Oldervoll | Svorstøl | Jacobsen
Sinus S MATEMATIKK
STUDIESPESIALISERANDE PROGRAMFAG VG2 NYNORSK
Foto og grafikk: Bilda er fargemanipulerte. Omslagsfoto: Unsplash/Christian Holzinger Kapittel 1: Unsplash/Monster Ztudio Kapittel 2: Adobe Stock/magann Kapittel 3: Adobe Stock/Bits and Splits Kapittel 4: Adobe Stock/salajean Kapittel 5: Adobe Stock/obadart Kapittel 6: Unsplash/alexx_60 Oppgåvedel: Adobe Stock/araho Side 79: iStock/Kisa_Markiza Side 353: iStock/valio84sl Side 353: E+/kutaytanir
© Cappelen Damm AS, Oslo 2021 Sinus S1 følger læreplanen (LK20) i matematikk for samfunnsfag frå 2020, for vg2 programfag i utdanningsprogram for studiespesialisering. Materialet i denne publikasjonen er omfatta av føresegnene i åndsverkloven. Utan særskild avtale med Cappelen Damm AS er all framstilling av eksemplar og tilgjengeleggjering berre tillate i den utstrekninga det er heimla i lov eller tillate gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettshavarar til åndsverk. Utnytting i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndraging, og kan straffast med bøter eller fengsel. Dette er ei TROY®-innbunden bok. Ei TROY®-innbunden bok har forsterka omslag. Testar viser at denne innbindinga toler vesentleg hardare bruk over tid samanlikna med bøker utan denne forsterkinga. TROY® er eit registrert varemerke og er patentert av Cappelen Damm AS. Grafisk formgivar: BØK/Cappelen Damm AS Omslagsdesign: Kristin Gjestrum Frihandsteikningar: Per Ragnar Møkleby Tekniske teikningar: Terje Sundby, Keops Redaktørar: Bjørn-Terje Smestad og Grete Maus Sats: HAVE A BOOK, Polen 2021 Trykk og innbinding: Livonia Print, Latvia 2021 Nynorsk omsetting: Dag Kristian Ellingsen Utgåve nr. 4 Opplag nr. 1 ISBN 978-82-02-69628-3 www.cdu.no sinus.cdu.no
Forord Sinus er eit matematikkverk for den vidaregåande skulen, utvikla etter læreplanane frå 2020. Læreboka Sinus S1 er skriven for programfaget S1 i dei studieførebuande utdanningsprogramma. I boka blir elevane godt kjende med matematisk tankegang og bruk av matematikk innanfor økonomi og samfunnsfag. Dei får god trening i å løyse oppgåver utan og med bruk av digitale hjelpemiddel. Elevane lærer å bruke både CAS-delen og den grafiske delen av programmet GeoGebra. Dei får også opplæring i å bruke programmeringsspråket Python. Boka legg spesielt vekt på utforskande matematikk. Når elevane skal i gang med eit nytt tema, inneheld boka ofte utforskande opplegg der elevane skal finne ut eigenskapar og reglar innanfor temaet på eiga hand før det er behandla i boka. Men teorien er skriven slik at det likevel er mogleg å lese han utan å ha gjort dei utforskande opplegga. Utforskopplegga er best eigna som gruppearbeid, men elevane kan også gjer dei enkeltvis. I teoridelen er det ein del diskusjonsoppgåver der elevar får trening i å kommunisere matematikk. Til slutt i kvart kapittel finn elevane eit samandrag av viktige reglar og metodar i kapittelet. Der finn vi også ei større prosjektoppgåve. I desse prosjektoppgåvene får elevane bruke stoffet i kapittelet innanfor økonomi og samfunnsfag. Alle kapitla blir avslutta med eit oppgåvesett som er eigna til repetisjon av kapittelet. I boka er det i tillegg ein oppgåvedel. Oppgåvestoffet er delt i tre delar. Den første delen heiter «Øv meir». Her er oppgåvene ordna etter delkapitla i teoridelen. Den andre delen heiter «Blanda oppgåver». Her er det oppgåver som elevane skal løyse både utan og med digitale hjelpemiddel. Nokre gonger står det i oppgåva om elevane skal bruke hjelpemiddel eller ikkje. I andre oppgåver står eleven fritt til å velje metode. I denne delen er det lagt inn merke som viser kva oppgåver eleven kan løyse når eleven er ferdig med eit delkapittel. Når det for eksempel står 4.5 etter ei oppgåve, så kan alle oppgåvene framfor dette merket bli rekna når eleven er ferdig med delkapittel 4.5. Den tredje delen heiter «Opne oppgåver». Her er det opne og utforskande oppgåver som kan vere meir krevjande enn dei i «Blanda oppgåver». Heilt til slutt i boka kjem fasit og stikkordregister. Det er viktig at elevane lærer seg å bruke dette stikkordregisteret når dei støyter på ukjente ord og uttrykk. Til verket høyrer også ein nettstad: www.sinus.cappelendamm.no. Her er det mykje tilleggsstoff. Blant anna inneheld nettstaden mange interaktive oppgåver som er ordna etter delkapitla i boka. Nettstaden er fritt tilgjengeleg for alle. I arbeidet med å få fram best moglege bøker er det viktig å ha god kontakt med brukarane av bøkene. Derfor vil vi gjerne ha tilbakemeldingar om feil eller ønske om forandringar. Forfattarane vil takke kollegaer og andre for gode råd i arbeidet med boka. Vi ønsker alle lykke til i arbeidet med faget. Tore Oldervoll – Otto Svorstøl – Robin Bjørnetun Jacobsen
3
s
Innhald 1
Grunnlaget
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
Kvadratsetningane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Faktorisering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Heiltalsmetoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rasjonale uttrykk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Andregradslikningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Andregradsformelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nullpunktsfaktorisering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lineære ulikskapar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Andregradsulikskapar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Samandrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Repetisjonsoppgåver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 8 10 14 17 20 23 28 30 36 42 43
2
Potensar og logaritmar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matematiske symbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Potensrekning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Potensar med rasjonale eksponentar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eksponentiell vekst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Briggske logaritmar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eksponentiallikningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Praktisk bruk av eksponentiallikningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Logaritmelikningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Samandrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prosjektoppgåve: Kurvetilpassing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Repetisjonsoppgåver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44 45 52 54 57 61 64 69 73 77 78 80
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8
s
4
..................................................................
3
Grenseverdiar og derivasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9
Diskontinuerlege funksjonar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grenseverdiar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kontinuerlege funksjonar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funksjonar med delt funksjonsuttrykk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grenseverdiar der teljar og nemnar blir 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gjennomsnittleg vekstfart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Momentan vekstfart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vekstfart som grenseverdi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Derivasjon av polynomfunksjonar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Samandrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prosjektoppgåve: Trinnskatt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Repetisjonsoppgåver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Funksjonar
4.1 4.2
Funksjonsdrøfting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Krumming og vendepunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
83 90 94 97 104 108 111 115 123 128 130 132
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.3 4.4 4.5 4.6 4.7
Størst og minst verdi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Størst og minst vekst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kostnad, inntekt og overskot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Potensfunksjonar og rotfunksjonar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einingskostnad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Samandrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prosjektoppgåve: Etterspurnadselastisitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Repetisjonsoppgåver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
151 155 157 164 168 172 174 176
5
Eksponentialfunksjonar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Den naturlege logaritmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Derivasjon av eksponentialfunksjonar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eksponentiell vekst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pris og etterspurnad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ønskt etterspurnad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regresjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Samandrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prosjektoppgåve: Brutto nasjonalprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Repetisjonsoppgåver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
178 180 186 190 193 201 205 209 210 212
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6
6
Sannsyn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9
Binomialkoeffisientar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Multiplikasjonsprinsippet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Uordna utval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sannsyn og simulering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sannsynsmodellar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Produkt av sannsyn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stokastiske variablar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Binomiske forsøk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hypergeometriske forsøk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Samandrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prosjektoppgåve: Statistikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Repetisjonsoppgåver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
215 221 228 231 236 243 253 259 266 272 274 276
Oppgåver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Grunnlaget . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Potensar og logaritmar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Grenseverdiar og derivasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Funksjonar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Eksponentialfunksjonar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Sannsyn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
278 279 288 307 328 354 370
Fasit – teoridel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402 Fasit – oppgåvedel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411 Stikkord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
5
s
GRUNNLAGET
UTFORSK KVADRATSETNINGANE STEG 1
Ved hjelp av to positive tal a og b lagar vi to kvadrat. Det eine har sidekant a og det andre sidekant a b som vist på denne figuren:
b
a+b a a
b a+b
Bruk figuren til å forklare at
a b 2 a2 2ab b2 STEG 2
La no a og b vere to positive tal der b a. Da kan vi lage denne figuren:
b
a a–b a–b
b a
a) Forklar at det grøne og grå området til saman har arealet 2ab b2 b) Vis at det gir 2
a2 a b 2ab b2 c) Vis at det gir
a b 2 a2 2ab b2 7
s
STEG 3
La a og b vere to positive tal der b a. Da kan vi lage figuren til venstre nedanfor.
b b a a–b
a–b
a+b
a
a) På figuren til venstre har vi delt det grå området i to delar. Forklar kvifor vi kan sette saman dei to delane til rektangelet til høgre ovanfor. b) Bruk dette til å forklare at
a b a b a2 b2
1.1 Kvadratsetningane I Utforsk kvadratsetningane beviste de sikkert desse tre kvadratsetningane: Første kvadratsetning: Andre kvadratsetning: Konjugatsetninga:
a b 2 a2 2ab b2 a b 2 a2 2ab b2 a b a b a2 b2
I dei geometriske bevisa måtte vi føresette blant anna at a og b var positive tal. No beviser vi reglane ved rekning. Da ser vi at kvadratsetningane gjeld for alle tal a og b.
a b a b a b
a 2 a b b a b2
a b a b a b
a2 a b b a b
2
a 2 a b a b b2
a 2 2 a b b2
2
2
a 2 a b a b b2
a 2 2 a b b2 a b a b a2 a b b a b b a2 a b a b b2 a 2 b2
Konjugatsetninga kallar vi også for den tredje kvadratsetninga.
s
8
1 | GRUNNL AGE T
EKSEMPEL
Bruk kvadratsetningane og rekn ut. 2 2 b) x 3
a) a 2
d) 2t 1 2t 1
LØ Y S I N G
e) x 2 x 2
c) x 1 x 1
a 2 a 2 2 a 2 2 2 a 2 4a 4 2 x 3 x 2 2 x 3 32 x 2 6x 9 x 1 x 1 x 2 12 x 2 1 2 2t 1 2t 1 2t 12 4t 2 1
f) 2 x 3 2 x 3
2
2
2
a) b) c) d)
x 2 x 2
e)
x2
2
2
Legg merke til at 2t
x2 2
Hugs at
2x 3 2x 3
2 2 2x 2 2x 3 32 2x 2 2x 3 32
2
f)
2
2
2
2t 2t 4t 2. 2 2 2.
2
4 x 2 12 x 9 4 x 2 12 x 9 2
2
4 x 12 x 9 4 x 12 x 9 24 x Vi kan få fram dei rette svara ovanfor utan å bruke kvadratsetningane. Men det som er viktig her, er å trene på kvadratsetningane. Det blir veldig viktig å kunne bruke alle kvadratsetningane, for snart skal vi bruke dei til å faktorisere andregradsuttrykk.
?
OPPGÅVE 1.10
Bruk kvadratsetningane og rekn ut. 2 2 b) x 1
a) x 5
d) a 3 a 3
2
c) t 3
e) x 4 x 4
OPPGÅVE 1.11
Bruk kvadratsetningane og rekn ut. 2 1· § a) t 3 t 3 b) ¨ x ¸ 2¹ ©
d) 3x 2
2
e) 5x 1
c) 2 x 5 2 x 5
2
OPPGÅVE 1.12
Bruk kvadratsetningane om mogleg når du reknar ut og trekker saman. 2 2 2 b) x 3 x 3
a) x 1 x 1 x 1
c) 2 x 3 4 x 2 x 3
2
d) 2 t 4 t 4 3 t 4
1.1 KVADRATSE TNINGANE
9
s
DISKUTER
Vi kan bruke kvadratsetningane til vanleg talrekning. Det gir ein metode som vi med litt øving kan bruke til hovudrekning. 21 19 20 1 20 1 202 12 400 1 399 212 20 1 2 202 2 20 1 12 400 40 1 441 a) Rekn ut dette på tilsvarande måte. 2) 95 105 3) 522 1) 32 28 b) Lag eigne oppgåver og be medelevar rekne oppgåvene i hovudet.
?
OPPGÅVE 1.13
a) Vis ved rekning at
a b 3 a3 3a2b 3ab2 b3 b) Gjer som i Utforsk kvadratsetningane og lag ein figur som du kan bruke til å vise regelen i oppgåve a. Kva type figur må det vere? OPPGÅVE 1.14
a) Vis ved rekning at
a b 4 a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4 b) Kvifor kan vi ikkje lage ein geometrisk figur som viser dette?
1.2 Faktorisering Tala 15 og 28 kan vi skrive på denne måten: 15 3 5 28 2 2 7 Vi seier at tala er faktoriserte. Det vil seie at tala er skrivne som eit produkt av to eller fleire faktorar. Talet 15 har dermed faktorane 3 og 5. No skal vi faktorisere algebraiske uttrykk på tilsvarande måte. Uttrykket 4x 12 har to ledd, 4x og 12. Ledd er uttrykk eller eit tal med eller mellom. Viss vi skriv 4x 12 4 x 4 3, er ikkje uttrykket 4x 12 faktorisert. Det er berre ledda 4x og 12 som er faktoriserte. Men ettersom ledda har ein felles faktor 4, kan vi trekke 4 utanfor ein parentes. 4 x 12 4 x 4 3 4 x 3
s
10
1 | GRUNNL AGE T
No er 4x 12 faktorisert. Uttrykket har faktorane 4 og x 3 . Vi kan alltid kontrollere ei faktorisering ved å gonge faktorane. 4 x 3 4 x 4 3 4 x 12 Uttrykka x 2 4x og 3x 3 9x kan vi faktorisere slik: x2 4x
x 4 x
x x 4 x
3
2
3x 9 x 3x x 3x 3 3x x 2 3
Vi må vere forsiktige når vi set eit negativt tal utanfor ein parentes:
2 x 2 4 x 10 2 x 2 2 x 5 2
3x 6 x
3x x 2
Ledda i parentesen må skifte forteikn. Vi ser at det stemmer når vi multipliserer faktorane:
2 x 2 2 x 5
2x
2
4 x 10
2 x 2 4 x 10
3x x 2 3x x 3x 2 3x 2 6 x DISKUTER
Kva for nokre av desse utrykka er faktoriserte? b) 4 x – 3
a) 4x 3 c) 5x 3y d) 5 x + 3 y f) x – 2 x – 3
e) x 2 x + 3
?
OPPGÅVE 1.20
Sett mest mogleg utanfor ein parentes. b) 2x 2 3x a) 3x 6 3 2 d) 2x 3 4x 2 6x c) 2y 4y OPPGÅVE 1.21
Trekk mest mogleg utanfor ein parentes. b) 5xy 2 10xy a) 2xy 2 4x 2 2 2 d) 3x 2 6xy 9x c) a b 3a b ab Vi kan bruke konjugatsetninga (tredje kvadratsetning) til å faktorisere ein differanse mellom to kvadrat. Da bruker vi setninga slik: a 2 b2
a b a b
1.2 FAK TORISERING
11
s
EKSEMPEL
LØ Y S I N G
Faktoriser uttrykka om mogleg ved hjelp av konjugatsetninga. b) x 2 5 c) 4t 2 9 d) 9x 2 4 a) x 2 4 a)
x 2 4 x 2 22
b)
x2 5 x2
c)
4t 2 9
d)
9x 2 4
x 2 x 2
5 x 5 x 5
2
2t 32 2t 3 2t 3
2 3 x 22 2
Her står det mellom dei to kvadrata. Da kan vi ikkje bruke konjugatsetninga. Vi kan vise at det ikkje går an å faktorisere uttrykket på nokon annan måte heller. Kan ikkje faktoriserast.
Når vi faktoriserer, må vi ofte først sette faktorar utanfor ein parentes og deretter bruke konjugatsetninga. EKSEMPEL
LØ Y S I N G
?
Faktoriser 3x3 48x.
3x 3 48 x 3x x 2 16
3x x 2 4 2
3x x 4 x 4
OPPGÅVE 1.22
Faktoriser uttrykka. a) x 2 25
b) t 2 9
c) x 2
1 4
d) 2x 2 8
OPPGÅVE 1.23
Faktoriser uttrykka viss det lèt seg gjere. b) x 2 4 c) 9x 2 1 a) 4x 2 9
d) 12x 3 75x
Det er mogleg å faktorisere uttrykk digitalt. Når vi skal faktorisere 3x3 48x i CAS, skriv vi inn uttrykket og trykker på faktoriseringsknappen 315• 5 . Eksponenten 3 i x 3 får vi fram ved å taste Alt 3 eller ved å taste ^ etterfølgt av 3. Vi får dette svaret:
s
12
1 | GRUNNL AGE T
I GeoGebra kan vi bruke lange variabelnamn. Vi kan bruke «Radius» i staden for r om radiusen i ein sirkel og «Areal» som namn på arealet. Dermed er også ab eit lovleg namn på ein variabel, og GeoGebra oppfattar det da ikkje som produktet a b. Altså må vi skrive a b om produktet av to variablar. Vi kan også sette eit mellomrom i staden for gongeteiknet. 2x er derimot ikkje noko lovleg variabelnamn, og GeoGebra vil oppfatte det som 2 x. Dette må vi hugse på når vi for eksempel skal faktorisere uttrykket ab2 2ab a Vi må skrive gongeteikn mellom variablane:
?
OPPGÅVE 1.24
Løys oppgåve 1.21 digitalt. OPPGÅVE 1.25
Løys oppgåve 1.23 digitalt.
UTFORSK HEILTALSMETODEN STEG 1
Når vi reknar ut x 3 x 5 , får vi
x 3 x 5 x x 5x 3x 3 5 x 2 8x 15 Kva samanheng er det mellom konstantledda 3 og 5 i dei to faktorane og førstegradskoeffisienten 8 i andregradsuttrykket? Kva samanheng er det mellom tala 3 og 5 i dei to faktorane og konstantleddet 15 i andregradsuttrykket? Kva for ein regel ser ut til å gjelde? STEG 2
a) Undersøk om regelen frå steg 1 stemmer når du reknar ut desse gongestykka: 2) x 3 x 2
3) x 2 x 3
1) x 1 x 4
b) Lag dine eigne gongestykke og undersøk om regelen gjeld.
1.2 FAK TORISERING
13
s
STEG 3
Regelen frå steg 1 og 2 kan vi bruke til å faktorisere andregradsuttrykk. Viss x 2 5x 6 x d x e , kva kan du seie om tala d og e? Finn tala d og e. Faktoriser uttrykket x 2 5x 6. STEG 4
Viss x 2 4x 3 x d x e , kva kan du da seie om tala d og e? Finn tala d og e. Faktoriser uttrykket x 2 4x 3. STEG 5
Viss x 2 2x 3 x d x e , kva kan du da seie om tala d og e? Finn tala d og e. Faktoriser uttrykket x 2 2x 3.
1.3 Heiltalsmetoden Viss det skal vere mogleg å faktorisere andregradsuttrykket x 2 bx c, må det finnast to tal d og e slik at x 2 bx c
x d x e
Ved å gonge faktorane på høgre side får vi x 2 bx c x 2 bx c
x2 d x e x d e
x 2 d e x d e
Viss dette skal stemme for alle x, må d e c og d e b. Viss vi finn to tal d og e slik at b d e og c d e, så er x 2 bx c x d x e
I praksis klarer vi berre å finne tala d og e i hovudet når b og c er heile tal. Derfor kallar vi metoden heiltalsmetoden. Metoden fungerer berre når andregradsleddet er x 2. Det kan ikkje stå noko tal eller minusteikn framfor x 2.
s
14
1 | GRUNNL AGE T
EKSEMPEL
LØ Y S I N G
Faktoriser ved hjelp av heiltalsmetoden og kontroller svaret. b) x 2 6x 5 c) x 2 3x 4 a) x 2 8x 7 a) Her må vi finne to tal som er slik at produktet av tala blir 7. Dei heile tala som passar, er da r1 og r7. Ettersom summen skal bli 8, må tala vere 1 og 7. x 2 8x 7
x 1 x 7
Kontroll:
x 1 x 7
x 2 7 x x 7 x 2 8x 7
b) Her må vi finne to tal slik at produktet er 5. Dei moglege heile tala er da r1 og r5. Men summen av tala skal vere 6. Da må tala vere 1 og 5. x 2 6x 5
x 1 x 5
Kontroll:
x 1 x 5
x 2 5x x 5 x 2 6 x 5
c) Her må produktet av tala vere −4. Dei to tala må da ha motsett forteikn og finnast blant tala r1, r2 og r4. Når summen skal vere 3, må tala vere −1 og 4. x 2 3x 4
x 1 x 4
Kontroll:
x 1 x 4
?
x 2 4 x x 4 x 2 3x 4
OPPGÅVE 1.30
Bruk heiltalsmetoden til å faktorisere uttrykka, og kontroller faktoriseringa ved rekning. b) x 2 8x 7 a) x 2 3x 2 2 d) x 2 2x 1 c) x 2x 3 OPPGÅVE 1.31
Faktoriser uttrykka ved hjelp av heiltalsmetoden. b) x 2 7x 12 a) x 2 6x 8 2 d) x 2 6x 9 c) x 2x 15
1.3 HEILTALSME TODEN
15
s
DISKUTER
Vi ser på faktoriseringa x 2 bx c x d x e . a) Kva kan du seie om tala d og e viss c ! 0? b) Kva kan du seie om tala d og e viss c 0? c) Kva kan du seie om tala d og e viss c 0? d) Kva kan du seie om tala d og e viss c 0 og b ! 0? e) Kva kan du seie om tala d og e viss c 0 og b 0? f) Kva kan du seie om tala d, e og c viss b 0? Viss det er eit tal framfor x 2 i det andregradsuttrykket vi skal faktorisere, må vi sette det utanfor ein parentes før vi bruker heiltalsmetoden. EKSEMPEL
LØ Y S I N G
Faktoriser uttrykka. b) x 2 5x 6 a) 2x 2 8x 6 a)
2x 2 8x 6 2 x 2 4 x 3
c) 2x 3 8x 2 8x
2 x 1 x 3
Den siste faktoriseringa er rett fordi 1 3 4 og 1 3 3. b)
c)
1 x 2 5x 6 1 x 2 x 3
Her brukte vi at 2 3 5 og at 2 3 6. x 2 5x 6
2x 3 8x 2 8x 2x x 2 4 x 4
2x x 2 x 2 2x x 2
2
x 2 4x 4 x 2 x 2 fordi 2 2 4 og 2 2 4. I eksemplet ovanfor såg vi at x2 4x 4
x 2
2
Dette kan vi kontrollere ved hjelp av den første kvadratsetninga:
x 2
2
x 2 2 2 x 22
x2 4x 4
Viss vi i faktoriseringa x 2 bx c er like, er x 2 bx c
x d x e finn ut at dei to tala d og e
x d x d x d
2
Da seier vi at x 2 bx c er eit fullstendig kvadrat. Dermed er x 2 4x 4 eit 2 fullstendig kvadrat, nemleg x 2 .
s
16
1 | GRUNNL AGE T
?
OPPGÅVE 1.32
Faktoriser uttrykka. a) 3x 2 12x 9 c) x3 x2 2x
b) 4x3 24x2 20x d) x4 4x2
OPPGÅVE 1.33
Kva for nokre av uttrykka er fullstendige kvadrat? b) x 2 5x 4 c) x 2 6x 9 a) x 2 2x 1
d) x 2 10x 25
1.4 Rasjonale uttrykk Eit rasjonalt uttrykk er ein brøk som inneheld ein variabel. Når vi skal forkorte slike uttrykk, får vi bruk for det vi no har lært om faktorisering. EKSEMPEL
LØ Y S I N G
Rekn ut. 2x 2 4 x 9 a) 3 5x 10
b)
x2 x 2 x2 1
a) Først faktoriserer vi og set alt på éin brøkstrek. Deretter forkortar vi brøken. 2x 2 4 x 9 3 5x 10 2x x 2 9 3 5 x 2
2x x 2
3
3
2x 9 3 5 1
9 5 x 2
6x 5
b) Teljaren faktoriserer vi ved hjelp av heiltalsmetoden. x 2 x 2 x 1 x 2
1 2 2
og 1 2 1
Nemnaren kan vi faktorisere med heiltalsmetoden eller med konjugatsetninga. x 2 1 x 2 12 x 1 x 1
Dermed er x2 x 2 x2 1
x 1 x 2
x 1 x 1
x 2 x 1
1.4 RASJONALE UT TRYKK
17
s
?
OPPGÅVE 1.40
Rekn ut. 2 6x 9 a) 3 4x
b) 2
x 1 2x 4
c)
1 2 2 x 3
d)
x 2x 4 2 3x
c)
x2 4 2x 4
d)
4x2 9 4x 6
OPPGÅVE 1.41
Trekk saman. x 2 3x 9 a) 3 2x 4
b)
2 x 4 3x 3 x 1 7 x 14
OPPGÅVE 1.42
Forkort brøkane. 4 x 16 x 2 16 a) 2 b) 2 x 8 x 16 x 8 x 16 Når vi skal legge saman rasjonale uttrykk, må vi først faktorisere nemnarane for å finne fellesnemnaren. EKSEMPEL
LØ Y S I N G
Rekn ut. 9x 4 a) 2 x 6 3x 9
b)
2x 4 3 x 2 5x 4 2 x 8
a) Først faktoriserer vi nemnarane for å finne fellesnemnaren. 2x 6 2 x 3
3x 9 3 x 3
Fellesnemnaren er 2 3 x 3 6 x 3 . No utvidar vi brøkane slik at dei får same nemnar. Deretter trekker vi saman. 9x 4 2 x 6 3x 9
9x 4 2 x 3 3 x 3
3 9x 2 4 3 2 x 3 2 3 x 3
27 x 8 6 x 3 6 x 3
27 x 8 6 x 3
Vi må alltid sjå etter om vi kan forkorte svaret. Her går det ikkje an, for vi kan ikkje faktorisere teljaren. b) Først faktoriserer vi nemnarane for å finne fellesnemnaren. 2x 8 2 x 4
x 2 5x 4 x 4 x 1
s
18
1 | GRUNNL AGE T
4 1 5
og 4 1 4
Fellesnemnaren er 2 x 4 x 1 . 2x 4 3 x 5x 4 2 x 8
2x 4 3 x 4 x 1 2 x 4
2
2 2x 4
3 x 1
2 x 4 x 1 2 x 4 x 1
4 x 8 3x 3 2 x 4 x 1
?
4 x 8 3x 3
2 x 4 x 1
x 11 2 x 4 x 1
OPPGÅVE 1.43
Rekn ut. x x 2 5x a) 3 2 6
b)
x 1 x 2 2 4
1 3x 4 2 2 2x x
d)
2 x x 2 1 x2 2x 2
b)
3 2 2 x 2x x 4
d)
3 4 x 1 x 5x 6 x 2 x 3
c)
OPPGÅVE 1.44
Rekn ut utan hjelpemiddel. x 3 1 1 a) 2 3x 3 x 1 x 1 c)
x 1 2 2 x 3 x 4x 3
2
2
Oppgåvene i eksempla ovanfor kan vi også løyse i CAS. Da skriv vi uttrykka i . Når vi skal skrive brøkuttrykka, kan det vere lurt å CAS og trykker på skrive brøkstreken først. Her er to av oppgåvene:
Vi ser at GeoGebra gongar saman faktorane i nemnaren. Det treng ikkje vi gjere når vi reknar for hand.
?
OPPGÅVE 1.45
Løys nokre av oppgåvene i dette delkapittelet i CAS. 1.4 RASJONALE UT TRYKK
19
s
1.5 Andregradslikningar Når vi multipliserer to tal som ikkje er null, kan vi ikkje få null som svar. Dersom vi veit at produktet av to tal er null, må altså eit av tala vere null. Denne slutninga kallar vi produktregelen. Vi kan uttrykke han slik: Dersom a b 0, så er a 0 eller b 0. Produktregelen kan vi bruke til å løyse andregradslikningar ved rekning. Da faktoriserer vi først andregradsuttrykket slik vi gjer her: EKSEMPEL
LØ Y S I N G
Løys likningane ved rekning, og kontroller løysingane. b) x 2 6x 5 0 a) x 2 2x 0 a) Her faktoriserer vi andregradsuttrykket ved å sette x utanfor ein parentes. x 2 2x 0 x x 2 0 Når produktet av desse to tala er null, må eit av tala vere null. x 0 eller x 2 0 x 0 eller x 2 Når x 0, er x 2 2x 02 2 0 0. Når x = 2, er x2 2x 22 2 2 0. b)
x 2 6x 5 0 x 1 x 5 0 x 1 0 eller x 5 0 x 1 eller x 5
1 5
5 og 1 5
Når x = 1, er x 2 6x 5 = 12 6 1 5 = 1 6 5 0. Når x = 5, er x 2 6x 5 = 52 6 5 5 = 25 30 5 0.
?
s
20
OPPGÅVE 1.50
Løys likningane ved rekning. b) x 2 3x 2 0 a) x 2 5x 0 d) x 2 x 6 0 c) x 2 7x 10 0
1 | GRUNNL AGE T
6
Når vi løyser andregradslikningar ved hjelp av faktorisering, må vi ordne likningane først. Da flyttar vi først alle ledda over på venstre side av likskapsteiknet. Deretter dividerer vi med talet framfor x 2. Men vi kan også løyse andregradslikningar i CAS og grafisk. EKSEMPEL
Vi har gitt dei to andregradslikningane 1) 2x 2 4x 6 0
2) 2x 2 6x 6 4x 2
a) Løys likningane ved rekning. b) Løys likningane i CAS. c) Løys likningane grafisk ved hjelp av ein grafteiknar. LØ Y S I N G
1
a) Når vi skal løyse likning 1, deler vi først med 2 eller gonger med på begge 2 sidene av likskapsteiknet. Da får vi bort talet framfor x 2. 2x 2 4 x 6 0 |
1 2
x 2 2x 3 0 x 1 x 3 0 x 1 0 eller x 3 0 x 1 elller x 3
1 3
3 og 1 3
2
I likning 2 må vi først flytte alle ledda over på venstre side av likskapsteiknet. 2x 2 6x 6 4 x 2 2 x 2 10 x 8 0
|
1 2
x 2 5x 4 0 x 1 x 4 0 x 1 0 ellerr x 4 0 x 1 eller x 4
1 4
4 og 1 4
5
b) Når vi skal løyse likningane i CAS, skriv vi likningane slik dei står i oppgåva og trykker på .
1.5 ANDREGRADSLIKNINGAR
21
s
c) Når vi skal løyse likning 1 grafisk i GeoGebra, skriv vi først funksjonsuttrykket i algebrafeltet. Deretter skriv vi Nullpunkt( f ) i algebrafeltet. Da får vi fram grafen til venstre nedanfor. I oppgåva er det berre spørsmål etter x-verdien til nullpunkta. Svaret er x
1 eller x 3
f
f
6
y = 4x - 2 14
(4, 14)
4 12 2
(-1, 0) –2
–1
0
10
(3, 0) 1
2
3
4
8
–2 6 –4 4 –6 2
(1, 2)
–8 –1
0
1
2
3
4
5
For å løyse likning 2 grafisk skriv vi f (x) 2x 2 6x 6 og y 4x 2 i algebrafeltet. Deretter bruker vi Skjering mellom to objekt og får fram figuren til høgre ovanfor. Det er x-verdien til skjeringspunkta mellom grafen og linja som er svaret på oppgåva. x 1 eller x
?
s
22
4
OPPGÅVE 1.51
Løys likningane ved rekning, i CAS og grafisk. a) 3x 2 12x 9 0 b) x 2 7x 6 0 c) x 2 3x 3 2x 1 d) 2x 2 3x x2 2x 2
1 | GRUNNL AGE T
1.6 Andregradsformelen Vi har ein formel som vi kan bruke kvar gong vi skal løyse ei andregradslikning. Vi kallar han andregradsformelen. Andregradslikninga ax 2 bx c 0 har løysingane x
b r b2 4ac 2a
når b2 4ac t 0. No viser vi korleis vi bruker denne formelen til å løyse andregradslikningar. EKSEMPEL
LØ Y S I N G
Løys likningane med andregradsformelen. a) x 2 4x 3 0 b) 2x 2 12x 14 0 c) x 2 3x 5 2x 2 a) Når vi samanliknar likninga x 2 4x 3 0 med likninga ax 2 bx c 0 ser vi at a 1, b 4 og c 3. Dette set vi inn i formelen. x x x
b r b2 4ac 2a 4 r
4
2
4 1 3
2 1 4 r 16 12 2
4r 4 2 4r2 x 2 4 2 4 2 x eller x 2 2 x 1 eller x 3 x
1.6 ANDREGRADSFORMELEN
23
s
b) Det kan vere lurt å forenkle likninga 2x 2 12x 14 0 før vi løyser henne. 2 x 2 12 x 14 0 | x 2 6x 7 0
1 2
No er a 1, b 6 og c 7. Det gir x x
b r b2 4ac 2a 6 r
6
2
4 1 7
2 1
x
6 r 36 28 2
x
6r 8 2
x
6 8 eller x 2
6 8 2
x | 4, 41 eller x | 1, 59 c) Denne likninga må vi ordne først. x 2 3x 5 2 x 2 x 2 5x 7 0 Her er a 1, b 5 og c 7. Da er x x x
5 r
5
2
4 1 7
2 1 5 r 25 28 2 5 r 3 2
3 finst ikkje, og vi kan dermed ikkje finne nokon verdi for x. Likninga har inga løysing.
Alle andregradslikningar kan vi løyse i CAS. Da skriv vi inn likningane slik dei står, og trykker på .
s
24
1 | GRUNNL AGE T
Legg merke til korleis GeoGebra skriv svaret når likninga ikkje har noka løysing. Da får vi svaret ^ `. Det står ingenting mellom parentesane. Det kan sjå ut som om CAS gir eit anna svar på oppgåve b enn det vi fekk ved rekning. Men vi kan bruke CAS til å vise at svara er like:
Vi kan også løyse likningane grafisk, slik vi har gjort her: b) c) a) 7 6 5 4 3 2
(1, 0) 0
8
12
7
10
6
8
5
6
4
4
3
2
1
–1
14
1
2
(1.59, 0)
(3, 0) 2
3
4
–1 –2
5
6
0
1
–2 –4
2
3
(4.41, 0) 4
5
1
6 –1
0
1
2
3
4
5
–1
I oppgåve a og b ser vi at x-verdien til nullpunkta stemmer med det vi rekna ut. I oppgåve c er det ingen skjeringspunkt mellom grafen til f (x ) x 2 3x 5 og linja y 2x 2. Likninga x 2 3x 5 2x 2 har da inga løysing.
?
OPPGÅVE 1.60
Løys andregradslikningane med andregradsformelen. b) 2x 2 2x 12 0 c) 2x 2 4x 2 0 a) x 2 5x 6 0 e) 4x 2 12x 6 2x 2 5x 6 d) x 2 2x 2 4x 4 OPPGÅVE 1.61
Løys oppgåve 1.60 i CAS og grafisk. 1.6 ANDREGRADSFORMELEN
25
s
OPPGÅVE 1.62
Arealet av eit rektangel er 3500 m2. Lengda er 20 m lengre enn breidda. Finn lengda og breidda av rektangelet ved å løyse ei andregradslikning.
DISKUTER
Uttrykket d b2 4ac kallar vi diskriminanten til andregradslikninga ax 2 bx c 0. Korleis kan vi bruke diskriminanten til å avgjere kor mange løysingar ei andregradslikning har?
Ved hjelp av andregradsformelen kan vi lage eit program i Python som løyser alle andregradslikningar. Her er eit slikt program: 1
from math import sqrt
2 3
print("Vi skal løyse andregradslikninga ax^2+bx+c=0")
4 5
a = float(input("a ="))
6 7 8 9 10 11 12
if a == 0: print("Med a = 0 blir det ikkje ei andregradslikning.") else: b = float(input("b =")) c = float(input("c =")) d = b**2 - 4*a*c
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
if d < 0: print("Inga løysing") elif d == 0: x1 = -b/(2*a) print("Éi løysing x =", round(x1, 2)) else: x1 = (-b+sqrt(d))/(2*a) x2 = (-b-sqrt(d))/(2*a) print("To løysingar x =", round(x1,2), "og x =", round(x2,2))
23
DISKUTER
Studer programmet ovanfor og forklar korleis det verkar.
?
s
26
OPPGÅVE 1.63
Løys likningane i Python. b) 2x 2 10x 10 0 a) x 2 4x 3 0 d) x 2 4x 5 0 c) 3x 2 6x 3 0 1 | GRUNNL AGE T
UTFORSK NULLPUNKTSFAKTORISERING No skal vi lære å faktorisere andregradsuttrykk utan å bruke heiltalsmetoden. STEG 1
a) Andregradsuttrykket x 2 6x 8 har to nullpunkt x 2 og x 4. Uttrykket er altså lik 0 for desse x-verdiane. Vi skal faktorisere uttrykket. Da må det finnast to tal d og e slik at x 2 6x 8 x d x e
Uansett kva verdi vi vel for x, skal da x 2 6x 8 og x d x e bli det same talet. Ettersom x 2 6x 8 0 når x 2 og når x 4, kva for eit tal må da x d x e vere når x 2 og når x 4? Kvifor blir x d 0 for x 2 og x e 0 for x 4 eller omvendt? Bestem verdiar for d og e. Bruk dette til å faktorisere x 2 6x 8. b) Faktoriser x 2 6x 5 når du får vite at uttrykket har nullpunkta x 1 og x 5. c) Faktoriser x 2 2x 3 når du får vite at uttrykket har nullpunkta x 1 og x 3. STEG 2
a) Andregradsuttrykket x 2 4x 4 har berre eitt nullpunkt x 2. Vi faktoriserer x 2 bx c. Da må det finnast to tal d og e slik at x 2 4x 4 x d x e
x 2 4x 4 har berre eitt nullpunkt x 2. Kvifor må da d e? Kva må begge tala d og e vere? Faktoriser x 2 4x 4. Kva for ein regel trur du gjeld? b) Andregradsuttrykket x 2 6x 9 har berre eitt nullpunkt x 3. Bruk dette til å faktorisere x 2 6x 9. STEG 3
Andregradssuttrykket x 2 4x 5 har ingen nullpunkt. Vi prøver å faktorisere uttrykket. Da må det finnast to tal d og e slik at x 2 4x 5 x d x e
Kva for nokre nullpunkt har x d x e ? Kvifor går det da ikkje an å faktorisere x 2 4x 5? Kva for ein regel trur du gjeld?
1.6 ANDREGRADSFORMELEN
27
s
STEG 4
a) Utrykket 2x 2 10x 12 har nullpunkta x 2 og x 3 og må da ha faktorane x 2 og x 3 . Men kan 2x 2 10x 12 vere lik x 2 x 3 ? Finn ut ved å gonge faktorane. Kva manglar i faktoriseringa? Kva for ein regel ser ut til å gjelde? b) Uttrykket 3x 2 6x 9 har nullpunkta x 1 og x 3. Bruk det til å faktorisere uttrykket.
1.7 Nullpunktsfaktorisering Når vi kjenner nullpunkta til eit andregradsuttrykk, kan vi bruke dei til å faktorisere uttrykket. Dersom andregradsuttrykket ax 2 bx c har dei to nullpunkta x x1 og x x2, er ax 2 bx c a x x1 x x2
Dersom andregradsuttrykket har berre eitt nullpunkt x x1, er 2
ax 2 bx c a x x1
Dersom andregradsuttrykket ikkje har nullpunkt, kan det ikkje faktoriserast i førstegradsfaktorar.
EKSEMPEL
LØ Y S I N G
Finn nullpunkta, og bruk dei til å faktorisere uttrykka. b) x 2 5x 7 c) 3x 2 18x 27 a) 2x 2 2x 12 a) Først bruker vi andregradsformelen og finn nullpunkta. 2 x 2 2 x 12 0 x x x x
s
x 28
2 r 22 4 2 ( 12) 2 2 2 r 4 96 4 2 r 100 4 2 r 10 4 3 eller x 2
1 | GRUNNL AGE T
No faktoriserer vi andregradsuttrykket. 2 x 2 2 x 12 2 x 3 x 2
2 x 2 2 x 12 2 x 3 x 2
Hugs å ta med talet framfor x2 i faktoriseringa. b) Vi bruker andregradsformelen og finn nullpunkta. x 2 5x 7 0 x x x
( 5) r ( 5)2 4 1 7 2 5 r 25 28 2 5 r 3 2
Kvadratrota av −3 finst ikkje, og likninga har derfor ikkje noko nullpunkt. Uttrykket kan ikkje vere eit produkt av to førstegradsfaktorar. Det er ikkje mogleg å faktorisere uttrykket. c) Vi bruker andregradsformelen og finn nullpunkta til 3x 2 18x 27. Først deler vi med 3 for å forenkle utrekninga. 3x 2 18 x 27 0 |: 3
x 2 6x 9 0 ( 6) r ( 6)2 4 1 9 2 6r0 x 2 x 3 x
Uttrykket har berre det eine nullpunktet x 3. Det gir faktoriseringa 3x 2 18 x 27 3 x 3
2
1.7 NULLPUNK TSFAK TORISERING
29
s
?
OPPGÅVE 1.70
Faktoriser uttrykka ved hjelp av nullpunkta. b) x 2 3x 2 a) x 2 8x 12 d) 6x 2 5x 1 c) 2x 2 4x 30 OPPGÅVE 1.71
Faktoriser uttrykka ved hjelp av nullpunkta. b) x 2 6x 9 a) x 2 6x 8 2 c) x 6x 10
1.8 Lineære ulikskapar I mange praktiske samanhengar har vi bruk for å vite om ein storleik er større enn eller mindre enn ein annan storleik. I matematikken kallar vi slike problem ulikskapar. Vi har fire forskjellige ulikskapssymbol. Det er < (mindre enn), ≤ (mindre enn eller lik), > (større enn) og ≥ (større enn eller lik). Når vi skriv x 3, betyr det at x er eit tal som er mindre enn 3. Uttrykket x t 5 fortel at x er eit tal som er større enn eller lik 5. Her er reknereglane for ulikskapar: Vi kan legge til og trekke frå det same talet på kvar side av ulikskapsteiknet. Vi kan flytte eit ledd over på den andre sida av ulikskapsteiknet viss vi skiftar forteikn på leddet. Vi kan multiplisere og dividere med eit tal som ikkje er null, på begge sidene av ulikskapsteiknet. Viss talet er negativt, må vi snu ulikskapsteiknet.
EKSEMPEL
LØ Y S I N G
Løys ulikskapane. a) 3x 4 x 8
a) Vi bruker reglane ovanfor. 3x 4 x 8 3x x 8 4 2x 4 2x 4 2 2 x 2
s
30
b) x 2 4 x t 5x 2
1 | GRUNNL AGE T
b)
x 2 4 x t 5x 2 x 8 2 x t 5x 2 x 2 x 5x t 2 8 2 x t 10 No dividerer vi med 2 på begge sidene av ulikskapsteiknet. Da må vi snu teiknet. 2 x 10 d 2 2 x d 5
Også ulikskapar kan vi løyse digitalt. Her viser vi korleis vi løyser ulikskapen x 2 4 x t 5x 2 ved hjelp av CAS. Når vi skal skrive ulikskapsteiknet t, kan vi opne tastaturet i nedste venstre hjørne og finne t der. i GeoGebra ved å trykke på Men vi kan også bruke det vanlege tastaturet og skrive ! etterfølgt av . . Svaret får vi fram ved å trykke på
EKSEMPEL
LØ Y S I N G
Kl. 6 ein sommarmorgon var temperaturen 8 qC. Temperaturen steig med 2 gradar per time fram til kl. 16. Finn ut når temperaturen var over 20 qC ved å løyse ein ulikskap. Temperaturen x timar etter kl. 6 er gitt ved y 8 2 x , x ª¬0, 10 º¼ Temperaturen er over 20 gradar når y ! 20 2 x 8 ! 20 2 x ! 12 x !6 6 timar etter kl. 6 er kl. 12. Temperaturen var over 20 qC etter kl. 12.
1.8 LINEÆRE ULIKSKAPAR
31
s
?
OPPGÅVE 1.80
Løys ulikskapane utan digitalt hjelpemiddel. a) 3x 2 ! 8 b) 2 x 5 ! x 1 c) x 3 3x 1 d) 2 x 1 t 3 x 6
OPPGÅVE 1.81
Løys ulikskapane både utan og med digitalt hjelpemiddel. a) 2 x 5 ! 4 x 1 b) 2 3 x 2 3 x 1
§ x· c) 2 3x 6 ¨ 1 ¸ ! 0 © 2¹ 2 5 1 d) x x 3 2 3 e)
5 1 7 9 x ! x 2 6 6 2
OPPGÅVE 1.82
Vi set frå oss ein kopp te der temperaturen er 80 qC. Dei første 15 minutta minkar temperaturen med 3 gradar per minutt. Finn ut når temperaturen er under 62 qC ved å løyse ein ulikskap.
EKSEMPEL
Vi har gitt andregradslikninga x 2 4x c 0 der c er eit ukjent tal. a) Finn antalet løysingar grafisk for ulike verdiar av c ved hjelp av GeoGebra. b) Finn antalet løysingar ved rekning. c) Finn antalet løysingar i CAS.
LØ Y S I N G
a) I GeoGebra skriv vi x 2 4x c i algebrafeltet. Det gir dette resultatet:
Antalet løysingar av likninga x 2 4x c 0 er det same som antalet nullpunkt for funksjonen f (x ) x 2 4 x c.
s
32
1 | GRUNNL AGE T
Vi kopierer glidaren til grafikkfeltet ved å trykke på sirkelen framfor glidaren. I grafikkfeltet ser vi no grafen til venstre nedanfor når c 3 . Funksjonen har to nullpunkt, og likninga har da to løysingar for c 3. f
–1
f
4
4
3
3
2
2
2
1
1
1
0
1
2
3
4
–1
–1
0
4 3
1
2
3
4
–1
c=3
f
–1
0
1
2
3
c=4
–2
4
–1
–2
c=5 –2
No drar vi i glidaren og ser at vi har to løysingar når c 4. Når c 4, har vi eitt nullpunkt slik figuren i midten ovanfor viser. Likninga har dermed éi løysing for c 4. Ved å dra glidaren vidare ser vi at f ikkje har nokon nullpunkt når c ! 4. Sjå figuren til høgre ovanfor. Likninga har to løysingar når c 4, éi løysing når c 4 og inga løysing når c ! 4. b) Når vi skal finne antalet løysingar ved rekning, bruker vi andregradsformelen. Vi kunne også ha laga fullstendig kvadrat. x2 4x c 0 x x
4 r
4
2
4 1 c
2 2 4 r 16 4c 4
Likninga har to løysingar viss uttrykket under rotteiknet er positivt. Det er når 16 4c ! 0 4c ! 16 4c 16 4 4 c 4 Det er éi løysing viss det er 0 under rotteiknet. 16 4c 0 4c 16 c 4 1.8 LINEÆRE ULIKSKAPAR
33
s
Det er inga løysing viss det er eit negativt tal under rotteiknet. 16 4c 0 4c 16 c!4 Likninga har to løysingar når c 4, éi løysing når c 4 og inga løysing når c ! 4. c) Når vi skal løyse oppgåva ved hjelp av CAS, tenker vi på same måten som ovanfor og løyser oppgåva slik:
Likninga har to løysingar når c 4, éi løysing når c 4 og inga løysing når c ! 4.
?
OPPGÅVE 1.83
Vi har gitt andregradslikninga ax 2 4x 2 0,
a z 0
a) Finn grafisk antalet løysingar for ulike verdiar for a ved hjelp av GeoGebra. b) Finn antalet løysingar ved rekning. c) Finn antalet løysingar i CAS. OPPGÅVE 1.84
Vi har gitt andregradslikninga x 2 5x 2 x b a) Finn grafisk antalet løysingar for ulike verdiar for b ved hjelp av GeoGebra. b) Finn antalet løysingar ved rekning. c) Finn antalet løysingar i CAS.
s
34
1 | GRUNNL AGE T
UTFORSK ANDREGRADSULIKSKAPAR Grafen til ein andregradsfunksjon kallar vi ein parabel. Parabelen kan vende opp eller ned som vist her: y
3
3 2
2
1 –1
y
1
x 1
–1
2 3
–1
–2
–1
x 1
2 3
–2
Parabelen til venstre vender den hole sida ned, og den til høgre vender den hole sida opp. STEG 1
Bruk GeoGebra og legg inn funksjonen f (x) ax 2 bx c i algebrafeltet. Dra i glidarane som kjem fram, og finn ut kva som bestemmer om den hole sida vender opp eller ned. STEG 2
Nedanfor har vi teikna grafen til funksjonen f gitt ved f (x) 2x 2 8x 6 y 5 4 3 2 1 –1
x 1
2
3
4
–2
a) Korleis kan vi bruke grafen til å løyse likninga 2x 2 8x 6 0? Kva blir løysinga? b) Korleis kan vi bruke grafen til å løyse ulikskapen 2x 2 8x 6 0? Kva blir løysinga? c) Korleis kan vi bruke grafen til å løyse ulikskapen 2x 2 8x 6 ! 0? Kva blir løysinga?
1.8 LINEÆRE ULIKSKAPAR
35
s
STEG 3
No skal vi løyse ulikskapen x 2 5x 6 0 a) Bruk heiltalsmetoden til å løyse likninga x 2 5x 6 0 No lèt vi funksjonen f vere bestemt ved at f (x) x 2 5x 6 Svar på spørsmåla nedanfor utan å teikne grafen til f : b) Kvar kryssar grafen til f x-aksen? c) Kva veg vender den hole sida? d) Kvar ligg grafen under x-aksen? e) Kva blir løysinga av ulikskapen? STEG 4
Bruk metoden frå steg 3 til å løyse ulikskapane. b) 2x 2 6x 4 ! 0 a) x 2 6x 5 ! 0 2 d) x 2 4x 5 ! 0 c) 3x 6x 3 d 0
1.9 Andregradsulikskapar Når vi løyser lineære ulikskapar, bruker vi reknereglar som liknar dei reglane vi bruker når vi løyser likningar. Når vi arbeider med ulikskapar som ikkje er lineære, må vi bruke heilt andre metodar. Da kan vi bruke forteiknslinjer. La oss tenke oss at vi skal undersøke korleis forteiknet til uttrykket x 2 varierer med x. Vi vil finne ut kvar x 2 er negativt, kvar x 2 er null, og kvar x 2 er positivt. x 2 0 når x 2 x 2 0 når x 2 x 2 ! 0 når x ! 2
Negativt område for x 2: Nullpunkt for x 2: Positivt område for x 2:
Så lagar vi ei tallinje der vi markerer nullpunktet til x 2. Deretter lagar vi ei forteiknslinje for uttrykket x 2: –2
–1
0
x–2
s
36
1 | GRUNNL AGE T
1
2 0
3
4
5 x
På slike forteiknslinjer bruker vi desse symbola: 0
EKSEMPEL
LØ Y S I N G
markerer nullpunkta til uttrykket markerer at uttrykket er negativt markerer at uttrykket er positivt
Lag ei forteiknslinje for uttrykket 3x 6. Først finn vi nullpunktet til uttrykket. Denne utrekninga gjer vi ofte i hovudet. 3x 6 0 3x 6 x 2 Når x ! 2, blir 3x 6 eit negativt tal. Når x 2, blir 3x 6 eit positivt tal. Det gir denne forteiknslinja: –2
–1
0
1
3
4
5 x
0
–3x + 6
?
2
OPPGÅVE 1.90
Lag forteiknslinje for uttrykka. b) 2x 4 a) x 3 d) 3x 9 c) x 2 No skal vi løyse ulikskapen 2 x 2 2 x 12 0 Først faktoriserer vi andregradsuttrykket.
2 x 2 2 x 12 2 x 2 x 6
2 x 2 x 3
fordi 2 3 6 og 2 3 1. Så lagar vi forteiknslinje for kvar av faktorane 2, x 2 og x 3 og set dei under kvarandre i det same skjemaet. –6 –5 –4 –3 –2 –1
0
1
2
3
4
5
x
2 x+2
0 0
x–3 2(x + 2) (x – 3)
0
0
1.9 ANDREGRADSULIKSKAPAR
37
s
No utnyttar vi forteiknsreglane for talrekning til å teikne den blå linja nedst på førre side. Når x 2, har vi to negative faktorar og éin positiv. Da blir produktet positivt, og vi teiknar ei samanhengande linje. Når x 2, er ein av faktorane lik null, og da er produktet lik 0. Når x er eit tal mellom 2 og 3, er det éin negativ faktor og to positive. Da blir produktet negativt. Når x 3, er en av faktorane lik null, og da er produktet lik 0. Når x ! 3, er alle tre faktorane positive, og produktet er da positivt. Dermed har vi funne forteiknslinja til 2 x 2 x 3 . Ettersom 2x 2 2x 12 2 x 2 x 3 for alle verdiar av x, er dette også forteiknslinja for 2x 2 2x 12. Vi skulle løyse ulikskapen 2x 2 2x 12 0 og må da finne ut kvar vi har stipla linje i diagrammet ovanfor. Det er når x er mellom 2 og 3. Løysinga er 2x 2 2x 12 < 0 når 2 < x < 3 Denne løysinga kan vi kontrollere grafisk. Da teiknar vi grafen til funksjonen f gitt ved f (x ) 2 x 2 2 x 12 y 15 10 5 –3 –2 –1 –5
x 1
2
3
4
–10 –15
Vi ser at grafen ligg under x-aksen når 2 x 3. Det stemmer med løysinga ovanfor. EKSEMPEL
Løys ulikskapen ved rekning. x 2 x 1 ! 2x 3 Kontroller løysinga grafisk.
s
38
1 | GRUNNL AGE T
LØ Y S I N G
Først ordnar vi ulikskapen ved å samle alle ledda på venstre side før vi faktoriserer. x 2 x 1 ! 2x 3 x2 x 2 ! 0 x 2 x 1 ! 0
2 1 2
og 2 1 1
No teiknar vi forteiknslinjer for faktorane x 2 og x 1 . Deretter lagar vi ei forteiknslinje for x 2 x 1 ved å utnytte at to negative faktorar gir eit positivt produkt, at ein positiv og ein negativ faktor gir eit negativt produkt, og at to positive faktorar gir eit positivt produkt. –6 –5 –4 –3 –2 –1
0
1
2
3
4
5
x
0
x–2 x+1
0
(x – 2) (x + 1)
0
0
Vi skulle finne dei verdiane av x der x 2 x 1 ! 0. Da må vi finne dei x-vverdiane der forteiknslinja for uttrykket er samanhengande. Det er når x 1 og når x ! 2.
x 2 x 1 ! 0 når x 1 og når x ! 2. Ulikskapen vi begynte med, har den same løysinga: x 2 x 1 ! 2x 3 når x 1 og når x ! 2. Når vi skal kontrollere løysinga grafisk, skriv vi f (x ) x 2 x 1 og y 2x 3 i algebrafeltet. Det gir dette resultatet: 8 6 4 2
–3
–2
–1
y = 2x + 3
0
1
2
3
–2
At x 2 x 1 ! 2x 3, betyr at grafen til f må ligge over linja y 2x 3. Det er når x 1 og når x ! 2. Det stemmer med løysinga ovanfor.
1.9 ANDREGRADSULIKSKAPAR
39
s
EKSEMPEL
Løys ulikskapen og kontroller løysinga grafisk. x 2 2x 2 0
LØ Y S I N G
Uttrykket x 2 2x 2 klarer vi ikkje å faktorisere med heiltalsmetoden. Vi bruker da andregradsformelen for å finne nullpunkta. x 2 2x 2 0 2 r
x
2
4 1 2
2
2 r 4 2
x
2
Kvadratrota av 4 finst ikkje. Dermed har ikkje x 2 2x 2 nokon nullpunkt, og uttrykket kan da heller ikkje skifte forteikn. Uttrykket er dermed enten positivt for alle verdiar av x, eller negativt for alle verdiar av x. Det finn vi ut ved å sette inn éin verdi av x. Vi vel x 0. Det gir x 2 2x 2 02 2 0 2 2 Ettersom uttrykket er positivt for x 0, må uttrykket vere positivt for alle verdiar av x. Det blir ikkje negativt for nokon verdi for x. x 2 2x 2 0 har inga løysing. Dette kontrollerer vi ved å teikne grafen til funksjonen f (x ) x 2 2x 2 Han ser slik ut: y 4 3 2 1 –1 0
x 1
2
3
Grafen ligg ikkje under x-aksen for nokon verdi av x. Dermed har x 2 2x 2 0 inga løysing.
s
40
1 | GRUNNL AGE T
?
OPPGÅVE 1.91
Løys ulikskapane ved å bruke forteiknslinjer, og kontroller løysinga grafisk. a) x 2 5x 6 ! 0 b) x 2 x 2 0 c) 2x 2 x 1 t 0 d) 2x 2 x 6 d 0 OPPGÅVE 1.92
Løys ulikskapane. a) x 2 4x 4 ! 0 b) 6x 2 5x 1 0 c) x 2 6x 9 t 0 d) 2x 2 8x 9 0 Andregradsulikskapar kan vi løyse digitalt. Når vi skal løyse ulikskapen x 2 x 1 ! 2x 3 i CAS, skriv vi uttrykket slik det står, og trykker på resultatet:
. Det gir dette
Det stemmer med svaret vi fekk i eksempelet på side 39.
?
OPPGÅVE 1.93
Løys ulikskapane digitalt og kontroller løysingane grafisk. a) x 2 6x 8 0 b) 3x2 12x 12 t 0 c) 2x2 4x 5 0 OPPGÅVE 1.94
Vi har gitt likninga x 2 bx 4 0 a) Finn ved rekning antalet løysingar ved rekning for ulike verdiar for b. b) Finn antalet løysingar ved hjelp av CAS. c) Finn antalet løysingar ved å lage ein glidar i GeoGebra.
1.9 ANDREGRADSULIKSKAPAR
41
s
SAMANDRAG Kvadratsetningane Første kvadratsetning: Andre kvadratsetning: Konjugatsetninga:
a b 2 a 2 2ab b2 a b 2 a 2 2ab b2 a b a b a 2 b2
Heiltalsmetoden Viss vi finn to tal d og e slik at b d e og c d e, så er x 2 bx c x d x e
Rasjonalt uttrykk Eit rasjonalt uttrykk er ein brøk som inneheld ein variabel. Produktregelen Dersom a b 0, så er a 0 eller b 0. Andregradsformelen Andregradslikninga ax 2 bx c 0 har løysingane x
b r b2 4ac når b2 4ac t 0 2a
Nullpunktsfaktorisering Dersom andregradsuttrykket ax 2 bx c har dei to nullpunkta x x1 og x x2, er ax 2 bx c a x x1 x x2
Dersom andregradsuttrykket har berre eitt nullpunkt x x1, er ax 2 bx c a x x1
2
Dersom andregradsuttrykket ikkje har nullpunkt, kan det ikkje faktoriserast i førstegradsfaktorar. Reknereglar for ulikskapar Vi kan legge til og trekke frå det same talet på kvar side av ulikskapsteiknet. Vi kan flytte eit ledd over på den andre sida av ulikskapsteiknet viss vi skiftar forteikn på leddet. Vi kan multiplisere og dividere med eit tal som ikkje er null, på begge sidene av ulikskapsteiknet. Viss talet er negativt, må vi snu ulikskapsteiknet.
s
42
1 | GRUNNL AGE T
REPETISJONSOPPGÅVER OPPGÅVE 1
OPPGÅVE 8
Skriv uttrykket så enkelt som mogleg.
Vi har 0,1 g av eit radioaktivt stoff. Stoffet blir brote ned, og massen av stoffet målt i gram etter t timar er gitt ved formelen
2x 3
2
3 x 2 x 1 x 1
OPPGÅVE 2
2
a) Rekn ut 2 8 5 8 5 . b) Bruk ei kvadratsetning til å bestemme verdien av produktet 95 105. OPPGÅVE 3
Skriv så enkelt som mogleg.
x y
2
4 xy
x y
OPPGÅVE 4
Faktoriser teljar og nemnar og forkort brøken. x2 9 x 2 6x 9 OPPGÅVE 5
Trekk saman. x x 4 x 2 21 7 x 7x OPPGÅVE 6
Finn fellesnemnaren og trekk saman. 1 1 2 x 1 2x 2 1 x OPPGÅVE 7
Arve Tomter har ei rektangelforma hyttetomt. Den lengste sida er 8 m lengre enn den kortaste sida. Arealet av tomta er 1428 m2. Kor lange er sidene?
m 0,1 0,012t 0,0005t 2 Formelen gjeld berre for dei 8 første timane av nedbrytinga. Kor lang tid går det før massen er halvert? OPPGÅVE 9
a) Faktoriser uttrykket x 2 x 20. b) Faktoriser og forkort brøken. 2 x 2 2 x 40 2 x 10 OPPGÅVE 10
Løys ved rekning ulikskapen. 1 1 1 x 1 x 2 d 4 3 6 OPPGÅVE 11
a) Bestem b slik at likninga x 2 bx 9 0 berre har 1 løysing. b) Bestem c slik at likninga x 2 10x c 0 har 2 løysingar. c) Likninga x 2 6x c 0 har ei løysing x = 2. Bestem c, og finn den andre løysinga. OPPGÅVE 12
Løys ulikskapen både ved rekning og i CAS. 2x2 5x 3 t 0 OPPGÅVE 13
Faktoriser og forkort viss mogleg. 3x 3 x 1 x 2 1 2x 2 x 2 1 x 1 REPE TISJONSOPPGÅVER
43
s
OPPGÅVER • Oppgåvene i delkapittel.
ØV MEIR
gir ekstra trening i grunnleggande rekneteknikkar frå kvart
B L A N D A O P P G Å V E R og OPNE OPPGÅVER inneheld ofte stoff frå • Oppgåvene i fleire tema. Det er lagt inn merke som viser kva oppgåver du skal kunne løyse når du er ferdig med eit delkapittel.
• I blanda oppgåver er det oftast konkrete spørsmålsformuleringar, men du finn også oppgåver der du må vurdere eigne og andre sine løysingar og fleirvalsoppgåver. • Dei opne oppgåvene er større og meir omfattande. Her får du trening i å jobbe med samansette tekstar og uoppstilte problem. Du må nokre gonger sjølv lage problemstillingar som du undersøker ved hjelp av ulike strategiar, som modellering, utforsking og programmering. I desse oppgåvene er det meininga at du skal bruke litt meir tid, og dei legg til rette for å trene på å skrive matematiske tekstar. Dei opne oppgåvene har ikkje alltid ein fasit, og det kan derfor vere nyttig å diskutere både oppgåvene og løysingane med andre.
1
Grunnlaget ØV MEIR
Oppgåve 1.115
1.1 KVADRATSETNINGANE
Oppgåve 1.110
Bruk kvadratsetningane og rekn ut. 2 a) x 8
b) x 9 x 9
c) x 5
Oppgåve 1.116
2
d) 3x 1 3x 1
Oppgåve 1.111
Bruk kvadratsetningane og rekn ut. 2 a) 3x 2
b) 4 y 2
2
d) t 3 3 t
Oppgåve 1.112
Bruk kvadratsetningane og rekn ut. 2 a) x 4 x 4 x 4
b) x 2 x 2
2
2
c) t 1 t 1 t 1 t 1
2
d) 3 t 1 t 1 3 t 2
2
Oppgåve 1.113
Rekn ut utan å bruke hjelpemiddel. 5 2 a) 5 2
b) c) d)
3 2
6 11 6
9 16 1
3 2 11 25
Vi kan bruke kvadratsetningane i hovudrekning. Korleis kan vi bruke kvadratsetningar for å rekne ut desse oppgåvene i hovudet? a) 532 b) 38 42 Det finst eit triks for korleis vi enkelt kan kvadrere tal som endar på 5. Trikset er slik: Viss vi skal rekne ut 652 kan vi rekne ut
c) 4a 2 2 4a
2
Rekn ut ved hjelp av kvadratsetningane. a) 27 33 b) 192 c) 16 24 d) 222
Oppgåve 1.114
Bruk konjugatsetninga og rekn ut. a) 31 29 b) 48 52
6 6 1 6 7 42 Vi set så 25 bak dette svaret. Da får vi at 652 4225. c) Rekn ut 35 35 med dette trikset. Kontroller svaret med lommereknaren. d) Korleis kan vi forklare dette reknetrikset med kvadratsetningar? Oppgåve 1.117
a) Korleis kan vi lage eit geometrisk bevis for
a b 2 a b 2 4ab b) Kan vi bruke dette til å lage reknereglar som gjer bestemte rekneoppgåver lettare å løyse i hovudet?
1 | GRUNNL AGE T
279
s
1.2 FAKTORISERING
Oppgåve 1.132
Oppgåve 1.120
Faktoriser uttrykka. b) x 2 y y 2 x a) 6 x 2 3x d) 27a 3b2 54a 2b3 c) 2t 2 8t 3
Finn talet b slik at uttrykket blir eit fullstendig kvadrat. a) x 2 bx 25 b) 4 y 2 2by 9
Oppgåve 1.121
1.4 RASJONALE UTTRYKK
Faktoriser uttrykka viss det er mogleg. b) 3xyz 15xz a) 8 x 2 16 d) 2 x 4 z 2 3x 2 z 3 c) 6a 2 35b Oppgåve 1.122
Faktoriser uttrykka viss det er mogleg. b) 2 x 2 8 a) a 2 b2 2 2 d) 100 81x 2 y 4 c) 25x 36 y
Oppgåve 1.140
Faktoriser og forkort. 2x 4 3x 2 3 b) a) 3x 2 6 x x2 x Oppgåve 1.141
Ein elev har forenkla eit rasjonalt uttrykk på denne måten:
Oppgåve 1.123
3a 4 3a 4 12a 3a 3 12a ( 3a 4) ( 3a 4) 4
3
Faktoriser uttrykka både med og utan hjelpemiddel. 2 a) x 2 4 b) y 1 9
12a 36a 3a 4 12a 16 12a 27 a 12 27a 1 12a 12a
2
c) a 3 a 2
2
2
d) 3x y 2 x y
2
2
Oppgåve 1.124
Faktoriser uttrykka både utan og med hjelpemiddel viss det lèt seg gjere. b) x 2 16 a) x 2 16 1 16 c) 8a 3 32a d) x 2 4 9 1.3 HEILTALSMETODEN
Oppgåve 1.130
Faktoriser uttrykka ved å bruke heiltalsmetoden. Kontroller faktoriseringa ved rekning. b) x 2 3x 10 a) x 2 2 x 3 2 c) x 12 x 36 d) y 2 14 y 49 Oppgåve 1.131
Finn talet c slik at uttrykket blir eit fullstendig kvadrat. b) x 2 26 x c a) x 2 22 x c 2 c) 9 y 30 y c d) 4a 2 28a c
s
280
1 | GRUNNL AGE T
Finn eventuelle feil eleven har gjort. Oppgåve 1.142
Forkort om mogleg brøkane. Kontroller svara ved å løyse oppgåva digitalt. 3x 2 3 5x 5 b) a) 6x 6 (x 1)2 c)
x2 9 x 2 9x
d)
x3 4x2 4x x 2 2x
Oppgåve 1.143
Finn fellesnemnaren og trekk saman. 2 1 3 1 b) a) x x 1 x 1 2 1 1 3 1 c) d) x 2 x 2 a 3 2a
Oppgåve 1.144
1.5 ANDREGRADSLIKNINGAR
Rekn ut både utan og med hjelpemiddel. x 1 4 a) 2 x2 1 x2 4 9x b) 2 3 x 2x 2 3 3 c) x x 1 x x 1
x 2 2 2 d) x 1 x 1 x 1
Oppgåve 1.150
Løys likningane ved rekning. b) 3x 2 12 x 0 a) x 2 6 x 0 2 d) x 2 2 x 3 0 c) 5x 25x Oppgåve 1.151
Løys likningane ved rekning. a) x 2 x 16 x b) 9 x 2 1 0 c) 3x 2 11x x 2 5x 8
Oppgåve 1.145 Oppgåve 1.152
a) Vis at x 2 12x 36 eit et fullstendig kvadrat. b) Forkort brøkane. 2 x 12 x 2 36 2) 2 1) 2 x 12 x 36 x 12 x 36
Løys likningane i CAS og grafisk. a) x 2 3x 10 0 b) x 2 6 x 7 0 c) 3x 2 9 x 8 2 x 2 x 7
Oppgåve 1.146
Oppgåve 1.153
a) Bruk heiltalsmetoden til å faktorisere
Lag ei andregradslikning der løysingane blir a) x 1, x 2 b) x 0, x 6 c) Begge løysingane er x 3.
x 2 5x 4 b) Finn fellesnemnaren og trekk saman. x 2x 6x 2 x 1 x 4 x 5 x 4 Oppgåve 1.147
Oppgåve 1.154
Vi har gitt likninga x 2 kx 4 0
a) Vis at
x
2
4x 3
x 1 x 3
Likninga har berre éi løysing. Bestem k.
x
2
5x 6
x 2 x 3
1.6 ANDREGRADSFORMELEN
og
b) Forenkle uttrykket utan å bruke hjelpemiddel. 4x 2 · x 3 § 5x 1 ¨ x 2 4 x 3 x 2 5x 6 ¸ x 4 © ¹ c) Løys oppgåve b ved å bruke CAS.
Oppgåve 1.160
Løys andregradslikningane og sett prøve på svaret. a) x 2 2 x 8 0 b) x 2 7 x 12 0 c) x 2 5x 150 0 d) x 2 26 x 25 0 e) x 2 7 x 10 0 f) x 2 4 x 21 0 1 | GRUNNL AGE T
281
s
Oppgåve 1.161
Oppgåve 1.167
Løys likningane både ved rekning i CAS og i Python. a) 2x 2 5x 3 0 b) 2x 2 6x 8 0 c) 6x 2 1 x d) 9x 2 12x 4
Ein dag var temperaturen ved ein målestasjon gitt ved
Oppgåve 1.162
Funksjonen f er gitt ved f(x) 2x 2 7x 3 Bestem nullpunkta til f både ved rekning og digitalt. Oppgåve 1.163
I ein rettvinkla trekant har katetane lengdene x 3 og x 1. Hypotenusen har lengda 2x Finn x. Oppgåve 1.164
Finn fire positive tal som følger etter kvarandre og som er slik at produktet av det første og det fjerde talet er lik 304. Oppgåve 1.165
Harepus har laga ein rektangulær kakedeig der arealet er 1728 cm2. Lengda er 12 cm lengre enn breidda. Finn lengda og breidda av deigen. Oppgåve 1.166
Revefar har laga 24 store kvadratiske kaker og 54 små kvadratiske kaker. Dei store kakene er 2 cm lengre enn dei minste. Kakedeigen har arealet 2526 cm2. Finn lengda av sidene i dei store og i dei små kakene.
s
282
1 | GRUNNL AGE T
T (x ) 0, 3x 2 8 x 50 der T(x) er temperaturen målt i celsiusgradar x timar etter midnatt. Temperaturen var 5,2 qC da meteorolog Tempe gjekk på jobb. Kor mykje var klokka da? Oppgåve 1.168
a) I eit rektangel er den eine sida 3 cm lengre enn den andre sida. Arealet av rektangelet er 70 cm2. Finn sidene i rektangelet. b) I ein trekant er høgda 5 cm kortare enn grunnlinja. Arealet av trekanten er 42 cm2. Finn høgda og grunnlinja i trekanten. c) I ein rettvinkla trekant er den eine kateten 2 cm kortare enn den andre kateten. Hypotenusen er 10 cm. Finn lengda av katetane. Oppgåve 1.169
Per Erling er ein ivrig fiskar og har sett ein illustrasjon med ein formel som viser samanhengen mellom diameteren x i millimeter på fiskesnøret og brotstyrken y i kilogram. Formelen er gitt ved 2
y 70 x 0,01
Brotstyrken for snøret Per Erling bruker, er 6,7 kg. Bruk CAS og finn diameteren på snøret.
1.7 NULLPUNKTSFAKTORISERING
Oppgåve 1.176
Oppgåve 1.170
a) Faktoriser uttrykket både utan og med hjelpemiddel.
Faktoriser uttrykka ved hjelp av nullpunkta. Kontroller faktoriseringa ved hjelp av heiltalsmetoden. b) x 2 6 x 8 a) x 2 3x 2 d) x 2 7 x 10 c) x 2 2 x 3 Oppgåve 1.171
Faktoriser uttrykka ved hjelp av nullpunkta. Kontroller svaret ved å bruke CAS. b) 2 x 2 3x 2 a) 2 x 2 2 x 12 x 1 d) x 2 c) 3x 2 9 x 12 4 8 Oppgåve 1.172
Faktoriser uttrykka viss det lèt seg gjere. b) 3x 2 6 x 6 a) 2 x 2 2 x 12 2 d) 2 x 2 3x 2 c) 5t 20 Oppgåve 1.173
Faktoriser uttrykka viss det lèt seg gjere. b) x 2 4 x 5 a) 9 x 2 3x 2 4 4 c) t 2 t d) s 3 6s 2 7 s 3 9 Oppgåve 1.174
Finn minst to andregradsuttrykk som har desse nullpunkta. a) x 2 og x 9 b) x 4 og x 5 Oppgåve 1.175
Trekk saman utan og med hjelpemiddel x 2 2 a) 2 x 1 x 2 x 1 b)
x 2x 2 2 2x 4 x 4 x 4
x 2 2x 8 b) Trekk saman. Løys oppgåva både utan og med hjelpemiddel. 2x 6x x 2 x 2 x 4 x 2x 8 1.8 LINEÆRE ULIKSKAPAR
Oppgåve 1.180
Løys ulikskapane utan hjelpemiddel. a) 5x 4 ! 2x 2 b) 3 2 x 3 x c) x 3 2 3 2x 5 2 x
d) 2 x 1 3 1 x x 3 Oppgåve 1.181
Løys ulikskapane både utan og med digitalt hjelpemiddel. x + 4 2x + 1 a) > +1 3 3 7x + 4 x 3 3x d2 + b) 4 2 8 x 4 7 5 2x + > c) 3 6 2 3 5x 1 + x > 2 d) 5 3 Oppgåve 1.182
Løys ulikskapane utan hjelpemiddel. 1 x a) x 2 t 1 2 4 1 1 5 b) x 1 x 2 d 3 6 2 2 2x x 1 0 c) 4 3 2 x 1 3 5 4 x t d) 4 3
1 | GRUNNL AGE T
283
s
Oppgåve 1.183
Løys ulikskapane. Vis utrekning. 1· x x 7 § a) 2 ¨ x ¸ 4¹ 3 2 3 © b)
3§ x· 1 § x· 3 ¸ x ¨1 ¸ ¨ 2© 3¹ 2 © 2¹
Oppgåve 1.184
Ein dag var temperaturen i Bergen 14 qC. I Oslo var temperaturen 20 qC på det same tidspunktet. I Bergen steig temperaturen med 0,8 qC per time, mens han minka med 0,4 qC per time i Oslo. Sett opp ein ulikskap som kan gi oss svar på kor lenge det var varmast i Oslo. Løys deretter ulikskapen og tolk svaret.
1.9 ANDREGRADSULIKSKAPAR
Oppgåve 1.190
Løys ulikskapane ved å bruke forteiknslinjer, og kontroller løysinga grafisk. a) 2 x 2 4 x 0 b) x 1 2 x ! 0 c) x 2 7 x 6 0 d) 4 x 2 4 x 3 ! 0 Oppgåve 1.191
Løys ulikskapane ved å bruke forteiknslinjer. a) x 2 2 x ! 15 b) x 2 11x 10 0 c) 2 x 2 3x ! 1 d) 6 x 2 7 x 3 0 e) x 2 5x 15 ! 2 x 3
Oppgåve 1.185
Det renn vatn frå to kraner ned i kvar sin behaldar. I den eine behaldaren er det 20 L vatn, og det kjem 8 L vatn per minutt frå krana. Den andre behaldaren inneheld 50 L vatn, og det kjem 5 L vatn per minutt frå denne krana. Når vil den første behaldaren ha mest vatn? Oppgåve 1.186
Vi har gitt andregradslikninga x 2 2x c 0 der c er eit ukjent tal. a) Finn antalet løysingar grafisk for ulike verdiar av c ved hjelp av GeoGebra. b) Finn antalet løysingar ved rekning. c) Finn antalet løysingar i CAS.
s
284
1 | GRUNNL AGE T
Oppgåve 1.192
Løys ulikskapane digitalt. a) x 2 4 x 12 t 0 b) x 2 x 6 d 0 c) 2 x 2 4 x 30 ! 0 d) 5x 2 4 x 1 x 2 3x 4 Oppgåve 1.193
Løys ulikskapane ved å bruke forteiknslinjer. a) x 2 7 x 8 0 b) 4 x x 2 0 c) 10 x 2 ! 1 Oppgåve 1.194
Kristin veks, og høgda hennar i centimeter er gitt ved f (x) 0,15x 2 6x 50, x [0, 16] der x er alderen rekna i år. Kor gammal var Kristin da ho målte mellom 100 cm og 135 cm?
BLANDA OPPGÅVER Oppgåve 1.200
Bruk ei kvadratsetning og rekn ut.
3a 2b
2
Oppgåve 1.207
På figuren er eit stort kvadrat med sider c delt opp i fire like store rettvinkla trekantar med katetar a og b, og eit kvadrat med sider b a
Oppgåve 1.201
Trekk saman. Bruk kvadratsetningane. 2 2 a) x 1 x 1 2 x 1 x 1
2 2 b) x 2y x 2y 4x 2y 1
b– a
Oppgåve 1.202
Skriv så enkelt som mogleg. Bruk kvadratsetningane. 2 2 a) 3 a 1 4 a 2 7 a 1 a 1
a a
b c
Arealet av det store kvadratet er lik arealet av dei fire trekantane pluss arealet av det 2 2 b) 3a 2 2 a 3 a 3 6 a 1 16 vesle kvadratet. Bruk dette til å vise pytagorassetninga Oppgåve 1.203 a 2 b2 c 2. Skriv så enkelt som mogleg. Bruk ▲ 1.1 konjugatsetninga.
5 3
5 3
2
Oppgåve 1.208
Faktoriser uttrykket
Oppgåve 1.204
Bruk konjugatsetninga og rekn ut. a) 51 49 b) 68 72
x 2 x 42 Oppgåve 1.209
Bestem tala a og b når
Oppgåve 1.205
Bruk konjugatsetninga til å rekne ut 712 412 71 41
x a x b x 2 x 12 Oppgåve 1.210
Undersøk om
Oppgåve 1.206
x 2 8x 16
Bruk kvadratet nedanfor til å utleie den første kvadratsetninga.
er eit fullstendig kvadrat. Oppgåve 1.211
b
a
a
Skriv så enkelt som mogleg. Vis utrekning. (x 2)2 8 x x 2
b 1 | GRUNNL AGE T
285
s
Oppgåve 1.212
Oppgåve 1.217
Trekk saman og skriv så enkelt som mogleg.
a) 1) Vis at x 2 10x 25 x 5 2) Faktoriser og forkort brøken.
2
3 24 2 x 4 x 16 Oppgåve 1.213
Skriv så enkelt som mogleg. Vis utrekning. 3x 2 3 x 2 2x 1 Oppgåve 1.214
Trekk saman og skriv så enkelt som mogleg. Vis utrekning. 4 5 18 2 x x 6 6x
x 2 10 x 25 x 2 5x b) Faktoriser og forkort brøken. 4x 6 2x 9x 9 2
Oppgåve 1.218
Ein park har form som eit rektangel med breidde 30 m og lengde 40 m. Det skal lagast to gangstiar i parken med same breidde x, slik figuren viser. Gangstiane kryssar kvarandre og har eit samla areal på 325 m2. Finn breidda x av gangstiane.
Oppgåve 1.215
x
Oda og Pål skal forenkle uttrykket 1 a 1 a 2a
30 m x
x
Dei løyste oppgåva slik: Oda: Pål:
2 1 a 1 2 a 1 3 a 2 a 2a 2a 2a 2a 1 2a(a 1) 2 (a 1) 1 a a 2a
a) Både Oda og Pål løyste oppgåva feil. Forklar kva for nokre feil dei gjer. b) Løys oppgåva utan og med digitalt hjelpemiddel. Oppgåve 1.216
Vi lèt a og b vere to positive heile tal der a ! b. Kva for eit av desse rasjonale uttrykka er da størst? a 2 b2 a 2 b2 eller a b a b ▲ 1.4
s
286
1 | GRUNNL AGE T
x 40 m
Oppgåve 1.219
I ein kopp kaffi er temperaturen 68 qC. Etter t minutt er temperaturen T målt i celsiusgradar i koppen T 68 3,6t a) Når er temperaturen i koppen meir enn 50 qC? b) Når er temperaturen i koppen mindre enn 32 qC?
Oppgåve 1.220
Oppgåve 1.226
Løys ulikskapane. Vis utrekning. a) 2 x 1 3 x 1 ! 3x 5 5x 3 1 3x b) !x 4 2
Grafen til funksjonen f (x ) ax 2 bx c skjer y-aksen i 6. Funksjonsuttrykket til f har dessutan ein konstant faktor og to lineære faktorar med desse forteiknslinjene: –3 –2 –1
0
1
2
3
4
5
x
Oppgåve 1.221
Løys ulikskapane ved rekning. 1 1 1 a) x x 6 x ! 0 5 10 2 x 1 b) x x 3 6 Oppgåve 1.222
Løys ulikskapen. Vis utrekning.
0 0
a) Løys ulikskapen f (x ) 0. b) Bestem konstantane a, b og c. c) Løys ulikskapen f (x ) ! 8. Oppgåve 1.227
2 x 2 x 3 d 3 x 1 2 x 1 x 1 Likninga 2
x 2 k 1 x 4k 0
▲ 1.8
der k er eit tal, har berre éi løysing. Vis at k da er gitt ved
Oppgåve 1.223
Vi kastar ein ball rett opp i lufta. Etter t sekund har ballen høgda h (i meter over utgangspunktet) gitt ved h 10t 4, 9t 2 Finn grafisk og ved hjelp av CAS når ballen er meir enn 2,0 m over utgangspunktet.
k 2 14k 1 0 Oppgåve 1.228
Vi har gitt andregradslikninga ax 2 12 x 4 0, der a z 0. a) Finn for kva verdiar for a likninga har 0, 1 og 2 løysingar. b) Løys likninga digitalt for den verdien for a som gir nøyaktig éi løysing.
Oppgåve 1.224
Løys ulikskapen ved å bruke forteiknslinjer. 2
2 x 4 x 6 d 0 Oppgåve 1.225
a) Vis ved rekning at
2x 1 x 2
2 x 2 3x 2
b) Løys ulikskapen 2x 2 3x 2 d 0 ved å bruke forteiknslinjer.
Oppgåve 1.229
Gitt funksjonen f (x ) x 2 8 x c . a) Bruk CAS og finn kva verdi c må ha for at grafen til f skal gå gjennom punktet 1, 5 . b) Bruk CAS og finn ut kva verdi c må ha for at funksjonen berre skal ha nullpunktet x 4. c) Teikn grafen til funksjonane i oppgåve a og b, og sjekk om svara stemmer. ▲ 1.9 1 | GRUNNL AGE T
287
s
FASIT TEORIDEL 1
1.25 Sjå fasit 1.23.
1.10 a) x 2 10x 25 b) x 2 2x 1 c) t 6t 9 d) a 2 9 e) x 2 16
1.30 a) x 1 x 2
b) x 1 x 7
c) x 3 x 1
d) x 1 x 1 x 1 2
1.11 a) t 2 3 1 b) x 2 x 4 c) 4x 2 25 2 d) 9x 12x 4 e) 25x 2 10x 1
1.31 a) x 2 x 4
b) x 3 x 4
c) x 5 x 3
d) x 3 x 3 x 3 2 1.32 a) 3 x 1 x 3
b) 4 x 1 x 5
c) x x 1 x 2
d) x 2 x 2 x 2
1.12 a) 2x 2 b) 12x c) 8x 33 d) 2t 2 3t 20 1.13 b) Ein terning med sidekant a b 1.14 b) Vi kan ikkje teikne 4-dimensjonale figurar. 1.20 a) 3 x 2
b) x 2x 3
c) 2y 2 y 2
d) 2x x 2 2x 3
1.21 a) 2x y 2 2
b) 5xy y 2
c) ab ab 3a 1
d) 3x x 2y 3
1.22 a) x 5 x 5
b) t 3 t 3
c)
x 12
x 12
d) 2 x 2 x 2
1.23 a) 2x 3 2x 3
b) Kan ikkje faktoriserast c) 3x 1 3x 1
d) 3x 2x 5 2x 5
1.24 Sjå fasit 1.21.
402
b)
c)
d)
2x 1 x 3
1.41 a) x 3
b)
c)
d)
2 x 2 2
1.42 a) 4
x 4
b)
1.43 a) 1
b)
c) 2
d)
x 1 x 2 x 2 3 6 7 2x 3 2 x 4 x 4 3x 10 4 2 x2
1.44 a)
b)
c)
d) 0
7 3x 3 1 x 1
1.50 a) x b) x c) x d) x
1 eller x 3 1 eller x 6 1 eller x 4 2 eller x 1
1.60 a) x 2 eller x 3 b) x 3 eller x 2 c) x 1 d) Inga løysing e) x
4 3
3 2
eller x
1.61 Sjå fasit 1.60. 1.62 Lengde: 70 m Breidde: 50 m
1.33 a) Fullstendig kvadrat. x 1 2 b) Ikkje fullstendig kvadrat c) Fullstendig kvadrat. x 3 2 d) Fullstendig kvadrat. x 5 2 1.40 a) 2x 3
1.51 a) x b) x c) x d) x
x 6 x3 4x
5 eller x 0 2 eller x 1 2 eller x 5 2 eller x 3
1.63 a) To løysingar: x 1 og x 3 b) To løysingar: x 1,68 og x 3,62 c) Éi løysing: x 1 d) Inga løysing 1.70 a) x 2 x 6
b) x 1 x 2
c) 2 x 3 x 5
x
d) 6 x
1 2
1 3
2x 1 3x 1
1.71 a) x 2 x 4
b) x 3 2 c) Ikkje mogleg 1.80 a) x ! 2 1 c) x
b) x 2 d) x d 4
1.81 a) x 3
b) x !
2
2 3 1 x 2
c) x ! e)
d)
7 5 2 x ! 9
1.82 Etter meir enn 6 minutt.
REPETISJONSOPPGÅVER 1 Oppgåve 1 2
1.83 a), b) og c) To løysingar når a 2, éi løysing når a 2 og inga løysing når a ! 2.
Oppgåve 2 a) 118 b) 9975 Oppgåve 3 x y
1.84 a), b) og c) To løysingar når b ! 2, éi løysing når b 2 og inga løysing for b 2. 1.90 a)
3
x–3
0
b)
–2
2x + 4
0
c)
2
–x + 2
0
Oppgåve 5 x 1 x x
x
d)
3
–3x + 9
0
1.91 a) x 2 eller x ! 3 b) 2 x 1 1 c) x d 1 eller x t d) x d 2 eller
2 3 xt 2
1.92 a) Alle x z 2 1 1 b) x 3
2.12 a) x 3 b) x 3 x 3 x 2 c) Inga løysing d) x 1 e) x 2 y 1
Oppgåve 4 x 3 x 3 x
2
c) x 3 d) Inga løysing 1.93 a) 2 x 4 b) x 2 c) Inga løysing 1.94 To løysingar når b ! 4 og når b 4, éi løysing når b 4 og når b 4 og inga løysing når 4 b 4
2.11 a) 2,5 millionar norske kvinner b) Omtrent 3,75 milliardar kvinner og norske menn i verda. c) 0 svenske trønderar d) 10,5 millionar svenskar og trønderar.
2.13 a) d)
Oppgåve 6 7 2x 2
2.15 a) D f
Oppgåve 8 x 5,4 timar Oppgåve 9 a) x 4 x 5
b) x 4
b) D f
Oppgåve 11 a) b 6, b 6 b) c 25 c) c 16, x 8
\ ^ 3, 3`
\ ^ 2, 4`
2.16 a) d)
b) e)
c) f)
2.20 a) 1
b) 1
c)
d)
1 81
e)
2.21 1 a) 2
Oppgåve 12 1 2
dx d3 Oppgåve 13 2 x 2 3x 3 2x 2
2 c)
1 1000
b) 3 2
1 2
c) 1
d) a
e) 1
2.30 a) 3 d) 2
b) 2 e) 4
c) 10
2.31 a) 8
b) 9
c)
e) 125
f) 27
d) b) e)
\ ^3`
c) D f
Oppgåve 10 x t 9
c) f)
2.14 a) x ^5` b) x ^0, 3` c) x ^ 2, 1` d) x ^ 2, 0, 2`
Oppgåve 7 34 m og 42 m
2.10 a) d)
b) e)
1 8
1 1000
2.32 c) 3,8 dm2 2.33 a) 0,75 cm3
b) O 36S V 2 c) 14,1 dm2
1 3
403
FASIT OPPGÅVEDEL 1 1.110 a) x 2 16x 64 b) x 2 81 c) x 2 10x 25 d) 9x 2 1 1.111 a) 9x 2 12x 4 b) 16y 2 16y 4 c) 16a2 16a 4 d) 9 t 2 1.112 a) 8x 32 c) 3t 2 1
b) 8x d) 12t 15
1.113 a) 1 c) 5
b) 1 d) 40
1.114 a) 899 b) 2496 1.115 a) 891 c) 384 1.116 a) 2809 c) 1225
b) 361 d) 484 b) 1596
1.120 a) 3x 2x 1
b) xy x y
c) 2t 2 8t 3 2t 2 1 4t
d) 27a2b2 a 2b
1.121 a) 8 x 2 2
b) 3xz y 5
c) Kan ikkje faktoriserast d) x 2z 2 2x 2 3z
1.122 a) a b a b
b) 2 x 2 4 2 x 2 x 2
c) Kan ikkje faktoriserast d) 10 9xy 2 10 9xy 2
1.123 a) x x 4
b) y 4 y 2
c) 5 2a 1
d) 5x x 2y
1.124 a) x 4 x 4
b) Kan ikkje faktoriserast c) 8a a2 4 8a a 2 a 2
4 ·§ 1 4· §1 d) ¨ x ¸ ¨ x ¸ 3 ¹© 2 3¹ ©2 1.130 a) x 1 x 3
b) x 2 x 5
2 c) x 6
2 d) y 7
1.146 a) x 1 x 4
1.131 a) 121 b) 169 c) 25 d) 49
1.151 a) x 4, x 4
b)
3x x 1
1.147 b) og c) 1.150 a) x b) x c) x d) x
x 1 x 2 3x 2
0, x 6 0, x 4 0, x 5 1, x 3
1 3
b) x , x
1 3
c) x 1, x 4
1.132 a) b 10 eller b 10 b) b 6 eller b 6
1.152 a) x 2, x 5 b) x 1, x 7 c) x 3, x 5
1.140 a) 2
1.154 k r4
b)
1.160 a) x 4 eller x 2 x 4: V.s. = h.s. = 0 x = 2: V.s. = h.s. = 0 b) x 3 eller x 4 x = 3: V.s. = h.s. = 0 x = 4: V.s. = h.s. = 0 c) x 10 eller x 15 x 10: V.s. = h.s. = 0 x = 15: V.s. = h.s. = 0 d) x = 25 eller x = 1 x = 25: V.s. = h.s. = 0 x = 1: V.s. = h.s. = 0 e) x = 2 eller x = 5 x = 2: V.s. = h.s. = 0 x = 5: V.s. = h.s. = 0 f) x 7 eller x 3 x 7: V.s. = h.s. = 0 x = 3: V.s. = h.s. = 0
3x 3x 3 x
1.141 Feil forkorting i siste utrekning, skal vere: 27a 12 3 9a 4 9a 4 12a 4a 3 4a 1.142 2 x 1 b) 5 a) 2(x 1)
x 1
c) Kan ikkje forkortast d) x 2 1.143 a) 3x2 2
b)
c)
d)
x x 2x x2 4
x 5 2x 2 5a 3 2a2 6a
1.144 a) 2
b) 3x 6
c)
d)
x x 1
2)
x 6 x 6
x 1 5 x
1.145 2 a) x 6
b) 1)
2 x 6
1.161 1 a) x eller x 3 2 b) x 4 eller x 1 1 1 c) x eller x d) x
2 3
3
2
411
1.162
1.163 x 5
1.174 a) For eksempel: x 2 11x 18 og 2x 2 22x 36 b) For eksempel: x 2 x 20 og 2x 2 2x 40
1.164 16, 17, 18, 19
1.175 a) 2
1.165 Lengda er 48 cm, og breidda er 36 cm.
1.176 a) x 2 x 4
1.166 Lengda av dei store kakene er 7 cm, og lengda av dei små kakene er 5 cm.
1.180 a) x ! 2
1
x
2
eller x 3
3x x 2x 1
1.167 Kl. 08.00 1.168 a) Sidene er 7 cm og 10 cm. b) Høgda er 7 cm, og grunnlinja er 12 cm. c) Katetane er 6 cm og 8 cm. 1.169 0,3 mm
x 2
1 2
2 x 1 x 2
c) 3 x 1 x 4
d) x
x
1 4
1.172 a) 2 x 2 x 3
b) 3 x2 2x 2
c) 5 t 2 t 2
d) 2x 1 x 2
1.173 a) 9 x 23
x 13
3x 2 3x 1
b) Kan ikkje faktoriserast. c)
2 t 3
2
d) s s 7 s 1
3x x 4
c) x
b) x !
13 2
b)
c) x !2
d)
1.182 a) x t 8
b) x d 4
c) x ! 1
d) x d
4 xd 3 17 x 10
7 2
1.185 Når det har gått meir enn 10 minutt.
1 2
1.191 a) x 5 eller x ! 3 b) x 1 eller x ! 10 x 1 3 2
1.203 4 b) 4896
1.205 112 1.208
x 6 x 7
1.209 a 3, b 4 eller a 4, b 3
1.212
3 2
d) x
1.202 a) 10a 26 b) a2 24a
1.211 x 2
b) 1 x 2
d) x eller x !
1 2
1.201 a) 2x 2 4x 2 b) 4x
1.210 Ja. Dette fordi x2 8x 16 x 4 2
1.186 2 løysingar: c 1 1 løysing: c 1 Inga løysing: c ! 1
c)
1.193 a) 1 x 8 b) x 0 eller x ! 4 c) 3 x 3
1.204 a) 2499
1.190 a) 0 x 2 c) 1 x 6
3 2
1.200 9a2 12ab 4b2
d) x 2
1 3
e) x 2 eller x ! 9
412
3 2
1.181 a) x 0
1 3
d) x eller x !
1.194 Kristin var mellom 7 og 11 år (7,08 år < x < 11,09 år).
1.184 20 0,4x ! 14 0,8x, x 5, etter 5 timar er det varmast i Bergen.
1.171 a) 2 x 3 x 2
1 2
2 x 3x 2 2x 2 8x 8
1.183 a) x 1 b) x ! 3
1.170 a) x 1 x 2
b) x 2 x 4
c) x 1 x 3
d) x 2 x 5
b) 2 x
b)
b)
1.192 a) x 2 eller x t 6 b) 3 d x d 2 c) x 5 eller x ! 3
3 x 4
1.213 3x 3 x 1
1.214 2 x 2x
1.215 b) 1 a 2a
2.112 a)
1.216 a 2 b2 a b
1.217 a) 2) b)
er størst.
b)
2.113 a) x r4 x 2 b) x 4 c) x r5 x 6 d) Inga løysing e) x 2 y 1
x 5 x
2 x 3
1.218 5m
2.114 a) L
1.219 a) Før 5 min b) Etter 10 min
^ `
b) L ^4` c) L ^ 2, 0,2` d) L ^2`
1.220 a) x 0 b) x 1
2.115 a)
1.221 a) x ! 1
1 ,3 2
b) x
1 ! 2
1.222 x t1 1.223 0,22 s t 1,82 s 1.224 x d 1 eller x t 3
1.225 1 2
b) d x d 2 1.226 a) x 1 eller x ! 3 b) a 2, b 4 og c 6 c) Inga løysing
b)
b) 25
2.122 a) 1
b) an 1 3
c)
d)
2.125 a) 4
b)
xy
1.229 a) c 12
c)
d)
9 64
b) c 16
2
b) e)
2.111 a) 215 elevar c) 25 elevar
c)
b) 475 elevar d) 485 elevar
25 9 16 25x 2 4
2.126 a) 1
b) 9b
c) 3a10
d)
2.127 a) 18
b) 19
7
2.128 8a3 b20
b) 11 d) 1 2
3V 4S
c)
1 3
c) 4,5 cm
241 H
2.136 a) 4 c) 4
0
b)
27x y 24
2.132 a) 8 c) 1
4
c) 2845 kg
2.124 a) 8
3
c) 100 f) 49
b) x
1.228 a) og b) 2 løysingar: a 9 1 løysing: a 9 Inga løysing: a ! 9 2 c) x
2.110 a) d)
1
2 §2· §2· §2· § 2· §5· ¨ 5¸ , ¨ 2¸ , 5, ¨ 5¸ , ¨ 5¸ , ¨ 5¸ ¹ © ¹ © ¹ © ¹ © ¹ ©
125 3 2x
b) 16 e) 6
16
2.135 a) 143 hjarteslag per minutt
2.121 a) 3
3
2.131 a) 8 d) 3
1000
2.134 a) 84,6 år c) 1,086 108 km
b) 9 d) 4
2.123
c) 125 f) 1
b) r
2.120 a) 4 c) 1
a
b) 5 e) 1
2.133 a) 65,4 cm3
2.116 a) \^0` b) \^ 1, 1` c) \^ 4, 2`
2
2.130 a) 5 d) 1000
2b3 a
2
b) 3 d) 1
2.137 a) 2 b) 1 2.138 a) 3 a
b)
a
2.139 3
16 4
8
2.140 33 000 kr 2.141 Uttrykk 1 2.142 a) 145 fortel kor mange bakteriar det var da forsøket begynte. Talet 1,332 fortel at den prosentvise auken per time er 33,2 %. b) f(6) 810. Det er 810 bakteriar i oppløysninga etter 6 timar. c) 145 1,332x 1450
413