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11.2 ANÁLISE SUPERIOR

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BIBLIOGRAFIA INICIAL

GEORGES VALIRON - ThĂŠorie des Fonctions, Masson et Compagnie, Paris, 1948. OSGOOD - Functions of Complex Variable, Steehert, N. Y.. AHLFORS - Complex Analysis, Me Graw and Hill, N. Y. ou Londres, 1953. " CARATHEODORY - Theory of Functions, Chelsea, N. Y., 1954.

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INTRODUÇÃO

Entre a Análise Real e a Análise Complexa existe uma diferença fundamental que convém desde já salientar. Quando se trata de uma função real de variável real, isto é, de uma função y = f(x), em que tanto a variável independente, x, como a variável dependente, y, tomam como valores números reais, pode acontecer que a função admita primeira derivada, f'(x), num dado intervalo, sem admitir aí segunda derivada, ou que admita segunda derivada, sem admitir terceira, etc. Pode também acontecer que f(x) seja indefinidamente derivável num intervalo, isto é, que tenha aí derivadas finitas de todas as ordens, mas que não seja representável pela sua série de Taylor numa vizinhança dum ponto Xo do intervalo: (x - XO)2 f" (x - xo)n () f( Xo ) + (x - Xo ) f '() Xo + 2! (xo) + ... + n! f n (xo) + ... ,

isto é, pode suceder que a soma desta série não coincida com f(x) em todos os pontos x interiores ao intervalo de convergência (1). De todos estes casos poderíamos dar inúmeros exemplos.

(1) Pode mesmo suceder que o raio de convergência seja nulo.

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Pelo contrário, quando se trata de uma função complexa da variável complexa, ou seja, de uma função w = fez), em que tanto a variável independente, z, como a variável dependente, w, tomam como valores números complexos, verifica-se, como veremos, o seguinte facto, deveras notável:

Se a função admite primeira derivada finita(l) nos pontos interiores de um domínio plano, admite necessariamente derivadas de todas as ordens nesses pontos e é representável pela sua série de Taylor, numa vizinhança de cada ponto interior ao domínio. Exprime-se este último facto dizendo que a função é analítica no interior do domínio D considerado. Assim, de uma hipótese tão simples, como é a da existência de primeira derivada finita no interior de D, resulta para as funções de variável complexa uma série de consequências importantes e, como veremos, uma grande riqueza de propriedades, que tornam as funções analíticas extremamente regulares, cómodas, manejáveis - extremamente bem comportadas (2). Esse "bom comportamento" cessa precisamente em certos pontos da fronteira do domínio em que há derivada - pontos singulares, cujo estudo tem, igualmente, uma importância fundamental na teoria das funções analíticas, para um perfeito conhecimento das mesmas. Da grande riqueza de propriedades das funções analíticas resulta não só a perfeição formal da sua teoria (que é, sem dúvida, uma das mais belas e harmoniosas de toda a Matemática), mas também uma (1) Como veremos, a definição de derivada para funções de variável complexa é idêntica à que se dá para funções de variável real (como limite da razão incremental). (2) Em linguagem intuitiva, não rigorosa, da Matemática, uma função diz-se tanto mais regular quanto mais propriedades possui, a facilitar o seu estudo. Assim, uma função derivável é mais regular do que uma função contínua, uma função com segunda derivada contínua é mais regular do que uma que tenha só primeira derivada, etc.

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excepcional importância nas aplicações à Física e à Técnica, especialmente à Electrotecnia: todo o matemático aplicado precisa de ter conhecimentos, não apenas superficiais, da teoria das funções analíticas.

Nótula histórica. A teoria das funções analíticas de uma variável complexa ficou praticamente concluída no século passado principalmente por obra de CAUCHY (que se apoiou sobre os conceitos de derivada e de integral para tais funções) e de WEIERSTRASS (que baseou a teoria, de preferência no estudo das séries de potências). Mas já o mesmo se não pode dizer a respeito da teoria das funções analíticas de mais de uma variável complexa; essa encontra-se hoje em plena evolução. E" provável que, em 1961, tenha lugar em Lisboa um simpósio sobre funções de variáveis complexas, no qual tomarão parte os principais especialistas mundiais sobre o assunto. Como base do estudo das funções analíticas, convém começar por recordar as noções fundamentais sobre números complexos aprendidos em Matemáticas Gerais. Para isso, recomenda-se a leitura de todo o Capítulo I do Curso de Álgebra Superior, 2.° volume, do Prof. J. VICENTE GONÇALVES. Entretanto, para facilitar essa recapitulação, vamos aqui fazer uma breve resenha de tais noções, chamando a atenção para alguns pontos essenciais.

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CAPíTULO I PRELIMINARES

1. Números complexos Como se sabe, todo o número complexo se pode representar sob a forma algébrica a + bi,

sendo a e b números reais e sendo i uma das raízes da equação x 2 =-1. Dois números complexos a + bi e c + di (com a, b, c, d reais) são iguais, se, e só se, a =c e b =d. Em particular, pode acontecer que se tenha b = e então o número complexo a + bi reduz-se ao número real a. Se b;;; 0, o número a + bi não é real e diz-se então imaginário (imaginário puro, se for ao mesmo tempo a=O). A parte real a e o coeficiente b da parte imaginária do número complexo z =a + bi costumam ser designadas, respectivamente, pelas notações Rez e Imz(l):

Re z = a,

Imz = b.

(1) Também se usam as notações ffiz e jz, com ffi e j góticos ou manuscritos.

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Pelo que se viu, o conjunto dos números reais (que se designa por R) é uma parte do conjunto dos números complexos (que se designa por C), isto é, tem-se ReC.

(O sinal e lê-se "contido em"). Mas não se tem R = C e os elementos de C não pertencentes a R são, precisamente, os números chamados imaginários. No conjunto C estão definidas uma adição e uma multiplicação. Adição. A soma dos números a + bi e c + di é, como sabemos, o número (a + c) + (b + d) i.

Propriedades formais. A adição em C é: 1. Sempre possível e unívoca; 2. Associativa: (a + ~) + y= a + (~+ y); 3. Comutativa: a + ~

= ~ + a;

4. Reversível: dados dois números complexos a e ~ é sempre possível determinar um e um só complexo ç tal que ~

+ ç = a.

(Este número ç é denominado diferença entre a e ~ e representa-se por a-~; se a=a+bi e b=c+di, tem-se a-~=(a-c)+(b-d)i) . As propriedades enunciadas podem resumir-se, dizendo que o conjunto C é um grupo comutativo relativamente à adição (rever a noção de grupo). Multiplicação. Recordemos que o produto de dois números complexos a + bi e c + di é o número (ac - bd) + (ad + bc) i .

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Propriedades formais. A multiplicação em C é:

1: Sempre possível e unívoca;

2: Associativa: (a~) y = a(~y); 3: Comutativa: a~ = ~a; 4: Reversível: excluído o zero como divisor, isto é, dados dois números complexos a =a + bi, ~ = c + di, sendo ~ * 0, existe sempre um e um só número complexo ~ tal que

tendo-se precisamente ~

= (ac + bd) + (bc c +d 2

ad) i.

c + d2 2

(Este número ~ é chamado o quociente de a por ~ e representa-se

por - , por a/~ ou por a: ~). ~ Em resumo: o conjunto C é um semi-grupo comutativo em relação à multiplicação e, se excluirmos de C o zero, será mesmo um grupo (comutativo) relativamente à mesma operação. Há, finalmente, outra propriedade a considerar quando associamos a adição e a multiplicação:

5. A multiplicação é distributiva a respeito da adição: isto é, tem-se sempre

Os factos anteriores resumem-se dizendo que C é um corpo comutativo. Com efeito: 1) É grupo comutativo a respeito da adição;

2) Excluído o zero, é grupo comutativo a respeito da multiplicação; 3) A multiplicação é distributiva a respeito da adição.

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Também o conjunto R é, como sabemos, um corpo comutativo. Como se tem R C C, e as operações de adição e multiplicação definidas em C concordam com as mesmas operações anteriormente definidas em R, podemos dizer que R é um sub-corpo de C ou que C é uma extensão (algébrica) de R. Esta extensão de R foi construída com o fim de tomar sempre possível a extracção de raízes quadradas (que era impossível em R com radicando negativo). Podemos mesmo dizer que C é o mais pequeno corpo que contém R e permite tornar sempre possível a extracção de raízes quadradas (bem como extracções de raízes de qualquer outro índice). Recordemos ainda que no conjunto R se encontram definidas não só operações, mas também uma relação de ordem expressa pelo sinal <. Chama-se relação de ordem toda a relação binária que seja transitiva e tricotómÍca (1). Com efeito, em R, a relação < é: 1) Transitiva: a < b /\ b < c ~ a < C (2) ; 2) Tricotómica: dados dois números reais a, b, verifica-se sempre uma, e uma só, das três seguintes hipóteses:

a < b, b < a, a =b. Além disso, a relação de ordem <, no corpo R, é compatível com a adição, isto é, tem-se a<b~a+c<b+c,

o que se exprime dizendo que a adição em R é monótona. Quanto à multiplicação em R, há apenas monotonia parcial, isto é: Se a < b, tem-se ac < bc, ac > bc ou ac = bc, conforme c> 0, c<o ou c=o.

(1) Segundo certos autores, o conceito de relação de ordem é diferente e mais geral. (2) O símbolo lógico => (de implicação) lê-se "implica" ou "se ... então" (antepondo o "se" ao primeiro membro). O símbolo 1\ (de conjunção ou produto lógico) lê-se "e".

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Ora, no corpo C, ao contrário do que sucede em R, já não é possível definir uma relação de ordem que seja compatível com a adição e que tenha, portanto, qualquer interesse. Pode, no entanto, definir-se relação de ordem entre os módulos dos números complexos, visto esses serem números reais positivos. 2. Representação geométrica

Recordemos que há uma correspondência biunívoca entre os pares ordenados de números reais (x, y) e os números complexos z =x + iy: z = x + iy f-7 (x, y) .

Mais até: uma das maneiras usuais de introduzir os números complexos consiste, precisamente, em apresentá-los como pares ordenados de números reais: assim, o número complexo x+iy é pura e simplesmente identificado ao par ordenado (x, y) escrevendo-se: (x, y) = x(l, O)

+ y(O, 1) = x + yi.

Não esqueçamos, porém, que há diversas interpretações do conjunto C todas isomorfas entre si, e todas igualmente aceitáveis. Recordemos ainda que, uma vez fixado um referencial cartesiano no plano, se estabelece uma correspondência biunívoca (x, y) f-7 p entre os pares ordenados (x, y) de números reais e os pontos do plano. Logo, ficará assim definida, por transitividade, uma correspondência biunívoca,

z = x + iy f-7 P,

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entre os números complexos z e os pontos P do plano (euc1ideano). A parte real e o coeficiente de i do número z serão, respectivamente, a abcissa e a ordenada do ponto P que o representa (chamado imagem geométrica ou, impropriamente, afixo de z). Recordemos, finalmente, que os pontos P do plano correspondem biunivocamente aos respectivos vectores de posição ii =P-O. Assim, encontramos uma segunda representação geométrica dos números complexos, que é muito cómoda para diversos fins, como passamos a rever. Adição. A adição dos números complexos traduz-se pela adição dos vectores do plano que os representam.

- ---------------------

Y2 -------Z2- _- - - --

I I

Subtracção. A diferença Z2 - ZI é representada pela diferença entre o vector que representa Z2 e o vector que representa ZI .

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Chama-se módulo dum número complexo z = x + iy ao módulo p do vector que o representa. O módulo de z é designado pela notação Iz I. Assim, por definição:

Iz I = p = Ix + i y I = Vx 2 + y 2 • Chama-se argumento de z à medida (em radianos) do ângulo que o vector representativo de z forma com o semi -eixo positivo dos xx, tomando para sentido positivo o contrário ao dos ponteiros dum relógio (sentido anti-horário). Como sabemos, essa medida é expressa por uma infinidade de valores <p, diferentes entre si por múltiplos de 2n; chamaremos argumento reduzido de z ao valor de <p que verifica a condição

°: : ;

<p < 2n .

Para calcular o argumento reduzido de das fórmulas y

z pode usar-se qualquer x

tg <p =-, sen <p =-, cos <p =x p p

Mas uma só destas fórmulas é insuficiente para determinar <p, no intervalo [0, 2n [. Assim, a primeira dá para <p dois valores que diferem de n. Porém, a ambiguidade desaparece atendendo aos sinais de x e y, que indicam o quadrante onde se encontra.

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o argumento de z designa-se pela notação argz e, salvo indicação expressa em contrário, subentende-se que se trata do argumento reduzido.

3. Representação trigonométrica dos números complexos Das fórmulas anteriores, vem

x = p cos <p, y = p sen <p e, portanto, z = x + i y = P (cos <p + i sen <p) que é a representação trigonométrica do número complexo z. Assim, a passagem da representação algébrica para a representação trigonométrica dos números complexos corresponde à substituição das coordenadas cartesianas x, y pelas coordenadas polares p, <p. O critério de igualdade nesta forma já não é tão simples como na forma algébrica. Tem-se:

se e só se

sendo k um número inteiro relativo qualquer. Quanto à adição, a representação trigonométrica não oferece vantagem apreciável. Há, no entanto, que recordar a relação entre o módulo da soma e os módulos das parcelas

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extensível a mais de duas parcelas, em número finito e fundamental para toda a Análise Complexa. Esta relação, que se pode demonstrar rigorosamente por via analítica, é traduzida geometricamente por um teorema da geometria euc1ideana: "Em qualquer triângulo, um lado não pode exceder a soma dos outros dois".

----- --- ---

---

Mas já para a multiplicação a representação é particularmente cómoda. Efectuando o produto algébrico de

facilmente se chega à relação

Assim: 1) O módulo do produto é igual ao produto dos módulos dos

factores

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2) O argumento do produto é igual à soma dos argumentos dos factores arg (ZI Z2) = arg ZI + arg Z2 (1). Em resumo: a função "módulo" transforma o produto em produto e a função "argumento" transforma o produto em soma (a menos de um múltiplo de 21t). Este resultado estende-se ao caso de mais de dois factores (em número finito) e, em particular, ao das potências:

Da regra da multiplicação deduz-se a da divisão: ZI Z2

=Bl ' IZ2 I

arg ~ = arg Z1 - arg Z2(1) ' Z2

supondo Z2 =1= O. Note-se que estas fórmulas relativas aos módulos são igualmente fundamentais para a Análise Complexa. Finalmente, da regra da potência (l~ FÓRMULA DE MOIVRE) deduz-se a importante 2~ FÓRMULA DE MOIVRE que resolve o problema da radiciação. Dado z, procuremos w tal que

wn=Z. Pondo Z

= p(cos <p + i sen <p)

w = r(cos

ú)

+ i sen 0)),

deverá ser rn

e nO) = <p + 2k1t

e, portanto,

r = Vp (raiz > O), 0)=

<p + 2k1t

(1) Naturalmente, a igualdade expressa nesta fórmula deve ser interpretada a menos de um múltiplo de 2n.

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Como se sabe, apesar de k assumir uma infinidade de valores inteiros, vêm para O) apenas n valores distintos, no intervalo [0,21t[, correspondentes aos valores 0, 1, 2, ... , n - 1 de k. Assim, todo o número complexo z "* admite n raízes distintas de índice n (se z = 0, há apenas a raíz múltipla z = O). Fica deste modo provado o que se disse logo de início: no corpo C a extracção de raízes de índice n, qualquer, é uma operação sempre possível (mas não unívoca).

4. Interpretação geométrica da multiplicação

Consideremos a relação w = az em que a = r (cos O) + i sen 0)) é um número complexo fixo e z = p (cos 'P + i sen 'P) um número complexo variável. Esta relação faz corresponder a cada ponto z do plano um determinado ponto w do plano; define, pois, uma transformação geométrica (1 ) • 1) Se 0)=0, a é um número real positivo. Temos apenas de multiplicar o módulo p de z por r. A transformação geométrica é, como se vê, uma homotetia directa de razão r e centro zero. 4) ,

w=uz

,, , \

w=uz

_.,;

1) w=rz

\ \

z 2)

w=rz

(1) Esta transformação do conjunto C sobre si mesmo será biunívoca se (se só) for

considerações seguintes exclui-se a hipótese a

=O.

a"* O. Das

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2) Se ro = 1t, a é um número real negativo. A transformação geométrica é uma homotetia inversa de centro zero e razão r. 3) Se r = 1 e ro qualquer, então Iz I fica inalterado e o argumento passa de <p a ú) + <p. A transformação geométrica é, portanto, uma rotação em tomo da origem. 4) No caso geral temos uma homotetia seguida de uma rotação (transformação de semelhança que deixa fixa a origem). Consideremos agora, mais geralmente, transformações do tipo w

=az +~.

Já vimos como se traduz o produto por a. Por sua vez, a adição de ~ traduz-se numa translação, definida pelo vector representativo de ~. Portanto, a referida transformação é uma homotetia seguida de uma rotação e de uma translação, portanto, uma semelhança (que não deixa geralmente fixa a origem). Porém, estas semelhanças são directas, isto é, não mudam a face do plano. Pelo contrário, a transformação definida pela fórmula

w=zem que z = x - iy é o conjugado de z = x + iy, é uma simetria em relação ao eixo dos xx, portanto, uma igualdade inversa. 5. Outro tipo de interpretação geométrica dos números complexos

Já vimos que a transformação geométrica definida pela função

w= az, com a =r (cos <p + i sen <p), consiste na homotetia de centro O e razão r, seguida da rotação de amplitude <p em torno da origem. Vimos, por outro lado, que o número z = x + iy pode ser representado pelo vector ii do plano, de componentes x, y. Daqui nasceu, naturalmente, a seguinte

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DEFINIÇÃO. Chama-se produto de um número complexo a por um vector u do plano, e representa-se por au, o vector ii do plano que se obtém multiplicando u pelo número reallal e imprimindo a lalu uma rotação de amplitude igual a arg a (tomando para positivo o sentido anti-horário). Assim nos aparece urna nova interpretação geométrica dos números complexos, que muito interessa aos físicos e aos técnicos, nomeadamente aos electrotécnicos: os números complexos podem, deste modo, ser considerados corno operadores sobre vectores do plano.

\ , \

' \ \

" ,

\ \

, ",

, \

b(iil)

~ ::::.--- - -

(Pu)

Em particular, o vector i u será o que se obtém fazendo rodar u, de n/2 radianos no sentido positivo; o número i será, então, identificado a essa operação, isto é, a essa rotação, e o seu quadrado será tal que •2

-7

l U

•( •

-7)

=- U-7 =(- 1)-7u,

o que fornece urna interpretação intuitiva da relação i 2 = - 1. Dum modo geral, sendo a =Re a e b =1m a, tem-se, corno é fácil ver,

au =(a + bi)u =au + b(iu), o que indica um outro modo de obter o vector au (fig. acima).

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6. Limites de sucessões de números complexos

Já vimos que a diferença z - a entre dois números complexos é dada geometricamente pela diferença entre o vector que representa z e o vector que representa a. Então Iz - a I será o módulo desse vector diferença, ou seja, a distância entre o ponto representativo de z e o ponto representativo de a. Daí a DEFINIÇÃO. Chama-se distância entre os números complexos z e a ao número Iz-al ~ O.

Fig. 8

Posto isto, se for 8 um número qualquer > O, é fácil ver que o lugar geométrico dos valores de z que verificam a condição

Iz-al<8 será o interior do círculo de centro em a (isto é, no ponto representativo de a) e de raio 8 (1). Este conjunto de pontos (ou de números complexos) é denominado a vizinhança (8) de a. Posto isto: DEFINIÇÃO A. Diz-se que uma sucessão de números complexos

(1) Em virtude da correspondência biunívoca estabelecida entre os números complexos e os pontos do plano, é frequente identificar os primeiros aos segundos, como já sucedia entre números reais e pontos da recta.

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tem por limite um número complexo a (ou tende para ou converge para a) e escreve-se

quando a distância de zn a a tende para zero, isto é, quando lim Izn - a I =O. Esta definição é baseada na definição de limite dada anteriormente no campo real, mas é equivalente à seguinte definição directa: DEFINIÇÃO B. Diz-se que zn tende para a quando, para todo o número 8 > 0, existe um número natural p tal que se tem

Izn - a I < õ x

para todo o n > p .

Fig. 9

Esta mesma definição pode ser dada em termos de "vizinhança": DEFINIÇÃO C. Diz-se que zn tende para a, quando para toda a vizinhança V de a, existe uma ordem p depois da qual todos os termos da sucessão se encontram em V. Vejamos como se traduz o facto de zn tender para a, considerando a parte real e o coeficiente da parte imaginária. Vamos demonstrar o seguinte

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TEOREMA. Condição necessária e suficiente para que zn tenda para a é que a parte real de Zn tenda para a parte real de a e que o coeficiente da parte imaginária de Zn tenda para o coeficiente da parte imaginária de a. Podemos exprimir simbolicamente este enunciado escrevendo:

a) Demonstremos, primeiro, que a condição é suficiente, isto é, demonstremos que:

Pondo zn e a na forma algébrica:

vem, pela definição de módulo: IZn-al = Y(xn - a)2 + (Yn - b)2.

Mas, por hipótese, xn n-too

a 1\ Yn ~ b. Logo, passando ao limite, n-too

n-t oo

Mas isto significa (DEFINIÇÃO A) que zn ~ a. A condição é, pois, suficiente. b) Demonstremos que a condição é necessária, isto é, que:

Por ser

(1) o símbolo lógico <=> (de equivalência) lê-se "se e só se" ou "equivalente a".

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e, analogamente,

(Geometricamente, isto corresponde ao facto de as componentes de um vector ii nunca terem módulo superior ao módulo de ii). Mas, se zn -ta, obtém-se destas relações

ou seja,

A condição é, pois, necessária. DEFINIÇÃO D. Diz-se que uma sucessão zn tem por limite infinito ou tende para 00 e escreve-se

quando

Isto significa que, dado o número positivo L, qualquer que ele seja, existe sempre uma correspondente ordem p tal que

Iznl > L,

para n > p .

Uma sucessão de números complexos diz-se convergente, quando tende para um limite finito (isto é, para um número complexo). Diz-se divergente no caso contrário, isto é, quando não tende para limite algum ou tende para 00. As sucessões mais interessantes são as convergentes. Tal como para as sucessões de números reais, verificam-se as proposições: Se un e vn são termos gerais de sucessões convergentes, então un+vn e un' V n também o são e tem-se:

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I.lim (u n + vJ = lim un + lim v n ; II. lim (u n • vJ = lim un • lim vn ' III. Se, além disso, for lim V n ;;j:. 0, tem-se

As demonstrações destes teoremas são decalcadas sobre as correspondentes para o caso dos números reais, pois que nelas intervêm essencialmente as propriedades dos módulos duma soma, dum produto, etc., que subsistem, como vimos, no corpo C. Como exemplo, recordemos a demonstração da regra

Seja lim Un =a e lim vn =b com a, b E C . Queremos provar que lim (u n + v n ) = a + b. Ora, (u n

+ vJ - (a + b) = (u n - a) + (v n - b)

e o módulo da soma é inferior ou igual à soma dos módulos das parcelas; logo, tem-se: (1)

para todo o valor de n. Seja agora Õ um número positivo arbitrário. Visto que un vn ~ b, existe um número p (dependente de Õ) tal que

õ I un - a I < -, para n > p , 2

e um número q (dependente de Õ) tal que

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õ Ivn - b I < -, 2

para n > q .

Seja r o maior dos números q e p. Então, será

o que, dada a arbitrariedade de Õ, significa precisamente que

Existem, contudo, teoremas válidos no campo real que deixam de o ser no campo complexo. Alguns deixam mesmo de ter sentido: são aqueles que envolvem a relação de ordem (não definida em C), como, por exemplo, o seguinte: "Toda a sucessão que é crescente em sentido lato e limitada superiormente é convergente". Continua, porém, a ser válido o CRITÉRIO DE CONVERGÊNCIA DE CAUCHY-BOLZANO. Condição necessária e suficiente para que a sucessão zn seja convergente, é que a todo o número Õ > O corresponda um número natural p tal que se tenha

desde que seja ao mesmo tempo m > p e n > p .

No conjunto R+ (dos números reais não negativos) é válida a regra: lim ~ = V'lim un

•

No campo complexo surgem restrições à sua aplicação, pois que, por existirem geralmente p raízes de índice p, a simbologia toma-se ambígua e não sabemos se a raiz que tomamos no 1.° membro é a

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correspondente à que tomamos no 2.0 membro. Há, pois, que tomar certas precauções que indicaremos oportunamente. São ainda válidas no campo complexo as seguintes regras que foram demonstradas em R:

III. un

a*-oo 1\ vn ~ 00 ==> ---2!. ~ O·, V n

etc., etc.

7. Séries de termos complexos Série de termos complexos será toda a expressão do tipo

ou, abreviadamente, 00

que se obtém ligando por notação aditiva os termos de uma sucessão de números complexos zo' zl' ... ' zn' .... O estudo duma série reduz-se ao da sucessão das suas somas parciais:

So = ZO SI =Zo + ZI S2 =Zo + ZI + Z2

Diz-se que a série é convergente ou divergente, conforme a sucessão Sn' das somas parciais é convergente ou divergente. No primeiro caso,

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chama-se soma da série ao limite (finito) de Sn e, sendo S = lim Sn' escreve-se 00

S=z o +z 1 +z 2 +···+z n + ... =~ .L...J z n· n=O

É fácil relacionar a convergência de uma série de números complexos com a da série das partes reais e a da série dos coeficientes de i. Aplicando o correspondente teorema para limites de sucessões, demonstra-se facilmente o seguinte TEOREMA. Condição necessária e suficiente para que a série 00

L Zn seja convergente, é que sejam convergentes a série das partes n=O

reais e a série dos coeficientes das partes imaginárias dos números zn' e tem-se nessa hipótese: 00

L Zn= L Xn+ iLYn· n=O

n=O

Este teorema reduz, pois, o estudo duma série de termos complexos ao estudo de duas séries de termos reais. Continua a verificar-se, para séries de termos complexos, o cRITÉRIO DE CONVERGÊNCIA DE CAUCHY-BOLZANO. Condição necessária e suficiente para que a série L Zn convirja, é que a todo o número 8> Ocorresponda um número natural v tal que se tenha

para todo o n > v e todo o número natural p.

Daqui se deduz a bem conhecida CONDIÇÃO NECESSÁRIA DE CONVERGÊNCIA. Se a série LZn converge, o seu termo geral tende para zero: zn ~ O. Por não estar definida uma relação de ordem no corpo C, os critérios de comparação deixam de ter aqui sentido.

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Porém, subsiste no campo complexo o seguinte teorema fundamental, que permite reduzir o estudo de uma série de termos complexos ao de uma série de termos reais não negativos, nos casos mais correntes e mais importantes da prática: CONDIÇÃO SUFICIENTE DE CONVERGÊNCIA. Uma série LUn é convergente, desde que o seja a série L Iun I dos módulos dos termos da primeira e, nesta hipótese, tem-se: 00

n=O

L lunl,

n=O

isto é, a propriedade do módulo da soma estende-se, então, ao caso de uma infinidade numerável de parcelas:

Uma série L U n diz-se absolutamente convergente quando é convergente a série L IU n I·

Também as propriedades comutativas e associativa generalizada ,das séries absolutamente convergentes (ver Algebra Superior I do Prof. VICENTE GONÇALVES) se estendem ao caso das séries absolutamente convergentes de termos complexos. Mantém-se igualmente a importante

VIuJ ,

a série L Un será abREGRA DE CAUCHY. Sendo L = lim solutamente convergente se L < 1 e será divergente se L > 1. Demonstração. a) Suponhamos que L < 1. Então, se for k um númeserão inferiores a k dero tal que L < k < 1, todos os números pois de certa ordemp e, portanto:

VIuJ

para n > p. Ora, k n é termo geral de uma série geométrica de razão k < 1, portanto convergente. Daqui se conclui que também a série L Iun I será convergente.

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b) Seja L> 1. Então, há uma infinidade de valores de n para os > 1, ou seja, Iuni> 1. Sendo assim, o termo geral quais se tem da série L IUn I não tende para Oe, portanto, a série é divergente.

VTUJ

NOTA. Recordemos a definição de "limite máximo": Dada uma sucessão x n de números reais, limitada superiormente, chama-se limite máximo da sucessão, e representa-se por lim x n ' o número L definido pelas duas seguintes propriedades: 1) Qualquer que seja L' > L, todos os números x n a partir de certa ordem, são inferiores a L' ; 2) Qualquer que seja L" <L, existem sempre, depois de qualquer ordem, termos da sucessão, superiores a L" . Se a sucessão x n não é limitada superiormente, põe-se, por definição' lim x n =+ 00. Analogamente, se define "limite mínimo" de uma sucessão de números reais. Se a sucessão xn é convergente ou propriamente divergente tem-se

Reciprocamente, se a primeira igualdade se verifica, a sucessão é convergente ou propriamente divergente, e verifica-se também a última igualdade. (Recordemos que uma sucessão se diz propriamente divergente, quando tende para infinito com sinal determinado, isto é, para +00 ou para -00). É óbvio que estas noções deixam de ter sentido no campo complexo. 8. Soma e produto de séries

DEFINIÇÃO. Chama-se série soma de duas séries 00

n=O 00

à série

L (U +v n

n=O

n )·

140

TEOREMA. Se as séries L U n e LVn são convergentes, também a série soma é convergente e a sua soma é igual à soma das somas das séries dadas, isto é, tem-se: 00

LUn +

n=O

L vn = n=O L (un+v).

n=O

Se, além disso, as séries dadas são absolutamente convergentes, também a série soma é absolutamente convergente.

A segunda parte do teorema resulta da primeira e da relação:

Análogo teorema se demonstra para a série diferença 00

Neste caso a segunda parte do teorema obtém-se a partir da relação

NOTA. Ia - bl = la + (- b)1 ~

lal + Ibl·

Tem-se ainda uma regra análoga para o produto de um número complexo a pela série L un • Se esta for convergente, tem-se 00

n=O

aI, U n = L (au n ) e, se a primeira for absolutamente convergente, também a segunda o será. Chama-se série produto das séries L U n e LVn a série 00

L (UOVn + U1Vn_1+ ... + unVO)·

n=O

141

Verifica-se o seguinte: TEOREMA. Se as séries dadas são absolutamente convergentes, a série produto é absolutamente convergente e tem por soma o produto das somas das séries dadas, isto é:

Estes teoremas têm grande importância teórica e prática. As suas demonstrações são formalmente as mesmas que se costumam dar para os teoremas correspondentes no campo real. 9. Séries de potências

Dá-se o nome de série de potências a toda a expressão da forma ao + a I Z + a2 Z2 + ... + an zn + ...

ou, abreviadamente,

em que ao' aI' ... ' an , ••• , são números complexos quaisquer e z é uma variável complexa. O estudo da convergência das séries de potências é dominado pelo seguinte teorema fundamental, que resulta da REGRA DE CAUCHY atrás recordada: TEOREMA. Sendo L

= lim \IfaJ ' a série L anzn é absolutamente

convergente para todo o valor de

z tal

para todo o valor de z tal que Iz I > 1/L.

que

Iz I < ~, L

e divergente

Demonstração. Com efeito, dando a z como valor um número complexo Zo qualquer, a série dada converte-se numa série numérica de termo geral un =a n z3. Ora,

142

e, portanto,

Logo, segundo a regra de Cauchy, a série LanZ~ será absolutamente convergente ou divergente, conforme for

isto é, conforme for

Izol < -

Izol > -

(q.e.d.).

Pondo

com L = lim

\IfaJ ,

dá-se a R o nome de raio de convergência da série de potências LanZ n. Se R 7; e R 7; + 00 o lugar geométrico dos valores de z tais que Iz I< R é, como sabemos, o interior do círculo de centro na origem e raio R, chamado círculo de convergência da série. Esta é, pois, absolutamente convergente no interior do círculo de convergência e divergente no exterior do círculo; sobre a circunferência Iz I= R, o comportamento da série varia de caso para caso. Se R = 0, a série é convergente só para z = O: o círculo de convergência degenera num ponto (a origem). Se R = + 00, a série é convergente para todo o valor complexo de z: o círculo de convergência é substituído por todo o plano da variável complexa.

143

Mais geralmente, pode apresentar-se uma série de potências de

z-a

sendo a um número complexo qualquer. Então, o raio de convergência R da série é ainda dado pela fórmula anterior e, segundo o teorema, a série será absolutamente convergente ou divergente, conforme for

Iz-al <R

Iz-al >R.

Se R*"O e R*"+ 00, a imagem geométrica de

Iz-al <R é o interior do círculo de centro a e raio R (círculo de convergência). Se R =0, a série converge só para z =a, se R =+ 00, a série converge em todo o plano. DETERMINAÇÃO DO RAIO DE CONVERGÊNCIA PELO CRITÉRIO DE D' ALEMBERT: Em particular, pode acontecer que o módulo da razão a)an +1 tenda para um limite, finito ou infinito, ao tender n para 00. Nesse caso (e só nesse), o raio da convergência da série LanZn pode ser obtido aplicando à série L lanznl o critério de D' Alembert. Tem-se, então, como é fácil verificar, R=lim ~ .

an +1 10. Função exponencial Consideremos a série de potências de z

Z2 Z3 zn zn 1 +z+-+-+ .. · +-+ ... = 2! 3! n! n=O n!

L-' 00

(1)

144

o seu raio

de convergência pode ser obtido pelo critério de

D' Alembert:

1 R=lim

an +1

=lim ---=lim(n+ 1)=+00. 1 (n + I)!

A série (1) converge, pois, para todo o valor de z. Designemos, então, por f (z) a soma desta série para cada valor de z: 00

f(z)=L~· o n!

Se z é, em particular, um número real x, já sabemos que esta série representa a função exponencial eX, que também se designa pela notação exp x. Sabemos, por outro lado, que se tem

exp (x + y)

=exp x . exp y,

quaisquer que sejam os números reais x e y. (Mais até, demonstra-se que, no campo real, eX é a única função contínua que tem esta propriedade, tomando o valor e para x = 1). Vamos agora ver que a função f (z) atrás definida possui também esta propriedade e, como tal, pode ser considerada como a extensão ao campo complexo da função exponencial eX. Com efeito, sendo Zl e Z2 dois números complexos quaisquer, tem-se: 00

f(Zl)=L~' f(z)=L~· n=O

n=O

145

Efectuando o produto destas duas séries (absolutamente convergentes), vem, segundo um teorema anterior: f(ZI) . f(Z2)

=L (zn 00

_1 •

n=O

zn-l

• _2

(n-l)!

z~-p

zn-2

• _2

(n-2)!

+ ... +

z;)

+ (n - p)! . p! + ... + -;;T , ou seja, passando para fora dos parênteses o factor ~ : n! !(z,) . !(Z2)

=n-O -.!, (z~ + nzr Z2 + (n )zr2 z; + ... + 2 n. 1

Vemos, pois, que:

quaisquer que sejam os números complexos ZI' Z2' o que nos induz a representar, no caso geral, a soma da série (1) por ez ou por exp z, em vez de f(z). Deste resultado deduzem-se importantes consequências. Pondo z na forma algébrica, z =x + iy, virá, segundo o estabelecido:

Mas

e lY

i 3 3!

i 5 5!

=1 + z y - - -y- + - +y- - ... 2!

146

ou seja, aplicando o teorema que relaciona a soma da série com a das partes reais e a dos coeficientes de i:

Ora, já sabemos da Análise Real que a soma da primeira série do 2? membro é igual a cos y e que a soma da segunda série é sen y. Então, será

ei y = cos y + i sen y e, portanto, (2)

ex+iy = eX(cos y + i sen y).

Por aqui se vê, desde já, que a exponencial complexa e Z é uma função periódica de período 2ni. De facto, ez +2ni = ex+i(y+2n) = eX[cos (y + 2n) + i sen (y + 2n)].

Ora tem-se, qualquer que seja y E R: cos (y + 2n) = cos y, sen (y + 2n) = sen y e não há nenhum ângulo y 1 compreendido entre y e y + 2n tal que se verifiquem simultaneamente as duas igualdades cos y 1 = cos Y e sen Yl = sen y. Será, pois, sempre: ez +2ni =eX(cos y + i sen y)

ou exp (z + 2ni) = exp z ,

147

e não existe nenhum número <p tal que exp (z + i<p) = exp z, com 0< <p < 2n. Uma outra consequência importante que se deduz facilmente da fórmula (2) é a seguinte: A função exp z não se anula para nenhum valor complexo de z. Da mesma fórmula deduzem-se ainda outros resultados notáveis. Assim: a) Pondo x = O e y = <p, vem: (3)

eiCP = cos <p + i sen <p .

Escrevamos z sob a forma trigonométrica:

z = p (cos <p + i sen <p) . Atendendo a (3), podemos agora escrever

que é a chamada forma exponencial do complexo z. Deste modo, também a expressão eicpil (onde il é um vector qualquer do plano) adquire significado. Com efeito, vemos por (3) que e icp é um complexo de módulo unitário e argumento <p. Então, eiCP representa um operador que aplicado a i1 lhe imprime uma rotação de <p radianos, respeitando as convenções estabelecidas quanto ao sentido. b) Sendo x um número real qualquer, tem-se e ix = cos x + i sen x

e- ix = cos x - i sen x.

Daqui se deduz, respectivamente, por adição e subtracção ordenada, as chamadas FÓRMULAS DE EULER: cosx=---, senx=--2 2i análogas às expressões de chx e shx.

148

11. Logaritmação no campo complexo

Dado um número complexo z procuramos um número complexo w tal que (1)

Reparemos, em primeiro lugar, que apenas podemos considerar valores de z diferentes de zero, para que a equação anterior seja possível, visto que a função e Z não se anula nunca no conjunto C. Seja p = Iz I, <p =arg z , x

=Re w,

=1m w.

Então, será

z = p e irp ,

w =x + iy,

e a equação (1) toma a forma p e irp = eX . e iy = eX (cos y + i sen y). A igualdade (1) será, pois, equivalente ao sistema das duas seguintes equações:

=<p + 2k1t =argz + 2k1t.

(Note-se que, por supormos Z *- 0, será Iz I > e existe, portanto, log Iz I no campo real). A igualdade (1) equivale, portanto, a: w =x

+ iy = log Iz I + i (argz + 2k1t) ,

em que k pode tomar qualquer valor inteiro relativo. Vem assim para w uma infinidade de valores. Por extensão, costuma-se ainda chamar a qualquer desses valores de w um logaritmo de z, e escreve-se

w = log z.

149

Note-se, porém, que, à face de uma lógica rígida, há aqui um abuso de escrita: o sinal "=" implica a existência de um único valor de log z para cada valor de z, o que é falso, visto a expressão log z ser ambígua. Situação análoga se apresenta ao escrever w = Vz quando w n =Z.

No campo real não se verificavam tais ambiguidades: expressões tais como log 2,

V3, - v5, etc.

têm um único valor em R, segundo as convenções usuais. Mas já em C as expressões log (1- 2i), -vT=i, etc., são ambíguas. Assim, no campo complexo, as expressões Vz e log z representam funções em sentido lato ou funções pluriformes, de que nos ocuparemos oportunamente. 12. Senos e cosenos de números complexos

Consideremos as duas seguintes séries de potências de z: Z2

z2n

(2n)!

1--+-- ... + (_1)n

+ ...

e Z3

z--+-- ... + (-1)n

z2n+l

(2n

+ 1)!

+ ...

formalmente idênticas àquelas que nos dão, respectivamente, os desenvolvimentos em série das funções coseno e seno no campo real. Investigando acerca da sua convergência, facilmente se conclui que são ambas absolutamente convergentes em todo o conjunto C. Designemos, então, por C (z) a soma da primeira e por S (z) a soma da segunda. Utilizando os desenvolvimentos em série de e iz e de e- iz facilmente se reconhece que

150 C(Z) =

para todo o valor de logo, que

e iZ + e- iZ 2

e- iZ , S(Z) = - 2i Z _

z real ou imaginário. Daqui se conclui, desde [S(z)]2 + [C(z)]2

e que

Podemos verificar estas três identidades por mera substituição de valores aplicando as fórmulas anteriores e as propriedades de expz.

Também e ainda, se pode verificar que S(z) e C(z) são funções periódicas de período 2n. Vemos, assim, que S(z) e C(z) obedecem a relações formalmente idênticas àquelas a que se sujeitam sen x e cos x, sendo x a variável real. Deste modo, por extensão natural, passamos a designar S(z) e C(z), respectivamente, por sen z ecos z.

íNDICE ANÁLISE SUPERIOR

BIBLIOGRAFIA INICIAL .. .............. .... ................ ........ ................... INTRODUÇÃO..................................................................................

111 113

CAP. I - Preliminares

1. Números complexos .............................................................. . 2. Representação geométrica ..................................................... . 3. Representação trigonométrica dos números complexos ......... . 4. Interpretação geométrica da multiplicação ............................. . 5. Outro tipo de interpretação geométrica dos números complexos ................................................................ . 6. Limites de sucessões de números complexos ........................ . 7. Séries de termos complexos .................................................. . 8. Soma e produto de séries ....................................................... . 9. Séries de potências ................................................................. . 10. Função exponencial ............................................................... . 11. Logaritmação no campo complexo ....................................... .. 12. Senos e cosenos de números complexos ............................... .

117 121 124 127 128 130 136 139 141 143 148 149

CAP. II - Estudo elementar das funções de variável complexa

1. Generalidades sobre funções de mais de uma variável ..........

151

568 2. Funções complexas de variável complexa .............................. 3. Funções reais da variável complexa e funções complexas de variável real ............................................................................. 4. Noção de limite para funções complexas da variável complexa ................................................................... 5. Propriedades dos limites das funções ...................................... 6. Continuidade para funções complexas de variável complexa 7. Conceito de derivada. Funções monogéneas e funções holomorfas .............................................................................. 8. Regras de derivação ................................................................ 9. Condições de monogeneidade ................................................ 10. Condições de holomorfia......................................................... 11. Estudo de algumas funções pluriformes .................................

155 157 159 161 163 164 168 173 180 183

CAP. III - Noções prévias sobre espaços vectoriais abstractos e sobre topologia 1. Espaços vectoriais: definição, axiomática e exemplos ........... . 2. Dependência linear. Número de dimensões ........................... . 3. Noção de subespaço vectorial ............................................... .. 4. Noção de semi-norma ............................................................. . 5. Noção de norma ...................................................................... . 6. Noções de desvio, distância e espaço métrico ........................ . 7 . Noções métricas ..................................................................... . 8. Isometrias ............................................................................... . 9 . Noções topológicas em espaços métricos .............................. . 10. Topologia e Lógica formal .................................................... .. 11. Noção geral de espaço topológico ......................................... . 12. Sistemas fundamentais de vizinhança ................................... . 13. Filtros e bases de filtros ......................................................... . 14. Noção de subespaço topológico ............................................ . 15. Produto topológico ................................................................ . 16. Espaços separados ................................................................. . 17. Noção de limite de uma sucessão .......................................... . 18. Limite de um filtro ................................................................. .

193 197 197 199 200 202 205 207 208 214 217 220 222 223 224 226 228 231

569 19. Limite de uma função. Funções contínuas ............................. 20. Aplicações bicontínuas. Grupo da Topologia ......................... 21. Conjuntos compactos .............................................................. 22. Funções contínuas sobre compactos ....................................... 23. Continuidade uniforme em espaços métricos ......................... 24. Imersão de um espaço localmente compacto num espaço compacto ................................................................................. 25 . Noção de linha ........................................................................ 26. Conjuntos conexos .................................................................. 27. Espaços métricos completos. Espaços de BANACH .............. 28. Análise infinitesimal em espaços de BANACH ..................... 29. Espaços vectorais topológicos. Espaços localmente convexos .................................................

232 238 240 243 245

ALGUMAS INDICAÇÕES BIBLIOGRÁFICAS .......................

271

247 250 254 260 262 269

CAP. IV - Fundamentos da teoria das funções analíticas 1. Noção de integral para as funções complexas de variável real ............................................................................ 2. Noção de integral para as funções complexas de uma ·variável complexa ................................................................... 3. Nova definição de integral para funções complexas de variável complexa ................................................................... 4. Domínios simplesmente conexos e domínios multiplamente conexos.................................................................................... 5. Primeira forma do teorema fundamental de CAUCHY Demonstração de RIEMANN ................ .... ................... ...... .... 6. O teorema fundamental de CAUCHY para poligonais. Demonstração de GOURSAT .......... ........ ...................... .......... 7. O teorema fundamental do cálculo integral no campo complexo. Forma geral do teorema fundamental de CAUCHY................................................................................. 8. Caso dos domínios multiplamente conexos .................. .......... 9. Fórmula integral de CAUCHY................................................ 10. Convergência uniforme no campo complexo .........................

273 275 278 283 286 288

291 297 299 302

570 11. Primeiras consequências da fórmula integral de CAUCHY. ... 12. Teoremas de MORERA e de WEIERSTRASS ...................... 13. Série de LAURENT ................................................................ 14. Zeros de uma função holomorfa ............................................. 15. Pontos singulares de uma função ............................................ 16. Funções analíticas globais (ou funções analíticas de WEIERSTRASS) .................................................................... 17. Funções holomorfas em domínios da esfera de RIEMANN ... 18. Funções homográficas. Geometria analagmática e geometria projectiva da rectaprojectiva complexa ................................. . 19. Funções analíticas globais em domínios da esfera de RIEMANN ............................................................................. . 20. Funções algébricas ................................................................. . 21. Breves noções sobre representação conforme ........................ . 22. Funções vectoriais analíticas ................................................. ..

308 314 317 319 324 330 352 360 365 366 376 387

CAP. V - Revisões e complementos sobre integrais

impróprios e sobre integrais paramétricos 1. Integrais com extremos infinitos para funções reais ............... 2. Integrais de funções ilimitadas................................................ 3. Mudança de variáveis em integrais impróprios ....................... 4. Funções de EULER .............. ....... ....... ................ ............ ......... 5. Integrais impróprios de funções vectoriais e de funções complexas .............................................................................. . 6. Convergência uniforme relativa a parâmetros contínuos ....... . 7. Integr~is paramétricos ............................................................. .

391 405 411 413 415 417 425

CAP. VI - Método dos resíduos 1. 2. 3. 4.

Definição e teorema fundamental ......................................... .. Aplicação à contagem dos zeros duma função meromorfa .... . Resíduos no ponto impróprio ................................................. . Aplicação do método dos resíduos ao cálculo de integrais impróprios ...............................................................................

437 439 443 444

571

CAP. VII - Breves noções sobre medida e integral de Lebesgue 1. Medida de LEBESGUE sobre a recta .................................... . 2. Funções em escada. Funções fundamentais .......................... . 3. Funções mensuráveis .............................................................. . 4. Funções somáveis. Integral de LEBESGUE ......................... . 5. Propriedades do integral de LEBESGUE .............................. . 6. Integrais indefinidos. Funções absolutamente contínuas ....... . 7. Integração por partes e integração por substituição ............... . 8. Integral duma função sobre um conjunto mensurável ........... . 9. Espaço das funções localmente somáveis num intervalo ...... . 10. Espaços LP. Espaços de HILBERT .......... ............................... 11. Medida e integral em Rn ........................................................ .

454 457 458 459 463 468 471 473 473 479 484

CAP. VIII - Transformação de Fourier 1. Definição e notações ... ............... ..................... .................. ...... 2. Campo de existência. Primeiras propriedades......................... 3. Efeito da transformação de FOURIER sobre a derivação e sobre a multiplicação por x ..................................................... 4. Inversão. Teorema de FOURIER ............................................ 5. Demonstração do teorema integral de FOURIER .................. 6. Efeito da transformação de FOURIER sobre a multiplicação. Convolução ............................................................................ . 7. Efeito da transformação de FOURIER sobre as translações .. 8. Aplicações às equações diferenciais ...................................... . 9. A transformação de FOURIER para funções de mais de uma variável ........................... ..... .................................................. .

495 498

526

ALGUMAS INQICAÇÕES BIBLIOGRÁFICAS ...................... .

531

501 503 511 515 518 519

CAP. IX - Transformação de Laplace 1. Definição e notações ............................................................... 2. Campo de existência. Funções de tipo exponencial à direita. 3. Linearidade da transformação de LAPLACE .........................

533 535 541

572 4. 5. 6. 7. 8.

Efeito da transformação de LAPLACE sobre a derivação ..... Efeito da transformação de LAPLACE sobre as translações. Inversão ................................................................................... Convolução no intervalo [0, + 00 [ ........................................... Aplicações às equações diferenciais .......................................

542 545 547 550 552

BIBLIOGRAFIA ................................... .......................................

566