Issuu

MATEMATIKK 10 frå CAPPELEN DAMM Grunnbok

Espen Hjardar Jan-Erik Pedersen

Nynorsk

Fotografi: Unsplash: Laura Cleffmann s. 27, CHUTTERSNAP s. 37, Joe Ciciarelli s. 75, Joel Fulgencio s. 79, kilarov zaneit s. 84, Jon Tyson s. 85, Tobias Tullios s. 86, Daniel Sessler s. 87, freestocks s. 118, Precious Madubuike s. 121, Rod Long s. 124, Kirk Thornton s. 139, SpaceX s. 146 og s. 150, Milo Weiler s. 158, Jarand K. Løkeland s. 165, Fusion Medical Animation s. 166, Isaac Smith s. 173, Daniel Moqvist s. 176, Thomas Millot s. 183, Harley-Davidson s. 195, Jörg Angeli s. 213, Joe Caione s. 229, Peter Moers s. 277, Chris Curry s. 285, Julie Ricard s. 289. Getty Images / iStock: Elena_Danilenko s. 51, wattanaphob s. 54, Katerinasergeevna s. 71, Givaga s. 76, Kasia2003 s. 81, Vchal s. 83, Shaunl s. 105, Amriphoto s. 113, Westend61 s. 127, Cristian_Kirshbom s. 130, Rpeters86 s. 140, Dmytro Varavin s. 157, Yana Tatevosian s. 171, Felipe Dupouy s. 185, Yuri Dei Mesquita Bar s. 197, Anawat_s s. 219, Kertu_ee s. 224, Bernie Photo s. 235, Simpson33 s. 243, Bhofack2 s. 250, Silverjohn s. 254, SAKDAWUT14 s. 257, ferrantraite s. 258, SeppFriedhuber s. 262, Vladimir Mladenovic s. 265, chokchaipoomichaiya s. 287, oonal s. 288. ESL / A. Sznajder: s. 69. NTB/Shutterstock/1684861: s. 133. NTB / Håkon Mosvold Larsen: s. 263. © CAPPELEN DAMM AS, Oslo 2021 Materialet i denne publikasjonen er omfatta av føresegnene i åndsverklova. Utan særskild avtale med Cappelen Damm AS er det berre tillate å framstille eksemplar av dette verket eller gjere innhaldet tilgjengeleg dersom det er heimla i lov eller tillate gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettshavarar til åndsverk. Utnytting i strid med lov eller avtale kan føre til erstatningsansvar og inndraging, og kan straffast med bøter eller fengsel. Matematikk 10 grunnbok frå Cappelen Damm er laga til fagfornyinga i faget matematikk og er til bruk på ungdomstrinnet i grunnskulen. Omsetjing til nynorsk: Eirik Ulltang Birkeland Illustrasjonar: Maciej Sidorowicz Design: Bøk Oslo AS Omslagsdesign: Tank Design AS / Maciej Sidorowicz Sats og teknisk illustrasjon: AiT Bjerch AS, Arnvid Moholt Forlagsredaktør: Asbjørn Hageli Biletredaktør: Asbjørn Hageli Trykk og innbinding: Livonia Print SIA, Latvia, 2021 Utgåve 1 Opplag 1 ISBN 978-82-02-56135-2 www.skolen.cdu.no Dette er ei TROY®-innbunden bok. Ei TROY®-innbunden bok har forsterka omslag. Testar viser at denne innbindinga toler vesentleg hardare bruk over tid samanlikna med bøker utan denne forsterkinga. TROY® er eit registrert varemerke og er patentert av Cappelen Damm AS.

Hei til deg som skal bruke Matematikk 10! Dette er Matematikk 10 grunnbok. Til grunnboka høyrer det ei oppgåvebok der du kan trene meir på dei ulike emna i grunnboka. Her ser du Arkimedes og Platon, som følgjer deg gjennom alle bøkene på ungdomstrinnet. Gjennom heile boka vil du finne nokre fellesoppgåver som er merkte med symbola og . Dette er spørsmål som blir stilte til deg som elev, eller til klassen, og er spørsmål som de bør diskutere. Kvart kapittel i grunnboka har tre delar: Lærestoff og oppgåver Undervegsvurdering

Det er lov å hoppe mellom vanskegradane dersom du synest oppgåvene blir for lette eller for vanskelege.

Oppgåve til tverrfagleg tema Bakarst i boka finn du ein liten manual for bruk av rekneark og GeoGebra. Nokre av oppgåvene i grunnboka og alle oppgåver i oppgåveboka er merkte med desse symbola: Nivå 1 Nivå 2 Nivå 3 Å kunne matematikk er nyttig, og matematikk er spennande å lære! Vi har laga ei bok som vil hjelpe deg med å nå måla for matematikkfaget på ungdomstrinnet. Lykke til med arbeidet! Helsing forfattarane Espen Hjardar og Jan-Erik Pedersen

Innhald

1 Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Funksjonar og grafar . . . . . . 88

Algebraiske uttrykk . . . . . . . . . . . . 8 Faktorisering . . . . . . . . . . . . . . 9 Forkorting . . . . . . . . . . . . . . . 12 Samantrekking av uttrykk med parentesar. . . . . . . . . . . 15 Samantrekking av brøkuttrykk . . . . . . . . . . . . . . 18 Multiplikasjon av polynom. . . . . . 22 Kvadratsetningane . . . . . . . . . . . 30 Første kvadratsetning . . . . . . 31 Andre kvadratsetning . . . . . . 32 Tredje kvadratsetning . . . . . . 33 Å løyse likningar . . . . . . . . . . . . . 38 Kvadratiske likningar . . . . . . . 43 Proporsjonar . . . . . . . . . . . . . 50 Likningar med fleire brøkar . . 56 Likningssett . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Grafisk løysing av likningssett 66 Utforsking og problemløysing . . . 72

Funksjon og graf. . . . . . . . . . . . . 90 Koordinatsystem . . . . . . . . . . 91 Samanhengen mellom funksjon og graf . . . . . . . . . . 95 Teikne lineære grafar. . . . . . . 99 Stigingstal . . . . . . . . . . . . . . 102 Konstantledd . . . . . . . . . . . . 106 Lineære funksjonar . . . . . . . . . . 110 Grafen til lineære funksjonar 114 Brøkfunksjonar . . . . . . . . . . . . . 122 Grafen til brøkfunksjonar . . . 126 Andregradsfunksjonar . . . . . . . . 134 Grafen til andregradsfunksjonar . . . . . 140 Ekstremalpunkt . . . . . . . . . . 147 Eksponentialfunksjonar . . . . . . . 152 Eksponentiell vekst . . . . . . . 157 Matematiske modellar . . . . . . . . 162 Regresjonsanalyse . . . . . . . . 172

Undervegsvurdering 1. . . . . . . . . 80 Tverrfagleg oppgåve 1 . . . . . . . . 84

Undervegsvurdering 2 . . . . . . . . 179 Tverrfagleg oppgåve 3 . . . . . . . 184

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM

3 Økonomi . . . . . . . . . . . . . . . . 186 Kjøp og sal . . . . . . . . . . . . . . . . . Prosentvis endring . . . . . . . . Vekstfaktor . . . . . . . . . . . . . . Å finne prosenten . . . . . . . . . Avgift på varer . . . . . . . . . . . . . . Meirverdiavgift . . . . . . . . . . . Toll og meirverdiavgift på varer frå utlandet . . . . . . . . . Å finne meirverdiavgifta. . . . . Sparing og lån . . . . . . . . . . . . . . Sparing . . . . . . . . . . . . . . . . . Lån . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Serielån. . . . . . . . . . . . . . . . . Kredittkort . . . . . . . . . . . . . . Bruk av grafteiknar . . . . . . . . Inntekter og utgifter . . . . . . . . . . Lønn og skatt . . . . . . . . . . . . Utgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . Budsjett og rekneskap. . . . . . Valuta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Utforskande arbeid . . . . . . 266

188 189 194 198 203 204

Arbeid med matematikk . . . . . . Moped og sertifikat . . . . . . . Bustad og økonomi . . . . . . . Jorda og utrekningar . . . . . . Kryptering . . . . . . . . . . . . . . Ulike talsystem . . . . . . . . . .

205 210 214 215 220 225 230 234 240 241 245 250 253

Tverrfagleg oppgåve 4 . . . . . . . 286

Undervegsvurdering 3. . . . . . . . . 259 Tverrfagleg oppgåve 3 . . . . . . . . 262

268 269 272 276 280 282

Manual for digitale verktøy . . 290 Rekneark. . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 GeoGebra . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

Fasit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 Kapittel Kapittel Kapittel Kapittel

1 2 3 4

................. ................. ................. .................

300 308 323 333

Stikkord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

Algebra

MÅL

OMGREP

I dette emnet skal du få lære om . rekning med ulike algebraiske uttrykk . faktorisering av ulike algebraiske uttrykk . faktorisering og forkorting . kvadratsetningane . likningar, proporsjonar og likningssett . utforsking og problemløysing

. . . . . . .

faktorisering forkorting kvadratisk likning kvadratsetningane likningssett proporsjon grafisk løysing

Kan fleire ha rekna rett, eller er det berre eitt rett svar?

Algebraiske uttrykk Eit algebraisk uttrykk inneheld variablar, eller variablar og tal. Dei reknereglane vi brukar for tal, gjeld også for rekning med variablar. Når vi reknar med uttrykk som inneheld fleire rekneartar, reknar vi alltid i denne rekkjefølgja: 1) potensar, kvadratrøter og parentesar 2) multiplikasjon og divisjon 3) addisjon og subtraksjon

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM

Faktorisering Tal og algebraiske uttrykk kan ofte faktoriserast. Faktorisering er eit nyttig verktøy å bruke når vi skal forenkle, finne fellesnemnar eller forkorte uttrykk som inneheld brøkar. Når vi faktoriserer, skriv vi uttrykket som ein multiplikasjon av ulike faktorar. Dersom alle faktorane er primtal, kallar vi det primtalsfaktorisering. Naturlege tal som ikkje er primtal, kallar vi for samansette tal. Slike tal kan vi faktorisere og skrive som eit produkt av primtal på denne måten: 6 ¼2 3 24 ¼ 2 2 2 3 42 ¼ 2 3 7 På same måten som vi faktoriserer tal, kan vi også faktorisere algebraiske uttrykk. Slike uttrykk kan vi skrive som eit produkt av primtal og variablar på denne måten: 6xy ¼ 2 3 x y 24a2 b ¼ 2 2 2 3 a a b 42x2 ¼ 2 3 7 x x

Forklar skilnaden mellom partal, oddetal, primtal og samansette tal.

1 ALGEBRA

Vi kan også nytte oss av faktorisering når vi har uttrykk med fleire ledd. Uttrykket 5x 4x2 er eit uttrykk der begge ledda har x som felles faktor. Dette ser vi om vi faktoriserer ledda kvar for seg. 5x 4x2 ¼ 5 x 2 2 x x Den felles faktoren x kan vi då setje utanfor ein parentes, og då kan vi skrive uttrykket slik: 5 x 2 2 x x ¼ xð5 4xÞ Uttrykket 5x 4x2 kan altså faktoriserast til xð5 4xÞ. Vi kan kontrollere om vi har faktorisert rett, ved å multiplisere x inn i parentesuttrykket. xð5 4xÞ ¼ x 5 x 4x ¼ 5x 4x2 Vi ser at dei to uttrykka 5x 4x2 og xð5 4xÞ er likeverdige.

DØME 1.1 Faktoriser uttrykka. a) 30x2 y b) 4x2 10x Løysing

a) 30x2 y ¼ 2 3 5 x x y b) 4x2 10x ¼2 2 x x 2 5 x ¼ 2xð2x 5Þ

2x er felles faktorar ktorar kt a i begge ledda..

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM

OPPGÅVER 1.1

Skriv som produkt av primtal. a) 8 c) 42 b) 36 d) 210

1.2

Faktoriser uttrykka.

1.3

1.4

a) 10xy

c) 24ab3

b) 15ab

d) 32xy2

a) 24x2 y2

c) 81a2 b2

b) 45x3 y

d) 120xy2 z

a) 100x2

c) 200a2 b3 c2

b) 124x3 y3

d) 720x3 y

Faktoriser uttrykka. a) 12x2 y

b) 25a2 b

c) 45a2

a) 51a3 b

b) 12x2 y

c) 4x 6

a) 91x2 y3

b) 4x2 32x

c) 8a3 þ 16a2

Rekn ut parentesuttrykka. a) 2ðx þ 2Þ b) 3xðx 2Þ

c) 2að3 þ 2aÞ

1.5

Faktoriser uttrykka og samanlikn svara med oppgåve 1.4. Kva oppdagar du? a) 2x þ 4 b) 3x2 6x c) 4a2 þ 6a

1.6

Faktoriser uttrykka. a) 2x þ 4

b) 5a þ 15

c) 4x2 8x

a) 3x þ 6

b) 15a þ 3a2

c) 25x2 5x

a) x x2

b) 4x3 8x2 þ 2x

c) 8a3 þ 8a2 8a

1 ALGEBRA

Forkorting Når vi forkortar brøkar, dividerer vi teljaren og nemnaren med same tal, variabel eller variabeluttrykk. Det er ofte lettare å sjå kva vi kan forkorte med, dersom vi faktoriserer teljaren og nemnaren. I Matematikk 8 lærte du om forkorting av brøkar ved å dividere teljaren og nemnaren med same tal, slik: 10 10 : 10 1 ¼ ¼ 20 20 : 10 2 Forkortinga ovanfor kan vi også gjere ved hjelp av faktorisering, slik: 10 2 5 1 6 2 6 5 1 ¼ ¼ ¼ 20 2 2 5 2 6 2 6 5 2 Vi kan forkorte alle brøkar der faktorane i teljaren og nemnaren er like, og faktorane kan då vere både tal og variablar. Døme på slike forkortingar er: 30x 2 3 5 x 6 2 6 3 5 6 x 5 ¼ ¼ ¼ 42x 2 3 7 x 6 2 6 3 7 6 x 7 6xy 2 3 x y 6 2 3 x 6 y 3x ¼ ¼ ¼ 2 8y 2 2 2 y y 6 2 2 2 6 y y 4y Hugs at rekkjefølgja på faktorane er likegyldig!

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM

Det tyder at 2xx = 2 · x = x · 2

Dersom brøken har fleire ledd, bør vi først finne felles faktorar for ledda og setje dei utanfor eit parentesuttrykk før vi forkortar: 12x 2x2 2 2 3 x 2 x x ¼ 2 8x þ 6x 2 2 2 x xþ2 3 x 2xð6 xÞ ¼ 2xð4x þ 3Þ 6 x ¼ 4x þ 3

2x er felles faktor for begge ledda.

Fordi 2x er felles faktor for begge ledda i nemnaren og begge ledda i teljaren, kan vi setje 2x utanfor eit parentesuttrykk og forkorte brøken med 2x.

DØME 1.2 Forkort uttrykka så mykje som mogleg. 18 a) 24 4x2 b) 6xy 3x 6 c) 5x2 10x Løysing

18 3 6 3 6 6 3 ¼ ¼ ¼ 24 4 6 4 6 6 4

4x2 2 2 x x 6 2 2 6 x x 2x ¼ ¼ ¼ 6xy 2 3 x y 6 2 3 6 x y 3y

3x 6 3 x 2 3 ¼ 5x2 10x 5 x x 2 5 x 3ðx 2Þ ¼ 5xðx 2Þ 3 ðx 2Þ ¼ 5x ðx 2Þ 3 ¼ 5x

Vi forkortar brøken med 6: Vi forkortar brøken med 2 og x:

Vi forkortar brøken med ðx 2Þ:

1 ALGEBRA

OPPGÅVER 1.7

1.8

1.9

Forkort brøkane så mykje som mogleg. 5 40 6 a) b) c) 10 4 24 Forkort brøkane så mykje som mogleg. 2x 4a 6a2 b) c) a) 12a 4 4

12 36

4x3 18x

Forkort brøkane så mykje som mogleg. 5x a) 10 b)

8a 12

4a2 2a

4x2 6xy

14a2 b2 21ab

2xy2 2xy

2x þ 4 xþ2

10a 15 8a 12

4x 8 8x2 16x

15ab3 a) 20a2 b b)

12x2 þ 6x 4x2 þ 2x

Hugs at 2x = 1! 2x

2x c) 2x

1.10 Forkort brøkane så mykje som mogleg.

2x 4x

4a 12a

2a2 b 4ab

4x þ 4 6x þ 2

3x2 x 6x2 x

ðx þ 3Þðx 3Þ 2x þ 6

að3a 2Þ 6a2 4a

12x2 þ 6x 5 þ 10x

x2 þ 8x þ 16 ðx þ 4Þðx þ 4Þ

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM

Samantrekking av uttrykk med parentesar Når vi reknar med algebraiske uttrykk med parentesar, brukar vi dei same reknereglane som gjeld for rekning med tal. Når vi skal multiplisere eit uttrykk eller eit tal med ein parentes som inneheld fleire ledd, multipliserer vi uttrykket eller talet med kvart av ledda inne i parentesen. Dette kan vi vise ved hjelp av to arealteikningar. Her er sidene 4 og 4 þ 6 lange. 4

Her er sidene x og x þ 6 lange.

Vi finn arealet slik: 1

Vi finn arealet slik:

4ð4 þ 6Þ ¼ ð4 4 þ 4 6Þ ¼ ð16 þ 24Þ ¼ 40

Vi multipliserer 4 med kvart av ledda inne i parentesen.

xðx þ 6Þ ¼ x x þ x 6Þ ¼ ðx þ 6xÞ 2

¼ x þ 6x 2

Vi multipliserer x med kvart av ledda inne i parentesen.

Dette brukar vi når vi skal trekkje saman større samansette parentesuttrykk.

1 ALGEBRA

DØME 1.3 Rekn ut, og trekk saman til så enkelt svar som mogleg. a) 2ð3 yÞ þ 4y b) 2ðx 2Þ 3xð2x 4Þ Løysing

a) 2ð3 yÞ þ 4y ¼ ð2 3 2 yÞ þ 4y ¼ 6 2y þ 4y

Vi multipliserer 2 inn i parentesen.

¼ 6 þ 2y b) 2ðx 2Þ 3xð2x 4Þ ¼ ð2 x 2 2Þ ð3x 2x 3x 4Þ ¼ ð2x 4Þ 6x2 12x

Vi multipliserer 2 og 3x inn i parentesane. Vi forandrar forteikn når vi løyser opp parentesen

¼ 2x 4 6x þ 12x 2

¼ 6x2 þ 14x 4

med minus framfor.

Når vi løyser opp ein parentes med negativt forteikn, byter vi forteiknet til kvart ledd inne i parentesen..

Forklar kvifor uttrykket 2xð2x þ 3Þ xðx 2Þ også kan skrivast som xð3x þ 8Þ.

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM

OPPGÅVER 1.11 Lag først parentesuttrykk som viser arealet av figurane, og skriv etterpå uttrykka så enkelt som mogleg.

x + 10

x+4

1.12 Arealet A av eit rektangel er A ¼ l b. Bruk formelen til å finne eit uttrykk for arealet A av rektangelet når a) l ¼ 2 og b ¼ x þ 4 b) l ¼ 8 og b ¼ a þ 10 c) l ¼ x og b ¼ x 4 d) l ¼ 6 þ 5x og b ¼ 2x 1.13 Rekn ut, og trekk saman til så enkelt svar som mogleg. a) 2ðx þ 2Þ þ 3x b) 2ð2x 1Þ 2x c) 4a þ 2ða 4Þ 1.14 Rekn ut, og trekk saman til så enkelt svar som mogleg. a) 3ð3 þ xÞ

b) 4xðx 4Þ

a) 2ða bÞ þ 3ða þ 2bÞ

b) aða þ bÞ að a þ bÞ

a) 3ðx 2yÞ 2ðx yÞ

b) xðx yÞ xð x yÞ 2x2

1.15 Rekn ut, og trekk saman til så enkelt svar som mogleg. a) 8ða þ 2Þ b) 2ða þ 2bÞ þ 2b

c) 4xðx þ 2Þ 4x2 d) 2ð2x yÞ 2x þ 2y

a) 3ðx þ 2Þ þ 4ðx 2Þ c) 3ð2x 3Þ 9 þ 4x 2 b) 2xð 2x yÞ x 4xy d) ðx yÞ þ 2ðx yÞ a) 2xðx 4Þ xðx þ 4Þ b) að2a bÞ 3ð2b aÞ

c) 4að2a bÞ þ 4a2 2ab d) xð y 2xÞ yð 2x yÞ

1 ALGEBRA

Samantrekking av brøkuttrykk Vi kan trekkje saman brøkar med variablar på same måten som vi trekkjer saman brøkar med tal. Før vi trekkjer saman uttrykka, må vi alltid sørgje for at brøkane har ein fellesnemnar. Vi kan finne fellesnemnaren ved å multiplisere nemnarane med kvarandre, eller ved hjelp av utviding eller forkorting. 5x 2 þ er nemnarane 12x og 4. Dersom vi multipliserer 12x 4 12x med 4, får vi 48x. Det vil seie at éin fellesnemnar kan vere 48x. I reknestykket

5x 2 þ 12x 4 5x 4 2 12x þ ¼ 12x 4 4 12x 20x 24x þ ¼ 48x 48x 44x ¼ 48x 11 6 4 6 x 11 ¼ ¼ 12 6 4 6 x 12

Vi utvidar bøkene slik at fellesnemnaren blir 48x.

Vi trekkjer saman på éin brøkstrek. Vi faktoriserer og forkortar svaret.

Forklar korleis vi kan finne andre fellesnemnarar enn 48x i dømet ovanfor.

I større uttrykk bør vi analysere nemnarane kvar for seg for å finne ein fellesnemnar. Vi kan undersøkje uttrykket nedanfor. x 4 þ 3x þ 3 2x þ 2 Her er nemnarane 3x þ 3 og 2x þ 2. Dersom vi faktoriserer kvar av nemnarane, får vi desse uttrykka: 3x þ 3 ¼ 3ðx þ 1Þ 2x þ 2 ¼ 2ðx þ 1Þ Ein fellesnemnar må innehalde dei faktorane vi finn når vi faktoriserer kvar av nemnarane. Fellesnemnaren blir då 2 3 ðx þ 1Þ ¼ 6x þ 6. Vi utvidar den første brøken med 2 og den andre brøken med 3 for at nemnarane skal bli 6x þ 6: x 4 þ 3x þ 3 2x þ 2 x 2 4 3 þ ¼ ð3x þ 3Þ 2 ð2x þ 2Þ 3 2x 12 þ 6x þ 6 6x þ 6 2x þ 12 ¼ 6x þ 6

Vi utvidar slik at brøkene får fellesnemnar 6x þ 6.

6 2ðx þ 6Þ xþ6 ¼ 6 2ð3x þ 3Þ 3x þ 3

Vi trekkjer saman på éin brøkstrek. Vi faktoriserer og forkortar svaret.

DØME 1.4 Trekk saman

6 1 9 þ og skriv svaret så enkelt som mogleg. 3 2x 6x

Løysing

Ein fellesnemnar er 6x, sidan 6x er deleleg med både 3 og 2x. 6 1 9 þ 3 2x 6x 6 2x 1 3 9 þ ¼ Vi utvidar slik at brøkene 3 2x 2x 3 6x får fellesnemnar 6x: 12x 3 9 þ ¼ 6x 6x 6x 12x 6 Vi trekkjer saman på éin brøkstrek. ¼ 6x 6 6ð2x 1Þ 2x 1 ¼ ¼ Vi faktoriserer og forkortar svaret. 6 6ðxÞ x

DØME 1.5 Trekk saman

2x 5x þ og skriv svaret så enkelt som mogleg. 3x 5x2

Løysing

Ein fellesnemnar er 15x2 , sidan 15x2 er deleleg med både 3x og 5x2 . 2x 5x þ 3x 5x2 2x 5x 5x 3 þ ¼ Vi utvidar brøkane slik at 3x 5x 5x2 3 fellesnemnaren blir 15x2 : 10x2 15x þ ¼ 15x2 15x2 10x2 þ 15x Vi trekkjer saman på éin brøkstrek. ¼ 15x2 5xð2x þ 3Þ 2x þ 3 Vi faktoriserer og forkortar svaret. ¼ ¼ 3x 5xð3xÞ

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM

OPPGÅVER 1.16 Forkort brøkane så mykje som mogleg. 12 4x 4x2 a) b) c) 6xy 18 12

2a þ 4 2

1.17 Trekk saman og skriv svaret så enkelt som mogleg. 2 1 2x 4x 3x 3x 2x x b) þ c) d) þ a) þ 3 9 3 9 5 10 9 6 1.18 Trekk saman og skriv svaret så enkelt som mogleg. a)

1a 5a þ 6 6

x 2x þ 2 4

2a 2a 4 3

2a 4a þ 5 2

3a 4a 5a þ 4 9 6

2 3 þ x 4x

2 1 3x 6x

1 3 1 þ 3a 4a 6a

3x x 22xx þ þ x 1 x 1 x 1

1.19 Trekk saman og skriv svaret så enkelt som mogleg. a)

2 2 þ x 3x

1 2 x 4x

x 2x þ 2x 8x

3 3 þ 8a 2a

2a 4a a þ þ 5 3 10

2 3 5 þ 3a 2a 6a

2 2 þ 4x 16 3x 12

a þ 1 2a þ 2 þ 2a þ 2 3a þ 3

3 x 1 1 þ 3x 3 2x 2 x 1

1 ALGEBRA

Korleis kan de vise arealet av figuren ved hjelp av eit algebraisk uttrykk?

Multiplikasjon av polynom Arealet av figurar kan vi vise ved hjelp av algebraiske uttrykk med fleire ledd. Vi kallar desse uttrykka for polynom. Figuren er sett saman av rektangel med sidelengder a, b, c og d. Vi teiknar dei fire rektangla kvar for seg. Arealet av figuren kan då reknast ut ved å summere arealet av dei fire delane. a

b c

a·c

b·c a·d

b·d

Arealet av heile figuren blir då ein sum som er eit polynom med fire ledd: a c þ a d þ b c þ b d ¼ ac þ ad þ bc þ bd

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM

(a + b)

(c + d)

Sidan lengda av dei to sidene i figuren kan uttrykkjast ved hjelp av ða þ bÞ og ðc þ dÞ, kan arealet også reknast ut ved hjelp av uttrykket ða þ bÞ ðc þ dÞ. Det vil seie at vi får denne samanhengen: ða þ bÞ ðc þ dÞ ¼ ac þ ad þ bc þ bd Denne utrekninga kan vi vise slik: 2

(a + b) · (c + d) = ac + ad + bc + bd 3

1 ALGEBRA

DØME 1.6 a

3+a

a) Lag eit uttrykk som viser arealet A av figuren. b) Rekn ut uttrykket og skriv svaret så enkelt som mogleg. Løysing

a) Figuren har sidene ða þ 3 þ aÞ og a. A ¼ ða þ 3 þ aÞ a b) A ¼ ða þ 3 þ aÞ a ¼ ð2a þ 3Þ a ¼ 2a2 þ 3a

Polynom tyder ﬂeire ledd. Monom tyder eitt ledd.

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM

DØME 1.7 x

8 x

a) Lag eit uttrykk som viser arealet A av figuren. b) Rekn ut uttrykket og skriv svaret så enkelt som mogleg. Løysing

a) Figuren har sidene x þ 8 og x þ 5. A ¼ ðx þ 8Þ ðx þ 5Þ b) A ¼ ðx þ 8Þ ðx þ 5Þ ¼x xþx 5þ8 xþ8 5 ¼ x2 þ 5x þ 8x þ 40

(x + 8) · (x + 5) 3

¼ x2 þ 13x þ 40

Kva blir omkrinsen og arealet av figuren i dømet ovanfor dersom x ¼ 4?

1 ALGEBRA

OPPGÅVER 1.20 Rekn ut arealet av rektangla.

(4 + 4) cm (2 + 3) cm

(4 + 3) cm (2 + 3) cm

1.21 Sjå på figuren når du svarar på oppgåva. x

10 x

a) Lag eit uttrykk som viser arealet A av figuren. b) Rekn ut uttrykket og skriv svaret så enkelt som mogleg. c) Bruk uttrykket og rekn ut arealet av figuren når x ¼ 2. 1.22 Sjå på figuren når du svarar på oppgåva. Uttrykka viser arealet av farga område. a2

a·b

a) Kor lange er sidene i heile rektangelet uttrykt med a og b? b) Kva blir omkrinsen av heile rektangelet uttrykt med a og b? c) Rekn ut arealet og omkrinsen av heile rektangelet når a ¼ 5 cm og b ¼ 8 cm.

HUGS Vi multipliserer to parentesuttrykk ved å multiplisere kvart ledd i den første parentesen med kvart ledd i den andre parentesen 2

slik: (a + b) · (c + d) = ac + ad + bc + bd 3

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM

1.23 Figuren er eit stort kvadrat som er delt inn i to rektangel og to kvadrat. Uttrykka viser arealet av kvar del av heile kvadratet.

2·3

3·2

a) Kva blir arealet av heile figuren? b) Kor lange er sidene i heile figuren? c) Kva blir omkrinsen av heile figuren? 1.24 Sjå på figuren når du løyser oppgåvene. 3x

8 x 2

a) Kva blir arealet av det gule rektangelet? b) Kva blir omkrinsen av det gule rektangelet? c) Finn eit uttrykk for omkrinsen av det blå rektangelet. a) Finn eit uttrykk for arealet av det svarte og grøne området. b) Uttrykk omkrinsen av heile figuren ved hjelp av eit parentesuttrykk. c) Bruk uttrykket og rekn ut omkrinsen av heile figuren når x ¼ 1. a) Finn eitt uttrykk for omkrinsen av heile figuren. b) Finn eitt uttrykk for arealet av heile figuren. c) Bruk uttrykka og rekn ut omkrinsen og arealet av heile figuren når x ¼ 1.

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM

1.25 Lag eit uttrykk som viser arealet av rektangla.

x+2

3x – 4 x–2

x+1

x+2 x–3

2x + 5 x–2

1.26 Set inn x ¼ 6 cm og rekn ut arealet av rektangla i oppgåve 1.25. 1.27 Rekn ut og trekk saman. a) 2ðx þ 2Þ b) aða þ 1Þ c) 2a 2aðða þ 2Þ a) ð2a þ 3Þ ða 1Þ b) ðx 3Þ ð2x þ 1Þ c) ð2x 1Þð3x 2Þ a) ð2x 4Þ ð2 xÞ b) ð4a þ 1Þða 1Þ 2a c) ðx þ 3Þ2 6x

1 ALGEBRA ALGE AL GEBR B A

29 2 9

Korleis vil de uttrykkje arealet til dei ulike figurane?

Kvadratsetningane Vi har tidlegare i dette kapittelet sett på korleis vi multipliserer to parentesuttrykk med kvarandre. Vi skal no sjå kva resultatet blir i tre spesielle tilfelle. a

Generelt gjeld dette: 2

(a + b) · (c + d) = ac + ad + bc + bd 3

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM

Første kvadratsetning a+b a

b a+b

Figuren er eit kvadrat med sider som er (a + b) lange. Arealet av kvadratet er ða þ bÞða þ bÞ ¼ ða þ bÞ2 . Vi reknar ut dette slik: ða þ bÞða þ bÞ ¼a aþa bþb aþb b ¼ a2 þ ab þ ab þ b2 ¼ a2 þ 2ab þ b2 Det vil seie at ða þ bÞ2 ¼ a2 þ 2ab þ b2 Vi kan også vise denne samanhengen geometrisk ved å trekkje saman dei fire delane i kvadratet slik:

(a + b)2

Dette gir oss første kvadratsetning: ða þ bÞ2 ¼ a2 þ 2ab þ b2

1 ALGEBRA

Andre kvadratsetning a a–b

b b2

b a

(a – b)2

a–b

Det store kvadratet har sider som er a lange. Sidene til kvadratet er delte i to med lengdene b og a b. Arealet av det mørke kvadratet er ða bÞða bÞ ¼ ða bÞ2 . Vi reknar ut dette slik: ða bÞða bÞ ¼a a a b b aþb b ¼ a2 ab ba þ b2 ¼ a2 2ab þ b2 Det vil seie at ða bÞ2 ¼ a2 2ab þ b2 Vi kan også vise denne samanhengen geometrisk ved å trekkje saman dei fire delane i kvadratet ovanfor slik:

(a – b)2

–

Dette gir oss andre kvadratsetning: ða bÞ2 ¼ a2 2ab þ b2 Vis at utrekninga ovanfor er rett, ved å setje inn a ¼ 5 og b ¼ 2 i likninga og rekne ut ða bÞ2 ¼ a2 2ab þ b2 .

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM

Tredje kvadratsetning Tredje kvadratsetning kallar vi også konjugatsetninga og er ikkje like lett å vise geometrisk. Vi skal multiplisere uttrykka ða þ bÞ og ða bÞ. Utrekninga blir slik: ða þ bÞða bÞ ¼a a a bþb a b b ¼ a2 ab þ ba b2

Vi trekkjer saman dei

¼a b

to ledda i midten: ab þ ba ¼ ab þ ab ¼ 0

Dette gir oss tredje kvadratsetning: ða þ bÞða bÞ ¼ a2 b2 Vi kan altså faktorisere uttrykket a2 b2 slik: a2 b2 ¼ ða þ bÞða bÞ Denne metoden blir ofte brukt i forkorting av algebraiske uttrykk med brøk.

Vis ved hjelp av tredje kvadratsetning kvifor uttrykket x2 16 kan skrivast ðx þ 4Þðx 4Þ

HUGS Dei tre kvadratsetningane: Første kvadratsetning: ða þ bÞ2 ¼ a2 þ 2ab þ b2 Andre kvadratsetning: ða bÞ2 ¼ a2 2ab þ b2 Tredje kvadratsetning: ða þ bÞða bÞ ¼ a2 b2

1 ALGEBRA

DØME 1.8 a) ðx þ 3Þ2 b) ða 5Þ2 c) ðx þ 2Þðx 2Þ Løysing

a) ðx þ 3Þ2 ¼ x2 þ 2 x 3 þ 32 ¼ x2 þ 6x þ 9 b) ða 5Þ2 ¼ a2 2 a 5 þ 52 ¼ a2 10a þ 25 c) ðx þ 2Þðx 2Þ ¼ x2 22 ¼ x2 4

HUGS Den kommutative lova gjeld ved multiplikasjon. Det vil seie at a b ¼ b a.

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM

DØME 1.9 Faktoriser uttrykka. a) a2 25 b) 2x2 8 Løysing

a) a2 25 ¼ a2 52 ¼ ða þ 5Þða 5Þ b) 2x2 8 ¼ 2ðx2 4Þ ¼ 2ðx2 22 Þ ¼ 2ðx þ 2Þðx 2Þ

OPPGÅVER 1.28 Rekn ut arealet av kvadrata på to ulike måtar.

(4 + 2) cm

(8 – 2) cm

(4 + 2) cm

(8 – 2) cm

1.29 Finn eit uttrykk for arealet av kvadrata.

(x + 3) cm (x + 3) cm

(a – 5) cm (a – 5) cm

1 ALGEBRA

1.30 Bruk tredje kvadratsetning til å faktorisere og forkorte uttrykka. a) x2 82

b) x2 49

c) a2 100

ðx2 42 Þ ðx þ 4Þðx 4Þ

ðx 4Þðx þ 4Þ 2x2 32

3x2 27 3x þ 9

27 þ 3x2 3x þ 9

2x2 50 20 þ 4x

x2 þ 7x 2x2 98

1.31 Rekn ut og trekk saman. a) ða þ 2Þ2

b) ða þ 3Þ2

c) ðx þ 4Þðx 4Þ

1.32 Figuren viser eit kvadrat som er delt opp i to kongruente rektangel og to mindre kvadrat. ?

a) Kva blir arealet av det minste kvadratet dersom x ¼ 6? b) Kva blir omkrinsen av det minste kvadratet dersom x ¼ 6? a) Kor lange er sidene i det nedste kvadratet? b) Kva blir arealet av eitt rektangel dersom x ¼ 6? a) Finn eit uttrykk for omkrinsen av heile figuren. b) Finn to uttrykk for arealet av heile figuren. 1.33 Rekn ut og trekk saman.

a) ðx þ 2Þ2

b) ðx 2Þ2

c) ðx þ 2Þðx 2Þ

a) ð3a þ 1Þ2

b) ð5x 2Þ2

c) ð3a þ 2Þð3a 2Þ

a) ð2x þ 2Þ2 4

b) ðx 1Þ2 2x

c) ða þ 4Þ2 2ða 2Þ

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM

Kva vil det seie at ei likning har ein ukjend?

Å løyse likningar Ei likning fortel oss at to uttrykk er like. Det vil seie at verdien av venstre side av likskapsteiknet er lik verdien av høgre side. Å løyse ei likning vil seie å finne verdien av ein ukjend variabel i likninga slik at ho framleis er i balanse. Når vi skal løyse ei likning, har vi fleire operasjonar vi kan utføre for å hjelpe oss å finne den ukjende.

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM

Addisjon og subtraksjon Vi kan addere eller subtrahere med same tal eller variabel på begge sider av likskapsteiknet. 3x 3 ¼ 2x þ 12 3x 3 þ 3 ¼ 2x þ 12 þ 3 3x ¼ 2x þ 15 3x 2x ¼ 2x 2x þ 15 x ¼ 15

Vi legg til 3 på begge sidene. Vi trekkjer frå 2x på begge sidene.

Multiplikasjon og subtraksjon Vi kan multiplisere eller dividere alle ledda med same tal eller variabel. Hugs at vi skil ledd med symbola þ, og ¼. 20 ¼5 x 20 6 x ¼5 x 6x 20 ¼ 5x 20 6 5x ¼ 5 65 4¼x x¼4

Vi multipliserer alle ledd med x og forkortar.

Vi dividerer alle ledd med 5 og forkortar.

Når vi skal løyse likningar, må vi nokre gonger bruke begge metodane ovanfor. Det er ofte smart å begynne med å samle variablar på den eine sida av likskapsteiknet og tal på den andre. Dersom likningane inneheld parentesuttrykk, bør vi først løyse opp parentesane.

Kva skjer dersom vi multipliserer eller dividerer alle ledda i ei likning med 1 eller þ1?

1 ALGEBRA

DØME 1.10 Løys likningane. a) 5x ¼ 4x 12 b) 3ðx 5Þ ¼ 2ðx 1Þ Løysing

5x ¼ 4x 12 5x 4x ¼ 4x 4x 12

Vi trekkjer frå 4x på begge sidene.

x ¼ 12 b)

3ðx 5Þ ¼ 2ðx 1Þ 3x 15 ¼ 2x 2 3x 15 þ 15 ¼ 2x 2 þ 15 3x ¼ 2x þ 13 3x 2x ¼ 2x 2x þ 13

Vi løyser opp parentesane. Vi legg til 15 på begge sidene. Vi trekkjer frå 2x på begge sidene.

x ¼ 13

Grunngi kvifor ei av likningane ikkje passar inn. 2x ¼ 12

xþ2¼8

x 4¼2

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM

x ¼ 3x 6

DØME 1.11 x Løys likninga 2x ¼ 5 þ . 3 Løysing

2x ¼ 5 þ

x 3

2x 3 ¼ 5 3 þ

x 6 3 63

6x ¼ 15 þ x 6x x ¼ 15 þ x x 6 5x 15 ¼ 65 5 x¼3

Vi multipliserer alle ledda med 3 og forkortar. Vi trekkjer frå x på begge sidene. Vi dividerer alle ledda med 5 og forkortar.

HUGS Hugs at du alltid kan setje prøve på ei likning for å kontrollere om likninga er i balanse. Det vil seie at du undersøkjer om løysinga på likninga er rett.

1 ALGEBRA

OPPGÅVER 1.34 Løys likningane. a) x þ 10 ¼ 15

b) 12 ¼ 15 þ x

c) 3x ¼ 2x þ 3

1.35 Løys likningane. a) x þ 29 ¼ 12 b) x þ 10 ¼ 2x c) 3x þ 4 ¼ 2x 8 a) 5x þ 2 ¼ 4x þ 8 b) 3x 2 ¼ 2x þ 5 c) 5x 1 ¼ 5 þ 3x a) 2x 8 ¼ 3x 2 b) 12 þ 7 ¼ 3x þ 8 x c) 8 þ 3x ¼ 2x 2 1.36 Løys likningane. a) 5x ¼ 40 a) 8x ¼ 160 a)

3x ¼5 7 5

x ¼7 4 x b) ¼ 2 5 3x b) 8 þ ¼ 14 4 b)

x 3 x c) 2 þ ¼ 10 3 x c) 5 ¼ 9 3 c) 8 ¼

1.37 Løys likningane.

a) x ¼ 3ð2 þ 2Þ b) 3 ¼ 1ðx 4Þ

c) xð5 3Þ ¼ 40 d) 2ðx 3Þ ¼ 4

a)3x þ ðx 4Þ ¼ 8 b) 2ð3x 3Þ ¼ 12

c) 4ðx þ 2Þ ¼ 4 þ 3x d) 2xð2 1Þ ¼ 8 þ x

a) 4x 11 ¼ 3ð3x 2Þ b) 2ðx 1Þ ¼ 3ðx þ 3Þ

c) 31x ¼ 2ð15x þ 8Þ d) 2ð3 xÞ ¼ 2x 3ðx 9Þ

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM

Kvadratiske likningar Arealet A av eit kvadrat med sider s er A ¼ s2 . Dersom vi veit kor stort arealet A er, kan vi finne s ved å rekne ut kvadratrota av A slik: pffiffiffiffi s¼ A Det vil seie at vi kan finne sidene i eit kvadrat dersom vi veit arealet av kvadratet.

A = 25 A = 36

A = 16 A=9 A=4

Likningar gar som inneheld x2 , kallar vi for kvadratiske likningar eller radslikningar. andregradslikningar.

1 ALGEBRA

Figuren til høgre er sett saman av eit kvadrat og eit rektangel. Arealet av dei to firkantane er til saman 59 cm2 . Når vi kjenner arealet, kan vi ved hjelp av ei likning finne sidelengda x cm i kvadratet.

2 cm

5 cm x cm

Vi får likninga x x þ 2 5 ¼ 59 og løyser henne slik: x x þ 2 5 ¼ 59 x2 þ 10 ¼ 59 x2 þ 10 10 ¼ 59 10 x ¼ 49 pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi x2 ¼ 49 x¼7

Vi trekkjer frå 10 på begge sidene.

Vi finn kvadratrota på begge sidene.

Altså er sidelengda i kvadratet 7 cm. Vi kan kontrollere svaret ved å setje x ¼ 7 inn i likninga og sjå om ho framleis er i balanse. x x þ 2 5 ¼ 59 7 7 þ 2 5 ¼ 59 49 þ 10 ¼ 59 59 ¼ 59 tre side er lik Vi ser at verdien av venstre verdien av høgre side. Dåå er x ¼ 7 rett løysing på likninga.

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM

DØME 1.12 Figuren er sett saman av små kongruente kvadrat. Omkrinsen av heile figuren er 36 cm.

a) Kall lengda av sidene i dei små kvadrata for x cm og set opp eit uttrykk som viser omkrinsen av heile figuren. b) Kva er arealet av heile figuren? Løysing

a) Omkrinsen av figuren har til saman 12 små kvadratsider. Lengda av kvar av dei er x. Vi får då uttrykket: 12x b) Sidan omkrinsen er 36 cm, kan vi setje opp ei likning og finne x. 12x ¼ 36 12x 36 ¼ 12 12 x¼3

Vi dividerer alle ledda med 12 og forkortar.

Vi finn arealet A av heile figuren, som er sett saman av 6 kongruente kvadrat. A ¼ s2 6 ¼ 3 cm 3 cm 6 ¼ 54 cm2

1 ALGEBRA

DØME 1.13 Figuren er sett saman av fem kongruente kvadrat. Arealet av heile figuren er 45 cm2 .

a) Kva blir arealet av eit lite kvadrat? b) Kor lange er sidene i dei små kvadrata? Løysing

a) Figuren er sett saman av 5 kvadrat som er like store. Arealet av eitt kvadrat blir: 45 cm2 ¼ 9 cm2 5 b) Arealet A av eitt kvadrat med side s er 9 cm2 . Då kan vi finne s slik: s2 ¼ 9 pffiffiffiffi pffiffiffi s2 ¼ 9 s¼3

Vi finn kvadratrota av begge sidene av likskapsteiknet.

Sidene er 3 cm lange.

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM

OPPGÅVER 1.38 Rekn ut lengda av sidene i kvadrata. c)

A = 56,25 cm2

A = 81 cm2

d) A = 1,21 dm2 A = 0,04 m2

1.39 Figuren er bygd opp av dei tre kvadrata A, B og C. Forholdet mellom sidelengdene i dei tre kvadrata er 1 : 2 : 4. Arealet av kvadrat C er 256 cm2 .

8 cm

C B A

28 cm

a) b) c) d) e)

Rekn ut arealet av det mellomste kvadratet. Kor lange er sidene i det største kvadratet? Rekn ut arealet av heile figuren. Rekn ut omkrinsen av heile figuren. Bruk Pytagoras-setninga og rekn ut lengda av den stipla linja.

1 ALGEBRA

1.40 Arealet av ei handballbane er 800 m2 der langsida er dobbelt så lang som kortsida.

a) Kva geometrisk form har ein banehalvdel? b) Kor lange er sidene på bana? c) Kor lang er diagonalen som er teikna inn som ei stipla linje? 1.41 André legg fyrstikker som vist på figuren slik at det blir danna fire små kvadrat som utgjer eit stort kvadrat. a) Rekn ut omkrinsen av eit lite kvadrat dersom omkrinsen av det store kvadratet er 16 cm. b) Kor mange fyrstikker treng han dersom han skal lage eit stort kvadrat som er sett saman av 9 små kvadrat? a) Rekn ut arealet av eit lite kvadrat dersom arealet av det store kvadratet er 36 cm2 . b) Kor mange fyrstikker treng han dersom han skal lage eit stort kvadrat som er sett saman av 16 små kvadrat? a) Kor lange er sidene i dei små kvadrata dersom diagonalen i det store kvadratet er 8,5 cm lang. b) Kor mange fyrstikker treng han dersom han skal lage 25 små kvadrat?

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM

1.42 Figuren er sett saman ein halvsirkel, eit kvadrat og ein rettvinkla, likebeint trekant. Radien i halvsirkelen er 5 cm.

Rekn ut arealet av halvsirkelen. Rekn ut arealet av heile figuren. Rekn ut omkrinsen av heile figuren. 1.43 Figuren er sett saman av eit kvadrat med sider på 2x der ein mindre kvadratisk del er fjerna. Delen som er fjerna, har sider som er x lange. 2x

Lag eit uttrykk som viser omkrinsen av figuren. Lag eit uttrykk som viser arealet av figuren. Set opp ei likning og finn lengda av sidene til det opphavlege kvadratet når arealet av figuren er 108 cm2 .

1 ALGEBRA

Proporsjonar Ein proporsjon seier at to forhold mellom storleikar er like store. Dette kan vi bruke til å finne ein ukjend storleik. I ei oppskrift på kyllinggryte står det at vi skal bruke 500 g kyllingfilet til fire personar. Mengda av filet vi brukar, står i forhold til talet på personar vi skal lage gryta til. Dette kan vi vise ved å setje opp ein proporsjon som viser at forholdet mellom mengda kyllingfilet og talet på personar er konstant. Dersom vi brukar 500 g til fire personar, kan vi skildre kor mykje vi må bruke til seks eller elleve personar, slik: 6 personar 500 x ¼ 4 6

11 personar x er talet på gram kyllingfilet 500 x ¼ vi treng. 4 11

Vi løyser proporsjonane som ei likning slik: 6 personar 500 x ¼ 4 6 500 6 x 6 6 ¼ 4 66 3000 ¼x 4 750 ¼ x

11 personar 500 x ¼ 4 11 500 11 x 11 ¼ 4 11 5500 ¼x 4 1375 ¼ x

Det vil seie at vi treng 750 g kyllingfilet til seks personar og 1375 g til elleve personar. Vi kan også gå vegen om éin. Det tyder at vi finn ut kor mykje vi treng til 1 person først. 500 g 500 g til 4 personar til 1 person: ¼ 125 g/person 4 personar Når vi veit at vi treng 125 g til 1 person, kan vi multiplisere dette talet med talet på personar.

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM

DØME 1.14 Rekn ut den kortaste sida BC i det minste rektangelet når rektangla er formlike. D

x cm A

6 cm

8 cm

12 cm

Løysing Metode 1 Forholdet mellom samsvarande sider i formlike rektangel er konstant. Vi får då denne proporsjonen:

BC AB ¼ FG EF

x 6 ¼ 8 12

Vi løyser som likning: x 6 ¼ 8 12 x 6 8 6 8 ¼ 68 12 48 x¼ 12 x¼4

Vi multipliserer alle ledda med 8 og forkortar.

Den kortaste sida BC i det minste rektangelet er 4 cm.

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM

Metode 2 Forholdet mellom einsliggjande sider i formlike rektangel er konstant. Vi kan då bruke forholdstalet frå det store rektangelet til å finne den ukjente sida i det vesle.

Forholdet mellom EF og FG er: FG 8 cm 2 ¼ ¼ EF 12 cm 3 2 Då er forholdet mellom BC og AB også . 3 2 Vi multipliserer sida AB med forholdstalet . 3 2 12 6 ¼ ¼4 3 3 Den kortaste sida BC i det minste rektangelet er 4 cm.

Undersøk kva som skjer dersom du multipliserer slik pilene viser: x 8 ¼ 6 12

HUGS Vi kan alltid bruke rekning med proporsjonar når vi skal finne sider i formlike figurar.

1 ALGEBRA

OPPGÅVER 1.44 Ei sementblanding inneheld 5 bøtter sement og 20 bøtter sand. I ei anna sementblanding med same blandingsforhold er det 24 bøtter sand. Set opp ein proporsjon og rekn ut kor mange bøtter sement det er i den andre blandinga. 1.45 Forholdet mellom dei lengste og dei kortaste sidene i to formlike rektangel er likt.

6 cm 4 cm 9 cm

Set opp ein proporsjon og rekn ut kor lang den kortaste sida i det minste rektangelet er. 1.46 Øivind køyrer 140 km med ein gjennomsnittsfart på 70 km/h. Bente køyrer med ein gjennomsnittsfart på 60 km/h. Ho brukar like lang tid som Øivind. Set opp ein proporsjon og rekn ut kor langt Bente køyrer.

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM

1.47 Rekn ut x i proporsjonane. a)

x 50 ¼ 5 10

x 90 ¼ 8 6

250 x ¼ 10 12

2800 x ¼ 100 8

5 10 ¼ x 6

12 2 ¼ x 3

15 10 ¼ 6 x

15 3 ¼ 10 x

15 x ¼ 6 4

1.48 På ein skule er forholdet mellom talet på jenter og talet på gutar 5 : 4. Det er 108 gutar på skulen. Set opp ein proporsjon og rekn ut kor mange jenter det er på skulen.

1 ALGEBRA

Likninger med fleire brøkar Når vi skal løyse likningar med fleire brøkar, multipliserer vi alle ledda med ein fellesnemnar til brøkane. Dersom det er mogleg, bør du først trekkje saman like ledd før du multipliserer med fellesnemnaren. 4 3 2 Likninga ¼ kan løysast på to måtar. x 5 5 Trekkje saman like ledd først 4 3 2 ¼ x 5 5 4 3 3 2 3 3 þ ¼ þ Vi legg til på begge sidene. x 5 5 5 5 5 4 5 ¼ x 5 4 6 x ¼ 1 x Vi multipliserer alle ledda med x og forkortar. 6x 4¼x x¼4 Multiplisere med ein fellesnemnar først Føremålet med å multiplisere med ein fellesnemnar er å kunne forkorte brøkane slik at vi får x åleine til slutt. Då må vi først finne ein fellesnemnar. I denne oppgåva er både 5 og x nemnarar. Då må vi multiplisere med både x og 5 for å kunne forkorte alle brøkane. Fellesnemnaren blir då 5x ¼ 5 x. 4 3 2 ¼ x 5 5 4 5 6 x 3 6 5 x 2 6 5 x ¼ 6x 65 65 20 3x ¼ 2x 20 3x þ 3x ¼ 2x þ 3x 20 6 5x ¼ 5 65 4¼x

Vi multipliserer alle ledda med 5 x og forkortar. Vi legg til 3x på begge sidene. Vi dividerer alle ledda med 5 og forkortar.

x¼4

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM

DØME 1.15 Løys likninga. 2 3 1 þ ¼ 10 5x x Løysing

Ein fellesnemnar er 10x, sidan 10x er deleleg med både 10, 5x og x. Fellesnemnaren blir då 10x ¼ 2 5 x. 2 3 1 þ ¼ 10 5x x 2 6 2 6 5 x 3 2 6 5 6 x 1 2 5 6 x þ ¼ 6 2 6 5 6 5 6 x 6x 2x þ 6 ¼ 10 2x þ 6 6 ¼ 10 6 6 2x 4 ¼ 62 2 x¼2

Vi multipliserer alle ledda med 10x ¼ 2 5 x Vi trekkjer frå 6 på beggesidene: Vi dividerer alle ledda med 2 og forkortar.

1 ALGEBRA

OPPGÅVER 1.49 Løys likningane. 1 6 a) x þ ¼ 5 5

3 1 b) þ x ¼ 2 2

x 8 ¼ 2 2

x 15 ¼1 5 5

10x 2x ¼ 40 þ 3 3

x 4x þ5¼ 3 3

2x 2 ¼4 3 3

3 x þ3¼ 2 3

x 4 x þ ¼ 6 3 2

1.50 Nokre venner skal finne ut kor mykje kvar av dei skal betale, 1 etter at dei har ete pizza. Nadia åt pizza, Hassan åt 4 1 1 pizza, Emil åt pizza, medan Sigurd var usikker på kor mykje 5 3 pizza han åt. Dei åt pizza for 330 kr til saman. Kor mykje må Emil betale? Kor mange brøkdelar pizza åt Sigurd? Kall delen til Sigurd for x, og finn ut kor mykje Sigurd skal betale, ved å stille opp og løyse ei likning.

1.51 Løys likningane. a) 6 þ

3x ¼ 18 2

x 2 ¼ 3 3

c) 2 ¼ 1 þ

20 2 þ ¼4 x 3

4x 4¼4 3

3x 21 6¼ 4 2

1 10 b) ¼ 3 3 x

6 x

10 2 þ2¼ x 6

5 3 4 c) þ ¼ þ x 2 3

1.52 Løys likningane. a)

x ¼2þ3 3

x þ3¼5 1 2

x c) 3 þ þ 2 ¼ 7 4 x a) 8 þ 10 ¼ 6 3 b)

2x þ3¼6 1 5

12 2¼5 4 x

x 5 ¼ þ7 5 2

12 10 þ4¼ x 3

6 8 10 þ ¼ x 3 x

1 ALGEBRA

Kor lange kan sidene i rektangelet vere?

Likningssett Vi har tidlegare lært å løyse likningar med éin ukjend, men vi kan også løyse likningar med fleire ukjende. Vi skal først sjå nærare på eit rektangel der arealet er 48. Formelen for arealet A av eit rektangel med sidene l og b er A ¼ l b. Her blir l b ¼ 48, det vil seie ei likning med to ukjende, l og b. Ved hjelp av faktorane til 48 kan vi finne mange moglege løysingar slik at produktet blir 48. 48 ¼ 1 48 48 ¼ 2 24 48 ¼ 4 12 48 ¼ 6 8

Kan du finne andre løysingar for lengda og breidda til rektangelet ovanfor som gir 48 til svar?

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM

Vi tenkjer oss eit rektangel der sidene er x og y lange, og omkrinsen til rektangelet er 60. Vi kan teikne opp rektangelet på eit kladdeark slik:

O = 60

Omkrinsen til rektangelet kan uttrykkjast ved hjelp av ei likning på denne måten: 2x þ 2y ¼ 60 Likninga har to ukjende og viser samanhengen mellom sidene og omkrinsen i rektangelet. Dersom x og y representerer heile tal, er dette nokre løysingar: 2 1 þ 2 29 ¼ 60 2 2 þ 2 28 ¼ 60 2 3 þ 2 27 ¼ 60 2 4 þ 2 26 ¼ 60 Vi ser at likninga 2x þ 2y ¼ 60 har mange løysingar. Ho har faktisk eit uendeleg tal løysingar. Dersom slike likningar berre skal ha éi løysing, må vi ha like mange likningar som vi har ukjende. Så her må vi ha éi likning til. Dersom vi i tillegg får opplyst at side y er 20 lengre enn side x, kan vi uttrykkje side y som ei likning slik: y ¼ x þ 20 Dei to likningane dannar no eit likningssett. I) 2x þ 2y ¼ 60 II) y ¼ x þ 20

1 ALGEBRA

Vi skal no sjå på korleis vi kan løyse eit likningssett ved hjelp av innsetjingsmetoden. Vi skal løyse dette likningssettet. I) 2x þ 2y ¼ 60 II) y ¼ x þ 20 I begge likningane ovanfor står x og y for dei same tala. Vi kan derfor setje uttrykket for den eine ukjende inn i det andre uttrykket. Vi set likning II inn i likning I. 2x þ 2y ¼ 60 2x þ 2ðx þ 20Þ ¼ 60 2x þ 2x þ 40 ¼ 60 4x þ 40 40 ¼ 60 40 4x ¼ 20 6 4x 20 ¼ 64 4 x¼5

Vi set inn ðx þ 20Þ i staden for y. Vi trekkjer frå 40 på begge sidene.

Vi dividerer alle ledda med 4 og forkortar.

Vi har no funne ut at x ¼ 5, og vi kan setje x ¼ 5 inn i ei av likningane for å finne verdien av y. Her er det lettast å setje x inn i likning II. y ¼ x þ 20 y ¼ 5 þ 20 y ¼ 25

Vi set inn 5 i staden for x.

Vi har no funne at x ¼ 5 og y ¼ 25.

Korleis kan vi undersøkje om løysinga på eit likningssett er rett?

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM

DØME 1.16 Frode og bestemor hans er 82 år til saman. Bestemor er 50 år eldre enn Frode. a) Kall alderen til Frode for x og alderen til bestemora for y, og set opp eit likningssett på grunnlag av opplysningane. b) Løys likningssettet og finn ut kor gamle Frode og bestemor hans er. Løysing

a) Sidan dei er 82 år til saman, kan summen av alderen deira skildrast med likninga x þ y ¼ 82. Sidan bestemora er 50 år eldre enn Frode, kan vi uttrykkje alderen hennar med likninga y ¼ x þ 50. Vi har no to likningar som dannar dette likningssettet: I) x þ y ¼ 82 II) y ¼ x þ 50 b) Vi set y ¼ x þ 50 frå likning II inn i likning I: x þ y ¼ 82 x þ ðx þ 50Þ ¼ 82 2x þ 50 ¼ 82 2x þ 50 50 ¼ 82 50 2x ¼ 32 6 2x 32 ¼ 62 2 x ¼ 16

Vi set inn ðx þ 50Þ i staden for y. Vi trekkjer å 50 på begge sider. Vi dividerer alle ledda med 2 og forkortar.

Når vi veit verdien av x, set vi x ¼ 16 inn i likning II: y ¼ x þ 50 y ¼ 16 þ 50 y ¼ 66 Frode er 16 år, og bestemor hans er 66 år.

1 ALGEBRA

OPPGÅVER 1.53 Teikningane illustrerer likningssett. a)

= 46 kr

= 36 kr

Kor mykje kostar eit eple? b) +

= 23 kr

= 13 kr

Kor mykje kostar ein appelsin? 1.54 Løys likningssetta. a) I) x þ y ¼ 15 II) y ¼ x þ 1

b) I) y ¼ x 3 II) y þ x ¼ 21

I nokre akvarium er det til saman 48 gullfiskar, og det er like mange fiskar i kvart akvarium. Kor mange akvarium kan det vere?

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM

1.55 Mette og Simon syklar kvar veke. Ei veke syklar Mette 15 km lenger enn Simon. Til saman syklar dei 195 km denne veka. Likningssettet M ¼ S þ 15 og M þ S ¼ 195 viser situasjonen uttrykt som to likningar. Løys likningssettet og rekn ut kor langt kvar av dei sykla. 1.56 Maria kjøper 2 kg poteter og 1 kg gulrøter. Ho betalar 39 kr til saman. Potetene kostar 3 kr mindre per kilogram enn gulrøtene. a) Kall prisen for 1 kg poteter for x og prisen for 1 kg gulrøter for y, og set opp eit likningssett. b) Løys likningssettet og finn kiloprisen for både poteter og gulrøter.

1.57 Løys oppgåva ved å bruke det du har lært om likningssett. Xander og Yvon er 28 år til saman. Xander er to år eldre enn Yvon. Likningssettet x þ y ¼ 28 og y þ 2 ¼ x viser samanhengen mellom alderen til Xander (x) og alderen til Yvon (y). Løys likningssettet og finn alderen til Xander og Yvon. Zara kjøper ein bolle og ei flaske brus. Ho betalar 50 kr til saman. Edvin kjøper fire bollar og ei flaske brus. Han betalar 86 kr til saman. Set opp eit likningssett og finn prisen på ein bolle og ei flaske brus. To posar mjøl og tre posar sukker veg 8,5 kg til saman. Tre posar mjøl og ein pose sukker veg 7,5 kg. Kor mykje veg ein pose mjøl og ein pose sukker?

1 ALGEBRA

Grafisk løysing av likningssett Vi kan løyse likningar og likningssett grafisk. Dersom x og y er dei variable storleikane, brukar vi eit koordinatsystem og kallar førsteaksen for x-akse og andreaksen for y-akse. Det vil seie at vi finn verdien av x på x-aksen og verdien av y på y-aksen. y-akse 3

(2, 3)

origo 2

x = 2 og y = 3

1 x-akse –5 –4 –3 –2 –1

–1 (–3, –2) x = –3 og y = –2

–2 –3

Vi skal no sjå korleis vi kan finne alderen til Frode ogg bestemor hans grafisk. Vi fekk vite at Frode og bestemor hans var til saman 82 år, og at bestemora var 50 år eldre enn Frode. Vi fekk då dette likningssettet: ngssettet: I) x þ y ¼ 82 II) y ¼ x þ 50

HUGS Du må alltid markere skjeringspunktet og ha med namn på akser når du løyser likningssett ved hjelp av GeoGebra. Sjå bak i boka dersom du treng hjelp.

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM

Vi framstiller dei to likningane grafisk i same koordinatsystem ved å skrive inn dei to uttrykka kvar for seg. y 90 80 70

g: y = x + 50

A(16, 66)

60 50

f: x + y = 82

40 30 20 10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 x

Sidan vi veit at x-verdiane og y-verdiane er dei same i begge likningane, vil skjeringspunktet mellom grafane vere den einaste løysinga på likningssettet. Skjeringspunktet her har koordinatane (16, 66). Det tyder at x ¼ 16 og y ¼ 66. Det gir oss at Frode er 16 år, og at bestemor er 66 år. Når du skriv inn likningar i GeoGebra, treng du ikkje gjere om likningane med omsyn til x eller y. Du kan berre skrive inn dei to likningane kvar for seg, så vil grafane komme fram. Skjeringspunktet mellom grafane vil vere løysinga på likningssettet. Hugs at du alltid kan setje prøve for å kontrollere om svaret ditt er rett.

André, Hanna og Sara sel lodd. Hanna sel 15 fleire lodd enn Sara, og Andre sel 20 færre lodd enn Hanna. Kor mange lodd kan dei tre ha selt? Finn minst tre løysingar.

1 ALGEBRA

DØME 1.17 Emil og Mari trenar til ein e-sportkonkurranse. Veka før konkurransen trenar dei 55 timar til saman, og Emil trenar 5 timar meir enn Mari. a) Lag eit likningssett med to likningar der det går fram at Emil trenar i y timar og Mari trenar i x timar. b) Løys likningssettet grafisk for å finne ut kor mange timar kvar av dei trenar. Løysing

a) Når dei trenar 55 timar til saman, kan vi setje opp likninga y þ x ¼ 55 ettersom Emil trenar y timar og Mari trenar x timar. Når Emil trenar 5 timar meir enn Mari, får vi likninga y ¼ x þ 5. Vi får då likningssettet: I) y þ x ¼ 55 II) y ¼ x þ 5 b) Vi teiknar dei to grafane slik i GeoGebra: Vi skriv inn y þ x ¼ 55 i inntastingsfeltet og trykkjer Enter. II Vi skriv inn y ¼ x þ 5 i inntastingsfeltet og trykkjer Enter. III Vi justerer grafikkfeltet og aksane ved hjelp av justeringsverktøyet. IV Vi markerer skjeringspunktet mellom grafane ved hjelp av skjeringspunkt-verktøyet. V Vi set namn på aksane og skjeringspunktet A. Grafane skjer kvarandre i punktet (25, 30). Det vi seie at x ¼ 25 og y ¼ 30. I

y 60 g 50 40 30

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM

A(25, 30)

20 10

Mari trenar i 25 timar, og Emil trenar i 30 timar.

C(0, 30)

f B(25, 0) 10 20 30 x

OPPGÅVER 1.58 Løys likningssetta grafisk. a) I) y ¼ x þ 2 II) y ¼ x þ 14

b) I) y ¼ x þ 3 II) y ¼ 7 x

1.59 Bruk grafteiknar når du løyser oppgåvene. Evy er 3 år eldre enn søstera si. Dei er 29 år til saman. Dersom vi set alderen til Evy til x år og alderen til søstera til y år, får vi dette likningssettet: I) x þ y ¼ 29 II) x ¼ y þ 3 Kor gamle er dei? På ein klassefest kjøper Hanna 2 pølser og 3 flasker brus. Ho betalar 84 kr til saman. Herman kjøper 4 pølser og 2 flasker brus. Han betalar 96 kr til saman. Ei pølse kostar x kr, og ei flaske brus kostar y kr. a) Set opp to likningar med to ukjende ut frå opplysningane ovanfor. b) Løys likningane grafisk. c) Kor mykje kostar ei pølse, og kor mykje kostar ei flaske brus? Sana og Stephen plantar kvar si plante i hagen. Planta til Sana er 5 cm høg, og ho veks 3 cm per veke. Planta til Stephen er 8 cm høg og veks 2 cm per veke. Etter x veker er plantene like høge. Dei er då y cm høge. a) Set opp to likningar med to ukjende ut frå opplysningane ovanfor. b) Løys likningane grafisk. c) Kor mange veker gjekk det før plantene var like høge, og kor høge var dei då?

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM

1.60 Klasse 10A skal på busstur til Lofoten. Dei fekk to pristilbod: Tilbod 1: fast pris på 5000 kr pluss 200 kr per elev. Tilbod 2: fast pris på 4000 kr pluss 250 kr per elev. a) Set opp eit likningssett av to likningar der talet på elevar er x og samla pris er y kr. b) Løys likningssettet grafisk og finn ut kor mange elevar som må vere med på turen for at dei to tilboda skal gi same pris. 1.61 På ein parkeringsplass var det x bilar og y motorsyklar. Det var 25 køyretøy til saman. Køyretøya hadde 90 hjul til saman. a) Set opp to likningar med to ukjende og løys likningssettet grafisk. b) Kor mange motorsyklar og bilar var det på parkeringsplassen?

1 ALGEBRA

Kva former bør dei vurdere for å få størst mogleg areal?

Utforsking og problemløysing Lukas skal setje opp eit gjerde rundt ein rektangelforma plass. Gjerdet skal vere 48 m langt, og lengda på plassen skal vere dobbelt så lang som breidda. Lukas kan setje opp ei likning for å finne ut kor lang og kor brei plassen skal vere, gjerne supplert med ei teikning. Dersom breidda er x m, så er lengda 2x m. Vi kan då setje opp ei likning og løyse den: 2x þ x þ 2x þ x ¼ 48 6x ¼ 48 6 6x 48 ¼ 66 6 x¼8

2x m

Vi dividerer alle ledd med 6 og forkortar.

Breidda er 8 m, og lengda er 2 8 m ¼ 16 m.

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM

Det er mange måtar å løyse praktiske oppgåver eller problem på. Det er ofte ein fordel å lage ei teikning som kan illustrere problemet. Andre gonger kan det vere lurt å setje opp ei likning eller eit likningssett for å løyse oppgåva.

DØME 1.18 Jon Morten kjøpte tre kinobillettar, og godteri for 60 kr. Han betalte 420 kr til saman. Kor mykje kosta éin kinobillett? Løysing

Éin kinobillett kostar x kr. Då kostar tre billettar 3x kr. I tillegg betalte han 60 kr for godteriet. Då får vi denne likninga: 3x þ 60 ¼ 420 Vi løyser likninga. 3x þ 60 ¼ 420 3x þ 60 60 ¼ 420 60 3x ¼ 360 6 3x 360 ¼ 63 3 x ¼ 120

Vi trekkjer frå 60 på begge sider.

Vi dividerer alle ledda med 3 og forkortar.

Éin kinobillett kostar 120 kr.

1 ALGEBRA

DØME 1.19 Ei teikning av ein liten drone er sett saman av eit kvadrat, to halvsirklar og to rettvinkla og likebeinte trekantar. Sidene i kvadratet er 2r lange. a) Finn eit uttrykk for arealet av figuren uttrykt med r. b) Bruk uttrykket til å finne arealet av figuren når r ¼ 5 cm. Løysing

a) I figuren blir . sidene s i kvadratet ¼ 2r .

radien r i sirkelen ¼ r

sidene g og h i trekanten ¼ 2r

Teikninga har følgjande geometriske figurar Figur Eit kvadrat: To trekantar: To halvsirklar:

Uttrykk for areal 2r 2r ¼ 4r2 2r 2r 2r 2r þ ¼ 2r2 þ 2r2 ¼ 4r2 2 2 r2 r2 2 r2 þ ¼ ¼ r 2 2 2 2

Uttrykk for arealet totalt blir: 4r2 þ 4r2 þ r2 ¼ 8r2 þ 3,14r2 ¼ 11,14r2 b) Vi set inn r ¼ 5 cm og reknar ut arealet. A ¼ 11,14r2 ¼ 11,14 5 cm 5 cm ¼ 278,5 cm2

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM

OPPGÅVER 1.62 Lotte kjøper ny hovudlykt og fire batteri. Hovudlykta kostar 850 kr. Ho betalar 910 kr til saman. Set opp ei likning for å rekne ut kor mykje eitt batteri kostar.

1.63 Figuren nedanfor viser eit symjebasseng i tre dimensjonar (lengd, breidd, høgd). Dei stipla linjene viser korleis bassenget er delt opp i tre seksjonar (delar). 25 m 1,2 m A 2,5 m

15 m

10 m 10 m

a) Rekn ut arealet av vassoverflata til heile bassenget. b) Rekn ut volumet av den djupaste seksjonen (A). a) Rekn ut volumet av seksjonen som er 1,2 m djup. b) Vis at lengda av det skrå golvet i seksjon 2 er omtrent 5,2 m. a) Rekn ut volumet av heile bassenget. b) Kor mange kvadratmeter er dei fire sideveggene på bassenget og botnen til saman?

Ortakoy-moskeen i Istanbul i Tyrkia

1.64 Hanna, Herman og Sara diskuterer kor mykje pengar dei har att etter ferien i Tyrkia. Hanna har dobbelt så mykje som Sara, og Herman har tre gonger så mykje som Sara. Dei har 180 kr att til saman. Kor mange kroner har kvar av dei att etter ferien? 1.65 Skissa viser ein figur som er sett saman av ein likesida trekant ABC, ein halvsirkel AC med sentrum i E og eit sirkelsegment. Sirkelsegmentet er det området som er avgrensa av linjestykket BC og bogen BC, og som er skravert. Sirkelen som bogen BC er ein del av, har sentrum i A. a) Rekn ut omkrinsen av halvsirkelen. b) Rekn ut arealet av halvsirkelen. a) Vis at høgda i trekanten blir ca. 8,7 cm. b) Rekn ut omkrinsen av heile figuren. a) Rekn ut omkrinsen av heile figuren. b) Rekn ut arealet av heile figuren.

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM

C 60° E

60° A

60° 10 cm

1.66 Set opp likningar når du løyser oppgåvene. Tante Klara og onkel Karl er like gamle. Martin er 28 år yngre enn dei. Til saman er dei 104 år. Kor gamle er tante Klara og onkel Karl? Lotte joggar nokre turar kvar veke. Ei veke jogga tre av vennene hennar 2 km lenger enn Lotte, og fire av vennene hennar jogga 3 km kortare enn henne. Til saman jogga dei 114 km. Kor mange kilometer jogga Lotte denne veka? Simen, Hanna og Herman har spart pengar til ferien i SøraustAsia. Hanna har spart 200 kr meir enn Simen, medan Herman har spart 100 kr mindre. Simen brukar alle sparepengane, Hanna brukar halvparten av sparepengane sine, og Herman brukar ein tredel av sparepengane sine. Til saman brukar dei 1900 kr. Kor mykje sparepengar hadde Simen? 1.67 I den likesida trekanten er det teikna inn og fargelagt nokre små likesida trekantar. a) Kor mange små trekantar er det teikna inn langs den eine sida i den store trekanten? b) Kva blir omkrinsen av den store trekanten dersom sidelengda i ein liten trekant er 2 cm? c) Kor mange små trekantar er det plass til i den store trekanten?

Vil eit batteri vege meir, mindre eller vere uforandra når batteriet er tomt for energi?

1 ALGEBRA

1.68 Den kanskje mest kjende formelen i verda er E ¼ m c2 . Han viser samanhengen mellom energi, masse og lysfart. Han gir uttrykk for at energi er masse i rørsle. a) Gjer om formelen med omsyn til massen m. b) Gjer om formelen med omsyn til lysfarten c. 1.69 Sjå på figuren når du løyser oppgåva der diameteren i den vesle sirkelen er lik radien i den store sirkelen.

Rekn ut arealet av den vesle sirkelen når radien i den store sirkelen er 5 cm. Rekn ut arealet av det lilla området når radien i den store sirkelen er 5 cm. Uttrykk arealet av det lilla området ved hjelp av r.

Kva for påstandar stemmer? Grunngi svaret for ein medelev eller i klassen. A: Område A har størst omkrins. B: Område B har størst omkrins. C: Område B har større areal enn A. D: Område A har større areal enn B. E: A og B har same areal. F: A og B har same omkrins.

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM

UNDERVEGSVURDERING 1 1

Faktoriser uttrykka. a) 6xy2 b) 5x 15

c) 6x2 þ 20xy

Rekn ut, og trekk saman til så enkelt svar som mogleg. a) 3ðx 2Þ b) 3ða 2Þ þ a c) Finn eit uttrykk for arealet av rektangelet, og skriv det så enkelt som mogleg. (x – 3) 4

Forkort brøkane så mykje som mogleg. 3x 6x2 y 3x þ 6 b) c) a) 9 3xy xþ2

Trekk saman og skriv svaret så enkelt som mogleg. 2 1 8x 4x 3 x 1 b) þ c) þ a) þ 5 10 9 6 3x þ 3 2x þ 2

Sjå på figuren når du svarar på oppgåva. x

7 x

a) Lag eit uttrykk som viser arealet A av figuren, og skriv det så enkelt som mogleg. b) Rekn ut og trekk saman uttrykket ð2a 2Þða þ 3Þ. c) Rekn ut og trekk saman uttrykket ðx þ 3Þ2 .

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM

Bruk tredje kvadratsetning når du forkortar brøkane. a2 36 xþ7 2x2 50 b) 2 a) c) ða þ 6Þða 6Þ x 72 2x þ 10

Løys likningane. a) x þ 12 ¼ 2 b) 7x 1 ¼ 11 þ 5x c) 8x 2ð2x 3Þ ¼ 12 2x

På figuren er det teikna eit lite kvadrat inne i eit større kvadrat. Arealet av det minste kvadratet er x2 , og sidelengda i det største kvadratet er 2x. x2 a) Kva blir arealet av det minste kvadratet dersom x ¼ 3 cm? b) Kva blir omkrinsen av det største kvadratet dersom arealet av det minste kvadratet er 49 cm2 ? c) Kor mange gonger større er arealet av det største kvadratet enn arealet av det minste kvadratet? d) Rekn ut arealet av det kvite området dersom arealet av det store kvadratet er 144 cm2 .

I ei fiskesuppe skal det vere 500 g fisk til 4 personar. Morten skal lage fiskesuppe til 7 personar. Set opp ein proporsjon, og rekn ut for å finne kor mykje fisk Morten treng til 7 personar.

1 ALGEBRA

Løys likningane. 4 1 a) x ¼ 5 5

1 x þ2¼ 2 4

3 13 2 ¼ 2 x 3

p p 1 flaske vatn. Finn prisen på

= 95 kr

= 55 kr

Joakim og David er i same butikk og handlar. Joakim kjøper to T-skjorter og tre par sokkar. Han betalar 435 kr til saman. David kjøper éi T-skjorte og to par sokkar. Han betalar 240 kr til saman. Set opp eit likningssett og finn prisen på ei T-skjorte og eit par sokkar.

Yasmin og Xander er på tytebærtur. Yasmin plukkar 2 kg meir enn Xander. Dei plukkar 12 kg tyttebær til saman. Dersom Xander plukkar x kg og Yasmin plukkar y kg, får vi dette likningssettet: I) y ¼ x þ 2 II) x þ y ¼ 12 Kor mange kilogram tytebær plukkar kvar av dei? Løys likningssettet grafisk eller ved rekning.

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM

I eit burettslag les dei som bur der, av straumforbruket til golvvarmen. I ein periode brukar Allan 70 kWh meir enn Beate, og Beate brukar 120 kWh meir enn Camilla. Dei tre brukar 2320 kWh til saman. Set opp ei likning og finn ut kor stort straumforbruket var til kvar av dei.

Formelen for arealet A av ein sirkelsektor med gradtal x er r2 x . Bruk dette når du løyser oppgåvene nedanfor. A¼ 360 r x

a) Rekn ut arealet av ein sirkelsektor på 4° med radius r ¼ 5,0 cm. b) Lag ein formel for gradtalet x med omsyn til A og r. c) Bruk formelen og rekn ut gradtalet når A ¼ 19,625 cm2 og r ¼ 5,0 cm.

1 ALGEBRA

Tverrfagleg oppgåve 1 Berekraftsmåla til FN omfattar 17 hovudmål og gjeld for alle landa i verda. Måla skal hjelpe oss med å gjere verda til ein betre stad for alle menneske som lever no, utan å øydeleggje for dei som kjem seinare. Det kallar vi berekraftig utvikling.

Mål 10:

Redusere ulikskap i og mellom land

Fattigdom handlar om meir enn å ha for lite pengar. Fattigdom er mangel på livsviktige ressursar og gode. Fattigdom i eit land gjer det vanskelegare for menneska å leve eit rettferdig og verdig liv. Innbyggjarar i millionar

BNP per innbyggjar

Barnedøying per 1000

Barn per kvinne

Prosentdel som er underernært

Tonn CO2 utslepp per person

32,9

6 454

5,2

25 %

1,29

Sierra Leone

7,6

1 476

109

3,9

26 %

0,19

Honduras

9,3

4 737

2,3

13 %

1,06

Indonesia

273,5

11 609

2,2

1,82

Bolivia

11,7

7 234

2,6

17 %

1,91

Georgia

4,0

10 005

2,0

2,42

331,0

57 638

1,8

16,5

5,5

58 790

1,7

9,27

Nokre utvalde land (tal frå 2020) Angola

USA Noreg

Tabellen viser nokre verdiar som kan samanliknast for å påvise fattigdom eller urettferd blant landa i verda. Noreg og USA er tekne med som referanseland.

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM

Du finn fleire data om andre land på nettsidene til FN-sambandet. . Finn ut kor mange som er underernærte i dei seks øvste landa i tabellen. .

Kor mange gonger høgare er BNP per innbyggjar i Noreg enn i Angola?

Kor mange prosent høgare er BNP per innbyggjar i Noreg enn i Sierra Leone? . Kor mange prosent høgare CO2 -utslepp har USA enn Noreg? .

Kor mange prosent høgare barnedøying har USA og Sierra Leone enn Noreg? . Bruk dataa ovanfor til å lage ulike diagram. .

Lag eigne spørsmål og oppgåver ut frå informasjonen de finn. Presenter dei for medelevar eller for klassen.

TVERRFAGLEG OPPGÅVE

Mål 11:

Gjere byar og lokalsamfunn inkluderande, trygge, robuste og berekraftige.

Verda blir urbanisert i ein fart som vi aldri før har sett maken til. I dag bur rundt 56 % av innbyggjarane på jorda i byar, og prosentdelen kjem til å liggje på omkring 60 % i år 2030. Byane står for omkring 75 % av alle klimautslepp, og store slumområde hindrar fordeling av gode og betre levekår. I 2021 var det omkring 7,8 milliardar menneske i verda. Folketal i milliardar

5 4,5 4 3,5 3

Rural

2,5 2 1,5 1

Urban

0,5 1950

1960

1970

1980

1990

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM

2000

2010

2020

2030

Diagrammet viser utviklinga av kor mange innbyggjarar i verda som bur i byar (urban) og utanfor byar (rural). I dag lever over 1 milliard menneske i slumområde i og rundt byar, og dette talet er venta å vere 2 milliardar i 2030 og 3 milliardar i 2050. Eit slumområde er eit område som er fattig, overbefolka og manglar tilfredsstillande tilgang til trygt drikkevatn, sanitærforhold, offentlege tenester og grunnleggjande infrastruktur (vegar, hamner, flyplassar, straumnett, m.m.) . Kor mange menneske bur det totalt i byområde i dag? .

Omtrent når var det like mange menneske som budde i byar som budde på landet? . Skildre utviklinga til dei to linjene (urban og rural) i diagrammet. .

Korleis trur du dei to linjene (urban og rural) vil utvikle seg i åra mot år 2100? Grunngi svaret. . Kor mange menneske vil det vere i verda i 2030 og 2050 dersom folketalet aukar med 1,1 % årleg? . Lag eit funksjonsuttrykk som skildrar auken i folketalet i verda og teikn grafen til funksjonen når den årlege auken er 1,1 %. . Lag eigne spørsmål og oppgåver ut frå informasjonen. Presenter dei for medelevar eller for klassen. Bosco Verticale i Milano i Italia

TVERRFAGLEG OPPGÅVE