CHUYÊN ĐỀ TRẮC NGHIỆM ĐẠI SỐ LỚP 12
vectorstock.com/21609945
Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection DẠY KÈM QUY NHƠN TEST PREP PHÁT TRIỂN NỘI DUNG
CHỦ ĐỀ HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ LÔGARIT ĐẠI SỐ 12 CÓ ĐÁP ÁN GIẢI CHI TIẾT PDF VERSION | 2020 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594
Chủ đềHàm số mũ, Hàm số lũy thừa, Hàm số Lôgarit ĐẠI SỐ 12 CÓ ĐÁP ÁN 4 Dạng bài tập Lũy thừa trong đề thi Đại học có giải chi tiết 6 dạng bài tập Logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết 4 dạng bài tập Hàm số mũ, hàm số logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết 2 dạng bài tập Hàm số lũy thừa trong đề thi Đại học có giải chi tiết Tìm điều kiện xác định của lũy thừa hay nhất Dạng bài tập Rút gọn biểu thức chứa lũy thừa cực hay Dạng bài tập về so sánh các lũy thừa cực hay Dạng bài tập Tính giá trị của biểu thức lũy thừa cực hay Dạng 1: Lũy thừa Trắc nghiệm lũy thừa Dạng 2: Lôgarit Trắc nghiệm Lôgarit Tìm điều kiện để biểu thức logarit xác định hay nhất Dạng bài tập Tính giá trị của biểu thức logarit cực hay Dạng bài tập Rút gọn biểu thức chứa logarit cực hay Dạng bài tập biểu diễn logarit này theo logarit khác cực hay Cách biến đổi đẳng thức đã cho thành đẳng thức logarit cực hay Cách so sánh biểu thức chứa logarit cực hay
ủa hàm số mũ, lũy thừa, lôgarit Dạng 3: Tìm tập xác định của của hàm số mũ, lũy thừa, lôgarit Trắc nghiệm tìm tập xác định củ Dạng 4: Các dạng bài tập về hàm số mũ, lũy thừa, lôgarit
ũy th thừa, lôgarit Trắc nghiệm về hàm số mũ, lũy Dạng 5: Giới hạn, đạo hàm của hàm số mũ, lũy thừa, lôgarit Trắc nghiệm giới hạn, đạo hàm của hàm số mũ, lũy thừa, lôgarit
ất củ của hàm số mũ, logarit, lũy thừa Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất Viết phương trình tiếp tuyếnn của hàm số mũ, logarit, lũy thừa Chủ đề: Hàm số mũ, Hàm số lũy thừa, Hàm số Lôgarit 4 Dạng bài tập Lũy thừaa trong đề thi Đại học có giải chi tiết Dạng 1. Tìm điều kiện về cơ số của lũy thừa 1. Phương pháp giải
ải khác 0. + Khi xét lũy thừa với sốố mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số phải + Khi xét lũy thừa với sốố mũ không nguyên âm thì cơ số phải dương. 2. Ví dụ minh họa
ức (4x − 2)-3 có nghĩa: Ví dụ 1. Tìm x để biểu thức
Hiển thị đáp án Đáp án: A
Biểu thức (4x − 2)-3 có nghĩa
ức Ví dụ 2. Tìm x để biểu thức
có nghĩa:
A . -3 < x < 1 B. x > − 3 C. x < − 3 hoặc x > 1 D. x > 1 Hiển thị đáp án Đáp án: C
Biểu thức
có nghĩa khi và chỉ khi cơ số x2 + 2x – 3 > 0
x < − 3 hoặc x > 1
Ví dụ 3. Tìm để biểu thức
có nghĩa:
A. Luôn có nghĩa. B. Không tồn tại x C. x > 0 D. x > − 1 Hiển thị đáp án Đáp án: A
Biểu thức
có nghĩa khi và chỉ khi cơ số x2 + x + 1 > 0
Do đó, biểu thức đã cho luôn có nghĩa với mọi giá trị của x. Ví dụ 4. Biểu thứcc f(x) = (x3 − 3x + 2)-3 − 2√x xác định với
Hiển thị đáp án Đáp án: C
√x xác định f(x) = (x3 − 3x + 2)-3 − 2√x
Ví dụ 5. Biểu thức
xác định khi:
đ án Hiển thị đáp Đáp án: C
xác định khi và chỉ khi:
Dạng 2. Rút gọn các biểu ểu thứ thức chứa lũy thừa, căn thức. 1. Phương pháp giải
ng đẳng đẳ thức đáng Để rút gọn các biểu thức đại ssố, ta cần linh hoạt sử dụng: các hằng ũy thừ thừa và tính chất của căn thức. nhớ; các tính chất của lũy
Nhó
nhóm công thức 1 1. am . an = am+n
2. a
3. (am)n = am . n
2. Ví dụ minh họa
ểu th thức Ví dụ 1.Đơn giản biểu được:
ta
Hiển thị đáp án Đáp án: D
Ta có:
Ví dụ 2.Viết biểu thức
về dạng lũy thừa 2m ta đượcc m = ?.
Hiển thị đáp án Đáp án: A Ta có:
Do đó,
ương a và b. Biểu thức Ví dụ 3.Cho hai số thực dươ ữu ttỉ là: dạng lũy thừa với số mũũ hữu
được viết dưới
Hiển thị đáp án Đáp án: D Ta có:
Ví
thức
dụ
4.Cho
các
số
thực
dương
a
và
được kết quả là:
b.
Rút
gọn
biểu
Hiển thị đáp án Đáp án: A
Ví
dụ
5.Cho
các
thức A. -1 B. 1 C. 2 D. – 2 Hiển thị đáp án Đáp án: B
số
thực
ng dương
a
và
b.
Rút
gọn
được kếtt quả là:
biểu
Ví
dụ
6.Cho
x
>
0
và
y
>
0.Rút
thức
Hiển thị đáp án Đáp án: C
gọn
biểu
Dạng 3. So sánh các lũyy thừa 1. Phương pháp giải Để so sánh hai lũy thừaa ta sử dụng tính chất sau: + Tính chất 1
ũy thừ thừa khác cơ số: + Tính chất 2. So sánh lũy
Với a > b > 0 thì
+ Chú ý: 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1.So sánh hai số m và n nếu (√13)m > (√13)n A. m > n B. m = n C. m < n D. Không so sánh được. Hiển thị đáp án Đáp án: A Do √13 > 1 nên (√13)m > (√13)n <=> m > n .
Ví dụ 2.So sánh hai số m và n nếu A. Không so sánh được. B. m = n C. m > n D. m < n Hiển thị đáp án Đáp án: C
Do
nên 142m > 142n
Mà 14 > 1 nên 2m > 2n <=> m > n. Ví dụ 3.Nếu (√3 − √2)2m − 2 < √3 + √2 thì
Hiển thị đáp án Đáp án: C Ta có
Mà 0 < √3 −2 < 1 nên 2m − 2 > −1 <=>
úng về số thực a nếu Ví dụ 4.Kết luận nào đúng A. a > 2 B. a > 0 C. a > 1 D.1 < a < 2. Hiển thị đáp án Đáp án: A
Do
nên
Mà
và số mũ không nguyên nên từ (* ) suy ra:
a − 1 > 1 hay a > 2 .
úng về số thực a nếu (3a+ 9)− 3 > (3a+ 9)−2 Ví dụ 5.Kết luận nào đúng
Hiển thị đáp áp án Đáp án: D Ta có: (3a+ 9)− 3 > (3a+ 9)−2
<=> <=> (3a+ 9)3 < (3a+ 9)2 (*) Do 3 > 2 và số mũ nguyên âm nên (*) xảy ra khi:
thức lũy thừa Dạng 4. Tính giá trị biểuu thứ Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Cho 3x = 4 . Tính giá trị của biểu thức
Hiển thị đáp áp án Đáp án: C Ta có:
Ví
dụ
2. Biết
rằng ằng
2x =
5
.
Tính
giá
trị
của c
biểu
thức
Hiển thị đáp áp án Đáp án: D Ta có:
Ví dụ 3. Cho 2x = a; 3x = b. Hãy biểu diễn A = 24x + 6x + 9x theo a và b. A. A = a3b + ab+ b2 B. A = a2.b2 + ab + b2 C. A = ab3 + ab + a2 D. A = a3 + ab + b2 Hiển thị đáp án Đáp án: A Ta có: A = 24x + 6x + 9x A = (23 . 3)x + (2 . 3)x + (32)x = 23x . 3x + 2x . 3x
= a3b + ab + b2 Ví dụ 4. Cho (√2 + 1)x = 3. Hãy tính giá tr trị của biểu thức A = (√2 √2 − 1)2x + (3 + 2√2)x
Hiển thị đáp án Đáp án: D Ta có: (√2 + 1)(√2 − 1) = 1; (3 + 2√2) = (√2 + 1)2 Do đó
Ví dụ 5. Cho a = 2x; b = 5x. Hãy biểu diễn T = 20x + 50x theo a và b
Hiển thị đáp án Đáp án: A Ta có: T = (22 . 5)x + (52 . 2)x = 22x . 5x + 52x . 2x = a2b + ab2
= ab(a + b) 6 dạng bài tập p Logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết
biểu thức logaf(x) xác định Dạng 1. Tìm điều kiện để biể 1. Phương pháp giải
định thì cần : * Để biểu thứcc logaf(x) xác đị + Cơ số a > 0 và a ≠ 1 + f(x) > 0
ậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) có ∆ = b2 − 4ac. * Chú ý : Xét tam thức bậc • Nếu ∆ < 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a. • Nếu ∆ > 0 thì phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm x1 ; x2. + Trường hợp 1 : a > 0 thì f(x) > 0 khi x ∈ (− ∞; x1) ∪(x2; +∞) và f(x) < 0 khi x ∈ (x1; x2) + Trường hợp 2. a < 0 thì f(x) < 0 khi x ∈ (− ∞; x1) ∪(x2; +∞) và f(x) > 0 khi x ∈ (x1; x2) 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1. Với giá trị nào của x thì biểu thức log2(4x − 2) xác định ?
Hiển thị đáp án Đáp án: A Điều kiện để biểu thức log2(4x − 2) xác định là:
Ví dụ 2. Với giá trị nào của x thì biểu thức: f(x) = log7( x3 − 3x + 2 ) xác định?
Hiển thị đáp án Đáp án: D Biểu thức có nghĩa khi và chỉ khi:
Ví
dụ
3. Điều
thức
ki kiện
xác là
A. x < 1 hoặc x > 3 B. x > 3 C. – 1 < x < 1 D. x > 1 Hiển thị đáp án Đáp án: C Biểu thức có nghĩa khi và chỉ khi: (1 − x2 ).(x2 − 6x + 9) > 0 ⇔ ( 1 < x2 ) . (x − 3)2 > 0
định nh
của củ
biểu
⇔−1<x<1 Ví dụ 4. Biểu thức lg(x2 − 2mx + 4) có ngh nghĩa với mọi x ∈ R khi m = 2 B. −2 < m < 2 C. m > 2 hoặc m < − 2 D. m < 2 Hiển thị đáp án Đáp án: C Biểu thức lg(x2 − 2mx + 4) có ngh nghĩa với mọi số thực x khi và chỉ khi :
ọi x. x2 − 2mx + 4 > 0 với mọi
⇔−2<x<2 Ví dụ 5. Với giá trị nào của m thì biểu thức f(x) = 124 + 113log2(3x + m) xác định với mọi x ∈ (3; +∞) ? A. m > − 3 B. m > − 9 C. m < − 9 D. m < − 3 Hiển thị đáp án Đáp án: B
nh khi và chỉ khi 3x + m > 0 Biểu thức f(x) xác định
Để f(x) xác định với mọi x ∈ (3; +∞) thì
ột bi biểu thức chứa logarit Dạng 2 Tính giá trị của một 1. Phương pháp giải
biểu thức chứa logarit ta cần sử dụng ng các quy tắc t tính Để tính giá trị của mộtt biể logarit và đổi cơ số củaa logarit: * Các quy tắc tính logarit : Cho 3 số dương a , b và c với a ≠ 1 , ta có loga(bc)= logab + logac
Đặc biệt : với a, b > 0 ; a ≠ 1 thì
loga bα = α logab Đặc biệt:
* Đổi cơ số của lôgarit Cho 3 số dương a, b, c với a ≠ 1, c ≠ 1 ta có
•
hay logca. logab = logc b
• Đặc biệt:
với α ≠ 0 .
và
2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1. Cho a > 0, a ≠ 1 giá trị của biểu thức alog√a16 bằng bao nhiêu ? A. 16 B. 4 C. 32 D. 256 Hiển thị đáp án Đáp án: D Ta có: log√a16 = loga½16 = 2loga16 = loga162 = loga256 Do đó, alog√a16 = aloga256 = 256
thức A = log212 + 2log25 − log2 15 − log2 150 bằng: Ví dụ 2. Giá trị của biểuu thứ
Hiển thị đáp án Đáp án: A Ta có: A = log212 + 2log25 − log2 15 − log2 150 = log212 + log2 52 − log215 − log2 150
Ví dụ 3. Tính
bằng:
Hiển thị đáp án Đáp án: A Ta có:
ng a khác 1. Tính giá trị biểu thức A = a6loga352 có giá trị bằng Ví dụ 4. Cho số dương bao nhiêu? A. 25 B. 625 C. 5 D. 125 Hiển thị đáp án Đáp án: B Ta có:
Ví dụ 5. Tính giá trị biểu ểu thứ thức A. A = 3log37. B. A = log37. C. A = 2log37. D. A = 4log37.
.
Hiển thị đáp án Đáp án: A Ta có:
Dạng 3. Rút gọn biểu thức ức ch chứa logarit 1. Phương pháp giải
ức ch chứa logarit ta cần sử dụng các quy tắc ắc tính logarit và Muốn rút gọn các biểu thức ũy thừa đã học. đổi cơ số của logarit. Ngoài ra, ta còn ccần sử dụng các công thức lũy 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1. Cho log3x = 3log32 + log925 − log√33 . Khi đó giá trị củaa x bằng: bằ
Hiển thị đáp án Đáp án: A Ta có: log3x = 3log32 + log925 − log√33
Do đó,
Ví dụ 2. Cho
. Khi đó giá trị của củ x là :
Hiển thị đáp án Đáp án: A
Ví dụ 3. Rút gọn biểu thức: ức: A = (logb3a + 2logb2a + logba)(logab − logabb) − logba là: A. 0 B. 1 C. 3 Hiển thị đáp án
D. 2
Đáp án: B Ta có: A = (logb3a + 2logb2a + logba)(logab − logabb) − logba
= logba + 1 − logba = 1 Ví
dụ
4. Rút
gọn n
thức
áp án Hiển thị đáp Đáp án: C Ta có:
biêủ
Ví
dụ
5. Cho
x
>
0.
gọn A. A = logx 2012 ! B. A = logx1002! C. A = logx 2011! D. A = logx 2011 Hiển thị đáp án Đáp án: C Ta có:
= logx2 + logx3 + logx4 +...+ log2011 = logx(2.3.4...2011) = logx(2011) Dạng 4. Biểu diễn logarit này theo các logarit khác 1. Phương pháp giải
Rút
Để biểu diễn lôgarit này theo các biểu thức lôgarit đã cho ta cần:
ức lôgarit ccần tính theo cơ số của các biểu ểu thức th logarit đã + Đổi cơ số của biểu thức cho . ( chú ý: mối liên hệ giữaa các cơ số với nhau). + Sử dụng các quy tắcc tính logarit; đổi cơ số. 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1. Cho lg x= a và ln10 = b . Tính log10e x theo a và b?
Hiển thị đáp án Đáp án: A
log10e x
Ví dụ 2. Cho log315 = a. Tính A= log2515 theo a.
Hiển thị đáp áp án
Đáp án: C Ta có a = log315 nên a = log3 3 + log3 5 = 1+ log35 Suy ra, log35 = a − 1.
Ví dụ 3. Cho a = log32 và b = log35. Tính log10 60 theo a và b.
Hiển thị đáp áp án Đáp án: C Ta có log1060 = log1022.3.5 = 2log102 + log103 + log105 Suy ra, log35 = a − 1.
Ví dụ 4. Biết log275 = a; log8 7 = b; log23 = c thì log1235 tính theo a, b, c bằng:
áp án Hiển thị đáp Đáp án: A Ta có:
⇔log35 = 3a
⇔log27 = 3b Mà:
Ví dụ 5. Cho log23 = a; log35 = b; log72 = c. Hãy tính log140 63 theo a, b, c
Hiển thị đáp án Đáp án: A Ta có: log14063 = log140(32 . 7) = 2log1404 + log1407
Từ đề bài suy ra
log75 = log72 . log23 . log35 = abc
Vậy
Dạng 5. Biến đổi đẳng thức ức đã cho thành các đẳng thức chứaa logarit. 1. Phương pháp giải
c: (a + b)2; (a − b)2; + Từ đẳng thức đã cho, ta thêm bbớt để xuất hiện hằng đẳng thức: (a + b)3 hoặc (a − b)3 + Sau đó lấy loga 2 vế cơ số thích hợp – dựa vào các đáp án. * Chú ý. Các quy tắc tính logarit : Cho 3 số dương a , b và c với a ≠ 1, ta có loga(bc)= loga b + loga c
Đặc biệt : với a, b > 0; a ≠ 1 thì
logabα = αlogab Đặc biệt:
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Cho a > 0; b > 0 thỏa điều kiện a2 + b2 = 7ab .Khẳng định nào sau đây đúng:
Hiển thị đáp án Đáp án: D Theo giả thiết: a2 + b2 = 7ab ⇔ (a + b)2 = 9ab ( cộng 2ab vào 2 vế).
Lấy logarit cơ số 10 hai vếế ta được:
Ví dụ 2. Cho x; y là các số thực lớn hơn 1 thoả mãn x2 + 9y2 = 6xy.
Tính
Hiển thị đáp án Đáp án: B * Ta có x2 + 9y2 = 6xy ⇔ x2 − 6xy+ 9y2 = 0 ⇔ (x − 3y)2 = 0 ⇔ x = 3y. * Khi đó
Ví dụ 3. Cho a, b là các số thực dương khác 1, thoả mãn loga2b + logb2a = 1. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
Hiển thị đáp án Đáp án: B
n câu trả tr lời đúng. Ví dụ 4. Cho các số dương a, b thõa mãn 4a2 + 9b2 = 13ab. Chọn
Hiển thị đáp án Đáp án: B Ta có: 4a2 + 9b2 = 13ab ⇔ 4a2 + 12ab + 9b2 = 25ab ⇔ (2a + 3b)2 = 25ab
( vì a; b > 0 nên a + b > 0; ab > 0 ). Suy ra:
thực dương thoả mãn a2 + b2 = 14ab. Khẳng định nào Ví dụ 5. Cho a, b là các số th sau đây là sai ?
Hiển thị đáp án Đáp án: C Ta có a2 + b2 = 14ab ⇔ (a + b)2 = 16ab
vậy A đúng
Nên ta có
2log2(a + b) = log2(a + b)2 = log2(16ab) = 4 + log2a + log2b vậy B đúng
y C sai 4log4(a + b) = log4(a + b)2 = log4(16ab) = 4 + log4a + log4b vậy
vậy D đúng Dạng 6. So sánh hai lôgarit cùng ccơ số. 1. Phương pháp giải
ng a khác 1 và hai số dương b, c. Cho số dương • Khi a > 1 thì logab > logac ⇔ b > c.
• Khi 0 < a < 1 thì logab > logac ⇔ b < c.
ng các công th thức quy tắc tính logarit và đổi cơ số của c logarit. Ngoài ra, cần sử dụng 2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Trong các số 3log34; 3log2log32;
những số nào nhỏ hơn 1
Hiển thị đáp án Đáp án: C Ta so sánh các số với 1 + 3log34 = 4 > 1. + 32log32 = 3log322 = 4 > 1
Ví dụ 2. Trong các số sau, số nào lớn nhất?
Hiển thị đáp án Đáp án: A
Đưa về cùng 1 cơ số và so sánh: Ta thấy
Ví dụ 3. Trong các số sau, số nào nhỏ nhất ?
Hiển thị đáp án Đáp án: A Đưa về cùng 1 cơ số và so sánh: Ta thấy
Ví dụ 4. Cho hai số thực a; b với 1 < a < b. Khẳng định nào sau đây là đúng:
Hiển thị đáp án Đáp án: C
Ta xét các phương án: + A sai vì log20162017 > log20162016 = 1.
+ B sai vì
+ C đúng vì
với mọi x dương.
+ D sai vì log20172016 < log2017 2017 = 1. Ví dụ 5. Cho hai số thựcc a, b vvới 1 < a < b. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. logab < 1 < logba. B. 1 < logab < logba . C. logab < logba < 1. D. logba < 1 < logab Hiển thị đáp án Đáp án: D Từ giả thiết 1 < a < b nên ta có: loga1 < logaa < logab hay 0 < 1 < logab . Áp dụng công thức đổi cơ số thì 1 < loga
vì logba > 0 nên ta có logba < 1 < logab.
giả chi tiết 4 dạng bài tập Hàm số mũ, hàm số logarit trong đề thi Đại họcc có giải Dạng 1. Tìm điều kiện về cơ số của lũy thừa 1. Phương pháp giải
ải khác 0. + Khi xét lũy thừa với sốố mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số phải + Khi xét lũy thừa với sốố mũ không nguyên âm thì cơ số phải dương. 2. Ví dụ minh họa
ức (4x − 2)-3 có nghĩa: Ví dụ 1. Tìm x để biểu thức
Hiển thị đáp án Đáp án: A
Biểu thức (4x − 2)-3 có nghĩa
ức Ví dụ 2. Tìm x để biểu thức
có nghĩa:
A . -3 < x < 1 B. x > − 3 C. x < − 3 hoặc x > 1 D. x > 1 Hiển thị đáp án Đáp án: C
Biểu thức
có nghĩa khi và chỉ khi cơ số x2 + 2x – 3 > 0
x < − 3 hoặc x > 1
Ví dụ 3. Tìm để biểu thức
có nghĩa:
A. Luôn có nghĩa. B. Không tồn tại x C. x > 0 D. x > − 1 Hiển thị đáp án Đáp án: A
Biểu thức
có nghĩa khi và chỉ khi cơ số x2 + x + 1 > 0
Do đó, biểu thức đã cho luôn có nghĩa với mọi giá trị của x. Ví dụ 4. Biểu thứcc f(x) = (x3 − 3x + 2)-3 − 2√x xác định với
Hiển thị đáp án Đáp án: C f(x) = (x3 − 3x + 2)-3 − 2√x √x xác định
Ví dụ 5. Biểu thức
xác định khi:
đ án Hiển thị đáp Đáp án: C
xác định khi và chỉ khi:
Dạng 2. Rút gọn các biểu ểu thứ thức chứa lũy thừa, căn thức. 1. Phương pháp giải
ng đẳng đẳ thức đáng Để rút gọn các biểu thức đại ssố, ta cần linh hoạt sử dụng: các hằng ũy thừ thừa và tính chất của căn thức. nhớ; các tính chất của lũy nhóm công thức 1 1. am . an = am+n
Nhó
2. a
3. (am)n = am . n
2. Ví dụ minh họa
ểu th thức Ví dụ 1.Đơn giản biểu được:
ta
Hiển thị đáp án Đáp án: D
Ta có:
Ví dụ 2.Viết biểu thức
về dạng lũy thừa 2m ta đượcc m = ?.
Hiển thị đáp án Đáp án: A Ta có:
Do đó,
Ví dụ 3.Cho hai số thực dươ ương a và b. Biểu thức ữu ttỉ là: dạng lũy thừa với số mũũ hữu
Hiển thị đáp án Đáp án: D
được viết dưới
Ta có:
Ví
dụ
thức
4.Cho
các
số
thực
ng dương
a
và
b.
được kết quả là:
Hiển thị đáp án Đáp án: A
Rút
gọn
biểu
Ví
dụ
5.Cho
các
thức A. -1 B. 1 C. 2 D. – 2 Hiển thị đáp án Đáp án: B
số
thực
ng dương
a
và
b.
Rút
gọn
được kếtt quả là:
biểu
Ví
dụ
6.Cho
x
>
0
và
y
>
0.Rút
thức
Hiển thị đáp án Đáp án: C
gọn
biểu
Dạng 3. So sánh các lũyy thừa 1. Phương pháp giải Để so sánh hai lũy thừaa ta sử dụng tính chất sau: + Tính chất 1
ũy thừ thừa khác cơ số: + Tính chất 2. So sánh lũy
Với a > b > 0 thì
+ Chú ý: 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1.So sánh hai số m và n nếu (√13)m > (√13)n A. m > n B. m = n
C. m < n D. Không so sánh được. Hiển thị đáp án Đáp án: A Do √13 > 1 nên (√13)m > (√13)n <=> m > n .
Ví dụ 2.So sánh hai số m và n nếu A. Không so sánh được. B. m = n C. m > n D. m < n Hiển thị đáp án Đáp án: C
Do nên 142m > 142n
Mà 14 > 1 nên 2m > 2n <=> m > n. Ví dụ 3.Nếu (√3 − √2)2m − 2 < √3 + √2 thì
Hiển thị đáp án Đáp án: C Ta có
Mà 0 < √3 −2 < 1 nên 2m − 2 > −1 <=>
úng về số thực a nếu Ví dụ 4.Kết luận nào đúng A. a > 2 B. a > 0 C. a > 1 D.1 < a < 2. Hiển thị đáp án Đáp án: A
Do
nên
Mà
và số mũ không nguyên nên từ (* ) suy ra:
a − 1 > 1 hay a > 2 . Ví dụ 5.Kết luận nào đúng úng về số thực a nếu (3a+ 9)− 3 > (3a+ 9)−2
áp án Hiển thị đáp Đáp án: D Ta có: (3a+ 9)− 3 > (3a+ 9)−2
<=> <=> (3a+ 9)3 < (3a+ 9)2 (*) Do 3 > 2 và số mũ nguyên âm nên (*) xảy ra khi:
thức lũy thừa Dạng 4. Tính giá trị biểuu thứ Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Cho 3x = 4 . Tính giá trị của biểu thức
Hiển thị đáp áp án Đáp án: C Ta có:
Ví
dụ
2. Biết
rằng ằng
2x =
5
.
Tính
giá
trị
thức
Hiển thị đáp áp án Đáp án: D
của c
biểu
Ta có:
Ví dụ 3. Cho 2x = a; 3x = b. Hãy biểu diễn A = 24x + 6x + 9x theo a và b. A. A = a3b + ab+ b2 B. A = a2.b2 + ab + b2 C. A = ab3 + ab + a2 D. A = a3 + ab + b2 Hiển thị đáp án Đáp án: A Ta có: A = 24x + 6x + 9x A = (23 . 3)x + (2 . 3)x + (32)x = 23x . 3x + 2x . 3x = a3b + ab + b2
trị của biểu thức A = (√2 √2 − 1)2x + (3 + Ví dụ 4. Cho (√2 + 1)x = 3. Hãy tính giá tr 2√2)x
Hiển thị đáp án Đáp án: D Ta có: (√2 + 1)(√2 − 1) = 1; (3 + 2√2) = (√2 + 1)2
Do đó
Ví dụ 5. Cho a = 2x; b = 5x. Hãy biểu diễn T = 20x + 50x theo a và b
Hiển thị đáp án Đáp án: A Ta có: T = (22 . 5)x + (52 . 2)x = 22x . 5x + 52x . 2x = a2b + ab2 = ab(a + b) 2 dạng bài tập Hàm số lũyy thừ thừa trong đề thi Đại học có giải chi tiết
nh củ của hàm số Dạng 1. Tìm tập xác định 1. Phương pháp giải Cho hàm số lũy thừaa y = [f(x)]α : + Nếu α nguyên dương thì hàm số xác định với mọi x ∈ R. + Nếu α nguyên âm hoặc α = 0 thì hàm số xác định với mọi x ≠ 0. + Nếu α không nguyên thì hàm số xác định với mọi x > 0
2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1. Tìm tập xác định D của hàm số y = (x2 − 3x + 2)100 . A. D = [1; 2] B. D = [2; + ∞) ∪ (−∞; 1) C. D = R. D. D = (1; 2) Hiển thị đáp án Đáp án: C Hàm số với α nguyên dương, xác định với ∀x ∈ R . Do đó hàm số y = (x2 − 3x + 2)100 xác định với ∀x ∈ R . Ví dụ 2. Tìm tập xác định D của hàm số y = (x3 − 8)−100 . A. D = (2; +∞) B. D = R\ {2} C. D = (−∞; 2) D. D = (−2; +∞) ∪ (−∞; 2) Hiển thị đáp án Đáp án: B Hàm số y = xα với α nguyên âm, xác định với ∀x ≠ 0 . Hàm số y = (x3 − 8)−100 xác định x3 − 8 ≠ 0 ⇔ x ≠ 2. Ví dụ 3. Tìm tập xác định D của hàm số y = (x3 − 8)0 A. D = (2; +∞) B. D = R\{2} C. D = (−∞; 2) D. D = (−2; +∞) ∪ (−∞; 2) Hiển thị đáp án Đáp án: B Hàm số y = xα với α = 0 xác định với ∀x ≠ 0 . Hàm số y = (x3 − 8)0 xác định ⇔ x3 − 9 ≠ 0 ⇔ x3 ≠ 8 ⇔ x ≠ 2.
Ví dụ 4. Tìm tập xác định D ccủa hàm số A. D = R B. D = [4; +∞) ∪ (−∞; 2) C. D = (4; +∞) ∪ (−∞; 2)
D. D = [2;4]
Hiển thị đáp án Đáp án: C Hàm số y = xα với α không nguyên , có tập xác định là tập số thực dương. ươ
xác định x2 − 6x + 8 > 0
Hàm số
Do đó, tập xác định của hàm số đã cho là D = (4; +∞) ∪ (−∞; 2) Ví dụ 5. Tìm tập xác định D ccủa hàm số y = (x2 −6x + 8)√2 A. D = R B. D = [4; +∞) ∪ (−∞; 2) C. D = (4; +∞) ∪ (−∞; 2)
D. D = [2;4]
Hiển thị đáp án Đáp án: C Hàm số y = xα với α không nguyên , có tập xác định là tập số thực dương. ươ Hàm số y = (x2 −6x + 8)√2 xác định x2 − 6x + 8 > 0
Do đó, tập xác định của hàm số đã cho là D = (4; +∞) ∪ (−∞; 2) Dạng 2. Tính đạo hàm của hàm số lũy thừa 1. Phương pháp giải a. Hàm số lũy thừa y = xα có (α ∈ R) đạo hàm tại mọi điểm x > 0 và (xα)' = αxα − 1
trị dương và có đạo hàm trên J thì y = uα(x) cũng b. Nếu hàm số u = u(x) nhận giá tr có đạo hàm trên J và (uα(x))' = α . uα − 1(x) . u'(x) 2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Tính đạo hàm của hàm số
Hiển thị đáp án Đáp án: D Ta có:
Ví dụ 2. Tính đạo hàm của hàm số y= (x3 + 4x2 + 2√x ). ex
Hiển thị đáp án Đáp án: C Ta có:
Hay
Ví dụ 3. Tính đạo hàm của hàm số y = √(32 −2x + 1)
Hiển thị đáp án
Đáp án: D Ta có:
Ví dụ 4. Cho hàm số
. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
Hiển thị đáp án Đáp án: B Ta có:
Ví dụ 5. Cho hàm số
. Mệnh đề nào dưới đây đ là đúng?
Hiển thị đáp án Đáp án: B Ta có:
Tìm điều kiện xác định của ủa lũ lũy thừa hay nhất 1. Phương pháp giải
ải khác 0. + Khi xét lũy thừa với sốố mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số phải + Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên âm thì cơ số phải dương. 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1. Tìm x để biểu thức ức (4x − 2)−3 có nghĩa: Hiển thị đáp án Đáp án: A Biểu thức (4x − 2)−3 có nghĩĩa
ức Ví dụ 2. Tìm x để biểu thức
có nghĩa:
Hiển thị đáp án Đáp án: C Biểu thức
có nghĩaa khi và chỉ khi cơ số x2 + 2x − 3 > 0
ức Ví dụ 3. Tìm x để biểu thức
có nghĩa:
Hiển thị đáp án Đáp án: C Biểu thức
có nghĩa khi và chỉ khi cơ số:
x2 + x + 1 > 0 ( luôn đúng 0 vì
)
Do đó, biểu thức đã cho luôn có nghĩa với mọi giá trị của x. Ví dụ 4. Tìm biểu thức không có nghĩa trong các biểu thức sau: Hiển thị đáp án Đáp án: B
Ví dụ 5. Biểu thức (2a + 6)π có nghĩa với : A. a > − 3 B. ∀a ∈ R C. a < − 3 D. a < 3 Hiển thị đáp án Đáp án: A (2a + 6)π có nghĩa khi 2a+ 6 > 0 ⇔ a > −3 Ví dụ 6. Với giá trị nào của x thì biểu thức
có nghĩa
A. x > 4 B. x < −4 C. −4 < x < 4 D. ∀x ∈ R Hiển thị đáp án Đáp án: C Điều kiện xác định là 32 − 2x2 > 0 ⇔ x2 < 16 hay < 4 < x < 4. Ví dụ 7. Biểu thức f(x) = (x2 − 7x + 2)−3 − 2√x xác định với : A. ∀x ∈ (0; +∞)\{1;2}. B. ∀x ∈ [0; +∞).
C. ∀x ∈ [0; +∞)\{1;2} D. ∀x ∈ [0; +∞)\{1} Hiển thị đáp án Đáp án: C f(x) = (x2 − 7x + 2)−3 − 2√x xác định
Ví dụ 8. Biểu thức
xác định khi:
Hiển thị đáp án Đáp án: C f(x) = (x2 − 7x + 2)−3 − 2√x xác định
Ví dụ 9. Biểu thức
xác định khi:
Hiển thị đáp án Đáp án: B Dạng bài tập Rút gọn biểu thức chứa lũy thừa cực hay Dạng 1. Phương pháp giải Để rút gọn các biểu thức chứa căn thức, lũy thừa ta cần sử dụng linh hoạt các tính chất của lũy thừa, các hằng đẳng thức đáng nhớ... Cho hai số dương a; b và m,n ∈ R. Khi đó ta có công thức sau. Nhóm công thức 1
Nhóm công
2. Ví dụ minh họa
ức Ví dụ 1. Đơn giản biểu thức
ta được:
Hiển thị đáp án Đáp án: D Ta có:
Ví dụ 2. Tính giá trị
, ta được :
A. 12 B. 16 C. 18 D. 24 Hiển thị đáp án Đáp án: D Ta có:
Ví dụ 3. Cho a và b là các số dương. Rút gọn biểu thức quả là : A. ab2 B. a2b C. ab D. a2b2 Hiển thị đáp án Đáp án: C Ta có:
được kết
Ví dụ 4. Cho số thực dương a, b. Rút gọn biểu thức
A. a − b B. a+ b + ab C. 2a + 2b D. 2ab. Hiển thị đáp án Đáp án: B Ta có:
Ví dụ 5. Cho hai số thực ực dương a và b. Biểu thức ữu ttỉ là: dạng lũy thừa với số mũũ hữu
được viết dưới
Hiển thị đáp án Đáp án: D Ta có:
Ví
dụ
6. Cho
các
số
thực
ng dương
a
và
b.
Rút
gọn
biểu
được kết quả là:
thức
Hiển thị đáp án Đáp án: A
Ví
dụ
7. Cho
các
Hiển thị đáp án Đáp án: B
thực
ng dương
a
và
b.
được kết quả là:
thức A. −1 B. 1 C. 2
số
D. −2
Rút
gọn
biểu
Ví dụ 8. Cho các số thực dươ ương a và b. Rút gọn biểu thức:
A. 0 B. −1 C. 1 Hiển thị đáp án Đáp án: A
D. −2
thức Ví dụ 9. Đơn giản biểuu thứ b)ta được
(a;b > 0; a ≠
Hiển thị đáp án Đáp án: A Ta có:
Ví
thức
dụ
10. Cho
a
>
0;
b
>
0
là:
.Bi .Biểu
thứcc
thu
gọn
của c
biểu
Hiển thị đáp án Đáp án: B Ta có:
Ví
dụ
thức
11. Cho
x
>
0;
y
>
0
.Rút
là:
Hiển thị đáp án Đáp án: C Ta có:
gọn
biểu
Ví dụ 12. Cho các số thực ực dương phân biệt a và b. Biểu thứcc thu gọn g của biểu
thức biểu thức liên hệ giữa m và n là:
có dạng
A. 2m − n= −3. B. m + n= −2. C. m − n = 0. D. m + 3n = −1 Hiển thị đáp án Đáp án: A Ta có:
Do đó m = −1; n = 1.
. Khi đó
Ví
dụ
13. Biểu
thu
gọn n
(a
thức
dạng
th thức
>
của củ
0,
Khi đó biểu thức liên hệ giữa m và n là:
A. m + 3n = 1. B. m + n = −2. C. m − n = 0 D. 2m − n= 5 Hiển thị đáp án Đáp án: D Ta có:
Do đó m = 2; n = −1.
a
≠
biểu
1),
có
thức Ví dụ 14. Đơn giản biểuu thứ A. A = a+ b B. A = a − b
(a;b > 0) ta được:
C. A = a + b + 2 D. A = a − b + 2
Hiển thị đáp án Đáp án: A Ta có:
Ví dụ 15. Đơn giản biểu thứ ức
ta được:
A. A = a2 + b B.A = a2 + a − b C. A = a2 − a − b D. A = −(a + b) Hiển thị đáp án Đáp án: C Ta có:
lũy thừa cực hay Dạng bài tập về so sánh các lũ 1. Phương pháp giải
ụng tính ch chất sau: Để so sánh hai số ta sử dụng + Tính chất 1
ũy thừ thừa khác cơ số: + Tính chất 2. So sánh lũy Với a > b > 0 thì
+ Chú ý:
2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1. So sánh hai số m và n nếu (√13)m > (√13)n A. m > n B. m = n
C. m < n D. Không so sánh được. Hiển thị đáp án Đáp án: A Do √13 > 1 nên (√13)m > (√13)n ⇔ m > n .
Ví dụ 2. So sánh hai số m và n nếu
c. B. m = n A. Không so sánh được. C. m > n D. m < n Hiển thị đáp án Đáp án: C
Do nên 142m > 142n Mà 14 > 1 nên 2m > 2n ⇔ m > n. Ví dụ 3. Nếu (2√3 − 1)a + 2 < 2√3 − 1 thì A. a < −1 B. a < 1 C. a > −1 D. a ≥ −1 . Hiển thị đáp án Đáp án: A Do 2√3 − 1 > 1 nên (2√3 − 1)a + 2 < 2√3 − 1 ⇔ a + 2 < 1 ⇔ a < −1 Ví dụ 4. Nếu (√3 − √2)2m − 2 < √3 + √2 thì
Hiển thị đáp án Đáp án: C Ta có:
Mà 0 < √3 − √2 < 1 nên 2m − 2 > −1
Ví dụ 5. Nếu
thì
Hiển thị đáp án Đáp án: D + Vì
+ Và
√3 + √2 thì Ví dụ 6. Nếu (√ 3 − √2)x > √ A. ∀x ∈ R . B. x < 1 C. x > −1 D. x < −1 Hiển thị đáp án Đáp án: D + Vì (√ 3 − √2).((√ 3 + √2)) = 1
nên (√ 3 − √2)x > √3 + √2
Mặt khác 0 < √3 − √22 < 1 => x < −1.
úng về số thực a nếu Ví dụ 7. Kết luận nào đúng A. a > 2 B. a > 0
C. a > 1 D.1 < a < 2.
Hiển thị đáp án Đáp án: A
Do
nên
Mà và số mũ không nguyên nên từ (*) suy ra:
a − 1 > 1 hay a > 2 Ví dụ 8. Kết luận nào đúng úng về số thực a nếu (3a + 9)−3 > (3a + 9)−2
Hiển thị đáp án Đáp án: D Ta có: (3a + 9)−3 > (3a + 9)−2
Do 3 > 2 và số mũ nguyên âm nên (*) xảy ra khi:
úng về số thực a nếu Ví dụ 9. Kết luận nào đúng A. 0 < a < 1 B. a > 0 C. a > 1 D. a < 0 Hiển thị đáp án Đáp án: C Theo giả thiết ta có:
Do 0, 6 < 3 và có số mũũ không nguyên nên a0,6 < a3 khi a > 1. Ví dụ 10. Kết luận nào đúng về số thực a nếu A. a < 0 B. a > 0
C.0 < a < 1 D. a > 1
Hiển thị đáp án Đáp án: A Ta có:
Do và số mũ không nguyên nên từ (*) suy ra 1 − a > 1 ⇔ a < 0 .
Ví dụ 11. Kết luận nào đúng về số thực a nếu A. a > 1 B. 0 < a < 1. C. 1 < a < 2 . D. a < 1 Hiển thị đáp án Đáp án: C
Do
và có số mũ không nguyên nên ⇔ 0 < 2 − a < 1 ⇔ −2 < −a < −1 ⇔ 1 < a < 2
Ví dụ 12. Cho là đúng
Khẳng định nào sau đây
và
A. a; b > 1 B. 0 < a < 2; b > 1 C. 0 < a < 2; b < 1 D. a > 2; b > 1 Hiển thị đáp án Đáp án: D
Ta có:
nên Mặt khác
Do đó a > 2; b > 1
Ví dụ 13. Cho định nào sau đây là đúng
và
A. 2 < a < b B. 2 < b < a < 3 C. b > a > 3 D. a > b > 3 Hiển thị đáp án Đáp án: A
Khẳng
Ta có:
Suy ra: 2 < a < 3 Mặt khác
Trong các phương án chỉ có phương án A đúng.
ủa bi biểu thức lũy thừa cực hay Dạng bài tập Tính giá trị của 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1. Cho 2x = 3 .Tính giá trị biểu thức A = 2. 4x + 3.2−x + 1 A. A= 10 B. A=20 C. A =16 D.A= 18 Hiển thị đáp án Đáp án: B Ta có:
Ví dụ 2. Cho 3x = 4 . Tính giá trị của biểu thức
Hiển thị đáp án Đáp án: C Ta có:
Ví
dụ
3. Biết
rằng ằng
2x =
5
.
Tính
giá
thức
Hiển thị đáp án Đáp án: D Ta có:
trị
của c
biểu
Ví dụ 4. Cho 2x = a; 3x = b. Hãy biểu diễn A = 24x + 6x + 9x theo a và b. A. A = a3b + ab+ b2 B.A = a2.b2 + ab+ b2 C.A = ab3 + ab + a2 D.A = a3 + ab + b2 Hiển thị đáp án Đáp án: A Ta có: A = 24x + 6x + 9x
Ví dụ 5. Cho (√2 + 1)x. Hãy tính giá trị của biểu thức (√2 − 1)2x + (3 + 2√2)x
Hiển thị đáp án Đáp án: C Ta có: (√2 + 1)(√2 − 1) = 1; (3 + 2√2) = (√2 + 1)2 Do đó
Ví dụ 6. Cho 5x = 4. Hãy tính giá trị của biểu thức
Hiển thị đáp án Đáp án: B Ta có:
Do đó
Ví dụ 7. Cho a= 2x; b= 5x. Hãy biểu diễn T = 20x + 50x theo a và b
Hiển thị đáp án Đáp án: A Ta có:
Ví dụ 8. Biết 4x + 4−x = 34. Tính giá trị của biểu thức P = 2x + 2−x A. 6 B. √27. C. √32. D. 36 Hiển thị đáp án Đáp án: A Do 2x + 2−x > 0, ∀x ∈ R
Suy ra:
Dạng 1: Lũy thừa A. Phương pháp giảii & Ví d dụ • Cho số thực b và số nguyên dương n (n ≥ 2). Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu an = b. • Chú ý:
Số mũ α
Cơ số a
Lũy
α = n ∈ N*
a∈R
aα =
α=0
a≠0
aα =
α = -n, (n ∈ N*)
a≠0
α = m/n,(m ∈ Z, n ∈ N*)
a>0
α = limrn, (rn ∈ Q,n ∈ N*)
a>0
ũy th thừa 2. Một số tính chất của lũy thức được xét đều có nghĩa: • Giả thuyết rằng mỗii biểu th
• Nếu a > 1 thì aα > aβ ⇔ α > β; Nếu 0 < a < 1 thì aα > aβ ⇔ α < β. • Với mọii 0 > a < b, ta có: am < bm ⇔ m > 0; am > bm ⇔ m < 0 • Chú ý: ◦ Các tính chất trên đđúng trong trường hợp số mũ nguyên hoặc không nguyên. ◦ Khi xét lũy thừa với ới số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải ph khác 0.
◦ Khi xét lũy thừa với ới số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương. ăn b bậc n 3. Một số tính chất của căn • Với a,b ∈ R;n ∈ N*, ta có:
aα =
• Với a,b ∈ R, ta có:
Ví dụ minh họa Bài 1: Tính giá trị của biểu ểu th thức
Hướng dẫn:
Bài 2: Biết 4x + 4-x = 23 tính giá trị của biểu thức P = 2x + 2-x : Hướng dẫn:
Bài 3: Cho các số thực dương a và b. Thu gọn biểu thức
Hướng dẫn:
B. Bài tập vận dụng Bài 1: Cho
khi đó giá trị của biểu thức f(1,3) bằng ằng bao nhiêu?
Bài 1: Cho
ằng bao nhiêu? khi đó giá trị của biểu thức f(1,3) bằng
Hiển thị đáp án Vì x = 1, 3 > 0 nên ta có:
ểu th thức sau: Bài 2: Tính giá trị của biểu
Hiển thị đáp án
ương. Rút gọn biểu thức Bài 3: Cho a,b là các số dươ
Hiển thị đáp án
Bài 4: Cho các số thực dương a và b. Rút gọn biểu thức
Hiển thị đáp án
Bài 5: Cho a > 0 , b > 0. Thu gọn biểu thức
Hiển thị đáp án
Bài 6: Rút gọn biểu thức
Hiển thị đáp án
Bài 7: Cho các số thực dương a và b. Biểu thức thu gọn của biểu u thức
Hiển thị đáp án
ương phân biệt a và b. Biểu thức thu gọn ọn của củ biểu thức. Bài 8: Cho các số thực dươ Tìm m và n
th đáp án Hiển thị
Trắc nghiệm lũy thừa Bài 1: Giá trị của biểu thức A = (a+1)-1 + (b+1)-1 với a = (2+√3)-1 và b = (2-√3)-1 A. 3
B. 2
C. 1
D. 4
Hiển thị đáp án Đáp án : C Giải thích :
(a,b > 0) về dạng lũy thừa (a/b)m ta được m=?.
Bài 2: Viết biểu thức A. 2/15
B. 4/15
Hiển thị đáp án
C. 2/5
D. (-2)/15
Đáp án : D Giải thích :
Bài 3: Viết biểu thức
ủa a là. (a > 0) về dạng lũy thừa của
Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích :
Bài 4: Viết biểu thức A. -13/6
B. 13/6
về dạng lũy thừa 2m ta được m=?.
C. 5/6
D. -5/6
Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích :
Bài 5: Cho x > 0; y > 0. Viết biểu thức thức A. -11/6
ạng yn. Ta có m-n=? về dạng B. 11/6
C. 8/5
D. -8/5
ạng xm và biểu về dạng
Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích :
Bài 6: Đơn giản biểu thức A. -9a2 |b|
B. 9a2 |b|
ta được: C. 9a2 b
D. 3a2 |b|
Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích :
Bài 7: Cho A. 0,027
Khi đó f(2,7) bằng: B. 0,27
Hiển thị đáp án Đáp án : C Giải thích :
C. 2,7
D. 27
ương. Biểu thức Bài 8: Cho b là số thực dươ với số mũ hữu tỉ là: A. – 2
B. – 1
C. 2
dạ lũy thừa được viết dưới dạng
D. 1
Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích :
Bài 9: Cho hai số thực dương a và b. Biểu thức lũy thừa với số mũ hữu tỉ là:
vi dưới dạng được viết
Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích :
Bài 10: Cho các số thực dươ ương a và b. Rút gọn biểu thức P được kết ết quả qu là:
B. a - b2
A. a - b
C. b - a
D. a3 - b3
Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích :
Bài 11: Rút gọn biểu thức ức sau ta được:
A. a+b
B. √a-√b
C. √a+√b
D. a-b
Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích : Ta có
Bài 12: Cho các số thực dươ ương phân biệt a và b. Biểu thức thu gọn ọn của c biểu thức P là:
Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích :
Bài 13: Cho số thực dương a. Biểu thức thu gọn của biểu thức P là:
A. a
B. a+1
C. 2a
D. 1
Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích :
Bài 14: Cho các số thực dươ ương a và b. Biểu thức thu gọn của biểu ểu thức thứ P là:
A. -2
B. -1
C. 1
D. 0
Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích : Ta có
Bài 15: Biểu thức thu gọn ọn ccủa biểu thức P có dạng liên hệ giữa m và n là:
. Khi đó biểu thức
A. m+3n=-1
B. m+n=-2
C. m-n=0
D. 2m-n=5
Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích :
Bài 16: Kết luận nào đúng úng về số thực a nếu (2a+1)-3 > (2a+1)-1
Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích : Do -3 < -1 và số mũ nguyên âm nên (2a+1)-3 > (2a+1)-1 khi
Bài 17: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A. (2-√2)3 < (2-√2)4
B. (√11-√2)6 > (√11-√2)7
C. (4-√2)3 < (4-√2)4
D. (√3-√2)4 < (√3-√2)5
Hiển thị đáp án Đáp án : C Bài 18: Câu 8. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. 0,01-√2 > 10-√2
B. 0,01-√2 < 10-√2
C. 0,01-√2 = 10-√2
D. a0=1, ∀ a ≠ 0
Hiển thị đáp án Đáp án : B Bài 19: Nếu (2√3-1)a+2 < 2√3-1 thì A. a < -1
B. a < 1
C. a > -1
D. a ≥ -1
Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích : Vì 2√3-1 > 1 nên a+2 < 1 ⇔ a < -1 Bài 20: Nếu (√3-√2)2m-2 < √3+√2 A. m > 3/2
B. m < 1/2
C. m > 1/2
Hiển thị đáp án Đáp án : C Giải thích : Do √3+√2=(√3+√2)-1 Vì 0 < √3-√2 < 1 nên 2m-2 > -1 ⇔ m > 1/2
D. m ≠ 3/2
Dạng 2: Lôgarit 1. Định nghĩa: Cho hai số dương a,b với a ≠ 1. Số α thỏa mãn đẳng thức aα = b được gọi là lôgarit cơ số a của b và kí hiệu là logab . Ta viết: α = logab ⇔ aα = b. 2. Các tính chất: Cho a, b > 0, a ≠ 1, ta có: • logaa = 1, loga1 = 0 • alogab = b, loga(aα) = α 3. Lôgarit của một tích: Cho 3 số dương a, b1, b2 với a ≠ 1, ta có • loga(b1.b2) = logab1 + logab2 4. Lôgarit của một thương: Cho 3 số dương a,b1, b2 với a ≠ 1, ta có • • Đặc biệt : với a, b > 0, a ≠ 1 ⇒ 5. Lôgarit của lũy thừa: Cho a,b > 0, a ≠ 1, với mọi α, ta có • logabα = αlogab • Đặc biệt: 6. Công thức đổi cơ số: Cho 3 số dương a, b, c với a ≠ 1, c ≠ 1, ta có
• • Đặc biệt :
Lôgarit thập phân và Lôgarit tự nhiên ♦ Lôgarit thập phân là lôgarit cơ số 10. Viết : log10b = logb = lgb
♦ Lôgarit tự nhiên là lôgarit cơ số e. Viết : logeb = lnb Ví dụ minh họa Bài 1: Rút gọn biểu thức B
Hướng dẫn:
Bài 2: Tính giá trị của biểu thức P (với 0 < a ≠ 1; 0 < b ≠ 1).
Hướng dẫn:
Bài 3: Tính log2415 theo a, b , biết log25 = a, log53 = b. Hướng dẫn:
B. Bài tập vận dụng Bài 1: Cho các số dương ng a, b, c, d. Tính giá trị của biểu thức
Bài 1: Cho các số dương ng a, b, c, d. Tính giá trị của biểu thức
Hiển thị đáp án
Bài 2: Cho a,b > 0 và a, b ≠ 1, biểu thức bao nhiêu?
có giá trị bằng
Hiển thị đáp án
Bài 3: Cho số thực x thỏa ỏa mãn: các số thực dương). Hãy biểểu diễn x theo a, b, c. Hiển thị đáp án
(a, b, c là
Bài 4: Biết logab=2, logac = -3. Tính giá trị của biểu thức Hiển thị đáp án
Bài
5: Cho
a,
mãn Tính giá trị biểu thức Hiển thị đáp án Ta có
b
là
hai
số
thực
ng dương
khác
1
và
thỏa
Bài 6: Tính log3624, biết log1227 = a Hiển thị đáp án
Bài 7: Tính log2524 theo a, b, biết log615 = a, log1218 = b Hiển thị đáp án Ta có
Ta có
Từ giả thiết suy ra:
Trắc nghiệm Lôgarit Bài 1: Giá trị của biểu thức ức A = (a+1)-1 + (b+1)-1 với a = (2+√3)-1 và b = (2-√3)-1 A. 3
B. 2
Hiển thị đáp án
C. 1
D. 4
Đáp án : C Giải thích :
(a,b > 0) về dạng lũy thừa (a/b)m ta được m=?.
Bài 2: Viết biểu thức A. 2/15
B. 4/15
C. 2/5
D. (-2)/15
Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích :
Bài 3: Viết biểu thức
(a > 0) về dạng lũy thừa của ủa a là.
Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích :
về dạng lũy thừa 2m ta được m=?.
Bài 4: Viết biểu thức A. -13/6
B. 13/6
C. 5/6
D. -5/6
Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích :
Bài 5: Cho x > 0; y > 0. Viết biểu thức
ạng yn. Ta có m-n=? về dạng
thức A. -11/6
B. 11/6
C. 8/5
D. -8/5
Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích :
Bài 6: Đơn giản biểu thức A. -9a2 |b|
B. 9a2 |b|
Hiển thị đáp án Đáp án : B
ta được: C. 9a2 b
D. 3a2 |b|
ạng xm và biểu về dạng
Giải thích :
Bài 7: Cho
Khi đó f(2,7) bằng:
A. 0,027
B. 0,27
C. 2,7
D. 27
Hiển thị đáp án Đáp án : C Giải thích :
Bài 8: Cho b là số thực dươ ương. Biểu thức với số mũ hữu tỉ là: A. – 2
B. – 1
Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích :
C. 2
D. 1
dạ lũy thừa được viết dưới dạng
Bài 9: Cho hai số thực dương a và b. Biểu thức lũy thừa với số mũ hữu tỉ là:
vi dưới dạng được viết
Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích :
Bài 10: Cho các số thực dươ ương a và b. Rút gọn biểu thức P được kết ết quả qu là:
A. a - b
B. a - b2
C. b - a
D. a3 - b3
Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích :
Bài 11: Rút gọn biểu thức ức sau ta được:
A. a+b
B. √a-√b
C. √a+√b
D. a-b
Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích : Ta có
Bài 12: Cho các số thực dươ ương phân biệt a và b. Biểu thức thu gọn ọn của c biểu thức P là:
Hiển thị đáp án
Đáp án : A Giải thích :
Bài 13: Cho số thực dương a. Biểu thức thu gọn của biểu thức P là:
A. a
B. a+1
C. 2a
D. 1
Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích :
Bài 14: Cho các số thực dươ ương a và b. Biểu thức thu gọn của biểu ểu thức thứ P là:
A. -2
B. -1
Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích : Ta có
C. 1
D. 0
ọn ccủa biểu thức P có dạng Bài 15: Biểu thức thu gọn liên hệ giữa m và n là:
A. m+3n=-1
B. m+n=-2
C. m-n=0
D. 2m-n=5
Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích :
Bài 16: Kết luận nào đúng úng về số thực a nếu (2a+1)-3 > (2a+1)-1
. Khi đó biểu thức
Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích : Do -3 < -1 và số mũ nguyên âm nên (2a+1)-3 > (2a+1)-1 khi
khẳng định nào đúng? Bài 17: Trong các khẳng định sau, kh A. (2-√2)3 < (2-√2)4
B. (√11-√2)6 > (√11-√2)7
C. (4-√2)3 < (4-√2)4
D. (√3-√2)4 < (√3-√2)5
Hiển thị đáp án Đáp án : C Bài 18: Câu 8. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. 0,01-√2 > 10-√2
B. 0,01-√2 < 10-√2
C. 0,01-√2 = 10-√2
D. a0=1, ∀ a ≠ 0
Hiển thị đáp án Đáp án : B Bài 19: Nếu (2√3-1)a+2 < 2√ √3-1 thì A. a < -1
B. a < 1
Hiển thị đáp án Đáp án : A
C. a > -1
D. a ≥ -1
Giải thích : Vì 2√3-1 > 1 nên a+2 < 1 ⇔ a < -1 Bài 20: Nếu (√3-√2)2m-2 < √3+√2 A. m > 3/2
B. m < 1/2
C. m > 1/2
D. m ≠ 3/2
Hiển thị đáp án Đáp án : C Giải thích : Do √3+√2=(√3+√2)-1 Vì 0 < √3-√2 < 1 nên 2m-2 > -1 ⇔ m > 1/2 Tìm điều kiện để biểu thức logarit xác định hay nhất 1. Phương pháp giải * Để biểu thức logaf(x) xác định thì cần : + Cơ số a > 0 và a ≠ 1 + f(x) > 0 * Chú ý : Xét tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) có ∆ = b2 − 4ac. • Nếu ∆ < 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a. • Nếu ∆ > 0 thì phương trình f(x)= 0 có hai nghiệm x1 ; x2. + Trường hợp 1 : a > 0 thì f(x) > 0 khi x ∈ (−∞; x1) ∪ (x2; +∞) và f(x) < 0 khi x ∈ (x1; x2) + Trường hợp 2. a < 0 thì f(x) < 0 khi x ∈ (−∞; x1) ∪ (x2; +∞) và f(x)> 0 khi x ∈ (x1; x2) 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1. Với giá trị nào của x thì biểu thức log2(4x − 2) xác định ?
Hiển thị đáp án Đáp án: A Điều kiện để biểu thức log2(4x − 2) xác định là:
của biểu thức Ví dụ 2. Tìm tập xác định củ A. D = (2; +∞) B. D = [0; +∞) C. D = [0; +∞)\{2} D. (0; +∞)\{2} Hiển thị đáp án Đáp án: C Biểu thức đã cho xác định
Vậy tập xác định của biểu ểu thứ thức là D = [0; +∞)\{2} .
đị Ví dụ 3. Với giá trị nào của x thì biểu thức C = ln (x2 − 5x +6) xác định? A. x ∈ (−∞; 2)∪(3; +∞) B. x ∈ [2; 3]. C. x ∈ R\(2; 3) D. x ∈ R\{2;3} Hiển thị đáp án Đáp án: A Điều kiện xác định: x2 − 5x + 6 > 0
⇔ x ∈ (−∞; 2)∪(3; +∞) Ví dụ 4. Với giá trị nào của x thì biểu thức: f(x) = log7 ( x3 − 3x + 2 ) xác định?
Hiển thị đáp án Đáp án: D Biểu thức có nghĩa khi và chỉ khi:
Ví dụ 5. Điều kiện xác định ccủa biểu thức
là
A. x < 1 hoặc x > 3 B. x > 3 C. −1 < x < 1 D. x > 1 Hiển thị đáp án Đáp án: C Biểu thức có nghĩa khi và chỉ khi: (1 − x2).(x2 − 6x + 9) > 0 ⇔ (1 − x2).(x − 3)2 > 0
đị với mọi x Ví dụ 6. Với giá trị nào của m thì biểu thức f(x) = log√5(x − m) xác định ∈ (−3; +∞)? A. m > −3 B. m < −3 C. m ≤ −3. D. m ≥ −3. Hiển thị đáp án Đáp án: C
nh khi và chỉ khi: x − m > 0 ⇔ x > m. Biểu thức f(x) xác định Để f(x) xác định với mọi x ∈ (−3; +∞) thì m ≤ −3
nghĩa với mọi x ∈ R khi Ví dụ 7. Biểu thức lg(x2 − 2mx + 4) có ngh
Hiển thị đáp án Đáp án: B Biểu thức lg(x2 − 2mx + 4) có ngh nghĩa với mọi số thực x khi và chỉ khi : x2 − 2mx+ 4 > 0 với mọi x.
Ví dụ 8. Biểu thức A= log2 (ax2 − 4x + 1) có nghĩa với mọi x ∈ R khi A. 0 < a < 4 B. a > 0 C. a > 4 D. a ∈∅ . Hiển thị đáp án Đáp án: A
nghĩa với mọi x ∈ R ⇔ ax2 − 4x + 1 > 0, ∀x ∈ Biểu thức A= log2(ax2 − 4x + 1) có ngh R.
Ví dụ 9. Với giá trị nào của m thì biểu thức f(x) =124 + 113log2(3x + m) xác định với mọi x ∈ (3; +∞)?
A. m > −3 B. m > −9 C. m < −9 D. m < −3 Hiển thị đáp án Đáp án: A
nh khi và chỉ khi Biểu thức f(x) xác định
Để f(x) xác định với mọi x ∈ (3; +∞) thì
ủa biểu thức logarit cực hay Dạng bài tập Tính giá trị của 1. Phương pháp giải
ột biể biểu thức chứa logarit ta cần sử dụng ng các quy tắc t tính * Để tính giá trị của một logarit và đổi cơ số củaa logarit. * Các quy tắc tính logarit : Cho 3 số dương a , b và c với a ≠ 1 , ta có loga(bc) = logab + logac
Đặc biệt : với a, b > 0; a ≠ 1 thì logabα = αlogab
Đặc biệt: * Đổi cơ số của lôgarit Cho 3 số dương a, b, c với a ≠ 1,c ≠ 1 ta có
•
hay logca. logab = logc b
• Đặc biệt:
và
với α ≠ 0.
2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1. Cho a > 0,a ≠ 1 giá trị của biểu thức alog√a16 bằng bao nhiêu ? A. 16 B. 4 C. 32 D. 256 Hiển thị đáp án Đáp án: D Ta có:
Do đó
Ví dụ 2. Giá trị của biểuu thứ thức A = log212 + 2log25 − log215 − log2150 bằng:
Hiển thị đáp án Đáp án: B Ta có: A = log212 + 2log25 − log215 − log2150 = log212 + log252 − log215 − log2150
Ví dụ 3. Cho a > 0, tính
bằng:
Hiển thị đáp án Đáp án: A Ta có:
Ví dụ 4. Cho số dương ng a khác 1. Tính giá trị biểu thức A = a6loga352 có giá trị bằng bao nhiêu? A. 25 B. 625 C. 5 D. 125 Hiển thị đáp án Đáp án: B Ta có:
Ví dụ 5. Tính giá trị biểu ểu thứ thức A. A=3log37. B. A = log37. C. A = 2log37. D. A = 4log37. Hiển thị đáp án
.
Đáp án: A Ta có:
Ví dụ 6. Biểu thức
ằng: có giá trị bằng:
A. −1 B. −2 C. 1 D. log23. Hiển thị đáp án Đáp án: A Ta có:
Ví dụ 7. Cho số thựcc a > 0 và a khác 1; log√a(cot2x . tanx) ? A. 1 B. −1 C. 0 Hiển thị đáp án Đáp án: C Ta có:
D. 2
. Tính loga(tan3x.cotx) +
u thứ thức chứa logarit cực hay Dạng bài tập Rút gọn biểu 1. Phương pháp giải
ức ch chứa logarit ta cần sử dụng các quy tắc ắc tính logarit và Muốn rút gọn các biểu thức ũy thừa th đã học. đổi cơ số của logarit. Ngoài ra, ta còn ccần sử dụng các công thức lũy 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1. Rút gọn P = 3log94 + log35 A. P= 80 B. P= 9 C. P= 10 D. 27 Hiển thị đáp án Đáp án: C Ta có:
Do đó
Ví dụ 2. Cho a > 0 và a khác 1. Rút gọn P = loga tan60 + logacot60 + log√aa2 A. P= 1 B. P= 2 Hiển thị đáp án Đáp án: C
C. P= 4 D. P= 0
Ta có:
Ví
dụ
3. Cho
số
a>
0
vvàà
a
khác
1.
Rút
gọn
biểu
thức
Hiển thị đáp án Đáp án: D Ta có:
Ví dụ 4. Cho a, b > 0 và a,b ≠ 1, biểu thức P = log√ab3.logba4 có giá trị bằng bao nhiêu? A. 6 B.24 C. 12 D.18 Hiển thị đáp án Đáp án: B Ta có:
biểu thức A = 36log65 + 101 − log2 − 3log936 là Ví dụ 5. Kết quả rút gọnn biể A. 42. B. 24. C.12. D.20 Hiển thị đáp án Đáp án: B Ta có:
Ví dụ 6. Cho a > 0,a ≠ 1 biểểu thức trị bằng A. 4lna +6loga4. B. 4lna
C. 0 D.4logae
Hiển thị đáp án Đáp án: C Ta có:
Ví dụ 7. Cho log3x = 3log32 + log925 - log√33. Khi đó giá trị củaa x bằng: bằ
có giá
Hiển thị đáp án Đáp án: C Ta có:
Do đó,
Ví dụ 8. Nếu
(a > 0, a ≠ 1) thì x bằng:
Hiển thị đáp án Đáp án: C Ta có:
Ví
dụ
9. Rút
gọn
. A. 0 B. 1 C. 3 Hiển thị đáp án
bi biểu là:
D. 2
thức:
Đáp án: B Ta có:
Ví dụ 10. Rút gọn biểu ểu thứ thức: là:
Hiển thị đáp án Đáp án: C Ta có:
Ví dụ 11. Kết quả rút ggọn của biểu thức .
là:
Hiển thị đáp án Đáp án: D Ta có: .
.
n logarit này theo logarit khác cực hay Dạng bài tập biểu diễn 1. Phương pháp giải
Để biểu diễn lôgarit này theo các biểu thức lôgarit đã cho ta cần:
ức lôgarit ccần tính theo cơ số của các biểu ểu thức th logarit đã + Đổi cơ số của biểu thức cho . (chú ý: mối liên hệ giữaa các cơ số với nhau). + Sử dụng các quy tắcc tính logarit; đổi cơ số. 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1. Cho log25 = a; log35 = b. Khi đó log65 tính theo a và b là
ể thị đáp án Hiển Đáp án: B
Ta có: log2 5 = a và log3 5 = b nên
Ví dụ 2. Cho lg3= a ; lg2= b. Khi đó giá trị của log12530 đượcc tính theo a là:
Hiển thị đáp án Đáp án: C Ta có:
Ví dụ 3. Đặt a = log23; b = log53. Hãy biểu diễn log645 theo a và b
Hiển thịị đáp đ án Đáp án: C Ta có:
Vậy
Ví dụ 4. Nếu log12 6 = a; log12 7 = b thì:
Hiển thị đáp án Đáp án: D
Ví dụ 5. Cho a = log35; b = log75. Khi đó khẳng định nào sau đây đúng?
Hiển thị đáp án Đáp án: A
Ví dụ 6. Cho log53 =a; log75 = b. Tính log15105 theo a và b.
ể thị đáp án Hiển Đáp án: D Ta có:
Ví dụ 7. Cho a = log32 và b = log35. Tính log10 60 theo a và b.
Hiển thị đáp án Đáp án: A Ta có:
Ví dụ 8. Biết log275 = a; log8 7 = b; log23 = c thì log1235 tính theo a, b, c bằng:
Hiển thị đáp án Đáp án: A Ta có:
Mà:
Ví dụ 9. Cho log23 = a; log35 = b; log72 = c. Hãy tính log140 63 theo a, b, c
Hiển thị đáp án
Đáp án: A Ta có:
Từ đề bài suy ra
Vậy
Ví dụ 10. Đặt log26 = a; log27 = b. Hãy biểu diễn log1842 theo a và b?
áp án Hiển thị đáp Đáp án: A
Ta có:
Ví dụ 11. Cho x, y, z là các số thực dương tùy ý khác 1 và xyz khác 1. Đặt a= logxy, b = logzy. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Hiển thị đáp án Đáp án: C
Do a = logxy, b = logzy nên Ta có:
Cách biến đổi đẳng thức đã cho thành đẳng thức logarit cực hay
ứa logarit ccực hay Cách so sánh biểu thức chứa 1. Phương pháp giải
ng a khác 1 và hai số dương b, c. Cho số dương • Khi a > 1 thì logab > logac ⇔ b > c. • Khi 0 < a < 1 thì logab > logac ⇔ b < c.
ng các công th thức quy tắc tính logarit và đổi cơ số của c logarit. Ngoài ra, cần sử dụng 2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Trong các số 3log34; 32log32;
những số nào nhỏ hơn 1
Hiển thị đáp án Đáp án: C Ta so sánh các số với 1 + 3log34 > 1. + 32log32 = 3log322 = 4 > 1
Ví dụ 2. Trong các số sau, số nào lớn nhất?
Hiển thị đáp án Đáp án: A Đưa về cùng 1 cơ số và so sánh: Ta thấy
Ví dụ 3. Trong các số sau, số nào lớn nhất?
th đáp án Hiển thị Đáp án: A Đưa về cùng 1 cơ số và so sánh: Ta thấy
Ví dụ 4. Cho hai số thực a; b với 1 < a < b. Khẳng định nào sau đây là đúng:
Hiển thịị đáp án Đáp án: C Ta xét các phương án: + A sai vì log20162017 > log20162016 = 1.
+ B sai vì
+ C đúng vì
với mọi x dương.
+ D sai vì log20172016 < log20172017 = 1. Ví dụ 5. Cho hai số thựcc a, b vvới 1 < a < b. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. logab < 1 < logba. B. 1 < logab < logba . C. logab < logba < 1. D. logba < 1 < logab Hiển thị đáp án Đáp án: D Từ giả thiết 1 < a < b nên ta có: loga1 < logaa < logab hay 0 < 1 < logab .
Áp dụng công thức đổi cơ số thì vì logba > 0 nên ta có logba < 1 < logab.
ực a ,b th thỏa mãn a > b > 1. Chọn khẳng định sai trong các Ví dụ 6. Cho các số thực khẳng định sau:
Hiển thị đáp án Đáp án: A Ta xét các phương án:
+ a > b > 1 => lna > lnb > 0 + Do a > b > 1 nên: 1 > (logab)2 => logab . logba > (logab)2 => logba > logab -> B đúng
Do đó, phương án A sai. Ví dụ 7. Cho hai số thựcc a, b vvới 1 < a < b. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. logab < 1 < logba. B. 1 < logab < logba. C. logab < logba < 1 D. logba < 1 < logab Hiển thị đáp án Đáp án: D Từ giả thiếtt 1 < a < b ta có: 0 < logaa < logab ⇔ 1 < logab Áp dụng công thức đổi cơ số thì:
Vì logba > 0 nên ta có logba < 1 < logab.
ủa hàm số mũ, lũy thừa, lôgarit Dạng 3: Tìm tập xác định của dụ A. Phương pháp giảii & Ví d nh củ của hàm lũy thừa, hàm vô tỷ Bài toán 1: Tập xác định Xét hàm số y = [f(x)]α
ng: hàm số xác định khi và chỉ khi f(x) xác định. • Khi α nguyên dương: • Khi α nguyên âm: hàm số xác định khi và chỉ khi f(x) ≠ 0. • Khi α không nguyên: hàm số xác định khi và chỉ khi f(x) > 0.
nh củ của hàm số logarit Bài toán 2: Tập xác định
• Hàm số y = logaf(x) xác định
• Hàm số y = logg(x)f(x) xác định • Hàm số y = (f(x))g(x) xác định ⇔ f(x) > 0 Ví dụ minh họa
ủa hàm số Bài 1: Tìm tập xác định của
Hướng dẫn:
nh D củ của hàm số y=(x2-1)-8 Bài 2: Tìm tập xác định Hướng dẫn: Hàm số xác định khi và chỉ khi x2-1 ≠ 0 ⇔ x ≠ ±1
ủa hàm số Bài 3: Tìm tập xác định của
Hướng dẫn:
Bài 4: Tìm tập xác định nh D củ của hàm số y=log(x2-6x+5) Hướng dẫn:
Bài 5: Tìm tập xác định của ủa hàm số y=(x2-16)-5-ln(24-5x-x2). Hướng dẫn: Tập xác định của hàm số y = (x2-16)-5 - ln(24-5x-x2)là:
Vậy tập xác định là : D=(-8;3)\{-4}. B. Bài tập vận dụng Bài 1: Tìm tập xác định D của hàm số Hiển thị đáp án
Hàm số xác định khi và chỉ khi 1-x2 ≠ 0 ⇔ x ≠ ±1 Bài 2: Tìm tập xác định D của hàm số Hiển thị đáp án
Hàm số xác định khi và chỉ khi 1-2x > 0 ⇔ x < 1/2 Bài 3: Tìm tập xác định D của hàm số Hiển thị đáp án
Hàm số xác định khi và chỉ khi 2x-4 ≠ 0 ⇔ x ≠ 2 Bài 4: Tìm tập xác định D của hàm số Hiển thị đáp án
Hàm số xác định khi và chỉ khi 4-x > 0 ⇔ x < 4
Bài 5: Tìm tập xác định D của hàm số Hiển thị đáp án
Hàm số xác định khi và chỉ khi 1+x-2x2 > 0 ⇔ -1/2 < x < 1 Bài 6: Tìm tập xác định D của hàm số
Hiển thị đáp án Hàm số xác định khi và chỉ khi
Vậy tập xác định của hàm số là D=(5/2; 3). Bài 7: Tìm tập xác định D của hàm số Hiển thị đáp án
Hàm số xác định khi và chỉ khi
Vậy tập xác định của hàm số là D=(-4 ; 4)\{-2 ,2}. Bài 8: Tìm tập xác định của hàm số
Hiển thị đáp án Hàm số xác định khi 5x+2-125 > 0 ⇔ 5x+2 > 53 ⇔ x > 1. Vậy tập xác định D=(1;+∞). Bài 9: Tìm tập xác định của hàm số
Hiển thị đáp án Hàm số có nghĩa khi
⇔ 3x+1 > 0 ⇔ x > -1/3.
Bài 10: Tìm tập xác định D của hàm số
Hiển thị đáp án
Hàm số xác định khi và chỉ khi
Bài 11: Tìm tập xác định D của hàm số Hiển thị đáp án Hàm số xác định khi x2 - 2x > 0 ⇔ x < 0 ∪ x > 2 Vậy tập xác định của hàm số là D = (-∞ 0) ∪ (2; +∞) Bài 12: Tìm tập xác định D của hàm số Hiển thị đáp án Ta có hàm số xác định khi -2x2 + 8 > 0 ⇔ -2 < x < 2 Bài 13: Tìm tập xác định của hàm số
Hiển thị đáp án Hàm số đã cho xác định
Vậy tập xác định của hàm số là D = [0; +∞]\{2}
trị của tham số m để hàm số y=log2(4x-2x+m) Bài 14: Tìm tập hợp tấtt cả các giá tr có tập xác định D=R. Hiển thị đáp án
nh D = R khi 4x - 2x + m > 0, (1), ∀x ∈ R Hàm số có tập xác định Đặt t = 2x, t > 0
Khi đó (1) trở thành t2 - t + m > 0 ⇔ m > -t2+t, ∀ t ∈ (0;+∞) Đặt f(t) = -t2 + t Lập bảng biến thiên của hàm f(t) = -t2 + t trên khoảng (0;+∞) Yêu cầu bài toán xảy ra khi
Bài 15: Tìm tất cả các giá tr trị thực của tham số m để hàm sốy=log (x2-2x-m+1) có tập xác định là R. Hiển thị đáp án Để hàm số y=log (x2-2x-m+1) có tập xác định là R
Trắc nghiệm tìm tập xác định ccủa hàm số mũ, lũy thừa, lôgarit Bài 1: Tập xác định của hàm số y=(2x-1)2017 là:
Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích : Vì 2007 ∈ Z+ nên hàm số xác định với mọi x. Bài 2: Tập xác định của hàm số y=(3x2-1)-2 là:
Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích : Vì -2 ∈ Z- nên hàm số y=(3x2-1)-2 xác định khi 3x2-1 ≠ 0 ⇔ x ≠ ±1/√3 ±1/√ Bài 3: Tập xác định của hàm số y=(x2-3x+2)-e là: A. D=R\{1;2} C. D=(0;+∞)
B. D=(-∞;1) ∪ (2;+∞) D. D=(1;2)
Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích :
định khi Vì -e ∉ Z nên hàm số xác đị
Bài 4: Tập xác định của hàm số y=(3x-9)-2 là : A. D=(0;+∞)
B. D=R\{0}
C. D=(2;+∞)
D. D=R\{2}
Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích : Vì -2 ∈ Z- nên hàm số y=(3x-9)-2 xác định khi 3x-9 ≠ 0 ⇔ x ≠ 2 . Bài 5: Tìm tập xác định D của hàm số y=(9-x)(1/2).
A. D=(-∞ ; 9).
B. D=(-∞ ; 9].
C. D=R\{9}.
∞ D. D=(9 ; +∞).
Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích : Hàm số xác định khi và chỉ khi 9-x > 0 ⇔ x < 9 Bài 6: Tìm tập xác định D của hàm số y=(1+x-2x2 )n, với n là một số nguyên âm.
Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích : Với n là một số nguyên âm, hàm số xác định khi 1+x-2x2 > 0 ⇔ -1/2 < x < 1
ủa hàm số Bài 7: Tập xác định D của
A. D=R.
B. D=R\ {1}.
C. D=[1;+∞).
Hiển thị đáp án Đáp án : C Giải thích : Hàm số xác định khi và chỉ khi x-1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1.
D. D=(0;+∞).
ủa hàm số Bài 8: Tìm tập xác định của
A. (-√2;√2).
B. (-∞;-√2].
C. (-∞;-√2] ∪ [√2;+∞).
D. [-√2;√2].
Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích : Hàm số xác định khi 2-x2 ≥ 0 ⇔ -√2 ≤ x ≤ √2. Bài 9: Tìm tập xác định D của hàm số
A. D=(-5 ; -1) ∪ (1 ; 5). C. D=[-5 ; 5].
B. D=[-5 ; -1) ∪ (1 ; 5].
D. D=(-∞ ; -1) ∪ (1 ; +∞).
Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích :
Hàm số xác định khi và chỉ khi
Vậy tập xác định của hàm số là D=[-5 ; -1) ∪ (1 ; 5]. Bài 10: Tìm tập xác định D của hàm số
A. D=(-∞ ; -3) ∪ (3 ; +∞). C. D=(3 ; +∞).
B. D=(2 ; +∞).
D. D=R\{-3 ,3 ,2}.
Hiển thị đáp án Đáp án : C Giải thích :
Hàm số xác định khi và chỉ khi
Vậy tập xác định của hàm số là D=(3 ; +∞). Bài 11: Tập xác định của hàm số y=log0,5(x+1) là: A. D=(-1;+∞)
B. D=R\{-1}
C. D=(0;+∞)
Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích : Hàm số log0,5(x+1) xác định khi x+1 > 0 ⇔ x > -1.
nghĩa Bài 12: Tìm x để hàm số sau có ngh
D. (-∞;-1)
Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích :
Bài 13: Tìm tập xác định nh D ccủa hàm số y=log2(x2-2x-3) A. D=(-∞;-1]∪[3;+∞)
B.D=[-1;3]
C. D=(-∞;-1)∪(3;+∞)
D.D=(-1;3)
Hiển thị đáp án Đáp án : C Giải thích :
Bài 14: Tập xác định của hàm số
A. D=[-3;2]
B. D=R\{-3;2}
C. D=(-∞;-3)∪(2;+∞) Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích :
D. D=(-3;2)
Bài 15: Tập xác định của hàm số
A. D=(1;2)
∞) B. D=(1;+∞
C. D=(0;+∞)
D. D=[1;2]
Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích :
Bài 16: Tập xác định của hàm số
A. D=(-1;1)
B. D=[1;2]
C. D=(1;2]
D. D=(-1;2)
Hiển thị đáp án Đáp án : C Giải thích :
Bài 17: Hàm số y=logx-1x xác định khi và chỉ khi :
Hiển thị đáp án
Đáp án : B Giải thích :
Bài 18: Tìm tập xác định nh D ccủa hàm số
A. D=(2;10)
B. D=(1;+∞)
C. D=(-∞;10)
D. D=(-∞;1)∪(2;10)
Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích :
Bài 19: Tìm tập xác định nh D ccủa hàm số
A. D=(1;3)
B. D=(-1;1)
C. D=(-∞;3) Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích :
D. D=(1;+∞)
Bài 20: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = ln (x2-2mx+m) có tập xác định là R. A. m < 0; m > 1
B. 0 < m < 1
C. m ≤ 0; m ≥ 1
D. 0 ≤ m ≤ 1
Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích : Để hàm số y=ln (x2-2mx+m) có tập xác định là R
Dạng 4: Các dạng bài tập vềề hàm số mũ, lũy thừa, lôgarit
dụ A. Phương pháp giảii & Ví d 1. Hàm lũy thừa:
y thừa. thừ 1.1. Định nghĩa: Hàm số y = xa với α ∈ R được gọi là hàm số lũy định của hàm số y = xα là: 1.2. Tập xác định: Tậpp xác đị • D = R nếu α là số nguyên ddương. • D = R\{0} với α nguyên âm hoặc bằng 0. • D = (0;+∞) với α không nguyên. 1.3. Đạo hàm: Hàm số y = xα, (α ∈ R) có đạo hàm với mọi x > 0 và (xα)' = α.x(α-1).
lũy thừa trên khoảng (0;+∞). 1.4. Tính chất của hàm số lũ y = xα, α > 0
y = xα, α < 0
A. Tập khảo sát: (0; +∞)
A. Tập khảo sát: (0; +∞)
B. Sự biến thiên:
B. Sự biến thiên:
+ y'=αx(α-1) > 0,∀ x > 0.
+ y'=αx(α-1) < 0, ∀ x > 0
+ Giới hạn đặc biệt:
+ Giới hạn đặc biệt:
+ Tiệm cận: không có
+ Tiệm cận:
- Trục Ox là tiệm cậ
- Trục Oy là tiệm cậ C. Bảng biến thiên:
C. Bảng biến thiên:
D. Đồ thị:
ừa y = xα luôn đi qua điểm I(1;1). Đồ thị của hàm số lũy thừa Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phảii xét hàm số đó trên Chẳng hạn: y = x3, y = x-2, y = xπ. toàn bộ tập xác định củaa nó. Ch
2. Hàm số mũ: y = ax,(a > 0, a ≠ 1). 2.1. Tập xác định: D = R 2.2. Tập giá trị: T = (0,+∞), nghĩa là khi giải phương trình mũ mà đặt t = af(x) thì t > 0. 2.3. Tính đơn điệu: + Khi a > 1 thì hàm số y = ax đồng biến, khi đó ta luôn có: af(x) > ag(x) ⇔ f(x) > g(x).
+ Khi 0 < a < 1 thì hàm số y = ax nghịch biến, khi đó ta luôn có: af(x) > ag(x) ⇔ f(x) < g(x). 2.4. Đạo hàm:
2.5. Đồ thị: Nhận trục hoành làm đường tiệm cận ngang.
3. Hàm số logarit: y = logax,(a > 0,a ≠ 1) 3.1. Tập xác định: D = (0, +∞). 3.2. Tập giá trị: T = R, nghĩa là khi giải phương trình logarit mà đặt t = logax thì t không có điều kiện. 3.3. Tính đơn điệu: + Khi a > 1 thì y=logax đồng biến trên D, khi đó nếu: logaf(x) > logag(x) ⇔ f(x) > g(x).
+ Khi 0 < a < 1 thì y=logax nghịch biến trên D, khi đó nếu logaf(x) > logag(x) ⇔ f(x) < g(x). 3.4. Đạo hàm:
3.5. Đồ thị: Nhận trụcc tung làm đường tiệm cận đứng.
Ví dụ minh họa
ng biế biến, nghịch biến của hàm số Bài 1: Tìm khoảng đồng
Hướng dẫn:
Ta có bảng biến thiên
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; 1) Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; +∞) Bài 2: Tìm cực trị của hàm số y = log2(x3-4x) Hướng dẫn:
Vẽ bảng biến thiên, khi đó hàm số có 1 cực trị
ất, giá tr trị nhỏ nhất của hàm số y = log2(x2-2x+3) trên Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất, đoạn [-1;2] Hướng dẫn:
B. Bài tập vận dụng Bài 1: Xét tính đồng biến, ến, ngh nghịch biến của hàm số y = x-ln(1+x) Hiển thị đáp án TXĐ: D=(-1;+∞).
Đạo hàm Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số nghịch biến trên (-1;0) và đồng biến trên (0;+∞).
ểu yCT của hàm số y = xex. Bài 2: Tính giá trị cực tiểu Hiển thị đáp án Hàm số xác định và liên tục trên R. Ta có y' = ex + xex = ex → y'=0 ⇔ 1+x=0 ⇔ x = -1. Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên, suy ra hàm số có giá trị cực tiểu yCT = y(-1) = -1/e.
ất M ccủa hàm số f(x)=ex3-3x+3 trên đoạn n [0;2] Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất Hiển thị đáp án Hàm số f(x) xác định và liên tục trên đoạn [0;2].
ủa hàm số f(x)=(lnx)/x với x ∈ [1;e2 ]. Bài 4: Tìm tập giá trị T của Hiển thị đáp án Hàm số f(x) xác định và liên tục trên đoạn [1;e2].
ủa hàm số cắt trục Bài 5: Cho hàm số y = eax2+bx+c đạt cực trị tại x = 1 và đồ thị của ằng e. Tính giá tr trị của hàm số tại x=2. tung tại điểm có tung độ bằng Hiển thị đáp án + Cắt Oy tại y=e nên c=1. + y'=(ax+b) eax2+bx+c . Mà y'(1)=0 ⇔2a+b=0 + Khi đó y(2) = e4a+2b+c = e.
ủa tham ssố m để hàm số y = (3x2+2m)5 đạt giá trị tr lớn nhất Bài 6: Xác định giá trị của bằng 32 trên đoạn [2;3]. Hiển thị đáp án
ại x = 3 Ta có y' = 30x(3x2+2m)4 ≥ 0, ∀ x ∈ [2;3] ⇒ Hàm số đạt GTLN tại
⇒ y(3) = 32 ⇔ (27+2m)5 = 32 ⇔ m = -25/2
trị của tham số thực m để hàm số y = 4x-2x+2Bài 7: Tìm tập hợp tất cảả các giá tr mx+1 đồng biến trên khoảng (-1; 1). Hiển thị đáp án Ta có y = 4x-2x+2-mx+1 ⇒ y'=4x.ln4-4.2x.ln2-m=(4x-2.2x ).ln4-m Theo đề y' ≥ 0,∀x ∈ (-1;1) ⇔(4x-2.2x ).ln4-m ≥ 0, ∀ x ∈ (-1;1)
ũ, lũ lũy thừa, lôgarit Trắc nghiệm về hàm số mũ, úng trong các m mệnh đề sau: Bài 1: Tìm mệnh đề đúng ng nhau qua đường A. Đồ thị hàm số y = ax và đồ thị hàm số y = logax đối xứng thẳng y = x. B. Hàm số y = ax vớii 0 < a < 1 đồng biến trên khoảng (-∞; +∞).
nghịch biến trên khoảng (-∞; +∞) C. Hàm số y = ax vớii a > 1 ngh D. Đồ thị hàm số y = ax với a > 0 và a ≠ 1 luôn đi qua điểm M(a;1). Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích : Chọn A Câu B sai vì hàm số y = ax với 0 < a < 1 nghịch biến trên khoảng (-∞; +∞). Câu C sai vì hàm số y = ax với a > 1 đồng biến trên khoảng (-∞; +∞).
Câu D sai vì đồ thị hàm số y = ax với a < 0 và a ≠ 1 luôn đi qua điểm M(a; aa) hoặc M(0;1) chứ không phải M(a;1). Bài 2: Với a > 0 và a ≠ 1. Phát biểu nào sau đây không đúng? A. Hai hàm số y = ax và y = logax có cùng tính đơn điệu B. Hai hàm số y = ax và y = logax có cùng tập giá trị C. Đồ thị hai hàm số y = ax và y = logax đối xứng nhau qua đường thẳng y=x. D. Đồ thị hai hàm số y = ax và y = logax đều có đường tiệm cận Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích : Tập giá trị của hàm số y = ax là (0; +∞), tập giá trị của hàm số y = logax là R. Bài 3: Cho hàm số y=(√2-1)x. Phát biểu nào sau đây là đúng? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; +∞). B. Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞) C. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là trục tung. D. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là trục hoành Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích : Vì 0 < √2-1 < 1 nên hàm số y = (√2-1)x nghịch biến trên khoảng (-∞; +∞) Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x)=x2 ex trên đoạn [-1;1] A. 2e
B. 1/e
Hiển thị đáp án
C. e
D. 0
Đáp án : C Giải thích : Trên đoạn [-1;1], ta có: f' (x)=xex (x+2); f' (x)=0 ⇔ x = 0 hoặc x = -2 (loại).
ất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=2|x| trên [-2;2] Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất A. maxy=4; miny=-1/4 C. maxy=1; miny=1/4
B. maxy=4; miny=1/4
D. maxy=4; miny=1
Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích : Đặt t = |x|, với x ∈ [-2;2] ⇒ t ∈ [0;2] Xét hàm f(t) = 2t trên đoạn [0;2]; f(t) đồng biến trên [0;2]
Hoặc với x ∈ [-2;2] ⇒ |x| ∈ [0;2]. Từ đây, suy ra: 20 ≤ 2|x| ≤ 22 ⇔ 1 ≤ 2|x| ≤ 4
ợt là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số f(x)=e2Bài 6: Gọi m và M lần lượ 3x trên đoạn [0;2]. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. m+M = 1
B. M-m = e.
C. M.m = 1/e2
Hiển thị đáp án Đáp án : C Giải thích : Hàm số f(x) xác định và liên tục trên đoạn [0;2].
D. M/m = e2
ến trên [0;2]. Đạo hàm f'(x) = -3e2-3x < 0, ∀x ∈ R. Do đó hàm số f(x) nghịch biến
Bài 7: Chọn khẳng định đúng khi nói vvề hàm số y=(lnx)/x A. Hàm số không có cựcc trị.
ực đạ đại B. Hàm số có một điểm cực ực ti tiểu C. Hàm số có một điểm cực ực đạ đại và một điểm cực tiểu D. Hàm số có một điểm cực Hiển thị đáp án Đáp án : C Giải thích :
Hàm y' đổi dấu từ âm sang dương khi qua x=e nên x=e là điểm cực ực tiểu ti của hàm số.
ẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? Bài 8: Cho hàm số y. Khẳng
Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích : Tập xác định D=R
Lập bảng biến thiên :
Bài 9: Câu 9. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai?
định là D=R A. Hàm số y = xα có tậpp xác đị B. Đồ thị hàm số y = xα với α > 0 không có tiệm cận C. Hàm số y = xα với α < 0 nghịch biến trên khoảng (0;+∞). D. Đồ thị hàm số y = xα với α < 0 có hai tiệm cận Hiển thị đáp án Đáp án : A
Giải thích : Hàm số y = xα có tậpp xác định thay đổi tùy theo α.
ất M ccủa hàm số y=(x+1)(3/2) trên đoạn n [3;15] Bài 10: Tìm giá trị lớn nhất A. 64
B. 8
C. 6
D. 3
Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích :
Hàm số đạt giá trị lớn nhất ất tạ tại x=15 ⇒ M=y(15)=64
ực để hàm số y = (x+m)3 đạt giá trị lớn n nhất nhấ bằng 8 trên Bài 11: Gọi m là số thực đoạn [1;2]. Khẳng định nào ddưới đây đúng? A. m ∈ (-2;0)
B. m ∈ (2;4)
C. m ∈ (-1;2)
D. m ∈ (0;3)
Hiển thị đáp án Đáp án : C Giải thích : Ta có y' = 3(x+m)2 ≥ 0, ∀x ∈ [1;2]
ại x=2 ⇒ Hàm số đạt GTLN tại ⇒ y(2) = 8 ⇔ (2+m)3 = 8 ⇔ m = 0 Bài 12: Hàm số nào dưới đây đồng biến trên tập xác định của nó?
Hiển thị đáp án Đáp án : C
c nó? Bài 13: Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên tập xác định của
Hiển thị đáp án Đáp án : C Giải thích :
Bài 14: Hàm số dưới đây ây đồ đồng biến trên R?
Hiển thị đáp án Đáp án : B Bài 15: Các hàm số sau hàm số nào nghịch biến trên R
Hiển thị đáp án Đáp án : C Bài 16: Hàm số y=x2ex nghịịch biến trên khoảng nào? A. (-∞;1).
B. (-∞;-2).
C. (1;+∞).
D. (-2;0).
Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích : Ta có: y = x2ex ⇒ y' = (x2+2x)ex Bài 17: Cho hàm số
đ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
ng biến trên khoảng (2;+∞) A. Hàm số đã cho đồng ng biến trên các khoảng (-∞;2) và (2;+∞). B. Hàm số đã cho đồng ng biến trên khoảng (-∞;2). C. Hàm số đã cho đồng ng biến trên khoảng (0;2). D. Hàm số đã cho đồng Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích :
Nếu để ý thấy thì đây ây là hàm bậc ba thuần túy và có đạo hàm
Lập bảng biến thiên, suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (0;2). Bài 18: Cho hàm số y = (x2-3)ex. Chọn đáp án đúng. A. Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;1). B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-3;1). C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;+∞). D. Hàm số đồng biến trên khoảng (-1;3). Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích :
Ta có: y = (x2-3)ex ⇒ y' = (x2+2x-3)ex
Lập bảng biến thiên và kết luận Bài 19: Cho a là một sốố thực dương khác 1 và các mệnh đề sau: 1) ax > 0 với mọi x ∈ R.
ến trên R. 2) Hàm số y = ax đồng biến 3) Hàm số y = e2017x là hàm số đồng biến trên R.
trục Ox làm tiệm cận ngang. 4) Đồ thị hàm số y = ax nhận tr Hỏi có bao nhiêu mệnh đề đđúng? A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Hiển thị đáp án Đáp án : C
ệnh đề nào sau đây sai? Bài 20: Cho hàm số y. Mệnh
Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích :
trị thực của tham số a để hàm số y=logMx với M=a2-4 Bài 21: Tìm tất cả các giá tr nghịch biến trên tập xác định. A. 2 < a < √5
B. a=√5
C. -√5 < a < -2; 2 < a < √5
D. a=2
Hiển thị đáp án Đáp án : C Giải thích :
ến khi cơ số 0 < M < 1 hay 0 < a2-4 < 1 Hàm số đã cho nghịch biến
Bài 22: Xác định a để hàm số y=(2a-5)x nghịch biến trên R. A. 5/2 < a < 3. B. 5/2 ≤ a ≤ 3. C. a > 3. D. a < 5/2. Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích : Theo đề: 0 < 2a-5 < 1 ⇔ 5/2 < a < 3. Bài 23: Tìm tất cả các giá trị của tham số a để hàm số y=(a2-3a+3)x đồng biến.
A. a = 1
B. a = 2
C. a ∈ (1;2)
D. a ∈ (-∞;1) ∪ (2;+∞).
Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích :
Bài 24: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số y nghịch biến bi trên (1;1)
A. m < 1/3
B. 1/3 < m < 3
Hiển thị đáp án Đáp án : C Giải thích :
C. m ≤ 1/3
D. m > 3
ực để hàm số y=(2x+m2)3 đạt giá trị nhỏ nhất nhấ bằng -8 trên Bài 25: Gọi m là số thực đoạn [-1;4]. Khẳng định nào sau đây đúng? A. m ∈ (-1;1).
B. m ∈ (-3;-1).
C. m ∈ (0;3).
D. m ∈ (-3;0).
Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích : Ta có y' = 6(2x+m2)2 ≥ 0, ∀x ∈ [-1;4] ⇒ Hàm số đạt GTNN tại x = -1 ⇒ y(-1) = -8 ⇔ (-2+m2)3 = -8 ⇔ m = 0
ủa hàm số mũ, lũy thừa, lôgarit Dạng 5: Giới hạn, đạo hàm củ dụ A. Phương pháp giảii & Ví d ủa hàm số mũ, hàm số Logarit Bài toán 1: Giới hạn của Phương pháp
giới hạn đặc biệt sau: Chúng ta có các dạng gi
Mở rộng: Ta có
Quy tắc Lopitan: Nếu f(x), g(x) kh khả vi ở lân cận x0 trừ tại điểm ểm x0 thì:
Đồng thời
Quy tắc vẫn đúng vớii x → ∞ Bài toán 2: Đạo hàm của các hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit Phương pháp: - Hàm số lũy thừa: Hàm số y = xα, (α ∈ R) có đạo hàm với mọi x > 0 và (xα)' = α.xα-1. - Hàm số mũ:
- Hàm số Logarit:
Ví dụ minh họa Bài 1: Tìm các giới hạnn sau:
Hướng dẫn: a) Ta biến đổi
b) Ta biến đổi
c) Ta biến đổi
Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
Hướng dẫn:
Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
Hướng dẫn:
B. Bài tập vận dụng Bài 1: Tìm giới hạn sau
Hiển thị đáp án
Bài 2: Tìm giới hạn sau
áp án Hiển thị đáp
Bài 3: Tính đạo hàm của hàm số Hiển thị đáp án
α.uα-1.u'. Áp dụng công thức (uα)' = α
tại điểm x = 2
Bài 4: Tính đạo hàm của hàm số y = log(ln2x). Hiển thị đáp án
Bài 5: Tính đạo hàm của hàm số
áp án Hiển thị đáp
Bài 6: Tính đạo hàm của hàm số Hiển thị đáp án
điể x = 2 Bài 7: Tính đạo đạo hàm củủa hàm số y=log3(x+1)-2ln(x-1)+2x tạại điểm
Hiển thị đáp án
Bài 8: Cho hàm số
. Tính tổng T Hiển thị đáp án
Nên
Bài 9: Cho
. Tính giá trị biểu thức S Hiển thị đáp án
Nên
Bài 10: Cho hàm số y = ln(2x2 + e2). Nếu bao nhiêu? Hiển thị đáp án Ta có
Trắc nghiệm giới hạn, đạo hàm của hàm số mũ, lũy thừa, lôgarit Bài 1: Tìm giới hạn của
A.0
B. 1
C. 2
Hiển thị đáp án Đáp án : Giải thích :
Bài 2: Tìm giới hạn của
D. 3
thì giá trị m bằng
A. 0
B. -1
C. -2
D. 1
Hiển thị đáp án Đáp án : Giải thích :
Bài 3: Hàm số y = log0,5x2 (x ≠ 0) có công thức đạo hàm là:
Hiển thị đáp án Đáp án : Giải thích :
Bài 4: Đạo hàm của hàm số y = 42x là: A. y' = 2.42xln4 C. y' = 42xln4
B. y' = 42x.ln2 D. y' = 2.42xln2
Hiển thị đáp án Đáp án : Giải thích : y = 42x ⇒ y' = (2x)'.42xln4 = 2.42xln4 Bài 5: Hàm số
có đạo hàm là:
Hiển thị đáp án Đáp án : Giải thích :
Bài 6: Cho hàm số y = log2(2x+1). Khi đó y'(1) bằng :
Hiển thị đáp án Đáp án : Giải thích :
Bài 7: Tính đạo hàm của hàm số y=ln(x2+3)
Hiển thị đáp án Đáp án : Giải thích :
Bài 8: Tính đạo hàm của hàm số y=(x2+2x)e-x A. y'=(x2+2)e-x C. y'=xe-x
B. y'=(-x2+2)e-x
D. y'=(2x-2)ex
Hiển thị đáp án Đáp án : Giải thích :
Bài 9: Đạo hàm của hàm số y = sinx+log3x3 (x > 0) là:
Hiển thịị đáp án Đáp án : Giải thích : Ta có
Bài 10: Cho hàm số f(x)=ln(x4+1). Đạo hàm f' (0)bằng: A. 2
B. 1
C. 0
D. 3
Hiển thị đáp án Đáp án : Giải thích :
Bài 11: Cho hàm số f(x) = xex. Gọi f'' (x)là đạo hàm cấp hai củaa f(x). Ta có f'' (1) bằng: A. -3e2
B. 3e
C. e3
D. -5e2
Hiển thị đáp án Đáp án : Giải thích : Ta có f(x) = x.ex ⇒ f'(x)=ex + x.ex ⇒ f''(x) = ex + ex + x.ex ⇒ f''(1)=3e Bài 12: Tính đạo hàm của hàm số
Hiển thị đáp án Đáp án :
Giải thích :
Bài 13: Tính đạo hàm của hàm số y = logx(x+1)
đ án Hiển thịị đáp Đáp án : Giải thích :
Bài 14: Cho hàm số y=(lnx)/x, m mệnh đề nào dưới đây đúng?
Hiển thị đáp án Đáp án : Giải thích :
Bài 15: Cho hàm số y = log3(3x+x), biết trị của a+b. A. 2
B. 7
C. 4
với a,b∈Z. Tính giá
D. 1
Hiển thị đáp án Đáp án : Giải thích :
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất ất ccủa hàm số mũ, logarit, lũy thừa A. Phương pháp giải
ợ tại các đầu + Nếu hàm số đơn điệu trên một đoạn thì GTLN, GTNN đạt được mút của đoạn. + Nếu hàm số không đơn điệu thì tiến hành việc tìm GTLN, GTNN theo quy tắc.
m x1, x2, …, xn trên các khoảng (a;b), tại đó ó f’(x) bằng bằ 0 hoặc f’ 1. Tìm các điểm 2. Tính f(a), f(x1), f(x2),…, f(xn), f(b). 3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có
B. Ví dụ minh họa Câu 1: Tìm giá trị lớn nhất ất M ccủa hàm số
n [3; 15]. trên đoạn
A.64 B. 8 C. 6 D. 3 Hiển thị lời giải
ến trên [3; 15] Do đó hàm số đồng biến Hàm số đạt giá trị lớnn nhất ttại x= 15 và M= y(15)=64. Chọn A.
ất bằng 8 trên đoạn Câu 2: Gọi m là số thực để hàm số y= (x+m)3 đạt giá trị lớn nhất [1;2]. Khẳng định nào dưới đđây đúng?
A. B. C. D. Hiển thị lời giải
biến trên đoạn [1;2] Suy ra hàm số đã cho đồng bi tại x=2 Do đó; hàm số đạtt GTLN tạ Theo yêu cầu bài toán thì y(2) =8 khi và chỉ khi(2+ m)3= 8 hay m=0 Chon C.
ất và nhỏ nhất của hàm số f(x) = 2x3-ln( 3-4x) trên đoạn Câu 3: Tìm giá trị lớn nhất [-2; 0] A: Max y=8; min y=1-ln4 B: max y=8-ln11; miny=1/8-ln4
C: max y=8+ln11; min y=-ln4 D: max y=8+ln 4; min y=4+ln11 Hiển thị lời giải
Ta có:
Xét f(x) trên khoảng từ [ -2; 0] ta có: f’ 9x) =0 khi x = -1/4 . Hàm số liên tục và khả vi trên đoạn [ -2; 0] Ta có: f(-2)= 8-ln 11; f(0) = -ln3; f(-1/4)= 1/8 – ln4 Do vậy GTLN là 8-ln11 khi x= -2 và GTNN là 1/8- ln4 khi x= -1/4 Chọn B. Câu 4: Tìm giá trị nhỏ nhất ất ccủa hàm số
trên đoạn [1 ;3]
A. B. C.
D. Hiển thị lời giải
Ta có
có
Do đó hàm số đã cho đồng bi biến trên [1 ; 3]. Do đó Chọn B. C. Bài tập vận dụng Câu 1:Tổng giá trị lớn nhất ất và nhỏ nhất của hàm số y= x+ e-x trên đoạn [ -1 ;1] là:
A. B. T= e
C. D. T= 2-e Hiển thị lời giải Ta có: y’ =1-e-x và y’ =0 khi x=0. Hàm số đã cho liên tục và xác định trên đoạn [-1 ; 1] Ta có: y(-1)= -1+e ; y(0)= 1 ; y(1)=1+ 1/e . Do đó Vậy T= e. Chọn B
Câu 2:Tổng giá trị lớn nhất ất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = ex2-2x+3 trên đoạn [0 ; 2] là:
A.e3- e B.e3- e2 C. E3 D. e3+ e Hiển thị lời giải Đạo hàm Hàm số đã cho liên tục và xác định trên đoạn [0 ; 2] Mặt khác y(0) = e3; (1) = e2; y(2) =e3 . Do đó Chọn B Câu 3:Tổng giá trị lớn ớn nh nhất và giá trị nhỏ nhất của làm số y= xlnx trên đoạn
là:
A. T= e B.
C.
D. Hiển thị lời giải
Ta có: y’ = lnx+1 và y’ =0 khi và chỉ khi x= e-1 .
Hàm số đã cho liên tục và xác định trên đoạn
Mặt khác
Do đó Do đó T= e-1/e Chọn D Câu 4:Tính giá trị lớnn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [1; 2] là: A. √7− -4ln2 B. 4ln2-2√7− C. 4ln2-4√7− D. 2√7− -4ln2 Hiển thị lời giải
Ta có: Hàm số đã cho liên tục và xác định trên đoạn [1 ;2] Khi đó Do đó P= 2√7− -4ln2 Chọn D
ây là đúng. đ Câu 5:Cho hàm số y= ln(3-x)+ ln(x+1). Khẳng định nào sau đây A. Hàm số đã cho không có giá trị lớn nhất B. Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là 2ln2 C. Hàm số đã cho không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất là 2ln2 D. Giá trị lớn nhất của hàm số là 2ln2 và giá trị nhỏ nhất là 0 Hiển thị lời giải
Ta có:D= (-1 ; 3) khi đó Khi đó; y’ =0 khi x=1 Mặt khác
lớn nhất là 2ln2 và không có giá trị nhỏ ỏ nhất. nhấ Do đó hàm số có giá trịị lớ Chọn B Câu 6:Gọi M; N lần lượt là giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số y= ln( x+ √x2− +4) trên đoạn [0; √5− ] Khi đó tổng M+ N là A.ln 5
B. C.ln 6 D. Kết quả khác Hiển thị lời giải
Ta có :
với mọi x.
Mà y(0) = ln2; y(√5)=ln (3+ √5)→M+N=ln2+ln (3+ √5)=ln 8/(3-√5) Chọn B.
Câu 7:Cho hàm số khẳng định đúng về tham số m
ằ – 3. Chọn có giá trị nhỏ nhất trên [1; e] bằng
A.m>2 B.m>5 C.m<3 D.m<0 Hiển thị lời giải Điều kiện:m≠lnx nên m∉(0;1) vì 1 ≤ x ≤3.
suy ra min y= y(e) = Suy ra m=2 ( thỏa mãn điềều kiện) Chọn C. Câu 8:Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y= 4x-2x+1 trên đoạn [-1 ; 1]
A.
B. C.
D. Hiển thị lời giải Ta có: y= 22x-2.2x . Đặt t= 2x khi đó ½ ≤ t ≤ 2 Xét hàm số f(t) =t2- 2t trên đoạn [1/2 ; 2] ta có: f’ (t) = 2t-2 và f’ =0 khi t=1 Hàm số f(t) xác định và liên tục trên đoạn [1/2 ; 2] Lại có f(1/2) = -3/4; f(1) = -1; f(2) =0 .
Do đó Chọn D
ủa hàm số y= log2017 (10-x) trên đoạn n [1; 6] bằng b Câu 9:Giá trị nhỏ nhất của A.
B. C. D. Hiển thị lời giải
Ta có
ến trên đoạn [1; 6]. Vậy hàm số nghịch biến nhất của hàm số đã cho trên đoạn [1; 6] Suy ra, giá trị nhỏỏ nh bằng Chọn C.
ến củ của hàm số mũ, logarit, lũy thừa Viết phương trình tiếp tuyến có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến n của (C) tại t điểm Câu 1:Cho hàm số M0 có hoành độ x0 = 1 là: A. B. C. D. Hiển thị lời giải Ta có: Với x0 = 1 thì y0= 1
tuyến cần tìm là: Vậy phương trình tiếpp tuyế Chọn B. Câu 2: Trên đồ thị của hàm số lấy điểm M0 có hoành độ m M0 có hệ số góc bằng: tuyến của (C) tại điểm
. Tiếp
A. π+2. B. 2π. C. 2π-1. D. 3 Hiển thị lời giải
Ta có: Hệ
số
góc
củaa
tiếp
tuy tuyến
tại
điểm
M0 có
hoành
độ
là:
Chọn A. Câu 3: Cho hàm số góc là:
A.
B.
C.
D.
. Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ π/4 có hệ số
Hiển thị lời giải Ta có: Lấy đạo hàm hai vế ta đượ ợc:
Suy ra:
Với
ta có: .
Suy ra
.
Chọn A. Câu 4: Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số A. y= x+2 B. Y= 0 C.y= x D. y= 5 Hiển thị lời giải
Ta có: Nên y’ (0) = 1 ; y(0) =0.
tại x= 0
ến củ của hàm số đã cho tại x =0 là : Phương trình tiếp tuyến Y=1.(x-0)+0 hay y= x Chọn C. Câu 5:Viết phương trình tiếếp tuyến của hàm số f(x) = x3.3x tại x=1 A.y=(3+3ln3)x+3 B. Y= (9+3ln3)(x-1) C. y= (9+ln3)(x-1) D. y= (9+3ln3)(x-1) +3 Hiển thị lời giải Ta có:
Suy ra y(1) =3 ; y’(1)=3(3+ln3)=9+3ln3 Phương trình tiếp tuyến cùa hàm số đã cho tại x=1 là Y=(9+3ln3)(x-1)+3 Chọn D. Câu 6:Tiếp tuyến của hàm số f(x) =log3(3x+1) tại điểm x=1 song song với đường thẳng nào ? A. Y= 3x+1 B. Y= 4x+2 C. Y= ½.x+3 D. Đáp án khác Hiển thị lời giải Ta có:
Suy ra y’(1)=3/4 Chọn D. Câu 7:Tiếp tuyến của hàm số ?
ờ thẳng nào tại x= 3 vuông góc với đường
A.y= ln2.x+6 B.y=(ln3+1) x-3 C. y=(-ln3+1)x D. Tất cả sai Hiển thị lời giải Ta có Suy ra y’ (3) = 1/ln3 Đường thẳng ng vuông góc vớ với tiếp tuyến của hàm số tại x=3 sẽ có hệ số góc là k= - ln3 Chọn C