Issuu

TÀI LIỆU CHUYÊN ĐỀ LỚP 12 MÔN TOÁN

vectorstock.com/10212081

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection DẠY KÈM QUY NHƠN EBOOK PHÁT TRIỂN NỘI DUNG

Chuyên đề Tích Phân và Số Phức đầy đủ năm 2020 - Giáo viên trường chuyên PDF VERSION | 2020 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM

Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

CHỦ ĐỀ 1: MỞ ĐẦU VỀ NGUYÊN HÀM I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM I. Vi phân của hàm số Vi phân của hàm số y  f  x  được ký hiệu là dy và cho bởi dy  df  x   ydx  f   x  dx II. Nguyên hàm 1. Định nghĩa Cho hàm số f  x  xác định trên K . Hàm số F  x  được gọi là nguyên hàm của f  x  trên K nếu F   x   f  x  với mọi x thuộc K .

2. Định lý Định lý 1: Nếu F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số G  x   F  x   C cũng là một nguyên hàm của f  x  trên K .

Định lý 2: Nếu F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên K thì mọi nguyên hàm của hàm số F  x  trên K đều có dạng F  x   C với C là một hằng số.

3. Tính chất của nguyên hàm Nếu f  x  và g  x  là hai hàm số liên tục trên K thì - Tính chất 1:  f   x  dx  f  x   C - Tính chất 2:  k . f  x  dx  k . f  x  dx , với k là số thực khác 0. - Tính chất 3:

  f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx

4. Bảng công thức nguyên hàm Bảng công thức nguyên hàm thường gặp Các công thức nguyên hàm n  x dx 

x n 1 C n 1

 n  1

Công thức nguyên hàm của hàm hợp n  u dx 

u n 1 C n 1

 n  1

 sin xdx   cos x  C

 sinu du   cosu  C

 cos xdx  sin x  C

 cos udu  sin u  C

 cos

 sin 1

dx  tan x  C

 cos

dx   cot x  C

 sin

 x dx  ln x  C

du  tan u  C du   cot u  C

 u du  ln u  C

 e dx  e x

x  a dx 

 e du  e

C

ax C ln a

u  a du 

C

au C ln a

Đặc biệt:  0dx  C ;  dx  x  C . II. CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   3 x  cos3 x A. 3 1  sin 3x   C .

3 x 2 sin 3 x  C. B. 2 3

3 x 2 sin 3 x  C . C. 2 3

D. 3 x 2  sin 3 x  C .

Lời giải Ta có:

  3x  cos3x  

3 x 2 sin 3 x   C . Chọn B. 2 3

Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   2 x  e x A. 2 ln 2  e  C . x

2x  ex  C . B. ln 2

C. 2

x 1

e

x 1

2 x 1  e x 1 C . D. x 1

C .

Lời giải Ta có:

 2

 e x dx   2 x dx   e x dx 

2x  e x  C . Chọn B. ln 2

Ví dụ 3: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   x 2 . x  A.

2 7 x  33 x  C . 7

7 7 13 x  x C . 2 3

1 3

trên khoảng  0;   2 5 x  33 x  C . 5

5 5 13 x  x C . 2 3

Lời giải

 1  dx Với x   0;   ta có:   x 2 . x  dx   x 2 . xdx    3 2 3 2 x  x  1

2

  x 2 .x 2 dx   x 3 dx   x 2 dx   x 3 dx 

2 7 x  3 3 x  C . Chọn A. 7

Ví dụ 4: [Đề thi THPT Quốc gia 2017] Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   A.

1 ln 5 x  2  C . 5

1 B.  ln 5 x  2  C . 2

C. 5ln 5 x  2  C . Lời giải

1 5x  2

D. ln 5 x  2  C .

Ta có

1 d 5x  2 1  ln 5 x  2  C . Chọn A. 5x  2 5

 5 x  2 dx  5 

Ví dụ 5: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   x 2  sin  3 x  1 A.

x 3 cos  3 x  1  C . 3 3

C. 3 x 2  3cos  3 x  1  C .

x 3 cos  3 x  1  C . 3 3

D. x 3  3cos  3 x  1  C . Lời giải

Ta có: 

  x

 sin  3 x  1 dx   x 2 dx   sin  3 x  1dx

x3 1 x3 cos 3 x  1   sin  3 x  1 d  3 x  1    C . Chọn B. 3 3 3 3

Ví dụ 6: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   A.

x 1  2x  C . 2 2e

1  e 2 x x

x 1  2x  C . 2 2e

C. 2 x 

1 C. 2e 2 x

D. 2 x 

1 C . 2e 2 x

Lời giải Ta có:

 f  x  

2 x

dx dx 1 2 x   e 2 x dx  2   e d  2 x  x 2 x 2

e 2 x 1  C  2 x  2 x  C . Chọn D. 2 2e

Ví dụ 7: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x    2 x  1 A.

 2 x  1

2020

C .

 2 x  1

2019

2020

C .

4040

 2 x  1

2020

C .

1010

D. 4038  2 x  1

2018

C .

Lời giải Ta có:

 f  x     2 x  1

1 1  2 x  1 2019 dx    2 x  1 d  2 x  1  . 2 2 2020

2020

2019

 2 x  1 C 

2020

4040

 C . Chọn B.

Ví dụ 8: [Đề thi THPT Quốc gia 2017] Nguyên hàm của hàm số f  x   x 3  x là: A. x 4  x 2  C .

B. 3 x 2  1  C .

C. x 3  x  C .

1 4 1 2 x  x C . 4 2

Lời giải Ta có:

 f  x dx   x dx   xdx  4 x 3



1 2 x  C . Chọn D. 2

Ví dụ 9: Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   2cos3 x  3x 1 thỏa mãn F  0   0 . Tìm F  x 

2sin 3 x 3x 1 1   A. F  x   . 3 ln 3 3ln 3

C. F  x  

2sin 3 x 3x 1 1   B. F  x    . 3 ln 3 3ln 3

2sin 3 x 3x 1   . 3 ln 3 3ln 3

D. F  x   

2sin 3 x 3x 1   . 3 ln 3 3ln 3

Lời giải Ta có: F  x    f  x  dx   2cos3 xdx   3x 1dx  Mặt khác F  0   0   Vậy F  x  

2sin 3 x 1 x 2sin 3 x 3x   3 dx    C 3 3 3 3ln 3

1 1 C  0  C  3ln 3 3ln 3

2sin 3 x 3x 1   . Chọn A. 3 3ln 3 3ln 3

Ví dụ 10: [Đề thi THPT Quốc gia 2017] Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   e x  2 x thỏa mãn F  0  

3 . Tìm F  x  . 2

A. F  x   e x  x 2 

3 . 2

B. F  x   2e x  x 2 

1 . 2

C. F  x   e x  x 2 

5 . 2

D. F  x   e x  x 2 

1 . 2

Lời giải Ta có F  x     e x  2 x  dx  e x  x 2  C Mà F  0 

3 3 1 1  1  C   C   F  x   e x  x 2  . Chọn D. 2 2 2 2

2 1  , f  0   1 và f 1  2 . Ví dụ 11: Cho hàm số f  x  xác định trên  \   và thỏa mãn f   x   2x 1 2

Giá trị của biểu thức f  1  f  3 bằng: A. 4  ln15 .

B. 2  ln15 .

C. 3  ln15 . Lời giải

Ta có:

 f   x  dx  ln 2 x  1  C

Nếu x 

1 1   x   . Hàm số gián đoạn tại điểm x  2 2 

1  f  x   ln  2 x  1  C1 mà f 1  2  C1  2 2

Vậy f  x   ln  2 x  1  2 khi x 

1 2

Tương tự f  x   ln  2 x  1  C2 khi x 

1 mà f  0   1  C2  1 2

Do đó f  1  f  3  ln 3  1  ln 5  2  ln15  3 . Chọn C.

D. ln15 .

Ví dụ 12: Cho hàm số

f  x  xác định trên  \ 1 và thỏa mãn

f  x 

3 , f  0   1 và x 1

f 1  f  2   2 . Giá trị f  3 bằng:

A. 1  2 ln 2 .

B. 1  ln 2 .

D. 2  ln 2 .

C. 1. Lời giải

Ta có

 f   x  dx  3ln x  1  C  x  1

Nếu x  1  f  x   3ln  x  1  C1 mà f  0   1  C1  1 Vậy f  x   3ln  x  1  1 khi x  1 Tương tự f  x   3ln   x  1  C2 khi x  1 Do f 1  f  2   2  3ln 2  1  C2  2  C2  1  3ln 2 Suy ra f  3  3ln 2  1  3ln 2  1 . Chọn C. Ví

dụ

13:

Biết

rằng

F  x    ax3  bx 2  cx  d  e x

là

một

nguyên

hàm

f  x    2 x3  9 x 2  2 x  5  e x . Tính a 2  b 2  c 2  d 2

A. 244.

B. 247.

C. 245. Lời giải

Ta có: F   x    3ax 2  2bx  c  e x   ax3  bx 2  cx  d  e x   ax 3   3a  b  x 2   2b  c  x  c  d  e x

a  2 a  2 3a  b  9 b  3   Do đó    a 2  b 2  c 2  d 2  246 . Chọn D. 2b  c  2 c  8 c  d  5 d  13

D. 246.

của

hàm

số

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: (Đề tham khảo – Bộ GD & ĐT năm 2018) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   3 x 2  1 A. x3  C

x3  xC 3

D. x 3  x  C

C. 6x  C

Câu 2: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   7 x A.  7 x dx  7 x ln 7  C C.  7 x dx 

7x C ln 7

B.  7 x dx  7 x 1  C D.  7 x dx 

7 x 1 C x 1

Câu 3: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   cos3 x sin 3 x C 3

A.  cos3 xdx  3sin 3 x  C

B.  cos3 xdx 

C.  cos3 xdx  sin 3 x  C

D.  cos3 xdx  cos3 x  C

Câu 4: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   2sin x A.  2sin xdx  2 cos x  C

B.  2sin xdx  sin 2 x  C

C.  2sin xdx  sin 2 x  C

D.  2sin xdx  2 cos x  C

Câu 5: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017) Tìm nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   sin x  cos x thỏa  mãn F    2 2

A. F  x   cos x  sin x  3

B. F  x    cos x  sin x  3

C. F  x    cos x  sin x  1

D. F  x    cos x  sin x  1

Câu 6: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017) Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn f   x   3  5sinx và f  0   10 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. f  x   3 x  5cos x  5

B. f  x   3 x  5cos x  2

C. f  x   3 x  5cos x  2

D. f  x   3 x  5cos x  15

Câu 7: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017) Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   e x  2 x thỏa mãn F  0  

3 . Tìm F  x  . 2

A. F  x   e x  x 2 

3 2

B. F  x   2e x  x 2 

C. F  x   e x  x 2 

5 2

D. F  x   e x  x 2 

1 2

Câu 8: (Đề thi thử nghiệm – Bộ GD & ĐT năm 2018) Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x 

1 và F  2   1 . Tính F  3 x 1

A. F  3  ln 2  1

B. F  3  ln 2  1

C. F  3 

1 2

D. F  3 

7 4

Câu 9: (Sở GD & ĐT TP Hồ Chí Minh Cụm 1 năm 2017) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   x  2 x A. C.

2x C ln 2

x2  2 x ln 2  C 2



f  x  dx  1 



f  x  dx 



f  x  dx 

x2 2x  C 2 ln 2



f  x  dx 

x2  2x  C 2

Câu 10: (Sở GD & ĐT TP Hồ Chí Minh năm 2017) Hàm số F  x   2sin x  3cos x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây? A. f  x   2 cos x  3sin x

B. f  x   2 cos x  3sin x

C. f  x   2 cos x  3sin x

D. f  x   2 cos x  3sin x

1 x Câu 11: (Sở GD & ĐT TP Hồ Chí Minh năm 2017) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x    x  sin  2 2 1

 f  x  dx  4 x

x  cos  C 2

 f  x  dx  x

1 x  cos  C 2 2

 f  x  dx  4 x

1 x  cos  C 2 2 2

1 x  cos  C 4 2

Câu 12: (Sở GD & ĐT TP Hồ Chí Minh năm 2017) Hàm số F  x   2sin x  3cos x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây? A. f  x   2 cos x  3sin x

B. f  x   2 cos x  3sin x

C. f  x   2 cos x  3sin x

D. f  x   2 cos x  3sin x

Câu 13: (Sở GD & ĐT TP Hồ Chí Minh năm 2017) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   1

 f  x  dx  2 ln  2 x  1  C

 f  x  dx    2 x  1

 f  x  dx  ln 2 x  1  C

 f  x  dx  2 ln 2 x  1  C

C

Câu 14: (Sở GD & ĐT TP Hồ Chí Minh năm 2017) Cho

 f  x  dx  F  x   C . Với

nào sau đây đúng? A.

 f  ax  b  dx  F  ax  b   C

1 2x 1

 f  ax  b  dx  aF  ax  b   C

a  0 , khẳng định

 f  ax  b  dx  ax  b F  ax  b   C

 f  ax  b  dx  a F  ax  b   C

Câu 15: (Sở GD & ĐT TP Hồ Chí Minh năm 2017) Tìm nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   e x 1  3e 2 x 

A. F  x   e x  3e 3 x  C

B. F  x   e x  3e  x  C

C. F  x   e x  3e  x  C

D. F  x   e x  3e 2 x  C

Câu 16: (Sở GD & ĐT TP Hồ Chí Minh năm 2017) Gọi F  x  là một nguyên hàm của hàm số   f  x   cos5 x cos x thỏa mãn F    0 . Tính F   . 3 6

3  A. F     6  12

3  C. F    6 8

 B. F    0 6

3  D. F    6 6

Câu 17: (THPT Chuyên Biên Hòa – Hà Nam năm 2017) Cho hàm số f  x  thỏa mãn f   x   1  4sin 2 x  và f  0   10 . Tính f   4   A. f     10 4 4

  B. f     12 4 4

  C. f     6 4 4

  D. f     8 4 4

Câu 18: (Sở GD & ĐT Hải Dương năm 2017) Cho hàm số f  x   2 x  sin x  2 cos x . Tìm nguyên hàm F  x  của hàm số f  x  thỏa mãn F  0   1

A. F  x   x 2  cos x  2sin x  2

B. F  x   2  cos x  2sin x

C. F  x   x 2  cos x  2sin x

D. F  x   x 2  cos x  2sin x  2

Câu 19: (Sở GD & ĐT TP Bình Dương năm 2017) Tìm nguyên hàm của hàm f  x   cos 2 x A.

x sin 2 x  C 2 4

x cos 2 x  C 2 4

x cos 2 x  C 2 4

x sin 2 x  C 2 4

Câu 20: (THPT Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm – Quảng Ngãi lần 1 năm 2017) Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm f  x   4 x thỏa mãn F 1  A. F  2  

9 ln 2

B. F  2  

2 . Tìm F  2  . ln 2

3 ln 2

C. F  2  

8 ln 2

D. F  2  

7 ln 2

Câu 21: (THPT Chuyên Bến Tre năm 2017) Biết rằng F  x  là một nguyên hàm của hàm f  x   e 2 x thỏa mãn F  0  

3 1 . Tính F   . 2 2

1 1 A. F    e  2 2 2

1 1 B. F    e  1 2 2

1 1 1 C. F    e  2 2 2

1 D. F    2e  1 2

Câu 22: (Sở GD & ĐT TP Hồ Chí Minh Cụm 1 năm 2017) Biết một nguyên hàm của hàm số y  f  x  là F  x   x 2  4 x  1 . Tính giá trị của hàm số y  f  x  tại x  3

A. f  3  6

B. f  3  10

C. f  3  22

D. f  3  30

Câu 23: (Sở GD & ĐT TP Hồ Chí Minh Cụm 7 năm 2017) Cho biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  . Tìm I    3 f  x   1 dx A. I  3F  x   1  C

B. I  3 xF  x   1  C

C. I  3 xF  x   x  C

D. I  3F  x   x  C

1  Câu 24: (Đề tham khảo – Bộ GD & ĐT năm 2018) Cho hàm số f  x  xác định trên  \   thỏa mãn 2

f  x 

2 ; f  0   1 và f 1  2 . Tính P  f  1  f  3 2x 1

A. P  4  ln15 Câu 25: Biết

B. P  2  ln15

C. P  3  ln15

D. P  ln15

f  x    ax 2  bx  c  e  x là một nguyên hàm của hàm số g  x   x 1  x  e  x . Tính

S  a  2b  2015c

A. S  2019

B. S  2018

C. S  2017

D. S  2017

Câu 26: Giả sử F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   4 x  1 . Đồ thị hàm số y  F  x  và y  f  x  cắt nhau tại một điểm trên trục tung. Tìm tọa độ điểm chung của hai đồ thị y  F  x  và y  f  x  5  A.  0; 1 và  ;3  2 

Câu

27:

(THPT

5  B.  0; 1 và  ;8  2 

Chuyên

Phan

Bội

8  C.  0; 2  và  ;14  3 

Châu

–

Nghệ

5  D.  0; 1 và  ;9  2 

2017)

Cho

hai

hàm

số

F  x   ax3   a  b  x 2   2a  b  c  x  1 và f  x   3 x 2  6 x  2 . Biết rằng F  x  là một nguyên hàm của f  x  . Hãy tính tổng S  a  b  c

A. S  5

B. S  4

C. S  3

D. S  2

Câu 28: Gọi F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   3 x  2 thỏa mãn F  3  biểu thức T  2 A. T  2

log13 F 10 

log13 F  6 

3

B. T  3

C. T  5

Câu 29: Gọi F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   F  x   1  x có nghiệm duy nhất dạng x 

A. a  b  2

7 . Tính giá trị của 4

B. a  b  7

D. T  10 1 thỏa mãn F  0   0 . Biết phương trình 2x 1

a b , với a, b nguyên dương. Tìm a  b 2

C. a  b  5

D. a  b  6

Câu 30: (THPT Lương Đắc Bằng – Thanh Hóa năm 2017) Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số 1 f  x   e3 x 1 thỏa mãn F  0   . Tính ln 3 3F 1  3

A. ln 3 3F 1   64

B. ln 3 3F 1   8

C. ln 3 3F 1   81

D. ln 3 3F 1   27

Câu 31: Tìm một nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   4 x.22 x 3 thỏa mãn F  0   biểu thức A 

ln 2 F 1

2 . Tính giá trị của ln 2

210

A. A  1

B. A  8

C. A  16

D. A  32

Câu 32: Cho f   x   2 x  1 và f 1  5 . Phương trình f 1  5 có hai nghiệm x1 , x2 . Tính tổng S  log 2 x1  log 2 x2

A. S  0

B. S  1

C. S  2

D. S  3

Câu 33: Hàm số F  x  là nguyên hàm của f  x   1  x  ln  x 2  1 . Hỏi hàm số F  x  có bao nhiêu điểm cực trị? A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Câu 34: Hàm số F  x  là nguyên hàm của f  x    x 2  x  1 1  cos 2 x  . Hỏi hàm số F  x  có bao nhiêu điểm cực trị? A. Vô số

B. 1

C. 2

D. 3

Câu 35: Hàm số F  x  là nguyên hàm của f  x   25 x  2017.5 x  2018 . Hỏi hàm số F  x  có bao nhiêu điểm cực trị? A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Câu 36: Hàm số F  x  là nguyên hàm của f  x   x  log 2 x  log x3  3 . Hỏi hàm số F  x  có bao nhiêu điểm cực trị? A. 0

B. 1

Câu

37: (THPT Chuyên

f  x 

x2 1  x3





x 1 x

A. A  B  2



C. 2 Thái Nguyên có dạng A 1  x3 

B. A  B 

8 3

2017) Giả sử

D. 3 một nguyên hàm của hàm số

B . Tìm A  B 1 x

C. A  B  2

D. A  B  

8 3

Câu 38: Gọi F  x    ax3  bx 2  cx  d  e x là một nguyên hàm của hàm số f  x    2 x3  9 x 2  2 x  5  e x . Tính T  a 2  b 2  c 2  d 2 A. T  244

B. T  247

C. T  245

D. T  246

Câu 39: (THPT Kim Liên – Hà Nội lần 2 năm học 2017) Biết F  x    ax 2  bx  c  e x là một nguyên hàm của hàm số f  x   x 2 e x . Tìm a, b, c A. a  1, b  2, c  2

B. a  2, b  1, c  2

C. a  2, b  2, c  1

D. a  1, b  2, c  2

Câu 40: (Sở GD & ĐT TP Hồ Chí Minh năm 2017) xác định hệ số a, b, c để hàm số F  x    ax 2  bx  c  e  x là một nguyên hàm của hàm số f  x    x 2  3 x  2  e  x .

A. a  1, b  1, c  1

B. a  1, b  5, c  7

C. a  1, b  3, c  2

D. a  1, b  1, c  1

Câu 41: Gọi F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x    x 2  1 thỏa F 1  2

28 . Tính giá trị của biểu 15

thức T  5 F  6   30 F  4   18 A. T  8526

B. T  1000

C. T  7544

D. T  982

1 2 Câu 42: Gọi F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x    2 x  3 thỏa F  0   . Tính giá trị của biểu 3

thức T  log 2 3F 1  2 F  2  A. T  2

B. T  4

C. T  10

D. T  4

LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1:

  3x

 1 dx  x3  x  C . Chọn D.

Câu 2:  7 x dx  

7x  C . Chọn C. ln 7

Câu 3:  cos3 xdx 

sin 3 x  C . Chọn B. 3

Câu 4:  2sin xdx  2 cos x  C . Chọn D.  Câu 5: F  x     sin x  cos x dx   cos x  sin x  C  F    1  C  2  C  1 . Chọn D. 2

Câu 6: f  x     3  5sinx dx  3 x  5cos x  C  f  0  5  C  10  C  5 . Chọn A. Câu 7: F  x     e x  2 x  dx  e x  x 2  C  F  0   1  C  Câu 8: F  x    Câu 9:

3 1  C  . Chọn D. 2 2

1 dx  ln x  1  C  F  2   C  1  F  3  1  ln 2 . Chọn B. x 1 2

x 2   x  2  dx  2  ln 2  C . Chọn B. x

Câu 10: F   x   2 cos x  3sin x . Chọn A. Câu 11:

1 x 1  x2 x 1 2 x x  sin dx    2cos   C  x  cos  C . Chọn A.   2  2 2 2 2 4 2

Câu 12: F   x   2 cos x  3sin x . Chọn A. 1

Câu 13:

 2 x  1 dx  2 ln 2 x  1  C . Chọn D.

Câu 14:

 f  ax  b  dx  I   f  t  d 

  f  ax  b  d  ax  b  

1 1  F  ax  b   C   F  ax  b   C . Chọn D. a a

Câu 15: f  x   e x 1  3e 2 x   e x    f  x dx  e x  

Câu 16: f  x  

1  t b  1    f  t  dt   f  x  dx a  a a

ax  b t

e 

x 2

3 ex

d ex   ex 

3  C . Chọn B. ex

1 1 cos  5 x  x  cos  5 x  x    cos 6 x  cos 4 x  2 2

1 sin 6 x 1 sin 4 x  F  x    f  x  dx  .  . C 2 6 2 4

3 3 3   . Chọn C.  F  C  0 C   F  16 16 3 6 8

Câu 17: f  x    1  4sin 2 x dx  x  2cos 2 x  C mà f  0   10  C  8   Do đó ta có f     8 . Chọn D. 4 4

Câu 18: F  x     2 x  sin x  2 cos x dx  x 2  cos x  2sin x  C . Chọn D. Câu 19:  cos 2 xdx  

1  cos 2 x x 1 dx   sin 2 x  C . Chọn D. 2 2 4

4x 3 1 4x 1  C mà F 1  C   F  x   Câu 20: F  x    4 dx  ln 4 ln 2 ln 2 ln 4 ln 2 x

42 1 9   Do đó suy ra F  2   . Chọn A. ln 4 ln 2 ln 2 1 3 1 Câu 21: F  x    e 2 x dx  e 2 x  C mà F  0    C  1  F  x   e 2 x  1 2 2 2 1 1 Do đó suy ra F    e  1 . Chọn B. 2 2

Câu 22: f  x    F  x    2 x  4  F  3  10 . Chọn B. Câu 23: I  3 f  x  dx   dx  3F  x   x  C . Chọn D. Câu 24: f  x   

2 dx  ln 2 x  1  C 2x 1

1  Trên  ;    f  x   ln  2 x  1  C1  f 1  C1  3  f  3   2  ln 5 2  1  Trên  ;   f  x   ln 1  2 x   C2  f  0   C2  1  f  1  1  ln 3  P  3  ln15 . Chọn C. 2 

Câu 25: F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   f  x   F   x  Ta có

F   x    2ax  b  e   ax 2  bx  c  e  x   ax 2   2a  b  x  b  c  e  x

Mà f  x     x  x  e 2

x

a  1 a  1    2a  b  1  b  1 . Vậy S  2018 . Chọn A. b  c  0 c  1  

Câu 26: F  x    f  x  dx    4 x  1 dx  2 x 2  x  C Phương trình hoành độ giao điểm của  C1  ;  C2  là 2 x 2  x  C  4 x  1  2 x 2  5 x  C  1  0 mà  C1  cắt  C2  tại điểm thuộc Oy  x  0  C  1

 x  0  y  0   1 5   Do đó 2 x  5 x  0   . Vậy tọa độ cần tìm là  0; 1 và  ;9  . Chọn D. 5 5 x   y   9 2   2 2 2

Câu 27:

 f  x dx    3x

 6 x  2 dx  x3  3 x 2  2 x  C

a  1 a  1; a  b  3  Mà F  x   ax   a  b  x   2a  b  c  x  1    b  2 . Chọn A. 2a  b  c  2; C  1  c  2 3

Câu 28: F  x    f  x dx   3 x  2dx  Khi đó F  x  

7 33 4  x  2   C mà F  3   C  1 4 4

33 4  x  2   1  T  5 . Chọn C. 4

Câu 29: F  x    f  x  dx  

dx  2 x  1  C mà F  0   0  C  1 2x 1

Khi đó F  x   2 x  1  1 nên F  x   1  x  x  x  1  x 

a  1 1 5 a  b   2 2 b  5

Vậy tổng a  b  6 . Chọn D. 1 1 Câu 30: F  x    f  x  dx   e3 x 1dx  e3 x 1  C mà F  0    C  0 3 3

1 e4 Do đó F  x   e3 x 1  F 1   3F 1  e 4  ln 3 3F 1  ln 3 e 4  64 . Chọn A. 3 3

Câu 31: f  x   22 x.22 x 3  24 x 3  F  x    24 x 3 dx  Mà F  0  

24 x 3 C ln 2

24 x 3 25 2   A  32 Chọn D.  C  0 . Do đó F  x   ln 2 ln 2 ln 2

Câu 32: f  x    f   x  dx    2 x  1 dx  x 2  x  C mà f 1  5  C  3

x  1 Do đó f  x   x 2  x  3  5  x 2  x  2  0   . Vậy S  1 . Chọn B.  x  2

1  x  0 Câu 33: F   x   f  x   1  x  ln  x 2  1   2 x  0 Mà F   x  không đổi dấu khi đi qua x  0  x  1 là điểm cực trị. Chọn B.  1 5  1 5 x  x   2 Câu 34: F   x   f  x    x 2  x  1 1  cos 2 x   0    2  cos 2 x  1  x    2

Mà F   x  không đổi dấu khi đi qua x 

 1 5  F x  0  x  . 2 2

Vậy hàm số đã cho có hai điểm cực trị. Chọn C. Câu 35: F   x   f  x   25 x  2017.5 x  2018 có hai nghiệm phân biệt.

Hàm số F  x  có hai điểm cực trị. Chọn C. x  0  Câu 36: F   x   f  x   x.  log x   3.log x  3   3  21   log x  3  2

Hệ phương trình trên có hai nghiệm  Hàm số F  x  có hai điểm cực trị. Chọn C. Câu 37: Vì F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x   f  x   F   x  Ta có F   x   3 A

1  B   3 . 1 x  2  x 1 x





mà f  x  

x2 1 x





x 1 x



1 3 A  1  1 8  A   Nên suy ra  B  3 . Vậy A  B    2   . Chọn D. 3 3  2  1  B  2 Câu 38: Vì F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x   f  x   F   x  Ta có F   x    ax3   3a  b  x 2   2b  c  x  d  e x mà f  x    2 x3  9 x 2  2 x  5  e x

a  2;3a  b  9 a  2; b  3 Nên suy ra  . Vậy T  246 . Chọn D.  2b  c  2; d  5 c  8; d  5 Câu 39: Vì F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x   f  x   F   x  Ta có F   x    2ax  b  e x   ax 2  bx  c  e x   ax 2   2a  b  x  b  c  e x

a  1 a  1   Mà f  x   x e  2a  b  0  b  2 . Chọn D. b  c  0 c  2   2 x

Câu 40: Vì F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x   f  x   F   x  Ta có F   x    2ax  b  e  x   ax 2  bx  c  e  x   ax 2   2a  b  x  b  c  e  x Mà f  x    x  3 x  2  e 2

x

a  1 a  1    2a  b  3  b  1 . Chọn A. b  c  2 c  1  

Câu 41: Ta có F  x    f  x dx    x 2  1 dx  2

x5 2 x3 28   x  C mà F 1  C 0 5 3 15

3772  F 4   x 2x  15 x  T  8526  2.3772  18  1000 . Chọn B. Do đó F  x    5 3  F  6   8526  5 5

Câu 42: F  x    f  x dx    2 x  3 dx  2

4 3 x  6x2  9x  C 3

14  4 3 1  F 1   14  2 3  T  log 2  3.  2.5   2 . Chọn A. Do đó F  x   x  6 x  9 x    3 3   3   F  2  5

CHỦ ĐỀ 2: PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN TÌM NGUYÊN HÀM I. Vi phân của hàm số Vi phân của hàm số y  f  x  được ký hiệu là dy và cho bởi dy  df  x   ydx  f   x  dx Ví dụ: d  sin x  cos x    sin x  cos x  dx   cos x  sin x  dx II. Một số công thức vi phân quan trọng (1). dx 

1 1 d  ax  b   d  b  ax  a a

(2). xdx 

1 1 1 d  x2   d  ax 2  b    d  b  ax 2  2 2a 2a

1 1 1 d  ax 3  b   d  b  ax 3  (3). x 2 dx  d  x 3   3 3a 3a

(4). sin x   d  cosx  

1 d  a cos x  b  a

(5). cos xdx  d  sinx  

1 d  a sin x  b  a

(6).

dx 1  d  tan x   d  a tan x  b  2 cos x a

(7).

dx 1  d  cot x   d  a cot x  b  2 sin x a

(8).

dx d 2 x

 x   1a d  a

(9). e x dx  d  e x  

1 d ba x a





1 1 d  ae x  b   d  b  ae x  a a

dx 1 1  d  ln x   d  a ln x  b   d  b  a ln x  x a a

(10).

Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm  A.



x b 

sin x  cos x dx. sin x  cos x

1  C. sin x  cos x

C. ln sin x  cos x  C.

1  C. sin x  cos x

D.  ln sin x  cos x  C. Lời giải:

Ta có  

sin x  cos x

cos x  sin x

 sin x  cos xdx   sin x  cos xdx  

(sin x  cos x) dx sin x  cos x

d  sin x  cos x    ln sin x  cos x  C. Chọn D. sin x  cos x

Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm I   1 A.  ln x 2  2 x  C. 2

x 1

 x2  2x 

dx.

1  C. 2x  4x

1  C. x  2x

23 2 x  1  C. 3

x

2

 2x

 C.

Lời giải: Ta có:



Áp dụng

x

x 1 2

 2x 

u



2 1 2x  2 1 d  x  2x dx   dx   2  x 2  2 x 2 2  x 2  2 x 2

1 1 C  I   C. Chọn B. 2 u 2( x  2 x)

Ví dụ 3: Tìm nguyên hàm I  

3 2 x 1  C 2

xdx 3

1  x 

2 2

33 2 x  1  C. 2

2 33 2 x  1  C.  2

Lời giải: Ta có: I  

xdx 3

1  x 

2 2

2 2 1 d  x  1 1      x 2  1 3 d  x 2  1 2 3 1  x2 2 2  

1 1 3  .3.  x 2  1 3  C  3 x 2  1  C. Chọn B. 2 2

Ví dụ 4: Hàm số nào sau đây không phải nguyên hàm của hàm số f  x   A. ln 2 x  2 cos x .

B. ln x  cos x  1.

1  sin x . x  cos x

1 2 C. ln  x  cos x  . 2

Lời giải: Ta có: F  x  

 x  cos x  dx  d  x  cos x   ln x  cos x  C 1  sin x dx    x  cos x x  cos x x  cos x

Với C  ln 2 ta được F  x   ln 2 x  2 cos x . Với C  1 ta được F  x   ln x  cos x  1. 1 2 Với C  0 ta được F  x   ln  x  cos x   ln x  cos x . 2

Đáp án sai là D. Chọn D.

D. ln  2 x  2 cosx  . 2

cos x   . Biết rằng F    1. 4sin x  3 2

Ví dụ 5: Giả sử F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   Tìm F  x  . A. F  x  

1 1 4sin x  3  . 2 2

C. F  x   

B. F  x   4sin x  3.

1 3 4sin x  3  . 2 2

D. F  x    4sin x  3  2. Lời giải:

Ta có: F  x    Áp dụng

d  sin x  cos xdx 1 d  4sin x  3    4sin x  3 4sin x  3 4 4sin x  3

du 1  u  C  F  x  4sin x  3  C 2 u

2

1 1   1 4sin x  3  . Chọn A. Do F     C  1  F  x   2 2 2 2

Ví dụ 6: Giả sử F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  

1 x  2  3ln x 

1 . Biết rằng F    1. e

Tìm F  x  . 1 2  . 9 ln x  6 3

A. F  x  

1 4  . 9 ln x  6 3

B. F  x  

C. F  x  

1  2. 3ln x  2

D. F  x  

1 . 3ln x  2

Lời giải: Ta có: F  x   

dx x  2  3ln x 



d  ln x 

 2  3ln x 



1 d  3ln x  2  1  C 2  3  2  3ln x  3 3ln x  2 

2 1 2  1  1  C 1 C   F x   . Chọn B. Do F    3 9 ln x  6 3  e  3

Ví dụ 7: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x  

x sin x   x  1 cos x . x sin x  cos x

A. x 2  ln x sin x  cos x  C.

B. x  ln x sin x  cos x  C.

 x sin x  cos x  C. x 

D. x  x sin x  cos x .

 C.

Lời giải: Nhận xét  x sin x  cos x   sin x  x cos x  sinx  x cos x Ta có:



x sin x   x  1 cos x x cosx x cos x   dx   1  dx  dx   dx   x sin x  cos x x sin x  cos x  x sin x  cos x 

x

d  x sin x  cos x   x  ln x sin x  cos x  C. Chọn B. x sin x  cos x

Ví dụ 8: Cho hàm số f  x  luôn dương và thỏa mãn f   x    2 x  1 . f  x  với mọi x   . Biết rằng f  2   16 . Gía trị của f 1 bằng: 5 B. . 2

A. 2.

C.4.

D. 5.

Lời giải: Ta có: f   x    2 x  1 . f  x  

f  x

f  x



Lấy nguyên hàm 2 vế ta có:

f  x

f  x

 2x 1

dx    2 x  1dx  

df   x  f  x

 x2  x  C

 2 f  x   x2  x  C

Thay x  2 ta có: 2. 6  22  2  C  C  2 Thay x  1 ta có: 2 f 1  12  1  2  f 1  4. Chọn C. Ví dụ 9: [Đề thi THPT Quốc gia năm 2008] Cho hàm số

f  x  thỏa mãn

2 f  2    và 9

f   x   2 x  f  x   với mọi x   . Giá trị của f 1 bằng: 2

A. 

35 . 36

2 . 3

19 . 36

2 . 15

Lời giải: f  x

Ta có: f   x   2 x  f  x    2

Lấy nguyên hàm 2 vế ta có:

 f  x  

 2x

d  f  x   1 dx   2 xdx     x2  C   x 2  C. 2 f  x  f  x   

f  x

  f  x 

2 9 1 1 1  x2  Mặt khác f  2      22  C  C   9 2 2 f  x 2

Thay x  1 ta được 

1 1 3 2  1    f 1   . Chọn B. f 1 2 2 3

Ví dụ 10: Cho hàm số f  x  luôn dương và thỏa mãn f   x   3 x 2 . f  x  với mọi x   . Biết rằng f  0   1 . Giá trị của f 1 bằng: A. 1.

B. e.

C. e 2 . Lời giải:

D. e3 .

Ta có: f   x   3 x 2 . f  x  

f  x  3x 2 f  x

Lấy nguyên hàm 2 vế ta có:

 f  x  dx   3x dx   f  x 

f  x

df   x 

 x3  C

 ln  f  x    x3  C (Do f  x   0x  )

Suy ra f  x   e x

C

. Do f  0   eC  1  C  0  f 1  e . Chọn B.

Ví dụ 11: Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn f  x  . f   x   3 x5  6 x 2 . Biết f  0   2. Tính giá trị f 2  2  . A. f 2  2   144.

B. f 2  2   100.

C. f 2  2   64.

D. f 2  2   81.

Lời giải: Ta có f  x  . f   x   3 x5  6 x 2   f  x  . f   x  dx    3 x5  6 x 2 dx 

f 2  x  x6 x6 3 f  x  d  f  x    2x  C    2 x 3  C  f 2  x   x 6  4 x 3  2C. 2 2 2

Mà f  0   2  f 2  0   4  2C  4  f 2  x   x 6  4 x3  4. Vậy f 2  2    x 6  4 x 3  4 

x2

 26  4.23  4  100 . Chọn B.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN x và F  0   1 . Tính F 1 . x 1

Câu 1: Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   A. ln 2  1.

1 ln 2  1. 2

D. ln 2  2.

C. 0.

Câu 2: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   x 1  x 2 . A.

1 2 x 1  x 2  C. 2



1 2 x 1  x2 3

  C. 3

1 3



  C. 3

1  x2

1 2 x 1  x 2  C. 3

Câu 3: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   cos5 x sin x. 1 A.  cos 6 x  C. 6

1 B.  sin 6 x  C. 6

1 cos 6 x  C. 6

1 D.  cos 4 x  C. 4

Câu 4: Tìm một nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   2 x  x 2  1 thỏa mãn F 1  6. 4

A. F  x   C. F  x  

x 2  x 2  1

5 x 2  x 2  1

2  . 5 2  . 5

B. F  x 

x 

D. F  x 

x 

 1

2  . 5

5 2

 1

2  . 5

Câu 5: Tìm một nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   x  x 2  1 thỏa mãn F  0   9

A. F  x   

10 1 2 x  1  1.  20

B. F  x  

C. F  x   2  x 2  1  1.

21 . 20

10 1 2 x  1  1.  20

D. F  x    x 2  1  2.

Câu 6: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   e3cos x .sin x. A.

1 3cos x e cos x  C. 3

1 B.  e3cos x  C. 3

C. 3e3cos x  C.

D. 3e3cos x cos x  C.

Câu 7: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   cos x sin x  1. A.

2 3

2 sin x  1  C. 3

 sin x  1

 C.

B.  D.

2 3

 sin x  1

 C.

2 3  sin x  1  C. 3

Câu 8: Tìm nguyên hàm F  x  của hàm số f  x    x 2  1 .e x

3 x

, biết rằng đồ thị của hàm số F  x  có điểm

cực tiểu nằm trên trục hoành. A. F  x   e

x3  3 x

e . 2

B. F  x  

3 x  2

1

Câu 9: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   xe x 1. 2

C. F  x  

3 x

 e2

D. F  x  

3 x

1

1 x2 e  C. 2

1 2 B.  e x  C. 2

1 2 C. e x 1  C. 2

Câu 10: Hàm số f  x   xe x có một nguyên hàm là F  x  thỏa F  0   2

1 x2 1 e  C. 2

1 . Tìm nghiệm của phương trình 2

2F  x   e x2 .

A. x  1 hoặc x  2.

B. x  0 hoặc x  2.

C. x  1 hoặc x  0.

D. x  0 hoặc x  2.

Câu 11: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   A.

ln 2 x  C. 4

ln x . 2x

ln 2 x  C. 2

ln 2 x  C. 4x

1  C. 2x2

x  1 Câu 12: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x      ln x.  x ln x 

ln 2 x  x 2  C. 2

A. ln 2 x  x 2  C.

ln 2 x  x 2  C. C. 2

 x2  2 D.  ln x   ln x  C. 2 ln x  

Câu 13: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   A. ln 2 x  C.

ln x . x

1 ln x  C. 2

Câu 14: Một nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   2 A. log 2  F  1   . 2

1 B. log 2  F  1   . 2

1 2 ln x  C. 2

x x2  1

1  C. x2

thỏa F  0   1 . Tính log 2  F  1  .

C. log 2  F  1   2.

D. log 2  F  1   2.

Câu 15: Tìm hàm số f  x  . Biết rằng f   x   x 1  x 2 và 2 f  1  3. A. f  x  

C. f  x  



1  x2



3 x2



1  x2 2

B. f  x  



 D. f  x  

 1.

Câu 16: Tìm một nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   A. F  x   x 2  2 x  5  2015. C. F  x  

1  x2  1. 3

 1.

x2  2x  5  2016. 2

1  x2



x 1 x2  2x  5

 1.

thỏa mãn F 1  2017.

B. F  x   2 x 2  2 x  5  2017. D. F  x  

2x  2 x2  2x  5

 2016.

Câu 17: Hàm số f  x   A. e

 7

 3.

3 x F 7 . có một nguyên hàm là F  x  thỏa F 1  ln 3. Tính e 2 x 2 2

B. e

 7

 9.

Câu 18: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   A. ln ln x  1  C.

1 3 x 2  2. B. C  3

 7

 27.

D. e

 7

 81.

1 . x ln x  x

B. ln ln x  1  C.

Câu 19: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   1 3 x 2  2  C. A. 3

C. e

C.  ln ln x  1  C. x 3x 2  2

D.  ln ln x  1  C.

1 3 x 2  2  C. C. 6

2 3x 2  2  C. D. 3

LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 2 x 1 d  x  1 1 Câu 1: F  x    2 dx    ln  x 2  1  C mà F  0   1  C  1 2 x 1 2 x 1 2

1 1 Do đó F  x   ln  x 2  1  1  F 1  ln 2  1. Chọn B. 2 2

Câu 2:

2  x 1  x dx 

3 1 1 2 2 1 2 2 2 C  1  x d 1  x  . x  1      2 2 3 3

x

 1  C. Chọn C. 3

1 Câu 3:  cos5 x sin xdx    cos5 xd  cos x    cos 6 x  C. Chọn A. 6

Câu 4: F  x    2 x  x 2  1 dx    x 2  1 d  x 2  1  4

5 1 2 x  1  C  5

x 2  1 2  2  . Chọn B. Mà F 1  6  C    F  x   5 5 5 5

Câu 5: F  x    x  x 2  1 dx  9

Mà F  0  

10 21 1  C  1  F  x    x 2  1  1. Chọn B. 20 20

Câu 6:  e3cos x sin xdx   Câu 7:

9 10 10 1 1 1 2 1 2 2 2 x  1 d x  1  . x  1  C  x  1 C         2 2 10 20

 cos x

1 3cos x 1 e d  3cos x    e3cos x  C. Chọn B.  3 3

sin x  1dx   sin x  1d  sin x  1 

Câu 8: F  x     x 2  1e x

3 x

dx 

2 3

 sin x  1

 C. Chọn A.

 x  1 1 x3  3 x 1 3 e d  x 3  3 x   e x 3 x  C. Ta có f  x   0    3 3 x  1 3

1 e x 3 x  2  1 . Do hàm số có cực tiểu nằm trên trục hoành nên F 1  0  C   2  F  x   3e 3e 2

Chọn B. Câu 9:

 xe

x 2 1

1 2 1 2 dx  e x 1d  x 2  1  e x 1  C. Chọn C. 2 2

Câu 10: F  x    xe x dx  2

1 x2 1 2 1 1 2 e d  x 2   e x  C. Mà F  0    C  0  F  x   e x  2 2 2 2

2  x  1 Ta có 2 F  x   e x  2  e x  e x  2  x 2  x  2   . Chọn A. x  2

Câu 11:

ln x

 2 x dx  2  ln xd  ln x   4 ln

x  C. Chọn A.

x  ln x 1 1 1 dx   xdx   ln xd  ln x    xdx  ln 2 x  x 2  C. Chọn B. Câu 12:     ln xdx   x 2 2  x ln x 

Câu 13:



ln x 1 dx   ln xd  ln x   ln 2 x  C. Chọn C. x 2

Câu 14: F  x   

2 1 d  x  1 dx    x 2  1  C mà 2 2 2 x 1 x 1

F 0   1  C  0  F  x   x2  1 1 Ta có F  1  2  log 2  F  1   log 2 2  . Chọn B. 2

Câu 15: f  x    x 1  x 2 dx 

1 1 1  x 2 d 1  x 2    2 3

3 Mà 2 f  1  3  f  1   C  1  f  x   2 Câu 16: F  x   

x 1 x  2x  5 2

dx  

2 3

1  x 

d  x 2  2 x  5 2 x  2x  5 2

1  x 

C

2 3

 1. Chọn A.

 x 2  2 x  5  C.

Mà F 1  2017  C  2015  F  x   x 2  2 x  5  2015. Chọn A. 2 3 x 1 d  x  2 1 Câu 17: F  x    2 dx    ln  x 2  2   C mà F 1  ln 3  C  ln 3 2 2 x 2 2 x 2 2

1 Do đó F  x   ln  x 2  2   ln 3  F 2

Câu 18: Câu 19:

 x ln x  x dx   ln x  1



x 3x 2  2

dx 

 7   2 ln 3  e  F



 e 2ln 3  9. Chọn B.

d  ln x  dx   ln ln x  1  C. Chọn A. x ln x  1

2 1 d  3x  2  1  3 x 2  2  C. Chọn A.  2 6 3 3x  2

CHỦ ĐỀ 3: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN TÌM NGUYÊN HÀM DẠNG 1. ĐỔI BIẾN SỐ HÀM SỐ VÔ TỈ (Đặt t = hàm theo biến x)  Mẫu 1: Đổi biến hàm số vô tỷ đơn giản Nguyên hàm

 f  x  dx trong đó f  x  

g  x  ta đặt t  n g  x   t n  g  x 

 nt n 1 dt  g   x  dx . Khi đó

 f  x  dx   h  t  dt.

 Mẫu 2: Nguyên hàm dạng

 f  a  dx. x

Ta đặt t  a x  dt  a x ln adx  dx   Mẫu 3: Nguyên hàm dạng Ta đặt t  ln x  dt 



f  t  .dt dt   f  a x  dx   . t.ln a t.ln a

f  ln x  dx x

1 dx. Khi đó x



f  ln x  dx x

  f  t  dt.

Chú ý: Nếu nguyên hàm Mẫu 2 và Mẫu 3 có chứa căn thức, ta nên đặt t bằng căn thức. Ví dụ với nguyên hàm I  

ln x.dx x ln x  1 2

ta nên đặt t  ln 2 x  1  t 2  ln 2 x  1.

1 1 tdt  2tdt  2 ln x. dx  tdt  ln x. dx. Khi đó I     dt  t  C  ln 2 x  1  C . x x t

Ví dụ 1: Tìm các nguyên hàm sau: a) I   x3 x 2  4dx. c) I  



x 1 x



x

b) I   x d) I  

 4  dx.

1 x x3  9

Lời giải a) Đặt t  x 2  4  t 2  x 2  4  2tdt  2 xdx  tdt  xdx. Khi đó I   x 2 x 2  4 xdx    t 2  4  t.tdt    t 4  4t 2  dt t 5 4t 3   C  5 3

x

 4 5



x

 4

 C.

b) Đặt t  x 2  4  t 2  x 2  4  2tdt  2 xdx  tdt  xdx. t5 Khi đó I   x  x 2  4 dx   t 3 .tdt   t 4 dt   C  5 3

c) Đặt t  x  t 2  x  2tdt  dx

x

 4 5

 C.

dx.

2  t  1  t  dt 2tdt 2dt 1  1    2    dt. 2   t  t  1 t  t  1 t 1  t   t t 1

Khi đó I  

 2 ln t  2 ln t  1  C  2 ln

t  C  2 ln t 1

x x 1

 C.

d) Đặt t  x3  9  t 2  x3  9  2tdt  3 x 2 dx Ta có: I   

1 x x3  9

dx  

3x 2 3x3 x3  9

dx  

2tdt

3  t 2  9  .t

2 dt 2 dt 1  t  3   t  3  dt 1  1 1          2  3 t  9 3  t  3 t  3 9 9 t 3 t 3  t  3 t  3

1 t 3 1  ln  C  ln 9 t 3 9

x3  9  3 x3  9  3

 C.

Ví dụ 2: Tìm các nguyên hàm sau: a) I  

2e x  1 dx. ex  1

b) I  

ln 2 x  1 dx. x ln x

c) I  

ln x. 2 ln x  1 dx. x

d) I  

ln x x. ln x  2

dx.

Lời giải a) Đặt t  e x  dt  e x dx  dt  tdx Khi đó

 2t  1 dt  2t  1 dt d  t 2  t  I   2  2  ln t 2  t t  t  1 t t t t

 C  ln  e 2 x  e x   C

 ln e x  ln  e x  1  C  x  ln  e x  1  C.

Cách 2: I  



d  e x  1 ex  1

 ex  2e x  1 ex  ex  1 e x dx dx  dx   1 dx   ex  1   e x  1   e x  1   dx ex  1

 x  ln  e x  1  x  C.

b) Đặt t  ln x  dt 

dx x

t2 1 t2 ln 2 x  1 dt    t   dt   ln t  C   ln ln x  C. Khi đó I   t 2 2  t

c) Đặt t  2 ln x  1  t 2  2 ln x  1  2tdt 

2dx dx  tdt  . x x

t2 1 1 t5 t3 4 2 tdt    t  t  dt    C Khi đó: I   2 2 10 6

 2 ln x  1

t 



 2 ln x  1 6

 C.

d) Đặt t  ln x  2  t 2  ln x  2  2tdt 

dx x

 ln x  2 

2 t2  2 2t 3 .2tdt  2  t 2  2  dt   4t  C  Khi đó I   t 3

 4 ln x  2  C.

Ví dụ 3: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) I1  

xdx

b) I 2   x 3 x 2  2dx

4x  1

x 2 dx

c) I 3  

1 x

Lời giải t 2  1 tdt 2tdt  4dx . xdx  2 4 2  1 t 2  1 dt 2   I1    a) Đặt t  4 x  1  t  4 x  1    t  t  t 8 4x  1 x   4   1  t3 1   tC  8 3 8  

 4 x  1

  4 x  1   C.  

b) Đặt t  x 2  2  t 2  x 2  2   x 2  t 2  2  2 xdx  2tdt   x3 dx  x 2 .xdx  t 2  2 .tdt

x

t5 t3 x  2.x dx   t. t  2 tdt    t  2t  dt   2.  C  5 3

I2  

 2



x

 2

C

dx  2tdt 1  t 2  tdt  x 2 dx 2 2  2   I3    2  c) Đặt t  1  x  t  1  x  x  1  t  2 2 t x  1  t 1  x    2

 2  1  t

I3  



2 2

  t 5 2t 3  dt  2   t  2t  1 dt  2    t   C  2   5 3    4

t5 t3 x 2  2.x 3 dx   t. t 2  2  tdt   2.  C  5 3

x

 2



1  x 

x

 2

2 1  x 



 C.

Ví dụ 4: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) I 4  

x 1 dx x

b) I 5  

dx 1  1  3x

Lời giải   2tdt  dx 2t 2 dt 2  I     2  a) Đặt t  x  1  t 2  x  1    dt 4 2  2 t 1  t  1 t  1  x  t 1 

  1 x   C  

I 4  2t 

t 1  C  2 x  1  ln t 1

x 1 1 x 1 1

C

2tdt  3dx 2tdt 2  1   b) Đặt t  1  3 x  t  1  3 x     1  t 2  1  I5    dt 3 1  t 3 t  1   x     3  2

I5 

2 2 t  ln t  1   C   3 3



1  3 x  ln 1  3 x  1



Ví dụ 5: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) I 6  

e 2 x dx

b) I 7  

1 e 1 x



x 1 x



Lời giải

2t  t 2  1 dt 2tdt  e x dx 2   a) Đặt t  e  1  t   e  1   x  I6    2  t 2  t  2   dt 2 1 t t 1  e  t  1 x

 t  t   2    2t  2 ln t  1   C  2  3 2    3

e

 1

ex  1   2 e x  1  2 ln 2



  e 1 1   C   x



2tdt  dx 2tdt 2 2 b) Đặt t  x   2  I7    C  C 2 1 t 1 x t 1  t  t  x

Ví dụ 6: Tìm nguyên hàm I   x x  1dx. A. I  C. I 

2  x  1 3x  2  x  1  C. 3

2  x  1

x 1

B. I  D. I 

 C.

2  x  1 3 x  2  x  1 15 3  x  1 3 x  2  x  1

Lời giải Đặt t  x  1  t 2  x  1  2tdt  dx 2t 5 2t 3 2t 3  C  3t 2  5 Ta có: I    t  1 t.2tdt    2t  2t  dt   5 3 15 2



2  x  1 3 x  2  x  1 15

 C. Chọn B.

Ví dụ 7: Tìm nguyên hàm I  

2x x2

dx.

 C.  C.

A. I 

4  x  4  x  2  C. 3

B. I 

2  x  2  x  2  C. 3

C. I 

2  x  4  x  2  C. 3

D. I 

4  x  2  x  2  C. 3

Lời giải Đặt t  x  2  t 2  x  2  2tdt  dx Khi đó I   

2 t 2  2 t

.2tdt    4t 2  8  dt 

4t 3 4  8t  C  t t 2  6   C 3 3

4 x  2  x  4   C. Chọn A. 3

Ví dụ 8: Tìm nguyên hàm I   A. I  ln



dx x23 x2



x  2  3  C.

C. I  x  2 ln



B. I  2 ln



x  2  3  C.

D. I 



x  2  3  C.

2 x2 ln  C. 3 x2 3

Lời giải Đặt t  x  2  t 2  x  2  2tdt  dx Khi đó I  

2tdt 2dt   2 ln t  3  C  2 ln t 3 t  3t 2

Ví dụ 9: Tìm nguyên hàm I  

xdx 1 x 1





x  2  3  C. Chọn B.

A. I 

2 3

 x  1

 x  C.

B. I 

2 3

 x  1

 2 x  1  C.

C. I 

3 2

 x  1

 x  1  C.

D. I 

1 3

 x  1

 x  1  C.

Lời giải Đặt t  x  1  t 2  x  1  2tdt  dx Khi đó I   

t

 1 .2tdt 1 t

2 3

 x  1

   t  1 .2tdt    2t 2  2t  dt 

 x 1 C 

Ví dụ 10: Tìm nguyên hàm I  

2 3

dx e 1 x

 x  1

2t 3 2 t C 3

 x  C. Chọn A.

ex A. I  ln x  C. e 1

ex  1 B. I  ln x  C. e

e2 x  C. C. I  ln x e 1

ex  C. D. I  2 ln x e 1 Lời giải

Đặt t  e x  dt  e x dx  tdx  dx  Khi đó I  

dt t

 t 1 t  dt 1  t 1    C  dt      dt  ln t  t  1 t 1  t t 1  t  t  1 

 ln

ex ex  C  ln  C. Chọn A. ex  1 ex  1

Ví dụ 11: Giả sử F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  

ex . e 2 x  2e x  1

Biết rằng F  0   0, tìm F  x  A. F  x  

1 1  . e 1 2

B. F  x   ln  e x  1  ln 2.

C. F  x  

1 1  . e 1 2

D. F  x    ln  e x  1  ln 2.

Lời giải e x dx Ta có: F  x    2 x . Đặt t  e x  dt  e x dx x e  2e  1

Khi đó

d  t  1 e x dx dt 1  e2 x  2e x  1   t 2  2t  1   t  12  t  1  C

Do đó F  x  

1 1 1  C , do F  0   0  C  0  C  2 2 e 1

Suy ra F  x  

1 1  . Chọn C. e 1 2

Ví dụ 12: Giả sử F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   e x  1.e 2 x . Biết rằng F  0   0, tìm F  x  A. F  x   C. F  x  

2  e x  1 e x  1  3e x  2   4 2 15

2  e x  1 e x  1  5e x  2   28 2 15

B. F  x  

D. F  x   Lời giải

2  e x  1

ex  1  8 2 15

2  e x  1 e x  1  3e x  2   4 2 15

Ta có: I   e x  1.e 2 x dx Đặt t  e x  1  t 2  e x  1  2tdt  e x dx

2t 3  3t 2  5 2t 5 2t 3 Khi đó I   t t  1 .2tdt    2t  2t  dt   C  C 5 3 15 2

 F  x 

2  e x  1 e x  1  3e x  2  15

Lại có: F  0   Vậy F  x  

C

2.2 2 4 2 C  0C  15 15

2  e x  1 e x  1  3e x  2   4 2 15

. Chọn A.

Ví dụ 13: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   A.

1  2 ln ln x  2  C. ln x  2

C. ln x  2 

ln x x  2  ln x 

B. ln ln x  2 

2  C. ln x  2

1  2 ln ln x  2  C. ln x  2

Lời giải Đặt t  ln x  dt 

Khi đó

1 dx x

ln xdx

 x  2  ln x 



tdt

t  2



 ln t  2 

t 22

t  2 

 1 2  dt      dt 2  t  2  t  2  

2 2  C  ln ln x  2   C. Chọn B. t2 ln x  2

DẠNG 2. ĐỔI BIẾN SỐ HÀM VÔ TỈ (Đặt x = hàm theo biến t)  Mẫu 1: Nếu f  x  có chứa

     a 2  x 2 ta đặt x  a sin t  t    ;     2 2 

dx  a cos tdt  2 2 2  a  a sin t  a cos t  Mẫu 2: Dạng

     x 2  a 2 thì đổi biến số x  a tan t ,  t    ;     2 2 

adt  dx  cos 2 t   a 2  x 2  a 2  a 2 tan 2 t  a  cos t

 Mẫu 3: Dạng

x 2  a 2 thì ta đặt x 

a a (hoặc x  ). sin t cos t

a cos tdt  dx  sin 2 t   x 2  a 2  a 2 cot 2 t   Mẫu 4: Dạng

x

dx thì ta đặt x  a tan t.  a2

 Mẫu 5: Nếu f  x  có chứa

dx  d  a cos 2t   2a.sin 2tdt ax   a  x thì đặt x  a cos 2t  1  cos 2t cos 2 t ax    1  cos 2t sin 2 t  ax

 Một số kết quả quan trọng cần lưu ý khi giải trắc nghiệm: 

x



x









dx 1 x  arctan  C 2 a a a

 a  0

dx 1 xa  ln C 2 2a x  a a

 ln x  x 2  a  C

x a 2

dx a x 2

 arcsin

x C a

 a  0

 a  0

Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) I1   c) I 3  

dx 4 x

x 2 dx 1 x

;  a  2

b) I 2   1  x 2 dx ;  a  1

;  a  1

d) I 4   x 2 9  x 2 dx;  a  3  Lời giải

dx  d  2sin t   2 cos tdt dx 2 cos tdt a) Đặt x  2sin t     I1      dt  t  C 2 2 2 2 cos t 4 x  4  x  4  4sin t  2 cos t x x Từ phép đặt x  2sin t  t  arcsin     I1  arcsin    C 2 2

dx  d  sin t   cos tdt b) Đặt x  sin t   2 2  1  x  1  sin t  cos t

Khi đó I 2   1  x 2 dx   cos t.cos tdt  

1  cos 2t 1 1 t 1 dt   dt   cos 2tdt   sin 2t  C. 2 2 2 2 4

cos t  1  sin 2 t  1  x 2   sin 2t  2sin t.cos t  2 x 1  x 2 Từ x  sin t   t  arcsin x   I2 

arcsin x 1  x 1  x2  C 2 2

dx  d  sin t   cos tdt c) Đặt x  sin t   2 2  1  x  1  sin t  cos t

Khi đó, I 3  

x 2 dx 1  x2



sin 2 t.cos tdt 1  cos 2t 1 1   sin 2 tdt   dt  t  sin 2t  C cos t 2 2 4

cos t  1  sin 2 t  1  x 2   sin 2t  2sin t.cos t  2 x 1  x 2 Từ x  sin t   t  arcsin x   I3 

arcsin x 1  x 1  x2  C 2 2

dx  d  3sin t   3cos tdt d) Đặt x  3sin t   2 2  9  x  9  9sin t  3cos t I 4   x 2 9  x 2 dx   9sin 2 t.3cos tdt  81 sin 2 t.cos 2 tdt  

81 81 1  cos 4t sin 2 2tdt   dt  4 4 2

81  1 1  81  t 1  dt   cos 4tdt     sin 4t   C   4 2 2  4 2 8 

 x2 2 cos t  1  sin t  1  2x x2  9 Từ x  3sin t     sin 2t  1 3 9 t  arcsin  x     3 2

2x2 2x x2  2x2  x   sin 4t  2sin 2t.cos 2t  2. 1  . 1  Mà cos 2t  1  2sin t  1  2    1   9 3 9  9  3 2

 x arcsin   2 2  81  3   x 1  x . 1  2 x Từ đó ta được I 4    4  2 6 9  9  

     C.   

Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) I1  

dx ;  a  1 2 x 1

b) I 2   x 2  2 x  5dx Lời giải

c) I 3  

x 2 dx x2  4

;  a  2

dt  1  tan 2 t  dt  1  tan 2 t  dt  dx  d  tan t   2 a) Đặt x  tan x     I1     dt  t  C cos t 2 1  tan t 2 2 1  x  1  tan t 

 I1  arctan x  C. Từ giả thiết đặt x  tan t  t  arctan x  b) Ta có I 2   x 2  2 x  5dx  

 x  1

t  x 1  4d  x  1   I   t 2  4dt

2du  dt  d  2 tan u   cos 2 u 2du du cos udu    I2     Đặt t  2 tan u  2 cos u cos 2 u  4  t 2  4  4 tan 2 u  2 .cos 2 u  cos u cos u



d  sin u  1  sin u 2



1 1  sin u   1  sin u  1 d sin u  1 d sin u  1 1  sin u d  sin u      ln  C.  2 1  sin u 1  sin u  2 1  sin u 2  1  sin u 2 1  sin u

Từ phép đặt t  2 tan u  tan u 

Từ đó ta được I 2 

t 1 t2 4 t2 2 2    1    sin u  1  cos u  1   2 4 cos 2 u 4  t2 4  t2

1 1  sin u 1 ln  C  ln 2 1  sin u 2

1 1

t 1 4  t2  C  ln t 2 4  t2

1 1

x 1 x2  2x  5  C. x 1 x2  2x  5

2dt  2 dx  d  2 tan t   cos 2 t  2 1  tan t  dt c) Đặt x  2 tan t    x 2  4  4 tan 2 t  4   I3  

4 tan 2 t.2 1  tan 2 t  dt

 4

2 1  tan 2 t

 4  tan 2 t 1  tan 2 tdt  4 

sin 2 t dt cos3 t

sin 2 t.d  sin t  sin 2 t.cos tdt  4  1  sin 2 t 2 cos 4 t  

 I3  4 Đặt u  sin t 

2  1 1  u   1  u    u  du  4    du  du  4   1 u   2 1  u 1  u   2

1  u 

2 2

1  du du 2du  1       du   2 2 1  u 1  u  1 u 1 u  1  u  1  u 

 

d 1  u 

1  u 



d 1  u 

1  u 



1  u 1  u  du 1  u 1  u 



1 1 1  1 1 du du  1         du   1 u 1 u 1 u 1 u 1 u 1 u 1 u 1 u 



1 1 1 1 u 1   ln 1  u  ln u  1  C    ln C 1 u 1 u u 1 1 u u 1

  I3 

1 1 u 1 1 1 sin t  1   ln C    ln  C. u 1 1 u u 1 sin t  t sin t  1 sin t  1

x 1 x2 4 x2 2 2 2   1  tan t  1   cos t    sin t  Lại có x  2 tan t  tan t   2 4 cos 2 t 4  x2 4  x2

x  sin t 

x 4  x2

  I3 

1 x 4  x2

 1

x 4  x2

1

4  x2 x

 ln 1

 C. 1

4  x2

Ví dụ 3: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) I1  

dx x 1 2

b) I 2  

dx x

x 4

c) I 3  

dx x  2x  2 2

Lời giải

  1   cos tdt  cos tdt  dx  d  sin t   sin 2 t 1    dx  sin 2 t a) Đặt x    sin t 1  x2  1   x 2  1  cot t 1  2  sin t  I1  



x2  1

d  cos t   cos tdt sin tdt    2 2 sin t.cot t sin t 1  cos 2 t

d  cos t 

1  cos t 1  cos t 

Từ phép đặt x 



1 1  cos t   1  cos t  1 1  cos t d  cos t   ln  C.  2 1  cos t   1  cos t  2 1  cos t

1 1  cos 2 t  1  sin 2 t  1  2  cos t  sin t x

x2  1 x2  1 1 x  I1  ln  C. 2 x 2 x 1 1 x 1

  2  2 cos tdt 2 cos tdt  dx  dx  d  sin t   sin 2 t  2     sin 2 t b) Đặt x      sin t 4  x2  4   x 2  4  2 cos t  x 2 x 2  4  8cot t  4 2  sin 2 t  sin t Khi đó, I 2  

dx x2 x2  4



2 cos tdt 1 1    sin tdt  cos t  C. 8cot t 4 4 sin 2 t. 2 sin t

2 4   cos 2 t  1  sin 2 t  1  2  cos t  Từ x  sin t x

c) I 3  

dx x2  2x  2



d  x  1

 x  1  3 2

t  x 1   I3  

x2  4   I2  x

dt t2  3



x2  4  C. 4x

dt t  2

 3

  3   3 cos udu   3 cos udu dt  d   sin u  sin 2 u 3 dt        Đặt t  sin 2 u sin u  2  2 3 3  t  3  3 cot u  t 3  2 sin u 

  I3   

t2  3



 3 cos udu 2

sin u. 3 cot u

 

d  cos u  d cos u  sin udu   2 2 sin u 1  cos u 1  cos u 1  cos u 

1 1  cos u   1  cos u  1 1  cos u d  cos u   ln  C.  2 1  cos u 1  cos u  2 1  cos u

t2  3 x2  2x  2 1 3 3 t 3 1 1 t x 1 t  cos 2 u  1  2  cos t   I 3  ln  C  ln  C. 2 2 sin u t 2 2 t t 3 x  2x  2 1 1 t x 1 1

     Ví dụ 4: Cho nguyên hàm I   x 2 1  x 2 dx. Bằng cách đặt x  sin t  t    ;   mệnh đề nào sau đây   2 2  là đúng? A. I   1  cos 4t  dt. C. I 

B. I   1  cos 4t  dt.

t sin 4t   C. 8 32

D. I 

t sin 4t   C. 8 32

Lời giải

      dx  cos tdt Ta có: x  sin t  t    ;     2 2   2 2    1  x  1  sin t  cos t  cos t Khi đó I   sin 2 t.cos 2 tdt 

1 1 t sin 4t sin 2 2tdt   1  cos 4t  dt  I    C. Chọn C.  4 8 8 32

Ví dụ 5: Cho nguyên hàm I   x 2  9dx. Bằng cách đặt x 

3   , với t   0;  . Mệnh đề nào dưới cos t  2

đây là đúng? A. I  9 

sin 2 t dt. cos3 t

B. I  9 

sin 2 t dt. cos3 t

C. I  9  Lời giải

Ta có I  

9 1 9  3   9d   1. .   sin t  dt   3 2 2 cos t cos t cos 2 t  cos t 

 9

sin 2 t sin t sin 2 t . dt  9  cos3 dt. Chọn B. cos 2 t cos 2 t

sin 2 t dt. cos 4 t

D. I  9 

sin 2 t dt. cos 4 t

Ví dụ 6: Tính nguyên hàm I   A. I  arcsin

x  C. 2

4  x2

C. I  arccos

B. I  x  C.

x  C. 2

D. I  arcsin x  C.

Lời giải

      dx  2 cos tdt Đặt x  2sin t  t    ;     2 2   2 2    4  x  4  sin t  2 cos t  2 cos t Khi đó I  

2 cos tdt x   dt  t  C  arcsin  C. Chọn A. 2 cos t 2

Tổng quát:



dx a2  x2

 arcsin

x  C a  0 a

Ví dụ 7: Tính nguyên hàm I   A. I  arcsin

x 1 5

1  x  x2

 C.

B. I  arcsin

C. I  arcsin  2 x  1  C.

D. I  arcsin

2x  1 2 5 2x  1 5

 C.  C.

Lời giải

Ta có: I  

dx 1  x  x2

 arcsin



dx 5 1     x 4 2 



1  dx  2  5 1     x 4 2 

1 2  C  arcsin 2 x  1  C. Chọn D. 5 5 2

x

Ví dụ 8: Tính nguyên hàm I  

A. I  2 tan 2 t  C.

B. I 

x 2 dx

1  x 

2 5

tan 3 t  C. 3

     bằng cách đặt x  sin t  t    ;   ta được:   2 2  C. I 

tan 2 t  C. 2

Lời giải

      dx  cos tdt . Đặt x  sin t  t    ;     2 2   2 2    1  x  1  sin t  cos t  cos t

D. I 

tan 5 t  C. 5

Khi đó: I  

sin 2 t.cos tdt sin 2 t 1 tan 3 t 2  . dt  tan td tan t   C. Chọn B.    cos2 t cos2 t  3 cos5 t

Ví dụ 9: Tính nguyên hàm I   A. I  4  cos tdt. 2

1 x dx bằng cách đặt x  cos 2t 1 x

B. I  2  cos tdt.

     t   0; 2   ta được:   

C. I  4  sin tdt.

cos3 t dt. D. I  4  sin t

Lời giải Đặt x  cos 2t  dx  2sin 2tdt  4sin t cos tdt. Mặt khác

1  cos 2t  1  cos 2t

2 cos 2 t cos 2 t cos t cos t    2 2 sin t sin t 2sin t sin t

cos t .  4sin t cos t  dt  4  cos 2 tdt. Chọn A. sin t

Khi đó I  

Ví dụ 10: Tính nguyên hàm I   A. I   tan 3 xdx.

x2  1 1 dx bằng cách đặt x  x cos t

B. I   tan 2 xdx.

C. I   cot 3 xdx. Lời giải

Đặt x 

Lại có:

1 cos t

  cos t  sin t     t 0; dx dt  dt      2  2 cos t cos 2 t   

1  1  tan 2 t  tan t  tan t 2 cos t

Do đó I  

tan t sin t . dt   tan 2 tdt. Chọn B. 1 cos 2 t cos t

     t   0; 2   ta được.    D. I   cot 2 xdx.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Xét I   x3  4 x 4  3 dx . Bằng cách đặt u  4 x 4  3, hỏi khẳng định nào đúng? 5

A. I 

1 5 u du. 4

B. I 

1 u 5 du.  21

C. I 

1 u 5 du.  16

D. I   u 5 du.

Câu 2: Cho I   x 1  x 2  dx. Đặt u  1  x 2 , hỏi khẳng định nào đúng? 10

A. I   2u10 du

B. I    2u10 du

Câu 3: Xét I  

C. I  

1 10 u du 2

D. I 

1 10 u du 2

x dx, bằng cách đặt t  4 x  1, mệnh đề nào sau đúng? 4x 1

1  t3  A. I    t   C. 8 3 

1  t3  B. I    t   C. 4 3 

1  t3  C. I    t   C. 8 3 

1  t3  D. I    t   C. 4 3 

Câu 4: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   x 1  x 2 . A.

1 2 x 1  x 2  C. 2



1 2 x 1  x2 3



 C.

1 3



1  x2

  C. 3

1 2 x 1  x 2  C. 3

Câu 5: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   cos5 x.sin x 1 A.  cos 6 x  C 6

1 B.  sin 6 x  C 6

1 cos 6 x  C 6

1 D.  cos 4 x  C 4

Câu 6: Tìm một nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   2 x  x 2  1 thỏa mãn F 1  6. 4

A. F  x   C. F  x  

x 2  x 2  1

5 x 2  x 2  1

2  5 2  5

B. F  x 

x 

D. F  x 

x 

 1

5 2

 1



2 5



2 5

Câu 7: Tìm một nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   x  x 2  1 thỏa mãn F  0   9

A. F  x   

10 1 2 x  1  1  20

C. F  x   2  x 2  1  1 10

B. F  x  

21 . 20

10 1 2 x  1  1  20

D. F  x    x 2  1  2 10

Câu 8: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   x  3  x  . 5

1 6  3 x  C A.  3  x   2  6

1 6  3 x  C B.  3  x   2  7

1 6  3 x  C C.  3  x   2  7

1 6  3 x  C D.  3  x   2  7

Câu 9: Biết F  x  là một nguyên hàm của f  x  

2 1 ln x ln 2 x  1 thỏa F 1  . Tính  F  e   . 3 x

2 8 A.  F  e    . 3

2 8 B.  F  e    . 9

2 1 C.  F  e    . 3

2 1 D.  F  e    . 9

Câu 10: Gọi F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  

thỏa F  2   0. Tìm tổng các nghiệm

8  x2

phương trình F  x   x. A. 1  3

B. 2.

D. 1  3

C. 1.

Câu 11: Tìm một nguyên hàm F  x  của hàm số f  x  

2x x  x2  1

A. F  x  

2 3 2 2 x   x  1 x 2  1 3 3

B. F  x  

2 3 2 2 x   x  1 x 2  1 3 3

C. F  x  

2 3 2 2 x   x  1 x 2  1 3 3

D. F  x  

2 3 2 2 x   x  1 x 2  1 3 3

Câu 12: Hàm số f  x  

ln x ln 2 x  1 1 có 1 nguyên hàm F  x  là thỏa F 1  . Tìm F 2  e  . x 3

1 A. F 2  e   . 3

8 B. F 2  e   . 3

8 C. F 2  e   . 9

Câu 13: Tìm một nguyên hàm F  x  của hàm số f  x  

ex ex  3

1 D. F 2  e   . 9

thỏa F  0   27.

A. F  x   2 e x  3  3

B. F  x   e x  3  3

C. F  x   2 e x  3  3

D. F  x   e x  3  3

Câu 14: Hàm số f  x   A. F 1  2

x3 2x  x2

1 có một nguyên hàm là F  x  thỏa F  1  . Tính F 1 . 3

B. F 1 

1 3

C. F 1  

Câu 15: Tìm một nguyên hàm F  x  của hàm số f  x  

5 3

D. F 1  

2 thỏa mãn F  3  . 3 x2

A. F  x  

2 3

 x  2

 4 x  2  4.

B. F  x  

1 3

 x  2

C. F  x  

2 3

 x  2

 4 x  2  4.

D. F  x  

2 3

 x  2

Câu 16: Hàm số f  x   A. F 1  2 ln 2.

1 x 1

3 5

 4 x  2  4.  2 x  2  4.

có một nguyên hàm là F  x  thỏa F  0   2 ln 2. Tính F 1 .

B. F 1  2 ln 2.

C. F 1  2.

Câu 17: Tìm một nguyên hàm F  x  của hàm số f  x  

1 2x  1  4

D. F 1  0. thỏa F 1  2  4 ln 5.

2 x  1  1  4 ln



2x  1  4

7 2 x  1  1  ln 2



2x  1  4

2 x  1  1  4 ln



2x  1  4



7 2 x  1  1  ln 2





2x  1  4



2 có một nguyên hàm là F  x  thỏa F  0   . Tính F 1 . 3 x 1

Câu 18: Hàm số f  x  

3 2 . 2

A. F 1 



3 B. F 1  . 2

C. F 1 

Câu 19: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   1 2 A.  sin  C 2 x

2 2 . 3

2 D. F 1  . 3

1 2 cos . 2 x x

1 2 B.  cos  C 2 x

1 2 sin  C 2 x

Câu 20: Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  

1 2 cos  C 2 x

1 1 thỏa mãn F  0    ln 4. Tìm tập 3 e 3 x

nghiệm S của phương trình 3F  x   ln  e x  3  2. A. S  2

B. S  2; 2

Câu 21: Giả sử

 x 1  x 

2017

A. 2a  b  2017

dx 

1  x  a

C. S  1; 2

1  x 



B. 2a  b  2018

Câu 22: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   A. e x  ln  e x  1  C

C. ln  e x  1  C 1 x 1



2  x  1 x  1



x2 x 1



1 1 x

C

Câu 25: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   A. 2 1  x 



D. 2  2 ln 1  x  C

3  x  4 x  1  C 4





Câu 24: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x  

D. e 2 x  e x  C

B. 2 x  2 ln 1  x  C

C. ln 1  x  C

D. 2a  b  2020

e2 x . ex  1

A. 2 x  2 ln 1  x  C



 C , với a, b là các số nguyên dương. Tính 2a  b. C. 2a  b  2019

B. e x  ln  e x  1  C

Câu 23: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x  



D. S  2; 1

D. 2x  1 1 x

2  x  4 x  1  C 3

x 1 

1 x 1

C

2  2 x  1 1  x  C 3

C. 

2  2 x  1 1  x  C 3

D. 

2  2 x  1 1  x  C 3

LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Đặt u  4 x 4  3  du  16 x3 dx  x3 dx  Khi đó I  

1 du 16

1 5 1 u du   u 5 du. Chọn C. 16 16

1 1 Câu 2: Đặt u  1  x 2  du  2 xdx  xdx   du. Khi đó I    u10 du. Chọn C. 2 2

Câu 3: Đặt t  4 x  1  t 2  4 x  1  4dx  2tdt  dx 

t dt 2

t2 1  t t2 1 1  t3 Khi đó I   4 . dt   dt    t   C. Chọn C. t 2 8 8 3  f  x  dx   x 1  x 2 dx 

Câu 4:



Câu 5:

 f  x  dx   cos

Câu 6:

 f  x dx   2 x  x

Suy ra F  x 

x 

 1

1 1 1  x 2 d 1  x 2    2 3



  C. Chọn C. 3

1  x2

1 x.sin xdx    cos5 xd  cos x    cos 6 x  C. Chọn A. 6 2

 1 dx    x  1 d  x  1 4

x 

 1

 C.

x 2  1  2 2  C mà F 1  6   . Chọn B.  C   . Vậy F  x   5 5 5 5

x 2  1  9 1 2 2 f  x  dx   x  x  1 dx    x  1 d  x  1   C. 2 20 10

Câu 7: F  x    Mà F  0  

10 1 2 21 x  1  1. Chọn B.   C  1. Vậy F  x    20 20

Câu 8: f  x   x  3  x     3  x  3 .  3  x     3  x   3. 3  x  . 5

Khi đó



6 5 f  x  dx      3  x   3.  3  x   dx   

Câu 9: t  ln 2 x  1  t 2  ln 2 x  1  2tdt  2.

Khi đó

 f  x  dx   t

 Vậy F  x  

dt 

ln 2 x  1 3



t 3

 C 

ln 2 x  1 3



3  x  7



 f  x d x  

 C. Chọn C.

 C mà F 1 

2 2 . Chọn B. 3

Câu 10: Đặt t  8  x 2  t 2  8  x 2  xdx  t d t Khi đó

3  x

ln x ln x dx  dx  tdt. x x

  F e 

t dt    dt  t  C   8  x 2  C t

1  C  0. 3

 C  2. Vậy F  x   x  2  8  x 2  x  x  1  3. Chọn D. Mà F  2   0 







Câu 11: Ta có x  x 2  1 x  x 2  1  1 

1 x  x 1 2

 x  x2  1





Khi đó f  x   2 x x  x 2  1  2 x 2  2 x x 2  1   f  x  d x  Câu 12: Đặt t  ln 2 x  1  t 2  ln 2 x  1  2t d t  2.

Khi đó

 f  x d x   t

 Vậy F  x  

dt 

ln 2 x  1



t C  3



ln 2 x  1



2 3 2 2 x   x  1 x 2  1  C. Chọn A. 3 3

ln x ln x dx  d x  t d t. x x

 C mà F 1 

1  C  0. 3

  F e 

2 2 . Chọn C. 3

Câu 13: Đặt t  e x  3  t 2  e x  3  e x d x  2t d t Khi đó

 f  x d x  

2t dt  2  dt  2t  C  2 e x  3  C t

Mà F  0   3 3   C  3. Vậy F  x   2 e x  3  3. Chọn C. Câu 14: Đặt t  2  x 2  t 2  2  x 2  t d t   xdx Khi đó 



f  x d x  

t3 1  2t  C  3 3



x2 2  x2

2  x2



xdx  

2  t2  t  dt    t 2  2 dt t

 2 2  x 2  C mà F  1 

1 1   C  2. Vậy F 1  . Chọn B. 3 3

Câu 15: Đặt t  x  2  t 2  x  2  d x  2t d t Khi đó



f  x d x  

Mà F  3 

t2  2 2 2 .2t d t    2t 2  4  dt  t 3  4t  C  t 3 3

2 2   C  4. Vậy F  x   3 3



2 x





2 x



4 2 x C

 4 2  x  4. Chọn B.

Câu 16: Đặt t  x  x  t 2  d x  2t d t Khi đó



2 

 f  x  d x   t  1 dt    2  t  1  dt  2t  2 ln t  1  C  2

x  2 ln

x  1  C.

 C  2 ln 2. Vậy F 1  2  2 ln 2  2 ln 2  2. Chọn C. Mà F  0   2 ln 2 

Câu 17: Đặt t  2 x  1  t 2  2 x  1  d x  t d t Khi đó



4 

 f  x  d x   t  4 dt   1  t  4  dt  t  4 ln t  4  C 

Mà F 1  2  4 ln 5   C  1. Vậy F  x   2 x  1  1  4 ln

2 x  1  4 ln

2 x  1  4  C.

2 x  1  4 . Chọn B.

Câu 18: Đặt t  x3  1  t 2  x3  1  x 2 d x  Khi đó

Mà F  0  

 f  x  dx   x

2 1 2 2 1 2 cos dx   . cos d     sin  C. Chọn A. x 2 x x 2 x

Câu 20: Đặt t  e x  dt  e x dx  dx 



x 3  1  C.

2 2 2 . Chọn C.   C  0. Vậy F 1  3 3

Câu 19: Ta có

Khi đó

 f  x  dx   3 : tdt   3 dt  3 t  C  3

2t dt 3

dt . t

dt 1 t 1 ex f  x  dx    ln  C  ln x  C. t  t  3 3 t  3 3 e 3

1  C  0. Do đó 3F  x   ln e x  ln  e x  3  . Mà F  0     3

Vậy 3F  x   ln  e x  3  2  ln e x  2  x  2. Chọn A. Câu 21: Ta có 

1  x 

2019



Câu 22: Ta có

 x 1  x  1  x 

2018



2017

dx    1  x  11  x 

2017

dx   1  x  

2018

 1  x 

2017

 d 1  x  

a  2019  C   . Vậy 2a  b  2020. Chọn D. b  2018

f  x d x  

e2 x ex x x x d x   e x  1 d  e   e  ln  e  1  C. Chọn A. ex  1

Câu 23: Đặt t  x  x  t 2  d x  2t d t Khi đó



2 

 f  x  d x   t  1 dt    2  t  1  dt  2t  2 ln t  1  C  2

x  2 ln

x  1  C. Chọn A.

Câu 24: Đặt t  x  1  t 2  x  1  d x  2t d t Khi đó



t2 1 2 f  x d x   .2t d t    2t 2  2  dt  t 3  2t  C. Chọn B. t 3

Câu 25: Đặt t  1  x  t 2  1  x  x  1  t 2  d x  2t d t Khi đó

 f  x d x  

2 1  t   1 2

.  2t  dt  2   2t 2  4t  1 dt  

2  2 x  1 1  x  C. Chọn C. 3

Chủ đề 4: NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Cho hai hàm số u  u  x  và v  v  x  có đạo hàm liên tục trên K ta có công thức nguyên hàm từng phần:  udv  uv   vdu. Chú ý: Ta thường sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần nếu nguyên hàm có dạng I   f  x  .g  x  dx, trong đó f  x  và g  x  là 2 trong 4 hàm số: Hàm số logarit, hàm số đa thức, hàm

số lượng giác, hàm số mũ. Để tính nguyên hàm

 f  x  .g  x  dx từng phần ta làm như sau:

u  f  x  du  f '  x  dx – Bước 1. Đặt  (trong đó G  x  là một nguyên hàm bất kỳ của hàm số  dv  g  x  dx v  G  x  g  x )

– Bước 2. Khi đó theo công thức nguyên hàm từng phần ta có:

 f  x  .g  x  dx  f  x  .G  x    G  x  . f '  x  dx. Chú ý: Khi I   f  x  .g  x  dx và f  x  và g  x  là 2 trong 4 hàm số: Hàm số logarit, hàm số đa thức, hàm số lượng giác, hàm số mũ ta đặt theo quy tắc đặt u. Nhất log (hàm log, ln) – Nhì đa (hàm đa thức) Tam lượng (hàm lượng giác) – Tứ mũ (hàm mũ) Tức là hàm số nào đứng trước trong câu nói trên ta sẽ đặt u bằng hàm đó. Ví dụ:

u  f  x   Nếu f  x  là hàm log, g  x  là một trong 3 hàm còn lại, ta sẽ đặt  . dv  g  x  dx u  g  x   Tương tự nếu f  x  là hàm mũ, g  x  là hàm đa thức, ta sẽ đặt  dv  f  x  dx Một số dạng nguyên hàm từng phần thường gặp.  Dạng 1: I   P  x  ln  mx  n  dx, trong đó P  x  là đa thức.

u  ln  mx  n  Theo quy tắc ta đặt  . dv  P  x  dx

sin x   Dạng 2: I   P  x    dx, trong đó P  x  là đa thức. cos x  u  P  x   Theo quy tắc ta đặt  sin x  . dv  cos x  dx   

 Dạng 3: I   P  x  e ax b dx, trong đó P  x  là đa thức u  P  x  Theo quy tắc ta đặt  . ax  b dv  a dx

sin x  x  Dạng 4: I     e dx. cos x   sin x  u    Theo quy tắc ta đặt  cos x  .  x dv  e dx

B. VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: b) I 2   xe3 x dx

a) I1   x sin xdx

c) I 3   x 2 cos xdx

d) I 4   x ln xdx

Lời giải: a) I1   x sin xdx

u  x du  dx    Cách 1: Đặt  sin xdx  dv v   cos x   I1   x sin xdx   x cos x   cos xdx   x cos x  sin x  C.

 Cách 2: I1   x sin xdx    xd  cos x     x cos x   cos xdx    x cos x  sin x  C   b) I 2   xe3 x dx

du  dx u  x     Cách 1: Đặt  3 x 1 3x e dx  dv v  3 e   I 2   xe3 x dx 

1 3x 1 3x 1 1 1 1 xe   e dx  xe3 x   e3 x d  3 x   xe3 x  e3 x  C 3 3 3 9 3 9

 Cách 2: I 2   xe3 x dx 

1 1 1 1 1   1 xd  e3 x    xe3 x   e3 x dx    xe3 x   e3 x d 3 x    xe3 x  e3 x   C  3 3 3 3 3   3

c) I 3   x 2 cos xdx

u  x 2 du  2 xdx  Cách 1: Đặt    v  sin x cos xdx  dv Khi đó I 3   x 2 cos xdx  x 2 sin x   2 x sin xdx  x 2 sin x  2 J Xét J   x sin xdx. Đặt

u  x du  dx   J   x cos x   cos xdx   x cos x  sin x    v   cos x sin xdx  dv    I 3  x 2 sin x  2   x cos x  sin x   C.

 Cách 2: I 3   x 2 cos xdx   x 2 d  sin x   x 2 sin x   sin xd  x 2   x 2 sin x   2 x sin xdx  x 2 sin x  2  xd  cos x   x 2 sin x  2 x cos x  2  cos xdx  x 2 sin x  2 x cos x  2sin x  C.

d) I 4   x ln xdx dx  du   u  ln x x2 x 2 dx x 2 x2  x     I  x ln xdx  ln x  .  ln x   C.  Cách 1: Đặt  4  2 x 2 2 2 4  xdx  dv v  x  2

 Cách 2: Ta có:

 x2  x2 x2 x2 x 2 dx x 2 x2 I 4   x ln xdx   ln xd    ln x   d  ln x   ln x    ln x   C. 2 2 2 x 2 4  2 2 Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: b) I 6   x ln 2  x  1 dx

a) I 5   x 2 ln xdx





c) I 7   ln x  1  x 2 dx

d) I 8   e x sin xdx Lời giải:

a) I 5   x 2 ln xdx  Cách 1: dx  du   u  ln x x3 x3 dx x3 x3  x 2     I  x ln xdx  ln  .  ln x   C. Đặt  2 5  3 x 3 3 3 9  x dx  dv v  x  3

 Cách 2:

 x3  x3 x3 x3 x3 dx x3 x3 Ta có I 5   x 2 ln xdx   ln xd    ln x   d  ln x   ln x    ln x   C. 3 3 3 x 3 9  3 3 b) I 6   x ln 2  x  1 dx x Ta có I 6   x ln  x  1 dx   ln  x  1 d   2 



 x2 2 x2 2   ln  x  1   d  ln  x  1  2  2

x2 2 x 2 2 ln  x  1 x2 x2 x2 ln  x  1   . dx  ln 2  x  1   ln  x  1 dx  ln 2  x  1  J 2 2 x 1 2 x 1 2

x 2  1  1  x2 1   Xét J   ln  x  1 dx   ln  x  1 dx    x  1   ln  x  1 dx  x 1 x 1 x 1  

   x  1 ln  x  1 dx   ln  x  1

 x2  dx   ln  x  1 d   x    ln  x  1 d  ln  x  1   x 1  2 

ln 2  x  1  x 2 ln 2  x  1  x2   x2   1 x2  2x    x  ln  x  1     x  d  ln  x  1      x  ln  x  1   dx  2 2 x 1 2  2   2   2  Xét K  

x2  2x 3  x2  dx    x  3  dx   3 x  3ln x  1  x 1 x 1  2 

 x2   ln 2  x  1 1  x2   J    x  ln  x  1    3 x  3ln x  1    C. 2 2 2  2   Từ đó ta được I 6 

x 2 ln 2  x  1  x 2   ln 2  x  1 1  x2    x  ln  x  1    3 x  3ln x  1    C. 2 2 2 2  2  





c) I 7   ln x  1  x 2 dx





Ngầm hiểu u  ln x  1  x 2 ; v  x ta có











1

1  x 2 xdx I 7  x ln x  1  x 2   xd ln x  1  x 2   x ln x  1  x 2     x  1  x2



 x ln x  1  x

 



xdx 1  x2



 x ln x  1  x



2 1 d  x  1    x ln x  1  x 2  1  x 2  C. 2 2 1 x





Vậy I 7  x ln x  1  x 2  1  x 2  C. d) I 8   e x sin xdx I 8   e x sin xdx   sin xd  e x   e x sin x   e x d sin x   e x sin x   e x cos xdx  e x sin x   cos xd e x 

 e x sin x   cos xd  e x   e x sin x  e x cos x   e x d  cos x    e x sin x  e x cos x   e x sin xdx   e x sin x  e x cos x  I 8   e x sin x  e x cos x  I 8   I8 

e x sin x  e x cos x  C. 2

Nhận xét: Trong nguyên hàm I 8 chúng ta thấy rất rõ là việc tính nguyên hàm gồm hai vòng lặp, trong mỗi vòng ta đều nhất quán đặt u là hàm lượng giác (sinx hoặc cosx) và việc tính toán không thể tính trực tiếp được. Ví dụ 3: Tính các nguyên hàm sau:

a) I 9  

ln  x  1

 2 x  1

c) I11   x.sin x.cos 2 xdx

b) I10   d) I12  

ln  2 x  1

1  3x  x 2e x

 x  2

Lời giải 1  u  ln  x  1 du  dx   ln  x  1 x 1 dx    a) Đặt   . Khi đó: I 9  1 1 2  2 x  1 2  2 x  1 x  1 dv  2 x  1 2 dx v     2  2 x  1 

 ln  x  1 1  1  ln  x  1 1 2  x 1     ln C  dx  2  2 x  1 6  x  1 2 x  1  2  2 x  1 6 2 x  1 1  u  ln  2 x  1 du  dx   ln  2 x  1 2x 1 dx    b) Đặt   . Khi đó: I10  1 1 3  3 x  1 3  2 x  1 3 x  1 dv  1  3 x 2 dx v     3  3 x  1 



ln  2 x  1 1  3  ln  2 x  1 1 2  3x  1     ln C  dx  3  3 x  1 15  3 x  1 2 x  1  3 3 x  1 15 2 x  1

du  dx u  x  x cos3 x 1  3 I    cos3 xdx c) Đặt  Khi đó  .   cos x 11 2 3 3 dv  sin x cos xdx v  3  

 x cos3 x 1 cos 3 x  3cos x  x cos3 x sin 3 x sin x   dx    C 3 3 4 3 36 4

u  x 2 e x du  x  x  2  e x dx   dx   d) Đặt  1 dv  v 2    x  2  x  2 

 I12 

 x 2e x  x 2e x x 2e x   xe x dx    xe x dx    xe x  e x  C. x2 x2 x2

Ví dụ 4: Tính các nguyên hàm sau: a) I13   x ln  x 2  1 dx

b) I14   x tan 2 xdx

c) I15   x 2 ln  x 2  1 dx

d) I16   x sin xdx Lời giải

2 xdx  du  2   u  ln 1  x   1  x2  a) I13   x ln  x 2  1 dx. Đặt  2  xdx  dv v  x  1  2

 I13   x ln 1  x  I13

x 

 1



x dx 

 1

ln 1  x    2

x

 1 2 x x 2  1  dx  ln 1  x 2    xdx 2 1  x2 2

x 2  1 ln 1  x 2   x 2  x2 ln 1  x    C  C 2 2 2

1  x  dx b) I14   x tan 2 xdx   x 1   dx   xdx   2 cos 2 x  cos x 

u  x du  dx x   Ta đi tính J   dx. Đặt  1 2 cos x  cos 2 x dx  dv v  tan x  J  x tan x   tan xdx  x tan x    I14 

d  cos x  sin xdx  x tan x    x tan x  ln cos x  C cos x cos x

x2  x tan x  ln cos x  C 2

2 xdx  du  2   u  ln 1  x     1  x2  c) I15   x 2 ln  x 2  1 dx. Đặt  3 2 v  x  x dx  dv  3  I15   x 2 ln  x 2  1 dx 

Ta đi tính K  

x3 x3 2 x x3 2 x4 ln  x 2  1   . 2 dx  ln  x 2  1   2 dx 3 3 x 1 3 3 x 1

x4 dx 1  x2

Đặt x  tan t  dx 

1 x4 x3  3x dt 2 2 x  1  tan x  1   K  dx  arctan x  C và  1  x2 cos 2 t 3 cos 2 t

Do đó: I15   x ln  x  1 dx  2

x3 ln  x 2  1 3

2 x3  3x    arctan x  C 3 3 

d) I16   x sin xdx Đặt

x  t  dt 

u  t du  dt 1  xdx  2dt  dx  I16   2t sin tdt. Đặt  2 sin tdt  dv v   cos t

 I16   2t sin tdt  2  t cos t   cos t   2t cos t  2sin t  C  I16  2 x cos x  2sin x  C Ví dụ 5: Tính nguyên hàm I   ln  x  2  dx. A. I  x ln  x  2   x  C. C. I  x ln  x  2  

1  C. x2

B. I   x  2  ln  x  2   x  C. D. I  x ln  x  2   Lời giải:

1  C. x2

dx  u  ln  x  2  du  Đặt   x  2 (Ta có thể chọn v  x; v  x  1..., tuy nhiên ta nên chọn v  x  2 để dv  dx v  x  2 tính toán dễ dàng hơn). Khi đó I   x  2  ln  x  2    dx   x  2  ln  x  2  x  C. Chọn B. Ví dụ 6: Tính nguyên hàm I   x ln  x  1 dx. A. I 

x2 x2 x ln  x  1    C. 2 4 2

B. I 

x2 1 x2 x ln  x  1    C. 2 4 2

C. I 

x2 1 x2 x ln  x  1    C. 2 4 2

D. I 

x2 1 x2 x ln  x  1    C. 2 4 2

Lời giải: dx  du   u  ln  x  1  x 1 Đặt   2 2 dv  xdx v  x  1  x  1   x  1 x  1  2 2 2 2

Khi đó I 

x2 1 x 1 x2 1 x2 x ln  x  1   dx  ln  x  1    C. Chọn D. 2 2 2 4 2

Ví dụ 7: Tính nguyên hàm I    x  2  e x dx. A. I   x  3 e x  C.

B. I   x  1 e x  C.

C. I  xe x  C.

D. I   x  1 e x  C.

Lời giải:

u  x  2 du  dx Đặt    I   x  2  e x   e x dx   x  2  e x  e x  C   x  3  e x  C. Chọn A.  x x dv  e dx v  e Ví dụ 8: Giả sử F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x    2 x  1 sin x. Biết F  0   3, tìm F  x  . A. F  x    2 x  1 cos x  2sin x  2.

B. F  x     2 x  1 cos x  2sin x  4.

C. F  x    2 x  1 cos x  2sin x  2.

D. F  x     2 x  1 cos x  2sin x  4. Lời giải:

u  2 x  1 du  2dx Ta có: F  x     2 x  1 sin xdx. Đặt   dv  sin xdx v   cos x  F  x     2 x  1 cos x   2sin xdx    2 x  1 cos x  2sin x  C

Mặt khác F  0   1  C  3  C  4  F  x     2 x  1 cos x  2sin x  4. Chọn B.

Ví dụ 9: Tìm nguyên hàm I  

ln xdx

 x  1

A. I 

ln x  ln x  1  C. x 1

2 x ln x  ln x  1  C. x 1

C. I 

x ln x  ln x  1  C. x 1

D. I 

x ln x  ln x  1  C. x 1

Lời giải: dx  u  ln x du   x ln x dx x ln x   x dx   Đặt  I    ln x  1  C. Chọn C. dv  1 x x  1 x  1 x  1 2   x  1 v   x  1  1  x  1 

Ví dụ 10: Tìm nguyên hàm I    2  x  cos xdx. A. I   2  x  sin x  cos x  C.

B. I   2  x  sin x  cos x  C.

C. I   2  x  cos x  sin x  C.

D. I   2  x  cos x  sin x  C. Lời giải:

u  2  x du  dx Đặt    I   2  x  sin x   sin xdx   2  x  sin x  cos x  C. Chọn B. dv  cos xdx v  sin x Ví dụ 11: Tìm nguyên hàm I    x  1 .3x dx ta được: x.3x  C. A. I  ln 3

x  1 3x  I  3x  C . ln 3

x  1 3x  I 

3x  C. ln 2 3

x  1 3x  I 

3x  C. ln 2 3

ln 3

Lời giải:

du  dx u  x  1  x  1 3x  3x dx  I   x  1 3x  3x  C. Chọn D.  x  I   Đặt   3  ln 3 x ln 3 ln 3 ln 2 3 dv  3 dx v  ln 3 

Ví dụ 12: Cho nguyên hàm

 x cos

xdx  m.x 2  n.x sin 2 x  p.cos 2 x  C trong đó m; n, p; C  . Tính giá

trị của P  m  n  p. 3 A. P  . 4

5 B. P  . 4

3 C. P  . 2

5 D. P  . 8

Lời giải: Ta có: I   x

1  cos 2 x 1 1 dx   xdx   x cos 2 xdx 2 2 2

du  dx u  x x sin 2 x sin 2 xdx x sin 2 x cos 2 x  Đặt      C sin 2 x   x cos 2 xdx  2 2 2 4 dv  cos 2 xdx v   2 I

1 2 1 1 5 x  x sin 2 x  cos 2 x  C  m  n  p  . Chọn D. 4 4 8 8

Ví dụ 13: Cho F  x  

f  x 1 là một nguyên hàm của hàm số . Tìm nguyên hàm của hàm số 2 cos 2 x x

f '  x  tan x

 f '  x  tan xdx  

x  sin 2 x  C. x3

 f '  x  tan xdx 

x  sin 2 x  C. x3

f '  x  tan xdx  

x  cos 2 x  C. x3

f '  x  tan xdx 

x  cos 2 x  C. x3



Lời giải: Tính nguyên hàm I   f '  x  tan xdx dx  f  x  dx 1 u  tan x du  cos 2 x  I  f  x  .tan x     f  x  tan x  2  C Đặt  2 cos x x dv  f '  x  dx v  f  x  

Mặt khác

f  x 2 x 2 2 cos 2 x  F ' x    f x      cos 2 x x4 x3 x3

Do đó I 

2 cos 2 x 1  sin 2 x 1 .tan x  2  C   2  C. Chọn A. 3 x x x3 x

 x2  Ví dụ 14: Cho F  x   1   cos x  x sin x là một nguyên hàm của hàm số f  x  sin x. Nguyên hàm của 2  hàm số f '  x  cos x là: A. cos x  x sin x  C.

B. sin x  x cos x  C.

C. cos x  x sin x  C.

D. sin x  x cos x  C. Lời giải:

Tính nguyên hàm I   f '  x  cos xdx u  cos x du   sin xdx  Đặt  dv  f '  x  dx v  f  x 

 x2   I  f  x  .cos x   f  x  sin xdx  f  x  cos x  1   cos x x sin x 2   x2  x 2 sin x Mặt khác F '  x    x cos x  1   sin x  sin x  x cos x   f  x  sin x 2 2  Do đó f  x  

x2  I  cos x  x sin x. Chọn C. 2

Ví dụ 15: Cho F  x   e x  x là một nguyên hàm của hàm số

f  x . x

Tìm nguyên hàm của hàm số f '  x  ln x. A. x  e x  x  ln x  e x  x  C.

B. x  e x  1 ln x  e x  x  C.

C. x  e x  1 ln x  e x  x  C.

D. x  e x  x  ln x  e x  x  C. Lời giải:

Tính nguyên hàm I   f '  x  ln xdx dx  f  x  dx u  ln x du  x  I  f  x  ln x     f  x  ln x  e x  x  C. Đặt  dv  f ' x dx x    v  f  x  

Mặt khác

f  x  F '  x   e x  1  f  x   x  e x  1 x

Suy ra I  x  e x  1 ln x  e x  x  C. Chọn B. Ví dụ 16: Cho F  x   x sin x là một nguyên hàm của hàm số f  x  e x . Tìm nguyên hàm của hàm số f '  x  e x A. x  sin x  cos x   sin x  C.

B. e x  cos x  sin x   sin x  C.

C. x  cos x  2sin x   sin x  C.

D. x  cos x  sin x   sin x  C. Lời giải:

x du  e x dx u  e Đặt    I   f '  x  e x dx  e x . f  x    f  x  .e x dx dv  f '  x  dx v  f  x 

 f  x  e x  x sin x  C.

Lại có: f  x  .e x  F '  x   sin x  x cos x  I  sin x  x cos x  x sin x  C  x  cos x  sin x   sin x  C. Chọn D.

Ví dụ 17: Cho F  x   x 2  1 là một nguyên hàm của hàm số

f  x . Tìm nguyên hàm của f '  x  ln x. x

 f '  x  ln xdx  x  2 ln x  1  C.

 f '  x  ln xdx  x 1  2 ln x   C.

 f '  x  ln xdx   x  2 ln x  1  C.

 f '  x  ln xdx  x  2 ln x  1  C.

Lời giải: dx  u  ln x du  x suy ra  Đặt  dv  f '  x  dx v  f  x  

Ta có F   x   Do đó



f '  x  .ln xdx  ln x. f  x   

f x dx x

f  x f  x  2x   f  x   2x2 x x

 f   x  .ln xdx  2 x .ln x  x 2

 1  C  x 2  2 ln x  1  C. Chọn D.

Ví dụ 18: Cho F  x   ln x là một nguyên hàm của xf  x  . Tìm nguyên hàm của f '  x  ln x. 1

1

1  1 ln x    C. 2  2 

 f '  x  ln xdx  x  ln x  2   C.

1  1 ln x    C. 2  2 

1  f '  x  ln xdx  x  2 ln x  1  C.

 f '  x  ln xdx  x

Lời giải: dx  u  ln x du  x suy ra  Đặt  dv  f '  x  dx v  f  x  

Ta có F   x   x. f  x   Do đó

 f   x  .ln xdx 

 f '  x  .ln xdx  ln x. f  x   

f x dx x

1 1  x. f  x   f  x   2 x x

ln x dx ln x 1   3  C  2  2  C. Chọn A. 2 x x x 2x

Ví dụ 19: Cho F  x   ln x là một nguyên hàm của

f  x . Tìm nguyên hàm của f '  x  ln x. x3

 f '  x  ln xdx  x

1    ln x   C. 2 

 f '  x  ln xdx  x

 f '  x  ln xdx  x  2 ln x  1  C.

 f '  x  ln xdx  x

1   ln x    C. 2  1   ln x    C. 2 

Lời giải: dx  u  ln x du  x suy ra  Đặt  dv  f '  x  dx v  f  x  

 f '  x  .ln xdx  ln x. f  x   

f x dx x

Ta có F   x   Do đó



f  x 1 f  x   3  f  x   x2 3 x x x

f   x  .ln xdx  x 2 ln x   xdx  x 2 .ln x 

x2  C. Chọn D. 2

Ví dụ 20: Cho F  x   x tan x  ln cos x là một nguyên hàm của hàm số

f  x . Tìm nguyên hàm của hàm cos 2 x

số f '  x  tan x. A.

 f '  x  tan xdx  ln cos x  C.

 f '  x  tan xdx  ln sin x  C.

 f '  x  tan xdx   ln cos x  C.

 f '  x  tan xdx   ln sin x  C.

Lời giải: dx  u  tan x f x du  cos 2 x   f '  x  .tan xdx  f  x  .tan x    dx Đặt  2 cos x dv  f '  x  dx v  f  x  

Ta có F   x   Do đó

f  x f  x x  cot x   tan x   f  x   x. 2 2 cos x cos x cos 2 x

 f   x  .tan xdx  x.tan x  x.tan x  ln cos x  C   ln cos x  C. Chọn C.

Ví dụ 21: Gọi F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   ln x thỏa mãn điều kiện F 1  3. Tính giá trị của biểu thức T  2 F  e  log 4 3.log 3  F  e   . A. T  2.

B. T  8.

9 C. T  . 2

D. T  17.

Lời giải:

dx  u  ln x du  Đặt   x suy ra dv  dx v  x

 f  x  dx  x.ln x   dx  x.ln x  x  C

1.ln1  1  C  3  C  4. Vậy T  17. Chọn D. Mà F 1  3 

1 Ví dụ 22: Gọi F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   xe 2 x thỏa mãn F    0. 2

5 Tính ln F   . 2 5 A. ln F    2. 2

5 B. ln F    1. 2

5 C. ln F    5. 2

5 D. ln F    6. 2

Lời giải:

du  dx u  x x.e 2 x e2 x x.e 2 x e 2 x  2 x Đặt    dx   C e   f  x  dx  2x 2 2 2 4 dv  e dx v   2 x.e 2 x e 2 x 1 5  C  0   F x   . Vậy ln F    5. Chọn C. Mà F    0  2 4 2 2

Ví dụ 23: Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   x.e  x thỏa mãn F  0   1. Tính tổng S các nghiệm của phương trình F  x   x  1  0. A. S  3.

B. S  0.

C. S  2.

D. S  1.

Lời giải:

u  x du  dx    f  x  dx   x.e  x   e  x dx   x.e  x  e  x  C Đặt   x x dv  e dx v  e Mà F  0   1   C  1  1  C  0   F  x    x.e  x  e  x .

 x  1 Do đó F  x   x  1  0   x.e  x  e  x  x  1  0   x  1 1  e  x   0   . Chọn D. x  0 Ví dụ 24: Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   x sin x thỏa mãn F    2 . Tính giá trị của biểu thức T  2 F  0   8 F  2  . A. T  6 .

B. T  4 .

C. T  8 .

D. T  10 .

Lời giải:

u  x du  dx    x.sin xdx   x.cos x   cos xdx   x.cos x  sin x  C Đặt  dv  sin xdx v   cos x  C  4 . Do đó F  x    x.cos x  sin x  4 . Mà F    2 

Vậy T  2.4  8.2  8 . Chọn C.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Tìm một nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   x cos x thỏa mãn F    2017. A. F  x   x sin x  cos x  2019.

B. F  x   x sin x  cos x  2018.

C. F  x    x sin x  cos x  1.

D. F  x    x sin x  cos x  2017.

Câu 2: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x  

x . cos 2 x

A.  x cot x  ln cos x  C.

B. x tan x  ln cos x  C.

C.  x cot x  ln cos x  C.

D.  x tan x  ln cos x  C.

Câu 3: Tìm nguyên hàm của y  xe x . A.

 f  x  dx  x e

 f  x  dx   x  1 e

2 x

 C. x

 C.

 f  x  dx  xe

 f  x  dx   x  1 e

x2 1 ln x  x 2  C. 2 4

 C. x

 C.

Câu 4: Tìm nguyên hàm của y  x ln x. A.

x2 1 ln x  x 2  C. 2 4

1 B. x 2 ln x  x 2  C. 2

D. x ln x 

1 x  C. 2

Câu 5: (THPT Chuyên Bến Tre 2017) Tìm nguyên hàm của f  x   ln x. A. x ln x  C.

B. x  x ln x  C.

C. x ln x  x  C.

D. x ln x  x  C.

  Câu 6: Tìm một nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   x sin x thỏa mãn F    2019. 2

A. F  x   x sin x  cos x  2019.

B. F  x   sin x  x cos x  2018.

C. F  x   x sin x  cos x  2019.

D. F  x   sin x  x cos x  2018.

Câu 7: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x    x  1 sin x. A.  x  1 cos x  sin x  C.

B.   x  1 cos x  sin x  C.

C.   x  1 cos x  sin x  C.

D.  x  1 cos x  sin x  C.

Câu 8: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x    2 x  1 e  x . A.   2 x  1 e  x  C.

B.   2 x  1 e  x  C.

C.   2 x  3 e  x  C.

D.   2 x  3 e  x  C.

Câu 9: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x    x  1 cos x. A.  x  1 sin x  cos x  C.

B.  x  1 sin x  cos x  C.

C.   x  1 sin x  cos x  C.

D.   x  1 sin x  cos x  C.

Câu 10: Một nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   ln x thỏa mãn F 1  3. Tính F  e  .

A. F  e   3.

B. F  e   1.

C. F  e   4.

D. F  e   0.

Câu 11: Tìm một nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   x.e  x thỏa mãn F  0   1. A.   x  1 e  x  1.

B.   x  1 e  x  2.

C.  x  1 e  x  1.

D.  x  1 e  x  2.

Câu 12: Tìm một nguyên hàm của hàm số f  x    x 2  2 x  e x . A.  2 x  2  e x .

B. x 2 e x .

C.  x 2  x  e x .

D.  x 2  2 x  e x .

Câu 13: (THPT Chuyên Đại học Vinh 2017) Cho y  f  x  thỏa mãn

 f  x  dx   ax  b  e

A. a  b  0.

f '  x    x  1 e x và

 c, với a, b, c  . Tính a  b.

B. a  b  3.

C. a  b  2.

D. a  b  1.

Câu 14: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017) Cho F  x   x 2 là một nguyên hàm của hàm số f  x  .e 2 x . Tìm nguyên hàm của hàm số f '  x  .e 2 x . A.

 f '  x  .e

dx   x 2  2 x  C.

 f '  x  .e

dx  2 x 2  2 x  C.

 f '  x  .e

dx   x 2  x  C. dx  2 x 2  2 x  C.

Câu 15: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017) Cho F  x    x  1 e x là một nguyên hàm của hàm số f  x  .e 2 x . Tìm nguyên hàm của hàm số f '  x  .e 2 x .

 f ' x e

dx   x  2  e x  C.

 f ' x e

dx   2  x  e x  C.

 f ' x e

Câu 16: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017) Cho F  x   

dx 

2 x x e  C. 2

dx   4  2 x  e x  C.

f  x 1 là một nguyên hàm của hàm số . 3 x 3x

Tìm nguyên hàm của hàm số f '  x  ln x. A.

 f '  x  ln xdx 

ln x 1   C. x3 5 x5

 f '  x  ln xdx 

ln x 1   C. x3 3x3

 f '  x  ln xdx  

Câu 17: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017) Cho F  x  

ln x 1   C. x3 5 x5 ln x 1   C. x3 3x3

f  x 1 . Tìm là một nguyên hàm của hàm số 2 x 2x

nguyên hàm của hàm số f '  x  ln x. 1   ln x  2   C. 2 x 2x 

 f '  x  ln xdx   

 f '  x  ln xdx 

ln x 1  2  C. 2 x 2x

ln x 1   C. x2 x2

 f '  x  ln xdx 

 f '  x  ln xdx   

 ln x 1     C. x2 x2 

Câu 18: Cho F  x  

f  x 1 là một nguyên hàm của . Tìm nguyên hàm của hàm số f '  x  ln x. 2 x x  2 ln x 1   2   C. x2 x 

 f '  x  ln xdx 

2 ln x 1  2  C. x2 x

 f '  x  ln xdx   

 f '  x  ln xdx 

2 ln x 1  2  C. x2 x

 f '  x  ln xdx   

Câu 19: Cho F  x   ln x là một nguyên hàm của

 2 ln x 1   2   C. x2 x 

f  x . Tìm nguyên hàm của f '  x  ln x. x2

 f '  x  ln xdx  x  ln x  1  C.

 f '  x  ln xdx  x  ln x  1  C.

 f '  x  ln xdx  x  ln x  x   C.

 f '  x  ln xdx  x 1  ln x   C.

Câu 20: Cho F  x  

f  x 1 là một nguyên hàm của . Tìm nguyên hàm của hàm số f '  x  ln x. 3 x x

 f '  x  ln xdx  

3ln x 3  2  C. 2 x 2x

 f '  x  ln xdx 

3ln x 3  2  C. 2 x 2x

 f '  x  ln xdx  

3ln x 3  2  C. 2 x 2x

 f '  x  ln xdx 

3ln x 3  C. x2 2x2

Câu 21: Cho F  x  

f  x 1 là một nguyên hàm của . Tìm nguyên hàm của hàm số f '  x  .x ln x. 2 x x 1

 f '  x  x ln xdx  4  x 

 f '  x  x ln xdx  4  x 

1

Câu 22: Cho F  x  

ln x    C. x2 

 ln x 1     C. x2 x 

 f '  x  x ln xdx  4 

 f '  x  x ln xdx  4 

 ln x 1     C. x2 x 

f  x 1 là một nguyên hàm của . Tìm nguyên hàm của f '  x  .  x3  1 . 2 x x 2  C. x2

 f ' x  x

 1 dx  4 x 

 f ' x  x

 1 dx  4 x 

2  C. x2

 f ' x  x

 1 dx  4 x   1 dx  x 

2  C. x2

f  x x2 Câu 23: Cho F  x   là một nguyên hàm của . Tìm nguyên hàm của f '  x  ln x. 4 x

A. C.



f '  x  ln xdx 

x2  1  ln x    C. 2 2



f '  x  ln xdx 

x2  1   ln x    C. 2 2x 



f '  x  ln xdx 

x2  1  ln x    C. 2 2



f '  x  ln xdx 

x2  1   ln x    C. 2 2x 

Câu 24: Cho F  x    xe x là một nguyên hàm của f  x  e 2 x . Tìm nguyên hàm của f '  x  e 2 x . A.

 f ' x e

dx  2 1  x  e x  C.

 f ' x e

dx 

1 x x e  C. 2

 f ' x e

dx   x  1 e x  C.

 f ' x e

dx   x  2  e x  C.

Câu 25: Cho F  x   2  x  1 e x là một nguyên hàm của hàm số f '  x  e x và f  0   0. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x  e x . A.

 f  x  e dx   x

 2 x  1 e x  C.

 f  x  e dx   x

 2 x  2  e x  C.

 f  x  e dx   x

 2 x  2  e x  C.  2 x  1 e x  C.

LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN

u  x du  dx   F  x    x cos xdx  x sin x   sin xdx Câu 1: Đặt  dv  cos xdx v  sin x  x sin x  cos x  C. Lại có F     sin   cos   C  1  C  2017  C  2018

Do đó F  x   x sin x  cos x  2018. Chọn B.

u  x du  dx    f  x  dx  x tan x   tan xdx Câu 2: Đặt  dx   v  tan x dv  cos 2 x  x tan x  

d  cos x  sin x dx  x sin x    x sin x  ln cos x  C. Chọn B. cos x cos x

u  x du  dx  Câu 3: Đặt   x x dv  e dx v  e Khi đó

 xe dx  xe   e dx  xe x

 e x  C   x  1 e x  C. Chọn D.

dx  du   u  ln x  x 2 ln x x x 2 ln x x 2  x    x ln xdx    dx    C. Chọn C. Câu 4: Đặt  2 2 2 2 4 dv  xdx v  x  2

dx  u  ln x du  Câu 5: Đặt   x   ln xdx  x ln x   dx  x ln x  x  C. Chọn D. dv  dx v  x  u  x du  dx    x sin xdx   x cos x   cos xdx Câu 6: Đặt  dv  sin xdx v   cos x   x cos x  sin x  C  F  x    f  x  dx  sin x  x cos x  C.

     Lại có: F     cos  sin  C  1  C  2019  C  2018 2 2 2 2 Vậy F  x   sin x  x cos x  2018. Chọn B.

u  x  1 du  dx Câu 7: Đặt     f  x  dx    x  1 cos x   cos xdx dv  sin xdx v   cos x    x  1 cos x  sin x  C. Chọn B.

u  2 x  1 du  2dx Câu 8: Đặt    x x dv  e dx v  e Khi đó

  2 x  1 e

x

dx    2 x  1 e x   2e  x dx  1  2 x  e  x  2e  x  C

  1  2 x  e  x  C    2 x  1 e  x  C. Chọn A.

u  x  1 du  dx Câu 9: Đặt      x  1 cos xdx   x  1 sin x   sin xdx dv  cos xdx v  sin x   x  1 sin x  cos x  C. Chọn B.

dx  u  ln x du  Câu 10: Đặt   x  F  x    ln xdx  x ln x   dx  x ln x  x  C. dv  dx v  x  Lại có: F 1  1.ln1  1  C  3  C  4  F  e   e ln e  e  4  4. Chọn C.

u  x du  dx  Câu 11: Đặt   x x dv  e dx v  e Khi đó F  x    xe  x dx   xe  x   e  x dx   xe  x  e  x  C    x  1 e  x  C. Mặt khác F  0   1  C  1  C  2  F  x     x  1 e  x  2. Chọn B. 2 u  x  2 x du   2 x  2  dx    f  x  dx   x 2  2 x  e x    2 x  2 e x dx Câu 12: Đặt  x x dv  e dx v  e

Xét nguyên hàm

  2 x  2  e dx x

u1  2 x  2 du1  2dx Đặt      2 x  2 e x dx   2 x  2 e x  2  e x dx x x dv1  e dx v1  e   2 x  2  e x  2e x  2 xe x  C.

Do đó

 f  x  dx   x

Câu 13: Ta có

 2 x  e x  2 xe x  C  x 2 e x  C. Chọn B.

 f  x  dx   ax  b  e

 c.

 Đạo hàm 2 vế ta được   f  x dx    ax  b  e x  c 

 f  x   ae x   ax  b  e x   ax  a  b  e x

Tiếp tục đạo hàm 2 vế ta được: f '  x   ae x   ax  a  b  e x   ax  2a  b  e x   x  1 e x

a  1 Đồng nhất 2 vế ta có:   a  b  0. Chọn A.  2a  b  1 u  e 2 x du  2e 2 x dx    f '  x  .e 2 x dx  e 2 x . f  x    2e 2 x . f  x  dx Câu 14: Đặt  dv  f '  x  dx v  f  x   e2 x . f  x   2 x 2  C

Mặt khác f  x  .e 2 x  F '  x   2 x   f '  x  .e 2 x dx  2 x  2 x 2  C. Chọn D. u  e 2 x du  2e 2 x dx    f '  x  .e 2 x dx  e 2 x . f  x    2e 2 x . f  x  dx Câu 15: Đặt  dv  f '  x  dx v  f  x 

 e 2 x . f  x   2  x  1 e x  C

Mặt khác f  x  .e 2 x  F '  x   e x   x  1 e x  xe x

 f '  x  .e

dx  xe x  2  x  1 e x  C   2  x  e x  C. Chọn C.

dx  u  ln x f  x du  x   f '  x  ln xdx  f  x  ln x    dx Câu 16: Đặt  x dv  f '  x  dx v  f  x  

 f  x  ln x 

Lại có: Do đó

1 C 3x3

f  x 1 3 x 2 1 1 ln x  F '  x    . 6  4  f  x   3  f  x  ln x  3 x 3 x x x x

 f '  x  ln xdx 

Câu 17: Ta có

ln x 1   C. Chọn C. x3 3x3

f  x 1 1 2  F '  x   3  f  x   2 suy ra f '  x  ln x  3 .ln x. x x x x

1  du  dx u  ln x  ln x dx  ln x 1   x Đặt     f '  x  ln xdx   2   3  2  2  C. 2 x x x 2x dv  x 3 dx v  1 2  x

dx  u  ln x f  x  dx du  x   f  x  dx  f  x  ln x    Cách 2: Đặt  x dv  f '  x  dx v  f  x  

 f  x  ln x 

Mặt khác Do đó

1 C 2x2

f  x 1 1  ln x  F '  x   3  f  x   2  f  x  ln x  2 x x x x 1   ln x  2   C. Chọn A. 2 x 2x 

 f '  x  ln xdx   

dx  u  ln x f x du  x   f   x  .ln xdx  f  x  .ln x    dx Câu 18: Đặt  x dv  f   x  dx v  f  x  

Ta có F   x   

f  x 2 2    f  x    2 . Vậy 3 x x x

 2.ln x 1   2   C. x2 x 

 f   x  .ln xdx   

Chọn B. dx  u  ln x du  x suy ra  Câu 19: Đặt  dv  f   x  dx v  f  x  



f   x  .ln xdx  ln x. f  x   

f  x dx x

Ta có F   x   Do đó

f  x 1 f  x   2  f x  x 2 x x x

 f   x  .ln xdx  x.ln x   dx  x  ln x  1  C. Chọn B.

dx  f x u  ln x du  x   f   x  .ln xdx  f  x  .ln x    dx Câu 20: Đặt  x dv  f   x  dx v  f  x  

Ta có F   x    Vậy

f  x 3 3    f  x   3 . 4 x x x  2.ln x 1   2   C. Chọn B. x2 x 

 f   x  .ln xdx   

u  x.ln x du  ln x  1 f  x    f   x  .x ln xdx  f  x  .x ln x   dx Câu 21: Đặt  x dv  f   x  dx v  f  x 

Ta có F   x    Vậy

f  x 2 2    f  x   2 . 3 x x x  2.ln x 1   2   C. Chọn B. x2 x 

 f   x  .ln xdx   

u  x 3  1 du  3 x 2 dx    f   x  . x 3  1 dx   x 3  1 . f  x    3 x 2 . f  x dx. Câu 22: Đặt  dv  f   x  dx v  f  x 

Ta có F   x   Khi đó



f  x f  x 2 2  3   f  x   2 . x x x x

f   x  .  x3  1 dx  

2  x3  1 x

  6dx  4 x 

dx  u  ln x du  x suy ra  Câu 23: Đặt  dv  f   x  dx v  f  x  

Ta có F   x   Do đó



2  C. Chọn B. x2

f   x  .ln xdx  ln x. f  x   

f  x dx x

f x x f  x x2    f  x  x 2 x 2

f   x  .ln xdx 

x 2 .ln x x x 2 .ln x x 2   dx    C. Chọn A. 2 2 2 4

2x du  2e 2 x dx u  e    f   x  e 2 x dx  f  x  .e 2 x  2  f  x .e 2 x dx Câu 24: Đặt   dv  f x dx v  f x      

x 1 Ta có F   x   f  x  .e 2 x    x.e x   f  x  .e 2 x  e x  x  1  f  x  .e 2 x  f  x    x . e

Khi đó

 f  x e

 x 1  dx  e 2 x .   x   2   x.e x   C   x  1 e x  C. Chọn C.  e 

u  f  x  du  f   x  dx    f  x  .e x dx  f  x  .e x   f   x  .e x dx Câu 25: Đặt   x x dv  e dx v  e

Ta có F   x   f   x  .e x   2  x  1 e x   f   x  .e x  2 x.e x  f   x  .e x  f   x   2 x  C  0  f  x   x2 . Lại có f  x    f   x  dx   2 xdx  x 2  C mà f  0   0 

Do đó

 f  x  .e dx  x .e x

 2  x  1 e x  C   x 2  2 x  2  e x  C. Chọn C.

CHỦ ĐỀ 5: NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỈ A. LÝ THUYẾT I. Các công thức cần nhớ 1

(1).

 x  a dx  ln x  a  C   ax  b  a ln ax  b  C

(2).

x

(3).

x

dx 1 x a  ln C 2 a 2a x  a

1 1 x 1 1 u dx  arctan  C   2 du  arctan  C 2 2 a a a u a a a

II. Nguyên hàm dạng I  

P  x  dx Qx

Nếu bậc của tử số lớn hơn hoặc của mẫu số thực hiện phép chia đa thức ta có:

Px

Qx

 g x 

P ' x  Q x

 Dạng 1: I   Phân tích:

Px ax  b

 Dạng 2: I  

. Dưới đây là một số dạng thường gặp.

P  x  dx ax  b  g x 

k dx khi đó I   g  x  dx  k  ax  b ax  b

mx  n dx ax 2  bx  c

 Trường hợp 1:   b 2  4ac  0 Phân tích:

mx  n mx  m 1 A B       2 ax  bx  c a  x  x1  x  x 2  a  x  x1 x  x 2 

(Đồng nhất hệ số để tìm A, B). I

1  A ln x  x1  Bln x  x 2   C. a

 Trường hợp 2:   b 2  4ac  0 m  x  x0   p mx  n mx  n m P     2 2 2 a.x  bx  c a  x  x 0  a  x  x 0  a  x  x 0 2 a  x  x0 

 Trường hợp 3:   b 2  4ac  0 Phân tích:

k  2ax  b  mx  n p  2  2 ax  bx  c ax  bx  c a  x  x 0 2  q

Khi đó I  



kd ax 2  bx  c ax  bx  c

 Dạng 3: I  

P  x  dx Qx

p

a  x  x  0

 n2

với Q  x   ax 3  bx 2  cx  d

 Trường hợp 1: ax 3  bx 2  cx  d  a  x  x1  x  x 2  x  x 3  Phân tích:

Px ax  bx  cx  d 3



A B C   x  x1 x  x 2 x  x 3

Trường hợp 2: ax 3  bx 2  cx  d  a  x  x1  x  x 2  Phân tích:

P x ax  bx  cx  d 3



A Bx  C  x  x1  x  x 2  2

 Trường hợp 3: ax 3  bx 2  cx  d  a  x  x1   mx 2  nx  p  trong đó mx 2  nx  p  0 vô nghiệm. Phân tích:

Px ax  bx  cx  d 3



A Bx  C  x  x1 mx 2  nx  p P  x  dx

 Dạng 4: [Tham khảo và nâng cao]: I   Trường hợp 1: I   Phân tích:

P x x a 4



x4  a2

trong đó bậc của P(x) nhỏ hơn 4.

P  x  dx x4  a2









A x 2  a  B x 2  a  Cx 3  Dx x a 4

a  a dx   x a du x  x 2 dx  Khi đó ta có: I1   4 dx    I1   2 2 2 2  a x a u  2a a  x2  2 x    2a  x x  1

a  a dx   x a du x  x 2 dx  I2   4 dx    I2   2 2 2 2  a x a u  2a a  x2  2 x   2a   x x  1





4 2 x 3dx 1 d x a 1 I3   4    ln x 4  a 2  C 2 4 2 x a 4 x a 4

 

2 xdx 1 d x 1 du I4   4   4  I4   2 . 2 2 x a 2 x a 2 u  a2

Từ đó suy ra nguyên hàm I    Trường hợp 2: I   Phân tích:

P x x a 4



P  x  dx x4  a2

P  x  dx x4  a2



Ax 3  Bx  Cx 2  D x a 4







 

4 2 2 Ax 3  Bx A d x a B d x A du B dv Khi đó xét: I1   4 2 dx     4 2  I1     2 2 4 2 x a 4 x a 2 x a 4 u 2 v a

Phân tích I 2  

Cx 2  D N   M dx    2  2  dx (Đồng nhất tìm M, N). 4 2 x a  x a x a 

 Dạng 5 [Tham khảo và nâng cao]: Một số nguyên hàm hữu tỷ khi Q(x) là đa thức bậc 6. 

I1  

dx dx 1  1 1   3   3  3  6 3 x 1 x 1 x 1 2  x 1 x 1 



I2  

xdx 1 dx 2 1 du   I2   3 3 6  x 1 2 x2 1 2 u 1







  dx  I 3

  

x 2 dx 1 1 du I3   6   6 3  x 1 3 x 1 3  u2 1 2 2 x 3dx 1 x d x 1 udu I4   6   6  I4   3 x 1 2 x 1 2 u 1 4 2 2  x  x  1   x  1  2 dx  dx  dx  2 dx x 4 dx I5   6   x2 1  x4  x2 1  x6 1 x 1  x 2  1 x 4  x 2  1

 



 



2 2 dx 1 x 1  x 1 1 x2 1 1 x2 1 Với K   4  dx  dx  dx x  x2 1 2  x4  x2 1 2  x4  x2 1 2  x4  x2 1

1 1   dx   dx   1 1 1 1 x x   dx   dx       2 1 1 1 2 x2 1 2 x2 1 2  2  1 x   1 x   3 2 2    x x x  x  1

K

1 x2

1

1 x2

1 du 1 dv   2 2  2 u  3 2 v 1

B. VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 4 A. I1   dx 2x  1

x 1 B. I 2   dx x 1

2x  1 C. I3   dx 3  4x

x2  x  4 D. I 4   x 3

Lời giải 4 4 d  2x  1 dx    2 ln 2x  1  C 2x  1 2 2x  1 x 1 x 1 2 2  dx  b) I 2   dx   dx   1   x  2 ln x  1  C.  dx   dx  2  x 1 x 1 x 1  x 1  1 5   3  4x    2x  1 5 1 5 dx 2 dx    1  c) I3   dx   2   dx   x     3  4x 3  4x 2 2 3  4x  2 2  3  4x  

a) I1  

1 5 d  3  4x  1 5 1 5  x    x  ln 3  4x  C  I3   x  ln 3  4x  C 2 8 3  4x 2 8 2 8

d  x  3 x 2 x2  x  4 10    x  2 dx  x  2 dx  10      x  3  2  2x  10 ln x  3  C. x 3 x 3  Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

d) I 4  

x3  x  7 dx A. I5   2x  5

C. I7  

3x 3  3x 2  x  2 dx B. I6   x 1

4x 4  3x 2  x  2 dx 2x  1

Lời giải 49 x x7 1 2 5 21  x  x  8 a) Chia tử số cho mẫu số ta được 2x  5 2 4 8 2x  5 3

49   1 2 5  x3  x  7 21 5 21  49 dx 1 dx    x  x   8  dx    x 2  x   dx   Khi đó: I5   2x  5 4 8 2x  5  4 8  8 2x  5 2 2  

1 x 3 5 x 2 21 49 d  2x  5  x 3 5x 2 21x 49  .  .  x      ln 2x  5  C. 2 3 4 2 8 16 2x  5 6 8 8 16

b) Ta có I6  

3x 3  3x 2  x  2 9   3 2 dx    3x 2  6x  7  dx  x  3x  7x  9 ln x  1  C. x 1 x  1  

5 4x  3x  x  2 1  2x 2  x 2  2x   2 c) Chia tử số cho mẫu số ta được 2x  1 2 2x  1 4

5     4x  3x  x  2 1 1 5 dx  I7   dx    2x 3  x 2  2x   2 dx    2x 3  x 2  2x  dx   2x  1 2 2x  1  2 2 2x  1     4

x 4 x3 1 5 d  2x  1 x 4 x 3 1 5 2  2.   x  x      x 2  x  ln 2x  1  C 4 3 2 4 2x  1 2 3 2 4

Ví dụ 3: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: A. I1  

dx dx x  2x  3 2

B. I 2  

2dx 3x  4x  1 2

C. I3  

2x  3 dx x  3x  4 2

D. I 4  

3x  4 dx 5x  6x  1 2

Lời giải a) I1  

dx dx 1  x  1   x  3 1  dx dx  1 x  3 dx   dx     C   ln 2   x  2x  3 4 x 3 x 1  4 x 1  x  1 x  3 4  x  1 x  3

b) Ta có I 2  

2dx dx dx 2 3x  1  3  x  1   2   2   3x 2  4x  1   x  13x  1 4   x  13x  1 dx 3x 2  4x  1

1  dx dx  1 1 d  3x  1 1 1 1 3x  1     3   ln x  1  ln 3x  1  C  ln  C.    ln x  1   2  x 1 3x  1  2 2 3x  1 2 2 2 x 1

c) I3   Cách 1:

2x  3 dx x  3x  4 2

Nhận thấy mẫu số có hai nghiệm x  1 và x  4 , khi đó

2x  3 2x  3 A B    x  3x  4  x  1 x  4  x  1 x  4 2

1  A  2  A  B   5  Đồng nhất ta được 2x  3  A  x  4   B  x  1   3  4A  B B  11  5 11   1  5  2x  3 1 dx 11 dx 1 11  I3   2 dx     5  dx        ln x  1  ln x  4  C. x  3x  4 5 x 1 5 x  4 5 5  x 1 x  4   

1 11 Vậy I3   ln x  1  ln x  4  C 5 5

Cách 2: Do mẫu số có đạo hàm là 2x – 3 nên ta sẽ phân tích tử số có chứa đạo hàm của mẫu như sau:





d x 2  3x  4 2x  3 dx  2x  3 2x  3  6 dx dx I3   2 dx   2 dx   2  6 2   6 2 x  3x  4 x  3x  4 x  3x  4 x  3x  4 x  3x  4  x  1 x  4 

 ln x 2  3x  4 

6  x  1   x  4  6  dx dx  6 x4 2 dx  ln x 2  3x  4     C   ln x  3x  4  ln  5  x  1 x  4  5 x4 x 1  5 x 1

Nhận xét: Nhìn hai cách giải, thoạt nhìn chúng ta lầm tưởng là bài toán ra hai đáp số. Nhưng, chỉ bằng một vài phép biến đổi logarit đơn giản ta có ngay cùng kết quả. Thật vậy, thao cách 2 ta có: 6 x4 6 6 1 11 ln x 2  3x  4  ln  ln x  4  ln x  1  ln x  4  ln x  1  C   ln x  1  ln x  4 . 5 x 1 5 5 5 5

Rõ ràng, chúng ta thấy ngay ưu điểm của cách 2 là không phải đồng nhất, và cùng không cần đến giấy nháp ta có thể giải quyết nhanh gọn bài toán, và đó là điều mà tôi mong muốn các bạn thực hiện được! d) I 4   

3x  4 3x  4 dx   dx 5x  6x  1  x  1 5x  1 2

Cách 1:

1  A 3  5A  B  3x  4 A B 4    3x  4  A 5x  1  B  x  1     x  15x  1 x  1 5x  1 4  A  B B  17  4

Từ đó I 4  

  3x  4 1 17 1 dx 17 dx dx      dx        4  x  1 4  5x  1  4 x  1 4 5x  1  x  1 5x  6  

1 17  I 4   ln x  1  ln 5x  1  C 4 20



Cách 2:

Do mẫu số có đạo hàm là 10x  6 nên ta sẽ phân tích tử số có chứa đạo hàm của mẫu như sau: 3 22 10x  6   10x  6 dx  22 3x  4 dx 10 dx  3 I4   2 dx   10 2 2 2   5x  6x  1 5x  6x  1 10 5x  6x  1 10 5x  6x  1





2 3 d 5x  6x  1 22 dx 3 22 5x  1  5  x  1 2     ln 5x  6x  1  dx 10 5x 2  6x  1 10   5x  1 x  1 10 40  5x  1 x  1



3 22  dx 5x  3 11 x 1 2 ln 5x 2  6x  1      C.   ln 5x  6x  1  ln 10 40  x  1 5x  1  10 20 5x  1

Ví dụ 4: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 4x 3  2x  1 dx x2 1

A. I5  

B. I6  

5 x dx 3  2x  x 2

Lời giải Do tử số có bậc lớn hơn mẫu nên chia đa thức ta được I5  

4x 3  2x  1 6x  1   dx    4x  2  dx 2 x 1 x 1  

7  A  6  A  B  6x  1 6x  1 A B  2 Mà 2     6x  1  A  x  1  B  x  1    x  1  x  1 x  1 x  1 x  1 1  A  B B  5  2

  7 5 7 5 2  I5    4x    dx  2x  ln x  1  ln x  1  C  2  x  1 2  x  1  2 2 

b) Ta có:

5 x x 5 x 5 A B  2     x  5  A  x  3   B  x  1 2 3  2x  x x  2x  3  x  1 x  3  x  1 x  3

1  A  B A  1 5 x 2  dx dx  1    I6   dx     dx     2  2 3  2x  x x 1 x 3  x 1 x  3  5  3A  B B  2

 x  3   ln x  1  2 ln x  3  C  ln x 1

 C  I6

 x  3  ln x 1

C .

Ví dụ 5: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: A. I1  

2dx x  2x  1 2

B. I 2  

dx 6x  9x  1 2

C. I3  

dx 25x  10x  1 2

Lời giải a) I1  

d  x  1 2dx dx 2 2  2  2   C  I1   C 2 2 x  2x  1 x 1 x 1  x  1  x  1

b) I 2  

dx dx 1 d  3x  1 1 1      C  I2    C. 2 2 6x  9x  1 3  3x  1 3 3x  1  3x  1 3  3x  1

c) I3  

dx dx 1 d 5x  1 1 1      C  I3   C 2 2 25x  10x  1 5 5x  1 5 5x  1 5x  1 5 5x  1

Ví dụ 6: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 4x 2  3 dx b. I5   2 4x  12x  9

2x  1 a. I 4   2 dx 4x  4x  1

c. I6  

1  5x dx 9x  24x  16 2

Lời giải a) I 4   

2x  1 2x  1 dx   dx 2 4x  4x  1  2x  1 2

Cách 1:

2x  t  1 2x  1 t  2 dt 1  dt 2dt  1 1 Đặt t  2x  1    I4   dx   2      2   ln t   C 2 t 2 2 t t  2 t  2x  1 dt  2dx  I4 



1 1 ln 2x  1  C . 2 2x  1

Cách 2:

1  8x  4  2  8x  4 dx  2 dx 2x  1 1 I4   2 dx   4 2 dx   2   2x  1 2 4x  4x  1 4x  4x  1 4 4x  4x  1









2 2 d  2x  1 1 d 4x  4x  1 d  2x  1 1 d 4x  4x  1        2 2 2 2 4 4x  4x  1  2x  1 4 4x  4x  1  2x  1



1 1 1 1 ln 4x 2  4x  1   C  ln 2x  1  C 4 2x  1 2 2x  1

d  2x  3 4x 2  3 12x  12  dx 6  dx   1  2  x  6 x C b) I5   2  dx  12  2 2  4x  12x  9 2x  3  4x  12x  9   2x  3  2x  3

c) I6   

1  5x 1  5x dx   dx 2 9x  24x  16 3x  4  2

Cách 1:

5 t  4 t4  1  1  5x dt 1 5t  17 x  3 Đặt t  3x  4   dx     dt 3  I6   2 2 t 3 9 t2  3x  4  dt  3dx

1 17  1 17  5 17    5ln t    C  I6    5ln 3x  4  C   C   ln 3x  4  9 t  9 3x  4  9 9  3x  4  Cách 2:

I6   

1  5x

 3x  4 

dx  



5 17  3x  4  dx 17 dx 3 3 dx   5    2  3 3x  4 3  3x  4 2  3x  4

5 d  3x  4  17 d  3x  4  5 17 1     ln 3x  4  . C 2  9  3x  4  9  3x  4  9 9 3x  4

5 17  I6   ln 3x  4  C 9 9  3x  4 

Ví dụ 7: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a. I1  

dx x  2x  3

b. I 2  

dx 4x  4x  2

c. I3  

dx 9x  24x  20 2

Lời giải a) I1  

d  x  1 dx dx   2 x  2x  3  x  1  2  x  1 2  2

b) I 2  

d  2x  1 dx dx 1 1    arctan  2x  1  C 2 2 2   2 4x  4x  2  2x  1  1 2  2x  1  1 2

c) I3  

d  3x  4 dx dx 1  3x  4     a rctan  C 2 2 9x  24x  20  2   3x  4  4  3x  4  22 2

 



1  x 1  arctan  C 2  2 

Ví dụ 8: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a. I 4  

3x  5 dx 2 2x  x  10

b. I5  

4x  1 dx 2 6x  9x  4

c. I6  

2x 4  x dx x 2  2x  7

Lời giải 3 17  4x  1  3x  5 dx 4 dx  3  4x  1 dx  17 a) I 4   2 dx   4 2 2 2   2x  x  10 2x  x  10 4 2x  x  10 4 2x  x  10





2 3 d 2x  x  10 17 dx 3 17 dx      ln 2x 2  x  10   2 2 4 2x  x  10 8 x2  x  5 4 8  1  79 x    2 4  16 





1  dx   3 17 3 17 4  4x  1  4   ln 2x 2  x  10    ln 2x 2  x  10  . arc tan  C 2 2 4 8  4 8 79 79     1 79  x    4  4  



Vậy I 4 







3 17  4x  1  ln 2x 2  x  10  arctan  C 4 2 79  79 





1 12x  9   4 4x  1 1 12x  9  dx dx b) I5   2 dx   3 2 dx   2 dx  4  2 6x  9x  4 6x  9x  4 3 6x  9x  4 6x  9x  4





2 d 3x  1 1 d 6x  9x  4 dx 1 4   dx  4   ln 6x 2  9x  4   2 2 3 6x  9x  4 3 3x  12  3  3x  1  3 3

1 4 1  3x  1   ln 6x 2  9x  4  . arctan  C 3 3 3  3 









 

1 4  3x  1   I5  ln 6x 2  9x  4  arctan  C 3 3 3  3 



c) I6  



2x 4  x 25x  7  2x 3 25x  7  2 dx  2x  4x  1  dx   2x 2  x   2 dx   2 2  x  2x  7 x  2x  7  3 x  2x  7 

25  2x  2  32 25x  7 25  2x  2 dx dx 2 Đặt J   2 dx   dx  dx  32  2 2 2  x  2x  7 x  2x  7 2 x  2x  7 x  2x  7





2 25 d x  2x  7 dx 25 d(x  1)    ln x 2  2x  7  32  2 2  2 2 x  2x  7  x  1  6 2  x  1  6





 



2 25 d x  2x  7 32 x 1   arctan 2  2 x  2x  7 6 6

 I6 

2x 3 25 32  x 1   2x 2  x  ln x 2  2x  7  arctan  C 3 2 6  6 





Tổng kết: Qua ba phần trình bày về hàm phân thức có mẫu số là bậc hai, chúng ta nhận thấy điểm mấu chốt giải quyết bài toán là xử lý mẫu số.

Nếu

P x ax 2  bx  c

P x

1 A B      ax  bx  c a  x  x1 x  x 2  du 1 u 2 ax 2  bx  c   mx  n   k 2   2  arctan  C 2 u    du 1 2 ax 2  bx  c   mx  n    2    C u u ax 2  bx  c  a  x  x1  x  x 2  

Ví dụ 9: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a. I1  

dx  x  2 x2  9





b. I 2  

6x 2  x  2 dx x x2 1



c. I3  



3x 4  x 2  3z  7 dx x x2  x  2





Lời giải a) I1   Ta có

dx dx = 2  x  2  x  3 x  3  x  2 x  9





1 A B C     1  A x 2  9  B  x  2  x  3   C  x  2  x  3  x  2 x  3 x  3 x  2 x  3 x  3    





1  A    5 0  A  B  C  1    0  5B  C  B  30 1  9A  6B  6C   1  C  6 

Nhận xét: Ngoài cách giải truyền thống trên, chúng ta có thể biến đổi cách khác như sau mà không mất nhiều thời gian cho việc tính toán. Suy nghĩ:

 x  3   x  3 dx  1 dx 1 dx 1 dx   dx    6  x  2 x  3 6  x  2 x  3  x  2  x  3 x  3 6  x  2 x  3 x  3

I1  

Đến đây, bài toán trở về các dạng biến đổi đơn giản đã xét đến! b) I 2   

6x 2  x  2 6x 2  x  2 dx   x  x  1 x  1 dx x x2 1





Cách 1:

6x 2  x  2 A B C Ta có     6x 2  x  2  A x 2  1  Bx  x  1  Cx  x  1 x  x  1 x  1 x x  1 x  1





 A  2 3 5   6  A  B  C  2  3 3 5    1  B  C  B   I 2     2  2  dx  2 ln x  ln x  1  ln x  1  C 2 2 2 2  A   x x 1 x 1     5  C  2 

Cách 2:









2 3x 2  1   x  1  1 3x 2  1 dx  x  1 dx  dx  6x 2  x  2 I2   dx  dx  2 dx    x3  x  x3  x  x3  x x3  x x x2 1



 2

J



d x3  x x x 3

 dx 

 x  x  1   x  x  1 x  1  2 ln x

x JK

 x  1  x dx   1  1  dx  ln x  ln x  1  ln x dx    x x  1  x  x  1 x  x  1 x 1

K 



 x  1  x dx  dx  dx dx     x  x  1 x  1 x  x  1 x  1 x  x  1  x  1 x  1

x   x  1 x  x  1

dx 

x   x  1 1  x  1   x  1 1  x  1   x  1 dx   dx   dx  2  x  1 x  1 x  x  1 2  x  1 x  1

1 1  1 1  x 1 1 x 1  1     dx      ln  dx  ln 2  x 1 x 1  x 2 x 1  x 1 x 

Từ đó ta được I 2  2 ln x 3  x  ln

x x 1 1 x 1  ln  ln C x 1 x 2 x 1

Nhận xét: Cách phân tích như trên vẫn chưa thực sự tối ưu, xin dành cho các bạn đọc! c) I3  

 3x 4  x 2  3x  7 8x 2  3x  7  dx  3x  3  x x2  x  2 x x2  x  2 

Với J   Ta có:









 3x 2  dx   3x  J 2 

8x 2  3x  7 8x 2  3x  7 dx   x  x  1 x  2 dx x x2  x  2





8x 2  3x  7 A B C     8x 2  3x  7  A  x  1 x  2   Bx  x  2   Cx  x  1 x  x  1 x  2  x x  1 x  2

7  A   2 8  A  B  C  7 15   3  A  2B  C  B  4  J   ln x  4 ln x  1  ln x  2  C. 2 2 7  2A  15  C  2  Vậy I3 

3x 2 7 15  3x  ln x  4 ln x  1  ln x  2  C 2 2 2

Ví dụ 10: Tìm nguyên hàm: I  

4x  1 dx 2x  3

A. I  2x  ln 2x  3  C

1 B. I  2x  ln 2x  3  C 2

1 C. I  x  ln 2x  3  C 2

D. I  x  ln 2x  3  C Lời giải

Ta có: I  

2  2x  1  1 4x  1 dx 1 dx   dx   2dx    2x  ln 2x  3  C. Chọn B. 2x  3 2x  3 2x  3 2

Ví dụ 11: Tính nguyên hàm: I  

3x 2  2x  1 dx x 1

A. I 

3 2 x  x  ln x  1  C 2

B. I 

3 2 x  x  2 ln x  1  C 2

C. I 

3 2 x  2x  ln x  1  C 2

D. I 

3 2 x  x  2 ln x  1  C 2

Lời giải 3x 2  2x  1 3x  x  1   x  1  2 2   3x  1  Ta có: x 1 x 1 x 1

Khi đó I 

3 2 x  x  2 ln x  1  C. Chọn D. 2

Ví dụ 12: Tính nguyên hàm: I   1 2x  1 C A. I  ln 3 x 1

dx . 2x  x  1 2

2x  1 C B. I  ln x 1

2 2x  1 C C. I  ln 3 x 1

1  2x  1 D. I  ln C 3 x 1 2

Lời giải Ta có: I   

dx dx 1 2  x  1   2x  1   dx 2x 2  x  1   2x  1 x  1 3   2x  1 x  1

1  2 1  1 2dx 1 dx 1 1 1 2x  1     ln 2x  1  ln x  1  C  ln  C . Chọn A.   dx    3  2x  1 x  1  3 2x  1 3 x  1 3 3 3 x 1

Ví dụ 13: Tính nguyên hàm: I   3 x 1 C A. I  ln 2 x 1

x 5 dx. x2 1

3 x 1 C B. I  ln 2 x 1

 x  1 I  ln 2  x  1

 x  1 I  ln 3  x  1

C

Lời giải Ta có:

 A  B x  A  B x 5 A B    2 x 1 x 1 x 1 x2 1

A  B  1 A  2 Đồng nhất 2 vế ta có:   A  B  5 B  3

 x  1  C. Chọn C. 2   3  Suy ra I     dx  3ln x  1  2 ln x  1  C  ln 2  x 1 x 1   x  1 3

Ví dụ 14: Tính nguyên hàm: I  

2x  1

 3x  2 

A. I 

2 5 1 ln 3x  2  .  C. 3 9 3x  2

B. I 

2 1 1 ln 3x  2  . C 3 3 3x  2

C. I 

2 1 1 ln 3x  2  . C 3 9 3x  2

D. I 

2 1 1 ln 3x  2  . C 9 9 3x  2

Lời giải

2 1  3x  2   dx 1 dx 3 dx  2 dx   3   Ta có: I   2 2  3 3x  2 3 3x  2 2  3x  2   3x  2  2x  1



2 1 1 ln 3x  2  .  C. Chọn D. 9 9 3x  2

Ví dụ 15: Tính nguyên hàm: I   A. I 

2  ln 2x  1  C. 1  2x

 2x  3 dx .

4x 2  4x  1

B. I 

2  2 ln 2x  1  C. 2  4x

C

2 1  ln 2x  1  C. 2x  1 2

C. I 

D. I 

2 1  ln 2x  1  C. 1  2x 2

Lời giải

 2x  3 dx

Ta có:

4x  4x  1 2

Khi đó I  



4dx

 2x  1

2x  3

 2x  1 



2x  1  4

 2x  1



1 4  2x  1  2x  1 2

dx 2 1   ln 2x  1  C. Chọn D. 2x  1 2x  1 2 4x  3 dx. x  2x  2

Ví dụ 16: Tính nguyên hàm: I  

A. I  2 ln  x 2  2x  2   arctan  x  1  C

B. I  2 ln  x 2  2x  2   arctan  x  1  C

C. I  ln  x 2  2x  2   arctan  x  1  C

D. I  ln  x 2  2x  2   arctan  x  1  C Lời giải

Ta có: I   

2  2x  2   1 4x  3 dx   dx 2 x  2x  2  x  1  1 2



2d x 2  2x  2 x  2x  2 2





  x  1

1

 2 ln x 2  2x  2  arctan  x  1  C .



 2 ln x 2  2x  2  arctan  x  1  C. Chọn A.

Ví dụ 17: Tính nguyên hàm: I  

dx x x 3

1 A. I  ln x 2  1  ln x  C 2

B. I 

1 ln x 2  1  2 ln x  C 2

C. I  ln x 2  1  ln x  C

D. I 

1 ln x 2  1  ln x  C 2

Lời giải Ta có: I  



dx dx x 1 x   dx x x x  x  1 x  1 x  x  1 x  1 3

dx dx 1 1  1 1   1      dx      dx 2  x 1 x 1   x  1 x  x  1 x  1  x  1 x 

 ln

x 1 1 x 1 1  ln  C  ln x 2  1  ln x  C. Chọn D. x 2 x 1 2

Ví dụ 18: Tính nguyên hàm: I   A. I 

1 1 x 1  ln C 3  x  1 9 x  2

dx x  3x  2 3

B. I  

1 1 x 1  ln C 3  x  1 9 x  2

C. I  

1 1 x 1  ln C 3  x  1 3 x  2

D. I 

1 1 x 1  ln C 3  x  1 3 x  2

Lời giải Ta có: I  



 x  1  x  2  2



1  x  2    x  1 dx 3   x  12  x  2 

1 dx 1 dx 1 1  1 1         dx 2  3  x  1 3  x  1 x  2  3  x  1 9  x  1 x  2 



1 1 x 1  ln  C. Chọn B. 3  x  1 9 x  2

Ví dụ 19: Tính nguyên hàm: I   A. I 

3x 2  2 dx x4  4

1 x 2 x ln  arctan  C. 2 x 2 2

C. I  ln

B. I  ln

x 2 1 x  arctan  C. x 2 2 2

D. I 

x 2 x  arctan  C. x 2 2

1 x 2 1 x ln  arctan  C. 2 x 2 2 2

Lời giải



    

2 2 A  B x 2  2A  2B  3x 2  2 A x  2  B x  2   Ta có: 4 x 4 x2  2 x2  2 x2  x x2  2







A  B  3 A  2 Đồng nhất 2 vế ta có:   2A  2B  2 B  1 Khi đó I  

2dx dx 1 x 2 1 x  2  ln  arctan  C. Chọn D. 2 x 2 x 2 2 x 2 2 2

BÀI TẬP TỰ LUYỆN 2x 2  3x  4 dx. Câu 1: Tìm nguyên hàm I   x 1

A. I  x 2  3ln x  1  C.

B. I  x 2  3ln x  1  C.

C. I  x 2  x  3ln x  1  C.

D. I  x 2  x  3ln x  1  C.

Câu 2: Tìm nguyên hàm I  

x3 dx x 1

A. I 

x3 x 2   x  ln x  1  C 3 2

B. I 

x3 x 2   x  ln x  1  C 3 2

C. I 

x3 x 2   x  ln x  1  C 3 2

D. I 

x3 x 2   x  ln x  1  C 3 2

Câu 3: Tìm nguyên hàm I  

x 3  2x 2  x dx. x 1

x3 x 2   2x  2 ln x  1  C 3 2

x3 x 2   2x  2 ln x  1  C 3 2

x3 x 2   2x  2 ln x  1  C 3 2

x3 x 2   2x  2 ln x  1  C 3 2

Câu 4: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f  x  

x2 thỏa F 1  ln 2. x 2  3x  2

A. F  x   x  ln x  1  4 ln x  2  4 ln 3  1 B. F  x   x  ln x  1  4 ln x  2  4 ln 3  1 C. F  x   x  ln x  1  4 ln x  2  4 ln 3  1 D. F  x   x  ln x  1  4 ln x  2  4 ln 3  1 x 2  5x Câu 5: Tìm một nguyên hàm của hàm số f  x   2 thỏa F  4   6 ln 2. x  5x  6

A. F  x   x  6 ln

x 3 4 x2

B. F  x   x  6 ln

x 3 4 x2

C. F  x   x  6 ln

x2 4 x 3

D. F  x   x  6 ln

x2 4 x 3

Câu 6: Hàm số f  x  

5x  11 có một nguyên hàm F(x) thỏa F  3  3ln 8. Tìm e F 6  . x  3x  10

A. e F 6  64 Câu 7: Hàm số f  x  

B. e F 6   512

C. e F 6   4096

D. e F 6  32768

9x  10 có một nguyên hàm là F(x) thỏa mãn F 1  ln 2. Gọi x1, x2 là hai 6x  11x  3 2

1 nghiệm của phương trình F  x   ln 3x  1  ln 3. Tính 3x1  3x 2 . 2

A. 3x1  3x 2  28

C. 3x1  3x 2 

B. 3x1  3x 2  4

Câu 8: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f  x  

730 27

D. 3x1  3x 2 

82 27

x2 thỏa F  5   5. x 2  7x  12

A. F  x   x  16 ln x  4  9 ln x  3  9 ln 2 B. F  x   x  16 ln x  4  9 ln x  3  9 ln 2 C. F  x   x  16 ln x  4  9 ln x  3  9 ln 2 D. F  x   x  16 ln x  4  9 ln x  3  9 ln 2 Câu 9: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   A.

xb

C

B.  f  x  dx 

1 xa ln C ba x b

xa C xb

D.  f  x  dx 

1 xb ln C ba x a

 f  x  dx  ln x  a

C.  f  x  dx  ln

1 ; giả sử hàm số xác định. x   a  b  x  ab 2

x4 14 Câu 10: Hàm số f  x   2 có một nguyên hàm là F(x) thỏa F  0    . Tính e F 2 . x 1 3

A. e F 2  

2 3 3

B. e F 2 

Câu 11: Hàm số f  x  

C. e F 2  3

D. e F 2 

3 3

10 ln 2 2x  1 . Tính e F 1 . có một nguyên hàm là F(x) thỏa F  2   3 x x2

A. e F 1  3 25 Câu 12: Hàm số y 

3 2

B. e F 1  ln 3 2

C. e F 1  3 2

D. e F 1  3 45

5x  3 có một nguyên hàm F(x) thỏa F  2   18ln 2. Tìm F  5  . x  7x  12 2

A. F  5   33ln 2

B. F  5   21ln 2

C. F  5   17 ln 2

Câu 13: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f  x  

D. F  5   11ln 2

 x 3  5x  2 3 thỏa mãn F 1  . 2 4x 2

A. F  x  

x3  ln x  2  1 3

B. F  x  

x3  ln x  2  1 3

C. F  x  

x2  2  ln 2  x 2

D. F  x  

x2  ln 2  x  1 2

Câu 14: Hàm số f  x  

1 có một nguyên hàm là F(x) thỏa mãn F  4   1  ln 2. Phương trình x  5x  6 2

a a F  x   1 có nghiệm x  ; với là phân số tối giản. Tìm a  b. b b

A. a  b  2

B. a  b  5

C. a  b  7

D. a  b  9

Câu 15: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f  x   

 x  1

; biết rằng đồ thị của hàm số y  F  x  đi

qua gốc tọa độ O. x  ln x  1 x 1

A. F  x  

C. F  x   

1  ln x  1  1 x 1

Câu 16: Hàm số f  x  

B. F  x  

1 x   ln x  1 2 x 1

D. F  x  

x  ln x  1 x 1

1 có một nguyên hàm là F(x) thỏa F 1  ln 2. Tính F  2  . x  x  1 2

A. F  2  

5 1  ln 2 2

B. F  2  

5  ln 2 2

C. F  2  

3 1  ln 2 2

D. F  2  

3  ln 2 2

Câu 17: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f  x  

x 1 , biết đồ thị hàm số y  F  x  đi qua điểm x2

1  M  e; 2   . e 

A. F  x   ln x 

1 2 x

B. F  x   ln x 

1 1 x

C. F  x   ln x 

1 2 x

D. F  x   ln x  ln x 2  1

x 2  2x  1 , biết rằng đồ thị hàm số y  F  x  cắt Câu 18: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f  x   2 x  2x  1

trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1. A. F  x   x 

2 2 x 1

C. F  x   x  2 ln  x  1

B. F  x   x 

2 2 x 1

D. F  x   x 

2 2 x 1

x 3  3x 2  3x  1 1 Câu 19: Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f  x   và thỏa F 1  . Xác định hàm 2 x  2x  1 3

số F(x). A. F  x  

x2 2 13 x  2 x 1 6

B. F  x  

x2 1 11 x  2 x 1 6

C. F  x  

x2 2 13 x  2 x 1 6

D. F  x  

x2 2 11 x  2 x 1 6

LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 2x 2  3x  4 2x  x  1   x  1  3 3   2x  1   I  x 2  x  3ln x  1  C. Chọn D. Câu 1: x 1 x 1 x 1 x3 x3  1 1 1 x3 x 2 2   x  x 1 I   x  ln x  1  C. Chọn C. Câu 2: x 1 x 1 x 1 3 2



 



x 3  x 2  x 2  x  2  x  1  2 x 3  2x 2  x 2 Câu 3:   x2  x  2  x 1 x 1 x 1 I

x3 x 2   2x  2 ln x  1  C. Chọn B. 3 2

Câu 4: f  x   1 

4  x  1   x  2  3x  2 1   4  1  1     x  1 x  2   x  1 x  2   x  2 x 1 

 F  x    f  x  dx  x  4 ln x  2  ln x  1  C  F 1  1  4 ln 3  ln 2  C  ln 2  C  1  4 ln 3. Chọn A.

Câu 5: f  x   1 

1   1  1 6    x  2  x  3  x 3 x 2  6

 F  x    f  x  dx  x  6 ln x  3  6 ln x  2  C  F  4   4  6 ln 2  C  6 ln 2  C  4. Chọn A.

Câu 6: f  x  

2  x  2  3  x  5 5x  11 2 3    x 5 x 2  x  2  x  5  x  2  x  5 

 F  x   2 ln x  5  3ln x  2  C  F 3   2 ln 8  C  3ln 8  C  ln 8

 F  6   3ln 8  ln 8  4 ln 8  e F 6  4096. Chọn C. Câu 7: f  x  

3  2x  3   3x  1 9x  10 3 1     2x  3 3x  1  2x  3 3x  1 3x  1 2x  3

1  F  x   ln 3x  1  ln 2x  3  C  F 1  ln 2  C  ln 2  C  0. 2

x  3 1 1  F  x   ln 3x  1  ln 2x  3  ln 3x  1  ln 3  2x  3  3    Chọn A. 2 2 x  0 Câu 8: f  x   1 

116  x  3  9  x  4  7x  12 16 9  1  1  x 4 x 3  x  3 x  4   x  3 x  4

 F  x   x  16 ln x  4  9 ln x  3  C  F  5  5  9 ln 2  C  5  C  9 ln 2. Chọn C.

Câu 9: f  x  

 x  a  x  b 

Câu 10: f  x  



1  1 1  1 xa  ln  C. Chọn B.    F x   ba  x a x b ba x b

x4 11 1 1 1 1   x2 1  x2 1    2 x 1 2  x 1 x 1   x  1 x  1

x3 1 x 1 14 3  Fx   x  ln  C  F  0   C    e F 2   . Chọn D. 3 2 x 1 3 3 5 1  x  1   x  2 2x  1 5 1 3 3  F  x   ln x  2  ln x  1  C Câu 11: f  x   3 3  x  1 x  2   x  1 x  2  5 10  F  2  ln 4  C  ln 2  C  0  e F 1  3 2. Chọn C. 3 3

Câu 12: y 

17  x  3  12  x  4  5x  3   F  x   17 ln x  4  12 ln x  3  C  x  3 x  4   x  3 x  4

F  2   17 ln 2  C  18ln 2  C  ln 2  F  5   11ln 2. Chọn D.





2 x 3  5x  2 x x  4  x  2 1 x2 Câu 13: f  x     x   F x   ln x  2  C   x2  4 x2  4 x2 2

 F 1 

1 3  C   C  1. Chọn C. 2 2

Câu 14: f  x  

 F  x   ln

 x  2  x  3

x 3 1  C  F  4   ln  C  1  ln 2  C  1 x2 2

x 3 x  2 1 x 3 x 3 5  F  x   ln 1  1  1   x  . Chọn C. x2 x2 2  x  3  1  x  2

Câu 15: f  x   

x 11

 x  1



1 1 1   F  x    ln x  1  C 2 x  1  x  1 x 1

 F  0   1  C  0  C  1. Chọn A.

Câu 16: f  x  

1 x  x 1 1 1 x  2  F  x     ln C 2 x  x  1 x x  x  1 x x 1

1 3  F 1  1  ln  C  ln 2  C  1  F  2    ln 2. Chọn D. 2 2

Câu 17: f  x  

1 1 1 1 1  2  F  x   ln x   C  F  e   1   C  2   C  1. Chọn B. x x x e e

Câu 18: f  x   1 

Câu 19: f  x    Fx 

 x  1

 Fx  x 





2  C  F 1  2  C  0  C  2. Chọn A. x 1

x x 2  2x  1  x 2  2x  1  2 x  2x  1 2

 x 1

 x  1

x2 2 5 1 13 x  C  F 1   C   C   . Chọn C. 2 x 1 2 3 6

CHỦ ĐỀ 6: NGUYÊN HÀM CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC A. LÝ THUYẾT 1. Một số công thức lượng giác cần nhớ Hằng đẳng thức lượng giác: sin 2 x  cos 2 x  1;

1 1  1  cot 2 x;  1  tan 2 x 2 2 sin x cos x

sin  a  b   sin a.cos b  sin b cosb - Công thức cộng: cos  a  b   cos a.cos b  sin a.cos b

tan  a  b  

tan a  tan b 1  tan a.tan b

sin 2a  2sin a cos a - Công thức nhân đôi:  2 2 2 2 cos 2a  cos a  sin a  2 cos a  1  1  2sin a - Công thức hạ bậc: sin 2 a 

1  cos 2a 1  cos 2a ;cos 2 a  2 2

sin 3a  3sin a  4sin 3 a - Công thức nhân ba:  3 cos 3a  4 cos a  3cos a

- Công thức biến đổi tích thành tổng: cos a.cos b  sin .a sin b 

1 cos  a  b   cos  a  b   2

1 1 cos  a  b   cos  a  b   ;sin a.cos b  sin  a  b   sin  a  b  2 2

2. Một số nguyên hàm lượng giác cơ bản

I1   sin xdx   cos x  C 1 I 2   sin  ax  dx   cos  ax   C a I3   cos xdx  sin x  C 1 I 4   cos  ax  dx  sin  ax   C a 1  cos 2x x sin 2x I5   sin 2 xdx   dx   C 2 2 4 1  cos 2x x sin 2x I6   cos 2 xdx   dx   C 2 2 4 dx I7    tan x  C cos 2 x dx 1 I8    tan  ax   C 2 cos  ax  a I9  

dx   cot x  C sin 2  ax 

I10  

dx 1   cot  ax   C 2 sin  ax  a

sin xdx   ln cos x  C cos x cos xdx I12   cot xdx    ln sin x  C sin x  1  I13   tan 2 xdx     1 dx  tan x  x  C 2  cos x   1  I14   cot 2 xdx    2  1 dx  cot x  x  C  sin x  I11   tan xdx  

3. Các dạng nguyên hàm lượng giác thường gặp Dạng 1: Nguyên hàm I   sin m x.cos n xdx - TH1: Nếu m  2k  1  I   sin 2k x.cos n x.sin xdx

   1  cos 2 x  .cos n xd  cos x   Đặt t  cos x k

- TH2: Nếu n  2k  1  Đặt t  s inx - TH3: Nếu m,n đều chẵn ta dùng công thức hạ bậc Chú ý: Đối với nguyên hàm chỉ chứa sinx và cosx dạng. I   f  sin x  cos xdx   f  sin x  d  sin x   Đặt t  s inx I   f  cos x  sin xdx    f  cos x  d  cos x   Đặt t  cos x

Dạng 2: Nguyên hàm I  

dx sin x.cos n x m

- TH1: Nếu m  2k  1  I  

d  cos x  sin xdx   k 1 n sin x.cos x 1  cos2 x  .cosn x 2k  2

Khi đó ta đặt: t  cos x - TH2: Nếu n  2k  1  ta đặt t  s inx - TH3: Nếu m,n đều chẵn ta biến đổi

1 sin 2 x  cos 2 x  ... sin m x.cos n x sin m x.cos n x

Dạng 3: Nguyên hàm lượng giác của hàm tanx và cotx Các nguyên hàm chứa tanx hay cotx ta thường dùng các hằng đẳng thức 1 1  1  cot 2 x;  1  tan 2 x 2 sin x cos 2 x

Nguyên hàm mà mẫu số là đẳng cấp bậc hai với sinx và cosx; A sin 2 x  Bsin x cos  C cos 2 x thì ta chia cả tử số và mẫu số cho cos 2 x

Chú ý: Khi I  

f  tan x  cos2 x

dx   f  tan x  d  tan x   đặt t=tanx

Dạng 4: Nguyên hàm sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng

 cos ax.cos bxdx  2  cos  a  b  x  cos  a  b  x  dx 1

 sin ax.sin bxdx   2  cos  a  b  x  cos  a  b  x  dx 1

 sin ax.cos bxdx  2  sin  a  b  x  sin  a  b  x  dx 1

 cos ax.sin bxdx  2  sin  a  b  x  sin  a  b  x  dx Dạng 5: Nguyên hàm I   Ta có: I  



dx a sin x  b cos x  c

dx x x x x  x x  2a sin cos  b  cos 2  sin 2   c  sin 2  cos 2  2 2 2 2  2 2 

dx dx  x x x x x x x  m sin 2  n sin cos  p cos 2 cos 2  m tan 2  n tan  p  2 2 2 2 2 2 2  t  tan

2  I  

dt mt  nt  p 2

B. VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Tính các nguyên hàm sau: a) I   sin 3 x.cos 2 xdx

b) I   sin 3 x.cos5 xdx c) I   sin 2 x.cos 2 xdx d) I   sin 4 xdx Lời giải a) I   sin 3 x.cos 2 xdx    sin 2 x.cos 2 xd  cos x     1  cos 2 x  cos 2 xd cos x  t  cos x   I    t 2  1 t 2 dt    t 4  t 2  dt 

t5 t3 cos5 x cos3 x  C   C 5 3 5 3

b) I   sin 3 x.cos5 xdx    sin 2 x.cos5 xd  cos x     1  cos 2 x  cos5 xd  cos x  t  cos x   I    t 2  1 t 5dt    t 7  t 5  dt 

t8 t 6 cos8 x cos 6 x  C   C 8 6 8 6

c) I   sin 2 x.cos 2 xdx    sinx .cosx  dx  2



1 2  sin 2x  dx  4

1 x sin 4x C 1  cos 4x  dx    8 8 32 2

 1  cos 2x  d) I   sin xdx    sin x  dx     dx 2   4

1 1  1  cos 4x  1  2 cos 2x  cos 2 2x  dx   1  2 cos 2x   dx  4 4  2  1 3x sin 2x sin 4x    3  4 cos 2x  cos 4x  dx    C 8 8 4 32 

Ví dụ 2: Tính các nguyên hàm sau: cos3 x dx a) I   1  sin x

b) I  

 2  cos x  dx sinx

c) I  

dx sin x.cos 2 x

d) I  

dx sin x.cos 2 x 4

Lời giải

1  sin 2 x  d  sin x   cos 2 xd  sin x  cos3 x sin 2 x a) I   dx      1  sin x  d  sin x   sin x  C 1  sin x 1  sin x 1  sin x 2

I

2dx

 sin x  

sin x cos x  1  ln sin x. C cos x  1

d  sin x  2d  cos x  cos xdx 2sin xdx      ln sin x 2 sin x sin x sin x 1  cos 2 x

d  cos x  dx sin xdx dt t  cos x  2    I   2 2 2 2 2 2 sin x.cos x sin x.cos x t  t  1 1  cos x  cos x

I c)

 2  cos x  dx 

1 1 t 1 1 1 cos x  1 1  1   2  2  dt  ln   C  ln  C 2 t 1 t 2 cos x  1 cos x  t 1 t 

d) I  

dx sin 2 x  cos 2 x dx dx  dx   2  4 4 2 4 2 2  sin x.cos x sin x cos x sin x.cos x sin x

sin 2 x  cos 2 x sin 2 x  cos 2 x dx   sin 4 x dx sin 2 x cos 2 x 1  1  1  1     2  dx    2  2 .cot 2 x  dx 2  cos x sin x   sin x sin x  

cot 3 x  tan x  2 cot x   cot xd  cot x   tan x  2 cot x  C 3 2

Ví dụ 3: Tính các nguyên hàm sau: a) I   tan 4 xdx b) I  

tan 4 x dx cos 2x

c) I   sin 2x cos 3xdx d) I   sin 2 x cos 3xdx Lời giải  1   1 dx a) I   tan 4 xdx   tan 2 x tan 2 xdx   tan 2 x  2  cos x 



tan 2 x tan 3 x  1  2 2 dx  tan xdx  tan xd tan x   1 dx   tan x  x  C       cos2 x  cos 2 x 4

tan 4 x 2 tan x tan xdx t 4 dt t  tan x cos x dx    dx  I   b) I   cos 2x cos 2 x  sin 2 x  1  tan 2 x 1 t2 4

t4 11 1  t3 1 t 1  2  dt     t  1  2  dt    t  ln C 2 1 t t 1  3 2 t 1  I

tan 3 t 1 tan t  1  tan t  ln C 3 2 tan t  1

c) I   sin 2x cos 3xdx  d) I  

1 cos 5x cosx  C  sin 5x  sin x  dx    2 10 2

1  cos 2x 1 cos 3xdx    cos 3x  cos 2x cos 3x  dx 2 2



1 sin 3x 1 sin 3x 1 sin 3x sin 5x sinx   cos 2x cos 3xdx     cos 5x  cos x  dx    C 2 3 2 6 4 6 20 4

Ví dụ 4: Xét các mệnh đề sau: cos x  1

 sin x  ln cos x  1  C

(1).

(2)  sin 6 x cos xdx  (3)

sin 7 x C 7

sin 2 x tan 3 x dx  C  cos4 x 3

(4)  cos3 xdx   sin x 

sin 3 x C 3

Số mệnh đề đúng là: A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Lời giải Ta có:

 sinx  

d  cos x  1 sin xdx cosx  1   ln C 2 2 sin x cos x  1 2 cos x  1

6 6  sin x cos xdx   sin xd  sin x  

sin 7 x C 7

sin 2 x 1 tan 3 x 2 2  cos4 x dx   tan x. cos2 x dx   tan xd  tan x   3  C sin 3 x 3 2 2 cos xdx  cos xd sin x  1  sin x d sin x  sinx  C         3

Vậy có 2 mệnh đề đúng. Chọn B  Ví dụ 5: Cho hàm số f(x) thỏa mãn f '  x   x  sin x sin 2x. Biết rằng f(0) = 2. Giá trị của f   là: 2 2   2  A. f    2 4 3

2   8  B. f    2 4 3

2   2  C. f    2 2 3

2   8  D. f    2 2 3

Lời giải Ta có: f  x    f '  x  dx 

x2 x2 x 2 2sin 3 x   2sin 2 x cos xdx   2  sin 2 xd  sin x    C 2 2 2 3

2   8  . Chọn B Lại có: f  0   C  2  f    2 4 3

Ví dụ 6: Cho hàm số f(x) thỏa mãn f '  x    A. f    0 3

 B. f    16 3

sin 3 x . Biết rằng cos5 x

 f    2. Tính giá trị của 4

 C. f    4 3

Lời giải

 f  3

 D. f    2 3

Ta có: f  x    f '  x  dx  

sin 3 x dx tan 4 x 3 .  tan xd tan x  C   cos3 x cos 2 x  4

1 7   9 7 Lại có: f    2   C  2  C   f      4 . Chọn C 4 4 4 3 4 4

Ví dụ 7: Tìm nguyên hàm I   A. I  2 ln  2  sin x   C. I  ln  2  sin x  

sin 2xdx

 2  s inx 

4 C 2  sin x

B. I  2 ln  2  sin x  

2 C 2  sin x

D. I  2 ln  2  sin x  

4 C 2  sin x

Lời giải Ta có: I

sin 2xdx



2sin x cos xdx



2sin xd  sin x 

 2  sin x   2  sin x   2  sin x    2  2  sin x   4 2 4  d sin x      2   2  sin x  2  sin x 2  d sin x   2  sin x    2

 2 ln  2  sin x  

4 C 2  sin x

(do 2 + sinx > 0). Chọn A Ví dụ 8: Biết rằng I   A. a  b  

3 4

sinxcos 2 xdx  a cos x  b cos 2x  ln 1  cos x   C(a; b  ) . Giá trị của a + b là 1  cos x

B. a  b 

5 4

C. a  b 

3 4

D. a  b  

5 4

Lời giải

cos 2 xd  cos x  t cos x t 2 dt 1   Ta có: I          t  1   dt 1  cos x 1 t t 1   t2 cos 2 x  t  ln 1  t  C    cos x  ln 1  cos x   C 2 2 1 1   cos 2x  cos x  ln 1  cos x   C  4 4 

Do đó: a  1, b 

1 3  a  b  . Chọn C 4 4

Ví dụ 9: Biết rằng F(x) là một nguyên hàm của hàm số f  x   A. F  x  

1 1 2  1 B. F  x    4 tan x  6 4 tan x  6 3

 2sin x  3cos x 

C. F  x  

Lời giải

5 và F  0   . Khi đó: 6

1 7 1 1  D. F  x    2 tan x  3 6 2 tan x  3 2

Ta có f  x    Do F  0  

 2sin x  3cos x 



dx cos x  2 tan x  3  2



d  tan x 

 2 tan x  3 



1 C 2  2 tan x  3 

5 1 5 1   C   C  1  F x   1 . Chọn A 6 6 6 4 tan x  6

Ví dụ 10: Tính nguyên hàm A. I  tan 2 x  2  C

 cos x

tanx 1  cos 2 x

B. I  cos 2 x  2  C

C. I  tan 2 x  1  C Lời giải

Ta có: I  

tan xdx tan xdx tdt t  tan x    2 2 1 cos x tan x  2 2  t2 cos 2 x  1 cos 2 x

2 1 d  t  2    t 2  2  C  tan 2 x  2  C. Chọn A 2 2 t 2

D. I  cos 2 x  1  C

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   sin 2 x.cos3 x A.

1 3 1 1 1 sin x  sin 5 x  C B. sin 5 x  sin 3 x  C C. sin 3 x  sin 5 x  C 3 5 5 3

1 3 1 sin x  sin 5 x  C 3 5

Câu 2: Tìm 1 nguyên hàm F(x) của hàm số f  x   cos x.esin x A. F  x   esin x

B. F  x   ecos x

C. F  x   e  sin x

D. F  x   e  cos x

 Câu 3: Tìm 1 nguyên hàm F(x) của hàm số f  x   sin 2 2x.cos3 2x thỏa F    0 2

1 1 A. F  x   sin 3 2x  sin 5 2x 6 10

1 1 B. F  x   sin 3 2x  sin 5 2x 6 10

1 1 4 C. F  x   sin 3 2x  sin 5 2x  6 10 15

1 1 1 D. F  x   sin 3 2x  sin 5 2x  6 10 15

Câu 4: Phát biểu nào sau đây là phát biểu đúng? sin 6 x C A.  cos x sin xdx  6

cos 6 x C B.  cos x sin xdx  6

cos 6 x C C.  cos x sin xdx   6

sin 6 x C D.  cos x sin xdx   6

Câu 5: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   A. 

1 C 19sin19 x

cos x sin 20 x

1 C 19sin19 x

C. 

1 C 19 cos19 x

 Câu 6: Hàm số f  x   sin 5 x có 1 nguyên hàm F(x) thỏa F    0 . Tính F    2

A. F     

15 16

B. F    

8 15

C. F    

15 16

D. F     

8 15

   7 Câu 7: Tìm 1 nguyên hàm F(x) của hàm số f  x   cos5 x thỏa F     2  15

2 1 A. F  x   sin x  sin 3 x  sin 5 x  1 3 5

2 1 B. F  x   cos x  cos3 x  cos5 x  1 3 5

2 1 C. F  x   sin x  sin 3 x  sin 5 x  1 3 5

2 1 D. F  x   cos x  cos3 x  cos5 x 3 5

Câu 8: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x  

cos5 x 1  sin x

A. cos x 

sin 3 x cos 4 x  C 3 4

B. sin x 

sin 3 3x cos 4 4x  C 3 4

C. sin x 

sin 3 x cos 4 x  C 3 4

D. sin x 

sin 3 x cos 4 x  C 9 4

Câu 9: Hàm số f  x  

4sin 3 x  3  có 1 nguyên hàm là F(x) thỏa F    . Tính F   1  cos x 3 2 2

 2 A. F    2 3

 3 C. F    2 2

 B. F    1 2

 D. F    3 2

Câu 10: Hàm số F  x   ln sinx  3cosx là 1 nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B,C,D dưới đây? A. f  x  

cos x  3sin x B. f  x   cos x  3sin x sin x  3cos x

C. f  x  

 cos x  3sin x sin x  3cos x

D. f  x  

Câu 11: Tìm 1 nguyên hàm F(x) của hàm số f  x  

s inx  cos x  1 thỏa F    ln 2 sin x  cos x 4 2

A. F  x   2  ln sin x  cos x

B. F  x   2  ln sin x  cos x

C. F  x   2  ln sin x  cos x

D. F  x   ln sin x  cos x  2

sin x  3cos x cos x  3sin x

 5 Câu 12: Tìm 1 nguyên hàm F(x) của hàm số f  x   tan 3 x  tan 2 x  1 thỏa F    4 4

A. F  x   4 tan 4 x 

1 4

Câu 13: Hàm số f  x   A. e

 2  F   3 



1 3

B. F  x  

tan 4 x 1 4

C. F  x   tan 4 x 

1 4

D. F  x   1 

tan 4 x 4

 2   3 

F 1  có nguyên hàm là F(x) thỏa F    0 . Tính e  sin x 3

B. e

 2  F   3 

2

C. e

 2  F   3 

3

D. e

 2  F   3 



1 2

 

F    Câu 14: Hàm số f  x   cot x có nguyên hàm là F(x) thỏa F    0 . Tính e  4  4

A. e

  F    4

1  2

B. e

  F    4

2

C. e

  F    4

2  2

D. e

  F    4

 2



F    Câu 15: Hàm số f  x   tan x có nguyên hàm là F(x) thỏa F     ln 2 . Tính e  4   4

A. e

 F  4

 ln 2

B. e

 F  4

2

Câu 16: Biết F(x) là 1 nguyên hàm của f  x   1 A.  ln 2  2 3

Câu 17: Cho I  

2 B.  ln 2  2 3

C. e

 F  4

 2

D. e

 F  4

sin x  ; F    2. Tính F(0). 1  3cos x  2  2 C.  ln 2  2 3

1 D.  ln 2  2 3

cos x sin x dx; J   dx. Tìm T =4J – 2I sin x  cos x sin x  cos x

A. T  x  3ln sin x  cos x  C

2 2

B. T  x  3ln sin x  cos x  C

C. T  3x  ln sin x  cos x  C

D. T  2x  ln sin x  cos x  C

Câu 18: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   cos 2 x sinx A.  cos3 x  C

1 B.  cos3 x  C 3

1 cos3 x  C 3

D. cos3 x  C

cos3 x  cos x  C 3

D. 

Câu 19: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   sin 3 x A. 3sin 2 x.cos x  C

cos3 x  cos x  C 6

cos3 x  cos x  C 3

Câu 20: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   cos3 x A. sin x 

sin 3 x C 3

B. sin x 

sin 3 x C 3

C.  sin x 

sin 3 x C 3

D. 3sin 2 x cos x  C

Câu 21: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   sin 4 x cos x 1 A.  sin 5 x  C 5

B. sin 5 x  C

Câu 22: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   A. e tan x  C

C. tan x.e tan x  C

B. 2 tan x  C

B. ln 1 

sin 2 x 3

Câu 25: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x  

1 tan x  C 2

D. e tan x  C

D. tan x  C

sin 2x thỏa F  0   0 sin 2 x  3

C. ln 1  sin 2 x

D. ln cos 2 x

1 sin x cos x

1 A. ln sin x  ln 1  sin 2 x  C 2

D.  sin 5 x  C

1 x cos 2 x

Câu 24: Tìm 1 nguyên hàm F(x) của hàm số f  x  

ln 2  sin 2 x

1 5 sin x  C 5

e tan x cos 2 x

B. e  tan x  C

Câu 23: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   A. tan 2 x  C

1 1 ln sin x  ln 1  sin 2 x  C 2 2

1 B. ln sin x  ln 1  sin 2 x  C 2 1 D.  ln sin x  ln 1  sin 2 x  C 2

Câu 26: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x    tan x  e 2sin x  cos x A.  cos x  e 2sin x  C

1 B.  cos x  e 2sin x  C 2

1 C. cos x  e 2sin x  C 2

1 D.  cos x  e 2sin x  C 2

LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1:

 sin

x cos3 xdx   sin 2 x cos 2 x cos xdx

1 1   sin 2 x 1  sin 2 x  d  sin x     sin 2 x  sin 4 x  d sin x   sin 3 x  sin 5 x  C 3 5 Chọn A Câu 2: F  x    cos xesin x dx   esin x d  sin x   esin x  C . Chọn A Câu 3: F  x    sin 2 2x cos3 2xdx   sin 2 2x cos 2 2x cos 2xdx  

1 sin 2 2x 1  sin 2 2x  d sin 2x   2

1 1 1 sin 2 2x  sin 4 2x  d  sin 2x   sin 3 2x  sin 5 2x  C   2 6 10

1 1 1 1  Mà F    0  C   F  x   sin 3 2x  sin 5 2x  . Chọn D 15 6 10 15 2

1 Câu 4:  cos5 x sin xdx    cos5 xd  cos x    cos 6 x  C . Chọn C 6

Câu 5:

d  sin x  cos x 1 dx   sin 20 x  sin 20 x   19sin19 x  C. Chọn A

Câu 6: F  x    sin 5 xdx   sin 4 x sin xdx    1  cos 2 x  d  cos x  2

1 2     cos 4 x  2 cos 2 x  1 d  cos x    cos5 x  cos3 x  cos x  C 5 3 1 2 15  Mà F    0  C  0  F  x    cos5 x  cos3 x  cos x  F     . Chọn C 5 3 16 2

Câu 7: F  x    cos5 xdx   cos 4 x cos xdx   1  sin 2 x  d  sin x  2

1 2    sin 4 x  2sin 2 x  1 d  sin x   sin 5 x  sin 3 x  sin x  C 5 3 7 2 1  Mà F      C  1  F  x   sin x  sin 3 x  sin 5 x  1 . Chọn A 15 3 5 2

Câu 8: 1  sin 2 x  d  sin x   cos5 x cos 4 x cos xdx   1  sin x  1  sin 2 x  d  sin x   1  sin x dx   1  sin x   1  sin x 1 1 1     sin 3 x  sin 2 x  sin x  1 d  sin x    sin 4 x  sin 3 x  sin 2 x  sin x  C 4 3 2 2

sin 2 x  1  1 3 sin 4 x  2sin 2 x  1 1 3  sin x  sin x   C  sin x  sin x  C 3 4 3 4 1 1  sin x  sin 3 x  cos 4 x  C 3 4 2

Chọn C

Câu 9:

1  cos2 x  d  cos x  4sin 3 x sin 2 x sin xdx dx  4   4  1  cos x 1  cos x 1  cos x 1   4   cos x  1 d  cos x   4  cos 2 x  cos x   C  2 cos 2 x  4 cos x  C 2  F x  

 3  Mà F     C  3  F  x   2 cos 2 x  4 cos x  F    3 3 2 2

Chọn D Câu 10: f  x   F '  x   Câu 11: F  x   

cos x  3sin x . Chọn A sin x  3cos x

d  sin x  cos x  sin x  cos x dx      ln sin x  cos x  C sin x  cos x sin x  cos x

 1 Mà F    ln 2  C  2  F  x   2  ln sin x  cos x . Chọn B 4 2

Câu 12: F  x    tan 3 x  tan 2 x  1dx   tan 3 x Câu 13: F  x   

dx 1   tan 3 xd  tan x   tan 4 x  C . Chọn B 2 cos x 4

d  cos x  1 cos x  1 dx sin xdx    ln C 2 sin x sin x cos 2 x  1 2 cos x  1  2   3 

F 1 1 cos x  1 1  Mà F    0  C  ln 3  F  x   ln  ln 3  e  2 2 cosx  1 2 3

Câu 14: F  x    cot xdx  

d  sin x  cos xdx   ln sin x  C sin x sin x     4 

F  Mà F    0  C  ln 2  F  x   ln sin x  ln 2  e  4

Câu 15: F  x    tan xdx  

 3. Chọn C



1 . Chọn A 2

d  cos x  sin xdx     ln cos x  C cos x cos x 

F    Mà F     ln 2  C  0  F  x    ln cos x  e  4   2 . Chọn B  4

Câu 16: F  x   

sinx 1 d 1  3cos x  1 dx     ln 1  3cos x  C 1  3cos x 3 1  3cos x 3

1 2  Mà F    2  C  2  F  x    ln 1  3cos x  2  F  0    ln 2  2 . Chọn B 3 3 2

sin x  cos x  I  J   sin x  cos x dx   dx  x  C Câu 17: Ta có:  I  J  cosx  sinx dx  d  sin x  cos x   ln sin x  cos x  C  sin x  cos x  sin x  cos x 

 x  ln sin x  cos x C I  2   T  4J  2I  x  3ln sin x  cos x  C. Chọn A J  x  ln sin x  cos x  C  2 1 Câu 18: Ta có:  cos 2 x sin xdx    cos 2 xd  cos x    cos3 x  C. Chọn B 3 1 Câu 19:  sin 3 xdx   sin 2 x sin xdx    1  cos 2 x  d  cos x   cos3 x  cos x  C. Chọn C 3 1 Câu 20:  cos3 xdx   cos 2 x cos xdx   1  sin 2 x  d sin x    sin 3 x  sin x  C. Chọn B 3 1 Câu 21:  sin 4 x cos xdx   sin 4 xd  sin x   sin 5 x  C. Chọn C 5

e tan x dx   e tan x d  tan x   e tan x  C. Chọn A Câu 22: Ta có  2 cos x

Câu 23:



1 d x dx  2   2 tan x  C. Chọn B 2 x cos x cos 2 x

Câu 24: Ta có:

d  sin 2 x  3 2sin xd  sin x  sin 2x 2sin x cos xdx F x    2 dx      ln sin 2 x  3  C sin x  3 sin 2 x  3 sin 2 x  3 sin 2 x  3 Mà F  0  0  C   ln 3  F  x   ln sin 2 x  3  ln 3  ln 1 

sin 2 x . Chọn B 3

Câu 25:

d  sin x  dx cos xdx   2  sin x cos x  sin x cos x  sin x 1  sin 2 x  1 1 1  1  2     d  sin x   ln sin x  ln 1  sin x  C. 2 2  sin x 2 1  sin x  Chọn A Câu 26:

  tan x  e

2sin x

  sin xdx  Chọn D

 cos xdx   sin xdx   e

2sin x

cos xdx

1 2sin x 1 e d  2sin x    cos x  e 2sin x  C.  2 2

CHỦ ĐỀ 7: CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN VỀ TÍCH PHÂN I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Khái niệm hình thang cong Cho hàm số y  f ( x) liên tục, không đổi dấu trên đoạn  a; b  . Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y  f ( x) , trục hoành và hai đường thẳng x  a, x  b được gọi là hình thang cong. 2. Tích phân là gì? Định nghĩa: Cho f ( x) là hàm số liên tục trên đoạn  a; b  . Giả sử F( x) là một nguyên hàm của f ( x) trên đoạn  a; b  . Hiệu số F  b   F  a  được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn

 a; b ) của hàm số f ( x) , kí hiệu là

 f  x  dx . a

F  x

Ta còn dùng kí hiệu b

Vậy



f  x  dx  F

Ta gọi

 x

b a

để chỉ hiệu số F  b   F  a 

 F b   F  a 

là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, f  x  dx là biểu thức dưới dấu tích phân và f ( x) là

 a

hàm số dưới dấu tích phân. a

 Chú ý: Trong trường hợp a  b hoặc a  b , ta quy ước

 a

f  x  dx 0 ;  f  x  dx    f  x  dx b

 Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi



f  x  dx hay

 f  t  dt . Tích phân a

đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến số x hay t. b

Tức là:

 a

f  x  dx   f  t  dt   f  u  du

 Ý nghĩa hình học của tích phân Nếu hàm số f ( x) liên tục và không âm trên đoạn  a; b  , thì tích phân

 f  x  dx a

thang cong giới hạn bởi đồ thị của f ( x) , trục Ox và hai đường thẳng x  a, x  b . b

Vậy S   f  x  dx a

- Tính chất 1:  kf  x  dx  k  f  x  dx (với k là hằng số) - Tính chất 2:

  f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x dx

là diện tích S của hình

- Tính chất 3:

 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  a  c  b 

Chú ý: Mở rộng của tính chất 3. b

 a

f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  ...  f  x  dx  a  c1  c2  ...  cn  b 

II. CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Ví dụ 1: Tích các tích phân sau:  1

A. I   x 2  x 2 dx

B. I  

x  3x  1 dx x2  x 2



sin x dx 1  cos x 0



C. I   x  e3 x 1 dx

D. I  

Lời giải 1

1 1 a) I    2  x 2 d 2  x 2    2  x 2 20 20

1  3



2  x  2

 0





1 2

 d 2  x  2

1 2   . 2  x2 2 3





3 1 2 0

2 2 1 3





2 2 2 2 2 d x2  x 2 x 2  3x  1 x x 2x 1 5 2 dx  dx  dx  dx  dx  1  ln x  x  1  ln b) I   2 2 2 2     1 x x x x x x x x 3 1 1 1 1 1 2



c) I   x  e

3 x 1



 x 2 e3 x 1  1 e2 1 dx        2 3 2 3 3e  0



2 d  cos x  sin x dx      ln 1  cos x 1  cos x 1  cos x 0 0 2

d) I  

 2 0

 ln 2

Ví dụ 2: Tính các tích phân sau: 2

ln 2

dx x  x3

A. I   1

x



e x e x  1 dx

C. I 

 

B. I 





D. I   3 x x  x 2  16 dx

x  1dx 2

Lời giải 2

a) I   1



dx  x  x3 1



x  x3 3



x  3  x dx

1 1 1 12 2 2    x  3  d  x  3    x dx   31 31 9



x3  x



x3  x dx 3

 1



2 2  x  3  x3   5 5  2 2  7 9 1 9 3



ln 2

b) I 

 e e x



ln 2

 e

 1 dx 

c) I 

 0

1 x x  1dx  2



 



1 d ex 1

e 



1

3 ln 2



1 3

 0

1 2

1 2 x 1 d x 1  . 2 3

 



x



1

 0

 d) I   3 x x  x  16 dx   3 x dx  3 x x  16dx   x3   0 0 0 2

Ví dụ 3: Biết rằng

x 2



7 3 3

 x  16   88. 0 2



x dx  a ln 2  b ln 3 , trong đó a, b   . 1

Tính giá trị của biểu thức S  4ab  a  b A. S  5

C. S 

B. S  6

5 2

D. S 

7 2

Lời giải 3  2 a  d x  1 3 x 1 1 1 8 3 1  2  ln x 2  1  ln  ln 2  ln 3   Ta có  2 dx   2 2 x 1 2 2 x 1 2 2 3 2 2 2 b  1  2 3





3 3 1 Suy ra S  4.    5 . Chọn A. 4 2 2

Ví dụ 4: Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên đoạn  a; b  và 3F  a   2  3F  b  b

Tính tích phân I   f  x  dx a

A. I  2

B. I  2

C. I 

2 3

D. I 

2 3

Lời giải Ta có: 3F  a   2  3F  b   3  F  b   F  a    2  F  b   F  a  

2 3

2 Do đó I   f  x  dx  F  b   F  a    . Chọn D. 3 a Ví dụ 5: Cho các tích phân A. I  2

3

 f  x  dx  2;  f t  dt  4 . Tính  f  y  dy C. I  2

B. I  6

D. I  6

Lời giải 2

Ta có:



3

f  x  dx   f  y  dy 2;  f  t  dt 

 f  y  dy  4 (tích phân không phụ thuộc vào biến)

3

 f  y  dy   f  y  dy   f  y  dy  I  4  2  2 . Chọn A.

Lại có:

Ví dụ 6: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên đoạn 1; 2 ; f 1  1 và f  2   3 2

Tính tích phân I    2 x  f   x   dx 1

B. I  4

A. I  5

C. I 

11 2

D. I  7

Lời giải 2

Ta có: I   2 xdx   f   x  dx  x 2  f  2   f 1  3  4  7 . Chọn D.

Ví dụ 7: Cho



 f  x  dx  5 . Tính I    f  x   2sin x  dx B. I  5 

A. I  7



D. I  5  

C. I  3

Lời giải 



 2

Ta có I    f  x   2sin x dx   f  x  dx  2 sin xdx   f  x  dx  2 cos x  7 . Chọn A. 0

Ví dụ 8: Cho tích phân



f  x  dx  2 và

1

A. I 

5 2

B. I 

1

 g  x  dx  1 . Tính I    x  2 f  x   3g  x   dx

7 2

C. I 

17 2

D. I 

11 2

Lời giải 2

1

Ta có I    x  2 f  x   3 g  x  dx   xdx  2  f  x  dx  3  g  x  dx x2  2

1 17  2.2  3.  1  2   4  3  . Chọn C. 2 2 1 1

Ví dụ 9: Biết

x 0

a 3x  1 a c là phân số tối giản. dx  3ln  trong đó a, b là hai số nguyên dương và b  6x  9 b 6

Khẳng định nào sau đây là đúng? A. a  b  2c

B. a  b  4c

C. a  b  5c

D. a  b  c

Lời giải 1

1 3x  1 3 10  10  4 5   d  x  3    3ln x  3  Ta có:  2 dx      3ln   2  x  3  x  3  x  6x  9 x3 3 6  0 0  0 1

Do đó a  4; b  3; c  5  a  b  5c . Chọn C. 2

 x 1  Ví dụ 2: Biết    dx  a  b ln 2  c ln 3  a, b, c    . Đẳng thức nào sau đây đúng? x2 0

A. 2  a  b  c   7

B. 2  a  b  c   7

C. 2  a  b  c   5

D. 2  a  b  c   5

Lời giải 1 2 2 1 1  3  6 9  9   x 1     Ta có   dx   x  6 ln x  2   dx   1   dx   1   x2 x2 x  2  x  2 2  x20  0 0 0    1

5  2 2  a  b  c   5 5 a   x 1  . Chọn D.    2  dx   6 ln 2  6 ln 3   x2 2 0 b  6, c  6 2  a  b  c   29 1

Ví dụ 11: Cho hàm số f  x   a.sin  x   b biết rằng f  1  2,  f  x  dx  4 0

Tính giá trị biểu thức P  a.  b A. 2

B. – 1

C.1

D. 0

Lời giải Ta có f  x   a.sin  x   b  f   x   a. .cos   x   f  1  a.  2  a   2

Mà

 0



 cos   x   f  x  dx  4    a.sin   x   b  dx   b.x    2b  4  b  2 . Chọn D. a.  0  0 2

Ví dụ 12: Cho hàm số f  x  luôn dương và có đạo hàm trên đoạn 1; 2 . Biết rằng

 f   x  dx  3 1

   f  x  dx  ln 2 . Tính f  2  2

f x

A. f  2   3

B. f  2   6

C. f  2   4

D. f  2   8

Lời giải 2

Ta có

 f   x  dx  f  2   f 1  3 1 1

Lại có

 1

Do đó

2 d  f  x   2 f  2 dx     ln  f  x    ln  f  2   ln  f 1   ln  ln 2 1 f  x f x f 1     1

f  x

f  2 f 1

 eln 2  2  f  2   2 f 1

(2)

Từ (1) và (2) suy ra f  2   6; f 1  3 . Chọn B.

và

Ví dụ 13: (Đề Minh họa Bộ Giáo dục và Đào tạo 2017) Biết

  x  1 1

dx  a  b  c với a, b, x  x x 1

c là các số nguyên dương. Tính P  a  b  c A. P  24

B. P  12

C. P  18 Lời giải

Ta có I   1

Lại có

 2

I  1



x  x  1

x 1  x





x 1  x



x 1  x  1 

1  x 1  x x 1  x

 2 dx 2 d  x  1  1   1 dx       dx  2   x x 1  x  x  1 1  1 2 x 1 2 x 1 

x 1  x

 2 x  2 x 1



2 1

 4 2  2 3  2  32  12  2  a  32; b  12; c  2

Vậy a  b  c  46 . Chọn D.

D. P  46

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Biết hàm số f  x  có đạo hàm f   x  liên tục trên  , thỏa mãn f  0   

 f   x  dx  2

 2

và tích phân

. Tính f  

A. f   

3 2

B. f    2

C. f   

5 2

D. f    3

Câu 2: Cho hàm số f  x  có đạo hàm f   x  liên tục trên  và f  0    , A. f  2   6

B. f  2   7

C. f  2   5

2

 f   x  dx  6

.Tính f  2 

D. f  2   0 x

Câu 3: Biết f  x  có đạo hàm liên tục trên  và có f  0   1 . Tính I   f   x  dt 0

A. I  f  x   1

B. I  f  x  1

C. I  f  x 

D. I  f  x   1

Câu 4: Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  . Khi đó hiệu số F 1  F  2  bằng 2

 f  x  dx

B.   f  x  dx

C.   F  x  dx 2

D.   F  x  dx 1

Câu 5: (Đề thử nghiệm – Bộ GD & ĐT năm 2017) Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên đoạn 1; 2 , 2

f 1  1 và f  2   2 . Tính I   f   x  dx 1

A. I  1

B. I  1

C. I  3

D. I 

7 2

Câu 6: Cho f  x  là hàm số có đạo hàm liên tục trên  và có f  0   1 . Tính I   f   t  dt 0

A. I  f  x   1

B. I  f  x  1

C. I  f  x 

D. I  f  x   1

Câu 7: Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên đoạn 1;3 thỏa mãn f 1  1 và f  3  m . Tìm giá trị của tham 3

số m để tích phân

 f   x  dx  5 1

A. m  6

B. m  5

C. m  4

D. m  4

Câu 8: Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên đoạn  2; 4 thỏa mãn f  2   4 và f  4   2 . Tính tích phân 4

I

 f   x  dx

2

A. I  6

B. I  6

C. I  2

D. I  2

Câu 9: Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên đoạn  3;5 thỏa mãn f  3  1 và f  5   9 . Tính tích phân 5

I   4 f   x  dx 3

A. I  40

B. I  32

D. I  44

C. I  36

Câu 10: Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên đoạn 1; 4 thỏa mãn f 1  1 và

 f   x  dx  2 . Tính giá trị của 1

f  4 .

A. f  4   2

B. f  4   3

C. f  4  

1 4

D. f  4   4

Câu 11: Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên đoạn 1;3 thỏa mãn f  3  5 và

 f   x  dx  6 . Tính giá trị 1

của f 1 . A. f 1  1

B. f 1 

1 11

C. f 1  11

D. f 1  10

Câu 12: Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên đoạn  a; b  và 2 F  a   1  2 F  b  . Tính tích b

phân I   f  x  dx a

A. I  1

B. I  1

C. I  

1 2

D. I 

1 2

Câu 13: Cho hàm số F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên đoạn  1; 2 . Biết rằng

 f  x  dx  1

1

và F  1  1 . Tính F  2  A. F  2   2

B. F  2   0

C. F  2   3

Câu 14: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017 – Mã đề 102) Cho tích phân

D. F  2  

1 3

1

 f  x  dx  2 và  g  x  dx  1.

Tính I    x  2 f  x   3 g  x   dx . 1

A. I 

5 2

B. I 

7 2

C. I 

17 2

D. I 

11 2

 2

Câu 15: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017 – Mã đề 104) Cho tích phân

 f  x  dx  5 . Tính tích phân 0

 2

I    f  x   2sin x  dx . 0

B. I  5 

A. I  7 3

Câu 16: Cho



f  x  dx  2 và

D. I  5  

C. I  3

 g  x  dx  1 . Tìm I   1008 f  x   2 g  x  dx

A. I  2017



B. I  2016

C. I  2019

D. I  2018

Câu 17: Cho f  x  , g  x  là hai hàm số liên tục trên  . Chọn mệnh đề sai? b

 a



f  x  dx   f  y  dy

f  x  dx  0

Câu 18: Cho



 f  x  dx  a . Tính tích phân I  

A. I  a  2

B. I  a  5

  f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x dx b

  f  x  g  x  dx   f  x  dx  g  x  dx

f  x  cos 2 x  5 cos 2 x

dx theo a.

C. I  a

Câu 19: Biết f  x  là một hàm số liên tục trên  thỏa mãn

D. I  a  1 6

f  x  dx  4;  f  t  dt  3 . Hãy tính tích

 0

phân

  f  v   3 dv 0

A. I  1 Câu 20: Cho

B. I  2

D. I  3

 f  x  dx  10 và  g  x  dx  5 . Tính tích phân I   3 f  x   5 g  x  dx.

A. I  5

B. I  15 b

Câu 21: Cho

C. I  4



f  x  dx  2 và

A. I  2

C. I  5

 g  x  dx  3 với a  b  c . Tính tích phân I   f  x  dx C. I  1

B. I  5 5

D. I  10

D. I  1

1 Câu 22: Cho  f  x  dx  5;  f  t  dt  2 và  g  u  du  . Tính I    f  x   g  x  dx 3 1 4 1 1 A. I 

8 3

B. I  2

Câu 23: Cho các tích phân



2

A. I  5

C. I 

 0

22 3

D. I  

2

f  x  dx  1,  f  t  dt  4 . Tính I   f  y  dy .

B. I  3 

Câu 24: Biết

10 3

C. I  3  2

f  x  dx  5 . Tính tích phân I    f  x   2sin x  dx 0

D. I  5

20 3

A. I  5  

B. I  5  2

Câu 25: Cho



4

 2

C. I  e 2  2

D. I  e3

4

B. I  e3  2 4

1

 f  x  dx  10 và  g  x  dx  3 . Tính I   3  f  x   2 g  x   dx

A. I  6

B. I  7 2

Câu 27: Cho

D. I  3

f  x  dx  2 . Tính I   e 2 f  x  dx

A. I  2e 2 Câu 26: Cho

C. I  7



f  x  dx  1 và

 e

D. I  1

C. I  10 x

 f  x  dx  e a  b với a, b là những số nguyên. Khẳng định nào sau

đây đúng? A. a  b

B. a  b

C. a  b

Câu 28: Cho hàm số f  x  xác định liên tục trên  0; 4 thỏa

D. ab  1 4

 f  x  dx  5 0

và

 f  x  dx  3 . Tính tích phân 0

I   f  x  dx. 3

B. I  1

A. I  8

C. I  2

Câu 29: Cho hàm số f  x  xác định liên tục trên  có A. I  3

B. I  1

A. I  4023 1

Câu 31: Biết

x



 2 x dx  

A. 5

 2

f  x  dx  3 và  f  x  dx  9 . Tính I   f  x  dx

C. I  12

B. I  6

Câu 30: Cho f  x  liên tục trên  và

D. I  2

 1

f  x  dx  2016 ,

 4

D. I  6 4

f  x  dx  2017 . Tính I   f  x  dx 1

C. I  1

D. I  0

m m với m, n   và là phân số tối giản. Tính m  n. n n

B. 1

C. – 1

D. 6

Câu 32: Để

  k  4 x  dx  3k  1  0 thì giá trị nguyên của k là bao nhiêu? 1

A. k  1

B. k  2

C. k  4

D. k  3 2

Câu 33: Có bao nhiêu số thực a thỏa mãn đẳng thức tích phân

 x dx  2 3

A. Không có

B. Ba

C. Một

D. Hai

Câu 34: Có hai giá trị của số thực a là a1 , a2  a1  a2  thỏa mãn

  2 x  3 dx  0 .

Hãy tính

T  2a1  2a2  log 4  a1a2 

A. T 

13 2

B. T  14

C. T  20

D. T  56

C. I   b  a 

D. I  2  b  a 

Câu 35: Cho b  a  2 . Tính I   2 xdx a

A. I    b  a 

B. I  2  b  a  b





Câu 36: Tính tích phân I   3 x 2  2ax  1 dx với a, b là tham số. 0

A. I  3b 2  2ab

B. I  b3  b 2 a  b

C. I  b3  b

Câu 37: Giải phương trình

  t  log x  dt  2 log 2

A. x  1

B. x  1; 4 x

Câu 38: Cho bất phương trình

  3t

D. I  a  2

2 với ẩn là x. x C. x   0;  

D. x  1; 2



 8t  4 dt  x,  x  0  . Tính tổng các nghiệm nguyên của bất phương

trình. A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 

Câu 1: f  x  0  2  f    f  0   2  f   

5 . Chọn C. 2

2

Câu 2: f  x  0  6  f  2   f  0   6  f  2   5 . Chọn C. Câu 3: I  f  x  0  f  x   f  0   f  x   1 . Chọn D. x

Câu 4: F  x    f  x  dx  F 1  F  2    f  x  dx    f  x  dx . Chọn B. Câu 5: I  f  x  1  f  2   f 1  1 . Chọn A. 2

Câu 6: I  f  t  0  f  x   f  0   f  x   1 . Chọn D. x

Câu 7: f  x  1  5  f  3  f 1  5  m  1  5  m  6 . Chọn A. 3

Câu 8: I  f  x  2  f  4   f  2   6 . Chọn A. 4

Câu 9: I  4 f  x  3  4  f  5   f  3   32 . Chọn B. 5

Câu 10: f  x  1  2  f  4   f 1  2  f  4  3 . Chọn B. 4

Câu 11: f  x  1  6  f  3  f 1  6  f 1  1 . Chọn A. 3

Câu 12: Ta có I  F  b   F  a   

1 . Chọn C. 2

Câu 13: Ta có F  2   F  1  1  F  2   0 . Chọn B. x2 Câu 14: I  2

 2.2  3.  1 

1

17 . Chọn C. 2



Câu 15: Ta có I  5  2 cos x 02  7 . Chọn A. Câu 16: Ta có I  1008.2  2.1  2018 . Chọn D. Câu 17: Theo tính chất cơ bản của tích phân thì A, B, C đúng và D sai. Chọn D.  4

Câu 18: I   0



5 f  x  dx   dx  a  5 tan x  a  5 . Chọn B. 2 cos x 0 4

Câu 19: Tích phân không phụ thuộc vào biến 6

Do đó

 2

f  x  dx  3  I   f  x  dx  3 x 0   f  x  dx   f  x  dx  6  4  3  6  1 . Chọn A. 2

Câu 20: I  3.10  5.5  5 . Chọn A. Câu 21: Tích phân không phụ thuộc vào biến

Do đó

 f  x  dx  3  I   f  x  dx   f  x  dx  2  3  1 . Chọn D.

I

1

 f  x  dx  2;  g  x  dx  3

Câu 22: Tích phân không phụ thuộc vào biến. Do đó 4

 f  x  dx   g  x  dx   f  x  dx   f  x dx  3  5  2  3 

22 . Chọn C. 3

Câu 23: Tích phân không phụ thuộc vào biến. 4

Do đó



2

f  x  dx  4  I   f  x  dx 



f  x  dx   f  x  dx  1  4  5 . Chọn A. 2



 2

Câu 24: I    f  x   2sin x dx   f  x  dx   2sin xdx  5    2 cos x  0

 5  2  7 . Chọn C. 2

4

Câu 25: I   e 2 f  x  dx  e 2  f  x  dx  e 2 .2  2e 2 . Chọn A. 4

1

Câu 26: I   3  f  x   2 g  x   dx   3dx   f  x  dx  2  g  x  dx .  3 x 1  10  2.  3  15  16  1 .Chọn D. 4

Câu 27:

x x x 2  e  f  x  dx   e dx   f  x  dx  e 0  1  e  2 2

Do đó a  2; b  2  a  b . Chọn C. 3

Câu 28:

 0

f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  I   f  x  dx  5  3  2 . Chọn C. 7

Câu 29: I   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  3  9  12 . Chọn C. Câu 30: I   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x dx  2016  2017  1. Chọn C. 1

Câu 31:

 0

 x3  2 x  2 x dx    x 2     m  2; n  3  m  n  5 . Chọn A. 3  3 0



Câu 32: Ta có

  k  4 x  dx  3k  1  0   kx  2 x  2

 k  1 . Chọn D.   k 2  2k  3  0   k  3

k 1

 3k  1  0  k 2  k  2  3k  1  0

x4 Câu 33:  x dx  4 a

 4

a4  2  a4  8  a   2 2 . 4

Vậy có 2 giá trị của a thỏa mãn. Chọn D. a

Câu 34:

2   2 x  3 dx   x  3x  1

a  1  a 2  3a  2  0   a  2

Do đó T  2a1  2a2  log 4  a1a2   21  22  log 4 2  6  b

1 13  . Chọn A. 2 2

Câu 35: I   2 xdx  x 2  b 2  a 2   b  a  b  a   2  b  a  . Chọn B. b







Câu 36: I   3 x 2  2ax  1 dx  x 3  ax 2  x



b 0

 b3  ab 2  b . Chọn B.

Câu 37: ĐK: x  0 2

 t2  2 2 Ta có   t  log 2 x  dt  2 log 2    t log 2 x   2 log 2 x x 2 0 0 2

 2  2 log 2 x  2 log 2

2  2  2  2 log 2  x.   2 (Đúng với mọi x  2 ) x  x

Do đó nghiệm của phương trình là: x   0;   . Chọn C. x

Câu 38:

  3t 0





 8t  4 dt  x  t 3  4t 2  4t



x 0

x

 x3  4 x 2  4 x  x  x3  4 x 2  3 x  0  x  x  1 x  3   0 *  x Với x  0 ta có: *  1  x  3   x  1; 2;3  T  6 . Chọn C.

CHỦ ĐỀ 8: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ TÍNH TÍCH PHÂN 1) Định lí: Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn  a; b  . Giả sử hàm số x    t  có đạo hàm liên tục trên đoạn  ;   sao cho     a;      b và a    t   b với mọi t   ;   . b



Khi đó



f  x dx   f   t   '  t  dt. 

Chú ý: Trong nhiều trường hợp ta còn sử dụng phép biến đổi biến số ở dạng sau:  Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn  a; b  . Để tính

 f  x dx , đôi khi ta chọn hàm số u  u  x 

làm

biến số mới, trong đó trên đoạn  a; b  , u  x  có đạo hàm liên tục và u  x    ;  .  Giả sử có thể viết f  x   g  u  x   u '  x  , x   a; b , với g  u  liên tục trên đoạn  ;   . Khi đó, ta có

u b 

ua

 f  x dx   g u du.

2) Các dạng toán trọng tâm  Dạng 1: Đổi biến số với các hàm vô tỉ quen thuộc  Trong biểu thức của f  x  dx có chứa căn thì đặt căn đó bằng t.  Trong biểu thức của f  x  dx có chứa biểu thức lũy thừa bậc cao thì đặt biểu thức đó bằng t.  Trong biểu thức của f  x  dx có chứa hàm mũ với biểu thức trên mũ là một hàm số thì đặt biểu thức trên mũ bằng t. Ví dụ 1: Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến số: 4

ln 3

dx . 3  2 x  1 0

a) I  

b) I 

 0

dx ex  1

c) I   x. 3 1  xdx. 1

d) I   0

2 4  x2

Lời giải Chú ý: Đổi biến nhớ phải đổi cận.

x  0  t 1 a) Đặt t  2 x  1  t 2  2 x  1  dx  tdt. Đổi cận  . x  4  t  3 3

t 3  2  dt   1  Khi đó I    dt   t  3ln t  3   3  3.ln 6  1  3.ln 4  2  3.ln . 3t t 3 3 1 1 1 b) Đặt t  e x  1  t 2  e x  1  2tdt  e x dx  dx 

2t dt. t 1 2

2  x  0  t  2 dt t 1 Đổi cận  , khi đó I  2  2  ln t 1 t 1  x  ln 3  t  2 2

c) Đặt t  3 1  x  t 3  1  x  3t 2 dt  dx. Đổi cận





  ln 3 3  2 2 . 2

x 1 t  0 x  9  t  2

dx.

2

 t7 t4  Khi đó I   1  t  t  3t  dt    t  t  dt 3    7 4 0 0 3

2



468 . 7

x  0  t  0  d) Đặt x  2sin t  dx  2 cos tdt  t   0;   . Đổi cận   .  x  1  t  6 



6 4 cos t dt   dt 2  dt 2t 2 cos t 4  4sin 2 t 0 0

4 cos t

Khi đó I   0

Ví dụ 2: [Đề thi THPT Quốc gia 2018] Cho

 3 0



 3

dx  a ln 2  b ln 5  c ln11 với a, b, c là các số hữu tỷ. x9

x

Mệnh đề nào dưới đây là đúng. A. a  b  c.

B. a  b  c.

C. a  b  3c.

D. a  b  3c.

Lời giải Đặt t  x  9  t 2  x  9  2tdt  dx. Đổi cận 8

2tdt 2dt 2 t 3   ln  2 t  3 t  3 6 t 3 t  9 t      5 5

Khi đó I  

x  16  t  5 x  55  t  8 8

1 5 1 1 2 1 1  ln  ln  ln 2  ln 5  ln11 3 11 3 4 3 3 3

2 1 1 Do đó a  ; b  ;c    a  b  c. Chọn A. 3 3 3 6

dx  a ln 3  b ln 2  c với a, b, c là các số hữu tỷ, tính tổng 2 x  1  4 x  1 2

I 

Ví dụ 3: Cho A  a  4b  12c.

A. A  2.

B. A  4.

C. A  4.

D. A  2.

Lời giải Đặt t  4 x  1  t 2  4 x  1  tdt  2dx. Đổi cận

x6t 5 x2t 3

5 5 5 5  1 1 tdt tdt 1  1  3 1  Khi đó I   2 dt      dt   ln t  1    ln  2 2  2 3  t 1  (t  1) t  1 (t  1)  t 1  3 2 12  3 3  t  2 

 ln 3  ln 2 

1 1  a  1; b  1; c  12 12

Do đó A  a  4b  12c  1  4  1  4. Chọn B.  Dạng 2: Tích phân đổi biến số với hàm ẩn Chú ý tính chất:

 f  x dx   f  t dt   f u du (tích phân không phụ thuộc vào biến).

Ví dụ 1: Cho hàm số f  x  liên tục trên  thỏa mãn

 f  x dx  12. 0

Tính tích phân I   f  3 x dx. 0

A. I  6.

B. I  36.

C. I  2.

D. I  4.

Lời giải 2

Ta có: I   0

1 1 1 12 t 3 x f  3 x dx   f  3 x d  3 x     f  t dt   f  x dx   4. Chọn D. 30 30 30 3

Ví dụ 2: Cho hàm số f  x  liên tục trên  1;   và

  f

A. I  2.

B. I  8.



x  1 dx  8. Tính I   x. f  x dx 1

C. I  4.

D. I  16.

Lời giải

x  0  t 1 Đặt t  x  1  t 2  x  1  2tdt  dx và đổi cận  . x  3  t  2  3

Khi đó I   f 0

 9

Ví dụ 3: Cho





 x  dx  a và x

A. I 

x  1 dx  2  t. f  t  dt  8   t. f  t  dt  4   x. f  x  dx  4. Chọn C.

a  2b. 2

 f  2 x dx  b . Tính tích phân I   f  x dx C. I  2  a  b  .

B. I  2a  b.

theo a và b. D. I 

ab . 2

Lời giải 9

Ta có:

 4

 x  dx  x

2f 4

 x  d  x    2 f t  dt  a  2 f t  dt  a2 t x

a Do đó  2 f  x  dx  . 2 2 1

Lại có:



f  2 x dx 

Do đó

 0

1 1 1 u 2 x f  2 x d  2 x     f  u d  u    f  x dx  b  20 20 20 3

a f  x dx  2b   f  x dx   f  x dx   f  x dx  2b  . Chọn A. 2 0 0 2 

Ví dụ 4: Cho hàm số f  x  liên tục trên  thỏa mãn

ln 2

 f  sin 3x .cos 3xdx  1 và  e . f  e dx  3. x

Tính tích phân I   f  x dx. 0

A. I  4.

B. I  5.

C. I  2.

D. I  6.

Lời giải 

 1



Ta có:

16 1 1 t sin 3 x f  sin 3 x  .cos 3 xdx   f  sin 3 x  .d  sin 3 x   f  t  .dt   f  x  .dx 1  30 30 30

  f  x  .dx 3 0

ln 2

Lại có:

ln 2

  f  u du   f  x dx  3  e . f  e dx   f  e d  e   x

u e x

Do đó I   f  x dx   f  x dx   f  x dx  3  3  6. Chọn D. 

Ví dụ 5: Cho hàm số f  x  liên tục trên  thỏa mãn



2  cot xf  sin x  dx  

 x dx  1. x

4 1

Tính tích phân I   1 8

f  4x  dx. x 3 B. I  . 2

A. I  3.

5 D. I  . 2

C. I  2. Lời giải



A   cot xf  sin 2 x  dx  

cos x f  sin 2 x  dx sin x 1

Đặt t  sin x  dt  2sin x cos xdx, đổi cận suy ra A   2

1 2

Mặt khác B  

 x dx  1  u x

Xét I   1 8

 1

1 f t  f  x dt  1   dx  2. 2t x 1 2

4 4 f u f  u f  x 1 2 udu  B  2 du  1  dx  2   u u x 2 1 1

4 4 f  4x f  v  dv 4 f  v  f  x 5 v4 x dx  I   .  dv   dx  A  B  . Chọn D. v 4 1 v x x 2 1 1 2 2 2 4

Ví dụ 6: Cho các khẳng định sau: 1

(1).  sin 1  x  dx   sin xdx.



2 x  sin dx sin xdx. (2).   2 0 0

 1

(3).

 0

14 f  x  dx   f  sin 2 x  cos 2 xdx. 20

Số khẳng định đúng là:

(4).

 f  x  dx 2 x. f  x 1

 1 dx.

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Lời giải 1

t 1 x Ta có  sin 1  x  dx    sin 1  x  d 1  x      sin tdt   sin tdt   sin xdx.



2 x x x 2    sin dx 2 sin d 2 sin udu 2 0 2 0 2 2 0 0 sin xdx.



 1

1 14 1 1 f  sin 2 x  cos 2 xdx   f  sin 2 x  d  sin 2 x    f  v  dv   f  x  dx.  20 40 40 40 2

2  x. f  x  1 dx   f  x  1 d  x  1   f  z  dz   f  x  dx. 2

Số khẳng định đúng là 2. Chọn B. 

Ví dụ 7: Cho hàm số f  x  liên tục trên  thỏa mãn

 0

x2 f  x  f  tan x .dx  a và  2 dx  b. x 1 0 1

Tính tích phân I   f  x dx theo a và b. 0

A. I  a  b.

a C. I  . b

B. I  a  b.

D. I  a  b  1.

Lời giải

x0t 0 1 Đặt x  tan t  dx  dt. Đổi cận  cos 2 t x 1 t  4 



4 4 4 x2 f  x  tan 2 t. f  tan t  1 2   dx   . dt tan t . f tan t dt tan 2 x. f  tan x dx b Khi đó  2   2 2   x 1 tan t  1 cos t 0 0 0 0 1

Suy ra  4

 0



 f  tan x  dx   tan

 2

x. f  tan x  dx   1  tan 2 x  . f  tan x  dx 0



1 1 f  tan x  dx 4   f  tan x  d  tan x    f  u  du   f  x  dx. cos 2 x 0 0 0 1

Do đó I   f  x dx  a  b. Chọn A. 0

 Dạng 3: Tích phân đổi biến số với hàm số chẵn, hàm số lẻ Bài toán tổng quát: Giả sử hàm số f  x  liên tục trên đoạn  a; a . Chứng minh rằng:



a

f  x  dx  2  f  x  dx nếu f  x  là hàm số chẵn. 0

 f  x  dx  0 nếu f  x  là hàm số lẻ.

a

Lời giải a) Hàm số f  x  là hàm chẵn thì f   x   f  x  0

Ta có:



a a

Do đó

a

t  x f  x  dx    f   x  d   x      f t  dt    f  x  dx   f  x  dx. 0

a

f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  2  f  x  dx.



a

b) Hàm số f  x  là hàm lẻ thì f   x    f  x  a

Ta có:

a

t  x f  x  dx    f   x  dx   f   x  d   x     f t  dt    f  x  dx



a a

Do đó 2  f  x  dx 0  a

 f  x  dx  0.

a

Ví dụ 1: Cho hàm số f  x  liên tục trên  thỏa mãn f  x   f   x   2  2 cos 2 x , x  . 3 2

Tính I 

 f  x dx.

3 2

A. I  6.

B. I  0.

C. I  2.

D. I  6.

Lời giải Lấy tích phân 2 vế của f  x   f   x   cos 2 x cận từ  3 2

3 2

3 2

3 2

 f  x dx   f   x dx  

3 2

2  2 cos 2 xdx  2



3 3 ta có:  2 2

cos x dx  12 (Sử dụng máy tính Casio).

3 2

3 3 t  2 2 . Đặt t  x  dt  dx và đổi cận 3 3 x t  2 2 x

Khi đó

Suy ra

3 2

3 2

3 2

3 2

 f   x dx    f t dt   f t dt   f  x dx.

3 2

3 2

3 2



3 2



3 2

 f  x dx   f   x dx  2 I  12  I  6.

2  2 cos 2 x . 2

2  2 cos 2 x  2  2 cos  2 x  ta có thể chọn f  x  

Cách 2: Vì

Sau đó sử dụng Casio để bấm I 

3 2



3 2

2  2 cos 2 x dx. Chọn D. 2

Ví dụ 2: Cho hàm số y  f  x  xác định và liên tục trên  , thỏa mãn 

f  x   f   x   cos 2 x, x  . Khi đó I 

 f  x dx bằng:

 6

B. 2.

A. 2.

1 . 2

3 . 4

Lời giải Lấy tích phân 2 vế của f  x   f   x   cos 2 x , x   cận từ  





f  x dx 

 6



 6

 6



 6

ta có:



1 6 1 f   x dx   cos 2 xdx   cos 2 xd  2 x   sin 2 x 2  2  6



6  6



3 . 2

        6 6 6 6  x   6 , t  6   f   x dx    f  t dt   f  t dt   f  x dx. Đặt t   x  dt  dx       x   , t    6 6 6 6  6 6 Suy ra





 6

f  x dx 



 6



f   x dx  2  f  x dx   6

6 3 3 . Chọn D.   f  x dx  2 4  6

 6 cos 2 x cos 2 x 3 dx  . Cách 2: Vì cos 2 x  cos  2 x  ta chọn f  x     2 2 4  6

Ví dụ 3: Cho hàm số y= f  x  liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn f  x   2 f 1  x   3 x, x  . 1

Tính tích phân I   f  x dx. 0

3 A. I  . 2

1 C. I  . 2

B. I  1.

D. I  2.

Lời giải 1

Cách 1: Ta có f  x   2 f 1  x   3 x   f  x dx  2  f 1  x dx  3 xdx 

3 2 x 2

3  . 2

0 1 1  x  0, t  1 1 Đặt t  1  x  dt  dx     f 1  x dx    f  t dt   f  t dt   f  x dx.  x  1, t  0 0 1 0 0 1

Suy ra

 0

f  x dx  2  f 1  x dx  3 f  x dx 

3 1 1   f  x dx   I  . Chọn C. 2 2 2 0

Cách 2: Ta có f  x   2 f 1  x   3 x  f 1  x   2 f  x   3 1  x   3  3 x. (1)  f  x   2 f 1  x   3 x Khi đó  , lấy 2.  2   1 , ta được  f 1  x   2 f  x   3  3 x  2 

3 f  x   2  3  3 x   3 x  f  x   2  3 x. 1  3x 2  1 Vậy I   f  x dx    2  3 x dx   2 x    . Chọn C. 2 0 2  0 0 1

Ví dụ 4: Cho hàm số f  x  liên tục trên  và thỏa mãn f  x   f   x   x 2 , x  . 1

Tính I 

 f  x dx.

1

2 A. I  . 3

B. I  1.

1 D. I  . 3

C. I  2. Lời giải

1

Ta có f  x   f   x   x 2    f  x   f   x dx   x 2 dx 



1

f  x dx   f   x dx   x 2 dx.

1 1 1  x  1, t  1 1 Đặt t   x  dt  dx     f   x dx    f  t dt   f  t dt   f  x dx.  x  1, t  1 1 1 1 1

x3 Suy ra  f  x dx   f  x dx   x dx  2  f  x dx  3 1 1 1 1 2

2 1    f  x dx  . Chọn D. 3 1 3 1

Ví dụ 5: Cho hàm số f  x  liên tục trên  và số thực a dương. Biết rằng với mọi x   0; a  thì f  x   0 a

dx . 1 f  x 0

và f  x  . f  a  x   1. Tính I   a A. I  . 2

B. I  2a.

C. I  a.

a D. I   . 2

Lời giải Ta có: f  x  . f  a  x   1  1  f  x   f  a  x   1  f  a  x  

f a  x 1  1 f  x 1 f a  x

a f a  x dx  dx 1 f  x 0 1 f a  x 0

Lấy tích phân 2 vế ta có: I  

0 a a a 1 f a  x f t  f t  dt dx   dt  dt  dt    0 f  a  x  a 1  f  t  0 1  f  t  0 0 1  f  t  a

Đặt t  a  x  dt  dx khi đó

a 0

a dx . Khi đó I  a  I  I  . Chọn A. 2 a  f  x a

dx x  Cách 2: Vì f  x  . f  a  x   1 ta có thể chọn f  x   1  f  a  x   1  I   2 2 0

a  . 2

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Cho

 f  x dx  12. Tính I   f  3x dx.

A. I  6. Câu 2: Cho

B. I  36. 10

8 B. I   . 5 10

 4

8 C. I  . 5

4 D. I   . 5

C. I  2.

D. I  4.

f  x dx  10. Tính I   f  2 x dx. 2

A. I  10.

B. I  5. 6

Câu 4: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017) Cho

 0

A. I  6. Câu 5: Cho

D. I  4.

 f  x dx  8. Tính I   f  5 x dx.

4 A. I  . 5

Câu 3: Cho

C. I  2.

B. I  36.

f  x dx  12. Tính tích phân I   f  3 x dx. 0

C. I  2.

D. I  4.

 f  x dx  16. Tính tích phân I   f  2 x dx.

A. I  32.

B. I  8.

C. I  16.

D. I  4.

 1

Câu 6: Cho tích phân

 0

A. I  5.

 4

 0

D. I  2.

C. I  9.

D. I  15.

B. I  6. 4

C. I  3.

f  x dx  18. Tính I   f  3 x  1dx.

A. I  18. Câu 8: Cho

B. I  9. 10

Câu 7: Cho

f  x dx  9. Tính tích phân I   f  sin 3 x .cos 3 xdx.

f  x dx  2. Tính tích phân I   f  4 x dx.

A. I  8.

1 B. I  . 2

Câu 9: Cho hàm số f  x  thỏa mãn

C. I  4. 2017

 f  x dx  1. Tính tích phân I   f  2017 x dx.

 f  2017 x dx  2017.

 f  2017 x dx  1. 0

 f  2017 x dx  0. 0

D. I  2.

 f  2017 x dx  2017 . 0



Câu 10: Cho f  x  là hàm số liên tục trên  và A. I 

2 . 2017

B. I  2

Câu 11: Cho tích phân

 1

A. I  2a.

 f  x dx  2017. Tính I   f  sin 2 x  cos 2 xdx.

2017 . 2

a C. I  . 2

B. I  4a.



f  x dx  1.



f  x dx  e.

A. I  3  F  2   F 1  . F  6   F  3 . 3

f  x dx  1.

 f  x dx  e. 0

ex trên  0;   . Tính x

e3 x dx 1 x .

D. I  3  F  6   F  3  . 4

 f  x dx  2. Mệnh đề nào sau đây sai?

2



f  ln x  dx  e. Mệnh đề nào đúng? x

B. I  F  6   F  3

Câu 14: Cho hàm số f  x  liên tục trên  và A.



a D. I  . 4

Câu 13: Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số y 

C. I 

2017 . 2

f  x dx  a. Hãy tính tích phân I   x. f  x 2  1dx theo a.

Câu 12: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  và thỏa mãn A.

D. I  

C. I  2017.

 f  2 x dx  1.

 f  x  1dx  2.

1

3

 f  2 x dx  2.

1

 2 f  x  2 dx  1. 0

Câu 15: Cho f  x  có đạo hàm trên đoạn 1; 2 , f  2   2 và f  4   2018. Tính I   f '  2 x dx. 1

A. I  1008. Câu 16: Biết

B. I  2018. 3

A. I  3.

D. I  2018.

 f  3x  1dx  20 . Hãy tính tích phân I   f  x dx.

A. I  20. Câu 17: Biết

C. I  1008.

B. I  40. 27

C. I  10.

D. I  60.

C. I  27.

D. I  9.

 f  x dx  81. Tính I   f  9 x dx. B. I  81.

Câu 18: Cho f  x  liên tục trên  thỏa mãn

 1

 x dx  4 và x

 2

 f  sin x .cos xdx  2. 0

Tính tích phân I   f  x dx. 0

A. I  2.

B. I  6.

C. I  4.

D. I  10.

Câu 19: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên khoảng 1; 2 thỏa mãn

 f '  x dx  10

và

   f  x  dx  ln 2. Biết rằng hàm số f  x   0, x  1; 2. Tính f  2  . 2

f' x

A. f  2   10.

B. f  2   20.

C. f  2   10.

Câu 20: Cho hàm số f  x  liên tục trên khoảng  1;   và

  f

A. I  8.

B. I  4.

D. f  2   20. 2



x  1 dx  4. Tính

 xf  x dx. 1

C. I  16.

D. I  2.



Câu 21: Biết

 xf  x dx  4. Tính  f  cos 2 x .sin 4 xdx.

A. I  2.

B. I  6.

C. I  8.

D. I  4.

 1

Câu 22: Biết

2 1 xf x dx  . Tính   1  sin 2 x. f  sin x  dx. 2  2

B. I 

A. I  2.

 3

Câu 23: Biết

1 C. I  . 2

D. I  1.

1 C. I  . 2

D. I  1.

3 C. I  . 2

D. I  0.

 f  x xdx  1. Tính  f  x dx. 2

A. I  2.

B. I  4. 2

Câu 24: Biết

 0

A. I  3.

f  x dx  3. Tính

 f  2 x dx.

1

B. I  6.

Câu 25: Cho f  x  là hàm số liên tục trên  thỏa mãn



f  x dx  5 và

 f  2 x dx  10. Tính giá trị của 1

I   f  3 x dx. 0

A. I  8. Câu 26: Biết

3 C. I  . 5

B. I  5. 5

1

 f  x dx  15. Tính   f  5  3x   7 dx.

D. I  6.

A. I  15. Câu 27: Biết

B. I  37. 2

C. I  27.

D. I  19.

C. I  1.

D. I  5.

x

 f  x dx  3. Tính  f  2 dx. 3 B. I   . 2

A. I  6.



Câu 28: Cho f  x  liên tục trên  và các tích phân



f  tan x dx  4 và

x2 f  x  0 x 2  1 dx  2. Tính tích phân 1

I   f  x dx. 0

A. I  6.

B. I  2. 2

Câu 29: Biết

 1

B. 11. 1



6  3 xdx  a 

1

A. 31.

 0

 1

C. 12.

D. 24.

C. 32.

D. 36.

dx a  b c với a, b, c    . Tính a  b  c.  3 x 1  x 1

A. 36.

B. 42. 2

Câu 33: Biết

b với a, b là các số nguyên dương. Tính a 2  b. 3

B. 30. 2

D. 27.

dx 1 b  a  với a, b    . Tính tổng a  b. 3 x 1  x 3

A. 28. Câu 32: Biết

C. 45.

B. 18. 1

Câu 31: Biết

D. I  1.

a 2 x  1dx    c với a, b, c là các số nguyên dương. Tính a  b 2  c3 . b

A. 37. Câu 30: Biết

C. I  3.

  x  1 1

C. 27.

D. 54.

dx  a b  a với a, b, c là các số nguyên dương. Tính giá trị của biểu thức x  x x 1

P  b  a.

A. P  5.

B. P  1.

C. P  5.

D. P  1. 2

Câu 34: Cho a, b, c là các số nguyên dương thỏa mãn

  x  1 1

dx  a  b  c . Tính x  x x 1

P  a  b  c.

A. P  24.

B. P  12. 6

Câu 35: Biết

x 5

Câu 36: Biết

B. P  19.



1

D. P  46.

dx  a  b  c với a, b, c    . Tính P  a  bc. x  1   x  1 x

A. P  16. 0

C. P  18.

dx 1 1 x



C. P  19.

D. P  16.

a b  với a, b nguyên dương. Tính T  a 2  2b  1. 3 3

A. T  1.

B. T  4. 4

Câu 37: Biết



x

C. T  2.

D. T  5.

a 1 a  2dx  2  với là phân số tối giản. Tính tổng a  b. b x b

A. 14.

B. 3.

C. 17.

D. 20.

Câu 38: Tính tích phân I   2 x x 2  1dx bằng cách đặt u  x 2  1, mệnh đề nào dưới đây đúng? 1

A. I  2  udu.

B. I   udu.

1 D. I   udu. 21

C. I   udu. 0

Câu 39: Cho I   x 4  x 2 dx và t  4  x 2 . Khẳng định nào sau đây sai? 1

t2 B. I  2

A. I  3.

C. I 

2  t dt.

D. I 

t3 3

. 0

dx m và đặt t  2 x  3, ta được I   2 dt với m, n là những số t n 1  x  1 2 x  3 2

Câu 40: Cho tích phân I   2

nguyên. Tính T  3m  n. A. T  7.

B. T  2. e

Câu 41: Cho I   1

D. T  5.

1  3ln x dx và đặt t  1  3ln x . Khẳng định nào sau đây đúng? x

A. I 

C. T  4.

2 2 t dt. 3 1

B. I 

2 tdt. 3 1

C. I 

2 2 t dt. 3 1

D. I 

2 tdt. 3 1

x dx và đặt t  x  1 . Khẳng định nào sau đây đúng? x 1 0 1

Câu 42: Cho I   2

A. I    t 2  t dt.

B. I    2t 2  2t dt.

C. I    t 2  t dt. 1

D. I    2t 2  2t dt. 1

 2

Câu 43: Cho I   0

sin 2 x dx và đặt t  1  cos x . Khẳng định nào sau đây đúng? 1  cos x

4t 3  4t A. I   dt. t 2

4t 3  4t B. I   dt. t 2

C. I  4   t  1dt. 2

D. I  4  1  t 2 dt.

 2

Câu 44: Cho I   esin x sin x cos3 xdx và đặt t  sin 2 x . Khẳng định nào sau đây đúng? 2

A. I 

1 1  1 t e dt  tet dt  .   2 0 0 

B. I 

1 1  1 t e dt  tet dt  .   2 0 0 

1 1 t  C. I  2   e dt   tet dt  . 0 0 

1 1 t  D. I  2   e dt   tet dt  . 0 0 

Câu 45: Cho I   3 1  xdx và đặt t  3 1  x . Khẳng định nào sau đây đúng? 0

A. I  3 tdt.

B. I   t dt.

C. I  3 t dt.

D. I  3 t 3 dt. 0

 4

Câu 46: Cho I    2sin 2 x  1 sin 4 xdx và đặt t  cos 2 x . Khẳng định nào đúng? 4

A. I 

1 4 t dt. 2 0

B. I 

1 2

1 3 t dt. 2 0

C. I   t 5 dt.

D. I 

2 2

 t dt. 4

Câu 47: Cho I   2 x x 2  1dx và đặt u  x 2  1 . Tìm khẳng định sai? 1

A. I   udu.

B. I 

Câu 48: Cho I   1

ln x x 3ln x  1 2

2 27. 3

C. I   udu. 0

dx và đặt t  3ln 2 x  1 . Khẳng định nào đúng? e2

1 A. I   dt. 31

2 D. I  u u . 3 0

1 1 B. I   dt. 21t

2 C. I   tdt. 31

1 t 1 dt. D. I   41 t

Câu 49: Cho I   x 1  x 2  dx và đặt u  1  x 2 . Khẳng định nào sau đây đúng? 10

A. I  2  u10 du.

B. I   2u10 du. ln m

Câu 50: Tìm tham số m thỏa mãn I 

 0

1 A. m  . 2

B. m  2. ln 6

Câu 51: Biết

e

ln 3

A. P  10. Câu 52: Biết

x 1

A. 4. Câu 53: Biết

 3 0

D. I  

1 10 u du. 2

e x dx  ln 2. ex  2 C. m  4.

D. m  0, m  4.

C. P  15.

D. P  20.

dx  a ln 3  b ln 5 với a, b  . Tính a 2  ab  3b 2 . 3x  1 B. 5.

1 10 u du. 2

dx  3ln a  ln b với a, b là các số nguyên dương. Tìm P  ab.  2x x  3 B. P  10.

C. I 

C. 1.

D. 0.

1 2 dx  a  b ln với a, b  . Mệnh đề nào dưới đây là đúng? 3 2x 1

A. a  b  3.

B. a  b  3. 1

Câu 54: Biết

e 0

Câu 55: Biết

dx 1 e với a, b là các số hữu tỉ. Tính S  a 3  b3 .  a  b ln 1 2 B. S  2. ln x

 x  ln x  2  1

A. 2a + 3b = 3

D. a  b  5.

A. S  2. e

C. a  b  5.

C. S  0.

D. S  1.

dx  ln a  b với a, b  . Khẳng định nào sau đây đúng?

1 b 1 a

C. 4a 2  9b 2  11

D. 2ab = 1

LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 2

Câu 1: I   0

Câu 2: I   1

Câu 3: I   2

1 1 1 f  3 x dx   f  3 x d  3 x    f  x dx  .12  4. Chọn D. 30 30 3 1 1 1 8 f  5 x dx   f  5 x d  5 x    f  x dx  .  8    . Chọn B. 51 55 5 5 5

1 1 1 f  2 x dx   f  2 x d  2 x    f  x dx  .10  5. Chọn B. 22 24 2

Câu 4: I   f  3 x dx  0

Câu 5: I   f  2 x dx  0

1 1 1 f  3 x d  3 x    f  x dx  .12  4. Chọn D.  30 30 3 2

1 1 1 f  2 x d  2 x    f  x dx  .16  8. Chọn B.  20 20 2



Câu 6: I   f  sin 3 x  cos 3 xdx  0

Câu 7: I   f  3 x  1dx  1 1

Câu 8: I   f  4 x dx  0

1 1 1 f  3 x  1d  3 x  1   f  x dx  .18  6. Chọn B.  31 34 3

1 1 1 1 f  4 x d  4 x    f  x dx  .2  . Chọn B.  40 40 4 2

Câu 9: I   f  2017 x dx  0

1 1 f  2017 x d  2017 x    2017 0 2017

 4

Câu 10: I   0



1  f  x dx  2017 . Chọn D.



2017

14 1 2017 f  sin 2 x  cos 2 xdx   f  sin 2 x d  sin 2 x    f  x dx  . Chọn B. 20 20 2

Câu 11: I   x. f  x 2  1dx  Câu 12:

16 1 1 f  sin 3 x d  sin 3 x    f  x dx  .9  3. Chọn C.  30 30 3

1 1 a f  x 2  1d  x 2  1   f  x dx  . Chọn C.  20 20 2

e 1 f  ln x  dx  e   f  ln x d  ln x   e   f  x dx  e. Chọn B. x 1 0

2 3x 6 e d  3 x  6 e x dx e3 x dx Câu 13:     F  x   F  6   F 3  . Chọn B. x 3x x 3 1 1 3 2

Câu 14: I 



f  2 x dx 

1

Câu 15: I   f '  2 x dx  1

Câu 16:

 1

1 1 1 f  2 x d  2 x    f  x dx  .2  1 nên đáp án C sai. Chọn C.  2 1 2 2 2 2 2 f 4   f 2  1 1 f ' 2 x d 2 x  f 2 x   1008. Chọn C.       2 1 2 2 1

f  3 x  1dx  20 

1 f  3 x  1d  3 x  1  20   f  x dx  60. Chọn D. 3 1 2

Câu 17: I   f  9 x dx  0

Câu 18:



 x dx  4  2 f  x dx  4  9



Ta có

1 1 1 f  9 x d  9 x    f  x dx  .81  9. Chọn D.  90 90 9

2 x

 f  x d  x   2   f  xdx  2



 f sin x .cos xdx  2   f sin x d  sin x   2   f  x dx  2 3

Ta có I   f  x dx   f  x dx   f  x dx  2  2  4. Chọn C. 2

Câu 19:



f '  x dx  10  f  x   10  f  2   f 1  10 1

Ta có

 1

2 d  f  x  f ' x dx  ln 2   dx  ln 2  ln f  x  f  x f x 1

 ln 2  ln 1

f 2  f 2   ln 2  2 f 1 f 1

Từ đó suy ra f  2   20, f 1  10. Chọn B. Câu 20: Đặt t  x  1  t 2  x  2  2tdt  dx. Với x  0  t  1, x  3  t  2 3

Ta có

 0

f x  1dx  4   f  t  .2tdt  4   xf  x  dx  2. Chọn D. 



Câu 21: I   2sin 2 x.cos 2 x. f  cos 2 x  dx    cos 2 x. f  cos 2 x  d  cos 2 x  0

   tf  t dt   xf  x dx  4. Chọn D. 



1 2

Câu 22: I   2sin x.cos x. f  sin x  dx  2 sin x. f  sin x  d  sin x   2 t. f  t  dt  1. Chọn D. 2

Câu 23: Ta có 1  0

Câu 24: I 



1 0

1 1 1 f  x 2 d  x 2    f  t dt  I  I  2. Chọn A.  20 20 2 1

f  2 x dx   f  2 x dx  0



1

f  2 x  dx   f  2 x  dx 0

1  t u 1   f  t d      f  u d     f  x dx   f  x dx  3. Chọn A. 20  2 0 2 2 0 2 6

t 1 Câu 25: Ta có 10   f  t d     f  x dx   f  x dx  20. 2 2 2 2 2 6 6 2 6  1 u 1 Lại có I   f  u d     f  x dx    f  x dx   f  x  dx   5. Chọn B. 3 0 3 3 0 0 2 

1

Câu 26: I   f  5  3 x dx  7  dx  2

1  5t  f t  d    7.2   f  x  dx  14  19. Chọn D. 3 1  3 



Câu 27: I   f  t d  2t   2  f  x dx  6. Chọn A. 

Câu 28: Ta có 2   0

4 f  x f  tan t  f  x dx   2 dx  I   d  tan t  2 x 1 tan t 1   0 0 1



4 f  tan t  1 . dt  I   f  tan x  dx  I  6. Chọn A.  I  tan 2 t  1 cos 2 t 0 0 4

 t2 1  td 1  2   3

Câu 29: I 

 6  t2  Câu 30: I   td    3  3 3

Câu 31: I   0





Câu 32: I   1

1  2

2t 3 3

x  x  1

x  x  1  x



 0

2 2 4 2 4 2 2 1   . Chọn D. 3 3 3





1 2  td  t  1  2 0 ud  u  1 2 2

u3  3

 0

3 32 2 1  . Chọn A. 3 3



x 1  x



1  x 1  x x 1  x

x 1  x  1 

 2 dx 2 d  x  1  1   1 dx       dx  2   x x 1  x  x  1 1  1 2 x 1 2 x 1 



 2 3  2  a  2; b  3  P  b  a  1. Chọn D. 1

Câu 34: Ta có I   1



54  6 3 18  2 3  . Chọn D. 9 3

x 1  x

 2 x  2 x 1

Lại có:



2u 3 3





2 2  td t  1   ud u 

x 1  x 1 1 dx  2 2

Câu 33: Ta có I  

I 

3 3 1 . Chọn A. 3

1 t3  t.2tdt  2 0 u.2udu  3 2

Lại có:



2t 2t 3 t . dt   3 9 3



x  1  x dx 

 t.2tdt   u.2udu 

t3 3

 t.tdt 

x  x  1

x  x  1  x





x 1  x



x 1  x  1 

1  x 1  x x 1  x

I 

 2 dx 2 d  x  1  1   1 dx       dx  2   x x 1  x  x  1 1  1 2 x 1 2 x 1  2

x 1  x



 2 x  2 x 1



 4 2  2 3  2  32  12  2  a  32; b  12; c  2 1

Vậy a  b  c  46. Chọn D. 6

Câu 35: Ta có I  

x  x  1

Lại có:

 6

I 

x  x 1





x  x 1



x  x 1  1 



. 1

x  x 1

 x  x 1

6 6  6 dx d  x  1  1   1 dx     dx  2      x 1 x x  x  1 5  5 2 x 1 5 2 x 

x  x 1



 2 x 1  2 x



 2 5  2 6  4  2 5  80  24  4  a  80; b  24; c  4 5

Vậy a  bc  16. Chọn D. Câu 36: Đặt t  1  x  t 2  1  x  2tdt  dx. Đổi cận 1

Khi đó I   0

2tdt 1   4  2  t  1   dt   3 1 t t 1   0

x  1  t  0 x  0  t 1 1

8  32  t  1  4 t  1   3 0 3

Do đó a  8; b  32  T  82  32.2  1  1. Chọn A. 4

Câu 37: Ta có

 1



1 1  1    2 3  x   2dx    x  dx    x  dx    x 2 x  x x x  3    1 1

20 14 a  2   2   a  b  17. Chọn C. 3 3 b

Câu 38: Đặt u  x 2  1  du  2 xdx. 3

Đổi cận x  1  u  0; x  2  u  3. Khi đó I   udu. Chọn C. 0

Câu 39: Đặt t  4  x 2  t 2  4  x 2  tdt   xdx. Đổi cận 0

Khi đó I 

2  t  tdt    t dt  3

t3 3

x 1 t  3 x2t 0

 3. Khẳng định sai là B. Chọn B.

1 t 2 Câu 40: Đặt t  2 x  3  t  2 x  3  2tdt  2dx  tdt  dx. Đổi cận 2 x 3t 3 2

x

3 m  2 tdt 2dt     T  3m  n  5. Chọn D.  2  2 n   1 t  1   t  3  2  1 t 1  2   3

Khi đó I  

Câu 41: Đặt t  1  3ln x  t 2  1  3ln x  2tdt  2

x 1 t 1 3dx . Đổi cận xet 2 x

2 2 Khi đó I   t. tdt   t 2 dt. Chọn C. 3 31 1 Câu 42: Đặt t  x  1  t 2  x  1  2tdt  dx. Đổi cận 2

x  0  t 1 x 3t  2

t 2 1 Khi đó I   2tdt    t  1 .2tdt    2t 2  2t  dt. Chọn D. 1 t 1 1 1 Câu 43: Đặt t  1  cos x  t  1  cos x  2tdt   sin xdx. Đổi cận

x 0t  2

x

 2

 t 1



1 2 2  t 2  1 .  2tdt  2sin x cos xdx Ta có I     4   t 2  1 dt. Chọn C. t 1  cos x 0 1 2 2

x 0t 0

Câu 44: Đặt t  sin x  dt  2sin x cos xdx. Đổi cận 2

 2

Khi đó I   e 0

sin 2 x

x

 2

 t 1

1 1  dt 1  t .sin x cos x.cos xdx   e .1  t     e dt   tet dt  . Chọn B. 2 2 0 1 0  e

Câu 45: Đặt t  3 1  x  t 3  1  x  3t 2 dt  dx  dx  3t 2 dt. Với x  0  t  1, x  1  t  0 0

Ta có I   t.  3t 2 dt   3 t 3 dt. Chọn D. Câu 46: Đặt t  cos 2 x  dt  2sin 2 xdx. Với x  0  t  1, x   4

 4

t 0

 4

Khi đó I    2sin x  1 sin 4 xdx   cos 2 x.2 cos 2 x sin 2 xdx   t 5 dt. Chọn C. 2

Câu 47: Đặt u  x 2  1  du  2 xdx. Với x  1  u  0, x  2  u  3 2

2 Ta có I   x 2  1.2 xdx   udu  u u 3 1 0

 0

2 27. Do đó đáp án A sai. Chọn A. 3

Câu 48: Đặt t  3ln 2 x  1  t 2  3ln 2 x  1  2tdt 

6 ln x dx. Với x  1  t  1, x  e  t  2 x

Ta có I   1

ln x

tdt 1 1 dx     dt. Chọn A. 3 t 31 x 3ln 2 x  1 1

Câu 49: Đặt u  1  x 2  du  2 xdx. Ta có I   x 1  x 2  dx   10

ln m

Câu 50: Ta có

 0

ln m

Mà

 0

ln m d ex  2 e x dx   ln  e x  2  x x e 2 0 e 2

ln m

1 10 u du. Chọn D. 2

 ln  m  2   ln 3  ln

m2 3

e x dx m2 m2  ln 2  ln  ln 2   ln 2  m  4. Chọn C. x e 2 3 3

ln 6 ln 6 d e x  dx e x dx ex  2 Câu 51: Ta có  x    ln e  2e  x  3 ln3 e 2 x  2  3e x ln3  e x  1 e x  2  ex 1 ln 3 ln 6

ln 6

 ln 3

4 1  ln  ln  3ln 2  ln 5. Do đó suy ra a  2, b  5  P  ab  10. Chọn A. 5 2

2tdt  3dx  Câu 52: Đặt t  3 x  1  t  3 x  1   t 2  1 . Với x  1  t  2, x  5  t  4 x   3  2

2tdt 4 4 dx 2tdt t 1 Ta có I    23  2  ln t 1 t 1 t 1 1 x 3x  1 2 t 2 3 5

3 1  ln  ln  2 ln 3  ln 5 5 3

Do đó suy ra a  2, b  1  a 2  ab  3b 2  5. Chọn B.

Câu 53: Đặt t  2 x  1  t 2  2 x  1  2tdt  2dx  dx  tdt. Với x  0  t  1, x  4  t  3 4

Ta có

1 tdt 3  2  0 3  2 x  1 dx  1 3  t  1 1  3  t dt   t  3ln t  3  1  2  3ln 3

Do đó suy ra a  2, b  3  a  b  5. Chọn D. 1 1 d ex  dx e x dx ex Câu 54:  x    ln x e  1 0 e x  e x  1 0 e x  e x  1 e 1 0 1

 ln 0

e 1 2e 1 e  ln  ln  1  ln e 1 2 e 1 2

Do đó suy ra a  1, b  1  S  a 3  b3  0. Chọn C. e

Câu 55: Ta có

ln x

 x  ln x  2  1

dx   1

ln xd  ln x 

 ln x  2 

e  1 2    d  ln x   ln x  2  ln x  2 2  1 

2  3 2 1 3 3 1 1    ln ln x  2    ln   1    ln  a  , b     b  1. Chọn B. ln x  2  1 2 3 3 2 2 3 a 

CHỦ ĐỀ 9: CÔNG THỨC TỪNG PHẦN TÍNH TÍCH PHÂN I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Công thức tích phân từng phần: Nếu u  u  x  và v  v  x  là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn b

 a; b thì  u  x  v  x  dx  u  x  v  x    u  x  v  x  dx b

Hay  udv  uv a   vdu b

II. CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Sử dụng công thức tích phân từng phần 

Ví dụ 1: Cho tích phân I   x 2 cos xdx và u  x 2 ; dv  cos xdx . Khẳng định nào sau đây đúng? 0



A. I  x sin x   x sin xdx . 2



C. I  x sin x  2  x sin xdx . 2



B. I  x sin x   x sin xdx . 2



D. I  x sin x  2  x sin xdx . 2

Lời giải   u  x 2 du  2 xdx Ta có    I  x 2 sin x  2  x sin xdx . Chọn D. 0 dv  cos xdx v  sin x 0

Ví dụ 2: Cho tích phân

  2 x  1 e dx  ae x

A. S  13 .

B. S  10 .

 be  c  a, b, c    . Tính S  a 2  b 2  c 2 C. S  5 .

D. S  8 .

Lời giải 2 2 u  2 x  1 du  2dx x x 2 x x 2 Đặt    2 x  1 e dx  2 x  1 e  e dx  2 x  1 e  3e 2  1          x x 0 0 du  e dx v  e 0 0

Suy ra a  3; b  0; c  1  S  a 2  b 2  c 2  10 . Chọn B.  2

Ví dụ 3: Cho tích phân I    x 2  1 sin xdx  a2  b  c với a, b, c   . Tính T  a 2  b 2  c 2 0

A. T  9 .

B. T  12 .

C. T  2 . Lời giải

u  x 2  1 du  2 xdx Đặt   v   cos x dv  sin xdx

D. T  10 .

 2 0

 2

Khi đó I    x 2  1 cos x  2  x cos xdx  1  2  x cos xdx  2

u  x du  dx  Xét tích phân J   x cos xdx , ta đặt  dv  cos xdx v  sin x 0  2



2   Khi đó J  x sin x   sin xdx   cos x   1 2 2 0 0  2 0

a  0  Vậy I    1  b  1  T  2 . Chọn C. c  1  3

Ví dụ 4: Cho tích phân I    3 x 2  1 ln xdx  a ln 3  b ln 2  c với a, b, c   . Khẳng định nào dưới đây là 2

khẳng định đúng? A. a  3b .

B. a  3b .

C. a  b  40 .

D. a  b  20 .

Lời giải

dx  3 u  ln x 3 du  3 Đặt    I  x  x ln x  x 2  1 x     2  2 2 v  x 3  x dv   3 x  1 dx  3

 x3  22  30 ln 3  10 ln 2    x   30 ln 3  10 ln 2   a  30; b  10; c  3b . Chọn B. 3  3 2 4

Ví dụ 5: Cho I  



dx  a.ln 3  b.ln 2  c , với a, b, c   , tổng a  b  c bằng

x 1 x

A. 8.

B. 4.

C. 12.

D. 0.

Lời giải





dx  u  ln x  1 du     2 x x  1 , khi đó I  2 Đặt   dx v   x  v  2 x  1



2



 

x  1 ln



x 1

4 1





 

x  1 ln



x 1

4 1

 1

a  6   2 x  6.ln 3  4.ln 2  2  a.ln 3  b.ln 2  c  b  4 1 c  2  4

Vậy tổng a  b  c  6  4  2  0 . Chọn D.

dx x

 2

Ví dụ 6: Cho tích phân I   0

x sin x

1  cos x 

dx 

a a là phân số tối giản. Khẳng định   c với a, b, c   và b b

nào sau đây là đúng? A. a  b  3c .

B. a  2b  c .

C. a  b  2c .

D. a  2b  3c .

Lời giải   u  x du  dx 2 2 x dx   x sin x Đặt    I   1  dv  dx 1  cos x 0 0 1  cos x 2  v  1  cos x 1  cos x    2



1 dx 1 x2 1      tan    1  a  1; b  2; c  1 x 2 2 20 2 0 2 cos 2 2

Do đó a  b  3c . Chọn A. Dạng 2: Tích phân từng phần với hàm ẩn Ví dụ 1: Cho hàm số f  x  thỏa mãn điều kiện

  x  1 f '  x  dx  10 và 2 f 1  f  0   2 . Tính tích phân 0

 f  x  dx 0

A. I  12 .

C. I  12 .

B. I  8 .

D. I  8 .

Lời giải u  x  1 du  dx  Đặt  , khi đó dv  f   x  dx v  f  x 

  x  1 f '  x  dx   x  1 f  x    f  x  dx

 10  2 f 1  f  0   I  I  2 f 1  f  0  10  2  10  8 . Chọn D. 2

Ví dụ 2: Cho  1  2 x  f   x  dx  3 f  2   f  0   2016 . Tích phân 0

A. 4032.

B. 1008.

 f  2 x  dx bằng: 0

C. 0.

D. 2016.

Lời giải 2

Xét tích phân

 1  2x  f   x  dx 0

2 u  1  2 x du  2dx 2   I  1  2 x  f  x  0  2  f  x  dx Đặt  dv  f   x  dx v  f  x  0

 3 f  2   f  0   2  f  x  dx  2016  2016  2  f  x  dx   f  x  dx  2016 1

Xét J   f  2 x  dx , đặt t  2 x  dt  2dx , đổi cận suy ra J  

dt 1 f  t  .   f  x  dx  1008 . Chọn B. 2 20

Ví dụ 3: Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn điều kiện

 0

f  x

  x  1

f  x dx  1 và f 1  2 f  0   2 . Tính tích phân x 1

Lời giải

  1   dx u  x 1  du   Đặt  , khi đó 2 x  1   dv  f   x  dx    v  f  x 

 0

1 f  x f  x f  x dx   dx x 1 x  1 0 0  x  12 1

f  x  f 1  1 1  I  I  1   f  0   1   f 1  2 f  0   1  .2  0 . Chọn A. Suy ra 1  x 1 0 2 2  2  1

Ví dụ 4: Cho F  x   x 2  ln 3 x là một nguyên hàm của hàm số A. I  e 2  3e .

B. I  e 2  3 .

f  x . Tính tích phân x

C. I  e 2  e .

 f   x  ln xdx 1

D. I  e 2  4 .

Lời giải 1  e u  ln x f  x e du  dx x  I  ln x. f  x  1   Đặt   dx x dv  f   x  dx v  f  x  1  e

 I  ln xf  x   x 2  ln 3 x   f  e   e 2  2  2  f  e   e 2 1

 3ln 2 x  2 Mặt khác f  x   xF   x   x  2 x    f  e   2e  3 x   Do đó I  e 2  3 . Chọn B. 1

Ví dụ 5: Cho F   x  x  e là một nguyên hàm của hàm số f  x  .e . Tính tích phân I   f   x  .e3 x dx 3

A. I  e .

B. I  e  1 .

C. I  e  1 . Lời giải

u  e3 x du  3e3 x dx  Đặt  dv  f   x  dx v  f  x  1

 I  e f  x   3 e f  x  dx  e3 x f  x   3  x 3  x 2  e3 x  0 3x

Trong đó f  x  

1 F   x  x3  4 x 2  2 x x 3 2   I  e  2 x  x  2 x  e . Chọn A.   0 e3 x e2 x

D. I  e .

Ví dụ 6: Cho hàm số f  x  liên tục và luôn dương trên  . Biết rằng f 1  2,

xdx

 f  x   ln

2 . Tính tích

x2 . f   x  phân I   2 dx f  x 0 1

1 B. I    ln 2 . 2

A. I  2  ln 2 .

1 C. I    ln 2 . 2

D. I  2  ln 2 .

Lời giải u  x 2 du  2 xdx   Đặt  1 f  x   v   dv  dx   f x f 2  x   1

 x2 x 1 1 I  2   2 ln 2    ln 2 . Chọn B. f  x 0 f  x  f 1 2 0

Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức tích phân Ví dụ 1: Cho hàm số f  x  có đạo hàm, liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  6 , 1

 x. f  x  dx  0

5 . Tích phân 2

23 4

2 5  f x      dx  2 và 0 

 f  x  dx bằng 0

5 4

5 2

19 4

Lời giải du  f   x  dx u  f  x    Đặt  , khi đó x2 dv  xdx v    2

Suy ra

x2 x2 x . f x dx  . f x     . f   x  dx 0   2 2 0 0

1 2 1 5 f 1 x    . f   x  dx   x 2 . f   x  dx  1 2 2 2 0 0 1

Ta chọn k sao cho:

2 2 2 4   f   x   kx  dx    f   x   dx  2k  f   x  x dx  k  x dx  0 2

 5  2k 

2 k2 5 x3  0  k  5    f   x   5 x 2  dx  0  f   x   5 x 2  f  x   C 2 3 0

Do f 1  6  C 

13 5 x3 13 19  f  x     f  x  dx  . Chọn D. 3 3 3 4 0

Ví dụ 2: Cho hàm số f  x  có đạo hàm, liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  1 ,

2 9  f x dx  và        5 0

 x. f  x  dx  0

1 . Tích phân I   f  x  dx bằng 5 0

A. I 

3 . 5

B. I 

1 . 4

C. I 

3 . 4

D. I 

1 . 5

Lời giải du  f   x  dx u  f  x    Đặt  x2 dv  xdx v    2 1

x2 1 1 1 1 Do đó  x. f  x  dx  . f  x    x 2 . f   x  dx    x 2 f   x  dx  2 20 2 20 5 0 0 1

Suy ra

3 1 2 4 0 x . f   x  dx  5 ; 0 x dx  5 1

Chọn k sao cho:

9 6k k 2 2 2    f x  kx dx     0  k  3   0   5 5 5

Như vậy

  f   x   3x 0

 dx  0  f   x   3 x 2  f  x   x3  C 2

Do f 1  1  C  0  I   f  x  dx   x 3 dx 

1 . Chọn B. 4

Ví dụ 3: Cho hàm số f  x  có đạo hàm, liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  1

3  x f  x  dx  0

3 , 5

  f   x  0

37 . Tích phân I    f  x   1dx bằng 180 0

1 . 15

B. 

1 . 15

C. 

1 . 10

Lời giải du  f '  x  dx u  f  x    Đặt  x4 3 dv  x dx v   4 1 4 1 4 1 x f x x4 x 3 2  dx   x 4 f   x  dx   Do đó  x f  x  dx  . f  x    . f   x  dx  4 4 20 0 4 9 0 0 0 0 1

Lại có:

8  x dx  0

Như vậy

1 4 2 k 2 ta chọn k sao cho:   f   x   kx 4  dx   2k .  0k 2 9 9 9 9 0

4 4   f   x   2 x  dx  0  f   x   2 x  f  x   0

2 x5 C 5 1

3 3 2 2 5 1 Do f 1    . Chọn B.  C  C  1  f  x  1  x    f  x   1 dx  5 5 5 5 15 0

dx 

4 và 9

Ví dụ 4: Cho hàm số f  x  có đạo hàm, liên tục trên đoạn  0;3 thỏa mãn f  3  1 , 3

3  x f  x  dx 

và

2 1  f x      dx  27 0 

42 . Tích phân I   f  x  dx bằng 5 0

5 . 2

3 . 2

7 . 2

D. 4 .

Lời giải du  f '  x  dx u  f  x    Đặt  khi đó x4 3 dv  x dx v   4

x4 x4 x f x dx  . f x     f   x  dx 0   4 4 0 0 3

45 81 f  3 x4    . f   x  dx   x 4 f   x  dx  9 2 4 4 0 0 3

Suy ra

Ta chọn k sao cho:

4 4 2 8   f   x   kx  dx    f   x   dx  2k  f   x  x dx  k  x dx 2



1 1 1 4  x5 6 7  2.9k  2187 k 2  0  k   f x   x  f  x     f  x  dx  . Chọn C. 27 243 243 1215 5 2 0

Ví dụ 5: [Đề tham khảo Bộ Giáo Dục và Đào Tạo 2018] Cho hàm số f  x  có đạo hàm, liên tục trên 1

đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  0 ,

  f   x  dx  7 và 2

7 . 5

B. 1 .

2  x f  x  dx  0

1 . Tích phân 3

7 . 4

 f  x  dx bằng 0

D. 4 .

Lời giải 1 1 u  f  x  du   x  dx 1 2 3 Đặt  , khi đó  3 x f x dx  x . f x      0  x3 . f   x  dx   2 3 dv  3 x dx v  x 0 0 1

Suy ra I  f 1   x . f   x  dx   x . f   x  dx  1   14 x . f   x  dx  7 . Mà 3

  f   x  0

dx   7 x f   x  dx   49 x dx  0    f   x   7 x3  dx  0 3

7 Vậy f   x   7 x 3  0  f  x    x 4  C 4

Mà lại có: f 1  0  f  x  

7 7 1  x 4    f  x  dx  . Chọn A.  4 5 0

 49 x dx  7 6

suy ra

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Với u và v là các hàm số xác định và liên tục trên đoạn  a; b  . Công thức biểu diễn tích phân từng phần được cho bởi công thức nào sau đây? b

A.  udv  uv a   udv b

C.  udv  uv a   udv b

B.  udv  uv a   vdu a

D.  udv  uv a   vdu

Câu 2: Cho tích phân I   ln xdx , biểu thức nào sau đây thể hiện đúng cách tính I theo công thức tích 2

phân từng phần 3

A. I   x ln x  2   dx 3

C. I   x ln x  2   ln xdx 3

B. I   x ln x  2   xdx 3

D. I   x ln x  2   ln xdx 3

Câu 3: Khi tính tích phân

 x sin 2 xdx

thì cách đặt nào sau đây phù hợp với phương pháp tích phân từng

phần?

u  x B.  dv  sin 2 xdx

u  sin 2 x A.  dv  xdx

u  x D.  dv  sin x

u  sin 2 x C.  dv  x

 x ln xdx

Câu 4: Khi tính tích phân

thì cách đặt nào sau đây phù hợp với phương pháp tích phân từng phần?

u  x A.  dv  ln xdx

u  ln x B.  dv  x

u  x D.  dv  ln x

u  ln x C.  dv  xdx

Câu 5: Khi tính tích phân

 x sin 2 xdx

thì cách đặt nào sau đây phù hợp với phương pháp tích phân từng

phần?

u  x A.  dv  sin x

u  sin 2 x B.  dv  xdx

u  x D.  dv  sin 2 xdx

u  sin 2 x C.  v  x  2

Câu 6: Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng khi nói về tích phân

 xcos 2 xdx 0



x sin 2 x 2 cos 2 x 2 A. I   2 0 4 0 x sin 2 x 2 cos 2 x 2 C. I   4 0 4 0



x sin 2 x 2 cos 2 x 2 B. I   2 0 2 0

x sin 2 x 2 cos 2 x 2 D. I   x 4 0 0

 2

Câu 7: Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng khi nói về tích phân I   x sin 2 xdx 0



2 2 x 1 A. I  cos 2 x  sin 2 x 2 4 0 0 



2 2 x 1 B. I   cos 2 x  sin 2 x 2 4 0 0 

2 2 x 1 C. I   cos 2 x  sin 2 x 2 2 0 0

2 2 x 1 D. I   cos 2 x  sin 2 x 2 4 0 0  4

Câu 8: Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng khi nói về tích phân

 cos xdx 2



A. I    x tan x  04  ln  cos x  04 



C. I   x tan x  04  ln  cos x  04



B. I   x tan x  04  ln  cos x  04 



D. I    x tan x  04  ln  cos x  04

Câu 9: Cho tích phân I   x ln 2 xdx . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1

1 A. I  x 2 ln 2 x   x ln xdx 2 1 1 e

1 D. x 2 ln 2 x   x ln xdx 2 1 1

C. I  x ln x   x ln xdx 2

B. I  x 2 ln 2 x   x ln xdx

 4

Câu 10: Cho tích phân

  x  1 sin 2 xdx . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 0



14 A. I    x  1 cos 2 x   cos 2 xdx 20  4 0

C. I 

 4

1 1 1  x  cos 2 x   cos 2 xdx 2 20 0

 4

B. I    x  1 cos 2 x   cos 2 xdx 0

D. I 

 4

1 1 1  x  cos 2 x   cos 2 xdx 2 20 0

 2

Câu 11: Cho tích phân

  2  x  sin xdx và đặt u  2  x, dv  sin xdx . Hỏi khẳng định nào sau đây đúng? 0

 2

 2 0

A. I    2  x  cosx   cosxdx 0

 2 0

 2

C. I   2  x  cosx   cosxdx 0

 2 0

 2

B. I    2  x  cosx   cosxdx 0

 2 0

 2

D. I   2  x    cosxdx 0

Câu 12: Biết rằng  ln  x  1 dx  a  ln b với a, b là các số nguyên. Tính  a  3

A. 25

1 7

Câu 13: Biết

C. 16

  x  1 ln xdx  b  d e

3 2

B. 2

Câu 14: Biết

5 4

với

1 9

a c a c và là hai phân số tối giản. Tính  b d b d

  3x  1 e 2 dx  a  be

1 2

5 2

với a, b là các số nguyên. Tính S  a  b

A. S  12

B. S  16 e

Câu 15: Biết

x

ln xdx 

a c 1   b d 9

C. S  8

D. S  10

a 3 c a c a c là hai phân số tối giản. Tính  e  với và b d b d b d B.

a c 1   b d 9

a c 1   b d 3

Câu 16: Biết 4  x 1  ln x  dx  ae 2  b với a, b là các số nguyên. Tính M  ab  4  a  b  0

B. M  2

A. M  5

C. M  5

D. M  6

Câu 17: Biết

c ln x b là hai phân số tối giản. Tính 2a  3b  c dx   a ln 2 với a   và 2 d x c 1



B. 6

A. 4  4

Câu 18: Biết



C. 6

D. 5

 cos x dx  a  b ln 4 với a, b là các số thực khác 0 . Tính P  a  b 2

A. P  2

B. P  6 1

Câu 19: Biết  3 xe 2 x dx  0

3 2

3 4

5 4

 x ln 1  x  dx   b  c ln 2 với a, b, c   và 2

A. 9

D. P  8

a c a c a c 2 là hai phân số tối giản. Tính   e với và b d b d b d

Câu 20: Biết

C. P  0

B. 6

7 2

a là phân số tối giản b

C. 15

D. 12

Câu 21: Biết  ln  3 x  1 dx  a ln 2  b với a, b   . Tính S  3a  b 0

A. S  7

B. S  11

C. S  8

D. S  9

 3

Câu 22: Biết

 cos x dx  a  ln 2 với a   . Hỏi phần nguyên của a  1 là bao nhiêu? 2

B. 2

A. 1  2

Câu 23: Biết

 sin  4

A. P  1

D. 1

C. 0

dx  m  n ln 2 với m, n   . Tính P  2m  n

B. P  0, 75

C. P  0, 25

D. P  0

Câu 24: Biết  ln  x  1 dx  a ln 3  b ln 2  c với a, b, c   . Tính S  a  b  c 1

A. S  1

B. S  0

C. S  2

Câu 25: Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn A. I  12

D. S  2

  x  1 f   x  dx  10 và 2 f 1  f  0   2 . Tính  f  x  dx C. I  1

B. I  8

Câu 26: Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn f 1  1 và

D. I  8  2

 f  t  dt  3 . Tính  sin 2 x. f   sin x  dx 0

A. I 

4 3

B. I 

2 3

C. I 

1 3

D. I 

2 3

Câu 27: Cho hàm số f  x  có nguyên hàm là F  x  trên đoạn 1; 2 , F  2   1 và

 F  x  dx  5 . Tính 1

  x  1 f  x  dx 1

A. I  3

C. I  4

B. I  6

D. I  1

Câu 28: Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên 1; 2 thỏa mãn f 1  0, f  2   2 và

 f  x  dx  1 . Tính 1

 x. f   x  dx 1

A. I  2

B. I  1

C. I  3 2

Câu 29: Cho f  x  liên tục trên  và f  2   16,  f  x  dx  4 . Tính 0

B. I  12

A. I  13

Câu 30: Giả sử hàm số

D. I  8 1

 x. f   2 x  dx 0

C. I  20

f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn

D. I  7

0;1

và thỏa mãn điều kiện

f 1  6,  x. f   x  dx  5 . Tính I   f  x  dx A. I  1

B. I  1

C. I  11

D. I  3

Câu 31: Cho hàm số f  x  thỏa mãn

2  x f   x  dx  12 và 2 f 1  f  1  2 . Tính I   f  x  dx

B. I  14

A. I  10

C. I  8

D. I  5

Câu 32: Cho hàm số f  x  thỏa mãn  x. f   x  e f  x  dx  8 và f  3  ln 3 . Tính I   e f  x  dx A. I  1

B. I  11

C. I  8  ln 3

D. I  8  ln 3

Câu 33: Cho hàm số G  x    cos tdt . Hỏi khẳng định nào sau đây đúng? 0

A. G  x   2 xcos x

B. G  x   2 x cos x

Câu 34: Cho hàm số f  x  thỏa mãn

 0

A. I  2

C. G  x   x cos x

D. G  x   2 x sin x 4

f  x  dx  3 và f  2   2 . Tính I   f  0

 x  dx

C. I  5 D. I  1

B. I  3

Câu 35: Cho hàm số f  x  thỏa mãn

 x. f   x  dx  4

và a, b là các số thực dương, đồng thời

f   a   2; f   b   3 và f  a   f  b  . Tìm giá trị nhỏ nhất của P 

A. min P 

23 20

B. min P  2

Câu 36: Cho hàm số f  x  thỏa mãn

C. min P 

784 391

4a 2 9b 2  3b  1 2a  3

D. min P 

5 2

 f   x  ln  f  x  dx  1 và f 1  1, f  2   1 . Tính f  2  1

A. f  2   2

B. f  2   3

C. f  2   e

D. f  2   e 2

Câu 37: Cho hàm số f  x  có đạo hàm, liên tục trên đoạn  0; 2 thỏa mãn f  2   3 ,

  f   x 

2  x f  x  dx  0

A. I  2

B. I 

23 5

C. I 

26 5

D. I 

2 5 3

  f   x  0

567 0 x f  x  dx  4 . Tích phân I  0 f  x dx bằng 3

2 5

2 và 7

152 . Tích phân I   f  x dx bằng 21 0

Câu 38: Cho hàm số f  x  có đạo hàm, liên tục trên đoạn  0;3 thỏa mãn f  3  6 ,

dx 

45 2

5 4

D. 2

dx  3 và

Câu 39: Cho hàm số f  x  có đạo hàm, liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  1 ,

  f   x 

 x. f  x  dx  0

A. I 

5 4

B. I 

7 9

C. I 

1 4

D. I 

4 5 2

  f   x  0

40 0 x f  x  dx  3 . Tích phân I  0 f  x dx bằng 2

19 5

B. I 

6 5

C. I 

42 5

D. I 

Câu 41: A.

Câu 42: A. Câu 43: A. Câu 44: A. Câu 45: A. Câu 46: A. Câu 47: A. Câu 48: A. Câu 49: A. Câu 50: A. Câu 51: A. Câu 52: A.

1 và 5

2 . Tích phân I   f  x dx bằng 5 0

Câu 40: Cho hàm số f  x  có đạo hàm, liên tục trên đoạn  0; 2 thỏa mãn f  2   7 ,

A. I 

dx 

29 5

dx  14 và

Câu 53: A.

Câu 54: A. Câu 55: A. Câu 56: A. Câu 57: A. Câu 58: A. Câu 59: A. Câu 60: A. Câu 61: A. Câu 62: A. Câu 63: A. Câu 64: A. Câu 65: A. Câu 66: A. Câu 67: A. Câu 68: A. Câu 69: A. Câu 70: A.

Câu 71: A.

Câu 72: A. Câu 73: A. Câu 74: A. Câu 75: A. Câu 76: A. Câu 77: A. Câu 78: A. Câu 79: A. Câu 80: A. Câu 81: A. Câu 82: A. Câu 83: A. Câu 84: A. Câu 85: A. Câu 86: A. Câu 87: A. Câu 88: A.

Câu 89: A.

Câu 90: A. Câu 91: A. Câu 92: A. Câu 93: A. Câu 94: A. Câu 95: A. Câu 96: A. Câu 97: A. Câu 98: A. Câu 99: A. Câu 100: A. Câu 101: A. Câu 102: A. Câu 103: A. Câu 104: A. Câu 105: A. Câu 106: A.

Câu 107: A.

Câu 108: A. Câu 109: A. Câu 110: A. Câu 111: A. Câu 112: A. Câu 113: A. Câu 114: A. Câu 115: A. Câu 116: A. Câu 117: A. Câu 118: A. Câu 119: A. Câu 120: A. Câu 121: A. Câu 122: A. Câu 123: A. Câu 124: A.

Câu 125: A.

Câu 126: A. Câu 127: A. Câu 128: A. Câu 129: A. Câu 130: A. Câu 131: A. Câu 132: A. Câu 133: A. Câu 134: A. Câu 135: A. Câu 136: A. Câu 137: A. Câu 138: A. Câu 139: A. Câu 140: A. Câu 141: A. Câu 142: A.

Câu 143: A.

Câu 144: A. Câu 145: A. Câu 146: A. Câu 147: A. Câu 148: A. Câu 149: A. Câu 150: A. Câu 151: A. Câu 152: A. Câu 153: A. Câu 154: A. Câu 155: A. Câu 156: A. Câu 157: A. Câu 158: A. Câu 159: A. Câu 160: A.

Câu 161: A.

Câu 162: A. Câu 163: A. Câu 164: A. Câu 165: A. Câu 166: A. Câu 167: A. Câu 168: A. Câu 169: A. Câu 170: A.

LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN b

Câu 1: Ta có  udv  uv a   vdu . Chọn D. b

Câu 2: I   ln xdx  x ln x 2   xd  ln x   x ln x 2   dx . Chọn A. 3

u  x Câu 3: Đặt  . Chọn B. dv  sin 2 xdx u  ln x Câu 4: Đặt  . Chọn C. dv  xdx u  x Câu 5: Đặt  . Chọn D. dv  sin 2 xdx  2

Câu 6: Ta có

 xcos 2 xdx  0

 2

  1 1 1 1 1 2  2 . Chọn A. xd sin 2 x  x sin 2 x  sin 2 xdx  x sin 2 x cos 2 x    0 0 2 0 2 2 2 4 0 0

 2



2 2 1 1 1 x 1 Câu 7:  x sin 2 xdx    xd  cos 2 x    xcos 2 x   cos 2 xdx   cos 2 x  sin 2 x . Chọn B. 20 2 20 2 4 0 0 0 0  4



4 4    x 4  tan xdx   x tan x  4  ln  cos x  4 . Chọn C. dx  xd tan x  x tan x Câu 8:    0 0 0 0 0 cos 2 x 0

1 1 1 Câu 9:  x ln xdx   ln 2 xd  x 2   x 2 ln 2 x   x 2 d  ln 2 x   x 2 ln 2 x   x ln xdx . Chọn D. 21 2 2 1 1 1 1 1 2

 4

Câu 10:

 4

  x  1 sin 2 xdx   2   x  1d  cos 2 x   2 1  x  cos 2 x 0

Câu 11: Ta có

 2

  2  x  sin xdx    x  2d  cos x    x  2 cosx

 2 0

 4



 4

1 cos 2 xdx . Chọn C. 2 0

 2

  cosxdx . Chọn A. 0

1 1 u  ln  x  1 1 1 xdx 1     ln  x  1 dx  x ln  x  1 0   dx  ln 2   1  Câu 12: Đặt   dx x  1 x  1   dv  dx 0 0 0

 ln 2  x  ln x  1   1  ln 4 . Do đó suy ra a  1, b  4   a  3  24  16 . Chọn C. b

1 1 Câu 13:   x  1 ln xdx   ln xd  x  2 x    x 2  2 x  ln x    x  2 dx  2 21 1 1 1 2

e 2  2e 1  1 2 e 2  2e  1 2   5 5 1    x  2x     e  e     e2 2 22 2 1 4  4 4 4 

a 5 c 1 a c 3  ,     . Chọn A. b 4 d 4 b d 2

2 x x x  2x  2 Câu 14:   3 x  1 e dx  2   3 x  1 d  e   2  3 x  1 e  6  e 2 dx 10e  2  12e 2   0 0 0 0 2

x 2

 10e  2  12e  12  14  2e  a  14, b  2  a  b  12 . Chọn A. e

Câu 15:

2  x ln xdx  1

Do đó suy ra

1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 ln xd  x3   x3 ln x   x 2 dx  e3  x3  e3  e3    e3  31 3 31 3 9 1 3 9 9 9 9 1

a 1 c 2 a c 1  ,     . Chọn C. b 9 d 9 b d 3

Câu 16: 4  x 1  ln x  dx  2  1  ln x  d  x 0

  2 x 1  ln x  2

e 1

 2  xdx  4e 2  2  x 2 0

e 1

 4e 2  2  e 2  1  3e 2  1  a  3; b  1  M  ab  4  a  b   5 . Chọn C. 2

ln x ln x dx ln 2 1 1 1 1 Câu 17:  2 dx    ln xd       2     ln 2 x x 1 1x 2 x1 2 2 x 1 1 1 Do đó suy ra a   , b  1, c  2  2a  3b  c  4 . Chọn A. 2  4

 2

4  x  4  tan xdx  dx  xd tan x  x tan x  ln cos x Câu 18:    2   0 cos x 4 0 0 1

 4 0



 2  1  ln   ln 4 4 2 4 4

Do đó suy ra a  4, b  4  P  a  b  0 . Chọn C. 1

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 Câu 19:  3 xe dx   xd  e 2 x   xe 2 x   e 2 x dx  e 2  e 2 x  e 2  e 2   e 2  20 2 20 2 4 2 4 4 4 4 0 0 0 2x

Do đó suy ra

a 3 c 3 a c 3  ,     Chọn A. b 4 d 4 b d 2

1 1 1 Câu 20:  x ln 1  x  dx   ln 1  x 2  d  x 2  1   x 2  1 ln  x 2  1   2 xdx 20 2 20 0 0 2

1 1  ln 2  x 2   ln 2  a  1, b  2, c  1  S  a  b  c  abc  6 . Chọn B. 2 0 2 3dx  du  1 1  3x  1 u  ln  3 x  1  3x  1  I ln  3 x  1   dx Câu 21: Đặt  3 dv  dx 0 0 v  x  1  3 x  1  3 3

8  8 a   ln 2  1   3  S  3a  b  9 . Chọn D. 3 b  1 



u  x 3 3  d  cos x  du  dx 3  3  I  x tan x 0   tan xdx    Câu 22: Đặt  dx   3 cosx v  tan x 0 0 dv  cos 2 x



3   ln cos x 3

 3 0



3 1 3 3   ln    ln 2  a   phần nguyên của a  1 là 1 . Chọn D. 3 2 3 3 



u  x du  dx  2 cos x  2 d  sin x    dx    Câu 23: Đặt  dx    cos x  I   x cot x 2   4  sin x  sin x 4 dv  sin 2 x v   cot x  sin x 4 4



  ln sin x 4

 2  4



 1  1 1 1  ln   ln 2  m  ; n  4 4 2 2 4 2

Do đó P  2m  n  1 Chọn A

dx  2 2 u  ln  x  1 du  Câu 24: Đặt   x  1  I   x  1 ln  x  1 1   dx dv  dx 1 v  x  1  3ln 3  2 ln 2  1  a  3; b  2; c  1  S  a  b  c  0 . Chọn B. u  x  1 du  dx  Câu 25: Đặt  , khi đó dv  f   x  dx v  f   x 

  x  1 f   x  dx   x  1 f  x    f  x  dx 1

 10  2 f 1  f  0   I  I  2 f 1  f  0  10  2  10  8 . Chọn D.

Câu 26: Ta có

 f  x  dx   f  t  dt  3

 2

Lại có:  sin 2 x. f   sin x  dx  2  sin x.cosx . f   sin x  dx  2  sin x. f   sin x  d  sin x  2

 2

u sin x   2  u. f   u  du  2  x. f   x  dx  2 I

1 u  x du  dx 1 1 2   I  x. f  x  0   f  x  dx  f 1   Đặt  3 3 0 dv  f   x  dx v  f  x   2

Do đó  sin 2 x. f   sin x  dx  0

4 . Chọn A. 3

Câu 27: Theo giả thiết ta có F   x   f  x  2 u  x  1 du  dx 2   I   x  1 F  x  1   F  x   F  2   5  4 . Chọn C. Đặt  dv  f  x  dx v  F  x  1

u  x du  dx  Câu 28: Đặt  dv  f   x  dx v  f  x  2

 I  x. f  x  1   f  x  dx  2 f  2   f 1  1  4  0  1  3 . Chọn C. 2

Câu 29: I   x. f   2 x  dx  0

1 1 1 t 2 x 2 x. f   2 x  d  2 x     t. f   t  dt   x. f   x  dx  40 40 40

2 2 1 1 1 1 u  x du  dx   I  x. f  x    f  x  dx  f  2   .4 Đặt  4 40 2 4 0 dv  f   x  dx v  f  x 

1  .16  1  7 . Chọn D. 2 1 1 1 u  x du  dx    x. f   x dx  x. f  x  0   f  x  dx  f 1  I Câu 30: Đặt  0 dv  f   x  dx v  f  x  0

Suy ra I  f 1   x. f   x  dx  6  5  1 . Chọn A. 0

1 1 u  x 2 1 du  2 xdx 2 2    x f   x  dx  x . f   x   2  x. f   x  dx Câu 31: Đặt  0 0 0 dv  f   x  dx v  f   x 

 f  1  2  x. f   x  dx  12   x. f   x  dx 

f  1  12 2

1 1 1 u  x 2 du  2 xdx 1    x. f   x  dx  x. f  x  0   f  x  dx  f 1   f  x dx Đặt  dv  f   x  dx v  f  x  0 0 0

1 1 f  1  12 f  1  12 2 f 1  f  1  12 Khi đó  f 1   f  x  dx   f  x  dx  f 1   2 2 2 0 0



2  12  5 . Chọn D. 2

 Câu 32: Ta có e f  x    e f  x  . f   x  3 3 u  x 3 du  dx f  x f x     x. f  x  e dx  xe   e f  x dx Đặt  f  x f  x 0 1 1 dv  f   x  e dx v  e

 8  3e f 3  3eln 3  I  9  I  I  1 . Chọn A.

Câu 33: Giả sử F  t    cos tdt  F   t   cos t x2

 Ta có: G  x    cos tdt  F  x 2   F  0   G  x    F  x 2    2 x.F   x 2  0

 2 x.cos x 2  2 xcos x . Chọn A.

x  0  t  1 Câu 34: Đặt t  x  t 2  x  dx  2tdt và  x  4  t  2 2 u  t du  dt  Do đó I   2t. f   t  dt . Đặt  0 dv  f   t  dt v  f  t 



2 I  t. f  t  0   f  t  dt  2 f  2    f  x  dx  2.2  3  1  I  2 . Chọn A. 2 0 0

b b b u  x du  dx Câu 35: Đặt     x. f   x  dx  x. f   x  a   f   x  dx a dv  f   x  dx v  f   x  a

 b. f   b   a. f   a   f  x  a  3b   2a    f b   f  a   2a  3b  4  u  v  4 b

Ta có

 2a  P

3b  1

 3b  

u  v  u2 v2 42      2 . Vậy min P  2 . Chọn B. 2a  3 v  1 u  3 u  v  4 4  4 2

 f x u  ln  f  x   dx du  f x  Câu 36: Ta có  v  f x dv  f   x  dx    2

Suy ra I   f   x  ln  f  x   dx  f  x  .ln  f  x     f   x  dx 1 1

 f  2  .ln  f  2    f 1 . ln f 1   f  2   f 1  f  2  .ln  f  2   f  2   1

Mà I  1  f  2  .ln  f  2   f  2   0  f  2   e . Chọn C. du  f   x  dx u  f  x    Câu 37: Đặt  , khi đó x3 2 dv  x dx v   3  2

x3 x3 0 x f  x  dx  3 . f  x   0 3 . f   x  dx 0 2

152 8 x3 16 Suy ra  f  2    . f   x  dx   x3 . f   x  dx  21 3 3 7 0 0 2

Ta chọn k sao cho:   f   x   kx 3  dx    f   x   dx  2k  f   x  x 3 dx  k 2  x 6 dx  0 2

2 32 128k 2 1 1  x3 x4    k 0k     f   x   x3  dx  0  f   x    f  x   C 7 7 7 8 8  8 32 0 

Do f  2   3  C 

5 x4 5 26 . Chọn C.  f  x     f  x  dx  2 32 2 5 0

du  f   x  dx u  f  x    Câu 38: Đặt  , khi đó x4 3 dv  x dx v   4

Ta có:

x4 x4 x f x dx  . f x     . f   x  dx 0   4 4 0 0 3

567 81 f  3 x4    . f   x  dx   x 4 . f   x  dx  81 4 4 4 0 0 3

Suy ra

4 4 2 8   f   x   kx  dx    f   x   dx  2k  f   x  x dx  k  x dx 0

3  2.81k  2187 k 2  0  k 

1 1  x5 39 45  f  x   x4  f  x      f  x dx  27 27 135 5 2 0

. Chọn B. du  f   x  dx u  f  x    Câu 39: Đặt  , khi đó x2 dv  xdx  v   2

x2 x2 x . f x dx  . f x      0 0 2 . f   x  dx 2 0

1 2 1 2 f 1 x 1 Suy ra    . f   x  dx   x 2 . f   x  dx  5 2 2 5 0 0 1

Ta chọn k sao cho:

  f   x   kx 0

 dx    f   x   dx  2k  f   x  x dx  k 2

 x dx  0 4

2 1 2 k2 x3   k  0  k  1    f   x   x 2  dx  0  f   x   x 2  f  x    C 5 5 5 3 0 1

2 x3 2 7 Do f 1  1  C   f  x      f  x  dx  . Chọn B. 3 3 3 9 0 du  f   x  dx u  f  x    Câu 40: Đặt  , khi đó x3 2 dv  x dx v  3  2

x3 x3 x f x dx  . f x      0 0 3 . f   x  dx 3 0 2

40 8 x3 Suy ra  f  2    . f   x  dx   x3 . f   x  dx  16 3 3 3 0 0 2

Ta chọn k sao cho:

  f   x   kx  0

3 2

dx    f   x   dx  2k  f   x  x dx  k 3

 14  32k 

 x dx  0 6

128k 2 7 7  7 x3 7 x4  0k     f   x   x3  dx  0  f   x    f x  C 7 8 8 8 32   0

Do f  2  7  C 

7 7 x4 7 42 . Chọn C.  f  x     f  x  dx  2 32 2 5 0

CHỦ ĐỀ 10: TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ VÀ LƯỢNG GIÁC Ví dụ 1: Tính các tích phân sau: 3

7 x 2  3x  2 a)  dx. x3  x 2

 7 x  4  dx .

x 2

 2

c) I   

 3x  2

 2

tan x  1

sin xdx sin 3 x

d) I   0

cos 2 x  2 tan x  1

dx.

Lời giải 7 x 2  3x  2 A B C    a) Đồng nhất hệ số: x( x  1)( x  1) x x  1 x  1

 7 x 2  3 x  2  A  x  1 x  1  Bx  x  1  Cx  x  1

(1)

 x  1  2  2B B 1   Xét PT (1) cho  x  0  2   A   A  2  x  1  8  2C C  4   3

1 4  2 Khi đó ta có I       dx   2 ln x  ln x  1  4 ln x  1  x x  1 x  1   2  2 ln

3 4  ln 2  4 ln . 2 3

7x  4 7x  4 A B C     2 2 x 1 x  2 x  3 x  2  x  1  x  2   x  1

b) Đồng nhất

 7 x  4  dx

 1 2 2   1 x 1       2 ln Ta có I   3 dx   2 x 1 x  2 x  2   x 1 2 x  3x  2 2    x  1  3

 2

c) I   



2 d  cos x  sin xdx sin xdx sin xdx     3 2 2   sin 3 x  3sin x  4sin x  3  4sin x  4 cos x  1 2

dt  I   2  4t  1 3 t  cos x

3 2

 0

dt 1 2t  1  ln  2t  1 2t  1 4 2t  1

6 3 3 0





1 ln 2  3 4



tan x  1

d) Ta có I   0

cos x  2 tan x  1 2

x0t 0

Đối cận

x

 4

 t 1

dx. Đặt t  tan x  dt 

1 dx. cos 2 x



 2

1 8  2 ln . 2 5

I  0

 2t  1

1 2t  1  1 1 dt 1 dt 1 1 1 dt        3 2 3  2 0  2t  1 2 0  2t  1 2 0  2t  1 4  2t  1 2  2t  12  1

t 1 3

dt 

   

 0

5 . 18

xdx  a ln 2  b ln 3  c với a, b, c  . Tính giá trị của biểu thức 0 2 x  3x  1

Ví dụ 2: Cho tích phân I  

T  a  2b  3c.

B. T  2

A. T  0

C. T  2

D. T  1

Lời giải

 2 x  1   x  1 xdx xdx   dx 2 2 x  1 x  1 0  2 x  1 x  1 0 2 x  3x  1 0 

I 

 ln 2 x  1  1   1     dx   ln x  1  2  x  1 2x  1   

 a 1  1 1   ln 2  ln 3  b   2 2   c  0

Do đó T  a  2b  c  0. Chọn A 4

2x2  4x  1 dx  a ln 5  b ln 3  c với a, b, c  . Tính giá trị của biểu thức x2  x 3

Ví dụ 3: Cho tích phân I   T  a 2  bc

A. T  5

C. T  1

B. T  3

D. T  1

Lời giải 4 4 d x2  x 2  x2  x   2x  1    2  ln x 2  x I  dx   2dx   2 2 x x x x 3 3 3 4

 2  ln 3

20 12

 a 1 5   2  ln  ln 5  ln 3  2  b  1  T  1. Chọn D 3 c2  ln 2

Ví dụ 4: Cho tích phân

 3e 0

dx  a  b ln 2  c ln 5 với a, b, c  . x 2

Tính giá trị của biểu thức T  a  3b  2c. A. T  1

B. T  2

C. T  1 Lời giải

Đặt t  e x  dt  e x dx  tdx. Đổi cận

x  0  t 1 x  ln 2  t  2

dt 1  3t  2   3t 1 1 3  Khi đó I     dt      dt t 3t  2  2 1 t  3t  2  2 1  t 3t  2  1  2

D. T  1

1  ln t  ln 3t  2  2

1 1 8 1 ln 2  ln   ln 2  ln 5 2 2 5 2

 1

1  T  2. Chọn B 2

Do đó a  0; b  1; c 

Ví dụ 5: Cho tích phân I   0

sin 2 x

 2  sin x 

dx  a  2 ln b, với a, b là các số hữu tỷ.

Mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. 3a  2b  2

B. 3a  2b  1

C. 3a  2b  1

D. 3a  2b  2

Lời giải x  0  t  0  Đặt t  sin x  dt  cos xdx và đổi cận    x  2  t  1  2

Khi đó I   0

2sin x

 2  sin x 

 2   2  ln t  2  t 2 

.cos xdx  2 2 0

t  2

dt  2 0

t  2 2

 t  2

1  1 t dt  2    dt t  2  t  2 2  0  

2  a  2 3  2  3  2   ln 3  1  ln 2     2.ln  a  2.ln b   . Chọn C 3 2 3   b3  2 6

Ví dụ 6: Cho tích phân I   2

2x  1 dx  a ln 7  b ln 5  c ln 3 với a, b, c  . Tính giá trị của biểu thức x3  x

S abc

A. S 

1 2

B. S 

3 2

C. S  3

D. S 

5 2

Lời giải 6

Ta có

2x  1 x 1 x dx dx 2 x3  xdx  2 x. x  1 x  1dx  2 x. x  1  2  x  1 x  1

x 1  ln x

1 x 1  ln 2 x 1

5 1 15 3 1 1  ln  ln  ln 5  ln 7  ln 3 3 2 7 2 2 2

3 1 5 Do đó a  ; b  c    S  a  b  c  . Chọn D 2 2 2  2

Ví dụ 7: Cho tích phân





 2sin x  1 cos xdx 2sin x  1

 a  ln 3  c ln 2 với a, b, c  . Khẳng định nào sau đây là

đúng. A. b  c  a.

B. b  c  2a

C. b  c  4a Lời giải

D. b  c  4a

 2

I

 2sin x  1 cos xdx 2sin x  1



 2



 2sin x  1 d  sin x  2sin x  1



  t  ln 2t  1 

1 2



2t  1 2    I   dt    1   dt 2t  1  1 2t  1 1 t  sin x

1 3 1 1  ln   ln 3  ln 2  a  ; b  1; c  1  b  c  4a. Chọn D 2 2 2 2  4

Ví dụ 8: Cho tích phân

  cos

A. S 

1 24

x  cos 2 x  dx  a  b. 2  c. với a, b, c  . Tính tổng S  a  b  c.

B. S 

1 12

C. S 

1 24

D. S 

5 24

Lời giải 



1  cos 2 x dx 2 0

  cos

x  cos 2 x  dx   cos3 xdx   cos 2 xdx   cos 2 xd sin x  

 4

 x sin 2 x    1  sin x  d sin x     4  2 0 2

 4 0

 sin 3 x    sin x   3  

 4 0

 1      8 4

1 5 1 1 5 1 1   2    abc     . Chọn A. 4 12 8 4 12 8 24 2

Ví dụ 9: Cho tích phân I   1

dx  a ln 3  b ln 2  c ln 5 với a, b, c  . Tính giá trị của biểu thức x  2x 4

T  a b  c 

A. T 

2 9

B. T 

5 18

C. T 

1 2

D. T 

Lời giải 2

I  1

dx dx x 2 dx 1 dx3 1 x3     ln x 4  2 x 1 x  x3  2  1 x3  x3  2  3 1 x3  x3  2  6 x3  2

1  a  6  1 12 1 1 1   ln   2 ln 2  ln 3  ln 5    b   a  b  c   . Chọn D 6 5 6 3 9  c  1  

1 9



sin x cos 2 x dx  a ln 3  b ln 3  c với a, b, c  . Tính tích P  abc 1  cos x 0 3

Ví dụ 10: Cho tích phân I   A. P 

1 8

B. P 

1 4

C. P 

1 4

D. P 

Lời giải 



1 1

3 2 2 sin x cos 2 x cos 2 x t dt t 2 dt 1   t  cos x     t  1  I dx   d  cos x    dt      1 cos x 1 cos x 1 t 1 t 1 t   1 1 0 0 1 3

 t2     t  ln t  1  2 

1 2

 a2 1 4 1  1    ln  2 ln 2  ln 3    b  1  P  abc  . Chọn B 8 3 8  4 1 c  8 

1 8

BÀI TẬP TỰ LUYỆN 2

Câu 1: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2018) Tích phân

 x3

bằng

16 225

B. log 1 2

1 Câu 2: Cho  x dx  và 64 0 n

A. n  m

5 3

C. ln

5 3

2 15

 2 x  1  ln m, với n, m là các số nguyên dương. Tìm khẳng định đúng? 1

B. 1  n  m  5

C. n  m

D. n  m

Câu 3: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017) Cho a, b là các số nguyên thỏa mãn 1

 1

1 

  x  1  x  2  dx  a ln 2  b ln 3. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 0

A. a  b  2

B. a  2b  0

C. a  b  2

D. a  2b  0.

2  3 4  3  Câu 4: Cho     dx  a ln  b ln . với a, b   . Mệnh đề nào đúng? x  2 x 3 2 3 0 A. 2a  3b  10

B. a  2b  4

C. a  b  7

D. 3a  2b  13

3  25 2 Câu 5: Cho     b ln 2 với a, b là các số nguyên. Mệnh đề nào đúng?  dx  a ln x x2 27 4 A. a  b  2

B. a  2b  1

C. a  b  1

D. a  2b  3

1   6 Câu 6: Cho     dx  a ln 2  b ln 3 với a, b là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 3  2x x  2  0 A.

b 1  . a 4

a 1  . b 4

C. b  a  5

D. b  a  5

6  17  1 Câu 7: Cho   với a, b là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?   dx  a ln 2  b ln 2  x 3 x  5 14   3 A.

a 1  . b 2

a 1  . b 2

b 1  . a 2

b 1  . a 2

Câu 8: Biết

x2  x  1 b 3 x  1 dx  a  ln 2 với a, b là các số nguyên. Tính S  a  2b.

A. S  2

B. S  10

C. S  5

D. S  2

Câu 9: Biết

3x 2  5 x  1 2 1 x  2 dx  a ln 3  b với a, b là các số hữu tỉ. Tính a  2b.

A. a  2b  30.

B. a  2b  40.

C. a  2b  50.

D. a  2b  60.

Câu 10: Biết A. abc  12

x2  x  4 2 x  1 dx  a  b ln 2  c ln 3 với a, b, c là các số dương. Tính abc . B. abc  36

C. abc  62

D. abc  6

Câu 11: Biết

 1

A. a 

x 1 dx  e. Tính a. x

2 1 e

B. a 

2 e 1

e D. a  . 2

C. a  e

Câu 12: Biết

2x  3 dx a ln 2  b với a, b  . Hãy tính a  2b. 2 x 0



A. a  2b  0.

B. a  2b  2. 2

Câu 13: Biết

x 1

 x  3 dx 1  4 ln b 1

A. 2a  b  0.

với a, b  . và

C. a  2b  3.

D. a  2b  7.

a là phân số tối giảm. Tính 2a  b. b

B. 2a  b  13.

C. 2a  b  14.

D. 2a  b  20

Câu 14: Tìm tất cả các số thực dương m thỏa mãn A. m  2

B. m  1 3

Câu 15: Biết

x 2 dx 1 0 x  1  ln 2  2 . C. m  3

D. m  3

  x  1 x  4  a ln 2  b ln 5  c ln 7 với a, b, c  . Tính S  a  4b  c. 1

A. S  2

B. S  4

C. S  3

D. S  5

Câu 16: Cho a, b, c là các số nguyên thỏa mãn

  x  1 2 x  1 dx  a ln 2  b ln 3  c ln 5.

Tính

S  a  b  c.

A. S  1

B. S  0 5

Câu 17: Cho

x4

C. S  1

D. S  2

 x  2  x  dx  a ln 27  b ln 2 với a, b là các số nguyên. Mệnh đề nào đúng? 4

A. a  b  2.

B. a  2b  1 3

Câu 18: Biết

x

C. a  b  1.

D. a  2b  3

x dx  a ln 2  b ln 3 với a, b  . Khi đó a và b đồng thời là hai nghiệm của phương 1

trình nào dưới đây? B. x 2  2 x 

A. x 2  4 x  3  0 4

Câu 19: Biết

x

3 0 4

D. x 2  2 x  3  0

dx  a ln 2  b ln 3  c ln 5 với a, b, c là các số nguyên. Tính S  a  b  c. x

A. S  6

B. S  2 5

x 3

A. S  3

C. x 2  x 

Câu 20: Giả sử

3 0 4

C. S  2

D. S  0

dx  a ln 5  b ln 3  c ln 2,  a, b, c    . Tính S  2a  b  3c 2 . x

B. S  6

C. S  0

D. S  2

Câu 21: Cho a, b là các số nguyên thỏa mãn

x

A. a  2b  0

B. 2a  b  0

C. a  b  4. 2

Câu 22: Cho a, b là các số nguyên thỏa mãn

x 1

A. S  1

x

A. S  

Câu 24: Biết

2dx  a ln 2  b ln 3. Tính S  a  2b.  2x

B. S  

x

C. S  2

2 3

C. S  2

B. a  2b  0

C. a  b  2. 1

Câu 25: Cho a, b là các số nguyên thỏa mãn

x 0

A. S  3

B. S  2 2

x

Câu 27: Biết

B. P  6

x

Câu 28: Biết

B. a  2b  7

B. 4

B. 1

x

A. a  b  1

x 0

A. ab  5

a 1  b 4

a 1  b 2

D. P  5

C. a  b  8

D. a  2b  15

C. b  a  5

D. b  a  5

b 1  a 2

b 1  a 2

x2 dx  a ln 12  b ln 7 với a, b  . Tính tổng a  b.  4x  7 B. a  b  1

Câu 31: Biết

C. P  4

9x  7 17 với a, b  . Mệnh đề nào đúng? dx  a ln 2  b ln 2 14  x  10

a 1  b 2

Câu 30: Biết

D. S  0

 3x 3

C. S  1

4 x  15 dx  a ln 2  b ln 3 với a, b  . Mệnh đề nào đúng? 2 x6

b 1  a 4

Câu 29: Biết

dx  a ln 2  b ln 3. Tính S  a  b.  5x  6

 2 x 0

D. a  2b  0

1  2x 3 dx  a ln  b ln 2 với a, b  . Mệnh đề nào đúng? 2  5x  6

A. 2a  b  11 1

4 3

x 1 dx  a ln 5  b ln 3 với a, b  . Hãy tính P  ab.  4x  3

A. P  8 5

D. S  

dx  a ln 2  b ln 3 với a, b  . Mệnh đề nào đúng?  3x  2

A. a  b  2.

Câu 26: Biết

D. S  0

dx  a ln 2  b ln 5 với a, b là các số nguyên. Tính S  a  2b.  x2

1 3 1

D. a  b  0.

B. S  1 4

Câu 23: Biết

3 dx  a ln 5  b ln 2. Mệnh đề nào đúng?  3x

C. a  b  2

D. a  b  0

a 3x  2 a 5 dx  2 ln  với a, b   và tối giản. Tính ab . b b 6  6x  9

B. ab  27

C. ab  6

D. ab  12

Câu 32: Cho a, b   thỏa mãn A. S  9

x2 1 x 2  7 x  12 dx 1  a ln 2  b ln 3. Tính tổng S  a  b.

B. S  41

Câu 33: Cho a, b, c   thỏa A. T  4

C. S  9

x

D. S  7

x 2  3x  2 2 3 2 x 2  x  1 dx a ln 7  b ln 3  c. Tính T  a  2b  3c .

B. T  6

Câu 34: Biết A. S  

C. T  3

D. T  5

dx a ln 3  b ln 2  c với a, b, c   . Tính S  a  b  c.  x2

3 2

B. S  

7 6

C. S 

2 3

D. S 

7 6

x3 1 1 Câu 35: Biết  2 dx   ln 2 với a  . Hỏi a thuộc khoảng nào sau đây? 2 a 1 0 x 1 A.  0; 2 

B.  2; 4  1

Câu 36: Biết

x 2 dx

  x  1



A. S  16

x

B. abc  20 2

B. S  17 2

 x  x  1  b   ln d 2

A. 32 Câu 40: Biết

B. 16

 1

 3x x

 1 dx

 x  1

 ln

2x  5

 x  x  1

D. abc  60

với a, b, c, d    và

D. S  34

a c ; tối giản. Tính a  b  c  d . b d

D. 10

c a a c  với a, b, c, d    và ; là các phân số tối giản. Tính a  b  c  d . d b b d

dx  

C. S  30

C. 12

B. 44

A. 32 Câu 41: Biết

C. abc  30

5 1  ln a  ln b với a, b    . Tính S  ab  a 2  b. 4  1 4

A. S  13

D. S  10

 xx 1

Câu 39: Biết

C. S  80

dx 1 1 1  ln a  ln b  ln c với a, b, c    . Tính abc. 6 6  2x 3

A. abc  16 Câu 38: Biết

D. a   6;8 

a a  ln c với a, b, c   , c  0 và tối giản. Tính S  abc. b b

B. S  8 2

Câu 37: Biết

C. a   4;6 

C. 81

D. 7

a c a c  5ln với a, b, c, d    và ; là các phân số tối giản. Tính b d b d

a  b  c  d.

A. 7

B. 9 1 2

Câu 42: Biết

xdx

  x  1 x  1 0

C. 10 

D. 12

a 1 a  ln c với a, b, c    và tối giản. Tính a  b  c. b 4 b

A. 9

B. 10

C. 12

D. 14

 2

Câu 43: Biết  cos xdx  a  b 3, với a và b là các số hữu tỉ. Tính a  4b. 

9 2

A. a  4b 

C. a  4b  

B. a  4b  3

1 2

D. a  4b 

1 2

 2

Câu 44: Cho a, b là các số hữu tỉ thỏa mãn  sin 5 xdx  a  b 0

A. a  b 

1 5

B. a  b  

1 5

2 . Tính a  b. 2

C. a  b 

1 10

D. a  b  0

1 2

Câu 45: Biết  cos  xdx  m  1. Hỏi khẳng định nào sau đây là đúng? 0

A.  m  1   1 2

Câu 46: Cho

C. 1   m  2

B. 1   m  



 1  sin 3x  dx  a  c 0

A. 4

với a, c  * và

B. 2

D. 1  3m  

b là phân số tối giản. Tính 2a  b  c. c

C. 6

D. 8



1  sin 3 x a 3b 2 c Câu 47: Cho a, b, c là các số nguyên thỏa mãn  dx  . Hãy tính giá trị của biểu 2 2 sin x  4

thức T  2a 2  3b3  abc. B. T  12

A. T  16

D. T  12

C. T  3

Câu 48: Cho hàm số f  x   a.sin  x  b thỏa mãn f 1  2 và

 f  x  dx  4. Tính a  b 0

A. 

C. 2  2

B. 2  

D. 3  2

1 Câu 49: Biết rằng  sin x cos xdx  . Hãy tính giá trị của a. 4 0 A. a 

 2

B. a 

2 3

C. a 

 4

Câu 50: Tìm tập hợp nghiệm của phương trình  sin 2tdt  0 với ẩn x. 0

A. k ,  k    C.

 2

 k ,  k   

B. k 2 ,  k    D.

 4

 k ,  k   

D. a 

 6



b cos 2 2 x  1 3  b  cos2 2 x dx  a  c  d với a, b, c, d   và c là phân số tối giản. Tính tổng 6

Câu 51: Biết

S  abcd

A. S  28

B. S  29 

Câu 52: Biết



C. S  30

D. S  31

x 2 dx    b với a, b    . Tính a  b . x a sin 2 2

1  sin 2



A. a  b  8

B. a  b  9

C. a  b  11

D. a  b  6

 2

x x  Câu 53: Biết   sin  cos  dx    m. Hỏi khẳng định nào sau đây đúng? 2 2 0 B. 2m  2  

A. 2m  2  

C. 2m    2

D. 2m    2

Câu 54: Trong các hàm số sau, hàm số nào có tích phân trên đoạn  0;   đạt giá trị bằng 0? A. f  x   cos 3 x

B. f  x   sin 3 x

x  C. f  x   cos    4 2

x  D. f  x   sin    4 2

 4

Câu 55: Cho

  sin

a 1 a c với b, c  * , là phân số tối giản. Tính a  2b  c. dx  2 b b x cos x

A. 11

B. 5

C. 10

D. 11

 4

Câu 56: Cho

 sin

b cos 2 x b dx  a  3 với b, c  * và là phân số tối giản. Tính T  a  b  c. 2 2 c c x cos x

A. T  9.

B. T  5.

C. T  5.

D. T  9.

1  Câu 57: Để   sin 2 t   dt  0, với k   thì x phải thỏa mãn điều kiện nào sau đây? 2 0 A. x  k 2

B. x  k a

Câu 58: Nếu

  sin x  cos x  dx  0

C. x 

k 2

D. x    k 2

với 0  a  2 thì giá trị a bằng bao nhiêu?

 4



   x  sin x  dx 

Câu 59: Với giá trị nào của tham số m thì

3 2

D.  2

 4  8 . 32

B. m 

A. m  1



C. m 

 3

D. m 

 4

Câu 60: Biết  sin 2 xdx 

 a

A. 13



b b với a, b, c là các số nguyên với là phân số tối giản. Tính tổng a  b  c. c c

B. 12

C. 11

D. 10

Câu 61: Biết  sin x cos xdx  0 với 0  a  2 thì bằng bao nhiêu? 0

A. a  

B. a 



C. a 

3 2

D. a 

 4

Câu 62: Biết  sin 3 x sin 2 xdx  a  0

A. S  2

b 2 với a, b là các số nguyên. Tính S  a  b. 10

B. S  3

C. S  2

D. S  3

 2

Câu 63: Biết  sin 7 x sin 2 xdx  

a a với là phân số tối giản. Tính tổng S  a 2  b. b b

A. S  61

B. S  23

C. S  49

D. S  63

 4

Câu 64:  cos 3 x cos xdx  0

A. T  1

a a với b  * và là phân số tối giản. Tính T  a  b. b b

B. T  5

C. T  3

D. T  3

 4

Câu 65: Cho

 1  cos 2 x dx  b 0

A. T  1

với b  * và

B. T  1

a là phân số tối giản. Tính T  a  b. b

C. T  3

D. T  2

 2

Câu 66: Cho

dx    1  cos x

a  b với a  * , b  . Tính T  2a  b.

A. T  11

B. T  5

C. T  6

D. T  7

Câu 67: Với x  0, ta có

 f  t  dt  x cos  x. Hãy tính f  4  . 0

A. f  4  

1 2

B. f  4   1

C. f  4   2

D. f  4  

1 4

LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 2

Câu 1: I  ln x  3 0

5  ln . Chọn C 3

1 x n 1  Câu 2: Ta có 64 n  1

1 Lại có ln m  ln 2 x  1 2 Câu 3: I  ln

x 1 x2

1 2 0

n 1  2  n  3. n 1

 1

 ln 0

1 ln 9  ln 3  m  3. Chọn D 2

2 1  ln  2 ln 2  ln 3. Chọn D 3 2

Câu 4: I   3ln x  2  2 ln x  3 

 3ln 0

Câu 5: I   2 ln x  3ln x  2 

 2 ln 4

5 3  3ln . 4 2

 2 ln 5  2 ln 4  3ln 3  3ln 2  ln

Câu 6: I   3ln 2 x  3  3ln x  2 

3 4  2 ln . Chọn D 2 3

25  ln 2. Chọn B 27

 3ln 3  ln 3  ln 2  4 ln 3  ln 2. Chọn B 0

Câu 7: I    ln x  2  2 ln 3 x  5 

  ln 2  2 ln 3

 x2  x2  x  1 1 Câu 8:  x  I    ln x  1  x 1 x 1  2  Câu 9:

17 . Chọn B 14 5

3  8  ln . Chọn D 2

3 x 2  5 x  1  x  2  3 x  11  21 21   3 x  11  x2 x2 x2

 3x 2  I   11x  21ln x  2   2  Câu 10:

 21ln 2  1

19 2 19  21ln 3  21ln  . Chọn B 2 3 2

x 2  x  4  x  1 x  2   6 6   x2 x 1 x 1 x 1

 x2   I    2 x  6 ln x  1   2 

 2

1 1  6  ln 4  ln 3   12 ln 2  6 ln 3. Chọn B 2 2

 1 Câu 11: Ta có e   1   dx   x  ln x  x 1

 a  ln a  1  a  e. Chọn C 1

2  x  2  7 2x  3 dx    dx    2 x  7 ln x  2  x2 x2 0 0

Câu 12: I   

 2  7 ln 0

1  2  7 ln 2. 2

Chọn C 2

4   Câu 13: I   1   dx   x  4 ln x  3  x 3 1 Câu 14:



 1  4 ln 1

5 4  1  4 ln . Chọn B 4 5

 x2  x2 x2 1  1 1   x 1  I    x  ln x  1  x 1 x 1 x 1  2  

Câu 15:

m2 1  m  ln m  1  ln 2   m  1. Chọn B 2 2

1 1 1  1      I   ln x  1  ln x  4  3  x  1 x  4 3  x  1 x  4  1

1 1  ln 4  ln 2  ln 7  ln 5   ln 2  ln 5  ln 7 . Chọn A 3 3

Câu 16:

 2 x  1   x  1 1 x 1     x  1 2 x  1  x  1 2 x  1 x  1 2 x  1

1    I   ln x  1  ln 2 x  1  2   Câu 17:  3ln

1 1 3 1  ln 3  ln 2  ln 5  ln 3   ln 2  ln 3  ln 5. Chọn B 2 2 2 2

3x  2  2  x  x4 3 2     I   3ln x  2  2 ln x  x 2  x  x 2  x  2 x x

3 5 25  2 ln  3ln 3  3ln 2  2 ln 5  2 ln 4  ln  ln 2. Chọn B 2 4 27

Câu 18:

x x 1 1 1       x  1  x  1 x  1 2  x  1 x  1  2

1  I   ln x  1  ln x  1  2 Câu 19:

 2

1 1  ln 2  ln 4  ln 3  3ln 2  ln 3  . Chọn B 2 2

1 1 1 1    x  x x  x  1 x x  1 2

 I   ln x  ln x  1 

 ln 4  ln 3  ln 5  ln 4  4 ln 2  ln 3  ln 5. Chọn B 3

dx 1 x 1  1 Câu 20:  2     dx  ln x 1 x  x 3 x  x 3 5

Lại có

x

Câu 22:

 ln 3  ln 2  ln 5 3

 a  1 dx  a ln 5  b ln 3  c ln 2   . Vậy S  6. Chọn C x b  c  1

Câu 21:

3 1  x 1 1 x 2  3x dx  1  x  x  3  dx  ln x  3

2 1  x 1 1 x 2  2 x dx  1  x  x  2  dx  ln x  2

a  1  3ln 2  ln 5   . Chọn C b3 a  1  ln 3  ln 2   . Chọn B  b 1

dx 1  1 1  1 x 1 Câu 23:  2     dx  ln 3 3  x 1 x  2  3 x2 3 x  x2 4

Lại có

x

dx 1  x 1  1 Câu 24:  2     dx  ln x 1 x  2  x2 0 x  3x  2 0 Lại có

x

dx 1  x3  1 0 x 2  5 x  6  0  x  3  x  2  dx  ln x  2

Lại có

x

 2 ln 5  3ln 3. 0

a2 x 1 dx  a ln 5  b ln 3   . Vậy P  ab  2.  3  6. Chọn C  4x  3 b  3

1  2x 5   3 4 x 2  5 x  6 dx  4  x  2  x  3  dx  3ln x  2  5ln x  3 

Lại có I  a.ln

 3ln 4

3  5ln 2. 2

a3 3  b.ln 2   . Vậy a  2b  3  2.  5   7. Chọn B 2 b  5

Câu 28:

 2 ln 2  ln 3. 0

Câu 27:

x 1 1   2 0 x 2  4 x  3 dx  0  x  3  x  1  dx   2 ln x  3  ln x  1 

Lại có

 2 ln 2  ln 3. 0

a2 dx  a ln 2  b ln 3   . Vậy a  b  1. Chọn C  5x  6 b  1

Câu 26:

a2 dx  a ln 2  b ln 3   . Vậy a  2b  0. Chọn D  3x  2 b  1

Câu 25:

1 2  ln 5  ln 2. 3 3

dx 2 1 4  a ln 2  b ln 5   a   ; b   S   . Chọn D 3 3 3  x2

4 x  15 6   1 0 2 x 2  x  6 dx  0  x  2  3  2 x  dx  ln x  2  3ln 3  2 x  0  4 ln 3  ln 2.

a  1 a 1 Lại có I  a.ln 2  b.ln 3      . Chọn B b 4 b4 4

Câu 29:

9x  7 6 1   3 3x 2  x  10 dx  3   3x  5  x  2  dx    ln x  2  2 ln 3x  5 

Lại có I  a.ln 2  b.ln

2 1 x2 1 d  x  4x  7 1 dx    ln x 2  4 x  7 Câu 30:  2 2 2 2 x  4 x  7 x  4 x  7 0 0

 ln 12  ln 7. 0

 a 1 Lại có I  a.ln 12  b.ln 7   . Vậy a  b  1  1  0 . Chọn D b  1 3  x  3  10 3x  1 3 10    . 2 x  3  x  3 2 x  6x  9  x  3 2

  ln 2  2 ln

 a  1 a 1 1 17  . Chọn B   . Vậy  b 2 2 24 b  2

Câu 31:

17 . 14

1  3x  1 3 10  10   dx  0 x 2  6 x  9 0  x  3   x  32  dx   3ln x  3  x  3    1

Suy ra

Lại có: I  2.ln Câu 32:

 2 ln 0

4 5  . 3 6

a  4 a 5    . Vậy ab  12. Chọn D b 6 b  3

x2 x2 16 9   1  . 2 x4 x3 x  7 x  12  x  3  x  4 

Suy ra

x2 1 x 2  7 x  12 dx   x  16 ln x  4  9 ln x  3 

 1  25ln 2  16 ln 3. 1

 a  25; b  16. Vậy S  9. Chọn C Lại có I  1  a ln 2  b ln 3  Câu 33:

x 2  3x  2 x 2  x  1  2 x  1 2x  1   1 2 . 2 2 x  x 1 x  x 1 x  x 1

Suy ra

x 2  3x  2 2x  1   2 2 x 2  x  1 dx  2 1  x 2  x  1  dx  x  ln x  x  1





 1  ln 3  ln 7. 2

 a  1; b  1; c  1. Vậy T  1  2.12  3.13  4. Chọn A Lại có I  c  b ln 3  a.ln 7  Câu 34:

1 1 1 1 1  2  2   . 2 x 1 x x x x ( x  1) x 3

Suy ra

dx 1 1  x 1 1   1 2 x3  x 2  2  x 2  x  1  x  dx   ln x  x 

 2

1  2 ln 3  3ln 2. 6

1 1 7  a  2; b  3; c  . Vậy S  2  3   . Chọn D Lại có I  a ln 3  b ln 2  c  6 6 6

x  x 2  1  x x3 x Câu 35: Ta có 2   x 2 . 2 x 1 x 1 x 1 1  x2 1  x3 x   2 Suy ra  2 dx    x  2 dx    ln x  1   x 1  2 2  0 x 1 0 1

Câu 36: Ta có

 x  1  1  3 3  x  1  x  1 x2



Câu 37: Ta có 2

Suy ra

 0

1 1  ln 2  a  1. Chọn A 2 2

1 2 1   . 2 3 x  1  x  1  x  1

 4x  3  dx   ln x  1 Suy ra    3 2  2  x  1  0  x  1 1

a  5 5     ln 2   b  8. Vậy abc = 80 Chọn C. 8 c  2 

1 1 1 x2    . x 4  2 x x  x 3  2  2 x 2.  x 3  2 

dx 1 1  3 1 x 4  2 x   2 ln x  6 ln x  2 

 1

1 12 1 1 1 ln  ln 2  ln 3  ln 5. 6 5 3 6 6

1 1 1  a  2; b  3; c  5. Vậy abc  30. Chọn C Lại có I  .ln a  ln b  ln c  3 6 6

Câu 38: Ta có

x  x 4  1



x4  1  x4 x  x 4  1



1 x3  4 . x x 1

1 x3  1   4   Suy ra    dx   ln x  ln x  1  4  4 x x 1 4   1 x  x  1 1 2

 1

5 1 ln 2  ln17. 4 4

5 1 ln a  ln b   a  2; b  17. Vậy S  ab  a 2  b 2  2.17  22  17  13. Chọn A 4 4

Lại có I 

Câu 39: Ta có

1 1 1 1  2   . x 1 x x  x  1 x 2

dx  x 1 1  Suy ra  2   ln   x x  1 x  x  1 2

Lại có

 ln 1

3 1 1 3   ln 2  1   ln . 2 2 2 4

 a  1; b  2; c  3; d  4. Chọn D  x  x  1  b  ln d  2

3x 2  1 1 4 1 Câu 40: Ta có 2  2  x  x  1 x x 1 x 2

Suy ra

3x 2  1 1  1 x 2  x  1dx   4 ln x  1  ln x  x 

Lại có I  Câu 41: 2

1 2 81  4 ln 3  ln 2   4 ln 2  1   ln . 3 3 32

 a  2; b  3 a c  ln   . Vậy a  b  c  d  2  3  81  32  44. Chọn B b d c  81; d  32 2x  5

x  x  1



5 5 3   . x x  1  x  1 2

 x 3  dx   5ln  Suy ra  2 x  1 x  1   1 x  x  1

2x  5

Lại có I  

 5ln 1

2 1 3 1 4  1  5ln     5ln . 3 2 2 2 3

 a  1; b  2 a c  5.ln   . Vậy a  b  c  d  10. Chọn C b d c  4; d  3

Câu 42: Ta có 1 2

 x  1 x  1



1 1 1  1  .   4  x  1 x  1  2  x  1 2

1 x 1 1 1  Suy ra  dx   ln  .  2  4 x  1 2 x  1 0  x  1 x  1 x

1 2 0



1 1  ln 3. 6 4

a  1 a 1  Lại có I   ln 2   b  6. Vậy a  b  c  d  10. Chọn B b 4 c  3 



 a 1 3   sin  sin  1   1 . Vậy a  4b  3. Chọn B 2 3 2 b   2



Câu 43:  cos xdx  sin x



cos 5 x Câu 44:  sin 5 xdx   5 0 1 2

Câu 45:  cos  xdx 

sin  x



5 2 1   1    cos  cos 0     a  b  . Chọn D 4 5   5 10

4 0 1 2





1   1  1 .  sin  sin 0    m   1. Chọn A.   2   

 2

1   Câu 46:  1  sin 3 x  dx   x  cos 3 x  3   0

 2 0

a 2 1 3  1 1      cos   0  cos 0      b  1. 2 3 2  3 3 2   c 3 



Vậy 2a  b  c  2.2  1  3  6. Chọn C. 



4 1  sin 3 x  1  dx  Câu 47:   2  sin x  dx    cot x  cos x  2    sin x   sin x 4

 1 



2 3  2 2

a  b  1 c 2 3 Mà I    b.  a.   . Vậy T  2a 2  3b3  abc  3. Chọn C. c  2 2 2 2  Câu 48: Ta có f 1  a.sin   b  2  b  2. 1

Lại có

 0

 a.cos  x   2x  f  x  dx    a.sin  x  2  dx       0 1

 4 a 

Vậy a  b  2   . Chọn B. a

Câu 49:  sin x.cos xdx  0

1 1 sin 2 xdx   cos 2 x  20 4

1 Câu 50:  sin 2tdt   cos 2t 2 0 

1 1 1    cos 2a    a  . Chọn C. 4 4 4 4

1 1   cos 2 x   0  cos 2 x  1  x  k  k    . Chọn A. 2 2



cos 2 x  1 1  1     cos2 2 x dx   1  cos2 2 x  dx   x  2 tan 2 x 



Câu 51:



 24



1 3  2 2

 S  a  b  c  d  29. Chọn B. Suy ra a  24; b  1; c  d  2  

Câu 52:

  2

x      1 x  2 dx  1  dx   x  2 cot     x x 2    sin 2 sin 2  2 2 2

1  sin 2

Vậy a  b  6. Chọn D.

  2



a  2 2 2 b  4



 2

2 x x  Câu 53: Ta có   sin  cos  dx   1  sin x  dx   x  cos x  2 2 0 0



Câu 54: Bấm máy ta có

 0

 2



 2

1  m  

 2

 1. Chọn B.



f  x  dx   cos 3 xdx  0. Chọn A. 0



4 1 1 4 Câu 55:  2 dx   2 dx   2 dx  2 cot 2 x 2 2  sin x cos x  sin x cos x  sin 2 x 6

 4





 a 2 2 3 .  3 b  c  3

Chọn A. 

Câu 56: Ta có



4 cos 2 x cos x  sin x 1   1   dx dx  sin 2 x cos2 x  sin 2 x cos2 x   sin 2 x  cos2 x  dx 4

   tan x  cot x 

 a  2 4   2   2  . 3    b  4 . Vậy a  b  c  5. Chọn B. 3 3  c3 



1 1  Câu 57: Ta có   sin 2 t  dt   sin 2t 2 4 0

1 k   sin 2 x  0  x   k   . Chọn C. 4 2

Câu 58: Ta có

 sin x  cos x  dx   sin x  cos x  0

 x 2  1  cos 2 x  Câu 59:   x  sin x  dx    2   0 m



 sin a  cos a  1  0  a  0

 m 2  1  cos 2m  2  4  8    m  . Chọn D. 2 32 4



1  cos 2 x  x sin 2 x  dx    Câu 60: Ta có  sin xdx    2 4  2 0 0 4

sin 2 x cos 2 x dx   2 4 0

Câu 61:  sin x cos xdx   0



 0

 4 0

a  8 1      b  1. Chọn A. 8 4 c  4 



cos 2a 1   0  a   . Chọn A. 4 4



3 . Chọn C. 2

14  sin x cos 5 x  Câu 62:  sin 3 x sin 2 xdx    cos x  cos 5 x  dx     20 10   2 0

 4



a  0 3 2   10 b  3

Vậy S  a  b  0  3  3. Chọn D. 



Câu 63:  sin 7 x sin 2 xdx  

1 sin 5 x cos 9 x    cos 5 x  cos 9 x  dx     2 18   10 2

Vậy S  a 2  b  42  45  61. Chọn A.

 2



a 4 4 .   45  b  45



14  sin 2 x cos 4 x  Câu 64:  cos 3 x cos xdx    cos 2 x  cos 4 x  dx     20 8   4 0

 4 0



a  1 1   . 4 b  4

Vậy T  a  b  1  4  5. Chọn B. 



4 1 1 tan x Câu 65:  dx   dx  2 1  cos 2 x 2 0 0 2 cos x

 4



a  1 1 a    . 2 b b  2

Vậy T  a  b  1. Chọn A. Câu 66: Ta có



1  1  cos x dx   3



1 2sin 2

x 2

dx   cot

x 2



a 3 .  3  1   b  1

Vậy T  2.3   1  7. Chọn D. Câu 67: Gọi F  t  là nguyên hàm của hàm số f  t  

 f  t  dt  F  x   F  0   x.cos  x 2

Đạo hàm 2 vế của * , ta được 2 x.F   x 2    x.cos  x   cos  x   x.sin  x 1  2 x. f  x 2   cos  x   x.sin  x. Thay x  2, ta có 4 f  4   1  f  4   . Chọn D. 4

* .

CHỦ ĐỀ 11: TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT VÀ NÂNG CAO 1) Một số dạng tích phân đặc biệt  Mệnh đề 1: Nếu f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn  a;a  thì  Mệnh đề 2: Nếu f(x) là hàm số lẻ và liên tục trên đoạn  a;a  thì

a

 f (x)dx  2 f (x)dx

 f (x)dx  0

a

f (x)  Mệnh đề 3: Nếu f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn  a;a  thì  x dx   f (x)dx m 1 a 0  2

 2

 Mệnh đề 4: Nếu f(x) là hàm số liên tục trên  0;1 thì  f (s inx)dx   f (cos x)dx Để chứng minh hoặc tính toán các tích phân đặc biệt trên, thông thường ta sử dụng các phương pháp đổi biến như sau: a

 Với I 

 f (x)dx ta có thể lựa chọn việc đặt x  t

a  2

 Với I   f (x)dx ta có thể lựa chọn việc đặt t  0

 x 2



 Với I   f (x)dx ta có thể lựa chọn việc đặt t    x 0

2

 Với I 

 f (x)dx ta có thể lựa chọn việc đặt t  2  x 0

Ví dụ 1: Cho f(x) là hàm số lẻ liên tục trên đoạn  1;1 và A. I  5

B. I  5

1

 f (x)dx  10 . Tính I   f (x)dx

C. I  10

D. I  10

Lời giải Do f(x) là hàm số lẻ nên

1

 f (x)dx   f (x)dx   f (x)dx  0

1

  f (x)dx    f (x)dx   f (x)dx  10 Chọn D. Ví dụ 2: Cho f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn  3;3 và A. I  2

B. I  4

C. I  2

3

 f (x)dx  2 . Tính I   f (x)dx D. I  4

Lời giải 3

3

Do f(x) là hàm số chẵn nên I   f (x)dx  2  f (x)dx  2  f (x)dx  2.2  4 . Chọn D.

Ví dụ 3: Giả sử tích phân I 

 2

x 2  cos x 3  1  3x dx  a  b  c , trong đó a, b, c   . Tính S  8a  4b  c



5 3

4 3

8 3

2 3

Lời giải x

Đặt t   x  dt  dx và đổi cận x 

 2

Khi đó I    

 2

t 

t 



 2



2 

2 ( t )  cos ( t ) t  cos t x 2  cosx x   dt dt  3t  1  1  3x 3 dx 1  3t   2 2 3t 2



2 3 1  x3 1  2 I   ( x 2  cosx)dx  I    s inx    1  a  ; b  0; c  1 2 3 24    24 2



Do đó S 

4 . Chọn B. 3 

x sin xdx  a2  b  c , trong đó a, b, c   . Tính S  a  b  c 2 1  cos x 0

Ví dụ 4: Giả sử tích phân I   A. S 

1 2

B. S 

1 2

C. I 

1 4

D. I 

1 4

Lời giải 



x sin xdx (  t) sin(  t) (  t) sint (  x) sinx dx  (dt)   dt   Đặt t    x  I   2 2 2 1  cos x 0 1  cos (  t) 1  cos t 1  cos 2 x 0 0 0 



1



 4

sin xdx  d(cos x) du 2 v  tan u        du  0 1  cos2 x 1 1  u 2  1  cos 2 x 2 0

Khi đó 2I  

Do đó I 

2

1 1  a  ; b  c  0  S  . Chọn C. 4 4 4

2) Một số dạng tích phân vận dụng cao  Dạng 1. Bài toán tích phân liên quan đến các biểu thức sau: (1) . u ( x). f '( x)  u '(x).f(x)  h(x) (2).

u '( x). f ( x)  u (x).f'(x)  h(x) f 2 ( x)

Phương pháp giải:

 u  u 'v  v 'u Áp dụng các công thức: (uv) '  u ' v  v ' u và    v2 v (1). Biến đổi: u ( x). f '( x)  u '(x).f(x)  h(x)  u ( x). f ( x)  '  h( x)  u ( x). f ( x)   h( x)dx '

 u ( x)  u '( x). f ( x)  u (x).f'(x) u ( x)  h(x)    h( x )   h( x)dx (2). Biến đổi:  2 f ( x) f ( x)   f ( x) 

 Dạng 2. Bài toán tích phân liên quan đến các biểu thức sau: (1) . f '( x)  f ( x)  h( x) 2). f '( x)  f(x)  h(x) Phương pháp giải: (1). Biến đổi: f '( x)  f ( x)  h( x)  e x . f '( x)  e x . f ( x)  e x .h( x)  e x . f ( x)   e x .h( x)  e x . f ( x)   e x .h( x)dx

(2). Biến đổi: f '( x)  f ( x)  h( x)  e  x . f '( x)  e  x . f ( x)  e  x .h( x)  e  x . f ( x)   e  x .h( x)  e  x . f ( x)   e  x .h( x)dx

 Dạng 3. Bài toán tổng quát: f '( x)  p ( x). f ( x)  h( x) Phương pháp giải: p ( x ) dx p ( x ) dx p ( x ) dx p ( x ) dx . f '( x)  e  . p ( x). f ( x)  e  .h( x) Nhân 2 vế với e  ta được e 

 e  

p ( x ) dx

 p ( x ) dx p ( x ) dx p ( x ) dx . f ( x)   h( x).e   e . f ( x)   h( x).e  dx 

p ( x ) dx p ( x ) dx Tổng quát: e  . f ( x)   h( x).e  dx

Ví dụ 1: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn  0; 2 thỏa mãn f (0)  3 và

(2x  3)f '(x)  2 f(x)  4x  3x 2 . Tính f (2) bằng A. f (2)  1

B. f (2) 

9 7

C. f (2) 

1 5

D. f (2) 

Lời giải Ta có: (2x  3)f '(x)  2 f(x)  4x  3x 2   (2x  3)f (x)  4x  3x 2 Lấy nguyên hàm 2 vế ta được: (2x  3)f (x)   (4x  3x 2 )dx  2x 2  x 3  C Do f (0)  3  3f(0)  C  C  9 Thay x  2  7f (2)  8  8  9  f (2) 

9 . Chọn B. 7

Ví dụ 2: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn 1;3 thỏa mãn f (1)  2 và

1 7

(x 2  x  2)f '(x)  (2x  1)f (x)  4x 3  2x . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. 2  f (3)  3

B. 3  f (3)  5

C. f (3)  2

D. f (3)  5

Lời giải Ta có: (x 2  x  2)f '(x)  (2x  1)f (x)  4x 3  2x  (x 2  x  2)f (x)   4x 3  2x Lấy nguyên hàm 2 vế ta được: (x 2  x  2)f (x)   (4x 3  2x)dx  x 4  x 2  C Do f (1)  2  4 f(1)  2  C  C  6 Khi đó (32  3  2)f (3)  34  32  6  f (3) 

48  5 . Chọn D. 7

Ví dụ 3: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn 1; 4 thỏa mãn f (1)  2 và

f(x)  x .f'(x)  3x 4  4x 2 . Tính giá trị f (4) A. f (4)  2

B. f (4)  196

C. f (4)  48

D. f (4)  193

Lời giải Ta có f(x)  x .f'(x)  3x 4  4x 2  

f (x)  x.f '(x)  3x 2  4 2 x

xf '(x)  f (x)  f( x)  x. f '( x)  f ( x) 2   3x  4 (*). Mặt khác  x   x2 x2

Lấy nguyên hàm 2 vế của (*) ta có: Do f (1)  2 

f( x)   x3  4 x  C x

f (1)  1  4  C  C  1  f (x)   x 4  4x 2  x 1

Khi đó f (4)  196 . Chọn B.  Ví dụ 4: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm và liên tục trên  . Biết rằng f    0 và 4  s inx.f'(x)  cos x.f (x)  s inx  cos x . Tính giá trị của f   2   A. f    0 2

  1 B. f    2 2

  C. f    2 2

Lời giải Ta có: s inx.f(x)  s inx.f '(x)  cos x.f (x) Từ giả thiết lấy nguyên hàm 2 vế ta được: s inx.f (x)   cos x  s inx  C    Do f    0  cos  sin  C  0  C  0 4 4 4

  D. f    1 2

Suy ra s inx.f (x)  s inx  cos x  sin

   .f    1  f    1 . Chọn D. 2 2 2

Ví dụ 5: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn  0; 2 thỏa mãn f '(x)  f(x)  x  1 . Biết f (0)  9 . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. f (2)  9 e 2

B. f (2)  9 e 2

C. f (2)  1  9 e 2

D. f (2)  1  9 e 2

Lời giải Ta có: f '(x)  f(x)  x  1  e x .f '(x)  e x .f (x)  e x (x  1)  e x .f (x)   e x (x  1)  e x .f (x)   e x (x  1)dx

u  x  1 du  dx Đặt     e x (x  1)dx  (x  1)e x   e x dx  (x  2)e x  C x x dv  e dx v  e   Do đó e x .f (x)  (x  2)e x  C  f (x) 

(x  2)e x  C ex

Lại có f (0)  2  C  7  C  9  f (x) 

(x  2)e x  9 9  f (2)  2 . Chọn A. x e e

Ví dụ 6: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm và liên tục trên  . Biết rằng f (0)  3 và f (x)  f '(x)  2x  1 . Giá trị của f 1 thuộc đoạn

A.  0; 2

B.  4;6

C.  2; 4

D.  6;8

Lời giải Ta có : f (x)  f '(x)  2x  1  e  x f (x)  e  x .f '(x)  e  x (2x  1) Mặt khác e  x .f (x)   e  x .f '(x)  e  x f (x) Lấy nguyên hàm 2 vế ta được: e  x .f (x)   e  x (2x  1)dx

u  (2x  1)dx du  2dx Đặt     e  x (2x  1)dx  e  x (2x  1)   2e  x dx x x dv  e dx  v  e  e  x .f (x)  e  x (2x  3)  C  e  x .f(x)  e  x (2 x  3)  C Do f (0)  4 nên 4  3  C  C  1  f (x)  2x  3 

1  f (x)  2x  3  e x x e

 f (1)  5  e   6;8 . Chọn D.

Ví dụ 7: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm và liên tục trên đoạn  0;1 , biết rằng f (0) 

(x 2  1)f '(x)  xf (x)  x 3  4x . Khi đó: A. 0  f (1)  2

B. 2  f (1)  4

C. 4  f (1)  5

D. f (1)  5

13 và 3

Lời giải x x 3  4x f (x)  2 Ta có : (x  1)f '(x)  xf (x)  x  4x  f '(x)  2 x 1 x 1 2

xdx

Áp dụng công thức nhanh Dạng 3 ta có f ( x).e xdx

Ta tính: e

 x2 1

 e2

ln( x 2 1)

xdx

x 3  4 x  x2 1  2 .e dx (*) x 1

 x2  1

Do đó (*)  x 2  1. f ( x)  



 x2 1

x3  4 x 2 x  1dx x2  1

x(x 2  4) 1  3  2 1 dx    x 2  1  d ( x  1)  ( x 2  1)3  3 x 2  1  C  2 2 x 1 2  3 x 1 

Do đó f ( x) 

x2  1 C x 2  10 C 3   3 3 x2  1 x2  1

Mặt khác f (0) 

10 13 11 1  C   C  1  f (1)    4  f (1)  5 . Chọn C. 3 3 3 2

Ví dụ 8: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm và liên tục trên đoạn  2; 4 , biết rằng f (2)  6 và

(x 2  1)f '(x)  f (x)  x 2  x . Tính f (4) A. f (4)  2  5

B. f (4)  5  5

C. f (4)  5  15

D. f (4)  2  15

Lời giải Ta có: (x 2  1)f '(x)  f (x)  x 2  x  f '(x) 

f (x) x  với x   2; 4 2 x 1 x 1 dx

Áp dụng công thức nhanh Dạng 3 ta có f ( x).e dx

Lại có e

 x2 1

e

1 x 1 ln 2 x 1

Do đó (*)  f ( x).



 x2 1



x  x2 1 .e dx (*) x 1

x 1 x 1

x 1 x x 1 xdx 1 d ( x 2  1)  dx      x2 1  C 2 2 x 1 x 1 x 1 x 1 2 x 1

x 1 3x  3  x  1  f (2)  C 3  3  6  f ( x)   x 1 x 1 x 1

Suy ra f ( x)  C

Vậy f (4)  5  5 . Chọn B. Ví dụ 9: Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên đoạn 1;e , thỏa mãn xf '(x)  x  f (x)   3f (x)  2

5 2e

B. 

4 và f (1)  3 . Tính f (e) x 5 2

C. 

5 2e

Lời giải

5 2

4 4 2  f (x)  xf '(x)  x  f (x)  4f (x)  x x

Ta có xf '(x)  x  f (x)   3f (x)  2

 xf (x)  1 1 2   xf (x)    xf (x)  2  2 x  xf (x)  2 x Đặt g (x)  xf ( x) ta có: 

d  g(x) 

g(x)  2

g '(x)

 g(x)  2

1 g '(x) dx dx  suy ra  2 x x g(x)  2

1 1  ln x  C   ln x  C g(x)  2 xf (x)  2

 ln x  C 

Do f (1)  3 nên



1 1 5  C  C  1 . Suy ra  2  f (e)  . Chọn C. 1 ef (e)  2 2e

Ví dụ 10: Cho hàm số f(x) liên tục và có đạo hàm tại mọi x   0;   , đồng thời thỏa mãn điều kiện f (x)  x  s inx  f '(x)   cos x và

3 2



f ( x) sin xdx  4 . Khi đó, f ( ) nằm trong khoảng



A.  6;7 

B.  5;6 

C. 12;13

D. 11;12 

Lời giải Ta có f (x)  x  s inx  f '(x)   cos x  f (x)  xf '(x)  x sin x  cos x 

f (x)  xf '(x) x sin x  cos x  f (x)   cos x          x  x2 x2  x 

Lấy nguyên hàm 2 vế ta được: 3 2

Khi đó:





f (x) cos x   C  f (x)  cos x  Cx x x

3 2

f ( x) sin xdx   (sin xcosx+Cxsinx)dx  4  C  2



Suy ra f (x)  cos x  2x  f ()  1  2  (5;6) . Chọn B.   Ví dụ 11: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn 0;  . Biết rằng  3  3   f '(x).cos x  f (x).s inx  1, x  0;  và f (0)  1 . Tính tích phân I   f ( x)dx  3 0

A. I 

3 1 2

B. I 

3 1 2

C. I 

1 2

D. I 

Lời giải f '(x).cos x  f (x).s inx  1 

f '(x).cos x  f (x).s inx 1 1  f (x)     2 2 2   cos x cos x  cos x  cos x

1   2 3

Lấy nguyên hàm 2 vế ta được:

f (x)  tanx  C . Theo giả thiết f (0)  1  C  1 cos x



Khi đó I   f ( x)dx   (tanx+1)cosxdx   (s inx  cosx)dx  ( cos x  s inx) 03 

3 1 2

Chọn A.   Ví dụ 12: Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm tại mọi  0;  , đồng thời thỏa mãn hệ thức  2

f (x)  tanx .f'(x) 

x . Biết rằng cos3 x

  3f   3

  f    a 3  b ln 3 trong đó a, b   . Tính giá trị của 6

biểu thức P  a  b A. P 

14 9

B. P 

4 9

C. P 

7 9

D. P 

Lời giải Ta có f (x)  tanx .f'(x) 

x x x  cos.f(x)  sin xf '(x)    s inx.f (x)  3 2 cos x cos x cos 2 x

Lấy nguyên hàm 2 vế ta được: s inx.f (x)  

xdx cos 2 x

u  x du  dx xdx   sin x.f (x)    x tan x   tan xdx Đặt  dx   cos 2 x  v  tan x dv  cos 2 x  sin x.f (x)  x tan x  ln cos x

Do đó

Suy ra

  3f   3 2

  f   6    3  ln 1    ln 3  5 3  ln 3 3 2 6 3 2 18

5  4 a       5 3 . Chọn B. 3f   f     ln 3   9  ab  9 9 3 6 b  1 3

Ví dụ 13: Tính tích phân I   min e x ;e  x dx 1

A. I 

2 2 e

B. I 

2 2 e

C. I  2 

2 e

Lời giải Xét phương trình e x  e  x  e x 

1  ex  1  x  0 x e

Suy ra trên  1;0  e x  e  x  0  min e x ; e  x   e x Và trên 1;3  e x  e  x  0  min e x ; e  x   e  x

D. I 

2 e

2 9

1

Vậy I   e x dx   e  x dx  2 

2 . Chọn C. e 3

Ví dụ 14: Tính tích phân I   max x 3 ; 4 x 2  3 xdx 0

A. I 

117 2

B. I 

275 12

C. I  19

D. I  27

Lời giải

x  0 Xét phương trình x3  4 x 2  3 x  x3  4 x 2  3 x  0    x  1; x  3 Suy ra trên  0;1  x 3  (4 x 2  3 x)  0  max  x 3 ; 4 x 2  3 x  x 3 Và trên 1;3  x3  (4 x 2  3 x)  0  max  x3 ; 4 x 2  3 x  4 x 2  3 x 1

Vậy I   x 3dx   (4 x 2  3 x) dx 

275 . Chọn B. 12

 2

Ví dụ 15: Tính tích phân I   min s inx;cosxdx 0

A. I  2  2

B. I  2

C. I  2  2 Lời giải

   Xét phương trình s inx  cos x  0  sin  x    0  x  4 4    Suy ra trên 0;   s inx  cos x  0  min s inx;cos x  sinx  4   Và trên 0;   s inx  cos x  0  min s inx;cos x  cos x  4 



Vậy I   s inx dx   cosxdx  2  2 . Chọn D. 4

D. I  2  2

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên  và thỏa mãn f ( x)  f ( x)  2  2cos2x , x   . Tính 3 2



I

f ( x)dx

3  2

A. I  6

C. I  2

B. I  0

D. I  6

Câu 2: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên  và thỏa mãn f ( x)  f ( x)  3  2cosx, x   . Tính  2



I



f ( x)dx

A. I 

 1

B. I 

 2

2

C. I 

3 2 2

D. I 

 1 2 

Câu 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên  và thỏa mãn f ( x)  2 f ( x)  cosx . Tính I 





A. I 

1 3

B. I 

4 3

C. I 

2 3

f ( x)dx

D. I  1 

Câu 4: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên  và thỏa mãn f ( x)  f ( x)  sin 2 x . Tính I 





B. I 

A. I  0

1 2

C. I  2

B. I 

4 3

C. I 

2 3

D. I  2

Câu 5: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên  và thỏa mãn 2 f ( x)  f ( x)  x 3 . Tính I  A. I  0

f ( x)dx

 f ( x)dx

1

D. I  1 1

f ( x) Câu 6: Cho  dx  4 , trong đó hàm số y = f(x) là hàm số chẵn trên đoạn  1;1 . Tính I   f ( x)dx 1  2x 1 1 A. I  2

B. I  16

C. I  4

D. I  8

x 2016 Câu 7: Tính tích phân I   x dx e 1 2 A. I 

22016 2017

B. I 

22018 2017

C. I 

22017 2017

D. I 

Câu 8: Cho hàm số f(x) lẻ và liên tục trên đoạn  2; 2 . Tìm khẳng định luôn đúng? 2



2

f ( x)dx  2  f ( x)dx 0

 f ( x)dx  0

2

22018 2018



f ( x)dx  2  f ( x)dx

2

Câu 9: Cho f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên  thỏa A. 1

B. 2

Câu 10: Cho f(x) là hàm số chẵn trên  thỏa mãn 3

 f ( x)dx  2



f ( x)dx  2 . Tính

1

 f ( x)dx 0

1 2

 f ( x)dx  2 . Chọn mệnh đề đúng?

3

 f ( x)dx  4

1 4

3

f ( x)dx  2  f ( x)dx

3

 f ( x)dx  2

 f ( x)dx  2 3

Câu 11: Tính tích phân I   x 2017 x 2  2017 dx 1

A. I  0

B. I  2

C. I  2

Câu 12: Cho f là hàm số liên tục trên  a; b  thỏa

 a

A. I  7

B. I  a  b  7

D. I 

1 3

f ( x)dx  7 . Tính I   f (a  b  x)dx a

C. I  7  a  b

Câu 13: Cho hàm số f(x) là hàm chẵn, có đạo hàm trên đoạn

D. I  a  b  7

 6;6 .

Biết rằng

 f ( x)dx  8 và

1 3



f (2 x)dx  3 . Tính I 

 f ( x)dx

1

A. I  11

C. I  2

B. I  5

D. I  14

Câu 14: Cho hàm số f(x) là hàm số chẵn

 f ( x)dx  a . Mệnh đề nào sau đây đúng?

2 2

 f ( x)dx  a 0

 f ( x)dx  2a

2

Câu 15: Cho hàm số f(x) là hàm số lẻ A. I  2

B. I  2

2

 f ( x)dx  0

2

 f ( x)dx  a 0

2

 f ( x)dx  2 . Tính tích phân I   f ( x)dx C. I  1

D. I  1 3

Câu 16: Cho hàm số f(x) là hàm chẵn và liên tục trên  , thỏa mãn I   f ( x)dx  6 . Tính tích phân 0



J

 cos x. f (3sin x)dx



A. J  0

B. J  3

C. J  6

D. J  4

 f ( x)dx  5 trong đó f(x) là hàm số liên tục trên đoạn  1; 2 . Tính tích phân

Câu 17: Cho tích phân I 

1 2

 f (1  x)dx

1

A. 1

B. 2

C. 5

D. 8

 4

Câu 18: Biết I   ln(1  tanx)dx  0

a a ln c với a,b,c    và là phân số tối giản. Giá trị a  2b  c thuộc b b

khoảng nào trong các khoảng sau? A. (17;19) Câu 19: Biết

B. (25; 27) 



B.  

2 Câu 20: Biết  f(sin x)dx  . Tính 3 0



3 5

Câu 21: Biết

 1

C. 2

D. 4



 xf(s inx)dx 0

2 3

2 3

D. 2

2 x  2 1 dx  4  a ln 2  b ln 5 với a,b   . Tính S=a+b x

A. S  9

B. S  11 4

Câu 22: Tích phân

x

 3 x  2 dx 

1

A. 22

D. (41; 43)

 xf(sin x) dx  2 . Tính  f(sin x) dx

A. 1

C. (31;33)

C. S  3

D. S  5

a a với a,b  * và là phân số tối giản. Tính a+2b b b

B. 17

C. 23

Câu 23: Cho các số thực m, n thỏa mãn

D. 67

 (1  x)dx  m và  (1  x)dx  n

trong đó a, b là các số thực

a  1  b . Tính tích phân I   1  x dx a

A. I  m  n

B. I  n  m

C. I  m  n

D. I  m  n

C. I  24

D. I 

148 3

C. I  18

D. I 

2 3

Câu 24: Tính tích phân I   max  x 2  1; 4 x  3dx 0

A. I 

80 3

B. I 

76 3

Câu 25: Tính tích phân I   max  x 2 ; 4 x  3dx 2

A. I 

56 3

B. I 

58 3

Câu 26: Tính tích phân I   min x; x 2 dx 0

A. I  9

B. I 

9 2

C. I 

11 6

D. I 

27 2

C. I 

2 3

D. I 

4 3

C. I 

5 3  4 ln 2 2

D. I 

7 3  2 ln 2 2

C. I 

9 2

D. I 

8 3

Câu 27: Tính tích phân I   min 1; x 2 dx 0

A. I 

8 3

B. I  2 2

 3x  1  Câu 28: Tính tích phân I   max  ; 2  x dx  x 1  0 A. I 

9 3  4 ln 2 2

B. I 

3 3  2 ln 2 2

Câu 29: Tính tích phân I   max  x; x 2 dx 0

A. I 

17 6

B. I 

2 3

Câu 30: Tính tích phân I   max  x 2  2 x  1; x  1dx 0

A. I 

83 6

B. I 

7 6

C. I  

7 6

D. I  

83 6

LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Lấy tích phân 2 vế của f ( x)  f ( x)  cos2 x cận từ  3 2



f ( x)dx 

3  2

3 2



f ( x)dx 

3  2

3 2



2(1  cos2x)dx  2

3  2

3 3  ta có: 2 2

3 2



 cosx dx  12 (Sử dụng máy tính Casio) 3 2

3 3 t  2 2 Đặt t  x  dt  dx và đổi cận 3 3 x t  2 2 x

3 2



Khi đó

Suy ra



3  2



f ( x)dx  

3  2 3 2

3 2



f (t )dt 

3  2

f ( x)dx 

3 2



f (t )dt 

3  2

3 2



f ( x)dx

3  2

f ( x)dx  2 I  12  I  6 . Chọn D.

3  2

Câu 2: Ta có f ( x)  f ( x)  3  2cos x 







f ( x)dx   f ( x)dx  



 (3  2cosx)dx (*)



  t  2 2 Đặt t  x  dt  dx và đổi cận   x t  2 2 x

Khi đó







f ( x)dx    f (t )dt  







 2

f (t )dt   f ( x)dx  I 



Do đó (*)  2 I  (3 x  2s inx) 2  3  4  I  

Câu 3: Ta có f ( x)  2 f ( x)  cos x 





f ( x)dx  2  f ( x)dx 



  t  2 2 Đặt t  x  dt  dx và đổi cận   x t  2 2 x

3  2 . Chọn C. 2





 cosxdx (*)



 2

Khi đó







f (  x)dx    f (t )dt 









Do đó (*)  3I  s inx

2 



f (t )dt   f ( x)dx  I 

2 I 



2 . Chọn C. 3

Câu 4: Ta có: f ( x)  f ( x)  sin 2 x 







f ( x)dx   f ( x)dx  



 sin 2 xdx (*)



  t  2 2 Đặt t  x  dt  dx và đổi cận   x t  2 2 x

 2

Khi đó







f (  x)dx    f (t )dt  





 2

f (t )dt   f ( x)dx  I 



 cos 2 x 2  0  I  0 . Chọn A. Do đó (*)  2 I   2  2

1

Câu 5: Ta có 2 f ( x)  f ( x)  x 3  2  f ( x)dx   f ( x)dx   x3 dx (*) Đặt t  x  dt  dx và đổi cận 1

Khi đó



1

f ( x)dx    f (t )dt  1

x4 Do đó (*)  I  4

x  1  t  1 x  1  t  1 1



1

f (t )dt   f ( x)dx  I 1

 0  I  0 . Chọn A. 1

Câu 6: Đặt t  x  dt  dx và đổi cận 1

Khi đó K 

x  1  t  1 x  1  t  1

f ( x) f (t ) f (t ) 2t. f (t ) 2 x. f ( x ) dx   dt  dt  dt   1  2x  1  2t 1 1 1 1  2t 1 1  2 x dx 1 1   1 t 2 1

2 x. f ( x ) f ( x) Suy ra 2 K   dx   dx   f ( x)dx   f ( x)dx  2 K  8 . Chọn D. x 1 2 1  2x 1 1 1 1 Câu 7: Đặt t  x  dt  dx và đổi cận

x  1  t  1 x  1  t  1

Khi đó I 

x 2016 t 2016 t 2016 t 2016 .et e x .x 2016 dx   dt  dt  dt  2 e x  1 2 et  1 2 1 2 et  1 2 e x  1 dx 1 et 2

e x .x 2016 x 2016 x 2017 2.22017 dx   x dx   x 2016 dx   Suy ra 2 I   x e 1 e 1 2017 2 2017 2 2 2

Do đó I 

22017 . Chọn C. 2017

Câu 8: Do f(x) là hàm lẻ thì f ( x)   f ( x) a

Ta có



f ( x)dx    f ( x)dx 

a

Do đó 2  f ( x)dx  0  a



a

f ( x)d ( x)    f (t)dt    f (x)dx t  x



f ( x)dx  0 . Chọn B.

a

Câu 9: Do f(x) là hàm chẵn thì f ( x)  f ( x) 0

Ta có:



a a

Do đó

 1



1

a

f ( x)dx 

a

Do đó

t  x f ( x)dx    f ( x)d ( x)     f (t)dt    f (x)dx   f (x)dx



a

f ( x)dx   f ( x)dx  2  f (x)dx  2  f (x)dx

f ( x)dx  2  f (x)dx   f (x)dx  1 . Chọn A.

Câu 10: Do f(x) là hàm chẵn trên  nên



3

f ( x)dx  2  f ( x)dx  4 . Chọn B. 0

Câu 11: Do f ( x)  x 2017 x 2  2017 là hàm số lẻ trên  nên I   x 2017 x 2  2017 dx  0 1

Chọn A. Câu 12: Đặt t  a  b  x  dt  dx . Đổi cận b

xat b xbt a

Khi đó I   f (a  b  x)dx    f (t )dt   f ( x)dx  7 . Chọn A. 3

Câu 13: Do f(x) là hàm chẵn nên

 1

1 f (2 x)dx   f (2 x)dx   f (2 x)d (2 x) 2 1 1

1 1   f (t)dt   f ( x)dx  3   f ( x)dx  6 2 2 2 2 2 6

Khi đó I 



1

f (t)dx 



1

f ( x)dx   f ( x)dx  8  6  14 . Chọn D. 2

Câu 14: Hàm số f(x) là hàm chẵn thì f ( x)  f ( x)

a

t  x Ta có  f ( x)dx    f ( x)d ( x)     f (t)dt    f (x)dx   f (x)dx a

Do đó



f ( x)dx 

a



a

f ( x)d ( x)   f ( x)dx  2  f (x)dx  2  f (x)dx  2a . Chọn B. 2

Câu 15: Do f(x) là hàm số lẻ nên



f ( x)dx  0 

2 2

2



2

f ( x)dx   f ( x)dx  0 0

Suy ra I   f ( x)dx    f (x)dx  2 . Chọn B.

Câu 16: Do f(x) là hàm chẵn nên



3



J







f ( x)dx  2  f ( x)dx 3

12 1 1 t  3sin x cos x. f (3sin x)dx   f (3sin x)d (3sin x)  J   f (t )dt   f (x)dx 3 3 3 3 3 

1 2  .2  f ( x)dx  .6  4 . Chọn D. 3 0 3 Câu 17: Đặt t  1  x  dt  dx . Đổi cận 2

Khi đó I 



1

f (1  x)dx    f (t )dt  2

x  1  t  2 x  2  t  1

 f ( x)dx  5 . Chọn C.

1

  x 0t     4 Câu 18: Đặt t   x  dt   dx và  4 x    t  0  4  4       Do đó I   ln 1  tan   t   (dt )   ln 1  tan   x  dx  4  4     0 0



4  2 1  tan x 2   dx   ln 2dx  1  I  ln 2  Mà 1  tan   x   1  suy ra I   ln 1  tan x 8 1  tan x 1  tan x 4  0 0 4

a   a  Lại có I  .ln c  b  8 . Vậy a+2b-c= +2.8-2  (17;19) . Chọn A. b c  2 

x  0  t   Câu 19: Đặt t    x  dx   dt và  x    t  0

Do đó



 xf(s inx) dx   (  t ). f sin(  t ) (dt )   (  x) f (s inx)dx



   f(s inx)dx   x .f(s inx)dx   f(s inx)dx 



. f(s inx)dx  4 . Chọn D. 0

x  0  t   Câu 20: Đặt t    x  dx   dt và  x    t  0 Do đó



 xf(s inx) dx   (  t ). f sin(  t ) (dt )   (  x) f (s inx)dx



   f(s inx) dx   x .f(s inx)dx  2. x .f(s inx)dx    f(s inx)dx 

Vậy



 x .f(s inx)dx  3 . Chọn A. 0

Câu 21: Ta có I   1

5 2 5 2 x  2 1 2 x  2 1 5  2x 2x  3 dx   dx   dx   dx 4  8ln 2  3ln 5 x x x x 2 1 2

a  8 Mà I  4  a.ln 2  b.ln 5   . Vậy S = a + b = 8 + 3 =11. Chọn B. b  3 x  1 Câu 22: Xét phương trình x 2  3 x  2  0   x  2 Do đó trên  1;1 ,  2; 4  x 2  3 x  2  0 và 1; 2  x 2  3 x  2  0 1

Vậy I   (x  3 x  2) dx   (x  3 x  2) dx   (x 2  3 x  2) dx  2

1

19 a  19 . Chọn C.  2 b  2

Câu 23: Ta có I   1  x dx   1  x dx   (1  x)dx   (1  x)dx   (1  x)dx   (1  x)dx  m  n Chọn D. Câu 24: Ta có x 2  1  (4 x  3)  x 2  4 x  4  ( x  2) 2  0  max  x 2  1; 4 x  3  x 2  1  0;4

 x3  43 80 Suy ra I   ( x  1) dx    x    4  . Chọn A. 3  3 0 3 0 4

x  1 Câu 25: Xét phương trình x 2  4 x  3  x 2  4 x  3  0   x  3 Suy ra trên  2;3  x 2  4 x  3  0  max  x 2 ; 4 x  3  4 x  3 Và trên 3; 4  x 2  4 x  3  0  max  x 2 ; 4 x  3  x 2 3

Vậy I   (4 x  3) dx   x 2 dx 

58 . Chọn B. 3

x  0 Câu 26: Xét phương trình x 2  x  x( x  1)  0   x  1 Suy ra trên  0;1  x 2  x  0  min x; x 2   x 2 Và trên 1; 2  x 2  x  0  min x; x 2   x 1

x3 x2 11   . Chọn C. Vậy I   x dx   xdx  3 0 2 1 6 0 1 2

x  1 Câu 27: Xét phương trình x 2  1  x 2  1  0    x  1 Suy ra trên  0;1  x 2  1  0  min 1; x 2   x 2 Và trên 1; 2  x 2  1  0  min 1; x 2   1 1

x3 1 4 2  x 1   1  . Chọn D. Vậy I   x dx   1dx  3 0 3 3 0 1 2

Câu 28: Xét phương trình Suy ra trên  0;1  Và trên 1; 2 

0  x  2 3x  1  2 x    x 1 x 1 3 x  1  ( x  1)(2  x)

3x  1  3x  1   2  x  0  max  ; 2  x  2  x x 1  x 1 

3x  1  3x  1  3x  1  2  x  0  max  ; 2  x  x 1  x 1  x 1

3x  1 9 3 dx   4 ln . Chọn A. x 1 2 2 1

Vậy I   (2  x) dx   0

x  0 Câu 29: Xét phương trình x 2  x  x( x  1)  0   x  1 Suy ra trên  0;1  x 2  x  0  max  x; x 2   x Và trên 1; 2  x 2  x  0  max  x; x 2   x 2 1

x2 x3 17   . Chọn A. Vậy I   x dx   x dx  2 0 3 1 6 0 1 2

x  0 Câu 30: Xét phương trình x 2  2 x  1  x  1   x  3 Suy ra trên  0;3  x 2  2 x  1  ( x  1)  0  max  x 2  2 x  1; x  1  x  1 Và trên 3; 4  x 2  2 x  1  ( x  1)  0  max  x 2  2 x  1; x  1  x 2  2 x  1 3

Vậy I   ( x  1) dx   ( x 2  2 x  1) dx 

83 . Chọn A. 6

CHỦ ĐỀ 12: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH A. LÝ THUYẾT 1) Công thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số Cho hai đồ thị của hai hàm số y  f  x  , y  g  x  liên tục trên đoạn

 a; b

và hai đường thẳng x  a; x  b  a  b  . Khi đó hình phẳng giới

hạn bởi bốn đường

y  f  x  , y  g  x  và hai đường thẳng

x  a; x  b

tích

có

diện

được

tính

theo

công

thức:

S   f  x   g  x  dx . a

Đặc biệt: Trong trường hợp g  x  là trục hoành ( g  x   0 ) ta được công thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  , trục hoành và hai đường thẳng x  a, x  b là: b

S   f ( x) dx

(1).

Để tính diện tích S ta phải tính tích phân (1), muốn vậy ta phải phá dấu giá trị tuyệt đối: b

 Nếu f  x   0, x   a; b  thì S   f  x  dx   f  x  dx .  Nếu f  x   0, x   a; b  thì S   f  x  dx     f  x   dx . Muốn xét dấu của biểu thức f  x  ta thường có một số cách làm như sau:  Cách 1: Sử dụng bảng xét dấu cho f  x  với ghi nhớ qua nghiệm bội lẻ f  x  đổi dấu, qua nghiệm bội chẵn f  x  không đổi dấu.  Cách 2: Dựa vào đồ thị của hàm số y  f  x  trên đoạn  a; b  để suy ra dấu của f  x  trên đoạn đó: - Nếu trên đoạn  a; b  đồ thị hàm số y  f  x  nằm phía trên trục hoành thì f  x   0, x   a; b  . - Nếu trên đoạn  a; b  đồ thị hàm số y  f  x  nằm phía dưới trục hoành thì f  x   0, x   a; b  . b

 Cách 3: Nếu f  x  không đổi dấu trên  a; b  thì ta có: S   f  x  dx  a

 f  x  dx . a

 Cách 4: Sử dụng máy tính CASIO, tuy nhiên xu hướng ra đề thi THPT Quốc gia sẽ hạn chế CASIO nên cần chú ý cách giải tổng quát và hiểu rõ bản chất! Chú ý: - Khi tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số ta có: b

S   f  x   g  x  dx   h  x  dx ta làm hoàn toàn tương tự như trên.

- Nếu đề bài không cho các đường thẳng giới hạn x  a; x  b ta giải phương trình f  x   g  x  (hoặc f  x   0 trong trường hợp g  x  là trục hoành) để tìm cận của tích phân.

2) Ứng dụng tính diện tích hình tròn và hình Elip a) Tính diện tích hình tròn Trong hệ tọa độ Oxy cho đường tròn có phương trình: x 2  y 2  r 2  r  0  . Khi đó hình tròn đó có diện tích là: S  r 2 . Ta có x 2  y 2  r 2  y   r 2  x 2

Với y  0 , ta có: y  r 2  x 2 có đồ thị là nửa đường tròn phía trên trục hoành. r

Bằng cách đặt x  r sin t ta có diện tích S1 



r

r 2  x 2 dx  2  r 2  x 2 dx  0

r 2 . 2

Do đó S  2 S1  r 2 . b) Tính diện tích hình Elip x2 y 2 Trong hệ tọa độ Oxy cho elip có phương trình: 2  2  1, 0  b  a . a b

Chứng minh tương tự ta có diện tích của elip là: S  ab (đvdt). II. VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng trên được giới hạn bởi đồ thị hàm số y   x 2  2 x  2 , trục hoành và

các đường thẳng x  0, x  3 . Lời giải 3

Diện tích S của hình phẳng trên là S    x 2  2 x  2 dx . 0

Ta có:  x 2  2 x  2  0, x  0;3 . 3

 x3  S    x  2 x  2 dx    x  2 x  2  dx    x 2  2 x   6 (đvdt).  3 0 0 0 3

Ví dụ 2: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  

x  2 , trục hoành và các x 1

đường thẳng x  1, x  0 . Lời giải 0



Gọi S là diện tích của hình phẳng trên, ta có: S 

1

Ta có:

x  2 dx x 1

x  2  0, x   1;0 x 1 0

Do đó: S 



1

  x  1  3 x  2 3   x  2   dx    dx    1   dx    dx x 1 x  1 x  1 x  1     1 1 1 0

   x  3ln x  1 

0 1

 3ln 2  1 (đvdt).

Ví dụ 3: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y  x 2  x  1, y  x  1 là A. 

4 3

C. 1

2 3

Lời giải

x  0 Phương trình hoành độ giao điểm 2 đồ thị là: x 2  x  1  x  1  x 2  2 x  0   x  2 2

Diện tích cần tìm là: S   x 2  x  1  x  1 dx   x 2  2 x dx    2 x  x 2  dx 2

 x3  4   x 2    . Chọn B. 3 0 3  Ví dụ 4: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y  e x  x và các đường thẳng x  y  1  0, x  ln 5 .

A. S  5  ln 4

B. S  4  ln 5

C. S  4  ln 5 Lời giải

Ta có: x  y  1  0  y  x  1 . Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là: e x  x  x  1  e x  1  x  0

D. S  5  ln 4

ln 5

Diện tích hình phẳng cần tìm là: S 



ln 5

e x  1 dx 

 e

 1 dx   e x  x 

ln 5 0

 4  ln 5 . Chọn B.

Ví dụ 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x3  11x  6; y  6 x 2 ; x  0; x  2 . Lời giải Đặt f  x    x 3  11x  6   6 x 2  x 3  6 x 2  11x  6

 x  1; x  2 . Gọi S là diện tích phần giới hạn bởi các đường ta có: f  x  0    x  3 (loai ) Bảng xét dấu:

h  x



2 +

Khi đó S     x 3  6 x 2  11x  6  dx    x 3  6 x 2  11x  6 dx 1

 x4   x4  11x 2 11x 2 5     2 x3   6 x     2 x3   6 x   (đvdt). 2 2  4 0  4 1 2 Ghi nhớ: Nếu phương trình f  x   0 có k nghiệm phân biệt x1 ; x2 ...xk thuộc  a; b  thì trên mỗi khoảng

 a; x1  ,  x1; x2  ,... xk ; b 

biểu thức f  x  có dấu không đổi. b

Khi đó để tính tích phân S   f  x  dx ta có thể tính như sau: a

S   f  x  dx 

 f  x  dx   f  x  dx  ...   f  x  dx . 1

Áp dụng với bài trên ta có: S 

x

 6 x  11x  6  dx  2

x

 6 x 2  11x  6  dx .

Ví dụ 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y 2  2 y  x  0; x  y  0 . Lời giải

y  0 Phương trình tung độ giao điểm là: 2 y  y 2   y   . y  3 Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn với các đường đã cho ta có: 3

 y3 3 y 2  9 S   2 y  y    y  dy   3 y  y dy     y  3 y  dy       (đvdt). 2 0 2  3 0 0 0 3

Nhận xét: Đối với bài toán này việc tính theo dx gặp khá nhiều khó khăn, do đó ta nên tính diện tích hình phẳng theo dy bằng cách coi x là hàm của biến y, diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong x  g  y  , x  h  y  (g và h là hai hàm liên tục trên đoạn  c; d  ) và hai đường thẳng y  c, y  d là:

S   g  y   h  y  dy . c

Ví dụ 7: Cho đồ thị hàm số y  f  x  trên đoạn  2; 2 như hình vẽ ở bên 2

và có diện tích S1  S 2 

22 76 . Tính tích phân I   f  x  dx . , S3  15 15 2

A. I 

32 15

B. I  8

C. I 

18 5

D. I  

32 15

Lời giải 2

Ta có I 

 f  x  dx  S

 S1  S 2 

2

76 22 32 . Chọn A.  2.  15 15 15

Ví dụ 8: Cho hàm số f  x  liên tục trên ℝ. Đồ thị hàm số y  f   x  được cho như hình bên. Diện tích các hình phẳng  K  ,  H  lần lượt là 5 8 19 và . Biết f  1  , tính f  2  . 12 3 12

A. f  2  

11 6

C. f  2   3

B. f  2   

2 3

D. f  2   0 Lời giải

Ta có: K 

 f   x  dx  f  0  f  1  12  f  0  12  f  1  2 .

1

Lại có: H   f   x  dx    f   x  dx  f  0   f  2  

8 8 2 . Chọn B.  f (2)  f  0    3 3 3

Ví dụ 9: Cho  H  là hình phẳng giới hạn bởi hai parabol y  x 2 và

y   x 2 đường tròn có phương trình x 2  y 2  2 (phần tô đậm trong hình vẽ). Tính diện tích S của hình  H  A. S   

2 3

B. S  2 

2 3

C. S   

2 3

D. S  2 

2 3

Lời giải Xét phần tô đậm nằm phía trên trục Ox, nửa đường tròn phía trên Ox có phương trình y  2  x 2 .

Giải phương trình hoành độ giao điểm: x 2  2  x 2  x 4  x 2  2  0  x 2  1  x  1



 1

Diện tích phần không tô đậm phía trên trục hoành là: S 

2  x 2  x 2 dx

1





2  x 2 dx 

1

3 1

x 3

 4



x  2 sin t  

2  2sin 2 td

 4

1

 4





2 sin t 

 4

2 2   2 cos 2 tdt  3  3 4



2  sin 2t  4 2  1   1  cos 2t  dt    t      3  2   3 2 3  4

Diện tích nửa đường tròn là S  

R 2  . 2

 1 2  Khi đó S H   2  S   S   2         . Chọn C. 2 3 3 

Ví dụ 10: Cho hình thang cong

H 

giới hạn bởi các đường

y  e x , y  0, x  0 và x  ln 4 . Đường thẳng x  k  0  k  ln 4  chia  H  thành hai phần có diện tích là S1 và S 2 như hình vẽ bên. Tìm k để S1  2 S 2 . 2 A. k  ln 4 3

C. k  ln

8 3

B. k  ln 2 D. k  ln 3 Lời giải

2 2 Do S1  2 S 2  S1  S  3 3

ln 4

 0

2 e dx  3 x

ln 4

 0

2 e dx  e x 3

ln 4

2.

Do đó S1   e x dx  e k  1  2  e k  3  k  ln 3 . Chọn D. 0

1 1 Ví dụ 11: Cho hình thang  H  giới hạn bởi các đường y  , x  , x  2 x 2 1  và trục hoành. Đường thẳng x  k   k  2  chia  H  thành hai phần có 2 

diện tích là S1 và S 2 như hình vẽ dưới đây. Tìm tất cả giá trị thực của k để

S1  3S 2 A. k  2 C. k 

7 5

B. k  1 D. k  3

Lời giải 2

1 Gọi S là diện tích hình  H   S   dx  2 ln 2 . 1 x 2

1 1 ln 2 ln 2 Lại có S 2   dx  ln 2  ln k  S   ln k   ln 2  k  2 . Chọn A. x 4 2 2 k Ví dụ 12: [Đề tham khảo Bộ giáo dục và Đào tjao 2018] Cho  H  là hình phẳng giới hạn bởi parabol y  3 x 2 , cung tròn có phương trình y  4  x 2 (với 0  x  2 ) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của  H  bằng: A.

4  3 12

4  3 6

4  2 3  3 6

5 3  2 3

Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm là: 1

0  x  2 3x 2  4  x 2   4  x  1. 2 3 x  4  x 2

Dựa vào hình vẽ ta có: S   3 x dx   2

x3 3 4  x dx  3  I1   I1 . 3 0 3 2

Với I1   4  x 2 dx , sử dụng CASIO hoặc đặt x  2sin t  dx  2 cos tdt 1



   2 2 2 6 Đổi cận  I1   4  4sin 2 t .2 cos tdt   2 1  cos 2t  dt   2t  sin 2t     x2t   6 6 2 6 x 1 t 

 I1 

4  3 1 . Chọn B. 4  3 3 . Do đó S  6 6





Ví dụ 13: Tính diện tích S của phần hình phẳng giới hạn bởi đường Parabol đi qua gốc tọa độ và hai đoạn thẳng AC và BC như hình vẽ bên: A. S 

25 6

B. S 

20 3

C. S 

10 3

D. S  9 Lời giải

Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x 2 , y  x  2, x  0, x  2 .

 x2 x3  22 23 10  S1    x  2  x  dx    2 x     2.2   . 3 0 2 3 3  2 0 2

Khi đó diện tích hình phẳng phần gạch chéo là S  2.S1 

20 . Chọn B. 3

Ví dụ 14: Ông An có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng 16m và có độ dài trục bé bằng 10m. Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000 đồng/1 m 2 . Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn). A. 7.862.000 đồng

B. 7.653.000 đồng

C. 7.128.000 đồng

D. 7.826.000 đồng Lời giải

Chọn hệ trục như hình vẽ với 2a  16; 2b  10 Suy ra a  8; b  5 . Khi đó phương trình elip là:

x2 y 2  1. 64 25

Xét đường cong nằm phía trên trục Ox có phương trình là

x2 . y  25 1  64 4

Ta có: S  5  1  4

x     x2 dx . Đặt sin t   t    ;   suy ra 8   2 2 64

1 cos tdt  dx . 8 1    t  6 6 2 6 Đổi cận . Do đó S  5  1  sin 2 t .8cos tdt  40  cos 2 tdt 1      x  4  sin t   t  6 6 2 6 x  4  sin t 

 6



20  sin 2t  6  20  1  cos 2t  dt  5  t   10 3 .    2  3   

Vậy diện tích trồng hoa là ST  2 S 

40  20 3  m 2  . 3

Do đó số tiền ông An cần để trồng hoa là: T  ST .100.000  7.653.000 . Chọn B. Ví dụ 15: Một viên gạch hoa hình vuông có cạnh 40cm. Người thiết kế đã sử dụng bốn đường parabol có chung đỉnh tại tâm của viên gạch để tạo ra bốn cánh hoa (được tô màu sẫm như hình vẽ bên). Diện tích mỗi

cánh hoa của viên gạch bằng A.

800 2 cm 3

C. 250cm 2

400 2 cm 3

D. 800cm 2

Lời giải Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ: Với A  20; 20  , xét hình phẳng ở góc phần tư thứ nhất. Hai parabol có phương lần lượt là: y  ax 2 và x  ay 2 Do parabol qua điểm A  20; 20   a 

20 1  2 20 20

 x2 y   20  y  20 x  Diện tích phần tô đậm ở góc phần tư thứ nhất là: 20

 2 x2  x3  400 . Chọn B. S    20 x   dx   20 x3    20 3 60 3   0 0  20

Ví dụ 16: Một cổng chào có dạng hình parabol chiều cao 18m, chiều rộng chân đế 12m. Người ta căng hai sợi dây trang trí AB, CD nằm ngang đồng thời chia hình giới hạn bởi parabol và mặt đất thành ba phần có diện tích bằng nhau (xem hình vẽ bên). Tỉ số

AB bằng: CD

1 3 2

3 1 2 2

1 2

4 5

Lời giải Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ Parabol có dạng y  ax 2 , do  P  đi qua điểm  6;18   a 

1 . 2

6  x2  Diện tích thiết diện của cổng trào là: S0   18   dx  144 . 2 6 

Để diện tích 3 phần bằng nhau thì diện tích mỗi phần là

 b2   d 2  AB b  Gọi B  b;  ; D  d ;  khi đó CD d  2  2 

S0  48 . 3

 b2 x2   b 2 x x3  Ta có:     dx  24      24  b3  72 2 2 6 0  2 0 b

 d 2 x2  AB 1 Tương tự ta có     dx  48  d 3  144   3 . Chọn A. 2 2 CD 2 0 d

Ví dụ 17: [Đề Sở GD&DT Thanh Hóa] Một công ty quảng cáo X muốn làm một bức tranh trang trí hình MNEIF ở chính giữa một tường hình chữ nhật ABCD có chiều cao BD = 6m, chiều dài CD = 12m (hình vẽ bên). Cho biết MNEF là hình chữ nhật có MN = 4m, cung EIF có hình dạng là một phần của cung parabol có đỉnh I là trung điểm của cạnh AB và đi qua hai điểm C, D. Kinh phí làm bức tranh là 900.000 đồng/ m 2 . Hỏi công ty X cần bao nhiêu tiền để làm bức tranh đó?

A. 20.400.000 đồng

B. 20.600.000 đồng

C. 20.800.000 đồng

D. 21.200.00 đồng Lời giải

Gọi O là trung điểm của MN và trùng với gốc tọa độ  M  2;0  , N  2;0  . 1 Phương trình parabol đỉnh I  0;6  và đi qua hai điểm C  6;0  , D  6;0  là  P  : y  6  x 2 . 6

Diện tích bức tranh là diện tích giới hạn bởi hàm số y  f  x   6  2

x2 dx  Khi đó S   6  6 2

x2 và x  2, x  2 . 6

  x2  x3  208 2 6  dx  6 x  m  .    2  6  18  2 9  2

Số tiền công ty X cần dùng để làm bức tranh là T 

208  900.000  20.800.000 đồng. Chọn C. 9

Ví dụ 18: [Đề Chuyên Đại học Vinh 2017] Trong công viên Toán học có những mảnh đất hình dáng khác nhau. Mỗi mảnh được trồng một loài hoa và nó được tạo thành bởi một trong những đường cong đẹp trong toán học. Ở đó có một mảnh đất mang tên Bernoulli, nó được tạo thành từ đường Lemniscate có phương trình trong hệ tọa độ Oxy là 16 y 2  x 2  25  x 2  như hình vẽ bên. Tính diện tích S của mảnh đất Bernoulli biết rằng mỗi đơn vị trong hệ trục tọa độ Oxy tương ứng với chiều dài 1 mét. A. S 

125 2 m  6

B. S 

125 2 m  4

C. S 

250 2 m  3

D. S 

125 2 m  3

Lời giải Hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành là x  0; x  5; x  5 . Dễ thấy diện tích mảnh đất Bernoulli bao gồm diện tích 4 mảnh đất nhỏ bằng nhau. Xét diện tích s của mảnh đất nhỏ trong góc phần tư thứ nhất ta có:

4 y  x 25  x 2 ; x   0;5  s 

1 125 125 125 2 x 25  x 2 dx   S  4.   m  . Chọn D.  40 12 12 3

Ví dụ 19: [Đề Chuyên Đại học Vinh 2017] Ông B có một khu vườn giới hạn bởi đường parabol và một đường thẳng. Nếu đặt trong hệ tọa độ Oxy như hình vẽ bên thì parabol có phương trình y  x 2 và đường thẳng là y  25 . Ông B dự định dùng một mảnh vườn nhỏ được chia từ khu vườn bởi

đường thẳng đi qua O và điểm M trên parabol để trồng hoa. Hãy giúp ông B xác định điểm M bằng cách tính độ dài OM để diện tích mảnh vườn nhỏ bằng

9 . 2

A. OM  2 5

B. OM  3 10

C. OM  15

D. OM  10 Lời giải

Giả sử M  a; a 2  , suy ra phương trình OM : y  ax . a

 x 2 x3  a3 9 Diện tích khu vườn là S    ax  x  dx   a      a 3.  2 3 0 6 2 0 a

Khi đó OM  a 2  a 4  9  81  3 10 . Chọn B. Ví dụ 20: Trong đợt hội trại “Khi tôi 18” được tổ chức tại THPT X, Đoàn trường có thực hiện một dự án ảnh trưng bày trên một pano có dạng parabol như hình vẽ. Biết rằng Đoàn trường sẽ yêu cầu các lớp gửi ảnh dự thi và dán lên khu vực hình chữ nhật ABCD, phần còn lại sẽ được trang trí hoa văn cho phù hợp. Chi phí dán hoa văn là 100.000 đồng cho một m 2 bảng. Hỏi chi phí thấp nhất cho việc hoàn tất hoa văn trên pano sẽ là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng nghìn) A. 615.000 đồng

B. 450.000 đồng

C. 451.00 đồng

D. 616.000 đồng Lời giải

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol có phương trình y  4  x 2 và trục hoành.

Suy ra S 

  4  x  dx  2

2

32 2 m . 3

 D  a;0  Gọi điểm C  a;0  , a  0 , suy ra  . 2 2  B  a; 4  a  , A  a; 4  a 

Gọi S1 là diện tích ABCD, suy ra S1  AB.BC  2a  4  a 2  m 2 . Gọi S 2 là diện tích có hoa văn, suy ra S 2  S  S1 ; S 2 nhỏ nhất khi và chỉ khi S1 lớn nhất. Xét hàm số f  a   2a (4  a 2 ), a  (0; 4) Ta có f   a   8  6a 2  f   a   0  a 

2 . 3

Xét bảng biến thiên hàm số f  a  với a   0; 4  .

32 3 2  2  32 3 Ta có max f  a   f    S1  max   m .  0;4  9 9  3 Suy ra S 2  min  

32 32 3   4,51m 2 . Suy ra số tiền ít nhất cần là 451.000 đồng. Chọn C. 3 9

Ví dụ 21: Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa mỏng hình vuông cạnh 10(cm) bằng cách khoét bỏ đi bốn phần bằng nhau có hình dạng parabol như hình bên. Biết rằng OH  4  cm  . Tính diện tích bề mặt hoa văn đó?

140 cm 2   3

160 cm 2   3

40  cm2  3

D. 50  cm 2  Lời giải

Dựa vào đề bài ta tính được Parabol có PT  P  : y  

16 2 x  4. 25

Gọi S1 là diện tích hình phẳng trong hình bên Suy ra S1 

5 2

 16

   25 x



5 2

40   4  dx   cm3  . 3 

Gọi S là diện tích hoa văn cần tính Suy ra S  102  4 S1 

140  cm3  . Chọn A. 3

AB  5  cm 

đồng thời

Ví dụ 22: Sân trường có một bồn hoa hình tròn có tâm O. Một nhóm học sinh lớp 12 được giao thiết kế bồn hoa, nhóm này định chia bồn hoa thành bốn phần, bởi hai đường parabol có cùng đỉnh O và đối xứng nhau qua O. Hai đường parabol này cắt đường tròn tại bốn điểm A, B, C, D tạo thành một hình vuông có cạnh bằng 4m (như hình vẽ). Phần diện tích S1 , S 2 dùng để trồng hoa, phần diện tích S3 , S 4 dùng để trồng cỏ (Diện tích làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai). Biết kinh phí để trồng hoa là 150.000 đồng/ 1m 2 , kinh phí để trồng cỏ là 100.000 đồng/ 1m 2 . Hỏi nhà trường cần bao nhiêu tiền để trồng bồn hoa đó? (Số tiền làm tròn đến hàng chục nghìn). A. 6.060.000 đồng

B. 5.790.000 đồng

C. 3.270.000 đồng

D. 3.000.000 đồng Lời giải

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ O  0;0  ; A  2; 2  ; B  2; 2  Khi đó phương trình parabol phía trên có dạng là:

 P  : y  ax 2 trong đó B  2; 2    P   a  Suy ra  P  : y 

1 . 2

x2 . 2

Phương trình cung tròn nằm phía trên trục Ox là

y  R 2  x 2  OA2  x 2  8  x 2 2  x2  Khi đó S1    8  x 2   dx . 2 2 

Diện tích hình tròn là S  R 2  OA2  8 Ta có T  150.2 S 2  100.  S  2 S1  Bấm máy ta được T  150.2 S1  100.  S  2 S1   3.270 nghìn đồng. Chọn C. Ví dụ 23: [Đề thi THPT Quốc gia năm 2018] Cho hai hàm số f  x   ax 3  bx 2  cx 

1 và g  x   dx 2  ex  1 2

 a , b, c , d , e    .

Biết rằng

đồ thị của hàm số y  f  x  và y  g  x  cắt nhau tại 3 điểm có hoành độ lần lượt là 3; 1;1 (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng: A.

9 2

B. 8

C. 4

D. 5 Lời giải

Ta có phương trình hoành độ giao điểm của hai hàm số là: ax3  bx 2  cx 

1 3  dx 2  ex  1  ax3   b  d  x 2   c  e  x   0 2 2

Vì phương trình có các nghiệm 3; 1;1 nên: ax3   b  d  x 2   c  e  x   ax3   b  d  x 2   c  e  x 

3  a  x  3  x  1 x  1 2

3  a  x3  3x 2  x  3  2

1  a    2 b  d  3a   3 1  Đồng nhất hệ số ta được: c  e  a  b  d  (thực ra chỉ cần tìm được a  ) 2 2  3  1   3a  2 c  e  2  1

1 Suy ra diện tích hình phẳng cần tìm là: S   x3  3 x 2  x  3 dx  4 . Chọn C. 2 3 Ví dụ 24: [Đề thi THPT Quốc gia năm 2018] Cho hai hàm số f  x   ax3  bx 2  cx  2 và g  x   dx 2  ex  2

 a , b, c , d , e    .

Biết

rằng đồ thị của hàm số y  f  x  và y  g  x  cắt nhau tại 3 điểm có hoành độ lần lượt là 2; 1;1 (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng: A.

37 6

13 2

9 2

37 12

Lời giải Ta có phương trình hoành độ giao điểm của hai hàm số là: ax3  bx 2  cx  2  dx 2  ex  2  ax3   b  d  x 2   c  e  x  4  0

Vì phương trình có các nghiệm 2; 1;1 nên: ax 3   b  d  x 2   c  e  x  4  a  x  2 x  1 x  1 Đồng nhất hệ số ta được: a  2 1

Suy ra diện tích hình phẳng cần tìm: S  2   x  2  x  1 x  1 dx  3

37 . Chọn A. 6

Ví dụ 25: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị y  f   x  cắt trục Ox tại ba điểm có hoành độ thỏa mãn a  b  c như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. f  c   f  a   f  b 

B. f  c   f  b   f  a 

C. f  a   f  b   f  c 

D. f  b   f  a   f  c  Lời giải

Ta có f   x   0  x  a; b; c . Dựa vào BBT, ta thấy f  b    f  a  ; f  c  . b

Lại có S1   f   x  dx  S 2   f   x  dx   f  x  a  f  x  b  f  a   f c  . b

Vậy f  c   f  a   f  b  . Chọn A. Ví dụ 26: Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên ℝ, đồ thị hàm số y  f   x  như trong hình vẽ. Hỏi phương trình f  x   0 có tất cả bao nhiêu nghiệm biết f  a   0 ? A. 3

B. 2

C. 1

D. 0 Lời giải

Ta có f   x   0  x  a; b; c . Dựa vào BBT, ta thấy f  b    f  a  ; f  c  . b

Lại có S1   f   x  dx  S 2   f   x  dx  f  x  a   f  x  b  f  a   f c  . b

Do đó f  b   f  c   f  a   0 . Vậy phương trình f  x   0 vô nghiệm. Chọn D. Ví dụ 27: (Đề thi THPT Quốc gia 2017 – Mã đề 102) Cho y  f  x  có đồ thị của y  f   x  như hình vẽ. Đặt g  x   2 f  x    x  1 . Mệnh đề nào đúng? 2

A. g  3  g  3  g 1 B. g  3  g  3  g 1 C. g 1  g  3  g  3 D. g 1  g  3  g  3 Lời giải Ta có g   x   2 f   x   2  x  1 ; g   x   0  f   x   x  1 . Nhận thấy nghiệm của g   x   0 chính là nghiệm của f   x   x  1 , cũng là hoành độ giao điểm của hai  x  3;1;3 . đồ thị hàm số y  f   x  và đường thẳng y  x  1 

Vẽ đường thẳng y  x  1 và chia đồ thị thành 2 phần diện tích hình phẳng. 1

Khi đó 2 S1  2   f   x    x  1 dx  3

 g   x  dx  g 1  g  3   0  g 1  g 3 

3

Và 2 S 2  2   x  1  f   x   dx    g   x  dx  g 1  g  3  0  g 1  g  3

Lại có S1  S 2  2 S1  2 S 2  g 1  g  3   g 1  g 3   g 3   g  3  . Vậy g 1  g  3  g  3 . Chọn D. Ví dụ 28: (Đề thi THPT Quốc gia 2017 – Mã đề 103) Cho y  f  x  có đồ thị của y  f   x  như hình vẽ. Đặt g  x   2 f  x   x 2 . Mệnh đề nào đúng?

A. g  3  g  3  g 1 B. g  3  g  3  g 1 C. g 1  g  3  g  3 D. g 1  g  3  g  3 Lời giải Ta có g   x   2 f   x   2 x ; g   x   0  f   x    x . Nhận thấy nghiệm của g   x   0 chính là nghiệm của f   x    x cũng là hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y  f   x  và đường thẳng y   x   x  3;1;3 . Vẽ đường thẳng y   x và chia đồ thị thành 2 phần diện tích hình phẳng. 1

3

Khi đó 2 S1  2    x  f   x   dx    g   x  dx  g  3   g 1  0  g  3   g 1 3

Và 2 S 2  2   f   x   ( x)  dx   g   x  dx  g  3  g 1  0  g  3  g 1 . Lại có S1  S 2  2 S1  2 S 2  g  3   g 1  g 3   g 1  g  3   g 3  . Vậy g  3  g  3  g 1 . Chọn B.

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  a; b  . Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đường cong y  f  x  , trục hoành, các đường thẳng x  a, x  b được xác định bằng công thức nào? b

A. S    f  x  dx

B. S   f  x  dx

C. S   f  x  dx

D. S   f  x  dx

Câu 2: Công thức tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y  f1  x  , y  f 2  x  và các đường thẳng x  a, x  b  a  b  là công thức nào sau đây? b

A. S   f1  x   f 2  x  dx

B. S   f 2  x   f1  x  dx

C. S    f1  x   f 2  x   dx

D. S   f1  x   f 2  x  dx

Câu 3: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x 2 , y  2  x và y  0 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 1

A. S   x 2 dx    x  2  dx 0

B. S 

 x  2  dx

C. S 

x 1

1   x 2 dx 2 0

D. S   x 2   2  x  dx 0

Câu 4: Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đồ thị hàm số y  x3  x, y  2 x và các đường x  1, x  1 được xác định bởi công thức nào sau đây? 1

A. S 

  3x  x  dx

B. S 

1 0

C. S 

 x

1

1 1

  3x  x  dx

 3 x  dx    3 x  x  dx 3

D. S 

  3x  x  dx    x 3

1

 3 x  dx

Câu 5: Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đồ thị của hai hàm số y  2 x, y  4  x và trục hoành Ox được tính bởi công thức nào dưới đây? 4

A. S   2 xdx    4  x  dx 4

C. S   0





2 x  4  x dx

B. S   2 xdx    4  x  dx 2





D. S   4  x  2 x dx 0

Câu 6: Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đường y  x 2  x, y  0, x  0 và x  2 được tính bởi công thức nào sau đây? 2

A. S    x  x  dx 2

B. S    x  x     x 2  x  dx 2

C. S    x 2  x     x 2  x  dx

D. S    x 2  x  dx 0

Câu 7: Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y  x 2 và y  2  x 2 được xác định bởi công thức nào sau đây? 1

A. S 

 x

 1 dx

B. S  4  1  x  dx 2

1

C. S 

 1  x  dx

D. S  2   x 2  1 dx

1

Câu 8: Hình phẳng giới hạn bởi các đường x  1, x  2, y  0, y  x 2  2 x có diện tích S được tính theo công thức nào dưới đây? 2

A. S 

2   x  2 x  dx

B. S 

1 0

C. S 

 x

1

 2 x  dx    x 2  2 x  dx 0

1

2 2   x  2 x  dx    x  2 x  dx

D. S 

x

 2 x dx

1

Câu 9: Tìm công thức tính diện tích S của hình phẳng

H 

giới hạn bởi các đồ thị hàm số

y  f  x  , y  g  x  và hai đường thẳng x  a, x  b như hình vẽ dưới đây. c

A. S    f  x   g  x   dx    g  x   f  x   dx B. S    g  x   f  x   dx    f  x   g  x   dx b

C. S    g  x   f  x  dx a

D. S    f  x   g  x  dx a

Câu 10: Cho đồ thị hàm số y  f  x  . Diện tích hình phẳng S (phần tô đậm trong hình) được xác định bằng công thức nào? A. S  B. S 

2

 f  x  dx   f  x  dx

 f  x  dx   f  x  dx 0

C. S 



2 0

D. S 



2

f  x  dx   f  x  dx 0

Câu 11: Công thức nào sau đây dùng để tính diện tích hình phẳng S phần gạch của hình vẽ.

A. S 

 g  x  dx   f  x  dx b

B. S   f  x  dx   g  x  dx C. S   g  x  dx   f  x  dx D. S   g  x  dx   f  x  dx Câu 12: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  , trục hoành, đường thẳng x  a, x  b (như hình bên dưới). Hỏi cách tính S nào dưới đây đúng? c

A. S 

f  x  dx   f  x  dx

 a

B. S   f  x  dx   f  x  dx c

C. S    f  x  dx   f  x  dx b

D. S   f  x  dx a

Câu 13: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x 4  2 x 2 và trục hoành như hình vẽ. Tìm khẳng định sai? 2

A. S 

 f  x  dx

 2

B. S  2

 f  x  dx 0

C. S  2  f  x  dx 0

D. S  

 f  x  dx   f  x  dx

 2

Câu 14: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  và trục hoành (như hình vẽ). Công thức nào dùng để tính diện tích S?

A. S 

 f  x  dx

2 1

B. S 

f  x  dx   f  x  dx



2

C. S  D. S 

2

 f  x  dx   f  x  dx  f  x  dx   f  x  dx

Câu 15: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  a; b  . Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

 C  : y  f  x  , trục hoành, hai đường thẳng

x  a, x  b (như hình vẽ bên dưới). Giả sử S D là diện tích của

hình phẳng D. Chọn công thức đúng trong các phương án A, B, C, D dưới đây? 0

A. S D   f  x  dx   f  x  dx 0

B. S D    f  x  dx   f  x  dx 0

C. S D   f  x  dx   f  x  dx 0

D. S D    f  x  dx   f  x  dx Câu 16: Cho đồ thị hàm số y  f  x  . Diện tích hình phẳng (phần gạch chéo) trong hình được tính theo công thức: 4

A. S 

 f  x  dx

2

B. S  C. S  D. S 

2

 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx 0

2

 f  x  dx   f  x  dx

2

 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx

Câu 17: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f  x  , trục hoành (phần gạch sọc trong hình vẽ). Đặt a 

3

 f  x  dx, b   f  x  dx . Mệnh đề nào đúng?

A. a  b

B. a  b

C. b  a

D. b  a

Câu 18: Gọi S là diện tích hình phẳng  H  được giới hạn bởi các đường y  f  x  , trục hoành và hai đường x  1, x  2

thẳng

a

1

(như

 f  x  dx, b   f  x  dx .

hình

vẽ).

Đặt

Mệnh đề nào dưới đây

đúng? A. S  a  b

B. S  a  b

C. S  b  a

D. S  b  a

Câu 19: Tìm công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi phần gạch sọc trong hình vẽ. 3

A. S    3 x  0,5  1 dx    log 2 x  0,5 x  2 dx x

B. S    3 x  0,5 x  1 dx    log 2 x  0,5 x  2 dx C. S    3 x  0,5 x  1 dx    log 2 x  0,5 x  2 dx D. S    3 x  0,5 x  1 dx    log 2 x  0,5 x  2 dx Câu 20: Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x  g  y  , trục tung và hai đường thẳng y  a, y  b như hình vẽ bên.

Khẳng định nào sau đây đúng? b

A. S   g  y  dx a

B. S   g  y  dy b

C. S   g  y  dy

D. S 

 g  y  dx a

Câu 21: Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số x  f  y  , x  g  y  và hai đường thẳng y  a, y  b như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng? c

A. S    g  y   f  y   dx    f  y   g  y   dx

B. S   g  y   f  y   dy a

C. S    g  y   f  y   dy    f  y   g  y   dy b

D. S    g  y   f  y  dy a

Câu 22: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  , trục hoành, đường thẳng x  a, x  b (như hình bên). Biết

 f  x  dx  3 và  f  x  dx  5 . Tìm S.

A. S  3

B. S  5

C. S  8

D. S  2

Câu 23: Cho hai hàm số f  x   x và g  x   6  x có đồ thị như hình vẽ. Gọi S là diện tích hình phẳng (phần gạch chéo) trong hình. Công thức nào sau đây sai? 4

A. S   f  x  dx   g  x  dx 6

B. S   f  x   g  x  dx 0

C. S   y 2  6 y  y dy 0

D. S    6  y  y 2  dy 0

Câu 24: Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đồ thị của các đường y  x 2  4 x  1 , y  m  m  3 và x  0, x  3 . A. S  3m  6

B. S  6  3m

C. S  3m  6

D. S  3m  6

Câu 25: Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đồ thị của các đường y 

 x khi x  1 . y  x  2 khi x  1 A. S  13

B. S 

15 2

C. S 

13 2

D. S  7

10 x  x 2 và 3

Câu 26: (Đề thi minh họa – Bộ GD&ĐT 2017) Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị hàm số

y  x3  x và đồ thị hàm số y  x  x 2 . A. S 

37 12

B. S 

9 4

C. S 

81 12

D. S  13

Câu 27: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x 3  3 x và đồ thị hàm số y  x . A. S  3

B. S  4

C. S  6

D. S  8

Câu 28: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đường cong y  x 2  x  1 và đường thẳng y  2 x  1 . A. S 

9 2

B. S  4

C. S 

11 2

D. S  3

Câu 29: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x 2 và y  x . A. S  

1 6

B. S 

2 3

C. S  1

D. S 

1 6

Câu 30: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x 2  2 x và các đường thẳng y  0, x  1, x  1 .

A. S 

2 3

B. S  2

C. S 

4 3

D. S 

8 3

Câu 31: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi y  x 2  5 x  3 và y  2 x 2  2 x  1 . A. S 

1 54

B. S 

833 54

C. S 

263 162

D. S 

35 54

Câu 32: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y  x 2  x  5 và

y  2 x3  x 2  x  5 . A. S  1

B. S  2

C. S  3

D. S  4

Câu 33: Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y  2 x 2 và y  x 4  2 x 2 trong miền x 0.

A. S 

64 15

B. S 

32 25

C. S 

32 15

D. S 

15 32

Câu 34: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y   e  1 x và y  1  e x  x . A. S 

e 1 2

B. S  1

C. S 

3 2

D. S  2e  1

Câu 35: Tính diện tích S của hình phẳng  H  giới hạn bởi các đường y  x , y  6  x và trục hoành. A. S 

20 3

B. S 

25 3

C. S 

16 3

D. S 

22 3

Câu 36: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x ln x , trục hoành và đường thẳng x  e.

A. S  e 2  1

B. S 

e2  1 4

C. S 

e2  1 2

D. S 

e2  1 4

Câu 37: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y   x  1 e x , y  x 2  1 . A. S  e 

8 3

B. S  e 

2 3

C. S  e 

2 3

D. S  e 

8 3

Câu 38: Biết rằng hình thang cong  H  giới hạn bởi các đường y  2  x, y  0, x  k , x  3 với k  2 và có diện tích bằng S k . Xác định giá trị của k để S k  16 . A. k  2  15

B. k  2  31

C. k  2  15

D. k  2  31

Câu 39: Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi các đường y  ln x, y  0, x  k  k  1 . Tìm k để diện tích hình phẳng  H  bằng 1. A. k  2

C. k  e3

B. k  e

D. k  e 2

Câu 40: Cho hai hàm số y  f  x  và y  g  x  liên tục trên đoạn  a; b  với a  b . Kí hiệu S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  2 f  x  , y  2 g  x  , x  a và x  b ; S 2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f  x   2, y  g  x   2, x  a và x  b . Chọn khẳng định đúng? A. S1  S 2

B. S1  2 S 2

C. S1  2 S 2  2

D. S1  2 S 2  2

Câu 41: Trong mặt phẳng tọa độ, cho hình chữ nhật  H  có một cạnh nằm trên trục hoành và có hai đỉnh





trên một đường chéo là A  1;0  và C a; a với a  0 . Biết rằng đồ thị hàm số y  x chia hình  H  thành hai phần có diện tích bằng nhau, tìm a. A. a  9

B. a  4

C. a 

1 2

Câu 42: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị  C  : y 

D. a  3 2x 1 , tiệm cận ngang của đồ thị  C  , x 1

trục tung và đường thẳng x  a  a  0  . Tìm a để S  3ln 5 . A. a  5

B. a  4

C. a  3

Câu 43: Tính diện tích hình phẳng trong phần tô đậm của hình vẽ bên. A.

8 3

11 3

7 3

10 3

D. a  2

Câu 44: Tìm công thức tính diện tích S của hình phẳng  H  giới hạn bởi các đồ thị hàm số y  f  x  , y  g  x  và hai đường thẳng x  a, x  b như hình vẽ bên cạnh.

Biết rằng f  x   g  x  , x   a; b  và f  x   g  x  , x   c; d  . c

A. S    g  x   f  x   dx    f  x   g  x   dx B. S    f  x   g  x   dx    g  x   f  x   dx b

C. S    g  x   f  x  dx a

D. S    f  x   g  x  dx a

Câu 45: Diện tích phần gạch chéo trong hình vẽ bằng bao nhiêu? A.27ln2 B. 27ln3 C. 28ln3 D. 29ln3

Câu 46: Diện tích hình phẳng tô đậm trong hình vẽ bằng bao nhiêu? A.

3 2

3 4

1 6

1 2

Câu 47: Biết diện tích phần gạch chéo của hình vẽ bên bằng b ae   c với a, b, c là các số nguyên. Tính P  a  b  c . e

A. P 

1 3

C. P  

B. P  0 1 2

D. P 

1 5

Câu 48: Cho đồ thị y  f  x  như hình vẽ. Diện tích S của hình

phẳng

(phần gạch chéo) được xác định bởi công thức nào? 2

A. S 

 f  x  dx

2 1

B. S 



2 2

C. S 

 1

D. S 

f  x  dx   f  x  dx 1

2

 f  x  dx   f  x  dx

Câu 49: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol như hình vẽ và trục hoành Ox. 4 3

17 2

C. 9

1 9

Câu 50: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol như hình vẽ và đường thẳng y  3 . A. S 

3 4

B. S 

4 3

C. S 

14 3

D. S  6

Câu 51: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y  f  x  có đồ thị như hình vẽ và Ox, Oy. Biết rằng đồ thị hàm số y  f  x  đi qua hai  1  điểm A  0;1 , B   ;0  .  2 

A. 1  ln 2 C. 2  ln

1 2

B. 1  ln D.

1 2

1 1  ln 2 2

Câu 52: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y  2  x 2 , đường thẳng y  x và trục hoành. A. S  

B. S 

3 4

C. S 

 2

D. S 

 4

Câu 53: Cho S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  2 x  x 2 và trục hoành. Tìm số nguyên lớn nhất không vượt quá S.

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Câu 54: Tính diện tích S của hình phẳng  H  giới hạn bởi hai đồ thị của hai hàm số y  3x , y  4  x và trục tung. A. S 

9 2  2 ln 3

B. S 

9 3  2 ln 3

C. S 

7 3  2 ln 3

D. S 

7 2  2 ln 3

Câu 55: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y  2 ax  a  0  , trục hoành và đường thẳng x  a bằng ka 2 . Tính giá trị của tham số k. A. k 

7 3

B. k 

4 3

C. k 

12 5

D. k 

6 5

Câu 56: Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đồ thị của các đường y  x 2  2 x  1 , y  x  1 , x  0 , x  m với m   0;3 .

A. S 

m3 3m 2  3 2

B. S 

3m 2 m3  2 3

C. S 

m3 m 2   2m 3 2

D. S 

m3 m 2   2m 3 2

Câu 57: Biết diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đồ thị của các đường y  x 2  2 x  1 , y  1  x và x  0, x  m với m  0 bằng

5 . Tìm giá trị của tham số m. 6

A. m  3

B. m  2

C. m  1

D. m  4

Câu 58: Cho hàm số y 

1 4 x  2m 2 x 2  2 . Tìm các giá trị của tham số m sao cho đồ thị của hàm số đã cho 2

có cực đại và cực tiểu, đồng thời đường thẳng cùng phương với trục hoành qua điểm cực đại tạo với đồ thị một hình phẳng có diện tích bằng A. m 

64 . 15

B. m  1

 2  ; 1 C. m    2 

 1  D. m   ; 1  2 

Câu 59: Tính diện tích S của phần hình phẳng gạch sọc (như hình vẽ bên dưới) giới hạn bởi đồ thị của hàm số bậc ba y  ax3  bx 2  cx  d và trục hoành. A. S 

31 5

B. S 

27 4

C. S 

19 3

D. S 

31 5

Câu 60: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2my  x 2 , 2mx  y 2  m  0  . Tìm giá trị của m để S  3 . A. m 

3 2

B. m  2

C. m  3

D. m 

1 2

Câu 61: Cho hình thang cong

H 

giới hạn bởi các đường y  e x , y  0, x  0, x  ln 4 . Đường thẳng

x  k  0  k  ln 4  chia  H  thành hai phần có diện tích là S1 và S 2 như

hình vẽ bên. Tìm k để 4 S1  S 2  8 . 2 A. k  ln 4 3

C. k  ln

8 3

B. k  ln 2 D. k  ln

2 3

Câu 62: Cho hình thang cong

H 

giới hạn bởi các đường

1 1 1  y  , x  , x  2 và trục hoành. Đường thẳng x  k ,   k  2  chia x 2 2 

H 

thành hai phần có diện tích là S1 và S 2 như hình vẽ dưới đây.

Tìm tất cả các giá trị thực của k để S1  3S 2 . A. k  2 C. k 

B. k  1

7 5

D. k  3

Câu 63: Cho hình thang cong  H  giới hạn bởi các đường y  e x ; y  0; x  0 và x  ln 4 . Đường thẳng x  k  0  k  ln 4  chia  H  thành

hai phần có diện tích là S1 , S 2 và như hình vẽ bên dưới. Tìm k để S1  2 S 2 . A. k  ln

8 3

2 B. k  ln 4 3

C. k  ln 3

D. k  ln 2

Câu 64: Cho hình thang cong

H 

giới hạn bởi các đường

y  e x ; y  0; x  1; x  ln 6 . Đường thẳng x  k 1  k  ln 6  chia  H  thành hai phần có diện tích S1 và S 2 như hình vẽ bên. Tìm k để P  S12  S 22 đạt giá trị nhỏ nhất. A. k 

e  6 2

C. k   ln

e6 2

B. k 

e6 2

D. k  ln

e6 2

Câu

65:

Cho

hình

thang

H 

cong

giới

hạn

bởi

các

đường

y  e x ; y  0; x  1; x  ln 6 . Đường thẳng x  k 1  k  ln 6  chia  H  thành hai phần có diện tích là S1 và S 2 như hình vẽ bên. Tìm k để S1  S 2  2 . A. 1  k  C. k  ln

e4 2

B. k 

e4 2

D. 1  k  ln

e4 2

Câu 66: Cho hình thang cong

H 

giới hạn bởi các đường

y  e x ; y  0; x  0; x  ln 4 . Đường thẳng x  k  0  k  ln 4  chia  H  thành hai phần có diện tích là S1 và S 2 như hình vẽ bên. Gọi X là tập hợp tất cả các giá trị k để S12  S 22  5 . Tính tổng các phần tử của tập hợp X. A. ln5

B. ln6

C. ln12

D. ln

Câu 67: Gọi

H 

5 2

là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y  x 2  4 x  4 , trục tung và trục hoành. Xác định k để đường thẳng d đi qua điểm A  0; 4  có hệ số góc k chia  H  thành hai phần có diện tích bằng nhau (như hình vẽ bên). A. k  4

B. k  8

C. k  6

D. k  2

Câu 68: Cho hình thang cong

H 

giới hạn bởi các đường

y  e x , y  0, x  0, x  1 . Đường thẳng x  k  0  k  1 chia  H  thành hai phần có diện tích là S1 và S 2 như hình vẽ bên. Tìm k để S1  S 2 . A. k 

e 1 2

C. 0  k  ln

B. ln e 1 2

e 1  k 1 2

D. k  ln

e 1 2

Câu 69: Cho hàm số

y  f  x

liên tục trên ℝ và hàm số

y  g  x   xf  x 2  có đồ thị trên đoạn  0; 2 như hình vẽ. Biết diện tích 4

miền tô màu là S 

5 . Tính I   f  x  dx . 2 1

5 4

B. I 

5 2

C. I  5

D. I 

11 2

A. I 

Câu 70: Một sân chơi dành riêng cho trẻ em hình chữ nhật có chiều dài 50m và chiều rộng 30m, người ta làm một con đường trong sân (như hình vẽ). Biết viền ngoài và viền trong của con đường là hai đường elip và chiều rộng của mặt đường là 2m. Kinh phí để làm mỗi m 2 làm đường 500.000 đồng. Tính tổng số tiền làm con đường đó (số tiền làm tròn đến hàng nghìn). A. 119.000.000 đồng

B. 152.000.000 đồng

C. 119.320.000 đồng

D. 125.520.000 đồng

Câu 71: Người ta trồng hoa và phần đất được gạch sọc được giới hạn bởi cạnh AB, CD, đường trung bình MN của mảnh đất hình chữ nhật ABCD và một đường cong hình sin (như hình vẽ). Biết AB  2  m  và AD  2  m  . Tính diện tích phần còn lại. A. 4  1

B. 4    1

4  2 2

4  3 2

Câu 72: Ông An muốn là cửa rào sắt có hình dạng kích thước như hình vẽ bên, biết đường cong phía trên là một parabol. Giá 1m 2 của rào sắt là 700.000 đồng. Hỏi ông An phải trả bao nhiêu

tiền để làm cửa sắt (làm tròn đến hàng phần nghìn). A. 6.520.000 đồng

B. 6.320.000 đồng

C. 6.417.000 đồng

D. 6.620.000 đồng

Trục hoành và hai đường thẳng x 

5 5 ;x  2 2

Câu 73: Một khuôn viên dạng nửa hình tròn có đường kính bằng 4 5 m. Trên đó người ta thiết kế hai phần để trồng hoa có dạng của một cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm nửa đường tròn và hai đầu mút của cánh hoa nằm trên nửa đường tròn (phần tô màu), cách nhau một khoảng bằng 4m. Phần còn lại của khuôn viên (phần không tô màu) dành để trồng cỏ Nhật Bản. Biết các kích thước

cho như hình vẽ và kinh phí để trồng cỏ Nhật Bản là 100.000 đồng/ m 2 . Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng cỏ Nhật Bản? (làm tròn đến hàng nghìn) A. 3.895.000 đồng

B. 1.948.000 đồng

C. 2.388.000 đồng

D. 1.194.000 đồng

Câu 74: (Đề thi THPT Quốc gia 2017 – Mã đề 101) Cho y  f  x  có đồ thị của y  f   x  như hình vẽ. Đặt h  x   2 f  x   x 2 . Mệnh đề nào đúng? A. h  4   h  2   h  2  B. h  4   h  2   h  2  C. h  2   h  4   h  2  D. h  2   h  2   h  4  Câu 75: (Đề thi THPT Quốc gia 2017 – Mã đề 104) Cho y  f  x  có đồ thị của y  f   x  như hình vẽ. Đặt g  x   2 f  x    x  1 . Mệnh đề nào đúng? 2

A. g 1  g  3  g  3 B. g 1  g  3  g  3 C. g  3  g  3  g 1 D. g  3  g  3  g 1 Câu 76: Cho y  f  x  có đồ thị của y  f   x  như hình vẽ. Đặt g  x   f  x   cos x . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

 A. g  0   g     g   2

 B. g    g  0   g    2

 C. g    g     g  0  2

 D. g     g  0   g   2

D. LỜI GIẢI CHI TIẾT b

Câu 1: Ta có S   f  x  dx . Chọn D. a

Câu 2: Ta có S   f1  x   f 2  x  dx . Chọn A. a

x  1 Câu 3: Phương trình hoành độ giao điểm x 2  2  x   .  x  2 1

1   x 2 dx . Chọn C. 2 0

Dựa vào đồ thị hàm số ta có S   x 2 dx    2  x  dx 

x  0 Câu 4: Phương trình hoành độ giao điểm x3  x  2 x  x3  3 x  0   2  x  3 l  0

Do đó S 

 x

1

 3 x  dx    3 x  x3  dx . Chọn C. 0

2x  4  x  x  2 .

Câu 5: Phương trình hoành độ giao điểm 2

Dựa vào đồ thị hàm số ta có S   2 xdx    4  x  dx . Chọn B.

x  0 Câu 6: Phương trình hoành độ giao điểm x 2  x  0   . x  1 2

Dựa vào đồ thị hàm số ta có S    x  x     x 2  x  dx . Chọn B. 2

x  1 Câu 7: Phương trình hoành độ giao điểm x 2  2  x 2   .  x  1 1

Ta có S 



1

x 2   2  x 2  dx  2  1  x 2 dx  4  1  x 2  dx . Chọn B.

x  0 Câu 8: Phương trình hoành độ giao điểm x 2  2 x  0   . x  2 0

Dựa vào đồ thị hàm số ta có S 

 x

1

 2 x  dx    x 2  2 x  dx . Chọn B. 0

Câu 9: Dựa vào đồ thị hàm số ta có S    f  x   g  x   dx    g  x   f  x   dx . Chọn A. 0

Câu 10: Dựa vào đồ thị hàm số ta có S 



2

f  x  dx   f  x  dx . Chọn A. 0

Câu 11: Dựa vào đồ thị hàm số ta có S   f  x  dx   g  x  dx . Chọn B.

Câu 12: Dựa vào đồ thị hàm số ta có S    f  x  dx   f  x  dx . Chọn C. 2

Câu 13: Ta có diện tích 2 bên trục tung bằng nhau nên S  2

 f  x  dx . Chọn B. 0

Câu 14: Dựa vào đồ thị hàm số ta có S 

2

 f  x  dx   f  x  dx . Chọn C. 0

Câu 15: Dựa vào đồ thị hàm số ta có S D    f  x  dx   f  x  dx . Chọn B. 0

Câu 16: Dựa vào đồ thị hàm số ta có S 



2 1

Câu 17: Dựa vào đồ thị hàm số ta có S 



f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx . Chọn B. 2

3

f  x  dx   f  x  dx  a  b . Chọn B. 1

1

Câu 18: Dựa vào đồ thị hàm số ta có S    f  x  dx   f  x  dx  b  a . Chọn D. 1

Câu 19: Dựa vào đồ thị hàm số ta có S    3 x  0,5 x  1 dx    log 2 x  0,5 x  2 dx . Chọn D. b

Câu 20: Dựa vào đồ thị hàm số ta có S   g  y  dy . Chọn C. a c

Câu 21: Dựa vào đồ thị hàm số ta có S    g  y   f  y   dy    f  y   g  y   dy . Chọn C. b

Câu 22: Ta có S   f  x  dx   f  x  dx    f  x  dx   f  x  dx    3  5  8 . Chọn C. Câu 23: Ta có S   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   g  x  dx . Chọn B. 3

 m 3 Câu 24: S   x 2  4 x  1  m dx   x2  4x  1  m  x2  4x  4   x  2   0 2

 x3   S    x  4 x  1  m  dx    2 x 2  1  m  x   3m  6 . Chọn D.  3 0 0 3

x  0 1 10  13  2 Câu 25: Xét PT: x  x  x    S  x  x 2  dx . 13 1   x  3 3  0 3  x  3 3 10 7   2  Lại có xx  x2  S 2    2  x  x 2  dx 2 x   3 3  1 3 

 13 x 2 x3   7 x 2 x3  13  S  S1  S 2       2 x+    . Chọn C. 3 0  6 3 1 2  2 x  0 1 Câu 26: Xét PT: x  x  x  x   x  1  S   x3  x 2  2 x dx 2  x  2 3





2

x3  x 2  2 x dx   x3  x 2  2 x dx  0

2

3 2 3 2   x  x  2 x dx     x  x  2 x dx

 x 4 x3   x 4 x3  8 5 37 . Chọn A.     x2      x2      4 3  2  4 3  0 3 12 12 2 0 2 x  0 3 3 Câu 27: Xét PT: x  3 x  x    S   x  4 x dx   x  4 x dx   x3  4 x dx  x  2 2 2 0 3

 x4  2 x4  2    x  4 x  dx    4 x  x  dx    2 x    2 x    8 . Chọn D. 4 0  4  2  2 0 0

 x  1 Câu 28: Xét PT: x 2  x  1  2 x  1   x  2 2

S



1

 x3 x 2  9 x  x  2 dx     x  x  2  dx      2 x   . Chọn A.  3 2  1 2 1 2

1 1  x 2 x3  x  0 1 2 2 Câu 29: Xét PT: x  x    S   x  x dx    x  x  dx      . Chọn D. x  1  2 3 0 6 0 0 2

Câu 30: Ta có S 

x

 2 x dx 

1

x

1

 2 x dx   x 2  2 x dx 0

 x3   x3  2     x  2 x  dx    x  2 x  dx     x 2     x 2   . Chọn A.  3  1  3 0 3 1 0 0

x  1 Câu 31: Xét PT: x  5 x  3  2 x  2 x  1  3 x  7 x  4  0   x  4 3  2

4 3

 3 1 7 x2 . Chọn A.  S   3 x 2  7 x  4 dx     3 x 2  7 x  4  dx    x3   4x   2   1 54 1 1

x  0 Câu 32: Xét PT: x 2  x  5  2 x 3  x 2  x  5  2 x 3  2 x  0    x  1 1

S



1

2 x3  2 x dx 



1

2 x3  2 x dx   2 x3  2 x dx 0

 x4   x4     2 x  2 x  dx     2 x  2 x  dx    x 2     x 2   1 . Chọn A.  2  1  2 0 1 0 0

2 x  0 Câu 33: Xét PT: x  2 x  2 x    S   x4  4x2  x    2  0 4

x

 4 x 2  dx

 x5 4 x3  64 64 . Chọn A.     x  4 x  dx      S  3 0 15 15  5 0 2

x  0 Câu 34: Xét PT:  e  1 x  1  e x  x  ex  xe x   x  1 1

S 0

 ex 2  e x  e  e  dx   x  e  e  dx    e x  xe x    1 . Chọn A.  2 0 2 0 1





x  6  x  x  4  S   x  x  6 dx    x  x  6 dx

Câu 35: Xét PT:

   x2  x3 22     6x   . Chọn D. 3 3  2   2 0 e 1 e x  0 Câu 36: Xét PT: x ln x  0    S   x ln x dx   x ln x dx   x ln x dx x  1 0 0 1 1

   x ln xdx   x ln xdx    x ln xdx 

1 1 2 1 2 1 1 2 x2 2 ln xd x  x ln x  x . dx  x ln x  C   2 2 2 x 2 4

1 x2   1 x2  e2  1 . Chọn B.  S    x 2 ln x     x 2 ln x    4 0 2 4 1 4 2 1 x  1 x  1 Câu 37: Xét PT:  x  1 e  x  1   x   S    x  1 e x   x 2  1 dx e  x  1  x  0 0 x

 x x x x3  8    x  1 e   x  1 dx   xe  e  e   x   e  . Chọn D. 3 3  0 0 1

Câu 38: Xét PT: 2  x  0  x  2  S   2  x dx    2  x  dx    x  2  dx 2

  x2   x2 5  k2    2 x      2 x     2k    16  k  2  31 . Chọn D. 2 k  2 2   2 2  k

Câu 39: Xét PT: ln x  0  x  1  S   ln x dx  x ln x 1   xd  ln x  1

 k ln k   k  1  1  k  e . Chọn B.

Câu 40: S1   2 f  x   2 g  x  dx; S 2   f  x   2  ( g  x   2) dx   f  x   g  x  dx 

1 S1 . Chọn B. 2

Câu 41: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x , y  0, x  0, x  a là a

2 3 2 3 x  a . 3 3 0

S    xdx  0

Lại có S H    a  1 a  S   a

Câu 42: S   0

1 2 3 1 S H   a   a  1 a  a  3 . Chọn D. 2 3 2

a 2x 1 3  2 dx   dx  3ln x  1 1  3ln a  1  3ln 5  a  4 . Chọn B. x 1 x 1 0

Câu 43: S   xdx    x  2  dx 

10 . Chọn D. 3

Câu 44: S   f  x   g  x  dx   f  x   g  x  dx    f  x   g  x   dx    g  x   f  x  dx . Chọn B. Câu 45: Phương trình hoành độ giao điểm của f  x  và h  x  là x 2  Phương trình hoành độ giao điểm của g  x  và h  x  là 3

27  x  3. x

27 x 2   x 9. x 27

Khi đó, diện tích cần tìm là S   f  x   g  x  dx   h  x   g  x  dx  27 ln 3 . Chọn B. 2

Câu 46: Diện tích cần tìm là S   0

x2 x2 1 1 dx  S    dx  .1.1  . Chọn C. 4 4 2 6 0

1  x  Câu 47: Phương trình hoành độ giao điểm của  C  và d là ln x  1  e.  x  e 1

e 1 Diện tích cần tìm là S   1  ln x  dx   1  ln x  dx  1   e  1   x ln x  x    x ln x  x  1 1 e 1 1 e

a  b  1 1 2 1 . Vậy P  a  b  c  1  1  2  0 . Chọn B.  e    1  1  e   2   e e e c  2 1

Câu 48: S 



2

f  x  dx   f  x  dx    f  x  dx   f  x  dx . Chọn C.

  P  : y   x2  2x Câu 49: Vì parabol đi qua 3 điểm A  0;0  , B  2;0  , I 1;1;   2

4 Do đó, diện tích hình phẳng cần tính là S   f  x  dx   2 x  x 2 dx  . Chọn A. 3 0 0   P  : y  x2  2x  3 Câu 50: Vì parabol đi qua điểm A  0;3 , đỉnh I 1; 2  

x  0 Phương trình hoành độ giao điểm của  P  và d là x 2  2 x  3  3   . x  2 2

4 Do đó, diện tích cần tính là S   f  x   g  x  dx   x 2  2 x dx  . Chọn A. 3 0 0 Câu 51: Gọi phương trình đồ thị hàm số là y 

ax  b . cx  d

 1  Vì đồ thị đi qua A  0;1 , B   ;0  và có hai đường tiệm cận là x  1; y  2 .  2  2x 1 Suy ra y  . Do đó, diện tích cần tìm là S  x 1

 

1 2

2x 1 dx  1  ln 2 . Chọn A. x 1

Câu 52: Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y  2  x 2 và đường thẳng y  x là:

x  0 2  x2  x    x 1 2 2 2  x  x 1

Ta có: S   xdx  0



2  x 2 dx 

1  2



2  x 2 dx

Xét



2  x 2 dx , ta đặt x  2 sin t

I

 1

 2

x  2 sin t 2  x 2 dx    2  2sin 2 td  4

 2







 2

2 sin t   2 cos 2 tdt  4

  sin 2t  2  1   1  cos 2t  dt   t     S  . 2  4 2 4  

Cách 2: Diện tích cần tìm là hình quạt có góc ở đỉnh bằng 45  S 

45 1  .R 2  ..2  . Chọn D. 360 8 4

x  0 Câu 53: Phương trình hoành độ giao điểm là 2 x  x 2  0   x  2 2

 x3  4 Diện tích hình phẳng cần tìm là: S   2 x  x dx    2 x  x  dx   x 2    . 3 0 3  0 0 2

Vậy số nguyên lớn nhất không vượt quá S là 1. Chọn B. Câu 54: Phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị là: 3x  4  x  f  x   3x  x  4 Do f   x   3x ln 3  1  0  x    và f 1  4 nên f  x   f 1  x  1 . 1

 3x x 2  7 2 Diện tích cần tìm là: S   3  x  4 dx    4  3  x  dx   4 x  . Chọn D.     ln 3 2  0 2 ln 3  0 0 1

Câu 55: Phương trình hoành độ giao điểm 2 ax  0  a  0; x  0   x  0 a

2 3 4 4 x  a 2  k  . Chọn B. Diện tích cần tìm là: S   2 axdx  2 a . 3 3 3 0 0

Câu 56: Ta có: x 2  2 x  1   x  1  x 2  3 x m

Khi đó S   0

3x 2 x3 x  3 x dx    3 x  x  dx   2 3 0 2

m 0;3 



3m 2 m3  . Chọn B. 2 3

m0 Câu 57: Diện tích cần tìm là: S   x 2  2 x  2  1  x  dx   x 2  x dx   S    x 2  x  dx 0

 x3 x 2  m 2 m3 5        m  1 . Chọn C. 2 3 6  3 2 m

x  0 Câu 58: Ta có: y  2 x3  4m 2 x  2 x  x 2  2m 2   0   2 2  x  2m Hàm số có 3 điểm cực trị khi m  0 Do a 

1  0  điểm cực đại của đồ thị hàm số là  0; 2  2

Phương trình đường thẳng cùng phương với trục hoành qua điểm cực đại là d : y  2  x2  0 x  0 1 4 2 2  Phương trình hoành độ giao điểm x  2m x  2  2   2 2 2  x  2m  x  4m 2m

 x 5 4m 2 x 3   1  Giả sử m  0 do tính chất đối xứng nên S  2    x 4  2m 2 x 2  dx      2 3 0   5 0  2m



32m5 32m5 64m5 64     m 1 5 3 15 15

Tương tự m  0  m  1 . Vậy m  1 . Chọn B. Câu 59: Dựa vào đồ thị suy ra y  a  x  2  x  1

Do đồ thị hàm số đi qua điểm  0; 2   2  2a  a  1 1

Khi đó S 

  x  2  x  1

2

dx 

27 . Chọn B. 4

Câu 60: Tọa độ giao điểm của 2 đồ thị là nghiệm của hệ  x2 x  0 x4 y   2mx  x  x 3  8m3   0   2m   2 4m  x  2m  y 2  2mx 

 2 x2  x3  3 Khi đó S    2mx  dx  2 m . x     2m  6m  0 3 0  2m

8m 2 4 m 2 4 m 2 3     3  m  . Chọn A. 3 3 3 2 ln 4

Câu 61: Ta có S1  S 2 

 e dx  3 x

k 5 5 8 Lại có: 4 S1  S 2  8  S1    e x dx   e x  e k  1  k  ln . Chọn C. 0 3 0 3 3 2

1 Câu 62: Ta có S1  S 2   dx  ln x 1 x

2 1 2

 ln 4  2 ln 2

Do S1  3S 2  S1 

S1 3  2 ln 2  S1  ln 2 3 2

1 Mặt khác S1   dx  ln x 1 x

k 1 2

 ln 2k 

3 ln 2  ln 8  2k  8  k  2 . Chọn A. 2

Câu 63: Do S1  2 S 2  S1 

2 2 S 3 3

ln 4



e x dx 

2 3

ln 4

 0

2 e x dx  e x 3

ln 4

2 0

Do đó S1   e x dx  e x  1  2  e k  3  k  ln 3 . Chọn C. 0

ln 6

Câu 64: Ta có S1  S 2 

 e dx  6  e x

Do P  S12   6  e  S1   2 S12  2  6  e  S1   6  e  2

Khi đó Pmin  S1 

b 2  6  e  6  e   2a 2.2 2

6e e6 e6  ek   k  ln . Chọn D. 2 2 2

Lại có: S1   e x dx  e k  e  1

ln 6

Câu 65: Ta có S1  S 2 

 e dx  6  e x

Do S1  S 2  2  S1  6  e  S1  2  S1  2  k

Lại có: S1   e x dx  e k  e  2  1

ln 4

Câu 66: Ta có S1  S 2 

e e4 e4  ek   1  k  ln . Chọn D. 2 2 2

 e dx  3 x

e 2

 S12  S 22  5  S1  2; S 2  1 Do S  S  5      S1  1; S 2  2  S1  S 2  3 2 1

2 2

k ek  1  2  k  ln 3 Lại có: S1   e x dx  e k  1   k   tổng các phần tử của tập hợp X là ln 3  ln 2  ln 6 .  k  ln 2 0 e  1  1

Chọn B. Câu 67: Đồ thị hàm số y  x 2  4 x  4 cắt trục hoành tại điểm  2;0  2

Diện tích phần gạch chéo là S    x  2 

 x  2 dx  3

3 2

 0

8 3

Đường thẳng d đi qua điểm A  0; 4  có hệ số góc k suy ra d : y  kx  4  4  Đường thẳng d cắt Ox tại điểm C  ;0   k  0  (Do C có hoành độ dương).  k 

Theo giả thiết bài toán ta có:

1 S 4 1 4 4 OC.OA    . .4   k  6 . Chọn C. 2 2 3 2 k 3

Câu 68: Ta có S1  S 2   e x dx  e  1 0

Do đó S1  S 2  S1  e  1  S1  S1  k

Lại có: S1   e x dx  e k  1  0

Kết hợp 0  k  1  ln

e 1 e 1 e 1  ek   k  ln 2 2 2

e 1  k  1 . Chọn B. 2

5 Câu 69: Ta có  g  x  dx  suy ra 2 1 2

Đổi cận suy ra

2  xf  x  dx  1

e 1 2

 xf  x  dx  2 . Đặt t  x 2

ta có: dt  2 xdx

1 5 f  t  dt    f  t  dt  5  I  5 . Chọn C.  21 2 1

Câu 70: Đường elip phía ngoài có phương trình Đường elip phía trong có phương trình

x2 y2   1 và có diện tích S1  25.15 252 152

x2 y2   1 và có diện tích S 2  23.13 232 132

Diện tích mặt đường là S  S1  S 2 Do đó kinh phí để làm đường là: T   S1  S 2  .500, 000  119.320.000 đồng. Chọn C. Câu 71: Gọi O là trung điểm của MN. Chọn hệ trục tọa độ Oxy có trục Ox // BC, Oy // AB. Khi đó đồ thị có dạng y  A sin bx . Do AD  2  max y  1  A  1

Do hàm số tuần hoàn với chu kì 2  b  1  y  sin x . 



Diện tích phần đất trồng hoa là: S  2  sin xdx  2 cos x 0  4 0

Diện tích phần đất còn lại là: 2.2  4  4    1 . Chọn B. Câu 72: Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.  5 3 5 3 Trong đó A   ;  ; B  ;  ;C  0; 2   2 2 2 2

Giả sử đường cong phía trên là một Parabol có dạng

y  ax 2  bx  c với a, b, c   . Do Parabol đi qua các  5 3 5 3 điểm A   ;  ; B  ;  ; C  0; 2  nên ta có hệ  2 2 2 2

phương trình: 5 3  25 2   4 a 2bc  2 a   25  5 3 2 2  25 x 2  a  b  c   b  0  phương trình parabol là: y  2 2 25 4 c  2 c  2    

Diện tích S của cửa rào sắt là diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  và hai đường thẳng x 

2 2 x  2 , trục hoành 25

5 5 ;x  . 2 2

5 2

 2 x3 2 55  2 2  x  2  dx    .  2 x   . Ta có: S     5  25  25 3  5 6  2

Vậy ông An phải trả số tiền để làm cái cửa sắt là T  700000.S  6417000 đồng. Chọn C. Câu 73: Ta có S  S 2  S1 Trong đó S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

y  20  x 2 , y  x 2 , x  2, x  2 được tô màu trong hình bên, S 2 là diện tích nửa hình tròn có bán kính bằng 2 5 .



1 S  2 5 2

  2

2



20  x 2  x 2 dx

Suy ra S  19, 476  m 2   Chi phí sẽ bằng 100.000 S  1.948.000 đồng. Chọn B.

Câu 74: Ta có h  x   2 f   x   2 x; h  x   0  f   x   x . Nhận thấy nghiệm của h  x   0 chính là nghiệm của f   x   x cũng là hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y  f   x  và đường thẳng y   x   x  2; 2; 4 . Vẽ đường thẳng y  x và chia đồ thị thành 2 phần diện tích hình phẳng. 2

2

Khi đó 2 S1  2   f   x   x  dx   h  x  dx  h  2  h  2  0  h  2  h  2 . 4

Và 2 S 2  2   x  f   x   dx    g   x  dx  h  2  h  4  0  h  2  h  4 Lại có S1  S 2  2 S1  2 S 2  h  2   h  2  h  2  h  4  h  4  h  2 . Vậy h  2   h  4   h  2  . Chọn C. Câu 75: Ta có g   x   2 f   x   2  x  1 ; g   x   0  f   x    x  1 . Nhận thấy nghiệm của g   x   0 chính là nghiệm của f   x    x  1 cũng là hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y  f   x  và đường thẳng y   x  1   x  3;1;3 . Vẽ đường thẳng y   x và chia đồ thị thành 2 phần diện tích hình phẳng. 1

3

Khi đó 2 S1  2     x  1  f   x  dx    g   x  dx  g  3   g 1  0  g  3   g 1 3

Và 2 S 2  2   f   x     x  1  dx   g   x  dx  g  3  g 1  0  g  3  g 1 Lại có S1  S 2  2 S1  2 S 2  g  3   g 1  g 3   g 1  g  3   g 3  . Vậy g  3  g  3  g 1 . Chọn A. Câu 76: Ta có g   x   f   x   sin x; g   x   0  f   x   sin x Nhận thấy nghiệm của g   x   0 chính là nghiệm của f   x   sin x cũng là hoành độ giao điểm của hai đồ     x  0; ;   . thị hàm số y  f   x  và đường thẳng y  sin x   2 

Vẽ đường thẳng y  sin x và chia đồ thị thành 2 phần diện tích hình phẳng.  2

 2

  Khi đó S1   sin x  f   x  dx    g   x  dx  g  0   g    0  g  0   g   . 2 2 0 0 



  Và S 2    f   x   sin x  dx   g   x  dx  g     g    0  g     g   . 2 2  

  Lại có S1  S 2  g  0   g    g     g    g  0  g   . 2 2

 Vậy g    g     g  0  . Chọn B. 2

CHỦ ĐỀ 13: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH 1) Tính thể tích vật thể Cắt một vật thể

H 

bởi hai mặt phẳng

 P

và

Q 

vuông góc với trục Ox lần lượt tại

x  a; x  b  a  b  . Một mặt phẳng tuỳ ý vuông góc với Ox tại điểm x ( a  x  b ) cắt  H  theo thiết

diện là S  x  (hình vẽ). Giả sử S  x  liên tục trên đoạn  a; b .

Khi đó thể tích V của vật thể  H  giới hạn bởi hai mặt phẳng  P  và  Q  được tính bởi công thức: b

V   S  x  dx. a

2) Tính thể tích vật tròn xoay sinh bởi diện tích S quay quanh trục Ox Giả sử một hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  , trục Ox và hai đường thẳng x  a và

 a  b

xb

quay quanh trục Ox tạo thành một khối

tròn xoay (hình vẽ). Khi đó ta có thể tích vật thể là:

V   S  x dx b

Mặt khác tại điểm x ta có S  x  là một hình tròn có bán kính R  f  x   S  x    R 2   f 2  x  . Vậy VOx  



f 2  x  dx.

Trong trường hợp S  x  giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y  f  x  và y  g  x  ta được khối tròn xoay có thể

tích là: b

VOx    f 2  x   g 2  x  dx. a

Chú ý: Khi bài toán không cho hai đường thẳng giới hạn x  a và x  b thì ta giải phương trình f  x   g  x  để tìm cận của tích phân, trong đó x  a là nghiệm nhỏ nhất và x  b là nghiệm lớn nhất

của phương trình. 3) Tính thể tích vật tròn xoay sinh bởi diện tích S quay quanh trục Oy Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y  f  x  trục Oy

và hai đường thẳng

y  f  a  ; y  f b.

- Bước 1: Biến đổi y  f  x  về dạng x  f1  y  . - Bước 2: Khi đó VOy  

f b 



f a

f12  y  dy.

Tương tự: Trong trường hợp VOy sinh ra bởi diện tích hình phẳng của hai đồ thị hàm số y  f  x  ; y  g  x  và hai đường thẳng n

y  m ; y  n ta có VOy    f12  y   g12  y  dy. m

Chú ý: Khi quay diện tích hình phẳng S quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích VOx . Khi quay quanh trục Oy ta được khối tròn xoay có thể tích VOy . Hầu như VOx không bằng VOy . Chúng chỉ bằng nhau trong một số trường hợp đặc biệt. 4) Ứng dụng tính thể tích khối cầu, khối chỏm cầu và một số hình đặc biệt a) Thể tích của khối cầu Trong hệ tọa độ Oxy cho nửa đường tròn có phương trình:

P  : x 2  y 2  r 2

với r  0; y  0 (hình vẽ). Quay nửa hình tròn đó

quanh trục hoành ta được một mặt cầu có bán kính r. 4 Thể tích của mặt cầu này là: V   r 3  đvtt  . 3

Thật vậy: Ta có x 2  y 2  r 2  y   r 2  x 2 Với y  0 ta có: y  r 2  x 2 có đồ thị là nửa đường tròn phía trên trục hoành. r

Khi đó thể tích khối cầu V   

r



r x 2



 x3  dx  2   r  x  dx  2  r 2 x   3 0  0 r

 3 r 3  4 r 3  2  r     đvtt  3 3  b) Thể tích khối chỏm cầu Khi quay hình phẳng tô đậm quanh trục Ox ta được khối 3 chỏm cầu bán kính r và chiều cao h. Khi đó: VC  

 r

r x 2

r h

 dx     r r

 x 2  dx

r h

 r2x 3   h    x    h2  r   .  3  3  r h c) Thể tích khối nêm (xem hình vẽ) 2 2   tan   h   NP  R  x Đặt OP  x; h  MN ;   MPN  R  MN  NP tan 

V

 S  x  dx trong đó S  x   2 MN .NP  2  R

R

V 

h  x2  . . R

R 1 h 1 h  3 2 R 3  2 R 2 h 2 R 3 tan  2 2    R x . dx .  2R     2 R R 2R  3  3 3

5) Hệ thống Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi các đường y  x 2 ; y  0; x  2 . Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay  H  quanh trục Ox. 8 A. V  . 3

B. V 

32 . 5

C. V 

8 . 3

D. V 

32 . 5

Lời giải: 2

x5 32 . Chọn D. Thể tích cần tính là V    x dx   .  5 0 5 0 2

Ví dụ 2: Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y  x 2  1 , trục hoành và các đường thẳng x  0, x  1. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?

A. V 

4 . 3

B. V  2 .

4 C. V  . 3

Lời giải:

D. V  2.

Thể tích cần tính bằng V    0





x 2  1 dx 

4 . Chọn A. 3

Ví dụ 3: Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y  2  cos x , trục hoành và các đường thẳng x  0; x 

 2

. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng:

A. V    1  .

B. V    1.

D. V    1  .

C. V    1. Lời giải:

 2

Thể tích cần tính bằng V    0









2  cos x dx     2  cos x  dx    2 x  sinx  02    1 . Chọn A. 0

Ví dụ 4: Cho  H  là hình phẳng giới hạn bởi đường cong C  : y   x 2  4 x và đường thẳng d : y  x. Tính thể tích V của vật thể tròn xoay do hình phẳng  H  quay xung quanh trục hoành. A. V 

81 . 10

B. V 

81 . 5

C. V 

108 . 5

D. V 

108 . 10

Lời giải: x  0 Phương trình hoành độ giao điểm là:  x 2  4 x  x   x 2  3 x  0   x  3 3

Thể tích cần tìm là: V     4 x  x 2   x 2 dx  2

108 . Chọn C. 5

Ví dụ 5: Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường

y  x ln 1  x3  ; y  0; x  1 khi xoay quanh trục Ox.  2 ln 2 1   . A. V    3  3

 ln 2 1   . B. V     3 3

 2 ln 2 1   . C. V   2  3  3

Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm là: x ln 1  x 3   0  x  0 1

Gọi V là thể tích khối tròn xoay cần tìm ta có: V    x 2 ln 1  x 3  dx 0

 ln 2 1   . D. V   2   3 3

 3x 2 1 du  1  x3  1  u  ln 1  x3   1  x3 3 2   V ln 1 x x dx Đặt           3 2   3 x 1  0 v  0  dv  x dx    3  2 ln 2 1       đvtt  . Chọn A. 3  3

Ví dụ 6: Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  0, y  x ln  x  1 ; x  1 xung quanh trục Ox là

A. V 

5 . 6

B. V 

C. V 

5 . 18

D. V 

 6

12 ln 2  5 .

 18

12 ln 2  5  .

Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm của  C  và Ox là x ln x  1  0  x  0 dx  du  x  1   u  ln x  1  Thể tích khối tròn xoay cần tính là   x 2 ln  x  1 dx . Đặt   2 3 dv  x dx 0 dv  x  1 3  1

x3  1 1 ln  x  1    x 2  x  1 dx  12 ln 2  5 Ta có:  x ln  x  1 dx  3 18 0 0 0 2

Do đó V 

 18

12 ln 2  5 . Chọn D.

Ví dụ 7: Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường x  y 2  5; x  3  y quay quanh Oy.

A. V 

153 . 3

9 B. V   . 2

C. V  Lời giải:

 y  1 Tung độ giao điểm là:  y 2  5  3  y   y  2

81 . 10

D. V 

153 . 5

CASIO  V      y 2  5   3  y  dy  V  2

1

Vậy V 

153  5

153  (đvtt). Chọn D. 5

x Ví dụ 8: Gọi  H  là hình phẳng giới hạn bởi  C  : y  2 ,  d  : y   x  a và trục Oy. Biết rằng  C  và

d 

cắt nhau tại một điểm duy nhất có hoành độ bằng 1. Tính thể tích V của khối tròn xoay sinh bởi  H 

khi nó quay quanh trục Ox.  19 3  A. V     .  3 ln 4 

 19 3  B. V     .  3 ln 4 

 35 3  C. V     .  3 ln 4 

 35 3  D. V     .  3 ln 4 

Lời giải: Theo đề bài ta có 2  1  a  a  3  (d ) : y   x  3 . Gọi V1 là thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng  S1  được giới hạn bởi các đường  C  ,  d  , Oy, Ox như hình bên quanh 1

trục Ox  V1     2 x  dx     3  x  dx 2

8 3   V1     .  3 ln 4 

Gọi V2 là thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng được giới hạn bởi các đường  d  , Ox như hình bên quanh trục hoành, 3

2  19 3  Suy ra V2     3  x  dx  9 . Khi đó V  V2  V1      . Chọn A. 3 ln 4   0

Ví dụ 9: Để tạo ra những chiếc chậu hoa hình quả lê, người ta dùng một chiếc khuôn là đường cong có phương trình trong hệ trục tọa độ là y  x3  k  x   k  0  . Biết rằng mỗi đơn vị trong hệ trục tọa độ Oxy

tương ứng với chiều dài 1 dm. Hãy xác định k để thể tích chậu hoa là 12,15 dm3.

A. k = 2.

B. k = 4.

C. k = 3. Lời giải:

D. k  4 243 .

Ta có: y 2  x 3 k  x   đồ thị cắt trục Ox tại điểm  0; k  . k

 x 4 x5   k5 k5  Thể tích của chậu hoa là: V    x  k  x  dx    k         12,15  4 5 0  4 5 0 k

 k 5  243  k  3 . Chọn C.

Ví dụ 10: Cho hình thang cong  H  giới hạn bởi các đường

1 y  ; y  0; x  1; x  5 . x

thẳng x  k với 1  k  5 chia

 S1 

H 

Đường

thành hai phần là

và  S 2  quay quanh trục Ox ta thu được hai khối

tròn xoay có thể tích lần lượt là V1 và V2 . Xác đinh k để

V1  2V2 . 5 A. k  . 3

B. k 

15 . 7

C. k  ln 5.

D. k  3 25.

Lời giải: 2

1     dx F  k   F 1 V dx 1 15 x Ta có  2    F  x   1  15   2  k  . Chọn B. 2 x x V2 F  5  F  k  7 1     dx x k

Ví dụ 11: Cho hình thang cong  H  giới hạn bởi các đường

y  x ; y  0; x  1; x  7 .

Đường

thẳng x  k với 1  k  7 chia  H  thành hai phần là  S1  và

 S2 

quay quanh trục Ox ta thu được hai khối tròn xoay có

thể tích lần lượt là V1 và V2 . Xác đinh k để V1  2V2 . A. k  33.

B. k  33.

C. k 

33 . 2

D. k  3 33.

Lời giải: k

V x2 Ta có  x   F  x  1  2 V2



 x



 x

1 7

dx  dx

F  k   F 1 1  49   2  F k    2  F  k  F 7  F  k  2  2 

 F k  

33  k  33. Chọn B. 2

Ví dụ 12: [Đề Tham khảo Bộ Giáo dục và Đào tạo 2017] Tính thể V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x  1 và x  3, biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x 1  x  3 thì được một thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là 3x và A. V  32  2 15.

B. V 

124 . 3

C. V 



124 . 3

3x 2  2 ?



D. V  32  2 15  .

Lời giải: 3

Ta có: S  x   S HCN  3 x 3 x 2  2  V   S  x  dx   3 x 3 x 2  2 dx  1  3

 3x

 2

 1

1 3 x 2  2 d 3 x 2  2  2 1

124 . Chọn C. 3

Ví dụ 13: Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x  0 và x  1, biết thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng  P  vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x  0  x  1 là một hình chữ nhật có độ





dài hai cạnh là x và ln x 2  1 . A. ln 2  1.

1  ln 2  1 . 2

1 C. ln 2  . 2

1 ln 2  1. 2

Lời giải:





Do thiết diện là hình chữ nhật nên diện tích thiết diện là: S  x   x ln x 2  1 1

Ta có thể tích cần tính là V   x ln  x 2  1 dx 0

V



1 1 1 1 ln  x 2  1 d  x 2  1   x 2  1 ln  x 2  1    x 2  1 d ln  x 2  1  0 20 2 20



ln 2 

1 1 2 xdx  ln 2  . Chọn C.  20 2

Ví dụ 14: Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x  0 và x   , biết thiết điện của vật thể cắt bởi mặt phẳng  P  vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x  0  x    là một tam giác đều có cạnh

bằng 2 sin x . B. V  2 3.

A. V  8 3.

C. V  2 3.

D. V  3.

Lời giải:

2 Diện tích thiết diện là S  x  



sin x . 3 4

 3 sin x



Ta có thể tích cần tính là V   3 sin xdx   3 cos x  2 3. Chọn C.

Ví dụ 15: [Đề Chuyên Đại học Vinh 2017] Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường

y  x ; y  0; x  4 quanh trục Ox. Đường thẳng x  a  0  a  4  cắt đồ thị hàm số y  x tại M (hình vẽ bên). Gọi V1 là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác OMH quanh trục Ox. Biết rằng V  2V1 . Khi đó 5 B. a  . 2

A. a  2 2.

C. a  2. Lời giải:

Ta có V    xdx  8  V1  4 . 0

Gọi N là giao điểm của đường thẳng x  a và trục hoành. Khi đó

V1 là thể tích tạo được khi xoay hai tam giác OMN và MNH quanh trục Ox với N là hình chiếu của M trên OH . 1 Ta có V1   a 3

 a   13   4  a   a  2

4   a  4  a  3. 3

Chọn D.

Ví dụ 16: Có một vật thể là hình tròn xoay có dạng giống như một cái ly như hình vẽ dưới đây: Người ta đo được đường kính của miệng ly là 4 cm và chiều cao là 6 cm. Biết rằng thiết diện của

D. a  3.

chiếc ly cắt bởi mặt phẳng qua trục đối xứng là một parabol. Tính thể tích V  cm3  của vật thể đã cho? A. V 

72 . 5

B. V  12.

C. V  12 .

D. V 

72 . 5

Lời giải: Chọn hệ trục tọa độ như hình suy ra phương trình Parabol là: y  Thể tích của vật là thể tích khối tròn xoay khi quay hình x

2 y  12 , x  0, y  6; y  0 3 0

quanh

trục

H 

3 x 2  12 2 y  12  x2  . 2 3

giới hạn bởi các đường

tung.

2 y  12 1  dy    y 2  4 y   12 . Chọn C. Khi đó V    3 3  6 6

Ví dụ 17: Một chiếc đồng hồ cát như hình vẽ, gồm hai phần đối xứng nhau qua mặt nằm ngang và đặt trong một hình trụ. Thiết diện thẳng đứng qua trục của nó là hai parabol chung đỉnh và đối xứng nhau qua mặt nằm ngang. Ban đầu lượng cát dồn hết ở phần trên của đồng hồ thì chiều cao h của mực cát bằng

3 chiều cao của bên 4

đó (xem hình). Cát chảy từ trên xuống dưới với lưu lượng không đổi 2,90 cm3/ phút. Khi chiều cao của cát còn 4 cm thì bề mặt trên cùng của cát tạo thành một đường tròn chu vi 8  cm (xem hình). Biết sau 30 phút thì cát chảy hết xuống phần bên dưới của đồng hồ. Hỏi chiều cao của khối trụ bên ngoài là bao nhiêu cm? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị) A. 8 cm. B. 12 cm. C. 9 cm. D. 10 cm. Lời giải: Gọi (α) là mặt phẳng song song với đáy của hình trụ và cắt đồng hồ cát.

Khi đó mặt cắt là một hình tròn có bán kính là x nên diện tích hình tròn là St  R 2  x 2 . Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ, gọi phương trình của parabol  P  là y  ax 2  bx  c . Vì  P  đi qua điểm O  0;0  , A  4; 4  , B  4; 4  Nên phương trình  P  : y 

x2  x 2  4 y  S  4 y. 4 h

→ Thể tích cát ban đầu là V   St dy vì mặt cắt vuông góc 0

với Oy. Suy ra V    4 y  dy mà thể tích khối cát 0

Vc  2,9.30  87 cm3 .

   4 y  dy  87  2 y 2  87  2 h 2  87  h  h

87 . 2

4 4 87  9,92 cm . Chọn D. Vậy chiều cao của khối trụ bên ngoài là 2. .h  2. . 3 3 2

Ví dụ 18: Một chậu nước hình bán cầu băng nhôm có bán kính R  10 cm, đặt trong một khung hình hộp chữ nhật (Hình 1). Trong chậu có chứa sẵn một khối nước hình chỏm cầu có chiều cao h  4 cm. Người ta bỏ vào chậu một viên bi hình cầu bằng kim loại thì mặt nước dâng lên vừa phủ kín viên bi (Hình 2). Bán kính của viên bi gần bằng:

A. 9,63.

B. 2,09.

C. 1,72. Lời giải:

Gọi x là bán kính viên bi hình cầu. Điều kiện: 0  2 x  10  0  x  5 h  Chú ý: Công thức thể tích chỏm cầu: V   h 2  R   . 3 

D. 4,01.

Thể tích khối nước hình chỏm cầu khi chưa thả viên bi vào: h 4  416    V1  h 2  R    16 10    3 3 3  

Khi thả viên bi vào thì khối chỏm cầu gồm khối nước và viên bi có thể tích là: 2 x  4x 2 30  2 x  2 V2   2 x   R    3  3 

4 Ta có phương trình: V2  V1  x 3  4x 2 30  2 x   416  4x 3 3  x  9,626  5 (lo¹i )  3x  30 x  104  0   x  2,0940  5 . Chọn B.  x  1,72 (lo¹i ) 3

Ví dụ 19: Từ một khối gỗ hình trụ có đường kính 6 dm, bác nông dân dùng cưa để cắt theo mặt cắt đi qua một điểm trên đường sinh cách đáy 1 dm và đi qua đường kính của đáy (như hình vẽ) để được một "khối nêm”. Giúp bác nông dân tính thể tích của "khối nêm” đó ? A. 0,06 m3 .

B. 0,006 m3 .

C. 0,018 m3 .

D. 0,006 m3 . Lời giải:

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó khúc gỗ bé có đáy là nửa hình tròn có phương trình:

y  9  x 2  x   3;3 Một mặt phẳng cắt vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x, x   3;3

cắt khúc gỗ bé theo thiết diện có diện tích là S  x  (xem hình). Dễ thấy NP  y và MN  NP tan   9  x 2 tan 

S x  





1 1 1 MN .PN  9  x 2 tan  trong đó tan   3 2 2 3

1 Khi đó thể tích khúc gỗ bé là : V   S  x     9  x 2  tan  dx  0, 006 m3 . Chọn D. 2 3 3

Ví dụ 20: [Đề thi chuyên Đại học Vinh 2017] Bạn A có một cốc thủy tinh hình trụ, đường kính trong lòng đáy cốc là 6 cm, chiều cao trong lòng cốc là 10 cm đang đựng một lượng nước. Bạn A nghiêng cốc nước, vừa lúc khi nước chạm miệng cốc thì ở đáy mực nước trùng với đường kính đáy. Tính thể tích lượng nước trong cốc. A. 15 cm3 .

B. 60 cm3 .

C. 60 cm3 .

D. 70 cm3 . Lời giải:

Áp dụng công thức thể tích nêm có bán kính đấy R  3, chiều cao h  10 ta có: V

2 R 2 h 2 R 3 .tan  2.32.10    60 cm3 . Chọn C. 3 3 3

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn a; b . Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  , trục hoành và hai đường thẳng x  a, x  b  a  b  . Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay

D quanh trục hoành được tính theo công thức. b

A. V    f

 x  dx.

B. V  2  f 2  x  dx.

C. V  

 f  x  dx.

D. V  

 f  x  dx. a

Câu 2: Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  , trục Ox và hai đường thẳng x  a, x  b  a  b  , xung quanh trục Ox. b

A. V    f 2  x  dx. a

B. V   f 2  x  dx. a

C. V    f  x  dx.

D. V   f  x  dx.

Câu 3: Cho  H  là miền hình phẳng giới hạn bởi các đường x  a, x  b  a  b  và đồ thị của hai hàm số y  f  x  , y  g  x  . Gọi V là thể tích của vật thể tròn xoay khi quay  H  quanh Ox. Mệnh đề nào dưới

đây là đúng? b

A. V    f 2  x   g 2  x  dx.

B. V    f  x   g  x  dx.

C. V   f 2  x   g 2  x  dx.

D. V   f  x   g  x  dx.

Câu 4: Cho hình  D  giới hạn bởi các đường y  f  x  , y  0, x   , x  e. Quay  D  quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích V . Khi đó V được xác định bằng công thức nào sau đây? 

A. V    f  x  dx. e

B. V    f 

 x  dx.



C. V    f

 x  dx.



D. V   f  x  dx. e

Câu 5: Thể tích V của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi parabol P  : y  x 2 và đường thẳng d : y  x quay xung quanh Ox được xác định bởi công thức nào? 1

A. V     x 2  x  dx. 2

C. V    x 2 dx    x 4 dx.

B. V    x 2 dx    x 4 dx. 1

D. V     x  x 2  dx. 0

Câu 6: Thể tích V của khối tròn xoay khi cho hình phẳng  H  giới hạn bởi đồ thị của parabol  P  : y  x 2 và đường thẳng d : y  2 x quay xung quanh trục Ox được xác định bằng công thức nào sau đây? 2

B. V     x 2  2 x  dx.

A. V    4 x 2 dx    x 4 dx.

D. V     2 x  x 2  dx.

C. V    4 x 2 dx    x 4 dx.

Câu 7: Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi các đường y  x 2 và y  x . Khối tròn xoay tạo ra khi  H  quay quanh Ox có thể tích V được xác định bằng công thức nào? 1

A. V     x  x  dx.

C. V    0





D. V     x  x 4  dx.

x  x dx. 2



B. V    x 2  x dx.

Câu 8: Thể tích V của khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  2 x và y  x 2  x  2 quanh trục Ox được xác định bằng công thức nào sau đây? 2

A. V     x  3 x  2  dx.

2 B. V     x 2  x  2   4 x 2  dx.   1

2 B. V     4 x 2   x 2  3 x  2   dx.   1

2 D. V     x 2  3 x  2   4 x 2  dx.   1

Câu 9: Hình phẳng  H  giới hạn bởi đường parabol P  : y  x 2  1 , trục tung và tiếp tuyến với  P  tại điểm M 1; 2  khi quay quanh trục Ox. Công thức nào sau đây sử dụng để tính thể tích V của hình  H  ? 1

A. V     x 2  1 dx.

2 B. V     x 2  1  4 x 2 dx.   0

D. V     x 2  2 x  1 dx.

C. V     2 x  dx. 2

Câu 10: Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x  1 và x  3, biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x 1  x  3 thì được thiết diện là một hình chữ nhật có hai cạnh là 3x và A. V  32  2 15.

B. V 

3x 2  2.

124 . 3

C. V 

124 . 3





D. V  32  5  .

Câu 11: Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x  0 và x  3, có thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x  0  x  3 là một hình chữ nhật có hai kích thước bằng x và 2 9  x 2 . A. V  3.

B. V  18.

C. V  20.

D. V  22.

Câu 12: Tính thể tích V của phẩn vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x  0 và x  2, có thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x  0  x  2  là một hình chữ nhật có hai kích thước bằng x và 2 4  x 2 . 8 A. V  . 3

B. V 

16 . 3

C. V  16.

D. V 

3 . 16

Câu 13: Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x  0 và x  1, có thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x  0  x  1 là một tam giác đều có cạnh bằng x. A. V 

3 . 3

B. V 

12 . 5

C. V  1.

D. V 

12 . 5

Câu 14: Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x  0 và x   , biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x  0  x    thì được thiết diện là một hình chữ nhật có hai cạnh là x và 2 sin x . A. V  8 3.

B. V  3 3.

C. V  2 3.

Câu 15: Tính thể tích V của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x  0, x 

D. V  3.

 ; biết rằng thiết diện của vật thể cắt 2

  bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x  0  x   là tam giác đều có cạnh là 2  2 cos x  sin x . A. V  3.

B. V  2 3.

C. V  2 3.

D. V 

 3 2

Câu 16: Tính thể tích V của khối tròn xoay trong không gian Oxyz , giới hạn bởi hai mặt phẳng x  0, x   và có thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm  x;0;0  bất kỳ là đường tròn bán kính . A. V  2.

B. V   .

C. V  4 .

D. V  2 .

sin x

Câu 17: Tính thể tích V của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x  0 và x  2, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x  0  x  2  là một nửa hình tròn đường

5x 2 .

kính

A. V  8 5 .

B. V  2 5.

C. V  4 .

D. V  4 5 .

Câu 18: Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x  1 và x  4 biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x 1  x  4  thì được thiết diện là một hình lục giác đều có độ dài cạnh là 2 x. A. V  63 3 .

B. V  126 3.

C. V  63 3.

D. V  126 3 .

Câu 19: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  3x, y  x, x  0, x  1 quay xung quanh trục Ox. Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành. A. V 

8 . 3

B. V 

4 . 3

C. V 

2 . 3

D. V   .

Câu 20: Hình  H  giới hạn bởi y  x 2  4 x  4, y  0, x  0, x  1 quay xung quanh trục Ox. Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành. A. V 

8 . 3

B. V 

4 . 3

C. V 

2 . 3

D. V 

31 . 5

Câu 21: Tính thể tích V của vật thể tròn xoay sinh bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y  x 2  2 x , trục hoành, đường thẳng x  0 và đường thẳng x  1 quay quanh trục hoành. A. V 

2 . 3

B. V 

8 . 15

C. V 

16 . 15

D. V 

4 . 3

Câu 22: Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong y  sin x, trục hoành và hai đường thẳng x  0 và x   . Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình này xung quanh trục Ox.

2 A. V  . 2

B. V   R . 2

2 C. V  . 3

D. V  2 .

Câu 23: Gọi  H  là hình phẳng giới hạn bởi y  e x , y  0, x  0, x  1 . Tính thể tích V của vật thể tròn xoay được sinh ra khi ta quay hình  H  quanh trục Ox. A. V    e  1 .

B. V    e  3 .

C. V   e.

D. V  e  1.

Câu 24: Tính thể tích V của vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường ye

3 x 1

, x  0, x  1, y  0 quay quanh Ox.

A. V   e 2 .

C. V    e 2  e  .

B. V   e.

D. V    e 2  e  .

Câu 25: Tính thể tích của vật thể tròn xoay được sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường ye

3 x 1

, x  0, x  1, y  0 quay quanh Ox.

 4 2 3e  e  . 6

1  B.   e3  e  . 3 

1 C.   e3  e  . 3

D.   e3  e  .

Câu 26: Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi các đường y  x  1 , trục hoành và x  4. Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng  H  quanh trục Ox. A. V 

7 . 6

B. V 

7 2 . 6

7 C. V  . 6

D. V 

5 . 3

Câu 27: (Sở GD & ĐT Tp Hồ Chí Minh 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho vật thể  H  giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình x  a và x  b  a  b  . Gọi S  x  là diện tích thiết diện của

H 

bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ

x với a  x  b . Giả sử hàm số y  S  x  liên tục trên  a; b . Thể tích V của vật thể  H  được xác định bởi công thức nào? b

A. V   S  x  dx. a

C. V    S  x  dx. a

B. V    S  x   dx. 2

D. V     S  x   dx. 2

Câu 28: Cho hình phẳng

 D

giới hạn bởi các đồ thị hàm số y  e

x 2

trục Ox và hai đường thẳng

x  0, x  1. Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay khi quay hình  D  quay quanh trục Ox.

A. V  

 e dx. x

B. V    e dx. x

1  C. V    e 2 x dx  . 0 

Câu 29: Cho hai hàm số y  f1  x  và y  f 2  x  liên tục trên đoạn a; b và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi S là hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị trên và các đường thẳng x  a, x  b. Thể tích V của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay S quanh trục Ox được tính bởi công thức nào sau đây?

D.   e 2 x dx. 0

A. V     f1  x   f 2  x   dx.

B. V    f12  x   f 2 2  x   dx.

C. V     f1  x   f 2  x  dx.

D. V     f12  x   f 2 2  x  dx.

Câu 30: Nêu công thức tính thể tích vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng (phần gạch sọc của hình vẽ) xung quanh trục hoành Ox. 1

0 2

A. V     2  x  dx    x 2 dx. B. V     2  x  dx. 0

C. V    xdx    2  xdx. 1

D. V    x 2 dx     2  x  dx. Câu 31: Nêu công thức tính thể tích vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng (phần gạch sọc của hình vẽ) xung quanh trục hoành Ox. 4 4  A. V     xdx    x  2  dx  . 2 0  4 4   2 B. V     xdx    x  2  dx  . 2 0  4 2  2 C. V     xdx    x  2  dx  . 2 0  4 2  D. V     xdx    x  2  dx  . 2 0 

Câu 32: Tính thể tích V của vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng (phần gạch sọc của hình vẽ) xung quanh trục hoành Ox.

A. V 

15 . ln 4

B. V 

8 . ln 2

C. V 

15 . ln 2

D. V 

17 . ln 4

Câu 33: Tính thể tích V của vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng (phần gạch sọc của hình vẽ) xung quanh trục hoành Ox.

A. V  4 ln 4  3. B. V    4 ln 2  3 . C. V  4 ln 2  3 . D. V    4 ln 4  3 .

H 

Câu 34: Cho hình phẳng

giới hạn bởi các đường

y  ln x , y  0, x  1, x  k với k  1 như hình vẽ. Gọi Vk là thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình  H  quanh trục Ox. Biết rằng

Vk   , hãy chọn khẳng định đúng? A. 3  k  4.

B. 1  k  2.

C. 2  k  3.

Câu 35: Tính thể tích V của vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng (phần gạch sọc của hình vẽ) xung quanh trục hoành Ox. A. V  2 . B. V  e . C. V   e  1  . D. V   . Câu 36: Tính thể tích V của vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng (phần gạch sọc của hình vẽ) xung quanh trục hoành Ox. A. V 

35 . 3

B. V 

31 . 3

C. V 

32 . 3

D. V 

34 . 3

Câu 37: Tính thể tích V của vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng (phần gạch sọc của hình vẽ) xung quanh trục hoành Ox. A. 24 .

B. 27 .

C. 25 .

D. 26 .

D. 4  k  5.

Câu 38: Tính thể tích V của vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng (phần gạch sọc của hình vẽ) xung quanh trục hoành Ox. A. V 

81 . 10

B. V 

81 . 5

C. V 

108 . 5

D. V  50 . Câu 39: Tính thể tích V của vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng (phần gạch sọc của hình vẽ) xung quanh trục hoành Ox. A. V 

12 . 5

B. V 

53 . 15

C. V 

153 . 5

D. V 

31 . 13

Câu 40: Tính thể tích V của vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng (phần gạch sọc của hình vẽ) xung quanh trục hoành Ox. A. V 

27 . 2

B. V 

9 . 2

C. V 

11 . 3

D. V 

55 . 6

Câu 41: Tính thể tích V của vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng (phần gạch sọc của hình vẽ) xung quanh trục hoành Ox.

A. V 

125 . 3

B. V 

25 . 3

C. V 

157 . 3

D. V 

13 . 2

Câu 42: Tính thể tích V của vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng (phần gạch sọc của hình vẽ) xung quanh trục hoành Ox. A. V  B. V 

55 . 6

24 . 3

C. V 

25 . 3

D. V 

125 . 9

Câu 43: Tính thể tích V của vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng (phân gạch sọc của hình vẽ) xung quanh trục hoành Ox. A. V  11 . B. V 

31 . 3

C. V 

32 . 3

D. V 

34 . 3

Câu 44: Biết V 

15  4 ln 2 là thể tích của vật thể tròn 4

xoay thu được khi quay hình phẳng (phần gạch sọc của hình vẽ) xung quanh trục hoành Ox. Tìm k , biết k  1. A. k 

4e . 3

3 C. k  ln 2. 2

B. k 

e2 . 2

D. k  4.

Câu 45: Ký hiệu  H  là hình phẳng giới hạn bởi các đường y 

 x  1 e x 2 x , 2

y  0, x  2 . Tính thể tích

V của khối tròn xoay thu được khi quay hình  H  xung quanh Ox.

A. V 

  2e  3 2e

B. V 

  e  3 2e

C. V 

  2e  1 2e

D. V 

  e  1 2e

Câu 46: Tính thể tích V của vật thể tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y  x ln x , trục hoành và đường thẳng x  e quay quanh Ox. A. V 

2e3  1 . 9

B. V 

2e3  1 . 9

C. V 

2e3  1 . 3

D. V 

2e3  1 . 3

Câu 47: Gọi V là thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình  H  giới hạn bởi y 

1  1, y  0 , x

 15  x  1, x  k (k  1) quay xung quanh Ox. Tìm k để V     ln16  .  4 

A. k  4.

C. k  e 2 .

B. k  4e.

D. k  8.

Câu 48: Cho hình  H  giới hạn bởi các đường y  x ln x , trục hoành và đường thẳng x  e. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay  H  quanh trục Ox. A.

  5e3  2  25

  5e3  2  27

  5e3  2  25

  5e3  2  27

Câu 49: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x ln x , y  0, x  e quay xung quanh trục Ox. Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng bao nhiêu ? A.

4e3  1 . 9

4e3  1 . 9

2e3  1 . 9

2e3  1 . 9

Câu 50: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x3  6 x 2  9 x, y  0 quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng A.

729 . 35

27 . 4

256608 . 35

776 . 5

Câu 51: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  2 x 2 , y 2  4 x quay xung quanh trục Ox. Thế tích của khối tròn xoay tạo thành bằng A.

88 . 5

9 . 70

4 . 3

Câu 52: Gọi  H  là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y 

6 . 5

x , trục Ox và đường thẳng x  1. 4  x2

Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình  H  xung quanh trục Ox.

4 A. V   ln . 3

1 4 B. V  ln . 2 3

C. V 



4 ln . 2 3

Câu 53: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  cos 4 x, Ox, x  0, x 

D. V 

 8



3 ln . 2 4

quay xung quanh trục Ox. Thể

tích của khối tròn xoay tạo thành bằng A.

2 2

2 16

 4

  1  D.   .  16 

Câu 54: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x  1 , trục Ox và đường thẳng x  3 quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng A.

3 . 2

B. 3 .

C. 2 .

D.  .

Câu 55: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x 3  1, y  0, x  0, x  1 quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng A.

79 . 63

23 . 14

5 . 4

D. 9 .

Câu 56: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  ax 2 , y  bx  a  0, b  0  quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng b3  1 1  A. 3     . a 3 5

b5 B. 3  . 5a

b5 C. 3  . 3a

b5  1 1  D. 3     . a 3 5

1 Câu 57: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  4  x 2 , y  x 2 quay xung quanh trục Ox. 3

Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng A.

24 3 . 5

28 3 . 5

28 2 . 5

24 2 . 5

Câu 58: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  3 x, y  x, x  0, x  1 quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng A.

8 . 3

4 . 3

2 . 3

D.  .

LỜI GIẢI CHI TIẾT b

Câu 1: Thể tích khối tròn xoay cần tính là V    f 2  x  dx. Chọn A. a

Câu 2: Thể tích khối tròn xoay cần tính là V    f 2  x  dx. Chọn A. a

Câu 3: Thể tích khối tròn xoay cần tính là V    f 2  x   g 2  x  dx. Chọn A. a



Câu 4: Thể tích khối tròn xoay cần tính là V    f 2  x  dx. Chọn C. e

x  0 Câu 5: Phương trình hoành độ giao điểm của  P  và d là x 2  x   . x  1 1

Dựa vào hình vẽ, thể tích khối tròn xoay cần tính là V    x dx    x 4 dx. Chọn C. 2

x  0 Câu 6: Phương trình hoành độ giao điểm của  P  và d là x 2  2 x   . x  2 1

Do 2 x  x , x  0;2 nên thể tích khối tròn xoay cần tính là V    4 x dx    x 4 dx. Chọn A. 2

x  0 Câu 7: Phương trình hoành độ giao điểm của  P  và  C  là x 2  x   . x  1 1

Vậy thể tích của khối tròn xoay cần tính là V     x 2   0

  x

dx     x  x 4  dx. Chọn D. 0

x  1 Câu 8: Phương trình hoành độ giao điểm của  P  và d là x 2  x  2  2 x   . x  2 2

2 Vậy thể tích của khối tròn xoay cần tính là V     4 x 2   x 2  3 x  2   dx. Chọn C.   1

 y ' 1  2 nên phương trình tiếp tuyến của  P  là y  2 x. Câu 9: Ta có y '  x 2  1 

Phương trình hoành độ giao điểm của  P  và d là x 2  1  2 x  x  1.

2 Vậy thể tích khối tròn xoay cần tính là V     x 2  1  4 x 2  dx. Chọn B.   0

Câu 10: Diện tích hình chữ nhật ABCD là S  x   3 x 3 x 2  2. 3

Do đó, thể tích cần tính là V   S  x  dx   3 x 3 x 2  2 dx 

124 . Chọn C. 3

Câu 11: Diện tích hình chữ nhật ABCD là S  x   2 x 9  x 2 . 3

Do đó, thể tích cần tính là V   S  x  dx   2 x 9  x 2 dx  18. Chọn B. Câu 12: Diện tích hình chữ nhật ABCD là S  x   2 x 4  x 2 . 2

Do đó, thể tích cần tính là V   S  x  dx   2 x 4  x 2 dx 

Câu 13: Diện tích tam giác đều cạnh x là S  x   1

Do đó, thể tích cần tính là V   S  x  dx  

16 . Chọn B. 3

x2 3 . 4

x2 3 3 dx  . Chọn A. 4 3

Câu 14: Diện tích hình chữ nhật ABCD là S x   2 x sin x . 



Do đó, thể tích cần tính là V   S  x  dx   2 x sin xdx  2 3. Chọn C.

2 Câu 15: Diện tích tam giác đều cạnh x là S  x   





sin x  cos x . 3 4

 3  sin x  cos x  .

Do đó, thể tích cần tính là V   S  x  dx   3  sin x  cos x  dx  2 3. Chọn B. Câu 16: Diện tích đường tròn bán kính sin x là S  x    . 





sin x



Do đó, thể tích cần tính là V   S  x  dx    .sin xdx  2 . Chọn D.

  sin x.

d x2 5 Câu 17: Bán kính đường tròn R   2 2  Diện tích nửa đường tròn bán kính R là S  x   2

5 x 4 . 8

5x4 dx  4 . Chọn C. 8

Do đó, thể tích cần tính là V   S  x  dx    .

Câu 18: Diện tích tam giác đều cạnh 2x là S 

2  2x 

 x2 3

Suy ra diện tích lục giác đều cạnh 2x là S  x   6  S   6 3 x 2 . 4

Do đó, thể tích cần tính là V   S  x  dx   6 3 x 2 dx  126 3. Chọn B. 1

Câu 19: Dựa vào hình vẽ, thể tích cần tính là V     3 x  dx    x 2 dx  2

Câu 20: V     x 2  4 x  4   2

31 . Chọn D. 5 1

Câu 21: V     x 2  2 x  dx     x 4  4 x3  4 x 2  dx  2



8 . Chọn A. 3

8 . Chọn B. 15



1  cos 2 x 2 Câu 22: V     sin x  dx    dx  . Chọn A. 2 2 0 0 1

Câu 23: V    0

 e  dx    e dx   e  1. Chọn A. x

2  12 2x  Câu 24: V     x e  dx    xe x dx   e 2 . Chọn A.  1 1 2



Câu 25: V    e 0

3 x 1



dx    e 2 0

3 x 1

dx 

 6

3e

 e 2  . Chọn A.

Câu 26: Phương trình hoành độ giao điểm của  C  và Ox là 4

Do đó, thể tích khối tròn xoay cần tính là V    1





x 1  0  x  1. 4





x  1 dx    x  2 x  1 dx  1

7 . Chọn A. 6

Câu 27: Công thức thể tích vật thể  H  là: V   S  x  dx. Chọn A. a

1  x Câu 28: V     e 2  dx   e x dx. Chọn B.  0 0 1

Câu 29: Dựa vào hình vẽ ta có: f1 x   f 2  x   0 với mọi x   a; b   f12  x   f 22  x  x   a; b . Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay S quanh trục là: b

V    f12  x   f 2 2  x  dx.     f12  x   f 2 2  x  dx. Chọn D. 2

Câu 30: V    x 2 dx      0 1 4

Câu 31: V    0

 x

Câu 32: V     2 0

Câu 33: V    1





x 2





2 2  x  dx    x 2 dx     2  x  dx. Chọn D.  0 1

dx     x  2  dx    xdx     x  2 dx. Chọn B. 2

4x 15 dx    4 dx   . Chọn A.  ln 4 0 ln 4 0

ln x



dx    ln xdx. 1

Lại có:  ln xdx  x ln x 1   xd  ln x   4 ln 4   dx  4 ln 4  3. 4

Do đó V    4 ln 4  3 . Chọn D. k

Câu 34: V    1



ln x



dx    ln xdx 1

Lại có:  ln xdx  x ln x 1   xd  ln x   k ln k   dx  k ln k   k  1 1

1 ln k  1  k  e . Chọn C. Do đó V    k ln k  k  1  1  k ln k  1  0 k

Câu 35: Thể tích V của vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng (phần gạch sọc của hình vẽ) xung e   quanh trục hoành Ox là: V    1 dx    ln xdx    e   ln 2 xdx  0 1 1   e

Sử dụng máy tính CASIO ta được: V  2 . Chọn A.

x  0 4x  x2  0   . x  4

Câu 36: Ta có:

Thể tích V của vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng (phần gạch sọc của hình vẽ) xung quanh trục 4

hoành Ox là: V    0



4x  x



 2 x3  32 dx     4 x  x  dx    2 x    . Chọn C. 3 0 3  0 4

x  0 x  0 Câu 37: Giải phương trình hoành độ giao điểm: x  6 x  x 2   2  x  3 2  x  6x  x

Thể tích V của vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng (phần gạch sọc của hình vẽ) xung quanh trục 3

hoành Ox là: V    x dx    2



6x  x

 dx  2

 x3 3

    6 x  x 2  dx 3

 x3   9    3 x 2    27 . Chọn B. 3 3  x  0 Câu 38: Phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị là: x  4 x  x 2  x 2  3 x  0   x  3

Khi đó thể tích khối tròn xoay tạo thành là: 2 108 CASIO V  V     4 x  x 2   x 2  dx     x 4  8 x3  15 x 2  dx  . Chọn C.   5 0 0 3

 x  1 Câu 39: Phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị là: 3  x  5  x 2  x 2  x  2  0   x  2 2

2 2 Khi đó thể tích khối tròn xoay tạo thành là: V     5  x 2    3  x   dx   1

CASIO     x 4  11x 2  6 x  16  dx  V  1

153 . Chọn C. 5

Câu 40: Lấy đối xứng đường thẳng y   x  2 qua trục Ox ta được đường thẳng y  x  2 . Giải phương trình 1

V 

2



x2



 x  2 . Thể tích khối tròn xoay tạo thành là x2  x2   x  1 1

CASIO dx     x  2  dx   V  1

55 . Chọn C. 6

Câu 41: Lấy đối xứng đường thẳng y  2 x qua trục Ox ta được đường thẳng y  2 x .

x  0 Giải 2 x  x   . Thể tích khối tròn xoay tạo thành là x  4 4



V  2 x 0



157 . Chọn C. 3

CASIO V  dx    x 2 dx   4

Câu 42: Lấy đối xứng đường thẳng y  1  x qua trục Ox ta được đường thẳng y  x  1 x  1 Giải phương trình x  1  x  1   x  2 2

Thể tích khối tròn xoay tạo thành là V    1

Câu 43: Xét phương trình





CASIO V  x  1 dx    1  x  dx  2

55 . Chọn A. 6

x  4 x  4 x2  4 x    x2  2 2  x  2  16  8 x  x  x  9 x  14  0 2

2

Thể tích khối tròn xoay tạo thành là: V     x  2  dx     4  x  dx. 2

 x2   x3  32     2 x    16 x  4 x 2    . Chọn C. 3 2 3  2  2  2

 x 1   1 Câu 44: Thể tích khối tròn xoay tạo thành là: V      dx    1   x  x 1 1

1 1  2 1    V     1   2  dx    x  2 ln x       k  1  2 ln k  1   x x  x 1 k   1

Do V 

15 15 1  4 ln 2   4 ln 2  k   2 ln k  k  4 . Chọn D. 4 4 k

Câu 45: Phương trình hoành độ giao điểm của  C  và Ox là 2

Khi đó, V     x  1 e x 1

2 x

dx 



e 2 1

x2  2 x



d  x2  2x   .ex 2

2 x

 x  1 e x 2 x 2

2 1



  e  1 2e

 0  x  1.

. Chọn D.

Câu 46: Phương trình hoành độ giao điểm của  C  và Ox là x ln x  0  ln x  0  x  1.





Khi đó, thể tích cần tính là V    x ln x 0

2e3  1  (bấm máy). Chọn A. 9

dx 

1 1    Câu 47: Thể tích khối tròn xoay là V      1 dx   x   2 ln x  x  x  1 1

1 1 15    15     k   2 ln k      ln16    k   2 ln k   ln16  k  4. Chọn A. k k 4   4 

Câu 48: Phương trình hoành độ giao điểm của  C  và Ox là x.ln x  0  ln x  0  x  1. 1

Khi đó, thể tích cần tính là V     x.ln x  dx  2

  5e3  2  27

(bấm máy). Chọn B.

Câu 49: Phương trình hoành độ giao điểm của  C  và Ox là x ln x  0  ln x  0  x  1. 1



Khi đó, thể tích cần tính là V    x ln x 0



dx 

2e3  1  (bấm máy). Chọn C. 9

x  0 Câu 50: Phương trình hoành độ giao điểm của  C  và Ox là x3  6 x 2  9 x  0   . x  3 3

Khi đó, thể tích cần tính là V     x3  6 x 2  9 x  dx  2

729 . Chọn A. 35

Câu 51: Ta có y 2  4 x  y  4 x  y  2 x .

x  0 Phương trình hoành độ giao điểm của  C1  và  C2  là 2 x 2  x   . x  1 1



Khi đó, thể tích cần tính là V     2 x 2   2 x 0



dx 

6 . Chọn D. 5

Câu 52: Phương trình hoành độ giao điểm của  C  và Ox là

 x Khi đó, V     4  x2 0 1



x  0  x  0. 4  x2

  4  dx  ln (bấm máy). Chọn C. 2 3  



2 1  cos8 x  x sin 8 x  8  dx     . Chọn B.  Câu 53: V     cos 4 x  dx     2 16  0 16 2 0 0 8

Câu 54: Phương trình hoành độ giao điểm của  C  và Ox là 3

Khi đó, V    1



x  1  0  x  1.

 x2  x  1 dx     x  1 dx     x   2 . Chọn C.  2 1 1



 x7 x4  23 Câu 55: V     x  1 dx     x  2 x  1 dx      x   . Chọn B. 2  7  0 14 0 0 1

x  0 Câu 56: Phương trình hoành độ giao điểm của  C  và d là ax  bx   . x  b a  2

b a

Khi đó, thể tích khối tròn xoay cần tính là V    a 2 x 4  b 2 x 2 dx  0

x   3 1 4  x2  x2   . 3  x  3

Câu 57: Phương trình hoành độ giao điểm của  C  và  P  là

Do đó, thể tích khối tròn xoay cần tính là V  



 3



4 x



b5  1 1      . Chọn D. a3  3 5 

 x2  28 3 . Chọn B.    dx  3 5   1

8 2 Câu 58: Thể tích khối tròn xoay cần tính là V     3 x  dx    x 2 dx   . Chọn A. 3 0 0

Chủ đề 14: MỘT SỐ ỨNG DỤNG KHÁC CỦA TÍCH PHÂN  Dạng 1: Bài toán liên quan đến quãng đường, vận tốc, gia tốc và thời gian Với bài toán chuyển động giả sử vận tốc tức thời của vật là v  t  thì v  t   s '  t  Gia tốc tức thời của vật: a  t   v '  t   s "  t  t2

Do đó quãng đường vật đi được từ thời điểm t1 đến t2 là S   v  t  dt. t1

Vận tốc tức thời của vật: v  t    a  t  dt Ví dụ 1: Một ô tô đang chạy với vận tốc 20 m/s thì người lái hãm phanh. Sau khi hãm phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v  t   4t  20 (m/s) trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu hãm phanh. Hỏi từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được bao nhiêu mét? A. 25 m.

B. 50 m.

C. 10 m.

D. 30 m.

Lời giải: Khi vật dừng hẳn thì v  0  4t  20  0  t  5  s  . 5

Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian trên là: S  t    v  t  dt    4t  20  dt  50 m. Chọn A. Ví dụ 2: Một ô tô xuất phát với vận tốc v1  t   2t  12  m / s  , sau khi đi được khoảng thời gian t1 thì bất ngờ gặp chướng ngại vật nên tài xế phanh gấp với vận tốc v2  t   24  6t  m / s  , và đi thêm một khoảng thời gian t2 nữa thì dừng lại. Hỏi từ khi xuất phát đến lúc dừng lại thì xe ô tô đã đi được bao nhiêu mét ? A. 12 m.

B. 156 m.

C. 108 m.

D. 48 m.

Lời giải: Ta có: v02  24  m / s  do đó khi gặp chướng ngại vật vật có vận tốc là 24 m / s Khi đó v1  t   2t  12  24  t  6  s  Vật dừng lại khi v2  t   24  6t  0  t2  4  s  6

Quãng đường vật đi được là: s   v1  t  dt   v2  t  dt    2t  12  dt    24  6t  dt  156 m. Chọn B. Ví dụ 3: Một chất điểm đang chuyển động với vận tốc v0  16  m / s  thì tăng tốc với gia tốc

a  t   t 2  3t  m / s 2  . Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian 4s kể từ lúc bắt đầu

tăng tốc. A.

160  m. 3

352  m. 3

400  m. 3

250  m. 3

Lời giải: t 3 3t 2 C Ta có: v  t    a  t  dt    t  3t  dt   3 2 2

t 3 3t 2  16 Khi đó v0  v  0   C  16  v  t    3 2

 t 3 3t 2  Khi đó quãng đường đi được bằng: s  t    v  t  dt      16  dt 3 2  0 0 4

 t4 t3  352  m  . Chọn B.    16t   3  12 2 0 Ví dụ 4: Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc v1  t   2t  m / s  . Đi được 12 giây, người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc a  12  m / s 2  . Tính quãng đường s  m  đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng

hẳn A. s  168 m.

B. s  166 m.

C. s  144 m.

D. s  152 m.

Lời giải: 12

Quãng đường xe đi được trong 12 s đầu là: s1   2tdt  144 m. 0

Sau khi đi được 12 s vật đạt vận tốc v  24 m / s, sau đó vận tốc của vật có phương trình v  24  12t Vật dừng hẳn sau 2 s kể từ khi phanh. 2

Quãng đường vật đi được từ khi đạp phanh đến khi dừng hẳn là: s2    24  12t  dt  24 m. 0

Vậy tổng quãng đường ô tô đi được là s  s1  s2  144  24  168 m. Chọn A.

Ví dụ 5: Một chất điểm chuyển động trên đường thẳng nằm ngang (chiều dương hướng sang phải) với gia tốc phụ thuộc thời gian t  s  là a  t   2t  7  m / s 2  . Biết vận tốc ban đầu bằng 10  m / s  , hỏi trong 6 giây đầu tiên, thời điểm nào chất điểm ở xa nhất về phía bên phải? A. 5  s  .

B. 6  s  .

C. 1  s  . Lời giải:

D. 2  s  .

Vận tốc của vật được tính theo công thức v  t   10  t 2  7t  m / s  . Suy ra quãng đường vật đi được tính theo công thức S  t    v  t  dt 

t3 7 2  t  10t  m  . 3 2

t  2 Ta có S   t   t 2  7t  10  S   t   0  t 2  7t  10  0   . t  5 S  0  0   S  2   26  26 6 Suy ra   Max S  t   S  2   . Chọn D. 0;6   3  S  5   25  6 S 6  6   

Ví dụ 6: [Đề thi thử Chuyên Đại học Vinh 2017] Tại một nơi không có gió, một chiếc khí cầu đang đứng yên ở độ cao 162 (mét) so với mặt đất đã được phi công cài đặt cho nó chế độ chuyển động đi xuống. Biết rằng, khí cầu đã chuyển động theo phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật v  t   10t  t 2 , trong đó t (phút) là thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động, v  t  được tính theo đơn vị mét/phút (m/p). Nếu như vậy thì khi bắt đầu tiếp đất vận tốc v của khí cầu là A. v  7  m / p  .

B. v  9  m / p  .

C. v  5  m / p  .

D. v  3  m / p  .

Lời giải: Khi bắt đầu tiếp đất vật chuyển động được quãng đường là s  162 m t0

 t3 t3  Ta có: S   10t  t  dt   5t    5t02  0 (trong đó t0 là thời điểm vật tiếp đất) 3 0 3  0 2

Cho 5t02 

t03  162  t0  9 (Do v  t   10t  t 2  0  t  10) 3

Khi đó vận tốc của vật là: v  9   10.9  92  9  m / p  . Chọn B.

Ví dụ 7: [Đề thi THPT Quốc gia 2018] Một chất điểm A xuất phát từ O, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật v  t  

1 2 13 t  t  m / s  , trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính 100 30

từ lúc A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O, chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 10 giây so với A và có gia tốc bằng a  m / s 2  ( a là hằng số). Sau khi B xuất phát được 15 giây thì đuổi kịp A. Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng A. 25  m / s  .

B. 15  m / s  .

C. 9  m / s  . Lời giải:

D. 42  m / s  .

Quãng đường chất điểm A đi được cho đến khi hai chất điểm gặp nhau là: 25

375  1 2 13  S   t  t  dt  m. 100 30  2 0  Vận tốc của chất điểm B tại thời điểm t  s  tính từ lúc B xuất phát là: vB  t   at. Quãng đường chất điểm B đi được cho đến khi 2 chất điểm gặp nhau là: 10

at 2 S   atdt  2 0

 0

225 225 375 5 a  m  . Suy ra a a 2 2 2 3

Vậy vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A là: vB 15   15a  25  m / s  . Chọn A.

Ví dụ 8: [Đề thi THPT Quốc gia 2018] Một chất điểm A xuất phát từ O, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật v  t  

1 2 11 t  t (m/s), trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính 180 18

từ lúc A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O, chuyển động thẳng cùng hướng với A , nhưng chậm hơn 5 giây so với A và có gia tốc bằng a  m / s 2  ( a là hằng số). Sau khi B xuất phát được 10 giây thì đuổi kịp A. Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng A. 22 (m/s).

B. 15 (m/s).

C. 10 (m/s). Lời giải:

Quãng đường chất điểm A đi được cho đến khi hai chất điểm gặp nhau là: 15

 1 2 11  S   t  t  dt  75 m. 180 8   0 Vận tốc của chất điểm B tại thời điểm t  s  tính từ lúc B xuất phát là: vB  t   at. Quãng đường chất điểm B đi được cho đến khi 2 chất điểm gặp nhau là: 10

at 2 S   atdt  2 0

 50a  m  . Suy ra 50a  75  a  1,5

Vậy vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A là: vB 10   10a  15  m / s  . Chọn B. Ví dụ 9: Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc v  km / h  phụ thuộc thời gian t  h  có đồ thị của vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian 3 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh I  2;9  với trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 4 giờ đó?

A. s  27  km  .

B. s  24  km  .

D. 7 (m/s).

C. s  28,5  km  .

D. s  26,5  km  . Lời giải:

Dựa vào đồ thị ta tính được phương trình vận tốc của vật 9 Từ 0 đến 3 giây: v1  t    t 2  9t  km / h  . 4

Từ 3 giây trở đi: v2  t  

27  km / h  . 4 3

27  9  Suy ra quãng đường vật đi được trong 4 giây sẽ bằng s     t 2  9t  dt   dt  27  km  . 4 4  0 3 Chọn A. Ví dụ 10: [Đề thi THPT Quốc gia 2017] Một người chạy trong thời gian 1 giờ, vận tốc v  km / h  phụ thuộc thời gian t  h  có đồ thị là một phần của 1  đường parabol với đỉnh I  ;8  và trục đối xứng song song với trục tung 2 

như hình bên. Tính quãng đường s người đó chạy được trong khoảng thời gian 45 phút, kể từ khi bắt đầu chạy. A. s  4, 0  km  . B. s  2,3  km  . C. s  4,5  km  . D. s  5,3  km  . Lời giải: 2

1  Dựa vào đồ thị ta tính được PT vận tốc là v  t   a  x    8 2  Do parabol  P  qua điểm 1;0   a  32  v  t   32t 2  32t  km / h  . Suy ra quãng đường đi được trong 45 phút bằng 0, 75  h  là S 

0,75

  32t 0

Chọn C.  Dạng 2: So sánh các giá trị của hàm số Ví dụ 1: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hàm số y  f   x  cắt trục Ox tại ba điểm có hoành độ a, b, c

thỏa mãn a  b  c như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây

 32t  dt  4,5  km  .

đúng? A. f  a   f  b   f  c  . B. f  a   f  c   f  b  . C. f  c   f  b   f  a  . D. f  c   f  a   f  b  . Lời giải: Dựa vào đồ thị hàm số y  f   x  ta có BBT của hàm số y  f  x  như sau: 

f  x





f a



f c

f  x f b 

 b



Lại có: S1   f '  x  dx    f '  x  dx  f  a   f  b  ; tương tự S 2  f  c   f  b  Dựa vào hình vẽ ta thấy S1  S 2  f  a   f  b   f  c   f  b   f  a   f  c  . Chọn B. Ví dụ 2: Cho y  f  x  có đồ thị y  f   x  như hình. Đặt g  x   f  x   cos x. Mệnh đề nào đúng?  3  A. g  0   g     g   .  4   3  B. g    g  0   g    .  4 

 3  C. g     g  0   g   .  3   3  D. g    g     g  0  .  4 

Lời giải: Ta có g '  x   f '  x   sin x   g '  x  dx    f '  x   sin x  dx Bảng biến thiên của hàm số y  g  x  x

g  x



3 4









g  0

g  

g  x 

Đặt S1  

S2 



3 4

3 ) 4



 3   4 

 sin x  f  x      g '  x  dx  g  0  g 

 f  x   sin x  



 3   4 

 g '  x  dx  g    g 

3 4

 3  Dựa vào hình vẽ ta có S1  S 2  g  0   g    . Do đó g    g     g  0  . Chọn D.  4 

Ví dụ 3: Cho hàm số y  f  x  . Đồ thị của hàm số y  f   x  như hình bên. Đặt g  x   2 f  x    x  1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2

A. g 1  g  3  g  3  . B. g 1  g  3  g  3  . C. g  3  g  3  g 1 . D. g  3  g  3  g 1 . Lời giải: Ta có g '  x   2  f '  x   x  1  2  f '  x     x  1  

g ' x dx    f '  x     x  1  dx 2

Đường thẳng d : y   x  1 đi qua các điểm  3; 2  ; 1; 2  và  3; 4  Với x  3 ta có:  x  1  f '  x   g '  x   0 Ta có BBT của hàm số g  x  x



g  x

3

1 

g  3





g  3

g  x g 1

 1

3

Đặt S1     x  1  f '  x   dx; S 2    f '  x     x  1  dx



3 g ' x g ' x dx   dx 2 2 3 1 1

Dựa vào hình vẽ ta có S1  S 2   

Do đó g  3  g 1  g  3   g 1  g  3   g  3  . Chọn A. Ví dụ 4: Cho hàm số f  x  . Đồ thị của hàm số y  f   x  như hình bên. Đặt h  x   2 f  x   x 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. h  4   h  2   h  2  . B. h  4   h  2   h  2  . C. h  2   h  2   h  4  . D. h  2   h  4   h  2  . Lời giải: Ta có: h '  x   2  f '  x   x   

h ' x dx    f '  x   x  dx 2

Đường thẳng y  x đi qua các điểm  2; 2  ;  2; 2  ;  4; 4  trên hình vẽ Với x  2 ta có: h '  x   x suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng  ; 2  Ta có bảng biến thiên của hàm số h  x  như sau: x

2



h  x 



h  2



Đặt S1 

2

  f '  x   x  dx; S2    x  f '  x  dx

4 h  x h  x  Dựa vào hình vẽ ta có: S1  S 2   dx   dx 2 2 2 2 2

 h  2   h  2   h  2   h  4   h  4   h  2  . Chọn D.

Ví dụ 5: Cho hàm số y  f  x  . Đồ thị hàm số y  f   x  như hình vẽ bên. Đặt M  max f  x  ,  2;6

m  min f  x  , T  M  m. Mệnh đề nào dưới đây  2;6

+ 

h  x h  2 



h  4

đúng? A. T  f  0   f  2  . B. T  f  5   f  2  . C. T  f  5   f  6  . D. T  f  0   f  2  . Lời giải: Dựa vào đồ thị hàm số y  f '  x  ta lập được bảng biến thiên của hàm số y  f  x  x

2

y



y 0

Ta đặt:

 f '  x  dx  S

 f 0  f 2;

 f '  x  dx  S

 f 5   f  2 

Dựa vào đồ thị ta có: S 2  S1  f  5   f  0   M  f  5  (loại A và D). Ta cần so sánh f  2  và f  6  0

Tương tự ta có:

 f '  x  dx  f  0   f  2   S ;  f '  x  dx  f 5   f 6   S 3

2

Quan sát đồ thị suy ra S3  S 4  f  0   f  2   f  5  f  6  f  6  f  2  f  5  f  0  0 Do đó f  2   f  6   m  f  2  . Chọn B.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Một chất điểm đang chuyển động với vận tốc v0  18 m / s thì tăng tốc với gia tốc a  t   t 2  5t  m / s 2  . Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian 3 s kể từ lúc bắt đầu

tăng tốc. A.

117 m. 4

333 m. 4

63 m. 2

D. 126 m.

Câu 2: Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc v  t   150  15t  m / s  . Hỏi rằng trong 5 s trước khi dừng hẳn vật di chuyển được bao nhiêu mét? A.

1125 m. 2

B. 120 m.

375 m. 2

D. 750 m.

Câu 3: Một ô tô đang chạy đều với vận tốc b  m / s  thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v  t   4t  b  m / s  . Biết từ khi đạp phanh đến lúc dừng hẳn thì ô tô di chuyển được 50 m. Tìm b. A. 12,5 m / s.

B. 15 m / s.

C. 25 m / s.

D. 20 m / s.

Câu 4: Một ô tô xuất phát với vận tốc v1  t   2t  12  m / s  sau khi đi được một khoảng thời gian t1 thì bất ngờ gặp chướng ngại vật nên tài xế phanh gấp với vận tốc c2  t   24  6t  m / s  và đi thêm một khoảng thời gian t2 nữa thì dừng lại. Hỏi từ khi xuất phát đến lúc dừng lại thì xe ô tô đã đi được bao nhiêu mét? A. 156 m.

B. 108 m.

C. 48 m.

D. 112 m.

Câu 5: Một ô tô đang chạy với vận tốc 20 m / s thì dừng lái đạp phanh. Sau khi đạp phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v  t   20  40t  m / s  , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được bao nhiêu mét? A. 10 m.

B. 7 m.

C. 5 m.

D. 3 m.

Câu 6: Một vật chuyển động với gia tốc a  t   3t 2  t  m / s 2  . Vận tốc ban đầu của vật là 2  m / s  . Hỏi vận tốc của vật là bao nhiêu sau khi chuyển động với gia tốc đó được 2 s. A. 8 m / s.

B. 12 m / s.

C. 16 m / s.

D. 10 m / s.

Câu 7: Một ô tô đang dừng và bắt đầu chuyển động theo một đường thẳng với gia tốc a  t   6  2t  m / s 2  , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc ô tô bắt đầu chuyển động. Hỏi quãng đường ô tô đi được kể từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi vận tốc của ô tô đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu mét? A.

45 m. 2

B. 18 m.

C. 36 m.

Câu 8: Một vật chuyển động với vận tốc v  t   1, 2 

27 m. 4

t2  4  m / s  . Tính quãng đường vật đó đi được trong t 3

4 giây đầu (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

A. 1, 64 m.

B. 11, 01 m.

C. 11,81 m.

D. 11,18 m.

Câu 9: Một chất điểm A từ trạng thái nghỉ chuyển động với vận tốc nhanh dần đều, 8 s sau nó đạt đến vận tốc 6 m / s. Từ thời điểm đó nó chuyển động đều. Một chất điểm B khác xuất phát từ cùng vị trí với A nhưng chậm hơn nó 12 s với vận tốc nhanh dần đều và đuổi kịp A sau 8 s (kể từ lúc B xuất phát). Tìm vận tốc B tại thời điểm đó. A. 12 m / s.

B. 24 m / s.

C. 18 m / s.

D. 30 m / s.

Câu 10: Một ô tô đang chạy với vận tốc 36 km / h thì tăng tốc chuyển động nhanh dần với gia tốc 1 a  t   1  t  m / s 2  . Tính quãng đường mà ô tô đi được sau 6 giây kể từ khi ôtô bắt đầu tăng tốc. 3

A. 90 m.

B. 246 m.

C. 58 m.

D. 102 m.

Câu 11: Một ô tô đang chuyển động đều với vận tốc 12 m / s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v  t   12  2t  m / s  (trong đó t là thời gian tính bằng giây, kể từ lúc đạp phanh). Hỏi trong thời gian 8 giây cuối (tính đến khi xe dừng hẳn) thì ô tô đi được quãng đường bằng bao nhiêu? A. 16 m.

B. 60 m.

C. 32 m.

D. 100 m.

Câu 12: Bạn An ngồi trên máy bay đi du lịch thế giới vận tốc chuyển động của máy bay là v  t   3t 2  5  m / s  . Hỏi quãng đường máy bay đi được từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 bằng bao nhiêu?

A. 996 m.

B. 876 m.

C. 966 m.

D. 1086 m.

Câu 13: Một vận động viên đua xe F đang chạy với vận tốc 10  m / s  thì anh ta tăng tốc với vận tốc a  t   6t  m / s 2  , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc tăng tốc, hỏi quãng đường xe của

anh ta đi được trong thời gian 10 s kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là bao nhiêu? A. 1100 m.

B. 100 m.

C. 1010 m.

D. 1110 m.

Câu 14: Một vật chuyển động chậm dần đều với vận tốc v  t   30  2t  m / s  . Hỏi trong 5 s trước khi dừng hẳn, vật di chuyển động được bao nhiêu mét? A. 50 m.

B. 225 m.

C. 125 m.

D. 25 m.

Câu 15: Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc v1  t   7t  m / s  . Đi được 5 s người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc a  70  m / s 2  . Tính quãng đường đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn.

A. 95, 70 m.

B. 96, 25 m.

C. 87,50 m.

D. 94, 00 m.

Câu 16: Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian được tính bởi công thức v  t   3t  2, thời gian tính theo đơn vị giây, quãng đường vật đi được tính theo đơn vị mét. Biết tại thời điểm t  2 s thì vật đi được quãng đường là 10 m. Hỏi tại thời điểm t  30 s thì vật đi được quãng đường là bao nhiêu?

A. 240 m.

B. 1140 m.

C. 300 m.

D. 1410 m.

Câu 17: Một học sinh đi học từ nhà đến trường bằng xe đạp với vận tốc thay đổi theo thời gian được tính bởi công thức v  t   40t  100 (m / phút). Biết rằng sau khi đi được 1 phút thì quãng đường học sinh đó đi được là 120 m. Biết quãng đường từ nhà đến trường là 3 km. Hỏi thời gian học sinh đó đi đến trường là bao nhiêu phút? A. 9 phút.

B. 15 phút.

C. 10 phút.

D. 12 phút.

Câu 18: Một vật chuyển động với vận tốc 10  m / s  thì tăng tốc với gia tốc a  t   3t  t 2  m / s 2  . Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc. A.

4000 m. 3

4350 m. 3

4300 m. 3

D. 1433 m.

Câu 19: Một chất điểm chuyển động trên đường thẳng nằm ngang (chiều dương hướng sang phải) với gia tốc phụ thuộc vào thời gian t  s  là a  t   2t  7  m / s 2  . Biết vận tốc đầu bằng 10  m / s  . Hỏi trong 6 giây đầu tiên, thời điểm nào chất điểm ở xa nhất về phía bên phải? A. 5 s.

B. 6 s.

C. 1 s.

D. 2 s.

Câu 20: Một ô tô đang chạy thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v  t   12t  24  m / s  , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét? A. 18 m.

B. 15 m.

C. 20 m.

Câu 21: Một vật chuyển động với vận tốc v  t   m / s  có gia tốc v '  t  

D. 24 m. 3 m / s 2  . Vận tốc ban đầu của  t 1

vật là 6 m / s. Tính vận tốc của vật sau 10 giây, (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). A. 10  m / s  .

B. 8  m / s  .

C. 15  m / s  .

D. 13  m / s  .

Câu 22: Một đám vi sinh trùng tại ngày thứ t có số lượng N  t  , biết rằng N '  t  

7000 và lúc đầu đám vi t2

trùng có 300000 con. Hỏi sau 10 ngày, đám vi trùng có bao nhiêu con (làm tròn đến hàng đơn vị)? A. 322542 con.

B. 332542 con.

C. 302542 con.

D. 312542 con.

Câu 23: Khi quan sát một đám vi khuẩn trong phòng thí nghiệm người ta thấy tại ngày thứ x có số lượng N  x  con. Biết rằng N '  x  

2017 và lúc đầu đám vi khuẩn có 30000 con. Hỏi số lượng vi khuẩn sau x 1

đúng một tuần gần với số nào sau đây? A. 36194.

B. 38417.

C. 35194.

D. 34194.

Câu 24: (Đề thi THPT Quốc gia 2017) Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v  km/h  phụ thuộc thời gian t  h  có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh

I  2;9  và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được

trong 3 giờ đó. A. s  26, 75  km  .

B. s  25, 25  km  .

C. s  24, 25  km  .

D. s  24, 75  km  .

Câu 25: (Đề thi THPT Quốc gia 2017) Một người chạy trong thời gian 1 giờ với vận tốc v  km/h  phụ thuộc thời gian t  h  có đồ thị là một phần parabol với 1  đỉnh I  ;8  và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quãng 2 

đường s mà người đó chạy được trong khoảng thời gian 45 phút kể từ khi chạy. A. s  4  km  .

B. s  2,3  km  .

C. s  4,5  km  .

D. s  5,3  km  .

Câu 26: (Đề thi THPT Quốc gia 2017) Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc v  km/h  phụ thuộc thời gian t  h  có đồ thị vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian 3 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh I  2;9  với trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 4 giờ đó. A. 26,5 km.

B. 28,5 km.

C. 27 km.

D. 24 km.

Câu 27: (Đề thi THPT Quốc gia 2017) Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v  km/h  phụ thuộc vào thời gian t  h  có đồ thị vận tốc như hình vẽ bên. Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh I  2;9  và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). A. s  23, 25  km  .

B. s  21,58  km  .

C. s  15,50  km  .

D. s  13,83  km  .

Câu 28: Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v  km/h  phụ thuộc vào  3 25  thời gian t  h  có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh I  ;  và 2 4 

trục đối xứng song song với trục tung như hình vẽ. Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong 3 giờ. A.

33 km. 2

29 km. 2

31 km. 2

35 km. 2

Câu 29: Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v  km/h  phụ thuộc vào thời gian t  h  có đồ thị vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh I  2;5  và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). A.

32 km. 3

C. 12 km.

B. 15 km. D.

35 km. 3

Câu 30: Hai vật chuyển động ngược chiều nhau trên một quãng đường

AB dài 30 km. Vật M chuyển động từ A đến B trong 3 giờ với vận tốc v1  km/h  phụ thuộc vào thời gian t  h  , trong khoảng thời gian 1 giờ kể

từ khi bắt đầu chuyển động có đồ thị là một phần của parabol có đỉnh I1  2;5  và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại

đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Vật N chuyển động trong 3 giờ từ B đến A với vận tốc v2  km/h  phụ thuộc vào thời gian  3 13  t  h  với đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh I 2  ;  và trục 2 4 

đối xứng song song với trục tung. Hỏi sau 3 giờ thì hai vật M , N cách nhau bao nhiêu km? 19 km. 6

37 km. 2

C. 18 km.

45 km. 2

Câu 31: Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc v  km/h  phụ thuộc thời gian t  h  có đồ thị vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian 2 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động nhanh dần, đồ thị là một phần của đường thẳng. Khoảng thời gian còn lại đồ thị là một parabol có đỉnh I  3;7  và trục đối xứng song song với trục tung. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 210 phút. A. s  15,375  km  .

B. s  16,375  km  .

C. s  17,5  km  .

D. s  18,5  km  .

Câu 32: Một vật chuyển động trong 2 giờ với vận tốc v  km/h  phụ thuộc thời gian t  h  có đồ thị của vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian 1,5 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị là parabol có đỉnh I 1;9  và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 2 giờ đó. A. 13,8 km.

B. 14,8 km.

C. 15,8 km.

D. 16,8 km.

Câu 33: Một vật chuyển động trong 10 giờ với vận tốc v  km/h  phụ thuộc thời gian t  h  có đồ thị của vận tốc như hình bên. Tính quãng đường s mà vật đi được trong 10 giờ đó. A. 72 km.

B. 70 km.

C. 74 km.

D. 76 km.

Câu 34: Một vật chuyển động với vận tốc v0  15 m/s thì tăng tốc với gia tốc a  m/s 2  phụ thuộc thời gian t  s  có đồ thị là một phần của parabol có đỉnh I 1; 4  và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc. A. 45, 25 m.

B. 36 m.

C. 50 m.

D. 44,5 m.

Câu 35: Một vật chuyển động trong 4 giây với gia tốc a  m/s 2  phụ thuộc thời gian t  s  có đồ thị của gia tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian 3 giây kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị là một parabol có đỉnh I  2; 4  và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 4 giây đó. Biết rằng vận tốc của vật tại giây thứ 3 bằng 18 m/s. A. 55,9 m.

B. 56,9 m.

C. 57,9 m.

D. 58,9 m.

LỜI GIẢI CHI TIẾT t3 5 2 Câu 1: Ta có v  t    a  t  dt    t  5t  dt   t  C  m/s  3 2 2

Do khi bắt đầu tăng tốc v0  18 nên v t 0

t3 5 2  18  C  18  v  t    t  18 3 2

Khi đó quãng đường xe đi được sau 3 giây kể từ khi ô tô bắt đầu tăng tốc bằng 3 3  t 3 5t 2  333 S   v  t  dt   18   m. Chọn B.  dt  3 2  4 0 0

Câu 2: Khi dừng hẳn v  t   150  15t  0  t  10  s  10

Khi đó trong 5 s trước khi dừng hẳn vật di chuyển được: S   v  t  dt   150  15t  dt 

375 m. 2

Chọn C. Câu 3: Khi dừng hẳn v  t   4t  b  0  t 

b  s 4

Quãng đường xe đi được từ khi đạp phanh đến lúc dừng hẳn là: b 4

b 4

S   v  t  dt    4t  b  dt   2t 2  bt  4  0

b 2 b 2   50  b 2  400  b  20. Chọn D. 8 4

Câu 4: Ta có: v02  24  m / s  do đó khi gặp chướng ngại vật vật có vận tốc là 24 m / s Khi đó v1  t   2t  12  24  t  6  s  Vật dừng lại khi v2  t   24  6t  0  t2  4  s  6

Quãng đường vật đi được là: s   v1  t  dt   v2  t  dt    2t  12  dt    24  6t  dt  156 m. Chọn A. Câu 5: Khi dừng hẳn v  t   20  40t  0  t  0,5  s  1 2

1 2

Quãng đường xe đi được từ khi đạp phanh đến lúc dừng hẳn là: S   v  t  dt    20  40t  dt  5 m. Chọn C. 1 Câu 6: Ta có v  t    a  t  dt    3t 2  t  dt  t 3  t 2  C  m/s  2 1 Do khi bắt đầu tăng tốc v0  2 nên v t 0  2  C  2  v  t   t 3  t 2  2 2

Vận tốc của vật khi chuyển động với gia tốc đó được 2 s là v  2   12 m / s. Chọn B.

Câu 7: Ta có: v  t    a  t  dt    6  2t  dt  6t  t 2  C  m/s  Khi đó vmax  t  3, do ban đầu ô tô đang dừng nên v  0   0  C  0. Quãng đường ô tô đi được kể từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi vận tốc của ô tô đạt giá trị lớn nhất là: 3

S    6t  t 2  dt  18 m. Chọn B. 0

Câu 8: Quãng đường vật đó đi được trong 4 giây đầu là:

 t2  4  CASIO S   v  t  dt   1, 2  dt  S  11,81 m. Chọn C. t  3  0 0 4

Câu 9: Phương trình vận tốc của vật A là: v1  at Do v  8  6  a 

3 3  v1  t  4 4 8

Quãng đường vật A đi được sau 20s đầu là

 4 tdt  6.12  96 m. 0

Phương trình vận tốc của vật B là: v2  bt  S B   btdt  96  b  3 0

Do đó v2  bt  vận tốc của vật B khi hai vật gặp nhau là vB  3.8  24 m / s. Chọn B. 1  t Câu 10: Ta có v  t    a  t  dt   1   dt  t  t 2  C  m/s  6  3 1 Do khi bắt đầu tăng tốc v0  36  km / h   10  m / s  nên v t 0  10  C  10  v  t   t  t 2  10 6

Khi đó quãng đường xe đi được sau 6 giây kể từ khi ô tô bắt đầu tăng tốc bằng

 t2  S   v  t  dt    t   10  dt  90 m. Chọn A. 6  0 0 6

Câu 11: Khi dừng hẳn v  t   12  2t  0  t  6  s  Khi đó trong 8 s trước khi dừng hẳn vật di chuyển được (bao gồm 2 s trước khi đạp phanh): 6

S  2.12   v  t  dt  24   12  2t  dt  24  36  60 m. Chọn B. Câu 12: Quãng đường máy bay đi được từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là: 10

S   v  t  dt    3t 2  5 dt  996 m. Chọn C. Câu 13: Ta có v  t    a  t  dt   6tdt  3t 2  C  m/s  Do khi bắt đầu tăng tốc v0  10 nên v t 0  10  C  10  v  t   3t 2  10 Khi đó quãng đường xe đi được sau 10 giây kể từ khi ô tô bắt đầu tăng tốc bằng

S   v  t  dt    3t 2  10  dt  1100 m. Chọn A. Câu 14: Khi dừng hẳn v  t   30  2t  0  t  15  s  Khi đó trong 5 s trước khi dừng hẳn vật di chuyển được: 15

S   v  t  dt    30  2t  dt  25 m. Chọn D. Câu 15: Vận tốc vật đạt được sau 5 s là: v0  7.5  35 m / s. Ta có v2  t    a  t  dt   70dt  70t  C  m/s  Do khi bắt đầu tăng tốc v0  35 nên vt 0   35  C  35  v2  t   70t  35 Vật dừng hẳn khi v2  t   70t  35  0  t2 

1  s . 2

1 2

Khi đó quãng đường đi được bằng S   v1  t  dt   v2  t  dt   7tdt    70t  35 dt  96, 25 m. Chọn B. Câu 16: Quãng đường vật đi được từ thời điểm t  2 s đến t  30 s là: 30

S   v  t  dt 

  3t  2  dt  1400 m  S 30   S  2   S 30   S  2   1400  1410.

Cách 2: S  30  

  3t  2  dt  1410. Chọn D. 0

Câu 17: S  t    v  t  dt  20t 2  100t  C Do S 1  120  C  120  C  0 Để học sinh đó đến trường thì S  t   20t 2  100t  3000  t  10. Chọn C. Câu 18: v  t    a  t  dt    t 2  3t  dt 

t3 3 2  t  C  m/s  3 2

Do khi bắt đầu tăng tốc v0  18 nên v t 0  10  C  10  v  t  

t3 3 2  t  10 3 2

10 10  t 3 3t 2  4300 Khi đó quãng đường đi được bằng S   v  t  dt   10   m. Chọn C.  dt  3 2 3  0 0

Câu 19: Vận tốc của vật được tính theo công thức v  t   10  t 2  7t  m / s  . Suy ra quãng đường vật đi được tính theo công thức S  t    v  t  dt 

t  2 Ta có S   t   t 2  7t  10  S   t   0  t 2  7t  10  0   . t  5

t3 7 2  t  10t  m  . 3 2

S  0  0   S  2   26  26 3 Suy ra   Max S  t   S  2   . Chọn D. 0;6 3  S  5   25  6 S 6  6   

Câu 20: Khi dừng hẳn v  t   12t  24  0  t  2  s  2

Do đó từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô đi được: S   v  t  dt    12t  24  dt  24 m. Chọn D. Câu 21: Vận tốc của vật là: v  t    v '  t  dt  

3dt  3ln  t  1  C t 1

Do vận tốc ban đầu của vật là 6 m / s  V t 0  6  3ln1  C  6  C  6. Vận tốc của vật sau 10 s là: v 10   3ln11  6  13 m / s. Chọn D. Câu 22: N  t    N '  t  dt  

7000 dt  7000 ln  t  2   C t2

Do N  0   N  t 0  7000 ln 2  C  300000  C  300000  7000 ln 2. Sau 10 ngày, đám vi trùng có N 10   7000 ln12  C  7000 ln 6  300000  312542 con. Chọn D. Câu 23: N  x    N '  x  dt  

2017 dt  2017 ln  x  1  C x 1

Do N  0   N  x 0  2017.ln1  C  30000  C  30000. Sau 1 tuần, đám vi trùng có N  7   2017 ln 8  3000  34194 con. Chọn D. Câu 24: Gọi phương trình parabol là y  at 2  bt  c

 a  0 .

b 3   2 c  6;  a   Vì  P  có đỉnh I  2;9  và đi qua M  0;6  nên   . 2a 4  4a  2b  c  9 b  3; c  6 3 Do đó, phương trình parabol là y   t 2  3t  6. 4 3

 3  Vậy quãng đường mà vật di chuyển là S     t 2  3t  6  dt  24, 75. Chọn D. 4  0 Câu 25: Gọi phương trình parabol là y  at 2  bt  c 1  Vì  P  có đỉnh I  ;8  2 

 a  0 .

b 1  c  0;  2a  2 a  32  . và đi qua O  0;0  nên  b  32; c  0 a b    c 8  4 2

Do đó, phương trình parabol là y  32t 2  32t. 3 4

9 Vậy quãng đường mà vật di chuyển là S    32t 2  32t  dt  . Chọn C. 2 0

Câu 26: Gọi phương trình parabol là y  at 2  bt  c

 a  0 .

b 9   2 c  0;  a   Vì  P  có đỉnh I  2;9  và đi qua O  0;0  nên   . 2a 4 4a  2b  c  9 b  9; c  0 27 9 Do đó, phương trình parabol là y   t 2  9t. Với t  3  y  3  . 4 4 3

27  9  Vậy quãng đường mà vật di chuyển là S     t 2  9t  dt  .  4  3   27. Chọn C. 4 4  0 Câu 27: Gọi phương trình parabol là y  at 2  bt  c

 a  0 .

b 5   2 c  4;  a   Vì  P  có đỉnh I  2;9  và đi qua M  0; 4  nên   . 2a 4 4a  2b  c  9 b  5; c  4 31 5 Do đó, phương trình parabol là y   t 2  5t  4. Với t  1  y 1  . 4 4 1

31  5  Vậy quãng đường mà vật di chuyển là S     t 2  5t  4  dt  .  3  1  21,58. Chọn B. 4 4  0 Câu 28: Gọi phương trình parabol là y  at 2  bt  c

 a  0 .

b 3  a  1 c  4;       3 25  2a 2  b  3 . Vì  P  có đỉnh I  ;  và đi qua M  0; 4  nên  2 4   9 a  3 b  c  25 c  4   4 2 4

Do đó, phương trình parabol là y  t 2  3t  4. 3

Vậy quãng đường mà vật di chuyển là S    t 2  3t  4  dt  0

Câu 29: Gọi phương trình parabol là y  at 2  bt  c

33 . Chọn A. 2

 a  0 .

a  1 b  2 c  1;   Vì  P  có đỉnh I  2;5  và đi qua M  0;1 nên   b  4 . 2a 4a  2b  c  5 c  1  Do đó, phương trình parabol là y  t 2  4t  1. 1

Vậy quãng đường mà vật di chuyển là S    t 2  4t  1 dt  4.  3  1  0

32 . Chọn A. 3

Câu 30: Ta xét riêng các vật M , N : - Xét chiều di chuyển của vật M . Gọi phương trình của parabol  P  là y  at 2  bt  c

a  1 b  2 c  1;   Vì  P  có đỉnh I  2;5  và đi qua M  0;1 nên suy ra   b  4 . 2a 4a  2b  c  5 c  1  Do đó, phương trình  P  là y  t 2  4t  1 cũng chính là phương trình vận tốc. 1

Suy ra quãng đường vật M đi trong 3 giờ là S M    t 2  4t  1 dt  4.  3  1  0

32 km. 3

- Xét chiều di chuyển của vật N . Gọi phương trình parabol  P  là y  at 2  bt  c  3 13  Vì  P  có đỉnh I  ;  và đi qua M  0;1 nên suy ra 2 4 

b 3  a  1 c  1;  2a  2   b  3 .   9 a  3 b  c  13 c  1   4 2 4

Do đó, phương trình  P  là y  t 2  3t  1 cũng chính là phương trình vận tốc. 3

Suy ra quãng đường vật N đi trong 3 giờ là S N    t 2  3t  1 dt  0

Vậy sau 3 giờ thì hai vật M , N cách nhau một khoảng

15 km. 2

32 15 19   km. Chọn A. 3 2 6

Câu 31: Gọi phương trình đường thẳng là d : y  mt  n 1  y  t  3 là phương trình vận tốc. Vì d đi qua điểm M  0;3 và N  2; 4   2

Gọi phương trình của parabol  P  là y  at 2  bt  c

4a  2b  c  4 a  3   Vì  P  có đỉnh I  3;7  và đi qua N  2; 4  nên suy ra 9a  3b  c  7  b  18 . 6 a  b  0 c  20   Do đó, phương trình  P  là y  3t 2  18t  20 cũng chính là phương trình vận tốc. 2

7 2

1  Vậy quãng đường cần tính là S    t  3  dt    3t 2  18t  20  dt  16,375. Chọn B. 2  0 2

Câu 32: Gọi phương trình của parabol  P  là y  at 2  bt  c

a  9 b  1  c  0;  Vì  P  có đỉnh I 1;9  và đi qua O  0;0  nên suy ra   b  18 . 2a a  b  c  9 c  0 

Do đó, phương trình  P  là y  9t 2  18t cũng chính là phương trình vận tốc. 2

3 3 27 3 3 Với t    v    9.    18.  . 2 2 4 2 2 Gọi phương trình đường thẳng là d : y  mt  n 21  3 27   y  t  9. Vì d đi qua điểm M  ;  và N  2;12   2 2 4  3 2

 21  Vậy quãng đường cần tính là S    9t 2  18t  dt    t  9  dt  14,8 km. Chọn B.  3 2 0 2

Câu 33: Trong 2 giờ đầu, vật chuyển động với vận tốc v  t   3t   S1   3tdt  6 km. 0

Trong 2 giờ tiếp theo, vật chuyển động với vận tốc v  t   6   S 2  6.2  12 km. 10

Trong 6 giờ cuối, vật chuyển động với vận tốc v  t   t  2   S3    t  2  dt  54 km. 4

Vậy tổng quãng đường vật đi trong 10 giờ là S  S1  S 2  S3  6  12  54  72 km. Chọn A. Câu 34: Gọi phương trình của parabol  P  là y  at 2  bt  c

a  4 b  1  c  0;  Vì  P  có đỉnh I 1; 4  và đi qua O  0;0  nên suy ra   b  8. 2a a  b  c  4 c  0  Do đó, phương trình  P  là y  4t 2  8t cũng chính là phương trình gia tốc. Ta có a  t   4t 2  8t  v  t     4t 2  8t dt 

4t 3  4t 2  C 3

3 3  4t 3  Mà v  0   15  C  15. Vậy S   v  t  dt     4t 2  15  dt  36 m. Chọn B. 3  0 0

Câu 35: Gọi phương trình của parabol  P  là y  at 2  bt  c

a  1 b  2 c  0;   Vì  P  có đỉnh I  2; 4  và đi qua O  0;0  nên suy ra   b  4 . 2a 4a  2b  c  4 c  0  Do đó, phương trình  P  là y  t 2  4t cũng chính là phương trình gia tốc. t3 Suy ra v  t    a  t  dt    t  4t dt    2t 2  C mà v  3  18  C  9. 3 2

 v  3  32  4.3  3. Gọi phương trình đường thẳng là d : y  mt  n Với t  3 

 y  t là phương trình gia tốc Vì d đi qua điểm O  0;0  và M  3;3 

Suy ra v  t    a  t  dt   tdt 

t2 27  C mà v  3  18  C  . 2 2

4  t3   27  2 Vậy quãng đường cần tính là S      2t  9  dt    t   dt  57,9 km. Chọn B. 3 2   0 3 3

CHỦ ĐỀ 15: MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỌN LỌC VỀ TÍCH PHÂN Ví

dụ

Cho

hàm

y  f  x

số

có

đạo

hàm

liên

tục

trên

đoạn

1; 2

thỏa

mãn

f  x   x. f   x    x. f  x   1 . Biết f 1  2 , tính f  2  2

A. f  2  

1 . 2

1 B. f  2   . 2

C. f  2  

3 . 2

D. f  2  

3 . 4

Lời giải: Ta có f  x   x. f   x    x. f  x   1  2

Lấy nguyên hàm 2 vế ta được: Thay x  1 

f  x   x. f   x   x. f  x   1

1

 x. f  x    x. f  x   1

1

1  xC x. f  x   1

1 1 1 3  1  C  C  0  f  x   2   f  2    . Chọn D. 2  1 x 4 x

Ví dụ 2: Cho hàm số

y  f  x

x 2 . f  x   x3 . f   x    x. f  x   1 A. 0  f  3  1.

xác định và liên tục trên đoạn

1;3

và thỏa mãn

 x  1;3 và f 1  32 . Khi đó:

B. 1  f  3  3.

C. f  3  3.

D. f  3  0.

Lời giải: Ta có: x 2 . f  x   x 3 . f   x    xf  x   1  x 2  f  x   x. f   x     xf  x   1 2



f  x   x. f   x   xf  x   1

 x. f  x  1 1  2   2 2 x x  xf  x   1

Lấy nguyên hàm 2 vế ta được:

d  xf  x   1

  xf  x   1 

Lại có: f 1 

Do đó





1 1 1 dx   C 2 xf  x   1 x x

2 1 1   1  C  C   1  2 2 3 1. f 1  1 1 3

1 1 1 1 4   2 , thay x  3    2  f  3  . Chọn D. x. f  x   1 x 3. f  3  1 3 21

Ví dụ 3: Cho hàm số y  f  x  đồng biến và luôn dương trên đoạn 1;3 đồng thời thỏa mãn

 f   x     x 4  3 x 2  f  x  , biết f 1  4 . Khi đó 2

A. 0  f  2   3.

B. 3  f  2   5.

C. 5  f  2   9.

D. f  2   9.

Lời giải: Ta có:  f   x     x  3 x 2



f  x f  x



 f   x   f  x    x 2  x 2  3 f  x 2

 x x 2  3 (do f  x   0 x  1; 2 )

Lấy nguyên hàm 2 vế ta được:



1 2 f  x  . 4 3

x



d  f  x   1   x x 2  3dx  2 f  x    x 2  3dx  x 2  3 2 f  x

 3  C  3

1 6

x

8 2 Do f 1  4  2   C  C   6 3    f  x   

x

 3

 3  C 3

f  x 

x

 3

2  . 3

 2    f  2   14,1 . Chọn D. 3 

Ví dụ 4: Cho hàm số f  x  có đạo hàm xác định, liên tục  0;1 đồng thời thỏa mãn các điều kiện f   0   1 và  f   x    f   x  . Đặt T  f 1  f  0  , hãy chọn khẳng định đúng? 2

A. 2  T  1.

B. 1  T  0.

C. 0  T  1.

D. 1  T  2.

Lời giải: Ta có:  f   x    f   x   2

Lấy nguyên hàm 2 vế ta có:

f   x   f   x 

1

d  f   x  

  f   x  



  dx 

1 1  x  C  f x  f  x xC

Do f   0   1  C  1 Suy ra

1

 f   x  dx   x  1dx  f 1  f  0    ln 2 . Chọn B.

Ví dụ 5: Cho hàm số

f  x  liên tục và đồng biến trên đoạn

0;1 ,

biết

f  0   1 và

 f   x   2 x   9 x3  9 x. f  x  x  0;1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng 2

A. f 1  3.

B. f 1  5.

C. f 1  6. Lời giải:

D. f 1  4.

 f   x   2 x  f  x  2x  9x  3 x Ta có:  f   x   2 x   9 x  9 x. f  x    2 f  x  x f  x   x2 2



Lấy nguyên hàm 2 vế ta được

d  f  x   x 2  f  x   x2

 2 f  x   x 2  2 x3  2C 



f  x   x 2  x3  C

f  x   x 2  x3  1.

Thay x  0  C  1  Suy ra f  x  

  3 xdx



x3  1  x 2  f 1  3. Chọn A.

Ví dụ 6: Cho hàm số f  x  liên tục thỏa mãn  f   x    f  x  . f   x   15 x 4  12 x, x   và 2

f  0   f   0   1 . Giá trị của f 2 1 bằng

A. 8.

9 . 2

C. 10.

5 . 2

Lời giải: Ta có:  f  x  . f   x     f   x    f  x  . f   x   15 x 4  12 x 2

Nguyên hàm 2 vế ta được f  x  . f   x  

15 x 5  6 x 2  C  3x5  6 x 2  C 5

Do f  0   f   0   1  C  1 Tiếp tục nguyên hàm 2 vế ta được: 

f 2  x 2

 f  x  df  x     3x

 6 x 2  1dx

3x 6 6 x3 1 1    x  D  x 6  2 x3  x  D . Do f  0   1  D   f 2 1  8 . Chọn A. 6 3 2 2

Ví dụ 7: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục và luôn dương trên đoạn 1;3 thỏa mãn f 1  f  1  1 và f   x  . f  x   f 2  x   x 2 . f 2  x  . Giá trị của ln  f  3  thuộc khoảng nào trong các

khoảng sau: A. 1;6  .

B.  7;12  .

C.  0;1 . Lời giải:

Ta có: f   x  . f  x   f 2  x   x 2 . f 2  x   f   x  . f  x   f 2  x   x 2 f 2  x 



f   x  . f  x   f 2  x   x 2  f 2  x

D. 12;15  .

 f   x   f   x  . f  x   f 2  x  Mặt khác  , lấy nguyên hàm 2 vế của   ta được:   f 2  x  f x 

f  x

x3  C f  x 3

Do f 1  f  1  1  C  Do f 1  1  D  

 x4 2x  2 . Tiếp tục nguyên hàm 2 vế ta được: ln f  x     D 3  12 3 

3 x4 2x 3  ln f  x      ln  f  3   8 . Chọn B. 4 12 3 4

Ví dụ 8: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn 1

9 f 1  1,   f   x   dx  và 5 0 2

3 A. I  . 5

f 

2 x dx  . Tính tích phân I   f  x  dx . 5 0

1 B. I  . 4

3 C. I  . 4

1 D. I  . 5

Lời giải:

x  0  t  0 Đặt t  x  t 2  x  dx  2tdt và  . x  1  t  1 1

Khi đó:

   f

x dx   2t. f  t  dt  2  x. f  x  dx 

2 1   x. f  x  dx  . 5 5 0

1 du  f   x  dx 1 1 1 u  f  x  x2 . f  x  1 2 3  2     x. f  x  dx    x . f  x  dx   x 2 . f   x  dx  . Đặt  x 2 20 5 dv  xdx 0 0 v  0  2

Xét

2 9 6 1 2 2 2 4 0  f   x   kx  dx  0  f   x  dx  2k 0 x . f   x  dx  k 0 x dx  5  5 k  5 k  0  k  3. 2

Do đó f   x   3 x 2  0  f   x   3 x 2  f  x    f   x  dx  x 3  C mà f 1  1  C  0. 1

x4 1  I   x dx   . Chọn B. Vậy f  x   x  4 0 4 0 3

Ví dụ 9: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 và f  0   f 1  0 . Biết rằng tích 1

phân

 0

3 . 2

1 f 2  x  dx  , 2



f   x  .cos  xdx 



 2

. Tính tích phân

 f  x  dx ? 0

C.  . Lời giải:



Ta có

 0

1 f   x  .cos  xdx   cos  xd  f  x    f  x  .cos  x 0   f  x . cos  x  dx

 1    f 1  f  0     f  x  .sin  xdx    f  x  .sin  xdx  . 2 2 0 0 1

Xét

  f  x   k.sin  x  dx  0  2



 0

f 2  x dx  2k . f  x  .sin  xdx  k 2 . sin 2  x  dx  0

1 2 1 1 2 k  2k .   0   k  1  0  k  1. Suy ra 2 2 2 1

Vậy f  x   sin  x   f  x  dx   sin  xdx  0

  f  x   sin  x  dx  0. 2

. Chọn B.



Ví dụ 10: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 , f  x  và f   x  luôn nhận giá trị dương trên đoạn  0;1 và thỏa mãn f  0   1 ; A. f 1  3 4.

2 2 0  f   x  f  x   x  dx  40 x. f   x  f  x  dx . Tính f 1 ?

B. f 1  2.

C. f 1  1.

D. f 1  4.

Lời giải: 1

Giả thuyết tương đương với

2   f '  x  f  x   x  dx  0 2

 f 2 '  x  f  x   x  0  f 2 '  x  f  x   x  f  x . f  x  x

Nguyên hàm 2 vế ta được:

2 3

Mặt khác f  0   1  C 

2  3

f 3  x 

2 3 x C 3

f 3  x   x3  1

Vậy f 1  3 4. Chọn A.

2 1  , f  0   1 và f 1  2 . Giá Ví dụ 11: Cho hàm số f  x  xác định trên  \   thỏa mãn f   x   2x 1 2

trị của biểu thức f  1  f  3 bằng A. 4  ln 5.

B. 2  ln15.

C. 3  ln15. Lời giải:

Ta có



1  ln  2 x  1  C1 khi x  2 f   x  dx  ln 2 x  1 C   . 1 ln 1  2 x   C khi x  2  2

D. ln15.

C1  1 Do f  0   1 và f 1  2    f  1  f  3   ln 3  ln 5  C1  C2  3  ln15 . Chọn C. C2  2

Ví dụ 12: Cho hàm số f  x  xác định trên  \ 2; 2 và thỏa mãn f   x  

4 ; f  3  0 ; f  0   1 x 4 2

và f  3  2 . Tính giá trị biểu thức P  f  4   f  1  f  4  . A. P  3  ln

3 25

B. P  3  ln 3

C. P  2  ln

5 3

D. P  2  ln

5 3

Lời giải: Ta có: f   x  

4 4dx 4dx 1   1   f   x  dx   2     dx x 4 x 4  x  2  x  2   x  2 x  2  2

 x2 ln x  2  C1 khi x  2  x2  2 x  f  x   ln  C  ln    C2 khi  2  x  2. x2   x2  x2  C3 khi x  2 ln  x2 1 Lại có: f  3  0  C3   ln 5 ; f  0   1  C2  1 ; f  3  2  C1  2  ln . 5 1 Do đó P  f  4  f  1  f  4   ln 3  ln 3  ln  C1  C2  C3  3  ln 3 . Chọn B. 3

Ví dụ 13: Cho hàm số f  x  xác định trên  \ 1 thỏa mãn f   x  

1 . Biết f  3  f  3  0 và x 1 2

 1 1 f     f    2 . Giá trị T  f  2   f  0   f  4  bằng  2 2

1 5 A. T  2  ln . 2 9

1 9 B. T  1  ln . 2 5

1 9 C. T  3  ln . 2 5

1 9 D. T  ln . 2 5

Lời giải: Ta có: f   x  

1 dx dx 1  1 1    f   x  dx   2     dx x 1 x 1  x  1 x  1 2  x  1 x  1  2

 1 x 1  2 ln x  1  C1 khi x  1  1 x 1 1  1 x   f  x   ln  C   ln    C2 khi  1  x  1. 2 x 1  2  x 1   1 x 1  C3 khi x  1  ln  2 x 1

f  Theo bài ra ta có:  f 

 3  f  3  0

C1  C3  0   1 1 2C2  2  C2  1    f    2  2 2

Do đó T  f  2   f  0   f  4    f  2   f  4   f  0  

1 1 3 1 9 ln 3  C1  ln  C3  C2  1  ln . Chọn B. 2 2 5 2 5

Ví dụ 14: Cho hàm số f  x  liên tục trên  0;   và thỏa

 f  t  dt  x.cos  x . Tính f  4  . 0

1 A. f  4   . 2

1 B. f  4   . 4

3 C. f  4   . 4

D. f  4   3 12.

Lời giải: 2 x  Ta có   f  t  dt    x.cos  x    x 2  . f  x 2   cos  x   x.sin  x 0   

 2 x. f  x 2   cos  x   x.sin  x. Thay x  2 vào 2 vế, ta được 4 f  4   1  f  4  

1 . Chọn B. 4

Ví dụ 15: Cho hàm số G  x    cos tdt  x  0  . Tính G   x  . 0

A. G   x   x 2 .cos x.

B. G   x   2 x.cos x.

C. G   x   cos x.

D. G   x   cos x  1.

Lời giải: Gọi F  t  là nguyên hàm của hàm số f  t   cos t . x2

  G  x    F  x 2   2 x.F   x 2   2 x. f  x 2 . Ta có G  x    cos tdt  F  x 2   F  0   0

Lại có f  x 2   cos x 2  cos x nên suy ra G   x   2 x.cos x. Chọn B.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Cho hàm số f  x  xác định trên  \ 1 thỏa mãn f   x  

1 , f  0   2017 , f  2   2018 . Tính x 1

S  f  3  f  1 .

A. S  1.

B. S  ln 2.

C. S  ln 4035.

D. S  4.

Câu 2: Cho hàm số f  x  xác định trên  thỏa mãn f   x   2 x  1 và f 1  5 . Phương trình f  x   5 có hai nghiệm x1 , x2 . Tính tổng S  log 2 x1  log 2 x2 . A. S  1.

B. S  2.

C. S  0.

D. S  4.

3 1  2 Câu 3: Cho hàm số f  x  xác định trên  \   thỏa mãn f   x   , f  0   1 và f    2 . Giá trị 3x  1 3 3

của biểu thức f  1  f  3 bằng A. 3  5ln 2.

B. 2  5ln 2.

C. 4  5ln 2.

D. 2  5ln 2.

Câu 4: Cho hàm số f  x  xác định trên  \ 2;1 thỏa mãn f   x   f  0 

1 ; f  3  f  3  0 và x  x2 2

1 . Giá trị của biểu thức f  4   f 1  f  4  bằng 3

1 1  ln 2. 3 3

B. 1  ln 80.

1 4 C. 1  ln 2  ln . 3 5

1 8 D. 1  ln . 3 5

Câu 5: Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên  0;   thỏa mãn f  2  

1 và 15

f   x    2 x  4  f 2  x   0 . Tính f 1  f  2   f  3 .

7 . 15

11 . 15

11 . 30

7 . 30

Câu 6: Cho hàm số f  x  xác định và liên tục trên  . Biết f 6  x  . f   x   12 x  13 và f  0   2 . Khi đó phương trình f  x   3 có bao nhiêu nghiệm? A. 2.

B. 3.

C. 7.

D. 1.

Câu 7: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn f  x   0, x   . Biết f  0   1 và

f  x f  x

 2  2 x . Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình f  x   m có hai nghiệm thực phân

biệt. A. m  e.

B. 0  m  1.

C. 0  m  e.

D. 1  m  e.

Câu 8: Cho hàm số f  x  liên tục trên  và f  x   0 với mọi x   ; f   x    2 x  1 f 2  x  và f 1  0,5 . Biết rằng tổng f 1  f  2   f  3   ...  f  2017  

đề nào dưới đây đúng?

a a ;  a  , b    với tối giản. Mệnh b b

a  1. b

A. a  b  1.

B. a   2017; 2017  .

Câu 9: Cho hàm số

f  x   0 thỏa điều kiện f   x    2 x  3 . f 2  x  và

f 1  f  2   ...  f  2017   f  2018  

D. b  a  4035. f  0 

1 . Biết tổng 2

a a với a  , b   và là phân số tối giản. Mệnh đề nào sau b b

đây đúng? A.

a  1. b

a  1. b

C. a  b  1010.

D. b  a  3029.

 f   x  . f  x   2  f   x   2  xf 3  x   0   Câu 10: Cho hàm số y  f  x  , x  0 , thỏa mãn  . Tính f 1 .  f   0   0; f  0   1

2 . 3

3 . 2

6 . 7

7 . 6

Câu 11: Cho hàm số y  f  x  đồng biến trên  0;   ; y  f  x  liên tục, nhận giá trị dương trên  0;   và thỏa mãn f  3 

2 2 và  f   x     x  1 . f  x  . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 3

A. 2613  f 2  8   2614.

B. 2614  f 2  8   2615.

C. 2618  f 2  8   2619.

D. 2616  f 2  8   2617.

Câu 12: Giả sử hàm số y  f  x  liên tục, nhận giá trị dương trên  0;   và thỏa mãn f 1  1 ,

f  x   f   x  3 x  1 , với mọi x > 0. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 4  f  5   5.

B. 2  f  5   3.

C. 3  f  5   4.

Câu 13: Cho hàm số f  x  liên tục trên  và thỏa mãn





x 1 x 1

D. 1  f  5   2.

dx  2 

x 1  3 x5

  C . Nguyên hàm

của hàm số f  2 x  trên tập   là: A.

x3  C. 2  x2  4

x3  C. x2  4

Câu 14: Cho hàm số f  x  thỏa mãn

f  x



2x  3  C. 4  x 2  1

2x  3  C. 8  x 2  1

t 2 dt  x cos  x . Tính f  4  .

A. f  4   2 3.

B. f  4   1.

1 C. f  4   . 2

D. f  4   3 12.

Câu 15: Cho hàm số f  x  có đạo hàm xác định, liên tục trên đoạn  0;1 đồng thời thỏa mãn các điều kiện f   0   1 và  f   x    f   x  . Đặt T  f 1  f  0  . Hãy chọn khẳng định đúng? 2

A. 2  T  1.

B. 1  T  0.

C. 0  T  1.

D. 1  T  2.

Câu 16: Cho hàm số G  x    1  t 2 dt . Tính G   x  . 1

x 1 x

B. 1  x 2 .

Câu 17: Cho hàm số G  x  

1 x

D.  x 2  1 x 2  1.

 sin t dt  x  0  . Tính G   x  . 2

A. sin x.

sin x 2 x

. x

Câu 18: Tính đạo hàm của f  x  , biết f  x  thỏa  t.e

2sin x x

f t 

D. sin x .

 e f  x .

A. f   x   x.

1 C. f   x   . x

B. f   x   x 2  1.

Câu 19: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  0;   và

D. f   x  

1 . 1 x

 f  t  dt  x sin  x  . Tính f  4  . 0

A. f   

 1 4

B. f   

 2

C. f   

 4

1 D. f    . 2

Câu 20: Cho hàm số f  x  xác định trên  \ 0 , thỏa mãn f   x  

1 , f 1  a và f  2   b. Tính x  x5 3

f  1  f  2  .

A. f  1  f  2   a  b.

B. f  1  f  2   a  b.

C. f  1  f  2   a  b.

D. f  1  f  2   b  a.

Câu 21: Cho hàm số y  f  x  xác định và liên tục trên  thỏa mãn đồng thời các điều kiện f  x   0, x  ; f   x   e x f 2  x  , x   và f  0  

A. 1.

4 . 3

1 . Tính giá trị của f  ln 2  . 2

1 . 3

2 . 3

Câu 22: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị (C), xác định và liên tục trên  thỏa mãn đồng thời các điều kiện f  x   0, x  , f   x    x. f  x   , x   và f  0   2 . Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ 2

x  1 của đồ thị (C) là

A. y  6 x  30.

B. y  6 x  30.

C. y  36 x  30.

D. y  36 x  42.

Câu 23: Cho hàm số y  f  x   0 xác định, có đạo hàm trên đoạn  0;1 và thỏa mãn: x

g  x   1  2018 f  t  dt , g  x   f 2  x  . Tính 0

 0

g  x dx .

1011 . 2

1009 . 2

2019 . 2

D. 505.

Câu 24: Cho hàm số f  x  có đạo hàm xác định, liên tục trên đoạn  0;1 đồng thời thỏa mãn các điều kiện f   0   1 và  f   x    f   x  . Đặt T  f 1  f  0  . Hãy chọn khẳng định đúng? 2

A. 2  T  1.

B. 1  T  0.

C. 0  T  1.

D. 1  T  2.

LỜI GIẢI CHI TIẾT

ln  x  1  C1 khi x  1 1 dx  f  x    ln x  1  C   . x 1 x 1 ln 1  x   C2 khi x  1

Câu 1: f   x  

Do f  0   2017  C2  2017 ; f  2   2018  C1  2018 Suy ra S  ln 2  2018   ln  2017   1 . Chọn A. Câu 2: f   x   2 x  1  f  x   x 2  x  C Do f 1  5  C  3  f  x   x 2  x  3

x  1 Khi đó f  x   5  x 2  x  2  0    S  log 2 x1  log 2 x2  1 . Chọn A.  x  2 1  ln  3 x  1  C1 khi x   3 3dx  3  f  x    ln 3 x  1  C   . Câu 3: f   x   1 3x  1 3x  1 ln 1  3 x   C khi x  2  3 2 Do f  0   1  C2  1 ; f    2  C1  2 3

Khi đó f  1  f  3  ln 4  1  ln 8  2  3  5ln 2 . Chọn A. Câu 4: f  x   

dx 1  1 1  1 x2     C.  dx  ln x  x  2 3  x  2 x 1  3 x 1 2

1 x  2 khi x  2  3 ln x  1  C1  1 x2 1  2  x   f  x   ln  C   ln    C2 khi -1< x  2. 3 x 1 3  x 1  1 x  2  C3 khi x  1  ln 3 x 1 1 5 1 8 Khi đó: f  3  f  4   ln ; f  4   f  3  ln 3 4 3 5 1 f  3   f  4   f  4   f  3   ln 2  f  4   f  4    ln 2 3 1 1 1 1 1 Mặt khác f 1  f  0   ln  f 1   ln 3 4 3 3 4 1 8 Do đó f  4   f 1  f  4   1  ln . Chọn D. 3 5

Câu 5: f '  x    2 x  4  f 2  x   0   

d  f  x  f

 x

 x2  4x  C 

 f ' x  f 'x  2x  4   2 dx    2 x  4  dx. 2 f  x f x

1 1  x2  4x  C  f  x  2 f  x x  4x  C

Mặt khác f  2 

1 1 1   C  3  f  x  2 12  C 15 x  4x  3

Suy ra f 1  f  2   f  3  Câu 6: Ta có 

f 7  x 7

7 . Chọn D. 30

 f  x  f   x  dx   12 x  13 dx   f  x  df  x   6 x 6

 13 x  C

 6 x 2  13 x  C

Lại có f  0   2 nên

27 222  24  26  C  C   7 7

222   Suy ra f  x   7 7  6 x 2  13 x   do đó f  x   3 có 2 nghiệm phân biệt. Chọn A. 7   Câu 7: Lấy nguyên hàm 2 vế của biểu thức



f  x f  x

 2  2 x ta được:

d  f  x   f  x dx    2  2 x  dx     2 x  x 2  C  ln  f  x   2 x  x 2  C  Do f  x   0  f  x f  x

Do f  0   1  ln  f  0   C  C  0  f  x   e 2 x  x . 2

Lại có: f   x    2  2 x  .e 2 x  x  0  x  1 2

lim f  x   lim f  x   0 và f 1  e

x 

x 

Suy ra phương trình f  x   m có 2 nghiệm thực phân biệt khi 0  m  e . Chọn C. Câu 8: f '  x    2 x  1 f 2  x   



d  f  x  f

 x

 x2  x  C 

Khi đó  f  x  

f ' x f

 x

 2x  1 

f 'x

 f  x  dx    2 x  1 dx. 2

1 1 1 C 0  x2  x  C  f  x  2 mà f 1  2 f  x x  xC

1 1 1 1 1 1    f 1  1  ;...; f  2017    . 2 2017 2018 x  x x x 1 2

a  504 1 1  504 1 1 1 1 Vậy P        ...  . Chọn B.    2017 2018  1009 2 3 3 4 b  1009 Câu 9: f '  x    2 x  3 f 2  x   



d  f  x  f

 x

 x 2  3x  C 

Khi đó  f  x  

f ' x

f 2  x

 2x  3 

f 'x

 f  x  dx    2 x  3  dx. 2

1 1 1  C  2.  x 2  3x  C  f  x   2 mà f  0   2 f  x x  3x  C

1 1 1 1 1 1 1     f 1   ;...;  f  2018   . 2 3 2019 2020 x  3x  2 x  1 x  2 2

1 1  1009 1 1 1 1  Vậy P        ...  . Chọn D.  2019 2020  2020 2 3 3 4

Câu 10: f   x  . f  x   2  f   x    xf 2

f   x  . f  x   2  f   x  

 x  0 

f 3  x

  x 

f   x  . f  x   2  f   x    f   x   f   x  . f 2  x   2 f  x  .  f   x    Lại có:  2   4 f  x f 3  x  f  x   2

Do đó lấy nguyên hàm 2 vế của   ta được:





f   x  dx f 2  x



d  f  x   x2  x2 C   2  C 2 2 f  x

1  x2 1  x2  x2  2 2   C . Do f  0   1  1  C   1   f  x  2 . f  x 2 f  x 2 2 x 2

Do đó f 1 

2 . Chọn A. 3

Câu 11:  f   x     x  1 f  x   f   x  

 x  1 f  x  

f x f x

 x 1

 .

Lấy nguyên hàm hai vế của   , ta được:



f x f x

dx   x  1 dx  2.

 2 f  x 

Do đó

2 3

 x  1

1 f x  3

d  f  x  2 f  x

dx 

 C mà f  3  

2 3

 x  1

C

2 2 2 2 6  16  2 f  3  4 C C  . 3 3 3

1 6 8  f x    x  1  3 3 3

6  8  x  1   . 3  3

Vậy 2613  f 2  8   2614 . Chọn A. Câu 12: f  x   f   x  3 x  1 

Lấy nguyên hàm 2 vế ta được Thay x  1  ln1 



f  x f  x



1 3x  1

d  f  x  dx 2 d  3 x  1 2     ln f  x   3x  1  C f x 3 3x  1 3 2 3x  1

4 4 C C   3 3

Thay x  5  ln f  5 

8 4 4    f  5   e 3  3,8 . Chọn C. 3 3 3

Câu 13: Đặt t  x  1  x  t 2  1 . Khi đó





x 1 x 1

dx  2 

x 1  3 x5

 C



f t  t

Do đó

d  t 2  1 

2  t  3 t 4 2

 C   2 f  t  dt 

t 4 2

C 

t 3 C 2 4

 f t  dt  t

2x  3 2x  3  C   f  2 x  dx   C . Chọn D. 2 4 8  x 2  1

 f  2x d  2x  4x f x 



Câu 14: Ta có

t3 t dt  x cos  x  3

f  x

Câu 15: Ta có  f '  x    f   x   2

f 3  x  x.cos  x 3

 x.cos  x 

Thay x  4 vào biểu thức   , ta được



2 t  3 

f 3  4 3

f   x   f '  x 

  .

 4  f 3  4   12  f  4   3 12 . Chọn D.

f   x 

  f '  x 

1





dx   dx  x  C

1 1  x  C  f ' x    C 1 mà f '  0   1  f ' x xC

Do đó f '  x   

1  x 1

 0

f '  x  dx  f 1  f  0     0

1 dx  0, 693 . Chọn B. x 1

Câu 16: Gọi F  t  là nguyên hàm của hàm số f  t   1  t 2 . x

Ta có G  x    1  t 2 dt  F  x   F  0    G  x    F  x   F   x   f  x . 0

Lại có f  x   1  x 2 nên suy ra G   x   1  x 2 . Chọn B. Câu 17: Gọi F  t  là nguyên hàm của hàm số f  t   sin t 2 . Ta có G  x  

2  sin t dt  F 0

Lại có f

 x   sin  x  x

Câu 18: Ta có  t.e

f t 

 

x  F  0    G  x    F 

 sin x nên suy ra G   x  

sin x 2 x

 

. Chọn B.

dt  e f  x   x.e f  x   f   x  .e f  x   f   x   x. Chọn A.

2 x  Câu 19: Ta có   f  t  dt    x.sin  x    x 2  . f  x 2   sin  x   x.cos  x 0   

 2 x. f  x 2   sin  x   x.cos  x.

Thay x  4 vào hai vế, ta được 4 f  4     f  4   Câu 20: Ta có f  1  f  2  

1



2

 4

 

f x  F' x x    .  2 x 2 x

. Chọn C. 2

f   x  dx và f  2   f 1   f   x  dx. 1

 f  1  f  2  

1



2

f   x  dx   f   x  dx  f  2   f 1  a  b . Chọn C. 1

Câu 21: f   x   e x . f 2  x    

f  x f

 x

 ex   

f x f

x

dx   e x .dx

1 1 1  ex  C  f  x   x  C  1. mà f  0    f  x 2 e C

Do đó f  x  

1 1 1 1   f  ln 2   ln 2   . Chọn C. e 1 e 1 2 1 3 x

Câu 22: f   x   x 2 . f 2  x   

f  x f  x  x2   2 dx   x 2 dx 2 f  x f  x

1 1 x3 1 mà f  0   2  C   .   C  f  x   3 2 f  x 3 x C 3

Do đó f  x   

 f  1  36 nên phương trình tiếp tuyến là y  36 x  30 . Chọn C.  x 1 f 1  6      3 2 1

Câu 23: Ta có g  0   1 và g  x   1  2018 f  t  dt  g   x   2018 f  x   2018 g  x  1



g x g  x

 2018   0

g  x

dx  2018 dx  2  g  t   1  2018t   g  x

 g  t   1009t  1. Vậy

 0

g  t dt 

1011 . Chọn A. 2

CHỦ ĐỀ 16: CÁC PHÉP TÍNH TOÁN VỚI SỐ PHỨC A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1) Các khái niệm cơ bản.  Định nghĩa: Số phức là số có dạng a + bi, trong đó a và b là những số thực và số i thỏa mãn i 2  1 . Kí hiệu số phức đó là z và viết z  a  bi . Trong đó i được gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực và b được gọi là phần ảo của số phức z  a  bi . Tập hợp các số phức được kí hiệu là  . Chú ý: - Số phức z  a  a  0.i có phần ảo bằng 0 được coi là số thực và viết là a  0.i  a   . - Số phức có phần thực bằng 0 được gọi là số ảo (còn gọi là số thuần ảo): z  0  bi  bi  b    . Ví dụ z  5i là số thuần ảo. - Số 0  0  0.i vừa là số thực, vừa là số ảo. Ví dụ: Số phức z  5  3i có phần thực bằng 5, phần ảo bằng

Số phức z  4i có phần thực bằng 0, phần ảo bằng 4 ; đó là một số thuần ảo.

 a  a  Hai số phức z  a  bi; z   a  bi  a; a; b; b    gọi là bằng nhau nếu  . b  b Khi đó ta viết z  z  . 2) Biểu diễn hình học của số phức Xét mặt phẳng tọa độ Oxy. Mỗi số phức a  bi  a; b    được biểu diễn bởi điểm M  a; b  . Ngược lại, mỗi điểm M  a; b  biểu diễn một số phức z  a  bi . Ta còn viết M  a  bi  hay đơn giản là M z.

Mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức được gọi là mặt phẳng phức. Gốc tọa độ O biểu diễn số 0. Các điểm trên trục hoành Ox biểu diễn các số thực, do đó trục Ox còn được gọi là trục thực. Các điểm trên trục tung Oy biểu diễn các số ảo, do đó trục Oy còn được gọi là trục ảo. 3) Phép cộng và phép trừ số phức a) Phép cộng hai số phức Tổng của hai số phức z  a  bi; z   a  bi  a; a; b; b    là số phức z  z   a  a   b  b  i . Ví dụ: 4  i  5  2i   4  5   i  2i   9  i .

3  i  2 3  4i  2 3  3i .

Một số tính chất của phép cộng số phức  Tính chất kết hợp:  z1  z2   z3  z1   z2  z3  , z1 ; z2 ; z3   .  Tính chất giao hoán: z  z '  z ' z , z ', z    Cộng với 0: z  0  0  z  z , z   .  Với mỗi số phức z  a  bi  a; b    nếu kí hiệu số phức a  bi là z thì ta có: z  z   z   z  0

Số  z được gọi là số đối của số phức z . b) Phép trừ hai số phức Hiệu của hai số phức z và z  là tổng của z và z ' , tức là z  z   z    z   Nếu z  a  bi; z   a  bi thì z  z   a  a   b  b  i . Ví dụ:  4  5i   1  2i    4  1   5  2  i  3  3i . c) Phép nhân hai số phức Tích của hai số phức z  a  bi và z   a  bi  a; a; b; b    là số phức: zz    a  bi  a  bi   aa   ab  ba  i  bbi 2   aa  bb    ab  ab  i .

Biến đổi tương tự như trên ta có:  z 2   a  bi   a 2  2abi   bi   a 2  b 2  2abi 2

 z 3   a  bi   a 3  3a 2bi  3a  bi    bi   a 3  3ab 2  3a 2b  b3  i . 3

 1  i   2i; 1  i   2i . 2

Ví dụ:  3  i 1  2i   3  2  i  6i  5  5i . Một số tính chất của phép nhân hai số phức:  Tính chất giao hoán: zz   z z , z; z    .  Tính chất kết hợp:  z1 z2  z3  z1  z2 z3  , z1 ; z2 ; z 3   .  Nhân với 1: 1.z  z.1, z   .  Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: z  z1  z2   zz1  zz2 , z; z1 ; z2   . 4) Số phức liên hợp và môđun của số phức a) Số phức liên hợp  Số phức liên hợp của z  a  bi  a; b    là a  bi và được kí hiệu là z . Như vậy z  a  bi  a  bi . Ví dụ: 2  5i  2  5i .

4  3i  4  3i .

i  i . 2i  2i . 55.

 Chú ý: Vì z  z nên z và z là hai số phức liên hợp với nhau.  Tính chất: Với mọi số phức z; z  ta có: z  z   z  z  và zz   z.z  b) Mô-đun của số phức Mô-đun của số phức z  a  bi  a; b    là số thực không âm a 2  b 2 và được kí hiệu là z .

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy điểm M  a; b  biểu diễn số phức z. Khi đó OM  a 2  b 2  z . Như vậy, nếu z  a  bi  a; b    thì z  z.z  a 2  b 2 . Ví dụ: 5i  5; 4  3i  42  32  5 . 5) Phép chia cho số phức khác 0 Định nghĩa: Số nghịch đảo của số phức z khác 0 là số z 1 

Thương

1 z z   2 z z. z z

z của phép chia số phức z  cho số phức z khác 0 là tích của z  với số nghịch đảo của số phức z, z

z z  z .z  z .z 1 . Như vậy, nếu z  0 thì  2 . z z z

tức là

Ví dụ:

 4  i  2  3i   5  14i . 4i  2  3i  2  3i  2  3i  13

6) Một số các kết quả quan trọng Cho z1  a1  b1i; z2  a2  b2i ta có: a) z1 z2  z1 z2 . b)

z1 z1  z2 z2

z

 0 .

Chứng minh: Ta có: z1 z2   a1a2  b1b2    a1b2  a2b1  i Khi đó z1 z2 



a

2 1

 a1a2  b1b2    a1b2  a2b1  2

 b12  a22  b22   z1 z2 (đpcm)

Tổng quát: z1 z2 .........zn  z1 z2 ......... zn



 a1a2   b1b2    a1b2    a2b1  2

Hoàn toàn tương tự ta có thể chứng minh

z z1  1  z2  0  . z2 z2

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN  Dạng 1: Tính toán cơ bản với số phức Phương pháp CASIO: Ngoài cách thực hiện tính toán thông thường, ta còn có thể sử dụng máy tính CASIO để hỗ trợ việc tính toán các phép tính số phức. Bước 1: Nhấn Mode 2 để chuyển sang màn hình tính toán số phức (màn hình CMPLX).

Bước 2: Nhập biểu thức cần tính toán với số i ta bấm: Chú ý: 1. (Tổ hợp phím SHIFT – 2 – 2 – Anpha X): Conjg là số phức liên hợp của X.

2. (Tổ hợp phím SHIFT – Abs – Anpha – X): X là modun của số phức X

Ví dụ 1: Tìm phần thực và phần ảo của số phức z  1  i    3  i  2

A. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng i.

B. Phần thực bằng -3 và phần ảo bằng 1.

C. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng i.

D. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 1. Lời giải

Ta có: z  1  i    3  i   1  2i  i 2   3  i  2i  3  i  3  i . 2

Phần thực bằng -3 và phần ảo bằng 1. Chọn B. Ví dụ 2: Cho hai số phức z1  2  3i và z2  3  i . Tính môđun của số phức z  z1  z2 A. z  3 3 .

B. z  30 .

C. z  29 .

D. z  5 2 .

Lời giải Ta có: z  z1  z2  5  2i  z  29 . Chọn C. Ví dụ 3: Tìm các số thực x; y biết x   y  1 i  2  3i A. x  2; y  2 .

B. x  2; y  2 .

C. x  2; y  4 . Lời giải

D. x  3; y  4 .

x  2  x  2  Do x   y  1 i  2  3i   . Chọn C.   y  1  3  y  4

Ví dụ 4: Cho số phức z  2m  1  3mi  m    . Tìm m biết z  10  9 A. m  1;  .  13 

9  B. m  1;  .  13 

9  C. m  1;   . 13  

9  D. m  1;   .  13 

Lời giải Ta có: z  10   2m  1   3m  2

m  1 . Chọn D.  10  13m  4m  9  0    m  9 13  2



 



Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn: z  1  3i  1  3i . Tính môđun của số phức w  iz  3 . A. w  5 .

B. w  7 .

C. w  9 .

D. w  1 .

Lời giải



  2

Ta có: z  1  3i  1  3i



 1  2i 3  3  1  2i 3  3  4  z  4

Do đó w  4i  3  w  5 . Chọn A Ví dụ 6: Điểm M trên hình vẽ biểu diễn số phức z. Số phức liên hợp của số phức z là: A. w  3  2i . B. w  3  2i . C. w  2  3i . D. w  2  3i . Lời giải Điểm M  3; 2   z  3  2i  w  z  3  2i . Chọn B. Ví dụ 7: Cho số phức z thỏa mãn z  5 . Tính mô-đun của số phức w   3  4i  z . A. w  5 2 .

B. w  5 5 .

C. w  5 .

D. w  10 .

Lời giải Ta có: w   3  4i  z  3  4i . z  5. z  5 5 . Chọn C. Ví dụ 8: Cho số phức z thỏa mãn 1  i  z  3  i . Hỏi điểm biểu diễn z là điểm nào trong các điểm M, N, P Q ở hình bên.

A. Điểm P.

B. Điểm Q.

C. Điểm M.

D. Điểm N.

Lời giải Ta có: z 

3i  1  2i  Điểm biểu diễn số phức z là điểm Q 1; 2  . Chọn B. 1 i

1  i 3  Ví dụ 9: Cho số phức z  1 i

. Tìm mô-đun của số phức w  z  iz

B. w  8 2 .

A. w  0 .

C. w  8 .

D. w  4 2 .

Lời giải

1  i 3  Ta có: z  1 i



 

1  3i 3  3 i 3

 3i 3 3

1 i



8  4  4i  z  4  4i 1 i

Do đó w  z  iz  4  4i  i  4  4i   8  8i  w  8 2 . Chọn B. Ví dụ 10: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 1  i  z  i   2 z  2i . Mô-đun của số phức w  z  1 là A. 2 2 .

B. 1.

D. 2.

Lời giải PT  1  i  z  1  i  i  2 z  2i  z  3  i   3i  1  z 

3i  1  i  z  1  2 . Chọn C. 3i

Ví dụ 11: Tìm phần ảo của số phức z thỏa mãn 1  i   2  i  z  8  i  1  2i  z 2

A. 2.

B. 2i.

C. 3. Lời giải

Sử dụng CASIO ta có: 1  i   2  i   2  4i   2  4i  z  1  2i  z  8  i 2

 1  2i  z  8  i  z 

8i  2  3i 1  2i

Do đó phần ảo của số phức z là 3. Chọn C.  Dạng 2: Bài toán quy về giải hệ phương trình nghiệm thực

D. 3i.

Phương pháp: Đặt z  a  bi  a; b    từ đó suy ra z  a  bi; z  a 2  b 2 .

a1  a2 Sử dụng tính chất 2 số phức bằng nhau: z1  a1  b1i; z2  a2  b2i ta có: z1  z2   . b1  b2 Ví dụ 1: Tìm 2 số thực x và y thỏa mãn  2 x  3 yi   1  3i   x  6i với i là đơn vị ảo A. x  1; y  3 .

B. x  1; y  1 .

C. x  1; y  1 .

D. x  1; y  3 .

Lời giải

2 x  1  x  x  1 Ta có:  2 x  3 yi   1  3i   x  6i   2 x  1   3 y  3 i  x  6i   . Chọn A.  3 y  3  6  y  3 Ví dụ 2: Tìm mô-đun của số phức z biết rằng 1  2i  z  1  i  z  21  3i . A. z  34 .

B. z  5 .

C. z  3 2 .

D. z  29 .

Lời giải Đặt z  a  bi; a, b   . Ta có: 1  2i  a  bi   1  i  a  bi   21  3i  a  2b   2a  b  i  a  b  ai  bi  21  3i

2a  3b  21 a  3   2a  3b   ai  21  3i     z  34 . Chọn A. a  3 b  5 Ví dụ 3: Tìm tổng phần thực và phần ảo của số phức z biết rằng 1  2i  z   2  2i  z  i . A. T  7 .

1 B. T  . 3

C. T 

7 . 3

D. T 

1 . 3

Lời giải Đặt z  a  bi; a, b   . Ta có: 1  2i  a  bi    2  2i  a  bi   i  a  2b   2a  b  i  2a  2b  2ai  2bi  i

4  3a  4b  0 7 a  . Chọn C.  3a  4b  bi  i    3 S 3 b  1 b  1 Ví dụ 4: Cho số phức z  a  bi  a, b    thỏa mãn:  2  3i  z   4  i  z   1  3i  . Tính T  2a  b 2

A. T  8 .

B. T  8 .

C. T  1 . Lời giải

Ta có:  2  3i  a  bi    4  i  a  bi   8  6i

D. T  1 .

6a  4b  8 a  2  6a  4b   2a  2b  i  8  6i     T  2a  b  1. Chọn D. 2a  2b  6 b  5





Ví dụ 5: Cho số phức z  a  bi  a, b    thỏa mãn 1  i  2 z  1  z  1 1  i   2  2i . Tính P  a  b . A. P  0 .

B. P  1 .

C. P  1 .

1 D. P   . 3

Lời giải





Đặt z  a  bi  a, b     z  a  bi . Ta có 1  i  2 z  1  z  1 1  i   2 1  i  z  1  i  z  2i . Suy ra 2 1  i  z  1  i  z  2  2 1  i  a  bi   1  i  a  bi   2 .

3a  3b  2  0  2a  2b  a  b   a  b  i  2  3a  3b  2   a  b  i  0    P  0 . Chọn A. a  b  0 Ví dụ 6: Cho số phức z thỏa mãn hệ thức  i  3 z  A.

26 . 25

6 . 5

2i   2  i  z . Mô đun của số phức w  z  i là i

2 5 . 5

26 . 5

Lời giải Đặt z  a  bi  a, b      i  3 a  bi  

2i   2  i  a  bi    2a  5b  2   a  1 i  0 i

a  1 2a  5b  2  0 4 1 26  . Chọn D.   4  z  1  i  w  1  i  w  5 5 5 b  a  1  0  5 Ví dụ 7: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời z   2  i   10 và z.z  25 A. 2.

B. 3.

C. 1.

D. 4.

Lời giải Đặt z  a  bi  a, b     z  a  bi  z.z  a 2  b 2  25 Ta có: a  bi  2  i  10   a  2    b  1  10  a 2  b 2  4a  2b  5 2

a 2  b 2  25  a  5; b  0  Giải hệ  2  a  3; b  4  có 2 số phức thỏa mãn. Chọn A. 2 a  b  4a  2b  5 

Ví dụ 8: [Đề THPT Quốc gia 2017] Cho số phức z thỏa mãn z  5 và z  3  z  3  10i . Tìm số phức w  z  4  3i .

A. w  3  8i .

B. w  1  3i .

C. w  1  7i . Lời giải

Đặt z  a  bi; a, b   .

D. w  4  8i .

 a  bi  5 a 2  b 2  25   2 2 2 2 a  bi  3  a  3  b  10 i    a  3  b   a  3    b  10  

a 2  b 2  25 a  0    z  5i  w  5i  4  3i  4  8i . Chọn D. b  5 b  5   Ví dụ 9: [Đề THPT Quốc gia 2017] Cho số phức z  a  bi  a, b    thỏa mãn z  1  3i  z i  0 . Tính S  a  3b .

7 A. S   . 3

C. S 

B. S  5 .

7 . 3

D. S  5 .

Lời giải a  1 Đặt z  a  bi  a, b    ta có: a  1  bi  3i  a 2  b 2 i  0   2 2 b  3  a  b

a  1 a  1    4  S  5 . Chọn B. 2 b   3 b  3  b  1 Ví dụ 10: [Đề THPT Quốc gia 2017] Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z  2  i  2 2 và  z  1 là số 2

thuần ảo? A. 0.

B. 2.

C. 4.

D. 3.

Lời giải Đặt z  a  bi  a, b    ta có: a  bi  2  i  2 2   a  2    b  1  8 . 2

Mặt khác  z  1   a  bi  1   a  1  b 2  2  a  1 bi là số thuần ảo suy ra  a  1  b 2  0 2

 a  2 2   b  12  8  a  0; b  1   Do đó   a  1  b   a  1  3; b  2  3 2 2  a  1  b    a  1  3; b  2  3  a  1  b  

Suy ra có 3 số phức thỏa mãn. Chọn D. Ví dụ 11: [Đề THPT Quốc gia 2017] Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z  3i  5 và A. Vô số.

B. 0.

C. 1.

z là số thuần ảo? z4

D. 2.

Lời giải Đặt

z  a  bi  z  4 

có:

 a  bi  a  4  bi  z a  bi   2 z  4 a  bi  4  a  4   b2

a  a  4   b 2  0 1 . Mặt khác z  3i  5  a 2   b  3  25  2  2

là

số

thuần

ảo

khi

a  4; b  0  loai  a 2  b 2  4a  0 2a  3b  8   2  Từ (1) và (2) suy ra  2 . Chọn C. 16 24 2 2  t / m  a  b  4a a  b  6b  16 a  ; b  13 3 

Ví dụ 12: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z  1  5 và số phức w  z 2 là số ảo? A. Vô số.

B. 4.

C. 5.

D. 3.

Lời giải Đặt z  a  bi ta có: w   a  bi   a 2  b 2  2abi là số thuần ảo nên a 2  b 2 2

 a  4  b  4 Mặt khác a  1  bi  5  a 2  2a  b 2  24  2a 2  2a  24  0    a  3  b  3 Vậy z  4  4i; z  3  3i là các số phức cần tìm. Chọn B. Ví dụ 13: Hỏi có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z  2 2 và z 2 là số thuần ảo? A. 4.

B. 1.

C. 3.

D. 2.

Lời giải Đặt z  a  bi; a, b    a  bi  2 2  a 2  b 2  8 1 . Mặt khác z 2   a  bi   a 2  b 2  2ab.i là số thuần ảo, suy ra a 2  b 2  0  2  . 2

a 2  b 2  8  a  b  2  Có 4 số phức z thỏa mãn đề bài. Chọn A. Từ (1) và (2), suy ra  2 2 a  b  0

Ví dụ 14: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời điều kiện z.z  z  2, z  2 . A. 2.

B. 3.

C. 1.

D. 4.

Lời giải  a 2  b 2  a  bi  2   a  bi  a  bi   a  bi  2  Đặt z  a  bi; a, b      a  bi  2  a  bi  2  a 2  b 2  a 2  b 2  4  a  4 2  b 2  4  a  4 2  a 2 a  2 a  2     2   z  2 . 2 2 2 2 b  0 b  0 a  b  4 a  b  4 a 2  b 2  4

Chọn C. Ví dụ 15: Cho số phức z  a  bi  a, b    thỏa mãn A. S 

1 . 9

B. S 

1 . 27

z 2 z  i   2iz . Tính S  ab . z i 1 2

C. S  Lời giải

5 . 9

D. S 

5 . 27

z 2  1  i , khi đó giả thiết trở thành Đặt z  a  bi  a, b    , ta có  z  a  bi và i 1 z z  1  i  z  i   2iz  0  z   3i  1 z  1  i  a  bi  3i  1 a  bi   1  i

2a  3b  1 1 5 5 . Chọn D.  2a  3b  3ai  1  i   a b S  3 9 27 3a  1 Ví dụ 16: [Đề Chuyên Đại học Vinh 2017]: Cho số phức z; w khác 0 sao cho z  w  2 z  w . Phần thực của số phức u 

z . w

1 A. a   . 8

B. a 

1 . 4

1 D. a  . 8

C. a  1 . Lời giải

 z 1 z   u  w w 2  Giả sử u  a  bi  a; b    . Theo giả thiết suy ra   z  w  z  w  z 1  u 1  w w w 

1  2 2 3 3 1 2 a  b  4    a  1  a 2   2a  1   a  . Chọn D. 4 4 8  a  12  b 2  1   Dạng 3: Lấy môđun 2 vế tìm số phức Ta có: z1  z2  z1  z2 2

Lưu ý sử dụng các tính chất: z  z , z.z  z ; z1 z2  z1 . z2 và

z z1  1  z2  0  . z2 z2

Ví dụ 1: Cho số phức z  a  bi  a; b    thỏa mãn z  4  1  i  z   4  3 z  i . Tìm tổng S  2a  b . B. S 

A. S  2 .

4 . 5

C. S  4 .

D. S  0 .

Lời giải Ta có: PT  z  4  z  i z  4i  3iz  1  3i  z   z  4    z  4  i *  Lấy môđun 2 vế ta được: 1  3i  z   10 z 

 z  4   z  4 2

 10 z  2 z  32  z  2

Thế vào (*) ta có: 1  3i  z  6  2i  z 

6  2i 6  8i 6 8 4   a  ;b   S  . Chọn B. 1  3i 5 5 5 5

Ví dụ 2: Cho số phức z  0 thỏa mãn  2  3i  z  A. 0  z  1 .

26  3  2i . Khi đó z

B. 1  z  2 .

C. 2  z  3 .

D. z  3 .

Lời giải Ta có:  2  3i  z 

26 26  3  2i  2 z  3  3i z  2i  z z 26 z

  2 z  3  3 z  2  i 

 *

Lấy môđun 2 vế của biểu thức (*) ta được:

 2 z  3   3 z  2  2



26 26  z z

* 

 z 2 1  13 z  13  2  z  z  2  0   2  z  1 . Chọn B.  z  2 z  26

Ví dụ 3: Cho số phức z  a  bi  a; b    thỏa mãn phương trình

A. 3  2 2 .

B. 2  2 2 .

 z  1 1  iz   i . Tính a 1 z z

C. 3  2 2 .

 b2 .

D. 4.

Lời giải ĐK: z  1; z  0 Ta có:

 z  1 1  iz   i  1 z z



z  1  z  1 z  1 z. z  1 z  1 1  iz   i i i z z z 2



 z 1  iz   i  z  1  z  i z  1  z

Lấy môđun 2 vế ta được: z  i z  1  z

 2

 z  z  1  z . Đặt z  t  0

t  1  2 t  1  t 2  t 2  t  2 t  1  0  Khi đó t  t  1  t 2    2 t  1  t   t t  1  2  loai   2

Suy ra z  1  2  a 2  b 2  z  3  2 2 . Chọn A. Ví dụ 4: Cho số phức z thỏa mãn 1  2i  z 

1 10  2  i . Hỏi phần thực của số phức w  bằng bao 1 z z

nhiêu? A.

3 . 2

B. 

3 . 2

C. Lời giải

1 . 2

1 . 4

Giả thiết 1  2i  z 

10 10 10  2  i  z  2i. z  2  i   z  2   2 z  1 i  . z z z

Lấy môđun hai vế của (*) ta được

Do đó 1  2i 

 z  2    2 z  1 2

10  z  1. z



10 10 1 1 3  10 2i  z  w   i . Chọn C. z 3i 1 z 2 2

Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn  3  4i  z 

4  8 . Trên mặt phẳng tọa độ, khoảng cách từ gốc tọa độ đến z

điểm biểu diễn số phức z thuộc tập nào? 9  A.  ;   . 4 

1 5 B.  ;  . 4 4

 1 C.  0;  .  4

1 9 D.  ;  . 2 4

Lời giải Ta có  3  4i  z 

4 4  8   3  4i  z  8  z z

*  .

Lấy môđun hai vế của (*) và sử dụng công thức z1.z2  z1 . z2 , ta được

*   3  4i  z  5 z  8

 8

4 4  8 z z

4 2  5 z  8 z  4  0  z  2 . Gọi M  x; y  là điểm biểu diễn số phức z. Khi đó z

1 9 OM  x 2  y 2  z  2   ;  . Chọn D. 2 4

Ví dụ 6: Xét số phức z thỏa mãn 2iz   i  1 z  1  i  . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. z  2 2 .

B. z  2 .

C. z  1 .

D. z  2 .

Lời giải Ta có: 2iz   i  1 z  1  i   2iz  z i  z  1  i  2iz   z  1   z  1 i Lấy môđun hai vế của (*), ta được 2iz 

 z  1   z  1 2

2 z 

 *

 z  1   z  1 2

 4 z   z  1   z  1  4 z  2 z  2  z  1  z  1 . Chọn C. 2

Ví dụ 7: [Đề thi THPT Quốc gia 2018] Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z  z  4  i   2i   5  i  z : A. 2.

B. 3.

C. 1. Lời giải

PT  z  5  i  z   4 z   2  z  i

D. 4.

Lấy môđun 2 vế ta được: z . 5  i  z  16 z   2  z  2

Đặt t  z  t  0  ta có: t. 5  i  t  16t 2   2  t   t.  5  t   12  17t 2  4t  4 2

t  1 t  8,95 4 3 2 3 2  t  10t  9t  4t  4  0   t  1  t  9t  4   0   t  0, 69  t  0, 64 loai  Ứng với mỗi giá trị t  0  z 

4t   2  t  i  có một số phức z. 5i t

Do vậy có 3 số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B. Ví dụ 8: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  2, z2  2 . Gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn số phức

  45 với O là gốc tọa độ. Tính z 2  4 z 2 . z1 và iz2 . Biết rằng MON 1 2 A. 4 2 .

B. 4.

D. 4 5 .

C. 6. Lời giải

 z1  2  z1  2  z1  2  z1  2    Ta có   z2  2  iz2  2 iz2  2  z2  i 2

Do đó, điểm N biểu diễn số phức iz2 có tọa độ là N

  45 và OM  2  OM  ON 2  M Vì MON



 2 .

2;0 . 2;

 z12  4 z22  4 5 . Chọn D. Suy ra z1  2  i 2 và z2  i 2 

Ví dụ 9: Cho hai số phức z1 và z2 thỏa mãn z1  3, z2  4, z1  z2  37 . Xét số phức z  Tìm b . A. b 

3 . 8

B. b 

3 . 8

C. b 

3 3 . 8

D. b 

Lời giải 3  a   2  z1  3 a 2  b 2  9  Chọn z2  4  . Gọi z1  a  bi   .  2 2  z1  4  37 b   3 3  a  4   b  37  2 z Vậy z  1  z2

3 3 3   i 3 3 2 2   3  3 3 i  . Chọn C. b  4 8 8 8

8 . 3

z1  a  bi . z2

Ví dụ 10: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  z2  3, z1  z2  1 . Tính z1 z2  z1 z2 . A. z1 z2  z1 z2  0 .

B. z1 z2  z1 z2  1 .

C. z1 z2  z1 z2  2 .

D. z1 z2  z1 z2  1 .

Lời giải 1  a    z1  1 a  b  1 2   Chọn z2  1  . Gọi z1  a  bi   .   2 2 3 a  1  b  3 z  1  3    1 b     2 2

Vậy z1 

1 3 1 3 1 3  i   z1 z2  z1 z2   i  i  1 . Chọn B. 2 2 2 2 2 2

Ví dụ 11: Cho ba số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1  z2  z3  1 và z1  z2  z3  0 . Tính giá trị của biểu thức P  z12  z22  z32 . A. P  1 .

C. P  1 .

B. P  0 .

D. P  2 .

Lời giải Ta có A  z12  z22  z32   z1  z2  z3   2  z1 z2  z2 z3  z3 z1   2  z1 z2  z2 z3  z3 z1  2

 z z z  1 1 1  2 z1 z2 z3      2 z1 z2 z3  1  2  3    z1 z2 z3 z1  z2  z3 z3   z1 z2 z3   z1 z2





Mặt khác z1  z2  z3  0  z1  z2  z3  0 suy ra P  0 . Chọn B. Ví dụ 12: Cho số phức z  a  bi  0  a, b    sao cho z không phải là số thực và giá trị của biểu thức P  1 A. P  . 5

z 1 z

B. P 

1 . 2

1 C. P  . 3

D. P  1 .

Lời giải Cách 1. Tư duy nhanh, w là số thực  Mà dễ thấy z  z là số thực nên z 

Cách 2. Ta có biến đổi

z là số thực. Tính 1 z2

1 1 là số thực  z  là số thực. w z

z 1 1 2  z. z  1  z  1  z  1   . 2 z 2 1 z





2 z z   z  z. z  z  z. z 2  z  z  z  z . z. z 2 2 1 z 1 z

z  z  0 z 1 2   z. z  1  z  1   . 2 2 1 z  z.z  1

Cách 3. Chọn w 

z z 1 1 2    z  1  0  z  1  z  1   . Chọn B. 2 2 1 z 2 2 1 z

Ví dụ 13: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa z1 , z2  0, z1  z2  0 và

z1 2 .  z2 2

z1 3 .  z2 2

z 1 1 2   . Tính 1 . z1  z2 z1 z2 z2

z1 2 3. z2

Lời giải Cách 1. Ta có

2z  z 1 2 1 1    1 2    2 z1  z2  z1  z2   z1 z2 . z1 z2 z1  z2 z1 z2 z1  z2 2

  z2   2.z1.z2  2  z1  2

Khi đó P 

z  z  z 1 i  0  2 1   2 1  1  0  1   . z2 2  z2   z2 

z1 1 i 2 .   z2 2 2

z 1 2 1 2 Cách 2. Chọn z1  i    . Chọn A.  z2  1  i  1  i z2 i  z2 z2 2

z1 2 .  z2 3

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017 – Mã đề 102) Cho số phức z  1  i  i 3 . Tìm phần thực a và phần ảo b của z. A. a  0, b  1 .

B. a  2, b  1 .

C. a  1, b  0 .

D. a  1, b  2 .

Câu 2: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017 – Mã đề 103) Cho hai số phức z1  1  3i và z2  2  5i . Tìm phần ảo b của số phức z  z1  z2 . A. b  2 .

B. b  2 .

C. b  3 .

D. b  3 .

Câu 3: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017 – Mã đề 101) Cho hai số phức z1  5  7i và z2  2  3i . Tính số phức z  z1  z2 . A. z  7  4i .

B. z  2  5i .

C. z  2  5i .

D. z  3  10i .

Câu 4: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017 – Mã đề 102) Cho hai số phức z1  4  3i và z2  7  3i . Tìm số phức z  z1  z2 . A. z  11 .

B. z  3  6i .

C. z  1  10i .

D. z  3  6i .

Câu 5: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017 – Mã đề 104) Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện z  2  3i  3  2i .

A. z  1  5i .

B. z  1  i .

C. z  5  5i .

D. z  1  i .

Câu 6: Cho số phức z  2  5i . Tìm số phức w  iz  z . A. w  7  3i .

B. w  3  3i .

C. w  3  7i .

D. w  7  7i .

Câu 7: Cho hai số phức z  1  3i, w  2  i . Tìm phần ảo của số phức u  z.w . A. 7 .

B. 5i .

C. 5.

D. 7i .

Câu 8: Trong tập các số phức, tìm số phức z biết 1  i  z  2  3i  z  2  i   2 . A. z  1  2i .

B. z  2  i .

C. z  2  i .

D. z  1  2i .

Câu 9: Cho số phức z  3  2i . Tìm phần ảo b của số phức liên hợp của z. A. b  2i .

B. b  2i .

C. b  2 .

D. b  2 .

Câu 10: Cho hai số phức z1  2  3i và z2  1  5i . Tổng phần thực và phần ảo của số phức w  z1  z2 bằng. A. 3i .

B. 1.

C. 2i .

D. 3.

Câu 11: Cho z là một số ảo khác 0. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. z  z .

B. z  z  0 .

Câu 12: Cho số phức z   2i  A. 440  3i .

1  i   5i

B. 88  3i .

C. z là số thực.

D. Phần ảo z bằng 0.

. Số phức 5 z  3i là số phức nào sau đây? C. 440  3i .

D. 88  3i .

Câu 13: Cho số phức z  a  bi  a, b    thỏa z  1  2i  3  i  . Tính tổng P  a  b .

A. P  6 .

B. P  10 .

C. P  5 .

D. P  0 .

Câu 14: Cho z  a  bi  a, b    thỏa  2  i  z   3  5i   4  4i . Tính tổng P  a  b . A. P  

26 . 5

8 B. P  . 3

C. P  4 .

D. P  2 .

Câu 15: Tìm phần ảo b của số phức w  z1  2 z2 . Biết số phức z1  3  3i và z2  1  2i . A. b  1 .

B. b  1 .

C. b  7 .

D. b  7 .

Câu 16: Cho hai số phức z1  2  i, z2  1  i . Tính T  z1.z2  z1.z2 . A. T  2 .

B. T  5 .

C. T  2 10 .

D. T  2 .

Câu 17: Cho hai số phức z1  1  5i, z2  3  2i . Tính phần ảo b của số phức z  A. b  19 .

B. b 

18 i. 13

C. b 

18 . 13

z12 . z2

D. b 

13 . 18

Câu 18: Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện 1  2i  z  1  5  2i  0 . A. z 

12 6  i. 5 5

B. z 

6 12  i. 5 5

C. z 

6 12  i. 5 5

1 12 D. z   i . 5 5

Câu 19: Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện 1  i  z  1  2i   3  2i  0 . A. z  4  3i .

B. z 

3 5  i. 2 2

C. z 

5 3  i. 2 2

D. z  4  3i .

Câu 20: Tìm số phức z mà z  4  z  2  i  . A. z  2  2i .

B. z  1  i .

C. z  1  2i .

D. z  2  i .

Câu 21: Cho số phức z  3  2i . Tìm số phức w  z 1  i   z . 2

A. w  3  5i .

B. w  7  8i .

C. w  3  5i .

D. w  7  8i .

Câu 22: Cho số phức z  3  2i . Tìm phần thực của số phức z 2 . A. 9.

B. 12.

C. 5.

D. 13.

Câu 23: Cho số phức z  a  bi  a, b    thỏa mãn 1  i  z  4  5i  1  6i . Tính S  a  b . 2

A. S  3 .

B. S  8 .

C. S  6 .

D. S  3 .

Câu 24: Tìm tất cả các số thực x, y sao cho x 2  1  yi  1  2i . A. x   2, y  2 .

B. x  2, y  2 .

C. x  0, y  2 .

D. x  2, y  2 .

Câu 25: Trên tập số phức, 2 x  y   2 y  x  i  x  2 y  3   y  2 x  1 i với x, y   . Tính giá trị của biểu thức P  2 x  3 y . A. P  7 .

B. P  3 .

C. P  1 .

D. P  4 .

Câu 26: Tìm tất cả các số thực x, y thỏa mãn điều kiện 1  2i  x  1  2 y  i  1  i . A. x  1; y  1 .

B. x  1; y  1 .

C. x  1; y  1 .

D. x  1; y  1 .

Câu 27: Tìm tất cả các số thực  x; y  thỏa điều kiện 3 x  yi  2 y  1   2  x  i . A. 1;1 .

B. 1;1 ,  0; 1 .

C. 1;0  ,  1; 1 .

D.  1; 1 .

Câu 28: Tìm tất cả các số thực x, y thỏa mãn đẳng thức x  3  5i   y 1  2i   35  23i . 3

A.  x; y    3; 4  .

B.  x; y    3; 4  .

C.  x; y    3; 4  .

D.  x; y    3; 4  .

Câu 29: Cho số thực x, y thỏa 2 x  1  1  2 y  i  2  2  i   yi  x . Tính T  x 2  3 xy  y . A. T  1 .

B. T  1 .

C. T  2 .

D. T  3 .

Câu 30: Tìm phần thực và phần ảo của số phức liên hợp z của số phức z  i  4i  3 . A. Phần thực là 4 và phần ảo bằng 3.

B. Phần thực là 4 và phần ảo bằng 3.

C. Phần thực là 4 và phần ảo bằng 3i .

D. Phần thực là 4 và phần ảo bằng 3i .

Câu 31: Cho các số phức z  1  2i và w  2  i . Hỏi số phức u  z.w có đặc điểm nào? A. Phần thực là 4 và phần ảo bằng 3.

B. Phần thực là 0 và phần ảo bằng 3.

C. Phần thực là 0 và phần ảo bằng 3i .

D. Phần thực là 4 và phần ảo bằng 3i .

Câu 32: Cho các số phức z1  2  3i và z2  1  4i . Tìm số phức liên hợp với số phức z1 z2 . A. 14  5i .

B. 10  5i .

Câu 33: Cho số phức z thỏa mãn A. z  5  i .

C. 10  5i .

D. 14  5i .

z  1  i . Tìm số phức liên hợp z . 3  2i

B. z  1  5i .

C. z  5  i .

D. z  1  5i .

Câu 34: Cho số phức z thỏa mãn 1  i  z  14  2i . Giả sử số phức liên hợp của z có dạng z  a  bi . Tìm ab .

A. a  b  4 .

B. a  b  14 .

C. a  b  4 .

D. a  b  14 .

Câu 35: Tìm số phức liên hợp của số phức z   2  i  1  i  2i  1 . 2

A. z  15  5i .

B. z  1  3i .

C. z  5  15i .

D. z  5  15i .

Câu 36: (Đề Thi THPT Quốc gia năm 2017) Cho số phức z  2  i . Tìm z . A. z  3 .

B. z  5 .

C. z  2 .

D. z  5 .

Câu 37: Tính môđun của số phức z thỏa mãn z  2  i   13i  1 . A. z  34 .

B. z  34 .

C. z 

5 34 . 3

D. z 

34 . 3

Câu 38: Tính môđun của số phức z thỏa mãn z  1  2i   2  i  i  3  2i  . A. z  4 10 .

B. z  4 5 .

C. z  160 .

D. z  2 10 .

Câu 39: Cho hai số phức z1  1  i và z2  2  3i . Tính môđun của số phức z1  z2 . A. z1  z2  13 .

B. z1  z2  5 .

C. z1  z2  1 .

D. z1  z2  5 .

Câu 40: Cho số phức z  2  3i . Tìm môđun của số phức w  1  i  z  z . A. w  3 .

B. w  5 .

Câu 41: Tìm số môđun của số phức z  A. z 

170 . 7

B. z 

D. w  7 .

C. w  4 . 1  5i  2  3i . 3i

170 . 4

C. z 

170 . 5

170 . 3

D. z 

Câu 42: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 1  3i  z  1  i   z . Tìm môđun của số phức w  13 z  2i . A. w  2 .

B. w 

26 . 13

C. w  10 .

D. w 

4 . 13

Câu 43: Cho hai số phức z1  2  3i và z2  1  2i . Tính môđun của số phức z   z1  2  z2 . A. z  15 .

B. z  5 5 .

C. z  65 .

D. z  137 .

Câu 44: Cho số phức z  3  4i . Tính môđun của số phức w  iz  A. w  2 .

B. w  2 .

25 . z

D. w  5 .

C. w  5 .





Câu 45: Tìm môđun của số phức z, biết z thỏa mãn z  4  i 48  2  i  . A. z  8 5 .

B. z  5 5 .

C. z  6 5 .

D. z  9 5 .

Câu 46: Cho số phức z1  1  3i và z2  3  4i . Tìm môđun của số phức z1  z2 . A. z1  z2  17 .

B. z1  z2  15 .

C. z1  z2  4 .

D. z1  z2  8 .

Câu 47: Cho hai số phức z1  1  2i và z2  2  2i . Tìm môđun của số phức z1  z2 . A. z1  z2  2 2 .

B. z1  z2  1 .

C. z1  z2  17 .

D. z1  z2  5 .

Câu 48: Cho hai số phức z1  2  3i và z2  1  i . Tính z1  3 z2 . A. z1  3 z2  10 .

B. z1  3 z2  61 .

C. z1  3 z2  61 .

Câu 49: Cho hai số phức z1  3  4i , z2  4  3i . Tính A.

2 z1  2. 3 z2

2 z1 2  . 3 z2 3

D. z1  3 z2  10 .

2 z1 . 3 z2 2 z1 3  . 3 z2 2

2 z1 5  . 3 z2 2

Câu 50: Cho số phức z  2  3i . Tìm phần ảo a của số phức w  1  i  z   2  i  z . A. a  9i .

B. a  9 .

C. a  5 .

D. a  5i .

2 Câu 51: Cho số phức z  1  2i . Tìm phần thực a của số phức w  z 3   z.z . z

A. a  

33 . 5

B. a  

31 . 5

C. a  

32 . 5

D. a 

32 . 5

Câu 52: Cho hai số phức z1  5  2i và z2  3  4i . Tìm số phức liên hợp của số w  z1  z2  2 z1 z2 . A. w  54  26i .

B. w  54  26i .

C. w  54  26i .

Câu 53: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện  2  i  z  A. w  4 .

B. w  2 7 .

D. w  54  30i .

1 i  5  i . Tìm môđun của số phức w  1  2 z  z 2 . 1 i

C. w  10 .

D. w  100 .

Câu 54: Cho số phức z thỏa 1  i  z  1  3i  0 . Tìm phần ảo của số phức w  1  iz  z . A. Phần ảo là 1.

B. Phần ảo là 3.

C. Phần ảo là 2.

D. Phần ảo là 2.

Câu 55: Số phức z thỏa mãn z  z  0 . Tìm khẳng định đúng? A. z là số thực nhỏ hơn hoặc bằng 0.

B. z  1

C. Phần thực của z là một số âm.

D. z là số thuần ảo. 2

Câu 56: Với số thuần ảo z, số z 2  z có đặc điểm nào sau đây? A. là số 0.

B. là số ảo khác 0.

C. là số thực âm.



D. là số thực dương.



2 1 Câu 57: Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện z   1  2i  z  .  3 

3 A. z    2i . 4

3 B. z    2i . 4

Câu 58: Rút gọn biểu thức P  1  i  A. P  21008 .

2016

3 C. z  2  i . 4

3 D. z  2  i . 4

C. P  21008 i .

D. P  21008 i .

B. P  21008 .

 1 i  Câu 59: Cho số phức z  a  bi,  a, b    thỏa mãn z     1 i  A. S  1 .

B. S  0 .

. Tính tổng S  a  b .

C. S  1 .

Câu 60: Cho số phức z  a  bi,  a, b    thỏa mãn A. S  38 .

2016

B. S  10 .

D. S  2 .

1  2i  z

2i

. Tính tổng S  a  2b .

C. S  31 .

D. S  55 .

Câu 61: Tìm số phức z  1  z  1  z   1  i   1  i   ...  1  i  .Tìm phần thực a của số phức z 2

A. z  1025  1025i .

B. z  1025  1025i .

C. z  1025  1025i .

D. z  1025  1025i .

Câu 62: Cho số phức z  1  z   1  i   1  i   ...  1  i  . Tìm phần thực a của số phức z. 2

A. a  211 .

B. a  211  2 .

C. a  211  2 .

D. a  211 .

Câu 63: Tìm phần thực a và phần ảo b của số phức z  1  i  i 2  i 3  ...  i 2016 . A. a  0, b  1 .

B. a  0, b  1 .

C. a  1, b  1 .

D. a  1, b  0 .

Câu 64: Tìm môđun của số phức z  1  i 2  i 4  ...  i 2 n  ...  i 2016 , n   A. z  2 .

B. z  1 .

C. z  1008 .

D. z  2006 .

Câu 65: Tìm phần thực a của số phức z  1  1  i  1  i   1  i   ...  1  i  . 2

A. a  213 .

B. a  213 .

C. a  1  213 .

D. a  1  213 .

Câu 66: Cho số phức z  a  bi  a, b    thỏa mãn 1  i  z  2 z  3  2i . Tính P  a  b . A. P 

1 . 2

B. P  1 .

C. P  1 .

1 D. P   . 2

Câu 67: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017- Mã đề 101) Cho số phức z  a  bi  a, b    thỏa mãn z  1  3i  z i  0 . Tính S  a  3b .

A. S 

7 . 3

B. S  5 .

7 D. S   . 3

C. S  5 .

Câu 68: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017- Mã đề 104) Cho số phức z thỏa mãn z  5 và z  3  z  3  10i . Tìm số phức w  z  4  3i .

A. w  3  8i .

B. w  1  3i .

C. w  1  7i .

D. w  4  8i .

Câu 69: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017- Mã đề 103) Cho số phức z thỏa mãn z  3  5 và z  2i  z  2  2i . Tính z .

A. z  17 .

B. z  17 .

C. z  10 .

D. z  10 .

Câu 70: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017- Mã đề 102) Cho số phức z  a  bi  a, b    thỏa mãn z  2  i  z . Tính S  4a  b .

A. S  4 .

B. S  2 .

C. S  2 .

D. S  4 .

Câu 71: (Đề tham khảo – Bộ GD&ĐT năm 2018) Cho số phức z  a  bi  a, b    thỏa mãn z  2  i  z 1  i   0 và z  1 . Tính P  a  b .

A. P  1 .

B. P  5 .

C. P  3 .

D. P  7 .

Câu 72: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 1  i  z  4 z  7  7i . Tìm môđun của số phức z. A. z  3 .

B. z  5 .

C. z  5 .



D. z  3 .



Câu 73: Tính môđun của số phức z thỏa mãn 3 z.z  2017 z  z  12  2018i . A. z  2 .

B. z  2017 .

C. z  4 .

D. z  2018 .

Câu 74: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  1  2i  z  2  4i . Tìm môđun của số phức z. A. z  3 .

B. z  5 .

C. z  5 .

D. z  3 .

Câu 75: Cho số phức z  a  bi  a, b    thỏa z  2i  3 8i.z  16  15i . Tính a  3b . A. 4.

B. 6.

C. 5.

D. 1.

Câu 76: Cho số phức z  a  bi  a, b    thỏa mãn 2  z  1  3 z  i  5  i  . Tính a  2b . A. a  2b  1 .

B. a  2b  3 .

C. a  2b  3 .

D. a  2b  1 .

Câu 77: Cho số phức z  a  bi  a, b    thỏa mãn 2 z  z  3  i . Tính giá trị của biểu thức 3a  b . A. 3a  b  3 .

B. 3a  b  4 .

C. 3a  b  6 .



D. 3a  b  5 .



Câu 78: Tính môđun của số phức z thỏa mãn z.z  3 z  z  4  3i . A. z  2 .

B. z  3 .

C. z  4 .

D. z  1 .

Câu 79: Cho số phức z thỏa mãn 3 z  2 z   4  i  . Tính môđun của số phức z. 2

A. z  73 .

C. z  73 .

B. z  5 .



D. z  7 3 .



Câu 80: Cho số phức z thỏa mãn 2 z  i z  3 . Hãy tìm môđun của số phức z. A. z  5 .

B. z  5 .

C. z 

3 5 . 4

D. z 

3 5 . 2

Câu 81: Cho số phức z  a  bi  a, b    thỏa mãn zi  2 z  4  4i . Tìm 2a  2b . A. 2a  2b 

1 . 36

B. 2a  2b  48 .

C. 2a  2b 

1 . 16

D. 2a  2b  32 .

Câu 82: Tìm môđun của số phức z thỏa mãn điều kiện 1  i  z   3  i  z  2  6i . A. z  13 .

B. z  15 .

C. z  5 .

D. z  3 .

Câu 83: Tìm môđun của số phức z thỏa mãn điều kiện 2 z  1  i  z  5  3i . A. z  5 .

B. z  3 .

C. z  3 .

D. z  5 .

Câu 84: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017 – Mã đề 102) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn

z  2  i  2 2 và  z  1 là số thuần ảo? 2

A. 0.

B. 4.

C. 3.

D. 2.





Câu 85: Biết rằng có hai số phức thỏa mãn 2 z  1  z  z  2i và  2  z  i  z là số thực. Tính tổng các phần ảo của hai số thực đó. A. 9.

B. 7.

C. 5.

D. 3.

Câu 86: Gọi số phức z  a  bi  a, b    thỏa mãn  2 z  3  2i  z  i  là số thuần ảo và z  1  i  i.z  2 . Tính tổng a 2  b3 . A. 1.

B. 11.

C. 21.

Câu 87: Hỏi có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện

D. 31. z  1  2i z  2i  1 và số phức là số z  3  4i z i

thuần ảo. A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 4.

 4i  Câu 88: Cho số phức z    , m là số nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị của m  1;100 để z là số  i 1  thực? A. 25.

B. 26.

C. 27.

D. 28.

 2  6i  Câu 89: Cho số phức z    , m là số nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị của m  1;50 để z là số  3i  thuần ảo? A. 24.

B. 25.

C. 26.

D. 50.

Câu 90: Cho số phức z thỏa mãn z  3  4i  z  4  3i   5 2  0 . Tính giá trị của z . A. z  2 .

B. z  2 .

Câu 91: Cho số phức z  0 thỏa mãn

3  z  2. 2

C. z  2 2 .

 2  3i  z  2 . Hỏi mệnh đề nào đúng? 1 i i  2 z z

B. z  2 .

Câu 92: Cho số phức z  0 thỏa mãn 1  2i  z  A. 1.

D. z  1 .

B. 2.

C. z 

1 . 2

10 4 2  2  i . Tính z  z . z

C. 3.

D. 4.

Câu 93: Cho số phức z  0 thỏa mãn  2  3i  z 

26 4 2  3  2i . Tính z  z . z

A. 1.

C. 3.

B. 2.

Câu 94: Cho số phức z  0 thỏa mãn 1  3i  z  A. 1.

B. 16.

1 3  z  . 2 2

D. 4.

4 10 4 2  3  i . Tính z  z . z

C. 9.

D. 25.

Câu 95: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  2 z2  2 và 2 z1  3 z2  4 . Tính z1  2 z2 . A. 10 .

C. 15 .

B. 11 .

D. 2 5 .

Câu 96: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  z2  1 và z1  3 z2  2 . Tính 2 z1  3 z2 . A.

249 .

B. 1.

241 .

Câu 97: Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Tìm phần thực b của số phức A. b 

1 . 2

B. b  

3 . 2

C. b 

3 . 2

D. 5. 1 . 1 z

D. b  1 .

Câu 98: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  z2  1 và z1  z2  3 . Tính z1  z2 . A. z1  z2  1 .

B. z1  z2  2 .

C. z1  z2  3 .

D. z1  z2  4 .

Câu 99: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  z2  3, z1  1, z2  2 . Tính z1.z2  z1 z2 . A. 2.

B. 0.

C. 8.

D. 4.

Câu 100: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  z2  z1  z2  1 . Tính z1  z2 . A.

B. 2 3 .

C. 1.

3 . 2

LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: z  1  i  i 3  1  i  i  1  2i  a  1, b  2 . Chọn D. Câu 2: z  z1  z2  1  3i    2  5i   3  2i  b  2 . Chọn B. Câu 3: z  z1  z2   5  7i    2  3i   7  4i . Chọn A. Câu 4: z  z1  z2   4  3i    7  3i   3  6i . Chọn D. Câu 5: z  2  3i  3  2i  z  1  i . Chọn B. Câu 6: w  iz  z  i  2  5i    2  5i   5  2i  2  5i  3  3i . Chọn B. Câu 7: u  z.w  1  3i  2  i   1  7i  phần ảo của số phức là 7. Chọn A. Câu 8: 1  i  z  2  3i  z  2  i   2   2i  1 z  3i  4  z 

3i  4  2  i . Chọn B. 2i  1

Câu 9: Số phức liên hợp của z là z  3  2i  phần ảo b  2 . Chọn C. Câu 10: w  z1  z2   2  3i    1  5i   1  2i  a  1, b  2  a  b  3 . Chọn D. Câu 11: z  bi  z  bi  z  z  0 . Chọn B. Câu 12: z   2i 

1  i   5i

 16i

 2i  

8 8 88  16  i 2  16   5i 5 5 5

Do đó 5 z  3i  88  3i  88  3i . Chọn D. Câu 13: z  1  2i  3  i   5  5i  a  5, b  5  P  a  b  10 . Chọn B. Câu 14:  2  1 z  3  5i   4  4i   2  i  z  7  9i  z 

7  9i  1  5i . 2i

Do đó suy ra a  1, b  5  a  b  4 . Chọn C. Câu 15: w  z1  2 z2   3  3i   2  1  2i   1  i  b  1 . Chọn A. Câu 16: T  z1 z2  z1 z2   2  i 1  i    2  i 1  i   2 . Chọn D. z 2 1  5i  24  10i 92 18 18     i  b  . Chọn C. Câu 17: z  12  z2 3  2i 3  2i 13 13 13 2

Câu 18: 1  2i  z  1  5  2i  0  1  2i  z  6  z 

6 6 12   i . Chọn C. 1  2i 5 5

Câu 19: 1  i  z  1  2i   3  2i  0  z 1  i   1  i 1  2i   3  2i  z 1  i   1  3i  3  2i  z 1  i   4  i  z 

Câu 20: z  4  z  2  i   z 1  i   4  z 

4i 3 5  z   i . Chọn B. 1 i 2 2

4  z  2  2i . Chọn A. 1 i

Câu 21: w  z 1  i   z   3  2i 1  i    3  2i   2i  3  2i   3  2i  6i  4  3  2i  7  8i . Chọn D. 2

Câu 22: z 2   3  2i   5  12i  phần thực là 5. Chọn C. 2

Câu 23: 1  i  z  4  5i  1  6i  2iz  5  11i  z  2

Do đó suy ra a 

5  11i 11 5 11 5   iz  i 2i 2 2 2 2

11 5 , b    a  b  3 . Chọn D. 2 2

 x 2  1  1  x  0 Câu 24: Ta có  . Chọn C.  y  2 y  2 2 x  y  x  2 y  3  x  0 Câu 25: Ta có  . Chọn B.  2 y  x  y  2 x  1 y 1 x  1 Câu 26: Ta có x   2 x  1  2 y  i  1  i    x  y  1 . Chọn B. 2 x  1  2 y  1 3 x  2 y  1 Câu 27: Ta có   x  y  1 . Chọn A. y  2 x 3 x  11 y  35 Câu 28: Ta có 3 x  5 xi  y  11  2i   35  23i    x  3; y  4 . Chọn B. 5 x  2 y  23 2 x  1  4  x Câu 29: Ta có   x  y  1 . Chọn D. 1  2 y  2  y Câu 30: Số phức z  4  3i  z  4  3i có phần thực là 4 và phần ảo bằng 3. Chọn B. Câu 31: Số phức u  1  2i  2  i   4  3i có phần thực là 4 và phần ảo bằng 3. Chọn A. Câu 32: z1 z2  14  5i  z1 z2  14  5i . Chọn D. Câu 33: z   3  2i 1  i   5  i  z  5  i . Chọn C. Câu 34: z 

14  2i  6  8i  z  6  8i . Chọn B. 1 i

Câu 35: z  5  15i  z  5  15i . Chọn C. Câu 36: z  22  12  5 . Chọn D. Câu 37: z 

1  13i  3  5i  z  32  (5) 2  34 . Chọn A. 2i

Câu 38: z  12  4i  z  122  (4) 2  4 10 . Chọn A. Câu 39: z1  z2  3  2i  z1  z2  32  (2) 2  13 . Chọn A. Câu 40: w  1  i  2  3i    2  3i   3  4i  w  32  (4) 2  5 . Chọn B. 2

1  5i 11 7 170  11   7    i  z       Câu 41: z  2  3i  . Chọn C. 3i 5 5 5  5  5

1  i 1 5   i  w  1  3i  w  12  (3) 2  10 . Chọn C. 2  3i 13 13

Câu 42: z  2  3i   1  i  z 

Câu 43: z  10  5i  z  102  52  5 5 . Chọn B. Câu 44: w  1  i  w  12  12  2 . Chọn A.





Câu 45: z  8  4 3  4  8 3 i  z 

 8  4 3    4  8 3  2

 8 5 . Chọn A.

Câu 46: z1  z2  4  i  z1  z2  42  (1) 2  17 . Chọn A. Câu 47: z1  z2  3  4i  z1  z2  32  42  5 . Chọn D. Câu 48: z1  3 z2  5  6i  z1  3 z2  52  62  61 . Chọn C. Câu 49:

2 z1 2z 2 2   i  1  . Chọn B. 3 z2 3 3 z2 3

Câu 50: w  1  i  2  3i    2  i  2  3i   2  5i . Chọn C. Câu 51: w  1  2i   3

2 32 6  1  2i 1  2i     i . Chọn C. 1  2i 5 5

Câu 52: w   5  2i    3  4i   2  5  2i  3  4i   54  26i  w  54  26i . Chọn C. 1 i  2  2 Câu 53: z   5  i   :  2  i   2  i  w  8  6i  w  8   6   10 . Chọn C. 1 i  

Câu 54: z 

1  3i  2  i  z  2  i  w  2  3i . Chọn B. 1 i

Câu 55: Ta có z  x  yi  x, y     x 2  y 2  x  yi  0

 x 2  y 2   x  x 2   x x  0     z  x  0 . Chọn A. y  0  y  0  y  0 Câu 56: Ta có z  yi  x, y     z 2  z   yi   y 2  0 . Chọn A. 2

1 2 Câu 57: Ta có z  x  yi  x, y     x  yi  1  2i    x  yi    3 3  3 x  3  x x    3  x  yi   3  4i  x  yi  3  x   4  y  i    4 . Chọn A. 3 y  4  y  y  2 1008

2 Câu 58: P  1  i    

Câu 59: z   i 

1008

  2i 

 i2 

1008

504

 22008  i 2 

504

 22008 . Chọn A.

 1 . Chọn C.

Câu 60: z   4  3i 1  2i   24  7i  z  24  7i . Chọn B. 2

1  i   1  1  i .  2i  z  1  i  .   i 1  i   1 20

Câu 61:

1

210.  i 2   1 5

 1  i  .

 1025  1025i . Chọn C.

21  1  i   1  10 Câu 62: z  1  i  . 1  i  .   2  2i  1  i   1 1  i   1   5  2  210.  i 2  1  i   1  2  1  210  210.i  . Chọn C.  

 i   1 . Chọn D. i 2016  1  1  i. Câu 63: z  1  i. i 1 i 1 2 1008

i  Câu 64: z  1  i .

2 1008

1

i2 1

 1  z  1 . Chọn B.

1  i   1  1  1  i .  2i  z  1  1  i  .   i 1  i   1 26

Câu 65:

1

213.  i 2  i  1 6

 1  1  i  .

 8192  8193i . Chọn B.

Câu 66: Ta có 1  i  a  bi   2  a  bi   3  2i  a  b   a  b  i  2a  2bi  3  2i

 a  b  2a  3   a  b  1 . Chọn C. a  b  2b  1 a  1 a  1 a  1  0     2 2  b   3  Câu 67: a  bi  1  3i  i a  b  0   4 . Chọn B.   2 2 b   b  3  a  b  0   2 2 3 b  3   b  1 

 a 2  b 2  5 a 2  b 2  25   a  0; b  5  w  4  8i . Chọn D. Câu 68:  2 2 2 2 b  5  a  3  b   a  3    b  10 

 a  32  b 2  25 a 2  b 2  6a  16   b 2  9  b  3  z  10 . Chọn C. Câu 69:  2 2 2 2 a  1  a   b  2    a  2    b  2  a  2 3  2 2   2  a   a  2  a  b 2 2 2   a  2   a  1   Câu 70: a  bi  2  i  a  b   4 . Chọn D. b  1  0 b  1 b  1 

Câu 71: z  2  i  z 1  i   0   a  bi   2  i  1  i  a 2  b 2 a  2  a 2  b 2   a  2   b  1 i  a  b  i a  b   b  1  a 2  b 2 2

 a  2  b  1  b  a  1  a  2  a 2   a  1 a  2  0 a  3  b  4  . 2 2   2 a  1  b  0  a  2   a   a  1

Lại có z  1  a 2  b 2  1 nên a  3, b  4 thỏa mãn  P  7 . Chọn D. Câu 72: 1  i  a  bi   4  a  bi   7  7i  a  b  b  a  i  4  a  bi   7  7i

 a  b  4a  7 a  1    z  5 . Chọn C. b  a  4b  7 b  2 Câu 73: 3  a 2  b 2   2017  a  bi  a  bi   12  2018i

3  a 2  b 2   12   z  a 2  b 2  2 . Chọn A 2017.2b  2018 Câu 74: a  bi  1  2i  a  bi   2  4i  a  bi  a  2b  2ai  bi  2  4i

a  a  2b  2 a  2    z  5 . Chọn B. b  2a  b  4 b  1 3a  2b  8b  16 a  2 Câu 75:  a  bi  2i  3  8i  a  bi   16  15i   . Chọn D.  2a  3b  8a  15 b  1 2a  2  3a  1 Câu 76: 2  a  bi  1  3  a  bi   5i  1    a  b  1 . Chọn C. 2b  3b  5  2a  a  3 Câu 77: 2  a  bi    a  bi   3  i    a  b  1 . Chọn B 2b  b  1 6b  3 Câu 78: a 2  b 2  3.2bi  4  3i   2  z  a 2  b 2  2 . Chọn A 2 a  b  4

3a  2a  15 Câu 79: 3  a  bi   2  a  bi   15  8i    a  3; b  8  z  73 . Chọn C. 3b  2b  8  2a  b Câu 80: 2  a  bi   i  a  3  bi     a  1; b  2  z  5 . Chọn A. 2b  a  3 b  2a  4 Câu 81:  a  bi   2  a  bi   4  4i    a  b  4 . Chọn D. a  2b  4 a  b   3a  b   2 4 Câu 82: 1  i  a  bi    3  i  a  bi   2  6i    a  1; b   . Chọn B. 3 b  a   a  2b   6

 2a  a  b  5 Câu 83: 2  a  bi   1  i  a  bi   5  3i    a  1; b  2 . Chọn A. 2b  a  b  3  a  2 2   b  1 2  8 Câu 84: Giả sử z  a  bi  a, b      2 2 2  z  1   a  1  b  2b  a  1 i 2 2   a  2  2   b  1 2  8  a  2    b  1  8  a  2 2   a  2 2  8    b  a  1  2 2   a  2 2  a 2  8 a  1  b  0     b  1  a 

a  0  . Chọn C.  a  1  3

Câu 85: Đặt z  a  bi  a, b    ta có: 2 z  i  z  z  2i  2 a  bi  i  2bi  2i 2 2  4  a 2   b  1   4  b  1  a 2  b 2  2b  1  b 2  2b  1  a 2  4b  





Lại có:  2  z  i  z   2  a  bi  i  a  bi    2  a   bi   a  1  b i  là số thực nên phần ảo của nó

 2  a 1  b   ab  0  2  a  2b  0  2  a  2.  a 2  2a  4  0  a  1  5  b1:2 

a2 0 4

3 5  tổng các phần ảo của hai số phức đó là b1  b2  3 . 2

Chọn D. Câu 86: Đặt z  a  bi  a, b    ta có: z  1  i  i.z  2  a  bi  1  i  i  a  bi   2   a  1   b  1 i  ai  b  2   a  1   b  1  a 2   b  2  2

 2a  2b  2  a  b  1 .

Lại có:

 2 z  3  2i  z  i    2a  3   2b  2  i   a  b  1 i 

là số ảo nên phần thực của nó là

 2a  3 a   2b  2  b  1  0  2a 2  3a  2b2  2  0  2a 2  3a  2 1  a   2  0  5a  0  a  0  b  1  a 2  b3  1 . Chọn A. 2





Câu 87: Đặt z  a  bi  a, b    z  i ta có

z  1  2i  1  z  1  2i  z  3  4i z  3  4i

 a  bi  1  2i  a  bi  3  4i   a  1   b  2    a  3    4  b  2

 4a  4b  20  0  a  b  5

Mặt khác

z  2i a  bi  2i  a   b  2  i  .  a   b  1 i  là số thuần ảo nên phần thực của nó bằng 0 suy   2 a  bi  i z i a 2  1  b 

ra a 2   b  2  b  1  0   b  5    b 2  3b  2   0 . 2

 7b  23  0  b 

23 12  a    có 1 số phức thỏa mãn yêu cầu. Chọn B. 7 7

m m 2 2  4i    2 Câu 88: z    2  2 i  2  2 i  8 i          i  1  

Để z là số thực thì

m  2k  m  4k 2

Giải điều kiện 1  4k  100  1  k  25  k     có 25 giá trị của k nên tương ứng có 25 giá trị của m. Chọn A.

m  2  6i  m m Câu 89: z      2i   2 .i 3  i  

Để z là số thuần ảo thì m  2k  1 , kết hợp m  1;50 và m    có 25 giá trị của tham số m là m  1;3;5;...; 49 . Chọn B.

Câu 90: z  3  4i  z  4  3i   5 2  0  * Do z  0 không phải là nghiệm của phương trình Với z  0 ta có: *   3  4i  z  4  3i 

5 2 5 2   3 z  4    4 z  3 i  1 . z z

 3 z    4 z  3 2

Lấy môđun 2 vế (1) ta được:



5 2 5 2 5 2   z z z

 z 2 1 2  25 z  1  2  z  z  2   2  z 1  z  2 z 





Do đó z  z  1 . Chọn D. Câu 91: Ta có

Do đó

1 z z   2 z z. z z

 2  3i  z  2  1  i  i  2  3i  2  1  2i  2  i  z  1  2i  4  3i 1 i i  2 z z z z 2i 5 z

Suy ra z  1 . Chọn D. 10 10 10  2  i  z  2i. z  2  i   z  2   2 z  1 i  . z z z

Câu 92: Giả thiết 1  2i  z 

Lấy môđun hai vế của (*), ta được 4

 z  2    2 z  1 2



10  z  1. z

Do đó: z  z  2 . Chọn B. Câu 93: Ta có  2  3i  z    2 z  3  3 z  2  i 

26 26  3  2i  2 z  3  3i z  2i  z z 26 z

 *

Lấy môđun 2 vế của biểu thức (*) ta được

 2 z  3   3 z  2  2



26 26  z z

* 

 z 2 1 4 2  13 z  13  2  z  z  2  0   2  z  1  z  z  2 . Chọn B.  z  2 z  2

Câu 94: Từ giả thiết, ta có 1  3i  z 

4 10 4 10  3  i  1  3i  z  3  i  . z z

 z 3 z i 3i 

4 10 4 10  z  3   3 z  1 i  z z

 z  3   3 z  1

Lấy môđun hai vế của (*), ta được  *  Đặt t  z , ta có 4

 t  3   3t  1 2



* 

4 10 . z

4 10  t 2 10t 2  10  160  t 4  t 2  16 . t

Vậy z  z  16 . Chọn B.  a  a  b  4  z1  2 Câu 95: Chọn z2  1  . Gọi z1  a  bi     2 2 2 z  3  4 b   1  2a  3  4b  16  2

Vậy z1  2 z2 

3 55 11 55  i2   i  11 . Chọn B. 4 4 4 4

a 2  b 2  1  z1  1 a  1 Câu 96: Chọn z2  1  . Gọi z1  a  bi   .    2 2 b  0  z1  3  2  a  3  b  4 Vậy 2 z1  3 z2  2  3  5 . Chọn D.  Câu 97: Chọn z  i  2

1 1 1 i   . Chọn A. 1 z 1 i 2



Câu 98: Ta có z1  z2  z1  z2  2 z1  z2

 z z 1

 1 . Chọn A.

a 2  b 2  1  z1  1 a  1 Câu 99: Chọn z2  2  . Gọi z1  a  bi   .    2 2 b  0 a  2  b  9     z1  2  3  Vậy z1  1   z1 z2  z1 z2  1.2  1.2  4 . Chọn D. 2



Câu 100: Ta có z1  z2  z1  z2  2 z1  z2

 z z 1

 3 . Chọn A.

3 4 55 4

CHỦ ĐỀ 17: PHƯƠNG TRÌNH PHỨC 1. Căn bậc hai của số phức 

Cho số phức w . Số phức z thỏa mãn z 2  w được gọi là một căn bậc hai của w .



Số 0 có đúng một căn bậc hai là 0



Mỗi số phức khác 0 có căn bậc hai là hai số đối nhau (khác 0).



Số thực a  0 có hai căn bậc hai là



Số thực a  0 có hai căn bậc hai là i a và i a .

a và  a .

2. Phương trình phức Xét phương trình bậc hai az 2  bz  c , với z  ; a, b, c   và a  0 .  Xét 

biệt thức   b 2  4ac .

Nếu   0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt z1 

b   b   và z2  , trong đó  là một 2a 2a

căn bậc hai của  .  Nếu

  0 thì phương trình có nghiệm kép z1  z2  

b . 2a

Đặc biệt: 

Khi  là số thực dương thì phương trình có hai nghiệm z1 



Khi  là số thực âm thì phương trình có hai nghiệm z1 

b   b   và z2  . 2a 2a

  i  b  i  và z2  . 2a 2a

 Nhận xét: Trên tập hợp số phức, mọi phương trình bậc 2 đều có 2 nghiệm (không nhất thiết phân biệt)  Định lý Viete: Phương tình bậc hai az 2  bz  c , với z  ; a, b, c   và a  0 có 2 nghiệm phức b   z1  z2  a z1 và z2 thì:  . c z z   1 2 a

3. Tìm căn bậc 2 của số phức z  a  bi  a; b    . Thao tác: Chuyển máy tính qua chế độ Radian  SHIFT  MODE  4  và chế độ số phức CMPLX

 SHIFT  MODE  2  Khi đó một căn bậc 2 của z là:

a  bi 

arg  a  bi  , căn bậc 2 còn lại chính là số đối của số vừa tính 2

được. Trong đó

 SHIFT  hyp;   SHIFT     ;arg  SHIFT  2  1 .

Ví dụ 1: Biết z1 và z2 là 2 nghiệm của phương tình z 2  2z  4  0 . Tính T  z1  z2 A. T  2 3 .

B. T  2  3 .

C. T  4 .

D. T  4  2 3 .

Lời giải:

 z1  1  i 3 Ta có:   12  4  3  3i 2    z1  z2  2  T  4 . Chọn C.  z2  1  i 3 Ví dụ 2: Biết z1 và z2 là 2 nghiệm của phương trình  z  i   4  0 . Tính T  z1  z2 2

B. T  2 .

A. T  3 .

C. T  4 .

D. T  10 .

Lời giải:

 z  i  2i  z  3i 2 2 Ta có:  z  i   4  0   z  i   4  4i 2     z  i  2i  x  i Do đó T  z1  z2  4 . Chọn A. Ví dụ 3: Gọi z1 ; z2 là 2 nghiệm phức của phương trình z 2   3  i  z  4  3i  0 . Tìm giá trị của biểu thức T  z12  z22 A. T  2 .

C. T  2 5 .

B. T  5 .

D. T  10 .

Lời giải: Ta có:    3  i   16  12i  8  6i  1  3i  2

3  i  1  3i   2i  z1  2 Khi đó phương trình đã cho có 2 nghiệm là   z  3  i  1  3i  1  2i  2 2

Do đó: z12  3  4i; z22  3  4i  T  3  4i  3  4i  10 .Chọn D. Ví dụ 4: Gọi z1 ; z2 là 2 nghiệm phức của phương trình z 2  3 1  i  z  5i  0 . Tìm giá trị biểu thức T  z1  z2 .

A. T  2 .

C. T  2 5 .

B. T  5 .

D. T  10 .

Lời giải: Ta có:   9 1  i   20i  2i  1  i  2

3  3i  1  i   2i  z1  2  z1  z2  5 Khi đó phương trình đã cho có 2 nghiệm là   z  3  3i  1  i  1  2i  2 2

Do đó T  2 5 . Chọn C. Ví dụ 5: Giải phương trình phức z 2  1  2i  z  1  i  0 .

 z  i A.  .  z  1  3i

z  i C.  .  z  1  3i

 z  1 B.  . z  1 i

z  i D.  .  z  1  i

Lời giải: Ta có    i  2i   4 1  i   1  z1  2

1  2i  1 1  2i  1  i và z2   1  i .Chọn D 2 2

Ví dụ 6: Cho phương trình phức z 2  bz  c  0  b, c    có một nghiệm là 1  2i . Tính giá trị của biểu thức S = b + c. B. S = 1 .

A. S = 7.

C. S = 3.

D. S = 3 .

Lời giải: Ta có 1  2i   b 1  2i   c  0  3  4i  b  2bi  c  0 2

2b  4  0 b  2  b  c  3   2b  4  i  0     S  3 . Chọn C. b  c  3  0 c  5 Ví dụ 7: [Đề minh hoạ Bộ GD & ĐT 2017] Kí hiệu z1 , z2 , z3 , z4 là bốn nghiệm phức của phương trình z 4  z 2  12  0 . Tính tổng T  z1  z2  z3  z4 .

B. T  2 3 .

A. T = 4.

C. T  4  2 3 .

D. T  2  2 3 .

Lời giải: z2  4  z  2  Ta có z  z  12  0   2  2  z  i 3  z  3  3i 4

Do đó T  2  2  i 3  i 3  2  2  3  3  4  2 3 . Chọn C.

 z i   z i   z i  Ví dụ 8: Tổng các nghiệm của phương trình        1  0 là:  z i   z i   z i  A. T  0 .

B. T = 1  2i .

C. T = 1 + 2i. Lời giải:

 z i  3 2 2 Đặt t    ;  z  i  ta có: t  t  t  1  0   t  1  t  1  0  z i 

Với t  1  Với t  i 

z i  1  z  0 z i

z i  i  z  1 z i

D. T = 1 .

Với i  i 

z i  i  z  1 z i

Vậy phương trình có 3 nghiệm z  0; z  1  T  0 .Chọn A. Ví dụ 9: Gọi z1 ; z2 là 2 nghiệm phức của phương trình z 2  1  i  z  6  3i  0 . Tính môđun của số phức

w  z12  z22 A. w  2 10 .

B. w  3 10 .

C. w  4 10 .

D. w  5 10 .

Lời giải:

z  z  1 i 2 2 Theo định lý Viet ta có:  1 2  w  z12  z22   z1  z2   2 z1 z2  1  i   2  6  3i   z1 z2  6  3i

 2i  12  6i  12  4i  w  4 10 . Chọn C.

Ví dụ 10: Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  2z  3  0 . Tính giá trị của biểu thức P  z1  2z 2  z2  21

A. 2 10 .

B. 19 .

C. 2 19 .

D. 6 3 .

Lời giải:

 z  2 z2  1  3 2i  z  1  2i  z1  1  2i PT     1  z  1  2i  z2  1  2i  z2  2z1  1  3 2i

 z1  2 z2  z2  2z1  19  P  2 19 . Chọn C.

Ví dụ 11: Cho số phức w, biết rằng z1  w  2i và z1  2 w  4 là hai nghiệm của phương trình z 2  az  b  0 với a, b là các số thực. Tính T  z1  z2 .

A. T 

8 10 . 3

B. T 

2 3 . 3

C. T = 5.

D. T 

2 37 . 3

Lời giải: Đặt w  x  yi  x; y    . Theo Viet ta có: z1  z2  a  3w  2i  4   3x  4    3 y  2 i là số thực nên y  2 4    z1 z2  b   x  i  2i   2x  i  4  là số thực. 3 3    4  4  4 16  Suy ra  x  i   2x  4  i   x  2x  4   i  x  4  là số thực suy ra x  4 3  3  3 9 

2 . Lại có : 3

2 4 4 8 10 Do đó z1  4  i  2i  4  i; z2  4  i  T  . Chọn A. 3 3 3 3

Ví dụ 12: Cho số phức w và hai số thực a, b. Biết z1  w  2i và z2  2 w  3 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  az  b  0 . Tính T  z1  z2 . A. T  2 13 .

B. T 

2 97 . 3

C. T 

2 85 . 3

D. T  4 13 .

Lời giải: Đặt w  m  ni  m; n    . Theo Viet ta có: z1  z2  3w  2i  3  3m  3   3n  2 i  a là số thực do đó n 

2 3

4 4 4i   4   Lại có z1 z2   m    2m  3  i   b là số thực do đó  2m  3  m  0  m  3 3 3 3  3  

Do đó z1  3 

4i 4i 2 97 . Chọn B. ; z2  3   T  3 3 3

Ví dụ 13: Gọi z1 ; z2 ; z3 là 3 nghiệm của phương trình z 3  1  2i  z 2  1  i  z  2i . Biết rằng phương trình có 1 nghiệm thuần ảo tìm môđun của số phức w  z12  z22  z32 . B. w  34 .

A. w  5 .

C. w  29 .

D. w  3 3 .

Lời giải: Giả sử phương trình có 1 nghiệm thuần ảo là: z  bi  b    thay vào phương trình:

 bi   1  2i  bi   1  i  bi  2i  b3i  1  2i  b2  bi  b  2i 3

b 2  b  0  3  b 1 z  i 2 b  2b  b  2  z3  i Vậy phương trình   z  i   z 2  1  i  z  2   0   2  z  1  i  z  2  0 1

Giả sử PT (1) có 2 nhiệm là z1 và z2 Ta có: w  i 2   z1  z2   2 z1 z2  1   i  1  4  2i  5  w  29 . Chọn C. 2

Ví dụ 14: Gọi z1 ; z2 ; z3 ; z4 là các nghiệm của phương trình:  z 2  3z  2  z 2  7z  12   3 Tính tổng T  z1  z2  z3  z4 . A. T  10 .

B. T  5  2 7 .

C. T  5  7 .

D. T  38  2 7 .

Lời giải: Ta có: PT   z  1 z  2  z  3  z  4   3   z 2  5z  4  z 2  5z  6   3

w  1 Đặt w  z 2  5z  4 ta có w  w  2   3    w  3 Với w  1  z 2  5z  3  0  z 

5  13  z1  z2  5 2 2

5  3i 2 5  i 3  Với w  3  z 2  5z  7  0   z    z  z3  z4  2 7 . Chọn B. 2 4 2  Ví dụ 15: Biết phương trình z 3   2  2i  z 2   5  4i  z  10i  0 có 3 nghiệm z1 ; z2 ; z3 trong đó z1 là số thuần ảo. Tính tổng T  z1  z2  z3 . A. T  1  2 5 .

C. T  12 .

B. T  2 2 .

Lời giải: Giả sử z1  bi  b3i   2  2i  b 2   5  4i  bi  10i  0  b3i  2b 2  2b 2i  5bi  4b  10i  0  i  b3  2b 2  5b  10  2b 2  4b  0 b3  2b 2  5b  10  0  b2 . 2 2b  4b  0

 z  2i  z  2i Khi đó PT   z  2i   z 2  2z  5  0    2  z  1  2i 2   z  1  4i Suy ra T  z1  z2  z3  2  2 5 . Chọn D.

D. T  2  2 5 .

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: (Đề tham khảo – Bộ GD & ĐT 2018) Gọi z1 và z 2 là hai nghiệm phức của phương trình 4z 2  4z  3  0 . Giá trị của biểu thức z1  z2 bằng

B. 2 3

A. 3 2

C. 3

Câu 2: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017 – Mã đề 101) Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức 1  2i và 1  2i là nghiệm?

A. z 2  2z  3  0

B. z 2  2z  3  0

C. z 2  2 z  3  0

D. z 2  2z  3  0

Câu 3: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017 – Mã đề 102) Kí hiệu z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình 3z 2  z  1  0 . Tính P  z1  z2 . 3 3

A. P 

B. P 

2 3 3

C. P 

2 3

D. P 

14 3

Câu 4: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017 – Mã đề 103) Kí hiệu z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  z  6  0 . Tính P  A. P 

1 6

1 1 .  z1 z2

B. P 

1 12

C. P  

1 6

D. P  6

Câu 5: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017 – Mã đề 103) Kí hiệu z1 , z 2 là hai nghiệm của phương trình z 2  4  0 . Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn của z1 , z2 trên mặt phẳng tọa độ. Tính T  OM  ON với

O là gốc tọa độ. A. T  2

B. T  2

C. T  8

D. T  4

Câu 6: (Đề minh họa lần 1 – Bộ GD & ĐT năm 2017) Kí hiệu z1 , z2 , z3 và z 4 là bốn nghiệm phức của phương trình z 4  z 2  12  0 . Tính T  z1  z2  z3  z4 . A. T  4

B. T  2 3

C. T  4  2 3

D. T  2  2 3

Câu 7: (Đề minh họa lần 2 – Bộ GD & ĐT năm 2017) Kí hiệu z 0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình 4z 2  16z  17  0 . Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức

w  iz0 ? 1  A. M 1  ; 2  2 

 1  B. M 2   ; 2   2 

 1  C. M 3   ;1  4 

1  D. M 4  ;1 4 

Câu 8: (Đề minh họa lần 3 – Bộ GD & ĐT năm 2017) Kí hiệu z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình z 2  z  1  0 . Tính P  z12  z22  z1 z2 .

A. P  1

B. P  2

C. P  1

D. P  0

Câu 9: (Sở GD & ĐT Tp. Hồ Chí Minh cụm 2 năm 2017) Gọi z1 , z2 nghiệm của phương trình z 2  4z  5  0 .Tìm w  1  z1 

100

A. w  250 i

 1  z2 

100

B. w  251 .

. C. w  251

D. w  250 i

Câu 10: (Sở GD & ĐT Tp. Hồ Chí Minh cụm 6 năm 2017) Tìm các căn bậc hai của 12 trong tập số phức  . A. 4 3i

B. 2 3i

C. 2 2i

D. 3 2i

Câu 11: (Sở GD & ĐT Tp Hồ Chí Minh cụm 6 năm 2017) Cho số phức z  x  yi  x, y    thỏa mãn z 3  18  26i . Tính T   z  2    4  z  . 2

A. 2

B. 4

C. 0

D. 1

Câu 12: Tìm số nguyên x, y sao cho số phức z  x  yi thỏa mãn z 3  18  26i .

x  3 A.   y  1

x  3 B.   y  1

x  3 C.  y 1

 x  3 D.   y  1

Câu 13: (Sở GD & ĐT Tp. Hồ Chí Minh cụm 7 năm 2017) Tìm tập nghiệm của phương trình z 4  2z 2  8  0 .

A. 2; 4i





B.  2; 2i





C.  2i; 2

D. 2; 4i

Câu 14: Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  2z  2  0 . Tính I  z1100  z100 . 2 A. M  251

B. M  251

C. M  251 i

D. M  250

Câu 15: Trên trường số phức  , cho phương trình az 2  bz  c  0  a, b, c  , a  0  . Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau? A. Phương trình luôn có nghiệm. C. Tích hai nghiệm bằng

c a

B. Tổng hai nghiệm bằng 

b a

D. b 2  4az  0 phương trình vô nghiệm

Câu 16: Gọi M 1 , M 2 là hai điểm lần lượt biểu diễn cho các số phức z1 , z2 là nghiệm của phương trình

 z 2  2z  4  0 . Tính số đo góc M 1OM 2 .   A. M 1OM 2  120

  B. M 1OM 2  90

  C. M 1OM 2  60

  D. M 1OM 2  150

Câu 17: Gọi A và B là hai điểm trong mặt phẳng biểu diễn hai nghiệm phân biệt của phương trình

 . z 2  4 z  5  0 . Tính tan AOB 1  OB  A. tan A 2

 OB  1 B. tan A

4  OB  C. tan A 3

 D. tan A OB  3

Câu 18: Gọi A, B là hai điểm biểu diễn hai nghiệm phức của phương trình z 2  2z  10  0 . Tính độ dài đoạn thẳng AB. A. AB = 6

B. AB = 2

C. AB = 12

D. AB = 4

Câu 19: Gọi z1 và z 2 là các nghiệm của phương trình z 2  4z  9  0 . Gọi M, N là các điểm biểu diễn của

z1 và z 2 trên mặt phẳng phức. Khi đó độ dài của MN là: A. MN  4

B. MN  5

C. MN  2 5

D. MN  2 5

Câu 20: Biết phương trình z 2  2 z  26  0 có hai nghiệm phức z1 , z2 . Xét các khẳng định:

1 : z1 z2  26

 2  : z1

là số phức liên hợp của z 2

 3 : z1  z2  2

 4  : z1

 z2

Hỏi có bao nhiêu khẳng định đúng? A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Câu 21: Tìm nghiệm của phương trình z 2  5  12i A. z  2  3i hoặc z  2  3i

B. z  2  3i

C. z  2  3i hoặc z  2  3i

D. z  2  3i

Câu 22: Cho z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  2z  4  0 . Tính A  z1  z2 . A. A  2 3

B. A  4

C. A  4 3

D. A  5

Câu 23: cho z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  z  1  0 . Tính A  z1  z2 . B. A  1

A. A  0

C. A  2

D. A  4

Câu 24: Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  2z  5  0 . Tính A  z1  z2 . A. A  2 5

B. A  10

C. A  3

D. A  6

Câu 25: Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  2z  10  0 . Tính giá trị của biểu thức 2

A  z1  z2

A. A  15

. B. A  20

C. A  19

D. A  17 2

Câu 27: Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  2z  3  0 . Tính P  z1  z2

Câu 26: Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  4z+5=0 . Tính P  z1  z2 A. P  50

B. P  2 5

C. P  10

D. P  6 2

A. P  2

B. P  3

C. P  6

D. P  2 3 2

Câu 28: Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình 3 z 2  z  2  0 . Tính P  z1  z2 A. P 

11 9

B. P 

8 3

C. P 

2 3

D. P 

Câu 29: Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  3z  3  0 . Tính P  A. P 

2 3

B. P 

1 3

C. P 

4 9

1 z1

D. P 

4 3

 2 9

1 z2

Câu 30: Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  4z  5  0 . Tính P  z1  z2 . A. M  2 34

B. M  4 5

C. M  12

D. M  10 2

Câu 31: Gọi z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình z 2  4z  13  0 . Tính P  z1  z2 . A. P  26 .

B. P  2 13 .

C. P  13 .

D. P  26 . 3

Câu 32: Gọi z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình z 2  2z  10  0 . Tính P  z1  z2 . A. A  20 10 .

B. A  2 10 .

C. A  20 .

Câu 33: Gọi z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình z  B. P  1 .

A. P  0.

D. A  10 10 .

1  1 . Tính P  z13  z23 . z

C. P  2 .

D. P  3 .

Câu 34: Gọi z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình z 2  2z  5  0 . Tính P  z14  z24 . A. P  14 .

B. P  14 .

Câu 35: Gọi z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình A. A  5,8075 .

B. A 

54  3 . 9

C. P  14i .

D. P  14i .

3 z 2  z  6  0 . Tính A  z13  z23 . C. A 

3  54 9

3  54 . 9

D. A 

Câu 36: Gọi z1 , z2 hai nghiệm của phương trình z 2  2 2 z  8  0 . Tính T  z24  z24 . A. T  16 .

B. T  128 .

C. T  32 .

D. T  64 .

Câu 37: Gọi z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình z 2  3z  5  0 . Tính T  z24  z24 . A. T  75.

B. T  51.

C. T  50.

D. T  25.

Câu 38: Gọi x 0 là nghiệm phức có phần ảo là số dương của phương trình x 2  x  2  0 . Tìm số phức

z  x02  2x 0  3. A. z  1  7i.

B. z  2 7i.

C. z 

1  7i . 2

D. z 

7i  3 . 2

Câu 39: Gọi z1 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình z 2  4z  20  0 Tính giá trị của biểu thức A  z1   z12  z22  . 2

A. A  0.

B. A  2.

C. A  28.

D. A  16.

Câu 40: Gọi z 0 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình z 2  6z  13  0 . Tìm số phức

  z0 

6 . z0  i

A.   

24 7  i. 5 5

B.   

24 7  i. 5 5

C.  

24 7  i. 5 5

D.  

24 7  i. 5 5

Câu 41: Gọi z 0 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 2 z 2  6z  5  0 . Tìm iz0 .

A. iz0 

1 3  i. 2 2

B. iz0 

1 3  i. 2 2

1 3 C. iz0    i. 2 2

1 3 D. iz0    i. 2 2

Câu 42: Ký hiệu z1 , z2 là các nghiệm phức của phương trình z 2  10z  29  0 với z1 có phần ảo âm. Tìm số phức liên hợp của số phức   z12  z22  1. A.   1  40i.

B.   40  i.

C.   1  10i.

D.   1  40i.

Câu 43: Ký hiệu z 0 là nghiệm phức có phần thực và phần ảo đều âm của phương trình z 2  2 z  5  0 . Hỏi điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức   z0 .i 3 . A. M 2  2; 1 .

B. M 1  1; 2  .

C. M 4  2; 1 .

D. M 3  2;1 .

Câu 44: Gọi z1 , z2 nghiệm phức của phương trình 2z 2  3z  7  0 . Tính P  z1  z2  z1.z2 . A. P  2.

B. P  2.

C. P  5.

D. P  5.

Câu 45: Gọi z1 , z2 nghiệm phức phương trình 2z 2  3z  2  0. Tính P  z12  z1.z2  z22 . A. P 

5 . 2

B. P 

5 . 2

C. P 

3 3 . 4

D. P 

3 . 4

Câu 46: Biết phương trình z 2  az  b  0  a, b    có một nghiệm là z  2  i . Tính a  b . A. a  b  9.

B. a  b  1.

C. a  b  4.

D. a  b  1.

Câu 47: Tìm các số thực b, c để phương trình z 2  bz  c  0 nhận số phức z  1  i làm một nghiệm.

b  2 A.  . c  2

b  2 B.  . c  2

b  2 C.  . c  2

b  2 D.  . c  2

Câu 48: Phương trình z 2  bz  c  0,  a, b    có một nghiệm phức là z1  1  2i . Tính b  c. A. b  c  0.

B. b  c  3.

C. b  c  2.

D. b  c  7.

Câu 49: Biết rằng phương trình z 2  az  b  0  a, b    có một nghiệm là z  1  i. Tính môđun của số phức   a  bi. A.

B. 2.

C. 2 2.

D. 3.

Câu 50: Tìm b, c   sao cho 8  16i là nghiệm của phương trình z 2  8bz  64c  0 .

b  2 A.  . c  5

b  2 B.  . c  5

b  2 C.  . c  5

b  2 D.  . c  5

Câu 51: Gọi z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình z 2  2z+8=0 , trong đó z1 có phần ảo dương. Tìm số phức    2 z1  z2  z1. A.   12  6i.

B.   10  2i 7.

C.   10.

D.   12  6i.

Câu 52: Gọi z1 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình z 2  2z  2  0 . Tìm số phức liên hợp của

  1  2i  z1.

A.   3  i.

B.   1  3i.

C.   1  3i.

D.   3  i.

Câu 53: Gọi z1 , z2 là nghiệm phức của phương trình z 2  2z  5  0, trong đó z1 có phần ảo âm. Tìm số phức z1  2z 2 . A. 3  2i.

B. 3  2i.

C. 3  2i.

D. 3  2i.

Câu 54: Gọi z1 , z2 là nghiệm phức của phương trình z 2  z  1  0 . Tính môđun của số phức:

z  z12  z22  4  3i. A. z  6 .

B. z  3 2.

C. z  2 3.

D. z  18.

Câu 55: Cho hai số phức z1 , z2 là các nghiệm của phương trình z 2  4z  13  0 . Tính mô đun của số phức

   z1  z2  i  z1 z2 . A.   3.

B.   185.

C.   153.

D.   133.

Câu 56: Gọi z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình z 2  2z  6  0 . Trong đó z1 có phần ảo âm. Tính giá trị của biểu thức M  z1  3z1  z2 . A.

6  2 21.

6  2 21.

6  4 21.

6  4 21.

Câu 57: Gọi  là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z 2  7 z  13  0 . Tìm . 7 3 i. A.     2 2

B.  

7 3 i.  2 2

C.  

7 3 i.  2 2

7 3 i. D.     2 2

Câu 58: Kí hiệu z 0 là nghiệm phức có phần thực và phần ảo đều âm của phương trình z 2  2z  5  0. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , điểm M nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức   i 3 z0 . A. M  2; 1 .

B. M  2; 1 .

C. M  2;1 .

D. M  1; 2  .

Câu 59: Kí hiệu z 0 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình z 2  z  1  0. Tìm trên mặt phẳng tọa độ điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức  

i . z0

 3 1 ;  . A. M    2 2

 3 1 ;   . C. M  2  2

 3 1 ;  . B. M    2 2

 1 3 D. M   ;  . 2   2

Câu 60: Gọi z 0 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 2z 2  6z  5  0. Điểm nào sau đây biểu diễn số phức iz0 .  1 3 A. M 4   ;  .  2 2

1 3 B. M 1  ;  . 2 2

3 1 C. M 3  ;   . 2 2

3 1 D. M 2  ;  . 2 2

Câu 61: Kí hiệu z1 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 6z 2  12z  7  0. Trên mặt phẳng tọa độ, tìm điểm biểu diễn của số phức w  iz1 

6 . 6

A. M  0; 1 .

B. N 1;1 .

C. P  0;1 .

D. Q 1;0  .

Câu 62: Tìm tất cả các giá trị thực của a sao cho phương trình z 2  az  2a  a 2  0 có hai nghiệm phức có môđun bằng 1. A. a  1.

B. a  1, a  1.

C. a 

1  5 . 2

D. a  1.

Câu 63: Xét phương trình 2z 4  3z 2  2  0 trong tập số phức  . Gọi z1 , z2 , z3 , z4 là bốn nghiệm của phương trình. Tính tổng T  z1  z2  z3  z4 . A. T  3 2.

B. T  5 2.

C. T  5.

D. T  2.

Câu 64: Gọi z1 , z2 , z3 , z4 là bốn nghiệm của phương trình z 4  2 z 2  8  0 . Trên mặt phẳng tọa độ, gọi A, B, C , D lần lượt là bốn điểm biểu diễn bốn nghiệm z1 , z2 , z3 , z4 đó. Tính giá trị của biểu thức P  OA  OB  OC  OD, trong đó O là gốc tọa độ.

A. P  4.

B. P  2  2.

C. P  2 2.

D. P  4  2 2.

Câu 65: Kí hiệu z1 , z2 , z3 , z4 là bốn nghiệm phức của phương trình z 4  7z 2  12  0 . Tính giá trị của tổng

T  z14  z24  z34  z44 . A. T  10 .

B. T  25.

C. T  50.

D. T  100.

Câu 66: Hai giá trị x1  a  bi, x2  a  b là hai nghiệm của phương trình nào sau đây? A. x 2  2ax  a 2  b 2  0.

B. x 2  2ax  a 2  b 2  0.

C. x 2  2ax  a 2  b 2  0.

D. x 2  2ax  a 2  b 2  0.

Câu 67: Tính tổng phần thực, phẩn ảo của số phức A. 1.

B. 0.

1 thỏa mãn z 2  2 1  i ) z  2i  0. z

C. 1.

D. 2 .

Câu 68: Tìm a để  2  i  z 2  az  b  0,  a, b    có hai nghiệm là 3  i và 1  2i. A. a  9  2i.

B. a  15  5i.

C. a  9  2i.

D. a  15  5i.

LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Ta có 4z 2  4z  3  0  z 

 

  

1 2  i  z1  z2  3 . Chọn D. 2 2



 1  2i  1  2i  2  Câu 2: Ta có   z 2  2 z  3  0. Chọn C.  1  2i 1  2i  3  Câu 3: 3 z 2  z  1  0  z 



1 11 2 3  i  P  z1  z2  . Chọn B. 6 6 3

 z1  z2  1 1 1 z z 1 Câu 4: Ta có   P    1 2  . Chọn A. z1 z2 z1 z2 6  z1 z2  6 Câu 5: z 2  4  0  z  2i  M  0; 2  , N  0; 2   T  OM  ON  4. Chọn D. z2  4  z  2   T  z1  z2  z3  z4  4  2 3. Chọn C. Câu 6: z 4  z 2  12  0   2 z   3 i z   3   1 1 1  1  Câu 7: 4z 2  16z  17  0  z  2  i  z0  2  i  w  iz0    2i  M   ; 2  . Chọn B. 2 2 2  2 

 z  z  1 2 Câu 8:  1 2  P  z12  z22  z1 z2   z1  z2   z1 z2  0. Chọn D.  z1 z2  1 Câu 9: z 2  4z  5  0  z  2  i Do đó w  1  z1 

100

Câu 10: Ta có

 1  z2 

100

 1  i 

100

 1  i 

100

  2i    2i   2.250  251. Chọn B. 50

12  12i 2  2 3i. Chọn B.

Câu 11: z 3  18  26i   3  i   z  3  i  T   z  2    4  z   1  i   1  i   0. Chọn C. 3

Câu 12: z 3  18  26  z 3   3  i   3  i  x  3, y  1. Chọn C. 3

 z 2  2  z   2i  . Chọn C. Câu 13: z 4  2 z 2  8  0   2 z   2 z  4  

 1  i  Câu 14: z 2  2z  2  0  z  1  i  I  z1100  z100 2

100

 1  i 

100

 251. Chọn A.

Câu 15: Đáp án D sai. Chọn D.







Câu 16: z 2  2z  4  0  z  1  3  M 1 1; 3 , M 2 1;  3



    1    Ta có OM 1  1; 3 , OM 2  1;  3  cos OM 1 , OM 2    M 1OM 2  120 . Chọn A. 2













4  OB  . Chọn C. Câu 17: z 2  4z  5  0  z  2  i  A  2;1 , B  2; 1  tan A 3

Câu 18: z 2  2 z  10  0  z  1  3i  A  1;3  , B  1; 3   AB  6. Chọn A.



 



Câu 19: z 2  4z  9  0  z  2  5i  M 2; 5 , N 2;  5  MN  2 5. Chọn D.

 z1  z2  2 Câu 20: Ta có  . Ta có z1  1  5i, z2  1  5i nên z1 là số phức liên hợp của z2  z1 z2  26 Do đó khẳng định (1), (2), (3) đúng. Chọn C.

 z  2  3i 2 Câu 21: Ta có z 2  5  12i  z 2   2  3i    . Chọn A.  z  2  3i Câu 22: z 2  2z  4  0  z  1  3i  A  z1  z2  4. Chọn B. Câu 23: z 2  z  1  0  z 

1 3  i  A  z1  z2  2. Chọn C. 2 2

Câu 24: z 2  2z  5  0  z  1  2i  A  z1  z2  2 5. Chọn A. 2

Câu 25: z 2  2z  10  0  z  1  3i  A  z1  z2  20. Chọn B. 2

Câu 26: z 2  4z  5  0  z  2  i  P  z1  z2  10. Chọn C. 2

Câu 27: z 2  2z  3  0  z  1  2i  P  z1  z2  6. Chọn C. Câu 28: 3z 2  z  2  0  z 

1 23 4 2 2  i  P  z1  z2  . Chọn D. 6 6 3

Câu 29: z 2  3z  3  0  z 

3 3 1 1 2  i  P  2  2  . Chọn A. 2 2 3 z1 z2 2

Câu 30: z 2  2z  5  0  z  1  2i  M  z1  z2  10. Chọn D. Câu 31:  z  2   9  9i 2  z  2  3i  P  z1  z2  13  P  26. Chọn A. 2

Câu 32:  z  1  9  9i 2  z  1  3i  P  z1  z2  10  P  20 10. Chọn A. 2

 z  z  1 3 Câu 33: z 2  z  1  0   1 2  P   z1  z2   3z1 z2  z1  z2   2. Chọn C.  z1 z2  1 2 2 z  z  2 2 Câu 34:  1 2  P   z12  z22   2 z12 z22   z1  z2   2z1 z2   2z12 z22  14. Chọn A.    z1 z2  5

1  54  3 3  z1  z2  3  A   z1  z2   3z1 z2  z1  z2   Câu 35: Ta có  . Chọn D. 9 z z  2 3  1 2



Câu 36: z  2



 6  6i 2  z   2  i 6 4

 z1  z2  2 2  T  z1  z2  128. Chọn B. 2

3 11 11 3 11  Câu 37:  z      i 2  z   i 2 4 4 2 2  4

 z1  z2  5  T  z1  z2  50. Chọn C.

1 7 7 1 7 1 i 7 1 i 7  Câu 38:  x      i 2  x    Chọn C. i  x0   z 2 4 4 2 2 2 2 2  Câu 39:  z  2   16  16i 2  z  2  4i  z1  2  4i; z 2  2  4i  A  28. Chọn C. 2

Câu 40:  z  3  4  4i 2  z  3  2i  z0  3  2i    2

24 7  i. Chọn C. 5 5

3  1 1 2 3 1 3i 1  3i  Câu 41:  z 2   i  z0   iz0  . Chọn B.   2  2i  z 2  2 2 2 2 2 

 z  5  2i 2 Câu 42:  z  5   4  4i 2   1    1  40i    1  40i. Chọn A.  z2  5  2i Câu 43:  z  1  4  4i 2  z0  1  2i  z0  1  2i  z0i 3  2  i. Chọn D. 2

3   z1  z2  2  P  2. Chọn A. Câu 44: Ta có  7 z z   1 2 2

3   z1  z2  Câu 45: Ta có  2P  z1 z2  1

 z1  z2 

 z1 z2 

5 . Chọn A. 2

3  2a  b  0 b  5 2 Câu 46:  2  i   a  2  i   b  0  3  4i  2a  ai  b  0    . 4  a  0 a  4 Chọn D.

2  b  0 b  2 2 Câu 47: 1  i   b 1  i   c  0  2i  b  bi  c  0    . Chọn C. b  c  0 c  2 3  b  c  0 2 Câu 48: 1  2i   b 1  2i   c  0  3  4i  b  2bi  c  0    b  c  3. 4  2b  0 Chọn B.

2  a  0 a  2 2 Câu 49: 1  i   a 1  i   b  0  2i  a  ai  b  0    a  b  0 b  2

   2  2i    2 2. Chọn C. Câu 50:  8  16i   8b  8  16i   64c  0  1  2i   b 1  2i   c  0 2

3  b  c  0 c  5  3  4i  b  2bi  c  0    . Chọn D. 4  2b  0 b  2  z  1  i 7  z1  1  i 7 2 Câu 51:  z  1  7  7i 2   1    10  2i 7. Chọn B.  z2  1  i 7 Câu 52:  z  1  1  i 2  z1  1  i    1  3i    1  3i. Chọn B. 2

 z  1  2i 2 Câu 53:  z  1  4  4i 2   1  z1  2z 2  3  2i  3  2i. Chọn B.  z2  1  2i z  z  1 2 Câu 54: Ta có  1 2  z   z1  z2   2z1 z2  4  3i  3  3i  z  3 2. Chọn B.  z1 z2  1  z1  z2  4 Câu 55: Ta có     4i  13    185. Chọn B.  z1 z2  13

 z  1  i 5 2 Câu 56:  z  1  5  5i 2   1  3z1  z2  2  4i 5  M  6  2 21. Chọn B.  z2  1  i 5 2

7 3 3 7 3 7 3  Câu 57:  z      i 2      i     i. Chọn A. 2 4 4 2 2 2 2  Câu 58:  z  1  4  4i 2  z0  1  2i  z0  1  2i  z0i 3  2  i. Chọn C. 2

1 3 3 1 3 3 1  Câu 59:  z      i 2  z0     i. Chọn B. i  2 4 4 2 2 2 2  2

3  1 1 2 3 1 3i 1  3i  Câu 60:  z 2   i  z0   iz0  . Chọn B.   2  2i  z 2  2 2 2 2 2   6 6 6 6  6 i  z1  1  i  w  iz1   i 1  i   i 6 6 6 6 6  

Câu 61: 6z 2  12z  7  0  z  1 

Do đó điểm biểu diễn của w là (0;1). Chọn C. Câu 62: Ta có   5a 2  8a . Để phương trình có nghiệm phức thì 5a 2  8a  0  0  a 

8 5

a  8a  5a 2i a 8a  5a 2   i Khi đó   5a  8a  8a  5a  i  z  2 2 2 2

2 2  a   8a  5a Ta có z  1      2  2  

   1  4a 2  8a  4  0  a  1. Chọn A.  

z   2 z2  2 4 2  Câu 63: Ta có 2z  3z  2  0  2   1  T  z1  z2  z 3  z4  3 2. z   1 z i   2 2 Chọn A. z2  4  z  2   P  OA  OB  OC  OD  4  2 2. Câu 64: Ta có z  2z  8  0   2  z   2i  z  2 4

Chọn D.  z 2  3  z   3i   T  z14  z24  z34  z44  50. Chọn C. Câu 65: z  7z  12  0   2  z  2i  z  4 4

 x1  x2  2a Câu 66: Ta có   x 2  2ax  a 2  b 2  0. Chọn C. 2 2  x1 x2  a  b Câu 67: z 2  2 1  i  z  2i  0  z 2  2 1  i  z  1  i   0   z  1  i   0  z  1  i 2

Ta có

1 1 i 1 i 1 1     i  tổng phần thực và phần ảo bằng 0. Chọn B. 1  i 1  i 1  i  2 2 2

Câu 68:  3  i   1  2i   

a  a   i  4 i  2  a  9  2i. Chọn A. 2i

CHỦ ĐỀ 18: BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC 1)Định nghĩa

 Mỗi số phức z  x  yi được biểu diễn một điểm M  x; y  khi đó OM   x; y  trên mặt phẳng phức. Ta viết M  x  yi  hoặc M  z  .  Khi đó z  OM  x 2  y 2

Nếu điểm M  z1  là điểm biểu diễn số phức z1 và điểm N  z2  là điểm biểu diễn số phức z2 thì      z1  z2  OM  ON  NM , z1  z2  OM  ON . 2)Phương pháp giải toán

   

 

 Bài toán 1: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn f z; z  g z; z hoặc f z; z là số

 

thực, hoặc f z; z là số ảo Phương pháp giải: Đặt z  x  yi  x; y     z  x  yi thế vào biểu thức ban đầu, biến đổi và kết luận. Mối liên hệ giữa x và y

Kết luận tập hợp điểm M  x; y 

○ Ax  By  C  0

Là đường thẳng Ax  By  C  0

 x  a  2   y  b  2  R 2 ○   x 2  y 2  2ax  2by  c  0

Là đường tròn  C  có tâm I  a; b  và bán kính

 x  a  2   y  b  2  R 2 ○   x 2  y 2  2ax  2by  c  0

Là hình tròn

R  a 2  b2  c

C 

có tâm I  a; b  và bán kính

R  a 2  b 2  c (bao gồm đường tròn và các điểm

bên trong). ○ R12   x  a    y  b   R22 2

Là những điểm thuộc miền có hình vành khăn tạo bởi hai đường tròn đồng tâm I  a; b  và bán kính lần lượt R1 và R2

○ y  ax 2  bx  c

○

 MF  MF2  2a x2 y 2  2  1 với  1 2 a b  F1 F2  2c  2a

   b Là một parabol  P  có đỉnh I   ;    2a 4a 

Là một elíp có trục lớn 2a trục bé 2b và tiêu cự là F1 F2  2c  2 a 2  b 2 ;  a  b  0 

Một số trường hợp đặc biệt:  Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z   a  bi   z   c  di  Gọi M  z  ; A  a; b  ; B  c; d  lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z; a  bi và c  di .

Khi đó z   a  bi   z   c  di   MA  MB  Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là trung trực của

AB .  Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z   a  bi   R  R  0  Gọi M  z  ; I  a; b  lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z và a  bi Khi đó z   a  bi   R  MI  R  Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I  a; b  bán kính R .  Bài toán 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w biết w  z1.z  z2 và số phức z thỏa mãn z  a  bi  R

Ta có: z 

w  z2 w  z2 suy ra z  a  bi  R   a  bi  R  w  z2  z1  a  bi   R z1 z1 z1

Tập hợp điểm biểu diễn w là đường tròn bán kính R z1 , Tổng quát: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w biết w  z1.z  z2 và số phức z thỏa mãn z.z0  a  bi  R (thêm yếu tố z0 )

Ta có: z 

z  a  bi  R z1 w  z2 a  bi w  z2 suy ra z.z0  a  bi  R  z0   R  w  z2  1  z1 z1 z0 z0 z0

Tập hợp điểm biểu diễn w là đường tròn bán kính

R z1 z0

3)Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn 3 z  i  2 z  z  3i . Tập hợp tất cả các điểm

M như vậy là: A. một đường tròn

B. một parabol

C. một đường thẳng

D. một elip

Lời giải Gọi z  x  yi  x; y    khi đó ta có: 3 x  yi  i  2  x  yi    x  yi   3i  3 x   y  1 i  x   3 y  3  i  9 x 2  9  y  1  x 2  9  y  1 2

4  8 x 2  18 y  0  y   x 2 nên tập hợp là Parabol. Chọn B. 9





Ví dụ 2: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z sao cho  z  1 z  1 là số thực. A. một đường tròn

B. một parabol

C. một đường thẳng

D. một elip

Lời giải





Đặt z  x  yi ta có:  z  1 z  1   x  yi  1 x  yi  1   x  1  yi   x  1  yi 

  x  1 x  1  y 2   x  1  y   y  x  1  i là số thực nên ta có:  xy  y  xy  y  0  y  0 . Vậy điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng y  0 . Chọn C.

Ví dụ 3: Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn 2 z  i  z  z  2i . Tập hợp tất cả các điểm

M như vậy là: A. một đường tròn

B. một parabol

C. một đường thẳng

D. một elip

Lời giải Đặt z  x  yi  x; y     z  x  yi Ta có: 2 z  i  z  z  2i  2 x   y  1 i  2 yi  2i  x 2   y  1   y  1  y  2

Tập hợp điểm biểu diễn z là parabol y 

x2 4

x2 . Chọn B. 4

Ví dụ 4: Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn z  i  1  i  z . Tập hợp tất cả các điểm M như vậy là đường tròn có bán kính A. R  2

C. R  4

B. R  2

D. R  1

Lời giải Đặt z  x  yi  x; y    . Ta có: z  i  1  i  z  z  i  1  i  z  2 z  x  yi  i  2 x 2  y 2  x 2   y  1  2 x 2  2 y 2 2

 x 2   y  1  2  Tập hợp điểm M là đường tròn có bán kính R  2 . Chọn B. 2





Ví dụ 5: Biết điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn  z  2i  z  1 là số thực là một đường thẳng, khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng đó bằng B. d 

A. d  2

2 5

D. d 

C. d  2

4 5

Lời giải Đặt z  x  yi  x; y    ta có:  x   y  2  i   x  1  yi  là số thực   x  1 y  2   xy  0  xy  y  2 x  2  xy  0  2 x  y  2  0

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn z là đường thẳng 2 x  y  2  0     d  O;   

2 . Chọn B. 5

Ví dụ 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện zi   2  i   2 là đường tròn

A.  x  1   y  2   4

B.  x  1   y  2   4

C.  x  1   y  2   4

D.  x  1   y  2   4

Lời giải Ta có: zi   2  i   2  i . z 

2i  2  z  1  2i  2 i

Do đó tập hợp điểm biểu diễn z là đường tròn  x  1   y  2   4 . Chọn A. 2





Ví dụ 7: [Đề thi THPT Quốc gia năm 2018] Xét các số phức z thỏa mãn z  i  z  2  là số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn có bán kính bằng A. 1

5 , 4

5 2

3 2

Lời giải





Đặt z  x  yi  x; y    ta có: w  z  i  z  2    x  yi  i  x  yi  2   x  1  y  i   x  2   yi 

Phần thực của số phức w là: x 2  1  y  y Do w là số thuần ảo nên phần thực của nó bằng 0 suy ra 2

1 5  x  x  2  1  y  y  x  y  2 x  y  0   x  1   y    2 4  2

5 1  Do đó tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I  1;  bán kính R  . Chọn C. 2 2 

Ví dụ 8: [Đề minh họa BGD và ĐT 2017] Cho các số phức z thỏa mãn z  4 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức w   3  4i  z  i là một đường tròn. Tìm bán kính của đường tròn đó A. r  4

B. r  5

C. r  20

D. r  22

Lời giải Ta có: z 

wi wi wi  z    4  w  i  20  tập hợp là đường tròn I  0;1 ; r  20 . 3  4i 3  4i 5

Chọn C. Ví dụ 9: Cho các số phức z thỏa mãn z  2 và số phức w thỏa mãn i.w   3  4i  z  2i . Biết rằng tập hợp điểm biểu diễn số phức w là một đường tròn. Tính bán kính đường tròn đó: A. R  5

C. R  14

B. R  10

Lời giải Ta có: iw  2i   3  4i  z   3  4i  z  5.2  10 Do đó i . w  2  10  w  2  10 , đặt w  x  yi  x; y    thì x  yi  2  10   x  2   y 2  100  R  10 . Chọn C. 2

D. R  20

Ví dụ 10: Cho số phức z thỏa mãn

1  i  w  iz  1  0

3i z  2  10 . Biết tập hợp các điểm biểu diễn số phức w thỏa mãn 1  2i

là một đường tròn. Tìm bán kính của đường tròn đó.

A. R  5 2

B. R  5

C. R  10

D. R  50

Lời giải 3i z  2  10  1  i  z  2  10  1  i z  1  i  10  z  1  i  5 2 1  2i

Ta có:

Lại có: z 

1  i  w  1  i

1  i  w  i

1

thế vào (1) ta được 1  i  w  1  2i  5 2

1 3 1 3  1  i  w   i  5 2  w   i  5 . Do đó suy ra R  5 . Chọn B. 2 2 2 2

Ví dụ 11: Cho số phức z thỏa mãn 5 z  i  5  iz . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức w thỏa mãn w 1  i    6  8i  z  3i  2 là một đường tròn. Xác định tọa độ tâm I của đường tròn đó A. I  1;5 

1 5 C. I  ;   2 2

B. I 1; 5 

 1 5 D. I   ;   2 2

Lời giải Ta có: 5 z  i  5  iz  5 x  5 y  1 i  5  xi  y  25 x 2   5 y  1  x 2   y  5 2





 24 x 2  y 2  24  x 2  y 2  1  z  1

Khi đó w 1  i    6  8i  z  3i  2  w 1  i   3i  2   6  8i  z Lấy modun 2 vế ta được w 1  i   3i  2  10  1  i w 

3i  2  10 i 1

 1 5   w     i  5 2 . Do đó tập hợp điểm biểu diễn z là đường tròn tâm  2 2

 1 5 I   ;  ; R  5 2 Chọn  2 2

D. Ví dụ 12: Cho số phức z thỏa mãn

3i z  4  3i  5 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức w 1 i

thỏa mãn w   3  4i  z  2i là một đường tròn. Phương trình đường tròn đó là: A.  x  10    y  3  5

B.  x  10    y  3  25

C.  x  10    y  3  5

D.  x  10    y  3  25

Lời giải Ta có:

3i z  4  3i  5  1  2i  z  4  3i  5  1  2i z  2  i  5  z  2  i  1 1 i

Mặt khác z 

w  10  3i w  2i w  2i suy ra  2i 1  1  w  10  3i  5 3  4i 3  4i 3  4i

Do đó phương trình đường tròn biểu diễn w là  x  10    y  3  25 . Chọn B. 2

Ví dụ 13: Tập hợp điểm biểu diễn số phức w  2 z  3  i , biết 2 z  i  3 z.z  1 là đường tròn có tâm A. I  3;5 

B. I  3;5 

C. I  3; 1

D. I  3; 5 

Lời giải

 x  2a  3 Đặt w  x  yi  x, y    , z  a  bi  a, b    . Ta có: x  yi  2  a  bi   3  i    y  2b  1





Ta có: 2 z  i  3 z.z  1  2a   2b  1  3 a 2  b 2  1  4a 2   2b  1  3a 2  3b 2  1 2

 a  b  4b  0  a   b  2  2

2 2  x  3   y 1  4  2   4   x  3    y  5   16    2   2 

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn w là đường tròn tâm I  3; 5  , bán kính R  4 . Chọn D. Ví dụ 14: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w  1  2i  z biết rằng số phức z thỏa mãn điều kiện 2

z  2  i  z z là đường thẳng d . Khoảng cách từ O đến d bằng

5 4

5 2

25 4

25 2

Lời giải Đặt w  x  yi và z  a  bi  a; b; x; y    ta có: x  yi  1  2i  a  bi   a  2b   2a  b  i y  2x  b  5  x  a  2b    y  2a  b a  x  2 y  5

Mặt khác z  2  i  z z   a  2    b  1   a 2  b 2   4a  2b  5  0 2



4x  8 y 2 y  4x   5  0  8 x  6 y  25  0 5 5

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường thẳng  d  : 8 x  6 y  25  0 Do đó d  O; d  

25 5  . Chọn B. 10 2

Ví dụ 15: Cho các số phức z thỏa mãn z  i  z  1  2i . Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w   2  i  z  1 trên mặt phẳng tọa độ là một đường thẳng. Diện tích tam giác tạo bởi đường thẳng đó với

các trục tọa độ bằng A.

81 7

9 7

9 14

81 14

Lời giải

Ta có: w   2  i  z  1  z  Do đó z  i  z  1  2i 

w 1 2i

w 1 w 1 i   1  2i  w  1  i (2  i)  w  1   2i  1 2  i  2i 2i

 w  2  2i  w  1  5i

Do đó tập hợp điểm biểu diễn của w là trung trực d của AB với A  2; 2  ; B 1; 5   3 3    Ta có: trung điểm của AB là  ;   ; n  AB  1;7   d : x  7 y  9  0 2 2 1 81  9  Khi đó d cắt các trục tọa độ tại M  0;  ; N  9;0   SOMN  OM .ON  . Chọn D. 2 14  7 

Ví dụ 16: Biết tập hợp các điểm M biểu diễn hình học số phức z thỏa z  4  z  4  10 là một Elip  E  . Phương trình Elip  E  là: A.

x2 y 2  1 5 3

x2 y 2  1 25 16

x2 y 2  1 25 9

x2 y 2  1 16 9

Lời giải Gọi F1  4;0  ; F2  4;0  và lần lượt là các điểm biểu diễn số phức 4; 4 và z Ta có: z  4  z  4  10  MF1  MF2  10  F1 F2  8 a  5  Khi đó tập hợp điểm M là Elip có 2a  10; 2c  8  c  4  2 2 b  a  b  3

Phương trình Elip là:

x2 y 2   1 . Chọn C. 25 9

Ví dụ 17: Trên mặt phẳng phức, gọi M là điểm biểu diễn số phức z   2  i   4  i  và gọi  là góc tạo  bởi chiều dương trục hoành và véc-tơ OM . Tính cos 2 . 2

A. cos 2  

87 475

B. cos 2 

87 475

C. cos 2  

87 425

Lời giải Ta có z  16  13i  M 16;13 và nằm ở góc phần tư thứ nhất nên ta có   cos  cos OM ; i 





16 16  13 2



16 87  cos 2  2 cos 2   1  . Chọn D. 425 425

D. cos 2 

87 425

Ví dụ 18: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , lấy M là điểm biểu diễn số phức z  1  2i và gọi  là góc lượng giác tia đầu Ox , tia cuối OM . Tính tan 2 . A. tan 2  

4 3

B. tan 2  

3 4

C. tan 2 

4 3

D. tan 2  1

Lời giải Ta có z  1  2i  M  1; 2  và nằm ở góc phần tư thứ III nên ta có   cos   cos OM ; i 



1



 1

 22



1 sin 2 4  tan 2   . Chọn C. cos 2 3 5

Ví dụ 19: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  2, z2  3 và nếu gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn

  30 , Tính P  z 2  4 z 2 . của z1 , iz2 thì MON 1 2 A. P  5

B. P  4 7

C. P  3 3

D. P  5 2

Lời giải Ta có P  z12  4  iz2   a 2  4b 2  a  2b . a  2b . Với a  z1  a  2; b  iz2  b  3 2

 a  2b  2 Lại có a  2b  a  4. a . b .cos 30  4 b  4  2

 a  2b  2 7 Và a  2b  a  4. a . b .cos 30  4 b  28 

Vậy P  a  2b . a  2b  2.2 7  4 7 . Chọn B.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

 Câu 1: Giả sử A, B theo thứ tự là điểm biểu diễn của số phức z1 , z2 . Tính độ dài của AB .

A. z2  z1

B. z2  z1

C. z1  z2

D. z1  z2

Câu 2: (Sở GD & ĐT TP. Hồ Chí Minh 2017) Tìm điểm biểu diễn của z   3 4 A. M   ;   5 5

3 4 B. N  ;  5 5

3 4 C. P  ;   5 5

Câu 3: Tìm điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn z  i 1  2i  A. M 1  4; 3

B. M 2  4; 3

5 3  4i

D. Q  3; 4 

C. M 3  4;3

D. M 4  4;3

Câu 4: Tìm điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn  9  5i  z   7  2i   0 A. M 1; 2 

B. N 1;1

C. P  2; 2 

 1 1 D. Q   ;   2 2

Câu 5: Tìm điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn 1  i  z  5  3i A. M 1; 2 

B. N  4;1

C. P 1; 4 

Câu 6: Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức A. z  2  i

B. z  1  2i

C. z  2  i

D. z  1  2i

Câu 7: Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức A. z  4  2i B. z  2  4i C. z  2  4i D. z  4  2i Câu 8: Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức A. z  1  2i B. z  1  2i C. z  1  2i D. z  2  i Câu 9: Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức A. z  3  i B. z  1  3i C. z  1  3i D. z  1  3i

D. Q  1; 4 

Câu 10: Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức A. z  1  i  2  i  B. z  1  i  2  3i  C. z 

3  2i i

D. z 

i 2  3i

Câu 11: (Đề thi THPTQG năm 2017 – Đề 101) Cho số phức z  1  2i . Điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức w  iz trên mặt phẳng tọa độ? A. Q 1; 2 

B. N  2;1

C. M 1; 2 

D. P  2;1

Câu 12: (Đề thi THPTQG năm 2017 – Đề 104) Cho hai số phức z1  1  2i, z2  3  i . Tìm điểm biểu diễn của số phức z  z1  z2 trên mặt phẳng tọa độ A. N  4; 3

B. M  2; 5 

C. P  2; 1

D. Q  1;7 

Câu 13: Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức z . Tìm số phức z A. z  1  3i

B. z  3  i

C. z  1  3i

D. z  1  3i

Câu 14: Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức z . Tìm số phức z A. z  1  i

B. z  1  i

C. z  1  i

D. z  1  i

Câu 15: Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức z . Tìm số phức z A. z  3i

B. z  3i

C. z  3

D. z  3

Câu 16: Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức z . Tìm số phức z A. z  2i

B. z  2

C. z  2

D. z  2i

Câu 17: Các điểm M , N . P, Q trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn lần lượt của các số phức z1 , z2 , z3 , z4 . Khi đó số phức

w  3 z1  z2  z3  z4 bằng A. w  6  4i B. w  3  4i C. w  6  4i D. w  4  3i Câu 18: (Đề minh họa lần 2 – Bộ GDĐT năm 2017) Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức z . Tìm phần thực và phần ảo của z . A. Phần thực là 4 và phần ảo là 3. B. Phần thực là 3 và phần ảo là 4i . C. Phần thực là 3 và phần ảo là 4 . D. Phần thực là 4 và phần ảo là 3i . Câu 19: (Đề minh họa lần 1 – Bộ GDĐT năm 2017) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 1  i  z  3  i . Hỏi điểm biểu diễn của z là điểm nào trong các điểm M , N . P, Q ở hình bên?

A. Điểm P

B. Điểm Q

C. Điểm M

D. Điểm N

Câu 20: Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z1 , z2 khác 0. Khi đó khẳng định nào sau đây là sai? A. z2  ON

B. z1  z2  MN

C. z1  z2  MN

D. z1  OM

Câu 21: Cho số phức z  2  i . Tìm điểm biểu diễn của số phức   iz A. M  1; 2 

B. N  2; 1

C. P  2;1

D. Q 1; 2 

Câu 22: Cho số phức z  3  2i . Tìm điểm biểu diễn của số phức   iz  z A. M  5;5 

B. N  5;5 

C. P  5; 5 

D. Q  5; 5 

Câu 23: Cho số phức z  3  2i . Tìm điểm biểu diễn của số phức   z  i.z A. M 1; 5 

B. N  5; 5 

C. P 1;1

Câu 24: Tìm điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn 2i  z 1  i   i  3  i 

D. Q  5;1

A. M 3 1;0 

B. M 1  0;1

C. M 4  0; 2 

D. M 2  0; 1

Câu 25: Tìm điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn  2  i 1  i   z  4  2i A. M 1  1; 3

B. M 2  1;3

C. M 3 1; 3

D. M 4 1;3

Câu 26: Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z1 , z2 khác 0. Khi đó khẳng định nào sau đây là sai? A. z2  ON

B. z1  z2  MN

C. z1  z2  MN

D. z1  OM

Câu 27: Cho số phức z thỏa z  2 10 . Hỏi điểm biểu diễn của z là điểm nào trong hình? A. Điểm P B. Điểm M C. Điểm N D. Điểm Q Câu 28: Trong mặt phẳng tọa độ, điểm M là điểm biểu diễn của số phức z . Điểm nào trong hình vẽ là điểm biểu diễn của số phức 2z A. Điểm N B. Điểm Q C. Điểm E D. Điểm P Câu 29: Số phức z được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ như hình vẽ. Hỏi điểm biểu diễn của số phức w 

i nằm ở góc phần tư thứ mấy trong hệ trục tọa z

độ Oxy ? A. Thứ nhất B. Thứ hai C. Thứ ba D. Thứ tư Câu 30: Cho số phức z  2i được biểu diễn bởi điểm nào trong hình vẽ bên? A. Điểm M B. Điểm N C. Điểm P D. Điểm Q Câu 31: Cho số phức z thỏa 1  3i  z  2i  4 . Điểm nào sau đây biểu diễn cho z trong các điểm M , N , P, Q ở hình bên?

A. Điểm M B. Điểm N C. Điểm P D. Điểm Q

Câu 32: Cho số phức z thỏa z   2  3i  z  1  9i . Số phức w  5.  iz 

1

có điểm biểu diễn là điểm nào trong các điểm M , N , P, Q ở hình vẽ? A. Điểm N B. Điểm Q C. Điểm M D. Điểm P Câu 33: Cho hai điểm M , N trong mặt phẳng phức như hình vẽ, gọi P là điểm sao cho OMNP là hình bình hành. Hỏi điểm P biểu thị cho số phức nào sau đây? A. z4  4  3i B. z3  2  i C. z2  4  3i D. z1  2  i Câu 34: Trong mặt phẳng phức gọi M là điểm biểu diễn cho số phức z  a  bi với a, b  , ab  0 và

M  là điểm biểu diễn cho số phức z . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. M  đối xứng với M qua Oy

B. M  đối xứng với M qua Ox

C. M  đối xứng với M qua O

D. M  đối xứng với M qua đường y  x

Câu 35: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện iz  1  2i 

1  7i . Xác định tọa độ điểm A biểu diễn số phức 1  3i

liên hợp z . A. A  1;3

B. A  1; 3

C. A 1; 3

D. A 1;3

Câu 36: Biết điểm M 1; 2  biểu diễn số phức z . Tính môđun của số phức   i.z  z 2 A. 26

B. 6

Câu 37: Cho hai số phức z1  1  3i, z2  4  6i có các điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ lần lượt là hai điểm M và N . Gọi z là số phức mà có điểm biểu diễn là trung điểm của đoạn MN . Hỏi z là số phức nào trong các số phức dưới đây?

A. z  3  9i

B. z  1  3i

C. z 

5 3  i 2 2

3 9 D. z    i 2 2

Câu 38: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho số phức z thỏa mãn z  i  z  3i . Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z . A. Một đường thẳng

B. Một đường tròn

C. Một hyperbol

D. Một elip

Câu 39: Trong mặt phẳng phức, tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn điều kiện z  2  i  z là đường thẳng có phương trình nào sau đây?

A. 2 x  4 y  13  0

B. 4 x  2 y  3  0

C. 2 x  4 y  13  0

D. 4 x  2 y  3  0

Câu 40: Tìm tập hợp những điểm M biểu diễn số phức z trong mặt phẳng phức, biết số phức z thỏa mãn điều kiện z  2i  z  1 A. Tập hợp những điểm M là đường thẳng có phương trình 4 x  2 y  3  0 . B. Tập hợp những điểm M là đường thẳng có phương trình 4 x  2 y  3  0 C. Tập hợp những điểm M là đường thẳng có phương trình 2 x  4 y  3  0 D. Tập hợp những điểm M là đường thẳng có phương trình 2 x  4 y  3  0 Câu 41: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z  2  i  z A. Đường thẳng y  2 x  C. Đường thẳng y  2 x 

3 2

B. Đường thẳng y  2 x  3

3 2

D. Đường thẳng y  2 x 

3 2



Câu 42: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng phức thỏa mãn điều kiện  2  z  i  z



là số thực A. Đường thẳng x  y  2  0

B. Đường thẳng x  y  2  0

C. Đường thẳng x  2 y  2  0

D. Đường thẳng x  2 y  2  0

Câu 43: Tìm tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện v   z  i  2  i  là một số thuần ảo

A. Đường tròn x 2  y 2  2

B. Đường thẳng x  2 y  2  0

C. Đường thẳng 2 x  y  1  0

D. Đường parabol 2x  y 2

Câu 44: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện số phức w  z  2  3i   5  i là số thuần ảo A. Đường tròn x 2  y 2  5

B. Đường thẳng 2 x  3 y  5  0

C. Đường tròn  x  3   y  2   5 2

D. Đường thẳng 3 x  2 y  1  0

Câu 45: Tìm tất cả các số phức z thỏa mãn z  2i  5 và điểm biểu diễn của z thuộc đường thẳng d : 3x  y  1  0 .

A. z  1  4i

2 1 B. z  1  4i và z    i 5 5

2 1 C. z    i 5 5

D. z  1  2i và z 

2 11  i 5 5

Câu 46: Cho số phức z thỏa mãn z  i  z  1  2i . Trong mặt phẳng phức, tập hợp các điểm biểu diễn số phức w   2  i  z  1 là một đường thẳng. Viết phương trình đường thẳng đó. A. x  7 y  9  0

B. x  7 y  9  0

C. x  7 y  9  0

D. x  7 y  9  0

Câu 47: Cho số phức v  a  bi . Tìm tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z  v  1 A. Đường thẳng  x  a    y  b   1

B. Đường thẳng y  b

C. Đường tròn  x  a    y  b   1

D. Đường thẳng x  a



Câu 48: Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z sao cho z 2  z

là

A. Gốc tọa độ

B. Trục hoành

C. Trục tung

D. Trục tung và trục hoành

Câu 49: Trong mặt phẳng phức với hệ tọa độ Oxy , tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z là số ảo A. Trục ảo B. Trục thực và trục ảo C. Đường phân giác góc phần tư thứ nhất và thứ ba D. Hai đường phân giác của các gốc tọa độ Câu 50: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn bằng số phức z thỏa mãn z 1  i  là số thực. A. Đường tròn bán kính bằng 1

B. Trục hoành Ox

C. Đường thẳng y   x

D. Đường thẳng y  x

Câu 51: Xác định tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn A. Đường tròn phương trình x 2  y 2  1 bỏ đi điểm A  0; 1 B. Hyperbol phương trình x 2  y 2  1 bỏ đi điểm A  0; 1 C. Trục tung Oy bỏ đi điểm A  0; 1 D. Trục hoành Ox bỏ đi điểm A  0; 1

z i là số thực z i

Câu 52: Cho số phức z thỏa mãn

z i  1 . Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng z i

phức A. Đường tròn

B. Trục thực

C. Trục ảo

D. Một điểm

Câu 53: Cho hai số phức z , z  thỏa mãn phần thực của z bằng phần ảo của z  và phần ảo của z bằng phần thực của z  . Nếu tập hợp của các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng x  2 y  3  0 thì tập hợp các điểm biểu diễn số phức z  là đường thẳng có phương trình nào sau đây? A. x  2 y  3  0

B. 2 x  y  3  0

Câu 54: Cho số phức z thỏa z 

C. x  2 y  3  0

D. 2 x  y  3  0

2 và điểm A trong hình vẽ bên là điểm 2

biểu diễn của z . Biết rằng ở hình vẽ bên, điểm biểu diễn của số phức w 

1 là iz

1 trong bốn điểm M , N , P, Q . Khi đó điểm biểu diễn của số phức w là điểm nào sau đây? A. Điểm Q B. Điểm M C. Điểm N D. Điểm P Câu 55: Cho số phức z có điểm biểu diễn là M . Biết số phức w 

1 z

được biểu diễn bởi một trong bốn điểm P, Q, R, S như hình vẽ. Hỏi điểm biểu diễn của w là điểm nào? A. Điểm S B. Điểm Q C. Điểm P D. Điểm R Câu 56: Cho số phức z  a  bi  a, b    . Để điểm biểu diễn của z nằm trong dải  2; 2  như phần gạch sọc của hình vẽ thì điều kiện của a, b phải thỏa mãn là gì? A. 2  a  2 và b  

a  2 B.  b  2 a  2 C.  b  2 D. a, b   2; 2 

Câu 57: Cho hình vuông ABCD có tâm H và A, B, C , D, H lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức a, b, c, d , h . Biết a  2  i, h  1  3i và số phức b có phần ảo dương. Khi đó, môđun của số phức b

A. 13

B. 10

Câu 58: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy lấy M là điểm biểu diễn số phức z   2  i  1  i  và gọi  là góc  tạo bởi chiều dương của trục hoành với véc tơ OM . Tính sin 2 . A.

3 5

B. 

3 5

3 10 10

D. 

3 10 10

Câu 59: Trên mặt phẳng phức, gọi M là điểm biểu diễn số phức z   2  3i 1  i  và  và góc tạo bởi  chiều dương trục hoành và véc tơ OM . Tính sin 2 . A. sin 2  

5 13

Câu 60: Gọi

B. sin 2 

H 

5 13

C. sin 2 

13 5

D. sin 2  

13 5

là tập hợp tất cả các điểm trong mặt phẳng tọa độ Oxy biểu diễn số phức

z  a  bi  a, b    thỏa mãn a 2  b 2  1  a  b . Tính diện tích hình  H  .

3 1  4 2



 4



1 2

D. 1

Câu 61: Biết tập hợp các điểm M biểu diễn hình học số phức z thỏa mãn z  2  z  2  10 là một elip

 E  . Hãy viết phương trình elip đó. x2 y 2 1 A.  E  :  25 16

x2 y 2 1 B.  E  :  25 21

x2 y 2 1 C.  E  :  21 16

x2 y 2 1 D.  E  :  16 9

Câu 62: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z  2  z  2  5 trên mặt phẳng tọa độ là một elip có phương trình chính tắc nào sau đây? x2 y 2 1 A.  E  :  25 9

x2 y 2 4 B.  E  :  25 9

4x2 4 y 2  1 C.  E  : 25 9

3x 2 y 2  1 D.  E  : 25 3

Câu 63: Tập hợp các điểm M biểu diễn hình học số phức z thỏa z  i  1  z  i  1  8 là một elip  E  . Hãy viết phương trình elip đó. A.  E  :

x2 y 2  1 16 13

B.  E  :

x2 y 2  1 16 14

C.  E  :

x2 y 2  1 16 12

D.  E  :

x2 y 2  1 16 15

Câu 64: Biết tập hợp các điểm M biểu diễn hình học số phức z thỏa z  i  z  i  4 là một elip  E  . Hãy viết phương trình elip đó. A.  E  :

x2 y 2  1 9 4

B.  E  :

x2 y 2  1 4 3

C.  E  :

x2 y 2  1 9 3

D.  E  :

x2 y 2  1 4 2

LỜI GIẢI CHI TIẾT

 Câu 1: AB  z2  z1 . Chọn B. Câu 2: z 

5  3  4i  5 3 4 3 4    i   ;  là điểm biểu diễn. Chọn B. 3  4i  3  4i  3  4i  5 5 5 5

Câu 3: z  i 1  2i   i  3  4i   4  3i   4; 3 là điểm biểu diễn. Chọn A. 2

Câu 4:  9  5i  z   7  2i   0  z  Câu 5: 1  i  z  5  3i  z 

2i  7 1 1  1 1  z    i    ;  là điểm biểu diễn. Chọn D. 9  5i 2 2  2 2

5  3i  z  1  4i  1; 4  là điểm biểu diễn. Chọn C. 1 i

Câu 6: Ta có M  2;1  z  1  2i . Chọn A. Câu 7: Ta có M  2; 4   z  2  4i . Chọn B. Câu 8: Ta có M  2;1  z  2  i . Chọn D. Câu 9: Ta có M 1; 3  z  1  3i . Chọn B. Câu 10: Ta có M  2; 3   z  2  3i 

3  2i . Chọn C. i

Câu 11: w  iz  i 1  2i   i  2i 2  2  i  N  2;1 . Chọn B. Câu 12: z  z1  z2  1  2i    3  i   2  i   2; 1 . Chọn C. Câu 13: M  1;3  z  1  3i  z  1  3i . Chọn A. Câu 14: M  1;1  z  1  i  z  1  i . Chọn B. Câu 15: M  3;0   z  3 . Chọn C. Câu 16: M  0; 2   z  2i  z  2i . Chọn D. Câu 17: z1  3  2i, z2  2  i, z3  3  i, z4  2  2i  w  3 z1  z2  z3  z4  6  4i . Chọn A. Câu 18: M  3; 4   z  3  4i  phần thực là 3 và phần ảo là 4 . Chọn C. Câu 19: 1  i  z  3  i  z 

 3  i 1  i   2  4i  1  2i  1; 2  Q . Chọn B. 3i z   1 i 2 1  i 1  i 

Câu 20: Ta có z1  z2  MN nên đáp án C sai. Chọn C. Câu 21:   iz  i  2  i   1  2i  1; 2  là điểm biểu diễn. Chọn D. Câu 22:   iz  z  i  3  2i    3  2i   5  5i   5;5 là điểm biểu diễn. Chọn B. Câu 23:   z  i.z   3  2i   i  3  2i   1  i  1;1 là điểm biểu diễn. Chọn C. Câu 24: 2i  z 1  i   i  3  i   z 1  i   1  i  z 

1 i  z  i   0;1 là điểm biểu diễn. Chọn B. 1 i

Câu 25:  2  i 1  i   z  4  2i  z  1  3i  z  1  3i  1;3  là điểm biểu diễn. Chọn D. Câu 26: Ta có z1  z2  MN nên đáp án C sai. Chọn C. Câu 27: Với Q  6; 2   z  6  2i  z  2 10 . Chọn D. Câu 28: Điểm biểu diễn số phức 2z là E . Chọn C. Câu 29: Giả sử z  x  yi với x, y  0 . Ta có w 

i  x  yi  i i y x   2  2  2 i 2 2 x y x y x  y2 z x  yi

 y x  ; 2 Điểm biểu diễn của w là   2 nằm ở góc phần tư thứ 2. Chọn B. 2 2   x y x y  Câu 30: Điểm biểu diễn của số phức là  0; 2  là điểm N . Chọn B. Câu 31: Ta có 1  3i  z  2i  4  z 

4  2i  z  1  i   1;1 là điểm biểu diễn. Chọn A. 1  3i

Câu 32: Giả sử z  x  yi  z  x  yi Ta có z   2  3i  z  1  9i   x  yi    2  3i  x  yi   1  9i  x  yi  2 x  3 y  3 xi  2 yi  1  9i    x  3 y    3 x  3 y  i  1  9i

 x  3 y  1 x  2   3 x  3 y  9  y  1 Do đó z  2  i  w  5.  iz   1

5 5 5    1  2i  1; 2 là điểm biểu diễn. Chọn C. iz i  2  i  1  2i

  Câu 33: Ta có OM  PN  P  2; 1  z  2  i . Chọn D.

Câu 34: M  a; b  , M   a; b   đối xứng nhau qua trục Ox . Chọn B. Câu 35: iz  1  2i 

1  7i  iz  1  2i   2  i   iz  3  i  z  1  3i  z  1  3i 1  3i

Do đó tọa độ điểm A là 1;3 . Chọn D. Câu 36: z  1  2i    i.z  z 2  i 1  2i   1  2i   2  i   3  4i   1  5i    26 . Chọn C. 2

3 9  3 9 Câu 37: Gọi I là trung điểm MN  I   ;    z    i . Chọn D. 2 2  2 2

Câu 38: Gọi M  z  ; A  0;1 và B  0; 3 là các điểm biểu diễn số phức z; i và 3i Khi đó MA  MB  tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường trung trực của AB có phương trình y  1 . Chọn A. Câu 39: Đặt z  x  yi  x; y    ta có: x  yi  2  y   x  yi    x  2   y 2  x 2   y  1  4 x  2 y  3  0 2

Do đó tập hợp điểm M  x; y  biểu diễn số phức z là đường thẳng 4 x  2 y  3  0 . Chọn B.

Câu 40: Đặt z  x  yi  x; y     z  x  yi ta có: x  yi  2i  x  yi  1  x 2   y  2    x  1  y 2  2 x  4 y  3  0 2

Do đó tập hợp điểm M  x; y  biểu diễn số phức z là đường thẳng 2 x  4 y  3  0 . Chọn B. Câu 41: Đặt z  x  yi  x; y    ta có: x  yi  2  i   x  yi    x  2   y 2  x 2   y  1  4 x  2 y  3  0  y  2 x  2

3 2

3 Do đó tập hợp điểm M  x; y  biểu diễn số phức z là đường thẳng y  2 x  . Chọn A. 2





Câu 42: Đặt z  x  yi  x; y    ta có: w   2  z  i  z   2  x  yi  i  x  yi    2  x   yi   x  1  y  i 

Phần ảo của số phức w là:  2  x 1  y   xy   x  2 y  2 Số phức w là số ảo khi  x  2 y  2  0  x  2 y  2  0





Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn  2  z  i  z là số thực là đường thằng x  2 y  2  0 . Chọn D. Câu 43: Đặt z  x  yi  x; y    ta có: v   z  i  2  i    x  yi  i  2  i   2 x   y  1  2  y  1 i  xi

Số phức v   z  i  2  i  là một số thuần ảo khi phần thực 2 x   y  1  0 hay 2 x  y  1  0 . Do đó tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng 2 x  y  1  0 . Chọn C. Câu 44: Đặt z  x  yi  x; y    ta có: w  z  2  3i   5  i   x  yi  2  3i   5  i  2 x  2 yi  3 xi  3 y  5  i   2 x  3 y  5   3 x  2 y  1 i

Số phức w  z  2  3i   5  i là số thuần ảo khi phần thực 2 x  3 y  5  0 Do đó tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng 2 x  3 y  5  0 . Chọn B. Câu 45: Đặt z  x  yi  x; y    ta có: z  2i  5  x 2   y  2   5 2

 x 2   y  2 2  5  x 2   y  2 2  5  x 2   3 x  1  2 2  5 Giải hệ phương trình     y  3 x  1 3 x  y  1  0  y  3 x  1

x  1  y  4 10 x 2  6 x  4  0    2 1  y  3x  1  x  5  y   5 Do đó z  1  4i và z 

2 1  i là các số phức cần tìm. Chọn B. 5 5

Câu 46: w   2  i  z  1  z  Suy ra z  i  z  1  2i 

w 1 2i

w  1  1  2i  2  i  w 1 w 1 w  1  2i  i 2 i   1  2i   2i 2i 2i 2i

 w  2  2i  w  1  5i

Đặt w  x  yi  x; y    ta có: w  2  2i  w  1  5i   x  2    y  2    x  1   y  5 2

 2 x  14 y  18  0  x  7 y  9  0

Do đó tập hợp điểm biểu diễn w là đường thẳng x  7 y  9  0 . Chọn C. Câu 47: Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z  v  1 là đường tròn tâm I  v   I  a; b  bán kính R  1 . Chọn C.



Câu 48: Đặt z  x  yi  x; y     z  x  yi ta có: z 2  z

  x  yi    x  yi  2

x  0  2 xyi  2 xyi  4 xyi  0  xy  0   y  0 Do đó tập hợp điểm biểu diễn số phức z là trục hoành và trục tung. Chọn D. Câu 49: Đặt z  x  yi  x; y    khi đó z là số ảo khi phần thực x  0 Do đó tập hợp điểm biểu diễn z là đường thẳng x  0 hay là trục ảo. Chọn A. Câu 50: Đặt z  x  yi  x; y    ta có: z 1  i    x  yi 1  i   x  y   y  x  i là số thực khi phần ảo x  y  0  y  x

Do đó tập hợp điểm biểu diễn z là đường thẳng y   x . Chọn C. Câu 51: Đặt z  x  yi  x; y    ta có:



z  i x  yi  i x   y  1 i (ĐK z  i )   z  i x  yi  i x   y  1 i



 x   y  1 i   x   y  1 i  x 2  y 2  1   x  y  1  x  y  1 i là số thực khi phần ảo   2 2 x 2   y  1 x 2   y  1

xy  x  xy  x x 2   y  1

0 x0

Do đó tập hợp điểm biểu diễn z là đường thẳng x  0 (trục tung) bỏ đi điểm  0; 1 . Chọn C. Câu 52: Ta có:

z i  1  z  i  z  i (với z  i ) z i

Đặt z  x  yi  x; y    ta có: x  yi  i  x  yi  i  x 2   y  1  x 2   y  1  y  0 2

Do đó tập hợp điểm biểu diễn z là đường thẳng y  0 (trục thực) bỏ đi điểm  0; 1 . Chọn B. Câu 53: Đặt z  x  yi; z   x  yi  x; x; y; y   

 x  y Khi đó  , mặt khác x  2 y  3  0  y  2 x  3  0  2 x  y  3  0  y   x Do đó tập hợp điểm biểu diễn z  là đường thẳng có phương trình 2 x  y  3  0 . Chọn B. Câu 54: Đặt z  x  yi  x; y    ta có: w  Lại có: w 

1 1  y  xi   2 i  x  yi   y  xi x  y 2

1 1 1 . y 2  x2  2   2 2 2 x y x y z 2

Dựa vào hình vẽ ta thấy x  0; y  0  phần thực và phần ảo của w đều âm Mặt khác w  2 z nên điểm biểu diễn w trong 4 điểm chỉ có thể là điểm P . Chọn D. Câu 55: Đặt z  1  yi  y    . Dựa vào hình vẽ ta thấy y  0 Ta có: w 

1 1 1  yi 1 1 suy ra 0     phần thực của w bằng  1 , phần ảo của w bằng 2 2 z 1  yi 1  y 1 y 1 y2

y  0 nên trong 4 điểm chỉ điểm Q có tọa độ thỏa mãn 2 yêu cầu trên. Chọn B. 1 y2

Câu 56: Dựa vào hình vẽ ta thấy các điểm nằm trong dải  2; 2  đều thỏa mãn 2  x  2; y   Do đó 2  a  2 và b   . Chọn A. Câu 57: Do a  2  i, h  1  3i  A  2;1 ; H 1;3

 Đường thẳng BD là trung trực của AC đi qua H 1;3 và có VTPT là: AH   3; 2   9  3t  Suy ra BD : 3 x  2 y  9  0 , gọi B  t ;   BD ta có: HB  HA 2   2

2 2 2 2  9  3t   3  3t   9   t  1    3   13   t  1     13  1   t  1  13  t  1  4  2   2   4

 B  3;0  t  3   t  1  B  1;6  Do đó phức b có phần ảo dương nên B  1;6   b  OM  37 . Chọn D. Câu 58: z  1  3i  M  1;3  và nằm ở góc phần tư thứ (II) nên ta có   cos   cos OM ; i 





1

 1

 32



3 1 3  sin   . Vậy sin 2   . Chọn B. 5 10 10

Câu 59: z  5  i  M  5; 1 và nằm ở góc phần tư thứ (IV) nên ta có   cos   cos OM ; i 





5 52   1



5 5 1 . Vậy sin 2   . Chọn A.  sin    13 26 26

Câu 60: Vẽ đường tròn  C  : x 2  y 2  1 và đường thẳng x  y  1  0

Đồng thời xét miền bất đẳng thức, ta được hình  H  có diện tích là S 



1  . Chọn C. 4 2

Câu 61: Gọi A  0; 2  , B  0; 2   MA  MB  10  2a  a  5 x2 y 2  1 . Chọn B.  c  2  b  a  c  21 . Vậy  E  :  Và AB  2c  4  25 21 2

a  Câu 62: Gọi A  0; 2  , B  0; 2   MA  MB  5  2a   c  2  b2  a 2  c2  Và AB  2c  4 

5 2

4x2 4 y 2 9   1 . Chọn C. . Vậy  E  : 25 9 4

a  4 Câu 63: Gọi A  1;1 , B 1; 1  MA  MB  8  2a 

 c  2  b 2  a 2  c 2  14 . Vậy  E  : Và AB  2c  2 2 

x2 y 2   1 . Chọn B. 16 14

Câu 64: Gọi A  0; 1 , B  0;1  MA  MB  4  2a  a  2  c  1  b 2  a 2  c 2  3 . Vậy  E  : Và AB  2c  2 

x2 y 2   1 . Chọn B. 4 3

CHỦ ĐỀ 19: BÀI TOÁN CỰC TRỊ SỐ PHỨC  Dạng 1: Cho số phức z thỏa mãn z  z1  z  z 2 . Tìm số phức thỏa mãn z  z 0 nhỏ nhất. Phương pháp: Đặt M(z); A(z1); B(z 2 ) là các điểm biểu diễn số phức z; z1 và z 2 . Khi đó từ giả thiết z  z1  z  z 2 suy ra

MA  MB , tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường trung trực ∆ của AB. Gọi N(z 0 ) là điểm biểu diễn số phức z 0 Ta có MN  z  z 0 nhỏ nhất khi MN min khi M là hình chiếu vuông góc của N trên d và MN min  d(N; ) Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z  4  i  z  i . Gọi z  a  bi (a; b  ) là số phức thỏa mãn z  1  3i nhỏ nhất. Giá trị của biểu thức T  2a  3b là:

A. 4

B. 4

C. 0

D. 1

Lời giải Đặt M ( z ); A(4;1), B(0; 1) là các điểm biểu diễn số phức z; 4  i và i . Khi đó từ giả thiết suy ra

MA  MB , tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường trung trực của AB đi qua I(2;0)   n  AB(4; 2)   : 2 x  y  4  0

và

có

VTPT

là

Gọi N (1; 3) là điểm biểu diễn số phức 1  3i Ta có z  1  3i nhỏ nhất khi MN min khi M là hình chiếu vuông góc của N trên ∆, suy ra MN : x  2 y  1  0

2 x  y  4  0  x  3 Giải hệ    M  3; 2   z  3  2i  2a  3b  0 . Chọn C.  x  2 y  7  0  y  2 Ví dụ 2: Cho các số phức z thỏa mãn z  2i  z  2 . Gọi z là số phức thỏa mãn (2  i ) z  5 nhỏ nhất. Khi đó : A. 0  z  1

B. 1  z  2

C. 2  z  3

D. z  3

Lời giải Gọi M (x; y); A(0; 2), B(2;0) là các điểm biểu diễn số phức z; 2i và 2 . Từ giả thiết  MA  MB  M  trung trực của AB có phương trình  : x  y  0 Lại có: P  (2  i ) z  5  2  i z  suy ra P  5MN

5  5 z  2  i , gọi N (2; 1) là điểm biểu diễn số phức 2  i 2i

Ta có P nhỏ nhất khi MN min khi M là hình chiếu vuông góc của N trên ∆, suy ra phương trình MN : x  y  1  0 1  x  x  y  0  2  M  1 ; 1   z  1  1 i  z  2  Giải hệ  . Chọn A.   2 2 2  2 2 x  y 1  0  y  1  2

 Dạng 2: Cho số phức z thỏa mãn z  z 0  R . Tìm số phức thỏa mãn P  z  z1 đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Phương pháp: Đặt M(z); I(z 0 ); E(z1) là các điểm biểu diễn số phức z; z 0 và z1 . Khi đó từ giả thiết z  z 0  R  MI  R  M thuộc đường tròn tâm I bán kính R. Ta có: P  ME lớn

nhất  ME max và P nhỏ nhất  ME min . Khi đó:

Pmax  IE  R  M  M 2 và Pmin  IE  R  M  M1 (Điểm E có thể nằm trong hoặc ngoài đường tròn). Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn iz  3  2i  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  z  1  i A. Pmin  3

B. Pmin  13  3

C. Pmin  2

D. Pmin  10

Lời giải 3 Ta có: iz  3  2i  3  i z   2  3  z  2  3i  3  tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường i

tròn tâm I (2; 3) bán kính R  3 Gọi E(1; 1) là điểm biểu diễn số phức 1  i  P  ME  Pmin  EI  R  2 Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn z  2  i  5 . Gọi z1 và z2 lần lượt là 2 số phức làm cho biểu thức P  z  2  3i đạt giá trị nhỏ nhất và lớn nhất. Tính T  3 z1  2 z2

A. T  20

B. T  6

C. T  14

D. T  24

Lời giải Ta có: z  2  i  5  tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I (2;1) bán kính

R  5 . Gọi E(2;3)  P  ME Phương trình đường thẳng IE : x  2 y  4  0 Dựa vào hình vẽ ta có Pmax  IE  R  M  M 2

 M 2 (4;0)  Pmin  3 5 x  2 y  4  0 Giải hệ  .   2 2 ( x  2)  ( y  1)  5  M 1 (0; 2)  Pmin  5 Do đó T  3 z1  2 z2  3.2  2.4  14 . Chọn C.

 Dạng 3: Cho số phức z thỏa mãn z  z1  z  z 2 . Tìm số phức thỏa mãn P  z  z 3  z  z 4 đạt giá trị nhỏ nhất. Phương pháp: Đặt M(z); A(z1); B(z 2 ); H(z 3); K(z 4 ) là các điểm biểu diễn số phức z; z1; z 2; z 3 và z 4 . Khi đó từ giả thiết z  z1  z  z 2 suy ra MA  MB , tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường trung trực ∆ của AB; P  z  z 3  z  z 4  MH  MK

TH1: H, K nằm khác phía so với đường thẳng ∆ Ta có: P  MH  MK  HK Dấu bằng xảy ra  M  M o  HK  () Khi đó Pmin  HK TH2: H, K nằm cùng phía so với đường thẳng ∆ Gọi H’ là điểm đối xứng của ∆ Khi đó: P  MH  MK  MH ' MK  H ' K Dấu bằng xảy ra  M  M o  H ' K  () Khi đó Pmin  H ' K Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  z  3  2i . Gọi z  a  bi (a; b  ) sao cho P  z  2  4i  z  1  i đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó a  b là:

A. 3

B. 5

C. 8

D. 4

Lời giải Đặt M ( z ); A(1; 2), B(3; 2) tử giả thiết suy ra MA  MB nên M thuộc đường thẳng trung trực của AB có phương trình

 : x  y  1  0 , gọi H(2; 4) và K(1;1) là các điểm

biểu diễn số phức 2  4i và 1  i Ta có P  MH  MK và 2 điểm H, K cùng phía so với đường thẳng ∆ Gọi H’ là điểm đối xứng của  : x  y  1  0 Ta có: HH' : x  y  6  0 tọa độ trung điểm của HH’ là nghiệm hệ

x  y 1  0 5 7 phương trình  I ;  2 2 x  y  6  0 Suy ra H'(3;3) Lại có: P  MH  MK  MH ' MK  H ' K Dấu bằng xảy ra  M  H ' K  d . Phương trình đường thẳng H’K là: H ' K : x  2 y  3  0 Suy ra M 0  H ' K    M o (1; 2)  z  1 2i . Khi đó Pmin  H ' K  2 5 . Chọn A.

Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn z  2  4i  iz  2 . Gọi z  a  bi (a; b  ) sao cho P  z  i  z  1  3i đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị nhỏ nhất đấy bằng

C. 4

Lời giải Ta có: z  2  4i  iz  2  z  2  4i  i z 

2  z  2i i

Gọi M ( z ); A(2; 4), B(0; 2) từ giả thiết suy ra MA  MB nên M thuộc đường thẳng trung trực của AB có phương trình

 : x  y  4  0 , gọi H(0;1) và K(1; 3) là

các điểm biểu diễn số phức i và 1  3i Ta có: P  MH  MK và 2 điểm H, K cùng phía so với đường thẳng ∆ Gọi H’ là điểm đối xứng của  : x  y  5  0 Ta có: HH' : x  y  1  0 tọa độ trung điểm của HH’ là

x  y  4  0 5 3 nghiệm hệ phương trình   I  ;  2 2 x  y 1  0 Suy ra H'(5; 4) Lại có: P  MH  MK  MH ' MK  H ' K  37 . Chọn B. 2

 Dạng 4: Cho số phức z thỏa mãn z  z1  z  z 2 . Tìm số phức thỏa mãn P  z  z 3  z  z 4

đạt

giá trị nhỏ nhất. Phương pháp: Đặt M(z); A(z1); B(z 2 ); H(z 3); K(z 4 ) là các điểm biểu diễn số phức z; z1; z 2; z 3 và z 4 . Khi đó từ giả thiết z  z1  z  z 2 suy ra MA  MB , tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường trung trực ∆ của AB; 2

P  z  z3  z  z 4  MH 2  MK 2

Gọi I là trung điểm của HK  MI 2 

MH 2  MK 2 HK 2 HK 2   P  MH 2  MK 2  2 MI 2  2 4 2

nhỏ nhất khi MI min  M là hình chiếu vuông góc của I xuống  . Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z  2  4i  z  2i . Gọi z là số phức thoả mãn biểu thức 2

P  z  i  z  4  i đạt giá trị nhỏ nhất. Tính z . 2

A. z  12

B. z  10

C. z  2 Lời giải

Gọi M ( z ); A(2; 4), B(0; 2) là các điểm biểu diễn số phức z; 2  4i và 2i

D. z  5

Khi đó z  2  4i  z  2i  MA  MB  M thuộc trung trực của AB có phương trình  : x  y  4  0 Gọi H  0;1 , K  4; 1  P  MH 2  MK 2  2 MI 2 

HK 2 2

(với I  2;0  là trung điểm của HK) Do đó Pmin  MEmin hay M là hình chiếu vuông góc của I xuống  , khi đó IM : x  y  2  0  M  IM    M  1;3  z  OM 2  10 . Chọn B. 2

Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn z  1  3i  z  2  i . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2

P  z  2  4i  z  2i là:

A. Pmin  8

B. Pmin  9

C. Pmin  16

D. Pmin  25

Lời giải Gọi M ( z ); A(1; 3), B(1; 1) là các điểm biểu diễn số phức z; 1  3i và 1  i Khi đó z  1  3i  z  1  i  MA  MB  M thuộc trung trực của AB có phương trình  : x  y  2  0 Gọi H  2; 4 , K  0; 2  P  MH 2  MK 2  2 MI 2 

HK 2 2

(với I 1; 3 là trung điểm của HK) Do đó Pmin  MEmin hay M là hình chiếu vuông góc của I xuống 2 HK 2  8 . Chọn A.  , khi đó Pmin  2  d  I ;     2 2

 Dạng 5: Cho số phức z thỏa mãn z  z 0  R . Tìm số phức thỏa mãn P  z  z1  z  z 2 đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Phương pháp: Đặt M(z); A(z1 ); B(z 2 ); I  z 0  là các điểm biểu diễn số phức z; z1 ; z 2 và z 0 . Khi đó từ giả thiết z  z 0  R  MI  R  M thuộc đường tròn tâm I bán kính R. Gọi E là trung điểm của AB ta có: P  2 ME 2  và P nhỏ nhất  MEmin . Khi đó Pmax  M  M 2 và Pmin  M  M 1 .

AB 2 lớn nhất  MEmax 2

Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  2 . Gọi z  a  bi  a; b    là số thức thỏa mãn biểu thức 2

P  z  2  3i  z  5i đạt giá trị lớn nhất. Tính T  a  b

A. T  1

B. T  3

C. T  1

D. T  3

Lời giải Gọi M  z  ; I 1; 2  khi đó MI  2  M thuộc đường tròn tâm I 1; 2  bán kính R  2

Đặt A  2;3  ; B  0;5   P  MA2  MB 2 Gọi H 1; 4  là trung điểm của AB ta có : AB 2 lớn nhất  MH max 2

P  2 MH 2 

Do MH  MI  IH  MH max  M  M 2 Ta có: IH : x  1

 x  1  M 1 1;0  Giải hệ  . Do đó a  b  3 . Chọn D.  2 2  x  1   y  2   4  M 2 1; 4  Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn z  3  i  2

13 . Gọi z  a  bi  a; b    là số thức thỏa mãn biểu thức 2

P  z  2  i  z  3i đạt giá trị nhỏ nhất. Tính T  a  b

A. T 

5 2

B. T 

3 2

C. T 

13 2

D. T 

9 2

Lời giải Gọi M  z  ; I  3; 1 khi đó MI  I  3; 1 bán kính R 

13  M thuộc đường tròn tâm 2

13 2

Đặt A  2;1 ; B  0;3  P  MA2  MB 2 Gọi E 1; 2  là trung điểm của AB ta có : P  2 ME 2 

AB 2 nhỏ nhất  MEmin 2

Do ME  MI  IE  MEmin  M  M 1

  1 3 x  2 y  7  0  M 1  2; 2  5     Ta có: IE : 3 x  2 y  7  0 . Giải hệ  . Do đó a  b  . Chọn A. 13   2 2 2  x  3   y  1  4  M  4; 5  2    2 

 Dạng 6: Cho hai số phức z1 ; z 2 thỏa mãn z1  z 0  R và z2  w1  z2  w 2 ; trong đó z0; w1 ; w 2 là các số phức đã biết. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z1  z 2 Phương pháp: Đặt M(z1 ); N  z 2  lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z1 và z 2 . Điểm M thuộc đường tròn tâm I  z0  bán kính R , N thuộc trung trực  của AB với A  w1  ; B  w 2  Lại có: P  MN  Pmin  d (t ; )  R

Ví dụ 1: Cho số phức z1 thỏa mãn z  2  z  i  1 và số phức z2 thỏa mãn z  4  i  5 . Tìm giá trị nhỏ nhất của z1  z2 A.

2 5 5

C. 2 5

3 5 5

Lời giải 2

Gọi M ( z; y ) là điểm biểu diễn số phức z1 . Khi đó z  2  z  i  1

 (x  2) 2  y 2  x 2  ( y  1) 2  1  4 x  2 y  2  () : 2 x  y  1  0 Gọi N(a; b) là điểm biểu diễn số phức z2 . Khi đó z  4  i  5  (a  4) 2  (b  1) 2  5 Hay tập hợp điểm N trong mặt phẳng Oxy là đường tròn (C ) : (x  4) 2  (y  1) 2  5 Ta có d  I ( c ) ;()  

8  5  R(C ) 5

    không cắt đường tròn  C  .

Lại có MN  z1  z2  dựa vào hình vẽ ta thấy





MN min  MN  d I C  ;     R C  Hay z1  z2 min 

8 5 3 5 . Chọn D.  5 5 5

Bài toán có thể hỏi thêm là tìm số phức z1 hoặc z2 để z1  z2 min thì ta chỉ cần viết phương trình đường

 M      MN thẳng MN     sau đó tìm giao điểm  .  N   C   MN Ví dụ 2: Cho hai số phức z1 ; z2 thỏa mãn z1  5  5 và z2  1  3i  z2  3  6i . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z1  z2

A. Pmin 

5 2

B. Pmin 

15 2

C. Pmin  3

D. Pmin  10

Lời giải Gọi M  z1  ; N  z2  lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức z1 và z2 . Điểm M thuộc đường thẳng tròn tâm I  5;0  bán kính R  5 . Điểm N thuộc đường thẳng trung trực  của AB với A  1;3  ; B  3;6    : 4 x  3 y 

35 0 2

Lại có: P  MN  Pmin  d I ;   R 

5 . Chọn A. 2

 Dạng 7: Cho hai số phức z1 ; z 2 thỏa mãn z1  w1  R1 và z2  w1  R2 trong đó w1 ; w 2 là các số phức đã biết. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P  z1  z2 . Phương pháp: Đặt M(z1 ); N  z 2  lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z1 và z 2 . Điểm M thuộc đường tròn tâm  C1  tâm I  w1  bán kính R1 và N thuộc đường tròn  C2  tâm K  w 2  bán kính R2  P  MN . Dựa vào các vị trí tương đối của 2 đường tròn để tìm MN max ; MN min

Ví dụ 1: Cho hai số phức z; w thỏa mãn z.z  1 và w  3  4i  2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P  zw

A. Pmax  5

B. Pmax  8

C. Pmax  10

D. Pmax  5  2

Lời giải Ta có: z.z  1  z  1 Gọi M  z  ; N  w  lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức z và w . Điểm M thuộc đường tròn tâm

 C1 

tâm O  0;0  bán kính

R1  1 và N thuộc đường tròn  C2  tâm K (3; 4) bán kính R2  2  P  MN . Dễ thấy OK  5  R1  R2 nên  C1  và  C2  nằm ngoài nhau suy ra MN max  OK  R1  R2  8 . Chọn B. Ví dụ 2: [Đề tham khảo Bộ GD & ĐT 2018] Xét các số phức z  a  bi  a, b    thỏa mãn điều kiện

z  4  3i  5 . Tính P  a  b khi giá trị biểu thức z  1  3i  z  1  i đạt giá trị lớn nhất A. P  10

B. P  4

C. P  6

D. P  8

Lời giải Gọi M  x; y  là điểm biểu diễn số phức z Từ giả thiết, ta có z  4  3i  5   x  4    y  3  5  M thuộc đường tròn  C  tâm I  4;3 , bán 2

kính R  5 . Khi đó P  MA  MB , với A  1;3 , B 1; 1 . Ta có P 2  MA2  MB 2  2 MA.MB  2  MA2  MB 2  . MA2  MB 2 AB 2  Gọi E  0;1 là trung điểm AB  ME  . 2 4 2



Do đó P 2  4.ME 2  AB 2 mà ME  CE  3 5 suy ra P 2  4. 3 5

  2 5  2

 200 .

Với C là giao điểm của đường thẳng EI với đường tròn  C  .

 MA  MB  M  6; 4   a  b  10 . Chọn A. Vậy P  10 2 . Dấu "  " xảy ra  M  C Ví dụ 3: [Đề tham khảo Bộ GD & ĐT 2017] Xét các số phức z thỏa mãn điều kiện:

z  2  i  z  4  7i  6 2 . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z  1  i . Tính P  M m

A. P  13  73

B. P 

5 2  2 73 2

C. P  5 2  73 Lời giải

Đặt z  x  yi  x, y    và gọi M  x; y  , A  2;1 , B  4;7  suy ra AB  6 2 .   Ta có AB   6;6   n  1; 1  phương trình đường thẳng

AB là x  y  3  0 . Từ giả thiết, ta có MA  MB  6 2  MA  MB  AB suy ra M thuộc đoạn thẳng AB. Gọi N 1; 1  z  1  i 

 x  1   y  1 2

 z  1  i min  MN min .  MN    z  1  i max  MN max

 Độ dài đoạn thẳng MN nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của N trên AB. Hay MN min  d  N ;  AB   

1   1  3 12   1



5 2 5 2 m 2 2

 Độ dài đoạn thẳng MN lớn nhất khi và chỉ khi M  A hoặc M  B .

 M  A  MN  AN  13 Ta có   MN max  73  M  73.  M  B  MN  BN  73

D. P 

5 2  73 2

Vậy giá trị biểu thức P  M  m 

5 2  2 73 . Chọn B. 2

Ví dụ 4: Xét các số phức z thỏa mãn điều kiện: z  1  i  z  7  4i  3 5 . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z  5  2i . Tính P  M  m A. P  5  10

B. P 

2 5  10 2

C. P  2



5  10



D. P 

5 2  10 2

Lời giải Đặt z  x  yi  x, y    và gọi M  x; y  , A 1;1 , B  7; 4  suy ra AB  3 5 .   Ta có AB   6;3  n ( AB )  1; 2   phương trình đường thẳng AB là x  2 y  1  0 . Từ giả thiết, ta có MA  MB  3 5  MA  MB  AB suy ra M thuộc đoạn thẳng AB.

 z  5  2i min  MN min Gọi N  5; 2  z  5  2i  MN   .  z  5  2i max  MN max  Độ dài đoạn thẳng MN nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của N trên AB. Hay MN min  d  N ;  AB   

5  2  2   1 12   2 

2 5m2 5

 Độ dài đoạn thẳng MN lớn nhất khi và chỉ khi M  A hoặc M  B .  M  A  MN  AN  5  MN max  2 10  M  2 10. Ta có   M  B  MN  BN  2 10

Vậy giá trị biểu thức P  M  m  2





5  10 . Chọn C. 2

Ví dụ 5: Biết số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z  3  4i  5 và biểu thức M  z  2  z  i đạt giá trị lớn nhất. Tính môđun của số phức z  i . A. z  i  2 41

B. z  i  3 5

C. z  i  5 2

D. z  i  41

Lời giải Gọi z  x  yi  x, y    Ta có: z  3  4i  5   x  3   y  4   5  tập hợp điểm biểu diễn số phức z là dường tròn  C  2

tâm I  3; 4  và R  5 . 2 2 2 2 Mặt khác: M  z  2  z  i   x  2   y 2   x 2    y  1   4 x  2 y  3  d : 4 x  2 y  3  M  0  

Do số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện nên d và  C  có điểm chung  d I;d   R 

23  M 2 5

 5  23  M  10  13  M  33

4 x  2 y  30  0 x  5  M max  33     z  i  5  4i  z  i  41 . Chọn D. 2 2  x  3   y  4   5  y  5 Ví dụ 6: Cho hai số phức z1 và z2 thỏa mãn z1  z2  8  6i và z1  z2  2 . Tìm giá trị lớn nhất của P  z1  z2 ?

A. P  4 6

B. P  5  3 5

C. P  2 26

D. P  34  3 2

Lời giải     Đặt A  z1  ; B  z2  theo giả thiết ta có: OA  OB  (8;6); OA  OB  2; P  OA  OB

  2   104  OA  OB  OA  OB



 



 2  OA2  OB 2    OA  OB   P 2  P  104  2 26 . Chọn C. 2

Ví dụ 7: [Đề thi thử chuyên Đại học Vinh 2018] Giả sử z1 , z2 là hai trong các số phức z thỏa mãn

iz  2  i  1 và z1  z2  2 . Giá trị lớn nhất của z1  z2 bằng B. 2 3

A. 3

C. 3 2

D. 4

Lời giải Ta có: iz  2  i  1  i  x  yi   2  i  1 (với z  x  yi  x; y    )



  x  1  y  2 2







 1  M  x; y  biểu diễn z thuộc đường tròn tâm I 1; 2 bán kính R  1 .

Giả sử A  z1  ; B  z2  do z1  z2  2  AB  2  2 R nên AB là đường kính của đường tròn  I ; R  Lại có: z1  z2  OA  OB OA2  OB 2 AB 2   OA2  OB 2  8 Mặt khác theo công thức trung tuyến ta có: OI  2 4 2

Theo BĐT Bunhiascopky ta có: 2  OA2  OB 2    OA  OB   OA  OB  4 . Chọn D. 2

Ví dụ 8: Cho z1 , z2 là hai trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z  5  3i  5 và z1  z2  8 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức z1  z2 là: A. 6  34

B. 2 34  6

C. 2 34  6

Lời giải Giả sử w  z1  z2

 w1  z1  5  3i Đặt  suy ra w1  w 2  z1  z2  10  6i  w  10  6i  w1  w 2  w  10  6i  w 2  z2  5  3i

34  6

2 2 2 2 2  w1  w 2  5 Mà  mà w1  w 2  w1  w 2  2 w1  w 2  w1  w 2  36.  w1  w 2  z1  z2  8





Vậy w  10  6i  w1  w 2  36  6  w thuộc đường tròn tâm I 10;6  , bán kính R  6 . Cách 2: Gọi A  z1  ; B  z2  biểu diễn số phức z1 ; z2 Ta có: tập hợp z là đường tròn tâm I  5;3 bán kính R  5, AB  8    Gọi H là trung điểm của AB  w  z1  z2  OA  OB  2OH 1 Mặt khác IH  IA2  HA2  3  tập hợp điểm H là đường tròn  x  5    y  3  9  C  . 2

2 2 a b a  b  Giả sử w  a; b  , 1  H  ;    C     5     3   9   a  10    b  6   36.  2 2 2  2 

Do đó tập hợp điểm biểu diễn w thuộc đường tròn tâm I 10;6  , bán kính R  6 . Ta có: w min  OI  R  2 34  6. Chọn B. Ví dụ 9: Cho z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình 6  3i  iz  2 z  6  9i , thỏa mãn điều kiện z1  z2 

31 5

8 . Giá trị lớn nhất của z1  z2 5

56 5

C. 4 2

D. 5

Lời giải

6  3i  iz  6  3i  i  x  yi   6  y   x  3  i Đặt z  x  yi  x; y    suy ra  2 z  6  9i  2 x  2 yi  6  9i  2 x  6   2 y  9  i Khi đó, giả thiết   x  3   y  6    2 x  6    2 y  9    x  3    y  4   1 2

Tập hợp z là đường tròn tâm I  3; 4  bán kính R  1, AB 

C  .

8 5

   Đặt w  z1  z2 gọi H là trung điểm của AB  w  z1  z2  OA  OB  2OH 1 Mặt khác IH  IA2  HA2 

9 3 2 2  tập hợp điểm H là đường tròn  x  3   y  4   C  . 25 5 2

9 36 2 2 a b a  b  Giả sử w  a; b  , 1  H  ;    C     3     4     a  6    b  8  . 25 25  2 2 2  2  6 Do đó tập hợp điểm biểu diễn w thuộc đường tròn tâm I  6;8  , bán kính R  . 5

Ta có: w max  OI  R  10  Chọn B.

6 56  . 5 5

Ví dụ 10: [Đề thi thử chuyên Đại học Vinh 2018] Cho số phức z thỏa mãn z không phải là số thực và w

z là số thực. Giá trị lớn nhất của biểu thức M  z  1  i là 2  z2

A. 2

B. 2 2

D. 8

Lời giải Ta có w 

z z z w  1 . Vì w là số thực nên w  w  2  . 2   2 2 2 z 2 z 2 z

Từ (1), (2) suy ra w 



 zz

 z











2 z z   z 2  z  z  2  z 2   2 z  z  z. z z  z 2 2 2 z 2 z



 2  0  z  2  z  2 (vì z không là số thực nên z  z  0 ).

Đặt w  z  1  i  z  w  1  i nên w  1  i  2  w max  2  12  12  2 2 . Chọn B. Cách 2: Ta có w là số thực nên Đặt z  a  bi 

1 2  z  là số thực. w z

b  0  kot / mycbt  2  a  bi  2b 1 b   0  là số thực khi  a  bi  2  2 2 w a  b2 a 2  b2  a  b  2  z  2

Tập hợp điểm biểu diễn z là đường tròn O  0;0  ; R  2 Đặt M  z  ; A  1;1  MAmax  AO  R  2 2 . Chọn B. Ví dụ 11: Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  1  z 2  z  1 . Tính giá trị của M.m A.

13 3 4

39 4

C. 3 3 Lời giải

Gọi z  x  yi;  x  ; y    . Ta có: z  1  z.z  1 . Đặt t  z  1 , ta có 0  z  1  z  1  z  1  2  t  0; 2  . t2  2 Ta có t  1  z  1  z  1  z.z  z  z  2  2 x  x  2 2





Suy ra z 2  z  1  z 2  z  z.z  z z  1  z 

 2 x  1

 2x 1  t 2  3

Xét hàm số f  t   t  t 2  3 , t   0; 2  . Bằng cách dùng đạo hàm, suy ra max f  t  

Chọn A.

13 13 3 ; min f  t   3  M .n  . 4 4

13 4

Ví dụ 12: Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T  z  1  2 z  1 A. MaxT=2 5

B. MaxT=2 10

C. MaxT=3 5

D. MaxT=3 2

Lời giải

1  2   z  1

T  z 1  2 z 1  2

 z 1









5.2 z  1  2 5 (BĐT Cauchy-Swart)



Chú ý: z  1  z  1  2 x 2  2 y 2  2  2 z  1 với z  x  yi Cách 2: Đặt z  x  yi . Ta có : T  x  yi  1  2 x  yi  1  ( x  1) 2  y 2  2 ( x  1) 2  y 2 Lại có x 2  y 2  1  T  2 x  2  2 2 x  2  f  x  Ta có: f '  x  

1 2 6  0 x  Tmax  2 5 . Chọn A. 10 2x  2 2  2x

Ví dụ 13: Cho số phức z thỏa mãn z  4  z  4  10 . Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z lần lượt là : A. 10 và 4

B. 5 và 4

C. 4 và 3 Lời giải

Đặt z  x  yi;  x; y     M ( x; y ) biểu diễn z Ta có: z  4  z  4  10  z  yi  4  x  yi  4  10 Gọi F1 (4;0); F2 (4;0)  MF1  MF2  10 Khi đó điểm biểu diễn z là Elip có trục lớn

2a  10  a  5; F1 F2  2c  8  c  4  b  a 2  c 2  3 . Do đó 3  OM  5  3  z  5 . Chọn D.

D. 5 và 3

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Trong mặt phẳng tọa độ, hãy tìm số phức z có môđun nhỏ nhất, biết rằng số phức z thỏa mãn điều kiện z  2  4i  5 A. z  1  2i

B. z  1  2i

C. z  1  2i

D. z  1  2i

Câu 2: Cho số phức z thỏa mãn z  3  4i  4 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  z A. Pmax  9

B. Pmax  5

C. Pmax  12

D. Pmax  3

Câu 3: Cho số phức z thỏa mãn z  2  2i  1 . Tìm giá trị lớn nhất của z A. 4 2  2

B. 2 2  1

C. 2  2

D. 3 2  1

Câu 4: Trong các số phức z thỏa mãn z  3  4i  2 .Gọi z0 là số phức của môđun nhỏ nhất. Tìm môđun của số phức z0 A. zo  4

B. zo  2

C. zo  7

D. zo  3

Câu 5: Cho số phức z thỏa mãn z  2  3i  1 . Tìm giá trị lớn nhất của P  z  1  i A. 13  2

B. 4

D. 13  1

C. 3

Câu 6: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  3  2 z và max z  1  2i  a  b 2 . Tính a  b A. 4

B. 4 2

C. 3

4 3

Câu 7: Cho số phức z có z  2 thì số phức w  z  3i có môđun nhỏ nhất và lớn nhất lần lượt là bao nhiêu? A. 2 và 5

B. 1 và 6

C. 2 và 6

D. 1 và 5

Câu 8: Trong tất cả các số phức có dạng z  m  3  (m  2)i với m   , hãy tìm số phức z có môđun nhỏ nhất ? A. z 

1 1  i 2 2

1 1 B. z    i 2 2

1 1 C. z    i 2 2

D. z 

1 1  i 2 2

Câu 9: Cho số phức z  (m  1)  (m  2)i, m   . Tìm giá trị của m để môđun của số phức z có giá trị lớn nhất là

A. 3  m  0

B. 0  m  3

m  3 C.  m  0

m  6 D.  m  2

Câu 10: Cho số phức z  m  (m  3)i, m   . Tìm m để z đạt giá trị nhỏ nhất? A. m  0

B. m  3

C. m 

3 2

D. m  

3 2

Câu 11: Cho số phức z thỏa mãn z  2  3i  z  i . Gọi z  a  bi (a; b  ) là số phức thỏa mãn z  2  2i nhỏ nhất. Giá trị của biểu thức a  3b là:

A. 4

B. 3

C. 6

D. 0

Câu 12: Biết số phức z  a  bi (a, b  ) thỏa mãn điều kiện z  2  4i  z  2i có môđun nhỏ nhất của. Tính M  a 2  b 2 A. M  8

B. M  10

C. M  16

D. M  26

Câu 13: Cho số phức z có điểm biểu diễn nằm trên đường thẳng 3 x  4 y  3  0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của z

1 5

3 5

4 5

2 5

Câu 14: Xét số phức z  a  bi, (a, b  ) thỏa mãn z  2  4i  z  2i . Tìm giá trị nhỏ nhất của z A. 4

B. 2 2

C. 10

D. 8

Câu 15: Cho số phức z thỏa mãn z  1  i  z  2  i . Gọi z  a  bi, (a, b  ) là số phức thỏa mãn z  i nhỏ nhất. Giá trị của biểu thức a  b là: A.

7 10

9 10

3 10

7 10

Câu 16: Cho các số phức z ,  thỏa mãn z  2  2i  z  4i . Gọi z  a  bi, (a, b  ) là số phức thỏa mãn iz  1 nhỏ nhất. Tính giá trị của biểu thức a 2  b 2

A. 4

5 2

C. 5

D. 2

Câu 17: Cho số phức z thỏa mãn z  1  z  i . Tìm giá trị nhỏ nhất của z  1  2i A.

1 3

1 2

Câu 18: Cho số phức z  x  yi (x, y  ) thỏa mãn z  1  z  i . Biết z  2i nhỏ nhất, tính S  x  2 y A. S  2

B. S  3

C. S  1

D. S  4

Câu 19: Xét các số phức z  a  bi, (a, b  ) thỏa mãn z  1  2i  z  i . Tính P  2a  b 2 khi z đạt giá trị nhỏ nhất A. P 

1 25

B. P 

19 25

C. P  

4 25

D. P 

14 25

Câu 20: Cho các số phức z ,  thỏa mãn z  2  2i  z  4i và w  iz  1 . Tính giá trị nhỏ nhất của w B. w min 

A. w min  2

2 2

C. w min  2 2

D. w min 

3 2 2

Câu 21: Cho số phức z thỏa mãn z 2  2 z  5  ( z  1  2i )( z  3i  1) . Tính min w , biết w  z  2  2i A. min w 

3 2

B. min w  2

C. min w  1

D. min w 

1 2

Câu 22: Cho số phức z thỏa mãn z  3  2 z và max z  1  2i  a  b 2 . Tính a  b A. 4

B. 4 2

C. 3

Câu 23: Cho số phức z thỏa mãn z không phải số thực và w 

4 3

z là số thực. Biểu thức z  1  i đạt giá 2  z2

trị lớn nhất khi z  a  bi, (a, b  ) . Tính P  a 2  2b A. 2

B. 1

C. 3

D. 5

Câu 24: Cho số phức z thỏa mãn z  1  i  z  1  i . Gọi z  a  bi, (a, b  ) sao cho P  z  1  5i  z  2  i đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó a  b bằng

6 5

6 5

3 5

3 5

Câu 25: Cho số phức z thỏa mãn z  2  i  z  3i . Gọi z  a  bi, (a, b  ) sao cho P  z  i  z  2 đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó 2a  b bằng A.

1 5

7 5

1 5

3 5

Câu 26: Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  z  1 . Gọi z  a  bi, (a, b  ) là số phức thỏa mãn biểu thức 2

P  z  1  2i  z  i đạt giá trị nhỏ nhất. Tổng a  b là

A. a  b  0

B. a  b  1

C. a  b  2

D. a  b  3

Câu 27: Cho số phức z thỏa mãn z  3  i  z  1  i . Gọi z  a  bi, (a, b  ) là số phức thỏa mãn biểu 2

thức P  z  1  i  z  2  i đạt giá trị nhỏ nhất. Tổng a  b là A. a  b 

13 10

B. a  b 

1 10

C. a  b  1

D. a  b  2

Câu 28: Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  5 và   z  1  i có môđun lớn nhất. Tính môđun của số phức z A. z  2 5

B. z  3 2

C. z  6

D. z  5 2

Câu 29: Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Tìm giá trị lớn nhất của T  z  1  2 z  1 A. max T  2 5

B. max T  2 10

C. max T  3 5

D. max T  3 2

Câu 30: Cho số phức z thỏa mãn z 2  2 z  5  ( z  1  2i )( z  3i  1) . Tính min  , với   z  2  2i A. min  

3 2

B. min   2

C. min   1

D. min  

Câu 31: Cho số phức z thỏa mãn z 2  i  1 . Tìm giá trị lớn nhất của z A.

B. 2

C. 2 2

1 2

Câu 32: Cho số phức z thỏa mãn iz 

2 2  iz   4 . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất 1 i i 1

z . Tính Mm.

A. Mm  2

B. Mm  1

Câu 33: Cho số phức z thỏa mãn A. 5 2

C. Mm  2 2

D. Mm  2 3

z  2i là số ảo. Tìm giá trị lớn nhất của P  z  1  z  i z2

B. 3 2

C. 2 5

D. 3 5

Câu 34: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất số phức z thỏa mãn z.z  1 và z  3  i  m . Tìm số phần tử của S.

A. 2

B. 4

C. 1

D. 3

Câu 35: Biết rằng tồn tại hai số phức z thỏa mãn 2 z  1  z  z  3 và z  8 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng hai phần thực của hai số phức đó. A. 7

B. 0

C. 14

D. 8

Câu 36: Cho số phức z  x  yi (x, y  ) thay đổi thỏa mãn z  1 . Hãy tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x  y A. 0

B. 12

D. 2 5

Câu 37: Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T  z  2  2 z  2 A. 2 5

B. 2 10

C. 3 5

D. 5 2

LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn (C ) tâm I (2; 4) bán kính R  5 Ta có: z  OM , mặt khác OM đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất khi M  OI  (C ) Phương trình đường thẳng OI : y  2 x , phương trình đường tròn (C ) : (x  2) 2  (y  4) 2  5

 y  2x  y  2x  Giải hệ phương trình:   2 2 2 2 ( x  2)  ( y  4)  5 ( x  2)  ( y  4)  5 OM 1  5 x  1 y  2 suy ra z1  1  2i là số phức thỏa mãn điều kiện z  2  4i  5    x  3  y  6 OM 2  3 5 Và có môđun nhỏ nhất, z2  3  6i là số phức có môđun lớn nhất. Chọn C. Câu 2: Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn (C ) tâm I (3; 4) bán kính R  4 Ta có: z  OM , khi đó Pmax  OM max  OI  R  5  4  9 . Chọn A. Câu 3: Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn (C ) tâm I (2; 2) bán kính R  1 Ta có: z  OM , khi đó z max  OM max  OI  R  2 2  1 . Chọn B. Câu 4: Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn (C ) tâm I (3; 4) bán kính R  2 Ta có: z  OM , khi đó z min  OM min  OI  R  5  2  2 . Chọn D. Câu 5: Đặt z  x  yi (x, y  ) , ta có : z  2  3i  1  ( x  2) 2  ( y  3) 2  1 Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn (C ) tâm I (2;3) bán kính R  1 Lại có: P  x  yi  1  i  ( x  1) 2  (1  y ) 2  ( x  1) 2  (y  1) 2 Gọi K (1;1)  P  MK  Pmax  IK  R  13  1 . Chọn D. Câu 6: Đặt z  x  yi (x, y  ) , ta có : z  3  2 z  x  yi  3  2 x  yi

 ( x  3) 2  y 2  4( x 2  y 2 )  3 x 2  3 y 2  6 x  9  0  x 2  y 2  2 x  3  0  ( x  1) 2  y 2  4  Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I (1;0) bán kính R  2

a  2 Gọi K (1; 2)  z  1  2i  MK  MK max  IK  R  2  2 2    a b  4. b  2 Chọn A. Câu 7: Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn tâm O(0;0) bán kính R  2 Gọi K (0; 3)  w  z  3i  MK Ta có: MK max  OI  R  5; MK min  OK  R  1 . Chọn D. 2

5 1 1 2  Câu 8: z  (m  3) 2  (m  2) 2  2m 2  10m  13  2  m     2 2 2 

Do đó z min 

1 5 1 1  m   z    i . Chọn C. 2 2 2 2

Câu 9: z  (m  1) 2  (m  2) 2  2m 2  6m  5  5  2m 2  6m  0  0  m  3 . Chọn B. 2

3 9 9  Câu 10: z  m  (m  3)  2m  6m  9  2  m     2 2 2  2

Do đó z min 

3 3  m  . Chọn C. 2 2

Câu 11: Đặt M ( z ); A(2;3), B(0;1) là các điểm biểu diễn số phức z; 2  3i và i . Khi đó từ giả thiết suy ra MA  MB , tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường trung trực của AB đi qua I(1; 2) và có VTCP là  n(1;1)  d : x  y  3  0 Gọi N (2; 2) là điểm biểu diễn số phức 2  2i Ta có z  2  2i nhỏ nhất khi MN min khi M là hình chiếu vuông góc của N trên d, suy ra MN : x  y  0 3  x  x  y  0  2  M  3 ; 3   z  3  3i  a  3b  6  Giải hệ  . Chọn C.   2 2 2 x  y  3  0  y  3  2

Câu 12: Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là trung trực ∆ của AB với A(2; 4), B(0; 2)  1  Trung điểm của AB là I (1;3); n   AB  (1;1)   : x  y  4  0 2

Mặt khác z  OM nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của O xuống ∆

a  2 Khi đó OM : x  y  0  M o  OM    (2; 2)    M  8 . Chọn A. b  2 Câu 13: Ta có z  OM nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của O xuống  : 3 x  4 y  3  0 Khi đó z min  OM min  d (O; ) 

3 32  42



3 . Chọn B. 5

Câu 14: Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là trung trực ∆ của AB với A(2; 4), B(0; 2)  1  Trung điểm của AB là I (1;3); n   AB  (1;1)   : x  y  4  0 2

Mặt khác z  OM nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của O xuống ∆ Khi đó OM min  d (O; ) 

4  2 2 . Chọn B. 2

Câu 15: Đặt M ( z ); A(1; 1), B(2;1) là các điểm biểu diễn số phức z;1  i và 2  i . Khi đó từ giả thiết suy ra

MA  MB , tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường trung trực của AB  3 3  đi qua I  ;0  và có VTCP là n(1; 2)  d : x  2 y   0 2 2 

Gọi N (0;1) là điểm biểu diễn số phức i Ta có z  i nhỏ nhất khi MN min khi M là hình chiếu vuông góc của N trên d, suy ra MN : 2 x  y  1  0 1  3 x   1 4i 7 x  2 y   0   1 4  10  M  ;  z    a  b  . Chọn D. Giải hệ  2 10 5 10  10 5  2 x  y  1  0 y  4  5

Câu 16: Gọi I(x; y); M(2; 2), N(0; 4) là điểm biểu diễn các số phức z; 2  2i; 4i Từ giả thiết  IM  IN  I  trung trực của MN là d : x  y  2  0 Khi đó iz  1   y  xi  1  iz  1  x 2  ( y  1) 2  NM với N (0;1) Ta có iz  1 nhỏ nhất khi MN min khi M là hình chiếu vuông góc của N trên d, suy ra MN : x  y  1  0 1  x  x  y  2  0  2  M  1 ; 3   z  1  3 i  a 2  b2  5  Giải hệ  . Chọn B   2 2 2 2 2 x  y 1  0 y  3  2

Câu 17: Gọi z  x  yi (x, y  )

 x  1  yi  x  ( y  1)i  ( x  1) 2  y 2  x 2  ( y  1) 2  x  y  0  M ( z ) có quỹ tích là đường thẳng d : x  y  0

Với z '  1  2i  N ( z ')  (1; 2) Ta có z min  NM min  NM  d  z min  d ( N ; d ) 

1 . Chọn C. 2

Câu 18: Gọi z  x  yi (x, y  )

 x  1  yi  x  ( y  1)i  ( x  1) 2  y 2  x 2  ( y  1) 2  x  y  0  M ( z ) có quỹ tích là đường thẳng d : x  y  0

Với z '  2i  N ( z ')  (0; 2) Ta có z min  NM min  NM  d  MN : x  y  k  0 Mà MN qua N (0; 2)  k  2  MN : x  y  2  0

Tọa độ M là nghiệm của hệ

x  y  2  0  x  1  M (1;1)    S  1 . Chọn C.  x  y  0 y 1 Câu 19: Đặt M ( z )  M (a; b) và A(1; 2), B(0;1)  MA  MB Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng trung trực của AB  (d ) : x  3 y  2  0 Gọi H là hình chiếu của O trên (d)  Phương trình đường thẳng OH : 3 x  y  0 Ta có z  OM  OH . Dấu bằng xay ra khi và chỉ khi M  H  M  (d )  OH 1  a  a  3b  2  0  1 5  Khi đó, tọa độ điểm M là nghiệm của hệ  . Vậy P  . Chọn A. 25 3a  b  0 b   3  5

Câu 20: Đặt M ( z )  M (a; b) và A(2; 2), B(0; 4)  MA  MB Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng trung trực của AB  (d ) : x  y  2  0 Ta có w  iz  1  w  iz  1 

w iz  1 1   w  z   MC , với C (0;1) i i i

Gọi H là hình chiếu của C trên (d)  CM  CH . Dấu = xảy ra  M  H Vậy w min  CH  d (C ;(d )) 

0.1  1.1  2 1 1 2



2 . Chọn B. 2

Câu 21: z 2  2 z  5  (z  1  2i)(z  3i  1)  ( z  1  2i )( z  1  2i )  (z  1  2i)(z  3i  1)

 z  1  2i  0  z  1  2i  w  1  w  1   (*)  z  1  2i  z  1  3i  z  1  2i  z  1  3i Đặt M ( z )  M (a; b) và A(1; 2), B(1; 3)  (*)  MA  MB Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng trung trực của AB  (d ) : 2 y  1  0 Ta có w  z  2  2i  w  z  2  2i  MC , với C (2; 2) Gọi H là hình chiếu của C trên (d)  CM  CH . Dấu = xảy ra  M  H Khi đó w min  CH  d (C ;(d )) 

2.0  2.(2)  1 02  22



3 . Vậy min w  1 . Chọn C. 2

Câu 22: Đặt z  x  yi (x, y  ) khi đó z  3  2 z  ( z  3) 2  4 z

 (x  3) 2  y 2  4( x 2  y 2 )  x 2  y 2  2 x  3  0  ( x  1) 2  y 2  4 (C)  Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn (C) tâm I (1;0) , bán kính R  2 Gọi A(1; 2)  IA  2 2  R  A nằm ngoài đường tròn (C)  MAmax  IA  R  2  2 2 Mặt khác max z  1  2i  a  b 2  a  b  2 . Vậy a  b  4 . Chọn A.

Câu 23: Vì w là số thực suy ra

1 2  z2 2 2 2   z  là số thực  z   z   z  2 w z z z z

 I (0;0) Suy ra tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn (C) : x 2  y 2  2 với   R  2

Gọi A(1;1)  z  1  i  MA và IA  2  R  A nằm trên đường tròn (C) Khi đó MA max  IA  R  2 2 . Dấu bằng xảy ra khi I là trung điểm MA  M (1; 1)

a  1 Vậy z  1  i thì z  1  i  2 2    P  12  2.(1)  3 . Chọn C. b  1 Câu 24: Gọi M ( z ); A(1; 1); B(1;1) từ giả thiết suy ra MA = MB nên M thuộc đường thẳng trung trực của AB có phương trình y  x(d ) . Gọi H (1;5); K (2; 1)  P  MH  MK , 2 điểm H, K cùng phía so với đường thẳng d Gọi H’ là điểm đối xứng của d : y  x Ta có: HH ' : x  y  6  0  I(3;3)  H'(5;1) Lại có: P  MH  MK  MH ' MK  H ' K Dấu bằng xảy ra  M  H ' K  d Phương trình đường thẳng H’K là: 2 x  7 y  3  0 6  3 3 Suy ra M    ;    a  b  . Chọn B. 5  5 5

Câu 25: Ta có: z  2  i  z  3i  z  3i  z  3i Gọi M ( z ); A(2; 1); B(0; 3) suy ra MA = MB nên M thuộc đường thẳng trung trực của AB có phương trình z  y  1  0(d ) . Gọi H (0;1); K (2;0)  P  MH  MK , 2 điểm H, K cùng phía so với đường thẳng d Gọi H’ là điểm đối xứng của d : z  y  1  0 Ta có: HH ' : x  y  1  0  I(1;0)  H'(2; 1) Lại có: P  MH  MK  MH ' MK  H ' K Dấu bằng xảy ra  M  H ' K  d Phương trình đường thẳng H’K là: x  4 y  2  0 1  2 3 Suy ra M    ;    2a  b   . Chọn C. 5  5 5

Câu 26: Gọi M ( z ); A(1; 2), B(1;0) Khi đó z  1  2i  z  1  MA  MB  M thuộc trung trực của AB có phương trình x  y  1  0 (d)

Gọi I (1; 2); J(0;1)  P  MI 2  MJ 2  2 ME 2 

IJ 2 2

 1 1  (với E  ;  là trung điểm của IJ) 2 2 

Do đó Pmin  MEmin hay M là hình chiếu vuông góc của E xuống d, khi đó EM : x  y  1  0  M  EM  d  M 1;0   a  b  1 . Chọn A.

Câu 27: Gọi M ( z ); A(3;1), B(1; 1) Khi đó z  3  i  z  1  i  MA  MB  M thuộc trung trực của AB có phương trình 2 x  y  2  0 (d) Gọi I (1;1); J(2; 1)  P  MI 2  MJ 2  2 ME 2 

IJ 2 2

 1  (với E  ;0  là trung điểm của IJ)  2 

Do đó Pmin  MEmin hay M là hình chiếu vuông góc của E xuống d, khi đó EM : x  2 y 

1 0 2

13  7 3  M  EM  d  M  ;   a  b  . Chọn A. 10  10 5 

Câu 28: Ta có   z  1  i  z    1  i nên z  1  2i    1  i  1  2i    2  i Khi đó z  1  2i  5    2  i  5 nên  max  2 5    4  2i Suy ra z    1  i  4  2i  1  i  3  3i  z  32  (3) 2  3 2 . Chọn B. Câu 29: Xét hai cách giải: Cách 1: Gọi z  x  yi ( x, y  )  M ( x, y ) Và A(1;0), B(1;0) . Ta có z  1  x  yi  1  x 2  y 2  1

 M thuộc đường tròn đường kính AB.  MA2  MB 2  AB 2  4 . Khi đó, theo Bunhiacopxki, ta có T  MA  2 MB  (12  22 )( MA2  MB 2 )  5.4  2 5

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức maxT=2 5 . Chọn A. Cách 2: Đặt z  x  yi (x, y  )  z  1  (x  1) 2  y 2 và z  1  (x  1) 2  y 2 Mặt khác z  1  x 2  y 2  1  x 2  y 2  1 , khi đó

T  (x  1) 2  y 2  2 ( x  1) 2  y 2  (12  22 ) ( x  1) 2  y 2  ( x  1) 2  y 2   10( x 2  y 2  1)  10.2  2 5  max T  2 5

Câu 30: z 2  2 z  5  ( z  1) 2  4  ( z  1) 2  (2i ) 2  ( z  1  2i )( z  1  2i )  z  1  2i Khi đó, giả thiết  ( z  1  2i )( z  1  2i )  ( z  1  2i )( z  3i  1)    z  1  2i  z  3i  1

TH1. Với z  1  2i , ta có w  z  2  2i  1  2i  2  2i  1  w  1 TH2. Với z  1  2i  z  3i  1 (*), đặt z  x  yi (x, y  ) , ta có (*)  x  1  ( y  2)i  x  1  ( y  3)i  ( x  1) 2  (y  2) 2  ( x  1) 2  (y  3) 2  y  

1 2

1 3 9 3 Do đó w  z  2  2i  x  i  2  2i  x  2  i  w  ( x  2) 2   2 2 4 2

So sánh hai trường hợp, ta được giá trị nhỏ nhất của  bằng 1. Chọn A. Câu 31: Đặt z  x  yi (x, y  ) nên z 2  i  1  ( z  yi ) 2  i  1  x 2  y 2  (2 xy  1)i  1  ( x 2  y 2 ) 2  (2 xy  1) 2  1  x 2  y 2  2 xy  x 2  y 2  2 xy  x  y  2( x 2  y 2 )  x 2  y 2  2  z  2 . Chọn D.

Câu 32: Ta có iz 

2 2  iz   4  iz  i  1  iz  i  1  4  z  1  i  z  1  i  4 1 i i 1

Gọi A(1;1), B(1; 1) có trung điểm là O(0;0) . Điểm M biểu diễn số phức z 2

Theo công thức trung tuyến thì z  OM 2  Ta có MA  MB 2

 MA  MB   2



MA2  MB 2 AB 2  2 4

8 8 42 2  8 . Do đó z    2  z  2 2 4 2

Lại có 4  z  1  i  z  1  i  z  1  i  z  1  i  2 z  z  2 Vậy M  2; m  2  M .m  2 2 . Chọn C. Câu 33: Đặt z  x  yi (x, y  ) , khi đó 

z  2i x  ( y  2)i  x  ( y  2)i  x  2  yi    z2 x  2  yi ( x  2) 2  y 2

x 2  y 2  2 x  2 y  2( x  y  2)i là số ảo  x 2  y 2  2 x  2 y  0  x 2  y 2  2( x  y ) 2 2 ( x  2)  y

Suy ra 2( x  y )  x 2  y 2 

( x  y)2  ( x  y ) 2  4( x  y )  0  x  y  4 2

Ta có P  z  1  z  i  ( x  1) 2  y 2  x 2  ( y  1) 2  x 2  y 2  2 x  1  x 2  y 2  2 y  1  2 y  1  2 x  1  2 x  y  1  2 4  1  2 5 . Vậy Pmax  2 5 . Chọn C.

Câu 34: z.z  1  z  1 nên tập hợp biểu diễ số phức z là đường tròn (C1 ) tâm O, R = 1 Lại có z  3  i  m nên tập hợp biểu diễn số phức z là đường tròn (C2 ) tâm I ( 3;  1), R'  m

OI  R  R ' m  1 Yêu cầu bài toán  (C1 ), (C2 ) tiếp xúc trong hoặc tiếp xúc ngoài    OI  R  R ' m  3 Chọn A. Câu 35: Đặt z  x  yi (x, y  ) , ta có 2 z  1  z  z  3  2 x  1  2 yi  2 x  3 2

 y2  y2 2  (2 x  1)  (2 y )  (2 x  3)  x   1  z  8  ( x  8) 2  y 2    9   y 2 2  2  2

 y2  1 1 Xét hàm số f ( x)    9   y 2  y 4  8 y 2  81  ( y 2  16) 2  17  17 4 4  2 

y  4  x  7 Suy ra min f ( y )  17 . Dấu bằng xảy ra khi y 2  16    y  4  x  7 Vậy tổng hai phần thực của hai số phức là 14. Chọn C. Câu 36: z  x 2  4 y 2 mà z  1  x 2  4 y 2  1 (*) Lại có P  x  y  y  x  P thế vào (*), ta được x 2  4( x  P) 2  1  x 2  4 x 2  8 Px  4 P 2  1  5 x 2  8 P.x  4 P 2  1  0 (**)

Phương trình (**) có nghiệm   '  (4 P) 2  5(4 P 2  1)  0  5  4 P2  0  

5 5 5 5 P  min P   ; max  . Chọn A. 2 2 2 2

Câu 37: Đặt z  x  yi (x, y  )  z  2  ( x  2) 2  y 2 ; z  2  ( x  2) 2  y 2 Mặt khác z  1  x 2  y 2  1  x 2  y 2  1 , khi đó

T  ( x  2) 2  y 2  2 ( x  2) 2  y 2  (12  22 ) ( x  2) 2  y 2  ( x  2) 2  y 2   10( x 2  y 2  4)  10.5  5 2  max T  5 2

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức T là T  5 2 . Chọn D.