Issuu

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN BẮC GIANG NĂM HỌC: 2015–2016 MÔN THI: TOÁN (dành cho tất cả thí sinh) Ngày thi: 09/6/2015 Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Câu I: Giải các phương trình và hệ phương trình sau: 1) 2 x 2 + ( 3 − 2) x − 3 = 0

x − 11 x 2 x −1 − + x− x −2 x +1 x −2 a) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa, khi đó rút gọn A b) Tìm số chính phương x sao cho A có giá trị là số nguyên 2) Tìm giá trị m để phương trình: x 2 + mx + m 2 − 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 sao cho: x1 + 2x2 = 0

TR ẦN

H Ư

1) Cho biểu thức: A =

10 00

Câu III: Cho quãng đường AB dài 150 km. Cùng một lúc có xe thứ nhất xuất phát từ A đến B, xe thứ hai đi từ B về A. Sau khi xuất phát được 3 giờ thì 2 xe gặp nhau. Biết thời gian đi cả quãng đường AB của xe thứ nhất nhiều hơn xe thứ hai là 2 giờ 30 phút. Tính vận tốc mỗi xe.

-L

Í-

Câu IV: Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB. Điểm C là điểm bất kỳ trên (O). C ≠ A,B. Tiếp tuyến tại C cắt tiếp tuyến tại A,B lần lượt tại P,Q 1) Chứng minh: AP.BQ = R2 2) Chứng minh: AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính PQ 3) Gọi M là giao điểm của OP với AC, N là giao điểm của OQ với BC. Chứng minh: PMNQ là tứ giác nội tiếp. 4) Xác đinh vị trí điểm C để đường tròn ngoại tiếp tứ giác PMNQ có bán kính nhỏ nhất Câu V: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn: a + b + c = 3. Chứng minh rằng: 1 a4 b4 c4 + + ≥ (a + 2)(b + 2) (b + 2)(c + 2) (c + 2)(a + 2) 3

IỄ N

ÀN

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y .Q TP ẠO

Câu II:

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

2) x 4 − 2 x 2 − 8 = 0 2 1  x+ y =3 3)  2 3 2 x + 3 y = 13

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Í-

Câu II:

x − 11 x 2 x −1 − + x− x −2 x +1 x −2 a) Để A có nghĩa, điều kiện là: x ≥ 0   x ≥ 0 x ≥ 0 x − x − 2 ≠ 0 ⇔ ⇔  x ≠ 4  x ≠ 2  x −2≠ 0  x +1 ≠ 0  Với điều kiện trên, ta có:

-L

1) A =

H N U Y .Q TP ẠO

IỄ N

ÀN

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

y = 3 y = 3 x = 2 ⇔ ⇔ ⇔ 6 x + 9 y = 39 6 x + 9.3 = 39 y = 3 Vậy nghiệm của hệ phương trình là (2;3)

Đ G

N H Ư TR ẦN B

10 00

2 1  x+ y =3 3)  2 3 2 x + 3 y = 13 Ta có: 2 1 6 x + 8 y = 36  x + y = 3 3 x + 4 y = 18 ⇔ ⇔ 3 2 2 x + 3 y = 13 6 x + 9 y = 39 2 x + 3 y = 13

3 c =− a 2

3   Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là 1; −  2   2) x 4 − 2 x 2 − 8 = 0 (2) Đặt t = x 2 , với t ≥ 0 phương trình (2) trở thành t 2 − 2t − 8 = 0 ⇔ (t + 2)(t − 4) = 0 ⇔ t = –2 (loại) hoặc t = 4 (thỏa mãn) Với t = 4 thì x2 = 4 ⇔ x = ±2 Vậy tập nghiệm của phương trình (2) là {–2;2}

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

a + b + c = 2 + ( 3 − 2) + (− 3) = 0 nên có hai nghiệm x1 = 1; x2 =

ĐÁP ÁN Câu I: 1) 2 x 2 + ( 3 − 2) x − 3 = 0 (1) Phương trình (1) là phương trình bậc hai có tổng các hệ số

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

2 x −1 x − 11 x − + x− x −2 x +1 x −2

x − 11 − x ( x − 2) + (2 x − 1)( x + 1) ( x + 1)( x − 2)

x − 11 − ( x − 2 x ) + (2 x + x − 1) ( x + 1)( x − 2)

x + 4 x − 12 ( x − 2)( x + 6) = ( x + 1)( x − 2) ( x + 1)( x − 2)

Ơ H N U Y

Mặt khác

x + 1 ≥ 1 nên (*) ⇔ x + 1 ∈{1; 5}

x + 1 = 1 ⇒ x = 0 (tm)

– Nếu

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

x + 1 là ước của 5 (*)

10 00

– Nếu x + 1 = 5 ⇒ x = 16 (tm) Vậy các giá trị x cần tìm là x = 0 và x = 16.

5 là số nguyên x +1

Để A có giá trị là số nguyên thì

5 x +1

H Ư

x +6 =1+ x +1

TR ẦN

b) Ta có: A =

ẠO

x +6 với x ≥ 0 và x ≠ 4. x +1

Vậy A =

-L

Í-

2) x 2 + mx + m 2 − 3 = 0 (1) Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 ⇔ ∆ = m2 – 4(m2 – 3) > 0 ⇔ –3m2 +12 > 0 ⇔ m2 < 4 ⇔ –2 < m < 2 Hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn hệ thức x1 + 2x2 = 0 => x1 = - 2x2  x1 + x2 = − m  x1 = −2 x2  x1 = −2 x2    2 ⇒  x1 x2 = m − 3 ⇒ −2 x2 + x2 = − m ⇒  x2 = m    2 2 2 −2 x2 .x2 = m − 3 −2m = m − 3  x1 = 2 x2 ⇒ −2m 2 = m 2 − 3 ⇒ m 2 = 1 ⇒ m = ±1 (tm) Thử lại: – Với m = 1: (1) ⇔ x2 + x – 2 = 0 ⇔ x1 = –2; x2 = 1 (tm) – Với m = –1: (1) ⇔ x2 – x – 2 = 0 ⇔ x1 = 2; x2 = –1 (tm) Vậy m = ± 1 là giá trị cần tìm.

IỄ N

ÀN

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

x +6 x +1

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu III: Gọi vận tốc của xe đi từ A đến B là x (km/h) (x > 0) Gọi vận tốc của xe đi từ B đến A là y (km/h) (y > 0) Sau 3 giờ, quãng đường đi được của xe đi từ A là 3x (km) quãng đường đi được của xe đi từ B là 3y (km) Sau 3 giờ kể từ khi cùng xuất phát, hai xe gặp nhau, do đó ta có phương trình 3x + 3y = 150

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

(1)

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Thời gian đi quãng đường AB của xe đi từ A là

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com 150 150 (giờ) và của xe đi từ B là (giờ) x y

150 150 − = 2, 5 (2) x y Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:  x + y = 50  y = 50 − x  y = 50 − x    1 150 150 5 ⇔  1 1 1 ⇔  50 − 2 x − = = − =   x 50 − x 60  x(50 − x) 60 2 y  x 

Theo bài ra ta có phương trình:

TO D

IỄ N

ÀN

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y .Q TP ẠO

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

Câu IV:

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

⇒ 60(50 − 2 x) = x(50 − x) ⇒ x 2 − 170 x + 3000 = 0 ⇔ x = 20 hoặc x = 150 x = 20 ⇒ y = 30 (tm) x = 150 ⇒ y = –100 (loại) Vậy vận tốc của hai xe lần lượt là 20km/h và 30km/h.

1) Vì AP và CP là tiếp tuyến của (O) nên OA ⊥ AP, OC ⊥ PC Xét tam giác vuông OAP và tam giác vuông OCP có: OP (chung ) ⇒ ∆OAP = ∆OCP (cạnh huyền–cạnh góc vuông)  OA = OC = R

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

1 1 (COA + COB ) = .180o = 90o 2 2

Từ (2) và (4) ta có: POQ = POC + QOC =

 PC = PA(1)  ⇒ 1  POA = POC ⇒ POC = 2 COA(2) QC = QB (3)  Tương tự ta có:  1 QOC = 2 COB (4)

ẠO

10 00

TR ẦN

H Ư

3) Vì OC = OA = R, PC = PA (cmt) nên PO là trung trực của đoạn AC ⇒ PO ⊥ AC Tương tự QO ⊥ BC. Tứ giác OMCN có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật ⇒ OMCN là tứ giác nội tiếp => OMN = OCN (hai góc nội tiếp cùng chắn cung ON) (7) Mặt khác, do các tam giác OCQ và OCN vuông, suy ra: OCN = PQO (cùng phụ với CON) (8) Từ (7) và (8) ⇒ OMN = PQO Mặt khác OMN + PMN = 180o => PQO + PMN = 180o ⇒ Tứ giác PMNQ là tứ giác nội tiếp.

-L

Í-

4) Gọi H, I là trung điểm MN, PQ. K là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác PMNQ. Ta có: KH ⊥ MN và KI ⊥ PQ Vì OP là trung trực AC (cmt) nên M là trung điểm AC, tương tự N là trung điểm BC. AB MN AB R ⇒ MN //AB và MN = ⇒ HN = = = (9) 2 2 4 2 Vì MN // AB, OI ⊥ AB ⇒ MN ⊥ OI. Mà MN ⊥ KH nên OI // KH. Mà KI // HO (cùng vuông góc PQ) nên OIKH là hình bình hành. ⇒ KH = OI ≥ OC = R (10) Bán kính đường tròn (K) là KN. Từ (9) và (10) ta có:

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

2) Xét tam giác vuông OPQ, gọi I là trung điểm cạnh huyền PQ, khi đó: IP = IQ = IO ⇒ O thuộc đường tròn đường kính PQ (5) Mặt khác, do AP // BQ nên APQB là hình thang và nhận IO là đường trung bình, suy ra OI // BQ Mà BQ ⊥ AB ⇒ OI ⊥ AB (6) Từ (5) và (6) ⇒ AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính PQ tại O.

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

⇒ ∆ POQ vuông tại O Từ (1), (3) và áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OPQ ta có: AP.BQ = CP.CQ = CO 2 = R 2 (đpcm)

IỄ N

ÀN

R 5 R KN = KH 2 + HN 2 ≥ R 2 +   = 2 2 Dấu bằng xảy ra ⇔ OI = OC ⇔ O ≡ C ⇔ OC ⊥ AB ⇔ C là điểm chính giữa cung AB. Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp PMNQ nhỏ nhất khi C là điểm chính giữa cung AB của đường tròn (O).

Câu V: Áp dụng BĐT Cô–si cho 4 số không âm, ta có:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

a4 a+2 b+2 1 a4 a+2 b+2 1 a 4 4a 4 4 + + + ≥4 . . . =4 4 = (a + 2)(b + 2) 27 27 9 (a + 2)(b + 2) 27 27 9 9 9 a4 11a b 7 ≥ − − (1) (a + 2)(b + 2) 27 27 27 Tương tự ta có: b4 11b c 7 ≥ − − (2) (b + 2)(c + 2) 27 27 27

N Ơ

TO D

IỄ N

ÀN

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

ẠO

U Y

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

c4 11c a 7 ≥ − − (3) (c + 2)(a + 2) 27 27 27 Cộng từng vế của (1), (2) và (3) ta có: 11(a + b + c) a + b + c 21 a4 b4 c4 + + ≥ − − (a + 2)(b + 2) (b + 2)(c + 2) (c + 2)(a + 2) 27 27 27 Thay điều kiện a + b + c = 3 ta được: 1 a4 b4 c4 + + ≥ (a + 2)(b + 2) (b + 2)(c + 2) (c + 2)(a + 2) 3 Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1.

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

⇒

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2015 – 2016 Môn: Toán (Chuyên) Ngày thi: 10/06/2015 Thời gian làm bài: 150 phút

SỞ GDĐT BẠC LIÊU Đề thi chính thức (Gồm 01 trang)

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

ẠO

H Ư

TR ẦN

10 00

A Ó H Í-L

IỄ N

ÀN

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

U Y

Câu 1. (2,0 điểm) a. Chứng minh với mọi số n lẻ thì n² + 4n + 5 không chia hết cho 8. b. Tìm nghiệm (x; y) của phương trình x² + 2y² + 3xy + 8 = 9x + 10y với x, y thuộc N*. Câu 2. (2,0 điểm) Cho phương trình 5x² + mx – 28 = 0 (m là tham số). Tìm các giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện 5x1 + 2x2 = 1. Câu 3. (2,0 điểm) a. Cho phương trình x4 – 2(m – 2)x² + 2m – 6 = 0. Tìm các giá trị của m sao cho phương trình có 4 nghiệm phân biệt. 1 1 1 b. Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. Chứng minh rằng a5 + b5 + c5 + + + ≥ 6 a b c Câu 4. (2,0 điểm) Cho đường tròn tâm O có hai đường kính AB và MN. Vẽ tiếp tuyến d của đường tròn (O) tại B. Đường thẳng AM, AN lần lượt cắt đường thẳng d tại E và F. a. Chứng minh rằng MNFE là tứ giác nội tiếp. b. Gọi K là trung điểm của FE. Chứng minh rằng AK vuông góc với MN. Câu 5. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ đường thẳng d đi qua A sao cho d không cắt đoạn BC. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của B và C trên d. Tìm giá trị lớn nhất của chu vi tứ giác BHKC. ------HẾT-----

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

N U Y .Q TP ẠO Đ G N H Ư

IỄ N

ÀN

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

-L

Í-

10 00

TR ẦN

Câu 1. a. n² + 4n + 5 = (n + 2)² + 1 Vì n là số lẻ suy ra n + 2 = 2k + 1, k là số nguyên Ta có (n + 2)² + 1 = 4k² + 4k + 2 không chia hết cho 4 Vậy n² + 4n + 5 không chia hết cho 8 b. x² + 2y² + 3xy + 8 = 9x + 10y <=> x² + 2xy + xy + 2y² – 8(x + y) – (x + 2y) + 8 = 0 <=> x(x + 2y) + y(x + 2y) – 8(x + y) – (x + 2y) + 8 = 0 <=> (x + y – 1)(x + 2y) – 8(x + y – 1) = 0 <=> (x + y – 1)(x + 2y – 8) = 0 (a) Với x ≥ 1, y ≥ 1 (vì thuộc N*) suy ra x + y – 1 ≥ 1 > 0 Do đó (a) <=> x + 2y = 8 Ta có 2y ≤ 8 – 1 = 7 Nên y ≤ 7/2 Mà y thuộc N* suy ra y = 1; 2; 3 Lập bảng kết quả x 1 2 3 y 6 4 2 Vậy tập hợp bộ số (x, y) thỏa mãn là {(6; 1), (4; 2), (2; 3)} Câu 2. 5x² + mx – 28 = 0 ∆ = m² + 560 > 0 với mọi m Nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x1, x2. Ta có: x1 + x2 = –m/5 (1) x1x2 = –28/5 (2) 5x1 + 2x2 = 1 (3) Từ (3) suy ra x2 = (1 – 5x1)/2 (4) Thay (4) vào (2) suy ra 5x1(1 – 5x1) = –56 <=> 25x1² – 5x1 – 56 = 0 <=> x1 = 8/5 hoặc x1 = –7/5 Với x1 = 8/5 → x2 = –7/2 Thay vào (1) ta có 8/5 – 7/2 = –m/5 <=> m = 19/2 Với x1 = –7/5 → x2 = 4 → –7/5 + 4 = –m/5 suy ra m = –13 Câu 3. a. x4– 2(m – 2)x² +2m – 6 = 0. (1) Đặt t = x² (t ≥ 0)

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI VÀO 10 MÔN TOÁN CHUYÊN BẠC LIÊU NĂM HỌC 2015 – 2016

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

ẠO

H Ư TR ẦN B 10 00 A Ó H Í-L TO

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

U Y

(1) <=> t² – 2(m – 2)t + 2m – 6 =0(2) ∆’ = (m – 2)² – (2m – 6) = m² – 6m + 10 = (m – 3)² + 1 > 0 với mọi m. Phương trình (2) luôn có 2 nghiệm phân biệt. Ứng với mỗi nghiệm t > 0 thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt. Do đó, phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt dương. <=> 2m – 6 > 0 và 2(m – 2) > 0 <=> m > 3. Vậy m > 3 thỏa mãn yêu cầu. 1 1 1 b. Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. Chứng minh rằng a5 + b5 + c5 + + + ≥ 6 a b c 5 5 5 Áp dụng bất đẳng thức cô si: a + 1/a ≥ 2a²; b + 1/b ≥ b²; c + 1/c ≥ c². 1 1 1 Suy ra a5 + b5 + c5 + + + ≥ 2(a 2 + b 2 + c 2 ) a b c Mặt khác a² + 1 ≥ 2a; b² + 1 ≥ 2b; c² + 1 ≥ 2c Suy ra a² + b² + c² ≥ 2a + 2b + 2c – 3 = 3 Vậy đpcm. Câu 4.

IỄ N

ÀN

a. Tam giác ABE vuông tại B và BM vuông góc với AE Nên ta có AM.AE = AB² Tương tự AN.AF = AB² Suy ra AM.AE = AN.AF Hay AM/AN = AE/AF Xét ∆AMN và ∆AFE có góc MAN chung Và AM/AN = AF/AE Do đó ∆AMN và ∆AFE đồng dạng Suy ra góc AMN = góc AFE.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

N Ơ H N

IỄ N

ÀN

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y .Q TP ẠO Đ G N H Ư

TR ẦN B 10 00 A Ó H

-L

Í-

Ta có BC² = AB² + AC² = BH² + AH² + AK² + CK² Ta cần chứng minh bất đẳng thức: (ac + bd)² ≤ (a² + b²)(c² + d²) (*) Ta có: (*) <=> a²c² + 2acbd + b²d² ≤ a²c² + a²d² + b²c² + b²d² <=> a²d² – 2abcd + b²c² ≥ 0 <=> (ad – bc)² ≥ 0 (đúng với mọi a, b, c, d) Dấu bằng xảy ra khi ad = bc hay a/c = b/d Áp dụng (*) ta được: 2(BH² + AH²) ≥ (BH + AH)² (1) Tương tự ta có 2(AK² + CH²) ≥ (AK + CK)² (2) Suy ra 2BC² ≥ (BH + AH)² + (AK + CK)² (3) Đặt BH + AH = m; đặt AK + CK = n Vì góc CAK + góc BAH = 90°; mà góc BAH + góc ABH = 90° nên góc CAK = góc ABH Dẫn đến tam giác ABH đồng dạng với tam giác CAK → AH/CK = BH/AK = AB/AC = (AH + BH)/(CK + AK) = m/n Nên AB²/m² = AC²/n² = (AB² + AC²)/(m² + n²) ≥ BC²/(2BC²) = ½

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Mà góc AMN + góc NME = 180° (kề bù) Nên góc AFE + góc NME = 180° Vậy tứ giác MNFE nội tiếp đường tròn. b. Góc MAN = 90° Nên tam giác AEF vuông tại A suy ra AK = KB = KF Do đó góc KAF = góc KFA Mà góc AMN = góc KFA (cmt) Suy ra góc KAF = góc AMN Mà góc AMN + góc ANM = 90° Suy ra góc KAF + góc ANM = 90°. Vậy AK vuông góc với MN Câu 5.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Hay m ≤ AB 2 và n ≤ AC 2 Chu vi tứ giác BHKC là BC + BH + AH + AK + KC = BC + m + n ≤ BC + (AB + AC) 2

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

Vậy chu vi BHKC lớn nhất là BC + (AB + AC) 2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ CẦN THƠ

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

KÝ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2015–2016 MÔN: TOÁN (chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

ĐỀ CHÍNH THỨC

-L

 x − y + 9 = 2 y2 − x  b)  2 2 2  x + y − 4 xy ( x − y − 1) = 4(4 + xy )  Câu 5: (1,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có trực tập H. Gọi M, N lần lượt là chân đường cao vẽ từ B và C của tam giác ABC. Gọi D là điểm thuộc cạnh BC (D khác B và C), E là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác CDM và đường tròn ngoại tiếp ta giác BDN (E khác D). Chứng minh ba điểm A, E, D thẳng hàng. Câu 6: (1,5 điểm) a) Cho A = a 2015 + b 2015 + c 2015 + d 2015 , với a, b, c, d là các số nguyên dương thỏa mãn ab=cd. Chứng minh rằng A là hợp số. b) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = 2xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x y z P= + + z (z + x) x( x + y ) y ( y + z )

IỄ N

ÀN

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

ẠO

H Ư

TR ẦN

Í-

a )2 x 2 − 3 x 2 − 4 x + 5 = 8( x − 1)

10 00

Câu 3: (2,5 điểm) Cho đường tròn tâm H tiếp xúc trong với đường tròn tâm O tại D (OD > HD). Gọi A là điểm thuộc (O) (A khác D) sao cho các tiếp tuyến AE, AF của đường tròn tâm H (E, F là các tiếp điểm) cắt đường tròn tâm O lần lượt tại B và C thỏa AB < AC. Gọi P là giao điểm thứ hai của DF với đường tròn (O). a) Chứng minh DP là tia phân giác của ADC b) Tia phân giác của BDC cắt EF tại Q. Chứng minh tứ giác QFCD nội tiếp c) Chứng minh QD2 = DB.DC Câu 4: (2,0 điểm) Giải phương trình và hệ phương trình sau trên tập số thực

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

U Y

 x− y x + y  x2 y 2 y Câu 1: (1,5 điểm) Cho biểu thức  + . − , ( x > 0; y > 0, x ≠ y )  x y + y x x y − y x  x + y x − y   a) Rút gọn biểu thức A. b) Tính giá trị của A biết rằng x,y là nghiệm của phương trình t2 – 4t + 1 = 0 2 Câu 2: (1,5 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : y = ( x + 1) − m − 1 và đường m −m 3m + 3 (m là tham số thực khác 0). x + m2 − thẳng d 2 : y = 2 2 a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m khác 0 thì hai đường thẳng d1 và d2 luôn cắt nhau tại một điểm duy nhất b) Gọi M(x;y) là giao điểm của d1 và d2. Tìm m để biểu thức P = x 2 − y 2 + xy + 2n + 3 y đạt giá trị nhỏ nhất.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

ĐÁP ÁN

xy ( x + y )( x − y )(x + y)

−

TP ẠO G N

2( x + y ) xy .x y

2 y x− y

2 y 2 x − ( x + y )( x − y ) x − y

2 x −2 y x− y 2 = x+ y

10 00

Í-

2 x+ y

Vậy A=

x y 2 y − ( x y + y x )( x y − y x ) x + y x − y .

H Ư

2 x xy + 2 y xy

TR ẦN

( x − y )( x y − y x ) + ( x + y )( x y + y x ) x y 2 y . − x+ y x− y ( x y + y x )( x y − y x )

-L

b) Do x và y là nghiệm của phương trình t2 – 4t + 1 = 0 (1) nên theo định lí Vi–ét ta có: x + y = 4; xy = 1 ⇒ x, y > 0; x ≠ y ⇒ x, y thỏa mãn ĐKXĐ của A. Mặt khác ta có

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

 x− y x + y  x2 y 2 y + . − , ( x > 0; y > 0, x ≠ y ) a) A=   x y + y x x y − y x  x + y x − y  

x + y > 0)

2 2 6 = = 3 x+ y 6

ÀN

=> A =

( x + y ) 2 = x + y + 2 xy = 4 + 2.1 = 6 => x + y = 6(do

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

Câu 1:

IỄ N

Câu 2: a) Xét phương trình hoành độ giao điểm của d1 và d2:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

2 3m −m ( x + 1) − m − 1 = x + m2 − +3 2 2 m 2 m 3m 2 <=> x( + ) = m 2 − + 3 + m +1− m 2 m 2 2 3 2 4+m 2 m − m + 8m − 4 <=> x. = 2m 2m 2 <=> (4 + m ) x = (2m − 1)(4 + m2 ) 2 ( x + 1) − m − 1 = 3 − m m Vậy 2 đường thẳng luôn cắt nhau tại điểm M(2m-1;3-m) ∀ m. b) Theo câu a ta có x = 2m – 1; y = 3 – m Thay vào P, ta có:

.Q TP ẠO Đ

= (2m − 1) 2 − (3 − m) 2 + (2m − 1)(3 − m) + 2(2m − 1) + 3(3 − m)

H Ư

= (4m 2 − 4m + 1) − (m 2 − 6m + 9) + (−2m 2 + 7 m − 3) + 4m − 2 + 9 − 3m

P = x 2 − y 2 + xy + 2 x + 3 y

TR ẦN

= m 2 + 10m − 4 = (m + 5) 2 − 29 ≥ −29

-L

Í-

10 00

Dấu bằng xảy ra ⇔ m = –5 Vậy GTNN của P là –29 ⇔ m = –5. Câu 3:

IỄ N

ÀN

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

=> y =

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

<=> x = 2m − 1

a) Do các tam giác OPD và HFD cân nên

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

ÀN

Câu 4:

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

ẠO

H Ư

-L

Í-

10 00

TR ẦN

Theo quan hệ giữa góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung: EDF=EFA(4) Từ (3) và (4) ta có: CDQ=EFA=>CDQ+QFC=180o Suy ra tứ giác QFCD nội tiếp đường tròn. c) Chứng minh tương tự câu b ta có hai tứ giác QFCD và QEBD nội tiếp. Suy ra DBQ=DEQ;DQC=DFC(5) Mặt khác: DEQ=DFC (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung DF) (6) Từ (5) và (6) suy ra DBQ=DQC Xét ∆ DQB và ∆ DCQ có: QDB = QDC ( gt ) => ∆DBQ ~ ∆DQC ( g .g )   DBQ = DQC (cmt ) DB DQ => = => DQ 2 = DB.DC DQ DC

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

U Y

DOP=PDO;DFH=PDO =>DOP=DFH ⇒ FH // OP. Mà FH ⊥ AC (tính chất tiếp tuyến) nên OP ⊥ AC. Tam giác OAC cân tại O có OP là đường cao kẻ từ đỉnh O, nên OP cũng là phân giác góc AOC. Suy ra AOP =COP (1) Theo quan hệ giữa góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung, ta có: 1 1 ADP = AOP; CDP = COP (2) 2 2 Từ (1) và (2) ta có: ADP=CDP Suy ra DP là phân giác góc ADC. b) Chứng minh tương tự câu a ta có DE là phân giác góc ADB. Do đó 1 1 EDF = EDA + FDA = BDA + CDA 2 2 1 = BDC = CDQ 2 => EDF = CDQ(3)

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

IỄ N

a )2 x 2 − 3 x 2 − 4 x + 5 = 8( x − 1)(1)

ĐK: x 2 − 4 x + 5 ≥ 0 <=> ( x − 2) 2 + 1 ≥ 0 (luôn đúng ∀ x) (1) <=> 2( x 2 − 4 x + 5) − 3 x 2 − 4 x + 5 − 2 = 0

Đặt t = x 2 − 4 x + 5, t ≥ 0 . Phương trình (1) trở thành

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

2t 2 − 3t − 2 = 0

}

{

Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là 2 − 3; 2 + 3

t = 2(TM ) <=> x 2 − 4 x + 5 = 2 <=> x 2 − 4 x + 1 = 0 <=> x = 2 ± 3 <=>  1 = − ( L) t  2

N N

<=> (x 2 + y 2 )( x − y − 4) + 4( x − y ) 2 = 16( x − y )

H Ư

<=> ( x − y − 4)( x 2 + y 2 + 4( x − y )) = 0 >0

TR ẦN

<=> x = y + 4 Thay x = y + 4 vào (2), ta có:

y + 4 − y + 9 = 2 y2 − y − 4

10 00

<=> 2 y 2 − y − 15 = 0

 y = 3 => x = 7 (TM ) <=>   y = −5 => x = 3  2 2

-L

Í-

3 −5 Vậy hệ phương trình có nghiệm (7;3);( ; ) 2 2 Câu 5:

TO D

IỄ N

ÀN

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y .Q TP ẠO Đ

=> ( x 2 + y 2 )( x − y ) − 8 xy = 16( x − y )

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

 x − y + 9 = 2 y 2 − x(2)  b)  2 2 2  x + y − 4 xy ( x − y − 1) = 4(4 + xy )(3)  ĐK: x-y>0 x>y 8 xy (3) <=> x 2 + y 2 − = 16 x− y

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

IỄ N

ÀN

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

ẠO Đ G N H Ư -L

Í-

10 00

TR ẦN

Vì BNED là tứ giác nội tiếp nên: BNE=EDC (góc trong và góc ngoài đỉnh đối diện) (1) Vì CDEM là tứ giác nội tiếp nên: EDC=EMA (góc trong và góc ngoài đỉnh đối diện) (2) Từ (1) và (2) suy ra BNE =EMA =>ANE+ EMA =180° Suy ra tứ giác ANEM nội tiếp ⇒ AEN= AMN (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AN) (3) Vì BNC= BMC = 90° nên BNMC là tứ giác nội tiếp. Suy ra AMN= NBD (góc trong và góc ngoài đỉnh đối diện) (4) Từ (3) và (4) suy ra AEN= NBD Mà BNED là tứ giác nội tiếp nên NBD +NED=180o=> AEN +NED=180o =>AED =180o Suy ra A, E, D thẳng hàng. Câu 6: a) Đặt (a, d) = k, suy ra a = ka1, d = kd1 với (a1, d1) = 1 và k, a1, d1 ∈ ℕ* Khi đó ab = cd ⇔ a1b = cd1 ⇒ cd1 ⋮ a1, mà (a1, d1) = 1 nên c ⋮ a1 ⇒ c = a1c1 ⇒ a1b = cd1 = c1a1d1 ⇒ b = c1d1 Từ đó ta được:

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

U Y

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

A = a 2015 + b 2015 + c 2015

= k 2015 .a12015 + c12015 d12015 + a12015c12015 + k 2015 d12015 = (a12015 + d12015 )(k 2015 + c12015 )

là hợp số vì a12015 + d12015 và k 2015 + c12015 là các số nguyên dương ≥ 2.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

b) Áp dụng BĐT Cô–si cho hai số dương, ta có: 2 x y y ( z + x) 2 x 2 y y ( z + x) . + ≥2 = 2 xy (1) z+x 2 z+x 2 Tương tự ta có:

2 y 2 z z (x + y) + ≥ 2 yz (2) x+ y 2

Cộng từng vế của (1), (2) và (3), ta có:

TP ẠO

2x2 y 2 y 2 z 2z 2 x + + ≥ xy + yz + zx z+x x+ y y+z

<=>

3 2

-L

Í-

N H Ư

10 00

Vậy GTNN của P là 1 khi x = y = z =

TR ẦN

3 2

Dấu bằng xảy ra khi x = y = z =

Chia cả hai vế của BĐT cho 2xyz, ta có: x y z xy + yz + zx + + ≥ =1 P= z ( z + x) x ( x + y ) y ( y + z ) 2 xyz

IỄ N

ÀN

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

2x2 y 2 y 2 z 2z 2 x + + + xy + yz + zx ≥ 2( xy + yz + zx) z+x x+ y y+z

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

2 z 2 x x(y + z) + ≥ 2 zx(3) y+z 2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

Ơ H N U Y

a a +b b Câu 4 (4,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), AB < AC. Phân giác góc BAC cắt BC tại D. Đường tròn tâm I đường kính AD cắt AB, AC lần lượt tại E và F. a) Chứng minh rằng AD ⊥ EF. b) Gọi K là giao điểm thứ hai của AD và (O). Chứng minh rằng ∆ABD ∼ ∆AKC c) Kẻ EH ⊥ AC tại H. Chứng minh rằng HE.AD = EA.EF d) Hãy so sánh diện tích của tam giác ABC với diện tích của tứ giác AEKF. Câu 5 (1,0 điểm) Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a b c P= + + . 2 2 1 + b 1 + c 1 + a2

–––––––––––––– HẾT ––––––––––––––

TO D

IỄ N

ÀN

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

)

a − b ( a 2 − b2 )

ẠO

( P=

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Câu 1 (2,0 điểm) Giải các phương trình: 1 3 8 a) + = x + 1 2x + 1 x − 2 b) 2 x + 1 + 3 − x = 3 x + 5  x 2 + x = y 2 + y Câu 2 (1,5 điểm). Giải hệ phương trình  2 ( x, y ∈ ℝ ) 2  x + y = 5 Câu 3 (1,5 điểm) Cho hai số thực a, b thỏa mãn a + b = 3, ab = 1. Tính giá trị của biểu thức

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM 2015 Môn thi: Toán (vòng 1) Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ĐÁP ÁN ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2015

TP ẠO

−11x 2 − 30 x − 16 =0 ( x + 1)(2 x + 1)( x − 2) ⇒ 11x 2 + 30 x + 16 = 0

Í-

10 00

8  Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là −2; −  11   b) 2 x + 1 + 3 − x = 3 x + 5 (2) 1  x ≥ − 2 2 x + 1 ≥ 0  1  ĐK: 3 − x ≥ 0 ⇔  x ≤ 3 ⇔ − ≤ x ≤ 3 2 3 x + 5 ≥ 0  5  x ≥ − 3  Với điều kiện trên, ta có:

TR ẦN

H Ư

 x = −2(tm) ⇔ 8  x = − (tm)  11

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

(2 x 2 − 3 x − 2) + 3( x 2 − x − 2) − 8(2 x 2 + 3 x + 1) =0 ( x + 1)(2 x + 1)( x − 2)

ÁN

(2) ⇔ 2 x + 1 + 3 − x + 2 (2 x + 1)(3 − x) = 3 x + 5 ⇔ 2 −2 x 2 + 5 x + 3 = 2 x + 1

IỄ N

ÀN

1  x ≥ − 2 1   2 x + 1 ≥ 0 x ≥ −  1 ⇔ ⇔ ⇔  x = − 2 2 2 2 4(−2 x + 5 x + 3) = 4 x + 4 x + 1 12 x 2 − 16 x − 11 = 0    11   x = 6 

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

Câu 1 1 3 8 a) + = (1) x + 1 2x + 1 x − 2 1 ĐK: x ≠ –1; x ≠ 2; x ≠ − 2 (2 x + 1)( x − 2) + 3( x + 1)( x − 2) − 8( x + 1)(2 x + 1) =0 (1) ( x + 1)(2 x + 1)( x − 2)

1   x = − 2 (tm) ⇔  x = 11 (tm)  6

 1 11  Vậy tập nghiệm của phương trình (2) là − ;   2 6

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

N Ơ H Ư

x = 1 (2) ⇔ x 2 + (− x − 1) 2 = 5 ⇔ 2 x 2 + 2 x − 4 = 0 ⇔   x = −2 x = 1 ⇒ y = − x − 1 = −2 x = −2 ⇒ y = − x − 1 = 1

)

(

) a a +b b ( a) +( b) ( a − b )( a − b )( a + b ) (a + b) = ( a + b )( a + b − ab ) ( a + b − 2 ab ) (a + b) = a − b ( a2 − b2 )

a − b (a − b)(a + b)

-L

Í-

( P=

10 00

TR ẦN

 10 10   10 10  Vậy hệ phương trình (I) có 4 nghiệm là (1; −2), (−2;1),  ; ;−  ,  −  2   2 2   2 Câu 3 Ta có

IỄ N

ÀN

a + b − ab Thay a + b = 3, ab = 1 ta được: ( 3 − 2.1) .3 = 3 P= 3 −1 2 Câu 4

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

ẠO

U Y

y = x ⇔  y = −x −1 • y = x: Thay vào (2) ta được: 5 10 (2) ⇔ 2 x 2 = 5 ⇔ x 2 = ⇔ x = ± 2 2 10 ⇒ y=± 2 • y = – x – 1. Thay vào (2) ta được:

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Câu 2  x 2 + x = y 2 + y (1) (I )  2 2  x + y = 5(2) (1) ⇔ x 2 − y 2 + x − y = 0 ⇔ ( x − y )( x + y + 1) = 0

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

IỄ N

ÀN

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

ẠO Đ G

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

a) Do E, F thuộc đường tròn đường kính AD nên AED = AFD = 90o Xét hai tam giác vuông AED và AFD có  AD(chung ) ⇒ ∆AED = ∆AFD (cạnh huyền – góc nhọn)   EAD = FAD( gt ) ⇒ AE = AF và DE = DF (hai cạnh tương ứng) ⇒ AD là đường trung trực của đoạn EF. ⇒ AD ⊥ EF. b) Do ABKC là tứ giác nội tiếp đường tròn (O) nên ABC = AKC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC) Xét hai tam giác ABD và ACK có  BAD = CAK ( gt ) ⇒ ∆ABC ~ ∆ACK (g.g)   ABD = AKC (cmt ) c) Vì AEDF là tứ giác nội tiếp nên EDA = EFH (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EA) Xét tam giác AED và tam giác EHF ta có:  AED = EHF = 90o ⇒ ∆AED ~ ∆EHF (g.g)   EDA = EFH (cmt ) EA AD ⇒ = EH EF ⇒ HE. AD = EA.EF d) Trên tia AC lấy B’ sao cho AB = AB’. Vẽ KI ⊥ AC tại I Xét ∆ ABK và ∆ AB’K có  AK (chung )   KAB = KAB '( gt ) ⇒ ∆ABK = ∆AB ' K (c.g.c)  AB = AB '  ⇒ KB = KB’ (hai cạnh tương ứng) Mặt khác AK là phân giác góc BAC nên K là điểm chính giữa cung BC ⇒ KB = KC. ⇒ KB’ = KC ⇒ ∆ KB’C cân tại K

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

U Y

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

Ơ H N

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

Đ G N

H Ư

TR ẦN

10 00

Í-

-L

IỄ N

ÀN

U Y

ẠO

a b c + + 2 2 1 + b 1 + c 1 + a2 Ta có: a ab 2 =a− (1) 1 + b2 1 + b2 Áp dụng BĐT Cô–si cho hai số không âm, ta có 1 + b 2 ≥ 2b Thay vào (1) ta được: a ab 2 ab 2 ab = a − ≥ a − =a− (2) 2 2 1+ b 1+ b 2b 2 Tương tự, ta có: b bc ≥b− (3) 2 1+ c 2 c ca ≥c− (4) 2 1+ a 2 Cộng từng vế ba BĐT (2), (3), (4) ta được: a b c  ab + bc + ca  + + ≥ a+b+c−  (5) 2 2 2 1+ b 1+ c 1+ a 2   Mặt khác 1 2 ( a + b + c ) − 3 ( ab + bc + ca ) = (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2  ≥ 0 2 2 (a + b + c) ⇒ ab + bc + ca ≤ =3 (6) 3 Thay điều kiện a + b + c = 3 và BĐT (6) vào (5) ta có 3 a b c + + ≥ P= 2 2 2 1+ b 1+ c 1+ a 2 Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1. 3 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là , đạt được khi a = b = c = 1. 2 P=

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Câu 5

⇒ I là trung điểm B’C AB '+ AC AB + AC ⇒ AI = = 2 2 ⇒ I là trung điểm B’C 1 1 1 S ABC = S ABD + S ACD = DE. AB + DF . AC = DF .( AB + AC ) 2 2 2 Vì AK là trung trực EF nên AE = AF, EK = FK ⇒ ∆ AEK = ∆ AFK (c.c.c). Do đó S AEDF = 2.S AKF = KI . AF Vì DF // KI ( cùng vuông góc AC) nên theo định lí Ta–lét: DF AF AB + AC = ⇒ S AEDF = KI . AF = DF . AI = DF . = S ABC KI AI 2 Vậy S ABC = S AEDF

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC: 2015 – 2016 Môn thi: TOÁN Thời gian thi: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) (Dành cho tất cả các thí sinh thi vào THPT Chuyên)

SỞ GD & ĐT HÀ GIANG ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 1 (2,0 điểm)

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

ẠO

H Ư

TR ẦN

10 00

Í-

-L

IỄ N

ÀN

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

U Y

1   a +1 a +2  1 Cho biểu thức P =  − −   :  a   a −2 a − 1   a −1 a. Rút gọn biểu thức P 1 b. Tìm a để P > 6 Câu 2 (2,0 điểm) Cho phương trình: x2 – 2(m – 1)x + m + 1 = 0 a. Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt b. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1 = 3x2 Câu 3 (1,5 điểm) Hai người thợ làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong 3 giờ và người 1 thứ hai làm trong 6 giờ thì họ làm được công việc. Hỏi mỗi người làm công việc đó một mình trong mấy giờ 4 thì xong. Câu 4 (3,5 điểm) Cho nửa đường tròn (O;R), đường kính AB, C là điểm chính giữa cung AB. Điểm M thuộc cung AC (M ≠ A, M ≠ C). Qua M kẻ tiếp tuyến d với nửa đường tròn, gọi H là giao điểm của BM với OC. Từ H kẻ một đường thẳng song song với AB, đường thẳng đó cắt tiếp tuyến d ở E. a. Chứng minh OHME là tứ giác nội tiếp b. Chứng minh EH = R c. Kẻ MK vuông góc với OC tại K. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp ∆ OBC đi qua tâm đường tròn nội tiếp ∆ OMK. Câu 5 (1,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của A = x − 1 + y − 2 , biết x + y = 4

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ơ H N

1 (a − 1) − (a − 4) 1 ( a − 2)( a − 1) : = . 3 a ( a − 1) ( a − 2)( a − 1) a ( a − 1)

a −2 3 a b. Điều kiện: a > 0, a ≠ 1, a ≠ 4 1 a −2 1 a −2 1 > ⇔ > ⇔ 2( a − 2) > a ⇔ a > 4 ⇔ a > 16 (thỏa mãn) P> ⇔ 6 6 2 3 a a Vậy a > 16 là điều kiện cần tìm Câu 2 a. Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆’ = (m – 1)2 – (m + 1) > 0 ⇔ m2 – 3m > 0 ⇔ m m – 3) > 0 ⇔ m 3 hoặc m < 0 b. Với m > 3 hoặc m < 0, phương trình có 2 nghiệm x1, x2 . Theo Viét ta có x1 + x2 = 2m – 2; x1x2 = m + 1 ⇒ x1 = 2m – 2 – x2 3(m − 1) m −1 Ta có x1 = 3x2 ⇔ 2m – 2 – x2 = 3x2 ⇔ 4x2 = 2m – 2 ⇔ x2 = ⇒ x1 = 2 2 m − 1 3(m − 1) ⇒ m + 1 = x1 x2 = . ⇒ 4(m + 1) = 3(m − 1) 2 2 2 5+2 7 5−2 7 ⇔ 3m 2 − 10m − 1 = 0 ⇔ m = (thỏa mãn) hoặc m = (thỏa mãn) 3 3 5± 2 7 Vậy m = là giá trị cần tìm. 3 Câu 3 Gọi số giờ để mỗi người làm một mình hết công việc đó lần lượt là x và y (h) (x,y > 0) 1 1 Mỗi giờ, người thứ nhất và người thứ hai làm được và (công việc) x y 1 1 1 1 1 Hai người làm hết công việc đó trong 16h nên 16  +  = 1 ⇔ + = (1) x y 16 x y 1 1 1 1 Người thứ nhất làm trong 3h và người thứ 2 làm trong 6h thì được công việc nên 3. + 6. = (2) 4 x y 4 1 1 1 1 1 =  x + y = 16   x = 24   x 24 Từ (1) và (2) có hệ:  (thỏa mãn) ⇔ ⇔  y = 48 3. 1 + 6. 1 = 1 1 = 1  x  y 48 y 4

ẠO

H Ư

TR ẦN

10 00

Í-

-L

IỄ N

ÀN

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

ĐÁP ÁN – LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1 a. Ta có: Điều kiện: a > 0, a ≠ 1, a ≠ 4 a − ( a − 1) ( a + 1)( a − 1) − ( a + 2)( a − 2) P= : a ( a − 1) ( a − 2)( a − 1)

Vậy thời gian để mỗi người làm một mình xong công việc là 24h và 48h Câu 4

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ă N

CĂ˘u 5 Ă p dáťĽng báşĽt Ä‘áşłng tháťŠc Bunhiacopxki cho 2 báť™ sáť‘ (1;1) vĂ

(

A2 = 1. x âˆ’ 1 + 1. y âˆ’ 2

(

)

x âˆ’ 1; y âˆ’ 2 ta cĂł

) â‰¤ (1 + 1 ) ( x âˆ’ 1 + y âˆ’ 2 ) = 2 ( x + y âˆ’ 3) = 2 â‡’ A â‰¤ 2

Diáť…n Ä‘Ă n háť— tráťŁ giĂĄo dáťĽc : Ä?/C 1000B Tráş§n HĆ°ng Ä?áşĄo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuáşĽn - Cháť§ quáşŁn tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

áş O

Ă?-

Ă“

10 00

TR áşŚN

H ĆŻ

Ä?

a. VĂŹ C lĂ Ä‘iáťƒm chĂnh giáťŻa cung AB nĂŞn OC AB. ME lĂ tiáşżp tuyáşżn cáť§a (O) â‡’ ME MO => OHE = OME = 90o => OHME lĂ táťŠ giĂĄc náť™i tiáşżp (1) b. CĂł gĂłc náť™i tiáşżp cháşŻn náťa Ä‘Ć°áť?ng trĂ˛n AMB = 90o => AMH + AOH = 180o â‡’ OHMA lĂ táťŠ giĂĄc náť™i tiáşżp (2) TáťŤ (1) vĂ (2) â‡’ 5 Ä‘iáťƒm O, H, M, E, A cĂšng thuáť™c 1 Ä‘Ć°áť?ng trĂ˛n â‡’ OMEA lĂ táťŠ giĂĄc náť™i tiáşżp => EAO = 180o â€“ EMO = 90o TáťŠ giĂĄc OHEA cĂł 3 gĂłc vuĂ´ng nĂŞn lĂ hĂŹnh cháťŻ nháşt. â‡’ EH = OA = R. c. Gáť?i I lĂ trung Ä‘iáťƒm BC â‡’ Ä‘Ć°áť?ng trĂ˛n (I), Ä‘Ć°áť?ng kĂnh BC lĂ Ä‘Ć°áť?ng trĂ˛n ngoáşĄi tiáşżp âˆ† OBC Gáť?i J lĂ giao cáť§a (I) vĂ BH. VĂŹ OM = OB nĂŞn âˆ† OMB cĂ˘n táşĄi O => OMB = OBM VĂŹ MK OC â‡’ MK // AB â‡’ OBM = KMB Suy ra OMB = KMB â‡’ MJ lĂ phĂ˘n giĂĄc cáť§a gĂłc OMK (3) VĂŹ OJCB lĂ táťŠ giĂĄc náť™i tiáşżp nĂŞn JOC = JBC (4) CĂł MOC = 2.MBC (gĂłc áť&#x; tĂ˘m vĂ gĂłc náť™i tiáşżp) (5) TáťŤ (4) vĂ (5) â‡’ MOC = 2.JOC = MOJ = JOC = OJ lĂ phĂ˘n giĂĄc gĂłc MOC (6) TáťŤ (3) vĂ (6) â‡’ J lĂ tĂ˘m Ä‘Ć°áť?ng trĂ˛n náť™i tiáşżp tam giĂĄc MKO Váşy Ä‘Ć°áť?ng trĂ˛n (I) Ä‘i qua tĂ˘m Ä‘Ć°áť?ng trĂ˛n náť™i tiáşżp âˆ† MKO

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

U Y

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DáşĄyKĂ¨mQuyNhĆĄn

Iáť„ N

Ä?

Ă€N

3 ďŁą ďŁą1 x âˆ’1 x= ďŁ´ = x âˆ’ 1 = y âˆ’ 2 ďŁą ďŁ´ ďŁ´ 2 DáşĽu báşąng xáşŁy ra khi vĂ cháť‰ khi ďŁ˛1 â‡”ďŁ˛ yâˆ’2 â‡” ďŁ˛ ďŁłx + y = 4 ďŁ´ ďŁ´y = 5 ďŁłx + y = 4 ďŁ´ďŁł 2 Váşy GTLN cáť§a A lĂ 2

Ä?Ăłng gĂłp PDF báť&#x;i GV. Nguyáť…n Thanh TĂş

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

SỞ GD & ĐT HOÀ BÌNH

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ NĂM HỌC 2015-2016 ĐỀ THI MÔN TOÁN (DÀNH CHO CHUYÊN TOÁN) Ngày thi: 07 tháng 6 năm 2015 Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm có 01 trang, 05 câu)

2 −2

.Q TP ẠO

2 −1 +

2 −1

2 +2

b) B =

H Ư

TR ẦN

a2 − a a2 + a C= − + a +1 a + a +1 a − a +1 Câu II (2,0 điểm) 1 1 1 1 1) Giải phương trình: + = + 3x − 1 2 x + 4 9 x − 2 5 − 4 x

2) Rút gọn biểu thức:

-L

Í-

10 00

x + y = z 2) Tìm nghiệm nguyên dương của hệ phương trình:  3 3 2 x + y = z Câu III (2,0 điểm) Một vận động viên A chạy từ chân đồi đến đỉnh đồi cách nhau 6km với vận tốc 10km/h rồi chạy xuống dốc với vận tốc 15km/h. Vận động viên B chạy từ chân đồi lên đỉnh đồi với vận tốc 12km/h và gặp vận động viên A đang chạy xuống. Hỏi điểm hai người gặp nhau cách đỉnh đồi bao nhiêu ki-lô-mét, biết rằng B chạy sau A là 15 phút. Câu IV (3,0 điểm) Cho nửa đường tròn đường kính AB và dây MN có độ dài bằng bán kính (M thuộc cung AN, M khác A, N khác B). Các tia AM và BN cắt nhau tại I, các dây AN và BM cắt nhau tại K. 1) Chứng minh rằng: IK vuông góc với AB. 2) Chứng minh rằng:AK.AN+BK.BM=AB2 3) Tìm vị trí của dây MN để diện tích tam giác IAB lớn nhất. Câu V (1,0 điểm) 1) Chứng minh rằng nếu p và (p+2) là hai số nguyên tố lớn hơn 3 thì tổng của chúng chia hết cho 12.  x > 0, y > 0, z > 0 1 1 1 + + ≤1 2) Cho  .Chứng minh rằng: x + y +1 y + z +1 z + x +1  xyz = 1 -------- Hết --------

IỄ N

ÀN

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Câu I (2,0 điểm) 1) Tính giá trị của các biểu thức sau: 4 8 15 a) A = − + 3 + 5 1+ 5 5

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

ĐỀ CHÍNH THỨC

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

H Ư

ẠO

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ NĂM HỌC 2015-2016 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN (DÀNH CHO CHUYÊN TOÁN) (Hướng dẫn chấm này gồm có 03 trang)

2 − 1 + 1) 2 + (

2 −2

0,5đ

2 −1

2 − 1 − 1) 2

-L

2 −1 +1 +1 −

2 −1

a2 − a a2 + a − + a +1 a + a +1 a − a +1

ÀN

= (

2 −1 +

2+2

Í-

IỄ N

0,5đ

4(3 − 5) 8(1 − 5) 15 5 − + = 3− 5 + 2 − 2 5 +3 5 = 5 4 5 −4

Điểm

10 00

Nội dung

TR ẦN

Câu I (2,0 điểm) Phần ý 1 4 8 15 A= − + 3 + 5 1+ 5 5

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

SỞ GD & ĐT HOÀ BÌNH

a ( a )3 − 1 a + a +1

−

a ( a )3 + 1 a − a +1

= a ( a − 1) − a ( a + 1) + a + 1

(DK : a ≥ 0)

0,5đ

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

Họ và tên thí sinh: ............................................. Số báo danh: ......................... Phòng thi: ....... Giám thị 1 (Họ và tên, chữ ký): ................................................................................................... Giám thị 2 (Họ và tên, chữ ký): ...................................................................................................

+ a +1

0,5đ

= a − a − a − a + a +1 = ( a − 1) 2

Câu II (2,0 điểm)

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Nội dung

Điểm 0,25đ

1 1 1 1 1 2 5 + = + : ĐK: x ≠ , x ≠ −2, x ≠ , x ≠ 3x − 1 2 x + 4 9 x − 2 5 − 4 x 3 9 4 5x + 3 5x + 3 Ta có pt: = (3 x − 1)(2 x + 4) (9 x − 2)(5 − 4 x)

0,5đ

0,25đ

<=> 2( x 2 − xy + y 2 − x − y ) = 0

<=> ( x − y ) 2 + ( x − 1) 2 + (y − 1) 2 = 2

Vì x, y nguyên dương nên x+y > 0, ta có: x 2 − xy + y 2 − x − y = 0

0,25đ

10 00

Vì x, y nguyên nên có 3 trường hợp: x − y = 0  + Trường hợp 1: ( x − 1) 2 = 1 <=> x = y = 2, z = 4  2 ( y − 1) = 1

0,25đ

-L

Í-

x −1 = 0  + Trường hợp 2: ( x − y ) 2 = 1 <=> x = 1, y = 2, z = 3  2 ( y − 1) = 1

ÀN

 y −1 = 0  + Trường hợp 3: ( x − y ) 2 = 1 <=> x = 2, y = 1, z = 3  2 (x − 1) = 1

0,25đ Điểm

IỄ N

Vậy hệ có 3 nghiệm (1,2,3);(2,1,3);(2,2,4) Câu III (2,0 điểm) Phần Nội dung ý Gọi điểm 2 vận động viên gặp nhau cách đỉnh đồi x km (x>0) 1 6− x Thời gian B đã chạy là . Đổi 15p = (giờ) 12 4

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

TP ẠO Đ G N

Ta có: x3 + y 3 = ( x + y ) 2 <=> ( x + y )( x 2 − xy + y 2 − x − y ) = 0

TR ẦN

H Ư

3   x = − 5 (TM )  6 <=>  x = (TM )  7   x = 1 (TM )  6 Vậy phương trình đã có có 3 nghiệm phân biệt như trên.

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

U Y

3 −3   x=− x=   <=> <=> 5 5  2  2 6 x + 12 x − 2 x − 4 = −36 x + 45 x + 8 x − 10 (3 x − 1)(2 x + 4) = (9 x − 2)(5 − 4 x)

0,25đ

Phần ý 1

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

0,25đ 0,25đ

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

0,25đ

6 3 = (giờ) 10 5 x Thời gian A đã chạy từ đỉnh đồi đến chỗ gặp nhau là . 15 1 6− x x 3 = + Ta có phương trình + 4 12 15 5 Giải phương trình được x= 1(km) . KL Câu IV (3,0 điểm) Phần Nội dung ý Thời gian A đã chạy từ chân đồi đến đỉnh đồi là

0,25đ

0,5đ

TP ẠO Đ G N H Ư TR ẦN B 10 00 A

-L

Í-

Ta thấy AN⊥ BI ,BM ⊥AI , nên K là trực tâm tam giác IAB. Do đó IK⊥ AB Vì ∆AEK∽ ∆ANB ∽ nên AK. AN =AE .AB Tương tự vì ∆BEK∽ ∆BMA ∽ nên BK .BM =BE. BA Vậy AK.AN+BK.BM=AE.AB+BE.BA=AB2 Chỉ ra sđ MN=60o nên tính được AIB=60o , do đó điểm I thuộc cung chứa góc 60o dựng trên 3 đoạn AB. Diện tích tam giác IAB lớn nhất khi IE lớn nhất (IE là đường cao của tam giác IAB), khi đó I nằm chính giữa cung chứa góc 60o dựng trên đoạn AB tương ứng với MN song song với AB. Câu V (1,0 điểm) Phần Nội dung ý Ta có: p+(p+2)=2(p+1) 1 Vì p lẻ nên ( p + 1)⋮ 2 => 2( p + 1)⋮ 4 (1)

1,0đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ

Điểm 0,25đ

IỄ N

ÀN

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

1 2

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

Điểm

U Y

0,5đ

Vì p, (p+1), (p+2) là 3 số tự nhiên liên tiếp nên có ít nhất một số chia hết cho 3, mà p và (p+2) nguyên tố nên ( p + 1)⋮ 3 (2)

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

0,25đ

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Từ (1) và (2) suy ra [ p + ( p + 2)]⋮12 (đpcm)

0,25đ

ẠO Đ

0,25đ

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

Tương tự ta có 1 a ≤ y + z +1 a + b + c 1 b ≤ z + x +1 a + b + c Cộng 3 bất đẳng thức trên theo vế ta có đpcm. * Chú ý: Các lời giải đúng khác đều được xem xét cho điểm tương ứng.

Do đó 1 c ≤ x + y +1 a + b + c

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

a+b+c c

U Y

x + y + 1 = a 3 + b3 + 1 = (a + b)(a 2 − ab + b 2 ) + 1 ≥ (a + b)ab + 1 = ab(a + b + c) =

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

Ta có

 x = a3   x, y , z > 0  a , b, c > 0 Đặt  y = b3 , vì  =>   xyz = 1 abc = 1  z = c3 

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG NĂM HỌC 2015-2016 Môn Toán (Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán) Thời gian àm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi có 01 trang -------------------------------

ẠO

2(3 − 5)

H Ư

2(3 + 5)

a) Rút gọn biểu thức: A =

Câu 2 (2,0 điểm)

Câu 3 (2,0 điểm)

10 00

 x3 + xy 2 − 10 y = 0 b) Giải hệ phương trình:  2 2  x + 6 y = 10 Câu 4 (3,5 điểm)

a) Giải phương trình: x 2 − x − 4 = 2 x − 1(1 − x)

TR ẦN

2 2 + 3+ 5 2 2 − 3− 5 b) Tìm m để phương trình: ( x − 2)( x − 3)( x + 4)( x + 5) = m có 4 nghiệm phân biệt.

-L

Í-

Cho đường tròn (O; R) và dây cung BC = R 3 cố định. Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn. Gọi E là điểm đối ứng với B qua AC và F và điểm đối ứng với C qua AB. Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABE và ACF cắt nhau tại K (K không trùng A). Gọi H là giao điểm của BE và CF. a) Chứng minh KA là phân giác trong góc BKC và tứ giác BHCK nội tiếp. b) Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác BHCK lớn nhất, tính diện tích lớn nhất của tứ giác đó theo R. c) Chứng minh AK luôn đi qua một điểm cố định. Câu 5 (1,0 điểm) 1 1 1 Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn: 2 + 2 + 2 = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x y z

ÀN

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Câu 1 (1,5 điểm) a) Chứng minh rằng nếu số nguyên n lớn hơn 1 thoả mãn n2 + 4 và n2 +16 là các số nguyên tố thì n chia hết cho 5. b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x 2 − 2 y ( x − y ) = 2( x + 1)

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

IỄ N

y2 z2 z2 x2 x2 y2 + + x( y 2 + z 2 ) y(z 2 + x 2 ) z(x 2 + y 2 ) -------------- HẾT-------------Họ và tên thí sinh: .............................................................................Số báo danh: ............... Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. P=

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀOTẠO PHÚ THỌ ĐỀ CHÍNH THỨC

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ẠO

H Ư

TR ẦN

10 00

Nội dung

Điểm 0,25

a) (0,5 điểm) Ta có với mọi số nguyên m thì m2 chia cho 5 dư 0 , 1 hoặc 4. + Nếu n2 chia cho 5 dư 1 thì n 2 = 5k + 1 => n 2 + 4 = 5k + 5⋮ 5; k ∈ N * . Nên n2+4 không là số nguyên tố

Í-

Nếu n2 chia cho 5 dư 4 thì n 2 = 5k + 4 => n 2 + 16 = 5k + 20⋮ 5; k ∈ N * . 2

0,25

-L

Nên n +16 không là số nguyên tố. Vậy n2 ⋮ 5 hay n ⋮ 5 b) (1,0 điểm) 2 x − 2 y ( x − y ) = 2( x + 1) <=> x 2 − 2( y + 1) x + 2( y 2 − 1) = 0(1)

0,25

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

I. Một số chú ý khi chấm bài •Hướng dẫn chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách, khi chấm thi, cán bộ chấm thi cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp lô-gic và có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm. •Thí sinh làm bài theo cách khác với Hướng dẫn mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với thang điểm của Hướng dẫn chấm. • Điểm bài thi là tổng điểm các câu không làm tròn số. II. Đáp án-thang điểm Câu 1 (1,5 điểm) a) Chứng minh rằng nếu số nguyên n lớn hơn 1 thoả mãn n2 + 4 và n2 +16 là các số nguyên tố thì n chia hết cho 5. b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x 2 − 2 y ( x − y ) = 2( x + 1)

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG NĂM HỌC 2015-2016 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN (Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán) (Hướng dẫn chấm gồm 05 trang)

ÀN

Để phương trình (1) có nghiệm nguyên x thì ∆' theo y phải là số chính phương 0,25

Ta có ∆ ' = y 2 + 2 y + 1 − 2 y 2 + 2 = − y 2 + 2 y + 3 = 4 − ( y − 1)2 ≤ 4

IỄ N

∆'chính phương nên ∆’ ∈ {0;1;4} + Nếu ∆ ' = 4 => ( y − 1) 2 = 0 <=> y = 1 thay vào phương trình (1) ta có :

0,25

x = 0 x 2 − 4 x = 0 <=> x(2 − 4) <=>  x − 4 + Nếu ∆ ' = 1 => ( y − 1) 2 = 3 <=> y ∉ Z .

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

y = 3 + Nếu ∆ ' = 0 => ( y − 1) 2 = 4 <=>   y = −1 0,25

+ Với y = 3 thay vào phương trình (1) ta có: x 2 − 8 x + 16 = 0 <=> ( x − 4) 2 = 0 <=> x = 4

+ Với y = -1 thay vào phương trình (1) ta có: x 2 = 0 <=> x = 0 Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm nguyên : ( x; y ) ∈ {(0;1);(4;1);(4;3);(0;-1)}

ẠO

2(3 − 5)

4− 6−2 5

   3+ 5 3− 5  3+ 5 3− 5  = 2 =2 +  5 + 5 + 5 − 5   4 + ( 5 + 1) 2 4 − ( 5 − 1)2   

4+ 6+2 5

0,25

2(3 + 5)

H Ư

0,25

0,25 0,25

0,25

10 00

TR ẦN

 (3 + 5)(5 − 5) + (3 − 5)(5 + 5)   15 − 3 5 + 5 5 − 5 + 15 + 3 5 − 5 5 − 5  =2   = 2  25 − 5 (5 + 5)(5 − 5)     20 = 2. = 2 20 Vậy A=2 b) (1,0 điểm) Phương trình ( x − 2)( x − 3)( x + 4)( x + 5) = m

Í-

<=> ( x 2 + 2 x − 8)( x 2 + 2 x − 15) = m(1)

Đặt x 2 + 2 x + 1 = ( x + 1) 2 = y ( y ≥ 0) phương trình (1) trở thành:

0,25

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

a) (1,0 điểm)

ÁN

( y − 9)( y − 16) = m <=> y 2 − 25 y + 144 − m = 0(2)

ÀN

Nhận xét: Với mỗi giá trị y > 0 thì phương trình: (x+1)2=y có 2 nghiệm phân biệt, do đó phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt⇔ phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt. 0,25

−49 < n < 144 thì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt. 4 Câu 3 (2,0 điểm)

0,25

IỄ N

∆ ' > 0 ∆ ' = 4m + 49 > 0 −49    S > 0 <=> 25 > 0 <=> < n < 144 4 P > 0 144 − m > 0  

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

2 2 + 3+ 5 2 2 − 3− 5 b) Tìm m để phương trình: ( x − 2)( x − 3)( x + 4)( x + 5) = m có 4 nghiệm phân biệt.

U Y

2(3 − 5)

2(3 + 5)

a) Rút gọn biểu thức: A =

Câu 2 (2,0 điểm)

Vậy với

a)Giải phương trình: x 2 − x − 4 = 2 x − 1(1 − x)

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

3 2  x + xy − 10 y = 0 b)Giải hệ phương trình:  2 2  x + 6 y = 10

Nội dung

Điểm 0,25

a) (1,0 điểm) Điều kiện: x ≥ 1(*) x 2 − x − 4 = 2 x − 1(1 − x)

<=> x 2 + 2 x x − 1 + x − 1 − 2( x + x − 1) − 3 = 0

0,25 0,25

H Ư

ẠO

 y = −1 y 2 − 2 y − 3 = 0 <=> ( y + 1)( y − 3) = 0 <=>  y = 3 +Với y = −1 không thỏa mãn điều kiện (**). + Với y = 3 ta có phương trình:

0,25

10 00

TR ẦN

x ≤ 3 x ≤ 3 x ≤ 3  <=>  2 <=>   x = 2 <=> x = 2 x + x − 1 = 3 <=> x − 1 = 3 − x <=>  2 x −1 = 9 − 6x + x  x − 7 x + 10 = 0  x = 5  thỏa mãn điều kiện (*). Vậy phương trình có nghiệm x = 2. b) (1,0 điểm)  x + xy − 10 y = 0  x + xy − ( x + 6 y ) y = 0 (1) <=>  2  2 2 2 (2)  x + 6 y = 10  x + 6 y = 10 3

0,25

Ó H Í-

<=> x3 + xy 2 − x 2 y − 6 y 3 = 0

Từ phương trình (1) ta có: x3 + xy 2 − (x 2 + 6 y 2 ) y = 0

<=> x3 − 2 x 2 y + x 2 y − 2 xy 2 + 3 xy 2 − 6 y 3 = 0

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Đặt x + x − 1 = y ( y ≥ 1)(**) , phương trình trở thành y 2 − 2 y − 3 = 0

ÁN

<=> ( x − 2 y )( x 2 + xy + 3 y 2 ) = 0

0,25

ÀN

x = 2y <=>  2 2  x + xy + 3 y = 0

0,25

IỄ N

11 y 2 y = 0 => x = y = 0 + Trường hợp 1: x 2 + xy + 3 y 2 = 0 <=> ( x + )2 + 2 4 V i x= y = 0 không thỏa mãn phương trình (2). + Trường hợp 2: x =2y thay vào phương trình (2) ta có:  y = 1 => x = 2 4 y 2 + 8 y 2 = 12 <=> y 2 = 1 <=>   y = −1 => x = −2 Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm ( x; y ) ∈ {(2;1); (−2; −1)}

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

Ta có:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 4 (3,5 điểm)

ÀN

0,25

IỄ N

0,25

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

ẠO Đ G N H Ư TR ẦN B 10 00 A Ó H

0,5

-L

Í-

a) (1,5 điểm) Ta có AKB =AEB (vì cùng chắn cung AB của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEB) Mà ABE =AEB (tính chất đối ứng) suy ra AKB= ABE (1) AKC= AFC (vì cùng chắn cung AC của đường tròn ngoại tiếp tam giác AFC) ACF= AFC (tính chất đối xứng) suy ra AKC= ACF (2) Mặt khác ABE =ACF (cùng phụ với BAC ) (3). Từ (1), (2) , (3) suy ra AKB= AKC hay KA là phân giác trong của góc BKC. Gọi P, Q lần lượt là các giao điểm của BE với AC và CF với AB. 1 Ta có BC = R 3 nên BOC=120o ; BAC = BOC = 60o . Trong tam giác vuông ABP có 2 o o o APB=90 ;BAC=60 =>APB=30 hay ABE=ACF=30o Tứ giác APHQ có AQH +APH=180o=> PAQ+ PHQ=180o=> PHQ=120o=> BHC=120o (đối đỉnh). Ta có AKC= ABE= 300 , AKB= ACF= ABE= 300 (theo chứng minh phần a).

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

U Y

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

0,25 0,25

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Mà BKC =AKC +AKB= AFC+ AEB =ACF +ABE = 600 suy ra BHC+ BKC =1800 nên tứ giác BHCK nội tiếp. b) (1,5 điểm)

0,25

H Ư

TR ẦN

0,25 0,25

0,25

10 00

0,25

Í-

y2 z2 z2 x2 x2 y2 + + x( y 2 + z 2 ) y(z 2 + x 2 ) z(x 2 + y 2 )

1 1 1 + + 1 1 1 1 1 1 x( 2 + 2 ) y ( 2 + 2 ) z ( 2 + 2 ) z y z x x y

Điểm 0,25

0,25

1 1 1 = a; = b; = c thì a,b,c>0 và a2+b2+c2=1 x y z

IỄ N

Đặt

Nội dung

ÀN

Ta có: P =

ÁN

-L

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

ẠO

0,25

1 R 3.2.R = R 2 3 2 Khi HK là đường kính của đường tròn (O’) thì M, I, N trùng nhau suy ra I là trung điểm của BC nên ∆ABC cân tại A. Khi đó A là điểm chính giữa cung lớn BC. c) (0,5 điểm) Ta có BOC=120o ;BKC =60o suy ra BOC +BKC =1800 nên tứ giác BOCK nội tiếp đường tròn. Ta có OB=OC=R suy ra OB= OC=> BKO= CKO hay KO là phân giác góc BKC theo phần (a) KA à phân giác góc BKC nên K ,O, A thẳng hàng hay AK đi qua O cố định Câu 5 (1,0 điểm) 1 1 1 Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn: 2 + 2 + 2 = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x y z Giá trị lớn nhất S BHCK =

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

U Y

Gọi (O’) là đường tròn đi qua bốn điểm B, H,C, K. Ta có dây cung BC = R 3 BKC=60o= BAC nên bán kính đường tròn (O’) bằng bán kính R của đường tròn (O). Gọi M là giao điểm của AH và BC thì MH vuông góc với BC, kẻ KN vuông góc với BC (N thuộc BC), gọi I là giao điểm của HK và BC. Ta có 1 1 1 S BHCK = S BHC + S BCK = BC.HM + BC.KN = BC.( HM + KN ) 2 2 2 1 1 S BHCK ≤ BC ( HI + KI ) = BC.KH(Do HM ≤ HI;KN ≤ KI) 2 2 Ta có KH là dây cung của đường tròn (O’; R) suy ra KH ≤ 2R (không đổi) Nên S BHCK lớn nhất khi KH= 2R và HM+ KN= HK =2R .

0,5

a b c a2 b2 c2 + + = + + b 2 + c 2 c 2 + a 2 a 2 + b 2 a (1 − a 2 ) b(1 − b 2 ) c(1 − c 2 )

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương ta có:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

0,25

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

1 1  2a 2 + 1 − a 2 + 1 − a 2  4 a 2 (1 − a 2 ) 2 = .2a 2 (1 − a 2 )(1 − a 2 ) ≤  = 2 2 3  27 3 3

<=>

a2 3 3 2 ≥ a (1) 2 a (1 − a ) 2

b2 3 3 2 c2 3 3 2 ≥ b (2); ≥ c (3) Tương tự: 2 2 b(1 − b ) 2 c(1 − c ) 2

U Y

3 3 2 3 3 (a + b2 + c 2 ) = 2 2 1 Đẳng thức xảy ra a = b = c = hay x = y = z = 3 3

.Q TP Đ

ẠO

3 3 2

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là

0,25

IỄ N

ÀN

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Từ (1); (2); (3) ta có P ≥

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

=> a (1 − a 2 ) ≤

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN

KHÁNH HOÀ

NĂM HỌC 2015-2016

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Môn thi: TOÁN (KHÔNG CHUYÊN)

(Đề thi có 01 trang)

Ngày thi: 04/6/2015

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ẠO

x y− y−y x+ x

1 + xy

TR ẦN

Bài 2. (2,00 điểm)

H Ư

2) Tính giá trị của M, biết rằng x = (1 − 3)2 và y = 3 − 8

1) Tìm điều kiện xác định và rút gọn M.

10 00

4 x − 3 y = 4 1) Không dùng máy tính cầm tay, giải hệ phương trình:  2 x + y = 2

2) Tìm giá trị của m để phương trình x2 – mx + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn hệ thức ( x1 + 1) 2 + ( x2 + 1) 2 = 2

Bài 3. ( 2,00 điểm)

Í-

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho parabol (P): y = - x2

ÁN

1) Vẽ parabol (P).

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Cho biểu thức M =

Bài 1. ( 2.00 điểm)

ÀN

2) Xác định toạ độ các giao điểm A, B của đường thẳng (d): y = -x – 2 và (P). Tìm toạ điểm M trên (P) sao cho tam giác MAB cân tại M.

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

(Thời gian: 120 phút – không kể thời gian giao đề)

Bài 4. (4,00 điểm)

IỄ N

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC). Hai đường tròn (B; BA) và (C; CA) cắt nhau tại điểm thứ hai là D. Vẽ đường thẳng a bất kì qua D cắt đường tròn (B) tại M và cắt đường tròn (C) tại N ( D nằm giữa M và N). Tiếp tuyến tại M của đường tròn (B) và tiếp tuyến tại N của đường tròn (C) cắt nhau tại E. 1) Chứng minh BC là tia phân giác của ABD 2) Gọi I là giao điểm của AD và BC. Chứng minh: AD2 = 4BI.CI

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

3) Chứng minh bốn điểm A, M, E, N cùng thuộc một đường tròn. 4) Chứng minh rằng số đo MEN không phụ thuộc vị trí của đường thẳng a.

TP ẠO Đ

I. Hướng dẫn chung

TR ẦN

H Ư

1)Hướng dẫn chấm chỉ trình bày các bước chính của lời giải hoặc nêu kết quả. Trong bài làm, thí sinh phải trình bày lập luận đầy đủ. 2) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần như hướng dẫn quy định. 3) Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) phải đảm bảo không làm thay đổi tổng số điểm của mỗi câu, mỗi ý trong hướng dẫn chấm và được thống nhất trong Hội đồng chấm thi. 4) Các điểm thành phần và điểm cộng toàn bài phải giữ nguyên không được làm tròn.

10 00

II. Đáp án và thang điểm

1 + xy

-L

x y−y x+ x− y

ÁN

1 + xy

xy ( x − y ) + ( x − y )

ÀN

1 + xy

(1 + xy )( x − y ) 1 + xy

IỄ N

Í-

a ) DK : x ≥ 0; y ≥ 0 M=

x y− y−y x+ x

Bài 1:

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

HƯỚNG DẪN CHẤM (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

----- HẾT -----

= x− y

b)Với x = (1 − 3)2 và y = 3 − 8 = 3 − 2 2 = ( 2 − 1) 2

M = (1 − 3)2 − ( 2 − 1) 2 = 3 − 1 − 2 + 1 = 3 − 2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Bài 2: a)

x = 1 4 x − 3 y = 4 4 x − 3 y = 4 5 y = 0  y = 0 <=> <=> <=> <=>      y = 0  x = 1 2 x + y = 2 4 x + 2 y = 4 2 x + y = 2

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì: m2 – 4 ≥ 0 ⇔ m≥2 hoặc m≤-2

Theo hệ thức Viet, ta có: x1 + x2 = m; x1.x2 = 1

ẠO Đ

x12 + 2 x1 + 1 + x2 2 + 2 x2 + 1 = 2

<=> ( x1 + x2 ) 2 + 2( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 = 0

H Ư

<=> m 2 + 2m − 2 = 0

TR ẦN

 m = 3 − 1( L) <=>   m = − 3 − 1(TM )

10 00

Vậ y m = − 3 − 1

Bài 3:

a)Vẽ đồ thị y = -x2

TXĐ: D = R

Tính biến thiên:

ÁN

Trục đối xứng: x = 0

Í-

Tọa độ đỉnh: I(0;0)

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Ta có: (x1 + 1)2 + (x2 + 1)2 = 2.

IỄ N

BBT:

ÀN

Hàm số đồng biến trên (-∞;0) và nghịch biến trên (0;+∞).

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

b) ∆ = (-m)2- 4.1.1= m2 – 4

Bảng giá trị

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

-1

10 00

Hoành độ các giao điểm A, B của đường thẳng (d): y = -x – 2 và (P) là nghiệm của phương trình: – x2 = – x – 2 ⇔ ξ2 – x – 2 =0 ⇔ ξ= −1 hoặc x = 2 + Với x = -1, thay vào (P), ta có: y = –(-1)2 = -1, ta có: A(-1; -1)

+ Với x = 2, thay vào (P), ta có: y = –(2)2 = -4, ta có: B(2; -4)

Í-

1 −5 Suy ra trung điểm của AB là: I ( ; ) 2 2

ÀN

ÁN

Đường thẳng (d’) vuông góc với (d) có dạng: y = x + b; −5 1 = + b <=> b = −3 Vì (d’): y = x + b đi qua I nên: 2 2 Vậy (d’): y = x -3

IỄ N

Phương trình hoành độ của (d’) và (P) là: x2 + x - 3 = 0 <=> x =

−1 − 13 −7 − 13 => y = 2 2

+Với x =

−1 + 13 −7 + 13 => y = 2 2

+ Với x =

Vậy có hai điểm M cần tìm là: (

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

ẠO Đ G N H Ư TR ẦN

b) HD: Viết pt đường trung trực (d’) của AB, tìm giao điểm của (d’) và (P), ta tìm được hai điểm M.

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

U Y

−1 ± 13 2

−1 − 13 −7 − 13 −1 + 13 −7 + 13 ; ) và ( ; ) 2 2 2 2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

AD 2 = BI .CI => AD 2 = 4 BI .CI 4 c) Ta có: DME=DAM (hệ quả t/c góc tạo bởi tia tuyến và dây cung) DNE =DAN (hệ quả t/c góc tạo bởi tia tuyến và dây cung) Suy ra: DME+ DNE=DAM+DAN Trong ∆MNE có: MEN+EMN+ENM = 180o , suy ra: MEN+DAM+DAN = 180o Hay: MEN+MAN =180o ⇒ tứ giác AMEN nội tiếp. d) Trong ∆AMN có: MAN+AMN+ANM = 180o , mà: MEN+MAN =180o suy ra: MEN=AMN+ANM 1 1 Ta lại có: AND = ACB = ACD, AMD = ABC = ABD (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn một cung) 2 2 o Mà: ∆ABC vuông tại A nên: MEN = 90 (không đổi) Vậy số đo góc MEN không phụ thuộc vào đường thẳng a. ----------------------------HẾT-----------------------------

-L

Í-

Xét ∆ABC vuông tại A (gt) có: AI⊥BC, suy ra: AI2 = BI.CI hay:

IỄ N

ÀN

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

ẠO Đ G N H Ư TR ẦN H

10 00

a) C/m: ∆ABC = ∆DBC (ccc) ⇒ ABC=DBC hay: BC là phân giác của ABD b) Ta có: AB = BD (=bk(B)) CA = CD (=bk(C)) Suy ra: BC là trung trực của AD hay BC ⊥ AD ⇒AI⊥B Ta lại có: BC ⊥ AD tại I ⇒ IA = ID (đlí)

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

U Y

Bài 4:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC 2015 – 2016 Môn: TOÁN (Dành cho tất cả các thí sinh) Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 12 tháng 6 năm 2015

.Q TP ẠO Đ G N

TR ẦN

H Ư

a a  a +1  + (a > 0, a ≠ 4) Cho biểu thức: M =  : a −2 a−4 a +4 a−2 a a) Rút gọn biểu thức M. b) Tìm tất cả các giá trị của a để M ≤ 0. Câu 2: (2,5 điểm) 3  2 + =3 x  y  a) Giải hệ phương trình:  x − 2 = 5  y

b) Cho phương trình: x 2 + 2(m − 2) − m 2 = 0 , với m là tham số. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân việt x1;x2 thỏa mãn x1 < x2 ;| x1 | − | x 2 |= 6 Giải phương trình: 5 x 3 + 1 = 2( x 2 + 2)

10 00

Câu 3: (1,5 điểm)

-L

Í-

Câu 4: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A và (C) là đường tròn tâm C bán kính CA. Lấy điểm D thuộc đường tròn (C) và 1 nằm trong tam giác ABC. Gọi M là điểm trên cạnh AB sao cho BDM = ACD ; N là giao điểm của đường 2 thẳng MD với đường cao AH của tam giác ABC; E là giao điểm thứ hai của đường thẳng BD với đường tròn (C). Chứng minh rằng: a) MN song song với AE. b) BD.BE = BA2 và tứ giác DHCE nội tiếp. c) HA là đường phân giác của góc DHE và D là trung điểm của đoạn thẳng MN. Câu 5: (1,0 điểm) Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn: x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x y z S= + + 2 2 1 + y 1 + z 1 + x2 ----HẾT----

IỄ N

ÀN

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Câu 1: (2,0 điểm)

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA ĐỀ CHÍNH THỨC

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

ẠO

 a a  a +1 = + : a − 2  ( a − 2)2  a ( a − 2)

= a ( a − 2) = a − 2 a b/ Tìm tất cả các giá trị của a để M ≤ 0

a ≥ 0)

TR ẦN

M ≤ 0 => a ( a − 2) ≤ 0 => a − 2 ≤ 0(do

H Ư

 a a  ( a − 2) 2 a ( a + 1) ( a − 2) 2 =  + . = .  a − 2  a +1 a −2 a +1  a −2

10 00

=> a ≤ 2 => a ≤ 4 Kết hợp điều kiện : Với 0 < a < 4 thì M ≤ 0. Không xảy ra dấu = vì a ≠ 0 và a ≠ 4. a/ Giải hệ phương trình 3  2 x + y = 3 1  Điều kiện: y ≠ 0. Đặt = t ta có hệ phương trình  y x − 2 = 5  y

Í-

-L

2 x + 3t = 3  2 x + 3t = 3 −7t = 7 t = −1 <=>  <=>  <=>    x − 2t = 5(2)  2 x − 4t = 10  x − 2t = 5 x = 3 1 Với t = −1 => = −1 => y = −1 y

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Ơ Điểm

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

a a  a +1  M = + : a −2 a−4 a +4 a−2 a

Câu 2

Câu Câu 1

U Y

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI CHUYÊN LAM SƠN – MÔN TOÁN CHUNG Nội dung a/ Rút gọn biểu thức M ( a > 0 và a ≠ 4.)

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

IỄ N

ÀN

x = 3 Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất   y = −1 b/ x 2 + 2(m − 2) x − m 2 = 0 ( m là tham số)

Ta có: ∆ ' = (m − 2) 2 + m 2

(m − 2)2 ≥ 0 => ∆ ' = (m − 2) 2 + m 2 ≥ 0 Do  m ≥ 0

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

2 m = 2 (m − 2) = 0 Dấu = xảy ra khi  2 =>  => m ∈ Φ m = 0 m = 0

Vậy ∆ ' = (m − 2) 2 + m 2 > 0 Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 < x2

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

 x1 + x2 = 6 Thay vào (1) => x12 + x2 2 + 2 x1 x2 = 36 => ( x1 + x2 ) 2 = 36 =>   x1 + x2 = −6 - Nếu : x1 + x2 = 6 =>4 - 2m = 6 => m = -1

Do x1 x2 = − m 2 ≤ 0 =>| x1 x2 |= − x1 x2

- Nếu : x1 + x2 = −6 =>4 - 2m =-6 => m =5

Với m = -1, thay vào ta có phương trình ∆ ' = 10 > 0 Phương trình có 2 nghiệm x1 < x2 là

x2 = 3 + 10; x1 = 3 − 10

10 00

Với m = 5, thay vào ta có phương trình

Khi đó: | 3 − 10 | − | 3 + 10 |= −6( KTM )

TR ẦN

H Ư

x2 − 6 x − 1 = 0

x 2 + 6 x − 25 = 0

∆ ' = 34 > 0 Phương trình có 2 nghiệm x1 < x2 là

Í-

x2 = −3 + 34; x1 = −3 − 34 Vậy m = 5.

ÁN

Câu 3

-L

Khi đó : | −3 − 34 | − | −3 + 34 |= 6(TM )

Giải phương trình: 5 x 3 + 1 = 2( x 2 + 2) (Điều kiện x ≥ -1)

PT <=> 5 ( x + 1)( x 2 − x + 1) = 2( x 2 + 2)

x + 1 = a; x 2 − x + 1 = b ( a , b ≥ 0 )

ÀN

Đặt

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

 x1 + x2 = 4 − 2m Theo viet ta có :  2  x1 x2 = − m Để | x1 | − | x2 |= 6 => (| x1 | − | x2 |)2 = 36 => x12 + x2 2 − 2 | x1 x2 |= 36(1)

IỄ N

=> a 2 + b 2 = x 2 + 2. thay vào ta có PT

5ab = 2(a 2 + b 2 )

<=> (2a − b)(2b − a ) = 0 TH1: 2a-b=0=>2a=b

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

2 x +1 = x2 − x +1 => 4 x + 4 = x 2 − x + 1 <=> x 2 − 5 x − 3 = 0

∆ = 37 > 0

ẠO

2 x2 − x + 1 = x + 1

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

=> 4 x 2 − 4 x + 4 = x + 1

<=> 4 x 2 − 5 x + 3 = 0

5 + 37 5 − 37 ; x2 = 2 2

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

Vậy phương trình ban đầu có hai nghiệm : x1 =

H Ư

∆ = −23 < 0 => PTVN

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

 5 + 37 (TM )  x1 = 2 =>   5 − 37 (TM )  x2 =  2 TH2: 2b-a=0 =>2b=a

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

a/ Chứng minh MN//AE

1 ACD (góc nôi tiếp bằng nửa góc ở tâm cùng chắn cung 2

Xét đường tròn (C) ta có : AED = AD) (1)

Í-

1 ACD ( gt )(2) 2 Từ 1, 2 => AED= BDM => MN//AE (Vì có 2 góc đồng vị bằng nhau) b/ Chứng minh BD.BE = DA2 và tứ giác DHCE nội tiếp + Chứng minh BD.BE = BA2 Xét ∆BAD và ∆BEA có ABE chung (3) AD=BEA( cùng chắn cung AD) (4) Từ 3,4 => ∆BAD ~ ∆BEA (g.g) BD BA => = => BD.BE = BA2 (5) (ĐPCM) BA BE + Chứng minh DHCE nội tiếp Xét ∆BAC vuông tại A có AH là đường cao => BA2 = BH.BC (Hệ thức)

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

BDM =

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

Câu 4

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

(6)

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

BD BH (7) Mà CBE chung (8) = BC BE => ∆BDH~ ∆BCE (c.g.c) => BHD =BEC (Hai góc tương ứng) (9) Mà BHD +DHC =180o (10) Từ 9,10 => DHC+ BEC =180o => Tứ giác DHCE nội tiếp (Đ/l) (ĐPCM) c/ Chứng minh HA là đường phân giác của góc DHE và D là trung điểm của đoạn thẳng MN + Chứng minh HA là đường phân giác của góc DHE Xét ∆CHE và ∆CEB có HCE chung (11) Xét ∆BAC vuông tại A có AH là đường cao => CA2 = CH.CB (Hệ thức) CE CH Hay CE2 = CH.CB (do CE = CA = R) => (12) = CB CE Từ 11,12 => ∆CHE và ∆CEB (c.g.c) => CHE =CEB (13) Từ 9.13 => CHE= BHD => AHE= AHD (cùng phụ với 2 góc bằng nhau) => HA là đường phân giác của góc DHE + D là trung điểm của đoạn thẳng MN DM BD (talet )(14) Ta có : MD//AE (câu a) => = EA BE Gọi giao của DE và AH là F DN FD HD Ta có : = = (Ta lét – T/c tia phân giác) (15) EA FE HE DH BD Ta có : ∆HDB ~ ∆HCE (g.g) => = => DH .CE = CH .BD (16) HC CE HC HE = => HC.B E = HE.CE(17) Ta có : ∆CHE ~ ∆CEB (g.g) => => CE BE DH .CE HC.BD HD BD Từ 16,17 => (18) = => = HE.CE HC.BE HE BE DM DN Từ 14.15.18 => = => DM = DN EA EA => D là trung điểm của MN (ĐPCM) Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn : x + y + z = 3 x y z Tìm giá trị nhỏ nhất của S = + + 2 2 1 + y 1 + z 1 + x2

ÀN

Câu 5

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

Từ 5,6 => BD.BE = BH.BC=>

IỄ N

x xy 2 y yz 2 z zx 2 Ta có : + = x; + = y = x; + =z 1 + y2 1 + y2 1+ z2 1+ z2 1+ x2 1 + x2 => S =

x y z xy 2 yz 2 zx 2 ( ) ( ) + + = x + y + z − + + 1 + y 2 1 + z 2 1 + x2 1 + y 2 1 + z 2 1 + x2

xy 2 yz 2 zx 2 => S = 3 − ( + + ) 1 + y2 1+ z2 1+ x2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ta có: xy 2 xy 2 xy yz 2 yz 2 yz zx 2 zx 2 zx ≤ = ≤ = ≤ = ; ; 1 + y2 2 y 2 1 + z2 2z 2 1 + x2 2 x 2 xy 2 yz 2 zx 2 xy + yz + zx + + ≤ 2 2 2 1+ y 1+ z 1+ x 2 xy + yz + zx => S ≥ 3 − 2 Do

.Q TP ẠO Đ

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

( x + y + z ) 2 ≥ 2( xy + yz + zx) => xy + yz + zx ≤ 3 3 3 => S ≥ 3 − => S ≥ 2 2 3 => S MIN = khi x=y=z=1 2

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN Năm học 2015 - 2016 Môn: TOÁN (chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút. (Đề thi gồm: 01 trang)

ĐỀ CHÍNH THỨC

10 00

TR ẦN

H Ư

2) Giải phương trình 3( x + 1) x 2 + x + 3 − 3 x 2 − 4 x − 7 = 0. Bài 3. (3,0 điểm) Cho hai đường tròn (O1), (O2) tiếp xúc ngoài tại M. Một đường thẳng cắt đường tròn (O1) tại hai điểm phân biệt A, B và tiếp xúc với đường tròn (O2) tại E (B nằm giữa A và E). Đường thẳng EM cắt đường tròn (O1) tại điểm J khác M. Gọi C là điểm thuộc cung MJ không chứa A, B của đường tròn (O1) (C khác M và J). Kẻ tiếp tuyến CF với đường tròn (O2) (F là tiếp điểm) sao cho các đoạn thẳng CF, MJ không cắt nhau. Gọi I là giao điểm của các đường thẳng JC và EF, K là giao điểm khác A của đường thẳng AI và đường tròn (O1) . Chứng minh rằng: 1) Tứ giác MCFI là tứ giác nội tiếp và JA = JI = JE.JM 2) CI là phân giác góc ngoài tại C của tam giác ABC. 3) K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCI Bài 4. (1,0 điểm) Tìm các số tự nhiên x, y thỏa mãn ( 2 x + 1)( 2 x + 2 )( 2x + 3)( 2 x + 4 ) − 5 y = 11879.

-L

Í-

Bài 5. (1,5 điểm) 1) Trong mặt phẳng cho tập S gồm 8065 điểm đôi một phân biệt mà diện tích của mỗi tam giác có 3 đỉnh thuộc tập S đều không lớn hơn 1 (quy ước nếu 3 điểm thẳng hàng thì diện tích của tam giác tạo bởi 3 điểm này bằng 0). Chứng minh rằng tồn tại một tam giác T có diện tích không lớn hơn 1 chứa ít nhất 2017 điểm thuộc tập S (mỗi điểm trong số 2017 điểm đó nằm trong hoặc nằm trên cạnh của tam giác T) 2) Cho ba số dương a, b, c . Chứng minh bất đẳng thức 4a 2 + (b − c)2 4b 2 + (c − a ) 2 4c 2 + (a − b) 2 + + ≥ 3. 2a 2 + b 2 + c 2 2b 2 + c 2 + a 2 2c 2 + a 2 + b 2

IỄ N

ÀN

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

ẠO

x 200 y 200 2 b) 100 + 100 = a b (a + b)100 Bài 2. (2,5 điểm) 2 ( y − x)( y − x − 4) = x − 4 x 1) Giải hệ phương trình  2  x( y − 4) + 4 3 x − y = 6

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

U Y

Bài 1. (2,0 điểm) 1) Cho đa thức P ( x) = ax 2 + bx + c. Biết P ( x) chia cho x + 1 dư 3, P ( x) chia cho x dư 1 và P ( x) chia cho x – 1 dư 5. Tìm các hệ số a, b, c. x4 y 4 1 + = ; x 2 + y 2 = 1. Chứng minh rằng: 2) Cho các số a, b, x, y thỏa mãn ab ≠ 0, a + b ≠ 0, a b a+b 2 2 a) ay = bx

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

---------HẾT---------

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

Ơ H N

10 00

⇔ abx 4 + a 2 y 4 + b 2 x 4 + aby 4 − ab = 0

⇔ ab( x 4 + y 4 − 1) + (ay 2 ) 2 + (bx 2 )2 = 0(*) Mặt khác x 2 + y 2 = 1 ⇒ ( x 2 + y 2 ) 2 = 1 ⇒ x 4 + y 4 − 1 = −2 x 2 y 2

Do đó (*) ⇔ −2abx 2 y 2 + (ay 2 )2 + (bx 2 ) 2 = 0

⇔ (ay 2 − bx 2 )2 = 0

-L

Í-

⇔ ay 2 = bx 2 b) Vì ab ≠ 0 nên x2 y2 ay 2 = bx 2 ⇒ = a b Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có x2 y 2 x2 + y 2 1 = = = a+b a+b a b

ÀN 100

IỄ N

100

 y2  =   b 

 x2  ⇒   a 

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y .Q TP ẠO Đ G N H Ư

TR ẦN

ĐÁP ÁN Bài 1. Vì P(x) chia cho x + 1 dư 3 nên P(x) – 3 chia hết cho x + 1. ⇒ P(x) – 3 = f(x).(x + 1) Thay x = –1 vào đẳng thức trên ta có: P(–1) – 3 = f(–1).( –1 + 1) = 0. ⇒ P(–1) = 3 (1) Tương tự, P(x) chia cho x dư 1 nên P(0) = 1 (2) P(x) chia cho x – 1 dư 5 nên P(1) = 5 (3) Từ (1), (2), (3) ta có hệ phương trình: a.(−1) 2 + b.(−1) + c = 3 a − b + c = 3 a = 3  2   ⇔ c = 1 ⇔ b = 1 a.0 + b.0 + c = 1 a.12 + b.1 + c = 5  a + b + c = 5 c = 1    2 ⇒ P(x) = 3x + x + 1. Thử lại ta thấy P(x) thỏa mãn đề bài. Vậy P(x) = 3x2 + x + 1. 2) a) Ta có: 1 1 x4 y 4 x 4b + y 4 a + = ⇔ = a b a+b ab a+b 4 4 ⇔ (a + b)( x b + y a ) = ab

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

1 100

(a + b)

x 200 y 200 2 + 100 = 100 a b (a + b)100 Bài 2. (2,5 điểm) ( y − x)( y − x − 4) = x 2 − 4 x(1) 1) Giải hệ phương trình  2  x( y − 4) + 4 3 x − y = 6(2)

⇒

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Biến đổi phương trình (1): (1) ⇔ ( y − x)( y − 4) − x( y − x) = x( x − 4) ⇔ ( y − x)( y − 4) = x( x − 4 + y − x) ⇔ ( y − x)( y − 4) = x( y − 4)

⇔ ( y − 4)( y − 2 x) = 0

y = 4 ⇔  y = 2x • Với y = 4, thay vào (2) được:

TP ẠO Đ G N

TR ẦN

x = 1+ 2 ⇒ y = 2 + 2 2

H Ư

t = 1 ⇔ 2 t + t + 3 = 0(3) Phương trình (3) có ∆ = 1 – 4.3 = –11 < 0 nên vô nghiệm. Do đó t = 1 ⇒ x2 − 2 x = 1 ⇔ x2 − 2 x − 1 = 0 ⇔ x = 1 ± 2 x = 1− 2 ⇒ y = 2 − 2 2

(

)(

10 00

 118   118  Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm  ; 4  ,  − ; 4  , 1 + 2; 2 + 2 2 , 1 − 2; 2 − 2 4 4    

2) Giải phương trình 3( x + 1) x 2 + x + 3 − 3 x 2 − 4 x − 7 = 0. (1) ĐK: x2 + x + 3 ≥ 0

Í-

Đặt a = x + 1; b = x 2 + x + 3 (b ≥ 0). Ta có a 2 + 2b 2 = ( x 2 + 2 x + 1) + 2( x 2 + x + 3) = 3 x 2 + 4 x + 7 Phương trình (1) trở thành 3ab − a 2 − 2b 2 = 0

)

ÀN

a = b ⇔  a = 2b Do đó

ÁN

⇔ (− a + b)(a − 2b) = 0

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Đặt t = 3 x 2 − 2 x , phương trình trở thành: t 3 + 2t − 3 = 0 ⇔ (t − 1)(t 2 + t + 3) = 0

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

3 ⇔ x2 − 2x + 2 3 x2 − 2x − 3 = 0 2

(2) ⇔ 4 3 x 2 − 4 = 6 ⇔ 3 x 2 − 4 =

IỄ N

 x ≥ −1  x + 1 = x2 + x + 3  (1) ⇔  ⇔  x2 + 2 x + 1 = x2 + x + 3  x + 1 = 2 x 2 + x + 3  2 2   x + 2 x + 1 = 4( x + x + 3)

 x ≥ −1  ⇔  x = 2  3 x 2 + 2 x + 11 = 0(2)  ⇔ x = 2 (thỏa mãn) (Phương trình (2) có ∆’ = 1 – 3.11 = –32 < 0 nên vô nghiệm)

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Do đó x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình.

IỄ N

ÀN

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

ẠO Đ G N H Ư

-L

Í-

10 00

TR ẦN

1) Ta có tam giác O1MJ và O2ME cân nên O1MJ = O1JM ; O2ME = O2EM Mặt khác O1MJ = O2ME (hai góc đối đỉnh) nên ∆O1MJ ~ ∆O2ME (g.g) => O1 = O2 Theo quan hệ giữa góc nội tiếp và góc ở tâm trong một đường tròn ta có: 1 JAM = O1 2 1 MFI = O2 2 ⇒ JAM = MFI Mặt khác, vì AJCM là tứ giác nội tiếp, nên MCI = JAM (góc trong và góc ngoài đỉnh đối diện) => MCI = MFI ⇒ MCFI là tứ giác nội tiếp. => MIC = MFC (2 góc nội tiếp cùng chắn cung MC) Mặt khác xét đường tròn O2 ta có: MFC = MEF (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung MF) => MIC = MEI JM JI Do đó ∆JMI ~ ∆JIE (g.g) => = => JM .JE = JI 2 JI JE Tương tự JAM = MFE = AEJ ⇒ ∆JAM ~ ∆JEA ⇒ JM .JE = JA2 Do đó JA = JI = JE.JM 2) Do O1 = O2 (cmt) nên O1J // O2E ⇒ O1J ⊥ AB. Mà O1A = O1B nên O1J là trung trực của AB ⇒ Tam giác JAB cân tại J Vì ABCJ là tứ giác nội tiếp nên ta có: 180o − AJB 180o − ACB 1 BCI = BAJ = = = 90o − ACB 2 2 2

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

U Y

Bài 3.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Do đó CI là phân giác ngoài tại đỉnh C của tam giác ABC. 3) Do AJCK là tứ giác nội tiếp nên ICK = IAJ = KIC => KI = KC Áp dụng tính chất góc ngoài với tam giác ACI, ta có: KAC = ACJ – AIC = ABJ – AIJ = BAJ – JAK = BAK => KB = KC. Do đó KB = KC = KI ⇒ K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCI.

N (1)

Đặt t = 2 2 x + 5.2 x + 5, t ∈ ℕ*, ta có:

TP ẠO Đ G N

-L

Í-

10 00

 2 x = 8(tm) ⇔ x ⇒ x = 3. 2 = − 13( L )  Vậy x = 3, y = 0 là các số tự nhiên cần tìm. Bài 5. 1)

TR ẦN

H Ư

⇔ t 2 − 5 y = 11880(2) Xét các TH sau: • TH1: y ≥ 2 ⇒ 5y ⋮ 25 Từ (2) suy ra t2 ⋮ 5 ⇒ t2 ⋮ 25. Do đó từ (2) ⇒ 11880 ⋮ 25 (vô lí) • TH2: y = 1 (2) ⇔ t2 = 11885 (loại vì 11885 không phải là số chính phương) • TH3: y = 0 (2) ⇔ t2 = 11881 ⇒ t = 109 ⇒ 22 x + 5.2 x + 5 = 109 ⇒ 22 x + 5.2 x − 104 = 0

IỄ N

ÀN

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

(1) ⇔ (t − 1)(t + 1) − 5 y = 11879

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

⇔ ( 22 x + 5.2 x + 4 )( 2 2 x + 5.2 x + 6 ) − 5 y = 11879

Bài 4. ( 2 x + 1)( 2 x + 2 )( 2x + 3)( 2 x + 4 ) − 5 y = 11879.

Gọi A, B là 2 điểm có khoảng cách lớn nhất thuộc 8065 điểm đã cho. Gọi a, b lần lượt là các đường thẳng qua A, B và vuông góc AB. Gọi C là điểm có khoảng cách đến đường thẳng AB là lớn nhất trong 8065 điểm đã cho. Đường thẳng qua C và song song AB cắt a, b lần lượt ở M, N. Xét 2 trường hợp: •TH1: Không tồn tại điểm nào thuộc S mà nằm khác phía C so với AB.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Í-

-L

ÀN

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

ẠO

H Ư

TR ẦN

10 00

x2 y 2 ( x + y ) , ta có: Áp dụng BĐT Cauchy – Schwarz cho 4 số dương + ≥ m n m+n (b + c) 2 b2 c2 ≤ + 2a 2 + b 2 + c 2 a 2 + b 2 a 2 + c 2 Ta có hai BĐT tương tự, cộng từng vế ta có: (b + c) 2 (c + a ) 2 ( a + b) 2 + + 2a 2 + b 2 + c 2 2b 2 + c 2 + a 2 2c 2 + a 2 + b 2  b2 c2   c2 a2   a2 b2  ≤ 2 + + + + +  2 2    2 2 2  a 2 + b2   c 2 + a 2 c 2 + b 2   a +b a +c  b +c

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

U Y

Khi đó tất cả 8065 điểm đã cho đều nằm trong hình chữ nhật AMNB. Thật vậy, nếu ∀ điểm I ∈ S không nằm trong hình chữ nhật đó thì I chỉ có thể nằm trong các miền (1), (2),(3), (4) hoặc (5). Nếu I ∈ (1) hoặc I ∈ (4) thì dễ thấy AI > AB ( mâu thuẫn với giả sử) Nếu I ∈ (2) hoặc I ∈ (3) thì dễ thấy BI > AB (mâu thuẫn với giả sử) Nếu I ∈ (5) thì d(I; AB) > d(C; AB) ( mâu thuẫn). Do đó I thuộc hình chữ nhật AMNB ∀ I ∈ S. Khi đó xét ba tam giác AMC, ABC và BNC, ta có SAMC < SABC ≤ 1 SBNC < SABC ≤ 1 và tồn tại một trong ba tam giác chứa ít nhất 2017 điểm, vì nếu không thì cả hình chữ nhật AMNB sẽ chứa ít hơn 3.2017 = 6051 (điểm) , vô lí. Do đó chọn được tam giác T thỏa mãn. •TH2 : Tồn tại tập S’ các điểm nằm khác phía với C so với AB. Khi đó gọi D là điểm thuộc S’ mà có khoảng cách đến AB là lớn nhất. Qua D kẻ đường thẳng song song AB cắt a, b lần lượt ở Q, P. Gọi O là giao MP, NQ. Chứng minh tương tự ta có 8065 điểm đã cho đều nằm trong hình chữ nhật MNPQ. Theo nguyên lí Đi–rích–lê ⇒ Tồn tại một trong bốn tam giác OMN, ONP, OPQ, OQM chứa ít nhất 2017 điểm. 1 1 1 Mặt khác SOMN = SONP = SOPQ = SOQM = S MNPQ = .2.( S ACB + S ADB ) ≤ .2.(1 + 1) = 1 4 4 4 Bài toán được chứng minh. 2) Ta có: 4a 2 + (b − c)2 2(2a 2 + b 2 + c 2 ) − (b + c) 2 (b + c) 2 = = 2− 2 2a 2 + b 2 + c 2 2a 2 + b 2 + c 2 2a + b 2 + c 2 Có hai đẳng thức tương tự. BĐT đã cho tương đương với (b + c) 2 (c + a ) 2 ( a + b) 2 + + ≤ 3. 2a 2 + b 2 + c 2 2b 2 + c 2 + a 2 2c 2 + a 2 + b 2

IỄ N

 b2 a 2   c2 b2   a2 c2  = 2 + + + + +      2 2 2 2 2 2 2 2 2 a 2 + c2   a +b a +b  b +c c +b   a +c =3 ⇒ BĐT đã cho được chứng minh Dấu bằng xảy ra khi a = b = c.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial