Issuu

BÀI TẬP THEO CHUYÊN ĐỀ TỪ ĐỀ THI THỬ 2018

vectorstock.com/10212081

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection DẠY KÈM QUY NHƠN TEST PREP PHÁT TRIỂN NỘI DUNG

BÀI TẬP THEO CHUYÊN ĐỀ TỪ ĐỀ THI THỬ 2018 TOÁN 12 TÍCH PHÂN CÓ GIẢI CHI TIẾT WORD VERSION | 2021 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

Câu 1: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Viết công thức tính tích phân từng phần b

A. ∫ udv = uv + ∫ vdu.

B. ∫ udv = u + v − ∫ vdu

b a

Đáp án C 1

Câu 2: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Cho



 a 5 dx=3ln − ,  b 6 

a là phân số tối giản. Mệnh đề nào dưới đây đúng? b

B. ab = 12

C. ab = 6

D. ab = 5/4

A. ab = – 5

∫  x + 3 − ( x + 3) 0

trong đó a, b là 2 số nguyên dương và

 3

FF IC IA L

C. ∫ udv = uv ba − ∫ vdu D. ∫ udv = u ba − v ba − ∫ vdu

Đáp án là B

 3 10  10 0 4 5 −  ∫0  x + 3 ( x + 3)2 dx=3ln ( x + 3) + x + 3 |1 = 3ln 3 − 6 ⇒ a.b = 12  

K = ∫ f (3x+1)dx

B. K = 9

C. K = 1

D. K = 27

A. K = 3

Đáp án là A 1

∫

Đặt K = f (3x+1)dx = K = 0

∫ f (x)dx = 9 . Tính tích phân

Câu 3: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Cho

1 9 f (3x+1)d ( 3x+1) = = 3 ∫ 30 3

KÈ

Câu 4: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = − x 2 + 4 và y = − x + 2

9 2

ẠY

5 7

Đáp án là A

Hoành độ giao điểm của hai hàm số là x = −1 và x = 2

Vậy diện tích cần tính là 2

−1

S = ∫ [( − x 2 + 4 − ( − x + 2)]dx = ∫ ( − x 2 + x + 2) dx

8 3

D. 9

⇒S=

9 2

Câu 5( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Hỏi mệnh đề nào dưới đây là sai ?

( ∫ f ( x ) dx )′ = f ( x ) .

B. ∫ k . f ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx.

∫  f ( x ) + g ( x )dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx.

FF IC IA L

∫  f ( x ) .g ( x )dx = ∫ f ( x ) dx.∫ g ( x ) dx.

Đáp án D Câu 6( GV

NGUYỄN BÁ TRẦN

PHƯƠNG 2018 ) Tìm nguyên hàm của hàm số

∫ f ( x ) dx = 2 sin ( 2 x − 1) + C.

∫ f ( x ) dx = − 2 cos ( 2 x − 1) + C.

1 a

Đáp án D

∫

∫ f ( x ) dx = 2 cos ( 2 x − 1) + C.

1 C. ∫ f ( x ) dx = − sin ( 2 x − 1) + C. 2

f ( x ) = sin ( 2 x − 1)

Sử dụng công thức sin ( ax + b )dx = − cos ( ax + b ) + C .

Câu 7: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của

xe x và các đường thẳng x = 1, x = 2, y = 0 . Tính thể tích V của khối tròn xoay thu

hàm số y =

được khi quay hình D xung quanh trục Ox.

KÈ

Đáp án là A

A. V = πe 2

B. V = 2πe

C. V = (2 − e)π

D. V = 2πe 2

Thể tích cần tính là V = π ∫ xe dx = π ( xe | ) − π ∫ e x dx = 2π e 2 − π e − π e 2 + π e = π e 2 x

ẠY

x 2 1

Câu 8: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Cho

∫ f (x)dx = 2 và ∫ g(x)dx = −1 . Tính 0

I = ∫ ( 2f (x) + x.sin x − 3g(x) ) dx 0

A. I = 7 + π

B. I = 7 + 4π

C. I = π − 1

Đáp án là A 2

D. I = 7 +

π 4

I = ∫ ( 2f ( x) + x.sin x − 3g( x) ) dx = 2 ∫ f ( x )dx − 3∫ g ( x )dx + ∫ x sin xdx 0

= 2.2 − 3. ( −1) − x cos x |π0 + ∫ cos xdx ⇒ I = 7 + π 0

FF IC IA L

Câu 9: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) = 3x 2 − e − x thỏa mãn F(0) = 3 . A. F(x) = x 3 − e − x − 3 .

B. F(x) = x 3 + e − x + 2 .

C. F(x) = x 3 − e− x + 3 .

D. F(x) = x 3 + e − x − 2 .

Đáp án B f (x) = 3x 2 − e − x ⇒ F ( x ) = ∫

(3x

− e − x ) dx = x 3 + e − x + C

⇒ F ( 0 ) = 1 + C = 3 ⇒ C = 2 ⇒ F ( x ) = x 3 + e− x + 2

2x + 1dx = a(2x + 1) b + C . Tính P = a.b .

1 A. P = − . 2

Đáp án C

C. P =

1 . 2

3 D. P = − . 2

1 3 1 1 (2x + 1) 2 1 2x + 1dx = ∫ (2x + 1) 2 d ( 2x + 1) = + C = (2x + 1) 2 + C 3 2 2 3 2

∫

3 . 2

B. P =

∫

Câu 10: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Biết a, b là các số thực thỏa mãn

KÈ

1 3 1 ⇒ a.b = . = 3 2 2

NGUYỄN BÁ TRẦN

ẠY

Câu 11: ( GV

PHƯƠNG 2018 ) Cho

∫ f (x)dx = 6 . 2

I = ∫ x 2 .f (x 3 + 1)dx .

B. I = 8 .

A. I = 2 .

D. I = 3 .

C. I = 4 .

Đáp án A 2

I = ∫ x 2 .f (x 3 + 1)dx = ∫ x 2 .f (x 3 + 1)

d(x 3 + 1) 1 1 1 = ∫ f (x 3 + 1)d ( x 3 + 1) = ∫ udu = = .6 = 2 2 3x 31 32 3

Tính

Câu 12: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Tìm a > 0 sao cho

A. a = 3 .

B. a = 4 .

C. a = 5 .

x2 −1 3 ∫0 x + 1 dx = 2 .

D. a = 2 .

Đáp án A a ( x − 1)( x + 1) dx = a x − 1 dx =  x 2 − x  |a = a 2 − a = 3 x2 −1 = dx ∫0 x + 1 ∫0 x + 1 ∫0 ( )  2  0 2 2 ⇒ a 2 − 2a − 3 = 0 ⇒ a = 3

FF IC IA L

Câu 13: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x 5 − x 3 và trục hoành. 7 . 6

B. S =

17 . 6

C. S =

1 . 6

Đáp án C

Diện tích cần tính là

−1

x x  1 1 1 = 2  −  |0−1 = 2  −  =  4 6 6  6 4 4

∫

x 5 − x 3 dx = 2 ∫ ( x 5 − x3 )dx

lầ n

lượt là -1;0,1.

13 . 6

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ

D. S =

A. S =

Câu 14.( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG

KÈ

2018 ) Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) =

1 − sin 3 x . sin 2 x

∫ f (x)dx = − cot x + cos x + C .

∫ f (x)dx = − tan x + cos x + C .

∫ f (x)dx = − cot x − cos x + C .

∫ f (x)dx = − tan x − cos x + C .

ẠY

Đáp án A

1 − sin 3 x 1 ∫ sin 2 x dx = ∫ sin 2 x dx − ∫ sin xdx = − cot x + cosx+C

Câu 15: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Cho

x > 0 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

∫ f (x)dx = e

−

1 + ln x + C , x

A. f (x) =

1 2x  1  e + 1 +  ln x . 2  x

B. f (x) = 2e 2x +

1+ x . x2

C. f (x) =

1 2x  1  e − 1 +  ln x . 2  x

D. f (x) = 2e 2x +

1− x . x2

f ( x ) = (e 2 x −

1 1 1 1+ x + ln x + C ) ' = 2e 2 x + 2 + = 2e 2 x + 2 x x x x π 4

Câu 16: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Cho

∫

( cos x − 1) d ( cos x ) =

B. S = 81 .

C. S = −80 .

Đáp án A

cos x

a + 2b 2

D. S = −81 .

(a, b ∈ ℤ) . Tính S = a 4 − b 4 . A. S = 80 .

FF IC IA L

Đáp án B

π 2

4 (cos x − 1) 1 ) d (cosx) d (cosx)= ∫ (1 − 2 cos x cos 2 x 0

∫0 = (cosx+ 1 ) 4 = 2 + 2 − 1 − 1 = 3 2 − 2 = 3 − 2 = a + 2b cosx 2 2 2 2 0

a = 3 ⇒ ⇒ S = a 4 − b 4 = (3)4 − ( −1)4 = 80 b = −1

NGUYỄN BÁ TRẦN

Câu 17: ( GV 2

PHƯƠNG 2018 ) Cho hàm số f (x) thỏa mãn 2

∫ ( 2x + 3) .f ′(x)dx = 15 và 7.f (2) − 5.f (1) = 8 . Tính I = ∫ f (x)dx 7 . 2

B. I = −

2 . 7

C. I =

2 . 7

KÈ

A. I =

Đáp án A

ẠY

4 (cos 2 x − 1) 1 ( osx)= (1 − )d (cosx) d c 2 ∫ cos x cos 2 x 0

∫ = (cosx+ 0

1 2 3 3 a ) 4= + 2 −1−1 = 2 −2= −2 = + 2b cosx 2 2 2 2 0

a = 3 ⇒ ⇒ S = a 4 − b 4 = (3)4 − (−1)4 = 80 b = − 1 

D. I = −

7 . 2

ln 3

Câu 18: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Cho

1  ∫  x + 3  dx = ln ( a log c ) . Mệnh b

ln 2

đề nào dưới đây đúng?

27 , b = 2,c = 3 8

B. a =

27 , b = 3,c = 2 8

C. a =

8 , b = 2,c = 3 27

D. a =

8 , b = 3,c = 2 27

FF IC IA L

A. a =

Đáp án A ln 3

ln 3

∫ ( x + 3)dx = (ln x + 3x) ln 2 = ln(ln 3) + 3ln 3 − ln(ln 2) − 3ln 2

ln 2

ln 3 3 ln 3 27 27 ln 3 27 ) + 3ln = ln( ) + ln ) = ln( .log 2 3) = ln( . ln 2 2 ln 2 8 8 ln 2 8

Câu 15. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm trên đoạn 5

[ 2;5] ,

f ( 2 ) = 9 và f ( 5) = 3 . Tính

I = ∫ f ' ( x ) dx

= ln(

B. I = 12

A. I = 6

C. I = −6

Đáp án C

D. I = −12

Ta có I = f (5) − f (2) = 3 − 9 = −6.

Câu 19: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn

4 . 27

Đáp án D

B. S =

4 . 17

C. S =

A. S =

bởi đồ thị hàm số y = x 3 − 1 và tiếp tuyến của đồ thị này tại điểm ( −1; −2 ) .

17 . 4

D. S =

27 . 4

y = x3 − 1 ⇒ y ' = 3x 2

KÈ

Tiếp tuyến: d : y = y '( −1)( x + 1) − 2 = 3 x + 1 2

⇒S=

ẠY

Xét phương trình tương giao:

∫

x 3 − 1 − 3 x − 1 dx = ∫ ( x 3 − 3 x − 2)dx

−1

−1 4

= (−

2 x 3x 27 + + 2 x) = −1 4 4 2

Câu 20: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Gọi V là thể tích của khối tròn xoay thu

được khi quay xung quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường y =

x = a , ( a > 1) . Tìm a để V = 2.

1 , y = 0 , x = 1, x

π . π−2

A. a =

B. a =

π . π+2

C. a =

π+2 . π

2 . π

D. a =

Đáp án A

V =π∫ 1

π π 1 1 a = π ( − ) = − +π = 2 ⇒ a = dx 2 x x 1 a π −2

FF IC IA L

Câu 21: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2017 x là A.

2017 x +C ln 2017

B. 2017 x + C

2017 x +C x

D. 2017 x ln 2017 + C

Đáp án A

∫

f ( x)dx = ∫ 2017 x dx =

2017 x +C ln 2017

Ta có:

∫ 0

f ( x )dx = 3, ∫ f ( t ) dt = 7. Tính

Câu 22: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Cho

I = ∫ f ( u )du

B. I = 4

C. I = 7

Đáp án B 4

D. I = 10

A. I = 3

Ta có: I = ∫ f (u )du = ∫ f (u )du − ∫ f (u )du = 7 − 3 = 4.

Câu 23( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) . Cho hàm số F ( x ) là một nguyên hàm

π 2

KÈ

A. I =

π  của hàm số f ( x ) = sin 3 x cos x . Tính I = F   − F ( 0 ) 2

1 B. I = . 4

C. I =

3π . 2

3 D. I = . 4

Đáp án B

∫

Ta có I = sin x cos xdx = t 3dt = 0

1 (với t = sin x ) 4

ẠY

Câu 24( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Cho F ( x ) = 4 x là một nguyên hàm của 1

hàm số 2 f ( x ) . Tính K = ∫ x

f ′( x) dx ln 2 2

A. K =

2 . ln 2

B. K = −

2 . ln 2

C. K =

2x . ln 2

D. K = −

2x . ln 2

Đáp án A Ta có F ′ ( x ) = 4 x ln 4 = 2 x f ( x ) ⇒ f ( x ) = 2 x ln 4 .

∫ 0

1 f ′( x) 1 1 2 x ln 4 2 = dx = 2 ∫ f ′ ( x )dx = 2 f ( x ) = 2 2 ln 2 ln 2 0 ln 2 ln 2 0 ln 2 0

FF IC IA L

 3π  Câu 25( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Cho hàm số f ( x ) liên tục trên 0;  và  2  3π 2

thỏa mãn

3π 2

∫ f ( x ) dx = 5, π∫ f ( x ) dx = 2. . Tính I = ∫ f ( x ) dx + π∫ f ( x ) dx. 0

A. I = 3.

B. I = 2.

C. I = 1.

D. I = 4.

Đáp án A

Theo giả thiết

3π 2

Gọi F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) .

 3π  ∫ f ( x )dx = 5 ⇒ F  2  − F ( 0 ) = 5

π 

3π 2

π   3π  ∫ f ( x )dx + π∫ f ( x )dx = F  2  − F ( 0 ) + F  2  − F (π ) = 5 − 2 = 3

Ta có

∫ f ( x )dx = 2 ⇒ F (π ) − F  2  = 2 π

KÈ

Câu 26: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Biết

∫ 2x ( x −

)

x 2 − 1 dx =

ẠY

( a, b ∈ Z ) . Tính S = a + b. A. S = 8

B. S = 0

C. S = 2

D. S = 4

Đáp án B 2

Ta có

(

)

2 ∫ 2 x x − x − 1 dx =

2 ∫ 2 x dx −

2 ∫ 2 x x − 1dx =

⇒ a = 4; b = −4 ⇒ S = 0 .

4 2 −2 4 2 −4 − ∫ 2t 2 dt = 3 3 0

a 2 +b 3

Câu 27( GV

NGUYỄN BÁ TRẦN

PHƯƠNG 2018 ) Tìm nguyên hàm của hàm số

f ( x) = (sin x + cos x) 2

∫ f ( x)dx = x + 2 cos 2 x + C.

∫ f ( x)dx = − 2 cos 2 x + C.

∫ f ( x)dx = 2 cos 2 x + C.

∫ f ( x)dx = x − 2 cos 2 x + C.

FF IC IA L

Đáp án D

∫ ( sin x + cos x )

1 dx = ∫ ( sin 2 x + cos 2 x + 2sin x cos x )dx = ∫ (1 + sin 2 x )dx = x − cos 2 x + C 2

Câu 28: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Cho hàm f ( x) liên tục trên ℝ và thỏa 1

mãn

∫ x. f (x)dx = 5 . π

∫ f ( cos 2 x ) d ( cos 4 x ). 0

A. I = 5

B. I = –5

C. I = 4

1 Tính I = − 4

Đáp án A π

D. I = –4

Câu 29: ( GV

14 1 Ta có I = − ∫ f ( cos 2 x )d ( 2cos 2 2 x − 1) = − ∫ f ( t )d ( 2t 2 − 1) = ∫ t. f ( t )dt = 5 40 41 0

NGUYỄN BÁ TRẦN

PHƯƠNG 2018 ) Họ nguyên hàm của hàm

số f ( x ) = 4 x 3 − 1

KÈ

A. x 4 − x + C.

x4 − x + C. 4

C. x 4 − x.

x4 − x. 4

Đáp án A

ẠY

Câu 30: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Cho hàm f ( x ) có đạo hàm trên đoạn π

[ 0; π ] , f ( 0 ) = π , ∫ f ' ( x ) dx = 3π . Tính f (π ) .

A. f (π ) = 0.

B. f (π ) = −π .

C. f (π ) = 4π .

Đáp án C

D. f (π ) = 2π .

 5 Câu 31: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Tìm m ∈  0;  sao cho hình phẳng giới  6

x3 1 + mx 2 − 2 x − 2m − , x = 0, x = 2, y = 0 có diện tích bằng 4. 3 3

1 2

A. m =

B. m =

2 3

C. m =

1 4

D. m =

Đáp án A Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y =

x3 1 + mx 2 − 2 x − 2m − , x = 0, x = 2, y = 0 có diện 3 3

tích bằng 4 nên 2

∫

x3 1 + mx 2 − 2 x − 2m − − 0 dx = 4 3 3

3 5

FF IC IA L

hạn bởi các đường y =

−11 2 1 2

2  x 4 mx3 1  2  −10 4   + − x − 2mx − x  = 4 3 3 0  3 − 3m =4 m =  12 ⇔ ⇔ ⇔   2  −10 − 4 m = −4 m =  x 4 mx3 1  2 − x − 2mx − x  = −4  3   + 3 3 3 0  12

1  5 Mà m ∈  0;  nên m = . 2  6

π 1 , y = 0, x = 0, x = . Thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) cos x 3

thị hàm số y =

Câu 32: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ

xung quanh trục Ox là. A. V = π

B. V = 2π

D. V = π 2

Đáp án C

C. V = π 3

KÈ

3 π 1  1  3 = 3π . π tan V = π ∫ − 0  dx = π ∫ dx = x ( ) 2 0 cos x cos x   0 0

ẠY

Câu 33: ( GV

I =∫ 1

NGUYỄN BÁ TRẦN

PHƯƠNG 2018 ) Tìm giá trị của a để

x 3 − 2 ln x 1 dx = + ln 2. 2 2 x

A. a =

π 4

B. a = ln 2.

C. a = 2.

Đáp án C

D. a = 3.

ln x x3 − 2 ln x x2 x2  ln x 1  dx = − 2 dx = − 2 − −  2 ∫ x2 ∫ x x 2 2  x Câu 34: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Cho biết

∫ f ( x)dx = 6, ∫ g ( x)dx = 8. Tính

FF IC IA L

K = ∫ [ 4. f ( x ) − g ( x)] dx 1

A. K = 16.

B. K = 61.

C. K = 5.

D. K = 6.

Đáp án A 5

K = ∫ [ 4. f ( x) − g ( x)] dx = 4 ∫ f ( x )dx + ∫ g ( x )dx = 4.6 + 8

 5 Câu 35: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Tìm m ∈  0;  sao cho hình phẳng giới  6

1 2

B. m =

A. m =

x3 1 + mx 2 − 2 x − 2m − , x = 0, x = 2, y = 0 có diện tích bằng 4. 3 3

2 3

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y =

3 5

x3 1 + mx 2 − 2 x − 2m − , x = 0, x = 2, y = 0 có diện 3 3

1 x3 + mx 2 − 2 x − 2m − − 0 dx = 4 3 3

∫

D. m =

tích bằng 4 nên 2

1 4

Đáp án A

C. m =

hạn bởi các đường y =

KÈ

2  x 4 mx3 1  2  −10 4   + − x − 2mx − x  = 4 3 3 0  3 − 3m =4 m =  12 ⇔ ⇔ ⇔   2 − 10 4  m =  x 4 mx3 1  − m = −4 − x 2 − 2mx − x  = −4  3   + 3 3 3 0  12

−11 2 1 2

ẠY

1  5 Mà m ∈  0;  nên m = . 2  6

Câu 36: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ

thị hàm số y =

π 1 , y = 0, x = 0, x = . Thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) cos x 3

xung quanh trục Ox là. A. V = π

B. V = 2π

C. V = π 3 11

D. V = π 2

Đáp án C π 3

π 2

3 π 1  1  3 = 3π . π tan − 0  dx = π ∫ = V = π ∫ dx x ( ) 2 0 cos x cos x   0 0

Câu 37: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Biết F ( x) là nguyên hàm của f( x) trên ℝ e

∫ F (x)d (ln x) = 3 và F (e) = 5

FF IC IA L

thỏa mãn

1 e

Tính I = ∫ ln x. f ( x)dx. 1

A. I = 3

B. I = –3

C. I = 2

D. I = –2

Đáp án C

e u = ln x ⇒ du = d ( ln x ) e ⇒ I = ln xF ( x ) 1 − ∫ F ( x )d ( ln x ) = F ( e ) − 3 = 2 . dv = f ( x ) ⇒ v = F ( x ) 1

Đặt 

13 . 6

∫(x

+ 1)dx = 6

Ta có S =

D. S = 16.

Đáp án A

C. S = 13.

B. S =

A. S = 6

các đường y = x 2 + 1, x = −1, x = 2 và trục hoành.

Câu 38: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Tính diện tích S hình phẳng giới hạn bởi

−1

Câu 39( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được

hoành.

khi quay xung quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường y = tan x, x = 0, x =

KÈ

π  A. V = π  3 −  . 3 

B. V = 3 −

π 3

C. V = 3 +

π 3

D. V = π 3 −

π 3

và trục

ẠY

Đáp án A

π π  1   ∫0  cos2 x − 1dx = π ( tan x − x ) 03 = π  3 − 3  .

∫

Ta có V = π tan 2 xdx = π  0

Câu 40( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Tìm a để hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

hàm số y = x 2 + 3ax + 2a 2 , a > 0 và trục hoành có diện tích bằng 36. A. a = 6.

B. a = 16.

1 C. a = . 6

Đáp án A 12

7 D. a = . 6

Xét PT x 2 + 3ax + 2a 2 = 0 . Ta có ∆ = a 2 ⇒ x = − a ∨ x = −2a . Theo giả thiết

∫

−a

−2 a

1 3ax 2 a3 + 2a 2 x = 36 ⇔ = 36 ⇔ a = 6 x + 3ax + 2a dx = 36 ⇔ x3 + 3 2 6 −a 2

FF IC IA L

−2 a

Câu 41( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Gọi ( D ) là hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = 4 − x 2 và trục hoành. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay ( D ) xung quanh trục Ox.

32π . 3

B. V =

4π . 3

C. V =

π 3

D. V = 15π .

A. V =

Đáp án A Giao điểm với trục hoành x = ±2 . Ta có V = π

∫ ( 4 − x )dx = 2

−2

32π 3

Câu 42: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Biết

∫ 1

B. a 2 + b 2 = 1.

a b + = 2. 116 135

D. 135a = 116b.

a 1 + 3ln x .ln x dx = x b

KÈ

a 1 + 3ln x .ln x dx = ; trong đó a,b x b

Đáp án B

∫

a là phân số tối giản. Mệnh đề nào dưới đây sai ? b

là 2 số nguyên dương và A. a − b = −19.

ln x = t ⇒ e

3 1 + 3ln x .ln x 2 1 14 dx = ∫ 1 + 3tdt = . . (1 + 3t ) 2 |10 = x 3 3 9 0

ẠY

⇒∫

dx = dt x

Câu 43: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Cho biết

∫e 1

dx = a ln ( e2 + e + 1) − 2b với −1

a,b là các số nguyên. Tính k = a + b A. K = 2.

B. K = 6.

C. K = 5.

Đáp án A 13

D. K = 9.

dx e x dx dt  1 1  t − 1  e3 2 = ∫1 e x − 1 ∫1 e2 x − e x = ∫e t 2 − t = ∫e  t − 1 − t  dt = ln  t  |e = ln ( e + e + 1) − 2 Câu 44: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Cho hình

thang

cong ( H ) giới

hạ n

bởi

các

FF IC IA L

đường y = 3x , y = 0, x = 0, x = 2 . Đường thẳng x = 1( 0 < t < 2 ) chia ( H ) thành hai phần có diện tích S1 và S2 (như hình vẽ). Tìm t để S1 = 3S 2 . A. t = log 3 5.

B. t = log 3 2.

C. t = log 3 35.

D. t = log 3 7.

Đáp án D

x x t t ∫ 3 dx = 3∫ 3 dx ⇔ ln 3. ( 3 − 1) = ln 3. ( 9 − 3 ) ⇔ t = log3 5

∫

Câu 45: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Cho

B. T = 15.

C. T = 25.

A. T = 10.

T = a+b+c

−1 1 = t => 2 dx = dt x x

Đặt

1 + x2 1 + x2 1 1 1 1 dx = . 2 dx = ∫ 4 + 2 . 2 dx 4 4 ∫ x x x x x x 1 1

Ta có: I = ∫

D. T = 13.

Đáp án A

b b 1 + x2 1 dx = a a −  . Tính x4 c  b + c 

1 2

=> I = − ∫ t 4 + t 2 dt = ∫ t t 2 + 1dt = 1 2

KÈ

1 1 2 2 ( t 1) dt + 2 ∫1 2

3 2

ẠY

1 1 (t 2 + 1) 1 5 5 = . = (2 2 − ) 1 3 2 3 8 2 2

=> a + b + c = 10

Câu 46: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Kí hiệu S ( t ) là diện tích của hình phẳng

giới hạn bởi các đường y = 2 x + 1, y = 0, x = 1, x = t ( t > 1) . Tìm t để S ( t ) = 10 A. t = 4.

B. t = 13.

C. t = 3.

Đáp án C 14

D. t = 14.

Theo đề bài ta có t

S = ∫ (2 x + 1)dx = x 2 + x |1t 1

Câu 47( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x e .

∫

∫ f ( x ) dx = e.x

f ( x ) dx =

e −1

x e +1 +C e +1

∫

∫ f ( x ) dx = x

f ( x ) dx =

Đáp án B

∫

f ( x )dx = ∫ x e dx =

x e+1 + C. e +1

Ta có

FF IC IA L

xe +C ln x

Câu 48( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm

1 B. F (1) = ln 2 + 1 4

C. F (1) = ln 2 − 1

A. F (1) = ln 2 + 1

x3 và F ( 0 ) = 1 . Tính F (1) . x4 + 1

số f ( x ) =

d ( x 4 + 1) 1 x3 dx = = ln ( x 4 + 1) + C. 4 ∫ 4 x +1 4 ( x + 1) 4

Ta có F ( x) = ∫ f ( x)dx = ∫

Đáp án B

1 D. F (1) = ln 2 − 1 4

1 1 1 ln1 + C = 1 ⇔ C = 1 ⇒ F ( x) = ln ( x 4 + 1) + 1 ⇒ F (1) = ln 2 + 1. 4 4 4

Mà F (0) = 1 ⇔

Câu 45. Cho ∫ f ( x ) dx = 2 .Tính I = ∫ A. I = 2

Gọi

1 f ( x − 2 ) dx 2

F ( x) là

C. I = 4

B. I = 3

KÈ

Đáp án D

−2

m ột

nguyên

c ủa

hàm

D. I = 1

f ( x ).

Khi

đó

có:

ẠY

1 1 1 1 I = ∫ f ( x − 2)d ( x − 2) = F ( x − 2) = [ F (4) − F (−2) ] = .2 = 1. 2 2 2 2 0 0

Câu 49: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Có bao nhiêu số thực α thuộc (π , 3π ) α

1 thỏa mãn ∫ cos 2xdx= . 4 π A. 6.

B. 5.

C. 4.

Đáp án C 15

D. 3.

∫ cos2xdx= π

sin 2 x α sin 2α 1 = = 2 π 2 4

π π    2α = 6 + k 2π α = 12 + kπ 1 ⇒ sin 2α = ⇒  ⇔ 2  2α = 5π + k 2π α = 5π + kπ  6 12  11 35 π π < + kπ < 3π ⇔ < k < ⇒ k = 1; 2 12 12 12 5π 7 31 + kπ < 3π ⇔ < k < ⇒ k = 1; 2 π< 12 12 12

 3b x a ln dx = +  c ∫0 2 x + 1 + 4 3 2 3

Câu 50: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Cho

B. T = −7.

C. T = 6.

x dx x +1 + 4

∫2

x + 1 = t ⇒ x + 1 = t 2 ⇒ dx = 2tdt

Đặt

D. T = −6.

Đáp án A

  . Tính 

T = a + 2b − c. A. T = 7.

FF IC IA L

2 7 3 7 36 t3 2 − t + 3t − 6 ln(t + 2) = + 6 ln = + ln 12 1 3 3 4 3 2

⇒ a = 7, b = 6, c = 12

6 t 2 −1 t 2 −1 I =∫ 2tdt = ∫ tdt = ∫ (t 2 − 2t + 3 − )dt 2t + 4 t+2 t+2 1 1 1

NGUYỄN BÁ TRẦN

PHƯƠNG 2018 ) Tìm nguyên hàm của hàm số

KÈ

Câu 51: ( GV

f ( x) =

ln 2 x . x

ln 2 x 3 ∫ x dx = ln x + C.

ln 2 x 3 ∫ x dx = − ln x + C.

ln 2 x ln 3 x dx = + C. ∫ x 3

ln 2 x ln 3 x dx = − + C. ∫ x 3

ẠY

Đáp án C

ln 2 x ln 3 x 2 dx = xd x = +C ln (ln ) ∫ x ∫ 3

Câu 52: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Cho f ( x), f (− x) liên tục trên ℝ và thỏa 2

mãn 2 f ( x) + 3 f (− x) = A. I =

π 10

1 . Tính I = ∫ f ( x)dx. 2 x +4 −2 B. I =

π 5

C. I =

π 20

D. I =

∫ (2 f ( x) + 3 f (− x))dx = −2

∫x

−2

⇔

1 dx +4

∫ 2 f ( x)dx + ∫ 3 f (− x)dx = −2

−2

∫x

−2

1 dx +4

Đặt t = − x ⇒ dt = − dx −2

−2

1 dx x +4 −2

⇒ ∫ (2 f ( x) + 3 f (− x))dx = 5 ∫ f ( x)dx = ∫ −2

−2

∫ f (− x)dx = − ∫ f (t )dt = ∫ f (t )dt = ∫ f ( x)dx

⇒

Câu 53 ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Tính

2 dt cos 2t

π 2

4 π 1 2dt = dx = ∫ Đặt ⇒ ∫ 2 2 2 4 x +4 − π cos t .4(tan t + 1) −2

⇒

∫ f ( x)dx = 20

−2

4 2

KÈ

Câu 55: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên ℝ và hàm số

ẠY

y = g ( x) = x. f ( x 2 ) có đồ thị trên đoạn [ 0; 2] như hình vẽ bên.

Biết diện tích S của miền được tô đậm bằng

5 , tính tích phân 2

I = ∫ f ( x)dx. 1

5 A. I = . 4

5 B. I = . 2

C. I = 5.

D. I = 10. 17

∫x

−2

x = 2 tan t ⇒ dx =

FF IC IA L

Đáp án C

1 dx : +4

Đáp án C 2

S = ∫ xf ( x 2 )dx 1

Đặt t = x 2 ⇒ dt = 2 xdx 4

FF IC IA L

1 5 ⇒ S = ∫ f (t )dt = ⇒ ∫ f (t )dt = 5 2 2 1 1

Câu 56: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x 2e x , y = xe x là. A. S = e − 3.

B. S = e + 3.

C. S = 3 − e.

D. S = 6.

Đáp án C

Xét phương trình tương giao

x = 0 x 2 e x = xe x ⇔ xe x ( x − 1) = 0 ⇔  x =1

u = x 2 ⇒ du = 2 xdx dv = e x dx ⇒ v = e x

⇒ I 2 = x 2e x

1 1 x − e 2 xdx = e − 2 I1 = e − 2 0 ∫0

⇒ S = 1 − (e − 2) = 3 − e

1 1 x − e dx = e − (e − 1) = 1 0 ∫0

dv = e x dx ⇒ v = e x

⇒ I1 = xe x

I 2 : Đặt

u = x ⇒ du = dx

I1 : Đặt

⇒ S = ∫ x 2 e x − xe x dx = ∫ xe x dx − ∫ x 2e x dx = I1 − I 2

Câu 57: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Thể tích V của khối tròn xoay thu được

khi quay xung quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x ln x , x = e và trục hoành là.

KÈ

π ( 2e3 + 1)

A. V =

B. V =

π ( 2e3 − 1) 9

C. V =

π ( 4e3 + 1) 9

ẠY

Đáp án A

x ln x = 0 ( x > 0)

 x = 0 ( L) Xét phương trình tương giao: ⇔  x = 1 e

V = π ∫ ( x ln x )2 dx = π ∫ x 2 .ln xdx

D. V =

π ( 4e3 − 1) 9

dx e 3 2e 3 + 1 x3 e x dx x Đặt [ ln . ] ( ) ⇒ V = π x − = π 3 1 ∫1 3 x 9 x3 2 dv = x dx ⇒ v = 3 u = ln x ⇒ du =

Câu 58( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Tìm hàm số f ( x ) thỏa mãn

FF IC IA L

3x 2 . f ' ( x ) + x 3 . f '' ( x ) = −1 với x ≠ 0 và f (1) = 1, f ( −2 ) = −1 A. f ( x ) =

1 2 2 + 2+ ` x 3x 3

B. f ( x ) =

1 2 2 + 2− x 3x 3

C. f ( x ) =

1 2 2 − 2− x 3x 3

D. f ( x ) =

1 2 2 − 2+ x 3x 3

Đáp án B

∫ 3x f '( x) + x f ''( x)dx = ∫ −1dx ⇔ ∫ f '( x)dx + ∫ x f ''( x)dx = − x + C ⇔ x f '( x) − ∫ x f ''( x)dx + ∫ x f ''( x)dx = − x + C 3

−1 C + x2 x3 1 C − + D. x 2x2

⇒ f ( x) = ∫ f '( x)dx =

Ta có: ⇔ x3 f '( x) = − x + C

⇒ f '( x) =

−4   C C = 3 1 − 2 + D = 1  f (1) = 1 1 2 2 Mà  ⇔ ⇔ ⇒ f ( x) = + 2 − . x 3x 3  f (−2) = −1  −1 − C + D = −1  D = −2  2 8 3 

Câu 59( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Biết

KÈ

2 số nguyên dương và A. a < b

∫

4 0

(1 + tan x ) cos x

B. ab = 1

C. a − 10b = 1

ẠY Ta có:

∫ 0

(1 + tan x ) cos 2 x

π 5

dx =

a ; trong đó a, b là b

a là phân số tối giản. Mệnhđề nào dưới đây đúng? b

Đáp án C

dx = ∫ (1 + tan x )

(1 + tan x ) d (1 + tan x) =

⇒ a = 21; b = 2 ⇒ a − 10b = 1.

6 4

= 0

26 − 1 21 = . 6 2

D. a 2 + b 2 = 1

Câu 60: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Biết

∫x 0

A. ab = −5

3x − 1 a 5 dx = 3ln − ; trong đó + 6x + 9 b 6

a là phân số tối giản. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? b

B. ab = 12

D. ab =

C. ab = 6

Đáp án B

5 4

FF IC IA L

a,b là 2 số nguyên dương và

1 1 1 3x − 1 3x − 1 3 10  10  4 5  − = 3ln − . dx = ∫ dx = ∫  dx =  3ln x + 3 +  2 2 2 ∫ Ta có: 0 x + 6 x + 9 3 6 x+30  0 ( x + 3) 0  x + 3 ( x + 3)  1

⇒ a = 4; b = 3 ⇒ a.b = 12. 61:

Câu

(

NGUYỄN

BÁ

TRẦN

PHƯƠNG

0 1 2 3 4 2018 2018 I = ∫ ( C2018 x + C2018 x 2 − C2018 x 3 + C2018 x 4 − ... + C2018 x )dx. − C2018

2018

B. I = −

1 2019

C. I =

2 2019 − 1 2019

1 2019

A. I =

Đáp án A

0 1

Ta có: ⇔ I = ∫ (1 − x)2018 dx

 2018 k  ⇔ I = ∫  ∑ C2018 (− x)k dx  0  k =0

0 1 2 2018 2018 I = ∫ ( C2018 x + C2018 x 2 − ... + C2018 x ) dx − C2018

( x − 1) 2019 ⇔I= 2019

ẠY

KÈ

1 ⇔I= . 2019

D. I =

1 − 2 2019 2019

)

Tính

Câu 1 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Giả sử f (x) là hàm liên tục trên ℝ và a, b, c là các số thực khác nhau. Mệnh đề nào sau đây sai? c

C. ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx. a

B. ∫ f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx. D.

FF IC IA L

A. ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx.

∫ bf ( x ) dx = −b ∫ f ( x ) dx. a

Đáp án C c

∫

Đáp án C sai vì chính xác phải là

f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx → Đáp án C

Câu 2 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Cho hàm số f (x) liên tục trên ℝ và ∫ f ( x ) dx = 3 .

Mệnh đề nào sau đây sai? 1,5

3 ∫0,5 f ( 2x ) dx = 2 .

C. ∫ f ( 2x + 1) dx = 3.

B. ∫ f ( x + 1) dx = 3.

Đáp án C 2

+) Tính I1 = ∫ f (2 x )dx . Đặt t = 2 x ⇒ dt = 2 x ⇒ dx = 0.5 4

3 D. ∫ xf ( x 2 ) dx = . 2 1

dt và t :1 → 4 2

1 1 3 f (t )dt = ∫ f ( x) dx = → D đúng ∫ 2 1 2 1 2

⇒ I1 =

Tính 4

I 2 = ∫ f ( x + 1) dx .

Đặt

t = x + 1 ⇒ dt = dx và

t :1 → 4 ⇒ I 2 = ∫ f (t ) dt = ∫ f ( x) dx = 3 1

KÈ

→ B đúng

1,5

ẠY

+) Tính I 3 = ∫ f (2 x +1) dx . Đặt t = 2 x +1 ⇒ dt = 2dx ⇔ dx = 4

1 1 3 f (t ) dt = ∫ f ( x ) dx = → C sai → Đáp án C ∫ 2 1 2 1 2

⇒ I3 =

dt và t :1 → 4 2

Câu 3

(GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Biết F

f (x) = 1−

1  3 và F ( −4 ) = 3 . Tính F  −  1 − 2x  2

(x) là một nguyên hàm của hàm số

 3 1 A. F  −  = .  2 2

 3 5 B. F  −  = .  2 2

 3 9 C. F  −  = .  2 2

 3  13 D. F  −  = .  2 2

Đáp án C Ta có 1 dx 1 − = ∫ dx + ∫ (1− 2 x) 2 d (1− 2 x ) = x + 1− 2 x + C 2 1− 2 x

FF IC IA L

 1  F ( x ) = ∫ 1−  dx = ∫ dx + ∫  1− 2 x 

 3 9 Khi đó F (−4) = 3 ⇔ −1 + C = 3 ⇔ C = 4 ⇒ F ( x ) = x + 1− 2 x + 4 ⇒ F −  = → Đáp  2  2 án C

(GV Nguyễn Thanh Tùng 2018) Cho hàm số f ( x ) = ae x + b có đạo hàm trên đoạn

Câu 4.

và ∫ f ' ( x ) dx = ea − 1 . Giá trị của biểu thức P = a 2 + b 2 là

[ 0;a ] , f ( 0) = 3a A. 5.

B. 10.

C. 20.

Đáp án A.

D. 25.

f ( x ) = ae x + b → f ( 0 ) = a + b = 3a → b = 2a a

+ 2a − 3a → aea − a = ea − 1 → a = 1 → b = 2 → a 2 + b 2 = 5.

∫ f ' ( x ) dx = f ( a ) − f ( 0 ) = ae

(GV Nguyễn Thanh Tùng 2018). Cho hình phẳng

Câu 5

7 . 6

KÈ

có diện tích lần lượt là S1,S2 ( S1 < S2 ) . Khi đó tỉ số

( H1 ) , ( H2 )

y = − x 2 + 5x − 4 và trục hoành. Đường thẳng x = 2 chia

ẠY

Đáp án D.

10 . 3

10 . 7

(H) giới hạn bởi các đường (H) thành hai hình phẳng S2 là S1

20 . 7

FF IC IA L O

2 2   x3 5 2  7 2 S1 = ∫ ( − x + 5x − 4 ) dx =  − + x − 4x  =   3 2 1 6 1 S 20 → → 2 = . 4 4 S1 7   x3 5 2  10 2 S2 = ∫ ( − x + 5x − 4 ) dx =  − + x − 4x  =  3 2 2 3  2

(GV Nguyễn Thanh Tùng 2018) Xét hình phẳng

Câu 6.

(H)

được giới hạn bởi hàm số y = x 2 , đường thẳng y = k 2 với 0 ≤ k ≤ 1 ; (H) được chia thành hai phần

trục tung và đường thẳng x = 1 . Biết

có diện tích S1 ,S2 như hình vẽ. Gọi k1 , k 2 lần lượt là giá trị của k

KÈ

làm cho tổng S1 + S2 có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. Tính giá trị của

T = k1 + k 2 ?

3 B. T = . 2

1 C. T = . 2

4 D. T = . 3

ẠY

A. T = 1.

Đáp án B. k

  x3   x3 4 1 S1 + S2 = ∫ ( k − x ) dx + ∫ ( x − k ) dx =  k 2 x −  +  − k 2 x  = k 3 − k 2 + = f ( k ) 3 0  3 3  k 3 0 k k

k = 0 Xét hàm số f (k) trên [0;1] → f ' ( k ) = 4k − 2k = 0 ⇔  k = 1 2  2

FF IC IA L

2  Smax = ⇔ k = 1  3  3 BBT  → → T = k1 + k 2 = . 2 S = 1 ⇔ k = 1  min 4 2

Câu 7 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Gọi S là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ (liên tục trên [ a; b] ) và hai đường thẳng x = a, x = b

thị hai hàm số y = f1 ( x) ; y = f 2 ( x)

( a < b) . Khi đó S được tính theo công thức nào sau đây? b

C. S = ∫ f1 ( x) − f 2 ( x) dx

( x) ]dx

(GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Họ nguyên hàm F ( x) của hàm số

Câu 8

2 − ln 2 (2 x + 1) là 2x +1

ln 3 ( 2 x + 1)

+C .

A. F ( x) = ln ( 2 x + 1) −

ln 3 ( 2 x + 1)

C. F ( x) = 2 ln(2 x + 1) −

−2 + 2 ln ( 2 x + 1)

( 2 x + 1)

+C .

D. F ( x) = 2(2 x + 1) − ln 3 ( 2 x + 1) + C .

KÈ

Ta có

+C .

B. F ( x) =

Đáp án A

 2 ln 2 ( 2 x + 1)  ln 2 ( 2 x + 1) ln 3 ( 2 x + 1 2 f ( x )dx = ∫  − dx = dx − d x + = x + − +C ln 2 1 ln 2 1 ( ) ( )  ∫ 2x +1 ∫ 2 2x + 1  6  2x + 1

ẠY

Câu 9

(GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Biết rằng

nào sau đây gần m nhất?

Đáp án C

∫

∫ [ f ( x) − f

D. S =

f ( x) =

B. S = ∫  f1 ( x ) − f 2 ( x)  dx

A. S = ∫  f1 ( x ) − f 2 ( x) dx

A. 0,5 .

∫ ( 2 x − 1) e dx = 4m − 3 . Khi đó giá trị x

(Biết m < 1 ).

B. 0, 69 .

C. 0, 73 .

D. 0,87 .

Đáp án B m u = 2 x − 1 ⇒ u ′ = 2 x m ⇒ I = ( 2 x − 1) e − ∫ 2e x dx = ( 2m − 3) em + 3 . Đặt  x x 0 v′ = e ⇒ v = e 0

Do đó ( 2m − 3) e m + 3 = 4m − 3 . Sử dụng MTBT casio ta có m ≈ 0.69 .

Câu 10

(GV Nguyễn Thanh Tùng 2018). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

y = x 4 , y = − x 2 và x = 1 là 8 . 15

2 . 15

1 . 4

D. 1.

FF IC IA L

Đáp án A

Xét phương trình hoành độ giao điểm x 4 = − x 2 ⇔ x 4 + x 2 = 0 ⇔ x = 0 . 1

∫x

+ x 2 dx =

Câu 11

8 . 15

(GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường

π 4

C. 0,5π .

D. π − 3 .

B. 0,5 .

Đáp án C π

V = π ∫ cos 2 xdx = 0,5π .

Câu 12

phẳng ( H ) quanh trục Ox bằng bao nhiêu?

A. π .

. Thể tích khối tròn xoay khi quay hình

y = cos 2 x , hai trục tọa độ, đường thẳng x =

Vậy S =

(GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

x = −1, x = 2, y = 0 và Parabol ( P ) : y = ax 2 + bx + c bằng 15. Biết ( P ) có đỉnh I (1;2 ) là

KÈ

điểm cực tiểu. Khi đó a + b − c bằng bao nhiêu? A. −8.

B. −2.

C. 14. D. 3.

Đáp án A

ẠY

Theo giả thiết ta có hệ

2 2 2 2  ∫ ( ax + bx + c )dx = 15  ∫ ( ax − 2ax + 2 + a )dx = 15 (1)  −1  −1  −b  ⇔ b = −2a ( 2)  =1 2 a   ( 3) 2 = a + b + c c = 2 − a − b = 2 + a   

 ax3  − ax 2 + 2 x + ax  = 15 ⇔ 3a + 6 = 15 ⇔ a = 3 . Từ (1) ta có   3  −1 Thay vào ( 2 ) , ( 3) ta được b = −6; c = 5 .

Câu 13

FF IC IA L

Vậy a + b − c = 3 + ( −6 ) − 5 = −8 .

(GV Nguyễn Thanh Tùng 2018) Biết F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) và b

∫ f ( x)dx

f ( x) xác định trên [ a; b ] . Khi đó tích phân

được tính theo công thức nào sau đây?

a b

∫

f ( x)dx = F (a ) − F (b) .

∫

f ( x)dx = F (a ) + F (b) .

∫ f ( x)dx = f (b) − f (a) .

∫ f ( x)dx = F (b) − F (a) .

Đáp án B

1 1 x cos 2 x − sin 2 x + C . 2 4

D. F ( x) = x cos 2 x − sin 2 x + C .

C. F ( x) = − x cos 2 x + sin 2 x + C .

B. F ( x) =

1 1 A. F ( x) = − x cos 2 x + sin 2 x + C . 2 4

Câu 14 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = x sin 2 x là

Đáp án A

u = x ⇒ u′ = 1 x cos 2 x cos 2 x x cos 2 x sin 2 x  +∫ dx = − + +C Đặt  cos 2 x ⇒ I = − ′ 2 2 2 4 sin 2 v = x ⇒ v = −  2

Câu 15 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Giá trị của tích phân I = ∫ x.(1 − x) 2016 dx bằng

KÈ

ẠY

A. I =

C. I =

22017 22018 . + 2017 2018

B. I = −

22017 2 2018 . + 2017 2018

22017 22018 . + 2018 2017

D. I = −

22017 22018 . + 2018 2017

Đáp án A Đặt −2

t = 1 − x ⇒ I = − ∫ (1 − t ) t 0

−2

−2 2016

dt =

∫ (t 0

2017

−t

2016

 t 2018 t 2017  22018 22017 dt = − = )  2018 2017  2018 + 2017 .  0

Câu 16

(GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Biết hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng

y = x + 3 , trục hoành và đường thẳng x = m (m > 0) có diện tích bằng 8. Khi đó giá trị m

gần giá trị nào nhất trong các giá trị sau?

A. 0.

B. –2.

C. 3.

D. 5.

FF IC IA L

Đáp án C Ta có m

S = ∫ x + 3 dx = 8 ⇔ 0

m = 2 m2 + 3m = 8 ⇔ m 2 + 6m − 16 = 0 ( do m > 0) ⇔  . 2  m = −8 ( l )

Câu 17 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018). Cho hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị hàm số

y = x 2 và y = 2 − x . Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo được khi quay H xung quanh

13π . 3

B. V =

5π . 6

C. 16π .

A. V =

trục tung.

Đáp án B

D. 8π .

y và x = 2 − y .

Xét x ≥ 0 ⇒ Hai hàm số là x =

Ta có x 2 = y ⇔ x = ± y ( y ≥ 0 ) và y = 2 − x ⇔ x = 2 − y .

Vẽ phác họa 2 đồ thị

∫ 

1

∫ (2 − y)

Thể tích cần tìm là V = π  y dy +

Câu 18 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Biết 2

 5 dy  = π .  6

∫

f ( x)dx = a và

∫ g ( x)dx = b (a, b ∈ ℝ) . Khi đó 2

KÈ

∫ [ f ( x) + g ( x)]dx bằng bao nhiêu? 1

A. a + b .

B. a − b .

C. b − a .

D. −a − b .

ẠY

Đáp án B

Áp dụng tính chất của tích phân ta có 2

∫  f ( x ) + g ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ g ( x )dx = ∫ f ( x )dx − ∫ g ( x )dx = a − b.

Câu 19. x=

π 2

(GV Nguyễn Thanh Tùng 2018) Cho vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 0 ,

, biết rằng thiết diện của vật thể với mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có

B. π 2 .

A. 2π .

FF IC IA L

π  hoành độ x  0 ≤ x ≤  là một đường tròn có bán kính R = cos x . Thể tích của vật thể đó là 2  C. π .

D. 1.

Đáp án C Diện tích của đường tròn là S ( x ) = π r 2 = π cos x . π

∫

Câu 20 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018) Miền hình phẳng

−

f ( x)dx =

1 2

3 . Khi đó diện tích hình 4

∫

y = x 2 − 2 x . Biết

trong hình vẽ được giới hạn bởi đường cong y = f ( x) và

phẳng được tô trên hình vẽ là

9 8 8 3 . B. . C. . D. . 8 9 3 8

∫

 3  x3 9 f ( x ) − x + 2 x dx = ∫ ( f ( x ) − x + 2 x )dx = +  − + x 2  = . 4  3 −1  −1 8 1

−1 2

Đáp án A

Ta có S =

Vậy thể tích của vật thể là V = S ( x )dx = π cos xdx = π .

KÈ

Câu 21 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin x. 2 − cos x là

ẠY

A. F ( x) =

2 (2 − cos x) 2 − cos x + C . 3

C. F ( x) = −

1 2 − cos x + C . 2

3 B. F ( x) = − (2 − cos x ) 2 − cos x + C . 2 D. F ( x) =

Đáp án A Đặt t = 2 − cos x ⇒ t 2 = 2 − cos x ⇔ 2tdt = sin xdx .

2 2 − cos x + C . 3

∫

Do đó sin x 2 − cos xdx = 2t 2 dt =

2 ( 2 − cos x ) 2 − cos x 2t 3 +c = +c. 3 3

Câu 22 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018). Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?

dx 1 = ln ax + b + C ( a ≠ 0 ) . ax + b a

B. ∫

C. ∫ e x dx = e x + C.

dx = cot x + C. sin 2 x

D. ∫ dx = x + C.

Đáp án B. dx

∫ sin

= − cot x + C.

FF IC IA L

A. ∫

Câu 23 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018). Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên đoạn [1;3] , 3

f (1) = 1 và f ( 3) = 2018 . Giá trị của tích phân I = ∫ f ' ( x )dx là 1

C. I = 2018.

B. I = -2017.

Đáp án A. 3

I = ∫ f ' ( x ) dx = f ( x ) 1 = f ( 3) − f (1) = 2017.

D. I = 2016.

A. I = 2017.

(GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Biết F

Câu 24

(x) làm một nguyên hàm của hàm số

f ( x ) = 2016e 2016x và F ( 0 ) = 2018 . Giá trị của F (1) là

A. F (1) = 2016.

Đáp án D.

C. F (1) = 2016e 2016 + 2.

B. F (1) = 2016e2016 . D. F (1) = e 2016 + 2017.

F ( x ) = ∫ 2016e 2016x dx = e 2016x + C → F ( 0 ) = 1 + C = 2018 → C = 2017

KÈ

→ F ( x ) = e 2016x + 2017 → F (1) = e 2016 + 2017. Câu 25 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018). Cho hình phẳng

(H) giới hạn bới các đường

ẠY

y = 3x + 1 , y = x − 1 và x = 1 . Diện tích S của hình phẳng (H) là

4 A. S = . 3

Đáp án B.

B. S =

40 . 9

C. S =

9 . 40

3 D. S = . 4

S( H )

Câu 26 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018). Cho hình phẳng

π , hai trục tọa độ. Thể tích V của khối tròn xoay khi quay 2

π2 . 4

C. V =

π ( π + 1) . 4

(H) quanh trục

π D. V = . 3

B. V =

π . 2

Ox là A. V =

(H) giới hạn bởi các đường

y = sin x , x =

FF IC IA L

2  x2 40 3 = ∫  3x + 1 − ( x − 1)  dx =  2 ( 3x + 1) − + x  = . 2 9 1 9 1 5

Đáp án B.

π 2

2 1 − cos2x  x sin 2x  2 π V = π ∫ sin xdx = π∫ dx = π  −  = . 2 4 o 4 2 0 0

KÈ

Câu 27

(GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Cho hình phẳng

ẠY

(H) giới hạn bởi các đường y = x x 2 + 1 , x = 3 và hai trục

(

)

tọa độ. Đường thẳng x = k 0 < k < 3 chia

(H) thành hai

phần có diện tích S1, S2 như hình vẽ bên. Để S1 = 6S2 thì

k = k 0 . Hỏi k 0 gần giá trị nào nhất trong các giá trị sau? A. 0,92. Đáp án D.

B. 1,24.

C. 1,52.

D. 1,64.

2 ∫ x x + 1dx =

1 1 2 x + 1 ( ) 2 d ( x 2 + 1) = 13 2∫

+ 1)

S1 + S2 = S → S = 7S2  S1 = 6S2

∫ 0

7 7  = . 8− 3 3 

3 + 1)  ⇔ 

1 3

( x 2 + 1)

= 7. 0

1 3

( x 2 + 1)

+ 1) = 7 ⇔ k 2 + 1 = 3 49 → k =

49 − 1 ≈ 1, 631.

⇔

x x 2 + 1dx = 7 ∫ x x 2 + 1dx ⇔

FF IC IA L

→

(GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Cho Parapol ( P ) : y = x 2 + 1 và đường thẳng

Câu 28

nhất?

A. 0.

ẠY

KÈ

Đáp án A.

(P) và

(d) đạt giá trị nhỏ

( d ) : y = mx + 2 . Tìm m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi 3 . 4

4 . 3

D. 1.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của

(P) và

(d): x2 + 1 = mx + 2 ⇔ x2 – mx – 1 = 0

(1)

 x1 + x 2 = m ∆ = m 2 + 4 > 0 ∀m → (1) có 2 nghiệm phân biệt x1 < x2 với mọi m →   x1x 2 = −1

FF IC IA L

 x 3 mx 2  m 1 → S = ∫ ( − x + mx + 1) dx =  − + + x  = − ( x 32 − x13 ) + ( x 22 − x12 ) + ( x 2 − x1 ) 2 3 2  3  x1 x1 2

m 2  1  = ( x 2 − x1 )  − ( x1 + x 2 ) − x1x 2  + ( x1 + x 2 ) + 1   2  3  2

( x1 + x 2 ) − 4x1x 2 .

min S =

m2 + 4 1 = 6 6

+ 4) ≥

1 3 4 4 = 6 3

4 ⇔ m = 0. 3

Câu 29 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = sin 2 x B. ∫ sin 2 xdx =

Đáp án C

đó:

cos 2 x +C . 2

∫ sin 2 xdx = − Câu 30

∫ sin ( ax + b ) dx = − a cos ( ax + b ) + C .

có:

D. ∫ sin 2 xdx = − cos 2 x + C

cos 2 x +C 2

∫ sin 2 xdx = −

A. ∫ sin 2 xdx = 2 cos 2 x + C

(GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Gọi S là diện tích hình

KÈ

phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục hoành, đường thẳng x = a , x = b c

hình bên). Biết

∫

f ( x )dx = −2 và

ẠY

A. 7

B. 5

∫ f ( x )dx = 5 . Hỏi S bằng bao nhiêu? c

C. 2

D.3

( như

Đáp án A b

Dựa vào đồ thị trên hình vẽ ta có S = ∫ f ( x ) dx = − ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx = − ( −2 ) + 5 = 7 .

Câu 31

phân I =

∫ f ( x ) dx

có giá trị bằng bao nhiêu?

−1

7e 2 + 1 2e 2

B. I =

11e 2 − 11 2e 2

C. I =

Đáp án D

−1

∫

−1

D. I =

f ( x)dx + ∫ f ( x) dx = ∫ e 2 x dx + ∫ ( x + 1) dx = A ≈ 4, 432

−1

tính lưu giá trị vào biến A.

x≤0

9e 2 − 1 2e 2

(Dùng máy

∫

f ( x)dx =

Ta có I =

3e 2 − 1 e2

. Tích

A. I =

x≥0

FF IC IA L

 x + 1 khi  (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018). Cho hàm số f ( x ) =   e 2 x khi 

Dùng máy tính bấm từng đáp án trừ đi biến A, kết quả nào bằng 0 hoặc xấp xỉ bằng 0

< 10−8 ,10−9 …) thì chọn đáp án đó.

(

1 Câu 32 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Cho ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi cung tròn 4

có bán kính R=2, đường cong y = 4 − x và trục hoành

( miền tô đậm như hình vẽ). Tính

40π 3

KÈ

C. V =

77π 6

A. V =

thể tích V của khối tạo thành khi cho hình ( H ) quay quanh trục Ox.

B. V =

8π 3

D. V =

66π 7

Đáp án C

ẠY

Ta có pt đường tròn tâm O bán kính R = 2 là x 2 + y 2 = 4 , suy ra y 2 = 4 − x 2 . Dựa vào hình

vẽ đã cho, ta có −2 ≤ x ≤ 0 , suy ra phần thể tích V1 do 0

−2

quanh trục Ox là V1 = π ∫ y 2 dx = π ∫ (4 − x 2 )dx =

16π . 3

1 đường tròn này tạo nên khi quay 4

Phần thể tích V2 do đường cong y = 4 − x tạo nên khi quay quanh trục Ox với 0 ≤ x ≤ 4 là 4

V1 = π ∫ y 2 dx = π ∫ (4 − x) dx = 8π .

16π 40π + 8π = . 3 3 4

Câu 33

(GV Nguyễn Thanh Tùng 2018). Biết

∫ ( x + 1)( x − 2 ) = a ln 2 + b ln 5 + c , 3

a, b, c là các số hữu tỉ. Tính S = a − 3b + c

A. S = 3

B. S = 2

FF IC IA L

Vậy V = V1 + V2 =

C. S = −2

D. ..

D. 4

Đáp án B β

dx ax + b 1 = ln Áp dụng công thức giải nhanh dạng I = ∫ ad − bc cx + d α ( ax + b )( cx + d )

có:

1 5 1 1 = − ln = − ( ln 5 − 3ln 2 ) = ln 2 − ln 5 = a ln 2 + b ln 5 + c 3 8 3 3

1 dx x +1 ∫3 ( x + 1)( x − 2 ) = −3 ln x − 2

với

1 Suy ra a = 1; b = − ; c = 0 ⇒ a − 3b + c = 1 + 1 = 2 . 3 β

dx ax + b 1 = ln ad − bc cx + d α ( ax + b )( cx + d )

Chú ý: Ta có công thức giải nhanh I = ∫

. α

Câu 34 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

KÈ

1 A. ∫ sin 3 xdx = cos 3 x + C ( C ∈ ℝ ) 3 1 C. ∫ sin 3 xdx = − cos 3 x + C ( C ∈ ℝ ) 3

B. ∫ sin 3 xdx = cos 3 x + C ( C ∈ ℝ ) D. ∫ sin 3 xdx = − cos 3 x + C ( C ∈ ℝ )

ẠY

Đáp án C.

Câu 35 y=

(GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Nếu F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số

1 π  và đồ thị y = F ( x ) đi qua điểm M  ; 0  thì F ( x ) là 2 sin x 6 

A. F ( x ) = Đáp án D.

3 3 − cot x . B. F ( x ) = − + cot x . C. F ( x ) = − 3 + cot x . D. F ( x) = 3 − cot x . 3 3

F(x) = ∫

dx = − cot x + C sin 2 x

π π  M  ;0  ∈ F ( x ) → − cot + C = 0 → C = 3 → F ( x ) = 3 − cot x. 6 6  1

FF IC IA L

dx . Biết kết quả 0 1 + 3x + 1

(GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Cho tích phân I = ∫

Câu 36

I = a + b ln 2 + c ln 3 với a, b, c ∈ ℚ . Khi đó a − b + c bằng bao nhiêu? A.

2 . 3

2 B. − . 3

D. −2 .

C. 2 .

Đáp án B.

2 tdt 3

Đặt t = 3x + 1 → t 2 = 3x + 1 → 2tdt = 3dx → dx =

x = 0 → t = 1; x = 1 → t = 2 2

Câu 37

(GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn ln b

f ( x ) dx = 1 . Tích phân I =

∫ e . f ( e ) dx có giá trị bằng bao nhiêu? x

∫

2 2  2 2 − +−  = − . 3 3  3 3

→a −b+c =

2 1 2 2  1  2 2 2 2 . tdt = ∫  1 − →I=∫  dx = .  t − ln ( t + 1)  1 = + ln 2 − ln 3 1+ t 3 3 1  t +1  3 3 3 3 1

ln a

B. I = 1 .

ln b

∫

e x f ( e x ) dx =

Câu 38

∫

f ( e x ) d ( e x ) = ∫ f ( x ) dx = 1.

ln a

KÈ

ln a

ln b

Đáp án B. I=

D. I = e .

C. I = a − b .

A. I = 0 .

(GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường

ẠY

y = tan x, y = 0, x = 0, x =

π 4

. Khi đó thể tích V của khối tròn xoay tạo ra khi quay ( H ) quay

quanh trục Ox bằng bao nhiêu?

A. V = 1 −

Đáp án D.

π 4

B. V =

π (π − 1) 4

C. V =

π ln 2 2

D. V =

π (4 − π ) 4

π 4

π π ( 4 − π) sin x 1 − cos x  1  dx = π∫ dx = π∫  − 1 dx = π ( tan x − x ) 04 = . 2 2 2 cos x cos x cos x 4   0 0 0

→ V = π∫ tan 2 xdx = π ∫

trong

(GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Miền hình phẳng hình

được

vẽ

giới

hạn

bởi

Câu 39

FF IC IA L

đường

cong

y = x 2 + 2mx + m2 + 1 , trục hoành, trục tung và đường thẳng

x = 2 . Biết m = m0 thì diện tích hình phẳng đó đạt giá trị nhỏ

A. 0.

KÈ

C. 4.

nhất. Giá trị m0 gần giá trị nào nhất trong các giá trị sau? B. 1. D. -3.

Đáp án A.

 x3  8 8 8 2 → S = ∫ ( x + 2mx + m + 1) dx =  + mx 2 + m 2 x + x  = + 4m + 2m 2 + 2 = 2 ( m + 1) + ≥ 3 3  3 0 3 0 2

ẠY

min S =

8 ⇔ m = −1 → m 0 = −1. 3

(ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = dx

∫ 5x − 2 = 5 ln 5x − 2 + C

∫ 5x − 2 =

∫ 5x − 2 = 5 ln 5x − 2 + C

∫ 5x − 2 = ln 5x − 2 + C

−1 ln ( 5x − 2 ) + C 2

Đáp án B dx 1 1 1 ∫ 5x − 2 = 5 ∫ 5x − 2 d ( 5x − 2 ) = 5 ln 5x − 2 Câu 2

(ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017) Cho

∫

−1

f(x)dx = 2; ∫ g(x)dx = −1 . Tính −1

I = ∫ [ x + 2f(x) − 3g(x)]dx B. I =

17 2

C. I =

Đáp án B 2

−1

5 2

I = ∫ [ x + 2f(x) − 3g(x)]dx = ∫ xdx + 2 ∫ f(x)dx − 3∫ g(x)dx =

7 2

17 2

(ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017)Cho hình phẳng ‫ ܦ‬giới hạn bởi đường cong

Câu 3

D. I =

11 2

−1

A. I =

1 5x − 2

FF IC IA L

Câu 1

y = 2 + s inx ,trục hoành và các đường thẳng x = 0,x = π .Khối tròn xoay tạo thành khi quay

‫ ܦ‬quanh trục hoành có thể tích ܸ bằng bao nhiêu ?

A. V = 2π2

C. V = 2 π Đáp án B

D. V = 2 ( π + 1)

B. V = 2 π ( 2 π + 1)

V = π ∫ ( 2 + s inx ) dx = 2 π ( π + 1) 0

ln x . Tính I=F x 1 A. I = 2

ẠY

KÈ

f(x) =

(ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017) Cho ‫ܨ‬

Câu 4.

(e)-F

(‫ )ݔ‬là một nguyên hàm của hàm số

(1)

B. I =

1 e

C. I = 1

D. I = e

Đáp án A e

I = F(e) − F(1) = ∫ f(x)dx = 1

Câu 5

1 2

(ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017)Cho F(x) = ( x − 1) ex là một nguyên hàm của hàm

số f(x)e2x . Tìm nguyên hàm của hàm số f '(x).e2x A. ∫ f '(x)e 2x dx = ( x − 2 ) e x + C

B. ∫ f '(x)e2x dx =

2−x x e +C 2

C. ∫ f '(x)e2x dx = ( 2 − x ) ex + C

D. ∫ f '(x)e2x dx = ( 4 − 2x ) ex + C

Đáp án C Câu 6 (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = cos 3 x

C. ∫ cos 3 xdx =

− sin 3 x +C 3

D. ∫ cos 3xdx = sin 3x + C

Đáp án B

(ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017) Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong

Câu 7:

sin 3 x +C 3

∫ cos 3xdx =

∫ cos udu = u ' sin u + C

Áp dụng công thức tính nguyên hàm:

⇒

y = 2 + cos x , trục hoành và các đường

. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V

thẳng x = 0, x =

B. V = (π − 1)π

Đáp án C

KÈ

AD công thức tính thể tích: V =

π ∫ ( g ( x)) 2 dx π 2

π ∫ (2 + cos x)dx = π (2 x + sinx) 02 = π (π + 1) 0 6

Câu 8:

D. V = π + 1

Thể tích khối tròn xoay là: V =

ẠY

C. V = (π + 1)π

A. V = π − 1

bằng bao nhiêu ?

sin 3 x +C 3

∫ cos 3xdx =

FF IC IA L

A. ∫ cos3xdx = 3sin 3x + C

(ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017) Cho

∫

f ( x)dx = 12 . tính I = ∫ f (3 x ) dx

A. I = 6

B. I = 36

Đáp án D Giả sử F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x )

C. I = 2

D. I = 4

Ta có:

∫ f ( x)dx = F ( x)

6 0

= F (6) − F (0)

( vì nguyên hàm không phụ thuộc vào

biến ) 2

1 1 1 ⇒ ∫ f (3 x) dx = F (3 x) = [ F (6) − F (0) ] = .12 = 4 3 3 3 0 0

Câu 9:

FF IC IA L

∫ f (3x)dx = 3 ∫ f (3x)d (3x) = 3 F ( x) ,

Mặt khác:

(ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017) Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f '( x ) = 3 − 5sin x

và f (0) = 10 . Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

B. f ( x ) = 3 x + 5 cos x + 2

C. f ( x ) = 3 x − 5 cos x + 2

D. f ( x) = 3 x − 5 cos x + 15

A. f ( x ) = 3 x + 5 cos x + 5

Đáp án A

Vậy f ( x ) = 3 x + 5 cos x + 5

Mà f (0) = 10 ⇔ 5 + C = 10 ⇔ C = 5

Ta có: f ( x) = ∫ f '( x)dx = ∫ (3 − 5sin x)dx = 3x + 5cos x + C

(ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017): Cho F ( x ) = x 2 là một nguyên hàm của hàm số

Câu 10

f ( x )e 2 x . Tìm nguyên hàm của hàm số f ' ( x )e 2 x 2x

dx = − x 2 + 2 x + C

dx = 2 x 2 − 2 x + C

∫ f ( x )e C. ∫ f ( x)e

KÈ

Đáp án D

∫ f ( x)e dx = − x + x + C D. ∫ f ( x)e dx = −2 x + 2 x + C B.

∫ f ( x).e

ẠY

Ta có:

dx = x 2 + C

⇒ f ( x ).e 2 x = ( x 2 + C ) ' = 2 x ⇒ f ( x) =

2x e2 x

⇒ f '( x) =

2 − 4x ⇒ ∫ f '( x)e 2 x dx = ∫ (2 − 4 x) dx = −2 x 2 + 2 x + C e2 x

Câu 11

(ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017)Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

1 5x − 2

∫ 5x − 2 = 5 ln 5 x − 2 + C .

∫ 5x − 2 = 5ln 5 x − 2 + C .

∫ 5x − 2 = − 2 ln(5x − 2) + C .

∫ 5x − 2 = ln 5x − 2 + C .

Chọn đáp án A

f ( x) =

(ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017) Cho F ( x ) là nguyên hàm của hàm số

FF IC IA L

Câu 12.

ln x . Tính F (e) − F (1) x

1 B. I = . e

A. I = e .

C. I =

1 . 2

D. I = 1 .

Chọn đáp án C ln ( x )

1 dx = ∫ ln ( x ) d ln ( x ) = ln( x) 2 x 2 1 ⇒ F( e ) − F(1) = 2

F( x ) = ∫

Chọn đáp án B π

(ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017). Cho

∫

f ( x)dx = 2 và

−1

5 7 17 B. I = C. I = 2 2 2 Chọn đáp án C 2 2 1 17 x2 2 + 2 ∫ f ( x ) dx − 3 ∫ g ( x ) dx = 2 − + 4 + 3 = I= 2 −1 −1 2 2 −1

ẠY

KÈ

A. I =

Câu 15.

∫ g ( x)dx = −1 . Tính −1

∫ [ x + 2 f ( x) − 3g ( x)] dx −1

Câu 14

π = 2π (π + 1) 0

V = π ∫ ( 2 + s inx ) dx = π ( 2 x − cos x )

(ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017)Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong Câu 13 y = 2 + sin x , trục hoành và các đường thẳng x = 0, x = π . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu ? A. V = 2(π + 1) B. V = 2π (π + 1) C. V = 2π 2 D. V = 2π

D. I =

11 2

(ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017) Cho F ( x) = ( x − 1)e x là một nguyên hàm của hàm số f ( x)e 2 x . Tìm nguyên hàm của hàm số f ′( x)e2 x . 2−x x A. ∫ f ′( x)e 2 x dx = (4 − 2 x)e x + C B. ∫ f ′( x)e 2 x dx = e +C 2 C. ∫ f ′( x )e 2 x dx = (2 − x )e x + C D. ∫ f ′( x )e 2 x dx = ( x − 2)e x + C

2x x x ( x − 1)e  ' = f ( x).e ⇒ f ( x) = xe

⇒ f '(x) = ( x + 1)e x ⇒ ∫ ( x + 1)e x .e 2 x dx = (2 − x)e x + c

Câu 16

(ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2sin x B. ∫ 2 sin xdx = sin 2 x + C

C. ∫ 2sin xdx = sin 2 x + C

D. ∫ 2sin xdx = −2 cos x + C

FF IC IA L

A. ∫ 2 sin xdx = 2 cos x + C

Đáp án D

∫ f ( x)dx =∫ 2 sin xdx = −2 cos x + C

(ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017) Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số

f ( x) = e x + 2 x thỏa mãn F (0) =

3 . Tìm F ( x) 2

1 2 5 C. F ( x ) = e x + x 2 + 2 Đáp án D

A. F ( x) = e x + x 2 +

D. F ( x ) = e x + x 2 +

3 3 1 ⇔ e0 + C = ⇔ C = 2 2 2 1 V ậy F ( x ) = e x + x 2 + 2

F (0) =

+ x2 + C

1   1 (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017) Cho ∫  −  dx = a ln 2 + b ln 3 với a, b x +1 x + 2  0

Câu 18:

1 2

B. F ( x) = 2e x + x 2 −

∫ f ( x)dx = e

3 2

Câu 17:

KÈ

là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? A. a + b = 2 B. a − 2b = 0 Đáp án D 1

1  x +1  1 ∫0  x + 1 − x + 2  dx = ln x + 2

C. a + b = −2

D. a + 2b = 0

2 1 = ln − ln = 2 ln 2 − ln 3 3 2

ẠY

⇒ a = 2, b = −1 ⇒ a + 2b = 0

Câu 19

(ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017): Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = e , trục hoành và các đường thẳng x = 0, x = 1 . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu ?

A. V = Đáp Án D

π e2 2

B. V =

π (e 2 + 1) 2

C. V =

e2 − 1 2

D. V =

π (e 2 − 1) 2

e2 x π (e2 − 1) = Thể tích của khối tròn xoay là: V = π ∫ e dx = π 2 0 2 0 2x

số

(ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017) Cho F ( x) = −

f ( x) . Tìm nguyên hàm của hàm số f '( x) ln x x ln x 1 A. ∫ f '( x) ln xdx = 3 + 5 + C x 5x

∫ f '( x) ln xdx =

ln x 1 + +C x 3 3x3

1 là một nguyên hàm của hàm 3x3

FF IC IA L

Câu 20:

ln x 1 − +C x 3 5 x5

∫ f '( x) ln xdx =

∫ f '( x) ln xdx = −

Đáp án C

ln x 1 + +C x3 3x 3

(ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f

Câu 21

1 f ( x) f ( x)  −1 −1  Ta có: ∫ dx = 3 + C ⇒ = 3 +C = 4 x x 3x  3x  x 1 −3 ⇒ f ( x) = 3 ⇒ f '( x ) = 4 x x ln x ⇒ ∫ f '( x ) ln xdx = −3∫ 4 dx = −3I x 1  du = dx u = ln x  − ln x 1 dx − ln x 1   x ⇔ ⇒I= + ∫ 4 = − +C Đặt  1 3x 3 3 x 3 x3 9 x 3  dv = x 4 dx  v = −1  3x3 ln x 1 Vậy ∫ f '( x ) ln xdx = −3I = 3 + 3 + C x 3x

KÈ

A. ∫ 7 x dx =

7x +C ln 7

B. ∫ 7 x dx =

C. ∫ 7 x dx = 7 x +1 + C

(x) = 7 .

7 x +1 +C x +1

D. ∫ 7 x dx = 7 x ln 7 + C

ẠY

Đáp án A π 2

Câu 22.

(ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017)Cho

∫

π 2

f ( x) dx = 5. Tính I = ∫ [ f ( x) + 2 sin x ]dx

A. I= 5+

π 2

B. I= 3

C. I=7

D. I= 5+ π

Đáp án C π

I= ∫ f ( x)dx + 2 ∫ sin xdx =5- 2 cos x 2 0 =7

(ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017)Tìm nguyên hàm F π (x)=sinx+cosx thỏa mãn F ( )=2 2 A. F

(x)= -cosx +sinx+1

B. F

C. F

(x)= cosx-sinx +3

D. F

(x)= -cosx+sinx +C

(

π 2

)= 2 ⇔ C = 1 vậy F

(x) = sinx-cosx+1

(ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017)Cho hình phẳng d giới hạn bởi đường cong y=

Câu 24.

(x)= -cosx+sinx +3

(x)= -cosx+sinx-1

Đáp án A

(x) của hàm số f

FF IC IA L

Câu 23.

B. V=

4π 3

D. V= 2 π

Đáp án B 1

4π 3

V= π ∫ x 2 + 1dx =

(ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017)Cho F

KÈ

Câu 25.

4 3

C. V=

A. V=2

x 2 + 1 , trục hoành và các đường thẳng x=o, x=1. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích v bằng bao nhiêu?

(x)=

1 là 1 nguyên hàm của hàm số 2x 2

ẠY

f ( x) . Tìm nguyên hàm của hàm số f ' ( x) ln x . x

( x) ln xdx =

ln x 1 + +C x2 x2

∫f

( x) ln xdx = −(

ln x 1 + 2)+C 2 x 2x

C. ∫ f ' ( x ) ln xdx =

ln x 1 + 2 +C 2 x 2x

∫f

( x ) ln xdx = −(

ln x 1 + )+C x2 x2

f ( x) f ( x ) −1 suy ra = 3 suy ra f x x x

(x)=

∫f

Đáp án B (F

(x))’=

−1 suy ra f’ x2

(x)lnx=

2 ln x x3

2ln x  ln x 1  = − 2 +  + C 3 2x  x  x

ẠY

KÈ

FF IC IA L

∫

Câu 1:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Bạn Huyền gửi vào ngân hàng 10 triệu đồng trong 10 năm. Có 2 hình thức để lựa chọn. Hình thức 1: Lãi suất là 5% 1 năm.

FF IC IA L

 5 Hình thức 2: Lãi suất   % 1 tháng.  12 

Biết rằng trong suốt thời gian 10 năm lãi suất ngân hàng luôn ổn định theo từng hình thức chọn gửi. Khẳng định nào sau đây là đúng? (số tiền làm tròn đến nghìn đồng) A. Cả 2 hình thức có số tiền lãi như sau là 6.289.000 đồng. B. Số tiền lãi của hình thức 2 cao hơn 181.000 đồng. C. Số tiền lãi của hình thức 1 cao hơn 181.000 đồng. D. Cả 2 hình thức có cùng số lãi là 6.470.000 đồng.

Đáp án B.

- Số tiền sau 10 năm với lãi suất 5%/ năm là: 10

5 % / tháng là: 12

- Số tiền sau 10 năm với lãi suất

10000000 (1 + 5% ) = 16280000 đồng

120

5   10000000 1 + %   12 

= 16470000 đồng

Câu 2:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2018x là:

2018 x +C ln 2018

∫

f ( x ) dx =

∫

f ( x ) dx = 2018 x.ln 2018 + C

∫

f ( x ) = dx =

∫

f ( x ) dx =

2018 x +1 +C x +1

x.2018 x +C ln 2018

Đáp án A.

KÈ

π 4

Câu 3:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Có

cos x

∫ sin x + cos x dx = a + b ln c với a, b, c ∈ ℤ thì 0

ẠY

a + b + c là:

A. 14

B. 66

C. 66 + 2

Đáp án D.

1 1 ( sin x + cos x ) + ( cos x − sin x ) 4 cos x 2 dx ∫0 sin x + cos x dx = ∫0 2 sin x + cos x

D. 70

1 1 cos x − sin x 1 1 4 d ( sin x + cos x ) dx + dx = x + 2 ∫0 2 ∫0 sin x + cos x 2 0 2 ∫0 sin x + cos x 4

π 4 1 π 1 π 1 = + ln ( sin x + cos x ) = + ln 2 = + ln 2 8 2 8 2 8 4 0

⇒ a 2 + b + c = 70 .

FF IC IA L

Câu 4:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số

y = x.e x , trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 1 thì diện tích hình ( H ) là: A. S = e −

1 2

B. S = 2e − 1

C. S = 1

e 2

Đáp án C.

D. S =

⇒ Diện tích hình ( H ) là S = ∫ x.e x dx = ∫ x.e x dx = 1

Ta có x.e x = 0 ⇔ x = 0

Câu 5:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình bên thì công thức tính diện tích hình phẳng phần tô đậm trong hình là:

A. S = ∫ f ( x ) dx 0

B. S = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx

C. S = ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx 0

a 0

KÈ

D. S = ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx Đáp án C.

Câu 6:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Khẳng định nào sau đây đúng?

∫ tan xdx = − ln cos x + C .

ẠY

x x C. ∫ sin dx = 2 cos + C . 2 2

Đáp án A Cách 1: Tư duy tự luận

B. ∫ cot xdx = − ln sin x + C .

x x D. ∫ cos dx = −2sin + C . 2 2

Phương án A: ∫ tan xdx = ∫

d ( cos x ) sin x dx = − ∫ = − ln cos x + C . cos x cos x

Phương án B: ∫ cot xdx = ∫

d ( sin x ) cos x dx = ∫ = ln sin x + C . sin x sin x

FF IC IA L

x x x  Phương án C: ∫ sin dx = − ∫ 2d  cos  = − 2 cos + C . 2 2 2  x x x  Phương án D: ∫ cos dx = ∫ 2d  sin  =2sin + C . 2 2 2  Vậy phương án A đúng.

Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay

Câu 7:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Tính diện tích hình phẳng (phần được tô đậm) như hình vẽ dưới đây

B. S =

28 . 3

C. S =

29 . 3

KÈ

Đáp án A

2 A. S = 2 3 − . 3

Cách 1: Xét phương trình: x 2 = 3 ⇔ x = ± 3; x 2 = 1 ⇔ x = 1 .

ẠY

Quan sát hình vẽ:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x 2 , y = 3, x = 0 là

1 D. S = 3 2 − . 3

∫

S1 =

∫ (x

x 2 − 3 dx =

− 3

 x3 0 − 3 dx =  − 3 x  = 2 3 (đvdt).  3 − 3

)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x 2 , y = 1, x = 0 là 0

∫

x 2 − 1 dx =

−1

∫( −1

 x3 0 2 = (đvdt). x 2 − 1 dx =  − x   3  −1 3

)

Vậy diện tích hình phẳng cần tính là S = S1 − S 2 = 2 3 −

2 (đvdt). 3

FF IC IA L

S2 =

 y ≥ 0 Cách 2: Ta có y = x 3 ⇔  . Từ hình vẽ ta thấy x < 0 ⇒ x = − y .  x = ± y

2 y3 3 2 = 2 3 − (đvdt). 3 1 3

S = ∫ − y − 0 dy = ∫ ydy =

Diện tích hình phẳng cần tính là:

∫ 0

 x  f ( x ) dx = 2 . Tính giá trị của biểu thức I = ∫  f   + f ( 3 x )  dx 3  0  

92 . 3

B. −4 .

∫

D. −9 .

Dễ thấy

C. 9.

Đáp án A

∫

f ( x ) dx = 9 và

Câu 8:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và

f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = 9 + 2 = 11 . 0

 x  Ta có I = ∫  f   + f ( 3 x )  dx = ∫ 3  0   0

x f   dx + ∫ f ( 3 x ) dx = I1 + I 2 . 3 0

KÈ

x x * Tính I1 = ∫ f   dx : Đặt t = ⇒ dx = 3dt . Đổi cận x = 0 ⇒ t = 0; x = 3 ⇒ t = 1 . 3 3 0 1

ẠY

Khi đó I1 = 3∫ f ( t ) dt = 3∫ f ( x ) dx = 3.9 = 27 . 3

1 * Tính I 2 = ∫ f ( 3 x ) dx : Đặt t = 3 x ⇒ dx = dt . Đổi cận x = 0 ⇒ t = 0; x = 3 ⇒ t = 9 . 3 0 9

Khi đó I 2 =

11 92 1 1 11 . f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx = . Vậy I = I1 + I 2 = 27 + = ∫ 30 30 3 3 3

Câu 9:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Tính tích phân I = ∫ 1

1 A. I = . 6

1 B. I = . 8

1 C. I = . 3

1 D. I = . 4

FF IC IA L

Đáp án C Cách 1: Tư duy tự luận

dx = dt . x x = 1 ⇒ t = 0; x = e ⇒ t = 1 .

ln x = t ⇔

Khi đó I = ∫ t 2 dt = 0

Đổi

cậ n

t3 1 1 = . 3 0 3

Đặt

ln 2 x dx x

Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay

Câu 10:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ và thỏa mãn

π 2

∫ f ( x ) dx

f ( − x ) + 2 f ( x ) = cos x . Tính tích phân I =

−

1 . 3

4 . 3

B. I =

C. I =

A. I =

π 2

D. I = 1 .

Đáp án C

2 . 3

Cách 1: Thay x bởi − x ta được f ( x ) + 2 f ( − x ) = cos ( − x ) = cos x . Kết hợp với giả thiết ta

KÈ

có f ( − x ) + 2 f ( x ) = f ( x ) + 2 f ( − x ) ⇔ f ( x ) = f ( − x ) .

1 Suy ra f ( x ) = cos x . Vậy I = 3

ẠY D ⇔

π 2

1 2 ∫ f ( x ) dx = 3 ∫ cos xdx = 3 .

−

π 2

−

π 2

Cách 2: Từ giả thiết ta có

π 2

∫  f ( − x ) + 2 f ( x ) dx = ∫ cos xdx −

π 2

− π 2

π 2

π 2 π 2

2 ∫ f ( − x ) dx + 2 ∫ f ( x ) dx = 2 ⇔ ∫ f (t ) dt + 2 ∫ f ( x ) dx = 2 ⇔ ∫ f ( x ) dx = 3.

−

π 2

−

π 2

−

π 2

−

π 2

−

π 2

Câu 11:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2 x + 1 .

∫ f ( x ) dx = x

∫ f ( x ) dx = 2 ( 2 x + 1)

∫ f ( x ) = dx = ( 2 x + 1)

∫ f ( x ) dx = 4 ( 2 x + 1)

+ 2x + C

∫ ( 2 x + 1) dx = 4 ( 2 x + 1)

FF IC IA L

Đáp án C. +C

Câu 12:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Tính đạo hàm của hàm số F ( x ) = ∫ cos tdt 0

A. F ' ( x ) = x 2 .cos x

B. F ' ( x ) = 2 x.cos x

C. F ' ( x ) = cos x

F ' ( x ) = cos x − 1

Đáp án B.

Ta có G ( t ) = ∫ cos tdt

⇒ G ' ( t ) = cos t

⇒ F ' ( x ) = G ( x 2 ) − G ( 0 )  ' = 2 x.cos x

Câu 13:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hàm số f ( x ) liên tục và a > 0 . Giả sử với a

dx . f x 1 + ( ) 0

mọi x ∈ [ 0; a ] ta có f ( x ) > 0 và f ( x ) . f ( a − x ) = 1 . Tính I = ∫

a 2

C. I =

a 3

Đáp án A.

I = a ln ( a + 1)

B. I = 2a

A. I =

a f ( t ) dt dt =∫ 1 + f ( a − t ) 0 1 + f (t ) a

KÈ

Đặt t = a − x ⇒ I = − ∫ a

⇒ 2 I = ∫ dt ⇔ I =

ẠY

a 1 a dt = . ∫ 2 0 2

Câu 14:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho tam giác đều ABC có diện tích là xung quanh cạnh AC của nó. Tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo thành. A. V = 2π 7 V= π 8

Đáp án A.

B. V = π

7 C. V = π 4

3 quay

Do S ABC = 3 ⇒ AB = BC = CA = 2

(

Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ sao cho O ( 0; 0 ) , A (1; 0 ) , C ( −1;0 ) , B 0; − 3

)

với O là

trung điểm của AC. Phương trình đường thẳng

FF IC IA L

AB : y = 3 ( x − 1) Thể tích khối tròn xoay khi quay ABO quanh AC

là:

V ' = π ∫ 3 ( x − 1) dx = π ⇒ V = 2V ' = 2π 2

Câu 15*:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho

y = f ( x)

xác

định

ℝ,

trên

thỏa

hàm

mãn

số

A. e−2

B. e 3

C. e 4

∫ −1

1 1 f '( x) 1 dx = −2 ∫ dx ⇔ ln  f ( x )  = −2 x −1 − 1 f ( x) −1

Lấy tích phân hai vế, ta được

f '( x) = −2 (do f ( x ) > 0 ) f ( x)

Ta có f ' ( x ) + 2 f ( x ) = 0 ⇔ f ' ( x ) = −2 f ( x ) ⇔

D. e

Đáp án C.

f ( x ) > 0, ∀x ∈ ℝ và f ' ( x ) + 2 f ( x ) = 0 . Tính f ( −1) , biết rằng f (1) = 1 .

⇔ ln  f (1)  − ln  f ( −1)  = −4 ⇔ ln1 − ln  f ( −1)  = −4

⇔ ln  f ( −1)  = 4 ⇔ f ( −1) = e 4

( a < b ) . Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm x ( a ≤ x ≤ b ) cắt ( T ) theo thiết diện có diện tích là S ( x ) . Giả sử S ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b] . Thể tích V của phần vật thể ( T ) giới hạn bởi mặt phẳng ( P ) và ( Q ) được cho bởi công thức nào dưới đây? vuông góc với trục Ox lần lượt tại x = a, x = b

KÈ

(Q)

Câu 16:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cắt một vật thể ( T ) bởi hai mặt phẳng ( P ) và

ẠY

A. V = ∫ S ( x ) dx .

B. V = π ∫ S ( x ) dx .

C. V = π 2 ∫ S ( x ) dx .

D. V = π ∫ S 2 ( x ) dx .

Đáp án A. Câu 17:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai? 1

dx 1 ∫0 2 x + 1 = 2 ln ( 2 x + 1) 0 .

∫ 0

dx 2x +1

= 2x +1 . 0

π −1

dx −1 ∫−2 x = ln x −2 .

∫ cos

= tan x 04 .

Đáp án C. −1

−1 1 dx phải = ln ( x ) −2 . Hơn nữa trên đoạn [ −2; −1] thì x < 0 nên một nguyên hàm của x x −2

∫

FF IC IA L

Ta có

là ln( − x ) . Do vậy phương án sai là C. Phân tích phương án nhiễu. 1

∫ 2 x + 1 = ln 2 x + 1

Phương án A: Sai do HS hiểu rằng

1 0

. Nhưng thực chất trên đoạn [0;1] thì

1 1 là ln(2 x + 1). 2x + 1 2 4

∫

∫ 0

2 2x +1

Nhưng

thực

(

chất

)

(vì HS hiểu rằng

2x +1 ' =

( 2 x + 1) ' 2 2x +1

2x +1

nên

)

2x +1 ' =

4 dx = 2x +1 . 0 2x +1

(

2x +1

= 2 2x +1

Phương án B: Sai do HS hiểu rằng

2 x + 1 > 0 nên một nguyên hàm của

π dx 4. cot x = ∫0 cos2 x 0

Phương án D: Sai do HS nhớ nhầm rằng

3−π 3 . 3

KÈ

 1 f ′  −  bằng  2

B. −1 − 3 .

π 3 3

Đáp án D.

ẠY

Ta có f ' ( x ) = 2 sin

πx

Câu 18:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hàm số f ( x ) = ( 2 x − 1) sin

π x π ( 2 x − 1) 3

cos

πx 3

3+π 3  1  π  π ( −1 − 1)  π f '  −  = 2 sin  −  + cos  −  = − 3 3  2  6  6

Phân tích phương án nhiễu.

D. −

. Giá trị của

3+π 3 . 3

 π 1 Phương án A: Sai do HS tính đúng f ' ( x ) nhưng lại tính sai giá trị lượng giác sin  −  =  6 2

 1  3−π 3 Do đó tính được f '  −  = . 3  2 Phương án B: Sai do HS tính sai f ' ( x ) = 2sin

πx

+ ( 2 x − 1) cos

πx 3

f ' ( x ) = −1 − 3

FF IC IA L

nên tính được

πx  π x  2π Phương án C: Sai do HS tính sai f ' ( x ) = ( 2 x − 1) '.  sin nên tính được cos ' = 3  3 3 

 1 π 3 f ' −  = . 3  2

dt . t −4

B. I =

dt 1 . 2 ∫ 2 t −4

C. I = ∫

t = x 2 + 4 , mệnh đề nào dưới đây đúng? A. I = ∫ Đáp án A

dx x x2 + 4

bằng cách đặt

Câu 19:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Tính nguyên hàm I = ∫

dt . t−4

D. I = ∫

tdt . t −4 2

 x2 = t 2 − 4 . Ta có t = x + 4 ⇒   xdx = tdt xdx 2

=∫

tdt dt . =∫ 2 (t − 4) t t − 4

Suy ra I = ∫

x . x +4

Phân tích phương án nhiễu.

KÈ

Phương án B: Do sai HS tính sai vi phân. Cụ thể dt =

ẠY

Phương án C: Sai do HS biến đổi sai I = ∫

Phương án D: Sai do HS biến đổi sai I = ∫

Tính I = ∫  2 f ( x ) + 6 g ( x )  dx . 2

dx ⇒ xdx =

x +4

xdx x2. x2 + 4

xdx 2

x . x +4

Câu 20:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho 3

=∫

tdt dt . =∫ t − 4t t −4

=∫

tdt . t −4

1 tdt. 2

∫ f ( x ) dx = 5; ∫ f ( t ) dt = 2; ∫ g ( x ) dx = 11 .

A. I = 72.

B. I = 80.

C. I = 60.

D. I = 63.

Đáp án A

∫

f ( x )dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx = 5 − 2 = 3.

FF IC IA L

Từ giả thiết, ta có

Suy ra I = 2 ∫ f ( x ) dx + 6 ∫ g ( x ) dx = 2.3 + 6.11 = 72. Phân tích phương án nhiễu. 3

Phương án B: Sai do HS tính sai

∫ 2

f ( x )dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = 7.

∫ 2

f ( x )dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx = −3.

Phương án C: Sai do HS tính sai

Suy ra I = 2∫ f ( x ) dx + 6 ∫ g ( x ) dx = 2.7 + 6.11 = 80.

Suy ra I = 2 ∫ f ( x ) dx + 6∫ g ( x ) dx = 2.( −3) + 6.11 = 60. 3

Phương án D: Sai do HS viết I = ∫ f ( x )dx + 6 ∫ g ( x) dx = 3 + 6.11 = 63 2

Câu 21:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi đường cong có

phương trình y = x 2 − 4 x + 3 và đường thẳng y = x + 3 (phần

47 . 2

C. S =

169 . 6

KÈ

A. S =

đô đậm trong hình vẽ). Tính diện tích S của hình phẳng ( H ) . B. S =

39 . 2

D. S =

109 . 6

Đáp án D.

ẠY

Hoành độ giao điểm của hai đường là nghiệm của phương trình

 x + 3 ≥ 0 x + 3 ≥ 0 x2 − 4x + 3 = x + 3 ⇔  2 hoặc  2  x − 4 x + 3 = − ( x − 3 ) x − 4x + 3 = x + 3

 x ≥ −3  x ≥ −3 x = 0 . ⇔ 2 ⇔ hoặc  2 x = 5  x − 5x = 0  x − 3x + 6 = 0 Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = x 2 − 4 x + 3 với trục hoành là x = 1; x = 3.

Từ hình minh họa, ta có S = ∫ ( x + 3) − x 2 − 4 x + 3  dx + 2 ∫ x 2 − 4 x + 3 dx  

(

)

(

0 3

(

)

(

)

= − ∫ x 2 − 5 x dx + 2 ∫ x 2 − 4 x + 3 dx = 0

125 8 109 . − = 6 3 6

Phân tích phương án nhiễu. Phương án A: Sai do HS viết sai công thức tính diện tích. Cụ thể: 5

S = ∫ ( x + 3) − ( x 2 − 4 x + 3)  dx − 2 ∫ ( x 2 − 4 x + 3)dx 5

(

)

(

)

= − ∫ x 2 − 5 x dx − ∫ x 2 − 4 x + 3 dx = 0

125 8 47 + = . 6 3 2

1 3

(

)

(

)

125 4 39 − = . 6 3 2

= − ∫ x 2 − 5 x dx + ∫ x 2 − 4 x + 3 dx =

S = ∫ ( x + 3) − ( x 2 − 4 x + 3)  dx + ∫ ( x 2 − 4 x + 3)dx

Phương án B: Sai do HS viết sai công thức tính diện tích. Cụ thể:

FF IC IA L

)

Phương án C: Sai do HS viết đúng công thức tính diện tích nhưng lại tính sai tích phân. Cụ thể:

S = ∫ ( x + 3) − x 2 − 4 x + 3  dx + 2 ∫ x 2 − 4 x + 3 dx

)

(

)

(

)

(

= − ∫ x 2 − 5 x dx + 2 ∫ x 2 − 4 x + 3 dx 1

3 x3 5 2 169 3 =− + x 2 + x 3 − 2 x 2 + 3x 1 = . 1 3 0 2 0 3 1 6

KÈ

Câu 22:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn 2

1 [1; 2] thỏa mãn f ( 2 ) = 0, ∫  f ( x ) dx = và 45 1

ẠY

A. I = −

1 . 12

B. I = −

1 ∫1 ( x − 1) f ( x ) dx = − 30 . Tính I = ∫1 f ( x ) dx .

1 . 15

C. I = −

Đáp án A. 2

Ta có −

1 1 = ∫ ( x − 1) f ( x )dx = ∫ f ( x )d 30 1 21 2

1 1 2 2 2 ( x − 1) f ( x ) 1 − ∫ ( x − 1) f ' ( x ) dx 2 21

(( x − 1) ) 2

1 . 36

D. I =

1 . 12

⇔ ∫ ( x − 1) f ' ( x ) dx = 2

1 2

Ta lại có

∫ ( x − 1)

dx =

1 . 15 2 1 1 5 ( x − 1) 1 = . 5 5

FF IC IA L

Từ giả thiết và các kết quả ta có 2

9 ∫  f ' ( x )  dx − 6 ∫ ( x − 1) f ' ( x ) dx + ∫ ( x − 1) dx = 0. 2

Mặt khác:

2 2 4 2 9 ∫  f ' ( x )  dx − 6 ∫ ( x − 1) f ' ( x ) dx + ∫ ( x − 1) dx = ∫ 3 f ' ( x ) − ( x − 1)  dx ≥0.  

1 1 1 1 3 = 0 ⇔ C = − ⇒ f ( x ) = ( x − 1) − . 9 9 9 9

Lại do f(2) = 0 nên C +

1 1 2 3 ( x − 1) ⇒ f ( x ) = ( x − 1) + C. 3 9

3 f ' ( x ) − ( x − 1) = 0 ⇔ f ' ( x ) =

Do vậy xét trên đoạn [1;2 ] , ta có

1 1 1 1 3 4 Suy ra I = ∫ ( x − 1) − 1 dx = ( x − 1) − ( x − 1) = − .   91 36 9 12 1 1

Phân tích phương án nhiễu.

Phương án B: Sai do HS sử dụng sai tính chất của tích phân. Cụ thể: 2

1 1 1 = ∫ ( x − 1) f ( x ) dx = ∫ ( x − 1) dx.∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx ⇒ ∫ f ( x ) dx = − . 30 1 21 15 1 1 1

−

Phương án C: Sai do HS giải như trên nhưng khi tính I lại bị sai. Cụ thể:

KÈ

1  1 1 1 3 4 ( x − 1) − 1 dx = ( x − 1) − ( x − 1) = − . 9 ∫1  36 18 36 1 1

Phương án D: Sai do HS tìm sai hàm số f(x). Cụ thể: 2

ẠY

3 f ' ( x ) − ( x − 1) = 0 ⇔ f ' ( x ) =

Lại do f ( 2 ) = 0 nên C −

1 1 2 3 (1 − x ) ⇒ f ( x ) = (1 − x ) + C. 3 9

1 1 1 1 1 3 = 0 ⇔ C = ⇒ f ( x ) = (1 − x ) + . Do đó tính được I = . 9 9 9 9 12

Câu 23:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số

10 x 3 − 7 x + 2 thỏa mãn F (1) = 5 . Giả sử rằng F ( 3) = a + b 5 , trong đó a, b là các 2x −1 số nguyên. Tính tổng bình phương của a và b. f ( x) =

A. 121.

B. 73.

C. 265.

D. 361.

Đáp án C

Do đó 10 x 2 − 7 x + 2 =

2 x − 1 + 2 2 x − 1  + C. 

(

) (

)

2x −1 +

Suy ra F ( x ) =

⇒ F ( x) =

(

) (

2x −1 +

2 x − 1 + 2 2 x − 1  + C. 

)

1 (1 + 1 + 2 ) + C = 5 ⇔ C = 3. 2

1 2 

(

) (

2x −1 +

2 x − 1 + 2 2 x − 1 + 3. 

)

F (1) = 5 ⇔

1 2 

1 5t 4 + 3t 2 + 2 1 tdt = ( t 5 + t 3 + 2t ) + C ∫ 2 t 2

1 4 ( 5t + 3t 2 + 2 ) . 2

∫

f ( x ) dx =

FF IC IA L

1 2   x = ( t + 1) Đặt t = 2 x − 1 ⇒  . 2 dx = tdt

⇒ F ( 3) = 3 + 16 5. Suy ra a = 3; b = 16 . Do đó a 2 + b 2 = 265.

Phân tích phương án nhiễu.

= 121.

( 3 + 8)

Phương án A: Sai do HS tính sai F ( 3) = 3 + 8 5 và hiểu sai tổng bình của 3 và 8 bằng

Phương án B: Sai do HS tính sai F ( 3) = 3 + 8 5 nên tính được kết quả là 73. 2

= 361.

KÈ

( 3 + 16 )

Phương án D: Sai do HS tính đúng nhưng hiểu sai tổng bình phương của 3 và 16 bằng

Câu 24:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Họ các nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

2x + 3 là x −1

ẠY

A. 2 x + 5ln x − 1 + C . B. 2 x 2 − 5ln x − 1 + C . C. 2 x 2 + ln x − 1 + C . D. 2 x 2 + 5ln ( x − 1) + C .

Đáp án A.

Ta có

∫ f ( x )dx = ∫

2 ( x − 1) + 5 2x + 3 5   dx = ∫ dx = ∫  2 + dx x −1 x −1 x −1  

= 2 x + 5ln x − 1 + C

Câu 25:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho tích phân

∫x 2

1 dx = a ln 3 + b ln 2 + c với + x2

a, b, c ∈ ℚ . Tính tổng S = a + b + c

7 B. S = − . 6

C. S =

2 . 3

D. S =

7 . 6

FF IC IA L

2 A. S = − . 3

Đáp án D.

Ax ( x + 1) + B ( x + 1) + Cx 2 1 A Β C 1 Phân tích 3 = = + + = x + x 2 x 2 ( x + 1) x x 2 x + 1 x 2 ( x + 1) →

( A + C ) x2 + ( A + B ) x + B . 1 = x 2 ( x1) x 2 ( x + 1)

Đồng nhất hệ số, ta có hệ phương trình:

A+ C = 0  A = −1 1 1 1 1 1   = 2 =− + 2 +  A + B = 0 ⇔  B = 1 . V ậy 3 2 x +x x ( x + 1) x x x +1  B =1  C =1   Lời giải chi tiết

3  x +1 1  3 1 1 1   1 1 dx = ∫2 x3 + x 2 ∫2  x 2 − x + x + 1 dx =  ln x − x  2 = 3ln 2 − 2 ln 3 + 6 .

1 1 7 → S = a + b + c = −2 + 3 + = . 6 6 6

Vậy a = −2, b = 3, c =

Ta có

Câu 26:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành do quay

xung quanh trục hoành một elip có phương trình

x2 y 2 + = 1 . V có giá trị gần nhất với giá trị 25 16

nào sau đây?

KÈ

A. 550.

B. 400.

C. 670.

D. 335.

Đáp án C

x2 y 2 4 + =1⇔ y = ± 25 − x 2 . 25 16 5

ẠY

Ta có

Do elip nhận Ox, Oy làm các trục đối xứng nên thể tích V cần tính bằng 4 lần thể tích hình 4 25 − x 2 , y = 0 và các đường thẳng sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = 5 x = 0 , x = 5 quay xung quanh Ox . 5

640π 4  25 − x 2  dx = ≈ 670, 2 Ta có V = 4π ∫  5 3  0

(đvtt).

3   Câu 27:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Tính ∫  x 2 + − 2 x  dx , ta có được kết quả là x   x3 4 3 + 3ln x − x +C 3 3

x3 4 3 + 3ln x − x +C 3 3

x3 4 3 + 3ln x + x +C 3 3

x3 4 3 − 3ln x − x +C 3 3

Đáp án A.

FF IC IA L

3 4 3 dx x3   x + C. Ta có ∫  x 2 + − 2 x  dx = ∫ x 2 dx + 3∫ − 2 ∫ xdx = + 3ln x − x x 3 3   a

Câu 28:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Giá trị của a thỏa mãn B. a = 0

A. a = 1

C. a = 4

D. a = 2

= 2a.e 2 − 4e 2 + 4.

x a

− 2 ∫ e 2 dx

→ I = 2a.e 2 − 4e 2

Đáp án D. x u = x du = dx 2 Đặt  → x x → I = 2 xe 2 2 dv = e dx v = 2e

∫ x.e 2 dx = 4 là

Từ giả thiết ta có 2a.e 2 − 4e 2 + 4 = 4 ⇔ a = 2 .

I = ∫ f ( y ) dy

KÈ

A. I = −5

f ( x ) dx = 1, ∫ f ( t ) dt = −4 . Tính

−2

∫

Câu 29:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho

B. I = −3

−2

C. I = 3

D. I = 5

Đáp án A. 2

Ta có

∫

f ( x ) dx = 1 =

ẠY

−2

Từ

∫

−2

f ( y ) dy =

∫

f ( y ) dy và

−2

∫ −2

∫

f ( t ) dt = −4 =

−2

∫ f ( y ) dy −2

f ( y ) dy + ∫ f ( y ) dy → I = ∫ f ( y ) dy 4

∫ −2

f ( y ) dy − ∫ f ( y ) dy = −5 −2

Câu 30:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Với giá trị nào của a để diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi ( C ) : y =

x2 − 2 x , đường tiệm cận xiên của ( C ) và hai đường thẳng x −1

x = a, x = 2a ( a > 1) bằng ln 3 ? B. a = 2

C. a = 3

D. a = 4

Đáp án B. Ta có đồ thị ( C ) : y =

1 x2 − 2 x có đường tiệm cận xiên là y = x − 1 = x −1 − x −1 x −1 2a

Diện tích của hình phẳng cần tính là S =

∫ a

 1 dx =  ln x − 1  x −1 

x2 − 2 x −1 dx − ( x − 1) dx = ∫ x −1 x −1 a

 2a − 1  2a − 1  = ln   = ln  do a > 1. a −1  a −1  

FF IC IA L

A. a = 1

2a − 1  2a − 1  = 3 ⇔ a = 2. Theo bài ra ta có ln   = ln 3 ⇔ a −1  a −1 

f ( x ) = 2x

F ( 0) =

mãn

1 . ln 2

Tính

trị

giá

biểu

thức

thỏa

Câu 31:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Gọi F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số

2x + C , mà ln 2

F (0) =

2 2017 − 1 ln 2

)  =  

ẠY

B. −28 .

F ( x) =

2x . ln 2

V ậy

f ( x) dx = 5 . Khi đó

A. −22 .

2 2018 − 1 ln 2

1 22018 − 1) . ( ln 2

∫

D. T =

1 ⇒ C = 0 . V ậy ln 2

2017

Câu 32:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Biết

C. T =

1 1  2 (1 − 2 1 + 20 + 21 + 22 + ... + 22017 ) = ( ln 2 ln 2  1− 2 

KÈ

F ( x ) = ∫ 2 x dx =

Ta có

B. T = 22017.2018

Đáp án D.

22017 + 1 ln 2

A. T = 1009.

T = F ( 0 ) + F (1) + F ( 2 ) + ... + F ( 2017 ) .

∫ [3 − 5 f ( x)]dx

bằng:

C. −26 .

D. −15 .

Đáp án B.

Ta có

3 ∫ 3 − 5 f ( x )dx = ∫ 3dx − 5∫ f ( x ) dx = 3x 2 − 5.5 = 9 − 6 − 25 = −28

Câu 33:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Nguyên hàm của hàm số y =

1 (a > 0) là: x − a2 2

∫x

1 1 x−a dx = ln +C . 2 −a a x+a

∫x

1 x−a dx = ln +C . 2 −a x+a

∫x

1 1 x−a dx = +C . ln 2 −a 2a x + a 1 1 x+a dx = +C . ln 2 −a 2a x − a

Ta có

∫x

FF IC IA L

Đáp án B.

1 1  1 1  dx = ∫  −  dx 2 −a 2a  x − a x + a 

1 1 x−a +C ln x − a − ln x + a ) + C = ln ( 2a 2a x + a

Câu 34:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Biết

f (3) = 3 ;

∫ f ( x)dx = 14 .

Tính

I = ∫ 2 x. f '(3 x) dx . 2 . 9

B. I =

10 . 9

3  2 3  t. f ( t ) 0 − ∫ f ( t ) dt  9 0 

2t 1 2 . f ' ( t ) . dt = ∫ td ( f ( t ) ) = 3 3 90

⇒I =∫

Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0 ; x = 1 ⇒ t = 3

2 D. I = − . 9

1 Đặt 3 x = t ⇒ 3dx = dt ⇒ dx = dt 3

10 . 9

Đáp án C.

C. I = −

A. I =

2 2 10 3. f ( 3) − 14  = ( 3.3 − 14 ) = −  9 9 9

Câu 35:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

KÈ

y = x( x − 1) 2 và trục hoành. Khi quay (H) quanh trục Ox ta được một khối tròn xoay có thể

tích là:

1 . 12

π 12

1 . 105

π 105

ẠY

Đáp án D.

1 x = 0 π 2 2 2 Ta có: x ( x − 1) = 0 ⇔  ⇒ Thể tích (H) là: v = π ∫  x ( x − 1)  dx =   1 105 x =  0

Câu 36:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Thể tích khối tròn xoay gây nên bởi hình tròn

x 2 + ( y − a)2 ≤ R 2 (0 < R < a) khi quay quanh trục Ox là: A. 8π 2 aR 2 .

B. 4π 2 aR 2 .

C. π 2 aR 2 .

D. 2π 2 aR 2 .

Đáp án D. 2

Ta có x 2 + ( y − a ) = R 2 ⇔ y = a ± R 2 − x 2

Nửa dưới hình tròn có phương trình là y = a − R 2 − x 2 ⇒ Thể tích của hình xuyến là R

V = V1 − V2 = π

∫(

a+ R −x

)

∫(

dx − π

−R

a− R −x

)

dx = 4π a ∫

−R

π 2

∫π cos

−

tdt = 2π 2 aR 2

R 2 − R 2 sin 2 t .R cos tdt = 4π aR 2

−

R 2 − x 2 dx

−R

 x = R sin t ⇒ dx = R costdt  Đặt  π π  x = − R ⇒ t = − 2 ; x = R = t = 2 ⇒ V = 4π a ∫

FF IC IA L

⇒ Nửa trên hình tròn có phương trình là y = a + R 2 − x 2

A. 6

B. 10

C. 22

D. 30

Đáp án B.

F ( x ) = x 2 + 4 x + 1 . Khi đó f ( 3) bằng:

Câu 37:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Biết nguyên hàm của hàm số y = f ( x ) là

f ( x ) = F ' ( x ) = 2 x + 4 ⇒ f ( 3) = 10

1 , biết F ( 0 ) = − ln 2 . Tìm tập nghiệm S của phương trình F ( x ) + ln ( e x + 1) = 3 . e +1 x

f ( x) =

Câu 38:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Kí hiệu F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số

B. S = {3}

KÈ

A. S = {−3;3}

S = {−3}

Đáp án B.

ẠY

1 ex x dx = dx − ∫ e x + 1 ∫ ∫ e x + 1 dx = x − ln ( e + 1) + C

Vì F ( 0 ) = − ln 2 ⇔ C = 0 ⇒ F ( x ) = x − ln ( e x + 1)

Xét phương trình F ( x ) + ln ( e x + 1) = 3 ⇔ x = 3

C. S = ∅

Câu 39:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho số thực a ≠ 0 . Đặt b =

∫ ( 2a + x ) e

dx . Tính

−a

∫

ex dx theo a và b. 3a − x

b ea

A. I =

B. I =

C. I = b.e a

Đáp án C.

FF IC IA L

a a  dx = − dt 1 e a −t dt = ea .b Đặt 3a − x = 2a + t ⇒  ⇒I= ∫ ( − dt ) = ea . ∫ t x = a − t 2 a + t 2 a + t e )  −a −a (

Câu 40:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường

y = x + 2, y = x + 2, x = 1 . Tính thể tích V của vật thể tròn xoay khi quay hình ( H ) quanh

B. V =

9π 2

C. V = 9π

55π 6

27π 2

A. V =

trục hoành.

Đáp án D.

 x = −2 Xét phương trình x + 2 = x + 2 ⇔   x = −1 1

KÈ

V = V1 + V2 với V1 = π ∫ ( x + 2 ) dx = 9π −1

ẠY

V2 = π ∫   −2

(

x+2

Vậy V = 9π +

π 6

)

−2

π 2 − ( x + 2 )  dx =  6

55π 6

Câu 41:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ và thỏa mãn 2

1 2 f ( x) + 3 f (−x) = . Tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx . 4 + x2 −2

A. I = I =−

B. I = −

C. I =

π 20

Lấy tích phân hai vế của biểu thức 2 f ( x ) + 3 f ( − x ) = 2

−2

2 ∫ f ( x ) dx + 3 ∫ f ( − x ) dx =

1 , ta được 4 + x2

π 1 ∫−2 4 + x 2 dx ⇔ 2 I + 3−∫2 f ( − x ) dx = 4 .  x = −2 → t = 2

Xét J =

FF IC IA L

Đáp án C.

∫ f ( − x ) dx . Đặt t = − x ⇒ dt = −dx . Đổi cận:  x = 2 → t = −2

−2

2 2

Vậy 2 I + 3 ∫ f ( − x ) dx =

⇔ 2 I + 3I =

−2

∫ f ( x ) dx = I . −2

π 4

⇔I=

π 20

∫

f ( t ) dt =

−2

Suy ra J = − ∫ f ( t ) dt =

n n −1 ∫ x dx = n.x + C.

Câu 42:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:

D. ∫ sin xdx = − cos x + C.

VIỆT

ĐÔNG

2018) Cho

x.cos x

∫ x.sin x + cos xdx = m.

Tính

x.sin x + ( x + 1) cos x dx. x.sin x + cos x

∫

ĐẶNG

Câu 43:( GV

Đáp án A.

x n +1 + C. n +1

C. ∫ e x dx = e x + C .

n ∫ x dx =

KÈ

A. I = a + b + m.

B. I = a − b + m.

C. I = b + a − m.

D. I = b − a + m.

Đáp án D. b

ẠY

I = ∫ dx + ∫ a

x.cos x dx = b − a + m . x.sin x + cos x

Câu 44:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho các hàm số f ( x ) , g ( x ) có đạo hàm liên tục trên [ a, b] . Khi đó: b

∫ a

f ( x ) .g ' ( x ) dx =  f ( x ) .g ( x ) 

b a

− ∫ f ' ( x ) .g ( x ) dx. a

∫

f ( x ) .g ' ( x ) dx =  f ( x ) .g ( x ) 

+ ∫ f ' ( x ) .g ( x ) dx.

∫ f ( x ) .g ' ( x ) dx =  f ( x ) .g ( x )

b a

− ∫ f ' ( x ) .g ' ( x ) dx.

a b

∫

a b

FF IC IA L

f ( x ) .g ' ( x ) dx = f ( x ) .g ( x ) − ∫ f ' ( x ) .g ( x ) dx.

Đáp án A. e

Câu 45:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho I = ∫ ln xdx. Khi đó: 1 e

B. I = ( x ln x − 1) 1 .

C. I = x ( ln x − 1) 1 .

D. I =

A. I = ( x ln x + x ) 1 .

Đáp án C.

ln 2 x 2

1  u = ln x du = dx Đặt  ⇒ x dv = dx v = x 

Câu 46:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y = x 2 x 2 + 1, trục Ox và đường thẳng x = 1 bằng

(

a b − ln 1 + b c

)

với a, b, c là các

nguyên số dương. Khi đó giá trị của a + b + c là:

B. 12.

A. 11.

Đáp án C. 1

S = ∫ x 2 x 2 + 1dx = ∫ ( x3 + x ) d

(

C. 13.

)

x2 + 1 = ( x2 + x ) x2 + 1

D. 14.

− ∫ x 2 + 1. ( 3x 2 + 1) dx 0

KÈ

= 2 2 - 3S - ∫ x 2 + 1dx 0

Đặt x = tan x ⇒ a = 3, b = 2, c = 8

ẠY

Câu π

∫ 0

47:(

ĐẶNG

VIỆT

ĐÔNG

2018)

π  f ( x ) .sin x d x = ∫ f '' ( x ) .sin x d x = f ( 0 ) = 1. Tính f '   . 2 0 A. 1.

Đáp án A.

B. 0

C. -1.

D. 2.

Cho

u = f ( x ) du = f ' ( x ) dx Đặt  ⇒ dv = sin xdx v = − cos x ⇒ ∫ f ( x ) .sin xdx = − f ( x ) .cos x 0

π 2

+ ∫ f ' ( x ) .cos xdx ⇔ 1 = f ( 0 ) + ∫ f ' ( x ) .cos xdx

FF IC IA L

π 2

⇒ ∫ f ' ( x ) .cos xdx = 0 0

u = f ' ( x ) du = f '' ( x ) dx Đặt  ⇒ dv = cos xdx v = sin x ⇒ 0 = ∫ f ' ( x ) .cos xdx = f ' ( x ) .sin x 0

π 2

− ∫ f '' ( x ) .sin xdx

π 2

ẠY

KÈ

π π ⇒ 0 = f '  −1 ⇒ f '  = 1 2 2

Câu 48:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Ta có:

∫

f ( x ) dx = 2; ∫ f ( x ) dx = 4 . Tính

∫

f ( 3 x ) dx = 6

∫

∫ f ( 3x ) dx = 2 0

∫ f ( 3x ) dx = 3 0

Đáp án C.

1 Đặt 3 x = t ⇒ 3dx = dt ⇒ dx = dt 3 Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t = 3 ⇒∫

3 3 1 3  1 1 1 1 f ( 3 x ) dx = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx =  ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx  = ( 2 + 4 ) = 2 30 30 3 0 1  3

f ( 3 x ) dx = 12

∫ f ( 3x ) dx .

FF IC IA L

∫ f ( x ) dx = ln x − 2 − 3ln 2 x + 1 + C

∫ f ( x ) dx = ln x − 2 + 2 ln 2 x + 1 + C

∫ f ( x ) dx = ln x − 2 − 6ln 2 x + 1 + C 3

∫ f ( x ) dx = ln x − 2 − 2 ln 2 x + 1 + C

Đáp án D.

1 3 − có nguyên hàm là: x − 2 2x + 1

Câu 49:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Hàm số f ( x ) =

Bạn có thể dùng MTCT để tính đạo hàm tại 1 điểm với từng đáp án. Tuy nhiên nếu nhớ bảng nguyên hàm biểu thức sẽ nhanh ra kết quả hơn.

Câu 50:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho ( E ) :

x2 y2 + = 1 . Khi quay ( E ) quanh trục Ox a2 b2

ta được một khối tròn xoay (gọi là khối elipxoit). Thể tích của khối elipxoit là: 4 2 πa b 3

KÈ A.

4 π ab 2 3

3 2 πa b 4

Đáp án B.

ẠY

 x2  Từ ( E ) ⇒ y 2 = b 2  1 − 2   a 

Gọi V là thể tích khối cần tìm a

a  x2   x2  x3  4 2  ⇒ V = π ∫ b 1 − 2  dx = 2π b ∫  1 − 2  dx = 2π b 2  x − 2  = π ab 2 a  3a  0 3  a   −a 0 a

3 π ab 2 4

Câu

51:(

VIỆT

ĐẶNG

ĐÔNG

2018)

Cho

biết

π 4

sin x + 3cos x dx = πa + ln b ( 0 < a < 1,1 < b < 3) . Tích a.b bằng bao nhiêu? sin x + cos x 0

I =∫

1 . 2

Đáp án B π 4

1 . 4

FF IC IA L

4 ( cosx − sin x ) + 2 ( sin x + cos x ) dx = 4 d ( sin x + cos x ) + 2 4 dx sin x + 3cos x I =∫ dx = ∫ ∫0 sin x + cos x ∫0 sin x + cos x sin x + cos x 0 0

π 4

= ( ln sin x + cos x + 2 x )

= ln 2 +

π 1 = π. + ln 2 2 2

1 1 , b = 2 ⇒ a.b = 2 2

⇒a=

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Đáp án B

A. 1.

10 x 2 − 7 x + 2 1  trên  ; +∞  thì a + b + c là: 2x −1 2 

hàm của hàm số g ( x ) =

Câu 52:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Nếu f ( x ) = ( ax 2 + bx + c ) 2 x − 1 là một nguyên

2x −1

10 x 2 − 7 x + 2 2x −1

KÈ

f '( x) = g ( x) ⇔

10 x 2 − 7 x + 2 trên 2x −1

Q 5ax 2 + ( b − 2a ) x − b + c

1   ; +∞  thì 2 

Nếu f ( x ) = ( ax 2 + bx + c ) 2 x − 1 là một nguyên hàm của hàm số g ( x ) =

ẠY

5a = 10 a = 2   ⇔ b − 2a = −7 ⇔ b = −1 ⇒ a + b + c = 2 −b + c = 2 c = 1   2

Câu 53:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho biết 16

∫ 9

( t ) dt = 2 . Tính t

A. 1. Đáp án D

∫

( )

x. f x 2 dx = 4 ,

∫ f ( x ) dx. 0

B. 10.

C. 9.

∫ f ( z ) dz = 2 ,

D. 11.

- Với I1 =

∫ x. f ( x ) dx = 4 . Đặt 2

x 2 = t ⇒ xdx =

dt 2

Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0, x = 2 ⇒ t = 2 2

dt = 4 ⇒ ∫ f ( t ) dt = 8 hay 2 0

0 16

- V ới I 2 = ∫

∫ f ( x ) dx = 8 0

( t ) dt . t

Đặt x = t ⇒ ∫

( t) = t

∫

f ( x ) .2dx = 2 ⇒ ∫ f ( x ) dx = 1

⇒ I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = 8 + 2 + 1 = 11

FF IC IA L

⇒ I1 = ∫ f ( t ) .

π 2

∫ x. (1 + cos x ) dx = aπ

Câu 54:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Tích phân

+ bπ − 1 với a.b

1 . 16

1 . 8

là:

1 2 π. 16

Đáp án A

1 3 π. 4

π 2

− ∫ ( x + sin x ) dx =

⇒ I = x ( x + sin x )

u = x du = dx ⇒ Đặt  dv = (1 + cos x ) dx v = x + sin x

1 1 1 π2 π + − 1 ⇒ a = , b = ⇒ a.b = 8 2 8 2 16

KÈ

Câu 55:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3 , trục hoành và hai đường x = −1, x = 2 , biết rằng mỗi đơn vị dài trên các

ẠY

trục tọa độ là 2cm.

A. 15cm 2 .

15 2 cm . 4

17 2 cm . 4

Đáp án D Nếu đơn vị trên mỗi trục là 1 thì: 2

∫ −1

x 3 dx = ∫ − x 3dx + ∫ x 3dx = −1

− x4 4

+ −1

x4 4

= 0

1 17 +4= 4 4

Vì đơn vị trên mỗi trục là 2cm ⇒ Một đơn vị diện tích là 2.2 = 4cm 2

D. 17cm 2 .

⇒S=

17 .4 = 17cm 2 . 4

Câu 56:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục và chẵn trên 2

[ −2; 2] và ∫ f ( x ) dx = 4. Tính

dx.

−2

A. 4.

B. 2.

FF IC IA L

−2

f ( x)

∫ 1+ 2

C. 8.

D. –2.

Đáp án B Đặt x = −t ⇒ dx = dt Đổi cận x = −2 ⇒ t = 2 x = 2 ⇒ t = −2

2 2 f ( x) 2 x. f ( x ) + = dx dx ∫ 1 + 2 x −∫2 1 + 2 x ∫ f ( x ) dx = 4 ⇒ I = 2. −2 −2

⇒I+I =

f ( −t ) dt 2 2 '. f ( t ) dt 2 2 x. f ( x ) dt (vì tích phân không phụ thuộc biến số) =∫ =∫ 1 + 2t 1 + 2x 1 + 2− t −2 −2

−2

⇒ I = −∫

Đáp án C 1

2 ( 2 x + 1)

+ C.

1 D. F ( x ) = log 2 ( 2 x + 1) + C. 2

1 d ( 2 x + 1) 1 = ln 2 x + 1 + C . 2x +1 2

Ta có

−1

1 là: 2x +1

1 C. F ( x ) = ln 2 x + 1 + C. 2

B. F ( x ) =

1 ln ( 2 x + 1) + C. 2

A. F ( x ) =

Câu 57:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

∫ 2 x + 1 dx = 2 ∫

KÈ

Câu 58:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Một ca nô đang chạy trên hồ với vận tốc 20 m/s thì hết xăng. Từ thời điểm đó, ca nô chuyển động chậm dần đều với vận tốc

v ( t ) = −5t + 20 ( m / s ) trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc hết xăng. Hỏi từ lúc hết xăng đến lúc dừng hẳn thì ca nô đi được bao nhiêu mét?

B. 20 m.

C. 30 m.

ẠY

A. 10 m.

Đáp án D.

Khi ca nô dừng hẳn thì v ( t ) = 0 ⇔ −5t + 20 = 0 ⇔ t = 4 4

 5t 2  ⇒ S = ∫ ( −5t + 20 ) dt =  − + 20t  = 40m.  2 0 0 4

D. 40 m.

∫ f ( x ) dx = 4.

Câu 59:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho

Giá trị của

π 4

I = ∫ f ( cos 2 x ) .sin x.cos xdx bằng: A.

1 . 2

B. 1.

FF IC IA L

C. 4.

D. 2.

Đáp án B. Đặt x = cos 2t ⇒ dx = −2sin 2tdt = −4sin t.cos tdt Đổi cận: x = 0 ⇒ t =

π 4

x =1⇒ t = 0

⇒ 4 = ∫ f ( x ) dx = − 4 ∫ f ( cos 2t ) .sin t.cos tdx π

= 4 ∫ f ( cos 2t ) .sin t.cos tdt = 4 ∫ f ( cos 2 x ) .sin x.cos xdx π 4

⇒ ∫ f ( cos 2 x ) .sin x.cos xdx = 1.

Câu 60:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho

∫ f ( x ) dx = 2; ∫ g ( x ) dx = 3 .

Tính:

31 . 2

A. I =

I = ∫ ( x + 1) dx + ∫ 2.f ( x )dx + ∫ 3.g ( x ) dx. 1

B. I =

37 . 2

C. I = 17.

D. I =

17 . 2

KÈ

Đáp án A.

ẠY

 x2 2 1 1 31 I =  + x  + 2.2 + 3.3 = 2 + 2 − − 1 + 13 = 16 − = . 2 2 2  2 1

Câu 61:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho đường tròn

(C ) : ( x − 2) + ( y − 4)

= 1.

Đường thẳng d có phương trình 3 x − 4 y = 0 . Tính thể tích V của hình xuyến tạo thành khi quay đường tròn ( C ) quanh đường thẳng d.

A. π 2 . Đáp án D.

B. 2π 2 .

C. 4π .

D. 4π 2 .

Đường tròn ( C ) có tâm I ( 2; 4 ) , bán kính R = 1 . 3.2 − 4.4

d (I;d ) =

3 +4

10 =2. 5

FF IC IA L

Thể tích của hình xuyến đã cho bằng thể tích của hình xuyến tâm J ( 0; 2 ) , bán kính bằng 1. 2

Khi quay quanh trục hoành, phương trình đường tròn ( J ;1) là x 2 + ( y − 2 ) = 1 .

)

(

)

(

 y − 2 = ± 1 − x 2  y = 2 ± 1 − x 2 ⇔ ⇔ .  −1 ≤ x ≤ 1  −1 ≤ x ≤ 1

−1

Đặt x = sin t ⇒ dx = cos tdt .

; x =1⇒ t =

M 62:(

KÈ

π 2

( sin x + 2 ) cos x

∫ sin 0

= 4π 2 .

Câu

∫π

−

 sin 2t  2 π   π  1 − sin 2 t .cos tdt = 4π  t + = 4π  + 0  − 4π  − + 0   2  π  2   2  − 2

V = 8π

Đổi cận: x = −1 ⇒ t = −

⇒ V = π ∫ 2 + 1 − x 2 dx − π ∫ 2 − 1 − x 2 dx = π ∫ 8 1 − x 2 dx .

x + 4sin x + 7

ĐẶNG

VIỆT

Biết

dx = a ln 12 + ( b − 1) ln 7 với a, b là các số nguyên. Tổng a + b bằng:

ẠY

A. 1.

B. -1.

C. 0.

Đáp án A.

2018)

ĐÔNG

Đặt t = sin 2 x + 4sin x + 7 ⇒ dt = ( 2sin x.cos x + 4 cos x ) dx

⇒ cos x ( sin x + 2 ) dx =

dt π . Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 7; x = ⇒ t = 12 . 2 2

1 . 2

12 a = 1 a = 1 1 dt 1 = ( ln12 − ln 7 ) = ln 12 − ln 7 ⇒  ⇔ ∫ 27 t 2 b − 1 = −1 b = 0

⇒ a + b =1. 1

1 dx Câu 63:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho ∫ x dx = ; ∫ = ln m với m, n là các số 10 0 2 x + 1 0

FF IC IA L

nguyên dương. Khi đó:

A. m + n < 12.

B. m > n .

C. n = 3m.

D. m = n .

Đáp án C.

1 1 x n +1 1 1 = ∫ x n dx = = ⇒n=9. 10 0 n +1 0 n +1

∫ 2 x + 1 = 2 ln 2 x + 1 1 = 2 ln 9 − ln 3 ⇒ m = 3 ⇒ n = 3m. 0

Ta có

Câu 64:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Hàm số nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số 1 f ( x ) = + sin x ? x A. F ( x ) = ln x − cos x + C.

ẠY

KÈ

Đáp án A.

1 + cos x + C. x2

D. F ( x ) = −

C. F ( x ) = −

B. F ( x ) = ln x + cos x + C. 1 − cos x + C. x2

Câu 1

(Gv Lê Tuấn Anh 2018) Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = cos ( 5 x − 2 ) . B. F ( x ) = 5sin ( 5 x − 2 ) + C .

1 C. F ( x ) = − sin ( 5 x − 2 ) + C . 5

D. F ( x ) = −5sin ( 5 x − 2 ) + C .

FF IC IA L

1 A. F ( x ) = sin ( 5 x − 2 ) + C . 5

Hướng dẫn: A Áp dụng công thức ∫ cos ( ax + b ) dx =

Câu 2:

1 sin ( ax + b ) + C . a

(Gv Lê Tuấn Anh 2018) Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng

được giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = 1 − x 2 ; y = 0 quanh trục Ox . C.

3 π. 4

4 π. 3

Hướng dẫn: D

B. 3π .

A. 2 .

+ Hàm thứ nhất y = 1 − x 2 , hàm thứ hai y = 0

+ Thể tích V = π ∫

(

1− x

) dx

−1

⇒ Cận thứ nhất x = −1 , cận thứ hai x = 1

 x = −1 Giải phương trình hoành độ giao điểm 1 − x 2 = 0 ⇔ 1 − x 2 = 0 ⇔  x = 1

KÈ

Sử dụng máy tính Casio với lệnh tính tích phân

4 ⇒V = π . 3

(Gv Lê Tuấn Anh 2018) Tìm một nguyên hàm F ( x ) của hàm số

ẠY

Câu 3:

f ( x ) = ax +

b ( x ≠ 0 ) ,biết rằng F ( −1) = 1 , F (1) = 4 , f (1) = 0 . x2

A. F ( x ) =

3x 2 3 7 + + . 4 2x 4

B. F ( x ) =

3x 2 3 7 − − . 4 2x 4

C. F ( x ) =

3x 2 3 7 + − . 2 4x 4

D. F ( x ) =

3x 2 3 1 − − . 2 2x 2

Hướng dẫn: A

∫

b  ax 2 bx −1 ax 2 b  + +C = − + C = F ( x) f ( x )dx = ∫  ax + 2  dx = ∫ ( ax + bx −2 ) dx= −1 x  x 2 2 

(

)

FF IC IA L

3 a  2 +b +C =1 a = 2  F ( −1) = 1    3 3x 2 3 7 a  Ta có  F (1) = 4 ⇔  − b + C = 4 ⇔ b = − . Vậy F ( x ) = + + . 2 2 4 2 x 4     F (1) = 0 7 a + b = 0   c = 4  

Câu 4 (Gv Lê Tuấn Anh 2018): Tìm tất cả các giá trị thực dương của tham số m sao cho m

∫ xe

x 2 +1

m 2 +1

dx=2500 e

A. m = 2250 2500 − 2 . B. m = 21000 + 1 .

C. m = 2250 2500 + 2 . D. m = 21000 − 1 .

x 2 +1

dx=

x 2 +1

d ( x2 )

1 e 2 ∫0

Ta có I = ∫ xe

Hướng dẫn: C

e d ( t − 1) =

te dt = ( te

− e − et

m 2 +1

⇒

(

m 2 +1

= m 2 + 1.e

)

m2 + 1 − 1 e

Bài ra I = 2500 e

∫

m 2 +1

m2 +1

= m 2 + 1.e

∫

m2 +1

1 Do đó I = 2

Đặt t = x 2 + 1 , khi x = 0 ⇒ t = 1; x = m ⇒ t = m2 + 1

m 2 +1

)

m2 +1

−

et dt

−e−e

= 2500 e

∫

m 2 +1

+e=

(

)

m2 + 1 − 1 e

m 2 +1

KÈ

⇔ m 2 + 1 − 1 = 2500 ⇔ m 2 + 1 = (1 + 2500 ) ⇔ m 2 = 21000 + 2.2500

(

)

Kết hợp với m > 0 ta được m = 21000 + 2.2500 = 2500 2 + 2500 = 2250 2 + 2500 thỏa mãn.

ẠY

Câu 5:

(Gv Lê Tuấn Anh 2018) Tính tích phân I = ∫

x 2 x3 xn 0 1 + x + + + ... 2! 3! n!

được kết quả

1 1 1  A. ( n + 1) !ln  2 + + + ... +  . 2! 3! n!  

1 1 1  B. ln  2 + + + ... +  . 2! 3! n!  

1 1 1  C. ( n − 1) !ln  2 + + + ... +  . 2! 3! n!  

D. Đáp án khác.

dx , ( n ∈ N * ) ta

Hướng dẫn: D +Vì trong kết quả có xuất hiện ln, nên ta nghĩ đến ý tưởng dùng công thức

∫ f ( x )df ( x ) = ln x + C f ( x ) ≡ fn ( x ) = 1 + x + 1

+ V ậy I = ∫

x2 x3 xn x 2 x3 xn −1 + + ... + ⇒ f n′ ( x ) = 1 + x + + + ... + = f ( x) 2! 3! 2! 3! n! ( n − 1)! n−1

n !( f n ( x ) − f n −1 ( x ) ) fn ( x )

FF IC IA L

Để xuất hiện công thức này ta coi mẫu chính là

 f ′( x)  dx = n ! ∫ 1 − n dx f n ( x )  0 1

1  1 1 1   = n ! x − n !ln f n ( x ) 0 = n ! 1 − ln  2 + + + ... +   . 2! 3! n!   

x3 4 3 x . + 3lnx − 3 3

x3 4 3 + 3ln x + x +C . 3 3

H N

x3 4 3 − 3ln x − x +C . 3 3

3 x3 4   f ( x )dx = ∫  x 2 + − 2 x dx = + 3ln x − x x + C . x 3 3   (Gv Lê Tuấn Anh 2018) Biết F ( x ) là nguyên hàm của hàm số 1 + 3 x và thỏa mãn 5F (1) + F ( 2 ) = 43 .Tính F ( 2 ) . x2

Câu 7:

∫

4 3 x3 + 3ln x − x +C. 3 3

Ta có

Chọn đáp án B

3 − 2 x ( x > 0) . x

Câu 6 (Gv Lê Tuấn Anh 2018): Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x 2 +

KÈ

f ( x ) = 4 x3 −

A. F ( 2 ) =

151 . 4

B. F ( 2 ) = 23 .

C. F ( 2 ) =

45 . 2

D. F ( 2 ) =

ẠY

Chọn đáp án B

+ Ta có F ( x ) = x 4 +

1 3 2 + x +C x 2

1 7   45  + Theo giả thiết 5 F (1) + F ( 2 ) = 43 ⇒ 5  + C  +  + C  = 43 ⇒ C = 2 2   2 

+ Do đó F ( x ) = x 4 +

1 3 2 1 + x + ⇒ F ( 2 ) = 23 . x 2 2

86 . 7

(Gv Lê Tuấn Anh 2018) Cho hàm số f ( x ) có nguyên hàm là F ( x ) trên đoạn [1;2]

, biết F ( 2 ) = 1 và

A. I =

∫ F ( x )dx = 5 . Tính I = ∫ ( x − 1) f ( x )dx .

37 . 9

B. I =

7 . 9

C. I = 4 .

D. I = −4 .

FF IC IA L

Câu 8:

Chọn đáp án D Ta có

∫ ( x − 1) f ( x )dx = ∫ xf ( x )dx − ∫ f ( x )dx = xF ( x ) − ∫ F ( x )dx − ∫ f ( x )dx 1

= 2 F ( 2 ) − F (1) − 5 − F ( 2 ) + F (1) = F ( 2 ) − 5 = −4 .

Câu 9 (Gv Lê Tuấn Anh 2018): Trong mặt phẳng tọa độ, cho hình chữ nhật ( H ) có một

(

)

cạnh nằm trên trục hoành, và có hai đỉnh trên một đường chéo là A ( −1;0 ) và C m; m , với

m > 0 . Biết rằng đồ thị hàm số y = x chia hình ( H ) thành hai phần có diện tích bằng nhau,

B. m = 4 .

1 . 2

D. m = 3 .

KÈ

Chọn đáp án D

C. m =

A. m = 9 .

tìm m .

(

)

+ Gọi ABCD là hình chữ nhật với AC nằm trên trục Ox , A ( −1;0 ) và C m; m .

ẠY

Nhận thấy đồ thị hàm số y = x cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 0 và đi qua

(

)

C m; m . Do đó nó chia hình chữ nhật ABCD ra làm 2 phần là có diện tích lần lượt là

S1 , S2 . Gọi S 2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x và trục Ox , x = 0, x = m và S1 là diện tích phần còn lại. Ta lần lượt tính S1 , S 2 . m

+ Tính diện tích S 2 = ∫ x dx = 0

2m m 3

+ Hình chữ nhật ABCD có AB = m + 1; AD = m nên S1 = S ABCD − S 2 = m ( m + 1) −

S1 = S 2 ⇔

Câu 5

I =∫ 1

( H ) thành

2m m 2m m − m ( m + 1) − ⇔ m=3 3 3

10:

(Gv

hai phần có diện tích bằng nhau nên ( Do a > 0 ).

Lê

Tuấn

FF IC IA L

Do đồ thị hàm số y = x chia hình

2m m 3

Anh

2018)

Biết

2x −1 3 dx = a + b ln 2 + c ln , ( a, b, c ∈ Z ) . Khi đó, giá trị P = a 2 − ab + 2c 5 2x + 3 2x −1 +1

A. 10 .

B. 8 .

C. 9 .

D. 0 .

Chọn đáp án A

Ta có 2 x + 3 2 x − 1 + 1 = 2 x − 1 + 3 2 x − 1 + 2

Đặt t = 2 x − 1 ⇒ t 2 = 2 x − 1 ⇒ tdt = dx Đổi cận x = 1 ⇒ t = 1; x = 5 ⇒ t = 3

Khi đó

3 3  1 t2 −3t − 2  −4   dt = ∫ 1 + I =∫ 2 +  dt = ∫ 1 +  dt = ( t + ln t + 1 − 4 ln t + 2 )  t + 3t + 2 t +1 t + 2  ( t + 1)( t + 2 )  1 1 1 1

= 3 + ln 4 − 4 ln 5 − (1 + ln 2 − 4 ln 3) = 2 + ln 2 + 4 ln

3 ⇒ a = 2, b = 1, c = 4 ⇒ a + b + c = 7 . 5

(

)

Câu 11 (Gv Lê Tuấn Anh 2018): Cho hàm số fx = tan x 2 cot x − 2 cos x + 2 cos2 x có

đúng.

π  π cos cx nguyên hàm là Fx và F   = . Giả sử Fx = ax + b cos x − − d . Chọn phát biểu 2 4 2

KÈ

A. a : b : c = 1: 2 :1

B. a + b + c = 6

C. a + b = 3c D. a − b + c = d

Chọn đáp án B

ẠY

Ta có F ( x ) = ∫ tanx 2 cot x − 2 cos x + 2 cos2 x = ∫ 2 − 2 s inx + sin 2 xdx

= 2 x + 2 cos x −

π  π π  π 2 π cos 2 x − 0 + C = ⇒ C = −1 + C .Mà F   = ⇒ F   = 2. + 2. 2 4 2 2 4 2 4

Do đó F ( x ) = 2 x + 2 cos x −

cos 2 x −1 2

21000

∫

C. I =

ln 21000

+ 1000 ln

1 + 21000

3 ln 21000

1 + 21000

− 1000 ln

B. I = −

1 + 21000 2

D. I =

1 + 21000

1000 ln 2

1 + 21000

1000 ln 2

1 + 21000

Chọn đáp án B

1000 ln 2

1 + 21000

Câu 13:

(

+ ln x − ln x + 1 + ln

=−

21001

1000 ln 2

21000

1 + 21000

1 d (ln x ) x +1

1 1   −  dx  x x +1

21000

x + ln x +1 1

1 + 21000

21000

1 + 21000

1000 ln 2

∫

− 6 ln

( x − 3) dx ta được (Gv Lê Tuấn Anh 2018) Tính tích phân I = ∫ 10 0 ( 2 x + 1)

=−

1+ 2

21000

=−

∫

1000

1 1 1000 ln 2 . dx = − + x +1 x 1 + 21000

318 + 29 63.39

Chọn đáp án C

B. −

318 + 29

63.39

=−

21000

ln 21000

21000

1 + 21000

( x + 1)2

∫

dx = −

ln x 1 ln xd =− x +1 x +1

21000

∫

Ta có I =

ln x

21000

+ ln

21000

dx , ta được kết quả

( x + 1)2

A. I = −

ln x

FF IC IA L

(Gv Lê Tuấn Anh 2018) Tính tích phân I =

Câu 12:

318 − 29 63.39

−318 + 29 63.39 1

1 x −3 ( x − 3) dx = 1 ( x − 3) ( ) d x − 3 = 1  x − 3 9 = 318 − 29 I =∫ dx = ∫ ∫ 10 8 2 8 2 x + 1 63  2 x + 1  63.39   0 ( x + 1) 0 ( 2 x + 1) ( 2 x + 1) 0 ( 2 x + 1) 0

KÈ

ẠY

Câu 14 (Gv Lê Tuấn Anh 2018): Cho vật thể H nằm giữa hai mặt phẳng x = 0, x = 1 . Biết rằng thiết diện của vật thể H cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x

(0 ≤ x ≤ 1) là một tam giác đều có cạnh là

ln(1 + x ) . Giả sử thể tích V của vật thể có kết

quả là V = a b (c ln 2 − 1) với a, b, c là các số nguyên. Tính tổng S = a 2 − ab + c

A. 6 Chọn đáp án A

B. 8

C. 7

D. 9

+ Thiết diện của vật thể và mặt phẳng vuông góc với trục Ox là tam giác đều có diện tích 3

S = S( x ) =

(

ln(1 + x )

)

= 4 3 ln(1 + x )

theo công thức V = ∫ 4 3 ln(1 + x )dx = 2.7673... = 4 3(2 ln 2 − 1) 0

⇒ Ta chọn đáp án A

(Gv Lê Tuấn Anh 2018): Cho hàm số f ( x )

liên tục trên ℝ

Câu 15

FF IC IA L

+ Diện tích S = S ( x ) là một hàm liên tục trên  0;1 nên thể tích vật thể cần tìm được tính

B. S=3

π 3

∫ f ( x )dx

được biểu diễn

là các phân số tối giản. Tính

C. S=5

D. S=7

A. S=6

a c ; b d

S = a3 + ab − c + d

và các phân số

a c ln ; a, b, c, d ∈ ℤ b d

dưới dạng I =

π  1 sin x f (x) + f  − x  = , ∀x ∈ ℝ . Biết tích phân I = 3  2 cos x (8 cos3 x + 1)

và thỏa mãn

Chọn đáp án A

⇒

π 3

π

π 3

π  1 sin x + Ta có f ( x ) + f  − x  = , ∀x ∈ ℝ 3  2 cos x (8 cos3 x + 1) 1



π 3

KÈ

+ Áp dụng tính chất. Nếu hàm số f

ẠY

t = a + b − x ta có π 3

2 ∫ f ( x )dx = 0

sin x

∫ f ( x )dx + ∫ f  3 − x  dx = 2 ∫ cos x(8 cos3 x + 1) dx, ∀x ∈ ℝ

1 2

π 3

(x) liên tục trên đoạn  a; b  , với phép đổi biến

∫ f ( x )dx = ∫ f (a + b − x )dx sin x

π 3

ta được

π 3

sin x

∫ cos x (8 cos3 x + 1) dx ⇔ ∫ f ( x )dx = 4 ∫ cos x (8 cos3 x + 1)dx 0

+ Đặt I =

1 4

π 3

sin x

∫ cos x(8 cos3 x + 1)dx; t = 8 cos

x + 1 ⇒ dt = −24 cos2 x sin xdx

Khi

π 3

∫ 0

π 3

→t=2

sin x

1 1 1 t −1 dx = ∫ dt = ln 3 12 2 t (t − 1) 12 t cos x (8 cos x + 1)

= 2

1 16 ln 12 9

+ Vậy S = a3 + ab − c + d = 6

FF IC IA L

x =0→t =9

Câu 16 (Gv Lê Tuấn Anh 2018): Cho f ( x ), g( x ) là hai hàm số liên tục trên K và a, b, c là

∫

f ( x )dx + ∫ g( x )dx = ∫ f ( x )dx

∫

f ( x )dx = 3 ∫ f 3 ( x )dx

∫

f ( x )g( x )dx = ∫ f ( x )dx ∫ g( x )dx

Chọn đáp án A

∫

f ( x )dx + ∫ f ( x )dx = 0

ba số bất kỳ thuộc K. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?

Dựa vào tính chất cơ bản của tích phân thì rõ ràng A là đáp án đúng.

(Gv Lê Tuấn Anh 2018)Tìm nguyên hàm F

Câu 17:

(x) của hàm số

f ( x ) = cos x sin x + 1

1 A. F ( x ) = sin x sin x + 1 + C 3

1 B. F ( x ) = (sin x + 1) sin x + 1 + C 3

KÈ

1 − 2sin x − 3sin 2 x 2 C. F ( x ) = (sin x + 1) sin x + 1 + C D. F ( x ) = 3 2 sin x + 1

ẠY

Chọn đáp án C

Ta có H = ∫ cos x sin x + 1dx = ∫ sin x + 1d (sin x )

Đặt t = sin x + 1 ⇒ sin x = t 2 − 1 ⇒ H = ∫ td (t 2 − 1) = ∫ t.2tdt

⇒H =

2t 3 2 +C = 3 3

(

sin x + 1

)

+C =

2 (sin x + 1) sin x + 1 + C 3

(Gv Lê Tuấn Anh 2018) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và hàm số

Câu 18:

y = g( x ) = xf ( x 2 ) có đồ thị trên đoạn 1; 2  như hình vẽ bên. Biết phần diện tích miền được 4

5 , tính tích phân I = ∫ f ( x )dx 2 1 B. I = 6

A. I = 7

FF IC IA L

tô màu là S =

C. I = 10

D. I = 5

Chọn đáp án D 2

5 5 . Đặt t = x 2 ⇒ dt = 2 xdx . Đổi cận ⇒ ∫ xf ( x 2 )dx = 2 2 1

∫ g( x )dx = 1

suy ra: 2

(Gv Lê Tuấn Anh 2018) Giả sử hàm số y = f ( x ) liên tục, nhận giá trị dương trên

Câu 19:

1 5 ∫ xf ( x )dx = 2 ∫ f (t)dt = 2 ⇒ ∫ f (t)dt = 5 ⇒ I = 5 1 1 1 2

khoảng (0; +∞ ) và thỏa mãn f (1) = 1; f ( x ) = f '( x ) 3 x + 1, ∀x > 0 . Mệnh đề nào đúng trong

các mệnh đề dưới đây

B. max f ( x ) < 1

C. 2 < max f ( x ) > 3

A. max f ( x ) > 3 x∈2;4 

x∈ 2;4 

f '( x ) f '( x ) dx 1 = ⇔∫ dx = ∫ f (x) f (x) 3x + 1 3x + 1

f ( x ) = f '( x ) 3 x + 1 ⇒

− d ( f ( x )) 2 ⇔∫ = ∫ (3 x + 1) 2 dx ⇔ ln f ( x ) = 3x + 1 + C ⇔ f ( x) = e 3 f (x) 3

KÈ

4 +C f (1) = 1 ⇒ 1 = e 3

Mặt khác

x∈2;4 

3 2

Chọn đáp án C

x∈ 2;4 

D. max f ( x ) =

4 ⇒ C = − . Vậy f ( x ) = e 3 3

3 x +1 −

4 3

3 x +1+C

. Dùng máy tính casio ta

có max f ( x ) ≈ 2,916

ẠY

x∈ 2;4 

Câu 20:

(Gv Lê Tuấn Anh 2018) Cho hàm số y = f ( x ) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn

 −1;1 và thỏa mãn

A. I = 7

1 2

∫ 0

1 2

f ( x )dx = 3, ∫ f (2 x )dx = 10 . Tính I = 1 4

B. I = 23

∫ −

C. I = 13

cos f (sin x )dx

π 2

D. I = 8

Chọn đáp án B

1 4

1 2

∫ f (2 x )dx = 10 . Đặt t = 2 x ta thu được kết quả ∫ f ( x )dx = 20 0

∫ −

cos xf (sin x )dx

π 2

Đặt t = sin x ⇒ dt = cos xdx . Ta có

∫

−

f (t )dt =

∫

f (t )dt +

−1

∫

f (t )dt = 23

1 2

−1

1 2

+ I=

+ Xét

1 2

FF IC IA L

2 a  ∫ f ( x )dx = 2 ∫ f ( x )dx  0 + Ta có tính chất nếu y = f ( x ) là hàm số chẵn, thì  − a b −a   ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx  a −b

−

Câu 21 (Gv Lê Tuấn Anh) Cho a là số thực dương, tính tích phân I =

Vì a > 0 nên I = − ∫ xdx + ∫ xdx = −1

D. I =

3a 2 − 1 2

1 a2 a2 + 1 + = 2 2 2

(Gv Lê Tuấn Anh) Biết

KÈ

Câu 22:

theo a

−2 a 2 + 1 a2 + 1 a2 + 2 A. I = B. I = C. I = 2 2 2

Chọn đáp án A

∫ x dx −1

x2 − 2 −1 ∫0 x + 1 dx = m + n ln 2 , với m, n là các số nguyên. Tính

m+n

A. S = 1

B. S = 4

C. S = −5

D. S = −1

ẠY

Chọn đáp án A

( x − 1) x2 − 2 dx ∫0 x + 1 dx = ∫0 ( x − 1) dx − ∫0 x + 1 = 2

2 1

− ln x + 1 0

1 0

−1 − ln 2 2

⇒ m = 2, n = −1 ⇒ m + n = 1 π

Câu 23 (Gv Lê Tuấn Anh) Biết

cos 2 x ∫ 1 + 3− x dx = m . Tính giá trị của −π

cos 2 x ∫ 1 + 3− x dx −π

A. π − m

π 4

C. π + m

π 4

−m

Chọn đáp án A π

cos 2 x cos 2 x 2 + dx ∫−π 1 + 3− x −∫π 1 + 3x dx = −∫π cos xdx = π

FF IC IA L

Sử dụng phân tích

1000

Câu 24:

(Gv Lê Tuấn Anh)Tính tích phân I =

lnx

∫ ( x+1)

dx , ta được

A. I = −

B. I = −

ln 21000 2 − 1001ln 1000 1+ 2 1 + 21000

D. I =

1000 ln 2 21000 − ln 1 + 21000 1 + 21000

Chọn đáp án A b

∫ p ( x ) ln f ( x ) dx

ta sử dụng phương pháp tích phân từng

- Phương pháp: Tính tích phân

phần

dx   u = lnx du =    x dx ⇒  Đặt  dv = 1 2  ( x+1)  v = − x+1  1000

1000 ln 2 21000 ln + 1 + 21000 1 + 21000

C. I =

ln 21000 2 + 1001ln 1000 1+ 2 1 + 21000

1000

1000 ln 2 21000 1 1000 ln 2 21001 + ln − ln = − + ln 21000 + 1 21000 + 1 2 21000 + 1 21000 + 1

=−

2 2 lnx 21000 1 dx ln 21000 1  1000 ln 2 x 21000 1 ⇒I=− + ∫ . = − 1000 + ∫  − .dx = − + ln  x+1 x 2 + 1 1  x x+1  21000 + 1 x+1 1 ( x+1) 1 1

Câu

25:

(Gv

Lê

Tuấn

Anh)

KÈ

y = f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx+ d, ( a, b, c, d ∈ ℝ,a ≠ 0 ) có đồ thị

Cho

hàm

số

(C). Biết rằng đồ

thị

ẠY

của hàm số Ox cho bởi hình vẽ dưới đây. Tính Thể tích vật thể tròn xoay

được tạo thành khi quay hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị

xung quanh trục hoành Ox.

725 π 35

1 π 35

C. 6π

Chọn đáp án D + Dựa vào đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) ⇒ f ′ ( x ) = 3 ( x 2 − 1)

D. Đáp án khác

Khi đó f ( x) = ∫ f ′ ( x) dx = x3 − 3x+ C . Điều kiện đồ thị hàm số f ( x) tiếp xúc với đường thẳng y=4

là:

 x 3 − 3 x + C = 4 f ( x ) = 4  x = −1 ⇔ ⇔  2 C = 2 f ′ ( x ) = 0 3 ( x − 1) = 0

(Do

+ Cho (C ) ∩ Ox ⇒ hoành độ giao điểm là x = −2; x = 1 1

+ Khi đó V = π ∫ ( x 3 − 3x + 2 ) dx=

729 π 5

ẠY

KÈ

−2

suy

FF IC IA L

f ( x ) = x 3 − 3x + 2 ( C )

x < 0)

(GV Nguyễn Quốc Trí): Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = sin 2 x và

Câu 1

π  π  F   = 1. Tính F   . 6 4 π  B. F   = 0. 6

π  5 C. F   = . 6 4

Đáp án D

π 4

cos2x 4 1 3 π π π ∫π sin 2 xdx = − 2 π = 4 = F ( 4 ) −F ( 6 ) ⇒ F ( 6 ) = 4 6 6

π  3 D. F   = . 6 4

FF IC IA L

π  1 A. F   = . 6 2

(GV Nguyễn Quốc Trí)Biết kết quả của tích phân I = ∫ (2 x − 1)lnxdx = aln 2 + b .

Câu 2

7 2

5 2

1 2

Tổng a + b là:

3 2

Đáp án B

dx , dv = (2 x − 1)dx ⇒ v = x 2 − x x 2 2 x2 − x 1 ⇒ I = ( x 2 − x) ln x − ∫ dx = 2 ln 2 + 1 1 x 2

Câu 3:

1 5 ⇒ a+b = 2 2

⇒ a = 2, b =

u = ln x ⇒ du =

(GV Nguyễn Quốc Trí) Cho phần vật thể (T ) giới hạn bởi hai mặt phẳng có

phương trình x = 0 và x = 2. . Cắt phần vật thể (T ) bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại

KÈ

điểm có hoành độ x ( 0 ≤ x ≤ 2 ) , , ta được thiết diện là một tam giác đều có độ dài cạnh bằng x 2 − x . Tính thể tích V của phần vật thể ( T ) .

ẠY

4 A. V = . 3

B. V =

3 . 3

C. V = 4 3.

Đáp án B 2

1 3 3 2 3 V = ∫ .x. 2 − x . .x. 2 − xdx = x (2 − x)dx = ∫ 2 2 4 0 3 0

D. V = 3.

Câu 4:

(GV Nguyễn Quốc Trí) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho phần hình phẳng được tô

đậm như hình bên được giới hạn bởi một đồ thị hàm số bậc ba đa thức và một đường thẳng.

B. S = 6

C. S = 2

Giả sử đồ thị hàm số có dạng y = ax 3 + bx 2 + cx + d

(0;0) ∈ (C ) ⇒ d = 0

Đáp án D

D. S = 4

A. S = 8

FF IC IA L

Diện tích S của phần tô đậm đó bằng bao nhiêu ?

a + b + c = −2 a = 1   (−1; 2),(1; −2), (2; 2) ∈ (C ) ⇒ −a + b − c = 2 ⇒ b = 0 8a + 4b + 2c = 2 c = −3   3 ⇒ y = x − 3x ⇒ S = ∫ [x − ( x − 3x)]dx = ∫ [ − x 3 +4x]dx =4

1 (GV Nguyễn Quốc Trí) Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ và f ( x ) + 2 f   = 3 x. x

Câu 5:

f ( x)

KÈ

Tính tích phân I = ∫

1 A. I = . 2

1 2

dx.

5 B. I = . 2

ẠY

Đáp án C 1   f ( x) + 2 f ( x ) = 3 x 2 − x2 ⇒ f ( x ) =  x  f ( 1 ) + 2 f ( x) = 3  x x 2

⇒I =∫ 1 2

2 2 2 − x2 2 2 3 = − + = − − dx dx x ( 1 ) ( ) 1= 2 2 ∫ 2 x x x 1 2 2

3 C. I = . 2

7 D. I = . 2

(GV Nguyễn Quốc Trí): Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b] . Gọi D là

Câu 6

hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục hoành và hai đường thẳng

x = a, x = b ( a < b ) . Thể tích của khối của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục

A. V = π ∫ f 2 ( x ) dx.

FF IC IA L

hoành được tính theo công thức:

B. V = 2π ∫ f 2 ( x ) dx. C. V = π 2 ∫ f 2 ( x ) dx. D. V = π 2 ∫ f ( x ) dx.

Đáp án A

(GV Nguyễn Quốc Trí): Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 3x 2 + 1 là:

Câu 7

A. x 3 + C .

x3 + x + C. 3

+ 1) dx = x 3 + x + C 2

Câu 8

(GV Nguyễn Quốc Trí): Tích phân

∫ x+3

5 B. log . 3

2 . 15

Đáp án C

5 C. ln . 3

16 . 225

bằng:

Đáp án D

∫ (3x

D. x 3 + x + C .

C. 6 x + C.

∫ x + 3 = ln x + 3 0 = ln 5 − ln 3 = ln 3 0

(GV Nguyễn Quốc Trí): Cho ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi Parabol y = 3 x 2 ,

Câu 9

cung tròn có phương trình y = 4 − x 2 ( 0 ≤ x ≤ 2 ) và trục hoành

(H )

KÈ

vẽ). Diện tích của

4π + 3 . 12

4π − 3 . 6

4π + 2 3 − 3 . 6

5 3 − 2π . 3

ẠY

bằng:

Đáp án B Xét phương trình tương giao:

(phần tô đậm trong hình

S 2 : x = 2sin t , t ∈ (−

FF IC IA L

 x 2 = 1 ⇒ x = ±1 3 x 2 = 4 − x 2 ⇔ 3x 4 = 4 − x 2 ⇔  2  x = − 4 ( L)  3 1 2 3 3x 1 S = ∫ 3 x 2 dx + ∫ 4 − x 2 dx = + S2 3 0 0 1

π π

; ) ⇒ dx = 2 cos tdt 2 2

S 2 : ∫ 2 cos t.2 cos tdt = ∫ 4 cos 2 tdt =2 ∫ (1 + cos 2t )dt

3 2π 3 + − 3 3 2

⇒S=

sin 2t 2 2π 3 = 2[t + − ] = π 2 3 2 6

(GV Nguyễn Quốc Trí): Biết

Câu 10

∫ ( x + 1)

A. P = 24.

B. P = 12.

x( x + 1)( x + 1 + x )

C. P = 18.

D. P = 46.

1 1 x +1 − x = − x( x + 1) x x +1

1 = ( x + 1) x + x x + 1

Đáp án D

các số nguyên dương. Tính P = a + b + c.

dx = a − b − c với a, b, c là x + x x +1

2 2 −1 −1 1 1 2 dx 1 1 2 2 2 ⇒∫ = ∫( − ) dx = ∫ ( x − ( x + 1) ) dx = (2 x − 2( x + 1) 2 ) 1 x x +1 1 ( x + 1) x + x x + 1 1 1

KÈ

a = 32  = 4 2 − 2 3 − 2 = 32 − 12 − 2 ⇒ b = 12 ⇒ P = 46 c = 2 

1 (GV Nguyễn Quốc Trí): Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên ℝ \   thỏa mãn 2

ẠY

Câu 11

f ' ( x) =

2 , f ( 0 ) = 1. Giá trị của biểu thức f ( −1) + f ( 3) bằng: 2x −1

A. 4 + ln15. Đáp án C

B. 2 + ln15.

C. 3 + ln15.

D. ln15.

1 2 dx = ln(2 x − 1) + C1 ( ; +∞) : f ( x) = ∫ 2 2x −1 f (1) = 2 ⇒ C1 = 2

FF IC IA L

1 2 (−∞; ) : f ( x) = ∫ dx = ln(1 − 2 x) + C2 2 2x −1 f (0) = 1 ⇒ C2 = 1 1  ln(2 x − 1) + 2 khi x > 2 ⇒ f ( x) =  ln(1 − 2 x) + 1 khi x < 1  2 ⇒ f (−1) + f (3) = 3 + ln15

(GV Nguyễn Quốc Trí): Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 0;1] 2

' ∫  f ( x ) dx = 7 và 0

7 . 5

1 ∫0 x f ( x )dx = 3 . Tích phân 2

B. 1.

7 . 4

⋅∫ x 2 f ( x)dx = 0

1 3

Đáp án A

du = f '( x)dx u = f ( x)  ⇒   x3 2 = dv x dx = v   3  1 1 1 11 1 1 ⇒ ∫ x 2 f ( x)dx = x 3 f ( x) − ∫ x3 f '( x)dx = − ∫ x3 f '( x)dx 0 30 3 30 0 1

⇒ ∫ x3 f '( x )dx = −3∫ x 2 f ( x)dx = −1 0

 2  ∫ [f '( x)] dx = 7 0  1 3  ∫ 14 x f '( x)dx = −14 0 1 1  49 x 6 dx = 7 x 7 = 7 ∫ 0  0

ẠY

KÈ

⇒ ∫ [f '( x)] dx + ∫ 14 x f '( x)dx + ∫ 49 x dx = 0 ⇔ ∫ [f '( x) + 7 x 3 ]2 dx = 0 2

∫ [f '( x) + 7 x ] dx ≥ 0 3 2

∫ f ( x )dx

thỏa mãn f (1) = 0,

Câu 12

D. 4.

bằng:

Nên đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

f '( x) + 7 x 3 = 0 ⇔ f '( x) = −7 x 3 ⇒ f ( x) = −

7 x4 +C 4

7 7 ⇒ f ( x) = (1 − x 4 ) 4 4 1 7 7 f ( x)dx = ∫ (1 − x 4 )dx = 40 5

⇒∫ 0

(GV Nguyễn Quốc Trí) Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x 2 4 + x3 là:

Câu 13 1 9

3 3

(4 + x )

B. 2 4 + x3 + C.

+ C.

2 9

3 3

(4 + x )

Đáp án C 4 + x 3 dx = ∫

1 1 4 + x3 dx3 = ∫ 4 + tdt 3 3

D. 2

3 3

(4 + x )

+ C.

u = 4 + t ⇒ u 2 = 4 + t ⇒ 2udu = dt 1 2 ⇒ I = ∫ u 2udu = u 3 + C 3 9

+ C.

∫x

FF IC IA L

f (1) = 0 ⇒ C =

(GV Nguyễn Quốc Trí) Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các

đường y =

x , y = 0, x = 1, x = 4 khi quay quanh trục Ox bằng: 4

Đáp án D 1

21 π. 16

x2 x 3 4 21 dx = π = π 16 48 1 16

C. 2π . D.

V =π∫

1 π. 12

7 π. 36

Câu 14:

(GV Nguyễn Quốc Trí): Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số

Câu 15

f ( x ) = e x ( x 3 − 4 x ) . Hàm số F ( x ) có bao nhiêu điểm cực trị?

KÈ

A. 2.

B. 1.

C. 4.

D. 3.

ẠY

Đáp án D

x = 0 F '( x ) = 0 ⇔ f ( x) = 0 ⇔ x 3 − 4 x = 0 ⇔   x = ±2

Câu 16:

(GV Nguyễn Quốc Trí) Cho hàm số y = f ( x ) là hàm lẻ và liên tục trên [ −4; 4] ,

biết

∫

f ( − x ) dx = 2 và

−2

A. I = −10.

∫

f ( −2 x ) dx = 4. Tính I = ∫ f ( x ) dx. 0

B. I = −6.

C. I = 6.

D. I = 10.

Đáp án B 0

∫ f (− x)dx = 2

⋅I1 =

−2 0

FF IC IA L

t = − x ⇒ dt = − dx ⇒ I1 = ∫ − f (t )dt = ∫ f (t )dt = ∫ f ( x)dx =2 2

⋅I 2 = ∫ f (−2 x)dx 1 4

t = 2 x ⇒ dt = 2dx ⇒ I 2 = ∫ f (−t ) 2 4

dt 1 1 = ∫ f (−t )dt = ∫ − f (t )dt = 4 ⇒ ∫ f ( x)dx = −8 2 22 22 2

I = ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx = 2 + (−8) = −6 Câu 17

(GV Nguyễn Quốc Trí): Tích phân

∫ xe

100

dx bằng:

1 199e 200 + 1) . ( 2

1 199e 200 + 1) . ( 4

1 199e 200 − 1) . ( 2

Câu 18

100 2 x e 2 x 100 e e 2 x e 2 x 100 199 200 1 −∫ − = dx = ( x. ) e + 0 2 0 2 2 4 4 4 0

(GV Nguyễn Quốc Trí): Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e2018 x .

∫ f ( x ) dx = e

∫ f ( x ) dx = 2018e

+ C.

2018 x

⇒ I = x.

e2 x 2

u = x ⇒ du = dx, dv = e 2 x dx ⇒ v =

1 199e 200 − 1) . ( 4

Đáp án B

+ C.

∫ f ( x ) dx = 2018 e

∫ f ( x ) dx = e

2018 x

+ C.

ln 2018 + C.

KÈ

Đáp án B

2018 x

2018 x ∫ e dx =

e 2018 x +C 2018

ẠY

Câu 19

(GV Nguyễn Quốc Trí): Nếu

A. −2.

B. 2.

Đáp án B 5

∫ 1

∫

f ( x ) dx = 3, ∫ f ( x ) dx = −1 thì

f ( x) dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x) dx = 3 − 1 = 2

C. 3.

∫ f ( x ) dx bằng: 1

D. 4.

(GV Nguyễn Quốc Trí): Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số

Câu 20

f ( x ) = ( 5 x + 1) e x và F ( 0 ) = 3. Tính F (1) . B. F (1) = e + 3.

C. F (1) = e + 7.

Đáp án C 1

I = ∫ (5 x + 1)e x dx 0

u = 5 x + 1 ⇒ du = 5dx, dv = e x dx ⇒ v = e x

⇒ I = (5 x + 1)e x

= e + 4 = F (1) − F (0) ⇒ F (1) = e + 7

(GV Nguyễn Quốc Trí): Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

3 B. 5ln − 1. 2

x +1 = 0 ⇔ x = −1 x−2

= ( − x − 3ln(2 − x))

0 3 = 3ln − 1 −1 2

(GV Nguyễn Quốc Trí): Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ và thỏa mãn

Câu 22

3 x +1 x +1 dx = ∫ − dx = ∫ (−1 − )dx x−2 x−2 x−2 −1 −1

∫ −1

−5

KÈ

∫

f ( x ) dx = 9. Tính ∫  f (1 − 3 x ) + 9  dx.

A. 27.

B. 21.

C. 15.

ẠY

Đáp án B

t = 1 − 3x ⇒ dt = −3dx −5

3 D. 2 ln − 1. 2

Phương trình hoành độ giao điểm là:

⇒S=

5 C. 3ln − 1. 2

Đáp án A

x +1 và các trục tọa độ là: x−2

3 A. 3ln − 1. 2

− ∫ e x 5dx = (5 x + 1)e x − 5e x

Câu 21

D. F (1) = e + 2.

FF IC IA L

A. F (1) = 11e − 3.

⇒ I = ∫ [f (t ) + 9) 1

dt 1 1 = ∫ [f (t ) + 9]dt = [9 + 54] = 21 −3 3 −5 3

D. 75.

Câu 23

(GV

Nguyễn Quốc

Trí):

Biết

là

số

thực

thỏa

mãn

∫ x ( cos x + 2m ) dx = 2π

A. m ≤ 0.

π 2

− 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

B. 0 < m ≤ 3.

C. 3 < m ≤ 6.

Đáp án D π

∫ x cos xdx + ∫ 2mxdx u = x ⇒ du = dx, dv = cos xdx ⇒ v = s inx π

π2

⇒ I = x sin x 2 − ∫ sin xdx + mx 2 = m + −1 ⇒ m = 8 4 2 0 0 0 2

D. m > 6.

FF IC IA L

Câu 24 (GV Nguyễn Quốc Trí): Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e x + cos x + 2018 là:

+ cosx+2018)dx = e x + s inx + 2018 x + C

(GV Nguyễn Quốc Trí)Biết

Câu 25

∫ (e

Đáp án A

D. F ( x ) = e x + sin x + 2018 + C.

C. F ( x ) = e x + sin x + 2018 x.

B. F ( x ) = e x − sin x + 2018 x + C.

A. F ( x ) = e x + sin x + 2018 x + C.

π 2

∫ cos x dx = a + b

3, với a,b là các số hữu tỉ. Tính

π 3

T = 2a + 6b .

KÈ

A. T = 3.

B. T = −1.

C. T = − 4.

D. T = 2.

Đáp án B

ẠY

∫ cosxdx=sinx

Câu 26

= 1−

a = 1 3  ⇒ 1 ⇒ T = −1 2 b = − 2

(GV Nguyễn Quốc Trí): Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay quanh trục

Ox hình phẳng giới hạn bới đồ thị hàm số y = xe x , trục hoành và đường thẳng x = 1 là:

π 2 ( e + 1) 4

1 2 ( e + 1) 4

π 4 ( e − 1) 4

1 4 ( e − 1) 4

Đáp án A xe x = 0 ⇔ x = 0

⇒ V = π ∫ x.e 2 x dx = π [x 0

e2 x e2 x 1 π 2 − ] = (e + 1) 2 4 0 4

FF IC IA L

Xét pt tương giao:

(GV Nguyễn Quốc Trí) Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên [ 0;1] thỏa

Câu 27:

mãn điều kiện: 1

x ∫  f ′ ( x ) dx = ∫ ( x + 1) e . f ( x )dx =

e −1 . 2

e2 − 1 và f (1) = 0. Tính giá trị tích phân I = ∫ f ( x )dx. 4 0

e2 . 4

C. e − 2.

e . 2

Đáp án C

Xét A = ∫ ( x + 1)e x f ( x )dx 0

u = f ( x) du = f '( x)dx ⇒ Đặt  x x dv = ( x + 1)e dx v = xe

1 1 1 1 − e2 ⇒ A = xe x f ( x) − ∫ xe x f '( x)dx = − ∫ xe x f '( x)dx = 0 0 4 0

1 2 1 1 1 e2 − 1 Xét ∫ x e dx = e ( x − x + ) = 2 2 4 0 4 0 2x

2 2x

Ta có: ∫ [f '( x)]2 dx + 2 ∫ xe x f '( x)dx + ∫ x 2 e2 x dx = 0 ⇔ ∫ ( f '( x) + xe x )2 dx = 0 0

⇒ f '( x) + xe x = 0, ∀x ∈ [0;1]( do ( f '( x) + xe x ) 2 ≥ 0, ∀x ∈ [0;1])

KÈ

⇒ f '( x) = − xe x ⇒ f ( x) = (1 − x)e x + C f (1) = 0 ⇒ f ( x) = (1 − x)e x 1

⇒ I = ∫ f ( x) dx = ∫ (1 − x)e x dx =(2 − x)e x

ẠY

Câu 28:

1 0

= e−2

(GV Nguyễn Quốc Trí) Tìm ∫x cos 2 x dx.

1 1 x.sin 2 x − cos2x+C. 2 4

B. x.sin2x + cos 2x + C.

1 1 x sin 2 x + cos2x + C . 2 2

Đáp án D

1 1 x.sin 2 x + cos2x + C . 2 4

u = x ⇒ du = dx, dv = cos2xdx ⇒ v= ⇒I=

sin 2 x 2

1 1 1 1 x.sin 2 x − ∫ sin 2 xdx = x.sin 2 x + cos2x+C 2 2 2 4

A. I = e3 − 1.

B. I = e − 1.

C. I =

e3 − 1 . 3

Đáp án C 1

e3 x 1 e3 − 1 = 3 0 3

(GV Nguyễn Quốc Trí): Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) =

Câu 30

A. 1 + ln 3.

f (1) = 1. Giá trị f ( 5) bằng:

C. 1 + ln 2.

B. ln 2.

⇒ f (5) =

5 1 1 1 dx = .ln 2 x − 1 = ln 9 = f (5) − f (1) 1 2 2x −1 2

1 ln 9 + 1 = ln 3 + 1 2

∫

D. ln 3.

f '( x) dx = ∫

1 và 2x −1

Đáp án A 5

1 D. I = e3 + . 2

3x ∫ e dx =

FF IC IA L

(GV Nguyễn Quốc Trí): Tính I = ∫e3 x .dx.

Câu 29

(GV Nguyễn Quốc Trí): Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt

Câu 31

phẳng x = 1 và x = 3, biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại

3x 2 − 2

KÈ

3x và

điểm có hoành độ x (1 ≤ x ≤ 3) thì được thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là

A. V = 32 + 2 15

B. V =

124π 3

C. V =

124 3

D. V = (32 + 2 15)π

ẠY

Đáp án C 3

3 3 124 1 2 V = ∫ 3 x 3 x − 2 dx = [(3 x − 2) 2 ] = 1 3 3 1 2

Câu 32

(GV Nguyễn Quốc Trí): Biết rằng

∫ ln ( x + 1) dx = a ln 3 + b ln 2 + c

với a, b, c là

các số nguyên. Tính S = a + b + c .

A. S = 0

B. S = 1

C. S = 2

D. S = −2

Đáp án A

1 dx, dv = dx ⇒ v = x x +1 2 2 x ⇒ I = x ln( x + 1) − ∫ dx = 3ln 3 − 2 ln 2 − 1 1 1 x +1

u = ln( x + 1) ⇒ du =

(GV Nguyễn Quốc Trí): Cho F ( x )

Câu 33

FF IC IA L

⇒ a = 3, b = −2, c = −1

là một nguyên hàm của hàm số

f ( x ) = 1 + x − 1 − x trên tập R và thỏa mãn F (1) = 3. Tính tổng T = F ( 0 ) + F ( 2 ) + F ( −3) . A. 8.

B. 12.

C. 18.

D. 10.

Đáp án C

2 khi x>1  f (x) = 2x khi -1<x<1 -2 khi x<-1 

2 x + 1 khi x>1  => F ( x) =  x 2 + 2 khi -1<x<1 −2 x + 5 khi x<-1 

F (1) = 3

2 x + C khi x>1  => F ( x) =  x 2 + C khi -1<x<1 −2 x + C khi x<-1 

(GV Nguyễn Quốc Trí): Cho hàm số y = f ( x ) liên tục và có đạo hàm trên R

Câu 34

=> F (0) = 2; F (2) = 5; F (−3) = 11 => F (0) + F (2) + F (−3) = 18

KÈ

thỏa mãn f ( 2 ) = −2; ∫ f ( x ) dx = 1. Tính tích phân I = ∫ f ′

A. I = −10.

B. I = −5.

ẠY

Đáp án B

t = x ⇒ t 2 = x ⇒ 2tdt = dx 2

⇒ I = ∫ f '(t )2tdt 0

u = t ⇒ du = dt , dv = f '(t ) dt ⇒ v = f (t ) 2 2 ⇒ I = tf (t ) − ∫ f (t ) dt = −4 − 1 = −5 0 0

( x ) dx

C. I = 0.

D. I = −18.

Câu 35 s=

(Gv Nguyễn Quốc Trí): Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình

1 4 t + 3t 2 ) , t ( 2

(giây), s được tính bằng m. Vận tốc của chuyển động tại t = 4

A. 0m/s.

B. 200m/s.

C. 150m/s.

D. 140m/s.

FF IC IA L

Đáp án D

v = ( s ) ' = 2t 3 + 3t v(4) = 2.43 + 3.4 = 140 2

Câu 36

(Gv Nguyễn Quốc Trí): Biết

∫ 2 x ln ( x + 1) dx = a ln b, 0

nguyên tố. Tính 6a + 7b.

B. 25.

C. 42.

Đáp án D

D. 39.

1 dx x +1

u = ln( x + 1) ⇒ du =

với a, b ∈ ℕ∗ và b là số

A. 33.

(giây) là:

dv = 2 xdx ⇒ v = x 2

2 2 2 x2 1 ⇒ I = x ln( x + 1) − ∫ dx = 4 ln 3 − ∫ ( x − 1 + ) dx 0 0 x +1 x +1 0

2 a = 3 x2 − x + ln( x + 1)) = 3ln 3 ⇒  0 2 b = 3

= 4 ln 3 − (

(Gv Nguyễn Quốc Trí): Cho hàm số f1 ( x ) = x − 1, f 2 ( x ) = x, f3 ( x ) = tan x

Câu 37

⇒ 6a + 7b = 39

B. 4.

C. 3.

D. 2.

KÈ

A. 1.

 x2 −1 khi x ≠ 1  . Hỏi trong bốn hàm số trên, hàm số nào liên tục trên ℝ ? f4 ( x ) =  x −1 2 khi x = 1 

Đáp án D

Ta thấy hàm f1 ( x), f3 ( x) có tập xác định D ≠ ℝ nên hai hàm số này sẽ không liên tục trên ℝ

ẠY

Áp dụng định nghĩa ta thấy hàm số f 2 ( x), f 4 ( x) liên tục trên ℝ

Câu 38 1

(Gv Nguyễn Quốc Trí): Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ và thỏa mãn 2

∫

f ( x ) dx = 9. Tính ∫  f (1 − 3 x ) + 9 dx.

−5

A. 27.

B. 21.

C. 15.

D. 75.

Đáp án B t = 1 − 3 x ⇒ dt = −3dx

Câu 39

1 −dt 1 1 1 = ∫ ( f (t ) + 9)dt = ( ∫ f (t )dt + 9t ) = (9 + 54) = 21 −5 3 3 3 −5 3 −5

FF IC IA L

−5

⇒ I = ∫ ( f (t ) + 9)

(Gv Nguyễn Quốc Trí): Cho đồ thị hàm số

y = x 3 và đường tròn

( C ) : x 2 + y 2 = 2.

Tính diện tích

hình phẳng được tô đậm trên hình?

π −1

π +1 2

π +1 4

π −1

Đáp án A

Xét phương trình tương giao:

x3 = 2 − x 2 , 0 < x > 2

S = 2 SOIA

∫

x4 1 +I 2 − x 2 dx = 4 0

SOIA = ∫ x 3dx +

⇔ x 6 = 2 − x 2 ⇔ x 2 = 1 ⇔ x = ±1 ⇒ x = 1

π π

KÈ

I : x = 2 sin t ⇒ dx = 2costdt,t ∈ (- ; ) 2 2 π

ẠY

⇒ I = ∫ 2 cos 2 tdt = ∫ (1 + cos 2t ) dt =(t + π

⇒ SOAI =

π 4

−

1 π 1 ⇒S= − 4 2 2

π sin 2t 2 π 1 ) = = π 4 2 2 4

Câu 41

(Gv Nguyễn Quốc Trí): Cho hàm số

y = ax 4 + bx 2 + c có đồ thị ( C ) , biết rằng ( C ) đi qua điểm

A ( −1; 0 ) , tiếp tuyến d tại A của ( C ) cắt ( C ) tại hai điểm có

FF IC IA L

hoành độ lần lượt là 0 và 2, diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, đồ thị ( C ) và hai đường thẳng x = 0; x = 2 có diện tích bằng

28 5

(phần gạch chéo trong hình vẽ). Diện tích hình

phẳng giới hạn bởi d, đồ thị

(C )

và hai đường thẳng

x = −1; x = 0 có diện tích bằng:

1 . 9

2 . 5 2 1 . D. . 9 5

Đáp án D

y ' = 4ax3 + 2bx, y '(1) = −4a − 2b

Phương trình tiếp tuyến tại A là: d : y = ( −4a − 2b)( x + 1)

Xét phương trình tương giao: ax 4 + bx 2 + c = ( −4a − 2b)( x + 1)

4a + 2b + c = 0 (1) Phương trình có 2 nghiệm x = 0, x = 2 ⇒  28a + 10b + c = 0

KÈ

4 2 2 ∫ [(−4a − 2b)( x + 1) − ax − bx − c]dx = [(−2a − b) x + (−4a − 2b) x − 0

−112 32 28 a − b − 2c = (2) 5 3 5 a = 1  (1), (2) ⇒ b = −3 ⇒ y = x 4 − 3 x 2 + 2, d : y = 2 x + 2 c = 2  0 0 x5 1 ⇒ S = ∫ ( x 4 − 3 x 2 + 2)dx = − x3 − x 2 = − 1 5 5 −1

ẠY

2 ax 5 bx 3 − − cx] 0 5 3

Câu 1 (Gv Đặng Thành Nam 2018)Họ các nguyên hàm của hàm số f ( x) = x 2 + cos x là B. 3 x 3 + sin x + C.

A. 2 x − sin x + C.

x3 − sin x + C. 3

x3 + sin x + C. 3

Đáp án D ln x − 1 1 e+a dx = ln   với a,b,c là các số 2 2 c  e−b x−x

∫ ln 1

nguyên dương. Giá trị biểu thức a + b + c bằng

A. 6.

B. 9.

C. 10.

FF IC IA L

Câu 2 (Gv Đặng Thành Nam 2018)Cho

D. 4.

Đáp án D

ln x − 1 e ln x − 1 ln x 1 − ln x x2 dx = ∫ dx. Đặt t = Có ∫ 2 dx. ⇒ dt = 2 2 ln x − x x x2 1 1  ln x    −1  x 

1 Đổi cận x = 1 ⇒ t = 0; x = e ⇒ t = . e 1 e

1 − dt 1 t + 1 1 e +1 . Vậy a = b = 1, c = 2 và a + b + c = 4 = ln Vậy I = ∫ 2 e = ln 2 e −1 t −1 2 t −1 0 0

Câu 3 (Gv Đặng Thành Nam 2018)Cho hàm số f (x) xác định trên (−∞; −1) ∪ (0; +∞ ) và 2

1 1 , f (1) = ln . Biết ∫( x 2 + 1) f ( x) dx = a ln 3 + b ln 2 + c với a,b,c là các số hữu 2 2 x +x 1

f ′( x) =

27 . 2

KÈ

Đáp án C

tỉ. Giá trị biểu thức a + b + c bằng

Có f ( x ) = ∫ f ′ ( x ) dx = ∫

ẠY

Do f (1) = ln 2

1 . 6

1  x  dx = ln  +C x +x  x +1  2

1  x  ⇒ C = 0 ⇒ f ( x ) = ln  . 2  x +1  2

 x  Vậy I = ∫ ( x 2 + 1) f ( x ) dx = ∫ ( x 2 + 1) ln   dx x + 1   1 1

1    x  du = 2 dx u = ln      x + x  x +1  ⇒  . Đặt  3  dv = ( x 2 + 1) dx v = x + x   3

7 . 6

3 D. − . 2

2 2  x3   x   x3  1 14 2 4 1 x2 + 3 x dx dx Vậy I =  + x  ln  − + . = ln − ln −  2  ∫ 3 3 3 2 ∫1 3 ( x + 1)  3   x +1  1 1  3  x +x 2

∫(x

Do đó

+ 1) f ( x ) dx =

V ậ y a + b + c = −6 +

FF IC IA L

x2 + 3 1  4  1 dx = ∫  x − 1 +  dx = (1 + 8 ln 3 − 8 ln 2 ) . 3 x + 1) 31 x +1 6 1 (

Trong đó K = ∫

14  2  4  1  1 22 1 ln   − ln   − (1 + 8ln 3 − 8 ln 2 ) = −6 ln 3 + ln 2 − . 3 3 3 2 6 3 6

22 1 7 − = . 3 6 6

Câu 4 (Gv Đặng Thành Nam 2018) Cho hàm số f (x) nhận giá trị dương và có đạo hàm 2

27 . 4

25 . 4

9 . 2

( f ′( x)) 2 ∫0 f ( x) dx = 6. Tính f (1) .

liên tục trên đoạn [0; 2] thoả mãn f (0) = 3, f (2) = 12 và

Đáp án A

15 . 4

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân có:

Do đó

∫

( f ′ ( x ))

f ( x)

 2 f ′( x)  2 2 dx ≥  ∫ dx  =  2 f ( x )  = 2 f ( 2 ) − 2 f ( 0 ) 0  0 f ( x)    

∫ 1 dx ∫

(

( f ′ ( x ))

dx ≥ 6. Vậy dấu bằng phải xảy ra, tức

) = (2

12 − 2 3

)

= 12.

f ′( x) = k ⇒ 2 f ( x ) = kx + C . f ( x) 2

C = 2 3  k = 3  3x + 2 3  27 Mặt khác f ( 0 ) = 3, f ( 2 ) = 12 ⇒  ⇔ ⇒ f ( x ) =   ⇒ f (1) = . 2 4    2k + C = 2 12 C = 2 3

Câu 5 (Gv Đặng Thành Nam 2018)Cho số phức z = m + 3 + ( m 2 − 1)i, với m là tham số

KÈ

thực thay đổi. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thuộc đường cong (C). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành.

4 . 3

ẠY

8 . 3

2 . 3

1 . 3

Đáp án A

 m = x − 3 x = m + 3 2 ⇒ ⇒ ( C ) : y = ( x − 3) − 1. Có M ( x; y ) biểu diễn số phức z ⇒   2 2  y = m − 1  y = ( x − 3) − 1 4

4 2 2 Xét ( x − 3) − 1 = 0 x = 2; x = 4 . Vậy S = ∫ ( x − 3) − 1 dx = . 3 2

Câu 6 (Gv Đặng Thành Nam 2018)Tích phân

∫ cos 0

B. − cot1.

A. tan1.

dx bằng

C. − tan1.

D. cot1.

Đáp án A

A. ln 1 − x + C.

1 ln(1 − x ) 2 + C. 2

C. − ln 2 − 2 x + C.

Đáp án C Ta có:

1 là 1− x

FF IC IA L

Câu 7 (Gv Đặng Thành Nam 2018)Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

∫ 1 − x dx = − ln 1 − x + C = − ln 2 − 2 x + C ′.

1 D. − ln 1 − x + C . 2

Câu 8 (Gv Đặng Thành Nam 2018)Tích phân ∫ (3 x 2 + 1) dx bằng A. 6.

C. −6.

B. 2.

Đáp án B

D. −2.

1− x ,y=0 x

(phần tô đậm màu đen ở hình vẽ bên). Thể tích của vật thể

hàm số y = 2 x, y =

Câu 9: (Gv Đặng Thành Nam 2018)Gọi ( H ) là hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị

KÈ

tròn xoay tạo thành khi quay ( H ) quanh trục hoành bằng

ẠY

2 2 5   5   A. V = π  − 2 ln 2  . B. V = π  2 ln 2 −  . C. V = π  + 2 ln 2  . D. V = π  2 ln 2 +  . 3 3 3   3  

Đáp án A

Phương trình các hoành độ giao điểm: 2 x =

2x = 0 ⇔ x = 0 1− x = 0 ⇔ x =1 x

1− x 1 ⇔ x = −1; x = . x 2

1 2

2 1− x  5  Dựa vào hình vẽ ta có V = π ∫ ( 2 x ) dx + π ∫   dx = π  − 2 ln 2  . 3  1 x  0 2

Câu 10 (Gv Đặng Thành Nam 2018)Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm cấp hai f ′′( x ) liên tục

FF IC IA L

trên đoạn [0;1] thoả mãn f (1) = f (0) = 1, f ′(0) = 2018. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? 1

B. ∫ f ′′( x)(1 − x) dx = 1.

A. ∫ f ′′( x)(1 − x)dx = −2018. 0

C. ∫ f ′′( x)(1 − x)dx = 2018.

D. ∫ f ′′( x)(1 − x)dx = −1.

Đáp án A

∫

f ′′( x)(1 − x) dx = ∫ ( x − 1) d ( f ′( x) ) = (1 − x) f ′( x) 0 − ∫ f ′( x) d (1 − x) 1

= − f ′(0) + ∫ f ′( x) dx = − f ′(0) + f (1) − f (0) = −2018.

Theo công thức tích phân từng phần ta có:

∫

Câu 11 (Gv Đặng Thành Nam 2018)Cho

c+ d 1 dx = a − b + ln với c nguyên 2 x e

dương và a, b, d , e là các số nguyên tố. Giá trị của biểu thức a + b + c + d + e bằng

B. 14

C. 24

D. 17

A. 10

Đáp án A

Đặt u = 1 + x 2 ⇒ u 2 = 1 + x 2 ⇒ 2udu = 2 xdx, x 2 = u 2 − 1

1  1 u −1    ∫ 1 + u 2 − 1  du =  u + 2 ln u + 1  2

= 2 − 2 + ln

1+ 2 3

KÈ

u2 du = I= ∫ 2 u − 1 2

Vậy a + b + c + d + e = 2 + 2 + 1 + 2 + 3 = 10.

Câu 12 (Gv Đặng Thành Nam 2018)Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [0;1] thoả

ẠY

mãn ∫x 2 f ( x)dx = 0 và max f ( x) = 6. Giá trị lớn nhất của tích phân ∫x 3 f ( x) dx bằng

[0;1]

1 . 8

3(2 − 3 4) . 4

Đáp án B 1

Với mọi số thực a ta có ∫ax 2 f ( x) dx = 0, do đó 0

2− 3 4 . 16

1 . 24

∫x

f ( x)dx = ∫x f ( x)dx − ∫ax f ( x)dx = ∫ ( x3 − ax 2 ) f ( x )dx 3

0 1

≤ ∫ x3 − ax 2 . f ( x) dx ≤ ∫ x 3 − ax 2 .max f ( x) dx = 6 ∫ x3 − ax 2 dx,∀ a [0;1]

3 3 2 3 2 ∫x f ( x)dx ≤ 6 min ∫ x − ax dx ≤ 6 min ∫ x − ax dx = a∈R

Trong đó

∫

1 3

. a

x3 − ax 2 dx = ∫ x3 − ax 2 dx + ∫ x 3 − ax 2 dx =

Câu 13

1 3(2 − 3 4) min(2a 4 − 4a + 3) = . 2 [0;1] 4

1 (2a 4 − 4a + 3). 12

Đạt tại a =

[0;1]

FF IC IA L

Do đó

(Gv Đặng Thành Nam 2018)Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm

số y = f ( x ), trục hoành và hai đường thẳng x = a và x = b( a < b) được tính theo công thức

nào dưới đây ? b

B. S = π ∫ f 2 ( x) dx.

C. S = π ∫ f ( x) dx.

A. S = ∫ f ( x ) dx.

D. S = ∫ f ( x) dx. a

Đáp án D

Câu 14 (Gv Đặng Thành Nam)Viết công thức tính thể tích V của vật thể nằm giữa hai mặt

phẳng x = 0 và x = ln 4, bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ

ln 4

A. V = π

x (0 ≤ x ≤ ln 4), có thiết diện là một hình vuông có độ dài cạnh là

∫ xe dx. x

B. V =

KÈ

Đáp án C

∫

ln 4 x

C. V =

xe dx.

ln 4

xe x .

∫ xe dx. x

ln 4

D. V = π

∫ ( xe 0

Câu 15 (Gv Đặng Thành Nam): Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = sin x + 1 là B.

sin 2 x + x + C. 2

C. − cos x + x + C.

D. cos x + C.

ẠY

A. cos x + x + C.

Đáp án C

Ta có:

∫ ( sin x + 1) dx = ∫ sin xdx + ∫dx = − cos x + x + C. 1

Câu 16 (Gv Đặng Thành Nam): Tích phân ∫10 x dx bằng 0

A. 90.

B. 40.

9 . ln10

D. 9 ln10.

x 2

) dx.

Đáp án C 1

10 x 101 − 100 9 Ta có: ∫ 10 dx = . = = ln10 0 ln10 ln10 0 x

Câu 17 (Gv Đặng Thành Nam): Cho hình thang cong

1 1 1  , x = , x = 2 và trục hoành. Đường thẳng x = k  < k < 2  chia (H) thành hai phần x 2 2 

FF IC IA L

(H) giới hạn bởi các đường

có diện tích là S1 và S2 như hình vẽ bên. Tìm tất cả giá trị thực của k để S1 = 3S2 .

7 C. k = . 5

Đáp án A

D. k = 3.

B. k = 1.

A. k = 2.

Diện tích của hình thang cong (H) bằng S = ∫ 1 2

1 1 1 2 dx = ∫ dx = ln x 1 = ln 2 − ln = 2 ln 2. x 2 2 1 x 2 k

3 3ln 2 1 3ln 2 Vậy theo giả thiết có S1 = 3S 2 = 3 ( S − S1 ) ⇔ S1 = S = ⇔ ∫ dx = 4 2 2 1 x

⇔ ln x 1 =

KÈ

3ln 2 ln 2 ⇔ ln k = ⇔ k = 2. 2 2 2

Câu 18 (Gv Đặng Thành Nam)Cho

∫ 1

1 1 + 6 dx = a 2 − b 5 với a,b là các số hữu tỉ. Giá trị 8 x x

ẠY

của biểu thức a + b bằng

7 . 8

Đáp án A

11 . 24

7 . 5

11 . 5

Ta có

∫

1 1 1 . 3 dx = − ∫ 2 x x 21

1   1 + 2  2 x 1  1  1  2 2 5 5  = − 1 + 2 d 1 + 2  = − . . 3 1 x  x  2 3 24 2

(Gv Đặng Thành Nam) Cho I ( m) = ∫

Câu 19:

nguyên dương m để e I ( m ) <

FF IC IA L

2 5 7 V ậy a = , b = và a + b = . 3 24 8

1 dx. Có tất cả bao nhiêu số x + 3x + 2 2

99 . 50

A. 100.B. 96. C. 97. D. 98.

1 x +1 dx = ln ( x + 1)( x + 2) x+2 0

2 m+ 2 m+2

2m + 2 99 < ⇔ m < 98 ⇒ m ∈ {1; 2;...;97} . m + 2 50

1 2m + 2 m +1 . − ln = ln 2 m+2 m+2

Có tất cả 97 số nguyên dương thoả mãn.

Do đó e

I (m)

= ln

Ta có I (m) = ∫

Đáp án C

Câu 20: (Gv Đặng Thành Nam) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] 1

thoả mãn 3 f ( x) + xf ′( x ) ≥ x 2018 với mọi x ∈ [0;1]. Giá trị nhỏ nhất của tích phân

Đáp án D

1 . 2018 × 2021

1 . 2021× 2022

bằng

∫ f ( x)dx

1 . 2018 × 2019

1 . 2019 × 2021

′

KÈ

Ta có: 3 x 2 f ( x) + x3 f ′( x) ≥ x 2020 ⇔ ( x3 f ( x) ) ≥ x 2020 ,∀ x ∈ [0;1] x

′

3 3 2020 ∫ ( x f ( x) ) dx ≥ ∫x dx,∀ x ∈ [0;1] ⇔ x f ( x) ≥

ẠY

⇔ x3 f ( x) ≥ ⇔ f ( x) ≥

x 2021 x , ∀x ∈ [0;1] 2021 0

x 2021 ,∀ x ∈ [0;1] 2021 1

x 2018 x 2018 1 ,,∀ x ∈ [0;1] ⇒ ∫ f ( x) dx ≥ ∫ . dx = 2021 2021 2019 × 2021 0 0

Câu 21 (Gv Đặng Thành Nam): Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường y = x 3 , y = 0, x = 0, x = 1 quanh trục hoành bằng

A. V =

π 4

B. V =

2π . 5

C. V =

π 6

D. V =

π 7

Đáp án D

π 7

. 2

Câu 22: (Gv Đặng Thành Nam) Tích phân

FF IC IA L

Ta có V = π ∫ ( x 3 ) 2 dx =

∫ 5 x − 2 dx bằng 1

1 8 ln . 5 3

1 8 ln . 2 3

8 C. 5 ln . 3

8 D. 2 ln . 3

Đáp án A

2x +1

+C .

( 2 x + 1)

+C.

+C .

( 2 x + 1)

+C .

(2 x + 1)3 1 (2 x + 1)3 2 x + 1dx = . +C = + C. 1 2 3 +1 2

∫

Đáp án B Ta có

( 2 x + 1)

Câu 23 (Gv Đặng Thành Nam) Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2 x + 1 là:

Câu 24 (Gv Đặng Thành Nam)Cho ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi parabol y 2 = 2 x , cung (với 0 ≤ x ≤ 2 2 ) và trục hoành (phần tô đậm trong hình

tròn có phương trình y = 8 − x 2

ẠY

KÈ

vẽ). Diện tích của ( H ) bằng

2π + 3 A. . 3

2 + 3π B. . 3

(

4 2 4 8 −1 C.

Đáp án B Với 0 ≤ x ≤ 2 2 ⇒ y 2 = 2 x ⇔ y = 2 x . Phương trình hoành độ giao điểm:

2 x = 8 − x 2 ⇔ x = 2(0 ≤ x ≤ 2 2).

5 3 − 2π . 3

Vậy S = ∫ 2 xdx +

2 2

∫

8 − x 2 dx =

2 + 3π . 3

Câu 25: (Gv Đặng Thành Nam) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm cấp hai liên tục trên 1

x x x ∫ e f ( x ) dx = ∫ e f ′ ( x ) dx = ∫ e f ′′ ( x ) dx ≠ 0 . Giá trị của biểu thức

ef ′ (1) − f ′ ( 0 ) bằng ef (1) − f ( 0 )

A. −2 .

B. −1 .

C. 2.

D. 1.

Đáp án D 1

Theo giả thiết đặt ∫e x f ( x)dx = ∫e x f ′( x)dx = ∫e x f ′′( x)dx = k ≠ 0.

Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có 1

FF IC IA L

đoạn [ 0;1] thoả mãn

x x x x ∫ e f ′′( x)dx = ∫ e d ( f ′( x)) = e f ′( x) − ∫ f ′( x)e dx

⇒ k = ef ′(1) − f ′(0) − k ⇒ ef ′(1) − f ′(0) = 2 k .

Và

x x x x ∫ e f ′( x)dx = ∫ e d ( f ( x)) = e f ( x) − ∫ f ( x)e dx

ef ′(1) − f ′(0) = 1. ef (1) − f (0)

Vậy

⇒ k = ef (1) − f (0) − k ⇒ ef (1) − f (0) = 2 k .

Câu 26: (Gv Đặng Thành Nam) Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên ℝ thỏa 8

mãn f ( x + 4 x + 3 ) = 2 x + 1 với mọi x ∈ ℝ . Tích phân

KÈ

32 . 3

C. 72.

ẠY

A. 10.

∫ f ( x ) dx bằng −2

Đáp án A

Đặt x = t 5 + 4t + 3 ⇒ dx = ( 5t 4 + 4 ) dt và f ( x) = f (t 5 + 4t + 3) = 2t + 1. Với x = −2 ⇒ t 5 + 4t + 3 = −2 ⇔ t = −1; x = 8 ⇒ t 5 + 4t + 3 = 8 ⇔ t = 1. 8

−1

Do đó ∫ f ( x) dx = ∫ (2t + 1)(5t 4 + 4) dt = 10.

D. 2.

Câu 27: (Gv Đặng Thành Nam) Cho hàm số y = f ( x ) nhận giá trị không âm và liên tục x

trên đoạn [ 0;1] . Đặt g ( x ) = 1 + 2 ∫ f ( t ) dt . Biết g ( x ) ≥  f ( x )  với mọi x ∈ [ 0;1] . Tích phân 0 1

 g ( x )  dx có giá trị lớn nhất bằng

5 . 3

B. 4.

4 . 3

D. 5.

Đáp án A Ta có g (0) = 1 và đạo hàm ta có

⇔∫ 0

x 3 3 3 d ( g ( x)) ≤ 2 x ⇔ 3 [ g ( x)]2 ≤ 2 x ⇔ 3 [ g ( x)]2 ≤ 2 x + 3 g ( x) 0 2 2 2 1

x x g ′( x) g ′( x) dx ≤ ∫ 2dx ≤ 2⇒ ∫ 3 g ( x) 3 g ( x) 0 0

g ′( x) = 2 f ( x) ≤ 2 3 g ( x) ⇒

FF IC IA L

∫

 4x + 3  Dấu bằng xảy ra ⇔ g ( x) =   .  3 

5  4x + 3  ⇔ 3 3 [ g ( x)]2 ≤ 4 x + 3 ⇒ ∫ 3 [ g ( x)]2 dx ≤ ∫   dx = . 3  3 0 0

Câu 28 (Gv Đặng Thành Nam) Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng

giới hạn bởi parabol y = 3 x 2 , trục hoành và hai đường thẳng x = −1, x = 1 quanh trục hoành

3π . 5

KÈ

Đáp án D

bằng

Ta có V = π ∫

(

3x 2

)

dx =

−1

2 3π . 3

ẠY 1

1 . 12

B. ln

4 . 3

∫ x + 3 dx = ln x + 3 0 = ln 3 . 0

6π . 5

∫ x + 3 dx

7 . 144

bằng

Đáp án B Có

3π . 3

6π . 5

Câu 29: (Gv Đặng Thành Nam) Tích phân

4 C. log . 3

9 16

Câu 30 (Gv Đặng Thành Nam): Cho

1 a − b ln 2 với a,b,c là các số dx = c x +1 + x +1

∫ 0

a tối giản. Giá trị của biểu thức a + b + c bằng c

A. 43.

B. 48.

FF IC IA L

nguyên dương và

C. 88.

D. 33.

Đáp án D

 x +1 + x = t 2 1 2   1  ⇒ x = t − 2 Đặt  4 x t ⇒ = −   ⇒ 4dx =  2t − 3 1 t t  t   x +1 − x = t  2

1 t4 −1 9 − 8ln 2 Do đó I = ∫ 3 . dt = 2 1 t (t + 1) 16 Vậy a = 9, b = 8, c = 16 và a + b + c = 33.

và trục hoành. Các đường thẳng y = a, y = b, y = c với 0 < a < b < c < 16

thành bốn phần có diện tích bằng nhau. Giá trị của biểu thức 3

(16 − a ) + (16 − b ) + (16 − c )

bằng

B. 3584.

C. 2816.

D. 3480.

A. 2048.

(H )

là hình phẳng giới hạn bởi parabol

( P ) : y = 8x − x2 chia

(H )

(Gv Đặng Thành Nam): Gọi

Câu 31

  dt. 

Đáp án B

Ta có diện tích của hình phẳng (H) là S = ∫ 8 x − x 2 dx = 0

256 . 3

KÈ

 y = 8x − x2 ( 64 − 4a ) 9S 2 3S 81S 2 Ta có: S1 :  , S1 = . ⇒ = ⇒ (16 − a )3 = 4 36 16 256 y = a

ẠY

 y = 8x − x2 S (64 − 4b)3 S 2 9S 2 , S2 = ⇒ . = ⇒ (16 − b)3 = Và S2 :  2 36 4 64 y = b  y = 8x − x2 S (64 − 4c)3 S 2 9S 2 , S3 = ⇒ . S3 :  = ⇒ (16 − c)3 = 4 36 16 256 y = c

Vậy (16 − a )3 + (16 − b)3 + (16 − c)3 =

(81 + 36 + 9) S 2 = 3584. 256

Câu 32 (Gv Đặng Thành Nam): Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ 0;1] thỏa 1

2 1 . Tích phân 1 + x 2  f ′ ( x )  dx = ln 2

(

) (

)

(

)

Đáp án C Theo bất đẳng thức Cauchy – schwarz ta có:

∫

1+ x

dx.∫

(

dx = ln x + 1 + x 2

Vì vậy

Mặt khác

) 10 = ln (1 + 2 ) .

∫

1  2 dx ≥  ∫ f ′ ( x ) dx  = ( f (1) − f ( 0 ) ) = 1 2 1+ x 0 

1 + x 2 ( f ′ ( x ) ) dx. ≥

(

ln 1 + 2

)

Do vậy đẳng thức xảy ra, tức

k 1+ x

Do đó tích phân

∫

Nhưng do f ( 0 ) = 0, f (1) = 1 nên f ( x ) =

1 + x2

dx =

KÈ (

ẠY

ln 1 + 2

)

(

∫ ln ( x +

)

1+ x

∫ 0

)( (

(

)

⇒ f ( x ) = k ln x + 1 + x 2 + c

ln 1 + 2 1

ln 1 + 2

f ( x)

⇔ f ′( x) =

f ′ ( x ) . 4 1 + x2 =

( f ′ ( x ))

dx bằng

1+ x

1 + x2

∫

)

2 − 1 ln 1 + 2 .

f ( x)

∫

1 2 −1 2 ln 1 + 2 .C. ln 1 + 2 . 2 2

1 2 ln 1 + 2 . B. 2

FF IC IA L

∫

mãn f ( 0 ) = 0, f (1) = 1 và

)

(

ln x + 1 + x 2 .

(

ln x + 1 + x 2 1 + x2

1 + x 2 d ln x + 1 + x 2

) dx

))

( 2 ln (1 + 2 )

ln 2 x + 1 + x 2

) 10 = 12 ln (1 + 2 )

Câu 33 (Gv Đặng Thành Nam): Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e3x là A.

1 x e +C . 3

Đáp án D

B. 3e3 x + C .

C. e3 x + C .

1 3x e +C. 3

Câu 34 (Gv Đặng Thành Nam) Một vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = −1; x = 1 và thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ x (−1 ≤ x ≤ 1) là một hình tròn có diện tích bằng 3π. Thể tích của vật thể là

B. 6π . C. 6.

D. 2π .

Đáp án B 1

−1

Có V = ∫ S ( x) dx = ∫ 3π dx = 6π .

FF IC IA L

A. 3π 2 .

Câu 35 (Gv Đặng Thành Nam)Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = tan x là B.

1 + C. cos 2 x

C. − ln cos x + C.

Đáp án C sin x

∫ tan xdx = ∫ cos x dx = −∫

d (cos x) = − ln cos x + C. cos x

1 + C. cos 2 x

Có

D. −

A. ln cos x + C.

e2 − 1 . 2

e −1 . 2

Đáp án B

C. 2(e 2 − 1).

A. e 2 − 1.

Câu 36 (Gv Đặng Thành Nam)Tích phân ∫e2 x dx bằng

Câu 37: (Gv Đặng Thành Nam)Cho ∫xf ′( x) dx = 1 và f (1) = 10. Tích phân ∫ f ( x) dx bằng:

Đáp án D

B. 11.

C. 10.

D. 9.

A. 8.

1 1 1 1 1 ′ 1 = ∫ xf ( x )dx = ∫ xd ( f ( x)) = xf ( x) − ∫ f ( x) dx = f (1) − ∫ f ( x) dx ⇒ ∫ f ( x) dx = 10 − 1 = 9. 0 0 0 0 0 0

KÈ

Tích phân từng phần có

ẠY

Câu 38 (Gv Đặng Thành Nam)Cho

đường cong y = 1 −

x2 4

(H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol y =

(với 0 ≤ x ≤ 2 ) và trục hoành (tham khảo hình vẽ bên).

2x2 , 4

3π − 2 . 12

3π + 4 2 − 6 . 12

4π + 3 2 − 8 . 12

Đáp án A

∫

1−

3π − 2 x2 . dx = 4 12 1

(Gv Đặng Thành Nam) Cho

∫

Câu 39:

∫

2 x2 dx + 4

π + 2 −2 . 3

Do đó S =

2 x2 x2 = 1− ⇔ x = 2(0 ≤ x ≤ 2). 4 4

Có

FF IC IA L

Diện tích của (H) bằng

( x + 3)( x + 1)3

dx = a − b với a,b là các số

nguyên. Giá trị của biểu thức a b + b a bằng

B. 57.

1 ( x + 3)( x + 1)3

1 1 dx . =− ∫ 2 20 x + 3 ( x + 1) x +1

dx = ∫

∫

Đáp án A Có

C. 145.

D. 32.

A. 17.

1 x+3 1  x+3 d = 3 − 2. =− x +1 0 x + 3  x +1  x +1

Vậy a = 3, b = 2 và a b + b a = 32 + 23 = 17.

KÈ

Câu 40 (Gv Đặng Thành Nam)Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn 1

ẠY

f ( x) + 3xf ( x 2 ) = 1 − x 2 với mọi x thuộc đoạn [0;1]. Tích phân ∫ f ( x) dx bằng

π 28

5π . 8

Đáp án D 1

Có

2 2 2 ∫0  f ( x) + 3xf ( x )  dx = ∫0 1 − x dx = 4 ⇔ ∫0 f ( x)dx + 3∫0 xf ( x )dx = 4 .

π 10

Đặt t = x 2 ⇒ dt = 2 xdx và ∫xf ( x 2 ) dx = ∫ f (t ). 1

dt 1 1 f (t ) dt = ∫ f ( x) dx. = 2 2 ∫0 20

π π 3 Vậy có ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx = ⇔ ∫ f ( x) dx = . 20 4 10 0 0

cung tròn y = 4 − x 2 , trục hoành xung quanh trục hoành là 2

A. π ∫ (4 − x 2 )dx.

C. π ∫ 4 − x 2 dx.

B. π ∫ (4 − x 2 ) dx

−2

FF IC IA L

Câu 41 (Gv Đặng Thành Nam) Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi

D. π ∫ 4 − x 2 dx. 0

Đáp án A

Đáp án D 3

C. cot( x + 2) + C .

D. − cot( x + 2) + C .

2 cos( x + 2) cos( x + 2) + C. B. − 3 + C. 3 sin ( x + 2) sin ( x + 2)

A. −

1 là sin ( x + 2) 2

Câu 42 (Gv Đặng Thành Nam): Họ các nguyên hàm của hàm số f ( x) =

Câu 43: (Gv Đặng Thành Nam) Tích phân ∫e3 x +1 dx bằng

e 9 − e3 . B. 3

Đáp án C Câu 44

(Gv Đặng Thành Nam)Cho

e8 − e 2 . D. 3

(H) là hình phẳng nằm bên trong nửa elip

1 3 2 x . Diện tích của (H) bằng 4 − x 2 và nằm bên ngoài parabol y = 2 2

4π − 3 . 6

2π + 3 . 6

2π − 3 . 6

4π + 3 . 6

KÈ

e10 − e 4 . C. 3

e3 − e . A. 3

Đáp án A

1 1 3 2 4 − x 2 = 0 ⇔ x = ±2; 4 − x2 = x ⇔ x = ±1. 2 2 2

ẠY

Có

1 1 3 2 4π − 3 V ậy S = ∫ 4 − x 2 dx − ∫ 4 − x2 − . x dx = 2 6 −2 2 −1 2 e

Câu 45: (Gv Đặng Thành Nam)Cho

ln x

∫ (ln x + x + 1)

dx =

ae − 2 , với a,b là các số nguyên be + 4

dương. Giá trị của biểu thức b − a bằng

A. 1.

B. 3.

C. −1.

D. −3.

Đáp án A Đổi biến t =

x ln x dx. . Khi đó ⇒ dt = ln x + 1 (ln x + 1) 2

ln x (ln x + 1)2

e 2

FF IC IA L

1 2 dt e−2 . I =∫ dx = ∫ =− = 2 2 + 1 2 t e+4 x  1 1  1 (t + 1) 1 +   ln x + 1  Vậy a = 1, b = 2 ⇒ b − a = 1.

(Gv Đặng Thành Nam) Cho hai số thực dương a,b thoả mãn a + b = 2018 và

Câu 46:

3 3 . 2π

B. −

3 3 . 2π

9 . 2π

D. −

x + 2018 − x

dx và

a + b − x + 2018 − (a + b − x)

2018 − x

2018 − x + x

dx.

dx = ∫

a+b− x

I =∫

Đáp án D Có I = ∫

9 . 2π

∫

π x  dx = 10. Tích phân ∫ sin   dx bằng x + 2018 − x  3  a

a b

1019

9 π x  sin  .  dx = − 2π  3  999

∫

π x  Do đó ∫ sin   dx =  3  a

Cộng theo vế có 2 I = ∫1dx = b − a ⇒ b − a = 20; a + b = 2018 ⇒ a = 999, b = 1019.

Câu 47 (Gv Đặng Thành Nam): Cho hàm số f (x) có đạo hàm cấp hai liên tục trên đoạn

KÈ

[0;1] thoả mãn [ f ′( x)]2 + f ( x ) f ′′( x) ≥ 1, ∀x ∈ [0;1] và f 2 (0) + f (0). f ′(0) =

3 . Giá trị nhỏ 2

nhất của tích phân ∫ f 2 ( x)dx bằng

ẠY

5 . 2

1 . 2

11 . 6

Đáp án C ′

Có ( f ( x ). f ′( x ) ) = [ f ′( x )]2 + f ( x ) f ′′( x ) ≥ 1, ∀x ∈ [0;1]. Do đó lấy tích trên trên đoạn [0; x ] ⊂ [0;1] có

7 . 2

′

∫ ( f ( x). f ′( x) ) dx ≥ ∫1dx ⇔ f ( x) f ′( x) − f (0) f ′(0) ≥ x. 0

Tiếp tục lấy tích trên trên đoạn [0; x ] ⊂ [0;1] có x

⇔

FF IC IA L

∫ f ( x) f ′( x)dx ≥ ∫ [ f (0) f ′(0) + x ] dx

f 2 ( x) f 2 (0) x2 − ≥ f (0) f ′(0) x + ⇔ f 2 ( x) ≥ x 2 + f 2 (0) + 2 f (0) f ′(0) x. 2 2 2 1

Vì vậy ∫ f ( x)dx ≥ ∫  x 2 + f 2 (0) + 2 f (0) f ′(0) x  dx = 2

1 1 3 11 + f 2 (0) + f (0) f ′(0) = + = . 3 3 2 6

Dấu bằng đạt tại chẳng hạn hàm số f ( x) = x 2 + x + 1.

Câu 48 (Gv Đặng Thành Nam) Họ các nguyên hàm của hàm số f ( x) = xe x là 2

B. e x + C.

D. 2e x + C.

Đáp án C

1 x2 e + C. 2

A. (2 x 2 + 1)e x + C.

1 2 ex Có ∫xe dx = ∫e x d ( x 2 ) = + C. 2 2

Câu 49: (Gv Đặng Thành Nam) Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục Ox

1 5 ln . 2 3

Đáp án B 1

Có V = π ∫ (

, trục hoành và hai đường thẳng x = 0; x = 1 là

5 ln . 2 3

C. π ( 5 − 3).

2x + 3

) 2 dx = π ∫ 0

5 D. 2π ln . 3

1 π 5 1 π dx = ln(2 x + 3) = ln . 0 2 3 2x + 3 2

KÈ

2x + 3

hình phẳng giới hạn bởi y =

Câu 50 (Gv Đặng Thành Nam): Tích phân ∫ cos xdx bằng

ẠY

A. −2π .

C. 2π .

B. sin1.

D. − sin1.

Đáp án B 8

Câu 51 (Gv Đặng Thành Nam): Cho

∫

1 + 1 + x dx =

dương và

A. 111.

a− b với a,b,c là các số nguyên c

a tối giản. Giá trị biểu thức a + b + c bằng c

B. 239.

C. 255.

D. 367.

Đáp án D Đặt t = 1 + 1 + x ⇒ t 2 = 1 + 1 + x ⇒ x = (t 2 − 1) 2 − 1 ⇒ dx = 4t (t 2 − 1)dt. 8

Đổi cận x = 0 ⇒ t = 2; x = 8 ⇒ t = 2 ⇒ ∫ 1 + 1 + x dx = 0

∫ 4t

(t 2 − 1) dt =

FF IC IA L

224 − 128 . 15

Vậy a + b + c = 224 + 128 + 15 = 367.

Câu 52 (Gv Đặng Thành Nam): Cho hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [0; 2] thoả mãn 2

2 3 ∫ f ( x)dx = 10 và f ( x) = f (2 − x), ∀x ∈ [0; 2]. Tích phân ∫( x − 3x ) f ( x)dx bằng

A. −40.

B. 20. C. 40. D. −20.

Đáp án D

Dùng tính chất ∫ f ( x )dx = ∫ f ( a + b − x) dx có

2  3 2  I = ∫ ( x − 3 x ) f ( x) dx  0 .  2 2  I = ((2 − x)3 − 3(2 − x) 2 ) f (2 − x) dx = ( − x 3 + 3 x 2 − 4) f ( x) dx ∫0 ∫0   2

Cộng theo vế có 2 I = ∫ − 4 f ( x) dx = −4 × 10 ⇒ I = −20.

( f ′( x) )

thỏa mãn f (1) = 1 và

Câu 53: (Gv Đặng Thành Nam) Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1]

+ 4(6 x 2 − 1) f ( x ) = 40 x 6 − 44 x 4 + 32 x 2 − 4, ∀x ∈ [0;1]. Tích

23 17 . B. − . 15 15

KÈ

phân ∫ f ( x) dx bằng

13 7 . D. − . 15 15

Đáp án C

ẠY

Lấy tích phân hai vế của đẳng thức trên đoạn [0;1] có 1

∫ ( f ′( x) )

dx + 4 ∫ (6 x − 1) f ( x) dx = ∫ ( 40 x 6 − 44 x 4 + 32 x 2 − 4 ) dx = 2

Theo công thức tích phân từng phần có

376 . 105

∫ (6 x 0

− 1) f ( x) dx = ∫ f ( x) d (2 x − x) = (2 x − x) f ( x) − ∫ (2 x 3 − x) f ′( x) dx 0 0 0 3

= 1 − ∫ (2 x 3 − x ) f ′( x )dx. Thay lại đẳng thức trên có 1

∫ ( f ′( x) ) 0

1 1  1  376 44 2 =0 ⇔ ∫ ( f ′( x) ) dx − 4∫ (2 x3 − x) f ′( x)dx + dx + 4 1 − ∫ (2 x3 − x) f ′( x)dx  = 105 0 0  105  0

⇔

FF IC IA L

∫ ( f ′( x) − 2(2 x

− x) ) dx = 0 ⇔ f ′( x) ≡ 2(2 x 3 − x), ∀x ∈ [0;1] ⇒ f ( x) = x 4 − x 2 + C.

0 1

ẠY

KÈ

Mặt khác f (1) = 1 ⇒ C = 1 ⇒ f ( x) = x 4 − x 2 + 1 ⇒ ∫ f ( x)dx = ∫ ( x 4 − x 2 + 1) dx =

13 . 15

Câu 1 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là một nguyên π  hàm của f ( x ) = cos  − x  2  π  B. F ( x ) = sin  + x  2 

π  C. F ( x ) = − sin  − x  2  

D. F ( x ) = cos x

Đáp án C

FF IC IA L

π  A. F ( x ) = sin  − x  + C 2 

′  π π   Ta có  − sin  − x   = cos  x −  2 2    Chú ý * Theo định nghĩa, nguyên hàm của hàm số f ( x ) là các hàm số F ( x ) thõa mãn điều

kiện F′ ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ K

* Để tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) , các em chỉ cần tìm một nguyên hàm

F ( x ) của nó.

Câu 2 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Cho đồ thị hàm số y = f ( x ) . Diện tích hình phẳng

(phần gạch trong hình) là:

−3

∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx

−3

∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx 4

KÈ

∫ f ( x ) dx −3

ẠY

Đáp án C

- Vì đồ thị của hàm số f ( x ) cắt Ox tại điểm có hoành độ bằng 0 nên: 4

- Diện tích phần gạch trên hình là: S =

∫ −3

Câu 3

−3

f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx

(GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay

quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 3 x y = 0, x = 1, x = 8.

π 3

93π 5

9π 4

D. 8π

Đáp án B y = 3 x  - Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi  y = 0 . Khi quay D quanh Ox tạo thành khối  x = 1; x = 8 

( x) 3

dx = π∫ x 3 dx =

93π . 5

FF IC IA L

tròn xoay có thể tích là: VOX = π∫

Câu 4 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai? 3

∫ ( 2x

e x +1 +C x +1

B. ∫ e x dx =

− x ) dx = ∫ ( x − 2x 3 ) dx 3

π  C. cos  ∫ ( π − x ) sin xdx  = −1 0 

∫ x dx = ln x + C

Đáp án B

A. Đúng

B. Sai vì ∫ e x dx = e x + C

π  π − x sin xdx = π ⇒ cos  ∫ ( π − x ) sin xdx  = −1 ∫0 ( ) 0  π

C. Đúng vì D. Đúng.

Lỗi sai:

n ∫ x dx =

Câu 5:

(GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Cho hàm số f

x n +1 + c ( n ≠ −1) và ∫ e x dx = e x + c n +1

Các em nhớ nhầm công thức

(x) liên tục trên ℝ thỏa mãn

∫ f ( x ) dx = 5, ∫ f ( u ) du = 9, ∫ f ( t ) dt = 4 . Tính I = ∫ f ( x ) dx .

KÈ

A. I = 0.

B. I = 18.

C. I = 8.

D. I = 10.

ẠY

Đáp án C

Em có I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx 2

= ∫ f ( u ) du − ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( t ) dt = 9 − 5 + 4 = 8.

Câu 6 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Họ các nguyên hàm F (x) của hàm số f ( x ) = x ln x trên khoảng ( 0; +∞ ) là

1 2 1 x ln x + x 2 + C 2 4

1 2 1 x ln x + x 2 + C 2 2

1 2 1 x ln x − x 2 + C 2 4

1 2 1 x ln x − x 2 + C 2 2

FF IC IA L

Đáp án C 1  du = dx  u = ln x  x ⇒ I = 1 x 2 ln x − 1 xdx = 1 x 2 ln x − 1 x 2 + C. ⇒ Đặt  2 2∫ 2 4 dv = xdx v = 1 x 2  2

Câu 7 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số y = 2

e2x dx x 1

trên ( 0; +∞ ) . Tính I = ∫

D. 2  F ( 4 ) − F ( 2 ) 

Đặt t = 2x ⇒ dt = 2dx . Đổi cận x 1 2 2

F ( 4) − F (2)

Đáp án A

B. 2  F ( 2 ) − F (1) 

A. F ( 4 ) − F ( 2 )

4 e t dt et ex = ∫ dt = ∫ dx = F ( x ) 2 = F ( 4 ) − F ( 2 ) . t 2 2 t x 2 2 2

I=∫

Câu 8 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Khẳng định nào sau đây là đúng? B. ∫ cotxdx = − ln cos x + C.

x x C. ∫ sin dx = 2 cos + C. 2 2

x x D. ∫ cos dx = −2 sin + C. 2 2

KÈ

A. ∫ tan xdx = − ln cos x + C.

ẠY

Đáp án A

sin x

d ( cos x )

•

∫ tan xdx = ∫ cos x dx = − ∫

•

∫ cot xdx = ∫ sin x dx = ∫

•

∫ sin 2 dx = 2 ∫ sin 2 d  2  = −2 cos 2 + C.

cos x

ex x

cos x d ( sin x )

x x

sin x

= − ln cos x + C.

= ln sin x + C. x

Câu 9 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Kí hiệu S là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) liên tục, trục hoành và hai đường thẳng x = a,x = b như trong hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là sai? b

B. S = ∫ ( −f ( x ) ) dx

FF IC IA L

A. S = ∫ f ( x ) dx

D. S = ∫ f ( x ) dx

C. S = ∫ f ( x ) dx

Đáp án A Từ hình trên S = ∫ f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx → Đáp án B, C , D đúng. 2

x dx và t = 1 + x − 1. Khẳng định x −1 1 1+

Câu 10 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Đặt I = ∫

nào trong các khẳng định sau là sai?

A. xdx = ( t 2 − 2t + 2 ) ( 2t − 2 ) dt.

4  C. I = ∫  2t 2 − 6t + 8 −  dt. t 1

B. I =

Đáp án B

2  D. I =  t 3 − 3t 2 + 8t − 4 ln t  3 1

t = 1 + x − 1 ⇒ x = ( t − 1) + 1 ⇒ x 2 = ( t 2 − 2t + 2 ) 2

11 + 4 ln 2. 3

⇒ xdx = ( t 2 − 2t + 2 ) ( 2t − 2 ) dt ⇒ A đúng

Đổi cận x = 1 ⇒ t = 1 và x = 2 ⇒ t = 2 2 2 t 2 − 2t + 2 ) ( 2t − 2 ) ( x 4  I=∫ dx = ∫ dt = ∫  2t 2 − 6t + 8 − dt t t x −1 1 1+ 1 1

KÈ

ẠY

2 =  t 3 − 3t 2 + 8t − 4 ln 3

11  t  = − 4 ln 2. 1 3

⇒ C,D đúng; B sai 11 − 4 ln 2. 3 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho hàm số f ( x ) = ln16x. Chọn khẳng định đúng.

Nếu B đúng phải sửa thành I =

Câu 11:

A. ∫ f ( x ) dx =

x ( ln16x − 1) + C. 16

B. ∫ f ( x ) dx =

x ( ln16x − 1) + C. 4

C. ∫ f ( x ) dx = x ( ln16x − 1) + C.

D. ∫ f ( x ) dx = 4x ( ln16x − 1) + C.

Đáp án C

16 = ln16x. ( ∫ f ( x ) dx )′ =  x ( ln16x −1) + C′ = ln16x −1 + x 16x Câu 12:

FF IC IA L

Bằng định nghĩa, ta tính được:

(GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay

quanh trục hoành Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = ln x, y = 0, x = 1, x = e.

A. e − 2.

C. π ( e + 2 ) .

B. e + 2.

Đáp án D

1  u = ln 2 x du = 2 ln x. dx ⇒ Ta có: V = π ∫ ( ln x ) dx; đặt  x dv = dx 1  v = x e

D. π(e − 2).

1  e e     e u = ln x du = dx ⇒ ⇒ V = π  x.ln 2 x − 2 ∫ ln x.dx  = π e − 2 ∫ ln x.dx  ; đặt  x 1 dv = dx  v = x 1 1     

e    e e ⇒ V = π  e − 2  x.ln x 1 − ∫ dx   = π  e − 2  2 − x 1   = π [ e − 2] .     1    1 Câu 13 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho F ( x ) = − 3 là một nguyên hàm của hàm số 3x

f (x) . Tìm nguyên hàm của hàm số f ′ ( x ) ln x. x ln x 1 + 5 + C. 3 x 5x

B. ∫ f ′ ( x ) ln xdx =

C. ∫ f ′ ( x ) ln xdx =

ln x 1 + 3 + C. 3 x 3x

D. ∫ f ′ ( x ) ln xdx = −

KÈ

Đáp án C

A. ∫ f ′ ( x ) ln xdx =

f (x) 1 là một nguyên hàm của nên 3 3x x f (x) 1  1 ′ 1 = F′ ( x ) = −  3  = 4 ⇒ f ( x ) = 3 x x  3x  x

ẠY

F(x) = −

Ta tính ∫ f ′ ( x ) ln xdx

v = f ( x ) u = ln x  ⇒ Đặt  1 dv = f ′ ( x ) dx = d ( f ( x ) ) du = dx x  Áp dụng công thức nguyên hàm từng phần ta có

ln x 1 − 5 + C. 3 x 5x ln x 1 + 3 + C. 3 x 3x

f (x) ln x 1 dx = 3 + 3 + C x x 3x (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số:

∫ f ′ ( x ) ln xdx = ∫ ln xd ( f ( x ) ) = ln x.f ( x ) − ∫ Câu 14:

y = x 2 − 6x + 9 và 2 đường thẳng x = 0; y = 0. Đường thẳng (d) chia

(H) thành 2 phần có diện tích bằng

FF IC IA L

trục tung tại điểm A (0;4). Giá trị của k để nhau là:

A. −

16 . 9

1 . 9

C. −

( k ∈ ℝ ) và cắt

(d) có hệ số k

1 . 12

D. −

Đáp án A

1 . 18

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = x 2 − 6x + 9 và trục hoành là:

x 2 − 6x + 9 = 0 ⇔ x = 0.

y = x 2 − 6x + 9

x = 0; y = 0

là:

 x3  x − 6x + 9 dx = ∫ ( x − 6x + 9 ) dx =  − 3x 2 + 9x  = 9.  3 0 0 3

thẳng

Phương trình đường thẳng

S= ∫

đường

(d) có hệ số góc k và cắt trục tung tại

và

(H) giới hạn bởi đồ thị hàm số

Diện tích hình phẳng

điểm A (0;4) là: y = kx +4

Để

(d) chia

 4  (d) và trục hoành ⇒ B  − ;0  .  k 

Gọi B là giao điểm của

(H) thành 2 phần có diện tích bằng nhau thì:

B ∈ OI  1 9  SAOB = 2 S = 2

ẠY

KÈ

2  0 ≤ − k ≤ 3 ⇔  1 .OA.OB = 1 .4.  − 4  = − 8 = 9  2 2  k k 2

⇔k=−

Câu 15:

16 . 9 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho hàm số f

f ′ ( x ) = 3 − 5sin x, f ( 0 ) = 10. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. f ( x ) = 3 + 5 cos x + 5. C. f ( x ) = 3 − 5 cos x + 2.

B. f ( x ) = 3 + 5 cos x + 2. D. f ( x ) = 3 − 5 cos x + 15.

(x) thỏa mãn

Đáp án A Ta có: f ( x ) = ∫ f ′ ( x ) dx = ∫ ( 3 − 5sin x ) dx = 3x + 5cos x + C. f ( 0 ) = 10 ⇒ 5 + C = 10 ⇒ C = 5.

B. ∫ cos 3xdx =

A. ∫ cos 3xdx = 3sin 3x + C. C. ∫ cos 3xdx = −

sin 3 x + C. 3

∫ cos 3xdx = ∫ 3 cos 3xd ( 3x ) = 3 sin 3x + C mệnh đề đúng.

e tan 2x +3 + C. 2

1 dx. B. I = ∫ e u du. 1 − sin 2 2x

C. I =

2 2 dx = dx. 2 cos 2x 1 − sin 2 2x

Đặt u = tan 2x + 3 ⇒ du =

Đáp án C

e tan 2x +3 1 2e tan 2x +3 1 e tan 2x +3d ( tan 2x + 3) = dx = dx = Khi đó: I = ∫ 1 − sin 2 2x 2 ∫ 1 − sin 2 2x 2∫

∫

KÈ

 x2  f ( t ) dt =  + 7  log 2 x . Tìm f ( 2 ) .  4 

69 + 48 ln 2

138 + 54 ln 2

69 138 + 48 + 144 D. ln 2 ln 2

ẠY

Đáp án C

Ta có f ( x ) = F ( x ) Em có

e tan 2x +3 + C. 2

(GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ( 0; +∞ ) thỏa

Câu 18: mãn

D. I = 2 ∫ e u du.

A. du =

e tan 2x +3 dx và u = tan 2x + 3 . Chọn 1 − sin 2 2x

(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho I = ∫

Câu 17

sin 3 x + C. 3

D. ∫ cos 3xdx = sin 3x + C.

Đáp án B

FF IC IA L

Câu 16 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = cos 3x .

∫ f ( x ) dx = F ( x ) 1

( x ) − F (1) =  x4 + 7  log 2

Đạo hàm 2 vế:

1 33 x

( ) 3

x =

 x 1  x2  + 7  + log 2 x x ln 2  4  2

( x ) = 3x lnx2  x4 + 7  + 3 2x 3

log 2 x

3.2 69 .23 + 144 = + 144 2 ln 2 ln 2 Chú ý áp dụng công thức: * Nếu hàm số u = u ( x ) có đạo hàm tại điểm x0 và hàm số y = f ( u ) có đạo hàm tại điểm

FF IC IA L

Cho x = 8 ta được f ( 2 ) =

u0 = u ( x 0 ) thì hàm số hợp g ( x ) = f  u ( x )  có đạo hàm tại điểm x0 và g ' ( x 0 ) = f ' ( u0 ) .u ' ( x 0 )

* Nếu giả thiết trong phần * trên được thỏa mãn đối với mọi điểm x thuộc J thì hàm số hợp y = g ( x ) có đạo hàm trên J và

1 , y = 0, x = 0, x = 2 quay một vòng quanh trục Ox là x −3

hạn bởi các đường y =

(GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Thể tích khối tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới

vị thể tích)

(đvtt)

2 π 3

(đvtt)

A. 2π

Câu 19:

g ' ( x ) = f '  u ( x ) .u ' ( x ) 

Đáp án B. 2

4 π 3

(đvtt)

1 π 3

(theo đơn

(đvtt)

 1  π π 2π Thể tích khối tròn xoay là: Vox = π ∫  =π − =  dx = − 3 3 x −3 x −3 0 0

 π (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Nguyên hàm của f ( x ) = cos  3 x −  là : 7 

1  π sin  3x −  + C 3  7

 π B. 3sin  3x −  + C 7 

KÈ

Câu 20:

1  π C. − sin  3x −  + C 3  7

ẠY

 π D. −3sin  3x −  + C 7 

Đáp án A.   π 1 π  π 1  π Ta có ∫ cos  3 x −  dx = ∫ cos  3 x −  d  3 x −  = sin  3 x −  + C 7 3 7  7 3  7   1

Câu 21

(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho

∫x 0

định đúng trong các khẳng định sau:

3 x 3 + 4dx và u = 3 x 3 + 4 . Chọn khẳng

2 9

2 ∫ u du

1 3

2 ∫ u du

1 9

2 ∫ u du

2 2 u du 9 ∫0

Đáp án A.

Nên

∫x

Câu

2 3 x + 4dx = 9 3

(GV

∫ u du 2

Nguyễn

Thi

Lanh

2018)Tìm

số

FF IC IA L

Đặt u = 3 x 3 + 4 ⇒ u 2 = 3 x 3 + 4 ⇔ 2udu = 9 x 2 dx; Với x = 0 thì u = 2 ; Với x = 1 thì y = 7

thực

để

hàm

số

F ( x ) = mx 3 + ( 3m + 2 ) x 2 − 4 x + 3 là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 3 x 2 + 10 x − 4 ?

A. m = −1 .

B. m = 0 .

C. m = 1 .

D. m = 2 .

Cách 1: Ta có

∫ f ( x ) dx = ∫ ( 3 x

)

Đáp án C. + 10 x − 4 dx = x 3 + 5 x 2 − 4 x + C

m = 1 m = 1  Yêu cầu bài toán: ⇔ 3m + 2 = 5 ⇔  . C = 3 3 = C  Vậy m = 1 là giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

′ Cách 2: Ta có F ′ ( x ) = mx 2 + ( 3m + 2 ) x 2 − 4 x + 3 = 3mx 2 + 2 ( 3m + 2 ) x − 4.

)

(

Vì F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) nên ta có F ′ ( x ) = f ( x ) , ∀x .

Do đó 3mx 2 + 2 ( 3m + 2 ) x − 4 = 3 x 2 + 10 x − 4 .

m = 1 ⇔ m = 1. Đồng nhất hệ số hai vế ta có  2 ( 3m + 2 ) = 10 Câu 23 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y = x 2 , và đường thẳng y = 2x là 4 3

KÈ A.

3 2

5 3

23 15

ẠY

Đáp án A

Áp dụng công thức

∫ f ( x ) − g ( x ) dx,

cận a,b ta phải tìm bằng cách giải phương trình

hoành độ giao điểm

x = 0 Ta có: x = 2x ⇔  x = 2 2

∫ 0

 x3  8 4 x − 2x dx = ∫ ( 2x − x ) dx =  x 2 −  = 4 − = 3 0 3 3  0 2

Câu 24:

(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho I = ∫

ln ( x + 1)

dx = a ln 2 + b ln 3. Giá trị của a

+b là

9 . 2

−9 . 2

3 C. − . 2

3 . 2

FF IC IA L

Đáp án D

1   u = ln ( x + 1) du = dx 2 2  −1 1 3   x + 1 dx = 3ln 2 − ln 3. Đặt  ⇔ ⇒ 1 = ln ( x + 1) + ∫ 1 x x ( x + 1) 2 1 1 dv = 2 dx  v = −1  x  x

3 Vậy a + b = . 2 y = tan 2 x − cot 2 x ?

1 1 . B. y = tan x − cot x. − sin x cos x

1 1 . D. y = tan x + cot x. + sin x cos x

C. y =

A. y =

Câu 25 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số

Đáp án D

Ta có

 1 − cos2 x 1 − sin 2 x   1 1  2 2 tan x − cot x dx = ∫ ∫  cos2 x − sin2 x dx = ∫  cos2 x − sin2 x  dx = tan x + cot x + C Câu 26 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ . Biết 2

)

(

( )

2 ∫ x.f x dx = 2 , hãy tính I = ∫ f ( x ) dx .

B. I = 1.

KÈ

A. I = 2.

1 C. I = . 2

D. I = 4.

Đáp án D

4 4 x = 0 → t = 0 2 1 t = x 2 ⇒ dt = 2xdx,  ⇒ ∫ x.f x 2 dx = ∫ f ( t ) dt ⇒ ∫ f ( x ) dx = 4 ⇒ I = 4. 20 x = 2 → t = 4 0 0

ẠY

Đặt

Câu 27:

(GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Cho F ( x ) =

hàm số f ( x ) =

A. S = −2. Đáp án B

( )

a ( ln x + b ) là một nguyên hàm của x

1 + ln x , trong đó a, b ∈ ℤ . Tính S = a + b . x2 B. S = 1.

C. S = 2.

D. S = 0.

 1  u = 1 + ln x du = dx   x ⇒ F x = 1 + ln x dx = − 1 1 + ln x + 1 dx Đặt  ⇒ ( ) ∫ x2 ( ) ∫ x2 1 x dv = 2 dx  v = − 1 x   x

1 1 1 + ln x ) − + C ( x x

⇒ F (x) = − Câu 28:

FF IC IA L

=−

a = −1 1 ln x + 2 ) + C ⇒  ⇒ S = 1. ( x b = 2

(GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và thỏa mãn 1

f ( x ) + f ( − x ) = x 2 , ∀x ∈ ℝ . Tính I = ∫ f ( x ) dx . −1

B. I = 1.

1 D. I = . 3

C. I = 2.

Đáp án D

2 A. I = . 3

−1

Ta có f ( x ) + f ( −x ) = x ⇒ ∫  f ( x ) + f ( − x ) dx = ∫ x 2 dx ⇔ ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( − x ) dx = ∫ x 2 dx 2

−1

Đặt t = − x ⇒ dt = −dx ⇒ ∫ f ( − x ) dx = − ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx 1

−1

2 ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = ∫ x dx ⇔ 2 ∫ f ( x ) dx =

−1

Suy ra

−1

1 x 1 2 1 = ⇒ ∫ x 2 dx = 3 −1 3 −1 3 3

Câu 29 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho hàm số f (x) có đạo hàm dương, liên tục trên

1 1 2  1 đoạn  0;1 thỏa mãn điều kiện f ( 0 ) = 1 và 3∫  f ' ( x ) .  f ( x )  + dx ≤ 2 ∫ f ' ( x ) .f ( x ) dx . 9 0  0

∫ f ( x )

dx.

KÈ

Tính

3 5 5 7 . B. . C. . D. . 2 4 6 6

ẠY

Đáp án D 1

2 1 Giả thiết ⇔ 3∫  f ' ( x ) .f ( x )  dx ≤ 2 ∫ f ' ( x ) .f ( x ) dx   3 0 0 1

⇔ ∫ 3 f ' ( x ) .f ( x )  dx − 2 ∫ 3 f ' ( x ) .f ( x ) dx + ∫ dx ≤ 0 ⇔ ∫ 3 f ' ( x ) .f ( x ) − 1 dx ≤ 0     0 0 0 0 Khi đó 3 f ' ( x ) .f ( x ) − 1 = 0 ⇔ 9f ' ( x ) .f 2 ( x ) = 1 ⇔ ∫ 9f ' ( x ) .f 2 ( x ) dx = ∫ dx = x + C

1 ⇔ ∫ 9f 2 ( x ) d f ( x ) = x + C ⇔ 3f 3 ( x ) = x + C mà f ( 0 ) = 1 ⇒ C = 3 ⇒ f 3 ( x ) = x + 1 3

(

)

1 3  x2 1 7 1    = + = + f x dx x 1 dx x ∫0  ( ) ∫0  3   6  = 6 0

ẠY

KÈ

FF IC IA L

Vậy

π

Câu 1: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho

1

∫ ( 2 x − 1 − sin x ) dx = π  a − b  − 1.

Mệnh đề nào

trong các mệnh đề sau là sai?

A. a + 2b = 8.

B. a + b = 5.

C. 2a − 3b = 2.

FF IC IA L

Đáp án B π π

 2 ∫ ( 2 x − 1 − sin x ) dx = x − x + cos x|02 = π  2

Ta có

D. a − b = 2.

1 −  − 1.  4 2

Suy ra a = 4, b = 2. Vajay a + b = 6 (B sai).

Câu 2: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hàm số f ( x ) thỏa f (1) = 30; f ' ( x ) liên tục và 4

∫ f ' ( x ) dx = 70 . Tính giá trị của f ( 4 ) 1

B. 50.

C. 40.

A. 100.

Đáp án A

D. 21.

Vậy f ( 4 ) = 100.

Ta có 70 = ∫ f ' ( x ) dx = f ( x )| = f ( 4 ) − f (1) = f ( 4 ) − 30

Câu 3: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính nguyên hàm

∫

ln ( ln x ) dx. x

B. ln x.ln ( ln x ) + ln x + C.

C. ln x.ln ( ln x ) − ln x + C.

D. ln ( ln x ) + ln x + C.

A. ln x.ln ( ln x ) + C.

KÈ

Đáp án C

ẠY

Đặt t = ln x ⇒ dt =

Khi đó

∫

ln ( ln x )

dx . x

dx = ∫ ln tdt

dt  u = ln t du = Đặt  ⇒ t . Khi đó ∫ ln tdt = t ln t − t + C . dv = dt v = t 

∫

ln ( ln x ) dx = ln x.ln ( ln x ) − ln x + C . x

 π Câu 4: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho a ∈  0;  . Hãy tính  2

A. I = 1

tan a

∫ e

xdx + 1 + x2

cot a

C. I = e

B. I = −1

∫ x (1 + x ) 2

D. I = −e

Đáp án B

∫ e

tdt + 1+ t2

cot x

∫ t (1 + t ) 2

 π xác định với mọi x ∈  0;   2

FF IC IA L

tan x

Xét hàm số T ( x ) = Ta sẽ tính T ( a )

Gọi F ( t ) , G ( t ) lần lượt là nguyên hàm của các hàm số

t 1 và y = 2 1+ t t (1 + t 2 )

tan x 1 1 − = tan x − =0 2 2 2 2 cot x (1 + tan x ) cos x cot x (1 + cot x ) sin x

1 1 − G ' ( cot x ) . 2 2 cos x sin x

Suy ra T ' ( x ) = F ' ( tan x ) .

Khi đó T ( x ) = F ( tan x ) − F ( e ) + G ( cot x ) − G ( e )

π  π Do đó T ( x ) là hàm hằng trên khoảng x ∈  0;  . Khi a = thì 4  2

xdx dx dx π  +∫ =∫ = −1 T =∫ 2 2 x  4  e 1+ x e x (1 + x ) e

Câu 5: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho biết với mỗi u ≥ 0 phương trình t 3 + ut − 8 = 0 có

KÈ

nghiệm dương duy nhất f ( u ) . Hãy tính

31 2

∫ f ( u ) du 2

33 2

35 2

37 2

Đáp án A

ẠY

Xét hàm số h ( t ) = t 3 + ut − 8

Ta có h ' ( t ) = 3t 2 + u > 0 với mọi t > 0 . Do đó h là hàm đồng biến trên khoảng ( 0; +∞ ) Mặt khác h ( 0 ) = −8, h ( 2 ) = 2u > 0 nên tồn tại duy nhất c ∈ ( 0; 2 ) suy cho h ( c ) = 0

Với mỗi 0 < x ≤ 2 ta có u ( x ) =

8 − x3 ≥ 0 . Suy ra x3 + u ( x ) .x − 8 = 0 . Do đó x là nghiệm x

dương của phương trình t 3 + u ( x ) .t − 8 = 0 . Do tính duy nhất của nghiệm ta suy ra

f (u ( x )) = x

8 − 2x x2

FF IC IA L

Ta có u ' ( x ) = −

Khi x = 2 thì u = 0 và khi x = 1 thì u = 7 . Áp dụng công thức đổi biến ta có 7

∫

f 2 ( u ) du = − ∫ f 2 ( u ( x ) ) dx = ∫ ( 8 + 2 x3 ) dx =

31 2

6 ∫ ln ( x + 3) dx = x ln ( x + 3) 0 − ∫ f ( x ) dx . Tìm hàm số

Câu 6: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho

B. f ( x ) = x 2 .

x . x+3

D. f ( x ) =

1 . x+3

Đáp án C

C. f ( x ) =

A. f ( x ) = x.

f ( x) .

1 u = ln ( x + 3) du = dx Đặt  ⇒ x+3 dv = dx v = x 6

Khi đó ∫ ln ( x + 3) dx = x ln ( x + 3) | − ∫ 0

x . x+3

V ậy f ( x ) =

(Gv

KÈ

Câu x

∫ ( 3t

x dx x+3

Văn

Phú

Quốc

2018)

Tìm

tậ p

nghiệm

c ủa

phương

− 2t + 3) dt = x 3 + 2 .

ẠY

A. S = {1; 2}

B. S = {1; 2;3}

C. S = ∅

Đáp án A x

∫ ( 3t

− 2t + 3) dt = x 3 + 2 ⇔ t 3 − t 2 + 3t| = x 3 + 2 0

x = 1 . ⇔ x3 − x 2 + 3 x = x 3 + 2 ⇔ x 2 − 3 x + 2 = 0 ⇔  x = 2 Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {1; 2} .

D. S = ℝ

trình

Câu 8: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi h ( t ) là thể tích nước bơm được sau t giây. Cho h ' ( t ) = 3at 2 + bt và : (Gv Văn Phú Quốc 2018)

- Sau 5 giây thì thể tích nước trong bể là 150m3 . - Sau 10 giây thì thể tích nước trong bể là 1100m3 . Tính thể tích nước trong bể sau khi bơm được 20 giây.

A. 8400 m3 .

B. 2200 m3 .

C. 600 m3 .

Đáp án A

∫ ( 3at

1 25  5 + bt ) dt =  at 3 + bt 2  = 125a + b = 150. 2 2  0

D. 4200 m3 .

Ta có

FF IC IA L

- Ban đầu bể không có nước.

Tương tự ta có 1000a + 50b = 1100.

Vậy từ đó ta tính được a = 1; b = 2.

∫ h ' ( t ) dt = (t

+ t 2 )| = 8400 ( m3 ) 0

Vậy thể tích nước sau khi bơm được 20 giây là : (Gv Văn Phú Quốc 2018)

Câu 9: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [ 0;1] . Hỏi mệnh đề

nào sau đây đúng? π

∫ xf ( sin x ) dx = π ∫ f ( sin x ) dx

∫ xf ( sin x ) dx = π ∫ f ( sin x ) dx 2

∫ xf ( sin x ) dx = 2π ∫ f ( sin x ) dx π

∫ xf ( sin x ) dx = 2 ∫ f ( sin x ) dx 0

KÈ

Đáp án D π

Đặt I = ∫ xf ( sin x ) dx

ẠY

Đổi biến x = π − t ta được 0

I = − ∫ (π − t ) f ( sin (π − t ) ) dt = ∫ (π − t ) f ( sin t ) dt =π ∫ f ( sin t ) dt − I 0

Đén đây ta suy ra được kết quả ở (D)

Câu 10: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho số thực a bất kì và giả sử f là môt hàm liên tục. Hỏi mệnh đề nào sau đây đúng?

∫ 0 a

∫ 0

a x   f ( x )( x − a ) dx = ∫  ∫ f ( t ) dt  dx 00 

∫ 0

x  f ( x )( x − 2a ) dx = ∫  ∫ f ( t ) dt  dx 00  a

a x   f ( x )( a − x ) dx = ∫  ∫ f ( t ) dt  dx 00 

∫ 0

x  f ( x )( 2a − x ) dx = ∫  ∫ f ( t ) dt  dx 00  a

Đặt F ( x ) = ∫ f ( t ) dt . Ta cần chứng minh 0

∫

f ( x )( a − x ) dx = ∫ F ( x ) dx

Ta có F ' ( x ) = f ( x ) . Khi đó a

∫

f ( x )( a − x ) dx = a ∫ f ( x ) dx − ∫ xf ( x ) dx = aF ( a ) − ∫ xF ' ( x ) dx

FF IC IA L

Đáp án B

∫ xF ' ( x ) dx = aF ( a ) − ∫ F ( x ) dx

Sử dụng công thức tích phân từng phần, ta có

Thay vào ta thu được kết quả ở B

Câu 11: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Thời gian và vận tốc của một vật khi nó đang trược

∫ 20 − 3vdv (giây). Chọn gốc thời gian

xuống mặt phẳng nghiêng được xác định bởi công thức

là lúc vật bắt đầu chuyển động. Hãy tìm phương trình vận tốc. 20 20 − 32t − e 3 3

20 20 − 32t 20 20 − 3t − e hoặc + e 2 3 3 3 3

D. 4 + 4e

Đáp án A

2 2 dx = − ln 20 − 3v + C với C là hằng số 20 − 3v 3

KÈ

Ta có t = ∫

Vào thời điểm t = 0 thì vật có vận tốc bằng 0. Suy ra

ẠY

2 2 0 = − ln 20 + C ⇔ C = ln 20 3 3

2 2 Khi đó t = − ln 20 − 3v + ln 20 3 3

20 20 − 32t + e 3 3

3 ⇔ ln 20 − 3v = ln 20 − t 2 ⇔ 20 − 3v = 20.e

3 − t 2

−

3t 2

 3 − t  v=  2 20 − 3v = 20.e   ⇔ ⇔ 3 − t  2  20 − 3v = −20.e v = 

20 20 − 32 t − e 3 3 20 20 − 32 t + e 3 3

Để ý rằng phương trình thứ hai không thể đạt v = 0 tại t = 0 cho nên ta chỉ nhận phương trình 20 20 − 32 t − e 3 3

FF IC IA L

thứ nhất là v =

Câu 12: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

y = x 2 và y = x . Tính giá trị của biểu thức 3S ( 3S − 2 ) B. −1

A. 1

2018

D. 32018

C. 0

Đáp án A Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong

x 2 = x ⇔ x = 0 hoặc x = 1 1

)

x − x 2 dx =

1 3

2018

(

Diện tích hình phẳng cần tìm là S = ∫ x − x dx = ∫ 2

Do đó 3S ( 3S − 2 )

Câu 13: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hình phẳng

( C ) : y = x3 − 3x + 2 và ( P ) : y =

giới hạn bởi đường cong

2 x + 2 . Thể tích của khối tròn xoay nhận được khi cho

(H )

quay quanh trục Ox có dạng V =

πa b

+ 2018c + 2019d

Hỏi mệnh đề nào trong các mệnh đề sau là sai?

B. 9a − b − c − d = 1

KÈ

A. abcd = 0

C. a + b + 2c + 3d = 39

b+d =8 a + c +1

ẠY

Đáp án D

Phương trình hoành độ giao điểm của ( C ) và ( P ) là

x3 − 3x + 2 = 2 x + 2 ⇔ 2 x = x 3 − 3x

Giải phương trình này, ta thu được hai nghiệm là x = 0; x = 2 2

Thể tích vật thể cần tìm là V = π ∫ 0

Suy ra a = 4; b = 35; c = 0; d = 0

((

) −(x

)

− 3 x ) dx =

4π 35

Kiểm tra từng mệnh đề, nhận thấy D sai vì

b+d 35 + 0 = =7 a + c +1 4 + 0 +1 π

Câu 14: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Giả sử tích phân I =

tan 2 x − tan x dx = e − kπ . Tính giá ex

∫ 3π 4

A. −1

B. 1

FF IC IA L

trị của k

D. −

C. 0

Đáp án B π

∫π ( tan

x − tan x )e dx = −x

3 4

∫π

∫π e

tan xdx −

3 4

Trong đó J =

π −x

∫π e

−x

tan xdx = J − K

3 4

e− x tan 2 xdx; K =

3 4

∫π e

−x

tan xdx

Ta có I =

π 2

1 2

3 4

Ta sẽ tính tích phân K bằng phương trình tích phân từng phần

3π 4

∫π e

dx + J = −e

3 4

−

3 4 3π 4

−e

−x

−π

∫π e (1 + tan x ) dx

Khi đó K = −e tan x

π −x

 du = (1 + tan 2 x ) dx u = tan x Đặt  ⇒ −x  dv = e dx v = −e − x

+ J = −e − π + J

3π 4

V ậy I = e − π = e − k π ⇒ k = 1

KÈ

Câu 15: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) =

ẠY

A. F ( x ) =

C. F ( x ) =

x3 x2 − + x+C 3 2

B. F ( x ) =

x3 x2 + + x+C 3 2

x3 x2 + − x+C 3 2

D. F ( x ) = −

x3 x 2 + − x+C 3 2

Đáp án A Ta có

∫

f ( x ) dx = ∫

+ 1) − x 2

x2 + x + 1

dx = ∫ ( x 2 − x + 1) dx =

x3 x2 − + x+C 3 2

x4 + x2 + 1 x2 + x + 1

Câu 16: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ và thỏa mãn π 2

f ( − x ) + 2 f ( x ) = cos x . Tính tích phân I =

∫π f ( x ) dx

−

1 3

2 3

B. I =

C. I = π

D. I = 2π

FF IC IA L

A. I =

Đáp án B π 2

∫π f ( − x ) dx

Xét tích phân J =

−

Đặt x = −t ⇒ dx = − dt

π 2

⇒t =

π 2

;x =

π 2

⇒t =−

Đổi cận x = −

∫π

−

V ậy I =

 f ( − x ) + 2 f ( x )  dx =

2 3

∫π cos xdx = 2

−

∫π

−

f ( −t ) dt = J ⇒ 3I + 2 I =

Khi đó

)

x + 1 ln x ; các đường thẳng x = 1, x = e2 và trục hoành

(

8e3 − 9e 2 + 13 9

8e3 − 9e 2 + 13 3

Câu 17: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

8e3 + 9e2 + 13 3

Đáp án D

KÈ

Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm. Đó f ( x ) > 0, ∀x ∈ 1; e 2  nên e2

ẠY

S = ∫ f ( x ) dx = ∫ 1

(

)

x + 1 ln xdx

1  u = ln x du = x dx Đặt  ⇒ dv = x + 1 dx  2  v= x x+x  3

(

)

2 x  Khi đó S =  + 1 x ln x  3 

2 x  8e3 + 8e 2 + 13 − ∫  + 1 dx = 9 1  3  e2

8e3 + 9e 2 + 13 9

Câu 18: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính thể tích V của vật thể sinh ra bởi phép quay quanh trục Ox của hình ( H ) giới hạn bởi các đường y = log 2 x ; x + y − 3 = 0; y = 0

1  B. V = π  + log 2 e ( 2 ln 2 + 1)  3 

1  C. V = π  − log 2 e ( 2 ln 2 − 1)  3 

1  D. V = π  − log 2 e ( 2 ln 2 + 1)  3 

FF IC IA L

1  A. V = π  + log 2 e ( 2 ln 2 − 1)  3 

Đáp án A Ta có x + y − 3 = 0 ⇔ y = 3 − x

Giao điểm của đồ thị hàm số y = log 2 x với đường thẳng y = 3 − x và y = 0 lần lượt là

( 2;1) , (1; 0 )

3 2  2 Khi đó V = π  ∫ log 2 xdx + ∫ ( 3 − x ) dx  = V1 + V2 1  2

1  Vậy V = π  + log 2 e. ( 2 ln 2 − 1)  3 

V2 = π ∫ ( 3 − x ) dx =

Trong đó V1 = π ∫ log 2 xdx = π log 2 e ∫ ln xdx = π log 2 e ( 2 ln 2 − 1)

Câu 19: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Vận tốc của một vật chuyển động là v ( t ) =

1 sin (π t ) + 2π π

(m/s). Tính quãng đường di chuyển của vật đó trong khoảng thời gian 1,5 giây (làm tròn đến kết quả hàng phần trăm)

A. 0,37 m

B. 0,36 m

C. 0,35 m

D. 0,34 m

KÈ

Đáp án D

Quãng đường mà vật đó di chuyển là: (Gv Văn Phú Quốc 2018)

 1 sin (π t )  1  1  + S=∫ dt =  t + 2 cos (π t )  2π π  π  2π  0 

ẠY

1,5

= 0

3 1 + 2 ≈ 0,34 (m) 4π π

Câu 20: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Giả sử

e x dx ae + e3 = ln với a, b là các số nguyên ∫ 2 + ex ae + b −1

 πb   πb  dương. Tính giá trị của biểu thức P = sin  + 2017π  + cos  − sin 2018π   a   a 

B. −1

A. 1

1 2

D. −

1 2

Đáp án B 2

) = ln

( 2 + ex )

= ln ( 2 + e 2 ) − ln ( 2 + e −1 )

−1

ae + e3 2 + ee 2e + e 3 = ln = ln 2 + e −1 2e + 1 ae + b

FF IC IA L

d (2 + e e x dx ∫−1 2 + e x = −∫1 2 + e x 2

Ta có

π  π  Suy ra a = 2; b = 1 hay P = sin  + 2017π  + cos  + 2018π  = −1 2  2 

∫

Câu 21: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho

dx =

mx + m − 8

∫

x ln 2 xdx

tích phân I =

m−2

1 π ( e + 1) 2

Đáp án C dx =

mx + m − 8

1 π ( e − 1) 4

2 3 x + 1 + C nên 3

∫

D. −

1 π ( e − 1) 4

1 π ( e + 1) 2

A. −

2 3 x + 1 + C . Tính giá trị của 3

1 2  = 3x + 1 + C  = ⇒m=3 3x + 1  mx + m 2 − 8  3

1 2 ( e − 1) 4

Khi đó I = ∫ x ln 2 xdx =

KÈ

Câu 22: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hàm số g ( x ) =

∫ ln t

với x > 1 . Tìm tập giá trị T của

hàm số

B. T = [1; +∞ )

A. T = ( 0; +∞ )

C. T = ( −∞;ln 2 )

D. T = ( ln 2; +∞ )

ẠY

Đáp án D

Ta có g ' ( x ) = 2 x

1 1 x −1 − = > 0, ∀x > 1 ⇒ g ( x ) đồng biến trên (1; +∞ ) 2 ln x ln x ln

(

Suy ra tập giá trị của hàm số g ( x ) là T = g (1+ ) ; g ( +∞ ) Do

)

1 1 là hàm số nghịch biến nên g ( x ) ≥ ( x 2 − x ) → +∞ khi x → +∞ ln t ln x 2

Do đó g ( +∞ ) = +∞

Để tính g (1+ ) đặt t = ev , ta được g ( x ) =

2ln x

∫

ln x 2ln x

∫

Khi đó g ( x ) < e 2ln x =

ln x

ev dv v

dv = x 2 ln 2 v

FF IC IA L

Chứng minh tương tự, ta thu được g ( x ) > x ln 2

( )

Theo định lí kẹp, ta suy ra g 1+ = ln 2 Vậy tập giá trị của hàm số đã cho là T = ( ln 2; +∞ )

Câu 23: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Ở một thành phố nhiệt độ (theo

πt 2

. Tìm nhiệt độ trung bình trong khoảng

sáng được mô hình hóa bởi hàm T ( t ) = 50 + 14sin

) sau t giờ, tính từ 8 giờ

thời gian từ 8 giờ sáng đến 8 giờ tối. (Lấy kết quả gần đúng)

B. 45, 45° F

C. 45,54° F

A. 54,54° F

Đáp án C

D. 54, 45° F

Nhiệt độ trung bình từ 8h sáng cho đến 20h là tổng nhiệt độ chia cho khoảng thời gian, cho nên được tính bằng: (Gv Văn Phú Quốc 2018) 20

1 πt  14   50 + 14sin dt = 50 − ≈ 45,54° F 20 − 8 ∫8  2 π

Câu 24: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [ 0; 2a ] . Hỏi mệnh

đề nào sau đây đúng? 2a

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) + f ( 2a − x ) dx 0

KÈ

∫

f ( x ) dx = − ∫  f ( x ) + f ( 2a − x )  dx

ẠY

∫

0 a

f ( x ) dx = ∫  f ( x ) + f ( 2a − x )  dx

Đáp án C

Đặt t = 2a − x . Khi đó 2a

∫

f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx +

∫

f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ ( 2a − t ) dt

= ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( 2a − x ) dx = ∫  f ( x ) + f ( 2a − x )  dx

∫ f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) + f ( 2a − x ) dx

Câu 25: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính thể tích V của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình

A. V =

31π 5

B. V =

32π 5

C. V =

33π 5

Đáp án B 2

Thể tích vật thể tròn xoay cần tìm là V = π ∫ x 2 dy = π ∫ y 4 dy =

FF IC IA L

phẳng giới hạn bởi đường cong y = x , trục tung và đường thẳng y = 2 quay quanh trục Oy.

D. V =

34π 5

32π 5

Câu 26: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong mặt phẳng Oxy , cho prabol ( P ) : y = x 2 . Viết phương trình đường thẳng d đi qua M (1;3) sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( P ) và

B. 2 x + y + 1 = 0

Đáp án A

(

C. x − 2 y + 1 = 0

D. x + 2 y + 1 = 0

A. 2 x − y + 1 = 0

d đạt giá trị nhỏ nhất.

) (

)

Giả sử d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A a; a 2 , B b; b 2 với b > a

Phương trình đường thẳng d : y = ( a + b ) x − ab

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và đường thẳng d. Ta có: (Gv Văn Phú Quốc

2018) b

S = ∫ ( a + b ) x − ab − x dx = ∫ ( x − a )( x − b ) dx = − ∫ ( x − a )( x − b ) dx

= a

1 3 (b − a ) 6

KÈ

a+b 2 1  x + abx  = −  x3 − 3 2  

Do M (1;3) ∈ d nên a + b = ab + 3

ẠY

Suy ra S 2 = =

min S =

3 1  1  1  2 3 2 2 b − a)  = a + b ) − 4ab  = ab + 3) − 4ab  ( (   36 (  36  36 

3 1  83 128 8 2 2 ab + 1) + 8 ≥ = ⇒S≥ (   36 36 9 3

8 2 ⇔ ab + 1 = 0 ⇔ ab = −1 ⇒ a + b = 2 3

Vậy ta lập được phương trình đường thẳng d : y = 2 x + 1 ⇔ 2 x − y + 1 = 0

Câu 27: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Giả sử tích phân

∫ 3π 4

tan 2 x − tan x dx = e − kπ . Tính giá trị x e

c ủa k

B. 1

D. −

C. 0

Đáp án B π

Ta có I =

∫π ( tan

x − tan x ) e dx = −x

3 4

∫π

∫π e

tan xdx −

3 4

Trong đó J =

π −x

∫π e

−x

tan xdx = J − K

3 4

∫π e

tan 2 x.e − x dx; K =

3 4

−x

tan xdx

3 4

Ta sẽ tính tích phân K bằng phương pháp tích phân từng phần

3π 4

∫π e

−x

dx + J = e

−

3π 4

−x

3 4

−e

+ J = −e −π + J

−x 3π 4

−π

∫π e (1 + tan x ) dx

Khi đó K = −e tan x

 du = (1 + tan 2 x ) dx u = tan x Đặt  ⇒ −x  dv = e dx v = −e − x −x

1 2

FF IC IA L

A. −1

3 4

V ậy I = e − π = e − k π ⇒ k = 1

Câu 28: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = x3 x2 − + x+C 3 2

B. F ( x ) =

C. F ( x ) =

x3 x2 + − x+C 3 2

D. F ( x ) = −

ẠY

KÈ

A. F ( x ) =

x3 x2 + + x+C 3 2 x3 x 2 + − x+C 3 2

Đáp án A Ta có

∫

f ( x ) dx = ∫

+ 1) − x 2

x2 + x + 1

dx = ∫ ( x 2 + x + 1)dx =

x3 x 2 − + x+C 3 2

x4 + x2 + 1 x2 + x + 1

Câu 29: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ và thỏa mãn π 2

f ( − x ) + 2 f ( x ) = cos x . Tính tích phân I =

∫π f ( x ) dx

−

1 3

B. I =

2 3

C. I = π

D. I = 2π

FF IC IA L

A. I =

Đáp án B π 2

∫π f ( − x ) dx

Xét tích phân J =

−

Đặt x = −t ⇒ dx = − dt

π 2

⇒t =

π 2

;x =

⇒t =−

Đổi cận x = −

∫π

−

f ( −t ) dt = J ⇒ 3I = J + 2 I =

∫π

−

2 3

 f ( − x ) + 2 f ( x )  dx = J =

π 2

∫π cos xdx = 2

−

V ậy I =

Khi đó

(

8e3 − 9e 2 + 13 9

8e3 − 9e 2 + 13 3

)

x + 1 ln x ; các đường thẳng x = 1, x = e2 và trục hoành

Câu 30: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

8e3 + 9e2 + 13 3

KÈ

Đáp án D

Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm. Do f ( x ) > 0, ∀x ∈ 1; e 2 

ẠY

nên S =

∫ f ( x ) dx = ∫ (

)

x + 1 ln xdx

1  u = ln x  du = x dx Đặt  ⇒ dv = x + 1 dx  2  v= x x+x  3

(

)

2 x  Khi đó S =   3 + 1 x ln x  

2 x  8e3 + 9e 2 + 13 − ∫  + 1 dx = 9 1  3  e2

8e3 + 9e 2 + 13 9

Câu 31: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính thể tích V của vật thể sinh ra bởi phép quay quanh trục Ox của hình ( H ) giới hạn bởi các đường y = log 2 x ; x + y − 3 = 0; y = 0

1  B. V = π  + log 2 e ( 2 ln 2 + 1)  3 

1  C. V = π  − log 2 e ( 2 ln 2 − 1)  3 

1  D. V = π  − log 2 e ( 2 ln 2 + 1)  3 

FF IC IA L

1  A. V = π  + log 2 e ( 2 ln 2 − 1)  3 

: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Đáp án A Ta có x + y − 3 = 0 ⇔ y = 3 − x

Giao điểm của đồ thị hàm số y = log 2 x với các đường thẳng y = 3 − x và y = 0 lần lượt là

( 2;1) , (1; 0 )

3 2  2 Khi đó V = π  ∫ log 2 xdx + ∫ ( 3 − x ) dx  = V1 + V2 1  2

1  Vậy V = π  + log 2 e ( 2 ln 2 − 1)  3 

V2 = π ∫ ( 3 − x ) dx =

Trong đó V1 = π ∫ log 2 xdx = π log 2 e ∫ ln xdx = π log 2 e ( 2 ln 2 − 1)

Câu 32: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Vận tốc của một chuyển động là v ( t ) =

1 sin (π t ) + 2π π

(m/s).Tính quãng đường di chuyển của vật đó trong khoảng thời gian 1,5 giây (làm tròn đến

kết quả hàng phần trăm)

B. 0,36 m

C. 0,35 m

D. 0,34 m

KÈ

A. 0,37 m Đáp án D

Quãng đường mà vật đó di chuyển là

 1 sin (π t )  1  1  ∫0  2π + π dt =  2π t − π 2 cos (π t )

ẠY

1,5

= 0

3 1 + 2 ≈ 0,34 (m) 4π π

Câu 33: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Giả sử F ( x ) là một họ nguyên hàm của hàm số

f ( x) =

sin x trên khoảng ( 0; +∞ ) . Tính tích phân x

A. F ( 3) − F (1) .

B. F ( 6 ) − F ( 2 ) .

sin 2 x dx . x 1

∫

C. F ( 4 ) − F ( 2 ) .

D. F ( 6 ) − F ( 4 ) .

Đáp án B Đặt t = 2 x ⇒ dt = 2dx . Đổi cận: (Gv Văn Phú Quốc 2018) x = 1 ⇒ t = 2; x = 3 ⇒ t = 6 . sin x sin u dx ⇒ F ( u ) = ∫ du x u

FF IC IA L

F ( x) = ∫

sin 2 x sin 2 x sin 2 x sin u ∫1 x dx = ∫1 2 2 x dx ⇒ ∫1 x dx = ∫2 u du = F ( 6 ) − F ( 2 ) .

Câu 34: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Một chất điểm A xuất phát từ vị trí O, chuyển động nhanh

dần đều, 8 giây sau nó đạt đến vận tốc 6 m/s. Từ thời điểm đó nó chuyển động thẳng đều. Một chất điểm B xuất phát từ cùng vị trí O nhưng chậm hơn 12 giây so với A và chuyển động thẳng

nhanh dần đều. Biết rằng B đuổi kịp A sau 8 giây (kể từ lúc B xuất phát). Tìm vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A.

B. 36 m/s.

C. 24 m/s.

A. 48 m/s.

Đáp án C

D. 12 m/s.

Gọi gia tốc trong chuyển động nhanh dần đều của chất điểm A là a thì vận tốc của A là 3 ( m / s2 ) . 4

v A ( t ) = at . Tại thời điểm t = 8 ta có v A ( 8 ) = a.8 = 6 ⇒ a = Quãng đường A chuyển động được trong 8 giây đầu là 8

3 3  S1 = ∫  t  dt = t 2 = 24 m . 4  8 0 0

Thời gian A chuyển động đều cho đến lúc gặp B là 12 giây. Quãng đường A đi được trong chuyển động đều là S2 = 6.12 = 72m .

Quãng đường A đi được từ lúc xuất phát đến lúc gặp B là

KÈ

S = S1 + S2 = 24 + 72 = 96m .

Gọi gia tốc của B là b thì vận tốc của B là vB ( t ) = bt .

ẠY

Quãng đường B đi được từ lúc xuất phát đến lúc gặp A là 96 m. 8

bt 2 Ta có S = ∫ btdt = = 32b = 96 ⇒ b = 3 m / s 2 . 2 0 0

Vận tốc của B tại thời điểm gặp A là vB ( 8 ) = 3.8 = 24 m/s . x2

Câu 35: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hàm số g ( x ) =

∫

Tính g ′ ( x ) .

t sin tdt xác định với mọi x > 0 .

C. x 2 sin ( x 2 ) −

sin

( x) .

B. 2 x 2 sin ( x 2 ) −

24 x

sin

( x) .

D. x 2 sin ( x 2 ) −

24 x

Đáp án A

sin

( x) .

sin

( x) .

FF IC IA L

A. 2 x 2 sin ( x 2 ) −

( x). sin ( x ) − .

Đặt f ( t ) = t sin t . Theo định nghĩa tích phân ta có g ( x ) = F ( x 2 ) − F

( )

Khi đó g ′ ( x ) = 2 xF ′ x 2 −

F′( x) 2 x

= 2 xf ( x 2 ) −

( x ) = 2 x sin ( x ) 2

2 x

24 x

Câu 36: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính giá trị của a để đẳng thức

∫ cos ( x + a ) dx = sin a 2

xảy ra.

B. a = π .

C. a = 3π .

D. a = 2π .

A. a = π .

Đáp án D

2 2 2 2 2 2 ∫ cos ( x + a ) dx = ∫ cos ( x + a ) d ( x + a ) = sin ( x + a ) = sin ( a + a ) − sin ( a )

(

)

2π + 2π = sin

(

)

2π .

Với a = 2π ta có sin

∫ ln x dx < e − 2 . 1

B. S = {2} .

Đáp án C e

C. S = {1; 2} .

A. S = {1} .

Câu 37: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tìm tập S tất cả các số nguyên dương n thỏa điều kiện

D. S = ∅ .

KÈ

n e I = ∫ ln dx = ∫ ( ln n − ln x ) dx = x ln n 1 − ∫ ln xdx x 1 1 1 e

= ( e − 1) ln n − ( x ln x − x ) 1 = ( e − 1) ln n − 1

ẠY

Với n = 1 ta có I = −1 < e − 2 .

Với n = 2 ta có I = e ln 2 − ( ln 2 + 1) = ( e − 1) ln 2 − 1 < e − 1 − 1 = e − 2

Câu 38: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính tích phân hai nghiệm của phương trình x

1 + ln t 1 dt = . 2 t 1

∫ e

A. 1.

1 . e2

C. 2e .

4 . e2

Đáp án B

(1 + ln t ) 1 + ln t 1 1 Ta có ∫ dt = ⇔ ∫ (1 + ln t ) d (1 + ln t ) = ⇔ t 2 2 2 1 1 x

⇔

(1 + ln x )

= 1 e

1 . 2

x =1  ln x = 0 1 2 . ⇔ (1 + ln x ) = 1 ⇔  ⇔  x = 12 2  ln x = −2 e 

Do đó tích hai nghiệm của phương trình là

FF IC IA L

2 x

1 . e2

Câu 39: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Từ đẳng thức

1 + 4cos3 u − 2sin 2 v + C = ∫ f ( t ) dt có tìm 5 t

được hàm số y = f ( x ) hay không ?

C. Tìm được hàm số y = f ( x ) = −

5 . x6

x6 . 5

B. Tìm được hàm số y = f ( x ) = −

A. Không tìm được hàm số y = f ( x ) .

D. Tìm được hàm số y = f ( x ) khác với kết quả ở (B), (C).

Đáp án C

5 . x6

5 = f (t ) . t6

Do đó f ( x ) = −

Từ đẳng thức đã cho, lấy đạo hàm hai vế ta được: (Gv Văn Phú Quốc 2018) −

Câu 40: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b ] và thỏa

KÈ

mãn điều kiện f ( x ) = f ( a + b − x ) , ∀x ∈ [ a; b ] . Hỏi mệnh đề nào sau đây đúng? b

ẠY

∫ xf ( x ) dx = − ( a + b ) ∫ f ( x ) dx . a b

a b

a+b C. ∫ xf ( x ) dx = − f ( x ) dx . 2 ∫a a

∫ xf ( x ) dx = ( a + b ) ∫ f ( x ) dx . b

a +b f ( x ) dx . D. ∫ xf ( x ) dx = 2 ∫a a

Đáp án D Đặt t = a + b − x ⇒ dx = − dt Đổi cận: (Gv Văn Phú Quốc 2018) x = a ⇒ t = b; x = b ⇒ t = a .

đó

Khi

Vă n

(Gv

Quốc

Phú

2018)

∫ xf ( x ) dx = ∫ xf ( a + b − x ) dx = −∫ ( a + b − t ) f ( t ) dt = ∫ ( a + b − t ) f ( t ) dt b

Do đó

∫ xf ( x ) dx = a

FF IC IA L

= ( a + b ) ∫ f ( t ) dt − ∫ tf ( t ) dt = ( a + b ) ∫ f ( x ) dx − ∫ xf ( x ) dx b

a+b f ( x ) dx . 2 ∫a

Câu 41: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2

y = ( x + 1) , x = sin xy và 0 ≤ y ≤ 1 .

1 − . π 3

1 + . π 3

1 . 2

Mà 0 ≤ y ≤ 1 nên y = ( x + 1) ⇔ x =

)

y −1.

1 + . π 3

(

1 . 2

−

Ta có x = sin π y ∈ [ −1;1] ⇒ x + 1 ≥ 0 .

Vậy S = ∫ sin π y − y + 1 dy =

Đáp án B

Câu 42: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Gọi h ( t ) (cm) là mức nước ở bồn chứa sau khi bơm

13 t + 8 và lúc đầu bồn cầu không có nước. Tìm mức 5

nước được t giây. Biết rằng h′ ( t ) =

nước ở bồn sau khi bơm nước được 6 giây (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

B. 2,66 cm.

C. 3,66 cm.

A. 1,66 cm.

Đáp án B

D. 4,66 cm.

Mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 6 giây: (Gv Văn Phú Quốc 2018) 6

KÈ

4 12  3 h ( 6 ) = ∫ h′ ( t ) dt =  ( t + 8 ) 3 −  ≈ 2, 66 ( cm ) 5 0  20 0 a 2

ẠY

Câu 43: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính tích phân I = ∫ A. I =

( 2π − 1) a . 2

B. I =

( 2π + 1) a . 2

C. I =

x dx theo a. a−x

(π − 2 ) a . 4

Đáp án A Đặt x = a sin 2 t ⇒ dx = 2a sin t cos tdt . Đổi cận: (Gv Văn Phú Quốc 2018) x = 0 ⇒ t = 0; x =

π a ⇒t = 2 4

D. I =

(π + 2 ) a . 4

π 4

Khi đó I = ∫ 0

π 4 (π − 2 ) a . a sin 2 t .2 a .sin t .cos tdt = 2 a sin 2 t = ∫ 2 4 a (1 − sin t ) 0

2 ( x + 1) , x ≤ 0 f ( x) =  . Tìm k để 2 k (1 − x ) , x < 0

FF IC IA L

Câu 44: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hàm số 1

∫ f ( x ) dx = 1 . −1

A. k = 1 .

B. k = 2 .

C. k = 3 .

D. k = 4 .: (Gv Văn Phú Quốc 2018)

Đáp án C

∫

−1

f ( x ) dx = ∫ −2 ( x + 1) dx + ∫ k (1 − x 2 dx ) = −1 +

−1

2k =1⇒ k = 3. 3

Ta có

A. g ′ ( x ) =

9 x2 −1 . 9 x2 + 1

C. g ′ ( x ) =

9 x2 − 1 4 x2 −1 . − 9 x2 + 1 4 x2 + 1

D. g ′ ( x ) =

4 x2 −1 . 4 x2 + 1 3 ( 9 x 2 − 1) 9 x2 + 1

−

2 ( 4 x 2 − 1) 4 x2 + 1

B. g ′ ( x ) =

Đáp án D t 2 −1 . t2 +1

Đặt f ( t ) =

t2 −1 ∫ t 2 + 1 dt . Tính đạo hàm g ′ ( x ) . 2x

Câu 45: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hàm số g ( x ) =

Gọi F là một nguyên hàm của f. Theo định nghĩa tích phân ta có 3x

KÈ

g ( x ) = F ( t ) 2 x = F ( 3x ) − F ( 2 x ) .

Sử dụng công thức tính đạo hàm hàm số hợp ta được

3 ( 9 x 2 − 1) 9x2 + 1

−

2 ( 4 x 2 − 1) 4x2 + 1

ẠY

g ′ ( x ) = 3F ′ ( 3 x ) − 2 F ′ ( 2 x ) = 3 f ( 3 x ) − 2 f ( 2 x ) =

Câu 46: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

( C1 ) : x + 4 y − y 2 = 0 và ( C2 ) : x − 2 y + y 2 = 0 . A. 11.

B. 10.

C. 9.

D. 8.

Đáp án C Phương trình tung độ giao điểm giữa ( C1 ) : x = y 2 − 4 y và ( C2 ) : x = 2 y − y 2 là: (Gv Văn Phú Quốc 2018)

y = 0 . y2 − 4 y = 2 y − y2 ⇔  y = 3 3

Vậy S = ∫ ( 2 y − y 2 ) − ( y 2 − 4 y )  dy = 9 . 0

(E): A.

x2 y 2 + = 1 quay quanh trục Ox. a2 b2

4 π ab 2 . 3

4 2 πa b. 3

3 π ab 2 . 4

Đáp án A

FF IC IA L

Câu 47: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi cho elip

3 2 πa b. 4

Ta có thể xem khối tròn xoay này là do hình giới hạn bởi bốn đường

 2 x3  4 a x − = π ab 2 .   3  −α 3 

b2 π b2 Vậy V = π ∫ 2 ( a 2 − x 2 ) dx = 2 a a −a

b a 2 − x 2 quay quanh trục Ox tạo nên. a

x = a, x = − a, y = 0, y =

Câu 48: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho I = ∫ x 3 ln xdx = 1

a 1 = . b 2

B. a + b = 20 .

C. ab = 60 .

D. a − b = 12 .

3e a + 1 . Mệnh đề nào là đúng? b

Đáp án B

1  du = dx  u = ln x  x Đặt  ⇒ . 3 4 dv = x dx v = x  4 e

KÈ

1 3e 4 + 1 x4 e4 1 Khi đó I = ln x − ∫ x3 dx = − x 4 = . 4 41 4 14 1 16 1

ẠY

Suy ra a = 3, b = 16 hay a + b = 20 .

Câu 49: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hàm số f ( x ) biết f ( 0 ) = 1 và f ′ ( x ) =

4 x2 + 4 x + 3 2x +1

. Biết nguyên hàm của f ( x ) có dạng F ( x ) = ax 2 + bx + ln 2 x + 1 + c . Tính tỉ lệ a : b : c .

A. a : b : c = 1: 2 :1 .

B. a : b : c = 1:1:1 .

C. a : b : c = 2 : 2 :1 .

D. a : b : c = 1: 2 : 2 .

Đáp án B Ta có f ( x ) = ∫

4x2 + 4x + 3 2   2 dx = ∫  2 x + 1 +  dx = x + x + ln x + 1 + C . 2x +1 2x +1  

Do f ( 0 ) = 1 nên c = 1 . Suy ra f ( x ) = x 2 + x + ln 2 x + 1 + 1 . Vậy a : b : c = 1:1:1 .

Câu 50: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Một vật chuyển động với vận tốc v ( t ) (m/s) có gia tốc

tròn kết quả đến hàng đơn vị)

A. 10 m/s.

B. 11 m/s.

C. 12 m/s.

Đáp án D Ta có v ( t ) = ∫ v′ ( t ) dt = ∫

3 dt = 3ln t + 1 + C . t +1

Do vận tốc ban đầu là 6 m/s nên v ( t ) = 3ln t + 1 + 6 .

∫ ( x − 2 ) sin 3xdx = −

Phú

Văn

Quốc

2018)

(Gv

( x − m ) cos 3x + 1 sin 3x + C . Tính giá trị của n

B. −2.

A. 14

51:

Giả

sử

rằng

m+n+ p. D. 10

Đáp án A

C. 9

Câu

D. 13 m/s.

Vận tốc của vật sau 10 giây là v ( 6 ) = 3ln11 + 6 ≈ 13 ( m / s ) .

FF IC IA L

3 (m/s2). Vận tốc ban đầu của vật là 6 (m/s). Hỏi vận tốc của vật sau 10 giây (làm t +1

v′ ( t ) =

du = dx u = x − 2  Đặt  ⇒ cos 3 x . dv = sin 3 xdx v = − 3 

∫ ( x − 2 ) sin 3xdx = −

( x − 2 ) cos 3x + 1 sin 3x + C.

Khi đó

Suy ra m = 2, n = 3, p = 9

KÈ

Vậy m + n + p = 14.

Câu 52: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho f là một hàm số. Tìm số thực a > 0 sao cho ∀x > 0 , x

∫

ẠY

f (t ) dt + 6 = 2 x t2

A. 7.

B. 8.

C. 9.

D. 10.

Đáp án C

Gọi F ( t ) là một nguyên hàm của

f (t ) t2

Theo định nghĩa tích phân ta có: (Gv Văn Phú Quốc 2018) ∀x > 0, F ( x ) − F ( a ) + 6 = 2 x Cho x = a ta thu được

a = 3 ⇒ a = 9.

Câu 53: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho f ( x ) là hàm liên tục và a > 0 . Giả sử rằng với mọi a

dx theo a. 1+ f ( x) 0

x ∈ [ 0; a ] ta có f ( x ) > 0 và f ( x ) f ( a − x ) = 1. Hãy tính I = ∫

a . 2

D. a 2 .

C. 2a

FF IC IA L

A. a. Đáp án B Đặt x = a − t ⇒ dx = − dt .

a a f (t ) dt dt dt =∫ =∫ 1+ f (a − t ) 0 1+ 1 1 + f (t ) a 0 f (t )

Ta có I = − ∫

Suy ra 2 I = I + I = ∫ dt = a. a 2

V ậy I =

e2 x

∫ t ln tdt

Câu 54: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Hàm số f ( x ) =

A. Đạt cực tiểu tại x = 0 và đạt cực đại tại x = − ln 2.

B. Đạt cực tiểu tại x = − ln 2 và đạt cực đại tại x = 0.

C. Đạt cực tiểu tại x = 0 và đạt cực đại tại x = ln 2.

D. Đạt cực tiểu tại x = ln 2 và đạt cực đại tại x = 0. Đáp án A

Gọi F(t) là một nguyên hàm của hàm số t ln t trên ( 0; +∞ ) .

( )

Ta có f ( x ) = F e2 x − F e x

( )

(

)

KÈ

Suy ra f ' ( x ) = 2e 2 x F ' e 2 x − e x F e x = 4 xe 4 x − xe2 x = xe 2 x 4e2 x − 1 . Vậy f ' ( x ) = 0 ⇔ x = 0, x = − ln 2.

ẠY

Kết luận: (Gv Văn Phú Quốc 2018) f đạt cực tiểu tại x = 0 và đạt cực đại tại x = − ln 2 Câu 34:

(Gv Văn Phú Quốc 2018) Hình phẳng S giới hạn bởi ba đường y = x, y = 2 − x, x = 0 . Khi quay

S quanh Ox, Oy tương ứng ta được hai vật thể tròn xoay có thể tích là Vx , Vy . Hãy lựa chọn phương án đúng?

A. Vy =

π 3

B. Vx = 12.

C. Vx + Vy =

20π . 3

D. Vx + Vy =

8π . 3

b Câu 55: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Giả sử S = a ln − 1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi c x +1 với các trục tọa độ. Hỏi mệnh đề nào là đúng? x−2

đồ thị hàm số y = A. a + b + c = 8

B. a > b

C. a − b + c = 1

FF IC IA L

Đáp án A

D. a + 2b − 9 = 0

Đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại điểm có tọa độ ( −1;0 ) . Khi đó 0

S=∫ −1

x +1 dx = x−2

x +1 ∫−1 x − 2 dx = 0

= ( x + 3ln x − 2 )| = 3ln −1



3 

∫ 1 + x − 2  dx

−1

3 −1 2

Suy ra a = b = 3, c = 2 Vậy a + b + c = 8.

Câu 56: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho ( P ) : y = x 2 + 1 và đường thẳng d : mx − y + 2 = 0 .

Tìm m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và d đạt giá trị nhỏ nhất: (Gv Văn Phú Quốc

1 . 2

3 4

D. 0

Đáp án D

C. 1

2018)

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d là x 2 − mx − 1 = 0

Ta có ∆ = m 2 + 4 > 0, ∀m . Suy ra phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 . x2

Giả sử x1 < x2 . Khi đó S =

2 ∫ ( mx + 2 − x − 1) dx =

ẠY

KÈ

Vậy min S =

 mx 2 x3  = − + x 3  2 

∫ ( mx + 1 − x ) dx 2

 m2  1 = ( x2 − x1 )  + 1 − ( m 2 + 1)  3  2 

 m2 2  4 = m 2 + 4.  + ≥ .  6 3 3

4 ⇔m=0 3

Câu 57: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tìm giá trị của m để ( Cm ) : y = x 4 ( m 2 + 2 ) x 2 + m2 + 1 cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt sao cho hình phẳng giới hạn bởi trục hoành phần phía trên trục hoành có diện tích bằng

A. m = ±2

96 . 15 B. m = 2

C. m = −2

D. m = ±3

Đáp án A Phương trình hoành độ giao điểm của ( C m ) với trục Ox: (Gv Văn Phú Quốc 2018)

 x = ±1 x 4 − ( m2 + 2 ) x 2 + m2 + 1 = 0 ⇔  2  x = ± m + 1 ⇒ ( C m ) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt ⇔ m ≠ 0 (*)

(

FF IC IA L

Khi đó: (Gv Văn Phú Quốc 2018) diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( C m ) với trục hoành phần phía trên trục hoành là: (Gv Văn Phú Quốc 2018) 1 20m2 + 16 96 = ⇔ m = ±2 (thỏa (*)) S = ∫ x 4 − m2 + 2 x 2 + m2 + 1 dx ⇔ 15 15 −1

)

Câu 58: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hàm số y = ( x 2 + 1) e x . Tính vi phân của y.

1 2 A. dy = e x ( x + 1) dx . 2

B. dy = e x ( x + 1) dx .

D. dy = e x ( x − 1) dx .

C. dy = e x ( x + 1) dx .

Đáp án A '

 x3  π  x3   π  π π    y ' =   sin  3 x +  +  sin  3 x +   = x 2 sin  3 x +  + x 3 cos  3 x +  4 3   4  4 4     3 Câu 58: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền

( P ) : y = x 2 − 6 x + 5 khi quay quanh trục Oy.  Ox : y = 0

B. 36π .

C. 48π .

A. 24π .

Đáp án D

D. 64π .

có tọa độ đỉnh là B ( 3; −4) , cắt trục hoành tại A (1;0) , C ( 5;0 ) .

( P)

Vẽ đồ thị hàm số y = x 2 − 6 x + 5 .

KÈ

có phương trình x = y + 4 + 3 . AB có phương trình x = y + 4 − 3; BC 0

VOy = π ∫

−4

(

)

y + 4 + 3 dy − π ∫

(

)

y + 4 − 3 dy = 64π .

−4

ẠY

Câu 59: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hàm số y =

π π   A. y ' = x 2 sin  3 x +  + x 3 cos  3 x +  . 4 4  

π π   B. y ' = x 2 sin  3 x +  + x 3 cos  3 x +  . 4 3   π π   C. y ' = x 3 sin  3 x +  + x 2 cos  3 x +  . 4 4  

π x3  sin  3x +  . Tính đạo hàm y’. 3 4 

π π   D. y ' = x 2 cos  3 x +  + x 3 sin  3 x +  . 4 4   Đáp án A '

FF IC IA L

 x3  π  x3   π  π π    y ' =   sin  3 x +  +  sin  3 x +   = x 2 sin  3 x +  + x3 cos  3 x +  4 3   4  4 4     3

Câu 60: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Xét hình chắn phía parabol ( P ) : y = x 2 , phía trên đường thẳng đi qua điểm A (1; 4 ) và hệ số góc k. Xác định k để hình phẳng trên có diện tích nhỏ nhất.

A. k = 2 .

B. k = 1 .

C. k = −1 .

Đáp án B Đường thẳng d đi qua A (1;4 ) với hệ số góc k có phương trình

y = k ( x − 1) + 4

D. k = 0 .

Phương trình hoành độ giao điểm (P) và d là: (Gv Văn Phú Quốc 2018)

x2 = k ( x − 1) + 4 ⇔ x2 − kx + k − 4 = 0 . 2

Ta có ∆ = k 2 − 4 ( k − 4 ) = k 2 − 4k + 16 = ( k − 2 ) + 12 > 0, ∀k ∈ ℝ . Suy ra phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt và giả sử rằng hai nghiệm đó x1 < x2 .

1 S = ∫  k ( x − 1) + 4 − x 2  dx = ... = 6

− 4k + 16 )

3 1  2 k − 2 ) + 12  ≥ 4 3 (  6 

ẠY

KÈ

Vậy min S = 4 3 khi và chỉ khi k = 2 .

(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2 x3 là:

Câu 1 A.

x4 + C. 4

x4 + C. 2

C. 2 x 2 + x + C.

x4 + x + C. 4

Đáp án B

Ta có: ∫ 2 x 3 dx =

a n +1 x +C n +1

FF IC IA L

Áp dụng công thức: ∫ ax n dx =

2 4 x4 x +C = +C 4 2 e

Câu 2 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Biết B. −6 < m < −3.

C. m < −2.

Đáp án D e

D. −3 ≤ m ≤ 0.

A. m ≥ 1.

1 + m ln t dt = 0. Khi đó, điều nào sau đây đúng? t 1

∫

1 + m ln t 1 1 m 2 dt = ∫ (1 + m ln t ) d (1 + m ln t ) = Ta có: ∫ (1 + m ln t ) = + 1 = 0 ⇔ m = −2 t m1 2m 2 1 1

⇒ −3 ≤ m ≤ 0 Câu 3:

dx được kết quả I = a ln 3 + b ln 5. x 3x + 1

(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Biết I = ∫

Giá trị của 2a 2 + ab + b 2 là:

B. 7.

C. 3.

A. 8.

3x + 1 = t ⇒ 3 x + 1 = t 2 ⇒ dx =

Cách 1: Đặt

Đáp án B

D. 9.

2 dt 3

Đổi cận x = 1 ⇒ t = 2, x = 5 ⇒ t = 4 2 4 tdt 4 1  t −1 3 1  1 3 ⇒I =∫ 2 =∫  − = ln − ln = 2 ln 3 − ln 5 ⇒ a = 2, b = −1 dt = ln  t −1 2  t −1 t + 1  t +1 2 5 3 2 t 3 2 ⇒ 2a + ab + b 2 = 7

ẠY

KÈ

Cách 2: Ta có: a ln 3 + b ln 5 = log e 3a 5b 5

Dùng CASIO ta được I = ∫ 1

dx ≈ 0.5877 → SHIFT → STO → A x 3x + 1

⇒ log e 3a 5b = A ⇔ 3a 5b = e A =

9 = 32.5−1 5

(Gán nghiệm đó cho

a = 2 ⇒ 2a 2 + ab + b 2 = 7 Vậy  b = −1 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ thỏa mãn

∫

( x ) dx = 4 và

∫

f ( sin x ) cos xdx = 2. Tích phân I = ∫ f ( x ) dx bằng:

FF IC IA L

Câu 4:

A. I = 8.

B. I = 6.

C. I = 4.

D. I = 10.

Đáp án B Đặt t = x ⇒ dt =

1 2 x

∫

( x ) dx = 2 x

∫

f ( t ) dt = 4 ⇒ ∫ f ( t ) dt = 2

Suy ra

⇒ t =1

∫

f ( sin x ) cos xdx = ∫ f ( t ) dt = 2 0

Khi đó x = 0 ⇒ t = 0; x =

 π π Đặt t = sin x; x ∈  − ;  ⇒ dt = cos x  2 2

Suy ra

Khi đó x = 1 ⇒ t = 1; x = 9 ⇒ t = 3

(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Gọi diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( P ) : y = x 2 ,

Câu 5:

I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = 2 + 2 = 4

KÈ

tiếp tuyến tại A (1;1) và trục Oy bằng S1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( P ) : y = x 2 , tiếp tuyến tại A (1;1) và trục Ox bằng S 2 . Khi đó, tỉ số

1 . 4

B. 4.

ẠY

S1 bằng: S2

Đáp án D

Phương trình tiếp tuyến: y = f ' (1)( x − 1) + 1 = 2 x − 1 1

1 1 1 Ta có: S2 = ∫ x 2 dx − . .1 = 2 2 12 0

1 . 3

D. 3.

1 1 1 S S1 = S 2 + . .1 = ∫ x 2 dx = ⇒ 1 = 4 2 2 3 S2 0

(Gv Nguyễn Bá Tuấn) Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e 2x

Câu 6

1 B. ∫ e2x dx = e 2x + C. 2

C. ∫ e 2x dx = 2e 2x + C.

D. ∫ e 2x dx = −2e 2x + C.

FF IC IA L

1 A. ∫ e 2x dx = − e 2x + C. 2

Chọn B.

1 1 Theo công thức nguyên hàm cơ bản ∫ eax + b dx = eax + b + C . Suy ra ∫ e 2x dx = e 2x + C . a 2 π 2

B. I = −2.

I = ∫ cos xdx = sinx

π 2 0

D. I = −1.

= sin

π − sin 0 = 1 . Chọn đáp án A. 2

π 2

C. I = 0.

A. I = 1.

(Gv Nguyễn Bá Tuấn) Kết quả của tích phân I = ∫ cos xdx bằng bao nhiêu?

Câu 7

Câu 8 (Gv Nguyễn Bá Tuấn)Họ nguyên hàm của f ( x ) = x 2 −

x3 x − ln +C 3 x +1

x3 1 x − ln +C 2 2 x +1

1 là x ( x + 1)

x3 − ln x ( x + 1) + C 3

x3 1 x − ln +C 3 2 x +1

  ( x + 1) − x dx 1 1 x3 2 Ta có. ∫  x 2 − dx x dx dx = − = −  ∫ ∫ ∫  x ( x + 1)  x ( x + 1) 3 x ( x + 1)  x3 1  x3 x3 x 1 − ∫ − dx = − ln x − ln x + 1 + C = − ln +C ( )  3 3 3 x +1  x x +1

KÈ

ẠY

Câu 9 (Gv Nguyễn Bá Tuấn)Biết rằng thiết diện của vật thể với mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x ( 0 ≤ x ≤ 3) là một tam giác đều có cạnh là

thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 ; x = 3 là

A. Đáp án C

9+ 3 π 2

9+ 3 2

9 3 +3 2

9 3+3 π 2

4x + x . Khi đó

Cạnh của thiết diện là a = 4 x + x ⇒ diện tích thiết diện S =

Câu

)

3 9 3 +3 4x + x = 4 2

(

)

(Gv

10.

(

Nguyễn

Bá

π 2

Tuấn)

Biết

FF IC IA L

Vậy thể tích của hình cần tính là: V = ∫

3 2 3 a = 4x + x 4 4

( n + 1) π + π + c;a, b, c ∈ ℤ , khi đó a + b + c bằng cos n x * ∈ = dx n N a ( ) n n ∫0 cos x + sin x 2 b A. 4

B. 6

C. 9

D. 11

Đáp án A π 2

π 2

π sin n x cos x dx x t I = − ⇒ = đặ t ∫0 cosn x + sin n x dx cos n x + sin n x 2 0

Xét I = ∫

π 2

2 π π cos n x sin n x ⇒ 2I = ∫ + dx dx = ⇒ I = n n n n ∫ cos x + sin x cos x + sin x 2 4 0 0

(Gv Nguyễn Bá Tuấn)Kí hiệu

(H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

Câu 11

Vậy a = c = 0; b = 4 ⇒ a + b + c = 4

y = ( x − 2 ) e 2x , trục tung và trục hoành. Thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay

(H) xung quanh trục Ox có dạng

hình

π ( ea + b )

; ( a, b, c ∈ ℤ ) . Khi đó a + b + c bằng

C. −1

B. 56

Đáp án C

Thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình 2

D. −24

A. 2

(H) xung quanh trục Ox là:

V = π ∫ ( x − 2 ) e 4 x dx = π I

KÈ

ẠY

( x − 2 )2 = u du = 2 ( x − 2 ) dx ⇒ Đặt  1 4x 4x e dx = dv v = e  4 2

2 1 1 1 2 ⇒ I = e 4 x ( x − 2 ) | − ∫ ( x − 2 )e4 x dx = −1 − ∫ ( x − 2 )e 4 x 0 2 4 20 0

du = dx 2 1 2  1  1 4x ( x − 2 ) = u  I e x ⇒ ⇒ = − 1 − − 2 Đặt  4 x ( ) | − ∫ e4 x dx   1 4x 24 0 4 e dx = dv  0 v = 4 e

1  1 e8 1  e8 − 41 ⇒ I = −1 −  − +  = ⇒ a + b + c = −1 2  2 16 16  32 b

(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Giá trị của I = ∫ 2 xdx được tính là:

Câu 12

B. b 2 + a 2 .

C. b − a.

D. b + a.

Ta có: ∫ 2 xdx = x 2 = b 2 − a 2 . a

x x (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 4 cos 2 x sin cos 2 2

Câu 13:

biết F ( 0 ) = 1:

2 5 A. − cos3 x + . 3 3

(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ. Biết 1

f ( x ) dx = 1 và

∫

f ( x ) dx = 2. Giá trị của

f ( x ) dx = 2 ⇒ ∫ f ( x ) dx = −2. Vậy

∫

A. 2. B. 16. C. −1. D. −4. 1

∫ f ( x ) dx là:

Ta có:

D. Đáp án khác.

5 x x 2 x sin cos dx = ∫ 2 cos 2 x sin xdx = − cos3 x + C. Mà F ( 0 ) = 1 ⇒ C = . 2 2 3 3

Câu 14:

∫

1 B. − cos 2 x sin x + 1. C. − cos3 x + 2. 3

∫ 4 cos

FF IC IA L

A. b 2 − a 2 .

∫

f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = −1.

(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số

Câu 15:

y = log 2 x, y = 0, x = 4. Đường thẳng x = 2 chia hình phẳng đó thành hai hình có diện tích là

KÈ

S1 > S2 . Tỉ lệ diện tích

S1 − 2 là: S2

A. 2.

7 . 4

C. 3.

D. Đáp án khác.

ẠY

Đáp án A

Xét phương trình: log 2 x = 0 ⇔ x = 1 . Ta có: 2

S 2 = ∫ log 2 x − 0 dx = ∫ log 2 xdx = ( x log 2 x ) 1 − ∫ xd ( log 2 x ) = ( x log 2 x ) 1 − ∫ 1 2

x  1  ⇔ S 2 =  x log 2 x − .  = 2− ln 2  1 ln 2 

x dx x ln 2

Tương tự:

2 x   . S1 = ∫ log 2 x − 0 dx =  x log 2 x −  = 6− ln 2  2 ln 2  2 S −2 ⇒ 1 = 2. S2 x

Câu 16:

FF IC IA L

dt ( x > 1) . Tập giá trị của t +t 1

(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho hàm số f ( x ) = ∫

hàm số là:

A. (1; +∞ ) .

B. ( 0; +∞ ) .

C. ( ln 2;1) .

D. ( 0;ln 2 ) .

Đáp án D

Ta có: x

2 2 <1⇒ 2 > 2 − > 1 ⇒ ln 2 > f ( x) > 0. x +1 x +1

Vì x > 1 ⇒ 0 <

2x 2  dt t x 1 1   f ( x) = ∫ 2 = ∫ − = ln + ln 2 = ln = ln  2 −  dt = ln  t + t 1  t t +1  t +1 1 x +1 x +1 x +1   1

Câu 17 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e x + e − x là: x

+ e− x + C.

∫ f ( x ) dx = e

− e − x + C.

∫ f ( x ) dx = −e

+ e− x + C.

∫ f ( x ) dx = −e

− e− x + C.

∫ f ( x ) dx = e

1 x e +C a

Đáp án C Áp dụng ∫ e x dx = e x + C , ∫ e ax +b dx =

Câu 18 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Tích phân I = ∫

KÈ

đây? 3

1  1 1  −   dx. ∫ 2 2  x +1 x −1  3

ẠY

1   1 C. ∫  −  dx. x −1 x +1  2

1 dx bằng với tích phân nào sau x −1 2

1  1 1  −   dx. ∫ 2 2  x −1 x + 1  3

1   1 D. ∫  +  dx. x −1 x +1  2

Đáp án B 3

Sử dụng CASIO tính

1 ∫2 x 2 − 1 dx và các phương án ta thấy

1 1  1 1  ∫2 x 2 − 1 dx = 2 ∫2  x − 1 − x + 1  dx.

(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Nguyên hàm của hàm số y =

Câu 19

3x − 5 có dạng x − 3x + 2 2

a ln x − 1 + b ln x − 2 + C. Giá trị của a + 2b là: 3 . 2

B. 4.

C. 2.

Đáp án B Ta có: 3x − 5 1 2 dx = ∫ + dx = 2ln x − 1 + ln x − 2 + C − 3x + 2 x − 2 x −1 ⇒ a = 2; b = 1 ⇒ a + 2b = 4.

∫x

4 . 3

FF IC IA L

(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018): Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng ( H )

Câu 20

quay quanh trục Ox biết hình ( H ) giới hạn bởi các đường y = ln x, y = x, x = 1, x = e2 là:

Đáp án B

(H) quay quanh trục Ox là:

Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng e2

 e4 2 D. π  − 2e 2 +  . 3 3

C. π ( e5 − 2e 2 + 2 ) .

 e6 5 B. π  − 2e 2 +  . 3 3

2  A. π  e5 + 2e 2 +  . 3 

  e6 5 x3  2 2 − = − + = − + − + = x π ln x dx π ln x x dx π x ln x 2 x ln x 2 x π ( )    − 2e +  ∫1 ∫1 3 1 3  3 2

(đvtt)

Câu 21 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Hàm số nào sau đây có một nguyên hàm là đạo hàm của hàm số y = sin 2 x ?

A. y = sin 2 x. B. y = cos 2 x. C. y = −4sin 2 x.

KÈ

Đáp án C Ta chú ý

ẠY

thỏa mãn F ( 0 ) =

∫ f ( x ) dx = ( sin 2 x ) ⇒ f ( x ) = ( sin 2 x ) '

= −4sin 2 x

(

)

(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018): Một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2 x x 2 + 1

Câu 22

(x A.

D. y = 4 cos 2 x.

+ 1) .2 x + ( x 2 + 1)

2 5

C. x ( x 2 + 1) + Đáp án B

6 là: 5

x 6 + . 5 5

7 + . 10

(x B.

+ 1)

+ 1.

D. Đáp án khác.

(

)

(

) (

)

Ta có: ∫ 2 x x 2 + 1 dx = ∫ x 2 + 1 d x 2 + 1

(x =

+ 1)

+ C. Mà F ( 0 ) =

6 ⇒ C = 1. 5

(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Với giá trị nào của a thì I = ∫ ( 3 x 2 + 2 x + 1) dx = −4?

Câu 23:

B. a = 1.

C. a = 2.

D. a = −2.

FF IC IA L

A. a = −1.

Đáp án A Ta có: I = ( x 3 + x 2 + x ) = a 3 + a 2 + a − 3. Có I = −4 ⇔ a = −1. 1

Câu 24

(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018): Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

y = x + sin 2 x, y = x, x = 0, x = π là: 2

π 2

C. π − 1.

− 1.

Đáp án A π

Câu

π 1 sin 2 x  2 2 ∫0 ( x + sin x ) − x dx = ∫0 sin xdx = 2  x − 2  0 = 2

Diện tích hình phẳng đó là:

D. π .

(Gv

Bá

Tuấn

2018)Biết

xdx

Nguyễn

(đvdt).

∫ ( x + 1)( 2 x + 1) = a ln 2 + b ln 3 + c ln 5 ( a, b, c ∈ ℚ ) . Giá trị abc là: 1 . 2

2 . 3

4 . 5

Đáp án C

3 . 4

Ta có: 2

1 xdx 1  1 3  1   ∫1 ( x + 1)( 2 x + 1) = ∫1  x + 1 − 2 x + 1  dx = ln ( x + 1) − 2 ln ( 2 x + 1) 1 = − ln 2 + 2 ln 3 − 2 ln 5.

KÈ

3 −1 3 ⇒ a = −1; b = ; c = ⇒ abc = . 2 2 4

ẠY

1  Câu 26 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018): Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = cos  x − 2  là: 3  

1 1  1  1  sin  x − 2  + C. B. 3sin  x − 2  + C . C. −3sin  x − 2  + C . 3 3  3  3 

1 1  − sin  x − 2  + C. 3 3  1



1



∫ cos  3 x − 2  dx = 3sin  3 x − 2  + C.

dx là: 2x − 3 + 5

Câu 27 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Họ nguyên hàm của hàm số I = ∫

1 2 x − 3 − 5ln 2

2 x − 3 + 5ln

(

)

2 x − 3 + 5 + C.

)

2 x − 3 + 5 + C.

B. −

1 2 x − 3 + 5ln 2

2 x − 3 − 5ln

Đặt t = 2 x − 3 ⇒ t 2 = 2 x − 3 ⇒ dt = dx ⇒I =∫

tdt 5   = ∫ 1 −  dt = t − 5 ln t + 5 + C = 2 x − 3 − 5 ln t +5  t +5

(

cos 2 x

)

2 x − 3 + 5 + C.

)

∫ 3 + sin 2 x dx = 2 ( ln a − ln b ) . 0

bằng:

B. 13.

C. 25.

Khi đó a 2 + b 2

D. 17.

A. 16.

(

(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Biết

)

2 x − 3 + 5 + C.

2x − 3 + 5 + C

Câu 28

(

FF IC IA L

Đặt t = 3 + sin 2 x ⇒ dt = 2 cos 2 xdx. Đổi cận: x =

1 ( ln 4 − ln 3) ⇒ a 2 + b 2 = 25 2

Câu 29 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cho I =

bằng:

Đáp án A

B. 1.

A. 0.

KÈ

Công thức: I = 1 2

⇒ t = 4; x = 0 ⇒ t = 3

1 dt 1 I = ∫ = ln t 23 t 2

1 2

x 2 dx ∫1 ( e x + 1)( x2 − 1) = a + b ln 3 . Khi đó

−

(a+b)

D. −2.

C. 5.

f ( x) ∫− a m x + 1 dx = ∫0 f ( x)dx nếu f (-x)=f (x) ( hàm chẵn) 1 2

ẠY

1 1 1 1 1 x −1 |) 2 = − ln 3 => I = ∫ 2 dx = ∫ (1 + 2 ) dx = ( x + ln | x −1 x −1 2 x +1 2 2 0 0 0 x

=> a+b =0

Câu 30

(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018): Biết thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng

được giới hạn bởi các đồ thị y = x 2 − 2 x, y = − x 2 quanh trục Ox là kính bằng 1. Khi đó k bằng:

1 thể tích mặt cầu có bán k

1 . 2

B. 2.

C. 3.

D. 4.

x = 0 Xét phương trình: x 2 − 2 x = − x 2 ⇔  x =1

+ Thể tích khối tròn xoay là: 1

 4 x3  π − x4  = V = π ∫ x − ( x − 2 x ) dx = π ∫ ( 4 x − 4 x )dx = π   3 0 3 0 0 1

+ Vậy thể tích mặt cầu là:

(đvtt)

π π 4 kV = π .13 ⇔ k = 4 ⇔ k = 4. 3 3 3

FF IC IA L

Đáp án D

Câu 31 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Giá trị tích phân I = ∫ ( x3 + 6 x )

2017

. ( x 2 + 2 ) dx

7 2018 . 3.2017

7 2018 . 3.2018

7 2018 . 2018

dt 72018 . = 3 3.2018

Đặt t = x + 6 x ⇒ dt = 3 ( x + 2 ) dx ⇒ I = ∫ t 2017 3

Câu 32

7 2017 . 3.2017

Đáp án B.

(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cho tích phân

∫ 3x

− 2 x + ln ( 2 x + 1) dx = b ln a − c

a + b + c bằng

3 . 2

KÈ

với a, b, c là các số hữu tỉ, thì

7 . 2

2 . 3

4 D. − . 3

Đáp án B. 1

I = ∫ 3 x − 2 x + ln ( 2 x + 1)  dx = ∫ 3 x − 2 x  dx + ∫  ln ( 2 x + 1)  dx = I1 + I2 . 2

ẠY

Dùng casio ta có I1 = 0 1 u = ln ( 2 x + 1) 1 2x dx Giải I2 đặt  ⇒ I2 = x ln ( 2 x + 1) 0 − ∫ 2x +1 dv = dx 0

I2 =

3 3 7 ln 3 − 1 ⇒ b = ; a = 3; c = −1 ⇒ a + b + c = . 2 2 2

Câu 33 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018). Cho hàm số f ( x ) =

1 − x2

. Tìm nguyên hàm của

 π π hàm số g ( t ) = cos t .f ( sin t ) , với t ∈  − ;  \ {0} là  2 2 C. F ( t ) = tan t + C.

Đáp án B.   π π  Đặt x = sin t  t ∈  − ;     2 2 

Ta có dx = cos tdt ⇒ ∫

1− x

=∫

cos tdt dt = ∫ 2 = − cot t + C. 2 sin t cos t sin t

(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Gọi diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( P ) : y = x 2 ,

Câu 34.

dx 2

D. F ( t ) = cot t + C.

FF IC IA L

A. F ( t ) = − tan t + C. B. F ( t ) = − cot t + C.

1 . 4

1 . 3

D. 3.

B. 4.

S1 bằng S2

tiếp tuyến tại A (1;1) và trục Ox bằng S 2 . Khi đó

tiếp tuyến tại A (1;1) và trục Oy bằng S1 . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( P ) : y = x 2 ,

Đáp án B

1 2

Tiếp tuyến tại x = 1 có PT y = 2 x − 1 = 0 1

1 1 1 + = 24 24 12

1 2

S2 = ∫ x dx + ∫ ( x 2 − 2 x + 1) dx + = 2

1 1 1 1 = + = 4 12 4 3 S 1 1 ⇒ 1 = : =4 S 2 3 12

KÈ

S1 = S 2 +

(Gv

Nguyễn

Bá

Tuấn

2018).

Biết

giá

trị

của

ẠY

Câu π

 (1 + sin x )1+ cos x  3 2 ∫0 ln  1 + cos x dx = a ln 2 + b ; a, b là các số hữu tỉ. Khi đó a + b bằng là  

A. −5. Đáp án C

B. 13.

C. 9.

D. −7.

tích

phân

 (1 + sin x )1+ cos x ∫0 ln  1 + cos x 

2 2  1+ cos x dx − ∫ ln (1 + cos x ) dx dx = ∫ ln (1 + sin x )  0 0 

 1 + sin x  = ∫ (1 + cos x ) ln (1 + sin x ) dx − ∫ ln (1 + cos x ) dx = ∫ cos x ln (1 + sin x ) dx − ∫ ln   dx  1 + cos x  0 0 0 0 2

FF IC IA L

= ∫ cos x ln (1 + sin x ) dx + 0 = ∫ ln (1 + sin x ) d (1 + s inx ) = ∫ ln udu = u ln u |12 − ∫ du = 2 ln 2 − 1 0

⇒ a +b = 9 3

Câu 36 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = cos5x . B. ∫ f (x)dx = 5sin5x + C .

1 C. ∫ f (x)dx = sin5x + C . 5

D. ∫ f (x)dx = −5sin5x + C .

1 A. ∫ f (x)dx = − sin5x + C . 5

(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho hàm số g(x) có đạo hàm trên đoạn [ −1;1] . Có

Câu 37

∫ f (x)dx = 5 ∫ cos5xd ( 5x ) = 5 sin 5x + C . 1

−1

A. −2 .

g ( −1) = 3 và g (1) = 1 . Tính I = ∫ g′ ( x )dx .

3 D. − . 2

C. 4.

B. 2.

I = ∫ g′ ( x ) dx = g ( x ) −1 = g (1) − g ( −1) = −2 . −1

KÈ

x 16  Câu 38 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Giá trị của a để ∫  1 − 2sin 2  dx = là. 4 15 0 A. a = 1 .

B. a = 2 .

C. a = 5 .

D. a = 4 .

ẠY

x 16 CALC  →A = ..., X = 1 ⇒ A = 5 được kết quả = 0. Dùng casio nhập ∫  1 − 2sin 2  dx −  4 15 0

Vậy a = 5.

Câu 39

π   π π (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018). Cho y = f  x +  là hàm chẵn trên  − ;  và 2   2 2 π 2

π  f ( x ) + f  x +  = sin x + cos x . Tính ∫ f ( x ) dx . 2  0

A. −1 .

B. 1.

D. −2 .

C. 2.

Đáp án B

π π π  Từ f ( x ) + f  x +  = sin x + cos x cho x = , x = − ta có 2 2 2 

π  Chú ý do y = f  x +  là hàm chẵn trên 2 

FF IC IA L

 π π π π π π f  2  + f  2 + 2  = sin 2 + cos 2 = sin 2       f  − π  + f  π − π  = sin  − π  + cos  − π  = sin  − π          2   2 2   2  2  2

 π π π π  − 2 ; 2  nên f  2 + 2  =

π 2

(H) và

(K) là hình phẳng giới hạn bởi

x 2 y2 + = 1 và đường x = k ( k < 0 ) . Để tỉ số thể tích khối tròn xoay tạo bởi khi quay 16 9

VH 5 = thì k bằng. VK 27

(K) quanh Ox bằng

(H) và

(E) :

(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Gọi

Câu 40.

Vậy ∫ f ( x ) dx = ∫ sinxdx = 1

π π  π  π ⇒ f   − f  −  = sin − sin  −  ⇒ f ( x ) = s inx 2 2  2  2

A. k = −4 .

C. k = −2 .

B. k = −3 .

Đáp án C

x2 y2 3 + =1⇒ y = ± 16 − x 2 16 9 4

KÈ

(E) :

ẠY

Đường thằng x = k chia elip thành hai phần

(H) và

(K) khi đó

3 1 1 16 − x 2 ) dx = π ( 48 x − x 3 ) |−k 4 = π ( 48k − k 3 + 128 ) ( 4 4 4 −4

VH = π ∫

π π f −  2 2

VK = π ∫ k

3 1 1 16 − x 2 ) dx = π ( 48 x − x 3 ) |4k = π (128 − 48k + k 3 ) ( 4 4 4

D. k = −1 .

VH 48k − k 3 + 128 5 48k − k 3 + 128 5 = = ⇒ = ⇒ k 3 − 48k − 88 = 0 3 VK 128 − 48k + k 27 256 32

với k nguyên âm

⇒ k = −2 

∫  x + 2e

1 x

1 a 5  dx = ln 2 + b ln 2 + c ln . 2 3 +1 

Trong đó a, b, c là những số nguyên. Khi đó S = a + b + c bằng.

A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 5.

Đáp án A ln 2

∫ 0

1   x+ x dx = 2e + 1  

ln 2

∫

ln 2

∫

xdx +

ln 2

1 x 2 ln 2 dx = |0 + ∫ de x x x x 2e + 1 2 0 ( 2e + 1) e 1

FF IC IA L

ln 2

Câu 41 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018). Biết rằng

1  2 1 2 1 2 5 ln 2 x x x  − ∫0  e x ( 2e x + 1) de = 2 ln 2 + ln e − ln ( 2e + 1) |0 = 2 ln 2 + ln 2 − ln 3   ⇒ a+b+c = 2 ln 2

)

(

1 = ln 2 2 + 2

Câu 42 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = ex .sin x và

các đường thẳng x = 0, x = π, trục hoành. Một đường x = k cắt diện tích trên tạo thành 2 phần 2

π . 4

π . 2

π . 3

π . 6

có diện tích bằng S1 ;S2 sao cho ( 2S1 + 2S2 − 1) = ( 2S1 − 1) khi đó k bằng:

Đáp án B π

Ta có S1 = ∫ e x sin xdx; S2 = ∫ e x sin xdx S = S1 + S 2 = ∫ e x sin xdx k

( 2S1 + 2S2 − 1) = ( 2S1 − 1)

⇔ S2 = 2 S12 − 3S1 + 1 ⇔ 2 S12 − 2S1 + 1 − S = 0

KÈ

π k k  ⇔ 2  ∫ e x sin xdx  − 2 ∫ e x sin xdx + 1 − ∫ e x sin xdx = 0 0 0 0 

ẠY

Tính toán trực tiếp qua các đáp án ta thấy PT trên đúng với k =

π 2

Câu 43 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018). Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 3x 2 + 1 là A. x 3 + C .

Đáp án D

∫ ( 3x

+ 1) dx = x 3 + x + C

x3 +x+C. 3

C. 6x + C .

D. x 3 + x + C .

Câu 44

(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b ] . Gọi D

là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục hoành và hai đường thẳng

tính theo công thức b

FF IC IA L

x = a, x = b ( a < b ) . Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được

A. V = π∫ f 2 ( x ) dx . B. V = 2π∫ f 2 ( x ) dx . C. V = π2 ∫ f 2 ( x ) dx . D. V = π2 ∫ f ( x ) dx . Đáp án A

Ta có công thức tính thể tích khối tròn xoay quay đồ thị hàm số y = f ( x ) quanh trục hoành, b

giới hạn bởi 2 đường thẳng x = a, x = b ( a < b ) là. V = π∫ f 2 ( x ) dx . a

B. log

5 3

2 0

5 = ln 5 − ln 3 = ln . 3

5 3

∫ x + 3 = ln ( x + 3)

dx bằng x +3

C. ln

. Đáp án B 2

16 225

∫

Câu 45 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Tích phân

Câu 46 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cho ( H ) là hình phẳng giới

hạn bởi parabol y = 3x 2 , cung tròn có phương trình y = 4 − x 2

tích của ( H ) bằng

4π + 3 12

KÈ

4π + 2 3 − 3 6

ẠY

(phần tô đậm trong hình vẽ). Diện

(với 0 ≤ x ≤ 2 ) và trục hoành

4π − 3 6

5 3 − 2π 3

2 15

Đáp án Cách 1. Khi miền giới hạn có đường 3 đường thì ta phải tách thành các miền sao cho trên mỗi miền chỉ được giới hạn bởi 2 đồ thị y = f ( x ) và y = g ( x ) nào đó và hai đường

Ta có S = ∫ 3x dx + ∫ 2

FF IC IA L

x = a, x = b . 2

3 3 4 − x dx = x + ∫ 4 − x 2 dx 3 1 0 2

Sau đó dùng casio ta tìm được đáp án xấp xỉ kết quả tính được. Nếu bạn muốn làm theo cách 2

tự luận thì để tính

∫

4 − x 2 dx ta đặt x = sin t .

y dy rồi dùng máy tính cầm tay để kết luận. 3

4 − y2 −

∫ 0

(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Biết

∫ ( x + 1) 1

Câu 47.

cần tìm là S =

y ; y = 0; y = 3 nên diện tích 3

Cách 2. Phần diện tích giới hạn bởi đường x = 4 − y 2 ; x =

dx = a − b − c với a, b, c x + x x +1

A. P = 24

B. P = 12

)

(

x +1 − x dx dx dx = ∫ −∫ = 2 x − 2 x +1 x + 1. x x 1 x +1 1

(

)

2 x  

) ( )

2 1

KÈ

(

=∫

D. P = 46

2 2 dx dx x +1 − x =∫ =∫ 2 1 1 x + x x +1 x. ( x + 1) x + 1 + x x. ( x + 1)  x + 1 − 

C. P = 18

Đáp án D

∫ ( x + 1)

là các số nguyên dương. Tính P = a + b + c

ẠY

a = 32  = 4 2 − 2 3 − 2 = 32 − 12 − 2 ⇒ b = 12 c = 2 

Câu 48.

(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn 1

[ 0;1] thỏa mãn f (1) = 0, ∫0 f ′ ( x ) A.

Đáp án A

7 5

B. 1

7 4

dx = 7 và

D. 4

∫ x f ( x ) dx = 3 . Tích phân ∫ f ( x ) dx 0

bằng

Có

∫ x f ( x ) dx = x f ( x ) − ∫ ( 2x f ( x ) + x f ′ ( x ) ) dx ⇔ ∫ 2

∫ f ′ ( x )

Có

x 3f ′ ( x ) dx = −1 .

+ 14x 3f ′ ( x ) + 49x 6dx = 0 ⇔ ∫  f ′ ( x ) + 7x 3  dx = 0 hay f ′ ( x ) = −7x 3 trên 0

Lại có f (1) = 0 ⇒ f ( x ) = −

7x 4 7 + nên 4 4

∫ f ( x ) dx = 5 0

FF IC IA L

[ 0;1] .

( Gv Nguyễn Bá Tuấn ) Biết ∫ f ( x ) dx = 3, ∫ f ( x ) dx = 2 . Khi đó ∫ f ( x ) dx bằng

Câu 49

B. −1

A. 1

D. −5

C. 5

Chọn đáp án B. 2

Cách 1: ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx ⇒ ∫ f ( x ) dx = 2 − 3 = −1

Cách 2:

∫ f ( x ) dx = 3 ⇒ F ( 2 ) − F (1) = 3, ∫ f ( x ) dx = 2 ⇒ F ( 3) − F (1) = 2 1

1 3

Vậy ∫ f ( x ) dx = F ( 3) − F ( 2 ) = F ( 3) − F (1) − F ( 2 ) − F (1) = 2 − 3 = −1 2

Câu 50 ( Gv Nguyễn Bá Tuấn ). Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2x 3 − sin a với a là tham

B. 4x 4 + sin a + C

∫(

)

2x 3 − sin a dx =

1 4 x +C 4

1 4 x − x.sin a + C 2

x4 + x sin a + C 2 1

KÈ

Ta có

1 4 x + cos a + C 2

số

Câu 51 ( Gv Nguyễn Bá Tuấn )Cho I = ∫ f ( 2x + 3) dx = 4 . Khi đó giá trị của 0

ẠY

B. 2

Đặt t = 2x + 3 ⇒ dt = 2dx x = 0 ⇒ t = 3; x = 1 ⇒ t = 5 5

⇒I=

1 f ( t ) dt = 4 ⇒ ∫ f ( t ) dt = 8 2 ∫3 3

Chọn đáp án C.

∫ f ( x ) dx 3

bằng

A. 1

C. 8

D. 11

Câu 52 ( Gv Nguyễn Bá Tuấn )Cho hàm số y = x 2 − 5x + 7 ( C1 ) ; y = x + k ( C 2 ) , gọi H là hình phẳng giới hạn bới

( C1 ) , ( C2 ) . Để diện tích ( H )

A. 1

B. 2

bằng

32 thì giá trị của k bằng 3

C. 3

D. 4

FF IC IA L

Đáp án B Xét PT x 2 − 5x + 7 = x + k ⇔ x 2 − 6x + 7 − k = 0 3+ 3

∫ (x

+) k=1 ⇒ x1 = 3 ± 3 ⇒ S =

− 6 x + 6 ) dx = 6,9

3− 3 5

+) k=2 ⇒ x1 = 1; x2 = 5 ⇒ S =

∫(x

− 6 x + 5 ) dx = 10, 666 =

2e tan x là 1 + cos 2x

32 3

( Gv Nguyễn Bá Tuấn ) Nguyên hàm của hàm y = B. ecos x + C

D. esin x + C

C. ln tan x + C

A. e tan x + C

Câu 53.

Đáp án A

2e tan x e tan x tan x tan x dx = ∫ 1 + cos 2 x ∫ cos 2 xdx = ∫ e d ( tanx ) = e + C

( Gv Nguyễn Bá Tuấn ). Cho I = ∫

4a 2 + b 2 bằng

B. 3

Đáp án C

+ 2x + 3

)

dx =

1 x 2 + 2x − 3 d x 2 + 2x + 3 2 ∫0 x 2 + 2x + 3 2

(

+ 2x + 3

)

dx = a ( ln b − 1) . Khi đó

)

(

D. 6

)

KÈ

x 3 + 3x 2 − x − 3

C. 5

A. 2

Câu 54

I=∫

1 t −6 1 6 6 1 I = ∫ 2 dt =  ln t +  | = ( ln 2 − 1) 23 t 2 t 3 2

ẠY

1 Vậy a = , b = 2 ⇒ 4a 2 + b 2 = 1 + 4 = 5 2

Câu 55

(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Một nguyên hàm của hàm số y =

A. ln ( x + 1) Đáp án A

B. ln 2 ( x + 1)

C. ln ( x 2 + 2x )

2x + 2

( x + 1)

là

D. ln 2 ( x 2 + 2x )

2x + 2

(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

Câu 56 A.

∫ ( x + 1) dx = ∫ x + 1dx = 2 ln ( x + 1) = ln ( x + 1)

∫

f ( x) =

e 2 x +1 + C B. 4

∫

f ( x ) = e2 x + C

∫

f ( x) =

e2 x +C 4

Đáp án C e2 x 1 e2 x e2 x dx = + C = +C . ∫2 2 2 4

Câu 57.

∫ f ( x) = e

2 x +1

B. 2

A. 1

C. 3

D. 4

Đáp án B

∫x

+ 1 dx = 2

−1

Xét x3 + 1 = 0 ⇒ x = −1 ⇒ S =

(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho hàm số y = x 2 ( C ) và đường cong ( C ′ ) . Gọi

là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số trên. Biết rằng thể tích tạo bởi hình có giá trị bằng

64π ( đvtt ) khi đó ( C ′ ) có phương trình là 15

( H ) quay quanh trục Ox

(H )

(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

y = x3 + 1, y = 0, x = 1 là

Câu 58.

e2 x 2

FF IC IA L

Ta có

A. x = y 2

B. y = 4 x 2

D. y = 2 x

Đáp án D

C. x 2 = 4 y

Thử từng đáp án ta tìm được đáp án D ứng với hàm ố thỏa mãn. Thật vậy:

KÈ

x = 0 Xét phương trình hoành độ giao điểm 2 đồ thị hàm số: x 2 = 2 x ⇔  x = 2

ẠY

Khi đó, thể tích khối tròn xoay tạo bởi 2 đồ thị hàm số khi quay quanh trục Ox là: 2

V = π ∫ ( x 2 ) − ( 2 x ) dx = π ∫ 4 x 2 − x 4 dx = 0

64π 15

(đvtt)

⇒ Thỏa mãn.

Câu 59. f ( x) =

(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho các số thực a, b khác 0 . Xét hàm số 1

( x + 1)

A. 42

+ bxe x với ∀x ≠ −1 . Biết f ′ ( 0 ) = −22 và

∫ f ( x )dx = 5 . Tính a 0

B. 72

C. 68

D. 10

+ b2 .

Đáp án C Ta có: f ' ( x ) = −3a ( x + 1) + b ( xe x + e x ) . Do f ' ( 0 ) = −22 ⇔ 3a − b = 22 −4

(1)

Mặt khác: 1

∫ f ( x ) dx = 5 ⇔ ∫ a ( x + 1) 0

−3

 − a ( x + 1) −2  3a + bxe dx = 5 ⇔  + b ( xe x − e x )  = 5 ⇔ +b =5 2 8   0 x

FF IC IA L

( 2) a = 8 Từ (1) và ( 2 ) ⇒  ⇒ a 2 + b 2 = 68. b = 2

(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm dương, liên tục trên

Câu 60.

2 1  đoạn [ 0;1] thỏa mãn điều kiện f ( 0 ) = 1 và 3∫ ( f ' ( x ) . f ( x ) ) + dx ≤ 2 ∫ 9 0  0

∫  f ( x ) dx

Tính

5 4

Đáp án D b

∫ f ( x) dx = 0( f ( x) ≥ 0) <=> f ( x) = 0

Nhớ:

Ta có: 1

1 3∫ [f '( x)][f ( x)] dx + ∫ dx − 2 ∫ 30 0 0 1

KÈ

<=> ∫ (3 f '( x) f ( x) − 1) 2 dx ≤ 0 0

<=> 3 f '( x ). f ( x) = 1 <=> 9 f '( x).[f ( x)]2 = 1

ẠY

<=> 3.{[f ( x)]3}'=1

x 1 <=>(f ( x))3 = ∫ dx = + C 3 3

Mà f (0) = 1 => C = 1

5 6

3 2

f ' ( x ) . f ( x ) dx .

f ( x) f ( x)dx ≤ 0

7 6

=> ( f ( x))3 = 1

x +1 3 1

ẠY

KÈ

FF IC IA L

x 7 => ∫ ( f ( x))3 dx = ∫ ( + 1)dx = 3 6 0 0

Câu 1

(ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục

trên đoạn [ a; b ] . Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f ( x ) , trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b ( a < b ) . Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D

A. V = π∫ f 2 ( x ) dx

B. V = 2π∫ f 2 ( x ) dx

FF IC IA L

quanh trục hoành được tính theo công thức b

C. V = π2 ∫ f 2 ( x ) dx

D. V = π2 ∫ f ( x ) dx a

Đáp án A

Câu 2 (ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018)Họ nguyên hàm của hàm số

f ( x ) = 3x 2 + 1 là B.

x3 +C 3

C. 6x + C

Đáp án D

16 225

B. log

(ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018)Tích phân 5 3

Đáp án C

d ( x + 3) dx Ta có ∫ =∫ = ln ( x + 3) x +3 0 x +3 0

Câu 4:

5 3

2 15

2 0

(ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018) Biết

dx = a − b − c với a, b, c là các số nguyên dương. Tính P = a + b + c. x + x x +1

KÈ

= ln 5 − ln 3 = ln

∫ ( x + 1)

5 3

C. ln

∫ x + 3 bằng

Ta có ∫ f ( x ) dx = ∫ ( 3x 2 + 1) dx = x 3 + x + C

Câu 3:

D. x 3 + x + C

A. x 3 + C

A. P = 24

B. P = 12

C. P = 18

D. P = 46

Đáp án D

ẠY

Ta có I = ∫

Lại có:

(

x ( x + 1)

x +1 + x

(

)(

x +1 + x

)

x +1 − x = 1 ⇒ I = ∫ 1

(

= 2 x − 2 x +1

)

2 1

1   1 dx = ∫  − dx x x +1  x ( x + 1) 1

x +1 − x

= 4 2 − 2 3 − 2 = 32 − 12 − 2 ⇒ a = 32; b = 12;c = 2

Vậy a + b + c = 46.

Câu 5 (ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018)Cho

(H) là

hình phẳng giới hạn bởi parabol y = 3x 2 , cung tròn có phương trình (với 0 ≤ x ≤ 2 ) và trục hoành

Diện tích của

(H) bằng

(phần tô đậm trong hình vẽ).

4π + 3 12

4π − 3 12

4π + 2 3 − 3 6

5 3 − 2π 3

Đáp án B

FF IC IA L

y = 4 − x2

Dựa vào hình vẽ ta có: S = ∫ 3x dx + ∫ 2

1 0

+ I1 =

3 + I1 3

x3 4 − x dx = 3 3 2

0 ≤ x ≤ 2 3x 2 = 4 − x 2 ⇒  4 ⇔ x = 1. 2 3x = 4 − x

Phương trinh hoành độ giao điểm là:

Với I1 = ∫ 4 − x 2 dx, sử dụng CASIO hoặc đặt x = 2sin t ⇒ dx = 2cos tdt π 2

⇒ I1 = ∑ 4 − 4sin 2 t.2 cos tdt = ∫ 2 (1 + cos2t ) dt = ( 2t − sin 2t )

π 6

π 2 π 6

4π − 3 1 4π − 3 3 . Do đó S = . 6 6

(

)

KÈ

⇒ I1 =

π 2

Đổi cận

π 6 π x = 2⇒ t = 2

x =1⇒ t =

Câu 6 (ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018): Cho hàm số f ( x ) xác định

ẠY

2 1  , f ( 0 ) = 1 và f (1) = 2. Giá trị của biểu thức trên ℝ \   thỏa mãn f ' ( x ) = 2x − 1 2

f ( −1) + f ( 3) bằng: A. 4 + ln15

B. 2 + ln15

Đáp án C Ta có ∫ f ' ( x ) dx = ln 2x − 1 + C

C. 3 + ln15

D. ln15

Hàm số gián đoạn tại điểm x =

1 ⇒ f ( x ) = ln ( 2x − 1) + C mà f (1) = 2 ⇒ C = 2 2

Vậy f ( x ) = ln ( 2x − 1) + 2 khi x >

1 2

Tương tự f ( x ) = ln (1 − 2x ) + 1 khi x <

FF IC IA L

N ếu x >

1 2

Do đó f ( −1) + f ( 3) = ln 3 + 1 + ln 5 + 2 = ln15 + 3.

Câu 7:

(ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018) Cho hàm số f ( x ) có đạo 1

0 1

.Tích

N C.

7 4

D. 4

B. 1

7 5

∫ x f ( x ) dx = 3 0

phân ∫ f ( x ) dx bằng

hàm liên tục trên đoạn [ 0;1] thỏa mãn f (1) = 0, ∫  f ' ( x )  dx = 7 và

Đáp án A

1 1  u = f ( x ) du = f ' ( x ) dx 2 3 1 3x f x dx x .f x = − Đặt  khi đ ó , ⇒ ( ) ( ) 0 ∫ x 3f ' ( x ) dx.  ∫ 2 3 dv = 3x dx  v = x 0 0 1

Mà

Suy ra 1 = f (1) − ∫ x 3f ' ( x ) dx ⇒ ∫ x 3f ' ( x ) = −1 ⇔ ∫ 14x 3f ' ( x ) dx = −7

6 3 6 3 ∫ 49x dx = 7 suy ra ∫ f ' ( x ) dx + ∫ 7x f ' ( x ) dx + ∫ 49x dx = 0 ⇔ ∫ f ' ( x ) + 7x  dx = 0. 0

KÈ

7 7 7 Vậy f ' ( x ) + 7x 3 = 0 ⇒ f ( x ) = − x 4 + C mà f (1) = 0 ⇒ f ( x ) = (1 − x 4 ) ⇒ ∫ f ( x ) dx = . 4 4 5 0

ẠY

x + 1 − 5x + 1 a bằng x →3 x − 4x − 3 b

Câu 8 (ĐỀ THI THỬ 2018)Giới hạn lim

(phân số tối giản). Giá

trị của a − b là:

A. 1 Đáp án A

1 9

C. −1

9 8

Ta có

(

)

(

)

x + 4x − 3 ( x − 3) x x x + 4x − 3 x + 1 − 5x + 1 9 = lim = lim = x →3 x − 4x − 3 x →3 x →3 x + 1 + 5x + 1 ( x − 3)( x − 1) ( x − 1) x + 1 + 5x + 1 8

lim

(

)

(

)

Câu 9:

FF IC IA L

Suy ra a = 9; b = 8 ⇒ a − b = 1

(ĐỀ THI THỬ 2018) Tìm nguyên hàm của hàm số y = f ( x ) = cos3 x

A. ∫ f ( x ) dx =

cos 4 x +C x

1  sin 3x  B. ∫ f ( x ) dx =  + 3sin x  + C 4 3 

C. ∫ f ( x ) dx =

1 3 sin 3x − sin x + C 12 4

D. ∫ f ( x ) dx =

cos 4 x.sin x +C 4

1 1 sin 3x  + 3sin x  + C ( cos 3x + 3cos x ) dx =  ∫ 4 4 3 

Ta có ∫ f ( x ) dx = ∫ cos3 xdx =

Đáp án B

a là phân số tối giản. Tính S = a + b + c b

A. S = 60

B. S = 17

C. S = 72

2  du = dx u = ln ( 2x + 1)    x2 2x + 1 I Đặt  ⇒ ⇒ =  2 ln ( 2x + 1)  2   dv = xdx v = x  2

KÈ

 x2  ⇔ I =  ln ( 2x + 1)  2 

4 0

ẠY

Cách : PP hằng số

4 0

−∫ 0

x2 dx 2x + 1

x 1   x2  1 − ∫ − + dx =  ln ( 2x + 1)    2 4 4 ( 2x + 1)  2  0  4

a = 63 63  ⇔ I = ln 3 − 3 ⇒ b = 4 ⇒ S = a + b + c = 70 4 c = 3 

D. S = 68

Đáp án B

nguyên dương và

a ln 3 − c , trong đó a, b, c là các số b

Câu 10 (ĐỀ THI THỬ 2018)Biết I = ∫ x ln ( 2x + 1) dx =

4 0

 x2 1  1 −  − x + ln ( 2x + 1)  8  4 4 

4 0

Đặt

x 2 − 4) ( 63 ⇒ I = ln 9 = 8 4

4 0

2x − 1 dx 4 0

x2 chia hình tròn có tâm là gốc tọa độ, bán kính 2

3π + 2 9π − 2

9π − 2 3π + 2

H N

x 2 + y2 = 8  x = ±2  Ta có  ⇔ x2 y = 2 y =  2

S1 S2

Đáp án B

3π + 2 12π

bằng 2 2 thành hai phần có diện tích S1 và S2 , trong đó S1 < S2 . Tìm tỉ số 3π + 2 21π − 2

−∫

a = 63 63  = ln 3 − 3 ⇒ b = 4 ⇒ S = a + b + c = 70 4 c = 3 

Câu 11 (ĐỀ THI THỬ 2018)Parabol y =

FF IC IA L

2  du = 2x + 1 dx  4x 2 − 1  u = ln ( 2x + 1)  ⇒ ⇒ I =   1  8 ln ( 2x + 1)  2 x −   dv = xdx  4 = ( 2x + 1)( 2x − 1) v = 2 8 

Ta có parabol và đường tròn như hình vẽ bên 2  x2  4 Khi đó S1 = ∫  8 − x 2 −  dx = 2π + 2  3 −2 

(bấm máy tính)

4 4 S 3 = 3π + 2 Suy ra S2 = 8π − S1 = 6π − . Suy ra 1 = 3 S2 6π = 4 9π − 2 3

2π +

KÈ

Câu 12 (ĐỀ THI THỬ 2018): Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng được giới hạn bởi các đường y = x 2 và x = y 2 quay quanh trục Ox bằng bao nhiêu? 3π 10

ẠY

B. 10π

10π 3

D. 3π

Đáp án A  y = x 2 x = y = 0 Phương trình hoành độ giao điểm của ( C1 ) , ( C2 ) LÀ  ⇔ 2  x = 1; y = 1  x = y

Trong đoạn x ∈ [ 0;1] suy ra y = x 2 ; y = x

Thể tích khối tròn xoay cần tính là VOx = π

∫(x 0

 x5 x2  − x ) dx = π  −  2   5

= 0

3π 10

Câu 13 (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ 2018)Cho hai hàm số F ( x ) = ( x 2 + ax + b ) e − x và

B. a = −1, b = −7

A. a = 1, b = −7

C. a = −1, b = 7

Đáp án B

FF IC IA L

f ( x ) = ( − x 2 + 3x + 6 ) e− x . Tìm a và b để F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x )

D. a = 1, b = 7

Ta có F ' ( x ) = ( − x 2 + ( 2 − a ) x + a − b ) e − x = f ( x ) nên 2 − a = 3 và a − b = 6 Vậy a = −1 và b = −7

−1

Câu 14 (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ 2018): Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ và có

2 3

B. I = 4

3 2

C. I =

D. i = 6

A. I =

∫ f ( x ) dx = 2; ∫ f ( x ) dx = 6 . Tính I = ∫ f ( 2x − 1 ) dx

1 2

−1

Đáp án B

1 2

1 f ( 2x − 1) d ( 2x − 1) 2 ∫1

12 = − ∫ f (1 − 2x ) d (1 − 2x ) 2 −1

Có I = ∫ f ( 2x − 1 ) dx = ∫ f (1 − 2x ) dx + ∫ f ( 2x − 1) dx

t =1− 2x

t = 2x −1

1 1 1 1 1 1 f ( t ) dt + ∫ f ( t ) dt = − ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = .6 + .2 = 4 ∫ 23 20 23 20 2 2

KÈ

=−

Câu 15 (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ 2018): Tính diện tích S của hình phẳng

(H) giới

ẠY

hạn bởi đường cong y = − x 3 + 12x và y = − x 2

A. S =

343 12

B. S =

793 4

C. S =

397 4

Đáp án D Hoành độ giao điểm của hai đường cong là nghiệm của phương trình;

D. S =

937 12

x = 4 − x + 12x = − x ⇔ − x + 12x + x = 0 ⇔  x = −3  x = 0 3

∫

− x 3 + 12x + x 2 dx + ∫ − x 3 + 12x + x 2 dx

−3

3 2 3 2 ∫ ( x − 12x − x ) dx + ∫ ( −x + 12x + x ) dx =

FF IC IA L

Ta có S =

99 160 937 + = 4 3 12

Câu 16 (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ 2018): Tìm tất cả các giá trị thực của tham số k để k

x +1 −1 x

x →0

k = 1 A.  k = 2

k = 1 B.   k = −2

 k = −1 C.   k = −2

Đáp án D

( 2x − 1) 1 Ta có ∫ ( 2x − 1) dx = ∫ ( 2x − 1) d ( 2x − 1) = 21 4 1 k

( 2k − 1) =

 k = −1 D.  k = 2

∫ ( 2x − 1) dx = 4 lim

có

(

)(

x +1 −1

) = 4 lim

x +1 +1

)

x +1 +1

x →0

(

x + 1 −1 = 4 lim x →0 x

Mà 4 lim =

x →0

1 4

1 =2 x +1 +1

( 2k − 1) − 1 = 2 ⇔ 2k − 1 2 = 9 ⇔  k = 2 x +1 −1 Khi đó ∫ ( 2x − 1) dx = 4 lim ⇔ ( )  k = −1 x →0 x 4  1

Câu 17 (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ 2018)Cho f ( x ) là hàm liên tục trên đoạn [ 0;a ]

KÈ

a dx ba f ( x ) .f ( a − x ) = 1 thỏa mãn  = , trong đó b, c là hai số nguyên dương và và ∫ 1+ f (x) c f ( x ) > 0, ∀x ∈ [ 0;a ] 0

b là phân số tối giản. Khi đó b + c có giá trị thuộc khoảng nào dưới đây? c B. ( 0;9 )

C. ( 7; 21)

D. ( 2017; 2020 )

ẠY

A. (11; 22 )

Đáp án B

Đặt t = a − x ⇒ dt = −dx Đổi cận x = 0 ⇒ t = a; x = a ⇒ t = 0 0 a a a f ( x ) dx dx −dt dx dx =∫ =∫ =∫ =∫ 1+ f ( x ) a 1 + f (a − t ) 0 1+ f (a − x ) 0 1 + 1 1+ f (x ) 0 0 f (x) a

Lúc đó I = ∫

a f ( x ) dx a dx +∫ = 1dx = a 1 + f ( x ) 0 1 + f ( x ) ∫0 0 a

Suy ra 2I = I + I = ∫

1 Do đó I = a ⇒ b = 1; c = 2 ⇒ b + c = 3 2

FF IC IA L

Cách 2: Chọn f ( x ) = 1 là một hàm thỏa các giả thiết. Dễ dàng tính được

1 I = a ⇒ b = 1; c = 2 ⇒ b + c = 3 2

Câu 18 (Toán Học Tuổi Trẻ): Tìm nguyên hàm của hàm số: f ( x ) = x ln x 1 32 x ( 3ln x − 2 ) + C 9

∫

f ( x ) dx =

∫

f ( x ) dx =

2 32 x ( 3ln x − 1) + C 9

∫

f ( x ) dx =

2 2 1 x x ln x − ∫ x x . dx 3 3 x

2 4 2 x x ln x − x x + C = x x ( 3ln x − 2 ) + C 3 9 9

x ln xdx =

2 32 x ( 3ln x − 2 ) + C 9

Đáp án D.

∫

2 32 x ( 3ln x − 2 ) + C 3

∫

f ( x ) dx =

Câu 19: (Toán Học Tuổi Trẻ) Tìm công thức tính thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi parabol ( P ) : y = x 2 và đường thẳng d : y = 2 x

quay xung quanh trục Ox 2

KÈ

0 2

B. π ∫ 4 x 2 dx −π ∫ x 4 dx

A. π ∫ ( x 2 − 2 x ) dx

C. π ∫ 4 x 2 dx +π ∫ x 4 dx

D. π ∫ ( 2 x − x 2 ) dx 0

ẠY

Đáp án D.

2 2 2  Thể tích của khối tròn xoay là: V = π  ∫ 4 x dx − ∫ x 4 dx  0 0 

Câu 20: (Toán Học Tuổi Trẻ) Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ thỏa mãn 1

f ( tan x ) = cos 4 x, ∀x ∈ ℝ. Tính I = ∫ f ( x ) dx 0

2+π 8

B. 1 C.

2+π 4

π 4

Đáp án A. 1   f ( tan x ) = cos x ⇔ f ( tan x ) =   2  tan x + 1 

⇒ f ( x) =

+ 1)

FF IC IA L

2 +π . 8

⇒ ∫ f ( x ) dx = 0

1 e2 − 1 3 2e 2

B. V =

π ( 5e 2 − 3)

A. V = +

Câu 21: (Toán Học Tuổi Trẻ) Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = e x −1 , cắt trục tọa độ và phần đường thẳng y = 2 − x với x ≥ 1. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành

e −1 π e

1 2

D. V = +

1 2

C. V = +

6e 2

(do hàm số f ( x ) = e x −1 + x − 2 đồng biến trên ℝ và

Ta có e x −1 = 2 − x ⇔ x = 1

Đáp án B.

e2 − 1 2e 2

2 x−2

dx + π ∫ ( 2 − x ) dx =

Suy ra V = π ∫ e

f (1) = 0).

π ( 5e2 − 3) 6e 2

KÈ

Câu 22: (Toán Học Tuổi Trẻ) Xét hàm số y = f ( x ) liên tục trên miền D = [ a; b ] có đồ thị là một đường cong C. Gọi S là phần giới hạn bởi C và các

ẠY

đường thẳng x = a, x = b. Người ta chứng minh được rằng độ dài đường cong S b

bằng

∫

1 + ( f ′ ( x ) ) dx. Theo kết quả trên, độ dài đường cong S là phần đồ thị của

hàm số f ( x ) = ln x và bị giới hạn bởi các đường thẳng x = 1, x = 3 là m − m + ln

1+ m với m, n ∈ ℝ thì giá trị của m 2 − mn + n 2 là bao nhiêu? n

A. 6 B. 7 C. 3 D. 1

Đáp án B. L=

∫

1 dx. Đặt u = 1 + x 2 ta có: 2 x

1 u −1  u2  L= ∫ 2 du =  u + ln  2 u +1  u −1  2

= 2 − 2 + ln 2

1+ 2 . 3

Do đó m = 2, n = 3 ⇒ m 2 − mn + n 2 = 7.

FF IC IA L

Câu 23: (Toán Học Tuổi Trẻ)Nguyên hàm của hàm số f ( x) = x.e2 x là A. F ( x) = e 2 x  x −  + C 2 2

1 B. F ( x) = 2e 2 x  x −  + C

C. F ( x) = 2e 2 x ( x − 2 ) + C

D. F ( x) = e 2 x ( x − 2 ) + C



1 2

Đáp án A

 du = dx u = x  Đặt  ⇒ e2 x 2x  dv = e dx v = 2 

I = ∫ xe2x dx

xe 2 x 1 2 x 1 1  − ∫ e dx = e2 x  x −  + C 2 2 2 2 

I = ∫ xe 2 x dx =

2





Câu 24: (Toán Học Tuổi Trẻ)Cho hàm số f ( x) liên tục trên ℝ và thỏa mãn π

KÈ

∫ f (tan x)dx = 4 1

ẠY

A. 6

và

∫ 0

x 2 f ( x) x2 + 1

Ta có I1 = ∫ f (tan x)dx = 4 0

dx = 2 . Tính tích phân I = ∫ f ( x) dx

B. 2

Đáp án A 4

1 0

C. 3

D. 1

dx cos 2 x

⇒ dt = (1 + tan 2 x)dx = (1 + t 2 )dx ⇒ 1

⇒ I1 = ∫

f (t ) 2

0 t +1

I2 = ∫

dt = ∫ 0

f ( x) x2 + 1

dt 1+ t2

= dx

FF IC IA L

Đặt t = tan x ⇒ dt =

dx = 4

x f ( x) x2 + 1

0 1

= ∫ f ( x)dx − ∫ 0

dx f ( x) x2 + 1

dx = ∫ f ( x)dx −4 = 2 0

⇒ ∫ f ( x)dx = 6 0

B. -6

ln x x2

Có I = ∫

Đáp án A

KÈ

dx  u = ln x du =   x Đặt  ⇒ 1 dv = dx 1  v = − x2  x  2

ẠY

⇒I =∫

ln x

A. 4

(với a là số thực, b, c là

b là phân số tối giản). Tính giá trị của 2a + 3b + c c

ln x 1 dx = − + ∫ 2 dx 2 x 1 1x x 2

ln 2 1 1 1 =− − = − ln 2 2 x1 2 2

 1 ⇒ 2a + 3b + c = 2.  −  + 3.1 + 2 = 4  2

C. 6

các số nguyên dương và

ln x b dx = + a ln 2 x c 1

∫

Câu 25 (Toán Học Tuổi Trẻ)Biết

D. 5

Câu 26: (Toán Học Tuổi Trẻ) Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ x −1 và các trục tọa độ. Khi đó giá trị của S bằng x +1

A. S = ln 2 − 1 (đvtt) S = 2 ln 2 + 1 (đvtt) D. S = ln 2 + 1

B. S = 2 ln 2 − 1 (đvtt)

Đáp án B Đồ thị hàm số cắt Ox tại (1;0) Oy tại (0; −1) 1

2  x −1  S= ∫ dx = ∫  1 −  dx x +1 x +1 0 0 1

=  x − 2 ln ( x + 1)  = 2 ln 2 − 1

(đvtt)

FF IC IA L

thị hàm số ( H ) : y =

I n = ∫ x 2 (1− x 2 ) dx . Tính lim n

x →+∞

B. 2

C. 3

D. 5

A. 1

I n+1 In

Câu 27 (Toán Học Tuổi Trẻ): Với mỗi số nguyên dương n ta kí hiệu

Đáp án A

n +1

dx = I n − ∫ x3 .x (1− x 2 ) dx .

I n+1 = ∫ x 2 (1− x 2 )

Với mỗi số nguyên dương n ta kí hiệu I n = ∫ x 2 (1− x 2 ) dx . Khi đó

KÈ

Với tích phân J = ∫ x 3 .x (1− x 2 ) dx ta đặt: n

ẠY

 u = x3   u ′ = 3 x 2   n +1 ⇒  1 v = − v ′ = x (1− x 2 )n 1− x 2 ) (  2 n + 1 ( )   −x 3  1 1 3x 2 n +1 2 n +1    ⇒ J = 1− x )  + ∫ 1− x 2 ) dx ( (  0  2n + 1 2 (n + 1) 0

⇒J=

3 3 I n+1 ⇒ I n+1 = I n − I n+1 2 (n + 1) 2 (n + 1)

⇒

I n+1 2n + 2 = 2n + 5 In

I n+1 =1 x →+∞ I n

FF IC IA L

lim

Câu 28: (Toán Học Tuổi Trẻ)Cho tích phân

∫ cos 2 x cos 4 xdx = a + b −π 3

đó a,b là các hằng số hữu tỷ. Tính ea + log 2 b A. -2

B. -3

1 8

D. 0

Đáp án A

3 , trong

1 8

Đặt t = sin 2 x , tính ra a = 0, b = − nên ea + log 2 b = −2

4 9

9 4

9 8

5 2

Câu 29 (Toán Học Tuổi Trẻ)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( P) : y = x 2 − 4 x + 5 và các tiếp tuyến với ( P) tại A(1; 2) , B (4;5)

Đáp án A

5  2 

Tiếp tuyến với (C ) tại A,B là d1 : y = −2 x + 4, d 2 : y = 4 x −11, d1 ∩ d 2 = M  ;1

KÈ

5 2

Diện tích cần tính là S=∫ 1

( x 2 − 4 x + 5) − (−2 x + 4) dx + ( x 2 − 4 x + 5) − (−4 x −11) dx = 9 ∫     4

(đvdt)

5 2

ẠY

Câu 30 (Toán Học Tuổi Trẻ)Tìm giá trị dương của k để

lim

x →+∞

( 3k + 1) x 2 + 1 x

A. k = 12 .

= 9 f ′ ( 2 ) với f ( x ) = ln ( x 2 + 5 ) .

B. k = 2 .

C. k = 5 .

D. k = 9 .

Đáp án C f ′( x)

(x =

+ 5 )′

2 2

x +5

2x 4 , f ′ ( 2) = . x +5 9 2

lim

( 3k + 1) x 2 + 1 x

x →+∞

FF IC IA L

Do đó 4 = 9 f ′ ( 2 ) ⇒ 3k + 1 = 9. ⇒ k = 5 . 9

x →+∞

A. k < 0.

+ 1) x + 2017 x + 2018

∫

giá trị k để

(k d x < lim

B. k ≠ 0 .

C. k > 0.

x 3 + 2x 2 + 3 1 3 ∫0 x + 2 d x = a + b ln 2 ( a, b > 0 ) . Tìm các

Câu 31 (Toán Học Tuổi Trẻ)Biết

Đáp án B

D. k ∈ ℝ.

1 3 3  1 3 x 3 + 2x + 3  + b ln = ∫ d x = ∫  x2 +  d x = + 3ln . 2 0 x+2 3 2 a x+2 0 1

Suy ra: ab − 8 < k 2 + 1 ⇒ 3.3 − 8 < k 2 + 1 ⇒ k ≠ 0 .

Câu 32 (Toán Học Tuổi Trẻ)Giả sử a, b, c là các số nguyên thỏa mãn 2x 2 + 4x + 1 1 4 2 ∫0 2x + 1 d x = 2 ∫1 ( au + bu + c ) du , trong đó u = 2x + 1 . Tính giá trị S = a + b + c. 3

KÈ

A. S = 3.

B. S = 0 .

C. S = 1 .

D. S = 2 .

Đáp án D

ẠY

Đặt u = 2x + 1 ⇒ x =

u2 −1 2

⇒ udu = d x, 2x 2 + 4 x + 1 =

2x 2 + 4x + 1 1 4 2 ∫0 2x + 1 d x = 2 ∫1 ( au + bu + c ) du , với a = 1, b = 2, c = −1 ⇒ a + b + c = 2. 4

Ta được

u 4 + 2u 2 − 1 . 2 3

Câu 33 (Toán Học Tuổi Trẻ): Cho hình phẳng y=

(H) giới hạn bởi đường cong

ln x , trục hoành và đường thẳng x = e . Khối tròn xoay tạo thành khi quay x

(H) quanh trục hoành có thể tích bằng bao nhiêu? π

B. V = .

C. V = .

D. V = π .

Đáp án B Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y =

π  ln x  2 V = π ⇔ ∫  d x = π ∫ ln xd ( ln x ) = 3 . x 1 1 2

ln x và trục hoành là: số x

x > 0 ln x =0⇔ ⇔ x = 1. x ln x = 0

FF IC IA L

A. V = .

1 , f ( 0 ) = 2017, x −1

B. S = ln 2 .

C. S = ln 4035 .

D. S = 4 .

A. S = 1 .

f ( 2 ) = 2018 . Tính S = f ( 3) − f ( −1) .

f ′( x) =

Câu 34 (Toán Học Tuổi Trẻ)Cho hàm số f ( x ) xác định trên ℝ \ {1} thỏa mãn

Đáp án A

x ∈ ( −∞;1) thì f ( x ) = ∫ f ′ ( x ) d x = ln (1 − x ) + C1 .

x ∈ (1; +∞ ) thì f ( x ) = ∫ f ′ ( x ) d x = ln (1 − x ) + C2 .

KÈ

 f ( 0 ) = 2017 C1 = 2017 ⇒ ; S = f ( 3) − f ( −1) = 1   f ( 2 ) = 2018 C2 = 2018

ẠY

Câu 35 (Toán Học Tuổi Trẻ)Biết luôn có hai số a, b để ax + b ( 4a − b ≠ 0 ) là nguyên hàm của hàm số f ( x ) và thỏa mãn x+4 2 f 2 ( x ) = ( F ( x ) − 1) f ′ ( x ) . Khẳng định nào dưới đây đúng và đầy đủ nhất?

F ( x) =

A. a = 1, b = 4.

B. a = 1, b = −1.

C. a = 1, b ∈ ℝ \ {4} . D. a ∈ ℝ, b ∈ ℝ .

Đáp án C 4a − b

( x + 4)

= ( 4a − b )( x + 4 )

⇒ f ′ ( x ) = −2 ( 4a-b )( x + 4 ) = −3

−2

− 2 ( 4a − b )

( x + 4)

FF IC IA L

f ( x) = F ′( x) =

Ta có 2 f 2 ( x ) = ( F ( x ) − 1) f ′ ( x ) =

−2 ( 4a − b ) ( a − 1) x + b − 4 

( x + 4)

⇔ 4a − b = − ( a − 1) x − b + 4

Biểu thức

(*) (do x ≠ −4, 4a − b ≠ 0 ).

(*) đúng với mọi x ≠ −4 nên có a = 1, b ∈ ℝ .

ẠY

KÈ

Do 4a − b ≠ 0 nên a = 1, b = ℝ \ {4} .

( x + 4)

⇔

2 ( 4a − b )

Câu 1: ( Liên trường Sở Nghệ An 2018) 4 Cho hàm số F ( x ) = ∫ x x 2 + 1dx. Biết F ( 0 ) = , khi đó F 2 2 bằng 3

(

85 4

C. 19

D. 10

Đáp án D Có 2 2

∫

x x 2 + 1dx =

2 2

1 2

∫

x 2 + 1d ( x 2 + 1) =

1 3

( x 2 + 1)

2 2

= 0

26 = F 2 2 − F ( 0 ) ⇒ F 2 2 = 10 3

(

Câu 2: ( Liên trường Sở Nghệ An 2018)

1 x B. F ( x ) = sin + C 2 2

C. F ( x ) = −2 sin

)

x +C 2

(

x +C 2

1 x D. F ( x ) = − sin + C 2 2

A. F ( x ) = 2 sin

)

x Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = cos . 2

FF IC IA L

A. 3

)

Đáp án A

x x x x Ta có F ( x ) = ∫ cos dx = 2 ∫ cos d   = 2sin + C 2 2 2 2

Câu 3 ( Liên trường Sở Nghệ An 2018): Tìm nguyên hàm của hàm số y = 1212x.

D. ∫ 122x dx =

1212x −1 +C ln12

KÈ

Đáp án D

1212x +C ln12

C. ∫ 122x dx =

B. ∫ 122x dx = 1212x ln12 + C

A. ∫ 12 2x dx = 1212− 4x ln12 + C

Ta có ∫ 1212x dx =

1 1212x 1212x −1 12x 12x 12 d 12x = + C = 12 dx = +C ( ) ∫ 12 ∫ 12.ln12 ln12

ẠY

Câu 4 ( Sở Giáo Dục Và Đào Tạo Hà Nội 2018 ) Họ nguyên hàm của hàm số

f ( x ) = x 2 4 + x 3 là

A. 2 x3 + 4 + C Đáp án B Phương pháp:

2 9

3 3

(4 + x )

C. 2

3 3

(4 + x )

1 9

3 3

(4 + x )

-Sử dụng phương pháp đưa vào trong vi phân

Cách làm: 3

4 + x 3 dx =

1 3∫

3 3

(4 + x ) 100

Câu 5 ( Sở Giáo Dục Và Đào Tạo Hà Nội 2018 )): Tích phân

∫ x.e 0

1 (199e200 + 1) 4

1 (199e200 − 1) 4

1 (199e200 + 1) 2

Phương pháp:

N 100

1 e dx = x.e 2 x 2

100 1 1 x.e dx = x. e 2 x − 0 2 2 2x

∫ 0

100

1 (199e200 − 1) 2

 dx = du u = x  Ta đặt  2 x ⇒ 1 2x e dx = dv v = e  2

∫

Cách làm:

Khi đó

dx bằng

-Sử dụng tích phân từng phần

100

Đáp án A

FF IC IA L

∫x

3 1 ( 4 + x )2 2 3 3 +C = 4 + x .d ( x + 4 ) = 3 3 9 2

1 − e2 x 4

100

1 1 1 1 = .100.e 200 − e 200 + = (199e 200 + 1) 2 4 4 4

Câu 6 ( Sở Giáo Dục Và Đào Tạo Hà Nội 2018 ):): Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e x ( x 3 − 4 x ) . Hàm số F ( x ) có bao nhiêu điểm cực trị?

KÈ

A. 2

B. 1

C. 3

ẠY

Đáp án C

Phương pháp: - Tìm nghiệm của F ′ ( x ) = 0 và xét dấu F ′ ( x ) .

Cách giải: 2 x = 0 Ta có: F ′ ( x ) = f ( x ) = e x ( x 3 − 4 x ) = 0 ⇔ x ( x 2 − 4 ) = 0 ⇔   x = ±2

D. 4

Ta thấy F ′ ( x ) đổi dấu qua ba nghiệm nên hàm số có 3 điểm cực trị.

Câu 7 ( Sở Giáo Dục Và Đào Tạo Hà Nội 2018 ): Cho hàm số y = f ( x ) là hàm lẻ và liên

∫

f ( − x ) dx = 2 và

−2

∫

f ( −2 x ) dx = 4 . Tính I = ∫ f ( x ) dx .

A. I = 10

B. I = −6

C. I = 6

D. I = −10

Đáp án B Phương pháp: b

Sử dụng phương pháp đổi biến và áp dụng công thức

∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx b

Cách giải: 0

∫ f ( − x ) dx

Xét tích phân:

FF IC IA L

tục trên [ −4; 4] biết

−2

∫

f ( − x ) dx = − ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx = 2

−2 2

∫ f ( −2 x ) dx = 4

Xét tích phân:

⇒

 x = −2 ⇒ t = 2 Đặt x = −t ⇔ dx = −dt . Đổi cận  x = 0 ⇒ t = 0

⇒∫ 1

f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = 2 − 8 = −6

ẠY

∫

1 f ( −2 x ) dx = 4 = ∫ f ( −t ) dt = 4 ⇒ ∫ f ( − x ) dx = 8 ⇒ − ∫ f ( x ) dx = 8 ⇔ ∫ f ( x ) dx = −8 22 2 2 2

KÈ

x = 1 ⇒ t = 2 Đặt 2 x = t ⇔ 2dx = dt . Đổi cận  x = 2 ⇒ t = 4

Câu 8: (Sở Giáo Dục-ĐT Bình Phước 2018) π π Cho F ( x ) là nguyên hàm của hàm số f ( x ) = sin 2x và F   = 1. Tính F   6 4

π 1 A. F   = 6 2

π B. F   = 0 6

π 5 C. F   = 6 4

π 3 D. F   = 6 4

Đáp án D π 4

Câu 9 (Sở Giáo Dục-ĐT Bình Phước 2018): Tính tích phân I = ∫ 1 2

A. 0

B. 4

C. 1

D. 5

Đáp án D

dx ta được kết quả x 3x + 1

I = a ln 3 + b ln 5. Giá trị S = a + ab + 3b là

FF IC IA L

4 1 1 1 3 π π π ∫π sin 2xdx = 2 cos2x π = 4 = F  4  − F  6  ⇒ F  6  = 1 − 4 = 4

x = 1 → t = 2 Đặt t = 3x + 1 ⇒ t 2 = 3x + 1 ⇒ 2tdt = 3dx,  x = 5 → t = 4

Suy ra 4

4 a = 2 dt 1  t −1 3 1  1 I = 2∫ 2 = ∫ − = ln − ln = 2 ln 3 − ln 5 ⇒  ⇒S=5 dt = ln t −1 2  t −1 t + 1  t +1 2 5 3  b = −1 2

Câu 10: (Sở Giáo Dục-ĐT Bình Phước 2018)

Gọi S là diện tích hình phẳng giưới hạn bởi đồ thị của hàm số ( H ) : y =

x −1 và các trục tọa x +1

độ. Khi đó giá trị của S bằng

B. ln 2 + 1( dvdt )

KÈ

A. 2 ln 2 + 1( dvdt )

C. ln 2 − 1( dvdt )

Đáp án D

ẠY

Phương trình hoành độ giao điểm

x −1 = 0 ⇒ x =1 x +1

Suy ra diện tích cần tính là 1

S= ∫ 0

1 x −1 2 dx = ∫ 2 − dx = ( x − 2 ln ( x + 1) ) = 2 ln 2 − 1( dvdt ) 0 x +1 x +1 0

D. 2 ln 2 − 1( dvdt )

dx 1+ x2 0

Câu 11 (Sở Giáo Dục-ĐT Bình Phước 2018): Một học sinh làm bài tích phân I = ∫ theo các bước sau

(

)

Bước 2: Đổi x = 1 ⇒ t = π 4

FF IC IA L

Bước 1: Đặt x = tan t, suy ra dx = 1 + tan 2 t dt

π ,x = 0 ⇒ t = 0 4 π

4 π π π 1 + tan 2 t 4 = 0− Bước 3: I = ∫ dt dt t = = =− 2 ∫ 0 1 + tan t 4 4 0 0

B. Bước 2

C. Không bước nào sai cả

D. Bước 1

A. Bước 3

π 4

π π π 1 + tan t 4 = = = −0 = dt dt t 2 ∫ 0 1 + tan t 4 4 0 0

I=∫

Đáp án A π 4

Các bước làm trên, bước nào bị sai

Câu 12 (Sở Giáo Dục-ĐT Bình Phước 2018): Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ+ thỏa mãn

Đáp án B

5 + 2 ln 2 2

B. f ( 2 ) ≥

5 + ln 2 2

C. f ( 2 ) ≥ 5

D. f ( 2 ) ≥ 4

A. f ( 2 ) ≥

1 , ∀x ∈ ℝ + và f (1) = 1. Khẳng định nào sau đây là đúng? x

f '( x ) ≥ x +

KÈ

1 Ta có f ( x ) = ∫ x + dx = x 2 − ln x + C x f (1) = 1 ⇒ 1 + C = 1 ⇒ C = 0 ⇒ f ( x ) = x 2 − ln x ⇒ f ( 2 ) = 4 − ln 2

ẠY

Câu 13: (Sở Giáo Dục-ĐT Bình Phước 2018)

Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e 2018x 1 2018x e +C 2018

A. ∫ f ( x ) = e 2018x ln 2018 + C

B. ∫ f ( x ) =

C. ∫ f ( x ) = 2018e 2018x + C

D. ∫ f ( x ) = e 2018x + C

Đáp án B Ta có ∫ f ( x ) = ∫ e 2018x dx =

1 2018x e +C 2018

Câu 14: (Sở Giáo Dục-ĐT Bình Phước 2018)

FF IC IA L

Cho số thực a > 0. Gỉa sử hàm số f ( x ) liên tục và luôn dương trên đoạn [ 0;a ] thỏa mãn a

1 dx 1+ f (x) 0

f ( x ) .f ( a − x ) = 1. Tính tích phân I = ∫

A. I =

a 3

B. I =

a 2

C. I = a

D. I =

Đáp án B

2a 3

f (a − x ) dx 1 dx = ∫ dx vì f ( x ) .f ( a − x ) = 1. =∫ 1 1+ f ( x ) 1+ f (a − x) 0 0 1+ 0 f (a − x ) a

Ta có I = ∫

1+ f ( t )

f (x)

1+ f ( x)

A. −9

KÈ

Đáp án C

−2

∫ f ( x ) dx = 3. Tính tích phân −2

∫ 2f ( x ) − 1 dx.

Câu 15 (Sở Giáo Dục-ĐT Bình Phước 2018): Cho 1

dx dx a +∫ = ∫ dx ⇒ I = 1+ f ( x ) 0 1+ f ( x ) 0 2 0

dx suy ra 2I = ∫

dt = ∫

f (t)

⇒I=∫

a 0 f (a − x ) f (t) x = 0 ⇒ t = a , Khi đó ∫ dx = ∫ dt Đặt t = a − x ⇔ dx = −dt và  1+ f (a − x ) 1+ f ( t ) x = a ⇒ t = 0 0 a

−2

B. −3

C. 3

D. 5

C. 4

ẠY

Ta có I = 2 ∫ f ( x ) dx − ∫ dx = 2.3 − (1 + 2 ) = 3

Câu 16 : (Sở Giáo Dục-ĐT Bình Phước 2018) Tích phân

∫ ( x + 3)

dx bằng

A. 61 Đáp án B

61 3

61 9

Ta có:

∫ ( x + 3)

( x + 3) dx =

3 2

= 1

61 3

Câu 17 (Sở Giáo Dục-ĐT Bình Phước 2018): Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2cos2x

A. −2sin 2x + C

B. −sin2x + C

FF IC IA L

là

C. 2sin2x + C

D. sin2x + C

Đáp án D

∫ 2cos2xdx = sin 2x + C Câu 18: (Sở Giáo Dục-ĐT Bình Phước 2018)

A. −

dx = a + b 2, với a, b là các số hữu tỉ. Khi đó giá trị của a là

26 27

C. −

Đáp án B

= ∫ 3x 2 dx − 1 3

9x − 9x + 1

1 1 2  9x 2 − 1d ( 9x 2 − 1) =  x 3 − . ∫ 18 1 18 3  3

Suy ra a =

1 3

26 −16 ;b = 27 27

∫ (3x

9x − 1

dx = ∫

) dx =

1 3

(

x 3x − 9x 2 − 1

∫ 3x +

D. −

25 27

)

− x 9x 2 − 1 dx

1 3

3 26 16 2 − ( 9x 2 − 1)  1 = 27 27 3

Ta có:

27 26

9x 2 − 1

1 3

∫ 3x +

Cho

Câu 19: (Sở Giáo Dục-ĐT Bình Phước 2018)

KÈ

Cho hàm số f ( x ) xác định trên ℝ \ {−1;1} và thỏa mãn: f ' ( x ) =

1 ; f ( −3) + f ( 3) = 0 và x −1 2

ẠY

 1 1 f  −  + f   = 2 . Tính giá trị của biểu thức P = f ( 0 ) + f ( 4 ) .  2 2

3 A. P = ln + 2 5

B. P = 1 + ln

3 5

1 3 C. P = 1 + ln 2 5

Đáp án C

Ta có: f ( x ) = ∫ f ' ( x ) dx = ∫ V ới − 1 < x < 1 ⇒ f ( x ) =

dx 1  1 1  1 x −1 = ∫ − +C  dx = ln 2 x −1 2  x −1 x + 1  2 x +1

1 1− x ln + C1 2 x +1

1 3 D. P = ln 2 5

x > 1 1 x −1 ⇒ f ( x ) = ln + C2 V ới  2 x +1  x < −1

1 3 Do đó P = f ( 0 ) + f ( 4 ) = 1 + ln 2 5

Câu 20: (Sở Giáo Dục-ĐT Bình Phước 2018)

FF IC IA L

1 1 1  2 ln 2 + C2 + 2 ln 2 + C2 = 0 C = 0  1 1 Do f ( −3) + f ( 3) = 0 và f  −  + f   = 2 ⇒  ⇔ 2  2 2 C1 = 1  1 ln 3 + C + 1 ln 1 + C = 2 1 1  2 2 3

Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 0;1] thỏa mãn f (1) = 0 và 2

e2 − 1 ∫0 f ' ( x ) dx = ∫0 ( x + 1) e dx = 4 . Tính tích phân I = ∫0 f ( x ) dx.

B. I = e − 2

e 2

C. I =

e −1 2

D. I =

A. I = 2 − e Đáp án B

u = f ( x ) du = f ' ( x ) dx Đặt  , khi đó ⇔  x x  v = xe dv = ( x + 1) e dx 1

= e.f (1) − ∫ xe x .f ' ( x ) dx ⇔ ∫ xe x .f ' ( x ) dx = − ∫ ( x + 1) e x .f ( x ) dx = 0

x x x ∫ ( x + 1) e .f ( x ) dx = xe .f ( x ) − ∫ xe .f ' ( x ) dx

1 − e2 4

e2 − 1 1 − e2 e2 − 1 + 2k. + k2. = 0 ⇒ k 2 − 2k + 1 = 0 ⇔ k = 1 ⇒ f ' ( x ) = − x.ex 4 4 4

⇔

Xét tích phân ∫ f ' ( x ) + k.xe x  dx = ∫  f ' ( x )  dx + 2k.∫ xe x .f ' ( x ) dx + k 2 .∫ x 2 e2x dx = 0

KÈ

Do đó f ( x ) = ∫ f ' ( x )dx = − ∫ x.e x dx = (1 − x ) e x + C mà f (1) = 0 ⇒ C = 0 1

ẠY

Casio →I = e − 2 Vậy I = ∫ f ( x ) dx = ∫ (1 − x ) e x dx 

Câu 21: (Sở Giáo Dục-ĐT Bình Phước 2018) x2

Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên [ 0; +∞ ) và

∫ f ( t ) dt = x sin x ( πx ). Tính f ( 4 ) . 0

A. f ( 4 ) = Đáp án B

π −1 4

B. f ( 4 ) =

π 2

C. f ( 4 ) =

π 4

D. f ( 4 ) =

1 2

∫ f ( t ) dt = x sin ( πx ) , ta được

Lấy đạo hàm 2 vế biểu thức

2x.f ( x 2 ) =  x.sin ( πx )  ' → 2.2.f ( 4 ) =

π d x.sin ( πx ) ) ⇒ f ( 4 ) = ( dx 2 x −2

FF IC IA L

Câu 22 ( Sở giáo dục đào tạo Thanh Hóa 2018): Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên [ a; b ] . Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đường cong y = f ( x ) , trục hoành và các đường thẳng x = a, x = b ( a < b ) được xác định bởi công thức nào sau đây b

A. S = ∫ f ( x ) dx

B. S = ∫ f ( x ) dx

C. S = ∫ f ( x ) dx

D. S = ∫ f ( x ) dx a

Đáp án C a

Ta có S = ∫ f ( x ) dx

x2 1 − cos2x + C 2 2

x2 1 + cos2x + C 2 2

∫ ( x − sin 2x )dx =

Ta có

1 C. x 2 + cos2x + C 2

Đáp án B

x2 1 + cos2x + C 2 2

x2 + cos2x + C 2

Câu 23( Sở giáo dục đào tạo Thanh Hóa 2018): Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x − sin 2 x là

π 2

Câu 24 ( Sở giáo dục đào tạo Thanh Hóa 2018): Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ và thỏa 16

mãn ∫ cot x.f ( sin 2 x ) dx = ∫

KÈ

π 4

ẠY

A. I = 3

( x ) dx = 1. Tính tích phân I = x

∫ 8

B. I =

3 2

Đáp án D

f ( π4x ) dx x 1 1

π 2

π 4

cos x .f ( sin 2 x ) dx sin x π

A = ∫ cot x.f ( sin 2 x ) dx = ∫

C. I = 2

D. I =

5 2

1 f (t) f (x) dt = 1 ⇒ ∫ dx = 2 x 1 2t 1 1

Đặt t = sin 2 x ⇒ dt = 2sin x cos xdx, đổi cận suy ra A = ∫ 2

⇒∫ 1

f (x)

x 1

Xét I = ∫

dx =

∫

f (u)

2udu ⇒ B = ∫ 1

1 2

f ( π4x )

1 8

u= x

f (u) u

du = 1

4 f ( v ) dv 4 f ( v ) f (x) 5 =∫ dv = ∫ dx = A + B = v 4 1 v x 2 1 1 2 2 2 4 4

v = 4x →I = ∫ dx 

Câu 25( Sở giáo dục đào tạo Thanh Hóa 2018): Biết rằng π 4

( x ) dx = 1 → B =

FF IC IA L

Mặt khác B = ∫

∫ sin 2x.ln ( tan x + 1) dx = aπ + b ln 2 + c với a, b, c là các số hữu tỉ. Tính T = a + b − c C. T = 6

B. T = 4

D. T = −4

A. T = 2

Đáp án B

u = ln ( tan x + 1) dx cos2x ⇔ du = và v = − Đặt  2 cos x ( tan x + 1) 2 dv = sin 2xdx π 4

cos 2x 1 4 dx + ×∫ 2 2 0 cos x ( tan x + 1)

Khi đó I = −

cos 2x.ln ( tan x + 1)

1 2 cos 2x 2 cos x − 1 cos 2 x = 1 − tan x = 1 − tan x Ta có = = cos 2 x ( tan x + 1) cos 2 x ( tan x + 1) tan x + 1 1 + tan x 2−

KÈ

π 4

ẠY

4 cos 2x Suy ra ∫ dx = ∫0 (1 − tan x )dx. cos 2 x ( tan x + 1) 0

cos 2x.ln ( tan x + 1) 2

V ậy I = −

=−

cos 2x.ln ( tan x + 1) 2

π 4

1 + × ∫ (1 − tan x ) dx 2 0

π 1 π 1 1 1 + × ( x + ln cos x ) 4 = − ln 2. Hay a = ; b = − ;c = 0 0 2 8 2 8 4

Câu 26( Sở giáo dục đào tạo Thanh Hóa 2018): Mệnh đề nào sau đây là sai A. Nếu ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C thì ∫ f ( u ) du = F ( u ) + C

FF IC IA L

B. ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx (k là hằng số và k ≠ 0) C. Nếu F ( x ) và G ( x ) đều là nguyên hàm của hàm số f ( x ) thì F ( x ) = G ( x )

∫ f ( x ) + f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx

Đáp án C

Nếu F ( x ) và G ( x ) đều là nguyên hàm của hàm số f ( x ) thì F ( x ) = G ( x ) + C

Câu 27(Sở GDĐT Bắc Giang -Lần 2)

ex +C . 2

e2 x +C . 2

Đáp án D

C. e 2 x + C .

A. e x + C .

Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e2 x là

Câu 28 (Sở GDĐT Bắc Giang -Lần 2): Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn 3

và thỏa mãn f ( −1) = 4 ; f ( 3) = 7 . Giá trị của I = ∫ 5 f ′ ( t )dt bằng

[ −1;3]

−1

B. I = 3 .

C. I = 10 .

D. I = 15 .

A. I = 20 . Đáp án D

Câu 29 (Sở GDĐT Bắc Giang -Lần 2): Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên [ a; b ] . Mệnh đề

KÈ

nào dưới đây sai ?

∫ f ( x )dx = − ∫ f ( x )dx . b

∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx, ∀c ∈ R . a

∫ f ( x )dx = ∫ f ( t )dt .

ẠY

∫ f ( x )dx = 0 . a

Đáp án B 3

Câu 30 (Sở GDĐT Bắc Giang -Lần 2): Cho

∫

f ( x )dx = 12 , giá trị của

A. 24 .

B. 10 .

 x

∫ f  2 dx bằng 2

C. 6 .

D. 14 .

Đáp án A Câu 31 (Sở GDĐT Bắc Giang -Lần 2): Gọi ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = − x 2 + 4 x và trục hoành.

FF IC IA L

Hai đường thẳng y = m và y = n chia ( H ) thành 3 phần có diện tích bằng nhau (tham khảo hình vẽ). Giá trị biểu thức 3

T = ( 4 − m ) + ( 4 − n ) bằng 320 . 9

B. T =

75 . 2

C. T =

512 . 15

D. T = 405 .

A. T =

Đáp án A

KÈ

Gọi S là diện tích hình phẳng tạo bởi đồ thị y = − x 2 + 4 x và Ox ⇒ y = m và y = n chia S thành 3 phần bằng nhau theo thứ tự từ trên xuống là S1 ; S 2 ; S3 . 2

ẠY

1 1 +) S1 = 2 ∫ ( − x 2 + 4 x − m ) dx = S = .2.∫ ( − x 2 + 4 x ) dx 3 3 0 a 2

 x3  1 16 ⇔  − + 2 x 2 − mx  = .  3 a 3 3 3  16  16   a ⇔  − − 2m  −  − + 2a 2 − ma  = (1)  3   3  9

Mà x = a là nghiệm của phương trình: − x 2 + 4 x = m

⇒ −a 2 + 4a = m (2) Thay (2) vào (1) ta có:

FF IC IA L

16 16 a3 − 2 ( −a 2 + 4a ) + − 2a 2 + ( −a 2 + 4a ) .a = 3 3 9 2a 3 32 + 4a 2 − 8a + =0 3 9

⇔−

⇔ a ≈ 0, 613277... ⇒ m = −a 2 + 4a ≈ 2, 077...

2 Tương tự: S1 + S 2 = .S 3 2

320 . 9

Ơ N

⇒ n = −b 2 + 4b ≈ 0,947428... T = (4 − m) + (4 − n) =

2 16 … ⇒ − b3 + 4b 2 − 8b + = 0 3 9

⇒ b ≈ 0, 252839...

2 ⇒ 2.∫ ( − x 2 + 4 x − n ) dx = .2.∫ ( − x 2 + 4 x ) dx 3 0 b

Câu 32 (Sở GDĐT Bắc Giang -Lần 2): Cho hàm số f ( x ) liên tục trên R và thoả mãn

x +1 x +1

)dx = 2 (

x +1 + 3

(

x+5

KÈ

∫

x+3 +C. 2 ( x2 + 4)

x+3 +C . x2 + 4

ẠY

) + C . Nguyên hàm của hàm số

Đáp án D

Phân tích giả thiết đề bài cho

Đặt

x +1 = t ⇒

⇒ VT = ∫

(

1 2 x +1

)

x + 1 dx x +1

dx = dt ⇒

dx x +1

= 2dt

= ∫ f ( t ).2dt = ∫ 2 f ( t ).dt

f ( 2 x ) trên tập R + là

2x + 3 +C . 4 ( x 2 + 1)

2x + 3 +C. 8 ( x 2 + 1)

⇒ VP =

(

x +1 + 3 2

) = 2 ( t + 3) + C t2 + 4

x +1 + 4

∫ 2 f ( t ).dt =

2 ( t + 3) t2 + 4

⇒ ∫ f ( t ).dt =

FF IC IA L

Mà VT = VP nên

t+3 +C t2 + 4

1 2t + 3 ⇒ ∫ f ( 2t ).dt = . 2 +C . 2 4t + 4

F ( ax + b ) +C ) a

∫ f ( ax + b )dx =

(Áp dụng công thức

a+ b

∫

Câu 33 (Sở GDĐT Bắc Giang -Lần 2): Biết rằng

− x + 6x − 5

a+ b

∫

dx =

− x + 6x − 9 + 4

∫

4 − ( x − 3)

a+ b

Đáp án D

các số nguyên dương và 4 < a + b < 5 . Tổng a + b bằng

A. 5 . B. 7 . C. 4 . D. 6 .

Đặt x − 3 = 2sin t ⇒ dx = 2cos tdt

KÈ

Đổi cận: x = a + b ⇒ sin t = x = 4 ⇒ sin t =

ẠY

 a + b −3  arcsin   2  

∫ π

1 2

1 .2 cos tdt 4 − 4sin 2 t

 a + b −3  arcsin   2  

a + b −3 2

 a + b −3  arcsin   2  

∫

1.dt = t π

dx =

π 6

, ở đó a, b là

 a+ b −3 π π I = arcsin   − = (theo đề bài) 2   6 6

⇒

π a+ b −3 = sin 2 3

⇒

3 a + b −3 = 2 2

FF IC IA L

 a + b −3 π ⇒ arcsin   = 2   3

⇒ a + b = 3+ 3

a = 3 ⇒ ⇒ a + b = 6. b = 3

Câu 34 ( Sở GD&ĐT Đà Nẵng2018): Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đường cong

A. π

∫ ( 3e

−x

+ x ) dx. B.

∫

ln 2

−x

3e + x dx.

C. π

∫ ( 3e

−x

+ x ) dx. D. π

ln 2

∫

3e − x + x dx.

ln 2

ln 2 2

y = 3e − x + x , trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = ln 2 . Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho (H) quay quanh trục hoành được tính bằng công thức nào sau đây?

Đáp án C.

Chú ý rằng nếu hàm số y = f ( x ) liên tục trên [ a; b ] , thể tích hình (H) tạo thành khi quay b

KÈ

V = π ∫ f 2 ( x ) dx.

phần giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) , đường thẳng x = a và x = b quanh trục hoành là

Câu 35 ( Sở GD&ĐT Đà Nẵng2018) Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e 2 x − 1 2x 1 e − + C. 2 x

ẠY

1 2x 1 e + + C. 2 x

Đáp án B. 2x −2 ∫ e dx − ∫ x dx =

e 2 x x −1 e2 x 1 − +C = + + C. 2 −1 2 x

C. e2 x +

1 + C. x

1 là x2

1 D. e2 x − + C. x

Câu 36 ( Sở GD&ĐT Đà Nẵng2018)Tích phân I = ∫ ( x + 2 ) dx bằng. 3

A. I = 56.

B. I = 60.

C. I = 240.

D. I = 120.

( x + 2) I=

4 2

= 60. 0

1+ ln 2

Câu 37 : ( Sở GD&ĐT Đà Nẵng2018) Cho

∫

f ( x ) dx = 2018. Tính I = ∫

ln 2

C. I =

B. I = 4036.

1009 . 2

1 f ( ln 2 x ) dx. x

D. I = 1009.

A. I = 2018.

FF IC IA L

Đáp án B.

Câu 38 : ( Sở GD&ĐT Đà Nẵng2018) Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đường ( P ) : y = 2 x 2 , parabol tiếp tuyến của (P) tại M (1;2) và trục Oy là 1 D. S = . 2

Đáp án B.

1 C. S = . 3

2 B. S = . 3

A. S = 1.

2 S = ∫ ( 2 x 2 − 4 x + 2 ) dx = . 3 0

Phương trình tiếp tuyến của (P) tại điểm M: y = 4 ( x − 1) + 2 = 4 x − 2.

Câu 39 ( Sở GD&ĐT Đà Nẵng2018): Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm và liên tục trên đoạn 2

 f ' ( x )  1 1 dx = 1 và f ( 4 ) = , f ( 8 ) = . Tính [ 4;8] và f ( x ) ≠ 0∀x ∈ [ 4;8]. Biết rằng ∫  4 4 2 4   f ( x ) 

KÈ

f ( 6) .

5 . 8

ẠY

2 . 3

3 . 8

1 . 3

Đáp án D.  f ( x )  Ta có: ∫ dx = ∫  f ( x )  d  f ( x )  =  2 −1 4  4  f ( x )  8

f '( x)

Gọi k là 1 hằng số thực. Xét

−1 8

−2

=− 4

1 1 + = −2 + 4 = 2. f (8) f ( 4 )

8 8 8  f ' ( x )   f '( x)  f '( x) 2 2 2 2 + k dx = dx + k dx + k ∫4  f 2 ( x )  ∫4  f ( x ) 4 ∫4 f 2 ( x ) ∫4 dx = 1 + 2k.k + 4k = ( 2k + 1) .    

−1 Chọn k = , ta có 2

 f '( x) 1   f '( x) 1  mà − = 0, −  ≥ 0 nên dx    2 2 ∫4  f ( x ) 2  f x 2 ( )    8

FF IC IA L

 f '( x) 1  f '( x) 1 −  = 0 ⇔ 2 =  2 f ( x) 2  f ( x) 2 

f '( x) f

( x)

dx =

x 1 x +C ⇒ − = + C. Với x = 4 , ta có 2 f ( x) 2

1 = 2 + C ⇔ −4 = 2 + C ⇔ C = −6. f ( 4)

−1 2 2 2 1 . Do đó f ( 6 ) = = = . = x 12 − 6 6 3 − 6 12 − x 2

Do đó: f ( x ) =

−

⇒∫

Tính P = 1 − a − b .

B. P = −29 .

C. P = −7 .

Đáp án C.

KÈ

=∫

cos 2 x 2 cos 2 x − 2 + 1  1  dx = ∫π 1 − cos x π∫ 1 − cos x dx = π∫ 1 − cos x − 2 (1 + cos x ) dx π

x 2sin 2 2

− 2 ( x + sin x )

π π 2

x d  π x 2 = ∫   − π + 2 = − cot −π + 2 = 3−π. x 2π π sin 2 2 2 2 π

ẠY

Do đó a = −1; b = 3 ⇒ P = 1 − ( −1) − 32 = −7.

với a, b ∈ Q.

A. P = 9.

cos 2 x

dx = aπ + b ∫ π 1 − cos x

Câu 40: ( Sở GD&ĐT Đà Nẵng2018) Cho tích phân

D. P = −27 .

Câu 1(Chuyên Đại Học Vinh) Cho hình phẳng (D) được giới hạn bởi các đường x = 0, x = 1, y = 0 và y = 2x + 1 . Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay (D) xung quanh trục OX được tính theo

FF IC IA L

công thức

A. V = π ∫ 2x + 1dx B. V = π ∫ ( 2x + 1) dx C. V = ∫ 2x + 1dx 1

V = ∫ ( 2x + 1) dx 0

B. y = x 2 − 3x + 1

C. y = x 3 − 3x 2 + 1

D. y = − x 4 + 3x + 1 B

Đáp án

Phương pháp: Quay hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm số

y = f ( x ) ; y = g ( x ) và các đườn thẳng x = a; x = b ( a < b ) quanh trục Ox ta được khối b

tròn xoay có thể tích được tính theo công thức: V = π ∫ f 2 ( x ) − g 2 ( x ) dx 1

(

)

2x + 1 dx =π ∫ ( 2x + 1) dx =

Cách giải: Ta có V = π ∫

KÈ

Câu 2: (Chuyên Đại Học Vinh)Tích phân

3 2

∫ 0

2 3

dx dx bằng 3x + 1

1 3

ẠY

Đáp án B

Phương pháp:

+) Đổi biến và đổi cận để đơn giản biểu thức cần tính tích phân. +) Sử dụng công thức tính tích phân của các hàm cơ bản để tính. Cách giải:

Đặt

3x + 1 = t ⇒ t 2 = 3x + 1 ⇒ 2tdt = 3dx

4 3

2 2  x = 0 ⇒ t = 1 1 dx 1 2t 2 2 2 ⇒∫ = ∫ . dt ∫ dt = t = Đổi cận:  3 1 3  x = 1 ⇒ t = 2 0 3x + 1 1 t 3 1 3

(Chuyên

Học

Đại

f ( 2 ) = 16, ∫ f ( 2x ) dx = 2. Tích phân 0

f (x)

Vinh)Cho

liên

∫ xf ' ( x ) dx bằng 0

A. 28

B. 30

C. 16

Phương pháp:

ℝ

và

trên

D. 36

Đáp án A

+) Đặt ẩn phụ t = 2x tính

t ục

FF IC IA L

Câu

∫ f ( x ) dx

0 2

∫ x.f ' ( x ) dx.

+) Sử dụng phương pháp tích phân từng phần tính

Cách giải: 1

∫ f ( 2x ) = 2,

đặt 2x = t ⇔ 2dx = dt ⇔ dx =

Xét

0 2

1 f ( t ) dt ⇒ ∫ f ( x ) dx = 4 2 ∫0 0

⇒2=

x = 0 ⇒ t = 0 dt . Đổi cận  2 x = 1 ⇒ t = 2

Đặt

KÈ

2 2 u = x du = dx 2 ⇔ ⇒ ∫ x.f ( x ) dx = x.f ( x ) 0 − ∫ f ( x ) dx = 2f ( 2 ) − 4 = 2.16 − 4 = 28  0 dv = f ' ( x ) dx  v = f ( x ) 0

ẠY

Câu 4: (Chuyên Đại Học Vinh)Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn 1

[ 0;1] và f ( 0 ) + f (1) = 0 . Biết A.

3π 2

Đáp án B Phương pháp:

2 π

π 1 2 ∫0 f ( x ) dx = 2 , ∫0 f ' ( x ) cosπdx = 2 . Tính

C. π

∫ f ( x ) dx 0

1 π

+) Sử dụng phương pháp từng phần đối với tích phân

∫ f ' ( x ) .cosπxdx. 0

+) Sử dụng kết quả

∫ f ( x ) + k.sin πx 

dx = 0 tính f ( x )

FF IC IA L

0 1

+) Lấy tích phân từ 0 đến 1 cả 2 vế tính

∫ f ( x ) dx 0

Cách giải:

u = cosπx du = −π sin πxdx Đặt  ⇒ dv = f ' ( x ) dx  v = f ( x )

∫ f ' ( x ) .cosπxdx = f ( x ) .cosπx

+π ∫ f ( x ) .sin πxdx

0 1

Ta có

1 0

Xét

∫ f ( x ) + k.sin πx 

dx = 0 ⇔ ∫ f 0

1 1 1 2 ⇔ k 2 + 2k. + = 0 ⇔ ( k + 1) = 0 ⇔ k = −1. Suy ra 2 2 2 1

( x ) dx + 2k.∫ f ( x ) .sin πxdx + k .∫ sin 2 ( πx ) dx = 0

1 π = − f (1) + f ( 0 )  + π ∫ f ( x ) .sin πxdx = ⇒ ∫ f ( x ) .sin πdx = 2 2 0 0

∫ f ( x ) − sin πx  dx = 0 0

cosπx 1 1 2 = + = Vậy f ( x ) = sin πx ⇒ ∫ f ( x ) dx = ∫ sin πxdx = − x 0 π π π 0 0

Câu 5: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ và thỏa 1

∫ f ( x ) dx = 9. Tính

∫ f (1 − 3x ) + 9 dx .

−5

KÈ

mãn

A. 27

B. 21

C. 15

D. 75

ẠY

Đáp án B

Ta có

∫ f (1 − 3x ) + 9 dx = ∫ f (1 − 3x ) dx + 9∫ dx

Đặt 2 −5 1 x = 0 → t = 1 1 1 t = 1 − 3x ⇒ dt = −3dx,  ⇒ ∫ f (1 − 3x ) dx = − ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx = 3 31 3 −5  x = 2 → t = −5 0

∫ f (1 − 3x ) + 9 dx = 3 + 9∫ dx = 3 + 9x

Suy ra

2 0

= 21

FF IC IA L

Câu 6:(Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018) Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi Parabol x2 x2 y= và đường cong có phương trình y = 4 − (hình vẽ). Diện tích của hình phẳng 12 4

)

(

4π + 3 3

)

KÈ

2 4π + 3  x2 x2  4 − − dx =   ∫ 4 12  3 −2 3  2 3

x2 x2 x4 x2 = 4− ⇔ = 4− ⇒ x 2 = 12 ⇔ x = ±2 3 12 4 144 4

PT hoành độ giao điểm là

4 3+π 6

Đáp án A

Suy ra S =

4π + 3 6

(

2 4π + 3

(H) bằng

ẠY

Câu 7: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Biết

∫ 2x ln ( x + 1) dx = a ln b,

với

a, b ∈ ℕ* và b là số nguyên tố. Tính 6x + 7b

A. 33 Đáp án D

B. 25

C. 42

D. 39

1  2 2 u = ln ( x + 1) du = x2 2 2 Đặt  dx ⇒ x + 1 ⇒ ∫ 2x ln ( x + 1) dx =  x ln ( x + 1)  0 − ∫ x +1 dv = 2xdx 0 0 v = x 2  2

2  a = 3 1   2 2 x  x ln ( x + 1)  − ∫  x − 1 +    dx =  x ln ( x + 1)  0 −  − x + ln ( x + 1)  = 3ln 3 ⇒ b = 3 x +1   2 0 0 ⇒ 6a + 7b = 39 2 0

Câu 8 (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Tích phân

∫ 2x + 5 dx bằng 0

1 7 ln 2 5

1 5 ln 2 7

ln 2x + 5 dx Ta có ∫ = 2x + 5 2 0

ln 7 ln 5 1 7 − = ln 2 2 2 5

= 0

D. −

Đáp án B

4 35

1 7 log 2 5

FF IC IA L

t ục

đoạn

[ 0;1]

thỏa

mãn

trên

Câu 9: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm dương, liên

3 2

KÈ

Đáp án D

5 4

kiện

∫ f ( x )

f ( 0) = 1

dx.

5 6

7 6

2 1  3∫ f ' ( x ) . f ( x )  +  dx ≤ 2 ∫ f ' ( x ) .f ( x ) dx. Tính 9 0  0

điều

2 1 Giả thiết ⇔ 3∫  f ' ( x ) .f ( x )  dx ≤ 2 ∫ f ' ( x ) .f ( x ) dx   3 0 0 1

ẠY

⇔ ∫ 3 f ' ( x ) .f ( x )  dx − 2 ∫ 3 f ' ( x ) .f ( x ) dx + ∫ dx ≤ 0 ⇔ ∫ 3 f ' ( x ) .f ( x ) − 1 dx ≤ 0    

Khi đó 3 f ' ( x ) .f ( x ) − 1 = 0 ⇔ 9f ' ( x ) .f 2 ( x ) = 1 ⇔ ∫ 9f ' ( x ) .f 2 ( x ) dx = ∫ dx = x + C 1 ⇔ ∫ 9f 2 ( x ) d ( f ( x ) ) = x + C ⇔ 3f 3 ( x ) = x + C mà f ( 0 ) = 1 ⇒ C = 3 ⇒ f 3 ( x ) = x + 1 3

và

 x2  7 1  Vậy ∫ f ( x )  dx = ∫  x + 1dx =  + x  = 3   6 0 6 0 0 1

Câu 10:( Chuyên Biên Hòa-Hà Nam Tìm

∫ x cos 2xdx.

1 1 x.sin 2x − cos2x + C. 2 4 1 1 C. x.sin 2x + cos2x + C. 2 2 Đáp án D.

B. x.sin 2x + cos2x + C.

FF IC IA L

1 1 x.sin 2x + cos2x + C. 2 4

du = dx u = x 1 1  Đặt  ⇒ ⇒ ∫ x cos 2xdx = x sin x2x − ∫ sin 2xdx 1 2 2 dv = cos2xdx  v = sin 2x  2 1 1 = x sin 2x + cos2x + C. 2 4

Câu 11:( Chuyên Biên Hòa-Hà Nam)Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên [ a; b ] . Diện x = a, x = b được tình theo công thức. b

A. S = π∫ f ( x )  dx. a b

B. S = ∫ f ( x ) dx. a b

D. S = ∫ f ( x ) dx.

C. S = π∫ f ( x ) dx.

tích hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục hoành và hai đường thẳng

Đáp án D.

Câu 12:( Chuyên Biên Hòa-Hà Nam)Biết

π 2

∫ cos xdx = a + b

3, với a, b là các số hữu tỉ.

KÈ

π 3

Tính T = 2a + 6b. A. T = 3. B. T = −1. C. T = −4. D. T = 2. Đáp án B. π 2

π 3

ẠY

π 2

Ta có

∫ cos xdx = s inx

a = 1 1  = 1− 3⇒ 1 ⇒ T = −1. 2 b = −  2 1

Câu 13: ( Chuyên Biên Hòa-Hà Nam) Tính I = ∫ e3x .dx. 0

A. I = e3 − 1.

B. I = e − 1.

C. I =

e3 − 1 . 3

1 D. I = e3 + . 2

Đáp án C. 1

Ta có: I = ∫ e3x .dx = 0

e3x 3

= 0

e3 − 1 . 3

trên R thỏa mãn f ( 2 ) = −2;

∫ f ( x ) dx = 1.

FF IC IA L

Câu 14: ( Chuyên Biên Hòa-Hà Nam )Cho hàm số y = f ( x ) liên tục và có đạo hàm 4

Tính tích phân I = ∫ f '

A. I = −10. Đáp án A.

B. I = −5.

u = t du = dt Đặt  , suy ra ⇔ dv = f ' ( t ) dt  v = f ( t ) ' 2

( x ) dx = ∫ 2t.f ' ( t ) dt = 2∫ t.f ' ( t ) dt

Khi đó I = ∫ f '

D. I=-18.

C. I = 0.

x = 0 ⇒ t = 0 dx . ⇔ dx = 2tdt và  2 x x = 4 ⇒ t = 2

Đặt t = x ⇔ dt =

( x ) dx.

2 ∫ t.f ' ( t ) dt = t.f ( t ) 0 − ∫ f ( t ) dt = 2f ( 2 ) − 1 = −5.

Vậy tích phân I = 2. ( −5 ) = −10.

Câu 15: ( Chuyên Thái Bình Lần 3-2018)Cho

∫ f ( x ) dx

C. a + b.

D. a − b.

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx = a − b.

KÈ

Ta có:

B. b − a

A −a − b. Đáp án D.

bằng:

∫ f ( x ) dx = a, ∫ f ( x ) dx = b. Khi đó

ẠY

Câu 16: ( Chuyên Thái Bình Lần 3-2018)Cho

∫ f (x

+ 1) x dx = 2. Khi đó

I = ∫ f ( x ) dx bằng

A. 2. Đáp án D.

B. 1.

x = 1 → t = 2 Đặt t = x 2 + 1 ⇒ dt = 2xdx,  x = 2 → t = 5

C. -1.

D. 4.

1 1 I ⇒ ∫ f ( x + 1) xdx = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx = ⇒ I = 4. 22 22 2 1 x

Câu 17: ( Chuyên Thái Bình Lần 3-2018)Biết

∫ ( 2x − 1) dx = 1.

đây đúng? A. b − a = 1.

B. a 2 − b 2 = a − b + 1. C. b 2 − a 2 = b − a + 1. D. a − b = 1.

Đáp án C. Ta có

Khẳng định nào sau

FF IC IA L

2 ∫ ( 2x − 1) dx = ( x − x )

= ( b 2 − a 2 ) − ( b − a ) = 1 ⇔ b 2 − a 2 = b − a + 1.

Câu 18:( Chuyên Thái Bình Lần 3-2018) Xét hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [ 0;1] và 1

thỏa mãn 2f ( x ) + 3f (1 − x ) = 1 − x 2 . Tính I = ∫ f ( x ) dx.

π . 6

π . 20

π . 4 Đáp án C.

π . 16

Ta có 2I = ∫ 2f ( x ) dx = ∫  1 − x 2 − 3f (1 − x ) dx = ∫ 1 − x 2 dx − 3∫ f (1 − x ) dx.   0 0 0 0 1

π π π (casio) và ∫ f ( x ) dx = ∫ f (1 − x ) dx ⇒ 2I = − 3I ⇔ I = . ∫0 4 4 20 0 0 Câu 19: ( Chuyên Vĩnh Phúc-Lần 3)Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi

1 − x 2 dx =

Mà

quay hình phẳng (H) được giới hạn bởi các đường y = f ( x ) , trục Ox và hai đường thẳng

x = a, x = b xung quanh trục Ox.

KÈ

A. π ∫ f 2 ( x ) dx a

2 ∫ f ( x ) dx a

C. π ∫ f ( x ) dx

D. 2π ∫ f 2 ( x ) dx

a π 4

ẠY

Câu 20:( Chuyên Vĩnh Phúc-Lần 3) Tính tích phân I = ∫ tan 2 x dx .

A. I = 1 −

Đáp án A

π 4

B. I = 2

C. I = ln 2

D. I =

π 12

π 4

 1  − 1  dx = ( tanx-x ) Ta có I = ∫ tan 2 xdx = ∫  2 cos x  0

π 4 0

= 1− 2

Câu 21:(Chuyên Khoa Học Tự Nhiên) Tích phân

π 4

∫ 2x + 1 dx 0

A. 2 ln 5

1 ln 5 2

C. ln 5

D. 4 ln 5

Đáp án C 2

4 + 2 x +1

dx =

2 2 2 ∫0 2x + 1dx = ∫0 2x + 1d ( 2x + 1) = ln 2x + 1 |0 = ln 5

Câu 22: (Chuyên Khoa Học Tự Nhiên) Cho I = ∫

bằng

FF IC IA L

π 4

với a, b, c là các số nguyên. Gía trị của a + b + c bằng A. 1 B. 2 C. 7 Đáp án A

a + b ln 2 + c ln 3, 3

D. 9

2 2 2 3 x = 0 ⇒ t = 1 t −1 t −t Đặt t = x + 1 ⇒ t = x + 1 ⇒ 2tdt = dx;  2tdt = ∫ dt ⇒I=∫ 4 + 2t t+2 x = 3 ⇒ t = 2 1 1 2 a = 7 2   t3 2 6  7   2 ∫1  t − 2t + 3 − t + 2  dt =  3 − t + 3t − 6 ln x + 2  = 3 − 12 ln 2 + 6 ln 3 ⇒ b = −12 ⇒ a + b + c = 1  1 c = 6

Câu 23: (Chuyên Khoa Học Tự Nhiên) e

Với cách biến đổi u = 1 + 3ln x thì tích phân

KÈ

2 A. ∫ ( u 2 − 1) du 31 Đáp án B

2 B. ∫ ( u 2 − 1) du 91

ẠY

Ta có u = 1 + 3ln x ⇒ u 2 = 1 + 3ln x ⇒ 2udu =

∫x

ln x dx trở thành 1 + 3ln x 2

9 u2 −1 du D. ∫ 21 u

C. 2 ∫ ( u − 1) du 2

x = 1 ⇒ u = 1 3 dx,  x x = e ⇒ u = 2

u2 −1 e e 2 ln x 2 2 dx = ∫ 3 udu = ∫ ( u 2 − 1) du Suy ra ∫ u 3 91 1 x 1 + 3ln x 1

Câu 24: (Chuyên Khoa Học Tự Nhiên) Cho hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có đồ thị biết rằng

( C)

đi qua điểm A ( −1;0 ) tiếp tuyến d tại A của

( C)

cắt

( C)

( C) ,

tại 2 điểm

có hoành độ lần lượt là 0 và 2, diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, đồ thị

và 2

28 (phần gạch chéo trong hình vẽ) 5

và 2 đường thẳng x = −1; x = 0 có diện

( C)

2 9

1 5

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, đồ thị tích bằng 2 1 A. B. 5 9 Đáp án D

FF IC IA L

đường thẳng x = 0; x = 2 có diện tích bằng

( C)

( C) ⇒ a + b + c = 0 Phương trình tiếp tuyến tại A ( −1;0 ) là ( d ) : y = y ' (1)( x + 1) = ( −4a − 2b )( x + 1) Phương trình hoành độ giao điểm của (*) suy ra ( −4a − 2b )( x + 1) = ax 4 + bx 2 + c (*)

Điểm A ( −1;0 ) thuộc đồ thị hàm số

−4a − 2b = c Mà x = 0, x = 2 là nghiệm của (*) suy ra  (1) −12a − 6b = 16a + 4b + c 2 28 32 8 28 Và = ∫ ( −4a − 2b )( x + 1) − ax 4 − bx 2 − c dx = 4 ( −4a − 2b ) − a − b − 2c = ( 2 ) 5 0 3 3 5

KÈ

→ y = x 4 − 3x 2 + 2 Từ (1) , ( 2 ) suy ra a = 1, b = −3, c = 2  2

Vậy diện tích cần tính là S = ∫ 2x + 2 − x 4 + 3x 2 − 2dx = 0

1 5

ẠY

Câu 25: (Chuyên Lê Hòng Phong- Nam Định)Cho I = u = 2x + 1. Mệnh đề nào dưới đây sai? 3 1 A. I = ∫ x 2 x 2 − 1 dx 21

(

)

1 x 1 + 2xdx và 2 ∫0 3

(

)

B. I = ∫ u2 u2 − 1 du 1

1  u 5 u3  C. I =  −  2 5 3 

D. I = 1

1 2 2 u u − 1 du 2 ∫1

u=3 khi x=4 3 u 2 − 1) 1  u5 u3  2 ( I = ∫u du=  −  2 2 5 3  1

3 1

Câu 26: (Chuyên Lê Hòng Phong- Nam Định) Biết

C. S = 2

3 2

+ ln ( x+1) 53 = 8 + ln

5 3

D. S = 10

Đáp án C 5 5 x 2 + x+1 1   x= d ∫3 x+1 ∫3  x+ x+1 dx 1 = x2 2

x2 + x + 1 b ∫1 x + 1 = a + ln 2 , với a, b là

các số nguyên. Tính S = a − 2b. A. S = −2 B. S = 5

)

FF IC IA L

Đáp án B u= 2x+1 ⇒ u du=x dx Cận u=1 khi x=0

(

A. a + 2b = 8 Đáp án B

π 1 được viết ở dạng π  −  − 1. Khẳng định nào sau đây là sai? a b B. a + b = 5 C. 2a − 3b = 2 D. a − b = 2

∫ ( 2x − 1 − sin x ) dx

π 2

Câu 27: (Chuyên Lê Hòng Phong- Nam Định) Kết quả của tích phân

π2

π 1 −1 = π  −  −1 4 2  4 2 0 ⇒ a = 4; b = 2 ⇒ a + b = 6 ⇒ khẳng định B sai. 2

2 ∫ ( 2 x − 1 − sin x )dx = ( x − x + cos x ) 2 =

−

KÈ

ẠY

Câu 28: (Chuyên Lê Hòng Phong- Nam Định): Biết

∫ 1

Tính P = a.b A. P = 4 Đáp án B

B. P = −8 e

ln x x

C. P = −4

dx = a e + b với a, b ∈ ℤ.

D. P = 8

ln x dx = 0, 7025574586... rồi lưu vào A. Xét hàm F(X) = A – x 1 XError! Reference source not found. Cách 1: Bấm MT tính

∫

(Do A = a e + b ) bằng cách nhập hàm trên vào Mode 7, lấy star: - 4, end: 4, step: 1. Ta sẽ  X ' = −2  a = −2 ∈ Z thoả mãn ycbt nên P = - 8. thấy tại tức là   b = 4 ∈ Z F ( X ) = 4  a = −2 ∈ Z ln x dx = −2 e + 4 =>  x b = 4 ∈ Z 1 e

∫

Câu 29: (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định) Cho

∫ f ( x ) dx = 4.

−1 2

I = ∫ f ( 2x + 1) dx −1

A. I = 2

B. I =

5 2

C. I = 4

Tính

D. I =

3 2

Đáp án A 5

1 1 f ( u ) du = .4 = 2 ∫ 2 −1 2

Đặt 2x + 1 = u ⇒ 2dx = du ⇒ I =

nên P = - 8.

FF IC IA L

Cách 2: Tính tích phân từng phần

Câu 30: (Viên Khoa Học và Thương Mại Quốc Tế) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục đường thẳng x = a, x = b ( a < b ) là A.

∫ f ( x ) dx

∫ f ( x ) dx a

∫ f ( x ) dx

∫ f ( x ) dx b

Đáp án C

trên [ a; b ] . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục hoành và hai

trục

hoành

và

Phương pháp: Sử dụng công thức ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng. Cách giải: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) , hai

đường thẳng x = a, x = b ( a < b ) là S = ∫ f ( x ) dx

KÈ

Câu 31: (Viên Khoa Học và Thương Mại Quốc Tế) tích phân I = ∫ B. 1

D. ln

C. ln 2

ẠY

A. 0

dx bằng x +1 3 2

Đáp án C

Phương pháp: Sử dụng bảng nguyên hàm mở rộng: 1

Cách giải: I = ∫ 0

∫ ax + b dx = a ln ax + b + C

1 dx = ln x + 1 = ln 2 − ln1 = ln 2 2 x +1

Câu 32: (Viên Khoa Học và Thương Mại Quốc Tế) Cho biết

∫ ln ( 9 − x ) dx = a ln 5 + b ln 2 + c , với a, b, c là các số nguyên. Tính 2

S = a + b + c được:

B. S = 13

C. S = 18

Phương pháp: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần. −2x  2  u = ln ( 9 − x ) du = Cách giải: Đặt  ⇒ 9 − x2 dv = dx  v = x 2

⇒ I = ∫ ln ( 9 − x ) dx = x ln ( 9 − x 2

1 2

) 1

x2 dx = 2 ln 5 − 3ln 2 + 2I1 + 2∫ 9 − x2 1

x 9  dx  dx = ∫  −1 + dx = − ∫ dx + 9 ∫ 2 2  9−x 9−x  3 − x )( 3 + x ) 1 1 1 1 (

I1 = ∫

D. S = 26

FF IC IA L

A. S = 34 Đáp án B

9  1 1  3 3 3+ x 2 = −x + ∫  +  dx = −1 + ( − ln 3 − x + ln 3 + x ) 1 = −1 + ln 6 1  3− x 3+ x  2 2 3− x

2 1

3 3 ( ln 5 − ln 2 ) = −1 + ln 5 − 3ln 2 = 5 ln 5 − 6 ln 2 − 2 2 2 a = 5  ⇔ b = 6 ⇒ S = a + b + c = 13 c = −2 

= −1 +

Câu 33: (Viên Khoa Học và Thương Mại Quốc Tế) Cho hàm số 1 a x f ( x) = bxe ' 0 = − 22 + . Tìm a và b bi ế t r ằ ng f và ( ) 3 ∫0 f ( x ) dx = 5 ( x + 1) B. a = 2, b = 8

C. a = 8, b = 2

D. a = −8, b = −2

A. a = −2, b = −8 Đáp án C

KÈ

Phương pháp: +) Tính f ' ( 0 ) và sử dụng giả thiết f ' ( 0 ) = −22 suy ra 1 phương trình chứa a,b. +) Tính

∫ f ( x ) dx và sử dụng giả thiết ∫ f ( x ) dx = 5 suy ra 1 phương trình nữa chứa a, b.

ẠY

+) Giải hệ gồm 2 phương trình trên, tìm a và b. Cách giải:

f ' ( x ) = −3.

( x + 1)

+ be x + be x

⇒ f ' ( 0 ) = −3a + b = −22

(1)

1 1 1  a −3 x x = + = + + f x dx bxe dx a x 1 dx b   ( ) ( ) ∫0 ∫0  ( x + 1)3 ∫0 ∫0 xe dx = aI1 + bI2   

I1 = ∫ ( x + 1)

−3

( x + 1) dx = −2

−2 1

= 0

−1  1  3  − 1 = 2 4  8

1 u = x du = dx x 0 x x Đặt  ⇔ ⇒ I = xe −  2 1 ∫ e dx = e − e x x dv = e dx v = e   0 1 3 ⇒ ∫ f ( x ) dx = a + b = 5 ( 2 ) 8 0

1 0

= e − ( e − 1) = 1

FF IC IA L

a = 8 Từ (1) và (2) ⇒  b = 2 Câu 34: (Chuyên Sư Phạm Hà Nội Lần 2) Cho số dương a và hàm số y = f ( x ) liên tục

A. 2a 2

trên ℝ thỏa mãn f ( x ) + f ( − x ) = a ∀x ∈ ℝ . Giá trị của biểu thức

B. a 2

Q a

D. 2a

Phương pháp: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ tính

∫ f ( −x ) dx −a

∫ f ( x ) dx + ∫ f ( −x ) dx =

∫ f ( x ) + f ( −x )dx

−a

Sử dụng công thức :

−a

∫ f ( x ) dx bằng −a

C. a

Đáp án B

KÈ

 x = −a ⇒ t = a Cách giải: Đặt t = − x ⇒ dt = −dx . Đổi cận   x = a ⇒ t = −a

ẠY

Khi đó ta có:

∫ f ( x ) dx = − ∫ f ( −t ) dt =

∫ f ( −x ) dx

−a

⇒ 2I =

∫ f ( x ) dx + ∫ f ( − x ) dx = ∫ f ( x ) + f ( −x ) dx = ∫ adx = a x

⇒I=a

−a

a −a

= 2a 2

Câu 35: (Chuyên Sư Phạm Hà Nội Lần 2) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ bên. Hình phẳng được đánh dấu trong hình bên có diện

∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx a

b b

∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx a

C. − ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx a

FF IC IA L

tích là

∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx a

Đáp án A

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f ( x ) , y = 0, x = a, x = b Lời giải:

b c f ( x ) > 0 khi x ∈ ( a; b ) Ta có S = S1 + S2 = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx. Mà  f ( x ) < 0 khi x ∈ ( b;c ) a b

Khi đó S = ∫ f ( x ) dx + ∫ −f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx a

Câu 36 :(Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi – Lần 1): Cho hàm số y = f ( x ) liên tục

trên đoạn [ a; b ] ; và f ( x ) > 0, ∀x ∈ [ a; b ] . Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm

số y = f ( x ) , trục hoành và 2 đường thẳng x = a, x = b ( a < b ) . Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay D quanh Ox được tính theo công thức b

2 ∫ f ( x )dx

KÈ

B. π ∫ f ( x 2 )dx

C. π ∫ f ( x )  dx

Đáp án C Phương pháp: Dựa vào công thức ứng dụng tích phân để tính thể tích vật tròn xoay. b

ẠY

Cách giải: V = π ∫ f ( x )  dx a

Câu 37:(Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi – Lần 1): Biết rằng e

∫ x ln xdx = ae

+ b, a, b ∈ ℚ. Tính a + b

A. 0

B. 10

1 4

∫ f ( x ) dx

1 2

: Đáp án D b

Phương pháp: Công thức từng phần:

∫ udv = uv

b a

− ∫ vdu

FF IC IA L

dx  du =  u = ln x  x Cách giải: Đặt  ⇔ 2 dv = xdx v = x  2 e

e x2 1 e2  e 2 1  e 2 + 1 ⇒ I = .ln x − ∫ xdx = −  −  = 2 21 2  4 4 4 1 1 1 ⇒a =b = ⇒a+b = 4 2

Câu 38: (Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi – Lần 1) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên f (x)

∫ 1+ e

ℝ và là hàm số chẵn, biết

dx = 1. Tính ∫ f ( x )dx

1 2

Đáp án Phương pháp: Đặt t = − x 1 f (x) dx = 1 Cách giải: I = ∫ x 1 + e −1

C. 4

B. 2

(1)

A. 1

−1

ẠY

KÈ

Đặt t = − x ⇒ dt = −dx.  x = −1 ⇒ t = 1 Đổi cận   x = 1 ⇒ t = −1 1 −1 −1 f (x) f ( −t ) f (t) dx dt dt (do f ( x ) là hàm chẵn) Khi đó: I = ∫ = − = − t x −t ∫ ∫ 1 e + 1 + e 1 + e −1 1 1 et −1 t 1 x 1 x e f (t) e f (x) e f (x) dt dt dt = 1 ⇒ = −∫ = ( 2) t x x ∫ ∫ 1 + e 1 e 1 + e + 1 −1 −1 1

Từ (1), (2), suy ra

∫ −1

exf ( x ) 1 + ex

dt+ ∫ −1

ex f ( x ) 1 + ex

dt = 2 ⇔

∫ −1

+ 1) f ( x ) 1 + ex

dx=2 ⇔ ∫ f ( x )dx=2 −1

Câu 39: (Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi – Lần 1)Cho hình (H) là hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị của 2 hàm số y = x 2 và y = x + 2. Diện tích của hình (H) bằng A.

7 6

B. −

9 2

3 2

9 2

Đáp án D Phương pháp: Diện tích hình phẳng tạo bởi hai đồ thị hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) và các đường thẳng x = a, x = b, a < b b

FF IC IA L

S = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx a

Cách giải: Phương trình hoành độ giao điểm của y = x 2 và y = x + 2  x = −1 x2 = x + 2 ⇔ x2 − x − 2 = 0 ⇔  x = 2 Diện tích hình (H): 2

1 1  S = ∫ x − ( x − 2 ) dx = ∫ x − x − 2dx = − ∫ ( x − x − 2 )dx =  x 3 − x 2 − 2x  2 3  −1 −1 −1 −1 2

1 1 3 2 1  1  9 =  23 − 22 − 2.2  +  ( −1) − ( −1) − 2 ( −1)  = 2 2 3  3  2

∫ x.f ( x ) dx = 2, hãy tính I = ∫ f ( x ) dx. 2

A. I = 2.

B. I = 1.

1 C. I = . 2

Đáp án D.

Câu 40: ( Chuyên Tiền Giang-2018)Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ. Biết

D. I = 4.

2 4 4 x = 0 → t = 0 1 2 ⇒ ∫ x.f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt ⇒ ∫ f ( x ) dx = 4 ⇒ I = 4. Đặt t = x ⇒ dt = 2xdx,  20 x = 2 → t = 4 0 0 Câu 41: ( Chuyên Tiền Giang-2018) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 1 4 y = x 2 , y = − x + và trục hoành. 3 3 11 61 343 39 A. B. C. D. 6 3 162 2 Đáp án A.

KÈ

Vì diện tích của 3 đường nên ta cần vẽ hình:

ẠY

1 4 PT hoành độ giao điểm giữa 2 đường y = x 2 , y = − x + là 3 3 x = 1 1 4 2 x =− x+ ⇔  4. x = − 3 3 3  1 4 11  x 4 Dựa vào hình vẽ ta có: S = ∫ x 2 dx + ∫  − +  dx = . 3 3 6 0 1

Câu 42: (Cụm 5 trường chuyên)Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên [ a; b ] . Giả sử hàm số u = u ( x ) có đạo hàm liên tục trên [ a; b ] và u ( x ) ∈ [ α; β] ∀x ∈ [ a; b ] , hơn nữa

u( b )

∫ f ( u ( x ) ) u 'dx =

∫

f ( u ) du

u( a )

a u( b )

∫

u( a )

∫ f ( u ( x ) ) u 'dx = ∫ f ( u ) du a

f ( u ( x ) ) u ' ( x ) dx = ∫ f ( u ) du

∫ f ( u ( x ) ) u ' ( x ) dx = ∫ f ( x ) du a

FF IC IA L

f ( u ) liên tục trên đoạn [ a; b ] . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Đáp án A

Phương pháp: Sử dụng phương pháp đổi biến, đặt t = u ( x )

Cách giải:

u( b )

u( a )

∫ f ( t ) dt = ∫ f ( u ) du u(a )

I = ∫ f ( u ( x ) ) u ' ( x ) dx =

u( b)

 x = a ⇒ t = u ( a ) Đặt t = u ( x ) ⇒ dt = u ' ( x ) dx. Đổi cận   x = b ⇒ t = u ( b )

π 2

π  Câu 43: (Cụm 5 trường chuyên) Tính tích phân I = ∫ sin  − x  dx 4  0

KÈ

Đáp án C

B. I = 1

Phương pháp:

ẠY

C. I = 0

A. I = −1

∫ sin ( a x + b ) dx = − a cos ( a x + b ) + C

π 2

2 2 π  π 2 Cách giải: I = ∫ sin  − x  dx = cos  x  = − =0 2 2 4  4 0 0

e− nx dx , n ∈ ℕ. Đặt 1 + e− x 0

Câu 44: (Cụm 5 trường chuyên) Cho I n = ∫

D. I =

π 4

u n = 1( I1 + I 2 ) + 2 ( I 2 + I3 ) + 3 ( I3 + I 4 ) + ... + n ( I n + In1 ) − n . Biết lim u n = L. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. L ∈ ( −2; −1)

B. L ∈ ( −1; 0 )

C. L ∈ (1; 2 )

D. L ∈ ( 0;1)

Phương pháp: Tính tổng quát n ( In + I n +1 ) bằng bao nhiêu, sau sử dụng công thức tổng của cấp số nhân để rút gọn u n . Cách giải: e e nx dx e ( ) dx Ta có: I n + I n +1 = ∫ + = −x − x ∫0 1 + e ∫0 1+ e 0 1

− n +1

− nx

(1 + e ) dx = −x

1 + e− x

∫e

− nx

đó thay vào tính u n và

−e − nx dx = n

−e − n + 1 n

FF IC IA L

Đáp án B

⇒ n ( I n + I n +1 ) = 1 − e − n

⇒ u n = 1( I1 + I 2 ) + 2 ( I 2 + I3 ) + 3 ( I3 + I 4 ) + ... + n ( I n + In +1 ) − n

1 1 1 − n  1n − 1  1 e e  e 1 1 u n = 1 − e −1 + 1 − e −2 + ... + 1 − e − n − n = −  + 2 + ... + n  = −  = 1 e  e −1 e e 1− e −1 ⇒ L = lim u n = ≈ −0,58 ∈ ( −1; 0 ) e −1

KÈ A. I =

mãn f ( x ) .f ( a − x ) = 1, ∀x ∈ [ 0;a ] . Tính tích phân

1 dx. 1+ f (x) 0

I=∫

[ 0; a ] thỏa

luôn dương trên đoạn

Câu 45: (Cụm 5 trường chuyên) Cho số thực a > 0 . Giả sử hàm số f ( x ) liên tục và

a 2

B. I = a

C. I =

2a 3

ẠY

Đáp án A

Phương pháp : Sử dụng phương pháp đổi biến, đặt

x =a−t.

x = 0 ⇒ t = a Cách giải : Đặt x = a − t ⇒ dx = −dt. Đổi cận  x = a ⇒ t = 0

D. I =

a 3

a a a f (x) 1 1 1 dt = ∫ dx = ∫ dx = ∫ dx 1 1+ f (a − t ) 1+ f (a − x ) 1+ f (x) a 0 0 1+ 0 f (x)

⇒ I = −∫

FF IC IA L

1 x a ⇒ f ( x ) = 1 ⇒ I = ∫ dx = = 2 20 2 0

Câu 46: (Chuyên Chu Văn An-2018) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b ] và cắt trục hoành tại điểm x = c ( a < c < b ) (như hình vẽ bên). Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y = f ( x ) trục hoành và hai đường thẳng

x = a; x = b. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? c

A. S = ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx c c

B. S = − ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx c b

a b

a c

C. S = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx

D. S = ∫ f ( x ) dx

Đáp án B.

Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng. b

Phương pháp :

Cách giải: S = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx a

Câu 47: (Chuyên Chu Văn An-2018) Biết

KÈ

ẠY D

với a, b là các số thực.

1 2

Mệnh đề nào dưới đây đúng? 9 9 A. a + b = B. ab = 30 8 Đáp án C. Phương pháp:

x −5

∫ 2x + 2 dx = a + ln b C. ab =

8 81

D. a + b =

Chia tử cho mẫu.

x −5 x +1− 6 3  1 1  Cách giải: ∫ dx = ∫ dx = ∫  −  dx =  x − 3ln x + 1  x +1  2  1 2x + 2 1 2x + 2 12

1 3

7 24

1  a=  1 1 4 1 2 1 8 8  3 = − 3ln 2 − + 3ln = + 3ln = + ln ⇒ ⇒ ab = 2 6 3 3 3 3 27 81 b = 8  27

∫f (

FF IC IA L

Câu 48: (Chuyên Chu Văn An-2018) Cho hàm số f ( x ) liên tục trên [1; +∞ ) và 2

)

x + 1 dx = 8. Tích phân I = ∫ xf ( x ) dx bằng:

A. I = 8 Đáp án B.

B. I = 4

C. I = 16

D. I = 2

Phương pháp: Đặt t = x + 1

(

)

x + 1 dx = ∫ f ( t ) 2tdt = 2 ∫ xf ( x )dx = 8 ⇔ ∫ xf ( x ) dx = 4

⇒ ∫f

x = 0 ⇒ t = 1 Cách giải: Đặt t = x + 1 ⇔ t 2 = x + 1 ⇒ dx = 2tdt, đổi cận  x = 3 ⇒ t = 2

Câu 49: (Chuyên Lê Quý Đôn- Quảng Trị -Lần 1)Cho

∫e

x +1

dx = a.e2 + b.e + c, x +1

KÈ

với a, b, c là các số nguyên. Tính S = a + b + c B. S = 1 C. S = 0 D. S = 2 A. S = 4 Đáp án C Phương pháp giải: Đặt ẩn phụ, đưa về phương pháp đổi biến số tính tích phân Lời giải: x = 0 ⇒ t = e e x +1 Đặt t = e x +1 ⇔ 2dt = dx và đổi cận  2 x +1 x = 3 ⇒ t = e a = 2 3 e2 dx e2  x +1 2 2 = 2 ∫ dt = 2t e = 2e − 2e = a.e + b.e + c ⇒  b = −2 Khi đó ∫ e . x +1 0 e c = 0  Vậy S = 2

ẠY

Câu 50: (Chuyên Lê Quý Đôn- Quảng Trị -Lần 1)Cho tích phân

m là một phân số tối giản. Tính m − 7n. n A. 2 B. 1 Đáp án B

Phương pháp giải: Lời giải:

∫

Đặt ẩn phụ

C. 0

x 3dx 3

1+ x

D. 91

t = 3 1 + x 2 , đưa về tích phân hàm đa thức.

m , vớ i n

Đặt t = 3 1 + x 2 ⇔ t 3 = 1 + x 2 ⇔ 2xdx = 3t 2 dt ⇔ xdx =

∫ 0

∫

Vậy

1+ x2

x 3dx 3

x 3dx

1+ x2

∫

x2 3

1+ x2

.xdx = ∫ 1

t 3 − 1 3t 2 3 141 . dt = ∫ ( t 4 − t ) dt = t 2 21 20

m = 141 m ⇒ → m = 7n = 141 − 7.20 = 1 n n = 20

FF IC IA L

Khi đó

 x = 0 ⇒ t = 1 3t 2 dt và  2  x = 7 ⇒ t = 2

Câu 51: (Chuyên Lê Quý Đôn- Quảng Trị -Lần 1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị y = x 2 − 2x và y = − x 2 + x . 9 10 A. 6 B. 12 C. D. 8 3 Đáp án C Phương pháp giải: Tìm hoành độ giao điểm, áp dụng công thức tính diện tích giới hạn bởi hai đồ thị hàm số Lời giải: Hoành độ giao điểm của ( P1 ) , ( P2 ) là nghiệm của phương trình:

3 2

x = 0 x 2 − 2x = − x 2 + x ⇔  x = 3 2  Vậy diện tích cần tính là 3 2

3 2

S = ∫ x 2 − 2x − ( − x 2 + x ) dx = ∫ 2x 2 − 3x dx = ∫ ( 3x − 2x 2 ) dx = 0

9 8

Câu 52: (Chuyên Lê Quý Đôn- Quảng Trị -Lần 1) Cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn π 2

I = ∫ cos x.f ' ( x ) dx

∫ s inx.f ( x ) = f ( 0 ) = 1. Tính

π 2

ẠY

KÈ

A. I = 2 B. I = −1 C. I = 1 Đáp án D Phương pháp giải: Sử dụng phương pháp từng phần tính tích phân u = cos x du = − sin xdx Lời giải: Đặt  , Khi đó ⇔ dv = f ' ( x ) dx  v = f ( x ) π 2 0

D. I = 0

π 2

I = cos x.f ( x ) + ∫ s inx.f ( x ) dx 0

π 2

π π = cos .f   − cos0.f ( 0 ) + ∫ s inx.f ( x ) dx = −f ( 0 ) + ∫ s inx.f ( x ) dx = −1 + 1 = 0 2 2 0 0

Câu 53: (Chuyên Lê Quý Đôn- Quảng Trị -Lần 1)Cho f ( x ) là hàm số liên tục trên ℝ và 1

−1

∫ f ( x ) dx = 4, ∫ f ( x ) dx = 6. Tính I = ∫ f ( 2x + 1 ) dx

A. I = 6

B. I = 3

C. I = 4

D. I = 5

FF IC IA L

thỏa mãn điều kiện

Đáp án D Phương pháp giải: Chia trường hợp để phá trị tuyệt đối, sử dụng đổi biến số để đưa về tích phân đề bài cho Lời giải: Ta có −

I = ∫ f ( 2x + 1 ) dx = −1

1 2

−

∫ f ( 2x + 1 ) dx +

∫ f ( 2x + 1 ) dx =

−1

−

1 2

∫−1 f ( −2x − 1) dx + ∫1 f ( 2x + 1) dx − 2 I1

 x = −1 ⇒ t = 1 dt  • Đặt t = −2x − 1 ⇔ dx = − . Khi đó và  1 2  x = − 2 ⇒ t = 0 0 1 1 1 I1 = − ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx = 2 21 20

1  dt x = − ⇒ t = 0 • Đặt t = 2x + 1 ⇔ dx = và  . Khi đó 2 2  x = 1 ⇒ t = 3 3 3 1 1 I 2 = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx = 3 20 20 1

Vậy I = ∫ f ( 2x + 1 ) dx = I1 + I 2 = 2 + 3 = 5 −1

KÈ

Câu 54: (Chuyên Phan Bội Châu- Nghệ An) Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x và y = e x , trục tung và đường thẳng x = 1 được tính theo công

ẠY

thức

A. S = ∫ e x − 1 dx 0

B. S =

∫ −1

e x − 1 dx

C. S = ∫ x − e x dx 0

Đáp án B

Xét hàm số f ( x ) = e x − x , hàm số liên tục trên đoạn [ 0;1] Ta có f ' ( x ) = e x − 1 ⇒ f ' ( x ) > 0, ∀x ∈ ( 0;1) ⇒ f ( x ) đồng biến trên [ 0;1]

D. S =

∫e −1

− x dx

Suy ra f ( x ) ≥ f ( 0 ) = 1 > 0 ⇒ e > x, ∀x ∈ [ 0;1] ⇒ S = ∫ ( e x − 1) dx x

0 1

Câu 55: (Chuyên Phan Bội Châu- Nghệ An)Tích phân I = ∫ e2x dx bằng 2

A. e − 1

e2 − 1 C. 2

B. e − 1

D. e +

Đáp án C 1

1 2x e 2x Ta có I = ∫ e dx = ∫ e d ( 2x ) = 20 2 0

e2 − 1 = 2 2

∫ f (x

1 2

+ 1) dx = 2. Khi đó

Câu 56: (Chuyên Phan Bội Châu- Nghệ An)Cho

FF IC IA L

I = ∫ f ( x ) dx bằng

A. 2

C. −1

D. 4

B. 1

Đáp án D

Đặt t = x 2 + 1 ⇒ dt = 2xdx ⇒ ∫ f ( x 2 + 1) xdx = ∫ f ( t ) . 5

Do đó I = ∫ f ( x ) dx = 4

dt 1 = f ( x ) dx = 2 2 2 ∫2

Câu 57: (Chuyên Phan Bội Châu- Nghệ An) Xét hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [ 0;1] 1

KÈ

và thỏa mãn 2f ( x ) + 3f (1 − x ) = 1 − x. Tích phân

2 3

ẠY

∫ f ( x ) dx bằng 0

1 6

2 15

3 5

Đáp án C 1

Ta có

2 ∫0  2f ( x ) + 3f (1 − x ) dx = ∫0 1 − xdx ⇔ 2∫0 f ( x ) dx + 3∫0 f (1 − x ) dx = 3

(1)

x = 0 ⇒ t = 1 Đặt t = 1 − x ⇔ dx = −dt  ⇒ x = 1 ⇒ t = 0

∫ f (1 − x ) dx = − ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx 0

( 2)

2 2 ⇒ ∫ f ( x ) dx = 3 15 0

Câu 58: (Chuyên Phan Bội Châu- Nghệ An) Hàm số f ( x )

FF IC IA L

Từ (1) và (2) suy ra 5 x ∫ f ( x ) dx =

7 cos x − 4 s inx có một cos x + s inx

π  π  3π nguyên hàm F ( x ) thỏa mãn F   = . Giá trị của F   bằng 4 8 2

3π − 11ln 2 4

3π 4

3π 8

3π − ln 2 4

Đáp án D

Tách 7 cos x − 4sin x = a ( cos x + s inx ) + b ( cos x − s inx ) = ( a + b ) .cos x + ( a − b ) .s inx

π 4

Khi đó 2 ∫ f ( x ) dx = ∫

3 ( cos x + s inx ) + 11( cos x − s inx )

π 2

cos x + s inx π 2

π 2

π 4

dx = ∫ 3dx + 11∫

d ( cos x + s inx ) cos x + s inx

2 3π 11.ln 2 3π 11.ln 2 = − ⇒ ∫ f ( x ) dx = − 4 2 8 4 π

3π + 11.ln cos x + s inx = 4

π 2

a + b = 7 3 11 3 11 ⇒ ⇔ a = ; b = → 7 cos x − 4s inx = ( cos x + s inx ) + ( cos x − s inx ) 2 2 2 2  a − b = −4

π

∫ f ( x ) dx = F  2  − F  4 

KÈ

π 4

Mà

π 2

π 4

π  π  3π 11.ln 2 3π − 11.ln 2 suy ra F   = F   + − = 4 4 2 4 8 1

ẠY

Câu 59: ( Chuyên Sơn La- Lần 1)Tích phân A. log 2

∫ x + 1 bằng 0

B. 1

D. − ln 2

C. ln 2

Đáp án C Phương pháp: Sử dụng bảng nguyên hàm mở rộng:

∫ a x + b dx = a ln a x + b + C

Cách giải:

∫ x +1 = 1 l n x +1

1 0

= ln 2 − ln1 = ln 2

Câu 60: ( Chuyên Sơn La- Lần 1)Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b ] . Diện

đường thẳng x = a, x = b ( a < b ) được tính theo công thức: b

A. S = ∫ f ( x ) dx

B. S = b ∫ f ( x ) dx

C. S = ∫ f ( x ) dx D. S = ∫ f ( x ) dx

Đáp án A Phương pháp: phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm

số y = f ( x ) ,

Diện tích S của hình

FF IC IA L

của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f ( x ) , trục hoành và hai

tích S

và hai

trục hoành

đường thẳng x = a, x = b ( a < b ) được tính theo công thức S = ∫ f ( x ) dx

phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f ( x ) , trục hoành và hai

Diện tích S của hình

Cách giải:

đường thẳng x = a, x = b ( a < b ) được tính theo công thức S = ∫ f ( x ) dx

∫

dx = 1, f ( e ) = 2. Tích phân

KÈ

f (x)

Câu 61: ( Chuyên Sơn La- Lần 1) Cho hàm số f ( x ) liên tục trong đoạn [1; e] , biết

A. 1

∫ f ' ( x ) ln xdx = ? 1

B. 0

C. 2

Đáp án A

ẠY

Phương pháp: Công thức từng phần:

Cách giải:

∫ udv = uv − ∫ vdu

D. 3

∫

f (x) x

dx = ∫ f ( x ) d ln x = f ( x ) ln − ∫ ln xf ' ( x ) dx = 1 e 1

⇒ f ( e ) − ∫ ln xf ' ( x ) dx = 1 ⇔ ∫ ln xf ' ( x ) dx = f ( e ) − 1 = 2 − 1 = 1 1

π 3

Câu 62: ( Chuyên Sơn La- Lần 1) Biết

x 2 dx

∫ ( x sin x + cos x ) 0

B. 10

C. 8

=−

aπ + d 3, với b + cπ 3

D. 7

A. 9 Đáp án A

a, b, c, d ∈ ℤ + . Tính P = a + b + c + d

FF IC IA L

1 e

Phương pháp:

Nhân cả tử và mẫu với cos x , sau đó sử dụng phương pháp tích phân từng phần. Cách giải:

∫ ( x s inx + cos x )

x x cos xdx . cos x ( x sin x + cos x ) 2 0

=∫

π 3

x 2 dx

d ( x sin x + cos x )

π 3

x x 1   . d = −∫  2 cos x ( x sin x + cos x ) cos x  x sin x + cos x  0 0

=∫

x 1 1  x  . +∫ d  cos x x sin x + cos x 0 0 sxinx + cos x  cos x 

KÈ

=−

π 3

ẠY

x 1 x dx = − =− +∫ + tan x 2 cos x ( x sin x + cos x ) 0 0 cos x cos x ( x sin x + cos x ) 0

π 3 0

π 4π aπ 3 =− =− + 3=− + d 3 ( a, b, c, d ∈ ℤ + ) π 3 +3 b + cπ 3 1 π 3 1 . . + + 3 2  3 2 2

⇒ a = 4, b = 3, c = 1, d = 1 ⇒ a + b + c + d = 9

Câu 63: ( Chuyên Trần Phú – Lần 2) Tích phân

∫ ( 3x + 2 ) c os xdx bằng: 2

1 2 π −π 4

1 2 π +π 4

Phương pháp: Sử dụng công thức hạ bậc cos 2 x =

3 2 π +π 4

FF IC IA L

3 2 π −π 4 Đáp án D

1 + cos 2x và sử dụng phương pháp 2

tính tích phân từng phần. Cách giải: π π π π  1 1 1 2 = + + = + + + 3x 2 cos xdx 3x 2 1 cos2x dx 3x 2 dx 3x 2 cos2xdx + ( ) ( )( ) ( ) ( )   = ( I1 + I 2 ) ∫0 ∫0 2 ∫0 2  ∫0  2 Tính I1 ? π

 3x 2  3 I1 = ∫ ( 3x + 2 ) dx =  + 2x  = π2 + 2π  2 0 2 0 π

Tính I 2 ? π

I 2 = ∫ ( 3x + 2 ) cos2xdx

du = 3dx u = 3x + 2  Đặt  ⇔ 1 dv = cos2xdx  v = 2 sin 2x

3 1 3 1 3 I 2 = ( 3x + 2 ) sin 2x − ∫ sin 2xdx = ( 3x + 2 ) sin 2x + cos2x = (1 − 1) = 0 2 20 2 4 4 0 0 0

13  3 Vậy I =  π2 + 2π  = π2 + π 22  4

KÈ

Câu 64: ( Chuyên Trần Phú – Lần 2) Viết công thức tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với Ox tại các điểm x = a, x = b ( a < b ) , có diện tích thiết diện bị cắt bởi hai mặt phẳng vuông với trục Ox tại điểm có hoành độ x ( a ≤ x ≤ b ) là S ( x ) . b

ẠY

A. V = ∫ S ( x ) dx a

B. V = π ∫ S ( x ) dx a

C. V = π ∫ S ( x ) dx

D. V = ∫ S ( x ) dx

Đáp án A b

Cách giải: V = ∫ S ( x ) dx a

Câu 65:( Chuyên Trần Phú – Lần 2)Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bới các đường x = y; y = − x + 2, x = 0 quanh trục Ox có giá trị là kết quả nào sau đây ?

3 π 2

A. V =

1 B. V = π 3

C. V =

11 π 6

D. V =

32 π 15

Đáp án D Phương pháp : Thể tích vật tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường

FF IC IA L

y = f ( x ) ; y = g ( x ) ; x = a; x = b khi quay quanh trục Ox là V = π ∫ f 2 ( x ) − g 2 ( x ) dx a

Cách giải: ĐK: x ≥ 0; y ≥ 0

 x = −2 ( ktm ) Xét phương trình hoành độ giao điểm x 2 = − x + 2 ⇔   x = 1( tm ) 1

V = π ∫ x 4 − ( − x + 2 ) dx = π 2

∫(x

− x 2 + 4x − 4 ) dx =

32 π 15

Câu 66: ( Chuyên Trần Phú – Lần 2) Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn 1

f (1) = 1; ∫ f ' ( x )  dx = 9

mãn

∫ f ( x ) dx bằng : 7 4

Tích

phân

2 3

6 5

5 2 Đáp án A

∫ x f ( x ) dx = 2 .

và

thỏa

[ 0;1]

∫ x f ( x ) dx , sử dụng phương pháp tích phân từng phần. 3

Phương pháp: Đối với tích

∫ f ' ( x ) + kx 4 

Tìm k để Cách giải:

dx = 0

1 f (1) 1 1 4  x 4  x 4 .f ( x ) 1 Ta có ∫ x f ( x ) dx = ∫ f ( x ) d   = − ∫ x 4 f ' ( x ) dx = − ∫ x f ' ( x ) dx 4 4 4 4 40   0 0 0 0 1

KÈ

ẠY

1 1 1 1 4 = − ∫ x f ' ( x ) dx ⇔ ∫ x 4 f ' ( x ) dx = −1 Mà f (1) = 1 và ∫ x f ( x ) dx = suy ra 2 2 4 40 0 0 Xét 2

2 k2 4 2 8   f ' x + kx dx = f ' x dx + 2k. x f ' x dx + k . x dx = 9 − 2k + =0⇒k =9   ( ) ( ) ( )  ∫0  ∫0  ∫0 ∫0  9 Khi đó 4

9x 5 ∫0 f ' ( x ) + 9x  dx = 0 ⇒ f ' ( x ) + 9x = 0 ⇔ f ' ( x ) = −9x ⇒ f ( x ) = ∫ f ' ( x ) dx = − 5 + C 4

Mặt khác f (1) = 1 ⇒ C −

9 14 9x 5 14 5 + ⇒ ∫ f ( x ) dx = ⇔ C = . Vậy f ( x ) = − 5 5 5 5 2 0

(P)

thị như hình vẽ: Tính diện tích giới hạn bởi

8 3

FF IC IA L

Câu 67: ( Chuyên Trần Phú – Lần 2) Cho parabol

( P ) và trục hoành.

4 3

có đồ

C. 4 D. 2 Đáp án B Phương pháp: Sử dụng công thức ứng dụng tích phân để tính giới hạn của hình phẳng. Cách giải: Ta dễ dàng tìm được phương trình parabol là y = x 2 − 4x + 3 x = 1 Xét phương trình hoành độ giao điểm x 2 − 4x + 3 = 0 ⇔  x = 3 3 4 Khi đó diện tích giới hạn bởi ( P ) và trục hoành là S = − ∫ ( x 2 − 4x + 3) dx = 3 1

Câu 68: ( Chuyên Trần Phú – Lần 2) Biết

∫ 3x + 1

x 9x 2 − 1

dx = a + b 2 + c 35 với a,

b, c là các số hữu tỉ, tính P = a + 2b + c − 7. 86 1 67 A. B. − C. D. −2 27 9 27 Đáp án B Phương pháp: Nhân liên hợp, tách thành 2 tích phân và sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ. 2

∫ 3x +

KÈ

Cách giải:

9x 2 − 1

(

x 3x − 9x 2 − 1

9x − ( 9x − 1)

dx = ∫

)dx

1 9x 2 − 1 = t ⇔ 9x 2 − 1 = t 2 ⇔ 18xdx = 2tdt ⇔ xdx = tdt 9  x = 1 ⇒ t = 2 2 Đổi cận:   x = 2 ⇒ t = 35

ẠY

Đặt

1 t3 ⇒ I 2 = ∫ t 2 dt = 92 2 27 2

= 2

35 35 16 2 − 27 27

FF IC IA L

 a = 7  16 2 35 35 16  ⇒ I =7+ − ⇒ b = 27 27 27  35  c = − 27 1 ⇒ P = a + 2b + c − 7 = − 9 Câu 69: (Chuyên Hùng Vương-Gia Lai)Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x , trục Ox và hai đường thẳng x = 1, x = 4 khi quay quanh trục hoành được tính bởi công thức nào? 4

A. V = π ∫ xdx

B. V = ∫

C. V = π

x dx

∫ xdx

D. V = π ∫ xdx

Đáp án A

Câu 70: (Chuyên Hùng Vương-Gia Lai) Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay

quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y = x 2 − 4x + 6 và y = − x 2 − 2x + 6 .

C. π

B. π − 1

D. 2π

A. 3π Đáp án A

x = 0 Xét phương trình hoành độ giao điểm: x 2 − 4x + 6 = − x 2 − 2x + 6 ⇔  x = 1 2

CASIO Khi đó: V = ∫ ( x 2 − 4x + 6 ) − ( − x 2 − 2x + 6 ) dx  → = 3π

KÈ

Câu 71: (Chuyên Hùng Vương-Gia Lai)Cho I = ∫ 1

ẠY

I = ln a + b với a > 0, b ∈ ℝ . Khẳng định nào sau

A. 2ab = −1

B. 2ab = 1

ln x x ( ln x + 2 )

dx có kết quả

đây đúng? C. − b + ln

3 1 =− 2a 3

Đáp án D 1 1  ln x t 1 2  t = ln x I=∫ dx  dx →I = ∫ = −  2 ∫0  t + 2 ( t + 2 )2  dx x ( ln x + 2 ) 1 1 ( t + 2)   e

D. − b + ln

3 1 = 2a 3

2  3 1 3 1  =  ln x + 2 + =  = ln − = ln a + b ⇔ − b + ln t+20 2 3 2a 3  9 4

∫

x 2 sin ( πx 3 ) e

1 3 6

số nào nhất trong các số sau đây?

A. 0, 046

B. 0, 036

C. 0, 037

( )

cos πx 3

dx gần bằng

FF IC IA L

Câu 72: (Chuyên Hùng Vương-Gia Lai) Giá trị I =

D. 0, 038

Đáp án C

3 2

 1 x = 3 ⇒ t = 6  Đặt t = cos ( πx 3 ) ⇒ dt = −3πx 2 .sin ( πx 3 ) dx và  t = 9 ⇒ t = 3  4

e 2 −e 2 = ≈ 0, 037 3π

Hùng

2x + 3

Vương-Gia

Câu73:(Chuyên

2 2 3 2

1 t t ∫ e dt = − 3π e 3

1 Khi đó I = − 3π

2 2

Giả

sử

(C là hằng số). Tính tổng của các nghiệm

∫ x ( x + 1)( x + 2 )( x + 3) + 1 dx = − g ( x ) + C

Lai)

của phương trình g ( x ) = 0.

A. −1

C. 3

D. −3

Đáp án D

B. 1

KÈ

d ( x 2 + 3x ) 2x + 3 2x + 3 ∫ x ( x + 1)( x + 2 )( x + 3) + 1 dx = ∫ ( x 2 + 3x + 2 ) ( x + 3x ) + 1 dx = ∫ ( x 2 + 3x + 2 ) ( x + 3x ) + 1 du du 1 1 =∫ =− +C= − +C 2 2 2 2 ( u + 2 ) u + 1 ( u + 1) ( u + 1) ( x + 3x + 1)

ẠY

→∫

Suy ra tổng của các nghiệm của phương trình g ( x ) = 0 là -3.

Câu 74: (Chuyên Hoàng Văn Thụ- Lần 2) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn

[ a; b] . Thể

tích V của khối nón tròn xoay thu được khi cho hình phẳng (H) giới hạn bởi

đồ thị của y = f ( x ) , x = a, x = b ( a < b ) khi quay xung quanh trục Ox tính bằng công thức:

A. V = π ∫ f ( x ) dx

B. V = π ∫ f

( x ) dx

C. V = π

∫ f ( x ) dx a

Đáp án B

D. V = π ∫ f ( x ) dx a

FF IC IA L

Cách giải: Thể tích V của khối nón tròn xoay thu được khi cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị của y = f ( x ) , x = a, x = b, ( a < b ) khi quay xung quanh trục Ox tính bằng công b

thức: V = π ∫ f 2 ( x ) dx

f (1) = 2, f ( 4 ) = 10. Giá trị của I = ∫ f ' ( x ) dx là B. I = 48

C. I = 8

D. I = 3

A. I = 12

Câu 75: (Chuyên Hoàng Văn Thụ- Lần 2) Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm trên [1; 4] và

Đáp án C

Phương pháp: I = ∫ u ' ( x ) dx = ∫ d ( u ( x ) )

Cách giải: I = ∫ f ' ( x ) dx = ∫ d ( f ( x ) ) = f ( x ) 41 = f ( 4 ) = f (1) = 10 − 2 = 8 1

Câu 76: (Chuyên Hoàng Văn Thụ- Lần 2) Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

hàm số y = x 2 − 4x + 4, trục tung, trục hoành. Giá trị của k để đường thẳng d đi qua

KÈ

A ( 0; 4 ) có hệ số góc k chia (H) thành 2 phần có diện tích bằng nhau là

ẠY

A. k = −6

B. k = −2

C. k = −8

D. k = −4

Đáp án A

Phương pháp: Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ

thị

hàm số y = f ( x ) , trục b

hoành và hai đường thẳng x = a; x = b được tính theo công thức : S = ∫ f ( x ) dx a

Cách giải: Phương trình đường thẳng d đi qua A ( 0; 4 ) có hệ số góc k

y = k ( x − 0 ) + 4 ⇔ y = kx + 4 −4  4  , k ≠ 0. Vậy, d cắt Ox tại điểm I  − ;0  k  k 

Giao điểm của y = x 2 − 4x + 4 và trục hoành: Cho y = 0 ⇒ x = 2 =>Để d chia (H) thành 2 phần thì 0 <

−4 < 2 ⇔ k < −2 . k

Vì d chia (H) thành 2 phần có diện tích bằng nhau

( kx + 4 ) ⇔

4 2 −k

1 ( x − 2) = . 2 3

3 2

∫

k x + 4dx =

1 x 2 − 4x + 4 dx ⇔ 2 ∫0

4 k

∫ ( kx + 4 ) dx = 2 ∫ ( x − 2 ) 0

8 1 ( −2 ) −8 4 ⇔− =− . ⇔ = ⇔ k = −6 k 2 3 k 3

1 ( S1 + S2 ) ⇔ 2

−

⇒ S1 = S2 ⇒ S1 =

4 k

−

FF IC IA L

Cho y = 0 ⇒ x =

Câu 77: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang )Cho hàm số

( x ) liên tục trên đoạn [ a;b]. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b ( a < b ) . Diện tích hình phẳng D được tính bởi công thức. b

S =

∫ f (x )d x

y = f

S = π∫ f

(x )d x

S =

S = π ∫ f 2 ( x ) dx a

Đáp án C

∫ f (x ) d x

KÈ

Câu 78: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Cho 2 1 ∫1 x 2 + 5x + 6 dx = a ln 2 + b ln 3 + c ln 5 với a, b, c là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. a + b + c = 4 B. a + b + c = −3 C. a + b + c = 2 D. a + b + c = Đáp án C 2

1 1  x +2  1 ∫1 x2 +5x+6dx = ∫1  x+2 − x+3dx =ln x+3 1

ẠY

Ta có

= ln

4 3 − ln = 4 ln 2 − ln 3 − ln 5 ⇒ a + b + c = 2 5 4

Câu 79: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Cho hàm số π

2 π  π thỏa mãn f   =0, ∫f '( x) dx = và 4  2 π 2

−1

B. 0

∫cosx.f ( x) dx = 4.

Tính

( x ) có đạo hàm liên tục

f (2 0 1 8 π )

π 2

1 2

D. 1

Đáp án D Đặt

π π  u = f ( x ) du = f ' ( x ) dx π ⇒ ⇒ ∫ cos xf ' ( x ) dx = sin x.f ( x ) π − ∫ sin x.f ' ( x ) dx  2 dv = cos xdx  v = sin x π π 2

π 2kπ ⇒ ∫ sin x.f ' ( x ) dx = − ⇒ 2k ∫ sin x.f ' ( x ) dx = 4 4 π π π

FF IC IA L

Lại có

π π 2kπ 2 2 π ∫π sin xdx = 4 ⇒ ∫π f ' ( x ) + k sin x  dx = 4 − 4 + k 4 = 0 ⇔ k = 1

Do đó

∫ f ' ( x ) + sin x 

dx = 0 ⇒ f ' ( x ) = − sin x ⇒ f ( x ) = cos x + C

π 2

π Do f   = 0 ⇒ C = 0 ⇒ f ( x ) = cos x ⇒ f ( 2018π ) = 1 2

B. V=3 3

4 3 3

V=π

A. V = 3

Câu 80:(Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ): Cho vật thể có mặt đáy là hình tròn có bán kính bằng 1 (hình vẽ). Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x ( −1 ≤ x ≤ 1) thì được thiết diện là một tam giác đều. Tính thể tích V của vật thể đó

KÈ

Đáp án C

Cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x thì được thiết diện là một tam giác đều cạnh 2 R 2 − x 2 = 2 1 − x 2 .

ẠY

Diện tích tam giác đều cạnh x là

Tính thể tích V của vật thể đó

( canh) S( x) =

V = ∫ S ( x ) dx = −1

=(1−x2 ) 3

∫ (1 − x ) 2

3dx =

−1

4 3 3

Câu 81: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Tích phân

∫ 0

A. 2 Đáp án C

B. 3

C. 2

1 dx 2x + 1

bằng

Ta có

4 1 dx = 2x + 1 = 2 0 2x + 1

∫ 0

Câu 82: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Cho f là hàm số liên tục thỏa π 2

Tính

∫ f ( x ) dx = 7.

I = ∫ cos x.f ( sin x )dx

FF IC IA L

A. 1 Đáp án D

B. 9

C. 3

D. 7

x = 0 ⇒ t = 0 t = sin x ⇔ dt = cos xdx   π t = ⇒ t = 1  2

Đặt

Khi đó

I =

π 2

∫ c o s x .f ( s in x ) d x

∫ f (x ) d x

= 7

∫ f (t ) d t

Câu 83: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Cho hàm số f liên tục trên đoạn [ −6;5] có đồ thị gồm hai đoạn thẳng và nửa đường tròn như hình vẽ. Tính giá trị 5

 f

(x ) +

2  d x

∫

I =

−6

Đáp án D

KÈ

Dựa vào hình vẽ ta thấy

Vậy

∫

x+ 4 dx+ ∫ 1+ 2 −2

ẠY

−6

−2

I = ∫  f ( x ) + 2  dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + ∫ 2dx −6

−2

x + 4 khi − 6 ≤ x ≤ −2  2   f ( x ) = 1+ 4 − x 2 khi − 2 ≤ x ≤ 2  2x − 1  khi 2 ≤ x ≤ 5  3

(

−6

4− x

−2

)dx+ ∫ 2

−6

2x − 1 dx + 2 ∫ dx = 2π + 32 3 −6

Câu 84: (Chuyên Đại Học Vinh-2018) Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = xe x , y = 0, x = 0, x = 1 xung quanh trục Ox là 1

A. V = ∫ x 2 e2x dx 0

B. V = ∫ xe x dx 0

V = π ∫ x e dx

D. V = π ∫ x 2 e x dx

2 2x

Đáp án C Phương pháp:

FF IC IA L

Thể tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y = f ( x ) , y = g ( x ) , x = a, x = b khi quay quanh trục Ox được tính bởi công thức: V = π ∫ f 2 ( x ) − g 2 ( x ) dx a

Cách giải: 1

Áp dụng công thức ta có thể tích hình phẳng bài cho là: V = π ∫ ( xe x ) dx = π ∫ x 2 e2x dx

∫ x (x

+ 3) dx bằng:

Câu 85: (Chuyên Đại Học Vinh-2018) Tích phân

A. 2

B. 1

7 4

Đáp án D

4 7

Phương pháp: Sử dụng công thức tính nguyên hàm cơ bản của hàm số. 1

 x 4 3x 2  1 3 7 Cách giải: Ta có: ∫ x ( x + 3) dx = ∫ ( x + 3x )dx =  +  = + = 2 0 4 2 4  4 0 0 1

Câu 86: (Chuyên Đại Học Vinh-2018) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên [ 0;1] thỏa mãn và max f ( x ) = 1. Tích phân I = ∫ e x f ( x ) dx thuộc khoảng nào trong

KÈ

∫ xf ( x ) dx = 0

[0;1]

các khoảng sau đây?

ẠY

5  A.  −∞; −  4  Đáp án C

3  B.  ;e; −2  2 

Cách giải : Với mỗi số thực

2α ∈ ℝ ta có:

 5 3 C.  − ;  D.  4 2

( e − 1; +∞ )

x x ∫ e f ( x ) dx = ∫ e f ( x ) dx − ∫ αxf ( x ) dx 1

FF IC IA L

= ∫ f ( x ) ( e x − αx ) dx ≤ ∫ f ( x ) . e x − αx dx ≤ ∫ e x − αx dx 1

 αx 2  ⇒ ∫ e f ( x ) dx ≤ min ∫ e − αx dx ≤ min ∫ e − αx = min  e x −  α∈ℝ α∈[0;1] α∈[ 0;1] 2 0  0 0 0 1

3 α  Theo đề bài ta có: max f ( x ) = 1 ⇒ f ( x ) ≤ 1 ⇒ α ≤ 1 ⇒ min  e − 1 −  = e − α∈[ 0;1] [0;1] 2 2 

Câu 87 (Chuyên Đại Học Vinh-2018) Một cổng chào có dạng hình parabol chiều cao 18m, chiều rộng chân đế 12m. Người ta

căng sợi dây trang trí AB, CD nằm ngang đồng thời chia hình

4 5

1 2

3 1+ 2 2

1 2

AB bằng : CD

hình vẽbên). Tỉ số

giới hạn bởi parabol thành ba phần có diện tích bằng nhau (xem

Đáp án C

Phương pháp :

KÈ

+) Gắn hệ trục tọa độ, tìm phương trình parabol. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi parabol và trục hoành.

ẠY

+) Gọi x A = a ⇒ AB = 2a, tính diện tích hình S1 của phẳng giới hạn bởi parabol và

đường thẳng AB. 1 +) Sử dụng giả thiết S1 = S tìm a và suy ra AB. 3 +) Tương tự tìm độ dài đoạn CD và tính tỉ số. Cách giải :

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ : 1 Ta dễ dàng tìm được phương trình parabol là y = − x 2 + 18 2 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và trục hoành là

FF IC IA L

 x3   1 2  S = ∫  − x + 18  dx =  − + 18  = 144 2   6  −6 −6  6

1 Gọi x A = a ⇒ y A = − a 2 + 18 2 1 =>Phương trình đường thẳng AB: y = − a 2 + 18 2

1 =>Phương trình đường thẳng CD : y = − c 2 + 18 2

1 Và x C = c ⇒ y C = − c 2 + 18 2

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và đường thẳng AB là: a  x3 a2 1 2 1   1 2   1 S1 = ∫  − x + 18 + a − 18  dx = ∫  − x 2 + a 2  dx =  − + 2 2 2 2    6 2 −a  −a 

 a 3 a 3  a 3 a 3  2a 3 x = − + − −  = 6 2 6 2 3  −a

1 2 1 S1 = S ⇒ a 3 = .144 = 48 ⇒ a = 2 3 9 ⇒ AB = 2a = 4 3 9 3 3 3 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và đường thẳng CD là: c

 x 3 c2  1 c3 c3  c3 c3  2c3  1  S2 = ∫  − x 2 + 18 + c 2 − 18  dx =  − + x  = − + −  −  = 2 2 6 2 6 2 3   6 2  −c −c  2 2 2 S1 = S ⇒ c3 = .144 = 96 ⇒ c = 2 3 18 ⇒ CD = 2c ⇒ 4 3 18 3 3 3 AB 1 ⇒ =3 CD 2

KÈ

ẠY

Câu 88: ( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = x2 −2x và đường thẳng y = x. A. 9 . B. 11 . C. 2 7 . D. 17 . 2

Đáp án A

Phương pháp giải: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị

đường thẳng

x = a;

x = b (a < b)

là

S = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx a

Lời giải:

y = f (x), y = g (x)

và các

x =0 Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm phương trình: x2 −2x = x ⇔ . x =3 3 3 3 2 3 Vậy diện tích hình phẳng cần tính là S = x 2 − 3x dx = ( 3x − x 2 ) dx =  3x − x  = 9 .

∫

  2

Câu 89:( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1) Tích phân

I = ∫ e x +1dx

e 2 − e.

∫

Câu 90: ( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1)Cho hàm số

(x ), y

y = f

e 2 + e.

Phương pháp giải: Đổi biến số hoặc bấm máy tính Lời giải: Ta có: I = 1 e x +1dx = 1 e x +1d ( x + 1) = e x +1 1 = e 2 − e.

∫

bằng

A. e 2 − 1. Đáp án B.

 3

FF IC IA L

∫

= g (x )

e − e2 .

liên tục trên

[ a;b]. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y = f ( x ) , y = g ( x ) và các đường thẳng x = a, x = b. Diện tích (H) được tính theo công thức A. S = b f ( x ) dx − b g ( x ) dx. B. S = b f ( x ) − g ( x ) dx.

∫

SH = ∫ f ( x ) − g ( x )  dx a

SH = ∫  f ( x ) − g ( x )  dx. a

Đáp án B.

y = f

(x ), y

và các đường thẳng

Lời giải: Diện tích hình phẳng (H) cần tính là

SH = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx.

Câu 91: ( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1) Biết

x a+b 3 dx = , 9 3x + 1 + 2x + 1

I=∫

số thực. Tính tổng A. T = −10. Đáp án D.

= g (x )

SH = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx.

( a < b ) là

x=b

Phương pháp giải: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị x = a;

∫ b

∫

với a, b là các

T = a + b.

T = 15.

KÈ

T = −4.

T = 8.

ẠY

Phương pháp giải: Nhân liên hợp với biểu thức mẫu số, đưa về tính tích phân cơ bản Lời giải: 1 x ( 3x + 1 + 2x + 1) dx Ta có I = 1 x dx =

∫ 0

(

∫

3x + 1 − 2x + 1

3x + 1 − 2x − 1

 1 =  . 3 

∫

3x + 1 + 2x + 1

(3 x 3 2

+ 1)

(

∫(

) (

3x + 1 −

2x + 1

)

3x + 1 − 2x + 1 dx.

1 − . 2

3  + 1)   3  2 

(2 x

 2 =  . 9 0

(3 x

+ 1) −

1 . 3

(2 x

3  + 1)  

1 = 2 9 

( 3x + 1)

−3

( 2x + 1)

 

= 0

a = 17 1 17 − 9 3 16 − 9 3 + 1 = . ⇒ 9 9 b = −9

(

)

Vậy T = a + b = 17 − 8 = 8. Câu 92: ( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1) Cho hàm số trên

và thỏa mãn

ℝ

( x ) có đạo hàm f ' ( x ) liên tục 2 ' ( x ) ∈ [ − 1;1 ] với ∀x ∈ ( 0;2 ) . Biết f ( 0 ) = f ( 2 ) = 1. Đặt I = f ( x ) dx, ∫ f

FF IC IA L

phát biểu dưới đây là ĐÚNG ? A. I ∈ ( −∞;0]. B. I ∈ ( 0 ; 1 ] .

I ∈ [1; + ∞ ) .

Đáp án C.

I ∈ ( 0;1) .

Phương pháp giải: Áp dụng các đánh giá bất đẳng thức tích phân Lời giải: − 1 ≤ f '(t ) ≤ 1

suy ra

Ta có

x x x  ∫ −1dt ≤ ∫ f ' ( t ) dt ≤ ∫ 1dt 0  − x ≤ f ( x ) − 1 ≤ x 0 0 ⇔ 2 2 2  x − 2 ≤ 1 − f ( x ) ≤ 2 − x  −1dt ≤ f ' t dt ≤ 1dt () ∫ ∫ ∫ x x x

3 2

5 2

C. ln

3 2

D. ln 6

A. log

2 2 2 1 − x ≤ f ( x ) ≤ x + 1 ⇔ ⇔ ∫ x − 1 dx ≤ ∫ min {x + 1;3 − x} dx ⇔ ∫ f ( x ) dx ≥ 1.  x − 1 ≤ f ( x ) ≤ 3 − x 0 0 0 2 dx Câu 93: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3)Tính tích phân ∫ x +1 1

∫ x + 1 = ln x + 1

= ln 3 − ln 2 = ln

3 2

Lời giải: Ta có

Đáp án C Phương pháp giải:Nguyên hàm cơ bản của hàm phân thức hoặc bấm máy tính

Câu 94: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3)Cho hai hàm số y = f ( x ) và y = g ( x ) liên tục

trên đoạn [ a; b ] . Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số đó và các đường thẳng

KÈ

x = a, x = b ( a < b ) . Diện tích S của hình phẳng D được tính theo công thức b

A. S = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx a

ẠY

C. S =

∫ f ( x ) − g ( x )dx a

B. S = ∫ g ( x ) − f ( x ) dx a b

D. S = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx a

Đáp án D Phương pháp giải: Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số Lời giải: b

Diện tích S của hình phẳng D được tính theo công thức là S = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx a

Câu 95: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3) Biết

∫ 0

dx 2 = x +1 + x 3

(

a −b

)

với a, b là các

∫ 0

dx =∫ x +1 + x 0

mặt khác

x +1 − x

(

dx = ∫

) ( ) 2 4 2 a − b ) = ( 2 − 1) = ( ( 3 3 3 x +1 −

(

2 x + 1 − x dx =  3 

)

a = 8 8−2 ⇒  b = 2

)

(

Vậy T = a + b = 8 + 2 = 10

4 ( x + 1) − x  = 0 3 3

FF IC IA L

số nguyên dương. Tính T = a + b B. T = 10 C. T = 6 D. T = 8 A. T = 7 Đáp án B Phương pháp giải: Nhân liên hợp, bỏ mẫu số đưa về tìm nguyên hàm của hàm chứa căn thức cơ bản Lời giải: Ta có

Câu 96: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3)Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi trục hoành, đồ thị của một parabol và một đường thẳng tiếp xúc parabol đó tại điểm A(2; 4), như hình vẽ bên. Tính thể tích khối tròn xoay tạo

KÈ

bởi hình phẳng (H) khi quay xung quanh trục Ox. 32π 16π A. B. 5 15 22π 2π C. D. 5 3 Đáp án D Phương pháp giải: Chia làm các khối tròn xoay và lấy hiệu Lời giải: Vì (P) đi qua ba điểm O ( 0; 0 ) , A ( 2; 4 ) ⇒ Phương trình parabol là

(P) : y = x2

Tiếp tuyến của (P) tại điểm A(2; 4) có phương trình là d : y = 4x − 4 Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm phương trình: x 2 = 4x − 4 ⇔ x = 2

ẠY

Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng

( H1 )

giới hạn bởi

( P ) , y = 0, x = 0, x = 2

là

πx 5 32π V1 = π ∫ f ( x )dx = π ∫ x dx = = 5 0 5 0 0 2

Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng (H2 ) giới hạn bởi

( d ) , y = 0, x = 1, x = 2

là

)

2 −1

V2 = π ∫ g 2 ( x )dx = π ∫ 16 ( x − 1) dx = 2

16π ( x − 1)

3 2

= 1

16π 3 32π 16π 16π − = 5 3 15

FF IC IA L

Vậy thể tích khối tròn xoay cần tính là V = V1 − V2 =

Câu 97: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3) Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên π 2

π 2

2 π π  π 0; 2  thỏa mãn f ( 0 ) = 0, ∫ f ' ( x )  dx = 4 , ∫ sin x.f ( x ) dx = 4 . Tính tích phân 0 0 π 2

π 2

C. 2

A. 1

∫ f ( x ) dx

π 4

Đáp án A Phương pháp giải: Sử dụng bất đẳng thức Holder trong tích phân để tìm hàm số f ' ( x )

Lời giải:

u = f ( x ) du = f ' ( x ) dx Đặt  , khi đó ⇔ dv = sin xdx  v = cos x π 2 0

∫ sin x.f ( x ) dx = − cos x.f ' ( x ) 0

+ ∫ cos x.f ' ( x ) dx 0 π 2

π π π π = − cos .f '   + cos 0.f ( 0 ) + ∫ cos x.f ' ( x ) dx = 4 2 2 4 0

KÈ

⇔

π 2

Xét π 2

ẠY

∫ f ' ( x ) + k.cos x 

π 2

dx = 0 ⇔ ∫  f ' ( x )  dx + ∫ sin x.f ( x ) dx + 2k ∫ cos x.f ' ( x ) dx + k 2 ∫ cos 2 xdx = 0

⇔

π 2

π π π + 2k. + k 2 . = 0 ⇔ k = −1. 4 4 4 π 2

Khi đó

∫ f ' ( x ) − cos x  0

dx = 0 ⇔ f ' ( x ) = cos x

Suy ra f ( x ) = ∫ f ' ( x ) = ∫ cos xdx = sin x + C mà f ( 0 ) = 0 ⇒ C = 0 π 2

Vậy f ( x ) = sin x  →

∫ sin xdx = 1

FF IC IA L

Câu 98: ( Chuyên Thái Bình- Lần 5) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên [ a; b ] có đồ thị hàm số y = f ' ( x ) như hình vẽ sau: Mệnh đề nào dưới đây đúng? b

∫ f ' ( x )dx

là diện tích hình thang cong ABMN

a b

∫ f ' ( x )dx

là độ dài đoạn BP.

a b

là độ dài NM.

∫ f ' ( x )dx a b

∫ f ' ( x )dx

là độ dài đoạn cong AB

Đáp án A Phương pháp

Sử dụng công thức ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng.

Cách giải

Ta có diện tích hình thang cong ABMN được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ' ( x ) , trục

hoành, đường thẳng x = a; x = b nên

∫ f ' ( x )dx là diện tích hình thang cong ABMN. a

KÈ

1 x và các đường thẳng y = 0; x = 1; x = 4. Tính thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình (H) quanh xung quanh trục Ox. 3π 3 A. 2π ln 2 B. C. D. 2 ln 2 4 4 Đáp án B

ẠY

Câu 99: ( Chuyên Thái Bình- Lần 5) Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =

Phương pháp Sử dụng công thức ứng dụng tích phân để tính thể tích vật tròn xoay

Cách giải

4 dx  1   1  3π = π − = π  − + 1 =   2 x  x 1   4  4 1 4

V = π∫

3x 2 khi 0 ≤ x ≤ 1 Câu 100: ( Chuyên Thái Bình- Lần 5) Cho hàm số y = f ( x ) =  . 4 − x khi 1 ≤ x ≤ 2

FF IC IA L

Tính tích phân

∫ f ( x ) dx 0

7 2 Đáp án A

B. 1

5 2

Phương pháp 1

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx

Phân tích

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = ∫ 3x dx + ∫ ( 4 − x ) dx = 1 + 2 = 2 2

Ta có

Cách giải 2

3 2

Tính T = a + b + c A. 5 B. 3 Đáp án D Phương pháp

Câu 101: ( Chuyên Thái Bình- Lần 5) Cho I = ∫ x ln xdx = D. 6

C. 2

ae 2 + b với a, b, c ∈ ℤ. c

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần

Cách giải

e e  x2  x2 x 2 dx e 2 1 e2 1 x 2 e2 1 2 e2 + 1 I = ∫ x ln xdx = ∫ ln xd   = ln x − ∫ . = − ∫ xdx = − = − ( e − 1) = 2 2 2 21 2 2 2 1 2 4 4  2  2 1 1 1 1 a = 1  ⇒ b = 1 ⇒ a + b + c = 6 c = 4 

ẠY

KÈ

Câu 102: (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – Lần 3)Cho hình phẳng

( D)

được giới hạn

bởi các đường x = 0, x = π , y = 0 và y = − sin x . Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay ( D ) xung quanh trục Ox được tính theo công thức: π

A. V = π ∫ sin x dx.

B. V = π ∫ sin 2 xdx.

D. V = ∫ sin 2 xdx.

∫ ( − sin x ) dx .

C. V = π

Đáp án B π

Ta có V = π ∫ ( − sin x ) dx = π ∫ sin 2 xdx 0

Câu 103: (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – Lần 3)Tích phân

∫3

2 x +1

9 ln 9 Đáp án B

12 . ln 3

4 . ln 3

dx bằng: D.

27 . ln 9

1 32 x+1 12 = . Ta có I = . 2 ln 3 0 ln 3

FF IC IA L

Câu 104:(Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – Lần 3): Cho y = f ( x ) là hàm số chẵn và 2

∫

f ( x ) dx = B. 6.

f ( x) x

−2

Đổi cận suy ra I =

f ( −t )

∫3

−t

+ 1) f ( x ) 3x + 1

∫

−2

( −dt ) = ∫

−2

dx bằng D. 3.

dx , đặt t = − x ⇒ dt = −dx +1 −2

Suy ra 2 I =

f ( x)

∫3

HD: Gọi I =

A. 1. Đáp án D

1 f ( x ) dx = 1 . Giá trị của 2 ∫1 C. 4.

liên tục trên ℝ . Biết

dx =

−2

f ( t ) dt 2 3x f ( x ) dx =∫ 1 3x + 1 −2 + 1 t 3

∫ f ( x ) dx −2 2

KÈ

Do f ( x ) là hàm chẵn nên ta chứng minh được

∫ −2

f ( x ) dx = 2∫ f ( x ) dx 0

ẠY

Suy ra I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = 3 . Chọn D.

Câu 105: (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – Lần 3) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm,

π  liên tục trên ℝ, f ( 0 ) = 0 và f ( x ) + f  − x  = sin x cos x , với mọi x ∈ ℝ . Giá trị 2  π 2

tích phân

∫ x. f ′ ( x ) dx 0

bằng

A. −

4 Đáp án D

1 . 4

1 D. − . 4

Ta có x. f ( x )

π 2 0

2 0

− ∫ f ( x ) dx. 0

π  π vào giả thiết, ta được . f   , thay x = 2 2 2

π  π  f   + f ( 0) = 0 ⇒ f   = 0. 2 2

∫ 0

2 π  f ( x ) dx + ∫ f  − x  dx = ∫ sin x.cos xdx . 2  0 0

 − x  → ∫ f ( x ) dx = ∫ f  − x  dx ⇒ ∫ 2 2  0 0 0 2

π

1 f ( x ) dx = . Vậy 4

∫ x. f ′ ( x) dx = − 4 . 0

π  Lại có f ( x ) + f  − x  = sin x.cos x ⇔ 2  Đặt t =

FF IC IA L

2 u = x du = dx ⇔ ⇒ ∫ x. f ′ ( x ) dx = x. f ( x ) HD: Đặt  ′ 0 dv = f ( x ) dx v = f ( x )

152 . 3

76 2 . 3 Đáp án D

Câu 106: (Chuyên Hạ Long – Lần 3) Tính diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng x = 4, x = 9 và đường cong có phương trình y 2 = 8 x .

Câu 107: (Chuyên Hạ Long – Lần 3) Cho biết số nguyên , b là số nguyên dương và

x 2e x

ẠY

Đặt x + 2 = t ⇒ dx = dt x 0 1 t 2 3

I =∫

(t − 2)

et − 2

2 3

Xét

∫ e dt = e t

t 3 2

dt =

1  t 4 t 4 t  e − .e + 2 .e dt e 2 ∫2  t t 

= e3 − e 2

x 2e x

∫ ( x + 2 ) dx = b .e + c 2

152 2 . 3

với a, c là các

a là phân số tối giản. Tính a − b + c . b C. 2 . D. −3 .

∫ ( x + 2 ) dx = b .e + c

KÈ

B. 0 .

A. 3 . Đáp án D

C. 76 2 .

Xét

∫t

et dt

⇒ et .

FF IC IA L

 et = u et dt = du   Đặt  4 ⇒  −4  2 dt = dv  = v t  t 3

−4 4 + ∫ .et dt t 2 2t

a = −1 1 3 2 4 3 1  2 ⇒ I = 2  e − e − e + 2e  = − e + 1 ⇒ b = 3 . e  3 3  c = 1  Cách khác u = x 2 e x ⇒ du = e x ( x 2 + 2 x) dx  Đặt  1 1 = ⇒ = − dv dx v 2  x+2 ( x + 2)  1 x2 + 2x ) ex ( x 2e x dx ⇒I =− + x + 2 0 ∫0 x+2

e = − + ∫ xe x dx 3 0

1 e = − + ( −1) e x 0 3 e = − +1. 3

( H ) là hình phẳng giới hạn bởi các đường k1 , k2 ( k1 > k2 ) là hệ số góc của hai đường ( H ) thành ba phần có diện tích bằng nhau.

Câu 108: (Chuyên Hạ Long – Lần 3) Gọi 2

y = ( x − 3) , trục tung và trục hoành. Gọi

KÈ

thẳng cùng đi qua điểm A ( 0;9 ) và chia

ẠY

Tính k1 − k2 13 A. . 2 Đáp án D

B. 7 .

25 . 4

27 . 4

FF IC IA L O N Ơ H N

Ta có: S AOB = ∫ ( x − 3) = 9 2

ẠY

KÈ

1 2  Xét: ∆AOC có S ∆AOC = OA.OC = 3 ⇒ C  ;0  2 3  27 x y ⇒ d1 : + = 1 ⇒ kC = − 2 9 2 3 1 4  Xét: S ∆AOD = OA.OD = 6 ⇒ D  ; 0  2 3  27 x y ⇒ d2 : + = 1 ⇒ kD = − 4 1 4 3 27  k1 = − 4 Do k1 > k2 ⇒  k = − 27  2 2 Câu 109: (Chuyên Lam Sơn –Thanh Hóa –Lần 3) tô đậm trong hình vẽ bên. Công thức tính S là 1

−1

A. S = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx

Gọi S là diện tích miền hình phẳng được

−1 2

B. S = ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx C. S = ∫ f ( x ) dx −1 2

FF IC IA L

D. S = − ∫ f ( x ) dx −1

Đáp án B 1

−1

Dựa vào hình vẽ ta có S = ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx

Câu 110: (Chuyên Lam Sơn –Thanh Hóa –Lần 3) Cho hàm số f (x) liên tục trên ℝ và có 1

∫ f ( x ) dx = 2; ∫ f ( x ) dx = 6. Tính I = ∫ f ( x ) dx 0

C. I = 36

B. I = 12

I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = 8

Câu 111: (Chuyên Lam Sơn –Thanh Hóa –Lần 3)

Trong đó a, b, c là các số nguyên dương, phân số

I=∫ 0

π 2

Biết I = ∫ 0

x + x cos x − sin 3 x π2 b dx = − . 1 + cos x a c

b tối giản. Tính T = a 2 + b 2 + c2 c C. T = 69 D. T = 50

π 2

x + x cos x − sin x sin 3 x dx = ∫ xdx − ∫ dx 1 + cos x 1 + cos x 0 0 π 2 2

KÈ

π 2

B. T = 59

A. T = 16 Đáp án C

D. I = 4

A. I = 8 Đáp án A

x I1 = ∫ xdx = 2 0

ẠY

π 2

π2 = 8 π 2

π 2

sin x sin x sin x 1 dx = ∫ dx = ∫ (1 − cos 2 x ) sin xdx = 1 + cos x 1 + cos x 2 0 0 0

I2 = ∫

π2 1 Suy ra I = − . 8 2 Vậy T = a 2 + b 2 + c 2 = 69

Câu 112: (Chuyên Lam Sơn –Thanh Hóa –Lần 3) Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên

tục trên ℝ \ {0} thỏa mãn: x 2 f 2 ( x ) + ( 2x − 1) f ( x ) = x.f ' ( x ) − 1 với ∀x ∈ ℝ \ {0} đồng thời 2

f (1) = −2. Tính

∫ f ( x ) dx 1

B. − ln 2 −

( xf ( x ) + 1)

Từ giả thiết ta có:

1 2

3 2

C. − ln 2 −

D. −

= f ( x ) + xf ' ( x ) .

Đặt u = x.f ( x ) + 1 ⇒ u 2 = u ' ⇒

−1 u' u' = 1 ⇒ ∫ 2 dx = x + C ⇒ = x+C 2 u u u

−1 − 1, mà f (1) = −2 ⇒ C = 0 x+C 2 1 1 1 Vậy f ( x ) = − 2 − ⇒ ∫ f ( x ) dx = − ln 2 − x x 2 1

Vậy x.f ( x ) =

∫

f ( x)dx = 2,

Câu 113: (Chuyên Lương Thế Vinh- Đồng Nai) Cho

−1

là

C. 11.

D. 5.

f (t )dt = 9 . Giá trị của

B. 3.

∫ −1

A. 7. Đáp án A

∫ f ( z)dz

ln 2 3 − 2 2

FF IC IA L

ln 2 −1 A. − 2 Đáp án B

∫ 0

1 dx là 1 + f ( x)

2018

Câu 114: (Chuyên Lương Thế Vinh- Đồng Nai) Cho hàm số f ( x) liên tục trên ℝ và ∀x ∈ [ 0; 2018] , ta có f ( x) > 0 và f ( x). f (2018 − x) = 1 . Giá trị của tích phân

B. 0.

KÈ

A. 2018. Đáp án C •

D. 4016.

Đặt t = 2018 − x, dt = − dx . Khi đó 0

ẠY

•

C. 1009.

dt I =− ∫ = 1 + f (2018 − t ) 2018

Do đó 2 I = I + I =

2018

∫ 0

2018

∫ 0

dt = 1 1+ f (t )

1 dx + 1 + f ( x)

2018

∫ 0

2018

∫ 0

(t )dt 1 + f (t )

f ( x) dx = 1 + f ( x)

Câu 115: (Chuyên Lương Thế Vinh- Đồng Nai) ( H1 ) là hình phẳng giới hạn bởi các đường

2018

∫

1dx = 2018

Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz, gọi

x2 − x2 , y= , x = −4, x = 4 4 4 và ( H 2 ) là hình gồm tất cả các điểm ( x; y ) thỏa y=

FF IC IA L

x 2 + y 2 ≤ 16, x 2 + ( y − 2)2 ≥ 4, x 2 + ( y + 2) 2 ≥ 4.

Ơ H

D. V1 = 2V2 .

V1 bằng thể tích khối trụ có bán kính đáy bằng 4 và chiều cao bằng 8 trừ bốn lần thể tích của vật tròn xoay tạo thành khi vật thể giới hạn bởi các đường x = 2 y , x = 0, y = 0, x = 4 quay quanh trục Oy.

•

2 C. V1 = V2 . 3

V1, V2 . Đẳng thức nào sau đây đúng? 1 A. V1 = V2 . B. V1 = V2 . 2 Đáp án B

Cho ( H1 ) và ( H 2 ) quay quanh trục Oy ta được các vật thể có thể tích lần lượt là

V1 = π .4 .8 − 4π ∫ 2 ydy = 64π 2

KÈ

•

4 Thể tích V2 = π (43 − 23 − 23 ) = 64π . 3

x − m2 (với m là x +1 tham số khác 0) có đồ thị là (C). Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và hai trục tọa độ. Có bao nhiêu giá trị thực của m thỏa mãn S = 1? A. Hai. B. Ba. C. Một. D. Không Đáp án A

Cho hàm số y =

ẠY

Câu 116: (Chuyên Lương Thế Vinh- Đồng Nai)

•

Ta có y ' =

m2 + 1 ( x + 1)2

> 0, ∀x ≠ 1 , nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định

với mọi m. •

•

S =−

∫ 0

x − m2 dx = (m 2 + 1) ln(m 2 + 1) − m 2 x +1

∫ x ln ( x

Câu 117: (Chuyên Thái Bình - Lần 6) Biết

FF IC IA L

S = 1 ⇔ (m 2 + 1). ln(m2 + 1) − 1 = 0 ⇔ m = ± e − 1.  

•

+ 16 ) dx = a ln 5 + b ln 2 +

đó a, b, c là các số nguyên. Tính giá trị của biểu thức T = a + b + c A. T = 2 B. T = -16 C. T = -2 Đáp án B 3

Tính

∫ x ln ( x

+ 16 ) dx, đặt x 2 + 16 = t ⇒ xdx =

D. T = 16

dt  x = 0 ⇒ t = 16 ⇒ , 2  x = 3 ⇒ t = 25

0 3

c trong 2

1 ∫0 x ln ( x + 16 ) dx = 2 16∫ ln t.dt Đặt dt  25 25  1 u = ln t du = 1 1 9 25 25 ⇒ ⇒ = − ln t.dt t.ln t dt  = 25ln 25 − 16 ln16 − t 16 = 25ln 5 − 32 ln 2 − t    ∫ ∫ 16 2 16 2 2 dv = dt  v = t 16  2 

)

(

⇒ a = 25; b = −32, c = −9 ⇒ T = a + b + c = −16

Câu 118: (Chuyên Thái Bình - Lần 6)Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi phép quay xung quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 0, y = x , y = x − 2 8π 16π A. B. C. 10π D. 8π 3 3 Đáp án B

KÈ

 x =0⇔x=0  . Ta có  x − 2 = 0 ⇔ x = 2   x = x − 2 ⇔ x = 4 ( x ≥ 0) 2

ẠY

Thể tích vật thể tròn xoay cần tính là: V = π ∫ 0

( x ) dx + π∫ ( x ) 2

16π 2 − ( x − 2 )  dx =  3

Câu 119: (Chuyên Thái Bình - Lần 6) Cho f ( x ) là hàm số chẵn, liên tục trên ℝ

thỏa mãn

∫ f ( x ) dx = 2018

và g ( x ) là hàm số liên tục trên ℝ thỏa mãn

0 1

g ( x ) + g ( − x ) = 1, ∀x ∈ ℝ. Tính tích phân I = ∫ f ( x ) .g ( x ) dx −1

A. I = 2018

B. I =

1009 2

C. I = 4036

D. I = 1008

Đáp án A 1

−1

FF IC IA L

f ( x ) là hàm chẵn ⇒ ∫ f ( x ) .dx = 2 ∫ f ( x ) dx = 2.2018 = 4036 g ( x ) + g ( − x ) = 1 ⇔ f ( x ) g ( x ) + g ( − x )  = f ( x ) ⇔ f ( x ) .g ( x ) + f ( x ) .g ( − x ) = f ( x ) 1

−1

⇔ ∫  f ( x ) .g ( x ) + f ( x ) .g ( − x )  dx = ∫ f ( x ) dx ⇔ ∫ f ( x ) .g ( x ) dx + ∫ f ( x ) .g ( − x ) dx = 4036 (1) −1

−1

 x = −1 ⇒ t = 1 để tính ∫ f ( x ) .g ( x ) dx, đặt t = − x ⇒ dx = −dt,   x = 1 ⇒ t = −1 −1 1

−1

∫ f ( x ) .g ( −x ) dx = − ∫ f ( − t ) .g ( t ) dx = ∫ f ( −t ) .g ( t ) dx = ∫ f ( −x ) .g ( x ) dx = ∫ f ( x ) .g ( x ) dx ( 2 ) −1

Từ (1) và (2) ⇒ 2 ∫ f ( x ) .g ( x ) dx = 4036 ⇔ ∫ f ( x ) .g ( x ) dx = 2018

Câu 120: (Chuyên Thái Bình - Lần 6) Cho hàm số f ( x ) xác định trên ℝ \ {−2;1}

1 1 ln 2 + 3 3

B. ln 80 + 1

Đặt A = ∫ f ' ( x ) dx = ∫ 3

∫x

KÈ

B = ∫ f ' ( x ) dx = −1 −3

C = ∫ f ' ( x ) dx = −4

1 4 1 8 ln   + ln 2 + 1 D. ln   + 1 3 5 3 5

1 dx = f ( 4 ) − f ( 3 ) x +x−2 2

Đáp án A

và f ( −3) − f ( 3) = 0. Tính giá trị của biểu

1 1 ;f ( 0 ) = , x +x−2 3 thức T = f ( −4 ) + f ( −1) − f ( 4 )

thỏa mãn f ' ( x ) =

−1 −3

∫x

−4

1 dx = f ( 0 ) − f (1) +x−2 1 dx = f ( −3) − f ( −4 ) +x−2

ẠY

⇒ f ( 4 ) − f ( 3) + f ( 0 ) − f ( −1) + f ( −3) − f ( −4 ) = A + B + C

⇔ f ( −3) − f ( 3) + f ( 0 ) − ( A + B + C ) = f ( −4 ) + f ( −1) − f ( 4 )

1 ⇔ f ( −4 ) + f ( −1) − f ( 4 ) = − ( A + B + C ) 3 Dùng máy tính bỏ túi tính A, B, C và so sánh các đáp án 1 1 ⇒ f ( −4 ) + f ( −1) − f ( 4 ) = ln 2 + 3 3

Câu 121: (Chuyên Thái Bình - Lần 6) Biết

xdx

∫

5x 2 + 4

a với a, b là các số nguyên b

A. T = 13 Đáp án B

Dùng máy tính bỏ túi tính

xdx

∫

5x 2 + 4

1 ⇒ T = 12 + 52 = 26 5

FF IC IA L

a là tối giản. Tính giá trị của biểu T = a 2 + b 2 b B. T = 26 C. T = 29

dương và phân thức

D. T = 34

phân I =

∫ ( 2ax + b )

.eax

+ bx + c

Câu 122: (Chuyên Thái Bình - Lần 6)Cho tam thức bậc hai f ( x ) = ax 2 + bx + c, ( a, b, c ∈ ℝ, a ≠ 0 ) có hai nghiệm thực phân biệt x1 , x 2 . Tính tích dx

x 2 − x1 4

B. I =

C. I = 0

ax 2 + bx + c

dx =

∫ ( 2ax + b )

Đặt

.eax

+ bx + c

( 2ax + b ) dx

∫ ( 2ax + b )

x 2 − x1 2

Đáp án C x2

D. I =

A. I = x 2 − x1

 x = x1 ⇒ t = ax12 + bx1 + c = 0 2 ax 2 + bx + c = t ⇒ ( 2ax + b ) dx = dt, ( 2ax + b ) = g ( t ) ,  2  x = x 2 ⇒ t = ax 2 + bx 2 + c = 0

⇒ ∫ g ( t ) .e t .dt = 0

Câu 123: (Viên Khoa Học và Thương Mại Quốc Tế) Cho hàm số y = f ( x ) có 1 . Biết rằng f ( 0 ) = 2018 . Giá trị của biểu thức f ( 3) − f (1) bằng: x +1 A. ln 2 B. ln 4 C. ln 3 D. 2 ln 2 Đáp án A

KÈ

f '( x) =

ẠY

Phương pháp: f ( x ) = ∫ f ' ( x ) dx 1 dx = ln x + 1 + C x +1 f ( 0 ) = 2018 ⇔ C = 2018 ⇒ f ( x ) = ln x + 1 + 2018

Cách giải: f ( x ) = ∫ f ' ( x ) dx = ∫

⇒ f ( 3) − f (1) = ln 4 + 2018 − ln 2 − 2018 = ln 2 Câu 124: (Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi – Lần 1) Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm 4

không âm trên [0;1] thỏa mãn f ( x )  f ' ( x )  ( x 2 + 1) = 1 + f ( x )  và f ( x ) > 0

với ∀x ∈ [0;1], biết f ( 0 ) = 2. Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: 3 < f (1) < 2 2 Đáp án

B. 3 < f (1) <

7 2

5 < f (1) < 3 2

Cách giải: 4

Xét phương trình: f ( x )  f ' ( x )  ( x 2 + 1) = 1 + f ( x )  (1) 3

Đặt g ( x ) = 1 + f ( x )  ⇒ g ' ( x ) = 3 f ( x )  .f ' ( x ) 2

⇒  g ' ( x )  = 9 f ( x )  . f ' ( x ) 

5 2

FF IC IA L

Phương pháp: ∫ f ( x ) u ' ( x )dx = ∫ f ( x ) d ( u ( x ) )

D. 2 < f (1) <

g ' ( x )  2 1 9 = 2 ( 2) Khi đó g ' ( x )  ( x 2 + 1) = g ( x ) ⇔  9 g(x) x +1

Vì f ( x ) có đạo hàm không âm trên [0;1] và f ( x ) > 0 với ∀x ∈ [0;1]. 3

nên g ( x ) = 1 + f ( x )  cũng có đạo hàm không âm trên [0;1] và g ( x ) > 0 với

g '( x )

∀x ∈ [ 0;1] 1

dx = ∫

g(x)

x +1

dx ⇔ ∫

d (g ( x ))

g(x)

=∫ 0

 x  dt Đặt t = x + x 2 + 1 ⇒ dt 1 + dx ⇔ =  t x2 +1  

x +1

x2 +1

⇔∫

g(x)

g '( x )

( 2) ⇔

∀x ∈ [0;1].

dx ⇔ 2 g ( x ) = ∫ 0

x2 +1

dx x2 +1

1+ 2

dx = 3

∫

KÈ

∫

(đổi cận: x = 0 → t = 1, x = 1 → t = 1 + 2)

x +1

dt = 3ln t t

(

1+ 2 1

(

= 3ln 1 + 2

)

(

)

(

⇒ 2 g ( x ) = 3ln 1 + 2 ⇔ 2 g (1) − 2 g ( 0 ) = 3ln 1 + 2 ⇔ 2 g (1) − 2 9 = 3ln 1 + 2 0

 3ln 1 + 2 + 6   ⇔ g (1) =    2  

ẠY

(

)

( do g ( 0) = 1 + f (0)

= 1 + 23 = 9

)

 3ln 1 + 2 + 6   = 1 +  f (1)  3 ⇔ f (1) ≈ 2, 61 ⇒ 5 < f (1) < 3 ⇒     2 2   Câu 125: (Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi – Lần 1) Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm

(

)

không âm trên [0;1] thỏa mãn f ( x )  f ' ( x )  ( x 2 + 1) = 1 + f ( x )  và f ( x ) > 0 với ∀x ∈ [0;1], biết f ( 0 ) = 2. Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

B. 3 < f (1) <

7 2

5 < f (1) < 3 2

Phương pháp: ∫ f ( x ) u ' ( x )dx = ∫ f ( x ) d ( u ( x ) ) Cách giải: 4

Xét phương trình: f ( x )  f ' ( x )  ( x 2 + 1) = 1 + f ( x )  (1) 3

Đặt g ( x ) = 1 + f ( x )  ⇒ g ' ( x ) = 3 f ( x )  .f ' ( x ) 4

5 2

⇒  g ' ( x )  = 9 f ( x )  . f ' ( x ) 

D. 2 < f (1) <

FF IC IA L

3 < f (1) < 2 2 Đáp án

g ' ( x )  2 1 9 Khi đó g ' ( x )  ( x 2 + 1) = g ( x ) ⇔  = 2 ( 2) 9 g(x) x +1

Vì f ( x ) có đạo hàm không âm trên [0;1] và f ( x ) > 0 với ∀x ∈ [0;1]. 3

nên g ( x ) = 1 + f ( x )  cũng có đạo hàm không âm trên [0;1] và g ( x ) > 0 với

g(x)

dx = ∫

∀x ∈ [ 0;1]

g '( x )

x2 +1

dx ⇔ ∫

⇔∫

g(x)

d (g ( x ))

g '( x )

( 2) ⇔

∀x ∈ [0;1].

g(x)

=∫ 0

 x  dt Đặt t = x + x 2 + 1 ⇒ dt 1 +  dx ⇔ = 2 t x +1  

x2 +1

dx ⇔ 2 g ( x ) = ∫ 0

x2 +1

dx x2 +1

KÈ

(đổi cận: x = 0 → t = 1, x = 1 → t = 1 + 2) 1

∫ 0

1+ 2

x2 +1

dx = 3

∫ 1

dt = 3ln t t

(

1+ 2 1

(

= 3ln 1 + 2

)

(

)

(

ẠY

⇒ 2 g ( x ) = 3ln 1 + 2 ⇔ 2 g (1) − 2 g ( 0 ) = 3ln 1 + 2 ⇔ 2 g (1) − 2 9 = 3ln 1 + 2 0

 3ln 1 + 2 + 6   ⇔ g (1) =    2  

(

)

( do g ( 0) = 1 + f (0)

= 1 + 23 = 9

)

 3ln 1 + 2 + 6    = 1 +  f (1)  3 ⇔ f (1) ≈ 2, 61 ⇒ 5 < f (1) < 3 ⇒     2 2  

(

)

Câu 126: (Chuyên Chu Văn An-2018)Cho hàm số f ( x ) xác định trên R \ {±1} thỏa 1  1 1 . Biết f ( −3) + f ( 3) = 0 và f  −  + f   = 2. Giá trị x −1  2 2 T = f ( −2 ) + f ( 0 ) + f ( 4 ) bằng: 2

1 9 A. T = ln 2 5 Đáp án D.

1 5 B. T = 2 + ln 2 9

FF IC IA L

mãn f ' ( x ) =

1 9 C. T = 3 + ln 2 5

Phương pháp: f ( x ) = ∫ f ' ( x ) dx Cách giải: f ( x ) = ∫ f ' ( x ) dx = ∫

1 1 x −1 dx = ln +C x −1 2 x +1 2

1 9 D. T = 1 + ln 2 5

 1 x −1  2 ln x + 1 + C1 khi x ∈ ( −∞; −1) ∪ (1; +∞ ) ⇒ f (x) =   1 ln 1 − x + C khi x ∈ ( −1;1) 2  2 x + 1 1 1 1 ⇒ f ( −3) + f ( 3) = ln 2 + C1 + ln + C1 = 0 ⇔ C1 = 0 2 2 2 1 1 1  1 f  −  + f ( 3) = ln 3 + C2 + ln + C2 = 2 ⇔ C 2 = 1 2 2 3  2  1 x −1  2 ln x + 1 khi x ∈ ( −∞; −1) ∪ (1; +∞ ) ⇒ f (x) =   1 ln 1 − x khi x ∈ ( −1;1)  2 x + 1 1 1 1 3 1 9 ⇒ f ( −2 ) + f ( 0 ) + f ( 4 ) = ln 3 + ln1 + 1 + ln = 1 + ln 2 2 2 5 2 5 Câu 127: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang )Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên

KÈ

đoạn [ a;b ]. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b ( a < b ) . Diện tích hình phẳng D được tính bởi công thức. b

A. S = ∫ f ( x ) dx

ẠY

B. S = π∫ f ( x ) dx a

C. S = ∫ f ( x ) dx a

D. S = π ∫ f 2 ( x ) dx a

Đáp án C Câu 128 : (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Cho 2 1 ∫1 x 2 + 5x + 6 dx = a ln 2 + b ln 3 + c ln 5 với a, b, c là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. a + b + c = 4 B. a + b + c = −3 C. a + b + c = 2 D. a + b + c = 6 Đáp án C

1 1  x+2  1 − Ta có ∫ 2 dx = ∫   dx = ln x + 5x + 6 x +2 x +3 x +3 1 1

4 3 = ln − ln = 4 ln 2 − ln 3 − ln 5 ⇒ a + b + c = 2 5 4 Câu 129: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 5x 4 + 2 là

A. x 5 + 2x + C

1 5 x + 2x + C 5

C. 10x + C

Đáp án A Ta có

∫ ( 5x

+ 2 ) dx = x 5 + 2x + C

FF IC IA L

D. x 5 + 2

Câu 130 (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ): Cho vật thể có mặt đáy là hình tròn có bán kính bằng 1 (hình vẽ). Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x ( −1 ≤ x ≤ 1) thì được thiết diện là một tam giác đều. Tính thể tích V của vật thể đó

B. V = 3 3

C. V =

A. V = 3

D. V = π

Đáp án C

4 3 3

Cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x thì được thiết

diện là một tam giác đều cạnh 2 R 2 − x 2 = 2 1 − x 2 .

KÈ

Diện tích tam giác đều cạnh x là S ( x )

( canh ) =

= (1 − x 2 ) 3

4 3 3 −1 −1 Câu 131: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Cho hàm số f liên tục,

ẠY

Tính thể tích V của vật thể đó V = ∫ S ( x ) dx =

∫ (1 − x ) 2

3dx =

f ( x ) > −1, f ( 0 ) = 0 và thỏa f ' ( x ) x 2 + 1 = 2x f ( x ) + 1. Tính f

A. 0 Đáp án B

B. 3

Ta có: f ' ( x ) x 2 + 1 = 2x f ( x ) + 1 ⇔

C. 7 f '( x ) f (x) +1

( 3) D. 9

2x x2 +1

f ' ( x ) dx

⇔ 2 f ( x ) +1 = 2 x2

x2 +1 + C

( 3) +1 = 4 ⇒ f ( 3) = 3

FF IC IA L

Khi đó 2 f

df ( x )

2xdx

∫ f ( x ) +1 = ∫ x +1 ⇔ ∫ f ( x ) +1 = 2 + 1 + C. Do f ( 0 ) = 0 ⇒ C = 0

Lấy nguyên hàm 2 vế được

Câu 132: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên π

2 π π tục thỏa mãn f   = 0, ∫ f ' ( x )  dx = và 4 2 π 2

A. −1

∫ cos x.f ( x ) dx = 4 . π 2

B. 0

1 2

D. 1

Đáp án D

Tính f ( 2018π )

π 2

π 2kπ ⇒ 2k ∫ sin x.f ' ( x ) dx = 4 4 π 2

xdx =

π 2

π π 2kπ π ⇒ ∫  f ' ( x ) + k sin x  dx = − + k2 = 0 ⇔ k = 1 4 4 4 4 π 2

∫ f ' ( x ) + sin x 

Do đó

dx = 0 ⇒ f ' ( x ) = − sin x ⇒ f ( x ) = cos x + C

π 2

∫ sin

Lại có

⇒ ∫ sin x.f ' ( x ) dx = −

π π π  u = f ( x ) du = f ' ( x ) dx Đặt  ⇒ ⇒ ∫ cos xf ' ( x ) dx = sin x.f ( x ) π − ∫ sin x.f ' ( x ) dx 2 π π dv = cos xdx v = sin x

π Do f   = 0 ⇒ C = 0 ⇒ f ( x ) = cos x ⇒ f ( 2018π ) = 1 2 4

KÈ

Câu 133: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Tích phân

∫ 0

A. 2 Đáp án C

B. 3

C. 2

1 dx bằng 2x + 1

ẠY

4 1 dx = 2x + 1 =2 ∫0 2x + 1 0 Câu 134: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Cho f là hàm số liên tục thỏa

Ta có

∫ f ( x ) dx = 7. 0

π 2

Tính I = ∫ cos x.f ( sin x )dx 0

A. 1

B. 9

C. 3

D. 7

Đáp án B

π 2

FF IC IA L

x = 0 ⇒ t = 0  Đặt t = sin x ⇔ dt = cos xdx  π t = ⇒ t = 1  2 Khi đó I = ∫ cos x.f ( sin x ) dx = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx = 7

Câu 135: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Cho hàm số f liên tục trên đoạn [ −6;5] có đồ thị gồm hai đoạn thẳng và nửa đường tròn như hình vẽ. Tính giá trị 5

∫ f ( x ) + 2 dx

A. I = 2π + 35 Đáp án D

C. I = 2π + 33

B. I = 2π + 34

−6

−2

−6 −2

KÈ

−6

−2

−6

x+4 2x − 1 dx+ ∫ 1+ 4 − x 2 dx+ ∫ dx + 2 ∫ dx = 2π + 32 2 3 −6 −2 2 −6

∫

ẠY

∫ f ( x ) + 2 dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + ∫ 2dx

Vậ y I =

x + 4 khi − 6 ≤ x ≤ −2  2   Dựa vào hình vẽ ta thấy f ( x ) = 1+ 4 − x 2 khi − 2 ≤ x ≤ 2  2x − 1  khi 2 ≤ x ≤ 5  3

(

)

D. I = 2π + 32