Visualizando a Gravidade

Visualizando a Gravidade: o campo gravítico Michael Fowler Introdução Comecemos com a definição de campo gravítico: O campo gravítico num ponto P do espaço é definido como a força gravítica sentida por uma minúscula massa colocada nesse ponto. Portanto, para visualizar o campo gravítico, nesta sala ou numa escala maior como o Sistema Solar, imagina um vector representando a força gravítica numa massa de um quilograma em muitos pontos diferentes do espaço, e vê como o padrão destes vectores varia de ponto para ponto (nesta sala, claro, não variam muito!). Dizemos “uma pequena massa unitária” porque não queremos que o próprio campo gravítico da massa teste perturbe o sistema. Claramente isto não constitui problema na discussão da gravidade planetária e solar. Para desenvolver uma intuição de como diversos campos gravíticos se parecem, examinaremos uma sequência de sistemas progressivamente mais interessantes, começando com uma simples massa pontual e trabalhando até uma casca esférica, sendo que este último nos permitirá compreender o campo gravítico da Terra, dentro e fora da mesma. Campo criado por uma massa pontual Este é simples: sabemos que o campo tem intensidade GM/r2, e aponta para a massa – a direcção da atracção. Mas desenhemo-lo na mesma ou, pelo menos, alguns vectores mostrando a sua intensidade em diversos pontos:

Esta representação é um pouco inadequada: há muitos espaços em branco e, além disso, o campo atrai em três dimensores; deveria haver vectores apontando para a massa no ar acima (e abaixo) do papel. Mas a figura mostra bem a ideia geral. Um modo diferente de representar o campo é desenhando linhas de campo, curvas tais que em cada ponto, a sua direcção é a direcção do campo nesse ponto. Claro que para a massa pontual, as linhas de campo não trazem nada de novo:

As setas indicam a direcção da força, que é sempre a mesma ao longo da linha de campo. Uma desvantagem da representação com linhas de campo é que apesar de dar uma ideia geral muito boa do campo, não há uma definição precisa da sua intensidade em cada ponto. No entanto, e isso é evidente no diagrama acima, há uma pista: onde as linhas estão mais próximas umas das outras, o campo é mais forte. Obviamente que poderíamos acrescentar uma linha de campo algures, mas se queremos dar uma ideia da intensidade do campo, teríamos de acrescentar outras linhas igualmente espaçadas em torno da massa. Campo gravítico de duas massas O caso mais simples seguinte é o de duas massas iguais, dispostas simetricamente acima e abaixo do eixo dos x:

Recorda que a Lei da Gravitação Universal de Newton afirma que quaisquer duas massas sentem uma atracção gravítica mútua Gm 1 m 2 /r2. Uma massa pontual m=1 em P sentirá uma atracção gravítica em direcção a ambas as massas M, e um campo total igual à soma vectorial destas duas forças, ilustrado pela seta vermelha na figura. O Princípio da Sobreposição O facto de o campo total ser dado simplesmente pela soma dos dois vectores é chamado o Princípio da Sobreposição. Isto pode soar muito óbvio, mas de facto não é verdade para todas as forças em Física: a força forte entre partículas elementares não obedece a este princípio, nem os fortes campos gravítico existentes na proximidade de buracos negros. Mas a simples adição dos vectores funciona muito bem para a gravidade em qualquer situação longe de buracos negros e para campos magnéticos e eléctricos também. Finalmente, a sobreposição funciona para qualquer número de massas, não apenas duas: o campo gravítico total é a soma vectorial dos campos gravíticos individuais. Newton usou este argumento para provar que o campo gravítico no exterior de uma esfera sólida era o mesmo que se a massa estivesse toda concentrada no seu centro, imaginando que a esfera era composta por muitas pequenas massas – com efeito, fazendo um integral, como discutiremos adiante. Ele também invocou a sobreposição para calcular a órbita da Lua com precisão, tomando em consideração a gravidade do Sol e da Terra. Exercício: Para o caso anterior de duas massas, esboça o vector campo gravítico em alguns outros pontos: olha primeiro para o eixo dos x, e depois para longe dele. Como é que se parecem as linhas de campo neste caso? Esboça-as na vizinhança da origem. Intensidade do campo num ponto equidistante das duas massas Não é difícil encontrar uma expressão exacta para a intensidade do campo gravítico num ponto P equidistante de ambas as massas. Escolhe os eixos x,y tais que as massas estejam no eixo dos y nos pontos (0, a) e (0,-a).

Por simetria, o campo em P tem de apontar ao longo do eixo dos x, portanto tudo o que temos de fazer Ê calcular a intensidade da componente x do campo gravítico de uma das massas, e multiplicar por dois. Se a distância do ponto P a uma das massas for s, a força gravítica em direcção a essa massa tem intensidade GM/s2. Esta força tem uma componente ao longo do eixo dos x, igual a (GM/s2)cos ��, onde ι Ê o ângulo entre a linha do ponto P à massa e o eixo dos x, portanto a força gravítica numa massa unitåria em P Ê (GM/s2)cos �� e estå dirigida ao longo do eixo dos x. Do diagrama, cos ��=x/s, logo a força por unidade de massa em P Ê:

na direcção do eixo dos x. Nota que a força Ê exactamente zero na origem, e aponta para a origem em qualquer outro ponto. Campo gravítico de um anel de massa Agora, desde que olhemos apenas para o eixo dos x, esta formula funciona tambÊm para um anel de massa 2M no plano y,z! É apenas uma versão tridimensional do argumento anterior, e pode ser visualizado rodando o diagrama das duas massas em torno do eixo dos x, para dar um anel perpendicular ao papel, ou imaginando o anel feito de muitas contas, e tomando as contas aos pares.

Resumindo: o campo de um anel de massa total M, raio a, num ponto P a uma distância x do centro ao longo do eixo é:

*Campo no exterior de uma casca esférica maciça Esta á uma secção opcional: podes saltar com segurança para o resultado na última linha. De facto, existe uma forma fácil de derivar este resultado utilizando o Teorema de Gauss para a Electricidade e Magnetismo. Apenas coloco esta secção para que possas ver que este resultado pode ser derivado de forma imediata, mas bastante trabalhosa, pelo método de adição das atracções gravíticas individuais de todos os bocadinhos que constitutem a casca esférica. Então e o campo gravítico criado por uma casca esférica (oca) de matéria? Uma casca deste tipo pode ser vista como uma soma de anéis.

Para achar o campo gravítico no ponto P, simplesmente somamos as contribuições de todos os anéis da “pilha”.

Por outras palavras, dividimos a casca esfĂŠrica em “zonasâ€? estreitas: imagina cortar uma laranja em fatias circulares com cortes paralelos, perpendiculares ao eixo – mas claro que a nossa casca ĂŠ apenas a casca da laranja! Uma dessas fatias dĂĄ um anel de casca, correspondendo Ă superfĂ­cie entre duas latitudes, as duas linhas paralelas no diagrama acima. Repara que este “anel de cascaâ€? terĂĄ raio đ?‘Žđ?‘Ž sin đ?›łđ?›ł , perĂ­metro 2đ?œ‹đ?œ‹đ?œ‹đ?œ‹ sin đ?›łđ?›ł e arco đ?‘Žđ?‘Žđ?‘Žđ?‘Žđ?‘Žđ?‘Ž, onde tomamos đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘ como sendo muito pequeno. Isto significa que a ĂĄrea do anel de casca ĂŠ comprimento Ă— arco = 2đ?œ‹đ?œ‹đ?œ‹đ?œ‹ sin đ?›łđ?›ł Ă— đ?‘Žđ?‘Žđ?‘Žđ?‘Žđ?‘Žđ?‘Ž. Portanto, se a casca tiver massa Ď por unidade de ĂĄrea, o anel tem massa 2đ?œ‹đ?œ‹đ?‘Žđ?‘Ž2 đ?œŒđ?œŒ sin đ?œƒđ?œƒđ?œƒđ?œƒđ?œƒđ?œƒ, e a força gravĂ­tica no ponto P devida ao anel serĂĄ

Agora, para achar a força gravĂ­tica total no ponto P devida Ă casca toda temos de somar as contribuiçþes de cada um destes anĂŠis, os quais, todos juntos, constituem a casca. Por outras palavras, temos de integrar a expressĂŁo anterior de đ?œƒđ?œƒ = 0 a đ?œƒđ?œƒ = đ?œ‹đ?œ‹. Portanto o campo gravĂ­tico ĂŠ:

. De facto, este integral nĂŁo ĂŠ nada fĂĄcil! đ?œƒđ?œƒ, đ?‘Ľđ?‘Ľ e s estĂŁo todos a variar! A maneira mais fĂĄcil ĂŠ mudar de variĂĄvel de đ?œƒđ?œƒ para s. Se a distância do ponto P ao centro da esfera for r, entĂŁo do diagrama đ?‘ đ?‘ 2 = đ?‘&#x;đ?‘&#x; 2 + đ?‘Žđ?‘Ž2 − 2đ?‘Žđ?‘Žđ?‘Žđ?‘Ž cos đ?œƒđ?œƒ. Como a e r sĂŁo constantes, entĂŁo đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ = đ?‘Žđ?‘Žđ?‘Žđ?‘Ž sin đ?œƒđ?œƒđ?œƒđ?œƒđ?œƒđ?œƒ e

Agora đ?‘Ľđ?‘Ľ = đ?‘ đ?‘ cos đ?›źđ?›ź, e do diagramađ?‘Žđ?‘Ž2 = đ?‘&#x;đ?‘&#x; 2 + đ?‘ đ?‘ 2 − 2đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ cos đ?›źđ?›ź, logo đ?‘Ľđ?‘Ľ = đ?‘€đ?‘€,

đ?‘ đ?‘ 2 +đ?‘&#x;đ?‘&#x; 2 −đ?‘Žđ?‘Ž 2 2đ?‘&#x;đ?‘&#x;

e escrevendo 4đ?œ‹đ?œ‹đ?‘Žđ?‘Ž2 đ?œŒđ?œŒ =

A derivação foi bastante longa, mas a resposta Ê bastante simples: O campo gravítico fora de uma casca esfÊrica uniforme Ê GM/r2 em direcção ao centro. E hå um bonus: para o anel apenas calculåmos o campo ao longo do eixo, mas para a casca esfÊrica, uma vez calculado para uma direcção sabemos tudo, pois devido à simetria o campo tem de ser o mesmo em todas as direcçþes. Campo no exterior de uma esfera sólida Agora que sabemos que o campo gravítico no exterior de uma casca esfÊrica de matÊria Ê o mesmo que se a massa estivesse toda concentrada no seu centro, Ê fåcil calcular o campo no exterior de uma esfera sólida: Ê apenas um conjunto de cascas, como bonecas Russas esfÊricas. Somando-as, O campo gravítico fora de uma esfera sólida uniforme Ê GM/r2 em direcção ao centro. Hå um bónus adicional: uma vez que chegåmos a este resultado somando cascas esfÊricas uniformes, ele ainda Ê verdadeiro se as cascas tiverem diferentes densidades, desde que a densidade de cada casca seja a mesma em todas as direcçþes. As cascas mais interiores podem ser muito mais densas que as exteriores – como de facto acontece na Terra. Campo dentro de uma casca esfÊrica

Este ĂŠ, na realidade, surpreendentemente simples! Imaginemos que a casca esfĂŠrica ĂŠ muito fina, com uma

densidade de massa Ď por unidade de ĂĄrea. Comecemos por desenhar dois cones radiando do ponto P, de modo a que incluam duas pequenas ĂĄreas da casca em lados opostos: estas duas ĂĄreas exercerĂŁo numa massa em P uma atracção gravĂ­tica com sentidos opostos uma da outra. De facto, anulam-se exactamente! Isto ĂŠ porque a razĂŁo das ĂĄreas A 1 e A 2 Ă distância r 1 e r 2 respectivamente, ĂŠ dada por A 1 /A 2 =r 1 2/r 2 2. Uma vez que os cones tĂŞm o mesmo ângulo, se um cone tiver o dobro da altura do outro, a sua base terĂĄ o dobro do diâmetro, e consequentemente quatro vezes a ĂĄrea. Uma vez que as massas dos bocadinhos da casca sĂŁo proporcionais Ă s ĂĄreas, a razĂŁo das massas das bases do cone ĂŠ tambĂŠm r 1 2/r 2 2. Mas a atracção gravĂ­tica em P devida a estas massas vai com Gm/r2, e o termo r2 anula o termo nas ĂĄreas, de modo que as duas ĂĄreas opostas exercem forças iguais e de sentidos opostos em P. De facto, a força gravĂ­tica de todos os bocadinhos da casca ĂŠ balançada por a de outro bocadinho no lado oposto – sĂł tens que construir muitos cones atravĂŠs de P para ver isto. (HĂĄ um pequeno pormenor: a linha do ponto P para a superfĂ­cie da esfera irĂĄ em geral fazer um ângulo com a superfĂ­cie. Contudo, farĂĄ o mesmo ângulo no lado oposto, de modo que os efeitos anulam-se e as ĂĄreas das bases dos dois cones opostos ainda estĂŁo na razĂŁo dos quadrados das distâncias r1 e r2). Campo dentro de uma esfera: como varia g ao descer uma mina? Esta ĂŠ uma aplicação prĂĄtica dos resultados para as camadas. Ao descer uma mina, se imaginarmos a Terra como uma sobreposição de camadas, estaremos dentro de uma casca de espessura igual Ă profundidade da mina, logo nĂŁo sentiremos nenhuma atracção devida a essa parte da Terra. Contude, estaremos mais perto das restantes camadas, de modo que a sua atracção estarĂĄ intensificada.

SupĂľe que descemos do raio terrestre r T para um ponto a uma distância r do centro da Terra. Que fracção da Terra ĂŠ que ainda nos estĂĄ a atrair? Vamos simplificar a vida por agora e assumir que a densidade da Terra ĂŠ uniforme, Ď , por metro cĂşbico. EntĂŁo a fracção da massa da Terra que ainda nos estĂĄ a atrair (porque estĂĄ mais perto do centro do que nĂłs) ĂŠ

���������� ����������

4

4

đ?‘&#x;đ?‘&#x; 3

= 3 đ?œ‹đ?œ‹đ?‘&#x;đ?‘&#x; 3 / 3 đ?œ‹đ?œ‹đ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘‡đ?‘‡ 3 = đ?‘&#x;đ?‘&#x; 3 . đ?‘‡đ?‘‡

A atracção gravítica desta massa no fundo da mina, a uma distância r do centro da Terra, Ê proporcional a massa/r2. Vimos agora mesmo que a massa Ê proporcional a r3, logo a força gravítica sentida Ê proporcional a r.

Isto ĂŠ o mesmo que dizer que a força gravĂ­tica Ă medida que descemos a mina ĂŠ linearmente proporcional Ă distância ao centro. Uma vez que jĂĄ sabemos que a força gravĂ­tica numa massa m Ă superfĂ­cie da Terra ĂŠ đ?‘&#x;đ?‘&#x; mg, ĂŠ imediato que na mina essa força tem de ser đ??šđ??š = đ?‘šđ?‘šđ?‘šđ?‘š đ?‘&#x;đ?‘&#x; . đ?‘‡đ?‘‡

Portanto não hå força nenhuma no centro da Terra – tal como esperaríamos, as massas atraem igualmente em todas as direcçþes.

Tradução/Adaptação Casa das Ciências 2009