Issuu

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

ĐẮK LẮK

NĂM HỌC 2011 -2012 MÔN: TOÁN 12 – THPT

Ngày thi: 10/11/2011

ĐỀ CHÍNH THỨC

Thời gian: 180 phút (không kể phát đề)

U Y

Đề thi có 01 trang

x 2 có đồ thị là (C).

ẠO

Cho hàm số y = x 3 −

Bài 1. (4,0 điểm).

4x 2 + 3 . x 4 +1

Bài 2. (5,0 điểm).

TR ẦN

Giải các phương trình sau trên tập số thực R:

H Ư

tại những điểm đó là giá trị lớn nhất của hàm số: g(x) =

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Tìm tất cả những điểm trên đồ thị (C) sao cho hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C)

1/ cosx + 3(sin2x + sinx) - 4cos2x.cosx - 2cos 2 x + 2 = 0 .

2/ x 4 − 2x 3 + x − 2(x 2 − x) = 0 .

10 00

Bài 3. (5,0 điểm).

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác cân có AB = AC = a (a là một

số thực dương) và mặt bên ACC’A’ là hình chữ nhật có AA’=2a. Hình chiếu vuông góc H

của đỉnh B lên mặt phẳng (ACC’) nằm trên đoạn thẳng A’C.

B.ACA’.

-L

Í-

1/ Chứng minh thể tích của khối chóp A’.BCC’B’ bằng 2 lần thể tích của khối chóp

ÁN

2/ Khi B thay đổi, xác định vị trí của H trên A’C sao cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’

có thể tích lớn nhất.

ÀN

3/ Trong trường hợp thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là lớn nhất, tìm khoảng cách

giữa AB và A’C.

IỄ N

Bài 4. (3,0 điểm).

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A(1;1); B(–2;–4); C(5;–1) và đường thẳng ∆ : 2x – 3y + 12 = 0. Tìm điểm M∈∆ sao cho: MA + MB + MC nhỏ nhất.

Bài 5(3 điểm).

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Cho m là số nguyên thỏa mãn: 0 < m < 2011. Chứng minh rằng

(m + 2010)! là một m!2011!

số nguyên.

---------------------- HẾT ----------------------

U Y

a) Thí sinh không được sử dụng tài liệu.

b) Giám thị không giải thích gì thêm.

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

Họ và tên thí sinh……………………............……………… Số báo danh………....

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM

HỌC 2011 - 1012 TỈNH ĐẮK LẮK

MÔN: TOÁN 12 – THPT

ĐÁP ÁN, BIỂU ĐIỂM VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM

(gồm 4 trang)

- Đặt t = x2, với t ≥ 0 ta có hàm số g(t) =

−4t 2 − 6t + 4 2

(t +1)

; g’(t) = 0 ⇔ t = −2; t =

TR ẦN

- g'(t) =

TP Đ

4t + 3 ; t 2 +1

điểm

(4 đ)

4x 2 + 3 * Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: g(x) = 4 x +1

Biểu

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Bài 1

Nội dung đáp án

ẠO

Bài(ý)

U Y

A. ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM

1 ; 2

0,75

- Ta lại có: lim g (t ) = 0 ; lim g (t ) = 0 , bảng biến thiên của hàm số:

t →+∞

–2

–

1 2 +

g’(t)

10 00

−∞

t →−∞

–

Ó H

0,5

–1

-L

Í-

g(t)

+∞

ÁN

- Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là g (x) = 4, đạt được khi x = ±

2 2

0,75

IỄ N

ÀN

* Tìm các điểm thuộc đồ thị (C)

- Ta có: y’ = 3x2 – x , giả sử điểm M0(x0, f(x0)) ∈ (C), thì hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại M0 là f’(x0)= 3x 02 − x 0

0,5

4 3 4 40 - Vậy: 3x 02 − x 0 = 4 suy ra x0 = –1; x0 = , tung độ tương ứng f(–1) = – ; f( ) = 3 2 3 27 3 4 40 + Có hai điểm thỏa mãn giải thiết (–1;– ); ( ; ) 2 3 27 1,0

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Phương trình ⇔

0,5

cosx + 2cos2x + 3 .sinx(2cosx + 1) – 4cos2x.cosx – 2(2cos2 x – 1 ) = 0.

⇔ cosx(2cosx + 1)+ 3 .sinx(2cosx + 1)–2.cos2x(2cosx + 1) = 0

Nếu: 1/ 2cosx + 1 = 0 ⇒ x = ± 1/ 2/ cosx +

2π + k 2π , k ∈ Z 3

3 .sinx –2.cos2x = 0 ⇔

(2,5 đ)

3 .sinx –2.cos2x) = 0

U Y

⇔ (2cosx + 1)(cosx +

(5 đ)

Bài 2

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

π π π k 2π 1 3 cos x + sin x = cos 2 x ⇔ cos( x − ) = cos 2 x ⇔ x = − + k 2π ; x = + ;k ∈Z , 2 2 3 3 9 3

π π k 2π 2π + k 2π , k ∈ Z ; x = − + k 2π ; x = + ;k ∈Z 3 3 9 3

TR ẦN

H Ư

x=±

0,5

- Nghiệm của pt là:

1,0

0,5

10 00

0,5

- Phương trình ⇔ x 4 − 2x 3 + x 2 − ( x 2 − x) − 2(x 2 − x) = 0

(2,5 đ)

⇔ (x 2 − x)2 − ( x 2 − x) − 2(x 2 − x) = 0

1,0

Í-

- Đặt t = x 2 − x , với t ≥ 0 ta có phương trình:

-L

t4 – t2 – 2 t = 0; suy ra t = 0; t =

0,75

ÁN

- Với t = 0 thì x = 0; x = 1

2 thì x = –1; x = 2

- Với t =

0,75

IỄ N

ÀN

Tóm lại phương trình có 4 nghiệm phân biệt: {−1;0;1; 2}

B’

Bài 3 (5 đ)

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

J C

C’

A’

Gọi V là thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’, VB.ACA’ là

ẠO

U Y

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

thể tích khối chóp B.ACA’,

3.VB.ACA’ hay VA’.BCC’B’ = 2.VB.ACA’

1,0

- Ta có V= 3.VB.ACA’

(2 đ)

10 00

TR ẦN

- Vậy V=

1 h.SABC. 3

H Ư

- Ta có VB.ACA’ =

(1, 0 đ) - Ta có V = h.SABC (h là chiều cao của khối lăng trụ ABC.A’B’C’).

Vậy V lớn nhất khi VB.ACA’ lớn nhất,

-L

Í-

a2 1 - Ta có: VB. ACA' = S ACA ' .BH hay VB. ACA' = BH , mà BH2 = AB2 – AH2 = a2 – AH2 – vậy 3 3

a 5

1,5

ÁN

BH lớn nhất khi AH nhỏ nhất tức là AH ⊥ A’C ⇔ CH =

0,5

ÀN

IỄ N

(2 đ)

- Trong mp(AHB) kẻ HJ ⊥ AB, suy ra HJ là đường vuông góc chung của AB và A’C. - Trong ta giác vuông AHB ta H ta có:

HB 2 =

4a 2 1 1 1 2 , ta có: ; = + HA = HJ 2 HA2 HB 2 5

0,5

a2 2a ; suy ra: HJ = 5 5 1,5

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

4 4 Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ta có tọa độ của G là G( ; − ) 3 3 - Khi đó: MA + MB + MC = 3MG , G và ∆ cố định (G không nằm trên ∆ ),

- Vậy MA + MB + MC nhỏ nhất khi 3MG nhỏ nhất, tức MG nhỏ nhất hay MG

(3 đ)

0,5

Bài 4

vuông góc với ∆ . Do đó M là giao điểm của ∆ và đường thẳng d qua G và vuông góc với

U Y

∆.

0,5

- Một véc tơ chỉ phương của ∆ là u = (3; 2) đó cũng là 1 vec tơ pháp tuyến của d, vậy phương trình của d là:

ẠO

4 = 0, 3

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

3x + 2y –

0,5

20 116 ; ) 13 39

TR ẦN

⇒ M (−

20  x=− 2 x − 3 y + 12 = 0    13 ⇒  4  y = 116  3 x + 2 y − 3 = 0  39

0,5

H Ư

Tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

10 00

1,0

1---- A

-2

O 1 -1

ÀN

ÁN

-6

-L

Í-

IỄ N

-4

Ta có: 2010 Cm+2010 =

(m + 2010)! 2011 (m + 2011)! 2011 = . = .Cm2011 + 2011 m !2010! m + 2011 m !2011! m + 2011

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài 5

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

2010 2010 Suy ra: (m+ 2011)Cm+2010 = 2011.Cm2011 + 2011 , tức là: (m+ 2011)Cm+2010 chia hết cho 2011 (do

( 3 đ)

1,0

2010 ; Cm2011 Cm+2010 + 2011 là các số tự nhiên)

Vì: 2011 là số nguyên tố và 0 < m < 2011 nên ƯCLN(m, 2011) = 1, từ đó: ƯCLN(m +

1,0

(m + 2010)! là số nguyên. ⋮ 2011 hay m!2011!

1,0

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

Vậy C

2010 m+2010

2011, 2011)= 1

B. HƯỚNG DẪN CHẤM

1/ Điểm của bài làm theo thang điểm 20, là tổng điểm của thành phần và không làm

H Ư

tròn số.

TR ẦN

2/ Nếu thí sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa phần đó.

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

----------------Hết------------------

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

SỞ GD&ĐT ĐIỆN BIÊN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP CƠ SỞ - NĂM HỌC 2009 -2010 Môn:Toán

Đề thi chính thức

Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề

Ngày thi: 07/01/2010

U Y

(Đề thi có 01 trang)

ĐỀ BÀI

ẠO

Câu 1: (6 điểm)

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

1 + 2sin x − 3.21 + sin x = m − 4 (1) (m là tham số).

1. Cho phương trình: 2

a) Giải phương trình (1) với m = 0.

10 00

Câu 2: (5 điểm)

TR ẦN

6 6  x + y = 1 2. Giải hệ phương trình:  5 5  x + y = 1

H Ư

b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm.

1. Tìm GTLN của hàm số: y = − x + 3 x + 72 x − 90 trên đoạn [ −7;7 ] .

1 4 x − 2 x 2 + 3 có đồ thị là (C). Tính diện tích tam giác có các đỉnh là các 4

2. Cho hàm số y =

-L

Câu 3: (6 điểm)

Í-

điểm cực trị của đồ thị (C).

ÁN

1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Chứng minh rằng với mọi giá trị của t đường thẳng (d) có phương

IỄ N

ÀN

định.

trình: x cos t + y sin t + sin t − 2cos t − 3 = 0 (t là tham số) luôn tiếp xúc với một đường tròn cố

= 120 . Gọi M là 2. Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 = 2a 5 và BAC

trung điểm của CC1. Chứng minh MB ⊥ MA1 và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A1BM). Câu 4: (1.5 điểm) n

Cho đa thức f ( x ) = x + an −1 x

n −1

+ an −2 x n− 2 + ⋯ + a1 x + 1 có các hệ số không âm và có n

nghiệm thực. Chứng minh f ( 2 ) ≥ 3 . n

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 5: (1.5 điểm) 3

Cho hàm số: y = x − 2009 x có đồ thị là (C). M 1 là điểm trên (C) có hoành độ x1 = 1 . Tiếp

khác M 2 , tiếp tuyến của (C) tại điểm M n −1 cắt (C) tại điểm M n khác M n −1 (n = 4; 5;…), gọi

tuyến của (C) tại M 1 cắt (C) tại điểm M 2 khác M 1 , tiếp tuyến của (C) tại M 2 cắt (C) tại điểm M 3

2013

U Y

Tìm n để : 2009 xn + yn + 2

( xn ; yn ) là tọa độ điểm M n .

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

----------Hết----------

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHÍNH THỨC HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 12 NĂM HỌC 2009-2010 Câu 1 1

6điểm

NỘI DUNG

0.5

1  = t ⇒ t ∈  ;2  ta có phương trình: 2t 2 − 6t = m − 4 (2) 2 

s inx

Đặt 2

(4điểm)

21+2 sin x − 3.21+s inx = m − 4

U Y

a.Với m = 0 suy ra: 2t − 6t + 4 = 0 ⇔ t = 1 ∨ t = 2

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

1 

+ k 2π

 

0.5

b.ycbt ⇔ (2) có nghiệm t ∈  ;2  2

H Ư

( 2 ) ⇔ 2t 2 − 6t + 4 = m

1



TR ẦN

(2) có nghiệm khi đường thẳng y = m cắt ( P ) : y = 2t − 6t + 4 trên  ;2  2  ……

0.75

 x 6 + y 6 = 1 (1)  5 5  x + y = 1 (2)

Í-

(2điểm)

0.5

-L

0.5

1 3 ≤ m ≤ thì (1) có nghiệm 2 2

Suy ra −

0.5

1 3 y   = − ; y ( 2) = 0 2 2

10 00

1 3 y  = ; 2 2

ẠO

t = 2 ⇒ 2s inx = 2 ⇔ sinx = 1 ⇔ x =

t = 1 ⇒ 2sinx = 1 ⇔ sinx = 0 ⇔ x = kπ

0.5

ÁN

Lập luận từ (1) và (2) suy ra x, y ∈ [ −1;1] và x, y không cùng dấu

IỄ N

ÀN

Vai trò của x, y bình đẳng , không làm mất tính tổng quát giả sử

Câu 2 1 (2điểm)

0.75

−1 < x < 0 < y < 1 . Lập luận đưa ra hệ vô nghiệm

Nhận thấy ( 0;1) ; (1;0 ) là các nghiệm của hệ

y = − x 3 + 3x 2 + 72 x − 90 trên đoạn [ −7;7 ] 3

Xét hàm f ( x ) = − x + 3 x + 72 x − 90 trên [ −7;7 ]

0.5 4 điểm 0.5

y ' = −3 x 2 + 6 x + 72 = 0 ⇔ x = −4 ∨ x = 6

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

y ( −4 ) = −266; y ( 6 ) = 234; y ( 7 ) = 218; y ( −7 ) = −104

1.0

max y = y ( −4 ) = 266

0.5

1 4 x − 2 x2 + 3 4

1.0

(2điểm)

[ −7;7]

Các điểm cực trị: A ( −2; −1) ; B ( 0;3) ; C ( 2; −1)

ẠO

6 điểm 0.5

x cos t + y sin t + sin t − 2cos t − 3 = 0 ⇔ ( y + 1) sin t + ( x − 2 ) cos t = 3 (*) ⇒ tìm các điểm mà đường thẳng không đi qua với mọi t hay (*) vô nghiệm

0.5

H Ư

(2điểm)

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Câu 3 1

1.0

1 1 BH . AC = 4.4 = 8 ( dvdt ) 2 2

U Y

NX: các điểm cực trị tạo thành tam giác cân tại C. Suy ra diện tích được tính:

TR ẦN

⇔ ( y + 1) + ( x − 2 ) < 32 xét đt ( y + 1) + ( x − 2 ) = 32 (C ) 0.5

Vậy đường thẳng đã cho luôn tiếp xúc với đường tròn cố định có phương trình :

0.5

10 00

+ ( x − 2 ) = 32 a. Chứng minh MB ⊥ MA ' .

( y + 1)

C/M đường tròn ( C ) tiếp xúc (d) với mọi t

(4điểm)

0.75

-L

Í-

ÁN

IỄ N

ÀN

 1  BM = BA + AM = − AB + AC + CM =  − AB + AC + AA '  2  

(

) (

)

 1  A ' M = A ' C ' + C ' M =  AC − AA '  2  

(

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

)

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com 0.75

Ơ H

)

U Y

(

1 1 1  1  =  − AB. AC + AB.AA ' + AC 2 − AC.AA ' + AA '. AC − AA'2  2 2 2 4   2 1 = a 2 + 4 a 2 − 2 5a = 0 4 Suy ra MB ⊥ MA '

 1  1  BM . A ' M =  − AB + AC + AA '  AC − AA '  2 2   

b.Tính khoảnh cách từ A đến mp(A’BM)

0.5

y = x 3 − 2009 x

0.5

0.5 0.5

Gọi M k ( xk ; yk ) suy ra tiếp tuyến tại M k : y − yk = y ' ( xk )( x − xk )

-L

Í-

2 điểm

Câu 5

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

1 1 VA. A ' BM = d ( A, ( A ' BM ) ).S A ' BM = d ( B, ( AA ' M ) ) .SAA ' M 3 3 1   S A ' BM = 2 MB.MA '  1  2 2 2 2 2 0 2 2  MB = BC + CM = AB + AC − 2. AC. AB.cos120 + AA ' = 12a 4   MA '2 = A ' C '2 + C ' M 2 = 9a 2  1 ⇒ S A ' BM = 3a.a 12 = 3a 2 3 2 a 3 1 S AA ' M = 2a.2 5a = 2a 2 5; d ( B, ( AA ' M ) ) = BH = AB.sin 600 = 2 2 5 a 3 ⇒ d ( A, ( A ' BM ) ) .3a 2 3 = 2a 2 5. ⇒ d ( A, ( A ' BM ) ) = a 2 3

ÁN

⇔ y = ( 3 xk2 − 2009 ) ( x − xk ) + xk3 − 2009 xk 0.5

IỄ N

ÀN

Tọa độ điểm M k +1 được xác định:

x 3 − 2009 x = ( 3xk2 − 2009 ) ( x − xk ) + xk3 − 2009 xk

⇔ ( x − xk ) ( x 2 + x.xk − 2 xk2 ) = 0 ⇔ x = xk ∨ x = −2 xk ⇒ xk +1 = −2 xk Ta có : x1 = 1; x2 = −2; x3 = 4;...; xn = ( −2 )

n −1

2009 xn + yn + 22010 = 0 ⇔ 2009 xn + xn3 − 2009 xn + 22010 = 0 ⇔ ( −2 )

3 n −3

= −2 2013 = ( −2 )

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

2013

0.5 0.5

⇔ 3n − 3 = 2013 ⇔ n = 672

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Câu 4 2 điểm

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com 0.5

f ( x ) = x n + an −1 x n −1 + an −2 x n−2 + ⋯ + a1 x + 1 có các hệ số không âm và n nghiệm thực . Suy n nghiệm đó âm giả sử là các nghiệm: xi , i = 1, 2,..., n

0.5

Theo cách phân tích đa thức ta được f ( x ) = Π ( x − xi )

i =1

0.5

i =1

Π α i = 3n .Suy ra đpcm i =1

0.5

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

Ta có f ( 2 ) = Π ( 2 + α i ) = Π (1 + 1 + α i ) ≥ 3

Đặt − xi = α i ⇒ α i > 0 ⇒ f ( x ) = Π ( x + α i ) với Π α i = 1

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT

HÀ NAM

NĂM HỌC 2011 - 2012 Môn: TOÁN

ĐỀ CHÍNH THỨC

Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1: (4 điểm)

U Y

3 x − 2m với m là tham số. Chứng minh rằng ∀m ≠ 0 , đồ thị hàm số luôn cắt mx + 1

1. Cho hàm số y =

đường thẳng d : y = 3 x − 3m tại 2 điểm phân biệt A, B . Xác định m để đường thẳng d cắt các trục

x2 có đồ thị (C). Chứng minh rằng các điểm trong mặt phẳng tọa độ mà qua đó x −1

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

2. Cho hàm số y =

ẠO

Ox, Oy lần lượt tại C , D sao cho diện tích ∆OAB bằng 2 lần diện tích ∆OCD .

kẻ được đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc với nhau đều nằm trên đường tròn tâm I (1;2), bán kính R =

H Ư

TR ẦN

Câu 2: (4 điểm)

1. Giải phương trình sau trên tập số thực: 15 x.5 x = 5 x +1 + 27 x + 23

log 2

10 00

2. Giải bất phương trình sau trên tập số thực: Câu 3: (6 điểm)

a , SA = a 3 (a > 0) . Biết góc SAB = 300 và góc 2

1. Cho tứ diện SABC có AB = AC = a, BC =

2x + 1 ≤ 2x2 − 6 x + 2 x − 2x + 1 2

SAC = 300 . Tính thể tích khối tứ diện theo a .

-L

Í-

2. Chứng minh rằng nếu một tứ diện có độ dài một cạnh lớn hơn 1, độ dài các cạnh còn lại đều không

ÁN

lớn hơn 1 thì thể tích của khối tứ diện đó không lớn hơn

1 . 8

Câu 4: (4 điểm)

ÀN

Tính các tích phân: 3

IỄ N

1. I =

∫ x+ 2

x+2 x2 − 4

2. J =

∫

( cosx + 1) ln

sinx +1

sin x + 1

Câu 5: (2 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

1 2 a2 + b2 + c2 + 1

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

−

1 ( a + 1)(b + 1)(c + 1)

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com …………Hết…………

Họ và tên thí sinh:………………………………………………Số báo danh:…………………….

Họ và tên giám thị số 1:……………………………………………………………………………...

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

Họ và tên giám thị số 2:……………………………………………………………………………...

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT

HÀ NAM

NĂM HỌC 2011-2012

Hướng dẫn chấm và biểu điểm

Môn: Toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

(Hướng dẫn chấm và biểu điểm gồm có 6 trang)

U Y

- Lưu ý: Nếu thí sinh trình bày lời giải khác so với hướng dẫn chấm mà đúng thì vẫn cho điểm từng phần như biểu điểm.

Phương trình hoành độ giao điểm của d và đồ thị:

3mx 2 − 3m 2 x − m = 0, x ≠

−1 m

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

điểm)

Điểm 0.25

1.(2

Nội dung

Câu 1

Vì m ≠ 0 nên phương trình ⇔ 3 x 2 − 3mx − 1 = 0 (*). Ta có

H Ư

 −1  3 ∆ = 9m 2 + 12 > 0, ∀m ≠ 0 và f   = 2 + 2 ≠ 0, ∀m ≠ 0 (ở đây f ( x ) m m

TR ẦN

là vế trái của (*)) nên d luôn cắt đồ thị tại 2 điểm A, B phân biệt ∀m ≠ 0

Ta có A ( x1 ;3 x1 − 3m ) , B ( x2 ;3 x2 − 3m ) với x1 , x2 là 2 nghiệm của (*). Kẻ

+ ( 3 x2 − 3 x1 ) = 10 ( x2 − x1 )

−3m

và

0,25

( x2 − x1 )

AB =

10 00

đường cao OH của ∆OAB ta có OH = d ( 0; d ) =

0,5

Í-

= 10 ( x1 + x2 ) − 40 x1 x2 = 10m 2 +

40 3

-L

(Định lý Viet đối với (*)).

ÁN

Mặt khác ta có C ( m;0 ) , D ( 0; −3m ) (để ý m ≠ 0 thì C , D, O phân biệt). Ta

10m 2 +

40 −3m 2 = 2 m 3m ⇔ m = ± . 3 3 10

0,25

IỄ N

ÀN

tìm m để S ∆OAB = 2 S ∆OCD hay

0,5

0,25

2.(2 điểm)

Gọi M (x 0 , y 0 ) . Đường thẳng d đi qua M, có hệ số góc k có phương trình y = k(x − x 0 ) + y 0

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

0,25

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

d tiếp xúc (C ) khi hệ sau có nghiệm x ≠ 1:

1   x + 1 + x − 1 = k(x − x 0 ) + y 0 (1)  1 − 1 2 = k (2)  (x − 1)

N Ơ

 k(1 − x 0 ) + y 0 − 2  Thay vào (2) được 1 −   = k 2 

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

k(1 − x 0 ) + y 0 − 2 1 = . x −1 2

ẠO

Suy ra

1 1 = x −1− + k − kx 0 + y 0 . x −1 x −1

U Y

trí trong (3) được : x + 1 +

1 = k(x − 1) + k − kx 0 + y 0 (3) . Thay k ở (2) vào một vị x −1

(1) ⇔ x + 1 +

0,5

0,25

H Ư

⇔ (x 0 − 1)2 k 2 + 2 [ (1 − x 0 )(y0 − 2) + 2].k + (y 0 − 2) 2 − 4 = 0 (*) Nếu từ M kẻ được đến (C ) hai tiếp tuyến vuông góc thì pt (*) có hai nghiệm

(y 0 − 2) 2 − 4 = −1 (x 0 − 1) 2

TR ẦN

k1 , k 2 thỏa mãn k 1 .k 2 = −1 ⇒

0,5

10 00

⇔ (x 0 − 1)2 + (y0 − 2) 2 = 4 ⇒ M nằm trên đường tròn có tâm I(1,2), có bán

Í-

kính R=2 (đpcm)

Câu 2

Nội dung

Điểm

Phương trình đã cho ⇔ 5 x (15 x − 5 ) = 27 x + 23 .

1.(2

ÁN

-L

0,5

Ta phải có 15 x − 5 ≠ 0 và phương trình trên trở thành 5 x = số f ( x ) = 5 x đồng biến trên R còn hàm số g ( x ) =

IỄ N

ÀN

điểm)

g '( x ) =

−480

(15 x − 5 )

27 x + 23 . Hàm 15 x − 5

0,5

27 x + 23 có 15 x − 5

1  < 0 nên nó nghịch biến trên các khoảng  −∞;  và 3 

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

1   ; +∞  . 3 

0,5

Vậy phương trình có tối đa 1 nghiệm trên mỗi khoảng.

0,25

1 5

0,5

Nên phương trình đã cho có 2 nghiệm là

0,25

Mặt khác f (1) = g (1) = 5 và f ( −1) = g ( −1) =

Điều kiện: x ≠ 1 và x> −

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

1 (*) 2

ẠO

điểm)

2x + 1 ≤ 2x 2 − 6x + 2 x − 2x + 1

log 2

Bất phương trình:

2.(2

U Y

x = ±1 .

2x + 1 2x + 1 − 1 ≤ 2x 2 − 6x + 1 ⇔ log 2 2 ≤ 2x 2 − 6x + 1 x − 2x + 1 2x − 4x + 2 2

TR ẦN

⇔ log 2

H Ư

Với đk trên BPT

⇔ log 2 (2x + 1) − log 2 (2x 2 − 4x + 2) ≤ (2x 2 − 4x + 2) − (2x + 1)

0,5

u = 2x + 1

Đặt 

thì u,v>0 và u + log 2 u ≤ v + log 2 v (1)

2  v = 2x − 4x + 2

10 00

⇔ (2x + 1) + log 2 (2x + 1) ≤ (2x 2 − 4x + 2) + log 2 (2x 2 − 4x + 2)

Í-

1 + 1 > 0, ∀t ∈ D t.ln 2

-L

f '(t) =

Xét hàm số f (t) = log 2 t + t, t ∈ D = (0; +∞) . Có

ÁN

Suy ra f(t) là hàm đồng biến trên D Khi đó, (1) thành f (u) ≤ f (v) và do u,v thuộc D và f(t) đồng biến trên D nên

0,5

Tức là 2x + 1 ≤ 2x 2 − 4x + 2 ⇔ 2x 2 − 6x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≤

IỄ N

ÀN

u≤v

x≥

3− 7 hoặc 2

0,25

3+ 7 2

Kết hợp với điều kiện (*) được tập nghiệm của bpt đã cho là

 1 3 − 7  3 + 7  T = − ; ; +∞  ∪ 2   2  2 

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

0,5

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

0,25 Nội dung

Điểm

Câu 3

điểm)

1.(3

U Y

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

TR ẦN

Theo định lý cosin trong tam giác SAB ta có

H Ư

3 = a2 2

SB 2 = SA2 + AB 2 − 2 SA. AB.cos300 = 3a 2 + a 2 − 2a 3.a.

10 00

Vậy SB = a. Tương tự ta cũng có SC = a. Gọi M là trung điểm SA, do hai tam giác SAB cân tại B và SAC cân tại C nên

MB ⊥ SA, MC ⊥ SA ⇒ SA ⊥ ( MBC )

Í-

Ta có VSABC = VSBMC + VABMC =

1 SA.S ∆MBC 3 0,5

-L

Hai tam giác SAB và SAC bằng nhau (c.c.c) nên MB = MC suy ra tam giác

ÁN

MBC cân tại M, do đó MN ⊥ BC , ta cũng có MN ⊥ SA (Ở đây N là trung 0,5

điểm BC)

2  a   a 3  3a 2 2 2 2 2 2 2 MN = AN − AM = AB − BN − AM = a −   −   = 16 4  2 

Suy ra MN =

IỄ N

ÀN

Từ đó

Vậy VSABC

a 3 . 4

0,5

a3 1 1 = SA. MN .BC = 3 2 16

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

0,5

2.(3

0,5

ẠO

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

U Y

điểm)

TR ẦN

Giả sử tứ diện ABCD có AB>1, các cạnh còn lại đều không lớn hơn 1. Đặt CD = x, x ∈ ( 0;1] .

10 00

Gọi M là trung điểm BC, K là hình chiếu của B lên CD và H là hình chiếu của

1 3

A lên mp( BCD). Khi đó VABCD = S∆BCD .AH =

1 x.BK.AH (1) 6

BC2 + BD 2 CD 2 x2 1 − ≤ 1 − ⇒ BM ≤ 4 − x2 Có BM = 2 4 4 2

Í-

ÁN

-L

Tương tự, cũng có AM ≤

IỄ N

ÀN

Mà BK ≤ BM ⇒ BK ≤

1 4 − x2 2

1,0

1 1 4 − x 2 (2), AH ≤ AM ⇒ AH ≤ 4 − x 2 (3) 2 2

Từ (1), (2) và (3) suy ra VABCD ≤

1 x(4 − x 2 ) 24

1 Mặt khác hàm số f (x) = x(4 − x 2 ); x ∈ ( 0;1] đồng biến nên 24 f(x) ≤ f (1) = Nên VABCD

1 8

1 ≤ (đpcm) 8

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

0,25

0,5

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

(Dấu bằng xảy ra khi hai tam giác ACD và BCD là hai tam giác đều có cạnh 0,75

3 >1) bằng 1 và H,K trùng với M. Khi đó AB = 2

x + x2 − 4

(

x + 2 x − x2 − 4

x2 − ( x2 − 4)

dx = ∫

) dx

I =∫

x+2

U Y

Ta có

điểm)

ẠO

1 1 1 1 = ∫ x x + 2dx − ∫ x + 2. x 2 − 4dx = I1 − I 2 42 42 4 4

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Điểm

1.(2

Nội dung

Câu 4

0,25

3 2

-Tính I1 :

0,5

2 ( x + 2) 5

5 3 2

− 2.

2 ( x + 2) 3

3 3 2

0,5 1

x − 2 = t ta có dx = 2tdt và I 2 = ∫ ( t 2 + 4 ) t.2tdt 1

8t 3 + 3 0

-L

Í-

2t 5 Do đó I 2 = 5

Đặt

x − 2dx

∫ ( x + 2)

10 00

-Tính I 2 : Viết I 2 =

10 5 32 − 3 15

TR ẦN

H Ư

I1 = ∫ ( x + 2 − 2 ) x + 2dx = ∫ ( x + 2 ) dx − 2 ∫ ( x + 2 ) 2 dx

= 0

46 15

1 1 25 5 − 39 I1 − I 2 = 4 4 30

ÁN

Vậy I =

IỄ N

ÀN

0,5

2.(2 điểm)

0,5 π 2

Có I = ∫ [ (1 + sinx) ln(cos x + 1) − ln(1 + sinx ]dx 0 π 2

π 2

= ∫ ln(1 + cos x)dx + ∫ sinx.ln(1 + cos x)dx − ∫ ln(1 + sinx)dx = A + B − C

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com 0,5

π 2

Xét A = ∫ ln(1 + cos x)dx 0

π 2

π − t ⇒ A = − ∫ ln(1 + sin t)dt = ∫ ln(1 + sinx)dx = C . Vậy I = B 2 π 0

Đặt x =

0,5

π 2

U Y

Xét B = ∫ s inx.ln(1 + cos x)dx . Đặt u = 1+ cosx thì B = ∫ ln udu 2

− ∫ du = 2ln 2 − 1

Dùng từng phần được B = u ln u

2 1

0,5

TR ẦN

H Ư

ẠO

Vậy: I = 2ln2 - 1

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Câu 5

a 2 + b2 + c2 + 1 ≥

Điểm

Theo bđt Cô-si ta có:

1 1 1 2 2 2 ( a + b ) + ( c + 1) ≥ ( a + b + c + 1) 2 2 4

10 00

2 điểm

Nội dung

0,5

 a +b+c +3 và ( a + 1)( b + 1)( c + 1) ≤   3  

1,0

Í-

1 27 − a + b + c + 1 ( a + b + c + 3 )3

-L

Do đó P ≤

1 t

IỄ N

ÀN

ÁN

đặt t = a + b + c + 1 ⇒ t > 1 . Ta có P ≤ −

1 t

Xét hàm số f ( t ) = −

(t + 2)

, t ∈ (1; +∞ ) . Vẽ bảng biến thiên của hàm số

này trên (1; +∞ ) ta có max f ( t ) = f ( 4 ) = Từ đó P ≤

0,5

1 . 8

1 và dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1 . 8 0,5

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012 MÔN THI : TOÁN - Vòng 1

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Thời gian làm bài: 180 phút

(Đề thi gồm 01 trang)

U Y

Câu 1 (2 điểm)

x−2 có đồ thị là (C) và điểm M tùy ý thuộc (C). Tiếp tuyến của x +1

1. Cho hàm số y =

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Chứng minh tam giác IAB có diện tích không phụ thuộc vị trí điểm M. 2

H Ư

2. Tìm m để hàm số y = 9 x + m x + 9 có cực đại.

Câu 2 (2 điểm) 2012

TR ẦN

a. Giải phương trình sin

x + cos 2012 x =

21005

10 00

2 2  x + x + 1 = y + y − 1 b. Giải hệ phương trình  2 2  x + y − xy = 1

Câu 3 (2 điểm)

tam

-L

mọi

Í-

1. Chứng minh tan x + sin x ≥

9 3  π x + ( 3 − π ), ∀x ∈  0;  . Từ đó suy ra trong 2 2  2

giác

nhọn

ABC

ÁN

tan A + tan B + tan C + sin A + sin B + sin C ≥

có

9 3 . 2

x + 4 + 4 − x − 16 − x 2 .

ÀN

2. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y =

IỄ N

Câu 4 (3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a 3 và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. a) Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ theo a.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

= 450 . b) M và N là hai điểm thay đổi lần lượt thuộc các cạnh BC và DC sao cho MAN Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp S.AMN.

Câu 5 (1 điểm) 2

b 2 + 3bc + a 2

c 2 + 3ca + b 2

N ≥ 5( a + b + c)

U Y

c 2 + ca + 1

a 2 + 3ab + c 2

b2 + bc + 1

a 2 + ab + 1

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1 . Chứng minh

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

…………………Hết………………….

Họ và tên thí sinh:………………………………Số báo danh:…………………………

Chữ ký của giám thị 1:………………….Chữ ký của giám thị 2:………………………

H Ư

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN

TR ẦN

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012 I

Nội dung

Điểm

CM tam giác IAB có diện tích không phụ thuộc vị trí điểm M

1,00

10 00

Câu

3 3  a−2 M ∈ (C ) ⇒ M  a; ⇒ y '(a) =  , a ≠ −1 . y ' = 2 ( x + 1) (a + 1) 2  a +1  3 a−2 x a (∆) ( − ) + a +1 (a + 1) 2

Í-

Tiếp tuyến của (C) tại M có pt y =

0,25

-L

Tiệm cận đứng ∆1 có phương trình x = −1 0,25

a −5  ∆ ∩ ∆1 = A ⇒ A  −1;  , ∆ ∩ ∆ 2 = B ⇒ B ( 2a + 1;1) a +1  

0,25

ÀN

ÁN

Tiệm cận ngang ∆ 2 có phương trình y = 1 ⇒ I (−1;1)

IỄ N

S IAB =

1 1 a−5 1 6 − 1 . 2a + 2 = . .2 a + 1 = 6 (không phụ IA.IB = 2 2 a +1 2 a +1

0,25

thuộc vào a, đpcm) 2

Tìm m để hàm số y = 9 x + m x + 9 có cực đại

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

1,00

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

TXĐ: ℝ , y ' = 9 +

x +9

, y '' =

( x + 9) x 2 + 9

y ' = 0 ⇔ 9 x 2 + 9 + mx = 0 ⇔ 9 x 2 + 9 = −mx ⇔

mx < 0 mx < 0 (I) ⇔   2 2 2 2 2 81( x + 9) = m x (m − 81) x = 81.9 2

x2 + 9

> 0, ∀x suy ra hàm số đồng biến trên ℝ , không có cực

ẠO

y' =

9 x 2 + 9 + mx

TH 1. m ≤ 81 ⇔ −9 ≤ m ≤ 9 ⇒ m . x ≤ 9 x < 9 x + 9(∀x ) nên

( x12 + 9) x12 + 9

Đ N

m 2 − 81

H Ư

> 0 ⇒ x1 là điểm cực tiểu ⇒ m > 9 loại

0,25

m 2 − 81

( x22 + 9) x22 + 9

< 0 ⇒ x2 là điểm cực đại.

y ''( x2 ) =

10 00

TH 3. m < −9 ⇒ ( I ) ⇔ x2 =

0,25

−27

TH 2. m > 9 ⇒ ( I ) ⇔ x1 =

TR ẦN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

trị.

y ''( x1 ) =

U Y

0,25

Vậy hàm số có cực đại ⇔ m < −9 Giải phương trình sin

Í-

2012

x + cos 2012 x =

-L

ÁN

Đặt t = sin x, t ∈ [ 0;1] . (1) có dạng: t

IỄ N

ÀN

Xét hàm số f (t ) = t

1006

1 1005

+ (1 − t )1006 =

(1)

1 1005

(2)

1 2

1 1 1 1 f (0) = f (1) = 1, f   = 1005 ⇒ min f (t ) = 1005 Vậy (2) ⇔ t = [0;1] 2 2 2 2 2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

0,25

+ (1 − t )1006 , t ∈ [ 0;1]

f '(t ) = 1006[t 1005 − (1 − t )1005 ] ; f '(t ) = 0 ⇔ t =

hay (1) ⇔ sin x =

1,00

π π 1 ⇔ cos 2 x = 0 ⇔ x = + k ( k ∈ Z ) 2 4 2

0,25

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

 x + x 2 + 1 = y + y 2 − 1 (1) Giải hệ phương trình  2 2 (2)  x + y − xy = 1 y2 − 1 − x2 + 1

ĐK: y ≥ 1 . (1) ⇔ x − y =

1,00

⇒ x 2 − 2 xy + y 2 = y 2 − 1 + x 2 + 1 − 2 ( y 2 − 1)( x 2 + 1)

U Y

⇔ xy = ( y 2 − 1)( x 2 + 1) ⇒ x 2 y 2 = x 2 y 2 + y 2 − x 2 − 1 ⇔ x 2 − y 2 = −1

x = 0 & (2) ⇒ y 2 = 1 ⇔ y = ±1

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

0,25

ẠO

 x 2 − y 2 = −1 x = 0 2 2 0 ⇒ x − xy = ⇔ Kết hợp với (2) ta được   2 2  y = 2x  x + y − xy = 1

0,25

1 1 2 ⇔ x=± ⇒ y=± 3 3 3

Thử lại ta có x = 0, y = 1 và x =

1 2 ,y= thỏa mãn hệ pt 3 3

0,25

Chứng minh tan x + sin x −

10 00

III

TR ẦN

Vậy hệ có 2 nghiệm như trên

H Ư

y = 2 x & (2) ⇒ 3 x 2 = 1 ⇔ x 2 =

9 3  π x ≥ ( 3 − π ), ∀x ∈  0;  . 2 2  2

1,00

9  π x trên  0;  2  2

Xét hàm số f ( x) = tan x + sin x −

0,25

1 9 2cos3 x − 9cos 2 x + 2 (2cos x − 1)(cos 2 x − 4cos x − 2) + cos x − = = 2 cos x 2 2cos 2 x 2cos 2 x

Í-

f '( x) =

0,25

-L

 π 2  ⇒ 0 < cosx<1 ⇒ (cos x − 2) − 4cos x < 0 ⇒ f '( x ) cùng  2

ÁN

Vì x ∈  0;

f '( x)

0,25

IỄ N

ÀN

dấu với 1 − 2cos x . Bảng biến thiên của f ( x)

f ( x)

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

3 ( 3 −π) 2

Ơ H

π 3

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x =

9 3  π x ≥ ( 3 − π ), ∀x ∈  0;  2 2  2

U Y

Vậy f ( x) = tan x + sin x −

 π ⇒  2

9 3 A + ( 3 − π ) . Tương tự, cộng lại ta được 2 2

0,25

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

tan A + sin A ≥

Áp dụng: Tam giác ABC nhọn nên A, B, C ∈  0;

TR ẦN

H Ư

9 9 tan A + tan B + tan C + sin A + sin B + sin C ≥ ( A + B + C ) + ( 3 − π ) 2 2 Kết hợp với A + B + C = π ta có đpcm

x + 4 + 4 − x − 16 − x 2

1,00

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y =

0,25

x + 4 + 4 − x , t ≥ 0 . Bình phương ta được

10 00

TXĐ: D = [ −4;4] . Đặt t =

t 2 = 8 + 2 ( x + 4)(4 − x) ≥ 8 . Dấu bằng có khi x= ±4

Mặt khác theo BĐT Cô-si ta có

Í-

t 2 = 8 + 2 ( x + 4)(4 − x) ≤ 8 + ( x + 4) + (4 − x) = 16 .D bằng có khi x=0 0,25

-L

Do t ≥ 0 ⇒ 2 2 ≤ t ≤ 4

ÀN

ÁN

t2 − 8 1 Khi đó y = f (t ) = t − = − t 2 + t + 4, t ∈  2 2;4 2 2

0,25

f (2 2) = 2 2, f (4) = 0 .

IỄ N D

f '(t ) = −t + 1, f '(t ) = 0 ⇔ t = 1 (loại)

Vậy min y = min f (t ) = 0 khi x=0, max y = max f (t ) = 2 2 khi x= ±4 [ −4;4]

0,25

 2 2 ;4   

[ −4;4]

2 2;4   

Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ theo a

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

0,25

1,50

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

U Y

H Ư

BC ⊥ AB, BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ ( SAB) ⇒ BC ⊥ AB '

TR ẦN

SC ⊥ ( P) ⇒ SC ⊥ AB ' ⇒ AB ' ⊥ ( SBC ) ⇒ AB ' ⊥ SB 0,25 0,25

10 00

Tương tự AD ' ⊥ SD

VS . AB ' C ' D ' = VS . AB ' C ' + VS . AD ' C '

(1)

0,25

VS . AB ' C ' SB ' SC ' SB '.SB SC '.SC SA2 SA2 3 3 9 = . = . = 2. 2 = . = 4 5 20 VS . ABC SB SC SB 2 SC 2 SB SC

ÁN

-L

Í-

VS . AD ' C ' SD ' SC ' SD '.SD SC '.SC SA2 SA2 3 3 9 = . = . = . = . = VS . ADC SD SC SD 2 SC 2 SD 2 SC 2 4 5 20

Do VS . ABC = VS . ADC

1 1 2 a3 3 = . a .a 3 = 3 2 6

(2)

0,25 0,25

ÀN

Cộng (1) và (2) theo vế ta được

IỄ N

VS . AB ' C ' VS . AD ' C ' 9 9 9 a 3 3 3 3a 3 + 3 = + ⇔ VS . AB ' C ' D ' = . = 10 6 20 a3 3 a 3 20 20 6 6 2

Tìm max và min của thể tích khối chóp S.AMN

0,25

1,50

( Hình vẽ trang cuối)

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

1 VS . AMN = .S AMN .a 3 . Đặt BM = x, DN = y ; x, y ∈ [ 0; a ] 3 0,25

Trên tia đối của tia DC lấy điểm P sao cho DP = BM = x

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông CMN ta được

H N

0,25

ẠO

MN 2 = MC 2 + CN 2 ⇔ ( x + y ) 2 = ( a − x) 2 + (a − y ) 2

0,25

1 1 AD.PN = a ( x + y ) (*) 2 2

⇒ ∆MAN = ∆PAN ⇒ S MAN = S PAN =

U Y

= 450 ⇒ BAM + DAN = 450 ⇒ NAP = DAP + DAN = 450 MAN

= DAP ∆ABM = ∆ADP ⇒ AM = AP, BAM

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

x 2 + y 2 + 2 xy = a 2 + x 2 − 2ax + a 2 + y 2 − 2ay ⇔ xy + a ( x + y ) = a 2

H Ư

a 2 − ax 1 ) a( x + 2 x+a

TR ẦN

Thế vào (*) ta được S MAN =

a  x2 + a2  a x 2 + 2ax − a 2 ⇒ f '( x ) = .   2 x+ a  2 ( x + a)2

10 00

Đặt f ( x) =

0,25

a 2 − ax ⇔ y= x+a

0,25

f '( x) = 0 ⇔ x = ( 2 − 1)a .

a2 f (0) = f (a ) = , f (( 2 − 1)a ) = a 2 ( 2 − 1) 2

ÁN

-L

Í-

a2 ⇒ max f ( x) = , min f ( x ) = a 2 ( 2 − 1) [0;a ] 2 [0;a ]

min VS . AMN =

IỄ N

ÀN

Vậy max VS . AMN

 M ≡ B, N ≡ C a3 3 khi  = 6 M ≡ C, N ≡ D

a 2 + ab + 1 a 2 + 3ab + c 2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

3( 2 − 1)a 3 khi MB = ND = a ( 2 − 1) 3 b 2 + bc + 1 b 2 + 3bc + a 2

c 2 + ca + 1 c 2 + 3ca + b 2

≥ 5( a + b + c)

0,25

1,00

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

∀x, y > 0 ta có x 2 + y 2 ≥ 2 xy ⇔ x 2 ≥ 2 xy − y 2 ⇔

x2 ≥ 2x − y y

0,25

(a 2 + ab + 1) 2 ⇒ = ≥ 2( a 2 + ab + 1) − (a 2 + 3ab + c 2 ) 2 2 2 2 a + 3ab + c a + 3ab + c

5a 2 + 3b 2 + 2c 2 (10)( a 2 + a 2 + a 2 + a 2 + a 2 + b 2 + b 2 + b 2 + c 2 + c 2 ) = 2 20

b 2 + 3bc + a 2

c 2 + ca + 1

H Ư

b 2 + bc + 1

c 2 + 3ca + b 2

TR ẦN

a 2 + 3ab + c 2

Tương tự, cộng lại ta được

a 2 + ab + 1

0,25

ẠO

( a + a + a + a + a + b + b + b + c + c ) 2 5a + 3b + 2c ≥ = 2 5 2 5

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Ơ H

0,25

a 2 + b2 2

U Y

= 2 + a 2 − c 2 − ab ≥ 2( a 2 + b 2 + c 2 ) + a 2 − c 2 −

a 2 + ab + 1

1 3

0,25

10 00

Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c =

≥ 5( a + b + c)

B x

450

x P

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

HẢI DƯƠNG

LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012 MÔN THI : TOÁN - Vòng 2 Thời gian làm bài: 180 phút

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

(Đề thi gồm 01 trang)

U Y

Câu 1 (2 điểm)

a) Cho hàm số y = x 2 + 2mx − 3m và hàm số y = −2 x + 3 . Tìm m để đồ thị các hàm số đó

ẠO

− x 2 + 8 x − 12 > 10 − 2 x

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

b) Giải bất phương trình:

cắt nhau tại hai điểm phân biệt và hoành độ của chúng đều dương.

N H Ư

3 2

TR ẦN

3 3 3 a) Giải phương trình: (4 x − x + 3) − x =

Câu 2 (2 điểm)

b) Giải phương trình: 2 x 2 − 11x + 23 = 4 x + 1

10 00

Câu 3 (2 điểm)

a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M (1;4) . Đường thẳng d qua M, d cắt trục hoành tại

A(hoành độ của A dương), d cắt trục tung tại B(tung độ của B dương). Tìm giá trị nhỏ nhất

của diện tích tam giác OAB.

-L

Í-

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C): ( x − 2) + ( y + 3) = 9 và điểm

ÁN

A(1; −2) . Đường thẳng ∆ qua A, ∆ cắt (C) tại M và N. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn

thẳng MN.

ÀN

Câu 4 (3 điểm)

IỄ N

a) Chứng minh rằng tứ giác

lồi ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi

AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA2 = AC 2 + BD 2 .

b) Tìm tất cả các tam giác ABC thỏa mãn:

1 1 1 = 2 + 2 (trong đó AB=c; AC=b; đường cao 2 ha b c

qua A là ha ). Câu 5 (1 điểm)

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Cho a, b, c là các số thực dương . Chứng minh rằng: 2

( a − b) + (b − c ) + ( c − a ) 2a 2b 2c + + ≥3+ 2 b+c c+a a+b (a + b + c)

Họ và tên thí sinh:………………………………Số báo danh:…………………………

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

Chữ ký của giám thị 1:………………….Chữ ký của giám thị 2:………………………

U Y

…………………Hết………………….

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012 Ý

Nội dung

Điểm

Câu

và hoành độ dương

U Y

Yêu cầu bài toán ⇔ PT sau có hai nghiệm dương phân biệt

0,25

TP ẠO Đ

0,25

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

∆ ' > 0  ⇔ −3( m + 1) > 0 −2(m + 1) > 0 

x 2 + 2mx − 3m = −2 x + 3 ⇔ x 2 + 2(m + 1) x − 3m − 3 = 0

 m > −1 ∆' > 0 ⇔   m < −4

H Ư

0,25

TR ẦN

Giải bất phương trình:

0,25

− x 2 + 8 x − 12 > 10 − 2 x

1,00

Kết hợp nghiệm, kết luận m < −4 b

1,00

Tìm m: y = x + 2mx − 3m và y = −2 x + 3 cắt nhau tại hai điểm phân biệt

0,25

10 00

TXĐ: − x + 8 x − 12 ≥ 0 ⇔ 2 ≤ x ≤ 6

− x 2 + 8 x − 12 ≥ 0 > 10 − 2 x , bất phương trình nghiệm

Nếu 5 < x ≤ 6 thì

0,25

đúng với mọi x: 5 < x ≤ 6

10 − 2 x ≥ 0

-L

Í-

Nếu 2 ≤ x ≤ 5 ⇒ 

2  − x + 8 x − 12 ≥ 0

bất pt đã cho

28 5

0,25

ÁN

⇔ − x 2 + 8 x − 12 > 4 x 2 − 40 x + 100 ⇔ 5 x 2 − 48 x + 112 < 0 ⇔ 4 < x <

IỄ N

ÀN

Kết hợp nghiệm, trường hợp này ta có: 4 < x ≤ 5

Tập nghiệm của bpt đã cho: (4;6] 3

0,25 3

Giải phương trình: (4 x − x + 3) − x =

3 (1) 2

2 y 3 − 2 x 3 = 3 ( I ) Khi đó nghiệm của Đặt y = 4 x − x + 3 . (1) có dạng:  3 4 x − x + 3 = y

1,00

0,25

(1) là x ứng với (x;y) là nghiệm của (I)

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

3 3 2 y − 2 x = 3(2) 2 y − 2 x = 3 (I) ⇔  ⇔  2 2 3 3 ( x + y )(2 x − 2 xy + 2 y − 1) = 0(3) 2 x + 2 y − ( x + y ) = 0

3 4

0,25

TH1: y = -x kết hợp(2), có nghiệm của (1): x = − 3

0,25

TH2: 2 x 2 − 2 xy + 2 y 2 − 1 = 0; ∆ 'x = 2 − 3 y 2 . Nếu có nghiệm thì y ≤ 2 . 3

U Y

2  2 8 2 Tương tự cũng có x ≤ . Khi đó VT (2) ≤ 4  < 3 . Chứng tỏ  = 3 3 3 3  

ẠO Đ

Giải phương trình: 2 x − 11x + 23 = 4 x + 1

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

TH2 vô nghiệm. KL (1) có 1 nghiệm x = − 3 3 4

0,25 1,00 0,25

2( x − 3) 2 + ( x + 1 − 2) 2 = 0 (*)

0,25

TR ẦN

H Ư

ĐK: x ≥ −1 . (1) ⇔ 2( x − 6 x + 9) + ( x + 1 − 4 x + 1 + 4) = 0

 x − 3 = 0  x + 1 − 2 = 0

0,25

Do a ≥ 0(∀a ) nên pt(*) ⇔ 

⇔ x = 3 . Vậy pt đã cho có 1 nghiệm x=3

10 00

0,25

M (1;4) . Đg thẳng d qua M, d cắt trục hoành tại A; d cắt trục tung tại B. Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác OAB( x A ; yB > 0 )

1,00

Í-

ÁN

-L

Giả sử A(a;0); B(0;b), a>0; b>0. PT đường thẳng AB:

ÀN

Vì AB qua M nên

⇒

x y + =1 a b

1 4 4 16 + =1⇒1≥ 2 ⇒1≥ a b ab ab

a = 2 1 4 1 ab ≥ 8;" = " ⇔ = = ⇔  2 a b 2 b = 8

IỄ N

Diện tích tam giác vuông OAB( vuông ở O)là S = 1 OA.OB = 1 ab ≥ 8 . Vậy S 2 2

0,25

nhỏ nhất bằng 8 khi d qua A(2;0), B(0;8) b

(C): ( x − 2) + ( y + 3) = 9 ; A(1; −2) . ∆ qua A, ∆ cắt (C) tại M và N. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MN.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

1,0

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

IA2 = (1 − 2) 2 + (−2 + 3) 2 = 2 < 9

0,25

Kẻ IH vuông góc với MN tại H ta có

IH 2 + HN 2 = IN 2 = 9 ⇒ MN 2 = 4 HN 2 = 4(9 − IH 2 )

Chứng minh rằng tứ giác lồi ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi

AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA2 = AC 2 + BD 2 Tứ giác lồi ABCD là hình bình hành ⇔ AB = DC ⇔ AB − DC = 0 2 2 2 ⇔ AB − DC = 0 ⇔ AB + DC − 2 AB.DC = 0

ẠO

⇔ AB 2 + DC 2 − 2 AB.( AC − AD) = 0

)

(

TR ẦN

⇔ AB 2 + DC 2 − ( AB 2 + AC 2 − BC 2 ) + ( AB 2 + AD 2 − BD 2 ) = 0 (*) 2 2 2 2 2 2 ( vì a − b = a − 2a.b + b ⇒ 2a.b = a + b − a − b )

(

)

(

N Ơ

0,25

)

0,25 0,25

(*) ⇔ AB + BC + CD + DA = AC + BD (Đpcm)

10 00

1,5

0,25

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

0,25

U Y

Vậy MN nhỏ nhất bằng 2 7 khi H trùng A hay MN vuông góc với IA tại A

0,25

2 ⇒ MN 2 ≥ 4(9 − 2) = 28 ⇒ MN ≥ 2 7

Mà IH ⊥ AH ⇒ IH ≤ IA =

0,25

( Chú ý: nếu chỉ làm được 1 chiều thì cho 0,75 đ)

1 1 1 = 2 + 2 (1) 2 ha b c

b Tìm tất cả các tam giác ABC thỏa mãn:

Có a.ha = 2 S = bc sin A

1,5

Í-

0,25

ÁN

-L

1 a2 4R2 ⇒ 2= 2 2 2 = 2 2 ha b c sin A b c 2

0,25 2

0,25

⇔ 1 − cos 2 B + 1 − cos 2C = 2 ⇔ cos 2 B + cos 2C = 0

0,25

⇔ 2cos( B + C )cos( B − C ) = 0

0,25

π π   B + C = 2 hay A = 2 ⇔ ( 0 < B + C < π ;0 ≤ B − C < π )  B −C = π  2

0,25

IỄ N

ÀN

(1) ⇔ b + c = 4 R ⇔ sin B + sin C = 1

Vậy tam giác ABC vuông ở A hoặc có B − C =

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

π 2

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com 2

2a 2b 2c −1+ −1 + −1 = b+c c+a a+b

0,25

1 1 1 1 1 1 ) + (b − c)( ) + (c − a )( ) − − − b+c c+a c+a a+b a+b b+c

= ( a − b) 2

1 1 1 + (b − c) 2 + (c − a ) 2 (b + c)(c + a) (c + a)(a + b) (a + b)(b + c)

ẠO

0,25

1 4 4 1 ; ≥ > = 2 2 (b + c )(c + a ) ( a + b + 2c) (2a + 2b + 2c ) ( a + b + c) 2

Vì

U Y

= (a − b)(

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

a−b+a−c b−c+b−a c−a+c−b + + b+c c+a a+b

XétM=

1,00

( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) ; a, b, c > 0 2a 2b 2c + + ≥ 3+ CMR : 2 b+c c+a a+b (a + b + c)

1 (a − b) 2 ≥ ;" = " ⇔ a = b (b + c )(c + a ) (a + b + c) 2

0,25

H Ư

( a − b) 2 ≥ 0 ⇒ (a − b) 2

( a − b) + (b − c) + (c − a ) 2 (a + b + c)

(Đpcm); “=” ⇔ a = b = c

0,25

10 00

Suy ra M ≥

TR ẦN

Làm hoàn toàn tương tự với hai biểu thức còn lại

Hình vẽ câu 3b:

A H

ÀN

ÁN

-L

Í-

IỄ N

Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM 2011 (VÒNG 1)

Môn: TOÁN ( BẢNG A )

ĐỀ CHÍNH THỨC

LONG AN

Thời gian: 180 phút (không kể giao đề)

U Y

Ngày thi: 06/10/2011

Câu 1: ( 5,0 điểm )

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

a. Giải phương trình sau: 4 x 2 + x + 1 = 1 + 5 x + 4 x 2 − 2 x 3 − x 4 với x ∈ R .

(

)

b. Giải phương trình: 2sin 2 x + 3 sin 2 x + 1 = 3 cos x + 3 sin x .

H Ư

Câu 2: ( 5,0 điểm )

a. Cho tam giác ABC vuông cân tại B , cạnh AB = 2 . Trong mặt phẳng chứa tam

TR ẦN

giác ABC lấy điểm M thỏa MA2 + MB 2 = MC 2 . Tìm qu ỹ tích của điểm M. b. Cho tam giác ABC có hai trung tuyến BM và CN hợp với nhau một góc bằng

10 00

600 , BM = 6, CN = 9 . Tính độ dài trung tuyến còn lại của tam giác ABC. Câu 3: ( 4,0 điểm )

Cho dãy số ( un ) xác định bởi u1 = 1 và un +1 = 3un 2 + 2 với mọi n ≥ 1 .

Í-

a. Xác định số hạng tổng quát của dãy số ( un ) .

-L

2 b. Tính tổng S = u12 + u22 + u32 + ... + u2011 .

ÁN

Câu 4: ( 3,0 điểm ) Cho a, b, c là ba số thực không âm và thỏa mãn điều kiện a 2 + b 2 + c 2 = 1 .

IỄ N

ÀN

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 3

M = ( a + b + c ) − ( a + b + c ) + 6abc

Câu 5: ( 3,0 điểm )  x 3 + ( y + 2 ) x 2 + 2 xy = −2m − 3 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:  2 vớ i  x + 3x + y = m x, y là các số thực.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

………………. Hết ………………. Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

Họ và tên thí sinh:……………………………………;Số báo danh:…………

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

LONG AN

LỚP 12 THPT NĂM 2011 (VÒNG 1)

( Hướng dẫn có 04 trang )

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Môn: TOÁN ( BẢNG A ). Ngày thi: 06/10/2011

U Y

Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong hướng dẫn chấm mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng

Đáp án a. ( 3,0 điểm ) Đặt t = x 2 + x + 1, t ≥

3 . Khi đó phương trình trở thành: 2

(

(5,0 điểm)

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Thang điểm

ẠO

Câu

phần như hướng dẫn quy định.

)

(

TR ẦN

(

H Ư

4t = −t 4 + 7t 2 − 5 ⇔ t 4 − 6t 2 + 9 − t 2 − 4t + 4 = 0

)(

)

0,5

10 00

0,5

t 2 − t − 1 = 0 (*) ⇔  2 t + t − 5 = 0

⇔ t 2 − 3 − ( t − 2 ) = 0 ⇔ t 2 − t − 1 t 2 + t − 5 = 0 (*)

0,5

3 1+ 5 thì t 2 − t − 1 = 0 có một nghiệm là t = 2 2

0,5

Í-

Với t ≥

3 −1 + 21 thì t 2 + t − 5 = 0 có một nghiệm là t = 2 2

ÁN

-L

Với t ≥

IỄ N

ÀN

 1+ 5  1+ 5 2 Khi t = thì x 2 + x + 1 =   2  ⇔ 2 x + 2 x − 1 − 5 = 0 2   ⇔ x=

0,5

−1 − 3 + 2 5 −1 + 3 + 2 5 hoặc x = . 2 2

Khi 2

 −1 + 21  −1 + 21 2 t= thì x 2 + x + 1 =   ⇔ 2 x + 2 x − 9 + 21 = 0  2 2   0,5

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

⇔x=

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

−1 − 19 − 2 21 −1 + 19 − 2 21 hoặc x = . 2 2

b. ( 2,0 điểm )

(

3 sin x + cos x

)

3 sin x + cos x − 3

(

)

3 sin x + cos x = 0

(

3 sin x + cos x = 3

0,5 0,5

H Ư

⇔ 3 sin x + cos x = 0 hoặc

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

⇔

U Y

0,5

3sin 2 x + 2 3 sin x cos x + cos 2 x = 3

Phương trình đã cho được viết lại:

π 1 ⇔ x = − + kπ , k ∈ Z 6 3

3 sin x + cos x = 0 ⇔ tan x = −

3 sin x + cos x = 3 phương trình vô nghiệm.

0,5

10 00

TR ẦN

a. (2,0 điểm )

(5,0 điểm) Chọn hệ trục tọa độ Bxy vuông góc sao cho tia Bx qua A và tia 0,5

Í-

By qua C. Ta có: B ( 0;0 ) , A ( 2;0 ) , C ( 0; 2 ) . Giả sử M ( x; y ) .

-L

MA + MB = MC

ÁN

⇔ ( 2 − x ) + y2 + x2 + y 2 = x2 + ( 2 − y )

0,5

IỄ N

ÀN

⇔ x2 + y 2 − 4 x + 4 y = 0 .

Phương trình trên là phương trình của một đường tròn tâm

0,5

I ( 2; −2 ) , bán kính R = 2 2 . Vậy quỹ tích điểm M là một đường tròn tâm I ( 2; −2 ) , bán kính

0,5

R=2 2.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

b. ( 3,0 điểm ) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

= 120 0 Xét trường hợp: BGC

= 600 Xét trường hợp: BGC

H Ư

Ta có : BC 2 = GB 2 + GC 2 − 2GB.GC.cos600 = 28

AC 2 = 52 MC = GM + GC − 2GM .GC .cos120 ⇔ 4 2

Vậy AC2 = 208

10 00

NB 2 = GB 2 + GN 2 − 2GB.GN .cos120 0 ⇔

AB 2 = 37 4

0,5

Vậy AB2 = 148

0,5

Vậy độ dài trung tuyến còn lại :

Í-

AC 2 + AB 2 BC 2 − = 171⇒ ma = 171 2 4

Câu

ÁN

-L

ma2 =

0,5

TR ẦN

0,5

AC 2 + AB 2 BC 2 − = 63 ⇒ ma = 3 7 2 4

0,5

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

Vậy độ dài trung tuyến còn lại :

U Y

AB 2 2 = 13 Vậy AB = 52 4

NB 2 = GB 2 + GN 2 − 2GB.GN .cos 60 0 ⇔

Vậy AC2 = 112

ma2 =

0,5

AC 2 = 28 4

MC 2 = GM 2 + GC 2 − 2GM .GC.cos 60 0 ⇔

Ta có: BC 2 = GB 2 + GC 2 − 2GB.GC .cos120 0 = 76

Đáp án

Thang điểm

a. 2,0 điểm

IỄ N

ÀN

(4,0 điểm) Dễ thấy un > 0, ∀n ∈ N * 0,5

Từ un +1 = 3un2 + 2 ⇔ un2+1 = 3un2 + 2 .

Đặt vn = un2 thì có: vn +1 = 3vn + 2 ⇔ vn +1 + 1 = 3 ( vn + 1) .

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

0,5

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Đặt xn = vn + 1 thì ta có: 0,5

xn +1 = 3 xn . Từ đây suy ra ( xn ) là cấp số nhân với x1 = 2 , công bội

là 3.

b. 2,0 điểm

0,5

ẠO

S = 2.30 + 2.31 + 2.32 + ... + 2.32010 − 2011

= 32011 − 2012

(

)

Chứng minh được: ( a + b + c ) ≤ 3 a 2 + b 2 + c 2 = 3

10 00

Suy ra: a + b + c ≤ 3 và ( a + b + c ) ≤ 3 ( a + b + c )

(3,0 điểm)

0,5

Đ G

− 2011

3 −1

H Ư

2 ( 32011 − 1)

TR ẦN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

= 2 ( 30 + 31 + 32 + ... + 32010 ) − 2011 =

U Y

0,5

Nên: xn = 2.3n −1 ⇒ vn = 2.3n −1 − 1 ⇒ un = 2.3n −1 − 1 .

0,5

0,5 0,5 0,5 + 0,5

-L

Í-

 a+b+c  8 3 M ≤ 2 ( a + b + c ) + 6abc ≤ 2 3 + 6   ≤ 3 3  

0,5

Giá trị này đạt được khi a = b = c =

1 . 3

0,5

IỄ N

ÀN

0,5

8 3 3

ÁN

Vậy GTLN của M là

5 (3,0 điểm)

2 ( x + 2 x ) ( x + y ) = −2m − 3 Viết lại hệ:  2  x + 2 x + x + y = m

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

0,5

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Đặt u = x 2 + 2 x, v = x + y . Dễ có: u ≥ −1 . 0,5

(u + 2)

ẠO Đ

u 2 + 4u + 3

0,5

≥ 0, ∀u ≥ −1

0,5

H Ư

f / (u ) =

u2 − 3 với u ≥ −1 . u+2

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Xét hàm f ( u ) =

u2 − 3 =m u+2

Suy ra: u ( m − u ) = −2m − 3 ⇔ u 2 − 3 = m ( u + 2 ) ⇔

U Y

u.v = −2m − 3 Hệ trở thành:  u + v = m

TR ẦN

Bảng biến thiên:

−1

+∞

10 00

f / (u )

+∞

f (u )

0,5

ÁN

-L

Í-

−2

0,5

IỄ N

ÀN

Kết luận : m ≥ −2 .

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

LONG AN

LỚP 12 THPT NĂM 2012 (VÒNG 1)

Môn: TOÁN, BẢNG A

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Ngày thi: 23/10/2012

U Y

Thời gian: 180 phút (không kể giao đề)

Câu 1: ( 5,0 điểm )

a) Giải phương trình sau trên tập số thực: x + 1 = (2 x + 1)

ẠO

x +1 + 2 .

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

 x 2 + y 2 + xy + y = 8 . b) Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:  2 + + + = 12 xy y xy x y ( ) 

H Ư

Câu 2: ( 5,0 điểm )

TR ẦN

a. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hai điểm A (1;2 ) , B ( 4;3) . Tìm trên trục hoành điểm M sao cho AMB = 450 .

b. Cho tam giác ABC đều, cạnh bằng 6 cm , trọng tâm là G . Một đường

thẳng ∆ đi

Tính diện tích tam giác AMN .

Câu 3: ( 4,0 điểm )

10 00

qua G , ∆ cắt các đoạn thẳng AB và AC lần lượt tại hai điểm M và N sao cho 2 AM = 3 AN .

Cho dãy số ( un ) được xác định bởi u1 = 1 và un +1 = un + 2 với mọi n ≥ 1 .

1. Chứng minh rằng: un = 2 − 1 .

-L

Í-

2. Tính tổng S = u1 + u2 + u3 + ... + un theo n .

ÁN

Câu 4: ( 3,0 điểm )

Cho các số thực dương a, b, c.

(

)( 2 + b ) ≥ 16 2 ( a + b ) 2

+ 7 . 

b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

(2 + a 2 )(2 + b 2 )(2 + c 2 ) . P= (3 + a + b + c ) 2

IỄ N

ÀN

a. Chứng minh rằng: 2 + a

Câu 5: ( 3,0 điểm )

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Cho hàm số y =

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

1 3 mx + ( m − 1) x 2 + ( 4 − 3m ) x + 1 có đồ thị là ( Cm ) , m là tham số. Tìm 3

các giá trị của m để trên ( Cm ) có duy nhất một điểm có hoành độ âm mà tiếp tuyến của ( Cm ) tại

điểm đó vuông góc với đường thẳng d : x + 2 y = 0 .

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

Họ và tên thí sinh:……………………………………;Số báo danh:…………

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.

U Y

------ Hết -----

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM

LONG AN

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM 2012 (VÒNG 1) Môn: TOÁN, BẢNG A. Ngày thi: 23/10/2012

( Hướng dẫn này có 03 trang )

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

U Y

Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong hướng dẫn chấm mà vẫn đúng thì cho đủ điểm

Đáp án

1 Điều kiện: x ≥ − . Đặt y = 2

x + 1 + 2 ( y > 2 ),

H Ư

TR ẦN

(

)(

)

10 00

⇔ y x + 1 +1 y + x + 1 − y2 x + 1 = 0

)(

(

)

⇔ y x +1 +1 y − 2 x +1 = 0

0,25

)

x + 1 + y = y 2 − x + 1 ( x + 1) y

(

0,25

 x + 1 + y = 2( x + 1) y ta thu được hệ  2  y − x + 1 = 2 Suy ra

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

(5,0 điểm)

ẠO

a. ( 2,5 điểm )

Thang điểm

Câu

từng phần như hướng dẫn quy định.

Í-

⇔ y = 2 x +1

0,25

-L

0,25

IỄ N

ÀN

ÁN

Do vậy x +1 + 2 = 2 x +1 ⇔ x =

Thay vào, thử lại thấy x =

Đáp số: x =

−15 + 33 . 32

−15 + 33 thỏa mãn. 32

0,5 0,25 0,25

b. ( 2,5 điểm )

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

u + v = 8 Đặt u = x ( x + y ) , v = y ( y + 1) , hệ trở thành:  u.v = 12

0,5

u = 2 u = 6 Giải hệ tìm được  hay  v = 6 v = 2

N N

 3 ± 17  x = −1 ± 3 x = hoặc   2  y = 2  y = −3 

0,25 + 0,25

0,25

TR ẦN

 x = 1 ± 7 hoặc   y = −2

H Ư

u = 6  x = 2  x = −3 Với  ta tìm được:  ,  v = 2 y =1 y =1

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

u = 2 Với  ta tìm được: v = 6

0,25 + 0,25

10 00

Kết luận : Hệ đã cho có các nghiệm

0,5

  x = −1 ± 3  x = 3 ± 17  x = 2  x = −3  x = 1 ± 7 ,  ,  ,   2 ,   y = 2  y = −2 y =1 y =1  y = −3 

Í-

a. ( 2,5 điểm ) 2

 AI = BI Ta có:   AI .BI = 0

0,25 + 0,25

IỄ N

ÀN

ÁN

(5,0 điểm)

-L

Gọi I ( x; y ) là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác MAB.

3 x + y = 10 ⇔ 2 2  x + y − 5 x − 5 y + 10 = 0

0,25 + 0,25

x = 3 x = 2 ⇔ hay  y =1 y = 4

0,25 + 0,25

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Với I ( 3;1) thì IA = 5 . Đường tròn tâm I bán kính IA có 2

phương trình ( x − 3) + ( y − 1) = 5 cắt trục hoành tại hai điểm

0,5

M 1 (1;0 ) và M 2 ( 5;0 ) .

N U Y

Đặt AM = x, AN = y với x > 0, y > 0 . 1 x 3 1 y 3 , S ANG = AN . AG.s in300 = AM . AG.s in300 = 2 2 2 2

S AMN =

1 xy 3 AM . AN .s in600 = , S AMN = S AMG + S ANG 2 4

10 00

 x = 5cm  Giải hệ tìm được  10  y = 3 cm

0,25 0,25

0,5

xy 3 25 3 cm 2 = 4 6

0,5

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

Diện tích cần tìm: S AMN =

0,25 + 0,25

2 ( x + y ) = xy Vậy ta có hệ :  2 x = 3 y

TR ẦN

H Ư

3 3 xy ⇔ 2 ( x + y ) = xy . ( x + y) = 2 4

0,25 + 0,25

ẠO

S AMG =

b. ( 2,5 điểm )

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

0,5

cắt trục hoành.

Nên ta có:

Với I ( 2; 4 ) thì IA = 5 . Đường tròn tâm I, bán kính IA không

Câu 3

Đáp án

Thang điểm

a. 2,0 điểm

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

(4,0 điểm) Khi n = 1 : u2 = u1 + 21 = 1 + 2 = 22 − 1 đúng.

0,5

Ta chứng minh: uk +1 = 2k +1 − 1

0,5

Thật vậy: uk +1 = uk + 2k = 2k − 1 + 2k = 2k +1 − 1

0,5

Giả sử uk = 2k − 1 đúng với k ≥ 1, k ∈ N .

0,5

b. 2,0 điểm 0,5 + 0,5

S = 21 − 1 + 22 − 1 + ... + 2 n − 1 = 21 + 2 2 + ... + 2n − n

(

)

U Y

)

2n − 1 − n = 2n +1 − n − 2 2 −1

S = 2.

) (

0,5 + 0,5

(

(3,0 điểm)

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

14a 2 + 14b 2 + 16a 2b 2 − 36ab + 1 ≥ 0 2

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

a. 1,5 điểm

b. 1,5 điểm

0,5

Đặt t = a + b , ta có:

0,5

10 00

16 P (2t 2 + 7)(c 2 + 2) ≥ 9 (3 + t + c) 2

0,5

H Ư

1 2

TR ẦN

Đẳng thức xảy ra khi a = b =

⇔ 14 ( a − b ) + ( 4ab − 1) ≥ 0 đúng

0,5

ÁN

-L

Í-

1 1   2  tc −  + 3(t − 1) 2 + 6  c −  (2t 2 + 7)(c 2 + 2) 2 2   = 1+  ≥1 2 2 (3 + t + c) (3 + t + c)

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng

ÀN

IỄ N

(3,0 điểm)

9 1 khi a = b = c = 16 2

y / = mx 2 + 2( m − 1) x + 4 − 3m . Tiếp tuyến có hệ số góc bằng 2 Ta tìm m : mx 2 + 2( m − 1) x + 4 − 3m = 2 (*) có đúng một nghiệm âm

(*) ⇔ ( x − 1)( mx + 3m − 2 ) = 0 ⇔ x = 1 hoặc m = 0 : không thỏa yêu cầu

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

mx = 2 − 3m

0,25 + 0,25

0,25 + 0,25 0,25 + 0,25 0,5 0,25 + 0,25 0,5

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

m < 0 2 − 3m m ≠ 0 , yêu cầu bài toán xảy ra khi <0⇔  m > 2 m 3 

0,25 + 0,25

m < 0 Kết luận:  m > 2 3 

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

0,5

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT NĂM 2012-VÒNG 1 LONG AN

Môn: TOÁN- Bảng B

--------------

Ngày thi:23/10/2012

ĐỀ CHÍNH THỨC

Thời gian: 180 phút( không kể thời gian phát đề)

 x+ y − x− y =2 a) Giải hệ phương trình:  ,với x, y ∈ ℝ 2 2 2 2  x + y + 1 − x − y = 3

U Y

Câu 1: (6,0 điểm)

ẠO

x 4 + x 2 + 1 + 3 ( x 2 + 1) = 3 3 x ,với x ∈ ℝ

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

b) Giải phương trình:

Câu 2: (5,0 điểm)

a) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A, cạnh BC nằm trên

H Ư

đường thẳng có phương trình: 2 x + y − 2 = 0 . Đường cao kẻ từ B có phương trình:

TR ẦN

x + y + 1 = 0 , điểm M (1;1) thuộc đường cao kẻ từ đỉnh C. Xác định toạ độ các đỉnh của tam giác ABC.

b) Trong mặt phẳng cho bốn điểm phân biệt A,B,C,D sao cho bốn điểm đó không cùng

10 00

nằm trên một đường thẳng.

Chứng minh rằng: AC ⊥ BD ⇔ AB + CD = AD + BC

Câu 3: (3,0 điểm)

Cho dãy số(un) xác định như sau :

ÁN

-L

Í-

u1 = 2   un + 2 − 1 un +1 = 1 − ( 2 − 1)un 

IỄ N

ÀN

a) Chứng minh: tan b) Tính:

π 8

(∀n ≥ 1, n ∈ ℕ)

= 2 −1

u2015

Câu 4: (3,0 điểm) Cho ba số dương a, b c thỏa mãn abc = 1.Chứng minh rằng: 2

a) a + b + c ≥ a + b + c b)

1 1 1 + + ≤1 a + b +1 b + c +1 c + a +1

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 5: (3,0 điểm)

3   x + y = 2 m Cho hệ phương trình  ( x + 2) y 2 + 2 xy = 3m( y + 2 )  3

U Y

Tìm m để hệ phương trình có nhiều hơn hai nghiệm với x,y∈ ℝ .

…….HẾT……..

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Chữ ký giám thị 1:…………………….Chữ ký giám thị 2:………………….

ẠO

Họ và tên thí sinh:………………………………Số báo danh:………………

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT

NĂM 2012-VÒNG 1 LONG AN

Môn: TOÁN- Bảng B

--------------

Ngày thi:23/10/2012

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

(3,0 điểm)

 x+ y − x− y =2 Giải hệ phương trình:  2 2 2 2  x + y + 1 − x − y = 3

Điểm

Câu 1a

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

0,25

U Y

 x+ y − x− y =2 Giải hệ phương trình:  2 2 2 2  x + y + 1 − x − y = 3

u = x + y Đặt:  v = x − y

Điều kiện: x+y ≥ 0, x-y ≥ 0

0,5

10 00

Thế (1) vào (2) ta có:

TR ẦN

 u + v = 2 uv + 4 (1)  ⇔  (u + v )2 − 2uv + 2 − uv = 3 (2)  2 

0,25

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

 u − v = 2 (u > v )  u + v = 2 uv + 4   ⇔  u 2 + v2 + 2  u 2 + v2 + 2 − uv = 3  − uv = 3  2 2  

ẠO

ĐK: u ≥ 0, v ≥ 0 ta có hệ:

0,5

uv + 8 uv + 9 − uv = 3 ⇔ uv + 8 uv + 9 = (3 + uv ) 2 ⇔ uv = 0 .

Í-

 u = 4   uv = 0 v = 0 Kết hợp (1) ta có:  ⇔  u = 0 u + v = 4   v = 4

ÁN

-L

0,5 0,25

Từ đó ta có: x = 2; y = 2.(Thỏa đk). Vậy nghiệm của hệ là: (x; y) = (2; 2).

0,25

ÀN

u = 4 (vì u>v). ⇔ v = 0

IỄ N

Câu 1b

Giải phương trình:

x 2 ( x 2 + 1) + 1 + 3 x 2 + 1 = 3 3 x (1)

(

)

(3,0 điểm) Từ pt ta thấy x〉 0 (1) ⇔

x2 +

0,5

1 1  +1 + 3 x +  = 3 3 2 x x 

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

0,5

1 ,t ≥ 2 x

0,5

t 2 − 1 = 3 (3 − t )

Pt trở thành:

1,0

H N

0,5

U Y

1 = 2 ⇔ x =1 x

t ≤ 3 ⇔ 2 ⇔t =2 t − 9t + 14 = 0

Đặt: t = x +

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A, cạnh BC nằm (2,5 điểm)

trình x + y + 1 = 0 , điểm M (1;1) thuộc đường cao kẻ từ đỉnh C. Xác định toạ độ

ẠO

trên đường thẳng có phương trình 2 x + y − 2 = 0 . Đường cao kẻ từ B có phương

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Câu 2a

các đỉnh của tam giác ABC

TR ẦN

H Ư

0,25

10 00

 x + y +1 = 0 Toạ độ B là nghiệm của hệ  2 x + y − 2 = 0

Suy ra B ( 3; −4 ) 0,25

Gọi d là đường thẳng qua M song song với BC ⇒ d : 2 x + y − 3 = 0

Í-

Gọi N là giao điểm của d với đường cao kẻ từ B. Toạ độ N là nghiệm của hệ 0,25

Suy ra N ( 4; −5)

ÁN

-L

2 x + y − 3 = 0   x + y +1 = 0

0,25

IỄ N

ÀN

5  Gọi I là trung điểm MN ⇒ I  ; −2  . 2  Gọi E là trung điểm BC. Do tam giác ABC cân nên IE là đường trung trực BC, IE đi qua I vuông góc với BC ⇒ IE : x − 2 y −

0,5

13 =0. 2

13  x − 2 y − = 0  21 11  6 2 Toạ độ E là nghiệm của hệ  ⇒ E  ,−  ⇒ C  ;− . 2  10 5  5 5  2 x + y − 2 = 0 CA đi qua C vuông góc với BN suy ra CA : x − y −

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

8 =0 5

0,5 0,25

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

13   x − 2 y − 2 = 0  33 49  Toạ đô A là nghiệm của hệ  ⇒ A − ; −  8  10 10   x− y− =0  5

0,25

thẳng. Chứng minh rằng: AC ⊥ BD ⇔ AB 2 + CD 2 = AD 2 + BC 2

Câu 2b

(2,5 điểm)

U Y

Chọn hệ trục Oxy sao cho A, C ∈ Ox , B ∈ Oy .

Giả sử trong hệ trục đó ta có: A(a,0), C (c,0), B (0, b), D (m, n)

AB 2 + CD 2 = AD 2 + BC 2 2

ẠO

⇔ a 2 + b2 + ( c − m ) + n2 = ( a − m ) + n2 + c2 + b2

0,25 0,25

0,5

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Trong mặt phẳng cho bốn điệm phân biệt A,B,C,D và không cùng nằm trên đường

H Ư

⇔ 2m(a − c) = 0 (*) Do A(a,0) ≠ C (c,0) ⇔ a ≠ c

0,5 0,25 0,5

Vậy (*) ⇔ AC ⊥ BD

0,25

TR ẦN

Vậy từ (*) suy ra m = 0 , hay D nằm trên trục tung.

u1 = 2   un + 2 − 1 u n +1 = 1 − ( 2 − 1)u n 

10 00

Câu 3

Cho dãy số(un) xác định như sau :

( n = 1,2,3,...)

Í-

a) Chứng minh: tan

= 2 −1

u2015

-L

b)Tính:

Câu 3a

ÁN

Ta có :

IỄ N

ÀN

(1,0 điểm)

1 = tan

π 4

⇔ tan 2

π

π

2 tan

8 = tan  +  = 8 8 2   1 − tan π 8

π 8

+ 2 tan

π 8

−1 = 0

 π  tan 8 = 2 − 1 ⇔  tan π = − 2 − 1  8

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

0,25

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn ⇒ tan

π 8

= 2 − 1 (Vì tan

π 8

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com 0,25

dương)

Đặt u1 = 2 = tan a , ta có: π π π tan( a + ) + tan π 8 = tan( a + ) , u = 8 8 = tan( a + 2. π ) u2 = 3 π π π 8 8 1 − tan a.tan 1 − tan tan( a + ) 8 8 8 tan a + tan

(*)

tan( a + ( k − 1) ) + tan 8 8 = tan( a + k . π ) Ta có: uk +1 = = π 8 1 − ( 2 − 1)uk 1 − tan( a + ( k − 1) ). tan π 8 8

0,25

H Ư

uk + 2 − 1

0,25

ẠO

Giả sử (*) đúng với n = k , k ≥ 1 , hay ta có: uk = tan( a + ( k − 1) ) 8

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

H .Q

u1 = tan a đúng

Với n = 1

Ta chứng minh : un = tan(a + (n − 1) ), ∀n ≥ 1, n ∈ ℕ 8

0,25

U Y

(2,0 điểm)

Câu 3b

TR ẦN

Vậy (*) đúng với n = k+1

Vậy un = tan( a + ( n − 1) ), ∀n ≥ 1, n ∈ ℕ 8

0,25

π 3π 3π u2015 = tan( a + 2014. ) = tan( a + + 251π ) = tan( a + ) 8 4 4

0,25

2 −1 2 +1

0,25

10 00

Cho n = 2015, ta có :

π = tan( a − ) = 4

0,25

π 8

Í-

= ( 2 − 1) 2 = tan 2

-L

Cho ba số dương a, b c thoả mãn abc = 1 2

Câu 4

a) a + b + c ≥ a + b + c

ÁN

ÀN

1 1 1 + + ≤1 a + b +1 b + c +1 c + a +1

IỄ N

Câu 4a

a 2 + 1 ≥ 2a , b 2 + 1 ≥ 2b , c 2 + 1 ≥ 2c

0,25

⇔ a2 + b2 + c2 ≥ ( a + b + c ) + ( a + b + c ) − 3

0,25

Mà a + b + c ≥ 3 3 abc = 3

0,25

Vậy: a + b + c ≥ a + b + c , đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1

0,25

(1,0 điểm) 2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

(

)

(

0,5

)

a + 3 b + 3 abc = 3 ab 3

)

a+ b+ c 3

(

abc

(

a+3b+3c

c a+ b+3c 3

a+ b+ c

abc

)

1 3

(

)

(

)

a a+ b+3c 3

abc

0,25

b = 3 3 a+ b+3c a+3b+3c 3

a+3b+3c

a+ b+ c 3

)

3 1 1 1 a+3b+3c + + ≤ 3 =1 a + b +1 b + c +1 c + a +1 a+3b+3c

H Ư

Vậy:

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1

0,25

3   x + y = 2 m(1) Cho hệ phương trình  ( x + 2) y 2 + 2 xy = 3m( y + 2 )(2)  3

10 00

(3,0 điểm)

(

)

a+ b+ c 3

TR ẦN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

(

ẠO

1 ≤ c + a + 1 3 ca

Câu 5

0,5

Tương tự:

1 ≤ b + c +1

0,5

)

U Y

1 ≤ a + b + 1 3 ab

a + 3 b + 1 = 3 ab

)

⇒ a + b + 1 ≥ 3 ab

a 2 − 3 ab + 3 b 2

)(

)

⇒

(

a+3b

a+ b

≥ ab 3

(2,0 điểm)

Câu 4b

(

a+b=

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

3 m− y 2

Í-

(1) x =

Tìm m để hệ phương trinh có nhiều hơn hai nghiệm

3  3  m + 2 − y  y 2 + 2  m − 2  y = 3my + 2m 2  2 

0,25

ÁN

-L

Thế vào (2) 

0,25

IỄ N

ÀN

3 ⇔ f ( y ) = y 3 − my 2 + 2m = 0 (*) 2

Hpt có nhiều hơn hai nghiệm khi pt (*) có ba nghiệm phân biệt ⇔ f ′( y ) có hai nghiệm phân biệt y1 , y2 và f ( y1 ). f ( y2 ) 0

0,5

f ′( y ) có hai nghiệm phân biệt khi m ≠ 0

0,5

f ( y1 ). f ( y2 ) 0 ⇔ m 2 ( 4 − m 2 ) 0

0,5

m ≠ 0  2 2 m ( 4 − m ) 0

0,5

Vậy

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com 0,5

⇔ m ∈ ( −∞, −2) ∪ (2, +∞)

Ghi chú: Thí sinh giải khác hướng dẫn chấm mà đúng thì vẫn chấm điểm theo thang điểm tương

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

ứng.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn SỞ GD& ĐT NGHỆ AN

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2012 - 2013

Đề thi chính thức (Đề thi gồm 01 trang)

Môn thi: TOÁN - THPT BẢNG A

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

2x − 1 có đồ thị (C) và điểm P ( 2;5 ) . x +1

Cho hàm số y =

U Y

Câu I: (3,0 điểm)

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng d : y = − x + m cắt đồ thị ( C ) tại hai điểm phân biệt

A và B sao cho tam giác PAB đều.

H Ư

x +1 − 2 1 = 2x + 1 − 3 x + 2

(x ∈ ℝ)

TR ẦN

1. Giải phương trình

Câu II: (6,0 điểm)

( x, y ∈ ℝ )

10 00

1 1  2 2  x + y + x 2 + y2 = 5 2. Giải hệ phương trình  ( xy − 1)2 = x 2 − y 2 + 2  Câu III: (6,0 điểm)

1. Cho lăng trụ ABC.A 'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm

Í-

A ' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường

a 3 . Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A 'B'C' . 4

ÁN

-L

thẳng AA ' và BC bằng

2. Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD . Mặt phẳng ( α ) đi qua trung điểm I

ÀN

của đoạn thẳng AG và cắt các cạnh AB, AC, AD tại các điểm (khác A ). Gọi h A , h B , h C , h D lần

IỄ N

lượt là khoảng cách từ các điểm A, B, C, D đến mặt phẳng ( α ) . Chứng minh rằng:

h 2B + h C2 + h 2D ≥ h 2A . 3

Câu IV: (2,5 điểm)

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho điểm A ( −1; −1) và đường tròn

( T ) : ( x − 3)

+ ( y − 2 ) = 25 . Gọi B, C là hai điểm phân biệt thuộc đường tròn ( T ) ( B, C khác

A ). Viết phương trình đường thẳng BC , biết I (1;1) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC .

Câu V: (2,5 điểm)

U Y

3 . a+b+c

2 − a + ab + 3 abc

Cho các số thực dương a, b, c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

ẠO

- - Hết - -

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Họ tên thí sinh:............................................................. Số báo danh:.........................

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

SỞ GD& ĐT NGHỆ AN

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12

NĂM HỌC 2012 - 2013

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn: TOÁN THPT- BẢNG A

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị (C) là:

I. (3,0đ)

Điểm

ẠO

2x − 1 = − x + m ⇔ x 2 − (m − 3)x − m − 1 = 0 (1) , với x ≠ −1 x +1

0,5

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Nội dung

Câu

U Y

(Hướng dẫn chấm gồm 05 trang)

Đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1)

H Ư

có hai nghiệm phân biệt khác −1

TR ẦN

m 2 − 2m + 13 > 0 ⇔ (đúng ∀m ) 0.m − 3 ≠ 0

0,5

 x1 + x 2 = m − 3  x1 x 2 = − m − 1

10 00

Gọi x1 , x 2 là các nghiệm của phương trình (1), ta có: 

0,5

2 ( x1 − x 2 )

( x1 − 2) + ( −x1 + m − 5)

-L

PA =

Í-

Khi đó ta có: AB =

Giả sử A ( x1 ; − x1 + m ) , B ( x 2 ; − x 2 + m )

ÁN

PB =

( x 2 − 2)

( x1 − 2) + ( x2 − 2)

= 2

+ ( − x 2 + m − 5) =

( x2 − 2)

+ ( x1 − 2 )

0,5 2

Suy ra ∆PAB cân tại P 2

IỄ N

ÀN

Do đó ∆PAB đều ⇔ PA = AB 2

2 2

⇔ ( x1 − 2) + ( x2 − 2) = 2( x1 − x 2 ) ⇔ ( x1 + x 2 ) + 4( x1 + x 2 ) − 6x1x2 − 8 = 0

 m =1 ⇔ m 2 + 4m − 5 = 0 ⇔  . Vậy giá trị cần tìm là m = 1, m = −5 .  m = −5 II. 1,

 x ≥ −1  x ≠ 13

ĐKXĐ: 

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

0,5

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Phương trình đã cho tương đương với ( x + 2 )

(

)

x + 1 − 2 = 3 2x + 1 − 3

⇔ ( x + 1) x + 1 + x + 1 = 2x + 1 + 3 2x + 1 (1)

f ' ( t ) = 3t 2 + 1 > 0, ∀t

Xét hàm số f ( t ) = t + t ;

0,5

) (

x +1 = f

)

2x + 1 ⇔ x + 1 = 3 2x + 1

0,5

U Y

(

Suy ra hàm số f ( t ) liên tục và đồng biến trên ℝ Khi đó: Pt(1) ⇔ f

(3,0đ)

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

0,5

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

1  x≥−  1  2 1 x = 0   x ≥ − 2 x ≥ −  ⇔ ⇔ ⇔  x = 0 ⇔ 2 x = 1 + 5 3 2 ( x + 1) = ( 2x + 1) x 3 − x 2 − x = 0  1 ± 5   2   x =  2

1+ 5 và x = 0 2

II.

x ≠ 0 y ≠ 0

10 00

2 2  1  1  x +  +  y −  = 5 x  y Ta có hệ phương trình đã cho tương đương với:   2 2 ( x + 1) .( y − 1) = 2xy

0,5

(3,0đ)

ĐKXĐ: 

0,5

TR ẦN

H Ư

Đối chiếu ĐKXĐ được nghiệm của phương trình đã cho là:

ÁN

-L

Í-

2 2  1  1  x +  +  y −  = 5 x  y  ⇔ 1  1     x + x  . y − y  = 2   

1  u = x + x (*) , đặt  v = y − 1 y 

0,5

IỄ N

ÀN

2 u 2 + v 2 = 5 ( u + v ) = 9 Hệ phương trình ( *) trở thành  ⇔ = uv 2 uv = 2 

u + v = 3 ⇔ (I) hoặc uv 2 =  Ta có:

u + v = −3 (II)  uv = 2 

u = 1 u = 2 hoặc  v = 2 v = 1

0,5

(I) ⇔ 

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

 u = −1 u = −2 hoặc  v = −2  v = −1

( II ) ⇔ 

u = 2 u = −2 và  thỏa mãn.  v = 1  v = −1

1 ⇒ u ≥ 2 nên chỉ có x

Vì u = x +

1  x + = 2 x = 1  u = 2 x   ta có  ⇔  1 ± 5 (thỏa mãn ĐKXĐ) 1 v = 1 y =  y − = 1  2  y 

TP 0,5

N H Ư

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm ( x; y ) là:

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

1  x + = −2  x = −1  u = −2 x   ta có  ⇔  −1 ± 5 (thỏa mãn ĐKXĐ) 1 y =  v = −1  y − = −1   2 y 

U Y

0,5

Diện tích đáy là SABC

10 00

a2 3 = . 4

III.

TR ẦN

 1+ 5   1− 5   −1 + 5   −1 − 5  1;  , 1;  ,  −1;  ,  −1; . 2   2  2 2   

(3,0đ) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

Í-

0,5

ÁN

-L

B E

IỄ N

ÀN

BC ⊥ AE ⇒ BC ⊥ ( AA'E ) BC ⊥ A 'G

Gọi E là trung điểm BC . Ta có 

0,5

Gọi D là hình chiếu vuông góc của E lên đường thẳng AA ' . Do đó BC ⊥ DE, AA' ⊥ DE Suy ra DE là khoảng cách giữa hai đường thẳng AA ' và BC

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

0,5

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

= Tam giác ADE vuông tại D suy ra sin DAE

DE 1 = 300 = ⇒ DAE AE 2 0

0,5

Gọi B', C', D' lần lượt giao điểm của mp ( α ) với các cạnh AB, AC, AD .

(3,0đ)

A D'

Ta có VAGBC = VAGCD = VAGDB

1 = VABCD (*) 3

B' I

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

a3 3 = . 12

III.

0,5

U Y

Vậy VABC.A 'B 'C ' = A 'G.SABC

a 3

Xét tam giác A 'AG vuông tại G ta có A 'G = AG.tan 30 =

0,5

G C

H Ư

Vì VAB'C 'D ' = VAIB'C' + VAIC' D' + VAID' B' và (*) nên

TR ẦN

VAB'C' D' VAIB'C' V V = + AIC' D' + AID' B' VABCD 3VAGBC 3VAGCD 3VAGDB

⇔

10 00

0,5

AB'.AC'.AD' AI.AB'.AC' AI.AC'.AD' AI.AD'.AB' = + + AB.AC.AD 3.AG.AB.AC 3.AG.AC.AD 3.AG.AD.AB

0,5

BB' CC' DD' AB AC AD AG ⇔ + + = 3. =6⇔ + + =3 AB' AC' AD' AI AB' AC' AD'

0,5

Suy ra

hB hC hD + + = 3 ⇔ h B + h C + h D = 3h A (**) hA hA hA

0,5

Ta có:

( hB + hC + hD )

Í-

BB' h B CC' h C DD' h D = , = , = AB' h A AC' h A AD' h A

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Mặt khác ta có

≤ 3( h 2B + h C2 + h 2D )

⇔ ( h B − h C ) + ( h C − h D ) + ( h D − h B ) ≥ 0 ( luôn đúng ) 2

(

Kết hợp với (**) ta được ( 3h A ) ≤ 3 h B + h C + h D

)

0,5

h 2B + h C2 + h 2D ≥ h 2A . Hay 3

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn IV.

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Đường tròn ( T ) có tâm K ( 3;2 ) bán kính là R = 5

(2,5đ)

Ta có AI :x − y = 0 , khi đó đường thẳng AI cắt

nghiệm của hệ

x = 6  y = 6

0,5

K B

U Y

2 2 ( x − 3) + ( y − 2 ) = 25  x = −1 (loại) hoặc ⇔  y = − 1 x − y = 0  

ẠO

Vậy A ' ( 6;6 )

' = CA ' ) (*) (Do BA

Ta có: A 'B = A 'C

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

đường tròn ( T ) tại A ' ( A' khác A ) có tọa độ là

H Ư

(1) (Vì cùng bằng IAC ) A 'BC = BAI = IBC (2) Mặt khác ta có ABI

0,5

TR ẦN

' = ABI + BAI = IBC +A ' Từ (1) và (2) ta có: BIA 'BC = IBA Suy ra tam giác BA 'I cân tại A ' do đó A 'B = A 'I (**)

10 00

Từ (*) , ( **) ta có A 'B = A 'C = A 'I

Do đó B,I,C thuộc đường tròn tâm A ' bán kính A 'I có phương trình là 2

0,5

+ ( y − 6 ) = 50

( x − 6)

-L

Í-

( x − 3)2 + ( y − 2 )2 = 25 Suy ra tọa độ B, C là nghiệm của hệ  2 2  ( x − 6 ) + ( y − 6 ) = 50

0,5

ÁN

Nên tọa độ các điểm B,C là : (7; −1),(−1;5)

Khi đó I nằm trong tam giác ABC (TM) .

0,5

ÀN

Vậy phương trình đường thẳng BC : 3x + 4y − 17 = 0 .

IỄ N

(2,5đ)

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có

1 a + 4b 1 a + 4b + 16c 4 a + ab + 3 abc ≤ a + . + . = (a + b + c) . 2 2 4 3 3

0,5

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = 4b = 16c . Suy ra P ≥

3 3 − 2(a + b + c) a+b+c

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

0,5

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Xét hàm số f ( t ) =

3 3 − 2t t

3 3 3 3 − với t > 0 ta có f ' ( t ) = − 2. 2t t 2t t 2t

0,5

3 3 f '( t ) = 0 ⇔ − 2 = 0 ⇔ t =1 2t t 2t

+∞ 0

0,5

Do đó ta có min f ( t ) = −

3 khi và chỉ khi t = 1 2

t >0

3 2

TR ẦN

−

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

−

f (t)

+∞

f '( t )

ẠO

−∞

U Y

Bảng biến thiên

Đặt t = a + b + c, t > 0 . Khi đó ta có: P ≥

0,5

-L

Í-

10 00

 16 a = 21  a + b + c = 1 3 4  ⇔ b = . Vậy ta có P ≥ − , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  2 21 a = 4b = 16c  1  = c  21

3  16 4 1  khi và chỉ khi ( a,b,c ) =  , ,  . 2  21 21 21  - - Hết - -

Chú ý: - Học sinh giải cách khác đúng cho điểm phần tương ứng. - Khi chấm giám khảo không làm tròn điểm.

IỄ N

ÀN

ÁN

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là −

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn SỞ GD & ĐT NGHỆ AN

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2012 - 2013

Đề thi chính thức

(Đề thi gồm 01 trang)

Môn thi: TOÁN - BT THPT

U Y

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu I (5,0 điểm). 2

ẠO

1. Cho hàm số y = x − mx + m , với m là tham số.

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Tìm các giá trị của m để hàm số có ba điểm cực trị.

trên đoạn [ 0; 1] .

2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) = x 1 − x

H Ư

Câu II (5,0 điểm).

2x 2 − 5x + 3 ≥ x − 1

( x ∈ ℝ) .

TR ẦN

1. Giải bất phương trình

( x, y ∈ ℝ ) .

 x 2 + y 2 − 4xy = −3 2. Giải hệ phương trình   x + y − xy = 1

10 00

Câu III (5,0 điểm).

 1 5 1. Tìm hệ số của x trong khai triển nhị thức Niutơn của  2 + x  , x ≠ 0 . x  n −1

+ Cnn = 1024 (với n ∈ ℕ* , C nk là số các tổ hợp chập k của n )

Í-

Biết C n + C n + ... + C n

-L

2. Giải phương trình : ( 2sin x − 1)( sin x + 2cosx ) = sin 2x − cosx .

ÁN

Câu IV (5,0 điểm).

Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA , đáy là tam giác vuông tại B . Gọi B' là hình chiếu

ÀN

vuông góc của điểm A lên đường thẳng SB . Qua điểm B' kẻ đường thẳng song song với đường

1. Chứng minh rằng: SB vuông góc với mặt phẳng ( AB'C' ) . 2. Tính theo a thể tích khối chóp S.AB'C' , biết SA = AB = a và BC = 2a .

IỄ N

thẳng BC cắt SC tại C' .

- - Hết - -

Họ tên thí sinh:............................................................. Số báo danh:........................

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

SỞ GD& ĐT NGHỆ AN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12

NĂM HỌC 2012 - 2013

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC

U Y

Môn: TOÁN - BT THPT

TXĐ: D = ℝ

Ta có y ' = 4x − 2mx

ẠO

Nội dung

y ' = 0 ⇔ 4x 3 − 2mx = 0 ⇔ x ( 2x 2 − m ) = 0

TR ẦN

x = 0 ⇔ 2  2x − m = 0 (1)

Điểm

0,5 0,5

(2,5đ)

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Câu

(Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)

0,5

Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

10 00

khác 0

0,5

Hàm số f ( x ) = x 1 − x

ÁN

-L

(2,5đ) Ta có f ' ( x ) = 1 − x 2 −

IỄ N

ÀN

f '( x ) = 0 ⇔

1 − 2x 2

1 − x2

liên tục trên đoạn [ 0; 1] 0,5

Í-

m > 0 ⇔ ⇔ m > 0 . Vậy giá trị cần tìm là: m > 0 − m ≠ 0 

0,5

1− x

1 − 2x

1 − x2

= 0 ⇔ 1 − 2x 2 = 0

 2 ∈ ( 0; 1) x = 2 ⇔  2 ∉ ( 0; 1) x = −  2

Ta có f ( 0 ) = 0, f (1) = 0,

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

0,5

 2 1 f =  2  2

0,5

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

 2 1 = 2   2

Vậy Min f ( x ) = f ( 0 ) = f (1) = 0 , Max f ( x ) = f  [0;1]

0,5

[0;1]

2  x − 3x + 2 ≥ 0

N U Y

ẠO Đ G N

0,5

10 00

TR ẦN

x > 1

Hệ BPT ( 2 ) ⇔ 

x > 1  ⇔  x ≤ 1 ⇔ x ≥ 2  x ≥ 2 

( 2)

0,5

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

x ≤ 1  x ≤ 1 ⇔ x ≤1 Hệ BPT (1) ⇔   3 x ≥   2

(1)

x − 1 ≤ 0  2 1,  2x − 5x + 3 ≥ 0 (2,5đ) Bất phương trình đã cho tương đương với  x − 1 > 0   2x 2 − 5x + 3 ≥ ( x − 1)2 

II.

0,5

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: S = ( −∞;1] ∪ [ 2; + ∞ )

( x + y )2 − 6xy = −3 Hệ phương trình đã cho tương đương với   x + y − xy = 1

(2,5đ)

0,5

ÁN

-L

Í-

II.

2 ( x + y ) − 6xy + 3 = 0 ⇔  xy = x + y − 1

IỄ N

ÀN

0,5

( x + y )2 − 6 ( x + y ) + 9 = 0  x + y = 3 ⇔ ⇔  xy = 2  xy = x + y − 1

0,5

x = 1  y = 2 ⇔ x = 2    y = 1

0,5

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Vậy nghiệm ( x; y ) của hệ phương trình đã cho là: (1; 2 ) , ( 2; 1) III.

n −1

Ta có (1 + 1) = C n + C n + ... + C n

0,5

+ Cnn 0,5 10

0,5

⇔ n = 10

Từ giả thiết ta suy ra 2 = 1024 ⇔ 2 = 2

là C10 = 252

U Y

0,5

PT ⇔ ( 2sin x − 1)( sinx+2cosx ) = 2sin x cos x − cosx

0,5 0,5

⇔ ( 2sin x − 1)( sinx+2cosx ) − cosx ( 2sin x − 1) = 0

0,5

 2sin x − 1 = 0 (1) ⇔ ( 2sin x − 1)( sinx+cosx ) = 0 ⇔  sinx+cosx = 0 (2)

0,5

TR ẦN

(2,5đ)

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

0,5

ứng với 7k − 20 = 15 ⇔ k = 5

Vậy hệ số của x III.

k .x 5k = C10 .x 7k − 20

ẠO

Suy ra x

−2(10 − k )

 1 5 Ta có số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức Niutơn của  2 + x  x  là C10 .x

⇔ C0n + C1n + ... + Cnn −1 + Cnn = 2n (2,5đ)

(k ∈ℤ)

0,5

10 00

π  x = + k2π  1 6 PT (1) ⇔ sinx = ⇔  2  x = 5π + k2π  6

(k ∈ ℤ)

Í-

π π π  PT ( 2 ) ⇔ 2 sin  x +  = 0 ⇔ x + = kπ ⇔ x = − + kπ 4 4 4 

0,5

-L

Vậy nghiệm của phương trình là

π π 5π + k2π, x = + k2π, x = − + kπ ( k ∈ ℤ ) 6 6 4

IV.

Ta có SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ BC (1)

ÀN

ÁN

C’

IỄ N

(2,5đ)

Mặt khác BC ⊥ AB (2)

B’

A 0,5 B

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Từ (1) và ( 2 ) suy ra BC ⊥ ( SAB )

0,5

(vì B'C'// BC )

0,5

Từ ( 3) và ( 4 ) suy ra SB ⊥ ( AB'C' )

0,5

Theo giả thiết ta có SB ⊥ AB' (4)

Ta thấy tam giác SAB cân tại A suy ra B' là trung điểm của SB , do đó

U Y

IV.

( 3)

0,5

TR ẦN

Do BC ⊥ ( SAB ) ⇒ B'C' ⊥ ( SAB ) ⇒ B'C' ⊥ AB'

Ta có B'C' là đường trung bình của tam giác SBC suy ra B'C' =

10 00

1 a3 Thể tích của khối chóp S.AB'C' là V = SB'.AB'.B'C' = . 6 12

0,5

1 BC = a 2

0,5

----------Hết----------

0,5

a 2 2

H Ư

Vì ∆SAB vuông tại A nên ta có AB' = SB' =

ẠO

a 2 2

SB = SA 2 + AB2 = a 2 ⇒ SB' =

1 SB' = SB (2,5đ) 2

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Do đó BC ⊥ SB ⇒ B'C' ⊥ SB

0,5

Chú ý: - Học sinh giải cách khác đúng cho điểm phần tương ứng.

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

- Khi chấm giám khảo không làm tròn điểm.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn SỞ GD&ĐT

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT

QUẢNG BÌNH

NĂM HỌC 2012 - 2013 Môn thi: Toán - Vòng I

(Khóa ngày 11 tháng 10 năm 2012)

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

U Y

SỐ BÁO DANH:

ẠO

Giải phương trình: x 4n + x 2n + 2012 = 2012 (n ∈ ℕ* ) .

Câu 2 (2.5 điểm):

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Câu 1 (2.5 điểm):

N H Ư

TR ẦN

u1 = 3  1 3  * un+1 = 3  2un + u 2  ; (n ∈ ℕ ). n   

Cho dãy số (u n ) xác định bởi công thức:

Tính: lim un ?

10 00

Câu 3 (1.5 điểm):

Cho các số thực dương x, y, z. Chứng minh rằng:

-L

Í-

1 1 1 36 + + ≥ . 2 2 x y z 9 + x y + y 2 z 2 + z 2 x2

ÁN

Câu 4 (2.0 điểm):

Cho tam giác ABC có M là trung điểm cạnh BC, N là chân đường phân giác góc

ÀN

. Đường thẳng vuông góc với NA tại N cắt các đường thẳng AB, AM lần lượt tại P, BAC

Q theo thứ tự đó. Đường thẳng vuông góc với AB tại P cắt AN tại O. Chứng minh OQ

IỄ N

vuông BC.

Câu 5 (1.5 điểm): Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

x+2 3 = y + z .

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

--------------------HẾT----------------------

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn SỞ GD&ĐT

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT

QUẢNG BÌNH

NĂM HỌC 2012 - 2013 Môn thi: Toán - Vòng I (Khóa ngày 11 tháng 10 năm 2012)

HƯỚNG DẪN CHẤM

U Y

(Đáp án, hướng dẫn này có 4 trang)

yªu cÇu chung

ẠO

* Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi bài. Trong bài làm của học sinh yêu cầu phải lập

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

luận lô gic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết và rõ ràng.

* Trong mỗi bài, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với những bước giải

sau có liên quan.

H Ư

* Điểm thành phần của mỗi bài nói chung phân chia đến 0,25 điểm. Đối với điểm thành phần là

TR ẦN

0,5 điểm thì tuỳ tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0,25 điểm. * Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm của từng bài.

10 00

* Điểm của toàn bài là tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các bài. Câu

Nội dung

2,5 điểm

Điểm

(1)

Í-

Phương trình: x 4n + x 2n + 2012 = 2012 (n ∈ N*)

0,25

-L

Đặt t = x2n ≥ 0, phương trình (1) trở thành:

0,5

ÁN

t 2 + t + 2012 = 2012

IỄ N

ÀN

⇔ t2 + t +

1 1 = t + 2012 − t + 2012 + 4 4

1  1  ⇔  t +  =  t + 2012 −  2  2 

0,5

0,25 0,25

⇔ t + 1 = t + 2012 ⇔ t 2 + t − 2011 = 0. Giải phương trình (2) ta được: t =

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

(2)

0,25

−1 + 8045 thỏa mãn điều kiện 2

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Phương trình có 2 nghiệm: −1 + 8045 −1 + 8045 và x 2 = − 2n , n ∈ ℕ* . 2 2

x1 = 2n

0,5

2,5 điểm

U Y

Theo công thức xác định dãy (un ) , ta có un > 0; ∀n ∈ ℕ* .

0,5

ẠO

Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:

0,5

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

1 3  1 3 3 un+1 =  2un + 2  =  un + un + 2  ≥ 3 un2 . 2 = 3 3 ; ∀n ∈ ℕ* . 3 un  3  un  un

H Ư

Do đó: un ≥ 3 3 ; ∀n ∈ ℕ* .

TR ẦN

 1  3 − un3  2 1 1 3 Mặt khác: un+1 − un = un + 2 − un =  2 − un  =  2  ≤ 0 . un 3 3  un  3  un 

0,5

Vậy (un ) là dãy số giảm và bị chặn dưới nên nó có giới hạn.

10 00

2 1 3 Giả sử, lim un = a .Ta có: a = a + 2 ⇔ a = 2 ⇔ a = 3 3 . 3 a a

Vậy: lim un = 3 3

0,5

-L

Í-

0,5

1.5 điểm

ÁN

IỄ N

ÀN

1 1 1 36 + + ≥ 2 2 x y z 9 + x y + y 2 z 2 + z 2 x2

1 1 1 ⇔ (9 + x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 )  + +  ≥ 36 . x y z

0,25 3

Ta có: ( xyz )

 xy + yz + zx  = ( xy )( yz )( zx ) ≤  . 3  

0,25

Do đó:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn 2

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com 2

 1 1 1   xy + yz+zx  27 ( xy + yz+zx )  + +  =  ≥ 3 x y z xyz ( xy + yz+zx )    

0,25

27 . xy + yz+zx

Mặt khác:

U Y

9 + x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 = 6 + ( x 2 y 2 + 1) + ( y 2 z 2 + 1) + ( z 2 x 2 + 1)

≥ 2 ( 3 + xy + yz + zx ) . 2

TR ẦN

H Ư

  9 = 108.  + 6 + ( xy + yz + zx )   xy + yz + zx 

ẠO

0,25

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

  1 1 1  ⇒  (9 + x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 )  + +    x y z   2 27 ≥ 4 3 + ( xy + yz+zx )  . xy + yz+zx

  9 ≥ 108  6 + 2 ( xy + yz + zx )  = 1296 . xy + yz + zx  

10 00

1 1 1 Suy ra: (9 + x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 )  + +  ≥ 36 . x y z

0,25

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z = 1.

2.0 điểm

0,25

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

N U Y

0,25

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Chọn hệ trục tọa độ Nxy sao cho A, N nằm trên trục hoành.

ẠO

Vì AB không song song với các trục tọa độ nên phương trình của nó có 0,25

TR ẦN

H Ư

 b  dạng : y = ax + b (a ≠ 0). Khi đó : A =  − ;0  , P = (0; b) .  a  AC đi qua A và đối xứng với AB qua trục hoành nên có phương trình : y = -ax – b.

10 00

1 PO đi qua P, vuông góc với AB nên có phương trình : y = − x + b . a

O là giao điểm của PO và trục hoành nên O = (ab,0) . 0,25

BC đi qua gốc tọa độ nên :

Í-

+) Nếu BC không nằm trên trục tung thì phương trình BC có dạng y = cx

-L

với c ≠ 0,c ≠ ± a (vì B, C không thuộc trục hoành, BC không song song

ÁN

với AB và AC).

IỄ N

ÀN

B là giao điểm của BC và AB nên tọa độ B là nghiệm của hệ :

0,25

 y = ax + b bc   b ⇒ B = ;  . y cx = c a c a − −   

C là giao điểm của BC và AC nên tọa độ C là nghiệm của hệ :

 y = −ax − b b bc   ⇒ C = − ;−  .  c+a c+a  y = cx abc  bc  ab AM c; a 2 ) . Do đó : M =  2 ; , suy ra : =  2 2 2 2 2 ( a (c − a ) c −a c −a 

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Từ đó ta có phương trình của AM là : y =

a2 ab x+ . c c

0,25

Q là giao điểm của AM với trục tung nên

 ab   1 Q =  0;  ⇒ QO = ab 1; −  . c  c  

+) Nếu BC nằm trên trục tung thì tam giác ABC cân tại A nên M ≡ N, do

U Y

Do đó QO là một vectơ pháp tuyến của BC nên QO vuông góc BC.

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

đó O thuộc AN nên QO vuông góc BC.

0,25

1,5 điểm

Giả sử ( x, y, z ) là nghiệm nguyên dương của phương trình. Ta có:

x+2 3 = y + z + 2 yz

-L

Í-

⇔ x − ( y + z ) = 2 yz − 2 3 2

= 4 yz − 4 3 [ x − ( y + z ) ] − 12

Đ IỄ N D

0,25

⇒ [ x − ( y + z ) ] + 4 3 [ x − ( y + z ) ] + 12 = 4 yz

ÀN

ÁN

⇒ [ x − ( y + z ) ] = 4 yz − 8 3 yz + 12

− [ x − ( y + z )] + 4 yz + 12 Nếu x ≠ ( y + z ) thì 4 3 = ∈ ℚ (vô lý). x − ( y + z)

 y =1  z = 3 ⇒ x = 4. Nếu x = y + z thì yz = 3 ⇔   y = 3    z = 1

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

0,25

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Thử lại, ta thấy: (4; 3; 1) và (4; 1; 3) là nghiệm của phương trình. Vậy: nghiệm nguyên dương của phương trình đã cho là (4; 3; 1) và (4; 1;

0,5

3).

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

0,25

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial