm C và tam giác OBC có diện tích bbằng 1 (O là gốc tọa độ).

A. k = -1

B. k = 2

C. k = 1

D. k = -2

Hiển thị đáp án * Đường thẳng d đii qua A(-1;0) và có hệ số góc k nên có dạng: ng: y = k(x + 1) hay kx - y + k = 0. * Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là: x3 - 3x2 + 4 = kx + k ⇔ (x + 1)(x2 - 4x + 4 - k) = 0

đ ểm phân bi biệt phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt * Để d cắt (C) tại ba điểm khác -1.

* Khi đó g(x) = 0 ⇒ x = 2 - √k; x = 2 + √k. Vậy các giao điểm của ủa hai đồ thị lần lượt là: A(-1;0), B(2 - √k; 3k - k√k), C(2 + √k; 3k + k√k) * Tính được

Khi đó

⇔ |k|√k = 1 ⇔ k3 = 1 ⇔ k = 1. Vậy k = 1 thỏa yêu cầu bài toán. Suy ra chọn đáp án A.

th d: y = Ví dụ 2: Cho hàm số y = x4 – (3m + 2)x2 + 3m (C). Tìm m để đường thẳng biệt có hoành độ đều nhỏ hơn 2. -1 cắt đồ thị (C) tại bốn điểm phân bi A. m ≠ 0

B. -1/3 < m < 1 D. Cả A và B đúng

C. -2 < m < 1/3

Hiển thị đáp án * Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d: y = -1 là x4 – (3m + 2)x2 + 3m = -1 ⇔ x4 – (3m +2)x2 + 3m + 1 = 1 (*) * Đặt t = x2 (t ≥ 0), phương trình (*) trở thành:

t2 - (3m + 2)t + 3m + 1 = 0

Khi đó Yêu cầu bài toán: ⇔ -1/3 < m < 1 và m ≠ 0 Vậy -1/3 < m < 1 và m ≠ 0 thỏa yêu cầu bài toán. Suy ra chọn đáp án A. Ví dụ 3: Cho hàm số y = x4 – (3m + 4)x2 + m2 có đồ thị là (Cm). Tìm giá trị m phân biệt có hoành độ nguyên của m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại bốn điểm lập thành một cấp số cộng. A. m = 10

B. m = 12

C. m = 11

D. m = 13

Hiển thị đáp án

* Phương trình hoành độ giao điểm: x4 – (3m + 4)x2 + m2 = 0

ng trình (1) trở thành: t2 – (3m + 4)t + m2 = 0 Đặt t = x2 (t ≥ 0), phương * Để (Cm) cắt trục hoành tại bbốn điểm phân biệt

m phân bi biệt ⇔ (2) có hai nghiệm dương phân biệt ệ ⇔ (1) có bốn nghiệm

* Khi đó phương trình (2) có hai nghiệm 0 < t1 < t2. Suy ra phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt là: x1 = -√t2 < x2 = -√t1 < x3 = √t1 < x4 = √t2 Bốn nghiệm x1; x2; x3; x4 lập thành cấp số cộng ⇔ x2 – x1 = x3 - x2 = x4 – x3 ⇔ -√t1 + √t2 = 2√t1 ⇔ √t2 = 3√t1 ⇔ t2 = 9t1 (3) * Theo định lý Viet ta có

Từ (3) và (4) ta suy ra được

Thay (6) vào (5) ta được 9/100.(3m + 4)2 = m2

Kết hợp điều kiện m nguyên thì giá trị m cần tìm là m = 12. Suy ra chọn đáp án B.

trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = x3 – 3x2 + Ví dụ 4: Tìm tất cả các giá tr ng d: y = m(x - 1) tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, 2 (C) cắt đường thẳng 2 2 x3 thỏa mãn x1 + x2 + x32 = 5 . A. m > -3

B. m = -3

C. m > -2

D. m = -2

Hiển thị đáp án Phương trình hoành độ giao đđiểm của đồ thị (C) và đường thẳng d: x3 – 3x2 + 2 = m(x - 1) hay (x - 1).(x2 – 2x - 2) – m(x - 1) = 0

ng trình (*) có hai Để d cắt đồ thị (C) tạii ba đđiểm phân biệt khi và chỉ khi phương nghiệm phân biệt khác1.

Giả sử x1 = -1. Khi đó x2, x3 là hai nghiệm của phương trình (*) .

Theo định lí Viet, ta có

Để x12 + x22 + x32 = 5 thì 12 + x22 + x32 = 5 ⇔ x22 + x32 = 5 ⇔ (x2 + x3)2 - 2x2x3 = 4 ⇔ 4 + 2(m + 2) = 4 ⇔ 2m = -4 nên m = -2 ( thỏa mãn) Suy ra chọn đáp án D.

trị thực của tham số m để đường thẳng ng d: y = x + 4 cắt c Ví dụ 5: Tìm tất cả các giá tr 2 3 m phân biệt A(0; 4), B, C đồ thị hàm số y = x + 2mx + (m + 3)x + 4 (C) tại ba điểm sao cho tam giác MBC có diện tích bằng 4, với M(1,3). A. m = 2; m = 3 C. m = -2; m = -3

B. m = 3 D. m = -2; m = 3

Hiển thị đáp án Phương trình hoành độ giao đđiểm của đường thẳng d và đồ thị (C): x3 + 2mx2 + (m + 3)x + 4 = x + 4 ⇔ x3 + 2mx2 + (m + 2)x = 0 ⇔ x.(x2 + 2mx + m + 2) = 0

điểm phân biệt khi (*) có hai nghiệm m phân biệt bi khác 0 Để d cắt đồ thị (C) tại ba điể

ủa (*). Theo định lí Viet, ta có Gọi x1; x2 là hai nghiệm của

Giải sử B(x1; x1 + 4), C(x2; x2 + 4). Ta có

ng d chính là đường thẳng BC). (chú ý đường thẳng Theo đề: S∆MBC = 4 ⇔ 1/2.d(M, d)BC = 4 ⇔ (x1 - x2)2 = 16 ⇔ (x1 + x2)2 - 4x1x2 = 16

⇔ m2 - m - 6 = 0 Suy ra chọn đáp án B. Ví dụ 6: Tìm tất cả các giá tr trị thực của tham số m để đường thẳng ẳng d: y = -mx cắt 3 2 ệt A, B, C sao cho đồ thị của hàm số y = x - 3x – m + 2 (C) tại ba điểm phân biệt AB = BC. A. m > 1

B. m < 3

C. m < -1

D. m > 0

Hiển thị đáp án Phương trình hoành độ giao đđiểm của đường thẳng d và đồ thị (C) x3 – 3x2 – m + 2 = -mx ⇔ x3 – 3x2 + 2 + m(x - 1) = 0 ⇔ (x - 1).(x2 – 2x + m - 2) = 0

m phân bi biệt khi (*) có hai nghiệm phân biệt ệt khác 1. Để d cắt (C) tại ba điểm

Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (*). Theo định lí Viet, ta có x1 + x2 = 2 nên suy ra x1 > 1 hoặc x2 > 1. Giả sử x2 > 1 thì x1 = 2 - x2 < 1, suy ra x1 < 1 < x2. Theo giả thiết BA = BC nên B là trung điểm của AC do đó xB = 1 và xA = x1; xC = x2. Ta thấy: xA + xC = 2.xB ⇒ d cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C thỏa mãn AB = BC. Vậy với m < 3 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Suy ra chọn đáp án B. Dạng 4. Dựa vào đồ thị hàm số, bảng biến thiên biện luận theo m số giao điểm của hai đồ thị I. Phương pháp giải + Cho đồ thị của hai hàm số (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x). Số điểm chung của hai đồ thị chính là số nghiệm của phương trình: f(x) = g(x). + Đường thẳng y = m là đường thẳng đi qua điểm M(0; m) và song song với trục Ox. Dựa vào bảng biến thiên, đồ thị (C) của hàm số ta dễ dàng tìm được số giao điểm của đường thẳng y = m và đồ thị ( C) II. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hàm số y = f(x) xác định trên R và có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f(x) + m + 1 = 0 có duy nhất một nghiệm.

A. m > 0 hoặc m < 4

B. -4 < m < 0

C. m < -4 hoặc m > 0

D. m > 4 hoặc m < 0

Hiển thị đáp án Phương trình: f(x) + m + 1 = 0 ttương đương: f(x) = -m - 1 Đây là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng qua M(0; -m - 1); có phương ng song song hoặc thẳng y = -m - 1(là đường th trùng với trục hoành). Dựa vào đồ thị, ta có ycbt

Suy ra chọn đáp án C. Ví dụ 2: Hàm số y = 2x3 – 9x2 + 12x có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2|x|3 - 9x2 + 12|x| + m = 0 có sáu nghiệm phân biệt.

A. m < - 5 C. 4 < m < 5

B. -5 < m < -4 D. m > -4

Hiển thị đáp án Trước tiên từ đồ thị hàm số y = 2x3 – 9x2 + 12x, ta suy ra đồ thị hàm số y = 2|x|3 – 9x2 + 12|x| như hình dưới đây:

ph trình Phương trình 2|x|3 – 9x2 + 12|x| + m = 0 ⇔ 2|x|3 – 9x2 + 12|x| = -m là phương 3 2 thị hàm số y = 2|x| – 9x + 12|x| và đường thẳng th y=hoành độ giao điểm của đồ th m Dựa vào đồ thị hàm số y = 2|x|3 – 9x2 + 12|x|, để phương trình 2|x|3 – 9x2 + 12|x| + m phân biệ biệt khi và chỉ khi: 4 < -m < 5 hay -5 < m < -4 m = 0 có 6 nghiệm Suy ra chọn đáp án B. Ví dụ 3: Cho hàm số f(x) xác định trên R và có đồ thị như hình bên. Hỏi với những giá trị nào củaa tham ssố thực m thì phương trình |f(x)| = m có đúng hai nghiệm phân biệt.

A. 0 < m < 1.

B. m > 5

C. m = 1; m = 5

D. 0 < m < 1; m > 5

Hiển thị đáp án Ta có:

Từ đó suy ra cách vẽ đồ thị hàm số (C) từ đồ thị hàm số y = f(x) như sau: + Giữ nguyên đồ thị y = f(x) phía trên trục hoành. + Lấy đối xứng phần đồ thị y = f(x) phía dưới trục hoành qua trục hoành (bỏ phần dưới). Kết hợp hai phần ta được đồ thị hàm số y = |f(x)| như hình vẽ.

phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị th hàm số y = Phương trình |f(x)| = m là ph ng y = m (cùng phương với trục hoành). |f(x)| và đường thẳng

Dựa vào đồ thị, ta có ycbt Suy ra chọn đáp án D. Ví dụ 4: Cho hàm số y = f(x) xác định trên R và có đồ thị như hình bên. Hỏi phương trình f(|x - 2|) = -1/2 có bao nhiêu nghiệm?

A. 2

B. 3

C. 6

D. 4

Hiển thị đáp án * Trước tiên tịnh tiến đồ thị sang ph phải 2 đơn vị để được đồ thị hàm số y = f(x - 2).

ng x = 2, xóa bỏ phần đồ thị Tiếp theo giữ phần đồ thịị phía bên phải đường thẳng ng x = 2. phía bên trái đường thẳng ng phầ phần đồ thị vừa giữ lại ở trên qua đường ng thẳng thẳ x = 2. Ta Cuối cùng lấy đối xứng được toàn bộ phần đồ thịị của hàm số y = f(|x - 2|) (hình vẽ bên dưới)

* Dựa vào đồ thị hàm số y = f(|x - 2|), ta thấy đường thẳng y = -1/2 cắt đồ thị hàm m phân bi biệt số y = f(|x - 2|) tại 4 điểm Suy ra: phương trình y = f(|x - 2|) = -1/2 có 4 nghiệm phân biệt. Suy ra chọn đáp án D.

ng biến biế thiên sau: Ví dụ 5: Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên R và có bảng

ực của tham số m để phương trình f(x)= m+1 có đúng hai Tìm tất cả các giá trị thực nghiệm. A. -2 < m < -1 C. m = -2; m > -1

B. m > 0; m = -1 D. m = -2; m ≥ -1

Hiển thị đáp án ủa đồ thị hàm số * Phương trình f(x) = m + 1 là phương trình hoành độ giao điểm của phươ với trục y = f(x) và đường thẳng y = m + 1 ( đii qua M(0; m + 1) và cùng phương hoành). * Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy để phương trình đã cho có đúng úng hai nghiệm khi và chỉ khi

Suy ra chọn đáp án C.

kho g xác Ví dụ 6: Cho hàm số y = f(x) xác định trên R\{1} và liên tục trên từng khoản định, có bảng biến thiên như sau:

ủa tham ssố m để đồ thị hàm số y=f(x) cắt ắt đường thẳng Tìm các giá trị thực của m phân biệ biệt. y=2m-1 tại hai điểm A. 1 ≤ m < 3/2

B. 1 < m < 2

C. 1 ≤ m ≤ 3/2

D. 1 < m < 3/2

Hiển thị đáp án th y = 2m Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy để đồ thị hàm số y = f(x) cắt đường thẳng ệt khi và chỉ khi: 1 < 2m - 1 < 2 ⇔ 1 < m < 3/2 - 1 tại hai điểm phân biệt Chú ý: không có giá trị nào của x để y = 2 mà chỉ tồn tại

và không có

giá trị của x để y = 1 mà chỉ tồn tại Suy ra chọn đáp án D. Ví dụ 7: Cho hàm số y = f(x), xác định trên R\{-1;1}, liên tục trên mỗi khoảng ến thiên sau: xác định và có bảng biến

ực củ của tham số m sao cho đường thẳng ng y = 2m + 1cắt 1c đồ Tìm tất cả các giá trị thực điểm phân biệt. thị hàm số đã cho tại hai điể A. m ≤ -2

B. m ≥ 1

C. m ≤ -2, m > 1

D. m < -2, m > 1

Hiển thị đáp án Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đường thẳng y = 2m + 1 cắt đồ thị hàm số y = ệt khi và chỉ khi: f(x) tại hai điểm phân biệt

Suy ra chọn đáp án D. Dạng 5. Sự tiếp xúc củaa hai đường cong. I. Phương pháp giải

ng cong y = f(x) và y = g(x) tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ h phương * Hai đường trình:

ủa hhệ phương trình trên là hoành độ tiếp ếp điểm đ của hai Có nghiệm và nghiệm của đường cong đó. ng cong tiế tiếp xúc với nhau tại M(x0; y0) khi đó ó phương phươ trình tiếp * Giả sử hai đường tuyến chung của hai đồ thịị là: y = g'(x0)(x - x0) + y0 II. Ví dụ minh họa

ng cong y = x3 - x + 1 và y = x2 - 5/4.x + 1. Chứng minh hai Ví dụ 1: Cho hai đường ới nhau ttại một điểm M nào đó. Tìm tọa độ tiếp điểm và đường cong tiếp xúc với ến chung đó. viết phương trình tiếp tuyến Hiển thị đáp án Hoành độ tiếp điểm củaa hai đường cong đã cho là nghiệm phương trình:

Vậy hai đường cong đã cho tiếp xúc với nhau tại điểm M(1/2; 5/8).

Hệ số góc của tiếp tuyếnn chung ttại M của hai đường cong đã cho là: y'(1/2) = -1/4 Phương trình tiếp tuyếnn chung ccủa hai đường cong tại điểm M là:

Ví dụ 2: Chứng minh đường cong y = 2x3 – x2 – x tiếp xúc vớii parabol y = x2 + x ó. Xác định tiếp điểm và viết phương trình tiếp tuyến tuy chung - 2 tại một điểm nào đó. đ ểm đó? của hai đường cong tại điểm Hiển thị đáp án ủa hai đường cong đã cho là nghiệm hệ phương trình: * Hoành độ tiếp điểm của

Vậy hai đường cong đã cho tiếp xúc với nhau tại điểm M(1; 0).

ến chung ttại điểm M của hai đường cong là y'(1) = 3. * Hệ số góc của tiếp tuyến Phương trình tiếp tuyếnn chung ccủa hai đường cong tại M là: y = 3(x - 1) + 0 hay y = 3x - 3.

Ví dụ 3: Chứng minh rằng ằng đồ thị của hai hàm số f(x)= x2 + 3x và tiếp điểm và viết phương trình tiếp p tuyến tuyế chung của tiếp xúc với nhau. Xác định ti hai đồ thị. Hiển thị đáp án

ủa hai đường cong đã cho là nghiệm hệ phương trình: * Hoành độ tiếp điểm của

Vậy hai đường cong đã cho tiếp xúc với nhau tại điểm M(0; 0)

ng cong đã cho là: y = * Ta có f'(0) = 3. Phương trình ti tiếp tuyến chung của hai đường 3(x - 0) + 0 hay y = 3x Ví dụ 4: Tìm các hệ sốố a, b sao cho parabol y = f(x) = 2x2 + ax + b tiếp xúc với điểm M(1/2; 2) hypebol y = g(x) = 1/x tại điể Hiển thị đáp án m củ của parabol và hypebol là nghiệm hệ phương trình: Ta có hoành độ tiếp điểm

Theo giả thiết parabol và hypebol tiếp xúc với nhau tại điểm m M(1/2; 2) nên x = 1/2 là nghiệm hệ phương trình trên. Thay vào hệ phương trình trên ta được:

Vậy a = -6; b = 9/2. Dạng 1: Tìm giao điểm củaa hai đồ thị hàm số

dụ A. Phương pháp giảii & Ví d 1. Bài toán tổng quát

ng (Oxy) hãy xét sự tương giao của đồ thị hàm Trong mặt phẳng

số

thị là (C1) và hàm số y=g(x) có đồ thị là (C2). Khi đó Cho hàm số y = f(x) có đồ th của (C1) và (C2) thì tọa độ của M là nghiệm của hệ nếu M(x; y) là giao điểm củ phương trình:

Phương trình (*) f(x) = g(x) được gọi là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị (C1) và (C2)

ủa (C1) và (C2) Nghiệm xo của phương trình (*) chính là hoành độ điểm chung của Khi đó tung độ điểm chung là yo = f(xo) hoặc yo=g(xo)

Nếu (*) vô nghiệm thì (C1) và (C2) không có điểm chung Nếu (*) có n nghiệm thì (C1) và (C2) có n điểm chung 2. Phương pháp chung

chất giao điểm của hai đồ thị (C1) và (C2) ta có thể Để giải một bài toán về tính ch tiến hành theo các bướcc sau: Lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị (C1) và (C2) (tức phương trình (*)) Biến đổi phương trình này về dạng đơn giản hơn( thường thì sau khi biến đổi ta sẽ thu được phương trình bậc hai, bbậc ba hoặc phương trình trùng phương…)

ươ trình vừa Dựa vào điều kiện của bài toán ban đầu, ta đưa về điều kiện cho phương biến đổi.

của hai đồ thị hàm số 3. Bài toán tìm giao điểm củ

điểm của hai đồ thị hàm số Bài toán: Tìm tọa độ giao điể Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm: f(x) = g(x) (1) Bước 2: Giải phương trình (1) tìm x ⇒ y

ệm của c (1) Bước 3: Kết luận số giao đđiểm của (C1) và (C2) chính là số nghiệm Ví dụ minh họa

m củ của đồ thị hàm số (C): y = x3 - 3x2 + 2x + 1 và đường Ví dụ 1: Tìm giao điểm thẳng y = 1 Hướng dẫn: Phương trình hoành độ giao đđiểm x3 - 3x2 + 2x + 1 = 1

⇔ x3 -3x2 + 2x = 0 ⇔ Với x = 0 ⇒ y = 1 Với x = 1 ⇒ y = 1 Với x = 2 ⇒ y = 1

ần tìm là (0; 1); (1; 1) và (2; 1) Vậy tọa độ giao điểm cần điểm giữa đồ thị y= (2x + 1)/(2x - 1) và đường thẳng d: Ví dụ 2: Tìm tọa độ giao điể y=x+2 Hướng dẫn Phương trình hoành đôô giao đđiểm (2x + 1)/(2x - 1) = x + 2 (1)

Điều kiện x ≠ 1/2

Khi đó (1) ⇔ 2x + 1 = (2x - 1)(x + 2) ⇔ 2x2 + x - 3 = 0 ⇔ Với x = 1 ⇒ y = 3 Với x = -3/2 ⇒ y = 1/2 Vậy tọa độ giao điểm cần ần tìm là (1; 3) và (-3/2; 1/2)

ủa đồ thị hàm số (C): y = x4 + 2x2 - 3 và trục ụ hoành Ví dụ 3: Tìm giao điểm của Hướng dẫn Phương

trình

hoành

độ

giao

điểm

x4 +

2x2 -

3

=

0

⇔

ần tìm là A(-1; 0), B(1; 0) Vậy tọa độ giao điểm cần B. Bài tập vận dụng Câu 1: Tìm tọa độ giao điểm ccủa hai đường cong (C1 ):y = x2 -4 và (C2): y = -x2 2x Hiển thị đáp án Phương trình hoành độ giao đđiểm x2 - 4 = -x2 - 2x ⇔ 2x2 + 2x - 4 ⇔

ần tìm là A(1; -3), B(-2 ;0) Vậy tọa độ giao điểm cần điểm của hai đường cong (C1 ):y = (2x - 1)/(x + 1) và Câu 3: Tìm tọa độ giao điể (C2): y = -3x - 1 Hiển thị đáp án

ĐKXĐ x ≠ -1 Phương trình hoành độ giao điểm (2x - 1)/(x + 1) = -3x - 1 ⇒ 3x2 + 6x = 0

⇔

ần tìm là A(0; -1), B(-2; 5) Vậy tọa độ giao điểm cần Câu 4: Tìm tọa độ giao điểm ccủa hai đường cong (C1 ):y =√x và (C2):y=x-2 Hiển thị đáp án ĐKXĐ x ≥ 0

Phương trình hoành độ giao đđiểm √x = x - 2 ⇔ x2 - 5x + 4 ⇔

ần tìm là A(1; -1), B(4; 2) Vậy tọa độ giao điểm cần ng d: y = x + 1 và (C):y = Câu 5: Gọi M, N là hai giao điểm của đường thẳng (2x+4)/(x-1). Tìm tọa độ trung điểm I của MN Hiển thị đáp án ĐKXĐ x ≠ 1 Phương trình hoành độ giao đđiểm (2x + 4)/(x - 1) = x + 1 ⇔ x2 - 2x - 5 Theo Viet có x1 + x2 = 2 ⇒ (x1 + x2)/2 = 1⇒ xI = 1⇒ yI = 2

ần tìm là I(1; 2) Vậy tọa độ giao điểm cần Câu 6: Biết tiệm cậnn ngang ccủa đồ thị hàm số (H):y = (x + 2)/(x + 1) và (C):y = 2x4 - x2 cắt nhau tại I. Tìm tọa độ giao điểm I. Hiển thị đáp án Tiệm cận ngang của đồ thịị hàm số (H): y = 1

Phương

trình

hoành

độ

giao

điểm

2x4 -

x2 -1

=

0

⇔

ần tìm là (1; 1),(-1; 1) Vậy tọa độ giao điểm cần điểm giữa đồ thị hàm số (C);y = (x2 - 2x - 3)/(x - 1) và Câu 7: Tìm tọa độ giao điể đường thẳng d: y = x + 1 Hiển thị đáp án ĐKXĐ x ≠ 1 Phương trình hoành độ giao đđiểm (x2 - 2x - 3)/(x - 1) = x + 1⇔ 2x + 2 = 0⇔ x = 1

ần tìm là (-1; 0) Vậy tọa độ giao điểm cần m củ của đồ thị hàm số y = x4 - 4x2 - 2 có đồ thị (C) và đồ thị Câu 8: Tìm số giao điểm (P): y = 1 - x2 Hiển thị đáp án Phương trình hoành độ giao đđiểm x4 - 3x2 - 3 = 0 Phương trình có S > 0;P < 0 nên phương trình có một nghiệm dương Số giao điểm cần tìm là 2

của hai đồ thị hàm số Trắc nghiệm Tìm giao điểm củ Câu 1: Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Đồ thị hàm số y = (2x+1)/(x-3) không cắt trục hoành

m phân biệt B. Đồ thị hàm số y = x4 - 2x2 - 3 cắt trục hoành tại 4 điểm ộ điểm điể C. Đồ thị hàm số y = x3 + 2x - 5 cắt trục hoành tại duy nhất một ng y = 2x + 7 có ba giao D. Đồ thị hàm số y = x3 - 2x2 + 5x + 1 và đường thẳng điểm.

Hiển thị đáp án Đáp án : C Câu 2: Số giao điểm của ủa đồ thị hàm số y = x3 -2x2 + 2x + 1 và đường thẳng th y=1 - x là A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích : Phương trình hoành độ giao đđiểm x3 - 2x2 + 3x = 0 ⇔ x = 0.

ủa (C): y = (x + 3)(x2 + 3x + 2) với trục Ox là: Câu 3: Số giao điểm của A. 3 B. 1 C. 0 D. 2 Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích :

Phương trình hoành độ giao đđiểm (x + 3)(x2 + 3x + 2) = 0 ⇔

.

Câu 4: Gọi A,B là các giao đđiểm của đồ thị hàm số y= (2x + 1)/(x - 3) và đường thẳng y = 7x - 19. Độ dài đoạn thẳng AB là: A. √13 B. 10√2 C. 4 D. 2√5 Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích : ĐKXĐ x≠3

Phương trình hoành độ giao đđiểm (2x + 1)/(x - 3) = 7x - 19 ⇔ 7x2 - 42x + 56 = 0

⇔

. . Có A(4;9),B(2;-5)⇒ AB=10√2.

ểm I ccủa đoạn thẳng MN với M, N là giao đi đ ểm của hai Câu 5: Tọa độ trung điểm đường thẳng d: y = x + 1 và đồ thị hàm số (C):y= (2x+2)/(x-1) là: A.I(-1;-2) B. I(-1;2) C. I(1;-2) D. I(1;2) Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích : ĐKXĐ x≠1 Phương trình hoành độ giao đđiểm (2x + 2)/(x - 1) = x + 1 ⇔ x2 - 2x - 3 = 0 Theo Viet có x1 + x2 = 2 ⇒ (x1 + x2)/2 =1 ⇒ xI = 1 ⇒ yI = 2.

ủa đồ thị hàm số y = -x4 + 2x2 - 1 với trụcc Ox là: Câu 6: Số giao điểm của A. 3 B. 1 C. 2 D. 4 Hiển thị đáp án Đáp án : C Giải thích :

Phương trình hoành độ giao đđiểm -x4 + 2x2 - 1 = 0 ⇔

.

ểm? Câu 7: Đồ thị hàm số y = 2x4 + x3 + x2 cắt trục hoành tại mấy điểm? A. 2 B. 3 C. 1 D. 0 Hiển thị đáp án

Đáp án : C Giải thích : Phương trình hoành độ giao đđiểm 2x4 + x3 + x2 = 0 ⇔ x = 0 .

Câu 8: Đồ thị hàm số nào sau đây cắt trục tung tại điểm có tung độ âm? A. y = (-2x + 3)/(x + 1) B. y= (3x + 4)/(x - 1) C. y = (4x + 1)/(x + 2) D. y= (2x - 3)/(3x - 1) Hiển thị đáp án Đáp án : D Câu 9: Số giao điểm của ủa hai đường cong y = x3 -x2 -2x+3 và y = x2 - x + 1 là: A. 0 B. 1 C. 3 D. 2 Hiển thị đáp án Đáp án : C Giải thích :

Phương trình hoành độ giao đđiểm x3 - 2x2 - x + 2 = 0 ⇔

.

ờ thẳng d: y Câu 10: Hoành độ giao điểm ccủa parabol (P): y = (1/4)x2 - 2x và đường = (3/4)x - 6 là: A. 2 và 6 B. 1 và 7 C. 3 và 8 D. 4 và 5 Hiển thị đáp án Đáp án : C Giải thích :

Phương trình hoành độ giao đđiểm 1/4 x2 - (11/4)x + 6 = 0 ⇔

.

Câu 11: Cho hàm số y=(x - 2)(x2 + 1) có đồ thị (C). Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. (C) không cắt trục hoành

một điểm B. (C) cắt trục hoành tại mộ C. (C) cắt trục hoành tại hai điểm D. (C) cắt trục hoành tại ba điểm Hiển thị đáp án Đáp án : B Câu 12: Biết rằng đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 + 2x - 1 cắt đồ thị hàm số y = x2 - 3x ệt A và B. Tính độ dài đoạn thẳng AB. + 1 tại hai điểm phân biệt A. AB = 3 B. AB = 2√2 C. AB = 2 D. AB = 1 Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích :

Phương trình hoành độ giao đđiểm x3 - 4x2 + 5x - 2 = 0

⇔

. Có A(2;-1),B(1;-1)⇒ AB=1.

ạ các điểm có Câu 13: Đường thẳng y=x-1 cắt đồ thị hàm số y= (2x - 1)/(x + 1) tại tọa độ là: A.(0; 2) B. (-1; 0);(2; 1) C. (0; -1);(2; 1) D. (1; 2) Hiển thị đáp án Đáp án : C Giải thích : ĐKXĐ x ≠-1 Phương trình hoành độ giao điểm (2x - 1)/(x - 1) = x + 1 ⇔ x2 - 2x = 0 ⇔

.

Câu 14: Cho hàm số y=f(x) có bbảng biến thiên như sau:

Số nghiệm của phương trình f(x) + 7 = 0 là

A. 0 B. 3 C. 2

D. 1

Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích : Biến đổi f(x) + 7 = 0⇔ f(x) = -7.

ểm của củ hai đường Số nghiệm thực của phương trình f(x) + 7 = 0 chính là số giao điểm thẳng y = f(x) và y = -7 Dựa vào bảng biến thiên ta có số nghiệm thực của phương trình f(x) + 7 = 0 là 1. Câu 15: (Đề thi THPT Quốc gia nnăm 2018). Cho hàm số f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a, b, c, d ∈ R). Đồ thị của hàm số y = f(x) như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình 3f(x) + 4 = 0 là:

A. 3 B. 0 C. 1 D. 2 Hiển thị đáp án Đáp án : A

Giải thích : Biến đổi 3f(x) + 4 = 0⇔ f(x) = -4/3. Số nghiệm thực của phương trình 3f(x) + 4 = 0 chính là số giao điểm của hai đường thẳng y = f(x) và y = -3/4 Dựa vào đồ thị hàm số ta có số nghiệm thực của phương trình f(x) = -4/3 là 3. Dạng 2: Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị A. Phương pháp giải & Ví dụ Phương pháp cô lập tham số m. Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm dạng F(x,m) = 0 (phương trình ẩn x, tham số m). Bước 2: Cô lập m đưa phương trình về dạng f(m) = g(x) Bước 3: Lập bảng biến thiên cho hàm số y = g(x) Bước 4: Dựa vào yêu cầu bài toán và bảng biến thiên từ đó suy ra m Phương pháp sử dụng tính chất đặc trưng của phương trình Phương trình bậc hai y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi ∆ > 0 Phương trình có một nghiệm khi ∆ = 0 Phương trình vô nghiệm khi ∆ < 0 Phương trình bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d = 0(a ≠ 0) Nếu đã dự đoán được phương trình có một nghiệm x=xo ta có thể dùng phép chia đa thức hoặc sơ đồ Horner để phân tích thành nhân tử đưa về dạng bậc thấp hơn rồi tìm cách xử lý. Khi đó phương trình bậc ba tương đương với

Dựa vào yêu cầu bài toán, ta đi xử lý phương trình bậc hai f(x).

nghiệm và không cô lập được m thì bài toán được giải Nếu không nhẩm đượcc nghi ng tích hai cự cực trị, cụ thể: quyết theo hướng úng ba điểm phân biệt ⇒ yCT.yCĐ < 0 Đồ thị cắt trục hoành đúng m chung vớ với trục hoành ⇒ yCT.yCĐ = 0 Đồ thị có hai điểm m chung vvới trục hoành ⇒ yCT.yCĐ > 0 hoặc hàm số không có Đồ thị có một điểm cực trị. phương y=ax4 + bx2 + c = 0(a ≠ 0)(1) Phương trình bậc bốn trùng ph ng trình trở thành at2 + bt + c = 0 (2) Đặt t = x2 (t ≥ 0). Phương

ệm thì (2) có hai nghiệm t1,t2 thỏa mãn Để (1) có đúng một nghiệm

ệm thì (2) có hai nghiệm t1,t2 thỏa mãn Để (1) có đúng một nghiệm ệm thì (2) có hai nghiệm t1,t2 thỏa mãn 0=t1 < t2 Để (1) có đúng một nghiệm ệm thì (2) có hai nghiệm t1,t2 thỏa mãn 0 < t1 < t2 Để (1) có đúng một nghiệm Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm m để phương trình y = x4 -2x2 - m + 3 (1) có bốn n nghiệm phân biệt bi Hướng dẫn:

ng trình (1) trở thành t2 - 2t - m + 3 = 0 (2) Đặt t = x2 (t > 0), phương

Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt. Khi đó

Vậy giá trị m cần tìm là 2 < m < 3 Lưu ý: Ta có thể giải bài toán trên bằng phương pháp dùng đồ thịị như sau: Phương trình y = x4 - 2x2 - m + 3 ⇒ x4 - 2x2 + 3 = m (1) Phương trình (1) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đường (C): y = x4 ng d: y = m. S Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao 2x2 + 3 và đường thẳng điểm của (C) và d Khảo sát và vẽ bảng biến ến thiên của hàm số : y = x4 -2x2 + 3 Tập xác định D = R

Đạo hàm y' = 4x3 - 4x; y' = 0⇒ Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy (1) có bốn nghiệm phân biệt ⇒ 2 < m < 3 Vậy 2 < m < 3 thỏa mãn yêu cầu bài toán Ví dụ 2: Cho hàm số y = mx3 - x2 - 2x + 8m có đồ thị (Cm). Tìm m để đồ thị (Cm) m phân bi biệt. cắt trục hoành tại 3 điểm Hướng dẫn: Phương trình hoành độ giao đđiểm: mx3 - x2 - 2x + 8m = 0 ⇒ (x + 2)[mx2 - (2m + 1)x + 4m] = 0

điểm phân biệt ⇒ phương trình mx2 - (2m + 1)x + 4m = (Cm) cắt trục hoành tại 3 điể 0 có hai nghiệm phân biệt khác -2.

Vậy giá trị m cần tìm là

th (d):y Ví dụ 3: Cho hàm số y= (2x - 1)/(x - 1) có đồ thị (C). Tìm m để đường thẳng ại hai điểm phân biệt. = -x + m cắt đồ thị (C) tại Hướng dẫn: Phương trình hoành đôô giao đđiểm (2x - 1)/(x - 1) = -x + m (1) Điều kiện x ≠ 1 Khi đó (1) ⇒ 2x - 1 = (-x + m)(x - 1) ⇒ x2 - (m - 1)x + m - 1 = 0 (2)

m phân bi biệt ⇒ (1) có hai nghiệm phân biệt (d) cắt (C) tại hai điểm m phân biệ biệt khác 1 ⇒ (2) có hai nghiệm

⇒ m2 -6m+5>0

Vậy giá trị m cần tìm là m < 1 hoặc m > 5 B. Bài tập vận dụng Câu 1: Tìm m để đồ thịị (C) ccủa đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 - 9x + m cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. Hiển thị đáp án Phương trình hoành độ giao đđiểm của đồ thị và trục hoành x3 - 3x2 - 9x + m = 0 ⇔ x3 - 3x2 - 9x = -m (1)

ng cong (C): y = x3 Phương trình (1) là phương trình hoành độ giao điểm của đường ng d: y = -m. Số nghiệm của (1) bằng số giao điểm đ của (C) 3x2 - 9x và đường thẳng và d ến thiên của hàm số y = x3 - 3x2 - 9x Khảo sát và vẽ bảng biến Tập xác định D = R

Đạo hàm y' = 3x2 - 6x - 9; y' = 0⇔ Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy (1) có ba nghiệm phân biệt ⇔ -27 < -m < 5 ⇔ -5 < m < 27

ng thẳ thẳng d: y = -x + 3 cắt đồ thị (Cm ): y = x3 - 3(m + 1) x2 + Câu 2: Tìm m để đường m phân biệ biệt mx + 3 tại ba điểm Hiển thị đáp án Phương trình hoành độ giao điểm của d và (Cm): x3 - 3(m + 1)x2 + mx + 3 = -x + 3 ⇔ x[x2 - 3(m + 1)x + m + 1] = 0

ểm phân bi biệt thì phương trình f(x) = 0 phải có hai nghiệm nghi Để d cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt khác 0.

thỏa mãn yêu cầu đề bài là m=(-∞; -1) ∪ (-5/9; +∞) Vậy tập hợp các giá trị m thỏ Câu 3: Cho hàm số y = x4 -(3m + 4) x2 + m2 có đồ thị (Cm). Tìm m để đồ thị (Cm) ểm phân bi biệt cắt trục hoành tại bốn điểm Hiển thị đáp án Phương trình hoành độ giao đđiểm x4 - (3m + 4) x2 + m2 = 0

(1)

ng trình (1) trở thành t2 - (3m + 4)t + m2 = 0 Đặt t = x2 (t > 0), phương điểm phân biệt ⇔ (Cm) cắt trục hoành tại 4 điể ⇔ (2) có hai nghiệm dương phân biệt

Vậy giá trị m cần tìm là

(2)

m phân biệt bi (1) có bốn nghiệm

ẳng y = 3m tại t ba Câu 4: Tìm m để đồ thị hàm số y = -2x4 + 2x2 + 1 cắt đường thẳng điểm phân biệt. Hiển thị đáp án Phương trình hoành độ giao đđiểm của đồ thị hàm số với trục hoành là -2x4 + 2x2 + 1 = 3m (1)

ờ (C): y = Phương trình (1) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đường 4 2 ng thẳ thẳng d:y=m. Số nghiệm của phương trình (1) bằng số 2x + 2x + 1 và đường giao điểm của (C) và d ến thiên của hàm số : y = -2x4 + 2x2 + 1 Khảo sát và vẽ bảng biến Tập xác định D = R

Đạo hàm y' = -8x3 + 4x; y' = 0⇔ Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy (1) có ba nghiệm phân biệt ⇔ 3m = 1⇔ m = 1/3 Vậy m = 1/3 thỏa mãn yêu cầu bài toán

m điểm duy Câu 5: Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 + mx + 2 cắt trục hoành tại một nhất Hiển thị đáp án Phương trình hoành độ giao đđiểm của đồ thị hàm số với trục hoành là x3 + mx + 2 = 0

của phương trình nên phương trình tương đương đươ với Vì x ≠ 0 không là nghiệm củ m = -x2 -2/x (x ≠ 0) Xét hàm số f(x) = -x2 - 2/x với x ≠ 0, suy ra f' (x) = -2x + 2/x2 = (-2x3 + 2)/x2 f' (x) = 0 ⇔ x = 1 Bảng biến thiên :

m điểm duy Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại một nhất khi m > -3 Vậy m>-3 thỏa mãn yêu cầu bài toán..

nh m sao cho đồ thị hàm số Câu 6: Cho hàm số y = (x - 1)(x2 + mx + m). Xác định ểm phân bi biệt. cắt trục hoành tại ba điểm Hiển thị đáp án Phương trình hoành độ giao đđiểm (x - 1)(x2 + mx + m) = 0 (1)

ục hoành tại ba điểm phân biệt thì phương ng trình (1) có hai Để đồ thị hàm số cắt trục nghiệm phân biệt khác 1.

thỏa mãn là Vậy giá trị của tham số m thỏ Câu 7: Cho hàm số y = (2x + 1)/(x + 2) có đồ thị (C). Tìm m để đường thẳng (d): y = mx + 2 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt. Hiển thị đáp án Phương trình hoành đôô giao đđiểm (2x + 1)/(x + 2) = mx + 2

(1)

Điều kiện x ≠ -2 Khi đó (1) ⇔ 2x + 1 = (mx + 2)(x + 2) ⇔ mx2 + 2mx + 3 = 0

(2)

m phân bi biệt ⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt (d) cắt (C) tại hai điểm m phân bi biệt khác -2 ⇔ (2) có hai nghiệm

⇔ m2 -3m > 0

Vậy giá trị m cần tìm là m < 0 hoặc m > 3

n theo m ssố giao điểm của đồ thị Trắc nghiệm Biện luận Câu 1: Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số y = x3 + (m - 1)x + 5 cắt trục hoành tại điểm có hoành độ -2 A. m = 1/2 B. m = -1/2

C. m = 15/2 D. m = -15/2 Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích : Để đồ thị hàm số y = x3 + (m - 1)x + 5 cắt trục hoành tại điểm có hoành độ - 2 thì y(-2) = 0 ⇔ -8 - 2(m - 1)+ 5 = -2m - 1 = 0 ⇔ m = -1/2.

ương trình x3 + 3x2 - 2 = m + 1 có ba nghiệm phân biệt Câu 2: Giá trị của m để phươ là: A. -2 < m < 0 B. 2 < m < 4 C. -3 < m < 1 D. 0 < m < 3 Hiển thị đáp án Đáp án : C Giải thích : Xét hàm số y = x3 + 3x2 - m - 3

y'=3x2 +6x;f' (x)=0 ⇔ Dựa vào đặc trưng của đồ thị hàm số bậc ba, phương trình có ba nghiệm phân biệt khi yCĐyCT < 0 ⇔ y(0).y(-2) < 0 ⇔ (-m - 3).(-m + 1) < 0 ⇔ -3 < m < 1.

ủa tham số s m để Câu 3: Cho hàm số y = (x - 2)(x2 + mx + m2 -3). Tất cả giá trị của đồ thị hàm số đã cho cắtt trục hoành tại ba điểm phân biệt là:

A. -2 < m < -1 B.

C. -1 < m < 2 D. Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích : Phương trình hoành độ giao điểm (x - 2)(x2 + mx + m2 - 3) = 0

⇔

ương trình (1) có hai nghiệm phân biệtt khác 2 Yêu cấu bài toán ⇔ Phương

Câu 4: Với giá trị nào của tham ssố m thì phương trình x4 - 4x2 + 3 + m = 0 có 4 nghiệm phân biệt? A. -1 < m < 3 B. -3 < m < 1 C. 2 < m < 4 D. -3 < m < 0 Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích : Dùng phương pháp cô lập m đối với bài toán này. Ta có x4 - 4x2 + 3 + m = 0 ⇔ m = -x4 + 4x2 - 3

Xét hàm số f(x) = -x4 +4x2 -3;f' (x)=-4x3 +8x;f' (x)=0⇔ Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình có 4 nghiệm phân biệt thì -3 < m < 1. Câu 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = x3 - mx2 + 4 ểm phân bi biệt cắt trục hoành tại ba điểm A. m ≠ 0 B. m > 3 C. m ≠ 3 D. m > 0 Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích : Đối với dạng bài này ta không cô lập được m nên bài toán được giải giả quyết theo hướng tích hai cực trị.

Ta có y' = 3x2 - 2mx = x(3x - 2m); y' = 0 ⇔ Hàm số có hai cực trị ⇔ y' = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ 2m/3 ≠ 0 ⇔ m ≠ 0 Yêu cầu bài toán ⇔ yCĐyCT < 0⇔ y(0).y(2m/3) < 0 ⇔ 4.(-(4m3 )/27 + 4) < 0 ⇔ m > 3. Câu 6: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = x3 - mx2 + 4 ới tr trục hoành có đúng hai điểm chung với A. m = 1/6 B. m = ∛2 C. m = 1/∛2 D. m = √3 Hiển thị đáp án Đáp án : C Giải thích :

Ta có y' = 3x2 - 6mx = 3x(x - 2m);y' = 0⇔

tr bằng 0 Yêu cầu bài toán ⇔ hàm số có hai cực trị và tích hai cực trị

⇔

Câu 7: Tất cả giá trị của ủa tham ssố m để đồ thị (C):y = x4 cắt đồ thịị (P): y = (3m + m phân bi biệt là 4)x2 - m2 tại bốn điểm A. m ∈(-∞; -4) ∪ (-5/4; 0) ∪ (0; +∞) B. m ∈ (-1; 0) ∪ (0; +∞)

C. m ∈ (-4/5; 0)∪(0; +∞) D. m ∈ R\\{0} Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích : Phương trình hoành độ giao đđiểm x4 - (3m + 4)x2 + m2 = 0 (1)

ng trình trở thành t2 - (3m + 4)t + m2 = 0 (2) Đặt x2 = t (t ≥ 0), phương Để (1) có 4 nghiệm phân biệệt thì (2) có hai nghiệm phân biệt dương

trị của tham số m để đường thẳng ng d: y = x + m2 cắt Câu 8: Tập hợp tất cả các giá tr đồ thị hàm số (C): y = -x3 + 4x tại ba điểm phân biệt là: A. (-1; 1) B. (-∞; 1] C. R D. (-√2; √2)

Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích : Phương trình hoành độ giao đđiểm x3 - 3x + m2 = 0

Xét y = x3 - 3x; y' = 3x2 - 3; y' = 0 ⇔ Để phương trình có ba nghiệm phân biệt thì yCĐyCT < 0 ⇔ y(1)y(-1) < 0 ⇔ (m2 - 2)(m2 + 2) < 0 ⇔ -√2 < m < √2. Câu 9: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2x3 - 3x2 = 2m+ m phân bi biệt. 1 có đúng hai nghiệm A. m = -1/2;m = -1 B. m = -1/2;m = -5/2 C. m = 1/2;m = 5/2 D. m = 1;m = -5/2 Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích : Xét hàm số f(x) = 2x3 - 3x2 - 2m - 1

f' (x) = 6x2 - 6x; f'(x) = 0 ⇔

thị hàm số bậc ba, phương trình có đúng hai nghiệm Dựa vào đặc trưng của đồ th phân biệt khi

yCĐyCT = 0 ⇔ y(0).y(1) < 0 ⇔ (-2m - 1).(-2m - 2) = 0⇔

t hai Câu 10: Đường thẳng y = -x + m ccắt đồ thị hàm số (C): y = (2x + 1)/(x + 1) tại trị của m là: điểm phân biệt thì tất cảả các giá tr A. -1 < m < -1/2 B. -√3 < m < √3

C.

D. m ∈ R

Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích : Phương trình hoành đôô giao đđiểm (2x + 1)/(x + 1) = -x + m (1) Điều kiện x ≠ -1 Khi đó (1) ⇔ 2x + 1 = (-x + m)(x + 1) ⇔ x2 - (m - 3)x - m + 1 = 0 (2)

m phân bi biệt ⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt (d) cắt (C) tại hai điểm m phân bi biệt khác -1 ⇔ (2) có hai nghiệm

⇔ m2 - 2m + 5 > 0, ∀m ∈ R. Câu 11: Cho hàm số y = x3 - 6x2 + 9x có đồ thị như hình bên. Dựa vào đồ thị (C), ệt. tìm m để phương trình x3 - 6x2 + 9x - m = 0 có hai nghiệm phân biệt.

A. 0 < m < 4 B. m = 0 hoặc m = 4 C. -1 < m < 2 D. m = 3 hoặc m = 4 Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích : Biến đổi x3 - 6x2 + 9x - m = 0 ⇔ x3 - 6x2 + 9x = m Dựa vào đồ thị hàm số để phương trình x3 - 6x2 + 9x - m = 0 có hai nghiệm phân biệt thì m = 4 hoặc m = 3. Câu 12: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm các giá trị của m để phương trình f(x) = m có nghiệm duy nhất.

A. m > 2 hoặc m < -4 B. m < -1 hoặc m > 2 C. -4 < m < 0 D. m < -4 hoặc m > 0 Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích :

m phân biệt bi thì m > 0 Dựa vào đồ thị hàm số để phương trình f(x) = m có hai nghiệm hoặc m < -4. Câu 13: Tìm tất cả các giá tr trị của tham số m để phương trình x3 - 3x2 + 4 + m = 0 ơn 2. Biết rằng đồ thị của hàm số y = -x3 + 3x2 - 4 là có nghiệm duy nhất lớn hơ hình bên

A. m > 0 B. m ≤ -4 C. m < -4 D. m ≤ -4 hoặc m ≥ 0 Hiển thị đáp án Đáp án : C Giải thích : Biến đổi x3 - 3x2 + 4 + m = 0 ⇔ - x3 + 3x2 - 4 = m Dựa vào đồ thị hàm số để phương trình x3 - 3x2 + 4 + m = 0 có nghiệm duy nhất lơn hơn 2 thì m < -4. Câu 14: Cho hàm số y = -2x3 + 3x2 - 1 có đồ thị (C) như hình vẽ. Dùng đồ thị (C) suy ra tất cả giá trị tham số m để phương trình 2x3 - 3x2 + 2m = 0 (1) có ba nghiệm phân biệt là:

A. 0 < m < 1/2 B. -1 < m < 0 C. 0 ≤ m ≤ 1/2 D. -1 ≤ m ≤ 0 Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích : Biến đổi 2x3 - 3x2 + 2m = 0 ⇔ - 2x3 + 3x2 - 1 = 2m - 1 Dựa vào đồ thị hàm số để phương trình 2x3 - 3x2 + 2m = 0 (1) có ba nghiệm phân biệt thì -1 < 2m - 1 < 0 ⇔ 0 < m < 1/2 Câu 15: Cho hàm số y = f(x) có bbảng biến thiên như sau:

Tập hợp các giá trị thựcc của m để phương trình f(x) = m có ba nghiệm phân biệt là: A. [1; √2) B. (-1; √2) C. (1; √2) D. [-1; √2) Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích :

m phân biệt bi thì 1 ≤ Dựa vào bảng biến thiên để phương trình f(x) = m có ba nghiệm m<√2 Dạng 3: Tìm m để giao điểm ểm củ của hai đồ thị thoả mãn điều kiện

dụ A. Phương pháp giảii & Ví d - Về phương trình Phương trình bậcc hai y = ax2 + bx + c(a ≠ 0) - Định lí Viette: Nếu phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thì ta có:

- Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi P < 0

- Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi

- Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi -

Phương

trình

có

hai

nghiệm

phân

biệt

khác

xo khi

và

chỉ

khi - Các công thức cần nhớ

điểm: Với 2 điểm A(x1 , y1) và B(x2 , y2) tùy ý ta có: Độ dài đoạn thẳng nốii hai điể AB=√((x2 -x1 )2 +(y2 - y1)2 )

ểm đế đến một đường thẳng cho trước: Khoảng ảng cách từ t điểm Khoảng cách từ một điểm ẳng ∆: Ax + By + C = 0 đượcc tính theo công thức th M(xo , yo) đến đường thẳng d(M,∆)= |Axo + Byo + C|/√(A2 + B2 ) Diện tích tam giác: Trong một tam giác bất kỳ, ta có:

S = (1/2)aha = (1/2)bhb = (1/2)chc = abc/4R = pr Trong đó:

nh của tam giác và p = (a + b + c)/2 là nửaa chu vi. a,b,c là độ dài ba cạnh ha, hb, hc là độ dài của đường cao tương ứng với các cạnh a,b,c.

p tam giác. R,r lần lượt là bán kính củủa các đường tròn ngoại và nội tiếp ẳng ∆ đi qua A(a; b) và có hệ số góc k cho trước có dạng Phương trình đường thẳng y = k(x - a) + b Ví dụ minh họa

th (Cm). Tìm Ví dụ 1: Cho hàm số y = x4 - (3m + 2)x2 + 3m (m là tham số) có đồ thị ệ đều có hoành độ m để đường thẳng d:y=-1 cắt đồ thị hàm số tại 4 điểm phân biệt nhỏ hơn 2. Hướng dẫn: Phương trình hoành độ giao đđiểm của (Cm) và đường thẳng d x4 - (3m + 2)x2 + 3m = -1 ⇔ x4 - (3m + 2)x2 + 3m + 1 = 0

⇔

ểm phân bi biệt có hoành độ nhỏ hơn n 2 khi và chỉ khi Để d cắt (Cm) tại bốn điểm

ủa tham ssố m cần tìm là m = (-1/3; 1)\\{0} Vậy tập hợp các giá trị của

ng d: y = 2x - 1. Xác Ví dụ 2: Cho đồ thị (C):y = (mx - 1)/(x + 2) và đường thẳng ệt A, B sao cho định giá trị của tham sốố m để (C) cắt d tại hai điểm phân biệt AB=√10 Hướng dẫn: Phương trình hoành độ giao đđiểm (mx - 1)/(x + 2) = 2x - 1 (1) Điều kiện x ≠ -2 Khi đó (1) ⇔ mx - 1 = (2x - 1)(x + 2) ⇔ 2x2 - (m - 3)x - 1 = 0 (2)

m phân bi biệt A, B ⇔ (1) có hai nghiệm m phân biệt biệ (d) cắt (Cm) tại hai điểm m phân bi biệt khác -2 ⇔ (2) có hai nghiệm

Đặt A(x1 ; 2x1 - 1); B(x2 ; 2x2 - 1) với x1 ,x2 là hai nghiệm của phương trình (2)

Theo định lí Vi ét ta có Khi đó AB = √((x1 - x2)2 + 4(x1 - x2)2 ) = √10 ⇔ 5[(x1 + x2 )2 - 4x1 x2 ] = 10 ⇔ ((m - 3)/2)2 + 2 = 2 ⇔ m = 3 (thỏa mãn) Vậy giá trị cần tìm là m = 3

Ví dụ 3: Cho hàm số y = x3 - 2x2 + (1 - m)x + m có đồ thị (Cm). Xác định tất cả m phân biệt có hoành độ các giá trị của tham số m để (Cm) cắt trục Ox tại ba điểm 3 2 2 32 x1 ,x2 ,x thỏa mãn x1 +x2 +x =4. Hướng dẫn: Phương trình hoành độ giao đđiểm của (C) và đường thẳng d: x3 - 2x2 +(1 - m)x + m = 0 ⇔ (x - 1)(x2 - x - m) = 0

m phân bi biệt ⇔ phương trình g(x) = 0 có hai nghiệm phân (Cm) cắt Ox tại ba điểm biệt khác 1

Gọi x1 = 1 còn x2 ,x3 là nghiệm phương trình g(x) = 0 nên theo Viet ta có Vậy x12 + x22 + x32 = 4 ⇔ 1+(x2 +x3)2 -2x2 x3=4 ⇔ 1 + 12 + 2m = 4 ⇔ 2m - 2 = 0 ⇔ m = 1 B. Bài tập vận dụng

ng thẳ thẳng d: y = mx + 1 cắt đồ thị (H):y= (x + 1)/(x - 1) tại Câu 1: Tìm m để đường của đồ thị (H). hai điểm thuộcc hai nhánh củ ng thẳ thẳng d: y = mx + 1 cắt đồ thị (H):y= (x + 1)/(x - 1) tại Câu 1: Tìm m để đường của đồ thị (H). hai điểm thuộcc hai nhánh củ Hiển thị đáp án Phương trình hoành độ giao đđiểm của (d) và (H): (x + 1)/(x - 1) = mx + 1

Gọi A(x1;y1 ); B(xx2; yx2) lần lượt là giao điểm của (d) và (H) thì ta có x1, xx2 là c đồ các nghiệm của phương trình f(x) = 0. Đồng thời do A, B thuộcc hai nhánh của thị (H) nên ta phải có x1 < 1 < xx2 ⇔ (x1 - 1)(xx2 - 1) < 0 Khi đó f(x)=0 có hai nghiệm phân biệt x1, xx2 thỏa mãn (x1 - 1)(xx2-1) < 0

thỏa mãn yêu cầu đề bài là m = (0; +∞) Vậy tập hợp các giá trị m thỏ Câu 2: Cho hàm số y = x3-3x2+(m-1)x+1 có đồ thị (Cm). Tìm m để đồ thị (Cm) cắt đường thẳng d: y = -x + 1 tại ba điểm A(0; 1),B,C sao cho BC = √10 Hiển thị đáp án

Phương trình hoành độ giao đđiểm x3 - 3x2 + (m - 1)x + 1 = x + 1 (1) ⇔ x(x2 - 3x + m - 2) = 0

điểm phân biệt ⇔ (1) có ba nghiệm m phân biệt bi ⇔ (2) có (Cm) cắt trục hoành tạii ba điể hai nghiệm phân biệtt khác 0

Đặt B(x1; x1 + 1); C(xx2; xx2 + 1) với x1, xx2 là hai nghiệm củaa cuả phương trình (2)

Theo định lí Vi ét ta có

⇔ 9 - 4(m - 2) = 5 ⇔ m = 3 (thỏa mãn) Vậy giá trị m cần tìm là m = 3

ng d: y = kx + 2k + Câu 3: Cho hàm số y = (2x+1)/(x+1) (C). Tìm k để đường thẳng m phân biệt A, B sao cho khoảng cách từ A và B đến trục 1 cắt (C) tại hai điểm hoành bằng nhau. Hiển thị đáp án Phương trình hoành độ giao đđiểm của (C) vàà d: (2x + 1)/(x + 1) = kx + 2k + 1 (1) Điều kiện xác định x ≠ -1 Khi đó phương trình (1) ⇔ 2x + 1 = (x + 1)(kx + 2k + 1 )

m A, B phân biệt ⇔ (2) có hai ⇔ kx2+(3k - 1)x + 2k = 0 (2) d ccắt (C) tại hai điểm nghiệm phân biệt khác -1

Khi đó đặt A(x1; kx1 + 2k + 1);B(xx2; kxx2 + 2k + 1) với x1, xx2 là hai nghiệm của cuả phương trình (2)

Theo định lí Vi ét ta có

Ta có d(A; Ox) = d(B; Ox) ⇔ |kx1 + 2k + 1| = |kxx2 + 2k + 1|

⇔ k(x1+ xx2) + 4k + 2 = 0 ⇔ k = -3 Vậy k = -3 thỏa mãn yêu cầu bài toán

ng d: y = -2x + m Câu 4: Cho hàm số y = (2x+1)/(x+1) (C). Tìm m để đường thẳng m phân biệ biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích là √3 cắt (C) tại hai điểm Hiển thị đáp án Phương trình hoành độ giao đđiểm của (C) và d: (2x + 1)/(x + 1) = -2x + m (1) Điều kiện xác định x ≠ -1 Khi đó phương trình (1) ⇔ 2x + 1 = (x + 1)(-2x + m )

m A, B phân biệt bi ⇔ (2) có ⇔ 2x2 + (4 - m)x + 1 - m = 0 (2) d ccắt (C) tại hai điểm hai nghiệm phân biệt khác -1

Suy ra d luôn cắt (C) tạii hai đđiểm A, B phân biệt với mọi m. Gọi A(x1,y1 ),B(xx2,yx2 ) trong đó y1 = -2x1 + m; yx2 = -2xx2 + m và x1, xx2 là các nghiệm của (2).

Theo định lí Vi ét ta có

Tính :

được

Vậy các giá trị m cần tìm là m = 2; m = -2

ng d: y = x - 2m cắt Câu 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng đồ thị hàm số y= (x - 3)/(x + 1) (C) tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương. Hiển thị đáp án Phương trình hoành độ giao đđiểm (x - 3)/(x + 1) = x - 2m (x ≠ -1) ⇔ x - 3 = (x - 2m)(x + 1) ⇔ x2 - 2mx - 2m + 3 = 0 (*)

ương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt Yêu cầu bài toán ⇔ phương

Vậy giá trị tham số m cần tìm là 1 < m < 3/2

thẳng d: y = mx + 3n - 9 cắt đồ thị (H) của củ hàm số y = Câu 6: Tìm m, n để đường th ểm phân bi biệt A, B đối xứng qua gốc tọa độ O. (3x + 1)/(x - 1) tại hai điểm Hiển thị đáp án Do A, B đối xứng qua O nên đường thẳng d phải đi qua O tức là 3n - 9 = 0⇔ n = 3

thẳng d viết được dưới dạng y = mx Khi đó phương trình đường th Phương trình hoành độ giao đđiểm của (H) và d:

ểm phân bi biệt A, B thì phương trình f(x)=0 phải có hai Để d cắt (H) tại hai điểm nghiệm phân biệt x1,xx2 khác 1.

ứng qua O nên ta có x1+xx2=0⇔ (m + 3)/m = 0⇔ m = Mặt khác do A, B đối xứng 3(loại) thỏa mãn yêu cầu bài toán. Vậy không có giá trị nào của m th ng thẳ thẳng d: y = x - m cắt đồ thị (Cm): y = x3 + 3x2 + mx Câu 7: Tìm m để đường đ ểm phân bi biệt x1,2,3 sao cho biểu thứcc T = 2(x12 + 22 + 32 ) 3(m là tham số) tại ba điểm nhất. + 3x12 2232 - 5 đạt giá trịị nhỏ nh Hiển thị đáp án Phương trình hoành độ giao đđiểm của d và (Cm ): x3 + 3x2 + mx - 3 = x - m ⇔ x3 + 3x2 + (m - 1)x + m - 3 = 0

⇔ (x + 1)(x2 + 2x + m - 3) = 0 ⇔

ểm phân bi biệt thì phương trình f(x)=0 có hai nghiệm phân Để d cắt (Cm ) tại ba điểm biệt x1,xx2 khác -1 (ta đặt x1 = -1)

Theo định lí Vi ét ta có Do đó T = 2(x12 + xx22 + xx32) + 3x12xx22xx32 - 5 = 2(1 + xx22 + xx32 ) + 3xx22xx32 - 5 = 2 + 2[(xx2 + xx3)2 - 2xx2xx3] + 3xx22xx32-5 = 2 + 2[4 - 2(m - 3)] + 3(m - 3)2 - 5 = 3m2 - 22m + 44 = 3(m - 11/3)2 + 11/3 ≥ 11/3 Dấu bằng xảy ra khi m = 11/3. Vậy ta có min T = 11/3 và m = 11/3 là giá trị cần tìm.