11.2 ANÁLISE SUPERIOR
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BIBLIOGRAFIA INICIAL
GEORGES VALIRON - ThĂŠorie des Fonctions, Masson et Compagnie, Paris, 1948. OSGOOD - Functions of Complex Variable, Steehert, N. Y.. AHLFORS - Complex Analysis, Me Graw and Hill, N. Y. ou Londres, 1953. " CARATHEODORY - Theory of Functions, Chelsea, N. Y., 1954.
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INTRODUÇÃO
Entre a Análise Real e a Análise Complexa existe uma diferença fundamental que convém desde já salientar. Quando se trata de uma função real de variável real, isto é, de uma função y = f(x), em que tanto a variável independente, x, como a variável dependente, y, tomam como valores números reais, pode acontecer que a função admita primeira derivada, f'(x), num dado intervalo, sem admitir aí segunda derivada, ou que admita segunda derivada, sem admitir terceira, etc. Pode também acontecer que f(x) seja indefinidamente derivável num intervalo, isto é, que tenha aí derivadas finitas de todas as ordens, mas que não seja representável pela sua série de Taylor numa vizinhança dum ponto Xo do intervalo: (x - XO)2 f" (x - xo)n () f( Xo ) + (x - Xo ) f '() Xo + 2! (xo) + ... + n! f n (xo) + ... ,
isto é, pode suceder que a soma desta série não coincida com f(x) em todos os pontos x interiores ao intervalo de convergência (1). De todos estes casos poderíamos dar inúmeros exemplos.
(1) Pode mesmo suceder que o raio de convergência seja nulo.
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Pelo contrário, quando se trata de uma função complexa da variável complexa, ou seja, de uma função w = fez), em que tanto a variável independente, z, como a variável dependente, w, tomam como valores números complexos, verifica-se, como veremos, o seguinte facto, deveras notável:
Se a função admite primeira derivada finita(l) nos pontos interiores de um domínio plano, admite necessariamente derivadas de todas as ordens nesses pontos e é representável pela sua série de Taylor, numa vizinhança de cada ponto interior ao domínio. Exprime-se este último facto dizendo que a função é analítica no interior do domínio D considerado. Assim, de uma hipótese tão simples, como é a da existência de primeira derivada finita no interior de D, resulta para as funções de variável complexa uma série de consequências importantes e, como veremos, uma grande riqueza de propriedades, que tornam as funções analíticas extremamente regulares, cómodas, manejáveis - extremamente bem comportadas (2). Esse "bom comportamento" cessa precisamente em certos pontos da fronteira do domínio em que há derivada - pontos singulares, cujo estudo tem, igualmente, uma importância fundamental na teoria das funções analíticas, para um perfeito conhecimento das mesmas. Da grande riqueza de propriedades das funções analíticas resulta não só a perfeição formal da sua teoria (que é, sem dúvida, uma das mais belas e harmoniosas de toda a Matemática), mas também uma (1) Como veremos, a definição de derivada para funções de variável complexa é idêntica à que se dá para funções de variável real (como limite da razão incremental). (2) Em linguagem intuitiva, não rigorosa, da Matemática, uma função diz-se tanto mais regular quanto mais propriedades possui, a facilitar o seu estudo. Assim, uma função derivável é mais regular do que uma função contínua, uma função com segunda derivada contínua é mais regular do que uma que tenha só primeira derivada, etc.
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excepcional importância nas aplicações à Física e à Técnica, especialmente à Electrotecnia: todo o matemático aplicado precisa de ter conhecimentos, não apenas superficiais, da teoria das funções analíticas.
Nótula histórica. A teoria das funções analíticas de uma variável complexa ficou praticamente concluída no século passado principalmente por obra de CAUCHY (que se apoiou sobre os conceitos de derivada e de integral para tais funções) e de WEIERSTRASS (que baseou a teoria, de preferência no estudo das séries de potências). Mas já o mesmo se não pode dizer a respeito da teoria das funções analíticas de mais de uma variável complexa; essa encontra-se hoje em plena evolução. E" provável que, em 1961, tenha lugar em Lisboa um simpósio sobre funções de variáveis complexas, no qual tomarão parte os principais especialistas mundiais sobre o assunto. Como base do estudo das funções analíticas, convém começar por recordar as noções fundamentais sobre números complexos aprendidos em Matemáticas Gerais. Para isso, recomenda-se a leitura de todo o Capítulo I do Curso de Álgebra Superior, 2.° volume, do Prof. J. VICENTE GONÇALVES. Entretanto, para facilitar essa recapitulação, vamos aqui fazer uma breve resenha de tais noções, chamando a atenção para alguns pontos essenciais.
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CAPíTULO II ESTUDO ELEMENTAR DAS FUNÇÕES DE VARIÁVEL COMPLEXA 1. Generalidades sobre funções
Recordemos primeiramente a noção geral de função. Dados dois conjuntos A e B formados por objectos quaisquer, chama-se aplicação de A em B a toda a correspondência f pela qual a cada elemento x de A fique a corresponder um e um só elemento y de B. Este elemento y toma o nome de imagem ou transformado de x por meio de f e representa-se por f(x), podendo escrever-se, então, y=f(x).
Também se diz, neste caso, que f é uma função definida em A e com os valores em B, ou ainda que é uma função (ou transformação) de A para B. Na expressão simbólica
y = f(x) a letra x diz-se "variável independente" e a letra y diz-se "variável dependente". O valor que a variável y assume para cada valor Xo de x também se diz o valor da função f em xo. Mas é preciso não confundir "função" com "variável dependente"; como vimos, função é o mesmo que correspondência unívoca,
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ao passo que as variáveis em Matemática nada mais são do que símbolos, geralmente letras, usados para efeitos de escrita: por exemplo, a função seno é uma correspondência fixa, bem determinada e não uma variável. Por extensão de linguagem, também se dá, por vezes, o nome de função a correspondências não unívocas. Trata-se, então, de funções em sentido lato, usualmente chamadas funções plurívocas (ou pluriformes), enquanto as funções propriamente ditas se dizem unívocas ou uniformes. Mas em geral, quando se diz "função", subentende-se, salvo indicação expressa em contrário, que se trata de função unívoca. Como sinónimos dos termos "aplicação", "função", "transformação", também se usam, por vezes, "operação" ou "operador". Neste caso, o elemento y correspondente a cada elemento x dado diz-se o resultado da operação aplicada a x. Assim, por exemplo, a função de z definida por 3z identifica-se à operação de «multiplicar por 3» e traduz-se por uma transformação geométrica (homotetia). Todavia, o uso tradicional mantém certas "nuances" de significado entre estas palavras. Assim, o termo "função" é usado, de preferência, para correspondências entre números, o termo "transformação" para correspondências entre pontos (em geometria), etc. N a literatura Matemática contemporânea, o termo que tende a usar-se mais em teorias abstractas é o de "aplicação" ("application", em francês). Consideremos uma aplicação f de A em B. Dado um conjunto M C A, chama-se imagem ou transformado de M por f, e representa-se por f(M), o conjunto das imagens dos elementos x de M por f. Em particular, pode ser M =A: o conjunto f(A) é chamado contradomínio de f. Por sua vez, o conjunto A diz-se o domínio de existência ou simplesmente domínio da aplicação f. É claro que se tem f(A) C B; mas pode acontecer que seja f(A) = B.
Então, diz-se que f é uma aplicação de A sobre B; quer isto dizer, portanto, que, para todo o elemento y de B, existe, pelo menos, um elemento x deA tal que y = f(x).
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Diz-se que uma aplicação f de A em B é biunívoca (ou univalente) de A em B, se transforma elementos distintos de A em elementos distintos de B; isto é, se
Se f é uma aplicação biunívoca de A sobre B, também se diz invertível. Assim, dizer que f é uma aplicação biunívoca ou invertível de A sobre B significa que, para todo o elemento y de B, existe um, e um só, elemento x de A tal que y = f(x).
Deste modo, a cada elemento y de B fica a corresponder um determinado elemento de A; a aplicação de B sobre A assim definida diz-se inversa de f e representa-se por f -l. Tem-se, pois, por definição: x
= f-l(y) <=> Y = f(x).
Para melhor esclarecimento destas noções, vejamos alguns exemplos: a) Seja A o conjunto dos alunos e C o conjunto das carteiras de uma aula liceal. A cada aluno x corresponde, então, uma determinada carteira y : y = carteira de X.
Fica assim definida uma aplicação de A em C. O seu contradomínio será o conjunto das carteiras ocupadas pelos alunos; se todas as carteiras estão ocupadas, trata-se de uma aplicação de A sobre C. A aplicação será univalente, se todas as carteiras forem individuais. Se, além disso, as carteiras estão todas ocupadas, trata-se de uma aplicação biunívoca de A sobre C, cuja inversa é expressa por: x = aluno cuja carteira é y.
É óbvio que, se a aplicação não fosse univalente, o segundo membro seria uma expressão ambígua para dados valores de y, insuficiente para individualizar um aluno.
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b) Se, a cada número real x, associarmos o número real y = x 2, definimos uma aplicação do conjunto R em si mesmo, mas não sobre si mesmo. É, contudo, uma aplicação de R sobre o conjunto R+ dos números reais não negativos. Mas não é univalente, e, portanto, só impropriamente se pode falar da sua função inversa x=+vy, que é apenas função em sentido lato. c) A correspondência x ~ x 3 , sendo x variável real, já é uma aplicação biunívoca de R sobre R, cuja inversa é a correspondência x ~ \IX (a operação inversa da elevação ao cubo é a extracção da raiz cúbica). d) A correspondência z ~ z3, sendo z variável complexa, é uma aplicação do conjunto C sobre si mesmo, mas não univalente e, portanto, não invertível. Só por abuso cómodo de linguagem podemos falar da sua função inversa representada pela expressão Vz, visto que esta, para cada z *- 0, pode receber três interpretações distintas (função triforme). Diz-se que duas funções f e g são idênticas, ou que são a mesma função e escreve-se f=g,
quando verificam as duas seguintes condições: 1) As funções f e g têm por domínio um mesmo conjunto A. 2) Tem-se f(x)
=g(x) para todo o x EA.
Basta que uma destas condições se não verifique para que as funções não sejam idênticas; dizem-se, então, distintas e escreve-se f*-g·
Por exemplo, no campo real as funções definidas por \IX e por ~ são distintas, porque não têm o mesmo domínio de existência, embora coincidam ambas no domínio R+ da primeira.
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Dadas duas funções f e f*, de domínios D e D* respectivamente, diz-se que f* é um prolongamento de f a D*, quando se verificam as duas condições: 1) O domínio de f
* contém o domínio de f, isto é, D* ~ D.
2) Tem-se f*(x)
= f(x) ,
para todo o x E D.
Neste caso, também se diz que f é a restrição de f* a D; a operação de restrição é a inversa da operação de prolongamento. Por exemplo, a função ~ é um prolongamento a R da função Vx, definida só em R+. Analogamente, sendo z variável complexa e x variável real, a função sen z é prolongamento a C da função sen x definida em R. Pode acontecer que, uma dada função f, definida num conjunto D, não seja invertível, e já o seja a sua restrição a um subconjunto de D. Por exemplo, a função x 2 definida em R não é invertível, mas é-o a sua restrição a R+. Também a função sen x não é invertível em
1t 1t] .
"1 R , mas e,,·lnvertlve no·lntervaIo [ -"2'"2
2. Funções complexas de variável complexa Função complexa de variável complexa será toda a aplicação f cujo domínio e cujo contradomínio sejam conjuntos de números complexos. Designemos esses conjuntos, respectivamente, por D e por D*; então, a cada número complexo z ED, a função f fará corresponder um (e um só) número complexo w =f (z) E D*. Assim, f é uma aplicação de D C C sobre D* C C, e, portanto, uma aplicação de D em C (em particular, pode ser D* = C). Por exemplo, a função Z2 é uma aplicação de C sobre C; mas já, como vimos, a função exp z é uma aplicação de C sobre o conjunto C menos o zero. Dum modo geral, toda a série de potências de z - ex, (com ex, E C) define uma função de z, cujo domínio de existência é o interior do seu círculo de convergência, acrescido, eventualmente, de um ou mais pontos fronteiros em que a série convirj a.
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Dada uma função complexa de variável complexa (1)
w = fez)
de domínio D, se considerarmos z e w na forma algébrica
z = x + iy,
w=u
+ iv,
a cada par ordenado (x, y) de números reais corresponderá, por meio de f, um outro par ordenado (u, v) de números reais. Fica, pois, assim determinado um sistema de duas funções reais de duas variáveis reaIS (2)
u = <p(x, y) { v = ",(x, y)
ambas definidas no conjunto D. Reciprocamente, é óbvio que um tal sistema de funções define em D uma função complexa de variável complexa. Assim, dar uma função complexa de variável complexa (1) equivale a dar um sistema (2) de duas funções reais de duas variáveis reais, com um mesmo domínio de existência D. Todavia, o estudo das funções complexas de variável complexa só tem geralmente interesse no caso das funções analíticas, em que as funções (2) obedecem a certas condições que deduziremos oportunamente. A primeira dificuldade que se depara ao principiante na passagem da Análise Real para a Análise Complexa é a ausência de representação geométrica intuitiva para funções de uma variável. Com efeito, toda a função real de variável real, y = f(x), pode ser representada por um conjunto de pontos (x, y) do plano; mas uma função complexa da variável complexa, u + iv = f(x + iy), só poderia ser representada (de maneira bicontínua) por um conjunto de pontos (x, y, u, v) de um espaço tetradimensional, isomorfo a R4, que não tem concretização intuitiva (a não ser no cronótopo, que não se presta certamente para esse fim ... )
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Mas essa dificuldade de ordem subjectiva em breve é superada com o hábito. O mais que se pode fazer, em considerações intuitivas sobre funções complexas da variável complexa, w = f (z), é representar os valores de z sobre um plano e os valores correspondentes de w sobre outro plano. Assim, o domínio D de f é identificado a um conjunto de pontos do plano dos zz, enquanto o contradomínio D* é representado por um conjunto de pontos do plano dos ww. Quando o ponto z «percorre» o conjunto D no primeiro plano, o correspondente ponto w «percorre» o conjunto D* no segundo plano. Tudo isto são recursos intuitivos apreciáveis para ajudar a nossa imaginação.
y
v "'-----.... D*
o
o
x
u
Assim, a função w = fez), ou o seu equivalente sistema de funções reais u = 'P(x, y), v = tV(x, y), define uma transformação pontual entre os dois planos. 3. Funções reais da variável complexa e funções complexas da variável real
É por vezes necessário considerar funções reais da variável complexa, isto é, funções que têm por domínio um conjunto de números complexos e por contradomínio um conjunto de números reais. Tais são, por exemplo, as seguintes funções de z atrás consideradas (todas definidas em C)
Iz I ,
Rez,
Imz,
etc.
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Também teremos ocasião de considerar funções complexas da variável real, isto é, funções do tipo z = F(t), em que os valores admissíveis de t são números reais e os de z números complexos. É claro que dar uma função real de variável complexa, u = f (z), equivale a dar uma função real, u = <p(x, y), de duas variáveis reais, x, y; e dar uma função complexa de variável real, z =F(t), equivale a dar duas funções reais, x = <p(t), y = 'V(t), de uma só variável real, t. NOTA IMPORTANTE. Entre as funções complexas f (z) da variável complexa z interessam, principalmente, aquelas que tomam sempre valores reais quando z é real, isto é, as que são prolongamento de funções reais da variável real. Entre essas merecem especial menção as que possuem a seguinte propriedade: (1)
fez)
= fez)
para todo o z E D ,
sendo D o domínio de f (de um modo geral, dado um número complexo a = a + bi, designa-se por a o conjugado de a, isto é: a=a-bi). A anterior propriedade implica, obviamente, que o domínio D é simétrico em relação ao eixo real. Além disso, tem-se a = a se e só se a é real; logo, da referida propriedade resulta que
ZEDnR
:=}
f(z)ER.
Recordando ainda as propriedades
donde a n = a n (com n natural), a/~
= a/~,
imediatamente se reconhece que toda a função racional de z de coeficientes reais possui a propriedade (1). Também é fácil ver que toda a função de z representada por uma série de potências de (z-a), com coeficientes reais e com a E R, possui a referida propriedade (tais, por exemplo, as de expz, senz, cosz, shz, chz, etc.).
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4. Noção de limite para funções complexas da variável complexa
Consideremos uma função complexa da variável complexa w = f(z) , de domínio D, e dois números complexos a, ~. DEFINIÇÃO A. Diz-se que fez) tende para ~ quando z tende para a, e escreve-se
f (z) ~ ~ quando z ~ a , se, a toda a sucessão zl' Z2' ... , Zn' ... de pontos de D distintos de a, tal que zn ~ a, corresponde uma sucessão de valores de fez) tal que f(zn) ~ ~. Na mesma hipótese se diz que ~ é o limite de fez) quando z ~ a e se escreve: ~ = lim fez) . Z-HI.
Portanto, a locução "f(z) tende para ~ quando z tende para a" é apenas o modo abreviado de dizer o seguinte: f (z) tende para ~ quando z tende para a por uma sucessão de valores distintos de a, qualquer que esta seja (isto é, qualquer que seja o modo como z tende para a). Assim, basta que exista uma sucessão de pontos zn de D distintos de a), tal que zn ~ a, sem que f(zn) ~ ~, para que não exista lim fez), segundo a DEFINIÇÃO A. z-?<X
Esta definição é ainda válida no caso em que umas das constantes a, ~ (ou ambas) é 00, ficando assim esclarecido o significado de expressões tais como lim fez) e lim fez) =00 • Z --7 00
Z--7 a
Note-se que a definição só tem interesse quando a é um ponto de acumulação de D (podendo, contudo, não pertencer a D), pois que, de contrário, não existirá nenhuma sucessão de pontos de D distintos de a que tenha por limite a. Todavia, a DEFINIÇÃO A, sendo a mais intuitiva e a que naturalmente surgiu em primeiro lugar, envolve a noção anterior de limite de uma sucessão e não é cómoda para muitos fins da Análise. Torna-se por isso vantajoso substituí-la por esta outra, devida a CAUCHY:
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DEFINIÇÃO B. Diz-se que fez) tende para ~ (ou tem por limite ~) quando z ~ a e escreve-se:
fez) ~ ~ quando z~a, ou lim fez) = ~, Z-7U
se, para todo o número ô > 0, existe um correspondente número de tal modo que se tem
sempre que
E,
Iz-al < E, com z E De z*-a; isto é, simbolicamente Iz - aI< E /\ z E D /\ z *- a ~ If (z) - ~ I< ô .
Admitindo o célebre "axioma de Zermelo" (também chamado "axioma da escolha "), demonstra-se facilmente que as duas definições são equivalentes. Todavia, para um matemático "não zerrnelista", apenas se pode afIrmar que a DEFINIÇÃO B implica a DEFINIÇÃO A, ignorando-se se a implicação recíproca é ou não verdadeira. Mas é com a DEFINIÇÃO B que se trabalha normalmente em Análise. Note-se, porém, que a DEFINIÇÃO B não é aplicável quando urna das constantes é 00. Mas esta defInição é, obviamente, equivalente à seguinte: DEFINIÇÃO C. Diz-se que fez) tem por limite ~ quando z ~ a, se para toda a vizinhança V de ~ existe uma correspondente vizinhança U de a tal que:
f(z)EV desde que zE U, com zED e z *- a, isto é, tal que ZEunD/\z*-a
~
f(z)EV.
(Na fIgura estamos a supor que V é a vizinhança (8) de vizinhança (E) de a).
~
eUa
161 y
v
v x
f(z)
x
u
Ora, a DEFINIÇÃO C já é extensível ao caso em que uma das constantes a, ~ (ou ambas) é 00, desde que adoptemos a seguinte definição complementar: sendo õ> 0, chama-se vizinhança (õ) de 00 ao conjunto cujos elementos são o próprio 00 e todos os números complexos z tais que Iz I> lIõ. Recordemos que o elemento 00 não pertence a C. Juntando ao conjunto C o~nte ideal 00, obtém-se um novo conjunto, que designaremos por C e que já não é um corpo. Oportunamente, daremos uma interpretação geométrica de C . 5. Propriedades dos limites das funções Recordemos as seguintes propriedades elementares: 1) Uma função fez) não pode tender para dois limites diferentes, quando z tende para um determinado limite a. 2) O facto de fez) tender ou não para ~ quando z --7 a, depende apenas dos valores que fez) tome numa vizinhança de a (qualquer que esta seja) com Z a.
*
3) Se fez) se reduz a uma constante ~, numa vizinhança de a, então f (z) --7 ~ quando z --7 a. 4) Se fez) e g(z) têm limites finitos quando Z--7a, então: I. lim [fez) + g(z)] = lim fez) + lim g(z); Z -HJ.
Z -HX
z ~a
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II. lim [fez) . g(z)] = lim fez) . lim g(z); Z--7U
se além disso, o lim g(z) *- O tem-se Z--7U
limf(z) f() = _Z--7_U III. lim _z_ __ Z--7U g(z) limg(z) Z--7U
Estes teoremas podem demonstrar-se directamente a partir da DEFINIÇÃO B, o que não oferece qualquer dificuldade, ou aplicando as correspondentes propriedades dos limites de sucessões e a DEFINIÇÃO A. Note-se ainda que a definição de limite para funções complexas de variável complexa se reduz imediatamente à noção de limite para funções reais de duas variáveis reais. Com efeito, já vimos que dar uma função complexa de variável complexa, w = f (z), equivale a dar um sistema de duas funções reais de duas variáveis reais, u = <p(x, y), v = t\J(x, y),
em que x
= Re z,
y
=1m z,
Então, se pusermos a e
a
u = Re w, v =1m w.
Bna forma algébrica
=a + bi, B=A + Bi
facilmente se reconhece, raciocinando como no caso das sucessões, que: lim fez) Z--7U
= BÇ::} lim <p(x, y) =A /\ lim ",(x, y) =B. X--7a y--7b
NOTA. Recordemos que se escreve:
X--7a y--7b
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lim <p(x, y) = A
°
o
quando, a todo o > 0, corresponde um E > tal que se tem I<p(x, y)-AI <o, desde que o ponto (x, y) esteja na vizinhança (E) do ponto (a, b), sendo (x, y) =I; (a, b) e (x, y) E D (analogamente para ",). É claro que a definição também pode ser dada em termos de sucessões. 6. Continuidade para funções complexas de variável complexa Consideremos uma função complexa f (z) da variável complexa z, e um número complexo a qualquer. Diz-se que a função f é contínua em a (ou no ponto a), quando se verificam as duas seguintes condições: 1) O número a pertence ao domínio D de f; 2) fez) -7 f(a) quando z -7
a ou, ainda, com outra notação:
lim fez) = f(a). z ----H/.
Assim, o dizer que f é contínua num ponto a do seu domínio significa que, a todo o O> 0, corresponde um E > tal que se tem
°
If(z) - f(a)1 <
o,
para
Iz - ai < E,
com z E D.
(É claro que a condição z =I; a toma-se agora inútil). Note-se que a condição 1) implica que f toma um valor finito no ponto a (também finito), pois estamos a supor que f tem o domínio e o contradomínio em C e já sabemos que 00 ft. C. Porém, a questão muda de aspecto quando substituímos C por C. Trataremos oportunamente deste caso. As propriedades elementares da continuidade num ponto, para funções reais de variável real (em que não intervenha a relação de ordem), são imediatamente extensíveis a funções complexas de variável complexa, w = f (z). Por outro lado, a continuidade de uma tal função fez) num ponto a reflecte-se na sua parte real e no seu coeficiente de i, segundo o
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TEOREMA. Condição necessária e suficiente para que f (z) seja função contínua de z = x + iy no ponto a = a + b i, é que a parte real e o coeficiente da parte imaginária de f (z) sejam funções de x, y, ambas contínuas no ponto (a, b). Diz-se que a função f é contínua sobre um conjunto M, contido no seu domínio, quando a restrição de f a M é contínua em todos os pontos deMo 7. Conceito de derivada. Funções monogéneas e funções holomorfas Vamos tratar do conceito de derivada para funções complexas de variável complexa. A definição de derivada para estas funções é formalmente a mesma que se costuma dar para funções reais de variável real, como limite da razão incremental. Consideremos uma função complexa f (z), da variável complexa z, e seja Zo um ponto interior do seu domínio de existência (quer isto dizer que existe, nele contida, pelo menos, uma vizinhança V, de zo). Posto isto, chama-se razão incremental da função f relativa ao ponto Zo a função de z definida por fez) - f(zo) , para z z-zo
* Zo (z E V).
Pode acontecer que exista o limite da razão incremental quando z -7 zo; então, esse limite é chamado a derivada da função f no ponto Zo e representa-se por f'(zo). Assim, por definição: (1)
f'(zo) = lim fez) - f(zo) . Z- H o z - Zo
O conceito de derivada assenta, pois, directamente, no conceito de limite de uma função, que foi atrás precisado e convém, portanto, ter aqui presente. ( 1) (1)
o conceito de derivada define-se não só para pontos Zo interiores ao domínio da função, mas também para pontos fronteiros. Todavia, é só o primeiro caso que interessa no estudo que vai seguir-se.
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Do mesmo modo se define "derivada de uma função" complexa de "variável real". Se pusermos
ainda podemos escrever (1) sob a forma f'(zo) = lim ~ . h~O
h
Diz-se que a função f é diferenciável no ponto Zo quando admite derivada finita neste ponto. Também se diz, então, que a função é monogénea em zo' mas este termo aplica-se exclusivamente a funções de variável complexa, enquanto o termo "diferenciável" é geral. (Como ,dizia HENRI POINCARE, a Matemática é a arte de dar o mesmo nome a coisas diferentes na substância mas idênticas na forma). Diz-se que a função f é diferenciável, num conjunto aberto A de números complexos, quando é diferenciável em todos os pontos de A(l). Também se diz, neste caso, que a função é holomorfa em A; mas este termo aplica-se exclusivamente a funções de variável complexa. (Ainda com o mesmo significado se dirá que a função é analítica em A, mas este outro termo tem uma origem diferente que oportunamente será esclarecida). Se a função w = fez) é holomorfa no conjunto A, a cada ponto z EA fica a corresponder o número complexo (único) w' = f'(z). Por outras palavras: fica assim definida em A uma nova função de z, que se chama a função derivada ou, simplesmente, a derivada de f nesse conjunto, e se representa por qualquer das notações já adoptadas no campo real d dw f'(z) , Dzf(z) , dz f(z) , dz' etc.
(1) Recordemos que um conjunto A se diz aberto quando todos os seus pontos lhe são
interiores.
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Mas não esqueçamos que uma função é uma correspondência f entre dois conjuntos e não uma variável! Assim, a função derivada de f será mais propriamente designada por qualquer das notações f', Df, etc. Quanto à derivada de f no ponto zO' podemos designá-la não só pela notação f'(zo)' mas ainda por W
Dz=zof(z) , (dd
z
,etc.
) Z=Zo
No que se refere a derivadas de ordem superior à primeira, toda a terminologia e notações adoptadas em Análise Real podem ser aplicadas, mutatis mutandis, no campo complexo. Vamos agora provar que, tal como sucede no campo real, diferenciabilidade implica continuidade, isto é, vamos provar que: Se umafunção é diferenciável em zO' também é contínua em ZOo Com efeito, se f é diferenciável em zo' existe e é finito o lim !5... =f' (zo) . h~O h Portanto, se pusermos
virá (2)
k =f' (zo) h + roh , com lim ro =O. h-')O
Daqui, atendendo a que f' (zo) é finito, resulta imediatamente que k ~ O quando h ~ O, isto é, que lim fez) = f(zo) , z -') Zo
e isto significa, precisamente, que fez) é contínua em Zo.
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Conceito de diferencial. A fórmula (2) mostra-nos que o acréscimo k de fez) correspondente ao acréscimo h de z em Zo difere de f'(zo)h por um infinitésimo com h de ordem superior à primeira. Tem-se, com efeito,
· roh 1·lmro= O. 1lm-= h~O
h
h~O
Pois bem, ao infinitésimo f'(zo) h com h (equivalente a k) chama-se diferencial de f relativo a h no ponto zO. Suponhamos, agora, que a função fez) é diferenciável em todo um conjunto aberto A. Então, para cada valor de h, o diferencial de f relativo a h no ponto z será, manifestamente, uma nova função de z definida no conjunto A, função que poderemos designar por dhf: dhf(z)
= f'(z)h.
Aqui o acréscimo h poderá ser omitido no índice, desde que não haja perigo de confusão, escrevendo-se, então, df em vez de d hf. Em particular, pode acontecer que fez) = z; neste caso será df(z) = dz = 1 . h = h,
ou seja, h = dz, o que nos permite escrever o diferencial de f com a sua forma corrente df(z) = f'(z)dz,
e o que justifica a notação de LEIBNIZ para designar derivadas df(z) , ~ f(z) , dw, etc. dz dz dz Novaforma da definição defunção diferenciável (ou monogénea). A igualdade (2) ainda poderá escrever-se:
o que toma evidente o seguinte facto:
168
Dizer que a função f é diferenciável em Zo equivale a dizer que pode ser representada, numa vizinhança deste ponto, por uma função linear de z:
à parte um infinitésimo com z - Zo de ordem superior à primeira. O coeficiente de z desta função linear é a derivada de f no ponto zo.
8. Regras de derivação As regras de derivação estabelecidas para as funções de variável real mantêm-se quase todas para as funções de variável complexa. Isto é apenas consequência do facto, que já apontámos, de se conservarem no campo complexo os teoremas fundamentais sobre limites, tais como o do limite da soma, do produto, etc. Assim: I. A derivada de uma constante continua a ser a função derivada de z em relação a z continua a ser a função 1.
°
e a
II. Se <p e 11J são funções diferenciáveis num ponto zo' também são diferenciáveis nesse ponto as funções f = <p + 11J e g = <p .11J , tendo-se:
se, além disso, for l1J(zo)t=O, também a função quociente h=<p/l1J será diferenciável em zo' tendo-se:
As demonstrações destas regras são formalmente as mesmas que se usam no campo real, com a aplicação dos referidos teoremas sobre limites.
169
Também continua a ser válida a REGRA DE DERIVAÇÃO DAS FUNÇÕES COMPOSTAS. Dadas duas funções w = fez) e z = <p(u), se <p é diferenciável num ponto Uo e f diferenciável no ponto correspondente Zo =<p(uo)' também a função composta de f por <p \fJ(u) = f[<p(u)] será diferenciável em Uo tendo-se (1)
Note-se que, neste enunciado, tanto faz que u seja variável complexa como variável real; o teorema é sempre verdadeiro. Observações análogas se podem fazer quanto às regras anteriores. Finalmente, subsiste com o seguinte aspecto a REGRA DA FUNÇÃO INVERSA. Seja w=f(z) umafunção invertível numa vizinhança de Zo e seja Z =<p(w) a função inversa de f, definida numa vizinhança do ponto correspondente W o = f(zo). Suponhamos, além disso, verificadas as seguintes condições: 1) afunção f é diferenciável em zo; 2) f'(zo);j:; O; 3) a função inversa <p é contínua no ponto wo• Então, podemos afirmar que <p também é diferenciável em W o e que se tem:
1
Para a demonstração, basta recordar que se tem z-z w-wo
1
_ _0_- _ __
w-wo z-zo
para z;j:; Zo '
(1) Recordemos que a função composta de f por <p é também chamada o produto da aplicação f por <p. Modernamente, é frequente representá-la por f o <p.
170
(sendo, então, w ;;j:. w o) e que, quando z -7 zo' também w -7 w o' e reciprocamente, porque ambas as funções f e <p são contínuas nos pontos considerados (1); donde lim <p(w) - <p(wo) = w~wo w - Wo l'
1 fez) - f(zo)
lm-----
z~zo
Z - Zo
o que conduz imediatamente à tese. É claro que, aplicando as regras anteriores, estamos agora aptos a derivar qualquer função racional ou fraccionária. Assim, dada uma função racional inteira,
ter-se-á para todo o valor de z
Portanto, uma função racional inteira será diferenciável em todos os pontos do plano, isto é, será holomorfa em todo o plano. Analogamente se reconhece que toda a função racional fraccionária, representada pelo quociente de dois polinómios primos entre si, é diferenciável em todos os pontos do plano, excepto naqueles em que se anula o denominador. Vejamos, agora, como se deriva uma função representada por uma série de potências. Considerando a função fez) representada pela série de potências 00
(1)
fe z)
=a
+a
01
Z + a 2 Z2
+ ... + an zn + ...
=~ a zn ~n' n=O
ocorre, naturalmente, perguntar se esta função é ou não diferenciável nos pontos interiores do seu círculo de convergência, e se a derivada (1) Estamos a supor, é claro, que no primeiro membro se tem <p(w) no lugar de z e, no segundo membro, f(z) no lugar de w.
171
se obtém derivando a série termo a termo, isto é, se podemos usar para esses pontos a fórmula 00
(2)
f'(z)
=aI + 2a 2z + ... + nanz n-
I
+ ...
= L nanz n-
I
•
n=l
A resposta é afirmativa, mas devemos ver primeiro se o raio de convergência da série derivada é igual ao raio de convergência da série dada. Ora, o raio de convergência desta é, como sabemos, lIL, sendo
Por outro lado, é fácil ver que o raio da segunda série não se altera multiplicando-a por z. Obtém-se, deste modo, a série 00
o+ a
I
Z + 2a 2 Z2 + ... + nan zn + ...
=~
~
nan Zn
n=O
cujo raio de convergência é lIL', sendo<I) L' = lim \Ynlanl = lim
~ ·lim ~ =lim ~ =L,
visto que
lim~=lim~=l. Fica assim provado que as duas séries têm o mesmo raio de convergência.
(1) Convém recordar neste ponto que os teoremas do limite da soma e do produto são
extensíveis ao conceito de "limite máximo", visto que o limite máximo duma sucessão (de números reais) é o maior dos limites das sucessões convergentes que da primeira se podem extrair.
172
Posto isto, podemos demonstrar o teorema seguinte: REGRA DE DERIVAÇÃO DAS SÉRIES DE POTÊNCIAS. A soma f (z) da série 00
ao + a 1 Z + a2 Z2 + ... + an zn + ... = ~ a zn ~ n n=O
tem por derivada, em cada ponto z interior ao seu círculo de convergência, a soma <p (z) da série 00
aI + 2 a2z + ... + nanzn-l + ... =
L nanzn-
1
•
n=l
Demonstração. Designemos por R o raio de convergência da série dada e seja Zo um número complexo qualquer tal que 1Zo 1 < R. O teorema relativo à diferença de duas séries habilita-nos a escrever:
00
=
L a/z n- z~), n=l
desde que seja
1
z 1 < R.
Recordemos, por outro lado, que se tem, para todo o z ~ Zo : (3)
zn _zn _ _-,-o
= zn-l + zozn-2 + z~ zn-3 + ... + Z;-I.
z-zo Logo será, para z~ Zo e
Iz 1< R:
Pretende-se provar que quando z ~ zo' a razão incremental (4) tende para <p(zo)' Ora, para Iz 1< R, tem-se:
173
Observando agora que: nz;-l = Z;-l + Z;-l + ... + Z;-l (n vezes), a expressão que, em (5), figura a multiplicar por an pode escrever-se do seguinte modo:
n-l
L zg-l(zn-p - z;-P).
+ ... + Z;-2(Z - zo) =
p=l
Podemos agora dividir zn-p- z;-p por z - zo' aplicando novamente (3), e, assim, a referida expressão tomará o aspecto: n-l
(z - Zo)
L zg-l(zn-p-l + zozn-p-2 + ... + Z;-P-I).
p=l
Posto isto, designemos por r um número qualquer compreendido entre IZo I e R, isto é, tal que
Izol < r<R. Aplicando agora a conhecida propriedade do módulo da soma, é fácil verificar que o módulo da referida expressão, sendo Iz I< r, será inferior a n-l
Iz - zol L
rP-I(n - p)r n-p- l
n-l
= Iz - zol rn-2 L (n - p)
p=l
p=l
1
=2
1z - zol n(n -
1)r n - 2,
174
visto que
L (n - p) = 1 + 2 + 3 + ... + (n -1) = n(n2n-l
1)
.
p=l
(Trata-se de uma progressão aritmética). Assim virá, finalmente, para a referida expressão que figura em (5), a majoração:
Izn-l + zozn-2 + ... + Z;-l - nz;-ll ~
"21 lz -
zol n(n - 1)r n-2,
e daqui, atendendo a (5), vem, para Iz I< r: (6)
Quando z ~ zo' também Iz - Zo I ~ O; portanto, se a série que figura no 2? membro de (6) for convergente (sendo, então, a sua soma finita, por definição), também o I? membro tende para O. Ora, é fácil ver que a série do 2? membro resulta da série das segundas derivadas, 00
L n(n -1) a z n
n 2 - ,
n=2
cujo raio de convergência é o mesmo da série dada (ou seja R); logo, para Iz I= r esta série é absolutamente convergente (visto ser r < R) e, portanto, é convergente a série do 2? membro de (6). Tem-se, pOIS:
fez) - f(zo) z-zo
~ <p(zo) quando z ~ Zo
(q.e.d.).
Por conseguinte, toda a série de potências de Z representa uma função holomorfa de Z no interior do seu círculo de convergência.
175
Apliquemos estes resultados às funções atrás definidas:
COs Z
Z2 Z4 Z2n = 1 - - + - + ... + (_l)n + ... 2! 4! (2n)!
Z3 Z5 z2n+l sen z = z - - + - + ... + (_l)n + ... 3! 5! (2n+ I)!
Qualquer destas séries tem raio de convergência infinito; assim, aplicando o teorema anterior, virá: d nl n z - = ~ = eZ • - eZ = dz n=l (n-l)! n=O n!
L
L
00
00
Analogamente se reconhece que d d - sen z = cos z, - cos z = - sen z, dz dz o que se pode, aliás, obter também pelas fórmulas de Euler aplicando o resultado anterior. Ainda, de modo análogo, se podem obter as derivadas das funções hiperbólicas, definidas, como no campo real, pelas fórmulas e Z + e-Z e Z - e- Z chz= shz=--2' 2i'
tendo-se (chz)' = shz, (shz)' = ch z. Uma função fez) diz-se inteira, quando é definida e holomorfa em todo o plano da variável complexa. Portanto, além das funções racionais inteiras, serão ainda inteiras (mas não racionais) as funções e z , sen z, cos z, sh z, ch z, e senz , cos (1 + e z), etc. etc. Mas já, por exemplo, a função senz tgz=-cos z
176
não é diferenciável nos pontos (em número infinito) que anulam o denominador; logo, não é inteira. Conclusão análoga para a função
z-I
--,etc. Z2 +1 Mais geralmente, o teorema anterior permite-nos afirmar o seguinte: Sendo ex um número complexo qualquer, toda a série de potências de Z - ex representa, no interior do seu círculo de convergência (círculo com centro em ex e com o raio de convergência), uma função holomorfa de z, cujas derivadas se obtêm derivando a série termo a termo. Para reconhecer a veracidade deste facto, basta aplicar a regra das funções compostas, derivando-a primeiro em ordem a Z = z - ex e derivando-se depois z - ex em ordem a z. Diz-se que uma função é analítica num conjunto aberto A de números complexos, quando é representável por uma série de potências numa vizinhança de cada ponto deste conjunto.
Pelo teorema anterior conclui-se que, toda a função analítica num conjunto aberto A é aí holomorfa. Mais tarde demonstraremos que, reciprocamente, toda a função holomorfa num conjunto aberto A é representável por uma série de potências numa vizinhança de cada ponto de A.
177
Assim, os conceitos de função analítica e de função holomorfa num conjunto aberto resultam equivalentes: não há, por isso, inconveniente em tornar "analítica" como sinónimo de "holomorfa"(l). No entanto como veremos, certos autores usam a expressão "função analítica" num sentido mais geral que o de "função holomorfa". 9. Condições de monogeneidade
Já vimos que uma função de variável complexa se diz monogénea ou diferenciável num ponto, quando admite derivada finita nesse ponto. Também já relacionámos a convergência das sucessões de números complexos com a convergência da parte real e do coeficiente da parte imaginária. Outro tanto se fez para as séries de termos complexos, bem como para os conceitos de limite e de continuidade relativos a funções complexas de variável complexa. Vamos ver agora como o facto duma função ser monogénea num ponto se reflecte na parte real e no coeficiente da parte imaginária da função. Consideremos uma função complexa de variável complexa, w=f(z). Pondo w e z na forma algébrica: w=u+iv e z=x+iy, as variáveis u e v vão ser expressas como funções de x e y: u = <p(x, y)
v = '" (x, y) .
Suponhamos, agora, que a função f é diferenciável num ponto ZOo Como vimos, isto equivale a dizer que existe um número complexo a e um número p > O tais que se tem: (1)
f(zo + h) - f(zo) = ah + wh para
Ih 1< p(2),
sendo a a derivada de f em zo:
(1) Note-se, porém, que os conceitos são distintos, embora equivalentes. Outro tanto se dá,
por exemplo, com os conceitos de "triângulo equilátero" e de "triângulo equiângulo", que distintos e contudo equivalentes, pelo menos em geometria euclideana. (2) Recordemos que os pontos Zo + h tais que Ih 1< p formam a vizinhança (p) de ZOo
178
e sendo ro um infinitésimo com h. Pondo a, h e ro na forma algébrica: (2)
a =A + iB,
virá
Então, igualando as partes reais e os coeficientes de i nos dois membros de (1), esta igualdade complexa desdobra-se nas duas igualdades reais:
com Ih I =
V h ~ + h~ < P.
Mas, por hipótese, ro é um infinitésimo com h; isso equivale a dizer que rol e ro2 tendem para zero quando h l e h2 tendem simultaneamente para zero(l). Então, conclui-se de (3) que as funções <p e '" são diferenciáveis no ponto (xo' Yo) e que, além disso, se tem:
e portanto
(1) Em virtude do teorema atrás apontado, que relaciona o limite de uma função complexa de variável complexa com os limites da parte real e coeficiente de i.
179
(4)
<p;(Xo, Yo) = "';(xo, Yo) {<p;(X , Yo) = - "';(X , Yo) . o o Então, a derivada da função
f no ponto 20 será:
f'(2 0 ) =A + Bi = <p;(xo, Yo) + i ",;(xo' Yo) = 'II; (xo' Yo) - i <p; (xo' Yo)'
Por conseguinte, se a função é diferenciável em 20' verificam-se estas condições (4), que são, pois, condições necessárias de monogeneidade. Como se vê, para que a função seja diferenciável em 20' não basta que a parte real e o coeficiente de i sejam diferenciáveis no ponto (xo' Yo): são ainda necessárias as condições (4). Ora, todas essas condições, em conjunto, são também suficientes. Com efeito, se <p e 'II são diferenciáveis em (xo' Yo) e, além disso, se verificam as condições (4), podemos escrever relações de tipo (3) e estas duas igualdades reais, por meio de (2), equivalem à igualdade complexa (1), o que mostra ser a função diferenciável. Assim, demonstrámos o seguinte TEOREMA. Condição necessária e suficiente para que a função f seja diferenciável no ponto 20 =xo+iyo' é que a sua parte real e o coeficiente da sua parte imaginária sejam diferenciáveis no ponto (xo'Yo) e se verifiquem, além disso, as relações (4). Nesta hipótese a derivada da função em 20 é dada por qualquer das fórmulas f'(2 0 ) = <p;(xo' Yo) + i ",;(xo' Yo) f'(2 0 )
=",;(xo, Yo) -
i <p;(xo, Yo)'
EXERCÍCIO - Aplicando o teorema anterior, provar que as funções de 2 definidas por Izl, Re 2, 1m 2 e z=x - iy(com z=x + iy) não são diferenciáveis em nenhum ponto do plano. NOTA IMPORTANTE. Na demonstração deste teorema utilizou-se o conceito de "função diferenciável" que foi adoptado na cadeira de Matemáticas Gerais para funções de mais de uma variável real. Há,
180
porém, muitos autores que adoptam um conceito mais geral de diferenciabilidade: neste sentido, uma função de 2 variáveis reais, f(x, y), diz-se diferenciável num ponto (xo' Yo) quando existem dois números reais A, B e um número p > O tais que se tem
f (xo + h, Yo + k) - f (xo' Yo) = A h + B k + ê (h + k) para V h 2 + k 2 < p, sendo ê (h, k) um infinitésimo com h e k de ordem superior à primeira, isto é, tal que: quando (h, k)
~
(O, O).
Ora, é fácil ver que o teorema anterior continua a ser válido mesmo com este segundo conceito de "função diferenciável" (de duas variáveis). Uma vantagem de tal conceito, devido ao matemático francês MAURICE FRÉCHET, está em se poder generalizar a espaços abstractos, como fez este matemático e como teremos ocasião de ver. 10. Condições de holomoma Das condições de monogeneidade deduzem-se imediatamente condições de holomorfia. Com efeito, diz-se que a função w = fez) é holomorfa num conjunto aberto A, quando é diferenciável em cada ponto de A. Pondo w e z na forma algébrica, w = u + iv, z = x + i y, vêm u e v como funções de x e y definidas em A: u = <p (x, y) .
(1)
{
v = ",(x, y)
Do teorema anterior deduz-se imediatamente o seguinte COROLÁRIO. Condição necessária e suficiente para que a função w =fez) seja holomorfa em A é que a sua parte real u =<p(x, y) e o coeficiente da sua parte imaginária, v=",(x, y), sejamfunções de x, y ambas diferenciáveis em A, e se tenha (2)
du dx
dv
= dy'
du dy
=-
dv dx' para (x, y) E A.
181
Nesta hipótese será
f' (z) = du + i dv dx
= dv _ i du
dx
dy
dy
para todo o ponto Z de A.
Em notação mais significativa as condições de monogeneidade (2) podem ser apresentadas sob a forma:
d dx
d dy
d dy
d dx
-Ref =-Imf, -Re f=--Imf.
o
sistema de funções (1) define uma aplicação ou transformação do conjunto A do plano z sobre um conjunto A* do plano w, conjunto este que é o contradomínio da função f. Oportunamente, estudaremos esta transformação do ponto de vista geométrico, quando verificadas as condições (2). Entretanto, interessa-nos estudar o jacobiano desta transformação. Tem-se:
du dv dx dx du dv dy dy
-Mas
dv dy
du dx
du dy
dv dx
-=- e -=--,
logo:
du dv
dx dx
182
Assim, o determinante funcional de tal transformação nunca é negativo. Interpretaremos oportunamente o significado geométrico deste facto. Uma outra consequência importante do teorema anterior é a seguinte: Se uma função fez) real da variável complexa z é holomorfa num conjunto aberto e conexo A do plano C, essa função reduz-se, necessariamente, a uma constante em A. Com efeito, pondo fez) = u + iv, deverá ser
v = 1m fez) = O, se a função é real. Então, de (2) deduz-se au u = constante real em A. ax
=- au =O e, portanto, ay
Demonstraremos mais tarde que uma função holomorfa admite derivadas de todas as ordens no domínio de holomorfia. Então, se f é holomorfa no aberto A, também a função au . av z =-+zf '() ax
ax
será holomorfa em A, e como, em virtude das condições (2), se tem
f' (z) = av _i au , ay
ay
a derivada de au em ordem a x há-de ser igual à derivada de au em ax ay ordem a y, em todo o ponto (x, y) de A, isto é, será:
au au ----2
2
ax 2
ay2
ou (3)
no aberto A, e analogamente para v.
183
A equação em derivadas parciais (3) diz-se equação de Laplace (para duas variáveis x e y); e pode escrever-se, abreviadamente, .du = 0,
em que
a
a
ax
ay2
2
2
. d =2- + -
é o operador diferencial chamado laplaciano (em ordem a x e y). Às soluções da equação de Laplace dá-se o nome de funções harmónicas. Então, como vimos, a parte real e o coeficiente de i numa função holomorfa são funções harmónicas de x e y. Reciprocamente, prova-se que toda a função harmónica de duas variáveis tem assim origem numa função holomorfa. 11. Estudo de algumas funções pluriformes
Função \Yz. Sendo n > 1 um número natural, já sabemos que para cada número complexo, z # 0, existem ao todo n números complexos distintos w tais que (1)
Pondo Iz I= p e arg z = q>, esses n números w são dados pela FÓRMULA DE MOIVRE (2)
W
~ q> + 2k1t . ~( q> + 2k1t . q> + 2k1t) = Pn exp l = Pn cos + l sen -n n n
com k = 0,1, ... , n - 1. Para w=O a equação (1) admite unicamente a raiz z=O (múltipla de ordem n). Pondo
21ti 21t. 21t c = exp--= cos- + l senn n n (raiz primitiva de índice n da unidade), a fórmula (2) pode ainda escrever-se
184
(3)
W=P~(COS:+iSen:).e'.
k=O,l, ... ,n-l.
Como vimos, qualquer destes números w costuma ser designado, indistintamente, pela notação Mas esta é uma expressão plurívoca, representativa de uma função em sentido lato. Note-se, porém, que a ambiguidade pode ser desfeita de vários modos. Por exemplo, se convencionarmos, como é hábito, que arg z designa o argumento reduzido de z, a fórmula (2), ou a sua equivalente (3), já fornece, para cada valor particular de k, uma determinada função, definida e uniforme em todo o plano C. Pois bem, convencionaremos chamar ramo (k), e designar pela notação -ifz(k>, essa função uniforme correspondente a k. Será, pois, por convenção,
-ifz .
"nr I (. <p +n2kn) ,para k -_ 0,1, ... , n-1. v z (k) -_ "n/i"""ll V I Z I exp l Para estudar estas funções, consideremos a função
tomando w para variável independente. O lugar geométrico dos pontos w do plano que verificam a condição
2n
O~argw<-,
n é o ângulo de amplitude 2n/n, que tem como primeiro lado o semi-eixo real positivo e do qual se exclui o segundo lado, excepto a origem (ângulo semi-aberto). Designaremos por A este conjunto de pontos. v
y
nffi
o
o x
u
z
185
Seja agora w um ponto qualquer de A e ponhamos
Iw I =r,
arg w =(O
(o,,;;;
(O
<
2:).
Então, quando r varia no intervalo [O, + 00 [, mantendo-se O) constante, o ponto w descreve uma semi-recta definida pela equação arg w =0), enquanto o ponto z descreve outra semi-recta definida pela equação arg z = nO). Além disso, a função z =w n estabelece uma correspondência biunívoca entre os pontos da semi-recta Ow e os pontos da semi-recta Oz, visto que a correspondência é dada, neste caso, pela função p = r n que, como já sabemos, define uma aplicação biunívoca do conjunto R+ sobre si mesmo. [ 2 [ Por outro lado, quando O) varia no intervalo O, : ,a semi-recta Ow descreve o ângulo A e a semi-recta Oz varre todo o plano.
Além disso, a correspondência assim estabelecida entre as primeiras semi-rectas e as segundas é biunívoca, pois que tal correspondência é definida pela relação arg z =n arg w, ou seja, <p =nO), e já sabemos que a função <p
= nO) define uma aplicação biunívoca
do intervalo [O, 2: [ sobre o intervalo [O, 21t[. Assim, em conclusão, vemos que a função z = w n de w, restringida ao ângulo semi-aberto A, é uma aplicação biunívoca de A sobre C. A sua função inversa, definida em C e de contradomínio A, é, evidentemente, o ramo (O) da função~, ou seja:
~(O) = 'VÍz1 (cos ar! z+ i sen ar! z). Notemos, desde já, que esta função é descontínua nos pontos do semi-eixo real positivo, distintos de O. Com efeito, nesses pontos, o argumento reduzido de z salta bruscamente de valores próximos de
186
2n para o valor O, quando z roda em torno da origem no sentido positivo, e, assim, o argumento reduzido de ~ (O) salta de valores próximos de 2n para O. n Porém, esta função é contínua nos restantes pontos z do plano (aos quais correspondem os pontos w de A não situados no referido semi-eixo e também a origem). Este facto pode ser provado de três modos diversos: ou directamente, ou recorrendo ao teorema das funções implícitas aplicado às funções reais, x=<p(u, v), y=\fJ(u, v), em que se desdobra z = w n , ou por um teorema geral da Topologia que estudaremos oportunamente. Uma vez estabelecido que a função ~ (O) é contínua nos referidos pontos, podemos finalmente aplicar a REGRA DE DERIVAÇÃO DAS FUNÇÕES INVERSAS (n? 8): dw 1 1 1 dz = dz = nw n - 1 = n(~(O)r-l
(com z"# O).
dw
Assim, concluímos que o ramo (O) de Vz é uma função holomorfa no plano C privado do semi-eixo R+ (ou, mais precisamente, no complementar de R+ em C, conjunto aberto que designaremos por C\R+)(l). Analogamente se reconhece que qualquer dos ramos (k) da função Vz, definido em todo o plano C, tem por contradomínio o ângulo semi-aberto definido por 2kn <
- - _ arg z < n
2(k+ 1)1t
n
, k = O, 1, ... , n- 1 ,
e é uma função holomorfa em C\R+. (1) Dado um conjunto A, contido em outro conjunto U, chama-se complementar de A em U o conjunto dos elementos de U não pertencentes a A; designá-lo-emos por U\A. Quando U é o conjunto de todos os elementos considerados numa dada teoria (universo lógico da teoria), o complementar de A em U é chamado simplesmente complementar de A e designado por CA, por rv A ou, ainda, por outras notações.
187
Mais geralmente, ainda pode ver-se que: A função em sentido lato Vz admite n ramos uniformes, funções holomoifas de z, em todo o conjunto aberto que se obtenha, suprimindo em C uma semi-recta qualquer emanada da origem ou, mais geralmente ainda, um ramo infinito de curva simples que parta da origem. A derivada de qualquer dessas funções será dada pela fórmula
~vzz dz
=
1 n (Vzr- 1 (z"* O),
subentendendo-se que, nos dois membros, se deve tomar sempre o mesmo ramo de Vz. A questão muda de aspecto, quando se trata de conjuntos que circundam a origem(l). Na verdade, quando z roda em torno de O no sentido positivo, partindo do semi-eixo R+, o ponto w = Vz(O) varia continuamente com z antes de voltar ao ponto de partida; mas aí a continuidade só pode ser restabelecida, se substituirmos o ramo (O) pelo ramo (1); após outra volta completa, teríamos de passar ao ramo (2), e assim sucessivamente, até regressar ao ramo (O). Não existe, portanto, conjunto nenhum que circunde a origem, no qual Vz admita um ramo uniforme que seja função contínua de z. Exprime-se este facto dizendo que o ponto z = O é um ponto de ramificação da função pluriforme Vz. NOTA. A função Vz poderia ser concebida como uniforme, se substituíssemos o plano da variável complexa por uma certa superfície formada de n folhetos sucessivos, passando-se de cada um para o seguinte de maneira contínua (como num helicóide) e do último para o primeiro através do semi-eixo real positivo. O estudo correcto das superfícies deste tipo, chamadas superfícies de Riemann, só pode ser feito com conhecimentos aprofundados de Topologia. Para uma primeira ideia intuitiva das superfícies de Riemann, veja-se, por exemplo, VALIRON, obra citada, pág. 349.
(1) Só mais adiante, com noções de Topologia, podemos precisar o significado da expressão
intuitiva "conjunto que circunda a origem".
188
Função logarítmica. O estudo desta função é análogo ao anterior. Já vimos que, para cada número complexo z O, existe uma infinidade de números complexos w tais que
*
dados pela fórmula w = log
Iz 1+ i(arg z +2kn),
em que k é um número inteiro relativo arbitrário. Qualquer desses números w é ainda designado por log z; porém, como já observámos, esta notação é ambígua, representando, por isso, uma função em sentido lato (função pluriforme). Se convencionarmos que arg z representa o argumento reduzido de z, é fácil ver que a referida expressão, para cada valor de k, representa uma função uniforme de z definida em todo o plano da variável complexa excepto a origem. Convencionamos, então, chamar ramo (k) da função log z a essa função uniforme correspondente a k, e designamo-la pela notação log (k) z. Para fazer o estudo de tais funções uniformes, consideremos a função
tomando w para variável independente. Já sabemos que se tem (1)
Iz 1= e
Rew
,
arg z =1m w.
É fácil ver que o lugar geométrico dos pontos w tais que
O<1m w < 2n, é a faixa horizontal limitada pelo eixo real e pela recta paralela a este eixo, de ordenada 2n, excluindo esta segunda recta.
189
2n w
r
v
o
u
Designaremos esse conjunto por B. Posto isto, ponhamos: (2)
Re w = u, 1m w =v.
Será, então, w = u + i v. Suponhamos que o ponto w pertence a B; se a sua parte real u varia no intervalo ]-00, +oo[ mantendo-se v constante, o ponto w descreve uma recta paralela ao eixo real, de ordenada v. Designemos essa recta por r. Ora, segundo (1) e (2), tem-se
Iz I = eU,
arg z = v.
Por conseguinte, enquanto w descreve a recta r, o ponto z descreve a semi-recta que parte da origem dos eixos e forma com o semi-eixo positivo o ângulo v, excluída, porém, a origem (quando u----:;-oo, Iz I= eU ----:; O; mas este ponto não é atingido, visto que eWnão se anula para nenhum valor de w E C). Designemos por r' este conjunto de pontos descrito por z. Visto que a correspondência entre os pontos de r e os de r' é dada por
imediatamente se reconhece que a função z = e define entre os pontos de r e de r' uma correspondência biunívoca. Por outro lado, quando v varia no intervalo [0, 2n [, a recta r descreve a faixa B e r' varre o plano C menos a origem; a correspondência assim estabeW
190
lecida entre as posições de r e r' é decerto biunívoca, visto ser fixada pela relação <p = V, em que <p = arg z. Em particular, se v varia em [0, 21t [, mantendo-se u constante, o ponto w descreve um segmento semi-aberto de B paralelo ao eixo imaginário, e o ponto Z descreve a circunferência de raio eU com centro em O; o raio desta circunferência será, pois, = 1, < 1 ou> 1, conforme for u=O, <O ou >0. Deste modo se reconhece, enfim, que a função Z = e w estabelece uma correspondência biunívoca entre a faixa B e todo o plano da variável complexa excepto a origem; portanto, a restrição da função Z = e a B é invertível, e a sua função inversa será a função W
log(Q)z = log
IZ I + i arg z,
definida e uniforme no complementar da origem. Desde logo se reconhece, como no estudo anterior, que esta função é descontínua nos pontos de R+ (distintos de O). Basta lembrar que arg Z apresenta um salto nesses pontos. Porém, a função log(Q) é contínua no conjunto C\R+, como se pode provar por qualquer dos métodos atrás indicados. Podemos então aplicar, nos pontos de continuidade, a regra de derivação das funções inversas, que dá: dw
1 dz dw
1
1 z
- - -- - -- - - dz
e
W
d 1 -log(Q)z =-, para todo o z E C\R+. dz z Analogamente se reconhece que qualquer dos ramos (k) de log z, definido no complementar da origem, tem por contradomínio a faixa horizontal 2k1t :::::; 1m w < 2 (k + 1) 1t, e é uma função holomorfa de z em C \ R+, tendo por derivada lIz. Mais geralmente ainda, pode ver-se que: A função pluriforme log z admite uma infinidade numerável de ramos uniformes, funções holomorfas de z, em todo o conjunto
191
aberto que se obtenha suprimindo em C os pontos de um ramo infinito de linha simples emanado da origem. Para qualquer desses ramos tem-se, no referido conjunto aberto: d 1 -logz=-.
dz
z
Não existe, porém, conjunto nenhum que circunde a origem, no qual a função log z admita um ramo uniforme e contínuo. Diremos, por isso, que a origem é um "ponto de ramificação" da função pluriforme log z.
Note-se que também a função log z pode ser concebida como uniforme sobre uma superfície de Riemann, formada, neste caso, por uma infinidade de folhetos. Um modelo concreto de uma tal superfície poderá ser um helicóide, gerado por uma recta que corte perpendicularmente o eixo; é fácil ver, então, como se estabelece uma correspondência biunívoca, entre os pontos do helicóide que não pertencem ao eixo e os pares (p, <p) de números reais tais que 0< p < + 00 e - 00 < <p < + 00. Então, pondo z = p eiq>, podemos associar a cada ponto (p, <p) do helicóide o número complexo log z = log P + i</" e assim definir a função logarítmica como função uniforme (e holomorfa) sobre o helicóide. Mas, como já se disse a propósito da função Vz, o estudo correcto deste assunto requer conhecimentos de Topologia que ainda não possuímos. Funções analíticas em sentido lato. As funções Vz e log z pertencem a uma classe de funções pluriformes chamadas funções analíticas em sentido lato (ou no sentido de Weierstrass), cujo estudo sistemático só poderá ser feito mais adiante. Registemos, no entanto, que vários autores, especialmente da escola francesa, chamam simplesmente funções analíticas às funções analíticas em sentido lato (uniformes ou pluriformes), reservando a designação "função holomorfa" para as funções analíticas uniformes; outros autores, ainda, chamam, a estas últimas, funções analíticas regulares.
192
A terminologia que adoptamos no nosso curso - talvez a mais seguida pelos autores contemporâneos - já ficou esclarecida.
Outros exemplos de funções analíticas em sentido lato. Além das funções Vz e log z, podemos citar ainda as funções z<X=e<Xlogz(com ex irracional ou imaginário), arc sen z, arc tg z, etc. Para o estudo destas, veja-se, por exemplo, VALIRON, obra citada, p.343-358. É claro que tais funções podem ainda combinar-se entre si ou com outras, para dar origem a novas funções analíticas uniformes, com um ou mais pontos de ramificação.
Seja, por exemplo, a função de z definida por V I + Z2 , que resulta de compor Vz com I + Z2. Como Vz tem um ponto de ramificação na origem e I +Z2 admite duas raízes (i e -i), a função VI +Z2 terá dois pontos de ramificação, precisamente i e - i. É fácil ver que esta função admite dois ramos holomorfos, em qualquer conjunto que se obtenha, cortando C por uma linha simples de extremos i e - i; mas não admitirá nenhum ramo uniforme e contínuo em qualquer conjunto que circunde um dos pontos i ou - i.
íNDICE ANÁLISE SUPERIOR
BIBLIOGRAFIA INICIAL .. .............. .... ................ ........ ................... INTRODUÇÃO..................................................................................
111 113
CAP. I - Preliminares
1. Números complexos .............................................................. . 2. Representação geométrica ..................................................... . 3. Representação trigonométrica dos números complexos ......... . 4. Interpretação geométrica da multiplicação ............................. . 5. Outro tipo de interpretação geométrica dos números complexos ................................................................ . 6. Limites de sucessões de números complexos ........................ . 7. Séries de termos complexos .................................................. . 8. Soma e produto de séries ....................................................... . 9. Séries de potências ................................................................. . 10. Função exponencial ............................................................... . 11. Logaritmação no campo complexo ....................................... .. 12. Senos e cosenos de números complexos ............................... .
117 121 124 127 128 130 136 139 141 143 148 149
CAP. II - Estudo elementar das funções de variável complexa
1. Generalidades sobre funções de mais de uma variável ..........
151
568 2. Funções complexas de variável complexa .............................. 3. Funções reais da variável complexa e funções complexas de variável real ............................................................................. 4. Noção de limite para funções complexas da variável complexa ................................................................... 5. Propriedades dos limites das funções ...................................... 6. Continuidade para funções complexas de variável complexa 7. Conceito de derivada. Funções monogéneas e funções holomorfas .............................................................................. 8. Regras de derivação ................................................................ 9. Condições de monogeneidade ................................................ 10. Condições de holomorfia......................................................... 11. Estudo de algumas funções pluriformes .................................
155 157 159 161 163 164 168 173 180 183
CAP. III - Noções prévias sobre espaços vectoriais abstractos e sobre topologia 1. Espaços vectoriais: definição, axiomática e exemplos ........... . 2. Dependência linear. Número de dimensões ........................... . 3. Noção de subespaço vectorial ............................................... .. 4. Noção de semi-norma ............................................................. . 5. Noção de norma ...................................................................... . 6. Noções de desvio, distância e espaço métrico ........................ . 7 . Noções métricas ..................................................................... . 8. Isometrias ............................................................................... . 9 . Noções topológicas em espaços métricos .............................. . 10. Topologia e Lógica formal .................................................... .. 11. Noção geral de espaço topológico ......................................... . 12. Sistemas fundamentais de vizinhança ................................... . 13. Filtros e bases de filtros ......................................................... . 14. Noção de subespaço topológico ............................................ . 15. Produto topológico ................................................................ . 16. Espaços separados ................................................................. . 17. Noção de limite de uma sucessão .......................................... . 18. Limite de um filtro ................................................................. .
193 197 197 199 200 202 205 207 208 214 217 220 222 223 224 226 228 231
569 19. Limite de uma função. Funções contínuas ............................. 20. Aplicações bicontínuas. Grupo da Topologia ......................... 21. Conjuntos compactos .............................................................. 22. Funções contínuas sobre compactos ....................................... 23. Continuidade uniforme em espaços métricos ......................... 24. Imersão de um espaço localmente compacto num espaço compacto ................................................................................. 25 . Noção de linha ........................................................................ 26. Conjuntos conexos .................................................................. 27. Espaços métricos completos. Espaços de BANACH .............. 28. Análise infinitesimal em espaços de BANACH ..................... 29. Espaços vectorais topológicos. Espaços localmente convexos .................................................
232 238 240 243 245
ALGUMAS INDICAÇÕES BIBLIOGRÁFICAS .......................
271
247 250 254 260 262 269
CAP. IV - Fundamentos da teoria das funções analíticas 1. Noção de integral para as funções complexas de variável real ............................................................................ 2. Noção de integral para as funções complexas de uma ·variável complexa ................................................................... 3. Nova definição de integral para funções complexas de variável complexa ................................................................... 4. Domínios simplesmente conexos e domínios multiplamente conexos.................................................................................... 5. Primeira forma do teorema fundamental de CAUCHY Demonstração de RIEMANN ................ .... ................... ...... .... 6. O teorema fundamental de CAUCHY para poligonais. Demonstração de GOURSAT .......... ........ ...................... .......... 7. O teorema fundamental do cálculo integral no campo complexo. Forma geral do teorema fundamental de CAUCHY................................................................................. 8. Caso dos domínios multiplamente conexos .................. .......... 9. Fórmula integral de CAUCHY................................................ 10. Convergência uniforme no campo complexo .........................
273 275 278 283 286 288
291 297 299 302
570 11. Primeiras consequências da fórmula integral de CAUCHY. ... 12. Teoremas de MORERA e de WEIERSTRASS ...................... 13. Série de LAURENT ................................................................ 14. Zeros de uma função holomorfa ............................................. 15. Pontos singulares de uma função ............................................ 16. Funções analíticas globais (ou funções analíticas de WEIERSTRASS) .................................................................... 17. Funções holomorfas em domínios da esfera de RIEMANN ... 18. Funções homográficas. Geometria analagmática e geometria projectiva da rectaprojectiva complexa ................................. . 19. Funções analíticas globais em domínios da esfera de RIEMANN ............................................................................. . 20. Funções algébricas ................................................................. . 21. Breves noções sobre representação conforme ........................ . 22. Funções vectoriais analíticas ................................................. ..
308 314 317 319 324 330 352 360 365 366 376 387
CAP. V - Revisões e complementos sobre integrais
impróprios e sobre integrais paramétricos 1. Integrais com extremos infinitos para funções reais ............... 2. Integrais de funções ilimitadas................................................ 3. Mudança de variáveis em integrais impróprios ....................... 4. Funções de EULER .............. ....... ....... ................ ............ ......... 5. Integrais impróprios de funções vectoriais e de funções complexas .............................................................................. . 6. Convergência uniforme relativa a parâmetros contínuos ....... . 7. Integr~is paramétricos ............................................................. .
391 405 411 413 415 417 425
CAP. VI - Método dos resíduos 1. 2. 3. 4.
Definição e teorema fundamental ......................................... .. Aplicação à contagem dos zeros duma função meromorfa .... . Resíduos no ponto impróprio ................................................. . Aplicação do método dos resíduos ao cálculo de integrais impróprios ...............................................................................
437 439 443 444
571
CAP. VII - Breves noções sobre medida e integral de Lebesgue 1. Medida de LEBESGUE sobre a recta .................................... . 2. Funções em escada. Funções fundamentais .......................... . 3. Funções mensuráveis .............................................................. . 4. Funções somáveis. Integral de LEBESGUE ......................... . 5. Propriedades do integral de LEBESGUE .............................. . 6. Integrais indefinidos. Funções absolutamente contínuas ....... . 7. Integração por partes e integração por substituição ............... . 8. Integral duma função sobre um conjunto mensurável ........... . 9. Espaço das funções localmente somáveis num intervalo ...... . 10. Espaços LP. Espaços de HILBERT .......... ............................... 11. Medida e integral em Rn ........................................................ .
454 457 458 459 463 468 471 473 473 479 484
CAP. VIII - Transformação de Fourier 1. Definição e notações ... ............... ..................... .................. ...... 2. Campo de existência. Primeiras propriedades......................... 3. Efeito da transformação de FOURIER sobre a derivação e sobre a multiplicação por x ..................................................... 4. Inversão. Teorema de FOURIER ............................................ 5. Demonstração do teorema integral de FOURIER .................. 6. Efeito da transformação de FOURIER sobre a multiplicação. Convolução ............................................................................ . 7. Efeito da transformação de FOURIER sobre as translações .. 8. Aplicações às equações diferenciais ...................................... . 9. A transformação de FOURIER para funções de mais de uma variável ........................... ..... .................................................. .
495 498
526
ALGUMAS INQICAÇÕES BIBLIOGRÁFICAS ...................... .
531
501 503 511 515 518 519
CAP. IX - Transformação de Laplace 1. Definição e notações ............................................................... 2. Campo de existência. Funções de tipo exponencial à direita. 3. Linearidade da transformação de LAPLACE .........................
533 535 541
572 4. 5. 6. 7. 8.
Efeito da transformação de LAPLACE sobre a derivação ..... Efeito da transformação de LAPLACE sobre as translações. Inversão ................................................................................... Convolução no intervalo [0, + 00 [ ........................................... Aplicações às equações diferenciais .......................................
542 545 547 550 552
BIBLIOGRAFIA ................................... .......................................
566