Issuu

11.2 ANÁLISE SUPERIOR

110

Pรกgina em branco

BIBLIOGRAFIA INICIAL

GEORGES VALIRON - ThĂŠorie des Fonctions, Masson et Compagnie, Paris, 1948. OSGOOD - Functions of Complex Variable, Steehert, N. Y.. AHLFORS - Complex Analysis, Me Graw and Hill, N. Y. ou Londres, 1953. " CARATHEODORY - Theory of Functions, Chelsea, N. Y., 1954.

112

Pรกgina em branco

INTRODUÇÃO

Entre a Análise Real e a Análise Complexa existe uma diferença fundamental que convém desde já salientar. Quando se trata de uma função real de variável real, isto é, de uma função y = f(x), em que tanto a variável independente, x, como a variável dependente, y, tomam como valores números reais, pode acontecer que a função admita primeira derivada, f'(x), num dado intervalo, sem admitir aí segunda derivada, ou que admita segunda derivada, sem admitir terceira, etc. Pode também acontecer que f(x) seja indefinidamente derivável num intervalo, isto é, que tenha aí derivadas finitas de todas as ordens, mas que não seja representável pela sua série de Taylor numa vizinhança dum ponto Xo do intervalo: (x - XO)2 f" (x - xo)n () f( Xo ) + (x - Xo ) f '() Xo + 2! (xo) + ... + n! f n (xo) + ... ,

isto é, pode suceder que a soma desta série não coincida com f(x) em todos os pontos x interiores ao intervalo de convergência (1). De todos estes casos poderíamos dar inúmeros exemplos.

(1) Pode mesmo suceder que o raio de convergência seja nulo.

114

Pelo contrário, quando se trata de uma função complexa da variável complexa, ou seja, de uma função w = fez), em que tanto a variável independente, z, como a variável dependente, w, tomam como valores números complexos, verifica-se, como veremos, o seguinte facto, deveras notável:

Se a função admite primeira derivada finita(l) nos pontos interiores de um domínio plano, admite necessariamente derivadas de todas as ordens nesses pontos e é representável pela sua série de Taylor, numa vizinhança de cada ponto interior ao domínio. Exprime-se este último facto dizendo que a função é analítica no interior do domínio D considerado. Assim, de uma hipótese tão simples, como é a da existência de primeira derivada finita no interior de D, resulta para as funções de variável complexa uma série de consequências importantes e, como veremos, uma grande riqueza de propriedades, que tornam as funções analíticas extremamente regulares, cómodas, manejáveis - extremamente bem comportadas (2). Esse "bom comportamento" cessa precisamente em certos pontos da fronteira do domínio em que há derivada - pontos singulares, cujo estudo tem, igualmente, uma importância fundamental na teoria das funções analíticas, para um perfeito conhecimento das mesmas. Da grande riqueza de propriedades das funções analíticas resulta não só a perfeição formal da sua teoria (que é, sem dúvida, uma das mais belas e harmoniosas de toda a Matemática), mas também uma (1) Como veremos, a definição de derivada para funções de variável complexa é idêntica à que se dá para funções de variável real (como limite da razão incremental). (2) Em linguagem intuitiva, não rigorosa, da Matemática, uma função diz-se tanto mais regular quanto mais propriedades possui, a facilitar o seu estudo. Assim, uma função derivável é mais regular do que uma função contínua, uma função com segunda derivada contínua é mais regular do que uma que tenha só primeira derivada, etc.

115

excepcional importância nas aplicações à Física e à Técnica, especialmente à Electrotecnia: todo o matemático aplicado precisa de ter conhecimentos, não apenas superficiais, da teoria das funções analíticas.

Nótula histórica. A teoria das funções analíticas de uma variável complexa ficou praticamente concluída no século passado principalmente por obra de CAUCHY (que se apoiou sobre os conceitos de derivada e de integral para tais funções) e de WEIERSTRASS (que baseou a teoria, de preferência no estudo das séries de potências). Mas já o mesmo se não pode dizer a respeito da teoria das funções analíticas de mais de uma variável complexa; essa encontra-se hoje em plena evolução. E" provável que, em 1961, tenha lugar em Lisboa um simpósio sobre funções de variáveis complexas, no qual tomarão parte os principais especialistas mundiais sobre o assunto. Como base do estudo das funções analíticas, convém começar por recordar as noções fundamentais sobre números complexos aprendidos em Matemáticas Gerais. Para isso, recomenda-se a leitura de todo o Capítulo I do Curso de Álgebra Superior, 2.° volume, do Prof. J. VICENTE GONÇALVES. Entretanto, para facilitar essa recapitulação, vamos aqui fazer uma breve resenha de tais noções, chamando a atenção para alguns pontos essenciais.

116

Pรกgina em branco

CAPíTULO IX TRANSFORMAÇÃO DE LAPLACE

1. Definição e notações

Seja f uma função complexa de variável real, definida no intervalo [0, + oo[ , e consideremos o integral

f+oo

(1)

e-stf(t)dt,

em que s é uma parâmetro complexo, s=x+iy. Suponhamos que existe, pelo menos, um valor de s, para o qual este integral é convergente. Então, a fórmula (2)

F(s) =

e-"f(t)dt

define uma função complexa F de variável complexa, no conjunto dos pontos s do plano para os quais aquele integral é convergente. Pois bem, a função F assim obtida é chamada imagem (ou transformada) de Laplace da função f dada e, para indicar este facto, pode escrever-se:

ou, simplesmente, F=5:Ef.

534

A 1~ notação usa-se quando se pretende indicar quais são as variáveis independentes da função dada e da função obtida; a 2~ quando se quer indicar só a variável independente da função dada. É claro que, tal como no caso da transformação de Fourier, é arbitrária a escolha das letras que representam estas variáveis, bem como as que representam as funções dada e obtida (I). O que interessa é a correspondência f ~ F assim estabecida entre certas funções f de variável real e certas funções F de variável complexa. É essa correspondência que é chamada transformação de Laplace e designada por 9?,. Exemplos - 1) Seja f(t) = e at , em que a designa um número complexo qualquer. Ora,

fT e-st eatdt = fT eCa-s)tdt = [ eCa-s)t ] T= _e_ca_-_S)_T

1 a-s

sendo T um número qualquer. Como leca-s)TI = eTReCa-s) ,

a função eCa-s)T, quando T ~ + 00, tende para zero ou para infinito, conforme Re (a - s) < O ou Re (a - s) > O. Por conseguinte, o integral considerado será convergente, se e só se for Re (a - s) < O, isto é, quando Re s > Re a. Será pois, segundo a definição: 9?,t[e at ;s] =

L o

eCa-s)tdt=

1 s- a

para Res>Rea.

Em particular, para a = O, tem-se e at =1 e, portanto, 9?,J1;s]

=-1 s

ou ainda 9?,[1]

1 =-,

para Res>O.

(1) Muitos autores empregam, sistematicamente, a letra p, em vez de s, para variável das

imagens de Laplace. Também é frequente usar a letra F para a função dada e a letra f para sua imagem de Laplace, ao contrário do que fazemos aqui. Na leitura dum livro sobre o assunto, convém estar atento às convenções adoptadas neste sentido.

535

2) Seja f(t) = 1 para t> a e f(t) = O para t< a, sendo a um número positivo. Então, um cálculo semelhante ao anterior, mostra que

es- a

;;E[fJ = - , para Res > o.

3) Seja f(t)

=senht, com h> O. Como e iht _ e-iht senht=---2i

é fácil ver, aplicando o resultado do 1~ exemplo, que para Re s > O ;;Et [senht,

1 (1 - 1) = 2i s - ih s + ih

+ h2

2. Campo de existência. Funções de tipo exponencial à direita

Segundo a definição anterior, o campo de existência da transformação ;;E é formado por todas as funções complexas f de variável real, que tomam convergente o integral de Laplace (1), pelo menos para um valor complexo de s. Dizem-se L-transformáveis essas funções f, que possuem imagem de Laplace. Tal como no caso da transformação de Fourier, não é fácil caracterizar a classe das funções L-transformáveis. O próprio termo "convergente" aqui empregado é susceptível de diversas interpretações. Por isso, limitaremos o estudo da transformação de Laplace a uma classe particular de funções, que é largamente suficiente na prática, sobretudo quando se introduzem distribuições. Chamaremos função de tipo exponencial à direita toda a função f para a qual se possam determinar constantes reais M , ex, totais que

I f(t) I<Me u t , Como exemplo trivial de funções de tipo exponencial à direita temos as próprias funções do tipo e at • Mas é fácil ver que também são de tipo exponencial à direita as funções racionais inteiras e, mais geralmente, as funções algébricas localmente somáveis, em [O, +00[, tais como VI + x 2 , l/Vx, etc., etc.

536

Para ver, por exemplo, que toda a potência t m de t é de tipo exponencial à direita, basta lembrar que tmle t -7 quando t -7 + 00 e que, portanto, existe um número to tal que t m< e t para t> to'

CONVENÇÃO. Para comodidade de exposição, designaremos por A a classe de todas as funções localmente somáveis no intervalo [0, + 00 [ , que são do tipo exponencial à direita (1). A soma de duas funções pertencentes a A ainda pertence a A. Com efeito, se for

virá, designando por y o maior dos números a, dos números to' tI:

e por

o maior

If(t) + g(t) 1< (M + N)e Yt , V t> 't. Por outro lado, é imediato que o produto de uma função da classe A por um número complexo ainda pertence à classe A. Assim, em resumo: PROPOSIÇÃO 2.1. A classe A é um sub-espaço vectorial do espaço das funções localmente somáveis em [0, + 00 [. Analogamente se verifica que o produto de duas funções de A ainda pertence a A, desde que seja localmente somável em [0, + 00[. Em particular: PROPOSIÇÃO 2.2. O produto de uma função fEA por qualquer potência t mde t, com m > 0, ainda pertence a A. Basta notar que t m é do tipo exponencial à direita e que, em virtude da hipótese, a função tmf(t) é somável em todo o intervalo [0, a], com a finito, por ser o produto de uma função limitada por uma função somável nesse intervalo (Capítulo VII). (1) É claro que uma função será localmente somável em [0, +00[, quando for somável em todo

o intervalo [0, a] com a finito. Tal é, por exemplo, a função ltvX, mas não a função lIx.

537

PROPOSIÇÃO 2.3. Toda a primitiva de uma função pertencente a A ainda pertence a A. Com efeito, da relação

deduz-se

e, se adicionarmos uma constante arbitrária à primitiva de f considerada, não saímos de A (PROPOSIÇÃO 2.1). Resta-nos ver que toda a função da classe A é L-transformável. Isso resulta do seguinte TEOREMA FUNDAMENTAL. Se f é uma função da classe A, existe um número real a tal que o integral de Laplace

f~ r"f(t)dt

(1)

é absolutamente convergente quando Re s > a. A função F(s) assim

definida (imagem de Laplace de f) é holomoifa no semi-plano aberto Res>a, e tem-se F'(s)=-~t[tf(t)],

para Res>a.

Ims~----~----~s

Res

538

Demonstração. a) Suponhamos verificada a hipótese. Então, existem M, a e to tais que (2)

Além disso, como f é localmente somável, a função e-stf(t) de t, para cada sEC, é somável em todo o intervalo [a, b], com O ~ a < b < + 00, por ser aí o produto de f pela função somávellimitada e- st. Ora, como vimos no n~ 1, Exemplo 1), o integral

é absolutamente convergente, quando Re s > a. Então, aplicando o CRITÉRIO DE CONFRONTO aos integrais

vê-se que o primeiro é convergente quando Re s > a e que, portanto, o integral de Laplace (1) é absolutamente convergente quando Re s > a. b) Seja So um número complexo qualquer tal que Re So > a. Para todo o sEC, tem-se:

539

Seja, agora,

um número real tal que u < ~ < Reso' Então, tem-se

ou seja, Ie-at I ::::; e-~t, quando Re (J' > ~ (com t ~ O) e assim virá, por majoração do anterior integral: (3)

quando Is - sol < Õ, sendo Õ= Re So - ~. Para provar que se pode derivar o integral de Laplace, no ponto so' sob o sinal de integral, basta, agora, demonstrar, segundo a doutrina do Capítulo VII, n~ 5, que afunção do 2.° membro de (3) é somável em [0, + 00 [. Ora, para isso, basta notar que se for y um número real tal que u<y<~, a função e-ytf(t) é somável entre e +00, como se provou em a), e que

te-~tf(t)

te-ytf(t)

t e(~-y)t

0, quando

t ~

+00.

Podemos, pois, derivar sob o sinal de integral:

ou seja, dum modo geral: D s 5e[f(t)] = - 5e[tf(t)], quando Res>u,

(q.e.d.).

A última fórmula pode ainda escrever-se: (4)

5e[- tf(t)] = D s 5e[f(t)]

isto é: A transformação de Laplace converte a multiplicação por - t na derivação em ordem a s.

540

Exemplos importantes - Já vimos no n? 1, que 5:Et e at = 1/(s-a). Daqui e da fórmula (4) deduz-se, desde logo, que

Em particular:

n'. , n=O, 1,2, .... 5:Et [t n ] = _ sn+l

Ora, esta fórmula pode ser estendida ao caso de um expoente complexo a real ou imaginário qualquer, com Re a > -1, recorrendo à Função Gama. Para obter 5:Et [t a ], basta efectuar a substituição x=st no integral de Laplace, o que dá

Ora, o integral do 2? membro é, precisamente, a função gama de a+ 1. Assim, (f)

J...,

[ta] __ r(a + 1) , para R IO ea>-, s> . sa+l

Por exemplo, tem-se

5:E[_1_] = r(1/2) \Ít

\1.5'

ou ainda, por ser r(1/2) = Vi :

x[~]=~. Note-se que a função 1/ \Ít se torna infinita na origem, mas é localmente somável em [0, + 00 [ • NOTA. Em vez do anterior TEOREMA FUNDAMENTAL, é costume demonstrar, na teoria de transformação de Laplace, um outro teorema bastante mais geral:

541

Se f é uma função L-transformável, existe um número real O' tal que o integral de Laplace relativo a f é convergente para Res>O' e divergente para Res<O', representando uma função de s holomoifa no semi-plano aberto Res>O'. Este número O' (chamado abcissa de convergência do integral de Laplace) desempenha, assim, um papel análogo ao do raio de convergência duma série de potências, e o semi-plano Res>O' (chamado semi-plano de convergência) um papel análogo ao do círculo de convergência. Porém, ao contrário do que sucede com as séries de potências, o integral de Laplace pode não ser absolutamente convergente no interior do semi-plano de convergência (conhecem-se exemplos simples desse facto). Não necessitamos deste teorema geral, de interesse essencialmente teórico. Mas convém registá-lo. Pode acontecer, em particular, que seja O' = - 00; então, a imagem de Laplace de f é uma função inteira. Quando tal não sucede, a imagem de Laplace é apenas definida num semi-plano, mas será, muitas vezes, prolongável analiticamente a outros domínios do plano, gerando aí uma função analítica global. Por exemplo, já vimos que o integral

é convergente, se e só se Res>Rea, sendo, então, igual a 1/(s-a). A abcissa de convergência deste integral é, pois, Re a; mas a função de s por ele definida estende-se a todo o plano, excepto o ponto a, gerando, assim, a função meromorfa 1/(s-a), com o pólo simples a. Também pode acontecer que a função analítica global gerada pela imagem de Laplace F seja pluriforme; mas é claro que a imagem de Laplace será apenas um ramo dessa função. 3. Linearidade da transformação de LAPLACE

Sejam f, g duas funções da classe A. Então, em virtude do TEOREMA FUNDAMENTAL, existirá, pelo menos, um número real p tal que os integrais de Laplace correspondentes sejam convergente para Res>p. Deste modo, se forem a e b duas constantes complexas quaisquer, o integral

542

L+= e-"[af(t) + bg(t)]dt será também convergente para Re s > p, sendo, então, igual a

Podemos, pois, escrever

5t[af + bg]

=a5t[f] + b5t[g] ,

se chamarmos soma de duas imagens de Laplace, <p e "', de funções dadas, à imagem de Laplace que coincide com <p(À) + ",(À) em algum semi-plano Res>a. Exprime-se este facto dizendo que a transformação de Laplace é uma aplicação linear do espaço vectorial A sobre o espaço 5t (A) das respectivas imagens.

4. Efeito da transformação de LAPLACE sobre a derivação O efeito da transformação de Laplace sobre a operação de derivação é semelhante ao da transformação de Fourier, com ligeira diferença: TEOREMA 4.1. Se f admite derivada f'EA, tem-se (1)

1.1:[Dfl = s.1:[fl- f(O) ·1

Demonstração. Suponhamos verificada a hipótese. Então, será: (2)

r"f'(t)dt

=[e-"f(t)]~ +

e-"f(t)dt,

para todo o número real T> Oe todo o sEC. (1) (1) Como já sabemos (Capítulo VII, n.o 7), esta fórmula é válida não só quando f' é contínua,

mas, muito mais geralmente, quando presente, em virtude da hipótese.

é somável em [O, T), como sucede no caso

543

Além disso, como f'EA, também fEA (PROPOSIÇÃO 2.3), e existem, portanto, constantes M, a e to tais que

Então será, para t > to :

Ie-stf(t) I::::; IMe(a-S)tl = MetRe(a-s) , e, como Re(a-s)<O quando Res>a, tem-se lim e-stf(t) = O, quando Res>a. t~+oo

Logo, passando ao limite em (2), quando T --7 + 00 ,

para Res>a, o que conduz imediatamente à tese (q.e.d.). OBSERVAÇÃO. É claro que a fórmula (1) é apenas uma abreviatura da seguinte proposição: Existe um número real a tal que, no semi-plano Re s > a, a imagem de Laplace de f' coincide com o produto de s pela imagem de Laplace de f, menos f(O).

Em símbolos da Lógica Matemática:

:3 aER

Res>a

=7 5Et [f'(t) ;s] = s5Et [f(t) ;s] -

f(O).

Em particular, se f(O) = O, tem-se 5E[Df] = s5E[f] ,

e podemos dizer que, neste caso, a transformação de Laplace transforma a derivação em multiplicação por s.

544

Sendo assim, é fácil ver que se tem:

.P[fl =

s.p,[E f('t)d't}

VfEA.

Esta fórmula pode ainda escrever-se:

isto é: A transformação de Laplace converte a integração entre O e t na divisão por s. Efeito sobre as derivações de ordem superior à primeira. Suponhamos que i admite derivada j<n)EA. Então, admite igualmente derivadas i(k)EA, para k= 1, ... , n-l (PROPOSIÇÃO 2.3), e virá, segundo o TEOREMA 4.1 : ~[i']

= s~[i] - i(O)

~ [i"] = s~ [i'] - i' (O)

donde ~[i"] = s2~[i] - si(O) - i'(O) .

Mais geralmente, pode estabelecer-se, por indução matemática, que

Se i e todas as suas derivadas forem nulas no ponto zero, será, simplesmente,

545

5. Efeito da transformação de LAPLACE sobre as translações

Na transformação de Laplace, dada pela fórmula (1)

supõe-se a função f definida apenas no intervalo [0, + 00 [. Mas nada impede que a função f seja definida em toda a recta, embora seja apenas a sua restrição àquele intervalo que intervém no integral. Ora, a transformação de Laplace pode ser definida, mais geralmente, pela fórmula +00

(2)

F(s) =

1 -00

e-stf(t)dt,

tomando, então, o nome de transformação bilateral de Laplace. Mas note-se que esta coincide com a transformação unilateral de Laplace, definida por (1), quando a função f é nula à esquerda da origem, isto é, quando f(t) =0, para t<O.

Ora, muitas vezes, na transformação de Laplace usual, definida por (1), é cómodo supor a função f prolongada para a esquerda da origem, sempre com o valor zero. Convém fazê-lo, por exemplo, ao estudar o efeito da transformação de Laplace sobre as translações. Como vimos, a propósito da transformação de Fourier, sendo f uma função de variável real e h um número real qualquer, a translatada (h) de f, que se designa por 'thf, é a função f(t-h) de t. Se a função f é real, o gráfico de 'thf resulta do gráfico de f por uma translação de amplitude h. Então, se f não é definida à esquerda da origem, 't hf não será definida à esquerda do ponto h. Se f for definida e nula à esquerda da origem, 't hf é definida e nula à esquerda do ponto h.

546

f(t)

, '--v--------'

Suponhamos, pois, f definida e nula à esquerda da origem e h;:::: O. Então, será ~t[f(t -

f+oo

h); s] = Jo e-stf(t - h)dt

+00 e-S(U+h)f(u)du = e-sh L+OO e-stf(t)dt,

1 -h

ou seja:

ou ainda, abreviadamente: (3)

Assim, em conclusão: Supondo o número real h ;:::: O e a função f definida e nula à esquerda da origem, a transformação de Laplace transforma 'th na multiplicação por e-hs . Note-se que este resultado pode ser estendido ao caso h<O, se adoptarmos, mais geralmente, a transformação bilateral de Laplace, definida por (2). Aliás, com a transformação de Laplace usual tem-se, reciprocamente, qualquer que seja o número real h, como é fácil verificar: ~Jehtf(t)]

= F(s - h),

sendo F = ~[f],

547

ou, ainda, designando por 'thF a função F(s-h) de s (translatada (h) deF):

Assim, a transformação de Laplace em ordem a t transforma a multiplicação por e ht na translação 'th, qualquer que seja o número real h. 6. Inversão

O problema da inversão para a transformação de Laplace põe-se em termos análogos aos do problema correspondente para a transformação de Fourier, e pode mesmo reduzir-se a este último, como vamos ver. Dada uma função f EA, ponhamos

f(t) =f(t) para t ~ O, f(t) =O para t< 0(1). Então, o integral de Laplace pode escrever-se: (1)

+oo

-00

e-stJ(t)dt = F(s).

Ora, sabemos que existe um número real ex tal que este integral é absolutamente convergente para Re s > ex. Tomemos arbitrariamente um outro número real c> ex e ponhamos (ver figura mais adiante, . comy=-v): s=c-zv, g(t)

=e-ctf(t),

G(v)

=F(c-iv).

Então, o integral de Laplace acaba por assumir a forma de integral de Fourier. Na verdade, tem-se: G(v) =

+oo

-00

eivtg(t)dt,

\7'vER,

(1) É claro que, se f é já d~nida e nula à esquerda da origem, esta operação de prolongamento é inútil, tendo-se f =f.

548

o que mostra ser G a imagem de Fourier de g. Então, se g verifica certas condições (se é, por exemplo, seccionalmente regular ou, mais geralmente, de variação limitada em todo o intervalo limitado), podemos aplicar a FÓRMULA DE INVERSÃO DE FOURIER, que dá

1+ e-itvG(v)dv, 00

g(t) = - 1 v. p. 2n

(2)

-00

em todo o ponto t de continuidade de g, devendo substituir-se g(t) pela semi-soma dos limites laterais nos pontos de descontinuidade. Multiplicando ambos os membros de (2) por e ct e substituindo v por - y, vem, manifestamente,

1+ et(C+iY)F(c + iy)dy, 00

f(t) = - 1 v. p. 2n

_00

para t;:::: 0, sendo o integral nulo para t < O. Mas a função integranda coincide, agora, com etsF(s) sobre a recta Re s = c. Notando que o integral desta função sobre o segmento orientado de origem = c - iy e extremidade z = c + iy, com y > 0, é

~z e tSF(s)ds = i fY et(c+iY)F(c + iy)dy,

J- y

a anterior fórmula pode escrever-se, mais simplesmente, (3)

1 LC+OOi f(t) = - . v. p. etsF(s)ds, 2nl c-ooi +00

y ----------- --------

z s=c+iy

-y -00

----------- ---- -- --

549

em que o 2? membro, à parte o coeficiente 1/(2rci), designa o limite do anterior integral, quando y--7 + 00. (É claro que os símbolos c+ooi, c-ooi não têm, aqui, significado próprio: estão, apenas, a indicar, abrevidamente, que se trata de um integral sobre recta Re s = c, orientada de baixo para cima). A fórmula (3) é a chamada FÓRMULA DE INVERSÃO DE RIEMANN, aplicável, por exemplo, na hipótese em que f é seccionalmente regular. Fornece, então, o valor f(t) da função em todo o ponto t ~ O em que f é contínua, devendo f(t) substituir-se pela semi -soma dos limites laterais nos restantes pontos t ~ O (para t < O o valor dado pela fórmula é zero). (1) Aplica-se, também, na hipótese em que F é somável sobre a recta Re s = c (isto é, em que F( c + iy) é uma função de y somável sobre o eixo real), fornecendo, então, o valor de f em quase todos os pontos t ~ O. (ver Capítulo VIII, n? 4, e)). Mas neste caso dispensa-se a indicação "v. p." antes do integral, visto este ser, então, convergente (quer dizer, é convergente o integral de F (c + iy) em ordem a y entre -ooe+ oo . Além da FÓRMULA DE RIEMANN, têm sido estabelecidas outras fórmulas de inversão da transformação de Laplace, especialmente para fins práticos de cálculo. O MÉTODO DE INVERSÃO DE RIEMANN, também chamado MÉTODO DE INVERSÃO À FOURIER, comporta, geralmente, o cálculo de resíduos, segundo a doutrina exposta no Capítulo VI. A FÓRMULA DE RIEMANN pode ser generalizada e justificada directamente por meio da teoria das distribuições, como faremos oportunamente. Então, o estudo da transformação de Laplace torna-se não só mais geral, mas também mais simples e preciso. No caso das funções, verifica-se a UNICIDADE DAS IMAGENS INVERSAS DE LAPLACE, com o seguinte aspecto: Se duas funções localmente somáveis fI e f 2 têm uma mesma imagem de Laplace F, isto é, se ::.e [fI] =::.e [f 2] = F, então fI e f 2 diferem, quando muito, em pontos de um conjunto de medida nula (representando, portanto, um mesmo elemento do espaço L). (1) Com efeito, é fácil ver que as anteriores condições sobre a função g(t) se traduzem por

condições análogas sobre f(t).

550

Podemos, assim, falar da transformação inversa de Laplace, 5E-I, que na prática é dada por (3), e, automaticamente, deduzir das propriedades de 5E, propriedades correspondentes de 5E- 1, como, por exemplo, a seguinte (4)

isto é, a transformação inversa de Laplace (em ordem as) transforma a mutiplicação por e- hs na translação 'eh (cf. n? anterior, fórmula (3)). 7. Convolução no intervalo [O, + 00 [

Dadas duas funções f, g localmente somáveis no intervalo [0, + 00[, chama-se convolução (ou produto de composição) de f por g sobre este intervalo à função h definida pelo integral h(x) =

f(x - t) g(t) dt ,

\fxER+.

Escreve-se, então, h = f * g. O conceito de convolução no intervalo [0, + 00 [ pode apresentar-se como caso particular do_conceito de convolução sobre a recta. Assim, se designarmos por f e por g as funções nulas à esquerda da origem, que coincidem com f e com g, respectivamente, à direita da origem, tem-se:

f(x - t)g(t)dt =

f+oo

J-oo

f(x - t)g(t)dt.

Basta notar que, no 2? integral, a função integranda é nula para t < 0, e parax-t<O, ou seja, para t>x. A operação assim definida tem propriedades análogas às da multiplicação usual: é comutativa, associativa e distributiva relativamente à adição. Por exemplo, tem-se, pondo x-t=v e, portanto, t=x-v:

f(x - t)g(t)dt = -

f(v)g(x - v)dv =

g(x - v)f(v)dv,

551

isto é: f * g = g * f (comutatividade). E, analogamente, para as outras propridades. PROPOSIÇÃO 7.1. A convolução de duas funções pertencentes a A ainda pertence a A. Com efeito, sejam f, gEA. Então, podemos fixar constantes p, M, N e 't tais que

Se 't = O, tem-se:

f(x - t)g(t)dt ",;; MN

eP(x-')eP'dt ",;; MNxe Px .

donde se conclui a tese, atendendo à PROPOSIÇÃO 2.2. Se 't > O, decompõe-se o integral em três, entre O e 't, entre 't e x-'t e entre x-'t e x (para x suficientemente elevado), e efectuam-se majorações desses integrais análogas às anteriores. TEOREMA 7.1. Quaisquer que sejam f, gEA, tem-se 5:E[f * g] = 5:E[f] 5:E[g] , isto é: a transformação de Laplace converte a convolução em multiplicação.

(Chama-se produto FG de duas imagens de Laplace F e G, naturalmente, a imagem de Laplace H tal que H(s) =F(s)G(s), em algum semi-plano Res>a). A demonstração pode fazer-se exactamente nos mesmos moldes da correspondente para a transformação de Fourier, substituindo os integrais entre O e + 00, que dão as imagens de Laplace de f e de g:

+00

o e-Suf(u)du,

pelos integrais entre -

e + 00 :

+00

o e-SVg(v)dv,

552

+OO e-suJ(u)du, J+OO e-SVg(v)dv,

-00

em que f e g são as funções nulas à esquerda da origem, que coincidem com f e g à direita da origem. Para a demonstração, convém adoptar letras diferentes (u e v, por exemplo) para variáveis de integração, nos dois integrais. Pondo F=~[f] e G=~[g], donde f=~-l[F], g=~-l[G] a fórmula anterior pode ainda apresentar-se com o seguinte aspecto: (1)

~t;-I [FG] =X-I [F] * X-I [G]

isto é: a transformação inversa de Laplace transforma a multiplicação usual em convolução. 8. Aplicações às equações diferenciais

A transformação de Laplace é, tal como a transformação de Fourier, sua congénere, um instrumento essencial em Física Matemática, com inúmeras aplicações a problemas que se traduzem por equações diferenciais, equações integrais, equações integro-diferenciais, equações em diferenças finitas, etc., etc. Quando se trata de equações diferenciais ordinárias (lineares de coeficientes constantes) ou de sistemas de tais equações, a transformação de Laplace aplica-se no caso em que são dadas condições iniciais. No entanto, para esse fim, a transformação de Laplace pode ser inteiramente dispensada, e com vantagem, recorrendo ao método directo, baseado na teoria das distribuições. Quando se trata de equações em derivadas parciais, a transformação de Laplace está indicada nos problemas mistos, isto é, nos casos em que são dadas, ao mesmo tempo, condições iniciais, relativas a uma das variáveis e condições nos limites, relativas à outra ou às outras variáveis. A transformação será, então, aplicada em ordem à variável a que se referem as condições iniciais (a qual, nos casos concretos, é em regra a variável tempo) e só pode ser utilizada quando a equação é linear e de coeficientes independentes dessa variável, podendo, no entanto, depender das outras.

553

Para dar uma primeira ideia destas importantes aplicações, limitar-nos-emos a quatro exemplos simples. Exemplo - 1) Seja a equação diferencial <p" + k2 <p = f( t) (k real constante),

com as condições iniciais:

Suponhamos que a função f dada pertence a A e procuremos uma solução <p da mesma classe (1). Aplicando a transformação de Laplace a ambos os membros desta equação, virá, atendendo às propriedades estabelecidas (n? 4): S2~[<p]

- s<p(O) - <p'(0) + k2~[<p] = ~[f],

ou seja, pondo ~[<p] = <I> e ~[f] =F, e introduzindo os dados iniciais:

ou ainda, (1)

<I>(s) =

1 S2 + k 2

F(s) +

c 1

S2 + k 2

c s o

S2 + k 2

Assim, a transformação de Laplace converteu o problema proposto num problema algébrico de divisão. Resta agora, para obter <p, aplicar a transformação inversa de Laplace. Ora, tem-se (n? 1, Exemplo 3)):

(1) Restrição incómoda e, aliás, supérflua, quando se recorrer ao método operacional directo, atrás mencionado (com o emprego das distribuições).

554

donde (TEOREMA 4.1):

Portanto, virá de (1), atendendo ao estabelecido no n? 7, <p(t)

=-1 (senkt) * f(t) + cocoskt + c

senkt,

que constitui, de facto, a solução única do problema, mesmo que a função f não pertença a A: basta que seja localmente somável. Exemplo - 2) Pretende-se determinar uma solução u(x, t) da equação das ondas: (2)

solução essa definida para t ~ O e para x situado num domínio aberto D de Rn, de modo que verifique as condições iniciais: (3)

u(x, O)

=uo(x),

u;(x, O)

=u (x), 1

\:fxED,

e, ao mesmo tempo, uma condição nos limites, que pode ser, por exemplo, a de u(x, t) tomar valores previamente dados, sobre a fronteira r de D: (1) (4)

u(x, t) = 8(x, t)

\:fxEr,

t~O.

Trata-se, pois, dum problema misto, relativo à equação das ondas.

(1) o domínio D deve também verificar certas condições para que o problema seja possível. Se D for ilimitado, deve-se dar uma outra condição nos limites para que o problema seja determinado: por exemplo, a de u(x, t) ser um infinitésimo de certa ordem, quando Ixl~oo.

555 Admitamos que, para todo o xED, a solução u(x, t) é uma função de t pertencente a A, e que, para todo xEr, também 8(x, t) pertence a A . Então, aplicando a (2) a transformação de Laplace em ordem a t, virá, admitindo que 5i t é permutável com ~ :

ou seja, pondo 5iJu(x, t)] = U(x, s), para todo o xED, e introduzindo as condições iniciais (3): (2')

Por sua vez, pondo 5i t [8(x, t)] = 8(x, s) para todo o xEr, vem de (4): (4')

U(x, s) = 8(x, s),

para

xEr.

Assim, a equação em derivadas parciais (2), em ordem a xl' ... , x n ' t, com as condições iniciais (3) e as condições nos limites (4), foi convertida na equação (2'), em ordem só a Xl' .•. , xn ' com a condição nos limites (4'). Por outras palavras: o problema misto foi convertido pela transformação de Laplace num problema só com dados na fronteira. Uma vez resolvido este problema relativo a (2'), bastará aplicar a transformação 5i;1 à expressão de U(x, s) para obter a solução u(x, t) do problema proposto. Este método de resolução pode ser resumido no seguinte esquema: PROBLEMA MISTO .... ~I--(CONDIÇÕES INICIAIS E CONDIÇÕES NOS LIMITES)

PROBLEMA SÓ NOS LIMITES

SOLUÇÃO U(x, t) DO PROBLEMA PROPOSTO

SOLUÇÃO U(x, s) DO PROBLEMA TRANSFORMADO

556

É este um método deveras elegante e eficaz, para a resolução de problemas mistos, relativos não só à equação das ondas, mas ainda a equações de vários outros outros tipos, e que se apresentam em numerosas questões de Física e de Engenharia. Porém, a sua perfeita justificação só pode ser feita com o auxílio da teoria das distribuições, que permite evitar as incómodas hipóteses relativas à natureza das funções dadas e das funções incógnitas, bem como à permutabilidade da transformação de Laplace com ~ ou com outros operadores que intervenham na equação (em ordem às variáveis Xl , ••• , x n ). Podem, então, ser estabelecidas, "a priori", a existência e a unicidade da solução do problema misto, sob condições muito largas. Para concretizar, consideremos o caso n = 1:

au au = O 2

(5)

ax2

at 2

(equação das cordas vibrantes) .

Seja o domínio D, neste caso, o intervalo] O, + 00 [ , e sejam as condições iniciais simplesmente as seguintes (6)

u(x, O) = u;(x, O) = O,

para

xE]O, +00[,

o que significa que a corda se encontra em repouso no instante t= O.

A fronteira r de D reduz-se, agora, ao ponto O, na recta euclidiana, ou aos pontos O e + 00, na recta acabada. Às condições iniciais (6) juntaremos as condições de fronteira:

(7)

u(O, t) = f(t) ,

lim u(x, t) = O,

'dt

~O,

X~+OO

sendo f uma função dada. Assim, se nos apresenta um problema misto, tradução matemática do seguinte problema físico: Um fio elástico estendido, semi-indefinido e homogéneo, é sujeito no extremo (ponto de abcissa zero) a uma força que obriga esse ponto a mover-se segundo a equação y=f(t) que dá a ordenada y do referido ponto como função conhecida do tempo para t ~ o. O fio está em repouso no instante zero e nenhuma

557

força externa actua ao longo do mesmo. Determinar a configuração y = u(x, t) do fio em cada instante t ~ 0, admitindo que y ~ quando

x~+oo. (1)

--f------f(t)

u(x,t)

o x

Aplicando a transformação 5ft , a equação (5) é transformada na equação diferencial ordinária: (5')

(a> O),

com as condições nos limites (7')

ueO, s) =F(s) ,

lim U(x, s) = 0,

X~+OO

em que F designa a imagem de Laplace de f (usamos aqui o sÍmbolo de derivação ordinária, em vez de derivação parcial, em ordem a x, visto s ser apenas um parâmetro na equação). Ora, é fácil ver que a equação (7') tem por integral geral

em que C1 e C2 são constantes arbitrárias em relação a x, que podem, no entanto, depender do parâmetro s:

(1) Prova-se ~om o método operacional directo (baseado na teoria das distribuições) que esta

última condição é implicada pelas anteriores. Deste modo, a segunda das condições (7) de fronteira é supérflua. Note-se ainda que, fisicamente, uma "corda semi-indefinida" é realizada por uma corda finita (como são todos os fios materiais, na realidade), em que um dos extremos se encontra a uma distância bastante grande, para que se possa considerar praticamente infinito o comprimento do fio.

558

Como as imagens de Laplace existem sempre em determinados semi-planos direitos, Re s > ex, podemos supor, sem quebra de generalidade, Re s > O. Deste modo, é fácil ver que, quando x~ + 00: e- sx / a ~ O, e sx /a ~ 00 •

Então, a segunda das condições (7') só poderá ser verificada se C2 = O, e, portanto, a primeira será verificada se e só se C1 = Yl(S) =F(s). A solução (única) do problema transformado será, pois: U(x, s) = e-(x/a)s F(s).

Daqui se deduz, finalmente, atendendo ao efeito da transformação de Laplace sobre a translação (n? 5 e final do n.o 6): para t (8)

u(x, t) = O

~-,

para t ::::; - . a

Pode-se verificar que esta é, de facto, a solução (única) do problema proposto, desde que a função f dada verifique a condição adicional de admitir derivadas f' e f" contínuas. Porém, recorrendo ao método operacional directo, baseado na teoria das distribuições, esta condição pode ser dispensada (basta que f seja, por exemplo, uma função contínua). Além disso, torna-se, então, supérflua a verificação do facto de a fórmula (8) fornecer a solução única do problema. Fisicamente, o resultado (8) é facilmente interpretável: Cada ponto da cordafica em repouso até ao instante xla (sendo x a abcissa desse ponto). Daí por diante, o ponto passa a mover-se segundo a equação

isto é, exactamente como a origem se move, mas com um atraso de xla unidades de tempo.

559

Por outros termos: O movimento da origem transmite-se inalterado, ao ponto da abcissa x, ao fim do tempo x/a, ou seja, com a velocidade a, visto ser x o espaço percorrido nessa transmissão. Exprime-se este facto dizendo que o movimento do extremo do fio dá lugar a uma onda, que se propaga com a velocidade a ao longo do fio. Chama-se perfil da onda num dado instante t precisamente à linha de equação para x ::::; at, y=

para x

at,

que, no plano cartesiano X)', dá a configuração da corda nesse instante t. V ários outros tipos de condições nos limites se podem apresentar, a respeito da equação das cordas vibrantes: por exemplo, o caso da corda finita com extremos fixos (sendo os dados iniciais não nulos), o caso da corda finita com um extremo fixo e o outro livre ou sujeito a um peso, etc., etc. A todos se pode aplicar, com êxito, o método da transformação de Laplace. Exemplo - 3) Consideremos um sólido homogéneo semi-indefinido, situado à direita do plano de equação x = O (num referencial cartesiano conveniente). É este o caso idealizado de um sólido de dimensões bastante grandes relativamente à zona em estudo, junto de uma superfície plana. Suponhamos que o sólido se encontra,

f(t)

560

inicialmente, à temperatura zero e que a fronteira x = é mantida a uma temperatura f(t), igual em todos os pontos desse plano, mas função do tempo, conhecida para t;:= O. Supõe-se, além disso, que não existe nenhuma fonte de calor no interior do sólido. Nestas condições, é claro que o calor se difunde, de igual modo, ao longo das semi-rectas perpendiculares ao plano e que, portanto, o fenómeno é regido pela equação do calor numa dimensão, já atrás condiderada: (9)

em que k é a difusividade térmica do material e a função incógnita u(x, t) representa a temperatura nos pontos de abcissa x> e no instante t> (para habituar o leitor aos diversos tipos de notação que se podem apresentar, designamos, agora, por ut a primeira derivada parcial em ordem a t e por Üxx a segunda derivada a 2 ulax 2 ; alguns autores chegam a omitir, mesmo, os pontos ou plicas indicativos das derivações) . À equação (9) associa-se a condição inicial:

u(x, O) = 0,

\;/x ;:= 0,

e a condição de fronteira (à esquerda):

ueo, t) = f(t),

\;/t;:=O .

Como o sólido se encontra, inicialmente, à temperatura zero, é natural fixar .a condição de fronteira à direita: lim u(x, t) = 0,

\;/t;:=O.

X~+OO

Ora, a transformação ;J!,t converte o problema misto, assim apresentado, no seguinte problema, relativo a uma equação diferencial ordinária: kÜ(x, s)-sU(x, s)=O

561

ueO, s) =F(s),

lim U(x, s) x~+oo

= O.

A solução deste problema nos limites é, como facilmente se reconhece (por considerações análogas às do exemplo anterior): U(x, s) = F(s)e- xVSik

Será, portanto

(n~

•

7):

u(x, t) = f(t)

* ;g;1 [e- xVSik ] •

Ora, consultando uma tabela de transformadas de Laplace, acha-se

Tem-se, pois, finalmente, para x> O e t> O: u(x, t) =

ft f(t-'t) e-x2/(4k't)d't.

aV1tk

't3/2

Quando a temperatura f(t) é constante,

a temperatura no interior do sólido será, então, dada pela fórmula u(x, t) =

xfo

2V1tk

ft 't- 3/2 exp [- ~]d't,

4k't

que, pela mudança de variável 1t

se converte em

2\1k1

562

2fo L+oo e- r2dr , com X = u(x, t) = __

2Vkt

Ora, recordemos que a função dos erros, 8, do Cálculo das Probabilidades, é dada pela fórmula 8(x)

=- 2 LX eVn

dt,

e que, por ser 8(+ 00) = 1, se tem -2

l+oo e- dt = 1- 8(x) t2

(junção complementar dos erros). Portanto, o resultado anterior pode apresentar-se com o aspecto (10)

cuja vantagem reside no facto de se encontrar já tabelada a função8. Note-se que os autores anglo-americanos costumam designar por erf(x) a função dos erros (error function) e por eifc(x) a função complementar dos erros (complementary error function). A fórmula obtida mostra-nos que, em qualquer instante t> O, a temperatura em todos os pontos do sólido é diferente de zero (supondo fo i:- O), embora tenda para zero quando x~ + 00. Quer isto dizer que o calor se transmite instantaneamente (ou seja, com velocidade infinita) a todos os pontos do sólido, ao contrário do que sucede com os fenómenos ondulatórios, em que a propagação se efectua com uma velocidade finita. É esta uma característica dos fenómenos de difusão, que exclui a sua interpretação dinâmica, em favor de uma interpretação estatística, como já atrás se observou. Assim, o calor não se propaga à maneira das ondas: difunde-se, espalha-se, à semelhança de uma gota de tinta que se deita na água. É de notar, porém, que a referida transmissão instantânea do calor tem apenas carácter teórico. Para melhor compreensão do que acaba de dizer-se, consideremos sucessivos gráficos da temperatura como

563

função de x, y = u(x, t) em vários instantes O< tI < t2 < t3 < ... supondo

io>O.

É fácil, então, reconhecer que: Enquanto, no instante, t= O, a temperatura passa bruscamente do valor io (à superfície), para o valor zero (no interior), em qualquer instante t> O (por menor que seja t) a temperatura é superior a zero em todos os pontos do sólido, passando com continuidade do valor io (à superfície) para valores cada vez menores (no interior). A diminuição de temperatura, ao passar da superfície para o interior, não é, portanto, brusca, como sucede no instante zero, mas contínua. Simplesmente, a temperatura tende muito rapidamente para zero, quando x ~ + 00, de modo que, embora teoricamente seja sempre maior que zero, é praticamente nula para além de certo valor de x, que vai, porém, aumentando com o tempo. Assim pois, praticamente, a difusão do calor não é instantânea mas progressiva. Se, em vez do calor, se tratasse da difusão duma substância, podíamos dizer, usando a linguagem probabilista: Em qualquer instante t> O, a probabilidade de se encontrarem moléculas da substância num ponto da abcissa x é praticamente nula quando x excede um certo limite (que aumenta, porém, com o tempo).

Aliás, da fórmula (lO) deduz-se imediatamente que dois pontos e x 2 estão à mesma temperatura em instantes tI e t2 , desde que seja

564

isto é, desde que

~= /t:, X2

~t;

o que, de certo modo, nos indica que o calor progride cada vez mais lentamente, ou seja, na razão directa de Vi (LEI DA CONDUÇÃO DO CALOR EM SÓLIDOS SEMI-INDEFINIDOS). Exemplo - 4) A transmissão de perturbações eléctricas ao longo de um extenso fio ou cabo, como os dos telégrafos ou dos telefones, é regida por um sistema de equações em derivadas parciais do seguinte tipo:

(11)

em que I(x, t) e V(x, t) designam, respectivamente, a intensidade da corrente e a tensão à distância x do posto emissor, no instante t, sendo L, R, C, S constantes que designam, respectivamente, a indutância, a resistência, a capacidade e a condutância de dispersão, por unidade de comprimento do fio. Entre as duas equações (11) podemos eliminar uma das funções incógnitas I ou V. Por exemplo, da segunda podemos tirar I; e I; t' o que, por substituição na primeira após derivação em ordem a x, conduz à equação de 2~ ordem: (12)

é)2V d2 V dV - CL - (CR + SL) - - RSV = O, dX2 dt 2 dt

chamada equação dos telegrafistas. Quando R e S são tão pequenos que o seu efeito possa ser desprezado, a equação dos telegrafistas reduz-se à forma da equação das cordas vibrantes, com a= 1/VCi . Então, os sinais são transmitidos sob a forma de onda com a velocidade a. É este um dos casos

565

que mais interessa para os fins dos telégrafos e telefones, pois há, então, garantia de que os sinais ou sons cheguem indeformados. Quando L é desprezível (cabos não indutivos), a equação dos telegrafistas assume forma semelhante à da equação do calor: os sinais difundem-se ao longo do cabo, em vez de se propagarem ondulatoriamente sem dispersão.

No caso geral, o estudo da equação dos telegrafistas é mais complexo que o das equações do calor e das ondas, mas pode ainda ser feito com pleno êxito, mediante a transformação de Laplace. Isto justifica, em parte, o grande interesse que o estudo da transformação de Laplace apresenta para os engenheiros electrotécnicos.

Para maior desenvolvimento da teoria e das aplicações da transformação de Laplace, podem consultar-se as obras adiante indicadas, entre as quais recomendamos, particularmente, a de CHURCHILL.

566

BIBLIOGRAFIA H. CARSLAW and J. JAEGER - Operational Methods in Applied Mathematics. Oxford University Press, London, 1941. R. CHURCHILL - Operational Mathematics. McGraw-Hill, New York, 1958. DENIS-PAPIN et KAUFMAN - Cours de Calcul Opérationnel. G. DOETSCH - Theorie und Anwendung der Laplace-Transformation, Springer, Berlin, 1937. - - - Handbuch der Laplace-Transformation. Birkhãuser, vol. I, II, III, 1950, 55, 56. P. MORSE and FERHBACH - Methods ofTheoretical Physics, I e II, McGraw-Hill, New York, 1953. D. WIDDER - The Laplace Transform. Princeton University Press, 1941. NOTA. O livro de CHURCHILL indicado é um desenvolvimento da obra do mesmo autor, Modem Operational Mathematical in Engineering publicada em 1944. As obras sobre a transformação de Laplace incluem normalmente uma tabela, mais ou menos extensa, de transformadas de Laplace. Para um maior desenvolvimento, além das Tabelas de ERDÓLYI, etc., já indicadas no Capítulo anterior, citaremos as seguintes: DOETSCH, KNIESS und VOELKER - Tabellem zur LaplaceTransformation und Anleitung zum Gebrauch. Springer, Berlin, 1947.

íNDICE ANÁLISE SUPERIOR

BIBLIOGRAFIA INICIAL .. .............. .... ................ ........ ................... INTRODUÇÃO..................................................................................

111 113

CAP. I - Preliminares

1. Números complexos .............................................................. . 2. Representação geométrica ..................................................... . 3. Representação trigonométrica dos números complexos ......... . 4. Interpretação geométrica da multiplicação ............................. . 5. Outro tipo de interpretação geométrica dos números complexos ................................................................ . 6. Limites de sucessões de números complexos ........................ . 7. Séries de termos complexos .................................................. . 8. Soma e produto de séries ....................................................... . 9. Séries de potências ................................................................. . 10. Função exponencial ............................................................... . 11. Logaritmação no campo complexo ....................................... .. 12. Senos e cosenos de números complexos ............................... .

117 121 124 127 128 130 136 139 141 143 148 149

CAP. II - Estudo elementar das funções de variável complexa

1. Generalidades sobre funções de mais de uma variável ..........

151

568 2. Funções complexas de variável complexa .............................. 3. Funções reais da variável complexa e funções complexas de variável real ............................................................................. 4. Noção de limite para funções complexas da variável complexa ................................................................... 5. Propriedades dos limites das funções ...................................... 6. Continuidade para funções complexas de variável complexa 7. Conceito de derivada. Funções monogéneas e funções holomorfas .............................................................................. 8. Regras de derivação ................................................................ 9. Condições de monogeneidade ................................................ 10. Condições de holomorfia......................................................... 11. Estudo de algumas funções pluriformes .................................

155 157 159 161 163 164 168 173 180 183

CAP. III - Noções prévias sobre espaços vectoriais abstractos e sobre topologia 1. Espaços vectoriais: definição, axiomática e exemplos ........... . 2. Dependência linear. Número de dimensões ........................... . 3. Noção de subespaço vectorial ............................................... .. 4. Noção de semi-norma ............................................................. . 5. Noção de norma ...................................................................... . 6. Noções de desvio, distância e espaço métrico ........................ . 7 . Noções métricas ..................................................................... . 8. Isometrias ............................................................................... . 9 . Noções topológicas em espaços métricos .............................. . 10. Topologia e Lógica formal .................................................... .. 11. Noção geral de espaço topológico ......................................... . 12. Sistemas fundamentais de vizinhança ................................... . 13. Filtros e bases de filtros ......................................................... . 14. Noção de subespaço topológico ............................................ . 15. Produto topológico ................................................................ . 16. Espaços separados ................................................................. . 17. Noção de limite de uma sucessão .......................................... . 18. Limite de um filtro ................................................................. .

193 197 197 199 200 202 205 207 208 214 217 220 222 223 224 226 228 231

569 19. Limite de uma função. Funções contínuas ............................. 20. Aplicações bicontínuas. Grupo da Topologia ......................... 21. Conjuntos compactos .............................................................. 22. Funções contínuas sobre compactos ....................................... 23. Continuidade uniforme em espaços métricos ......................... 24. Imersão de um espaço localmente compacto num espaço compacto ................................................................................. 25 . Noção de linha ........................................................................ 26. Conjuntos conexos .................................................................. 27. Espaços métricos completos. Espaços de BANACH .............. 28. Análise infinitesimal em espaços de BANACH ..................... 29. Espaços vectorais topológicos. Espaços localmente convexos .................................................

232 238 240 243 245

ALGUMAS INDICAÇÕES BIBLIOGRÁFICAS .......................

271

247 250 254 260 262 269

CAP. IV - Fundamentos da teoria das funções analíticas 1. Noção de integral para as funções complexas de variável real ............................................................................ 2. Noção de integral para as funções complexas de uma ·variável complexa ................................................................... 3. Nova definição de integral para funções complexas de variável complexa ................................................................... 4. Domínios simplesmente conexos e domínios multiplamente conexos.................................................................................... 5. Primeira forma do teorema fundamental de CAUCHY Demonstração de RIEMANN ................ .... ................... ...... .... 6. O teorema fundamental de CAUCHY para poligonais. Demonstração de GOURSAT .......... ........ ...................... .......... 7. O teorema fundamental do cálculo integral no campo complexo. Forma geral do teorema fundamental de CAUCHY................................................................................. 8. Caso dos domínios multiplamente conexos .................. .......... 9. Fórmula integral de CAUCHY................................................ 10. Convergência uniforme no campo complexo .........................

273 275 278 283 286 288

291 297 299 302

570 11. Primeiras consequências da fórmula integral de CAUCHY. ... 12. Teoremas de MORERA e de WEIERSTRASS ...................... 13. Série de LAURENT ................................................................ 14. Zeros de uma função holomorfa ............................................. 15. Pontos singulares de uma função ............................................ 16. Funções analíticas globais (ou funções analíticas de WEIERSTRASS) .................................................................... 17. Funções holomorfas em domínios da esfera de RIEMANN ... 18. Funções homográficas. Geometria analagmática e geometria projectiva da rectaprojectiva complexa ................................. . 19. Funções analíticas globais em domínios da esfera de RIEMANN ............................................................................. . 20. Funções algébricas ................................................................. . 21. Breves noções sobre representação conforme ........................ . 22. Funções vectoriais analíticas ................................................. ..

308 314 317 319 324 330 352 360 365 366 376 387

CAP. V - Revisões e complementos sobre integrais

impróprios e sobre integrais paramétricos 1. Integrais com extremos infinitos para funções reais ............... 2. Integrais de funções ilimitadas................................................ 3. Mudança de variáveis em integrais impróprios ....................... 4. Funções de EULER .............. ....... ....... ................ ............ ......... 5. Integrais impróprios de funções vectoriais e de funções complexas .............................................................................. . 6. Convergência uniforme relativa a parâmetros contínuos ....... . 7. Integr~is paramétricos ............................................................. .

391 405 411 413 415 417 425

CAP. VI - Método dos resíduos 1. 2. 3. 4.

Definição e teorema fundamental ......................................... .. Aplicação à contagem dos zeros duma função meromorfa .... . Resíduos no ponto impróprio ................................................. . Aplicação do método dos resíduos ao cálculo de integrais impróprios ...............................................................................

437 439 443 444

571

CAP. VII - Breves noções sobre medida e integral de Lebesgue 1. Medida de LEBESGUE sobre a recta .................................... . 2. Funções em escada. Funções fundamentais .......................... . 3. Funções mensuráveis .............................................................. . 4. Funções somáveis. Integral de LEBESGUE ......................... . 5. Propriedades do integral de LEBESGUE .............................. . 6. Integrais indefinidos. Funções absolutamente contínuas ....... . 7. Integração por partes e integração por substituição ............... . 8. Integral duma função sobre um conjunto mensurável ........... . 9. Espaço das funções localmente somáveis num intervalo ...... . 10. Espaços LP. Espaços de HILBERT .......... ............................... 11. Medida e integral em Rn ........................................................ .

454 457 458 459 463 468 471 473 473 479 484

CAP. VIII - Transformação de Fourier 1. Definição e notações ... ............... ..................... .................. ...... 2. Campo de existência. Primeiras propriedades......................... 3. Efeito da transformação de FOURIER sobre a derivação e sobre a multiplicação por x ..................................................... 4. Inversão. Teorema de FOURIER ............................................ 5. Demonstração do teorema integral de FOURIER .................. 6. Efeito da transformação de FOURIER sobre a multiplicação. Convolução ............................................................................ . 7. Efeito da transformação de FOURIER sobre as translações .. 8. Aplicações às equações diferenciais ...................................... . 9. A transformação de FOURIER para funções de mais de uma variável ........................... ..... .................................................. .

495 498

526

ALGUMAS INQICAÇÕES BIBLIOGRÁFICAS ...................... .

531

501 503 511 515 518 519

CAP. IX - Transformação de Laplace 1. Definição e notações ............................................................... 2. Campo de existência. Funções de tipo exponencial à direita. 3. Linearidade da transformação de LAPLACE .........................

533 535 541

572 4. 5. 6. 7. 8.

Efeito da transformação de LAPLACE sobre a derivação ..... Efeito da transformação de LAPLACE sobre as translações. Inversão ................................................................................... Convolução no intervalo [0, + 00 [ ........................................... Aplicações às equações diferenciais .......................................

542 545 547 550 552

BIBLIOGRAFIA ................................... .......................................

566