Issuu

BÀI TẬP THEO CHUYÊN ĐỀ TỪ ĐỀ THI THỬ 2018

vectorstock.com/10212081

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection DẠY KÈM QUY NHƠN TEST PREP PHÁT TRIỂN NỘI DUNG

BÀI TẬP THEO CHUYÊN ĐỀ TỪ ĐỀ THI THỬ 2018 TOÁN 12 SỐ PHỨC CÓ GIẢI CHI TIẾT WORD VERSION | 2021 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM

Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

Câu 1: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Cho số phức z =

(

) (

)

2 + i . 1 − 2i .

Tìm phần thực và ảo của số phức z . A. Phần thực bằng 5 và Phần ảo bằng

B. Phần thực bằng 5 và Phần ảo bằng − 2 .

C. Phần thực bằng –5 và Phần ảo bằng

D. Phần thực bằng –5 và Phần ảo bằng − 2 .

FF IC IA L

Đáp án B

(

) (

)

2 + i . 1 − 2i = 1 + 2 2i . 1 − 2i = 5 + 2i ⇒ z = 5 − 2i

Vậy phẩn thực và phần ảo của z là 5 và − 2

A. P = 9 .

1 1 + . z1 z 2

phương trình −3z 2 + 2z − 1 = 0 . Tính P =

Câu 2: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Gọi z1 , z 2 là hai nghiệm phức của

C. P = 3 .

D. P = 10 .

B. P = 2 .

Đáp án B

z1 , z 2 là hai nghiệm phức của phương trình −3z 2 + 2z − 1 = 0 theo Định lý Viét ta có

2   z1 + z2 = 3 1 1 z +z 2 1 ⇒P= + = 1 2 = : =2  1 z z z z 3 3 1 2 1 2 z z = 1 2  3

Câu 3: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Tìm tất cả các số thực x, y sao cho 1 − x 2 − yi = i3 − i 2 − i .

B. x = 0, y = 2 .

KÈ

Đáp án B

A. x = 2, y = 2 .

C. x = − 2, y = 2 .

D. x = 2, y = 0 .

1 − x 2 = 1  x = 0 ⇔ 1 − x 2 − yi = i3 − i 2 − i ⇔ (1 − x 2 ) − yi = 1 − 2i ⇒  y = 2 y = 2

ẠY

Câu 4: ( GV

NGUYỄN BÁ TRẦN

PHƯƠNG 2018 ) Cho số phức z thỏa mãn

(3 + i)z = 13 − 9i . Tìm tọa độ của điểm M biểu diễn z.

A. M = ( −3; 4) .

B. M = (3; −4) .

C. M = (−3; −4) .

Đáp án B (3 + i)z = 13 − 9i ⇒ z =

13 − 9i 1 1 = (13 − 9i )( 3 − i ) = ( 30 − 40i ) = 3 − 4i 3+i 10 10

D. M = (1; −3) .

Vậy tọa độ của M ( 3; −4 )

Câu 5: ( GV

NGUYỄN BÁ TRẦN

PHƯƠNG 2018 ) Cho hai số phức

B. z1 − 2z 2 = 71 .

A. z1 − 2z 2 = 61 .

FF IC IA L

z 1 = 1 + 2i, z 2 = 3 − 2i . Tính mô đun của số phức z1 − 2z 2 .

C. z1 − 2z 2 = 17 .

Đáp án A

D. z1 − 2z 2 = 4 .

z 1 = 1 + 2i, z 2 = 3 − 2i ⇒ z1 − 2z 2 = −5 + 6i ⇒ z1 − 2z 2 = 52 + 62 = 61

Câu 6 : ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Tính mô đun của số phức z, biết

z = 1 + 3i . C. z = 2 5.

D. z = 2 3.

B. z = 10.

A. z = 5.

Đáp án B

z = 1 + 3i ⇒ z = 1 − 3i ⇒ z = 10 .

Câu 7 : ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Cho hai số phức z1 = 1 − 2i, z2 = 3 + i .

Tìm phần thực và ảo của số phức z = z1.z2 .

B. Phần thực bằng 5 và Phần áo bằng −5i .

C. Phần thực bằng 3 và Phần áo bằng -5.

D. Phần thực bằng 5 và Phần áo bằng -5.

A. Phần thực bằng 3 và Phần áo bằng −5i .

Đáp án D

Sử dụng MTBT z = z1 z2 = (1 − 2i )( 3 + i ) = 5 − 5i

KÈ

Câu 8 : ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ). Gọi z1 , z2 , z3 là ba nghiệm phức của phương trình z 3 − 1 = 0 . Tính P = z1 + z2 + z3 .

ẠY

A. P = 10.

B. P = 13.

C. P = 93.

D. P = 0.

Đáp án D

(

)

2 Ta có ( z − 1) z + z + 1 = 0 ⇔ z1 = 1, z2,3 =

Câu 9: ( GV

NGUYỄN BÁ TRẦN

−1 ± 3i ⇒ z1 + z2 + z3 = 0 2

PHƯƠNG 2018 ). Tìm số phức z thỏa mãn

2iz = −2 + 4i. 2

A. z = 2 + i.

B. z = 2 − i.

C. z = 1 + 2i.

D. z = 1 − 2i.

Đáp án A Ta có z =

−2 + 4i = 2+i. 2i

phức z. Tìm tọa độ của điểm N biểu diễn số phức w = z + 2 z.

B. N = ( 2; −3) .

A. N = ( 3; −2 ) .

C. N = ( 2;1) .

Đáp án A Ta có z = 1 + 2i ⇒ w = (1 + 2i ) + 2 (1 − 2i ) = 3 − 2i → N ( 3; −2 ) .

FF IC IA L

Câu 10: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Cho M (1; 2 ) là điểm biểu diễn số

D. N = ( 2;3) .

z = ( 2 + 3i )

Câu 11: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Tìm phần thực và ảo của số phức 2

B. Phần thực bằng 5 và Phần ảo bằng −12.

C. Phần thực bằng −5 và Phần ảo bằng 12

D. Phần thực bằng −5 và Phần ảo bằng − 12

A. Phần thực bằng −5 và Phần ảo bằng 12

Đáp án A 2

Sử dụng máy tính Casio ta có z = ( 2 + 3i ) = −5 + 12i .

Câu 12: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Tìm các số thực x, y biết

2 3 C. x = − , y = − . 3 4

2 3 B. x = , y = . 3 4

3 4 A. x = − , y = − . 2 3

3x − 2 + ( y − 5) i = x + 1 − ( 2 y + 1) i

Đáp án D

3 4 D. x = , y = . 2 3

KÈ

3  x=  3 x − 2 = x + 1  2 Ta có  ⇔  y − 5 = −2 y − 1  y = 4  3

ẠY

Câu 13: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Tính mô đun của số phức z = ( −2 − 5i )4i

A. z = 464.

B. z = 446.

C. z = 644.

Đáp án A Ta có z = 20 − 8i ⇒ z =

202 + 82 = 464 .

D. z = 466.

Câu 14: ( GV

NGUYỄN BÁ TRẦN

PHƯƠNG 2018 ) Tìm số phức z thỏa mãn

3 z 2 − 2 z + 1 = 0.

1 ± 5i . 3

B. z =

1 ± 7i . 3

C. z =

1 ± 2i . 3

Đáp án C Sử dụng máy tính Casio

D. z =

1 ± 3i . 3

FF IC IA L

A. z =

Câu 15: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Trên mặt phẳng (Oxy), tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z có phần thực bằng −3. B. Đường thẳng x = −3.

C. Đường thẳng y = 3.

D. Đường thẳng x = 3.

A. Đường thẳng y = −3.

Đáp án B

điểm biểu diễn của z là điểm nào

trong các điểm M, N, P, Q ở hình bên A. Điểm P.

B. Điểm Q.

C. Điểm M.

D. Điểm N.

Đáp án A

5 − 2i . Hỏi i

Câu 16: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Cho hai số phức z =

Ta có z = −2 − 5i ⇒ Điểm biểu diễn số phức z là ( −2; −5) .

Câu 17: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z, biết ( 2 − i )(1 + i ) + z = 4 − 2i . B. Phần thực bằng 1 và Phần ảo bằng 3 .

C. Phần thực bằng –3 và Phần ảo bằng 1.

D. Phần thực bằng –3 và Phần ảo bằng –1.

KÈ

A. Phần thực bằng –1 và Phần ảo bằng 3. Đáp án B

z = a + bi ⇒ z = a − bi

ẠY

(2 − i )(1 + i ) + z = 4 − 2i

3 + a = 4 a = 1 ⇔ 3 + a + (1 − b)i = 4 − 2i ⇒  ⇒ 1 − b = −2 b = 3

Câu 18: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Phương trình z 2 + az + b = 0 có nghiệm phức z = 1 + i . Tìm a, b. A. a = b = −2 .

B. a = −2, b = 2 .

C. a = 1, b = 2 . 4

D. a = b = 2 .

Đáp án B z 2 + az + b = 0

Thay z = 1 + i ⇒ (1 + i ) 2 + a (1 + i ) + b = 0

FF IC IA L

a + b = 0 a = −2 ⇒ a + b + (2 + a)i = 0 ⇒  ⇒ 2 + a = 0 b = 2

Câu 19: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Điểm biểu diễn của số phức nào 2

dưới đây thuộc đường tròn có phương trình ( x − 1) + ( y + 2 ) = 5 .

A. z = 3 − i .

B. z = 2 + 3i .

C. z = 1 + 2i .

D. z = 1 − 2i .

Đáp án A

z = 3 − i ⇒ M (3; −1) ∈ (C )

Câu 20: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Tính mô đun của số phức

A. z = 2 2 .

z = 2 + i + i 2017 . B. z = 2 .

C. z = 5 .

Đáp án A

D. z = 10 .

Câu 20: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Điểm M trong hình vẽ bên là điểm y

biểu diễn số phức z. Tính mô đun của số phức w= z + iz.

B. w = 28.

D. w = 128.

C. w = 182. Đáp án D

A. w = 12.

-4

z = −4 + 4i

KÈ

z = −4 − 4i w = −8 − 8i

| w |= 128

ẠY

Câu 21: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN

(

) (

)

PHƯƠNG 2018 ) Tính giá trị của biểu thức

P = 1 + 3i + 1 − 3i . A. P = 4.

B. P = −4.

C. P = 6.

Đáp án B

D. P = −6.

Câu 22: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Tìm số phức liên hợp của số phức z=

−2 + i . i

A. z = 1 + 2i

B. z = 1 + i

C. z = 1 − 2i

Câu 23: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN

FF IC IA L

Đáp án C

D. z = 1 − i

PHƯƠNG 2018 ) Cho số phức z thỏa mãn

(1 + i ) z + ( 3 − i ) z = 2 − 6i. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. z có phần thực và phần ảo đều âm.

B. z có phần thực và phần ảo đều dương.

C. z có phần thực dương và phần ảo âm.

D. z có phần thực âm và phẩn ảo dương.

Đáp án B Đặt z = a + bi ta có

⇔{

4a − 2b = 2 b=3 a=2

⇔{

(1 + i )( a + bi ) + ( 3 − i )( a − bi ) = 2 − 6i ⇔ ( 4a − 2b ) − 2bi = 2 − 6i

b=3

z = 2 + i + i 2017 = 2 + i + (i 4 )504 .i = 2 + i + i = 2 + 2i

⇒ z =2 2

Câu 24: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của

phương trình z 2 + 2 z + 5 = 0 , trong đó z1 có phần ảo dương. Tìm số phức liên hợp của số phức z1 + 2 z2 .

KÈ

A. 3 + i.

B. −3 + 2i.

C. 3 − 2i.

D. 2 − i.

Đáp án B

ẠY

z2 + 2z + 5 = 0

⇔

z1 = −1 + 2i

z2 = −1 − 2i

Câu 25: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Cho số phức z = 1 − 3i. Tính

(

P= z−z

)

A. P = 4.

B. P = −4.

C. P = 36.

Đáp án D 6

D. P = −36.

Câu 26: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ). Cho số phức z = ( a + bi ) . Để z là số thuần ảo thì

A. a = b = 1

B. a = b = −1

C. a = b = 0

D. a = b

FF IC IA L

Đáp án D Ta có: z = (a + bi ) 2 = a 2 − b 2 + 2abi.

Để số phức z là số thuần ảo thì a 2 − b 2 = 0 ⇔ a = b .

Câu 27: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ). Cho số phức z thỏa mãn

22 4 và phần ảo bằng . 25 25

25 25 và phần ảo bằng . 22 4

C. z có phần thực bằng

22 4 và phần ảo bằng − . 25 25

B. z có phần thực bằng −

25 25 và phần ảo bằng − . 22 4

D. z có phần thực bằng −

A. z có phần thực bằng

2+i −1 + 3i . Mệnh đề nào dưới đây đúng ? z= 1− i 2+i

Đáp án A

Ta có:

2+i −1 + 3i −1 + 3i 1 − i 22 4 .z = . ⇔z= = + i. 1− i 2+i 2 + i 2 + i 25 25

Câu 30. : ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 )Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ℝ)

thỏa mãn z + 2iz = 3 + 3i . Tính z .

B. z = 5

C. z = 5

D. z = 2

KÈ

A. z = 2 Đáp án D Ta có:

ẠY

 a + 2b = 3 ⇔ a = b = 1. z + 2iz = 3 + 3i ⇔ a + bi + 2i (a − bi ) = 3 + 3i ⇔ a + 2b + (2a + b)i = 3 + 3i ⇔   2a + b = 3

⇒ z = 1 + i = 2.

Câu 31.: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Tìm nghiệm phức của phương trình 3z 2 + 7 z + 8 = 0 .

A. z =

−7 ± i 47 6

B. z =

7 ± i 47 6

C. z =

−6 ± i 47 7

D. z =

6 ± i 47 7

Đáp án A

FF IC IA L

−7 ± i 47 . 6

ẠY

KÈ

3z 2 + 7 z + 8 = 0 ⇔ z =

Câu 1 (Đặng Việt Hùng-2018) Gọi

z1 , z 2

là hai nghiệm của phương trình

z 2 − 2z + 2 = 0, ( z ∈ C ) . Tính giá trị của biểu thức P = 2 z1 + z 2 + z1 − z 2 . A. P = 6

B. P = 3

C. P = 2 2 + 2

D. P = 2 + 4

FF IC IA L

Đáp án A z = 1 + i z + z = 2 z = 1 + i  z1 + z 2 = 2 PT ⇔  ⇒ 1 ⇒ 1 2 ⇒ ⇒P=6  z = 1 − u z 2 = 1 − i z1 − z 2 = 2i  z1 − z 2 = 2

Câu 2: (Đặng Việt Hùng-2018)Cho số phức z thỏa mãn ( 3 − 4i ) z −

4 = 8. Trên mặt phẳng z

tọa độ, khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm biểu diễn số phức z thuộc tập nào?

1 5 B.  ;  4 4

 1 C.  0;   4

4 4 = 8 ⇔ ( 3 − 4i ) z = 8 + z z

( *)

Ta có ( 3 − 4i ) z =

Đáp án D

1 9 D.  ;  2 4

9  A.  ; +∞  4 

Lấy môđun hai vế của (*) và sử dụng công thức z1.z 2 = z1 . z 2 , ta được

4 1 1 ⇔ 3 − 4i . z = 4 2 + ⇔ 5 z = 4 2+ z z z 2

(*) ⇔ ( 3 − 4i ) z = 8 +

⇔ 5 z = 4 ( 2 z + 1) ⇔ 5 z − 8 z − 4 = 0 ⇔ z = 2

1 9 Gọi M ( x; y ) là điểm biểu diễn số phức z. Khi đó OM = x 2 + y 2 = z = 2 ∈  ;  2 4

KÈ

số phức z.

Câu 3: (Đặng Việt Hùng-2018) Cho số phức z thỏa mãn z ( 2 − i ) + 13i = 1. Tính mô đun của

A. z = 34

B. z = 34

C. z =

5 34 3

34 3

D. z =

ẠY

Đáp án A

PT ⇔ z =

1 − 13i 2 = 3 − 5i ⇒ z = 32 + ( −5 ) = 34. 2−i

(

)

Câu 4: (Đặng Việt Hùng-2018) Tìm số phức z thỏa mãn z − 2 = z và ( z + 1) z − i là số thực.

A. z = 1 − 2i

B. z = −1 − 2i

C. z = 2 − i

D. z = 1 + 2i

Đáp án A 2

Đặt z = a + bi;a, b ∈ ℝ ⇒ a + bi − 2 = a + bi ⇔ ( a − 2 ) + b 2 = a 2 + b 2 ⇒ a = 1 ⇒ z = 1 + b. M ặt

( z + 1) ( z − i ) = ( b2 + b + 2 ) − ( b + 2) i

khác

số

là

suy

FF IC IA L

b + 2 = 0 ⇔ b = −2 ⇒ z = 1 − 2i.

thực,

Câu 5 (Đặng Việt Hùng-2018) Trong mặt phẳng phức, gọi M là điểm biểu diễn số phức

(z − z)

với z = a + bi ( a, b ∈ ℝ, b ≠ 0 ) . Chọn kết luận đúng.

A. M thuộc tia Ox

B. M thuộc tia Oy

C. M thuộc tia đối của tia Ox

D. M thuộc tia đối của tia Oy

Đáp án C

)

= ( a + bi − a + bi ) = 0 = −4b 2 Suy ra M thuộc tia đối của tia Ox.

Câu 6: (Đặng Việt Hùng-2018)

z = a + bi ( a, b ∈ ℝ )

(

Gọi số phức

(

G ọi w = z − z

)

thỏa mãn

A. a.b = 1

z − 1 = 1 và (1 + i ) z − 1 có phần thực bằng 1 đồng thời z không là số thực. Khi đó a.b bằng C. a.b = −2

B. a.b = 2

Đáp án A

D. a.b = −1

(

)

Ta có z − 1 = 1 ⇔ a − 1 + bi = 1 ⇔ ( a − 1) + b 2 = 1 (1) .

Số phức w = (1 + i ) z − 1 = (1 + i )( a − 1 − bi ) = ( a + b − 1) + ( a − b − 1) i có phần số thực bằng

a + b − 1 = 1 ( 2 ) . (Dethithpt.com)

KÈ

a + b = 2 ( a − 1)2 + b 2 = 1  b = 1 Từ (1) , ( 2 ) ⇒  ⇔ b = 0 ⇒  ⇒ a.b = 1. a = 1  a + b = 2   b =1  Câu 7: (Đặng Việt Hùng-2018) Cho hai số phức z1 , z 2 . Chọn mệnh đề đúng

ẠY

A. Nếu z1 = z 2 thì z1 = z 2

B. Nếu z1 = z 2 thì z1 = z 2 C. Nếu z1 = z 2 thì z1 = z 2 D. Nếu z1 = z 2 thì thì các điểm biểu diễn cho z1 và z 2 tương ứng trên mặt phẳng tọa độ sẽ

đối xứng nhau qua gốc tọa độ O Đáp án B

Đáp án B Lấy ví dụ z1 = 1 + i, z 2 = 2 dễ thấy A, C, D sai

FF IC IA L

Câu 8 (Đặng Việt Hùng-2018): Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức

A. z = −2 + i.

B. z = 1 − 2i. C. z = 2 + i.

D. z = 1 + 2i.

Đáp án A.

Câu 9 (Đặng Việt Hùng-2018) Gọi z1 và z 2 là hai nghiệm phức của phương trình

Đáp án D.

B. 2 3

A. 3 2

4z 2 − 4z + 3 = 0. Giá trị của z1 + z 2 bằng

C. 3

KÈ

 1 + 2i z = 2 2 Ta có 4z − 4z + 3 = 0 ⇔  ⇒ z1 + z 2 = 3.  1 − 2i z =  2

ẠY

Câu 10: (Đặng Việt Hùng-2018) Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) thỏa mãn

z + 2 + i − z (1 + i ) = 0 và z > 1. Tính P = a + b. A. P = −1.

B. P = −5.

Đáp án D. Đặt z = a + bi ⇒ a + bi + 2 + i − a 2 + b 2 (1 + i ) = 0

C. P = 3.

D. P = 7.

a = b − 1 a = b − 1 a + 2 − a 2 + b 2 = 0 a + 2 = b + 1   ⇔ ⇔ ⇔  b ≥ −1 ⇔  b ≥ −1 2 2 b + 1 = a + b b + 1 − a 2 + b 2 = 0  2  2 2 2 b + 2b + 1 = a + b 2b + 1 = ( b − 1)

FF IC IA L

 b = 0;a = −1 . Do z > 1 ⇒ a = 3, b = 4. ⇔  b = 4;a = 3

Câu 11: (Đặng Việt Hùng-2018) Xét các số phức z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) thỏa mãn điều kiện

z − 4 − 3i = 5. Tính P = a + b khi giá trị biểu thức z + 1 − 3i + z − 1 + i đạt giá trị lớn nhất. A. P = 10.

C. P = 6.

D. P = 8.

B. P = 4.

Đáp án A.

Gọi M ( x, y ) là điểm biểu diễn số phức z. 2

Từ giả thiết, ta có z − 4 − 3i = 5 ⇔ ( x − 4 ) + ( y − 3) = 5 ⇒ M thuộc đường tròn (C) tâm

I ( 4;3) , bán kính R = 5. Khi đó P = MA + MB, với A ( −1;3) , B (1; −1) .

Ta có P 2 = MA 2 + MB2 + 2MA.MB ≤ 2 ( MA 2 + MB2 ) .

MA 2 + MB2 AB2 . − 2 4

Gọi E ( 0;1) là trung điểm của AB ⇒ ME 2 =

(

Do đó P 2 ≤ 4ME 2 + AB2 mà ME ≤ CE = 3 5 suy ra P 2 ≤ 4. 3 5

) + (2 5 )

= 200.

Với C là giao điểm của đường thẳng EI với đường tròn (C).

KÈ

MA = MB Vậy P ≤ 10 2. Dấu “=” xảy ra ⇔  ⇒ M ( 6; 4 ) ⇒ a + b = 10. M = C Câu 12: (Đặng Việt Hùng-2018) Trong tập các số phức gọi z1 , z 2 là hai nghiệm của phương

2017 = 0 với z 2 có phần ảo dương. Cho số phức z thỏa mãn z − z1 = 1. Giá trị 4 nhỏ nhất của P = z − z 2 là

ẠY

trình z 2 − z +

2016 − 1

2017 − 1

2017 − 1 2

2016 − 1 2

Đáp án A

2017 = 0 ⇔ 4z 2 − 4z + 2017 = 0 2

 1− i z1 =  2  ⇔ ( 2z − 1) = 2016i 2 ⇔  z = 1 + i  2

2016 2 2016 2

FF IC IA L

Phương trình z 2 − z +

Ta có z − z1 + z − z 2 ≥ ( z − z1 ) − ( z − z 2 ) = z − z 2 ≥ z1 − z 2 − z − z1 = 2016 − 1 Vật giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là Pmin = 2016 − 1

Câu 13 (Đặng Việt Hùng-2018): Cho số phức z = 3 − 2i. Tìm điểm biểu diễn của số phức w = z + i.z

B. M (1; −5 )

C. M ( 5; −5 )

D. M ( 5;1)

A. M (1;1)

Đáp án A

Ta có z = 3 + 2i ⇒ w − z + iz = 3 − 2i + i ( 3 + 2i ) = 1 + i ⇒ M (1;1)

Câu 14: (Đặng Việt Hùng-2018) Cho các số phức z1 = 1 + 2i, z 2 = 3 − i . Tìm số phức liên

hợp của số phức w = z1 + z 2

A. w = −4 + i

C. w = −4 − i

D. w = 4 − i

B. w = 4 + i

Đáp án D

Ta có: w = z1 + z 2 = 4 + i ⇒ w = 4 − i .

Câu 15 (Đặng Việt Hùng-2018)Tìm số phức z thỏa mãn (1 − 2i ) z = 3 + i.

KÈ

A. z = 1 − i

B. z = 1 + i

1 7 1 7 C. z = + i D. z = − i 5 5 5 5

Đáp án C

ẠY

Ta có (1 − 2i ) z = 3 + i ⇔ z =

( 3 + i )(1 + 2i ) = 1 + 7i = 1 + 7 i. 3+i = 1 − 2i (1 − 2i )(1 + 2i ) 5 5 5

Câu 16 : (Đặng Việt Hùng-2018) Tìm môđun của số phức z biết z − 4 = (1 + i ) z − ( 4 + 3z ) i. A. z = 4

B. z = 1

C. z =

1 2

D. z = 2

Đáp án D PT ⇔ z (1 + 3i ) = ( z + 4 ) + i ( z − 4 ) ⇔ 1 + 3i z =

( z + 4) + ( z − 4)

⇔ 10 z = ( z + 4 ) + ( z − 4 ) ⇔ z = 4 ⇔ z = 2. Câu 17 (Đặng Việt Hùng-2018): Cho số phức z = 2 + 3i. Gọi M là điểm biểu diễn số phức z, N là điểm biểu diễn số phức z và P là điểm biểu diễn số phức (1 + i ) z. Khẳng định nào sau

A. M ( 2;3) .

B. N ( 2; −3) .

C. P (1;5 ) .

FF IC IA L

đây là khẳng định sai? D. z = 13.

Đáp án C. Ta có: N ( 2; −3) ; (1 + i ) z = (1 + i )( 2 + 3i ) = −1 + 5i do đó P ( −1;5 ) .

2 1 Câu 18(Đặng Việt Hùng-2018)Tìm số phức z thỏa mãn z =  1 − 2i − z  .  3 

3 C. 2 + i 4

3 B. − + 2i 4

3 D. 2 − i 4

3 A. − − 2i 4

)

(

Đáp án A.

2 1 1 1 2 z =  1 − 2i − z  = (1 + 2i ) − z  = ( −3; 4i − z ) ⇔ 3z = −3 + 4i − z      3 3 3

)

(

3  3 a = − ⇔ 4 → z = − − 2i. 4 b = −2

3a = −3 − a Đặt z = a + bi ⇒ 3 ( a − bi ) = −3 + 4i − ( a + bi ) ⇔ 3a − 3bi = −3 − a + ( 4 − b ) i ⇔  3b = b − 4

Câu 19(Đặng Việt Hùng-2018)Trên tập ℂ , cho số phức z =

i+m , với m là tham số thực khác i −1

KÈ

-1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để z.z = 5.

A. m = −3.

B. m = 1.

C. m = ±2.

D. m = ±3.

ẠY

Đáp án D.

Ta có z.z = 5 ⇔ z = 5 ⇔

m2 + 1 = 5 ⇔ m 2 = 9 ⇔ m = ±3. 2

Câu 20 (Đặng Việt Hùng-2018)Cho số phức z thỏa mãn

z = 1. Biết rằng tập các điểm i+2

biễu diễn số phức z là một đường tròn ( C ) . Tính bán kính r của đường tròn ( C ) .

A. r = 1.

B. r = 5.

C. r = 2.

D. r = 3.

Đáp án B. Ta có

z a 2 + b2 = 2⇒ = 1 ⇒ a 2 + b 2 = 5 ⇒ 5. i+2 5

hợp các điểm biểu diễn của Z tạo thành một hình phẳng. Tính diện tích S của hình phẳng đó.

B. S = 8π.

A. S = 25π.

C. S = 4π.

FF IC IA L

Câu 21 (Đặng Việt Hùng-2018)Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 3 ≤ z − 3i + 1 ≤ 5. Tập

D. S = 16π.

Đáp án D.

Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z. Xét điểm A ( −1;3) thì theo điều kiện, ta có:

3 ≤ z − 3i + 1 ≤ 5 ⇔ 3 ≤ AM ≤ 5. Vậy tập hợp các điểm biểu diễn z là phần hình phẳng nằm

giữa 2 đường tròn tâm A, bán kính lần lượt là 3 và 5 ⇒ S = π ( 52 − 33 ) = 16π.

Câu 22 (Đặng Việt Hùng-2018): Gọi A, B là hai điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự

biểu diễn các số phức z1 , z 2 khác 0 thỏa mãn đẳng thức z12 + z 22 − z1z 2 = 0, khi đó tam giác

OAB (O là gốc tọa độ)

B. Là tam giác vuông.

D. Là tam giác tù.

C. Là tam giác cân, không đều.

A. Là tam giác đều.

Đáp án A.

z  z z 1± i 3 Cách 1: Ta có: z + z − z1z 2 = 0 ⇔ z − z1z 2 + z = 0 ⇔  1  − 1 + 1 = 0 ⇔ 1 = z2 2  z2  z2 2 1

2 2

z1 1 ± i 3 = = 1 ⇒ z1 = z 2 , z2 2

KÈ

⇒

2 2

2 1

mặt khác

z1 1 ± i 3 z −z −1 ± i 3 = ⇒ 1 2 = ⇒ z1 − z 2 = z 2 z2 2 2 2

ẠY

Do đó tam giác OAB là tam giác đều. (Dethithpt.com)

Cách 2: Chọn z1 = 1 ⇒ z 2 =

1± i 3 −1 ± i 3 . ⇒ z 2 − z1 = 2 2

Câu 23 (Đặng Việt Hùng-2018): Cho số phức z thỏa z − 3 + 4i = 2 và w = 2z + 1 − i. Khi đó

w có giá trị lớn nhất là A. 4 + 74

B. 2 + 130

C. 4 + 130

D. 16 + 74

Đáp án C. Từ giả thiết, ta có z − 3 + 4i = 2 ⇔ 2z − 6 + 8i = 4 ⇔ 2z + 1 − i − 7 + 9i = 4 mà w = 2z + 1 − i.

FF IC IA L

2 2 w  max = 7 + 9 + 4 = 130 + 4 Khi đó w − 7 + 9i = 4 ⇒  .  w min = 7 2 + 92 − 4 = 130 − 4

Câu 24 (Đặng Việt Hùng-2018)Xét số phức z và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là M và M’. Số phức z ( 4 + 3i ) và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là N, N’. Biết rằng M, M’, N , N’ là bốn đỉnh của hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của z + 4i − 5 .

2 5.

1 . 2

4 . 13

Đáp án C. Giả sử z = a + bi với a, b ∈ ℝ ⇒ M ( a, b ) , M ' ( a, − b ) .

5 34.

⇒ N ( 4a − 3b; 4b + 3a ) , N ' ( 4a − 3b; −4b − 3a )

Ta có. z ( 4 + 3i ) = ( a + bi )( 4 + 3i ) = 4a − 3b + i ( 4b + 3a )

Để M, M’, N, N’ là 4 đỉnh của hình chữ nhật thì M phải có cùng tọa độ với N và N’

 b = −a ⇔ b = ± ( 4b + 3a ) ⇔  3a ⇒ M nằm trên đường thẳng ∆1 : x + y = 0 hoặc b = − 5 

∆ 2 : 3x + 5y = 0 (Dethithpt.com)

1 2

Xét điểm I ( 5; −4 ) ⇒ z + 5i − 5 = MI = Min {d ( I, ∆1 ) , d ( I, ∆1 )} =

KÈ

Câu 25: (Đặng Việt Hùng-2018) Cho hai số phức z, w khác 0 và thỏa mãn

3 4 5 , + = z w z+w

biết w = 1. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

a 10 . 3

ẠY

4 10 . 5

8 10 . 3

8 10 . 5

Đáp án C. Từ giả thiết, ta có

3 4 5 3w + 4z 5 + = ⇔ = ⇔ ( 3w + 4z )( w + z ) = 5zw z w z+w zw z+w

w 1 i 11 w w . ⇔ 3w + 7zw + 4z = 5zw ⇔ 3w + 2zw + 4z = 0 ⇔ 3   + 2   + 4 = 0 ⇔ = − ± z 3 3 z z 2

FF IC IA L

2 w w 1 i 11 2 3  1   11  Lấy moodun hai vế, ta được . = =− ± =   +  ⇒z =  = z z 3 3 2 3 3  3 

Câu 26 (Đặng Việt Hùng-2018)Tìm phần thực và phần ảo của số phức z, biết z=

(

5 +i

) (1 − 5i )

A. Phần thực bằng −14 và phần ảo bằng 2 5 B. Phần thực bằng 14 và phần ảo bằng 2 5i

C. Phần thực bằng 14 và phần ảo bằng 2 5

D. Phần thực bằng −14 và phần ảo bằng 2 5i

(

)(

Đáp án C

)

Ta có z = 4 + 2i 5 1 − i 5 = 14 − 2i 5 ⇒ z = 14 + 2i 5

Do đó số phức z có phần thực bằng 14 và phần ảo bằng 2 5

của số phức z1 + 2iz2

Câu 27 : (Đặng Việt Hùng-2018) Cho hai số phức z1 = 2 + 4i và z2 = 1 − 3i . Tính môđun

Đáp án D

B. z1 + 2iz2 = 10

C. z1 + 2iz2 = 1

D. z1 + 2iz2 = 10

A. z1 + 2iz2 = 8

KÈ

Ta có z1 + 2iz2 = 2 + 4i + 2i (1 − 3i ) = 8 + 6i ⇒ z1 + 2iz2 = 10

Câu 28: (Đặng Việt Hùng-2018) Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ℤ ) . Biết tập hợp các điểm A

ẠY

biểu diễn hình học số phức z là đường tròn ( C ) có tâm I ( 4;3) và bán kính R = 3. Đặt M là giá trị lớn nhất, m là giá trị nhỏ nhất của F = 4a + 3b − 1 . Tính giá trị M + m.

A. M + m = 63

B. M + m = 48

C. M + m = 50

D. M + m = 41

Đáp án B

( a − 4 )2 + ( b − 3)2 = 9  x2 + y 2 = 9 x = a − 4 Theo đề ta có  với   y = b −3  F = 4 ( a − 4 ) + 3 ( b − 3) + 24  F − 24 = 4 x + 3 y

⇒ ( F − 24 ) = ( 4 x + 3 y ) ≤ ( 4 2 + 32 )( x 2 + y 2 ) = 225

⇔ −15 ≤ F − 24 ≤ 15 ⇔ 9 ≤ F ≤ 39 ⇒ M + m = 48

nghiệm phức là z1 = 1 + 2i, Khi đó

A. b + c = 0

B. b + c = 3

C. b + c = 2

Đáp án B Do 1 + 2i là nghiệm của phương trình nên ta có:

(1 + 2i )

+ b (1 + 2i ) + c = 0

D. b + c = 7

b + c − 3 = 0 ⇔ −3 + 4i + b + 2bi + c = 0 ⇔  ⇔ b+c =3 2b + 4 = 0

FF IC IA L

Câu 29 (Đặng Việt Hùng-2018)Biết rằng phương trình z 2 + bz + c = 0 ( b, c ∈ ℝ ) có một

B. Đường tròn x 2 + ( y + 3 ) = 20

D. Đường tròn ( x − 3 ) + y 2 = 2 5

C. Đường tròn x 2 + ( y − 3 ) = 20

A. Đường tròn x 2 + ( y − 3 ) = 2 5

điểm biểu diễn số phức w = (1 − 2i ) z + 3i là:

Câu 30 : (Đặng Việt Hùng-2018) Cho số phức z thay đổi, luôn có z = 2. Khi đó tập hợp

Đáp án C

⇒z=

a + ( b − 3) i

Giả sử w = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) ⇒ a + bi = (1 − 2i ) z + 3i

 a + ( b − 3) i  (1 − 2i ) a − 2 ( b − 3) + ( 2a + b − 3) i = = 5 5

KÈ

1 − 2i 2 1 2 ⇒z =z =  a − 2 ( b − 3)  + ( 2a + b − 3) = 2 5 2

⇔ ( a − 2b + 6 ) + ( 2a + b − 3) = 100 2

⇔ ( a − 2b ) + ( 2a + b ) + 12 ( a − 2b ) − 6 ( 2a + b ) = 55 2

ẠY

⇔ 5a 2 + 5b 2 − 30b = 55 ⇔ a 2 + b 2 − 6b = 11 ⇔ a 2 + ( b − 3) = 20

Câu 31: (Đặng Việt Hùng-2018) Cho số phức z, w khác 0 sao cho z − w = 2 z = w . Phần thực của số phức u =

A. a = −

1 8

z là w B. a =

1 4

C. a = 1

D. a =

1 8

Đáp án D Giả sử u = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) Từ giả thiết đầu bài z − w = 2 z = w . ta có hệ sau

FF IC IA L

z 1  = 1  2 u = 2 w 2 3 1 2  a + b = 4 ⇔ ⇒ ( a − 1) + a 2 = −2a + 1 = ⇒ a =  4 8  z − w = u − 1 = 1 ( a − 1)2 + b 2 = 1   w 

z+ 2−i = 2. Tìm z min z +1− i

Câu 32 (Đặng Việt Hùng-2018)Cho số phức z thỏa B. z min = −3 − 10

A. z min = −3 + 10

C. z min = 3 − 10

z+ 2−i = 2 ⇔ z + 2 − i = 2 z +1− i ⇔ z + 2 − i = 1+ i z +1− i z +1− i

Giả thiết

Đáp án C

D. z min = 3 + 10

⇔ z + 2 − i = (1 + i ) z + (1 + i )(1 − i ) = (1 + i ) z + 2 (*)

Đặt z = x + yi ( x; y ∈ ℝ ) ⇒ z = x − yi, khi đó (*) ⇔ x + 2 + ( y − 1) i = (1 + i )( x − yi ) + 2 2

( x + 2 ) + ( y − 1)

( x + y + 2) + ( x − y) 2 ⇔ x 2 + y 2 + 4x − 2y + 5 = 2x 2 + 2y 2 + 4x + 4y + 4 ⇔ x 2 + y 2 + 6y − 1 = 0 ⇔ x 2 + ( y + 3) = 10

⇔ x + 2 + ( y − 1) i = x + y + 2 + ( x − y ) i ⇔

⇒ Do đó tập hợp điểm biễu diễn z là đường tròn tâm I ( 0; −3) , bán kính R = 10

KÈ

z = OM ⇒ OM min = OI − R = 0 2 + 32 − 10 = 3 − 10

Câu 33 (Đặng Việt Hùng-2018): Gọi z1 , z 2 là hai nghiệm phức của phương trình 2

ẠY

z 2 − z + 2 = 0. Tính z1 + z 2

A. −

11 9

8 3

Đáp án D

z2 − z + 2 = 0 ⇔ z =

1 ± i 23 2 ⇒ z1 = z 2 = 6 3

2 3

4 3

Khi đó z1 + z 2 =

4 3

Câu 34 : (Đặng Việt Hùng-2018) Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoa mãn

FF IC IA L

z + 2−i = 3 A. Đường tròn tâm I(2; −1), bán kính R = 1 B. Đường tròn tâm I(−2;1), bán kính R = 3 C. Đường tròn tâm I(1; −2), bán kính R = 3 D. Đường tròn tâm I(−2;1), bán kính R = 3

( x + 2 ) + ( y − 1)

= 3 ⇔ ( x + 2 ) + ( y − 1) = 9

Đặt z = x + yi ( x; y ∈ ℝ ) khi đó

Đáp án D

Do đó tập hợp điểm biễu diễn z là đường tròn tâm I(−2;1), bán kính R = 3

1 + 2m, trong đó m là số m2 thực dương tùy ý. Biết rằng với mỗi m, tập hợp các điểm biểu diễn số phức

(

Câu 35: (Đặng Việt Hùng-2018) Cho số phức z thỏa mãn z =

)

w = ( 2i + 1) i + z − 5 + 3i là một đường tròn bán kính r. Tìm giá trị nhỏ nhất của r B. 2 3

C. 3 5

D. 5 3

A. 3 2 Đáp án C

(

)

Ta có w = ( 2i + 1) i + z − 5 + 3i = 2i 2 + i + ( 2i + 1) z − 5 + 3i = −7 + 4i + ( 2i + 1) z

ẠY

KÈ

 1  ⇔ w + 7 − 4i = ( 2i + 1) z ⇔ w + 7 − 4i = ( 2i + 1) z ⇔ w + 7 − 4i = 5 z = 5 z = 5  2 + 2m  m   1 1 1 theo bất đẳng thức AM-GM, ta có 2 + 2m = 2 + m + m ≥ 3 3 2 .m.m = 3 ⇒ rmin = 3 5 m m m

Câu 36 (Đặng Việt Hùng-2018): Cho hai số phức z1 = 4 − i; z 2 = −2 + 3i. Tìm phần ảo của số

z  phức  1 .  z2  A. −

10 . 13

11 . 13

D. −

11 . 13

Đáp án B.

FF IC IA L

z  z ( 4 + i )( 2 − 3i ) = −11 + 10i = − 11 + 10 i ⇒ 4+i = Ta có  1  = 1 = phần ảo của số phức 13 13 13  z 2  z 2 −2 − 3i ( 3i − 2 )( 3i + 2 ) 10 . là 13 Câu 37 (Đặng Việt Hùng-2018)Giả sử z1 , z 2 là hai trong số các số phức z thỏa mãn

iz + 2 − i = 1 và z1 − z 2 = 2. Giá trị lớn nhất của z1 + z 2 bằng A. 3.

B. 2 3.

C. 3 2.

D. 4.

Đáp án D.

(

)

(

)

= 1 ⇒ M ( x; y ) biểu diễn z thuộc đường tròn tâm I 1; 2 bán kính

⇔ ( x − 1) + y − 2

Ta có: iz + 2 − i = 1 ⇔ i ( x + yi ) + 2 − i = 1 (với z = x + yi ( x; y ∈ ℝ ) )

R = 1.

Giả sử A ( z1 ) ; B ( z 2 ) do z1 − z 2 = 2 ⇒ AB = 2 = 2R nên B là đường kính của đường tròn

( I; R )

Lại có: z1 + z 2 = OA + OB

OA 2 + OB2 AB2 − ⇒ OA 2 + OB2 = 8. 2 4

Mặt khác theo công thức trung tuyến ta có: OI 2 =

Theo BĐT Bunhiascopky ta có: 2 ( OA 2 + OB2 ) ≥ ( OA + OB ) ⇒ OA + OB ≤ 4. 4

KÈ

 1+ i   1− i  Câu 38 : (Đặng Việt Hùng-2018) Tính giá trị của của P =   +  .  1− i   1+ i 

A. P = 1.

B. P = 0.

C. P = −2.

D. P = 2.

ẠY

Đáp án D.

4  1+ i   1− i  4 4 Sử dụng máy tính ta có P =   +  = i +   = 1 + ( −1) = 1 + 1 = 2.  1− i   1+ i  i

Câu 39 (Đặng Việt Hùng-2018)Cho số phức z = 3 + 2i. Điểm nào trong các điểm M, N, P, Q hình bên là điểm biểu diễn số phức liên hợp z của z?

B. M

FF IC IA L

A. N

C. P

D. Q

Đáp án D.

x = 3 tức điểm Q. z = 3 + 2i ⇒ z = 3 − 2i ⇒   y = −2

C. 3.

B. 2.

D. 1.

A. 4.

Câu 40 : (Đặng Việt Hùng-2018) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z 2 = z + z ?

Đáp án C. 2

Giả sử z = x + yi ( x, y ∈ ℝ ) ⇒ ( x + yi ) = ( x 2 + y 2 ) + ( x − yi )

 2xy = − y ⇔ x 2 − y 2 + 2xyi = x 2 + y 2 + x − yi ⇔  2 2 2 2 x − y = x + y + x

KÈ

 y = 0 x = y = 0   y = 0  x = 0  1    1  x=−  1  ⇔ x=− ⇔ x=− ⇔  2  2 2     1 2  y = ±  2 1  y + x = 0 2    y − = 0 2 

ẠY

Do đó có 3 số phức z thỏa mãn bài toán.

Câu 41: (Đặng Việt Hùng-2018) Tính môđun số phức nghịch đảo của số phức z = (1 − 2i ) A.

1 5

Đáp án D

1 25

1 5

( −3) + ( −4 )

=5⇒

1 1 1 = = z z 5

Câu 42: (Đặng Việt Hùng-2018) Cho số phức z thỏa mãn

30i = 9 − 3i. Gọi M là điểm biểu 1− z

diễn số phức z. Tìm tung độ của M

A. 2

B. 3

C. −3

FF IC IA L

z = (1 − 2i ) = −3 − 4i ⇒ z =

D. −1

Câu 43: (Đặng Việt Hùng-2018) Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z − (1 + i ) = z + 2i là đường nào trong các đường cho dưới đây?

B. Đường tròn

C. Elip

D. Parabo

A. Đường thẳng

10i ( 3 + i ) 30i 10i = 9 − 3i ⇔ 1 − z = ⇔ 1− z = ⇔ z = 2 − 3i 1− z 3−i 10

Ta có

Đáp án C

Đáp án A

Giả sử z = x + yi 2

Ta có z − (1 + i ) = z + 2i ⇔ ( x − 1) + ( y − 1) = x 2 + ( y + 2 ) ⇔ x + 3y + 1 = 0

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z − (1 + i ) = z + 2i là đường thẳng

(

)

B. 5 5

C. 6 5

D. 9 5

KÈ

A. 8 5

Câu 44 (Đặng Việt Hùng-2018)Tìm môđun của số phức z = −4 + i 48 ( 2 + i )

Đáp án A

(

)

(

)

ẠY

z = −4 + i 48 ( 2 + i ) = −8 − 48 + 2 48 − 4 i

Khi đó z =

(8 +

) + (2

48 − 4

)

=8 5

Câu 45: (Đặng Việt Hùng-2018) Tìm tất cả các điểm trong mặt phẳng biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện 2 z là một số thực âm A. Trục hoành (trừ gốc tọa độ O).

B. Đường thẳng y = x (trừ gốc tọa độ O).

C. Trục tung (trừ gốc tọa độ O)

D. Đường thẳng y = −x (trừ gốc tọa độ O).

Đáp án C Giả sử z = x + yi, ( x, y ∈ ℝ ) . 2

FF IC IA L

Ta có z 2 = ( x + yi ) = x 2 − y 2 + 2xyi

 x 2 − y2 < 0 x = 0 Để z 2 là một số thực âm thì  ⇔ ⇒ biểu diễn là trục tung (trừ gốc tọa độ y ≠ 0 2xy = 0 O)

Câu 46(Đặng Việt Hùng-2018): Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của A = 1 + z + 3 1 − z

A. 4 8

C. 10

Đáp án D

+ b2 + 3

( a − 1)

+ b 2 = 2a + 2 + 3 2 − 2a

( a + 1)

Đặt z = a + bi ⇒ a 2 + b 2 = 1. Khi đó A =

D. 2 10

B. 2 15

1 3 − =0 2a + 2 2 − 2a

f '(a ) =

Xét hàm số f ( a ) = 2a + 2 + 3 2 − 2a với a ∈ [ −1;1] ta có

4 5

⇔ 9 ( 2a + 2 ) = 2 − 2a ⇔ a = −

Khi đó A max = 2 10

KÈ

Câu 47: (Đặng Việt Hùng-2018) Cho z1 , z 2 là hai nghiệm của phương trình 2

ẠY

2017z 2 − 2016z + 2017 = 0. Tính giá trị của biểu thức P = 1 − z1 .z 2 − z1 − z 2

A. 3

1 3

C. 1

D. 6

Đáp án D 2

(

)

P = 1 − z1.z 2 − z1 − z 2 = 1 − z1.z 2 1 − z1.z 2 − ( z1 − z 2 ) z1 − z 2

(

)(

)

(

)

(

= 1 − z1.z 2 1 − z1.z 2 − ( z1 − z 2 ) z1 − z 2 = 1 − z1 − z 2 + z1 . z 2 = 1 − z1

)(1 − z ) 2

Dễ thấy z1 = z 2 = 1 suy ra P = 1 − z1.z 2 − z1 − z 2 = 0

Câu 48: (Đặng Việt Hùng-2018)Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) thỏa điều kiện

A. 3

B. -4

FF IC IA L

( 2 − 3i ) z − 7i.z = 22 − 20i. Tính a+b C. -6

D. 2

Đáp án B.

Ta có ( 2 − 3i )( a + bi ) − 7i ( a − bi ) = 22 − 20i ⇔ ( 2a − 4b ) + ( 2b − 10a ) i = 22 − 20i

2a − 4b = 22 a = 1 ⇒ ⇔ ⇒ a + b = −4. 2b − 10a = −20 b = −5

Câu 49: (Đặng Việt Hùng-2018) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z = z + z = 1? B. 1.

C. 4.

A. 0.

Đáp án C.

D. 3.

Đặt z = a + bi với a, b ∈ ℝ ⇒ z = a − bi ⇒ z + z = 2a.

1   2 1 a=± a =  a 2 + b 2 = 1  2  4 Ta có: z = z + z = 1 ⇔  2 . ⇔ ⇔ 4a = 1 b2 = 3 b = ± 3   4 2

Vậy có tất cả 4 số phức thảo mãn.

Câu 50 (Đặng Việt Hùng-2018) Cho số phức z thỏa mãn z − 2 − 3i = 1. Gọi

M = max z + 1 + i , m = min z + 1 + i . Tính giá trị của biểu thức ( M 2 + m 2 )

KÈ

A. M 2 + m 2 = 28.

B. M 2 + m 2 = 26.

C. M 2 + m 2 = 24.

D. M 2 + m 2 = 20.

Đáp án A.

(

)

(

ẠY

Ta có 1 = z − 2 − 3i = ( z − 2 − 3i ) .( z − 2 − 3i ) = ( z − 2 − 3i ) z − 2 + 3i = ( z − 2 − 3i ) z − 2 + 3i

Lấy môđun hai vế, ta được z − 2 − 3i . z − 2 + 3i = 1 ⇔ z − 2 + 3i = 1 (*)

Đặt w = z + 1 + i ⇔ z = w − 1 − i, khi đó (*) ⇔ w − 1 − 2 − 3i = 1 ⇔ w − 3 + 2i = 1.

)

2 2 w  min = 3 + 2 − 1 = 13 − 1 M = 13 + 1 ⇒ ⇒ ⇒ M 2 + m2 =  w min = 32 + 22 − 1 = 13 + 1 m = 13 − 1

) (

13 + 1 +

)

13 − 1 = 28.

z −1 + i = 5. Biết rằng tập hợp 2−i

FF IC IA L

Câu 51: (Đặng Việt Hùng-2018) Cho số phức z thỏa mãn

(

biểu diễn số phức w = (1 − i ) z + 2i có dạng ( x + 2 ) + y 2 = k. Tìm k.

B. k = 100.

A. k = 92.

C. k = 50.

D. k = 96.

Đáp án C. Ta có

z −1 + i = 5 ⇔ z + 2i = 5 ⇒ w + 2 = (1 − i )( z + 2i ) = 5 2. Vậy tập hợp điểm biểu 2−i

+ y 2 = 50.

diễn số phức w là đường tròn tâm I ( −2;0 ) bán kính R = 5 2, tức là đường tròn

Câu 52 (Đặng Việt Hùng-2018): Kí hiệu z 0 là nghiệm phức có phần thực âm và phần ảo biểu diễn số phức w = i 2017 z 0 ?

B. M ( 3;1) .

C. M ( −3;1) .

A. M ( 3; −1) .

dương của phương trình z 2 + 2z + 10 = 0. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm

Đáp án D.

D. M ( −3; −1) .

Ta có z 2 + 2x + 10 = 0 ⇔ z = −1 ± 3i ⇒ z 0 = −1 + 3i ⇒ w = i 2017 z 0 = iz 0 = −3 − i.

A. z = 1 + i.

Câu 53 : (Đặng Việt Hùng-2018)Tìm số phức liên hợp của số phức z = (1 − i )( 3 + 2i ) . B. z = 5 + i.

C. z = 5 − i.

D. z = 1 − i.

KÈ

Đáp án B.

Ta có: z = (1 − i )( 3 + 2i ) = 5 − i ⇒ z = 5 + i.

ẠY

Câu 54 (Đặng Việt Hùng-2018): Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn

2 z − 1 = z + z + 2 trên mặt phẳng tọa độ là một B. đường tròn.

C. parabol.

A. đường thẳng.

Đáp án C. Đặt z = a + bi với a, b ∈ ℝ ⇒ z = a − bi ⇒ z + z + 2 = 2a + 2.

D. hypebol.

Ta có: 2 z − 1 = z + z + 2 ⇔ 2 ( a − 1) + bi = 2 a + 1 ⇔ ( a − 1) + b 2 = ( a + 1) ⇔ b 2 = 4a

FF IC IA L

Vậy quỹ tích là một parabol.

Câu 55: (Đặng Việt Hùng-2018) Cho số phức z thỏa mãn z − 3 − 4i = 5. Gọi M, m lần lượt 2

là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = z + 2 − z − i . Tính môđun của số phức w = M + mi ?

A. w = 2315.

B. w = 1258.

C. w = 3 137.

Đáp án B.

D. w = 2 309.

Đặt z = x + yi ( x, y ∈ ℝ ) suy ra tập hợp các điểm M ( z ) = ( x; y ) là đường tròn (C) có tâm

I ( 3; 4 ) và bán kính R = 5. 2

Ta có P = z + 2 − z − i = x + 2 + yi − x + ( y − 1) i = ( x + 2 ) + y2 − x 2 − ( y − 1)

= x 2 + y 2 + 4x + 4 − x 2 − y 2 + 2y − 1 = 4x + 2y + 3  → ( ∆ ) : 4x + 2y + 3 − P = 0.

42 + 22

4.3 + 2.4 + 3 − P

≤ 5 ⇔ 23 − P ≤ 10 ⇔ −10 ≤ 23 − P ≤ 10 ⇔ 13 ≤ P ≤ 33.

⇔

Ta cần tìm P sao cho đường thẳng ( ∆ ) và đường tròn (C) có điểm chung ⇔ d ( I; ( ∆ ) ) ≤ R.

KÈ

max P = 33 Do đó,   → w = M + mi = 33 + 13i ⇒ w = 1258. min P = 13

Câu 56: (Đặng Việt Hùng-2018) Cho số phức thỏa mãn z ≤ 1. Đặt A =

2z − 1 . Mệnh đề 2 + iz

nào sau đây đúng?

ẠY

A. A ≤ 1.

B. A ≥ 1.

C. A < 1.

Đáp án A.

Ta có A =

2z − i 2A + i . ⇔ 2A + Aiz = 2z − i ⇔ 2A + i = 2z − Aiz ⇔ z = 2 + iz 2 − Ai

Mà z ≤ 1 ⇒

2A + i 2A + i ≤1⇔ ≤ 1 ⇔ 2A + i ≤ 2 − Ai 2 − Ai 2 − Ai

(*).

D. A > 1.

Đặt A = x + yi, Khi đó (*) ⇔ 2x + ( 2y + 1) i ≤ 2 + y − xi ⇔ 4x 2 + ( 2y + 1) ≤ ( 2 + y ) + x 2 .

⇔ 4x 2 + 4y 2 + 4y + 1 ≤ x 2 + y 2 + 4y + 4 ⇔ x 2 + y 2 ≤ 1 ⇒ A ≤ 1.

(1 − i ) z = 1 + 3i. A. z = −1 + 2i.

B. z = 1 − 2i.

C. z = −1 − 2i.

Đáp án C.

1 + 3i = −1 + 2i ⇒ z = −1 − 2i. 1− i

FF IC IA L

Câu 57 (Đặng Việt Hùng-2018): Tìm số phức liên hợp của số phức z thỏa mãn

D. z = 1 + 2i.

Câu 58: (Đặng Việt Hùng-2018) Cho A, B, C là những điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn z3 + i = 0. Tìm phát biểu sai?

A. Tam giác ABC đều.

B. Tam giác ABC có trọng tâm là O ( 0;0 ) .

3 3 . 2

D. SABC =

C. Tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp là O ( 0;0 ) .

Đáp án D.

KÈ

A ( 0;1) z = i  3 3  Ta có z + i = 0 ⇔  . 3 1  ⇒ S∆ABC = −i ± 3 ⇒   3 1   4 z = B  2 ; − 2  , C  − 2 ; − 2   2      3

Câu 59: (Đặng Việt Hùng-2018) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn z − i = (1 + i ) z

ẠY

A. Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I ( 2, –1) , bán kính R = 2

B. Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I ( 0;1) , bán kính R = 3 C. Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I ( 0, –1) , bán kính R = 3

D. Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I ( 0, –1) , bán kính R = 2

Đáp án D Đặt z = x + yi ta có

x + yi − i = (1 + i )( x + yi ) ⇔ x + ( y − 1) i = ( x − y )( x + y ) i 2

FF IC IA L

x 2 + ( y − 1) = ( x − y ) + ( x + y ) ⇔ x 2 + y 2 − 2y − 1 = 0 ⇔ x 2 + ( y + 1) = 2 Vậy tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I ( 0; −1) , bán kính R = 2

Câu 60: (Đặng Việt Hùng-2018) Gọi z1 , z 2 là hai nghiệm phức của phương trình 2

z 2 + 2z + 10 = 0. Tính giá trị của biểu thức A = z1 + z 2

A. 15

B. 17

C. 19

Đáp án

D. 20

Ta có

 z = z1 = −1 + 3i ⇒ z1 = 10 2 2 2 z 2 + 2z + 10 = 0 ⇔ ( z + 1) + 9 = 0 ⇔ ( z + 1) = −9 = ( 3i ) ⇔   z = z 2 = −1 − 3i ⇒ z 2 = 10 2

Khi đó A = z1 + z 2 = 10 + 10 = 20

Câu 61: (Đặng Việt Hùng-2018) Gọi T là tập hợp các số là

phức z thỏa mãn z − i ≥ 3 và z − 1 ≤ 5. Gọi z1 , z 2 ∈ T lần lượt

các số phức có môđun nhỏ nhất và lớn nhất. Tìm số phức

z1 + 2z 2 . A. 12 − 2i

C. 6 − 4i

D. 12 + 4i

Đáp án A

B. −2 + 12i

KÈ

Đặt z = x + yi ( x, y ∈ ℝ ) . Khi đó, ta có z −1 =

( x − 1)

+ y ≤ 5 ⇔ ( x − 1) + y 2 ≤ 25 →

ẠY

Tập hợp các số phức nằm trong hoặc trên đường tròn

tâm I1 (1;0 ) bán kính R1 = 5. 2

z − i = x 2 + ( y − 1) ≥ 3 ⇔ x 2 + ( y − 1) ≥ 9 → Tập hợp các số phức nằm ngoài hoặc trên

đường tròn tâm , bán kính R 2 = 3.  z = z = 0 − 2i = −2i Dựa vào hình vẽ, ta thấy rằng  min 1 ⇒ z1 + 2z 2 = 12 − 2i.  z max = z 2 = 6 + 0i = 6

Câu 62 (Đặng Việt Hùng-2018): Cho hai số phức z1 = 4 + i và z 2 = 1 − 3i. Tính môđun của

A. z1 − z 2 = 17 − 10

B. z1 − z 2 = 13

C. z1 − z 2 = 25

D. z1 − z 2 = 5

Đáp án D

z1 − z 2 = ( 4 + i ) − (1 − 3i ) = 3 + 4i nên z1 − z 2 = 5.

FF IC IA L

số phức z1 − z 2 .

Câu 63 (Đặng Việt Hùng-2018): Cho số phức z = 5 + 2i. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z .

B. Phần thực bằng 5 và phần ảo bằng 2.

C. Phần thực bằng 5 và phần ảo bằng −2.

D. Phần thực bằng 5 và phần ảo bằng −2i.

A. Phần thực bằng −5 và phần ảo bằng −2.

Đáp án C

z = 5 − 2i có phần thực bằng 5 và phần ảo bằng -2.

Câu 64: (Đặng Việt Hùng-2018)Kí hiệu z1 , z 2 , z3 , z 4 là bốn nghiệm phức của phương trình z 4 − 3z 2 − 4 = 0. Tính T = z1 + z 2 + z 3 + z 4 .

B. T = 0

A. T = 3

D. T = 4

Đáp án B

C. T = 4 + 2

 z 2 = −1 = i 2 z 4 − 3z 2 − 4 = 0 ⇔  2 ⇔ z1 = −i, z 2 = i, z 3 = −2, z 4 = 2 ⇔ z1 + z 2 + z3 + z 4 = 0 ⇒ T = 0. z = 4 

KÈ

Câu 65: (Đặng Việt Hùng-2018) Cho số phức z thỏa mãn ( 2 − i ) z = ( 2 + i )(1 − 3i ) . Gọi M là điểm biểu diễn của z. Khi đó tọa độ điểm M là. A. M ( 3;1)

B. M ( 3; −1)

C. M (1;3)

D. M (1; −3)

ẠY

Đáp án B

( 2 + i )(1 − 3i ) = 3 − i → M 2−i

( 3; −1) .

Dùng CASIO rút gọn z =

Câu 66: (Đặng Việt Hùng-2018) Cho số phức z có phần ảo âm, gọi w = 2z + z − z i. Khi đó khẳng định nào sau đây về w là đúng?

A. w là số thực

B. w có phần thực bằng 0

C. w có phần ảo âm

D. w có phần ảo dương

Đáp án A

FF IC IA L

Đặt z = x + yi ( x, y ∈ ℝ ) , vì z có phần ảo âm suy ra y < 0. Khi đó

w = 2z + z − zi = 2 ( x + yi ) + x + yi − ( x − yi ) i = 2x + 2yi + 2y i = 2x + 2yi − 2yi = 2x. Vậy w là một số thực.

Câu 67: (Đặng Việt Hùng-2018) Cho hai số phức z1 , z 2 thỏa mãn z1 = z 2 = z1 − z 2 = 1. 2

z  z  Tính giá trị của biểu thức P =  1  +  2  .  z 2   z1  B. P = −1 − i. C. P = −1.

D. P = 1 + i.

A. P = 1 − i. Đáp án C.

(

)

(

)

(

)

Ta có 1 = ( z1 − z 2 ) z1 − z 2 = ( z1 − z 2 ) z1 − z 2 = z1 + z 2 − z1 z 2 + z 2 z1 ⇔ z1 z 2 + z 2 z1 = 1 2

(

)

− 2 = −1.

2 2 2 z z z z   z1   z 2   z1 z 2  P =   +   =  +  − 2 =  1 22 + 2 21  − 2 = z1 z 2 + z 2 z1  z z1   z 2   z1   z 2 z1   2

Câu 68: (Đặng Việt Hùng-2018)Cho hai số phức z1 = 1 − i và z 2 = 2 + 3i. Tính môđun của

U B. 5.

Đáp án C.

số phức z 2 − iz1.

ẠY

KÈ

m = z 2 − iz1 = 2 + 3i − i (1 − i ) = 2 + 3i − i − 1 = 2i + 1 ⇒ 5 là modul của m.

D. 13.

FF IC IA L

Câu 1 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Trong hình vẽ bên, điểm A biểu diễn số phức z − 1 + i. Tìm điểm biểu diễn số phức z . A. Điểm B. B. Điểm C. C. Điểm D. D. Điểm E .

→ z −1 + i = 1 + 3i ⇔ z = 2 + 2i. Lời giải. Dựa vào hình vẽ, có A (1;3)  Vậy điểm biểu diễn số phức z là điểm E (2;2). Chọn D. Câu 2 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Gọi z = a + bi (a, b ∈ ℝ) là số phức thỏa mãn (1 − i ) z −1 + 5i = 0 . Khi đó S = a + b bằng A. −5. B. −1. C. 1. D. 5. a = 3 1 − 5i = 3 − 2i ⇒   → S = a + b = 1. b = −2 1− i

Câu 3 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Tính P = 1 + 3i

2018

+ 1 − 3i

2018

P = 2 2019.

Vậy P = 1 + 3i

 z = 1 − 3i = 2  2

Chọn C.

 z1 = 1 + 3i = 2  z = 1 + 3i Lời giải. Gọi  1 .  →   z = 1 − 3i  2

2018

C. P = 2 2018.

B. P = 4.

A. P = 2.

+ 1 − 3i

→z = Lời giải. Ta có (1 − i ) z − 1 + 5i = 0 

= 2 2018 + 22018 = 2 2019. Chọn D.

(Gv Huỳnh Đức Khánh)Cho hai số phức z1 , z 2 thỏa mãn z1 + z 2 = 8 + 6i và z1 − z 2 = 2. Giá trị lớn nhất của z1 + z 2 bằng A. 4 6. B. 2 26. C. 5 + 3 5. D. 32 + 3 2.

Câu 4

Từ

 z 2 = c + di

 z = a + bi Lời giải. Gọi  1 (a, b, c, d ∈ ℝ ).

giả

thiết

2 2  a + c + (b + d )i = 8 + 6i   z1 + z 2 = 8 + 6i  (a + c) + (b + d ) = 100 → a 2 + b2 + c 2 + d 2 = 52. →  ⇔ 2 2 2 2  (a − c) + (b − d ) = 4 (a − c) + (b − d ) = 4  z1 − z 2 = 2

B.C.S

Ta có z1 + z 2 = a2 + b2 + c2 + d 2 ≤

(12 + 12 )(a2 + b2 + c2 + d 2 ) = 2

26.

Chọn B.

ẠY

KÈ

Cách 2. Gọi A , B lần lượt là điểm biểu diễn số phức z1 , z 2 trên mặt phẳng phức và D là điểm thứ tư của hình bình hành AOBD , suy ra → OD = z1 + z 2 = 10. D là điểm biểu diễn số phức ( z1 + z 2 )  z1 − z 2 chính là độ dài đoạn AB.

 AB = OA + OB − 2OA.OB. cos AOB =4 Xét ∆OAB có  2 2 2 2

OD = OA + OB + 2OA.OB. cos AOB = 100  2

 →104 = 2 (OA 2 + OB 2 ) ≥ (OA + OB )

Vậy (OA + OB )max = 104 = 2 26 hay ( z1 + z 2 )max = 2 26.

Câu 5

(Gv Huỳnh Đức Khánh) Cho hai số phức z1 , z 2 thỏa mãn z1 −1 − i = 1 và z 2 + 1 + 3i = z 2 − 3 − i . Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức P = z1 − z 2 . A. Pmin = 2 + 1 .

Pmin =

B. Pmin = 2 −1 .

C. Pmin = 2 2 −1 .

3 2 −2 . 2

Giả sử z 2 = a + bi. Từ giả thiết, ta có a + bi + 1 + 3i = a + bi − 3 − i 2

⇔ (a + 1) + (b + 3) = (a − 3) + (b − 1) ⇔ a + b = 0 ⇔ b = −a.

FF IC IA L

Lời giải. Ta có P = z1 − z 2 = ( z1 − 1 − i ) − ( z 2 − 1 − i ) ≥ z1 − 1 − i − z 2 − 1 − i = 1 − z 2 −1 − i

Ta có z2 −1 − i = a + bi −1 − i = (a −1)2 + (b −1)2 = (a −1)2 + (−a −1)2 = 2 a2 + 2 ≥ 2. Do đó suy ra P = 1 − z 2 −1 − i = z 2 −1 − i −1 ≥ 2 −1 = 2 −1. Chọn B. Cách 2. [Phương pháp hình học] Dễ thấy tập hợp các số phức z1 là đường tròn tâm I (1;1) , bán kính R = 1; tập hợp các số phức z 2 thuộc đường thẳng

Ta thấy P = z1 − z 2 là khoảng cách của hai số phức z1 , z 2 . Dựa vào hình vẽ ta thấy P = z1 − z 2 nhỏ nhất là đoạn AH

∆ : x + y = 0.

 → Pmin = AH = d ( I , ∆) − R = 2 −1.

Câu 6 (Gv Huỳnh Đức Khánh) Cho số phức z thỏa mãn (2 + i ) z +

2 (1 + 2i )

Lời giải. Ta có (2 + i ) z +

B. P = 7 . 2 (1 + 2i )

A. P = 5 .

= 7 + 8i . Kí hiệu 1+i a, b lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức w = z + 1 + i . Tính P = a2 + b2 .

C. P = 13 . 2 (1 + 2i )

D. P = 25 .

Câu 7

= 7 + 8i ⇔ (2 + i ) z = 7 + 8i − 1+ i 1+ i 4 + 7i ⇔ ( 2 + i ) z = 4 + 7i ⇔ z = ⇔ z = 3 + 2i . 2 +i a = 4 Suy ra w = z + 1 + i = 4 + 3i  →   → P = 16 + 9 = 25. Chọn D. b = 3

(Gv Huỳnh Đức Khánh) Gọi z1 , z 2 là hai nghiệm phức của phương trình

z 2 − z + 1 = 0 . Tính giá trị biểu thức P = z1 + z 2 .

C. P = 2.

D. P = 4 .

KÈ

A. P = 1. B. P = 3. Lời giải. Ta có ∆ = (−1)2 − 4.1.1 = −3 = 3i 2 .

ẠY

  z = 1 + 3i  1 2  → P = z1 + z 2 = 2. Chọn C. Phương trình có hai nghiệm phức   1 − 3i  z 2 = 2  Câu 8 (Gv Huỳnh Đức Khánh). Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông với

a 2 . Cạnh bên SA vuông góc với đáy, SB hợp với đáy góc 600 . Tính khoảng cách d 2 giữa hai đường thẳng AD và SC . AC =

a 2 a . C. d = . 2 2 Lời giải. Ta có d [ AD, SC ] = d  AD , (SBC ) = d  A , (SBC ) .

A. d =

a 3 . 4

B. d =

D. d =

a 3 . 2

Kẻ AK ⊥ SB . Khi đó d  A, (SBC ) = AK =

SA. AB 2

SA + AB

a 3 4

. Chọn A.

Câu 9 (Gv Huỳnh Đức Khánh) Số phức nào dưới đây có điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là điểm M như hình vẽ ? A. z 4 = 2 + i. B. z 2 = 1 + 2i. C. z3 = −2 + i. D. z1 = 1 − 2i.

FF IC IA L

 x M = −2  y M = 1

Lời giải. Ta thấy điểm M có  

-2

nên là điểm biểu diễn của số phức z = −2 + i. Chọn C.

Câu 10 (Gv Huỳnh Đức Khánh). Xét các số phức z = a + bi (a, b ∈ ℝ) thỏa mãn z = 2 . Tính P = a + b khi z − 4 + 2 z + 1 + 4i đạt giá trị nhỏ nhất. A. P = −2. B. P = 2. C. P = 2 5. D. P = 4 5.

Lời giải. Vì z = 2 nên tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn (C ) có tâm là gốc tọa độ O , bán kính 2 . Với z = a + bi có điểm biểu diễn là điểm M ∈ (C ) , ta có 2

T = z − 4 + 2 z + 1 + 4 i = (a − 4 ) + b2 + 2 (a + 1) + (b + 4 )

 →T = MA + 2 MB với A (4;0) , B (−1;−4 ) .

Gọi H (1;0 ) , ta có OH .OA = OM 2 = 4  →

MA OA = = 2  → MA = 2 MH . MH OM T = 2 ( MH + MB ) nên T min khi ( MH + MB )min

 → ∆OMA ∽ ∆OHM  →

Suy ra

OH OM = =2 OM OA

← → M , H , B thẳng hàng và điểm M  → M (0; −2)  → z = 0 − 2i  → P = −2.

KÈ

nằm giữa H và B Chọn A. Câu 11 (Gv Huỳnh Đức Khánh) Xét các số phức z thỏa mãn z − 2i + 1 = 4 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w = (12 − 5i ) z + 3i là một đường tròn tâm I , bán kính r. Khẳng định nào sau đây đúng? B. I (32;2), r = 52. A. I (−32;−2 ), r = 2 13. C. I (−22;−16), r = 52. D. I (−22; −16 ), r = 2 13. Lời giải. Dễ thấy rằng với z = a + bi

ẠY

2 2   z − 2i + 1 = (a + 1) + (b − 2 )i = (a + 1) + (b − 2 )  →  → z + 2i + 1 = z − 2i + 1 = 4.  2 2  z + 2i + 1 = (a + 1) + (−b + 2 )i = (a + 1) + (−b + 2 ) Ta có w = (12 − 5i ) z + 3i ←→ w = (12 − 5i )( z + 2i + 1)− 22 −16i

← → w + 22 + 16i = (12 − 5i )( z + 2i + 1).

Lấy môđun hai vế, ta được ←→ w + 22 + 16i = 12 − 5i z + 2i + 1 = 13.4 = 52. Biểu thức w + 22 + 16i = 52 chứng tỏ tập hợp các số phức w là một đường tròn có tâm I (−22; −16) và bán kính r = 52. Chọn C.

Ta có ● z − 1 = (a − 1)2 + b2 ≤ 5 → (a −1)2 + b2 ≤ 52 .  → tập hợp các số phức nằm trong hoặc trên đường tròn tâm A (1;0) bán kính R = 5 .

. Chọn A.

 z min = z1 = 0 − 2i  → z1 + 2 z 2 = 12 − 2i   z max = z 2 = 6 + 0i

● z − i = a2 + (b − 1)2 ≥ 3 → a2 + (b − 1)2 ≥ 32 .  → tập hợp các cố phức nằm ngoài hoặc trên đường tròn tâm B (0;1) bán kính R ' = 3 . Dựa vào hình vẽ ta thấy

FF IC IA L

Câu 12 (Gv Huỳnh Đức Khánh) Cho hai số phức z1 = 1 + i và z 2 = 2 − 3i . Môđun của số phức z = z1 − z 2 bằng A. 13 − 2. B. 15. C. 17. D. 2 + 13. Lời giải. Ta có z1 − z 2 = −1 + 4i  → z1 − z 2 = 17 . Chọn C. Câu 13 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Gọi S là tập hợp các số phức z thỏa mãn z − i ≥ 3 và z −1 ≤ 5 . Gọi z1 , z 2 ∈ S lần lượt là các số phức có mođun nhỏ nhất và lớn nhất. Số phức z1 + 2 z 2 là B. −2 + 12i . C. 6 − 4i . D. 12 + 4i . A. 12 − 2i . Lời giải. Giả sử z = a + bi (a, b ∈ ℝ) .

Cách 2. Áp dụng bất đẳng thức z1 − z 2 ≤ z1 − z 2 ≤ z1 + z 2 .

kết hợp với

z −1 ≤ 5

ta được hệ

 z1 − i = 3  → z1 = −2i .  z1 −1 ≤ 5    z1 = 2 

z1 − i = 3 ,

Dấu

   z − 1 ≤ z −1 ≤ 5  z ≤ 6 '' = '' thứ nhất xảy ra khi

(1) (2 ) 3 ≤ z − i ≤ z + i 2 ≤ z  →  ← → 2 ≤ z ≤ 6. Ta có 

 z 2 −1 = 5  → z 2 = 6  → z1 + 2 z 2 = 12 − 2i . Tương tự cho dấu '' = '' thứ hai, ta được  z 2 = 6    z 2 − i ≥ 3  Câu 14 (Gv Huỳnh Đức Khánh). Cho số phức z thỏa mãn zz = 1 và z −1 = 2 . Tổng phần

ẠY

KÈ

thực và phần ảo của z bằng A. −1. B. 0. → z = a − bi. Lời giải. Giả sử z = a + bi (a; b ∈ ℝ)  2 2 →(a + bi )(a − bi ) = 1 ⇔ a + b = 1. ● zz = 1  2

→ (a −1) − bi = 2 ⇔ (a −1) + b = 4. ● z −1 = 2 

C. 1.

(1) (2)

a + b = 1 a = −1 Giải hệ (1) và (2) , ta được  ⇔   → a + b = −1. Chọn A. 2 2 (a − 1) + b = 4 b = 0  2

D. 2.

Câu 15 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Quỹ tích điểm biểu diễn của số phức z = a + bi (a, b ∈ ℝ) là phần không tô màu nằm giữa đường nét đứt và phần tô màu (không kể biên) như hình bên. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng? A. z ≤ 1. B. 1 < z ≤ 2. C. 1 < z < 2. D. 2 ≤ z .

x 1

FF IC IA L

Lời giải. Do quỹ tích biểu diễn các điểm của số phức z nằm ngoài đường tròn tâm O bán kính R = 1 nhưng nằm trong đường tròn tâm O bán kính R = 2 . Chọn C. Câu 16 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Cho hai số phức z1 = a + bi (a; b ∈ ℝ) và z 2 = 2017 − 2018i . Biết z1 = z 2 , tính S = a + 2b. B. S = 4035. C. S = −2019. D. S = −2016. A. S = −1. a = 2017  → S = a + 2b = −2019. b = −2018

Lời giải. Ta có z1 = z 2 ⇔ a + bi = 2017 − 2018i ⇔ 

Chọn C.

Câu 17 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ ℝ) thỏa mãn z − 4 − 3i = 5. Tính a + b khi z + 1 − 3i + z −1 + i đạt giá trị lớn nhất. B. a + b = 6. C. a + b = 8. D. a + b = 10. A. a + b = 4. Lời giải. Vì z − 4 − 3i = 5 nên tập hợp điểm M biểu diễn số phức z nằm trên đường tròn

tâm I (4;3) , bán kính R = 5.

KÈ

Ta có T = z + 1 − 3i + z −1 + i = (a + 1)2 + (b − 3)2 + (a −1)2 + (b + 1)2 = MA + MB , với A (−1;3) , B (1; −1). Dựa vào hình vẽ ta thấy T max ←→ M , N , I thẳng hàng ( N là trung → M (6;4 )  → a + b = 10. Chọn điểm của AB ) với I nằm giữa N , M  D. Nhận xét. T min ←→ M , N , I thẳng hàng ( N là trung điểm của AB → M (2;2). ) với M nằm giữa N , I  Bài toán rơi vào trường hợp đặc biệt là đường trung trực của đoạn AB đi qua tâm của đường tròn, nếu không rơi vào trường hợp đặc biệt thì trở thành bài toán vô cùng khó (cũng có cách giải quyết nhưng rất phức tạp và cũng không nên đâm đầu vào dạng ấy) Câu 18

(Gv Huỳnh Đức Khánh)Kí hiệu z1 , z 2 là hai nghiệm phức của phương trình z + 4 = 0. Gọi M , N là các điểm biểu diễn của số phức z1 , z 2 . Tính T = OM + ON với O là gốc tọa độ. A. T = 2. B. T = 2 2. C. T = 4. D. T = 8.

ẠY

 z = −2i  → M (0; −2 ) Lời giải. Ta có z 2 + 4 = 0 ⇔ z 2 = −4 ⇔ z 2 = (2i )2 ⇔  1 . → N (0;2 )  z 2 = 2i 

Vậy T = OM + ON = 0 2 + (−2 )2 + 0 2 + 2 2 = 4. Chọn C. Câu 19 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Biết rằng phương trình z 2 + bz + c = 0 (b, c ∈ R) có một nghiệm phức là z1 = 1 + 2i. Khẳng định nào sau đây đúng? A. b + c = 0 . B. b + c = 2 . C. b + c = 3 . D. b + c = 7 .

Lời giải. Vì z1 = 1 + 2i là nghiệm phương trình z 2 + bz + c = 0 nên (1 + 2i )2 + b (1 + 2i ) + c = 0 b + c − 3 = 0 ⇔ (b + c − 3) + (2b + 4 )i = 0 ⇔   → b + c = 3. 2b + 4 = 0

Chọn C.

FF IC IA L

Câu 20 (Gv Huỳnh Đức Khánh) Trong mặt phẳng Oxy, gọi M là điểm biểu diễn cho số phức ( z − z )2 với z = a + bi (a, b ∈ ℝ, b ≠ 0). Khẳng định nào sau đây đúng? A. M thuộc tia Ox . B. M thuộc tia Oy. D. M thuộc tia đối của tia Oy. C. M thuộc tia đối của tia Ox . 2 2 Lời giải. Ta có z = a + bi ⇒ z = a − bi  → ( z − z ) = (2bi ) = −4b2 < 0 Suy ra M (0; −4 b2 )  → M thuộc tia đối của tia Oy. Chọn D. (Gv Huỳnh Đức Khánh)Cho hai số phức z1 , z 2 thỏa mãn z1 + 3 + 2i = 1 và z2 + 2 − i = 1. Số phức z có phần thực bằng a , phần ảo bằng b thỏa mãn 2 a − b = 0. Tính P = a + b khi z − z1 + z − 2 z 2 đạt giá trị nhỏ nhất. B. P = 3. C. P = 4. D. P = 7. A. P = 1. Lời giải. Ta có z − z1 + z − 2 z 2 = ( z + 3 + 2i )− ( z1 + 3 + 2i ) + ( z + 4 − 2i ) − 2 ( z 2 + 2 − i )

Câu 21

≥ z + 3 + 2i − z1 + 3 + 2i + z + 4 − 2i − 2 z 2 + 2 − i 2

= z + 3 + 2i + z + 4 − 2i − 3 2

= (a + 3) + (b + 2 ) + (a + 4 ) + (b − 2 ) − 3 2

= (a + 3) + (2a + 2 ) + (a + 4 ) + (2 a − 2 ) − 3.

Xét hàm y = (a + 3)2 + (2 a + 2 )2 + (a + 4 )2 + (2a − 2 )2 − 3 trên ℝ, ta được min f (a ) = 4 . ℝ

ẠY

KÈ

→ b = −2. Suy ra P = 3. Chọn B. Dấu '' = '' xảy ra khi a = −1  Cách 2. Ta có z2 + 2 − i = 1 ⇔ 2 z 2 + 4 − 2i = 2. Đặt z3 = 2 z 2 khi đó z3 + 4 − 2i = 2 → Tập hợp điểm C biểu diễn số phức z 3 nằm trên đường tròn E (−4;2 ) bán kính r3 = 2. z1 + 3 + 2i = 1 → Tập hợp điểm B biểu diễn số phức z1 nằm trên đường tròn D (−3; −2) bán kính r1 = 1.

Vì số phức z có phần thực bằng a , phần ảo bằng b thỏa mãn 2 a − b = 0 nên tập hợp điểm A biểu diễn số phức z nằm trên đường thẳng d : y = 2 x . Khi đó T = z − z1 + z − 2 z 2 = z − z1 + z − z3 = AB + AC.

Gọi H là điểm đối xứng của E qua đường thẳng d , khi đó ta tìm được H (4;−2).

Phương trình đường thẳng DH : y = −2. Biểu thức T đạt GTNN khi A là giao điểm của hai đường thẳng DH và d , B là giao điểm của DA và đường tròn tâm D , C là giao điểm của EA và đường tròn tâm E .  y = 2 x a = −1 Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ   → A (−1; −2 ) ⇒   → P = a + b = 3.  y = −2

b = −2

FF IC IA L

Chọn B. Câu 22 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Cho các số phức z1 , z2 , z3 có ba điểm biểu diễn tương ứng trên mặt phẳng tọa độ là ba đỉnh của tam giác đều nằm trên đường tròn 2 2 ( x + 2018 ) + ( y − 2016 ) = 1. Tổng phần thực và phần ảo của số phức w = z1 + z 2 + z3 bằng A. −6. B. −3. C. 3. D. 6. 2 2 Lời giải. Đường tròn (C ) : ( x + 2018) + ( y − 2016 ) = 1 có tâm là I (−2018;2016) và bán kính r = 1.

Gọi A , B, C lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z1 , z2 , z3 . Khi đó ∆ABC đều và nội tiếp đường tròn (C ) nên tâm I (−2018;2016) là trọng tâm của ∆ABC.  x + x + x = 3 x I = 3 (−2018)  → w = z1 + z2 + z3 = 3 (−2018) + 3.2016i. Suy ra  A B C

 y A + y B + yC = 3 y I = 3.2016   → phần thực và phần ảo của w lần lượt là 3×(−2018) và 3 × 2016.

Vậy tổng phần thực và phần ảo của số phức w = z1 + z 2 + z 3 bằng −6. Chọn A. Câu 23 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Cho số phức z thỏa mãn z = 2 z + 1 + 3i . Phần thực của z bằng A. −3. B. −1. C. 1. D. 2. → z = a − bi. Lời giải. Gọi z = a + bi (a, b ∈ ℝ)  a = −1 . b = 1

Từ giả thiết suy ra z − 2 z = 1 + 3i  → a + bi − 2 (a − bi ) = 1 + 3i ⇔ −a + 3bi = 1 + 3i ⇔ 

KÈ

Chọn B. Câu 24 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành OABC có tọa độ điểm A (3;1), C (−1;2) (tham khảo hình vẽ bên). Số phức nào sau đây có điểm biểu diễn là điểm B ? A. z1 = −2 + 3i. B. z 2 = 2 + 3i. C. z3 = 4 − i. D. z 4 = −4 + i.

 x A − 0 = x B − xC  x = 2 . ⇒  B  y B = 3  y A − 0 = y B − yC

Lời giải. Vì OABC là hình bình hành suy ra OA = CB  → 

ẠY

Suy ra số phức z2 = 2 + 3i có điểm biểu diễn là B. Chọn B. Câu 25. (Gv Huỳnh Đức Khánh) Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ ℝ) thỏa mãn z − 3 − 3i = 6. Khi P = 2 z + 6 − 3i + 3 z + 1 + 5i đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị của biểu thức a + b bằng A. 2 − 2 5. B. 4 − 2 5. C. 2 5 − 2. D. 2 5 − 4. Lời giải. Ta có z − 3 − 3i = 6 → tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thuộc đường tròn tâm I (3;3) bán kính r = 6.

FF IC IA L

Khi đó P = 2 z + 6 − 3i + 3 z + 1 + 5i = 2 MA + 3 MB với A (−6;3), B (−1;−5).

IC IM 2 3 = =  →∆IMC ∽ ∆IAM  → MA = MC. IM IA 3 2 P = 3( MC + MB ) ≥ 3BC  → Pmin = 3BC khi B, M , C theo thứ tự đó thẳng hàng

Xét C (−1;3) , ta thấy C ∈ IA và

(

)

 → M −1;3 − 5 .

Vậy a + b = 2 − 2 5. Chọn A.

Suy ra

Nhận xét: Những bài cực trị số phức dạng dùng Hình học để giải này tác giả sẽ viết riêng một chuyên đề và có phân tích kỹ. Câu 26. (Gv Huỳnh Đức Khánh) Gọi A , B, C lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z1 = 2, z 2 = 4i, z3 = 2 + 4i trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Diện tích tam giác ABC bằng A. 2. B. 4. C. 6. D. 8.

Lời giải. Từ đề ta suy ra tọa độ các điểm các điểm biểu diễn các số phức z1 , z 2 , z 3 lần lượt là: A (2;0), B (0;4 ) và C (2;4 ) (như hình bên). 1 2

1 2

Ta thấy tam giác ABC vuông tại C nên S ∆ABC = AC.BC = .4.2 = 4. Chọn B.

KÈ

Câu 27 (Gv Huỳnh Đức Khánh) Cho số phức z thỏa mãn z (1 + i ) = 3 − 5i . Tính môđun của z . B. z = 16. C. z = 17. D. z = 17. A. z = 4. 3 − 5i (3 − 5i )(1 − i ) Lời giải. Ta có z = = = −1 − 4i. Suy ra z = 17 . Chọn C. 1+i

ẠY

Câu 28 (Gv Huỳnh Đức Khánh). Cho số phức z = 6 + 7i . Số phức liên hợp của z có điểm biểu diễn hình học có tọa độ là A. (−6; −7). B. (6;7). C. (6; −7 ). D. (−6;7). Lời giải. Số phức liên hợp của z là z = 6 − 7i  → điểm biểu diễn hình học của z là (6; −7 ). Chọn C.

Câu 1 (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017). Cho hai số phức z1 = 4 − 3i và z 2 = 7 + 3i . Tìm số phức

A. z1 = 1 − 2i

B. z 2 = 1 + 2i

C. z3 = −2 + i

D. z 4 = 2 + i

Đáp án C

FF IC IA L

A. ‫ = ݖ‬3 + 6݅ . B. ‫ = ݖ‬11. C. ‫ = ݖ‬− 1 − 10݅ . D. ‫ = ݖ‬− 3 − 6݅ . Đáp án D Câu 2 (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017) Số phức nào dưới đây có điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là điểm ‫ ܯ‬như hình bên ?

14 3

B. P =

2 3

C. P =

A. P =

ương trình Câu 3 (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017)Kí hiệu là hai nghiệm phức của phương 2 3z − z + 1 = 0 .Tính P =| z1 | + | z2 | 3 3

D. P =

2 3 3

P =| z1 | + | z 2 |=

1 11 1 11 i;z 2 = − i + 6 6 6 6

⇒ z1 =

Đáp án D z1 , z2 là nghiệm phức của phương ương trình 3z 2 − z + 1 = 0

KÈ

Câu 4 (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017) Cho số phức z = 1 − i + i 3 .Tìm phần thực ܽ và phần ảo ܾ của ‫ݖ‬. A. ܽ = 1, ܾ = − 2. B. ܽ = − 2, ܾ = 1. C. ܽ = 1, ܾ = 0. D. ܽ = 0, ܾ = 1.

ẠY

Đáp án A z = 1 − i + i 3 = 1 − 2i Suy ra a=1;b=-2

Câu 5 (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017). Cho số phức ‫ ܽ = ݖ‬+ ܾi ( a, b ∈ ℝ ) thỏa mãn ‫ ݖ‬+ 2

+ ݅ = |‫ |ݖ‬. Tính ܵ = 4ܽ + ܾ . A. ܵ = 4. Đáp án D

B. ܵ = 2.

C. ܵ = − 2.

D. ܵ = − 4.

z + 2 + i =| z | a + 2 = a 2 + b 2 ⇔ b = −1  −3  a = ⇔ 4  b = −1 ⇒ S = 4a + b = −4

Câu 6 (ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018)

FF IC IA L

⇔ a + bi + 2 + i = a 2 + b 2

Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức A. z = −2 + i

B. z = 1 − 2i

D. z = 1 + 2i

Đáp án A

C. z = 2 + i

(ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018) Cho số phức

Câu 7:

Đáp án D

B. P = −5

C. P = 3

D. P = 7

A. P = −1

z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) thỏa mãn z + 2 + i − z (1 + i ) = 0 và z > 1. Tính P = a + b.

KÈ

Đặt z = a + bi ⇒ a + bi + 2 + i − a 2 + b 2 (1 + i ) = 0

ẠY

a = b − 1 a = b − 1 a + 2 − a 2 + b 2 = 0 a + 2 = b + 1   ⇔ ⇔ ⇔  b ≥ −1 ⇔  b ≥ −1 2 2 b + 1 = a + b  b + 1 − a 2 + b 2 = 0  b 2 + 2b + 1 = a 2 + b 2  2   2b + 1 = ( b − 1)

 b = 0;a = −1 . Do z > 1 ⇒ a = 3, b = 4. ⇔  b = 4;a = 3

Câu 8

(ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018)Xét các số phức

z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) thỏa mãn điều kiện z − 4 − 3i = 5. Tính P = a + b khi giá trị biểu thức

z + 1 − 3i + z − 1 + i đạt giá trị lớn nhất.

A. P = 10

B. P = 4

C. P = 6

D. P = 8

Đáp án A Gọi M ( x, y ) là điểm biều diễn số phức z. 2

FF IC IA L

Từ giả thiết, ta có z − 4 − 3i = 5 ⇔ ( x − 4 ) + ( y − 3) = 5 ⇒ M thuộc đường tròn ( C ) tâm

I ( 4;3) , bán kính R = 5. Khi đó P = MA + MB, với A ( −1;3) , B (1; −1) . Ta có P 2 = MA 2 + MB2 + 2MA.MB ≤ 2 ( MA 2 + MB2 ) Gọi E ( 0;1) là trung điểm của AB ⇒ ME 2 =

MA 2 + MB2 AB2 − . 2 4

(

Với C là giao điểm của đường thẳng EI với đường tròn ( C ) .

) + (2 5 )

= 200.

Do đó P 2 ≤ 4ME 2 + AB2 mà ME ≤ CE = 3 5 suy ra P 2 ≤ 4. 3 5

MA = MB Vậy P ≤ 10 2. Dấu “=”xảy ra ⇔  ⇒ M ( 6; 4 ) ⇒ a + b = 10. M ≡ C

Câu 9 (ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018)Gọi z1 và z 2 là hai nghiệm

A. 3 2

B. 2 3

C. 3

Đáp án D

phức của phương trình 4z 2 − 4z + 3 = 0. Giá trị của z1 + z 2 bằng

 1 + 2i z = 2 Ta có 4z 2 − 4z + 3 = 0 ⇔ z =  ⇒ z1 + z 2 = 3  1 − 2i z = z = 2 

Câu 10 (ĐỀ THI THỬ 2018)Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (1 + i ) z − 1 − 3i = 0 . Tìm

KÈ

phần ảo của số phức w = 1 − zi + z

A. −i

B. – 1

C. 2

D. −2i

ẠY

Đáp án C

giả sử z = x + yi ( x, y ∈ ℝ ) ⇒ z = x − yi x = 2 The giả thiết, ta có (1 + i )( x − yi ) − 1 − 3i = 0 ⇔ ( x + y − 1) + ( x − y − 3) i = 0 ⇔   y = −1 Suy ra z = 2 − i ⇒ z = 2 + i Ta có w = 1 − ( 2 − i ) i + 2 + i = 3 + i 2 − 2i + i = 2 − i . Vậy chọn phần ảo là – 1

Câu 11:

(ĐỀ THI THỬ 2018)Cho hai số phức z1 = 1 − i và z 2 = 2 + 3i . Tính môđun của số

phức z 2 − iz1

B. 5

D. 13

FF IC IA L

Đáp án C Ta có z 2 − iz1 = 2 + 3i − i + i 2 = 1 + 2i ⇒ z 2 − iz1 = 12 + 2 2 = 5

Câu 12:

(ĐỀ THI THỬ 2018) Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) . Tính giá trị biểu thức

thỏa mãn P = a − b

A. P = 5

B. P = −2

C. P = 3

D. P = 1

Đặt z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) ⇒ z = a − bi mà ( 2 − i ) z − 3z = −1 + 3i

Đáp án C

Suy ra ( 2 − i )( a − bi ) − 3 ( a + bi ) = −1 + 3i ⇔ 2a − 2bi − ai − b − 3a − 3bi + 1 − 3i = 0

1 − a − b = 0 a = 2 ⇔ 1 − a − b − ( a + 5b + 3) i = 0 ⇒  ⇒ ⇒ a−b =3 a + 5b + 3 = 0  b = −1

Câu 13 (ĐỀ THI THỬ 2018)Cho số phức z và số phức liên hợp của nó z có điểm biểu

diễn là M, M’. Số phức z. ( 4 + 3i ) và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn lần lượt là N,

N’. Biết rằng 4 điểm M, N, M’, N’ tạo thành hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

1 2

2 5

5 34

4 13

Đáp án A

thức z + 4i − 5

Giả sử x = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) . Ta có M ( a; b ) và M ' ( a; −b )

KÈ

* Khi đó z ( 4 + 3i ) = ( 4a − 3b ) + ( 3aq + 4b ) i Suy ra N ( 4a − 3b;3a + 4b ) và N ' ( 4a − 3b; − 3a − 3b )

ẠY

* Do 4 điểm M, N, M’, N’ tạo thành hình thang cân nhận Ox làm trục đối xứng nên 4 điểm 2

đó lập thành hình chữ nhật ⇔ MM ' = NN ' ⇔ 4b = 4 ( 3a + 4b )

a = −b ⇔ 8 a = − b 3  2

* Với a = −b , ta có z + 4i − 5 =

( b + 5) + ( b + 4 )

9 1 1  = 2 b +  + ≥ 2 2 2 

9 9 Dấu bằng xảy ra khi a = , b = − 2 2 2

Vậy min z + 4i − 5 =

1 2

FF IC IA L

73 2 104 289 1 8 2 8  * Với a = − , ta có z + 4i − 5 =  b + 5  + ( b + 4 ) = > b + b + 41 ≥ 3 9 3 73 2 3 

Câu 14 (ĐỀ THI THỬ 2018)Gọi z1 , z 2 , z3 , z 4 là bốn nghiệm phức của phương trình

z 4 − z 2 − 8 = 0 . Trên mặt phẳng tọa độ z gọi A , B , C , D lần lượt là bốn điểm biểu diễn bốn

nghiệm z1 , z 2 , z3 , z 4 đó. Tính giá trị của P = OA + OB + OC + OD , trong đó O là gốc tọa độ.

B. P = 2 + 2 C. P = 2 2

D. P = 4 + 2 2

A. P = 4 Đáp án D

(

 z1 = 2; z 2 = −2 x 2 = 4  z = ±2 2 z 4 − 2z 2 − 8 = 0 ⇔ ( z 2 − 1) = 32 ⇔  2 ⇔ ⇒  z = ±i 2  z 3 = i 2; z 4 = −i 2  z = −2

) (

)

Khi đó A ( 2;0 ) , B ( −2;0 ) , C 0; 2 , D 0; − 2 ⇒ P = OA + OB + OC + OD = 4 + 2 2

Câu 15 (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ 2018)Kí hiệu Z0 là nghiệm phức có phần thực âm

và phần ảo dương của phương trình z 2 + 2z + 10 = 0 . Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới

Đáp án C

B. M ( 3;1)

A. M ( 3; −1)

đây là điểm biểu diễn số phức w = i 2017 z 0 ?

C. M ( −3;1)

D. M ( −3; −1)

KÈ

 z = −1 − 3i . Suy ra z 0 = −1 + 3i Ta có z 2 + 2z + 10 = 0 ⇔   z = −1 − 3i

w = i 2017 x 0 = i ( −1 + 3i ) = −3 − i

ẠY

Suy ra điểm M ( −3; −1) biểu diễn số phức w

Câu 16 (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ 2018)Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) . Biết tập hợp

các điểm A biểu diễn hình học số phức z là đường tròn

3 . Đặt M là giá trị lớn nhất, m là giá trị nhỏ nhất của F = 4a + 3b − 1 . Tính giá trị M + m

A. M + m = 63 Đáp án B

B. M + m = 48

C. M + m = 50

D. M + m = 41

Ta có phương trình đường tròn ( C ) : ( x − 4 ) + ( y − 3) = 9 Do điểm A nằm trên đường tròn

F − 24 = 4 ( a − 4 ) + 3 ( b − 3)

FF IC IA L

Mặt khác F = 4a + 3b − 1 = 4 ( a − 4 ) + 3 ( b − 3) + 24

2 2 2 Ta có  4 ( a − 4 ) + 3 ( b − 3)  ≤ ( 42 + 32 ) ( a − 4 ) + ( b − 3)  = 25.9 = 255  

⇒ −15 ≤ 4 ( a − 4 ) + 3 ( b − 3) ≤ 15 ⇔ −15 ≤ F − 24 ≤ 15 ⇔ 9 ≤ F ≤ 39 Khi đó M = 39, m = 9 Vậy M + m = 48

F + 1 − 3b 4

Ta có F = 4a + 3b − 1 ⇒ a =

Cách 2:

 F + 1 − 3b  =9⇒ − 4  + b 2 − 6b + 9 = 9 4  

( a − 4 ) + ( b − 3)

⇔ 25b 2 − 2 ( 3F + 3) b + F2 + 225 = 0 ∆ ' = ( 3F + 3 ) − 25F2 − 5625

∆ ' ≥ 0 ⇔ −16F2 + 18F − 5625 ≥ 0 ⇔ 9 ≤ F ≤ 39

1 5

1 25

1 5

Câu 17 (Toán Học Tuổi Trẻ): Tính môđun số phức nghịch đảo của số phức z = (1 − 2i )

KÈ

Đáp án D.

ẠY

Ta có: z = (1 − 2i ) = −3 − 4i ⇒

Từ đó suy ra

1 3 4 =− + i z 25 25 2

1 3 4 1  3   4  = − + i = −  +  = . z 25 25 5  25   25 

Câu 18 (Toán Học Tuổi Trẻ): Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z = z + z = 1? A. 0

B. 1

C. 4

D. 3

Đáp án C.

Câu 19:

FF IC IA L

2 2  z = 1  x + y = 1 Đặt z = x + yi. Ta có:  ⇔ 2 ⇒ Hệ phương trình có bốn cặp nghiệm hay  z + z = 1 4 x = 1 có tất cả bốn số phức z thỏa mãn.

(Toán Học Tuổi Trẻ) Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn

2 z − 1 = z + z + 2 trên mặt phẳng tọa độ là một A. đường thẳng

B. đường tròn

C. parabol

D. hypebol

Đáp án C.

Đặt z = x + yi. Ta có: 7

( x − 1) + y 2 =

( 2x + 2) ⇔ x =

y2 . 4

⇔2

Đặt z = x + yi. Ta có: 2 z − 1 = z + z + 2

Câu 20 (Toán Học Tuổi Trẻ)Tìm giá trị lớn nhất của P = z 2 − z + z 2 + z + 1 với z là số

B. 3

Đáp án C.

phức thỏa mãn z = 1

Với z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) , ta có:

ẠY

KÈ

 a 2 + b 2 = 1  2 z.z = z = 1 ⇒ a, b ∈ [ −1;1]  z = 1 z 

Do đó biến đổi P, ta được:

1 1  P = z ( z − 1) + z  z + 1 +  = z − 1 + z + 1 + z z  = z −1 + z + 1+ z =

( a − 1)

+ b 2 + 2a + 1

13 4

D. 5

= 2 (1 − a ) + 2a + 1

Khảo sát hàm f ( a ) = 2 (1 − a ) + 2a + 1 trên đoạn [ −1;1] ta được max P =

(trong đó a, b là các số thực) thỏa

FF IC IA L

Câu 21 (Toán Học Tuổi Trẻ): Cho số phức z = a + bi mãn 3z − (4 + 5i) z = −17 + 11i . Tính ab

A. 6

B. -3

13 7 ⇔a= . 4 8

C. 3

D. -6

Đáp án A Có 3 z − (4 + 5i) z = −17 + 11i

⇔ 3(a + bi ) − (4 + 5i )( a − bi ) = −17 + 11i ⇔ a + 5b + (5a − 7b)i = 17 − 11i

a + 5b = 17 a = 2 ⇔ ⇔ ⇒ ab = 6 5a − 7b = −11 b = 3

B. -1

C. 1 − i

D. 1 + i

A. 1

Câu 22 (Toán Học Tuổi Trẻ) Tổng các nghiệm phức của phương trình z 3 + z 2 − 2 = 0 là

Phương trình: z 3 + z 2 − 2 = 0

Đáp án B

⇔ ( z − 1)( z 2 + 2 z + 2) = 0

z = 1 z =1 ⇔ 2 ⇔  z = −1 + i z + 2 z + 2 = 0   z = −1 − i

KÈ

Tổng các nghiệm phức của phương trình đã cho là z1 + z2 + z3 = 1 − 1 + i − 1 − i = −1

Câu 23:

(Toán Học Tuổi Trẻ) Trên mặt phẳng phức tập hợp các số phức z = x + yi thỏa

ẠY

mãn z + 2 − i = z − 3i là đường thẳng có phương trình

A. y = x + 1

Đáp án D

B. y = − x + 1

C. y = − x − 1

D. y = x − 1

z + 2 + i = z − 3i ⇔ ( x + 2) + ( y + 1)i = x − ( y + 3)i

FF IC IA L

⇔ ( x + 2)2 + ( y + 1) 2 = x 2 + ( y + 3)2 ⇔ y = x −1 (Toán Học Tuổi Trẻ) Cho số phức z thỏa mãn z − 3 − 4i = 5 . Gọi M và m lần

Câu 24:

lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = z + 2 − z − 1 . Tính mô đun của số phức ω = M + mi

A. ω = 1258

B. ω = 3 137

C. ω = 2 314

Đáp án A Đặt z = x + yi

Có z − 3 − 4i = 5 ⇔ x − 3 + ( y − 4)i = 5

⇔ ( x − 3) 2 + ( y − 4)2 = 5

⇔ ( x − 3) 2 = 5 − ( y − 4) 2

 x = 3 + 5 − ( y − 4) 2 ⇔  2  x = 3 − 5 − ( y − 4) 2

P = z + 2 − z − i = ( x + 2) + yi − x + ( y − 1)i = 4 x + 2 y + 3

TH1: x = 3 + 5 − ( y − 4) 2

⇒ P = 4 − y 2 + 8 y − 11 + 2 y + 15 f ( y ) = 4 − y 2 + 8 y − 11 + 2 y + 15 trên  4 − 5; 4 + 5 

KÈ

Xét hàm số:

ẠY

Có f '( y ) =

f '( y ) = 0 ⇒

D. ω = 2 309

−4 y + 16

− y 2 + 8 y − 11

−4 y + 16 − y 2 + 8 y − 11

+2=0

⇔ −2 y + 8 = − y 2 + 8 y − 11 y = 5 ⇔ y 2 − 8 y + 15 = 0 ⇔  y = 3

Ta có: f (4 − 5) = 23 − 2 5

f (4 + 5) = 23 + 2 5 f (5) = 33

FF IC IA L

f (3) = 29 TH2: x = 3 − 5 − ( y − 4) 2 ⇒ P = −4 − y 2 + 8 y − 11 + 2 y + 15

Xét hàm số: f ( y ) = −4 − y 2 + 8 y − 11 + 2 y + 15 trên  4 − 5; 4 + 5  +2

4 y − 16 − y 2 + 8 y − 11

− y 2 + 8 y − 11

f '( y ) = 0 ⇒

4 y − 16

+2=0

Có f '( y ) =

⇔ 2 y − 8 = − y 2 + 8 y − 11

f (4 + 5) = 23 + 2 5 f (5) = 23 f (3) = 13

Ta có: f (4 − 5) = 23 − 2 5

y = 5 ⇔ y 2 − 8 y + 15 = 0 ⇔  y = 3

KÈ

⇒ M = max P = 33 m = min P = 13

⇒ ω = 33 + 13i ⇒ ω = 1258

ẠY

Câu 25

A. 0

Đáp án B

(Toán Học Tuổi Trẻ) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn:

z −1 z − 3i = = 1? z −i z +i B. 1

C. 2

D. 4

Gọi A1,A2 là điểm biểu diễn của số phức z1 , z2 ( z1 ≠ z2 ) thì tập hợp những điểm M biểu diễn z − z1 = 1 là đường trung trực của đoạn thẳng A1 A2 . Tìm ra z = 1 + i z − z2

FF IC IA L

số phức z thỏa mãn

Câu 26 (Toán Học Tuổi Trẻ)Cho các số phức z1 , z2 với z1 ≠ 0 . Tập hợp các điểm biểu

diễn số phức w = z1.z + z2 là đường tròn tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng 1. Tập hợp các

điểm biểu diễn số phức z là đường nào sau đây? A. đường tròn tâm là gốc tọa độ, bán kính bằng z1

z2 1 , bán kính bằng z1 z1

D. đường tròn tâm là điểm biểu diễn số phức

1 z1

C. đường tròn tâm là gốc tọa độ, bán kính bằng

z2 1 , bán kính bằng z1 z1

B. đường tròn tâm là điểm biểu diễn số phức −

Đáp án B

ω = 1 ⇔ z1.z + z2 = 1

Ta có

Câu 27

 z  z 1 ⇔ z1  z + 2  = 1 ⇔ z + 2 =  z1  z1 z1

(Toán Học Tuổi Trẻ) Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) và xét hai số phức 2

KÈ

()

α = z2 + z

(

)

và β = 2.z.z + i z − z . Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào đúng?

ẠY

A. α là số thực, β là số thực. C. α là số thực, β là số ảo.

Đáp án A

α = 2 ( a 2 − b 2 ) ∈ ℝ, β = 2 ( a 2 + b 2 ) − 2b ∈ ℝ

B. α là số ảo, β là số thực. D. α là số ảo, β là số ảo.

Câu 28 (Toán Học Tuổi Trẻ)Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) thỏa mãn

a + ( b − 1) i =

1 + 3i Giá trị nào dưới đây là mô đun của z? 1 − 2i B. 1.

C. 10.

Đáp án D a + bi =

FF IC IA L

A. 5.

1 + 3i 3 + 4i +i = = −1 + 2i . 1 − 2i 1 − 2i

Từ đó ta có a = −1, b = 2 ⇒ z = 5 .

Câu 29 (Toán Học Tuổi Trẻ)Cho A, B là hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ tự (O là gốc tọa độ)? Chọn phương án đúng và đầy đủ nhất.

A. cân tại O.

B. Vuông cân tại O.

D. Vuông tại O.

Đáp án C

C. đều.

gì?

z0 , z1 khác 0 và thỏa mãn đẳng thức z02 + z12 = z0 .z1 . Hỏi ba điểm O, A, B tạo thành tam giác

(1)

⇒ z1 = z0 z1 − z0 ⇒ z1 − z0 =

Với z0 ≠ 0 ta có z02 + z12 = z0 z1 ⇒ z12 = z0 ( z1 − z0 )

Với z1 ≠ 0 , ta có z02 + z12 = z0 z1 ⇒ z12 = z0 ( z1 − z0 ) 2

(1),

(2)

z z (2), ta có z0 − z1 = 1 = 0 z0 z1

KÈ

Từ

⇒ z0 = z1 z0 − z1 ⇒ z0 − z1 =

ẠY

⇒ z0 = z1 = z1 − z0 ⇒ OA = OB = AB ⇒ OAB là tam giác đều. Câu 30: (Toán Học Tuổi Trẻ)Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z +i P= , với z là số phức khác 0 và thỏa mãn z ≥ 2 . Tính 2M − m . z A. 2 M − m = Đáp án B

3 . 2

B. 2 M − m =

5 . 2

C. 2M − m = 10.

D. 2M − m = 6.

z +i i i i i 1 1 = 1 + và 1 − ≤ 1 + ≤ 1 + nên 1 − ≤ P ≤ 1 + z z z z z z z

Do z ≥ 2 ⇒

1 1 1 3 ≤ 1− ≤ P ≤ 1+ ≤ 2 z z 2

FF IC IA L

Ta có P =

ẠY

KÈ

3 1 5 Từ đó 2M − m = 2   − = . 2 2 2

Câu 1(ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017). Cho hai số phức z1 = 4 − 3i và z 2 = 7 + 3i . Tìm số phức

A. z1 = 1 − 2i

B. z 2 = 1 + 2i

C. z 3 = −2 + i

D. z 4 = 2 + i

Đáp án C

FF IC IA L

A. ‫ = ݖ‬3 + 6݅ . B. ‫ = ݖ‬11. C. ‫ = ݖ‬− 1 − 10݅ . D. ‫ = ݖ‬− 3 − 6݅ . Đáp án D Câu 2. (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017) Số phức nào dưới đây có điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là điểm ‫ ܯ‬như hình bên ?

14 3

B. P =

2 3

C. P =

3 3

D. P =

2 3 3

A. P =

ng trình Câu 3(ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017)Kí hiệu là hai nghiệm phức của phương 2 3z − z + 1 = 0 .Tính P =| z1 | + | z 2 |

2 3 3

P =| z1 | + | z 2 |=

1 11 1 11 i;z 2 = − i + 6 6 6 6

⇒ z1 =

Đáp án D z1 ,z2 là nghiệm phức của phương ương trình 3z 2 − z + 1 = 0

KÈ

Câu 4. (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017) Cho số phức z = 1 − i + i 3 .Tìm phần thực ܽ và phần ảo ܾ của ‫ݖ‬. A. ܽ = 1, ܾ = − 2. B. ܽ = − 2, ܾ = 1. C. ܽ = 1, ܾ = 0. D. ܽ = 0, ܾ = 1. Đáp án A

ẠY

z = 1 − i + i 3 = 1 − 2i Suy ra a=1;b=-2

Câu 5(ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017). Cho số phức ‫ ܽ = ݖ‬+ ܾi ( a, b ∈ ℝ ) thỏa mãn ‫ ݖ‬+ 2 + ݅ = |‫ |ݖ‬. Tính ܵ = 4ܽ + ܾ . A. ܵ = 4. Đáp án D

B. ܵ = 2.

C. ܵ = − 2.

D. ܵ = − 4.

z + 2 + i =| z | ⇔ a + bi + 2 + i = a 2 + b 2

FF IC IA L

a + 2 = a 2 + b 2 ⇔ b = −1  −3  a = ⇔ 4  b = −1 ⇒ S = 4a + b = −4

Câu 6(ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017). Cho hai số phức z1 = 4 − 3i và z 2 = 7 + 3i . Tìm số phức

A. ‫ = ݖ‬3 + 6݅ . B. ‫ = ݖ‬11. C. ‫ = ݖ‬− 1 − 10݅ . D. ‫ = ݖ‬− 3 − 6݅ . Đáp án D Câu 7. (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017) Số phức nào dưới đây có điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là điểm ‫ ܯ‬như hình bên ?

A. z1 = 1 − 2i

B. z 2 = 1 + 2i D. z 4 = 2 + i

C. z 3 = −2 + i

Đáp án C

ng trình Câu 8(ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017)Kí hiệu là hai nghiệm phức của phương 2 3z − z + 1 = 0 .Tính P =| z1 | + | z 2 | 14 3

A. P =

B. P =

2 3

C. P =

3 3

D. P =

2 3 3

KÈ

Đáp án D z1 ,z2 là nghiệm phức của phương ương trình 3z 2 − z + 1 = 0

ẠY

⇒ z1 =

1 11 1 11 i;z 2 = − i + 6 6 6 6

P =| z1 | + | z 2 |=

2 3 3

Câu 9. (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017) Cho số phức z = 1 − i + i 3 .Tìm phần thực ܽ và phần ảo ܾ của ‫ݖ‬. A. ܽ = 1, ܾ = − 2. B. ܽ = − 2, ܾ = 1. C. ܽ = 1, ܾ = 0. D. ܽ = 0, ܾ = 1.

Đáp án A z = 1 − i + i 3 = 1 − 2i Suy ra a=1;b=-2

݅ = |‫ |ݖ‬. Tính ܵ = 4ܽ + ܾ . A. ܵ = 4. Đáp án D z + 2 + i =| z |

B. ܵ = 2.

C. ܵ = − 2.

⇔ a + bi + 2 + i = a 2 + b 2

D. ܵ = − 4.

a + 2 = a 2 + b 2 ⇔ b = −1  −3  a = ⇔ 4  b = −1 ⇒ S = 4a + b = −4

FF IC IA L

Câu 10(ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017). Cho số phức ‫ ܽ = ݖ‬+ ܾi ( a, b ∈ ℝ ) thỏa mãn ‫ ݖ‬+ 2 +

Câu 11(ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017). Có bao nhiêu số phức ‫ ݖ‬thỏa mãn | z + 2 − i |= 2 2 2

B. 2.

C. 4.

D. 3.

A. 0. Đáp án D Đặt z=a+bi

và ( z − 1) là số thuần ảo ?

(z-1) 2 là số thuần ảo nên ta có ( a − 1) − b 2 = 0

 ( a − 1)2 − b 2 = 0 Ta có :  2 2 ( a + 2 ) + ( b + 1) = 8

KÈ

  a −1 = b  a − 1 = − b ⇔  2 2  ( a + 2 ) + ( b + 1) = 8 Giải hệ phương trình có 3 cặp (a ;b) thỏa mãn . Vậy có 3 số phức z thỏa mãn .

ẠY

Câu 12(ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017)Số phức nào dưới đây là số thuần ảo ? A. z = −2 + 3i

B. z = 3i

z = 3 +i

Đáp án B Số ảo z = a + bi gọi là số thuần ảo nếu a = 0 và b ≠ 0 Do đó z = 3i là số thuần ảo

C. z = −2

Câu 13: (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017) Cho hai số phức z1 = 5 − 7i và z2 = 2 + 3i . Tìm số phức z = z1 + z 2 A. z = 7 − 4i

B. z = 2 + 5i

C. z = −2 + 5i

D. z = 3 − 10i

FF IC IA L

Đáp án A z = z1 + z 2 = 7 − 4i

Câu 14(ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017)Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức 1 + 2i và 1 − 2i là nghiệm ? A. z 2 + 2 z + 3 = 0

B. z 2 − 2 z − 3 = 0

C. z 2 − 2 z + 3 = 0

Đáp án C Cách 1: bấm máy tính giải các phương trình ở đáp án

Cách 2: Ta có:

D. z 2 + 2 z − 3 = 0

 z1 + z2 = 2   z1 z2 = 3

⇒ Áp dụng Vi-et ta được phương trình là:

z2 − 2z + 3 = 0

C. M (1; −2)

D. P ( −2;1)

Đáp án B

B. N (2;1)

A. Q (1; 2)

Câu 15(ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017): Cho số phức z = 1 − 2i . Điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức w = iz trên mặt phẳng tọa độ ?

KÈ

w = iz = i (1 − 2i ) = 2 + i

Vậy điểm biểu diễn w có tọa độ là: (2;1) Câu 16: (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017) Cho số phức z = a + bi, ( a, b ∈ R ) thỏa mãn

ẠY

z + 1 + 3i − z i = 0 . Tính S = a + 3b A. S =

7 3

B. S = −5

C. S = 5

D. S = −

Đáp án B

a = −1 Ta có: z + 1 + 3i − z i = 0 ⇔ a + 1 + (b + 3)i = a 2 + b 2 i ⇔  2 b + 3 = b + 1, (1)

7 3

Với b ≥ −3 thì (1) tương đương với: (b + 3) 2 = b 2 + 1 ⇔ b =

−4 3

Vậy a + 3b = −5

FF IC IA L

Câu 17(ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017): Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z − 3i = 5 và z là số thuần ảo ? z−4

A. 0

B. Vô số

C. 1

D. 2

Đáp án C Đặt z = x + yi, ( x, y ∈ R )

z − 3i = x 2 + ( y − 3) 2 = 5 ⇔ x 2 + y 2 − 6 y = 16

z x + yi ( x + yi)( x − 4 − yi) x 2 − 4 x + y 2 4 yi = = = − 2 2 2 2 z − 4 x − 4 + yi ( x − 4) + y ( x − 4) + y ( x − 4) 2 + y 2

x2 − 4x + y2 z = 0 ⇔ x2 − 4 x + y 2 = 0 là số thuần ảo nên z−4 ( x − 4) 2 + y 2

16 24 − i 13 13

KÈ

⇒z=

 x = 4 (loai )  y = 0   x 2 + y 2 − 6 y = 16  ⇔   x = 16 Ta có hệ:  x 2 + y 2 − 4 x = 0  13     −24  y = 13 

Vậy chỉ có 1 số phức z thỏa mãn

ẠY

Câu 18(ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017). Số phức nào sau đây có điểm biểu diễn trên mặt y phẳng tọa độ là 1 điểm M như hình bên ? A. z4 = 2 + i B. z2 = 1 + 2i O −2 C. z3 = −2 + t D. z1 = 1 − 2t

Ta có M ( −2;1) ⇒ Z = −2 + i Chọn đáp án C

Câu 19. (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017)Cho hai số phức z1 = 4 − 3i và z2 = 7 + 3i . Tìm số phức z = z1 − z2 A. z = 11 . B. z = 3 + 6i C. z = −1 − 10i D. z = −3 − 6i

FF IC IA L

Chọn đáp án A Z1 + Z 2 = 11

Câu 20(ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017). Kí hiệu z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình 3 z 2 − z + 1 = 0 . Tính P = z1 + z2

A. P =

B. P =

2 3 3

C. P =

2 . 3

14 . 3

3 . 3

Chọn đáp án B

2 3 3

⇒ z1 + z2 =

1 11 1 11 z1 = + i, z2 = − i 6 6 6 6

Câu 21(ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017). Cho số phức z = 1 − i + i 3 . Tìm phần thực a và phần ảo b của z . A. a = 0, b = 1 B. a = −2, b = 1 C. a = 1, b = 0 D. a = 1, b = −2 Chọn đáp án D

z = 1 − 2i Câu 22. (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017) Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ ℝ ) thoả mãn

A. S = 4

z + 2 + i = z . Tính S = 4a + b .

B. S = 2

C. S = −2

D. S = −4

KÈ

a + 2 − a 2 + b 2 + ( b + 1) i = 0

ẠY

3   a + 2 − a 2 + b2 = 0 a = − ⇒ ⇒ 4 b +1 = 0   b = −1  ⇒ S = −4

Câu 23. (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn | z + 2 − i |= 2 2 và ( z − 1) 2 là số thuần ảo. A. 0 B. 4 C. 3 D. 2

z = a + bi ⇒ a + 2 + (b − 1)i = 2 2 2

⇒ ( a + 2 ) + ( b − 1) = 8(*)

FF IC IA L

Có ( z − 1) là sô thuần ảo

 a −1 = b 2 ⇒ ( a − 1) − b 2 = 0 ⇒   a − 1 = −b Thay vào (*)  ( b + 3)2 + ( b − 1)2 = 8 ⇒ 2 2 ( −b + 3) + ( b − 1) = 8 ⇒ giải ta có 3 nghiệm Câu 24 (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017): Cho hai số phức z1 = 1 − 3i và z2 = −2 − 5i . Tìm phần ảo b của số phức z = z1 − z2

C. b = 3

D. b = −3

B. b = 2

A. b = −2 Đáp án B z = z1 − z2 = 3 + 2i ⇒ b = 2

x 2 − 1 + yi = −1 + 2i

Câu 25: (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017) Cho số phức z = 2 − 3i . Tìm phần thực a của z B. a = 3 C. a = −3 D. a = −2 A. a = 2 Đáp án A Phần thực a = 2 Câu 26: (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017) Tìm tất cả các số thực x, y sao cho B. x = 2, y = 2

A. x = − 2, y = 2 Đáp án C

C. x = 0, y = 2

D. x = 2, y = −2

 x 2 − 1 = −1  x = 0 x − 1 + yi = −1 + 2i ⇔  ⇔ y = 2 y = 2

KÈ

Câu 27: (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017) Kí hiệu z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình

ẠY

z 2 − z + 6 = 0 . Tính P = A. P =

1 6

1 1 + z1 z2

B. P =

1 12

Đáp án A

 z1 + z2 = 1 1 1 z1 + z2 1 ⇒P= + = = Theo Vi-et:  6 z1 z 2 z1 z2  z1 z2 = 6

C. P = −

1 6

D. P = 6

Câu 28: (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017) Cho số phức z thỏa mãn z + 3 = 5 và

z − 2i = z − 2 − 2i . Tính z A. z = 17

B. z = 17

C. z = 10

FF IC IA L

Đáp án C Giả sử z = a + bi, ( a, b ∈ R )

D. z = 10

z + 3 = 5 ⇔ (a + 3)2 + b 2 = 5

z − 2i = z − 2 − 2i ⇔ a 2 + (b − 2)2 = (a − 2) 2 + (b − 2)2 ⇔ a 2 = (a − 2)2 ⇔ a = 1 ⇒ b 2 = 25 − ( a + 3) 2 = 9 Vậy z = a 2 + b 2 = 10

z là số thuần ảo ? z+2 A. vô số Đáp án D Đặt z = a + bi, ( a, b ∈ R )

C. 0

a + (b + 3)i = 13 ⇔ a 2 + (b + 3) 2 = 13

a + bi (a + bi)(a + 2 − bi) a 2 + 2a + b 2 2bi = = + là số thuần ảo thì 2 2 2 2 a + 2 + bi (a + 2) + b (a + 2) + b (a + 2)2 + b2

Ta có:

D. 1

B. 2

Câu 29(ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017): Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z + 3i = 13 và

a(a + 2) + b 2 = 0  b ≠ 0

ẠY

KÈ

  a = −2 (loai )  b = 0  2 2  a + (b + 3) = 13 a = 3b − 2 Khi đó ta có hệ:  2 ⇔ ⇔  a = −1 2 2 2  (3b − 2) + (b + 3) = 13 5 a + 2a + b = 0    3  b = 5  Vậy chỉ có 1 số phức z thỏa mãn. Câu 30. (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017)Tìm số phức z thỏa mãn z+2-3i= 3-2i

A. z=1-5i

B. z=5-5i

C. z=1-i

Đáp án D Đặt z=a+bi thay vào ta có

a + 2 = 3 a = 1 a+bi+2-3i=3-2i ⇔ (a + 2) + (b − 3)i = 3 − 2i ⇔  <=>  b − 3 = −2 b = 1 => z=1+i

D. z=1+i

Câu 31. (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017) Cho số phức z=2+j . Tính A. z =5

B. z =2

C. z = 5

D. z =3

z = 22 + 12

FF IC IA L

Đáp án C = 5

Câu 32(ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017). Kí hiệu z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 + 4 = 0. Gọi M,N lần lượt là các điểm biểu diễn của z1 , z2 trên mặt phẳng tọa

độ.Tính T = OM+ON với O là gốc tọa độ. B.T=2

C. T=8

D. T=4

A. T = 2 2

Đáp án D

 z1 = 2i pt ⇔   z2 = −2i

suy ra OM=ON=2 suy ra T= OM+ON=4

Suy ra M(0,2) N(0,-2)

Câu 33 (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017). Cho số phức z1 = 1 − 2i, z2 = −3 + i . Tìm điểm

biểu diễn số phức z = z1 + z2 trên mặt phẳng tọa độ.

C. P(-2;-1)

D. Q(-1;7)

Đáp án C

B. N(4;-3)

A. M(2;-5)

suy ra N(-2;-1)

z = z1 + z2 =-2-i

KÈ

Câu 34. (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017) Cho số phức z thỏa mãn z = 5 và

z + 3 = z + 3 − 10i .Tính số phức w=z-4+3i B. w=1=3i

C. w= -1+7i

ẠY

A. W=-4+8i

Đáp án A

Đặt z= a+bi 2 2 | z |= 5 a = 0  a + b = 25 <=> <=>    2 2 2 2 | z + 3 |=| z + 3 − 10i | b = 5 ( a + 3) + b = ( a + 3) + (b − 10)

=> z=5i

D. w=-3+8i

Câu 35. (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017)Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất số phức z thỏa mãn z.z = 1 và z − 3 + i = m . Tìm số phần tử của S

B. 2.

C. 3.

D. 4

FF IC IA L

A. 1. Đáp án A Đặt z=x+yi

Ta có z.z = 1 ⇔ x 2 + y 2 = 1 suy ra tập biểu diễn số phức z là đường tròn tâm M(0;0) bán kính R=1

z − 3 + i = m ⇔ ( x − 3) 2 + ( y + 1) 2 = m 2 (m>0) suy ra tập biểu diễn số phức z là đường

tròn tâm N( 3 ;1) bán kính r=m

Để tồn tại duy nhất số phức z thì 2 đường tròn phải tiếp xúc với nhau suy ra MN=R+r ⇔ 2 = 1+ m ⇔ m = 1

ẠY

KÈ

Vậy tập S chỉ có 1 giá trị của m

Câu 1 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau? A. Số phức z = a + bi được biểu diễn bởi M ( a; b ) trong mặt phẳng phức Oxy B. Số phức z = a + bi có mô đun

a 2 + b2

FF IC IA L

a = 0 C. Số phức z = a + bi = 0 ⇔  b = 0 D. Số phức z = a + bi có số phức đối là z ′ = a − bi Đáp án D

Câu 2 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho số phức z = a + a 2 i với a ∈ ℝ . Khi đó điểm biểu diễn của số phức liên hợp nằm trên.

B. Đường thẳng: y = − x + 1

C. Parabol y = x 2

D. Parabol y = − x 2

A. Đường thẳng d : y = 2x

Đáp án D

x = a ⇒ y = −x 2 Ta có: z = a − a 2 i nên  2  y = −a Lỗi sai EM có quên không nhìn chữ LIÊN HỢP không? Câu 3: (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Cho hai số phức z = a + bi;a, b ∈ ℝ . Có điểm biểu (hình 1) điều kiện của a và b

diễn của số phức z nằm trong dải ( −2; 2 )

D. a, b ∈ ( −2; 2 )

KÈ

C. −2 < a < 2, b ∈ ℝ Đáp án C

a ≤ −2 B.  b ≤ −2

a ≥ 2 A.  b ≥ 2

là:

- Nhìn vào hình vẽ ta có phần thực a bị giới hạn −2 < a < 2, b ∈ ℝ

Chú ý: Cho số phức z = a + bi , điểm M ( a; b ) trong hệ trục tọa độ vuông góc của mặt

ẠY

phẳng được gọi là điểm biểu diễn số phức z.

Câu 4 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Tìm số phức z thỏa mãn 2 z − i = z − z + 2i và

z + i = 2i100

A. z = 2 + i; z = 2 − i

B. z = −2 + i; z = 2 + i

C. z = −2 + i; z = 1 + 2i

D. z = −2 + i; z = 2 + i; −3 + 2 3i; −3 − 2 3i

Đáp án B

Đặt z = a + bi, a, b ∈ ℝ

(1) ⇒ ( b + 1)

 b = 1 ⇒ a 2 = 4 ⇒ a = ±2 , = 4 ⇔ b +1 = 2 ⇔  2  b = −3 ⇒ a = −12

với

a 2 = −12

FF IC IA L

Từ

a 2 + ( b − 1)2 = ( b + 1) 2 ( b + 1)2 = 4 (1) ⇔ ⇔ 2 2 2 2 a + ( b − 1) = 4 ( 2 ) a + ( b − 1) = 4

(loại)

Số phức z = 2 + i hoặc z = −2 + i Câu 5 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Xác định số phức thỏa mãn điều kiện sau z + 1 + 2i = z + 1 và có mô đun nhỏ nhất.

A. i

B. –i

C. 1 − i

D. −1 + i

Gọi z = a + bi, a, b ∈ ℝ

( a + 1)

+ ( b + 2) =

( a + 1)

+ b2

a + bi + 1 + 2i = a − bi + 1 ⇔

Đáp án B

⇔ b = −1 ⇒ z = a 2 + b 2 = a 2 + 1 ≥ 1 ⇒ min z = 1 . Vậy z = −i

Câu 6 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Gọi M và P lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức

z = x + yi ( x, y ∈ ℝ ) , và w = z 2 . Tìm tập hợp các điểm P khi M thuộc đường thẳng

d : y = 3x

−3 x 4

B. y =

−3 x, x ≤ 0 4

D. y =

−6 x, với x ≤ 0 5

Đáp án B

C. y =

A. y = −5x 2

Đặt z = x + yi; ( x, y ∈ ℝ ) ; w = u + vi; ( u, v ∈ ℝ ) . Ta có

u = x 2 − y 2 w = z ⇔ u + vi = ( x + yi ) ⇔ u + vi = x − y + 2xyi ⇔   v = 2xy Mà M thuộc đường thẳng d : y = 3x , nên tọa độ của P thỏa mãn 2

ẠY

KÈ

u = −8x 2 ≤ 0 2 2 u = −8x 2 ≤ 0 u = x − 9x  ⇔ ⇔  3u 2  v = 6x v = −  v = 2x ( 3x )  4 −3 Vậy tập hợp các điểm P là đường thẳng y = x , với x ≤ 0 4

Câu 7 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Trong các số phức z thỏa mãn z − 5i ≤ 3 , số phức có z nhỏ nhất có phần ảo bằng bao nhiêu?

A. 4.

B. 0.

C. 3.

D. 2

Đáp án D Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z trong mặt phẳng tọa độ. Từ z − 5i ≤ 3 suy ra tập hợp điểm M là hình tròn có tâm I ( 0;5 ) , bán kính R = 3 .

FF IC IA L

Vì z = OM nên số phức z có môđun nhỏ nhất là z = 2i ứng với điểm M1 ( 0;2 ) .

Câu 8: (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho số phức z thỏa mãn: z + 2 + i = 4 . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z − 1 − 2i . Tính S = M + m .

A. 6 2

B. 4 2

C. 2 2

D. 8 2

Đáp án A

Em có: 4 = z + 2 + i = z − 1 − 2i + 3 + 3i ≥ z − 1 − 2i − 3 + 3i ⇒ 4 ≥ z − 1 − 2i − 3 2

 z − 1 − 2i − 3 2 ≤ 4 ⇒  z − 1 − 2i − 3 2 ≥ −4

 z − 1 − 2i ≤ 4 + 3 2 ⇒  z − 1 − 2i ≥ −4 + 3 2

M = 4 + 3 2 ⇒  m = −4 + 3 2

⇒M+m =6 2.

3 10 5

KÈ

nhỏ nhất của z .

Câu 9 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho số phức z thỏa mãn z + 2i + 3 = z − i . Tìm giá trị

3 5

Đáp án A

ẠY

Gọi: z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) ⇒ z = a − bi Em có: z + 2i + 3 = z − i

⇔ a + bi + 2i + 3 = a − bi − i

⇔ a + 3 + ( b + 2 ) i = a − ( b + 1) i 2

⇔ ( a + 3) + ( b + 2 ) = a 2 + ( b + 1)

⇔ a 2 + 6a + 9 + b2 + 4b + 4 = a 2 + b2 + 2b + 1 ⇔ 6a + 2b + 12 = 0

10 5

D. 3 10

⇔ 3a + b + 6 = 0 ⇔ b = −6 − 3a 2

⇒ z = a + b = a + ( −6 − 3a ) 2

9  18  = 10a + 36a + 36 = 10  a +  + 5 5  2

18 3 10 = 5 5 Câu 10 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Cho số phức z thay đổi hoàn toàn thỏa mãn:

FF IC IA L

⇒z≥

z − i = z − 1 + 2i . Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức w thỏa mãn: w = ( 2 − i ) z + 1 là một đường thẳng. Viết phương trình

đường thẳng đó. C.

B. x + 7y − 9 = 0.

A. −x + 7y + 9 = 0.

D. x − 7 y + 9 = 0.

x+ 7 y+ 9 = 0.

Đáp án C Đặt z = x + yi, ( x;y ∈ ℝ ) .

Đặt w = x '+ y ' i, ( x ', y ' ∈ ℝ ) . Số phức w được biểu diễn bởi điểm M ( x ';y ' ) . Em có: z − i = z − 1 + 2i ⇔ x + yi − i = x + yi − 1 + 2i

3 10 9 3 9 3 ⇒ z min = ⇔ a=− ⇒b=− ⇒ z =− − i 5 5 5 5 5 ⇔ x + ( y − 1) i = ( x − 1) + ( y + 2 ) i 2

⇔ x 2 + ( y − 1) = ( x − 1) + ( y + 2 )

KÈ

⇔ −2y + 1 = −2x + 1 + 4y + 4 ⇔ x = 3y + 2 .

Em có: w = ( 2 − i ) z + 1 = ( 2 − i )( x + yi ) + 1 = 2x + 2yi − xi + y + 1 = ( 2x + y + 1) + ( −x + 2y ) i .

ẠY

x ' = 7y + 5 Mà x = 3y + 2 nên w = ( 7y + 5) + ( −y − 2 ) i ⇒  ⇒ x '+ 7y '+ 9 = 0 . y ' = −y − 2 Vậy số phức w được biểu diễn bởi đoạn thẳng: x + 7y + 9 = 0 .

Câu 11 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Số phức nào dưới đây

có điểm

biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là điểm M như hình bên?

A. z 4 = 2 + i.

B. z 2 = 1 + 2i.

FF IC IA L

C. z3 = −2 + i. D. z1 = 1 − 2i. Đáp án C Từ hình vẽ ta thấy M có tọa độ M ( −2;1)

⇒ M là điểm biểu diễn của số phức z = −2 + i.

Câu 12 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Tìm tổng các giá trị của m để hai phương trình

z 2 + mz + 2 = 0 và −z 2 + 2z + m = 0 có ít nhất một nghiệm phức chung. A. −2

C. 1

Đáp án C

D. 5

B. 3

Giả sử hai phương trình đã cho có nghiệm phức chung z0 khi đó ta có hệ phương trình:

z 02 + mz 0 + 2 = 0 ⇒ mz 0 + 2z 0 + 2 + m = 0.  2 − z 0 + 2z 0 + m = 0

 m = −2 . ⇔ ( z 0 + 1)( m + 2 ) = 0 ⇔   z 0 = −1

TH1: Nếu m = −2 thì khi đó 2 phương trình trở thành: z 2 − 2z + 2 = 0 trùng nhau nên có nghiệm chung. TH2: Nếu z 0 = −1 thay vào hệ ta được:

1 − m + 2 = 0 ⇔ m = 3.   −1 − 2 + m = 0

KÈ

Vậy giá trị cần tìm là m = −2 và m = 3.

Câu 13 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho số phức z thỏa mãn điều kiện ( z + 2 )(1 + 2i ) = 5z.

ẠY

Tìm phần ảo của số phức w = ( z + 2i )

A. 21009.

2019

B. 0.

C. −21009.

Đáp án A Đặt z = x + yi với x, y ∈ ℝ. Ta có:

( z + 2 )(1 + 2i ) = 5z ⇔ ( x + 2 ) + yi  (1 + 2i ) = 5x − 5yi ⇔ ( x + 2 ) − 2y  +  2 ( x + 2 ) + y  i = 5x − 5yi

D. 2019.

 x + 2 − 2y = 5x x = 1 ⇔ ⇔ ⇒ z = 1− i  2x + 4 + y = −5y  y = −1 Do đó w = ( z + 2i )

2019

= (1 + i )

2019

= (1 + i )(1 + i )

2018

1009

= (1 + i )( 2i )

= 21009 ( −1 + i ) .

FF IC IA L

Vậy w có phần ảo bằng 21009.

Câu 14 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho số phức z thỏa mãn: z − 3 − 2i = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của z − 1 + i .

A. 4

C. 6

5 −1

Đáp án B

Gọi: z = a + bi (a,b ∈ ℝ ) ⇒ z = a − bi Ta có: 2

( a − 1) + ( b − 1)

z − 1 + i = a − bi − 1 + i = a − 1 + (1 − b ) i =

( a − 1) + (1 − b )

⇒ z −1 + i = z −1− i

z − 1 − i = a + bi − 1 − i = a − 1 + ( b − 1) i =

5 +1

⇒ z − 1 + i = z − 3 − 2i + 2 + i ≥ z − 3 − 2i − 2 + i ⇒ z −1+ i ≥ 1− 5 = 5 −1

⇒ Giá trị nhỏ nhất của z − 1 + i là

5 −1

Câu 15 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Cho số phức z thỏa mãn: z = 4. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức w thỏa mãn: w = ( 3 + 4i ) z + i là một đường tròn có

A. 4.

B. 5.

C. 20.

D. 22.

KÈ

Đáp án C

bán kính là:

Đặt w = x + yi, ( x; y ∈ ℝ ) . Số phức w được biểu diễn bởi điểm M (x;y).

ẠY

Ta có: w = ( 3 + 4i ) z + i = x + yi

⇔z=

x + ( y − 1) i  x + ( y − 1) i  ( 3 − 4i ) ( 3x + 4y − 4 ) + ( −4x + 3y − 3) i = = 3 + 4i 25 25

⇒z=

1 25

( 3x + 4y − 4 ) + ( −4x + 3y − 3) 2

⇔ ( 3x + 4y − 4 ) + ( −4x + 3y − 3) = 1002

⇔ ( 3x + 4y ) + ( −4x + 3y ) − 8 ( 3x + 4y ) + 16 − 6 ( −4x + 3y ) + 9 = 10000 ⇔ 25 ( x 2 + y 2 ) − 50y = 9975

⇔ x 2 + y 2 − 2y = 399

FF IC IA L

⇔ x 2 + ( y − 1) = 400.

Vậy số phức w được biểu diễn bởi đường tròn tâm I (0;1), bán kính R = 20 và có 2

phương trình: x 2 + ( y − 1) = 400.

Câu 16 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Tính môđun của số phức z biết z = ( 4 − 3i )(1 + i ) . A. z = 25 2.

B. z = 7 2.

C. z = 5 2.

Đáp án C

D. z = 2.

Cách 1: Áp dụng quy tắc nhân, em tính được

z = ( 4 − 3i )(1 + i ) = 4 + 4i − 3i − 3i 2 = 7 + 1 2

⇒ z = 7 − i ⇒ z = 7 2 + ( −1) = 5 2

Cách 2:

Áp dụng công thức giải nhanh: z = z và z.w = z . w

2 ⇒ z = z = ( 4 − 3i )(1 + i ) = 4 − 3i . 1 + i = 42 + ( −3) . 12 + 12 = 5 2.

* Câu nay em có thể sử dụng MTCT kết hợp với tính chất z = z :

Em ấn MODE 2 SHIFT hyp (để tính mô đun) nhập ( 4 − 3i )(1 + i ) =

Em được kết quả là 5 2 .

Câu 17 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Kết quả của phép tính: P = 1 + i + i 2 + ... + i 2016 + i 2017 B. P = 1.

C. P = 1 + i.

D. P = 2i.

KÈ

Đáp án C

A. P = 0.

ẠY

Em thấy trong biểu thức P gồm bao nhiêu số hạng và các số hạng có quan hệ gì? P có 2018 số hạng. Nếu em tính riêng mỗi số hạng ik với k = 1, 2,3..., 2016, 2017 thì việc cộng các kết quả đó cũng không đơn giản chút nào. Kể từ số hạng thứ hai, số hạng sau gấp số hạng đứng ngay trước nó là i. Vậy nên P là tổng của 2018 số hạng đầu của một cấp số nhân, với số hạng đầu là u1 = 1 và công bội

q = i . Sử dụng công thức tính tổng của n số hạng đầu của cấp số nhân với số hạng dầu u1 và công bội q: S = u1.

1 − qn ;q ≠ 1 1− q

1009

P = 1 + i + i + ... + i

2016

2017

2 1 − i 2018 1 − ( i ) = 1. = 1− i 1− i

2 = 1 + i. 1− i

Câu 18: (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Mệnh đề nào sau đây đúng. B.

z ' z.z ' = 2. z z

C. z.z = 2a.

D. z + z = 2a.

FF IC IA L

A. z.z ≠ z.z. Đáp án D

Kiểm tra từ đáp án đơn giản đến phức tạp em thấy:

Đặt z = a + bi, ( a, b ∈ ℝ ) ⇒ z = a − bi nên z + z = ( a + bi ) + ( a − bi ) = 2a.

Câu 19 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: z − 1 = z + 3 − 2i . Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là

B. Đường tròn.

C. Một điểm xác định. D. Elip.

A. Đường thẳng.

Đáp án A

Em hãy thực hiện Câu nay theo cả 2 cách nhé! Cách 1: Đặt z = x + yi, ( x, y ∈ ℝ )

( x − 1)

+ y2 =

( x + 3) + ( y − 2 )

⇔ ( x − 1) + yi = ( x + 3) + ( y − 2 ) i ⇔

z − 1 = z + 3 − 2i ⇔ x + yi − 1 = x + yi + 3 − 2i

⇔ x 2 − 2x + 1 + y2 = x 2 + 6x + 9 + y 2 − 4y + 4 ⇔ −8x + 4y − 12 = 0 ⇔ 2x − y + 3 = 0

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là một đường thẳng có phương trình: 2x − y + 3 = 0.

Cách 2: z − 1 = z + 3 − 2i ⇔ MA = MB với M ( x; y ) , A (1;0 ) và B ( −3; 2 )

Em thấy, điểm M cách đều hai điểm A, B nên M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB. Em có thể tìm phương trình đường trung trực ∆ của đoạn thẳng AB như sau: AB = ( −4; 2 ) , trung điểm của AB là I ( −1;1) , ∆ qua điểm I nhận AB = ( −4; 2 ) làm vectơ

pháp tuyến.

KÈ

∆ : −4 ( x + 1) + 2 ( y − 1) = 0 ⇔ −4x + 2y − 6 = 0 ⇔ 2x − y + 3 = 0

Câu 20 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Gọi z1, z2, z3 và z4 là bốn nghiệm phức của phương trình z 4 − z 2 − 12 = 0 . Tính tổng T = z1 + z 2 + z 3 + z 4

ẠY

A. T = 4.

B. T = 2 3.

C. T = 4 + 2 3.

D. T = 0.

Đáp án C

z 2 = 4  z = ±2 z 4 − z 2 − 12 = 0 ⇔  2 ⇔  z = ± 3i  z = −3

T = z1 + z 2 + z 3 + z 4 = −2 + 2 + − 3i +

3i = 2 + 2 + 3 + 3 = 4 + 2 3.

Câu 21 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Tìm phần thực phần ảo của số phức z thỏa mãn điều kiện sau: ( 2 + 3i ) z = z − 1 1 3 phần ảo b = 10 10

B. Phần thực a =

3 −1 phần ảo b = 10 10

C. Phần thực a = −

1 3 phần ảo b = i 10 10

D. Phần thực a =

1 3 phần ảo b = 10 10

Đáp án A.

( 2 + 3i ) z = z − 1 ⇔ z (1 + 3i ) = −1 ⇔ z = 1 −+13i =

− (1 − 3i )

−1 3 + i 10 10

(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho hai số phức z = ( 2 x + 3 ) + ( 3y − 1) i và

Câu 22

B. x =

−3 ;y = 0. 2

−3 2

 −3 2 x + 3 = 0 x = Ta có z = z′ ⇔  ⇔ 2 3y − 1 = y − 1  y = 0 

D. x = 0; y =

Đáp án B.

1 C. x = 3; y = . 3

3 ;y = 0. 2

z′ = ( y − 1) i . Ta có z = z′ khi:

A. x =

FF IC IA L

A. Phần thực a = −

Câu 23 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Tìm tham số m để số phức z = m m 2 − 5 − mi là số

)

(

thuần ảo.

A. m = 0 Đáp án C.

C. m = 0; m = ± 5

D. m = 5

B. m = ± 5

Ta có z = m m 2 − 5 − mi

)

KÈ

(

Để z là số thuần ảo thì m 5 − m 2

(

)

m = 5  = 0 ⇔ m = − 5   m = 0

ẠY

Câu 24 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Trong mặt phẳng phức cho điểm M

các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. Điểm M biểu diễn cho số phức có môđun bằng 3 2 .

B. Điểm M biểu diễn cho số phức có phần thực bằng 4. C. Điểm M biểu diễn cho số phức u = 2 + 4i . D. Điểm M biểu diễn cho số phức có phần thực bằng

(

)

2 ; 4 . Trong

Đáp án B. Ta có M

(

)

2; 4 ⇒ u = 2 + 4i ⇒ u = 3 2 nên A, C đúng; số phức có phần thực bằng

Nên B SAI.

FF IC IA L

Câu 25 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Gọi z1 ,z2 là hai nghiệm phức của phương trình

z2 − 2z + 2 = 0 . Khi đó giá trị biểu thức A = z12020 + z22020 bằng: A. −21011 .

C. −21010

B. 0

D. −2

Đáp án A. 2

Biệt số ∆′ = 4 − 8 = −4 = ( 2i ) .

2020

1010

2 = (1 − i )   

2 = (1 + i )   

1010

= ( −2i )

1010

= ( 2i )

1010

= ( −2 )

.i1010 = 21010. ( −1) = −21010

z22020 = (1 + i )

2020

= 21010.i1010 = 21010. ( −1) = −21010

Vậy A = z12020 + z22020 = −21010 − 21010 = −21011 .

Suy ra z12020 = (1 − i )

2 − 2i 2 + 2i = 1 − i và z2 = = 1+ i . 2 2

Do đó phương trình có 2 nghiệm phức là: z1 =

Câu 26 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Cho số phức z thỏa mãn z + i = 1 . Biết rằng tập hợp

các điểm biểu diễn các số phức w = z − 2i là một đường tròn. Tâm của đường tròn đó là:

B. I ( 0; −3 )

A. I ( 0; −1)

D. I ( 0;1)

Đáp án B.

C. I ( 0; 3)

Ta có w = z − 2i ⇔ z = w + 2i.

Gọi w = z + yi ( x, y ∈ ℝ ) . Suy ra z = x + ( 2 + y ) i . 2

Theo giả thiết, ta có x + ( 2 + y ) i + i = 1 ⇔ x + ( 3 + i ) i = 1 ⇔ x 2 + ( 3 + y ) = 1 2

KÈ

⇔ x 2 + ( y + 3) = 1.

ẠY

Vậy tập hợp các số phức w = z − 2i là đường tròn tâm I ( 0; −3 ) . 3

Câu 27 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Tìm z biết z = 1 + 2i + (1 − i ) .

A. z = 0.

B. z = 1.

C. z = −1.

D. z = 2.

Đáp án B 3

Em có: z = 1 + 2i + (1 − i ) = 1 + 2i + (1 − 3i + 3i 2 − i3 ) = 1 + 2i + (−2 − 2i) = −1. ⇒ z = 1.

Câu 28: (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Phương trình: ( z + 3 − i ) − 6 ( z + 3 − i ) + 13 = 0 có 2 nghiệm phân biệt. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Trong 2 nghiệm có một nghiệm bằng 0. C. Cả 2 nghiệm đều là số thuần ảo.

FF IC IA L

B. Cả 2 nghiệm đều là số thực. D. Trong 2 nghiệm có 1 nghiệm là số thực, 1 nghiệm là số thuần ảo. Đáp án C Em có:  z + 3 − i = 3 − 2i  z = −i − 6 ( z + 3 − i ) + 13 = 0 ⇔  ⇔  z + 3 − i = 3 + 2i  z = 3i 29: (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Cho

(z + 3 − i)

số

phức

thỏa

mãn

Câu

z + 2 − i + z − 5 + 6i = 7 2. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

C. 4 2.

B. 3 2.

D. 7 2.

A. 2.

biểu thức P = z − 1 + 2i . Tổng M + m là:

Đáp án C

Đặt z = x + yi, (x; y ∈ ℝ). Số phức z được biểu diễn bởi điểm N ( x; y ) .

Số phức z1 = −2 + i được biểu diễn bởi điểm A ( −2;1) .

Số phức z 2 = 5 − 6i được biểu diễn bởi điểm B ( 5; −6 ) .

thẳng AB.

Ta có: z + 2 − i + z − 5 + 6i = 7 2 ⇔ NA + NB = 7 2. Mà AB = 7 2 nên N thuộc đoạn

KÈ

qua A ( −2;1) ⇒ phương trình đường thẳng AB là: x + y +1 = 0. Đường thẳng AB :  qua B ( 5; −6 )

Vì N ( x; y ) thuộc đoạn thẳng AB nên x + y +1 = 0, x ∈ [ −2;5].

ẠY

Ta có: P = z − 1 + 2i = ( x − 1) + ( y + 2 ) i = 2

( x − 1) + ( y + 2 ) 2

⇒ P 2 = ( x − 1) + ( y + 2 ) = ( x − 1) + ( − x − 1 + 2 ) = 2 ( x − 1) . 2

Xét f ( x ) = 2 ( x − 1) trên [ −2;5] ta có: f ′ ( x ) = 4 ( x − 1) ; f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = 1 ∈ [ −2;5] .

f ( −2 ) = 18  min f ( x ) = 0   x∈[−2;5] min P = 0 = m Ta có: f ( 5 ) = 32 ⇒  ⇒ f ( x ) = 32 max P = 4 2 = M   xmax  ∈[−2;5] f (1) = 0 Vậy M + m = 4 2.

FF IC IA L

(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Biết các số

Câu 30:

phức z có tập hợp điểm trên mặt phẳng tọa độ là hình tròn tô đậm như hình vẽ. Modul lớn nhất của số phức z

A. z = 1. max

B. z max = 2.

C. z max = 3.

D. z max = 3.

là:

Đáp án C

Giả sử A là điểm biểu diễn của số phức z trên mặt phẳng

toạn độ, B ( 3; 0 ) .

Tam giác OAB có góc OAB là góc tù nên

max

= 3.

Do đó z

OA ≤ OB ⇒ z ≤ OB = 3.

Câu 31 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Cho số phức z thỏa mãn: z − 3 − 4i = 1 . Tìm giá trị

lớn nhất của z

A. 4

B. 5

D. 7

Đáp án C

C. 6

Em có: z = z − 3 − 4i + 3 + 4i ≤ z − 3 − 4i + 3 + 4i

KÈ

⇒ z ≤ 1+ 5 = 6

⇒ Giá trị lớn nhất của z là 6

ẠY

Câu 32:

(GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Gọi z1, z2 là hai nghiệm của phương trình

z2 + z + 1 = 0 . Tính giá trị của biểu thức z12018 + z 2018 ? 2 A. 22019.

B. 21010.

C. 1.

Đáp án D Cách 1: Em có z = 1 không là nghiệm của phương trình trên. ⇒ z 2 + z + 1 = 0 ⇔ ( z − 1) z 2 + z + 1 = 0 ⇔ z 3 − 1 = 0 ⇔ z 3 = 1 với z ≠ 1 .

(

)

D. −1

3 2 z = 1 ⇒  13 ⇒ z12018 + z 22018 = z13.672 + 2 + z 22.672 + 2 = z12 + z 22 = ( z1 + z 2 ) − 2z1z 2 z 2 = 1

 −1 + 3i  z1 = 2 Cách 2: Em có z 2 + z + 1 = 0 ⇒   −1 − 3i z2 =  2

⇒z

2018 1

2018 2

 −1 + 3i  =    2  

2018

 −1 − 3i  +    2  

2018

 −1 + 3i  =    2  

3.672 + 2

 −1 − 3i  +    2  

3.672 + 2

 −1 + 3i   −1 − 3i  1 3i 1 3i = − + = −1  +  =− −     2 2 2 2 2 2    

FF IC IA L

z + z = −1 2 Theo định lý Vi-ét em có  1 2 ⇒ z12018 + z 22018 = ( z1 + z 2 ) − 2z z z 2 = 1 − 2 = −1 z1z 2 = 1

điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z là:

Câu 33 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Cho số phức z thỏa mãn: z − 1 + i = 2 . Tập hợp các

B. Một đường Parabol.

C. Một đường tròn có bán kính bằng 2.

D. Một đường tròn có bán kính bằng 4.

Đáp án C

A. Một đường thẳng.

Cách 1: Số phức z được biểu diễn bởi điểm M ( x; y ) .

Số phức z1 được biểu diễn bởi điểm A (1; −1) .

Em có: z − 1 + i = 2 ⇒ MA = 2 .

Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm A (1; −1) , bán kính R = 2 và có phương trình: 2

= 4.

( x − 1) + ( y + 1)

KÈ

Cách 2: Đặt z = x + yi, ( x; y ∈ ℝ ) . Số phức z được biểu diễn bởi điểm M ( x; y ) . Em có:

( x − 1) + ( y + 1) = 2 ⇔ ( x − 1) + ( y + 1) = 4 Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm I (1; −1) , bán kính R = 2 và có phương trình: ( x − 1) + ( y + 1) = 4 .

ẠY

z − 1 + i = 2 ⇔ ( x − 1) + ( y + 1) i = 2 ⇔

Câu 34

(GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Cho 2 số phức z1 và z2 thỏa mãn:

z1 − 5 − i = 3, z 2 + 5 − 2i = iz 2 − 3 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = z1 − z 2 là:

A. −3 − 3 2.

B. 3 + 3 2.

C. 3 − 3 2.

D. −3 + 3 2.

Đáp án D Đặt z1 = x1 + y1i, ( x1; y1 ∈ ℝ ) . Số phức z được biểu diễn bởi điểm M ( x1; y1 ) . Đặt z 2 = x 2 + y 2 i, ( x 2 ; y 2 ∈ ℝ ) . Số phức z2 được biểu diễn bởi điểm N ( x 2 ; y 2 ) .

FF IC IA L

Suy ra: z1 − z 2 = MN . 2

Em có: z1 − 5 − i = 3 ⇔ ( x1 − 5) + ( y1 − 1) i = 3 ⇔ ( x1 − 5) + ( y1 − 1) = 9. 2

Vậy điểm M thuộc đường tròn ( C ) : ( x − 5) + ( y − 1) = 9 , có tâm là điểm I ( 5;1) , bán kính

R =3. Em có: z 2 + 5 − 2i = iz 2 − 3 ⇔ ( x 2 + 5) + ( y 2 − 2 ) i = x 2 i − y 2 − 3 2

⇔ ( x 2 + 5) + ( y 2 − 2 ) = x 2 2 + ( y 2 + 3 )

Vậy điểm N thuộc đường thẳng d : x − y + 2 = 0 .

⇔ x2 − y2 + 2 = 0 .

Dễ thấy đường thẳng d và đường tròn C không cắt nhau.

KÈ

Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho bộ ba điểm I, M, N em có:

5 −1+ 2

− 3 = −3 + 3 2 2 Dấu “=” bằng xảy ra khi và chỉ khi I, M, N thẳng hàng và N là hình chiếu của I trên đường thẳng d.

ẠY

MN ≥ IM − IN = IN − R ≥ d ( I; d ) − R =

Vậy z1 − z 2

min

= −3 + 3 2 .

0 2 2018 i Câu 1:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Tìm z biết C2018 + iC2018 + i 2C2018 + ... + i 2018C2018 .

A. 2 2018

B. 21009

C. 2 2017

D. 21008

Ta có z = (1 + i )

2018

2 = (1 + i )   

1009

= ( 2i )

= 21009.i1009 = 22019 i

⇒ z = 02 + ( 21009 ) = 21009 .

FF IC IA L

Đáp án A.

Câu 2:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho số phức z thỏa mãn z − 1 + 2i = 2 . Tìm z lớn nhất.

5+2

5 −2

Đặt z = x + yi

5+4

Đáp án B.

( x, y ∈ ℝ ) 2

⇒ z − 1 + 2i = 2 ⇔ x + yi − 1 + 2i = 2 ⇔ ( x − 1) + ( y + 2 ) = 4

⇒ z max = OI + R = 12 + 2 2 + 2 = 2 + 5 .

⇒ Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I (1; −2 ) bán kính R = 2 .

A. 13

Câu 3:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hai số phức z1 = 2 − 3i; z2 = 1 + i thì z1 + z2 là: D. 10

Đáp án A.

z1 + z2 = 3 − 2i ⇔ z1 + z2 = 3 − 2i = 13 . Câu 4:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn

z − 2 + 3i = 7 là

B. Elip.

C. Đường tròn.

D. Hình tròn.

KÈ

A. Đường thẳng. Đáp án C

ẠY

Giả sử z = x + yi, ( x, y ∈ ℝ ) . Khi đó điểm biểu diễn số phức z là M ( x; y ) . Từ giả thiết, ta có z − 2 + 3i = 7 ⇔ ( x − 2 ) + ( y + 3 ) i = 7

⇔

( x − 2 ) + ( y + 3)

Vậy tập hợp các điểm 2

( C ) : ( x − 2 ) + ( y + 3)

= 7 ⇔ ( x − 2 ) + ( y + 3) = 49 .

M ( x; y ) biểu diễn số phức

z = z + yi

là đường tròn

= 49 có tâm I ( 2; −3) , bán kính R = 7 .

Câu 5:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Tìm số phức z thỏa mãn (1 + 2i )( z − 1) − 5 + 2i = 0

A. z =

12 6 − i. 5 5

B. z =

6 12 + i. 5 5

C. z =

6 12 − i. 5 5

D. z =

1 12 − i. 5 5

Đáp án C Cách 1: Tư duy tự luận

FF IC IA L

Giả sử z = a + bi, ( a, b ∈ ℝ) .

Giả thiết tương đương với (1 + 2i ) ( a − 1) + bi  = 5 − 2i

6  a=  2 1 5 2 6 a − b − = a − b =    5 ⇔ ( a − 1 − 2b ) + ( 2a + b − 2 ) i = 5 − 2i ⇔  ⇔ ⇔ 2a + b − 2 = 2  2a + b = 0 b = − 12  5 6 12 − i. 5 5

V ậy z =

5 − 2i 6 12 +1 = − i . 1 + 2i 5 5

(1 + 2i )( z − 1) − 5 + 2i = 0 ⇔ z =

Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay

Câu 6:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho z1 , z2 là hai số phức thảo mãn 2 z − i = 2 + iz ,

Đáp án D

U B. P = 2 .

2 . 2

C. P =

3 . 2

A. P =

biết z1 − z2 = 1 . Tính giá trị của biểu thức P = z1 + z2

D. P = 3 .

Giả sử z = x + yi, ( x, y ∈ ℝ ) . Từ giả thiết ta có 2 ( x + yi ) − i = 2 + i ( x + yi ) 2

KÈ

⇔ 2 x + ( 2 y − 1) i = 2 − y + xi ⇔ 4 x 2 + ( 2 y − 1) = ( y − 2 ) + x 2 ⇔ x 2 + y 2 = 1 . Suy ra tập hợp

các điểm A, B biểu diễn hai số phức z1 , z2 là đường tròn tâm O ( 0; 0 ) , bán kính

ẠY

R = 1 = OA = OB .

Giả sử z1 = a1 + b1i , z2 = a2 + b2i , ( a1 , a2 , b1 , b2 ∈ ℝ ) . Khi đó A ( a1 ; b1 ) , B ( a2 ; b2 ) .

Từ giả thiết z1 − z2 = 1 ta được:

( a1 − a2 ) + ( b1 − b2 ) i

=1⇔

( a1 − a2 ) + ( b1 − b2 )

Từ đó OA = OB = AB ⇒ ∆OAB đều cạnh bằng 1.

= 1 ⇔ AB = 1 .

3 AB 3  a +b a +b  = Gọi M là trung điểm AB thì M  1 1 ; 2 2  và OM = . 2 2 2   2 Khi đó P = z1 + z2 = ( a1 + a2 ) + ( b1 + b2 ) i = 2

( a1 + a2 ) + ( b1 + b2 )

FF IC IA L

3  a +a  b +b  = 2  1 2  +  1 2  = 2OM = 2. = 3. 2  2   2 

Câu 7:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hai đường tròn ( O1 ;5 ) và ( O2 ;3) cắt nhau tại hai điểm A, B sao cho AB là một đường kính của đường tròn ( O2 ) . Gọi ( D ) là hình phẳng được giới hạn bởi hai đường tròn (ở ngoài

đường tròn lớn, phần gạch chéo như hình vẽ). Quay ( D ) quanh trục

O1O2 ta được một khối tròn xoay. Tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo thành B. V =

68π . 3

40π . 3

14π . 3

C. V =

D. V = 36π .

A. V =

Đáp án C

Chọn hệ tọa độ Oxy như hình vẽ với O3 ≡ O, O2C ≡ Ox, O2 A ≡ Oy. Ta có O1O2 = O1 A2 − O2 A2 = 52 − 32 = 4 ⇒ O1 ( −4; 0 ) . 2

Phương trình đường tròn ( O1 ) : ( x + 4 ) + y 2 = 25.

Phương trình đường tròn ( O2 ) : x 2 + y 2 = 9. 2

Kí hiệu ( H1 ) là hình phẳng giới hạn bởi các đường ( O1 ) : ( x + 4 ) + y 2 = 25, trục Oy: x = 0

khi x ≥ 0 .

KÈ

Kí hiệu ( H 2 ) là hình phẳng giới hạn bởi các đường ( O2 ) : x 2 + y 2 = 9, trục Oy: x = 0 khi

x≥0.

Khi đó thể tích V cần tìm chíình bằng thể tích

ẠY

khối tròn xoay thu được khi quay hình ( H 2 ) quanh trục Ox (thể tích nửa khối cầu bán kính

trừ đi thể tích V1 của khối tròn xoay thu được

hình ( H1 ) xung quanh trục Ox.

có

1 4 V2 = . π33 = 18π 2 3

(đvtt);

c ủa xung

bằng 3) khi quay

14π 2 (đvtt). V1 = π ∫ y dx = π∫  25 − ( x + 4 )  dx =   3 2

Vậy V = V2 − V1 = 18π −

14π 40π (đvtt). = 3 3

1 = 3 . Tổng giá trị z

lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z là

A. 0.

B. 3.

C. 2.

D. 13 .

Đáp án D

(

)(

)

2 z2 +1 z 2 +1 1 1 1  1  =3⇔ z+ = 9 ⇔  z +  z +  = 9 ⇔ =9 z z z  z z. z  2

Ta có z +

FF IC IA L

Câu 8:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho số phức z thảo mãn z +

⇔ z 2 .z 2 + z 2 + z 2 + 1 = 9 zz = 9 z ⇔ z + ( z + z ) − 2 z + 1 = 9 z

11 − 3 13 11 + 3 13 3 + 13 −3 + 13 2 . ≤ z ≤ ⇔ ≤ z ≤ 2 2 2 2

Vậy max z + min z =

−3 + 13 3 + 13 + = 13 . 2 2

⇔

Do ( z + z ) ≥ 0 nên − z + 11 z − 1 ≥ 0 ⇔ z − 11 z + 1 ≤ 0

Câu 9:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hình lăng trụ

phương

l ần

lượt

trình

có diện tích đáy bằng 5 (đvdt) và hai đáy là hai tam giác nằm trên hai mặt phẳng ( α ) , ( β ) có

(β ) : 3x − 6 y + 9 z + b = 0(a, b ∈ ℝ+ , b ≠ 3a) .

( α ) : x − 2 y + 3z − a = 0

là

Hỏi nếu thể tích khối lăng trụ bằng 5 14 thì

khẳng định nào sau đây là đúng?

KÈ

A. 3a + b = 14 .

B. a +

b = 42 . 3

C. 3a + b = 14 .

D. a +

b = 14 . 3

Đáp án D

ẠY

Ta có ( α ) : x − 2 y + 3 z − a = 0 ⇔ 3 x − 6 y + 9 z − 3a = 0.

Gọi h là chiều cao của hình lăng trụ, do ( α ) / / ( β ) nên h = d ( ( α ) ; ( β ) ) = Ta có V = S .h ⇔ 5 14 = 5.

b + 3a 3 14

và

= 3a + b = 42 ⇔ a +

b = 14 . 3

b + 3a 3 14

Câu 10:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho số phức z thỏa mãn ( 2 + i ) z = 7 − 3i . Tính tổng phần thực và phần ảo của số phức z .

11 5

13 5

24 5

Đáp án C. z=

7 − 3i 11 13 11 13 = − i⇒z= + i 2+i 5 5 5 5

Vậy tổng của các phần thực và phần ảo của z là:

11 13 24 + = . 5 5 5

D. −

12 5

FF IC IA L

Câu 11:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho phương trình 4 x 4 − x 2 − 3 = 0 trên tập số phức. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Phương trình có 2 nghiệm phức.

B. Phương trình có 3 nghiệm phức. D. Phương trình không có nghiệm

C. Phương trình có 4 nghiệm phức. phức. Đáp án C.

t = 1 3i ⇒ z = ±1, z = ± Đặt t = z ⇒ Phương trình: 4t − t − 3 = 0 ⇒  3 t = − 2  4 2

Câu 12:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong mặt phẳng phức, tập hợp các điểm

M ( x; y ) biểu diễn số phức z = x + yi, x, y ∈ ℝ thỏa mãn z = z − 1 + 2i là

A. Đường thẳng có phương trình 2 x + 4 y + 5 = 0 B. Đường thẳng có phương trình 2 x + 4 y − 5 = 0 2

C. Đường thẳng có phương trình ( x − 1) + ( y − 2 ) = 1

KÈ

D. Đường thẳng có phương trình 2 x − 4 y + 5 = 0

Đáp án B.

ẠY

z = x + yi; x, y ∈ ℝ ⇒ x + yi = ( x − 1) + ( 2 − y ) i 2

⇒ x 2 + y 2 = ( x − 1) + ( 2 − y ) ⇔ −2 x − 4 y + 5 = 0

Câu 13:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Với hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 + z2 = 8 + 6i và

z1 − z2 = 2 . Tìm giá trị lớn nhất của P = z1 + z2 . A. P = 5 + 3 5 P = 34 + 3 2

B. P = 2 26

C. P = 4 6

Đáp án B. Đặt OA = z1 , OB = z2 , O là gốc tọa độ, A và B là hai điểm biểu diễn của z1 , z2 Dựng hình bình hành OACB, khi đó AB = z1 − z2 = 2

OM =

2 ( OA2 + OB 2 ) − AB 2

(

4 2

Ta có: z1 ≤ z2 ≤ 2 z1 + z2

) =2

FF IC IA L

OC = z1 + z2 = 10 ⇒ OM = 5 2

⇒ OA2 + OB 2 = 52 ⇒ z1 + z2 = 52

26 ⇒ Pmax = 2 26

Câu 14:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức nào dưới đây ?

A. z = 1 − 3i. B. z = −3 + i

C. z = 1 + 3i.

D. z = −3 − i.

Đáp án A.

Câu 15:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương

4 . 3

Đáp án B.

B. 3.

trình 9 z 2 + 6 z + 4 = 0 . Giá trị của biểu thức

1 1 + bằng z1 z2 C.

3 . 2

KÈ

Cách 1 Ta có 9 z 2 + 6 z + 4 = 0 ⇔ ( 3 z + 1) = −3 ⇔ z = Do vậy, ta có z1 = z2 =

9 . 2

−1 + i 3 −1 − i 3 hoặc z = . 3 3

−1 + i 3 2 1 1 3 3 = ⇒ + = + =3 3 3 z1 z2 2 2

ẠY

Cách 2 Sử dụng máy tính Casio.

Phân tích phương án nhiễu. Phương án A: Sai do HS tính đúng mo6dun nhưng lại tính sai

1 1 2 2 4 + = + = . z1 z2 3 3 3 Phương án C: Sai do HS giải sai nghiệm của phương trình. Cụ thể:

Suy ra z1 = z2 =

−6 ± 6 3i −2 ± 2 3i . = 9 3

FF IC IA L

9z2 + 6z + 4 = 0 ⇔ z =

1 1 3 3 3 −2 + 2 3i 4 = ⇒ + = + = . 3 3 z1 z2 4 4 2

Phương án D: Sai do HS giải đúng nghiệm nhưng tính sai môđun. Cụ thể: 2

2 4 1 1 9 1  3  + = . z1 = z2 =   +   = ⇒ 9 z1 z2 2  3  3 

( 2 z − 1)(1 + i ) + ( z + 1)(1 − i ) = 2 − 2i .

Câu 16:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho z là số phức thỏa mãn điều kiện Tính tổng bình phương phần thực và phần ảo của số

B. 1.

C. 49.

A. 25.

phức w = 9 z 2 + 6 z + 1 .

(

Đặt z = a + bi, ( a, b ∈ ℝ ) . Suy ra z = a − bi.

Đáp án A.

D. 41.

)

Ta có ( 2 z − 1)(1 + i ) + z + 1 (1 − i ) = 2 − 2i

⇔ ( 2 a − 1) + 2 bi  (1 + i ) + [ a + 1 − bi ] (1 − i ) = 2 − 2i ⇔ ( 3a − 3b ) + ( a + b − 2 ) i = 2 − 2i

3a − 3b = 2 1 1 ⇔ ⇔ a = ,b = − . 3 3  a + b − 2 = −2

1 1 2 2 − i. Do đó w = ( 3z + 1) = ( 2 − i ) = 3 − 4i. 3 3

KÈ

Suy ra z =

Số phức w có phần thực bằng 3 và phần ảo bằng –4 nên tổng bình phương phần thực và phần 2

ảo của w là 32 + ( −4 ) = 25.

ẠY

Phân tích phương án nhiễu.

Phương án B: Sai do HS hiểu sai tổng bình phương của phần thực và phần ảo là

( 3 + ( −4 ) )

= 1.

Phương án C: Sai do HS xác định sai phần ảo và hiểu sai về tổng bình phương. Cụ thể: HS xác định được w có phần ảo bằng 4 và tổng bình phương của phần thực và phần ảo là

(3 + 4)

= 49.

Phương án D: Sai do HS biến đổi sai w = ( 3z + 1) = ( 2 − i ) = 5 − 4i. Do đó tính được kết quả 2

52 + ( −4 ) = 41.

Câu 17:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho các số phức z1 và z2 thỏa mãn điều kiện

thức P = 22a − 6 3b + 2018 .

B. P = 8 3 + 2018.

A. P = 2038.

C. P = 2020.

Đáp án C.

Ta có +) z1 = z2 = 1 ⇔ a12 + b12 = a22 + b22 = 1. 2

D. P =

4049 2

Giả sử z1 = a1 + b1i; z2 = a2 + b2i, ( a1 , a2 , b1 , b2 ∈ ℝ ) .

FF IC IA L

3 z z1 + z2 = 1 . Giả sử 1 = a + bi , với a, b ∈ ℝ và b > 0 . Tính giá trị của biểu 3 z2

z1 = z2 =

+ ) z1 + z2 = 3 ⇔ ( a1 + a2 ) + ( b1 + b2 ) = 3

(

1 Kết hợp với kết quả trên ta suy ra được a1a2 + b1b2 = . 2

)( a

2 2

)

+ b22 = 1 nên

Mặt khác ( a1a2 + b1b2 ) + ( a1b2 − a2 b1 ) = a12 + b12

a1b2 − a2 b1 = ±

3 . 2

z1 z1 .z2 1 3 i. = = z1 .z2 = ( a1a2 + b1b2 ) + ( b1a2 − b2 a1 ) i = ± 2 2 2 z2 z2

Lại có

1 3 Theo giả thiết ta có a = ; b = . Do đó P = 2020. 2 2

KÈ

Phân tích phương án nhiễu. 3 nên P = 2038. 2

Phương án A: Sai do HS xác định sai b = −

ẠY

Phương án C: Sai do HS xác định nhầm a =

Phương án D: Sai do HS xác định sai b =

1 3 và b = nên P = 8 3 + 2018. 2 2

4049 3 . nên P = 2 4

Câu 18:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hai số phức z1 = 1 + i và z2 = 1 − i . Kết luận nào sau đây là sai?

z1 =i. z2

B. z1 − z2 = 2 .

C. z1 + z2 = 2 .

D. z1 z2 = 2 .

Đáp án B. 2

(1 + i ) = 1 + 2i + i 2 = 2i = i z 1+ i = * Phương án A: 1 = . Vậy A đúng. z2 1 − i (1 − i )(1 + i ) 1− i2 2

* Phương án C: z1 + z2 = (1 + i ) + (1 − i ) = 2 . Vậy C đúng.

FF IC IA L

* Phương án B: z1 − z2 = (1 + i ) − (1 − i ) = 0 + 2i = 02 + 2 2 = 2 . Vậy B sai.

* Phương án D: z1 z2 = (1 + i )(1 − i ) = 1 − i 2 = 2 + 0i = 22 + 02 = 2 . Vậy D đúng

Câu 19:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Tính mô-đun của số phức z thỏa mãn

(1 + i ) z + ( 3 − i ) z = 2 − 6i A. z = 13 .

C. z = 5 .

D. z = 3 .

B. z = 15 .

Đáp án A.

Gọi z = x + yi, ( x, y ∈ ℤ ) → z = x − yi .

Từ giả thiết ta có (1 + i )( x + yi ) + ( 3 − i )( x − yi ) = 2 − 6i

⇔ x − y + ( x + y ) i + 3 x − y − ( x + 3 y ) i = 2 − 6i ⇔ ( 4 x − 2 y ) − 2 y.i = 2 − 6i

4 x − 2 y = 2 x = 2 ⇔ ⇔ → z = 2 + 3i → z = 22 + 32 = 13 − 2 y = − 6 y = 3  

Câu 20:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong các số phức z thỏa mãn

z + 4 − 3i + z − 8 − 5i = 2 38 . Tìm giá trị nhỏ nhất của z − 2 − 4i . 1 . 2

5 . 2

C. 2.

D. 1.

Đáp án D.

KÈ

Đặt z = x + yi, ( x, y ∈ ℝ ) . Từ giả thiết ta có: ( x + 4 ) + ( y − 3) i + ( x − 8 ) + ( y − 5 ) i = 2 38 2

( x + 4 ) + ( y − 3)

ẠY

⇔

( x − 8) + ( y − 5)

= 2 38 .

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có: 2

( x + 4 ) + ( y − 3)

≤

+ 1.

( x − 8) + ( y − 5)

≤

2 2 2 2 + 12 ) ( x + 4 ) + ( y − 3) + ( x − 8 ) + ( y − 5 )  = 2 x 2 − 4 + y 2 − 8 y + 57  

⇔ 38 ≤

( x − 2) + ( y − 4)

+ 37 ⇔ ( x − 2 ) + ( y − 4 ) ≥ 1 .

Lại có z − 2 − 4i = ( x − 2 ) + ( y − 4 ) i =

( x − 2) + ( y − 4)

≥ 1 =1.

FF IC IA L

Câu 21:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho các số phức z thỏa mãn z − i = z − 1 + 2i . Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w = ( 2 − i ) z + 1 trên mặt phẳng tọa độ là một đường thẳng. Phương trình đường thẳng đó là

A. x − 7 y − 9 = 0 .

B. x + 7 y − 9 = 0 .

C. x + 7 y + 9 = 0 .

Đáp án C. Giả sử w = x + yi, ( x, y ∈ ℝ ) .

( x − 1) + yi 2−i

⇔

2x − y − 2 x + 2 y − 6 2x − y − 7 x + 2 y + 9 i = i + + 5 5 5 5

( 2 x − y − 2) + ( x + 2 y − 6)

Từ z − i = z − 1 + 2i ⇔

( x − 1) + yi  ( 2 + i ) 2 x − y − 2 x + 2 y − 1 i. ⇔z= = + 5 5 ( 2 − i )( 2 + i )

Từ w = ( 2 − i ) z + 1 ⇔ z =

D. x − 7 y + 9 = 0 .

( 2x − y − 7 ) + ( x + 2 y + 9)

⇔ 5 x 2 + 5 y 2 − 20 x − 20 y + 40 = 5 x 2 + 5 y 2 − 10 x + 50 y + 130 ⇔ x + 7 y + 9 = 0 . 2

Câu 22:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Phần thực của số phức z = ( 2 − i ) bằng: B. −1

A. 3

D. 5

Đáp án A.

C. 2

KÈ

Ta có z = ( 2 − i ) = 4 − 4i + i 2 = 3 − 4i có phần thực bằng 3.

Câu 23:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho số phức z =

m +1 , ( m ∈ ℝ ) . Số các giá 1 + m ( 2i − 1)

ẠY

trị nguyên của m để z − i < 1 là

A. 0

B. 1

C. 4

Đáp án A.

Ta có z − i =

m + 1 − i (1 + 2mi − m ) 3m + 1 + ( m − 1) i m +1 −i = = 1 + m ( 2i − 1) 1 + m ( 2i − 1) 1 − m + 2mi

D. Vô số

3m + 1 + ( m − 1) i

⇒ z −i =

1 − m + 2mi

3m + 1 + ( m − 1) i

1 − m + 2mi

⇔ 3m + 1 + ( m − 1) i < 1 − m + 2mi ⇔ ( 3m + 1) + ( m − 1) < (1 − m ) + 4m 2

1 5

FF IC IA L

⇔ 5m 2 + 6m + 1 < 0 ⇔ ( m + 1)( 5m + 1) < 0 ⇔ −1 < m < − Vì m ∈ ℤ ⇒ Không có giá trị của m thỏa mãn.

Câu 24:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Biết số phức z thỏa mãn điều kiện

3 ≤ z − 3i + 1 ≤ 5 . Tập hợp các điểm biểu diễn của z tạo thành một hình phẳng. Diện tích của hình phẳng đó bằng

A. 16π

B. 4π

C. 9π

Đáp án A.

D. 25π

có 2

z − 3i − 1 = ( x − 1) + ( y − 3) i =

Đặt z = x + yi, ( x, y ∈ ℝ ) .

( x − 1) + ( y − 3)

đó

3 ≤ z − 3i + 1 ≤ 5 ⇔ 9 ≤ ( x − 1) + ( y − 3) ≤ 25.

phẳng

nằ m

trong đường tròn tâm I (1;3) bán kính R = 5 đồng

thời

nằ m

Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn của z là hình

ngoài đường tròn tâm I (1;3 ) bán kính r = 3 .

Diện tích của hình phẳng đó (phần tô màu) là S = π.52 − π.32 = 16π (đvdt).

KÈ

Câu 25:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho A, B, C lần lượt là 3 điểm biểu diễn các số −4i 2 + 6i phức z1 = ; z2 = (1 + i )(1 + 2i) ; z3 = . Biết A, B, C tạo thành một tam giác, diện tích 1− i 3−i của tam giác đó là: A. S = 10.

B. S = 5.

C. S = 5 2 .

ẠY

Đáp án B.

Ta có

−4i = 2 − 2i ⇒ A ( 2; −2 ) 1− i

(1 − i )(1 + 2i ) = 3 + i ⇒ B ( 3;1) ;

2 + 6i = 2i ⇒ C ( 0; 2 ) 3−i

⇒ AB = 10, AC = 20, BC = 10 ⇒ AC 2 = AB 2 + BC 2 ⇒ Tam giác vuông cân tại B ⇒ S ABC =

1 BA.BC = 5 2

D. S = 10 2 .

Câu 26:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho z1 , z2 là nghiệm phương trình

6 − 3i + iz = 2 z − 6 − 9i và thỏa mãn z1 − z2 = 56 . 5

28 . 5

C. 6.

D. 5.

FF IC IA L

8 . Tìm giá trị lớn nhất cảu z1 + z2 . 5

Đáp án A. Đặt z = x + yi với x, y ∈ ℝ ; z1 = x1 + y1i ; z2 = x2 + y2i

+ 6 − 3i + iz = 2 z − 6 + 9i ⇔ x 2 + y 2 − 6 x + 8 y + 24 = 0 ⇒ Tập hợp điểm điểm biểu diễn z là

đường tròn (C) tâm I ( 3; 4 ) và bán kính R = 1 . + Có z1 − z2 =

( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 )

= M 1M 2 với M1 ( x1; y1 ) là điểm biểu diễn số phức z1

, M 2 ( x2 ; y 2 ) là điểm biểu diễn số phức z 2

8 ( M1 , M 2 thuộc đường trong ( C ) ) 5 2 2 + z1 + z2 = ( x1 + x2 ) ( y1 + y2 ) = OM 1 + OM 2 = 2 OH với H là trung điểm của M1; M 2 (hình vẽ)

⇒ z1 + z2 max ⇔ OH max mà OH ≤ OI + IH

⇒ M 1M 2 =

⇒ OH max

28 56 8 = OI + IH = 5 + IH = 5 + 1 −   = ⇒ z1 + z2 max = 2OH max = 5 5  10 

A. 1.

là số thuần ảo?

Câu 27:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z = 2 và z 2 B. 2.

C. 3.

KÈ

Đáp án D.

Đặt z = x + yi , x, y ∈ ℝ ⇒ z = 2 ⇔ x 2 + y 2 = 2 (1)

ẠY

 x 2 − y 2 = 0 (2) z 2 = x 2 − y 2 + 2 xyi là số thuần ảo ⇔   xy ≠ 0

2 2  x + y = 2 Từ (1) và (2) ta có hệ  2 (ĐK: xy ≠ 0 ) 2  x − y = 0

D. 4.

FF IC IA L

 x = 1   y = 1  x = 1   x = 1  2   y = −1  2 x = 2 ⇔ 2 ⇔  x = −1 ⇒  ⇒ Có 4 số phức z thỏa mãn. 2 x = − 1   x − y = 0  2  y =1   y = 1    x = −1   y = −1 

(

Câu 28:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho số phức z thỏa mãn z = i + 2 Tìm phần ảo của số phức z.

B. ‒2

C. − 2

A. 2

) (1 − 2i ) .

Đáp án C.

Câu 29:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho số phức z thỏa mãn tập hợp z − 1 = 3 . Biết

rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức w với ( 3 − 2i ) w = iz + 2 là một đường tròn. Tìm tọa

3 4 7 C. I  ;  , r = 13  13 13 

2 1 I  ;− , r = 3 3 2

B. I ( −2;3) , r = 13

3 8 1 A. I  ;  , r = 13  13 13 

độ tâm I và bán kính r của đường tròn đó.

Đáp án B.

Phương trình có các nghiệm z = −i, z = −3i, z = 2 + 3i ⇒ Tổng môđun các nghiệm T = 1 + 3 + 13 = 4 + 13

Câu 30:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho số phức z thỏa mãn tập hợp z − 1 = 3 . Biết

KÈ

rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức w với ( 3 − 2i ) w = iz + 2 là một đường tròn. Tìm tọa

độ tâm I và bán kính r của đường tròn đó. B. I ( −2;3) , r = 13

3 4 7 C. I  ;  , r = 13  13 13 

2 1 D. I  ; −  , r = 3 3 2

ẠY

3 8 1 A. I  ;  , r = 13  13 13 

Đáp án C. Từ giả thiết ⇒ w =

2 6 4 i  2 3  z+ = − + i z + + i 3 − 2i 3 − 2i  13 13  13 13

4 7  2 3  ⇔ w =  − + i  ( z − 1) + + i 13 13  13 13  2 3 1 3 4 7  ⇒ w −  + i  = − + i . z −1 = .3 = 13 13 13 13  13 13 

FF IC IA L

3 4 7 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w thuộc đường tròn tâm I  ;  , bán kính r = . 13  13 13 

Câu 31:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho số phức z thỏa mãn z − 4 + z + 4 = 10 . Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z lần lượt là:

A. 10 và 4

B. 5 và 4

C. 4 và 3

Đáp án D.

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

(

)

100 = ( z + 4 .1 + z − 4 .1) ≤ 2 z − 4 + z + 4

Ta có 10 = z + 4 + z − 4 ≥ z + 4 + z − 4 = 2 z ⇔ z ≤ 5

Giả sử z = a + bi, a, b ∈ ℝ

D. 5 và 3

⇔ ( a + 4 ) + b 2 + ( a − 4 ) + b 2 ≥ 50 ⇔ a 2 + b 2 ≥ 9 ⇔ z ≥ 3

Vậy max z = 5, min z = 3 .

3 −1 . 2

3 +1 . 2

C. 1.

3 D. . 4

1 3 i. Tính z . Câu 32:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho z = − + 2 2

KÈ

Đáp án C.

2 1 3  1  3 + =1 z =  −  +   =  4 4  2  2 

ẠY

Câu 33:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Tập hợp những điểm M biểu diễn số phức z thỏa

mãn: z − i = z + 2 + 3i là:

A. Đường tròn B. Đường thẳng AB với A ( 0;1) , B ( −2; −3) .

C. Đường trung trực của đoạn AB với A ( 0;1) , B ( −2; −3) . D. Đường tròn đường kính với A ( 0;1) , B ( −2; −3) .

Đáp án C. Đặt z = x + yi ( x; y ∈ ℝ ) ⇒ z − i = z + 2 + 3i ⇔ x + yi − i = x + yi + 2 + 3i 2

⇔ x 2 + ( y − 1) =

( x + 2 ) + ( y + 3)

⇔ −2 y + 1 = 4 x + 6 y + 13

FF IC IA L

⇔ 4 x + 8 y + 12 = 0 ⇔ x + 2 y + 3 = 0 là trung trực của đoạn AB.

Câu 34:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho số phức z thỏa mãn z − 3 + 4i = 4. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z lần lượt là:

A. 9 và 1.

B. 9 và 4.

C. 4 và 1.

D. 3 và

Đáp án A. 2

Đặt z = x + yi ( x; y ∈ ℝ ) . Từ giả thiết ta có: ( x − 3) + ( y + 4 ) = 16

⇒ z ∈ đường tròn tâm I ( 3; −4 ) , R = 4.

Viết phương trình đường thẳng ∆ qua O,I cắt đường tròn tại A và B.

Từ đó ta có: max z = 9 vaf min z = 1 .

i−m , m ∈ ℝ. Tìm giá trị 1 − m ( m − 2i )

Câu 35:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho số phức z = nhỏ nhất của số thực k sao cho tồn tại m để z − 1 ≤ k .

1− m + i

m−i

Xét f ( m ) =

ẠY

5 −1 . 2

i−m −1 1− m + i = ⇒ z −1 = 2 −i + 2mi − m i−m m−i 2

KÈ

z −1 =

Đáp án C. Ta có z =

1+ 5 . 2

3− 5 . 2

k ≥ 0 m 2 − 2m + 2  ⇒ z − 1 ≤ k ⇔  m 2 − 2m + 2 2 m +1 ≤ k2   m2 + 1

3− 5 5 −1 m 2 − 2m + 2 . Khảo sát ⇒ min f ( m ) = ⇒k = 2 2 2 m +1

Câu 36:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Gọi z1 , z2 lần lượt có điểm biểu diễn là M và N trên mặt phẳng Oxy (hình bên). Khi đó số phức z = 1 4

4 5

A. z = − + i

3 2

1 2

B. z = − i

z1 là: z2

5 +1 . 4

C. z = −

1 4 − i 10 5

2 7 i 5 10

D. z = − −

Đáp án C.

⇒

1 4 z1 3 + 2i ( 3 + 2i )( 2 + 4i ) −2 + 16i = = = =− + i 2 2 2 +4 20 10 5 z2 2 − 4i

FF IC IA L

z1 = 3 + 2i; z2 = 2 − 4i

Câu 37:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn

1 2

B. −

z1 là: z2

1 2

Đáp án B.

D. −

1 1 1 + = ⇔ z12 + z1 z2 + z22 = 0 z1 z2 z1 + z2

3 2

Ta có

3 2

Khi đó phần thực của số phức w =

1 1 1 . + = z1 z2 z1 + z2

 z1 1 3 i  =− + 2 2 z2  z1   z1  z 1  ⇔   +   +1 = 0 ⇔ ⇒ Phần thực của số phức 1 là − .  z2 2 z 1 3  z2   z2   1 =− − i 2 2  z2

Câu 38:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 + 2 = 2 và

−10 + 6 10 5

z2 − 3i = z2 + 1 − 6i . Tìm giá trị nhỏ nhất của z1 − z2 .

10 + 6 10 5

C. 0

12 10

Đáp án A.

KÈ

Đặt z1 = x + yi; z2 = a + bi với x, y, a, b ∈ ℝ . Ta có: 2

+ z1 + 2 = 2 ⇔ x + 2 + yi = 2 ⇔ ( x + 2 ) + y 2 = 4

ẠY

⇒ Tập hợp điểm biểu diễn số phức z1 là điểm M ( x; y ) thuộc ( C ) có tâm I ( −2;0 ) và bán

kính R = 2

+ z2 − 3i = z2 + 1 − 6i ⇔ a + ( b − 3) i = ( a + 1) + ( b − 6 ) i 2

a 2 + ( b − 3) = ( a + 1) + ( b − 6 ) ⇔ a − 3b + 14 = 0 ⇒ Điểm biểu diễn số phức z 2 là N ∈ d : x − 3 y + 14 = 0

+ Có

z1 − z2 = ( x − a ) + ( y − b ) i =

( x − a ) + ( y − b)

= MN ⇒ z1 − z2 min = MN min

⇒ Tìm M, N lần lượt thuộc ( C ) và d sao cho MN min

12 > R ⇒ d không cắt ( C ) 10

⇒ MN min = d ( I ;d ) − R =

−2=

FF IC IA L

Ta có d( I ,d ) =

−10 + 6 10 5

Câu 39:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Tìm môđun của số phức z = A. z = 3 3.

B. z = 3 2.

C. z = 29.

) (1 − 2i ) .

)(

2 +i

D. z = 24.

Đáp án A

(

)

Ta có z = 1 + 2 2i 1 − 2i = 1 − 2i + 2 2i + 4 = 5 + 2i ⇒ z = 5 − 2i

⇒ z = 25 + 2 = 27 = 3 3

Câu 40:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn

các số phức z thỏa mãn z − i = (1 + i ) z .

B. là đường tròn tâm ( 0; −1) , bán kính bằng 2.

A. là đường thẳng.

D. là elip

kính bằng

C. là đường tròn tâm ( 0; −1) , bán

Đáp án C

Gọi M ( x; y ) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi 2

⇒ z − i = x 2 + ( y − 1)

và 2

(1 + i ) z 2

= (1 + i )( x + yi ) = 2

(x − y) + (x + y)

nên

KÈ

z − i = (1 + i ) z ⇔ x 2 + ( y − 1) = ( x − y ) + ( x + y ) ⇔ x 2 + ( y − 1) = 2

Vậy quỹ tích là đường tròn tâm ( 0; −1) bán kính R = 2

ẠY

Câu 41:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho số phức z =

i−m , m ∈ ℝ. . Tìm giá 1 − m ( m − 2i )

trị nhỏ nhất của số thực k sao cho tồn tại m để z − 1 ≤ k .

5 +1 . 2

Đáp án D

3− 5 . 2

3+ 5 . 2

5 −1 . 2

i−m −1 1− m + i = ⇒ z −1 = 2 −i + 2mi − m i−m m−i

Ta có z =

1− m + i

m−i

k ≥ 0 m 2 − 2m + 2  ⇒ z − 1 ≤ k ⇒  m 2 − 2m + 2 2 m +1 ≤ k2  2  m +1

( (

FF IC IA L

z −1 =

)

2 m2 − m − 1 m 2 − 2m + 2 ⇒ f '(m) = Xét hàm số f ( m ) = 2 m2 + 1 m2 + 1

1± 5 . 2

 1+ 5  3 − 5 Lập bảng biến thiên ta có min f ( m ) = f    = 2  2 

3− 5 3− 5 5 −1 . ⇔k≥ = 2 2 2

⇒ Yêu cầu bài toán ⇔ k 2 ≥

5 −1 . 2

V ậy k =

⇒ f '( m) = 0 ⇔ m =

)

B. 7.

C. 2 7.

D. 1 + 7.

A. 8.

z = i ( 2 − i )( 3 + i ) . Khi đó a + b là:

Câu 42:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Gọi a là phần thực, b là phần ảo của số phức

Đáp án A

z = i ( 2 − i )( 3 + i ) = ( 2i − i 2 ) ( 3 + i ) = ( 2i + 1)( 3 + i ) = 7i + 2i 2 + 3 = 1 + 7i ⇒ a + b = 8.

Câu 43:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho 2 số phức z1 = 1 − i; z2 = 3 + 2i. Phần thực và

phần ảo của số phức z1 + z2 lần lượt là:

KÈ

A. 4 và 1.

B. 5 và 1.

C. 5 và –1.

D. 4 và i.

Đáp án A.

ẠY

Vì z1 + z2 = 4 + i nên chọn đáp án A.

Câu 44:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Giả sử z1; z2 là nghiệm của phương trình 2

z 2 + 4 z + 13 = 0. Giá trị của biểu thức A = z1 + z2

A. 18.

B. 20.

Đáp án C.  z = −2 − 3i Giải phương trình ta được  1  z2 = −2 + 3i

là:

C. 26.

D. 22.

⇒ z1 = z2 = 13 ⇒ z1 + z2 = 26.

Câu 45:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho số phức z = 1 + i. Tính môđun của số phức z + 2i . z −1

A. 2.

B. 1.

C. 0.

Đáp án D. z + 2i 1 − i + 2i 1 + i = = = 1 − i ⇒ w = 2. z −1 1+ i −1 i

Ta có w =

FF IC IA L

1 3 i. Giá Câu 46:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho a, b, c là các số thực và z = − + 2 2

trị của ( a + bz + cz 2 )( a + bz 2 + cz ) bằng

B. a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ca.

C. a 2 + b 2 + c 2 + ab + bc + ca.

D. 0.

A. a + b + c.

1 3 i ⇒ z 3 = 1, z 2 + z + 1 = 0 Ta có z = − + 2 2

Đáp án B.

⇒ ( a + bz + cz 2 )( a + bz 2 + cz )

= a 2 + b 2 + c 2 + ( ab + bc + ca ) z + ( ab + bc + ca ) z 2

= a 2 + b 2 + c 2 + ( ab + bc + ca ) ( z + z 2 )

= a 2 + b 2 + c 2 − ( ab + bc + ca ) .

Câu 47:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho A, B, C là ba điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức 1 + 2i;7 + 10i; −3 + 5i . Tam giác ABC có diện tích là:

KÈ

A. 25 5 .

25 5 . 2

C. 50.

Đáp án D.

ẠY

Ta có A (1; 2 ) , B ( 7;10 ) , C ( −3;5 ) .

AB = 36 + 64 = 10; BC = 100 + 25 = 5 5; AC = 16 + 9 = 5 .

Ta thấy BC 2 = AB 2 + AC 2 ⇒ ∆ABC vuông tại A. S ∆ABC =

1 1 AB. AC = .10.5 = 25 . 2 2

D. 25.

Câu 48:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho số phức z =

m − 1 + 2 ( m − 1) i

. Tất cả các giá 1 − mi trị của tham số m để z là số thực thì m thuộc khoảng nào trong các khoảng sau?

A. ( −3; 2 ) .

B. ( 0;6 ) .

C. ( 6; +∞ ) .

D. ( −∞; −3) .

z= =

FF IC IA L

Đáp án A.

m − 1 + 2 ( m − 1) i  m − 1 + 2 ( m − 1) i  [1 + mi ] = 1 − mi 1 + m2

−2m 2 + 3m − 1 m 2 + m − 2 i. + 1 + m2 1 + m2

 m =1 z là số thực ⇔ m 2 + m − 2 = 0 ⇔  .  m = −2

z − 11 = z − 3. z+2

A. w = 1 .

C. w = 2.

D. w = 4.

B. w = 2.

Đáp án A.

z − 11 = z − 3 ⇔ z − 11 = ( z − 3)( z + 2 ) ⇔ z 2 − 2 z + 5 = 0 . z+2

Ta có

mãn:

z+i , biết z thỏa z −i

Câu 49:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Tính môđun của số phức w =

 z = 1 − 2i 2 . ∆ ' = 1 − 5 = −4 = ( −2i ) ⇒ Phương trình có 2 nghiệm phức   z = 1 + 2i z + i 1 − 2i + 1 1 − i = = = −i ⇒ w = 0 + 1 = 1 . z − i 1 + 2i − i 1 + i

- Với z = 1 − 2i ⇒ w =

KÈ

- Với z = 1 + 2i ⇒ w =

z + i 1 + 2i + i 1 + 3i 4 3 16 9 = = =− + i⇒ w = + = 1. 5 5 25 25 z − i 1 − 2i − i 1 − 3i

Vậy cả 2 trường hợp thì w = 1 .

ẠY

Câu 50:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Tìm phần ảo của số phức w = ( 2 − i ) z với z thỏa 8

 2i  mãn iz =   .  1+ i 

A. 16.

B. 2.

C. 32.

Đáp án C. 8

2i (1 − i ) 2i 8 2 4  2i    = ( 2i )4 = 16 . Ta có = = 1+ i ⇒  = 1 + = 1 + i i ( ) ( )    i +1 2 1+ i 

D. 18.

16  2i  Do đó iz =  ⇔ z = −16i ⇔ z = 16i .  ; iz = 16 ⇔ z = i  1+ i  Khi đó w = ( 2 − i ) .z = ( 2 − i ) .16i = 16 + 32i ⇒ phần ảo là 32.

Câu 51:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức z thỏa

(

)

FF IC IA L

mãn: ( 2 − z ) z + i là số thuần ảo:

A. thuộc một đường tròn.

B. thuộc một đường thẳng.

C. thuộc một hình chữ nhật.

D. thuộc một elip.

Đáp án A.

− x 2 − y 2 + 2 x + y = 0 Ta có ( 2 − z ) z + i là số thuần ảo ⇔   −x − 2 y + 2 ≠ 0

(

)

2  1 5 2  ( x − 1) +  y −  = ⇔ 2 4 .   ( x; y ) ≠ {( 2;0 ) ; ( 0;1)} 

Đặt z = x + yi ( x, y ∈ ℝ ) ⇒ z = x − yi .

ẠY

KÈ

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thuộc một đường tròn

Câu 1: (Gv Lê Tuấn Anh 2018) Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ R ) tùy ý. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Điểm M ( −a; −b ) là điểm biểu diễn của số phức z .

FF IC IA L

B. Mô đun của z là một số thực dương. C. Số phức liên hợp của z có mô đun bằng mô đun của số phức iz . 2

D. z 2 = z . Hướng dẫn: C + Đáp án A sai vì điểm M phải có tọa độ là M ( a; −b ) . + Đáp án B sai vì Mô đun của z là một số thực không âm.

+ Đáp án C đúng vì

Ta có iz = ai − b ⇒ iz = z .

+ Đáp án D sai vì có thể cho z = 1 + i thay vào kiểm tra.

B. z =

z = 2 + 3i −

D. z =

(1 + 5i )( 3 + i ) = 2 + 3i −  −1 + 8 i  = 11 + 7 i .   ( 3 − i )( 3 + i )  5 5  5 5

có

170 . 5

170 . 8

Suy

C. z =

1 + 5i là. 3−i

Hướng dẫn: C

170 . 3

170 . 4

A. z =

Câu 2(Gv Lê Tuấn Anh 2018) Môđun của số phức z = 2 + 3i −

170  11   7  z =   +  = . 5  5  5

Cách khác. bấm máy tính casio.

KÈ

Câu 3(Gv Lê Tuấn Anh 2018)Các điểm M , N , P lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức 4i ; z2 = (1 − i )(1 + 2i ) ; z3 = −1 + 2i .Hỏi tam giác MNP có đặc điểm gì? i −1

ẠY

z1 =

A. Tam giác vuông.

B. Tam giác cân.

Hướng dẫn: C

+ Rút gọn z1 bằng Casio Ta được z1 = 2 − 2i vậy điểm M ( 2; −2 ) + Rút gọn z2 bằng Casio

C. Đáp án khác.

D. Tam giác đều.

Ta được z2 = 3 + i vậy điểm N ( 3;1) Tương tự z3 = −1 + 2i vậy điểm P ( −1; 2 ) Dễ thấy tam giác MNP là tam giác thường.

FF IC IA L

Câu 4: (Gv Lê Tuấn Anh 2018)Cho các số phức z1 = 1 + 3i, z2 = −5 − 3i . Tìm điểm M ( x; y )

biểu diễn số phức z3 , biết rằng trong mặt phẳng phức điểm M nằm trên đường thẳng x − 2 y + 1 = 0 và mô đun số phức w = 3z3 − z2 − 2 z1 đạt giá trị nhỏ nhất.

 3 1 A. M  − ; −  .  5 5

3 1 B. M  ; −  . 5 5

3 1 C. M  ;  . 5 5

Hướng dẫn: D

 3 1 D. M  − ;  .  5 5

Ta có điểm M ( x; y ) ∈ d : x − 2 y + 1 = 0 nên M ( 2 y − 1; y ) ⇒ z3 = 2 y − 1 + yi

Do đó w = 3z3 − z2 − 2 z1 = 3 ( 2 y − 1 + yi ) − ( −5 − 3i ) − 2 (1 + 3i ) = 6 y + ( 3 y − 3) i 2

1 . Vậy M ( x; y ) ∈ d : x − 2 y + 1 = 0 . 5

Dấu “=” xảy ra khi y =

1 4 4 6 5  = 3 5 y − 2 y +1 = 3 5 y −  + ≥ 3 = , ∀y ∈ R 5 5 5 5  2

( 6 y ) + ( 3 y − 3)

Suy ra w =

Câu 5: (Gv Lê Tuấn Anh 2018) Cho số phức z thỏa mãn (1 + 2i ) z =

10 − 2 + i . Hỏi phần z

3 . 2

B. −

3 . 2

ảo của số phức w = z 2 + z + 1 bằng bao nhiêu? 1 . 2

D. Đáp án khác.

Hướng dẫn: D

KÈ

Giả thiết (1 + 2i ) z =

10 10 10 − 2 + i ⇔ z + 2i. z + 2 − i = ⇔ z + 2 + ( 2 z − 1) i = z z z

ẠY

Lấy môđun hai vế của (*), ta được

Do đó 1 + 2i =

( z + 2 ) + ( 2 z − 1)

10 ⇒ z =1 z

10 10 18 + 3 10 6 + 10 i . −2+i ⇔ z = ⇒ w = z2 + z +1 = − z 3+i 10 10

Câu 6(Gv Lê Tuấn Anh 2018): Cho số phức z = phức w = z.i .

2+i . Tìm phần thực và phần ảo của số 5−i

A. Phần thực bằng

7 9 9 7 và phần ảo bằng và phần ảo bằng . i . B. Phần thực bằng 26 26 26 26

C. Phần thực bằng

7 9 và phần ảo bằng . 26 26

D. Phần thực bằng

9 7 và phần ảo bằng − . 26 26

Ta có z =

FF IC IA L

Chọn đáp án C 2 + i ( 2 + i )( 5 + i ) 10 + i 2 + 7i 9 7 9 7 7 9 = = = + i⇒z= − i ⇒ z.i = + i 5 − i ( 5 − i )( 5 + i ) 26 26 26 26 26 26 26

Câu 7: (Gv Lê Tuấn Anh 2018) Gọi z1 và z2 là các nghiệm của phương trình

z 2 − 4 z + 9 = 0 . Giả sử M , N là các điểm biểu diễn hình học của z1 và z2 trên mặt phẳng

B. 5 .

A. 4 .

C. −2 5 .

Chọn đáp án D

 z1 = 2 + i 5 + Ta có z 2 − 4 z + 9 = 0 ⇔   z2 = 2 − i 5

D. 2 5 .

phức. Khi đó độ dài của MN là.

+ Giả sử điểm M , N lần lượt là điểm biểu diễn của z1 , z2

Ox ). Vậy MN = 2 yM = 2 5 .

+ Ta có M , N đối xứng nhau qua trục Ox nên MN = 2MK ( K trung điểm MN , K thuộc

Câu 8: (Gv Lê Tuấn Anh 2018) Cho số phức z = x + yi x, y ∈ R . Tập hợp các điểm biểu z +i là một số thực âm là. z −i

diễn của số phức z sao cho số phức

A. Các điểm trên trục hoành với −1 < x < 1 .

 y ≤ −1 D. Các điểm trên trục tung với  . y ≥1

KÈ

C. Các điểm trên trục tung với −1 ≤ y < 1 .

B. Các điểm trên trục tung với −1 < y < 1 .

Chọn đáp án B

+ Giả sử z = x + yi x, y ∈ R . Ta có

ẠY

2 2 z + i x + yi + i  x + ( y + 1) i   x − ( y − 1) i  x + y − 1 +  x ( y + 1) − x ( y − 1)  i x 2 + y 2 − 1 + 2 xi = = = = 2 2 2 z − i x + yi − i ( x2 + y − 1) ( x 2 + y − 1) ( x2 + y − 1)

+ Số phức

z +i là số thực âm khi chỉ khi z −i

2 x = 0 x = 0 ⇔ .  2 2 −1 < y < 1  x + y −1 < 0

Câu 9: (Gv Lê Tuấn Anh 2018): Gọi H là hình biểu diễn tập hợp các số phức z trong mặt phẳng tọa độ Oxy sao cho 2 z − z ≤ 3 và số phức z có phần ảo không âm. Tính diện tích hình H .

3π . 4

3π . 2

D. 6π .

Chọn đáp án C Đặt z = x + yi ( x, y ∈ R ) , ta có 2 z − z = 2 x + 2 yi − x + yi = x + 3 yi Khi đó 2 z − z ≤ 3 ⇔ x + 3 yi ≤ 3 ⇔ x 2 + 9 y 2 ≤ 3 ⇔ x 2 + 9 y 2 ≤ 9

FF IC IA L

A. 3π .

x2 y 2 + = 1 có độ dài hai bán trục lần 9 1

Xét đường E lip có phương trình ( E ) : x 2 + 9 y 2 = 9 ⇔

 x2 + 9 y 2 ≤ 9 Mặt khác z có phần ảo không âm nên y ≥ 0 . Vậy hình H tạo bởi  y ≥ 0

lượt là a = 3, b = 1 nên diện tích ( E ) là S( E ) = π ab = 3π

S( E )

3π . 2

Hình H giới hạn bởi hình ( E ) phía trên trục Ox ( y ≥ 0 ) nên S =

Câu 10: (Gv Lê Tuấn Anh 2018) Cho số phức thỏa mãn z − 2i ≤ z − 4i và z − 3 − 3i = 1 .

C. 10 .

Chọn đáp án D

B. 13 .

A. 10 + 1 .

Giá trị lớn nhất của P = z − 2 + 1 là.

D. 13 + 1

Giả sử z = x + yi . Ta có z − 2i ≤ z − 4i ⇔ x 2 + ( y − 2 ) ≤ x 2 + ( y − 4 ) ⇔ y ≤ 3 2

KÈ

z − 3 − 3i = 1 ⇔ ( x − 3) + ( y − 3) = 1 ⇔ y − 3 = − x 2 + 6 x − 8 ⇔ 3 − y = − x 2 + 6 x − 8 ⇔ y = 3 − − x2 + 6 x − 8 ⇒ 2 ≤ x ≤ 4

ẠY

Do đó

( P − 1)

(

= z − 2 = ( x − 2) + y 2 = ( x − 2) + 3 − − x2 + 6 x − 8

)

= 2 x + 5 − 6 − x2 + 6 x − 8

Xét hàm số f ( x ) = 2 x − 5 − 6 − x 2 + 6 x − 8 trên [ 2; 4] .

Ta có f ′ ( x ) = 2 − 6

−x + 3 2

−x + 6x − 8

⇒ f ′ ( x ) = 0 ⇔ − x 2 + 6 x − 8 = −3 x + 9 ⇔ x =

Hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [ 2; 4]

30 − 10 10

 30 − 10  Do f ( 2 ) = 9, f ( 4 ) = 13, f   10  = 11 − 2 10   nên max f ( x ) = 13 ⇒ max ( P − 1) = 13 ⇔ max ( P ) = 13 + 1

FF IC IA L

Câu 11: (Gv Lê Tuấn Anh 2018) Cho số phức z thỏa mãn iz + 2 − i = 0 . Tính khoảng cách từ điểm biểu diễn hình học của z trên mặt phẳng tọa độ Oxy đến điểm M 3; −4

A. 2 5

B. 13

C. 2 10

D. 2 2

Chọn đáp án C Ta có iz + 2 − i = 0 ⇔ iz = −2 + i → z =

−2 + i −i − 2 + i = = 1 + 2i 1 i

Suy ra điểm biểu diễn số phức z là A 1;2 Khi đó AM = 3 − 12 + −4 − 22 = 2 10

Câu 12 (Gv Lê Tuấn Anh 2018): Cho số phức z thỏa mãn iz − (−3 + i) = 2 . Trong mặt

phẳng phức, đồ thị nào hiển thị đúng quỹ tích điểm biểu diễn hình học của số phức z

B. Hình 2

ẠY

KÈ

A. Hình 1

C. Hình 3

Chọn đáp án C

D. Hình 4

Giả sử z = a + bi(a, b ∈ ℝ ) ⇒ zi − (−3 + i) = − b + 3 + (a − 1)i Do đó iz − (−3 + i) = 2 ⇔ (a − 1)2 + (b − 3)2 = 4 Vậy quỹ tích của z là đường tròn tâm I (1;3) bán kính bằng 2.

FF IC IA L

Từ đó ta thấy ngay loại đi hình 1, hình 2 và hình 4 và chỉ có hình 3 là thỏa mãn.

Câu 13(Gv Lê Tuấn Anh 2018): Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − 3 + 2i = z − i . Giả sử w là số phức có môđun nhỏ nhất trong các số phức z thỏa mãn điều kiện trên. Tính môđun của w

A. w = 2

B. w =

2 3

C. w =

1 2

D. w = 7

Chọn đáp án A Giả sử z = a + bi(a, b ∈ ℝ )

Từ giả thiết ta có a − 3 + (b + 2)i = a + (b − 1)i

⇔ (a − 3)2 + (b + 2)2 = a2 + (b − 1)2 ⇔ 13 − 6a + 4b = 1 − 2b ⇔ b = a − 2

Dấu “=” xảy ra ⇔ a = 1, b = −1 khi dó w = 1 − i. w = 2

thực của số phức z2017

Chọn đáp án B

B. 21008

C. 2504

D. 22017

A. −21008

z 6 + 7i = . Tìm phần 1 + 3i 5

Câu 14: (Gv Lê Tuấn Anh 2018) Cho số phức z thỏa mãn z −

+ Gọi số phức z = a + bi(a, b ∈ ℝ) ⇒ z = a − bi thay vào (1) ta có a + bi −

a − bi 6 + 7i = 1 + 3i 5

KÈ

 9a + 3b = 12 a = 1 ⇔ 9a + 3b + i(11b + 3a) = 12 + 14i ⇔  ⇔ 11b + 3a = 14 b = 1

ẠY

+ a = b = 1 ⇒ z = 1 + i ⇒ z2017 = (1 + i)4

(

(504)

)

(1 + i) = (−4)(504) (1 + i) = 21008 + 21008 i

 2 z1 − i = 2 + iz1  Câu 15 (Gv Lê Tuấn Anh 2018) Cho 2 số phức z1, z2 thỏa mãn  2 z2 − i = 2 + iz2 .   z1 − z2 = 1

Tính giá trị của biểu thức P = z1 + z2

A. P =

3 4

B. P = 3

C. P = 5

D. P =

5 2

FF IC IA L

Chọn đáp án B + Đặt z = x + yi, 2 z − i = 2 + iz ⇒ x 2 + y 2 = 1 + Gọi A, B là hai điểm biểu diễn z1, z2

+ Ta có z1 − z2 = OA − OB = AB = 1 + Suy ra AB = OA = OB hay tam giác OAB đều

3 P = z1 + z2 = OA + OB = 2OM = 2. = 3 2

Câu 16 (Gv Lê Tuấn Anh 2018): Các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Cho x, y là hai số phức thì số phức x + y có số phức liên hợp x + y

B. Cho x, y là hai số phức thì số phức x − y có số phức liên hợp x − y C. Cho x, y là hai số phức thì số phức xy có số phức liên hợp xy 2

D. Số phức z = a + bi thì z2 + z = 2a 2 + b 2 Chọn đáp án D

Gọi z = a + bi ⇒ z = a − bi . Khi đó z2 + z = a + bi 2 + a − bi 2 = 2a2 + 2b2i 2 = 2a2 − b2

Câu 17 (Gv Lê Tuấn Anh 2018): Trong mặt phẳng phức, cho ba điểm A, B, C lần lượt biểu

KÈ

diễn cho ba số phức z1 + 1 + i, z2 + 1 + i2 và z3 = a − i a ∈ ℝ . Để tam giác ABC vuông tại B thì a bằng

A. -3

B. -2

C. 3

D. -4

ẠY

Chọn đáp án A

Số phức z2 = 1 + i2 = 2i . Từ giả thiết bài toán ta có A 1;1, B 0;2, C a; −1 Suy ra AB = −1;1 và BC = a; −3 . Yêu cầu bài toán ⇔ AB.BC = 0 ⇔ − a − 3 = 0 ⇔ a = −3

Câu 18: (Gv Lê Tuấn Anh 2018) Cho hai số phức w và z thỏa mãn w − 1 + 2i = z . Biết tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z là đường tròn tâm I các điểm biểu diễn của số phức w

−2;3 , bán kính r=3. Tìm tập hợp

A. Là một đường thẳng song song trục tung B. Là một đường thẳng không song song với trục tung C. Là đường tròn, tọa độ tâm −3;5 bán kính bằng 3 5

Chọn đáp án D

FF IC IA L

D. Là đường tròn, tọa độ tâm −1;1 bán kính bằng 3 x , y ∈ ℝ . Ta có w − 1 + 2i = z , suy ra z = x − 1 + y + 2i

Giả sử w = x + yi

Vì vậy ta có điểm M ( x − 1; y + 2) là điểm biểu diễn hình học của số phức z sẽ thỏa mãn phương trình a + 22 + b − 32 = 9 . Tức là ta có x + 12 + y − 12 = 9

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w thuộc đương tròn đường tròn tâm −1;1 bán

kính bằng 3

z − 2z + 1

A. 10

là

Mô đun của số phức w =

Câu 19 (Gv Lê Tuấn Anh 2018): Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (1 + i )( z − i) + 2 z = 2i .

−10

D. − 8

Chọn đáp án A

Từ (1 + i)(z − i ) + 2 z = 2i ⇔ z(3 + 1) − i − i 2 = 2i

z − 2z + 1 z2

−i − 2i + 1 i2

Do đó có: w =

3i − 1 =i 3+i

⇔ z(3 + i) = 3i − 1 ⇔

= 3i − 1

32 + (−1)2 = 10

Có mô đun là

KÈ

Câu 20 (Gv Lê Tuấn Anh 2018): Cho số phức z = a + bi(a, b ∈ ℝ; 0 ≤ a ≤ 4, b ≥ 0) . Đặt hàm 1 5 số f ( x ) = ax 2 + bx − 2 . Biết f   ≤ − . Giá trị lớn nhất của z 4 4

thuộc khoảng nào dưới

ẠY

đây

A. (4; 4;3)

B. (4;3; 4;5)

C. (4;5; 4; 7) D. (4; 7;5)

Chọn đáp án B

1 a b 5 5 12 − a Theo giả thiết, ta có f   ≤ − ⇔ + − 2 ≤ − ⇔ a + 4b ≤ 2 ⇔ b ≤ 4 16 4 4 4 4

V ậy z = a 2 + b 2 ≤ a 2 +

(12 − a)2 16

Xét hàm số f (a) = 16a2 + (12 − a)2 = 17a2 − 24a + 144 với a ∈  0; 4  ,

12 17

FF IC IA L

có f '(a) = 0 ⇔ a =

 12  2304 Tính các giá trị f (0) = 144, f (4) = 320, f   = suy ra max = f (4) = 320  0;4  17  17  max

= a2 + b2 = 42 + 22 = 2 5 = 4, 4721...

Vậy giá trị nhỏ nhất của z là z

Câu 21: (Gv Lê Tuấn Anh) Cho phương trình trên tập hợp số phức z 2 + az+ b = 0 ( a; b ∈ ℝ ) .

Nếu phương trình nhận số phức z = 1+ i làm một nghiệm thì a và b bằng:

A. a = −2, b = 2

D. a = 2, b = −4

B. a = 1, b = 5 C. a = 2, b = −2

Chọn đáp án A

z = 1 + i là một nghiệm của phương trình nên ta có:

 a = −2 + a (1 + i ) + b = 0 ⇔ ( a + 2 ) i + a + b = 0 ⇔  b = 2

(1 + i )

A. z.z = z

Câu 22 (Gv Lê Tuấn Anh): Với các số phức z, z1 , z2 tùy ý, khẳng định nào sau đây sai? B. z1 z2 = z1 z2

C. z1 + z2 = z1 + z2

D. z = z

Chọn đáp án C

KÈ

A. z.z = ( a + bi )( a − bi ) = a 2 + b 2 = z ⇒ đúng

B. z1 z2 = ( a1 + b1i )( a2 + b2i ) = a1a2 − b1b2 + ( a1b2 + a2b 1 ) i

( a1a2 − b1b2 ) + ( a1b2 + a2b 1 )

z1 + z2 =

( a1 + a2 ) + ( b1 + b2 )

z = a 2 + b 2 = z ⇒ đúng

ẠY D

⇒ z1 z2 =

2 1

+ b12 )( a2 2 + b2 2 ) = z1 z2 ⇒ đúng

≠ a12 + b12 + a2 2 + b2 2 = z1 + z2 ⇒ sai

Câu 23 (Gv Lê Tuấn Anh): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi M là điểm biểu diễn số phức

z = 12 − 5i , M ′ là điểm biểu diễn cho số phức z′ =

1+ i z . Tính diện tích tam giác OMM ′ 2

169 5 2

169 4

169 2 4

169 2

Chọn đáp án B + Ta có M (12; −5 ) 17 7  17 7   17 7   −7 17  + i ⇒ M ′  ;  ⇒ OM ′ =  ;  , MM ′ =  ;  ⇒ OM ′MM ′ = 0 2 2  2 2  2 2  2 2

⇒ ∆OMM ′ vuông tại M ′ ⇒ S ∆OMM ′ =

FF IC IA L

+ z′ =

1 169 MM ′.OM ′ = 2 4

Câu 24 : (Gv Lê Tuấn Anh) Cho số phức z thỏa mãn z − 2 − 3i = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của

A. 13 + 3

B. 13 + 5

C. 13 + 1

D. 13 + 6

Chọn đáp án C

z +1+ i

(

+ Ta có 1 = z − 2 − 3i = ( z − 2 − 3i )( z − 2 − 3i ) = ( z − 2 − 3i ) z − 2 + 3i

)

⇔ 1 = ( z − 2 − 3i ) z − 2 + 3i ⇔ z − 2 + 3i = 1 ⇔ z + 1 + i − 3 + 2i = 1(*)

+ Đặt w = z + 1 + i , khi đó (*) ⇔ w − 3 + 2i = 1 ⇒ w max = 1 + 32 + 22 = 1 + 13

Cách khác: Đặt M ( z )( x; y ) ; I ( 2;3) ta có: MI = R = 1; z + 1 + i =

( x + 1) + ( y − 1)

= MK

với K ( −1;1) . Khi đó MK max = IK + R = 13 + 1

Câu 25 : (Gv Lê Tuấn Anh) Xét 3 điểm A, B, C của mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn 3 số phức phân biệt z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1 = z2 = z3 . Nếu z1 + z2 + z3 = 0 thì tam giác ABC có

KÈ

đặc điểm gì ?

A. cân B. vuông

C. có góc 120°

D. đều

ẠY

2 S = u12 + u22 + u32 + ... + u2011 = 2 ( 30 + 31 + ... + 32010 ) − 2 = 2011 = 2.30.

1 − 32011 − 2011 = 32011 − 2012 1− 3

Chọn đáp án D + Ta có: z1 = z2 = z3 ⇒ OA = OB = OC nên 3 điểm A, B, C thuộc đường tròn tâm O

+ Mà z1 + z2 + z3 = 0 ⇔ OA + OC + OC = 0 ⇔ 3OG = 0 ⇔ G ≡ O ⇒ ∆ABC đều vì tâm đường tròn ngoại tiếp trùng với trọng tâm G => Đáp án D.

Chú ý tính chất của tam giác đều trọng tâm cũng chính là tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp

ẠY

KÈ

FF IC IA L

tam giác.

Câu 1 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cho số phức z = 5 − 4i. Số phức liên hợp của z có điểm biểu diễn là: A. ( −5; 4 ) .

B. ( 5; −4 ) .

C. ( 5; 4 ) .

D. ( −5; −4 ) .

FF IC IA L

Đáp án C Ta có: z = 5 + 4i. Điểm biểu diễn là ( 5; 4 ) .

(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) thỏa mãn

Câu 2

a 3z + 5z = 5 − 2i. Tính giá trị của P = . b 5 A. P = . 7

B. P = 4.

C. P =

5 a 5 +i ⇒ = 8 b 8

(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho số phức z = 2 − 3i. Điểm biểu diễn của số phức

Câu 3

16 . 25

Sử dụng CASIO ta được z =

D. P =

Đáp án A

25 . 16

B. M ( 2; −6 ) .

C. M ( 3; −4 ) .

D. M ( 3; 4 ) .

A. M ( 2;6 ) .

w = iz − ( i + 2 ) z là:

Đáp án B

Có w = 2 − 6i. Điểm biểu diễn của số phức w là ( 2; −6 ) .

Câu 4 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018): Cho các số phức z1 , z2 thỏa mãn z12 − z1 z 2 + z 22 = 0. Gọi

A, B là các điểm biểu diễn tương ứng của z1 , z2 . Khi đó, tam giác OAB là tam giác:

Đáp án B

B. Vuông tại O.

A. Đều.

C. Tù.

KÈ

Xét z13 + z 23 = ( z1 + z2 ) ( z12 − z1 z2 + z22 ) = 0 ⇒ z13 = − z23 Ta có OA = z1 , OB = z2 , AB = z1 − z2

ẠY

z13 = − z23

⇒ z13 = − z23 ⇔ z13 = z23 ⇔ z1 = z2 ⇒ OA = OB 2

z12 − z1 z2 + z22 = 0 ⇔ ( z1 − z2 ) + z1 z2 = 0 2

⇔ ( z1 − z2 ) = − z1 z2 2

⇔ z1 − z2 = z1 z2 = z1 z2

D. Vuông tại A.

⇒ AB 2 = OA.OB ⇒ OA = OB = AB

Câu 5

(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018): Cho số phức z thỏa mãn ( 3 + i ) z =

−2 + 14i + 1 − 3i. z

Nhận xét nào sau đây đúng?

3 < z < 2. 2

7 11 < z < . 4 5

Đáp án C Ta có: ( 3 + i ) z =

−2 + 14i −2 + 14i . + 1 − 3i ⇔ ( 3 + i ) ( z + i ) = z z

2 5 ⇔ x x 2 + 1 = 2 5 ⇔ x 4 + x 2 − 20 = 0 ⇔ x = 2. x

Đặt z = x, x > 0 ta được: x + i =

10 2 . z

13 < z < 4. 4

Lấy module hai vế ta có: 10. z + i =

FF IC IA L

3 A. 1 < z < . 2

Vậy z = 2.

Câu 6 (Gv Nguyễn Bá Tuấn)Số phức z = a + bi thỏa mãn 2z + z − 5 + i = 0 . Tính 3a + 2b ? B. −7 .

D. −3 .

Chọn A.

C. 6.

A. 3.

2z + z − 5 + i = 0

⇔ ( 3a − 5) + ( b + 1) i = 0

⇔ 2 ( a + bi ) + ( a − bi ) − 5 + i = 0

5  3a − 5 = 0 a = ⇔ ⇔ 3 b + 1 = 0 b = −1

KÈ

Vậy 3a + 2b = 3

Câu 7 (Gv Nguyễn Bá Tuấn)Trong ℂ , phương trình

ẠY

A. z = 2 − i

B. z = 3 + 2i

4 = (1 − i )( z + i ) ⇔ (1 − i ) z = 4 − 1 + i ⇔ z =

4 = 1 − i có nghiệm là. z +1

C. z = 5 − 3i

D. z = 1 + 2i

3 + i ( 3 + i )(1 + i ) = = 1 + 2i 1− i 2

Chọn đáp án D

Câu 8.

(Gv Nguyễn Bá Tuấn) Cho số phức z =

nguyên của m để z − i < 1 là

m +1 ( m ∈ ℝ ) . Số các giá trị 1 + m ( 2i − 1)

A. 0

B. 1

C. 4

D. Vô số

Đáp án A 3m + 1 − (1 − m ) i m +1 m +1 m +1 = ⇒ z −i = −i = 1 + m ( 2i − 1) (1 − m ) + 2mi (1 − m ) + 2mi (1 − m ) + 2mi 2

z − i < 1 ⇒ ( 3m + 1) < ( 2m ) ⇔ ( m + 1)( 5m + 1) < 0 ⇔ −1 < m < − Vậy không tồn tại giá trị nguyên của m

Câu 9

1 5

FF IC IA L

(Gv Nguyễn Bá Tuấn)Cho 3 số phức z, z1 , z 2 thỏa mãn 5z − i = 5 + iz và

z1 − z 2 = 1 . Giá trị của P = z1 + z 2 là A. 1

D. Đáp án khác

Đáp án C Đặt z=x+yi (x,y ∈ Z )

Ta có:

| 5 z − i |=| 5 + iz |

<=> 25 x 2 + (5 y − 1)2 = (5 − y ) 2 + x 2 <=> 24 x 2 + 24 y 2 = 24

<=> x 2 + y 2 = 1

<=>| z |= 1

z1 và z 2 được biểu diễn là 2 điểm A và B là 2 điểm bất kỳ như hình vẽ sao cho | z1 − z2 |= 1 => AB =1

Ta thấy z1 + z 2 ứng với điểm M sao cho OM = OA + OB Dễ tính được OM theo quy tắc hình bình hành => OM = OA + OB = 3

KÈ

Câu 10 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cho z = a + bi. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Phần thực là a, phần ảo là bi.

B. Điểm biểu diễn z là M ( a; b ) .

C. z 2 = a 2 + b 2 + 2abi.

D. z = a 2 + b 2 .

ẠY

A sai vì phần ảo là b, C sai vi z 2 = a 2 − b 2 + 2abi, D sai vì z = a 2 + b2 , B đúng.

Câu 11

(

(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho số phức z = 2 + 3i. Module số phức

)

w = 3 − 2 z ( z + 1) − i là: A. 3 15.

B. 7 13.

Ta có: w = −21 + 14i ⇒ w = 7 13.

C. 6 7.

D. 123.

Câu 12

(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Quỹ tích điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn

z + 2 − i = z − i là: A. x − y + 1 = 0.

B. x − 2 y + 2 = 0. 2

D. Đáp án khác.

FF IC IA L

C. ( x − 1) + ( y − 2 ) = 4. Gọi z = x + yi ( x, y ∈ ℝ ) . 2

Ta có: x + 2 + ( y − 1) i = x − ( y + 1) i ⇔ ( x + 2 ) + ( y − 1) = x 2 + ( y + 1) ⇔ x − y + 1 = 0 Vậy quỹ tích điểm M là đường thẳng x − y + 1 = 0.

(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cho hai số phức z1 và z2 thỏa mãn z1 = z2 = 1 và

z1 + z2 = 3. Giá trị z1 − z2 là:

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Đáp án A

Câu 13

Cách 1: Đặt z1 = a1 + b1i; z2 = a2 + b2i ( a1 , a2 , b1, b2 ∈ ℝ ) . Ta có:

2 2 2 2 2 2 2 2  z1 = z2 = 1 a1 + b1 = a2 + b2 = 1 a1 + b1 = a2 + b2 = 1 ⇔ ⇔  2 2 ( a1 + a2 ) + ( b1 + b2 ) = 3 2 ( a1a2 + b1b2 ) = 1  z1 + z2 = 3 2

⇒ ( a1 − a2 ) + ( b1 − b2 ) = 1 ⇒ z1 − z2 = 1.

Cách 2: Ta có:

 z1 = z2 = 1  z1 = z2 = 1  z1 = z2 = 1 ⇔ ⇔  2 2 2  z1 + z2 = 3 ( z1 + z2 ) = 3 2 z1 z2 = 3 − z1 − z1 = 3 − 1 − 1 = 1 2

⇒ ( z1 − z2 ) = z1 − 2 z1 z2 + z2 = 1 − 1 + 1 = 1 ⇒ z1 − z2 = 1. Câu 14 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Tập hợp những điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn

KÈ

số phức z thỏa mãn z + 1 − i + z − 2 + 3i = 10 có phương trình là:

x2 4 y 2 + = 1. 25 75

x2 2 y 2 + = 1. 25 33

D. Đáp án khác.

ẠY

A. x = 2.

Đáp án D

Cách 1: Thay z=2, z=5 vào phương trình

z + 1 − i + z − 2 + 3i = 10. Ta thấy không thỏa mãn, do đó các đáp án A, B, C là sai. Cách 1: Giả sử điểm M biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức; điểm A (-1;1) biểu diễn số phức z=-1+i; điểm B (2;-3) biểu diễn số phức z=2-3i.

Khi đó: z + 1 − i + z − 2 + 3i = 10 ⇔ MA + MA = 10. Mà AB=5. Do đó, tập hợp các điểm M là

bán trục nhỏ b = a 2 − c 2 =

AB MA + MB = 2,5; bán trục lớn a = = 5; 2 2

5 3 ; 2

(Chú ý, elip này khác với elip

x2 4 y2 + = 1 vì khác tiêu điểm) 25 75

FF IC IA L

1 đường elip với hai tiêu điểm là A, B; tiêu cự c =

Câu 15 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cho số phức z = 2 + 3i. Điểm biểu diễn của số phức z '

A. ( 4;3) .

đối xứng với số phức w = 2 z − 3i qua Ox là: B. ( −4;3) .

C. ( −4; −3) .

Đáp án D Ta có: w = 4 + 3i ⇒ z ' = 4 − 3i.

D. ( 4; −3) .

Câu 15 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018): Tổng bình phương module các nghiệm của phương

B. 6.

C. 5.

D. 7.

A. 2.

trình x 2 + ( i − 1) x + 2 + i = 0 trong tập số phức là:

Đáp án B

x = i Ta có: x 2 + ( i − 1) x + 2 + i = 0 ⇔ ( x − i )( x − 1 + 2i ) = 0 ⇔  . Vậy tổng bình phương  x = 1 − 2i

module của hai nghiệm là 6.

Câu 16

(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Gọi A là điểm biểu diễn số phức z = 3 + 4i và B là

điểm biểu diễn số phức z = −3 + i. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Khoảng cách từ A và B đến trục tung là bằng nhau.

KÈ

B. A và B đối xứng qua trục Oy. C. Trung điểm của AB nằm trên trục hoành.

ẠY

D. OA ⊥ OB.

Đáp án A

Ta có A ( 3; 4 ) , B ( −3;1) nên khoảng cách từ A và B đến trục tung bằng nhau và bằng 3

Câu 17

(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Biết z = 2 và z 2 là số thuần ảo. Khi đó z 3 bằng:

A. 1 − i. Đáp án C Ta có:

B. 1 + i.

C. −2 − 2i.

D. 2i.

| z |3 =| z 3 |= 2 2 Thử đáp án bằng Casio ta thấy

|1 − i |= 2

FF IC IA L

|1 + i |= 2

| −2 − 2i |= 2 2 | 2i |= 2 => Đáp án C

Câu 18 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cho số phức z thỏa mãn z − 3 + 4i = 4. Giá trị lớn nhất 2

của z là:

B. 65.

C. 81.

D. 100.

A. 44. Đáp án C

Giả sử M là điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng phức thỏa mãn phương trình: 2

z − 3 + 4i = 4. Xét điểm A(3; −4) ⇒ MA = 4 ⇒ M thuộc đường tròn ( A;4 ) . Để z = OM 2 đạt giá trị lớn nhất thì OM phải lớn nhất. Như vậy M là giao điểm xa O nhất của OA với

 27 −36  2 đường tròn ( A;4 ) ⇒ M  ;  ⇒ OM max = 81. 5 5  

Câu 19 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Mệnh đề nào sau đây sai? n

A. Tập xác định của y = ( x − 1) là (1; +∞ ) .

D. log a b + log a c = log a bc.

C. log a b có nghĩa khi a > 0, b > 0.

B. a 2 > a 3 ⇔ 0 < a < 1.

Đáp án C Khi a = 1 thì log a b không xác định.

KÈ

A. 2b.

Câu 20 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Biểu thức 22log2 b có giá trị là: B. b 2 .

(

Đáp án B Ta có: 22log2 b = 2log2 b

ẠY

Câu 21

)

C. 2b 2 . 2

D. 4b.

= b2 .

(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Bất phương trình log 1 ( x − 1) > log 1 ( x 2 ) có tập 2

nghiệm là:

A. ℝ.

B. (1; +∞ ) .

C. Vô nghiệm.

D. ( −∞; −1) .

2 x log ( 2 x − 1) − Câu 22 Đáp án A Ta có: y ' =

2 x2 ( 2 x − 1) ln10

log 2 ( 2 x − 1)

Câu 23 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Đạo hàm của hàm số y =

( x − 1)

2 x log ( 2 x − 1) − C. y ' =

− 2 x +1

log 2 ( x − 1)

2 log ( 2 x − 1) −

D. y ' =

2 x2 ( 2 x − 1) ln10

log 2 ( x − 1)

x2 ( 2 x − 1) ln10

(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Tập tất cả các giá trị của m để phương trình

− m.2 x

−2 x + 2

log ( x − 1)

B. y ' =

+ 3m − 2 = 0 luôn có 4 nghiệm phân biệt là: B. ( −∞;1) ∪ ( 2; +∞ ) . C. [ 2; +∞ ) .

A. ( −∞;1) .

Đáp án D

D. ( 2; +∞ ) .

4 x −2 x+1 − m.2 x −2 x+2 + 3m − 2 = 0 ⇔ 4( x−1) − 2m.2( x−1) + 3m − 2 = 0 . Đặt

Xét phương trình

Câu 24

2 x2 ( 2 x − 1) ln10

2 x log ( 2 x − 1) −

log

x+2 ln ( x + 2 ) là: x −1

A. y ' =

2 x2 ( 2 x − 1) ln10

2 x log ( 2 x − 1) −

FF IC IA L

 x −1 > 0 x > 1  ⇔ ⇔ x > 1. Đáp án B Ta có:  x 2 > 0 x −1 < x log x − 1 > log x ) 1  1( 2  2

t = 2 ( x −1) ( t ≥ 1) . Ta có: t 2 − 2 mt + 3m − 2 = 0 ⇔ ( t − 1) + (2 − 2m)(t − 1) 2 + m − 1 = 0 ( ∗)

KÈ

Để phương trình ẩn x đã cho có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình ( ∗) phải có 2 nghiệm

ẠY

( m − 1)2 − ( m − 1) > 0  phân biệt lớn hơn 1. ⇔  2m − 2 > 0 ⇔ m > 2. m − 1 > 0 

Câu 25 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Phần ảo của số phức z = A. 1.

B. i.

Đáp án A Ta có: z = i vậy phần ảo là 1.

C. 0.

1+ i là: 1− i D. Đáp án khác.

Câu 26

(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Quỹ tích điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn

z − 1 = z + i là: B. y = 2 x + 1.

C. x 2 + y 2 + 2 x + 2 y − 1 = 0.

D. Đáp án khác.

FF IC IA L

A. y = x.

Đáp án A Đặt z = x + yi. Ta có z − 1 = z + i ⇔ ( x − 1) + y 2 = x 2 + ( y − 1) ⇔ x − y = 0. (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho số phức z = 2 + i. Phần ảo số phức w = B. −2i.

A. −2.

Câu 28

D. 2i.

z +1 = 1 − 2i. Vậy phần ảo là −2. z −1

Đáp án A Ta có: w =

C. 2.

z +1 là: z −1

(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho số phức z thỏa mãn z.z = 2 và z − 1 − z là một

Câu 27

số thuần ảo. Tích trị tuyệt đối của phần thực và phần ảo của z là:

3 . 5

4 . 5

2 . 5

1 . 5

Giả sử z = a + bi

Đáp án B

( a, b ∈ ℝ )

Ta có: z.z = 2 ⇔ a 2 + b2 = 2 ⇔ b2 = 2 − a 2 .

a > 0 2 Mặt khác, z − 1 − z là số thuần ảo nên:  2 2 2 2 2 ( a − b − 1) + ( 2ab ) = a

Thay b 2 = 2 − a 2 ta được:

KÈ

a > 0 3 1 3 a > 0 ⇔ 2 ⇔a= ;b = ⇒ a.b = . 2  2 2 2 2 5 5 5 5a − 9 = 0 ( 2a − 3) + 4a ( 2 − a ) = a Câu 29

(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho M, N là 2 điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn

ẠY

số phức z, w khác 0 thỏa mãn

z 2 + w2 = zw. Hỏi tam giác OMN là tam giác gì?

A. Đều.

Đáp án A

B. Vuông.

C. Cân.

D. Thường.

w 3 w 3 w   z + w = zw ⇔  z −  = − w 2 ⇔  z −  = w 2i 2 ⇔ z = 1 ± 3i 2 4 2 4 2   w ⇔ z = . 1 ± 3i ⇔ z = w ⇔ OM = ON . (1) 2 2

(

)

FF IC IA L

Mặt khác: 2

z 2 + w 2 = zw ⇔ ( z − w ) = − zw ⇔ ( z − w ) = zwi 2 ⇔ z − w = ± zw.i ⇔ z−w =

z . w ⇔ MN = OM.ON.( 2 )

Từ (1) và ( 2) ⇒ OM = ON = MN ⇔ ∆OMN đều.

giá trị của a bằng:

B. 2.

C. −2.

D. −4.

A. 1.

Câu 30 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cho số phức z = a − 4i, w = 1 − 2i. Biết z = 2 w, khi đó

z = 2w = 2 − 4i ⇒ a = 2

+ y 2 = 52. Khi đó z − 1 = 5. Có

24 . 5

4 5

z −1 z −1 5 = = = 5. 2+i 5 5

( C ) : ( x − 1)

24.

z −1 bằng: 2+i

( C ) : x 2 + y 2 − 2 x − 24 = 0. Khi đó

Câu 31 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018): Cho số phức z có điểm biểu diễn thuộc đường tròn

Câu 32 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018): Cho số phức z thỏa mãn z =

(

2 +i

) (1 − 2i ) . Khi

KÈ

A. 18.

đó tổng bình phương phần thực và phần ảo của số phức z là: B. 27.

Sử dụng CASIO ta được z =

(

C. 61. 2

2 +i

) (1 − 2i ) = 5 +

2i ⇒ z = 5 − 2i

(

ẠY

Phần thực của z là 5, phần ảo của z là − 2. ⇒ z = 52 + − 2

Câu 33

D. 72.

)

= 27

(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Trong các số phức thỏa mãn điều kiện

Module lớn nhất của số phức z bằng:

A. 1. Đáp án D

B. 4.

C. 10.

D. 3.

1+ i z + 2 = 1. 1− i

Giả sử z = a + bi Ta có:

( a; b ∈ ℝ ) .

1+ i 2 z + 2 = 1 ⇔ zi + 2 = 1 ⇔ a 2 + ( b − 2 ) = 1 ⇔ a 2 + b 2 = 4b − 3. 1− i 2

Câu 34

FF IC IA L

Mà −1 ≤ b − 2 ≤ 1 ⇔ 1 ≤ b ≤ 3 ⇒ z = 4b − 3 ≤ 9 ⇔ z ≤ 3. Vậy z max = 3. (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho phương trình z 3 + az 2 + bz + c = 0. Nếu z = 1 − i

và z = 1 là 2 nghiệm của phương trình thì a − b − c bằng:

A. 2.

B. 3.

C. 5.

D. 6.

Đáp án C Theo giả thiết ta có:

b + c = 2 (1 − i )3 + a (1 − i )2 + b (1 − i ) + c = 0 (b + c − 2) − (2a + b + 2)i = 0  ⇔ ⇔ 2a + b = −2  a + b + c = −1 a + b + c = −1  a + b + c = −1  a = −3  ⇔ b = 4 ⇒ a − b − c = 5. c = −2 

Câu 35 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng tọa độ thỏa z − 2i < 5 là

A. Đường tròn bán kính r = 5.

B. Hình tròn bán kính r = 5 không kể đường tròn bán kính r = 5.

C. Đường tròn bán kính r = 25. D. Hình tròn bán kính r = 25.

Đáp án B.

KÈ

Gọi z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) . Khi đó z − 2i < 5 ⇔ a 2 + ( b − 2 ) < 25.

Câu 36.

(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Kí hiệu z1 , z2 , z3 , z4 là bốn nghiệm phức của phương

ẠY

trình z 4 + z 2 − 20 = 0 . Khi đó tổng T =

9 . 10

1 z1

7 . 10

1 z2

1 z3

1 z4

là

9 . 20

Đáp án A.

z2 = 4  z = ±2 1 1 1 1 9 .T= + + + = . z 4 + z 2 − 20 = 0 ⇔  2 ⇔ 4 4 5 5 10  z = −5  z = ± i 5

11 . 20

Câu 37

(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018). Trong mặt phẳng phức Oxy, tập hợp biểu diễn số

phức z thỏa 1 ≤ z + 1 − i ≤ 2 là hình vành khăn. Diện tích S của hình vành khăn là bao nhiêu ?

A. S = 4π .

B. S = π .

C. S = 2π .

D. S = 3π .

Đặt z = a + bi ta có 2

FF IC IA L

Đáp án D

1 ≤ z + 1 − i ≤ 2 ⇔ 1 ≤ ( a + 1) + ( b − 1) i ≤ 2 ⇔ 1 ≤ ( a + 1) + ( b − 1) ≤ 4

Vậy diện tích cần tính là S = S2 − S1 = 4π − π = 3π

Câu 38.

(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Trong mặt phẳng phức Oxy, các số phức z thỏa mãn

z + 2i − 1 = z + i . Mô dul của số phức z được biểu diễn bởi điểm M sao cho MA ngắn nhất (1;3) là

A. 10.

C. 2 3.

D. 2 5.

Đáp án A

với A

Đặt z = x + yi ta có

z + 2i − 1 = z + i ⇔ ( x − 1) + ( y + 2 ) i = x + ( y + 1) i 2

⇔ ( x − 1) + ( y + 2 ) = x 2 + ( y + 1) ⇔ x − y − 2 = 0 ( d )

MA ngắn nhất khi M là hình chiếu của A lên ( d )

Đường thẳng đi qua A ⊥ ( d ) có PT ( x − 1) + ( y − 3) = 0 ⇔ x + y − 4 = 0

(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho các số phức z thỏa mãn z = 7 . Tập hợp các

Câu 39.

x − y − 2 = 0 x = 3 Tọa độ M là nghiệm của HPT  ⇔ ⇒ M (1;3) ⇒ Z = 10 x + y − 4 = 0 y =1

KÈ

điểm biểu diễn các số phức w = ( 3 + 4i ) z + i + 5 là một đường tròn có bán kính bằng. A. 19.

B. 20.

C. 35.

D. 4.

Đáp án C

ẠY

Đặt z = a + bi z = 7 ⇒ a 2 + b 2 = 49

Biểu diễn của số phức

w = ( 3 + 4i ) z + i + 5 = w = ( 3 + 4i )( a − bi ) + i + 5 = ( 3a + 4b + 5) + ( 4a − 3b + 1) i là  x = 3a + 4b + 5  x − 5 = 3a + 4b 2 2 ⇔ ⇒ ( x − 5 ) + ( y − 1) = ( 32 + 42 )( a 2 + b 2 ) = 352   y = 4a − 3b + 1  y − 1 = 4a − 3b

Vậy đường tròn có bán kính cần xác định là có bán kính là 35.

Câu 40 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Số phức liên hợp z của số phức z = 10 + i là A. z = 10 − i .

B. z = 10 + i .

C. z = 10 + 3i .

D. z = 2 − i .

Ta có z = 10 + i ⇒ z = 10 − i .

FF IC IA L

Câu 41 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018). Cho phương trình z 2 + az + b = 0 . Nếu phương trình nhận z = 2 + i là một nghiệm thì a 2 + b 2 có giá trị bằng.

A. 36.

B. 28.

C. 41.

D. 48.

z = 2 + i là nghiệm thì z = 2 − i cũng là nghiệm

Vậy ( z − 2 − i )( z − 2 + i ) = z 2 − 4z + 5 ⇒ a = 4, b = 5 ⇒ a 2 + b 2 = 16 + 25 = 41

Câu 42.

10 + 1 − 2i . Biết tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức w = ( 3 − 4i ) z − 1 + 2i là z

10 10 + 1 − 2i ⇔ ( 2 z − 1) + ( z + 2 ) i = 2 z z z

D. I (1; −2 ) , R = 5 .

Đáp án C

C. I ( −1; 2 ) , R = 5 .

A. I ( −1; −2 ) , R = 5 . B. I (1; 2 ) , R = 5 .

đường tròn I, bán kính R. Khi đó.

(2 + i) z

z ∈ ℂ thỏa mãn

(2 + i) z

(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho thỏa mãn

10 z

⇔ 5 z +5 =

10 z

⇒ z =1

( 2 z − 1) + ( z + 2 )

Bình phương modun của số thức bên trái và bên phải bằng nhau ta có:

Đặt

w = x + yi ⇒ w = ( 3 − 4i ) z − 1 + 2i ⇔ ( x + 1) + ( y − 2 ) i = ( 3 − 4i ) z ⇒ ( x + 1) + ( y − 2 ) = 25

KÈ

Vậy I ( −1; 2 ) , R = 5

Câu 43.

(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho số phức z thỏa mãn z + i + 1 = z − 2i . Modun

ẠY

của z có giá trị nhỏ nhất là

2 . 2

C. 1.

Đáp án A z + i + 1 = z − 2i ⇔ ( a + 1) + ( b + 1) = a + ( b − 2 ) i 2

( a + 1) + ( b + 1)

= a 2 + (b − 2 ) ⇔ a + b = 1

(với z = a + bi )

D. Kết quả khác.

Từ đây ta có z = a 2 + b 2 ≥

Câu 44

(a + b) = 2

2 2

(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức

A. z = −2 + i .

FF IC IA L

B. z = 1 − 2i . C. z = 2 + i . D. z = 1 + 2i . ĐÁP ÁN A Điểm M biểu diễn số phức z có tọa độ M ( −2;1) ⇒ z = −2 + i .

4z 2 − 4z + 3 = 0 . Giá trị của biểu thức z1 + z 2 bằng

B. 2 3

C. 3

ĐÁP ÁN D

2 i 1 2 1 2 2 i+ − i = 3. . z1 + z 2 = + 2 2 2 2 2 i 2

 1  z1 = + 2 4z 2 − 4z + 3 = 0 ⇔   1 z2 = − 2 

A. 3 2

(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Gọi z1 , z 2 là hai nghiệm phức của phương trình

Câu 45.

(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) thỏa mãn

Câu 47

A. P = −1

z + 2 + i − z (1 + i ) = 0 và z > 1 . Tính P = a + b . B. P = −5

C. P = 3

D. P = 7

KÈ

Cách 1.

ĐÁP ÁN D

z + 2 + i − z (1 + i ) = 0 ⇔ z = −2 + z + ( −1 + z ) i; z = t > 0 ⇒ t =

( t − 2 ) + ( t − 1)

ẠY

⇔ t 2 − 6t + 5 = 0 ⇔ t = 1; t = 5 .

Ta có t = 5 (do t > 1 ) nên có z = −2 + z + ( −1 + z ) i = −2 + 5 + ( −1 + 5 ) i = 3 + 4i

Cách 2. z + 2 + i − z (1 + i ) = 0 ⇔ a + bi + 2 + i − a 2 + b 2 (1 + i ) = 0

(

) (

)

⇔ a + 2 − a 2 + b 2 + i. b + 1 − a 2 + b 2 = 0

a + 2 − a 2 + b 2 = 0 (1)  ⇔ b + 1 − a 2 + b 2 = 0 ( 2 ) Trừ

(2) cho

(1) ⇒ b = a + 1 thay vào

(1) ta được. a + 2 = a 2 + ( a + 1)

Câu 48

FF IC IA L

 a ≥ −2  ⇔  a = −1 ⇒ b = 0 (loai)  a = 3 ⇒ b = 4 

(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Xét các số phức z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) thỏa mãn

z − 4 − 3i = 5 . Tính P = a + b khi z + 1 − 3i + z − 1 + i đạt giá trị lớn nhất

B. P = 4

C. P = 6

D. P = 8

A. P = 10 ĐÁP ÁN A

Cách 1. Dùng tư duy truy hồi kết hợp

Đặc biệt hóa.

Ta cần tìm giá trị lớn nhất nên sẽ chọn thử

Ta thay P lần lượt bằng 10, 8, 6, 4 ta có

T = z + 1 − 3i + z − 1 + i

Điểm M biểu diễn z chính là giao của đường

x + y = 10;8;6; 4 và đường tròn tâm I ( 3; 4 ) bán kính

5 . Từ đó ước lượng được tọa độ M rồi thay vào T

để so sánh và chọn ra T lớn nhất. Khi đó P ứng với

nó chính là giá trị cần tìm.

Câu 49 ( Gv Nguyễn Bá Tuấn )Cho số phức z = 4 + 2i . Phần thực và phần ảo của

KÈ

w = 2z − i là

A. Phần thực là 8, phần ảo là 3i

B. Phần thực là 8, phần ảo là 3

C. Phần thực là 8, phần ảo là −3i

D. Phần thực là 8, phần ảo là −3

ẠY

w = 2z − i = 2 ( 4 + 2i ) − i = 8 + 3i ⇒ Phần thực là 8, phần ảo là 3

Câu 50 ( Gv Nguyễn Bá Tuấn )Cho số phức z = 1 + 4i . Tổng bình phương các giá trị a để

z + a 2 − 2i = 3 − 2i là A. 0

B. 2

Ta có

z + a 2 − 2i = 3 − 2i ⇔ 1 + a 2 + 2i = 3 − 2i

C. 4

D. 6

⇔ 1 + a 2 − 2i = 3 − 2i ⇔ a2 = 2 ⇔ a = ± 2 Tổng bình phương các giá trị a thỏa mãn là 2 + 2 = 4

FF IC IA L

Câu 51 ( Gv Nguyễn Bá Tuấn ). Cho z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) , z = 5 . Khi đó 3a + 4b lớn nhất khi

A. 25

B. 125

C. 45

D. 15

Đáp án A z = 5 ⇒ a 2 + b 2 = 25 ⇒ 3a + 4b ≤

)(

)

+ b 2 32 + 42 = 25

 z −1  ( Gv Nguyễn Bá Tuấn ) Gọi z1 , z 2 , z3 , z 4 là nghiệm của phương trình   =1.  2z − i 

Câu 52.

Giá trị của z12 .z 22 .z 32 .z 42 bằng

B. i

C. 0

D. −1

A. 2i

Đáp án C

Do đề bài yêu cầu tính z1z 2 z3z 4 nên ta chỉ cần quan tâm tới hệ số tự do ở ngoài

z −1 4 ) =1 2z − i <=> (z − 1) 4 = (2z − i)4

<=> z(...) + 14 = z(...) + (− i) 4

<=> z(...) = 0

(

=> Hệ số tự do =0 => Tích z1z 2 z3z 4 =0

Câu 53 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018). Cho số phức z = a + bi , khi đó z.z bằng A. a 2 + b 2

C. ( a + b )

D. ( a − b )

KÈ

Đáp án A

B. a 2 − b 2

Ta có z.z = ( a + bi )( a − bi ) = a 2 + b 2

ẠY

Câu 54 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn

số phức z thỏa mãn iz + 3 − i = 2 là đường cong có phương trình. 2

B. ( x − 1) + ( y − 3) = 4

D. ( x + 1) + ( y + 3) = 4

A. ( x + 3) + ( y − 1) = 4 C. ( x − 3) + ( y + 1) = 4

Đáp án B Gọi z = x + yi, ( x, y ∈ R ) . Theo giả thiết

iz + 3 − i = 2 ⇔ ( x − 1) i + 3 − y = 2 ⇔ ( x − 1) + ( y − 3) = 4

(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho số phức z có phần thực thuộc đoạn [ −2; 2] thỏa

mãn 2 z − i = z − z + 2i

A. −4

(*). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 1 + z − 2 − i

B. −7

C. −3

−z

D. 1

Đáp án A

z = x + y ( x, y ∈ R, x ∈ [ − 2; 2]) (*) <=> y =

2018

FF IC IA L

Câu 55.

x2 4

Để P min thì | z − 2 − i |2018 min và | z |2 max

nếu 2 cái chênh vênh thì rất khó và không phù hợp với thi)

Pmin = 1 + 0 − ( 5) 2 = −4 khi z=2+i

N H

t2 + t với t ∈ [0;4]=>|z|2 max = 5 khi z=2+i 16

| z |2 =

x2 + x 2 với x ∈ [ − 2; 2] 16

| z |2 = x 2 + y 2 =

Ta tìm | z |2 bằng bao nhiêu (Bài này ý tưởng tác giả cho nó đúng 1 cái max 1 cái min, chứ

B. 10 − 2

C. 10 − 3

D. 2 10

Đáp án C

nhất của z bằng.

A. 10

z + 2−i = 2 . Giá trị nhỏ z +1 − i

Câu 56 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018). Cho số phức z thỏa mãn

KÈ

Gọi z = a + bi ( a; b ∈ ℝ ) . M là điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Ta có:

ẠY

z + 2−i = 2 ⇔ z + 2 − 1 = 2 z + 1 − i ⇔ (a + 2) 2 + (b − 1)2 = 2(a + 1)2 + 2(b + 1) 2 z +1 − i

⇔ a 2 + (b + 3) 2 = 10.

Do đó M thuộc đường tròn tâm I (0; −3) , bán kính R = 10. Vậy z min ⇔ OM min ⇔ O, M , I thẳng hàng ⇔ z = OM = OI − MI = 3 − R = 10 − 3.

Câu 1 (GV Nguyễn Quốc Trí): Cho số phức z = 6 + 7i. Số phức liên hợp của z có điểm biểu diễn hình học là A. ( − 6; − 7 ) .

B. ( 6; 7 ) .

C. ( 6; − 7 ) .

D. ( − 6;7 ) .

z = 6 + 7i ⇒ z = 6 − 7i

FF IC IA L

Đáp án C

Câu 2 (GV Nguyễn Quốc Trí): Cho hai số phức z1 = 2 + 3i, z2 = −4 − 5i. Tính z = z1 + z2 . A. z = −2 − 2i.

B. z = −2 + 2i.

C. z = 2 + 2i.

Đáp án A

z = (2 + 3i) + (−4 − 5i) = (2 − 4) + (3 − 5)i = −2 − 2i

(GV Nguyễn Quốc Trí) Nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình

z 2 − z + 1 = 0 là z = a + bi với a, b ∈ ℝ. Tính a + 3b.

B. 1

C. 2

A. −2

1 3 ⇒ a = ,b = ⇒ a + 3b = 2 2 2

1 ± 3i 1 + 3i ⇒z= 2 2

D. −1

Đáp án C z 2 − z + 1 = 0 ⇔ z1,2 =

Câu 3:

D. z = 2 − 2i.

(GV Nguyễn Quốc Trí): Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình

Câu 4

4 z 2 − 4 z + 3 = 0. Giá trị của biểu thức z1 + z2 bằng:

A. 3 2.

B. 2 3.

Đáp án D

C. 3.

2 ± 2 2i 4

KÈ

4z2 − 4z + 3 = 0 ⇔ z = z1 + z2 = 2

ẠY

Câu 5

3 = 3 4

(GV Nguyễn Quốc Trí): Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) thỏa mãn

z + 2 + i − z (1 + i ) = 0 và z > 1. Tính P = a + b. A. P = −1.

Đáp án D

B. P = −5.

C. P = 3.

D. P = 7.

z + 2 + i − z (1 + i ) = 0 ⇔ (a + bi ) + 2 + i − a 2 + b 2 (1 + i ) = 0 ⇔ a + 2 − a 2 + b 2 + (b + 1 − a 2 + b 2 )i = 0

FF IC IA L

a + 2 − a 2 + b 2 = 0 ⇒ ⇒ a − b +1 = 0 ⇒ a = b −1 b + 1 − a 2 + b 2 = 0

⇒ b + 1 − (b − 1)2 + b 2 = 0 ⇒ 2b 2 − 2b + 1 = b + 1 b ≥ −1  b = 0  a = −1 ( L ) ⇒ 2 ⇒ ⇒ b − 4b = 0 b = 4  a = 3 ⇒ P = 4+3= 7

(GV Nguyễn Quốc Trí): Xét số phức z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) thỏa mãn điều kiện

Câu 6

z − 4 − 3i = 5. Tính P = a + b khi biểu thức z + 1 − 3i + z − 1 + i đạt giá trị lớn nhất. B. P = 4.

C. P = 6.

D. P = 8.

A. P = 10.

Đáp án A

z − 4 − 3i = 5 ⇔ (a − 4)2 + (b − 3) 2 = 5

a = 5 sin α + 4  b = 5cosα +3

M = z + 1 − 3i + z − 1 + i = (a + 1) 2 + (b − 3)2 + (a − 1) 2 + (b + 1)2

= 10 5 sin α + 30 + 6 5 sin α + 8 5cosα +30

Áp dụng bđt Bunhiacopski:

M ≤ 2(16 5 sin α + 8 5cosα +60) = 2[8 5(2sin α + cosα )+60 ≤ 10 2

KÈ

 sin α =  M min = 10 2 ⇔  cosα =  P = 6 + 4 = 10

2 5 a = 5 sin α + 4 = 6 ⇒ 1 b = 5cosα +3=4 5

ẠY

Câu 7 (GV Nguyễn Quốc Trí): Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức: A. z = −2 + i.

B. z = 1 − 2i.

C. z = 2 + i.

D. z = 1 + 2i.

Đáp án A M (−2;1) ⇒ z = −2 + i

Câu 8 (GV Nguyễn Quốc Trí): Cho số phức z = 2 + i. Tính z .

A. z = 5.

B. z = 5.

C. z = 2.

D. z = 3.

Đáp án A

z = 2 + i ⇒ z = 22 + 1 = 5 (GV Nguyễn Quốc Trí): Điều kiện cần và đủ để z là một số thực là:

A. z = z.

B. z = z .

FF IC IA L

Câu 9

C. z = − z.

D. z = − z .

Đáp án A iz = a ⇒ z = z = a i z = a + bi ⇒ z = a − bi

z = z ⇒ b = −b ⇒ b = 0

(GV Nguyễn Quốc Trí): Số phức z thỏa mãn (1 + i ) z + ( 2 − i ) z = 13 + 2i là:

A. 3 + 2i.

B. 3 − 2i.

C. −3 + 2i.

D. −3 − 2i.

Đáp án B

Câu 10

z = a + bi ⇒ z = a − bi

⇒ (1 + i)(a + bi) + (2 − i )(a − bi) = 13 + 2i

a = 3 ⇔ 3a − 2b − bi = 13 + 2i ⇒  ⇒ z = 3 − 2i b = −2

(GV Nguyễn Quốc Trí): Cho ba số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn điều kiện

Câu 11

z1 = z2 = z3 = 1 và z1 + z2 + z3 = 0. Tính A = z12 + z 22 + z32 . B. 0.

C. −1.

D. 1 + i.

A. 1. Đáp án B

z12 + z22 + z32 = ( z1 + z2 + z3 ) 2 − 2( z1 z2 + z2 z3 + z1 z3 ) = −2( z1 z2 + z2 z3 + z1 z3 ) z z z 1 1 1 + + ) = −2 z1 z2 z2 ( 1 + 2 + 3 ) = −2 z1 z2 z2 ( z1 + z2 + z3 ) = 0 z1 z2 z3 z1 z2 z3

KÈ

= −2 z1 z2 z2 (

Câu 12 (GV Nguyễn Quốc Trí): Phần ảo của số phức z = 2 − 3i là: B. 3

ẠY

A. −3i

C. −3

D. 3i

Đáp án C

Câu 13 (GV Nguyễn Quốc Trí)Cho hai số phức z1 = −1 + 2i, z2 = −1 − 2i. Giá trị của biểu 2

thức z1 + z2 bằng

A. 10. Đáp án B

B. 10. C. −6 . D. 4.

z1 + z2 = [( −1) 2 + 22 ] + [( −1) 2 + ( −2) 2 ] = 10

Câu 14 (GV Nguyễn Quốc Trí): Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ R ) thỏa mãn

A. P = 7.

B. P = −1.

FF IC IA L

z − 3i = 1 . Tính P = a + b . z+i

C. P = 1.

D. P = 2.

Đáp án D

z − 3i = 1 ⇒ z − 3i = z + i ⇔ a 2 + (b − 3)2 = a 2 + (b + 1)2 ⇒ b = 1 z +i z −1 = 1 ⇒ z − 1 = z − i ⇒ (a − 1) 2 + b 2 = a 2 + (b − 1) 2 z −i

b = 1 ⇒ (a − 1) 2 − a 2 = −1 ⇒ a = 1

z −1 = 1 và z −i

⇒ P = 1+1 = 2

(GV Nguyễn Quốc Trí)Cho số phức z thỏa mãn z − 3 − 4i = 5. Gọi M , m lần

Câu 15:

số phức w = M + mi.

B. w = 1258.

C. w = 3 137.

A. w = 2315.

lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = z + 2 − z − i . Tính môđun của

Đáp án B z = x + yi, ( x, y ∈ ℝ)

⇒ P = ( x + 2) 2 + y 2 − x 2 − ( y − 1) 2 = 4 x + 2 y + 3

z − 3 − 4i = 5 ⇔ ( x − 3) 2 + ( y − 4) 2 = 5

Đặt x = 3 + 5 sin t , y = 4 + 5cost thỏa mãn ( x − 3)2 + ( y − 4)2 = 5

KÈ

⇒ P = 4 5 sin t + 2 5cost+23 ⋅f(t)=4 5 sin t + 2 5cost

ẠY

f (t ) 2 5 5 sin t + cost = 10 5 5

 2 5 cosu= f (t )  5 Đặt  ⇒ = sin(t + u ) 10 sin u = 5  5

⇒ −1 ≤

f (t ) ≤ 1 ⇒ −10 ≤ f (t ) ≤ 10 ⇒ 13 ≤ P ≤ 33 10

⇒ w = 1258

D. w = 2 309.

Câu 16 (GV Nguyễn Quốc Trí): Cho số phức z = 3 + 2i. Tính z . A. z = 5.

B. z = 13.

C. z = 5.

D. z = 13.

z = 3 + 2i ⇒ z = 32 + 22 = 13 Câu 17

FF IC IA L

Đáp án B

(GV Nguyễn Quốc Trí): Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình

z 2 + 6 z + 13 = 0 trong đó là số phức có phần ảo âm. Tìm số phức ω = z1 + 2 z2 .

A. ω = 9 + 2i.

B. ω = −9 + 2i.

C. ω = −9 − 2i.

Đáp án B

(GV Nguyễn Quốc Trí): Cho số phức z = a + bi

Câu 18

 z = −3 − 2i z 2 + 6 z + 13 = 0 ⇔ z = −3 ± 2i ⇒  1  z2 = −3 + 2i w = z1 + 2 z2 = −9 + 2i

D. ω = 9 − 2i.

(a, b là các số thực) thỏa mãn

B. T = 3 + 2 2.

D. T = 4 + 2 3.

Đáp án C

C. T = 3 − 2 2.

A. T = 4 3 − 2.

z. z + 2 z + i = 0. Tính giá trị của biểu thức T = a 2 + b 2 .

a 2 + b 2 (a + bi ) + 2( a + bi ) + i = 0 ⇔ a a 2 + b 2 + 2a + (b a 2 + b 2 + 2b + 1)i = 0

(GV Nguyễn Quốc Trí): Cho số phức z thỏa mãn 4 z + i + 3 z − i = 10 . Giá trị nhỏ

Câu 19

 a a 2 + b 2 + 2a = 0  a = 0  a = 0 ⇔ ⇒ ⇒ ⇒ T = (1 − 2) 2 = 3 − 2 2 b = 1 − 2 b a 2 + b 2 + 2b + 1 = 0 b = 1 ± 2

1 2

KÈ

nhất của z bằng

ẠY

Đáp án D

5 7

3 2

D. 1

4 | z + i | +3 | z − i |= 10 => 4 x 2 + ( y + 1) 2 + 3 x 2 + ( y − 1)2 = 10 => 4 MA + 3MB = 10( M ( x, y ); A(0, −1); B(0,1)) MA2 + MB 2 AB 2 − 2 4 2 2 MA + MB <=> MO 2 = −1 2 MOmin <=> ( MA2 + MB 2 )min 10 − 4a 3 10 − 4a 2 25a 2 − 80a + 100 => MA2 + MB 2 = a 2 + ( ) = 3 9 MA = a => MB =

8 => MA2 + MB 2 = 4 => MOmin = 1 5

=> MA2 + MB 2 min khi a=

FF IC IA L

=> MO 2 =

(Gv Nguyễn Quốc Trí): Cho hai số phức z1 = 3 + i, z2 = 1 − 2i. Tính mô đun của số

phức z =

z1 . z2

A. z = 2.

2 . 2

z =

1 49 + = 2 25 25

z1 3 + i 1 + 7i = = 5 z2 1 − 2i

1 D. z = . 2

Đáp án A

(Gv Nguyễn Quốc Trí): Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình

Câu 21

C. z = 2.

B. z =

Câu 20

KÈ

z 2 + 4 = 0. Gọi M, N là các điểm biểu diễn của các số phức z1 , z2 trên mặt phẳng tọa độ. Tính

T = OM + ON với O là gốc tọa độ. A. T = 2 2.

B. T = 8.

ẠY

Đáp án D z 2 + 4 = 0 ⇔ z = ±2i ⇒ M (0; 2), N (0; −2) ⇒ T = OM + ON = 2 + 2 = 4

C. T = 2.

D. T = 4.

Câu 1 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Số phức z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) là số ảo khi và chỉ khi A. a = 0.

B. a = 0 và b ≠ 0.

C. a ≠ 0 và b = 0.

D. b = 0.

Đáp án A Số ảo là số có phần thực bằng 0 → Đáp án A. ( hay còn gọi là số thuần ảo) có phần thực bằng 0, còn số thực có phần ảo

bằng 0. Riêng số 0 vừa là số ảo, vừa là số thực ( do 0 = 0 + 0i )

FF IC IA L

Chú ý: Số ảo

Câu 2 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Tìm số phức liên hợp của số phức z thỏa mãn 5−i = 4i . 2 − 3i

B. z = −1 − 2i.

C. z = 1 + 2i.

D. z = 1 − 2i.

A. z = −1 + 2i.

(1 + i ) z +

Đáp án D

Dùng Casio ( chuyển về chế độ MOD 2:CMPLX)

 5 − i  Ta được z = 4i −  : (1 + i ) = 1 + 2i ⇒ z = 1− 2i  2 − 3i 

→ Đáp án D

Câu 3 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018). Biết z1 , z 2 lần lượt là hai nghiệm phức của phương z  trình z − 2z + 2 = 0 (với z2 có phần ảo dương). Khi đó số phức w =  1   z2 

KÈ

A. w = 1.

ẠY

Đáp án C.

B. w = i.

C. w = −i.

2017

là

D. w = 1 − i.

Câu 4

(GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Cho M = ( z12 + 4 )( z 22 + 4 )( z32 + 4 )( z 42 + 4 ) với 4

 z+i  z1 , z 2 , z3 , z 4 là các nghiệm phức của phương trình   = 1 . Đặt P = log M . Mệnh đề nào  3z − i 

A. P ≤ 0.

B. 0 < P ≤ 1.

C. 1 < P ≤ 2.

Đáp án D. = 1 → z1 = i = −1 → z 2 = 0

→ log M = log 204 ≈ 2, 31.

2 1 = i → z3 = + i 5 5 2 1 = −i → z 4 = − + i 5 5

D. 2 < P ≤ 3.

 z+i  3z − i   z+i 4  3z − i z i +     =1→  z + i  3z − i    3z − i  z+i   3z − i

FF IC IA L

dưới đây là đúng?

Câu 5 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018). Cho số phức z = a + bi với a, b ∈ ℝ. Môđun của z

A. z = a + b .

B. z = a + b .

D. z = a 2 + b 2 .

Đáp án C

C. z = a 2 + b 2 .

tính bằng công thức nào sau đây?

Câu 6 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Biết T ( 4; −3) là điểm biểu diễn số phức z trên mặt

Đáp án D

B. N ( −1; −3) .

A. M (1;3) .

phẳng tọa độ Oxy . Khi đó điểm nào sau đây biểu diễn số phức w = z − z

C. P ( −1;3) .

D. Q (1; −3) .

Ta có z = 4 − 3i ⇒ w = 4 − 3i − ( 4 + 3i ) = 1 − 3i .

KÈ

Vậy điểm biểu diễn số phức w là Q (1; −3) .

Câu 7. (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018) Cho z là số phức có phần ảo dương và thỏa mãn

ẠY

z 2 − 4 z + 20 = 0 . Khi đó tổng phần thực và phần ảo của số phức w = 1 + z 2 bằng bao nhiêu?

A. 5.

B. −27.

C. −11.

D. 16

Đáp án A

Dùng MTBT ta có z1,2 = 2 ± 4i . 2

Do z có phần ảo dương nên z = 2 + 4i ⇒ w = 1 + ( 2 + 4i ) = −11 + 16i Vậy tổng phần thực và phần ảo cần tìm là 5.

Câu 8

(GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Trong các số phức thỏa mãn điều kiện

z − 2 − 4i = z − 2i . Số phức z có môđun nhỏ nhất là A. z = 2 − 2i .

B. z = −1 + 5i .

C. z = 2 + 2i .

D. z = 1 + 2i .

FF IC IA L

Đáp án A 2

Giả sử z = x + yi ( x, y ∈ ℝ ) . PT ⇔ ( x − 2 ) + ( y − 4 ) = x 2 + ( y − 2 ) ⇔ x − y − 4 = 0 . Tập hợp các số phức thỏa mãn điều kiện nằm trên đường thẳng ∆ : x − y − 4 = 0 . Gọi M ( m; m − 4 ) ∈ ∆

là điểm biểu diễn số phức z .

Ta có môđun của z nhỏ nhất ⇔ OM nhỏ nhất

⇔ OM ⊥ ∆ ⇔ OM .u∆ = 0 ⇔ m + m − 4 = 0 ⇔ m = 2 ⇒ M ( 2; −2 ) .

Vậy z = 2 − 2i

Câu 9 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Cho a là số thực và z là số phức thỏa mãn

gần giá trị nào nhất trong các giá trị sau?

A. −3 .

B. −1 . C. 4 . D. 2.

z 2 − 2 z + a 2 − 2a + 5 = 0 . Biết a = a0 là giá trị để số phức z có môđun nhỏ nhất. Khi đó a0

Đáp án D

2 2 Gọi z1,2 = x ± yi là 2 nghiệm của phương trình đã cho ⇒ z1 + z2 = 2 x và z1 z2 = x + y .

 z1 + z2 = 2

x = 1 ⇒ .  2 2 2 2  z1 z2 = a − 2a + 5  a − 2a + 5 = x + y

Ta có z =

Mặt khác theo định lí Vi-et ta có 

x 2 + y 2 = a 2 − 2a + 5 =

( a − 1)

KÈ

Do đó để z bé nhất thì a = 1 .

Câu 10 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Cho số phức z = 2 + 3i . Khi đó điểm nào sau đây biểu diễn số phức z ?

ẠY

A. M (2;3) .

B. N ( −2;3) .

C. P ( −2; −3) .

D. Q(2; −3) .

Đáp án D

z = 2 − 3i.

Câu 11 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018). Tất cả các nghiệm phức của phương trình

( z 3 − 64)( z 2 + 2) = 0 có tổng môđun là A. 4 + 2 2 .

B. 4 + 2 .

C. 8 + 2 .

D. 12 + 2 2 .

Đáp án D PT ⇔ z1,2,3 = 4, z4 =

2i, z5 = − 2i.

Vậy z1 + z 2 + z3 + z4 + z5 = 12 + 2 2 .

(GV

Nguyễn

Thanh

Tùng

2018)Cho

số

phức

thỏa

mãn

FF IC IA L

Câu

(2 − 3i) z + (4 + i) z + (1 + 3i) 2 = 0 . Gọi a, b lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức z . Khi đó 2a − 3b bằng

A. 1.

B. 4.

C. 11.

D. –19.

Đáp án D 2

Giả sử z = a + bi ⇒ ( 2 − 3i )( a + bi ) + ( 4 + i )( a − bi ) + (1 + 3i ) = 0

6a + 4b = 8 a = −2 ⇔ 6a + 4b − 8 − ( 2a + 2b − 6 ) i = 0 ⇔  ⇔ . 2a + 2b = 6 b = 5 Vậy 2a − 3b = −19 .

1 . 2

H B.

1 có phần thực bằng 2− z

số thực thì

Câu 13 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Nếu số phức z thỏa mãn z = 2 và z không phải

D. không xác định được giá trị chính xác.

C. 4.

1 . 4

Đáp án B

Giả sử z = a + bi ( a, b ∈ ℝ, b ≠ 0 ) . z = 2 ⇒ a 2 + b 2 = 4 .

1 1 2 − a + bi 2 − a + bi 2 − a + bi 1 b i. = = = = = + 2 2 2 2 2 2 − z 2 − a − bi ( 2 − a ) − b i 4 − 4a + a + b 8 − 4a 4 8 − 4a

KÈ

Ta có

Câu 14 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Cho số phức z thỏa mãn z − 1 + i + z + 2 − 3i = 5

ẠY

và w = z − i . Gọi T là giá trị lớn nhất của w . Tìm T .

A. T = 5 .

B. T = 2 5 .

C. T = 2 2 .

Đáp án C

Giả sử z = x + yi, ( x, y ∈ ℝ ) . Theo giả thiết x − 1 + ( y + 1) i + ( x + 2 ) + ( y − 3 ) i = 5

D. T =

2 . 5

+ ( y − 1) + 2  +

⇔

( x − 1) + ( y + 1)

⇔

( x − 1)

( x + 2)

+ ( y − 3) = 5

( x + 2)

+ ( y − 1) − 2  = 5

M ′ ( x; y − 1) .

FF IC IA L

Số phức w = z − i = x + ( y − 1) i được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ bởi điểm

Đặt A (1; −2 ) , B ( −2;2 ) ⇒ AM ′ + M ′B = 5 . Mà AB = 5 nên M ′ thuộc đoạn AB . Do đó max w = max {OA, OB} = 2 2 .

Câu 15 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018). Điểm M ( −1; 2) trong mặt phẳng phức Oxy biểu diễn cho số phức nào sau đây?

A. z1 = 2 − i .

C. z3 = −1 + 2i .

Đáp án C Câu 16.

(GV Nguyễn Thanh Tùng 2018) Cho số phức z thỏa mãn

5(1 − i ) = 6 − 6i . Trong các điểm dưới đây, điểm nào biểu diễn số phức z trong mặt 1 + 2i

phẳng phức Oxy?

A. M (2;5) .

C. P (2; −5) .

D. Q ( −2; −5) .

B. N ( −2;5) .

(1 + i ) z +

D. z4 = −2 + i .

B. z2 = 1 − 2i .

Đáp án C

5 (1 − i ) 1 + 2i = 2 − 5i . 1+ i

6 − 6i −

Sử dụng máy tính Casio z =

Vậy điểm biểu diễn số phức z là ( 2; −5 ) .

Câu 17 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Cho số phức z có phần ảo là số âm và là nghiệm 2

KÈ

của phương trình ( z − 2 ) + z 2 = 0 . Môđun của số phức w = iz +

B. 2 2 .

2 là z

C. 2.

D. 4.

ẠY

Đáp án B

⇔ 2 z 2 − 4 z + 4 = 0 ⇔ z1,2 = 1 ± i ⇒ z = 1 − i ⇒ w = i (1 − i ) +

2 = 2 + 2i ⇒ z = 2 2 1− i

Câu 18. (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018) Trong các số phức z thỏa mãn z = z − 3 + 4i , số phức có môđun nhỏ nhất là

A. z =

3 + 2i . 2

B. z =

3 − 2i . 2

C. z = 3 + 4i .

D. z = 3 − 4i .

Đáp án A Giả sử z = x + yi ( x, y ∈ ℝ ) . 2

FF IC IA L

⇒ x + yi = ( x − 3) + ( 4 − y ) i ⇔ x 2 + y 2 = ( x − 3) + ( 4 − y ) ⇔ 6 x + 8 y − 25 = 0 Các điểm biểu diễn số phức z thoản mãn yêu cầu đề bài là M ∈ ∆ : 6 x + 8 y − 25 = 0 .

⇒ z = OM và OM nhỏ nhất khi M là hình chiếu của O lên ∆ hay OM ⊥ ∆ . Phương trình đường thẳng OM là 8 x − 6 y = 0 .

3  6 x + 8 y − 25 = 0 x = Tọa độ M là nghiệm của hệ phương trình  ⇔ 2. 8 x − 6 y = 0  y = 2

3 + 2i . 2

V ậy z =

Câu 19 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Cho số phức z có phần thực dương thỏa mãn 2

z − iz = (1 + 2i ) .z . Biết w = 5 z − 4i , khi đó w2017 có đáp số nào sau đây?

A. w2017 = 22017 (1 + i ) . B. w2017 = 23025 (1 + i ) . C. w2017 = −22017 i .

D. w2017 = −23026 i .

Đáp án B

Giả sử z = x + yi ( x, y ∈ ℝ ) . Theo đề bài ta có

KÈ

 x2 + y2 − x − y = 0 x 2 + y 2 − ( x + yi ) i = (1 + 2i )( x − yi ) ⇔ x 2 + y 2 − x − y − ( 3x − y ) i = 0 ⇔  3x − y = 0 2 6 Do x > 0 nên x = ⇒ y = ⇒ w = 2 + 2i 5 5 V ậy w

2017

= ( 2 + 2i )

2017

ẠY

π  π . 2  sin + i cos  4 4 

3025

(1 + i )

2017

( 2)

2017

1   1 + i  2   2

2017π  2017π = 23025. 2  sin + i cos 4 4 

2017

 3025  = 2 (1 + i ) . 

Câu 20. (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018) Cho số phức z có phần ảo hơn phần thực 1 đơn vị và z 2 là số thuần ảo. Khi đó môđun của z là

1 . 2

Đáp án C

1 . 4

2 . 2

Số phức cần tìm có dạng z = a + (1 + a ) i ( a ∈ R ) . Ta có z 2 = a 2 − (1 + a ) + 2a (1 + a ) i là 2

số thuần ảo nên a 2 = (1 + a ) ⇔ a = −1 − a ⇔ a =

2 −1 −1 1 . ⇒z= + i⇒ z = 2 2 2 2

A. 3.

B. 2.

FF IC IA L

Câu 21 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Cho số phức z = 2 − 3i . Phần ảo của số thức z là? C. -3. D. -2.

Đáp án A.

Z = 2 − 3i → z = 2 + 3i.

(GV Nguyễn Thanh Tùng 2018) Cho số phức z ( 3 + 2i ) − 4 − 7i = 0 . Tổng phần

Câu 22.

thực và phần ảo của z là

B. -1.

C. 1.

Đáp án C.

Câu 23.

4 + 7i ⇔ z = 2 + i → z = 2 − i. 3 + 2i

z ( 3 + 2i ) − 4 − 7i = 0 ⇔ z =

D. 2.

A. 3.

(GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Cho số phức z = 2 − 3i . Môđun của số phức

B. w = 5.

D. w = 10.

Đáp án C.

C. w = 13.

A. w = 17.

w = iz + z + 7 bằng bao nhiêu?

w = iz + z + 7 = i ( 2 − 3i ) + ( 2 + 3i ) + 7 = 12 + 5i → w = 13. (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018) Cho số phức z1 = 1 − 2i và z 2 = i . Biết

Câu 24.

2 . 2

w 2017 là 21008

C. 1.

D. 2.

KÈ

w = z1 + z 2 . Môđun của số phức

Đáp án B.

ẠY

  π  π  → w = z1 + z 2 = 1 − i = 2 cos  −  + i sin  −    4    4

→w

2017

   π  π   =  2  cos  −  + i sin  −     4      4

2017

  2017π   2017 π   = 21008. 2  cos  −  + i sin  −  4  4     

Câu 25. (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018) Trong các kết luận sau, kết luận nào sai?

A. Môđun của số phức z là một số thực.

B. Môđun của số phức z là một số thực

không âm.

C. Môđun của số phức z là một số phức.

D. Môđun của số phức z là một số thực

dương.

FF IC IA L

Đáp án D

Câu 26 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Cho số phức z = 2 − 3i . Khi đó phần ảo của số phức z là

A. 3

B. -3

C. -2

D. 2

Đáp án A Ta có z = 2 − 3i ⇒ z = 2 + 3i , suy ra z có phần ảo là: 3.

(GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Nếu z = i là nghiệm phức của phương trình

Câu 27

z 2 + az + b = 0 với a, b ∈ ℝ thì a + b bằng B. 2

C. -2

A. -1

Đáp án D

D. 1

Do z = i là nghiệm phức của phương trình z 2 + az + b = 0 nên suy ra:

b − 1 = 0 a = 0 ⇔ ⇒ a + b =1. i 2 + ai + b = 0 ⇔ b − 1 + ai = 0 ⇔  b =1  a=0 2

Câu 28 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Cho số phức z thỏa mãn (1 + z ) là số thực. Tập

hợp điểm M biểu diễn số phức z là

B. Parabol

C. Một đường thẳng

D. Hai đường thẳng

A. Đường tròn Đáp án D

đó:

(1 + z )

KÈ

Khi

Gọi M ( x; y ) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi 2

= (1 + x + yi ) = (1 + x ) − y 2 + 2 (1 + x ) yi

là

số

thực

 x = −1 ⇔ 2 (1 + x ) y = 0 ⇔   y=0

ẠY

Suy ra tập hợp biểu diễn số phức z là hai đường thẳng x = −1 và y = 0 .

Câu 29 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018). Cho số phức z thỏa mãn z.z = 13 . Biết M là điểm biểu diễn số phức z và M thuộc đường thẳng y = −3 nằm trong góc phần tư thứ ba trên mặt

phẳng Oxy. Khi đó môdun của số phức w = z − 3 + 15i bằng bao nhiêu?

A. w = 5 Đáp án C

B. w = 3 17

C. w = 13

D. w = 2 5

Gọi số phức z = a + bi , a, b ∈ ℝ . Từ z.z = 13 suy ra a 2 + b 2 = 13 . Mặt khác M

(là điểm biểu diễn của số phức z ) thuộc

đường thẳng y = −3 nên ta có b = −3 , suy ra a = ±2 .

z = −2 − 3i . Vậy w = z − 3 + 15i = −2 − 3i − 3 + 15i = 13 .

Câu

(GV

Nguyễn

Thanh

Tùng

2018).

Cho

FF IC IA L

Lại vì M nằm trong góc phần tư thứ ba của mp Oxy nên ta chọn được a = −2 , suy ra

số

phức

thỏa

mãn

z − 1 − 3i + 2 z − 4 + i ≤ 5 . Khi đó số phức w = z + 1 − 11i có môdun bằng bao nhiêu? A. 12

B. 3 2

C. 2 3

D. 13

Đáp án D

Dùng máy tính và lệnh CALC trong chế độ số phức, ta tìm số phức z thỏa mãn

z − 1 − 3i + 2 z − 4 + i ≤ 5 .

Ví dụ với z = 4 − i thì dấu “=” xảy ra, ta tính được w = z + 1 − 11i = 4 − 12i = 13 .

được tính theo công thức nào sau đây?

Câu 31 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ℝ) . Môdun của z

B. z = a 2 + b 2 .

C. z = a − b .

D. z = a 2 + b 2 .

A. z = a + b .

Đáp án D.

Câu 32. (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018) Số phức z thỏa mãn iz + 3 z = 3 − 7i . Khi đó điểm

B. N ( −2;3) .

C. P ( −2; −3) .

D. Q ( 2;3) .

A. M ( 2; −3) .

nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng phức Oxy?

Đáp án D.

( a; b ∈ R ) → z = a − bi

KÈ

z = a + bi

iz + 3z = 3 − 7i → i ( a + bi ) + 3 ( a − bi ) = 3 − 7i → ( 3a − b ) + ( a − 3b ) i = 3 − 7i

ẠY

3a − b = 3 a = 2 → → → Q ( 2;3) . a − 3b = −7 b = 3

Câu 33 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Biết z1

là số thực và z 2 là số ảo thỏa mãn

2 z1 + 3z2 = 4 − 6i . Khi đó ( z1 + z2 ) có tổng phần thực và phần ảo là: A. −64. Đáp án A.

B. 0.

C. −8.

D. −32.

2z = 4 z = 2 z1 là số thực, z2 là số ảo; 2z1 + 3z2 = 4 – 6i →  1 → 1 3z 2 = −6i  z 2 = −2i 4

→ ( z1 + z 2 ) = ( 2 − 2i )

   π  π   = 2 2 cos  −  + i sin  −    = 64 cos ( −π ) + i sin ( −π )  = −64.  4     4 

FF IC IA L

Câu 34 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018). Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn điều kiện

z.z + z = 2 và z = 2 ? A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Đáp án A. 2

zz + z = 2 ⇔ z + z = 2 ⇔ z + 4 = 2

a 2 + b 2 = 4

8a + 16 = 0

a = −2

⇔ 2 ⇔ ( a; b ∈ R ) →  2 2 2 b = 0 a + b = 4 ( a + 4 ) + b = 4

→ z = −2.

z = a + bi

Câu 35. (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018) Tập hợp các điểm trong mặt phức biểu diễn số phức z thỏa mãn 2iz − 1 = 2 z + 3 là một đường thẳng có phương trình

D. 24 x − 4 y + 35 = 0.

Đáp án D.

( a; b ∈ R )

z = a + bi

C. 24 x + 4 y − 35 = 0.

A. 24 x + 4 y + 35 = 0. B. 24 x − 4 y − 35 = 0.

2iz − 1 = 2 z + 3 ⇔ 2i ( a + bi ) − 1 = 2 a + bi + 3 ⇔ ( −2b − 1) + 2ai = 2 ( a + 3 ) + bi 2

⇔ ( −2b − 1) + ( 2a ) = 4 ( a + 3) + 4b 2 ⇔ 24a − 4b + 35 = 0

Tập hợp các điểm biếu diễn z trên mặt phẳng phức là đường thẳng 24x – 4y + 35 = 0.

Câu 36 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Có bao nhiêu số nguyên dương m không vượt quá m

KÈ

 7+i  2018 thỏa mãn   là số thuần ảo?  4 − 3i 

A. 504.

B. 505.

C. 2017.

D. 2018.

ẠY

Đáp án B. m

m  7+i  z=  = (1 + i ) =  4 − 3i 

z là số thuần ảo ⇔ cos

( ) 2

π π  .  cos + i sin  = 4 4 

mπ mπ π =0⇔ = + kπ 4 4 2

( 2)

mπ mπ   .  cos + i sin  4 4  

( k ∈ Z ) ⇔ m = 2 + 4k

0 < m ≤ 2018 → 0 < 2 + 4k ≤ 2018 → 0 ≤ k ≤ 504 → có 505 số m thỏa mãn.

Câu 1:

(GV Trần Minh Tiến 2018) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z = 3. Biết rằng

tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức w = 3 − 2i + (2 − i) z là một đường tròn. Hãy tính bán kính của đường tròn đó?

B. 3 5

C. 3 3

D. 3 7

Đáp án B Hướng dẫn giải: Đặt w = x + iy ( x, y ∈ ℝ )

w − 3 + 2i x − iy − 3 + 2i = 2−i 2−i

x − iy − 3 + 2i Thay vào z = 3 ta được =3⇔ 2−i 2

( x − 3) + ( y − 2 ) 22 + 1

1 z− z

( z − 1) (1 + iz ) = i. Tính tổng a

+ b2 ?

trình

(GV Trần Minh Tiến 2018) Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) thỏa mãn phương

Câu 2:

Kết luận R = 3 5 . Dễ dàng chọn được B.

⇔ ( x − 3) + ( y − 2 ) = 45.

Ta có w = 3 − 2i + ( 2 − i ) z ⇔ z =

FF IC IA L

A. 3 2

B. 2 + 2 2

C. 3 − 2 2

D. 4

A. 3 + 2 2

Hướng dẫn giải:

( z − 1) (1 + iz ) = i ⇔ ( z − 1) (1 + iz ) z = i ⇔ ( z − 1) (1 + iz ) z = i 1

Dễ dàng ta có

Đáp án A

KÈ

z−

1 z

z.z − 1

()

z −1

Điều kiện z − 1 ≠ 0 ⇔ a 2 + b 2 ≠ 1

ẠY

(1) ⇔ (1 + iz ) z = i ( z + 1) ⇔ z + i z

⇔ a + ( a 2 + b2 − b ) i =

(

= i ( z + 1) ⇔ a − bi + i ( a 2 + b 2 ) =

)

a 2 + b2 + 1 i

a = 0 a = 0 ⇔ 2 ⇔  2 2 2 2 a + b − b = a + b + 1 b − b = b + 1( 2 )

b = 1 + 2 + Với b > 0 suy ra ( 2 ) ⇔ b 2 − 2b − 1 = 0 ⇔  ⇒ b = 1+ 2 b = 1 − 2

(

)

a 2 + b2 + 1 i

+ Với b > 0 suy ra ( 2 ) ⇔ b2 = 1 loại vì a 2 + b 2 = 1 Vậy ta đã tìm ra đáp án và hoàn thành xong bài toán 2

(GV Trần Minh Tiến 2018): Tìm phần ảo của số phức z = ( l − i ) + (l + i) 2 ?

Câu 3:

B. −4

C. 2

D. 4

FF IC IA L

A. 0 Đáp án A Hướng dẫn giải: 2

Ta có z = ( l − i ) + (l + i) 2 = −2i + 2i = 0

Câu 4:

(GV Trần Minh Tiến 2018): Cho số phức z thỏa mãn z =

A. w = 2

số phức w = i.z + z ?

B. w = 3 2 C. w = 4 2 D. w = 2 2

Đáp án B

(GV Trần Minh Tiến 2018): Cho số phức z = −3 − 4i. Tìm môđun của số phức

Đáp án A

U B. 2

C. 5

25 ? z

w = iz +

Câu 5:

1 + 3i + ( −1 − 2i ) = −3 − 3i ⇒ z = 3 2 1− i

Và w = i.z + z = i.

1 + 3i = −1 + 2i ⇒ z = −1 − 2i 1− i

Hướng dẫn giải: Ta có z =

1 + 3i . Tìm môđun của 1− i

25 ( 3 − 4i ) 25 = −3i − 4i 2 − = −3 − 4i ( 3 + 4i )( 3 − 4i )

KÈ

w = i ( −3 − 4i ) +

= −3i + 4 −

75 − 100i = −3i + 4 − ( 3 − 4i ) = 1 + i 9 − 16i 2

ẠY

⇒ w = 12 + 12 = 2

Câu 6:

(GV Trần Minh Tiến 2018) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z = 3 . Biết

rằng tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức w = 3 − 2i + ( 2 − i ) z là một đường tròn. Hãy tính bán kính của đường tròn đó? A. 3 2 Đáp án B

B. 3 5

C. 3 3

D. 3 7

Đặt w = x + iy, ( x, y ∈ ℝ ) , w − 3 + 2i x − iy − 3 + 2i = 2−i 2−i

x − iy − 3 + 2i Thay vào z = 3 ta được: =3⇔ 2−i 2

( x − 3) + ( y − 2 ) 22 + 1

⇔ ( x − 3) + ( y − 2 ) = 45. Kết luận R = 3 5

trình

(GV Trần Minh Tiến 2018) Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) thỏa mãn phương

( z − 1) (1 + iz ) = i. Tính a

1 z− z

A. 3 + 2 2

+ b2 ?

B. 2 + 2 2

C. 3 − 2 2

D. 4

Đáp án A

Câu 7:

FF IC IA L

w = 3 − 2i + ( 2 − i ) z ⇔ z =

Ta dễ dàng có được:

( z − 1) (1 + iz ) = i ⇔ ( z − 1) (1 + iz ) z = i ⇔ ( z − 1) (1 + iz ) z = i 1 2

1 z− z

z.z − 1

()

z −1

Điều kiện: z − 1 ≠ 0 ⇔ a 2 + b 2 ≠ 1

(1) ⇔ (1 + iz ) z = i ( z + 1) ⇔ z + i z

(

)

a 2 + b2 + 1 i

)

a 2 + b2 + 1 i

⇔ a + ( a 2 + b2 − b ) i =

= i ( z + 1) ⇔ a − bi + i ( a 2 + b 2 ) =

KÈ

a = 0 a = 0 ⇔ 2 ⇔ 2 2 2 2 a + b − b = a + b + 1 b − b = b + 1, ( 2 )  b = 1 + 2

+ Với b > 0 suy ra ( 2 ) ⇔ b 2 − 2b − 1 = 0 ⇔ 

 b = 1 − 2

⇒ b = 1+ 2

ẠY

+ Với b < 0 suy ra ( 2 ) ⇔ b 2 = 1 loại vì a 2 + b 2 = 1. Vậy là ta đã tìm ra kết quả và

hoàn thành xong bài toán. 2

Câu 8: (GV Trần Minh Tiến 2018)Tìm phần ảo của số phức z = (1 − i ) + (1 + i ) ? A. 0 Đáp án A

B. –4

C. 2

D. 4

Ta có: z = (1 − i ) + (1 + i ) = −2i + 2i = 0 Câu 9:

(GV Trần Minh Tiến 2018) Cho số phức z thỏa mãn z =

1 + 3i . Tìm modul 1− i

A. w = 2

B. w = 3 2

C. w = 4 2

Đáp án B 1 + 3i = −1 + 2i ⇒ z = −1 − 2i, 1− i

Có z =

1 + 3i + ( −1 − 2i ) = −3 − 3i ⇒ z = 3 2 1− i

D. w = 2 2

w = i.z + z = i.

FF IC IA L

của số phức w = i.z + z

Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn z + 2 = 2 là một đường tròn tâm

I , bán kính R . Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w thỏa mãn i w + 2i = w − 2 là một đường thẳng được kí hiệu là d . Trả lời Câu hoi từ Câu 10 đến Câu 12.

biểu diễn cho số phức nào sau đây?

A. z′ = 2 .

(GV Trần Minh Tiến 2018) Điểm I trong một hệ tọa độ vuông góc của mặt phẳng

Câu 10:

B. z′ = −2 .

D. z′ = 2 + i .

Đáp án B.

C. z′ = −2 + i .

⇔

( x + 2)

Hướng dẫn giải: Đặt z = x + yi , với x, y ∈ ℝ . Ta có z + 2 = 2 ⇔ x + 2 + yi = 2 2

+ y2 = 2 ⇔ ( x + 2) + y2 = 4

(GV Trần Minh Tiến 2018) Tỉ số

KÈ

Câu 11:

Tập hợp các điểm biểu diễn là đường tròn tâm I ( −2;0 ) , bán kính R = 2 .

R d (I;d )

( với d ( I ; d ) là khoảng cách từ I

ẠY

đến đường thẳng d ) có giá trị bằng bao nhiêu? A. 2 .

3 . 4

C. 1 .

1 . 2

Đáp án C. Hướng dẫn giải: Đặt w = a + bi , với a, b ∈ R .

Ta có 2

i w + 2i = w − 2 ⇔ i ( a − bi ) + 2i = a − 2 + bi ⇔ b 2 + ( a + 2 ) =

( a − 2)

+ b2 ⇔ a = 0

Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w là đường thẳng có phương trình x = 0 . Theo đề bài d ( I , d ) =

−2 2

=2⇒

R 2 = =1. d (I,d ) 2 2

thì z1 = m ∈ R . Tính tổng m + R + d ( I ; d ) ?

A. 2 − 2 .

B. 2 + 2 .

C. 4 + 2 .

D. 4 − 2 .

Đáp án C. Hướng dẫn giải: Ta có được

(

( x − 1) + ( y − 1)

) +4

P = ( z1 − i − 1 ) + 4 =  ( x − 1) + ( y − 1) i  + 4 =

FF IC IA L

Câu 12 (GV Trần Minh Tiến 2018): Cho P = ( z1 − i − 1 ) + 4 , khi P đạt giá trị nhỏ nhất

= ( x − 1) + ( y − 1) + 4 . Vì ( x − 1) ≥ 0, ( y − 1) ≥ 0

( x − 1)2 = 0 x = 1 ⇔ ⇒ z1 = 1 + i Nên P = ( x − 1) + ( y − 1) + 4 đạt giá trị nhỏ nhất khi  2 y =1 ( y − 1) = 0 2

Môđun của số phức z khi P đạt giá trị nhỏ nhất là z1 = 2 .

A. 1.

C. −1 .

D. 5 .

B. 4 .

Câu 13 (GV Trần Minh Tiến 2018): Tìm x biết ( x + 1) + 3 ( y − 1) i = 5 − 6i ?

Đáp án B.

( x + 1) = 5 x = 4 ⇔ Hướng dẫn giải: Có được ( x + 1) + 3 ( y − 1) i = 5 − 6i ⇔  .  y = −1 3 ( y − 1) = −6

25 ? z

KÈ

w = iz +

Câu 14 (GV Trần Minh Tiến 2018): Cho số phức z = −3 − 4i . Tìm mô đun của số phức

B. 2

C. 5

ẠY

Đáp án A.

Hướng dẫn giải: Ta có: w = i ( −3 − 4i ) +

25. ( 3 − 4i ) 25 = −3i − 4i 2 − −3 − 4i ( 3 + 4i )( 3 − 4i )

= −3i + 4 −

75 − 100i = −3i + 4 − ( 3 − 4i ) = 1 + i ⇒ w = 12 + 12 = 2 2 9 − 16i

Câu 15:

(GV Trần Minh Tiến 2018) Cho số phức z =

lớn nhất của z?

−m + i , m ∈ ℝ . Tìm mô đun 1 − m ( m − 2i )

A. 1

B. 0

1 2

D. 2

Đáp án A. −m + i m i 1 = 2 + 2 ⇒ z = ≤1 2 1 − m ( m − 2i ) m + 1 m + 1 m +1

FF IC IA L

* Hướng dẫn giải: Ta có: z =

⇒ z max = 1 ⇔ z = i, m = 0

(GV Trần Minh Tiến 2018) Cho số phức z thỏa mãn z − 2 i + z + 2 i = 4 . Phần

Câu 16:

thực của số phức z có giá trị là?

A. -2

B. -1

C. 0

D. 1

Đáp án C.

* Hướng dẫn giải: Đặt z = x + yi , với x, y ∈ R . Ta có: z − 2i + z + 2i = 4 2

⇔ x + ( y − 2) i + x + ( y + 2) i = 4 ⇔ x2 + ( y − 2) + x2 + ( y + 2) = 4

 x 2 + ( y + 2 )2 ≤ 4  ⇔  −4 y = 16 − 8 x 2 + ( y + 2 ) 2 + 4 y 

⇔ x + ( y − 2) = 4 − x + ( y + 2)

 x 2 + ( y + 2 ) ≤ 16  x 2 + ( y + 2 )2 ≤ 16   ⇔ ⇔  y ≥ −2 ⇒x=0 2  x 2 + ( y + 2 ) = y + 2  2 2 2  x + ( y + 2 ) = ( y + 2 )

Phần thực của số phức z là 0

(GV Trần Minh Tiến 2018)Cho số phức z có z = m, ( m > 0 ) . Với z ≠ m , tìm 1 ? m− z

Câu 17:

KÈ

phần thực của số phức

A. m

1 m

1 4m

ẠY

Đáp án D.

* Hướng dẫn giải: Gọi Re ( z ) là phần thực của số phức z. Ta xét: 1 1 1 m−z+m−z 2m − z − z  1  + + = = 2 = m − z  m − z  m − z m − z (m − z) m − z m + z.z − mz − mz

(

)

2m − z − z 2m − z − z 1  1  1 ⇒ Re  = = = 2 m 2m − mz − mz m 2m − z − z  m − z  2m

(

)

1 2m

Câu 18:

(GV Trần Minh Tiến 2018) Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z thỏa mãn

tổng môdun các số phức w1 = z− 2i và w 2 = z+ 2i bằng 8 là một?

A. Đường thẳng.

B. Parapol.

C. Elip.

D. Đường tròn.

Đáp án: C.

FF IC IA L

Hướng dẫn giải: Đặt z = x + yi , với x, y ∈ ℝ . Ta có: w1 + w 2 = 8 ⇔ x + ( y− 2 ) i + x + ( y+ 2 ) i = 8 2

 x 2 + ( y+ 2 )2 ≤ 8  x 2 + ( y+ 2 )2 ≤ 64   ⇔ ⇔ 2 2 2 2 x 2 + ( y+ 2 )2 = y+ 8 4  x + ( y+ 2 )  = ( y+ 8 ) 

⇔ x 2 + ( y− 2 ) + x 2 + ( y+ 2 ) = 8 ⇔ x 2 + ( y− 2 ) = 8 − x 2 + ( y+ 2 )

 x 2 + ( y + 2 )2 ≤ 64  x 2 + ( y + 2 )2 ≤ 64  x 2 + ( y + 2 )2 ≤ 64  . ⇔ ⇔ ⇔  x 2 y2 2 2 2 2 2 =1  +  4 x + 4 y + 16 y + 16 = y + 16 y + 64  4 x + 3 y = 48  12 16

Tập hợp các điểm biểu diễ của số phức z là một đường elip có phương trình

(GV Trần Minh Tiến 2018)Trong các số phức thỏa mãn điều kiện

Câu 19

x 2 y2 + = 1. 12 16

B. 3 5

C. 3 2

D. 3 + 2

z − 2 − 4i = z − 2i . Tìm môdun nhỏ nhất của số phức z+ 2i. ?

Đáp án: C.

Hướng dẫn giải: Gọi z = x+ yi, ( x, y ∈ ℝ ) .

Ta có: z − 2 − 4i = z − 2i ⇔

KÈ

(x − 2) 2 + (y − 4) 2 = x 2 + (y − 2) 2 ⇔ x+ y − 4 = 0 ⇔ y = 4 − x . 2

Ta có: z+ 2i = x 2 + ( y+ 2 ) = x 2 + ( 6 − x ) = 2 x 2 − 12 x+ 36 = 2 ( x − 3) +18 ≥ 18

ẠY

⇒ z+ 2i min = 18 = 3 2 khi z = 3 + i .

Câu 20:

(GV Trần Minh Tiến 2018) Số phức z thỏa mãn điều kiện z + 2i− 2 = z+ 4 và

môdun của nó nhỏ nhất là?

A. z =

2 1 + i. 5 5

Đáp án: A.

B. z = 1 − i.

C. z =

1 2 − i. 5 5

D. z = 1 + i.

Hướng dẫn giải: Đặt z = x+ yi , với x, y ∈ ℝ . Ta có: z + 2i − 2 = z+ 2 ⇔ x − 2 + ( 2 − y ) i = x + 2 + yi ⇔ −4 x − 4 y + 8 = 4 x + 4 ⇔ y = −2x + 1 . 2

FF IC IA L

Ta lại có: z = x 2 + y 2 nhỏ nhất. x 2 + y 2 = x 2 + ( −2 x + 1) = 5x 2 − 4x + 1 . Xét hàm số f ( x ) = 5x 2 − 4x + 1 ⇒ f ′ ( x ) = 10x − 4 ⇒ f ′ ( x ) = 0 ⇔ x =

2 . 5

2 1 1 Lập bảng biến thiên ta dễ dàng suy ra được ⇒ minf ( x ) = tại x = ⇒ y = . 5 5 5 x∈ℝ

Câu 21:

2 1 + i. 5 5

Điểm biểu diễn của số phức z là z =

(GV Trần Minh Tiến 2018)Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu

A. Hình tròn có tâm I(0; −1) và bán kính R = 2 .

diễn các số phức z thỏa mãn: z − i = (1 + i) z ?

B. Hình tròn có tâm I(0; −1) và bán kính R = 2 .

C. Đường tròn có tâm I(0; −1) và bán kính R = 2 .

D. Đường tròn có tâm I(0; −1) và bán kính R = 2 .

Đáp án: D.

⇔ −2 b + 1 = a 2 + b 2 ⇔ a 2 + ( b + 1) = 2

(GV Trần Minh Tiến 2018) Trong mặt phẳng phức, tập hợp các điểm biểu diễn

Câu 22:

(a− b) + (a+ b)

⇔ a 2 + ( b − 1) =

Hướng dẫn giải: Ta có: z − i = (1 + i ) z ⇔ a + bi − i = (1 + i )( a + bi )

KÈ

của số phức z = x + yi, với x,y ∈ ℝ thỏa mãn:

1 là số phức thuần ảo khi x, y thỏa mãn các z+i

điều kiện nào dưới đây?

ẠY

x ≠ 0 A.   y = −1

x ≠ 0 B.  y =1

x = 0 C.  y =1

x = 0 D.   y ≠ −1

Đáp án D Hướng dẫn giải: Ta có:

x − ( y + 1) i ( y + 1) i . 1 1 x = = 2 = 2 − 2 2 2 2 z + i x + ( y + 1) i x − ( y + 1) x − ( y + 1) x − ( y + 1)

x  =0 x = 0 2  2 Thỏa đề khi  x − ( y + 1) ⇔ .  y ≠ −1  y +1 ≠ 0 

A. z = 34

B. z = 34

C. z =

5 34 3

Đáp án A

FF IC IA L

Câu 23 (GV Trần Minh Tiến 2018) Tính môđun của số phức z thỏa mãn z(2 − i) + 13i = 1

D. z =

Hướng dẫn giải: Có z =

(13 − i )( 2 + i ) ⇒ z =  27  +  11  = 34 1 − 13i ⇔z=     2−i 5  5  5

(GV Trần Minh Tiến 2018) Cho đường thẳng d : x = y + 1 và tập hợp các điểm

Câu 24:

34 3

biểu diễn của số phức z thỏa mãn z − 1 = 2 . Phát biểu nào dưới đây đúng?

A. Đường thẳng d cắt tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z tại hai điểm phân biệt.

B. Đường thẳng d cắt tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z tại một điểm duy nhất.

C. Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z là một elip.

D. Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z là một đường thẳng. Đáp án A

Hướng dẫn giải: Đặt z = a + bi , với a, b ∈ ℝ . 2

Ta có : z − 1 = 2 ⇔ ( a − 1) + bi = 2 ⇔ ( a − 1) + b 2 = 4

+ y2 = 4 .

(C )

có phương trình

( x − 1)

Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z là đường tròn

KÈ

 y = 2 ( x − 1) 2 + y 2 = 4  x = y + 1  Khi d giao với đường tròn ( C ) , ta được :  ⇔ 2 ⇔   y = − 2 2 y = 4   x = y + 1 x = y +1

ẠY

Câu 25:

(GV Trần Minh Tiến 2018) Ký hiệu z 0 là nghiệm phức có phần ảo dương của

phương trình 4z 2 − 16z + 17 = 0 . Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn

của số phức w = iz0 ?

1  A. M1  ; 2  2  Đáp án B

 1  B. M 2  − ; 2   2 

 1  C. M 3  − ;1  4 

1  D. M 4  ;1 4 

1 1 1  1  Hướng dẫn giải: Ta dễ có được z0 = 2 + i ⇒ w = 2i + i 2 = − + 2i ⇒ M  − ; 2  2 2 2  2  (GV Trần Minh Tiến 2018) Tập hợp các số phức w = (1 + i ) z + 1 với z là số phức

Câu 26:

A. 4π .

B. 2π .

FF IC IA L

thoả mãn z − 1 ≤ 1 là hình tròn. Tính diện tích hình tròn đó?

C. 3π .

D. π .

Đáp án B

Hướng dẫn giải: Gọi w = x + yi, ( x, y ∈ ℝ ) . Ta có w = (1 + i ) z + 1 ⇔ z =

( x − 2) + ( y −1) i

⇔

1+ i

( x − 2) + ( y −1) i w −1 w −2−i −1 ≤ 1 ⇔ ≤1 ⇔ ≤1 1+ i 1+ i 1+ i 2

Do đó ta có z −1 ≤ 1 ⇔

w −1 1+ i

≤ 1 ⇔ ( x − 2) + ( y −1) ≤ 2

•

Kết luận diện tích hình tròn đó là S = 2π

Câu 27 (GV Trần Minh Tiến 2018): Biết phương trình z 2 + az + b = 0, ( a, b ∈ ℝ ) có một

B. 2.

Đáp án C

D. 3.

Hướng dẫn giải: Ta có z 2 + az + b = 0, (a, b ∈ ℝ ) có một nghiệm là z = 1− i nên

•

C. 2 2 .

nghiệm là z = 1 − i . Tính môđun của số phức w = a + bi ?

a + b = 0 a = −2 ⇔  ⇒ w = −2 + 2i a + 2 = 0  b = 2

(1− i) + a (1− i) + b = 0 ⇔ a + b − i (2 + a) = 0 ⇒ 

(GV Trần Minh Tiến 2018)Cho số phức z bất kỳ. Khẳng định nào sau đây là

KÈ

Câu 28:

w = (−2) + 22 = 2 2

khẳng định sai?

ẠY

A. z 2 = z

B. z.z = z

D. z 2 = z

C. z = z

Đáp án D

•

Hướng dẫn giải: Đặt z = a + bi, (a, b ∈ ℝ ) . Ta có: z = a 2 + b 2 ⇒ z = a 2 + b 2 2

z 2 = (a + bi ) = a 2 + 2abi + (bi ) = a 2 − b 2 + 2abi ≠ z

Câu 29:

(GV Trần Minh Tiến 2018) Cho các số phức z1 ≠ 0, z2 ≠ 0 thỏa mãn điều kiện

2 1 1 z z + = . Tính giá trị của biểu thức P = 1 + 2 ? z1 z2 z1 + z2 z2 z1 1

C. P = 2

Đáp án D Hướng dẫn giải: Ta dễ dàng có được:

3 2 2

FF IC IA L

2 z + z1 2 1 1 1 + = ⇔ 2 = z1 z2 z1 + z2 z1 z2 z1 + z2

2 z + z1 2 1 1 1 + = ⇔ 2 = ⇔ (2 z2 + z1 )( z1 + z2 ) − z1 z2 = 0 z1 z2 z1 + z2 z1 z2 z1 + z2 2

Câu 30:

z  1 = −1 − i z 1 3 2 ⇔ 2 ⇒P= 2+ =  z1 2 2  = −1 + i  z2 

2 1

z  z ⇔ 2 z1 z2 + 2 z2 + z + z1 z2 − z1 z2 = 0 ⇔ 2 z1 z2 + 2 z2 + z = 0 ⇔  1  + 2 1 + 2 = 0 z2  z2  2

(GV Trần Minh Tiến 2018) Cho số phức: z = (1 + i) 2 + (1 + i)3 + ... + (1 + i) 22 . Phần

A. −211 .

B. −211 + 2 .

C. −211 − 2 .

D. 211 .

Đáp án: C.

thực của số phức z là?

Hướng dẫn giải:

Đặt z0 = 1 + i , khi đó z = z 0 2 + z 0 3 + z 0 4 + ... + z 0 22 .

KÈ

Ta có z 0 .z = z 0 3 + z 0 4 + ... + z 0 23 suy ra z.z 0 − z = z 0 23 − z 0 2 ⇔ z(z 0 − 1) = z 0 23 − z 0 2

ẠY

z 0 23 − z 0 2 (1 + i) 23 − (1 + i) 2 ⇔z= = = −2050 − 2048i . z0 −1 1 + i −1 Kết luận phần thực của số phức z là x = −2050 = −211 − 2 .

Câu 31 (GV Trần Minh Tiến 2018): Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn phần thực của

z −1 bằng 0 là đường tròn tâm I, bán kính R z −i

1  −1 −1  A. I  ;  , R = . 2  2 2 

(trừ một điểm)?

1  −1 −1  B. I  ;  , R = 2  2 2 

1 1 1 C. I  ;  , R = 2 2 2

1 1 1 D. I  ;  , R = . 2 2 2

Đáp án: D.

x(x − 1) − (x − 1)(y− 1) i+ xyi− y(y− 1) i 2 x 2 + (y − 1) 2 x(x − 1) + y(y − 1) + [ xy − (x − 1)(y − 1)] i x 2 + (y − 1)2

Mà phần thực bằng 0, do đó 2

x(x − 1) + y(y − 1) = 0 ⇔ x 2 − x + y2 − y = 0 2 2 x + (y − 1)

z − 1 x + yi − 1 (x − 1) + yi [ (x − 1) + yi ] .[ x − (y − 1)i ] = = = z − i x + yi − i x + (y − 1)i [ x + (y − 1)i ][ x − (y − 1)i ]

FF IC IA L

Hướng dẫn giải: Ta có:

(GV Trần Minh Tiến 2018): Cho số phức z = 2 − 3i . Tìm phần ảo của số phức

Câu 32

1  1 1  ⇔ x −  +y−  = . 2  2 2 

A. –9i.

w = (1 + i)z − (2 − i)z ? B. –9.

D. –5i.

Đáp án: C.

C. –5.

Hướng dẫn giải: Ta có w = (1 + i).(2 − 3i) − (2 − i).(2 + 3i) = −2 − 5i .

Câu 33 (GV Trần Minh Tiến 2018): Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn

z − 2 − i = z + 2i là đường thẳng: A. 4x − 2y + 1 = 0 .

B. 4x − 6y − 1 = 0 .

C. 4x+2y − 1 = 0 .

D. 4x − 2y − 1 = 0 .

Đáp án: D.

KÈ

Hướng dẫn giải:

Ta có: x − 2 + (y − 1)i = (x − (y − 2)i ⇔ (x − 2) 2 + (y − 1) 2 = x 2 + (y − 2) 2 ⇔ x 2 − 4x + 4 + y 2 − 2y + 1 = x 2 + y 2 − 4y + 4 ⇔ −4x − 2y + 5 = −4y + 4

ẠY

⇔ 4x − 2y − 1 = 0 .

Câu 1: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tìm số phức z có mô đun nhỏ nhất sao cho z = z + 1 + i3 1 1 A. − − i. 2 2

1 1 C. − + i. 2 2

B. − i

D. i

Đáp án A

Ta có z = z + 1 + i 3 ⇔ a 2 + b2 =

( a + 1) + ( b + 1)

FF IC IA L

Gọi z = a + bi với a, b ∈ ℝ

⇔ a + b + 1 = 0. 2

1 1 1  Khi đó z = a + b = a = ( − a − 1) = 2a + 2a + 1 = 2  a +  + ≥ . 2 2 2  2

Dấu ‘‘=’’ xảy ra khi và chỉ khi a = b = −

1 2

1 1 Vậy số phức z có mô đun nhỏ nhất là z = − − i. 2 2

Câu 2: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trên mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số

phức z thỏa mãn điều kiện 1 ≤ z − 2i < 2 : (Gv Văn Phú Quốc 2018)

A. Hình tròn tâm I ( 0; 2 ) và bán kính R = 2.

B. Hình tròn tâm I ( 0; 2 ) và bán kính R = 1.

C. Hình tròn tâm I ( 0; 2 ) và bán kính R = 2 đồng thời trừ đi phần trong của hình tròn tâm

I ( 0; 2 ) bán kính R ' = 1 .

R ' = 1.

Đáp án D

D. Hình tròn tâm I ( 0; 2 ) và bán kính R = 2 đồng thời trừ đi hình tròn tâm I ( 0; 2 ) bán kính

Gọi z = a + bi với a, b ∈ ℝ 2

KÈ

Ta có 1 ≤ z − 2i < 2 ⇔ 1 ≤ a 2 + ( b − 2 ) < 4. Vậy tập hợp các điểm M là hình tròn tâm I ( 0; 2 ) và bán kính R = 2 đồng thời trừ đi hình

ẠY

tròn tâm I ( 0; 2 ) bán kính R ' = 1 . (Chúng ta thường nhầm lẫn giữa hai đáp án C và D ).

Câu 3: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong các số cho dưới đây, số phức nào là số phức thuần

ảo?

(

2 + 3i

(

2 + 3i +

Đáp án B

)(

2 − 3i

) (

)

2 − 3i

B. ( 2 + 2i )

)

2 − 3i 2 + 3i

Ta có

•

(

2 + 3i

)(

)

2 − 3i = 11∈ ℝ

• ( 2 + 2i ) = 8i là số phức thuần ảo. •

(

)

•

2 − 3i 5 12 = − − i không phải là số phức thuần ảo 1 + 3i 13 13

2 − 3i = 2 2 ∈ ℝ

FF IC IA L

) (

2 + 3i +

Câu 4: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Gọi z1 , z2 , z3 , z4 là 4 nghiệm của phương trình

A. 5

1 1 1 1 + 2 + 2 + 2 : (Gv Văn Phú Quốc 2018) 2 z1 z2 z3 z4

5 . 4

7 . 4

9 . 4

Đáp án D

z 4 − z 3 − 2 z 2 − 2 z + 4 = 0 . Tính T =

z 4 − z 3 − 2 z 2 − 2 z + 4 = 0 ⇔ ( z 2 − 3 z + 2 )( z 2 + 2 z + 2 ) = 0

z = 1 z = 2  z − 3z + 2 = 0 ⇔ 2 ⇔  z = −1 + i  z + 2z + 2 = 0   z = −1 − i

1 1 1 1 9 Khi đó T = + 2 + + = . 1 2 2 2 4

Câu 5: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tìm m để số phức z = 1 + (1 + mi ) + (1 + mi ) là số thuần ảo.

A. m = ± 3

B. m = ± 2

C. m = ± 5

D. m = ±1

KÈ

Đáp án A

Ta có z = 3 − m 2 + 3mi z là số thuần ảo ⇔ 3 − m2 = 0 ⇔ m = ± 3

ẠY

Câu 6: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hình bình hành ABCD. Ba đỉnh A, B, C biểu diễn các

số phức a = 2 − 2i; b = −1 + i và c = 5 + ki với k ∈ ℝ . Tìm k để ABCD là hình chữ nhật

A. k = 5

B. k = 6

C. k = 7

Đáp án C Ta có ABCD là hình bình hành ⇔ CD = BA ⇔ d − c = a − b ⇔ d = a + c − b ⇔ d = 8 + ( m − 3) i ABCD là hình chữ nhật

D. k = 8

⇔ AC = BD ⇔ c − a = d − b ⇔ 3 + ( m + 2 ) i = 9 + ( m − 4 ) i 2

⇔ 32 + ( m + 2 ) = 92 + ( m − 4 ) ⇔ m = 7

B. 20 + 35i

A. 20 − 35i

C. −20 + 35i

Đáp án B

FF IC IA L

Câu 7: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho z1 = 1 − 3i; z2 = 2 + i; z3 = 3 − 4i . Tính z1 z 2 z3 + z 22 z3 D. −20 − 35i

Ta có z1 z2 z3 + z22 z3 = z1.z2 .z3 + z22 z3 = (1 + 3i )( 2 − i )( 3 + 4i ) + ( 2 + i ) ( 3 − 4i ) = 20 + 35i

Câu 39: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho số phức z có phần thực dương thỏa mãn z = 5 và

A. P = 898

13z + 1 z−2 B.

889

888

Đáp án A

998

z − 2 + 3i = 4 . Tính P =

a 2 + b 2 = 5 Theo giả thiết ta có  2 2 ( a − 2 ) + ( b + 3) = 16

Gọi z = a + bi với a, b ∈ ℝ và a > 0

a = 2 Giải hệ trên ta thu được  (thỏa mãn) hoặc b = 1

22  a = − 13 (loại)  b = − 19  13

Do đó z = 2 + i và P = 898

Câu 8: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tìm tập hợp điểm M mà tọa độ phức của nó thỏa mãn điều kiện: (Gv Văn Phú Quốc 2018) z − 2 + i = 1

KÈ

A. Đường tròn tâm I (1; 2 ) bán kính R = 1 B. Đường tròn tâm I ( −1; 2 ) bán kính R = 1

ẠY

C. Đường tròn tâm I ( 2;1) bán kính R = 1

D. Đường tròn tâm I ( 2; −1) bán kính R = 1

Đáp án C Hai số phức liên hợp có môđun bằng nhau, ta suy ra

z − 2 + i = z − 2 + i (vì z − 2 + i = z + ( −2 + i ) = z − 2 − i ) Từ đó ta có z − 2 + i = 1

Đặt z = x + iy ( x , y ∈ ℝ ) Suy ra z − 2 + i = 1 ⇔ ( x − 2 ) + ( y − 1) i = 1

⇔

( x − 2 ) + ( y − 1)

= 1 ⇔ ( x − 2 ) + ( y − 1) = 1

FF IC IA L

Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I ( 2;1) , bán kính R = 1

Câu 9: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hai số phức z 1 , z2 . Đặt u = z1 + z2 ; v = z1 − z2 . Hãy lựa chọn phương án đúng.

A. u = z1 + z 2

B. u = z1 − z 2

C. u + v > u − v

D. u ≤ z1 + z 2 ; v ≥ z1 − z 2

Gọi M, N lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức z1 , z 2 Khi đó OM = z1 , ON = z2

Đáp án D

Sử dụng các bất đẳng thức vectơ quen thuộc ta suy ra được các bắt đẳng thức ở D

i−m 1 − m ( m − 2i )

1 2

. Tìm m để z.z =

Câu 10: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Xét số phức: (Gv Văn Phú Quốc 2018) z =

A. m = 0

C. m = ±1

D. m = ±

1 2

B. m = −1

Đáp án C Ta có

KÈ

( −m + i ) (1 − m 2 − 2mi ) i−m z= = 2 (1 − m 2 ) + 2mi (1 − m2 ) + 4m 2

2 2

(1 − m )

m (1 + m 2 ) + i (1 + m 2 ) 2 2

(1 − m )

m 1 m 1 i⇒z= i + − 2 2 2 1+ m 1+ m 1 + m 1 + m2

ẠY

− m (1 − m 2 ) + 2m + i (1 − m 2 + 2 m 2 )

Do đó z.z =

Câu

11:

m2 + 1 1 1 1 1 ⇔ = ⇔ 2 = ⇔ m2 + 1 = 2 ⇔ m = ±1 2 2 ( m2 + 1) 2 m + 1 2 (Gv

Văn

M = z k + z k +1 + z k + 2 + z k + 3 , k ∈ ℕ*

Phú

Quốc

2018)

Cho

1+ i  z=   1− i 

2021

Tính

A. M = 0

B. M = 1

C. M = 2021

D. M = 2021i

Đáp án A Ta có

1010 1 + i (1 + i )(1 + i ) i 2 + 2i + 1 = = = i ⇒ z = i 2021 = ( i 2 ) i = i 2 1 − i (1 − i )(1 + i ) 1− i

FF IC IA L

Do đó M = z k + z k +1 + z k + 2 + z k +3 = i k + i k +1 + i k + 2 + i k +3 = i k (1 + i + i 2 + i 3 ) = i k (1 + i − 1 − i ) = 0

Câu 11: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Hai số phức z và −

1 có điểm biểu diễn trong mặt phẳng z

phức là A, B. Khi đó

B. O, A, B thẳng hàng

C. ∆OAB đều

D. ∆OAB cân tại O

A. ∆OAB vuông tại O

− x − yi 1 1 x y i =− = 2 =− 2 − 2 2 2 x yi x y x y x y2 − + + + z

−

Đáp án B Ta có OA = ( x; y )

 x y  ⇒ OB =  − 2 ;− 2  2 x + y2   x +y Rõ ràng OA và OB cùng phương nên ba điểm O, A, B thẳng hàng z − 2i là số ảo. Tìm giá trị lớn nhất z−2

Câu 12: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Số phức z thỏa mãn

5 2

C. 2 5

D. 3 5

KÈ

của biểu thức P = z − 1 + z − i

Đáp án C

Đặt z = a + bi với a, b ∈ ℝ

ẠY

Khi đó

z − 2i a + ( b − 2 ) i  a + ( b − 2 ) i  ( a − 2 ) − bi  = = 2 z − 2 ( a − 2 ) + bi ( a − 2) + b2

a ( a − 2) + b (b − 2)

( a − 2)

+ b2

( a − 2 )( b − 2 ) − ab i 2 ( a − 2) + b2

a 2 + b 2 = 2 ( a + b ) a ( a − 2) + b (b − 2) z − 2i =0⇔ là số ảo khi và chỉ khi 2 2 2 z−2 ( a − 2) + b2 ( a − 2 ) + b ≠ 0

Ta có P = z − 1 + z − i = ( a − 1) + bi + a + ( b − 1) i

( a − 1)

+ b 2 + a 2 + ( b − 1)

= 2 ( a + b ) − 2 a + 1 + 1( a + b ) − 2b + 1

= 1 + 2b + 1 + 2a Áp

dụng

bấ t

đẳng

2 ( a + b ) = a2 + b2 ≥

thức

Cauchy

có:

(Gv

1 2 ( a + b) 2

Do đó P 2 ≤ 2 ( 2 + 2 ( a + b ) ) ≤ 20 ⇒ P ≤ 2 5

2019

− 2 2018

D. P = − 1

C. P = 1

KÈ

−1 + 3i 2 ⇒ 2 z + 1 = 3i ⇒ ( 2 x + 1) = −3 2

Khi đó z 2 =

hay z 2 + z + 1 = 0 ⇔ z +

1 = −1 z

1  1 =  z +  − 2 = −1 2 z z  3

z3 =

1  1 1  =  z +  − 3 z +  = 2 z3  z z 

z4 =

1  2 1 =  z + 2  − 2 = −1 z4  z 

ẠY

1   +  z4 + 4  z  

B. P = −2019

Đáp án D

2018

1  +  z3 + 3  z  

A. P = 2019

Ta có z =

2017

2018)

−1 + 3i . Tính giá trị của biểu thức 2

Câu 13: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho số phức z = 1   +  z2 + 2  z  

Quốc

Vậy max P = 2 5 đạt được khi z = 2 + 2i

2016

Phú

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = 2

1  P =z+  z 

Văn

Suy ra a + b ≤ 4

FF IC IA L

= a 2 + b 2 − 2 a + 1 + a 2 + b 2 − 2b + 1

Như vậy P = ( −1)

2016

+ ( −1)

2017

+ 2 2018 + ( −1)

2019

− 2 2018 = −1

Câu 14: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tìm số phức z có mô đun nhỏ nhất thỏa mãn iz − 3 = z − 2 − i

1 2 A. z = − − i 5 5

1 2 B. z = − + i 5 5

C. z =

1 2 − i 5 5

D. z =

1 2 + i 5 5

Đáp án A

( b + 3)

Khi đó iz − 3 = z − 2 − i =

+ a2 =

( a − 2 ) + ( b − 1)

FF IC IA L

Giả sử z = a + bi với a, b ∈ ℝ

⇔ a = −2b − 1 2

2 1 5  Suy ra z = a + b = ( −2b − 1) + b = 5b + 4b + 1 = 9  b +  + ≥ 5 5 5  2

1 2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = − , b = − 5 5

1 2 Vậy số phức z cần tìm là z = − − i 5 5

Câu 14: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hai số phức z1 và z2 .Xét các cặp số phức sau: (Gv Văn

Phú Quốc 2018) (I). z1 + z 2 và z1 + z 2

(II). z1 z2 và z1 z 2

(III). z1 z2 và z1 z 2

Cặp số nào liên hợp?

Đáp án A

z1 z2 = z1.z2 = z1.z 2

KÈ

•

z1 + z2 = z1 + z2 = z1 + z 2

•

D. Chỉ (I) và (III)

Ta có

C. Chỉ (II) và (III)

A. Cả (I), (II) và (III) B. Chỉ (I) và (II)

•

z1 z 2 = z1 .z 2

Câu 15: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong mặt phẳng Oxy, tập hợp các điểm M biểu diễn số

ẠY

phức z thỏa mãn điều kiện z − 4i + z + 4i = 10

A. Một đường tròn

B. Một elip

C. Một hypebol

Đáp án B

Đặt z = x + yi với x, y ∈ ℝ Từ giả thiết bài toán ta có x + yi − 4i + x + yi + 4i = 10 ⇔ x + ( y − 4 ) i + x + ( y + 4 ) i = 10

D. Một parabol

⇔ x 2 + ( y − 4 ) + x 2 + ( y + 4 ) = 10 Gọi F1 ( 0; −4 ) , F ( 0; 4 ) . Khi đó MF1 + MF2 = 10 Vậy tập hợp các điểm M cần tìm là elip nhận F1 F2 = 8 làm tiêu cự, trục lớn bằng 10. Elip này x2 y 2 + =1 9 25

FF IC IA L

có phương trình là

Câu 16: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tìm mô đun của số phức w = b + ci biết số phức 12

A. 3 29

B. 2 29

+ 8bz + 64c = 0

Đáp án C  1 + 3 3 = 1 + 3 3i + 3.3i 2 + 3 3i 3 = −8   3 Ta có  1 − 3 = 1 − 3 3i + 3.3i 2 − 3 3i 3 = −8  2 (1 + i ) = 2i 

29 2

) )

( (

(1 + 3i ) ( 2 − i ) là nghiệm của phương trình z z= (1 − 3i ) (1 + i )

(1 + 3i ) ( 2 − i ) = ( −8) .( 2 − i ) = − 8 ( 2 − i ) = 8 (1 + 2i ) = 8 + 16i Do đó x = i (1 − 3i ) (1 + i ) ( −8) .( 2i ) 6

Theo giả thiết ta có 2

+ 8b ( 8 + 16i ) + 64c = 0

( 8 + 16i )

KÈ

⇔ (1 + i ) + b (1 + 2i ) + c = 0 ⇔ ( 2b + 4 ) i + b + c − 3 = 0

2b + 4 = 0 b = −2 ⇔ ⇔ b + c − 3 = 0 c = 5

ẠY

V ậy w =

( −2 )

+ 52 = 29

Câu 17: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tìm mô đun của số phức w =

(

)

(

z3 + z + 1 biết rằng số phức z2 +1

)

z thỏa mãn điều kiện z + z (1 + i ) + z − z ( 2 + 3i ) = 4 − i

170 10

Đáp án A

171 10

172 10

173 10

Gọi z = a + bi với a, b ∈ ℝ

(

)

(

)

Khi đó phương trình z + z (1 + i ) + z + z ( 2 + 3i ) = 4 − i trở thành: (Gv Văn Phú Quốc 2018) 2 a (1 + i ) + 2b ( 2 + 3i ) = 4 − i ⇔ ( 2 a + 4b ) + ( 2 a + 6b ) i = 4 − i

Ta có: (Gv Văn Phú Quốc 2018) w =

FF IC IA L

1   a = 2  2a + 4b = 4 1 1 ⇔ ⇒z= − i Do đó: (Gv Văn Phú Quốc 2018)  2 2  2a + 6b = −1 b = − 1  2

1 1 1 z3 + z + 1 = z+ 2 . Thay z = − i vào ta được: (Gv 2 2 2 z +1 z +1

1 1 1 1 1 1 13 1 − i+ = − i+ = − i 2 1 2 2 1 1  2 2 − i + 1 10 10  − i  +1 2 2 2  2

170  13   1  Suy ra w =   +  −  = 10  10   10 

Văn Phú Quốc 2018)

đề nào trong các mệnh sau là đúng?

Câu 18: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Gọi D là tập hợp các số phức z mà z − (1 + i ) ≤ 1 . Mệnh

A. D là hình tròn tâm tại gốc tọa độ, bán kính bằng 1.

B. D là hình tròn tâm tại điểm (1; 0 ) , bán kính bằng 1.

C. D là hình tròn tâm tại điểm ( 0;1) , bán kính bằng 1.

D. D là hình tròn tâm tại điểm (1;1) , bán kính bằng 1.

Đáp án D

KÈ

Gọi M là điểm biểu diễn số phức z. Từ z − (1 + i ) ≤ 1 suy ra M nằm trên hình tròn tâm tại

điểm (1;1) (là điểm biểu diễn số phức 1+ i ) và bán kính R = 1 . 5

Câu 19: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Đặt z = (1 + i ) + (1 − i ) . Mệnh đề nào trong các mệnh đề

ẠY

sau là đúng?

A. z là số ảo.

B. z = x + yi với x, y ≠ 0 .

C. z là số thực.

D. z ≠ z .

Đáp án C 5

Ta có (1 + i ) = ∑ C5k .i k ; (1 − i ) = ∑ C5k ( −1) i k . Suy ra trong biểu thức 5

k =0 5

(1 + i ) + (1 − i )

k =0 5

chỉ chứa i 0 ; i 2 ; i 4 nên (1 + i ) + (1 − i ) ∈ ℝ .

Câu 20: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính tổng phần thực và phần ảo của số phức 2

z = 1 + (1 + i ) + (1 + i ) + (1 + i ) + ... + (1 + i ) .

A. 1.

C. 2 20 .

B. 2.

D. 210 .

Ta có z =

(1 + i ) − 1 = (1 + i ) i (1 + i ) − 1

2 − 1 (1 + i )  =

(1 + i ) − 1

FF IC IA L

Đáp án A = −210 + ( 210 + 1) i .

Vậy tổng phần thực và phần ảo của số phức z bằng 1Câu 39: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tìm m ∈ ℝ để phương trình 2 z 2 + 2 ( m − 1) z + 2 m + 1 = 0 có 2 nghiệm phân biệt z1 , z2 ∈ ℂ thỏa mãn z1 + z2 = 10 .

{

}

B. m ∈ 2;3 − 2 5 .

{

}

C. m ∈ 2;3 + 2 5 .

D. m = 3 ± 2 5 .

A. m = 2 .

Câu 21: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho số phức z = a + bi thỏa z + 2iz = 3 + 3i . Tính giá trị

34032 − 32017 52017

A. 0.

của biểu thức P = a 2016 + b 2017 .

B. 2.

34032 − 32017 52017

Đáp án B

D. −

Ta có z = a − bi ⇒ iz = ai + b ⇒ z + 2iz = ( a + 2b ) + ( b + 2 a ) i .

a + 2b = 3 ⇒ a = b = 1 ⇒ P = 12016 + 12017 = 2 . Suy ra  b + 2a = 3

A. z = 1 .

Câu 22: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho số phức z 3 = z . Hỏi khẳng định nào sau đây đúng.

B. z có thể nhận giá trị là số thực hoặc thuần ảo. C. Phần thực của z không lớn hơn 1.

KÈ

D. Đáp án B và C đều đúng.

Đáp án D

ẠY

z =0 3 Ta có z 3 = z ⇒ z = z 3 = z = z ⇔  .  z = 1

Do đó khẳng định A là sai.

Nhận thấy z = 1, z = i thỏa mãn phương trình nên B đúng. Rõ ràng từ z = 0, z = 1 thì phần thực của z không lớn hơn 1 nên khẳng định C cũng đúng

Câu 23: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho z1 , z2 là các số phức thỏa mãn điều kiện  z1 − 2i = 2 iz1 + 1   z2 − 2i = 2 iz2 + 1 .   z1 − z2 = 1

FF IC IA L

Tính P = z1 + z 2 .

C. 15 .

D. 17 .

Đáp án B Đặt z1 = a + bi, z2 = c + di với a, b, c, d ∈ ℝ . Ta có P = z1 + z2 =

( a + c ) + (b + d )

= a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + 2ac + 2bd .

 a 2 + ( b − 2 )2 = 2 (1 − b )2 + a 2  z1 − 2i = 2 iz1 + 1    2 2 Theo đề ta có  z2 − 2i = 2 iz2 + 1 ⇔  c 2 + ( d − 2 ) = 2 (1 − d ) + c 2   2 2  z1 − z2 = 1  ( a − c ) + (b − d ) = 1 

a 2 + b2 = 2 a 2 + b2 + c 2 + d 2 = 4  . ⇔ c 2 + d 2 = 2 ⇒  a 2 + b 2 + c 2 + d 2 − 2ac − 2bd = 1  2ac + 2bd = 3 

Suy ra P = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + 2 ac + 2bd = 7 .

(1 − 3i ) Câu 24: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho số phức z thỏa mãn z =

số phức z + iz .

1− i

A. 8.

B. −8 .

C. 8 2 .

. Tìm mô đun của

D. 16.

KÈ

Đáp án D

Đặt z1 = x1 + iy1 , z 2 = x2 + iy2 .

ẠY

 x12 + y12 = x22 + y22 = 1 ⇒ 2 ( x1 y1 + x2 y2 ) = 1 . Từ giả thiết ta suy ra  2 2 ( x1 + x2 ) + ( y1 + y2 ) = 3

Suy ra 2

z1 − z2 = ( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 ) = ( x1 + x2 ) + ( y1 + y2 ) − 4 ( x1 y1 + x2 y2 ) = 3 − 2 = 1

Vậy z1 − z 2 = 1 .

Câu

25:

(Gv

Văn

Phú

Quốc

2018)

Cho

hai

số

phức

z1 , z2

thỏa

mãn

z1 = z2 = 1; z1 + z2 = 3 . Tính z1 − z 2 .

A. 4.

B. 3.

C. 2.

D. 1.

Đáp án C

1− i

= −4 − 4i ⇒ z = −4 + 4i ⇒ z + iz = −8 − 8i .

Vậy z + iz = 82 + 82 = 8 2

FF IC IA L

(1 − 3i ) Ta có z =

Câu 26: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho số phức z = a + ( a − 3 ) i với a ∈ ℝ . Tìm a để khoảng cách từ điểm biểu diễn của số phức z đến gốc tọa độ là nhỏ nhất.

2 . 3

3 . 2

Gọi M là điểm biểu diễn số phức z. Khi đó

2 . 3

Đáp án C

3 . 2

Dấu “=” xảy ra ⇔ a =

3 9 3 2  . OM = z = a 2 + ( a − 3) = 2  a −  + ≥ 2 2 2 

z + z + i ( z + z ) = 2z .

Câu 27: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa

A. Đườn tròn đơn vị.

B. Tia phân giác của góc phần tư thứ nhất (bao gồm cả gốc tọa độ).

C. Đường thẳng có phương trình y = x + 1

KÈ

D. Đường elip có phương trình

x2 + y2 = 1. 4

Đáp án B

ẠY

Đặt z = x + yi với x, y ∈ ℝ . Suy ra z + z = 2 x .  2 x = 2 x x ≥ 0 z + z + i ( z + z ) = 2 z ⇔ 2 x + i ( 2 x ) = 2 x + 2iy ⇔  ⇔ . y = x 2 x = 2 y

Vậy quỹ tích các điểm biểu diễn số phức z là tia phân giác của góc phần tư thứ nhất (bao gồm cả gốc tọa độ).

Câu

28:

(Gv

Văn

Phú

Quốc

2018)

Cho

phức

z1 , z2

thỏa

mãn

3 3 3 i. C. z = − ± 4 4

D. z =

3 3 3 i. ± 4 4

FF IC IA L

3 3 3 i. B. z = ± 8 8

số

z1 . z2

z1 = 3, z 2 = 4, z1 − z2 = 37 . Tìm các số phức z =

3 3 3 i. A. z = − ± 8 8

hai

Đáp án A Đặt z1 = x1 + iy1 , z2 = x2 + iy2 . Từ giả thiết ta có

z1 z1 z2 z1 z2 −6 ± 6 3i 3 3 3 i. = = 2 = =− ± 16 8 8 z 2 z2 z 2 z2

Vậy z =

 x12 + y12 = 9  x12 + y12 + x22 + y22 x x + y y = = −6  2 1 2 1 2  2 2 ⇒  x2 + y2 = 16   x y − x y 2 = x 2 + y 2 )( x 2 + y 2 ) − ( x x + y y ) = 108 2 2 1 2 2 1 2 1 2 ( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 ) = 37 ( 2 1 1 2 ) ( 1

n ∈ ℕ , n > 3 thỏa mãn phương trình n

Câu 29: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho

A. 3.

B. 2.

C. 1

D. 0

Đáp án D

log 4 ( n − 3 ) + log 4 ( n + 9 ) = 3. Tổng phần thực và phần ảo của số phức z = (1 + i ) .

Ta có log 4 ( n − 3 ) + log 4 ( n + 9 ) = 3 ⇔ log 4 ( n − 3 )( n + 9 ) = 3

n = 7 ⇔ n 2 + 6n − 91 = 0 ⇔   n = −13 3

7 2 z = (1 + i ) = (1 + i ) (1 + i )  = 8 − 8i.  

KÈ

Vậy tổng phần thực và phần ảo của số phức z bằng 0.

ẠY

Câu 30: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho phương trình 8 z 2 − 4 ( a + 1) z + 4 a + 1 = 0 với a là

tham số. Tìm a ∈ ℝ để phương trình có hai nghiệm z1 , z2 thỏa mãn

z1 là số ảo, trong đó z2 z2

là số phức có phần ảo dương.

A. a = 0.

B. a = 2.

C. a ∈ {0; 2} .

Đáp án C Từ giả thiết suy ra z1 , z2 không phải là số thực. Khi đó

D. a ∈ {0;1; 2} .

∆ ' < 0 ⇔ 4 ( a + 1) − 8 ( 4a + 1) < 0 ⇔ 4 ( a 2 − 6a − 1) < 0 (*) Suy ra z1 =

a + 1 − − ( a 2 − 6a − 1) i 2

; z2 =

a + 1 + − ( a 2 − 6a − 1) i 2

= z1

FF IC IA L

a = 0 z1 2 . là số ảo ⇔ z12 là số ảo ⇔ ( a + 1) −  − ( a 2 − 6a − 1)  = 0 ⇔ a 2 − 2a = 0 ⇔  z2 a = 2 Thay vào điều kiện (*) thấy thỏa mãn

Câu 31: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Gọi z1 , z2 , z3 , z4 là các nghiệm của phương trình

+ 1)( z 2 − 2 z + 2 ) = 0. Hãy tính S = z12018 + z22018 + z32018 + z42018

A. S = −2.

B. S = 2.

C. S = −1.

D. S = 1.

Đáp án C

1009 1009

+ 21009 i1009 = −2.

2 1009

)

1009

+ ( −2i )

1009

+ ( 2i )

= −2 + ( −2 )

(

+ ( −i )

1009

Ta có S = z12018 + z 22018 + z32018 + z42018 = ( i 2 )

 z 2 = −1 = i 2  z = ±i Phương trình đã cho tương đương với  2 ⇔ z = 1± i z − 2z + 2 = 0

Câu 32: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho ba số phức a,b,c phân biệt, khác 0 và thỏa mãn

Đáp án B

B. b 2 = ac.

A. b 2 = 4 ac.

nào sau đây là đúng?

a = b = c . Biết một nghiệm của phương trình az 2 + bz + c = 0 có môđun bằng 1. Mệnh đề

C. b 2 = 2 ac.

D. b 2 = 3ac.

Giả sử z1 , z2 là các nghiệm của phương trình az 2 + bz + c = 0 với z1 = 1.

KÈ

Theo định lí Viet ta có: (Gv Văn Phú Quốc 2018) z1 z2 =

c c 1 c 1 ⇔ z2 = ⇒ z2 = . = 1. a a z1 a z1

ẠY

b 2 Bởi vì z1 + z2 = − ; a = b ⇒ z1 + z2 = 1. a

1 1 2 Suy ra ( z1 + z2 ) z1 + z2 1 ⇔ ( z1 + z2 )  +  = 1 ⇔ ( z1 + z2 ) = z1 z2 ⇔ b 2 = ac.  z1 z2 

(

)

Câu 1 (MEGABOOK-2018)Phương trình z 2 + bz + c = 0 có một nghiệm phức là z = 1 − 2i .Tích của hai số b và c bằng:

A. 3

B. −10

C. −2 và 5

D. 5

Đáp án B

FF IC IA L

x = 1 Phương trình z 2 + bz + c = 0 có một nghiệm phức là x 2 − 3x + 2 = 0 ⇔  x = 2 2

⇔ (1 − 2i ) + b (1 − 2i ) + c = 0 ⇔ 1 − 4i − 4 + b − 2bi + c = 0 b + c = 3 c = 5 ⇔ ( −3 + b + c ) + ( −4 − 2b ) i = 0 ⇔  ⇔ −4 − 3b = 0 b = −2 ⇔ b.c = −10

Câu 2: (MEGABOOK-2018) Cho số phức z thỏa mãn z + 1 ≥ l. Tìm giá trị nhỏ nhất của

A. 1

biểu thức P = z 2 + 3z + 2 − z + 1 .

B. 0

C. −2

Đáp án D

D. −1

Ta có P = ( z + 1)( z + 2 ) − z + 1 = z + 1 z + 2 − z + 1

Áp dụng bất đẳng thức A + B ≥ A − B và vì đề cho z + 1 ≥ 1 ta được

P ≥ z + 1 z + 1 − 1 1. ( z + 1 − 1) = z + 1 + ( −1) ≥ −1

Ta thấy P ≥ −1 và dấu bằng xảy ra khi z = −2 nên giá trị nhỏ nhất của P là -1.

Câu 3: (MEGABOOK-2018) Cho số phức z thỏa mãn: z = z − 3 + 4i . Tập hợp các điểm trong mặt phẳng O xy biểu diễn các số phức z là:

B. Đường tròn x 2 + y 2 + 3x + 4y − 12,5 = 0

C. Đường thẳng 2y − 1 = 0

D. Đường tròn tâm tâm I ( 3; −4 ) , bán kính R = 5

KÈ

A. Đường thẳng 6x + 8y = 25

Đáp án A

ẠY

Gọi z = x + yi ( x; y ∈ ℝ )

z = z − 3 + 4i ⇔ x + yi = x − yi − 3 + 4i ⇔ x 2 + y 2 =

( x − 3) + ( 4 − y )

⇔ x 2 + y 2 = x 2 − 6x + 9 + 16 − 8y + y 2 ⇔ 6x + 8y = 25

Câu 4 (MEGABOOK-2018)Kí hiệu z 0 là nghiệm phức có phần thực âm và phần ảo dương của phương trình z 2 + 2z + 10 = 0. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức w = t 2017 z 0

A. M ( 3; −1)

B. M ( 3;1)

C. M ( −3;1)

D. M ( −3; −1)

Đáp án D

FF IC IA L

 z = −1 + 3i z 2 + 2z + 10 = 0 ⇔  . Suy ra z 0 = −1 + 3i  z = −1 − 3i

w = t 2017 z 0 = i. ( −1 + 3i ) = −3 − i Suy ra điểm M ( −3; −1) biểu diễn số phức w

Câu 5: (MEGABOOK-2018) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện log 2 z − ( 3 − 4i ) = 1

B. Đường tròn bán kính 1

C. Đường tròn tâm I ( 3; −4 ) bán kính 2

D. Đường tròn tâm I ( 3; −4 ) bán kính 3

A. Đường thẳng qua gốc tọa độ

Đáp án C Điều kiện z ≠ 3 − 4i

( x − 3) + ( y + 4 )

= 2 ⇔ ( x − 3) + ( y + 4 ) = 4

⇔

Khi đó log 2 z − ( 3 − 4i ) = 1 ⇔ z − ( 3 − 4i ) = 2

Gọi M ( x; y ) với ( x; y ) ≠ ( 3; −4 ) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi; x, y ∈ ℝ

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng tọa độ là Đường tròn tâm

I ( 3; −4 ) bán kính 2

Câu 6: (MEGABOOK-2018) Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) . Biết tập hợp các điểm A

biểu diễn hình học số phức z là đường tròn (C) có tâm I ( 4;3) và bán kính R = 3. Đặt M là giá trị lớn nhất, m là giá trị nhỏ nhất của F = 4a + 3b − 1. Tính giá trị M + m.

KÈ

A. M + m = 63

B. M + m = 48

C. M + m = 50

Đáp án B

ẠY

F = 4a + 3b − 1 ⇒ a =

 F − 3b + 1  2 =9⇔ − 4  + b − 6b + 9 = 9 4   2 2 ⇔ 25b − 2 ( 3F + 3) b + F + 225 = 0 2

( a − 4 ) + ( b − 3)

F − 3b + 1 4

∆ ' = ( 3F + 3) − 25F2 − 5625

∆ ' ≥ 0 ⇔ −16F2 + 18F − 5625 ≥ 0 ⇔ 9 ≤ F ≤ 39

D. M + m = 41

Câu 7: (MEGABOOK-2018) Cho số phức z có z = 2 thì số phức w = z + 3i có modun nhỏ nhất và lớn nhất lần lượt là:

A. 2 và 5

B. 1 và 6

C. 2 và 6

D. 1 và 5

FF IC IA L

Đáp án D

w = z + 3i ⇔ z = w − 3i ⇒ z = w − 3i ⇒ 3 − z ≤ w ≤ 3 + z ⇔ 1 ≤ w ≤ 5. Câu

(MEGABOOK-2018)

Bộ

số

thực

( x; y ) thỏa

( 3 + x ) + (1 + y ) i = 1 + 3i là: A. ( 2; −2 )

B. ( −2; −2 )

C. ( 2; 2 )

(MEGABOOK-2018) Cho số phức z có điểm biểu diễn nằm trên đường thẳng

3 5

4 5

2 5

1 5

3x − 4y − 3 = 0, z nhỏ nhất bằng. A.

thức

( 3 + x ) + (1 + y ) i = 1 + 3i ⇔  Câu 9:

đẳng

D. ( −2; 2 )

Đáp án D 3 + x = 1  x = −2 . ⇔ 1 + y = 3 y = 2

mãn

Đáp án B

Cách 1: Gọi M ( x; y ) biểu diễn số phức z = x + yi

Ta có: z = OM nhỏ nhất khi OM ⊥ d : 3x − 4y − 3 = 0 .

3 Giá trị nhỏ nhất đó là z = OM = d ( O, d ) = . 5

Cách 2: Gọi M ( x; y ) biểu diễn số phức z = x + yi .

KÈ

Do M di động trên d : 3x − 4y − 3 = 0

ẠY

 x = 1 + 4t ⇔ nên M (1 + 4t;3t )  y = 3t

z = OM =

(1 + 4t ) + ( 3t )

4  9 3  = 25t + 8t + 1 = 25 +  t +  + ≥ .  25  25 5 2

3 Vậy giá trị nhỏ nhất z = . 5

Câu 10: (MEGABOOK-2018) Trong mặt phẳng phức, tập hợp các điềm biểu diễn của sổ phức z thỏa mãn điểu kiện z + 2 = i − z đường thẳng ∆ có phương trình:

A. 2x + 4y + 13 = 0

B. 4x + 2y + 3 = 0

C. −2x + 4y − 13 = 0

D. 4x − 2y + 3 = 0

Đáp án B z + 2 = i − z ⇔ x + yi + 2 = i − x − yi ⇔

( x + 2)

+ y 2 = x 2 + (1 − y ) ⇔ 4x + 2y + 3 = 0

) ( 3 − 2i ) C. ( 5 + 2i ) + ( 5 − 2i ) A.

(

FF IC IA L

Câu 11: (MEGABOOK-2018) Số nào trong các số phức sau là số thực? B. ( 3 + 2i ) + ( 3 − 2i )

3 + 2i −

D. (1 + 2i ) + ( −1 + 2i )

Đáp án B

( 3 + 2i ) + ( 3 − 2i ) = 6.

Câu 12: (MEGABOOK-2018)Cho điểm M là điểm biểu diễn của số phức z. Tìm phần thực và phần ảo cuả số phức z.

A. Phần thực là −4 và phần ảo là 3i

B. Phần thực là 3 và phần ảo là −4i D. Phần thực là 4 và phần ảo là −4

Đáp án C

C. Phần thực là −4 và phần ảo là 3

Câu 13 (MEGABOOK-2018)Tập nghiệm của phương trình z 4 − 2z 2 − 8 = 0 là:

{

} {

}

B. ± 2; ±2i C. ± 2i; ±2 D. {±2; ±4i}

A. {±2; ±4i} Đáp án C

Câu 14: (MEGABOOK-2018) Cho số phức z thoả mãn z − 3 + 4i = 2, w = 2z + 1 − i. Khi đó

w có giá trị lớn nhất là:

KÈ

A. 16 + 74

B. 2 + 130

C. 4 + 74

D. 4 + 130

Đáp án D

ẠY

Đặt w = x + yi ⇒ z =

z − 3 + 4i = 2 ⇔

w − 1 + i x − 1 + ( y + 1) i . = 2 2

( x − 7) + ( y + 9) i 2

=2⇔

( x − 7) + ( y + 9)

=>Tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm I ( 7; −9 ) bán kính R = 4 . Khi đó w có giá trị lớn nhất là OI + R = 4 + 130 .

= 4 ⇔ ( x − 7 ) + ( +9 ) = 16.

(

Câu 15: (MEGABOOK-2018) Giá trị của biểu thức z = 1 + i 7 − 4 3

224

(2 + 3)

224

(2 − 3)

226

(2 + 3)

Đáp án A

(

Từ các đáp án suy ra z là 1 số thực dương suy ra z = z = 1 + i 7 − 4 3

(

) (

= 2 2− 3

)

226 12

(2 − 3)

224 12

(2 + 3)

)

z = 1+ i 7 − 4 3

bằng

FF IC IA L

)

Câu 16: (MEGABOOK-2018) Trong các số phức z thỏa mãn z − 1 − 2i + z + 2 − 3i = 10.

9 10 10

3 10 10

7 10 10

Modun nhỏ nhất của số phức z là

10 5

Đáp án C

Trong mặt phẳng Oxy, xét M ( x; y ) diểu diễn cho z, A (1; 2 ) , B ( −2;3)

Do z − 1 − 2i + z + 2 − 3i = 10 ↔ MA + MB = 10 = AB

Suy ra điểm M nằm trên đoạn AB

Bài toán trở thành tìm điểm M thuộc đoạn AB sao cho khoảng cách từ M đến O đạt GTNN

Hiển nhiên điểm M cần tìm là hình chiếu của O trên AB

KÈ

 7 21  Học sinh tìm hình chiếu của O trên AB là M  ;   10 10 

ẠY

Vậy số phức cần tìm là z =

7 21 7 10 + i⇒ z = 10 10 10

Câu 17: (MEGABOOK-2018) Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z = 3 + 2i và B là

điểm biểu diễn của số phức z’ với z ' = −3 − 2i. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau A. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua trục hoành B. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua trục tung C. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua gốc tọa độ O

D. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua đường thẳng y = x Đáp án B

z ' = −3 − 2i ⇒ z ' = −3 + 2i ⇒ B ( −3; 2 ) Vậy Hai điểm A và B đối xứng nhau qua trục tung

FF IC IA L

A là điểm biểu diễn cuả số phức z = 3 + 2i ⇒ A ( 3; 2 )

Câu 18: (MEGABOOK-2018)Gọi z 0 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 2z 2 − 6z + 5 = 0. Tính iz 0 ? 1 3 − i 2 2

B. iz 0 =

1 3 + i 2 2

1 3 C. iz 0 = − + i 2 2

1 3 D. iz 0 = − − i 2 2

A. iz 0 = Đáp án B

Ơ H

3 1 1 3 − i ⇒ iz 0 = + i 2 2 2 2

Do đó z 0 =

1 3  z= + i  2 2 Ta có 2z 2 − 6z + 5 = 0 ⇔  z = 1 − 3 i  2 2

(

)

Câu 19: (MEGABOOK-2018) Biết rằng số phức z thỏa mãn u = ( z + 3 − i ) z + 1 + 3i là

một số thực. Gía trị nhỏ nhất của z là

Đáp án D

B. 4

C. 2

D. 2 2

A. 8

KÈ

Gọi z = a + bi,

Ta có u = a 2 + b 2 + 4a − 4b + 6 + 2 ( a − b + 4 ) i

ẠY

Vì u là một số thực nên a − b + 4 = 0 ⇔ a = b − 4

z = a 2 + b2 =

( b − 4)

(

)

z nhỏ nhất ⇔ 2 ( b − 2 ) + 4 nhỏ nhất ⇔ b − 2 = 0 ⇔ b = 2 Khi đó z = 8 = 2 2

(

+ b 2 2b 2 − 8b + 16 = 2 b 2 − 4b + 8 = 2 ( b − 2 ) + 4

)

Câu 20: (MEGABOOK-2018) Trong mặt phẳng phức, gọi A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z1 = 3 + 2i, z 2 = 3 − 2i, z3 = −3 − 2i. Khẳng định nào sau đây là sai? A. B và C đối xứng nhau qua trục tung

FF IC IA L

 2 B. Trọng tâm của tam giác ABC là điểm G  1;   3 C. A và B đối xứng nhau qua trục hoành

D. A, B, C cùng nằm trên đường tròn tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng 13 Đáp án B

Ta có A ( 3; 2 ) , B ( 3; −2 ) , C ( −3; −2 )

2  Trọng tâm của tam giác ABC là điểm G 1; −  . 3 

Do đó khẳng định B sai

Câu 21 (MEGABOOK-2018)Cho z là một số phức tùy ý khác 0. Khẳng định nào sau đây sai?

z là số ảo z

B. z − z là số ảo

D. z + z là số thực

Đáp án A

C. z.z là số thực

Đặt z = ( a + bi ) ( a 2 + b 2 > 0 ) ⇒ z = a − bi.

z a + bi ( a + bi ) a 2 − b2 2ab z i. Suy ra không là số ảo. = = 2 = + 2 2 2 2 2 a bi a b a b a b − + + + z z

(MEGABOOK-2018): Biết rằng phương trình z 2 + bz + c = 0 ( b, c ∈ ℝ ) có một

KÈ

Câu 22

Ta có:

nghiệm phức là z1 = 1 + 2i . Khi đó:

B. b + c = 3

C. b + c = 0

D. b + c = 7

ẠY

A. b + c = 2

Đáp án B

Phương trình z 2 + bz + c = 0 có một nghiệm phức là z1 = 1 + 2i

 −3 + b + c = 0  b = −2 2 ⇔ (1 + 2i ) + b (1 + 2i ) + c = 0 ⇔ −3 + 4i + b + 2bi + c = 0 ⇔  ⇔ 4 + 2b = 0 c = 5 ⇒ b + c = 3.

Câu 23:

(MEGABOOK-2018) Gọi M và N lấn lượt là điểm biểu diễn của các số phức

A. z1 − z 2 = MN

B. z1 = OM

FF IC IA L

z1 , z 2 như hình vẽ bên. Khi đó khẳng định nào sau đây sai?

C. z 2 = ON

D. z1 + z 2 = MN

Đáp án D Ta có: z1 + z 2 = MN là khẳng định sai.

(c − a ) + (d − b)

Và z1 + z 2 = ( a + c ) + ( b + d ) i ⇒ z1 + z 2 =

(a + c) + (b + d)

≠ MN

(MEGABOOK-2018) Cho các số phức z, w khác 0 và thỏa mãn z là: w

1 4

B. a = 1

C. a =

1 8

D. a = −

1 8

A. a =

z − w = 2 z = w . Phẩn thực của số phức u =

Câu 24:

⇒ M ( a; b ) ; N ( c, d ) ⇒ MN =

Vì giả sử: z1 = a + bi, z 2 = c + di;a, b, c, d ∈ ℝ

Đáp án C

1  z 1  w =2  u = 2 ( *) Ta có: z − w = 2 z = w ⇔  ⇔ z w =  = 1  u − 1 = 1  w

KÈ

1  2 2 a + b = 4 Giả sử u = a + bi, ( a, b ∈ ℝ ) . Khi đó (*) ⇔  (**) . ( a − 1)2 + b 2 = 1 

ẠY

Từ (**) ⇒ −2a + 1 = 1 −

1 1 ⇔a= . 4 8

(

)

Câu 25: (MEGABOOK-2018) Cho số phức z thỏa mãn 1 + i 3 .z = 4i. Tính z 2017 A. −8672 Đáp án C

(

3 +i

)

B. 8672

(

)

3i − 1

C. 8672

(

3 +i

)

(

D. 8672 1 − 3i

)

(

)

Ta có 1 + i 3 z = 4i ⇔ z = 3 + i ⇒ z = 2 Thông thường đối với dạng toán này ta nên tính thử 3 +i

)

) (

)

3 + i . Sau khi tính ta thấy

3 +i ,

= 8i nên ta phân tách như sau

z 2017 = ( z 3 )

672

.z = ( 8i )

672

.(i2 )

2168

(

)

3 + i = 8672

(

3 +i

FF IC IA L

(

)

Câu 26: (MEGABOOK-2018) Tìm giá trị của số thực m sao cho số phức z = số thuần ảo

1 2

C. m = −2

D. m = 2

A. Không tồn tại m. B. m = − Đáp án D

2 − i ( 2 − i )(1 − mi ) ( 2 − m ) − (1 + 2m ) i = = 1 + mi 1 + m2 1 + m2

Do z là số thuần ảo nên 2 − m = 0 hoặc m = 2

Ta có z =

2−i là một 1 + mi

B. −3

C. −4

D. 4

A. −4i

Câu 27 (MEGABOOK-2018)Phần ảo của số phức z = (1 − 2i ) + 1

Đáp án C 2

Ta có z = (1 − 2i ) + 1 = 2 − 4i + ( 2i ) = 2 − 4i + 4i 2 = −2 − 4i

Câu 28 (MEGABOOK-2018): Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn

z+ 2−i = 3

KÈ

A. Đường tròn tâm I ( 2; −1) , bán kính R = 1 B. Đường tròn tâm I ( −2;l ) , bán kính R = 3

ẠY

C. Đường tròn tâm I (1 ; −2 ) , bán kính R = 3

D. Đường tròn tâm I ( −2;l ) , bán kính R = 3

Đáp án D Đặt z = x + yi ( x, y ∈ ℝ ) z + 2 − i = 3 ⇔ x + yi + 2 − i = 3 ⇔

( x + 2 ) + ( y − 1)

= 3 ⇔ ( x + 2 ) + ( y − 1) = 9

Vậy tập hợp nghiệm là đường tròn tâm I ( −2;1) bán kính R = 3

Câu 29 (MEGABOOK-2018)Gọi z1 , z 2 là hai nghiệm phức của phương trình 2

3z 2 − z + 2 = 0. Tính z1 + z 2

11 8 2 4 B. C. D. 9 3 3 3

FF IC IA L

A. −

Đáp án D

z1 + z 2

1 ± i 23 6

2 2  1  2  23  2  4 1 + i 23 1 − i 23 = + = 2   +   = 6 6  6   6   3  

3z 2 − z + 2 = 0 ⇔ z =

Chú ý: ta Nen dùng MTCT chế độ CMPLX để tính toán nhanh

Câu 30 (MEGABOOK-2018)Cho các số phức z1 = 1 + 2i, z 2 = 3 − i. Tìm số phức liên hợp

A. w = 4 − i

của số phức w = z1 + z 2

C. w = −4 + i

D. w = −4 − i

B. w = 4 + i

Đáp án A

w = z1 + z 2 = (1 + 2i ) + ( 3 − i ) = 4 + i ⇒ w = 4 − i.

Câu 31: (MEGABOOK-2018) Cho các số phức z1 = 1 + 3i, z 2 = −5 − 3i. Tìm điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức z 3 , biết rằng trong mặt phẳng phức điểm M nằm trên đường thẳng

x − 2y + 1 = 0 và mô đun số phức w = 3z3 − z 2 − 2z1 đạt giá trị nhỏ nhất.

3 1 3 1  3 1 B. M  ; −  C. M  ;  D. M  − ;  5 5 5 5  5 5

KÈ

 3 1 A. M  − ; −   5 5 Đáp án D

ẠY

Ta có: M ( x; y ) ∈ d : x − 2y + 1 = 0 nên M ( 2y − 1; y ) ⇒ z3 = 2y − 1 + yi

Do đó: w = 3z3 − z 2 − 2z1 = 3 ( 2y − + yi ) − ( −5 − 3i ) − 2 (1 + 3i ) = 6y + ( 3y − 3) i 2

1 4 4 6 5  = 3 5y − 2y + 1 = 3 5  y −  + ≥ 3 = , ∀y ∈ ℝ 5 5 5 5  2

Suy ra: w =

( 6y ) + ( 3y − 3)

Vậy min w =

6 5 1  3 1 ,dấu bằng xảy ra khi y = ⇒ M  − ;  . 5 5  5 5

Câu 32 (MEGABOOK-2018): Cho số phức z = 3 − 2i. Tìm điểm biểu diễn của số phức w = z + iz .

A. M (1; −5 )

B. M ( 5; −5 )

C. M (1;1)

D. M ( 5;1)

Đáp án C

FF IC IA L

Ta có: w = z + iz = 2 − 2i + i ( 3 + 2i ) = 3 − 2i + 3i − 2 = 1 + i Vậy điểm biểu diễn của số phức w là M (1;1) .

Câu 33 (MEGABOOK-2018)Cho phương trình z 2 − 2z + 2 = 0 . Mệnh đề nào sau đây là

A. Phương trình đã cho không có nghiệm nào là số ảo. B. Phương trình đã cho có 2 nghiệm phức.

sai?

D. Phương trình đã cho không có nghiệm thực.

C. Phương trình đã cho không có nghiệm phức.

z 2 − 2z + 2 = 0 ⇔ ( z − 1) = i 2 ⇔ z = 1 ± i

Đáp án C

Câu 34. (MEGABOOK-2018) Cho các số phức z, w thỏa mãn z + 2 − 2i = z − 4i ,

2 2

Đáp án A

B. 2 2

C.2.

w=iz+1. Giá trị nhỏ nhất của w là:

3 2 2

Đặt z = a + bi ( a, b ∈ ℝ, i 2 = −1)

KÈ

Theo đề ta có: ( a + bi ) + 2 − 2i = ( a + bi ) − 4i ⇔ ( a + 2 ) + ( b − 2 ) i = a + ( b − 4 ) i ⇔

( a + 2) + ( b − 2)

= a 2 + ( b − 4) ⇔ (a + 2) + (b − 2) = a 2 + ( b − 4)

ẠY

⇔ a 2 + 4a + 4 + b 2 − 4b + 4 = a 2 + b 2 − 8b + 16 ⇔ b = 2 − a (Dethithpt.com)

Khi đó: w = i ( a + ( 2 − a ) i ) + 1 =

(1 − ( 2 − a ) )

1 1 2  + a = 2a −  + ≥ 2 2 2  2

Câu 35. (MEGABOOK-2018) Cho số phức z thỏa mãn z = 1 . Biết tập hợp các điểm biểu diễn số phức

w = ( 3 − 4i ) z − 1 + 2i là đường tròn tâm I, bán kính R. Tìm tọa đọ tâm I và bán kính R của đường tròn đó. A. I (-1;2); R = 5.

B. I (1;2); R=5

C. I (1;2);R=5

D. I (-1;2);R=5

Ta có: w = ( 3 − 4i ) z − 1 + 2i ⇔ z =

⇒ z =

FF IC IA L

Đáp án D w + 1 − 2i 3 − 4i

w + 1 − 2i w + 1 − 2i = ⇔ w + 1 − 2i = 5 3 − 4i 3 − 4i

Vậy tập hợp điểm biểu diễn w là đường tròn tâm I ( −1; 2 ) , bán kính R = 5

100

+ (1 + z 2 )

B. w = −251

C. w = 251

D. w = −250

A. w = 250 i

Khi đó

100

Đặt w = (1 + z1 )

Câu 36: (MEGABOOK-2018)Gọi z1 , z 2 là các nghiệm của phương trình z 2 + 4z + 5 = 0.

Đáp án B

100

+ ( −1 − i )

= ( −2i ) + ( 2i ) = −251

⇒ w = ( −1 + i )

 z = −2 + i z 2 + 4z + 5 = 0 ⇔  1  z 2 = −2 − i

5 3 Câu 37: (MEGABOOK-2018) Cho số phức z thỏa mãn z + − 2i = z + + 2i . Biết biểu 2 2

thức Q = z − 2 − 4i + z − 4 − 6i đặt giá trị nhỏ nhất tại z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) . Tính P = a − 4b

B. P =

1333 272

C. P = −1

KÈ

A. P = −2

Đáp án A

ẠY

 5   3  Gọi A  − ; 2  , B  − ; −2  tập hợp các điểm z thoả mãn giả thiết  2   2  5 3 z + − 2i = z + + 2i là đường trung trực d của AB có phương trình 2 2

x − 4y + 2 = 0. Xét hai điểm M ( 2; 4 ) , N ( 4;6 ) thì Q = IM + IN với I ∈ d.

D. P =

691 272

 58 28  Do đó Q nhỏ nhất khi và chỉ khi I là giao điểm của M' N với M '  ; −  là điểm đối  17 17 

Câu 38: (MEGABOOK-2018) Điểm A trong hình vẽ bên biểu diễn cho số phức z. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z

A. Phần thực là −3 và phần ảo là 2 B. Phần thực là 3 và phần ảo là −2 C. Phần thực là 3 và phần ảo là −2i

D. Phần thực là −3 và phần ảo là 2i

FF IC IA L

62 24  62 24  xứng của M qua d . Vậy I  ;  ứng với z = + i 17 17  17 17 

Đáp án B

z = 3 + 2i ⇒ z = 3 − 2i

B. z = −1

Đáp án A

C. z = 1

1 . Suy ra z1

1 1 1 z z +z z +z z + + = 2 3 3 1 1 2 = z1z 2 + z 2 z 3 + z 3 z1 z1 z 2 z3 z1z 2 z 3

z1 + z 2 + z 3 = z1 + z 2 + z 3 =

Vì z1 + z 2 + z3 = 0 ⇒ z1z 2 + z 2 z3 + z3z1 = 0 2

KÈ

Do đó z12 + z 22 + z 32 = ( z1 + z 2 + z3 ) − 2 ( z1z 2 + z 2 z3 + z 3 z1 ) = 0

Câu 40 (MEGABOOK-2018) Trên tập số phức ℂ , cho phương trình

ẠY

az 2 + bz + c = 0 ( a, b, c ∈ ℝ; a ≠ 0 ) . Khẳng định nào sau đây sai?

b A. Tổng hai nghiệm của phương trình bằng − . a

B. ∆ = b 2 − 4ac < 0 thì phương trình vô nghiệm. C. Phương trình luôn có nghiệm. D. Tích hai nghiệm của phương trình là

Đáp án B

D. z = −2

Ta có z1 z1 = z1 = 1 ⇒ z1 =

A. z = 0

z1 + z 2 + z3 = 0 . Tính z = z12 + z 22 + z32 .

Câu 39: (MEGABOOK-2018) Cho ba số phức z1 ; z 2 ; z3 thỏa mãn z1 = z 2 = z3 = 1 và

c a

Trong tập số phức ℂ , khi ∆ = b 2 − 4ac < 0 thì phương trình có hai nghiệm phức phân biệt.

Câu 41: (MEGABOOK-2018) Cho số phức z thỏa mãn z = 1 . Biết tập hợp các điểm biểu diễn số phức w = ( 3 − 4i ) z − 1 + 2i là đường tròn tâm I, bán kính R. Tìm tọa độ tâm I và bán

A. I (1; 2 ) ; R = 5

B. I (1; −2 ) ; R = 5

C. I (1; 2 ) ; R = 5

Đáp án D Ta có w = ( 3 − 4i ) z − 1 + 2i ⇔ z =

w + 1 − 2i w + 1 − 2i = ⇔ w + 1 − 2i = 5 3 − 4i 3 − 4i

D. I ( −1; 2 ) ; R = 5

⇒ z =

w + 1 − 2i 3 − 4i

FF IC IA L

kính R của đường tròn đó.

Vậy tập hợp điểm biểu diễn w là đường tròn tâm I = ( −1; 2 ) , bán kính R = 5

z 2 − 20 + z 2 − 10i

z1 − z 2 là:

và z1 − 20 + z1 − 10i = 10 5 . Giá trị lớn nhất của

z1 − 20 + z1 − 10i =

Câu 42 (MEGABOOK-2018)Cho hai số phức z1 , z 2 thỏa mãn

B. 40

C. 30 D. 10 5

Đáp án D

Gọi A ( 20;0 ) , B ( 0;10 )

A. 20

Ta có: z 2 − 20 + z 2 − 10i = 500 do đó M biểu diễn z 2 thuộc đường tròn đường kính AB.

KÈ

Ta có: z 2 − 20 + z1 − 10i = 10 5 do đó N biểu diễn z1 thuộc đường thẳng AB.

z1 − z 2 = MN ≤ AB = 10 5

ẠY

Câu 43: (MEGABOOK-2018) Trong mặt phẳng phức, gọi A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z1 = 3 + 2i, z 2 = 3 − 2i, z3 = −3 − 2i. Khẳng định nào sau đây là sai

A. B và C đối xứng nhau qua trục tung

B. Trọng tâm của tam giác ABC là điểm G C. A và B đối xứng nhau qua trục hoành D. A, B, C nằm trên đường tròn tâm là gốc toạ độ và bán kính bằng 13

Đáp án B Ta có A ( 3; 2 ) , B ( 3; −2 ) , C ( −3; −2 )

FF IC IA L

2  Trọng tâm của tam giác ABC là G 1; −  . 3  Do đó, khẳng định B sai Kiểm tra các khẳng định khác x B = −x C ⇒ A đúng   yB = yC

x A = x B ⇒ B đúng   yA = − yB

OA = OB = OC = 13 ⇒ D đúng

Câu 44: (MEGABOOK-2018) Cho số phức z có phần thực thuộc đoạn [ −2; 2] thỏa 2018

−z

D. 1

Đáp án A

C. −3

B. −7

A. −4

2 z − i = z − z + 2i . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 1 + z − 2 − i

Đặt z = x + yi ( x, y ∈ ℝ )

x2 2 2 Ta có 2 z − i = z − z + 2i ⇔ 4  x 2 + ( y − 1)  = 4 ( y + 1) ⇔ x 2 = 4y ⇔ y =   4

KÈ

Suy ra z max = 5 ⇔ z = 2 + i vì z có phần thực thuộc đoạn [ −2; 2] Ta thấy P nhỏ nhất khi z − 2 − i nhỏ nhất và z lớn nhất, do đó P = 1 + z − 2 − i

2018

− z ≥4

Dấu bằng xảy ra khi z = 2 + i

ẠY

Câu 45 (MEGABOOK-2018)Gọi z 0 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình

2z 2 − 6z + 5 = 0. Điểm nào sau đây biểu diễn số phức iz 0 ?

 1 3 A. M 4  − ;   2 2 Đáp án B

1 3 B. M1  ;  2 2

3 1 C. M 3  ; −  2 2

3 1 D. M 2  ;  2 2

Do đó z 0 =

3 1 + i 2 2 . 3 1 − i 2 2

3 1 1 3 − i ⇒ iz 0 = + i 2 2 2 2

1 3 Điểm biểu diễn số phức iz0 là M1  ;  2 2

FF IC IA L

 z = 2 Ta có 2z − 6z + 5 = 0 ⇔  z = 

Câu 46 (MEGABOOK-2018) Tính môđun của số phức z thỏa mãn ( −5 + 2i ) z = −3 + 4i B. z =

5 29 29

C. z =

5 28 28

5 27 27

Đáp án B.

5 29 −3 + 4i 23 14 = − i⇒ z = 29 −5 + 2i 29 29

Ta có ( −5 + 2i ) z = −3 + 4i ⇒ z =

D. z =

5 31 31

A. z =

 z − i = z − 1 Câu 47: (MEGABOOK-2018)Xét số phức z thỏa mãn  . Mệnh đề nào sau  z − 2i = z đây là đúng?

B. z = 5

C. z = 2

D. z < 2

A. z > 5

Đáp án C.

Đặt z = x + yi, ( x, y ∈ ℝ ) .

Ta có hệ phương trình

ẠY

KÈ

 x 2 + ( y − 1)2 = ( x − 1) 2 + y 2 ⇒ x = y = 1  2 2 2 2  x + ( y − 2 ) = x + y Do đó z = 1 + i nên z = 2

Câu 48: (MEGABOOK-2018) Kí hiệu z 0 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình z 2 + z + 1 = 0 . Tìm trên mặt phẳng tọa độ điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức i w= ? z0  3 1 A. M  − ;   2 2

 3 1 B. M  − ; −  2  2

 3 1 C. M  ;   2 2

 1 3 D. M  ; − −   2 2 

Đáp án B.

Vậy w =

i 1 3 − − i 2 2

=−

 3 1 3 1 − i ⇒ M  − ; −  2 2 2  2

FF IC IA L

1 3 1 3 i ⇒ z0 = − − i Ta có z 2 + z + 1 = 0 ⇔ z1,2 = − ± 2 2 2 2

Câu 49: (MEGABOOK-2018) Cho số phức w và hai số thực a, b. Biết z1 = w + 2i và z 2 = 2w − 3 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 + az + b = 0 . Tính T = z1 + z 2

2 97 2 85 C. T = D. T = 4 13 3 3

A. T = 2 13 B. T = Đáp án B.

Đặt w = x + yi với x, y ∈ R

2 3

⇒ 3y + 2 = 0 ⇔ y = −

Ta có z1 + z 2 = ( x + yi + 2i ) + ( 2x + 2yi − 3) = ( 3x − 3) + ( 3y + 2 ) i = −a

2 Khi đó w = x − i 3

2 Suy ra w = 3 − i 3

2 4  4 4   Mặc khác z1.z 2 =  x − i + 2i  2x − 3 − i  = 2x 2 − 3x + + ( x − 3) i = b ⇒ x = 3 3 3  3 3  

KÈ

4 97 4 97 ; z 2 = 2w − 3 = 3 − i ⇒ z 2 = Khi đó z1 = w + 2i = 3 + i ⇒ z1 = 3 3 3 3

ẠY

Vậy T =

2 97 3

Câu 50: (MEGABOOK-2018) Cho số phức z thỏa mãn z + 2 + z − 2 = 6 . Tìm giá trị nhỏ 2

nhất của biểu thức P = z + 3 − z :

A. -3 Đáp án A.

B. 2

C. -1 D. -4

Ta có: z + 2 + z − 2 = 6 ⇒ z ≤ 3 2

ẠY

KÈ

FF IC IA L

Do đó P = z + 3 − z = z + 3 + ( 3 − z ) − 3 ≥ −3 dấu bằng xảy ra khi z = −3

Câu 1 (Gv Đặng Thành Nam 2018)Cho hai số phức z1 = 1 + 3i, z2 = −2 − 5i. Phần ảo của số phức z1 + z2 bằng A. −1.

B. 8.

C. −2.

D. 3.

Có z1 + z2 = −1 − 2i có phần ảo bằng −2 . Câu 2

FF IC IA L

Đáp án C

(Gv Đặng Thành Nam 2018)Kí hiệu z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình

z 2 + z + 2 2018 = 0. Tính z1 + z2 .

A. 2 2019.

B. 21019.

C. 21010.

D. 2 2018.

Đáp án C

(Gv Đặng Thành Nam 2018): Cho số phức z thoả mãn z = 3 và z 2 + 9 = 9 3.

Câu 3

z1 z2 = 22018 = 21009 ⇒ z1 + z2 = 2.21009 = 21010.

Có z1 = z2 =

A. 3 + 3 3.

Tính P = z + z + z − z .

C. 3 + 3 2.

D. 6 + 3.

B. 3 + 3.

Đáp án A

Theo giả thiết ta có:

)

(

 z.z = z 2 = 9   z.z = 9 ⇔  2  2 2 2 2 2 ( z + 9 ) z + 9 = z + 9 = 243 ( z + 9 )( z + 9 ) = 243

 z. z = 9  z.z = 9 ⇔ ⇔  2 2 2 2 2 z + z = 9 ( z.z ) + 9 ( z + z ) + 81 = 243

KÈ

( z + z )2 = z 2 + z 2 + 2z.z = 9 + 2.9 = 27 ⇒ z + z = 3 3 Do đó  . V ậy P = 3 + 3 3 2 2 2 ( z − z ) = z + z − 2z.z = 9 − 2.9 = −9 ⇒ z + z = 3

Câu 4

(Gv Đặng Thành Nam 2018) Cho số phức z thoả mãn điều kiện

ẠY

z + z + z − z = 2 z 2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = z − 3 − 2i .

A. 19 + 37 .

37 + 19 .

C. 2 + 5.

D. 5 + 2.

Đáp án A Có z = a + bi ⇒ 2a + 2b = 2

Khi đó P =

(

( a − 3) + ( b − 2 )

a 2 + b2

)

⇔ a 2 + b2 = a + b .

. Ta thấy rằng P sẽ đạt giá trị lớn nhất khi a, b cùng âm.

1  1 1  Khi đó điều kiện là a + b = − a − b ⇔  a +  +  b +  = và 2  2 2  2

≤

2 2  1  1  + 52 )   a +  +  b +   + 19 =  2  2   

FF IC IA L

1  1  P = a 2 + b2 − 6a − 4b + 13 = −7 a − 5b + 13 = −7  a +  − 5  b +  + 19 2  2  1 + 52 )   + 19 = 19 + 37 2

a 2 + b2 = −a − b  a + 1 b + 1  2= 2 ⇔ ( a; b ) =  − 37 + 7 37 ; − 37 + 5 37  Dấu bằng đạt tại    −5 74 74    −7 a < 0, b < 0  

Câu 5 (Gv Đặng Thành Nam 2018)Số phức nào dưới đây là một số thuần ảo ? B. z = −2.

C. z = −2i.

A. z = 2 + 2i.

Đáp án C

D. z = −1 + 2i.

Số phức là số thuần ảo nếu phần thực bằng 0.

Câu 6

(Gv Đặng Thành Nam 2018)Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương

KÈ

trình 4 z 2 − 4 z + 3 = 0. Giá trị của biểu thức

3 . 2

z1 z2 bằng + z 2 z1

1 . 3

1 C. − . 2

2 D. − . 3

ẠY

Đáp án D

( z + z ) − 2 z1z2 = z z z +z Ta có 1 + 2 = = 1 2 z2 z1 z1 z2 z1 z2

Câu 7

2 1

2 2

3 1− 2   4  = − 2. 3 3 4

(Gv Đặng Thành Nam 2018)Có bao nhiêu số phức z thoả mãn z − 3i = 5 và

z là số thuần ảo ? z−4

A. 0

B. vô số.

C. 2

D. 1

Đáp án C z 4bi . = bi ⇔ z = bi ( z − 4) ⇔ z (bi − 1) = 4bi ⇔ z = z−4 bi − 1

Khi đó z − 3i =

Câu 8 và

4bi (4b + 3)i + 3b − 3i = = bi − 1 bi − 1

(4b + 3) 2 + (3b) 2 1 = 5 ⇔ b = −1, b = − . 2 5 b +1

FF IC IA L

Ta có

(Gv Đặng Thành Nam 2018)Cho số thực z1 và số phức z2 thoả mãn z2 − 2i = 1

z2 − z1 là số thực. Gọi a,b lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z1 − z2 . 1+ i

Tính T = a + b.

A. T = 4

C. T = 3 2 + 1

Đáp án B

z2 − z1 = k ∈ R ⇔ z2 − a = k (1 + i) ⇔ z2 = a + k + ki. 1+ i

Với z1 = a ∈ R ta có

D. T = 2 + 3

B. T = 4 2

Thay vào giả thiết ta có a + k + (k − 2)i = 1 ⇔ (a + k )2 + (k − 2) 2 = 1

⇔ a 2 + 2ka + 2k 2 − 4k + 3 = 0

∆ ′a ≥ 0 ⇔ k 2 − ( 2k 2 − 4k + 3) ≥ 0 ⇔ 1 ≤ k ≤ 3.

Khi đó z2 − z1 = k 1 + i = 2 k ∈  2;3 2  .

ẠY

KÈ

Cách 2: Gọi M,N lần lượt là điểm biểu diễn của z1 , z2 .

Theo giả thiết M ∈ Ox và N ∈ (C ) : x 2 + ( y − 2) 2 = 1 có tâm I (0; 2) và bán kính R = 1. Và z2 − z1 = k (1 + i)(k ∈ R) ⇒ MN //u (1;1).

Gọi H là hình chiếu vuông góc của N lên Ox, ta có

MN =

NH NH NH = = = 2 NH . sin ( i , u ) 1 sin NMH 2

Do đó

Vậy T = 2 + 3 2 = 4 2.

FF IC IA L

d ( I , Ox ) − R ≤ NH ≤ d ( I , Ox) + R ⇔ 2 − 1 ≤ NH ≤ 2 + 1 ⇒ MN = z2 − z1 ∈  2;3 2  .

Câu 9 (Gv Đặng Thành Nam): Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ). . Xét các mệnh đề sau : (1) z là số thực khi và chỉ khi a ≠ 0, b = 0. (2) z là số thuần ảo khi và chỉ khi a = 0, b ≠ 0.

Số mệnh đề đúng là ?

B. 0.

C. 3.

D. 1.

A. 2.

(3) z vừa là số thực vừa là số thuần ảo khi và chỉ khi a = 0, b = 0.

Với z = a + bi thì

(1) sai

z là số thực khi và chỉ khi b = 0. nên

Đáp án D

(2) sai

z là số thuần ảo khi và chỉ khi a = 0. nên

z vừa là số thực vừa là số thuần ảo khi và chỉ khi a = 0, b = 0. nên

(3) đúng

(Gv Đặng Thành Nam): Nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình

Câu 10

Vậy chỉ có một mệnh đề đúng.

A. z = −1 − 2i.

B. z = 1 − 2i.

C. z = 1 + 2i.

D. z = −2 − i.

Đáp án B

z 2 − 2 z + 5 = 0 là

KÈ

Ta có ( z − 1) 2 = −4 = (2i ) 2 ⇔ z − 1 = ±2i ⇒ z = 1 ± 2i. Nghiệm phức có phần ảo âm là z = 1 − 2i.

Câu 11 (Gv Đặng Thành Nam)Gọi A,B,C lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z, iz

ẠY

và 2z. Biết diện tích tam giác ABC bằng 4. Môđun của số phức z bằng

B. 8.

C. 2.

D. 2 2.

Đáp án D Chú ý M biểu diễn số phức z1 và N biểu diễn số phức z2 ta có MN = z1 − z2 .

 AB = z − iz = z (1 − i) = z . 1 − i = 2 z AC = z − 2 z = z Vậy theo giả thiết có  và  BC = iz − 2 z = z (i − 2) = z . i − 2 = 5 z

 1 + 2 + 5   1 + 2 − 5  1 + 5 − 2  2 + 5 − 1  2 1 2 S ABC =         z = 2 z = 4 ⇒ z = 2 2. 2 2 2 2     

(Gv Đặng Thành Nam) Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ R ) thoả mãn

Câu 12:

z − 2i là số z−2

A. P = 0.

B. P = 4.

C. P = 2 2 + 1.

Đáp án B Theo giả thiết ta có

FF IC IA L

thuần ảo. Khi số phức z có môđun lớn nhất. Tính giá trị biểu thức P = a + b.

D. P = 1 + 3 2.

z − 2i (2 − 2k )i . = ki, k ∈ R ⇔ z − 2i = ki ( z − 2) ⇔ z (1 − ki ) = (2 − 2k )i ⇔ z = z−2 1 − ki

2 2 2 2 2 − 2k 2 (1 + ( −1) )(1 + k ) (2 − 2k )i Khi đó z = = ≤ = 2 2. 1 − ki 1+ k2 1+ k 2

1 1 4i = ⇔ k = −1 và z = = 2 + 2i ⇒ P = 2 + 2 = 4. 1+ i −1 k

Dấu bằng xảy ra ⇔

Câu 13 (Gv Đặng Thành Nam): Điểm A trong hình vẽ bên là điểm

biểu diễn của số phức z.

Tìm phần thực và phần ảo của số phức z .

A. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2.

B. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng −2 .

C. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2i.

Đáp án B

D. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng −2i .

KÈ

Có A(3; 2) ⇒ z = 3 + 2i ⇒ z = 3 − 2i.

Câu 14 (Gv Đặng Thành Nam)Cho phương trình z 2 + bz + c = 0 ( b, c ∈ ℝ ) có một nghiệm phức z = 3 − 2i . Nghiệm phức còn lại của phương trình là

ẠY

A. 3 + 2i

B. −3 − 2i .

C. −3 + 2i .

D. 2 + 3i .

Đáp án A 3b + c + 5 = 0 b = −6 Ta có (3 − 2i ) 2 + b(3 − 2i ) + c = 0 ⇔ 3b + c + 5 − (2b + 12)i = 0 ⇔  ⇔  −(2b + 12) = 0 c = 13

Vậy z 2 − 6 z + 13 = 0 ⇔ z = 3 − 2i, z = 3 + 2i.

*Chú ý mẹo làm nhanh, phương trình bậc hai có nghiệm phức z = 3 − 2i thì sẽ có nghiệm phức z = 3 + 2i.

Câu 15:

(Gv Đặng Thành Nam) Số phức z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) có z = 2 2 và z 2 có phần

của biểu thức P = a + b bằng

A. P = 4 .

B. P = 0 .

C. P = −4 .

D. P = 2 .

Đáp án C Ta có z = 2 2 ⇔ a 2 + b 2 = 2 2 ⇔ a 2 + b 2 = 8. Và z 2 = a 2 − b 2 + 2abi ⇒ 2ab = 8.

a 2 + b2 = 82 ⇔ (a; b) = (2; 2);(−2; −2). Vậy ta có hệ phương trình  ab = 8

Đối chiếu điều kiện nhận a = −2, b = −2.

(Gv Đặng Thành Nam): Gọi S là tập hợp các số phức z thoả mãn z − i ≥ 3 và

Câu 16

FF IC IA L

ảo bằng 8, điểm biểu diễn số phức z nằm trong góc phần tư thứ ba của hệ trục toạ độ. Giá trị

z − 1 ≤ 5 . Kí hiệu z1 , z2 là hai số phức thuộc S và là những số phức có môđun lần lượt nhỏ

nhất và lớn nhất. Tính z2 − z1 .

A. z2 − z1 = 5 .

C. z2 − z1 = 4 10 .

D. z2 − z1 = 10 .

B. z2 − z1 = 2 10 .

Đáp án B

Theo giả thiết, gọi M ( a; b) là điểm biểu diễn số phức z ta có OM = z và M phải nằm ngoài

ẠY

KÈ

hình tròn (C1 ) : x 2 + ( y − 1) 2 ≥ 9 và nằm trong hình tròn (C2 ) : ( x − 1) 2 + y 2 ≤ 25.

Quan sát hình vẽ, ta có OA ≤ OM ≤ OB ⇒ 2 ≤ z ≤ 6.

Vậy min z = 2 ⇔ M ≡ A ⇔ M (0; 2) ⇒ z1 = −2i và

max z = 6 ⇔ M ≡ B ⇔ M (6;0) ⇒ z2 = 6. Vậy z1 − z2 = −6 − 2i = 2 10.

Câu 17

(Gv Đặng Thành Nam) Cho số phức z = 1 − 2i . Điểm biểu diễn của số phức

w = iz trên mặt phẳng toạ độ là điểm nào dưới đây ?

A. M (1; 2 ) .

B. N ( 2;1) .

C. P (1; −2 ) . D. Q ( −2;1) .

Có w = i (1 − 2i ) = 2 + i ⇒ N (2;1) là điểm biểu diễn của số phức w.

Câu 18:

FF IC IA L

Đáp án B

(Gv Đặng Thành Nam) Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức 1 + 2i và

1 − 2i làm nghiệm ? A. z 2 + 2 z + 3 = 0 .

B. z 2 − 2 z − 3 = 0 .

C. z 2 − 2 z + 3 = 0 .

Đáp án C

 z1 + z2 = 2 Có  ⇒ z 2 − 2 z + 3 = 0. z z = (1 + 2 i )(1 − 2 i ) = 3  1 2

D. z 2 + 2 z − 3 = 0 .

Câu 19 (Gv Đặng Thành Nam): Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để

B. 42.

C. 52.

D. 40.

A. 10.

tồn tại duy nhất số phức z thoả mãn z.z = 1 và z − 3 − 4i = m . Tính tổng các phần tử thuộc S.

Đáp án A

 z = 1  a 2 + b 2 = 1 . Đặt z = a + bi có  ⇔ 2 2 2  z − 3 − 4i = m ( a − 3) + (b − 4) = m

Phương trình a 2 + b 2 = 1 là một đường tròn tâm O, R = 1.

Phương trình ( a − 3) 2 + (b − 4) 2 = m 2 là một đường tròn tâm I (3; 4), R = m.

Để có duy nhất số phức thoả mãn thì hệ có nghiệm duy nhất tức hai đường tròn này tiếp xúc

KÈ

m = 6 với nhau ⇔ OI = m ± 1 = 5 ⇔  ( m ≥ 0). m = 4

Câu 20 (Gv Đặng Thành Nam)Cho hai số phức z1 , z2 khác 0 thoả mãn z12 − z1 z 2 + z22 = 0 . Gọi A, B lần lượt là các điểm biểu diễn của z1 , z2 . Tam giác OAB có diện tích bằng

ẠY

của số phức z1 + z2 .

A. 2 3 .

C. 2.

Đáp án A

Từ điều kiện ta sẽ tìm z1 theo z2. 2

z  z z 1 ± 3i Thật vậy có z − z1 z2 + z = 0 ⇔  1  − 1 + 1 = 0 ⇔ 1 = . z2 z2 2  z2  2 1

2 2

D. 4.

3 . Tính môđun

1 ± 3i 1 ± 3i .z2 = . z2 = z2 = OB 2 2

AB = z1 − z2 =

1 ± 3i 1 ± 3i −1 ± 3i .z2 − z2 = − 1 . z2 = . z 2 = z2 2 2 2

Vậy tam giác OAB đều có độ dài cạnh z1 . Khi đó SOAB =

Câu 21

3 z1

= 3 ⇔ z1 = 2 ⇒ z1 + z2 = 2 3.

FF IC IA L

Do đó OA = z1 =

(Gv Đặng Thành Nam) Cho z = 3 − 2i. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. z = −3 − 2i.

B. z = 3 − 2i.

C. z = 3 + 2i.

Đáp án C

(Gv Đặng Thành Nam) Kí hiệu z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình

Câu 22:

Với z = 3 − 2i ⇒ z = 3 + 2i.

D. z = −3 + 2i.

z 2 + 4 = 0. Gọi M,N là các điểm biểu diễn của các số phức z1 , z 2 . Tính T = OM + ON với O

A. T = 2 2.

B. T = 2.

C. T = 8.

D. T = 4.

Đáp án D

là gốc toạ độ.

Có z 2 + 4 = 0 ⇔ z = ±2i ⇒ M (0; −2), N (0; 2) ⇒ OM + ON = 2 + 2 = 4.

Câu 23 (Gv Đặng Thành Nam): Cho số phức z thoả mãn

(2 − i ) z − 3i − 1 = 4. Biết tập hợp z −i

1 là một đường tròn bán kính R. Mệnh đề nào dưới đây đúng iz + 1

điểm biểu diễn số phức w =

KÈ

A. R = 4.

B. R = 4 5.

C. R = 8.

D. R = 2 2.

Đáp án A

ẠY

Có iz + 1 =

1 1 1  1− w . ⇔ z =  − 1 = w iw  iw

Thay vào giả thiết có

1− w − 3i − 1 iw = 4 ⇔ (2 − i)(1 − w) − iw(3i + 1) = 4 ⇔ w + 2 − i = 4. 1− w −i iw

(2 − i )

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm I ( −2;1), R = 4.

Câu 24 (Gv Đặng Thành Nam) Cho số phức z = a + bi (a , b ∈ R ) thoả mãn z − 3 − 3i = 6. Khi P = 2 z + 6 − 3i + 3 z + 1 + 5i đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của biểu thức a + b bằng

A. 2 − 2 5.

B. 4 − 2 5.

C. 2 5 − 2.

D. 2 5 − 4.

FF IC IA L

Đáp án A

Có ( a − 3) 2 + (b − 3) 2 = 36 và P = 2 (a + 6) 2 + (b − 3) 2 + 3 (a + 1) 2 + (b + 5) 2

 4   ( a + 6) 2 + (b − 3) 2  + (a + 1) 2 + (b + 5) 2  = 3  9 

 4  5 ( a + 6) 2 + (b − 3) 2  + ( a − 3) 2 + (b − 3) 2 − 36  + (a + 1) 2 + (b + 5) 2  = 3 9  9 

= 3  ( a + 1) 2 + (b − 3) 2 + ( a + 1) 2 + (b + 5) 2  ≥ 24.  

Dấu bằng đạt tại a = −1, b = 3 − 2 5. Khi đó a + b = 2 − 2 5.

Câu 25 (Gv Đặng Thành Nam): Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức

Đáp án A

B. z = 1 + 2i.

C. z = 2 − i.

D. z = 1 − 2i.

A. z = 2 + i.

nào dưới đây ?

KÈ

Câu 26 (Gv Đặng Thành Nam): Số phức z thoả mãn z = 2 z + 1 + 3i. Phần thực của z bằng A. −1. B. 2.

C. −3. D. 1

ẠY

Đáp án A

 a = −1 Có z = a + b ⇒ a + bi = 2( a − bi ) + 1 + 3 ⇔ a − 3bi = −1 − 3 ⇔  .  b =1

Câu 27:

(Gv Đặng Thành Nam) Phương trình z 2 + bz + c (b, c ∈ R, c > 0) có hai nghiệm

phức z1 , z2 và M,N lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z1 , z2 . Biết rằng tam giác OMN

đều. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? A. b 2 = 3c.

B. b 2 = 2c.

C. b 2 = 5c.

D. b 2 = 6c.

Đáp án A Nếu phương trình có nghiệm thực thì tất cả các nghiệm đều thực do đó ba điểm O,M,Nthẳng hàng

(loại vì không tạo thành tam giác), do đó phương trình có nghiệm phức thực sự, tức

∆ = b 2 − 4c < 0 khi đó z1 = z2 và theo viet ta có z1 = z2 =

FF IC IA L

z1 z2 = c .

 MN =| z − z |= | ( z − z )2 | = | ( z + z ) 2 − 4 z z | = | b 2 − 4c | = 4c − b 2 1 2 1 2 1 2 1 2 . Và  OM = ON = c  Vậy ta có điều kiện tam giác đều là OM = ON = MN ⇔ c = 4c − b 2 ⇔ b 2 = 3c.

(Gv Đặng Thành Nam) Xét tập

(A) gồm các số phức z thoả mãn

z − 2i là số z−2

Câu 28:

thuần ảo và các giá trị thực m,n sao cho chỉ có duy nhất một số phức z ∈ ( A) thoả mãn

B. P = −4.

C. P = 4.

A. P = −2.

z − m − ni = 2. Đặt M = max(m + n ) và N = min( m + n). Tính P = M + N .

Đáp án C

D. P = 2.

Đặt z = a + bi, ta có:

a ( a − 2) + b(b − 2) + [ ( a − 2)(b − 2) − ab ] i ( a − 2) 2 + b 2

z − 2i a + (b − 2)i [ a + (b − 2)i ][ ( a − 2) − bi ] = = z − 2 (a − 2) + bi (a − 2) 2 + b 2

Theo giả thiết, ta có a ( a − 2) + b(b − 2) = 0 ⇔ ( a − 1) 2 + (b − 1) 2 = 2.

Và cũng có ( a − m) 2 + (b − n) 2 = 2.

KÈ

Vì chỉ có duy nhất một số phức z thoả mãn nên hai đường tròn ( C1 ) có I1 (1;1), R1 = 2 và

đường tròn ( C2 ) có I 2 (m; n), R2 = 2 tiếp xúc với nhau.

ẠY

 I I = R1 + R2 = 2 2 V ậy  1 2 .  I1 I 2 =| R1 − R2 |= 0

 I I = R1 + R2 = 2 2 Trường hợp  1 2 .  I1 I 2 =| R1 − R2 |= 0 nên có vô số

(không thoả mãn) vì lúc đó hai đường tròn trùng nhau

(a;b) thoả mãn (a − 1) 2 + (b − 1) 2 = 2.

Vậy I1 I 2 = 2 2 ⇔ (m − 1) 2 + (n − 1) 2 = 8. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy –Schwarz, ta có

m + n − 2 = (m − 1) + (n − 1) ≤

+ 12 )( (m − 1) 2 + (n − 1)2 ) = 2 × 8 = 4

⇒ −4 ≤ m + n − 2 ≤ 4 ⇔ −2 ≤ m + n ≤ 6 ⇒ M = 6, N = −2 ⇒ P = 4.

Câu 29 (Gv Đặng Thành Nam): Số phức liên hợp của số phức z = 2 + 3i là B. 2 − 3i.

C. −3 + 2i.

D. −2 − 3i.

FF IC IA L

A. 3 − 2i. Đáp án B Câu 30

(Gv Đặng Thành Nam) Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình

z 2 − 2 z + 3 = 0. Tính z1 + z2 .

A. 2 2.

B. 3.

C. 2 3.

D. 2.

Đáp án C

(Gv Đặng Thành Nam): Gọi M,N lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z1 , z2 .

Câu 31

1 C. − . 6

3 . 6

1 3 . B. − . 6 6

= 600 , z = 2, z = 6. Tìm phần thực của số phức u = z1 . Biết MON 1 2 z2

Đáp án A

z1 = a + bi thì z2

Đặt u =

OM =| z1 |= 2  Có  ON =| z2 |= 6 ⇒ MN =| z1 − z2 |= OM 2 + ON 2 − 2OM .ON .cos 600 = 2 7.  0  MON = 60

KÈ

|z | 2 1  1  1  | u |= 1 = = a= a2 + b2 =    | z | 6 3 6 2    9 . ⇒ ⇔  | u − 1 |= | z1 − z2 | = 2 7 = 7 (a − 1)2 + b 2 = 7 b = ± 3   9  6 | z2 | 6 3 Câu 32 (Gv Đặng Thành Nam): Cho số phức z thoả mãn z.z = 1. Gọi M,m lần lượt là giá

ẠY

trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = z 2 + z 3 + 1 − z + z 2 . Tính giá trị của biểu

thức T =

M . 4m 2 + 1

13 . 12

Đáp án B

1 . 4

3 . 13

3 . 4

Vì z = 1 nên z 2 + z 3 = z 2 (1 + z ) = z 2 . 1 + z = 1 + z . Do đó P = 1 + z + z 2 − z + 1 và cũng có z = 1 ⇒ z = cos x + i sin x. Khi đó

( cos x + 1)

( cos 2 x − cos x + 1)

= 2 + 2 cos x +

( 2 cos

= 2 + 2 cos x +

( 2 cos x − 1)

+ ( sin x ) +

x − cos x ) + sin 2 x ( 2 cos x − 1) 2

( cos

x + sin 2 x )

+ ( sin 2 x − sin x )

ẠY

KÈ

13 13  1  = 2 + 2 cos x + 2 cos x − 1 ∈  3;  ⇒ T = 4 = . 4 12 + 1 4 

FF IC IA L

P = z + 1 + z2 − z + 1 =

Câu 1 ( Sở GD&ĐT Đà Nẵng2018): Cho số phức z = 3 + 5i có điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là M. Tìm tọa độ điểm M. A. M ( 3; −5 ) . B. M ( −3; −5 ) .

C. M ( 3;5 ) .

D. M ( 5;3) .

FF IC IA L

Đáp án C. Chú ý rằng số phức z = 3 + 5i được biểu diễn bởi điểm M ( a; b ) trên mặt phẳng tọa độ.

Câu 2 ( Sở GD&ĐT Đà Nẵng2018): Phương trình z 2 + z + 3 = 0 có 2 nghiệm z1 , z2 trên tập số phức. Tính giá trị biểu thức P = z12 + z22

A. P = −5.

B. P = −

21 . 2

C. P = 6.

D. P = 7.

Đáp án A. 2

P = ( z1 + z2 ) − 2 z1 z2 = ( −1) − 2.3 = −5.

Câu 3: ( Sở GD&ĐT Đà Nẵng2018) Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 = z2 = 17. Gọi

M, N lần lượt là các điểm biểu diễn z1 , z2 trên mặt phẳng tọa độ. Biết MN = 3 2, gọi H là

17 . 2

B. l = 5 2.

C. l =

A. l =

đỉnh thứ tư của hình bình hành OMHN và K là trung điểm của ON. Tính l = KH .

Đáp án C.

D. l =

5 2 . 2

b2 + c 2 a 2 − . 2 4

Ghi nhớ: Công thức đường trung tuyến: ma2 =

3 13 . 2

Gọi E là giao điểm của OH và MN. OM 2 + ON 2 MN 2 9 25 − = 17 − = ⇒ OH 2 = 50. 2 4 2 2

Ta có: OE 2 =

3 13 HN 2 + HO 2 ON 2 OM 2 + OH 2 ON 2 17 + 50 17 117 . − = − = − = ⇒ HK = 2 4 2 4 2 4 4 2

KÈ HK 2 =

Câu 4: ( Sở GD&ĐT Đà Nẵng2018) Trên tập hợp số phức cho phương trình z 2 + bz + c = 0

ẠY

với b, c ∈ R. Biết rằng hai nghiệm của phương trình có dạng w + 3 và 3w − 8i + 13 với w là

số phức. Tính S = b 2 − c 3 .

A. S = -496.

B. S = 0.

Đáp án A. Đặt z1 = w + 3 = m + ni; z2 = 3w − 8i + 13 = m − ni. Ta có:

C. S = -26.

D. S = 8.

w = z1 − 3 =

m = −2 z 2 + 8i − 13 1 ⇒ m + ni − 3 = ( m − ni + 8i − 13) ⇔ 2m + 4 + ( 4n − 8 ) i = 0 ⇔  3 3 n = 2

FF IC IA L

b = 4 −b = z1 + z2 = 2m = −4 Do đó:  . Do đó b 2 − c3 = 4 2 − 83 = −496. ⇒ 2 = 8 c c = z z = − 2 + 2 i − 2 − 2 i = 4 − 4 i = 8 ( )( )  1 2  Câu 5 (Sở Giáo Dục-ĐT Bình Phước 2018): Nếu z = i là một nghiệm của phương trình z 2 + az + b = 0 với ( a, b ∈ ℝ ) thì a + b bằng

A. 2

B. −1

C. 1

D. −2

Đáp án C Do z = i là một nghiệm của phương trình nên i 2 + ai + b = 0

a = 0 ⇔ −1 + ai + b = 0 ⇒  ⇒ a + b =1 b = 1

Câu 6 : (Sở Giáo Dục-ĐT Bình Phước 2018)

B. 13

C. 5

A. 25

Gọi z 0 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình z 2 − 6z + 13 = 0. Tính z 0 + 1 − i

Đáp án C

D. 13

 z = 3 + 2i PT ⇔  ⇒ z 0 = 3 − 2i ⇒ z 0 = 1 − i = 4 − 3i ⇒ z 0 + 1 − i = 5  z = 3 − 2i

Câu 7 (Sở Giáo Dục-ĐT Bình Phước 2018): Cho số phức z = 6 + 7i. Số phức liên hợp của z

Đáp án C

B. ( 6;7 )

C. ( 6; −7 )

D. ( −6;7 )

A. ( −6; −7 )

có điểm biểu diễn hình học là

KÈ

Ta có z = 6 + 7i ⇒ z = 6 − 7i suy ra điểm biểu diễn số phức z là M ( 6; −7 )

Câu 8 : (Sở Giáo Dục-ĐT Bình Phước 2018) Cho số phức z = −1 + 2i. Số phức z được biểu diễn bởi điểm nào dưới đây trên mặt

ẠY

phẳng tọa độ?

A. P (1; 2 )

B. N (1; −2 )

C. Q ( −1; −2 )

Đáp án C Ta có: z = −1 + 2i ⇒ z = −1 − 2i

Câu 9: (Sở Giáo Dục-ĐT Bình Phước 2018) Cho số phức z thỏa mãn: z − 2z = −7 + 3i + z. Tính z .

D. M ( −1; 2 )

A. 3

13 4

25 4

D. 5

Đáp án D Đặt z = a + bi ( a; b ∈ ℝ ) ta có:

a 2 + b 2 − 2 ( a − bi ) = −7 + 3i + a + bi

FF IC IA L

 a 2 + b 2 = 3a − 7  a 2 + 9 = 3a − 7 (1) ⇔ a 2 + b 2 = 3a − 7 + 3i − bi ⇔  ⇔ b = 3 b = 3 7  a ≥ Lại có: (1) ⇔  ⇔a =4⇒ z =5 3 2 2 a + 9 = 9a − 42a + 49 

Câu 10 : (Sở Giáo Dục-ĐT Bình Phước 2018)

 z − 3 − 2i ≤ 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu Cho hai số phức z, w thỏa mãn   w + 1 + 2i ≤ w − 2 − i

B. Pmin = 2 + 1

C. Pmin =

3 2 −2 2

5 2 −2 2

D. Pmin =

2 2 +1 2

A. Pmin =

thức P = z − w .

Đáp án C

Đặt z = x + yi ( x, y ∈ ℝ ) , khi đó z − 3 − 2i ≤ 1 ⇔ ( x − 3 ) + ( y − 2 ) ≤ 1 .

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z là miền trong đường tròn ( x − 3 ) + ( y − 2 ) = 1.

Đặt w = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) , khi đó w + 1 + 2i ≤ w − 2 − i ⇔ a + b ≤ 0

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức w là miền x + y ≤ 0, bờ là đường thẳng x + y = 0 . 2

KÈ

Gọi ( C ) : ( x − 3 ) + ( y − 2 ) = 1 có tâm I ( 3; 2 ) , bán kính R = 1và ∆ : x + y = 0 . Do đó P = z − w = MN ⇒ MN min = d ( I; ( ∆ ) ) − R =

5 5 2 −2 . −1 = 2 2

ẠY

Câu 11 ( Sở giáo dục đào tạo Thanh Hóa 2018): Tính môđun của số phức z = 3 + 4i

A. 3

B. 5

C. 7

Đáp án B Ta có z = 32 + 4 2 = 5

Câu 12 ( Sở giáo dục đào tạo Thanh Hóa 2018): Gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức z1 = 2, z 2 = 4i, z3 = 2 + 4i. Tính diện tích tam giác ABC.

A. 8

B. 2

C. 6

D. 4

Đáp án D

FF IC IA L

AC ( 0; 4 ) ⇒ AC.BC = 0 ⇒ ∆ABC vuông tại C Ta có A ( 2; 0 ) , B ( 0; 4 ) ,C ( 2; 4 ) ⇒  BC ( 2;0 ) 1 Do đó SABC = CA.CB = 4 2

Câu 13 ( Sở giáo dục đào tạo Thanh Hóa 2018): Gọi z1 , z 2 , z3 , z 4 là bốn nghiệm phân biệt của phương trình z 4 + z 2 + 1 = 0 trên tập số phức. Tính giá trị của biểu thức 2

T = z1 + z 2 + z 3 + z 4

B. 8

C. 6

D. 4

A. 2

Đáp án D

 1± i 3 z = z − z + 1 = 0 2 4 2 2 2 ⇔ Ta có z + z + 1 = 0 ⇔ ( z − z + 1)( z + z + 1) = 0 ⇔  2  −1 ± i 3 z + z + 1 = 0 z =  2

Vậy T = z1 + z 2 + z 3 + z 4

1+ i 3 = 4. =4 2

Câu 14 ( Sở giáo dục đào tạo Thanh Hóa 2018): Cho z1 , z 2 là hai trong các số phức z thỏa

mãn điều kiện z − 5 − 3i = 5 và z1 − z 2 = 8. Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức

w = z1 + z 2 trong mặt phẳng tọa độ Oxy là đường tròn có phương trình nào dưới đây? 2

KÈ

5  3 9  A.  x −  +  y −  = 2  2 4  2

C. ( x − 10 ) + ( y − 6 ) = 16

B. ( x − 10 ) + ( y − 6 ) = 36 2

5  3  D.  x −  +  y −  = 9 2  2 

ẠY

Đáp án B

 w = z1 − 5 − 3i Đặt  1 suy ra w1 +w 2 = z1 + z 2 − 10 − 6i = w − 10 − 6i ⇔ w1 +w 2 = w − 10 − 6i  w 2 = z 2 − 5 − 3i

 w1 = w 2 = 5 2 2 2 2 2 Mà  và w1 + w 2 + w1 − w 2 = 2 w1 + w 2 ⇒ w1 + w 2 = 36  w1 − w 2 = z1 − z 2

(

)

Vậy w − 10 − 6i w1 +w 2 = 36 = 6 ⇒ w thuộc đường tròn tâm I (10;6 ) , bán kính R = 6

Cách 2: Gọi A ( z1 ) ; B ( z 2 ) biểu diễn 2 số phwucs z1 , z 2 Gọi H là trung điểm của AB ⇒ w = z1 + z 2 = OA + OB = 2OH (1) 2

Mặt khác IH = IA 2 − HA 2 = 3 ⇒ tập hợp điểm H là đường tròn ( x − 5 ) + ( y − 3 ) = 9 ( C ) 2

FF IC IA L

2 2 a b a  b  Giả sử w ( a; b ) , (1) ⇒ H  ;  ∈ ( C ) ⇒  − 5  +  − 3  = 9 ⇔ ( a − 10 ) + ( y − 6 ) = 36 2 2 2  2 

Câu 15 (Sở GDĐT Bắc Giang -Lần 2): Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình

3 i. 2

z1 z2 + bằng z2 z1 B. −

3 3 + i. 2 2

C. −

3 . 2

Đáp án D

3 D. − . 2

2 z 2 + 3 z + 3 = 0 . Khi đó

A. z = 5 .

Câu 16 (Sở GDĐT Bắc Giang -Lần 2): Mô đun của số phức z = (1 + 2i )( 2 − i ) là D. z = 6 .

Đáp án A

C. z = 10 .

B. z = 5 .

A. −2 . B. −1 . C. 1. D. 3 .

Đáp án C

Câu 17 (Sở GDĐT Bắc Giang -Lần 2): Phần thực của số phức z = 1 − 2i là

Câu 18 : (Sở GDĐT Bắc Giang -Lần 2)

Cho số phức z thoả mãn z + z ≤ 2 và z − z ≤ 2 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và

giá trị nhỏ nhất của T = z − 2i . Tổng M + m bằng

2 + 10 .

KÈ

A. 1 + 10 . Đáp án A

Đặt z = x + yi , z có điểm biểu diễn là E ( x; y )

ẠY

z + z ≤ 2 ⇔ x + yi + x − yi ≤ 2

⇔ 2 x ≤ 2 ⇔ x ≤ 1 ⇔ x ∈ [ −1;1]

Tương tự z − z ≤ 2... ⇔ y ∈ [ −1;1] Vậy E ( x; y ) thỏa mãn

C. 4 .

D. 1.

 x ∈ [ −1;1]   y ∈ [ −1;1] ⇒ Điểm biểu diễn của z là E phải nằm trong hình vuông (hoặc nằm trên cạnh của hình

FF IC IA L

vuông).

z − 2i = EH với H ( 0; 2 ) (áp dụng công thức z1 − z2 = M 1M 2 với M1 , M 2 là điểm biểu diễn của z1 , z2 ). Dễ thấy EH đạt GTLN ⇔ E ( 0;1) ⇔ z = 0 + i và min EH = 1  E ( −1; −1)  z = −1 − i EH đạt GTLN ⇔  ⇒ z = 1− 0  E (1; −1)

Và max EH = 12 + 32 = 10

⇒ M + m = 1 + 10 .

Câu 19 (Sở GDĐT Bắc Giang -Lần 2) Cho số phức z thỏa mãn z + 1 + z − 3 − 4i = 10 .

B. Pmin = 34 .

C. Pmin = 2 10 .

A. Pmin = 17 .

Giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức P = z − 1 + 2i bằng

Đáp án A

D. Pmin =

Gọi điểm biểu diễn của z là M ; z = x + yi

z + 1 + z − 3 − 4i = 10

⇔ z − ( −1 + 0i ) + z − ( 3 + 4i ) = 10

⇔ MA + MB = 10

KÈ

Với A ( −1; 0 ) và B ( 3; 4 )

ẠY

⇒ M ∈ elip có độ dài trục lớn là 10 ⇒ 2a = 10 ⇒ a = 5 và hai tiêu điểm A, B Mà AB = ( 4; 4 ) ⇒ AB = 4 2

⇒ 2c = 4 2 ⇒ c = 2 2

P = z − 1 + 2i P = x − yi − 1 + 2i

( x − 1) + ( y − 2 )

34 . 2

P = z − (1 + 2i )

P = MH (với H (1; 2 ) )

⇔ M nằm trên trục nhỏ của elip 1 truï c nhoû = b = a2 − c 2 = 52 − 2 2 2

( )

= 17 .

ẠY

KÈ

Khi đó độ dài MH =

FF IC IA L

Pmin ⇔ đoạn MH ngắn nhất.

Câu 1: (Chuyên Đại Học Vinh-2018)Phương trình bậc hai nào sau đây có nghiệm là 1 + 2i ?

A. z 2 − 2z + 3 = 0

B. z 2 + 2z + 5 = 0

C. z 2 − 2z + 5 = 0

D. z 2 + 2z + 3 = 0

FF IC IA L

Đáp án C Phương pháp:

Cách 1: Giải các phương trình bậc hai ẩn z ở các đáp án, đáp án nào có nghiệm z = 1 + 2i thì chọn đáp án đó.

Cách 2: Thay nghiệm z = 1 + 2i vào các phương trình ở các đáp án. Đáp án nào thỏa mãn thì chọn đáp án đó.

Cách giải:

+) Xét phương trình: z 2 − 2z + 3 = 0 ⇔ z 2 − 2z + 1 + 2 = 0 ⇔ ( z − 1) = −2 ⇔ ( z − 1) = 2i 2

 z − 1 = 2i  z = 1 + 2i ⇔ z − 1 = 2i ⇔  ⇔ ⇒ loại đáp án A.  z − 1 = − 2i  z = 1 − 2i

+) Xét phương trình: z 2 + 2z + 5 = 0 ⇔ z 2 + 2z + 4 + 1 = 0 ⇔ ( z + 2 ) = −1 = i 2

z + 2 = i  z = −2 + i ⇔ z+2 =i ⇔  ⇔ ⇒ loại đáp án B.  z + 2 = −i  z = −2 − i 2

+) Xét phương trình: z 2 − 2z + 5 = 0 ⇔ z 2 − 2z + 1 + 4 = 0 ⇔ ( z − 1) = −4 = −4i 2

 z − 1 = 2i  z = 1 + 2i ⇔ z − 1 = 2i ⇔  ⇔ ⇒ chọn đáp án C  z − 1 = −2i  z = 1 − 2i

KÈ

Câu 2: (Chuyên Đại Học Vinh-2018)Trong hình vẽ bên, điểm M biểu diễn số

phức z. Số phức z là:

A. 2 − i

ẠY

B. 1 + 2i

C. 1 − 2i D. 2 + i

Đáp án A Phương pháp:

Cho điểm M ( a; b ) biểu diễn số phức z ⇒ z = a + bi ⇒ z = a − bi Cách giải: Ta có M ( 2;1) biểu diễn số phức z ⇒ z = 2 + i ⇒ z = 2 − i

A. T = 4 3 − 2. Đáp án C.

T = 3 + 2 2.

Phương pháp giải: Lấy môđun hai vế để tìm

−1 +

= 2 + 2

i z +2  a = 0 2 i⇒   b = 1 −

−i = 1− 1+ 2

(

)

= 3 − 2 2.

Vậ y T = a + b 2 = 0 + 1 − 2

)

i z +2

⇔ z + 2 z − 1 = 0 ⇔ z = −1 + 2 ⇒ z = − i

= −i = 1.

z + 2 z − 1 = 0 ⇔ z = −1 + 2 ⇒ z = −

⇔ z = −

thế ngược lại để tìm số phức z

z. z + 2z + i = 0 ⇔ ( z + 2 ) z = −i.

Lấy môđun 2 vế, ta được ( z + 2 ) z

D. T = 4+2 3.

Lời giải: Ta có

T = 3 − 2 2.

FF IC IA L

Câu 3: ( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1) Cho số phức z = a + bi (a,b là các số thực) thỏa mãn z. z + 2z + i = 0. Tính giá trị của biểu thức T = a + b 2 .

Câu 4: ( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1) Gọi z1 , z 2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 + 6z + 13 = 0 trong đó z1 là số phức có phần ảo âm. Tìm số phức ω= z1 +2z2. A. ω = 9 + 2 i. B. ω = −9 + 2i. C. ω = −9 − 2i. D. ω = 9 − 2 i. Đáp án B.

 z1 = − 3 − 2 i z = −3 + 2i .  2

ω = z1 + 2z 2 = −2 − 2i + 2 ( −3 + 2i ) = −9 + 2i.

KÈ

Vậy

Phương pháp giải: Giải phương trình bậc hai tìm nghiệm phức Lời giải: Ta có z 2 + 6 z + 1 3 = 0 ⇔ z 2 + 6 z + 9 = − 4 ⇔ ( z + 3 )2 = ( 2 i ) 2 ⇔

Câu 5: ( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1) Cho số phức

ẠY

A. z = 5.

B. z = 13.

z = 3 + 2i.

Tính

z = 5.

z = 13.

Đáp án B.

Phương pháp giải: Số phức Lời giải: Ta có

z = a + bi

z = 3 + 2i ⇒ z =

có môđun là

32 + 22 =

z = a 2 + b2

13.

Câu 6: ( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1)Cho hai số phức z1 , z 2 thỏa mãn iz 2 − 1 + 2i = 4.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

T = 2iz1 + 3z 2 .

z1 − 3i + 5 = 2

và

A. 313 + 16. Đáp án A.

313.

313+8.

313 + 2 5.

Và

iz 2 − 1 + 2i = 4 ⇔ z 2 −

FF IC IA L

Phương pháp giải: Đưa về biện luận vị trí giữa hai điểm thuộc đường tròn để khoảng cách của chúng lớn nhất Lời giải: Ta có z1 − 3i + 5 = 2 ⇔ 2i ( z1 − 3i + 5 ) = 2. 2i ⇔ 2iz1 + 6 + 10i = 4. 1 − 2i = 4 ⇔ z 2 + 2 + i = 4 ⇔ −3z 2 − 6 − 3i = 12. i

u = 2iz1  u + 6 + 10i = 4 Đặt  ⇒ và T = 2 i z 1 + 3 z 2 = 2 i z 1 − ( − 3 z 2 ) = u − v .  v = −3z 2  v − 6 − 3i = 12 Tập hợp điểm M biểu diễn số phức u là đường tròn ( x + 6 ) 2 + ( y + 1 0 ) 2 = 1 6 tâm I1 ( −6; −10 ) , R1 =4. 2

− 3) = 144

tâm

I2 ( 6;3) ,

Tập hợp điểm N biểu diễn số phức v là đường tròn ( x − 6 )2 + ( y R2 =12. Khi đó T = MN max ⇔ MN = I1I 2 + R 1 + R 2 = 12 2 + 12 2 + 4 + 12 = 313 + 16.

Câu 7: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3) Cho số phức z thỏa mãn z ( 2 − i ) + 13i = 1. Tính 5 34 3

34 3

C. z =

D. z = 34

A. z = 34 B. z =

môđun của số phức z

Đáp án D Phương pháp giải: Tìm số phức z bằng phép chia số phức, sau đó tính môđun hoặc bấm máy tính 1 − 13i Lời giải: Ta có z ( 2 − i ) = 1 − 13i ⇔ z = = 3 + 5i ⇒ z = 34 2−i Câu 8: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3)Số phức z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) thỏa mãn z − 2 = z

( z + 1) ( z − i )

KÈ

và

là số thực. Giá trị của biểu thức S = a + 2b bằng bao nhiêu?

ẠY

A. S = −1 B. S = 1 C. S = 0 D. S = −3 Đáp án D Phương pháp giải: Đặt z = a + bi, thực hiện yêu cầu bài toán, chú ý số phức là số thực khi phần ảo bằng 0

Lời giải: 2

Ta có z − 2 = z ⇔ a + bi − 2 = a + bi ⇔ ( a − 2 ) + b 2 = a 2 + b 2 ⇔ a = 1

(

)

Khi đó z = 1 + bi ⇒ z = 1 − bi ⇒ ( z + 1) z − i = ( 2 + bi ) 1 − ( b + 1) i  = b 2 + b + 2 − ( b + 2 ) i là số thực.

giá trị T = z1 + z 2

A. T =

2 97 3

B. T =

2 85 3

C. T = 2 13

FF IC IA L

Khi và chỉ khi b + 2 = 0 ⇔ b = −2 Vậy S = a + 2b = −3 Câu 9: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3)Cho số phức w và hai số thực a, b. Biết z1 = w + 2i và z 2 = 2w − 3 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 + az + b = 0 . Tìm

D. T = 4 13

Đáp án A Phương pháp giải: Đặt số phức w, biến đổi về z và sử dụng hệ thức Viet cho phương trình bậc hai Lời giải:

z = w + 2i = m + ( n + 2 ) i Đặt w = m + ni ( m, n ∈ ℝ ) suy ra  1 z 2 = 2w − 3 = 2m − 3 + 2ni 3n + 2 = 0 2 ⇔n=− Ta có z1 + z 2 = 3m − 3 + ( 3n + 2 ) i = −a là số thực ⇒  3 3m − 3 ≠ 0

4  z1 = m + 3 i ⇒ z = 2m − 3 + 4 i  2 3

KÈ

4  4  16  4   Lại có z1.z 2 =  m + i  2m − 3 + i  = 2m 2 − 3m + +  m − 4  = b là số thực 3  3  3 3   4 ⇒ m−4=0⇔ m =3 3 4  z1 = 3 + 3 i 2 97 Vậ y   → T = z1 + z 2 = 3 z = 3 − 4 i 2  3

Câu 10: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3)Cho số phức z thỏa mãn z = 1. Tìm giá trị lớn

ẠY

nhất của biểu thức T = z + 1 + 2 z − 1

A. max T = 2 5

B. max T = 3 5

C. max T = 2 10

Đáp án A Phương pháp giải: Gọi số phức, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để tìm giá trị lớn nhất Lời giải: Cách 1. Gọi z = x + yi ( x, y ∈ ℝ ) ⇒ M ( x; y )

D. max T = 3 2

Và A(−1;0), B (1; 0 ) . Ta có z = 1 ⇒ x + yi = 1 ⇔ x 2 + y 2 = 1

MA 2 + MB2 = AB2 = 4. Khi đó, theo Bunhiacopxki, ta có

T = MA + 2MB =

+ 2 2 )( MA 2 + MB2 )AB2 = 5.4 = 2 5

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức max T = 2 5

Cách 2. Đặt z = x + yi ( x, y ∈ ℝ ) ⇒ z + 1 =

( x + 1)

+ y 2 và z − 1 =

Mặt khác z = 1 ⇔ x 2 + y 2 = 1 ⇔ x 2 + y 2 = 1, khi đó

⇔T≤

+ y2 + 2

( x − 1)

+ y2

( x − 1)

+ 2 2 ) ( x − 1) + y 2 + ( x − 1) + y 2  = 10 ( x 2 + y 2 + 1) = 2 5 ⇒   2

FF IC IA L

⇒ M thuộc đường tròn đường kính AB

max T = 2 5

Câu 11: ( Chuyên Thái Bình- Lần 5)Cho số phức z thỏa mãn z (1 − 2i ) + zi = 15 + i. Tìm môđun của số phức z A. z = 5 B. z = 4 C. z = 2 5 D. z = 2 3

Đáp án A

Phương pháp

Gọi z = a + bi ⇒ z = a − bi. Sử dụng định nghĩa hai số phức bằng nhau. Cách giải

KÈ

z = a + bi ( a, b ∈ ℝ )

⇒ ( a + bi )(1 − 2i ) + ( a − bi ) i = 15 + i

⇔ 2 − 2ai + bi + 2b + ai + b = 15 + i

ẠY

 2a + 2b + b = 15 a = 3 ⇔ ⇔ ⇒ z = a + bi ⇒ z = 32 + 4 2 = 5  −2a + b + a = 1 b = 4 Câu 12: ( Chuyên Thái Bình- Lần 5) Gọi z1 là nghiệm phức có phần ảo âm của 7 − 4i phương trình z 2 − 2z + 5 = 0. Tìm tọa độ điểm biểu diễn cho số phức trong mặt z1 phẳng phức? A. P ( 3; 2 ) B. N (1; 2 ) C. Q ( 3; −2 ) D. M (1; 2 )

Đáp án A

Phương pháp +) Tìm z1 bằng cách giải phương trình z 2 − 2z + 5 = 0.

7 − 4i z1

FF IC IA L

+) Thay z1 vừa tìm được tính

+) Số phức z = a + bi có điểm biểu diễn là M ( a; b )

Cách giải

 z = 1 + 2i 7 − 4i 7 − 4i z 2 − 2z + 5 = 0 ⇔  ⇒ z1 = 1 − 2i ⇒ = = 3 + 2i z1 1 − 2i  z = 1 − 2i

Câu 13: ( Chuyên Thái Bình- Lần 5)Điểm A trong hình vẽ bên dưới biểu diễn cho số phức z.

Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Phần thực là 3, phần ảo là 2 B. Phần thực là 3, phần ảo là 2i C. Phần thực là -3, phần ảo là 2i D. Phần thực là -3, phần ảo là 2 Đáp án A

KÈ

Phương pháp

Điểm M ( a; b ) là điểm biểu diễn cho số phức z = a + bi, có phần thực là a và phần ảo là b.

ẠY

Cách giải

A(3; 2) là điểm biểu diễn cho số phức z = 3 + 2i, có phần thực là 3, phần ảo là 2. Câu 14: ( Chuyên Thái Bình- Lần 5) Cho số phức thỏa mãn (1 + i ) z + 2 + (1 + i ) z − 2 = 4 2. Gọi m = max z ; n = min z và số phức w = m + ni.

Tính w

2018

A. 41009

B. 51009

C. 61009

D. 21009

Đáp án C Phương pháp Chia cả 2 vế cho 1 + i và suy ra đường biểu diễn của số phức z

FF IC IA L

Cách giải

2 2 4 2 + z− = ⇔ z +1− i + z −1+ i = 4 1+ i 1+ i 1+ i ⇒ Tập hợp các điểm z là elip có độ dài trục lớn là 2a = 4 ⇒ a = 2 và hai tiêu điểm

(1 + i ) z + 2 + (1 + i ) z − 2 = 4

2 ⇔ z+

F1 (1; −1) ; F2 ( −1;1) ⇒ c = 2 ⇒ b = a 2 − c 2 = 2 m = max z = 2; n = min z = 2 2018

⇒ w = 2 + 2i ⇒ w = 6 ⇒ w = 61009 Câu 15: (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – Lần 3) Cho số phức z = a + bi với a, b là các số thực bất kỳ. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Phần ảo của z là bi. B. Môđun của z 2 bằng a 2 + b 2 . D. Số z và z có môdun khác nhau C. z − z không phải là số thưc. Đáp án B

(

a 2 + b2

)

= a 2 + b 2 nên B đúng.

Đáp án B. Ta có z 2 = z =

Đáp án A. Phần ảo của số phức z là b nên A sai.

Đáp án C. Ta có z = a + bi ⇒ z = a − bi ⇒ z − z = 2bi là số thực khi b = 0 nên C sai.

Đáp án D. Ta có z = a + bi ⇒ z = a − bi ⇒ z = z = a 2 + b 2 nên D sai.

Câu 16: (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – Lần 3) Cho các số phức z1 = 3 + 2i, z2 = 3 − 2i . Phương trình bậc hai có hai nghiệm z1 và z2 là:

KÈ

A. z 2 − 6 z + 13 = 0 B. z 2 + 6 z + 13 = 0 C. z 2 + 6 z − 13 = 0 D. z 2 − 6 z − 13 = 0 Đáp án A z + z = 6 ⇒ z 2 − 6 z + 13 = 0. Ta có  1 2 z z = 13  1 2

ẠY

Câu 17: (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – Lần 3)Cho số phức z. Gọi A, B lần lượt là các điểm trong mặt phẳng Oxy biểu diễn các số phức z và (1 + i ) z . Tính z biết diện tích tam giác OAB bằng 8. A. z = 2 2. B. z = 4 2 C. z = 2 D. z = 4 Đáp án D HD: Ta có OB = (1 + i ) z = 2 z ; AB = (1 + i ) z − z = z

Suy ra ∆OAB vuông cân tại A ⇒ SOAB

AB 2 z = = = 8 ⇒ z = 4 . Chọn D. 2 2

Câu 18: (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – Lần 3) Cho các số phức w, z thỏa mãn

3 5 và 5w = ( 2 + i )( z − 4 ) . Giá trị lớn nhất của biểu thức 5 P = z − 1 − 2i + z − 5 − 2i bằng

FF IC IA L

w+i =

A. 6 7 B. 4 + 2 13 C. 2 53 D. 4 13 Đáp án C HD: Ta có 5w = ( 2 + i )( z − 4 ) ⇔ 5w + 5i = ( 2 + i ) z − 8 + i ⇔ 5 w + i = ( 2 + i ) z − 8 + i

8−i 8−i =3 5 ⇔ z− = 3 ⇔ z − 3 + 2i = 3 2+i 2+i

⇒ Tập hợp điểm M ( z ) là đường tròn

( C ) : ( x − 3)

+ ( y + 2 ) = 9, tâm

I ( 3; −2 ) , R = 3.

⇔ (2 + i) z − 8 + i = 3 5 ⇔ 2 + i . z −

( MA + MB )

≤ 2 ( MA2 + MB 2 ) = 4.ME 2 + AB 2 ⇒ P lớn nhất ⇔ ME lớn nhất.

Lại có

Gọi A (1; 2 ) , B ( 5; 2 ) và E ( 3; 2 ) là trung điểm của AB suy ra P = MA + MB.

→ MEmax = IE + R = 7. Vậy Pmax = 4.ME 2 + AB 2 = 2 53. Mà IE = 4 > R = 3  Câu 19: (Chuyên Hạ Long – Lần 3)Cho số phức z = 2 + 4i . Tính hiệu phần thực và phần ảo của z . B. 2 5 . C. −2 . D. 6 . A. 2 . Đáp án C

Câu 20: (Chuyên Hạ Long – Lần 3) Cho biết có hai số phức z thỏa mãn 2

z 2 = 119 − 120i , kí hiệu là z1 và z2 . Tính z1 − z2 .

B. 114244 .

C. 338 .

D. 676 .

KÈ

A. 169 . Đáp án D

Đặt: z = x + yi ⇒ z 2 = x 2 − y 2 + 2 xyi = 119 − 120i

ẠY

 60  2 − y 2 = 119  −  x 2 − y 2 = 119  y  ⇒ ⇒ 60 2 xy = −120  x = − y  Câu 21: (Chuyên Hạ Long – Lần 3) Cho w là số phức thay đổi thỏa mãn w = 2 . Trong mặt phẳng phức, các điểm biểu diễn số phức z = 3w + 1 − 2i chạy trên đường nào? A. Đường tròn tâm I (1; −2 ) , bán kính R = 6 . B. Đường tròn tâm I ( −1; 2 ) , bán kính R =2.

C. Đường tròn tâm I (1; −2 ) , bán kính R = 2 . D. Đường tròn tâm I ( −1; 2 ) , bán kính R =6. Đáp án A

Xét: z = 3w + 1 − 2i ⇔ z − 1 + 2i = 3w ⇒ z − 1 + 2i = 3 w = 6 2

⇔ ( x − 1) + ( y + 2 ) = 36 ⇒ I (1; −2 ) ; R = 6 .

FF IC IA L

Ta có: w = 2; z = x + yi

Câu 22: (Chuyên Hạ Long – Lần 3)Cho ba số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn

  z1 = z2 = z3 = 1  2 . Tính giá trị của biểu thức M= z2 − z3 − z3 − z1 .  z1 = z2 .z3  z −z = 6+ 2  1 2 2 6 + 2 −2 A. − 6 − 2 − 3 . B. − 6 − 2 + 3 . C. . 2 Đáp án D

  z1 = z2 = z3 = 1  2 . Tính M = z2 − z3 − z3 − z1  z1 = z2 .z3  z −z = 6+ 2  1 2 2 Cách 1: Đại số Ta có: z1 − z2 = z1 z1 − z2 = z12 − z1 z2 = z2 .z3 − z1.z2

6+ 2 6+ 2 (1) ⇒ z3 − z1 = 2 2 Ta lại có: z12 = z2 .z3 ⇔ z12 − z32 = z3 ( z2 − z3 )

KÈ

= z2 z3 − z1 =

⇒ z12 − z32 = z3 z2 − z3 ⇔ z1 + z3 z1 − z3 = z2 − z3 (2)

(

ẠY

Tính chất: 2 z1 + z3

(

6+ 2

)( 4

Từ (1) và (3): M = 1 − Cách 2: Hình học

)= z +z 1

2 3

+ z1 − z3

6− 2 . Thế vào (2) ta được: 2

Từ (1) ⇒ z1 + z3 = z 2 − z3 =

6− 2

) = 1 (3)

6 + 2 − 6 − 2 −2 = . 2 2

− 6− 2+2 . 2

6+ 2 = M 1M 3 (1) 2

FF IC IA L

Ta có: z1 − z2 = z1 z1 − z2 = ... = z2 z3 − z1 ⇒ z3 − z1 =

⇒M 2 M 1 M 2 = 30 ⇒M OM = 600

Gọi M 1 , M 2 , M 3 là 3 điểm biểu diễn z1 , z2 , z3 Dễ dàng có: M M O = 150

M 2 M 3 = z2 − z3 = 1 (2)

⇒ ∆OM 2 M 3 đều

6 + 2 − 6 − 2 −2 = . 2 2 Cách 3: Chuẩn hóa chọn z1 = 1 .

Từ (1) và (2): M = 1 −

KÈ

Câu 23: (Chuyên Lam Sơn –Thanh Hóa –Lần 3)Cho số phức z = 3 + i. Tính z A. z = 2 2

B. z = 2

C. z = 4

D. z = 10

Đáp án D

ẠY

z = 3 + i ⇒ z = 3 − i ⇒ z = 10

Câu 24: (Chuyên Lam Sơn –Thanh Hóa –Lần 3) Điểm M trong hình vẽ dưới đây biểu thị cho số phức

FF IC IA L

A. 3 − 2i C. 2 − 3i Đáp án B

B. −2 + 3i D. 3 + 2i

Dựa vào hình vẽ ta thấy M biểu thị cho số phức −2 + 3i

Câu 25: (Chuyên Lam Sơn –Thanh Hóa –Lần 3) Cho z1 , z 2 là hai nghiệm phức của phương C. z1 + 3z 2 = − 2.i

D. z1 + 3z 2 = 2

B. z1 + 3z 2 = − 2

2 − 2 i, z 2 = i (do z1 2 2

A. z1 + 3z 2 = 2.i Đáp án A

trình 2z 2 + 1 = 0 (trong đó số phức z1 có phần ảo âm). Tính z1 + 3z 2

Hai nghiệm của phương trình 2z 2 + 1 = 0 là z1 =

Vậy z1 + 3z 2 = 2.i

có phần ảo âm).

Câu 26: (Chuyên Lam Sơn –Thanh Hóa –Lần 3) Có bao nhiêu số phức thỏa mãn 3 2 z + z .i − 1 − i = 0 4 A. 1 B. 3 C. 2 D. 0 Đáp án A Đăt z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) . Thay vào biểu thức của bài toán ta có: 3 1 −1 2  i = 0 ⇒ a = 1; b + b + = 0 ⇒ a = 1, b = 4 4 2  Vậy chỉ có đúng một số phức thỏa mãn bài toán

KÈ

( a − 1) +  a 2 + b 2 + b −

ẠY

Câu 27: (Chuyên Lam Sơn –Thanh Hóa –Lần 3) Cho số phức z = 1 + i. Biết rằng tồn tại các số phức z1 = a + 5i, z 2 = b (trong đó a, b ∈ ℝ, b > 1) thỏa mãn 3 z − z1 = 3 z − z 2 = z1 − z 2 .

Tính b − a A. b − a = 5 3 Đáp án D

B. b − a = 2 3

C. b − a = 4 3

D. b − a = 3 3

Đặt M (1;1) , N ( a;5) , P ( b; 0 )( b > 1) lần lượt là các điểm biểu thị cho các số phức z, z1 , z 2 Vậy MN = ( a − 1; 4 ) , MP = ( b − 1; −1)

49 . 3 7 −2 ,x = . Vậy b − a = y − x = 3 3 3 3

Do y > 0 ⇒ y =

y2 =

FF IC IA L

= 120° Từ giả thiết cho ta tam giác MNP cân tại M có NMP Vậy  MN = MP ( a − 1) 2 + 16 = ( b − 1)2 + 1 2 2   ( a − 1) − ( b − 1) = −15 (1)  MN.MP ⇒  −1 ( a − 1)( b − 1) − 4 ⇔  2 cos120° = 2 = ( a − 1) + 2 ( a − 1)( b − 1) = −8 2 MN . MP ( a − 1) + 16    x 2 − y 2 = −15 (1) ⇒ 7x 2 + 30xy + 8y 2 = 0 (nhân chéo Đặt x = a − 1, y = b − 1( y > 0 ) ⇒  2  x + 2xy = −8 ( 2 ) vế với vế của hai phương trình). −2  y −2 x = Tìm được  y thỏa mãn. Lúc này do 7 . Thay vào (1) thì thấy chỉ có x = 7  x = −4y

1 B. − . 2

1 C. − i. 2

1 là 1+ i

D. −1.

1 . 2 Đáp án B

Câu 28: (Chuyên Lương Thế Vinh- Đồng Nai) Phần ảo của số phức

Câu 29: (Chuyên Lương Thế Vinh- Đồng Nai) Cho phức z thỏa z − z = −2 − 4i . Môđun của z là A. 3. B. 25. C. 5. D. 4. Đáp án C

KÈ

Câu 30: (Chuyên Lương Thế Vinh- Đồng Nai) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: z − 10 + 2i = z + 2 − 14i và z − 1 − 10i = 5 ? A. Vô số. B. Một C. Không. D. Hai. Đáp án B

ẠY

Gọi M ( x; y ) biểu diễn cho z, ta có hệ 3 x − 4 y + 12 = 0  2 2 ( x − 1) + ( y − 10) = 25

Để ý đường thẳng 3 x − 4 y + 12 = 0 tiếp xúc với đường tròn ( x − 1)2 + ( y − 10)2 = 25 , nên chỉ có một số phức. Câu 31: (Chuyên Lương Thế Vinh- Đồng Nai) Cho số phức z thỏa điều kiện

z + 2 = z + 2i . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = z − 1 − 2i + z − 3 − 4i + z − 5 − 6i

FF IC IA L

được viết dưới dạng (a + b 17 ) / 2 với a, b là các hữu tỉ. Giá trị của a + b là A. 4. B. 2. C. 7. D. 3. Đáp án D

KÈ

Cách 1 • Đặt E (−2;0), F (0; −2), A(1; 2), B (3; 4), C (5; 6), M ( x; y ) biểu diễn cho số phức z. • Từ giả thiết, ta có M thuộc đường trung trực ∆ : y = x của đoạn EF và P = AM + BM + CM • Ta chứng minh điểm M chính là hình chiếu vuông góc của B lên đường thẳng ∆ . - Với M’ tùy ý thuộc ∆ , M’ khác M. Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua ∆ . Nhận thấy rằng ba điểm A’, M, C thẳng hàng. - Ta có AM '+ BM '+ CM ' = A ' M '+ BM '+ CM ' Mà A ' M '+ CM ' > A ' C = A ' M + CM = AM + CM Lại có B ' M > BM . Do đó AM '+ BM '+ CM ' > AM + BM + CM Cách 2 • Gọi z = x + yi, ( x, y ∈ ℝ ). Từ giả thiết z + 2 = z + 2i , dẫn đến y = x . Khi đó z = x + xi •

P = ( x − 1)2 + ( x − 2)2 + ( x − 3)2 + ( x − 4) 2 + ( x − 5)2 + ( x − 6) 2

•

a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ≥ (a + c) 2 + (b + d )2 a b Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi = . Ta có c d

ẠY

Sử dụng bất đẳng thức

( x − 1)2 + ( x − 2) 2 + ( x − 5)2 + ( x − 6) 2 = ( x − 1)2 + ( x − 2)2 + (5 − x) 2 + (6 − x)2 ≥ ( x − 1 + 6 − x ) 2 + ( x − 2 + 5 − x) 2 ≥ 34.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

7 x −1 x − 2 = ⇔ x= 6− x 5− x 2 2

7 1 1  • Mặt khác ( x − 3) + ( x − 4) = 2 x − 14 x + 25 = 2  x −  + ≥ 2 4 2  7 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 2 1 + 2 17 . Khi đó • Từ hai trường hợp trên, ta thấy, giá trị nhỏ nhất của P là 2 a + b = 3. Câu 32: (Chuyên Thái Bình - Lần 6) Gọi z1 , z 2 , z3 , z 4 là bốn nghiệm phân biệt của 2

FF IC IA L

phương trình z 4 + 3z 2 + 4 = 0 trên tập số phức. Tính giá trị của biểu thức 2

B. T = 6

C. T = 4 7 i 2 7 i 2

 3 t = − + 2 Đặt t = z 2 ⇒ t 2 + 3t − 4 = 0 ⇔   3 t = − −  2

D. T = 2

A. T = 8 Đáp án A

T = z1 + z 2 + z3 + z 4

3 7 3 7 2 2 2 2 Vật T = z1 + z 2 + z 3 + z 4 = 2 − + i +2 − − i =8 2 2 2 2 2

Câu 33: (Chuyên Thái Bình - Lần 6)Cho số phức z = (1 + i ) (1 + 2i ) . Số phức z có phần ảo là A. 2 B. 4 C. −2 D. 2i Đáp án A 2

z = (1 + i ) (1 + 2i ) = −4 + 2i ⇒ z có phần ảo là 2.

KÈ

Câu 34: (Chuyên Thái Bình - Lần 6) Cho các số phức z, w thỏa mãn z − 5 + 3i = 3, iw + 4 + 2i = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = 3iz + 2w

ẠY

A. 554 + 5 Đáp án D

578 + 13

578 + 5

554 + 13

3iz − 9 − 15i = 3 ⇔ 3iz − 9 − 15i = 3 3i = 9 3i −i −i iw + 4 + 2i = 2 ⇔ ( −2w − 4 + 8i ) = 2 ⇔ . −2w − 4 + 8i = 2 ⇔ −2w − 4 + 8i = 4 2 2 Gọi A và B lần lượt là điểm biểu diễn của 3iz và −2w ⇒ A, B lần lượt thuộc các đường tròn tâm O(9;15) bán kính bằng 9 và đường tròn tâm I(4; −8) bán kính bằng

z − 5 + 3i = 3 ⇔

4 ⇒ OI = 554 Khi đó T = 3iz + 2w = 3iz − ( −2w ) = AB Yêu cầu bài toán trở thành tìm ABmax

FF IC IA L

Vì OI = 554 > 4 + 9

⇒ ABmax = AO + OI + IB = 554 + 13

Câu 35: (Chuyên Thái Bình - Lần 6) Cho số phức z thỏa mãn z − 1 = 5. Biết tập hợp

các điểm biểu diễn số phức w xác định bởi w = ( 2 + 3i ) .z + 3 + 4i là một đường tròn bán kính R. Tính R A. R = 5 17 B. R = 5 10 C. R = 5 5 D. R = 5 13 Đáp án D z − 1 = 5 ⇔ z − 1 = 5. Ta có:

w − 3 − 4i w − 5 − 7i w − 5 − 7i ⇔ z −1 = ⇔ z −1 = =5 2 + 3i 2 + 3i 2 + 3i w − 5 − 7i w − 5 − 7i ⇔ =5⇔ = 5 ⇔ w − 5 − 7i = 5 13 2 + 3i 13

w = ( 2 + 3i ) .z + 3 + 4i ⇔ z =

Dễ thấy tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm (5;7), bán kính 5 13

Câu 36: (Chuyên Đại Học Vinh)

Trong mặt phẳng Oxy, cho các điểm A, B như hình vẽ bên. Trung điểm của đoạn thẳng

AB biểu diễn số phức

1 B. − + 2i 2

C. 2 − i

1 D. 2 − i 2

ẠY

KÈ

A. −1 + 2i

Đáp án B

Phương pháp:

+ Số phức z = a + bi ( a, b ∈ ℤ ) được biểu diễn bởi điểm M ( a; b ) trên mặt phẳng xOy.

xA + xB   x1 = 2 + Tọa độ trung điểm I của AB là:  x = yA + yB  2 2

FF IC IA L

Cách giải:

1  1  Dựa vào hình vẽ ta thấy: A ( −2;1) , B (1;3) ⇒ M  − ; 2  ⇒ z = − + 2i 2  2 

Câu 37:(Chuyên Đại Học Vinh)

A. 6

B. 5

C. 8

Phương pháp:

+) Giải phương trình bậc hai ẩn z trên tập số phức.

D. 3

Đáp án A

Gọi z1 , z 2 là các nghiệm phức của phương trình z 2 − 8x + 25 = 0. Giá trị của z1 − z 2 bằng

Cách giải: 2

+) Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) ⇒ z = a 2 + b 2

Ta có z 2 − 8z + 25 = 0 ⇔ ( z − 4 ) = −9 = 9i 2

 z = 4 + 3i ⇔ z − 4 = 3i ⇔  1 ⇒ z1 − z 2 = 6i = 6  z 2 = 4 − 3i

Câu 38: (Chuyên Đại Học Vinh) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn điều kiện

KÈ

z2 = z + z ?

A. 4

B. 2

C. 3

D. 1

ẠY

Đáp án C

Phương pháp:

a = a ' Gọi z = x + yi, thay vào giải thiết và so sánh hai số phức a + bi = a '+ bi ' ⇔  b = b '

Cách giải: 2

Giả sử z = x + yi ( x, y ∈ ℝ ) ⇒ ( x + yi ) = ( x 2 + y 2 ) + ( x − yi )

2xy = − y ⇔ x 2 − y 2 + 2xyi = x 2 + y 2 + x − yi ⇔  2 2 2 2 x − y = x + y + x

FF IC IA L

y = 0 x = y = 0   y = 0 x = 0    1   1   x=− ⇔ x=− ⇔  x=−1 ⇔   2  2 2     1 2y 2 + x = 0  y = ±  2 1 2    2y − = 0 2  Do đó có 3 số phức z thỏa mãn bài toán.

Câu 39: (Chuyên Đại Học Vinh) Giả sử z1 , z 2 là hai trong số các số phức z thỏa mãn

B. 2 3

C. 3 2

D. 4

A. 3

iz + 2 − i = 1 và z1 − z 2 = 2. Giá trị lớn nhất của z1 + z 2 bằng

Đáp án D

Phương pháp:

+) Từ giả thiết iz + 2 − i = 1 , tìm ra đường biểu diễn

( C ) của các số phức z.

( C) .

đường tròn

+) Gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn của z1 ; z 2 ⇒ z1 − z 2 = AB ⇒ vị trí của AB đối với

⇒ z1 + z 2 = OA + OB

+) Sử dụng công thức trung tuyến tính OA 2 + OB2

KÈ

+) Sử dụng BĐT Bunhiascopsky tìm GTLN của OA + OB Cách giải:

ẠY

Ta có: iz + 2 − i = 1 ⇔ i ( x + yi ) + 2 − i = 1 với ( z = x + yi ( x; y ∈ ℝ ) ) 2

(

⇔ ( x − 1) + y − 2

)

(

)

= 1 ⇒ M ( x; y ) biểu diễn z thuộc đường tròn tâm I 1; 2 bán

kính R = 1 . Lại có: z1 + z 2 = OA + OB OA 2 + OB2 AB2 − ⇒ OA 2 + OB2 = 8 Mặt khác theo công thức trung tuyến ta có: OI = 2 4 2

Theo BĐT Bunhiascopsky ta có: 2 ( OA 2 + OB2 ) ≥ ( OA + OB ) ⇒ OA + OB ≤ 4

C. N

D. O

A. P B. M Đáp án D

FF IC IA L

Câu 40:(Chuyên Khoa Học Tự Nhiên) Điểm nào trong hình vẽ dưới đây là điểm biễu diễn của số phức z = (1 + i )( 2 − i ) ?

Ta có z = 2 − i + 2i − i 2 = 3 + i ⇒ số phức z biểu diễn Q ( 3;1)

Câu 41: (Chuyên Khoa Học Tự Nhiên) Cho số phức z, biết rằng các điểm biễu diễn hình học của các số phức z, iz và z + iz tạo thành một tam giác có diện tích bằng 18. Modun của số phức bằng A. 2 3 B. 3 2 C. 6 D. 9 Đáp án C

Câu 42: (Chuyên Khoa Học Tự Nhiên) Tập hợp tất cả các điểm biễu diễn các số phức z thõa mãn z + 2 − i = 4 là đường tròn có tâm I và bán kính R lần lượt là

KÈ

Đáp án A

B. I ( −2; −1) , R = 2

C. I ( 2; −1) , R = 4

D. I ( 2; −1) , R = 2

A. I ( −2; −1) , R = 4

Đặt z = x + yi; x, y ∈ ℝ ⇒ x − yi + 2 − i = 4 ⇔ ( x + 2 ) − ( y + 1) i = 4 2

ẠY

⇔ ( x + 2 ) + ( y + 1) = 16 Tập hợp tất cả các điểm biễu diễn các số phức z thỏa mãn z + 2 − i = 4 là đường tròn có

tâm I và bán kính R lần lượt là I ( −2; −1) , R = 4

Câu 43: (Chuyên Quang Trung -2018) Cho số phức thỏa mãn z − 2i ≤ z − 4i và

z − 3 − 3i = 1. Giá trị lớn nhất của P = z − 2 là A.

13 + 1 B.

10 + 1 C.

Đáp án C Phương pháp: Gọi z = a + bi, ( a, b ∈ ℝ ) là số phức cần tìm. Sử dụng giả thiết để đưa ra

FF IC IA L

một hệ điều kiện đẳng thức, bất đẳng thức cho a,b. Sử dụng điều kiện trên để đánh giá và tìm giá trị lớn nhất của P. Lời giải chi tiết. Giả sử số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán có dạng z = a + bi, ( a, b ∈ ℝ ) Khi đó ta có

2  2  z − 2i = ( a + bi ) − 2i = a + ( b − 2 )  2  z − 4i = ( a + bi ) − 4i = a2 + ( b − 4 )   z − 3 − 3i = ( a + bi ) − 3 − 3i = ( a − 3)2 + ( b − 3 )2  2  2  z − 2 = ( a + bi ) − 2 = ( a − 2 ) + b Từ giả thiết ta suy ra

( a − 3) + ( b − 3) P = z−2 =

= 1 ⇒ ( a − 3) ≤ 1 ⇒ 2 ≤ a ≤ 4 ⇒ 0 ≤ a − 2 ≤ 2

(a − 2)

+ b2 ≤ 22 + 32 = 13. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Do đó

Từ

  b − 2 ≤ b − 4 ( VN ) 2 2  2 2  b−2 2 ≤ b−4 2 a b − 2 ≤ a + b − 4 + ( ) ( ) ( ) ( ) ⇔     b ≤ 3 b − 2 ≤ −b + 4 ⇔ ⇔       2 2 2 2 2 2 ( a − 3 ) + ( b − 3 ) = 1 ( a − 3 ) + ( b − 3 ) = 1  ( a − 3) + ( b − 3 ) = 1 2 2  ( a − 3 ) + ( b − 3 ) = 1

KÈ

 a − 2 2 = 22 ) ( a = 4  ⇔ b = 3 b = 3 2 2  a − 3 + b − 3 = 1 ) ( ) ( Chú ý. Đối với bài toán liên quan tới cực trị học sinh thường mắc phải sai lầm là quên tìm giá trị để cực trị xảy ra. Điều này có thể dẫn tới việc tìm sai giá trị lớn nhất nhỏ nhất.

Câu 44: (Chuyên Quang Trung -2018) Trong tập các số phức, cho phương trình z 2 − 6z + m = 1, m ∈ ℝ (1) . Gọi m 0 là một giá trị của m để phương trình (1) có hai

ẠY

nghiệm phân biệt z1 , z 2 thỏa mãn z1 z1 = z 2 z 2 . Hỏi trong khoảng (0; 20) có bao nhiêu giá trị m ? A. 13 B. 11 C. 12 D. 10 Đáp án D

Phương pháp Biện luận để tìm trực tiếp nghiệm z1 , z 2 . Sử dụng giả thiết để tìm ra giá trị m 0 Lời giải chi tiết. 2 Viết lại phương trình đã cho thành ( z − 3) = 9 − m 0

Nếu m 0 = 9 ⇒ z = 3 Hay phương trình chỉ có một nghiệm. (Loại) Nếu m 0 < 9 thì phương trình đã cho có hai nghiệm thực

z1 = 3 − 9 − m 0 , z 2 = 3 + 9 − m 0 . Do 2

(

) = (3 +

9 − m0

)

FF IC IA L

z1 z1 = z 2 z 2 ⇔ z1 = z 2 ⇔ 3 − 9 − m 0

3 − 9 − m 0 = 3 + 9 − m 0 ⇔ ⇔ 9 − m 0 = 0 ⇔ m 0 = 9 ( ktm ) 3 − 9 − m 0 = −3 − 9 − m 0 ( VN ) Nếu m 0 > 9 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phức liên hợp là

z1 = 3 − i m 0 − 9, z 2 = 3 + i m 0 − 9. Khi đó z1 z1 = z 2 z 2 = 32 + m 0 − 9

Do đó m 0 > 9 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Do bài toán đòi hỏi m 0 ∈ (0; 20) nên

m0 ∈ {10;11;12;...;19} . Vậy có 10 giá trị thỏa mãn.

(

Câu 45: (Chuyên Quang Trung -2018)Gọi số phức z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) thỏa mãn

)

C. ab = 1

D. ab = −1

B. ab = 2

bằng A. ab = −2 Đáp án C

z − 1 = 1 và (1 + i ) z − 1 có phần thực bằng 1 đồng thời z không là số thực. Khi đó a.b

Phương pháp Gọi số phức đã cho có dạng z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) . Sử dụng giả thiết để đưa ra một hệ cho a, b giải trực tiếp hệ này để tìm a, b Lời giải chi tiết. 2 2 2 Ta có: 12 = z − 1 = a + bi − 1 = ( a − 1) + b 2 (1)

Do z không là số thực nên ta phải có b ≠ 0 ( 2 ) Ta lại có 1 = Re (1 + i ) z − 1  = Re (1 + i ) ( ( a − bi ) − 1)  = Re ( a + b − 1)( a − b − 1)  = a + b − 1( 3)   Từ (1) , ( 2 ) , ( 3) ta có hệ

)

KÈ

(

ẠY

( a − 1)2 + b 2 = 1 ( a − 1) 2 + b 2 = 1 (1 − b ) 2 + b 2 = 1 2b 2 − 2b = 0    a = 1  ⇔ a − 1 = 1 − b ⇒ a − 1 = 1 − b ⇔ a = 2 − b ⇔ ⇒ ab = 1 a + b − 1 = 1 b 1 =  b ≠ 0 b ≠ 0 b ≠ 0 b ≠ 0    

Câu 46: (Chuyên Quang Trung -2018) Cho số phức z thỏa mãn z ( 2 − i ) + 13i = 1. Tính mô đun của số phức z.

A. z = 34

B. z = 34

34 3

C. z =

D. z =

5 34 3

Đáp án B

FF IC IA L

Phương pháp Từ giả thiết ta biến đổi để tìm được công thức của z. Dùng định nghĩa để tìm z Lời giải chi tiết. 1 − 13i (1 − 13i )( 2 + i ) ( 2 + 13)(1 − 26 ) i = = = 3 − 5i Ta có z ( 2 − i ) + 13i = 1. ⇒ x = 2−i 5 ( 2 − i )( 2 + i ) Do đó z = 32 + 52 = 34

1+ i là số thực và z z − 2 = m với m ∈ ℝ. Gọi m 0 là một giá trị của m để có đúng một số phức thỏa mãn bài toán. Khi đó  1 1  3   3 A. m 0 ∈  0;  B. m 0 ∈  ;1 C. m 0 ∈  ; 2  D. m 0 ∈ 1;   2 2  2   2 Đáp án D Phương pháp.Sử dụng giả thiết để tìm được z = a + ai ( a ∈ ℝ ) Thay vào z − 2 = m0

Câu 47: (Chuyên Quang Trung -2018)Cho số phức z thỏa mãn

và sử dụng yêu cầu bài toán để biện luận và tìm giá trị của m 0 Lời giải chi tiết. Giả sử z = a + bi ( a, b ∈ ℝ, a 2 + b 2 > 0 ) Khi đó ta có

(1 + i )( a − bi ) = ( a + b ) + i ( a − b ) ∈ ℝ ⇒ a − b = 0 ⇒ a = b ⇒ z = a + ai 1+ i = a + bi ( a + bi )( a − bi ) a 2 + b2 a 2 + b2 Thay vào z − 2 = m0 Ta nhận được

( a − 2)

m 0 = ( a + ai ) − 2 =

+ a 2 = 2 ( a 2 − 2a + 2 )

ẠY

KÈ

m 0 > 0 ⇔ 2 2 2a − 4a + 4 − m 0 = 0 (1) Để có đúng một nghiệm phức thỏa mãn bài toán thì phương trình (1) phải có duy nhất một nghiệm a. Khi đó phương trình (1) phải thỏa mãn ∆ ' = 22 − 2 ( 4 − m 02 ) = 0 ⇔ 2m 02 − 4 = 0 ⇔ m 0 = ± 2 Kết hợp với điều kiện m 0 > 0 ta

 3 suy ra giá trị cần tìm là m 0 = 2 ∈ 1;   2 Sai lầm.Một bộ phận nhỏ học sinh vẫn có thể quên đưa ra điều kiện m 0 > 0 nên hai

nghiệm là m0 = ± 2

Câu 48: (Chuyên Quang Trung -2018) Trong mặt phẳng phức, gọi M là điểm biểu diễn

(z − z)

với z = a + bi ( a, b ∈ ℝ, b ≠ 0 ) . Chọn kết luận đúng

A. M thuộc tia Ox. C. M thuộc tia đối của tia Ox. Đáp án C

B. M thuộc tia Oy D. M thuộc tia đối của tia Oy.

Phương pháp. Tính trực tiếp

(z − z)

Lời giải chi tiết. Ta có

(z − z)

FF IC IA L

cho số phức

2 = ( a + bi ) − a + bi  = ( 2bi ) = −4b 2 . Do b ≠ 0 ⇒ − b 2 < 0. Do đó M

có phần thực âm, phần ảo bằng 0, nên thuộc tia đối của tia Ox.

2017 − 1 2

2016 − 1

2016 − 1 2

Câu 49: (Chuyên Quang Trung -2018)Trong tập các số phức, gọi z1 , z 2 là hai nghiệm 2017 = 0 với z 2 có thành phần ảo dương. Cho số phức z của phương trình z 2 − z + 4 thỏa mãn z − z1 = 1 Giá trị nhỏ nhất của P = z − z 2 là

Đáp án A

2017 − 1

Phương pháp. Giả sử z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) Giả phương trình ban đầu để tìm được nghiệm z1 , z 2 Sử 2

dụng giả thiết để đánh giá cho cho b. Đưa z − z 2 về một hàm cho b và sử dụng ước lượng cho b ở phần trước để tìm giá trị nhỏ nhất của P. Lời giải chi tiết. 1 − i 2016 1 + i 2016 Tính toán ta tìm được hai nghiệm z1 = , z2 = 2 2 Giả sử z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) Từ z − z1 = 1 ta suy ra 2

KÈ

2  1 − i 2016 1  2016  2016   a + bi − = 1 ⇔ a − ( )  ⇒  b +   +  b +  ≤ 1 2 2  2  2   

2016 2016 ≤ b ≤ 1− (1) 2 2 Áp dụng (1) ta nhận được

ẠY

⇒ −1 −

z − z2

2 1 + i 2016 1  2016   = ( a + bi ) − =  a −  +  b −  2 2  2  

2  1  2016  2016 2016   =  a −  +  b + = −1 − 2b 2016 ≥ 1 − 2 1 −  − 4b  2016 = 1 − 2 2016 + 2016 = 2  2  2 2    Do đó giá trị nhỏ nhất của P = z − z 2 là 2016 − 1

(

Đạt được khi và chỉ khi b = 1 −

2016 1 ,a = 2 2

FF IC IA L

Câu 50: (Chuyên Quang Trung -2018) .Gọi S là tập hợp các số thực m sao cho với mỗi z m ∈ S có đúng một số phức thỏa mãn z − m = 6 và là số thuần ảo. Tính tổng z−4 của các phần tử của tập S. A. 10 B. 0 C. 16 D. 8 Đáp án B

Phương pháp. Gọi z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) Sử dụng giả thiết để tìm a, bsuy ra giá trị của z. Sử dụng kết quả này để tìm giá trị của m và kết luận. Lời giải chi tiết. Giả sử z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) , z ≠ 4. Khi đó ta có

a ( a − 4 ) + b 2 + i ( b ( a − 4 ) − ab ) a + bi )( a − 4 − bi ) ( z a + bi = = = 2 z − 4 ( a + bi ) − 4 ( a − 4 + bi )( a − 4 − bi ) ( a − 4) + b2

z là số thuần ảo thì ta phải có a ( a − 4 ) + b 2 = 0 ⇔ a 2 − 4a + b 2 (1) z−4 2 Từ z − m = 6 ⇔ ( a + bi ) − m = 6 ⇔ ( a − m ) + b 2 = 36 ( 2 )

( 2)

ta nhận được

Từ (1) suy ra b 2 = 4a − a 2 thay vào

Để

36 = ( a − m ) + ( 4a − a 2 ) ⇔ 36 = a 2 − 2am + m 2 + 4a − a 2

⇔ 36 = ( 4 − 2m ) a + m 2 ⇔ 2a ( m − 2 ) = m 2 − 36 ( 3) Nếu m = 2 thì ( 3) vô nghiệm

m 2 − 36 2m − 4 2 2 Vì b = 4a − a nên để có duy nhất một số phức z thỏa mãn điều kiện đã cho thì b = 0 Ta nhận được a = 0 hoặc a = 4 z với a = 4 thì z = a + bi = 4. Loại vì là số thuần ảo z−4 m 2 − 36 = 0 ⇔ m = ±6 vậy a = b = 0 ⇒ z = 0. Khi đó 2m − 4 Tổng các phần tử của S là 6 + ( −6 ) = 0

ẠY

KÈ

Nếu m ≠ 2 thì từ ( 3) suy ra a =

Câu 51: (Chuyên Quang Trung -2018) Tìm số phức z thỏa mãn z − 2 = z và

( z + 1) ( z − i )

là số thực

A. z = 1 + 2i Đáp án D

B. = −1 − 2i

C. z = 2 − i

D. z = 1 − 2i

(

)

(

FF IC IA L

Phương pháp. Gọi z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) Sử dụng giả thiết để tìm a, bsuy ra giá trị của z. Lời giải chi tiết. Giả sử z = a + bi Khi đó ta có 2 2  z−2 = z  z−2 = z ⇔  Im ( z + 1) z − i  = 0 Im ( z + 1) z − i  = 0 2 2  ( a + bi ) − 2 2 = a + bi 2    ( a + bi ) − 2 = a + bi ⇔ ⇔ Im ( a + bi + 1) a + bi − i  = 0 Im ( a + 1 + bi ) ( a − ( b + 1) i )  = 0 

)

2 2 2 2  a 2 − 4a + 4 = a 2 a = 1 ( a − 2 ) + b = a + b ⇔ ⇔ ⇔ 2 2  b = −2 a + b + 1 = 0 Im ( a + b + a + b ) − i ( a + b + 1)  = 0 Vậy z = a + bi = 1 − 2i. Sai lầm.Một số học sinh có thể nhớ nhầm i 2 = −1 thành i 2 = 1 do đó quá trình tính toán kết quả sẽ bị sai. Câu 52: (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định) Cho hai số phức z1 = 2 + 3i và

D. -3

z 2 = −3 − 5i. Tính tổng phần thực và phần ảo của số phức w = z1 + z 2 A. 3 B. 0 C. −1 − 2i Đáp án D

Ta có w = z1 + z 2 = 2 + 3i − 3 − 5i = −1 − 2i ⇒ a + b = −3

C. z = 5

D. z = 3

Đáp án C

B. z = 3

A. z = 5

Câu 53: (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định) Cho số phức z thỏa mãn z + 4z = 7 + i ( z − 7 ) . Khi đó, môđun của z bằng bao nhiêu

KÈ

Đặt z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) Ta có a + bi + 4 ( a − bi ) = 7 + i ( a + bi − 7 )

ẠY

5a = 7 − b a = 1 ⇔ 5a − 3bi = ( 7 − b ) + ( a − 7 ) i ⇔  ⇔ ⇒z = 5 −3b = a − 7 b = 2

Câu 54: (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định) Cho số phức z thỏa mãn (1 + 3i ) z − 5 = 7i. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng? A. z = − Đáp án D

13 4 + i 5 5

B. z =

13 4 − i 5 5

C. z = −

13 4 − i 5 5

D. z =

13 4 + i 5 5

5 + 7i 13 4 13 4 = − i⇒z= + i 1 + 3i 5 5 5 5 Câu 55: (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định)Cho số phức z và w thỏa mãn z + w = 3 + 4i và z − w = 9. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = z + w z=

B. max T = 14

C. max T = 4

D. max T = 106

FF IC IA L

A. max T = 176 Đáp án D

Đặt A ( z1 ) ; B ( z 2 ) theo giả thiết ta có: OA + OB = ( 3; 4 ) ; OA − OB = 9; P = OA + OB 2 2 2 106 = OA + OB + OA − OB = 2 OA 2 + OB2 ≥ ( OA + OB) = P 2 ⇒ P ≤ 106

(

) (

)

(

)

Tổng quát: Với 2 số thwucj z1 ,z 2 thõa mãn z1 + z 2 = a + bi và z1 − z 2 = c

(

)

max

= a 2 + b 2 + c2

Khi đó P = z1 + z 2

B. S =

19 2

C. S =

23 2

17 2

A. S =

Câu 56: (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định)Trong mặt phẳng phức, gọi A, B, C, D lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức z1 = −1 + i,z 2 = 1 + 2i,z3 = 2 − i,z 4 = −3i. Gọi S diện tích tứ giác .ABCD Tính S

Đáp án A

Ta có A ( −1;1) ; B (1;2 ) ;C ( 2; −1) ; D ( 0; −3) ⇒ AC = ( 3; −2 ) ⇒ AC : 2x + 3y − 1 = 0

KÈ

 7 −10  17 1 1 + AC d ( B; AC ) + d ( D; AC )  = . 13  = 2 2 13  2  13 Câu 57: (Viên Khoa Học và Thương Mại Quốc Tế) Cho số phức z = 2 − 3i . Số phức liên hợp của z là: A. z = −2 − 3i B. z = −2 + 3i C. z = 2 + 3i D. z = 2 − 3i Đáp án C

SABCD = SBAC + SDAC =

ẠY

Phương pháp: Số phức z = a + bi có số phức liên hợp z = a − bi Cách giải: Số phức liên hợp của z = 2 − 3i là z = 2 + 3i

1 Câu 58: (Viên Khoa Học và Thương Mại Quốc Tế)Cho số phức z = 1 − i . Tìm số 3 phức w = iz + 3z được 8 10 8 10 A. w = B. w = C. w = + i D. w = + i 3 3 3 3 Đáp án A Phương pháp: Sử dụng công thức cộng, nhân các số phức.

1 8  1   1  Cách giải: w = iz + 3 z = i 1 + i  + 3 1 − i  = i − − i = 3 3  3   3 

Câu 59: (Viên Khoa Học và Thương Mại Quốc Tế)Cho số phức z thỏa mãn 2

z + z = 4i − 20 . Mô đun của z là:

A. z = 3

B. z = 4

C. z = 5

Đáp án C

FF IC IA L

(1 + 2i )

D. z = 6

Phương pháp: Đặt z = a + bi ( a; b ∈ ℝ ) ⇒ z = a − bi, tính toán và rút gọn, so sánh hai số phức. Cách giải:Gọi z = a + bi ( a; b ∈ ℝ ) ta có:

(1 + 2i )

z + z = 4i − 20 ⇔ ( −3 + 4i )( a + bi ) + a − bi = 4i − 20

⇔ −3a − 3bi + 4ai − 4b + a − bi = 4i − 20 ⇔ ( −2a − 4b ) + ( 4a − 4b ) i = 4i − 20

C. max T = 4 2

B. max T = 8

D. max T = 4

A. max T = 8 2 Đáp án D

−2a − 4b = −20 a = 4 ⇔ ⇔ ⇒ z = 4 + 3i ⇒ z = 5 4a − 4b = 4 b = 3 Câu 60: (Viên Khoa Học và Thương Mại Quốc Tế)Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − 1 = 2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = z + i + z − 2 − i

Phương pháp: Đưa biểu thức T về dạng biểu thức vector bằng cách tìm các vecto biểu diễn cho các số phức. Cách giải: Tập hợp các điểm z thỏa mãn điều kiện z − 1 = 2 là đường tròn ( C ) tâm

I (1;0 ) bán kính R = 2

T = z + i + z − 2 − i = z − ( −1) + z − ( 2 + i )

Gọi M là điểm biểu diễn cho số

−i, B ( 2;1) là điểm biểu diễn

phức z, A ( 0; −1) là điểm biểu diễn cho số phức cho

số

phức 2 + i.

KÈ

Dễ thấy A, B ∈ ( C ) và AB = 22 + 2 2 = 2 2 = 2R ⇒ AB là đường kính của đường vuông tại M ⇒ MA 2 + MB2 = AB2 = 8 ⇒ MB = 8 − MA 2 Ta có: T = OM − OA + OM − OB = MA + MB = MA + 8 − MA 2

( C ) ⇒ ∆MAB

ẠY

tròn

Đặt MA = x 0 ≤ x ≤ 2 2 , xét hàm số f ( x ) = x + 8 − x 2 trên 0; 2 2  ta có: f '( x ) = 1−

(

)

x 8− x

(

8 − x2 − x 8− x

)

= 0 ⇔ 8 − x2 = x ⇔ 8 − x2 = x2 ⇔ x = 2

f ( 0 ) = 2, f 2 2 = 2 2; f ( 2 ) = 4 ⇒ max f ( x ) = f ( 2 ) = 4 Vậy max T = 4

 0;2 2   

Câu 61: (Chuyên Sư Phạm Hà Nội Lần 2) Cho số phức z có biểu diễn

A. z = −3 + 2i

B. z = 3 + 2i

C. z = −3 − 2i

D. z = 3 − 2i

FF IC IA L

hình học là điểm M ở hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng ?

: Đáp án D

Phương pháp: Số phức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm M ( a; b ) trên mặt phẳng phức. Cách giải: Ta có: M ( 3; −2 ) ⇒ z = 3 − 2i v

của z là:

1− i 2

B. 1 − i

1− i 2

Câu 62: (Chuyên Sư Phạm Hà Nội Lần 2)Cho số phức z = 1 + i. Số phức nghịch đảo

1 1 1− i 1− i = = 2 2 = z 1+ i 1 − i 2

Lời giải: Ta có z = 1 + i ⇒

1 1 a − bi a − bi = = = 2 z a + bi ( a + bi )( a − bi ) a + b 2

Ta có z = a + bi ⇒

Phương pháp giải:

Đáp án C

−1 + i 2

Câu 63: (Chuyên Sư Phạm Hà Nội Lần 2)Cho i là đơn vị ảo. Gọi S là tập hợp các số nguyên dương n có 2 chữ số thỏa mãn i n là số nguyên dương. Số phần tử của S là

C. 45

D. 46

KÈ

Đáp án A

B. 23

A. 22

Phương pháp giải:

Để i n là số nguyên dương thì n là số nguyên dương chia hết cho 4

ẠY

Lời giải:

Xét n = 2k, khi đó i n = i 2k = ( i 2 ) = ( −1) là số nguyên dương khi k chẵn.

Kết hợp với n ∈ {10;11;...;99} suy ra

k  11 99  ∈ 5; ;...;  và k ∈ ℤ là số chẵn. 2  2 2

19  29   11  21 Với mỗi bộ số 5; ;...;  → có 2 số k thỏa mãn, 10; ;...;  → có 3 số k thỏa 2 2 2  2 

mãn. Vậy có tất cả 2.5 + 3.4 = 22 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

B. 7

A. 4

FF IC IA L

Câu 64: (Chuyên Sư Phạm Hà Nội Lần 2) Cho số phức z = −3 + 4i . Môđun của z là C. 3

D. 5

Đáp án D

Phương pháp giải: Số phức z = a + bi có môđun là z = a 2 + b 2

( −3)

+ 42 = 5

Lời giải: Ta có z = −3 + 4i ⇒ z =

có phần thực là A. 5

Câu 65: (Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi – Lần 1)Cho số phức z = (1 + 2i )( 5 − i ) , z C. 3

D. 9

B. 7

Đáp án B Phương pháp: Số phức z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) có phần thực là a, phần ảo là b.

Cách giải: z = (1 + 2i )( 5 − i ) = 5 − i + 10i − 2i 2 = 5 − i + 10i + 2 = 7 + 9i có phần thực là 7.

Câu 66: (Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi – Lần 1)số phức z thỏa mãn z = 5 và số phức w = (1 + i ) z. Tìm w

KÈ

B. 2 + 5 C. 5 A. 10 Đáp án A Phương pháp: Cho z1 , z 2 là hai số phức bất kì, khi đó z1.z 2 = z1 . z 2

D. 2 5

ẠY

Cách giải: Ta có: w = (1 + i ) z ⇒ w = (1 + i ) z = 1 + i . z = 12 + 12 5 = 10

Câu 67: (Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi – Lần 1) Trong các số phức: 2

B. (1 + i )

(1 + i ) , (1 + i ) , (1 + i ) , (1 + i ) A. (1 + i )

số phức nào là số thực?

C. (1 + i )

D. (1 + i )

Đáp án B 2

Phương pháp: Sử dụng (1 + i ) = 1 + 2i + i 2 = 1 + 2i − 1 = 2i

Cách giải:

(1 + i )

2 4 = (1 + i )  = ( 2i ) = 16  

(1 + i )

= (1 + i ) (1 + i ) = 2i (1 + i ) = 2i − 2

(1 + i )

2 2 = (1 + i )  (1 + i ) = ( 2i ) (1 + i ) = −4i + 4  

= 2i 4

Như vậy, chỉ có số phức (1 + i ) là số thực

FF IC IA L

Câu 68: (Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi – Lần 1)Xét số phức z thỏa mãn 10 − 2 + i. Mệnh đề nào dưới đây đúng? z 1 1 3 3 < z < 2 B. z > 2 C. z < <z< D. A. 2 2 2 2 Đáp án D Phương pháp: Chuyển vế, lấy mođun hai vế. Cách giải:

(1 + 2i ) z

10 10 − 2 + i ⇔ (1 + 2i ) z + 2 − i = z z 2 2 10 10 ⇔ ( z + 2 )( 2 z − 1) i = ⇔ ( z + 2 ) ( 2 z − 1) = 2 z z

(1 + 2i ) z

⇔ z + 4 z + 4 + 4 z − 4 z +1 =

4 2 1 3 ⇔ 5 z + 5 z − 10 = 0 ⇔ z = 1 ;  2 2 z

Câu 69: (Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi – Lần 1)Cho số phức z thỏa mãn

KÈ

z − 2 + 3i + z − 2 + i = 4 5. Tính GTLN của P = z − 4 + 4i

ẠY

A. max P = 4 5 B. max P = 7 5 C. max P = 5 5 D. max P = 6 5 Đáp án A Cho số phức z = x + yi ( x, y ∈ ℝ) ,S ( x, y ) là điểm biểu diễn của z trên hệ trục tọa độ

Oxy 

Lấy các điểm

( x − 2 ) + ( y + 3) + ( x + 2 ) + ( y + 1) A ( 2; −3) , B ( −2; −1) Phương trình

z − 2 + 3i + z − 2 + i = 4 5 ⇔

(1) ⇔ SA + SB = 4

⇒ Tập hợp các điểm S là đường elip (E) có tiêu điểm

= 4 5 (1)

A ( 2; −3) , B ( −2; −1) và có độ dài trục lớn là 2a = 4 5 ⇒ a = 2 5 AB = 2MA Lấy M ( 4; -4 ) . Dễ dàng kiểm tra được  MA + MB = 4 = 2a

điểm S ∈ ( E ) : SM ≤ MN = 2a = 4 5

FF IC IA L

Suy ra, M là một đỉnh và nằm trên trục lớn của elip (E). Gọi I là trung điểm AB ⇒ I ( 0; −2 ) , N là điểm đối xứng của M qua I. Khi đó, với mọi

SM max = 4 5 khi và chỉ khi S trùng N ⇔ Pmax = 4 5 khi và chỉ khi S ≡ N ( −4;0 ) ⇒ z = −4 Câu 70: ( Chuyên Tiền Giang-2018)

( −1; −4 ) .

( 2 − 3i )( 4 − i ) .

3 + 2i C. (1; −4 ) .

Tìm tọa độ điểm biểu diễn của số phức z =

B. (1; 4 ) .

( 2 − 3i )( 4 − i ) = −1 − 4i.

Ta có z =

( −1; 4 ) .

Đáp án A.

3 + 2i Câu 71: ( Chuyên Tiền Giang-2018) Gọi z1 , z 2 là hai nghiệm phức của phương trình 2z 2 − 3z + 4 = 0. Tính 1 1 w = + + i.z1z 2 . z1 z 2 3 3 3 3 A. w = − + 2i. B. w = + 2i. C. w = 2 + i. D. w = + 2i. Đáp án B. 4 4 2 2

KÈ

3  z +z 1 1 3 3 z1 + z 2 = Ta có  + 2i = + 2i. 2 ⇒ w = + + i.z1z 2 = 1 2 + i ( z1z 2 ) = z1 z 2 z1z 2 2.2 4 z1z 2 = 2 Câu 72: ( Chuyên Tiền Giang-2018) Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) thỏa mãn z + 1 + 3i − z i = 0. Tính S = a + 3b.

A. S =

7 3

B. S = −5

C. S = 5

D. S = −

ẠY

Đáp án B. a = −1 Đặt z = a + bi ( a; b ∈ ℝ ) ta có: a + 1 + bi + 3i − a 2 + b 2 i = 0 ⇔  2 2 b + 3 = a + b  a = −1 a = −1  ⇔ 4 ⇒ S = −5.  2 b + 3 = b + 1 b = − 3 Câu 73: ( Chuyên Tiền Giang-2018)

7 3

Biết số phức z thỏa mãn điều kiện z − 3 − 4i = 5 và biểu thức P = z + 2 − z − i đạt giá trị lớn nhất. Tính z .

A. z = 5 2.

B. z = 50

C. z = 10.

D. z = 5 2.

Đặt z = x + yi

FF IC IA L

Đáp án D.

( x, y ∈ ℝ ) ⇒ Tập hợp các điểm M là đường tròn (C) có tâm I ( 3; 4 ) , bán

kính R = 5. 2

Ta có P = z + 2 − z − i = x + 2 + yi − x + ( y − 1) i = ( x + 2 ) + y 2 − x 2 − ( y − 1)

= x 2 + y 2 + 4x + 4 − x 2 − y 2 + 2y − 1 = 4x + 2y + 3 → ( ∆ ) : 4x + 2y + 3 − P = 0. Ta cần tìm P sao cho đương thẳng ( ∆ ) và đường tròn (C) có điểm chung

⇔

4.3 + 2.4 + 3 − P 42 + 2 2

⇔ d ( I; ( ∆ ) ) ≤ R.

≤ 5 ⇔ 23 − P ≤ 10 ⇔ −10 ≤ 23 − P ≤ 10 ⇔ 13 ≤ P ≤ 33.

x = 5 4x + 2y − 30 = 0 . Vậy z = 5 2. Do đó max P = 33. Dấu “=” xảy ra ⇔  ⇔ 2 2  y = −5 ( x − 3) + ( y − 4 ) = 5 Câu 74: (Cụm 5 trường chuyên)Cho số phức z1 = 2 + 3i, z 2 = −4 − 5i. Tính z = z1 + z 2

B. z = −2 − 2i

C. z = 2 + 2i

D. z = −2 + 2i

A. z = 2 − 2i Đáp án B

Phương pháp: z1 = a1 + b1i; z 2 = a 2 + b 2i ⇒ z1 + z 2 = ( a1 + a 2 ) + ( b1 + b 2 ) i

Cách giải: z1 + z 2 = ( 2 + 3i ) + ( −4 − 5i ) = −2 − 2i

Câu 75: (Cụm 5 trường chuyên) Nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình

KÈ

z 2 − z + 1 = 0 là z = a + bi, a, b ∈ R. Tính a + 3b

A. 2

B. 1

C. −2

D. −1

Đáp án A

ẠY

Phương pháp :

Tìm nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z 2 − z + 1 = 0 bằng MTCT.

Cách giải: Sử dụng MTCT ta tính được nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình trên là

Câu 76: (Cụm 5 trường chuyên) Cho hai số

FF IC IA L

1  a=  1 3 1 3 2  z= + i⇒ ⇒ a + 3b = + = 2 2 2 2 2 b = 3  2

phức z1 , z 2 thỏa mãn z1 = 2, z 2 = 3.

Gọi M, N là các điểm biểu diễn cho z1 và iz 2 . Biết MON = 300. Tính S = z12 + 4z 22 ?

B. 4 7

C. 3 3

D. 5 2

Đáp án

Phương pháp: Tìm các điểm biểu diễn và đưa về bài toán hình học.

Cách giải : Đặt z 3 = iz 2 ⇒ z32 = − z 22 ⇒ S = z12 + 4z 22 = z12 − 4z 32 = z1 − 2z 3 z1 + 2z 3

M, N là các điểm biểu diễn cho z1 , z3 ⇒ OM = 2, ON = z3 = iz 2 = i. z 2 = 3

Gọi P là điểm biểu diễn cho 2z3 và Q là điểm biểu diễn cho −2z3 , ta có N

là trung điểm của OP và P, Q đối xứng nhau qua O. Khi đó S = MP.MQ Áp dụng định lí Cosin trong ∆OMP có:

3 = 4 ⇒ MP = 2 2

MP 2 = OP 2 + OM 2 − 2OP.OM.cos30 = 12 + 4 − 2.2 3.2.

Áp dụng định lí Cosin trong ∆OMQ có:

MQ 2 = OM 2 + OQ 2 − 2OM.OQ.cos1500 = 4 + 12 + 2.2.2 3.

3 =2 7 2

KÈ

⇒ S = MP.MQ = 2.2 7 = 4 7

Câu 77: (Cụm 5 trường chuyên) Cho hai số phức z1 , z 2 thỏa mãn và z1 + 1 − i = 2 và

ẠY

z 2 = iz1. Tìm giá trị lớn nhất m của biểu thức z1 − z 2 .

A. m = 2

B. m = 2 2 + 2

C. m = 2 2

D. m = 2 + 1

Đáp án B

Phương pháp : Đặt z1 = a + bi ( a; b ∈ R )

z1 − z 2 = z1 − iz1 = (1 − i ) z1 = 2 z1 = 2 a 2 + b 2 , tìm GTLN của Cách giải : Đặt z1 = a + bi ( a; b ∈ R )

a 2 + b2

z1 − z 2 = z1 − iz1 = (1 − i ) z1 = 2 z1 = 2 a 2 + b 2 2

a + bi + 1 − i = 2 ⇔ ( a + 1) + ( b − 1) = 4 ⇔ a 2 + b 2 + 2 ( a − b ) = 2 ⇒ 2 ( a − b ) = 2 − ( a 2 + b2 ) 2

Ta có :

(a + b)

FF IC IA L

⇒ 4 ( a − b ) = ( a 2 + b2 ) − 4 ( a 2 + b2 ) + 4

≥ 0 ⇔ a 2 + b 2 + 2ab ≥ 0 ⇔ 2 ( a 2 + b 2 ) ≥ a 2 + b 2 − 2ab = ( a − b )

⇒ ( a 2 + b2 ) − 4 ( a 2 + b2 ) + 4 ≤ 8 ( a 2 + b2 ) 2

⇔ ( a 2 + b 2 ) − 12 ( a 2 + b 2 ) + 4 ≤ 0

⇒ 6 − 4 2 ≤ a 2 + b2 ≤ 6 + 4 2 ⇒ a 2 + b2 ≤ 2 + 2

⇒ z1 − z 2 = 2 a 2 + b 2 ≤ 2 2 + 2

Câu 78: (Chuyên Chu Văn An-2018) Điểm M trong hình bên là điểm biểu diễn của số phức z. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Phần thức là 3 và phần ảo là -4. B. Phần thực là -4 và phần ảo là 3i. C. Phần thực là -4 và phần ảo là 3 D. Phần thực là 3 và phần ảo là -4i. Đáp án A.

Phương pháp : Số phức z = a + bi có điểm biểu diễn trên mặt phẳng phức là M ( a; b ) trong đó a là phần thực và b là phần ảo.

KÈ

Cách giải: M ( 3; −4 ) ⇒ Số phức z có phần thức là 3 và phần ảo là -4.

Câu 79: (Chuyên Chu Văn An-2018) Kí hiệu z1 , z 2 là hai nghiệm phức của phương

ẠY

trình z 2 + z + 1 = 0. Giá trị của biểu thức P = z12 + z 22 + z1z 2 bằng: A. P = 2 B. P = −1 C. P = 0 Đáp án C.

D. P = 1

Phương pháp: Sử dụng định lí Vi-et. Cách giải: z1 , z 2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 + z + 1 = 0 nên theo định lí

b  z1 + z 2 = − a = −1 Vi-et ta có:  z z = c = 1  1 2 a

P = z12 + z 22 + z1z 2 = ( z1 + z 2 ) − z1z 2 = ( −1) − 1 = 0. 10 − 2 + i. z

Mệnh đề nào dưới đây đúng? 3 < z <2 A. B. z > 2 2 Đáp án D.

1 3 <z< 2 2

C. z <

⇔ z + 4 z + 4 + 4 z − 4 z +1 =

Phương pháp: Chuyển vế, lấy mođun hai vế. Cách giải: 10 10 − 2 + i ⇔ (1 + 2i ) z + 2 − i = (1 + 2i ) z = z z 2 2 10 10 ( z + 2 ) + ( 2 z − 1) i = z ⇔ ( z + ) + ( 2 z − 1) = 2 z

1 2

FF IC IA L

Câu 80 (Chuyên Chu Văn An-2018): Xét số phức z thỏa mãn (1 + 2i ) z =

4 2 1 3 ⇔ 5 z + 5 z − 10 = 0 ⇔ z = 1 ∈  ;  2 2

Câu 81: (Chuyên Chu Văn An-2018) Xét các số phức z = a + bi, ( a, b ∈ R ) thỏa mãn

U Q

B. P = −

252 50

C. P = −

41 5

D. P = −

18 5

trị P = a + 2b là: 61 A. P = − 10

đồng thời hai điều kiện z = z + 4 − 3i và z + 1 − i + z − 2 + 3i đạt giá trị nhỏ nhất. Giá

Đáp án A.

KÈ

Phương pháp:

Từ z + yi = z + 4 − 3i tìm ra quỹ tích điểm M ( x; y ) biểu diễn cho số phức z = x + yi. Gọi điểm M ( x; y ) là điểm biểu diễn cho số phức z và A ( −1;1) ; B ( 2; −3) ta có:

ẠY

z + 1 − i + z − 2 + 3i = MA + MB nhỏ nhất ⇔ MA = MB

Cách giải: Gọi z = x + ui ta có: 2

x + yi = x − yi + 4 − 3i ⇔ x 2 + y 2 = ( x + 4 ) + ( y + 3)

⇔ 8x + 6y = −25

Gọi điểm M ( x; y ) là điểm biểu diễn cho số phức z và A ( −1;1) ; B ( 2; −3) ta có:

z + 1 − i + z − 2 + 3i = MA + MB nhỏ nhất. Ta có: MA + MB ≥ 2 MA.MB, dấu bằng xảy ra ⇔ MA = MB ⇒ M thuộc trung trực của AB.

FF IC IA L

1  Gọi I là trung điểm của AB ta có I  ; −1 và AB = ( 3; −4 ) . 2  1 11  Phương trình đường trung trực của AB là 3  x −  − 4 ( y + 1) = 0 ⇔ 3x − 4y − = 0 2 2  Để ( MA + MB ) min ⇔ Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình

67  x=− 8x + 6y = −25    50  11 ⇔  3x − 4y = 2  y = − 119 50  67  a=−  67 119 61  50 ⇒z=− − ⇒ P = a + 2b = − i⇔ 50 50 10 b = − 119  50 Câu 82: (Chuyên Lê Quý Đôn- Quảng Trị -Lần 1)Tìm phần thực của số phức z12 + z 22 ,

biết rằng z1 , z 2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 − 4z + 5 = 0 B. 6 C. 8 D. 5 A. 4 Đáp án B Phương pháp giải: Áp dụng định lí Vi-et của phương trình bậc hai. z1 + z 2 = 4 2 ⇒ z12 + z 22 = ( z1 + z 2 ) − 2z1z 2 = 42 − 2.5 = 6 Lời giải: Ta có z 2 − 4z + 5 = 0 ⇒  z1z 2 = 5

KÈ

1 3 i. Tìm Câu 83: (Chuyên Lê Quý Đôn- Quảng Trị -Lần 1) Cho số phức z = − + 2 2 số phức w = 1 + z + z 2 1 3 A. − + i B. 0 C. 1 D. 2 − 3i 2 2 Đáp án B Phương pháp giải: Bấm máy hoặc khai triển bằng tay tìm số phức w Lời giải: 2

ẠY

 1 1 3 3  1 3 3 2 1 3 i ⇒ z 2 =  − + i  = − i+ i = − − i Ta có z = − + 2 2 4 2 4 2 2  2 2  1 3 1 3 Vậy w = 1 + z + z 2 = 1 − + i− − i=0 2 2 2 2 Câu 84: (Chuyên Phan Bội Châu- Nghệ An) Cho số phức 2 − 3i. Môđun của số

phức w = (1 + i ) z bằng

A. w = 26 Đáp án A

B. w = 37

C. w = 5

D. w = 4

Ta có w = (1 + i )( 2 − 3i ) = 5 − i ⇒ w = 26

Câu 85: (Chuyên Phan Bội Châu- Nghệ An)Biết phương trình

A. 9

B. 1

FF IC IA L

z 2 + az + b = 0 ( a, b ∈ ℝ ) có một nghiệm là z = −2 + i. Tính a + b C. 4

D. −1

Đáp án A

a  z1 + z 2 = −4 = − 1 ⇒ a = 4 Suy ra được nghiệm còn lại là z = −2 − i ⇒  ⇒a+b =9 z z = 5 = b ⇒ b = 5  1 2 1

Câu 86: (Chuyên Phan Bội Châu- Nghệ An)Với hai số phức z1 và z 2 thỏa mãn

B. P = 2 26

C. P = 5 + 3 5

D. P = 34 + 3 2

A. P = 4 6

z1 + z 2 = 8 + 6i và z1 − z 2 = 2, tìm giá trị lớn nhất P = z1 + z 2 .

Đáp án B

(

)

Bổ đề. Cho hai số phức z1 và z 2 , ta luôn có

( *)

z1 + z 2 = z1 − z 2 = 2 z1 + z 2

(

)

Chứng minh. Sử dụng công thức z1 + z 2 = ( z1 + z 2 ) z1 + z 2 và z.z = z . Khi đó

(

)

(

KÈ

z1 + z 2 = z1 − z 2 = ( z1 + z 2 ) z1 + z 2 + ( z1 − z 2 ) z1 − z 2

)

z1.z + z1.z 2 + z1.z 2 + z 2 .z 2 + z1.z1 − z1.z 2 − z1.z 2 + z 2 .z 2

(

) (

ẠY

= 2 z1.z1 + z 2 .z 2 = 2 z1 + z 2

) → dpcm

Áp dụng (*), ta được z1 + z 2 − z1 − z 2 = 4 ⇒ z1 − z 2 = 4 − Theo bất đằng thức Bunhiacopxki, ta được P = z1 + z 2

(

( 3) 2

2 z1 + z 2

= 1 ⇒ z1 − z 2 = 1 2

)=2

Câu 87: ( Chuyên Sơn La- Lần 1)Số phức liên hợp z của số phức z = 2 − 3i là A. z = 3 − 2i

B. z = 2 + 3i

C. z = 3 + 2i

D. z = −2 + 3i

Đáp án B Phương pháp: Số phức liên hợp z của số phức z = a + bi, a, b ∈ R là z = a − bi Cách giải: Số phức liên hợp z của số phức z = 2 − 3i là z = 2 + 3i

z 2 + 2z + 10 = 0. Giá trị của biểu

A. T = 10

thức T = z1 + z 2 bằng

B. T = 10

C. T = 20

Đáp án C

FF IC IA L

Câu 88: ( Chuyên Sơn La- Lần 1) Gọi z1 và z 2 là hai nghiệm phức của phương trình

D. T = 2 10

Phương pháp: Giải phương trình phức bậc hai, suy ra các nghiệm và tính tổng bình

phương môđun của các nghiệm đó. Sử dụng công thức: z = a + bi ⇒ z = a 2 + b 2

Cách giải:

+ 32 = 10; z1 = 2

( −1) + ( −3)

= 10

⇒ T = z1 + z 2 = 10 + 10 = 20

( −1)

⇒ z1 =

 z1 = −1 + 3i z 2 + 2z + 10 = 0 ⇔   z 2 = −1 − 3i

Câu 89: ( Chuyên Sơn La- Lần 1)Gọi

S là tập hợp các số phức z thỏa mãn. Tổng giá

C. 1

D. 1 − 3i

: Đáp án A

B. −3 − 3 3i

A. 1 − 2 3i

trị tất cả các phần tử của S bằng

KÈ

Phương pháp: Đặt z = a + bi ⇒ z = a − bi ⇒ z.z = a 2 + b 2 Biến đổi để phương trình trở thành A + Bi = 0 ⇔ A = B = 0

ẠY

Cách giải: z −

5+i 3 − 1 = 0 ⇔ z.z − z − 5 − i 3 = 0, z ≠ 0 (1) z

Đặt z = a + bi, ( a, b ∈ ℝ, a 2 + b 2 ≠ 0 ) , ta có:

(1) ⇔ a 2 + b 2 − a − bi − 5 − i

3=0

  a = −1 a 2 + b 2 − a − 5 = 0 a 2 + 3 − a − 5 = 0 a 2 − a − 2 = 0  ⇔ ⇔ ⇔ ⇔  a = 2 − b − 3 = 0 b = − 3 b = − 3  b = − 3

 z = −1 − i 3 ⇒ ⇒ Tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng 1 − 2i 3 = − z 2 i 3 

Câu 90: ( Chuyên Sơn La- Lần 1)Xét các số phức z = a + bi, ( a, b ∈ ℝ ) thỏa mãn

nhất.

A. P = 20

B. P = 2 + 20

C. P = − 20

Đáp án A

D. P = −2 − 20

Phương pháp:

FF IC IA L

z − 3 − 3i = 6. Tính P = 3a + b khi biểu thức 2 z + 6 − 3i + 3 z + 1 + 5i đạt giá trị nhỏ

Cách giải:

z = a + bi ⇒ a + bi − 3 − 3i = 6 2

⇔ ( a − 3)2 + ( b − 3) = 36

Khi đó ta có:

( a + 6 ) + ( b − 3)

2 z + 6 − 3i + 3 z + 1 + 5i = 2 a + bi + 6 − 3i + 3 a + bi + 1 + 5i 2

( a + 1) + ( b + 5 )

= 2 a 2 + b2

Câu 91: (Chuyên Hoàng Văn Thụ- Lần 2) Số phức z = −4 + 3i được biểu diễn bởi

C. M ( 3; −4 )

D. M ( 4;3)

Đáp án B

B. M ( −4;3)

A. M ( 4; −3)

điểm M có tọa độ

KÈ

Phương pháp: Điểm biểu diễn của số phức z = a + bi, ( a, b ∈ ℝ ) là M ( a; b ) Cách giải: Số phức z = −4 + 3i được biểu diễn bởi điểm M có tọa độ M ( −4;3)

ẠY

Câu 92: (Chuyên Hoàng Văn Thụ- Lần 2) Gọi z1 , z 2 là hai nghiệm của phương trình

3z 2 − z + 4 = 0 . Khi đó P =

A. −

23 12

Đáp án A

z1 z 2 + bằng z 2 z1

23 12

C. −

23 24

Phương pháp:

Áp dụng định lí Vi –et, xác định tổng và tích hai nghiệm của phương

trình bậc hai một ẩn az 2 + bz + c = 0, a ≠ 0

FF IC IA L

1  z1 + z 2 =   3 Cách giải: Xét phương trình 3z 2 − z + 4 = 0 . Áp dụng định lý Vi-ét:  z z = 4  1 2 3 2

4 1 8 1 − 2. 2 − 2 2   z + z − 2z z 23 z1 z 2 z1 + z 2 ( 1 2 ) 3 3 9 3 1 2  P= + = = = = =− 4 4 z 2 z1 z1z 2 z1z 2 12 3 3

Câu 93: (Chuyên Hoàng Văn Thụ- Lần 2) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện

A. 4 5

z − 1 − i + z + 1 + 3i = 6 5 . Giá trị lớn nhất của z − 2 − 3i là

C. 6 5

D. 5 5

B. 2 5

Đáp án D Phương pháp:

- Biểu diễn số phức và giải bài toán tìm GTLN trên mặt phẳng tọa độ.

Cách giải: Gọi I (1;1; ) , J ( −1; −3) , A ( 2;3) .

Xét số phức z = x + yi, ( x, y ∈ R ) , có điểm

z −1 − i = z +1 + 3 i = 6 5 ⇔

biểu diễn là M ( x; y )

( x − 1) + ( y − 1)

( x + 1) + ( y + 3)

=6 5

(1)

KÈ

⇔ MI + MJ = 6 5 ⇒ M di chuyển trên đường elip có tiêu điểm I và J, độ dài trục lớn là 3 5

ẠY

Tìm giá trị lớn nhất của z − 2 − 3i tức là tìm độ dài lớn nhất của đoạn AM khi M di chuyển trên elip. Ta có: IA = (1; 2 ) , JA = ( 3; 6 ) ⇒ JA = 3IA, điểm A nằm trên trục lớn của elip. =>AM đạt độ

dài lớn nhất khi và chỉ khi M trùng với B, là đỉnh của elip nằm trên trục

lớn và khác phía A so với điểm I. Gọi S là trung điểm của IJ ⇒ S ( 0; −1)

Độ dài đoạn AB = SA + SB 6 5 Mà AS = ( −2; −4 ) ⇒ AS = 2 5,SB = = 3 5 ⇒ AB = 5 5 2

FF IC IA L

Vậy z − 2 − 3i max = 5 5

Câu 94: (Chuyên Đại Học Vinh-2018)Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn

(1 + i ) z + ( 2 − i ) z = 13 + 2i ? A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

Đáp án D Phương pháp:

a = a ' +) So sánh hai số phức a + bi = a '+ b 'i ⇔  b = b '

+) Đặt z = a + bi ( a; b ∈ R ) ⇒ z = a − bi, thay vào phương trình.

Cách giải: Đặt z = a + bi ( a; b ∈ ℝ ) ⇒ z = a − bi, khi đó ta có:

(1 + i )( a + bi ) + ( 2 − i )( a − bi ) = 13 + 2i ⇔ a − b + ( a + b ) i + 2a − b − ( a + 2b ) i = 13 + 2i

⇔ 3a − 2b − bi = 13 + 2i

3a − 2b = 13 a = 3 ⇔ ⇔ ⇒ z = 3 − 2i −b = 2 b = −2

Câu 95: (Chuyên Đại Học Vinh-2018) Trong các số

phức z thỏa mãn z 2 + 1 = 2 z ,

gọi z1 và z 2 lần lượt là các số phức có môđun lớn nhất và nhỏ nhất.

Khi đó môđun lớn

KÈ

nhất của số phức w = z1 + z 2 là:

A. w = 2 2

B. w = 2

C. w = 2

ẠY

Đáp án A

Phương pháp : Sử dụng công thức zz = z Cách giải :

Ta có

D. w = 1 + 2

(

)

z 2 + 1 = 2 z ⇔ z 2 + 1 = 4 z ⇔ ( z 2 + 1) z 2 + 1 = 4zz

(

)

( )

⇔ ( z 2 + 1) z + 1 = 4zz ⇔ zz + z 2 + z + 1 − 4zz = 0

(

) ( )

(

)

(

⇔ z − 6 z +1 = − z + z

)

FF IC IA L

⇔ z + z + zz − 6zz + 1 = 0 ⇔ z + z + z − 6 z + 1 = 0 2

≤ 0 ⇔ 3− 2 2 ≤ z ≤ 3+ 2 2

 z1 = 2 − 1 ⇔ 2 −1 ≤ z ≤ 2 + 1 ⇒   z 2 = 2 + 1

z = 2 − 1 i  1  z1 = 2 − 1    w = z1 + z 2 = 2 2   z1 = 1 − 2 i Dấu = xảy ra ⇔  z 2 = 2 + 1 ⇔  ⇔  w = z1 + z 2 = 2  z2 = 2 + 1 i z + z = 0    z = − 2 − 1 i   2

)

) ) )

ẠY

KÈ

( ( ( (