Bộ 8 đề thi chính thức vào lớp 10 môn Toán Hệ chuyên Các Trường năm 2015 - 2016 Có lời giải (ST&GT) by Dạy Kèm Quy Nhơn Official

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN QUANG TRUNG NĂM HỌC: 2015 – 2016 Môn: Toán (Chuyên) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

 a +1 2   1  3 a +5   (a > 0, a ≠ 1) + Câu 1 Cho P =      a −1 a a − a − a +1   4 a    a) Rút gọn P b) Đặt Q = (a − a + 1) P. Chứng minh Q > 1 Câu 2 Cho phương trình x 2 − 2(m + 1) x + m 2 = 0 (1). Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1; x2 thỏa

)

1. Giải phương trình ( x + 1) 2( x 2 + 4) = x 2 − x − 2

)

-L

Í-

10 00

TR ẦN

)(

(

H Ư

 1 x − = x 2 + xy − 2 y 2 (1)  y 2. Giải hệ phương trình  x  x + 3 − y 1 + x 2 + 3 x = 3(2)  Câu 4 Giải phương trình trên tập số nguyên x 2015 = y ( y + 1)( y + 2)( y + 3) + 1 (1) Câu 5 Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O;R). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC a) Chứng minh AH = 2OM b) Dựng hình bình hành AHIO. Gọi J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC. Chứng minh rằng OI. OJ = R2 c) Gọi N là giao điểm của AH với đường tròn (O) (N khác A). Gọi D là điểm bất kì trên cung nhỏ NC của đường tròn tâm (O) (D khác N và C). Gọi E là điểm đối xứng với D qua AC, K là giao điểm của AC và HE. Chứng minh rằng ACH = ADK Câu 6 1. Cho a, b là 2 số thực dương. Chứng minh rằng (1 + a )(1 + b) ≥ 1 + ab 2. Cho a, b là 2 số thực dương thỏa mãn a + b = ab. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 P= 2 + 2 + (1 + a 2 )(1 + b 2 ) a + 2a b + 2b

IỄ N

ÀN

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

ẠO

mãn ( x1 − m) 2 + x2 = m + 2 Câu 3

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

U Y

(

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Bình Phước

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ĐÁP ÁN – LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1 a) Với a > 0 và a ≠ 1 ta có:  a −1 3 a + 5  (a + 2 a + 1) − 4 a P= + . 4 a  (a − 1)( a − 1) (a − 1)( a − 1) 

H Ư

a − 2 a + 1 ( a − 1) 2 Xét Q − 1 = = a a 2 Vì ( a − 1) > 0, a > 0, ∀a > 0, a ≠ 1 ⇒ Q − 1 > 0 ⇒ Q > 1

TR ẦN

Câu 2

Phương trình (1) có 2 nghiệm x1; x2 ⇔ ∆ ' = (m + 1) 2 − m 2 ≥ 0 ⇔ 2m + 1 ≥ 0 ⇔ m ≥ −

1 2

10 00

 x1 + x2 = 2m + 2 Theo định lý Viét ta có  2  x1 x2 = m Có (2) ⇔ x12 − 2 x1m + m 2 + x2 = m + 2 ⇔ x1 ( x1 − 2m) + m 2 + x2 = m + 2 Thay x1 − 2m = 2 − x2 ; m 2 = x1 x2 vào ta có x1 (2 − x2 ) + x1 x2 + x2 = m + 2 ⇔ 2 x1 + x2 = m + 2

-L

Í-

m = 0  x1 + x2 = 2m + 2  x1 = − m 2 2 Ta có hệ  ⇔ ⇒ m = x1 x2 = − m(3m + 2) ⇒ 4m + 2m = 0 ⇔  (thỏa mãn) m = − 1 x + x = m + x = m + 2 2 3 2  1 2  2 2   x1 = 0 + Với m = 0: (1) ⇔ x 2 − 2 x = 0 ⇔  (thỏa mãn đề bài)  x2 = 2

ÀN

1 1 1 + Với m = − : (1) ⇔ x 2 − x + = 0 ⇔ x1 = x2 = (thỏa mãn đề bài) 2 4 2 1 Vậy m = 0 hoặc m = - là tất cả các giá trị m cần tìm. 2 Câu 3

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y .Q TP ẠO

a − a +1 a

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

b) Có Q =

a − 2 a +1 4 a +4 4 ( a − 1) 2 = . = . ( a − 1) 2 ( a + 1) 4 a ( a − 1) 2 4 a 1 = a

IỄ N

1) ( x + 1) 2( x 2 + 4) = x 2 − x − 2 (1) Điều kiện: x2 + 4 ≥ 0 (luôn đùng ∀ x

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

(1) ⇔ ( x + 1) 2( x 2 + 4) = ( x − 2)( x + 1) ⇔ ( x + 1)  2( x 2 + 4) − ( x − 2)  = 0    x = −1 ⇔ 2  2( x + 4) = x − 2(2)

N Ơ H N

H Ư

ẠO

)

)(

TR ẦN

 y−x 1  1 = ( x − y )( x + 2 y ) ⇔ ( x − y )  x + 2 y + > 0, ∀x, y > 0  = 0 ⇔ x = y do x + 2 y + y x y x y x  Thay y = x vào phương trình (2) ta được: 3 ( x + 3 − x )(1 + x 2 + 3 x ) = 3 ⇔ 1 + x 2 + 3 x = x+3 − x

10 00

(1) ⇔

⇔ 1 + x 2 + 3 x = x + 3 + x ⇔ x + 3. x − x + 3 − x + 1 = 0

⇔ ( x + 1 − 1)( x − 1) = 0

y ( y + 1)( y + 2)( y + 3) + 1

ÀN

Câu 4 x 2015 =

ÁN

-L

Í-

 x + 3 = 1  x = −2( L) ⇔ ⇔ ⇒ x = y =1  x = 1(tm)  x = 1 Vậy hệ có nghiệm duy nhất (1;1)

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y .Q TP

x ≥ 2 x ≥ 2 x ≥ 2 Có (2) ⇔  2 (loại) ⇔ ⇔   2 2  x = −2  2( x + 4) = ( x − 2) x + 4x + 4 = 0 Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là {–1}  1 x − = x 2 + xy − 2 y 2 (1)  y 2,  x  x + 3 − y 1 + x 2 + 3 x = 3(2)  x > 0 y > 0 x > 0  Điều kiện:  ⇔ y > 0 x + 3 ≥ 0  x 2 + 3 x ≥ 0

(

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

(1)

Có y ( y + 1)( y + 2)( y + 3) = [ y ( y + 3)][ ( y + 1)( y + 2)] = ( y 2 + 3 y )( y 2 + 3 y + 2)

IỄ N

Đặt t = y 2 + 3 y + 1 ⇒ y ( y + 1)( y + 2)( y + 3) = t 2 − 1 ( t ∈ ℤ , t2 ≥ 1)

2015  x − 1 ≥ 0 (1) ⇔ x − 1 = t − 1 ⇔  2015 2 2 ( x − 1) = t − 1(2) Với x, t là số nguyên ta có: 2015

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

(2) ⇔ ( x 2015 − 1 + t )( x 2015 − 1 − t ) = −1

N Ơ

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

Câu 5

IỄ N

ÀN

a) Gọi F là điểm đối xứng với A qua O ⇒ AF là đường kính của (O) Ta có ACF = ABF = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ AC CF , AB BF Mà BH AC, CH AB ⇒ CF // BH, BF // HC Suy ra BHCF là hình bình hành ⇒ Trung điểm M của BC cũng là trung điểm của HF. ⇒ OM là đường trung bình của ∆ AHF ⇒ AH 2OM b) Vì AHIO là hình bình hành nên OI = AH = 2OM Gọi P là trung điểm OC ⇒ PJ là trung trực OC ⇒ PJ OC. Có OM là trung trực BC ⇒ OM BC. Suy ra OJ OP ∆OJP ~ ∆OCM ( g .g ) ⇒ = ⇒ OJ .OM = OC.OP OC OM

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

ẠO

U Y

x = 1 x = 1   Với x 2015 = t = 1 ⇒  2 ⇔  y = 0  y + 3 y + 1 = 1   y = −3  x = 1  x 2015 = 1  x = 1  Với  ⇒ 2 ⇔   y = −1 t = −1  y + 3 y + 1 = −1   y = −2  Thử lại ta thấy các cặp (1;-3), (1;-2), (1;-1), (1;0) thỏa mãn đề bài Vậy có 4 cặp (x;y) cần tìm là (1;-3), (1;-2), (1;-1), (1;0)

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

  x 2015 − 1 + t = 1  x 2015 = t = 1   2015 − − = − x 1 t 1    ⇔ ⇔   x 2015 = 1 2015   x − 1 + t = −1  t = −1    x 2015 − 1 − t = 1  

⇒ OJ .2OM = OC.2OP ⇒ OJ .OI = OC.OC = R 2

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

10 00

⇔ a + b − 2 ab ≥ 0 ⇔ ( a − b ) 2 ≥ 0 (luôn đúng với mọi a, b > 0)

Câu 6 1. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với (1 + a )(1 + b) ≥ (1 + ab ) 2 ⇔ 1 + a + b + ab ≥ 1 + 2 ab + ab

-L

Í-

2. Áp dụng bất đẳng thức trên ta có (1 + a 2 )(1 + b 2 ) ≥ 1 + ab = 1 + a + b (1) Với mọi x, y > 0, áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương ta có: 1 1 1 1 1 1 4 (2)  +  ( x + y ) ≥ 2 . .2 xy = 4 ⇒ + ≥ x y x y x+ y x y Áp dụng (1) và (2) ta có: 4 4 P≥ 2 +1+ a + b = 2 +1+ a + b 2 a + 2a + b + 2b a + b 2 + 2ab 4 a + b 7(a + b) = + + +1 2 ( a + b) 8 8 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương ta có: ( a + b)2 ⇒ (a + b) 2 ≥ 4(a + b) ⇒ a + b ≥ 4 a + b = ab ≤ 4 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương ta có: 4 4 a+b a+b a+b a+b 3 + + ≥ 33 = . . 2 2 (a + b) 16 16 (a + b) 16 16 4 3 7 21 21 Suy ra P ≥ + .4 + 1 = . Dấu bằng xảy ra khi a = b = 2. Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4 8 4 4

IỄ N

ÀN

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

TP ẠO Đ

TR ẦN

H Ư

c) Ta có NHC = ABC (cùng phụ với HCB) (1) (2) Vì ABDC là tứ giác nội tiếp nên ABC = ADC Vì D và E đối xứng nhau qua AC nên AC là trung trực DE suy ra ∆ADC = ∆AEC (c.c.c > ADC AEC (3 Tương tự ta có AEK = ADK Từ (1), (2), (3) suy ra NHC = AEC => AEC + AHC = NHC + AHC = 180o Suy ra AHCE là tứ giác nội tiếp => ACH = AEK = ADK (đpcm)

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

U Y

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỪA THIÊN HUẾ

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUỐC HỌC NĂM HỌC 2015–2016 Khóa ngày 09 tháng 6 năm 2015 Môn thi: TOÁN (CHUYÊN TOÁN) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Câu 1: (1,5 điểm)

phân biệt x1;x2;x3 thỏa mãn điều kiện x12 + x2 2 + x32 = 11 .

ẠO Đ G N H Ư

 x 2 + y 2 + x + y = ( x + 1)( y + 1)  a) Giải hệ phương trình:  x 2  y 2   +  =1  y + 1   x + 1 

P=x

TR ẦN

b) Cho các số dương x, y, z thỏa mãn các điều kiện x + y + z = 2 và x2 + y2 + z2 = 2. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y, z:

(1 + y 2 )(1 + z 2 ) (1 + z 2 )(1 + x 2 ) (1 + x 2 )(1 + y 2 ) + y + z 1+ x2 1+ y2 1+ z2

-L

Í-

10 00

Câu 4: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) , Giả sử B , C cố định và A di động trên đường tròn sao cho AB < AC và AC < BC . Đường trung thực của đoạn thẳng AB cắt AC và BC lần lượt tại P và Q . Đường trung trực của đoạn thẳng AC cắt AB và BC lần lượt tại M và N. a) Chứng minh rằng OM.ON=R2 b) Chứng minh rằng bốn điểm M,N,P,Q cùng nằm trên một đường tròn c) Giả sử hai đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN và CPQ cắt nhau tại S và T , gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên đường thẳng ST . Chứng minh H chạy trên 1 đường tròn cố định khi A di động Câu 5: (2,0 điểm) a) Cho a,b là hai số thay đổi thoã mãn các điều kiện a > 0, a + b ≥ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Câu 3: (2,0 điểm)

IỄ N

ÀN

8a 2 + b 2 +b 4a b) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn x 4 − 2 x3 + 6 x 2 − 4 y 2 − 32 x + 4 y + 39 = 0

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

Giải phương trình: 2015 2015 x − 2014 + 2016 x − 2015 = 2016 Câu 2: (1,5 điểm) Cho phương trình ( x − 2)(x 2 − x) + (4m + 1) x − 8m − 2 = 0 (x là ẩn số). Tìm m để phương trình có ba nghiệm

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ĐÁP ÁN Câu 1:

(1) <=> (2015 2015 x − 2014 − 2015) + ( 2016 x − 2015 − 1) = 0

<=> ( x − 2)( x 2 − x) + (4m + 1)( x − 2) = 0

TP ẠO Đ G N H Ư

<=> ( x − 2)( x 2 − x + 4m + 1) = 0

10 00

TR ẦN

    20152 2016   <=> ( x − 1)  + =0 2015 x − 2014 + 1 2016 x − 2015 + 1   2015   >0 ∀ x ≥  2016  <=> x = 1 (thoả mãn điều kiện) Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là {1} Câu 2: ( x − 2)( x 2 − x) + (4m + 1) x − 8m − 2 = 0(1)

-L

Í-

x = 2 <=>  2  x − x + 4m + 1 = 0(2) Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt ⇔ phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 2 ∆ = 1 − 4(4m + 1) > 0  2 2 − 2 + 4m + 1 ≠ 0

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

<=> 2015( 2015 x − 2014 − 1) + ( 2016 x − 2015 − 1) = 0 2015(2015 x − 2015) 2016 x − 2016 <=> + =0 2015 x − 2014 + 1 2016 x − 2015 + 1

IỄ N

ÀN

−16m − 3 > 0 <=>  4m ≠ −3 −3  m < 16 <=>  m ≠ −3  4 Gọi x1, x2 là hai nghiệm phân biệt của (2) ⇒ (1) có 3 nghiệm phân biệt x1, x2, x3 = 2 (*) Theo định lí Vi–ét: x1 + x2 = 1, x1x2 = 4m + 1. (**) Thay (*) và (**) ta có:

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

2015 2015 x − 2014 + 2016 x − 2015 = 2016 (1) 2015 ĐK: x ≥ 2016

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

x12 + x2 2 + x32 = 11

<=> ( x1 + x2 ) 2 − 2 x1 x2 + 4 = 11 <=> 1 − 2(4m + 1) = 7

<=> m = −1 (thỏa mãn điều kiện) Vậy m = –1 là giá trị cần tìm. Câu 3:

(2)

x y ;b = , hệ phương trình đã cho trở thành y +1 x +1

Đặt a =

x y + =1 y +1 x +1

H Ư

<=>

ẠO

ĐK: x ≠ –1; y ≠ –1 (1) <=> x( x + 1) + y ( y + 1) = ( x + 1)( y + 1)

TR ẦN

a + b = 1 a + b = 1 a + b = 1 a + b = 1 <=>  <=>  <=>   2 2 2 1 − 2ab = 1 ab = 0 a + b = 1 (a + b) − 2ab = 1

10 00

 a = 0 x = 0 <=>   b = 1 y =1 <=>   a = 1 x = 1  <=>   b = 0 y = 0

(1 + y 2 )(1 + z 2 ) (1 + z 2 )(1 + x 2 ) (1 + x 2 )(1 + y 2 ) + y + z 1+ x2 1+ y2 1+ z2

-L

b) P = x

Í-

(thỏa mãn điều kiện) Vậy hệ phương trình có nghiệm (0;1), (1;0)

Xét ( x + y + z ) 2 = x 2 + y 2 + z 2 + 2( xy + yz + zx) => xy + yz + zx =

(x + y + z )2 − ( x 2 + y 2 + z 2 ) 2

ÀN

Thay x + y + z = 2 và x2 + y2 + z2 = 2 ta có xy + yz + zx = 1. Thay 1 = xy + yz + zx ta có:

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

(1)

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

 x 2 + y 2 + x + y = ( x + 1)( y + 1)  a )  x 2  y 2   +  =1 + + y 1 x 1     

IỄ N

(1 + y 2 )(1 + z 2 ) (xy + yz + zx + y 2 )(xy + yz + zx + z 2 ) ( y + z )( y + x)( z + y )( z + x) x =x =x = x( y + z ) 2 2 1+ x xy + yz + zx + x ( x + y )( x + z )

Tương tự ta có:

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

(1 + z 2 )(1 + x 2 ) = y ( z + x) 1+ y2

(1 + x 2 )(1 + y 2 ) = z (x + y ) 1+ z2 Cộng từng vế của ba đẳng thức trên ta có P = xy + xz + yz + yx + zx + zy = 2( xy + yz + zx) = 2

IỄ N

ÀN

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

ẠO Đ G N H Ư TR ẦN B 10 00 A Ó H Í-

-L

a) Gọi I, J lần lượt là trung điểm AB, AC ∆ OAB cân ở O có OI là đường cao kẻ từ đỉnh O nên OI cũng là phân giác góc O, suy ra 1 BOI = BOA(1) 2 Theo quan hệ giữa góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung AB của (O): 1 BCA = BOA(2) 2 Từ (1) và (2) suy ra BOI=BCA (3) Xét ∆ OBI vuông tại I có góc ngoài OBM:

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

U Y

Vậy biểu thức P không phụ thuộc vào x, y, z. Câu 4:

OBM = 90O + BOI (4)

Xét ∆ NJC vuông tại J có góc ngoài ONB: ONB = 90O + BCA(5)

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Từ (3), (4), (5) suy ra OBM=ONB => ∆OBM ~ ∆ONB ( g .g )

OB OM = => OM .ON = OB 2 = R 2 ON OB b) Chứng minh tương tự câu a, ta có

Ơ N

OM OP = OQ ON

U Y

OQ.OP = R 2 => OM .ON = OQ.OP

OS ON = => OS .OT ' = OM .ON OM OT ' => OS .OT ' = OQ.OP OS OQ => = OP OT ' Xét ∆ OSQ và ∆ OPT’ có:  SOQ chung   OS OQ => ∆OSQ ~ ∆OPT '(c.g .c)  OP = OT '

.Q G

ẠO

TP TR ẦN

H Ư

=> OMP = OQN => OMP + NQP = 180o ⇒ Bốn điểm M, N, P, Q cùng nằm trên một đường tròn. c) Ta chứng minh O, S, T thẳng hang Gọi T’ là giao điểm khác S của OS với đường tròn ngoại tiếp ∆ BMN. Khi đó MNST’ là tứ giác nội tiếp, nên OSN = OMT ' => ∆OSN ~ ∆OMT '( g .g )

Í-

10 00

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Xét ∆ OMP và ∆ OQN có:  MOP chung   OM OP => ∆OMP ~ ∆OQN (c.g .c)  OQ = ON 

ÁN

=> OSQ = OPT ' => OPT '+ QST ' = 180o

IỄ N

ÀN

⇒ T’SQP là tứ giác nội tiếp ⇒ T’ thuộc đường tròn ngoại tiếp ∆ CPQ ⇒ T’ ≡ T Vậy O, S, T thẳng hang BH ⊥ OH ⇒ H thuộc đường tròn đường kính OB. Vậy khi A di động, H luôn thuộc đường tròn đường kính OB. Câu 5:

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

a) A =

b b 8a 2 + b 2 + b = 2a + + b 2 = (a + b 2 ) + (a + ) 4a 4a 4a

Vì

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

1 3 b 1− a b ≥ ≥ −b+ ; a ≥ 1 − b => a + 4a 4a 4a 4a 4 1 3 1 1 1 => A ≥ (a + b 2 ) + ( − b + ) = (a + ) + (b − )2 + 4a 4 4a 2 2

a > 0; a + b ≥ 1 =>

N Ơ N

3 2

1 2 3 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là đạt được khi a = b = 2 2 b)Ta có:

.Q TP ẠO Đ G

x 4 − 2 x3 + 6 x 2 − 4 y 2 − 32 x + 4 y + 39 = 0

<=> x 4 − 2 x3 + 6 x 2 − 32 x + 40 = 4 y 2 − 4 y + 1

H Ư

<=> ( x − 2) 2 ( x 2 + 2 x + 10) = (2 y − 1) 2

TR ẦN

Vì y là số nguyên nên 2y – 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ 2 Vì (2y – 1)2 và (x – 2)2 là số chính phương khác 0 nên x2 + 2x + 10 là số chính phương.

Đặt x2 + 2x + 10=m2 (m ∈ N * ) suy ra

( x + 1) 2 + 9 = m 2

10 00

<=> (x + 1 − m)(x + 1 + m) = −9

-L

Í-

 x + 1 + m = 9    x + 1 − m = −1  x + 1 + m = 1 ( Do x+1+m>x+1-m) <=>     x + 1 − m = −9   x + 1 + m = 3    x + 1 − m = −3

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Dấ u bằng xảy ra khi a = b =

IỄ N

ÀN

 x = 3   m = 5   x = −5 <=>    m = 5    x = −1  m = 3 • x = 3 ⇒ (2y – 1)2 = 25 ⇒ y = 3 hoặc y = –2 • x = –5 ⇒ (2y – 1)2 = 1225 ⇒ y = 18 hoặc y = –17 • x = –1 ⇒ (2y – 1)2 = 81 ⇒ y = 5 hoặc y = –4 Vậy các bộ (x;y) nguyên thỏa yêu cầu bài toán là (3;3),(3;–2),(–5;18),(–5;–17),(–1;5),(–1;–4)

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

=> A ≥

1 1 1 ≥ 2 a. = 1 (BĐT Cô–si cho hai số không âm); (b − ) 2 ≥ 0 2 4a 4a

Ta có a +

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ơ H

TR ẦN

H Ư

 x − my = 2 − 4m Câu 2 (2,0 điểm) Cho hệ phương trình  với m là tham số mx + y = 3m + 1 1. Giải hệ phương trình khi m = 2. 2. Chứng minh hệ luôn có nghiệm với mọi giá trị của m. Giả sử (x0;y0) là một nghiệm của hệ. Chứng minh đẳng thức x0 2 + y0 2 − 5( x0 + y0 ) + 10 = 0

-L

Í-

10 00

Câu 3 (1,5 điểm) Cho a, b là các số thực khác 0. Biết rằng phương trình a (a − x) 2 + b( x − b) 2 = 0 có nghiệm duy nhất. Chứng minh |a| = |b|. Câu 4 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có các góc ABC;ACB nhọn và BAC = 60°. Các đường phân giác trong BB1, CC1 của tam giác ABC cắt nhau tại I. 1. Chứng minh tứ giác AB1IC1 nội tiếp. 2. Gọi K là giao điểm thứ hai (khác B) của đường thẳng BC với đường tròn ngoại tiếp tam giác BC1I. Chứng minh tứ giác CKIB1 nội tiếp. 3. Chứng minh AK ⊥ B1C1. Câu 5 (1,0 điểm) Tìm các số thực không âm a và b thỏa mãn 3 3 1 1 (a 2 + b + )(b 2 + a + ) = (2a + )(2b + ) 4 4 2 2

IỄ N

ÀN

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

ẠO

2. Giả sử a, b thay đổi sao cho 4a + b + ab = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P.

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

U Y

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NĂM 2015 Môn thi :TOÁN (Dùng cho mọi thí sinh vào trường chuyên) Thời gian làm bài 120 phút 1 1 a b ( + + 1)( − ) 2 Câu 1 (2,5 điểm) Cho biểu thức P = b2 a 2 a b với a > 0, b > 0, a ≠ b. a b a b + 2 −( + ) 2 b a b a 1 1. Chứng minh P = ab

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

4a + b ≥ 2 4a.b = 4 ab

=> 1 = 4a + b + ab ≥ 5 ab

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y .Q TP ẠO Đ G N H Ư

-L

Í-

10 00

TR ẦN

Câu 1 Ta có: a b 1 1 ( + + 1)( − )2 P = b2 a 2 a b a b a b + 2 −( + ) 2 b a b a 2 2 a b ab a − b 2 ( + ) + )( ab ab ab ab = 4 a b4 a 3b ab3 ( ) + − + a 2b 2 a 2b 2 a 2b 2 a 2b 2 a 2 + b 2 + ab (a − b) 2 ( ). 2 2 ab ab = a 4 + b 4 − a 3b − ab3 a 2b 2 (a 3 − b3 )(a − b) 3 3 = 3 a 3b (a − b )(a − b) a 2b 2 1 = ab 1 Vậy P = . ab 2.Áp dụng BĐT Cô–si cho hai số dương 4a và b ta có:

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ĐÁP ÁN

1 1 <=> 0 < ab ≤ 5 25

ÀN

<=> ab ≤

1 ≥ 25 ab

IỄ N

=> P =

1  a = 10 b = 4a > 0 b = 4a > 0 Dấu bằng xảy ra khi  <=>  <=>  4a + b + ab = 1 10a = 1 b = 2  5

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

.Q TP ẠO

TR ẦN

H Ư

 8 19  Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất  ;  5 5  2. Ta có:  x − my = 2 − 4m  x = my + 2 − 4m <=>   mx + y = 3m + 1 m(my + 2 − 4m) + y = 3m + 1  x = my + 2 − 4m  x = my + 2 − 4m(1) <=>  2 <=>  2 2 2 m y + 2m − 4m + y = 3m + 1 (m + 1) y = m + 1 + 4m (2) Phương trình (2) là phương trình bậc nhất ẩn y có hệ số a = m2 + 1 ≠ 0 ∀m nên phương trình (2) có nghiệm duy

10 00

m + 1 + 4m 2 ∀m m2 + 1 Thay vào (1) ta được: x = my + 2 − 4m

nhất y =

m 2 + m + 4m3 + 2(m 2 + 1) − 4m(m 2 + 1) m2 + 1 3m 2 − 3m + 2 = m2 + 1

-L

Í-

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

19 8    y = 5  x = 5 <=>  <=>  19 2 x + = 7  y = 19 5 5  

Do đó: ∀ m, hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x0;y0) = (

3m2 − 3m + 2 m + 1 + 4m 2 ; ) m2 + 1 m2 + 1

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

1  a = 10 Vậy minP = 25 ⇔  b = 2  5 Câu 2 Cho hệ phương trình: 1. Thay m = 2, hệ phương trình đã cho trở thành:  x − 2 y = −6 2 x − 4 y = −12 −5 y = −19 <=>  <=>   2 x + y = 7 2 x + y = 7 2 x + y = 7

ÀN

*Chứng minh đẳng thức x0 2 + y0 2 − 5( x0 + y0 ) + 10 = 0 (*)

IỄ N

Vì (x0;y0) là nghiệm của hệ phương trình đã cho nên:  x0 − my0 = 2 − 4m m( y0 − 4) = x0 − 2(3) <=>   mx0 + y0 = 3m + 1 1 − y0 = m( x0 − 3)(4) Xét m = 0 ⇒ x0 = 2 và y0 = 1. Khi đó (*) đúng. Xét m ≠ 0. Nhân từng vế của (3) và (4) ta được:

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

m( y0 − 4)(1 − y0 ) = m( x0 − 2)( x0 − 3) <=> − y0 2 + 5 y0 − 4 = x0 2 − 5 x0 + 6 <=> x0 2 + y0 2 − 5( x0 + y0 ) + 10 = 0

Vậy đẳng thức cần chứng minh đúng ∀m. Câu 3: Phương trình đã cho tương đương với

<=> ax 2 − 2a 2 x + a 3 + bx 2 − 2b 2 x + b3 = 0

<=> (a + b) x 2 − 2 x(a 2 + b 2 ) + a 3 + b 3 = 0 • Xét a + b = 0 ⇔ b = –a, phương trình (1) trở thành:

ẠO G

<=> −4a 2 x = 0 <=> x = 0( Do a ≠ 0)

H Ư

<=> 2a 2b 2 − ab3 − a 3b = 0

TR ẦN

<=> a 4 + 2a 2b 2 + b 4 − (a 4 + ab3 + a 3b + b 4 ) = 0

Do đó với a + b = 0 thì (1) có nghiệm duy nhất x = 0. • Xét a + b ≠ 0. Khi đó (1) là phương trình bậc hai ẩn x. Phương trình (1) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi ∆ = (a 2 + b 2 ) 2 − (a + b)(a 3 + b3 ) = 0

10 00

<=> − ab(a − b) 2 = 0 <=> a = b(do ab ≠ 0)

-L

Í-

Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất ⇔ b = ±a ⇔ |a| = |b|. Câu 4

IỄ N

ÀN

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

−2 x ( a 2 + a 2 ) + a 3 − a 3 = 0

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

a ( x 2 − 2ax + a 2 ) + b( x 2 − 2bx + b 2 ) = 0

1. Ta có B1IC1=BIC (hai góc đối đỉnh)

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ABC ACB ABC + ACB 180o − BAC − = 180o − = 180o − = 120o 2 2 2 2 =>B1IC1+BAC=120o+60o=180o Mà hai góc này là hai góc đối nhau của tứ giác AC1IB1 nên tứ giác AC1IB1 là tứ giác nội tiếp. 2.Vì tứ giác BC1IK là tứ giác nội tiếp (gt) nên BKI=AC1I (góc trong và góc ngoài đỉnh đối diện)(1) Vì tứ giác AC1IB1 là tứ giác nội tiếp (cmt) nên AC1I=IB1C (góc trong và góc ngoài đỉnh đối diện) (2) Từ (1) và (2) suy ra IB1C=BKI=180o-CKI=>IB1C+CKI=180o Đây là hai góc đối của tứ giác CKIB1 nên tứ giác này là tứ giác nội tiếp. 3. Vì BC1IK là tứ giác nội tiếp nên BKC1 = BIC1 = 180o − BIC = 60o => CKC1 = 180o − BKC1 = 120o

ẠO

Suy ra tứ giác AC1KC là tứ giác nội tiếp. => C1 KA = C1CA (hai góc nội tiếp cùng chắn cung C1A)

Và => C1 AK = C1CK (hai góc nội tiếp cùng chắn cung C1K)

( x − y ) 2 ≥ 0 <=> x 2 − 2 xy + y 2 ≥ 0

Í-

<=> x 2 + 2 xy + y 2 ≥ 4 xy <=> ( x + y )2 ≥ 4 xy (**)

10 00

TR ẦN

Suy ra tam giác C1AK cân tại C1 ⇒ C1A = C1K (3) Tương tự ta có: B1A = B1K. (4) Từ (3) và (4) suy ra C1B1 là trung trực của đoạn thẳng AK. ⇒ AK ⊥ B1C1 (đpcm). Câu 5 Với mọi x, y không âm, ta có: 1 1 1 (x − ) 2 ≥ 0 <=> x 2 + ≥ x(*) Dấu bằng xảy ra ⇔ x = . 2 4 2 à

H Ư

Mặt khác CC1 là phân giác góc C (gt) nên C1CK = C1CA => C1 KA = C1 AK

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

=> CKC1 + CAC1 = 180o

IỄ N

ÀN

ÁN

Dấu bằng xảy ra ⇔ x = y. Áp dụng BĐT (*) với x = a và x = b ta được 3 1 1 1  2 2 a + b + 4 = (a + 4 ) + b + 2 ≥ a + b + 2 > 0  b 2 + a + 3 = (b 2 + 1 ) + a + 1 ≥ b + a + 1 > 0  4 4 2 2 3 3 1 => (a 2 + b + )(b 2 + a + ) ≥ (a + b + ) 2 (1) 4 4 2 Áp dụng BĐT (**) ta được:

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

BIC=180o-IBC-ICB=180o-

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

2 2 1 2  1  1  1 1 (a + b + ) =  a +  +  b +   ≥ 4(a + )(b + ) 2 4  4   4 4 

1 1 = (2a + )(2 b + )(2) 2 2

Ơ H N

H Ư TR ẦN B 10 00 A Ó H Í-L TO

IỄ N

ÀN

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y .Q TP ẠO G

1 là giá trị cần tìm. 2

Vậy a = b =

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

3 3 1 1 Từ (1) và (2) ta suy ra: (a 2 + b + )(b 2 + a + ) = (2 a + )(2b + ) 4 4 2 2 1  a = 2  1 1  <=> a = b = Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b = 2 2  1 1  a + 4 = b + 4 

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM 2015-2016 MÔN THI: TOÁN (Dành cho tất cả thí sinh) Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

SỞ GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO THÁI BÌNH

Bài 1 (3,0 điểm). 2 x + 2 x x − 1 x2 + x + − ( x > 0; x ≠ 1) x x− x x x + x a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tính giá trị của thức P khi x = 3 − 2 2

ẠO

7 chỉ nhận một giá trị P

10 00

TR ẦN

H Ư

nguyên. Bài 2 (2,0 điểm). Cho phương trình x2 – 2mx+ (m – 1)3 = 0 (m là tham số). a) Giải phương trình khi m = –1. b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng bình phương nghiệm còn lại. Bài 3 (1,0 điểm). 9 2x Giải phương trình: 2 + −1 = 0 x 2x2 + 9

Í-

Bài 4 (3,5 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Đường tròn đường kính AH, tâm O, cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại E và F. Gọi M là trung điểm của cạnh HC. a) Chứng minh AE.AB = AF.AC. b) Chứng minh rằng MF là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AH. = HBO c) Chứng minh HAM

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

c) Chứng minh rằng: với mọi giá trị của x để biểu thức P có nghĩa thì biểu thức

----------Hết----------

IỄ N

ÀN

ÁN

d) Xác định điểm trực tâm của tam giác ABM. Bài 5 (0,5 điểm). Cho các số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 3. Chứng minh rằng: 1 1 1 3 + 2 + 2 ≥ 2 a +1 b +1 c +1 2

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

Cho biểu thức: P =

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN NĂM 2015-2016 DỰ THẢO HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN CHUNG Nội dung

.Q TP

2x + 2 x x −1 x x + 1 + − x x− x x+ x

2 x + 2 ( x − 1)( x + x + 1) ( x + 1)(x − x + 1) + − x x ( x − 1) x ( x + 1)

2x + 2 x + x + 1 x − x +1 + − x x x

2x + 2 2x + 2 x + 2 +2= x x

N H Ư

TR ẦN B

Ta có x = 2 − 2 x => x = 2 − 1 Thay vào biểu thức 2 P = 2( 2 − 1) + 2 + 2 −1

0,25 0,5

ẠO

10 00

2x + 2 x x −1 x + x + − ( x > 0; x ≠ 1) x x− x x x + x

0,5 0,25 0,25

=2 2+2 2+2

Đưa được

0,25

7 7 x = P 2x + 2 + 2 x

ÀN

0,25

ÁN

P =4 2+2

2( 2 + 1) ( 2 − 1)( 2 + 1)

Í-

= 2 2 −2+2+

0,25

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Điểm

IỄ N

Đánh giá 2 x + 2 + 2 x ≥ 6 x => 0 <

Vậy

7 x 7 < 2x + 2 + 2 x 6

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

Câu 1a

U Y

SỞ GD-ĐT THÁI BÌNH

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

0,25 0,25

7 chỉ nhận một giá trị nguyên đó là 1 khi P

 x =2 x = 4  7 x = 2 x + 2 + 2 x <=> 2 x − 5 x + 2 = 0 <=> <=>   x=1 x = 1  4  2

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

0,5

Tính được ∆ ' = m 2 − (m − 1)3

0,25

0,5

0,25

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt <=> m 2 − (m − 1)3 > 0(*)

U Y

Gọi x1;x2 là hai nghiệm của phương trình, theo Viet ta có:  x1 + x2 = 2m(1)  3  x1 x2 = (m − 1) (2)

Thay hai nghiệm x1;x2 vào (1) ta được:

ẠO

(m − 1) 2 + m − 1 = 2m

<=> m 2 − 3m = 0

x 2 x2 + 9

= t , phương trình trở thành:

0,25

Đặt ẩn phụ:

2 x2 + 9 x +2 −3= 0 2 x 2x2 + 9

TR ẦN

Điều kiện: x ≠ 0, đưa phương trình trở thành:

0,25 0,25

10 00

H Ư

m = 0 <=>  m = 3 Khẳng định hai giá trị m vừa tìm được thỏa mãn điều kiện (*), kết luận

t = 1 1 3 2 2 + 2t − 3 = 0 <=> 2t − 3t + 1 = 0 <=> (t − 1)(2t − t − 1) = 0 <=>  2 t = − 1 t 2 

0,25

x < 0 −1 −3 2 <=> 2 x 2 + 9 = −2 x <=>  2 <=> x = 2 2 2 x = 9

-L

Trường hợp: t =

Í-

Trường hợp: t = 1 <=> x = 2 x 2 + 9(VN )

0,25

IỄ N

ÀN

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

0,25

Giả sử x1 = ( x2 ) 2 thay vào (2) ta được x2 = m − 1; x1 = (m − 1) 2

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

Khi m = −1 ta có phương trình x 2 + 2 x − 8 = 0 Ta có: ∆ =1+8=9>0 Giải phương trình ta được hai nghiệm: x1 = 2; x2 = −4

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

-L

ÀN

ÁN

Í-

10 00

TR ẦN

Xét hai tam giác: AEF và ACB có góc A chung Ta có AEF=AHF ;AHF=ACB ; suy ra AEF= ACB (hoặc AFE=AHE ;AHE= ABC ; suy ra AFE= ABC ) Suy ra hai tam giác AEF và ACB đồng dạng AE AF Từ tỷ số đồng dạng = ta có AE.AB = AC.AF AC AB Xét hai tam giác OHM và OFM có OM chung, OF = OH. Có MF = MH (vì tam giác HFC vuông tại F, trung tuyến FM) Suy ra ∆OHM =∆OFM (c.c.c) Từ đó MFO=90o , MF là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AH Xét hai tam giác AHM và BHO có AHM=BHO=90o Trong tam giác vuông ABC, đường cao AH có AH HM AH 2 = HB.HC => AH .2OH = HB.2 HM => = HB HO Suy ra ∆HBO đồng dạng với ∆HAM

IỄ N

Suy ra HAM= HBO Gọi K là giao điểm của AM với đường tròn Ta có HBO= HAM =MHK , suy ra BO // HK Mà HK⊥ AM, suy ra BO⊥ AM, suy ra O là trực tâm của tam giác ABM Giả sử a≥b ≥c , từ giả thiết suy ra ab ≥1. Ta có bất đẳng thức sau:

0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

0,25

0,25 0,25 0,25 0,25 0,25

1 1 2 (a − b) 2 (ab − 1) + ≥ <=> ≥ 0 (luôn đúng). 1 + a 2 1 + b 2 1 + ab (1 + a 2 )(1 + b 2 )(1 + ab)

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

2 1 3 + ≥ 2 1 + ab 1 + c 2

0,25

<=> c 2 + 3 − ab ≥ 3abc 2 <=> c 2 + ca + bc ≥ 3abc 2 <=> a + b + c ≥ 3abc

Ơ H N U Y .Q TP ẠO Đ

≤

Ta có ab

( a + b + c) 2 ≥ ab + bc + ca => ab + bc + ca ≤ 3 3 ab ab 1 1 ( ) ≤ + (a + c)(b + c) 2 a + c b + c

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Ta có:

(a + b + c)2 ≥ 3(ab + bc + ca ) = 9 Bất đẳng thức hiển nhiên đúng vì  2 ab + bc + ca ≥ 3 3 (abc) Hay a+b+c ≥ 3 ≥ 3abc Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1 Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a+ b +c = 3.Chứng minh rằng: 3 ab bc ca + + ≤ 2 2 2 c +3 a +3 b +3 2

0,25

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

c +3 c + ab + bc + ca 1 ab 1 3 ab bc bc ca ca + + + + + VT ≤ ( ) = (a + b + c) = 2 a+c b+c c+a b+a c+b a+b 2 2 Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1

0,25

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

Vậy ta cần chứng minh:

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN THÁI NGUYÊN NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn thi: TOÁN (Chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi gồm: 01 trang)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI NGUYÊN

ĐỀ CHÍNH THỨC

Í-

Câu 7 (2,5đ) Cho hai đường tròn (O1) và (O2) tiếp xúc ngoài nhau tại điểm K . Vẽ tiếp tuyến chung AD (A ∈ (O1), D ∈ (O2)) rồi vẽ đường kính AB của đường tròn (O1) Qua B vẽ tiếp tuyến BM với đường tròn (O2). Chứng minh rằng : a. BM2 = BK.BD. b. AB = BM.

-L

---------------------------Hết----------------------------

TO D

IỄ N

ÀN

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

ẠO

H Ư

TR ẦN

10 00

tiếp hình chữ nhật ABCD có đường kính bằng 8 + 2 3 và tồn tại một điểm I thuộc đoạn thẳng MN sao cho = 45o và góc IDA = 30o. Tính diện tích hình chữ nhật ABCD . góc DAI

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

U Y

Câu 1 : (1,5đ) Cho phương trình x 2 − (m + 1) x + m = 0, m là tham số . Tìm giá trị của m để phương trình trên có hai nghiệm trái dấu x1 , x2 sao cho x12 + x22 = 17 Câu 2 : (1,5đ)  x 4 + y 4 = 97 Giải hệ phương trình sau :  x + y = 5 Câu 3 : (1,0đ) Hay tìm các chữ số a , b , c , d biết rằng a, ad , cd , abcd là các số chính phương . Câu 4 (1,0đ) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn phương trình sau : x 4 + y 3 = xy 3 + 1. Câu 5 : (1,0đ) Chứng minh rằng luôn tồn tại một số dạng 20162016…2016 (gồm các số 2016 viết kế tiếp nhau) mà số đó chia hết cho 2017 . Câu 6 (1,5đ) Cho hình chữ nhật ABCD . Gọi M , N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB , CD . Biết đường tròn ngoại

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Để : x12 + x22 = 17 ⇔ ( x1 + x2 )2 − 2 x1 x2 = 17

0,25đ

0,25đ 0,25đ

ẠO

Bài 2 : Đặt xy = a khi đó ta có : x 4 + y 4 = 97 ⇔ ( x 2 + y 2 ) 2 − 2 x 2 y 2 = 97 ⇔ (( x + y )2 − 2 xy ) 2 − 2 x 2 y 2 = 97 ⇔ (52 − 2a )2 − 2a 2 = 97

10 00

TR ẦN

H Ư

a = 6 ⇔ 2a 2 − 100a + 528 = 0 ⇔  0, 25d  a = 44 + Với a = 6 , ta có hệ phương trình  xy = 6 x = 2 x = 3 hoặc  0,5đ ⇔  x + y = 5 y = 3 y = 2  xy = 44 + Với a = 44 ta có hệ phương trình :  vô nghiệm 0,25đ x + y = 5 Vậy nghiệm của hệ phương trình là : (2;3) , (3;2) .

⇔ (( x + y )2 − 2 xy ) 2 − 2 x 2 y 2 = 97 ⇔ (52 − 2a )2 − 2a 2 = 97

-L

Í-

Câu 3 : Do a là chính phương nên a∈{1; 4; 9} Ta có 92 = 81,102 = 100 nên không có số dạng 9x là chính phương suy ra a = 1 hoặc a = 4 .

0,25đ

ÁN

+ Do ab chính phương nên ad = 16 hoặc ad = 49 suy ra d = 6 hoặc d = 9 + Do cd chính phương nên cd =16 hoặc cd =36 hoặc cd =49 => c = 1 hoặc c = 3 hoặc c = 4 0,25đ 2 + Nếu a = 1 , d = 6 và c = 1 hoặc c = 3 khi đó abcd = 1b16 hoặc abcd = 1b36 . Do 1bc6 = ( x 4) hoặc 1bc6 = ( x6) 2 nên ta có 26 2 = 676;

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

⇔ (m + 1) − 2m = 17 ⇔ m = 16 ⇔ m = ±4 Kết hợp điều kiện (*) ta tìm được m = - 4

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

U Y

0,5đ 0,25đ

m < 0 (*)

Bài 1 : Phương trình : x 2 − (m + 1) x + m = 0 có hai nghiệm trái dấu khi ac < 0 Áp dụng định lý Vi – et ta có : x1 + x2 = m + 1; x1 x2 = m

ĐÁP ÁN ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN THÁI NGUYÊN

ÀN

342 = 1156; 44 2 = 1936; 462 = 2126. Chỉ có 1936 là thỏa mãn yêu cầu bài toán .

( )

+ Nếu a = 4 , d = 9 và c = 4 khi đó abcd = 4b 49 = x3

( )

hay abcd = x7

IỄ N

Ta có : 632 = 3969;67 2 = 4489; 732 = 5329 không có số nào thỏa mãn yêu cầu đề bài 0,25đ Vậy với a = 1 , b = 9 , c = 3 , d = 6 thỏa mãn yêu cầu bài toán . 0,25đ Câu 4 : Ta có : x 4 + y 3 = xy 3 + 1 ⇔ x 4 − 1 + y 3 − xy 3 = 0 x =1 ⇔ ( x − 1)( x3 + x 2 + x + 1 − y 3 ) = 0 ⇔  3 2 3  x + x + x +1 = y

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ơ H

ẠO

Do: ak − at = 10 ak −t

0,25đ

0,25đ 0,25đ

Mà (104t , 2017) = 1 => ak −t ⋮ 2017 Vậy chứng tỏ tồn tại số có dạng 20162016…2016 chỉa hết cho 2017 .

0,25đ

10 00

TR ẦN

H Ư

Câu 6 :

Đặt AB = x , AD = y , 0 < x < y .

Do đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD có đường kính bằng :

x 2

ÁN

Suy ra : MI = MA =

-L

Í-

AC = BD = 8 + 2 3 => x 2 + y 2 = 8 + 2 3 (*) =45o nên tam giác MAI vuông cân tại M . Do : DAI

8 + 2 3 nên ta có : 0,25đ

0,25đ

IỄ N

ÀN

= 60o nên trong tam giác IND có : ND = x => NI = x 3 Ta lại có tam giác NDI vuông tại N và NDI 0,25đ 2 2 x x 3 1+ 3 Từ đó suy ra : y = MN = MI + IN = + = 0,25đ x 2 2 2 1+ 3 Thay y = x vào (*) ta được : 2

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

1 ≤ t ≤ k ≤ 2018, k , t ∈ N *

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Theo nguyên lý Dirichlet tồn tại 2 số ak , at mà có hiệu ( ak − at )⋮ 2017,

U Y

Do x ∈ Z và x 2 + x + 1 > 0 => x 3 < y 3 (2) + Mặt khác do : x ∈ Z và x(x+1) > 0 nên ta có: Khi x = 0 thì y = 1 thỏa mãn . Khi x = -1 thì y = 0 thỏa mãn . 0,25đ Vậy các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn phương trình đã cho là(0;1) , (-1; 0), (1; t) , ∀t ∈ Z Câu 5 : Ta xét 2018 số dạng an = 20162016...2016 ( gồm n số 2016 viết kế tiếp nhau ) 1 ≤ n ≤ 2018

+ Với x = 1 thay vào phương trình đã cho ta được : 1 + y 3 = y 3 + 1 đúng với mọi y nguyên . Vậy (x;y) = (1;t) , ∀t ∈ Z + Với x3 + x 2 + x + 1 = y 3 (1) . Khi đó :

 1+ 3  4+2 3 2 x +  x  = 8 + 2 3 ⇔ x 2 + x =8+2 3 4  2  ⇔ x 2 = 4 => x = 2 => y = 1 + 3 2

(

Vậy : S ABCD = xy = 2 1 + 3

)

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

0,25đ 0,25đ

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

U Y .Q TP ẠO Đ

IỄ N

ÀN

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

0,25đ a) + Hình vẽ : ( BM có thể nằm giữa BA và BD ) + Dễ dàng chứng minh được 3 điểm B , K , D thẳng hàng . 0,25đ Xét hai tam giác ∆BMK và ∆BDM có : = KMB (vì cùng bằng nửa số đo cung KM của (O2) ) 0,25 đ BDM chung 0,25đ MBD Suy ra : ∆BMK đồng dạng với ∆BDM . 0,25đ BK BM ⇒ = => BM 2 = BK .BD (1) 0,5đ BM BD b) Có : AKB = 90o ( Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O1) ) = 90o ( Do AD là tiếp tuyến của đường tròn (O1) ) Có DAB 0,25đ ABK = KAD (Vì c ng bằng nửa số đo cung AK của (O1) ) 0,25đ Suy ra : ∆AKB đồng dạng với ∆DAB AB BK ⇒ = ⇒ AB 2 = BD.BK (2) . 0,25đ BD AB Từ (1) và (2) suy ra : AB 2 = BM 2 => AB = BM 0,25đ

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Bài 7 :

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

GD&ĐT BÌNH THUẬN ĐỀ THI CHUYÊN TOÁN TRẦN HƯNG ĐẠO 2015-2016 Thời gian làm bài 120 phút ( không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (2 điểm). Giải phương trình

x − 8 + 2 x − 9 = x − 20

-L

Í-

10 00

TR ẦN

Bài 4: (3 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính AB=2R,điểm C di động sao cho ACB=60o và các đoạn thẳng AC,BC lần lượt cắt đường tròn (O) tại hai điểm D,E. a) Chứng minh rằng khi điểm C di động thì đường thằng DE luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định b) Gọi M,N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A,B trên đường thẳng DE. Xác định vị trí điểm C để tích AM.BN đạt giá trị lớn nhất 1 2 2014 2015 , ,...., , . Mỗi lần biến đổi,xóa đi 2 số bất kì a,b và Bài 5: (2 điểm) Trên bảng viết các số 2015 2015 2015 2015 thay bằng số a+b-5ab. Hỏi sau 2014 lần thực hiên phép biến đổi trên bảng còn lại bao nhiêu số?

TO ÀN Đ

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

ẠO

H Ư

Bài 3: (2 điểm) Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x+y+z= 3 2 . Chứng minh rằng: 1 1 1 3 + + ≥ x(3 y + 5 z ) y (3 z + 5 x) z (3 x + 5 y ) 4

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

U Y

Bài 2: (2 điểm). Một bác nông dân đem trứng ra chợ bán. Tổng số trứng bán ra được tính như sau: Ngày thứ nhất bán được 8 trứng và 1/8 số trứng còn lại Ngày thứ hai bán được 16 trứng và 1/8 số trứng còn lại Ngày thứ ba bán được 24 trứng và 1/8 số trứng còn lại … Cứ như vậy cho đến ngày cuối cùng thì bán hết trứng. nhưng thật thú vị, số trứng bán được trong mỗi ngày đều bằng nhua. Hỏi tổng số trứng bán được là bao nhiêu và bán hết trong bao nhiêu ngày?

ĐÁP ÁN THAM KHẢO

IỄ N

Bài 1: (2 điểm).

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

 x ≥ 9 ) x − 8 + 2 x − 9 = x − 20(  x − 8 + 2 x − 9 ≥ 0 <=> x − 9 + 1 = x − 20

N Ơ H N

Í-

Dự đoán điểm rơi (điểm xảy ra dấu bằng) là x=y=z= 2 . Kiểm tra lại ta thấy x=y=z= 2 thì mỗi số hạng của 1 1 1 1 = = = . Tổng của 3 số hạng đúng bằng ¾ vế trái bằng 2 x(3 x + 5 x) 2x 2 4 8x 1 1 2 nên ta liên tưởng đến bất đẳng thức ≥ (nghịch đảo của trung ab ab a + b a+b bình nhân ≥ nghịch đảo của trung bình cộng suy ra từ bất đẳng thức Cô-si: ab ≤ ). Dấu = xảy ra khi a=b 2

ÀN

ÁN

Mỗi số hạng của vế trái có dạng

8=2 2

IỄ N

Trong phân thức thứ nhất của vế trái, khi dấu = xảy ra thì 3y+5x=8x lên ta nhân cả tử và mẫu số với để làm xuất hiện 8x trong dấu căn, nghĩa là :

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y .Q TP ẠO Đ

10 00

TR ẦN

H Ư

 x ≥ 21  x ≥ 21  x ≥ 21  <=>  <=>  2 <=>   x = 25 <=> x = 25 2  x − 9 = ( x − 21)  x − 43 x + 450 = 0   x = 18  Bài 2: (2 điểm). Gọi x là số trứng bán được ( x ∈ N * ) thì: x −8 Số trứng bán được trong ngày thứ nhất là : 8 + 8 x −8 ) x − (16 + 8 + 8 Số trứng bán được trong ngày thứ hai là : 16 + 8 Theo đề toán ta có phương trình: x −8 ) x − (16 + 8 + x −8 8 8+ = 16 + 8 8 Giải phương trình ta được x=392 Vậy tổng số trứng bán được là 392 trứng x −8 Số trứng bán được trong mỗi ngày là 8 + =56 8 Số ngày là 392:56=7 ngày Bài 3: (2 điểm)

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

<=> x − 9 = x − 21

1 2 2 4 2 = ≥ (1) x(3 y + 5 z ) 8 x(3 x + 5 y ) 8 x + 3 y + 5 z

Tương tự ta có:

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

1 4 2 (2) ≥ y(3 z + 5 x) 8 y + 3 z + 5 x

1 4 2 (3) ≥ z(3 x + 5 y ) 8 z + 3 x + 5 y

H N TP ẠO

H Ư

TR ẦN

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b=c 1 1 1 9 Áp dụng bất đẳng thức + + ≥ vào (*) ta được: a b c a+b+c 9 9 3 = 4 2. = VT ≥ 4 2. 16( x + y + z ) 16.3 2 4

a + b + c ≥ 3 3 abc 9 1 1 1 1 1 1  => (a + b + c)( + + ) ≥ 9 <=> + + ≥ 1 1 1 1 1 1 a b c a b c a+b+c  + + ≥ 33 . . a b c a b c

-L

Í-

10 00

8 x = 3 y + 5 z 8 y = 3 z + 5 x x+ y+z 3 2  <=> x = y = z = = = 2 Dấu = xảy ra <=>  3 3 8 z = 3 x + 5 y 8 x + 3 y + 5 z = 8 y + 3 z + 5 x = 8 z + 3 x + 5 y Bài 4: (3 điểm)

IỄ N

ÀN

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

minh như sau: Theo bất đẳng thức Cô-si áp dụng cho 3 số không âm ta có:

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

1 1 1 1 1 1 9 + + ta liên tưởng đến bất đẳng thức + + ≥ . Chứng a b c a b c a+b+c

Biểu thức trong dấu ngoặc có dạng

Cộng từng vế các bất đẳng thức cùng chiều (1);(2);(3) ta được: 1 1 1 )(*) VT ≥ 4 2( + + 8 x + 3 y + 5 z 8 y + 3z + 5 x 8 z + 3 x + 5 y

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

R 3 R 3 ) cố định. =>DE tiếp xúc đường tròn (O; 2 2 b) ACB=60o =>C di động trên hai cung chứa góc 60o dựng trên đoạn AB giới hạn sao cho các đoạn thẳng CA,CB phải cắt đường tròn (O) OA = OB, OH//AM//BN (cùng vuông góc với DE)=> OH là đường trung bình của hình thang ABNM

Í-

Đều cạnh R=>đường cao OH =

ÁN

=> AM + BN = 2OH = R 3 không đổi=>tích AM.BN lớn nhất = AM + BN 2 R 3 2 3R 2 ) =( ) = <=> AM = BN 2 2 4 C là điểm chính giữa của hai cung chứa 60o dựng trên đoạn AB Bài 5: (2 điểm) Mỗi lần biến đổi ta xóa đi 2 số và viết lại 1 số nên tổng kết mỗi lần biến đổi sẽ giảm đi 1 số. sau 2014 lần biến đổi thì sẽ giảm 204 số=>còn lại 1 số. Giả sử các số trên bảng đang là a1;a2;a3;…;ak tại 1 thời điểm bất kì. Cho tương ứng bảng số trên với tích(5a1-1)(5a2-1)…(5ak-1) Sau mỗi lần biến đổi xóa đi 2 số a và b bất kì và thay bằng số a+b-5ab thì tích trên mất đi 2 thừa số (5a-1),(5b1) nhưng được thêm thừa số 5(a+b-5ab)-1=-(5a-1)(5b-1) Như vậy sau mỗi lần biến đổi tích chỉ đổi dấu

IỄ N

ÀN

(

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

ẠO Đ G N H Ư TR ẦN B

1 1 sd ( AB − DE ) => 60O = (180O − DE ) => DE = 60O mà OD = OE = R ⇒ ∆ ODE 2 2

10 00

a) sdACB =

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

U Y

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

1 403 1 = lên thừa số tương ứng là 5. − 1 = 0 ) lên sau 2014 5 2015 5 lần thực hiên phép biến đổi trên bảng số và trên tích tương ứng thì số cuối cùng x cũng phải cho tích bằng 0 tức 1 là 5x-1=0 x= 5

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

Vì tích ban đầu bằng 0(do bảng ban đầu có thừa số

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN TRẦN PHÚ NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn thi: TOÁN (Chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi gồm: 01 trang)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG

ĐỀ CHÍNH THỨC

Bài 1: (2,0 điểm)

x + 4 x x −8 x x +8 + − x x−2 x x+2 x 9 Chứng minh M > 8, ∀x > 0, x ≠ 4. Tìm x để nhận giá trị nguyên. M b) Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = 2(m – 3)x + 4m + 8 (m là tham số). Tìm giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A(x1; y1) và B(x2; y2) sao cho biểu thức T = x1x2 + y1 + y2 =đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 2: (2,0 điểm) x3 48  x 4 a) Giải phương trình + 2 = 10  −  3 x 3 x 2  xy − 2 = 4 − y b) Giải hệ phương trình  2  x − xy + 1 = 0 Bài 3: (3,0 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn O. Hai tia BA và CD cắt nhau tại K. Hai tia AD và BC cắt nhau tại I. Gọi M,N lần lượt là trung điểm AC và BD. Các đường phân giác trong của các góc BKC và góc BLA cắt nhau tại I. Chứng minh: a) DKL + DLK = ABC và KIL = 90o b) KM. BD = KN. AC và LM. BD = LN. AC c) Các đường phân giác trong của góc BKC, góc BLA và đường thẳng MN đồng quy Bài 4. (1,0 điểm) Cho x, y, z là ba số thực dương. Chứng minh: x2 y2 z2 x+ y+ z + + ≥ 5 8 z 2 + 3 x 2 + 14 zx 8 x 2 + 3 y 2 + 14 xy 8 y 2 + 3 z 2 + 14 yz

IỄ N

ÀN

ÁN

Bài 5. (2,0 điểm) a) Tìm các số x,y nguyên dương thỏa mãn phương trình: 16( x3 − y 3 ) = 15 xy + 371 b) Trung tâm thành phố Hải Phòng có tất cả 2016 bóng đèn chiếu sáng đô thị, bao gồm 670 bóng đèn ánh sáng trắng. 672 bóng đèn ánh sáng vàng nhạt, 674 bóng đèn ánh sáng vàng sậm. Người ta thực hiện dự án thay bóng đèn theo quy luật sau: Mỗi lần người ta tháo bỏ hai bóng đèn khác loại và thay vào đó bằng 2 bóng đèn thuộc loại còn lại. Hỏi theo quy trình trên, đến một lúc nào đó, người ta có thể nhận được tất cả các bóng đèn đều thuộc cùng một loại không? ---------------------------Hết----------------------------

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

ẠO

H Ư

TR ẦN

10 00

Í-

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

U Y

a) Cho biểu thức M =

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ơ H N

( x + 4)( x − 4) + ( x x − 8)( x + 2) − ( x x + 8)( x − 2) x ( x − 2)( x + 2)

( x + 4 x + 4)( x − 4) x ( x − 2)( x + 2)

x+4 x +4 x

.Q TP

ẠO

x 2 + 4 x x − 16 x − 16 ( x + 2 x )2 − (2 x + 4) 2 = x ( x − 2)( x + 2) x ( x − 2)( x + 2)

(

)

H Ư

10 00

TR ẦN

x −2 x−4 x +4 ⇒ M −8 = = ≥ 0(∀x > 0, x ≠ 4) x x ⇒ M > 8, ∀x > 0, x ≠ 4 9 9 9 9 < . Để • Ta có M > 8 ⇒ 0 < nhận giá trị nguyên thì =1 M = 9 M 8 M M x+4 x +4 ⇔ =9 x

⇔ x −5 x + 4 = 0

-L

Í-

⇔ ( x − 1)( x − 4) = 0

 x =1 x = 1 ⇔ ⇔  x = 16  x = 4 (thỏa mãn) Vậy x ∈ {1;16} là giá trị cần tìm. b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d): x 2 = 2(m − 3) x + 4m + 8 ⇔ x 2 − 2(m − 3) x − 4m − 8 = 0 (1) (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A( x1 ; y1 ) và B ( x2 ; y2 ) ⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt

IỄ N

ÀN

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

( x 2 − 16) + ( x 2 + 2 x x − 8 x − 16) − ( x 2 − 2 x x + 8 x − 16) = x ( x − 2)( x + 2)

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

ĐÁP ÁN Bài 1. a) Với x > 0, x ≠ 4, ta có: x + 4 x x −8 x x +8 M= + − x x−2 x x+2 x

⇔ ∆ ' = (m − 3) 2 + 4m + 8 > 0

⇔ m2 − 2m + 17 > 0

⇔ (m − 1) 2 + 16 > 0 (luôn đúng ∀ m) Ta có x1, x2 là hai nghiệm của (1). Theo định lí Vi–ét ta có:

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

 x1 + x2 = 2m − 6   x1 x2 = −4m − 8

 y1 = x12 Do A, B ∈ (P) ⇒  2 2  y = x2 T = x1 x2 + y1 + y2 = x1 x2 + x12 + x22 = ( x1 + x2 ) 2 − x1 x2

= (2m − 6)2 + 4m + 8

= 4(m 2 − 5m + 11)

ẠO

2  5  19  = 4  m −  +  2 4  

Đ G

5 2 5 Vậy T nhỏ nhất ⇔ m = 2 Bài 2. x3 48  x 4 a) + 2 = 10  −  (1) 3 x 3 x ĐK: x ≠ 0. x 4 x 2 16 8 x 2 48 Đặt t = − , ta có: t 2 = + 2 − ⇒ + 2 = 3t 2 + 8. Phương trình (1) trở thành 3 x 9 x 3 3 x 2 3t + 8 = 10t

10 00

TR ẦN

H Ư

Dấu bằng xảy ra ⇔ m =

⇔ 3t 2 − 10t + 8 = 0

Í-

⇔ (t − 2)(3t − 4) = 0

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

5  = 4  m −  + 19 ≥ 19 2 

ÀN

ÁN

x 4  x = 3 ± 21 t = 2 2 3 − x = 2  6 12 0 x − x − =  ⇔ 4⇒ ⇔ 2 ⇔ x = 6 (thỏa mãn) t = x − 4 x − 12 = 0 x − 4 = 4   x = −2  3   3 x 3

{

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

= 4m 2 − 20m + 44

}

Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là 3 − 21;3 + 21; 6; −2

IỄ N

 xy − 2 = 4 − y 2 (1) b) Giải hệ phương trình  2  x − xy + 1 = 0(2)

Từ (3) ⇒ xy = x 2 + 1 > 0 ⇒ x ≠ 0

⇒ xy = x 2 + 1 > 0 ⇒ x ≠ 0 ⇒| x | . | y |= xy = x 2 + 1 ≥ 2 | x | Mà | x |> 0 ⇒| y |≥ 2 ⇒ y 2 ≥ 4

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

(*)

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Từ (2) ⇒ 4 − y 2 =| xy − 2 |≥ 0 ⇒ y 2 ≤ 4

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

(**)

1 1 ( BKD + BLD ) + ABC = ( BKD + BLD + 2. ABC ) 2 2 Xét ∆ KAD với góc ngoài BAD, có: BKD + ABC = BKD + KDA = BAD

Í-

⇒ BKD + BLD + 2 ABC = BAD + BLD + ABC = 180o

ÁN

⇒ IKL + ILK = 90o

ÀN

⇒ KIL = 90o b) Vì ABCD là tứ giác nội tiếp nên KBD = KCA

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

ẠO Đ G N H Ư TR ẦN

10 00

a) Vì ABCD là tứ giác nội tiếp nên KDA = ABC (góc ngoài và góc trong đối diện) Xét ∆ KDL với góc ngoài KDA ta có: KDA = DKL + DLK Do đó: DKL + DLK = ABC Xét ∆ IKL có IKL + ILK = ( IKD + DKL) + ( ILD + DLK ) = ( IKD + ILD ) + ( DKL + DLK )

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

U Y

Từ (*) và (**) ⇒ y = 4 ⇔ y = ±2 • y = 2. Thay vào (2) ⇒ x = 1. Thử lại (1;2) là nghiệm của hệ. • y = –2. Thay vào (2) ⇒ x = –1. Thử lại (–1;–2) là nghiệm của hệ. Vậy hệ phương trình có nghiệm (1;2), (–1;–2). Bài 3.

⇒ ∆KBD ~ ∆KCA( g .g )

IỄ N

 KDB = KAC  KDN = KAM   ⇒  KD BD ⇒  KD 2 DN DN = =  KA = CA  KA 2 AM AM ⇒ ∆KDN ~ ∆KAM (c.g .c) KN KD BD ⇒ = = KM KA CA ⇒ KN .CA = KM .BD

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

Ơ H N

= (3 x + 2 y ) 2 − ( x − y ) 2 ≤ (3 x + 2 y ) 2

TR ẦN

⇒ 8 x 2 + 3 y 2 + 14 xy ≤ 3 x + 2 y Tương tự ta có:

8 y 2 + 3 z 2 + 14 yz ≤ 3 y + 2 z

10 00

8 z 2 + 3 x 2 + 14 zx ≤ 3 z + 2 x Suy ra x2 y2 z2 x2 y2 z2 (*) P= + + ≥ + + 8 x 2 + 3 y 2 + 14 xy 8 y 2 + 3 z 2 + 14 yz 8 z 2 + 3 x 3 + 14 zx 3 x + 2 y 3 y + 2 z 3 z + 2 x Áp dụng BĐT Cô–si cho hai số không âm, ta có:

-L

Í-

x2 3x + 2 y x2 3x + 2 y 2 x x2 7x − 2 y + ≥2 . = ⇒ ≥ 3x + 2 y 25 3x + 2 y 25 5 3x + 2 y 25 Ta có 2 BĐT tương tự y2 7 y − 2z ≥ 3 y + 2z 25

IỄ N

ÀN

z2 7z − 2x ≥ 3z + 2 x 25 Cộng từng vế của 3 BĐT trên, ta có x2 y2 z2 x+ y+z + + ≥ 3x + 2 y 3 y + 2 z 3z + 2 x 5

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y .Q TP

H Ư

ẠO

Chứng minh tương tự ta có LM.BD = LN.AC c) Ta chứng minh I ∈ MN từ đó suy ra đpcm. KM LM AC = = =k Từ kết quả câu b ta có KN LN AD Vì ∆KDN ~ ∆KAM ⇒ DKN = BKM . Kết hợp với DKI = BKI ⇒ IKM = IKN ⇒ KI là tia phân giác của góc MKN Chứng minh tương tự ta cũng có LI là tia phân giác của góc MLN. Gọi I1, I2 lần lượt là giao điểm của KI, LI với MN. Theo tính chất phân giác trong tam giác KMN, ta có I M KM =k I1 ∈ đoạn MN và 1 = (1) I1 N KN I M Tương tự ta có: I2 ∈ đoạn MN và 2 = k (2) I2 N Từ (1) và (2) ⇒ I1 ≡ I 2 ≡ I ⇒ đpcm. Bài 4. Với x, y, z dương, ta có: 8 x 2 + 3 y 2 + 14 xy = (9 x 2 + 12 xy + 4 y 2 ) − ( x 2 − 2 xy + y 2 )

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Từ (*) và (**) ⇒

8 x 2 + 3 y 2 + 14 xy Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 1. Bài 5.

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

(**)

y2 8 y 2 + 3 z 2 + 14 yz

z2 8 z 2 + 3 x 2 + 14 zx

≥

x+ y+ z 5

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn a) 16( x3 − y 3 ) = 15 xy + 371

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

(1)

Vì x, y ∈ ℕ * nên từ (1) ⇒ 16( x3 − y 3 ) = 15 xy + 371 > 0 ⇒ x3 > y 3 ⇒ x > y

Mặt khác từ (1) ⇒ 15 xy = 16( x3 − y 3 ) − 371 là số lẻ, suy ra x, y lẻ. Suy ra y ≥ 1, x > y ≥ 1 ⇒ x ≥ 3. Xét hai trường hợp: • x = 3 ⇒ y < 3 ⇒ y = 1. Thử lại ta có (x; y) = (3;1) thỏa mãn (1) • x ≥ 5. Ta có: x – 2 ≥ y. Suy ra 16( x3 − y 3 ) ≥ 16  x3 − ( x − 2)3 

.Q TP Đ

ẠO

= 15 x 2 − 30 x + 371 Ta chứng minh 16(6 x 2 − 12 x + 8) > 15 x 2 − 30 x + 371

⇔ 81x 2 − 162 x − 243 > 0

H Ư

⇔ x2 − 2 x − 3 > 0

-L

Í-

10 00

TR ẦN

⇔ ( x + 1)( x − 3) > 0 (đúng ∀ x ≥ 5) Suy ra 16( x3 − y 3 ) > 15 xy + 371 với mọi x ≥ 5 Vậy (x;y) = (3;1) là cặp số duy nhất thỏa mãn bài toán. b) Xét số lượng ba loại bóng đèn ban đầu là 670, 672 và 674 Ta có: 670 chia 3 dư 1 672 chia 3 dư 0 674 chia 3 dư 2 ⇒ Mỗi loại bóng đèn có số bóng khi chia 3 cho các số dư khác nhau 0, 1, 2 (*) Sau mỗi bước thay bóng đèn, số bóng đèn mỗi loại giảm đi 1 hoặc tăng thêm 2, khi đó số dư của chúng khi chia cho 3 thay đổi như sau: dư 1 –> dư 0; dư 2 –> dư 1; dư 0 –> dư 2. Suy ra khẳng định (*) luôn đúng sau mỗi bước thay bóng. Do đó: Luôn luôn chỉ có 1 loại bóng đèn có số lượng bóng chia hết cho 3. Giả sử đến một lúc nào đó tất cả bóng đèn cùng một loại, thì số bóng đèn của 2 loại kia đều là 0 và chia hết cho 3, mâu thuẫn. Vậy không thể thay bóng theo quy trình như trên để tất cả bóng đèn cùng một loại.

IỄ N

ÀN

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

= 16(6 x 2 − 12 x + 8) Mặt khác: 15 xy + 371 ≤ 15 x( x − 2) + 371

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

= 16  x3 − ( x3 − 6 x 2 + 12 x − 8

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 Năm học: 2015 – 2016 Môn thi: TOÁN (không chuyên) Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề ________________________

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH _____________________

ẠO

H Ư

TR ẦN

10 00

Í-

-L

IỄ N

ÀN

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

2 2 2 2 2 ( x + 4 y ) − 4( x + 4 y ) = 5 b/ Giải hệ phương trình  2 2 3 x + 2 y = 5 ( x − 2m)( x + m − 3) Bài 2: (1,5 điểm) Cho phương trình = 0(1) x −1 a/ Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1;x2 b/ Tìm m để x12 + x2 2 − 5 x1 x2 = 14m 2 − 30m + 4 Bài 3: (1,5 điểm)  3+ x 3− x 36  x −5 a/ Rút gọn Q =  ( x > 0; x ≠ 9; x ≠ 25) − −  : x − 9 + − 3 x 3 x 3 x x −   b/ Tìm x để Q < 0 Bài 4: (2 điểm) a/ Cho một tam giác vuông. Nếu ta tăng độ dài mỗi cạnh góc vuông thêm 3cm thì diện tích tang thêm 33cm2; nếu giảm độ dài một cạnh góc vuông đi 2cm và tăng độ dài cạnh góc còn lại thêm 1cm thì diện tích giảm 2cm2. Hãy tính độ dài các cạnh của tam giác vuông b/ Bạn An dự định trong khoảng thời gian từ ngày 1/3 đến ngày 30/4 sẽ giải mỗi ngày 3 bài toán. Thực hiện đúng kế hoạch được một thời gian, vào khoảng cuối tháng 3 (tháng 3 có 31 ngày) thì An bị bệnh, phải nghỉ giải toán nhiều ngày liên tiếp. Khi hồi phục, trong tuần đầu An chỉ giải được 16 bài; sau đó, An cố gắng giải 4 bài mỗi ngày và đến 30/4 thì An cũng hoàn thành kế hoạch đã định. Hỏi An phải nghỉ giải toán bao nhiêu ngày? Bài 5. (2 điểm) Hình bình hành ABCD có tam giác ADC nhọn, ADC=60o . Đường tròn tâm O ngoải tiếp tam giác ADC cắt cạnh AB tại E ( E≠A ), AC cắt DE tại I a/ Chứng minh tam giác BCE đều và IO ⊥ DC b/ Gọi K là trung điểm BD, KO cắt DC tại M. Chứng minh A, D, M, I cùng thuộc một đường tròn OJ c/ Gọi J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính DE

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

Bài 1: (2 điểm) a/ Giải các phương trình ( x 2 − 9) 2 − x = x( x 2 − 9)

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ĐÁP ÁN

N Ơ H

 a = 5(TM ) <=>   A = −1( L)

2 2 2  x 2 + 4 y 2 = 5 3 x + 12 y = 15 10 y = 10 (I) <=>  2 <=>  2 <=>  2 2 2 2 3 x + 3 y = 5 3 x + 2 y = 5 3 x + 2 y = 5

-L

Í-

2  x = ±1  y = 1 <=>  2 <=>   y = ±1  x = 1 Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm (1;1),(–1;1), (1;–1), (–1;–1) Bài 2: ( x − 2m)( x + m − 3) = 0(1) a) x −1 ĐK: x ≠ 1 x ≠ 1  (1) <=>   x = 2m  x = 3 − m 

IỄ N

ÀN

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

ẠO

U Y

N 10 00

TR ẦN

H Ư

 x2 − 9 = 0 <=>   2 − x − x = 0 2 +) x − 9 = 0 ⇔ (x – 3)(x + 3) = 0 ⇔ x = 3 (loại) hoặc x = –3 (thỏa mãn) 0 ≤ x ≤ 2 0 ≤ x ≤ 2  <=>   x = −2 <=> x = 1 +) 2 − x − x = 0 <=> 2 − x = x <=>  2 x + x − 2 = 0  x = 1  Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là {–3;1} ( x 2 + 4 y 2 ) 2 − 4( x 2 + 4 y 2 ) = 5(*) b)  2 2 3 x + 2 y = 5 Đặt a=x2+4y2,a>0,ta có: (*) <=> 4 a 2 − 4a − 5 = 0 <=> (a − 5)(a + 1) = 0

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Bài 1: a) ( x 2 − 9) 2 − x = x( x 2 − 9) (1) ĐK: x ≤ 2 (1) <=> ( x 2 − 9)( 2 − x − x) = 0

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

U Y

1  m≠  2m ≠ 1 2   Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ 3 − m ≠ 1 <=> m ≠ 2 2m ≠ 3 − m m ≠ 1    b) Với điều kiện trên, ta có (1) có hai nghiệm phân biệt x1 = 2m, x2 = 3 – m. Khi đó x12 + x2 2 − 5 x1 x2 = 14m 2 − 30m + 4

<=> (2m) 2 + (3 − m) 2 − 5.2.m(3 − m) = 14m2 − 30m + 4

(3 + x ) 2 − (3 − x ) 2 + 36 3 x − x . (3 − x )(3 + x ) x −5

(9 + 6 x + x) − (9 − 6 x + x) x (3 − x ) . (3 − x )(3 + x ) x −5

(12 x + 36)(3 − x ) x 12 x = (3 − x )(3 + x )( x − 5) x −5

10 00

TR ẦN

H Ư

ẠO

<=> m 2 − 6m + 5 = 0 <=> (m − 1)(m − 5) = 0 ⇔ m = 1 (loại) hoặc m = 5 (thỏa mãn) Vậy m = 5 là giá trị cần tìm. Bài 3: a) Với x > 0, x ≠ 9, x ≠ 25 ta có:  3+ x 3− x x −5 36  Q =  − −  :  3− x 3+ x x −9  3 x − x

-L

Í-

b) Với x > 0 thì 12 x > 0 Do đó 12 x < 0 <=> x − 5 < 0 <=> 0 ≤ x < 25 Q < 0 <=> x −5 Kết hợp với điều kiện, ta có Q < 0 ⇔ 0 < x < 25, x ≠ 9 Vậy giá trị của x cần tìm là x ∈ (0;25)\{9} Bài 4: a) Gọi độ dài mỗi cạnh góc vuông của tam giác vuông là x, y (cm) (giả sử bài toán giảm 2cm ở cạnh x) (x > 2, y > 0) 1 Diện tích tam giác vuông ban đầu là xy (cm2) 2 1 Khi tăng mỗi cạnh góc vuông thêm 3cm thì diện tích tam giác vuông là ( x + 3)( y + 3)(cm 2 ) 2 Theo bài ra ta có phương trình: 1 1 ( x + 3)( y + 3) − xy = 33 (1) 2 2

IỄ N

ÀN

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

<=> 4m2 + 9 − 6m + m 2 − 30m + 10m 2 = 14m 2 − 30m + 4

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

49 − x 4

10 00

<=> y =

<=> x + 4 y = 49

49 − x 49 − 30 19 ≥ = 4 4 4 y là số nguyên, bé nhất ⇒ y = 5 ⇒ x = 29. Vậy An phải nghỉ ít nhất 5 ngày. Câu 5:

-L

Í-

Vì 1 ≤ x ≤ 30 => y =

IỄ N

ÀN

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

TR ẦN

H Ư

ẠO

⇒ Độ dài cạnh huyền là 122 + 7 2 = 193(cm) b) Từ 1/3 đến 30/4 có 61 ngày. Số bài toán theo kế hoạch mà An phải giải là 61.3 = 183 (bài) Gọi: số ngày An giải toán theo đúng kế hoạch là x (ngày). Trong thời gian này, An giải 3x (bài) số ngày An nghỉ giải toán là y (ngày). (x, y ∈ ℕ*, 1 ≤ x ≤ 30, y bé nhất) Khi đó số ngày An giải mỗi ngày 4 bài là 61 – 7 – x – y = 54 – x – y (ngày) Trong thời gian này, An giải được 4(54 – x – y) (bài) Vậy tổng số bài An đã giải là 3x + 16 + 4(54 – x – y) (bài) Theo bài ra ta có phương trình: 3 x + 16 + 4(54 − x − y ) = 183

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

U Y

1 Khi giảm cạnh x đi 2cm, tăng cạnh y thêm 1cm thì diện tích tam giác vuông là ( x − 2)( y + 1)(cm 2 ) 2 Theo bài ra ta có phương trình: 1 1 xy − ( x − 2)( y + 1) = 2(2) 2 2 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 1 1  2 ( x + 3)( y + 3) − 2 xy = 33  x + y = 19  x = 12 <=>  <=>   − x + 2 y = 2 y = 7  1 xy − 1 ( x − 2)( y + 1) = 2  2 2 (thỏa mãn điều kiện) Độ dài mỗi cạnh góc vuông của tam giác vuông là 12cm và 7cm

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

IỄ N

ÀN

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

ẠO Đ G N H Ư TR ẦN

-L

Í-

10 00

a) Vì AE // DC (do ABCD là hình bình hành) nên AED=EDC Đây là hai góc nội tiếp lần lượt chắn cung AD và cung EC của đường tròn (O) ⇒ AD = EC. Mà AD = BC (ABCD là hình bình hành) ⇒ BC = EC (1) Vì ABCD là hình bình hành nên EBC=ADC = 60° (2) Từ (1) và (2) ⇒ ∆ EBC đều Vì AECD là tứ giác nội tiếp nên AED= ACD, mà AED= EDC (cmt) nên EDC =ACD hay IDC= ICD Suy ra ∆ ICD cân tại I ⇒ ID = IC Mà OC = OD ( = bán kính của đường tròn (O)) nên OI là trung trực của CD. ⇒ OI ⊥ CD. b) Vì ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo BD và AC cắt nhau tại trung điểm mỗi đường ⇒ K ∈ AC và KA = KC Mà OA = OC ( = bán kính (O)) nên OK là trung trực AC. ⇒ MA = MC (vì M ∈ OK) ⇒ ∆ MAC cân ở M =>MAC=MCA Mà MDI=MCA (do ∆ IDC cân ở I) nên MAC=MDI hay MAI=MDI ⇒ AIMD là tứ giác nội tiếp hay A, I, M, D cùng thuộc một đường tròn. c) Xét đường tròn (J), ta có: AJC=2ABC=120o (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung AC) =>AJC+ADC=180o ⇒ J ∈ (O) Chứng minh tương tự ⇒ O ∈ (J) ⇒ JO = JC = OC

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

U Y

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

⇒ ∆ JOC đều ⇒ IOC=60o Xét đường tròn (O): sđ AD = sđ EC ⇒ sđ AD + sđ AE = sđ EC + sđ AE ⇒ sđ DE = sđ AC ⇒ DE = AC. 1 3 OJ OC OC => = = = = o DE AC 2CK 2 sin 60 3

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial