Issuu

CHUYÊN ĐỀ TRẮC NGHIỆM ĐẠI SỐ 12

vectorstock.com/17234361

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection DẠY KÈM QUY NHƠN TEST PREP PHÁT TRIỂN NỘI DUNG

CHỦ ĐỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐẠI SỐ 12 CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT PDF VERSION | 2020 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM

Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

CHUYÊN ĐỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐẠI SỐ 12 CÓ ĐÁP ÁN Chủ đề: Tính đơn điệu của hàm số 70 Bài tập Tính đơn điệu của hàm số có giải chi tiết (mức độ vận dụng) 4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm số Trắc nghiệm Xét tính đơn điệu của hàm số Dạng 2: Tìm tham số m để hàm số đơn điệu Trắc nghiệm Tìm tham số m để hàm số đơn điệu Dạng 3: Phương pháp cô lập m trong khảo sát tính đơn điệu của hàm số Trắc nghiệm Phương pháp cô lập m trong khảo sát tính đơn điệu của hàm số Dạng 4: Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên đoạn có độ dài l Trắc nghiệm Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên đoạn có độ dài l

Chủ đề: Tính đơn điệu của hàm số

ủa hàm số có giải chi tiết (mức độ vận dụng) ụng) 70 Bài tập Tính đơn điệu của trị thực của tham số m sao cho hàm Bài 1. Tìm tất cả các giá tr nghịch biến trên một đoạn có độ dài là 3?

số A. m= -1; m= 9. C. m = 3.

B. m= -1

D. Đáp áp án khác

Hiển thị đáp án Đáp án: A + Đạo hàm y’ = x2- mx+ 2m

ương trình y’ =0 Hàm số nghịch biến trên mộột đoạn có độ dài là 3 khi và chi khi phươ có 2 nghiệm x1; x2 (chú ý hệ số a= 1 > 0) thỏa mãn:

thực của tham số m sao cho hàm số Bài 2. Tìm tất cả các giá trị th biến trên khoảng A. 1≤ m < 2. C. m > 2

B. m≤ 0 .

D. Cả A và B đúng

Hiển thị đáp án Đáp án: D +) Điều kiện tan x ≠ m

đồng

Điều kiện cần để hàm số đồng biến trên +) đạo hàm :

+) Ta thấy:

Bài 3. Bất phương trình [a; b]. Hỏi tổng a2+ b2 có giá trị là bao nhiêu? A. 4

B. 7

C. 10

Hiển thị đáp án Đáp án: D Điều kiện: -2 ≤ x≤ 4.

D. 17

có tập nghiệm là

Do đó hàm số đồng biến trên [-2; 4]

f(x)≥ f(1) =2√3 Bất phương trình đã cho trở thanh f(x) Kết hợp với điều kiện hàm số đồng biến suy ra x≥1. So với điều kiện, tậpp nghiệm ccủa bpt là [1; 4]. Do đó; a2+ b2= 17. Bài 4. Bất phương trình nghiệm là (a; b]. Hỏi 4a-b có giá trị là bao nhiêu? A. 1.

B. 3.

C. 5.

D.7

Hiển thị đáp án Đáp án: C Điều kiện: 1≤ x≤ 3 Với điều kiện trên bpt

Khi đó(1) tương đương f(x-1) > f(3-x) hay x-1 > 3-x Suy ra x > 2

ập nghi nghiệm là (2; 3] và 4a- b= 5 So với điều kiện, bpt có tập

có tập

trị thực của tham số m sao cho bất b phương Bài 5. Tìm tất cả các giá tr trình:

nghiệm đúng mọi x≥ 1 ?

Hiển thị đáp án Đáp án: B Bất phương trình

Suy ra f(x) là hàm số đồng bi biến trên khoảng Bất phương trình đã cho đúng với mọi x≥ 1 khi và chỉ khi f(x) > 3.

Hay min f(x) = f(1) =2 > 3m suy ra m < 2/3. ng biế biến của hàm số: Bài 6. Tìm khoảng đồng

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Hàm số đã cho xác định trên D= R.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đã cho đồng biến trên Bài 7. Xét các mệnh đề sau: (I). Hàm số y= - (x- 1)3 nghịch biến trên R. (II). Hàm số y= ln (x-1) -

(III). Hàm số

đồng biến trên tập xác định của nó.

đồồng biến trên R.

Hỏi có bao nhiêu mệnh đề đđúng? A. 3.

B. 2.

C. 1.

D. 0.

Hiển thị đáp án Đáp án: A (I) đạo hàm y’= [- (x-1)3]’ = - 3(x-1)2 ≤ 0; ∀ x ∈ R

biến trên R. Do đó; hàm số này nghịch biế đạo hàm: (II) điều kiệnn : x > 1. Ta có đạ

ng biế biến trên R. Do đó; hàm số này đồng

Bài 8. Cho hàm số A. Hàm số luôn giảm trên

. Chọn câu trả lời đúng. với m < 1.

B. Hàm số luôn giảm trên tậập xác định. C. Hàm số luôn tăng trên D. Hàm số luôn tăng trên Hiển thị đáp án Đáp án: C

với m > 1.

Tập xác định :D= R\ {1}

* Xét f’(x)= 0 khi x2 – 2x+ m= 0. * Xét g(x)= x2 – 2x+ m có ∆ = 1- m.

với m > 1.

Vậy hàm số luôn tăng trên

Bài 9. Cho hàm số f(x) xác định trên R và có đồ thị hàm số y= f’(x) là đường cong trong hình bên. Mệnh đề nào ddưới đây đúng ?

ến trên khoảng (1; 2). A. Hàm số f(x) đồng biến ến trên khoảng (0;2). B. Hàm số f(x) nghịch biến ến trên khoảng (-2;1). C. Hàm số f(x) đồng biến ến trên khoảng (-1; 1) . D. Hàm số f(x) nghịch biến

Hiển thị đáp án Đáp án: B

* Dựa vào đồ thị hàm số y= f’(x) ta có: f’(x) > 0 khi

và f’(x) < 0 khi

biến trên các khoảng (-2; 0) và (2; +∞) ∞ * Khi đó, hàm số y= f(x) đồng bi ch biế biến trên các khoảng (-∞; -2) và (0;2) * Hàm số y= f(x) nghịch Bài 10. Cho hàm số y= f(x) xác định và liên tục trên đoạn [-3; 3] và có đồ thị là đường cong ở hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng trên đoạn [-3; 3].

A. Hàm số y= f(x) đạtt giá trị lớn nhất tại x= 2.

ực đạ đại tại x= 4. B. Hàm số y= f(x) đạt cực ng biến trên khoảng (-1; 3) . C. Hàm số y= f(x) đồng ịch biế biến trên khoảng (2;3). D. Hàm số y= f(x) nghịch Hiển thị đáp án Đáp án: D * Đáp án A sai, vì: Hàm số y = f(x) đạt giá trị lớn nhất tại x= - 3. * Đáp án B sai, vì: Hàm số y = f(x) đạt cực đại tại x = 2. * Đáp án C sai, vì: Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (-1; 2). → Đáp án D đúng, vì: Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (-1; 3). Bài 11. Tìm các khoảng đồng biến của hàm số:

Hiển thị đáp án Đáp án: A

Tập xác định : D= R.

Hàm số không có đạo hàm tại x= -1 và x= 3. Ta lại có: Trên khoảng (-1; 3) : y’= 0 khi x= 1. Trên khoảng

: y’ < 0 . Trên khoảng

: y’ > 0.

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đồng biến trong các khoảng (-1; 1) và

nh khi giá trị tr của m Bài 12. Hàm số y= x3 + 3x2 + mx+ m đồng biến trên tập xác định là : Hiển thị đáp án Đáp án: B * Tập xác định D= R. * Tính đạo hàm y’= 3x2 + 6x+ m

* Để hàm số đồng biến trên R khi và chỉ khi y' ≥ 0 , ∀x

ọi x (*) Hay 3x2 + 6x+ m với mọi

trị thực của tham số m sao cho hàm số Bài 13. Tìm tất cả các giá tr đồng biến trên khoảng

Hiển thị đáp án Đáp án: A

Khi đó hàm số trở thành:

suy ra đạo hàm:

ng biế biến trên khoảng Để hàm số đã cho đồng

khi và chỉ khi hàm số

ng (0; 1). Do đó đạo hàm đồng biến trên khoảng

Bài 14. Với giá trị nào của tham ssố m thì hàm số y= sinx- cosx + 2017√2 mx đồng biến trên R?

Hiển thị đáp án Đáp án: C * Tính đạo hàm: y’= cosx+ sinx + 2017√2m

ng biế biến trên R khi và chỉ khi y' ≥ 0, ∀ x * Để hàm số đã cho đồng

* Theo bất đẳng thứcc Bunhiacopxki thì (- sinx – cosx)2 ≤ [ (-1)2 +(-1)2].(sin2x+ cos2x)= 2

ới m mọi x khi và chỉ khi Do đó; để (*) luôn đúng với Bài 15. Tìm m để hàm số y= x3 + 3x2 + mx+ m nghịch biến trên đoạn có độ dài đúng bằng 2. A. m = 0

B. m < 3

C. m = 2

D. m > 3

Hiển thị đáp án Đáp án: A * Đạo hàm: y’= 3x2 + 6x+ m. Xét ph phương trình y’= 0 hay 3x2 + 6x+ m=0 (*) Để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2 thì phương trình (*) có 2 nghiệm x1; x2 và |x1 – x2|= 2

* Theo hệ thức Vi-et ta có * Giải |x1 - x2| = 2 ⇔ (x1 – x2)2 = 4

⇔ (x1 + x2)2 – 4x1x2 = 4 ⇔ 4 -

= 4 nên m = 0

Bài 16. Tìm tất cả các giá trị thực m để f(x)= - x3 +3x2+ (m-1)x+ 2m- 3 đồng biến ớn hơn 1. trên một khoảng có độ dài lớ

Hiển thị đáp án Đáp án: D Ta có đạo hàm y’= - 3x2 + 6x + m - 1.

n 1 khi và chỉ khi phương Hàm số đồng biến trên mộột khoảng có độ dài lớn hơn m phân bi biệt x1 < x2 thỏa mãn |x2- x1| > 1. trình y’=0 có hai nghiệm + Phương trình y’= 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 khi và chỉ khi ∆' > 0 ⇔ 3m + 6 > 0 ⇔ m > - 2.

Theo Viet ta có: + Để | x2 - x1| > 1 (x2 –x1)2 > 1 (x1 + x2)2 – 4x1.x2 > 1

⇔ 4m + 5 > 0 hay

ợc: Kết hợp với điều kiện ta đượ

Bài 17. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y= 2x3 – 3(2m+1)x2 +6m(m+1)x+ 1 đồng biến trên khoảng

Hiển thị đáp án Đáp án: B Tập xác định D= R. Ta có đạo hàm y’= 6x2 – 6(2m+1)x+ 6m(m+1) + Trường hợp 1: Hàm số luôn đồng biến trên R

+ Trường hợp 2: Phương trình y’=0 có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn : x1 < x2 ≤ 2

ỏa mãn đầu bài là m ≤ 1. Vậy các gía trị của m thỏa

ủa tham ssố m để hàm số y= Bài 18. Tìm các giá trị của ảng (0 ; 3) ? 10 đồng biến trong khoảng

x3 + (m-1).x2 + (m+ 3).x-

Hiển thị đáp án Đáp án: A Tập xác định : D= R. Đạo hàm : y’= - x2 + 2(m-1)x + m+ 3= g(x)

ng biến biế trên (0; 3) Do hàm số đã cho là hàm bậc ba với hệ số a < 0 nên hàm số đồng khi phương trình y’= 0 có hai nghiệm x1; x2 thỏa

bi trên một Bài 19. Tìm m để hàm số y= 2x3 + 3(m-1).x2 + 6(m-2)x+ 3 nghịch biến khoảng có độ dài lớn hơn 3. A. m > 6

B.0 < m < 6.

C. m < 0

D. m < 0 hoặc m > 6

Hiển thị đáp án Đáp án: D Tập xác định D= R. Ta có đạo hàm y’= 6x2 + 6(m-1)x+ 6(m – 2)

Xét phương trình y’=0 hay 6x2 + 6(m- 1) x+ 6(m- 2)=0

ương trình y’= 0 Hàm số nghịch biến trên một khoảng có độ dài lớn hơn 3 khi phương có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 sao cho |x1- x2| > 3 (1)

Bài 20. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y= 3)x -10 đồng biến trên (1; +∞)

x3+ (m-1)x2+ (2m-

Hiển thị đáp án Đáp án: D + Tính đạo hàm y’ = x2+ 2(m-1)x + 2m – 3 = (x+ 1) .(x+ 2m – 3)

ng biế biến trên + Để hàm số đã cho đồng

với mọi x > 1.

Bài 21. Tập hợpp các giá trị m để hàm số y= mx3 – x2 +3x + m- 10 đồng biến trên (-3; 0)?

Hiển thị đáp án

Đáp án: A Tập xác định D= R. Ta có y’= 3mx2 – 2x + 3. Hàm số đồng biến trên khoảng (-3; 0) khi và chỉ khi:

ạn đđiểm trên (-3; 0) (Dấu "=" xảy ra tại hữu hạn

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên; ta có các giá trị của m thỏa mãn là

Bài 22. Cho hàm số y = x3 + mx2 + (3m+2)x+ 1019. Tìm tất cả giá trị của m để hàm số nghịch biến trên R.

Hiển thị đáp án Đáp án: C

Tập xác định D= R. Đạo hàm: y’= - x2 + 2mx + 3m+ 2 . Hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi

ủa m để hàm số y=mx3 + mx2 + (m+ 1)x – m2 + m nghịch Bài 23. Tập hợp giá trị của biến trên R là

áp án Hiển thị đáp Đáp án: A Hàm số có đạo hàm y’= 3mx2 + 2mx+ m+ 1.

ến trên R. * Trường hợp 1. Nếuu m = 0 thì y’= 1 > 0. Khi đó ; hàm số đồng biến Suy ra loại m = 0. * Trường hợp 2. Nếu m ≠ 0. Để hàm số đã cho nghịch biến trên R khi và chỉ khi:

thỏa mãn là Vậy tập hợp các giá trị m thỏ Bài 24. Điều kiện cần và đủ để hàm số y= -x3+ (m+1)x2 +2x + m- 2 đồng biến trên đoạn [0; 2] là

Hiển thị đáp án Đáp án: B Tập xác định D= R. Đạo hàm: y’ = - 3x2 + 2(m+ 1)x+2 Xét phương trình y’ = 0 hay – 3x2 + 2(m+1).x+ 2=0 có = (m+ 1)2 + 6 >0 với mọi m. Suy ra phương trình y’ = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt x1 < x2.

nghiệ thỏa mãn: Để hàm số đồng biến trên đoạn [0;2] khi và chỉ khi y’=0 có hai nghiệm

Bài 25. Cho hàm số y = x3 – 3(m2 +3m+3)x2 + 3(m2 +1)2x +2m – 10. Gọi S là tập . S là tập hợp con các giá trị của tham số m sao cho hàm số đồng biến trên của tập hợp nào sau đây?

Hiển thị đáp án Đáp án: A Ta có : y’= 3x2 – 6(m2+ 3m+3)x + 3(m2+1)2 Khi đó : 9(m2 +3m+3)2 – 9(m2 +1)2 = 9(3m+ 2).(2m2 + 3m+ 4) * Trường hợp 1 : Nếu

Khi đóó ta có a = 3 > 0 nên y' ≥ 0 với mọi x. Do đó hàm số đã cho đồng biến trên

* Trường hợp 2: Nếu Khi đó y’=0 có hai nghiệm phân bi biệt x1 và x2. Ta có y’ > 0 khi số đã cho đồng biến trên

và y’ < 0 khi x ∈ (x1 ; x2). Do đó để hàm

ng biế biến trên Vậy hàm số đã cho đồng

trị thực của tham số m sao cho hàm số Bài 26. Tìm tập hợpp các giá tr nghịch biến trên khoảng

Hiển thị đáp án Đáp án: D Tập xác định D = R\ {m}.

Bài 27. Tìm m để hàm số

nghịch biến trên khoảng

Hiển thị đáp án Đáp án: A

Hàm số nghịch biến trên khoảng khoảng đó và đạo hàm âm, hay ta có:

khi và chỉ khi hàm số xác định trên

của m để hàm số Bài 28. Tìm tất cả giá trịị củ khoảng xác định.

bi trên từng đồng biến

Hiển thị đáp án Đáp án: C Tập xác định D= R\ {m}. Đạo hàm:

Hàm số đồng biến trên từng kho khoảng xác định khi và chỉ khi y’ > 0 ∀ x ∈ D - m2 – m+2 > 0 hay – 2 < m < 1 Bài 29. Tìm m để hàm số nó.

Hiển th thị đáp án

nghịch biến trên các khoảng xác định của

Đáp án: A Tập xác định: D= R\ {3- m}. Đạo hàm:

ch biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi: Để hàm số đã cho ngịch m2 – 3m+ 2 < 0 hay 1 < m < 2 Bài 30. Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho hàm số biến trên (3; +∞)

Hiển thị đáp án Đáp án: A Tập xác định : D = R\ {m}.

ịch biế biến của hàm số y = x4 – 6x2 + 8x+ 1. Bài 1. Tìm khoảng nghịch

Hiển thị đáp án

đồng

Đáp án: B Hàm số đã cho xác định trên D = R. Đạo hàm: y’ = 4x3 – 12x + 8.

Bảng biến thiên :

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số nghịch biến trên

ng biế biến của hàm số y= x4 + 4x+ 6. Bài 2. Tìm khoảng đồng

Hiển thị đáp án Đáp án: A Tập xác định: D = R. Tính: y’= 4x3 + 4. Cho y’= 0 khi 4x3 + 4 = 0 ⇔ x = -1 Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên

đạo hàm trên (a; b). Khẳng định nào sau đây là sai? Bài 3. Cho hàm số f(x) có đạ A. Nếu f’(x) > 0 ∀ x ∈ (a; b) thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a; b).

ến trên khoảng (a; b) khi và chỉ khi B. Hàm số f(x) nghịch biến ữu hhạn điểm x (a; b). và f’(x)= 0 chỉ tại một hữu ng biế biến trên khoảng (a; b) thì f’(x) > 0; ∀ x ∈ (a; b) . C. Nếu hàm số f(x) đồng

ch biến trên khoảng (a; b) khi và chỉ khi D. Hàm số f(x) nghịch với mọi Hiển thị đáp án Đáp án: C Sửa

lại

cho

đúng

là

Nếu

hàm

số

f(x)

đồng

biến ến

trên

(a;

thì Bài 4. Khẳng định nào sau đđây là đúng?

ng biế biến trên (a; b) , hàm số g(x) nghịch ch biến trên (a;b) thì A. Nếu hàm số f(x) đồng ng biến trên (a; b) . hàm số f(x) + g(x) đồng ng biế biến trên (a; b) , hàm số g(x) nghịch biến ến trên (a; b) và B. Nếu hàm số f(x) đồng ng trên (a; b) thì hàm số f(x) . g(x) đồng biến trên (a; b) . đều nhận giá trị dương C. Nếu các hàm số f(x); g(x) đồng biến trên (a; b) thì hàm số f(x).g(x) đồng biến trên (a; b). D. Nếu các hàm số f(x); g(x) ngh nghịch biến trên (a; b) và đều nhận n giá trị tr âm trên (a; biến trên (a; b) . b) thì hàm số f(x). g(x) đồng bi Hiển thị đáp án Đáp án: D

biến với hàm nghịch biến không kết ết luận luậ được điều A sai: Vì tổng của hàm đồng bi gì. nh đúng thì g(x) đồng biến trên (a; b) . B sai: Để cho khẳng định phải là các hàm dương trên (a; b) mới thoảả mãn. C sai: Hàm số f(x); g(x) phả D đúng. Bài 5. Khẳng định nào sau đđây là sai?

ng biế biến trên (a;b) thì hàm số - f(x) nghịch ch biến trên (a; b). A. Nếu hàm số f(x) đồng

ng biế biến trên (a; b) thì hàm số B. Nếu hàm số f(x) đồng

ch biến trên (a; b). nghịch

ng biế biến trên (a; b) thì hàm số f(x) + 10 đồng biến biế trên (a; b) C. Nếu hàm số f(x) đồng . ng biế biến trên (a; b) thì hàm số - f(x) - 10 nghịch biến bi trên (a; D. Nếu hàm số f(x) đồng b). Hiển thị đáp án Đáp án: B

Ví dụ hàm số f(x) = x đồng bi biến trên R, trong khi đó hàm số

nghịch

. Do đó B sai.

biến trên

đồng biến trên khoảng (-1; 2) thì hàm số y= f(x+2) Bài 6. Nếu hàm số y= f(x) đồ đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây? A. (-1;2)

B. (1;4)

C. (-3; 0)

D. (-2; 4)

Hiển thị đáp án Đáp án: C

củ hàm số Tịnh tiến đồ thị hàm số y= f(x) sang trái 2 đơn vị, ta sẽ được đồ thịị của

y= f(x+ 2). Khi đó, ó, do hàm số f(x) liên tục và đồng biến trên khoảng (-1; 2) nên ng biến trên (- 3; 0). hàm số y= f(x+ 2) đồng Cách trắc nghiệm nhanh. Ta có x + 2 ∈ (-1; 2) nên – 1 < x+2 < 2 Suy ra: - 3 < x < 0.

đồng biến trên khoảng (0; 2) thì hàm số y= f(2x) đồng Bài 7. Nếu hàm số y= f(x) đồ biến trên khoảng nào? A. (0; 2)

B. (0;4)

C. (0; 1)

D. (-2;0)

Hiển thị đáp án Đáp án: C

ng (a; b) thì hàm số y= Tổng quát: Hàm số y= f(x) liên tục và đồng biến trên khoảng ến trên khoảng f(nx) liên tục và đồng biến Cách trắc nghiệm nhanh. Ta có : 2x ∈ (0; 2) nên 0 < 2x < 2 Suy ra: 0 < x < 1. Bài 8. Cho hàm số

. Khẳng định nào sau đây là đúng?

ng biến trên [0;1]. A. Hàm số đã cho đồng ng biến trên toàn tập xác định B. Hàm số đã cho đồng ch biế biến trên [0; 1]. C. Hàm số đã cho nghịch ch biế biến trên toàn tập xác định. D. Hàm số đã cho nghịch Hiển thị đáp án Đáp án: C

Tập xác định D= [-1; 1].

Đạo hàm Bảng biến thiên:

Suy ra được hàm số nghịch ịch bi biến trên [0;1]. Bài 9. Hàm số A. (0; 2)

B. (0;1)

nghịch biến trên khoảng nào đã cho dưới ớ đây

C. (1; 2)

D. (-1;1)

Hiển thị đáp án Đáp án: C Tập xác định D= [0; 2].

Đạo hàm Bảng biến thiên:

suy ra được hàm số nghịch ịch bi biến trên khoảng (1; 2).

Bài 10. Cho hàm số

ây là đúng? đ . Mệnh đề nào sau đây

A. Hàm số đã cho nghịch ch biế biến trên (1; 4).

ch biế biến trên B. Hàm số đã cho nghịch

ch biế biến trên C. Hàm số đã cho nghịch ch biế biến trên R. D. Hàm số đã cho nghịch Hiển thị đáp án Đáp án: C Tập xác định: D= [1; 4].

Đạo hàm Xét phương trình

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra được hàm số nghịch biến trên khoảng

Bài 11. Hàm số nào sau đây đồng biến trên R?

Hiển thị đáp án Đáp án: B Xét phương án B. y = 2x – sin2x + 5 Nên đạo hàm: y’= 2 – 2cos2x = 2(1- cos2x) ≥ 0; ∀ x ∈ R Và y’= 0 khi cos2x = 1.

ời nhau nên hàm Phương trình cos2x = 1 có vô số nghiệm nhưng các nghiệm tách rời số đồng biến trên R Bài 12. Hàm số nào sau đây đồng biến trên R?

Hiểển thị đáp án Đáp án: B

Xét hàm số

nh D= R. Hàm số có tập xác định

Ta có Suy ra hàm số đồng biến trên R.

Bài 13. Khẳng định nào sau đđây là sai?

đồng biến trên R. A. Hàm số y = 2x + cosx đồ B. Hàm số y = - x3 – 3x +1 nghịch biến trên R. C. Hàm số

biến trên mỗi khoảng xác định. đồng bi

D. Hàm số y = 2x4 + x2 + 1 nghịch biến trên Hiển thị đáp án Đáp án: C

Suy ra hàm số nghịch biến ến trên Bài 14. Cho hàm số y= f(x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như sau:

Trong các mệnh đề sau, có bao nhiêu mệnh đề sai?

ến trên các khoảng I. Hàm số đã cho đồng biến ng biến trên khoảng II. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng III. Hàm số đã cho nghịch biế

và (-3; -2).

ng biế biến trên khoảng IV. Hàm số đã cho đồng A. 1

B. 2

C. 3

D .4

Hiển thị đáp án Đáp án: A

ồ biến trên Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số đã cho đồng khoảng

biến trên khoảng ; nghịch bi

Suy ra II là sai; III: đúng úng và IV là đúng. Ta thấy khoảng

chứa khoảng

nên I Đúng.

Vậy chỉ có II sai. Bài 15. Cho hàm số y= f(x) có bbảng biến thiên như hình dưới đây. Mệnh M đề nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đã cho đồng ng biến trên các khoảng

ng biến trên B. Hàm số đã cho đồng ng biến trên khoảng (0;2) . C. Hàm số đã cho đồng ng biến trên(-2; 2). D. Hàm số đã cho đồng Hiển thị đáp án Đáp án: C Vì

, mà hàm số đồng biến trên khoảng

nên suy ra C đúng.

M đề nào Bài 16. Cho hàm số y= f(x) có bbảng biến thiên như hình dưới đây. Mệnh sau đây là đúng?

A. Hàm số đã cho đồng ng biến trên các khoảng

ng biến trên khoảng B. Hàm số đã cho đồng ch biế biến trên khoảng C. Hàm số đã cho nghịch ng biến trên khoảng D. Hàm số đã cho đồng Hiển thị đáp án Đáp án: C Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số

● Đồng biến trên các khoảng ● Nghịch biến trên khoảng Bài 17. Tìm khoảng đồng ng biế biến của hàm số: y= - x3 + 6x2 – 9x+ 4.

Hiển thị đáp án Đáp án: B

Hàm số đã cho xác định trên D= R. Tính y’= - 3x2 + 12x – 9.

Cho y’= 0 hay – 3x2 + 12x - 9 = 0 Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên,hàm số đồng biến trên (1; 3).

úng : Bài 18. Cho hàm số:: y= f(x) = x3 + 3x2 + 3x+ 2. Hãy chọn câu đúng ến trên R. A. Hàm số f(x) nghịch biến ến trên R. B. Hàm số f(x) đồng biến C. Hàm số f(x) không đổi trên R.

ến trên D. Hàm số f(x) nghịch biến Hiển thị đáp án Đáp án: B

Hàm số đã cho xác định trên D = R. Tìm y’ = 3x2 + 6x + 3. Cho y’ = 0 hay 3x2 + 6x + 3 = 0 ⇔ x = -1 Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên D= R.

ng biế biến của hàm số: Bài 19. Tìm khoảng đồng

Hiển thị đáp án Đáp án: B

Hàm

số

đã

cho

xác

định

khi:

nên

định:

Ta có: Hàm số không có đạo hàm tại: x = 0 ; x = 2.

Cho

x - 1 = 0 hay x = 1.

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên

tập

xác

ng biế biến của hàm số: Bài 20. Tìm khoảng đồng

Hiển thị đáp án Đáp án: C Hàm số xác định và liên tục trên D = R\ {1}. Tìm Bảng biến thiên:

Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng

ịch bi biến của hàm số: Bài 21. Tìm khoảng nghịch

Hiển thị đáp án Đáp án: C

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên D = R\ {- 7}.

Bảng biến thiên:

Hàm số đã cho luôn nghịch biến trên:

ịch bi biến của hàm số: Bài 22. Tìm khoảng nghịch

Hiển thị đáp án Đáp án: A

Hàm số đã cho xác định trên: D = R\ {-2}.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số nghịch biến trên:

ng biế biến của hàm số: Bài 23. Tìm khoảng đồng

Hiển thị đáp án Đáp án: D

Hàm số đã cho xác định khi: x2 - x + 3 > 0 đúng ∀ x ∈ R . Do đó; hàm số đã cho xác định trên D = R.

Bảng biến thiên:

Hàm số đã cho đồng biến trên Bài 24. Cho hàm số:: y= f(x) = x- sinx, x ∈ [0; π]. Hãy chọn câu đúng

ến trên (0; π) A. Hàm số f(x) đồng biến ến trên (0; π) B. Hàm số f(x) nghịch biến C. Hàm số f(x) không đổi trên (0; π)

ến trên D. Hàm số f(x) nghịch biến

Hiển thị đáp án Đáp án: A * Hàm số đã cho xác định trên đoạn [0 ; π] Ta có y’= 1- cosx.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đã cho đồng biến trên (0; π) Bài 25. Tìm các khoảng đồng biến của hàm số: y= 2sinx+ cos2x, x ∈ [0; π]

Hiển thị đáp án Đáp án: B Hàm số đã cho xác định trên đoạn [0; π] Ta có: y’= 2cosx - 2sin2x = 2cosx- 4. sinx. cosx = 2cosx(1 - 2sinx), x ∈ [0; π]

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên Bài 26. Tìm các khoảng nghịch biến của hàm số: y= sin2x+ cosx, x ∈ [0; π].

Hiển thị đáp án Đáp án: B

Hàm số đã cho xác định trên đoạn [0; π] Ta có: y’= 2sinx.cosx - sinx = sinx(2cosx - 1).

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số nghịch biến trên:

ng (a; b). Tính a+ b? Bài 27. Biết rằng hàm số y= - x3 + 3x- 4 đồng biến trên khoảng A. -1

B. 2

C. - 2

D. 0

Hiển thị đáp án Đáp án: D

nh : D= R. Ta có y’= - 3x2 + 3 Tập xác định Xét phương trình y’= 0 ⇔ x = ± 1 Bảng xét dấu y’

Từ bảng xét dấu củaa y’ ta có hàm số đồng biến trên (-1 ; 1).

Suy ra : a= -1 và b= 1 nên a+ b= 0. Bài 28. Cho hàm số y= 2x3 + 6x2 + 6x- 1995. Mệnh đề nào dưới đây sai?

ng biến trên R. A. Hàm số đã cho đồng ch biế biến trên R. B. Hàm số đã cho nghịch C. Trên khoảng D. Trên khoảng

hàm số đã cho đồng biến. hàm số đã cho đồng biến.

Hiển thị đáp án Đáp án: B + Tập xác định : D= R. + Đạo hàm : y’ = 6x2 + 12x + 6 = 6(x+ 1)2 ≥ 0; ∀ x ∈ R (Dấu "=" chỉ xảy ra tại x = - 1) Suy ra hàm số đồng biến trên R.

ộc (a;b). Khẳng Kh Bài 29. Cho hàm số f(x) xác định trên (a;b), với x1; x2 bất kỳ thuộc định nào sau đây là đúng? A. Hàm số f(x) đồng biến ến trên (a; b) khi và chỉ khi x1 < x2 ⇔ f(x1) > f(x2).

ến trên (a; b) khi và chỉ khi x1 < x2 ⇔ f(x1) = f(x2). B. Hàm số f(x) nghịch biến ến trên (a; b) khi và chỉ khi x1 > x2 ⇔ f(x1) < f(x2). C. Hàm số f(x) đồng biến ến trên (a; b) khi và chỉ khi x1 > x2 ⇔ f(x1) < f(x2) . D. Hàm số f(x) nghịch biến Hiển thị đáp án Đáp án: D Ta xét các phương án: * A sai. Sửa lại cho đúng là: x1 < x2 ⇔ f(x1) < f(x2). * B sai: Sửa lại cho đúng là: x1 < x2 ⇔ f(x1) > f(x2).

* C sai: Sửa lại cho đúng là: x1 > x2 ⇔ f(x1) > f(x2).

ĩa). * D đúng (theo định nghĩa). Bài 30. Khẳng định nào sau đđây là đúng?

ến trên (a; b) khi và chỉ khi A. Hàm số f(x) đồng biến x2 ∈ (a; b) và x1 ≠ x2.

với mọi x1;

B. Hàm số f(x) đồng biến ến trên (a; b) khi và chỉ khi x2 > x1 ⇔ f(x1) > f(x2).

ng biế biến trên (a; b) thì đồ thị của nó đi lên từ trái sang phải ph C. Nếu hàm số f(x) đồng trên (a; b). ến trên (a; b) thì đồ thị của nó đi xuống từ trái sang phải ph D. Hàm số f(x) đồng biến trên (a; b). Hiển thị đáp án Đáp án: C Ta xét các phương án :

* A sai: Sửa lại cho đúng là * B sai: Sửa lại cho đúng là: x2 > x1 ⇔ f(x2) > f(x1).

của đồ thị hàm đồng biến). * C đúng (theo dáng điệu củ áp án C). * D sai (đối nghĩa với đáp của hàm số trong đề thi Đại họcc có giải chi tiết ti 4 dạng bài Tính đơn điệu củ Dạng 1: Xét tính đơn điệu ccủa hàm số. I. Phương pháp giải Để xét tính đơn điệu của hàm số y= f( x) trên tập xác định ta làm như sau:

nh D. Bước 1. Tìm tập xác định Bước 2. Tính đạo hàm y' = f'(x).

ủa y' = 0 ho hoặc những giá trị x làm àm cho f'(x) không xác định. Bước 3. Tìm nghiệm của Bước 4. Lập bảng biến thiên. Bước 5. Kết luận. II. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Xét tính đồng biến ến và nghịch biến của hàm số y = x3 – 3x2 – 9x - 10 Hiển thị đáp án Ta có đạo hàm: y' = 3x2 - 6x - 9 Giải y' = 0 hay 3x2 - 6x - 9 = 0 Bảng biến thiên:

Dựa vào bẳng biến thiên hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; -1) và (3; +∞) Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1; 3).

của hàm số sau: Ví dụ 2: Xét tính đơn điệu củ Hiển thị đáp án TXĐ: D = R\{-1}.

Giải y' = 0

⇒ x2 + 2x - 8 = 0 y' không xác định khi x = -1. Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-4; -1) và (-1;2) Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; -4) và (2; +∞) Ví dụ 3: Cho hàm số Xét tính đơn điệu của hàm số? Hiển thị đáp án Điều kiện: 3x2 - x3 > 0 suy ra D = (-∞; 3].

Đạo hàm

, ∀x ∈ (-∞;3)

Giải y' = 0

y' không xác định khi Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên (-∞;0) và (2;3) và (3;+∞)

Hàm số đồng biến trên (0;2). Ví dụ 4: Cho hàm số y = |x + 1|(x - 2). Xét tính đơn điệu của hàm số? Hiển thị đáp án Ta có:

Suy ra đạo hàm:

Phương trình y' = 0 có nghiệệm x = 1/2 Bảng biến thiên:

+ Hàm số đồng biến khi (-∞;-1) và (1/2; ∞) + Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1; 1/2).

Ví dụ 5: Cho hàm số y = x4 – 2x2 – 3. Xét tính đơn điệu của hàm số

Hiển thị đáp án Ta có: Đạo hàm y' = 4x3 – 4x Phương trình y' = 0 khi 4x3 – 4x = 0

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảảng (-1;0) và (1;+∞) Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞;-1) và (0;1).

của hàm số: Ví dụ 6: Xét tính đơn điệu củ Hiển thị đáp án Điều kiện: x ≠ -1

Đạo hàm: Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên tập xác định. Dạng 2: Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên R (tập xác định).

I. Phương pháp giải * Hàm đa thức bậcc ba y = ax3 + bx2 + cx + d Đạo hàm: y' = 3ax2 + 2bx + c

biến trên R khi và chỉ khi: • Hàm đa thức bậc ba đồng bi

ịch bi biến trên R khi và chỉ khi: • Hàm đa thức bậc ba nghịch

* Hàm phân thức bậc nhất

Đạo hàm và hàm số xác định với mọi ọi x ≠ -d/c • Hàm số đồng biến trên tập xác định khi y' > 0 hay ad - bc > 0 • Hàm số nghịch biến trên tậập xác định khi y' < 0 hay ad – bc < 0

ậc hai f(x) = ax2 + bx + c ta có: * Chú ý: Cho tam thức bậc

II. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hàm số y = (m + 2).x3/3 - (m + 2)x2 + (m - 8)x + m2 - 1. Tìm tất cả ực m để hàm số nghịch biến trên R các giá trị của tham số thực A. m < -2

B. m > -2

C. m ≤ -2

D. m ≥ -2

Hiển thị đáp án Ta có đạo hàm: y' = (m + 2)x2 - 2(m + 2)x + m - 8. Yêu cầu bài toán ⇔ y' ≤ 0, ∀x ∈ R (y' = 0 có hữu hạn nghiệm) TH1: m + 2 = 0 hay m = -2, khi đó y' = -10 ≤ 0, ∀x ∈ (thỏa mãn). TH2:

Kết hợp hai trường hợpp ta được m ≤ -2 Suy ra chọn đáp án C. Ví dụ 2: Tìm m để hàm số A. m > 4

B. m < 4

C. m > -4

D. m < -4

đồng biến trên tập xác định.

Hiển thị đáp án Điều kiện: x ≠ -2 Ta có đạo hàm: Để hàm số đã cho đồng ng biến trên tập xác định khi và chỉ khi: y' > 0; ∀∈ R\{2} Hay

biến trên tập xác định thì m < -4. Vậy để hàm số đã cho đồng bi

Suy ra chọn đáp án D.

Ví dụ 3: Cho hàm số: Tìm m để hàm số đã cho đồng bi biến trên tập xác định. A. m > 4

B. m < 4

C. m ≥ 4

D. m < -4

Hiển thị đáp án + Tập xác định D = R\{1}. + Đặt f(x) = x2 + mx + 3. Điều kiện để hàm số không bị suy biến là: f(1) ≠ 0 hay 12 + m.1 + 3 ≠ 0 ⇔ m ≠ -4 + Đạo hàm:

Để hàm số đã cho đồng ng biến trên tập xác định khi và chỉ khi:

Và phương trình y' = 0 chỉ có hhữu hạn nghiệm. Mà x2 - 2x - m - 3 ≥ 0 khi và chỉ khi: ∆' = (-1)2 - (-m - 3).1 ≤ 0 Kết hợp với điều kiện; suy ra để hàm số đồng biến trên tập xác định thì m < -4. Suy ra chọn đáp án D.

đồ biến trên Ví dụ 4: Cho hàm số y = mx3 – 6x2 + 3mx – 1. Tìm m để hàm số đồng R.

A. m > -2 C. m < 2

B. m < -2 hoặc m > 2 D. -2 < m < 2

Hiển thị đáp án * Nếu m = 0 ta có: y = -6x2 - 1. Đạo hàm y' = -12x. Đạo hàm y' đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm x = 0 ⇒ Hàm số không đồng biến trên R khi m = 0. * Nếu m ≠ 0 thì y' = 3mx2 - 12x + 3m. Để hàm số đồng biến trên R khi và chỉ khi: ∆' ≤ 0 ⇔ (-6)2 - 9m2 ≤ 0 ⇔ m < -2 hoặc m > 2. ⇔ m < -2 hoặc m > 2 Vậy để hàm số đã cho đồng biến trên R thì m < -2 hoặc m > 2. Suy ra chọn đáp án B. Dạng 3.1: Phương pháp cô lập m trong khảo sát tính đơn điệu của hàm số. I. Phương pháp giải • Bước 1. Tính đạo hàm y' Hàm số đồng biến trên khoảng K ⇔ y' ≥ 0, ∀x ∈ K (1) Hàm số nghịch biến trên khoảng K ⇔ y' ≤ 0, ∀x ∈ K (2) • Bước 2. Từ bất phương trình (1) (hoặc (2)) đưa bất phương trình về dạng m ≥ f(x) hoặc m ≤ g(x) • Bước 3. Xét chiều biến thiên của hàm số trên khoảng K. • Bước 4. Kết luận. m ≥ g(x), ∀x ∈ K ⇔ m ≥ max g(x) (x ∈ K) m ≤ g(x), ∀x ∈ K ⇔ m ≤ min g(x) (x ∈ K)

II. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm m để hàm số y = x3/3 - mx2 + (1 - 2m)x - 1 đồng biến ến trên (1; +∞) ? A. m > 1/2

B. m ≥ 1/2

C. m < 3/2

D. m ≤ -1/2

Hiển thị đáp án Tập xác định D = R. * Đạo hàm: y' = x2 – 2mx + 1 - 2m

ến trên (1; +∞) ⇔ f'(x) ≥ 0, ∀x ∈ (1; +∞) * Hàm số đã cho đồng biến Hay ∀x ∈ (1; +∞) thì y' = x2 - 2mx + 1 - 2m ≥ 0 ⇔ x2 + 1 ≥ 2m(x + 1)

(vì khi x > 1 thì x + 1 > 0) (*) * Xét hàm số: Ta có: ⇒ hàm số đồng biến trên (1; ∞) nên f(x) > f(1) = 1 (**) Từ (*) và (**) suy ra: 2m > 1 ⇔ m > 1/2 Suy ra chọn đáp án A.

ủa m để hàm số y = mx3 – x2 + 3x + m - 2 đồng biến trên Ví dụ 2: Tìm các giá trị của (-3; 0) A. m > 1/2

B. m < -2/3

C. m < -1/3

D. m > -1/3

Hiển thị đáp án

Tập xác định D = R. * Đạo hàm y' = 3mx2 - 2x + 3

ph trình Hàm số đồng biến trên (-3; 0) khi và chỉ khi y'(x) ≥ 0, ∀x ∈ (-3;0) và phương m trên (-3; 0) y' = 0 có hữu hạn nghiệm ⇔ 3mx2 - 2x + 3 ≥ 0, ∀x ∈ (-3;0) ⇔ 3mx2 ≥ 2x - 3, ∀x ∈ (-3;0)

Đặt Ta có: Vì -3 < x < 0 nên -2x + 6 > 0 và 3x3 < 0

ịch bi biến trên (-3; 0) nên g(x) < g(-3) = 1/3 với -3 < x < 0 ⇒ Hàm số y = g(x) nghịch (2) Từ (1) và (2) suy ra: m > -1/3 Suy ra chọn đáp án D. Ví dụ 3: Cho hàm số: Với những giá trị nào của m thì hàm số đã cho đồng biến trên (1;5] A. m > -1/24

B. m < 2/7

C. m ≥ -1/36

D. m ≤ -1/12

Hiển thị đáp án Điều kiện: x ≠ -1

Đạo hàm

ng biến trên (1; 5] khi và chỉ khi: y' ≥ 0, ∀x ∈ (1;5] Để hàm số đã cho đồng

+ Xét hàm số

trên (1; 5]

Ta có:

⇒ Hàm số đồng biến trên (1;5] nên

* Từ (1) và (2) suy ra để hàm số đồng biến trên (1; 5] thì m ≥ -1/36 (2) Suy ra chọn đáp án B. Dạng 3.2: Tìm m để hàm số đơn điệu trên khoảng bằng phương pháp tam thức bậc hai. I. Phương pháp giải Bước 1. Tìm đạo hàm y’ .

biến) trên khoảng K thì y' ≥ 0 (y' ≤ 0) với ∀x ∈ K và Để hàm số đồng biếnn (nghịch bi hạn nghiệm. phương trình y' = 0 có hữu hạ Bước 2. Giải bất phương trình để luôn đúng với mọi x thuộc K. Bước 3. Kết luận * Chú ý:

+ Hàm đa thức bậcc ba y = ax3 + bx2 + cx + d ⇒ Đạo hàm y' = 3ax2 + 2bx + c • Nếu a > 0 và y' = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 < x2 Hàm số đồng biến trên (α; ββ) khi và chỉ khi:

Hàm số nghịch biến trên (α; ββ) khi và chỉ khi:

• Nếu a < 0 và y' = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 < x2 Hàm số nghịch biến trên (α; ββ) khi và chỉ khi:

Hàm số đồng biến trên (α; ββ) khi và chỉ khi

+ Hàm phân thức

Hàm số có đạo hàm • Hàm số đồng biến trên khoảng K nếu ad - bc > 0 và -d/c ∉ K. • Hàm số nghịch biến trên khoảng K nếu ad - bc < 0 và -d/c ∉ K.

+ Hàm phân thức Bước 1.

Tính đạo hàm Bước 2. + Để hàm số đồng biến trên khoảng K khi và chỉ khi:

+ Để hàm số nghịch biến trên khoảng K khi và chỉ khi:

ức bbậc hai; sử dụng tính chất nghiệm của ủa tam thức th bậc Chú ý: f(x) là một tam thức hai để giải hệ trên. II. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hàm số y = x3 – (m + 1)x2 - (2m2 - 3m + 2).x + 2m(2m - 1). Tìm tất cả các giá trị thực củaa tham ssố m để hàm số đã cho đồng biến trên [2;+∞) A. m < 5

B. -2 ≤ m ≤ 3/2

C. m > -2

D. m < 3/2

Hiển thị đáp án

* Ta có đạo hàm: y' = 3x2 – 2(m + 1)x – (2m2 – 3m + 2) * Xét phương trình y' = 0 có: ∆' = (m + 1)2 + 3(2m2 - 3m + 2) = 7(m2 - m + 1) > 0, ∀x ∈ R Suy ra phương trình y' = 0 luôn có hai nghiệm x1 > x2 với mọi m. * Để hàm số đồng biến trên [2;+∞) ⇔ phương trình y' = 0 có hai nghiệm x1 < x2 ≤ 2

Suy ra chọn đáp án B. Ví dụ 2: Tìm tất cả các giá tr trị của m để hàm số y = x3 – 3(m + 1)x2 + 3m(m + 2)x nghịch biến trên đoạnn [0; 1] A. m < 0

B. -1 < m < 0

C. -1 ≤ m ≤ 0

D. m > -1

Hiển thị đáp án * Đạo hàm: y' = 3x2 - 6(m + 1)x + 3m(m + 2) = 3[x2 – 2(m + 1)x + m(m + 2)] Ta có: ∆' = (m + 1)2 - m(m + 2) = 1 > 0, ∀x ∈ R.

Do đóó y' = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt x = m; x = m + 2 Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, để hàm số nghịch biến trên [0; 1] ↔ [0; 1] ⊂ [m; m + 2]

Suy ra chọn đáp án C. Ví dụ 3: Cho hàm số y = (m2 - 2m)x4 + (4m - m2)x2 - 4. Hỏii có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞) A. 0.

B. Vô số.

C. 2.

D. 3.

Hiển thị đáp án Ta xét hai trường hợp: • Hệ số a = m2 - 2m = 0

Hàm số y = 4x2 - 4 có đồ thị là một parabol nghịch biến trên khoảng (-∞; 0), đồng biến trên khoảng (0; +∞)

tr ờng hợp a Do đó m = 2 thỏa mãn. (Họọc sinh rất mắc phải sai lầm làà không xét trư = 0) • Hệ số a = m2 - 2m ≠ 0. Dựa vào dáng điệu đặc trưng của hàm trùng phương thì yêu cầu bài toán tương một cực trị và đó là cực tiểu đương với đồ thị thàm số có m

⇔ 2 < m ≤ 4 -m ∈ Z→ m = {3;4} Vậy m = {2; 3; 4} Suy ra chọn đáp án D.

trị thực của tham số m để hàm số Ví dụ 4: Tìm tất cả các giá tr biến trên khoảng (-∞; 2). A. m > 2

B. m ≥ 1

C. m ≥ 2

D. m > 1

nghịch

Hiển thị đáp án Cách 1. Điều kiện: x ≠ m

Ta có Với -m + 1 < 0 hay m > 1 thì y' < 0 mọi x khác m nên hàm số đã cho nghịch biến trên từng khoảng (-∞; m) và (m; +∞). Theo yêu cầu của bài toán thì (-∞; 2) ⊂ (-∞; m) ⇔ m ≥ 2 (thỏa mãn).

Cách 2. Ta có Yêu cầu bài toán:

Suy ra chọn đáp án C. Ví dụ 5: Tìm các giá trị của tham ssố m để hàm số sau đồng biến ến trên khoảng (3; ∞)

A. m > 3

B. -2 < m < 1

C. m < -3

D. -3 < m < 3

Hiển thị đáp án Điều kiện xác định: x ≠ 2 Đạo hàm:

Để hàm số đã cho đồng ng biến trên (3; +∞) khi và chỉ khi phương trình y' = 0 có hai nghiệm x1 < x2 < 3 hoặcc y' ≥ 0 với mọi x thuộc tập xác định.

ới m mọi x thuộc tập xác định. + Trường hợp 1. y' > 0 với mọi x. ⇔ x2 - 4x - 2m - 3 ≥ 0 với mọ ⇔ ∆' = 4 + 2m + 3 ≤ 0 ⇔ 7 + 2m ≤ 0 ⇔ m ≤ -7/2 + Trường hợp 2. Phương trình y' = 0 có hai nghiệm x1 < x2 < 3

Kết hợp hai trường hợpp ta có m < -3 thỏa mãn yêu cầu bài toán Suy ra chọn đáp án C. Dạng 4: Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên đoạn có độ dài l. I. Phương pháp giải

ến) trên đoạn có * Tìm m để hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d đồng biến ( nghịch biến) độ dài bằng l.

• Bước 1. Tính đạo hàm y' = 3ax2 + 2bx + c (*)

ện để hàm số đồng biến; nghịch biến trên đo đ ạn (khi đó • Bước 2. Tìm điều kiện biệt. phương trình (*) có 2 nghiệm phân bi thức viet với phương trình (*). Gọi x1, x2 là 2 nghiệm • Bước 3. Áp dụng hệệ thứ phương trình (*)

• Bước 4. Biến đổi: để : |x1 - x2| = l ⇔ x12 + x22 - 2x1.x2 = l2 ⇔ (x1 + x2)2 - 4x1x2 = l2(**) • Bước 5. Thay (I) vào (**) ta được phương trình ẩn m . Giải phương trình ta tìm m = ... . II. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Biết rằng hàm số y = 1/3.x3 + 3(m - 1)x2 + 9x + 1 (với m là số thực) nghịch biến trên khoảng (x1; x2). Tìm tất cả các giá trị của m để |x1 - x2| = 6√3 A. m = -1

B. m = 3

C. m = -3; m = 1

D. m = -1; m = 3.

Hiển thị đáp án * Ta có đạo hàm: y' = x2 + 6(m - 1)x + 9.

phương trình: y' = 0 có hai nghiệm m phân biệt bi x1, x2 thỏa Yêu cầu bài toán trở thành ph mãn |x1 - x2| = 6√3 * Ta có: ∆' = 3(m - 1)2 - 9 = 3m2 - 6m - 6 Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

* Áp dụng hệ thứcc Viet ta có:

*Để |x1 - x2| = 6√3 ⇔ (x1 + x2)2 - 4x1x2 = 108 [-6(m - 1)2] - 4.9 = 108 ⇔ [-6(m - 1)2] = 144

(thỏa mãn điều kiện) Vậy có hai gia trị củaa m thỏa mãn là m = -1 hoặc m = 3. Suy ra chọn đáp án D.

trị thực của tham số m để hàm số y = x3 + 3x2 + mx + Ví dụ 2: Tìm tất cả các giá tr m giảm trên đoạn có độ dài lớn nhất bằng 1. A. m = -9/4 C. m ≤ 2

B. m = 2 D. m = 9/4

Hiển thị đáp án Ta có đạo hàm: y' = 3x2 + 6x + m.

đương phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt bi x1, Yêu cầu bài toán tương đươ x2 thỏa mãn |x1 - x2| = 1 * Ta có: ∆' = 9 - 3m Để phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ∆' > 0 ⇔ 9 – 3m > 0 ⇔ m < 3 * Áp dụng hệ thứcc Viet ta có:

* Để |x1 - x2| = 1 thì (x1 + x2)2 - 4x1x2 = 1

(thỏa mãn điều kiện ) Suy ra chọn đáp án D. Ví dụ 3: Tìm m để hàm số y = -x4 + (m + 1)x2 + 3 nghịch biến trên một khoảng (a; 0) và độ dài khoảng này bằng 3. A. m = -5 C. m = -12

B. m = 11 D. m = 17

Hiển thị đáp án * Ta có đạo hàm: y' = -4x3 + 2(m + 1).x = 2x(-2x2 + m + 1)

y' = 0 khi và chỉ khi:

biến trên (x1; x2) thì phương trình -2x2 + m + 1 = 0 * Để hàm số đã cho nghịch bi m phân biệ biệt: phải có hai nghiệm ⇔ ∆' > 0 ⇔ 2(m + 1) > 0 ⇔ m > -1 Ta có x1 + x2 = 0 nên hai nghiệm này trái dấu nhau. Giả sử x1 < 0 < x2. Khi đó, hàm số sẽ nghịch biến trên khoảng (x1; 0) và (x2; +∞) Từ giả thiết suy ra độ dài khoảng (x1; 0) nên x1 = -3 ⇒ Phương trình -2x2 + m + 1 = 0 có một nghiệm là -3. ⇒ - 2.(-3)2 + m + 1 = 0 nên m = 17 (thỏa mãn) . Vậy giá trị m cần tìm là m = 17.

Suy ra chọn đáp án D. Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm số A. Phương pháp giải & Ví dụ Phương pháp giải 1. Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên K, với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn. Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu ∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2). Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu ∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2). 2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K. Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f'(x) ≥ 0,∀x ∈ K và f'(x) = 0 xảy ra tại một số điểm hữu hạn. Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f'(x) ≤ 0,∀x ∈ K và f'(x) = 0 xảy ra tại một số điểm hữu hạn. 3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K. Nếu f'(x) > 0,∀x ∈ K thì hàm số đồng biến trên khoảng K. Nếu f'(x) < 0,∀x ∈ K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K. Nếu f'(x) = 0,∀x ∈ K thì hàm số không đổi trên khoảng K. 4. Các bước xét tính đơn điệu của một hàm số cho trước Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số y = f(x) Bước 2: Tính đạo hàm f'(x) và tìm các điểm xo sao cho f'(xo) = 0 hoặc f'(xo) không xác định.

ấu và đưa ra kết luận Bước 3: Lập bảng xét dấu Ví dụ minh họa

ến và nghịch biến của hàm số sau y=x3 - 6x2 + 9x -3 Ví dụ 1: Xét tính đồng biến Hướng dẫn Tập xác định: D = R Ta có y' = 3x2 - 12x + 9

y' = 0 ⇔ Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;1) và (3;+∞) Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3)

ến và nghịch biến của hàm số sau √(2x-x2) Ví dụ 2: Xét tính đồng biến Hướng dẫn Tập xác định D = [0; 2]

Ta có : y' =

y' = 0 ⇔ x=1

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0; 1); Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 2)

ến và nghịch biến của hàm số sau y = (3x + 1)/(1 - x) Ví dụ 3: Xét tính đồng biến Hướng dẫn

Hàm số xác định và liên tục trên D = R\{1}.

Tìm y' = Bảng biến thiên:

> 0; ∀x ≠ 1.

Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (-∞ ; 1)và (1 ; +∞). B. Bài tập vận dụng Bài 1: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = y= -x3 + 6x2 - 9x + 4 Hiển thị đáp án Hàm số đã cho xác định trên D=R.

Tính y' = -3x2 + 12x - 9. Cho y' = 0 ⇔ -3x2 + 12x - 9 = 0 ⇔ Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên,hàm số đồng biến trên (1;3). Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; 1) và (3; +∞) Bài 2: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = (3 - 2x)/(x + 7) Hiển thị đáp án Hàm số đã cho xác định và liên tục trên: D = R\{-7}.

Tính y' =

> 0,∀x ∈ D = R\{-7}.

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đã cho luôn nghịch biến trên: (-∞; -7)và(-7; +∞). Bài 3: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = x4 + 4x + 6 Hiển thị đáp án Tập xác định: D = R. Tính: y' = 4x3 + 4. Cho y' = 0 ⇔ 4x3 + 4 = 0 ⇔ x = -1. Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên khoảng (-1; +∞). Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; -1)

Bài 4: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = Hiển thị đáp án Hàm số đã cho xác định khi: x2 - x + 3 > 0 đúng ∀x ∈ R.

Hàm số đã cho xác định trên D = R

Ta có: y' =

Cho y' = 0 ⇔

= 0 ⇔-5x + 8 = 0 ⇔ x = 8/5.

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đã cho đồng biến trên(-∞; 8/5). Hàm số nghịch biến trên khoảng (8/5; +∞)

Bài 5: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = Hiển thị đáp án Hàm số đã cho xác định trên: D = R\{-2}.

Ta có: y' =

,∀x ∈ D.

= 0 ⇔ -x2 - 4x + 5 = 0 ⇔

Cho y' = 0 ⇔ Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số nghịch biến trên: (-∞; -5) và (1; +∞) ∞ Hàm số đồng biến trên các khoảng (-5; -2) và (-2; 1) Bài

6: Xét

tính

đồng

bi biến

và

nghịch

biến

của

hàm

= Hiển thị đáp án Hàm số đã cho xác định trên D = R.

Ta có: y' =

Cho y' = 0 ⇔

= 0 ⇔ -36x2 + 24x - 3 = 0 ⇔

số

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đã cho đồng biến trên (-∞; 1/6) và (1/6; +∞) Hàm số nghịch biến trên khoảng (1/6; 1/2) Bài 7: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = |x2 - 2x - 3| Hiển thị đáp án Ta có: y = |x2 - 2x - 3| = TXĐ: D = R.

Tìm y' = Hàm số không có đạo hàm tại x= -1 và x = 3. Ta lại có: Trên khoảng (-1; 3): y' = 0 ⇔ x = 1. Trên khoảng (-∞; -1): y' < 0. Trên khoảng (3; +∞): .y' > 0 Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đồng biến trong các khoảng (-1; 1) và (3; +∞). Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1) và (1; 3)

Bài 8: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = 2sinx + cos2x,x ∈ [0; π] Hiển thị đáp án Hàm số đã cho xác định trên đoạn [0; π]. Ta có: y' = 2cosx - 2sin2x = 2cosx - 4cosx.sinx = 2cosx(1 - 2sinx),x ∈ [0; π].

Trên đoạn[0; π]: y' = 0 ⇔ Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên các khoảng (0; π/6) và (π/2; 5π/6) Hàm số nghịch biến trên các khoảng (π/6; π/2); (5π/6; π) Trắc nghiệm Xét tính đơn điệệu của hàm số Câu 1: Hàm số y = -x4 + 4x2 + 1 nghịch biến trên mỗi khoảng nào sau đây? A. (-√3; 0) và (√2; +∞) B. (-√2; √2) C. (√2; +∞)

D. (-√2; 0) và (√2; +∞)

Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích :

Hàm số đã cho xác định trên D = R. Tính y' = -4x3 + 8x. Cho y' = 0 ⇔ -4x3 +8x = 0 ⇔ 4x(-x2 + 2) = 0

Bảng biến thiên :

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số nghịch biến trên: (-√2; 0) và (√2; +∞) Câu 2: Cho hàm số y = x3 + 2x + 1. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số đồng biến trên tập R B. Hàm số đồng biến trên (0; +∞), nghịch biến trên (-∞; 0) C. Hàm số nghịch biến trên tập R D. Hàm số nghịch biến trên (0; +∞), đồng biến trên (-∞; 0) Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích : TXĐ: D = R. Ta có y' = 3x2 +2 > 0 ∀x ∈ D ⇒ Hàm số đồng biến trên R. Câu 3: Kết luận nào sau đây về tính đơn điệu của hàm số y = (2x + 1)/(x - 1) là đúng?

ch biế biến trên R\{1} A. Hàm số luôn nghịch ch biế biến trên (-∞; 1) và (1; +∞) B. Hàm số luôn nghịch ng biến trên R\{1} C. Hàm số luôn đồng ng biến trên (-∞; 1) và (1; +∞) D. Hàm số luôn đồng Hiển thị đáp án

Đáp án : B Giải thích : TXĐ: D = R. Ta có y' = (-3)/(x - 1)2 < 0 ∀x ∈ D

ch biến trên (-∞; 1) và (1; +∞). ⇒ Hàm số luôn nghịch (2 + x - x2 ) nghịch biến trên khoảng Câu 4: Hàm số y = √(2 A. (1/2; 2) C. (-1; 2)

B. (-1; 1/2) D. (2; +∞)

Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích : Hàm số đã cho xác định khi: 2 + x - x2 ≥ 0 ⇔ -1 ≤ x ≤ 2 ⇒Tập xác định: D = [-1; 2].

Ta có: y' = 2.

Cho y' = 0 ⇔ Bảng biến thiên:

,∀x ∈(-1; 2). Hàm số không có đạo hàm tại: x = -1; x =

⇔ 1 - 2x = 0 ⇔ x = 1/2.

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số nghịch biến trên(1/2; 2). Câu 5: Hàm số y = x2/(1 - x) đồng biến trên các khoảng A. (-∞; 1) và (1; 2) B. (-∞; 1) và (2; +∞) C. (0; 1) và (1; 2)

D. (-∞; 1) và (1; +∞)

Hiển thị đáp án Đáp án : C Giải thích :

TXĐ: D = R\{1}. Ta có y' = Bảng biến thiên

. Khi đó y' = 0 ⇔

Hàm số đồng biến trên các khoảng (0; 1) và (1; 2).

ến củ của hàm số y = (x2 + x + 2)/(x - 1) là: Câu 6: Khoảng đồng biến A. (-∞; -3) và (1; +∞) C. (1; +∞)

B. (-∞; -1) và (3; +∞)

D. (-1; 3)

Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích :

TXĐ: D = R\{1}. Ta có y' = Bảng biến thiên

. Khi đó y' = 0 ⇔

Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; -1) và (3; +∞).

ịch bi biến của hàm số y = x4 - 6x2 + 8x + 1 là: Câu 7: Các khoảng nghịch A. (1; +∞)

B. (-∞; -2)

C. (-∞; 1)

D. (-2; +∞)

Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích :

Hàm số đã cho xác định trên D = R. Tính y' = 4x3 - 12x + 8 = 0 = 4(x - 1)2(x + 2).

Cho y' = 0 ⇔ 4(x - 1)2(x + 2)=0⇔ Bảng biến thiên :

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số nghịch biến trên (-∞; -2).

Câu 8: Cho f(x) = (x - 2)/(x - 1). Xét các mệnh đề sau

ng biế biến trên (-∞; 1) ∪ (1; +∞). 1) Hàm số đã cho đồng ng biế biến trên R\{1}. 2) Hàm số đã cho đồng ng biế biến trên từng khoảng xác định. 3) Hàm số đã cho đồng ng biế biến trên các khoảng (-∞; -1) và (-1; +∞). 4) Hàm số đã cho đồng Số mệnh đề đúng là A. 3

B. 2

C. 1

D. 4

Hiển thị đáp án Đáp án : B

Giải thích : Ta có y' = 1/(x - 1)2 > 0 ∀x ≠ 1.

biến các khoảng (-∞; -1) và (-1; +∞). Suy ra hàm số đã cho đồng bi Do đó chỉ có mệnh đề 3 và 4 đúng nên Chọn B Câu 9: Hàm số y= -x3 + 3x + 2 đồng biến trên các khoảng nào sau đây? A.(1; +∞)

B. (-1; 1)

C. (-∞; -1)

D.(0; 1)

Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích : Câu 9: Chọn B

Hàm số đã cho xác định trên D = R.

Tính y' = -3x2 + 3. Cho y' = 0 ⇔ -3x2 + 3 = 0 ⇔ Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên,hàm số đồng biến trên (-1; 1). Câu 10: Hàm số nào dưới đđây đồng biến trên (-∞; +∞).

A. y = (2x - 1)/(x - 5) C. y = -x3 - 2x + 1

B. y = x4 + 3x2 + 1 D. y = x3 + 2x - 1

Hiển thị đáp án Đáp án : D Câu 11: Hàm số nào sau đây đồng biến trên từng khoảng xác định của nó A. y = (2x + 1)/(x - 2) B. y = (x - 1)/(2 - x) C. y = √(2 - x) - x D. y = (-1/3)x3 + 2x2 - 3x + 2 Hiển thị đáp án Đáp án : B Câu 12: Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) = x2(x + 2). Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-2; +∞) B. Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng (-∞; -2) và (0; +∞) C. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (-∞; -2) và (0; +∞) D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (-2; 0) Hiển thị đáp án Đáp án : A Câu 13: Cho hàm số y = x - 4/x. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số đồng biến trên R B. Hàm số nghịch biến trên R C. Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 0) và (0; +∞)

D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; 0) và (0; +∞) Hiển thị đáp án Đáp án : C Giải thích : TXĐ: D = R\{0}. Ta có y' = 1 + 4/x2 > 0 ∀x ∈ D ⇒ Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 0) và (0; +∞).

bi trên các Câu 14: Cho hàm số y = sin2 x + cos x,x ∈ [0; π]. Hàm số đồng biến khoảng? A. (0; π/3) C. (0; π)

B. (π/3; π) D. (π/6; π)

Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích :

Hàm số đã cho xác định trên đoạn[0; π]. Ta có: y' = 2sinx.cosx - sinx = sinx(2cosx - 1),x ∈ [0; π]. Trên

⇔ Bảng biến thiên:

đoạn[0;

π]: ]:

y'=

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số nghịch biến trên: (π/3; π). Chọn B Câu 15: Cho hàm số y = f(x) = x + sin x, x ∈ [0; π]. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. Hàm số f(x) đồng biến trên (0; π)

ch biế biến trên (0; π) B. Hàm số f(x) nghịch C. Hàm số f(x) không đổi trên (0; π)

ch biế biến trên (0; π/2) D. Hàm số f(x) nghịch Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích :

Hàm số đã cho xác định trên đoạn [0; π]. Ta có: y' = 1 - cosx. Trên ⇔

Bảng biến thiên:

đoạn[0;

π]: ]:

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đã cho đồng biến trên(0; π) Dạng 2: Tìm tham số m để hàm số đơn điệu

dụ A. Phương pháp giảii & Ví d Phương pháp giải 1. Hàm đa thức bậc ba: y=f(x)=ax3+bx2+cx+d (a≠0) ⇒ f'(x)=3ax2+2bx+c Hàm

đa

thức

bậc ậc

y=f(x)

đồng

biến

trên ên

khi

và

chỉ

khi

nghịch biến trên ên R khi và chỉ khi Hàm đa thức bậcc ba y=f(x) ngh

nhất: 2. Hàm phân thức bậcc nhấ Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định khi y'>0 hay ad-bc>0 Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định khi y'>0 hay ad-bc<0 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số trên tập xác định.

đồng biến

Hướng dẫn + Tập xác định: D=R + Ta có: y'=x2+2(m+1)x-(m+1) + ∆'=(m+1)2+4(m+1)=m2+6m+5 +

Để

hàm

số

đồng

biến

trên

p tập

xác

định

thì

cần tìm là -5≤m≤-1 Vậy giá trị của tham sốố cầ Ví dụ 2: Cho hàm số biến trên R. của m để hàm số luôn đồng bi

. Tìm giá trị

Hướng dẫn + Tập xác định: D=R + Đạo hàm y'≠(m2-m) x2+4mx+3

ng biến trên R + Hàm số luôn đồng

y'≥0 ∀ x∈R

Xét m2-m=0 ⇒ Với m=0 phương trình trở thành y=3x-1;y'=3>0 ∀x∈R ⇒ m=0 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Với m=1 phương trình trở thành y=2x2+3x-1;y'=4x+3 Khi đó y'>0

4x+3>0

x<-3/4

⇒ m=1 không thỏa mãn yêu cầu bài toán. Xét m2-m≠0

Khi đó

Từ hai trường hợp trên ta có giá trị m cần tìm là -3≤m<0

Ví dụ 3: Cho hàm số khoảng xác định.

. Tìm m để hàm số đồng biến bi trên từng

Hướng dẫn + Tập xác định: D=R\{m} . Dấu của y' là dấu của biểu ểu thức thứ -m2-7m+8

+ Đạo hàm

+ Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định -m2-7m+8>0

y'>0 ∀x∈D

-8<m<1

Vậy giá trị m cần tìm là -8<m<1 Câu 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x3 + 3x2 + mx + 2 đồng biến trên R. Hiển thị đáp án + Ta có: y '= 3x2 + 6x + m

biến trên R thì y' ≥ 0,∀x ∈R + Để hàm số đã cho đồng bi

+ Yêu cầu bài toán trở thành tìm điều kiện của m để y' ≥ 0,∀x ∈R Ta có y' = 3x2 + 6x + m, ta có: a = 3>0,∆ = 36 - 12m Để y' ≥ 0,∀x ∈ R khi ∆ ≤ 0 ⇔ 36 - 12m ≤ 0 ⇔ m ≥ 3

cần tìm là m ≥ 3 Vậy giá trị của tham số m cầ Câu 2: Tìm tập hợp tấtt cả các tham ssố thực của m để hàm số y = x3 - (m + 1) x2+3x+1 đồng biến trên khoảng (-∞;+∞). Hiển thị đáp án + Tập xác định D = R. + Ta có y' = 3x2 - 2(m + 1)x + 3. + Hàm số y = x3 - (m + 1) x2 + 3x + 1 đồng biến trên khoảng (-∞; +∞) ⇔ y' ≥ 0,∀x∈R ⇔ ∆' ≤ 0 ⇔ (m + 1)2 - 9 ≤ 0 ⇔ m2> + 2m - 8 ≤ 0 ⇔ -4 ≤ m ≤2.

cần tìm là -4 ≤ m ≤ 2 Vậy giá trị của tham số m cầ

trị của tham số thực m để hàm àm số y = Câu 3: Tìm tập hợp tất cảả các giá tr ảng xác định. đồng biến trên từng khoảng Hiển thị đáp án Ta có: Theo yêu cầu bài toán, để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định thì y'>0,∀ x ∈D ⇔ -m2 + 6 > 0 ⇔ -√6<m<√6 Vậy giá trị của tham số m cần tìm là -√6 < m < √6

củ tham số m Câu 4: Cho hàm số y= . Tìm các giá trị của để hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó. Hiển thị đáp án TXĐ: D = R\{1} +

Trường

hợpp

Khi

-1,

hàm

số

với mọix∈D Do đó hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định ⇒ m = -1 thỏa mãn yêu cầu bài toán

+ Trường hợpp 2: Khi m ≠ -1, ta có Đặt g(x) = (m + 1) x2 - 2(m + 1)x - 4m và ta có y' cùng dấu với g(x)

khoảng xác định Hàm số đồng biến trên mỗi kho ⇔∀ x ∈ D,y' ≥ 0 ⇔∀ x ∈D,g(x)≥0

trở tr

thành

ủa tham ssố m thỏa mãn yêu cầu bài toán là -1 < m ≤ Vậy tập hợp các giá trị của ủa tham ssố m để hàm số y = (mx + 5)/(x + 1)đồng 1) biến Câu 5: Xác định giá trịị của trên từng khoảng xác định. Hiển thị đáp án . Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định thì

Ta có:y'=

cần tìm là m > 5 Vậy giá trị của tham số m cầ Câu 6: Tìm giá trị củaa m để hàm số y = sin x - mx nghịch biến trên R Hiển thị đáp án Ta có y' = cos x - m. Để hàm số nghịch biến trên R thì y' ≤ 0 ∀ x ∈R ⇔ cosx - m ≤ 0 ∀ x ∈ R ⇔ cosx ≤ m ∀x∈R Vì -1 ≤ cos

x ≤ 1 nên để cosx ≤ m ∀x∈R thì m ≥ 1.

thời bằng 0. Tìm điều kiện củaa m, n để hàm số y = Câu 7: Cho m, n không đồng th biến trên R. msinx - ncosx - 3x nghịch biế Hiển thị đáp án Ta có: y' ≤ 0,∀x ∈ R ⇔ mcosx + nsinx - 3 ≤ 0,∀ x ∈ R ⇔√(m2 + n2 ) cos(x - α) ≤ 3,∀x∈R

ến trên R thì m2+n2≤9 Vậy để hàm số nghịch biến bi trên R. Câu 8: Tìm tham số m thì hàm số y = sinx - cosx + 2017√2 mx đồng biến Hiển thị đáp án Tính đạo hàm y' = cosx + sinx + 2017√2 m. y' ≥ 0 ⇔

=f(x)

Theo bất đẳng thứcc Bunhiacopxki thì (-sinx - cosx)2 ≤ ((-1)2 + (-1)2 )(sin2 x + cos2 x) = 2

f(x) đạt giá trị lớn nhất là

Vậy giá trị của tham số m cầ cần tìm là Trắc nghiệm Tìm tham số m để hàm số đơn điệu Câu 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = 2x3 - 3(m + 2)x2 + 6(m + 1)x - 3m + 5 luôn đồng biến trên R. A. m = 0 B. m = -1 C. m = 2 D. m = 1 Hiển thị đáp án Đáp án : Giải thích :

Ta có y' = 6x2 - 6(m + 2)x + 6(m + 1) = 6[x2 - (m + 2)x + (m + 1)] ∆ = (m + 2)2 - 4(m + 1) = m2 Để

hàm

số

luôn

đồng

biến n

trên

thì . Câu 2: Tím tất cả các giá tr trị thực của tham số m sao cho hàm àm số y=2 mx +(2m-3)x-m+2 luôn nghịch biến trên R.

A. -3 ≤ m ≤1

B. m ≤ 1

C. -3 < m < 1

x3-

Hiển thị đáp án Đáp án : Giải thích : Ta có y' = -x2 - 2mx + (2m - 3) ∆' = m2 + 2m - 3 Để

hàm

số

luôn

ngh nghịch

biến n

trên

thì . Câu 3: Tìm tất cả các giá tr trị thực của tham số m sao cho hàm số y= nghịch biến trên các khoảng mà nó xác định. A. m < -3 B. m ≤ -3

C. m ≤ 1 D. m < 1 Hiển thị đáp án Đáp án : Giải thích :

Ta có y'= Để hàm số nghịch biến trên các khoảng mà nó xác định thì m - 1 < 0 m<1 Câu 4: Tìm số nguyên m nhỏ nhất sao cho hàm số y = biến trên các khoảng xác định ccủa nó.

luôn nghịch

A. m = -1 B. m = -2 C. m = 0 D. m = ∅ Hiển thị đáp án Đáp án : Giải thích :

Ta có y'= (m(m + 3) + 2)/(x + 1)2 = (m2 + 3m + 2)/(x + 1)2 Để hàm số nghịch biến trên các khoảng mà nó xác định thì m2 + 3m + 2 < 0

-2<m<-1. Không có giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Câu 5: Tìm giá trị củaa tham ssố m để hàm số y = ng xác đị định của nó. biến trên từng khoảng

đồng

D. Hiển thị đáp án Đáp án : Giải thích : Ta có y' = ((m2 - 1)(2m + 1) + 2m(m + 1))/(mx + m2 - 1)2 =(2m3 + 3m2 - 1)/(mx + m2 - 1)2 Để hàm số nghịch biến trên các khoảng mà nó xác định thì 2m3 + 3m2 - 1 < 0

2(m+1)2 (m-1/2)<0

m < 1/2.

Câu 6: (THPT Bình Mỹ - An Giang 2017). Hàm số y= m)x+5 luôn nghịch biếnn khi A. 2 ≤ m ≤ 5 B. m = 1 C. 2 < m < 5

x3-2(2-m) x2+2(2-

D. m > -2 Hiển thị đáp án Đáp án : Giải thích : Đạo hàm y' = (1 - m)x2 - 4(2 - m)x + 2(2 - m) Hàm số luôn nghịch biến trên R Xét 1 - m = 0

y' ≤ 0 ∀ x ∈ R

m=1, ta có y'=-4x+2;y'<0

x > 1/2

⇒ m = 1 không thỏa mãn yêu cầu bài toán. Xét 1 - m ≠ 0 m ≠1 Khi đó y'≤0 ∀ x∈R

Từ hai trường hợp trên ta có giá trị m cần tìm là 2≤m≤3.

trị thực của tham số m sao cho hàm Câu 7: Tìm tất cả các giá tr số A. m > 1 B. m ≤ 1 C. m < 1 D. m ≥ 1 Hiển thị đáp án

ng xác định đị của nó. đồng biến trên từng khoảng

Đáp án : Giải thích : Tập xác định D = R\{m}. Ta có y' = (x2 - 2mx + m2-m + 1)/(x - m)2>

ng kho khoảng xác định của nó thì Để hàm số tăng trên từng y' ≥ 0 ∀ x ∈ D ⇔ x2 - 2mx + m2 - m + 1 ≥ 0 ∀ x ∈ D ⇔ ⇔m≤1

Câu 8: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = f(x) = x + m.cos x luôn đồng biến trên R. A. |m| ≤ 1

3/2 B. m > √3/2

C. |m| ≥ 1

D. m < 1/2

Hiển thị đáp án Đáp án : Giải thích : Tập xác định: nh: D = R. Ta có y' = 1 - msinx Hàm số đồng biến trên R y' ≥ 0,∀ x ∈ R ⇔m.sin x ≤ 1,∀ x ∈R Trường hợpp 1: m = 0 ta có 0 ≤ 1,∀ x ∈ R. Vậy hàm số đồng biến trên R.

Trường hợpp 2: m>0 ta có sin x ≤ 1/m,∀ x ∈ R ⇔ 1/m ≥ 1 ⇔ m ≤ 1 Trường hợpp 3: m<0 ta có sin x ≥ 1/m,∀ x ∈ R ⇔ 1/m ≤ -1 ⇔ m ≥ -1 Vậy |m| ≤ 1. Câu 9: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = (m - 3)x ịch bi biến trên R? (2m + 1).cos x luôn nghịch

A. -4 ≤ m ≤ 2/3 B. m ≥ 2 C.

D. m ≤ 2

Hiển thị đáp án Đáp án : Giải thích : Tập xác định: nh: D = R. Ta có y' = m - 3 + (2m + 1)sin x Hàm số nghịch biến trên R ⇔ y' ≤ 0,∀ x ∈ R ⇔ (2m + 1).sin x ≤ 3 - m,∀ x ∈ R

ch biến biế trên R. Trường hợp 1: m =-1/2 ta có 0 ≤ 7/2,∀ x ∈ R. Vậy hàm số nghịch Trường hợp 2: m<-1/2 ta có sin x ≥ (3 - m)/(2m + 1),∀ x ∈ R ⇔ (3 - m)/(2m + 1) ≤ -1 ⇔3 - m ≥ -2m - 1 ⇔ m ≥ -4 Trường hợp 3: m > -1/2 ta có sin 1) ≥ 1

x ≤ (3 - m)/(2m + 1),∀ x ∈ R ⇔ (3 - m)/(2m +

⇔ 3 - m ≥ 2m + 1 ⇔ m ≤ 2/3 Vậy m⇔[-4; 2/3]. Câu

10: Tìm

số A. m = -5

giá

trị

nh nhỏ

nhất

của

tham

số

luôn đồng biến trên R.

sao

cho

hàm

B. m = 0 C. m = -1 D. m = -6 Hiển thị đáp án Đáp án : Giải thích : Tập xác định nh D = R. Ta có y' = x2 + 2mx - m Hàm

số

đồng

biến

trên ên

Vậy giá trị nhỏ nhất củaa m để hàm số đồng biển trên R là m = -1. Câu 11: Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số y=

biến trên từng khoảng xác định của nó. đồng bi

A. 2 B. 4 C. Vô số D. 0 Hiển thị đáp án Đáp án : Giải thích : Tập xác định D = R\{m}. Ta có y' = (x2 - 2mx + 2m2 - m - 2)/(x - m)2 =(g(x))/(x m)2

Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó khi và chỉ khi g(x)≥0,∀ x∈D

Vậy có vô số giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

giữa các tham số a và b sao cho hàm số Câu 12: Tìm mối liên hệ giữ y = f(x) = 2x + a.sin x + b.cos x luôn tăng trên R. A. 1/a + 1/b = 1 B. a + 2b = 2√4 C. a2 + b2 ≤ 4 D. a + 2b ≥ (1 + √2)/3 Hiển thị đáp án Đáp án : Giải thích :

nh D = R. Ta có y' = 2 + a.cos x - b.sin x Tập xác định Áp dụng bất đẳng thứcc Schwartz ta có 2 - √(a2+b2 ) ≤ y' ≤ 2 + √(a2 + b2 )

giải bất phương trình: Yêu cầu bài toán đưa đến giả y' ≥ 0,∀ x ∈ R ⇔ 2 - √(a2+b2 ) ≥ 0 ⇔ a2 + b2 ≤ 4

khảo sát tính đơn điệu của hàm số Dạng 3: Phương pháp cô lập m trong kh dụ A. Phương pháp giảii & Ví d Phương pháp giải Bước 1: Tìm y' Hàm số đồng biến trên khoảảng K khi và chỉ khi y' ≥ 0 ∀ x ∈ K

Hàm số nghịch biến trên khoảng K khi và chỉ khi y' ≤ 0 ∀x ∈ K Bước 2: Cô lập tham sốố m đưa về dạng m≥g(x) hoặc m ≤ g(x) Bước 3: Vẽ bảng biến thiên của g(x) Bước 4: Kết luận m ≥ g(x) ∀ x ∈ K khi và chỉ khi m ≥ m ≤ g(x) ∀ x ∈ K khi và chỉ khi m ≤

ặp Một số hàm số thường gặp Hàm đa thức bậc ba: y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) ⇒ f'(x) = 3ax2 + 2bx + c Với a > 0 và f'(x) có hai nghiệm phân biệt x1 < x2 Hàm số đồng biến trên (α; ββ) khi và chỉ khi β ≤ xc hoặc α ≥ x2 Hàm số nghịch biến trên (α; ββ) khi và chỉ khi x1 ≤ α < β ≤ x2 Với a <0 và f'(x) có hai nghiệm phân biệt x1 < x2 Hàm số đồng biến trên (α; ββ) khi và chỉ khi x1 ≤ α < β ≤ x2 Hàm số nghịch biến trên (α; ββ) khi và chỉ khi β≤x1 hoặc α ≥ x2 Hàm phân thức bậc nhất: y = (ax + b)/(cx + d) ⇒ y'= (ad - bc)/(cx + d)2 Hàm số đồng biến trên khoảảng K khi và chỉ khi ad-bc>0 và -d/c ∉ K Hàm số nghịch biến trên khoảng K khi và chỉ khi ad - bc < 0 và -d/c ∉ K Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm m để hàm số y = x3/3 - mx2+(1 - 2m)x- 1 đồng biến trên (1; +∞)

Hướng dẫn TXĐ: D = R Ta có y' = x2 - 2mx + 1 - 2m

ến trên (1; +∞)⇔∀ x ∈(1; +∞),y' ≥ 0 Hàm số đã cho đồng biến ⇔∀ x ∈ (1; +∞), x2 -2mx + 1 - 2m ≥ 0 ⇔∀ x ∈(1; +∞), x2 + 1 ≥ 2m(x + 1) ⇔∀ x ∈(1; +∞),2m ≤ (x2 + 1)/(x + 1) (do x + 1 > 0 khi x > 1) Xét hàm số f(x) = (x2 + 1)/(x + 1), x ∈ (1; +∞) f'(x) = (x2 + 2x - 1)/(x + 1)2 >0 với mọi x

(1;+∞)

Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên để 2m ≤ f(x),∀ x ∈(1; +∞) thì 2m ≤ 1 ⇔ m ≤ 1/2 Ví dụ 2: Tìm giá trị củaa tham số m để hàm số y = (2x - 1)/(x - m) nghịch biến trên khoảng (2; 3) Hướng dẫn TXĐ: D=R\{m}.

ng (2; 3) thì hàm só Ta có y'= (-2m + 1)/(x - m)2 . Để hàm số nghịch biến trên khoảng ng (2; 3) và y' < 0 ∀ x ∈ (2; 3). phải xác định trên khoảng

Vậy giá trị của tham số m cần tìm là

bi trên (-3 Ví dụ 3: Tìm các giá trị m để hàm số y = mx3 - x2 + 3x + m - 2 đồng biến ; 0) Hướng dẫn TXĐ: D = R Ta có y'= 3mx2 - 2x + 3. Hàm số đồng biến trên khoảng (-3; 0) khi và chỉ khi: y' ≥ 0,∀ x ∈(-3; 0) (Dấuu '' = '' xxảy ra tại hữu hạn điểm trên (-3; 0)) ⇔ 3mx2 - 2x + 3 ≥ 0, ∀ x ∈(-3; 0) ⇔ m ≥(2x-3)/(3x2 ) = g(x) ∀ x ∈(-3;0) Ta có: g'(x) = (-2x + 6)/(3x3 ); g'(x) = 0 ⇔ x = 3 Bảng biến thiên

Vậy m ≥

= -1/3.

B. Bài tập vận dụng Câu 1: Tìm tất cả giá trịị của tham ssố m để hàm số y = mx2 - (m + 6)x nghịch biến trên khoảng (-1; +∞) Hiển thị đáp án Hiển thị đáp án Ta có: y' = 2mx - (m + 6). Theo yêu cầu bài toán ta có y' ≤ 0,∀ x ∈(-1; +∞).

⇒ 2mx - (m + 6) ≤ 0 ⇔ m ≤

Xét hàm số g(x) = Bảng biến thiên

Vậy -2 ≤ m ≤ 0.

với x ∈ (-1;+∞).

Câu 2: Cho hàm số y = x3-3mx2+3(m2 - 1)x - 2m + 3. Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 2). Hiển thị đáp án Tập xác định: D = R Đạo hàm y'=3x2-6mx+3(m2-1) Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 2)⇔ y' ≤ 0 ∀ x ∈(1; 2) Ta có ∆'= 9m2-9(m2-1)= 9 > 0 ∀m

biệt x1 = m - 1; x2 = m + 1(x1<x2) Suy ra y' luôn có hai nghiệm phân bi Do

đó

≤

∀

∈(1;2)

⇔

x1 ≤

x2 ⇔ Vậy giá trị m cần tìm là 1 ≤ m ≤ 2

thực của tham số m sao cho hàm số y = -x4 + (2m Câu 3: Tất cả các giá trịị th 3)x2 + m nghịch biến trên khoảng (1; 2) là (-∞; p/q], trong đó phân số p/q tối giản và q > 0. Tính tổng p+q Hiển thị đáp án Tập xác định nh D = R. Ta có y' = -4x3 + 2(2m - 3)x. Hàm số nghịch biến trên (1;2) ⇔ y' ≤ 0,∀ x ∈(1; 2)⇔ m ≤ x2 + 3/2 = g(x),∀ x ∈(1; 2). Lập bảng biến thiên củaa g(x)trên (1;2). g'(x) = 2x = 0 ⇔ x = 0 Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, kết luận: m ≤ ming(x) ⇔ m ≤ 5/2. Vậy p + q = 5 + 2 = 7.

trị thực của tham số m sao cho hàm số Câu 4: Tìm tất cả các giá tr đồng biến trên khoảng (2; +∞). Hiển thị đáp án TXĐ: D = R\{m}

Ta có: y'=

Hàm số

⇔

đồng bi biến trên khoảng (2;+∞)

>0,∀ x ∈(2;+∞)

cần tìm là -3 < m ≤2 Vậy giá trị của tham số m cầ

Câu 5: Tìm giá trị củaa m để hàm số trên khoảng (4; +∞) Hiển thị đáp án hợpp Trường

Khi

đồng biến

-1,

thành

hàm

số

trở

với mọi x

Do đó hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định ⇒ m = -1 thỏa mãn yêu cầu bài toán Trường

hợpp

Khi

≠

-1,

có Đặt g(x)=(m + 1) x2 - 2(m + 1)x - 4m và ta có y' cùng dấu với g(x) Khi đó hàm số đồng biến trên khoảng (4; +∞).

⇔∀ x ∈(4; +∞), g(x) ≥ 0 ⇔∀ x ∈ (4; +∞),

≤ m.

(do x2 - 2x - 4 > 0 ∀ x ∈(4; +∞))

Xét hàm ∈(4;+∞).

> 0 ∀ x

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên của h(x) suy ra,∀ x ∈(4; +∞),h(x) ≤ m

Câu 6: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số π/4; π/2). đồng biến trên khoảng (π/4; Hiển thị đáp án Ta có:

m ≥-1.

Hàm số đồng biến trên khoảảng (π/4; π/2) khi và chỉ khi:

cần tìm là m ≤ 0 Vậy giá trị của tham số m cầ

Câu 7: Tìm m để hàm số

đồng biến trên [1; +∞).

Hiển thị đáp án Ta có:

có tậpp xác đị định là D = R\{-m} và Hàm

số

đã

cho

đồng

. trên

biến

[1;

+∞)

⇔ x2 +

2mx

≥

0,∀

∈[1;

+∞)⇔

Kết hợp với đk m > -1 ta được -1 < m ≤ 1/2. Câu 8: Với giá trị nào của m thì hàm số y=√(x2+2mx+m2+1) đồng biến trên khoảng (1; +∞). Hiển thị đáp án Đặt f(x) = x2 + 2mx + m2 + 1; ta có ∆(f(x))'=m2-m2-1 = -1 < 0;a = 1 > 0 nên f(x)> 0 ∀ x ∈R.

Ta có Hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞) khi và chỉ khi y ' ≥ 0 ∀ x > 1 ⇔ x + m ≥ 0 ⇔ m ≥ -x Xét g(x) = -x ; g'(x)= - 1 < 0 ∀x1 Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có m ≥ -1.

ng pháp cô lập m trong khảo sát tính đơn điệu u của củ hàm số Trắc nghiệm Phương dụ A. Phương pháp giảii & Ví d Phương pháp giải

bi (nghịch Tìm m để hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có độ dài khoảng đồng biến biến) = l. Bước 1: Tính y'=f'(x).

kiện để hàm số có khoảng đồng ng biến và nghịch Bước 2: Tìm điềuu kiệ

biến:

(1).

Bước 3: Biến đổi |x1-x2 | = l thành (x1+x2 )2 - 4x1.x2=l2 (2). Bước 4: Sử dụng định lý Viét đưa (2) thành phương trình theo m. Bước 5: Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm. Kiến thức cần nhớ

Hàm đa thức bậc ba: y = f(x) = ax3+bx2+ cx + d (a ≠ 0) ⇒ f'(x)=3ax2+ 2bx + c

nh lý vi ét cho tam th thức bậc hai f'(x)= 3ax2 + 2bx + c có Sử dụng định

Ví dụ minh họa

trị thực của tham số m sao cho hàm àm số y = 1/3 x3 Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá tr biến trên một đoạn có độ dài là 3. 2mx2 + 2mx - 3m + 4 nghịch bi Hướng dẫn Ta có f'(x) = x2 - 4mx + 2m Hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 3 khi và chỉ khi f'(x)= 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 (x1 < x2) thỏa mãn |x1-x2 |=3

biệt x1,x2 ⇔ ∆'= 4m2 - 2m > 0 ⇔ + f'(x)= 0 có hai nghiệm phân bi

Theo Vi ét ta có + Với |x1-x2 | = 3 ⇔ (x1 + x1)2 - 4x1 x2 - 9 = 0

(thỏa mãn)

Vậy giá trị của m cần tìm là m=

bi trên một Ví dụ 2: Tìm m để hàm số y = -x3 + 3x2 + (m-1)x + 2m - 3 đồng biến khoảng có độ dài nhỏ hơn 1 Hướng dẫn Ta có f'(x)= -3x2 + 6x + m - 1 Hàm số đồng biến trên khoảng có độ dài lớn hơn 1 khi và chỉ khi f'(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 (x1 < x2) thỏa mãn |x1-x2 | > 1

biệt x1,x2 ⇔ ∆'= 3m + 6 > 0 ⇔ m > -2 + f'(x)= 0 có hai nghiệm phân bi

Theo Vi ét ta có + Với |x1-x2 | > 1 ⇔ (x1+x2 )2-4x1 x2-1 > 0 ⇔ 4m + 5 > 0 ⇔ m > -5/4 Kết hợp điều kiện ta được m > -5/4

ngh biến Ví dụ 3: Xác định m để hàm só y = -x4 +(m - 2) x2 + 1 có khoảng nghịch (x1;x2) và độ dài khoảng này bằng 1. Hướng dẫn

Ta có y' = -4x3 + 2(m - 2)x Để hàm số có khoảng nghịch ịch bi biến (x1;x2) thì phương trình -2x2 + m - 2 = 0 phải có hai nghiệm phân biệt Giả sử x1 < 0 < x2, khi đó hàm số sẽ nghịch biến trên khoảng (x1;0) và (x2; +∞)

ch biế biến bằng 1 nên khoảng (x1;0) có độ dài bằng ằ 1 hay x1 = Vì độ dài khoảng nghịch -1 nghiệm là -1 nên -2 + m - 2 = 0 ⇔ m = 4 (thỏa mãn) Vì -2x2 + m - 2 = 0 có một nghi cần tìm là m = 4 Vậy giá trị của tham số m cầ của tham số m để hàm số y = f(x) = (m + 1)x3 Câu 1: Xác định giá trịị củ ng biế biến trên khoảng có độ dài không nhỏ hơn 1. 3(m+1)x2 + 2mx + 4 đồng Hiển thị đáp án Hàm số đã cho xác định trên D = R.

trở thành y = -2x + 4 ; y' = -2 < 0 ∀x∈R, không thỏa Với m = -1. Khi đó hàm số tr mãn yêu cầu bài toán. Với m ≠ -1. Ta có f'(x)= 3(m+1)x2 - 6(m + 1)x + 2m

n 1 khi và chỉ khi f'(x) + Hàm số đồng biến trên khoảng có độ dài không nhỏ hơn = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đồng biến trong đoạn [x1;x2 ] thỏa mãn |x1 - x2 | ≥ 1 biệt x1,x2 và hàm số đồng biến n trong đoạn[x đ + f'(x)= 0 có hai nghiệm phân bi 1;x2 ]

Theo Viét ta có + Với |x1 - x2 | ≥ 1 ⇔ (x1 + x2 )2 - 4x1 x2 - 1 ≥ 0

Đối chiếu điều kiện ta có m ≤ -9.

Câu 2: Xác định giá trịị của tham ssố m để hàm số y = x3 - mx2 + (m + 36)x - 5 ng có độ dài bằng 4√2. nghịch biến trên khoảng Hiển thị đáp án Ta có f'(x) = 3x2 - 2mx + m + 36 Hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 4√2 khi và chỉ khi f'(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x1 (x1 < x2) thỏa mãn |x1 - x1 |= 4√2v

f'(x)

có

hai

nghi nghiệm m

phân

biệt bi

x1,x2

Theo Vi ét ta có + Với |x1 - x2 |= 4√2 ⇔ (x1+x2 )2 - 4x1 x2 - 32 = 0

(thỏa mãn) Vậy giá trị của tham số m cầ cần tìm là m = 15; m = -12

ủa tham ssố m để hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m nghịch Câu 3: Xác định giá trịị của biến trên đoạn có độ dài nhỏ hơn Hiển thị đáp án Hàm số đã cho xác định trên D = R.

∆' = 9 - 3m Ta có f'(x)= 3x2 + 6x + m; ∆ Hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 4√2 khi và chỉ khi f'(x)= 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x1 (x1 < x2) thỏa mãn |x1 - x2 |< 2√2

biệt x1,x2 ⇔ ∆'= 9 - 3m > 0⇔ m < 3 + f'(x)= 0 có hai nghiệm phân bi

Theo định lý Vi – ét ta có: Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài nhỏ hơn 2√2 ⇔ l =|x1 - x2 | < 2√2 ⇔(x1 - x2 )2 = 8 ⇔(x1 + x2 )2 - 4x1 x2 = 8 ⇔ 4 - 4/3 m=8 ⇒ m = -3. Vậy giá trị của tham số m cầ cần tìm là m = -3

của tham số m để hàm số y = -x3 + x2 - (2 - m)x + 1 Câu 4: Xác định giá trịị củ nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2. Hiển thị đáp án Hàm số đã cho xác định trên D = R. Ta có f'(x) = -3x2 + 2x - 2 + m; ∆' = -5 + m Hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 2khi và chỉ khi f'(x)= 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 (x1 < x2) thỏa mãn |x1-x2 | = 2

biệt x1,x2 ⇔ ∆'= -5 + m > 0 ⇔ m > 5 + f'(x) = 0 có hai nghiệm phân bi

Theo định lý Viét ta có:

Hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 2 ⇔ l =|x1 - x2 |= 2 ⇔(x1 - x2 )2 = 4

cần tìm là m = 14/3 Vậy giá trị của tham số m cầ thực của tham số m để hàm số y = 2x3 + 3(m - 1)x2 + Câu 5: Tất cả các giá trịị thự ch biế biến trên khoảng (a;b) sao cho b - a > 3. 6(m - 2)x + 2017 nghịch

Hiển thị đáp án Ta có y' = 6x2 + 6(m - 1)x + 6(m - 2) Hàm số nghịch biến trên (a;b) ⇔ x2 + (m - 1)x + (m - 2) ≤ 0 ∀ x ∈(a; b) ∆ = m2 - 6m + 9 TH1: ∆ ≤ 0 ⇒ x2 + (m - 1)x + (m - 2) ≥ 0 ∀ x ∈ R ⇒Vô lí TH2: ∆ > 0 ⇔ m ≠ 3 ⇒ y' có hai nghiệm x1,x2 (x2 > x1 )

ến trên (x1;x2 ). ⇒ Hàm số luôn nghịch biến Yêu cầu đề bài: ⇔ x2 - x1 > 3 ⇔ (x2 - x1 )2 > 9 ⇔ (x1 + x2 )2 - 4(x1.x2)>9

Dạng 4: Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên đoạn có độ dài l

dụ A. Phương pháp giảii & Ví d Phương pháp giải

bi (nghịch Tìm m để hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có độ dài khoảng đồng biến biến) = l. Bước 1: Tính y'=f'(x).

kiện để hàm số có khoảng đồng ng biến và nghịch Bước 2: Tìm điềuu kiệ

biến:

(1).

Hàm đa thức bậc ba: y = f(x) = ax3+bx2+ cx + d (a ≠ 0) ⇒ f'(x)=3ax2+ 2bx + c

nh lý vi ét cho tam th thức bậc hai f'(x)= 3ax2 + 2bx + c có Sử dụng định

Ví dụ minh họa

biệt x1,x2 ⇔ ∆'= 4m2 - 2m > 0 ⇔ + f'(x)= 0 có hai nghiệm phân bi

Theo Vi ét ta có + Với |x1-x2 | = 3 ⇔ (x1 + x1)2 - 4x1 x2 - 9 = 0

(thỏa mãn)

Vậy giá trị của m cần tìm là m=

biệt x1,x2 ⇔ ∆'= 3m + 6 > 0 ⇔ m > -2 + f'(x)= 0 có hai nghiệm phân bi

Theo Vi ét ta có + Với |x1-x2 | > 1 ⇔ (x1+x2 )2-4x1 x2-1 > 0 ⇔ 4m + 5 > 0 ⇔ m > -5/4 Kết hợp điều kiện ta được m > -5/4

ngh biến Ví dụ 3: Xác định m để hàm só y = -x4 +(m - 2) x2 + 1 có khoảng nghịch (x1;x2) và độ dài khoảng này bằng 1. Hướng dẫn

của tham số m để hàm số y = f(x) = (m + 1)x3 Câu 1: Xác định giá trịị củ ng biế biến trên khoảng có độ dài không nhỏ hơn 1. 3(m+1)x2 + 2mx + 4 đồng của tham số m để hàm số y = f(x) = (m + 1)x3 Câu 1: Xác định giá trịị củ ng biế biến trên khoảng có độ dài không nhỏ hơn 1. 3(m+1)x2 + 2mx + 4 đồng Hiển thị đáp án Hàm số đã cho xác định trên D = R.

trở thành y = -2x + 4 ; y' = -2 < 0 ∀x∈R, không thỏa Với m = -1. Khi đó hàm số tr mãn yêu cầu bài toán. Với m ≠ -1. Ta có f'(x)= 3(m+1)x2 - 6(m + 1)x + 2m

n 1 khi và chỉ khi f'(x) + Hàm số đồng biến trên khoảng có độ dài không nhỏ hơn m phân biệ biệt x1,x2 và hàm số đồng biến trong đoạn [x1;x2 ] thỏa = 0 có hai nghiệm mãn |x1 - x2 | ≥ 1 + f'(x)= 0 có hai nghiệm phân bi biệt x1,x2 và hàm số đồng biến n trong đoạn[x đ 1;x2 ]

Theo Viét ta có + Với |x1 - x2 | ≥ 1 ⇔ (x1 + x2 )2 - 4x1 x2 - 1 ≥ 0

Đối chiếu điều kiệnn ta có m ≤ -9. Câu 2: Xác định giá trịị của tham ssố m để hàm số y = x3 - mx2 + (m + 36)x - 5 ng có độ dài bằng 4√2. nghịch biến trên khoảng Hiển thị đáp án Ta có f'(x) = 3x2 - 2mx + m + 36 Hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 4√2 khi và chỉ khi f'(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x1 (x1 < x2) thỏa mãn |x1 - x1 |= 4√2v

f'(x)

có

hai

nghi nghiệm m

phân

biệt bi

x1,x2

Theo Vi ét ta có + Với |x1 - x2 |= 4√2 ⇔ (x1+x2 )2 - 4x1 x2 - 32 = 0

(thỏa mãn)

cần tìm là m = 15; m = -12 Vậy giá trị của tham số m cầ ủa tham ssố m để hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m nghịch Câu 3: Xác định giá trịị của biến trên đoạn có độ dài nhỏ hơn Hiển thị đáp án Hàm số đã cho xác định trên D = R.

biệt x1,x2 ⇔ ∆'= 9 - 3m > 0⇔ m < 3 + f'(x)= 0 có hai nghiệm phân bi

Theo định lý Vi – ét ta có: Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài nhỏ hơn 2√2 ⇔ l =|x1 - x2 | < 2√2 ⇔(x1 - x2 )2 = 8 ⇔(x1 + x2 )2 - 4x1 x2 = 8 ⇔ 4 - 4/3 m=8 ⇒ m = -3.

cần tìm là m = -3 Vậy giá trị của tham số m cầ

biệt x1,x2 ⇔ ∆'= -5 + m > 0 ⇔ m > 5 + f'(x) = 0 có hai nghiệm phân bi

Theo định lý Viét ta có:

Hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 2 ⇔ l =|x1 - x2 |= 2 ⇔(x1 - x2 )2 = 4

cần tìm là m = 14/3 Vậy giá trị của tham số m cầ thực của tham số m để hàm số y = 2x3 + 3(m - 1)x2 + Câu 5: Tất cả các giá trịị thự ch biế biến trên khoảng (a;b) sao cho b - a > 3. 6(m - 2)x + 2017 nghịch Hiển thị đáp án Ta có y' = 6x2 + 6(m - 1)x + 6(m - 2) Hàm số nghịch biến trên (a;b) ⇔ x2 + (m - 1)x + (m - 2) ≤ 0 ∀ x ∈(a; b) ∆ = m2 - 6m + 9 TH1: ∆ ≤ 0 ⇒ x2 + (m - 1)x + (m - 2) ≥ 0 ∀ x ∈ R ⇒Vô lí TH2: ∆ > 0 ⇔ m ≠ 3 ⇒ y' có hai nghiệm x1,x2 (x2 > x1 )

ến trên (x1;x2 ). ⇒ Hàm số luôn nghịch biến Yêu cầu đề bài: ⇔ x2 - x1 > 3 ⇔ (x2 - x1 )2 > 9 ⇔ (x1 + x2 )2 - 4(x1.x2)>9

Câu

1: Vớii

số dài bằng 3 đơn vị.

giá

tr trị

nào

củaa

thì

hàm

đồng biến trên đoạn có độ

A. m = -3/4

B. m > -3

C. m ≥ -3/4

D. m = ∅

Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích : Ta có f' (x) = -x2 + 4x + m - 1 Hàm số đồng biến trên khoảng có độ dài bằng 3 khi và chỉ khi f'(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 (x1 < x2) thỏa mãn |x1 - x2 | = 3

biệt x1, x2 ⇔ ∆' = 3 + m > 0 ⇔ m > -3 + f'(x) = 0 có hai nghiệm phân bi

Theo Vi ét ta có + Với |x1-x2| = 3 ⇔ (x1 + x2 )2 - 41 x2 - 9 = 0 ⇔ 16-4(1-m)-9 = 0 ⇔ m = -3/4 Đối chiếu điều kiện ta được m = -3/4. Câu

2: Vớii

giá

số dài không nhỏ hơn 2 đơn vị A. m ≤ 1/2 C. m = 2

B. m < 5/2 D. m ≤ 2

Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích : Ta có f'(x) = x2 + 4x + 2m - 1

tr trị

nào

củaa

thì

hàm

nghịch biến trên đoạn có độ

Hàm số đồng biến trên khoảng có độ dài không nhỏ hơn 2 đơn vị khi và chỉ khi m phân bi biệt x1,x2 (x1 < x2) thỏa mãn |x1 - x2 | ≥ 2 f'(x)= 0 có hai nghiệm + f'(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 ⇔ ∆'= 5 - 2m > 0⇔ m < 5/2

Theo Vi ét ta có + Với |x1 - x2| ≥ 2 ⇔ (x1+x2 )2 - 4x1 x2 - 4 ≥ 0 ⇔ 16-8m ≥ 0 ⇔ m ≤ 2 Kết hợp điều kiện ta được m ≤ 2.

Câu 3: Xác định m để hàm số ảng có độ dài bằng 2√5 nghịch biến trên một khoảng A. m = -2; m = 4

B. m = 1; m = 3

C. m = -1; m = 0

D. m = 2; m = -4

Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích : Ta có f'(x) = x2 + 2(m + 1)x + 4 Hàm số đồng biến trên khoảng có độ dài bằng 2√5 đơn vị khi và chỉ khi f'(x)= 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 (x1 < x2) thỏa mãn |x1 - x2 | = 2√5

+ f'(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 ⇔ ∆'= m2 + 2m - 3 > 0

Theo Vi ét ta có

+ Với

Kết hợp điều kiện ta được m = 2; m = -4. Câu 4: Xác định m để hàm số y = -x3 + 3(m+1)x2 + 3(2 - m2 )x + 1 đồng biến trên một khoảng có độ dài bằng 44√6 A. m = 21/2

B. m = -3/2

C. m = -2 ± √46

quả khác D. Kết qu

Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích : Ta có f'(x)=-3x2 + 6(m+1)x + 3(2 - m2) Hàm số đồng biến trên khoảng có độ dài bằng 4√6 đơn vị khi và chỉ khi f'(x)= 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 (x1 < x2) thỏa mãn |x1 - x2 |= 4√6

biệt x1,x2 ⇔ ∆' = 2m + 3 > 0 ⇔ m > -3/2 + f'(x)= 0 có hai nghiệm phân bi

Theo Vi ét ta có + Với |x1 - x2| = 4√6 ⇔ (x1 + x2 )2 - 4x1 x2 - 96 = 0 ⇔ 8m - 84 ≥ 0 ⇔ m = 21/2 Đối chiếu điều kiện ta được m = 21/2.

ng nghịch biến bi (x1;x2) Câu 5: Xác định m để hàm só y = -x4 - (m+1)x2 + 3 có khoảng và độ dài khoảng này bằng 3. A. m = -5 C. m = -12

B. m = 11 D. m = 17

Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích :

Ta có

ng nghịch bi biến (x1; x2) thì phương trình -2x2 + m + 1 = 0 phải Để hàm số có khoảng có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > 0⇔ 2(m+1) > 0 ⇔ m > -1 Giả sử x1 < 0 < x2, khi đó hàm số sẽ nghịch biến trên khoảng (x1;0) và (x2;+∞)

ch biế biến bằng 1 nên khoảng (x1;0) có độ dài bằng ằ 3 hay x1 = Vì độ dài khoảng nghịch -3 Vì -2x2 + m + 1 = 0 có mộột nghiệm là -3 nên -18 + m + 1 = 0 ⇔ m = 17 (thỏa mãn)

cần tìm là m = 17. Vậy giá trị của tham số m cầ Câu 6: Cho hàm số y = 2x3 - 3(3m-1)x2 + 6(2m2 - m)x + 3. Tìm m để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 4: A. m = 5 hoặc m = 3

C. m = -5 hoặc m = 3

B. m = 5 hoặc m = -3

D. m = 5 hoặc m = 3

Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích : Ta có f'(x) = 6x2 - 6(3m - 1)x + 6(2m2 - m) Hàm số đồng biến trên khoảng có độ dài bằng 4 đơn vị khi và chỉ khi f'(x)= 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 (x1 < x2) thỏa mãn |x1 - x2 |= 4

biệt x1,x2 ⇔ ∆' = m2 - 2m + 1 > 0 ⇔ m ≠ 1 + f'(x)= 0 có hai nghiệm phân bi

Theo Vi ét ta có Với

Đối chiếu điều kiện ta được

ng có độ dài bằng 2 Câu 7: Tìm m để hàm số y = x3 - 3m2 x nghịch biến trên khoảng A. -1 ≤ m ≤ 1 B. m = ±1

C. -2 ≤ m ≤ 2

D. m = ±2

Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích : Ta có f'(x) = 3x2 - 3m2 Hàm số đồng biến trên khoảng có độ dài bằng 2 đơn vị khi và chỉ khi f'(x)= 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 (x1 < x2) thỏa mãn |x1 - x2 |= 2

biệt x1,x2 ⇔ ∆' = m2 < 0 ⇔ m ≠ 0 + f'(x)= 0 có hai nghiệm phân bi

Theo Vi ét ta có + Với

Đối chiếu điều kiện ta được

thự của tham số Câu 8: Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m. Tìm tất cả các giá trịị thực m để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 2 A. m = 0

B. m < 2

C. m = 2

D. m > 2

Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích : Ta có y' = (x3 + 3x2 + mx + m)' = 3x2 + 6x + m.

ó PT y' = 0 có hai Hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 2, khi đó ỏa mãn |x1 - x2| = 2. nghiệm x1, x2 phân biệt thỏa Suy ra :

bi trên một Câu 9: Tìm m để hàm số y = 2x3 + 3(m-1)x2 + 6(m-2)x + 3 nghịch biến khoảng có độ dài lớn hơn 3.

A. m > 6

B. m ∈(0;6) C. m < 0

Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích : Tập xác định: nh: D = R. Ta có: y' = 6x2 + 6(m - 1)x + 6(m - 2)

ảng có độ dài lớn . Hàm số nghịch biến trên một khoảng

y' = 0 ⇔ hơn 3

⇔ y' = 0 có hai nghiệm m phân bi biệt x1, x2 sao cho |x1 - x2| > 3

(1)

trị thực của tham số m sao cho hàm Câu 10: Tìm tất cả các giá tr số một đoạn có độ dài là 3? A. m = -1;m = 9 C. m = 9

B. m = -1

D. m = 1;m = -9

Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích :

nh: D = R. Ta có y' = x2 - mx + 2m Tập xác định:

bi trên nghịch biến

Ta không xét trường hợpp y' ≤ 0,∀ x ∈ R vì a = 1 > 0 Hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài là 3 ⇔ y'= 0 có 2 nghiệm x1,x2 thỏa mãn

Trắc nghiệm Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên đoạn có độ dài l