https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Câu lạc bộ Giáo viên trẻ Tp. Huế Biên tập: LÊ BÁ BẢO (Huế)
H Ơ
N
Tác giả: PHẠM THANH PHƯƠNG
N
CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
ĐỊNH NGHĨA
ẠO
Cho hàm số f liên tục trên K và a, b là hai số thực bất kì thuộc K . Nếu F là một nguyên
a
a
gọi là tích phân của f trên đoạn [ a; b ] .
H
∫ f ( x ) dx. Nếu a < b thì ∫ f ( x ) dx
b
b
3
f ( x ) dx là một nguyên hàm bất kỳ của f nên ta có
b
∫ a
2+
∫
10
a
Vì
B
∫ f ( x ) dx = F ( x ) a = F ( b ) − F ( a )
00
trên K thì
TR ẦN
b Hiệu số F ( b ) − F ( a ) còn được ký hiệu là F ( x ) , do đó nếu F là một nguyên hàm của f a
f ( x ) dx =
b
( ∫ f ( x ) dx ) a
ẤP
Ta gọi a là cận dưới, b là cận trên, x là biến lấy tích phân, f là hàm số dưới dấu tích
A
C
phân, f ( x ) dx là biểu thức dưới dấu tích phân.
Ó
Tích phân chỉ phụ thuộc vào 2 cận tích phân và biểu thức dưới dấu tích phân, nó không
Í-
H
phụ thuộc vào biến lấy tích phân, tức là: b
b
b
a
ÁN
-L
∫ f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt =∫ f ( u ) du = F ( b ) − F ( a ) a
a
Ví dụ 3
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
1 1 1 1 2 1 3 1: I = ∫ 4 x + dx = 2 x + ln 2 x − 1 1 = 18 + ln 5 − 2 + ln1 = 16 + ln 5 2x −1 2 2 2 2 1
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
b
Ư N
b
G
Đ
hàm của f trên K thì hiệu số F ( b ) − F ( a ) gọi là tích phân của f từ a đến b , ký hiệu
TO
http://daykemquynhon.ucoz.com
1.
TP .Q
I. ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
U
Y
Chủ đề 2: TÍCH PHÂN
3
Ví dụ 2: I = ∫ 1
( x − 1) x
2
3
dx = ∫ 1
3 x2 3 x2 − 2x + 1 1 dx = ∫ x − 2 + dx = − 2 x + ln x x x 2 1 1
9 1 = − 6 + ln 3 − − 2 + ln1 = ln 3 2 2
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
y4 2 2 Ví dụ 3: I = ∫ y 3 + 2 y − dy = + y 2 − 2 ln y y 4 1 1
N
2
N
π
)
(
)
Ví dụ 5: I = ∫ 4 + cot 2 s ds = ∫ 3 + 1 + cot 2 s ds = ( 3s − cot s ) π
π
2
2
2
U TP .Q
H
Ư N
3π 3π −3π − 4 = − 1 − − 0 = 4 4 2
TÍNH CHẤT
TR ẦN
2.
4
π
Với 2 hàm số f , g liên tục trên K và a, b, c là 3 số thực bất kỳ thuộc K , ta có:
a b
B
10
b
3
b
b
b
a
a
f ( x ) ± g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx a∫
∫ k . f ( x ) dx = k .∫ f ( x ) dx, k ∈ ℝ a
A
a
b
a∫
a
f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx
ẤP
b
•
c
2+
a∫
c
f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx
b
C
b
•
00
a f ( x ) dx = 0 a∫
•
H
Ó
Dùng định nghĩa tích phân, ta chứng minh được 2 tính chất sau: Nếu f ( x ) ≥ 0 trên [ a; b] thì
-L
Í-
•
b
∫ f ( x ) dx ≥ 0 . a
Nếu f ( x ) ≥ g ( x ) trên [ a; b] thì
b
∫
b
f ( x ) dx ≥ ∫ g ( x ) dx .
a
a
TO
ÁN
•
II. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
1.
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
(
π
ẠO
4
Đ
π
4
G
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
π
Y
cos 2t 1 1 Ví dụ 4: I = ∫ ( 2 cos t − sin 2t ) dt = 2sin t + 2 = 2 − −0 + =1 2 2 2 0 0 2
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
π
H Ơ
1 27 = ( 4 + 4 − 2 ln 2 ) − + 1 − 2 ln1 = − 2 ln 2 4 4
PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH, ĐƯA VỀ TÍCH PHÂN ĐƠN GIẢN
- Phương pháp này tính được các tính phân hàm đa thức, hàm có chứa dấu trị tuyệt đối,
1 số hàm lượng giác đơn giản.
- Để tính tích phân theo phương pháp này, cần phải nắm định nghĩa tích phân, các tính chất tích phân và thuộc bảng nguyên hàm để có thể biến đổi hàm dưới dấu tích phân về các hàm thường gặp. Từ đó, học sinh có thể linh hoạt đưa bài toán mới về những bài toán cơ bả n .
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
x
A ( x + 1) + B A B x + , ∀x ≠ −1 ⇔ = , ∀x ≠ −1 2 2 2 x + 1 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1)
ẠO
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
U
TP .Q
1 1 1 1 1 dx = ln x + 1 + Khi đó: I = ∫ − = ln 2 − 2 x + 1 ( x + 1) 2 x + 1 0 0 1
=
1 1 − , các này hiệu quả hơn. x + 1 ( x + 1)2
Ư N
( x + 1)
2
dx
Gợi ý: Với mọi x ∈ [ 0;1] , ta có:
1 2x 4 x ( x + 1) x 2 + x x 2 − 4 + x + 4 . = 2 = = 1+ . 2 + 2 2 2 x −4 x −4 x −4 2 x −4 x −4
1
1
1
1
)
C
0
(
2 1 1 1 d x −4 ( x + 2) − ( x − 2) + ∫0 ( x + 2 ) ( x − 2) dx 2 ∫0 x 2 − 4
ẤP
1
= ∫ dx +
2+
3
10
4 1 2x 4 1 2x dx Lúc đó: I = ∫ 1 + . 2 + 2 +∫ 2 dx = ∫ dx + ∫ 2 2 x −4 x −4 2 0 x −4 0 x −4 0 0
)
A
Ó
Í-
0
(
2 1 1 1 d x −4 1 1 + − dx 2 ∫ ∫ 2 0 x −4 x−2 x+2 0
H
1
= ∫ dx +
ÁN
-L
1 1 1 1 3 1 x−2 1 = x + ln x 2 − 4 + ln = 1 + ln + ln 0 2 0 2 4 3 x+2 0 2
Ví dụ 3: Tính I =
∫
x 2 − 1 dx
G
−2
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
x2 − 4
x + 1 −1
H
x ( x − 1)
=
TR ẦN
0
( x + 1)
2
B
1
Ví dụ 2: Tính I = ∫
x
00
biến đổi trực tiếp như sau:
G
Đ
Ta tìm ra A, B như trên bằng phương pháp đồng nhất hệ số. Ngoài ra ta có thể phân tích và
TO
http://daykemquynhon.ucoz.com
Y
A =1 A =1 1 1 x ⇔ x = Ax + A + B, ∀x ≠ −1 ⇔ ⇔ . Do đó = − 2 2 A + B = 0 B = −1 ( x + 1) x + 1 ( x + 1)
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
( x + 1)
=
2
H Ơ
x
Gợi ý: Đặt
dx
2
N
( x + 1)
0
N
1
Ví dụ 1: Tính I = ∫
2 2 2 x − 1, khi x − 1 ≥ 0 x − 1, khi x ∈ (−∞, −1] ∪ [1, +∞) = Gợi ý: Ta có: x − 1 = 2 2 2 1 − x , khi x − 1 ≤ 0 1 − x , khi x ∈ [ −1,1]
BỒ
ID Ư
Ỡ N
2
−1
Khi đó: I =
∫
−2
1
2
−1
−1
1
−2
x 2 − 1 dx + ∫ x 2 − 1 dx + ∫ x 2 − 1 dx =
∫(
)
1
(
)
2
(
)
x 2 − 1 dx + ∫ 1 − x 2 dx + ∫ x 2 − 1 dx −1
1
x3 −1 2 x3 1 x 3 = − x + x − + − x = 4 3 −1 3 3 −2 1
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com
Chuyên đề: TÍCH PHÂN π
Ví dụ 4: Tính I = ∫ cos 4 xdx 2
6
Ư N
G
Ví dụ 5: Tính I = ∫ sin x.cos 5 xdx 0
H
1 ( sin 6 x − sin 4 x ) 2
TR ẦN
Gợi ý: Dùng công thức lượng giác: sin x.cos 5 x = π
π
16 1 cos 6 x cos 4 x 1 + ( sin 6 x − sin 4 x ) dx = − 6 =− 2 ∫0 2 6 4 48 0
00
B
Ta có: I =
3
3
4
Bài tập 4. Tính I = ∫ sin 2 xdx
A
0
H
π
4
3x 2 − 1 dx x2 − 9 0
Ó
0
2
Bài tập 2. Tính I = ∫ π
C
Bài tập 3. Tính I = ∫ 1 − x dx
2+
1
2x + 1 dx 2 x + 4x + 4
ẤP
2
Bài tập 1. Tính I = ∫
10
Bài tập tương tự:
(
)
-L
Í-
Bài tập 5. Tính I = ∫ 4cos 4 x − 3cos 2 x dx 0
Một số bài toán đơn giản không cần phải đưa ra biến mới, tức là không cần đặt t = t ( x ) ,
TO
-
PHƯƠNG PHÁP DÙNG VI PHÂN ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN
ÁN
2.
G
biến lấy tích phân vẫn là biến x , cận lấy tích phân không đổi. Nói cách khác, ta có thể trình
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
Đ
π
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
1 1 sin 4 x π 3π + 2sin 2 x + 3 x = ( cos 4 x + 4 cos 2 x + 3) dx = ∫ 80 8 4 8 0
ẠO
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
π
Khi đó: I =
N
TP .Q
1 + cos 4 x + 2 cos 2 x + 1 cos 4 x + 4 cos 2 x + 3 2 = = 4 8
H Ơ
cos 2 2 x + 2 cos 2 x + 1 1 + cos 2 x = = 2 4
Y
)
2
U
(
Gợi ý: Dùng công thức lượng giác: cos 4 x = cos 2 x
N
0
BỒ
ID Ư
Ỡ N
bày gọn bằng công thức vi phân dt ( x ) = t ' ( x ) dx . Cách làm này ngắn gọn, hiệu quả trong rất nhiều bài toán tích phân.
-
Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) và t = t ( x ) là một hàm của biến x thì b
b
∫ f t ( x ) dt ( x ) = F t ( x ) a a
Chẳng hạn với t là hàm bậc nhất t = t ( x ) = α x + β ( a ≠ 0 ) thì
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com
Chuyên đề: TÍCH PHÂN b
∫
f (α x + β ) dx =
a
b
1
b
1
f (α x + β ) df (α x + β ) = .F (α x + β ) a α∫ α a
N
π
H Ơ
4
Ví dụ 1: Tính I = ∫ tan xdx
π
)
(
)
H
Ư N
G
1 ex +1 − ex 1 1 1 1 d ex + 1 dx ex = dx = dx − dx = dx − ∫0 ∫0 e x + 1 ∫0 ∫0 e x + 1 e x + 1 ∫0 ex + 1 0
1
TR ẦN
1 1 2e = x − ln e x + 1 = 1 − ln ( e + 1) + ln 2 = ln 0 0 1+ e π
1 − 2sin 2 x dx 1 + sin 2 x 0 4
00 10
π
B
Ví dụ 3: Tính I = ∫
π
π
cos 2 x 1 4 d (1 + sin 2 x ) 1 1 dx = ∫ = ln 1 + sin 2 x 4 = ln 2 1 + sin 2 x 2 1 + sin 2 x 2 2 0 0 0 4
3
C
Ví dụ 4: Tính I = ∫ 2 x + 3dx
ẤP
2+
3
Gợi ý: I = ∫
Ó
A
1
3
3
ÁN
-L
Í-
H
3 1 1 1 ( 2 x + 3) 2 3 ( 2 x + 3) 2 3 27 − 5 5 = = Gợi ý: I = ∫ ( 2 x + 3) 2 d ( 2 x + 3) = . 3 1 1 21 2 3 3 2 ln 3
Ỡ N
G
TO
Ví dụ 5: Tính I =
ID Ư
e x dx
∫
x 3
(1 + e )
0
ln3
∫ 0
ln 3
e x dx
(1 + e ) x
3
=
3 x 2
x
∫ (1 + e ) d (1 + e ) 0
(1 + e ) =
x
−
−
1 2
1 2
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
(
Đ
x
Gợi ý: I = ∫
Gợi ý: I =
BỒ
ẠO
dx e +1 0
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
1
Ví dụ 2: Tính I = ∫
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
π
4 d ( cos x ) sin x 2 Gợi ý: I = ∫ tan xdx = ∫ = ln 2 dx = − ∫ dx = − ln cos x 4 = − ln cos x cos x 2 0 0 0 0 4
U
π
4
TP .Q
π
Y
N
0
ln 3 −2 ln 3 = = 2 −1 0 1 + ex 0
Bài tập tương tự: π 4
Bài tập 1. Tính I = ∫ cot xdx 0
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
π 3
Bài tập 2. Tính I = ∫ 0
2 + tan 3 x dx cos 2 x
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com
Chuyên đề: TÍCH PHÂN π
0
3
2cos 2 x − 1 dx 3 + sin 2 x
4x − 3 dx 2 x − 3x + 1 2
Bài tập 4. Tính I = ∫
2
N
6
Bài tập 3. Tính I = ∫
∫e
x
H Ơ
ln 6
Bài tập 5. Tính I =
e x + 3dx
N
0
U
Y
3. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
ẠO
a
Ư N
G
y = a x , y = e x , hàm lôgarit y = logax, y = lnx, hàm lượng giác y = sin x , y = cos x thì ta sử
H
dụng phương pháp tích phân từng phần, tức là biến đổi f(x)dx về dạng u ( x ) v ' ( x ) dx .
b
b
a
a
TR ẦN
- Việc lựa chọn u và dv phải thỏa mãn các điều kiện sau: du đơn giản, v dễ tìm, tích
B
phân mới ∫ vdu đơn giản hơn tích phân ban đầu ∫ udv . Chọn hàm để đặt bằng u theo thứ tự
1
(
10
00
ưu tiên giảm dần như sau: hàm lôgarit, hàm lũy thừa, hàm số mũ, hàm lượng giác.
)
2+
0
3
Ví dụ 1: Tính I = ∫ x.ln 1 + x 2 dx
)
ẤP
(
C
Gợi ý: Đặt u = ln 1 + x 2 , dv = xdx , ta có: du =
A
1 1 1 x3 ln 2 1 x2 x ln 1 + x 2 − ∫ dx = − x− dx = − + ln 2 2 2 ∫ 0 0 1+ x 2 2 0 1+ x 2
)
Ó
(
H
Khi đó: I =
2x x2 dx, chọn v = 2 1+ x 2
Í-
1 ln 2 1 ln 2 1 ln 2 x 2 1 − − ln 1 + x 2 = − − = − + ln 2 2 2 2 2 2 2 2 0
(
ÁN
-L
=
)
1
TO
Ví dụ 2: Tính I = ∫ x 2 .e− x dx 0
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
Gợi ý: Đặt u =x2, dv = e-xdx, ta có: du = 2xdx, chọn v = -e-x
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
Đ
- Nếu hàm số f(x) là tích của 2 trong 4 hàm: hàm lũy thừa y=xa , hàm số mũ
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
b b b b − ∫ v ( x ) u ' ( x )dx . Viết gọn: ∫ udv = [uv ] − ∫ vdu a a a a a
b
∫ u ( x )v ' ( x ) dx = u ( x ) v ( x )
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
b
TP .Q
- Cho các hàm số u(x), v(x) có đạo hàm liên tục trên K và hai số thực a, b thuộc K , ta có:
(
−x
Khi đó: I = −e .x
2
)
1
1
1
1 + 2 ∫ x.e dx = − + 2 K , với K = ∫ x.e − x dx 0 0 e 0 −x
Tính K: Đặt u = x2, dv = e-xdx, ta có: du = dx, chọn v = -e-x.
(
Khi đó: K = − x.e − x
)
1 1 1 1 1 2 + ∫ e − x dx = − − e − x = − − − 1 = − + 1 0 0 0 e e e e
1
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
5 Vậy I = − + 2 e 2
N
ln x dx x3 1
N Y
Đặt u = x (1 − ln x ) , dv =
x.ln 2 x
e
G
x (1 − ln x )
∫
Ư N
e2
dx
H
1 − ln x dx = Gợi ý: I = ∫ ln 2 x e
1 1 dx , ta có du = − ln xdx , chọn v = − 2 x.ln x ln x
TR ẦN
e2
Đ
1 1 Ví dụ 4: Tính I = ∫ 2 − dx ln x ln x e
2
x (1 − ln x ) e 2 e e2 e2 Khi đó: I = − ∫ dx = − e 2 − e = e − ln x 2 2 e e
B
)
2
dx
( x + 1)
2
, ta có: du =
dx 1 , chọn v = − . Khi đó: x x +1
C
Gợi ý: Đặt u = 3 + ln x, dv =
dx
3
1 ( x + 1)
2+
3 + ln x
ẤP
3
Ví dụ 5: Tính I = ∫
10
00
(
Ó
A
3 3 3 + ln x 3 3 + ln 3 3 1 3 − ln 3 27 dx x 3 1 1 dx = +∫ =− + + ∫ − + ln = 3 + ln 4 2 1 x x +1 4 16 x + 1 1 1 x ( x + 1) x +1 1 4
Í-
H
I=
ÁN
-L
Bài tập tương tự:
1
G
TO
Bài tập 1. Tính I = ∫ x.ln ( x + 1) dx
Ỡ N ID Ư
2
)
1
0
π 2
(
Bài tập 2. Tính I = ∫ x 2 + x − 1 e x dx
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
ẠO
e2
Bài tập 3. Tính I = ∫ x.sin xdx
BỒ
TP .Q
2 ln x 2 ln 2 1 2 3 − 2 ln 2 dx + =− − 2 = 2 3 ∫ 2x 1 1 2x 8 4x 1 16
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
Khi đó: I = −
dx dx 1 ,ta có du = , chọn v = − 2 3 x x 2x
U
Gợi ý: Đặt u = lnx, dv =
H Ơ
Ví dụ 3: Tính I = ∫
2
Bài tập 4. Tính I = ∫ x.e x dx
0
1
e
Bài tập 5. Tính I = ∫ ln xdx 1
4. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 1 -
Đặt t = t(x), với x là biến ban đầu, t là biến mới. Khi đổi biến phải đổi cận.
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com
Chuyên đề: TÍCH PHÂN - Cho hàm số t = t(x) có đạo hàm liên tục trên K, hàm số y = g(t) liên tục và hàm hợp t(b)
∫ g t ( x ) .t ' ( x ) dx =
∫ g ( t ) dt
N
b
t( a)
a
H Ơ
g t ( x ) xác định trên K, a và b là hai số thuộc K, ta có
b
N
Các bước thực hiện phép đổi biến số dạng 1 để tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx :
Y U
a
TP .Q ẠO
Đổi cận: x = a ⇒ t = t ( a ) = α , x = b ⇒ t = t ( b ) = β
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
dx = ln x + x 2 ± a + C (đơn giản hơn tích phân đã cho).
Gợi ý: Đặt t = tanx ⇒ dt =
00
)
10
(
π 1 dx. Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0, x = ⇒ t = 1 2 cos x 4
3
0
dx tan x + 3tan x + 2 cos 2 x 2
2+
4
B
π
Ví dụ 1: Tính I = ∫
β α
TR ẦN
Giả sử G ( t ) là một nguyên hàm của g ( t ) thì I = G ( t )
H
x ±a
( t + 2 ) − ( t + 1) dt 1 1 dt = ∫ dt = ∫ 2 t + 3t + 2 t + 1)( t + 2 ) t + 1)( t + 2 ) 0 0 ( 0 (
1
1
1
C
ẤP
Lúc đó: I = ∫
Í-
H
Ó
A
1 1 4 t +1 1 1 = ∫ − = ln dt = ln 3 t +1 t + 2 t+2 0 0
2
x dx x −1 1 1+
ÁN
-L
Ví dụ 2: Tính I = ∫
Gợi ý: Đặt t = x − 1 ⇒ x = t 2 + 1 ⇒ dx = 2tdt. Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 0, x = 2 ⇒ t = 1 1
1
1
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
t2 +1 t3 + t 2 dt = 2 ∫ t 2 − t + 2 − Lúc đó: I = ∫ 2tdt = 2 ∫ dt 1+ t 1+ t 1+ t 0 0 0
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
2
Ư N
1
∫
+ Bước 3: Khi đó:
G
Đ
+ Bước 2: Biến đổi f ( x ) dx = g ( t ) dt
TO
http://daykemquynhon.ucoz.com
+ Bước 1: Đặt t = t(x), suy ra dt = t ' ( x ) dx
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
-
t3 t2 = 2 − + 2t − 2 ln 1 + t 3 2
1 11 = − 4 ln 2. 0 3
π 2
Ví dụ 3: Tính I = ∫ sin 5 xdx 0
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com
Chuyên đề: TÍCH PHÂN π 2
π 2
0
0
(
)
2
Ư N
G
x 1 1 1 x 1 2dt , ta có dt = . dx = 1 + tan 2 dx = (1 + t 2 ) dx ⇒ dx = x 2 2 cos 2 2 2 2 1+ t2 2
dx
∫x
x2 + 1
8
Gợi ý: I =
∫x
2
, đặt t = x 2 + 1 , ta có t 2 = x 2 + 1 ⇒ 2tdt = 2 xdx ⇒ xdx = tdt
x +1
Ó
A
Đổi cận: x = 3 ⇒ t = 2, x = 8 ⇒ t = 3
H
(
)
-L
2
3 3 1 1 1 1 t −1 3 1 3 tdt dt = = − = ln dt = ln ∫ ∫ 2 2 t +1 2 2 2 t − 1 t 2 ( t − 1)( t + 1) 2 2 t − 1 t + 1
Í-
3
Khi đó: I = ∫
ÁN
Bài tập tương tự:
1
Ỡ N
G
TO
Bài tập 1. Tính I = ∫ (1 − x ) dx 7
ID Ư
2
e x (1 + x) dx 2 + xe x 0
Bài tập 2. Tính I = ∫
0
π 1
Bài tập 3. Tính I = ∫ x ( 2 x − 1) dx
BỒ
1 1 1 = t+2 0 6
C
3
xdx 2
(t + 2)
dt = −
2+
3
0
2
3
Ví dụ 5: Tính I =
) + 5 (1 + t )
1
00
8
8t + 3 1 − t
2
10
(
2
dt = ∫
ẤP
0
1
2
B
1
Khi đó: I = ∫
TR ẦN
H
π 2t 1− t2 , cos x = . Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0, x = ⇒ t = 1 Ta có: sin x = 2 2 1+ t 1+ t 2
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
Đ
0
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
1 dx 4sin x + 3cos x + 5
Ví dụ 4: Tính I = ∫ Gợi ý: Đặt t = tan
)
Y
(
1
π 2
H Ơ
1 2t 3 t 5 1 8 dt = ∫ 1 − 2t 2 + t 4 dt = t − + = 3 5 0 15 0
2
U
)
⇒t =0
TP .Q
(
2
ẠO
0
Khi đó: I = − ∫ 1 − t 2
π
N
Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx. Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1, x =
N
Gợi ý: I = ∫ sin 4 x.sin xdx = ∫ 1 − cos 2 x .sin xdx
10
2
Bài tập 4. Tính I = ∫ sin 2 x.cos 2 xdx π
0
3 8
Bài tập 5. Tính I = ∫ 0
5.
x dx 1+ x
PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 2 - Đặt x = x(t), với biến x là biến ban đầu, t là biến mới. Khi đổi biến phải đổi cận.
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com
Chuyên đề: TÍCH PHÂN - Cách này áp dụng cho 1 số bài toán đặc thù mà không thể hoặc gặp khó khăn khi áp dụng phương pháp phân tích, phương pháp đổi biến dạng 1 hoặc tích phân từng phần. Sau đây,
H Ơ N
π π Nếu f(x) chứa 1 − x 2 , đặt x = sin t, t ∈ − ; hoặc x = cos t , t ∈ [ 0, π ] . 2 2
Y TP .Q
U
a 2 − x 2 ( a > 0 ) , đặt x = a sin t hoặc x = a cos t . 2
x 2 − 1 , đặt x =
Nếu f(x) chứa
1 1 π π π , t ∈ − ; \ {0} hoặc x = , t ∈ [ 0; π ] \ cos t sin t 2 2 2
(α x + β )
2
+a
2
(α x + β )
hoặc f(x) chứa
Ư N 2
+ a 2 ( a ≠ 0 ) , đặt α x + β = a tan t b
C
Các bước thực hiện phéo đổi biến số dạng 2 để tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx :
Ó
A
a
Í-
H
+ Bước 1: Đặt x = x ( t ) , suy ra dx = x ' ( t ) dt .
-L
Đổi cận: x = a ⇒ t = α , x = b ⇒ t = β
ÁN
+ Bước 2: Biến đổi f ( x ) dx thành g ( t ) dt .
∫
1 2
dx = ln x + x 2 ± a + C (đơn giản hơn tích phân đã cho). Giả sử
x ±a
Ỡ N
G
TO
+ Bước 3: Khi đó
ID Ư
G ( t ) là một nguyên hàm của g ( t ) thì I = G ( t )
BỒ
H
B
3
1
x 2 + a 2 ( a > 0 ) , đặt x = a tan t
2 2
Ví dụ 1: Tính
∫ 0
x2 1 − x2
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
1 hoặc f(x) chứa x + a2 2
π π x 2 + 1 , đặt x = tan t , t ∈ − , . 2 2
ẤP
f ( x) =
2
a a hoặc α x + β = . sin t cos t
00
1 hoặc f(x) chứa x +1
N ếu f ( x ) =
f ( x) =
− a 2 ; ( a > 0 ) , đặt α x + β =
2+
o
2
10
(α x + β )
a a hoặc x = . sin t cos t
TR ẦN
x 2 − a 2 ( a > 0 ) , đặt x =
G
Đ
o
ẠO
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
a 2 − (α x + β ) ; ( a > 0 ) , đặt α x + β = a sin t hoặc α x + β = a cos t .
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
o
N
là một số gợi ý cho các trường hợp cụ thể:
β α
dx
π π Gợi ý: Đặt x = sin t , t ∈ − ; , ta có: dx = cos tdt , 1 − x 2 = 1 − sin 2 t = cos 2 t = cos t 2 2
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
π 2 ⇒t= 2 4 π
π
π
Y
N
H Ơ
sin 2 t.cos tdt 4 2 14 1 1 π 1 Khi đó: I = ∫ = ∫ sin tdt = ∫ (1 − cos 2t ) dt = t − sin 2t 4 = − . cos t 20 2 2 0 8 4 0 0 4
2
TP .Q
U
Ví dụ 2: Tính I = ∫ x 2 4 − x 2 dx
π
π
3 sin 4t 2 2π I = ∫ 4sin 2 t.2 cos t.2 cos tdt = 4 ∫ sin 2 2tdt = 2 ∫ (1 − cos 4t ) dt = 2 t − + π = 4 3 4 π π π 6 6 6 6 2
2
∫
3
π π 2 1 − cos t π π ⇒t = . dt . Đổi cận: x = 1 ⇒ t = , x = , t ∈ − ; ⇒ dx = 2 2 3 sin t sin t 3 2 2
2+
Gợi ý: Đặt x =
x2 −1
10
1
dx
B
Ví dụ 3: Tính I =
00
2 3
TR ẦN
H
2
ẤP
3
Ó
A
C
Ta có:
π cos t dt 2 2 dt 1 cos t . Ta có 2 cách sau: . Khi đó: I = − ∫ sin t = ∫ x2 −1 = −1 = 2 cos t sin t sin t π π sin t 2 3 sin t π
ÁN
-L
Í-
H
t π π π π 2 d tan 12 dt 12 dt t 2 = ln tan 2 = ln 3 = = Cách 1: I = ∫ 2 π sin t cos t 2 π∫ tan t cos 2 t π∫ tan t 2 π 3 3 3 2 2 2 2 2 3
Ỡ N
G
TO
Cách 2: Đặt u = tan
ID Ư
1
∫ 1 3
2du = 2u
t 1 t 1 2du 2u . Khi ⇒ du = 1 + tan 2 dt = 1 + u 2 dt ⇒ dt = , sin t = 2 2 2 2 2 1+ u 1+ u2
(
)
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
π
Ư N
π
đó: I =
BỒ
Đ
4 − x 2 = 4 − sin 2 t = 2 cos 2 t = 2 cos t = 2 cos t . Khi đó:
G
Ta có:
ẠO
π π π π Gợi ý: Đặt x = 2 sin t , t ∈ − ; , ta có dx = 2 cos tdt . Đổi cận: x = 1 ⇒ t = , x = 2 ⇒ t = 6 2 2 2
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
1
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
π
N
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0, x =
1 du ∫1 u = ln u 1 = ln 3 3 3 1
1
1 dx 2 1 + x 0
Ví dụ 4: Tính I = ∫
1 π π dt = 1 + tan 2 t dt Gợi ý: Đặt x = tan t , t ∈ − ; , ta có: dx = 2 cos t 2 2
(
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
)
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com
Chuyên đề: TÍCH PHÂN π
1 + tan t
0
2
H Ơ N
π π dx. Đặt x + 3 = 2 tan t , t ∈ − ; , ta có dx = 2 1 + tan 2 t dt 2 2 +4
(
π 4
4
. Khi đó: I = ∫ 0
(
2 1 + tan 2 t 2
) dt = 1
π 4
π
dt = . 2∫ 8
4 tan t + 4
0
Bài tập 1. Tính I = ∫ 1 − x dx
Bài tập 2. Tính I = ∫ x 4 9 − x 2 dx
2
0
0
1 − x2
−1
1
dx x 1 + ln 2 x
(
)
B
0
∫
Bài tập 4. Tính I = ∫
dx
00
1 2
e
dx
3 − x2 − 2x
10
Bài tập 3. Tính I = ∫
TR ẦN
H
0
2+
3
MỘT SỐ LƯU Ý VỀ PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
ẤP
- Các phép đổi biến sau đây có thể xem là đổi biến dạng 1, cũng có thể xem là đổi biến
π 2
− x, t = π − x,...
A
C
dạng 2, cách đặt t = t ( x ) hoặc x = x ( t ) rất đơn giản, chẳng hạn: t = − x, t =
H
Ó
Các biến đổi thường gặp:
α
Đổi biến với I để có I = α + β .I ⇒ I =
o
Đổi biến với I, ta có 2 I = I + I = K ⇒ I =
1− β
với α , β ∈ ℝ, β ≠ 1
1 K , với K là tích phân đơn giản. 2
TO
ÁN
-L
Í-
o
o
Biến đổi I thành tổng I = I1 + I 2 , thực hiện phép đổi biến đối với I1 hay I 2 ta được
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
3
Ư N
1
G
Bài tập tương tự:
Bài tập 5. Tính I =
)
Đ
Đổi cận: x = −3 ⇒ t = 0, x = −1 ⇒ t =
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
0
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
1
∫ ( x + 3)
π
6.
π
∫ dt = 4
1 dx + 6 x + 13
−3
http://daykemquynhon.ucoz.com
4
Y
−1
Gợi ý: I =
2
π
U
−3
2
2
TP .Q
∫x
. Khi đó: I = ∫
(1 + tan t ) dt =
ẠO
−1
Ví dụ 5: I =
4
4
N
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0, x = 1 ⇒ t =
π
Ỡ N
G
I1 = − I 2 hay I1 + I 2 = K , với K là tích phân đơn giản.
BỒ
ID Ư
- Học sinh cần đặc biệt chú ý đến tính chẵn, lẻ của hàm f(x). Ta xét 3 loại tích phân sau: a
Loại 1: Tích phân
∫ f ( x ) dx , với a > 0, f ( x ) là hàm lẻ trên đoạn [ −a; a] , tức là −a
f ( − x ) = − f ( x ) , ∀x ∈ [ −a; a ] Cách giải:
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com
Chuyên đề: TÍCH PHÂN 0
a
f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = I1 + I 2
−a
a
a
0
−a
N
−a
∫x
10
ẠO
1
sin xdx
Đ
−1
0
1
0
−1
0
−1
1
0
TR ẦN
H
Cách 1: I = ∫ x10 sin xdx + ∫ x10 sin xdx = I1 + I 2 , trong đó I1 = ∫ x10 sin xdx, I 2 = ∫ x10 sin xdx . Đối với I1 : đặt t = -x, ta có dt = − dx, sin x = − sin t , x10 = t 10 .
0
1
1
1
0
0
B
Đổi cận: x = −1 ⇒ t = 1, x = 0 ⇒ t = 0.
10
00
Khi đó: I1 = ∫ t10 .sin tdt = − ∫ t10 .sin tdt = − ∫ x10 .sin xdx = − I 2 . Suy ra I = 0
2+
3
Cách 2: Đặt t = − x , ta có dt = − dx, sin x = − sin t , x10 = t 10 .
−1
ẤP
Đổi cận: x = −1 ⇒ t = 1, x = 1 ⇒ t = −1. 1
Khi đó: I = ∫ t .sin tdt = − ∫ t10 .sin tdt = − I . Suy ra 2 I = 0 ⇔ I = 0 .
C
10
−1
Ó
A
1
a
f ( x)
∫k
x
−a
+1
dx , với a > 0, k ∈ ℝ, f ( x ) là hàm chẵn trên đoạn [ −a; a ] ,
-L
Í-
H
Loại 2: Tích phân I =
ÁN
tức là f ( − x ) = f ( x ) , ∀x ∈ [ −a; a ] . 0
TO
Cách 1: (tách thành 2 tích phân) I =
f ( x)
∫k
x
G
−a
f ( −t )
+1
f ( x)
a
dx + ∫ 0
k x +1
dx = I1 + I 2 .
a t a f (t ) k . f (t ) k x. f ( x) Với I1 : đặt t = − x ⇒ I1 = − ∫ − t dt = ∫ dt = ∫ dt = ∫ dx 1 k +1 1+ kt 1+ k x a 0 0 0 + 1 kt 0
Ỡ N ID Ư
BỒ
Ư N
G
Gợi ý:
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
⇒ 2I = 0 ⇒ I = 0
Ví dụ: Tính I =
Y
a
∫ − f ( t ) dt = − ∫ f ( t ) dt = − I
U
a
a
TP .Q
−a
Cách 2: (Tính trực tiếp) Đặt t = − x ⇒ I = − ∫ f ( −t ) dt =
H Ơ
Với I1 : đặt t = − x ⇒ I1 = − ∫ f ( −t ) dt = − ∫ f ( x ) dx = − I 2 ⇒ I = 0
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
0
0
N
∫
Cách 1: (Phân tích thành 2 tích phân) I =
a
⇒ I = I1 + I 2 = ∫ 0
k x. f ( x) 1+ k x
a
dx + ∫ 0 −a
Cách 2: Đặt t = − x ⇒ I = − ∫ a
f ( x) k x +1
f ( −t ) k −t + 1
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
a
a
dx = ∫ f ( x ) dx. 0 a
dt =
∫ −a
a a f (t ) k t . f (t ) k x. f ( x) dt = ∫ dt = t ∫a 1 + k x dx 1 1 + k − a − +1 kt
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com
Chuyên đề: TÍCH PHÂN a
f ( x)
∫ 1+ k
Khi đó: 2 I = I + I =
x
a
dx +
∫
1+ k x
−a
a
dx =
∫
a
f ( x ) dx ⇒ I =
−a
1 f ( x ) dx 2 −∫a
N
−a
k x. f ( x)
1
cos xdx ex + 1 −1
H Ơ
∫
N
Ví dụ: I =
)
U
H
Cách 2: Đặt t = − x , ta có dt = − dx, cos x = cos t. Đổi cận: x = −1 ⇒ t = 1, x = 1 ⇒ t = −1. −1
1
1
1
00
B
et .cos tdt e x .cos xdx cos tdt cos tdt = = = ∫1 e−t + 1 −∫1 1 ∫ 1 + et −∫1 1 + e x −1 + 1 et
10
Khi đó: I =
1
1
2+
3
1 1 cos xdx e x .cos xdx + ∫−1 e x + 1 −∫1 1 + e x = ∫−1 cos xdx = sin x −1 = 2sin1 ⇒ I = sin1.
ẤP
Suy ra: 2 I = I + I =
a
Loại 3: Tích phân I = ∫ f ( x ) dx , với a = π ,
π
C
2
;... và f ( x ) có chứa các hàm lượng
A
0
H
Ó
giác
-L
Í-
Cách giải: Ta thử đặt t = a − x , khi biến đổi hàm f ( x ) về hàm g ( t ) phải chú ý các cung có liên quan đặc biệt (hai cung bù nhau, phụ nhau,...). Chú ý tính chất của tích phân: b
a
ÁN
b
a
TO
I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt. π
G ID Ư
Ỡ N
0
Đặt t =
π 2
cos 4 x dx cos 4 x + sin 4 x
− x , ta có dt = − dx , đổi cận: x = 0 ⇒ t =
π 2
,x =
π 2
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
0
(
1 1 e x + 1 cos xdx 1 1 e x .cos xdx cos xdx + = = ∫ cos xdx = sin x = sin1. x x x ∫ ∫ 0 0 1+ e e +1 e +1 0 0
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
1
TR ẦN
1
Suy ra: I = ∫
ẠO
1
Đ
1
et .cos tdt e x .cos xdx cos tdt cos tdt = = = ∫0 1 + e x e − t + 1 ∫0 1 + 1 ∫0 1 + et 1 et
G
0
Khi đó: I1 = − ∫
Ư N
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
1
Đối với I1 , đặt t = − x , ta có dt = − dx, cos x = cos t. Đổi cận: x = −1 ⇒ t = 1, x = 0 ⇒ t = 0.
Ví dụ: I = ∫ 2
BỒ
0
1
cos xdx cos xdx cos xdx cos xdx ∫−1 e x + 1 + ∫0 e x + 1 = I1 + I 2 , trong đó I1 = −∫1 e x + 1 , I 2 = ∫0 e x + 1
Cách 1: I =
TP .Q
0
Y
Gợi ý:
⇒ t = 0. Khi đó:
π cos 4 − t π π sin 4 t sin 4 x 2 2 I = − ∫π dt = ∫ 2 dt = ∫0 sin 4 x + cos4 x dx 0 sin 4 t + cos 4 t 4π 4π 2 cos − t + sin − t 2 2 0
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com
Chuyên đề: TÍCH PHÂN π
Suy ra: 2 I = I + I = ∫ 2 0
H Ơ
N
π cos n x dx = , với mọi số tự nhiên n ≠ 0 . n n cos x + sin x 4
1
∫ (e
dx + 1 x2 + 1
Gợi ý: đặt t = − x
)(
x
−1
(
)
) dx
ln x 2 + 1
∫
x
e +1
−1
Y 8
TP .Q
π
.ln 2
Đáp án: I = 0
Đáp án: I =
Gợi ý: đặt t = − x
π 4
Đáp án: I = ln 2 − 2 +
B
1
Bài tập 5. I =
Đáp án: I =
G
Gợi ý: đặt t = − x
2
1
Bài tập 4. I =
4
−x
TR ẦN
−
π
1− x dx 1+ x
Bài tập 3. I = ∫ 21 x 2 .ln
00
III. MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔNG HỢP
10
1. MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ 2
ẤP
α
C
1 β 1 π π dx, s > 0. Đặt x + r = s tan t , t ∈ − ; 2 ∫ α m (x + r) + s 2 2
H
dt 2 = s 1 + tan 2 t dt và ( x + r ) + s = s. (1 + tan 2 t ) 2 cos t
(
)
Í-
Ta có: dx = s .
Ó
A
Ta biến đổi: I =
1 dx, với m ≠ 0; mx 2 + nx + p vô nghiệm. mx + nx + p
3
β
2+
• Bài toán 1: I = ∫
( ) s. (1 + tan t )
-L
s 1 + tan 2 t dt
TO
ÁN
1 t2 Khi đó: I = ∫ m t1
Ví dụ: I = ∫
1
−1
G Ỡ N ID Ư
BỒ
Gợi ý: đặt t =
0
Đáp án: I = 0
ẠO
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
π
Bài tập 2. I = ∫ 4 ln (1 + tan x ) dx
U
Gợi ý: đặt t = − x
Đ
4
Ư N
−
x 7 − x5 + x3 − x dx cos 4 x
H
π
Bài tập 1. I = ∫ 4π
N
Bài tập tương tự:
(
2
=
1 m
t2
1 dt = (t ∫ s m s
− t1 )
1 1 1 π π dx = ∫ dx , đặt x + 1 = 2 tan t , t ∈ − ; 2 − 1 x + 2x + 5 2 2 ( x + 1) + 4 2
)
⇒ dx = 2 1 + tan t dt , x = −1 ⇒ t = 0, x = 1 ⇒ t = 2
• Bài toán 2: I = ∫
β
α
(
2
t1
π 4
π 4 0
;I = ∫
(
)
2 1 + tan 2 t dt 2
4 tan t + 4
π 4 0
=∫
π 2
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
Kết quả: I = ∫
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
π 2 0
π π π π cos 4 x sin 4 x 2 2 + = dx dx dx = . Vậy I = 4 4 4 4 ∫ ∫ 0 sin x + cos x 0 cos x + sin x 2 4
π 1 dt = 2 8
ax + b dx, với m ≠ 0; mx 2 + nx + p vô nghiệm. mx + nx + p 2
)
Ta chú ý mx 2 + nx + p ' = 2mx + n và biến đổi:
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
β a β 2mx + n an β 1 a an dx + b − dx = .ln mx 2 + nx + p + b − .K , 2 2 ∫ ∫ α 2m 2m α mx + nx + p 2m α mx + nx + p 2m β 1 với K = ∫ dx (xem Bài toán 1). 2 α mx + nx + p
ẠO
G
(
Đ
tử là đa thức P ( x ) có bậc lớn hơn hoặc bằng 2 thì ta biến đổi
)
1
)
+ nx + p
k
H
, với R ( x ) có bậc nhỏ hơn 2.
dx, với k nguyên, k ≥ 2 , mx 2 + nx + p vô nghiệm.
00
( mx
2
px + qx + r
B
β
α
Ta biến đổi: I = ∫
px + qx + r
2
π π dx, s > 0 . Đặt x + r = s tan t , t ∈ − ; 2 2 2 m k . ( x + r ) + s 1
β
10
• Bài toán 3: I = ∫
R ( x)
= Q ( x) +
2
TR ẦN
P ( x)
phần dư R ( x ) ), suy ra
Ư N
P ( x ) = Q ( x ) . px 2 + qx + r + R ( x ) (nói đơn giản: chia tử cho mẫu để tìm thương Q ( x ) và
k
2+
3
α
k
2 Ta có: dx = s 1 + tan 2 t dt và ( x + r ) + s = s k . (1 + tan 2 t )
C
( ) ∫ s . 1 + tan t ( )
s 1 + tan 2 t dt
t1
k
Ó
A
t2
2
s = k k m .s
k
H
1 Khi đó: I = k m
)
k
ẤP
(
t2
∫ t1
dt
(1 + tan t ) 2
k −1
s = k k m .s
t1
∫ ( cos t )
2k −2
dt.
t2
-L
Í-
(xem thêm Bài toán 8 sau đây về phương pháp tính tích phân của hàm số cos n t )
Ví dụ: I = ∫
1
(x
2
1
+ 2x + 5
)
2
dx = ∫
1
1
−1
TO
ÁN
−1
( x + 1)2 + 4
2
dx
π π π Đặt x + 1 = 2 tan t , t ∈ − ; ⇒ dx = 2 1 + tan 2 t dt . Đổi cận: x = −1 ⇒ t = 0, x = 1 ⇒ t = ; 4 2 2
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
(
π 4 0
I =∫
(
)
2 1 + tan 2 t dt
( 4 tan
2
t+4
• Bài toán 4: I = ∫
)
π
1 π dt 1 π4 1 π4 1 sin 2t 2 cos = ∫4 = tdt = (1 + cos 2t ) dt = t + 4. 2 ∫ ∫ 0 0 0 8 tan t + 1 8 16 16 2 0
ax + b
β
α
(
2
)
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
Lưu ý: Trong Bài toán 1 và Bài toán 2, f ( x ) là phân thức hữu tỉ có bậc tử nhỏ hơn 2. Nếu
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
TP .Q
U
Y
2
1 1 3 1 dx (xem thêm ví dụ của Bài toán 1) = .ln x 2 + 2 x + 5 +∫ 2 1 − −1 2 x + 2x + 5
http://daykemquynhon.ucoz.com
N
1
H Ơ
1 3 ( x + 1) + 1 1 3x + 4 3 1 2x + 2 1 dx = ∫ 2 dx = ∫ 2 dx + ∫ 2 dx −1 x + 2 x + 5 −1 x + 2 x + 5 −1 x + 2 x + 5 2 −1 x + 2 x + 5
Ví dụ : I = ∫
N
I=
( mx
2
+ nx + p
)
k
dx, với k nguyên, k ≥ 2 , m ≠ 0; mx 2 + nx + p vô nghiệm.
)
Ta chú ý mx 2 + nx + p ' = 2mx + n và biến đổi như sau:
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com
Chuyên đề: TÍCH PHÂN a β an β a an 2mx + n 1 dx + b − dx = .K + b − .L k k ∫ ∫ α α 2m 2m 2m 2m mx 2 + nx + p mx 2 + nx + p
+ nx + p
( mx
2
dx , dùng vi phân hoặc biến đổi t = mx 2 + nx + p .
+ nx + p
)
dx : xem Bài toán 3.
k
i
( ax + b ) . ( cx + d )
k
dx, với i, k là các số nguyên dương, bậc của đa thức
G
α
Đ
P ( x)
β
Ư N
• Bài toán 5: I = ∫
H
P ( x ) nhỏ hơn bậc của mẫu.
Ai Bk A1 A2 B1 B2 , với mọi + + ... + + + + ... + i k 2 2 ax + b ( ax + b ) ( ax + b ) cx + d ( cx + d ) ( cx + d )
TR ẦN
Đặt f ( x ) =
ẠO
nhất thức (xem Bài toán 6) để đưa về dạng như Bài toán 3 và Bài toán 4.
10
00
B
b d x ≠ − , x ≠ − . Đồng nhất thức để tìm A1 , A2 ,..., Ai , B1 , B2 ,..., Bk . Ngoài ra có thể dùng a c
( mx
2
i
2+
P ( x)
β
α
+ nx + p ) . ( qx 2 + rx + s )
k
dx, với i, k là các số nguyên dương,
ẤP
• Bài toán 6: I = ∫
3
phương pháp hệ số bất định để tìm A1 , A2 ,..., Ai , B1 , B2 ,..., Bk .
A
C
mx 2 + nx + p và qx 2 + rx + s vô nghiệm, bậc của đa thức P ( x ) nhỏ hơn bậc của mẫu. Đặt
H
Ó
Ax+B C x+D A x+B A1 x + B1 C x + D1 C x+D + 2 2 2 + ... + i i i + 21 + 2 2 2 + ... + k k k , ∀x ∈ ℝ 2 mx + nx + p qx + rx + s (_) (_) (_) (_)
Í-
f ( x) =
-L
f ( x ) là hàm dưới dấu tích phân. Đồng nhất thức hoặc dùng phương pháp hệ số bất định để
ÁN
tìm các số Ai , Bi , Ci , Di ở tử các phân thức.
TO
Lưu ý:
P ( x) Q ( x)
với P ( x ) = Q ' ( x ) , vì nó
đơn giản, chỉ cần đặt t = Q ( x ) ⇒ dt = P ( x ) dx hoặc dùng vi phân.
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
- Ở đây ta không xét tích phân của hàm hữu tỉ f ( x ) =
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
Lưu ý: Trường hợp từ đa thức P ( x ) có bậc lớn hơn hoặc bằng 2, ta dùng phương pháp đồng
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
1
β
α
)
k
N
( mx
2
Y
- V ới L = ∫
2 mx + n
β
α
)
U
- V ới K = ∫
(
N
)
H Ơ
(
TP .Q
I=
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
P ( x)
P ( x)
= R ( x) +
Q ( x)
P1 ( x ) Q ( x)
, trong đó bậc P1 ( x ) bé hơn bậc
N
phép chia P ( x ) cho Q ( x ) ta được
N
có bậc P ( x ) lớn hơn hoặc bằng bậc Q ( x ) thì thực hiện
Q ( x)
H Ơ
- Nếu phân thức hữu tỉ
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
i
i
k
k
h
với đa thức Q ( x ) = ( ax + b ) . ( cx + d ) . ( mx 2 + nx + p ) . ( qx 2 + rx + s ) trong đó i, j, k, h là các j
Ư N
G
i
H
số nguyên dương, hai tam thức mx 2 + nx + p và qx 2 + rx + s vô nghiệm. Cụ thể, ta đặt
(
)
2
+ .. +
Ck x + Dk
( mx
2
+
E1 x + F1 E2 x + F2 + 2 qx + rx + s qx 2 + rx + s
B
C1 x + D1 C2 x + D2 + 2 mx + nx + p mx 2 + nx + p
+ nx + p
)
k
00
+
TR ẦN
Bj Ai A1 A2 B1 B2 + + ... + + + + ... + i j 2 2 ax + b ( ax + b ) ( ax + b ) cx + d ( cx + d ) ( cx + d )
f ( x) =
(
)
2
+ .. +
Eh x + Fh
( qx
2+
3
10
b d với mọi x ≠ − , x ≠ − . Đồng nhất thức hoặc dùng phương pháp hệ số bất định để tìm các a c số ở tử các phân thức. 3
C
2
3x 4 + x 2 + x + 2 dx x5 − x 4 + x 3 − x 2 + x − 1
ẤP
Ví dụ: I = ∫
A
(
)(
)
H
Ó
Ta có: x 5 − x 4 + x 3 − x 2 + x − 1 = ( x − 1) x 2 − x + 1 x 2 + x + 1 3x 4 + x 2 + x + 2
2
( x − 1) ( x 2 − x + 1)( x 2 + x + 1)
ÁN
3x 4 + x 2 + x + 2
Đặt
dx
-L
Í-
3
⇒I =∫
( x − 1) ( x
2
)(
2
)
− x +1 x + x +1
=
A Bx + C Dx + E + + , ∀x ≠ 1 x −1 x2 − x + 1 x2 + x + 1
+ rx + s
)
h
Ỡ N
G
Quy đồng, rút gọn 2 mẫu, đồng nhất các hệ số ở 2 vế ta được hệ 5 phương trình 5 ẩn, tính
2
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
Đ
k
ẠO
Q ( x ) = ( ax + b ) . ( cx + d ) và Q ( x ) = ( mx 2 + nx + p ) . ( qx 2 + rx + s ) . Cách làm tương tự đối
TO
http://daykemquynhon.ucoz.com
thức bậc nhất và tam thức bậc hai với biệt thức ∆ < 0 . Bài toán 5 và Bài toán 6 đã xét
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
TP .Q
- Đa thức Q ( x ) khác 0 với hệ số thực có duy nhất 1 cách phân tích thành tích các nhị
U
Y
Q ( x) .
BỒ
ID Ư
được A = 2, B = 1, C = −1, D = 0, E = 1.
1 1 ( 2 x − 1) − 3 2 x −1 1 1 2 2 2 Khi đó: I = ∫ dx = ∫ + 2 + 2 + + 2 dx 2 2 2 x −1 x − x +1 x + x +1 x −1 x − x + 1 x + x + 1 3
=∫
3
2
3 2 1 3 2x −1 1 3 dx dx dx + ∫ 2 dx − ∫ 2 +∫ 2 x −1 2 2 x − x +1 2 2 x − x +1 2 x + x +1
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
2
1 3 x+ + 2 4
1 3 x+ + 2 4
1 3 π π tan t , t ∈ − ; = 2 2 2 2
, đặt x +
1 3 π π tan t , t ∈ − ; = 2 2 2 2
N Y
, đặt x −
2
2
1
dx (Nhiều tài liệu gọi đây là kỹ thuật “Nhảy tầng lầu”) x +1 4
H
Ví dụ 1: I = ∫
Ư N
Thứ nhất, kỹ thuật giảm chênh lệch giữa bậc tử và bậc mẫu:
TR ẦN
G
• Bài toán 7: (Một số kỹ thuật khác dùng trong tích phân hàm hữu tỉ)
1 1 2 2 2 1+ 2 1− 2 1 2 x + 1 − x −1 1 2 x2 + 1 1 2 x2 −1 1 1 x dx − x 2 dx I= ∫ dx dx dx = − = 2 1 x4 + 1 2 ∫1 x 4 + 1 2 ∫1 x 4 + 1 2 ∫1 x 2 + 1 2 ∫1 x 2 + 1 2 x x2
) (
)
00
B
(
(
C
1
dx (Kỹ thuật “Nhảy tầng lầu” đơn giản chỉ là kỹ thuật phân tích – rút gọn) x +1 6
A
2
) ( )(
Ó
Ví dụ 2: I = ∫
ẤP
2+
3
10
1 1 2 dx− 2 dx+ 1 1 1 3 dt 1 3 du x x = ∫ 2 − ∫ 2 = ∫2 2 − ∫2 2 21 21 2 0 t +2 2 2 u −2 1 1 x− +2 x+ −2 x x
)
(
)
(
)( )
)
H
4 4 4 2 2 2 2 1 2 x + 1 − x −1 1 2 x − x + 1 + x − x + 1 x −1 I= ∫ dx = ∫ dx 2 1 x2 + 1 x4 − x2 + 1 2 1 x2 + 1 x4 − x2 + 1
)
(
)(
-L
Í-
(
1 2 3 2 2 1 − 2 dx 2 2 x dx 2 x − 1 dx 1 2 dx 1 2 dx 1 d x x = = ∫ 2 + + + + 2 1 x + 1 ∫1 x 6 + 1 ∫1 x 4 − x 2 + 1 2 ∫1 x 2 + 1 3 ∫1 x 3 2 + 1 ∫1 x 2 − 1 + 1 x 2
)
( ) ( )
G
TO
ÁN
(
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
2
http://daykemquynhon.ucoz.com
dx
3
2
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
Với I 2 = ∫
dx
U
1 3 x− + 2 4
1 3 x− + 2 4
3
+∫
TP .Q
2
2
2
ẠO
dx
3
2
dx
3
Đ
Với I1 = ∫
3
H Ơ
) 2 − 12 ∫
(
N
1 = 2 ln ( x − 1) + ln x 2 − x + 1 2
BỒ
ID Ư
Ỡ N
1 2 2 d x3 2 dx+ 1 1 dx 1 x , lần lượt đặt x = tan t , x3 = tan t , u = x + = ∫ 2 + ∫ + 2 2 ∫ x 2 1 x + 1 3 1 x3 + 1 1 1 x + − 3 x
( ) ( )
Thứ hai, kỹ thuật phân tích tử thức để rút gọn mẫu thức:
Ví dụ 3: I = ∫
2
1
(
)
4 4 dx 1 2 dx 1 2 x +4 −x 1 2 1 x3 dx = ∫ = = − dx 5 4 5 x + 20 x 5 1 x x 4 + 4 20 ∫1 x x 4 + 4 20 ∫1 x x + 4
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
(
)
(
)
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
)(
) dx
6
3
x − 14 x − 1
Chia tử và mẫu cho x3 ta được: I = ∫
2
H Ơ
1 1 1 1 1 + 2 x − + 2 x − + 2 d x − 2 x x x x dx = 3 ∫ 1 3 1 1 1 x − + 3 x − − 14 x − 3 − 14 x x x
Ư N
G
1
U
+ 1 x2 + 2x −1
TP .Q
2
ẠO
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
Ví dụ 6: I = ∫
2
x2 + 1 dx x4 + 1
B
1
TR ẦN
H
3 3 1 t+2 t+2 Đặt t = x − , ta được: I = ∫ 2 3 dt = ∫ 2 dt 0 0 x t + 3t − 14 ( t − 2 ) ( t 2 + 2t + 7 )
00
1 1 dx− 2 2 2 1 dt x x dx = 2 Chia tử và mẫu cho x 2 ta được: I = ∫ (với t = x − ) =∫ 2 2 ∫ 1 1 1 1 x t +2 1 x2 + 2 x− +2 x x
2+
3
10
1+
ax + b ad − bc ⇒ dt = (còn gọi là “chồng chất nhị thức”) 2 cx + d ( cx + d )
A
C
ẤP
Thứ tư, đặt ẩn phụ t =
10
10
H
Ó
2 3x − 5 dx . dx = ∫ 2 −1 x + 2 ( x + 2)
Í-
Ví dụ 7:
( 3x − 5) I =∫ 12 −1 ( x + 2) 2
dx dt 3x − 5 11 1 14 10 . I t dt . ⇒ dt = dx ⇒ = = Khi đ ó 2 2 11 ∫−8 x+2 ( x + 2) ( x + 2 ) 11
-L
Đặt t =
ÁN
http://daykemquynhon.ucoz.com
1
(x
Đ
2
Y
Thứ ba, làm xuất hiện đạo hàm ở tử thức rồi đặt ẩn phụ:
Ví dụ 5: I = ∫
TO
Ví dụ 8: I = ∫
Đặt t =
2
1
G Ỡ N ID Ư
BỒ
N
1 2 x ( x + 7 ) − ( x − 1)( x + 8 ) 1 2 1 1 dx = ∫ − dx ∫ 8 1 x ( x − 1)( x + 7 )( x + 8 ) 8 1 ( x − 1)( x + 8 ) x ( x + 7 )
N
=
dx x ( x − 1)( x + 7 )( x + 8 )
=∫
2
1
1 7
( 3x − 2 ) ( 3x + 4 )
3
dx
1 7
10 3x − 2 .( 3x + 4 ) 3x + 4
dx = ∫
2
1
1 3x − 2 3x + 4
7
.
1 8
.
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
2
1
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
Ví dụ 4: I = ∫
dx
( 3x + 4 ) (3x + 4 )
2
dx dt 3x − 2 18 ⇒ dt = = dx ⇒ 2 2 3x + 4 ( 3x + 4 ) ( 3x + 4 ) 18 8
2 3x − 2 6 1 1− t 1 (1 − t ) dt = 1− ⇒ = Ta có: t = . Khi đó: I = ∫15 . . 3x + 4 3x + 4 3x + 4 6 68 18 7 t
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com
Chuyên đề: TÍCH PHÂN 2.
MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC π
• Bài toán 8: I = ∫ cos 4 xdx (Ví dụ 4 phần II.1): dùng công thức, đưa về cos 2 x, cos 4 x .
N
0
H Ơ
π
I = ∫ 2 sin 5 xdx (V dụ 3 phần II.4): đổi biến dạng 1 với cách đặt t = cos x .
N
0
2
Ư N
= t2 .
B
10
00
2
β
ẤP
α
a sin x + b cos x + c dx d sin x + e cos x + f
2+
• Bài toán 10: I = ∫
3
nghiệm).
A
C
a sin x + b cos x + c d cos x − e sin x C = A + B. + , ∀x ∈ D (TXĐ) d sin x + e cos x + f d sin x + e cos x + f d sin x + e cos x + f
H
Ó
⇔ a sin x + b cos x + c = A ( d sin x + e cos x + f ) + B ( d cos x − e sin x ) + C , ∀x ∈ D
-L
Í-
Đồng nhất các hệ số của sin x , cos x và hệ số tự do để tìm A, B, C.
= ( Ax + B.ln d sin x + e cos x + f
Ỡ N
G
TO
ÁN
β β d cos x − e sin x Cdx dx + ∫ Khi đó: I = ∫ A + B. α α d sin x + e cos x + f d sin x + e cos x + f
ID Ư
β
α
π
Ví dụ 1: I = ∫ 2 0
β
) α + C .K ,
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
β
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
2
= t1 , x = β ⇒ t = tan
TR ẦN
α
mt 2 + nt + p 1+ t2
=
2dt (xem Bài toán 1 nếu mẫu vô nghiệm hoặc Bài toán 5 nếu mẫu có mt + nt + p
t2
t1
Đặt
)
1+ t2
Đổi cận: x = α ⇒ t = tan Khi đó: I = ∫
) (
H
(
2t.d + 1 − t 2 .e + 1 + t 2 . f
và d sin x + e cos x + f =
trong đó K = ∫
BỒ
U
Đ
x 1− t2 x 1 1 2dt cos x = Ta có: , ta có: dt = 1 + tan 2 dx = (1 + t 2 ) dx ⇒ dx = . 2 1+ t2 2 2 2 1+ t2
G
Đặt t = tan
1 dx d sin x + e cos x + f
ẠO
β
α
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
• Bài toán 9: I = ∫
TP .Q
sin 3 x, sin 5 x, sin 7 x ,..., cos 3 x, cos 5 x , cos 7 x,... (số mũ lẻ).
Y
Tương tự đối với các hàm: sin 2 x, sin 4 x, sin 6 x,..., cos 2 x, cos 4 x, cos 6 x,... (số mũ chẵn).
dx (xem Bài toán 9) d sin x + e cos x + f
sin x + 7 cos x + 6 dx 4sin x + 3cos x + 5
Đặt sin x + 7 cos x + 6 = A ( 4sin x + 3cos x + 5 ) + B ( 4cos x − 3sin x ) + C , ∀x ∈ ℝ
⇔ sin x + 7 cos x + 6 = ( 4 A − 3B ) sin x + ( 3 A + 4 B ) cos x + 5 A + C , ∀x ∈ ℝ
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
H Ơ
N
4 A − 3B = 1 A =1 ⇔ 3 A + 4 B = 7 ⇔ B = 1 5 A + C = 6 C = 1
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0, x =
2
⇒ t = 1 , do đó
2
(
8t + 3 1 − t
) + 5 (1 + t ) 2
1
1
0
(t + 2)
2
dt =
TP .Q ẠO
1 6
π
9 1 + ln + 2 8 6
ẤP
Vậy I =
2
dt = ∫
3
1
0
π
)
2+
K =∫
Ư N
(
H
x x 1 1 2dt 2t 1− t2 ,sin , cos ⇒ dt = 1 + tan 2 dx = 1 + t 2 dx ⇒ dx = x = x = 2 2 2 2 1+ t2 1+ t2 1+ t2
TR ẦN
Đặt t = tan
G
1 dx. 4sin x + 3cos x + 5
B
0
00
π
K =∫2
π 9 1 9 π + ln + ∫ 2 dx = + ln + K , với 0 2 8 4sin x + 3cos x + 5 2 8
π
Đ
=
10
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
C
Lưu ý: Nếu b =c = f = 0 hoặc a = c = f = 0 thì có thể phân tích tử số P(x) để tìm nhanh các
A
P ( x)
số A, B thỏa mãn:
=
A ( d sin x + e cos x ) + B ( d cos x − e sin x ) d sin x + e cos x
, việc này khá
H
Ó
d sin x + e cos x
MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ
-L
3.
Í-
đơn giản (Kỹ thuật thêm bớt).
1
dx
−1
1 + x + 1 + x2
ÁN
• Bài toán 11: I = ∫
TO
http://daykemquynhon.ucoz.com
1 dx = ( x + ln 4 sin x + 3cos x + 5 ) 2 + ∫ 2 0 4sin x + 3cos x + 5 0
2
Ỡ N
G
Đặt t = x + 1 + x 2 ⇒ t − x = 1 + x 2 ⇒ ( t − x ) = 1 + x 2 ⇒ x =
t 2 −1 t 2 +1 dt ⇒ dx = 2t 2t 2
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
π
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
π
U
Y
N
π 4 cos x − 3sin x 1 Khi đó: I = ∫ 2 1 + + dx 0 4sin x + 3cos x + 5 4sin x + 3cos x + 5
BỒ
ID Ư
Đổi cận: x = −1 ⇒ t = 2 − 1, x = 1 ⇒ t = 2 + 1 2 +1
Khi đó: I =
∫
2 −1
(t
2
)
+ 1 dt
t (1 + t ) 2
1 = 2
2 +1
1 1 1 1 2 2− + dt = − − ln t + 2 ln t + 1 t t t +1 2 t 2 −1
2 +1
∫
1 2 −1 2 +2 1 = 2 + ln + 2 ln = 2 + 2 ln 2 2 +1 2 2
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
(
)
2 − 1 + 2 ln
(
2 −1
1 2 + 1 = .2 = 1 2
)
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com
Chuyên đề: TÍCH PHÂN Chú ý: với cách đặt t = mx + mx 2 + nx + p có thể giải được 1 số bài toán đặc thù. 2
N
• Bài toán 12: I = ∫ x 2 x 2 + 4dx
(
2
x2 + 1
x 2 + 4dx
2
=
32 2 1 2 2 4 − ∫ x x + 4dx − ∫ x 2 + 4dx 3 30 30
=
32 2 1 4 − .I − ∫ x 2 + 4dx 3 3 30
TR ẦN
H
Ư N
2
2 x 2 Suy ra: I = 8 2 − ∫ x 2 + 4dx = 8 2 − . x 2 + 4 + 2.ln x + x 2 + 4 0 2 0
(
)
(
00
B
= 8 2 − 2 2 + 2 ln 1 + 2 = 6 2 − 2 ln 1 + 2
3
2+
α
)
10
β
Tổng quát: I = ∫ x 2 x 2 ± adx, ( a > 0 )
ẤP
Cách giải: (phương pháp tích phân từng phần) Đặt u = x, dv = x x 2 ± adx
C
1
Ó
π
H
0
A
• Bài toán 13: I = ∫ x 2 + 1dx
π
π
dt 1 cos tdt 4 cos tdt π π Cách 1: Đặt x = tan t , t ∈ − , ⇒ dx = dt , I = = ∫0 cos3 t ∫0 cos4 t = ∫0 1 − sin 2 t 2 cos 2 t 2 2 ( ) 4
ÁN
-L
Í-
4
π
π
4
TO
Đặt u = sin t ⇒ du = cos tdt , I = ∫ 0
du 2
( u + 1) ( u − 1)
2
1 4 1 1 1 1 du = ∫ + − + 2 4 0 u + 1 ( u + 1) u − 1 ( u − 1)2
G Ỡ N ID Ư
BỒ
Y
N
)
)
U
(
π
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
2 12 2 x +4 − 0 3 ∫0
x2 + 4
1 2 x +1 3
=
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
)
3 2
TP .Q
(
)
Đ
1 2 x +4 3
(
G
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
Khi đó: I =
du = dx 1 2 v = x + 1 3
ẠO
u = x , ta có Đặt 2 dv = x x + 4 dx
H Ơ
0
1 u +1 1 1 1 = ln − − 4 = 2 + ln 1 + 2 4 u −1 u +1 u −1 2 0 2
Cách 2: Đặt t = x + x 2 + 1 ⇒ ( t − x ) = x 2 + 1 ⇒ x =
⇒ dx =
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
t2 +1 dt và 2t 2
(
)
t 2 −1 2t
x2 + 1 = t −
t 2 −1 t 2 + 1 = 2t 2t
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com
Chuyên đề: TÍCH PHÂN Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1, x = 1 ⇒ t = 1 + 2
1
1 2 + ln 1 + 2 2
N
)
Y
Cách 3: (Tích phân từng phần) Đặt u = x 2 + 1, dv = dx, ta có du =
0
0
x2 + 1
(
= I − ln x + x 2 + 1
dx
) 10 = I − ln (1 + 2 )
1 Suy ra: I = 2 − I − ln 1 + 2 ⇒ I = 2 + ln 1 + 2 2
(
Một số công thức nguyên hàm cần chú ý:
x
x 2 a x ± a ± ln x + x 2 ± a + C , ∀a > 0 (1) 2 2
nên I =
2
B
′ • Vì x 2 ± a =
)
H
)
TR ẦN
(
10
00
x ±a
2 x ±a
• Vì ln x + x 2 ± a
)′ =
(
2
)=
x2 ± a + C
2 x ±a
1
2
1
∫
nên
x ±a
dx = ln x + x 2 ± a + C , ∀a > 0 (2)
2
x ±a
Ó
(
dx = ∫
2+
2
ẤP
x ±a
dx = ∫
d x2 ± a
C
2
2x
A
∫
x
3
Nếu không chứng minh công thức (1) bằng đạo hàm, có thể biến đổi như sau:
Í-
H
Nếu không chứng minh công thức (2) bằng đạo hàm, có thể biến đổi như sau:
-L
x 2 ± a dx = dx = ∫ ∫ x2 ± a x + x2 ± a
ÁN
1
TO
∫
x
1+
∫
ID Ư
Ỡ N
G
Mở rộng công thức (2), ta có:
BỒ
1
ẠO
1
Đ
x2 + 1
0
1
dx = ∫ x 2 + 1dx − ∫
,v = x .
G
x2 +1 −1
x2 + 1
Ư N
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
1
Khi đó: K = ∫
xdx
∫
2
) = ln x +
x2 ± a + C
x+ x ±a
1
(α x + β )
a x 2 • Vì x ± a + ln x + x 2 ± a 2 2
(
(
d x + x2 ± a
′
) =
2
dx = ±a
1
α
.ln α x + β +
(α x + β )
2
±a +C
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
(
U
=
∫
N
1
t 2 ln x 1 1 1+ 2 t 1 + + dt = − 2 + 3 2 8t 1 4 2t 4t 8
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
∫
1+ 2
TP .Q
Khi đó: I =
t2 +1 t2 +1 . 2 dt = 2t 2t
H Ơ
1+ 2
x 2 ± a nên
x a x 2 ± adx = . x 2 ± a ± ln x + x 2 ± a + C , ∀a > 0 (3) 2 2
Nếu không chứng minh công thức (3) bằng đạo hàm, ta thực hiện như sau:
Đặt I = ∫ x x 2 ± adx và u = x 2 ± a , dv = dx , ta được:
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
a dx =x x 2 ± a − ∫ x 2 ± adx ∓ ∫ dx 2 x ±a x ±a
x2 ± a ± a
dx = x x 2 ± a − ∫
2
2
N
x ±a a dx = x x 2 ± a − I ± a ln x + x 2 ± a + C 2 x ±a
(x + r)
m.
2
dx, s > 0. Đặt x + r = s tan t hoặc xem thêm
G
α
1 +s
Ư N
β
- Nếu ∆ < 0 và m < 0 thì I = ∫
Đ
Đặt ∆ = n2 − 4mp. (Ta không xét ∆ = 0 , đơn giản)
β
- Nếu ∆ > 0 và m > 0 thì I = ∫
β
1
(x + r)
m.
2
dx = −s
1 1 dx,s > 0. ∫ m α ( x − x1 )( x − x2 )
B
α
TR ẦN
H
công thức (2) nói trên.
β
3 −m. s − ( x + r )
2
dx, s > 0. Đặt x + r = s sin t
ẤP
α
1
2+
- Nếu ∆ > 0 và m < 0 thì I = ∫
10
00
s hoặc đặt t = x − x1 + x − x2 hoặc xem thêm công thức (2) nói trên. sin t
Đặt x + r =
2
2
A
Í-
-L 2
ÁN
x − 2x + 2
TO
G Ỡ N ID Ư
( x − 1)
2
π
4
4
0
1
π 2
1
( x − 1)
<t <
+ 1 = tan 2 t + 1 =
π
Khi đó: I = ∫
2
dx = ∫
Cách 1: Đặt x − 1 = tan t , − Ta có:
dx
x − 2x + 2
1
Ta có: I = ∫ 1
Ó
1
1
2
H
Ví dụ 1: Tính I = ∫
C
Sau đây là 3 ví dụ với 3 trường hợp trên.
π 2
2
dx +1
, ta có dx =
π dt , x = 1 ⇒ t = 0, x = 2 ⇒ t = 2 cos t 4
1 1 = 2 cos t cos t
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
mx + nx + p
ẠO
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
dx
2
α
http://daykemquynhon.ucoz.com
Y U
1
• Bài toán 14: I = ∫
TP .Q
β
BỒ
N
x a Suy ra: I = . x 2 ± a ± ln x + x 2 ± a + C 2 2
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
= x x2 ± a − I ± ∫
x2
H Ơ
I = ∫ x x 2 ± adx − ∫
π
4 dt cos t cos t dt dt =∫ = 2 ∫ cos t 0 cos t 1 − sin 2 t 0
2 2
Đặt u = sin t , ta được: I =
∫ 0
du 1 = 2 1− u 2
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
2 2
∫ 0
2 1 1 u +1 1 ln − du = 2 = ln 1 + 2 2 u −1 u + 1 u −1 0
(
)
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
dx
2
0
1 du Đặt u = cos t , ta được: I = ∫ 2 = u −1 2 3
0
2 3
2
dx
ẠO
Đ G (
3 = ln 2 + 3 2
ẤP
−1
=
H
dx
2+ 2 3
ÁN
∫
TO
2 2
ID Ư
Ỡ N
G
Cách 3: I =
2+2 3 2dt 1+ 3 = 2 ln t = 2 ln = ln 2 + 3 t 2 2 2
3
∫ −1
0
(
1
( x + 5)
1
Ví dụ 3: I = ∫
( x + 1)( x + 9)
2dt , x = −1 ⇒ t = 2 2, x = 3 ⇒ t = 2 + 2 3 t
-L
Í-
( x + 1)( x + 9 )
Khi đó: I =
tdx
Ó
A
C
1 x +1 + x + 9 1 Đặt t = x + 1 + x + 9 ⇒ dt = + dx = dx = 2 ( x + 1)( x + 9 ) 2 2 x +1 2 x + 9
Suy ra:
)
3
∫ ( x + 1)( x + 9 )
0
2+
Cách 2: I =
Ư N
1 1 u −1 1 ∫ u − 1 − u + 1 du = 2 ln u + 1 3
2
− 16 1
dx 2
−x + 2x + 3
Đặt x − 1 = 2 sin, −
π 2
( x + 5)
dx = ln x + 5 +
≤t ≤
π 2
=∫ 0
2
− 16
)
3 8+ 4 3 = ln = ln 2 + 3 −1 4
)
dx
4 − ( x − 1)
2
, ta có dx = 2 cos tdt. Đổi cận: x = 0 ⇒ t = −
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
(
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
π
H
Khi đó: I = ∫
π π π 4 cos t dt 2 2 4 2 dt − sin tdt sin tdt sin t =∫ =∫ = 2 2 ∫ 4cos t π sin t π 1 − cos t π cos t − 1 6 6 6 sin t
TR ẦN
−
6
16 16 cos 2 t 4 cos t − 16 = = sin 2 t sin 2 t sin t
− 16 =
B
π
2
00
( x + 5)
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
− 16
10
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
2
−4 cos t π π 4 π π dt , x = −1 ⇒ t = , x = 3 ⇒ t = , t ∈ − , , ta có dx = 2 sin t sin t 2 6 2 2
Đặt x + 5 =
BỒ
x + 10 x + 9
( x + 5)
−1
Ta có:
dx
2
1
∫
)
N
3
Cách 1: I =
(
= ln 1 + 2
Y
−1
1
1
U
∫
2
TP .Q
Ví dụ 2: Tính I =
+1
H Ơ
3
2
N
( x − 1)
Cách 2: I = ln x − 1 +
π 6
, x =1⇒ t = 0
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com
Chuyên đề: TÍCH PHÂN 0
2
4 − ( x − 1) = 4 − 4sin 2 t = 2 cos 2 t = 2 cos t . Khi đó: I =
∫π
(
6
dx
)
TP .Q
mx 2 + nx + p
Đ
G
dx : xem Bài toán 14 nói trên.
1 2 2 ( 2x − 2) + 2 2x − 2 dx 2 dx = ∫ dx = ∫ dx + 2 ∫ 2 2 2 2 x − 2x + 2 x − 2x + 2 x − 2x + 2 1 1 2 x − 2x + 2 1
2
2
x +1
Ví dụ: I = ∫
ax 2 + bx + c
mx 2 + nx + p
α
Ta biến đổi: I = ∫
(
)
A. mx 2 + nx + p + B. ( 2mx + n ) + C mx 2 + nx + p
dx
ẤP
β
dx
10
β
• Bài toán 16: I = ∫
00
B
1
C
α
β
β
α
2mx + n
mx 2 + nx + p
β
dx + C.∫ α
dx
mx 2 + nx + p
H
α
Ó
A
= A.∫ mx 2 + nx + pdx + B.∫ β
-L
Í-
- Với K = ∫ mx 2 + nx + pdx : đổi biến dạng 2 hoặc dùng công thức (3) nói trên. α
ÁN
β
G
TO
- V ới L = ∫
Ỡ N ID Ư
2mx + n 2
dx , dùng vi phân: L = 2 mx 2 + nx + p
mx + nx + p
α β
dx 2
β α
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
α
H
1
t1
t2 dt =2 t t1 t
Ư N
mx + nx + p
β
- V ới M = ∫
BỒ
2
3
- V ới L = ∫
dx , đặt t = mx + nx + p , K = ∫ 2
TR ẦN
∫α
- V ới K =
t2
2mx + n
β
ẠO
a β an β dx a an 2mx + n dx b .K + b − + − = ∫α .L ∫ 2 2 α 2m 2m 2m mx + nx + p mx + nx + p 2m
2+
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
I=
U
Ta chú ý mx 2 + nx + p ' = 2mx + n và biến đổi như sau (Kỹ thuật thêm bớt):
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
mx 2 + nx + p
α
−
H Ơ
ax + b
• Bài toán 15: I = ∫
π
∫π dt = 6
N
β
6
0
N
−
2 cos tdt = 2 cos t
Y
Ta có:
: xem Bài toán 14 nói trên.
mx + nx + p
α 1
x2 − 2x + 5
Ví dụ: I = ∫
2
−x + 2x + 3
0 1
1
dx = ∫ 0 1
= − ∫ − x 2 + 2 x + 3dx + ∫ 0
0
(
)
− x2 + 2 x + 3 + 8 2
dx
−x + 2x + 3 8 − x2 + 2x + 3
1
1
dx = − ∫ 4 − ( x − 1) dx + 8∫ 2
0
0
dx 4 − ( x − 1)
2
= ...
IV. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com
Chuyên đề: TÍCH PHÂN 1.
BÀI TẬP TỰ LUẬN MINH HỌA 2
N
Bài tập 1. Tính tích phân I = ∫ x 2 − 4 x + 3 dx
H Ơ
0
Y
N
x =1 . HD giải: Ta có: x 2 − 4 x + 3 = 0 ⇔ x = 3
1
2
1
0
1
0
2
0
(
2
)
(
)
0
00
B
HD giải: Ta có: x 3 − x 2 = x 2 x − 1 .
10
Bảng xét dấu:
0
1
2+
3
x
0
0
+
ẤP
-
2
1 2 x 4 x 3 1 x 4 x3 2 3 Khi đó: I = − ∫ x 3 − x 2 dx + ∫ x 3 − x 2 dx = − − + − = 4 3 0 4 3 1 2 0 1
(
)
C
)
Ó
A
(
Í-
H
Bài tập 3. Tính tích phân I =
1
∫e
x
− 1 dx
-L
−1
ÁN
HD giải: Ta có: e x − 1 = 0 ⇔ x = 0 Bảng xét dấu:
TO
0 -
ex −1
G Ỡ N
-1
x
0
1 +
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
H
TR ẦN
2
Bài tập 2. Tính tích phân I = ∫ x3 − x 2 dx
x3 − x 2
Ư N
x3 1 x3 2 = − 2 x 2 + 3x − − 2 x 2 + 3x = 2 3 0 3 1
G
1
Đ
Khi đó: I = ∫ x 2 − 4 x + 3 dx + ∫ x 2 − 4 x + 3 dx = ∫ x 2 − 4 x + 3 dx − ∫ x 2 − 4 x + 3 dx
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
+
x2 − 4 x + 3
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
1
ẠO
0
x
TP .Q
U
Bảng xét dấu:
BỒ
ID Ư
Khi đó: 0
(
)
1
(
)
(
I = − ∫ e x − 1 dx + ∫ e x − 1 dx = − e x − x −1
0 1
Bài tập 4. Tính tích phân I = ∫ 0
−1
) 0 + (e
x
−x
1
) 0 = 1e + e − 2.
1 dx x − 5x + 6
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
2
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com
Chuyên đề: TÍCH PHÂN 1
1 1 3 4 x−3 1 1 dx = ∫ − = ln 2 − ln = ln . dx = ln 2 3 x − 2 )( x − 3) x − 2 x −3 x−2 0 0 ( 0
8x2 + 8
H Ơ
∫ ( x − 1) ( x + 3) dx 2
A ( x − 1)( x + 3) + B ( x + 3) + C ( x − 1)
8x2 + 8
2
, ∀x ∈ [ −1; 0] = 2 2 ( x − 1) ( x + 3) ( x − 1) ( x + 3) 2 ⇔ 8 x 2 + 8 = A ( x − 1)( x + 3) + B ( x + 3) + C ( x − 1) , ∀x ∈ [ −1;0] (*)
Ư N
Thay x = 1 vào (*) ta được: 16 = 4 B ⇔ B = 4
H
Thay x = −3 vào (*) ta được: 80 = 16C ⇔ C = 5
3B + C − 8 =3 3
TR ẦN
Thay x = 0 vào (*) ta được: 8 = −3 A + 3B + C ⇔ A =
00
B
0 3 4 5 4 0 dx = 3ln x − 1 − Khi đó: I = ∫ + + + 5 ln x + 3 2 x − 1 ( x − 1) x+3 x −1 −1 −1
10
= 2 + 5ln 3 + 2ln 2
2+
3
π 4
Bài tập 6. Tính tích phân I = ∫ tan 3 xdx
C
π 4
ẤP
0
(
)
π 4
(
)
π 4
Ó
A
HD giải: I = ∫ tan 3 x + tan x − tan x dx = ∫ tan x tan 2 x + 1 dx − ∫ tan xdx π
0
H
0
π
0
π
π
sin x tan 2 x 1 2 1 − ln 2 . = ∫ tan xd ( tan x ) − ∫ dx = = 4 + ln cos x 4 = + ln cos x 2 2 2 2 0 0 0 0
Í-
4
ÁN
-L
4
π
TO
2
1 dx 1 + sin x 0
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
Bài tập 7. Tính tích phân I = ∫
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
G
Đ
ẠO
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
⇔
http://daykemquynhon.ucoz.com
Y
( x − 1) ( x + 3)
A B C , ∀x ∈ [ −1; 0] + + 2 x − 1 ( x − 1) x+3
=
U
2
TP .Q
8x2 + 8
HD giải: Đặt
N
−1
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
0
Bài tập 5. Tính tích phân I =
N
1
HD giải: I 2 = ∫
π x d − 1 1 1 1 4 2 HD giải: I = ∫ dx = ∫ dx = ∫ dx = − ∫ 1 π 1 + sin x 20 π x 0 0 1 + cos 0 cos 2 − − x π x 2 4 2 cos 2 − 4 2 π
π
π
π
2
2
2
2
π
π π x = − tan − 2 = tan = 1 4 4 2 0
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com
Chuyên đề: TÍCH PHÂN π 2
(
)
Bài tập 8. Tính tích phân I = ∫ esin x + cos x cos xdx π
2
2
0
0
(
)
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
4
cos 2 x dx sin x + cos x + 2 0
G
π
Ư N
π
Đ
Bài tập 9. Tính tích phân I = ∫
4 ( cos x − sin x )( cos x + sin x ) cos x − sin x dx = ∫ dx sin x + cos x + 2 sin x + cos x + 2 0 0 2
4
2
TR ẦN
H
HD giải: I = ∫
Đặt t = sin x + cos x + 2 ⇒ dt = ( cos x − sin x ) dx
3
3
00
3 2 +2 2 = 2 − 1 + 2 ln 1 − dt = ( t − 2 ln t ) 2+2 3 t
10
∫
3
∫
Lúc đó: I =
2 +2
t −2 dt = t
2+
2 +2
B
π ⇒t = 2 +2 4
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 3, x =
π
tan x dx cos x − sin x cos x
ẤP
6
2
C
Bài tập 10. Tính tích phân I = ∫
A
0
2
-L
Í-
0
dx tan x dx . Đặt t = tan x ⇒ dt = cos x (1 − tan x ) cos 2 x
H
6
HD giải: I = ∫
Ó
π
ÁN
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0, x = 1 3
∫ 0
1 3
t dt = 1− t
∫ 0
π 6
ID Ư
⇒t =
1
Bài tập 11. Tính tích phân I = ∫ 0
x3
1
HD giải: I = ∫ 0
(
(
1 3
1 −1 − dt = −t − ln 1 − t 1− t
Ỡ N
G
Khi đó: I =
BỒ
ẠO
π
TO
http://daykemquynhon.ucoz.com
0
π
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
= ∫e
π
π 1 + cos 2 x x sin 2 x d ( sin x ) + ∫ dx = esin x 2 + + 2 = e −1 + 2 2 4 4 0 0 0 2
sin x
Y
π
2
U
π
TP .Q
0
N
HD giải: I = ∫ esin x + cos x cos xdx = ∫ esin x .cos xdx + ∫ cos 2 xdx
x3
x2 + 1 + x
x2 + 1 − x
x2 + 1 + x
)(
)
x2 + 1 − x
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
dx
1
)
1 1 3 −1 − ln 3 =− 3 3 0
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
π
2
H Ơ
π
N
0
dx = ∫ x 3 . 0
(
)
1
1
0
0
x 2 + 1 − x dx = ∫ x3 x 2 + 1dx − ∫ x 4 dx
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com
Chuyên đề: TÍCH PHÂN 1
1
0
0
N
• I1 = ∫ x 3 x 2 + 1dx = ∫ x 2 x 2 + 1.xdx
2
)
∫ (t
− 1 t.tdt =
1
1
Ư N
Bài tập 12. Tính tích phân I = ∫ 1 + 6 x − 3 x 2 dx
H
0 1
HD giải: I = ∫ 4 − 3 ( x − 1) dx
TR ẦN
2
0
0
2 3
∫π
ẤP
−
4 − 4sin 2 t cos tdt =
3
10 4 3
0
∫π
−
3
cos 2 tdt =
2 3
0
∫π (1 + cos 2t ) dt
−
3
C
Khi đó: I =
π , x =1⇒ t = 0 3
2+
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = −
00
B
2 π π cos tdt 3 ( x − 1) = 2sin t , t ∈ − ; thì dx = 3 2 2
3
Đặt
A
0 2 sin 2t 2π 1 + + t π = 2 − 3 3 3 2 3
Í-
H
Ó
=
-L
ln 8
∫
Bài tập 13. Tính tích phân I =
ÁN
ln 3
TO
ln 8
∫e
x
ex +1
Ỡ N
Đặt t = e x + 1 ⇒ dt =
ID Ư
ex +1
e x dx
G
ln 3
dx
e x dx
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
TP .Q
2 2 + 2 1 2 2 −1 − = 15 5 15
Vậy I = I1 − I 2 =
HD giải: I =
BỒ
ẠO
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
0
x5 1 1 = 5 0 5
Đ
• I 2 = ∫ x 4 dx =
)
G
1
t5 t3 2 2 2 + 2 − t 2 dt = − = 15 5 3 1
U
1
4
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
2
N
∫ (t
Y
2
Khi đó: I1 =
H Ơ
Đặt t = x 2 + 1 ⇒ t 2 = x 2 + 1 ⇒ tdt = xdx. Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1, x = 1 ⇒ t = 2
và e x = t 2 − 1 . Đổi cận: x = ln 3 ⇒ t = 2, x = ln 8 ⇒ t = 3
x
2 e +1 3
3 3 2dt 2dt 1 3 t −1 3 1 = = − = ln dt = ln 2 ∫ ∫ 2 t − 1 2 ( t + 1)( t − 1) 2 t − 1 t + 1 t +1 2 2
Khi đó: I = ∫
1
1 dx e + ex 0
Bài tập 14. Tính tích phân I = ∫
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
2x
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
)
x
) = −e
e +1
0
−x
1 e +1 1 − x + ln e x + 1 = ln − 0 e 2
(
)
Y
e
TP .Q
U
Bài tập 15. Tính tích phân I = ∫ ln 2 xdx 1
Tính K: đặt u = ln x, dv = dx , ta có: du =
1 dx , chọn v = x x
ẠO Đ
TR ẦN
e e Khi đó: K = ( x.ln x ) − ∫ dx = e − ( e − 1) = 1 1 1
G
)
e e e − 2 ∫ ln xdx = e − 2 K , với K = ∫ ln xdx 1 1 1
Ư N
(
Khi đó: I = x.ln 2 x
2 ln xdx, chọn v = x . x
H
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
π 2
10
Bài tập 16. Tính tích phân I = ∫ e − x .cos 3 xdx
00
B
Vậy I = e − 2
2+
3
0
ẤP
1 HD giải: Đặt u = e− x , dv = cos 3xdx , ta có: du = −e − x dx , chọn v = sin 3 x 3 π
π
C
π
Í-
H
Ó
A
2 12 1 −π 1 1 Khi đó: I = e − x .sin 3 x 2 + ∫ e − x .sin 3 xdx = − e 2 + K , trong đó K = ∫ e − x .sin 3 xdx 3 3 3 0 30 0
ÁN
-L
1 Tính K: đặt u = e− x , dv = sin 3xdx , ta có: du = −e − x dx , chọn v = − cos 3 x 3 π
π
12 1 1 1 Khi đó: K = − e − x .cos 3 x 2 − ∫ e− x .cos 3 xdx = − I 3 3 3 0 30
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
http://daykemquynhon.ucoz.com
HD giải: Đặt u = ln 2 x, dv = dx , ta có: du =
1 − 3e 1 −π 1 1 1 Vậy I = − e 2 + − I , suy ra I = 10 3 3 3 3 3
Bài tập 17. Tính tích phân I1 = ∫ 1
HD giải: Đặt u = 3 + ln x, dv =
3 + ln x
( x + 1) 1
( x + 1)
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
2
2
−
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
0
(
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
)
d ex +1
H Ơ
(
1
= ∫ e − x − 1 dx + ∫
N
1
(
1 1 ex dx = − 1 + dx ∫0 e x ex +1
N
1 1 1 ex + 1 − ex 1 1 1 dx dx = − = ∫0 e x e x + 1 ∫0 e x − e x + 1 x ex + 1 0 e 1
HD giải: I = ∫
π 2
dx
dx , ,ta có du =
1 x 1 dx , chọn v = − +1 = x x +1 x +1
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
3 3 + 3ln 3 x ( 3 + ln x ) 3 3 1 3 + 3ln 3 −∫ dx = − ln x + 1 = − ln 2 1 x +1 1 1 x +1 4 4
N
3
H Ơ
(Chú ý cách chọn v = ∫ dv sao cho tích phân ∫ vdu đơn giản. Ta nói C = 1 là hệ số điều chỉnh
N
1
Y
trong tích phân từng phần).
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
dx + 1 cos x
)
6
π 6
)
Suy ra: 2 I = I + I =
dx + x 2 + 1 cos x
)
6
)
6
6
π
(1 + 2 ) dx = dx ∫ ( 2 + 1) cos x ∫ cos x x
6
6
x
−
π
6
−
π
6
cos xdx
∫π (1 + sin x )(1 − sin x )
−
6
C
6
)
3
∫π
−
2 x dx = 2 x + 1 cos x
π
cos xdx = cos 2 x
(
2+
=
∫π (
−
)
π
6
ẤP
π 6
G
π
∫π (
−
π
(
π 6
Ư N
π
6 6 dt 2t dt 2 x dx = = ∫π 1 ∫π 1 + 2t cos t ∫π 1 + 2 x cos x + 1 cos t − − − 6 2t 6 6
H
(
π 6
TR ẦN
Khi đó: I = − ∫
dt = −t 2 + 1 cos t
B
π 6
00
−
π π π π ⇒t = ,x = ⇒t = − 6 6 6 6
10
Đổi cận: x = −
Đ
HD giải: Đặt t = − x , ta có dt = −dx
π 1 π 1 ⇒u = − ,x = ⇒u = 6 2 6 2
Ó
A
Đặt u = sin x ⇒ du = cos xdx . Đổi cận: x = −
H
1 du 1 1 1 1 1+ u 2 1 1 Khi đó: 2 I = ∫ = ∫ + = ln 3 − ln = ln 3 du = ln 2 1 1+ u 1− u 2 1− u 1 2 3 1 (1 + u )(1 − u ) − − − 2 2 2
Í-
1 2
-L
1 2
ÁN
http://daykemquynhon.ucoz.com
−
x
1 ln 3 2
G
TO
Vậy I =
1
(
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
∫π ( 2
TP .Q
6
ẠO
Bài tập 18. Tính tích phân I =
U
π
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
Lúc đó: I1 =
)
BỒ
ID Ư
Ỡ N
Bài tập 19. Tính tích phân I = ∫ ln x 2 + 1 dx 0
(
)
HD giải: Đặt u = ln x 2 + 1 , dv = dx , ta có du = 1
2x dx , chọn v = x x +1 2
1
1
1 dx 2 x2 2 Khi đó: I = x.ln x 2 + 1 − ∫ 2 dx = ln 2 − ∫ 2 − 2 dx = ln 2 − 2 + 2∫ 2 0 0 x +1 x +1 x +1 0 0
(
)
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
(
)
xdx
)
0
00
10 2+
3
π
x 2 − 1 dx
2
2
Ó
A
I = ∫ x 2 − 4 x + 3 dx
C
−3
−
1
2
3x 2 + 2 x − 1 dx x2 1
Í-
-L
6) I = ∫
( x + 1)
π
TO
G Ỡ N ID Ư
2
sin 2 x + sin x dx 1 + 3cos x 0
sin 4 x dx 1 + cos 2 x 0
I=∫
8) I = ∫
2
I =∫ 0
I=
x2 + 1
dx , chọn
2
sin 2 x 2
2
dx
cos x + 4sin x
1+ x +1 ∫−1 1 + 3 x + 1 dx 2
13)
1
π
x dx x −1 1 1+
10) I = ∫
0
11)
dx
π
4
9)
2
x2 + 1
0
ÁN
5)
1
x3 I =∫ 4 dx x + 3x 2 + 2 0
2
4) I = ∫
H
0
∫π sin x dx
2) I =
ẤP
∫
)
3+2 − 3
3
Tính các tích phân sau:
3)
∫ dx = 2 ln (
BÀI TẬP TỰ LUẬN TỰ LUYỆN
I=
TR ẦN
(
3
B
3 Khi đó: I = x 2 + 1.ln x + x 2 + 1 − 0
1)
x + 1 dx = x + x2 + 1
H
x +1
v = x2 + 1 .
2.
TP .Q
, ta có du =
2
x 2
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
U
)
(
HD giải: Đặt u = ln x + x 2 + 1 , dv =
1+
ẠO
x2 + 1
) dx Đ
(
x.ln x + x 2 + 1
G
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
4
0
7)
BỒ
∫
Y
π
3
Bài tập 20. Tính tích phân I =
4
4 π 1 + tan t = dt dt = 2 ∫ tan t + 1 4 0 0
. Ta được: K = ∫
Ư N
Vậy I = ln 2 − 2 + 2 K = ln 2 − 2 +
π
2
4
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0, x = 1 ⇒ t =
π
N
π
H Ơ
0
dx π π , đặt x = tan t , t ∈ − ; , ta có: dx = 1 + tan 2 t dt x +1 2 2 2
N
1
Với K = ∫
I =∫ 0
x +1 dx 3 3x + 2
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
1
12) I =
∫ −1 1
14) I = ∫ 0
dx 2
x − 2x + 5 dx x + 3 + x +1
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com
Chuyên đề: TÍCH PHÂN π
3
e
3 I = ∫ 2 x − ln xdx x 1
17)
dx e −1 1
18) I = ∫
x
ex + 2
U
0
V.
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
1.
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM MINH HỌA
Đ
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
20) I = ∫ e − x .cos 3 xdx.
TP .Q
∫ 0
4
∫x
2
− 3 x + 2 dx bằng
G
Câu 1. Tích phân I =
5 6
B.
C.
19 2
D.
H
16 3
TR ẦN
A.
Ư N
−1
55 6
Do đó: I =
∫ (x
2
2
)
(
)
4
(
)
− 3 x + 2 dx − ∫ x − 3 x + 2 dx + ∫ x 2 − 3 x + 2 dx
−1
2
10
1
00
B
x 2 − 3 x + 2, khi x ∈ (−∞,1] ∪ [2, +∞ ) HD giải: x 2 − 3 x + 2 = 2 − ( x − 3 x + 2 ) , khi x ∈ [1; 2 ]
2
3
1
ẤP
2+
x3 3x 2 1 x3 3x 2 2 x3 3 x 2 4 19 = − + 2x − − + 2x + − + 2x = 2 2 2 3 −1 3 1 3 2 2
C
Lựa chọn đáp án C.
Ó
A
Sử dụng máy tính cầm tay (MTCT):
ÁN
-L
Í-
H
Bước 1: Gán các giá trị kết quả ở các đáp án cho các biến A, B, C, D.
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
http://daykemquynhon.ucoz.com
2
dx
ẠO
I=
19)
Y
π ln 2
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
x x2 + 4
N
3
1 + x sin x dx cos 2 x 0
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
∫
3
16) I = ∫
H Ơ
I=
15)
dx
N
2 3
Bước 2: Nhập vào máy
4
∫X
2
− 3X + 2dX − X? Lần lượt thay X bởi A, B, C, D. Nhận đáp án
−1
đúng khi màn hình máy tính hiện kết quả 0 hoặc xấp xỉ 0.
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com
16 3
TR ẦN
Lưu ý: Tổ hợp phím gán:
(gán cho A)
m
(
B
00
C. m =
π 3
D. m =
32
?
π 4
2+ ẤP
HD giải: m
10
π 6
3
B. m =
A. m = 1
π 2 + 4π − 8
0
m
m
1 − cos 2 x cos 2 x 1 I = ∫ x + sin 2 x dx = ∫ x + dx = ∫ + x − dx 2 2 2 0 0 0
C
)
Ó
A
(
-L
Í-
H
2 x + 2 x 2 − sin 2 x m 2m 2 + 2m − sin 2m = . Lần lượt thay các giá trị m ở các phương án A, = 4 4 0
ÁN
B, C, D ta thấy m =
π thỏa mãn. Lựa chọn đáp án D. 4
TO
Sử dụng máy tính cầm tay (MTCT): Y
(
)
ID Ư
Ỡ N
G
Bước 1: Nhập vào máy tính biểu thức I = ∫ X + sin 2 X dX −
BỒ
)
Câu 2. Với giá trị nào của tham số m thì tích phân I = ∫ x + sin x dx bằng 2
Bước 2: Nhập vào lần lượt Y = 1, Y =
0
π 2 + 4π − 8 32
. Nhấn
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
H
Ư N
Lựa chọn đáp án C.
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
G
Đ
ẠO
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
TP .Q
U
Y
N
H Ơ
N
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
π π π , Y = , Y = (không nhập X khi máy tính hỏi) 6 3 4
Đáp án nhận khi màn hình hiện 0 hoặc xấp xỉ 0.
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com
B.
5 2
C. 2
D. 1
B
A. 5
TR ẦN
1 2
H
1 dx = 1 bằng x2
Câu 3. Tích phân I = ∫ 1 −
1 1 2 2 2 x2 −1 1 x −1 x −1 HD giải: I = ∫ 1 − 2 dx = ∫ dx dx dx = − + 2 2 ∫ ∫ x x x x2 1 1 1 1 2
2
2+
3
2
10
00
2
1 2 1 1 1 1 2 = − ∫ 1 − 2 dx + ∫ 1 − 2 dx = − x + 1 + x + = 1 x x x x1 1 1 2 2
C
ẤP
1
Ó
A
Lựa chọn đáp án D. 1
1 1 ln 2 − 2 4
TO
ÁN
A.
-L
Í-
H
x5 Câu 4. Tích phân I = ∫ 2 dx bằng x +1 0
1
0
1 2
1 C. − + ln 2 4
D. ln2
x 4 .x dx . Đặt t = x 2 ⇒ dt = 2 xdx . Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0, x = 1 ⇒ t = 1 x2 + 1
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
HD giải: I = ∫
B. ln 2 −
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
n
Ư N
G
Lựa chọn đáp án D.
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
Đ
ẠO
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
TP .Q
U
Y
N
H Ơ
N
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
1 1 1 1 1 t2 1 1 1 t2 1 Khi đó: I = ∫ dt = ∫ t − 1 + dt = − t + ln t + 1 0 = ln 2 − 2 0 t +1 2 0 2 2 2 4 t +1
Lựa chọn đáp án A. π 4
(
)
Câu 5. Tích phân I = ∫ cos 2 x cos 4 x + sin 4 x dx bằng 0
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
B.
5 24
7 12
C.
D.
5 12
H Ơ
N
2 1 HD giải: Ta có: sin 4 x + cos 4 x = ( sin 2 x + cos 2 x ) − 2sin 2 x cos 2 x = 1 − sin 2 2 x 2
N
π
ẠO
1 1 1 2 1 t3 1 5 1 − t dt = t − = . Lựa chọn đáp án D. 2 ∫0 2 2 6 0 12
Đ
Do đó: I =
π ⇒ t =1 4
G
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
x2
Ư N
Câu 6. Tích phân I = ∫ sin xdx bằng C. 2π + 2
B. 2
TR ẦN
A. -2
H
0
D. 2π
HD giải: Đặt t = x ⇒ t 2 = x ⇒ 2tdt = dx . Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0, x = π 2 ⇒ t = π π
00
B
Khi đó: I = ∫ 2t sin tdt . Đặt u = 2t , dv = sin tdt , ta có du = 2dt , chọn v = − cos t
0
π
+ 2 ∫ cos tdt = ( −2t.cos t )
3
π
2+
Ta có: I = ( −2t.cos t )
10
0
0
0
+ 2sin t
π 0
= 2π
ẤP
Lựa chọn đáp án D.
π
C
Câu 7. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? π
2
2
0
0
0
0
π
π
π
2
2
2
0
0
2
B. ∫ sin 2 xdx = ∫ cos 2 xdx
Í-
H
∫ sin xdx = ∫ cos xdx π
2 ∫ sin xdx > ∫ sin xdx
ÁN
C.
π
A
2
Ó
π
2
-L
A.
π
0
D.
0
2 ∫ cos xdx ≤ ∫ cos xdx
TO
http://daykemquynhon.ucoz.com
Đặt t = sin 2 x , ta có dt = 2cos 2 xdx , đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0, x =
TP .Q
U
Y
4 1 Khi đó: I = ∫ cos 2 x 1 − sin 2 2 x dx 2 0
HD giải: π
G
π
Ỡ N
2
∫
BỒ
ID Ư
• sin xdx = − cos x 2 = 1
0
0
π 2
π
∫
• cos xdx = sin x 2 = 1 0
0
π
π
2
12 ∫ sin 2 xdx = ∫ (1 − cos 2 x ) dx = 20 0 π
π
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
5 6
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
A.
π
π 1 sin 2 x x− 2= 2 2 4 0 π
π 12 1 sin 2 x ∫ cos 2 xdx = ∫ (1 + cos 2 x ) dx = x + 2= 20 2 2 4 0 0 2
Các khẳng định A, B, C đúng, khẳng định D sai. Lựa chọn đáp án D.
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
∫
0
0
A. π
B. 0
N Y
G Ư N
π 2
D.
π 4
π π π − x ⇒ dt = −dx , đổi cận: x = 0 ⇒ t = , x = ⇒ t = 0 2 2 2
B
HD giải: Đặt t =
C.
H
0
cos x dx bằng cos x + sin x
TR ẦN
2
Đ
π
Câu 9. Tích phân I = ∫
U
π π π = tan 2 a. Vì a ∈ − ; , tan 2 a = 1 nên a = ± 4 2 2
Lựa chọn đáp án B.
00
π π π cos − t 2 2 sin t sin x 2 Khi đó: I = − ∫ dt = ∫ dt = ∫ dx sin x + cos x sin t + cos t π π π 0 0 cos − t + sin − t 2 2 2
2+
3
10
0
π
π
π
ẤP
π
2 2 2 π cos x sin x cos x + sin x dx + ∫ dx = ∫ dx = ∫ dx = Suy ra: 2 I = I + I = ∫ cos x + sin x cos x + sin x cos x + sin x 2 0 0 0 0
4
Ó
. Lựa chọn đáp án D.
H
π
Í-
Vậy I =
A
C
2
2
ÁN
-L
Câu 10. Tích phân I = ∫ 1
ln x
( x + 1)
− ln 2 4 + ln 3 3
G Ỡ N
HD giải: Đặt u = ln x, dv =
ID Ư
2
B.
TO
A.
BỒ
tan a
2tdt = t 2
dx bằng − ln 2 ln 4 + 3 3
dx
( x + 1)
2
, ta có du =
C.
ln 2 − ln 4 3
D.
− ln 2 3 + ln 3 4
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
tan a
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
2 tan x ∫0 cos2 x dx =
π D. 4
ẠO
a
π π C. − ; 6 6
dx . Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0, x = a ⇒ t = tan a cos 2 x
HD giải: Đặt t = tan x ⇒ dt = Khi đó:
0
H Ơ
π π B. − ; 4 4
2 tan x dx = 1 là 2 x
∫ cos
TP .Q
π π A. − ; 3 3
a
N
π π Câu 8. Tập hợp các số thực a thuộc − ; thỏa mãn 2 2
dx x 1 , chọn v = − . Khi đó: +1 = x x +1 x +1
2 2 2 ln 2 2 ln 2 2 ln 2 2 x ln x 2 dx I= −∫ = − ln x + 1 = − ln 3 + ln 2 = + ln 1 3 3 3 3 x +1 1 1 x +1
Lựa chọn đáp án B. 3
Câu 11. Tích phân I = ∫ x 2 9 − x 2 dx bằng 0
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
π
≤t ≤
2
π 2
81π 8
D.
81(π + 4 ) 16
⇒ dx = 3cos tdt . Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0, x = 3 ⇒ t =
π 2
π
Y
π
π
81 81 2 81 sin 4t 81π I = ∫ 9sin t.3cos t.3cos tdt = ∫ sin 2 2tdt = ∫ (1 − cos 4t ) dt = t − 2= 4 0 8 0 8 4 16 0 0 2
TP .Q
2
ẠO
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
Lựa chọn đáp án B. 1
C. 1
D.
H
B. 4
Ư N
G
Đ
x4 ∫ 2 x + 1 dx bằng −1
2 5
TR ẦN
1 5
A.
HD giải: Đặt t = − x ⇒ dt = −dx . Đổi cận: x = −1 ⇒ t = 1, x = 1 ⇒ t = −1 −1
1
B
x4 t4 t4 t 4 .2t t 4 .2t x 4 .2 x = = = ⇒ = − = I dt ∫1 1 + 2t −∫1 1 + 2x dx 2 x + 1 2− t + 1 1 + 1 1 + 2t 2t
10
00
Ta có:
(
)
1 1 x4 1 + 2x 1 2 1 x4 x 4 .2 x x5 1 4 Khi đó: 2 I = I + I = ∫ x = = = ⇒I= x dx dx + ∫ x dx = ∫ dx x ∫ 2 +1 2 +1 2 +1 5 −1 5 5 −1 −1 −1 −1
2+
3
1
ẤP
Lựa chọn đáp án A.
C
a
A
Câu 13. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên [ 0; a ] thỏa mãn
∫ f ( x ) dx = M ∈ ℝ . Trong các
H
Ó
0
Í-
khẳng định sau, khẳng định nào sai? 0
∫
a
-L
A.
f ( x ) dx = − M
B.
ÁN 2a
C.
∫
a
3a
M x f dx = 2 2
D.
x
∫ f 3 dx = 3M 0
G
0
∫
0
f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = 0
0
a
TO
http://daykemquynhon.ucoz.com
2
Câu 12. Tích phân I =
U
π
N
9 − x 2 = 9 − 9sin 2 t = 3 cos 2 t = 3 cos t = 3cos t
Ta có:
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
HD giải: Đặt x = sin 3t , −
C.
N
4
81π 16
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
B.
H Ơ
π
A.
BỒ
ID Ư
Ỡ N
HD giải: Các khẳng định A, B đúng.
(C): Đặt t = 2a
Khi đó:
∫ 0
x dx ⇒ dt = . Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0, x = 2a ⇒ t = a 2 2 a
x f dx = 2 ∫ f ( t )dt = 2 M . Khẳng định C sai. 2 0
(D): Đổi biến với cách đặt t =
x ta được: 3
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
3a
x
∫ f 3 dx = 3M . Khẳng định D đúng. 0
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com
Chuyên đề: TÍCH PHÂN Lựa chọn đáp án C. 1
N
Câu 14. Đặt I = ∫ x 3 x 2 + 1dx và t = x 2 + 1 . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào
H Ơ
0
2
∫ (t
3
)
(
)
4
D. I = ∫ t 4 − t 2 dt
)
− t dt
ẠO
1
1
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
1
∫ (t
2
2
)
− t t.tdt =
1
Lựa chọn đáp án A.
4
B
Câu 15. Với giá trị nào của tham số m thì tích phân I = ∫
)
− t 2 dt
2x + m dx bằng 4 − ln 9 ? x −1
00
2
B. m = -1
C. m = -4
D. m = -3
10
A. m = 0
4
TR ẦN
1
∫ (t
H
2
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1, x = 1 ⇒ t = 2, I =
Ư N
G
0
Đ
HD giải: I = ∫ x 2 .x x 2 + 1dx . Đặt t = x 2 + 1 ⇒ t 2 = x 2 + 1 ⇒ tdt = xdx
2+
3
4 4 2+ m HD giải: I = ∫ 2 + dx = 2 x + ( 2 + m ) ln x − 1 = 4 + ( 2 + m ) ln 3. 2 x −1 2
ẤP
I = 4 − ln 9 = 4 − 2 ln 3 khi và chỉ khi 2 + m = −2 ⇔ m = −4
A
C
Lựa chọn đáp án C
H
Ó
Câu 16. Một ô tô đang chuyển động với vận tốc v0 thì bắt đầu hãm phanh và từ thời điểm đó
(
)
-L
Í-
nó chuyển động chậm dần đều với gia tốc a = −6 m / s 2 , sau 2 giây nó đi được 20 mét. Vận
ÁN
tốc v0 lúc bắt đầu hãm phanh và vận tốc sau khi hãm phanh 2 giây của ô tô lần lượt bằng A. 6 ( m / s ) và 18 ( m / s )
B. 32 ( m / s ) và 20 ( m / s )
TO
http://daykemquynhon.ucoz.com
C. I =
(
0
TP .Q
1
D. 16 ( m / s ) và 4 ( m / s )
G
C. 18 ( m / s ) và 6 ( m / s )
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
1
B. I = ∫ t 4 − t 2 dt
)
− t 2 dt
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
4
Y
∫ (t
U
2
A. I =
N
đúng?
BỒ
ID Ư
Ỡ N
HD giải: Gia tốc a ( t ) , vận tốc ℝ và quãng đường đi s ( t ) thỏa mãn s ' ( t ) = v ( t ) , v ' ( t ) = a ( t )
Vận tốc: v ( t ) = ∫ a ( t ) dt = ∫ −6dt = −6t + C . Với t = 0 thì v0 = v ( 0 ) = 0 . Do đó v ( t ) = −6t + v0 2
2
0
0
(
Quãng đường đi được sau 2 giây: s = ∫ v ( t ) dt = ∫ ( −6t + v0 ) dt = −3t 2 + v0 .t
2
) 0 = 2v
0
− 12
Theo giả thiết: s = 20 ⇔ 2v0 − 12 = 20 ⇔ v0 = 16 ( m / s ) . Do đó v ( t ) = −6t + 16
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com
Chuyên đề: TÍCH PHÂN Vận tốc tại thời điểm t = 2 giây là v ( 2 ) = −6.2 + 16 = 4 ( m / s )
N
Lựa chọn đáp án D.
H Ơ
Câu 17. Một ô tô đang chuyển động trên đoạn đường phẳng với vận tốc 5m / s thì bắt đầu
N
xuống dốc và từ thời điểm đó nó chuyển động nhanh dần đều, 5 giây sau đạt vận tốc 20m / s .
D. 162,5m
Hàm vận tốc: v ( t ) = at + b ( a > 0 ) vì v ( 5) = 20 nên a = 3, b = 5, vậy v ( t ) = 3t + 5
ẠO
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
H
Ư N
Gọi T là thời gian ô tô đi hết đoạn đường dốc, ta có: v (T ) = 32 ⇔ T = 9 ( s )
TR ẦN
T 9 3t 2 9 Độ dài đoạn dốc: s = ∫ v ( t ) dt = ∫ ( 3t + 5 ) dt = + 5t = 166,5 ( m ) 2 0 0 0
Lựa chọn đáp án C.
00
B
Câu 18. Một túi nilon đựng một lượng nước có trọng lượng 5(N) được nâng từ mặt đất lên
10
không trung với tốc độ cố định. Bao nilon thủng khi bắt đầu nâng và nước rỉ ra với tốc độ
3
không đổi. Khi nâng đến độ cao 50 mét thì trong bao nilon không còn nước. Bỏ qua trọng
2+
lượng túi nilon, hỏi công sinh ra khi nâng bao nước từ mặt đất đến độ cao 50 mét bằng bao
ẤP
nhiêu?
B. 50 (J).
C. 250 (J).
D. 125 (J).
A
C
A. 150 (J).
Ó
HD giải:
Í-
H
Lực F ( x ) dùng để nâng bao nước chính bằng trọng lượng của nước. Từ giả thiết suy ra
-L
F ( x ) là hàm bậc nhất theo độ cao x của bao nước:
ÁN
x 50 − x F ( x) = 5 = 5− (N) 10 50
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
50 50 x x 2 50 Công sinh ra: A = ∫ F ( x ) dx = ∫ 5 − dx = 5 x − = 125 ( N .m ) = 125 ( J ) 10 20 0 0 0
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
G
Đ
3 Cách khác: v ( t ) = 5 (1 + mt ) ; vì v ( 0 ) = 5, v ( 5) = 20 nên m = , vậy v ( t ) = 3t + 5 5
TO
http://daykemquynhon.ucoz.com
HD giải:
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
C. 166,5m
U
B. 160m
TP .Q
A. 62,5 m
Y
Đến hết đoạn dốc ô tô đạt vận tốc 32m / s . Tính độ dài đoạn dốc nói trên.
Lựa chọn đáp án D
Câu 19. Khi mài một thanh kim loại, một mảnh kim loại từ mặt đất bay lên theo chiều thẳng
(
)
đứng với vận tốc v = 15 ( m / s ) . Biết gia tốc trọng trường là g = 9,8 m / s 2 và bỏ qua lực cản không khí, hỏi sau 1 giây mảnh kim loại đã di chuyển được quãng đường dài bao nhiêu? A. 19,9 (m)
B. 5,2 (m)
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
C. 10,1 (m)
D. 15 (m)
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com
Chuyên đề: TÍCH PHÂN HD giải: Mảnh kim loại chịu tác động của trọng lực (ngược chiều với hướng di chuyển) nên gia tốc của
)
N H Ơ N
là:
0
0
(
G Ư N
Lựa chọn đáp án C.
H
Câu 20. Một lò xo có chiều dài tự nhiên 30cm, để nén lò xo xuống còn 20cm ta cần dùng một
bao nhiêu? B. 6,5 (J)
C. 2 (J)
D. 0,5 (J)
B
A. 2,5 (J)
TR ẦN
lực 40 (N). Nếu ta tiếp tục nén lò xo nói trên từ 20cm xuống còn 15cm thì công sinh ra bằng
10
00
HD giải: Độ nén của lò xo: x = 0,3 − 0, 2 = 0,1( m ) , F = 40 ( N )
40 = 400 ( N / m ) . Do đó lực nén là 0,1
2+
3
Vì F = k.x , với k là độ cứng của lò xo, suy ra k =
ẤP
F = 400 x
C
Tiếp tục nén lò xo, độ nén: x1 = 0,3 − 0, 2 = 0,1m và x2 = 0,3 − 0,15 = 0,15m
0,15
∫ 400 xdx = 200 x
2
Í-
H
x2
A = ∫ F ( x ) dx =
Ó
A
Công sinh ra khi ta tiếp tục nén lò xo từ 20cm xuống còn 15cm:
0,1
0,15 = 2,5 ( N .m ) = 2, 5 ( J ) 0,1
-L
x1
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN
TO
2.
ÁN
Lựa chọn đáp án A.
2
ID Ư
Ỡ N
G
Câu 1. Tính tích phân I = ∫
BỒ
1
) 0 = 10,1( m )
1
A. I = ln 2
( x − 1) x3
2
dx .
B. I = ln 2 +
11 8
C. I = ln 2 −
5 8
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
1
ẠO
1
s ( t ) = ∫ v ( t ) dt = ∫ ( −9,8t + 15 ) dt = −4, 9t 2 + 15t
Đ
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
Quãng đường di chuyển của mảnh kim loại sau 1 giây:
TP .Q
Theo đề bài, với t = 0 thì v = 15 ( m / s ) nên C = 15. Suy ra: v ( t ) = −9,8t + 15 ( m / s )
U
Y
v ( t ) = ∫ a ( t ) dt = ∫ −9,8dt = −9,8t + C
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
(
mảnh kim lọai là a = − g = −9,8 m / s 2 . Do đó vận tốc của mảnh kim loại tại thời điểm t giây
D. I = −1 + ln 2
4
3 x + 2 − 5x dx . x x 1
Câu 2. Tính tích phân I = ∫ A. I = −8 + 6ln 2
B. I = 6ln 2
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
C. I = 10ln 2
D. I = 6ln 2 + 8
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
B. I =
20 3
C. I =
14 3
D. I = 2
C. I =
4 − 24 2 35
D. I =
( x + 1)
2
dx .
Y
Câu 4. Tính tích phân I = ∫ x
N
1
2
Câu 6. Tính tích phân I = ∫ 1
A. I =
1 3 + ln 2 4
TP .Q
ẠO
1 2
Đ
B. I =
G
)
1 4 C. I = − + ln 2 3
1 3 4 D. I = − ln + ln 2 2 3
Ư N
1 4 A. I = − ln 2 3
dx . x x2 − 1
(
4 + 24 2 35
H
2
24 2 35
dx . x ( x + 1)
TR ẦN
3
Câu 5. Tính tích phân I = ∫
2
1 4 B. I = − + ln 2 3 x
1 3 C. I = − + ln 2 4
D. I =
1 3 ln 2 4
10
1 + ln t dt = 18 t 1
∫
3
Câu 7. Tìm các số thực dương x thỏa mãn
2+
e
A. x = e7 , x = e5
ẤP C
1 , x = e7 e5
A
D. x = e−7 , x = e−5
Ó
1 , x = e5 e7
B. x =
H
C. x =
3
-L
Í-
Câu 8. Tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx , biết rằng f ' ( x ) = 2
120 8281
ÁN
TO
A. I = −
ID Ư
Ỡ N
G
Câu 9. Tích phân
BỒ
B. I =
B
24 2 − 4 35
00
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
A. I =
U
0
B. I =
120 8281
2x +1 x + x +1 2
C. I = ln
13 7
D. I = ln
e
∫ x ln xdx bằng
7 13
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
8 3
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
A. I =
N
1
1 + 2dx . x
H Ơ
4
Câu 3. Tính tích phân I = ∫ x +
1
A.
e2 − 1 4
B.
e2 4
2
Câu 10. Tích phân
∫(x
3
C.
e2 + 1 4
D.
e2 + 2 4
C.
33 4
D.
34 4
)
+ 3 x 2 − 2 x dx bằng
1
A.
31 4
B. 8
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com
Chuyên đề: TÍCH PHÂN 2 2
∫
Câu 11. Tích phân
1 − x 2 dx bằng
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
(
)
3 +1
D. 2
a
a
Câu 14. Cho a < b < c, ∫ f ( x ) dx = 7, ∫ f ( x ) dx = 8 . Tính
B.
3 1 4 1 B. I = ln − C. I = ln − 2 8 3 8
Ó
A
C
2 1 A. I = 2 ln − 3 2
2
-L
Í-
H
Câu 16. Tính tích phân I = ∫
ÁN
3 1 A. I = 2 ln − 2 2
1
1
G Ỡ N ID Ư
3 +1 2
0
1 ln 2 2
C. I = −1 + ln
3 2
D. I = ln
3 1 − ln 2 − 2 2
2x2 − x + 3 dx x+2
1
Câu 18. Tính tích phân I = ∫
H Ơ
dx x ( 2 x − 1)
3 1 B. I = 3ln − 2 2
3 −4 2
4 1 D. I = − ln + 3 2
2
B. I = ln
0
A. I = 13ln
3
ẤP
1
dx x ( x + 1)
2+
2
3
b
Câu 15. Tính tích phân I = ∫
N
∫ f ( x ) dx = −15
b
A.
B
c
D.
10
c
∫
∫ f ( x ) dx = 15 b
f ( x ) dx = −1
∫ f ( x ) dx
00
b
C.
c
TR ẦN
c
∫ f ( x ) dx = 1
D. 4
b
c
A.
G
C. 5 c
)
Ư N
B. 6 b
3+2
H
A. 7
(
Đ
x2 − 5x + 6 ∫4 x − 3 dx bằng
Câu 17. Tính tích phân I = ∫
BỒ
C. 2
6
Câu 13. Tích phân
8
dx bằng
B. 2 3
TO
http://daykemquynhon.ucoz.com
)
3 −1
8
π +2
x
( x + 1) B.
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
4
C. I = −3ln
3 +4 2
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
x2 + x +1
D.
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
2x +1
∫ −1
(
8
π +1
Y
1
Câu 12. Tích phân
C.
U
8
A. 2
π −1
B.
TP .Q
π −2
ẠO
A.
N
0
3 1 D. I = ln + 2 2
dx
1 + ln 2 12
C.
1 12
D.
1 − ln 2 12
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
4
1
1 3 A. I = − ln 6 2
8 5
3 1 B. I = 2 ln + 2 6
C. I = 2 ln
6
3 2
N
1 8 + ln 2 5
1 3 D. I = ln 6 2
∫
12
TR ẦN
f ( x ) dx = 7 , tính tích phân I =
−2
7 2
D. I =
dx + 2x
Câu 22. Biết rằng f ( x ) liên tục trên ℝ và
x
∫ f 2 dx
−4
C. I = 14
D. I = 28
B
B. I = 7
00
A. I =
H Ơ Y
C. ln
4π
3
10
3π 7π π Câu 23. Cho hàm số f ( x ) và f ' ( x ) liên tục trên ℝ và f = − , ∫ f ' ( x ) dx = . 2 π 2 2
2+
2
ẤP
Tính f ( 4π ) .
B. f ( 4π ) = 2π
C. f ( 4π ) =
5π 2
D. f ( 4π ) = 5π
Ó
A
C
A. f ( 4π ) = π
1
0
-L
Í-
H
Câu 24. Xét tích phân I = ∫ x x + 1dx và đặt t = x + 1 . Trong các khẳng định sau, khẳng
ÁN
định nào sai?
1
TO G Ỡ N
(
)
B. I = 2 ∫ t 2 t 2 + 1 dt
A. dx = 2tdt
0 2
C. I = 2 ∫ ( t 4 − t 2 ) dt
D. I =
0 3 3
Câu 25. Xét tích phân I =
∫ 0
4 15
(
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
2
∫x
Câu 21. Tính tích phân I =
1 8 ln 2 5
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
B. I = 3
ID Ư
BỒ
)
U
(
H
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
1 8 A. I = − ln 2 5
dx x x2 + 1
TP .Q
1
3 7 D. I = 2 ln − 2 6
ẠO
2
Câu 20. Tính tích phân I = ∫
3 7 C. I = 2 ln + 2 3
N
3 7 B. I = 2 ln + 2 6
Đ
3 7 A. I = ln − 2 3
G
0
2x − 3 dx x + 4x + 4 2
Ư N
1
Câu 19. Tính tích phân I = ∫
)
2 +1
dx và đặt x = 3tan t . Trong các khẳng định sau, khẳng định x +9 2
nào sai? π
A. dx =
3 dt cos 2 t
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
3 t B. I = ∫ dt 3 0
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
D. I = 7 3
Câu 26. . Xét tích phân I = ∫
3
9
x +1 dx . Nếu đặt t = 3 3 x + 1 thì khẳng định nào trong các 3x + 1
N
0
π
2
)
2
+ 1 − 2t 2 + 2t − 1 dt 3
D. I =
46 5
∫π 2
1
∫π
−
D.
∫π
−
2
4 − x2
0
2
2 cos x dx 2x +1
dx
Câu 28. Đặt I = ∫
2
π x
ẤP C A
Ư N
cos tdt
1 − cos 2 t
H
0
-L
ÁN
TO
G
2
π
D. I = 1
Câu 29. Tính tích phân I = ∫
Ỡ N
−
2
0
A. I =
H
2 cos x 2 x cos x 2 dx = ∫π 2x + 1 dx 2x +1
6
Ó 6
C. I = ∫ dt
2
π
B. I = ∫
Í-
π
∫π
−
π π và x = 2sin t , t ∈ − ; . Trong các khẳng định sau, khẳng định 2 2
nào đúng? A. dx = −2cos tdt
2 x cos x dx 2x + 1
TR ẦN
2
π 2
B
π
2
−
−
2
π
cos x dx = 2x +1
∫π
B.
cos x dx < 2x + 1
00
C.
2
∫π
−
π 2
2 x cos x dx 2x +1
10
∫π
−
π 2
3
A.
cos x dx > 2x +1
2+
π 2
G
Câu 27. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
0
13 9
π 3
4 xdx
( 2 x + 1) B. I =
3
2 9
C. I =
1 9
D. I =
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
1
ID Ư
BỒ
2
ẠO
C. I = ∫
(t
Đ
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
A. dx = t dt
TP .Q
t 4 + 2t dt B. I = ∫ 3 1
2
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
U
Y
khẳng định sau là sai?
2
N
9 cos 2 t
H Ơ
C. 9 + x 2 =
1 3
3
Câu 30. Tính tích phân I = ∫ x 2 − 4 x + 4dx 1
A. I = 2
B. I = -2 1
Câu 31. Tính tích phân I = ∫ 0
C. I = -3
D. I = 1
4x − 9 dx 4x + 4x +1
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
2
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
1 ln 2 4
1 ln 3 4
D. I =
N
1 dx x + 2x 1 ln 3 2
1 2 ln 4 9
1 ln 7 2
C. I = ln
7 2
D. I =
1 ln 7 − ln 2 2
Ư N
G
Câu 34. Cho các hàm số f ( x ) = 3x3 − x 2 − 4 x + 1 và g ( x ) = 2 x3 + x 2 − 3x − 1 . Tính tích phân 2
H
I = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx
3
Câu 35. Tính tích phân I = ∫ 2
C. I = −
2x − 3 dx x − 3x + 2 3
5 12
D. I =
5 12
1 7 4 B. I = − − ln 6 9 5
2+
3
1 7 8 A. I = − + ln 6 9 5
ẤP
1 7 4 C. I = − + ln 2 9 5
C
D. I =
1 7 8 + ln 2 9 5
A
t
1 2
B
B. I = −
00
1 2
10
A. I =
TR ẦN
1
H
Ó
Câu 36. Đặt f ( t ) = ∫ ( sin x + cos x ) dx, ( t ∈ ℝ ) . Nghiệm của phương trình f ( t ) = 0 là π
-L
π
6
± kπ , k ∈ ℤ
B. t =
ÁN
A. t =
Í-
4
TO
C. t =
π
3
± kπ , k ∈ ℤ
G
ln10
Ỡ N
Câu 37. Biết tích phân
ID Ư
D. t =
∫
ln 3
ex 3
x
dx =
e −2
π 4
π 2
± kπ , k ∈ ℤ ± kπ , k ∈ ℤ
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
U TP .Q
dx 2 x3 − x
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
1
BỒ
C. I =
11 + ln 3 3
ẠO
2
Câu 33. Tính tích phân I = ∫ B. I =
D. I = −
3
B. I =
A. I = ln 2 7
11 − 2 ln 3 3
H Ơ
1
C. I =
N
2
Câu 32. Tính tích phân I = ∫ A. I =
11 + ln 3 3
B. I =
Y
11 − ln 3 3
Đ
A. I =
a a ; trong đó a, b là hai số nguyên dương và là b b
phân số tối giản. Khẳng định nào sau đây là sai? A. 2a = 7b
B.
a b + =4 3 2
C. a 2 + b 2 = 85
D. a − b = 7
π 4
Câu 38. Tính tích phân I = ∫ (1 + cos 2 x ) sin 2 xdx, n ∈ ℕ * n
π 2
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
A. I =
1 2n − 1
1 2n
B. I =
1 2n + 1
C. I =
D. I =
1 2n + 2
A. n = 1
B. n = 2
∫x
5 5 a a dx = ln ; trong đó a, b là hai số nguyên dương và là phân số tối −1 2 b b
2
B. ab = 9
D. ab = 144
3
a +b =8
a b − = 10 3 5
B.
00 10
0
B. I = a cos a − sin a
3
A. I = −a cos a + sin a
2+
a2 cos a 2
ẤP
C. I = −
1
(
)
D. a 2 + b 2 = 754
B
∫ x sin xdx ( a > 0 ) theo a.
H
C. a + b = 32
a
Câu 42. Tính
Ư N
G
A.
TR ẦN
số tối giản. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai?
D. I =
a2 cos a 2
C. I =
8 9
D. I = 1
C. I =
142 5
D. I =
2
C
Câu 43. Tính tích phân I = ∫ x 2 x 3 + 1 dx
H Í-
7 9
-L
A. I = −
Ó
A
0
TO
ÁN
Câu 44. Tính tích phân I =
ln 2
∫ e (e 2x
G
519 20
B. I = 1
Ỡ N
x
)
3
+ 1 dx
0
Câu 45. Tính tích phân I = ∫
ID Ư
7 9
B. I =
0
617 20
x5
(x
3
+ 1)
2
dx
1 1 B. I = ln 2 + 3 6
1 A. I = ln 2 3 e
Câu 46. Tính tích phân I = ∫
(1 + ln x )
1
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
x
519 5
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
7
a 1 a 1 Câu 41. Cho ∫ + là phân dx = ln ; trong đó a, b là hai số nguyên dương và b 2x − 5 x + 2 b 3
A. I =
BỒ
C.ab = 12
Đ
A. ab = 3
ẠO
giản. Hãy tính ab.
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
3
D. n = 4
TP .Q
5
Câu 40. Biết
C. n = 3
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
0
1 ? 8
H Ơ
xdx =
N
2 n +1
Y
∫ cos x.sin
U
2
Câu 39. Giá trị nào sau đây của n thỏa mãn
N
π
1 1 C. I = ln 2 − 3 6
1 D. I = ln 2 6
2
dx
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
D. I =
8 3
3 8
D. I =
3 8
x
e
B. I = −
1 2 ln 2
C. I = −
TP .Q
e
ln xdx 11 x ( ln x + 2 ln x + 1)
x2 + 1
0
A. I = 2
Đ
D. I =
1 + ln 2 2
Ư N
xdx
∫
B. I = 1
C. I = 3
H
3
Câu 49. Tính tích phân I =
1 C. I = − + ln 2 2
G
1 B. I = − ln 2 2
A. I = ln 2
ẠO
2
TR ẦN
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
D. I = 3 − 1 π 2
B
Câu 50. Trong các tích phân sau, tích phân nào có giá trị bằng tích phân I = ∫ cos n xdx , với n 0
00 π
2
2
B. I = ∫ sin n xdx
2+
A. I = − ∫ sin n xdx
10
π
3
nguyên dương?
π
C. I = − ∫ sin n xdx
0
eb
dx
∫ x ln x ( b > a > 0 )
C
Câu 51. Tính tích phân I =
ẤP
0
0
0
theo a và b
B. I = ln ( a + b )
H
-L
Í-
A. I = ln ( ab )
Ó
A
e
π
D. I = ∫ sin n xdx
a
12
ÁN
Câu 52. Tính tích phân I = ∫ 4
C. I = ln
b a
D. I = ln ( b − a )
dx được kết quả là I = a ln 6 + b ln 2 . Giá trị của biểu x 2x +1
thức a 2 − 3ab + b 2 bằng
TO
http://daykemquynhon.ucoz.com
Câu 48. Tính tích phân I = ∫
G
A. 1
B. -1
C. 19
D. 29
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
3
H Ơ
N
dx
∫ x ln
1 2 ln 2
10 3
N
Câu 47. Tính tích phân I =
C. I =
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
e2
A. I =
5 3
B. I =
Y
7 3
U
A. I =
a
Ỡ N
e x − e− x theo a x −x e e + 0
BỒ
ID Ư
Câu 53. Tính tích phân I = ∫ A. I = a
B. I = ln
ea + e− a 4
C. I = ln
ea + e− a 2
(
D. I = ln e a + e − a
)
5
Câu 54. Để tính tích phân I = ∫ x 2 − 9 dx , một học sinh làm như sau: 0
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com
Chuyên đề: TÍCH PHÂN 3
5
0
3
(
5
)
(
)
3
N
0
H Ơ
Bước 2: I = ∫ x 2 − 9 dx − ∫ x 2 − 9 dx
TP .Q
U
Y
x3 3 x3 5 98 10 Bước 3: I = − 9 x − − 9 x = −18 − 0 − − + 18 = − 3 3 3 0 3 3
B. Sai từ bước 1
C. Sai từ bước 2
D. Sai từ bước 3
∫
π
2
f ( sin x ) dx = ∫ f ( sin x ) dx
0
2
B. ∫ f ( sin x ) dx = 2 ∫ f ( sin x ) dx
0
TR ẦN
A.
π
H
π π
0
0
0
0
0
n
3
∫ ( 3x + 5) dx = 16 0
16 ; n = −2 3
C. n = −
16 ; n = 2; n = −1 3
B. n =
A
C
ẤP
A. n = −
16 4 ;n = 3 3
Ó
D. n = −
H
Í-
ÁN
-L
Câu 57. Tính tích phân I =
C. I =
Ỡ N
G
TO
A. I =
2 8−2 2 3
(
16 ;n = 2 3
ln 3
∫e
x
e x + 1dx
0
)
2−4 2 3 e
Câu 58. Tính tích phân I = ∫ 1
A. I =
0
2+
Câu 56. Tìm số thực n biết
2
D. ∫ f ( sin x ) dx = 4 ∫ f ( sin x ) dx
00
∫
f ( sin x ) dx = 3∫ f ( sin x ) dx
10
C.
π
π
2
B
π π
1 ln 2 4
B. I =
∫ 0
4 3
D. I =
4−4 3 3
dx x ( 4 − ln 2 x )
ln 2
Câu 59. Tính tích phân I =
B. I =
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
nào đúng?
Ư N
G
Câu 55.Cho f ( x ) là hàm số liên tục trên đoạn [ 0;1] . Trong các khẳng định sau, khẳng định
ID Ư
BỒ
ẠO
A. Lời giải đúng.
Đ
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
Hỏi lời giải trên đúng hay sai, nếu sai thì sai từ bước nào?
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
3
N
Bước 1: I = ∫ x 2 − 9 dx + ∫ x 2 − 9 dx
1 ln 3 4
C. I =
1 ln 4 2
D. I = 2ln 2
dx e + 2e − x + 3 x
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
B. I = 2 ln
D. I = ln
N 5 6
D. I =
C. I =
4 2+2 3
D. I =
1 6
4
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
sin 4 x dx sin x
π 4
4
+
1 3
B. I =
π
1 64 192 +
C. I =
cos3 x dx 1 + sin x 0
C
Ó H Í-L
π +1 64
B. 14 +
Đ
G
D. I = −
1 2
3π 2
∫ f ( x ) dx = 7 . Khi đó tích phân I = ∫ 0
A. 11
C. I = 1
A
Câu 64. Cho I =
D. I =
3
2+
1 3
ẤP
B. I = 3π 2
1 48
10
2
Câu 63. Tính tích phân I = ∫ 1 2
64
+
00
π
A. I =
π
B
π
TR ẦN
0
A. I =
4 2 −5 3
H
Câu 62. Tính tích phân I = ∫ sin 2 x cos 4 xdx
2 f ( x ) + 3cos x dx bằng
0
9π 2
D. 14 −
C. 23
9π 2
t
ÁN
Câu 65. Đặt f ( t ) = ∫ sin 2 xdx, ( t ∈ ℝ ) . Nghiệm của phương trình f ( t ) = 0 là 0
ID Ư
Ỡ N
G
A. t = kπ , k ∈ ℤ
BỒ
4 2 3
Ư N
B. I =
A. I = 4 2 + 5
ẠO
6
TO
http://daykemquynhon.ucoz.com
π
TP .Q
π
C. t = −
π 4
B. t =
+ kπ , k ∈ ℤ
π 4
+ kπ , k ∈ ℤ
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
C. I =
Y
3 4
N
x2 + 1 + 1 B. I =
Câu 61. Tính tích phân I = ∫
3 4
H Ơ
∫
1 2
9 8
x 3dx
0
A. I =
C. I = ln
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
3
Câu 60. Tính tích phân I =
3 2
U
3 4
A. I = 2 ln
D. t = k 2π , k ∈ ℤ 6
Câu 66. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ thỏa mãn
∫ f ( x ) dx = 8 . Khi đó tích phân 0
3
∫ f ( 2 x ) dx bằng 0
A. 2
B. 4
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
C. 8
D. 16.
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
B. 9
25 2
C.
D. 10.
H Ơ
A. 11
N
4 x − Câu 67. Nếu I = ∫ 4 − e 2 dx = K − 2e thì giá trị của K là 0
5
1
A. 3
C. 81 3
Câu 70. Giá trị của tích phân
∫x
2
− x − 2 dx là
C. 3
1
4
4
0
0
3
B.
∫ f ( x ) − g ( x ) dx = 1 0 4
Ó
∫ f ( x ) + g ( x ) dx = 9
∫
H
D.
4
f ( x ) dx > ∫ g ( x ) dx
0
0
Í-
0
-L
Câu 72. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? b
ÁN
A. Nếu f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ [ a; b] thì
∫ f ( x ) dx ≥ 0 a
TO G Ỡ N ID Ư
BỒ
4
A
4
C.
0
C
∫ f ( x ) dx < ∫ g ( x ) dx
∫ g ( x ) dx = 4 . Khẳng định nào sau đây sai?
ẤP
0
A.
∫
4
f ( x ) dx = 3 ;
2+
f ( x ) dx = 2 ;
31 6
10
4
1
∫
D.
00
B. 5
D. 8
B
0
Câu 71. Giả sử
b
1 dx = ln A , giá trị của A là 2x −1 B. 9
A. 4
a
a
B. Nếu f ( − x ) = − f ( x ) , ∀x ∈ [ −a; a ] thì
∫ f ( x ) dx = 0
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
c
Câu 69. Giả sử I = ∫
TP .Q
a
a
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
a
b
D. ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx
ẠO
b
Đ
∫
c
f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx; ( c ∈ [ a; b ])
G
C.
a
b
Ư N
b
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
a
B. ∫ kdx = k ( b − a ) ; ∀k ∈ ℝ
H
∫
b
a
f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx
TR ẦN
b
A.
U
Y
N
Câu 68. Cho f ( x ) là hàm số liên tục trên [ a; b ] . Đẳng thức nào sau đây sai?
−a
C.
b
b
b
a
a
a
∫ f ( x ) .g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx.∫ g ( x ) dx , với mọi f ( x ) , g ( x ) liên tục trên [ a; b]
D. Nếu
∫
x2
f ( x ) dx = F ( x ) + C thì
1
∫ f ( ax + b ) dx = a F ( ax
2
+ b ) − F ( ax1 + b ) , a ≠ 0
x1
Câu 73. Đẳng thức nào sau đây là đúng?
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com
Chuyên đề: TÍCH PHÂN 3
3
2 ∫ x dx = 0
∫ (x
B.
3
3
(
)
D. ∫ x 2 + x dx = 0
−3
H Ơ
3 ∫ x dx = 0
−3
a
a
b
∫ f ( x ) dx = ± ∫ f ( x ) dx
a
a
b
∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx
dx
∫x
4
1
A.
31 5
B. −
31 5
7 24
C.
00 π
3
3
3
3
3
3
C
D.
∫π cos
−
2
xdx = 0
3
Ó
−
sin 2 xdx = 0
A
∫π
−
π
ẤP
π
C.
∫π cos xdx = 0
B.
3
−
3
sin xdx = 0
2+
∫π
7 24
10
π
A.
D. −
B
Câu 76. Đẳng thức nào sau đây đúng?
Í-
H
Câu 77. Nếu các hàm số f ( x ) và g ( x ) đều xác định, liên tục và cùng không đổi dấu trên
-L
[ a; b] thì đẳng thức nào sau đây đúng? a a A. ∫ f ( x ) .g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx . ∫ g ( x ) dx a b b
Ỡ N
G
TO
ÁN
b
b
B.
a
f ( x)
∫ g ( x ) dx = a
ID Ư
BỒ
D.
b
Ư N
2
Câu 75. Tích phân
b
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
b
a
ẠO
b
Đ
a
a
G
∫
b
B. ∫ f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx
H
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
C.
a
f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx
TR ẦN
b
A.
TP .Q
nào sau đây đúng?
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
U
Câu 74. Nếu hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục và không đổi dấu trên [ a; b] thì đẳng thức
N
C.
)
+ 1 dx = 0
−3
N
−3
2
Y
A.
∫ f ( x ) dx b a
∫ g ( x ) dx b
b
C.
a
∫ f ( x ) + g ( x ) dx =
∫
a
b
a
f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
b
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com
Chuyên đề: TÍCH PHÂN a
a
b 2
N
∫ f ( x ) + g ( x ) dx = ∫ f ( x ) + g ( x ) dx dx
Câu 78 Tích phân I = ∫
bằng
x3
D.
2
π
2
2
0
0
0
0
Đ
π
π
π
π
2
2
2
2
∫ sin xdx = − ∫ cos xdx 0
D.
0
∫ sin xdx = − ∫ tan xdx 0
0
TR ẦN
π 2
Câu 80. Tích phân I = ∫ cos xesin x dx = m thì m thỏa mãn phương trình 0
B
B. ln ( x − 1) = 0
0
10
3
∫
6
f ( x ) dx = 5, ∫ f ( x ) dx = 8 . Khi đó 0
B. -3
3
C
H
5
ÁN
1
TO
A.
C. {4}
4
D. {4; −1}
4
∫ f ( x ) dx bằng 1
a − b B. b − a
C. a + b
D. a − 4b
a
−a
0
0
∫ f ( x ) dx = 5 và f ( x ) là hàm số chãn. Khi đó ∫ f ( x ) dx bằng
G Ỡ N ID Ư
∫ ( 2 x − 4 ) dx = 5 là
B. {5; −1}
f ( x ) dx = a, ∫ f ( x ) dx = b thì
-L
∫
Í-
5
Câu 83. Nếu
D. -13
0
A Ó {5}
∫ f ( x ) dx bằng
b
Câu 82. Tập hợp các giá trị của số thực b sao cho A.
6
C. 13
ẤP
A.
C. ln ( x + 1) = 0 D. ln ( x + 1) = 1
5
2+
5
Câu 81. Giả sử
00
ln x = 1
A.
Câu 84.Cho
BỒ
B. ∫ sin xdx = ∫ tan xdx
G
∫ sin xdx = ∫ cos xdx
ẠO
π
2
A.
0
B. 5 6
Câu 85. Cho tích phân I =
∫ 3 2
C. -5 dx 2
và đặt x =
x x −9
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
C.
π
2
Ư N
A.
π
H
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
Câu 79. Đẳng thức nào sau đây đúng?
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
2 2
C.
U
B. 2 − 2
TP .Q
2 −2
A.
Y
N
1
H Ơ
D.
b
D. 10
3 . Trong các khẳng định sau, khẳng cos t
định nào sai? A. dx =
3sin t dt cos 2 t
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
B. I =
π 36
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com
Chuyên đề: TÍCH PHÂN π
π
sin tdt 3cos t tan t
D.
dx x x2 − 9
=
sin tdt 3 tan t
H Ơ
N
4 2
N
Câu 86. Cho tích phân I = ∫ 2 x x 2 − 1dx và đặt u = x 2 − 1 . Trong các khẳng định sau, khẳng
Y
1
2
C. I = ∫ udu
B. I = 2 3
ẠO
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
π
A. 6
B. 5
Đ G
0
1 . Khi đó m bằng 64
Ư N
6
Câu 87. Cho I = ∫ sin m x cos xdx =
C. 4
D. 3
TR ẦN
π π
π ∫0 sin x + 4 dx = ∫0 sin x − 4 dx
3
∫0 sin x + 4 dx =
3π 4
π
π π ∫0 sin x + 4 dx − 3∫π sin x + 4 dx 4
C
C.
π
2+
π
00
π
π π ∫0 sin x + 4 dx = ∫0 cos x + 4 dx
10
π
B.
B
4
ẤP
A.
π
H
Câu 88. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
π
π
π π ∫0 sin x + 4 dx = 2 ∫0 sin x + 4 dx
Ó
A
4
H
D.
Í-
1
∫ xe
1− x
-L
Câu 89 Giá trị
dx bằng
ÁN
0
A. 1 − e
B. e − 2
TO
http://daykemquynhon.ucoz.com
0
2 23 3 D. I = u 3 0
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
A. du = 2 xdx
TP .Q
U
định nào sai?
C. e − 1
D. 2 − e
t
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
Câu 90. Giải phương trình ẩn t sau đây ∫ cos xdt = 0 ( t ∈ ℝ )
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
3
C. I = ∫
0
A. t = k C. t =
π 6
π 3
,k ∈ℤ
+ k 2π , k ∈ ℤ
B. t =
π 3
+ k 2π , k ∈ ℤ
D. t = kπ , k ∈ ℤ
Câu 91. Dựa vào ý nghĩa hình học của tích phân, hãy tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
1
x −1 dx A. ∫ ln (1 + x ) dx > ∫ e −1 0 0
N H Ơ
3
N
, với a là số thực dương
a − ax
(
)
B. I = −2 + 2 2 a
C. I = −2 + 2 2
D. I = 2 − 2
ẠO
A. I = 2 a
Câu 93. Tính tích phân I = ∫ (1 − cos x ) sin xdx
Ư N
n
1 2n
B. I =
1 n +1
C. I =
π 4
?
D. I =
1 2n − 1
B. ∫ 0 1
(
dx 2 + x2
10
dx ∫−1 2 + x2
π 1
dx 1 + x2 0
C. ∫
4
dx 1 + x2 0
D. ∫
2+
A.
1
3
0
00
B
Câu 94. Tích phân nào dưới đây có kết quả bằng
1 n −1
TR ẦN
A. I =
H
0
)
ẤP
Câu 95. Cho I = ∫ tx − e x dx, ( t ∈ ℝ ) . Tất cả các giá trị t để I < 1 + e là
C
0
B. t < 4e + 1
C. t < 2e
D. t < 2e + 2
A
A. t < 4e
H
Ó
Câu 96. Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc v ( t ) = 160 − 10t ( m / s ) . Quãng đường vật
A. 1280 ( m )
B. 640 ( m )
ÁN
-L
Í-
di chuyển được tính từ thời điểm t = 0 ( s ) đến thời điểm vật dừng lại bằng
D. 2560 ( m )
TO
C. 3840 ( m )
G
Câu 97 Một vật đang di chuyển với vận tốc 10m / s thì bắt đầu tăng tốc chuyển động nhanh
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
2
G
π
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
dx
0
Y
0
Đ
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
1
2
2
−a
http://daykemquynhon.ucoz.com
0
D. ∫ e − x xdx > ∫ e − x dx
0
∫
0 1
1− x −x ∫0 e xdx > ∫0 1 + x dx
Câu 92. Tính tích phân I =
4
B. ∫ sin 2 xdx < ∫ sin 2 xdx
2
1
π
4
U
1
C.
π
TP .Q
1
BỒ
ID Ư
Ỡ N
dần đều và 3 giây sau nó đạt vận tốc 16m / s . Tính quãng đường vật di chuyển tính từ lúc vật
bắt đầu tăng tốc đến khi nó đạt vận tốc 24m / s . A. 119 ( m )
B. 21 ( m )
C. 168 ( m )
D. 94,5 ( m )
Câu 98. . Một túi nước có trọng lượng 10(N) được nâng từ mặt đất lên không trung với tốc độ cố định. Nước trong túi bị rỉ ra ngoài với tốc độ rỉ nước không đổi. Khi nâng đến độ cao 20 mét thì trong túi không còn nước. Bỏ qua trọng lượng túi, tính công sinh ra khi nâng túi nước nói trên từ độ cao 5 mét đến độ cao 10 mét.
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com
Chuyên đề: TÍCH PHÂN A. 18,75 (J).
C. 31,25 (J).
B. 75 (J).
D. 25 (J).
)
H Ơ
Biết gia tốc trọng trường là g = 9,8 m / s 2 và bỏ qua lực cản không khí, tính độ cao của vật
(m)
C. 102,9 ( m )
D. 147 ( m )
Y
B.122,5
U
A. 245 ( m )
N
nói trên khi vật dừng lại trên không trung.
TP .Q
Câu 100. Một lò xo có chiều dài tự nhiên 10cm, để nén lò xo xuống còn 8cm ta cần dùng một
C.0,05 (J).
D.0,45 (J).
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
C
ẤP
2+
3
10
00
B
TR ẦN
H
Ư N
G
.....................HẾT.....................
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
B.10 (J).
ẠO
A. 0,2 (J).
Đ
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
lực 20(N). Tính công sinh ra khi nén lò xo nói trên từ chiều dài tự nhiên xuống còn 7cm.
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
(
N
Câu 99. Phóng một vật từ mặt đất lên cao theo chiều thẳng đứng với vận tốc v = 49 ( m / s ) .
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
41
42
43
44
45
46
47
48
51
52
53
54
55
56
57
61
62
63
64
65
66
71
72
73
74
81
82
83
91
92
N
2
H Ơ
1
2+
Y 50
58
59
60
67
68
69
70
93
A
Đáp án Câu
77
78
79
80
84
85
86
87
88
89
90
94
95
96
97
98
99
100
10
76
ẤP
Câu
75
3
Đáp án
00
Đáp án Câu
H
TR ẦN B
Đáp án Câu
Ư N
49
Đáp án Câu
40
G
Đáp án Câu
ẠO
Câu
Đ
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
ÁN
-L
Í-
H
Ó
Đáp án
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
http://daykemquynhon.ucoz.com
Đáp án
TP .Q
Câu
U
Đáp án
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
Câu
N
Đáp án
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
Câu
C
3. ĐÁP ÁN CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial