www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
§Ò thi häc sinh giái 12 (Thêi gian lµm bµi 180’)
4x − 1
z+x=
4y −1
ẠO
y+z=
TP
.Q
4z −1
Đ
C©u 3: Trong mÆt ph¼ng víi hÖ to¹ ®é §Ò c¸c vu«ng gãc oxy cho parab«n (P): y2 =
N
G
4x. M lµ mét ®iÓm di ®éng trªn (P). M ≠ 0, T lµ mét ®iÓm trªn (P) sao cho T ≠ 0, OT
H Ư
vu«ng gãc víi OM.
a. Chøng minh r»ng khi M di ®éng trªn (P) th× ®−êng th¼ng MT lu«n ®i qua mét
TR ẦN
®iÓm cè ®Þnh.
b. Chøng minh r»ng khi M di ®éng trªn (P) th× th× trung ®iÓm I cña MT ch¹y trªn 1
B
pa ra bol cè ®Þnh .
10 00
C©u 4: Gi¶i ph−¬ng tr×nh sau:
3 3 2
Ó
A
sinx + siny + sin (x+y) = 4 nπ
∫π
2n
cos x dx , x
n∈N*
Í-
H
C©u 5: Cho dLy sè In =
-L
TÝnh lim In n → +∞
ln a 1+ 3 a < a −1 a + 3 a
ÀN
TO
ÁN
C©u 6: Cho 1 ≠ a > 0, chøng minh r»ng.
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
x+y =
U Y
C©u 2: Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh.
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
N
hµm sè.
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Ơ
H
thêi gèc to¹ ®é O lµ träng t©m cña c¸c tam gi¸c t¹o bëi 3 ®Ønh vµ 3 ®iÓm cùc trÞ cña ®å thÞ
N
C©u 1: Chøng minh r»ng hµm sè y = x4- 6x2 + 4x + 6 lu«n lu«n cã 3 cùc trÞ ®ång
IỄ N
Đ
Ng−êi ra ®Ò :Ng« Quèc Kh¸nh
D
Tr−êng PTTH Lam S¬n
1
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com §¸p ¸n
C©u 1: (3 ®iÓm ) TËp x¸c ®Þnh: D = R y = x4 - 6x2 + 4x + 6. y’ = 0 <=> g(x) = x3 - 3x + 1 = 0
(1)
N Ơ
Ta cã g(x), liªn tôc g(-2) = -1, g(-1) = 3, g(1) = -1 , g(2) = 3
G
(1)
ẠO
1 y’.x- 3.(x2 - x - 2) 4
* Ta cã y =
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
- 2 < x1 < -1 < x2 < 1 < x3 < 2
N
Gäi c¸c ®iÓm cùc trÞ lµ A (x1,y1), B(x2,y2), C (x3,y3) vµ G (x0,y0) lµ träng t©m tam x 1 + x2 + x 3 = 0
TR ẦN
Theo §L Viet cã
H Ư
gi¸c ABC.
x1x2 + x2x3 = x3x1 = -3 x1 + x2 + x3 =0 3
10 00
Tõ (1) (2) (3) suy ra:
1 (y1+y2+y3) = -3 [( x12 + x22 + x32 )-(x1+x2+x3) - 6] 3
A
y0 =
(3)
B
Tõ (2) suy ra x0 =
(2)
H
Ó
= -3 [(x1 + x2 + x3)2 - 2 (x1x2 + x2x3 + x3x1) - 6] = -3 (0 - 2 (-3) - 6) = 0
Í-
VËy G (0;0) ≡ 0(0;0) (§PCM)
D
x+y =
4 z − 1 (1)
y+z=
4x − 1
(2)
z+x=
4y −1
(3)
(I) ®k x,y,z >
1 4
¸p dông bÊt ®¼ng thøc cosi tacã:
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
C©u 2: ( 2 ®iÓm)
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
TP
g(x) liªn tôc nªn ph−¬ng tr×nh (1) cã 3 nghiÖm ph©n biÖt tháa mLn :
.Q
U Y
N
H
g(- 2).g(- 1) < 0 g(-1).g( 1) < 0 g( 1).g( 2) < 0
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
y’ = 4x3 - 12x + 4
4 z − 1 = (4 z − 1).1 < T−¬ng tù
4 x − 1 < 2x
(4 z − 1) + 1 = 2z 2
(2’)
(1’)
4 y − 1 < 2y (3’)
Tõ (1’) ;(2’) ; (3’) vµ (1) ; (2) ; (3) suy ra. 2(x+y+z) =
4 z − 1 + 4 x − 1 + 4 y − 1 < 2z + 2x + 2y
2
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
(4)
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Tõ (4) suy ra: 4z - 1 = 1 (I) <=>
4x - 1 = 1
<=>
x=y=z=
1 nghiÖm ®óng (I) 2
H
Ơ
1 2
y - y1 y 2 - y1
⇔ 4x - y 12 = (y1 + y2). (y-y1)
10 00
B
⇔ 4x - (y1 + y2) y - 16 = 0 ⇔ 4(x- 4)- (y1 + y2) y= 0
Nªn ®−êng th¼ng MT lu«n ®i qua ®iÓm cè ®Þnh J (4;0) b. (3®iÓm) Gäi I (x0, y0) lµ trung ®iÓm MT th×
A
1 2 y 1 + y 22 8
Í-
H
Ó
x0 =
-L
y0 =
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
Tõ (1) suy ra x0 = =
(
)
y1 + y 2 2
(1)
(2)
1 1 [(y1+y2)2 - 2y1y2] = [(2y0)2 - 2 (-16)] 8 8
1 2 . y0 + 4 2
⇒ y02 = 2x0 - 8
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
=
TR ẦN
Ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng MT:
G
y 12 4 2 y 2 y 12 4 4 x-
(1)
N
y1 . y2 + 16 = 0
⇔
H Ư
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
OT⊥OM
Đ
ẠO
y 12 y 12 . + y 1 .y 2 = 0 ⇔ OT .OM = 0 ⇔ 4 4
TP
.Q
y 12 y 22 víi y1,y2 ≠ 0; y1 ≠ y2. M ; y T ; y a. (3®iÓm ) Gi¶ sö ; 1 2 4 4
U Y
C©u 3: (P): y2 = 4x
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
N
VËy hÖ (I) cã nghiÖm x = y = z =
N
4y - 1 = 1
Tõ ®ã ⇒ I ch¹y trªn parab«n (P) : y2 = 2x = 8 cè ®Þnh .
C©u 4: (3 ®iÓm) sin x + sin y + sinz (x+y) =
3 3 2
(1)
¸p dông bÊt ®¼ng thøc Bunhiacèpxki vµ tõ (1) ta cã .
3
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
27 3 3 2 ) = [sinx + siny + sinz (x+y)] 2 < (12 + 12+12).(sin2x + zin2y + sin2(x+y)) =( 4 2
1 − cos 2 x 1 − cos 2 y +sin2 (x+y)] + 2 2
Ơ H U Y
1 27 1 )= (2) (Do cos2 (x-y) < 1; (cos (x+y) + cos (x-y)2 > 0 4 4 2
.Q TP
Tõ (2) suy ra: cos2 (x-y) = 1
ẠO
1 cos (x-y) = 0 2
Đ
3 2
H Ư
N
sinx = sin y = sin (x+y) =
G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
(1) ⇔ cos (x+y) +
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
< 3 (2- 0 +
1 1 cos (x-y)2) + cos2 (x-y)] 2 4
π x = + 2kπ 3 y = π + 2nπ 3
TR ẦN
víi k , n ∈ Z
B
⇔
10 00
4n π
In =
H
Ó
Ta chøng minh:
A
C©u 5: (3 ®iÓm)
4 nπ
-L ÁN TO ÀN Đ IỄ N
D
4 nπ
In <
∫
2 nπ
4 nπ
=
∫π
2n
4 nπ
∫π
4n
1 4 nπ
(1)
d (sin x) sin x 4nπ = x 2 nπ x
4 nπ
1
∫π sin x.d ( x )
2n
sin x dx x2
sin x 1 < 2 ∀x ∈ [2nπ , 4nπ ] nªn 2 x x
dx 1 4 nπ 1 1 1 = − + = =2 4 nπ 2 nπ 4 nπ x 2 nπ x 2 n −1 2 ( k +1)π
* Ta cã: In = Σ
k =n
( 2 k +1)π
=> JK =
cosx ∫ x dx 2n π
0 < In <
cos x = ∫ dx = x 2 nπ
Í-
Ta cã: In
* Ta cã:
∫π
2k
N
= 3. [2-(cos (x+y)+
N
= 3.[1- cos (x+y) . cos (x-y) + 1 - cos2 (x+y)]
∫π
2k
sin x + x2
sin x dx ®Æt JK = x2
2 ( k +1)π
sin x dx > ∫ 2 ( 2 k +1)π x
∫π
2k
2 ( k +1)π
(2)
sin x dx x2 1
∫πsin x ( x
2k
4
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
2 ( k +1)π
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
= 3. [
2
−
1 )dx >0 (x + π )2
(3)
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
2 n −1
Ta l¹i cã: In = Σ Jk do (3) nªn In > 0
(4)
k =n
1 = 0 nªn 4 nπ
(1) ®óng
Lim I n = 0
n→+∞
ln a 1+ 3 a < a −1 a+3 a
.Q
U Y
(1) víi 1 ≠ a > 0
3
a ) (a-1)
(2)
§Æt x =
∀x > 1
<=> x4 + x3 - x - 1 - 3 (x3+x)lnx > 0
(3) ∀x > 1 x ∈[1;+ ∞ )
H Ư
§Æt f(x) = x4 + x3 - x - 1 -3 (x3 + x)lnx
1 ) x
f(3)(x) = 3 ( 8x +
1 ] x
1 -6ln x - 9) x2
B
f”(x) = 3.(4x2 - 3x - 6xln x -
TR ẦN
Ta cã f’(x) = 4 x3 + 3x2 - 1 - 3 [(3x2 + 1) lnx + (x3 + x) . = 4x3 - 4 - 3 (3x2 + 1) lnx
a => x >1
G
(2) <=> 3(x3 +x) lnx < (1+x).(x3-1)
3
ẠO
a )lna < (1 +
Đ
3
N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
(1) <=> (a +
TP
Trong hîp 1: a >1
6(4 x 3 − 3 x − 1) 6( x − 1)( 4 x 2 + 4 x + 1 6 2 − 3)= = > 0 , ∀x > 1 x x x3 x3
10 00
f(4)(x) = 3.(8-
A
Suy ra f(3)(x) ®ång biÕn nªn [1;+ ∞ )
H
Ó
f(3)(x) > f(3)(1) = 0 ... t−¬ng tù f’(x)> 0 víi ∀x > 1
Í-
⇒ f(x)> f (1) = 0 víi ∀x >1 suy ra (3) ®óng. 1 , a1 > 1 quay vÒ tr−êng hîp 1. a1
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Tr−êng hîp 2: 0 < a < 1 ®Æt a =
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
N
H
C©u 6: (3 ®iÓm)
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
n → +∞
⇒
Ơ
Ta l¹i cã Lim
1 4 nπ
N
Tõ (2) (4) suy ra 0 < In ≤
Tµi liÖu tham kh¶o 1. Hµm sè - T¸c gi¶ : TrÇn Ph−¬ng
5
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
10 00
B
TR ẦN
H Ư
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
TP
.Q
U Y
N
H
Ơ
N
2. T¹p chÝ " Crux - Mathematicorum " . T¹p chÝ to¸n häc Ca na ®a
6
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com ĐỀ BÀI
Bµi 1: ( 4 ®iÓm ) 1 x −1
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
π T×m c¸c gi¸ trÞ thùc cña m ®Ó ph−¬ng tr×nh sau cã ®óng 1 nghiÖm x ∈ 0; : 4
H Ư
N
(4 − 6m )Sin 3 x + 3(2m − 1)Sinx + 2(m − 2)Sin 2 xCosx − (4m − 3)Cosx = 0
(
)
TR ẦN
Bµi 5: (2 ®iÓm ) T×m tam gi¸c ABC cã B = 2A vµ ba c¹nh cã sè ®o lµ ba sè nguyªn liªn tiÕp . Bµi 6: (2 ®iÓm ) T×m ®a thøc P( x ) cã bËc lín h¬n 1 tho¶ m?n hÖ ®iÒu kiÖn sau :
10 00
B
( x + 2 ) x 2 − 4 P' ' ( x ) − 2 x( x + 2 )P' ( x ) + 12 P( x ) = 0 ; ∀x ∈ R P(1) = 27 Bµi 7: (2 ®iÓm )
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
2 3+Cos 2 x − log 2 3 = 3 − ( y + 4 ) Gi¶i hÖ sau : 2 2 y − y − 1 + ( y + 3) ≤ 8 Bµi 8: (2 ®iÓm ) Hai h×nh chãp tam gi¸c ®Òu cã chung chiÒu cao , ®Ønh cña h×nh chãp nµy trïng víi t©m cña ®¸y h×nh chãp kia. Mçi c¹nh bªn cña h×nh chãp nµy ®Òu c¾t mét c¹nh bªn cña h×nh chãp kia. C¹nh bªn l cña h×nh chãp thø nhÊt t¹o víi ®−êng cao mét gãc α .C¹nh bªn cña h×nh chãp thø 2 t¹o víi ®−êng cao mét gãc β . T×m thÓ tÝch phÇn chung cña hai h×nh chãp . Bµi 9: (2®iÓm ) Cho c¸c sè thùc a, b, c ≥ 2 chøng minh bÊt ®¼ng thøc sau :
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
ẠO
Gi¶i ph−¬ng tr×nh : x = 3 − x . 4 − x + 4 − x . 5 − x + 5 − x . 3 − x Bµi 4: (2 ®iÓm )
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
TP
.Q
U Y
x
1 1 BiÖn luËn theo m sè nghiÖm d−¬ng cña ph−¬ng tr×nh : ∫ t − dt = m − t 2 1 Bµi 3: (2 ®iÓm )
Ơ
N
1/ Kh¶o s¸t hµm sè . 2/ T×m nh÷ng ®iÓm trªn ®å thÞ (C) cã hoµnh ®é lín h¬n 1 sao cho tiÕp tuyÕn t¹i diÓm ®ã t¹o víi 2 ®−êng tiÖm cËn mét tam gi¸c cã chu vi nhá nhÊt . Bµi 2: (2 ®iÓm )
N
(C)
H
Cho hµm sè : y = x + 1 +
Log b + c a 2 + Log c + a b 2 + Log a + b c 2 ≥ 3
................................................................................................ Hä vµ tªn thÝ sinh : .................................................Sè b¸o danh ................... Thanh hãa; Ngµy 10 th¸ng 10 n¨m 2005
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
10 00
B
TR ẦN
H Ư
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
TP
.Q
U Y
N
H
Ơ
N
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Lêi gi¶i chi tiÕt vµ biÓu ®iÓm ®Ò thi häc sinh giái to¸n khèi 12
Lêi gi¶i chi tiÕt
§iÓm
Cùc trÞ : Cùc ®¹i t¹i x =0 vµ yCD = 0
.Q
TP ẠO
Cùc tiÓu t¹i x=2 vµ yCT = 4
Nh¸nh v« cùc vµ tiÖm cËn: TiÖm cËn ®øng x = 1; tiÖm cËn xiªn y = x+1 vµ Lim y = +∞; Lim y = −∞
•
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
1 ®iÓm
x → −∞
G
x → +∞
TR ẦN
H Ư
N
........................................................................................................ • BBT : −∞ o 1 2 x +
0 -
‖
-
+∞ 0
+
y
Ó
A
10 00
B
y’
.........
y
1 ®iÓm
1 O x -1
1
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
H
c) §å thÞ : §å thÞ ®i qua gèc to¹ ®é O=(0;0) T©m ®èi xøng I=( 1;2 )
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
•
U Y
•
H
; y’ = 0 cã 2 nghiÖm x = 0 ; x = 2
(x − 1)2 HS ®ång biÕn trªn (− ∞;0); (2;+∞ ) vµ nghÞch biÕn trªn c¸c kho¶ng (0;1); (1;2)
N
1
CBT: y ' = 1 −
•
Ơ
N
a) TX§ : D = R b) Sù biÕn thiªn:
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
Bµi ý Bµi 1 1
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
1 a2 = a −1 a −1
PTTT cña ( C ) t¹i M lµ: y − y (a ) = y ' (a )(x − a ) ⇔ y =
a 2 − 2a
(a − 1)2
(x − a ) +
H N U Y .Q
G N
suy ra
4
0.5 ®iÓm
AB 2 = AI 2 + BI 2 − 2 AI .BICos
π
H Ư
L¹i cã ∠AIB =
π
= AI 2 + BI 2 − 2 AI .BI
TR ẦN
4 ..........................................................................................................
(
)
)
(1)
10 00
(
⇔ AB ≥ 2 2 2 − 1
.........
B
Theo bÊt ®¼ng thøc C« si : AB 2 ≥ 2 AI .BI − 2 AI .BI = 2 − 2 AI .BI
§Æt p lµ chu vi tam gi¸c ABI th× :
(
)
1
Ó
A
p = AB + AI + BI ≥ AB + 2 AI .BI ≥ 2 2 2 − 1 + 44 2
H
DÊu ®¼ng thøc x¶y ra ⇔ AI = BI ⇔ a = 1 +
0.5 ®iÓm
4
(
)
ÁN
-L
Í-
2 ........................................................................................................... 1 VËy Minp = 2 2 2 − 1 + 44 2 ⇔ a = 1 + 4 2
............
TO
1 1 Hay ®iÓm cÇn t×m lµ M = 1 + 4 ;2 + 2 + 4 2 2
ÀN
0.5 ®iÓm
Đ D
IỄ N
Bµi 2
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
TP
2 ; BI = 2 2 a − 1 , nªn AI .BI = 4 2 v× a > 1 a −1
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
..........
ẠO
Víi tiÖm cËn xiªn lµ : B = (2a − 1;2a ) Ta cã AI =
0.5 ®iÓm
Ơ
(d) TiÖm cËn ®øng x = 1 ; TiÖm cËn xiªn y = x + 1 Giao ®iÓm cña 2 tiÖm cËn lµ I=( 1 ; 2 ) ........................................................................................................ 2a Giao ®iÓm cña d víi tiÖm cËn ®øng x = 1 lµ A = 1; a −1
a2 a −1
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
Gäi M = (a; y (a )) ∈ (C ); a > 0 th× y (a ) = a + 1 +
N
2
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
x
x x t2 1 1 1 1 Ta cã ∫ t − dt = ∫ tdt − ∫ dt = − Ln t = x 2 − ln x − t t 2 2 1 2 1 1 1 x
1 2 x − ln x = m (1) 2 ............................................................................................................. Sè nghiÖm d−¬ng cña PT lµ sè giao ®iÓm cña ®−êng th¼ng y = m vµ ®å thÞ
PT ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
0.5 ®iÓm
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
..........
1 2 x − ln x víi hoµnh ®é d−¬ng. 2 1 XÐt hµm sè : f ( x ) = x 2 − ln x trªn (0;+∞ ) 2 1 §¹o hµm y ' = x − ; y ' = 0 ⇔ x = ±1 x Lim y = Lim+ y = +∞
hµm sè f ( x ) =
H
Ơ
N
0.5 ®iÓm
10 00
Bµi 3
Í-
§K : x ≤ 3
H
Ó
A
0.5 ®iÓm
-L
§Æt a = 3 − x ; b = 4 − x ; c = 5 − x
0.5 ®iÓm
3 − a 2 = ab + bc + ca (a + b )(c + a ) = 3 2 Do ®ã 4 − b = ab + bc + ca ⇔ (b + c )(a + b ) = 4 5 − c 2 = ab + bc + ca (c + a )(b + c ) = 5
.........
Nh©n vÕ víi vÕ c¸c PT ta ®−îc (a + b )(b + c )(c + a ) = 2 15 ( * )
0.5 ®iÓm
............................................................................................................
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
Ta cã x = 3 − a 2 = 4 − b 2 = 5 − c 2 = ab + bc + ca ...........................................................................................................
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
..........
B
TR ẦN
H Ư
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
0.5 ®iÓm
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
U Y .........
ẠO
TP
.Q
........................................................................................................... BBT +∞ o 1 x −∞ y’ | o + y +∞ | +∞ 1 2 ............................................................................................................ Tõ BBT ta ®−îc : 1 +/ Víi m < th× PT v« nghiÖm 2 1 +/ Víi m = th× PT cã nghiÖm d−¬ng duy nhÊt x = 1 2 1 +/ Víi m > th× ph−¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm d−¬ng ph©n biÖt 2
N
x →0
x → +∞
.........
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Ơ
N
1 ®iÓm
)
)
2
0.5 ®iÓm
π §Ó PT ®· cho cã nghiÖm x ∈ 0; th× PT (1) ph¶i cã nghiÖm 0 ≤ t ≤ 1 4
..........
Đ
§Æt tgx = t , ta cã PT : (t − 1) t − 2mt + 4m − 3 = 0 (1) .............................................................................................................
H Ư
N
G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
(
ẠO
(
TP
NhËn thÊy Cosx=0 kh«ng tho¶ m?n PT , b»ng c¸c chia c¶ 2 vÕ cho Cos 2 x ≠ 0 ta ®−îc ph−¬ng tr×nh : (tgx − 1) tg 2 x − 2mtgx + 4m − 3 = 0
2
TR ẦN
Do PT (1) lu«n cã 1 nghiÖm t = 1 ∈ [0;1] nªn PT t − 2mt + 4m − 3 = 0 ChØ cã 1 nghiÖm t = 1 hoÆc kh«ng cã nghiÖm nµo thuéc ®o¹n [ 0 ; 1 ]
10 00
B
............................................................................................................. §Ó ý r»ng t = 2 kh«ng tho¶ m·n . Do ®ã f (t ) =
t2 −3 =m 2t − 4
0.5 ®iÓm
..........
A
XÐt f(t) trªn [0;1] ta cã :
Í-
H
Ó
1 t 2 − 4t + 3 ≥ 0; ∀t ∈ [0;1] f ' (t ) = 2 (t − 2)2 1 ®iÓm
TO
ÁN
-L
m ≥1 3 LËp b¶ng biÕn thiªn vµ tõ BBT ta ®−îc : m < 4
D
IỄ N
Đ
ÀN
Bµi 5
Ta chøng minh bæ ®Ò: §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó tam gi¸c ABC cã B= 2A lµ b 2 = a 2 + ac (1)
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
Bµi 4
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
.Q
U Y
N
2 15 a + b = 5 2 15 Thay lÇn l−ît c¸c ph−¬ng tr×nh cña hÖ vµo PT ( * ) sÏ cã : b + c = 3 2 c + a = 15 4 Céng c¸c vÕ ph−¬ng tr×nh cña hÖ, cã PT míi vµ thay lÇn l−ît mçi PT cña hÖ vµo PT võa cã.Ta ®−îc nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ®· cho lµ: 671 x= 240
H
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
ThËt vËy: Theo ®Þnh lý C«Sin trong tam gi¸c b 2 = a 2 + c 2 − 2acCosB = a 2 + ac ⇔ c − 2aCosB = a ⇔ c − a = 2aCosB ¸p dông ®Þnh lý Sin, ta ®−îc 2 RSinC − 2 RSinA = 4 RSinACosB ⇔ SinC − SinA = Sin( A + B ) + Sin( A − B ) ⇔ SinA = Sin(B − A)
Do ®ã B = 2A vµ 0 < A, B < π
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
1 ®iÓm
..........
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
.......................................................................................................... V× 3 c¹nh lµ 3 sè nguyªn liªn tiÕp nªn víi x ∈ N * vµ a < b, ta cã c¸c tr−êng hîp sau : a) NÕu a=x,b=x+1,c=x+2 : Khi ®ã tõ (1) ta ®−îc x=1 suy ra a=1,b=2,c=3. Kh«ng tho¶ m·n tÝnh chÊt c¹nh cña tam gi¸c
N
1 ®iÓm
Bµi 6
+ ... + 2a 2
0.5 ®iÓm
H Ư
N
.......................................................................................................... Tõ yªu cÇu , ta cã ®iÒu kiÖn cÇn lµ : HÖ sè cña luü thõa bËc (n + 1) ph¶i b»ng 0. mµ hÖ sè ®ã lµ n(n − 1)a n − 2na n = n(n − 3)a n
TR ẦN
L¹i do a n ≠ 0; n > 1 nªn n(n − 3)a n = 0 ⇔ n = 3
..........
0.5 ®iÓm
............................................................................................................ Do vËy ®a thøc ph¶i cã d¹ng P ( x ) = a 3 x 3 + a 2 x 2 + a1 x + a 0 ; a3 ≠ 0
B
..........
10 00
Thay ®a thøc vµo ®iÒu kiÖn (1) :
(12a3 − 2a 2 )x 3 + (8a 2 − 24a3 − 2a1 )x 2 + (8a1 − 8a 2 − 48a3 )x + 12a0 − 16a 2
= 0; ∀x
-L
Í-
H
Ó
A
6a 3 − a 2 = 0 a 2 = 6a3 4a − 12a − a = 0 2 3 1 ⇔ a1 = 12a 3 ⇔ a1 − a 2 − 6a3 = 0 a = 8a 3 0 3a 0 − 4a 2 = 0 .............................................................................................................
0.5 ®iÓm
ÁN
Nªn P ( x ) = a 3 (x 3 + 6 x 2 + 12 x + 8)
VËy ®a thøc cÇn t×m lµ : P ( x ) = x 3 + 6 x 2 + 12 x + 8
..........
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
MÆt kh¸c P(1) = 27 ; Suy ra 27 a 3 = 27 ⇔ a 3 = 1
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
+ (n − 1)(n − 2 )a n −1 x
n −3
G
P ' ' ( x ) = n(n − 1)a n x
n−2
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
P ' ( x ) = na n x n −1 + (n − 1)a n −1 x n − 2 + ... + 2a 2 x + a1
ẠO
Gi¶ sö ®a thøc cÇn t×m lµ: P ( x ) = a n x n + a n −1 x n −1 + ... + a1 x + a 0 ; a n ≠ 0
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
TP
.Q
U Y
N
c) NÕu a=x+1,b=x+2,c=x : T−¬ng tù th× x 2 − x − 3 = 0 , PT kh«ng cã nghiÖm nguyªn d−¬ng nªn kh«ng tho¶ m·n. VËy cã 1 tam gi¸c duy nhÊt tho¶ m·n bµi ra lµ tam gi¸c cã ®é dµi c¸c c¹nh lµ : a = 4,b = 6,c =5 .
H
Ơ
b) NÕu a=x,b=x+2,c=x+1 : Tõ (1) ta cã PT x 2 − 3 x − 4 = 0 Suy ra a=4,b=6,c=5 ( tho¶ m·n )
Bµi 7
0.5 ®iÓm Víi ∀x ∈ R ta cã 3 − ( y + 4 ) = 2 3+ Cos 2 x − Log 2 3 ≥ 2 2− Log 2 3 = 2 Log 2 3 = 3 ⇔ −( y + 4) ≥ 1 ⇔ y ≤ −5 (1) §¼ng thøc x¶y ra khi 1 + Cos 2 x = 0 ⇔ Cosx = 0 ⇔ x =
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
π 2
1 ®iÓm
+ kπ ; k ∈ Z (2)
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
..........
............................................................................................................... 2
Víi ®iÒu kiÖn (1) th× 2 / y / − / y − 1 / + ( y + 3) ≤ 8 trë thµnh :
0.5 ®iÓm
y 2 + 5 y ≤ 0 ⇔ −5 ≤ y ≤ 0 , kÕt hîp víi (1) ta cã y = - 5 (3)
............................................................................................................... KÕt hîp (1);(2) vµ (3) ta cã nghiÖm cña hÖ ®· cho lµ :
N
...........
§Æt 2 h×nh chãp tam gi¸c ®Òu lµ : O.ABC vµ O’.A’B’C’ víi O lµ t©m cña tam gi¸c ABC vµ O’ lµ t©m cña tam gi¸c A’B’C’. Theo bµi ra th× OO’ lµ ®−êng cao chung cña 2 h×nh chãp . §Æt D,E,F lµ c¸c giao ®iÓm cña c¸c cÆp c¹nh bªn t−¬ng øng cña 2 h×nh chãp . PhÇn thÓ tÝch chung cña 2 h×nh chãp lµ thÎ tÝch cña khèi ®a diÖn ODEFO’. Ký hiÖu V lµ 1 thÓ tÝch ®ã th× V = OO'.S ∆DEF 3 .............................................................................................................. ∆OO' C vu«ng t¹i O’ nªn OO ' = l cos α Do tÝnh ®èi xøng nªn OO’ ®i qua t©m I cña ∆DEF . Trong ∆IOE ta cã : OI = IE cot gα
N
H Ư
TR ẦN
............
Trong ∆IO ' E cã:: O ' I = IE cot gα
OO ' l cos α = cot gα + cot gβ cot gα + cot gβ .............................................................................................................. 3 Tam gi¸c DEF ®Òu , ®−êng cao EJ = EI 2
0.5 ®iÓm
Ó
A
10 00
B
Suy ra OO ' = IE (cot gα + cot gβ ) ⇔ IE =
...........
-L
Í-
H
DiÖn tÝch S ∆DEF
DE 2 3 2 EJ 3 = víi DE = = EI 3 4 3
3l 2 3 cos 2 α = 4(cot gα + cot gβ ) 2
ÁN
Do ®ã S ∆DEF
TO
............................................................................................................. l 3 3 cos 3 α 4(cot gα + cot gβ ) 2
0.5 ®iÓm
...........
D
IỄ N
Đ
ÀN
VËy thÓ tÝch phÇn chung cña 2 h×nh chãp lµ : V =
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
0.5 ®iÓm
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
TP
.Q
Bµi 8
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
0.5 ®iÓm
U Y
N
H
Ơ
π x = + kπ ; k ∈ Z 2 y = −5
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com C' A' O
0.5 ®iÓm
D
Ơ
N
B'
TP
.Q
U Y
E
BÊt ®¼ng thøc ⇔
ẠO
N
Log 2 a 2 Log 2 b 2 Log 2 c 2 + + ≥ 3 (1) Log 2 (b + c ) Log 2 (c + a ) Log 2 (a + b )
TR ẦN
Bµi 9
H Ư
B
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
O'
1 1 + ≤ 1 ⇔ a + b ≤ ab ,t−¬ng tù ta còng ®−îc : a b b + c ≤ bc & c + a ≤ ac 2 Log 2 a 2 Log 2 b 2 Log 2 c 2x 2y 2z + + = + + Khi ®ã VT (1) ≥ Log 2 bc Log 2 ca Log 2 ab y + z z + x x + y
1 ®iÓm
10 00
B
Do a.b.c ≥ 2 nªn
(2)
...........
-L
Í-
H
Ó
A
Víi x = Log 2 a; y = Log 2 b; z = Log 2 c ............................................................................................................ 2x 2y 2z Ta chøng minh: + + ≥ 3; x, y, z ≥ 1 y+z z+x x+ y
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
2x 2y 2z ⇔ + 2 + + 2 + + 2 ≥ 9 x+ y y+z z+x 1 1 1 ≥ 9 ⇔ (2 x + 2 y + 2 z ). + + x+ y y+ z z+ x
............................................................................................................ ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C« si cho vÕ tr¸i , ta ®−îc ®iÒu ph¶i chøng minh DÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi Log 2 a = Log 2 b = Log 2 c x; y; z ≥ 1 ⇔a=b=c=2 ⇔ a=b=c=2 x = y = z
0.5 ®iÓm
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
C
A
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
N
H
F
I
.......... 0.5 ®iÓm
Chó ý : NÕu thÝ sinh cã lêi gi¶i theo c¸c c¸ch kh¸c mµ ®óng vÉn cho ®iÓm theo biÓu ®iÓm cña tõng bµi .
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
10 00
B
TR ẦN
H Ư
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
TP
.Q
U Y
N
H
Ơ
N
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
§Ò thi chän häc sinh giái tØnh m«n to¸n líp 12 (Thêi gian lµm bµi 180 phót)
.Q
2) (Tù s¸ng t¸c)
Đ
Chøng minh r»ng: §å thÞ hµm sè: y = ax4 + bx2 + c (0;1). Bµi 2: (5 ®iÓm) 1) (Tù s¸ng t¸c)
ẠO
a b c + + = 0. m+4 m+2 m
H Ư
N
G
lu«n c¾t trôc ox t¹i Ýt nhÊt mét ®iÓm thuéc kho¶ng
Sin4x + Sin4 ( x +
π
TR ẦN
T×m tæng tÊt c¶ c¸c nghiÖm x ∈ [1;100] cña ph−¬ng tr×nh: ) + Sin4 (x +
π
) + sin 4 ( x +
10 00
B
4 2 2) ( To¸n häc tuæi trÎ n¨m 2003) Cho tam gi¸c ABC kh«ng cã gãc tï tho¶ m0n hÖ thøc:
3π 3 ) = Sin 4 4 x 4 2
H
Ó
A
1 1 5 (cos 3 A + cos 3B ) − (cos 2 A + cos 2 B ) + cos A + cos B = 3 2 6 H0y tÝnh c¸c gãc cña tam gi¸c ®ã. Bµi 3: (4 ®iÓm)
-L
Í-
1) (To¸n Båi d−ìng gi¶i tÝch tæ hîp cña Hµn Liªn H¶i - Phan Huy Kh¶i)
ÁN
T×m hä nguyªn hµm cña hµm sè f(x) =
x5 x 4 + 3x 2 + 2
TO
2) (Tù s¸ng t¸c)
D
IỄ N
Đ
ÀN
Gi¶i ph−¬ng tr×nh:
3x2 + 1 + log2006
4x 2 + 2 = x6 x 6 + x 2 +1
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
TP
Cho a, b, c ∈ R víi a ≠ 0 vµ m ∈N* tho¶ m0n:
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
U Y
1
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Ơ
H
x2 hai ®iÓm A vµ B ®èi xøng nhau qua ®−êng th¼ng y = x x −1
N
T×m trªn ®å thÞ hµm sè y =
N
Bµi 1: (4 ®iÓm) 1) (§Ò 48 I2 trong 150 ®Ò tuyÓn sinh §¹i häc)
Bµi 4: (4 ®iÓm) Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy 1) ( §Ò thi tuyÓn sinh vµo §HXD - Hµ Néi n¨m häc 2000-2001)
Cho ®iÓm A(4;0) vµ ®−êng th¼ng ∆: 4x - 9 = 0. Chøng minh r»ng tËp hîp c¸c ®iÓm M cã 4 tû sè kho¶ng c¸ch tõ ®ã ®Õn ®iÓm A vµ tõ ®ã ®Õn ®−êng th¼ng ∆ b»ng lµ mét Hypebol. 3 H0y viÕt ph−¬ng tr×nh cña Hypebol ®ã. 2) ( Chuyªn ®Ò vÒ h×nh häc gi¶i tÝch cña Cam Duy LÔ - TrÇn Kh¾c B¶o)
1
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
10 00
B
TR ẦN
H Ư
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
TP
.Q
U Y
N
H
Cho Parabol y2 = 2px (p > 0) vµ ®−êng th¼ng d di ®éng nh−ng lu«n ®i qua tiªu ®iÓm F cña Parabol. Gäi M, N lµ c¸c giao ®iÓm cña parabol víi ®−êng th¼ng d. Chøng minh r»ng ®−êng trßn ®−êng kÝnh MN lu«n tiÕp xóc víi mét ®−êng th¼ng cè ®Þnh. Bµi 5: (3 ®iÓm) (500 Bµi to¸n vÒ bÊt ®¼ng thøccña Phan Huy Kh¶i -TËp II) Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh. Gäi K lµ trung ®iÓm cña SC. MÆt ph¼ng qua AK c¾t c¸c c¹nh SB, SD lÇn l−ît t¹i M vµ N. Gäi V1, V thø tù lµ thÓ tÝch cña khèi V chãp SAMKN vµ khèi chãp SABCD. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña tû sè 1 . V
N
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Ơ
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
2
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com ®¸p ¸n - thang ®iÓm
kú thi chän läc häc sinh giái tØnh - m«n to¸n LíP12
ẠO
TR ẦN
2 2 2 2 => yA = -xA-1 = -1+ ; Víi xB = => yB = -12 2 2 2 2 2 2 2 ; -1+ ) vµ B ( ; -1) 2 2 2 2
0,5 ®iÓm
B
VËy hai ®iÓm cÇn t×m lµ A(-
0,5 ®iÓm
H Ư
N
2 2
Khi ®ã g(x) = 2x2 - 1= 0 ⇔ x = ± Víi xA = -
G
Đ
0,5 ®iÓm
10 00
2) (2 ®iÓm)
ax m + 4 bx m + 2 cx m + + víi a ≠ 0 vµ m N* m+4 m+2 m Lµ hµm sè liªn tôc vµ cã ®¹o hµm lµ: f’(x) = axm+3 + bxm+1 + cxm-1 víi ∀x∈R a b c Ta tÝnh ®−îc f(0) = 0 vµ f(1) = + + = 0 (do gi¶ thiÕt) m+4 m+2 m f (1) − f (0) Theo ®Þnh lý Lagr¨ng: tån t¹i x0 ∈(0;1) sao cho f’(x0) = =0 1− 0
0,5 ®iÓm
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
XÐt hµm sè f(x) =
TO
=> ax 0m + 3 +b0m +1 + c 0x −1 = 0 => x 0m −1 (ax 04 + b02 + c) = 0
0,5 ®iÓm
0,5 ®iÓm
=> ax40 + bx20 + c = 0
0,5 ®iÓm
D
IỄ N
Đ
ÀN
Tøc lµ pt: ax4 + bx2 + c = 0 cã nghiÖm x0 ∈(0;1) Hay ®å thÞ hµm sè: y = ax4 + bx2 + c lu«n c¾t ox t¹i Ýt nhÊt 1 ®iÓm thuéc (0;1)
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
TP
x A + xB m + 1 3m − 1 = ⇒ y I = −xI + m = 2 4 4 3m − 1 m + 1 Ta ph¶i cã ®iÓm I thuéc ®−êng th¼ng y =x -1 => = −1 4 4 ⇔ m = -1
Gäi I lµ trung ®iÓm cña AB ta cã xI =
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
0,5 ®iÓm
⇔ g(x) = 2x2 - (m + 1)x + m = 0
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Ơ
U Y
x2 =-x +m x−m
.Q
=>Hoµnh ®é c¸c ®iÓm A, B lµ xA, xB chÝnh lµ nghiÖm pt:
H
Bµi 1: (4 ®iÓm) 1) (2 ®iÓm) Hai ®iÓm A, B ®èi xøng nhau qua ®−êng th¼ng y = x -1 nªn ®−êng th¼ng AB cã pt: y = -x +m
N
§iÓm
N
Néi dung
Bµi 2: (5 ®iÓm) 1) (3 ®iÓm)
Tr−íc hÕt biÕn ®æi vÕ tr¸i cña pt: Sö dông c«ng thøc Sin (α + Ta ®−îc: VT = Sin4x + cos4x + Sin4 (x+
π 4
) + Cos4 (x+
π 4
π 2
) = cosα
)
3
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
= (Sin2x +Cos2x) - 2Sin2x Cos2x + 1 - 2Sin2 (x+
π 4
).Cos(x+
π 4
) 1 ®iÓm
π 1 1 1 1 1 3 Sin22x +1 - Sin2(2x + ) = 2 - Sin22x - Cos22x = 2 - = 2 2 2 2 2 2 2 3 3 Nªn pt ®0 cho viÕt thµnh: Sin44x = ⇔ Sin24x = 1 ⇔ Cos 4x = 0 2 2
Ơ
0,5 ®iÓm
π
+ k.
8 mµ k ∈ Z nªn k = 1, 2, 3 …….,126
π 4
126
Nªn tæng c¸c nghiÖm cÇn t×m lµ: S =
≤ 100 ⇔ 8 ≤ (2k+1) π ≤ 800
π
π
0,5 ®iÓm
126
∑ 8 (1 + 2k ) = 8 ∑ (2k + 1) k =1
k =1
126
∑ (2k + 1) lµ tæng cña 126 sè h¹ng cña cÊp sè céng cã u = 3 vµ u 1
126
.
= 2016π
0,5 ®iÓm
N
π (3 + 253).126
G
k =1
VËy S =
= 253
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Ta cã
0,5 ®iÓm
0,5 ®iÓm
ÀN
TO
f(t)
0,5 ®iÓm
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
10 00
B
TR ẦN
H Ư
8 2 2) (2 ®iÓm) 5 1 1 (1) Ta cã (Cos 3A + Cos 3B) - (Cos 2A + Cos 2B) + Cos A +CosB = 3 2 6 5 1 1 ⇔ (4 Cos3A - 3 CosA + 4 Cos3B - 3CosB) - (2Cos2A-1+2Cos2B-1)+CosA+CosB = 3 2 6 4 4 1 ⇔ ( Cos3A - Cos2A) + ( Cos3B - Cos2B) =(2) 3 3 6 4 XÐt hµm sè f(t) = t3 - t2 víi t ∈[0;1] ta cã: 3 2 f’(t) = 4t - 2t; f’(t) = 0 ⇔ t=0 1 t = . Ta cã b»ng biÕn thiªn; 1 2 t 0 1 2 1 1 => Víi ∀t ∈[0;1] th× f(t) ≥ f( ) = f’(t) 0 - 0 + 2 12
−
1 12
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
4
H
víi k ∈ Z
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
§Ó x ∈ [1; 100] ta ph¶i cã: 1 ≤
π
N
8
+ k.
U Y
π
.Q
2
+ kπ ⇔ x =
TP
π
ẠO
⇔ 4x =
N
= 1-
D
IỄ N
Đ
V× ∆ABC kh«ng cã gãc tï nªn 0 ≤ CosA <1 0 ≤ Cos B <1
4 1 Cos3A - Cos2A ≥ 3 12 4 1 Cos3B - Cos2B ≥ 3 12
=> VT (2) ≥ -
1 6
0,5 ®iÓm (3)
4
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com 1 2 1 Cos B = 2
Do ®ã (2) ®−îc tho¶ m0n ⇔ (3) x¶y ra dÊu “=” =>
A = 600 B = 600 Bµi 3: ( 4 ®iÓm)
Cos A =
0,5 ®iÓm
=>
H
Ơ
N
=> C = 600
0,5 ®iÓm 0,5 ®iÓm
0,5 ®iÓm
A
x2 1 − 2 ln( x 2 + 2) + ln( x 2 + 1) + k víi k lµ h»ng sè 2 2
H
Ó
VËy ∫ f(x)dx =
10 00
B
TR ẦN
H Ư
N
G
Đ
Hay 3x3 + 2x = (A+C)x3 + (B + D)x2 + (A + 2C)x + B + 2D Víi ∀x => A + C = 3 B=D=0 3x3 + 2 x 4x −x B+D=0 => C = -1 tøc lµ 4 = 2 + 2 2 x + 3x + 2 x + 2 x + 1 A + 2C = 2 A=4 B + 2D = 0 4x x => f(x) = x - 2 + 2 x + 2 x +1 x2 4 xdx xdx x2 d ( x 2 + 2) 1 d ( x 2 + 1) => ∫f(x)dx = −∫ 2 +∫ 2 = − 2∫ 2 + ∫ 2 2 x +2 x +1 2 x +2 2 x +1
Í-
2) (2 ®iÓm)
ÁN
-L
PT ®0 cho viÕt thµnh: log2006 u = 4x2 + 2 > 0
TO
§Æt:
4 x2 + 2 = x6 - 3x2 - 1 6 2 x + x +1 ta ®−îc pt: log2006
(1)
u =v-u v
ÀN
v = x6 + x2 + 1> 0
⇔ log2006u - log2006v = v- u (*)
0,5 ®iÓm
Đ IỄ N D
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
U Y .Q TP
0,5 ®iÓm
ẠO
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Ta cã:
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
x5 3x3 + 2 x = x − v× x4 + 3x2 + 2 = (x2 + 2 ) (x2 + 1) 4 2 4 2 x + 3x 2 x + 3x + 2 3 3x + 2 x Ax + b Cx + D §Æt 4 Víi ∀x = 2 + 2 2 x + 3x + 2 x + 2 x +1 ⇔ 3x3 + 2x = (Ax + B) (x2 + 1) + (Cx + D) (x2 + 2) Víi ∀x
N
1) (2 ®iÓm)
- NÕu u > v th× VT (*) > 0 > VP (*) nªn kh«ng tho¶ m0n. - NÕu u < v th× VT (*) < 0 < VP (*) nªn kh«ng tho¶ m0n - XÐt u = v th× VT (*) = 0 VP (*) Do ®ã pt (*)⇔ x6 + x2 + 1 = 4x2 + 2 ⇔ x6 - 3x2 - 1= 0 (2) §Æt t = x2 ≥ 0 ta ®−îc pt: f(t) = t3 - 3t - 1 = 0
0,5 ®iÓm
(3)
Ta cã f’(x) = 3t2 - 3; f’(t) = 0 ⇔ t = -1
5
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
t = 1.
0
f (t)
1
-
+∞
0
1
+
h¬n n÷a f(2) = 1 +∞
-1
N
+
0
-3
U Y
0,5 ®iÓm
9
TP
Đ
π
. VËy pt ®0 cho cã 2 nghiÖm x = ± 2Cos
0,5 ®iÓm
π
9
Bµi 4: (4 ®iÓm)
( x − 4) 2 + y 2
TR ẦN
1) (2 ®iÓm): Gi¶ sö ®iÓm M (x;y) khi ®ã AM =
4
B
Kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn ®−êng th¼ng ∆: 4x - 9 = 0 lµ d(M;∆) =
0,5 ®iÓm
4x − 9
10 00
0.5 ®iÓm
AM 4 = ⇔ 3 ( x − 4) 2 + y 2 = 4 x − 9 d (M ; ∆) 3
A
Ta cã
⇔
0,5 ®iÓm
x2 y 2 − =1 9 7
0,5 ®iÓm 2
Í-
H
Ó
⇔ 7x2 - 9y2 = 63
-L
VËy tËp hîp c¸c ®iÓm M cÇn t×m lµ Hypebol cã ph−¬ng tr×nh
2
x y − =1 9 7
ÁN
2)( 2 ®iÓm): Parabol y2 = 2px ®−êng
TO
chuÈn lµ ∆: x = -
p . §−êng trßn 2
Đ
ÀN
®−êng kÝnh MN cã t©m lµ trung
D
IỄ N
®iÓm I cña MN vµ b¸n kÝnh R=
d
y
N1 MN 2
Gäi M1; N1, H thø tù lµ h×nh chiÕu
0,5 ®iÓm
H
I
O
Cña c¸c ®iÓm M, N vµ I. Theo ®/n cña Parabol cã MM1 = MF
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
9
ta cã t = x2 = 2 Cos
G
π
π π 1 1 hay cos 3α = ⇒ 3α = (Do 0 < α < ) 2 2 3 2
N
=> α =
2
ta ®−îc 8 Cos3α - 6 Cos α - 1 = 0
H Ư
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
⇔ 4Cos3α - 3 Cosα =
π
ẠO
§Æt t = 2 cos α víi 0 < α <
.Q
Do ®ã pt (3) cã nghiÖm víi t ≥ 0 vµ lµ nghiÖm duy nhÊt t ∈(0;2)
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
N
-∞
H
f’(t)
-1
Ơ
t -∞
Ta cã b¶ng biÕn thiªn
F
M1
x
M 0,5 ®iÓm
NN1 = NF
6
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
=> MM1 + NN1 = MF + NF = MN.
0,5 ®iÓm
MN Mµ trong h×nh thang vu«ng MM1N1N th× MM1 + NN1 = 2 IH. Do ®ã IH= 2
N Ơ H 0,5 ®iÓm 0,5 ®iÓm
H
Ó
A
10 00
B
TR ẦN
H Ư
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
0,5®iÓm
-L
Í-
3x 2 1 3 x(3x − 2) XÐt hµm sè f(x) = víi ≤ x ≤ 1 . Ta cã f’(x) = 2 4(3 x − 1) 2 4(3 x − 1)
TO
ÁN
f’(x) = 0 ⇔ x = 0
1 ;1 ] 2
2 3
=> B¶ng biÕn thiªn
x
1 2
f’(x)
2 3
-
0
1 +
D
IỄ N
Đ
ÀN
x=
kh«ng thuéc ®o¹n [
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
0,5®iÓm
ẠO
V => V1 = VSAMK + VSANK = (x + y) (1) 4 A D MÆt kh¸c V1 = VSAMN + VSMNK = V V = x.y. + x.y. 2 4 3 xy.V (2). => V1 = 4 x Tõ (1) (2) => x + y = 3xy => y = (3) 3x − 1 1 Do x > 0 vµ y > 0 nªn tõ (3) => x > 3 SN x 1 1 Vµ y = ≤x≤1 ≤1⇒ ≤ 1 ⇔ 2x3 - 1 ≥ 0 (v× 3x-1) 0 => x ≥ do ®ã SD 3x − 1 2 2 V1 1 3 x 3x 2 3 Tõ (1) => = (x + y) = xy = x. = 4 3 x − 1 4(3 x − 1) V 4 4
C
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
N U Y .Q TP
VËy ®−êng trßn ®−êng kÝnh MN lu«n tiÕp xóc víi ®−êng chuÈn cña Parabol Bµi 5: (3 ®iÓm): V× ABCD lµ h×nh b×nh hµnh S 1 1 => VSABC = VSADC = VSABCD = V. 2 2 K SM SN §Æt = x, =y M SB SD V SM SK x.V P th× SAMK = . ⇒ VSAMK = B VSABC SB SC 4 N
0,5 ®iÓm
f(x)
3/8
3/8 1 3
7
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
N
0,5 ®iÓm
3 1 1 1 V 3 ≤ f(x) ≤ víi ∀x ∈ [ ;1 ] hay ≤ 1 ≤ 3 8 2 3 V 8 V 1 2 2 VËy Min ( 1 ) = khi x = hay SM = SB V 3 3 3 1 x= M lµ trung ®iÓm cña SB V1 3 Vµ Max ( ) = khi 2⇔ V 8 M ≡ B x = 1
Ơ
Suy ra
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
10 00
B
TR ẦN
H Ư
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
TP
.Q
U Y
N
H
0,5 ®iÓm
8
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Kú thi häc sinh giái líp 12
1, Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ (C) cña hµm sè trªn.
.Q
y x + = 1 cã ®óng hai ®iÓm mµ tõ mçi ®iÓm ®ã 2 −1
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
kÎ ®Õn (C) hai tiÕp tuyÕn vu«ng gãc. X¸c ®Þnh to¹ ®é hai ®iÓm ®ã. C©u II. (4 ®iÓm).
Đ
x + my = m
1, BiÖn luËn theo m sè nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh
N
G
2 2 x + y = x
2, Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 2
x2
1− 2 x
−2
x2
=
1 1 − 2 x
TR ẦN
1− x 2
H Ư
Khi hÖ cã hai nghiÖm (x1;y1), (x2;y2) t×m m ®Ó P = ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 lín nhÊt.
Í-
H
Ó
A
10 00
B
C©u III. (5 ®iÓm) 1, §−êng th¼ng (d) c¾t Parabol (P): y = − x 2 + 2 x + 3 t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A, B lÇn l−ît cã hoµnh ®é x1; x2 gi¶ sö x1<x2 vµ AB=2. T×m x1; x2 ®Ó h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®−êng th¼ng (d) vµ Parabol cã diÖn tÝch lín nhÊt. 2, Tam gi¸c ABC kh«ng cã gãc tï vµ sin 2 A + sin 2 B = sin C . Chøng minh tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c vu«ng. C©u IV. (4 ®iÓm)
ÁN
-L
e cos x − cos 3 x − 1 .....neu..x ≠ 0 1, TÝnh ®¹o hµm cña hµm sè: y = t¹i x=0 x 0.....................neu..x = 0
TO
2, H×nh chãp ®Òu S.ABC, ®¸y ABC lµ tam gi¸c ®Òu c¹nh a. MÆt bªn hîp víi ®¸y
ÀN
gãc α, 0 ° < α < 90 ° . Chøng minh
r 1 ≤ ( víi r, R lÇn l−ît lµ b¸n kÝnh mÆt cÇu néi R 3
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
TP
2, Chøng minh ®−êng th¼ng (d):
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
N
H
x 2 − 2x + 2 x −1
U Y
C©u I. (5 ®iÓm). Cho hµm sè y =
Ơ
N
M«n: To¸n. B¶ng A-B (Thêi gian lµm bµi 180 phót)
D
IỄ N
Đ
tiÕp, ngo¹i tiÕp h×nh chãp). C©u V. (2 ®iÓm). Qua ®−êng cao h×nh tø diÖn ®Òu dùng mét mÆt ph¼ng c¾t ba mÆt bªn tø diÖn theo ba ®−êng th¼ng t¹o víi ®¸y tø diÖn lÇn l−ît gãc α, β, γ. Chøng minh: tg 2α + tg 2 β + tg 2 γ = 2 .
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
®iÓm 2,5
1
N
y’ = 1-
1 = 0 <=> x = 0; x = 2 ( x − 1) 2
U Y
b. SBT:
H
a. TX§: R\{1}
TR ẦN
x y' y
-∝
+ -∝
0 0 2
B
BBT:
1
-
2 0
+∝
2
-∝
c. §å thÞ Nh− h×nh vÏ. NhËn ®iÓm (1;0 ) lµm t©m ®èi xøng
0,5
+ +∝
H
Ó
A
y
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
y=x -1 2 0,5
O 1
-1
2
x
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
x 2 − 2 x + 2 + ∞ = x → ±∞ x −1 − ∞
Giíi h¹n: lim
10 00
•
H Ư
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
TP
.Q
0,5 yC§ = y(0) = - 2 yCT = y(2) = 2 • Do hµm sè®ång biÕn trong kho¶ng (-∝; 0) vµ (2; +∝); nghÞch biÕn trong kho¶ng (0; 1) vµ (1; 2). • TiÖm cËn ®øng lµ ®−êng th¼ng x = 1 do • TiÖm cËn xiªn lµ ®−êng th¼ng y = x – 1 do 0,5 x 2 − 2x + 2 + ∞ 1 − ( x − 1) = lim = lim x → ±∞ x −1 x→ ±∞ x − 1 − ∞
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
ý
Ơ
C©u I
§Ò thi häc sinh giái líp 12 (Gåm cã: 6 trang) Néi dung
N
®¸p ¸n th¸ng ®iÓm
D
IỄ N
Đ
-2
x =1
I.
2.
Chøng minh trªn ®t (d) .........
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
2,5
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
x −2 1 = k(x – 1)+ k(1 – x0)+ 0 (1’) x −1 2
H Ư
N
G
Vµ thay k vµo (1’) , ta cã: x0 − 2 1 1 x -1 + . = 1 − (x – 1)+ k(1 – x0)+ 2 x − 1 ( x − 1) 2
0,5
2k ( x0 − 1) + x0 − 2 1 (3) = x −1 4 • Thay (3) vµo (2) ta cã: 4k2 (1 – x0)2 + 4k [(x0 – 2)(1 – x0) + 4] + (x0 – 2)2 – 16 = 0 (4) • Qua M kÎ 2 ®t vu«ng gãc tíi (C) nªn ph−¬ng tr×nh (4) ph¶i cã hai nghiÖm k1; k2 vµ k1.k2 = -1. 0,5 1 − x0 ≠ 0 • §K ( x0 − 2) 2 − 16 = −1 2 4(1 − x0 )
Í-
H
Ó
A
10 00
B
TR ẦN
<=>
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
6 + 76 x = 1 x0 ≠ 1 5 <=> 2 <=> 5 x0 − 12 x0 − 8 = 0 6 − 76 x2 = 5
•
Hai ®iÓm M1 6 + 76 ; 76 − 4 ; M2 6 − 76 ; − 4 − 76 5 10 5 10
D
IỄ N
II
1.
0,5
BiÖn luËn sè nghiÖm hÖ ph−¬ng tr×nh: ....... 1 1 • XÐt pt: x2 + y2 = x <=> (x - )2 + y2 = lµ pt cña ®−êng trßn t©m 2 4 1 1 I( ; 0) ; bk: R= 2 2
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
N
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
ẠO
TP
.Q
0,5
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
• BiÕn ®æi (1) ra d¹ng: x -1 +
U Y
x0 − 2 1 (1) x − 1 + x − 1 = k ( x −x 0 ) + 2 cã nghiÖm x0 ≠1 1 1 − =k ( 2) ( x − 1) 2
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
•
Ơ
•
x0 Gäi ®iÓm M ( x0 ; y 0 ) ∈ (d ) th× to¹ ®é M x0 x0 − 2 0,5 y 0 = 2 − 1 = 2 Gäi k lµ hÖ sè gãc ®t (∆ ) ®i qua M th× (∆ ) cã ph−¬ng tr×nh d¹ng: y = k(x – x0) + x0 - 2 §t (∆ ) lµ tiÕp tuyÕn cña (P) th× hÖ ph−¬ng tr×nh:
N
•
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
H
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
4,0 2,0
0,5
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
XÐt pt: x + my = m <=> x + m(y – 1) = 0 lµ pt cña ®−êng th¼ng lu«n ®i qua ®iÓm cè ®Þnh A(0; 1). • §−êng th¼ng tiÕp xóc víi ®−êng trßn. 1 y −m m = 0 1 2 ®iÓm = = <=> 4 A(0; 1) 2 2 m = m +1 3 B 0,5 (m = 0 (d) tiÕp xóc ®−êng trßn t¹i O(0; 0) I 4 x O M = (d) tݪp xóc ®−êng trßn t¹i B) 3 • Sè nghiÖm hÖ ph−¬ng tr×nh lµ sè giao ®iÓm cña ®t(d) vµ ®−êng trßn:
0,5
H
Í-
2.
Ó
A
10 00
B
• NÕu 0 < m < 4/3 th× hÖ ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt T×m m ®Ó P = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 lín nhÊt • 0 < m < 4/3 th× hÖ ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt (x1; y1); (x2; y2) lµ to¹ ®é giao ®iÓm cña ®−êng th¼ng vµ ®−êng trßn. • P lín nhÊt khi (d) ®i qua t©m I(1/2; 0) • Nªn: m= 1/2 th× P lín nhÊt: P = 1 Gi¶i pt: ........ • §iÒu kiÖn: x ≠ 0
-L
NhËn xÐt:
1 − 2x x
2
−
1− x2 x
2
=
ViÕt ph−¬ng tr×nh ra d¹ng: 2
<=> 2
2
1− x 2
1− x 2 x2
1 1− x2 + . 2 =2 2 x
x2
1− 2 x x2
+
-2
x2
1 1 − 2x . 2 x2
t 1 XÐt hµm sè: f(t) = 2 + t 2
•
NhËn xÐt: f(t) lµ hµm sè ®ång biÕn.
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
=1-
2 1 1 = 2( − ) x 2 x
1− 2 x
•
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
•
x 2 − 2x x
ÁN
•
=
2,0
0,5
1 1 − 2 x 1 − x 2 − 2 2 x 2 x
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
N
H Ư
TR ẦN
0,5
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
•
m < 0 NÕu Th× hÖ ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm. m > 4 3
Đ
•
m = 0 Th× hÖ ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt. NÕu m = 4 3
G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
TP
.Q
U Y
N
H
Ơ
N
•
0,5
0,5
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
1− x2 x2
)= f(
1 − 2x x2
(Lo¹i)
x = 0 <=> = <=> x – 2x = 0 <=> 2 2 x x x = 2 • VËt pt cã nghiÖm x = 2 1 − 2x
2
0,5
Ơ
1− x2
)
5,0 2,5
x2 S= - ∫ ( x − x1 ).( x − x 2 )dx = - ∫ x 2 − ( x1 − x 2 )x + x1 x 2 dx x1 x1 x2
TR ẦN
[
]
0,5
10 00
B
x3 x (x − x1 )3 x = - − ( x1 + x 2 ) 2 + x1 x 2 x 2 = 2 6 2 3 x1 • DiÖn tÝch S lín nhÊt khi (x2 – x1 ) lín nhÊt • Do AB = 2 =
0,5
H
Ó
A
( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 = ( x 2 − x1 ) 2 + a 2 ( x 2 − x1 ) 2 <=> (x2 – x1)2 =
4
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
• • • •
-L
Í-
lín nhÊt khi a = 0 1+ a2 Mµ tõ pt(1): x1+ x2 = 2 – a Do a= 0 Ta cã: x2 + x1 = 2. Ta cã: ®t (d) // trôc Ox nªn AB = 2 = x 2 − x1
2.
0,5
<=> x2 – x1 = 2( do gi¶ thiÕt x1< x2)
x + x2 = 2 x = 0 Cã hÖ ph−¬ng tr×nh: 1 <=> 1 x1 − x 2 = 2 x2 = 2 • VËy x1 = 0 vµ x2 = 2 th× S= 4/3 lín nhÊt. Chøng minh tam gi¸c ABC vu«ng ....... • Ta chøng minh C = 900.
•
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
H Ư
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
0,5
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
.Q
T×m x1 ; x2 ®Ó diÖn tÝch .......... • XÐt ®−êng th¼ng y = ax + b kh«ng song song víi trôc tung (V× Parabol cã trôc ®èi xøng x0 = 1 song song trôc tung) • Hoµnh ®é x1; x2 cña hai ®iÓm A, B x¸c ®Þnh tõ pt: -x2 + 2x + 3 = ax + b <=> - x+ (2 – a)x + 3 –b = 0 (1) Hay (-x2 + (2 – a)x + 3 - b= -( x – x1)(x- x2)) §K: (2 – a)2 + 4(3 – b) > 0. • NhËn xÐt ∀x ∈[ x1; x2] th× -( x – x1)(x- x2) > 0 • Nªn diÖn tÝch h×nh ph¼ng:
TP
1.
U Y
N
III
D
N
ViÕt ph−¬ng tr×nh ®t cho ra d¹ng: f(
H
•
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
0,5
2,5
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
•
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
NÕu 00 < C < 900 th× Sin2A + Sin2B =
1 − Cos 2 A 1 − Cos 2 B + 2 2
1,0
1 (Cos2A + Cos2B) = 1 – Cos(A + B)(Cos(A – B) 2 = 1 + CosC. Cos(A – B) V× A, B nhän nªn – 900 < A- B < 900 => Cos(A – B) > 0
Ơ H
NÕu 900 < C< 1800
.Q
a2 + b2 − c2 <0 => a2 + b2 – c2 <0 2ab 2 2 => Sin A + Sin B < Sin2 C (§/l Sin)
Víi C = 900
H Ư
Ta cã: Sin2A + Sin2B = Sin2A + Cos2A= 1 = SinC VËy tam gi¸c ABC th¶o mtn ®Ò bµi: Vu«ng t¹i C.
TÝnh ®¹o hµm...... Ta cã: y (' 0) = lim = lim (
0,75
e cos x−cos s 3 x − 1 cos x − cos 3 x . ) cos x − cos 3 x x2
A
x →0
4,0 1,5
10 00
x →0
y ( x ) − y ( 0) e cos x −cos s3 x − 1 = lim x →0 x−0 x2
B
1.
TR ẦN
IV
0,5
H
Ó
e cos x −cos 3 x − 1 sin 2 x. sin x. 2 sin 2 x. sin x . lim lim = lim = 1.4 lim 2 x →0 x →0 2 x x →0 x x→0 cos 3 x − 1 x
0,75
Chøng minh...... + KÝ hiÖu c¸c ®iÓm nh− h×nh vÏ H lµ t©m tam gi¸c ®Òu ABC K lµ trung ®iÓm BC + SKH = α
3,5
1,0
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
2.
-L
Í-
= 4. 1. 1 = 4 vËy y (' 0) = 4
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
ẠO
SinC
N
•
SinC
G
Do ®ã Sin2A + Sin2B<
1,0
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
V× 0< SinC < 1 Nªn Sin2 C <
TP
Ta cã Cos C =
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
SinC
U Y
•
N
Nªn Sin2A + Sin2B = 1+ CosC. Cos(A – B) > 1 >
N
=1-
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
a2 a2 2 a 3 + 9 cos 2 α + tg α = 6 cos α 3 12 S + Gäi O lµ t©m mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC O OA = OB = OC = OS = R A 2 2 2 2 => R = OA = AH + OH
Ơ H N K
(1 + cos α )(1 + 3 cos 2 α )
(1 + 3 cos 2 α )
B
§Æt t = cosα v× α∈ (00; 900) Nªn 0 < t < 1 2t (1 − t ) XÐt f(t) = Víi Df = (0; 1) 1 + 3t 2 1 − 6(t + 1)(t − ) 3 = 0 T¹i t = 1/3; t = -1. f’(t) = 2 2 (3t + 1) BBT:
TO
ÁN
-L
•
Í-
H
•
Ó
A
•
0,5
2 cos α (1 − cos α )
10 00
•
=
K
H Ư
r 2 sin 2 α . cos α = = R (1 + cos α )(1 + 3 cos 2 α ) 2 cos α (1 − cos 2 α )
α
TR ẦN
•
0,5
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
T
Đ
ÀN
•
•
t f'(t) f(t)
-
-1 0
0 +
+ 0
KÕt qu¶ nµy chøng tá: 0< f(t) ≤ 1/3. r 1 r 1 1 VËy ≤ ; = khi f(t) = R 3 R 3 3
1 -
0
0,5
2,0
D
IỄ N
V
1/3 0
0,5
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
TP
.Q
=
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
C
U Y
a (1 + 3 cos 2 α a2 a 2 + 3SH 2 + ( SH − R ) 2 = = B 3 6 SH 4 3 sin α cos α S + Gäi I lµ t©m mÆt cÇu néi tiÕp h×nh chãp: IT ⊥ mp(SBC); IH = IT = r. α Th× IT = r = SI Cosα = (SH – r).Cosα I SHCosα a 3 sin α = => r = H 1 + Cosα 6(1 + Cosα )
N
SH 2 + AH 2 =
+ SA =
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
N
U Y
β
B
α
.Q
H
0,5
10 00
HM 2
TR ẦN
1
a 3 nªn hÖ thøc cÇn chøng minh t−¬ng ®−¬ng víi: 6 1 1 18 + + = 2 2 2 HN HP a
B
+ SH =
H
Ó
A
+ Gäi x, y, z lµ c¸c gãc do HM, HN; HP thø tù t¹o víi ®−êng vu«ng gãc kÎ tõ H xuèng BC. ; xuèng CA; vµ tõ H xuèng AB.
Í-
- Ta cã: HA1 = HB1 = HC1 =
-L
- Th× ta cã:
a 3 vµ gãc gi÷a chóng 1200 6 P
Đ
ÀN
TO
ÁN
a 3 a 3 a 3 HM = ; HN = ; HP = 6 cos x 6 cos z 6 cos y - V× x + y = 600 Vµ y + z = 1200 Tøc lµ y = 600 – x ; z = 600 + x
B1
C1
B
H
A1
M C
IỄ N D
A
0,5
N
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
ẠO
N
G
Đ
C
TP
M
H Ư
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
- XÐt tø diÖn ®Òu S . ABC c¹nh a, ®−êng cao SH. A - MÆt ph¼ng qua SH c¾t mÆt ph¼ng (SBC) giao tuyÕn SK c¾t mp(SAB) giao tuyÕn SN c¾t mp(SAC) giao tuyÕn SP . - Ký hiÖu c¸c gãc α, β, γ (h×nh vÏ) - V× H n»m trong tam gi¸c ABC nªn M, N, P trªn ®−êng th¼ng (PNM) th× M, N, P ë hai phÝa ®iÓm H. SH SH SH ; tgβ = ; tgγ = + tg α = HM HN HP
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
N
0,5
Ơ
P
H
P
N
S
Nªn:
1 HM
2
+
1 HN
2
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
+
1 HP
2
=
0,5
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
x + cos 2 (60 0 − x) + cos 2 (60 0 + x)
]
[
]
•
Do: cos 2 x + cos 2 (60 0 − x) + cos 2 (60 0 + x) =
•
Nªn ®−îc :
1 HN 2
+
1 HP 2
=
18 a2
=> ®pcm
U Y
HM 2
+
N
1
3 2
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
10 00
B
TR ẦN
H Ư
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
TP
.Q
Häc sinh gi¶i c¸ch kh¸c, ®óng gi¸m kh¶o c¨n cø thµnh phÇn cho ®iÓm tèi ®a.
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
2
N
[cos
Ơ
a
2
H
12
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
®Ò thi häc sinh giái líp 12 M«n: to¸n Thêi gian: 180 phót Bµi1: ( 4 ®iÓm)
2
+4 x+6
≤ (1 + m 2 ) x
2
Ơ H N
ẠO
+ (1 − m 2 ) x Víi 0 < m < 1
+ 4 x +6
Đ
+ 4 x +6
G
2
N
Bµi 3: ( 4®iÓm) 1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: log
Víi k >
B
sin2A + sin2B = k sin2C
cos x
TR ẦN
(1 + cos x) log cos x sin x = (1 + sin x) ãgonx 2. Cho ∆ABC. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña sinC biÕt:
H Ư
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
2. Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh:
( 2m ) x
U Y .Q
≤0
1 2
-L
Í-
H
Ó
A
10 00
Bµi 4: ( 2 ®iÓm) T×m c¸c ®a thøc f(x) tho¶ m=n: x.f(x-1) = (x-3) f(x) Bµi 5: ( 6 ®iÓm) 1. LËp ph−¬ng tr×nh cña Parabol (P) cã tiªu ®iÓm F(3;2) vµ ®Ønh S(2;1). 2. Cho tø diÖn OABC, ®Ønh S cã ba mÆt vu«ng. Gäi H lµ h×nh chiÕu cña O lªn ®¸y ABC. Chøng minh r»ng: 1 1 1 1 = + + 2 2 2 OH OA OB OC 2
b)
S 2 ∆ABC = S 2 ∆OBC + S 2 ∆OAC + S 2 ∆OAB
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
a)
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
x − 3x + 1
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
2
TP
2
m x 2 − 3x + 1 −
N
Cho hµm sè y = −2 x + m x 2 − 2 x + 2 1. T×m c¸c tiÖm cËn xiªn cña ®å thÞ hµm sè khi m = 3 2. T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó hµm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i mét ®iÓm xo<-2 Bµi 2: ( 4®iÓm) 1. T×m m ®Ó nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh sau chøa ®o¹n [1;2]
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
®¸p ¸n ®Ò thi hsg líp 12 M«n: to¸n - b¶ng A Bµi1:
Ơ H
]
b = lim − 2 x + 3 x 2 − 2 x + 2 + 5 x = 3 y = -5x+3
(0,25®iÓm)
B
Ta cã tiÖm cËn xiªn bªn tr¸i
(0,25®iÓm)
y/(xo) = 0
10 00
2) (2,5 ®iÓm): Hµm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i xo //
(0,25®iÓm)
H
Ó
A
y (xo) < 0
(0,5 ®iÓm)
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
m( x0 − 1) =0 − 2 + 2 x 02 − 2 x0 + 2 x02 − 2 x 0 + 2 m = (1) ⇔ ⇔ x0 − 1 m <0 m < 0( 2) 2 ( x − 2 x + 2) 3 0 0
IỄ N
Đ
§Æt g ( x0 ) =
2 x02 − 2 x0 + 2
D
g / ( x0 ) =
−2 ( x 0 − 1) 2 x02 − 2 x 0 + 2
lim g ( x0 ) = −2
x → −ω
víi xo<-2
x0 − 1
< 0 ⇒ g ( x) gi¶m
vµ g(-2) = −
2 10 3
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
H Ư
TR ẦN
[
(0,25®iÓm)
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
G
− 2x + 3 x 2 − 2x + 2 = −5 x → −ω x
a = lim
x →−ω
U Y
(0,25®iÓm)
Đ
y= x-3
TP
(0,25 ®iÓm)
N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Ta cã tiÖm cËn xiªn bªn ph¶i TiÖm cËn xiªn bªn tr¸i
.Q
]
ẠO
[
(0,25®iÓm)
b = lim − 2 x + 3 x 2 − 2 x + 2 − x = −3 x→+ω
N
− 2x + 3 x 2 − 2x + 2 =1 x →+ω x
a = lim
N
1) (1,5®iÓm): Víi m =3 ta cã: y = −2 x + 3 x 2 − 2 x + 2 TX§: D = R TiÖm cËn xiªn bªn ph¶i
(0,25 ®iÓm) (0,5 ®iÓm)
(0,5 ®iÓm)
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
VËy
−
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
2 10 < m < -2 3
(0,5 ®iÓm)
5 ≤ x 2 − 3 x + 1 ≤ −1 4
H
Ta cã bÊt ph−¬ng tr×nh: mt −
2 2 ≤0⇒m≤ 2 t +1 t +t
(0,25 ®iÓm)
4t + 2 5 < 0; ∀t ∈ 1; 2 2 (t + t ) 4
(0,25 ®iÓm)
t
1
10 00
B
Ta cã b¶ng sau:
5/4
f/(t)
H
2
-L
Í-
f(t)
Ó
A
−
32/45 32 45
(0,25 ®iÓm)
TO
ÁN
VËy ®Ó bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm chøa ®o¹n [1;2] lµ m ≤
ÀN
2.(2 ®iÓm):
2
+ 4 x +6
> 0 víi ∀x; ∀m
(0,25 ®iÓm)
Đ
V× (1 + m 2 ) x
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
TP ẠO
Đ
N
G
(0,25 ®iÓm)
H Ư
f / (t ) = −
5 víi t ∈ 1; 4
2 t +t 2
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
N (0,25 ®iÓm)
U Y
5 4
.Q
§Æt t = x 2 − 3 x + 1 ⇒ 1 ≤ t ≤
XÐt f ( x) =
Ơ
(0,25 ®iÓm)
TR ẦN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
1.( 2 ®iÓm): Víi x ∈ [1;2] ⇔ −
N
Bµi 2:
(1)
(0,25 ®iÓm)
D
IỄ N
2m x 2 + 4 x + 6 1 − m 2 x 2 + 4 x + 6 Ta cã: ( ) +( ) ≤1 1+ m2 1+ m2
§Æt m = tg
π t víi 0 < t < . BÊt ph−¬ng tr×nh (1) cã d¹ng: 2 2
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
(0,25 ®iÓm)
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn 2
+2
≤1
(2)
(0,25 ®iÓm)
V× ( x + 2) 2 + 2 ≥ 2; ∀x ∈ R
≤ sin 2 t
(0,25 ®iÓm)
+2
≤ cos 2 t
(0,25 ®iÓm)
.Q
Ta suy ra vÕ tr¸i cña (2) ≤ sin 2 t + cos 2 t ≤ 1; ∀t (0,25 ®iÓm)
TP
VËy bÊt ph−¬ng tr×nh ®= cho cã tËp nghiÖm lµ R (0,25 ®iÓm)
ẠO
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Bµi 3:
2
G
π
N
2kπ < x <
+ 2kπ ; k ∈ Z
(0,25 ®iÓm)
H Ư
§iÒu kiÖn:
Đ
1.(2 ®iÓm):
(0,25 ®iÓm)
TR ẦN
Ta cã 1 + cosx > 0 ; 1 + sinx > 0
10 00
ln sin x ln cos x ln(1 + cos x) = ln(1 + sin x) ln cos x ln sin x (ln sin x) 2 (ln cos x) 2 ⇔ = (*) ln(1 + sin x) ln(1 + cos x)
(0,25 ®iÓm)
Í-
ln 2 t ln(1 + t )
víi t ∈ (0;1)
(0,25 ®iÓm)
ln t [2(t ) ln(t ) − t ln t ] <0 t (t + 1) ln(t + 1)
víi
t ∈ (0;1)
(0,25 ®iÓm)
TO
f / (t ) =
ÁN
-L
XÐt hµm sè: f (t ) =
H
Ó
A
⇔
(0,25 ®iÓm)
B
Ph−¬ng tr×nh ⇔ log cos x sin x ln(1 + cos x) = log sin x cos x ln(1 + sin x)
Đ
ÀN
Hµm sè f(t) nghÞch biÕn
D
IỄ N
ph−¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm ⇔ sin x = cos x ⇔x=
π 4
+ k 2π
k∈ Z
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
2
+2
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
(cos t ) ( x + 2)
2
Ơ
(sin t ) ( x + 2)
Vµ
(0,25 ®iÓm)
N
+ (cos t ) ( x + 2 )
H
+2
N
2
U Y
(sin t ) ( x + 2)
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
(0,25 ®iÓm) (0,25 ®iÓm)
2.(2 ®iÓm): Tõ gi¶ thiÕt, theo ®Þnh lý sin ta cã: a2 + b2= kc2
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
(0,25 ®iÓm) www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Theo ®Þnh lý cosin ta ®−îc: a2 + b2= k ( a2+b2-2abcosC )
(0,25 ®iÓm)
k −1 a2 + b2 ⇒ cos C = . k 2ab
(1) (2)
Cho x = 1 ⇒ f(1) = 0
(3)
(0,25 ®iÓm)
Cho x = 2 ⇒ f(2) = 0
(0,25 ®iÓm)
B
Cho x = 0 ⇒ f(0) = 0
A
x.f(x-1)= (x-3).f(x)
TR ẦN
H Ư
(0,25 ®iÓm)
10 00
(0,25 ®iÓm)
H
Ó
(4)
-L
Í-
Tõ (2) ;(3); (4) ta suy ra f(x) chia hÕt cho x; x-1; x-2 (0,25 ®iÓm) (0,25 ®iÓm)
ÁN
Nªn f(x) = x.(x-1).(x-2).P(x)
TO
Thay vµo (1) ta ®−îc:
(0,25 ®iÓm)
ÀN
x.(x-1).(x-2).(x-3).P(x-1) = x.(x-1).(x-2).(x-3).P(x)
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
G N
2k − 1 k
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
(0,25 ®iÓm)
Bµi 4: Ta cã:
Ơ H N
(0,25 ®iÓm)
DÊu b»ng x¶y ra ↔ a = b hay A = B ⇒ max(sin C ) =
U Y
2k − 1 k
.Q
Do sinC>0 ⇒ sin C ≤
(0,25 ®iÓm)
TP
2k − 1 k2
(0,25 ®iÓm)
ẠO
⇒ sin 2 C = 1 − cos 2 C ≤
theo c«si
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
k −1 a2 + b2 k −1 ⇒ cos C = . ≥ k 2ab k
N
(0,25 ®iÓm)
D
IỄ N
Đ
↔ P(x-1) = P(x) ; ∀x
⇒
P(x) = C h»ng sè
VËy f(x) = x.(x-1).(x-2).C
(0,25 ®iÓm) víi C lµ h»ng sè (0,25 ®iÓm)
Bµi 5:1.(1 ®iÓm) §−êng th¼ng SF lµ trôc cña (P) cã ph−¬ng tr×nh: x – y - 1 = 0 (0,25 ®iÓm)
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
§−êng chuÈn (∆) cña (P) cã ph−¬ng tr×nh: x + y - 1 = 0
(0,5 ®iÓm)
Gäi ®iÓm M(x;y) ∈ (P) ↔ FM = d(M; ∆) ( x + y − 1) 2 2
N Ơ H
(0,25 ®iÓm)
(0,25 ®iÓm)
ẠO
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
2.(4®iÓm):
Đ
Gäi A1=AH∩BC ; B1=BH∩AC
N
(0,25®iÓm)
H Ư
C1= CH∩AB
G
O
Vµ OH⊥(ABC) ⇒ OH⊥BC ⇒ BC⊥(OAH) ⇒ BC⊥AH
A
B1
C
10 00
B
(0,5®iÓm)
TR ẦN
Theo gi¶ thiÕt OA⊥(OBC) ⇒ OA⊥BC
T−¬ng tù BH⊥AC; CH⊥AB ⇒ H lµ trùc t©m cña ∆ABC
H C B
-L
(1)
ÁN
1 1 1 = + 2 2 OH OA OA12
Í-
H
XÐt ∆ vu«ng AOA1 t¹i O ta cã:
Ó
A
(0,25®iÓm)
(0,5®iÓm)
(0,25®iÓm)
1 1 1 = + 2 2 OA1 OB OC 2
(2)
(0,25®iÓm)
ÀN
TO
∆ OBC vu«ng t¹i O, ta cã:
A
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
TP
vµ F lµ tiªu ®iÓm
.Q
(*) lµ ph−¬ng tr×nh cña Parabol (P) nhËn ®iÓm S lµm ®Ønh
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
(*)
N
↔ x2 + y2- 2xy - 10x - 6y + 25 = 0
(0,5 ®iÓm)
U Y
⇔ ( x + 3) 2 + ( y − 2) 2 =
(0,25 ®iÓm)
Đ
Tõ (1) vµ (2) ta cã:
D
IỄ N
1 1 1 1 = + + (®pcm) (3) 2 2 2 OH OA OB OC 2
Nh©n hai vÕ cña (3) víi 9.V2OABC ta cã:
(0,25®iÓm) (0,25®iÓm)
9.V2OABC =OH2.(SABC)2= OA2. (SOBC)2= OB2. (SOAC)2 = OC2. (SOAB)2 (0,5®iÓm)
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Ta ®−îc: OH 2 ( S ABC ) 2 OA 2 .( S ABC ) 2 OB 2 .( S ABC ) 2 OC 2 .( S ABC ) 2 = + + OH 2 OA 2 OB 2 OC 2
U Y
N
(0,5 ®iÓm)
.Q
(Chó ý: c¸ch kh¸c cã thÓ chän hÖ to¹ ®é Oxyz gèc O)
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
10 00
B
TR ẦN
H Ư
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
TP
L−u ý: Nh÷ng c¸ch gi¶i kh¸c ®óng ®Òu cho ®iÓm tèi ®a thoe mçi ý, mçi bµi.
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
↔ S 2 ∆ABC = S 2 ∆OBC + S 2 ∆OAC + S 2 ∆OAB (®pcm)
H
Ơ
N
(0,5 ®iÓm)
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
Ơ
N
log m 11 + log 1 ( x 2 + mx + 10 + 4)log m (x 2 + mx + 12) ≥ 0 .
H Ư
7
TR ẦN
b) T×m m ®Ó bÊt ph−¬ng tr×nh sau ®óng víi mäi x. 1 + 2cosx+ 1 + sin2x≤ 2m – 1. C©u 4: (2,5 ®iÓm) a) X¸c ®Þnh a, b ®Ó hµm sè sau cã ®¹o hµm t¹i x = 0:
10 00
B
3 1 + ax − 3 cos x víi x < 0 f(x) = . ln(1 + 2x) + b − 1 víi x ≥ 0 1+ 5 2
A
∫
Ó
I=
H
b) TÝnh tÝch ph©n:
x2 + 1 dx . 4 2 x 5 (x − x + 1)(1 + 2006 )
-L
C©u 5: (2,5 ®iÓm)
Í-
1+ − 2
ÁN
Cho 2 elÝp (E1):
x2 y2 x2 y2 + = 1 , (E2): + = 1 vµ parabol (P): y2 = 12x. 15 6 6 15
Đ
ÀN
TO
a) ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn ®i qua giao ®iÓm cña 2 elÝp trªn. b) ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn chung cña (E1) vµ (P). C©u 6: (2 ®iÓm) Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y lµ nöa lôc gi¸c ®Òu víi c¹nh a (a> 0). C¹nh SA vu«ng gãc
SM . SB
---------
D
IỄ N
víi ®¸y vµ SA = a 3 . M lµ mét ®iÓm kh¸c B trªn SB sao cho AM ⊥ MD. TÝnh tØ sè
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
G
Đ
C©u 3: (4 ®iÓm) a) T×m m ®Ó bÊt ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm duy nhÊt:
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
H .Q
3 4 x + x2 + 1 . 3
2
b) x − 3x + 1 = −
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
3
− (17 + 12 2)cos x = cos3x .
TP
cos x
ẠO
a) (7 + 5 2)
N
®Ò xuÊt ng©n hµng ®Ò §Ò thi Häc sinh giái THPT - M«n To¸n ----------------o0o-------------3 C©u 1: (6 ®iÓm) Cho hµm sè: y = x + 3x2 + 1. a) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C) cña hµm sè. b) BiÖn luËn theo m sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh: x3 + 3x2 = m3 + 3m2. c) ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ (C) kÎ tõ ®iÓm (1; 5). d) Trªn ®−êng th¼ng y = 9x – 4, t×m nh÷ng ®iÓm cã thÓ kÎ ®Õn (C) 3 tiÕp tuyÕn. C©u 2: (3 ®iÓm) Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau:
N
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
U Y
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
N
®Ò xuÊt ng©n hµng ®Ò §¸p ¸n ®Ò thi Häc sinh giái THPT – M«n To¸n ----------------o0o--------------
ẠO 0,25
H Ư
N
G
Đ
⇒ Hµm sè ®ång biÕn trªn c¸c kho¶ng (-∞; -2) vµ (0; +∞); hµm sè nghÞch biÕn trªn kho¶ng (-2; 0). + Cùc trÞ: Hµm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i ®iÓm (0; 1) vµ ®¹t cùc tiÓu t¹i ®iÓm (-2; 5). + Giíi h¹n: lim y = ±∞ ⇒ ®å thÞ hµm sè kh«ng cã tiÖm cËn.
TR ẦN
x →±∞
0,25
0,25
0,25
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
10 00
B
+ TÝnh låi lâm vµ ®iÓm uèn: y’’ = 6x + 6 = 0 ⇔ x = -1. ⇒ §å thÞ hµm sè låi trªn kho¶ng (-∞; -1), lâm trªn kho¶ng (-1; +∞) vµ cã ®iÓm uèn lµ (-1; 3). + B¶ng biÕn thiªn: x -∞ -2 -1 0 +∞ y’ + 0 0 + 5 +∞ y 3 -∞ 1 - §å thÞ: §å thÞ hµm sè ®i qua c¸c ®iÓm (-3; 1), (-2; 5), (-1; 3), (0; 1) vµ (1; 5). NhËn ®iÓm uèn (-1; 3) lµm t©m ®èi xøng.
TO
y
ÀN
5
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
x = 0 . x = −2
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
- TËp x¸c ®Þnh: D = R. - Sù biÕn thiªn: + ChiÒu biÕn thiªn: y’ = 3x2 + 6x = 0 ⇔
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
H N
®iÓm 0,25
U Y
Néi dung
.Q
ý 1a
TP
C©u 1
Ơ
Chó ý: + §¸p ¸n gåm 5 trang. +NÕu thÝ sinh lµm c¸ch kh¸c víi ®¸p ¸n mµ kÕt qu¶ ®óng th× cho ®iÓm tèi ®a.
Đ
3
IỄ N
0,25
D
1 -3
1b
-2
-1 0
1
x
Ta cã: x3 + 3x2 = m3 + 3m2 (1)
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
N
0,25
0,25
0,50
10 00
B
x3 + 3x 2 + 1 = kx + 5 − k x = −2, k = 0 ⇔ . 2 k = 3x + 6x x = 1, k = 9
0,25
A
0,25
0,25
-L
Í-
H
Ó
1d
⇒ Cã 2 tiÕp tuyÕn cña (C) ®i qua ®iÓm (1; 5) lµ: y = 5 vµ y = 9x – 4. Gäi M (x0; 9x0 – 4) lµ ®iÓm trªn ®−êng th¼ng y = 9x – 4. ⇒ §−êng th¼ng ®i qua M cã ph−¬ng tr×nh d¹ng: y = k(x – x0) + 9x0 – 4.
ÁN
⇒ Ta cã:
3 2 x + 3x + 1 = k(x − x 0 ) + 9x 0 − 4 . 2 k = 3x + 6x
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
§Ó cã 3 tiÕp tuyÕn qua M th× hÖ trªn cÇn cã 3 nghiÖm ⇒ ph−¬ng tr×nh sau cÇn cã 3 nghiÖm ph©n biÖt: (x – 1)[2x2 + (5 – 3x0)x + 5 – 9x0] = 0.
0,25 0,25
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
ẠO
TR ẦN
H Ư
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
1c
0,25
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
U Y
N
H
Ơ
0,25
TP
⇔ x3 + 3x2 + 1 = m2 + 3m2 + 1 = a ⇒ sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (1) chÝnh lµ sè giao ®iÓm cña ®å thÞ (C) vµ ®−êng th¼ng y = a, tõ ®å thÞ ë c©u a ta cã: - Ph−¬ng tr×nh (1) cã 1 nghiÖm nÕu a > 5 hoÆc a < 1. - Ph−¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm nÕu a = 5 hoÆc a = 1. - Ph−¬ng tr×nh (1) cã 3 nghiÖm nÕu 1 < a < 5. XÐt hµm sè f(m) = m3 + 3m2 + 1 ⇒ f(m) còng cã ®å thÞ lµ (C), nªn tõ ®å thÞ ë c©u a ta cã: - a > 5 ⇔ m > 1; a = 5 ⇔ m = 1 hoÆc m = -2 - a < 1 ⇔ m < -3; a = 1 ⇔ m = -3 hoÆc m = 1. - 1 < a < 5 ⇔ -3 < m < 1 VËy ta cã: + Víi m > 1 hoÆc m < -3 th× ph−¬ng tr×nh (1) cã 1 nghiÖm. + Víi m = -3 hoÆc m = -2 hoÆc m = 1 hoÆc m = 2 th× ph−¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm. + Víi -3 < m < 1 vµ m ≠ -2, m ≠ 0 th× ph−¬ng tr×nh (1) cã 3 nghiÖm ph©n biÖt. Gäi ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn kÎ tõ ®iÓm (1; 5) cã d¹ng: y = k(x – 1) + 5 ⇔ y = kx + 5 – k. V× lµ tiÕp tuyÕn cña (C) nªn ta cã:
.Q
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
x 0 > 1/ 3 Tõ ®ã ta cã ®iÒu kiÖn cña x0 lµ: x 0 < −5 . x ≠ 1 0 VËy c¸c ®iÓm M cÇn t×m cã to¹ ®é (x; 9x – 4) víi ®iÒu kiÖn: 0,25
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
TËp x¸c ®Þnh: D = R. Ph−¬ng tr×nh ®q cho t−¬ng ®−¬ng víi ph−¬ng tr×nh:
U Y 0,50 0,25
G
H Ư
Ta cã: x4 + x2 + 1 = (x2 + x + 1)(x2 – x + 1) > 0 x2 – 3x + 1 = 2(x2 – x + 1) – (x2 + x + 1)
0,50
0,25
10 00
B
TR ẦN
x2 − x + 1 §Æt t = , t > 0. Ph−¬ng tr×nh trë thµnh: x2 + x + 1 −3 t = 2 3 <0 x2 − x + 1 1 3 2 2t + t −1= 0 ⇔ ⇔ = 3 1 x2 + x + 1 3 t = 3
0,25 0,25
0,25
§iÒu kiÖn: m > 0 vµ m ≠ 1, x2 + mx + 10 ≥ 0. BÊt ph−¬ng tr×nh ®q cho t−¬ng ®−¬ng víi:
0,50
-L
3a
Í-
3
H
Ó
A
⇔x=1
0,50
TO
ÁN
1 − log7 ( x 2 + mx + 10 + 4)log11 (x 2 + mx + 12) ≥ 0 . (*) log11 m
D
IỄ N
Đ
ÀN
§Æt u = x2 + mx + 10, u ≥ 0.
+ Víi 0 < m < 1: (*) ⇔ f(u) = log7( u + 4)log11(u + 2) ≥ 1 Ta thÊy f(9) = 1 vµ f(u) lµ hµm ®ång biÕn nªn ta cã: f(u) ≥ f(9) ⇔ u ≥ 9 ⇔ x2 + mx + 10 ≥ 9 ⇔ x2 + mx + 1 ≥ 0 V× ph−¬ng tr×nh trªn cã ∆ = m2 – 4 < 0 víi 0 < m < 1 nªn ph−¬ng tr×nh trªn v« nghiÖm ⇒ bÊt ph−¬ng tr×nh ®q cho v« nghiÖm. + Víi m > 1: Ta cã: f(u) ≤ 1 = f(9) ⇔ 0 ≤ u ≤ 9
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
ẠO
0,50
Đ
π kπ + ,k∈Z 6 3
N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
2b
.Q
2)t + t , ta cã f(t) ®ång biÕn víi mäi t nªn
ta cã: f(3cosx) = f(4cos3x) ⇔ 3cosx = 4cos3x ⇔ cos3x = 0 ⇔ x =
x
TP
XÐt hµm sè f(t) = (1 +
3
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
3
(1 + 2)3 cos x − (1 + 2)4 cos x = 4 cos3 x − 3cosx ⇔ (1 + 2)3 cos x + 3cosx = 4 cos3 x + (1 + 2)4 cos
Ơ
0,25
H
2a
N
2
N
x > 1/ 3 x < −5 x ≠ 1
0,50
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
2 x + mx + 10 ≥ 0 (1) ⇔ 0 ≤ x + mx + 10 ≤ 9 ⇔ . 2 x mx 1 0 (2) + + ≤
Ơ H
G
N
2 . Ta cã:
H Ư
§Æt t = sinx + cosx, − 2 ≤ t ≤
TR ẦN
2. 2 XÐt sù biÕn thiªn cña g(t) ta cã: max g(t) = 4( 2 + 1)
0,25
f2(x) = g(t) = 6 + 4t + 22t2 + 2t – 1 víi − 2 ≤ t ≤
0,75
− 2 ; 2
V× f(x) ≥ 0 nªn ta cã:
B
max f 2 (x) = max g(t) = 2( 2 + 1)
10 00
maxf(x) =
3+2 2 . 2
0,25
Hµm sè cã ®¹o hµm t¹i x = 0 khi nã liªn tôc t¹i x = 0. ⇔ lim− f(x) = lim+ f(x) = f(0) ⇔ b = 1 .
0,25 0,50
H
Í-
4a
Ó
A
VËy ta cã: 2( 2 + 1) ≤ 2m − 1 ⇔ m ≥
4
-L
x →0
x →0
3
1 + a∆x − 3 cos ∆x a = x →0 ∆x 3 ln(1 + 2 ∆x) + = 2 ⇒ a = 6. Vµ f '(0 ) = lim+ x →0 ∆x −
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
Ta l¹i cã: f '(0 ) = lim−
4b
0,25
VËy hµm sè cã ®¹o hµm t¹i x = 0 khi a = 6 vµ b = 1. Chøng minh ®−îc: 1+ 5 2
∫
I= −
1+ 2
2
x +1 dx = 4 2 x 5 (x − x + 1)(1 + 2006 )
1+ 5 2
∫
−
1+ 2
x2 + 1 dx 4 2 5 x − x +1
0,25
0,25 0,25
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
0,25 0,25
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
N
TP
.Q
U Y
0,50
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
3b
XÐt ph−¬ng tr×nh x2 + mx + 1 = 0 cã ∆ = m2 – 4. NÕu 1 < m < 2 ⇔ ∆ < 0 ⇒ (2) v« nghiÖm ⇒ bÊt ph−¬ng tr×nh ®q cho v« nghiÖm. NÕu m > 2 ⇒ ∆ > 0 ⇒ ph−¬ng tr×nh trªn cã 2 nghiÖm ®Òu tho¶ mqn (1) vµ (2) ⇒ bÊt ph−¬ng tr×nh ®q cho cã nhiÒu h¬n mét nghiÖm. NÕu m = 2 ⇒ (2) cã nghiÖm duy nhÊt x = -1 ⇒ bÊt ph−¬ng tr×nh ®q cho cã nghiÖm duy nhÊt x = -1. VËy gi¸ trÞ cÇn t×m cña m lµ: m = -2. §Æt f(x) = 1 + 2cosx + 1 + 2sinx. Bµi to¸n trë thµnh: t×m m sao cho maxf(x) ≤ 2m – 1. Ta cã f2(x) = 6 + 4(sinx + cosx) + 21 + 2(sinx + cosx) + 4sinxcosx
N
2
0,50
0,25
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
1+ 5 2
∫
1 x2
dx . 1 2 1+ 5 (x − ) +1 − 2 x π/4 π 1 §Æt x − = tgt ⇒ I = ∫ dt = . x 2 −π / 4
H
Ơ
N
0,50
To¹ ®é giao ®iÓm cña 2 elÝp (E1) vµ (E2) lµ nghiÖm cña hÖ ph−¬ng
.Q TP ẠO 0,50
H Ư
N
60 7
Gäi ®−êng th¼ng Ax + By + C = 0 (A2 + B2 ≠ 0), lµ tiÕp tuyÕn chung cña (E1) vµ (P). Ta cã:
TR ẦN
5b
G
VËy ®−êng trßn ®i qua c¸c giao ®iÓm cña 2 elÝp lµ:
x2 + y 2 =
0,50
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
x2 y2 15 + 6 = 1 60 ⇒ x2 + y2 = tr×nh: 2 2 7 x + y = 1 6 15
10 00
B
15A 2 + 6B 2 + C = 0 C = 5A ⇔ 2 6B = 2AC C = −5A VËy cã 2 tiÕp tuyÕn cÇn t×m lµ:
0,50
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
H
S
Ó
A
6
3x ± 5y + 5 3 = 0 .
1,0
H D
A
B
0,25
C
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
5a
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
5
U Y
N
⇔I=
1+
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
§Æt h×nh chãp vµo hÖ trôc to¹ ®é nh− h×nh vÏ. Suy ra ta cã: A = (0; 0; 0), D = (2a; 0; 0), S = (0; 0; a 3 ) vµ
a a 3 ;0 . Suy ra ph−¬ng tr×nh cña SB lµ: 2 2
B= ;
0,25 0,25
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
2x 2y z − a 3 = = a a 3 −a 3
0,25
Gäi M(x0; y0; z0) thuéc c¹nh SB, ta cã:
D
IỄ N
Đ
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
10 00
B
TR ẦN
H Ư
N
G
Đ
-----------------------------------------HÕt---------------------------------------------------
ÀN
Ơ
TP
.Q
U Y
0,50
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
H
N
0,25
N
0,25
ẠO
y 0 = 3x 0 . z 0 = a 3 − 2 3x 0 MÆt kh¸c AM⊥DN ⇔ AM.DM = 0 3a ⇔ x02 – 2ax0 + y02 + z02 = 0 ⇔ x 0 = 8 3 3a 3a 3 a 3 SM 3 SM = . ⇔ M= ; ; ⇒ = SB hay 8 8 4 4 SB 4
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT (Thời gian làm bài 180’- Không kể thời gian phát đề)
MÔN THI: TOÁN
π
y=x2-6x+5 y=0
Đ
TR ẦN
H Ư
N
G
khi quay quanh trục oy. Bài 3. ( 2 điểm) Tìm m để bất phương trình: mx2 + mx + m -2 ≥ 0 có nghiệm x∈(1;2). Bài 4. ( 2 điểm)
10 00
B
Giải và biện luận phương trình: 4x+1+2(m-1)x-1=(m+1) 4 x 2 − 3x − 1 theo tham số m. Bài 5. ( 2 điểm) Giải phương trình: cosx + cos2x + cos3x + cos4x = -
1 2
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
Bài 6. ( 2 điểm) Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có: 1 1 1 3 cos A + cos B + cos C + + + = + 2 3 thì đều. sin A sin B sin C 2 Bài 7. ( 2 điểm)
TO
Tìm giới hạn:
2
3x − 1 lim 2 x →0 sin 2 x
D
IỄ N
Đ
ÀN
Bài 8. ( 2 điểm) Giải và biện luận theo m bất phương trình: x 2 − ( m + 1) x + m ≥ ( x − m) log 1 ( x + 3)
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
4
Bài 2. ( 2 điểm) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
.Q
−
1 + x 2 sin xdx = f’(0).
TP
∫π
ẠO
Chứng minh rằng
U Y
4
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
N
H
Ơ
N
1 Bài 1. ( 2 điểm) x2sin 2 khi x≠0 x Cho hàm số f(x) = 0 khi x=0
3
Bài 9. ( 2 điểm) x2 − y 2 = 1 và đường tròn (C): x2+y2=9. Trong mặt phẳng oxy cho hypebol (H): 9
1. Viết phương trình tiếp tuyến của (H) kẻ qua điểm M(3;1). 2. Viết phương trình tiếp tuyến chung của (H) và (C).
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Bài 10. ( 2 điểm) Cho elip (E):
x2 + y 2 = 1 và hai đường thẳng (d1): x-ky=0, (d2): kx+y=0. (d1) cắt 4
2 điểm
Í-
Bài 1
1 ∆x 2 = lim ∆x sin 1 ∆x → 0 ∆x ∆x 2
ÁN
f’(0)= ∆lim x →0
-L
∆x 2 sin
TO
vì - x≤ x sin
ÀN
⇒ lim ∆x sin
D
IỄ N
Đ
∆x → 0
Mặt khác:
1 ≤ x và ∆x 2
0,25
∆x → 0
1 = 0 ⇒ f’(0)=0 ∆x 2
(1)
0
4
−
4
0,50
π
π
∫π
0,25
lim (- x)= lim ( x)=0
∆x → 0
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
H
Ó
A
MÔN THI : TOÁN
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
10 00
B
TR ẦN
H Ư
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
TP
.Q
U Y
N
H
Ơ
N
elip (E) tại A và C, (d2) cắt elip (E) tại B và D. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của diện tích tứ giác ABCD.
1 + x 2 sin xdx =
∫π
−
1 + x 2 sin xdx +
4
∫
1 + x 2 sin xdx
0
0,25
4
Đặt x=-t thì dx=-dt , với x=-π/4 thì t=π/4, với x=0 thì t=0 0,25
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
π
π 0
∫π
−
∫
1 + x 2 sin xdx = -
4
1 + t 2 sin (− t )dt + ∫ 1 + x 2 sin xdx =
π
0
4
4
π
π
π
π
4
4
4
4
= − ∫ 1 + t 2 sin tdt + 0
∫
1 + x 2 sin xdx = − ∫ 1 + x 2 sin xdx +
0
0
0,25
∫
1 + x 2 sin xdx = 0 (2)
0
0,25
Ơ
⇒
N
4
2 điểm
.Q
Bài 2
N
H Ư
0,5
B
B
Vẽ đồ thị hàm số y=x2-6x+5 Cung AB có phương trình x = y + 4 − 3
x
TR ẦN
-4
5 C
0,5
⇒ Voy = π ∫ ( y + 4 + 3) dy − π ∫ ( y + 4 − 3) 2 dy
0,5
0
0
2
−4
A
−4
10 00
Cung BC có phương trình x = y + 4 + 3
0
3 0
H
Ó
= 12π ∫ y + 4dy = 8π ( y + 4) 2
−4
0,5
= 64π
Í-
−4
ÁN
-L
Bài 3 Gián tiếp loại bỏ f(x) = mx2 + mx + m -2 <0, ∀x∈(1;2) 2 ∀x∈(1;2) x + x +1 − 2(2 x + 1) 2 Xét g(x) = 2 ∀x∈(1;2), g’(x) = 2 < 0 ⇒ hàm số nghịch biến ( x + x + 1) 2 x + x +1 2
Đ
ÀN
TO
⇔ m(x2+x+1)<2 ⇔ m<
2 điểm 0,5 0,5
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
3
G
1 O A
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
TP
y
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
U Y
N
H
Từ (1) và (2) suy ra diều phải chứng minh.
0,5
⇒ m ≤ Min g ( x ) = [1; 2 ]
D
IỄ N
trong khoảng (1 ;2).
Vậy m >
2 7
2 thì bất phương trình có nghiệm ∀x∈(1;2). 7
Bài 4
0,5 2 điểm
x≥1 x≤ −
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
1 4
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Điều kiện 4x2-3x-1≥0 ⇔ 4x + 1 4x + 1 - (m+1) +2(m-1) = 0 x −1 x −1
Ơ
.Q TP ẠO Đ
TR ẦN
thì PT vô nghiệm
. 1≤m≠3
thì PT có nghiệm duy nhất x =
m 2 − 2m + 2 m 2 − 2m − 3
10 00
B
Bài 5 x 2
Nhận thấy sin =0 ⇔ x=k2π (k∈Z) không phải nghiệm của PT x 2
x 2
x 2
x 2
Ó
A
PT ⇔ 2cosxsin +2cos2xsin +2cos3xsin +2cos4xsin =-sin
H
9x 9x 2tπ =0 ⇔ =tπ ⇔ x= 2 2 9 2tπ x= (t∈Z). 9
0,25
x 2
0,25 2 điểm 0,25 0,50
(t∈Z).
-L
Í-
⇔ sin
0,25
0,50
ÀN
TO
ÁN
KL:
2 điểm
Ta có cosA+cosB+cosC+
D
IỄ N
Đ
Bài 6
A 2
B 2
= 1 + 4 sin sin sin
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
m<1 m=3
.
m 2 − 2m + 2 m 2 − 2m − 3
0,25
N
Theo cách đặt ta tính được x =
G
Nghiệm t2 thỏa mãn ⇔
m≥1 m≠3
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
N
0,25
t1=2 t2=m-1
Giải ra ta được
Kết luận:
H
t2-(m-1)+2(m-1)=0 0≤t≠2
Phương trình trở thành
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
0,25
N
t≥0 t≠2
điều kiện
H Ư
4x + 1 x −1
0,25
U Y
Phương trình ⇔ Đặt t =
0,25
1 1 1 + + = sin A sin B sin C
C 3 1 1 1 3 1 1 1 + + + + + + 1 − ≥ 2 4 sin A sin B sin C 4 sin A sin B sin C
≥
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
3
3 1 1 1 3 1 1 1 1 − + + + 4 sin A sin B sin C 4 sin A sin B sin C
3
1
N
3
≥ +2 3 ≥ 1 + 4. + 1 − 3 A B C 2 2 4 3 cos cos cos
N U Y
2
2
ẠO
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
TR ẦN
H Ư
N
G
Dấu ‘=’ xảy ra khi
0,5
10 00
B
⇔ A=B=C ⇔ ABC đều. Bài 7
e x ln 3 − 1 3x −1 x 2 ln 3 . 2 lim 2 = lim 2 2 x →0 sin 2 x x →0 x ln 3 sin x.4 cos x 2
1 ln 3 4
D
IỄ N
Đ
ÀN
Điều kiện x>-3 Bất PT ⇔ (x-m) [x-1+log3(x+3)] ≥ 0 Đặt f(x)= x-1+log3(x+3) f(x) đồng biến trong (-3;+∞) f(0)=0, nên x≥0 ⇔ f(x) ≥ f(0)=0 hay f(x) cùng dấu với x. Do đó BPT ⇔
1,5
0,5
TO
Bài 8
=
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
2
Ta có :
2 điểm
2 điểm 0,25 0,25 0,25 0,25
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
A B C 3 3 3 sin sin = = = 2 2 2 4 sin A 4 sin B 4 sin C 1 1 1 1 1 1 + + = + + A B C sin A sin B sin C cos cos cos 2 2 2 A B C 3 3 cos cos cos = 2 2 2 8 4 sin
TP
.Q
2
0,5
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
1
H
3 3 3 1 1 1 ≥ 1 + 44 + 1 − + + A B C A B C 4 16.8 cos cos cos cos cos cos 2 2 2 2 2 2
1,0
Ơ
A B C 1+ 4 4 4 sin sin sin . 4 2 2 2
(x-m)x≥0 x>-3
Từ đó suy ra Nếu m≥0 thì nghiệm của BPT là:
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-3<x≤0 x≥m
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
0,25 -3<x≤m x≥0
0,25 0,25 0,25 2 điểm 0,25
N
2
H Ư
9=a a=3 a≠0
TR ẦN
Để đường thẳng nay tiếp xúc với (H) và (C) thì
0,25
G
2. Xét tiếp tuyến cùng phương với oy có PT : x-a=0.
⇔ a=±3
0,25
Í-
H
Ó
A
10 00
B
Có hai tiếp tuyến chung thỏa mãn bài toán là x-3=0 và x+3=0. Xét tiếp tuyến không cùng phương với oy có PT y=kx+b ⇔ kx-y+b=0 Để đường thẳng nay tiếp xúc với (H) và (C) ⇔ hệ sau có nghiệm: 9k2-1=b2 9k2=b2+1 2 b=3 k + 1 ⇔ 9k2+9=b2 Hệ vô nghiệm. b≠0 KL: có 2 tiếp tuyến chung là: x-3=0 và x+3=0.
0,25
-L
Bài 10
0,25 2 điểm
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
Tọa độ giao điểm của (d1) và (E) là nghiệm của hệ : x2 + y2 = 1 4 x = ky
x = ky
⇔
⇒ AC2 =
2
y=±
4+k
2
16(k 2 + 1) 4+ k2
0,50
16(k 2 + 1) 1 + 4k 2
0,50
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
0,5
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
TP
ẠO
2b(b+3a)=0 ⇔ b=0 chọn a=1,b=0 PT tiếp tuyến là : x-3=0 3a+b≠0
0,25 https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
9a2-b2=(3a+b)2 3a+b≠0
⇔ ax+by-3a-b=0 đường thẳng này tiếp xúc với (H) ⇔ ⇔
U Y
.Q
Bài 9 1. Phương trình đường thẳng qua M có dạng : a(x-3)+b(y-1)=0 (a2+b2≠0).
N
H
Ơ
Nếu m=-3 thì nghiệm là x≥0. Nếu m<-3 thì nghiệm là x≥0.
N
Nếu -3<m<0 thì nghiệm của BPT là:
Tọa độ giao điểm của (d2) và (E) là nghiệm của hệ : x2 + y2 = 1 4 y = − kx
y = −kx
⇔
x=±
⇒ BD2 =
2 1 + 4k
2
Vì (d1) ⊥ (d2) nên AC ⊥ BD ⇒ 4S2 = AC2.BD2 =
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
16 2 (1 + k 2 ) 2 (4 + k 2 )(1 + 4k 2 )
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
Đặt x=k2≥0, xét f(x)=
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
16 2 (1 + x) 2 ( x + 1)(9 x − 9) , f’(x)= (4 + x)(1 + 4 x) (1 + 4 x) 2 ( x + 4) 2
lim f ( x) =
x → +∞
1 4
0,25
16 khi k=±1. 5
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
10 00
B
TR ẦN
Vậy Max SABCD=4 khi k=0, Min SABCD=
U Y
TP ẠO
0,50
D
IỄ N
Đ
ÀN
Đ
4 khi x=1 ⇔ k=±1 25
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
[0; +∞ )
khi x=0 ⇔ k=0
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
Min f ( x) =
0,25
N
[0; +∞ )
1 4
1 4
4 25
H Ư
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Từ bảng biến thiên ⇒ Max f ( x) =
+
.Q
1 4
f(x)
+∞
1 0
0
x f’(x)
G
Bảng biến thiên:
N
H
Ơ
Chú ý rằng:
N
f’(0)=0 ⇔ x=1.
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
®Ò thi häc sinh giái khèi 12 M«n: to¸n
(Thêi gian 180 phót, kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò)
Ơ
N
C©u 1: (4 ®iÓm)
H
5 x4 − 3 x 2 + (C ) vµ ®iÓm M ∈ (C ) cã hoµnh ®é xM = a. Víi gi¸ trÞ 2 2 nµo cña a th× tiÕp tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i M c¾t (C) 2 ®iÓm ph©n biÖt kh¸c M. 2. T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh (x+1)(x+2)(x+4)(x+5) – 2m +1 =0 Cã nghiÖm tho6 m6n: x2 +6x + 7 ≤ 0 C©u 2: (4 ®iÓm) 1.T×m GTLN vµ GTNN cña hµm sè f(x) trªn ®o¹n [-1; 2] biÕt f(0) = 1 (1) vµ f2(x).f’(x) = 1+ 2x +3x2 (2)
C©u 3: (4 ®iÓm)
log 2
x →∞
x+2 3 x+3 − ) x x
10 00
lim x 2 (
2. T×m:
2+
2 2 ( 2 − 2 ) = log ( − 2 x − 3) x − x x 2 3 + 3
B
1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh :
sin
3A A−C A− B 3 + sin + sin = 2 2 2 2
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
C©u 4: (4 ®iÓm) 1. Cho h×nh chãp S.ABC, ®¸y ABC lµ tam gi¸c vu«ng t¹i A AB = a, c¸c c¹nh bªn SA = SB = SC = a vµ cïng t¹o víi ®¸y mét gãc α . X¸c ®Þnh cos α ®Ó thÓ tÝch h×nh chãp lín nhÊt. 2. TÝnh c¸c gãc cña ∆ABC biÕt
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
2.
TR ẦN
H Ư
sin 3 x. sin 3 x + cos 3 x. cos 3 x 1 = − tg ( x − π6 )tg ( x + π3 ) 8
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
TP
.Q
U Y
N
Cho hµm sè: y =
D
IỄ N
C©u 5: (4 ®iÓm) π
1. TÝnh:
2
[
]
I = ∫ ln (1 + tg 2x )e x dx
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
0
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
1
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
x2 vµ ®−êng th¼ng (∆) : 3x – 4y + 16 19 = 0. ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn cã t©m I thuéc ®−êng th¼ng (∆) cã b¸n kÝnh
2. Trªn trôc to¹ ®é Oxy: Cho parabol (P): y = −
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
10 00
B
TR ẦN
H Ư
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
TP
.Q
U Y
N
H
Ơ
N
nhá nhÊt vµ tiÕp xóc víi parabol (P) -------------------hÕt--------------------Hä tªn thÝ sinh: ................................................. Sè b¸o danh: ............................
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
2
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com ĐÁP ÁN
C©u 1: (4 ®iÓm) a4 5 − 3a 2 + ta cã Pt tiÕp tuyÕn víi (C) cã 2 2 0,5®
N
a4 5 => (∆) y = (2a − 6a)( x − a) + − 3a 2 + 2 2 Hoµnh ®é giao ®iÓm cña (∆) vµ (C) lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh
U Y
M
TP
.Q
3
0,5®
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
x4 5 a4 5 − 3 x 2 + = (2a 3 − 6a )( x − a ) + − 3a 2 + ⇔ ( x − a ) 2 ( x 2 + 2ax + 3a 3 − 6) = 0 2 2 2 2
H Ư
N
G
x = a ⇔ 2 2 g ( x) = x + 2ax + 3a − 6 = 0
0,5®
TR ẦN
Bµi to¸n trë thµnh t×m a ®Ó g(x)=0 cã 2 nghiÖm ph©n biÖt kh¸c a ∆' g ( x ) = a 2 − (3a 2 − 6) > 0 a < 3 a 2 − 3 < 0 ⇔ ⇔ 2 ⇔ a ≠ 1 a ≠ ±1 g (a ) = 6a 2 − 6 ≠ 0
B
10 00
a < 3 VËy gi¸ trÞ a cÇn t×m
0,5®
a ≠ ±1
H
Ó
A
2> pt <=> (x+1)(x+2)(x+4)(x+5) = 2m – 1 <=> (x2 + 6x +5)(x2 + 6x + 8) = 2m – 1 §Æt t = x2 + 6x +5 = (x + 3)2 – 4 ≥ -4
-L
Í-
0,5®
Do x2 + 6x +7 ≤ 0 <=> x2 + 6x +5 ≤ -2 => t ≤ -2
ÁN
0,5® 0,5®
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
Bµi to¸n trë thµnh t×m m ®Ó pt: f(t) = t(t+3) = 2m-1 cã nghiÖm t ∈ [− 4;−2] f(t) <=> sè giao ®iÓm cña ®å thÞ f(t) = t2 + 3t vµ ®−êng y= 2m - 1 4 y = 2m – 1 vÏ trªn ®o¹n [-4; -2] <=> − 2 ≤ 2m − 1 ≤ 4
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
N
H
Ơ
d¹ng (∆ ) : y = y x' ( x − x M ) + y M víi y M' = 2a 3 − 6a
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
1> §iÓm M∈ (C ) , xM = a ---> y M =
1 2
<=> − ≤ m ≤
5 2
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-2
o
t
-4 -2
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
3
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com 1 2
VËy ®Ó ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm th× − ≤ m ≤
5 2
0,5 ®
C©u 2: (4 ®iÓm)
Ơ
3
0,5®
= x + x 2 + x 3 + c (c lµ h»ng
N
[ f ( x)]3
1> Tõ (2): f2(x)f’(x) = 1 + 2x + 3x2 <=>
ẠO
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
0,5®
1 3
2 => max(g(x)) = 40, min(g(x)) = - 2 9
π
π
TR ẦN
g(-1) = 2, g(2) = 40, g(- ) =
H Ư
N
g’(x) = 9x + 6x + 3 = 0 <=>
x = −1 ∈ [−1;2] lµ c¸c ®iÓm tíi h¹n x = − 1 3
G
2
π
π
6
3
6
3
Do ®ã GTLN cña f(x) lµ
3
40 vµ GTLN cña f(x) lµ
3
10 00
B
2> §K: cos( x − ) ≠ 0, cos( x + ) ≠ 0; tg ( x − ) ≠ 0; tg ( x +
−2
0,5®
≠ 0)
0,5®
Do tg ( x + ) = cot g − ( x + ) = − cot g ( x − ) ⇒ tg ( x − ).tg ( x + = −1) 3 3 6 6 3 2 π
π
π
π
π
0,5®
H
Ó
A
π
0,5®
Í-
Ta ®−îc ph−¬ng tr×nh
-L
1 1 ⇔ (3 sin x − sin 3 x) sin 3 x + (3 cos x + cos 3 x) cos 3 x = 8 2 1 1 ⇔ 3(sin x sin 3 x + cos x cos s3 x) + cos 2 3 x − sin 2 3 x = ⇔ 3 cos 2 x + cos 6 x = 2 2 π 1 1 ⇔ 4 cos 3 2 x = ⇔ cos 2 x = ⇔ x = ± + kπ (k ∈ Z ) 2 2 6
0,5®
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
sin 3 x. sin 3 x + cos 3 x. cos 3 x =
NghiÖm x =
π 6
+ kπ (lo¹i v× tg ( x −
π 6
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
TP
1 , do ®ã hµm sè f ( x) = 3 3x 3 + 3x 2 + 3x + 1 3 3 2 XÐt g(x) = 3x + 3x + 3x + 1 víi x ∈ [-1; 2]
+ Tõ (1) : f(0) = 1 => c =
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
.Q
U Y
N
H
sè)
0,5® ) = 0)
π
NghiÖm x = − + kπ (k ∈ Z ) t/m c¸c ®k bµi to¸n 6
C©u 3: (4 ®iÓm)
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
4
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
x 2 − 2 x − 2 > 0 1> §K: 2 ⇔ x 2 − 2x − 3 > 0 ⇔ x − 2 x − 3 > 0
7+4 3
( x 2 − 2 x − 3)
N
0,5®
H Ư
N
x 2 − 2x − 3 = t > 0 t + 1 = (a + 1) y ®Æt ®−a vÒ hÖ ⇒ (a + 1) y = a y + 1 y t = a
y
TR ẦN
7 + 4 3 = a > 1
y
vµ 0 <
1 < 1 (do a a +1
B
a a 1 ⇔1= <1 + = f ( y ) (*) v× 0< a +1 a +1 a + 1
0,5®
0,5®
A
10 00
> 1) Nªn hµm sè f(y) nghÞch biÕn ∀a > 1 vµ f(1) = 1 nªn y = 1 lµ nghiÖm duy nhÊt cña pt (*) => x2 – 2x – 3 = a1 = 7 + 4 3 (t/m)
x = 1 − 11 + 4 3 < −1 2
(t/m)
Ó
x = 1 + 11 + 4 3 > 3 1
vËy pt ®6 cho cã 2 nghiÖm x1 , x2
-L
Í-
H
Gi¶i ra
0,5®
TO
ÁN
1 2> ®Æt x = khi x → ∞ th× y → 0 y
0,5®
D
IỄ N
Đ
ÀN
1 + 2 y − (1 + y ) 3 1 + 3 y − (1 + y ) 1 + 2 y − 1 + 3y I = lim lim = − y →0 y →0 y2 y2 y2 3
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
TP
.Q
U Y
x 2 − 2 x − 3 = (7 + 4 3 ) y
H
x 2 − 2 x − 2 = (8 + 4 3 ) y
<=> log 8+ 4 3 ( x 2 − 2 x − 2) = log 7 + 4 3 ( x 2 − 2 x − 3) = y ⇒
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
( x 2 − 2 x − 2) = log
N
8+ 4 3
Ơ
pt <=> log
x > 3 x < −1
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
5
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
1,0®
4 cos 2 − 1
Ơ H
ẠO Đ G N H Ư
10 00
1 a2 AB. AC = 2 2
B
A
S ∆ABC =
O
α
C
0,5®
Ó
a
Í-
H
A
-L
a3 sin α 4 cos 2 α − 1 6
ÁN
+ VS.ABC =
a
¸p dông B§T c« si cho 2 sè d−¬ng 4 sin 2 α vµ 4 cos 2 α -1 > 0
TO
a3 a 3 4 sin 2 α + 4 cos 2 α − 1 a 3 4 sin 2 α . 4 cos 2 α − 1 ≤ . = 12 12 2 8 5 1 DÊu “=” x¶y ra <=> 4 sin 2 α = 4 cos 2 α − 1 ⇒ cos α = > 2 2 2
0,5®
D
IỄ N
Đ
ÀN
V=
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
1 2
( cos α > )
S
B
+ SO =asin α , AC = a 4 cos 2 α − 1
TR ẦN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
trôc ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC => SO lµ ®−êng cao cña h×nh chãp S.ABC vµ gãc gi÷a c¹nh bªn vµ ®¸y, gãc SBO = gãc SAO = SCO = α
0,5® https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
TP
.Q
U Y
N
1 y+3 = lim − + y →0 1 + y + 1 + 2 y (1 + y ) 2 + (1 + y )3 1 + 3 y + 3 (1 + 3 y ) 2 1 1 = − +1 = 2 2 1 VËy I = 2 OA = OB = OC C©u 4: (4 ®iÓm) Gäi O lµ trung ®iÓm cña BC => => SO lµ SA = SB = SC = 0
N
y 2 ( y + 3) − y2 = lim 2 + y →0 y 1 + 2 y + (1 + y ) y 2 (3 (1 + 3 y ) 2 + (1 + y )3 1 + 3 y + (1 + y ) 2 )
VËy cos α =
5 2 2
h×nh chãp cã thÓ tÝch lín nhÊt
0,5® 0,5®
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
6
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
2. Do sin
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
π 3A 3A = cos( − ) nªn gt bµi to¸n trë thµnh 2 2 2
0,5® A B+C B−C 3 3A cos( − ) + 2 sin( − ) cos = 2 2 2 4 4 2 π π A A B C 3 3 3 − ⇔ 1 − 2 sin 2 ( − ) − 2 sin( − ) cos = 4 2 4 4 4 4 π 3A π 3A B−C 1 B −C 1 B−C ⇔ 2 sin 2 ( − ) + sin( − + cos 2 + (1 − cos 2 ) cos )=0 4 4 4 4 4 4 4 2 4
.Q
2
ẠO
TP
(*)
2
0,5®
3A 1 B −C 2 B−C Do sin( − ) + cos ≥ 0 ; sin = 0 nªn VT cña (*) kh«ng ©m 4 4 4 2 4
Đ
G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
π
TR ẦN
H Ư
N
B−C sin 4 = 0 Khi ®ã (*) <=> dÊu “=” xÉy ra <=> sin( π − 3 A ) + 1 cos B − C = 0 4 4 2 4
0,5®
10 00
B
A = 100 0 Gi¶i hÖ trªn ta ®−îc: B = C = 40 0
Ó
π
0,5®
A
C©u 5: (4 ®iÓm)
π
2 x 1 1> Ta cã I = ∫ ln(1 + tg )dx + ∫ xdx = x 2 2 2 0 0
π 2
0
+ I1 =
π
-L
Í-
H
2
2
x 2
ÁN
TO
ÀN
§æi cËn: x = 0 => t =
+ I1
®Æt x =
π 2
;
x=
π 2
π 2
−t ⇒
x π t = − ⇒ dx = − dt 2 4 2
=> t = 0
t π 2 π t 2 2 I 1 = − ∫ ln 1 + tg ( − ) dt = ∫ ln(1 + dt )dt = ∫ ln t t 4 2 π 0 0 2 1 + tg 1 + tg 2 2
Đ IỄ N D
8
0,5®
TÝnh I 1 = ∫ ln(1 + tg )dx 0
π2
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
B −C B−C π 3A 1 1 ⇔ 2 sin( − ) + cos + sin 2 =0 4 4 2 4 2 4
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
U Y
N
H
Ơ
N
π
π
0
π
π
2
1 − tg
π t π π π2 π = ∫ ln 2dt − ∫ ln(1 + tg )dt = t ln 2 02 − I 1 = ln 2 − I 1 ⇒ I 1 = ln 2 ⇒ I = + ln 2 2 2 4 8 4 0 0 2
2
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
0,5®
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
7
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
VËy I =
π2 8
+
π 4
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
ln 2
Ơ H
.Q
I M0
ẠO Đ
0,5®
9 4
N
G
pt ®t (∆' ) : 3x – 4y + 9 = 0. vµ to¹ ®é tiÕp ®iÓm M 0 (−6,− )
B
123 =0 4
10 00
=> pt ®t (d) 4x + 3y +
TR ẦN
H Ư
9 M ( − 6 ; − ) 0 4 + Gäi (d) lµ ®t qua ®iÓm M0 vµ vu«ng gãc vãi (∆' ) => (d) → n d (4;3)
A
0,5®
H
Ó
I lµ giao ®iÎm cña (d) vµ (∆) => to¹ ®é I lµ nghiÖm cña hÖ => I (−
36 13 ;− ) ⇒ M 0 I = 2 5 20
0,5®
ÁN
-L
Í-
36 x = − 3 x − 4 y + 19 = 0 5 ⇔ 123 4 x + 3 y + 4 = 0 y = − 13 20
(x +
36 2 13 ) + ( y + )2 = 4 5 20
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
Pt ®−êng trßn t©m I, bk R = IM0 cã d¹ng
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
x = −6 m = 9
(I) ⇔
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
M1
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
(I)
H
U Y
I1
(d)
TP
x 2 3x m = + − 16 4 4 cã nghiÖm hÖ pt: − x = 3 8 4
N
NhËn thÊy ®−êng th¼ng (∆) kh«ng cã ®iÓm chung víi parabol (P) Gäi (∆' ) lµ ®−êng th¼ng tiÕp xóc víi Parabol (P) vµ song song víi dt (∆) (∆) => pt (∆' ) lµ 3x – 4y - + m = 0 ( m ≠ 19) ( ∆' )
N
0,5®
Ta chøng minh: ®−êng trßn (C) cã ph−¬ng tr×nh trªn lµ ®−êng trßn cã bk nhá nhÊt so víi c¸c ®−êng trßn t/m ycbt. ThËt vËy: LÊy ®iÓm I1 bÊt k× trªn (∆) , M1 bÊt k× trªn parabol (P) H = I1M1 ∧ (∆' ) ta cã: I 1 M 1 ≥ I 1 H ≥ IM 0 => IM0 lµ nhá nhÊt Do ®ã ®−êng trßn bk IM0 lµ ®−êng trßn bk nhá nhÊt
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
0,5®
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
8
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com 2
2
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
10 00
B
TR ẦN
H Ư
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
TP
.Q
U Y
N
H
Ơ
N
36 13 VËy ®−êng trßn cÇn t×m: x + + y + = 4 5 20
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
9
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Ơ H
∫
x 3 − 2x 2 + x dx.
ẠO
1. TÝnh I=
Đ
TR ẦN
x − y = 1 y − z = 1 z − x = 1
H Ư
N
G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
0
2. Cho f(x) = 2x + m + log2[mx2 - 2(m – 2)x+ 2m-1]. T×m m ®Ó f(x) cã tËp x¸c ®Þnh lµ R. Bµi 3: (4 ®iÓm). Gi¶i ph−¬ng tr×nh: ln(sinx+1) = esinx-1. Bµi 4: (2 ®iÓm).
10 00
B
Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh:
A
Bµi 5: (4 ®iÓm). Cho h×nh lËp ph−¬ng ABCD.A'B'C'D' c¹nh b»ng a. LÊy M trong ®o¹n AD', N trong
Ó
(0<x<a 2 ).
H
®o¹n BD víi AM=DN=x,
-L
Í-
1. Chøng minh víi x=
a 2 th× MN ng¾n nhÊt. 3
TO
ÁN
2. Khi MN ng¾n nhÊt chøng minh: MN lµ ®o¹n vu«ng gãc chung cña AD' vµ DB. Bµi 6: (2 ®iÓm).
π π ; 6 2
Chøng minh:
1 sin x − sin y sin y + sin z sin z + sin x + + ≤ 1 − sin x sin y sin z 2
2
D
IỄ N
Đ
ÀN
Cho x,y,z ∈
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
3
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
N
TP
.Q
U Y
Bµi 1: (4 ®iÓm) Cho hµm sè f(x)=x3- 6x2+9x-1 (C). 1. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ (C). 2. Tõ mét ®iÓm bÊt kú trªn ®−êng th¼ng x=2 ta cã thÓ kÎ ®−îc bao nhiªu tiÕp tuyÕn ®Õn (C). (§¹i häc ngo¹i th−¬ng khèi A n¨m 2000). Bµi 2: (4 ®iÓm).
N
§Ò thi häc sinh giái líp 12 THPT MÔN TOÁN (Thêi gian 180 phót kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò).
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
10 00
+
1 0 3
N
G
Đ
ẠO
TP
0,5
0,5
3
+∞
0,5
-1
Ó
A
-∞
+∞
0,5
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
H
§å thÞ: x=0 =>y=-1 y=0 =>x3-6x2+9x-1=0 LÊy thªm ®iÓm phô: x=3 =>y=3 x=0 =>y=-1 VÏ ®å thÞ: Häc sinh vÏ chÝnh x¸c ®Ñp
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
-∞
B
x y' y''
TR ẦN
Hµm sè lâm ∀x ∈ (2,+ ∞ ) §iÓm uèn x=2, y=1 limy=+ ∞ ; limy=- ∞ x->+ ∞ x->- ∞ B¶ng biÕn thiªn
.Q
TËp x¸c ®Þnh: ∀x . ChiÒu biÕn thiªn: y'=3x2-12x+9 y'=0 ⇔ x=1, x=3 Hµm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i x=1, y=3 Hµm sè ®¹t cùc tiÓu t¹i x=3, y=-1 TÝnh låi lâm vµ ®iÓm uèn y''=6x-12 Hµm sè låi ∀x ∈ ( − ∞,2)
H Ư
1 (2®iÓm)
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Bµi1 (4®iÓm)
§iÓm
U Y
Bài
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
Néi dung
N
C©u
H
Ơ
N
§¸p ¸n §Ò thi Häc sinh giái líp 12 THPT Thêi gian: 180 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò)
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
XÐt A(2,a) trªn ®−êng x=2. TiÕp tuyÕn t¹i A cã ph−¬ng tr×nh lµ: y=(3x02-12x0+9)(x-x0)+x03-6x02+9x0-1 0,5 TiÕp tuyÕn nµy qua A khi vµ chØ khi a=(3x02-12x0+9)(2-x0)+x03-6x02+9x0-1 2x03-12x02+24x0-17+a=0 (1) 0,5 Sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (1) chÝnh lµ sè tiÕp tuyÕn qua A XÐt g(x)= -2x3+12x2-24x+17 0,5 g'(x)=-6(x-2)2 ≤ 0 ∀x g(x) lu«n nghÞch biÕn vµ cã tËp gi¸ trÞ lµ (- ∞ ,+ ∞ ) do ®ã ph−¬ng tr×nh (1) lu«n cã mét nghiÖm duy nhÊt VËy tõ mét ®iÓm bÊt kú trªn x=2 lu«n kÎ ®−îc ®óng mét tiÕp tuyÕn ®Õn (1) 0,5 3 3 0,5 x(x − 1) 2 dx = x x − 1 dx I=
x (1 − x ) dx +
0
=
∫
x (x − 1) dx
1
1 x2
1
dx -
0
∫
3 2 x
0
3
dx+
∫
3 2 x
3
dx -
1
8 8 3 + 15 5
0,5
∫
1 x2
dx
0,5
1
0,5
2 (2®iÓm)
10 00
B
=
∫
TR ẦN
1
Đ
∫
Ta chØ cÇn mx2-2(m-2)x+2m-1>0 ∀x ∈ R
m > 0
A
Khi
'
2
0,5
0,5
VËy m>1 th× f(x) cã tËp x¸c ®Þnh R
0,5
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
∆ = m + 3m + 4 > 0 m > 0 m < −4 =>m >1 m > 1
0,5
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
=
3
N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
0
1
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
∫
0
ẠO
∫
G
1 (2®iÓm)
H Ư
Bµi 2 (4®iÓm)
TP
.Q
U Y
N
H
Ơ
N
2 (2®iÓm)
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
Bµi 3 (4®iÓm)
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
§iÒu kiÖn sinx ≠ -1, x ≠ -
π + k 2π (k∈ Z) 2
0,5
§Æt ln(sinx+1)=y => sinx+1=ey
N
e sinx = y + 1(1) ta cã hÖ e y = sin x + 1(2)
0,5 0,5
ẠO
TP
NÕu sinx > y th× esinx > ey Ph−¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm NÕu sinx < y th× esinx < ey Ph−¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm
0,5
0,5
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
VËy ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm khi sinx=y thay vµo (2) ta cã: esinx=sinx+1 (3)
(k∈ Z)
TR ẦN
H Ư
N
XÐt f(x)= ex-x-1 víi x ≠ -1 f'(x)= ex – 1=0 x=1 VËy ph−¬ng tr×nh (3) cã nghiÖm sinx=0 =>x=k π
Bµi 4 (2®iÓm)
0,5 0,5
®iÒu kiÖn x,y,z ≥ 1
Ó
A
10 00
B
x = 1 + y (1) Ta cã y = 1 + z (2) z = 1 + x (3)
0,5
0,5
H
NÕu (x,y,z) lµ mét nghiÖm cña hÖ gäi x= min(x,y,z) th× x ≤ y,x ≤ z (4)
x ≤ y =>
x ≤ y =>1+ x ≤ 1+ z 0,5
z ≤ y (5) Tõ (4) vµ (5) ta cã x=y=z nªn x=1+ x => x=y=z=
3+ 5 2
0,5
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
z ≤ 1+ y =x =>z ≤ x VËy z=x
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
.Q
U Y
LÊy (1) trõ (2) ta cã ph−¬ng tr×nh esinx – ey = y-sinx
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
N
H
Ơ
0,5
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
Dùng MM' ⊥ AD; NN' ⊥ AD ∆ DNN' vu«ng c©n nªn AM'=MM'
0,5
x 2 2
Ơ U Y
=> ∆ ⊥ c©n MM'A = ∆ ⊥ c©n NN'D =>AM'=DN'=>AN'=DM'
.Q
M'N'= AD - 2AN'= x 2
Đ
x2 x2 x2 +(M'N'2+N'N2)= +(x 2 -a)2 + 2 2 2
0,5
G
=M'M2+M'N2=
N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
∆ MM'N ⊥ t¹i M' nªn MN2
H Ư
=3x2 -2ax 2 +a2
[
§Æt f(x)=3x2 -2ax 2 +a2 xÐt trªn 0, a 2 a 2 3
TR ẦN
f'(x)= 6x- 2a 2 =0 <=> x=
10 00
B
VËy f(x) nhá nhÊt khi x=
)
0,5
a 2 3
2
a 2 - 2a a 2 MN =3 3 3
2 +a2
Ó
A
2
2a 2 4a 2 2 a 2 a +a = => MN= 2 3 3 3
0,5
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
H
=
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
ẠO
TP
x 2 )= x 2 - a 2
M'N'=a - 2(a-
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
V× ∆ N'DN ⊥ c©n => N'D=N'N=
x 2 2
N
Ta cã AM2= x2=2MM'2 =>MM'=AM'=
H
1 (2®iÓm)
N
Bµi5 (4®iÓm)
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
XÐt ∆ ⊥ MM'D: MD2=MM'2+M'D2 2
2
a 2 a2 a2 a2 + a − a 2 2 = + 4 = 5 3 3 2 9 9 9
N
2 a2 2 2 2a vµ MN = DN =x = 9 3 2 5a =>MN2+DN2= 9
Ơ
2
U Y
N
H
0,5
5a 2 9 VËy ∆ MDN ⊥ t¹i N =>MN ⊥ DB
TP
.Q
Ta l¹i cã MD2=MN2+DN2=
2
a 2 2 x 2 5a 2 XÐt ∆ ⊥ AN'N ta cã AN =AN' +N'N = a − + = 2 3 2 9 2
0,5
ẠO
2
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
2
a a 2 5a 2 nªn AM2+MN2= MN= do ®ã 3 9 3 AN2=AM2+MN2 => ∆ AMN ⊥ t¹i M MN ⊥ AD VËy MN lµ ®−êng vu«ng gãc chung
0,5 0,5
TR ẦN
H Ư
N
G
AM=x=
Bµi6 (2 ®iÓm)
10 00
B
1 §Æt sinx=a; siny=b; sinz=c th× a,b,c ∈ ,1 2 a − b b − c c − a (a − b)(b − c)(c − a ) Ta cã + + = c a b abc 2
(a − b)(b − c)(c − a ) 1 1 ≤ 1 − ∀ a,b,c ∈ ,1 abc 2 2 a b 1 1 §Æt u= ; v= ; do ≤ a ≤ b ≤ c ≤ 1 th× ≤ u ≤ v ≤ 1 ta chøng minh: c c 2 2
0,5
Í-
H
Ó
A
Ta chøng minh
(v − u )(1 − u )(1 − v) ta cã: ≤ uv
ÀN
TO
ÁN
-L
1 (v − u )(1 − u )(1 − v) ≤ 1 − uv 2
1 1 (v − )(1 − )(1 − v) 2 2 1 v 2
0,5
0,5
2
1 1 1 1 1 -v≤ 1 + − 2 v = 1 − 2 2v 2 v 2 π π π 1 1 DÊu = khi u= ; v= hay x= ; y= ; z= 2 6 4 2 2 Tµi liÖu tham kh¶o: 1. §Ò thi §¹i häc cña Bé gi¸o dôc xuÊt b¶n n¨m 1996. 2. B¸o to¸n häc vµ tuái trÎ n¨m 2000
Đ IỄ N D
2
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
1 = 2
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
2 (2®iÓm)
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
= 1+
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
0,5
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
10 00
B
TR ẦN
H Ư
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
TP
.Q
U Y
N
H
Ơ
N
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Ơ
N
kú thi häc sinh giái líp 12 THPT M«n thi To¸n Thêi gian lµm bµi: 180 phót, kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò. -------------------------
x2 hai tiÕp tuyÕn t¹o x −1
.Q
víi nhau mét gãc 450. 2. TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ sinh ra bëi phÐp quay quanh trôc Ox cña h×nh giíi h¹n bëi:
Đ
x 2 − (m + 2 )x + 2m < 0 T×m m ®Ó hÖ 2 cã nghiÖm. x + (m + 7 )x + 7 m < 0
G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
1.
ẠO
Bµi 2 (4 ®iÓm)
2.
TÝnh lim x →0
10 00
B
TR ẦN
H Ư
N
2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh x 2 − 2 x − 3 = x + 3 . Bµi 3 (4 ®iÓm) 1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh cos6x – cos4x + 4cos3x + 4 = 0. 2. Trong tam gi¸c ABC, chøng minh r»ng: 1 13 cos A + cos B + cos C + ≤ . cos A + cos B + cos C 6 Bµi 4 (4 ®iÓm) 1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh (x − 3)[log 3 ( x − 5) + log 5 ( x − 3)] = x + 2 . 1 + 2 x 3 1 + 3x − 1 . x
Víi a, b, c d−¬ng vµ 1 ≤ α ∈ R, chøng minh r»ng: aα bα cα a α −1 b α −1 c α −1 + + ≥ + + bα + cα c α + a α a α + bα bα −1 + c α −1 c α −1 + a α −1 a α −1 + b α −1
...........HÕt...........
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
2.
-L
Í-
H
Ó
A
Bµi 5 (4 ®iÓm) 1. LËp ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu t©m I(1; -1; 1), biÕt r»ng qua ®−êng th¼ng 2 x + 2 y − z − 3 = 0 cã hai mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi nhau tiÕp xóc víi mÆt cÇu. x − 2 y − 2z −1 = 0
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
TP
y = log 2 x ; x + y = 3; y = 0.
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
N
T×m trªn trôc hoµnh c¸c ®iÓm cã thÓ kÎ ®Õn ®å thÞ hµm sè y =
U Y
1.
H
Bµi 1 (4 ®iÓm)
C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm. Hä vµ tªn thÝ sinh ......................................... sè b¸o danh .........................
1 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
H−íng dÉn chÊm bµi thi häc sinh giái líp 12 THPT M«n: to¸n (®¸p ¸n nµy cã 3 trang)
Néi dung
G
N
H Ư
4 x0 k1 − k 2 ...⇒ =±1 1 + k1k 2 (x0 + 1)2
TR ẦN
• §Ó tháa m^n yªu cÇu bµi to¸n th×: tg 45 0 =
I
... x0 = 3 ± 2 2
0.5® 0.5®
0.5®
10 00
B
• ⇒ M1( 3 + 2 2 ; 0), M2( 3 − 2 2 ; 0).
Giao ®iÓm cña ®å thÞ hµm sè y = log 2 x , vµ ®−êng th¼ng x +y = - 3 lµ A(2; 1) 3 2 2 ⇒ V = π ∫ log 2 xdx + ∫ (3 − x ) dx =V1+ V2 2 1
1
1
0.5® 0.5®
3
• V2 =π
x
1 2 ∫ (3 − x ) dx = ...= π 2
3
0.5®
1 • V=π[ + log2 e.(2 ln 2 − 1) ] (®vtt) 3
x 2 − (m + 2 )x + 2m < 0 2 x + (m + 7 )x + 7m < 0
(1) ( 2)
• ∆1 = (m – 2) ≥ 0 vµ ∆2 = (m – 7) ≥ 0 ⇒ m = 2 hoÆc m = 7 th× hÖ ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm. 1 m ≠ 2 • Víi vµ m ≥ 0 th× tËp nghiÖm cña (1) lµ D1 ⊂ R+ vµ tËp nghiÖm cña (2) m ≠ 7 lµ D2 ⊂ R- nªn hÖ ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm. • Víi m < 0 tËp nghiÖm D1= (m; 2) vµ tËp nghiÖm D2= (-7; -m) 2
II
2
=π log 2 e.(2 ln 2 − 1) .
-L
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
1 O 1 2 3
2
• V1=π ∫ log 2 xdx =π log 2 e.∫ ln xdx =...
Í-
y
2
H
Ó
A
0.5®
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
0.5®
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
x = 0 x2 x 2 − 2x ⇒ (x − x0 ) ⇔ x[(x0 + 1)x − 2 x0 ] = 0 ⇒ 2 x0 = 1 x= Voi x0 ≠ −1 x − 1 (x − 1)2 x0 + 1 • Víi x0 = 0 ⇒ k = 0, − 4 x0 2 x0 Víi x0 = ⇒k= x0 + 1 (x0 + 1)2
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
TP
.Q
U Y
N
x2 x − 1 = k ( x − x0 ) (∆) lµ tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ khi hÖ: 2 cã nghiÖm x − 2x = k (x − 1)2
Ơ
• TX§ D = R\{1} M ∈ Ox ⇒ M(x0; 0), ®−êng th¼ng qua M víi hÖ sè gãc k cã ph−¬ng tr×nh: y = k(x – x0) (∆)
N
§iÓm
H
Bµi ý
2
0.5®
0.5®
2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Néi dung
§iÓm 0.5® 0.5®
⇒ hÖ ph−¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm. • HÖ ph−¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi m < 0.
(
)(
)
0.5®
KÕt luËn: x =
H
Ơ
0.5®
N
•
0.5®
1− 13 3 + 17 vµ x = lµ nghiÖm. 2 2
0.5®
U Y
2
x ≤ 0 1 − 13 x + 3 = −x ⇔ 2 ⇔x= 2 x − x − 3 = 0 x ≥ 1 3 + 17 x + 3 = x −1 ⇔ 2 ⇔x= 2 x − 3x − 2 = 0
.Q
•
TP
⇔ 2 cos 2 3 x + 4 cos 3 x + 3 − cos s 4 x = 0
⇔ 2(cos 3 x + 1) + 2 sin 2 2 x = 0
ẠO N
G
Đ
0.5®
3 A B C sin sin = t ⇒ 1< t ≤ 2 2 2 2 1 3 1 • XÐt f(t) = t + trªn (1; ], cã f’(t) = 1 − 2 > 0 ⇒ hµm sè ®ång biÕn trªn (1; 2 t t 3 ] 2 2 13 3 3 • ∀t ∈ (1; ] th× f(1) < f(t) ≤ f( ) = 2 2 6 1 13 • VËy cos A + cos B + cos C + ≤ cos A + cos B + cos C 6 3 DÊu b»ng x¶y ra khi: cos A + cos B + cos C = hay tam gi¸c ®Òu. 2 x+2 • Pt ⇔ log 3 (x − 5) + log 5 ( x − 3) = víi x > 5 x −3 • Hµm sè y = log 3 (x − 5) + log 5 ( x − 3) ®ång biÕn trªn (5; + ∞) 1 −5 x+2 • Hµm sè y = cã y’= < 0 nghÞch biÕn trªn (5; + ∞) x −3 (x − 3)2
• ®Æt cos A + cos B + cos C = 1+ 4 sin
0.5® 0.5®
0.5®
0.5® 0.5®
• ⇒ ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = 8
IV
• L = lim
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
10 00
B
III
π k 2π x = 3 + 3 ⇔ x = l π 2 KL: NghiÖm x = π + 2kπ
H Ư
1
TR ẦN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
cos 3 x = −1 ⇔ sin 2 x = 0
0.5®
x →0
2
0.5® 0.5® 0.5® 0.5®
1 + 2 x 3 1 + 3x − 3 1 + 3x + 3 1 + 3x − 1 x
= lim 3 1 + 3 x x →0
0.5®
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
)
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
(
• ⇔ x 2 − ( x + 3) − x + x + 3 = 0 ⇔ x + x + 3 x − x + 3 − 1 = 0
N
Bµi ý
3 1 + 2x −1 1 + 3x − 1 + lim = L1 + L2 x → 0 x x
0.5® 0.5®
3 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Néi dung
§iÓm
2x 1 + 2x −1 = lim 3 1 + 3 x =1 x→0 x x 1 + 2x + 1
• L1 = lim 3 1 + 3 x
(
x →0
)
0.5®
3
1 + 3x − 1 3x • L2 = lim = lim =1 2 x →0 x→0 3 x x 1 + 3 x + 3 1 + 3 x + 1 • VËy L = 2 (P) 2 x + 2 y − z − 3 = 0 I ∉ ( P) • ta nhËn thÊy vµ (P) ⊥ (Q) (Q ) x − 2 y − 2z −1 = 0 I ∈ (Q )
H
Ơ
N
0.5®
N
0.5®
0.5®
N
H Ư
TR ẦN
aα aα −1 bα bα −1 cα cα −1 ≥0 ⇔ α − + − + − α α −1 α −1 α α α −1 α −1 α α α −1 α −1 b +c c +a c +a a +b a +b b +c
0.5®
B
1 1 a b ⇔ aα −1 α − α −1 α −1 + bα −1 α − α −1 + α α α −1 b +c c +a b +c c +a 1 c + cα −1 α − α −1 α −1 ≥ 0 α a +b a +b
0.5®
10 00
V
A
0.5®
)(
)
H
(
Ó
bα −1 (a − b ) + cα −1 (a − c ) α −1 cα −1 (b − c ) + aα −1 (b − a ) +b + bα + cα bα −1 + cα −1 cα + aα cα −1 + aα −1
(
Í-
⇔ aα −1
ÁN
...
+ cα −1
-L
2
)(
)
a α −1 (c − a ) + bα −1 (c − a ) ≥0 cα + aα cα −1 + bα −1
(
)(
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
1 1 ⇔ aα −1bα −1 (a − b ) α − α α α −1 α −1 α c + a cα −1 + aα −1 b +c b +c
(
)(
) (
)(
)
)
+
1 1 + bα −1cα −1 (b − c ) α − α α α −1 α −1 α a + b a α −1 + bα −1 c +a c +a
(
)(
) (
)(
)
+
1 1 + cα −1a α −1 (c − a ) α − α α α −1 α −1 α b + c bα −1 + a α −1 a +b a +b §iÒu nµy lu«n ®óng víi mäi a ≥ b ≥ c > 0 vµ α > 1, α ∈ R dÊu b»ng x¶y ra khi a = b = c > 0.
(
)(
) (
)(
0.5®
)
≥ 0
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
0. 5®
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
TP
.Q
U Y
• ⇒ hai mÆt ph¼ng tiÕp xóc víi mÆt cÇu nhËn (Q) lµm mÆt ph¼ng ph©n gi¸c ⇒ 2 mÆt ph¼ng hai mÆt ph¼ng tiÕp xóc víi mÆt cÇu còng lµ hai mÆt ph¼ng ph©n gi¸c cña gãc sinh bëi (P) vµ (Q). Nªn ph−¬ng tr×nh 2 mÆt ph¼ng hai mÆt ph¼ng tiÕp xóc víi mÆt cÇu lµ: 1 x + 4y + z - 2 = 0 |2x + 4y – z -3| = |x – 2y -2z -1| ⇔ 3x - 3z - 4 = 0 1− 4 +1− 2 4 = • B¸n kÝnh mÆt cÇu cÇn lËp: R = d(I/α) = 3 3 16 2 2 2 • Ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu cÇn lËp lµ: (x − 1) + ( y + 1) + ( z − 1) = 9 Gi¶ sö a ≥ b ≥ c > 0
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
Bµi ý
0.5®
4 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
®Ò thi häc sinh giái líp 12 ( Thêi gian 180 phót)
G
x − >0
1 + 10 x .2006 1 + 100 x − 1 x
Ơ H N U Y .Q
Gi¶i ph−¬ng tr×nh log3(x2+x+1) - log3x = 2x-x2 Bµi 5: (4 ®iÓm) Cho tø diÖn ABCD, gäi R lµ b¸n kÝnh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn. G1, G2, G3, G4 lÇn l−ît lµ träng t©m c¸c mÆt BCD, ACD, ABD, ABC. §Æt AG1 = m1, BG2 = m2, CG3 = m3, DG4 = m4. CMR: ABCD lµ tø diÖn ®Òu khi vµ chØ khi 16R 3
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
10 00
m1+m2+m3+m4 =
B
TR ẦN
H Ư
N
Bµi 4: (3 ®iÓm)
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
Lim
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
2005
TÝnh
ẠO
Bµi 3: (4 ®iÓm)
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
TP
Bµi 1:(4 ®iÓm) Cho hµm sè y = x3 -(3+2m)x2 +5mx +2m a). kh¶o s¸t hµm sè khi m=-1 b) T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh x3 -(3+2m)x2 +5mx +2m = 0 cã 3 nghiÖm ph©n biÖt. Bµi 2:(5 ®iÓm) Cho ph−¬ng tr×nh x x + x + 12 = m( 5 − x + 4 − x ) a) Gi¶i ph−¬ng tr×nh khi m = 12 b) T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm
N
Gi¸o viªn:Lª ViÖt C−êng
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
h−íng dÉn s¬ l−îc to¸n HSG12 x3 -(3+2m)x2 +5mx +2m = 0 ⇔ (x-2m)(x2-3x-m)=0
N
1b) Ph−¬ng tr×nh
N
H
Ơ
x = 2m ⇔ 2 x − 3 x − m = 0( 2)
Đ
G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Bµi 2:( 5 ®) a)(2 ®) Tõ ®iÒu kiÖn 0 ≤ x ≤ 4 ⇒ VP ≥ 12( 5 − 4 + 4 − 4 ) = 12
H Ư
N
VT ≤ 4 4 + 4 + 12 = 12 ⇒ ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x=4
10 00
B
TR ẦN
b). (3 ® ) Ph−¬ng tr×nh ®G cho ⇔ f(x) = (x x + x + 12 )( 5 − x − 4 − x ) = m (2) XÐt hµm sè f(x) trªn [0;4] f(x)=f1(x)f2(x) víi f1(x) = x x + x + 12 cã f’1(x) = x +
x
1
+
2 x
2 x + 12
>0
A
⇒ f1(x) ↑ trªn [0;4] vµ f1(x) ≥ 0 ∀ x ∈ [0;4]
Ó
−1
1
+
2 5− x
2 4−x
=
−4 4− x + 5− x 2 5− x 4− x
Í-
H
f2(x) = 5 − x − 4 − x cã f’2(x) =
-L
⇒ f2(x) ↑ trªn [0;4] vµ f2(x) ≥ 0 ∀ x ∈ [0;4]
ÁN
⇒ f(x) ↑ trªn [0;4] ⇒ Min[o;4] f(x) = f(0) =
(
)
12 5 − 4 vµ Max[o;4] f(x) =12
Đ
ÀN
TO
Tõ ®ã (2) cã nghiÖm ⇔ Min[o;4] f(x) ≤ m ≤ Max[o;4] f(x) ⇔ 12 ( 5 − 4 ) ≤ m ≤ 12 lµ ®iÒu kiÖn ®Ó (1) cã nghiÖm Bµi 3:( 5 ®) n
D
IỄ N
Tr−íc hÕt ta chøng minh: a ≠ 0, n ∈ N, n ≥ 2 th× Lim x − >0
>0
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
ẠO
TP
.Q
7 m ≠ 0, m ≠ 4 (2m )2 − 3.2m − m ≠ 0 ≠ 2m ⇔ ⇔ ∆ = 9 + 4m > 0 m > − 9 4
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
U Y
Ph−¬ng tr×nh cã 3 nghiÖm ph©n biÖt khi vµ chØ khi ph−¬ng trinh(2) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt
1 + ax − 1 a = x n
§Æt y = 1 + ax khi ®ã x → 0 th× y → 1 vµ n
n
Lim x − >0
1 + ax − 1 y −1 y −1 a = Lim n = a Lim = (2 ®) n x n y − >1 y − 1 y − >1 ( y −1)( y + .... + y + 1)
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
x − >0
= Lim
1 + 10 x .2006 1 + 100 x − 1 x
2005
x − >0
1 + 10 x .2006 1 + 100 x − 2006 1 + 10 x + 2006 1 + 100 x − 1 x 2006 2005 1 + 10 x − 1 1 + 100 x − 1 + Lim x x x −>0
10 2005
+
100 2006
=
220560 2005.2006
H N
=
(3 ®)
U Y
x − >0
Ơ
= Lim 2006 1 + 100 x
2
OA2 + OB2 + OC 2 + OD 2 = R 2 Ta cã: GA + GB + GC + GD = O
(
) ( 2
TR ẦN
H Ư
N
y= g(x)= 32 x− x víi x>0, Maxf(x) =3 víi x=1 ⇒ Ph−¬ng tr×nh ®G cho cã nghiÖm x=1. Bµi 5:( 4 ®) Gäi O vµ G lÇn l−ît lµ t©m mÆt cÇu ngo¹i tiÕp vµ träng t©m tø diÖn
) (
) (
2
2
10 00
B
4R2 = OG + GA + OG + GB + OG + GC + OG + GD ⇔ 4R2 = 40G2 +GA2+GB2+GC2+GD2 (1 ®)
MÆt kh¸c:
)
2
(1 ®)
9 2 9 2 9 2 9 2 2 2 2 m1 , GB = m2 ,GC = m3 ,GD = m4 16 16 16 16 9 2 2 2 2 ⇒ 4R2 = 40G2 + m1 + m2 + m3 + m4 16 9 2 2 2 2 ⇒ 4R2 ≥ m1 + m2 + m3 + m4 (1 ®) 16
H
Ó
A
GA2 =
mµ
)
-L
Í-
(
)
ÁN
(
2
TO
Theo B§T “ Bunhiacopxki” ta cã (m1 + m 2 + m 3 + m 4 ) ≤ 4(m1 + m2 + m3 + m4)
D
IỄ N
Đ
ÀN
⇒ R2 ≥
9 (m1 + m2 + m3 + m4 ) ≥ 9 (m1+ m 2 + m 3 + m 4 )2 ( 1 ®) 64 256
⇔ m1 + m 2 + m3 + m 4 ≤
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
G
x
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
2 + x +1 víi x>0, Minf(x) = 3 víi x=1 xÐt hµm sè y= x
ẠO
TP
.Q
x > 0 x > 0 2 C©u 4: Ph−¬ng tr×nh ®G cho ⇔ ⇔ x2 + x + 1 2 + x +1 2 x = 2x − x = 32 x − x Log 3 x x
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
2005
N
Ta cã: Lim
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
16R 3 O ≡ G ⇔ Tø diÖn ABCD ®Òu (1®) m1 = m2 = m3 = m4
DÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi :
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
§Ò thi chän häc sinh giái líp 12
H Ư
N
G
(2)
2
I=
∫ sin 0
3
sin x dx x + cos 3 x
TR ẦN
π
Ơ
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
10 00
B
C©u 4: ( 5 ®iÓm) Cho tø diÖn ABCD cã t©m mÆt cÇu ngo¹i tiÕp O. T×m c¸c ®iÓm M trong kh«ng gian sao cho 4 träng t©m cña tø diÖn MBCD; MCDA; MDAB; MABC c¸ch ®Òu ®iÓm O.
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
2
4 X = (2x2 – x +1)2x C©u 3: ( 4 ®iÓm) TÝnh tÝch ph©n sau: b)
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
TP
.Q
U Y
N
H
C©u1: (6 ®iÓm) Cho hµm sè y= x3 + 4x2 + 4x +1. a) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè. b) Cho M(x0;y0) trªn ®å thÞ. Mét ®−êng th¼ng d thay ®æi ®i qua M c¾t ®å thÞ t¹i M1 vµ M2 kh¸c M. T×m quü tÝch trung ®iÓm I cña ®o¹n M1M2. c) T×m a sao cho tån t¹i 2 tiÕp tuyÕn cïng hÖ sè gãc a cña ®å thÞ hµm sè, gäi c¸c tiÕp ®iÓm lµ M3 vµ M4. ViÕt ph−¬ng tr×ng ®−êng th¼ng chøa M3 vµ M4. C©u 2: ( 5 ®iÓm) Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau: a) tgxsin2x - 2sin2x = 3 (Cos2x + sinxcosx) (1)
N
M«n: To¸n Thêi gian: 180 phót
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
§¸p ¸n ®Ò thi häc sinh giái khèi 12
C©u 1: ( 6 ®iÓm) a) ( 2 ®iÓm) • TX§: D =R • ChiÒu biÕn thiªn: y’ = 3x2 + 8x + 4
N
M«n: To¸n
TR ẦN
B
10 00
A
x
B¶ng biÕn thiªn:
Ó
•
-2
0
1
Í-
+
-L
H
-∞
y’
TO ÀN Đ
4 3
-∞
(0,5®) -
-
2 3
0
+∞
+ +∞
11 27 −5 27
§å thÞ (0,5 ®)
D
IỄ N
•
-
-
ÁN
y
(0.25®)
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
TP
TÝnh låi lâm vµ ®iÓm uèn: 4 y’’ = 6x + 8 = 0 <=> x= 3 4 4 Hµm s« låi tõ (- ∞;− ), lâm (- ; + ∞ ) 3 3 4 11 §iÓm uèn: I(- ; ) 3 27 •
H Ư
x → −∞
x → +∞
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
•
2 2 Hµm sè ®ång biÕn (- ∞ ; -2) ∪ (− ;+∞) , nghÞch biÕn (−2;− ) (0.25). 3 3 Cùc ®¹i, cùc tiÓu: Cùc ®¹i t¹i :) xC§ = -2; yC§ = 1. 2 5 Cùc tiÓu t¹i: xCT = - ; yCT = 3 27 Giíi h¹n lim y = +∞ ; lim y = −∞ (0.25®)
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
U Y
2 3
.Q
y’ = 0 <=> x = -2; x= -
N
H
Ơ
(0,25®)
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Ơ
N
4
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
-2
TR ẦN
-6
H Ư
N
G
-4
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
10 00
B
b) ( 2®iÓm) Gäi d qua M cã hÖ s« gäc k : d: y=k(x-x0) + y0 (0,25®) Hoµnh ®é giao ®iÓm cña ®å thÞ víi ®−êng th¼ng d lµ nghiÖm cña ph−¬ng 3 tr×nh: x + 4x2 + 4x +1 = k(x-x0) + x03 + 4x02 + 4x0 +1 <=> x=x0 (0, 5 ®) 2 2 x + ( 4 + x0)x + x0 + 4x0 + 4 – k = 0 (1) Gäi x1, x2 lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (1) => x1, x2 lÇn l−ît lµ hoµnh ®é cña M1, M2 => x +4 xI = - 0 (0,75 ®) 2 3x + 4 yI = y0 + k( 0 ) 2 x +4 I∈x= 0 2 Giíi h¹n: (1) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt <=> ∆ > 0 f(x0) ≠ 0
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
TP
.Q
5
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
A
-5
U Y
N
H
2
2
IỄ N
k>
3 x0 + 8 x0 (0,5) 4 2
D
k ≠ x 0 + 8 x0 + 4 b) ( 2®) §Ó tháa mdn YCBT: <=> y’ = 3x2 + 8x + 4 = a cã 2 nghiÖm ph©n biÖt
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
(0,25®)
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn 4 3
(0,25®)
Gäi M3(x3; y3), M4(x4; y4) x 4 8x + 7 y3 = a( 3 + ) − 3 8 9 9 x 4 8x + 7 y4 = a( 4 + )- 4 8 9 9 VËy ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua M3; M4 lµ: x 4 8x + 7 y= a( + ) + 8 9 9
(0,5®)
H
tgx= ± 3
π 3
ẠO G π
+ kπ (k ∈ z )
(0,5®)
B
3
+ kπ (k ∈ z )
(0,25®)
H
2
(0,5®)
+ kπ (k ∈ z )
= 2x 2 − x + 1 1 §Æt 2x2 – x = t (t ≥ − ) 8 −x
(0.5®)
Í-
a) (2) <=> 2 2 x
+ kπ (k ∈ z )
Ó
x= ±
4
10 00
4
π
A
π
x=-
x= ±
VËy nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh : x=-
N
<=>
Ph−¬ng tr×nh trë thµnh: 2t = t + 1 <=> 2 t − t − 1 = 0 Kh¶o s¸t f(t) = 2 t − t − 1 f’(t) = 2tln2 – 1 =0 <=> 2t =
(0.25®)
1 =α ln 2
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
(0.25®)
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
tgx=-1
(0,25®)
(1®)
TR ẦN
<=>
Đ
+ kπ (k ∈ z ) 2 Chia 2 vÕ cña ph−¬ng tr×nh cho cos2x (1) <=> tg3x -2tg2x = 3(1-tg2x+tgx)
H Ư
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
π
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
N U Y TP
(0,5®)
C©u 2: (4 ®) §/K : x ≠
N
x 4 8x + 7 + )(0,5®) 8 9 9
Ơ
NhËn xÐt: x3 + 4x2 + 4x + 1 = (3x2 + 8x +4)(
.Q
<=> a> -
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn t f’(t) f(t)
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com α
(1® ) (0.25®)
TP
cos x dx x + cos 3 x
π
−t )
2
(0.75®)
G
Ta CM ®−îc I = J (®Æt x=
(0.25®)
0
H Ư
∫
dx = 2 sin x − sin x cos x + cos 2 x
π
4
I+J =
2 dtgx d cot gx − ∫0 tg 2 x − tgx − 1 π∫ cot g 2 x − cot gx + 1
(0.75®)
TR ẦN
2
π
N
π
4
§Æt tgx(cotgx) = t
B
1 d (t − ) dt 2 I + J = 2∫ 2 =2 ∫ 1 3 0 (t − ) 2 + 0 t − t +1 2 4 1
(0.75®)
A
10 00
1
1 3 = tgy 2 2 4π => I + J = 3 3 2π => I= 3 3 C©u 4: ( 6 ®iÓm)
H
Ó
§Æt t -
-L
Í-
(0.75®)
TO
ÁN
(0.75)
ÀN
§Æt x = OM + 4OG (0.5®) Gäi A’, B’, C’, D’ lÇn l−ît lµ träng t©m cña c¸c tø diÖn MBCD; MCDA; MDAB; MABC
D
IỄ N
Đ
Ta cã 4OA' = OM + OB + OC + OD = OM + 4OG − OA = x − OA
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
0
3
ẠO
∫ sin
Đ
2
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
.Q
U Y
(0.25® )
π
XÐt J=
MÆt kh¸c
Ơ
Quan s¸t b¶n bݪn thiªn nhËn thÊy ph−¬ng tr×nh cã tèi ®a 2 nghiÖm t. f(0) = f(1) = 0 Ph−¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm t = 0; t= 1 1 x= 0 ; x= ± ; x=1 2 C©u 3: (4 ®)
N
+
H
0
N
-
(1®)
4 OB' = x − OB
4OC ' = x − OC
(1®)
4OD' = x − OD Ta cã: OA’ =OB’= OC’ = OD’ 2
2
2
⇒ 16OA' = 16OB' = 16OC ' = 16OD'
2
⇔ ( x − OA) 2 = ( x − OB) 2 = ( x − OC ) 2 = ( x − OD) 2 ⇔ xOA = xOB = xOC = xOD
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com (1.5®)
=> x = 0 => OM + 4OM = O => GM = 5GO VËy cã 1 ®iÓm M tho¶ mdn ®iÒu kiÖn ®Ò ra.
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
10 00
B
TR ẦN
H Ư
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
TP
.Q
U Y
N
H
Ơ
N
(0.5®) (0.5®)
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
®Ò thi häc sinh giái khèi 12 (b¶ng a) m«n: to¸n
x + 2.log7(x + 3)] 2
x3 + 1
x2 +1 x +1 + 4(1 − a ). + 4a − 6 = 0 x x
B
x x
+ 2(a − 1)
TR ẦN
a + a + sin x = sin x 2. T×m a ®Ó ph−¬ng tr×nh sau cã ®óng 3 nghiÖm ph©n biÖt.
H Ư
N
G
Bµi 3: ( 4 ®iÓm). 1. T×m a ®Ó ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm.
ÁN
Bµi 5:( 4 ®iÓm).
-L
Í-
H
Ó
A
10 00
Bµi 4( 4 ®iÓm). 1. Cho ABC nhän néi tiÕp trong ®−êng trßn t©m O b¸n kÝnh R. Gäi R1, R2, R3 lÇn l−ît lµ c¸c b¸n kÝnh ®−êng trßn ngo¹i tiÕp c¸c tam gi¸c BOC, COA, AOB. Cho biÕt: R1+R2+R3 = 3R. TÝnh 3 gãc cña ABC 2. Cho (E): x2 + 4y2 = 4 . M lµ ®iÓm thay ®æi trªn ®−êng th¼ng y=2. Tõ M kÎ ®Õn (E) hai tiÕp tuyÕn. Gäi c¸c tiÕp ®iÓm lµ T1, T2. T×m vÞ trÝ cña M ®Ó ®−êng trßn t©m M tiÕp xóc víi ®−êng th¼ng T1, T2 cã b¸n kÝnh nhá nhÊt.
TO
1. Cho hµm sè f(x) x¸c ®Þnh vµ d−¬ng trªn R tháa mVn:
f ' 2 ( x) + 4 f ' ( x). f ( x) + f 2 ( x) = 0 f ( 0) = 1
D
IỄ N
Đ
ÀN
T×m hµm sè f(x). 2. Cho tø diÖn ABCD cã träng t©m lµ G. C¸c ®−êng th¼ng AG, BG, CG, DG kÐo dµi lÇn l−ît c¾t mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn ë A1, B1, C1, D1 CMR: GA1 + GB1 + GC1 + GD1 ≥ GA + GB + GC + GD
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
log22 x + x.log7(x + 3)= log2x [
ẠO
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
2. gi¶i ph−¬ng tr×nh:
3 tgx + 1 (sin x + 2cos x)=5(sin x +3cos x).
Đ
1. Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh:
TP
Bµi 2: (4 ®iÓm).
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
.Q
U Y
N
H
Ơ
N
thêi gian: 180' 1 1 Bµi 1:(4 ®iÓm). Cho hµm sè: y = x 3 + mx 2 − 2 x − 2m − (cm) 3 3 1. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè khi m = 1. 5 2. T×m m ∈ (0; ) sao cho h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®å thÞ (Cm), vµ c¸c ®−êng th¼ng: x=0; x=2; y=0 cã diÖn 6 tÝch b»ng 4.
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
10 00
B
TR ẦN
H Ư
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
TP
.Q
U Y
N
H
Ơ
N
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
§¸p ¸n vµ thang ®iÓm §¸p ¸n x3 7 + x 2 − 2x − 3 3
N
y=
Bµi 1: 1.Khi m=1.
Thang ®iÓm
U Y
0,5
.Q
Hµm sè ®ång biÕn (-∞; -1- 3 ) ∪ (-1+ 3 ; +∞)
G
Đ
+ y ' ' = 2 x + 2 ; y ' ' = 0 ⇔ x = − 1.
TR ẦN
Lim x →−∞ y = −∞ ; Lim x →+∞ y = +∞ B¶ng biÕn thiªn
+
-
-1+ 3 0
+∞
0,5
+ +∞
H
Ó
y’ y
-1- 3 0 C§
A
-∞
10 00
B
+
x
0.5
H Ư
N
§å thÞ hµm sè låi trªn (-∞; -1) §å thÞ hµm sè lâm trªn (-1;-∞) 7 NhËn I(-1, − ) lµm ®iÓm uèn 3
CT
-L
Í-
-∞
TO
ÁN
§å thÞ:
D
IỄ N
Đ
ÀN
0.5
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
yCT = y(-1+ 3 ) =
ẠO
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
yC§ = y(-1- 3 ) =
TP
Hµm sè nghÞch biÕn ( -1- 3 ;1+ 3 )
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
x = −1 − 3 y' = 0 ⇔ x = −1 + 3
+ y ' = x 2 + 2x − 2
N
H
Ơ
TX§ : D = R
2. XÐt ph−¬ng tr×nh :
x3 1 + mx 2 − 2 x − 2m − = 0 trªn [0; 2] 3 3
x3 1 §Æt f ( x) = + mx 2 − 2 x − 2m − = 0; 3 3
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
f ' ( x) = x 2 + 2mx − 2.
0.5
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Ph−¬ng tr×nh: f ' ( x) = 0 lu«n cã hai nghiÖm tr¸i dÊu x1<0<x2
x2
0
+∞
+
f
G
N
H Ư
+ VËy 2
m=
1 2
B
0.5
0.5
cos x ≠ 0 1./ §K : tgx ≥ −1
Í-
Bµi 2:
H
Ó
A
§S :
4m + 10 1 5 = 4 ⇔ m = ∈ (0; ) 3 2 6
10 00
+Do S = 4 ⇒
0.5
TR ẦN
x3 x 4 mx 3 1 1 4m + 10 s = ∫ (− − mx 2 + 2 x + 2m + )dx = [− − + x 2 + (2m + ) x | 02 = 3 3 12 3 3 3 0
+ Ph−¬ng tr×nh ®V cho
⇔ 3. tgx + 1.(tgx + 2) = 5(tgx + 3) .(1)
t ≥ 0 tgx + 1 = t ≥ 0 (2) ⇔ ⇔t=2 2 (t − 2).(3t + t + 5) = 0
TO
+§Æt
ÁN
-L
0.5 0.5 0.5
Đ
ÀN
+ Víi t = 2 ⇔ tgx = 3 = tgα ⇔ x = α + kΠ (k ∈ Z ) tháa m¶n ®iÒu kiÖn
D
IỄ N
2.§K: x>0 +Ph−¬ng tr×nh ®V cho
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
ẠO
TP
.Q
0.5
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
1 f ( 0) = − 2 m − 3 < 0 5 5 cã: ∀ m ∈ (0; ) ⇒ f ( x) < 0 ∀x ∈ [0;2]; m ∈ (0; ) 6 6 5 f ( 2) = 2 m − 3 < 0
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
U Y
N
-
2
Ơ
0
H
+ Ta cã b¶ng biÕn thiªn: x -∞ x1 f’ 0
N
5 L¹i do f ' (0). f ' (2) < 0 ∀m ∈ (0; ) nªn : x1<0<x2<2 6
0.5
(1) 2 log 2 x = x ⇔ (2 log 2 x − x)(log 2 x − 2 log 7 ( x + 3)) = 0 ⇔ log 2 x = 2 log 7 ( x + 3) (2)
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn x > 0 ⇔ ln x ln x x = 2 ln x trªn (0;+∞) ; x
0.5
1 − ln x f (x) = ; f '( x) = 0 ⇔ x = e 2 x B¶ng biÕn thiªn. x 0 e f’ 0 +
1 e Tõ b¶ng biÕn thiªn ⇒ hÖ (1’) cã kh«ng qu¸ 2 nghiÖm: NhËn thÊy x=2; x=4 tháa mVn (1’). VËy ph−¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm x=2; x=4. 4 3 + Gi¶i (2). §Æt: log 2 x = 2 log 7 ( x + 3) = 2t ⇔ 7 t = 4 t + 3 ⇔ 1 = ( ) t + t . (2' ) 7 7 4 3 XÐt hµm sè: g (t ) = ( ) t + t . lu«n nghÞch biÕn ⇒ (2’) cã nghiÖm duy nhÊt t =1 7 7 VËy (2) cã nghiÖm x =2
Đ
G
N
10 00
B
TR ẦN
H Ư
0.5
0.5
+ KL: Ph−¬ng tr×nh ®V cho cã 2 nghiÖm: x = 2; x=4
Ó
A
0.5
H
Bµi 3:
-L
Í-
0 ≤ t ≤ 1 1. + §Æt sinx = t cã ph−¬ng tr×nh ®V cho ⇔ 2 a + a + t = t a + t = y ≥ 0 hÖ trªn
ÁN
+ §Æt:
0.5
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
y ≥ 0 ;0 ≤ t ≤ 1 y ≥ 0; 0 ≤ t ≤ 1 y ≥ 0 ;0 ≤ t ≤ 1 2 2 ⇔ a + y = t ⇔ a + y = t ⇔ t = y (t − y )(t + y + 1) = 0 2 2 t − t = a a + t = y + XÐt hµm sè: f(t)= t2 – t trªn [0;1]. 1 1 1 cã: f ' (t ) = 2t − 1 ; f ' (t ) = 0 ⇔ t = f (0) = f (1) = 0 ; f ( ) = − 2 2 4 2 HÖ trªn cã nghiÖm khi ®−êng th¼ng y=a c¾t ®−êng cong y=f(t)= t -t trªn [0;1] 1 ⇔− ≤a≤0 4
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
ẠO
f
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
TP
.Q
U Y
N
H
'
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
N
(1' )
Ơ
x > 0 + Gi¶i (1) ⇔ x x2 = 2
XÐt hµm sè: f ( x) =
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
0.5
0.5
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
KÕt luËn: Ph−¬ng tr×nh ®V cho cã nghiÖm khi −
1 ≤4≤0 4
0.5
2. §K : x>0. = t (®k :t ≥ 2) víi t =2 cho gi¸ trÞ x=1
N .Q
U Y
víi t>2 cho gi¸ trÞ x>0
t = 2 ↔ x = 1 2 f (t ) = t + 2at + 1 = 0 t≥2 0.5 + Do (*) nªn ®Ó ph−¬ng tr×nh ®V cho cã 3 nghiÖm ph©n biÖt th× PT (1) ph¶i cã ®óng 1 nghiÖm t>2 NhËn xÐt: TÝnh a.c =1 vËy ®Ó ph−¬ng tr×nh (1) cã ®óng 1 nghiÖm t>2 th× (1) ph¶i cã nghiÖm c¸c tr−êng hîp sau:
TP
ẠO
TR ẦN
0.5
B 10 00
∆ = 0 VN − a > 2 t1 = 2 < t 2 ↔ VN 5 t < 2 < t 1 2 f ( 2) < 0 ⇔ a < − 4
H Ư
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
t ≥ 2 + Ta cã : (1) ⇔ ⇔ 2 (t − 2)(t + 2at + 1) = 0
5 4
0.5
H
Ó
A
KÕt luËn: §Ó ph−¬ng tr×nh ®V cho cã ®óng 3 nghiÖm ph©n biÖt th× : a< −
0.5
0.5
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
Bµi 4: 1. Theo ®Þnh lý hµm sè sin cho BOC ta cã: a a 2 R sin A R = = 2 R1 ⇔ = 2 R1 ⇔ R1 = sin BOC sin 2 A sin 2 A 2 cos A R R T−¬ng tù cho COA, AOB : R2 = ; R3 = 2 cos B 2 cos C. 1 1 1 + VËy cã: + + = 6. (1) cos A cos B cos C
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
0.5
(*)
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
x
Ơ
1
H
x+
N
+ §Æt:
D
+ DÔ cã :
1 1 1 9 9 + + ≥ ≥ = 6 (Do ABC cos A cos B cos C cos A + cos B + cos C 3 2
nhän). + ( Ph¶i chøng minh : cos A + cos B + cos C ≤
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
3 ) 2
0.5 0.5
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
+ VËy (1) ⇔ CosA = CosB = CosC ⇔ A = B = C = 60 o x2 + y 2 = 1 M ∈ ®−êng th¼ng y = 2 → M(a;2) 4 + Gäi T1(x1,y1); T2(x2,y2) lµ c¸c tiÕp ®iÓm tiÕp tuyÕn t¹i T1, T2 lµ: xx 1: 1 + y. y1 = 1 4 x x 2 : 2 + y. y 2 = 1 4 a.x1 4 + 2 y1 = 1 Do 1; 2 ®i qua M(a, 2) ⇒ a.x 2 + 2 y = 1 2 4
R=
0.5
a 2 + 64 t + 12 t + 64
⇒ R min = f (0) =
3 2
0.5
-L
2 (t + 64) 3
∀t ≥ 0
a 2 + 64
a 2 + 12
Í-
> 0
H
t + 116
f ' (t ) =
Ó
A
+ Ta t×m a ®Ó R nhá nhÊt : §Æt a 2 = t ≥ 0 → R = f (t ) =
)=
D
IỄ N
Đ
TO
ÀN
Bµi 5 : 1. Tõ:
ÁN
®¹t ®−îc khi : t=0 ⇔ a=0 + KÕt luËn: vËy ®iÓm M(0;2).
'2
'
2
f ( x) + 4 f ( x) + f ( x) = 0
f ' ( x) = −2 + 3 f ( x ) ⇔ ' f ( x) = −2 − 3 f ( x)
f ' ( x) = (−2 + 3) f ( x) ⇔ ' f ( x) = (−2 − 3) f ( x)
(1)
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
10 00
B
+ §−êng trßn t©m M tiÕp xóc T1, T2 cã b¸n kÝnh lµ:
T1T2
a 2 + 12
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
R = d (M
Ơ
N
N H Ư
TR ẦN
VËy ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng T1, T2 lµ; ax + 8y – 4 =0.
H N
U Y .Q TP ẠO
a.x + 2y =1 4
G
NhËn xÐt : T1, T2 cã täa ®é tháa m¶n ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ∆ :
0.5
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
2. (E):
0.5
( do f ( x) > 0) (2)
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
3 ) x + C1 3)x
3 ) x.
0.5
f ( x) = e
hoÆc f ( x) = e
( −2 + 3 ) x .
U Y
§¸p sè:
( −2 − 3 ) x .
.Q
0.5
2
2
OB = OG + GB + 2OG.GB
T−¬ng tù ta cã:
H Ư
N
G
OC 2 = OG 2 + GC 2 + 2OG.GC OD 2 = OG 2 + GD 2 + 2OG.GD
0.5
0.5
1 1 1 1 1 (GA 2 + GB 2 + GC 2 + GD 2 ).( + + + ) 4 GA GB GC GD
Ó
A
=
10 00
B
TR ẦN
+ Tõ trªn : ⇒ 4( R 2 − OG 2 ) = GA 2 + GB 2 + GC 2 + GD 2 + L¹i cã : GA.GA1= GB.GB1=GC.GC1=GD.GD1=R2 – OG2 1 1 1 1 VËy : GA1 + GB1 + GC1 + GD1 = ( R 2 − OG 2 )( + + + ) GA GB GC GD
0.5
ÁN
-L
Í-
H
+ ¸p dông Bunhia vµ cosi cã: 1 1 1 1 1 GA1 + GB1 + GC1 + GD1 ≥ (GA + GB + GC + GD ) 2 ( + + + ) 16 GA GB GC GD ≥ GA + GB + GC + GD ⇔ GA = GB = GC = GD ⇔ Tø diÖn ABCD gÇn ®Òu hoÆc tø
0.5
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
DÊu b»ng x¶y ra diÖn ABCD ®Òu
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
2
ẠO
⇒ OA 2 = OG 2 + GA 2 + 2OG.GA
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Cã: OA = OG + GA
TP
2. Gäi O lµ t©m mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn ABCD
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
+ XÐt (2) t−¬ng tù : ta ®−îc kÕt qu¶ : f ( x) = e ( −2−
N
+ VËy: f ( x) = e ( −2+
0.5
f (0) = 1 ⇔ e C1 = 1 ⇔ C1 = 0
do
Ơ
⇔ f ( x) e ( −2+
⇔ ln f ( x) = (−2 + 3 ) x + C1
H
∫
f ' ( x) dx = ∫ (−2 + 3 )dx f ( x)
N
+ XÐt (1) Cã:
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
§Ò thi häc sinh giái líp 12 M«n: To¸n
Thêi gian: 180 phót
Gi¸o viªn thùc hiÖn: Lª V¨n Minh
H
Ơ
N
Lª V¨n Khëi
U Y
Cho hµm sè: y = x 3 − 3 x 2 + 1 (C)
.Q
a) Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè (C)
ẠO
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
y = x 3 − 3 x 2 − kx − k = 0 (1)
Đ
C©u 2: (4 ®iÓm)
− mx +1
− 2x
2
+1
N
= − x 2 + 2mx − 1
TR ẦN
2
C©u 3: (5 ®iÓm) π
(1 + cos x) 1+ sin x ln ∫0 1 + sin x dx
10 00
x
∫ sin tdt = cos 2 x − 1
Ó
0
A
b) T×m x ∈ Z tho¶ m0n
B
2
a) TÝnh:
H Ư
b) T×m m ®Ó pt sau cã nghiÖm: 4x
G
a) Chøng minh r»ng: e x + cos x ≥ x + 2 víi ∀x ≥ 0
H
c) Cho c¸c sè d−¬ng a, b, c, d tho¶ m0n:
ÁN
-L
Í-
a 2004 + b 2004 = c 2004 + d 2004 2005 a + b 2005 = c 2005 + d 2005
TO
Chøng minh r»ng: a 2006 + b 2006 = c 2006 + d 2006
ÀN
C©u 4: (3,5 ®iÓm)
Đ
Cho elÝp:
y2 x2 y2 x2 + = 1 (E) vµ Hypebol: + = 1 (H) (víi a, b, m, n > 0) cã cïng chung tiªu a2 b2 m2 n2
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
TP
b) BiÖn luËn theo k sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh:
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
N
C©u 1: (4 ®iÓm)
D
IỄ N
®iÓm F1 vµ F2: Chøng minh r»ng tiÕp tuyÕn cña (E) vµ (H) t¹i giao ®iÓm cña chóng vu«ng gãc víi nhau. C©u 5: (4,5 ®iÓm) Cho tø diÖn ®Òu ABCD, gäi (C) lµ mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn ABCD. §iÓm
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
M ∈ (C), gäi A1, B1, C1, D1 lÇn l−ît lµ h×nh chiÕu cña M trªn c¸c mÆt ph¼ng (BCD); (ACD); (ABD); (ABC). a) T×m vÞ trÝ ®iÓm M ∈ (C) sao cho tæng:
N
S = MA1 + MB1 + MC1 + MD1 ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt.
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
10 00
B
TR ẦN
H Ư
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
TP
.Q
U Y
N
H
Ơ
b) Chøng minh r»ng tån t¹i ®iÓm M ∈ (C) ®Ó 4 ®iÓm A1, B1, C1, D1 kh«ng ®ång ph¼ng:
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
®¸p ¸n §Ò thi häc sinh giái líp 12 M«n: To¸n
Thêi gian:
Gi¸o viªn thùc hiÖn: Lª V¨n Minh
Ta cã:
f ' ( x) = e x − sin x − 1 f " ( x) = e x − cos x
Đ
0,25 0,25 0,25
VËy hµm sè f(x) = ®ång biÕn trªn [0,+∞ )
0,25
H Ư
N
G
V× x ≥ 0, e x ≥ 1 cßn cos x ≤ 1 ⇒ f " ( x) = e x − cos x ≥ 0 víi ∀x ≥ 0
hay f(x) ®ång biÕn [0,+∞ )
0,25 0,25 0,25
B
f ( x) ≥ f (0) = e 0 + cos 0 − 0 − 2 = 0
TR ẦN
f ' ( x) ≥ f ' (0) = e 0 − sin 0 − 1 = 0 ⇒ f ' ( x) ≥ 0 víi ∀x ≥ 0
10 00
f ( x) ≥ 0 ⇒ e x + cos x ≥ x + 2 víi ∀x ≥ 0
− mx +1
− 2x
2
+1
= − x 2 + 2mx − 1 = 0 (1)
Ó
2
2
− 2 mx + 2
− 2x
2
− 2 mx + 2
+ 2 x 2 − 2mx + 2 = 2 x
H
4x
Í-
Ph−¬ng tr×nh (1) ⇔ 2 2 x
-L
⇔ 22x
2
+1
= −2 x 2 + 2mx − 2 + x 2 + 1 2
+1
+ x 2 + 1 (2)
0,25 0,5
Ta cã f ' (t ) > 0∀t VËy hµm sè f (t) ®ång biÕn ∀ t
0,25
Tõ ®¼ng thøc (2) ⇒ 2 x 2 − 2mx + 2 = x 2 + 1
0,25
TO
ÁN
XÐt hµm sè f (t ) = 2 t + t Ta cã f ' (t ) = 2 t ln 2 + 1
ÀN Đ IỄ N D
0,5
A
C©u b: (2 ®iÓm) T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm:
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
f ( x) = e x + cos x − x − 2
TP
§Æt:
.Q
(1) ⇔ e x + cos x − x − 2 ≥ 0 víi ∀x ≥ 0
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
N
U Y
(4 ®iÓm)
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
0,25
C©u a: (2 ®iÓm) Chøng minh r»ng e x + cos x ≥ x + 2(1) víi ∀x ≥ 0
ẠO
C©u 2
H
Ơ
N
Lª V¨n Khëi
0,25
⇔ x 2 − 2mx + 1 = 0 (3)
Ph−¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm ⇔ Ph−¬ng tr×nh (3) cã nghiÖm ⇔ ∆' ≥ 0
⇔ m2 - 1≥ 0
C©u 3
⇔ m ≥1
π
(1 + cos x) 1+sin x ln ∫0 1 + sin x dx 2
(5 ®iÓm)
C©u a: (2 ®iÓm)
TÝnh:
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
π
π
π
2
2
2
0
0
0
0,5
I = ∫ ln(1 + cos x)dx + ∫ sin x ln(1 + cos x)dx − ∫ ln(1 + sin x)dx ( I 2)
(I3)
H N
⇒t =0
π
π
π
2
2
2
π
ẠO
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
I1 = ∫ ln(1 + cos( − t ))dt = ∫ ln(1 + sin t )dt = ∫ ln(1 + sin x)dx = I 3 2 0 0 0
G
Đ
VËy I1 - I3 = 0
N
π 2
0,25
H Ư
Ta tÝnh: I 2 = ∫ sin x ln(1 + cos x)dx
0,25
0
TR ẦN
x=0⇒t =2
π
2
⇒ t =1
0,25
1 du = dt t v = t
10 00
u = ln t I 2 = ∫ ln tdt §Æt: dv = dt 1
x=
B
§Æt: t = 1 + cos x ⇒ dt = − sin xdx :
A
2
0,25
Ó
2
Í-
1
H
I 2 = t ln t 12 − ∫ dt = (t ln t − t ) 12
0,25
-L
I 2 = 2 ln 2 − 1
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
C©u c: (1,5 ®iÓm) Cho c¸c sè d−¬ng a, b, c, d tho¶ m0n:
0,25
a 2004 + b 2004 = c 2004 + d 2004 2005 a + b 2005 = c 2005 + d 2005
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
2
2
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
x=
π
U Y
2
− t ⇒ dx = dt :
.Q
π
π
x =0⇒t =
TP
§Æt: x =
0,25
Ơ
Chøng minh: I1 = I3
N
(I)1
Chøng minh r»ng: a 2006 + b 2006 = c 2006 + d 2006
§Æt: x = a 2004 , y = b 2004 , m = c 2004 , n = d 2004 , α =
x + y = m + n(1) Theo ®Ò ra ta cã: α α α α x + y = m + n ( 2)
2005 2006 ,β = 2004 2004
Tõ (1) vµ (2) ta cã:
0,25
x α + (m + n − x) α = m α + n α
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
0,25
f ( x) = x α + ( m + n − x ) α = m α + n α ; α > 1 ; x > 0
=> f ' ( x) = 0 ⇔ x =
0,25
m+n 2
0,25
Suy ra PT f(x) = 0 cã nhiÒu nhÊt 2 nghiÖm
H N .Q
U Y
a = d b = c
hoÆc
TP
a = c VËy b = d
Ơ
x = m y = m mµ f (m) = f (n) = 0 ⇒ ⇒ x = n y = n
x
= − cos x + 1
H Ư
x 0
N
∫ sin tdt = − cos t
0,5
G
0
Ta cã:
0,25
Đ
∫ sin tdt = cos 2 x − 1
C©u b: (1,5 ®iÓm) T×m x ∈ Z tho¶ m0n
0
TR ẦN
VËy: cos 2 x − 1 = − cos x + 1 ⇒ cos 2 x + cos x − 2 = 0
0,5
10 00
B
cos x = 1 2 2 cos x + cos x − 3 = 0 ⇔ cos x = − 3 (loai ) 2
cos x = 1 ⇒ x = 2kπ v× x ∈ Z , k ∈ Z => k = 0
A
Ó
y2 x2 y2 x2 + = 1 (E) vµ Hypebol: + = 1 (H) cã chung tiªu ®iÓm a2 b2 m2 n2
Í-
(3,5 ®iÓm)
ElÝp:
H
C©u 4
0,5
nghiÖm ph−¬ng tr×nh x = 0
x=0
F1(-c;0); F2(c;0)
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
x
ẠO
Tõ ®ã ta suy ra: a 2006 + b 2006 = c 2006 + d 2006
ÁN
VËy c2 = a2 - b2 2
2
(a > b > 0)
0,25
2
TO
c = m + n (m,n > 0)
VËy: a2 - b2 = m2 + n2 ⇒ a2 - m2 = b2 + n2
D
IỄ N
Đ
ÀN
To¹ ®é giao ®iÓm cña (E) vµ (H) lµ nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh:
0,25 0,25
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
]
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
[
f ' ( x) = α xα −1 − (m + n − x)α −1
N
XÐt hµm sè
x2 y2 2 + 2 = 1( E ) a b 2 2 x + y = 1( H ) m 2 n 2
b2 + n2 Gi¶i ra ta ®−îc: x = ± am 2 2 b (a + m 2 )
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
0,5
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
0,5
a2 − m2 y = ±bn 2 2 b (a + m 2 )
Cã 4 giao ®iÓm. Gi¶ sö 1 giao ®iÓm :
N
a2 − m2 ) NhËn xÐt: b 2 (a 2 + m 2 )
Ơ TP
®Æt:
.Q
b2 + n2 = k ; M (amk, bnk) b 2 (a 2 + m 2 )
Ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña Hypebol t¹i M cã d¹ng: amk bnk ak bk x − 2 y =1⇒ x− y =1 2 m n m n
TR ẦN
TiÕp tuyÕn (d1) cã vÐc t¬ ph¸p tuyÕn n1 = (
m n ; ) a b
ma nb − = 0 ⇒ n1 ⊥ n 2 ⇒ d 1 ⊥d 2 ma nb
H
Ó
VËy 2 ®−êng th¼ng (d1) vµ (d2) vu«ng gãc víi nhau.
0,25 0,25
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
T−¬ng tù 3 ®iÓm cßn l¹i ta còng cã c¸c tiÕp tuyÕn cña (H) vµ (E) vu«ng gãc víi nhau.
0,25
a b ;− ) m n
A
n1 .n 2 =
10 00
B
TiÕp tuyÕn (d2) cã vÐc t¬ ph¸p tuyÕn n 2 = ( Ta cã:
0,25
H Ư
(d2)
G
Đ
(d1)
N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
amk bnk mk nk x + 2 y =1⇒ x+ y =1 2 a b a b
0,25
ẠO
Ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña elÝp t¹i M cã d¹ng:
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
U Y
N
2 biÓu thøc c¨n b»ng nhau do a2 - m2 = b2 + n2
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
bn
H
b2 + n2 ; b 2 (a 2 + m 2 )
M ( am
0,25
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
C©u 5 (4,5 ®iÓm)
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
C©u a: (2,5 ®iÓm)
0,25
A
Kh«ng lµm mÊt tÝnh tæng qu¸t. Gi¶ sö ®−êng th¼ng AM c¾t
H C
C1
B1
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
D1
B2
.Q
D2
U Y
C2
TP
+ VMADB
D
TR ẦN
1 1 B ( MB1 + MC1 + MD1 ) = B (h + MA1 ) 3 3
0,25
0,5
H Ư
N
Gäi B lµ diÖn tÝch mét mÆt cña tø diÖn, h lµ ®−êng cao:
G
MÆt kh¸c: VMABCD = VABCD + VMBCD
Ta cã tæng S = MA1 + MB1 + MC1 + MD1 = h + 2 MA1
0,25
V× h kh«ng ®æi S lín nhÊt khi MA1 lín nhÊt:
0,25
10 00
B
MA1 lín nhÊt ⇔ AM lµ ®−êng kÝnh cña (C):
0,25
Khi AM lµ ®−êng kÝnh:
0,25
A
Max S = h + 2MA1 = h + 2MH = 2(h + MH) - h = 4R - h
H
Ó
Ta cã 4 vÞ trÝ cña M ®Ó S lín nhÊt ®ã lµ:
Í-
AM hoÆc BM, CM, DM lµ ®−êng kÝnh cña (C )
-L
Min S = h + 2MA1 Khi MA1 nhá nhÊt MA1 = 0 ⇒ M trïng víi c¸c ®Ønh B
0,25
ÁN
hoÆc C, hoÆc D.
TO
VËy min S = h khi M trïng víi c¸c ®iÓm A hoÆc B, C, D
0,5
ÀN
C©u b: (2 ®iÓm) Khi AM lµ ®−êng kÝnh cña mÆt cÇu (C) ®iÓm
0,25
D
IỄ N
Đ
A1 ≡ H t©m mÆt ph¼ng BCD. Gäi H1, H2, H3 lÇn l−ît lµ t©m cña c¸c mÆt
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
I
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
VMABCD = VMABC + VMACD B
H2
Ơ
H3
H
H1
N
∆ BCD. Ta cã:
N
mf (BCD) t¹i 1 ®iÓm n»m trong
ABC, ACD, ABD. I lµ t©m mÆt cÇu (C) Ta cã MD1 // IH1, MB1 // IH2, MC1 // IH3
0,5
⇒ mf (B1D1C1) // mf (H1H2H3)
0,5
MÆt kh¸c (H1H2H3) // (BCD)
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
0,5
(B1D1C1) // (BCD) v× A1 ≡ H ∈ (BCD) nªn 4 ®iÓm A1,B1,C1,D1 kh«ng ®ång ph¼ng
C©u a: (2 ®iÓm)
0,25
U Y
+ 0
-
2
G
Đ
Hµm sè ®ång biÕn (−∞;0) ∪ (2;+∞) nghÞch biÕn (0;1)
N
0,25
H Ư
Hµm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i x1 = 0 gi¸ trÞ cùc ®¹i y(0) = 1
0,25
Hµm sè ®¹t cùc tiÓu t¹i x 2 = 0 gi¸ trÞ cùc tiÓu y(2) = -3 + §iÓm uèn y" = 6 x − 6
0,25
TR ẦN
y" = 0 ⇔ x = 1
y" ®æi dÊu khi x ®i qua ®iÓm 1 ⇒ §å thÞ cã ®iÓm uèn U (1;-1) + Lim y = −∞ ,
10 00
x → +∞
B¶ng biÕn thiªn:
x
0
+
0
H
A
−∞
1
Ó
y'
2
-
+∞
0
+
+∞
TO
ÁN
-L
Í-
y
0,25
B
Lim y = +∞
x → −∞
-3
−∞
+ §å thÞ ®i qua c¸c ®iÓm: -1
0
2
3
y
-3
1 -1 -3
1
1
y 1 -1
1
D
IỄ N
Đ
ÀN
x
0,5
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
+
.Q
x1 = 0 x = 2 2
TP
XÐt dÊu y'
Ơ
+ ChiÒu biÕn thiªn: y ' = 3 x 2 − 6 x
H
0,25
N
+ TËp x¸c ®Þnh: ∀x ∈ R
y' = 0 ⇔ 3x 2 − 6 x
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
N
Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè: y = x 3 − 3 x 2 + 1 (C)
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
(4 ®iÓm)
ẠO
C©u 1
2
x -1
-3
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
0,25
C©u b: (2 ®iÓm)
N
BiÖn luËn theo k sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh:
H
Ơ
y = x 3 − 3 x 2 − kx − k = 0 (1)
(d) lµ ®−êng th¼ng quay xung quanh ®iÓm A (-
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
1;1) cè ®Þnh
0,25
H Ư
§iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó (d) lµ tiÕp tuyÕn cña (C) lµ hÖ cã nghiÖm:
TR ẦN
x 3 − 3 x 2 + 1 = k ( x + 1) + 1(1) 3 x 2 − 6 x = k ( 2)
10 00
B
Thay (2) vµo (1) ta ®−îc x 3 − 3 x 2 = (3x 2 − 6 x)( x + 1)
Ó
A
2x 2 − 6x = 0
0,25
x1 = 0 ⇔ x2 = 3 x3 = − 3
0,25
ÁN
-L
Í-
H
x1 = 0 k 1 = 0 y = 1(d 1 ) Víi : x 2 = 3 ⇒ k 2 = 9 − 6 3 ⇒ y = (9 − 6 3 )( x + 1) + 1(d 2 ) x 3 = − 3 k 3 = 9 + 6 3 y = (9 + 6 3 )( x + 1) + 1(d 3 )
TO
* BiÖn luËn: +
Khi
9−6 3<k <0
y A
D
IỄ N
Đ
ÀN
k > 9 + 6 3 (d) c¾t (C) t¹i 3 ®iÓm
x
-3
hoÆc k = 9 + 6 3 th× (d) vµ (C) ⇒ ph−¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm
2
-1
+ Khi k = 0 hoÆc k = 9 − 6 3
cã hai ®iÓm chung
d1
1 1
⇒ ph−¬ng tr×nh (1) cã 3 nghiÖm
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
0,25
hoÆc
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
TP
y = k ( x + 1) + 1
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
U Y 0,25
y = x 3 − 3 x 2 + 1 (C) ®å thÞ võa kh¶o s¸t ë trªn
.Q
§Æt:
N
Ph−¬ng tr×nh (1) ⇔ x 3 − 3 x 2 + 1 = k ( x + 1) + 1
0,25
d3 d2
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
+
Khi
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
hoÆc
k <9−6 3
0,25
0 < k < 9 + 6 3 th× (d) vµ (C) c¾t
nhau t¹i 1 ®iÓm
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
10 00
B
TR ẦN
H Ư
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
TP
.Q
U Y
N
H
Ơ
N
⇒ ph−¬ng tr×nh (1) chØ cã 1 nghiÖm duy nhÊt
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
§Ò xuÊt ®Ò thi häc sinh giái líp 12 M«n: To¸n - B¶ng A
H
Ơ
N
Thêi gian lµm bµi: 180 phót
U Y
m.Cosx + Cos3x - Cos2x =1
2
N
π
)
2
−4 x
.logπ
1 =0 2( x − Sina + 1 + 1)
B
32-x - Sin a +1. logπ (x2 + 4x + 6) + ( 3)− x
TR ẦN
2) T×m a ®Ó ph−¬ng tr×nh sau cã ®óng 3 nghiÖm ph©n biÖt.
H Ư
(víi x lµ tham sè, 0 < x <
G
1) Gi¶i ph−¬ng tr×nh (Sinα)x + (tgα)x = (α)x
10 00
3 Bµi 3: Víi mäi ∆ABC, ∀k∈ 0, . Chøng minh: 4
A
π π π A− B B −C C−A + Cos + Cos ≤ Cosk ( A − ) + Cosk ( B − ) + Cosk (C − ) 2 2 2 3 3 3
H
Ó
Cos
(i=1, 2...)
Chøng minh (a2006 + b2006)2 > 16039
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
a1 ; b1 > 0 1 Bµi 4: XÐt hai d"y sè: {an } ;{bn } ; voi ai +1 = bi + a i 1 bi +1 = ai + bi
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
Đ
Bµi 2:
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
TP
ẠO
π 5π 2) T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh ®" cho cã ®óng 8 nghiÖm ph©n biÖt x ∈ − ; 2 2
.Q
1) Gi¶i ph−¬ng tr×nh trªn víi m=1.
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
N
Bµi 1: Cho ph−¬ng tr×nh:
D
Bµi 5: Cho tø diÖn ABCD
1) Gäi αi (i= 1, 2, .., 6) lµ ®é lín c¸c gãc nhÞ diÖn cã c¹nh lÇn l−ît lµ c¸c c¹nh cña tø diÖn 6
Chøng minh:
∑ Cosα
i
≤ 2.
i =1
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
2) Gäi G lµ träng t©m cña tø diÖn; mÆt ph¼ng (α) quay quanh AG, c¾t DB t¹i M vµ c¾t DC t¹i N. Gäi V, V1 lÇn l−ît lµ thÓ tÝch cña tø diÖn ABCD vµ DAMN. Chøng minh:
N
4 V1 1 ≤ ≤ 9 V 2
H
Ơ
3) Gäi diÖn tÝch c¸c mÆt ®èi diÖn víi c¸c ®Ønh A, B, C, D cña tø diÖn lÇn l−ît lµ: Sa, Sb, Sc, Sd. I lµ t©m h×nh
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
10 00
B
TR ẦN
H Ư
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
TP
.Q
U Y
Sa .IA + Sb .IB + Sc .IC + Sd .ID = 0
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
N
cÇu néi tiÕp tø diÖn ABCD. Chøng minh:
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
H−íng dÉn chÊm thi häc sinh giái líp 12 M«n: To¸n. B¶ng A
Néi dung
§iÓm
N
C©u
5
H
Ơ
Bµi 1
Cosx = 0
Víi m =1; Ph−¬ng tr×nh ⇔
TR ẦN
2
Cosx = 0
Ph−¬ng tr×nh ⇔
2 2
* Cosx =0 Cã 2 nghiÖm: x =
10 00
B
2 4Cos x − 2Cosx + m − 3 = 0
π
2
; x=
3π 2
0,5
Ó
A
* Ycbt ⇔ 4Cosx2 - 2 Cosx +m - 3 =0
-L
Í-
H
Cosx = t (-1 ≤ t ≤ 1) ⇔ 2 f (t ) = 4t − 2t + m − 3 0,5
TO
ÁN
−1 < t1 < 0 < t2 < 1 : (a) Cã 2 nghiÖm t1, t2 tháa m"n: (b) 0<t<1=t 2
ÀN
* Tr−êng hîp (b) lo¹i (v× nÕu t2=1 th× t1<0)
VËy gi¸ trÞ m cÇn t×m: 1< m < 3
D
IỄ N
Đ
f (−1). f (0) < 0 * Tr−êng hîp (a) ⇔ f (0). f (1) < 0
0,5
⇔ 1< m < 3
0,5
Bµi 2
4
1
2
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
TP Đ G N H Ư
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
π x= 2 + kπ ⇔ x = k 2π 2π + k 2π x = ± 3
Cosx = 0 ⇔ Cosx = 1 1 Cosx = − 2
1
.Q
2 4Cos x − 2Cosx − 2 = 0
3
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
U Y
N
1
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
x
x
Sinα tgα Ph−¬ng tr×nh ⇔ + =1 α α
N
π : α ∈ 0, α 2
tgα
H
0,5
G
§Æt Sina -1 =m (-2≤ m ≤ 0)
+ 4 x +6
.logπ ( x 2 + 4 x + 6) =
t
( 3 ) log (t) : π
( 3)
2 x −m + 2
logπ (2 x − m + 2) 0,25
[ 2; +∞ )
10 00
XÐt hµm sè: f(t) =
2
0,5
B
x Ta cã ph−¬ng tr×nh ⇔ ( 3)
TR ẦN
H Ư
N
x 2 + 4 x + 6 ≥ 2 ta lu«n cã: ∀x∈R th×: nªn TX§ cña ph−¬ng tr×nh lµ R 2 x-m + 2 ≥ 2
0,5
lµ hµm sè ®ång biÕn víi ∀x∈[2; +∞)
(*)
A
nªn ph−¬ng tr×nh ⇔ x2 + 4x +6 = 2 x-m +2
-L
Í-
H
Ó
x 2 + 2 x + 2 m + 4 = 0 : (1) ⇔ 2 x + 6 x + 4 − 2 m = 0 : (2) 0,25
ÁN
Theo yªu cÇu bµi to¸n ⇔ (*) cã 3 nghiÖm ph©n biÖt ⇔
0,25
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
(1) cã nghiÖm kÐp x 0 ;(2) cã 2 nghiÖm ≠ x 0 (2) cã nghiÖm kÐp x 0 ;(1) cã 2 nghiÖm ≠ x1 (1), (2) cã 1 nghiÖm chung; 2 nghiÖm cßn l¹i kh¸c nhau
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
ẠO
2
Đ
2
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
0,5
TP
.Q
x =0: VT =2 > VP Khi ®ã x >0: VT > VP ⇒ VËy ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm x <0; VT> VP
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
α
<1<
cã Sinu < u < tgu
N
Sinα
2
U Y
nªn:
π
0,5
Ơ
Chøng minh: ∀u ∈ 0,
0,5
0,25
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
U Y
π 3
π 1 π 3 B − = 3B − π < 4 3 4 2 ≥ Cos
3 π B− >0 4 3
0,5
(2)
Ó
nªn: Cosk. B −
0,5
B
3
≤
A−C π A−C < ⇒ 0 < Cos ≤ 1 (1) 4 4 4
10 00
π
4
<
2
A
mµ: 0 ≤ k. B −
π
TR ẦN
Bµi 3
H
Ta cã:
-L
Í-
1 A−C B −C A−C A + C − 2B C os + C os = C os . Cos 2 2 2 4 4 3π A−C π − 3B A−C π π Cos = C os Cos − B ≤ Cosk . B − = Cosk B − : (a) 4 4 4 4 3 3 3
TO
= C os
ÀN
Chøng minh t−¬ng tù cã:
D
IỄ N
Đ
1 π B−C C − A + ≤ − os os C C Cosk C : (b) 2 2 2 3
0,5
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
TP ẠO Đ G H Ư
Cã 3 hä gi¸ trÞ cña a cÇn t×m
Mäi ∆ ABC cã −
0,25
N
3 − 1 = − Sina ⇔ 2 Sina − 1 = −2
.Q
π a=- 6 + k 2π 5π ⇔ a = + k ' 2π 6 a = - π + k "2π 2
ÁN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
VËy theo yªu cÇu bµi to¸n:
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
N
H
Ơ
N
3 m = − 2 5 ⇔ m = − 2 (lo¹i) m = −2
vµ
1 C−A A− B π C os + C os ≤ Cosk A − : (c) 2 2 2 3
Tõ (a), (b), (c) suy ra (®pcm) DÊu "=" khi A=B = C=
π 3
⇔∆ABC ®Òu
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
N
0,5
2
H
Ơ
Bµi 4
U Y
Th× 2
.Q
2
Đ
ẠO
1 1 1 1 +2 ( ai + bi ) + + + ≥ ai bi ai bi 2
N
nªn ta cã: (a1 + b1)2 > 0
0,5
TR ẦN
(a2 +b2)2 > 0
0,5
G
1 1 2 + 8 + + > ( ai + bi ) + 8 ai bi
H Ư
≥ ( ai + bi )
2
(a2 +b2)2 > (a1 + b1)2 + 8
10 00
(a2006 +b2006)2 > (a2005 + b2005)2 + 8
B
. Céng c¸c b®t trªn, ta cã:
0,5
H
Ó
A
(a2006 +b2006)2 > 8 . 2005 = 16040 > 16039
-L
Í-
Bµi 5
0,5
7
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
= ( ai + bi )
2
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
TP
Si+1 = (a i+1 + bi+1
1 1 ) = ( ai + bi ) + + : (i=1,2,....) ai bi 2
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
N
Ta cã Si = (ai + bi) (i=1,2,3….)
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Ơ
N
A
D1 D
U Y
A1
.Q
M
ẠO
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
H¹ IA1 ⊥ (BCD); ID1 ⊥ (ABC)
Đ
IB1 ⊥ (ACD); IC1 ⊥ (ABD)
H Ư
N
G
D M ⊥ BC Dùng A1M ⊥ BC ⇒ 1 IM ⊥ BC
2
( IA + IB + IC + ID ) ≥ 0 ⇔ 4r + 2 ( IA .IB + ...... + IC .ID ) ≥ 0 1
1
1
2
1
1
1
10 00
1
2
B
1
Ta cã:
TR ẦN
nªn A1MD1 = α1 (T−¬ng tù víi α2…α6)
2
1,0
1,0
⇔ 4r − 2r (Cosα1 + Cosα 2 + ....Cosα 6 ) ≥ 0
∑ Cosα
i
≤ 2:
(dpcm)
1,0
Í-
H
Ó
i=1
A
6
⇔
2
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
2
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
TP
C
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
N
H
I B
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
U Y
G D M
TP
.Q
A' N
O
ẠO
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
10 00
B
TR ẦN
H Ư
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
C
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
B
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
N
H
Ơ
N
A
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Ơ G
N
H Ư
TR ẦN
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
10 00
B
0,5
IỄ N
Đ
ÀN
TO
vµ:
x
1 2
2 3
1
f'(x)
-
0
+
f(x)
1
4 9
1
D
2
⇒
0,5
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
ẠO
TP
.Q
0,5
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
(a)
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
dt(D M A ') D M D A ' 2 dt ( D M A ') 2 = ⇒ = x: . dt(D BO ) DB DO dt ( D B C ) 3 2 dt ( D N A ') 2 = y : (b) T−ong tù 3 dt ( D B C ) dt ( D M N ) x + y Tõ (a), (b) suy ra: = dt ( D B C ) 3 dt ( D M N ) D M D N mµ . = = xy ⇒ x+ y= 3xy dt ( D B C ) DB DC 1 x ⇒ y(3x-1) = x: (x ≠ ) ⇒ y= 3 3x-1 1 x ≤ 0 va x ≥ 3 ⇒ 1 ≤ x ≤1 vµ 0 ≤ y ≤ 1 ⇒ 2 x ≥ 1 2 1 T−ong tù, suy ra: ≤ x; y ≤ 1 2 V1 x2 1 V Ëy: = xy = = f ( x ) : ;1 V 3x − 1 2 3x 2 − 2 x 2 C ã: f'(x) = =0 ⇔ x= (3 x − 1) 3
C ã:
N
H
(1)
U Y
A ' lµ träng t©m ∆ B C D G äi: O lµ trung ®iÓm B C DM DN § Æt: = x vµ = y DB DC V DM DN DA Ta cã: D A M N = . . = xy VA BC D DB DC DA
N
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
2
4 V1 1 ≤ ≤ 9 V 2
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
0,5
2
N
3
.Q
P'
TP
M' N'
Đ
A
N
G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
C
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
ẠO
I
N
M
H Ư
P
TR ẦN
B
10 00
B
M=BC x (DAI); M' = AD x (BCI) Gäi N= AC x (DBI); N' = DB x (CAI) P= AB x (DCI); P' = DC x (ABI)
v× I ë trong tø diÖn, nªn: M, M',…. thuéc c¸c c¹nh cña tø diÖn.
A
Do: (DAM) lµ mÆt ph¼ng ph©n gi¸c cña nhÞ diÖn c¹nh AD nªn:
H
Ó
d[M; (DAC)] = d[M; (DAB)]
Í-
MB dt ( ∆AMB ) VDAMB dt (∆DAB ) Sc = = = = MC dt (∆AMC) VDAMC dt (∆DAC) Sb
-L
⇒
ÁN
S ®iÓm M∈ ®o¹n BC; nªn: MB = − c .MC Sb
TO
0,5
0,5
D
IỄ N
Đ
ÀN
⇒ Sb .MB + Sc .MC = 0 ⇔ Sb ( IB − IM ) + Sc ( IC − IM ) = 0 Sb .IB + Sc .IC = ( Sb + Sc ).IM : (1)
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
U Y
N
H
Ơ
D
Chøng minh t−¬ng tù:
Sd .ID + Sa .IA = ( Sd + Sa ).IM :
(2)
MÆt kh¸c: I ∈ MM' = (AMD) Λ (BCM') nªn c¸c vecto
IM ; IM '; MM '; song song
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
VËy gäi vecto:
v = ( Sa .IA + Sb IB + Sc .IC + Sd .ID ) th×
0,5
Ơ
N
v = ( Sa + Sb ) IM + ( Sc + Sd ).IM ') song song víi MM '
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
10 00
B
TR ẦN
H Ư
N
G
Đ
2) NÕu thÝ sinh lµm c¸ch kh¸c mµ ®óng chÝnh x¸c th× cho ®iÓm tèi ®a cña c©u ®ã.
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
1)§iÓm toµn bµi lµ ®iÓm tæng céng sau khi ®* lµm trßn ®Õn 0,5 ®iÓm (vÝ dô: 5,25 lµm trßn 5,5)
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
TP ẠO
Chó ý:
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
0,5
.Q
U Y
N
H
Chøng minh t−¬ng tù: v // NN ' vµ v // PP ' Nh−ng MM ' ; NN ' ; PP '; kh«ng ®ång ph¼ng nªn: v = 0 ⇒ (®pcm)
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 12 (Thời gian: 180 phút không kể thời gian giao đề)
Ơ
N
mx 2 + ( m 2 + 1) x + 4m 3 + m x+m
H N
1. Với m = -1. a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (2,0đ).
U Y
b, Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị một điểm sao cho khoảng cách giữa
.Q
chúng nhỏ nhất (2đ).
ẠO
cực trị thuộc góc phần tư (IV) của mặt phẳng toạ độ (2,0đ).
1. Giải phương trình: Sin3x + Cos3x = 2 - Sin4x (1,0đ)
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Câu 2: (3,0 điểm)
G
2. Cho k, l, m là độ dài các đường trung tuyến của ABC, R là bán
Câu 3: (3,0 điểm):
Cho (E):
9R (2,0đ). 2
TR ẦN
CMR: k + l + m ≤
H Ư
N
kính đường tròn ngoại tiếp đó:
x2 y2 + =1 a2 b2
10 00
B
Hình chữ nhật Q gọi là hình chữ nhật ngoại tiếp với E nếu mỗi cạnh của Q đều tiếp xúc với E. Trong tất cả các hình chữ nhật ngoại tiếp với E. Hãy xác định:
A
1. Hình chữ nhật có Smin (1,0đ). 1. Cho a, b là hai số dương khác nhau. người ta lập 2 dãy số {un} và
H
Câu 4: (4,0 điểm)
Ó
2. Hình chữ nhật có Smax (1,0đ).
-L
Í-
{vn}, bằng cách đặt:
ÁN
u1 = a; v1 = b ; un+1 =
u n + vn 2
vn+1 =
un .vn
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
(n = 1, 2, 3,...) C/m Limn +∞ Un = Limn +∞ Vn (2,0đ) 2. Cho m > 0 a, b, c thoả mãn:
a b c + + =0 m + 2 m +1 m
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
TP
2. Tìm m để đồ thị hàm số có tương ứng một điểm cực trị thuộc góc phần tư (II) và một điểm
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
Câu 1: (6,0 điểm) Cho hàm số y =
CMR phương trình: ax2 + bx + c = 0 có ít nhất 1 nghiệm x ∈ (0,1) (2,0đ). Câu 5: (4,0 điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh a. M là một điểm di động trong không gian sao cho M nhìn AB và AD dưới một góc vuông, gọi O là tâm của hình vuông. 1. Chứng minh M luôn luôn di động trên một đường tròn ξ cố định (1,0đ). 2. α là mặt phẳng đi qua AB và vuông góc với mặt phẳng ABCD. Kéo dài DM cắt α tại N. CM góc ANB vuông (1,0đ).
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
3. Đặt DM = x. Tính MN theo a và x. Tìm miền biến thiên của x, từ đó suy ra điều kiện của hằng số k để tồn tại x thoả mãn MN = k (1,0đ).
Ơ
N
4. Tìm giá trị lớn nhất của VABND (1,0đ).
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
10 00
B
TR ẦN
H Ư
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
TP
.Q
U Y
N
H
-Hết-
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN Đề thi học sinh giỏi khối 12 Nội dung 1. Với m = 1
N
N
a. Khảo sát, vẽ đồ thị (2,0đ).
U Y
Trình bày đầy đủ, đúng các các bước và có nhận xét. Đồ thị nhận
0.25đ
Đ
0.25đ
N
0.25đ
4 ) ] αβ
0.25đ
TR ẦN
d2 = M1M22 = (α + β)2 [ 1 + (1 +
G
4 4 ; y2 = -β α β
⇒ y1 = -α -
H Ư
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
M1(x1,y1); M2(x2,y2) x1 = 1 - α; x2 = 1 + β α, β > 0
2.00đ
α + β ≥ 2 αβ ⇔ α = β
B
0.25đ
4
4
0.25đ 4
4
4
8 ; 8 + 2 2 ); M2(1 + 8 ; - 8 - 2 2 )
0.25đ
Ó
A
⇒ M1(1 -
4
10 00
8 + αβ + 4] d ≥ 8[ αβ 2
H
2. Viết được hàm số có 2 điểm cự trị nên phương trình y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 < x2
-L
Í-
0.25đ
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
góc (II) và góc (IV) nằm về hai phía của oy ⇒ x1 < 0 < x2
0.25đ
⇒ mξ(0) < 0 với ξ(x) = mx2 + 2m2x + 3m3 ⇔ -3m4 < 0 ⇔ ∀m ≠ 0 0.25đ
(*). Lại có góc (II) & (IV) nằm về hai phía của trục 0x và đối với hàm phân thức bậc t2 trên bậc nhất yCT > y ⇒
0.25đ
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
ẠO
b. Nhận xét x1 < 1 < x2
TP
Thiếu một bước trừ từ 1/4 đến 1/2 điểm tuỳ lỗi nặng nhẹ
.Q
giao điểm 2 đường tiệm cận làm tâm đối xứng
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
6,00đ
H
Câu 1
Điểm
Ơ
Câu
Điểm CT ∈ (II). Điểm CĐ ∈ (IV) ⇒ Đồ thị không cắt ox
δ ⇒ pt y = 0 vô nghiệm ⇒ ∆ < 0 ⇒ |m| > (**) δ
0.25đ 0.25đ
Ta có dấu y’ như sau ⇒ hệ số bậc hai của ξ(x) là m < 0 (***)
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
0.25đ
5 5
Từ (*), (**), (***) ⇒ m <
0.25đ 2
a. Nhận xét: Sin x + Cos x ≤ Sin + Cos x = 1 2 - Sin4x ≥ 1
0.25đ
0.25đ
0.25đ
ẠO
TP
π ⇒x= + 2kπ 2
a2 (vì: 2k + = b2 + c2 tương tự) 2
Đ
TR ẦN
2
G
3 2 2 2 (a + b + c ) 4
N
k2 + l2 + m2 =
1,0đ
H Ư
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
b. Giả sử: k, l, m là các trung tuyến kẻ từ A, B, C thì
Mặt khác: a2 + b2 + c2 = 4R2(Sin2A + Sin2B + Sin2C)
0,25đ
mà: 4(Sin2A + Sin2B + Sin2C) = 2(1 - Cos2A + 1- Cos2B) + 4(1 - 0,25đ
10 00
B
Cos2C). = 8 + 4CosCCos(A-B) - 4Cos2C = 8 - Cos2(A-B) - [2CosC - Cos(A-B)] ≤ 9
0,50đ
Ó
A
k 2 + l2 + m2 9R 2 ⇒ ≤ ⇒ đpcm 3 4
H
0,25đ
Đường thẳng Ax + By + C tiếp xúc với E
Í-
3,00đ
⇔ A2a2 + B2b2 = C2
0,25đ
2 cạnh của Q có pt: Ax + By ± C = 0 (A2a2 + B2b2 = C2)
0,25đ
Khoảng cánh giữa chúng là: d1 =
2C A2 + B
2
2 cạnh còn lại của Q có pt: Bx - Ay ± D = 0 (A2a2 + B2b2 = D2) Khoảng cánh giữa chúng là: d2 =
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Câu 3
⇒ SQ =
0,25đ
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
U Y
N
Sin3x + Cos3x = 1 Sin4x = 1
.Q
⇔ pt đã cho ⇔
H
0.25đ
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
2
N
3,00đ
3
Ơ
Câu 2
3
0,25đ
2D A2 + B
2
0,25đ
4 CD A2 + B
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
2
0,25đ
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
S2 Đặt: T = Smin max ⇔ Tmin max 16
b2A2)
TP
(a 2 + b 2 ) 2 ⇒ Tmin = ⇔ Smin ⇔ Q là vuông 4
0,50đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
Lại có: theo Bunlia Copxki cho 2 dãy (Aa,Bb); (bA,aB)
Đ
⇒ (A2a2 + B2b2)(b2A2 + a2B2) ≥ (A2ab + B2ab)2 = a2b2(A2+B2)2 2
2
2
2
2
0,50đ
B
a. Coi 0<b<a bằng qui nạp C/m ∀n:
10 00
4,00đ
N
H Ư
⇔ Q có các cạnh | | ox, oy B=0
Câu 4
TR ẦN
A=0 Tmin = a2b2 ⇔
G
a b (A + B ) = a2b2 ⇔ 2 2 2 (A + B )
⇒T≥
0,25đ
0,50đ
⇒ b = V1<V2<V3<...<Vn...<Un<Un-1<Un-2<...<U2<U1=a
0,50đ
A
Vn< Vn+1 < Un+1 < Un
Í-
H
Ó
( U n - Vn ) 2 U n + Vn Lại có: Un+1-Vn+1 = - U n Vn = 2 2 Un+1-Vn+1
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
⇒
( U n - Vn ) 2
2
<
Hay 0 < Un+1-Vn+1 <
=
( U n - Vn )( U n + Vn )
2
0,50đ
U n - Vn (*) 2
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
0,25đ
.Q
A 2 a 2 + B 2 b 2 + a 2 B 2 + B 2 A ) (A 2 + B 2 )(a 2 + b 2 ) = 2 4
≤
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
+
Ơ
B2b2)(a2B2
H
+
N
(A2a2
Côsi
U Y
Theo
N
(A 2 a 2 + B 2 b 2 )(a 2 B 2 + b 2 A ) T= (A 2 + B 2 ) 2
Lại có Un giảm bị chặn dưới Vn tăng bị chặn trên ⇒ ∃ limUn và limVn
0,50đ
Từ (*) ⇔ LimUn = LimVn (Giả sử LimUn=a, LimVn=b ⇒ a-b =
a-b ⇒ a=b) 2
b. Đặt f(x) = ax2+bx+c. Xét hai trường hợp
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
0,50đ
c m = ∈(0,1) b m +1
0,50đ
H
m +1 c )=m+2 m(m + 2)
TP ẠO
m +1 ) < (0,1) m+2
Đ
b m +1 = ∈(0,1) a m+2
0,25đ
N
c=0 thì f(x) = ax2 + bx có nghiệm x = -
0,25đ
G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
c≠0 ⇒ ∃ x ∈(0,
.Q
m +1 c2 ≤0 f ( 0) f ( )=m+2 m(m + 2)
4,00đ
1.a. MA ⊥ MB
10 00
B
TR ẦN
Câu 5
H Ư
Tóm lại: ∀a, b, c thoả mã (*) ⇒ pt có nghiệm x∈(0,1)
và MA ⊥ MD
⇒ MA ⊥ MO và MA ⊥ 0,25đ
BD
A
Lại
có:
AC
BD
Ó Í-
H
(MAC) ⇒ M ∈ξ. ξcố định nằm
-L ÁN TO ÀN
⊥
(ABCD vuông) ⇒ BD ⊥ 0,25đ
trong mf ⊥ BD tại O, đường kính AO.
0,25đ
2. MA ⊥ (BMD) ⇒ MA ⊥ BN
0,50đ
AO ⊥ AB và (α) ⊥ (ABCD) ⇒ AD ⊥ (α) ⇒ AD ⊥ BN
3. Tam giác vuông AMD có AM =
0,25đ 0,25đ
⇒ BN ⊥ (MAD) ⇒ BN ⊥ AN
Đ IỄ N D
0,25đ
⇒ MA ⊥ (BMD)
a2 - x2
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
N
0,50đ
U Y
a≠0 f(0) = c f (
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
b≠0 ⇒ c≠0 ⇒ x = -
Ơ
b=0 ⇒ c=0 ⇒ f(x)=0 ∀x∈R ⇒ x∈(0,1)
N
a=0 ⇒ f(X) = bx+c
0,25đ
Tam giác vuông DAN có: AM ⊥ ND
AM 2 AM = MN.MD ⇒ MN = MD 2
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
0,25đ
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
a2 - x2 ⇒ MN = vì M ∈ξ x a2 ⇒ 0 < AM ≤ AO ⇒ 0 < a - x ≤ 2
0,25đ
N
2
0,25đ
Tìm k>0: a2 - x2 = kx (1)
.Q
0,25đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
(1) f(x) = x2 + kx - a2 = 0 (*) có nghiệm thoả mẵn (2)
4. V =
1 BN SDAN 3
AN = a
N
a2 a2 2 1 BN = a x2 x2
0,25đ
B
1 3 a2 a2 a (2 - 2 )( 2 - 1) 6 x x
0,25đ
10 00
V=
0,25đ
H Ư
a 2 a δ k ) = (k 2 -a) = - < 0 2 2 2 2
TR ẦN
f(
G
Đ
pt (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt: vì ac < 0 (x1 < 0 < x2)
-L
Í-
H
Ó
A
a2 a2 [ 2 - 2 + 2 -1 ] x x 1 3 a3 V≤ a = 6 2 12 a 6 3
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
dấu “=” ⇔ x =
0,25đ
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
TP
a 2 ≤ x <a (2) 2
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
U Y
N
H
a 2 <x<a 2
⇒
Ơ
2
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
§Ò thi häc sinh giái to¸n líp 12-B¶ng A (Thêi gian lµm bµi 180 phót)
N
Bµi 1: (7 ®iÓm) 2
H Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
3)Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh:
G
2 − 5x − 3x 2 +2x > 2x.3x. 2 − 5x − 3x 2 + 4x2.3x
H Ư
N
Bµi 2: (4 ®iÓm)
Trong tÊt c¶ c¸c nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh: log x 2 + y 2 (x + y ) ≥ 1 Bµi 3(5 ®iÓm) Gi¶i ph−¬ng tr×nh:
[ (1 + x) 1 2
]
− (1 − x) 3 = 2 + 1 − x 2
H
Bµi 4:(4 ®iÓm)
Ó
A
2) sin3x.(1- 4sin2x) =
3
10 00
1 + 1 − x2
1)
B
TR ẦN
HCy t×m nghiÖm (x; y) mµ x + 2y lín nhÊt.
Í-
ABC lµ tam gi¸c ®Òu c¹nh a. Trªn ®−êng th¼ng Ax vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (ABC) t¹i
-L
A, lÊy ®iÓm S víi AS = h.
ÁN
1) Hy lµ ®−êng th¼ng qua trùc t©m H cña tam gi¸c SBC vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng
TO
(SBC). Chøng tá r»ng khi S di ®éng trªn Ax th× ®−êng th¼ng Hy lu«n lu«n ®i qua mét
2) Hy c¾t Ax t¹i S'. X¸c ®Þnh h theo a ®Ó SS' ng¾n nhÊt.
D
IỄ N
Đ
ÀN
®iÓm cè ®Þnh.
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
TP
1− x 2
ẠO
thÞ vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng y=
.Q
X¸c ®Þnh a, b, c biÕt r»ng hµm sè cã cùc trÞ b»ng 1 khi x=1 vµ ®−êng tiÖm cËn xiªn cña ®å
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
N
ax 2 + bx + c x−2
U Y
2) Cho hµm sè y=
Ơ
1) XÐt tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè: y= 3 (2 − 3x) (x-5)
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
H−íng dÉn chÊm m«n To¸n häc sinh giái Líp 12
N
Bµi 1:
U Y
®iÓm 1 2 − 2 3 y'= (-3) (2 − 3x ) (x-5) + (2 − 3x ) 3 3
®iÓm
ẠO
− 6 x + 30 − 5x + 12 + 3(2-3x) = 3 33 2 − 3x 2 − 3x
0,25
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
=
H Ư
2 12 ; x= 3 5
®iÓm 2/3
+
-
+∞
0
+
10 00
y'
12/5
B
x -∞
0,5 ®iÓm
H
Ó
A
y
0,25
TR ẦN
§iÓm tíi h¹n: x=
N
G
®iÓm
-L
®iÓm
Í-
Hµm sè ®ång biÕn trong kho¶ng (-∞; 2/3) ∪ (12/5; +∞) Hµm sè nghÞch biÕn trong kho¶ng (2/3; 12/5)
0,25
ÁN
0,25
TO
®iÓm
ax 2 + bx + c =a x →∞ x−2
§−êng tiÖm cËn xiªn cã hÖ sè gãc k = lim
D
IỄ N
Đ
ÀN
C©u 2: (2 ®iÓm)
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
TP
.Q
0,25
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
N
0,25
H
TËp x¸c ®Þnh: D = R
Ơ
C©u 1: (2 ®iÓm)
0,25
®iÓm §−êng tiÖm cËn xiªn vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng y= − ta cã a=2
1 1 x+ 2 2 0,25
®iÓm
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
2 x 2 + bx + c x−2
2 x 2 − 8x − 2 b − c ( x − 2) 2
0,25
N Ơ
®iÓm
N
H
§Ó hµm sè cã cùc trÞ b»ng 1 khi x=1 ®iÒu kiÖn cÇn lµ:
y' (1) = −6 − 2 b − c = 0 y(1) = −(2 + b + c) = 1
.Q
U Y
0,5 ®iÓm
TP
b = −3 c = 0
Đ
®iÓm
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
0,25
ẠO
=>
G
Thö l¹i ta thÊy a=2, b=-3, c=0 hµm sè
H Ư
N
2 x 2 − 3x tho¶ mCn ®iÒu kiÖn y= x−2
TR ẦN
®iÓm KÕt luËn: a=2, b=-3, c=0 ®iÓm
0,25
10 00
B
C©u 3: (3 ®iÓm)
0,25
BÊt ph−¬ng tr×nh trë thµnh: 2
(*)
0,5 ®iÓm
A
( 2 − 5x − 3x +2x)(1-2x.3x)>0
Ó
1 3
0,25
-L
®iÓm
Í-
H
TËp x¸c ®Þnh: -2 ≤x≤
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
2 − 5x − 3x 2 + 2x > 0 ( I) x 1 − 2x.3 > 0 (*) ⇔ 2 ( II) 2 − 5x − 3x + 2x < 0 1 − 2x.3 x < 0
XÐt hÖ (I): Gi¶i (1) ta ®−îc -1< x ≤ 1/3
(1) (2 ) (3) ( 4)
0,5 ®iÓm
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
y' =
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
XÐt y=
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
0,5 ®iÓm
§Æt f(x) = 1-2x.3x ta thÊy: -1 ≤ x ≤ 0 hiÓn nhiªn f(x)>1
0,25
®iÓm x
1 3
Khi 0<x≤ 1/3 ⇔ 0 < 3 ≤ 3 = 3 3
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
1 0 < 2x.3 x ≤ 2. .3 3 < 1 3 Do ®ã f(x) =1-2x.3x > 0
1 3
H
®iÓm
N
XÐt hÖ (II): Gi¶i (3) ta ®−îc − 2 ≤ x ≤ −1
ẠO G
1 3
0,25
H Ư
N
Tãm l¹i, bÊt ph−¬ng tr×nh ®C cho cã nghiÖm − 1 < x ≤
Đ
®iÓm
0,25
®iÓm
TR ẦN
Bµi 2: (4 ®iÓm) XÐt 2 tr−êng hîp:
2
+y2
( x + y ) ≥ 1 (1) cã nghiÖm (ch¼ng h¹n x=y=0,9)
10 00
log x
B
+TH1: x2+ y2 > 1 khi ®ã dÔ thÊy bÊt ph−¬ng tr×nh
Ta cã (1) ⇔ x+y≥ x2+ y2 ⇔ x+2y ≥ x2 + y2 + y
0,5 ®iÓm
(2)
0,5 ®iÓm
(3)
0,5 ®iÓm
Ó
A
Gäi S= x+2y ⇔ x=S - 2y thay vµo (2) ta ®−îc
H
S≥(S-2y)2 +y2+y ⇔ 5y2 -(4S-1)y +S2 - S ≤ 0
3 − 10 3 + 10 ≤S≤ 2 2
0,5 ®iÓm
TO
ÁN
VËy
-L
Í-
BÊt ph−¬ng tr×nh (3) cã nghiÖm nªn ta ph¶i cã ∆≥0,
3 + 10 4S − 1 1 2 th× ∆= 0 khi ®ã (3) ⇔ y= = + 2 10 2 10
Suy ra x= S -2y =
1 2 + (tháa mCn x2+ y2 > 1) 2 10
0,25 ®iÓm
0,5 ®iÓm
+TH2: 0< x2 + y2 < 1. Khi ®ã (1) ⇔ 0 <x+y<x2+y2
D
IỄ N
Đ
ÀN
Víi S =
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
TP
tháa mCn víi nh÷ng gi¸ trÞ cña x thuéc kho¶ng nghiÖm cña (3). VËy hÖ ph−¬ng tr×nh ®C cho v« nghiÖm
.Q
Nh−ng f(x) = 1-2x.3x > 0 ∀x≤ 0 nªn bÊt ph−¬ng tr×nh (4) kh«ng
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
U Y
0,25
®iÓm
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
N
0,25
Ơ
NghiÖm cña (I) lµ: − 1 < x ≤
=> S=x+2y < x2+y2+y<1+1=2<
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
3 + 10 (do x2 + y2 < 1, y < 1 ) 2
0,5 ®iÓm
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
1 x = + 2 Tãm l¹i: víi nghiÖm y = 1 + 2
1 10 th× tæng x+2y lín nhÊt 2 10
Bµi 3: (5 ®iÓm) C©u 1:(3 ®iÓm) TX§: -1≤x≤1
H
1,0 ®iÓm
][
]
2
G
0,5 ®iÓm
N H Ư
0,5 ®iÓm
TR ẦN
C©u 2: (2 ®iÓm)
V× cosx=0 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh:
2
+ kπ th× sin3(
π 2
+ kπ ).[1-4sin2(
B
π
π 2
+ kπ )]≠
1 2
0,25 ®iÓm
10 00
V× cosx=0 => x=
Nh©n hai vÕ cña ph−¬ng tr×nh víi cosx ta ®−îc:
1 cosx 2
Ó
A
Sin3x.(cosx - 4sin2x.cosx) =
0,25 ®iÓm
⇔ 2sin3x.cos3x = cosx
0,5 ®iÓm
-L
Í-
H
⇔ 2sin3x(4cos3x-3cosx) = cosx
ÁN
⇔ sin6x =sin(
π
2
-x)
k 2π 7 , (k∈Z) k 2π 5
0,5 ®iÓm
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
π π 6 x = 2 − x + k 2π x = 14 + ⇔ ⇔ 6 x = π + x + k 2π x = π + 2 10
0,5 ®iÓm
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
1 − x ⋅ 1 + x + 1 − x 2 + 1 − x = 2 + 1 − x 2 0,75®
2 (tháa mCn) 2
2 ⇔ x=
TP
[ 1+ x −
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
N U Y
]
− (1 − x ) 3 = 2 + 1 − x 2
2
⇔( 1 + x + 1 − x )( 1 + x - 1 − x )= ⇔ 1+x-1+x =
3
ẠO
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
1+ x + 1− x ⇔ 2
[ (1 + x)
.Q
1− x 1+ x + 1 − x2 + 2 2
Đ
Pt ®C cho ⇔
0,25 ®iÓm
Ơ
N
0,25 ®iÓm
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Bµi 4: (4 ®iÓm) x
N
S
I
ẠO
a) (2 ®iÓm)
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Gäi I lµ trung ®iÓm cña BC, ta cã AI ⊥ BC, SA ⊥ mp(ABC)
G
Nªn SI ⊥ BC (®Þnh lý 3 ®−êng vu«ng gãc)
H Ư
N
KÎ CL ⊥ SB th× SI ∩ CL = H
0,5 ®iÓm
Gäi J lµ trung ®iÓm cña AB; O lµ trùc t©m cña ∆ABC (1)
MÆt kh¸c CL ⊥ SB
(2)
TR ẦN
Ta cã CJ ⊥ mp(SAB) => CJ ⊥ SB
B
Tõ (1) vµ (2) suy ra SB ⊥ HO
10 00
V× OH trong mp(SAI) nªn OH ⊥ BC => OH ⊥ mp(SBC)
0,5 ®iÓm 0,5 ®iÓm
Hay OH lµ ®−êng th¼ng Hy. VËy Hy lu«n lu«n ®i qua ®iÓm O cè ®Þnh 0,5 ®iÓm
Ó
A
b) (2 ®iÓm)
H
XÐt ∆SIS' ta cã IA ⊥ SS', S'H ⊥ SI 0,5 ®iÓm
a2 Nªn AS.AS' = AI.AO => AS' = 2h
0,5 ®iÓm
a2 a VËy SS' = SA + AS' = h+ ≥2 =a 2 2h 2
0,75 ®iÓm
a 2 a2 DÊu "=" x¶y ra khi h= => h= 2h 2
0,25 ®iÓm
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
Do ®ã O lµ trùc t©m cña ∆SIS'
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
TP
B
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
O
J S'
C
U Y
H
L
.Q
A
N
H
Ơ
h
Chó ý: 1)Bµi h×nh kh«ng cã h×nh vÏ th× kh«ng chÊm 2)NÕu häc sinh lµm c¸ch kh¸c mµ ®óng th× ng−êi chÊm cho ®iÓm t−¬ng øng phÇn ®óng ®ã.
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
10 00
B
TR ẦN
H Ư
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
TP
.Q
U Y
N
H
Ơ
N
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com K× thi häc sinh giá líp 12 M«n To¸n-B¶ng A
(Thêi gian 180 phót,kh«ng kÓ giao ®Ò )
U Y
Bµi 1 . Cho hµm sè : f(x) = x(x-1)(x-2)...(x-2006). TÝnh f'(0). 1
x
4 −m.2 +m2 −3=0
N
G
cã nghiÖm duy nhÊt.
H Ư
3 Bµi 4. Gi¶i ph−¬ng tr×nh : x +1=2 2x−1 .
sin 3 x + 1 x + cot g x = sin 2 x
2
2
B
2 cos
TR ẦN
Bµi 5. T×m tæng c¸c nghiÖm thuéc [2;40] cña ph−¬ng tr×nh:
10 00
abc ≤ 8
Ó
a+b+c . 2
H
víi p =
A
Bµi 6. Cho ∆ ABC, Chøng minh r»ng (p-a)(p-b)(p-c)
n
Í-
lim
2
4
2
ÁN
-L
Bµi 7. TÝnh L= n → ∞ [(1+x)(1+x )(1+x )....(1+x )], víi
TO
Bµi 8. Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh:
x <1.
21− x − 2x + 1 ≥0 x 2 −1
D
IỄ N
Đ
ÀN
Bµi 9. Trong kh«ng gian cho hai ®iÓm A,B cè ®Þnh cã AB=10.
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
TP x
ẠO
Bµi 3 . T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh :
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Bµi 2. TÝnh I =
.Q
( x 2 − 1) dx ∫0 x 4 + 1
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
N
H
Ơ
N
Ng−êi ra ®Ò: Vò §oµn KÕt
T×m quü tÝch ®iÓm M sao cho AM=3BM.
Bµi10. Chøng minh r»ng: NÕu n,k
∈ N th×:
c 2nn + k . c 2nn − k
n c ≤ ( 2n ) . 2
----hÕt-----
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Nguån t− liÖu: Bµi 1,bµi 9: S¸ng t¸c Bµi2,bµi 8 : Bé ®Ò thi ®¹i häc(BGD-1996)
N
Bµi 3,bµi 6:C¸c bµi gi¶ng luyÖn thi m«n to¸n(§µo Tam chñ biªn)
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
10 00
B
TR ẦN
H Ư
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
TP
.Q
U Y
N
H
Ơ
Bµi 4,bµi 7: Ph−¬ng ph¸p míi gi¶i ®Ò thi ®¹i häc(TrÇn Ph−¬ng)
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
®¸p ¸n thang ®iÓm ®Ò thi häc sinh giái líp 12
Ơ
N
M«n To¸n-B¶ng A
ẠO
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Bµi 1
N
0.5
TR ẦN
H Ư
0
1.0
(∆x − 1)(∆x − 2)...(∆x − 2006) = ∆lim x→ 0
=(-1)(-2)....(-2006)=2006 !
0.5
H
Ó
A
⇒ f ' ( 0) =
∆y lim ∆x→ 0 ∆ x
B
∆y = ( ∆x − 1)(∆x − 2)...(∆x − 2006) ∆x
10 00
Suy ra
G
0
0
2.0
Đ
∆x=x-x =x. Ta cã ∆y=f(x + ∆x)-f(x ) = f( ∆x)-f(0)= ∆x( ∆x − 1)( ∆x − 2)...(∆x − 2006)
Cho x0=0 mét sè gia
®iÓm
2.0
Ph©n tÝch x4+1 =(x2+ 2 x+1)( x2- 2 x+1)
0.5
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
Bµi 2
ÁN
-L
Í-
vËy f ' (0) =2006!
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
Néi dung
TP
Bµi
.Q
U Y
§¸p ¸n –thang ®iÓm nµy gåm cã : 4 trang.
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
N
H
Ng−êi lµm ®¸p ¸n: Vò §oµn KÕt
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
x2 − 1 Ax + B Cx + D Ph©n tÝch 4 = 2 + 2 x + 1 x + 2x + 1 x − 2x + 1
N
1
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
dx − 1 (2 x + 2 )dx 1 1 (2 x − 2 )dx = + VËy I= ∫ 4 2 2 ∫0 x 2 + 2 x + 1 2 2 ∫0 x 2 − 2 x + 1 0 x +1
0.5
B
TR ẦN
H Ư
N
G
1 1 −1 1 1 2− 2 = ln( x 2 + 2 x + 1) + ln( x 2 − 2 x + 1) = ln( ) 0 2 2 0 2 2 2+ 2 2 2
2.0
10 00
Bµi 3
Gi¶ sö x0 lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh th× -x0 còng lµ nghiÖm . Do tÝnh duy nhÊt nghiÖm nªn x0=-x0 ⇒ x0=0
Ó
A
0.5
0.5
Í-
H
Thay x0=0 vµo ph−¬ng tr×nh ta ®−îc m= -1, m=2
x
-L
Víi m=-1, ta cã pt: x
x
x
x
0.5
ÁN
4 + 2 −2 = 0 ⇔(2 −1)(2 +2) = 0 ⇔2 −1= 0 ⇔x =1
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
Víi m=2, ta cã pt: x
x
x
x
4 −2.2 +1= 0 ⇔(2 −1)2 = 0 ⇔2 −1= 0 ⇔x =1
0.5
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
.Q
U Y
N
H
Ơ
1.0
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
1
−1 2 −1 2 1 2 −1 2
TP
A = B = §ång nhÊt hai vÕ ta ®−îc C = D =
VËy m=-1,m=2 lµ gi¸ trÞ cÇn t×m.
Bµi 4
2.0 §Æt t=
3
2x −1 ⇒t3 = 2x −1
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
0.5
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
−1+ 5 −1− 5 , x= . 2 2
VËy ph−¬ng tr×nh cã 3 nghiÖm lµ: x=1, x=
−1+ 5 −1− 5 , x= . 2 2
Bµi 5
B
3π + 4kπ ≤ 40⇔k = 0,1,2,3,4,5 2
π
10 00
∑ (4k + 3) = 39π 2
VËy tæng c¸c nghiÖm cña hä x1 lµ :
A Ó
H
Í-L
ÁN
π
∑ ( 6 + 2kπ ) = 43π
0.5
k =1 5
c.tæng c¸c nghiÖm cña hä x3 lµ :
0.5
k =0
6
b.T−¬ng tù tæng c¸c nghiÖm cña hä x2 lµ :
5
∑( k =0
5π + 2kπ ) = 35π 6
0.5
TO
VËy tæng c¸c nghiÖm lµ 39 π +43 π +35 π =117 π
Theo B§T C«Si ta cã:
2.0
(2p − a −b)2 c2 = (p-a)(p-b) ≤ 4 4
0.5
D
IỄ N
Đ
ÀN
Bµi 6
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
TP Đ
H Ư
N
G
0.5
TR ẦN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
3π + 4kπ x1 = 2 π x2 = + 2kπ 6 5π x3 = 6 + 2kπ
ẠO
⇔ 2sin2x+sinx-1=0
a.Cho 2 ≤
2.0
.Q
§K:sinx ≠ 0,PT ⇔ 2cos2x+cotg2x=sin x +1+ cotg2x
sin x = −1 1 ⇔ ⇔ sin x = 2
Ơ
N
0.5
H
x3-2x+1=0 ⇔ x=1, x=
N
⇔
1.0
x 3 + 1 = 2t x 3 + 1 = 2t 1 3 ⇔ ( x − t )[( x + ) 2 + t 2 + 2] = 0 x=t 2 4
U Y
x 3 + 1 = 2t ⇔ Pt ⇔ 3 3 x − t = 2 ( t − x )
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
(2p −b −c)2 a2 = T−¬ng tù: (p-b)(p-c) ≤ 4 4 (2p − a −c)2 b2 = (p-a)(p-c) ≤ 4 4
Ơ
N
1.0
2.0 0.5
2
4
H Ư
N
G
Nh©n vµ chia biÓu thøc lÊy giíi h¹n víi (1-x) ta ®−îc :
Đ
Bµi 7
0.5
TR ẦN
[(1 − x)(1 + x)(1 + x )(1 + x )...(1 + x L= nlim →∞
2n
)].
1 (1 − x)
1 [(1 − x )(1 + x )(1 + x )...(1 + x )]. = nlim = →∞ (1 − x) 2
1.0
2n
4
n
H
Ó
A
[1 − ( x 2 ) 2 ] = lim n →∞ 1− x
10 00
B
2
Í-
n lim ( x 2 ) 2 =0. VËy L= 1
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
Bµi 8
1− x 0.5
ÁN
-L
V× x < 1 nªn n → ∞
V× f(x)=21-x -2x+1=-2x+1+
2.0
2 2x
lµ hµm nghÞch biÕn vµ f(1)=0 nªn f(x)>f(1)=0
1.0
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
N
ẠO
(§pcm)
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
abc 8
⇔ ( p − a )( p − b )( p − c ) ≤
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
1 4
)2.
U Y
abc 4
.Q
≤ (
TP
[(p-a)(p-b)(p-c)]
2
H
Nh©n vÕ víi vÕ cña 3 B§T trªn ta ®−îc :
⇔ x<1 ⇔ 1-x>0. VËy f(x) cïng dÊu víi (1-x).
V× g(x)=2x-1 lµ hµm ®ång biÕn vµ g(0) =0 nªn g(x)>0 ⇔ x>0. VËy g(x) cïng dÊu víi x.
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
0.5
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
Suy ra BPT
⇔
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
f (x) 1− x ≥0⇔ ≥ 0 ⇔0 < x ≤1. g(x) x
0.5
.Q
Chän hÖ to¹ ®é Oxyz sao cho A=(-5;0;0), B=(5;0;0).
ẠO
25 x +25 =0 2
N
H Ư
0.5 2.0
TR ẦN
Bµi 10
≤k ≤n, xÐt diy sè {u } k
n
(2n+k)! (2n−k)! . n!(n+k)! n!(n−k)!
10 00
Ta cã uk = c2n.c2n−k =
B
n
1.0
(*) §©y lµ ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu.
VËy quü tÝch ®iÓm M cÇn t×m lµ mÆt cÇu cã ph−¬ng tr×nh (*).
Cè ®Þnh n, víi 0
0.5
Đ
⇔ x2+y2+z2-
G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
⇔ (x+5)2+y2+z2=9(x-5)2+9 y2+9z2
TP
Gäi M(x;y;z) lµ ®iÓm thoi min AM=3BM ⇔ AM2=9BM2
2.0
(2n+k +1)! (2n−k −1)! . uk+1 =c2n+k+1.c2n−k−1 n!(n+k +1)! n!(n−k −1)!
0.5
n
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
⇒
-L
Í-
H
Ó
A
n
uk+1 (2n + k +1)(n − k) = ≤ 1 uk (n + k +1)(2n − k)
⇔ (2n+k+1)(n-k) ≤ (n+k+1)(2n-k) ⇔ 2nk+n ≥ 0 ®óng v× 0
1.0
≤ k ≤ n.
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
U Y
Bµi 9
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
N
H
Ơ
N
VËy tËp nghiÖm cña BPT lµ: (0;1]
VËy {uk} lµ diy sè gi¶m.
n n n 2 c . c Suy ra víi k ≥ 0 ta cã u = 2n+k 2n−k ≤ (c2n ) =u k
0
(®pcm)
0.5
--------HÕt-------
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
10 00
B
TR ẦN
H Ư
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
TP
.Q
U Y
N
H
Ơ
N
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
®Ò thi häc sinh giái líp 12 M«n: To¸n Thêi gian lµm bµi: 180 phót
H
víi m + n ≠ −1
U Y
Chøng minh r»ng: NÕu ∃ a ®Ó ®−êng th¼ng ∆ : y=a kh«ng c¾t hä ®−êng cong (C m ) th× hä
.Q
®−êng cong cã cùc ®¹i vµ cùc tiÓu.
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
sin 2 x
dx >
0
3π 2
ẠO
∫e
Đ
π
Chøng minh r»ng:
N
G
Bµi 3 (2®iÓm)
H Ư
2x 13 x + 2 =6 2 x − 5x + 3 2x + x + 3
Gi¶i ph−¬ng tr×nh:
2
TR ẦN
Bµi 4 (2®iÓm)
Gi¶i ph−¬ng tr×nh: x 2 + x + 5 = 5
10 00
B
Bµi 5 (2®iÓm)
Gi¶i ph−¬ng tr×nh: cos x − 3 3 sin x = cos 7 x
A
Bµi 6 (2®iÓm)
nÕu 0 < t ≤ Π/2 nÕu Π/2 < t < Π
-L
Í-
H
Ó
, sin t Cho hµm sè f (t ) = , 1 + cos t
ÁN
Chøng minh r»ng: ∀∆ABC ta lu«n cã: f ( A) + f ( B ) + f (C ) ≤
TO
Bµi 7 (2®iÓm)
D
IỄ N
Đ
ÀN
Cho hµm sè f : Ν * → Ν * tho¶ m.n 2 ®iÒu kiÖn i. f (1) = 2
3 3 . 2
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
TP
Bµi 2 (2®iÓm)
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
N
x 2 + mx + n Cho hä ®−êng cong (C m ) : y = x −1
Ơ
N
Bµi 1 (2®iÓm)
ii. ∀n >1 th× f (1) + f (2) + ... + f (n) = n 2 f (n) H.y x¸c ®Þnh c«ng thøc ®¬n gi¶n tÝnh f (n) ?
Bµi 8 (2®iÓm) Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
log 2 x + log 4 y + log 4 z = 2 log 3 y + log 9 x + log 9 z = 2 log z + log y + log x = 2 16 16 4
N
Bµi 9 (2®iÓm)
H
Ơ
Cho tø diÖn ABCD, chøng minh r»ng:
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
ẠO
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
10 00
B
TR ẦN
H Ư
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
C n1 C n2 (−1) n C nn 2.4.6...2n , ∀n ∈ Ν + + ... + = 3 5 2n + 1 1.3.5...(2n + 1)
TP
Chøng minh r»ng: 1 −
.Q
Bµi 10 (2®iÓm)
U Y
N
( AC + BD ) 2 + ( AD + BC ) 2 > ( AB + CD ) 2
§¸p ¸n - thang ®iÓm
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
®Ò thi häc sinh giái cÊp tØnh
Néi dung
Thang ®iÓm
H U Y
0.25
0.5
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
⇒ ∆ = a 2 − 2a (m + 2) + m 2 − 4n < 0 cã nghiÖm a
0.25
G
⇒ ∆ ′a = 4m + 4n + 4 > 0
0.5
H Ư
N
⇒ m + n > -1 ⇒ (C m ) cã cùc ®¹i, cùc tiÓu
Bæ ®Ò:
∀ x>0 th× e x >x+1
ThËt vËy:
§Æt f(x) = e x - x - 1 ∀x ≥ 0
10 00
B
Ta cã: f ′( x) = e x − 1 ≥ 0 , ∀x ≥ 0
TR ẦN
Bµi 2 ( 2 ®iÓm)
0.25 0.5
⇒ ∀x > 0 th× f(x) > f(0) = 0 ⇒ e > x+1 ∀x >0 x
¸p dông bæ ®Ò ta cã: ∀x ∈ (0, π ) ⇒ e sin x > 1 + sin 2 x
0.25
π
2
⇒ ∫ e sin x dx >
x)dx =
0
3π 2
1.0
-L
Bµi 3 ( 2 ®iÓm)
2
Í-
0
∫ (1 + sin
H
π
Ó
A
2
ÁN
x ≠ 1 §iÒu kiÖn 3 x ≠ 2
ÀN
TO
0.25
D
IỄ N
Đ
NhËn thÊy x = 0 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm nªn ph−¬ng tr×nh
⇔
2 13 + =6 3 3 2x + − 5 2x + +1 x x
t = 1 3 2 13 §Æt 2 x + = t ph−¬ng tr×nh trë thµnh: + = 6 ⇔ 11 t = x t − 5 t +1 2
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
ẠO
x 2 − (a − m) x + n + a = 0 v« nghiÖm
TP
.Q
x 2 + mx + n = a v« nghiÖm x −1
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
N
§−êng th¼ng ∆ kh«ng c¾t (C m ) nªn ph−¬ng tr×nh:
Nªn suy ra ph−¬ng tr×nh:
Ơ
0.5
V× m+n ≠ −1 nªn hä ®−êng cong (C m ) cã cùc ®¹i, cùc tiÓu khi m+n > -1.
N
Bµi 1 ( 2 ®iÓm)
0.5
0.5
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Víi t =1 th× ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm x = 2 11 th× ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm Víi t = x = 2 2 3
0.25
.Q
0.25
Đ
x+5 = t ≥ 0 ⇒ t2 = x+5
§Æt
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
§iÒu kiÖn: x ≥ −5
N H Ư
0.5
TR ẦN
x ≤ 0 t = − x ≥ 0 1 − 21 x = 1 ± 21 2 x = 2 x − x − 5 = 0 2 ⇔ ⇔ ⇔ t = x +1 ≥ 0 − 1 + 17 x ≥ −1 x = 2 x + x − 4 = 0 2 x = − 1 ± 17 2
10 00
B
x 2 + t = 5 ⇔ ( x + t )( x − t + 1) = 0
0.25
G
x 2 + t = 5 Ph−¬ng tr×nh trë thµnh: 2 t − x = 5
1.25
A
Bµi 5 ( 2 ®iÓm)
H
Ó
BiÕn ®æi t−¬ng ®−¬ng ph−¬ng tr×nh ®. cho
Í-
cos x − cos 7 x − 3 3 sin x = 0
-L
⇔ 2 sin 3 x sin 4 x − 3 3 sin x = 0
[
ÁN
⇔ 2 sin 4 x sin x(3 − 4 sin 2 x) − 3 3 sin x = 0
]
TO
⇔ sin x 2 sin 4 x(1 + 2 cos 2 x) − 3 3 = 0
Đ
ÀN
sin x = 0 2 sin 4 x(1 + 2 cos 2 x) = 3 3 2
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
TP
Bµi 4 ( 2 ®iÓm)
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
U Y
N
H
Ơ
x = 2 KÕt luËn: Ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 2 3
N
0.25
D
IỄ N
Gi¶i (1) ta ®−îc x=k π víi k ∈ Ζ Gi¶i (2): Ta cã (2) ⇔ sin 4 x cos 2 x + sin 4 x =
3 3 2
⇔ 4 sin 2 x cos 2 2 x + sin 4 x =
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
3 3 2
0.5
(3)
0.25
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
(sin 2 x cos 2 2 x) 2 cos 2 2 x cos 2 2 x + ≥ 33 2 2 4
3 3
+ 1<
Ơ
H 3 3 2
TP
suy ra (3) v« nghiÖm nªn (2) v« nghiÖm.
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Bµi 6 ( 2 ®iÓm)
3 3 2
N
0.25
B
Chøng minh bÊt ®¼ng thøc trªn.
H Ư
3 3 2
TR ẦN
⇔ sin A + sin B + sin C ≤
G
Tr−êng hîp 1: Tam gi¸c ABC kh«ng tï, ta cã f ( A) + f ( B ) + f (C ) ≤
0.5
ẠO
KÕt luËn: Ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x=k π víi k ∈ Ζ
Ó
3 3 2
0.5
Í-
⇔ sin A + sin B + 1 + cos C ≤
A
3 3 2
H
f ( A) + f ( B ) + f (C ) ≤
10 00
Tr−êng hîp 2: Tam gi¸c ABC tï, kh«ng gi¶m tÝnh tæng qu¸t gi¶ sö gãc C tï, ta cã:
3 3 2
0.5
-L
ÁN
⇔ sin A + sin B + sin C ≤
TO
V× ta cã nhËn xÐt: 1 + cos C ≤ sin C víi C lµ gãc tï. Chøng minh ë tr−êng hîp 1.
Đ
ÀN
Bµi 7 ( 2 ®iÓm)
D
IỄ N
V× f (1) + f (2) = 4 f (2) ⇒ f (2) =
0.25
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
2
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
do ®ã 4 sin 2 x cos 2 2 x + sin 4 x ≤
3 3
N
⇒ sin 2 x cos 2 x ≤ sin 2 x cos 2 x ≤
0.25
2
2
U Y
2
.Q
ta ®−îc 1 = sin 2 2 x +
0.25
cos 2 2 x cos 2 2 x , 2 2
N
¸p dông B§T C«si cho 3 sè: sin 2 2 x,
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
2 3
f (1) + f (2) + ... + f (n − 1) + f (n) = n 2 f (n) Víi n ≥ 3 , theo gi¶ thiÕt: f (1) + f (2) + ... + f (n − 1) = (n − 1) 2 f (n − 1)
0.25
⇒ f (n) = n 2 f (n) − (n − 1) f (n − 1)
0.5
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn n −1 f (n − 1) n +1
0.5
0.5
16
y xz = 2
H Ư
9
TP
x yz = 16 ⇔ y 2 xz = 81 z 2 yx = 256
z 2 yx = 2
0.25
2
0.25 0.5
0.5
H
Ó
A
10 00
B
2 x = 3 27 Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh ta ®−îc y = lµ nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh. 8 32 z = 3
0.5
Í-
Bµi 9 ( 2 ®iÓm)
-L
Gäi O,M,N,P,QlÇn l−ît lµ trung ®iÓm c¸c c¹nh: CD, AC, CB, BD, DA
ÁN
Suy raMNPQ lµ h×nh b×nh hµnh vµ O kh«ng thuéc (MNPQ)
TO
Ta cã (MO+OP) 2 +(NO+OQ) 2 >MP 2 +NQ 2 =2(PQ 2 +QM 2 )>(PQ+QM) 2 VËy: (MO+OP) 2 +(NO+OQ) 2 >(PQ+QM) 2
Đ
ÀN
1 1 1 1 1 1 Hay ( AD + BC ) 2 + ( BD + AC ) 2 >( AB+ CD) 2 2 2 2 2 2 2
D
IỄ N
⇔ ( AC + BD ) 2 + ( AD + BC ) 2 > ( AB + CD) 2
0.75
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
2
G
x yz = 2
N
4
TR ẦN
log ⇔ log log
2
Đ
ẠO
log 4 x 2 + log 4 y + log 4 z = 2 Víi ®iÒu kiÖn trªn hÖ ph−¬ng tr×nh ⇔ log 9 y 2 + log 9 x + log 9 z = 2 2 log 16 z + log 16 y + log 16 x = 2
.Q
§iÒu kiÖn x,y,z>0
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
U Y
Bµi 8 ( 2 ®iÓm)
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
N
2 4 tho¶ m.n c«ng thøc trªn nªn f (n) = ∀n ∈ Ν * 3 n(n + 1)
N
v× f (1) = 2; f (2) =
(n − 1)(n − 2)...2 4 f ( 2) = (n + 1)n...4 n(n + 1)
Ơ
vËy víi n ≥ 3 ⇒ f (n) =
0.25
H
⇒ f ( n) =
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
(®pcm)
Bµi 10 ( 2 ®iÓm)
Ta cã (1 − x 2 ) n = 1 − C n1 x 2 + C 2n x 4 + ... + (−1) n C nn x 2 n ∀n ∈ Ν * 0.25 0.5
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn 1
0
0
⇒ ∫ (1 − x 2 ) n dx = ∫ (1 − C n1 x 2 + C 2n x 4 + ... + (−1) n C nn x 2 n )dx =
0.5 0.5
(−1) n C nn 1 1 = 1 − C n1 + C n2 + ... + 3 5 2n + 1
(1) 0.25
Ơ
1
TÝnh I n = ∫ (1 − x ) dx n
H
2
N
0
U Y .Q ẠO
π 2
0.5
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
⇒ I n = ∫ sin 2 n +1 tdt π
N
π
G
0
In=
2.4.6...2n 1.3.5...(2n + 1)
(2)
B
2n 2.4...2n I n −1 = I0 2n + 1 3.5...(2n + 1)
10 00
VËy
TR ẦN
H Ư
2 2 u = sin 2 n t ®Æt ⇒ I n = 2n ∫ cos 2 t sin 2 n −1 tdt = 2n ∫ (1 − sin 2 t ) sin 2 n −1 tdt = 2nI n −1 − 2nI n dv = sin tdt 0 0
0.5
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
Tõ (1) vµ (2) ⇒ ®pcm
0.5
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
TP
⇒ dx = − sin tdt
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
0.25
π ®Æt x= cost, x = cos t , t ∈ 0, 2
⇒ In =
N
1
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
D
IỄ N
Đ
0.25
L−u ý: C¸c c¸ch gi¶i kh¸c nÕu ®óng vÉn cho ®iÓm tèi ®a PhÇn nhËn xÐt ë bµi 6 nÕu kh«ng chøng minh th× cho 0.25 ®iÓm
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
10 00
B
TR ẦN
H Ư
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
TP
.Q
U Y
N
H
Ơ
N
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
§Ò thi häc sinh giái líp 12 M«n To¸n häc – Thêi gian lµm bµi 180 phót Cho y = (-m + 1) x3 + 3( m + 1) x2 - 4 mx - m . a) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó hµm sè lu«n ®ång biÕn . b) Chøng minh víi mäi m ®å thÞ hµm sè lu«n ®i qua 3 ®iÓm cè ®Þnh th¼ng hµng . Bµi 2: T×m c¸c gi¸ trÞ cña tham sè a ®Ó bÊt ph−¬ng tr×nh :
ẠO
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
§−îc nghiÖm ®óng víi mäi x . Bµi 3: Gi¶i ph−¬ng tr×nh
G N H Ư
Bµi 4:
Đ
x3 + x = 2 ( x 2 − x + 1) 2 y6 + y3+ 2 x2
=
TR ẦN
T×m cÆp sè (x; y) tho¶ m?n
xy− x2 y2
10 00
B
Bµi 5: Cho khèi tø diÖn ABCD ; M lµ 1 ®iÓm n»m bªn trong tø diÖn;AM, BM , CM, DM. LÇn l−ît c¾t c¸c mÆt BCD; ACD; ABD; vµ ABC t¹i A1, B1 , C1 , D1. a) Chøng minh r»ng :
A
MA 1 MB 1 MC 1 MD 1 + + + AA 1 BB 1 CC 1 DD 1
H
Ó
Kh«ng ®æi .
ÁN
AM + MA 1
BM + MB 1
CM + MC 1
TO
P =
-L
Í-
b) T×m vÞ trÝ cña ®iÓm M ®Ó biÓu thøc
DM MD 1
n→ ∞
D
IỄ N
Đ
ÀN
§¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt . Bµi 6: Chøng minh víi mçi sè nguyªn d−¬ng n th× ph−¬ng tr×nh x2n+ 1 = x + 1 . chØ cã 1 nghiÖm sè thùc xn . Khi ®ã t×m lim xn
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
TP
.Q
x +1 <1 ax 2 − 4 x + a − 3
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
U Y
N
H
Ơ
N
Bµi 1:
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
3 7
H Ư
(0.50 ®iÓm) (0.25 ®iÓm)
10 00
B
b) Gäi (x0 ;y0) lµ ®iÓm cè ®Þnh mµ ®å thÞ ®i qua víi ∀ m => m ( x03 + 302 − 4 x0 − 1) + x03 − 3x02 − y0 = 0 (*)
Ó
H
x03 + 3 x02 − 4 x0 − 1 = 0 3 x0 + 3 x02 − y0 =0
A
§Ó ph−¬ng tr×nh (*) kh«ng phô thuéc m cÇn
-L
Í-
XÐt ph−¬ng tr×nh x03 + 3x02 − 4 x0 − 1 = 0
ÁN
Gäi f(x) = x03 + 3x02 − 4 x0 − 1 = 0 lµ hµm sè liªn tôc trªn R
D
Ơ H
IỄ N
Đ
ÀN
TO
+ Cã f(0) .f(-1) <0 => ph−¬ng tr×nh f(x) = 0 cã mét nghiÖm thuéc (-1; 0) (1.0 ®iÓm) + Cã f(1) .f(2) <0 => ph−¬ng tr×nh f(x) = 0 cã mét nghiÖm thuéc (1; 2) + Cã f(-1) > 0 ; khi x → −∞ th× f(x) <0. VËy ph−¬ng tr×nh f(x) = 0 cã nghiÖm thuéc (- ∞;−1)
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
KÕt luËn: m ∈ (− ∞;−1] ∪ − ;+∞ .
TR ẦN
m + 1 > 0 3 ⇔ ⇔ m < −1 hoÆc m ≥ − 7 (m + 1)(7 m + 3) ≤ 0
N
G
Đ
m + 1 > 0 ' 2 ∆ = 9(m + 1) + 12m(m + 1) ≤ 0
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
ẠO
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
TP
.Q
U Y
N
Bµi 1: a) (1.5 ®iÓm ) D=R CÇn ®iÒu kiÖn : y’ = 3 (m + 1) x2 + 6 ( m + 1 ) x - 4 m ≥ 0 Tho? m?n víi ∀ x (0.25 ®iÓm) + m + 1 = 0 => m = - 1 cã y’ = 4 > 0 Tho? m?n víi ∀ x vËy m = -1 lµ gi¸ trÞ cÇn t×m . (0.25 ®iÓm) + m + 1 ≠ 0 = > m = - 1 . §Ó y’ ≥ 0 Tho? m?n víi ∀ x cÇn ®iÒu kiÖn
N
®¸p ¸n vµ biÓu ®iÓm m«n To¸n häc thi häc sinh giái líp 12
VËy ph−¬ng tr×nh f(x) = 0 lu«n cã 3 nghiÖm . C¸c nghiÖm Êy thâa m?n : x3 + 3 x 2 − 4 x − 1 = 0 3 x + 3 x 2 − y =0
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Trõ hai ph−¬ng tr×nh cho nhau ®−îc : y - 4x - 1 = 0 hay c¸c ®iÓm cè ®Þnh thuéc ®−êng th¼ng y = 4x - 1 .
(0,5 ®iÓm)
U Y .Q (do a < - 1)
A
(0.5 ®iÓm)
H
(do a > 4)
4 − 41 4 + 41 ∪ ; +∞ 2 2
Ó
KÕt luËn: a ∈ − ∞;
4 + 41 2
10 00
⇔ 4a2 - 16a - 25 > 0 ⇔ a >
(1,0 ®iÓm)
B
TR ẦN
H Ư
N
+ NÕu a > 4 th× ax2 - 4x + a - 3 > 0 víi ∀x . BÊt ph−¬ng tr×nh ®? cho tháa m?n víi ∀x . ⇔ x + 1 < ax2 - 4x + a - 3 tháa m?n víi ∀x . ⇔ ax2 - 5x + a - 4 > 0 tháa m?n víi ∀x ⇔ ∆ = 25 - 4a (a - 4 ) < 0 (v× a = 4 > 0)
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
( 3 ®iÓm ) Bµi 3: TËp x¸c ®Þnh D = ∀x ∈ R (0,25 ®iÓm) Do x = 0 kh«ng lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ®? cho nªn ph−¬ng tr×nh ®? cho (0,25 ®iÓm)
D
IỄ N
Đ
⇔
x3 + x x2
x+
x 2 − x +1 x
2
=
1 x
1 x + − 1 x
2
=2
(0,5 ®iÓm)
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
TP
4 − 41 2
⇔ ∆ = 4a2 - 16a - 25 > 0 ⇔ a <
Đ
ẠO
(1,0 ®iÓm)
G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
+ NÕu a < -1 th× ax2 - 4x + a - 3 < 0 víi ∀x . BÊt ph−¬ng tr×nh ®? cho tháa m?n víi ∀x . ⇔ x + 1 > ax2 - 4x + a - 3 tháa m?n víi ∀x . ⇔ ax2 - 5x + a - 4 < 0 tháa m?n víi ∀x . ⇔ ∆ = 25 - 4a (a - 4 ) < 0 (v× a < -1)
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
N
H
⇔ a < -1 hoÆc a > 4
Ơ
a ≠ 0 ⇔ ' ∆ = 4 − a (a − 3) < 0
N
Bµi 2 (3 ®iÓm ) Tr−íc hÕt cÇn ax2 - 4x + a - 3 ≠ 0 víi mäi x
2
1 1 ⇔ 2 x + − 1 = x + x x
(0,5 ®iÓm)
1 x
§Æt x + = t. §iÒu kiÖn t ≥ 2
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn 1 1 = x + ≥2 ) x x
(0,25 ®iÓm)
Ta ®−îc ph−¬ng tr×nh míi 2t2 - 5t + 2 = 0
N
1 =2 2 ⇔ x 2 − 2x + 1 = 0
⇒ x+
⇔ x =1
Đ
(0,25 ®iÓm)
Ta cã : 1 1 1 xy - x2 y2 = - x 2 y 2 − xy + + ≤ 1 2
H Ư
B
A
( DÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi xy = 1 2
(0,25 ®iÓm)
4
Í-
KÕt hîp víi gi¶ thiÕt 2 x 2 + 1 + (2 x − y )2 ≤ 4 xy 3 + y 3 +
-L
1 ) 2
(0,25 ®iÓm)
H
Do ®ã : y 6 + y 3 + 2x2 ≤
4
Ó
⇒ xy − x 2 y 2 ≤
4
10 00
(0,25 ®iÓm)
TR ẦN
Bµi 4: (3 ®iÓm ) §iÒu kiÖn : xy - x2 y2 ≥ 0 hay 0 ≤ xy ≤ 1
N
G
KÕt luËn: VËy ph−¬ng tr×nh ®? cho cã nghiÖm duy nhÊt x = 1
1 2
(0,25 ®iÓm)
ÁN
Céng hai vÕ hai bÊt ®¼ng thøc ta cã : (0,25 ®iÓm)
TO
y 6 + 4x 2 + 1 + (2x − y) 2 ≤ 4xy3 + 1
ÀN
⇔ 1 − 1 + (2 x − y ) 2 ≥ ( y 3 − 2 x) 2
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
ẠO
TP
(0,5 ®iÓm)
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
N .Q
Víi t = 2
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Ơ
(0,25 ®iÓm)
(lo¹i do kh«ng tho¶ m?n )
U Y
t = 2 ⇔ t = 1 2
(0,25 ®iÓm)
H
(v× t = x +
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Đ
Do 1 − 1 + (2 x − y ) 2 ≤ 0 dÊu b»ng x¶y ra khi 1 + (2x - y ) 2 =1
D
IỄ N
vµ ( y 3 − 2 x) 2 ≥ 0
(0,25 ®iÓm)
nªn ta cã 1 − 1 + (2 x − y ) 2 = ( y 3 − 2 x) = 0 y3 − 2x = 0 ⇔ 2 x − y = 0
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
(0,25 ®iÓm)
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn y3 = −1 1 x3 = − 2
y2 = 1 ; x2 = 1
(0,5 ®iÓm)
1 Thö l¹i chØ thÊy : (x ; y ) = − ;−1 tho¶ m?n
(0,5 ®iÓm)
Ơ
2
N
y = 0 Gi¶i hÖ nµy ta ®−îc 1 ; x1 = 0
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
MA1 V1 MB1 V2 MC1 V3 MD1 V3 = ; = ; = ; = AA1 V BB1 V CC1 V DD1 V
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
Céng 4 ®¼ng thøc trªn = > khÕt qu¶ = 1 (kh«ng ®æi ) (0.5 ®iÓm ) 2 2 2 b) Theo kÕt qu¶ c©u a ®Ó thuËn tiªn gäi V1 = a ; V2 = b ; V3 = c ; V4= d2. Khi ®ã :
=>
B
T−¬ng tù:
10 00
d 2 + c2 + a2 BM = MB1 b2
H
Ó
A
CM d 2 + a2 + b2 = c2 MC1
(1,0 ®iÓm)
-L
Í-
DM a 2 + b 2 + c 2 = . d2 MD1
H Ư TR ẦN
AM b 2 + c 2 + d 2 = a2 MA1
N
AA1 V a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = = MA1 V1 a2
TO
ÁN
MÆt kh¸c theo BÊt ®¼ng thøc Bunhi a ta cã : (b + c + d ) 2 ≤ 3 (b2 + c2 + d2 )
ÀN
=>
BM = AM 1
b2 + c 2 + d 2 1 b+c+d ≥ a a 3
(0,5 ®iÓm)
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
TP
(1,0 ®iÓm)
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
.Q
U Y
N
H
Bµi 5: (4 ®iÓm ) a) Gäi thÓ tÝch c¸c khèi tø diÖn M.BCD ; M.ACD ; M.ABC vµ ABCD lµ V1 , V2 , V3 , V4 vµ V khi ®ã :
D
IỄ N
Đ
T−¬ng tù :
BM 1 a+c+d ≥ MB1 b 3 CM 1 a+b+d ≥ MC1 c 3
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
DM 1 a+b+c ≥ MD1 d 3
DÊu “=” x¶y ra khi a2 = b2 = c2 = d2
(0,5 ®iÓm)
Ơ H
Đ
(0,5 ®iÓm )
TR ẦN
H Ư
N
+ NÕu x ≤ −1 ⇒ x 2 n ≥ 1 : vÕ tr¸i ≤ 0 VËy ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm . +NÕu 0 < x <1 => vÕ tr¸i (*) ©m = > ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm +NÕu –1<x ≤ 0 ⇒ vÕ tr¸i (*) ≤ 1 ⇒ ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm
(0,25 ®iÓm) (0,25 ®iÓm) (0,25 ®iÓm)
+NÕu x > 1 xÐt f(x) = x 2 n +1 − x − 1 lµ hµm sè liªn tôc trªn (1 ; + ∞ ) (0,5 ®iÓm )
10 00
B
mµ f(-1) . f(2) < 0 . nªn theo tÝnh chÊt cña hµm sè liªn tôc ∃xn Sao cho xn ∈ (1;2 ) ®Ó f (xn ) = 0 : xn + 1 ≤
2n + xn + 1 2n + 1 ≤ 2n + 1 2n
A
2 n +1
H
(theo bÊt ®¼ng thøc c«isi )
Ó
víi xn =
2n + 1 =1 2n
VËy
xn = 1
-L
TO
n→ ∞
ÁN
lim
Í-
Vµ lim xn ≤ lim
(0,5 ®iÓm )
D
IỄ N
Đ
ÀN
2n + 1 Do 1 < xn ≤ 2n
(0,25 ®iÓm)
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
ẠO
(0,25 ®iÓm)
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
N U Y
TP
.Q
(0.5 ®iÓm )
G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
(Theo B§T c« si cho 2 sè kh«ng ©m ) VËy T min = 4 3 khi a2 = b2 = c2 = d2 Hay M lµ träng t©m tø diÖn ABCD ) (3 ®iÓm ) Bµi 6: TËp x¸c ®Þnh D = R Ph−¬ng tr×nh ®? cho ⇔ x 2 n +1 − x = 1 ⇔ x( x 2 n − 1) = 1 (*)
N
1 b+c +d d +c +a a +b+d a +b+c 1 + + + .12 = 4 3 ≥ a b c d 3 3
=>T ≥
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Thi häc sinh giái líp 12 m«n to¸n B¶ng A ( Thêi gian 180 phót , kh«ng kÓ giao ®Ò) Bµi 1( 4,0 ®iÓm) x 2 + mx − m + 8 (C m ) x −1 1) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè (Cm) khi m = 1 2) T×m m ®Ó cùc ®¹i , cùc tiÓu cña (Cm) n»m vÒ hai phÝa cña ®−êng th¼ng Bµi 2( 4,0 ®iÓm)
ẠO Đ G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
nhÊt Bµi 3 ( 4,0 ®iÓm) Cho cos3x – cos2x + mcosx – 1 = 0 (1) 1) Gi¶i ph−¬ng tr×nh (1) khi m = 3
H Ư
N
π 2) T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh (1) cã sè nghiÖm nhiÒu nhÊt trªn − ;2π 2 Bµi 4(4,0 ®iÓm) π
TR ẦN
x sin x dx 1 + cos x 0
1) TÝnh I = ∫
B
2) Cho x2 +y2 =1 . Chøng minh : 16( x 5 + y 5 ) − 20( x 3 + y 3 ) + 5( x + y ) ≤ 2
Ó
A
10 00
Bµi 5( 4,0 ®iÓm) 1) Cho tø diÖn ABCD . C¸c mÆt cña tø diÖn cã diÖn tÝch b»ng nhau . Chøng minh r»ng t©m mÆt cÇu néi , ngo¹i tiÕp tø diÖn trïng nhau. 2) Cho tø diÖn ABCD vµ mét mÆt ph¼ng (P) . T×m trªn mf (P) ®iÓm M sao cho
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
H
MA + MB + MC + MD nhá nhÊt
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
TP
Gäi ( x ; y ) lµ nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh log x 2 + 2 y 2 (2 x + y ) ≥ 1 . T×m ( x; y) sao cho 2x + y lín
3)
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
.Q
1)T×m p vµ q ®Ó gi¸ trÞ lín nhÊt cña hµm sè y = x 2 + px + q trªn [− 1;1] lµ bÐ nhÊt
U Y
N
H
9x –7y – 1 = 0
Ơ
N
Cho hµm sè : y =
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
H−íng dÉn chÊm vµ thang ®iÓm thi häc sinh giái 12 Bµi H−íng dÉn chÊm x2 + x + 7 1) Khi m = 1 ⇒ y = x −1 *) TËp x¸c ®Þnh : x ≠ 1
(C1 )
x 2 − 2x − 8 ; ( x − 1) 2
Ơ
N
0,25 y ' = 0 ⇔ x = −2 & x = 4
H
0,5
+
0 C§
4 +∞
.Q
1
+∞
0 + +∞ CT
0,5
G
-∞
N
-∞
Đ
y
H Ư
1
*)Hµm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i x = -2 ⇒ yC§ = -3 ®¹t cùc tiÓu t¹i x = 4 ⇒ yCT = 9 *)x = 1 lµ tiÖm cËn ®øng v× Lim f(x) = -∞ vµ lim f(x) = +∞ x → 1x → 1+ 9 *) y = x + 2 lµ tiÖm cËn xiªn v× lim(f(x) –x – 2 ) = lim =0 x −1 x→∞ x→∞ §å thÞ : d¹ng ®å thÞ y
TR ẦN
0,25
9
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
10 00
B
0,25
0,25 -2
O
1
4
x
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
y’
-2
TP
-∞
ẠO
x
U Y
Ta cã b¶ng biÕn thiªn
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
N
*) Sù biÕn thiªn : y ' =
m«n to¸n b¶ng a §iÓm
IỄ N
-3
D
-7
2)TËp x¸c ®Þnh x ≠ 1 ⇒ y ' =
x 2 − 2x − 8 ; y’ = 0 ⇔ x =-2 ; x = 4 ( x − 1) 2
VËy víi mäi m th× (Cm) lu«n cã cùc ®¹i vµ cùc tiÓu. Theo c©u 1) ta cã yC§= m – 4 t¹i
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
0,5
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
x = -2 ; ®Æt A ( -2 ; m – 4 ) yCT = m + 8 t¹i x = 4 ; ®Æt B ( 4 ; m + 8 ) A ; B n»m hai phÝa cña ®−êng th¼ng 9x – 7y – 1 = 0 ⇔ (9xA – 7yA – 1 )( 9xB – 7yB – 1 ) < 0 9 ⇔ ( 9 -7m )( -21 – 7m) < 0 ⇔ -3 < m < 7 9 VËy m ∈ − 3; tho¶ mcn bµi to¸n 7
0,5 0,5
Ơ
N
0,25
U Y
N
H
0,25
1)§Æt y = f(x) = x2 + px + q ; h(x) = f (x) .
.Q
Gäi max h(x) = h( α )
ẠO Đ G
H Ư
1 f ( 1 ) > 2 ⇒ h( α ) > 1 NÕu p > 0 ⇒ 1 + p > 1 ⇒ 1 2 f ( 0) > 2
0,25
N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
f (−1) + f (0) ≥ f (−1) − f (0) = 1 − p
TR ẦN
1 f (−1) > 2 1 NÕu p < 0 ⇒ 1 − p > 1 ⇒ ⇒ h( α ) > 1 2 f ( 0) > 2
0,25
10 00
B
p Chó ý : Max h(x) = max f (− ) ; f (−1) ; f (1) 2 [− 1;1] p ) = q ; f(±1) = 1 + q 2 Gi¸ trÞ lín nhÊt cña h(x) lµ mét trong 2 gi¸ trÞ q ; 1 + q
0,25 0,25
1 1 1 1 ⇒ 1 + q > ⇒ f (±1) > ⇒ h(α ) > 2 2 2 2 1 1 1 1 NÕu q < - ⇒ q > ⇒ f (0) > ⇒ h(α ) > 2 2 2 2 1 1 1 1 NÕu q = - ⇒ fx) = x 2 − ≤ ⇒ max h( x) = ⇔ x = 0; x = ±1 còng lµ gi¸ trÞ 2 2 2 2
0,25
A
2
-L
Í-
H
Ó
*) NÕu p = 0 ⇒ f(x) = x2 + q ; f(0) = f(-
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
NÕu q > −
nhá nhÊt cña h(α) .VËy p = 0 ; q = -
0,25
1 tho¶ mcn bµi to¸n 2
x2 + 2y 2 > 1 (I ) 2x + y ≥ x 2 + 2 y 2 2) log x 2 + 2 y 2 (2 x + y ) ≥ 1(*) ⇔ αx 2 + 2 y 2 < 1 ( II ) 2 2 0 < 2 x + y ≤ x + 2 y
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
0,5
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
TP
ta cã f(0) = q ; f(1) = 1+p + q ; f(-1) = 1- p + q ; ⇒ f (1) + f (0) ≥ f (1) − f (0) = 1 + p
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
0,5
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Tr−êng hîp 1: NÕu (x;y) tho¶ mcn (I) ta cã x2 +2y2 1 2 9 ≤ 2 xy ⇔ ( x − 1) 2 + ( 2 y − ) ≤ . Theo bÊt ®¼ng thøc Bunhiacèpxki ta cã 8 2 2 2
9 1 1 81 9 9 9 (2 x + y − ) 2 = ( x − 1)2 + ( 2y − ) ≤ ⇒ 2x + y − ≤ ⇔ 2x + y ≤ 4 16 4 4 2 2 2 2
N Ơ
ẠO
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
N
G
0,5
H Ư
cos3x – cos2x + mcosx – 1 = 0 (1)
0,5
TR ẦN
cos x = 0 ⇔ cos x(4 cos 2 x − 2 cos x + m − 3) = 0 ⇔ 2 4 cos x − 2 cos x + m − 3 = 0 (2)
π x = 2 + kπ π x = ± + 2kπ 3
0,5 k∈Z
t = cos x ; t ≤ 1 XÐt ph−¬ng tr×nh (2) ⇔ 2 4t − 2t + m − 3 = 0 (3)
A
0,25
Ó
2)
10 00
B
2 cos x = 0 1 ⇔ 1) Víi m = 3 th× (1) ⇔ cos x = 2
Í-
H
π VÏ ®å thÞ hµm sè y = cosx trªn − ;2π 2
ÁN
-L
Y
y=t1
ÀN
TO
3
2
O
π 2
π
-
3π 2
y=t2 2π
x
0,25
D
IỄ N
Đ
-
π
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
1 th× 2x + y lín nhÊt 2 Tr−êng hîp 2 : ( x ; y ) tho¶ mcn (II) ⇒ 2x + y kh«ng ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt V× tõ (II) ⇒ 2 x + y ≤ x 2 + 2 y 2 < 1
VËy x = 2 ; y =
0,5 https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
TP
.Q
U Y
N
H
9 2x + y = 2 x = 2 1 2y − 1 ®óng víi mäi x ; y tho¶ mcn (*) . DÊu “=” x¶y ra ⇔ ⇔ y= x −1 2 2 = 2 1 2 2
0,5
π Sè nghiÖm cña (2) lµ sè giao ®iÓm cña y = t vµ y = cosx trªn − ;2π víi t lµ 2
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
N
0,5
π
π
π sin xdx t sin tdt x sin xdx =∫ −∫ 2 2 2 0 1 + cos t 0 1 + cos x 0 1 + cos x
G
1 + cos 2 t
π
−∫
N
0
π sin tdt
H Ư
π
Đ
dx = - dt ; sinx = sint ; cos2x = cos2t
⇒I =∫
π 1
π
TR ẦN
4 π2 dt sin xdx ⇒ 2I = π ∫ =π∫ = 2π ∫ dx = 2 2 2 −1 1 + t 0 1 + cos x 0
⇒I=
π2
0,5
ẠO
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
x sin x ∫0 1 + cos 2 x dx .§Æt t = π − x ⇒ x = 0 ⇒ t = π ; x = π ⇒ t = 0
0,5
0,5 0,5 0,5
10 00
B
4 2) §Æt x = sint ; y = cost ⇒ sin 2 t + cos 2 t = 1 Ta cã sin5t = 16sin5t –20sin3t + 5sint Cos5t = 16cos5t – 20cos3t + 5cost ⇒sin5t = 16x5 –20x3 + 5x ; cos5t = 16y5 – 20y3 +5y
Ó
A
0,5
H
Í-
4
⇒ 16( x 5 + y 5 ) − 20( x 3 + y 3 ) + 5( x + y ) = sin 5t + cos 5t ≤ 2
π 4
=
π 2
+ kπ ⇔ t =
π 20
+
kπ 5
k∈Z
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
DÊu “=” x¶y ra ⇔ 5t +
0,5 0,5
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
π
1) I =
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
TP
.Q
U Y
N
H
π nghiÖm cña (3) . Ph−¬ng tr×nh (1) cã sè nghiÖm nhiÒu nhÊt trªn − ;2π khi vµ chØ 2 khi ph−¬ng tr×nh (3) cã hai nghiÖm t1 < t2 tho¶ mcn ∆' > 0 f ( 0) > 0 13 0 < t1 < t2 <1 ⇔ f (1) > 0 ⇔ 3 < m < 4 1 0 < < 1 4
Ơ
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
5
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
N
A
0,5
H
Ơ
K’ D
.Q
I
TP
C
I’
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
0,25
ẠO
§’
M
0,5
G
C’
H Ư
N
P
0,25
ÁN
B
-L
Í-
H
Ó
A
10 00
B
TR ẦN
Dùng mf(P) ⊥ AB t¹i M . Gäi DK ; CH lµ c¸c ®−êng cao cña tam gi¸c DAB vµ tam gi¸c CAB . Do dt ∆DAB = dt∆CAB ⇒ DK’ = CH. Gäi C’ ; D’ lÇn l−ît lµ h×nh chiÕu cña C ; D trªn (P) ⇒ MC’ = MD’ v× CH // (P) ; DK// (P) ⇒∆MC’D’ c©n t¹i M ⇒ MI’ ⊥ C’D’ ; I’ lµ trung ®iÓm C’D’ KÎ II’ // AB ; ( I ∈CD ) ; IK //MI’ ⇒ MKII’ lµ h×nh ch÷ nhËt. VËy IK lµ ®−êng vu«ng gãc chung cña AB vµ CD vµ I lµ trung ®iÓm CD *) Vai trß A ; B ; C ; D b×nh ®¼ng . B»ng c¸ch dùng t−¬ng tù mf(P’) ⊥ Cd ta chøng minh K’ lµ trung ®iÓm cña AB vµ I’K’ lµ ®−êng vu«ng gãc chung cña AB vµ CD ⇒ I’≡ 0,25 I ; K’≡ K Do ®ã tø diÖn ABCD cã c¸c ®−êng trung b×nh ®ång thêi lµ ®−êng vu«ng gãc chung 0,25
P
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
K
D O I
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
B
U Y
H
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
N
K
A Q
C
Gäi O lµ trung ®iÓm IK ⇒ OA = OB = OC = OD vËy O lµ t©m mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn ABCD *) VKBCD = VKACD ⇒ KI ∈ mf ph©n gi¸c cña gãc ph¼ng nhÞ diÖn c¹nh CD vµ AB . T−¬ng tù PQ ∈ mf ph©n gi¸c cña gãc ph¼ng nhÞ diÖn c¹nh AC vµ BD. V× KI ∩ PQ = O ⇒ O c¸ch ®Òu
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
c¸c mÆt cña tø diÖn ABCD . VËy O lµ t©m mÆt cÇu néi tiÕp tø diÖn ABCD 2)
N
A
H
Ơ
I
U Y
N Þ
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
C
TR ẦN
H Ư
Gäi I ; J lµ trung ®iÓm AB vµ CD ; N lµ trung ®iÓm cña IJ . Víi M bÊt kú ta 2 MI = MA + MB cã ⇒ MA + MB + MC + MD = 2( MI + MJ ) = 4 MN 2 MJ = MC + MD ⇒ MA + MB + MC + MD = 4 MN bÐ nhÊt ⇔ M lµ h×nh chiÕu cña N trªn mÆt ph¼ng
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
10 00
B
(P)
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
TP
.Q
B
1,0
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
N
D
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
§Ò thi häc sinh giái líp 12 B¶ng A
Ơ
N
Thêi gian: 180 phót
U Y
1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè sau:
ẠO Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
2. TÝnh tÝch ph©n:
G
Π
x sin xdx . 2 1 + cos x 0
H Ư
N
I=∫
TR ẦN
Bµi 2: (4 ®iÓm)
10 00
1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh khi a = 4.
B
a x3 − 1 = x2 + 2
Cho ph−¬ng tr×nh:
2. T×m a ®Ó ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm.
A
Bµi 3: (4 ®iÓm)
H
Ó
1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: tgx – 3cotg3x = 2tg2x.
-L
Í-
2. Chøng minh r»ng ∆ABC ®Òu nÕu tho¶ m=n:
ÁN
tgA + tgB + tgC = cot g
A B C + cot g + cot g . 2 2 2
TO
Bµi 4: (2 ®iÓm)
lim (
x →∞
x + 3 3 x+1 ) . x+2
Đ
ÀN
T×m giíi h¹n:
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
TP
.Q
x 2 − 4x + 4 y= . 1− x
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
N
H
Bµi 1: (4 ®iÓm)
D
IỄ N
Bµi 5: (2 ®iÓm) Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh: 2 x 2 − 6 x + 2 ≥ log 2
2x + 1 . (x − 1) 2
Bµi 5: (4 ®iÓm)
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Trong mÆt ph¼ng víi hÖ to¹ ®é oxy. x2 y2 + = 1 ; ®iÓm I(-1;-2) vµ ®−êng th¼ng (d): x + y – 6 = 16 9
Cho elip (E) cã ph−¬ng tr×nh:
Ơ
N
0.
U Y
®iÓm AB.
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
10 00
B
TR ẦN
H Ư
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
TP
.Q
2. T×m to¹ ®é ®iÓm M∈ (E) sao cho kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn d lµ nhá nhÊt.
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
N
H
1. ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua I vµ c¾t (E) t¹i hai ®iÓm A, B sao cho I lµ trung
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
N Ơ H
.Q
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
TP ẠO
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
10 00
B
TR ẦN
H Ư
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
N
Néi dung
U Y
ý
Thang ®iÓm
H-íng dÉn chÊm ®Ò thi häc sinh giái líp 12
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
1 TËp x¸c ®Þnh: R\{1}
0.5
Sù biÕn thiªn:
.Q
®øng. y = −∞ lim y = +∞; xlim → +∞
TP
+,
ẠO
x →− ∞
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
x 2 − 4x + 4 1 y= = −x + 3 + → lim [y − (−x + 3)] = 1− x 1− x x →∞ 1 → ®−êng th¼ng y= - x+3 lµ tiÖm cËn xiªn. x →∞ 1 − x
TR ẦN
H Ư
= lim
Bµi 1
y
0 -
1
0
+
2
+
+∞
0
+∞
0.25
0
Ó
A
+∞
10 00
-∞
B
B¶ng biÕn thiªn:
x
H
y’
Ơ
N
-> ®−êng th¼ng x=1 lµ tiÖm cËn
x →1+
ÁN
-L
Í-
4
-∞
-∞ y
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
§å thÞ:
4
0.25
3 2 1 0
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
x →1−
0.25
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
lim y = +∞; lim y = −∞
( 2 ) =0
H
[x=2,y
U Y
+,
x = 0 ,y ( 0 ) = 4
N
− x 2 + 2x y’= =0⇔ (1 − x)2
3 1
2
x
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial 0.75
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
2
π
TÝnh: I =
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
x sin xdx
∫ 1 + cos 2 x 0
0
π
t
π
0
U Y
dx = - dt 0
ẠO Đ 0
π
u
1
-1
10 00
B
TR ẦN
t
H Ư
N
§Æt u = cost -> du = - sintdt
π 1 du →I= ∫ 2 −11 + u 2
ÁN
-L
Í-
H
Ó
Bµi 1
A
π π §Æt u = tgv víi v∈ (− ; ) , du = (1+tg2v)dv 2 2
2
u v
-1
1
π 4
π 4
-
π 4
Đ
ÀN
TO
du (1 + tg v )dv π π = = dv → I = ∫ dv = v 2 2 2 π 2 1+ u 1 + tg v −
4
0.5
π 4
= −
π 4
π π π π2 = ( + )= 2 4 4 4
D
IỄ N
0.75
G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
π π sin t →I= ∫ dt 2 0 1 + cos 2 t
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
TP
.Q
π (π − t ) sin t sin t I = -∫ dt = π ∫ 1 + cos 2 t dt − I 2 π 1 + cos t 0
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
N
H
Ơ
x
N
§Æt x = π − t
0.75 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
0.25
§iÒu kiÖn: x ≥ 1 Ph−¬ng tr×nh ®= cho t−¬ng ®−¬ng víi :
Ơ H
(1)
Víi a = 4 ta cã: ph−¬ng tr×nh (1) lµ: t2 + 4t – 1 = 0
Víi t =- 2 +
∈ [ 0;
5 ta cã: t =
− 3+ 2 3 ] 3
N
t = −2 + 5
G
t = −2 − 5 ( lo ¹ i )
x −1 x + x +1 2
0.75
H Ư
⇔[
Đ
ph−¬ng tr×nh trë thµnh: f(t) = t2 + at – 1 = 0
0.75
10 00
B
<=> t2x2 + t2x +t2 = x – 1 <=> t2x2 + (t2 – 1)x +t2 + 1 = 0
Ó
A
1 − t 2 ± − 3t 4 − 6t 2 + 1 ⇔x= hiÓn nhi ª n tho¶ m= n x ≥ 1 2t 2
0.5
1 − t 2 ± − 3t 4 − 6 t 2 + 1 = , víi t = 5 − 2 2t 2
0.5
TO
ÁN
⇔ x1, 2
-L
Í-
H
VËy víi a = 4 ph−¬ng tr×nh ®= cho cã 2 nghiÖm:
Đ
ÀN
Ph−¬ng tr×nh ®= cho cã nghiÖm khi vµ chØ khi ph−¬ng tr×nh:
D
IỄ N
t2 + at – 1 = 0 (1) cã nghiÖm t ∈ [0;
−3+2 3 ]=D 3
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
−3+2 3 3
ẠO
®iÒu kiÖn 0 ≤ t ≤
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
x −1 x2 + x + 1
TR ẦN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
®Æt t =
N
x2 + x + 1
x −1 2 ) (do x 2 + x + 1 > 0) 2 x + x +1
=1− (
U Y
x −1
.Q
⇔a
TP
1
N
a (x − 1)(x 2 + x + 1) = (x 2 + x + 1) − (x − 1)
0.25
dÔ thÊy ph−¬ng tr×nh (1) lu«n cã 2 nghiÖm t1, t2 tho¶ m=n:
Bµi 2
t1 < 0 < t2 , do ®ã ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm <=> t2 ∈ D
⇔ f(
2
−3+2 3 2( 3 − 1) )≥0⇔a≥ 3 −3+2 3 www.facebook.com/daykemquynhonofficial
2( 3 − 1) Đóng góp PDF bởi VËy GV. Nguyễn Tú cña a lµ: [ www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial tËp gi¸ trÞThanh cÇn t×m ;+ ∞ )
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
§iÒu kiÖn: cos2x ≠ 0; cosx ≠ 0; sin3x ≠ 0
0.25
tgx – 3tg3x = 2tg2x 1 <=> tgx – cotg3x = 2(tg2x + cotg3x)
Ơ
N
sin x cos 3x sin 2x cos 3x ) − = 2( + cos x sin 3x cos 2 x sin 3x
H U Y
N
<=> - cos4x . cos2x = 2 cos2x 1 2
ẠO
TP
1
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
cosx ≠ 0 <=> cos2x ≠ 0 <=>
®èi chiÕu ®iÒu kiÖn:
Đ
<=> cos32x = -
.Q
<=> (2cos22x - 1)(cos2x) +1 +cos2x = 0
H Ư
N
G
1 + cos 2 x ≠ 0 <=> cos2x ≠ -1. 2
TR ẦN
sin3x ≠ 0 <=> sinx(3 – 4sin2x) ≠ 0 <=> sin2x ≠ 0 sin2x ≠
B
⇔ {cos 2 x ≠ − 1 2
A
⇔{
cos 2 x ≠1
10 00
1− cos 2 x ≠0 2 1− cos 2 x 3 ≠ 2 4
3 4
H
Ó
1 (tho¶ m=n ®iÒu kiÖn) 2
Í-
=> cos32x = -
α 1 = cos α ⇔ x = ± + kπ 2 2
-L
Bµi 3
ÁN
<=> cos2x = - 3
x=±
α + kπ, k ∈ Z víi 2
cos α = − 3
1 2
0.5
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
VËy ph−¬ng tr×nh ®= cho cã nghiÖm lµ:
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
⇔
V× tgA, tgB, tgC x¸c ®Þnh nªn ∆ ABC kh«ng vu«ng
tgA + tgB = − tgC ⇔ tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC 0.25 1 − tgAtgB A B cot g + cot g C A B 2 2 cot g = tg( + ) = A B 2 2 2 cot g cot g − 1 www.facebook.com/daykemquynhonofficial 2 2 Đóng góp PDF bởi www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial 2 GV. Nguyễn Thanh Tú 0.25 →
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
-> gi¶ thiÕt ®Ò cho t−¬ng t−¬ng víi: tgA.tgB.tgC = cot g
A B C . cot g . cot g > 0 2 2 2
0.25
ẠO Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
cos( A − B ) + cos C 1 + cos C ≥ (*) cos( A − B ) − cos C 1 − cos C
0.25
G
thËt vËy: 1- cosC > 0; cos(A-B) – cosC = 2cosA.cosB > 0.
<-> cosC cos(A-B) – cosC ≤ 0
TR ẦN
cos(A-B) + cos(A-B)cosC – cosC – cos2C
H Ư
N
do ®ã (*) <-> cos(A-B) - cos(A-B)cosC + cosC – cos2C ≥
B
<-> cos(A-B) – 1 ≤ 0 lu«n ®óng (v× cosC > 0) 1 + cos C C = cot g 2 1 − cos C 2 B 2 t−¬ng tù: tgA.tgC ≥ cotg 2
0.25
H
Ó
A
10 00
VËy: tgA.tgB ≥
ÁN
-L
Í-
A tgB.tgC ≥ cotg2 2
TO
→ tgA + tgB + tgC ≥ cot g
D
IỄ N
Đ
ÀN
dÊu “=” x¶y ra khi:
A B C + cot g + cot g 2 2 2
cos(A - B) = 1 cos(B - C) = 1
<=> A = B = C
cos(C - A) = 1 VËy nÕu tgA + tgB + tgC = cot g th× ∆ ABC lµ tam gi¸c ®Òu.
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
TP
ta sÏ chøng minh ®−îc:
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
U Y
N
sin A. sin B cos( A − B ) + cos C = cos A. cos B cos( A − B ) − cos C
.Q
ta cã: tgA.tgB =
H
Ơ
N
∆ ABC nhän -> tgA, tgB, tgC lµ c¸c sè d−¬ng
0.25
A B C + cot g + cot g 2 2 2 0.25
0.25 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
x + 3 3 x +1 1 ) = lim ( + 1)3 x+1 x →∞ x + 2 x+2
0.25
®Æt t = x + 2 ta cã x → ∞ ⇔ t → ∞
0.25
N
1 } = e3 1 (1 + )5 t
1.5
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
10 00
B
TR ẦN
H Ư
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
TP
.Q
U Y
x →∞
x + 3 3 x +1 1 ) = lim{[(1 + ) t ]3 . t →∞ x+2 t
Ơ
lim (
H
x →∞
N
lim (
Bµi 4
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
0.25
N
2x + 1 − log 2 2 (x − 1) 2
Ơ U Y
N
⇔ 2(x − 1) 2 + log 2 [2(x − 1) 2 ] ≥ log 2 (2 x + 1) + 2x + 1 XÐt hµm sè: f(X) = X + log2X
ẠO
TP
∀x > 0 *
-> f(X) ®ång biÕn trªn
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
.Q
1 >0 X ln 2
R+
Đ
→ f ' (X ) = 1 +
0.5
N
G
®Æt: X1=2x + 1 1 2
H Ư x> −
{
TR ẦN
Bµi 5
X2= 2(x-1)2 => X1, X2 ∈ R*+ víi x ≠1
Khi ®ã bÊt ph−¬ng tr×nh trë thµnh f(X2) ≥ f(X1) ⇔ X 2 ≥ X 1
10 00
B
tøc lµ: 2(x-1)2 ≥ 2x+1
[
0.5
H
Ó
A
3+ 7 2 3− 7 ⇔ 2x 2 − 6x + 1 ≥ 0 ⇔ x≤ 2 x≥
-L
Í-
VËy bÊt ph−¬ng tr×nh ®= cho cã tËp nghiÖm lµ: 0.5
0.25
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
1 3− 7 3+ 7 (− ; ]∪[ ; + ∞) 2 2 2
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
⇔ 2(x − 1) 2 − (2 x + 1) ≥ log 2
{
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
2x + 1 (®iÒu kiÖn (2 x − 1) 2
1 2 x ≠1 )
x> −
H
2 x 2 − 6 x + 2 ≥ log 2
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Gi¶ sö ®−êng th¼ng ∆ lµ ®−êng th¼ng cã ph−¬ng tr×nh cÇn 1 t×m. V× ∆ ®i qua I(-1; -2) nªn cã ph−¬ng tr×nh tham sè: 0.25
.Q
nªn: A(-1 + at1; -2 + bt1); B(-1 + at2; -2 + bt2)
ẠO
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
víi t1, t2 lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh:
H Ư
N
G
Đ
(−1 + at ) 2 (−2 + bt ) 2 + =1 16 9
0.5
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
10 00
B
TR ẦN
a2 b2 2 a 2b 1 4 ⇔ ( + )t − 2( + )t + + − 1 = 0 (*) 16 9 16 9 16 9
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
TP
Bµi 6
V× A, B lµ giao ®iÓm cña ∆ vµ (E)
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
U Y
N
(a2+b2 ≠ 0
H
{y = −2 + bt
Ơ
N
x = −1+ at
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
0.25
a2 b2 1 4 ( + )( + − 1) < 0 v× a2 + b2 ≠ 0 16 9 16 9 nªn ph−¬ng tr×nh (*) lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt t1, t2
0
9
= 1
A
+
2
Ó
16
y
10 00
B
Gi¶ sö M(x0; y0). v× M∈ (E) nªn:
H
2
x 0 = 4 sin t
{
y vµ 0 = cos t , 3
ÁN
-L
Í-
x ®Æt 0 = sin t 4
TO
→ d ( M ,d ) =
2
=
0.5
5 cos(t − ϕ) − 6 2
3 cos ϕ= 5 6 − 5 cos(t − ϕ) víi sin ϕ= 4 -> d ( M ,d ) = 2 5
ÀN Đ IỄ N D
4 sin t + 3 cos t − 6
Khi ®ã: y 0 =3 cos t
{
0.75
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
G
x +1 y + 2 = 32 −9
TR ẦN
H Ư
N
ph−¬ng tr×nh:
2 0
Ơ
.Q
Đ
0.25 https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
a 2b + =0 16 9
<=> 9a = -32b, chän b = -9 => a=32 => ®−êng th¼ng ∆ cã
x
H N
0.25
<=> t1 + t2 = 0 (v× a2 + b2 ≠ 0 )
a(t 1 + t 2 ) = 0
t1 + t2 = 0 <=>
U Y
b( t 1 + t 2 ) = 0
TP
<=>
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
0.5
− 2 + a(t 1 + t 2 ) − 4 + b(t 1 + t 2 ) = −1 vµ = −2 2 2
ẠO
⇔
N
I lµ trung ®iÓm AB nªn:
=> d(M, d) nhá nhÊt <=> cos(t - ϕ ) = 1 ⇔ t = ϕ + k 2 π
16 0.5 5 9 y 0 = 3 cos(ϕ + k 2 π) = 3 cos ϕ = www.facebook.com/daykemquynhonofficial 5 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial x 0 = 4 sin(ϕ + k 2 π) = 4 sin ϕ =
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
10 00
B
TR ẦN
H Ư
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
TP
.Q
U Y
N
H
Ơ
N
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
§Ò Thi häc sinh giái Líp 12 M«n: To¸n Thêi gian: 180 Phót
N
Gi¸o viªn ra ®Ò : TrÞnh V¨n Hïng
Ơ
Bµi 1 : (4®iÓm )
U Y
2x + m
∫
T×m
1 + e− x
dx víi n lµ sè tù nhiªn
lim In
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
0
− nx
N H Ư
TR ẦN
( To¸n n©ng cao líp 12 Phan Huy Kh¶i ) Bµi 2: (4 §iÓm ) a) Gi¶i vµ biÖn luËn ph−¬ng tr×nh sau theo tham sè a
G
n → +∞
12 x − 8
10 00
2x + 4 - 2 2 − x >
B
- a − x =1 ( To¸n båi d−ìng häc sinh : nhãm t¸c gi¶ Hµn Liªn H¶i , Phan Huy Kh¶i ) b) Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh
x +1
2 9x + 16
Ó
A
( To¸n båi d−ìng häc sinh : nhãm t¸c gi¶ Hµn Liªn H¶i , Phan Huy Kh¶i )
Í-
H
Bµi 3 ( 4®iÓm )
∏ 2 ) = 1 + 8 sin 2 x cos 2 x 4
ÁN
-L
a)Gi¶i Ph−¬ng tr×nh :2sin(3x+
TO
b) Tam gi¸c ABC cã c¸c gãc thâa mLn : 2sinA+ 3sinB+4sinC = 5cos
A B C +3cos +cos 2 2 2
Đ
ÀN
Chøng minh r»ng : tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c ®Òu . ( B¸o To¸n häc tuæi trÎ 5/2004) Bµi 4(4®iÓm) :
D
IỄ N
a)Cho n lµ sè nguyªn d−¬ng , hLy t×m giíi h¹n A =
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
b) Cho In =
e
ẠO
1
TP
.Q
T×m c¸c ®iÓm trªn trôc hoµnh mµ tõ ®ã vÏ ®−îc hai tiÕp tuyÕn víi ®−êng cong (Cm ) mµ chóng vu«ng gãc v¬Ý nhau. (Gi¶i tÝch - To¸n n©ng cao 12 T¸c gi¶ Phan Huy Kh¶i )
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
N
H
2 + mx + 1 x ( m lµ tham sè vµ |m |≠ 2) Cho ®−êng cong ( Cm) : y =
x n − nx + n −1 lim x →1 ( x −1)2
( To¸n båi d−ìng häc sinh : nhãm t¸c gi¶ Hµn Liªn H¶i , Phan Huy Kh¶i )
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
b) Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
log 2 x + 3 = log(23 y ) y+3 (3x ) = log 2 log 2
2
TP
2 Chøng minh r»ng : logab + c + logab+ c + log ca + b ≥3
ẠO
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
10 00
B
TR ẦN
H Ư
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
( C¸c ph−¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc ,t¸c gi¶ TrÇn Ph−¬ng) .................................... HÕt ...........................................
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
2
.Q
b) Cho a,b,c lµ c¸c sè thùc lín h¬n 2
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
U Y
N
H
Ơ
N
(§¹i sè s¬ cÊp t¸c gi¶ TrÇn Ph−¬ng) Bµi 5 ( 4®iÓm) : a) Cho h×nh chãp SABCD ®¸y ABCD lµ h×nh thang cã c¹nh AD =2 BC. Gäi M,N lµ hai trung ®iÓm cña SA , SB t−¬ng øng .MÆt ph¼ng (DMN ) c¾t SC t¹i P. TÝnh tØ sè ®iÓm P chia ®o¹n th¼ng CS . ( To¸n båi d−ìng häc sinh : nhãm t¸c gi¶ Hµn Liªn H¶i , Phan Huy Kh¶i )
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com §¸p ¸n
N
C©u 1 Gäi M(x0;0 ) lµ ®iÓm cÇn t×m . §−êng th¼ng ( ∆ )qua M cã hÖ sè gãc k cã ph−¬ng tr×nh y= k( x-x0) §Ó( ∆ ) lµ tiÕp tuyÕn cña ®−êng cong th× ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm kÐp (0,5®)
U Y
( 1- 2k) x2+(m+2kx0-mk)x +1+mkx0=0 cã nghiÖm kÐp
TR ẦN
Bµi to¸n trë thµnh t×m ®iÒu kiÖn ®Ó (I) cã hai nghiÖn ph©n biÖt k1, k2 vµ k1.k2 = -1 (0,5®)
10 00
B
thay (2) vµo (3) ta cã : (2x0-m) 2 +m2 + 12 ≠ 0 (4) V× (4) ®óng nªn hÖ (I) ⇔ (3) §iÒu kiÖn cÇn t×m lµ :
Í-
H
Ó
A
2x 0 + m ≠ 0 m m2 − 4 x0 ≠ − ⇔ 2 = −1 2 2 (2 x 0 + m) (2 x 0 + m) = 4 − m 2
-L
( 2x0 +m)2 = 4-m2 ( v× m 2) (5) NÕu m > 2 th× (5) v« nghiÖm
ÁN
< 2 th× (5) cã hai nhghiÖm cÇn t×m víi x0 =
TO
NÕu m
m± 4 2 m2
(0,5®)
D
IỄ N
Đ
ÀN
VËy cã hai ®iÓm M(x0;0) cÇn t×m víi x0 =
m± 4 2
m2
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
ẠO Đ
H Ư
N
G
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
1 k≠ ( 2) (I ) 2 k 2 (2 x + m) 2 + 4k (2 − mx 0 ) + m − 4 = 0 (3)
TP
.Q
1 − 2k ≠ 0 2 [k (2 x 0 − m) + m] − 4(1 − 2k )(1 + mkx 0 ) = 0
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
N
H
Ơ
x 2 + mx + 1 = k (x − x 0 ) 2x + m
e − nx e − ( n +1) x b) Ta cã x ∈ ( 0;1) th× : > ⇒ In > In+1 1 + e −x 1 + e −x e − nx > 0 ∀ x ∈ (0;1) In >0 ∀n MÆt kh¸c v× 1 + e −x VËy {In} lµ dLy ®¬n ®iÖu gi¶m vµ bÞ chÆn d−íi , nªn tån t¹i
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
lim I n
(0,5®)
n →∞
+ e −(n + x ) dx 1 + e− x
− nx
− ( n −1) x
dx = -
0
1 [e −( n −1) − 1] n −1
(*)
(0,5®)
.Q
U Y
Râ rµng : lim I n = lim I n −1 n →∞ n →∞
TP
e 1− n − 1 =0 nªn tõ (*) suy ra 2 lim I n = 0 n →+∞ 1− n
n →+∞
Đ
=0
G
lim I n
TR ẦN
H Ư
Bµi 2: a) Gi¶i vµ biÖn luËn ph−¬ng tr×nh theo tham sè a:
x + 1 - a − x =1 a−x≥0 ⇔ x +1 =1+ a − x
10 00
B
x≤a ⇔ 2 x − a = 2 a − x
x≤a a ⇔ x≥ 2 2 2 f ( x ) = 4 x − 4(a − 1) + a − 4a = 0
Ó
A
( 2) (0,5®)
Í-
H
(3)
-L
( 4)
ÁN
Ta xÐt c¸c tr−êng hîp sau:
TO
+) NÕu a < 0 khi ®ã
(0,5®)
N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
lim n → +∞
H
e −1 - In-1 1− n
N
In =
Ơ
1− n
a > a nªn hÖ (2) (3) (4) v« nghiÖm tøc lµ (1) v« nghiÖm 2
ÀN
+) NÕu a=0 th× hÖ (2), (3), (4) cã nghiÖm duy nhÊt x=0
D
IỄ N
Đ
a ≤x≤a (5) +) NÕu a >0 th× ta cã 2 f ( x ) = 4 x 2 − 4(a − 1) x + a 2 − 4a (4)
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
0
1
=∫e
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
Ta cã In + In+1
e = ∫
N
1
XÐt tam thøc f(x) cã f(
a = -2a < 0 vµ f = a2 > 0 ) (a) 2
VËy theo ®Þnh lÝ ®¶o (4) cã hai nghiÖm x1,x2 thoL mLn x1< KÕt luËn
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
a <x <a 2 2
(1®)
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
+) NÕu a < 0 th× (1) v« nghiÖm +) NÕu a ≥0 th× (1) cã nghiÖm duy nhÊt x=
a − 1 + 2a + 1 2
(0,5®)
H
(1)
2
N
9x + 16 2(6 x − 4)
(0,5®)
.Q
2
2x + 4 + 2 2 − x
9 x + 16
ẠO
⇔ (3x − 2)[ 9 x 2 + 16 − 2( 2 x + 4 + 2 2 − x ] > 0
2
N
nªn (2)
(3x-2) (x-2 8 − 2 x ) > 0
10 00
B
TR ẦN
2 − 2 ≤ x < 3 ⇔ 4 2 < x ≤ 2 3
H Ư
2
G
⇔ (3x − 2)( x − 2 8 − 2 x 2 )(8 + x + 2 8 − 2 x 2 > 0 Do 8+x+2 8 − 2 x > 0
(0,5®)
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
⇔ (3x − 2)(9 x 2 + 8x − 32 − 16 8 − 2 x 2 > 0
2 4 2 )∪( ; 2] 3 3
(1®)
A
TËp nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh T = [ -2;
H
Ó
Bµi 3 ( 4®iÓm )
∏ 2 ) = 1 + 8 sin 2 x cos 2 x 4 ∏ sin( 3 x + )≥0 (2) 4 ⇔ ∏ 4 sin 2 (3x + ) = 1 + 8 sin 2 x cos 2 2 x (3) 4
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
a)Gi¶i Ph−¬ng tr×nh :2sin(3x+
(0,5®)
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
>
TP
6x − 4
U Y
Nh©n biÓu thøc liªn hîp vÕ tr¸i ta cã ( Víi x ∈ [-2;2] )
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
12 x − 8
2x + 4 - 2 2 − x >
Ơ
N
b) Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh
IỄ N
Đ
Gi¶i (2):
D
(2) ⇔
2[1-cos(6x +
∏ ) ] = 1+ 8sin2x(1-sin22x) 2
⇔ 2+ 2sin6x = 1+ 8sin 2x-8sin32x ⇔ 2+ 2(3sin2x-4sin32x) = 1+8sin2x-8sin32x
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
⇔
(k,l∈Z )
(0,5®)
∏ + k¶ vµo (2) ta cã : 12 ∏ k + 3k ∏) = (−1) ≥ 0 khi k=2n ,n ∈ Z VT(2) = sin( 2 ∏ x= + 2n¶ lµ nghiÖm cña (1). 12 5∏ +) Thay x= + ℓ ∏ vµo (2) ta cã : 12 3∏ ℓ +1 VT(2) = sin( + 3ℓ ∏) = (−1) ≥ 0 khi l=2m-1;m ∈Z 12 5∏ x= + (2m − 1) ∏ lµ hä nghiÖm cña (1) 12 ∏ 5∏ VËy (1) cã hai hä nghiÖm : x= + 2n¶ vµ x= + (2m − 1) ∏ ; (n,m∈Z) 12 12
B
(1)
A
C chØ khi A = B 2
Ó
+ sinB ) ≤ cos
A+B A−B C cos ≤ 2 cos dÊu ( = ) x¶y ra khi vµ chØ khi 2 2 2
10 00
b) Ta cã sinA +sin B = 2 sin
(1®)
H
5 A (sin B + sinC ) ≤ 5 cos 2 2 3 B (sin C + sinA ) ≤ 3 cos 2 2
(2)
-L
Í-
T−¬ng tù :
ÁN
(3)
TO
Tõ (1), (2), (3), suy ra : 2sinA + 3sin B + 4 sin C ≤ 5cos
(1®)
A B C +3cos +cos 2 2 2 (1®)
Đ
ÀN
§¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi tam gi¸c ABC ®Òu.
1 (sin A 2
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
TR ẦN
H Ư
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
TP
.Q
U Y
N
H
Ơ
+)Thay x=
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
1 2
N
⇔ sin2x =
∏ x = + k∏ 12 5∏ x = + ℓ∏ 12
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
IỄ N
Bµi 4 :
D
a)Cho n lµ sè nguyªn d−¬ng , hLy t×m giíi h¹n A = ta cã xk -1 = (x-1)(1+x+x2+ ....+xk-1)
x n − nx + n −1 lim x →1 ( x −1)2 (0,5®) (0,5®)
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
(x −1)(1+ x + x2 + ......+ xn −1 − n) (x −1) + (x2 −1) + .........+ (xn −1 −1) = lim A = lim x →1 x →1 (x −1)2 x −1
(0,5®)
TR ẦN
®ång biÕn trªn (0; + ∞ )
10 00
B
(1) viÕt d−íi d¹ng f(x) = f(y)
x=y (2) x log 2 ( x + 3) = 2(1+ log 3 ) (3)
(II)
Ó
A
(I)
-L
Í-
H
x (3) ⇔ x + 3 = 22(1+log3 ) ⇔ x + 3 = 4.2log3x 2
ÁN
⇔ x + 3 = 4.2log3
log 2 x
.....
2
2 2
⇔ x + 3 = 4.( x 2 )log3
4
4
ÀN
TO
⇔ x + 3 = 4.x log3 ⇔ x1−log3 + 3.x −log3 4 = 4 4
4
x1−log3 + 3.x −log3 trªn (0;+ ∞ )
Đ
XÐt hµm sè q(x) =
(4)
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
log(2 t +3) + 2 log2t víi t∈(0; + ∞ )
H Ư
XÐt hµm sè : f(t) =
(1)
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
log2x +3 = 2(1+ log(23 y ) ) x ( y +3) y ( x +3) ⇒ log 2 + 2 log 3 = log 2 + 2 log 3 y +3 (3x ) = 2(1 + log2 ) log2
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
.Q
log 2 x + 3 = log(23 y ) y+3 (3x ) = log 2 log 2
ẠO
b) Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh
U Y
(0,5®)
N
n (n − 1) 2
TP
VËy : A =
H
Ơ
N
(x −1)[1+ (x +1) + ....+ (1+ x + ......+ xn −2 )] n(n −1) A = lim = 1 + 2 + 3 + ....... + ( n − 1 ) = x →1 x −1 2
(0,5®)
D
IỄ N
nghÞch biÕn trªn (0;+ ∞ ) Nªn (4) cã nghiÖm th× lµ nghiÖm duy nhÊt , do g(1) =4
VËy x=1 lµ nghiÖm duy nhÊt cña (4).
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
x = y ⇔ x = y =1 x = 1
Khi ®ã hÖ (II) trë thµnh
(0,5®)
N
VËy hÖ ph−¬ng tr×nh ®L cho cã nghiÖm duy nhÊt x=y=1
B
a v× P trªn CS 2
Ó
A
nªn ®Æt: CP = x.CS M, N, P, D ë
10 00
Tõ gi¶ thiÕt ta ®−îc CB =
H
trªn cïng mÆt ph¼ng nªn DM,
DN,
-L
Í-
DP ®ång ph¼ng ta cã:
= αDM +βDP (1)
TO
ÁN
DN
DS + DA c + a = 2 2
IỄ N
Đ
ÀN
V× M lµ trung ®iÓm cña SA nªn: DM =
D
V× N lµ trung ®iÓm cña SB nªn: DN =
DS + DB = 2
(2)
a 2= a + b + c 2 4 2 2
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
a) §Æt DA = a ; DC = b ; DS = c;
TR ẦN
H Ư
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
TP
.Q
U Y
N
H
Ơ
Bµi5 :
c+b+
(3)
Ta cã: DP = DC + CP = b + xCS = b + x(c - b) DP = (1-x)b + xc
(4)
(0,5®)
Tõ (1), (2), (3) vµ (4) ta cã:
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
α a b c α + + = c+ a + β(1 − x ) b + β xc 4 2 2 2 2
Ơ
N
α α a b c a + β (1-x) b + ( + βx) c + + = 4 2 2 2 2
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
ẠO
1 1 CS hay P chia ®o¹n th¼ng CS theo tØ sè k=3 2
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
VËy P trªn SC sao cho CP =
2 ln a 2 ln a 2 ln a ≥ = ln( b + c ) ln bc ln b + ln c
H Ư
a2
=
(0,5®) b2
≥
2 ln b ln a + ln c
10 00
log a c + a
H
2 ln c ln a + ln b
Í-
a+b
≥
-L
log
c2
Ó
A
T−¬ng tù :
TR ẦN
log b + c
B
b) Ta cã
ln a ln b ln c + + ) ln b + ln c ln a + ln c ln a + ln b
(0,5®)
ÁN
TO
VT(1) ≥ 2(
y z 3 x ≥ (*) + + z + y x + z x+y 2
IỄ N
Đ
ÀN
Bæ ®Ò Víi x,y,z>0 th×
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
.Q
U Y
N
H
1 α = 2 3 ⇔ β = 4 x = 1 3
α 1 2=4 1 b(1 − x ) = 2 α 1 + βx = 2 2
TP
⇔
D
ThËt vËy (*) (
y z x 3 +1) + ( +1)+( +1) ≥ +3 x+z 2 z+y x+y
[ (y+z) +(z+x) +(x+y) ]. (
1 1 1 + + )≥9 z + y x + z x+y
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
(**) Theo C«si th× (**) thoL mLn
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
.
(0,5®)
(§PCM)
(0,5®)
N
¸p dông bæ ®Ò ta cã : VT(1) ≥ 3
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
10 00
B
TR ẦN
H Ư
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
TP
.Q
U Y
N
H
Ơ
HÕt
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com ®Ò thi hsg m«n to¸n 12 (thêi gian :180 phót)
Ơ
N
x x 1 x 1 1 tg + 2 tg 2 + ... + n tg n 2 2 2 2 2 2
Sn =
H
a cos 2 x + b 2 sin 2 x
0
x + my = m 2 2 x + y = x
C©u 3 (2.0 ®) Cho hÖ ph−¬ng tr×nh
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
(Víi a ≠ 0; b ≠ 0)
dx
.Q
2
TP
sin xcox
∫
ẠO
2
U Y
π
G
Đ
1/ BiÖn luËn sè nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh theo m
3( 2 x 2 + 1 − 1) = x(1 + 3 x + 8 2 x 2 + 1
TR ẦN
C©u 4 (2.0 ®) Gi¶i ph−¬ng tr×nh
H Ư
N
2/ Khi hÖ cã hai nghiÖm (x1;y1);(x2;y2) t×m m ®Ó S = (x2-x1)2+(y2-y1)2 ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt
C©u 5 (2.0® ) T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó bÊt ph−¬ng tr×nh sau ®©y cã nghiÖm x
+ 3cos
2
x
≥ m3 sin
T×m giíi h¹n sau
x
L = Lim x→
π 3 2
1 − sin m+ n + p x (1 − sin m x)(1 − sin n x)(1 − sin p x)
A
C©u 6 (2.0 ® )
2
B
2
10 00
2 sin
H
Ó
(víi m ,n ,p lµ ba sè nguyªn d−¬ng cho tr−íc )
Í-
Gi¶i vµ biÖn luËn theo tham sè m hÖ bÊt ph−¬ng tr×nh sau 1 − 5 cos 4 3 x log ≤ 2 cos π 2 4 1 + sin x ≤ m sin 2 x
ÀN
TO
ÁN
-L
C©u7 (2.0®)
Đ
C©u 8 ( 2.0 ® ) Cho tø diÖn OABC cã OA ,OB ,OC ®«i mét vu«ng gãc víi nhau. VÏ ®−êng cao OH
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
N
C©u 2 (2.0 ®) TÝnh tÝch ph©n sau
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
C©u 1 (2.0®) TÝnh tæng sau
D
IỄ N
cña tø diÖn . §Æt A = ∠CAB; B = ∠ABC ; C = ∠BCA
α = ∠AOH ; β = ∠BOH ; γ = ∠COH Chøng minh r»ng
sin 2 α sin 2 β sin 2 γ = = sin 2 A sin 2 B sin 2C
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
C©u 9 (4.0® ) Cho h×nh chãp tam gi¸c SABC .BiÕt r»ng tån t¹i h×nh cÇu t©m O, b¸n kÝnh R ( O n»m trªn ®−êng cao h×nh chãp) tiÕp xóc víi c¶ 6 c¹nh h×nh chãp. Chøng minh r»ng SABC lµ h×nh chãp ®Òu.
2/
Cho SC =R 3 . TÝnh chiÒu cao h×nh chãp.
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
10 00
B
TR ẦN
H Ư
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
TP
.Q
U Y
N
H
Ơ
N
1/
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com ®¸p ¸n
(®Ò thi hsg m«n to¸n 12)
x x x Pn = cos . cos 2 ... cos n 2 2 2
⇒ S n = −(ln Pn ) /
cã
x 2n
x x x x cos n . cos n−1 ... cos n 2 2 2 2
= ... =
1 sin x x 2n sin n 2 1
ẠO
/
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
.
1 1 1 x . n sin x = − cot gx + n cot g n S n = − ln x 2 2 2 sin n 2
C©u 2
TR ẦN
§Æt I lµ tÝch ph©n ®U cho.XÐt 2 tr−êng hîp sau: π
TH 2 :
1 2 1 .∫ sin xd (sin x) = a 0 2a
B
a =b⇒I=
10 00
: TH 1 :
H Ư
N
G
Đ
do ®ã
a ≠b
A
Víi
[
]
=
a2
t
1 1 b2 t = / 2 2 a2 b+a b −a
ÁN
1 a+b
TO
Kl : I =
)∫
dt
-L
(
b2
Í-
1 ⇒I= 2 2 b − a2
H
Ó
t = a 2 cos 2 x + b 2 sin 2 x ⇒ dt = − 2a 2 cos x sin x + 2b 2 sin x cos x dx = 2(b 2 − a 2 ) sin x cos xdx
ÀN
C©u 3
D
IỄ N
Đ
x + m. y − m = 0 HÖ pt ⇔ 1 2 1 2 ( x − 2 ) + y = 4
(1)
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
sin
sin
TP
1
Pn =
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
N
Do ®ã nÕu ®Æt
N
x / 1 x ) = − tg n n 2 2 2
Ơ
co (ln cos
H
u u/
U Y
/
Ap dông : (ln u ) =
.Q
C©u 1
(2)
NhËn xÐt : (1) lµ pt d−êng th¼ng Dm: x+(y-1).m =0 ®i qua ®iÓm cè ®Þnh A(0;1) (2) lµ pt ®−êng trßn ( C) cã t©m I(1/2;0), b¸n kÝnh R=1/2 do ®ã sè nghiÖm cña pt chÝnh lµ sè giao ®iÓm cña Dmvµ (C) TiÕp tuyÕn cña (C) xuÊt ph¸t tõ A chÝnh lµ OA, (x=0) vµ d−êng th¼ng AB
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com _
2.tgα 4 §Æt ∠OAI = α ⇒ OB = OA .tg 2α = OA . = ( do tgα = 1) 2 1 − tg α 3 ___
___
___
___
___
MÆt kh¸c , OB lµ hoµnh ®é giao ®iÓm cña Dm vµ Ox nªn OB =m
Ơ
N
BiÖn luËn
H
./ m=0 hoÆc m=4/3 ,hpt cã nghiÖm duy nhÊt.
1 1 ⇔m= 2 2
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
C©u 4
N H Ư
Gi¶i ra ®−îc x=0 C©u 5
≥ m.3
sin 2 x
+ 3 cos
2
x − sin 2 x
≥m
(1)
sin 2 x
+ 3 cos
2
x − sin 2 x
, ( x ∈ R)
A
XÐt hµm sè f ( x )
2 = 3
2 ⇔ 3
B
+3
sin 2 x
10 00
2
cos 2 x
TR ẦN
KL : Pt cã nghiÖm x = 0
sin 2 x
G
§Æt t = 2 x 2 + 1 ≥ 1 thay vµo pt ®−îc t =x/3 hoÆc t= 1-3x
H
Ó
V×
sin 2 x
≤1
-L
Í-
2 sin x ≥ 0 ∀x ⇒ 3 2
ÁN
cos 2 x − sin 2 x = cos 2 x ≤ 1 ⇒ 3 cos
2
x − sin 2 x
≤3
TO
do ®ã f ( x ) ≤ 4 ∀x ∈ R . DÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi x = k π
ÀN
KÕt luËn :Bpt cã nghiÖm víi m ≤ 4 .
§Æt y= sin x ( khi x →
π 2
⇒ y → 1) . Ta cã
D
IỄ N
Đ
C©u 6
( k ∈ Z)
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
__
ẠO
___
I ⇔ OB = OI =
TP
2/ S =M1M22 do ®ã diÖn tÝch S ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt khi vµ chØ khi M1M2 ®i qua
.Q
./ m<0 hoÆc m>4/3, hpt v« nghiÖm .
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
U Y
N
./ o<m<4/3 ,hpt cã hai nghiÖm ph©n biÖt .
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
n
p
= Lim y →1
p −1
m + n + p −1
m −1
n −1
p −1
3
N
m+n+ p m.n. p
1 − 5 cos 4 3 x ≻ 0 §iÒu kiÖn : sin 2 x ≠ 0
TP
.Q
C©u 7
(1)
ẠO
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
)(1 + y + ... + y ))
G N (k ∈ Z )
Ó
A
10 00
π x = ± 6 + k 2π Do ®/k (1) chØ cÇn xÐt x = 5π + k 2π 6
TR ẦN
1 π π ⇔ cos 4 3 x ≤ 0 ⇔ cos 3 x = 0 ⇔ x = + k 2 6 3
B
1 − 5 cos 4 3 x ≥ 2
2
2 ⇔ 2 2 2
H Ư
1 − 5 cos 4 3 x ≤ Log : Log 2 2 2
Đ
Bpt ®Çu cña hÖ t−¬ng ®−¬ng víi
1 + sin x do f ( x ) cã chu kú 2π nªn ta chØ cÇn tÝnh sin 2 x
Í-
H
XÐt bÊt pt thø hai cña hÖ, ®Æt f ( x ) =
3 3 ; f 5π = − 3 ; f −5π = 3 6 3 6
TO
Kl :
6
ÁN
2
-L
f π = 3 ; f −π = −
ÀN
./ m ≺ − 3 ⇒ x ∈ Φ 3 5π ⇒x= + k 2π 3 6 3 3 5π π ./ − ≤m≺ ⇒x= + k 2π ; x = − + k 2π 3 3 6 6 3 5π π ./ ≤ m ≺ 3 ⇒ x = − + k 2π ; x = ± + k 2π 3 6 6 5π π / m ≥ 3 ⇒ x = ∓ + k 2π ; x = ± + k 2π 6 6
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
3
)
U Y
=
(
(
) 1 + y + ... + y
n −1
H
y →1
(1 − y )(3 (1 + y + ... + y
m −1
(1 + y + y + ... + y ) (1 + y + ... + y )(1 + y + ... + y )(1 + y + ... + y )) 2
= Lim
(
N
=
(1 − y )(1 − y )(1 − y ) m
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
y →1 3
(1 − y ) 1 + y + y 2 + ... + y m+ n + p −1
Ơ
L = Lim
1 − y m+ n + p
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
D
IỄ N
Đ
./ − 3 ≤ m ≺ −
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
TR ẦN
V× OA ⊥ (OBC) nªn theo ®/l ba ®−êng vu«ng gãc ,cã OA1 ⊥ BC. Ta cã sin 2 α =
(1)
AH AA1
10 00
B
XÐt tam gi¸c vu«ng OAA1 ®Ønh O, cã OA2= AH. AA1, tõ (1) cã sin 2 α =
AH 2 OA 2
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
H Ư
DÔ thÊy H lµ trùc t©m ∆ABC vµ ∆ABC lµ tam gi¸c nhän,AH kÐo dµi c¾t BC t¹i A1,do ®ã AA1 ⊥ BC.
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
TP
.Q
U Y
N
H
Ơ
N
C©u 8
VÏ ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC ,gäi I lµ t©m cña nã ,gäi G lµ träng t©m tam gi¸c ABC, khi ®ã H, G, I
Ó
⇒ sin 2 A = 2. sin A. cos A = 2.
H
¢= ∠CAB = ∠BIM
A
th¼ng hµng (®−êng th¼ng ¥le) vµ HG =2 .IG suy ra AH = 2 .IM vµ BM IM BC AH BC. AH = 2. = . . IB IB 2.IB 2.IB R2
-L
Í-
( víi R lµ b¸n kÝnh ®−êng trßn ngäµi tiÕp tam gi¸c ABC)
TO
ÁN
sin 2 α 2R 2 R2 Tõ (1) vµ (2) ta cã : = = sin 2 A BC. AA1 . S ∆ABC
ÀN
C/m t−¬ng tù còng cã
sin 2 β sin 2 γ R2 = = sin 2 B sin 2C S ∆ABC
(2)
C©u 9
D
IỄ N
Đ
Tõ ®ã suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh.
Gäi M,N, P lµ c¸c tiÕp ®iÓm cña h×nh cÇu víi c¸c c¹nh AB, BC , CA.Gäi SH lµ ®−êng cao h×nh chãp ,O lµ t©m h×nh cÇu ®U cho, khi ®ã O thuéc SH.Theo ®Þnh lý ba ®−êng vu«ng gãc , cã HM ⊥ AB(v× OM ⊥ AB,do
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
h×nh cÇu tiÕp xóc AB t¹i M) T−¬ng tù HN ⊥ BC, HP ⊥ AC. V× OM =ON =OP =R nªn HM =HN =HP do ®ã H lµ t©m ®−êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ABC. Gäi K, E lµ tiÕp ®iÓm h×nh cµu Víi SA vµ SC .Ta cã SK SE (hai tiÕp tuyÕn cïng xuÊt ph¸t tõ mét ®iÓm),do ®ã ∆ KSO= ∆ SOE ⇒ ∠KSO = ∠OSE ⇒ ∆SAH = ∆SCH ⇒ SA = SC
Ơ
N
LËp luËn t−¬ng tù ®−îc SA=SB hay SA=SB=SC do ®ã H lµ t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC ,suy ra
.Q
OK R 3 AH = = = ⇒ AS = 3. AH OS R 3 3 AS
§Æt SH=h ;HN=x do ®ã AH =x
G
4 3 .R 4 3 .R 4 3 .R hoÆc h = (lo¹i, v× h=SH >SO = R. 3 ≻ ) 3 9 9
4 3 .R 3
10 00
B
VËy SH=
(2)
TR ẦN
Tõ (2) ⇒ h =
3.h.R + 16.R 2 = 0
H Ư
Thay h2 =8.x2 vµo (1) ®−îc : 9.h2 –16
Đ
(1)
ẠO
R2= h2 –2.h .R 3 + 3R 2 + x 2
N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
XÐt tam gi¸c vu«ng SAH, cã : SA2=SH2+ AH2 nªn h2= 8 x2 tõ ®ã
Ó
A
H−íng dÉn chÊm m«n to¸n 12
-L
Í-
H
C©u 1 (2,0®)
ÁN
./ HS biÕt sö dông c«ng thøc (lnu)/=u’/u 1 .sin x x 2n sin n 2
ÀN
TO
. / ViÕt ®−îc Pn=
1
D
IỄ N
Đ
. / Kl : S n = − cot gx +
.
1 x . cot g n n 2 2
(1,0 ®) (0,5®)
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
TP
§Æt ∠ASH = α ⇒ sin α =
U Y
2/
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
N
H
tam gi¸c ABC ®Òu,vËy h×nh chãp SABC ®Òu.
(0,5 ®)
C©u 2 ( 2,0 ®) Th1 :
I=
1 2a
(0.5 ®)
Th2: §Æt
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
t = a 2 . cos 2 x + b 2 . sin 2 x ⇒ dt = 2.(b 2 − a 2 ).sin x. cos x 1 ⇒I= a+b
(1.5 ®)
N
C©u 3 (2,0 ®)
m=1/2
(0.5 ®)
.Q TP
C©u 4 (2.0 ®) x t= ./ §Æt t= 2 x + 1 ⇒ 3 t = 1 − 3 x
ẠO
(1.0 ®)
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
2
(1.0 ®)
N
G
. / Gi¶i ®−îc x = 0
. / Kl :
+ 3cos
sin 2 x 2
x − sin 2 x
x − sin 2 x
≤3
B
≤ 1 ; 3cos
2
10 00
2 . / Nx : 3
f(x )
sin 2 x
m≤ 4
(1.0 ®)
(0.5 ®) (0.5 ®)
A
C©u 6 (2.0 ®)
≥m
TR ẦN
. / §−a ®−îc
2 = 3
H Ư
C©u 5 (2.0 ®)
Ó
π
2
⇒ y → 1)
Í-
H
. / §Æt y = sinx ; ( x →
(1.0 ®) (0.5 ®)
Kl : ...
TO
./
ÁN
-L
1 + y + ... + y m + n + p . / l = Lim 3 (...)
(0.5 ®)
C©u 7 (2.0 ®)
D
IỄ N
Đ
ÀN
. / ® / k ... . / Bpt (1 ) ⇔ x =
(0.5 ®)
π 6
+ k.
π 3
π x = ± 6 + k .2π . / Tõ ® / k ⇒ x = ± 5π + k .2π 6 . / Kl ®óng
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
2/
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
(0.5 ®)
H
. / Kl ®óng
N
(1.0 ®)
U Y
. / NhËn xÐt ®−îc sè nghiÖm cña pt lµ sè giao ®iÓm cña Dm vµ (C)
Ơ
1/
(0.5 ®)
(0.5 ®)
(0.5 ®) www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
C©u 8 ( 4,0 ®) C©u 9 (2.0 ®) ( 0,5 ® )
. / H lµ t©m ®−êng trßn néi tiÕp
( 0.5 ®)
./ H lµ t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp
(0,5 ®)
. / Kl ...
(0,5 ®)
H
Ơ
N
O ∈ SH
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
10 00
B
TR ẦN
H Ư
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
TP
.Q
U Y
.................................................................
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
N
. / Nx :
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
§Ò thi chän häc sinh giái líp 12 THPT M«n thi: To¸n (thêi gian lµm bµi: 180 phót)
Ơ H
Π 2
.Q
U Y
Cos .dx Sin n x.dx Chøng minh ∫ =∫ n n n n 0 Cos x + Sin x 0 Cos x + Sin x
ẠO Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Vµ suy ra gi¸ trÞ cña chóng . C©u 3 ( 2 ® ) BiÖn luËn theo m sè nghiÖm ccña ph−¬ng tr×nh
G
x4 + 4 x + m + 4 x4 + 4 x + m = 6
A
10 00
B
TR ẦN
H Ư
N
C©u 4: ( 2 ® ) T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh: x4 – (2m + 3 ) x2 + m + 5 = 0 Cã c¸c nghiÖm tho¶ mÉn: - 2 < x1 < -1 < x2 < 0 < x3 < 1 < x4 < 2. C©u 5: (2®) T×m nghiÖm trªn kho¶ng ( 0 : Π ) cña ph−¬ng tr×nh x 3Π 4 sin 2 − 3Cos 2 x = 1 + 2Cos 2 ( x − ) 2 4 C©u 6 (2®) Trong tam giÊc ABC cã c¸c gãc vµ c¸c c¹nh tho¶ mGn: 1 + CosB 2a + c = (1) SinB 4a 2 − c 2
ÁN
-L
Í-
H
Ó
Chøng minh tam gi¸c lµ tam gi¸c c©n C©u 7: ( 2 ® ) m n T×m giíi h¹n E = x Lim1 ( − ) (m,n ∈ Z + ) m n 1− x 1− x C©u 8: (2®)
TO
Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh :
(
)
1 + 4 2 x − y 51− 2 x + y = 1 + 2 2 x − y +1 (1) 3 2 y + 4 x + 1 + ln( y + 2 x) = 0(2)
ÀN
C©u 9 (2®)
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
TP
n
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
N
Π 2
N
C©u 1: (2®) Kh«ng dïng b¶ng sè hoÆc mÊy tÝnh c¸ nh©n chøng minh: tg 550 > 1,4. C©u 2: (2 ® )
D
IỄ N
Đ
Cho 2 ®−êng trßn (C1 ) : x2 + y2 – x – 6y + 8 = 0 (C2 ): x2 + y2 – 2mx – 1 = 0 T×m m ®Ó (C1 ) vµ ( C2 ) tiÕp xóc víi nhau Nãi râ lo¹i tiÕp xóc. C©u 10 (2®) Chøng minh r»ng nÕu n lµ sè nguyªn, n ≥ 1 th× 1 1 + n + 1
n +1
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
1 > 1 + n
n
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
10 00
B
TR ẦN
H Ư
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
TP
.Q
U Y
N
H
Ơ
N
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Së GD&§T Thanh ho¸ Tr−êng THPT Thä Xu©n 4 H−íng dÉn chÊm thi häc sinh giái líp 12 THPT
ẠO
Π -x ⇒ dt = - dx. 2 Π 2
n
Π 2
Cos n (
Π − t )dt 2
Π Π Sin ( − t ) x + Cos n ( − t ) 2 2
Sin tdt Sin n xdx = n n ∫0 Cos n x + Sin n x 0 Cos t + Sin t
(1)
Π 2
Π 2
n
n
Π 2
Cos xdx Sin xdx Π +∫ = ∫ dx = . (2) n n n n 2 x + Sin x 0 Cos x + Sin x 0
∫ Cos
ÁN
MÆt kh¸c:
-L
Í-
=∫
0
TO
=
n
H
n
0
(0,5®)
Π 2
(0,25®)
Ó
Π 2
Π 2
∫
(0,5®)
A
Cos xdx Ta cã: ∫ = n n 0 Cos x + Sin x
(0,5®)
B
§Æt t=
10 00
2
Π Π 1 )> f( )>f( ) =1,4 18 18 6
TR ẦN
Theo (1) ta cã tg550=f(tg
H Ư
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
(1;+ ∞ ).
(0,5®)
Π 2
Cos xdx Sin n xdx Π Tõ(1) vµ (2): ∫ =∫ = n n n n 4 0 Cos x + Sin x 0 Cos x + Sin x
(0,5®)
(0,25®)
Đ
ÀN
n
(0,5®)
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
.Q
1 + tg
0
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
Π 1 + tg10 18 Ta cã: tg 550 = tg (450 + 100 ) = = 0 Π 1 − tg10 1 − tg 18 1+ x ta cã: XÐt hµm sè : f(x) = 1− x 2 f’(x) = > 0 .VËy f(x) ®ång biÕn ∀ x ∈ (- ∞ ;1) hoÆc ∀ x ∈ (1 − x) 2
U Y
C©u 1:
N
§iÓm (0,5®)
H
Ơ
M«n to¸n- b¶ng A H−íng dÉn chÊm
TP
C©u 1
N
N¨m häc 2005-2006
D
IỄ N
3
x4 + 4 x + m + 4 x4 + 4 x + m = 6 §Æt t= 4 x 4 + 4 x + m (t ≥ 0)
⇒ t = x + 4x + m 2
4
(1) (2)
0,25® 0,25® 0,25®
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
t ≥ 0 ⇒ Ta cã: 2 ⇔ t=2. t + t − 6 = 0
0,25®
10 00
B
1
TR ẦN
H Ư
N
G
-∞ -∞ Tõ b¶ng biÕn thiªn ta cã b¶ng biÖn luËn theo m sè nghiÖm cña (1) nh− sau: m Sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (1) +∞ 0
-∞
§©y lµ ph−¬ng tr×nh trïng ph−¬ng §Æt t= x2 ≥ 0; khi ®ã ph−¬ng tr×nh ®G cho cã d¹ng: t2 – (2m+3)t +m+5 = 0 (2). Ph−¬ng tr×nh ®G cho cã 4 nghiÖm x1;x2;x3;x4 khi vµ chØ khi ph−¬ng tr×nh (2) cã 2 nghiÖm d−¬ng t1 ; t2 d−¬ng.(0<t1<t) Khi ®ã:
0,5®
0,25®
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
4
2
0,5®
TO
x1 = − t2 , x2 = − t1 , x3 = t1 vµ x4 = t2
0,25®
Do ®ã: - 2< x1 <-1 < x2 < 0 < x3 < 1< x4 < 2
ÀN
⇔ −2 < − t2 < −1 < − t1 < 0 < t1 < 1 < t2 < 2
D
IỄ N
Đ
⇔ 4 > t2 > 1 > t1 > 0
af (1) < 0 −m+3< 0 m>3 ⇔ af (0) > 0 ⇔ m + 5 > 0 ⇔ m > −5 af (4) > 0 − 7 m + 9 > 0 m < 9 7 (Kh«ng cã m tho¶ mGn )
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
Ơ
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
0,25®
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
-
F(x)
19
H N
U Y .Q
+∞
TP
-1 0 19
0,25®
ẠO
B¶ng biÕn thiªn cña f(x) x -∞ F’(x) +
N
Tõ (2) 4 x 4 + 4 x + m = 2 ⇔ x4+4x+m=16. ⇔ -x4-4x+16=m §Æt: f(x)= -x4-4x+16 f’(x) = -4x3-4=-4(x3+1) f’(x)=0 ⇔ x=-1vµ f(-1)=19 Lim ∞ = - ∞ x
0,5®
0,5®
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
5
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
3Π x − 3Cos 2 x = 1 + 2Cos 2 x − 2 4 3Π ⇔ 2(1 − Cosx ) − 3Cos 2 x = 1 + 1 + Cos (2 x − ) 2
Ta cã: 4 Sin 2
Ta cã:
A
(1 + CosB ) 2 2a + c = Sin 2 B 2a − c
N
0,25®
Ó
(1) ⇒
10 00
B
0,25® 0,25®
2
0,25®
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
H
2 B 2Cos 2 = 1 + 2a + c ⇒ 1+ 2a − c 2 Sin B .Cos B 2 2 B 4a ⇒ 1 + cot g 2 = 2 2a − c 1 4a ⇒ = B 2a − c Sin 2 2 B ⇒ 2a − c = 4a.Sin 2 2 B ⇒ c = 2a1 − 2 Sin 2 2 ⇒ 2a.CosB = c
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
H https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
TR ẦN
0,5®
G
Đ
ẠO
TP
.Q
0,25®
5Π 2Π x = 18 + k . 3 (2) ⇔ 7Π x = − + k 2Π (3) 6 Do x ∈ (0; Π ) nªn ë hä ( 2 ) chØ lÊy ®−îc k = 0, k = 1 ë hä ( 3 ) chØ lÊy ®−îc k = 1 5Π 17Π 5Π VËy c¸c nghiÖm ∈ (0; Π ) lµ: x1 = ; x2 = ; x3 = 8 18 6 1 + CosB 2a + c = ( 1) SinB 4a 2 − c 2
6
N
U Y
0,25®
H Ư
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Π ⇔ Cos 2 x + = Cos (Π − x) 6 Π ⇔ 2x + = ± (Π − x) +k2 Π 6
Ơ
0,25®
⇔ 3Cos 2 x − Sin 2 x = −2Cosx
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
⇔ −2Cosx − 3Cos 2 x = − Sin 2 x
N
0,25®
0,5® 0,25®
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
⇒ 4 RSinACosB = 2 RSinC ⇒ 2 SinACosB = SinC
0,25®
⇒ 2 SinACosB = Sin( A + B ) ⇒ Sin( A − B ) = 0
Ơ H ẠO
(m − (1 + x + x 2 + ... + x m −1 ) (n − (1 + x + x 2 + ... + x n −1 ) Lim − x 1 1 − xm 1 − xn
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
=
0,5®
TR ẦN
H Ư
N
G
(1 − x) + (1 − x 2 ) + ... + (1 − x m −1 ) (1 − x) + (1 − x 2 ) + ...(1 − x n −1 ) − = x Lim1 1 − xm 1 − xn
10 00
B
1 + (1 + x) + ... + (1 + x + ... + x m − 2 ) 1 + (1 + x) + ... + (1 + x + ... + x n − 2 ) − lim x →1 1 + x + x 2 + ... + x m −1 1 + x + x 2 + ... + x n −1s
1 + 2 + ... + (m − 1) 1 + 2 + ... + (n − 1) − m n m(m − 1) n(n − 1) m −1 n −1 m − n E= − = 2− 2= m n 2 2 2
0,5®
-L
Í-
H
Ó
A
E=
0,5®
§Æt t = 2x – y
ÁN
8
(
0,5® 0,25®
)
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
1 + 4 2 x − y 51− 2 x + y = 1 + 2 2 x − y +1 (1) Khi ®ã hÖ (I): 3 2 y + 4 x + 1 + ln( y + 2 x) = 0(2) Ta cã: (1) ⇔ 1 + 4t 5− t +1 = 1 + 2t +1
(
)
1 t 4 t ⇔ 5 + = 1 + 2.2t (3) 5 5
0,25®
1 t 4 t §Æt f (t ) = 5 + ; g(t) = 1+2. 2t 5 5 Ta cã: f(t) lµ hµm sè gi¶m, g(t) lµ hµm sè t¨ng
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
0,25®
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
m 1 n 1 − − E = lim − = m n Ü →1 1 − x 1 − x 1 − x 1 − x
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
N U Y .Q
Ta cã:
TP
7
N
0,5®
⇒ A− B = 0 ( V× - Π < A − B < Π ) ⇒ A = B hay ∆ABC lµ tam gi¸c c©n t¹i C.
0,25®
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com 0,25®
2x = y + 1 VËy hÖ (I) ⇔ 3 2 y + 2 y + 3 + ln( y + y + 1) = 0 §Æt h(y) = y3 + 2y + 3 + ln ( y2+ y +1 ) 2y +1 Ta cã: h’(y) = 3y2 + 2 + 2 y + y +1
0,25®
U Y
2 y2 + 4 y + 3 = 3y + 2 y + y +1
0,25®
2( y + 1) 2 + 1 >0 y2 + y + 1
ẠO G
Đ
0,25®
2
(C1): (C2):
1 5 2 x − + ( y − 3) = 2 4 (x-m)2 + y2 = m2 + 1
TR ẦN
Ph−¬ng tr×nh cña ( C1) vµ ( C2 ) cã d¹ng sau:
0,25®
B
9
H Ư
N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
h’(y) >0 ⇒ h(y) lµ hµm sè t¨ngvµ h(-1) = 0 2 x = y + 1 x=0 VËy (I) ⇔ ⇔ y = −1 y = −1
10 00
5 1 VËy ( C1) lµ ®−êng trßn víi t©m O1 ;3 vµ b¸n kÝnh R1 = ; (C2) lµ 2 2
m2 + 1
Ó
A
®−êng trßn víi t©m O2 (m,0) vµ b¸n kÝnh R2 = 2
0,25®
-L
Í-
H
1 4m 2 − 4m + 37 4m 2 − 4m + 37 Ta cã: O1O2 = 9 + m − = = 2 4 2 a, ( C1) vµ ( C2) tiÕp xóc ngoµi nÕu R1+R2 = O1O2
0,25®
ÁN
⇔ 5 + 4m 2 + 4 = 4m 2 − 4m + 37
TO
⇔ 4m 2 + 9 + 2 20m 2 + 20 = 4m 2 − 4m + 37 5m 2 + 5 = 7 − m
ÀN
⇔
D
IỄ N
Đ
m≤7 ⇔ 2 2 5m + 5 = 49 − 14m + m m≤7 ⇔ 2 4m + 14m − 44 = 0 11 ⇔ m=2 hoÆc m = 2 b, (C1) vµ (C2) tiÕp xóc trong nÕu R1 − R2 = O1O2
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
TP
= 3y2 +
.Q
2
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
N
H
Ơ
N
Vµ f(1) = g (1) Do ®ã: (3) ⇔ t = 1 ⇔ 2 x − y = 1
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
0,5®
0,25®
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
5 − 4m 2 + 4 = 4m 2 − 4m + 37 (1)
+) nÕu m >
1 th× R2 > R1, do vËy tõ (1) ta cã 2
0,25®
.Q
0,25®
1 ≥ 1 + n
n
-L
DÊu ®¼ng thøc kh«ng thÓ x¶y ra v× 1 + n +1
1 > 1 + n
0,25®
1 ≠1 n
0,5®
n
0,5®
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
1 VËy 1 + n +1
0,5®
Ó
n +1
Í-
1 ⇔ 1 + n + 1
A
n + 2 n +1 1 ≥ 1 + n +1 n
n
H
⇔
10 00
B
n thõa sè
0,25®
TR ẦN
H Ư
10
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
TP
m≥7 ⇔ 2 (HÖ v« nghiÖm) 4m + 14m − 44 = 0 1 +) nÕu m < th× R1 > R2 , lËp luËn t−¬ng tù trªn ta cã ®−îc hÖ v« 2 nghiÖm. KÕt luËn: §Ó (C1) vµ (C2) tiÕp xóc víi nhau th× m = 2 11 hoÆc m = vµ khi ®ã mäi sù tiÕp xóc ®Òu lµ tiÕp xóc ngoµi 2 ¸p dông bÊt ®¼ng thøc c«si 1 1 1 + + ... + 1 + + 1 cho n+1 sè gåm n sè 1+ n n 1 1 1 vµ sè 1 ta cã: n sè h¹ ng ≥ 1 + ...1 + n +1 n +1 n n n
U Y
N
⇔ m − 7 = 5m 2 + 5
H
⇔ 4m 2 + 9 − 2 20m 2 + 20 = 4m 2 − 4m + 37
Ơ
N
4m 2 + 4 − 5 = 4m 2 − 4m + 37
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
⇔
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
D
IỄ N
Đ
ÀN
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
10 00
B
TR ẦN
H Ư
N
G
Đ
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
ẠO
TP
.Q
U Y
N
H
Ơ
N
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial