CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QG MÔN TOÁN HỌC
vectorstock.com/10212081
Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection DẠY KÈM QUY NHƠN TEST PREP PHÁT TRIỂN NỘI DUNG
CHUYÊN ĐỀ “HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍCH PHÂN HÀM ẨN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN” WORD VERSION | 2020 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594
CHUYÊN ĐỀ “HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍCH PHÂN HÀM ẨN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN” MỤC LỤC PHẦN 1: HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1. BẢNG CÔNG THỨC ĐẠO HÀM 1.2. QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM 1.3. BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM THƯỜNG GẶP 1.4. ĐỊNH NGHĨA 1.5. TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN 1.6. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1.6.1. Phương pháp đổi biến số 1.6.2. Phương pháp tích phân từng phần 1.7. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 1.7.1. Tính diện tích hình phẳng 1.7.2. Thể tích vật thể PHẦN 2: NỘI DUNG I. TÍNH TÍCH PHÂN DỰA VÀO ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT 1. Phương pháp giải 2. Bài tập áp dụng 3. Bài tập tự luyện II. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ 1. Phương pháp giải 2. Bài tập áp dụng 3. Bài tập tự luyện III. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 1. Phương pháp giải 2. Bài tập áp dụng 3. Bài tập tự luyện IV. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 1. Phương pháp giải 2. Bài tập áp dụng 3. Bài tập tự luyện V. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍCH THỂ TÍCH 1. Phương pháp giải 2. Bài tập áp dụng
Trang 4 4 4 4 5 5 5 5 5 6 6 6 7 8 8 8 11 12 12 13 17 19 19 19 22 24 24 24 28 30 30 30
1
3. Bài tập tự luyện V. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC 1. Phương pháp giải 2. Bài tập áp dụng 3. Bài tập tự luyện VII. KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC
33 35 35 35 41 43
2
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI - Thống kê thi THPT Quốc gia các năm gần đây. Số câu hỏi có nội dung liên quan tới tích phân Năm
2017
2018
2019
Mã đề
101
102
103
101
102
103
101
102
103
Số câu hỏi
3
3
3
5
5
5
5
5
5
- Hệ thống câu hỏi trong đề sắp xếp theo thứ tự độ khó tăng dần - Các câu liên quan tới tích phân trong đề thường hỏi dạng hàm số dưới dấu tích phân là hàm số ẩn và ứng dụng của tích phân. II. PHẠM VI ÁP DỤNG CỦA CHUYÊN ĐỀ Dành cho tất cả học sinh lớp 12 đã học về tích phân, tùy theo mức độ nhận thức của học sinh, giáo viên có thể dạy từngnội dung sao cho phù hợp. III. THỜI GIAN DẠY CHO HỌC SINH STT
NỘI DUNG
THỜI LƯỢNG
I
Tính tích phân dựa vào định nghĩa và tính chất
1 tiết
II
Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số
1 tiết
III
Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần
1 tiết
IV
Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng
1 tiết
V
Ứng dụng tích phân tính thể tích
1 tiết
VI
Ứng dụng tích phân giải một số bài toán khác
1 tiết
VII
Bài kiểm tra đánh giá năng lực
1 tiết
Tổng số
7 tiết
3
PHẦN 1: HỆ THỐNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1. BẢNG CÔNG THỨC ĐẠO HÀM CƠ BẢN STT
HÀM THÔNG THƯỜNG C: const thì n '
HÀM SỐ HỢP
'
(C) = 0
(uα )' = α.uα−1.u'
n −1
( x ) = nx , ( n ∈ ℕ, n > 1) Nhóm 1
'
u' 1 =− 2 u u
'
1 1 = − 2 ,( x ≠ 0) x x '
( x) = 2
1 x
( ) u
,( x > 0)
Nhóm 3
Nhóm 4
=
u' 2 u
'
'
Nhóm 2
'
( sin x ) = cos x ' ( cos x ) = − sin x
( sin u ) = u ' .cos u ' ( cos u ) = −u ' .sin u
π 1 ( tan x ) = 2 , x ≠ + kπ cos x 2 1 ' ( cot x ) = − 2 , ( x ≠ kπ ) sin x ' ( ln x ) = 1x , ( x ≠ 0) 1 ' , ( 0 < a ≠ 1, x > 0) ( loga x ) = x ln a
u' ( tan u ) = 2 cos u u' ' ( cot u ) = − 2 sin u ' ' u ( ln u ) = u ' u' log u = ( a ) u ln a
(ex )' = ex
(eu )' = u' .eu (au )' = u' .au .ln a
'
'
( a x )' = a x ln a, ( a > 0, a ≠ 1)
1.2. QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM ' 1.2.1. Đạo hàm của tổng: ( u ± v ) = u ' ± v ' '
1.2.2. Đạo hàm của tích: ( uv ) = u 'v + uv ' '
u u 'v − uv ' 1.2.3. Đạo hàm của thương: = , (v ≠ 0 ) v2 v 1.3. BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM THƯỜNG GẶP 1)
∫ dx = x + C
xα + 1 α + C , (α ≠ −1) 2) ∫ x dx = α +1 1 3) ∫ dx = ln x + C x
. = sin x + C ∫cos xdx . = −cos x + C 7) ∫sin xdx 6)
8)
1 ∫ cos2 x .dx = tan x + C
4
∫ e dx = e x
4)
x
+C
9)
x
5)
a ∫ a dx = ln a + C, ( a > 0, a ≠ 1)
1
∫ sin
2
x
.dx = − cot x + C
x
1.4. ĐỊNH NGHĨA: Cho hàm số f ( x) liên tục trên đoạn [a ; b ]. Giả sử F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) trên [a ; b ]. Hiệu số F (b ) − F ( a ) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định b
trên đoạn [ a ; b ] của hàm số f ( x ), kí hiệu là
∫ f ( x)dx. a
1.5. TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN a
∫
1.
a b
∫
3.
b
2.
f ( x)dx = 0
∫
a
f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx
a c
f ( x)dx + ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx ( a < b < c )
a
b
c
b
4.
a
b
b
b
a
a
a
5. ∫ [ f ( x) + g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx .
b
b
a
a
∫ k . f ( x)dx = k .∫ f ( x)dx (k ∈ ℝ)
b
b
b
a
a
a
6. ∫ [ f ( x) − g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx − ∫ g ( x)dx .
1.6. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1.6.1. Phương pháp đổi biến số Định lí: Cho hàm số f ( x) liên tục trên đoạn [ a; b ]. Giả sử hàm số x = ϕ (t) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [α ; β ] sao cho ϕ (α ) = a, ϕ ( β ) = b và a ≤ ϕ (t ) ≤ b với mọi t ∈ [α ; β ]. b
Khi đó:
∫
β
f ( x)dx = ∫ f (ϕ (t ))ϕ '(t )dt. α
a
1.6.2. Phương pháp tích phân từng phần Định lí : Nếu u = u( x) và v = v( x) là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn [ a ; b ] thì b
b
b
b
b
a
a
a
b ∫ u ( x)v '( x)dx = ( u ( x)v( x) ) a − ∫ u '( x)v( x)dx ,hay viết gọn là ∫ udv = uv |a −∫ vdu . a
1.7. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 1.7.1. Tính diện tích hình phẳng Bài toán 1: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn a; b . Gọi H là miền phẳng giới hạn bởi đồ thị
[ ]
hàm số y = f ( x ) , trục hoành và hai đường thẳng
x = a,
x = b thì diện tích miền phẳng Hđược tính
b
theo công thức S =ò f ( x) dx a
5
y y = f (x)
a c1
O
c3
c2
y = f (x) y = 0 (H ) x = a x = b
b x
b
S = ∫ f ( x ) dx a
Bài toán 2: Cho hàm số y = f1(x) và y = f2 (x) liên tục trên đoạn a; b . Gọi H là miền phẳng giới
[ ]
hạn bởi hai đồ thị hàm số đó hai đường thẳng
x = a,
x = b thì diện tích miền phẳng H được tính
b
theo công thức S =ò f1 ( x) - f2 ( x) dx a
y
(C1 ) : y = f1 ( x ) (C ) : y = f2 ( x ) (H ) 2 x = a x = b
(C1 ) (C 2 )
b
c2
a c1
O
b
S = ∫ f1 ( x ) − f 2 ( x ) dx
x
a
1.7.2. Thể tích vật thể 1.7.2.1. Thể tích của vật thể Bài toán: Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b; S ( x ) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x
( a ≤ x ≤ b) Giả sử
S ( x ) là hàm số liên tục trên đoạn [ a ; b ] . Khi đó, thể tích của vật thể B được b
tính theo công thức V =òS ( x)dx a
(V ) O
b
x
a
b
x
V = ∫ S ( x )dx a
S(x)
1.7.2.2. Thể tích khối tròn xoay Bài toán: Giả sử một hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục Ox và hai đường thẳng
x = a,
x = b ( a < b ) quayxung quanh trục Ox tạo thành một khối tròn xoay. Khi đó thể tích
6
b
∫
2
của nó đượcc tính theo công thức V = π f ( x ) dx a
y y = f (x)
O
a
b
(C ) : y = f ( x ) b 2 (Ox ) : y = 0 V = π x ∫a [ f ( x )] dx x x = a x = b
PHẦN 2: NỘI DUNG
Để học sinh có thể làm tốt các dạng bài tập tích phân có trong đề thi THPT QG thì cần phải
ời giải cho bài toán tích phândựa vào kiến thức ức cơ bản như sau: hướng học sinh suy nghĩ tìm lờ Thứ nhất: Học sinh phải nhớ được bảng công thức đạo hàm cơ bản thức nguyên hàm của hàm số thường gặp Thứ hai: Học sinh biếtt các công th
Thứ ba: Học sinh phải luyện cho mình cách nhận dạng (loại) tích phân nhanh, vì biết được dạng ên tạo thành thói quen tự tích thì sẽ dễ dàng biếtt cách tính. Để nhận dạng tích phân cần tính, có thể nên ng câu hhỏi về hàm số dưới dấu tích phân theo thứ ứ tự ự như sau: đặt cho mình lần lượt những
7
STT Câu hỏi Có phải dạng cơ bản không 1. Có phân tích, biến đổi đại số, biến đổi 2. lượng giác,… đưa về dạng cơ bản được không? Có tương tự dạng cơ bản, chỉ sai khác 3. hằng số hoặc chỉ sai khác hệ số của biến số không? Có thừa số nào hoặc biểu thức nào là đạo hàm đúng hoặc gần đúng (chỉ sai 4. khác hệ số) của biểu thức khác trong hàm số dưới dấu tích phân không?
Phương pháp tính đúng như câu hỏi đặt ra Chỉ việc áp dụng công thức cơ bản
Chỉ việc phân tích, biến đổi, rồi áp dụng công thức Dùng phương pháp đổi biến số
Dùng phương pháp đổi biến số
Dùng phương pháp tích phân các hàm hữu tỷ đã học Có thuộc loại tích phân hàm số lượng Dùng phương pháp tích phân các hàm lượng giác 6. giác không? đã học Có thuộc loại tích phân các hàm vô tỷ Dùng phương pháp tích phân các hàm vô tỷ đã học 7. không? Suy nghĩ tìm thêm cách biến đổi biến số, nếu Ngoài các loại trên? không được, nên nghĩ đến việc dùng phương pháp 8. tích phân từng phần I. TÍNH TÍCH PHÂN DỰA VÀO ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT 5.
Có thuộc loại tích phân hữu tỷ không?
1.Phương pháp giải Sử dụng tính chất và công thức nguyên hàm cơ bản b
1.
a
∫ f ( x )dx = − ∫ f ( x) dx a b
2.
b b
3. ∫ k . f ( x )dx = k .∫ f ( x )dx ( k ∈ ℝ ) a
b
c
a b
b
c
∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx ( a < b < c ) a b
b
a
a
4. ∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx .
a
a
Chú ý:
1) Định lí dấu nhị thức bậc nhất và dấu tam thức bậc 2
f ( x ) , f ( x ) ≥ 0 − f ( x ) , f ( x ) < 0
2)Biểu thức chứa ẩn trong dấu trị tuyệt đối f ( x ) = 3)Định nghĩa vi phân df ( x ) = f ' ( x ) dx 4)Hàm số y = f ( x) liên tục trên
ℝ và tuần hoàn với chu kì T thì
a +T
T
a
0
∫ f ( x) dx = ∫ f ( x) dx
5)Quy tắc đạo hàm của tích
'
f ( x) .g ( x) = f '( x) .g ( x) + f ( x) .g '( x)
2. Bài tập áp dụng
8
0
2
2
−2
0
−2
∫ f ( x)dx = 2, ∫ f ( x)dx = 1. Tích phân ∫ f ( x)dx bằng
Câu 1: Cho A. 4 Lời giải
B. 3
2
Ta có
0
D. 1
2
∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx = 2 + 1 = 3. Chọn B. −2
−2
0 3
3
Câu 2: Cho
3
∫ f ( x ) dx = −5, ∫ f ( x) − 2g ( x) dx = 9. Tính I = ∫ g ( x) dx. 1
1
A. I = 14. Lời giải
1
B. I = −14.
3
Ta có
C. 6
3
C. I = 7.
D. I = −7.
3
3
∫ f ( x ) − 2g ( x ) dx = ∫ f ( x) dx − 2.∫ g ( x) dx = 9 ⇒ ∫ g ( x) dx = 1
1
1
1
−5 − 9 = −7. Chọn D. 2
5
Câu3: Cho các hàm số f ( x ) , g ( x ) liên tục trên
ℝ có ∫ 2 f ( x ) + 3g ( x ) dx = −5 ; −1
5
5
∫ 3 f ( x ) − 5g ( x ) dx = 21 . Tính ∫ f ( x ) + g ( x ) dx −1
−1
A. −5 Lời giải Ta có:
B. 1
C. 5
D.
−1
5 5 5 5 ∫ 2 f ( x ) + 3g ( x ) dx = −5 2 ∫ f ( x ) dx + 3∫ g ( x ) dx = −5 ∫ f ( x ) dx = 2 −1 −1 −1 ⇔ −51 ⇔ 5 5 5 3 f x − 5g x dx = 21 3 f x dx − 5 g x dx = 21 g x dx = −3 ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) −1 −1 −1 −1
5
5
5
⇒ ∫ f ( x )dx + ∫ g ( x )dx = −1 ⇒ ∫ f ( x ) + g ( x ) dx = −1 . Chọn D. −1
−1
−1 2019π
Câu 4:Tính tích phân I =
∫
1 − cos2xdx.
0
A. I = 0. Lời giải π
B.
I = 2 2. C. I = 2019 2. 2π
2019π
π
2018
I = 2 ∫ sin x dx + 2 ∫ sin x dx + ... + 2 0
D.
I = 4038 2.
∫ π sin x dx
π
= 2019 2 ∫ sin xdx = 4038 2. Chọn D. 0
9
Câu 5: Cho hàm số f ( x) liên tục trên đoạn [ −6;5] có đồ thị gồm hai đoạn thẳng và nửa đường 5
∫
tròn như hình vẽ. Tính giá trị I = f ( x ) + 2 dx −6
A. 3π − 12
B. 2π + 32
C. 2π + 8
D. 3π + 12
Lời giải
Nhận xét: Ở bài toán này có thể dùng kiến thức diện tích hình phẳng tìm kết quả nhanh gọn. Tuy nhiên để rèn cho học sinh tư duy phân tích, tổng hợp tôi hướng dẫn học sinh giải bài toán theo hướng dài hơn là dùng định nghĩa và tính chất của tích phân để giải quyết bài toán.
Ta có: f ( x ) =
x+4 2 2 1+ 4 − x 2x −1 3
k hi − 6 ≤ x ≤ − 2 kh i − 2 ≤ x ≤ 2 kh i 2 ≤ x ≤ 5
5
−2
2
5
5
−6
−6
−2
2
−6
I = ∫ f ( x ) + 2 dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + ∫ 2dx . Chọn B.
Câu 6: Cho các hàm số y = f ( x) và y = g ( x ) có đạo hàm liên tục trên [ 0;2] và thỏa mãn 2
∫
2
f ' ( x ) g ( x ) d x = − 1,
0
2
∫ 0
0
A. I = −1. B. I = 2020. Lời giải 2
/
f ( x ) g ' ( x ) d x = 2020. Tính tích phân I = ∫ f ( x ) g ( x ) dx.
C. I = 2019. /
D. I = 2018.
2
Ta có I = ∫ f ( x ) g ( x ) dx = ∫ f ' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x ) dx 0
0
2
2
0
0
= ∫ f ' ( x ) g ( x ) dx + ∫ f ( x ) g ' ( x ) dx = 2019. ChọnC.
Câu 7: Cho các hàm số y = f ( x ) > 0 xác định và có đạo hàm liên tục trên [ 0;1] thỏa mãn 1
x
g (x ) = 1 + 2018∫ f
(t ) d t , g ( x ) =
f
2
( x ) . Tính
A.
1011 2
∫ g ( x ) dx 0
0
B.
1009 2
C.
2019 2
D. 505
10
Lời giải x
Ta có
g (x ) = 1 + 2018∫ f
(t ) d t
⇒ g '( x ) = 2018 f
(x ) =
2018. g (x )
0
g '( x )
⇒
g (x)
t
= 2018 ⇒
∫ 0
g '( x )
t
g (x)
dx = 2018 ∫ dx ⇒ 2 0
g ( t ) − 1 = 2018t (do g ( 0) = 1)
(
)
1
1009 2 1 1011 . Chọn A. ⇒ g ( t ) = 1009t + 1 ⇒ ∫ g ( t ) dt = t + t |0 = 2 2 0 ' Câu 8: Cho các hàm số f ( x) có đạo hàm và liên tục trên [ 0;1] đồng thời thỏa mãn f ( 0 ) = 9
và
9f
''
( x ) + f ' ( x ) − x
2
=9.
A. T = 2 + 9ln 2
Tính T = f (1) − f ( 0)
B. T = 9
C.
T =
1 + 9 ln 2 2
D. T = 2 − 9ln 2
Lời giải 9f
''
( x ) + f ( x ) − x '
2
=9⇒ −
f '' ( x ) − 1 f ' ( x ) − x f '' ( x ) − 1
2
=
1 9
1 1 x dx = ∫ dx ⇒ ' = +C 9 f ( x) − x 9 f ' ( x ) − x 1 1 Do f ' ( 0 ) = 9 ⇒ C = 1 ⇒ f ' ( x ) = 9 + x ⇒ ∫ f ' ( x ) dx = ∫ 9 + x dx 9 x +1 x +1 0 0
Lấy nguyên hàm hai vế − ∫
Vậy
T = f (1) − f ( 0 ) = 9 ln 2 +
2
1 . 2
Chọn C.
3. Bài tập tự luyện 3
3
2
∫
∫
∫ f ( x) dx bằng:
0
2
0
Câu 1: Cho f ( x ) dx = a, f ( x ) dx = b . Khi đó A. − a − b
B. b − a
C. a + b
D. a − b
5
Câu 2: Cho hàm số f ( x) thỏa mãn
2
∫ f ( x) dx = 10. Tính I = ∫ 2 − 4 f ( x ) dx. 2
A. I = 32.
B. I = 34.
2019
Câu 3: Cho
5
C. I = 36.
2019
D. I = 40. 2019
∫ f ( x) dx = 2, ∫ g ( x) dx = −5 . Tìm J = ∫ 1
A. J = 1
1
B. J = −1
2 f ( x ) + g ( x ) dx
1
C. J = 0
D. J = 2
11
Câu 4: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị là đường gấp
khúc như hình vẽ bên. Tính
9
∫ f ( x ) dx . 0
B. 2 D. 16
A. 18 C. 0
Câu 5: Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên đoạn [ −3;5] và có đồ thị như hình vẽ (phầnn cong ccủa đồ thị là một phần của
( P) : y = ax2 + bx + c
). Tích phân
53 A. . 2 95 C. . 7
3
∫ f ( x) dx bằng −2
61 B. . 3 97 D. . 6
Câu 6:Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ và thỏa mãn B. 21
A. 27
1
2
−5
0
∫ f ( x) dx = 9 . Tính ∫ f (1− 3x) + 9 dx . D. 75
C. 15
Câu 7: Cho f ( x ) là hàm số liên tục trên ℝ và thỏa mãn điều kiện
1
3
0
0
∫ f ( x) dx = 4, ∫ f ( x) dx = 6 .
1
Tính I =
∫ f ( 2 x + 1 )dx −1
C. I = 4
B. I = 3
A. I = 6
D. I = 5
Câu 8: Cho hàm số y = f ( x ) là hàm số xác định và có nguyên hàm liên tục trên R, tuần hoàn có 1
chu kì là T = 6. Biết
2018
∫ f ( 2x) dx = −1; ∫ f ( x + 4)dx = 3. Giá trị I = ∫ f ( x) dx bằng 0
A. 336
2
−2
0
B. 334
C. 332 D. 338 ĐÁP ÁN Câu 1 2 3 4 5 6 Đáp án D B B B D B II. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
7 A
8 B
dẫn học sinh giải một số bài toán tích phân mà hàm số dưới dấu tích Ở phần này tôi hướng dẫ ấy ch chỉ sai khác ở chỗ: biến số có nhân thêm hệ số ố hoặc ho sai khác hằng số phân so với dạng cơ bản thấy ức sai khác vvới biểu thức còn lại một hệ số thì dùng phương pháp đổi biến hoặc đạo hàm một biểu thức số đặt ngay biểu thức đó bằng t để đưa tích phân đó về dạng cơ bản. 1. Phương pháp giải
12
β
b
Định lí :
∫ f ( x) dx = α∫ f (ϕ ( t ) ) .ϕ '( t ) dt a
a) Đổi biến số loại 1 Bước 1: Đổi biến số đặt x = ϕ ( t ) ⇒ dx = ϕ ' ( t ) dt Bước 2: Đổi cận x=b⇒t=β
x = a ⇒t = α β
b
Bước 3: Đổi biểu thức dưới dấu tích phân I =
∫ f ( x) dx = α∫ f (ϕ ( t )) .ϕ '(t ) dt a
b) Đổi biến số loại 2 Bước 1: Đổi biến số đặt u = ϕ ( t ) ⇒ du = ϕ ' ( t ) dt Bước 2: Đổi cận : Bước
t = α ⇒ u = ϕ (α ) = a t = β ⇒ u = ϕ (β ) = b
3:
β
biểu
Đổi b
b
a
a
thức
dưới
dấu
tích
phân
I = ∫ f (ϕ ( t ) ) .ϕ ' ( t ) dt = ∫ f ( u ) du = ∫ f ( x ) dx α
Chú ý : Một số dạng đặc biệt của tích phân
f '( x)
∫ f ( x) dx = ln f ( x) + C
1)
2) Tính bất biến của tích phân khi biến số thay đổi cận cho nhau b
b
a
a
∫ f ( x) dx = ∫ f ( a + b − x) dx 3) Nếu f ( x) là hàm chẵn và liên tục trên [ −a; a] thì
a
a
−a
0
∫ f ( x) dx = 2∫ f ( x) dx
a
4) Nếu f ( x) là hàm lẻ và liên tục trên [ −a; a] thì
∫ f ( x) dx = 0 −a
f ( x) ∫−a mx +1 dx = ∫0 f ( x) dx , ( f ( x) là hàm số chẵn, liên tục trên [ −a; a] ) a
5)
a
2. Bài tập áp dụng 5
Câu 1: Cho ∫ f ( x ) dx = 4 . Tính I = −1
2
∫ f ( 2 x + 1) dx −1
13
A. I = 2
B. I =
5 2
C. I = 4
D. I =
3 2
Lời giải 5
1 1 Đặt 2x + 1 = u ⇒ 2dx = du ⇒ I = ∫ f ( u ) du = .4 = 2 2 −1 2 π
1
Câu 2: Cho ∫ f ( x ) dx = 2020. Tích phân 0
4
∫ f ( sin 2 x ) cos 2 xdx bằng: 0
B. −1009
A. 2019
C. −2018
D. 1010
Lời giải
x = 0 ⇒ t = 0 Đặt t = sin 2 x ⇒ dt = 2 cos 2 xdx , đổi cận π x = 4 ⇒ t = 1 π 1
4
1 1 f ( sin 2 x ) .cos 2 xdx = ∫ f ( x ) dx = .2020 = 1010 . Chọn D. 20 2
⇒∫ 0
Câu 3:Cho hàm số
f ( x ) liên tục trên ℝ và
2019
∫ f ( x ) dx = 2 .
Tính tích phân sau
0
e2019 −1
∫
I=
x . f ln ( x 2 + 1) dx. x +1 A. I = 1. B. I = 2. 2
0
C. I = 4.
D. I = 5.
Lời giải
Đặt t = ln ( x 2 + 1) , suy ra dt =
2 xd x xd x dt ⇒ 2 = . 2 x +1 x +1 2
x = 0 ⇒ t = 0 Đổi cận: 2019 x = e − 1 ⇒ t = 2019 2019 2019 1 1 1 Khi đó I = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx = .2 = 1. ChọnA. 2 0 2 0 2 Câu 4:Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ và
9
∫ 1
f
( x ) dx = 4, x
π 2
∫ f ( sin x ) cos xdx = 2. Tính tích phân 0
3
I=
∫ f ( x ) d x. 0
A. I = 2.
B. I = 6.
C. I = 4.
D. I = 10.
Lời giải 9
Xét
∫ 1
f
( x ) dx = 4. Đặt t = x
x ⇒ t 2 = x, suy ra 2tdt = dx.
14
9
{
Đổi cận x = 1 ⇒ t = 1 . Suy ra x=9⇒t =3
f
∫
( x ) dx = 2 x
1
3
∫
3
f ( t ) dt ⇒ ∫ f ( t ) dt = 2.
1
1
π
Xét
2
∫ f ( sin x ) cos xdx = 2. Đặt u = sin x, suy ra du = cos xdx. 0
π
x = 0 ⇒ u = 0 Đổi cận π . Suy ra 2 = x = ⇒ u =1 2 3
1
3
0
0
1
1
2
∫
f ( sin x ) cos x d x =
∫ f (t ) dt.
0
0
Vậy I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = 4. ChọnC. Câu 5: Cho các hàm số f ( x ) , g ( x ) liên tục trên [ 0;1] thỏa mãn m. f ( x ) + n. f (1 − x ) = g ( x ) với
m, n là số thực khác 0và
1
∫
1
f ( x ) dx = ∫ g ( x ) dx = 1. Tính
0
m+n.
0
1 2
A. m + n = 0.
B. m + n = .
Lời giải b
C. m + n = 1.
D. m + n = 2.
b
∫
∫ f ( a + b − x) dx
a
a
Áp dụng tính chất f ( x ) dx =
Từ giả thiết m. f ( x ) + n. f (1 − x ) = g ( x ) , lấy tích phân hai vế ta được 1
1
∫ m. f ( x ) + n. f (1 − x )dx = ∫ g ( x)dx 0
0 1
Suy ra m + n ∫ f (1 − x ) d x = 1 (do 0
1
∫
1
f ( x ) dx = ∫ g ( x ) dx = 1 ). (1)
0
0
1
Xét tích phân
∫ f (1 − x ) dx. Đặt t = 1 − x , suy ra dt = −dx. Đổi cận: {x = 1 ⇒ t = 0 . x = 0 ⇒ t =1
0
1
Khi đó
∫
0
1
1
1
0
0
f (1 − x ) dx = − ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx = 1. ( 2 )
0
Từ (1) và ( 2) , suy ra m + n = 1.Chọn C. π
Câu 6:Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ và thỏa mãn
4
e2
∫ tan x. f ( cos x ) dx = 1, ∫e 2
0
2
Tính tích phân I = ∫ 1 4
A. I = 1.
f (2 x) x
f ( ln2 x) x ln x
dx = 1.
d x.
B. I = 2.
C. I = 3.
D. I = 4.
Lời giải π 4
Xét A = ∫ tan x. f ( cos 2 x ) dx = 1 .Đặt t = cos 2 x. 0
Suy ra d t = − 2 sin x cos x d x = − 2 cos 2 x tan x d x = − 2t . tan x d x ⇒ tan x d x = −
dt . 2t
15
x = 0 ⇒ t = 1 Đổi cận: 1. π
x=
4
⇒t=
2
1 2
1 1 1 f ( x) 1 f (t ) 1 f (t ) 1 f ( x) dt = ∫ dt = ∫ dx ⇒ ∫ dx = 2. Khi đó A = − ∫ 21 t 21 t 21 x x 1 2
Xét B =
f ( ln x )
2
2
2
e2
∫
x ln x
e
dx = 1. Đặt u = ln 2 x.
2ln x 2ln2 x 2u dx du dx = dx = dx ⇒ = . Suy ra du = x x ln x x ln x x ln x 2u
{
Đổi cận: x = e 2⇒ u = 1 . x=e ⇒u=4
4 4 4 f ( x) 1 f (u ) 1 f ( x) du = ∫ dx ⇒ ∫ dx = 2. Khi đó B = ∫ 21 u 21 x x 1 2 f (2 x) Xét tích phân cần tính I = ∫ d x. x 1 2
1 1 1 dx = 2 d v Đặt v = 2 x , suy ra . Đổi cận: x = 4 ⇒ v = 2 . v x = 2 ⇒ v = 4 x = 2 4 4 1 4 f (v) f ( x) f ( x) f ( x) Khi đó I = ∫ dv = ∫ dx = ∫ dx + ∫ dx = 2 + 2 = 4. ChọnD. v x x x 1 1 1 1 2
2
2
Câu 7:Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ và thỏa f ( x ) + f ( − x ) = 2 + 2cos 2 x với mọi x ∈ℝ . 3π 2
Tính I = −
∫π f ( x ) d x . 3 2
A. I = −6 .
B. I = 0 .
C. I = −2 .
D. I = 6 .
Lời giải 3π 3π x = − 2 ⇒ t = 2 Đặt t = − x ⇒ dx = −dt. Đổi cận: . 3π 3π x = ⇒t=− 2 2 −
Khi đó I = −
3π 2
3π 2
∫ f ( −t ) dt = ∫π f ( −t ) dt = ∫π f ( − x ) dx.
3π 2 3π 2
Suy ra 2I =
3π 2
−
3 2
−
3π 2
∫π f ( x ) + f ( −x ) dx = ∫π
3 − 2
3 − 2
3 2
3π 2
2 + 2cos 2xdx = 4 ∫ cosx dx = 12 ⇒ I = 6. ChọnD. 0
16
Câu 8: Cho hàm số chẵn y = f ( x ) liên tục trên R và
f ( 2 x ) dx ∫−1 1 + 2019 x = 8. Tính 1
A. 2. B. 4. C. 8. Phương pháp: Đổi biến số và sử dụng tính chất của hàm số chẵn. Lời giải Đặt t = − x ⇒ dx = − dt . Đổi cận: x = − 1 ⇒ t = 1; x = 1 ⇒ t = − 1
2
∫ f ( x )dx 0
D. 16.
1
f ( 2x) dx 1 f ( −2)( −dt ) 1 2t f ( 2t ) dt I=∫ =∫ =∫ x t (Vì y = f ( x ) là hàm số chẵn) −t 1 2019 1 2019 1 2019 + + + −1 −1 −1 1 1 f ( 2 x ) dx 1 2 x f ( 2 x ) dx ⇒ 2I = ∫ +∫ = ∫ f ( 2 x ) dx ⇒ ∫ f ( 2 x ) dx = 2.8 = 16 x x −1 1 + 2019 −1 1 + 2019 −1 −1 1
0
1
−1 0
0
⇒ ∫ f ( 2 x ) dx + ∫ f ( 2 x ) dx = 16 .Do y = f ( x ) là hàm số chẵn 1
1
1
0
0
0
⇒ ∫ f ( 2 x ) dx = ∫ f ( 2 x ) dx ⇒ 2 ∫ f ( 2 x ) dx = 16 ⇒ ∫ f ( 2 x ) dx = 8 −1
Đặt 2 x = m ⇒ dx =
1 dm. Đổi cận x = 0 ⇒ m = 0, x = 1 ⇒ m = 2 2
2
2 1 ⇒ ∫ f ( 2x)dx = ∫ f ( m) dm = 8 ⇒ ∫ f ( x ) dx = 16 . Chọn D. 0 0 20 1
Câu 9: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] , f ( x) và f ' ( x ) đều nhận giá trị 1
1
2 dương trên đoạn [ 0;1] và thỏa mãn f ( 0) = 2, ∫ f ' ( x ) . f ( x ) + 1dx = 2∫ f ' ( x ) . f ( x ) dx. 0 0 1
Tính
∫ f ( x )
3
dx.
0
A.
15 . 4
Phương pháp:
B.
∫
15 . 2
f n ( x ) . f ' ( x ) dx =
Lời giải 1
C.
17 . 2
D.
19 . 2
f n+1 ( x ) + C , ( n ≠ −1) n +1
1
1
f ' ( x ) . f ( x )2 + 1 dx = 2 f ' ( x ) . f ( x ) dx ⇔ f ' ( x ) . f ( x ) 2 − 2 f ' ( x ) . f ( x ) + 1 dx = 0 ∫0 ∫0 ∫0 1
2
⇔ ∫ f ' ( x ) . f ( x ) − 1 dx = 0 ⇒ f ' ( x ) . f ( x ) − 1 = 0 ⇒ f 2 ( x ) . f ' ( x ) = 1, ∀x ∈[ 0;1] 0
f 3 ( x) ⇒ ∫ f ( x ) . f ' ( x ) dx = ∫ 1dx ⇒ 3 0 0 x
x
x
2
1
0
f 3 ( x ) f 3 ( 0) =x⇒ − =x 3 3 1
1 ( 3x + 8) Mà f ( 0 ) = 2 ⇒ f ( x ) = 3 x + 8 ⇒ ∫ f ( x ) dx = ∫ ( 3 x + 8 ) dx = . 3 2 0 0 3
3
2 1
= 0
19 . Chọn D. 2
17
Câu 10:Cho hàm số f ( x ) có đạạo hàm f '( x ) liên tục trên R và có 3
đồ thị của hàm số f '( x ) như hình vẽ, Biết
∫ ( x + 1) f '( x)dx = a và 0
1
3
3
∫ f '( x) dx = b, ∫ f '( x) dx = c, f (1) = d . 0
∫ f ( x)dx
Tích phân
1
0
bằng A. − a + b + 4 c − 5d . C. − a + b − 4c + 3d Lời giải 3
B. − a + b − 3c + 2d D. − a − b − 4 c + 5d .
3
3
3
3
∫ ( x + 1) f '( x)dx = ∫ ( x + 1)d ( f ( x)) = ( x + 1) f ( x) 0 − ∫ f ( x)dx = 4 f (3) − f (0) − ∫ f ( x)dx; 0
0
1
0
0
1
b = ∫ f '( x) dx = ∫ f '( x)dx = f (1) − f (0) = d − f (0) ⇒ f (0) = d − b; 0 3
0 3
c = ∫ f '( x) dx = −∫ f '( x)dx = f (1) − f (3) = d − f (3) ⇒ f (3) = d − c; 1 3
1
⇒ ∫ f ( x)dx = 4(d − c) − (d − b) − a = −a + b − 4c + 3d. Chọn C. 1
3. Bài tập tự luyện 2
Câu 1: Cho ∫ f ( x 2 + 1) dx = 2 . Khi đó I = 1
5
∫ f ( x ) dx bằng 2
A. 2. B. 1. C. -1. D. 4. Câu 2: Xét hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [ 0;1] và thỏa mãn 2f ( x ) + 3f (1 − x ) = 1 − x 2 . Tính 1
I = ∫ f ( x ) dx. 0
π 6
π 4
A. .
B. . 4
Câu 3 : Biết ∫ f ( x ) dx = 6 và 1
A.
3 . 2
B.
C. 5
π . 20
D.
2
∫ f ( x ) dx = 10 , khi đó
∫ f ( 4x − 3) dx −
4
1
13 . 2
π . 16
ln 2
∫ f (e ) e 2x
2x
dx bằng
0
C. 4.
D. 1.
Câu 4: Cho hàm số y = f ( x) xác định và liên tục trên ℝ, thỏa f ( x 5 + 4 x + 3 ) = 2 x + 1 với mọi 8
x∈ℝ. Tích phân
∫ f ( x ) dx bằng −2
A. 2.
B. 10.
C.
32 . 3
D. 72.
18
π
Câu 5: Biết f ( x ) là hàm số liên tục trên ℝ và
π
2
∫
f ( x ) dx = 4 . Khi đó
0
A. 2 +
2 . 2
B. 3 −
2 . 2
C. 1+
2 . 2
4
∫ f ( 2 x ) − sin x dx
bằng
0
2 . 2
D. 2 −
π 2
Câu 6: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ và thỏa mãn
(
16
)
∫ cot x. f sin x dx = ∫ 2
π
f
( x ) dx = 1. Tính x
1
4 1 tích phân I = ∫ f ( 4 x ) dx. 1 8
x
A. I = 3.
B. I =
3 . 2
C. I = 2. ln 2
Câu 7: Cho hàm số f ( x) liên tục trên
∫
ℝ . Biết
D. I =
f ( e + 1) dx = 5 và x
0
3
∫
5 . 2
( 2x − 3) f ( x ) dx = 3 x −1
2
.
3
Tính I =
∫ f ( x ) dx 2
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
Câu 8 :Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [1; 4 ] và thỏa mãn f ( x ) =
(
) + ln x .
f 2 x −1 x
x
4
Tính tích phân của I =
∫ f ( x )dx . 3
B. I = 2ln 2.
A. I = 2 ln 2 2.
C. I = 3 + 2 ln 2 2.
D. I = ln 2 2.
1
1
1
2 Câu 9: Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên ;2 , thỏa f ( x ) + f = x + 2 + 2. x 2 x 2 f ( x) Tính tích phân I = ∫ 2 d x. 1 x +1 2
A. I =
3 . 2
B. I = 2.
C. I =
5 . 2
D. I = 3.
Câu 10: Cho số thực a > 0 . Giả sử hàm số f ( x ) liên tục và luôn dương trên đoạn [ 0;a ] thỏa mãn a
1 dx. 1 + f x ( ) 0
f ( x ) .f ( a − x ) = 1, ∀x ∈[ 0;a ]. Tính tích phân I = ∫ A. I =
a 2
B. I = a
C. I =
2a 3
D. I =
a 3
ĐÁP ÁN
19
Câu
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Đáp án
D
C
D
B
A
D
B
A
A
A
III. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 1. Phương pháp giải
Định lí : Nếu u = u ( x ) và v = v( x) là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn [ a; b] thì b
b
∫ u ( x) .v '( x) dx =u ( x) .v ( x) | −∫ u '( x) .v ( x) dx b a
a
a
Chú ý: - Nhận dạng:Hàm số dưới dấu tích phân là tích của hai hàm số khác nhau
- Ý nghĩa: Đưa một tích phân phức tạp về tích phân đơn giản hơn - Tích phân hàm ẩn hay xuất hiện biểu thức dạng
'
f ( u) = f ' ( u) .u '
Bước 1: Quan sát xem hàm số dưới dấu tích phân là tích của 2 hàm số nào Bước 2: Đặt một hàm số bằng
u và còn lại bằng dv thông thường dựa vào sơ đồ sau Mũ
Lượng giác
Đa thức Lôgarit nê-pe
Lôgarit
(Để ý hàm số dưới dấu tích phân có thể chứa tích f ' ( x ) .g ( x ) với g ( x) có thể là hàm đa thức, hàm lượng giác, hàm mũ, loga nê pe thì đặt dv = f ' ( x) và u = g ( x ) ). Bước 3: Áp dụng công thức tích phân từng phần đưa tích phân về dạng đơn giản. 2. Bài tập áp dụng Câu 1: Cho A. 4032 Lời giải
2
1
0
0
∫ (1 − 2x) f '( x) dx = 3 f ( 2) + f ( 0) = 2020. Tích phân ∫ f ( 2x )dx bằng: B. 1010
C. 0
D. 2020
20
2
2
∫ (1 − 2x) f '( x) dx = ∫ (1 − 2x) d ( f ( x) ) = (1 − 2x) f ( x) 0
0
2 0
2
+ 2∫ f ( x ) dx 0
2
2
1
0
0
0
⇔ 2020 = −3 f ( 2) − f ( 0) + 2∫ f ( x ) dx ⇔ ∫ f ( x ) dx = 2020 ⇒ ∫ f ( 2x ) dx = 1010 π Câu 2: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên 0; , thỏa mãn 2
π 2
∫ f ' ( x ) cos
2
xdx = 10 và
0
π
f ( 0 ) = 3. Tích phân
2
∫ f ( x ) sin 2 x dx
bằng
0
A. I = −13.
B. I = −7.
C. I = 7.
D. I = 13.
Lời giải π
Xét
2
∫ 0
{
u = cos 2 x
du = − sin 2 xdx
⇒ v= f x f ' ( x ) cos 2 xdx = 10 , đặt 2 ( ) dv = f ' ( x ) cos xdx π
.
π
2
Khi đó 10 = ∫ f ' ( x ) cos 2 xdx = cos 2 xf ( x ) 0
π
π
2
2
⇔ 10 = − f ( 0 ) + ∫ f ( x ) sin 2 xd x ⇒ 0
π 2 0
2
+ ∫ f ( x ) sin 2 xdx 0
∫ f ( x ) sin 2 xdx = 10 + f ( 0 ) = 13. ChọnD. 0
3
3
Câu 3: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn ∫ x. f ′ ( x ) .e f ( x ) dx = 8 và f ( 3) = ln 3 . Tính I = ∫ e f ( x ) d x. 0
A. I = 1.
0
B. I = 11.
Lời giải u = x du = dx ⇒ Đặt f ( x) f ( x ) . Khi đó ′ dv = f ( x ) .e dx v = e 3
3
0
0
C. I = 8 − ln 3. 3
∫ x. f ′ ( x ) .e
f (x)
dx = x.e
f ( x)
3 0
0
D. I = 8 + ln 3. 3
− ∫e
f ( x)
dx.
0
Suy ra 8 = 3.e f ( 3) − ∫ e f ( x ) dx ⇒ ∫ e f ( x ) dx = 9 − 8 = 1. ChọnA. Câu 4:Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên [ 0;1] , thỏa mãn
2
∫ f ( x − 1) dx = 3
và
1 1
f (1) = 4. Tích phân ∫ x3 f ' ( x 2 ) dx bằng 0
1 2
A. − 1. Lời giải 2
Ta có
1
1
∫ f ( x − 1) dx = 3 → ∫ f ( t ) dt = 3 hay ∫ f ( x ) dx = 3. 1
0
t = x2
1
1
0
1
1
→ ∫ tf ' ( t ) dt = ∫ xf ' ( x ) dx. Đặt ∫ x f ' ( x ) dx 2 2 3
0
D. 1 .
C. .
t = x −1
1
Xét
1 2
B. − .
2
0
0
{
{
u=x du = dx dv = f ' ( x ) dx ⇒ v = f ( x ) .
21
1
Khi đó
2
3 2 t=x → ∫ x f ' ( x ) dx 0
Câu
5:
Cho
1 1 1 1 1 1 1 ' d = tf t t xf x () ( ) −∫ f ( x ) dx = [ 4 − 3] = . Chọn C. ∫ 20 2 2 0 0 2
hàm
y = f ( x)
số
f ( 0) = f (1) = 1.
với
Biết
rằng:
1
∫e
x
f ( x ) + f ' ( x ) dx = ae + b.
0
Q = a2019 + b2019. 2019 + 1. A. Q = 2
Tính
B. Q = 2.
C. Q = 0.
D.
Q = 22019 −1.
Lời giải x u = e ⇔ dv = f ' x dx ( )
Đặt 1
x 1 1 du = e dx 1 x x e f x dx e f x ⇒ . ' = . − ( ) ( ) 0 ∫ e x . f ( x ) dx ∫ 0 0 v = f ( x )
1
a = 1 . Vậy Q = 0. ⇔ ∫ e . f ' ( x ) dx + ∫ ex . f ( x ) dx = e. f (1) − f ( 0) ⇔ ae + b = e − 1 ⇒ = − 1 b 0 0 x
Câu 6: Cho hàm số f ( x ) nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên [ 0;2]. Biết f ( 0) = 1 và 2
f ( x) f (2 − x) = e
2 x2 −4 x
với mọi x ∈ [ 0; 2] . Tính tích phân I =
∫
(x
3
− 3x2 ) f ' ( x ) f ( x)
0
A. I = − Lời giải 2
Ta có I =
∫
(x
3
14 . 3
B. I = −
− 3x2 ) f ' ( x ) f ( x)
0
I = ( x 3 − 3 x 2 ) ln f ( x )
2 0
C. I = −
16 . 3
D. I = −
16 . 5
u = x3 − 3x2 2 du = ( 3x − 6x ) dx f ' x ( ) . ⇒ dx. Đặt dv = dx v = ln f ( x ) f ( x)
2
f ( 2 ) =1
2
− ∫ ( 3 x 2 − 6 x ) ln f ( x ) dx = − 3∫ ( x 2 − 2 x ) ln f ( x ) dx = −3 J . 0
2
0
x = 2−t
J = ∫ ( x 2 − 2 x ) ln f ( x ) dx
=
0
0
∫ ( 2 − t ) 2
0
32 . 5
dx.
2
− 2 ( 2 − t ) ln f ( 2 − t ) d ( 2 − t ) 2
= ∫ ( 2 − x ) − 2 ( 2 − x ) ln f ( 2 − x ) d ( 2 − x ) = ∫ ( x 2 − 2 x ) ln f ( 2 − x ) dx. 2
2
0
2
2
2
0
0
⇒ 2 J = ∫ ( x 2 − 2 x ) ln f ( x ) dx + ∫ ( x 2 − 2 x ) ln f ( 2 − x ) dx = ∫ ( x 2 − 2 x ) ln f ( x ) f ( 2 − x ) dx 0 2
= ∫ ( x 2 − 2 x ) ln e 2 x
2
2
−4 x
dx = ∫ ( x 2 − 2 x )( 2 x 2 − 4 x ) dx =
0
0
f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn
Câu 7: Cho hàm số 1
∫ f ′ ( x )
2
1
dx = 7 và
0
[ 0;1]
thỏa mãn
f (1) = 0 ,
1
1 ∫ x f ( x ) dx = 3 . Tính ∫ f ( x )dx . 2
0
7 A. . 5
32 16 16 ⇒ J = . Vậy I = − . Chọn D. 15 15 5
0
B. 1.
C.
7 . 4
D. 4.
22
Lời giải 1
1 Xét ∫ x 2 f ( x ) dx = . Đặt 3 0
1
1
⇒
du = f ′ ( x ) dx u = f ( x ) ⇒ x3 2 dv x dx = v = 3
2 ∫ x f ( x ) dx = 0
1
1
1 3 1 3 1 3 x f ( x ) − ∫ x 3 f ′ ( x ) dx = − ∫ x f ′ ( x ) dx ⇒ ∫ x f ′ ( x ) dx = − 1 3 3 3 0 0 0 0 1
1 2 ∫ f ′ ( x ) dx = 7 0 1 Ta lại có ∫ 14 x3 f ′ ( x ) dx = −14 0 1 1 ∫ 49 x6 dx = 7 x7 = 7 0 0 1
1
2
1
1
2
⇒ ∫ f ′ ( x ) dx + ∫ 14 x f ′ ( x ) dx + ∫ 49 x dx = 0 ⇔ ∫ f ′ ( x ) + 7 x 3 dx = 0 3
0
6
0
0
0
⇔ f ′ ( x ) + 7 x3 = 0, ∀x ∈[ 0;1] ⇔ f ′ ( x ) = −7 x3 , ∀x ∈[0;1] ⇒ f ( x ) = − Ta có f (1) = 0 ⇔ C =
7 x4 +C 4
7 7 ⇒ f ( x ) = (1 − x 4 ) 4 4 1
1
1 7 7 7 1 7 x5 ⇒ ∫ f ( x )dx = ∫ (1 − x 4 )dx = x − = 1 − = Chọn A. 40 4 5 0 4 5 5 0
Câu8:Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên
R
và
có
đồ
thị
như
hình
bên.
Đặt
1
K = ∫ x. f ( x ) . f ′ ( x ) dx, khi đđó K thuộc khoảng nào 0
sau đây? A. ( −3; − 2) .
B. −2; −
3 . 2
3 2
2 3
C. − ; − .
2 3
D. − ;0 .
Lời giải
du = dx u = x ⇒ Đặt f 2 ( x) . ′ v f x f x x = d . d ( ) ( ) v = 2 1
1 1 x f 2 (x) 1 1 1 2 Khi đó K = ∫ x. f ( x ) . f ′ ( x ) d x = − ∫ f ( x ) d x = − ∫ f 2 ( x ) d x. 2 20 2 20 0 0 1
Từ đồ thị, ta thấy:
23
1
• f ( x ) > 2 − x, ∀x ∈ [ 0;1] ⇒
∫ 0
2
1 1 f 2 ( x) 2 − x) f 2 ( x) ( 7 1 2 dx > ∫ dx = ⇒ K = − ∫ dx < − . 2 2 6 2 0 2 3 0
1 1 f 2 ( x) f 2 ( x) 1 3 dx > ∫ 2dx = 2 ⇒ K = − ∫ dx > − . Chọn C. • f ( x ) < 2, ∀x ∈[ 0;1] ⇒ ∫ 2 2 0 2 2 0 0 1
3. Bài tập tự luyện Câu 1: Biết F ( x) là nguyên hàm của f ( x ) trên ℝ thỏa mãn
Tích phân
e
∫ F ( x) d ( ln x) = 3 và F ( e) = 5. 1
e
∫ ln x. f ( x) dx bằng 1
A. 3.
B. -3.
C. 2.
D. -2.
Câu 2: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục trên ℝ và thỏa mãn f (3) = 7 ,
3
∫
f ( x ) dx = 3.
0
1
Giá trị
∫
xf ′ (3 x ) dx bằng
0
8 . 3
A.
B. 6.
C. 8.
D. 2. 2
4
x Câu 3: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ và f (2) = 16, ∫ f ( x ) dx = 4. Tính I = ∫ xf ' dx. 2 0 0
A. I = 12.
B. I = 112.
π
∫
C. I = 28.
π
f ( x ) dx = 2
Câu 4: Cho 0
∫ g ( x ) dx = −1
và 0
B. I = 7 + 4π
A. I = 7 + π
Câu 5:Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn
D. I = 144.
π
. Tính
I = ∫ 2 f ( x ) + x sin x − 3 g ( x ) dx 0
C. I = π − 1
bằng
D. I = 7 +
π 4
2
∫ ( 2x + 3) . f ' ( x) dx = 15 và 7. f ( 2) − 5. f (1) = 8. Tính 1
2
I = ∫ f ( x) dx. 1
A. I =
7 . 2
2 7
B. I = − .
Câu 6: Cho hàm số
C. I =
2 . 7
7 2
D. I = − .
f ( x) có đạo hàm liên tục trên ℝ thỏa mãn
f ( 0) = 3 và
2
f ( x ) + f ( 2 − x ) = x − 2 x + 2 ∀x ∈ ℝ . Tích phân ∫ xf ' ( x) dx bằng: 2
0
24
A. −
4 3
B.
2 3
C.
5 3
D. −
10 3
Câu 7: Cho hàm số f ( x) liên tục trên [ 0;1] và thỏa mãn 1
1
1
2 2 2 ∫0 f ( x) + 2ln e dx = 2∫0 f ( x ) ln ( x + 1) dx. Tích phân I = ∫0 f ( x) dx. e 4 e 2 A. I = ln . B. I = ln . C. I = ln . D. I = ln . 4 e 2 e π và π Câu 8: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; f = 0. Biết rằng 4 4 π
π
4
4
∫
f 2 ( x ) dx =
0
π
π 8
π
; f ' ( x ) sin 2 xdx = − . Tính tích phân I = ∫ f ( 2 x )dx . 8 ∫0 4 0
1 2
1 4
A. I = .
B. I = .
C. I
= 2.
D.
Câu 9: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn 1
1
π 1 ∫0 f ( x ) dx = 2 , ∫0 f ' ( x ) cosπxdx = 2 . Tính 2
A.
3π 2
Câu Đáp án
B. 1 C
2 D
2 π
và f ( 0) + f (1) = 0 . Biết
1
∫ f ( x ) dx 0
C. π 3 B
[ 0;1]
I = 1.
ĐÁP ÁN 4 5 A D
D. 6 D
7 B
1 π
8 B
9 B
25
IV. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 1. Phương pháp giải Bước 1: Xác định miền phẳng D cần tính (có thể vẽ hình để dễ xác định miền phẳng) Bước 2: Áp dụng công thức b
+ S =ò f ( x) dx a b
+ S =ò f ( x) - g ( x) dx a
Chú ý:
1) Bài toán 2 đường cong hoặc 3 đường cong tự cắt phải xác định giao điểm của các đồ thị 2) Tiếp tuyến của (C) y = f ( x ) tại điểm M ( x0 ; f ( x0 ) ) là y = f ' ( x0 )( x − x0 ) + f ( x0 ) 3) Cách xác định hàm số dựa vào số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm. 4) Cách khử bỏ dấu giá trị tuyệt đối của 1 biểu thức bằng phương pháp lập bảng xét dấu. 2. Bài tập áp dụng Câu 1: Cho đồ thị hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn 0; 4 như hình vẽ. Biết 4
diện tích S1 =
11 9 , S2 = . Tính tích phân I = ∫ f ( x)dx . 6 2 0
A. I = − C. I =
8 3
19 3 19 D. I = − 3
B. I =
8 3
Lời giải 4
1
4
1
4
0
0
1
0
1
8 I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ − f ( x ) dx = S1 − S 2 = − . Chọn A 3
Câu 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đườngy=x3,y=10-xvà trụcOxlà:
26
B. 26
A. 32. Phương pháp:
D. 40.
C. 36.
ng (H) giớ giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) , trục hoành và hai Diện tích hình phẳng b
thức: S = đường thẳng x = a ; x = b được tính theo công th
∫ f ( x ) − g ( x ) dx a
Lời giải Xét phương trình hoành độ giao điểm: x 3 = 10 − x ⇔ x = 2 Diện tích cần tìm là: 2
10
2
1 S = ∫ x dx + ∫ (10 − x ) dx = x 4 4 0 2
1 + 10 x − x 2 2 0
3
10
= 4 − 0 + 50 − 18 = 36 . Chọn C. 2
Câu 3:Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên [ 0;4] và có đồ thị 4
∫ f ( x) dx bằng
như hình bên. Tích phân
0
B. 1. C. 5. D. 8.
A. 0. Lời giải 4
Ta có:
2
4
∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = S 0
0
ABCO
− SCDE .
2
Diện tích hình thang ABCO là: S ABCO =
2. (1 + 2 ) = 3. 2
Diện tích hình tam giác CDE là: SCDE =
2.2 =2 2
4
Vậy
∫ f ( x ) dx = S
ABCO
− SCDE = 3 − 2 = 1. Chọn B.
0
giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = x 2 - 1 , y = x + 5 . Diện tích của (H) Câu 4: Hình phẳng (H) được giớ bằng A.
71 3
B.
73 3
C.
70 3
D.
74 3
Lời giải 3
(
))
3
2 2 Xét x 2 - 1 = x + 5 có nghiệm x = - 3, x = 3 suy ra S =ò x -1 - x + 5 dx = 2ò x -1 - ( x + 5) dx -3
(
0
Bảng xét dấu x - 1 trên đoạn 0;3
[ ]
2
x
0
x -1 1
(
1 0
-
2
)
3
(
3 +
)
Vậy S = 2ò - x 2 - x - 4 dx +ò x 2 - x - 6 dx = 0
1
73 . Chọn B. 3
27
ng Parabol Câu 5: Biết rằng đường
( P) : y2 = 2x
chia đường
2 2 tròn ( C ) : x + y = 8 thành hai phần lần lượt có diện tích là
S1, S2
(hình bên). Khi đó S2 − S1 = aπ −
nguyên dương và
b với c
a , b, c
b là phân số tối giản. Tổng a + b + c bằng c B. 14. C. 15. D. 16.
A. 13. Lời giải Diện tích hình tròn S = 8π . điểm của ( P) và ( C) là Phương trình hoành độ giao điể 2 x ≥ 0 y = 2 x ⇒ ⇔ x = 2. 2 2 2 x + y = 8 x + 2 x = 8 2 2 2 4 Suy ra S1 = 2. ∫ 2 x dx + ∫ 8 − x 2 dx = + 2π . 0 2 3
a=4
4 8 Suy ra S2 = S − S1 = 6π − ⇒ S 2 − S1 = 4π − ⇒ b = 8 . Chọn C. 3 3 c = 3
Câu 6:Trong mặt phẳng tọa ọa độ Oxycho hình chữ nhật Hcó một cạnh nằm trên trục hoành và có hai đỉnh trên
(
)
một đường chéo là A( −1;0) và C a; a với a > 0. Biết rằng đồ thị hàm số y = x chia hình chữ nhật ằng nhau tìm a. thành hai phần códiện tích bằng
1 2
A. a = .
B. a = 3.
C. a = 4.
D. a = 9.
Lời giải Từ hình vẽ ta suy ra B ( a;0) .
Hình chữ nhật ACBD có AB = a + 1 và a
Diện tích miền gạch sọc: S ′ =
∫
xdx =
0
Theo giả thiết, ta có S ′ =
S 2a a ⇔ = 2 3
AD = a nên có diện tích S = a ( a + 1) . 2a a . 3 a ( a + 1) a >0 → a = 3. Chọn B. 2
28
Câu 7: Cho hàm số y = a x 4 + b x 2 + c có đồ thị ( C ) , biết rằng ( C) đi
ến d ttại A của ( C) cắt ( C) tại 2 điểm có qua điểm A ( −1;0) tiếp tuyến hoành độ lần lượt là 0 và 2, diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, đồ thị
( C)
và 2 đường thẳng x = 0; x = 2 có diện tích bằng
28 (phần gạch 5
chéo trong hình vẽ). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, đồ thị ( C) và 2 đường thẳng x = − 1; x = 0 có diện tích bằng A.
2 5
B.
1 2 1 C. D. 9 9 5
Lời giải
Điểm A ( −1;0) thuộc đồ thị hàm số ( C) ⇒ a + b + c = 0 Phương trình tiếp tuyến tại A ( −1;0) là ( d ) : y = y' (1)( x + 1) = ( −4a − 2b )( x + 1) 4 2 điểm của (*) suy ra ( −4a − 2b)( x + 1) = ax + bx + c (*) Phương trình hoành độ giao điể
−4a − 2b = c ủa (*) suy ra Mà x = 0, x = 2 là nghiệm của (1) −12a − 6b = 16a + 4b + c 2 28 32 8 28 Và = ∫ ( −4a − 2b )( x + 1) − ax 4 − bx 2 − c dx = 4 ( −4a − 2b ) − a − b − 2c = (2) 5 0 3 3 5 4
2
2
Từ (1) , ( 2) suy ra a =1,b = −3,c = 2 ⇒ y = x −3x + 2 . Vậy S = ∫ 2x + 2 − x 4 + 3x 2 − 2dx = 0
1 5
Câu 8:Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên đoạn
[ −3;3] và có đồ thị như hình vẽẽ. Biết rằng diện tích hình phẳng S1, S2 giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) và đường thẳng 3
y = − x − 1 lần lượt là M ; m . Tích phân
∫ f ( x ) dx bằng −3
A. 6 + m − M . C. M − m + 6. Lời giải
B. 6 − m − M . D. m − M − 6.
1
1
1
1
∫
∫ ( −x − 1) dx − ∫ f ( x ) dx = 0 − ∫ f ( x ) dx;
−3
−3
Ta có: M = − x − 1 − f ( x ) dx = 3
3
−3 3
−3 3
m = ∫ f ( x ) − ( − x − 1) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ ( x + 1) dx = ∫ f ( x ) dx + 6. 1
1 3
1
1 3
1 3
m − M = ∫ f ( x ) dx + 6 + ∫ f ( x ) dx = 6 + ∫ f ( x ) dx. ⇒ ∫ f ( x ) dx = m − M − 6. Chọn D. 1
−3
−3
−3
29
ới hạn bởi các đường Câu 9: Cho hình phẳng Dgiớ
y = x 2 , y = 0,
x = 0, x = 4. Đường thẳng y = k ( 0 < k < 16) chia hình D thành hai
phần có diện tích A. k = 3 . C. k = 5.
S1, S2
(hình vẽ). Tìm k để S1 = S2. B. k = 4 . D. k = 8 .
Lời giải
điểm: Phương trình hoành độ giao điể 4
x3 ● S1 + S2 = ∫ x dx = 3 0
4
2
= 0
64 . 3
4
● S1 =
x3 ∫ ( x − k ) dx = 3 − kx k
4
2
Theo giả thiết S1 = S2 ⇒ S1 =
Câu10:
x>0 x2 = k → x = k . Ta có:
Cho
hai
hàm
= −4k + k
2 k k 64 + . 3 3
1 2k k 64 32 + = ⇒ k = 4. Chọn B. ( S1 + S2 ) ⇔ −4k + 2 3 3 3 số
f ( x ) = ax3 + bx2 + cx −
1 2
và
g ( x ) = dx 2 + ex + 1 ( a, b, c, d , e ∈ℝ ) . Biết rằng đồ thị hàm số
y = f ( x ) và y = g ( x ) cắt nhau ttại ba điểm có hoành độ lần lượt là − 3; − 1; 1 (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã
cho có diện tích bằng A. 4.
B.
9 . 2
C. 5.
D. 8.
Lời giải điểm của đồ thị f ( x) và g ( x ) là Phương trình hoành độ giao điể
1 3 ax3 + bx2 + cx − = dx2 + ex + 1 ⇔ ax3 + ( b − d ) x2 + ( c − d ) x − = 0 (∗) . 2 2 ắt nhau ttại ba điểm suy ra phương trình ( ∗ ) có ba nghiệm là − 3; − 1; 1. Do đồ thị của hai hàm số cắt 3 3 2 nh hai vế ta suy ra Ta được a ( x + 3)( x + 1)( x − 1) = ax + ( b − d ) x + ( c − d ) x − . Đồng nhất 2 1 3 1 1 −3a = − ⇔ a = . Vậyy diện tích hình phẳng là ∫ ( x + 3)( x + 1)( x − 1) dx = 4. Chọn A. 2 2 2 −3 3. Bài tập tự luyện
30
Câu 1: Tính diện tích hình phẳng được tô đậm ở hình bên.
10 . 3 25 . C. S = 6 A. S =
B. S =
20 . 3
D. S = 9.
ủa hình phẳng giới hạn bởi parabol y = Câu 2: Gọi S là diện tích của tọa độ, bán kính bằng
x2 và đường tròn có tâm tại gốc 2
b 2 2 . Biết S = aπ + , trong đó a, b, c ∈ ℕ* , ( b, c ) = 1 . Tính tổng c
a+b+c.
B. 7 A. 6 C. 8 D. 9 giới hạn bởi đường cong y = f ( x ), trục hoành và hai đường thẳng Câu 3: Diện tích hình phẳng gi ởi công th thức nào dưới đây? x = − 1; x = 1 được tính bởi 1
A.
∫
1
f ( x ) dx.
B.
−1
∫
−1
1
1
f ( x ) dx. C. π ∫ f ( x ) dx.
D.
2
−1
∫
f 2 ( x ) dx.
−1
Câu 4: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên
[ −1;2]. Đồ thị của hàm số
y = f ′ ( x ) được cho như hình 5 bên. Diện tích các hình phẳng ( K ) , ( H ) lần lượt là và 12 8 19 . Biết f ( −1) = , tính f ( 2 ) . 3 12 2 2 11 A. f ( 2) = − . B. f ( 2 ) = . C. f ( 2) = . D. f ( 2 ) = 3. 3 3 6 Câu 5: Tính diện tích hình phằng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y = x4 − 4x2 + 1 và đồ thị hàm số
y = x2 − 3 A. 8
B. 6
C. 4
D. 2
2
giới hạn bởi parabol y = 3x , Câu 6: Cho ( H) là hình phẳng gi cung tròn có phương trình y = 4 − x 2 (với 0 ≤ x ≤ 2 ) và trục
). Diệ Diện tích của ( H) bằng hoành (phần tô đậm hình vẽ).
4π + 3 12 4π + 2 3 − 3 C. 6 A.
4π − 3 6 5 3 − 2π D. 3
B.
31
7 − 4 x 3 khi 0 ≤ x ≤ 1 gi hạn bởi đồ thị . Tính diện tích hình phẳng giới 4 − x 2 khi x > 1
Câu 7: Cho hàm số f ( x ) =
ng thẳ thẳng x = 0, x = 3, y = 0 . hàm số f ( x) và các đường A.
16 . 3
B.
20 . 3
C. 10 .
D. 9.
phần hình phẳng gạch chéo trong hình Câu 8: Tính diện tích củaa phầ vẽ sau: A.
10 . 3
B. 4 .
C.
13 . 3
D.
11 . 3
3 y = x và parabol y = x2 + a ( a là tham số thực ực dương). Gọi S1 , S 2 2 lần lượt là diện tích hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi S1 = S2 thì a thuộc Câu 9: Cho đường thẳng
khoảng nào dưới đây?
2 A. 0;
5
1 9 B. ; 2 16
2 9 C. ;
ĐÁP ÁN Câu 1 2 3 4 5 Đáp án B D B A A V. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍCH THỂ TÍCH 1. Phương pháp giải
9 1 D. ;
5 20 6 B
20 2
7 C
8 A
9 C
Bước 1: Xác định miền ền ph phẳng D cần tính (có thể vẽ hình để dễ xác định miền mi phẳng)
ng công th thức Bước 2: Áp dụng b
∫
ng công th thức V = S ( x ) dx + Áp dụng a
32
b
∫ ( x) dx
+ Thể tích khối tròn xoay quay quanh Ox là V = π f
2
a
Chú ý: 1 3 4 2) Thể tích khối cầu VC = π R 3 3
1) Thể tích khối nón VN = h.S
3) VOx = π
∫
b
f 2 ( x ) − g 2 ( x ) dx
a
2. Bài tập áp dụng Câu 1:Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi 2 mặt phẳng x = 0 và x = 3 biết rằng thiết diện của
vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x ( 0 ≤ x ≤ 3) là một hình chữ nhật có 2 kích thước là A. 18π Lời giải 3
x và 2
9 − x2
B. 18
D. 16π
C. 16
3
∫
∫
0
0
2
Ta có: V = S ( x ) dx = 2x 9 − x dx = 19 Chọn B.. Câu 2: Cho vật thể (T ) giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 0 ; x = 2 . Cắt vật thể (T ) bởi mặt phẳng
vuông góc với trục O x tại x ( 0 ≤ x ≤ 2 ) ta thu được thiết diện là một hình vuông có cạnh bằng
( x +1) ex . Thể tích vật thể (T ) bằng A.
π (13e4 − 1)
13e4 − 1 B. . 4
.
C. 2 e 2 .
4 Lời giải 2 Diện tích thiết diện là S ( x ) = ( x + 1) e 2 x . 2
2
0
0
D. 2π e 2 .
2
Thể tích của vật thể (T ) là V = ∫ S ( x )dx = ∫ ( x + 1) e 2 x dx . 2 2 1 9e4 −1 x + 1 2 x 1 2x 2 2x 2x V = ( x + 1) e − ∫ ( x + 1) e dx = e − ∫ e dx − 2 2 2 20 0 0 0 2
2
2
9e 4 − 1 3e 4 − 1 1 2 x 1 4 1 13e 4 − 1 4 . Chọn B. = − + e = 3e + e − = 2 2 4 4 4 4 0
Câu 3: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
y = x . ln x , y = 0 , x = e
quay xung quanh trục Ox.
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: A. π.
4e3 +1 9
B. π.
4e3 −1 9
C. π.
2e3 +1 9
D. π.
2e3 −1 9 33
Lời giải
Tọa độ giao điểm của đường
x = e
với y = x ln x là điểm C (3; 3) .
Tọa độ giao điểm của đường y = x ln x với y = 0 là A(1; 0) . e
Vậy V = ∫ π .x 2 ln xdx = π . 1
2e 3 + 1 . 9 1 3
Câu 4: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 4 − x 2 , y = x 2 quay xung quanh trục Ox. Thể
tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: A. V = Lời giải
24π 3 5
B. V =
Tọa độ giao điểm của hai đường y =
28π 3 5
C. V =
4 − x 2 và y =
28π 2 5
3
(H )
1
∫ π .(4 − x )dx − ∫ π . 9 x dx = π . 2
− 3
Câu 5: Gọi
24π 2 5
1 2 x là các điểm A(− 3;1) và B( 3;1) . 3
3
Vậy thể tích của khối tròn xoay cần tính là: V =
D. V =
4
− 3
là hình phẳng giới hạn bởi parabol
28 3 . 5
2
y = x và đường thẳng y = 2 x . Tính thể
tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình ( H ) quanh trục hoành. A. V =
64π . 15
B. V =
16π . 15
C. V =
20π . 3
D. V =
4π . 3
Phương pháp: Cho hai hàm số y = f ( x ) và y = g ( x ) liên tục trên [ a ; b ]. Khi đó thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi hai đồ thị số y = f ( x ) , y = g ( x ) và hai đường thẳng Ox là: V = π
∫
b
a
x = a; y = b
khi quay quanh trục
f 2 ( x ) − g 2 ( x ) dx
Lời giải 2
x = 0 x = 2
Phương trình hoành độ giao điểm: x = 2x ⇔ Thể tích cần tìm : 2
2
2
2
2
0
0
V = π ∫ ( x2 ) − ( 2x ) dx = π ∫ x4 − 4x2 dx = π ∫ ( x4 − 4x2 ) dx 0
4 1 = π x5 − x3 3 5
2
= 0
64π . Chọn A. 15
34
Câu 6: Cho hình vuông OABC có cạnh bằng
ương trình y = bởi đường cong ( P) có phươ
4 được chia thành hai phần
1 2 x . Gọi S là hình phẳng 4
thể tích V của vật thể tròn xoay khi cho không bị gạch (như hình vẽ). Tính th phần S qua quanh trục Ox. A. V =
64π . 5
B. V =
128π . 3
C. V =
128π . 5
D. V =
256π . 5
Lời giải Thể tích vật thể khi quay hình vuông OABC quanh trục Ox là π .4 2 .4 = 64 π . 2
4
64π 1 2 . ần ggạch sọc quanh Ox là π .∫ x dx = Thể tích vật thể khi quay phần 4 5 0 64π 256π = . Chọn D. Vậy thể tích vật thể tròn xoay cần tính bằng 64π − 5 5 1 hạn bởi Câu 7:Cho hình phẳng Hgiới hạ đường tròn có bán kính 4 R = 2, đường cong y = 4 − x và trục hoành (miền tô đậm như hình vẽ). Tính thể tích V củủa khối tạo thành khi cho hình H quay quanh trục Ox. 53π 40π 67π 77π ⋅ ⋅ ⋅ B. V = ⋅ A. V = C. V = D. V = 6 3 6 6 Lời giải
4 − x = 0 ⇔ x = 4.
điểm: Phương trình hoành độ giao điể
S1 16π
phần • Thể tích vật thể khi quay phầ tích bằng
u bán kính quanh trục hoành là nửa khối cầu
R= 2 nên có thể
1 4 3 2 3 × π R = π .2 = . 2 3 3 3 4
• Thể tích vật thể khi quay phần
S2
quanh trục hoành là
π ∫ ( 4 − x ) dx = 8π . 0
Vậy thể tích cần tính
16π 40π + 8π = . Chọn A. 3 3
Câu 8: Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
y = x , y = 0 và x = 4 quanh trục O x . Đường thẳng x = a ( 0 < a < 4 ) cắt đồ thị hàm số y = x
M (hình vẽ). Gọi V1 là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác OMH quanh trục O x . Biết rằng V = 2V1. Khi đó
tại
35
A. a = 2 .
5 2
C. a = .
B. a = 2 2 .
D. a = 3 .
Lời giải 4
4
x2 = π = π = 8π . Mà V = 2V1 ⇒V1 = 4π . V xdx Ta có: ∫0 20 Gọi K là hình chiếu của M trên O x ⇒ OK = a, KH = 4 − a, MK = a . Khi xoay tam giác OMH quanh O x ta được khối tròn xoay là sự lắp ghép của hai khối nón sinh bởi các tam giác OMK , MHK , hai khối nón đó có cùng mặt đáy và có tổng chiều cao là OH = 4
1 3
nên thể tích của khối tròn xoay đó là V1 = .π .4.
( a)
2
=
4π a , từ đó suy ra a = 3 . 3
3 2 th ( C ) . Biết rằng đồ Câu 9: Cho hàm số y = f ( x ) = ax + bx + cx + d , ( a, b, c, d ∈ ℝ, a ≠ 0 ) có đồ thị
ng thẳ thẳng y = 4 tại điểm có hoành độ âm và đồ thịị của củ hàm số y = f ' ( x ) thị ( C ) tiếp xúc với đường ây. Tính th thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng H giới cho bởi hình vẽ dưới đây. hạn bởi đồ thị ( C ) và trục hoành khi quay xung quanh trục Ox .
A. Lời giải
725 π . 35
B.
1 π. 35
C. 6π .
D. 18π .
Dựa vào đồ thị hàm số y = f ' ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 3 ( x 2 − 1) . Khi đó f ( x ) =
∫ f '( x)dx = x − 3x + C . 3
Điều kiện đồ thị hàm số f ( x ) tiếp xúc với đường thẳng y = 4 là: 3 f ( x ) = 4 x = −1 x − 3x + C = 4 3 2 suy ra f ( x ) = x − 3x + 2 ( C ) . ⇔ ⇔ 2 C = 2 f ' ( x ) = 0 3 ( x − 1) = 0
1
+ ( C ) ∩ Ox ⇒ hoành độ giao đđiểm là x = −2; x = 1 .Khi đó V = π
∫(x −2
3
2
− 3x2 + 2) dx =
729 π. 35
3. Bài tập tự luyện
36
Câu 1: Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi hai đồ 2
2
thị y = x − 4x + 6 và y =−x − 2x + 6 . A. 3π B. π − 1 C. π D. 2π Câu 2:Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay xung quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi π các đường y = tan x , x = 0, x = và trục hoành bằng 3
A. π 3 −
π
. 3
B.
3−
π 3
C.
.
3+
π 3
.
C. π 3 −
π 3
.
Câu 3: Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 1 và x = 3 , biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục O x tại điểm có hoành độ x ( 1 ≤ x ≤ 3 ) thì được thiết
diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là 3x và 3x2 − 2 . A. V =
124 3
B. V = (32 + 2 15)π
C. V = 32 + 2 15
Câu 4:Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y =
D. V =
124π 3
xe x và các đường thẳng x = 1 ,
x = 2 , y = 0. Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình D xung quanh trục Ox bằng A. π e
B. 2πe
2
C.
( 2 − e) π
D. 2 π e
2
x Câu 5: Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = e , trục hoành và các đường thẳng x = 0 ,
x = 1 . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu? π ( e 2 + 1) πe2 e2 − 1 A. V = B. V = C. V = D. 2 3 2 V =
(
π e2 − 1
)
2
Câu 6: Cho hình phẳng D giới hạn với đường cong y = x 2 + 1 , trục hoành và các đường thẳng x = 0, x = 1 . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?
A. V = 2
B. V =
4π 3
C. V = 2π
D. V =
4 3
Câu 7: Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = 2 + cos x , trục hoành và các đường
π 2
thẳng x = 0, x = . Khối tròn xoay tạo thành khi D quay quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu? A. V = ( π + 1) π
B. V = π− 1
C. V = π+ 1
D. V = ( π − 1) π
37
1 Câu 8 : Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng ( H ) xác định bởi các đường y = x 3 − x 2 ,
3
y = 0 , x = 0 và x = 3 quanh trục O x là 81π 81 A. . B. . 35 35
C.
71π . 35
D.
Câu 9 : Tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình
(H )
được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 4 x − x 2 và trục hoành. 3 1π 3 2π 3 4π A. . B. . C. . 3
Câu Đáp án
1 A
3
2 A
3 A
ĐÁP ÁN 5 A
6 B
quanh Ox với
D.
3
4 A
(H )
7 A
71 . 35
8 A
3 5π . 3
9 B
VI. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC
Trong mục này ngoài các bài toán ứng dụng tích phân cơ bản đã học. Tôi hướng dẫn học sinh giải một số bài toán ứng dụng của tích phân liên quan đến thực tế khác như: bài toán liên quan đến tính chất vật lý, bài toán liên quan đến chuyển động của một vật, bài toán liên quan đến hình học, bài toán liên quan đến hàm số và một số bài toán liên quan khác. 1. Phương pháp giải Bước 1: Căn cứ vào giả thiết bài toán để xác định hàm số Bước 2: Tìm cách tính theo yêu cầu đưa ra
+ Áp dụng công thức diện tính diện tích tam giác, hình chữ nhật, hình vuông (nếu cần) b
b
+ Áp dụng S =ò f ( x) dx hoặc S =ò f ( x) - g ( x) dx a
a
b
b
∫
∫ ( x) dx
a
a
+ Áp dụng công thức V = S ( x ) dx hoặc V = π f
2
+ L = S ( b) − S ( a ) + v ( t ) = S '( t ) ,
a( t ) = S ''( t ) ⇒v( t ) = ∫ a( t ) dt, S ( t ) = ∫ v( t ) dt
2. Bài tập áp dụng Câu 1: Một ô tô đang đi với vận tốc lớn hơn 72km/h, phía trước là đoạn đường chỉ cho phép chạy với tốc độ tối đa là 72km/h, vì thế người lái xe đạp phanh để ô tô chuyển động chậm dần đều với
vận tốc v ( t ) = 30 − 2t ( m/s) , trong đó
t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu đạp
38
phanh. Hỏi từ lúc bắt đầu đạp phanh đến lúc đạt tốc độ 72km/h, ô tô đã di chuyển quãng đường là bao nhiêu mét? A. 100m. B. 125m. C. 150m. D. 175m. Lời giải Ta có 72km/h = 20m/s . Từ lúc bắt đầu đạp phanh đến lúc đạt tốc độ 72km/h, ta có phương trình 30 − 2t = 20 ⇔ t = 5. Vậy từ lúc đạp phanh đến khi ô tô đạt tốc độ 72km/h, ô tô đi được quãng đường là 5
L = ∫ ( 30 − 2t ) dt = 125m. Chọn B. 0
Câu 2: Một vật chuyển động trong
4 giờ với vận tốc v ( km/h ) phụ
của vận tốc như hình bên. Trong khoảng thuộc thời gian t ( h ) có đồ thị củ chuyển động, đồ thị đó là một phần của thời gian 3 giờ kể từ khi bắt đầu chuy đường Parabol có đỉnh I ( 2;9) với trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đuờng s mà vật chuyển động trong 4 giờ đó. A. s = 24km. B. s = 26, 5km C. s = 27km. D. s = 28, 5km 5km.. 5km.. Lời giải
9 2 − 4 t + 9t ( m/s ) khi 0 ≤ t ≤ 3 . Dựa vào đồ thị suy ra v ( t ) = 27 khi 3 ≤ t ≤ 4 ( m/s ) 4 khoảng thời gian Quãng đường người đó đi được trong kho 3
4 giờ là:
4
27 9 s = ∫ − t 2 + 9t dt + ∫ dt =27km. Chọn C. 4 4 0 3 Câu 3: Cho đồ thị biểu diễnn vận ttốc của hai xe A và B khởi hành cùng một lúc, bên cạnh nhau và trên cùng một con đường. Biết đồ thị biểu diễn vận tốc của xe A là một đường Parabol, đồ thị biểu diễn vận tốc ẳng ở hình bên. Hỏi sau khi đi được 3 giây của xe B là một đường thẳng khoảng cách giữa hai xe là bao nhiêu mét? A. 0 m. B. 60 m. C. 90 m. D. 270 m. Lời giải v A ( t ) = − 20t 2 + 80t ( m/s ) Dựa vào đồ thị suy ra . 20 m/s v t = t ( ) ( ) B 3
Quãng đường đi được sau 3 giây của xe A là: sA =
∫ ( − 20t
2
+ 80t ) dt = 180m.
0 3
∫
Quãng đường đi được sau 3 giây của xe B là: sB = 20t dt = 90m. 0
Vậy khoảng cách giữaa hai xe sau 3 giây sẽ bằng: s A − sB = 90m. Chọn C.
39
Câu 4: Sàn của một viện bảo tàng mỹ thuật được lát bằng những viên gạch hình vuông cạnh 40 (cm) như hình bên. Biết rằng người thiết kế đã
sử dụng các đường cong có phương trình
3
2x2 = y 2 và 4( x −1) = y2
để tạo hoa văn cho viên gạch. Diện tích được tô đậm gần nhất với giá trị nào dưới đây? A.506 (cm2) B. 747(cm2) C. 507(cm2) D. 746(cm2) Phương pháp: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) , đường thẳng b
x = a, x = b ( a < b) là S = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx a
Lời giải
1 S = 4 ∫ 0
(
)
2
2 x − 0 dx + ∫ 1
(
2x − 2
( x − 1)
3
)
112 dx = dm2 ) ≈ 747 ( cm2 ) . Chọn B. ( 15
Câu 5: Bạn Linh cần mua một chiếc gương hình dạng đường Parabol bậc 2 (xem hình vẽ).
Biết rằng khoảng cách đoạn AB = 60 cm , OH = 30 cm . Diện tích của chiếc gương bạn Linh mua là A. 1000 ( cm 2 ) B. 1200 ( cm 2 ) C. 1400 ( cm 2 ) D. 900 ( cm 2 ) Lời giải
Đặt hệ trục tọa độ với Oxy với tia Ox là tia OH, tia Oy là tia OB 2 Giả sử phương trình parabol y = f ( x ) = ax + bx + c. Dựa vào AB = 60 cm , OH = 30 cm
f ( ±30 ) = 0 1 1 ⇒ a == − , b = 0, c = 30 ⇒ y = f ( x ) = − x 2 + 30 30 30 f ( 0 ) = 30
Ta có
30
Diện tích chiếc gương là S =
∫
−30
30
30
x3 1 2 f ( x )dx = ∫ − x + 30 dx= − + 30x = 1200cm 2 30 30 −30 −30
40
Câu 5:Nhà trường dự định làm một vườn hoa dạng hình Elip được chia ra làm bốn phầnn bởi hai đường Parabol có chung trục của Elip như hình vẽ bên. đỉnh, đối xứng vớii nhau qua trụ Biết độ dài trục lớn, trụcc nhỏ ccủa Elip lần lượt là 8 m và
4 m; F1, F2 là
m củ của Elip. Phần A , B dùng để hai tiêu điểm trồng cỏ. Kinh phí để trồng mỗi trồng hoa; phần C , D dùng để trồ mét vuông trồng hoa và trồng cỏ lần lượt là 250 000 đồng và ền để hoàn thành vườn hoa trên 15 0 0 0 0 đồng. Tính tổng tiền (làm tròn đến hàng nghìn). A. 4 656 000 đồng.B. 4 766 000 đồng.C. 5 455 000 đồng. D. 5 676 000 đồng. Lời giải 2
Diện tích Elip: S = π .4.2 = 8π m . ể như hình. Chọn hệ trục tọa độ và gọii các đđiểm
x2 y 2 + = 1. Suy ra đường Elip Phương trình Elip là: ( E ) : 16 4 nằm trên trục Ox là: y =
16 − x 2 . 2
Giao điểm của đường thẳng
(
)
d : x = 2 3 đi qua tiêu điểm F2 và nửa Elip nằm ằm bên trên trục Ox là
(
)
M 2 3;1 → N −2 3;1 . x2 . Parabol đi qua các điểm M 2 3;1 , O ( 0;0) , N −2 3;1 có phương trình ( P ) : y = 12
(
)
(
)
16 − x 2 x 2 8π + 2 3 ∫ 2 − 12 dx = 3 . −2 3 Vậy số tiền cần chi phí: T = 2S A × 250000 + ( S − 2S A ) ×150000 ≈ 5676000 đồng. Chọn D. 2 3
Khi đó diện tích S A =
Câu 6: Một biển quảng ng cáo có ddạng hình elip với bốn
đỉnh A1, A2 , B1, B2 như hình vẽ bên. Biết chi phí để sơn phần tô đậm là 200.000 đồng/ m 2 và phần còn lại tiền để sơn theo cách là 100.000 đồng/ m 2 . Hỏi sốố ti ền nào dưới đây, biết trên gần nhất với số tiền
A1 A2 = 8m, B1B2 = 6m và tứ giác MNPQ là hình chữ nhật có MQ = 3m? A. 7.322.000 đồng. C. 5.526.000 đồng.
B. 7.213.000 đồng. D. 5.782.000 đồng.
Lời giải
x2 y2 + = 1. Phương trình elip có độ dài trục llớn bằng 8, độ dài trục bé bằng 6 là 16 9
41
Rút ra phần đường cong nằm trên trục hoành là y = 3 1 −
x2 ; phần đường cong nằm dưới trục 16
4
2
2
x x x2 − −3 1 − dx = 12π . hoành là y = − 3 1 − . Diện tích của cả hình elip là S0 = 3 1 − 16 16 16 −4
∫
Với MQ = 3 ⇒ y M =
MQ 3 y M2 = ⇒ x M = −4 1 − = −2 3 2 2 9
x2 x2 − −3 1 − dx = 6 3 + 8π . Do đó diện tích phần tô đậm là S1 = ∫ 3 1 − 16 16 −2 3 Số tiền cần dùng là S1 × 200.000 + ( S0 − S1 ) × 100.000 ≈ 7.322.000 đồng. Chọn A. 2 3
Câu 7: Một thùng đựng bia hơi (có dạng khối tròn xoay như hình vẽ) có đường kính đáy là 30 cm, đường kính lớn nhất của thân thùng là 40 cm, chiều cao thùng là 60 cm, các cạnh bên hông của thùng có hình dạng của một parabol. Thể tích của thùng bia hơi gần nhất với kết quả nào dưới đây? (giả sử độ dày thùng bia không đáng kể) A. 70 (lít). B. 62 (lít). C. 60 (lít). D. 64 (lít). Lời giải
Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ. Ta có phương trình parabol phía trên trục hoành đi qua các điểm ( − 30;15); (30;15); (0; 20) là y = −
x2 + 20. 180
Thể tích thùng bằng thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới
x2 + 20; y = 0; x = −30; x = 30. hạn bởi các đường y = − 180 2
30
x2 + 20 dx = 20300π ( cm 3 ) ≈ 63,8(l ). Chọn D. Vì vậy V = π ∫ − 180 −30 Câu 8: Cho hàm số
y = f ( x) . Đồ thị của hàm số
y = f ′ ( x ) như hình bên. Đặt
2
g ( x ) = 2 f ( x ) − ( x + 1) . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
42
A. g (1) > g ( −3) > g ( 3)
B. g (1) > g ( 3) > g ( −3)
C. g ( 3) > g ( −3) > g (1)
D. g ( −3) > g ( 3) > g (1)
Lời giải
x = 1 Ta có g ′ ( x ) = 2 f ′ ( x ) − 2 ( x + 1) , g ′ ( x ) = 0 ⇔ f ′ ( x ) = x + 1 ⇔ . x = ±3 Bảng biến thiên
Suy ra g ( −3) < g (1) và g ( 3) < g (1) . (1)
giới hạn bởi các đường: y = f '( x ), y = x + 1, x = − 3, x = 1 Gọi S1 là diện tích hình phẳng gi giới hạn bởi các đường: y = x + 1, y = f '( x ), x = 1, x = 3 Gọi S2 là diện tích hình phẳng gi Dựa vào hình vẽ, ta thấy: S1 > S2 > 0 . Suy ra: S1 − S2 > 0 ⇒ ⇒
1
3
−3 1
1 3
−3
1
∫ f ′ ( x ) − ( x + 1) dx − ∫ ( x + 1) − f ′ ( x ) dx > 0 ∫ f ′ ( x ) − ( x + 1) dx + ∫ f ′ ( x ) − ( x + 1) dx > 0
43
3
⇒
∫ f ′ ( x ) − ( x + 1) dx > 0 . −3
Khi đó: g ( 3 ) − g ( −3 ) =
3
3
−3
−3
∫ g ′ ( x ) dx = 2 ∫ f ′ ( x ) − ( x + 1) dx > 0 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: g (1) > g ( 3) > g ( −3) . Chọn B. Câu 9: Một chi tiết máy được thiết kế như hình vẽ bên.
Các tứ giác ABCD , CDPQ là các hình vuông cạnh 2, 5 cm . Tứ giác ABEF là hình chữ nhật có BE = 3, 5 cm . Mặt bên PQEF được mài nhẵn theo đường parabol ( P ) có đỉnh
parabol nằm trên cạnh EF . Thể tích của chi tiết máy bằng 395 cm 3 . 24 125 C. cm 3 . 8
50 cm 3 . 3 425 D. cm 3 . 24
B.
A.
Lời giải Gọi hình chiếu của P , Q trên AF và BE là R và S . Vật thể được chia thành hình lập phương ABCD . PQRS có cạnh 2, 5 cm , thể tích V1 =
vật thể V = V1 + V2 =
125 3 cm và phần còn lại có thểể tích V 2 . Khi đó thể tích 8
125 + V2 . Đặt hệ trục Oxyz sao cho O trùng với F , Ox trùng với FA , Oy 8
trùng với tia Fy song song với AD . Khi đó Parabol ( P ) có phương trình dạng y = ax 2 , đi qua điểm
5 P 1; do đó a = 5 ⇒ y = 5 x 2 . Cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với Ox và đi qua điểm 2 2 2 5 5 M ( x;0;0 ) ,0 ≤ x ≤ 1 ta được thi thiết diện là hình chữ nhật MNHK có cạnh là MN = x 2 và MK =
do đó diện tích S ( x ) =
25 2 x . Ta có V2 = 4
1
∫ 0
2 2 25 2 25 125 25 425 3 suy ra V = x dx = + = cm . Chọn D. 4 12 8 12 24
3. Bài tập tự luyện
ạy vớ với vận tốc 10m/s thì người lái đạp p phanh; từ thời điểm đó, ô tô Câu 1: Một ô tô đang chạy với vận tốc v ( t ) = −5t + 10 ( m/s ) , trong đó t là khoảng thời gian tính chuyển động chậm dần đềuu vớ Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ẳn, ô tô còn di chuyển bao bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. H nhiêu mét? A. 0, 2 m . B. 2m. C. 10m. D. 20m.
44
Câu 2: Một vật đang chuyển động vvới vận tốc 10m/s thì tăng tốc với gia tốc a ( t ) = 3t + t 2 ( m/s 2 ) , trong
đó t là khoảng thờii gian tính bbằng giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc. Hỏi quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc bằng bao nhiêu mét? A.
1900 m. 3
B.
2200 m. 3
C.
4000 m. 3
D.
4300 m. 3
Câu 3: Một xe ô tô sau khi chờ ờ hhết đèn đỏ đã bắt đầu tăng tốc với vận tốc tăng liên tục được biểu thịị bbằng đồ thị là đường cong Parabol có hình bên. Biết rằng sau 10s thì xe đạt đến vận tốc cao nhất 50m/s và bắt đầu giảm tốc. Hỏi từ lúc bắt đầu tăng tốc đến lúc đạt vận tốc cao nhất thì xe đã đi được quãng đườ ờng bao nhiêu mét? A.
1400 1000 1100 m. m. B. m. C. 3 3 3
D. 300m. 2
giới hạn bởi đồ thị (P) của hàm số y = 6x − x và trục hoành. Hai Câu 4: Gọi (H) là hình phẳng gi n tích bằng b nhau. Tính đường thẳng y = m, y = n chia hình (H) thành ba phần có diện 3
3
P = (9 − m ) + (9 − n ) A. P = 405 B. P = 409 C. P = 407 D. P = 403 khỏi nòng súng tại thời điểm t = 0 với những ng vận tốc t khác nhau: viên Câu 5:Hai viên đạn cùng rời kh 2
ỏ bắt đầu từ giây thứ thứ nhất có vận tốc v = 3t (m / s); viên thứ 2 có vận tốc v = 2t + 6 (m/s). Hỏi mấy trở đi thì viên đạn thứ nhất xa điểm xuất phát hơn viên đạn thứ 2? B. 2 A. 4 C. 3 D. 6 ủa mộ một trường học, người ta dự định làm một vườn hoa hình elip và được Câu 6 : Trong sân vườn của chia ra làm 4 phần bởi 2 đường parabol có chung đỉnh, đối xứng nhau ). Biế Biết độ dài trục lớn trục nhỏ của elip lần lượt qua trục của elip (hình vẽ). là 8m và 4m, F1 ,F2 là hai tiêu đđiểm. Phần A, B để trồng hoa, phần C, D
ồng m mỗi mét vuông hoa và cỏ lần lượt là sẽ trồng cỏ. Kinh phí để trồng 250.000 đồng và 150.000 đồng. ttổng số tiền để hoàn thành vường hoa nhất với số tiền nào dưới đây ? (làm tròn đến hàng nghìn) gần nh A. 4.656.000 đồng
B. 5.455.000 đồng C. 5.676.000 đồng
D. 4.766.000 đồng
Câu 7: Cho hàm số f ( x ) . Đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) trên [ −3; 2] như hình vẽ (phần cong của 2
đồ thị là một phần củaa parabol y = ax + bx + c. ).
45
Biết f ( −3) = 0, giá trị của f ( −1) + f (1) bằng A.
23 6
B.
31 6
C.
35 3
D.
9 2
Câu 8:Cho vật thể đáy là hình tròn có bán kính bằng 1 (tham khảo hình vẽ). Khi cắt vật thể bằng mặt phẳng vuông góc với trục O x tại điểm có hoành độ x ( −1 ≤ x ≤ 1) thì được thiết diện là một
tam giác đều. Thể tích V của vật thể đó là
A. V = 3 .
B. V = 3 3 .
C. V =
4 3 . 3
D. V = π .
Câu 9: Có một cốc nước thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là 6 cm , chiều cao lòng cốc là 10 cm đang đựng một lượng nước. Tính thể tích lượng nước trong cốc, biết khi nghiêng cốc nước vừa lúc khi nước chạm miệng cốc thì đáy mực nước trùng với đường kính đáy.
A. 2 4 0 c m 3 .
B. 2 4 0 π c m 3 .
C. 120 cm 3 .
D. 120π cm 3 .
Câu
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Đáp án
C
D
A
A
C
C
B
C
B
VII. KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC 1. Ma trận đề STT
Nội dung
1
Tính tích phân dựa vào định nghĩa và tính chất
NB, TH
C1, C2, C3
Vận dụng
Vận dụng cao
Tổng
3 câu
46
2
Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số
3
C14,
C13
Tính tích phân bằng phương
C17, C18
C19
3 câu
C4, C5, C9
C7, C12
C11, C20
8 câu
C6
C8, C10
pháp tích phân từng phần 4
Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng
5
4 câu
C15,C16
Ứng dụng tích phân tính thể tích
2 câu
2. Đề kiểm tra 2
Câu 1: Cho
∫
2
f ( x ) dx = 3 và
0
A. 5.
∫
2
g ( x ) dx = −2 , khi đó
0
∫ 2 f ( x )− g ( x ) dx
bằng
0
B. 4.
C. 8.
D. 1 .
6
6
2
0
2
0
Câu2:Biết f ( x ) là hàm số liên tục trên ℝ và ∫ f ( x )dx = 4, ∫ f ( t ) dt = −3 . Khi đó ∫ f ( v ) − 3 dv bằng A. 1 .
B. 2.
C. 4.
D. 3. 4
Câu 3:Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1; 4 ] , f (1) =1 và
∫ f '( x)dx = 2 . Giá trị 1
f (4) là
A. 2.
B. 3.
C. 1 .
D. 4.
Câu 4: Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây?
2
A.
∫ ( −2 x + 2 ) dx −1
2
B.
∫ ( 2 x − 2 ) dx −1
2
C.
2 ∫ ( −2 x + 2 x + 4 ) dx −1
2
D.
∫ (2x
2
− 2 x − 4 ) dx
−1
Câu 5: Gọi S là diện tích hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường y = f ( x ) , trục hoành và hai 0
đường thẳng x = −1 , x = 2 . Đặt a =
∫ −1
2
f ( x ) d x , b = ∫ f ( x ) dx , mệnh đề nào sau đây đúng? 0
47
B. S = b + a
A. S = b − a
C. S = −b + a
D. S = −b − a
o ra khi quay hình thang cong, Câu 6: Viết công thứcc tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b ( a < b ) , xung quanh trục O x . b
A. V = ∫ f ( x ) dx
b
B. V = π ∫ f 2 ( x )dx a
a
b
b
a
a
C. V = ∫ f 2 ( x )dx D. V = π ∫ f ( x )dx
tố 3t + t 2 , ( m / s 2 ) . Câu 7: Một vật chuyển động vvới vận tốc 1 0 ( m / s ) thì tăng tốc vớii gia tốc thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc Quãng đường vật di chuyểnn trong th
4300 m 3
B.
A. 3600 m
C.
1750 m 3
D.
1450 m 3
3
2
giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x − x và đồ thị th hàm số y = x − x . Câu 8: Tính diện tích hình phẳng gi A.
37 12
B.
9 4
C.
81 12
D. 13
ủa hình phẳng giới hạn bởi các đường y = Câu 9: Gọi S là diện tích của
ln x , y = 0 , x =1, x2
x =e.
Mệnh đề nào dưới đây đúng? e
A. S = π ∫ 1
ln x dx . x2
e
B. S =
∫ 1
ln x dx . x2
e
C. S = ∫ 1
2
ln x dx . x 2
e
D. S = π ∫ 1
2
ln x dx x 2
Câu 10: Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = 2 + sin x , trục hoành và các đường thẳng x = 0 , x =π . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quay quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu? A. V = 2π (π + 1) B. V = 2π C. V = 2 (π + 1) D. V = 2π 2 Câu 11: Một chiếc cổng có hình dạng là một Parabol có khoảng cách giữa hai chân cổng là AB = 8 m . Người ra treo một tâm phông hình chữ nhật có hai đỉnh M , N nằằm trên Parabol và hai đỉnh P , Q nằm phần phía ngoài phông (phần không tô trên mặt đất (như hình vẽ). Ở ph 2
đen) người ta mua hoa để trang trí vvới chi phí cho 1 m cần số tiền ng, biế biết M N = 4 m , M Q = 6 m . Hỏi số tiền mua hoa là 200.000 đồng, dùng để mua hoa trang trí chiếc ccổng gần với số tiền nào sau đây? B. 3 434 300 đồng. A. 3 373 400 đồng. C. 3 437 300 đồng.
D. 3 733 300 đồng.
48
ng) có trồng tr cây đinh lăng Câu 12: Ba bác bảo vệ trường Yên Lạc (bác Giao, bác Hương, bác Giảng) m giới hhạn bởi cạnh AD , BC , đường trung bình EF của mảnh vườn hình vào phần đất được tô chấm chữ nhật ABCD và một đường cong hình sin (hình vẽ)
ơ vị tính m2 ) bằng Biết AB = 2 ( m) , AD = 2π (m) . Tính diện tích đất còn lại của mảnh vườn (đơn B. 4(π−1) .
A. 4π−1.
D. 4π− 2 .
C. 4π − 3 . 2
4
0
0
Câu 13: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ. Biết ∫ x.f ( x 2 ) dx = 2, hãy tính I = ∫ f ( x ) dx. 1 C. I = . 2
B. I = 1.
A. I = 2.
3
Câu 14: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên [1;+∞ ) và ∫ f 0
bằng: A. I = 8
B. I = 4 2
Câu 15: Cho
∫ xf ( x
(
D. I = 4. 2
)
x + 1 dx = 8. Tích phân I = ∫ xf ( x ) dx 1
D. I = 2
C. I = 16 5
2
+ 1) dx = 2. Khi đó I = ∫ f ( x ) dx bằng
1
2
B. 1
A. 2
D. 4
C. −1 1
1 f (x) dx = 1. Tính ∫ f ( x )dx Câu 16: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và là hàm số chẵn, biết ∫ 1 + ex −1 −1
A. 1
B. 2
C. 4
D.
π 2
π 2
0
0
1 2
Câu 17: Cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn ∫ s inx.f ( x ) = f ( 0 ) = 1. Tính I = ∫ cos x.f ' ( x ) dx B. I =−1
A. I = 2
C. I =1
D. I = 0
Câu 18: Cho hàm số f ( x ) liên tục trong đoạn [1; e ] , biết
e
∫ 1
f (x) dx = 1, f ( e ) = 2. Tích phân x
e
∫ f ' ( x ) ln xdx = ? 1
A. 1 Câu
C. 2
B. 0 19: 1
Cho
hàm 2
f (1) = 1; ∫ f ' ( x ) dx = 9 và 0
f ( x ) có
số 1
đạo
hàm
D. 3
liên
1 3 ∫0 x f ( x ) dx = 2 . Tích phân
tục
trên
ạ đoạn
[ 0;1] thỏa
mãn
1
∫ f ( x ) dx bằng : 0
49
A.
5 2
B.
7 4
C.
2 3
D.
6 5
Câu 20: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị của hàm số f ′ ( x) như hình bên dưới. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. f ( 0) > f ( 2) > f ( −1) .
B. f ( 0) > f ( −1) > f ( 2) .
C. f ( 2) > f ( 0) > f ( −1) .
D. f ( −1) > f ( 0) > f ( 2) .
3. Đáp án đề kiểm tra
1C
2A
3B
4C
5A
6B
7B
8A
9B
10A
11D
12B
13D
14B
15B
16B
17D
18A
19C
20B
n 2019 Yên lạc, ngày 28 tháng 10 năm Người viết
Nguyễn Trung Thành
50