Matematikk for fagskolestudenter
Sigbjørn Hals, Inge Hoven Brakestad, Soldis Årseth Trippestad og Olav Løvøen
Matematikk for fagskolestudenter
© CAPPELEN DAMM AS, Oslo, 2026
ISBN 978-82-02-86863-5
1. utgave, 1. opplag 2026
Materialet i denne publikasjonen er omfattet av åndsverklovens bestemmelser.
Uten særskilt avtale med Cappelen Damm AS er enhver eksemplarfremstilling og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov eller tillatt gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Enhver bruk av hele eller deler av utgivelsen som input eller som treningskorpus i generative modeller som kan skape tekst, bilder, film, lyd eller annet innhold og uttrykk, er ikke tillatt uten særskilt avtale med rettighetshaverne.
Bruk av utgivelsens materiale i strid med lov eller avtale kan føre til inndragning, erstatningsansvar og straff i form av bøter eller fengsel.
Illustrasjoner og foto: Forfatterne, dersom ikke annet er oppgitt. Smilefjes på grubleoppgaver © Yayayoyo / iStock / Getty Images Plus Omslagsdesign: Anna Salander
Sats: Have a Book
Trykk og innbinding: Livonia Print SIA, Latvia
Papiret i Cappelen Damms bøker er hentet fra bærekraftig skogsvirke. Ingen av forlagets produkter bidrar til avskoging eller forringelse av skog. Cappelen Damm arbeider for å redusere miljøbelastningen fra våre bøker så mye som mulig.
Les mer om Cappelen Damms miljøarbeid ved å scanne QR-koden:
www.cda.no
akademisk@cappelendamm.no
Kapittel 1
Kapittel 2
Kapittel 3
Geometri
3.3
Kapittel 4
Kapittel 5
5.5
5.6
5.7
5.8
Kapittel 7
Derivasjon
7.1
7.2
7.3
Kapittel 8
Eksponentialfunksjoner og logaritmer
8.1 Eksponentialfunksjoner
8.2 Logaritmer og eksponentiallikninger
8.3 Logaritmisk skala
8.4 Eulertallet e ............................................................................................
8.5 Den naturlige logaritmen ln(x)
8.6 Logistisk vekst
8.7 Eksponentiell og logistisk regresjon
Sammendrag av kapittel 8
Kapittel 9
Statistikk 401
9.1 Sentralmål og spredningsmål for ugrupperte data 403
9.2 Sentralmål og spredningsmål for grupperte data 415
9.3 Grafisk visning av statistikk 426
Sammendrag av kapittel 9 439
Kapittel 10
Utdypende om trigonometri og komplekse tall 441
10.1 Sinusfunksjonen 443
10.2 Enkle trigonometriske likninger 449
10.3 Komplekse tall 457
10.4 Det komplekse planet og regning med komplekse tall 462
10.5 Komplekse tall på polar form 469
10.6 Anvendelse av komplekse tall i vekselstrømskretser 480
Sammendrag av kapittel 10 497
Kapittel 11
Totallsystemet og logiske kretser 503
11.1 Andre tallsystem 505
11.2 Grunnleggende om logiske kretser 514
11.3 Logiske kretser, boolsk algebra og proposisjonslogikk 523
11.4 Boolsk algebra og proposisjonslogikk med digitale hjelpemidler ...... 530
Sammendrag av kapittel 11 534 Fasit 537
Innledning
I denne boka er det lagt mest vekt på at matematikken skal være et redskapsfag som du har nytte av i andre fagområder. Målet er at du skal lære og forstå de grunnleggende prinsippene, og kunne bruke denne kunnskapen til å utføre praktiske beregninger.
Omfanget av boka
Boka er på knappe 600 sider, men det er ikke meningen at studentene skal lære alt dette. Fagskolen har flere ulike retninger, og boka dekker derfor mange temaer. Det gjør at læreren kan velge ut de kapitlene og det fagstoffet som er relevant for hver enkelt fagretning. For eksempel er kapittel 10 og 11 satt med en grønn ramme, da de bare er for studenter som tar elektrofag.
Progresjonen og oppbyggingen av læreverket
Alle forfatterne av denne boka underviser eller har tidligere undervist i matematikk i fagskolesektoren. Vi kjenner derfor godt til hva du som student har bruk for av matematikk i andre fagfelt. Vi vet også at for noen er det lenge siden de hadde matematikk som fag på skolen. For at alle skal henge med fra starten av, begynner vi derfor med det helt grunnleggende, som de fire regneartene, hva en brøk er, og enkel prosentregning. Om du føler at du trenger litt repetisjon før skoleåret starter, vil vi anbefale et digitalt repetisjonskurs som er utviklet av forlaget. Her finner du korte forklarende filmer og interaktive oppgaver der du får tips underveis, og får vite med det samme om du har regnet riktig eller ikke.
I starten av hvert kapittel er det en punktvis liste over hva du skal lære, og en tilsvarende liste over nyttige forkunnskaper. Hvert kapittel blir avsluttet med en systematisk oppsummering av det viktigste innholdet.
Det er også QR-koder og lenker til forklarende filmer og interaktive apper i selve læreboka. Vi er opptatt av at du skal få en grundig forståelse av hvordan
de ulike delene av faget henger sammen. For noen kan det være lettere å se slike sammenhenger i en illustrerende film eller i en app der du trygt kan utforske, prøve og feile selv.
Vi har samlet mye spennende fordypningsstoff bak lenker og QR-koder for deg som er spesielt interessert og nysgjerrig. Her får du møte andre sider av matematikkfaget og kan blant mye annet besøke Hilberts hotell med uendelig mange rom, og få svar på spørsmål som dette: «Kan kunnskap om irrasjonale tall føre til mord?»
Digitale hjelpemidler
I jobbsammenheng og i dagliglivet ellers har du som regel tilgang på et hjelpemiddel som gjør at du sparer tid ved større utregninger. I denne boka viser vi hvordan du kan løse de ulike oppgavene med GeoGebra og med to kalkulatorer fra Casio. Det er den grafiske kalkulatoren fx-CG50 og den litt enklere modellen fx-991 CW. Vi viser også bruken av regnearket Excel og en del gode og nyttige nettbaserte digitale verktøy.
Eksempler, fasit og fullstendige løsningsforslag
Alt nytt lærestoff blir grundig forklart gjennom oversiktlige eksempler, der vi viser trinnvise løsninger av mange eksempeloppgaver. I hvert delkapittel er det et rikt utvalg av oppgaver, og helt bakerst i boka finner du en fasit til alle disse oppgavene. Det er også laget et eget løsningsforslag til boka. Løsningsforslagsboka gir grundige og detaljerte steg-for-steg-løsninger til samtlige av oppgavene i Matematikk for fagskolestudenter. Mange av oppgavene er løst på flere måter og med de samme digitale hjelpemidlene som er brukt i hovedboka. Du finner også løsningsforslag til oppgavene som ligger som tilleggsstoff bak QR-koder og lenker. Det er lurt å studere teorien og eksemplene grundig før du jobber med oppgavene. Du kan se i fasiten om du har tenkt og regnet riktig. Dersom svaret ikke stemmer, eller du er usikker på hvordan oppgaven skal løses, kan du studere løsningsforslagene slik at du forstår framgangsmåten og kan løse tilsvarende oppgaver på egen hånd senere.
Mars 2026
Sigbjørn Hals, Inge Hoven Brakestad, Soldis Årseth Trippestad og Olav Løvøen
Nyttige forkunnskaper
Før du starter på det første kapittelet i denne boka, vil vi gjerne at du bruker noen minutter på å se på nytteverdien av tre viktige ferdigheter. Disse ferdighetene vil du få bruk for både i dette kurset og i jobbsammenheng. De tre ferdighetene er:
I. å kunne bruke smarte strategier for hoderegning
II. å kunne regne ved hjelp av bokstaver
III. å kunne bruke digitale hjelpemidler på en effektiv måte
Vi vil nå se på nytteverdien av disse tre ferdighetene etter tur.
I. Nytteverdien av å kunne bruke smarte strategier for hoderegning
Det finnes mange smarte strategier som kan gjøre det enklere og raskere å regne i hodet. Du kan spare mye tid på prøver og i hverdagen hvis du bruker metodene vi viser via QR-koden nedenfor.
Skann QR-koden for å komme til et lite hefte (tre sider) med smarte strategier for hoderegning.
Du vil finne flere slike QR-koder gjennom hele boka. Ved å skanne disse kan du få tilgang til artikler eller korte filmer som ikke nødvendigvis er «pensum» på den linja du har valgt. De vil likevel kunne bidra til å gi en dypere innsikt i stoffet, eller bare være interessante opplysninger for deg som liker å vite litt mer.
II. Nytteverdien av å kunne regne ved hjelp av bokstaver
Nå kan du bruke de smarte strategiene du lærte til å løse en enkel hoderegningsoppgave. Når du har gjennomført denne, vil det være lettere å forstå nytteverdien av å kunne regne med bokstaver.
Regning med bokstaver blir kalt algebra. Det er nyttig når vi skal lage formler eller bevise matematiske sammenhenger.
• Tenk på et tall.
• Legg til 4.
• Doble svaret. (Gang med to.)
• Trekk fra 2.
• Halver svaret. (Del på to.)
• Trekk fra tallet du tenkte på.
Hvilket tall fikk du til svar?
Start med et annet tall og gjennomfør den punktvise utregningen ovenfor en gang til. Får du det samme svaret nå også?
Om du prøver mange ganger og regner riktig hver gang, vil du alltid ende opp med det samme svaret. Hvorfor er det slik? Kan vi være helt sikre på at det ikke finnes et eneste starttall som gjør at vi ender opp med et annet svar til slutt?
Uansett hvor mange ganger vi prøver, og uansett hvor mange eksempler vi kan gi på at vi ender opp med svaret 3, så har vi ikke bevist at det vil være slik.
Det kan vi derimot gjøre om vi bruker et symbol for tallet vi starter med. La oss først lage en tegning der vi lar tallet vi tenker på, være symbolisert av en liten firkant, og tallet 1 være gitt ved en loddrett strek. Da kan det se slik ut:
FramgangsmåteMedtegning
Tenk på et tall.
Legg til 4.
Doble svaret.
Trekk fra 2.
Halver svaret.
Trekk fra tallet du tenkte på.| | |
Det blir upraktisk å tegne streker og firkanter når tallene er store. Siden det ukjente tallet kan variere, kaller vi det en variabel. I matematikken bruker vi ofte bokstaver for å symbolisere en variabel. Hvis vi bruker bokstaven x for tallet vi tenkte på, og tall i stedet for streker, blir utregningen slik:
FramgangsmåteMedtegningMedvariabelen x
Tenk på et tall. x
Legg til 4.
Doble svaret.
Trekk fra 2.
Halver svaret.
| | | x 4
| 2x 8
2x 6
| | x 3
Trekk fra tallet du tenkte på.| | |3
Ved å ta i bruk bokstavregning har vi klart å bevise at uansett hvilket tall vi starter med, vil vi alltid ende opp med svaret 3 når vi gjennomfører disse utregningene.
III.Nytteverdien av å kunne bruke digitale hjelpemidler på en effektiv måte
Mange av oppgavene vi skal løse, både som studenter og i arbeidslivet, er det vanskelig å løse med hoderegning. De store leverandørene av maskiner har ofte egne nettsider eller apper som vi kan laste ned, der vi kan få hjelp til å finne ukjente verdier i formler som er knyttet til bruken av maskinene. Bildet nedenfor viser et eksempel på en slik nettside. Du kan gå inn på denne nettsiden ved å skanne QR-koden eller skrive inn den tilsvarende nettadressen, https://www.secotools.com/article/84610
Men ofte har vi også bruk for mer fleksible digitale hjelpemidler i utregninger, og til å få vist grafer av funksjoner vi jobber med.
I denne boka har vi valgt å presentere framgangsmåter for løsninger med tre slike hjelpemidler. Det er GeoGebra og de to kalkulatorene Classwiz fx-991 CW og fx-CG50 fra Casio. fx-CG50 er en grafisk kalkulator. Menyvalgene og tastetrykkene er omtrent de samme på eldre modeller, som for eksempel fx-9860 GIII.
De fleste som ikke bruker grafisk kalkulator, foretrekker å tegne grafer med GeoGebra og overføre grafer og utregninger derfra til dokumentet med besvarelsen. Sjekk med skolen hvilke digitale hjelpemidler som blir brukt der.
Dersom du ønsker en kort innføring i hvordan du laster ned og tar i bruk de viktigste verktøyene i GeoGebra, kan du skanne QR-koden i margen og se en film som forklarer dette. Du kan også skrive inn nettadressen https://qr.capdam.no/r/Lk_KiXsMSE
Vi forklarer hvordan de forskjellige hjelpemidlene brukes i løsningen av ulike oppgavetyper, senere i boka.
Lykke til!
1
Tall og algebra
Matematikk er viktig i hverdagen og i de fleste yrker. På fagskolen er det et redskapsfag som også brukes i andre fag. Gjør du en god innsats her, har du større sjanse til å lykkes i andre fag og i yrkeslivet.
I dette kapittelet skal vi forklare og jobbe med grunnleggende matematikk og tallbehandling. Det vi lærer her, er nyttig for resten av boka, og det er derfor lurt å bruke tid på å lære innholdet i dette kapittelet grundig.
I kapittel 1 får du lære dette:
Å vite i hvilken rekkefølge vi regner ut uttrykk som inneholder pluss, minus, ganging, deling, potenser og parenteser.
Å bruke smarte metoder for hoderegning.
Å finne brøkdelen av et tall.
Å se nytten av å ta i bruk algebra.
Å faktorisere tall og algebraiske uttrykk.
Å regne om mellom brøk, desimaltall og prosent.
Å forenkle uttrykk med brøker.
Å vite forskjellen mellom prosent og prosentpoeng.
Å finne noen enkle prosenter av et tall med hoderegning.
Å regne med prosentvis vekst og prosentvis nedgang.
Å regne med tall på standardform.
Å bruke noen setninger som er nyttige ved forenkling av algebraiske uttrykk.
Å løse oppgaver med tall og algebra med digitale hjelpemidler.
Nyttige forkunnskaper:
Å vite at en potens består av et grunntall og en eksponent
Å vite at i potensen 23 er grunntallet 2 og eksponenten 3.
Å vite at når det står 23, betyr det at grunntallet 2 skal ganges med seg selv tre ganger.
2222 8 3 treganger
Å vite at svaret blir positivt når vi multipliserer to negative tall. For eksempel er 7321.
Å vite at 55525 2 , og at 55525 2
Å vite at i en brøk er telleren på toppen og nevneren nede. 3 4 Teller Nevner
Å kunne gange et tall med 10, 100 og 1000 i hodet.
Å kunne dele et tall med 10, 100 og 1000 i hodet.
Å vite at vi kaller tall eller bokstavuttrykk med + eller – mellom for ledd.
538
leddleddsum
Å vite at vi kaller tall eller bokstavuttrykk med gangetegn mellom for faktorer
5315 faktorfaktorprodukt
Hvorfor er det slik at når vi multipliserer to negative tall, blir svaret positivt?
1.1Regnerekkefølge
Nå som du har sett hvilke forkunnskaper om tall og regning dette kapittelet bygger på, skal vi se på rekkefølgen vi må følge når vi regner uttrykk med flere regnearter.
De tre studentene Ada, Bjørn og Christian dro på byen en kveld. Ada betalte 591 kroner for drosjen den ene veien. Bjørn betalte 2250 kroner for den felles restaurantregningen og Christian betalte 625 kroner for drosjeturen hjem. De ble enige om å dele utgiftene likt, og Christian brukte kalkulatoren på mobilen sin for å regne ut hvor mye det ble på hver.
Men det kan da ikke stemme, sa Ada. Det blir jo over ni tusen kroner til sammen! Vi må legge sammen utgiftene før vi deler
Dette er for tungvint, sa Bjørn. Vi bruker heller oppgjør-funksjonen i Vipps.
Hadde studentene brukt den vitenskapelige varianten av mobilkalkulatoren, eller en annen avansert kalkulator, kunne de ha satt en parentes rundt tallene som skulle legges sammen.
Denne historien viser at rekkefølgen på utregningene er viktig. Matematikere har derfor kommet fram til noen faste regler for dette.
For at alle skal få samme svar når vi regner det samme regnestykket, er det bestemt at vi skal regne i denne rekkefølgen:
1. Parenteser
2. Potenser
3. Multiplikasjon og divisjon
4. Addisjon og subtraksjon
Eksempel 1.1.1
Regn ut 3 24
3 8
Først multiplikasjon: 2 48. 11
Så addisjon: 3811.
Eksempel 1.1.2
Regn ut 6 123 2 .
6 15 2
36 15
Først parentesen: 12315
Så potensen: 636 2 21
Til slutt subtraksjon: 36 15 21
Eksempel 1.1.3
Regn ut 324 21 62 32 :.
32 3 44 32 :
Først parentesene: 2 13 og 6 24 .
32 3 44 9 : Så potensen: 3339 2 . 9236
Så er det multiplikasjon og divisjon. 25 Til slutt er det addisjon og subtraksjon.
Oppgave 1.1.1
Regn ut.
a) 4453
b) 78452
c) 32152345 2322
Oppgave 1.1.2
Regn ut.
a) ()573 2 b) 573 2
Når vi har likeverdige regneoperasjoner, regner vi fra venstre mot høyre. Når det bare er addisjon eller bare multiplikasjon, spiller ikke rekkefølgen noen rolle.
Eksempel 1.1.4
Regn ut 103 2 .
7 2 Vi starter fra venstre: 103 7 9 729.
Eksempel 1.1.5
Regn ut 183 2 : .
6 2 Vi starter fra venstre: 1836 : . 12 6 212.
Oppgave 1.1.3
a)Regn ut 6 212 : .
b)På sosiale medier dukker det av og til opp regnestykker som dette:
Nå har du lært om regnerekkefølge. Kan du være en av de få som får riktig svar?
Oppgave 1.1.4
Hvorfor får vi feil svar dersom vi regner denne oppgaven slik det er vist nedenfor?
5 1 515218 4 4 2 2 :.
Det som står i telleren i en brøk hører sammen. Det samme gjelder det som står i nevneren. Vi har derfor to muligheter når vi skal regne ut verdien av brøken:
1.Vi kan regne ut verdien av telleren og verdien av nevneren hver for seg.
Eksempel: 46 32 10 5 2
2.Vi kan sette en parentes rundt telleren og en parentes rundt nevneren og bruke delingstegn for brøkstreken. Så kan vi skrive uttrykket inn på en kalkulator eller regne det ut i hodet, dersom det er enkle uttrykk som dette.
Eksempel: 46 32 46322 :
Her ser vi tydelig verdien av reglene for regnerekkefølge, med parenteser først.
Oppgave 1.1.5
Regn ut uten bruk av digitale hjelpemidler.
a) 59 34 b) 426 37 2
Oppgave 1.1.6
Regn ut uten bruk av digitale hjelpemidler.
a)5432 b)723 2
c) 8231 : d) 3234 e) 6 323
Oppgave 1.1.7
Regn fra venstre mot høyre, siden det er likeverdige operasjoner. a) 1242 : b)1552
Oppgave 1.1.8
Regn ut uten bruk av digitale hjelpemidler.
35263 3 :
Oppgave 1.1.9
Regn ut uten bruk av digitale hjelpemidler.
a) 4253
b) 2 341
Oppgave 1.1.10
13333 :: 2 3333 :: 33333 …
Kan du lage de neste hele tallene 4, 5, 6, 7, 8, 9 og 10 på tilsvarende måte som vist ovenfor, ved hjelp av fire 3-tall, de fire regneartene og parenteser (når du har bruk for det)?
Finnes det flere måter du kan bruke for å lage det samme tallet?
1.2 Ulike typer tall
Hittil har vi for det meste regnet med hele positive tall. Disse kaller vi de naturlige tallene, og de har symbolet
1, 2, 3, 4, 5, 6,
–8–7–6–5–4–3–2–11 0 23456789101112
Om vi også tar med 0 og de hele negative tallene, får vi de hele tallene. Disse har symbolet
321 ,,, 0, 1, 2, 3
–8–7–6–5–4–3–2–11 0 23456789101112
Det finnes uendelig mange naturlige tall og uendelig mange hele tall.
Når vi ser på plasseringen av tallene på tallinjene overfor, kan det se ut som at det er dobbelt så mange hele tall som det er naturlige tall (når vi ser bort fra 0). Men er det kanskje heller slik at det er like mange av hver sort, siden det er uendelig mange av begge? Om du skanner QR-koden til høyre, får du bli med til Hilberts hotell for å få svar på dette spørsmålet.