Issuu

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2016 – 2017 Môn: TOÁN (Dùng chung cho tất cả các thí sinh) Thời gian làm bài: 120 phút Ngày thi: 30/5/2016

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU

ĐỀ CHÍNH THỨC

H Ơ

Câu 1 (2,5 điểm)

1 1 2 2− 6 + + 3 +1 3 −1 2 3 x − y = 1 b) Giải hệ phương trình  2 x + 3 y = 8

TP .Q

a) Rút gọn biểu thức A =

Í-

ẤP

TR ẦN

Ư N

ẠO

c) Giải phương trình x 2 + 2 x − 8 = 0 Câu 2 (2,0 điểm) Cho parabol (P): y = -x2 và đường thẳng (d): y = 4x – m a) Vẽ parabol (P) b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để (d) và (P) có đúng một điểm chung Câu 3 (1,5 điểm). a) Cho phương trình x2 – 5x + 3m + 1 = 0 (m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn | x12 − x22 |= 15 b) Giải phương trình (x – 1)4 = x2 – 2x + 3 Câu 4 (3,5 điểm). Cho nửa đường tròn (O) có đường kính AB = 2R. CD là dây cung thay đổi của nửa đường tròn sao cho CD = R và C thuộc cung AD (C khác A và D khác B). AD cắt BC tại H, hai đường thẳng AC và BD cắt nhau tại F. a) Chứng minh tứ giác CFDH nội tiếp b) Chứng minh CF.CA = CH.CB c) Gọi I là trung diểm của HF. Chứng minh tia OI là tia phân giác của góc COD. d) Chứng minh điểm I thuộc một đường tròn cố định khi CD thay đổi Câu 5 (0,5 điểm). Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn ab + bc + ca = 3abc. Chứng minh rằng: 3 a b c + 2 + 2 ≤ 2 a + bc b + ca c + ab 2

ID Ư

Ỡ N

ÁN

-L

ĐÁP ÁN – LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1 3 −1+ 3 + 1 2(2 − 3) 2 3 + = +2− 3 = 3 +2− 3 = 2 a) A = 3 −1 ( 3 + 1)( 3 − 1) 2 3 x − y = 1  y = 3x − 1  y = 3x − 1  y = 3x − 1  x = 1 b)  ⇔ ⇔ ⇔ . ⇔ 2 x + 3 y = 8 2 x + 3(3 x − 1) = 8 11x = 11 x = 1 y = 2 Hệ có nghiệm duy nhất (1;2) c) x2 + 2x – 8 = 0. Có ∆’ = 1 + 8 = 9 > 0

BỒ

Câu 2 a) Bảng giá trị x y = –x2 Đồ thị:

-2 -4

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

-1 -1

0 0

1 -1

2 -4

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ư N

ẠO

TP .Q

H Ơ

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

TR ẦN

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): –x2 = 4x – m ⇔ x2 + 4x – m = 0 (1) (d) và (P) có đúng 1 điểm chung ⇔ phương trình (1) có nghiệm kép ⇔ ∆’ = 22 – (–m) = 0 4 + m = 0 ⇔ m = –4 Vậy m = –4

21 12 21 Với m < , ta có hệ thức 12

Câu 3 a) x2 – 5x + 3m + 1 = 0 Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 ⇔ ∆ = 52 – 4(3m + 1) > 0 ⇔ 21 – 12m > 0

ẤP

 x1 + x2 = 5 (Viét)   x1 x2 = 3m + 1

=> | x1 − x2 |= ( x1 − x2 ) 2 = ( x1 + x2 ) 2 − 4 x1 x2 = 52 − 4(3m + 1) = 21 − 12m

-L

Í-

=>| x12 − x22 |=| ( x1 + x2 )( x1 − x2 ) |=| 5( x1 − x2 ) |= 5 | x1 − x2 |= 5 21 − 12m

ÁN

Ta có | x12 − x22 |= 15 ⇔ 5 21 − 12m = 15 ⇔ 21 − 12m = 3 ⇔ 21 − 12m = 9 ⇔ 12m = 12 ⇔ m = 1 tm Vậy m = 1 là giá trị cần tìm b) ( x − 1)4 = x 2 − 2 x + 3(1) 2

BỒ

ID Ư

Ỡ N

(1) ( x − 1) 2  = x 2 − 2 x + 3 ⇔ ( x 2 − 2 x + 1)2 = x 2 − 2 x + 3 (2) Đặt t = x2 – 2x + 1, t≥0, phương trình (2) trở thành t 2 = t + 2 ⇔ t 2 − t − 2 = 0 ⇔ (t − 2)(t + 1) = 0 t = 2 (tm) hoặc t = –1 (loại) Với t = 2 có x 2 − 2 x + 1 = 2 ⇔ x 2 − 2 x − 1 = 0 ⇔ x = 1 ± 2

{

Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là 1 − 2;1 + 2

}

Câu 4

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ư N H

TR ẦN

a) Vì C, D thuộc nửa đường tròn đường kính AB nên ACB = ADB = 90o ⇒ FCH = FDH = 90o ⇒ FCH + FDH = 180o Suy ra tứ giác CHDF nội tiếp

ẠO

TP .Q

H Ơ

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

BỒ

ID Ư

Ỡ N

ÁN

-L

Í-

ẤP

b) Vì AH BF, BH AF nên H là trực tâm ∆ AFB ⇒ FH AB CF CH ⇒ CFH = CBA(= 90o − CAB ) ⇒ ∆CFH ∼ ∆CBA( g .g ) ⇒ = ⇒ CF .CA = CH .CB CB CA c) Vì FCH = FDH = 90o nên tứ giác CHDF nội tiếp đường tròn tâm I đường kính FH => IC = ID. Mà OC = OD nên ∆ OCI = ∆ ODI (c.c.c) => COI = DOI => OI là phân giác của góc COD d) Vì OC = CD = OD = R nên ∆ OCD đều => COD = 60o 1 Có CAD = COD = 30o => CFD = 90o − CAD = 60o 2 Xét góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung CD của (I), có CID CID = 2CFD = 120o => OIC = OID = = 60o 2 COD Mặt khác COI = DOI = = 30o => OID + DOI = 90o => ∆OID vuông tại D 2 OD 2R Suy ra OI = = o sin 60 3  2R  Vậy I luôn thuộc đường tròn  O;  3  Câu 5 ab + bc + ca 1 1 1 Từ điều kiện đề bài ta có =3⇔ + + =3 abc a b c Áp dụng hai lần bất đẳng thức Côsi cho hai số dương, ta có: 2 1 a a 2 + bc ≥ 2 a 2 .bc = 2a bc ⇒ 2 ≤ = a + bc 2a bc 2 bc 1 1 11 1 11 1 a . ≤  + ⇒ 2 ≤  +  b c 2  b c  a + bc 4  b c 

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

11 1 11 1 b c ≤  + ; 2 ≤  +  b + ca 4  c a  c + ab 4  a b  11 1 1 3 a b c Suy ra 2 + 2 + 2 ≤  + + = . a + bc b + ca c + ab 2  a b c  2 2

BỒ

ID Ư

Ỡ N

ÁN

-L

Í-

ẤP

TR ẦN

Ư N

ẠO

TP .Q

H Ơ

Tương tự ta có:

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

TP .Q

H Ơ

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM UBND TỈNH SƠN LA Độc lập –Tự do – Hạnh phúc SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN, PTDT NỘI TRÚ TỈNH Môn: Toán (Đại trà) Ngày thi: 10.6.2016 ( Thời gian làm bài 120' không kể thời gian giao đề)

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

ẠO

Câu I (2.0 điểm).

Í-

ẤP

TR ẦN

Ư N

x 1   1 Cho biểu thức P =  + ( x > 0; x ≠ 1) : x −1  x − 2 x +1  x− x 1. Rút gọn biểu thức P. 1 2. Tìm các giá trị của x để P > . 2 Câu II (1.5 điểm). Cho phương trình: x2-5x+m=0 (1) (m là tham số). 1. Giải phương trình khi m = 6 . 2. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1;x2 thoả mãn: |x1-x2|=3 Câu III (2.0 điểm). Hai ô tô cùng khởi hành một lúc trên quãng đường từ A đến B dài 120 km. Mỗi giờ ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ 2 là 10 km nên đến B trước ô tô thứ hai là 0,4 giờ. Tính vận tốc mỗi ô tô. Câu IV ( 3.5 điểm). Cho đường tròn (O;R); AB và CD là hai đường kính khác nhau của đường tròn. Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O;R) cắt các đường thẳng AC, AD thứ tự tại E và F. a) Chứng minh tứ giác ACBD là hình chữ nhật. b) Chứng minh ∆ACD ~ ∆CBE c) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp được đường tròn.

ÁN

Câu V ( 1.0 điểm).

-L

d) Gọi S, S1, S2 thứ tự là diện tích của ∆AEF, ∆BCE và ∆BDF. Chứng minh:

S1 + S 2 = S 1 1 + a b

------------------------ HẾT-----------------------( Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Cho hai số dương a, b thỏa mãn: a + b ≤ 2 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN SƠN LA VÀ PTDT NỘI TRÚ TỈNH SƠN LA NĂM HỌC 2016-2017 ------------------------------

Câu I(2đ):

TP .Q

1  x  1 a) Rút gọn biểu thức: P =  + ( x > 0; x ≠ 1) : x −1  x − 2 x +1  x− x

1+ x ( x − 1) 2 . x ( x − 1) x

ẠO

  ( x − 1) 2 1 x =  + . x ( x − 1)  x  x ( x − 1)

Ư N

( x + 1)( x − 1) x x x −1 = x

1 2

x −1 1 > <=> 2( x − 1) > x <=> x > 2 x 2 1 Vậy với x > 2 thì P > 2 Câu II(1,5đ): a) Với m = 6 phương trình trở thành: x 2 − 5 x + 6 = 0

b)Tìm các giá trị của x để P >

TR ẦN

∆ = (−5) 2 − 4.1.6 = 25 − 24 = 1 > 0

ẤP

Với x > 0, x ≠ 1 thì

−(−5) + 1 −(−5) − 1 = 3; x2 = =2 2 2 b) Để phương trình có 2 nghiệm x1 ; x2 ta phải có ≥0

<=> 25 − 4m ≥ 0

ÁN

<=> (−5) 2 − 4.1.m ≥ 0

-L

Í-

=> phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 =

BỒ

ID Ư

Ỡ N

25 (1) 4 Áp dụng hệ thức Vi-ét cho phương trình bậc hai đã cho ta được.  x1 + x2 = 5 (2)   x1 x2 = m <=> m ≤

Mặt khác theo yêu cầu bài toán phương trình có 2 nghiệm x1;x2 thoả mãn điều kiện: |x1-x2|=3 hai vế đẳng thức đều dương, bình phương hai vế ta được:

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

(| x1 − x2 |) 2 = 32 <=> ( x1 − x2 ) 2 = 9 <=> ( x1 + x2 )2 − 4 x1 x2 = 9(3)

Thay (2) vào (3) ta được:

H Ơ

52 − 4 m = 9

TP .Q

<=> m = 4 Thoả mãn (1) vậy với m = 4 là giá trị cần tìm để phương trình có 2 nghiệm x1;x2 thoả mãn điều kiện: |x1-x2|=3 Câu III(2đ): Gọi vận tốc của xe thứ nhất và xe thứ hai theo thứ tự là: v1 và v2 (v1 > 0; v 2 > 0, km/giờ)

120 ( h) v2

Ư N

Thời gian ô tô thứ hai đi hết quảng đường AB là: t2 =

ẠO

Vì mỗi giờ ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ hai là 10km nên ta có phương trình thứ nhất: v1-v2=10(1) 120 Thời gian ô tô thứ nhất đi hết quảng đường AB là: t1 = ( h) v1

TR ẦN

Vì Ô tô thứ nhất đến trước ô tô thứ hai là 0,4 giờ nên ta có phương trình thứ hai: 120 120 120(v1 − v2 ) t2 − t1 = 0, 4 <=> − = 0, 4 <=> = 0, 4(2) v2 v1 v1v2

Thay (1) vào (2) ta được: 120.10 = 0, 4 => v1v2 = 3000(3) v1v2

Từ (1) => v1 = v2 + 10 thay vào (3) ta được:

(3) <=> v2 (v2 + 10) = 3000

ẤP

<=> v2 2 + 10v2 − 3000 = 0

BỒ

ID Ư

Ỡ N

ÁN

-L

Í-

v2 = 50(TM ) <=>   v 2 = −55( L) Khi v2=50=>v1=50+10=60 Vậy vận tốc của xe thứ nhất là 60 km/giờ; vận tốc của xe thứ hai là 50 km/giờ Câu IV(3,5đ):

a) Xét tứ giác ABCD có :

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

 AB = CD ( Đường kính của đường tròn và bán kính của đường tròn).  OA = OB = OC = OD

ẠO

TP .Q

H Ơ

Tứ giác ACBD có hai đường chéo AB và CD bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, suy ra ACBD là hình chữ nhật b) Tứ giác ACBD là hình chữ nhật nên: 1 CAD= BCE =90o (1). Lại có CBE = sđ BC (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung); 2 1 ACD = sđ AD (góc nội tiếp), mà BC =AD (do BC = AD cạnh của hình chữ nhật)⇒CBE =ACD (2). Từ (1) và 2 (2) suy ra ∆ACD ~ ∆CBE . c) Vì ACBD là hình chữ nhật nên CB song song với AF, suy ra: CBE =DFE (3). Từ (2) và (3) suy ra ACD=DFE do đó tứ giác CDFE nội tiếp được đường tròn.

G Ư N TR ẦN

Từ đó suy ra:

S 2 BF = S EF S1 S + 2 = 1 => S1 + S 2 = S S S

Câu V(1đ): Cách 1: Với mọi a, b ta luôn có: (a - b)2 ≥0

Tương tự ta có

S1 EB = S EF

S1 EB 2 d) Do CB // AF nên ∆CBE ~ ∆AFE, suy ra: = S EF 2

<=> a 2 + b 2 − 2ab ≥ 0 <=> a 2 + b 2 ≥ 2ab <=> a 2 + b 2 + 2ab ≥ 4ab <=> (a + b) 2 ≥ 4ab (*)

Í-

ẤP

Vì a, b đều dương nên ab và a+ b cũng dương bất đẳng thức (*) trở thành: 4 1 1 4 4 a+b <=> ≥ <=> + ≥ => P ≥ mà a+b ≤ 2 2 ab a+b a b a+b a+b 4 4 => ≥ => P ≥ 2 a+b 2 2

ÁN

-L

(a − b)2 = 0 Dấu “ = ” xảy ra <=>  <=> a = b = 2 a + b = 2 2

ID Ư

Ỡ N

Vậy min P= 2 Cách 2: Ta có (a + b)2 – 4ab = (a - b)2 ≥ 0⇒ (a + b)2 ≥ 4ab => (*) giải tiếp ta được. co − si co − si 1 1 2 2.2 4 4 Cách 3: Với hai số a > 0, b > 0 ta có P = + ≥ ≥ = ≥ = 2 a b a+b a+b 2 2 ab Dấu “ = ” xảy ra a = b = 2

BỒ

Vậy min P= 2 Cách 4: Ta chứng minh bài toán sau: Cho a, b là các số dương. 1 1 4 (*) Chứng minh rằng: + ≥ a b a+b Thật vậy áp dụng vất đẳng thức cô sinh cho hai số dương a và b,

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

1 1 ; ta được: a b

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ N Y U

TP .Q

1 1 1 (2) + ≥2 a b ab Do các vế của (1) và (2) trên đều dương nên nhân vế với vế hai BĐT dương cùng chiều, tađược: 1 1 (a + b)( + ) ≥ 4 a b Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b. 4 1 1 4 4 Áp dụng (*) => P ≥ vì a+b ≤ 2 2 => ≥ => ≥ = 2(3) a+b a+b 2 2 a+b 2 2

a + b ≥ 2 ab (1)

a = b  1 1 Khi đó:  = => a = b = 2 .Vậy minP = a b a + b = 2 2

ẠO

=> P ≥ 2 dấu "=" xẩy ra khi (1), (2) và (3) đồng thời xẩy ra dấu "=" và kết hợp với điều kiện bài ra ta có:

Ư N

2 khi a=b= 2

TR ẦN

Cách 5: Bằng phương pháp tương đương ta chứng minh bài toán sau: Cho a, b là các số dương. Chứng minh 1 1 4 => các bạn giải tiếp. rằng: + ≥ a b a+b Cách 6: Cho hai số x, y dương và a, b là hai số bất kì ta có:

( a + b) 2 a 2 b 2 a 2 b 2 ( a + b) 2 hay (1) ( Bất đẳng thức Svac – xơ) ≤ + + ≥ x+ y x y x y x+ y a b = x y Thật vậy áp dụng bất đẳng thức Bun nhiacopxki cho

ẤP

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

  a  2  b 2  a 2 b2 2 2 + ( + )( x + y ) =     ( x ) + ( y )   x y  x  y    2 2 a b a 2 b 2 ( a + b) 2 ≥ (a + b)2 => ( + )( x + y ) ≥ (a + b)2 hay + ≥ x y x y x+ y

)

-L

Áp dụng (1) ta có:

Í-

(

BỒ

ID Ư

Ỡ N

ÁN

 12 12  (1 + 1) 2 (1 + 1) 2 4 hay P + ≥ ≥ = = 2   x+ y 2 2  x y  x+ y 1 1 Dấu "=" xẩy ra khi và khỉ khi = hay a=b kết hợp với điều kiện bài ra ta có:Vậy minP = 2 khi a=b= 2 a b ------------------------ Hết------------------------

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

H Ơ

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN 2016 Môn thi: TOÁN (Dùng cho mọi thí sinh thi vào Trường Chuyên) Thời gian làm bài: 120 phút

––––––––Hết–––––––

BỒ

ID Ư

Ỡ N

ÁN

-L

Í-

ẤP

TR ẦN

Ư N

ẠO

TP .Q

  1 1+ a 1− a 1 Câu 1 (2 điểm). Cho biểu thức P =  + − − 1    với 0 < a < 1. Chứng minh  2 a  1 − a2 −1 + a   a  1+ a − 1− a rằng P = –1 Câu 2 (2,5 điểm). Cho parabol (P): y = -x2 và đường thẳng d: y = 2mx – 1 với m là tham số. a) Tìm tọa độ giao điểm của d và (P) khi m = 1 b) Chứng minh rằng với mỗi giá trị của m, d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi y1, y2 là tung độ của A, B. Tìm m sao cho | y12 − y22 |= 3 5 3 Câu 3 (1,5 điểm). Một người đi xe máy từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau 120 km. Vận tốc trên 4 1 1 3 quãng đường AB đầu không đổi, vận tốc trên quãng đường AB sau bằng vận tốc trên quãng đường AB 4 2 4 3 đầu. Khi đến B, người đó nghỉ 30 phút và trở lại A với vận tốc lớn hơn vận tốc trên quãng đường AB đầu tiên 4 lúc đi là 10 km/h . Thời gian kể từ lúc xuất phát tại A đến khi xe trở về A là 8,5 giờ. Tính vận tốc của xe máy trên quãng đường người đó đi từ B về A? Câu 4 (3,0 điểm). Cho ba điểm A, M, B phân biệt, thẳng hàng và M nằm giữa A, B. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB, dựng hai tam giác đều AMC và BMD. Gọi P là giao điểm của AD và BC. a) Chứng minh AMPC và BMPD là các tứ giác nội tiếp b) Chứng minh CP.CB + DP.DA = AB c) Đường thẳng nối tâm của hai đường tròn ngoại tiếp hai tứ giác AMPC và BMPD cắt PA, PB tương ứng tại E, F. Chứng minh CDFE là hình thang. Câu 5 (1,0 điểm). Cho a, b, c là ba số thực không âm và thỏa mãn: a + b + c = 1. Chứng minh rằng 5a + 4 + 5b + 4 + 5c + 4 ≥ 7

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ĐÁP ÁN Câu 1 Với 0 < a < 1 ta có: 2   1 − a 1+ a 1 − a2 1    + −  P=  2   1+ a − 1− a  a2 a  (1 − a )(1 + a ) − 1 − a    2   1− a 1 + a    (1 − a )(1 + a ) − 1  = +    1+ a − 1− a a2 a 1− a 1+ a − 1− a    

)

( (

)

(

H Ơ

(

TP .Q

)

=−

(

1+ a + 1− a

)

1+ a − 1− a

Ư N

(

)(

1+ a + 1− a − = . 1+ a − 1− a

1 + a + 1 − a 2 1 − a . 1 + a − (1 − a ) − (1 + a ) . 2a 1+ a − 1− a

1+ a − 1− a

)

TR ẦN

ẠO

   1 − a. 1 + a 1  1+ a 1− a = + −    2 a a − + − − 1 + a − 1 a 1 a 1 a  

2a 1 + a −1 + a 2a =− =− = −1 2a 2a

(

Với x = −1 − 2 ⇒ y = −3 − 2 2

ẤP

Câu 2 a) Khi m = 1 ta có d : y = 2x – 1 và (P): y = –x2 Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) là: Với x = −1 + 2 ⇒ y = −3 + 2 2

)(

Vậy các giao điểm là −1 + 2; −3 + 2 2 ; −1 − 2; −3 − 2 2

)

Í-

b) Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P): − x = 2mx − 1 ⇔ x 2 + 2mx − 1 = 0 (*) Phương trình (*) có ∆’ = m2 + 1 > 0 ⇒ (*) luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 ∀ m hay d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.  x1 + x2 = −2m ⇒| x1 − x2 |= ( x1 − x2 )2 = ( x1 + x2 ) 2 − 4 x1 x2 = 4m 2 + 4 = 2 m 2 + 1 Áp dụng Viét ta có:   x1 x2 = −1  y1 = 2mx1 − 1 Khi đó ta có  ⇒| y12 − y22 |=| (2mx1 − 1) 2 − (2mx2 − 1)2 |  y2 = 2mx2 − 1

Ỡ N

ÁN

-L

ID Ư

⇒| y12 − y22 |=| (2mx1 − 1 − 2mx2 + 1)(2mx1 − 1 + 2mx2 − 1) |=| 4m( x1 − x2 )[m( x1 + x2 ) − 1] |

BỒ

=| 4m(2m 2 + 1)( x1 − x2 ) |= 4 m(2m 2 + 1) | x1 − x2 |= 4 | m | (2m 2 + 1)2 m2 + 1

Ta có | y12 − y22 |= 3 5 ⇔ 64m 2 (2m 2 + 1)2 (m 2 + 1) = 45 ⇔ 64(4m 4 + 4m 2 + 1)(m 4 + m 2 ) = 45 5 Đặt m 4 + m 2 = t ≥ 0 có phương trình 64t (4t + 1) = 45 ⇔ 256t 2 + 64t − 45 = 0 ⇔ t = (vì t ≥ 0) 16

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Suy ra m 4 + m 2 = Vậ y m = ±

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

5 1 ⇔ 16m 4 + 16m 2 − 5 = 0 ⇔ m = ± 16 2

1 2

1 quãng đường AB sau là 0,5x (km/h) 4 Vận tốc của người đi xe máy khi quay trở lại A là x + 10 (km/h) 90 30 120 1 Tổng thời gian của chuyến đi là + + + = 8,5 x 0, 5 x x + 10 2 90 60 120 150 120 ⇔ + + =8⇔ + = 8 ⇔ 75( x + 10) + 60 x = 4 x( x + 10) x x x + 10 x x + 10 ⇔ 4 x 2 − 95 x − 750 = 0 ⇔ x = 30 (do x > 0) Vậy vận tốc của xe máy trên quãng đường người đó đi từ B về A là 30 + 10 = 40 (km/h)

H Ơ

3 quãng đường AB đầu (90 km) là x (km/h) (x > 0) 4

Gọi vận tốc của người đi xe máy trên

Câu 3

Ư N

ẠO

TP .Q

Vận tốc của người đi xe máy trên

ẤP

TR ẦN

Câu 4

ID Ư

Ỡ N

ÁN

-L

Í-

a) Vì CMA = DMB = 60o ⇒ CMB = DMA = 120o. Xét ∆ CMB và ∆ AMD có CM = AM  MCB = MAD  CMB = DMA ⇒ ∆CMB = ∆AMD(c.g .c) ⇒   MBC = MDA  MB = MD  Suy ra AMPC và BMPD là các tứ giác nội tiếp b) Vì AMPC là tứ giác nội tiếp nên CP CM CPM = 180o − CAM = 120o = CMB ⇒ ∆CPM ∼ ∆CMB ( g .g ) ⇒ = CM CB ⇒ CP.CB = CM 2 ⇒ CP.CB = CM . Tương tự DP.DA = DM

BỒ

Vậy CP.CB + DP.DA = CM + DM = AM + BM = AB c) Ta có EF là đường trung trực của PM ⇒ EP = EM ⇒ ∆ EPM cân tại E Mặt khác EPM = ACM = 60o (do AMPC là tứ giác nội tiếp) nên ∆ EPM đều ⇒ PE = PM . Tương tự PF = PM Ta có CM // DB nên PCM = PBD Mà BMPD là tứ giác nội tiếp nên PBD = PMD. Suy ra PCM = PMD

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

CP PM CP PE = ⇒ = MP PD PF PD Theo định lý Talét đảo ta có CE // DF ⇒ CDFE là hình thang. Ta lại có CPM = DPM = 120o ⇒ ∆CPM ∼ ∆MPD ( g .g ) ⇒

Câu 5

H Ơ N Y U

5a + 4 ≥ a 2 + 4a + 4 = (a + 2)2 = a + 2

TP .Q

Suy ra

2 a (1 − a ) ≥ 0 a ≥ a   Vì a, b, c không âm và có tổng bằng 1 nên 0 ≤ a, b, c ≤ 1 ⇒ b(1 − b) ≥ 0 ⇒ b ≥ b 2 c(1 − c) ≥ 0 c ≥ c 2  

Tương tự 5b + 4 ≥ b + 2; 5c + 4 ≥ c + 2

ẠO

5a + 4 + 5b + 4 + 5c + 4 ≥ (a + b + c) + 6 = 7 (đpcm)

BỒ

ID Ư

Ỡ N

ÁN

-L

Í-

ẤP

TR ẦN

Ư N

Do đó

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH BÌNH DƯƠNG

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT Năm học 2016 – 2017 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút

x − 2(x 2 − 4 x + 3) = 0

H Ơ

a. Giải phương trình:

Bài 1

TP .Q

b. Giải phương trình: x 4 − 2 x 2 − 3 = 0 Bài 2 2 x + by = a a. Tìm a, b biết hệ phương trình:  có nghiệm x=1;y=3 bx + ay = 5

TR ẦN

Ư N

ẠO

b. Vẽ đồ thị hàm số (P): y = 2x2 trên hệ trục tọa độ. Tìm giao điểm của (P): y = 2x2 với (d): y = –x + 3 bằng phép tính Bài 3 Một công ty vận tải dự định dùng loại xe lớn để chở 20 tấn rau theo một hợp đồng. Nhưng khi vào việc, công ty không còn xe lớn nên phải thay bằng những xe có trọng tải nhỏ hơn 1 tấn. Để đảm bảo thời gian đã hợp đồng, công ty phải dùng một số lượng xe nhiều hơn số xe dự định là 1 xe. Hỏi trọng tải của mỗi xe nhỏ là bao nhiêu tấn? Bài 4 Cho phương trình x2 – (5m – 1) x + 6m2 – 2m = 0 (m là tham số) a. Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m b. b. Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình . Tìm m để x12 + x22 = 1

BỒ

ID Ư

Ỡ N

ÁN

-L

Í-

ẤP

Bài 5 Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn (AB < AC) nội tiếp trong đường tròn tâm O, kẻ đường cao AH. Gọi M, N là hình chiếu vuông góc của H trên AB và AC. Kẻ NE vuông góc với AH. Đường vuông góc với AC tại C cắt đường tròn tại I và cắt tia AH tại D. Tia AH cắt đường tròn tại F. a. Chứng minh ABC= ACB =BIC và tứ giác DENC nội tiếp được trong một đường tròn. b. Chứng minh hệ thức AM.AB = AN.AC và tứ giác BFIC là hình thang cân c. Chứng minh: tứ giác BMED nội tiếp được trong một đường tròn. ––––HẾT––––

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com ĐÁP ÁN

Bài 1 a. Giải phương trình:

x − 2(x 2 − 4 x + 3) = 0

Đkxđ: x ≥ 2

H Ơ

 x−2 =0 x − 2 = 0 x = 2 (1) <=>  2 <=>  2 <=>  2  x − 4 x + 3 = 0  x − 4x + 3 = 0  x − 4x + 3 = 0

Phương tình x 2 − 4 x + 3 = 0 có nghiệm x= 1 và x=3 vì a+b+c=0. Kết hợp điều kiện xác định, phương trình có tập nghiệm là S ={2, 3}.

TP .Q

b. Giải phương trình: x 4 − 2 x 2 − 3 = 0

Đặt t = x 2 (t ≥ 0) ta có phương trình trở thành:

Đ G H

Với t2 = 3 ta có: x2 = 3 ⇔ x= ± 3

Ư N

t1 = −1 Ta có a – b + c = 1 – (-2) -3 = 0 nên phương trình có nghiệm  t 2 = 3 Nghiệm t1 =-1<0 nên không thỏa mãn điều kiện.

ẠO

t2-2t-3=0

Hệ phương trình có nghiệm x = 1, y = 3 nên ta có:

TR ẦN

Vậy phương trình có nghiệm là x= ± 3 Bài 2: 2 x + by = a a)  bx + ay = 5

A Ó H Í-L -1 2

0 0

1 2

2 8

BỒ

ID Ư

Ỡ N

ÁN

−1  b = 10 Vậy  a = 17  10 b) (P): y = 2x2 Bảng giá trị X -2 y 8 Vẽ đồ thị:

ẤP

−1  b=  2.1 + b .3 = a a − 3 b = 2 3 a − 9 b = 6 10 b = − 1      10 <=>  <=>  <=>  <=>   b.1 + a.3 = 5 3a + b = 5 3a + b = 5 3a + b = 5 a = 17  10

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ẠO

TP .Q

H Ơ

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:

2x2 = −x + 3

Ư N

<=> 2 x 2 + x − 3 = 0

∆ = 12 − 4.2.(−3) = 25 > 0

TR ẦN

−1 − 5 −3 −1 + 5 = ; x2 = =1 4 2 4 Hoặc học sinh có thể làm theo cách: ta có a + b + c = 2 + 1 + (-3) = 0 Với x = 1 ta có: y = 2 −3 9 Với x = ta có: y = 2 2 −3 9 Vậy tọa độ giao điểm là (1;2) và ( ; ) 2 2 Bài 3 Gọi trọng tải của mỗi xe nhỏ là x (tấn) (x > 0) Trọng tải của mỗi xe lớn là x + 1 (tấn) 20 20 Số xe (lớn) dự định phải dùng là (xe); số xe (nhỏ) thực tế phải dùng là (xe) x +1 x Vì số xe nhỏ thực tế phải dùng nhiều hơn dự định 1 xe nên: 20 20 =1 x x +1 20 = 1 <=> x( x + 1) = 20 <=> ( x + 5)( x − 4) = 0 x( x + 1)

ÁN

-L

Í-

ẤP

Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt: x1 =

BỒ

ID Ư

Ỡ N

 x = 4(TM ) <=>   x = −5( L) Vậy trọng tải của mỗi xe nhỏ là 4 tấn. Bài 4 x 2 − (5m − 1) x + 6m 2 − 2 x = 0 a)Ta có

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

∆ = [ − (5m − 1)]2 − 4(6m 2 − 2m) = 25m 2 − 10m + 1 − 24m 2 + 8m = m 2 − 2m + 1

TP .Q

H Ơ

= (m − 1) 2 ≥ 0∀m Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.  x1 + x2 = 5m − 1 b)Áp dụng định lý Viet cho phương trình (1) ta có:  2  x1.x2 = 6m − 2m Ta có:

x12 + x22 = 1

ẠO

<=> ( x1 + x2 ) 2 − 2 x1.x2 = 1

<=> (5m − 1) 2 − 2(6m2 − 2m) = 1

<=> 13m 2 − 6m = 0

Ư N

<=> m(13m − 6) = 0

6 thỏa mãn yêu cầu bài toán. 13

Ỡ N

ÁN

-L

Í-

ẤP

Bài 5

Vậy m = 0 hoặc m =

TR ẦN

m = 0 <=>  6 m = 13 

BỒ

ID Ư

a)Vì ABIC là tứ giác nội tiếp nên ABC =AIC; ACB =AIB =>ABC +ACB= AIB AIC= BIC Vì NE ⊥ AD, NC ⊥ CD nên NED =NCD=90o=> NED+ NCD =180o Suy ra tứ giác DENC là tứ giác nội tiếp b)+ Áp dụng hệ thức lượng trong hai tam giác vuông AHB và AHC có AM. AB = AH2 ; AN. AC = AH2 ⇒ AM. AB = AN. AC + Có IAC=900 -AIC ;BAF=900 –ABH; AIC= ABH =>IAC=BAF Suy ra số đo hai cung IC và BF bằng nhau ⇒ IC = BF. Mặt khác vì ABFI và ABIC nội tiếp nên BAF= BIF; IAC =IBC;BIF= IBC

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

TP .Q

H Ơ

Suy ra IF // BC ⇒ BCIF là hình thang có hai cạnh bên bằng nhau Mà IF < BC nên BCIF là hình thang cân c)Có ∆ AEN đồng dạng ∆ ACD(g.g) AE AN => = => AE. AD = AN . AC = AM . AB AC AD AE AM <=> = AB AD Xét ∆ AME và ∆ ADB có  AE AM =   AB AD => tam giác AME đồng dạng với tam giác ADB(c.g.c) Chung MAE

BỒ

ID Ư

Ỡ N

ÁN

-L

Í-

ẤP

TR ẦN

Ư N

ẠO

=>AME=ADB=>BME+ADB=180O Suy ra BMED nội tiếp đường tròn.

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ CẦN THƠ

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2016 – 2017 Khóa ngày: 07/6/2016 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề

ĐỀ CHÍNH THỨC

H Ơ

Câu 1 (3,0 điểm)

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

1 + 7−4 3 2− 3 2) Giải các phương trình và hệ phương trình sau trên tập số thực: a) 3x2-x-10=0 b) 9x4-16x2-25=0 2 x − 3 y = 7 c)  3 x + y = 5

ẠO

TP .Q

1) Rút gọn biểu thức A =

ẤP

TR ẦN

Ư N

1 Câu 2 (1,5 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = − x 2 4 1) Vẽ đồ thị của (P) 2 1 2) Tìm tọa độ các giao điểm của (P) với đường thẳng d: y = − x + 3 3 Câu 3 (1,5 điểm). Anh Bình đến siêu thị để mua một cái bàn ủi và một cái quạt điện với tổng số tiền theo giá niêm yết là 850 ngàn đồng. Tuy nhiên, thực tế khi trả tiền, nhờ siêu thị khuyến mãi để tri ân khách hàng nên giá của bàn ủi và quạt điện đã lần lượt giảm bớt 10% và 20% so với giá niêm yết. Do đó, anh Bình đã trả ít hơn 125 ngàn đồng khi mua hai sản phẩm trên. Hỏi số tiền chênh lệch giữa giá bán niêm yết với giá bán thực tế của từng loại sản phẩm mà anh Bình đã mua là bao nhiêu? Câu 4 (1,0 điểm). Cho phương trình x2-(m+1)x-2m2+3m+2=0 (m là tham số thực). Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt sao cho hai nghiệm này lần lượt là giá trị độ dài của hai cạnh liên tiếp của một hình chữ nhật có độ dài

BỒ

ID Ư

Ỡ N

ÁN

-L

Í-

đường chéo bằng 10 Câu 5 (3,0 điểm) Cho ∆ ABC có ba góc nhọn. AB < AC và nội tiếp đường tròn (O;R). Gọi H là chân đường cao từ đỉnh A của ∆ ABC và M là trung điểm BC. Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O;R) cắt đường thẳng BC tại N. 1) Chứng minh tứ gáic ANMO nội tiếp 2) Gọi K là giao điểm thứ hai cảu đường thẳng AO với đường tròn (O;R). Chứng minh AB.AC = AK.AH 3) Dựng đường phân giác AD của ∆ ABC (D thuộc cạnh BC). Chứng minh ∆ NAD cân 4) Giả sử BAC=60o, OAH =30°. Gọi F là giao điểm thứ hai của đường thẳng AH với đường tròn (O;R). Tính theo R diện tích của tứ giác BFKC.

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com ĐÁP ÁN ĐỀ THI VÀO 10 THPT SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ CẦN THƠ NĂM HỌC 2016 – 2017

H Ơ

1 + 7−4 3 2− 3

1 1 + 4−4 3+3 = + (2 − 3) 2 2− 3 2− 3

1 2+ 3 2+ 3 +2− 3 = +2− 3 = +2− 3 = 4 1 2− 3 (2 − 3)(2 + 3)

TP .Q

1) A =

Câu 1:

Đ Ư N

121 −5 = 6 3

TR ẦN

121 =2 6

−5 3

b) 9x4 – 16x2 – 25 = 0 Đặt x2 = t (t ≥ 0) Phương trình trở thành 9t2 – 16t – 25 = 0 Có a – b + c = 9 + 16 – 25 = 0

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt x = 2; x =

 1− x = =>   1+ x = 

ẠO

2)3x2-x-10=0 ∆ = (-1)2 + 120 = 121

ẤP

25 (thỏa mãn) 9 25 25 5 5 Với t= ta có x2= =>x= hoặc x=9 9 3 3 5 5 Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt x= ;x=3 3 2 x − 3 y = 7 2 x − 3 y = 7 11x = 22 x = 2 c)  <=>  <=>  <=>  3 x + y = 5 9 x + 3 y = 15 3 x + y = 5  y = −1 Vậy hệ pt có nghiệm duy nhất (2; -1) Câu 2: 1 (P): y = − x 2 4 Bảng giá trị x -4 -2 0 2 4 y -4 -1 0 -1 -4 Vẽ

BỒ

ID Ư

Ỡ N

ÁN

-L

Í-

nghiệm phân biệt t = -1 (loại) hoặc t=

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

TR ẦN

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và đường thẳng d là −2 1 1 − x2 = x+ 4 3 3 1 2 1 <=> x 2 − x + = 0 4 3 3 2 <=> 3 x − 8 x + 4 = 0

Ư N

ẠO

TP .Q

H Ơ

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

3 2+ ẤP C

4−2 2  x = 3 = 3 <=>  x = 4 + 2 = 2  3 2 −1 2 −1 Với x = ta có y= =>A( ; ) 3 9 3 9 Với x = 2 ta có y = -1 => B (2; -1)

∆ ' = (−4) 2 − 3.4 = 4 > 0

Í-

2 −1 ; )và B (2; -1) 3 9 Câu 3. Gọi số tiền mua 1 cái bàn ủi với giá niêm yết là x (ngàn đồng) ( 0 < x < 850) Số tiền mua 1 cái quạt điện với giá niêm yết là y (ngàn đồng) ( 0 < y < 850) Tổng số tiền mua bàn ủi và quạt điện là 850 ngàn đồng nên ta có phương trình: x+y=850(1) 90 9 Số tiền thực tế để mua 1 cái bàn ủi là: x= x 100 10 80 8 y= y Số tiền thực tế để mua 1 cái quạt điện là: 100 10 Theo bài ra ta có phương trình: 9 8 x + y =850-125 10 10

BỒ

ID Ư

Ỡ N

ÁN

-L

Vậy tọa độ giao điểm của (P) và d là A(

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

9 8 x + y =725 10 10 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

H Ơ

 x + y = 850  x = 450  <=>  8 9  y = 400 10 x + 10 y = 725

9 .450=405(ngàn đồng) 10 8 Số tiền thực tế mua 1 cái quạt điện là: .400=320(ngàn đồng) 10 Vậy số tiền chênh lệch giữa giá bán niêm yết và giá bán thực tế của 1 cái bàn ủi là: 450 – 405 =45 (ngàn đồng) Vậy số tiền chênh lệch giữa giá bán niêm yên và giá bán thực tế của 1 cái quạt điện là: 400 – 320= 80(ngàn đồng) ĐS. 45 và 80 (ngàn đồng) Câu 4 x2– (m + 3)x – 2m2 + 3m + 2 = 0 (1) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 <=> ∆ = (m + 3)2 − 4(−2m 2 + 3 x + 2) > 0

B 00

ẤP

<=>(m2+6m+9)+(8m2-12m-8)>0 <=>9m2-6m+1>0 <=>(3m-1)2>0 1 <=> m ≠ 3  x1 + x2 = m + 3 (Viet ) Với điều kiện đó, ta có:  2  x1 x2 = −2m + 3m + 3

TR ẦN

Ư N

ẠO

TP .Q

Số tiền thực tế mua 1 cái bàn ủi là:

Để hai nghiệm x1, x2 là độ dài của hai cạnh lên tiếp của hình chữ nhật có đường chéo bằng 10 , điều kiện cần là:

x12 + x12 = 10 <=> ( x1 + x2 ) 2 − 2 x1 x2 = 10

-L

Í-

<=> (m + 3)2 − 2(−2m 2 + 3m + 2) = 10

BỒ

ID Ư

Ỡ N

ÁN

<=> 5m 2 − 5 = 0 <=> m = ±1 Với m = 1 có x1 = 3, x2 = 1 (thỏa mãn) Với m = –1 có x1 = 3, x2 = –1 (loại vì x2 < 0 không phải là độ dài của một đoạn thẳng) Vậ y m = 1

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ẠO

TP .Q

H Ơ

Câu 5

Ỡ N

ÁN

-L

Í-

ẤP

TR ẦN

Ư N

1) Vì AN là tiếp tuyến của (O) nên OAN = 90° Vì M là trung điểm dây BC của (O) nên OM ⊥ BC ⇒ OMN=90°=>OAN+OMN = 180° Suy ra ANMO là tứ giác nội tiếp 2) Vì AK là đường kính của (O), C ∈ (O) nên ACK =90° =>ACK=OHB=90° Mặt khác vì ABKC là tứ giác nội tiếp nên AKC=ABH=>tam giác AKC đồng dạng với tam giác ABH (g.g) AK AC => = => AK . AH = AB. AC AB AH 3)Ta có NAB=ACB=>NAD=NAB+BAD=ACB+BAD Theo công thức góc ngoài ta có NDA=DAC+ACB Vì AD là phân giác của góc A nên BAD=DAC=>NAD=NDA Suy ra ∆ AND cân tại N 4)Có AF ⊥ FK mà AF ⊥ BC ⇒ BC // FK ⇒ BCKF là hình thang Gọi P là trung điểm FK ⇒ OP ⊥ FK ⇒ OP ⊥ BC ⇒ O, M, P thẳng hàng Gọi E là điểm đối xứng với C qua O ⇒ ∆ EBC vuông tại B và BEC=BAC=60o =>EB=EC.cos60=R EB R BC=EC.sin60=R 3 => OM = = 2 2 Có ∆ AFK vuông tại F và FAK=30=>FK=AK.sin30=R

ID Ư

AF=AK.cos30= R 3 => OP =

AF R 3 = 2 2

R ( 3 − 1) 2 Diện tích hình thang BCKF là

BỒ

MP=OP-OM=

S BCKF =

1 1 R ( 3 − 1) ( 3 − 1)( 3 + 1) R 2 MP.( BC + KF ) = . ( R 3 + R) = R 2 . (dvdt ) = 2 2 2 4 2

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2016 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 120 phút (không tính thời gian giao đề)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG

a) Với giá trị nào của x thì

Bài 1. (1,5 điểm)

H Ơ

x − 2 xác định.

ẠO

TP .Q

(a + b) 2 − (a − b) 2 với ab ≠ 0 b) Rút gọn biểu thức M = ab Bài 2. (2,0 điểm) 2 x − y = 0 a) Giải hệ phương trình  3 x − 2 y = 1 b) Cho phương trình x 2 + x − 2 + 2 = 0 có hai nghiệm là x1 và x2.

Tính giá trị của biểu thức x13 + x23

Ư N

Bài 3. (2,0 điểm)

1 2 x và đồ thị hàm số (P) và y = x + 4 có đồ thị (d) 2 a) Vẽ đồ thị (P). b) Gọi A, B là các giao điểm của hai đồ thị (P) và (d). Biết rằng đơn vị đo trên các trục tọa độ là xentimét, tìm tất cả các điểm M trên tia Ox sao cho diện tích tam giác MAB bằng 30 cm2. Bài 4. (2,0 điểm) 3 Một miếng bìa hình chữ nhật có chiều rộng bằng chiều dài. Nếu chiều rộng giảm đi 1cm và chiều dài giảm đi 5 4cm thì diện tích của nó bằng nửa diện tích ban đầu. Tính chu vi miếng bìa đó. Bài 5. (3,5 điểm) Cho ∆ ABC nhọn có AB < AC và nội tiếp trong đường tròn tâm O đường kính AD. Gọi AH là đường cao của ∆ ABC. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng AD tại E a) Chứng minh ABHE là tứ giác nội tiếp b) Chứng minh hai đường thẳng HE và AC vuông góc với nhau c) Gọi F là hình chiếu vuông góc của điểm C lên đường thẳng AD và M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Chứng minh rằng M là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ HEF.

BỒ

ID Ư

Ỡ N

ÁN

-L

Í-

ẤP

TR ẦN

Cho hai hàm số y =

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ĐÁP ÁN Bài 1. (1,5 điểm) a)

x − 2 xác định ⇔ ≥ x2

TP .Q

H Ơ

(a + b) 2 − (a − b) 2 (a + b + a − b)(a + b − a + b) 2a.2b b) M = = = =4 ab ab ab Bài 2. (2,0 điểm) a) Giải hệ phương trình 2 x − y = 0 4 x − 2 y = 0  x = −1  x = −1 <=>  <=>  <=>   3 x − 2 y = 1 3 x − 2 y = 1 3(−1) − 2 y = 1  y = −2 Hệ có nghiệm duy nhất (–1;–2)

Đ G

TR ẦN

= ( x1 + x2 )( x12 − x1 x2 + x2 2 ) = ( x1 + x1 )[( x1 + x2 ) 2 − 3 x1 x2 ]

Ư N

 x1 + x2 = −1 Áp dụng hệ thức Viet cho phương trình trên ta được:   x1 x2 = −2 + 2 Suy ra x13 + x23

ẠO

b) x 2 + x − 2 + 2 = 0

= (−1)[(-1)2 − 3(−2 + 2)] = 3 2 − 7

0 0

1 1 2

2 2

-1 1 2

ẤP

-2 2

BỒ

ID Ư

Ỡ N

ÁN

-L

Í-

x y

Bài 3 (2,0 điểm) 1 a) y = x 2 2 Bảng giá trị

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ư N

ẠO

TP .Q

H Ơ

B 00

∆ ' = (−1) 2 − (−8) = 9 > 0

TR ẦN

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là: 1 2 x = x+4 2 <=> x 2 − 2 x − 8 = 0

ẤP

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x = 4; x = -2 Với x = -2 ta có y = 2 =>A(-2;2) Với x = 4 ta có y = 8 ⇒B(4;8) Gọi M(m;0) thuộc tia Ox (m > 0). Gọi C(–2;0), D(4;0). Xét hai trường hợp: Trường hợp 1: M thuộc đoạn OD: Ta có S AMB = S ABDC − S ACM − S BDM

Có ABDC là hình thang, AC = 2cm, BD = 8cm, CD = 6cm ⇒ S ABDC =

(2 + 8).6 = 30(cm 2 ) 2

ÁN

-L

Í-

Suy ra SAMB < 30cm2 (loại) Trường hợp 2: M thuộc tia Dx (M ≠ D) ⇒ m > 4 Ta có : S AMB = S ABDC − S ACM + S BDM

Ỡ N

Có SABDC = 30cm2, MC = m + 2 (cm), MD = m – 4 (cm) Suy ra

1 1 AC.CM = .2.(m + 2) = m + 2(cm 2 ) 2 2 1 1 S BDM = BD.DM = .8.(m − 4) = 4(m − 4)(cm 2 ) 2 2 (thỏa mãn) 2 => S AMB = 30cm <=> S ACM = S BDM <=> m + 2 = 4(m − 4) <=> m = 6 Vậy M(6;0) là điểm cần tìm. Bài 4 (1,0 điểm) Gọi chiều dài của hình chữ nhật đó là x (cm) (x > 4)

BỒ

ID Ư

S ACM =

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

3 3 chiều dài nên chiều rộng của hình chữ nhật là x(cm) 5 5 3 Diện tích của hình chữ nhật ban đầu là x2(cm2) 5

-L

Í-

ẤP

TR ẦN

Ư N

ẠO

TP .Q

H Ơ

3 Khi giảm chiều rộng 1cm và giảm chiều dài 4cm thì diện tích của hình chữ nhật mới là ( x − 1)( x − 4)(cm 2 ) 5 Diện tích hình chữ nhật mới bằng một nửa diện tích ban đầu nên ta có phương trình: 3 1 3 ( x − 1)( x − 4) = . x 2 5 2 5 3 17 <=> x 2 − x + 4 = 0 10 5  x = 10(TM ) <=>   x = 4 ( L) 3  3 Chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật ban đầu lần lượt là 10cm và .10=6cm 5 Chu vi miếng bìa là 2.(10 + 6) = 32 (cm) Bài 5 (3,5 điểm)

Vì chiều rộng bằng

BỒ

ID Ư

Ỡ N

ÁN

a) Vì AH ⊥ BC, BE ⊥ AD nên góc AHB = góc AEB = 90o Suy ra tứ giác ABHE là tứ giác nội tiếp b)Vì góc ACD là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên góc ACD = 90o ⇒ AC ⊥ CD (1) Vì ABHE là tứ giác nội tiếp nên góc ABH = góc HED (góc trong và góc ngoài đỉnh đối diện) Vì ABDC là tứ giác nội tiếp đường tròn (O) nên góc ABC = góc ADC (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AC), hay góc ABH = góc EDC Suy ra góc HED = góc EDC ⇒ EH // DC(2) Từ (1) và (2) ⇒ HE ⊥ AC c)Vẽ BK ⊥ AC tại K Ta có góc AKB = góc AEB = 90o nên AKEB là tứ giác nội tiếp Suy ra góc BKE = góc BAE (2 góc nội tiếp cùng chắn cung BE) = góc BAD(3) Vì ABDC là tứ giác nội tiếp nên góc BAD = góc BCD (2 góc nội tiếp cùng chắn cung BD)(4) Vì AK // CD (cùng ⊥ AC) nên góc BCD = góc KBM (đồng vị)(5)

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

BỒ

ID Ư

Ỡ N

ÁN

-L

Í-

ẤP

TR ẦN

Ư N

ẠO

TP .Q

H Ơ

Vì M là trung điểm cạnh huyền BC của tam giác vuông BKC nên MK = MB = MC ⇒ ∆ MKB cân tại M ⇒ góc KBM = góc BKM (6) Từ (3), (4), (5), (6) có góc BKE = góc BKM ⇒ K, E, M thẳng hang ME MK = = 1 =>ME = MH Mà HE // BK (cùng ⊥ AC) nên MH MB Chứng minh tương tự ta có MF = MH Suy ra ME = MF = MH ⇒ M là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ HEF (đpcm).

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI VÀO 10 THPT NĂM HỌC 2016 – 2017 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi gồm có 01 trang)

H Ơ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Câu 1 (2 điểm) Giải phương trình và hệ phương trình sau: a )(x + 3) 2 = 16

2 x+x 1 x +2 ) : (1 − ) với x ≥ 0, x ≠ 1 − x x −1 x −1 x + x +1

a) Rút gọn biểu thức: A = (

ẠO

TP .Q

2 x + y − 3 = 0  b)  x y  4 = 3 − 1 Câu 2 (2,0 điểm)

Ư N

b) Tìm m để phương trình x2 – 5x + m – 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x12 − 2 x1 x2 + 3 x2 = 1

BỒ

ID Ư

Ỡ N

ÁN

-L

Í-

ẤP

TR ẦN

Câu 3 (2,0 điểm) a) Tìm a và b biết đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm A(–1;5) và song song với đường thẳng y = 3x + 1 b) Một đội xe phải chuyên chờ 36 tấn hàng. Trước khi làm việc, đội xe đó được bổ sung thêm 3 xe nữa nên mỗi xe chở ít hơn 1 tấn so với dự định. Hỏi đội xe lúc đầu có bao nhiêu xe? Biết rằng số hàng chở trên tất cả các xe có khối lượng bằng nhau Câu 4 (3,0 điểm) Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Gọi C là điểm cố dịnh thuộc đoạn thẳng OB (C khác O và B). Dựng đường thẳng d vuông góc với AB tại điểm C, cắt nửa đường tròn (O) tại điểm M. Trên cung nhỏ MB lấy điểm N bất kỳ (N khác M và B), tia AN cắt đường thẳng d tại điểm F, tia BN cắt đường thẳng d tại điểm E. Đường thẳng AE cắt nửa đường tròn (O) tại điểm D (D khác A). a) Chứng minh AD. AE = AC.AB b) Chứng minh: Ba điểm B, F, D thẳng hàng và F là tâm đường tròn nội tiếp ∆ CDN c) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ AEF. Chứng minh rằng điểm I luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi điểm N di chuyển trên cung nhỏ MB Câu 5 (1,0 điểm) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn abc = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: ab bc ca P= 5 5 + 5 5 + 5 a + b + ab b + c + bc c + a 5 + ca ––––––––––Hết––––––––––

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com ĐÁP ÁN

H Ơ

Câu 1 (2,0 điểm) a) (x + 3)2 = 16 <=> (x + 3)2 = 42 x + 3 = 4 x = 1 <=>  <=>   x + 3 = −4  x = −7

TP .Q

Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 1; x = -7

ẠO

2 x + y − 3 = 0  b)  x y  4 = 3 − 1

Ư N

2 x + y = 3 2 x + y = 3 8 x + 4 y = 12 11x = 0 x = 0 <=>  <=>  <=>  <=>  <=>  3 x = 4 y − 12 3 x − 4 y = −12 3 x − 4 y = −12 3 x = 4 y − 12 y = 3 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (0;3) Câu 2 (2,0 điểm)

2 x+x 1 x +2 ) : (1 − ) với x ≥ 0, x ≠ 1 − x x −1 x −1 x + x +1

TR ẦN

a) A = (

00 10

2 x + x − x − x −1 ( x − 1)( x − 1)

2 x + x − x − x −1 x + x +1 . ( x − 1)( x + x + 1) x + x + 1 − x − 2

ẤP

 2 x+x x + x + 1  x + x + 1 − ( x + 2) =  −  : 3 3 x + x +1  ( x ) −1 ( x ) −1 

x −1 ( x − 1)( x − 1) 1 = x −1 b) x2 - 5x + m-3 = 0 (1) Phương trình (1) có 2 nghiệm x1; x2 <=> ∆ > 0 <=> (-5)2 – 4(m-3) >0 <=> 25 – 4m + 12> 0 <=>37 – 4m > 0 37 <=> m < 4 37 Với m < . Áp dụng định lý vi-et cho phương trình (1) ta có 4  x1 + x2 = 5   x1 x2 = m − 3

BỒ

ID Ư

Ỡ N

ÁN

-L

Í-

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ta có: x12 − 2 x1 x2 + 3 x2 = 1 (*) Thay x1 =5-x2 vào (*) ta được: (5 − x2 )2 − 2(5 − x2 ).x 2 + 3 x2 = 1

<=> 3 x2 2 − 17 x2 + 24 = 0

N Y U

Ỡ N

ÁN

-L

Í-

ẤP

TR ẦN

Ư N

ẠO

TP .Q

17 + 1   x1 = 6 = 3   x = 17 − 1 = 8  2 6 3 +Với x2 =3=>x1=2 Thay x1.x2 = m-3 =>2.3=m-3=>m=9(Thỏa mãn) 8 7 +Với x2= =>x1= 3 3 8 7 83 Thay x1.x2 = m-3 => . = m − 3 => m = (Thỏa mãn) 3 3 9 83 Vậy m=3 hoặc m= 9 Câu 3 (2,0 điểm) a) Đồ thị hàm số y = ax + b song song với đường thẳng y = 3x + 1 nên ta có a = 3 và b ≠ 1 Do điểm A(-1;5) thuộc đồ thị hàm số y = ax + b nên ta có: 5 = a. (-1) + b <=> 5 = 3. (-1) + b <=> b = 8 (thỏa mãn) Vậy a = 3, b = 8 thỏa mãn yêu cầu bài toán b) Gọi số xe của đội lúc đầu là x (xe), (x > 0) Sau khi bổ sung thêm 3 xe thì số xe của đội là: x + 3 (xe) 36 Theo dự định thì mỗi xe phải chở số tấn hàng là: (tấn) x 36 Thực tế mỗi xe phải chở số tấn hàng là: (tấn) x+3 Theo bài ra ta có phương trình: 36 36 =1 x x+3 <=>36(x+3)-36x=x(x+3) <=>36x+108-36x-x2-3x=0 <=>x2+3x-108=0

H Ơ

∆ =1

ID Ư

∆ = 32 − 4.(−108) = 441 > 0

BỒ

 −3 − 441 = −12 x = 2 <=>   −3 + 441 = 9(TM ) x =  2 Vậy số xe lúc đầu của đội là 9 xe. Câu 5

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ư N

ẠO

TP .Q

H Ơ

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

BỒ

ID Ư

Ỡ N

ÁN

-L

Í-

ẤP

TR ẦN

a) Có ADB= ANB = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) =>Tam giác ADB đồng dạng với tam giác ACE(g-g) AD AB => = => AD. AE = AC. AB AC AE b) + Có AN ⊥ EB, EC ⊥ AB , EC giao AN tại F nên F là trực tâm của tam giác AEB ⇒ BF ⊥ EA Mà BD ⊥ EA ⇒ B, D, F thẳng hang + Tứ giác ADFC có hai góc đối bằng 90o nên là tứ giác nội tiếp, suy ra DCF=DAF Tương tự ta có: NCF=NBF Mà DAF=NBF (cùng phụ với góc AEB) =>DCF=NCF Suy ra CF là phân giác của góc DCN Tương tự ta cũng có DF là phân giác của góc NDC Vậy F là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DCN c) Gọi J là giao của (I) với đoạn AB. Có FAC=CEB(=90o-ABE)=> tam giác FAC đồng dạng với tam giác BEC(g-g) FC AC = => CF .CE = BC. AC => BC EC Vì AEFJ là tứ giác nội tiếp nên FJC=FEA(=180o-AJF) CF CJ =>Tam giác CFJ đồng dạng với tam giác CAE(g-g)=> = => CF .CE = CA.CJ CA CE Suy ra BC.AC = CA.CJ ⇒ BC = CJ ⇒ C là trung điểm BJ (vì J ≠ B) Suy ra J là điểm cố định Có IA = IJ nên I luôn thuộc đường trung trực của AJ, là đường cố định. Câu 5 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 5 số dương, ta có:

a 5 + a 5 + a 5 + b5 + b5 ≥ 5 5 a 5 .a 5 .a 5 .b5 .b5 = 5a 3b 2

=> 3a 5 + 2b5 ≥ 5a 3b 2 Tương tự ta có:

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

2a 5 + 3b5 ≥ 5a 2b3 => 5a 5 + 5b5 ≥ 5(a 3b 2 + a 2b 3 ) => a 5 + b5 ≥ a 2b 2 (a + b) =>

ab ab 1 c c ≤ 2 2 = = = 5 a + b + ab a b (a + b) + ab ab(a + b) + 1 abc(a + b) + c a + b + c 5

BỒ

ID Ư

Ỡ N

ÁN

-L

Í-

ẤP

TR ẦN

Ư N

ẠO

TP .Q

H Ơ

Ta có 2 bất đẳng thức tương tự, cộng lại ta có: c a b + + =1 P= a+b+c a+b+c a+b+c Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1 Vậy GTLN của P là 1

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT Năm học 2016 – 2017 ĐỀ THI MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Chú ý: Đề thi gồm 02 trang. Học sinh làm bài vào tờ giấy thi

ĐỀ CHÍNH THỨC

H Ơ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

x xác định khi và chỉ khi 2016 A. x ≥ 0 B. x < 0 C. x > 0 Câu 2: Đồ thị hàm số y = 2x – 5 không đi qua điểm nào dưới đây? A. (1;-3) B. (-1;-3) C. (2;-1) x + 2 y = 1 Câu 3: Hệ phương trình  vô nghiệm khi a bằng bao nhiêu? 2 x − ay = 3

TP .Q

I. Phần 1. Trắc nghiệm (2,0 điểm) Hãy chọn chỉ một chữ cái đứng trước câu trả lời đúng Câu 1: Biểu thức

D. (-2;-9)

Ư N

ẠO

D. x = 0

Í-

ẤP

TR ẦN

A. a=4 B. a= -6 C. a=6 D. a= -4 2 Câu 4: Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình 2x + 3x – 10 = 0 khi đó tích x1. x2 bằng: 3 3 B. B. − C. -5 D. 5 2 2 Câu 5: Trong hình vẽ bên:

ÁN

-L

Biết AC là đường kính của đường tròn tâm O, góc BDC bằng 60o và góc ACB bằng x. Khi đó x bằng: A. 40o B. 45o C. 35o D. 30o

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Câu 6: Hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O;R) cắt nhau tại M, nếu MA = R 3 thì số đo góc ở tâm AOB bằng: A. 120o B. 90o C. 60o D. 45o Câu 7: Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;r) có bán kính lần lượt là R = 5 cm, r = 3cm và khoảng cách giữa hai tâm là 7cm. Khi đó: A. (O) và (O’) tiếp xúc ngoài B. (O) và (O’) tiếp xúc trong C. (O) và (O’) không giao nhau D. (O) và (O’) cắt nhau Câu 8: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng 4cm, chiều cao bằng 5cm. Thể tích hình trụ bằng A. 100π(cm3) B. 80π(cm3) C. 60π(cm3) D. 80(cm3) II. Phần 2. Tự luận (8,0 điểm)

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Bài 1. (2,0 điểm) 1. Rút gọn các biểu thức sau: a ) A = (2 3 − 5 27 + 4 12) : 3

2 − 28 + 54 7− 6

H Ơ

b) B =

ẠO

TP .Q

2 x − y = 3 2. Giải hệ phương trình  3 x + 2 y = 8 3. Xác định hệ số a và b của đường thẳng (d): y = ax + b, biết đường thẳng (d) song song với đường thẳng (d’): y = x + 2017 và đi qua điểm A(–1;2015) Bài 2. (2,0 điểm) 1. Cho phương trình: x2 – mx – 4 = 0 (1) ( với m là tham số) a) Giải phương trình (1) khi m = 3 b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 (x 2 2 + 1) + x2 ( x12 + 1) > 6

-L

Í-

ẤP

TR ẦN

Ư N

2. Cho tam giác vuông có cạnh huyền bằng 20cm. Hai cạnh góc vuông có độ dài hơn kém nhau 4cm. Tính độ dài mỗi cạnh góc vuông của tam giác vuông đó Bài 3. (3,0 điểm) Cho ∆ ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Kẻ AH ⊥ BC tại H. Gọi I và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O). a) Chứng minh tứ giác AHCK nội tiếp đường tròn. b) Chứng minh góc AHK = góc ABC và AH2 = AI.AK c) Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AI và AK. Chứng minh rằng: Nếu AH = AM + AN thì ba điểm A, O, H thẳng hàng. Bài 4 (1,0 điểm) 1 1 1 a) Cho a > 0, b > 0, c > 0. Chứng minh rằng: (a + b + c)( + + ) ≥ 9 a b c b) Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 9 2 P= + 2 2(ab + bc + ca ) a + b 2 + c 2 ĐÁP ÁN

4.C

5.D

6.A

7.D

8.B

Ỡ N

ÁN

I. Phần 1. Trắc nghiệm (2,0 điểm) 1.A 2.B 3.D II. Phần 2. Tự luận (8,0 điểm) Bài 1. (2,0 điểm) 1. Rút gọn các biểu thức sau: a)

BỒ

ID Ư

A = (2 3 − 5 27 + 4 12) : 3

= (2 3 − 5.3 3 + 4.2 3) : 3

= −5 3 : 3 = −5 b)

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

2 − 28 + 54 7− 6

2( 7 + 6) − 7.4 + 9.6 ( 7 − 6)( 7 + 6)

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

2 7 +2 6 −2 7 +3 6 7−6 = 2 7 +2 6 −2 7 +3 6

H Ơ

ẠO

TP .Q

=5 6 2. Giải hệ phương trình 2 x − y = 3 4 x − 2 y = 6 7 x = 14 x = 2 <=>  <=>  <=>   3 x + 2 y = 8 3 x + 2 y = 8 2 x − y = 3 y =1

ẤP

TR ẦN

Ư N

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (2;1) 3. Đường thẳng (d): y = ax + b song song với đường thẳng (d’): y = x + 2017 nên ta có a = 1 và b ≠ 2017. Khi đó (d) trở thành: y = x + b (b ≠ 2017) Do đường thẳng (d) đi qua điểm A(-1;2015) nên ta có: 2015 = –1 + b ⇒ b = 2016 (thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình đường thẳng (d) cần tìm là: y = x + 2016. Bài 2. (2,0 điểm) 1. a) Khi m = 3 thì phương trình (1) trở thành: x2-3x-4=0 Ta có: a - b + c = 1 – (-3) + (-4) = 0 Nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt x = -1; x = 4 Vậy khi m = 3 thì phương trình có tập nghiệm là S = {-1;4} b)Phương trình (1) có 2 nghiệm x1; x2 khi và chỉ khi ∆ ≥ 0 <=> (− m)2 − 4(−4) ≥ 0 <=> m 2 + 16 ≥ 0

-L

Í-

=>∀m thì phương trình (1) luôn có 2 nghiệm x1; x2.  x1 + x2 = m Áp dụng định lý Viet cho phương trình (1) ta có:   x1 x2 = −4

ÁN

Theo bài ra ta có: x1 ( x2 2 + 1) + x2 ( x12 + 1) > 6

<=> x1 x2 2 + x1 + x2 x12 + x2 > 6

<=> x1 x2 (x1 + x2 ) + ( x1 + x2 ) > 6

Ỡ N

<=> ( x1 + x2 )( x1 x2 + 1) > 6

ID Ư

<=> m(−4 + 1) > 6 <=> −3m > 6

BỒ

<=> m < −2 Vậy m < - 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán. 2.Gọi độ dài cạnh góc vuông nhỏ hơn của tam giác vuông đó là x (cm) (x > 0) Cạnh góc vuông lớn hơn của tam giác vuông đó dài là x + 4 (cm)

Theo Pitago, cạnh huyền của tam giác vuông đó dài là

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

x 2 + ( x + 4) 2 (cm)

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Vì cạnh huyền bằng 20cm nên

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

x 2 + ( x + 4) 2 =20

<=> x 2 + ( x + 4) 2 = 400

TR ẦN

Ư N

ẠO

TP .Q

H Ơ

<=> 2 x 2 + 8 x − 384 = 0 <=>x = 12 (tm) hoặc x = –16 (loại) Vậy độ dài 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông đó lần lượt là 12cm và 12 + 4 = 16cm. Bài 3

Ỡ N

ÁN

-L

Í-

ẤP

a) Vì AH ⊥ HC, AK ⊥ KC nên góc AHC = góc AKC = 90o ⇒ góc AHC + góc AKC = 180o Suy ra AHCK là tứ giác nội tiếp b) Vì AHCK là tứ giác nội tiếp nên góc AHK = góc ACK (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AK) Mặt khác góc ABC = góc ACK (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AC của (O)) Suy ra góc AHK = góc ABC. (1) Vì góc AHB = góc AIB = 90o + 90o = 180o nên AHBI là tứ giác nội tiếp ⇒ góc ABH = góc AIH hay góc ABC = góc AIH (2) Từ (1) và (2) ⇒ góc AHK = góc AIH (3) Chứng minh tương tự, ta có góc AHI = góc AKH (4) Từ (3) và (4) có tam giác AIH đồng dạng với tam giác AHK(g-g) AI AH => = => AH 2 = AI . AK (đpcm) AH AK c) Vì M, N là trung điểm của AI, AK nên

ID Ư

AI AK AI + AK ( AI + AK )2 + = => AH 2 = 2 2 2 4 Kết hợp với ý b, ta có

BỒ

AH = AM + AN =

( AI + AK ) 2 = AI . AK <=> ( AI + AK ) 2 = 4. AI . AK 4 <=> ( AI − AK ) 2 = 0

<=> AI = AK

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ

Gọi J là giao điểm của 2 tiếp tuyến tại B, C của (O). Có ∆ OBJ = ∆ OCJ (cạnh huyền–cạnh góc vuông) ⇒ JO là phân giác của góc BJC và JB = JC Suy ra OJ là đường trung trực của BC ⇒ OJ ⊥ BC Vì AI = AK, AI ⊥ IJ, AK ⊥ KJ nên A thuộc đường phân giác của góc IJK ⇒ A ∈ OJ Suy ra AO ⊥ BC, mà AH ⊥ BC nên A, O, H thẳng hàng. Bài 4 a) Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương, ta có:

a + b + c ≥ 3 3 abc

TP .Q ẠO Đ G Ư N H

TR ẦN

1 1 1 1 1 1 (a + b + c)( + + ) ≥ 3 3 abc .3 3 . . = 9 (đpcm) a b c a b c b) Với mọi a, b, c > 0 ta có 1 1 1 (a − b)2 + (b − c) 2 + (c − a ) 2 ≥ 0 => a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca 2 2 2 1 1 => ≥ 2 6(ab + bc + ca ) 6(a + b 2 + c 2 )

1 1 1 1 1 1 + + ≥ 33 . . a b c a b c Nhân từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều dương, ta được:

13 1 2 + + 2 3(ab + bc + ca ) 6(ab + bc + ca ) a + b 2 + c 2 13 1 2 ≥ + + 2 2 2 2 3(ab + bc + ca ) 6(a + b + c ) a + b 2 + c 2 13 13 13 1 1 1 ) = + = ( + + 2 2 2 2 3(ab + bc + ca ) 6(a + b + c ) 6 ab + bc + ca ab + bc + ca a + b 2 + c 2 Áp dụng ý a, ta có 1 1 1 (2 ab + 2 bc+ 2ca + a 2 + b 2 + c 2 )( + + 2 )≥9 ab + bc + ca ab + bc + ca a + b 2 + c 2 1 1 1 9 => + + 2 ≥ =9 2 2 ab + bc + ca ab + bc + ca a + b + c ( a + b + c) 2 39 => P ≥ 2 1 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 3 39 Vậy GTNN của P là 2

BỒ

ID Ư

Ỡ N

ÁN

-L

Í-

ẤP

=> P =

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ

ĐỀ CHÍNH THỨC

KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT Năm học 2016 – 2017 Môn thi: TOÁN Ngày thi: 08 tháng 6 năm 2016 Thời gian làm bài: 120 phút

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI

Bài I (2,0 điểm)

7 2 x − 24 x và B = + với x ≥ 0, x ≠ 9 x −9 x −3 x +8 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 25

TP .Q

Cho hai biểu thức A =

x +8 x +3 3) Tìm x để biểu thức P = A.B có giá trị là số nguyên Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 720 m2. Nếu tăng chiều dài thêm 10m và giảm chiều rộng 6m thì diện tích mảnh vườn không đổi. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn. Bài III (2,0 điểm) 2  3x  x −1 − y + 2 = 4  1) Giải hệ phương trình   2x + 1 = 5  x − 1 y + 2

TR ẦN

Ư N

ẠO

2) Chứng minh B =

Ỡ N

ÁN

-L

Í-

ẤP

2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = 3x + m – 1 và parabol (P): y = x2 a) Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m b) Gọi x1, x2 là hoành độ các giao điểm của (d) và (P). Tìm m để (x1+1)(x2+1)=1 Bài IV (3,5 điểm) Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (O) (B là tiếp điểm) và đường kính BC. Trên đoạn thẳng CO lấy điểm I (I khác C, I khác O). Đường thẳng AI cắt (O) tại hai điểm D và E (D nằm giữa A và E). Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng DE. 1) Chứng minh bốn điểm A, B, O, H cùng nằm trên một đường tròn. AB BD 2) Chứng minh = AE BE 3) Đường thẳng d đi qua điểm E song song với AO, d cắt BC tại điểm K. Chứng minh HK // DC 4) Tia CD cắt AO tại điểm P, tia EO cắt BP tại điểm F. Chứng minh tứ giác BECF là hình chữ nhật. Bài V (0,5 điểm) Với các số thực x, y thỏa mãn x − x + 6 =

BỒ

ID Ư

y + 6 − y tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ĐÁP ÁN ĐỀ THI VÀO 10 THPT SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI NĂM HỌC 2016 – 2017 Môn thi: TOÁN

Bài I.(2,0 điểm)

N Y U TP .Q

x +8 x +3

Ư N

x ( x − 3) + 8( x − 3) ( x + 8)( x − 3) = = ( x − 3)( x + 3) ( x − 3)( x + 3)

x + 3 x + 2 x − 24 x − 3 x + 8 x − 24 = ( x − 3)( x + 3) ( x − 3)( x + 3)

2 x − 24 2 x − 24 x x ( x + 3) + = + x−9 ( x − 3)( x + 3) ( x − 3)( x + 3) x −3

ẠO

H Ơ

1) x = 25 nên ta có: x = 5 7 7 = Khi đó ta có: A = 5 + 8 13 2)

TR ẦN

3) P = A.B nên ta có:

7 7 x +8 . = x +8 x +3 x +3 +) Ta có x ≥ 0 nên P > 0

7 7 ≤ x +3 3

+) x ≥ 0 => x + 3 ≥ 3 <=>

7 3 Để P∈ Z =>P∈{1;2} +)P = 1 <=> x=16 (thỏa mãn điều kiện) 1 +) P = 2 <=>x= (thỏa mãn điều kiện) 4 1 Vậy x∈{ ;16} 4 Bài II (2 điểm). Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình Gọi chiều rộng của mảnh vườn hình chữ nhật là x (x>0; đơn vị: m) 720 Vì diện tích của của mảnh vườn hình chữ nhật là 720 m2 nên chiều dài là: (m) x Sau khi thay đổi kích thước: Chiều rộng của của mảnh vườn hình chữ nhật là: x – 6 (m) 720 +10(m) Chiều dài của của mảnh vườn hình chữ nhật là: x Vì diện tích của của mảnh vườn hình chữ nhật không đổi nên ta có phương trình: 720 (x-6).( +10)=720 x =>(x-6)(72+x)=72x <=>x2-6x-432=0

BỒ

ID Ư

Ỡ N

ÁN

-L

Í-

ẤP

Nên : 0 < P ≤

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ

Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1=24 (thỏa mãn điều kiện); x2=-18 (loại) Vậy chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật đó là 24 m; chiều dài mảnh đất hình chữ nhật đó là: 720:24 = 30 (m) Bài III ( 2 điểm) 1) Giải hệ phương trình 2  3x −  x −1 y + 2 = 4  ĐK x ≠1; y≠ -2   2x + 1 = 5  x − 1 y + 2

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

ẠO

TP .Q

 x  x − 1 = a Đặt  (b ≠ 0)Khi đó hệ phương trình trở thành:  1 =b  y + 2

Ư N

3a − 2b = 4 3a − 2b = 4 7 a = 14 a = 2 <=>  <=>  <=>   2a + b = 5 4a + 2b = 10  2a + b = 5 b = 1

TR ẦN

 x  x − 1 = 2 x = 2 (TM ) <=>  Khi đó ta có:   y = −1  1 =1  y + 2

ẤP

Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất (2;-1) 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y=3x + m2 – 1 và parabol (P): y= x2. a) Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): x2=3x+m2-1 <=>x2-3x-m2+1=0(*) ∆ = (−3) 2 − 4.1.(− m 2 + 1) = 4m 2 + 5 > 0∀m

-L

Í-

<=>Phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m <=>(d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m. b) Gọi x1; x2 là hoành độ các giao điểm của (d) và (P). Tìm m để (x1+1)(x2+1)=1 Ta có: ( x1 + 1)( x2 + 1) = 1

ÁN

<=> x1 x2 + ( x1 + x1 ) = 0

 x1 + x2 = 3 Áp dụng hệ thức Vi-et cho (*):  2  x1 x2 = −m + 1

Ỡ N

(**) <=> − m 2 + 1 + 3 = 0

BỒ

ID Ư

<=> m 2 = 4 <=> m = ±2 Vậy m= ±2 Bài IV (3,5 điểm)

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ư N

ẠO

TP .Q

H Ơ

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

BỒ

ID Ư

Ỡ N

ÁN

-L

Í-

ẤP

TR ẦN

1) Vì AB là tiếp tuyến của (O) nên AB ⊥ BO ⇒ góc ABO = 90o Vì H là trung điểm của dây DE của (O) nên OH ⊥ DE ⇒ góc AHO = 90o Suy ra góc ABO + góc AHO = 180O ⇒ AHOB là tứ giác nội tiếp Suy ra bốn điểm A, H, O, B nằm trên cùng một đường tròn. 2) Có góc ABD = góc AEB (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung BD) Xét ∆ ABD và ∆ AEB có chung góc BAE, góc ABD = góc AEB nên AB BD Tam giác ABD đồng dạng với tam giác AEB(g-g)=> = AE EB 3) Vì ABOH là tứ giác nội tiếp nên góc OAH = góc OBH Vì EK // AO nên góc OAH = góc HEK Suy ra góc OBH = góc HEK ⇒ BHKE là tứ giác nội tiếp ⇒ góc KHE = góc KBE Vì BDCE là tứ giác nội tiếp nên góc KBE = góc CDE Suy ra góc KHE = góc CDE ⇒ KH // CD 4) Gọi F’ là giao điểm của BP và đường tròn (O). Gọi AQ là tiếp tuyến thứ 2 của (O) Vì BDQC là tứ giác nội tiếp nên góc QDC = góc QBC(1) Vì ABOQ là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AO nên góc QBC = góc QAO (2) Từ (1), (2) ⇒ góc QDC = góc OAQ ⇒ APDQ là tứ giác nội tiếp ⇒ góc PDA = góc PQA (3) Có góc PDA = góc EDC = góc EBC (4) Ta có ∆ ABP = ∆ AQP (c.g.c) ⇒ góc PQA = góc PBA (5) Từ (3), (4), (5) ⇒ góc PBA = góc EBC Suy ra góc PBE = góc ABC = 90o ⇒ góc F’BE = 90o ⇒ F’E là đường kính của (O) ⇒ F’ ∈ OE ⇒ F’ ≡ F Vì FBEC là tứ giác nội tiếp nên góc FCE = 180o – góc FBE = 90o Tứ giác FBEC có góc FCE = góc FBE = góc BEC = 90o nên là hình chữ nhật. Bài V (0,5 điểm) Điều kiện: x ≥ –6, y ≥ –6

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Từ điều kiện đề bài ta có x + y ≥ 0 và

x + y = x + 6 + y + 6 <=> ( x + y )2 = x + y + 12 + 2 ( x + 6)( y + 6) (*) Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm, ta có

2 ( x + 6)( y + 6) ≤ ( x + 6) + ( y + 6) = x + y + 12

H Ơ

=> ( x + y ) 2 = x + y + 12 + 2 ( x + 6)( y + 6) ≤ 2( x + y ) + 24

<=> ( x + y ) 2 − 2( x + y ) − 24 ≤ 0 <=> −4 ≤ x + y ≤ 6

TP .Q

Khi x = y = 3 thì x + y = 6 Ta có 2 ( x + 6)( y + 6) ≥ 0 nên từ (*) suy ra

ẠO

( x + y ) 2 ≥ x + y + 12 <=> ( x + y − 4)( x + y + 3) ≥ 0

<=> x + y ≥ 4( Do x + y + 3 > 0)

BỒ

ID Ư

Ỡ N

ÁN

-L

Í-

ẤP

TR ẦN

Ư N

Khi x = 10, y = –6 hoặc x = –6, y = 10 thì x + y = 4 Vậy GTLN của P là 6 khi x = y = 3 và GTNN của P là 4 khi x = 10, y = –6 hoặc x = –6, y = 10

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

SỞ GD & ĐT HÀ TĨNH

ĐỀ THI VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2016 – 2017 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài 120 phút (không kể thời gian giao đề)

ĐỀ 2

Câu 1 (2 điểm): Rút gọn các biểu thức

H Ơ

3+ 3 2 3 1 1 2 )(1 − ) với x>0 và x khác 4 + b) Q = ( x −2 x +2 x Câu 2 (2 điểm): Cho phương trình: x2-2(m+2)x+m2+m+3=0 a) (1điểm) Giải phương trình với m = 1 x x b) (1điểm) Tìm m để pt có hai nghiệm , thỏa mãn: 1 + 2 = 5 x2 x1

ẠO

TP .Q

a ) P = ( 3 − 1)

BỒ

ID Ư

Ỡ N

ÁN

-L

Í-

ẤP

TR ẦN

Ư N

Câu 3 (2 điểm): Trong mp tọa độ Oxy cho hai đường thẳng: (d): y = ax + a +1 và (d’): y = (a2 – 3a +3)x + 3 – a. a) Tìm a để (d) đi qua A(1;3) b) Tìm a để (d) song song với (d’). Câu 4 (3 điểm): Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn có bờ là đường thẳng AB, kẻ tia Ax vuông góc với AB. Từ điểm M trên tại Ax kẻ tiếp tuyến MP với nửa đường tròn (P là tiếp điểm khác A). Đoạn AP cắt OM tại K, MB cắt nửa đường tròn tại Q (Q khác B). a) Chứng minh AMPO, AMQK là các tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh hai tam giác MQO và MKB đồng dạng. c) Gọi H là hình chiếu của P trên AB, I là giao điểm của MB và PH. Chứng minh: KI vuông góc với AM. Câu 5 (1 điểm) : Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 7 P = (2a + 2b − 3)(a 3 + b3 ) + (a + b) 2

---HẾT--ĐÁP ÁN ĐỀ THI VÀO 10 MÔN TOÁN HÀ TĨNH NĂM HỌC 2016 – 2017

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 1 (2 điểm): a ) P = ( 3 − 1)

H Ơ N Y

2 x +2

2 x x −2 )( )= ( x − 2)( x + 2) x

1 1 2 x +2+ x −2 x −2 )(1 − )=( )( ) + x −2 x +2 x x ( x − 2)( x + 2)

b) Q = ( =(

3+ 3 3( 3 + 1) ( 3 − 1)( 3 + 1) 3 − 1 = ( 3 − 1) = = =1 2 2 2 3 2 3

ẠO

TP .Q

Câu 2 (2 điểm): a) Với m = 1 thì pt đã cho trở thành: x2-6x+5=0 có a+b+c=0 nên phương trình này có hai nghiệm x1=1;x2=5 b) Để pt đã cho có nghiệm thì ∆ ' ≥ 0

<=> [-(m + 2)]2 − 1(m 2 + m + 3) ≥ 0

Ư N

<=> m 2 + 4m + 4 − m 2 − m − 3 ≥ 0

<=> 3m + 1 ≥ 0

TR ẦN

−1 (*) 3

<=> m ≥

ẤP

2(m + 2)  = 2(m + 2)  x1 + x2 = 1 Khi đó, theo hệ thức Vi ét thì:  2  x x = m + m + 3 = m2 + m + 3  1 2 1 Ta có:  x1 x2 ≠ 0  x1 x2 ≠ 0 x1 x2 + = 5 <=>  2 <=>  2 2 x2 x1  x1 + x2 = 5 x1 x2 ( x1 + x2 ) = 7 x1 x2 2 2 m + m + 3 ≠ 0  m + m + 3 ≠ 0∀m =>  <=>  2 2 2 [2(m + 2)] = 7(m + m + 3) 3m − 9m + 5 = 0

9 ± 21 (TM (*)) 6 Câu 3 (2 điểm): a) * Nếu a = 0 thì đường thẳng y = 1 không đi qua điểm A(1;3) *Nếu a 0 thì (d) đi qua A(1;3) ⇔ 3 = a.1 + a + 1 ⇔ a =1

ÁN

-L

Í-

=> m1,2 =

BỒ

ID Ư

Ỡ N

 a = 0  2  a − 3a + 3 = 0( Loai )  a + 1 ≠ 3 − a  b) (d)//(d’)  a ≠ 0 => a = 3  2 a − 3a + 3 ≠ 0  2  a − 3a + 3 = a  a + 1 ≠ 3 − a Vậy a = 3 thì (d) // (d’) Câu 4 (3 điểm):

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ẠO

TP .Q

H Ơ

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

TR ẦN

Ư N

= MPO = 90o do đó tứ giác AMPO nội a) Ta có Ax và MP là hai tiếp tuyến của nửa đường tròn nên MAO tiếp. Ta có:  MA = MP(Tinh chat 2 tiep tuyen cat nhau)  OA=OP(ban kinh) O ≠ M  =>OM là trung trực của đoạn AP => AKM = 90o (1)

= 90o (2) Lại có: APB = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) => MQA

ẤP

= 90o cùng nhìn AM nên tứ giác AMQK nội tiếp. AKM = MQA Từ (1) và (2) suy ra

(cùng chắn cung AQ của nửa đường tròn) ABQ = MAQ b) Ta có:

= MKQ (do tứ giác MQKA nội tiếp – câu a)) Mà MAQ

Í-

=>tứ giác QKOB nội tiếp=> KOQ = QBK (cùng chắn cung KQ) ABQ = MKQ =>

-L

chung; KOQ = QBK (CM trên) nên hai tam giác MQO và MKB Xét hai tam giác MQO và MKB có BMK

BỒ

ID Ư

Ỡ N

ÁN

đồng dạng. c)Cách 1: BP cắt tia Ax tại C, ta có MO song song BC (vì cùng vuông góc với AP) mà AO = OB nên AM=MC IP IB IH Lại có PH song song với AC nên theo định lý Ta lét ta có: = = => IP = IH MC BM AM Từ đó dễ thấy KI là đường trung bình của tam giác APH, do đó KI song song với AB => KI ⊥AM Cách 2: phụ với KQA ; IPK phụ với PAH ;mà PAH = ) AMK (cùng phụ với MAK Ta có IQK

(do tứ giác MQKA nội tiếp-câu b). Do đó KQI = IPK AMK = AQK Nhưng

= QIK (cùng chắn cung KQ) mà QPK = QBA => QBA = QIK =>tứ giác KQPI nội tiếp => QPK =>KI song song với AB (có cặp góc đồng vị bằng nhau) => KI ⊥ AM. Câu 5 (1 điểm):

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Cách 1. Ta có: 7 (a + b)2

N Y U TP .Q ẠO

ẤP

7 7 7 7 7 ≥2 = (a + b) 2 + ( a + b) 2 . 2 2 16 (a + b) 16 ( a + b) 2 5 5 5 5 [ (a + b) − ]2 ≥ [ .2 ab − ]2 ≥ 0 4 2 4 2 13 13 ( a + b) ≥ 4 2 7 13 25 15 = Nên ta có: P ≥ + 0 + − 2 2 4 4

TR ẦN

Ta có:

Do a, b là các số dương, nên áp dụng BĐT Cô si ta có: a 2 + b 2 ≥ 2ab 7 P ≥ [2(a + b) − 3](a + b)(2 − ab) + ( a + b) 2 7 = [2(a + b) − 3](a + b)(2 − 1) + (a + b) 2 7 = [2(a + b) − 3](a + b) + (a + b)2 7 = 2(a + b) 2 − 3(a + b) + ( a + b) 2 7 7 5 5 13 25 = (a + b) 2 + + [ (a + b) − ]2 + (a + b) − 2 16 ( a + b) 4 2 4 4

H Ơ

7 (a + b) 2

Ư N

<=> [2(a + b) − 3](a + b)(a 2 − ab + b 2 ) +

P = (2a + 2b − 3)(a 3 + b3 ) +

Í-

a = b Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 15/4. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  a=b=1 ab = 1 Cách 2. Áp dụng bất đẳng thức AM – GM:

-L

a 3 + b3 ≥ 2 a 3b3 = 2(do ab=1)

ÁN

a+b ≥ 2

(a+b) 2 ≤ 2(a 2 + b 2 )( Bunhiacopski )

Ỡ N

=> P ≥ 2(2(a + b) − 3) +

7 7 15 ≥ 2(2.2 − 3) + = 2 2(a + b ) 2.2 4 2

BỒ

ID Ư

Suy ra Min P=15/4 a=b=1

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2016 – 2017 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài 120 phút (không kể thời gian giao đề)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG YÊN

H Ơ

Câu 1 (2,0 điểm)

a) Rút gọn biểu thức A = 3( 27 + 4 3)

-L

Í-

ẤP

TR ẦN

Ư N

ẠO

TP .Q

x − 3y = 5 b) Giải hệ phương trình  2 x + 3 y = 1 Câu 2 (1,5 điểm) a) Tìm tọa dộ điểm A thuộc đồ thị hàm số y = 2x2, biết hoành độ của điểm A bằng 2. b) Tìm m để hàm số bậc nhất y= (m-2)x-1 (m ≠ 2) đồng biến trên R. Câu 3 (1,5 điểm). Cho phương trình x2 – x – m + 2 = 0 (m là tham số). a) Giải phương trình với m = 3 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 ( x1 >x2 ) thỏa mãn 2x1 + x2 = 5. Câu 4 (1,5 điểm) a) Cho hình trụ có bán kính đường tròn đáy r = 2cm và chiều cao h = 5cm. Tính diện tích xung quanh của hình trụ đó. b) Một công ty vận tải dự định điều một số xe tải để vận chuyển 24 tấn hàng. Thực tế khi đến nơi thì công ty bổ sung thên 2 xe nữa nên mỗi xe chở ít đi 2 tấn so với dự định. Hỏi số xe dự định được điều động là bao nhiêu? Biết số lượng hàng chở ở mỗi xe như nhau và mỗi xe chở một lượt. Câu 5 (2,5 điểm). Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên tiếp tuyến tại A của đường tròn lấy điểm C sao cho C khác A. Từ C kẻ tiếp tuyến thứ hai CD (D là tiếp điểm) và cát tuyến CMN (M nằm giữa N và C) với đường tròn. Gọi H là giao điểm và CO và AD. a) Chứng minh các điểm C, A, O, D cùng nằm trên một đường tròn. b) Chứng minh CH.CO = CM.CN c) Tiếp tuyến tại Mcuar đường tròn (O) cắt CA, CD thứ tự tại E, F. Đường thẳng vuông góc với OC tại O cắt CA, CD thứ tự tại P, Q. Chứng minh PE + QF ≥ PQ. Câu 6 (1,0 điểm).

ÁN

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn

a + b + c = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

------------------------ Hết ------------------------(Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.)

BỒ

ID Ư

Ỡ N

P = 2a 2 + ab + 2b 2 + 2b 2 + bc + 2c 2 + 2c 2 + ca + 2a 2

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com ĐÁP ÁN – LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1. (2,0 điểm)

H Ơ N Y U TP .Q ẠO Đ

Ư N

x − 3y = 5 3 x = 6 x = 2 b)  <=>  <=>  2 x + 3 y = 1 2 x + 3 y = 1  y = −1 Vậy hệ có nghiệm (x;y) = (2;-1) Câu 2 (1,5 điểm) a) Vì A có hoành độ bằng 2 và thuộc đồ thị hàm số y = 2x2 nên y = 2.22 = 8. Vậy A(2;8) b)Để hàm số y = (m – 2)x – 1 đồng biến thì m – 2 > 0 <=> m > 2. Vậy m > 2. Câu 3 (1,5 điểm). a) Thay m = 3 vào phương trình ta có: x2 – x – 3 + 2 = 0 hay x2 – x – 1 = 0 Có ∆ = (-1)2-4.1(-1)=5 > 0

a ) A = 3( 27 + 4 3) = 81 + 4 9 = 9 + 4.3 = 21

1± 5 2 2 b) Phương trình x – x – m + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ∆ = (−1) 2 − 4.1(− m + 2) > 0

TR ẦN

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x =

00 10

7 4

<=> m >

<=> 4m − 7 > 0

BỒ

ID Ư

Ỡ N

ÁN

-L

Í-

ẤP

 x1 + x2 = 1(1) Theo Viet ta có:   x1 x2 = − m + 2(2) Mà 2x1 + x2 = 5 x2 = 5 – 2x1 (3) Thay (3) vào (1) ta có: x1 + 5 – 2x1 = 1 x1 = 4 thay vào (3) có x2 = -3. Thay x1 = 4 và x2 = -3 vào (2) ta có: - m + 2 = 4. (-3) nên m = 14 ( thỏa mãn điều kiện). Vậy m = 14 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 4 (1,5 điểm) a) Sxq = 2πrh = 2π.2.5 = 20π (cm2) 24 b) Gọi số xe ban đầu là x (xe) nên số hàng thực tế mỗi xe chở là (tấn) x 24 Số xe thực tế là x + 2 (xe) nên số hàng thực tế mỗi xe chở là (tấn) x+2 Theo bài ra ta có phương trình: 24 24 − =2 x x+2 12 12 <=> − =1 x x+2 => 12( x + 2) − 12 x = x( x + 2) <=> x 2 + 2 x − 24 = 0 ∆ ' = 12 − 1.(−24) = 25

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

TR ẦN

Ư N

ẠO

TP .Q

H Ơ

Từ đó ta tìm được x1 = 4 ( thỏa mãn điều kiện) và x2 = - 6 (loại). Vậy số xe ban đầu là 4 xe. Câu 5 (2,5 điểm)

BỒ

ID Ư

Ỡ N

ÁN

-L

Í-

ẤP

a) Vì CA, CD là tiếp tuyến của (O) (gt) Nên góc CAO = CDO = 900 ( theo tính chất tiếp tuyến) Suy ra 4 điểm C, A, O, D cùng thuộc 1 đường tròn. (điều phải chứng minh). Cách 2: có góc CAO = CDO = 900 nên góc CAO + CDO = 1800 Suy ra 4 điểm C, A, O, D cùng thuộc 1 đường tròn. b) Chứng minh được tam giác COD vuông tại A có đường cao DH nên CH.CO = CD2 (1) Ta chứng minh được ∆ CMD đồng dạng với ∆ CDN Nên có CM.CN = CD2 (2) (1) và (2) ta co dpcm. c) Ta có OFQ= MDO (cùng phụ với góc FDM) 1 MDA = AOE = sd AM (1) 2 Tứ giác AODC nội tiếp => ADO=ACO (Cùng chắn cung AO) Mà ACO =AOP (cùng phụ với góc P) => ADO=APO (2) Từ (1) và (2) suy ra POE=MDO=OFQ (3) Tam giác CPQ cân tại C => P=Q (4) Từ (3) và (4) ta có tam giác POE đồng dạng với tam giác QFO PO PE = <=> QF .PE = OP.OQ = OP 2 QF QO Theo Cô-si có QF + PE ≥ 2 QF .PE = 2 OP 2 = 2.OP = PQ

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi QF = PE (Tức là M là giao điểm của OC và (O)). Câu 6 (1,0 điểm) Với a,b,c là các số dương và

a + b + c =1

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Cách giải 1 - Ta có

5 3 5 ( a + b ) 2 + ( a − b) 2 ≥ ( a + b) 2 4 4 4 Dấu “=” xảy ra khi a =b

2c 2 + ca + 2a 2 ≥

H Ơ U

5 (b + c) . Dấu “=” xảy ra khi c =b 2

2b 2 + bc + 2c 2 ≥

Tương tự :

5 (a + b) b 2 − 4ac 2

TP .Q

2a 2 + ab + 2b 2 ≥

5 (c + a ) . Dấu “=” xảy ra khi a = c 2

ẠO

Hay

2a 2 + ab + 2b 2 =

Suy ra P = 2a 2 + ab + 2b 2 + 2b 2 + bc + 2c 2 + 2c 2 + ca + 2a 2 ≥ 5(a + b + c)

- Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có :

a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ≥ (a + c) 2 + (b + d )2 (*) dấu bằng xảy ra khi

Thật vậy:

a b = c d

Ta chứng minh bất đẳng thức:

ẤP

Cách giải 2

5 1 khi và chỉ khi a = b = c = 3 9

Vậy MinP =

a > 0; b > 0; c > 0  1 Dấu “=” xảy ra khi a = b = c <=> a = b = c = 9  a + b + c = 1 

TR ẦN

1 5 => P ≥ 3 3

- Do đó a + b + c ≥

Ư N

(12 + 12 + 12 )[( a )2 + ( b )2 + ( c )2 ] ≥ (1. a + 1. b + 1. c ) 2 = 1

-L

Í-

(*) <=> a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) ≥ (a + c)2 + (b + d ) 2 <=> (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) ≥ ac + bd

ÁN

<=> (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) ≥ (ac + bd )2

<=> (ad − bc)2 ≥ 0(luon dung)

BỒ

ID Ư

Ỡ N

15b 2 15c 2 15a 2 P b c a ) + (b + ) 2 + ( ) + (c+ )2 + ( ) = (a + ) 2 + ( 4 4 4 4 4 4 2 Áp dụng bất đẳng thức * ta có:

P b c 15b 15c 2 a 15a 2 ≥ (a + + b + ) 2 + ( + ) + (c + ) 2 + ( ) 4 4 4 4 4 4 2

b c a 15b 15c 15a 2 5 ) = (a + b + c) 2 + b + + c + )2 + ( + + 4 4 4 4 4 4 2 Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Bunhia ta có ≥ (a +

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

( a + b + c ) 2 ≤ (1 + 1 + 1)(a + b + c) <=> a + b + c ≥

1 3

dấu = khi a = b = c Do đó

H Ơ

5 5 1 P (a + b + c) 2 ≥ . ≥ 2 2 9 2

5 3 Dấu = khi a = b = c = 1/9 Cách giải 3 Ta có: 2a 2 + ab + 2b 2 = 2(a + b) 2 − 3ab

U TP .Q ẠO

( a + b) 2 4

Mà ab ≤

=> P ≥

TR ẦN

3 5 2a 2 + ab + 2b 2 = 2(a + b) 2 − 3ab ≥ 2(a + b) 2 − (a + b)2 = (a + b)2 4 4 5 => 2a 2 + ab + 2b 2 ≥ ( a + b) 2 5 TT : 2b 2 + bc + 2c 2 ≥ (b + c) 2 5 2c 2 + ca + 2a 2 ≥ (c+ a ) 2

Ư N

Nên

Do đó P ≥ 5(a + b + c)

ẤP

Mặt khác ta có

x 2 + y 2 + z 2 ≥ xy + yz + zx

<=> 3( x 2 + y 2 + z 2 ) ≥ x 2 + y 2 + z 2 + 2 xy + 2 yz + 2 zx

<=> 3( x 2 + y 2 + z 2 ) ≥ ( x + y + z ) 2

ÁN

-L

Í-

1 <=> x 2 + y 2 + z 2 ≥ ( x + y + z ) 2 3 Áp dụng bất đẳng thức ta có: 1 1 a + b + c ≥ ( a + b + c )2 = 3 3

5 1 . Dấu “=” khi a = b = c = 3 9

BỒ

ID Ư

Ỡ N

=> MinP =

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT Năm học 2016 – 2017 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút Đề thi gồm 01 trang

H Ơ

ĐỀ CHÍNH THỨC

Y U

( x 2 + 1) x có nghĩa là:

TP .Q

Câu 1. Điều kiện để biểu thức

Phần I – Trắc nghiệm (2,0 điểm) Hãy viết chữ cái đứng trước phương án đúng vào bài làm. A. x ≤ 0 B. x ≥ 0 C. x<0 Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số y = 2x – 1 đi qua điểm A. M(0;1) B. N(1;0) C. P(3;5)

D. x ≠ 0

ẠO

D. Q(2;-1)

A. y=x-1

TR ẦN

Ư N

A. 1 B. -2 C. − 2 Câu 4. Trong các phương trình sau, phương trình nào có hai nghiệm dương? B. x2-3x+5=0 C. x2+4x+4=0 A. x2-5x+3=0 Câu 5. Hàm số nào sau đây nghịch biến trên ℝ?

Câu 3. Tổng hai nghiệm của phương trình x − 2 x − 2 = 0 là:

B. y= ( 2 − 3) x + 1

C. y= ( 3 − 2) x + 1

D. 2 D. x2-25=0 D. y= | 3 − 2 | x + 1

Câu 6. Số tiếp tuyến chung của hai đường tròn tiếp xúc ngoài là A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Câu 7. Cho tam giác ABC vuông cân tại A và BC = 10 (cm). Diện tích tam giác ABC bằng

ẤP

A. 25(cm2) B. 5 2 (cm2) C. 25 2 (cm2) D. 50(cm2) Câu 8. Cho hình nón có chiều cao bằng 8 (cm) và thể tích bằng 96π (cm3). Đường sinh của hình nón đã cho có độ dài bằng A. 12cm B. 4cm C. 10cm D.6cm Phần II – Tự luận (8,0 điểm)

2 x +1 x −4 ).( x − 1 + ) (với x > 0 và x ≠ 4). − x −2 x−4 x

Câu 1. (1,5 điểm) Cho biểu thức P = (

Ỡ N

ÁN

-L

Í-

1) Chứng minh rằng P = x + 3 2) Tìm các giá trị của x sao cho P = x + 3 Câu 2. (1,5 điểm) Cho phương trình x2 – 2(2m + 1)x + 4m2 – 2m + 3 = 0 (m là tham số) 1) Giải phương trình với m = 2 2) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: ( x2 − 1)2 + ( x2 − 1)2 + 2( x1 + x2 − x1 x2 ) = 18

BỒ

ID Ư

2y − 4  5 x−2 − y −3 = 2  Câu 3. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình  x+2 − 2 = 4  x − 2 y − 3

Câu 4. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm I. Gọi H là trực tâm và D, E, F lần lượt là chân các đường cao kẻ từ A, B, C của tam giác ABC. Kẻ DK vuông góc đường thẳng BE tại K. 1) Chứng minh tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp và ∆ DKH đồng dạng với ∆ BEC

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

2) Chứng minh góc BED = góc BEF 3) Gọi G là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ DKE. Chứng minh IA ⊥ KG.

H Ơ

Câu 5. (1,0 điểm) Giải phương trình 2( x + 1) x + 3(2 x3 + 5 x 2 + 4 x + 1) = 5 x 3 − 3 x 2 + 8

TP .Q Đ G Ư N H TR ẦN

B 00 10 3 2+

x +1 2 x −4 ).( x − 1 + ) − x −2 x−4 x

ẤP

P=(

ẠO

Phần I – Trắc nghiệm Câu 1. B Câu 2. C Câu 3. D Câu 4. A Câu 5. B Câu 6. D Câu 7. A Câu 8. C Phần II – Tự luận Câu 1. 1.

ĐÁP ÁN

= x +3

H Í-

x ( x + 3) x

-L

ÁN

x+3 x x−4 . x−4 x

 ( x + 1)( x + 2) 2   ( x − 1) x x −4 =  − +  .   x−4 x−4  x x  

Ỡ N

Vậy P= x + 3 2. Với x > 0 và x ≠ 4 Ta có:

ID Ư

P = x + 3 <=> x + 3 = x + 3 <=> x − x = 0

BỒ

<=> x ( x − 1) = 0

x = 1 <=>  x = 0 Đối chiếu với điều kiện ta được x = 1 thỏa mãn Vậy x = 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 2. 1. Với m = 2 ta có: x − 10 x + 15 = 0 Ta có: ∆ ' = 25 − 15 = 10 2

H Ơ

Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt: x = 5 − 10; x = 5 + 10 2. Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 khi và chỉ khi ∆’ > 0

<=> (2m + 1)2 − 4m 2 + 2m − 3 > 0

<=> 4m2 + 4m + 1 − 4m2 + 2m − 3 > 0

Ư N

 x1 + x2 = 2(2m + 1)(1) Áp dụng định lý Viet cho phương trình đã cho ta được:  2  x1 x2 = 4m − 2m + 3(2) Theo đề ra ta có: ( x1 − 1) 2 + ( x2 − 1) 2 + 2( x1 + x2 − x1 x2 ) = 18

ẠO

1 3

<=> m >

TP .Q

<=> 6m > 2

TR ẦN

<=> x12 − 2 x1 + 1 + x2 2 − 2 x2 + 1 + 2 x1 + 2 x2 − 2 x1 x2 = 18 <=> x12 + x2 2 − 2 x1 x2 = 16

<=> ( x1 + x2 ) 2 − 4 x1 x2 = 16

<=> 4(2m + 1) 2 − 4(4m 2 − 2m + 3) = 16

ÁN

-L

Í-

ẤP

<=> 4m2 + 4m + 1 − 4m 2 + 2m − 1 = 4 <=> 6m = 6 <=> m = 1(TM ) Vậy với m = 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán Câu 3 Điều kiện: x ≠ 2, y ≠ 3. Hệ phương trình đã cho tương đương với 2 2  5  5  1 − (2 + ) = 2 − =4 =1 x−2  y −3  x −2 y −3  x − 2 <=>  <=>   (1 + 4 ) − 2 = 4  4 − 2 =3  4 − 2 =3   x − 2 y − 3  x − 2 y − 3 x −2 y −3

BỒ

ID Ư

Ỡ N

x − 2 = 1 x = 3 x = 3  <=>  4 <=>  <=>  (TM ) 2 y −3 = 2 y = 5 1 − y − 3 = 3  Vậy hệ có nghiệm duy nhất (3;5). Câu 4

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ẠO

TP .Q

H Ơ

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

TR ẦN

Ư N

a) Vì BE ⊥ AC, CF ⊥ AB nên góc BEC = góc BFC = 90o ⇒ BCEF là tứ giác nội tiếp Vì ∆ HDB vuông tại D nên góc HBD + góc BHD = 90o (1) Vì ∆ HKD vuông tại K nên góc HDK + góc BHD = 90o (2) Từ (1) và (2) ⇒ góc HBD = góc HDK hay góc CBE = góc HDK

ÁN

-L

Í-

ẤP

 DKH = BEC = 90o Xét ∆ DKH và ∆ BEC có  => tam giác DKH đồng dạng với tam giác BEC(g-g)  HDK = CBE (cmt ) b) Vì BCEF là tứ giác nội tiếp nên góc BEF = góc BCF (2 góc nội tiếp cùng chắn cung BF) Tứ giác DHEC có góc HEC + góc HDC = 90o + 90o = 180o nên là tứ giác nội tiếp ⇒ góc HCD = góc HED (2 góc nội tiếp cùng chắn cung HD) hay góc BCF = góc BED Suy ra góc BEF = góc BED c) Vì G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DKE vuông ở K nên G là trung điểm DE GK = GE ⇒ ∆ GKE cân ở G ⇒ góc GKE = góc GEK = góc BED = góc BEF ⇒ GK // EF (3) Từ A kẻ tia tiếp tuyến Ax với đường tròn (I) (Ax nằm trong nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm E) Vì BCEF là tứ giác nội tiếp nên góc AFE = góc ACB (góc trong và góc ngoài 2 đỉnh đối diện) Vì Ax là tiếp tuyến của (I) nên góc ACB = góc BAx (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AB) Suy ra góc AFE = góc BAx ⇒ EF // Ax. Mà Ax ⊥ AI nên AI ⊥ EF (4) Từ (3) và (4) ⇒ IA ⊥ GK. Câu 5

Ỡ N

2( x + 1) x + 3(2 x3 + 5 x 2 + 4 x + 1) = 5 x 3 − 3 x 2 + 8 (1)

ID Ư

Điều kiện: x ≥ 0. Với x ≥ 0, ta có (1) <=> 2( x + 1) x + 3( x + 1) 2 (2 x + 1) = ( x + 1)(5 x 2 − 8 x + 8)

BỒ

<=> 2( x + 1) x + ( x + 1) 3(2 x + 1) − ( x + 1)(5 x 2 − 8 x + 8) = 0( Do x+1 ≥ 1>0)

 x + 1 = 0(2) <=>  2  2 x + 3(2 x + 1) − (5 x − 8 x + 8) = 0(3) Ta có (2) ⇔ x = –1 (loại) Giải phương trình (3): Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm, ta có:

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

2 x ≤ x +1 3 + 2x +1 = x+2 2 => VT (3) ≤ x + 1 + x + 2 − (5 x 2 − 8 x + 8) = −5 x 2 + 10 x − 5 = −5( x − 1) 2 ≤ 0 3(2 x + 1) ≤

BỒ

ID Ư

Ỡ N

ÁN

-L

Í-

ẤP

TR ẦN

Ư N

ẠO

TP .Q

H Ơ

Dấu bằng xảy ra ⇔ x = 1. Vậy (3) ⇔ x = 1 (thỏa mãn) Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là {1}

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2016 – 2017 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN

H Ơ

Câu 1. (2,5 điểm)

x +1 1 − )( x − 3) x −9 x +3 a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn P b) Tìm các giá trị của x để P ≤ 1. Câu 2. (1,5 điểm) Trong kì thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT tỉnh Nghệ An, tại một phòng có 24 thí sinh dự thi. Các thí sinh đều làm bài trên tờ giấy thi của mình. Sau khi thu bài cán bộ coi thi đếm được 33 tờ giấy thi và bài làm của thí sinh chỉ gồm 1 tờ hoặc 2 tờ giấy thi. Hỏi trong phòng thi đó có bao nhiêu thí sinh bài làm gồm một tờ giấy thi, bao nhiêu thí sinh bài làm gồm hai tờ giấy thi? (Tất cả các thí sinh đều nạp bài thi). Câu 3. (2,0 điểm) Cho phương trình x 2 − 2mx + m 2 − 9 = 0(1) (m là tham số)

TR ẦN

Ư N

ẠO

TP .Q

Cho biểu thức P = (

a) Giải phương trình (1) khi m = –2 b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn x12 + x2 ( x1 + x2 ) = 12

BỒ

ID Ư

Ỡ N

ÁN

-L

Í-

ẤP

Câu 4. (3,0 điểm) Cho ∆ ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), vẽ đường kính AD. Đường thẳng đi qua B vuông góc với AD tại E và cắt AC tại F. Gọi H là hình chiếu vuông góc của B tren AC và M là trung điểm của BC. a) Chứng minh CDEF là tứ giác nội tiếp b) Chứng minh MHC+BAD=90o HC BC c) Chứng minh +1 = HF HE Câu 5. (1,0 điểm) Cho các số thực a,b,c thỏa mãn 0 ≤ a,b,c ≤ 1 và a + b + c ≥ 2. Chứng minh rằng: ab(a + 1) + bc(b + 1) + ca(c + 1) ≥ 2.

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ

ĐÁP ÁN ĐỀ THI VÀO 10 THPT TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2016 – 2017 Môn thi: TOÁN

Câu 1: (2,5 điểm) 1 x +1 − )( x − 3) x −9 x +3 a) Điều kiện x ≥ 0, x ≠ 9

TP .Q

P=(

x + 1 − ( x − 3) .( x − 3) ( x + 3)( x − 3) 4 = x +3 b) Để P ≤ 1 thì 4 ≤1 x +3 4 <=> −1 ≤ 0 x +3

ẠO

  x +1 x −3 − P=  ( x − 3) + − + − ( x 3)( x 3) ( x 3)( x 3)  

Ư N H TR ẦN B 00 10

1− x ≤0 x +3

<=>

4 − ( x + 3) ≤0 x +3

ẤP

<=>

x ≥ 0 => x + 3 ≥ 3 > 0

<=>

1− x ≤ 0 <=> 1 − x ≤ 0 x +3

-L

Í-

<=> x ≥ 1

BỒ

ID Ư

Ỡ N

ÁN

<=> x ≥ 1 Kết hợp với điều kiện xác định ta có x ≥ 1, x ≠ 9 Câu 2 (1,5 điểm) Gọi số thí sinh làm bài chỉ gồm 1 tờ giấy thi là x (thí sinh) (x ∈N*, x < 24) Số học sinh làm bài gồm 2 tờ giấy thi là y (thí sinh) (y ∈N*, y < 24) 1 phòng có 24 thi sinh dự thi do đó ta có: x + y = 24 (1) Sau khi thu bài cán bộ coi thi đếm được 33 tờ giấy thi nên ta có phương trình: x + 2y = 33 (2)  x + y = 24  x = 15 (TM ) Từ (1) và (2) ta có hệ  <=>   x + 2 y = 33 y = 9 Vậy số học sinh làm 1 tờ và 2 tờ giấy thi lần lượt là 15 và 9 học sinh. Câu 3 (2,0 điểm) x2-2mx+m2-9=0(1)

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ẠO

TP .Q

H Ơ

a) Khi m = - 2 ta có (1) trở thành: x2 + 4x - 5 = 0 Ta có a + b + c = 1 + 4 - 5 = 0 => Phương trình có 2 nghiệm phân biệt là x = 1 và x = -5 b) Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 <=> ∆’ > 0 <=> (- m)2 – (m2 - 9) > 0 <=> m2 – m2 + 9 > 0 <=> 9 > 0 (luôn đúng) => ∀ m thì pt (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt  x1 + x2 = 2m Áp dụng hệ thức Viet cho phương trình (1) ta có:  2  x1 x2 = m − 9 Theo đề ra ta có:

x12 + x2 ( x1 + x2 ) = 12

Ư N

<=> x12 + x1 x2 + x2 2 = 12 <=> ( x1 + x2 ) 2 − x1 x2 = 12(*)

TR ẦN

Thay hệ thức Viét vào (*) ta được: (2m) 2 − (m 2 − 9) = 12 <=> 3m 2 = 3

00 10

ID Ư

Ỡ N

ÁN

-L

Í-

ẤP

<=> m = ±1 Vậy m = 1 hoặc m = -1 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 4

<=> m 2 = 1

BỒ

a) Có ACD = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Vì BE ⊥ AD nên FED=90o=> FED+FCD = 180° Suy ra tứ giác CDEF là tứ giác nội tiếp b) Vì M là trung điểm cạnh huyền BC của tam giác vuông BHC nên MH = MC = MB ⇒ ∆MHC cân tại M ⇒ MHC=MCH Vì ABDC là tứ giác nội tiếp nên BAD=BCD=>BAD+MHC=BCD+MCH=DCH =90° c) Vì BE ⊥ AE, BH ⊥ AH nên BEA= BHA = 90° ⇒ ABEH là tứ giác nội tiếp

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

TP .Q

H Ơ

⇒ BAE=BHE . Mà theo ý b ta có BAE=90o-MHC=BHM=>BHE=BHM Suy ra H, E, M thẳng hang Gọi N là trung điểm FC. Vì MN // BF nên BC 2 HM 2 HN 2( HF + FN ) 2 HF + FC HF + HC HC = = = = = = 1+ (đpcm) HE HE HF HF HF HF HF Câu 5 Vì 0 ≤ a , b, c ≤ 1 => (1 − a)(1 − b) ≥ 0 => 1 − a − b + ab ≥ 0 => ab ≥ a + b − 1 = (a + b + c) − (c+ 1) ≥ 0

ẠO

=> ab(a + 1) = a .ab + ab ≥ a(a + b − 1) + ab = a 2 + 2ab − a

Tương tự ta có

Ư N

bc(b + 1) ≥ b 2 + 2bc − b ca (c + 1) ≥ c 2 + 2ca − c

Cộng lại ta được:

TR ẦN

ab(a + 1) + bc(b + 1) + ca(c+ 1) ≥ a 2 + b 2 + c 2 + 2(ab + bc + ca ) − (a + b + c) = (a + b + c)2 − (a + b + c) = (a + b + c− 1)(a + b + c) ≥ 1.2 = 2

BỒ

ID Ư

Ỡ N

ÁN

-L

Í-

ẤP

=>đpcm

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 PHỔ THÔNG NĂM 2016 Môn thi: TOÁN (Dành cho mọi thi sinh) Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi này có 01 trang)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH QUẢNG NINH ĐỀ THI CHÍNH THỨC

H Ơ

Câu I. (2,5 điểm) 1. Rút gọn biểu thức: a) A = 12 − 3

2 x 1 x − − với x ≥ 0 và x ≠ 1 x −1 x −1 x +1 2. Giải phương trình: x 2 − x − 2 = 0. Câu II. (1,5 điểm)  x + 2 y = −3 1. Giải hệ phương trình:  x − y = 3 2. Tìm giá trị của m để hai đường thẳng (d1 ) : mx + y = 1 và (d 2 ) : x − my = m + 6 cắt nhau tại một điểm M thuộc đường thẳng 4 (d ) : x + 2 y = 8. Câu III. (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Theo kế hoạch, một người công nhân phải hoàn thành 84 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do cải tiến kĩ thuật, nên thực tế mỗi giờ người đó đã làm được nhiều hơn 2 sản phẩm so với số sản phẩm phải làm trong một giờ theo kế hoạch. Vì vậy, người đó hoàn thành công việc sớm hơn dự định 1 giờ. Hỏi theo kế hoạch, mỗi giờ người công nhân phải làm bao nhiêu sản phẩm ? Câu IV. (3,5 điểm) Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, trên nửa đường tròn lấy điểm C (C không trùng với A, B). Gọi H là hình chiếu của C trên đường thẳng AB. Trên cung CB lấy điểm D (D khác C, B), Hai đường thẳng AD và CH cắt nhau tại E. a) Chứng minh tứ giác BDEH nội tiếp b) Chứng minh AC 2 = AE. AD c) Gọi (O’) là đường tròn đi qua D và tiếp xúc với AB tại B. Đường tròn (O’) cắt CB tại F khác B. Chứng minh EF // AB. Câu V. (0,5 điểm) Với x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x + y + xy = 15. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + y2.

ÁN

-L

Í-

ẤP

TR ẦN

Ư N

ẠO

TP .Q

b) B =

BỒ

ID Ư

Ỡ N

………………………Hết……………………… Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:……………………………………….....…Số báo danh:……………….

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ĐÁP ÁN KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 PHỔ THÔNG NĂM 2016 MÔN TOÁN TỈNH QUẢNG NINH

Câu I. (2,5 điểm) 1. Rút gọn biểu thức:

H Ơ N Y U

x ( x + 1) − 2 x − ( x − 1) x + x − 2 x − x + 1 = ( x − 1)( x + 1) ( x − 1)( x + 1) x − 2 x +1 ( x − 1) 2 = = ( x − 1)( x + 1) ( x − 1)( x + 1)

x −1 x +1

ẠO

2 x 1 x − − với x ≥ 0 và x ≠ 1 x −1 x −1 x +1 x 2 x 1 − − x − 1 ( x − 1)( x + 1) x +1

TP .Q

b) B =

a) A = 12 − 3 = 22.3 − 3 = 2 3 − 3 = 3

2. Giải phương trình: x 2 − x − 2 = 0.

TR ẦN

Ư N

Ta có a-b+c = 0 Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x1 = -1 , x2 = 2

Câu II. (1,5 điểm)

 x + 2 y = −3 3 y = −6  y = −2 ⇔ ⇔ 1. Giải hệ phương trình:  x − y = 3 x − y = 3 x = 1 Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (1; -2)

ID Ư

Ỡ N

ÁN

-L

Í-

ẤP

2. Tìm giá trị của m để hai đường thẳng (d1 ) : mx + y = 1 và (d 2 ) : x − my = m + 6 cắt nhau tại một điểm M thuộc đường thẳng 4 (d ) : x + 2 y = 8. m 1 ≠ ⇒ m 2 ≠ −1 luôn T/M với mọi m. Để hai đường thẳng (d1), (d2) cắt nhau thì 1 −m (d ) : x + 2 y = 8 ⇒ x = 8 − 2 y (1) 1− y (d1 ) : mx + y = 1 ⇒ m = x x−6 (d 2 ) : x − my = m + 6 ⇒ m = (2) 1+ y 1− y x − 6 = ⇒ 1 − y 2 = x2 − 6 x Do đó x 1+ y 2 ⇔ x − 6x + y2 −1 = 0 (3) Thay (1) vào (3) ta được tung độ giao điểm M là nghiệm PT: (8 – 2y)2 – 6(8-2y) + y2 = 1 5y2 – 20y + 15 = 0 => y1 = 1 hoặc y2 = 6

BỒ

Với y1 = 1 => x1 = 6 thay (6; 1) vào (2) ta được m = 0 (TMĐK) Với y2 = 3 => x2 = 2 thay (2; 3) vào (2) ta được m = -1(TMĐK) Vậy với m = 0 hoặc m = -1 thì hai đường thẳng (d1) và (d2) cắt nhau tại một điểm M thuộc đường thẳng (d)

Câu III. (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Theo kế hoạch, một người công nhân phải hoàn thành 84 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do cải tiến kĩ thuật, nên thực tế mỗi giờ người đó đã làm được nhiều hơn 2 sản phẩm so với số sản phẩm phải làm

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ẠO

TP .Q

H Ơ

trong một giờ theo kế hoạch. Vì vậy, người đó hoàn thành công việc sớm hơn dự định 1 giờ. Hỏi theo kế hoạch, mỗi giờ người công nhân phải làm bao nhiêu sản phẩm ? Gọi x là số sản phẩm mỗi giờ mà người công nhân phải hoàn thành theo kế hoạch (sp/h, x Є N*, x < 84) Theo bài ra ta có: Số sản phẩm mỗi giờ mà người công nhân phải hoàn thành theo thực tế: x+2 (sp/h) 84 Thời gian mà công nhân hoàn thành theo kế hoạch: (h) x 84 ( h) Thời gian mà công nhân hoàn thành theo thực tế: x+2 Người công nhân đó hoàn thành công việc sớm hơn định 1h nên ta có phương trình: 84 84 − =1 x x+2 Giải phương trình ta được: x1 = 12 (TMĐK) ; x2 = -14 (KTMĐK) Vậy theo kế hoạch mỗi giờ người công nhân phải làm 12 sản phẩm.

ẤP

TR ẦN

Ư N

Câu IV. (3,5 điểm) Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, trên nửa đường tròn lấy điểm C (C không trùng với A, B). Gọi H là hình chiếu của C trên đường thẳng AB. Trên cung CB lấy điểm D (D khác C, B), Hai đường thẳng AD và CH cắt nhau tại E.

-L

Í-

a) Chứng minh tứ giác BDEH nội tiếp = 90o Xét (O) ta có: ABD = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay EDB = 90o hay EHB = 90o GT => CHB

ÁN

+ EHB = 180o Xét tứ giác BDEH có EDB

, EHB hai góc đối mà EDB ⇒ tứ giác BDEH nội tiếp (đpcm).

Ỡ N

b) Chứng minh AC 2 = AE. AD Xét ∆ AEH và ∆ ABD có:

ID Ư

A chung AHE = ADB = 90o

BỒ

⇒ ∆AEH ~ ∆ABD( g − g ) AE AH ⇒ = ⇒ AE. AD = AH . AB (1) AB AD ACB = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét ∆ vuông AEH có CH là đường cao

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ta có : AC 2 = AH . AB (hệ thức lượng trong ∆ vuông) (2) (1), (2) => AC 2 = AE. AD (đpcm)

H Ơ

c) Gọi (O’) là đường tròn đi qua D và tiếp xúc với AB tại B. Đường tròn (O’) cắt CB tại F khác B. Chứng minh EF // AB. (hệ quả góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung) Ta có: ABC = BDF + FDA = 90o BDF

ẠO

TP .Q

= 90o ⇒ ABC + FDA ABC = ACH (vì cùng phụ với góc HCB) Mặt khác = 90o ⇒ ACH + FDA = 90o Lại có ACH + HCB = FDA hay ECF = FDE ⇒ HCB = FDE Xét tứ giác ECDF có ECF

Ư N

TR ẦN

= DAB ⇒ DEF

= DCF hay DEF = DCB (góc nội tiếp do cùng chắn cung FD) DEF = DAB (góc nội tiếp cùng chắn cung DB) mà DCB

mà C, D là hai đỉnh liên tiếp ⇒ tứ giác ECDF nội tiếp (dấu hiệu nhận biết)

Hai góc ở vị trí đồng vị ⇒ EF//AB (đpcm)

ẤP

Câu V. (0,5 điểm) Với x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x + y + xy = 15. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + y2. Vì x, y là những số thực dương nên theo BĐT Côsi ta có x + y ≥ 2 xy dấu “=” xảy ra khi x = y hay x + x + x 2 = 15 ⇒ x = y = 3 GT: x + y + xy = 15 ⇒ xy = 15 − ( x + y ) Do đó: P = x 2 + y 2 = ( x + y ) 2 − 2 xy

− 30 + 2.2 xy

Í-

)

(

≥ 2 xy

= ( x + y ) 2 − 30 + 2( x + y )

-L

dấu “=” xảy ra khi x = y = 3 Pmin = 4.32 − 30 + 4.3 = 18 tại x = y = 3

BỒ

ID Ư

Ỡ N

ÁN

Đáp án chỉ nêu sơ lược cánh giải Các bạn phải trình bày chi tiết mới được điểm tối đa

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2016–2017 Môn thi: Toán Thời gian: 120 phút, không kể thời gian giao đề Ngày thi 16/06/2016 Đề thi có: 01 trang gồm 05 câu

H Ơ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ A

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

ẠO

TP .Q

Câu I (2,0 điểm) 1) Giải các phương trình sau: a) x – 5 = 0 b) x2 – 4x + 3 = 0 2 x − y = 1 2) Giải hệ phương trình:  3 x + y = 4

Câu II (2,0 điểm)

BỒ

ID Ư

Ỡ N

ÁN

-L

Í-

ẤP

TR ẦN

Ư N

 x x − 1 x x + 1  2( x − 2 x + 1) Cho biểu thức: A =  (với x > 0 và x ≠ 1) −  : x − 1 x − x x + x   1) Rút gọn biểu thức A 2) Tìm các số nguyên x để biểu thức A có giá trị nguyên. Câu III (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = mx + 1 và parabol (P): y = 2x2. 1) Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm A(1;3) 2) Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A(x1; y1), B(x2; y2). Hãy tính giá trị của biểu thức T = x1x2 + x2y2 Câu IV (3,0 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E. Gọi F là điểm thuộc đường thẳng AD sao cho EF ⊥ AD. Đường thẳng CF cắt đường tròn đường kính AD tại điểm thứ hai là M. Gọi N là giao điểm của BD và CF. Chứng minh rằng: 1) Tứ giác CEFD nội tiếp đường tròn. 2) FA là đường phân giác của góc BFM. 3) BD.NE = BE.ND Câu V (1,0 điểm) 1 2 3 Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn: a 2 + 2b 2 ≤ 3c 2 . Chứng minh rằng: + ≥ a b c –––––––––Hết–––––––––

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ N Y

Đ G Ư N H

TR ẦN B

x +1 x −1

2 x x +1 . x 2( x − 1)

2 x −1+ 2 = 1+ x −1 x −1

2) A =

ẠO

 ( x − 1)( x + x + 1) ( x + 1)( x − x + 1)  2( x − 1) 2 A= − : x ( x − 1) x ( x − 1)   ( x − 1)( x + 2)  x + x + 1 x − x + 1  2( x − 1) =  −  : x x x +1  

TP .Q

Câu I 1) a) x – 5 = 0 ⇔ x = 5. Vậy tập nghiệm của phương trình là {5} b)x2 – 4x + 3 = 0. Có a + b + c = 1 – 4 + 3 = 0 nên phương trình có hai nghiệm x = 1, x = 3 Vậy tập nghiệm của phương trình là {1;3} 2 x − y = 1 5 x = 5 x = 1 x = 1 2)  <=>  <=>  <=>  3 x + y = 4 3 x + y = 4 3.1 + y = 4 y =1 Hệ có nghiệm duy nhất (1;1) Câu II 1) Có

ĐÁP ÁN

2 nguyên x − 1 là ước của 2 x −1

ẤP

Vì x nguyên nên ta có A nguyên <=>

x − 1 >-1. Do đó:

Mặt khác x > 0, x ≠ 1 nên

 x −1 = 1  x =2 x = 4 (TM ) <=>  <=>   x = 9  x − 1 = 2  x = 3

ÁN

-L

Í-

Vậy x = 4 hoặc x = 9 thỏa mãn đề bài. Câu III 1) Đường thẳng (d) đi qua điểm A(1;3) ⇔ 3 = m.1 + 1 ⇔ m = 2. Vậy m = 2 2) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P):

Ỡ N

2 x 2 = mx + 1 <=> 2 x 2 − mx − 1 = 0(1) ∆ = m 2 − 4.2.(−1) = m 2 + 8

ID Ư

Vì m 2 ≥ 0∀m <=> m 2 + 8 > 0∀m Suy ra phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt ∀ m ⇒ (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A(x1; y1), B(x2;

BỒ

y2) ∀ m trong đó x1, x2 là 2 nghiệm của (1) và y1 = 2 x12 ; y2 = 2 x2 2

Theo định lý Viét ta có: x1 x2 =

−1 1 => T = x1 x2 + 2 x12 x2 2 = 2 2

Câu IV

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

TP .Q

H Ơ

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Í-

ẤP

TR ẦN

Ư N

ẠO

a) Có góc ACD = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), hay góc ECD = 90o Mặt khác EF ⊥ AD nên góc EFD = 90o Suy ra góc ECD + góc EFD = 180o ⇒ CEFD là tứ giác nội tiếp b) Vì CEFD là tứ giác nội tiếp (cmt) nên góc CFD = góc CED (2 góc nội tiếp cùng chắn cung CD) (1) Chứng minh tương tự có tứ giác ABEF nội tiếp ⇒ góc BFA = góc BEA (2 góc nội tiếp cùng chắn cung BA) (2) Có góc BEA = góc CED; góc AFM = góc CFD (đối đỉnh) (3) Từ (1), (2), (3) ⇒ góc BFA = góc AFM ⇒ FA là phân giác góc BFM. c) Vẽ NP // BF (P ∈ AD) Ta có góc NPF = góc BFA (đồng vị) ; góc BFA = góc NFP ⇒ góc NPF = góc NFP ⇒ ∆ NFP cân ở N. ⇒ NP = NF NP DN NF DN (4) Vì NP // BF nên = => = BF DB BF BD Vì góc BFA = góc NFP nên góc EFB = góc EFN (cùng phụ với 2 góc bằng nhau) NF NE (5) Suy ra FE là phân giác góc BFN của ∆ BFN. Theo định lý đường phân giác ta có = BF BE DN NE Từ (4) và (5) => = => BD.NE = BE.DN (đpcm) DB BE Câu V Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ số, ta có

-L

(a + 2b)2 = (1.a + 2 2b)2 ≤ (1 + 2)(a 2 + 2b 2 ) ≤ 3.3c 2 = 9c 2 => a + 2b ≤ 3c

ÁN

Với mọi x,y,z > 0, áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương ta có

1 1 1 1 ( x + y + z )( + + ) ≥ 3. 3 xyz .3. 3 =9 x y z xyz

1 1 1 9 + + ≥ x y z x+ y+ z

Ỡ N

<=>

BỒ

ID Ư

Áp dụng bất đẳng thức trên, ta có 1 2 1 1 1 9 9 9 3 + = + + ≥ = ≥ = (đpcm) a b a b b a + b + b a + 2b 3c c Dấu bằng xảy ra ⇔ a = b = c.

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2016 – 2017 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 12 tháng 6 năm 2016 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề)

H Ơ

ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang)

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Câu 1. (2 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau

TP .Q

a) x 2 − 2 5 x + 5 = 0 b)4 x 4 − 5 x 2 − 9 = 0

Ư N

ẠO

 2 x + 5 y = −1 c)  3 x − 2 y = 8 d ) x( x + 3) = 15 − (3 x − 1) Câu 2. (1,5 điểm)

x2 x và đường thẳng (D): y = − 2 trên cùng một hệ trục tọa độ 4 2 b) Tìm tọa độ các giao điểm của (P) và (D) ở câu trên bằng phép tính Câu 3. (1,5 điểm) +

2+ 3

2− 3

a) Thu gọn biểu thức A =

TR ẦN

a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số y = −

-L

Í-

ẤP

1+ 4 + 2 3 1− 4 − 2 3 b) Ông Sáu gửi một số tiền vào ngân hàng theo mức lãi suất tiết kiệm với kỳ hạn 1 năm là 6%. Tuy nhiên sau thời hạn một năm ông Sáu không đến nhận tiền lãi mà để thêm một năm nữa mới lãnh. Khi đó số tiền lãi có được sau năm đầu tiên sẽ được ngân hàng cộng dồn vào số tiền gửi ban đầu để thành số tiền gửi cho năm kế tiếp với mức lãi suất cũ. Sau 2 năm ông Sáu nhận được số tiền là 112.360.000 đồng (kể cả gốc lẫn lãi). Hỏi ban đầu ông Sáu đã gửi bao nhiêu tiền? Câu 4. (1,5 điểm) Cho phương trình: x 2 − 2mx + m − 2 = 0 (1) (x là ẩn số) a) Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị m b) Định m để hai nghiệm x1, x2 của phương trình (1) thỏa mãn (1 + x1 )(2 − x 2 ) + (1 + x2 )(2 − x1 ) = x12 + x2 2 + 2

BỒ

ID Ư

Ỡ N

ÁN

Câu 5. (3,5 điểm) Cho ∆ ABC (AB < AC) có ba góc nhọn. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt các cạnh AC, AB lần lượt tại D, E. Gọi H là giao điểm của BD và CE; F là giao điểm của AH và BC. a) Chứng minh AF ⊥ BC và góc AFD = góc ACE b) Gọi M là trung điểm của AH. Chứng minh MD ⊥ OD và 5 điểm M, D, O, F, E cùng thuộc một đường tròn. c) Gọi K là giao điểm của AH và DE. Chứng minh MD2 = MK.MF và K là trực tâm của ∆ MBC 2 1 1 d) Chứng minh = + FK FH FA

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com ĐÁP ÁN

Câu 1.(2,0 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình:

H Ơ

a) x 2 − 2 5 x + 5 = 0

<=> (x − 5) 2 = 0

<=> x − 5 = 0

TP .Q

<=> x = 5 Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = { 5 }

ẠO

b)4 x 4 − 5 x 2 − 9 = 0

9 (thỏa mãn điều kiện) 4

Vớ i t =

TR ẦN

Nên ta có phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt là: t = - 1 (loại) và t =

Ư N

Đặt x2 = t (t ≥ 0) Khi đó phương trình trở thành: 4t 2 − 5t − 9 = 0 (*) Ta có: a - b + c = 4 - (-5) - 9 = 0

9 9 3 ta có: x 2 = <=> x = ± 4 4 2

−3 3 ; } 2 2  2 x + 5 y = −1 6 x + 15 y = −3 19 y = −19 x = 2 c)  <=>  <=>  <=>  3 x − 2 y = 8 6 x − 4 y = 16 3 x − 2 y = 8  y = −1 Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất (x;y) = (2;-1). d) x( x + 3) = 15 − (3 x − 1)

ẤP

Vậy phương trình đã cho có tập nghiêm là: S = {

<=> x 2 + 6 x − 16 = 0

ÁN

-L

Í-

∆ ' = 9 + 16 = 25 > 0 Khi đó phương trình có 2 nghiệm phân biệt là: x = - 8; x = 2 Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {-8;2} Câu 2.(1,5 điểm). a)Vẽ đồ thị hai hàm số. Bảng giá trị -1 x -2

-1

-4

Ỡ N

−x 4 x y = −2 2 Đồ thị

-4

-1

-2

BỒ

ID Ư

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ẠO

TP .Q

H Ơ

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

2− 3

TR ẦN B

ẤP

1− 4 − 2 3 2+ 3

1+ 4 + 2 3

2+ 3

2− 3

a) A =

−x2 x = − 2 <=> x 2 + 2 x − 8 = 0 4 2 ∆' = 9 Phương trình trên có hai nghiệm phân biệt: x1=2; x2=-4 Với x1=2 ta có y1=-1, A(2;-1) Với x1=2 ta có y1=-1, A(2;-1) Vậy (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A(2 ;-1) ; B(-4 ;-4) Câu 3 (1,5 điểm)

Ư N

b)Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) bằng phép tính Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P)

2− 3

2+ 3

1 − ( 3 − 1) 2

ÁN

1 + ( 3 + 1)

-L

Í-

1 + 3 + 2.1. 3 + 1 1 − 3 − 2.1. 3 + 1

2− 3 2+ 3 + 1+ 3 +1 1− 3 +1

2− 3 2+ 3 + 2+ 3 2− 3

Ỡ N

ID Ư

(4 − 4 3 + 3) + (3 + 4 3 + 3) 4 −1 14 = 1 = 14 b)Gọi số tiền ông Sáu gửi ban đầu là x( đồng, x > 0). Theo đề bài ta có:

BỒ

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

H Ơ N

TP .Q

= 4m 2 − 4m + 8

Số tiền lãi sau 1 năm ông Sáu nhận được là: 0,06x( đồng). Số tiền có được sau 1 năm của ông Sáu là: x + 0,06x = 1,06x( đồng). Số tiền lãi năm thứ 2 ông Sáu nhận được là: 1,06x. 0,06 = 0,0636x( đồng). Do vậy số tiền tổng cộng sau 2 năm ông Sáu nhận được là: 1,06x + 0,0636x = 1,1236x( đồng). Mặt khác: 1,1236x = 112360000 nên x = 100000000( đồng) hay 100 triệu đồng. Vậy ban đầu ông Sáu đã gửi 100 triệu đồng. Câu 4 (1,5 điểm) a) Ta có: ∆ = (−2m) 2 − 4.1.(m − 2)

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Đ G Ư N

TR ẦN

= 4 + x1 + x2 − 2 x1 x2

(1) luôn có 2 nghiệm với mọi m.  x1 + x2 = 2m b)Theo định lý Viet ta có:   x1 x2 = m − 2 Ta có: (1 + x1 )(2 − x2 ) + (1 − x2 )(2 − x1 ) = 2 + 2 x1 − x2 − x1 x2 + 2 + 2 x2 − x1 − x1 x2

ẠO

= (2m − 1) 2 + 7 ≥ 7 > 0∀m

x12 + x2 2 + 2 = ( x1 + x2 )2 − 2 x1 x2 + 2 = (2m) 2 − 2(m − 2) + 2

= 4 + 2m − 2(m − 2) = 8 Và

= 4m 2 − 2m + 6 Do vậy:

4m 2 − 2m + 6 = 8

ẤP

<=> 2m 2 − m − 1 = 0

-L

Í-

m = 1 <=>   m = −1  2

<=> (m − 1)(2m + 1) = 0

ÁN

Vậy giá trị của m thỏa mãn là: m = 1; m =

−1 2

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Câu 5 (3,5 điểm)

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

TR ẦN

Ư N

ẠO

TP .Q

H Ơ

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

BỒ

ID Ư

Ỡ N

ÁN

-L

Í-

ẤP

a) Ta có góc BEC = góc BDC = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Suy ra BD ⊥ AC và CE ⊥ AB . Mà BD cắt CE tại H nên H là trực tâm ∆ ABC. Suy ra AH ⊥ BC Vì AH ⊥ BC, BD ⊥ AC nên góc HFC = góc HDC = 90o Suy ra góc HFC + góc HDC = 180o Suy ra HFCD là tứ giác nội tiếp ⇒ góc HFD = góc HCD b) Vì M là trung điểm cạnh huyền của tam giác vuông ADH nên MD = MA = MH Tương tự ta có ME = MA = MH Suy ra MD = ME 1 Mà OD = OE nên ∆ OEM = ∆ ODM (c.c.c) ⇒ góc MOE = góc MOD = góc EOD (1) 2 1 Theo quan hệ giữa góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung, ta có góc ECD = góc EOD (2) 2 Theo ý a) ta có góc HFD = góc HCD = góc ECD (3) Từ (1), (2), (3) ⇒ góc MOD = góc HFD hay góc MOD = góc MFD Suy ra tứ giác MFOD là tứ giác nội tiếp (4) ⇒ góc MDO = 180o – góc MFO = 90o ⇒ MD ⊥ DO Chứng minh tương tự ta có MEFO là tứ giác nội tiếp (5) Từ (4) và (5) suy ra 5 điểm M, E, F, O, D cùng thuộc 1 đường tròn. c) Gọi I là giao điểm thứ hai của MC với đường tròn (O) Ta có góc MDE = góc DCE (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, cùng chắn cung DE) hay góc MDK = góc HCD Mà góc HCD = góc HFD (cmt) ⇒ góc MDK = góc HFD hay góc MDK = góc MFD =>tam giác MDK đồng dạng với tam giác MFD(g-g)

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

MD MK = => MD 2 = MK .MF MF MD Ta có góc MDI = góc MCD (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, cùng chắn cung DI) =>tam giác MDI đồng dạng với tam giác MCD(g-g) MD MI => = => MD 2 = MI .MC MC MD MI MK => MI .M C = MK .MF = MD 2 => = MF MC Xét ∆ MKI và ∆ MCF có KMI chung MI MK = MF MC => tam giác MKI đồng dạng với tam giác MCF(c-g-c) ⇒ góc MIK = góc MFC = 90o ⇒ KI ⊥ MC Mà góc BIC = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên BI ⊥ MC Suy ra B, K, I thẳng hàng ⇒ BK ⊥ MC Mà MK ⊥ BC nên K là trực tâm ∆ MBC. d) Vì MA = MH nên FA.FH = ( FM + MA)( FM − MH ) = ( FM + MA)( FM − MA) = FM 2 − MA2

TR ẦN

Ư N

ẠO

TP .Q

H Ơ

Vì MD2 = MK. MF (cmt) nên FK .FM = ( FM − MK ) FM = FM 2 − MK .MF = FM 2 − MD 2

BỒ

ID Ư

Ỡ N

ÁN

-L

Í-

ẤP

Mà MD =MA=> FA .FH =FK .FM 2 2 FM (FM + MA)(FM − MH) FA + FH 1 1 => = = = = + (đpcm) FK FA.FH FA.FH FA.FH FA FH

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2016 – 2017 Môn thi: TOÁN Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 03/6/2016

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH YÊN BÁI ĐỀ CHÍNH THỨC

BỒ

ID Ư

Ỡ N

ÁN

-L

Í-

ẤP

TR ẦN

Ư N

ẠO

TP .Q

H Ơ

Câu 1. (1,5 điểm) a) Không sử dụng máy tính. Tính giá trị của biểu thức: A = 2015 + 36 − 25  a + a  a − a  b) Rút gọn biểu thức: P = 1 +   1 + 1 − a  , với a ≥ 0; a ≠ 1 a + 1    Câu 2. (1,0 điểm) Cho đường thẳng (d) có phương trình y = x + 2 và parabol (P) có phương trình y = x2. a) Vẽ đường thẳng (d) và parabol (P) trên cùng hệ trục tọa độ Oxy b) Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm A và B (với A có hoành độ âm, B có hoành độ dương). Bằng tính toán hãy tìm tọa độ các điểm A và B. Câu 3. (3,0 điểm) a) Giải phương trình: 5x + 6 = 3x 3 x − 2 y = 3 b) Giải hệ phương trình   x + 2 y = 17 c) Tìm m để phương trình: x2 – 2(m + 3)x + m2 + 4m – 7 = 0 có hai nghiệm phân biệt. d) Hàng ngày, bạn An đi học từ nhà đến trường trên quãng đường dài 8km bằng xe máy điện với vận tốc không đổi. Hôm nay, vẫn trên đoạn đường đó, 2km đầu bạn An đi với vận tốc như mọi khi, sauu đó vì xe non hơi nên bạn đã dừng lại 1 phút để bơm. Để đến trường đúng giờ như mọi ngày, bạn An phải tăng vận tốc lên thêm 4km/h. Tính vận tốc xe máy điện của bạn An khi tăng tốc. Với vận tốc đó bạn An có vi phạm luật giao thông hay không? Tại sao? Biết rằng đoạn đường bạn An đi là trong khu vực đông dân cư. Câu 4. (3,5 điểm) 1. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là giao điểm hai đường cao BD và CE của tam giác ABC (D ∈ AC, E ∈ AB) a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp trong một đường tròn. b) Đường thẳng AO cắt ED và BD lần lượt tại K và M. Chứng minh AK.AM = AD2 c) Chứng minh BAH = OAC 2. Từ những miếng tôn phẳng hình chữ nhật có chiều dài 1,5 dm và chiều rộng 1,4 dm. Người ta tạo nên mặt xung quanh của những chiếc hộp hình trụ. Trong hai cách làm, hỏi cách nào thì được chiếc hộp có thể tích lớn hơn. Câu 5. (1,0 điểm) Cho 2 số dương a,b thỏa mãn (a + b)(a + b – 1) = a2 + b2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 1 Q= 4 + 4 2 2 2 a + b + 2ab b + a + 2ba 2

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

)

( )

H Ơ N Y U

)(

2 4

-L

Í-

ẤP

TR ẦN

Ư N

ẠO

(

TP .Q

Câu 1. (1,5 điểm) a) Không sử dụng máy tính. Tính giá trị của biểu thức: A = 2015 + 36 − 25 Có A = 2015 + 36 − 25 = 2015 + 6 – 5 = 2016  a + a  a − a  b) Rút gọn biểu thức: P = 1 +   1 + 1 − a  , với a ≥ 0; a ≠ 1 a + 1    Với a ≥ 0, a ≠ 1 ta có 2  a ( a + 1)   a ( a − 1)  P = 1 +  1 +  = 1+ a 1− a = 1− a = 1− a a +1   1− a   Câu 2. (1,0 điểm) Cho đường thẳng (d) có phương trình y = x + 2 và parabol (P) có phương trình y = x2. a) Vẽ đường thẳng (d) và parabol (P) trên cùng hệ trục tọa độ Oxy Bảng giá trị -1 0 1 x -2 y=x+2 0 2 y = x2 4 1 0 1 Đồ thị

ĐÁP ÁN – LỜI GIẢI CHI TIẾT

BỒ

ID Ư

Ỡ N

ÁN

b) Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm A và B (với A có hoành độ âm, B có hoành độ dương). Bằng tính toán hãy tìm tọa độ các điểm A và B. Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): x2 = x + 2 ⇔ x2 – x – 2 = 0 ⇔ (x – 2)(x + 1) = 0 ⇔ x = 2 hoặc x = –1 Với x = 2 ⇒ y = 4 ⇒ B(2;4) (vì B có hoành độ dương) Với x = –1 ⇒ y = 1 ⇒ A(–1;1) (vì A có hoành độ âm) Vậy A(–1;1), B(2;4) Câu 3. (3,0 điểm) a) Giải phương trình: 5x + 6 = 3x a) 5x + 6 = 3x ⇔ 5x – 3x = –6 ⇔ 2x = –6 ⇔ x = –3. Vậy tập nghiệm của phương trình là {–3} 3 x − 2 y = 3 b) Giải hệ phương trình   x + 2 y = 17 4 x = 20 x = 5 x = 5 ⇔ ⇔ . Hệ có nghiệm duy nhất (5;6)   x + 2 y = 17  x + 2 y = 17 x = 6

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ID Ư

Ỡ N

ÁN

-L

Í-

ẤP

TR ẦN

Ư N

ẠO

TP .Q

H Ơ

c) Tìm m để phương trình: x2 – 2(m + 3)x + m2 + 4m – 7 = 0 có hai nghiệm phân biệt. Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆’ = (m + 3)2 – (m2 + 4m – 7) > 0 ⇔ 2m + 16 > 0 ⇔ m > – 8 Vậy m > –8 là điều kiện cần tìm. d) Hàng ngày, bạn An đi học từ nhà đến trường trên quãng đường dài 8km bằng xe máy điện với vận tốc không đổi. Hôm nay, vẫn trên đoạn đường đó, 2km đầu bạn An đi với vận tốc như mọi khi, sauu đó vì xe non hơi nên bạn đã dừng lại 1 phút để bơm. Để đến trường đúng giờ như mọi ngày, bạn An phải tăng vận tốc lên thêm 4km/h. Tính vận tốc xe máy điện của bạn An khi tăng tốc. Với vận tốc đó bạn An có vi phạm luật giao thông hay không? Tại sao? Biết rằng đoạn đường bạn An đi là trong khu vực đông dân cư. Gọi vận tốc xe máy điện của An bình thường là x (km/h) (x > 0) Vận tốc xe máy điện của An khi tăng tốc là x + 4 (km/h) 8 Thời gian An đi từ nhà đến trường bình thường là (h) x 1 2 1 6 Đổi 1 phút = ( h) h. Thời gian An đi từ nhà đến trường ngày hôm nay là + + 60 x 60 x + 4 8 2 1 6 6 6 1 24 1 Ta có: = + + ⇔ − = ⇔ = x x 60 x + 4 x x + 4 60 x( x + 4) 60 2 ⇔ x( x + 4) = 1440 ⇔ x + 4 x − 1440 = 0 ⇔ x = −40 (loại) hoặc x = 36 (tm) Vậy vận tốc xe máy điện của An khi tăng tốc là 36 + 4 = 40 (km/h) Vận tốc này không vi phạm luật giao thông vì trong khu vực đông dân cư, vận tốc tối đa của xe máy điện là 40 km/h Câu 4. (3,5 điểm) 1. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là giao điểm hai đường cao BD và CE của tam giác ABC (D ∈ AC, E ∈ AB)

BỒ

a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp trong một đường tròn. Vì HE ⊥ AB, HD ⊥ AC nên HEA = HAD = 90o => HEA + HAD = 180o Suy ra ADHE là tứ giác nội tiếp b) Đường thẳng AO cắt ED và BD lần lượt tại K và M. Chứng minh AK.AM = AD2 Trong nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B, vẽ tia tiếp tuyến Ax với đường tròn (O) Có CAx = CBA . Vì BEC = BDC = 90o nên BEDC là tứ giác nội tiếp => CBA = ADE => CAx = ADE => Ax // DE, mà Ax ⊥ OA nên OA ⊥ DE

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

TP .Q

H Ơ

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ADM, ta có AK.AM = AD2 c) Chứng minh BAH = OAC Có KDM = KAD (=90o – KDA). (1) (2) Vì ADHE là tứ giác nội tiếp nên KDM = EAH Từ (1) và (2) => OAC = BAH 2. Từ những miếng tôn phẳng hình chữ nhật có chiều dài 1,5 dm và chiều rộng 1,4 dm. Người ta tạo nên mặt xung quanh của những chiếc hộp hình trụ. Trong hai cách làm, hỏi cách nào thì được chiếc hộp có thể tích lớn hơn. Cách 1: Chu vi đáy hình trụ là 1,5 dm, chiều cao hình trụ là h1 = 1,4 dm. 1,5 3 (dm), diện tích đáy Hình trụ này có bán kính đáy r1 = = 2π 4π

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

9  3  S1 = π r = π .  (dm2 )  = 4 16 π π   9 63 thể tích V1 = S1h1 = .1, 4 = (dm3 ) 16π 80π Cách 2: Chu vi đáy hình trụ là 1,4 dm, chiều cao hình trụ là h2 = 1,5 dm. Hình trụ này có

Đ G Ư N

ẠO

2 1

TR ẦN

1, 4 7 49 49 147  7  r2 = (dm); S 2 = π r22 = π .  (dm 2 );V2 = S 2 h2 = .1,5 = (dm3 ) =  = 2π 10π 10 100 100 200 π π π π   Ta có V1 > V2 nên cách 1 sẽ cho hình trụ có thể tích lớn hơn. Câu 5. (1,0 điểm) Cho 2 số dương a,b thỏa mãn (a + b)(a + b – 1) = a2 + b2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 1 Q= 4 + 4 2 2 2 a + b + 2ab b + a + 2ba 2 2 Từ điều kiện đề bài suy ra ( a + b ) − ( a + b ) = a 2 + b 2 ⇔ 2ab − (a + b) = 0 ⇔ a + b = 2ab 2

2 2

⇒ (a + b) ≥ 2(a + b) ⇒ a + b ≥ 2

a 4 + b 2 ≥ 2 a 4 .b 2 = 2a 2b; b 4 + a 2 ≥ 2b 2 a

ẤP

(a + b) Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: a + b = 2ab ≤

1 1 2 1 + 2 = = 2 2 2a b + 2ab 2b a + 2ba 2ab(a + b) ab(a + b) 1 1 1 a+b ≥1⇒ ≤ ⇒Q≤ Vì a + b ≥ 2; ab = 2 2 ab(a + b) 2 Dấu bằng xảy ra ⇔ a = b = 1 1 Vậy GTLN của Q là 2

BỒ

ID Ư

Ỡ N

ÁN

-L

Í-

⇒Q≤

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial